代数空間の射についてさらに

はじめに

本章では、代数空間の射の性質についての研究を続ける。 基本的な参考文献は [Kn] である。

規約

すべてのスキームは大きな fppf サイト \(\Sch_{fppf}\) に含まれるものと 常に仮定する。また、ここで考えるすべての環 \(A\) は、\(\Spec(A)\) が この大きなサイトの対象と（同型を除いて）なるという性質をもつものとする。

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。本章および次章では、 \(X \times_S X\) と書く。この記号は \(X\) とそれ自身との （\(S\) 上の代数空間の圏における）積を表し、\(X \times X\) の代わりに用いる。

Radicial 射

スキームの射の場合とは異なり、radicial 射は普遍単射と同じものではない。 実際、radicial であることの方が少し強い。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は、任意の射 \(\Spec(K) \to Y\)（ここで \(K\) は体）に対し、被約化 \((\Spec(K) \times_Y X)_{red}\) が空であるか、または \(K\) の純非分離 体拡大のスペクトルで表現されるとき、その射は radicial であるという。

補題

代数空間の radicial 射は普遍単射である。

証明

\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の radicial 射とする。定義から、射 \(\Spec(K) \to Y\) が与えられたとき、 これを \(X\) への射に持ち上げる方法は高々一つであることが明らかである。 したがって Morphisms of Spaces, Lemma 040X により、\(f\) は普遍単射である。

例

普遍単射であることと radicial であることは、もはや同値ではない。 例えば、Spaces, Example 02Z6 の射 \[X = [\Spec(\overline{\mathbf{Q}})/ \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})] \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{Q})\] は普遍単射であるが、上の意味で radicial ではない。

それでも、逆向きの含意が成り立つ場合は多い。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の 普遍単射とする。

1. \(f\) が decent ならば、\(f\) は radicial である。

2. \(f\) が準分離ならば、\(f\) は radicial である。

3. \(f\) が局所分離ならば、\(f\) は radicial である。

証明

\(\mathcal{P}\) を代数空間の射の性質であって、基底変換と合成で保たれ、 閉埋め込みについて成り立つものとする。\(f : X \to Y\) は \(\mathcal{P}\) をもち、かつ普遍単射であると仮定する。このとき Definition 0481 の状況では、射 \((\Spec(K) \times_Y X)_{red} \to \Spec(K)\) は普遍単射であり、性質 \(\mathcal{P}\) をもつ。したがって \[\mathcal{P} + \text{普遍単射} \Rightarrow \text{radicial}\] を示す問題は、ある体上の空でない被約代数空間 \(X\) で、その構造射 \(X \to \Spec(K)\) が普遍単射かつ \(\mathcal{P}\) をもつものは、 ある体のスペクトルで表現されることを示す問題に帰着する。 実際、その場合 \(X \to \Spec(K)\) はスキームの射となり、 スキームの射について radicial と普遍単射が同値であること、 すなわち Morphisms, Lemma 01S4 から結論が従う。

(1) を示す。\(f\) が decent かつ普遍単射であると仮定する。 Decent Spaces, Lemmas 03L0, 03L1, and 03M5 （埋め込みが decent であることを確認するため）により、 第一段落の議論を適用できる。\(X\) を、体 \(K\) 上で普遍単射な、 空でない decent 被約代数空間とする。特に \(|X|\) は一点集合である。 Decent Spaces, Lemma 047Z により、\(X \cong \Spec(L)\) となるある拡大 \(K \subset L\) が存在し、望む結論を得る。

準分離射は decent である。次を参照せよ。 Decent Spaces, Lemma 03M5。 したがって (1) から (2) が従う。

(3) を示す。分離公理は基底変換と合成で保たれ、閉埋め込みは分離的である。 次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 03KQ, and 042R。 したがって、証明の第一段落の議論を適用できる。 \(X\) を体 \(K\) 上で普遍単射かつ局所分離な被約代数空間とする。 特に \(|X|\) は一点集合なので \(X\) は準コンパクトである。次を参照せよ。 Properties of Spaces, Lemma 03E4。 全射エタール射 \(U \to X\) で \(U\) がアフィンとなるものを取れる。次を参照せよ。 Properties of Spaces, Lemma 03H6。 スキームの射 \[j : U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(K)} U\] を考える。\(X \to \Spec(K)\) は普遍単射なので \(j\) は全射であり、 \(X \to \Spec(K)\) は局所分離なので \(j\) は埋め込みである。 全射な埋め込みは閉埋め込みである。次を参照せよ。 Schemes, Lemma 01IQ。 したがって \(R = U \times_X U\) はアフィンスキームの閉部分スキームとして アフィンである。特に \(R\) は準コンパクトである。 よって \(X = U/R\) は準分離であり、結論は (2) から従う。

注意

\(X \to Y\) を代数空間の射とする。radicial 射の応用によっては、 任意の \(\Spec(K) \to Y\)（ここで \(K\) は体）に対して

1. 空間 \(|\Spec(K) \times_Y X|\) が一点集合である、

2. モノ射 \(\Spec(L) \to \Spec(K) \times_Y X\) が存在する、

3. \(K \subset L\) が純非分離である、

ことを要求すれば十分である。必要になれば、後でこのような射を 弱 radicial と呼ぶことにする。 例えば \(X \to Y\) が全射な弱 radicial 射ならば、 \(X(k) \to Y(k)\) は任意の代数閉体 \(k\) に対して全射である。Example 0483 の射の基底変換 \(X_{\overline{\mathbf{Q}}} \to \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) は弱 radicial であるが、radicial ではないことに注意する。 Lemma 0484 に対応する主張は、\(X \to Y\) が性質 (\(\beta\)) をもち普遍単射ならば 弱 radicial である、というものである（証明は省略する）。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限型である。

2. 任意のエタール射 \(V \to Y\) に対して、写像 \(|X \times_Y V| \to |V|\) は単射である。

このとき \(f\) は普遍単射である。

証明

この問題は Morphisms of Spaces, Lemma 03MX により \(Y\) 上エタール局所的である。したがって \(Y\) はスキームであると 仮定してよい。このとき \(Y\) は特に decent であり、 Decent Spaces, Lemma 0ACB により、\(f\) は局所準有限である。\(y \in Y\) を点とし、 \(X_y\) をスキーム論的ファイバーとする。\(X_y\) が空でないと仮定する。 Spaces over Fields, Lemma 06S0 により、\(X_y\) は \(\kappa(y)\) 上局所準有限なスキームである。 \(|X_y| \subset |X|\) は \(|X| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバーなので、 \(X_y\) はただ一つの点 \(x\) をもつ。同じことが \(X_y \times_{\Spec(\kappa(y))} \Spec(k)\) についても成り立つ。ここで \(k/\kappa(y)\) は任意の有限分離拡大とする。 実際、\(k\) は \(y\) の上にある点の剰余体として実現でき、 その点は \(Y\) 上のあるエタールスキームに属する。次を参照せよ。 More on Morphisms, Lemma 02LF。 したがって \(X_y\) は幾何学的に連結である。次を参照せよ。 Varieties, Lemma 0389。 このことから有限拡大 \(\kappa(x)/\kappa(y)\) は純非分離である。

以上により（\(Y\) がスキームの場合）、任意の \(y \in Y\) に対して ファイバー \(X_y\) は空であるか、または \((X_y)_{red} = \Spec(\kappa(x))\) であり、 \(\kappa(y) \subset \kappa(x)\) は純非分離である。 したがって \(f\) は radicial である（細部は省略する）。 ゆえに Lemma 0482 により普遍単射である。

モノ射

本節は Morphisms of Spaces, Section 042K の続きである。代数空間のすべてのモノ射が表現可能かどうかを知りたい。 これが真であることを証明できるか、反例があるならば、 stacks.project@gmail.com まで電子メールで知らせてほしい。現時点では、次の場合に知られている。

1. 局所有限型のモノ射の場合。より一般に、分離かつ局所準有限な任意の射は Morphisms of Spaces, Lemma 0418 により表現可能であり、局所有限型のモノ射は Morphisms of Spaces, Lemma 0463 により局所準有限である。

2. 標的が零次元局所環のスペクトルの非交和である場合 （Decent Spaces, Lemma 06RZ）。

3. 平坦モノ射の場合（以下を参照）。

補題

代数空間の平坦モノ射はスキームで表現可能である。

証明

\(f : X \to Y\) を代数空間の平坦モノ射とする。\(f\) が表現可能であることを 示すには、\(X \times_Y V\) がスキームであることを示さなければならない。 ここで \(V\) は \(Y\) に写る任意のスキームである。 スキームであるという性質は局所的なので（Properties of Spaces, Lemma 03JH）、\(V\) はアフィンであると 仮定してよい。したがって \(Y = \Spec(B)\) はアフィンスキームであると 仮定してよい。次に、\(X\) を準コンパクト開部分で置き換えることにより、 \(X\) は準コンパクトであると仮定できる。 空間 \(X\) は、\(X \to X \times_{\Spec(B)} X\) が同型なので分離的である。 Limits of Spaces, Lemma 0B80 を適用して、\(B\) が局所環であり、\(X \to \Spec(B)\) が平坦モノ射で、 \(x \in X\) が存在し、それが \(\Spec(B)\) の閉点に写る場合に帰着する。 このとき、分離的代数空間の平坦射に沿って一般化は持ち上がるので、 \(X \to \Spec(B)\) は全射である。次を参照せよ。 Decent Spaces, Lemma 0B7W。 したがって \(\{X \to \Spec(B)\}\) は fpqc 被覆である。 射 \(X \to \Spec(B)\) は、それ自身 \(X \to \Spec(B)\) による基底変換の後に 同型になる。よって fpqc 降下により同型である。次を参照せよ。 Descent on Spaces, Lemma 041Y。

以下は（ある意味で）上の補題の変種である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を代数空間の準コンパクトなモノ射とし、 任意の \(T \to Y\) に対して写像 \[\mathcal{O}_T \to f_{T,*}\mathcal{O}_{X \times_Y T}\] が単射であると仮定する。このとき \(f\) は同型である （したがってスキームで表現可能である）。

証明

問題は \(Y\) 上エタール局所的であるから、\(Y = \Spec(A)\) は アフィンであると仮定してよい。このとき \(X\) は準コンパクトであり、 アフィンスキーム \(U = \Spec(B)\) と全射エタール射 \(U \to X\) を選べる （Properties of Spaces, Lemma 03H6）。 \(U \times_X U = \Spec(B \otimes_A B)\) であることに注意する。 したがって、準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群の圏は、降下データの圏 \(DD_{B/A}\)、すなわち \(A \to B\) に関する加群上の降下データの圏と 同値である。 Properties of Spaces, Proposition 03M3, Descent, Definition 023G、 および Descent, Subsection 08WW を参照せよ。 他方、 \[A \to B\] は普遍単射な環準同型である。実際、\(A\) 加群 \(M\) を与えると、 補題の仮定により \(A \oplus M \to B \otimes_A (A \oplus M)\) は単射である。したがって Descent, Theorem 08XA により、\(DD_{B/A}\) は \(A\) 加群の圏と同値である。ゆえに \(f : X \to \Spec(A)\) に沿う引き戻しは準連接加群の圏の同値を定める。 特に \(f^*\) は準連接加群上完全であり、\(f\) は平坦である （細部は省略する）。さらに \(f\) が全射であることは明らかである （例えば \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) が全射だからである）。 したがって \(\{X \to \Spec(A)\}\) は fpqc 被覆である。 射 \(X \to \Spec(A)\) は、それ自身 \(X \to \Spec(A)\) による 基底変換の後に同型になる。よって fpqc 降下により同型である。 Descent on Spaces, Lemma 041Y を参照せよ。

補題

代数空間の準コンパクト、平坦かつ全射なモノ射は同型である。

証明

そのような射は Lemma 0B8B の仮定を満たす。

埋め込みの余法層

\(S\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 閉埋め込みとする。対応する準連接イデアル層を \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) とする。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB。 短完全列 \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] を考える。これは \(X\) 上の準連接層の短完全列である。 層 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) は \(\mathcal{I}\) により 零化されるので、Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ により \(Z\) 上の層に対応する。この準連接 \(\mathcal{O}_Z\) 加群を \(Z\) の \(X\) における余法層といい、Morphisms of Spaces, Section 04CI で述べた記法の濫用により、しばしば \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) と表す。

\(i : Z \to X\) が（局所閉）埋め込みの場合、\(i\) の余法層を 閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) の余法層として定義する。 Morphisms of Spaces, Remark 04CE を参照せよ。 これはしばしば \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) と表す。ここで \(\mathcal{I}\) は閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) のイデアル層である。

定義

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。余法層 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)、すなわち \(Z\) の \(X\) における余法層、 または \(i\) の余法層とは、上で述べた準連接 \(\mathcal{O}_Z\) 加群 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) のことである。

[EGA, IV Definition 16.1.2] では、この層を \(\mathcal{N}_{Z/X}\) と表す。本章では \(\mathcal{N}_{Z/X}\) という記号を埋め込みの法層のために 取っておきたいので、この慣習には従わない。余法層が有限表示である場合、 法層を \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] と定義する（そうでなければ、法層は準連接でさえないことがある）。 法層には後で戻る（ここに将来の参照を挿入する）。

補題

\(S\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。 \(\varphi : U \to X\) をエタール射とし、\(U\) はスキームであるとする。 \(Z_U = U \times_X Z\) とおく。これは \(U\) の局所閉部分スキームである。 このとき \[\mathcal{C}_{Z/X}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U}\] が標準的に、かつ \(U\) に関して関手的に成り立つ。

証明

閉部分空間 \(T \subset X\) を、\(i\) が \(X \setminus T\) への 閉埋め込みを定めるようにとる。\(\mathcal{I}\) を \(X \setminus T\) 上で \(Z\) を定める準連接イデアル層とする。 このとき補題の主張は、 \(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\) が埋め込み \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\) のイデアル層であるということに すぎない。これは Morphisms of Spaces, Lemma 03MB における \(\mathcal{I}\) の構成から明らかである。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を \(S\) 上の代数空間の可換図式とする。\(i\), \(i'\) は埋め込みであると 仮定する。このとき \(\mathcal{O}_Z\) 加群の標準的な写像 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\] が存在する。

証明

まず、開部分空間 \(U' \subset X'\) と \(U \subset X\) であって、 \(g(U) \subset U'\) であり、\(i(Z) \subset U\) および

\(i(Z') \subset U'\) が閉となるものを見いだす （存在証明は省略する）。\(X\) を \(U\) で、\(X'\) を \(U'\) で置き換えれば、 \(i\) と \(i'\) は閉埋め込みであると仮定してよい。 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) および \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を、それぞれ \(i'\) と \(i\) に 付随する準連接イデアル層とする。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB。 合成 \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] を考える。\(g(i(Z)) \subset Z'\) なので、この合成は零である （Morphisms of Spaces, Lemma 03MB の分解に関する主張を参照せよ）。したがって可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得る。\(g^{-1}\) は完全関手なので下段は完全である。 完全性から \((g^{-1}\mathcal{I}')^2 = g^{-1}((\mathcal{I}')^2)\) も従う。ゆえに、この図式は写像 \(g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) を誘導する。（例えば \(i^{-1}\) を用いて）\(Z\) に引き戻すと、 \(i^{-1}g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{C}_{Z/X}\) を得る。 \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\) なので、これは写像 \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) を与え、 そこから所望の写像が誘導される。

補題

\(S\) をスキームとする。 Definition 04CN の余法層と Lemma 04CP の関手性は、次の性質を満たす。

1. \(Z \to X\) が \(S\) 上のスキームの埋め込みならば、その余法層は Morphisms, Definition 01R2 のものと一致する。

2. Lemma 04CP においてすべての空間が スキームならば、写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は Morphisms, Lemma 01R4 で構成したものと同じである。

3. 可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} \ar[d]_{f'} & X' \ar[d]^{g'} \\ Z'' \ar[r]^{i''} & X'' }\] が与えられたとき、写像 \((f' \circ f)^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は、写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) と、 \(f\) による次の写像の引き戻しとの合成に等しい。 \((f')^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z'/X'}\)

証明

省略する。なお、(1) は Lemma 04CO の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を \(S\) 上の代数空間のファイバー積図式とする。\(i\), \(i'\) は 埋め込みであると仮定する。このとき Lemma 04CP の標準的な写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は全射である。 \(g\) が平坦ならば、この写像は同型である。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ U' \ar[r] & X' }\] を選ぶ。ここで \(U\), \(U'\) はスキームであり、横の矢印は全射かつ エタールである。Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 このとき Lemmas 04CO および 04G2 により、問題はスキームの射の場合に 帰着することが分かる。スキームの場合、これは Morphisms, Lemma 0473 である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(Z \to Y \to X\) を代数空間の埋め込みとする。 このとき標準的な完全列 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] が存在する。ここで写像は Lemma 04CP から得られ、 \(i : Z \to Y\) は最初の射である。

証明

\(U\) をスキームとし、\(U \to X\) を全射エタール射とする。 Lemmas 04CO および 04G2 により、この列の完全性は スキームの埋め込み \(Z \times_X U \to Y \times_X U \to U\) に対する対応する列の完全性へ直ちに移される。 したがって補題は Morphisms, Lemma 062S から従う。

埋め込みの法錐

\(S\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 閉埋め込みとする。対応する準連接イデアル層を \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) とする。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB。 次数付き \(\mathcal{O}_X\) 代数の準連接層 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) を考える。各層 \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) は \(\mathcal{I}\) により零化されるので、この次数付き代数は Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ により、次数付き \(\mathcal{O}_Z\) 代数の準連接層に対応する。 この準連接次数付き \(\mathcal{O}_Z\) 代数を \(Z\) の \(X\) における余法代数といい、Morphisms of Spaces, Section 04CI で述べた記法の濫用により、しばしば単に \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) と表す。

\(i : Z \to X\) が（局所閉）埋め込みの場合、\(i\) の余法代数を 閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) の余法代数として定義する。 Morphisms of Spaces, Remark 04CE を参照せよ。 これはしばしば \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) と表す。ここで \(\mathcal{I}\) は閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) のイデアル層である。

定義

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。余法代数 \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\)、すなわち \(Z\) の \(X\) における余法代数、 または \(i\) の余法代数とは、上で述べた次数付き \(\mathcal{O}_Z\) 代数の準連接層 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) のことである。

したがって \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\) は この埋め込みの余法層である。また \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\) であり、 \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\) は次の性質で特徴づけられる準連接 \(\mathcal{O}_Z\) 加群である。 [09RP]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] ここで \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) であり、 \(\mathcal{I}\) は上と同じく \(i\) のイデアル層である。 最後に、準連接次数付き \(\mathcal{O}_Z\) 代数の標準的全射 [09RQ]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] が存在し、次数 \(0\) および \(1\) では同型であることに注意する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 埋め込みとする。\(\varphi : U \to X\) をエタール射とし、 \(U\) はスキームであるとする。\(Z_U = U \times_X Z\) とおく。 これは \(U\) の局所閉部分スキームである。このとき \[\mathcal{C}_{Z/X, *}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U, *}\] が標準的に、かつ \(U\) に関して関手的に成り立つ。

証明

閉部分空間 \(T \subset X\) を、\(i\) が \(X \setminus T\) への 閉埋め込みを定めるようにとる。\(\mathcal{I}\) を \(X \setminus T\) 上で \(Z\) を定める準連接イデアル層とする。 このとき補題は、\(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\) が 埋め込み \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\) のイデアル層であること から従う。これは Morphisms of Spaces, Lemma 03MB における \(\mathcal{I}\) の構成から明らかである。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を \(S\) 上の代数空間の可換図式とする。\(i\), \(i'\) は埋め込みであると 仮定する。このとき次数付き \(\mathcal{O}_Z\) 代数の標準的な写像 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] が存在する。

証明

まず、開部分空間 \(U' \subset X'\) と \(U \subset X\) であって、 \(g(U) \subset U'\) であり、\(i(Z) \subset U\) および

\(i(Z') \subset U'\) が閉となるものを見いだす （存在証明は省略する）。\(X\) を \(U\) で、\(X'\) を \(U'\) で置き換えれば、 \(i\) と \(i'\) は閉埋め込みであると仮定してよい。 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) および \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を、それぞれ \(i'\) と \(i\) に 付随する準連接イデアル層とする。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB。 合成 \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] を考える。\(g(i(Z)) \subset Z'\) なので、この合成は零である （Morphisms of Spaces, Lemma 03MB の分解に関する主張を参照せよ）。したがって可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得る。\(g^{-1}\) は完全関手なので下段は完全である。完全性から、 \((g^{-1}\mathcal{I}')^n = g^{-1}((\mathcal{I}')^n)\) がすべての \(n \geq 1\) に対して成り立つことも従う。 ゆえに、この図式は写像 \(g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) を誘導する。（例えば \(i^{-1}\) を用いて）\(Z\) に引き戻すと、 \(i^{-1}g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\) を得る。 \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\) なので、これは写像 \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X', n} \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\) を与え、 そこから所望の写像が誘導される。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を \(S\) 上の代数空間のカルテジアン正方形とし、\(i\), \(i'\) は 埋め込みであるとする。このとき Lemma 09RS の標準的な写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\) は全射である。 \(g\) が平坦ならば、この写像は同型である。

証明

\(X'\) 上エタール局所化した後で主張を確認してよい。

この場合、\(X' \to X\) はスキームの射であると仮定してよく、 したがって \(Z\) と \(Z'\) はスキームである。ゆえに結果は スキームの場合から従う。次を参照せよ。 Divisors, Lemma 0635。

代数空間上の錐とベクトル束について、スキームの場合と同じ慣習を用いる （スキームの場合は EGA の慣習を用いる）。次を参照せよ。 Constructions, Sections 062P および 01M1。 特に、ベクトル束は非常に一般的な対象である （アフィン空間束に局所同型であるとは限らない）。

定義

\(S\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 埋め込みとする。法錐 \(C_ZX\)、すなわち \(Z\) の \(X\) における法錐とは \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] のことである。Morphisms of Spaces, Definition 081W を参照せよ。 \(Z\) の \(X\) における法束とは、ベクトル束 \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] のことである。

したがって \(C_ZX \to Z\) は \(Z\) 上の錐であり、 \(N_ZX \to Z\) は \(Z\) 上のベクトル束である。 さらに、次数付き代数の標準的全射 (09RQ) は、\(Z\) 上の錐の 標準的閉埋め込み [09RV]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] を定める。

射の微分層

読者には、可換代数の章の対応する節 （Algebra, Section 00RM）、 スキームの射の章の対応する節 （Morphisms, Section 01UM）、 ならびに Modules on Sites, Section 04BJ を見ることを勧める。 まず、スキームの射に対する微分層の概念が、小エタール（環付き）サイトの 対応する射に対するものと一致することを示す。

次の補題を明確に述べるため、一時的に、\(\mathcal{F}^a\) で \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) 加群の層、すなわち準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群 \(\mathcal{F}\) でスキーム \(X\) 上のものに 付随する層を表す記法へ戻る。 Descent, Definition 03DU を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(f_{small} : X_\etale \to Y_\etale\) を、これに付随する小エタールサイトの 射とする。Descent, Remark 070R を参照せよ。 このとき、普遍導分と両立する標準的同型 \[(\Omega_{X/Y})^a = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\] が存在する。ここで最初の加群は \(X_\etale\) 上の層であり、 準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群 \(\Omega_{X/Y}\) に付随するものをいう。 Morphisms, Definition 01UQ を参照せよ。 第二の加群は Modules on Sites, Definition 04BN のものである。

証明

\(h : U \to X\) をエタール射とする。この場合、自然な写像 \(h^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{U/Y}\) は同型である。次を参照せよ。 More on Morphisms, Lemma 04BX。 このことは、自然な \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\) 導分 \[\text{d}^a : \mathcal{O}_{X_\etale} \longrightarrow (\Omega_{X/Y})^a\] が存在することを意味する。実際、\((\Omega_{X/Y})^a\) の 任意の対象 \(U\)（\(X_\etale\) の対象）上での値が \(\Gamma(U, \Omega_{U/Y})\) と標準的に同一視されることを、いま見た。 普遍性をもつ導分 \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\) により、一意な \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) 線形写像 \(c : \Omega_{X_\etale/Y_\etale} \to (\Omega_{X/Y})^a\) が存在し、等式 \(\text{d}^a = c \circ \text{d}_{X/Y}\) を満たす。

逆に、\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_{X_\etale}\) 加群とし、 \(D : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\) 導分とする。このとき \(D\) を 小ザリスキーサイト \(X_{Zar}\)、すなわち \(X\) の小ザリスキーサイトに 制限すればよい。 \(X_{Zar}\) 上の層は \(X\) 上の層と一致するので （Descent, Remark 03FG）、 \(D|_{X_{Zar}} : \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) は通常の \(Y\) 導分にほかならない。したがって写像 \(\psi : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) を得て、これは \(D|_{X_{Zar}} = \psi \circ \text{d}\) を満たす。特に、これを \(\mathcal{F} = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\) に適用すると写像 \[c' : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}|_{X_{Zar}}\] を得る。Descent, Remark 070R および Lemma 070S で論じた環付きサイトの射 \(\text{id}_{small, \etale, Zar} : X_\etale \to X_{Zar}\) を考える。制限関手 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) は \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\) に等しく、 \(\text{id}_{small, \etale, Zar}^*\) は \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\) の左随伴であり、さらに \((\Omega_{X/Y})^a = \text{id}_{small, \etale, Zar}^*\Omega_{X/Y}\) であるから、\(c'\) は写像 \[c'' : (\Omega_{X/Y})^a \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}.\] に随伴する。

\(c''\) と \(c'\) は互いに逆であると主張する。 この主張により補題の証明は完了する。 これを見るには、\(c''(\text{d}(f)) = \text{d}_{X/Y}(f)\) および \(c(\text{d}_{X/Y}(f)) = \text{d}(f)\) を示せば十分である。 ここで \(f\) は \(\mathcal{O}_X\) の、\(X\) の開集合上の局所切断である。 確認は省略する。

これで次の定義への準備が整った。別の定義については Remark 04CW を参照せよ。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 微分層 \(\Omega_{X/Y}\)、すなわち \(X\) の \(Y\) 上の微分層とは、 Modules on Sites, Definition 04BQ の意味での、 環付きトポスの射 \[(f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\] に対する微分層のことである。この射については Properties of Spaces, Lemma 03G8 を参照せよ。 普遍 \(Y\) 導分を \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}\) と表す。

Lemma 04CS により、 \(X\) と \(Y\) が表現可能な場合、この定義は既存の概念と矛盾しない。 今後、\(X\) と \(Y\) が表現可能ならば、上で定義した微分層と Morphisms, Definition 01UQ で定義したものを区別しない。これをスキームの射に対する通常の 微分加群と関係づけたい。鍵となる補題は次である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 任意の可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_\psi & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] を考える。ここで縦の矢印は代数空間のエタール射である。このとき \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{U/V}\] である。特に \(U\), \(V\) がスキームならば、これはスキームの射 \(U \to V\) の通常の微分層に等しい。

証明

Properties of Spaces, Lemma 03LP および Equation (03LQ) により、 \(X_\etale\) 上の層の \(U_\etale\) への制限を \(a_{small}\) による引き戻しと考えてよい。\(b\) についても同様である。 Modules on Sites, Lemma 04BO により \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{\mathcal{O}_{U_\etale}/ a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}}\] を得る。 \(a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}b_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale}\) なので、補題が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 このとき \(\Omega_{X/Y}\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

証明

Lemma 04CU のような図式を、 \(a\) と \(b\) が全射であり、\(U\) と \(V\) がスキームとなるように選ぶ。 すると \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\) であり、これは準連接である （例えば Morphisms, Lemma 08S2 による）。 したがって Properties of Spaces, Lemma 03M0 により \(\Omega_{X/Y}\) は準連接である。

注意

\(\Omega_{X/Y}\) が準連接であることが分かったので、別の方法で構成することを 試みられる。例えば Properties of Spaces, Section 03M2 の結果を用いて、貼り合わせにより微分層を構成できる。 例えば \(Y\) がスキームで、\(U \to X\) がスキームから \(X\) への 全射エタール射ならば、\(\Omega_{U/Y}\) は準連接 \(\mathcal{O}_U\) 加群であり、\(s, t : R \to U\) はエタールなので、 \[\alpha : s^*\Omega_{U/Y} \to \Omega_{R/Y} \to t^*\Omega_{U/Y}\] という同型を得る。ここでは Morphisms, Lemma 02K4 を用いた。 これがコサイクル条件を満たすことを確認すれば完了する。 \(Y\) がスキームでない場合は、\(\Omega_{U/Y}\) を写像 \((U \to Y)^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{U/S}\) の余核として定義し、前と同じように進める。この二段階の過程は少し不格好で ある。別の可能性は、Lemma 04CU のような任意の図式について層 \(\Omega_{U/V}\) を貼り合わせることだが、 これもそれほど優美ではない。それでも、どちらの方法も機能し、 微分層のやや初等的な構成を与える。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] を代数空間の可換図式とする。写像 \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) と写像 \(f_*\text{d}_{X'/Y'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) との合成は \(Y\) 導分である。したがって \(\mathcal{O}_X\) 加群の 標準的な写像 \(\Omega_{X/Y} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) を得る。 さらに \(f_*\) と \(f^*\) の随伴性により、標準的な \(\mathcal{O}_{X'}\) 加群準同型 \[c_f : f^*\Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X'/Y'}.\] を得る。これは、\(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\) が \(\text{d}_{X'/Y'}(f^* t)\) に写るという性質により一意に特徴づけられる。 ここで \(t\) は \(\mathcal{O}_X\) の任意の局所切断である。

証明

これは Modules on Sites, Lemma 04BR の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y'' \ar[r] & Y' \ar[r] & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の可換図式とする。このとき \[c_{f \circ g} = c_g \circ g^* c_f\] が写像 \((f \circ g)^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X''/Y''}\) として 成り立つ。

証明

省略する。ヒント：\(c_f, c_g, c_{f \circ g}\) の特徴づけを、 これらの写像が局所切断に及ぼす作用という形で用いよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\), \(g : Y \to B\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。このとき標準的な完全列 \[f^*\Omega_{Y/B} \to \Omega_{X/B} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] が存在する。ここで写像は Lemma 04CX を適用して得られる。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01UX と、Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) が \(S\) 上の代数空間の埋め込みならば、

\(\Omega_{X/S}\) は零である。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01UY と、Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(i : Z \to X\) を \(B\) 上の代数空間の埋め込みとする。 このとき標準的な完全列 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] が存在する。ここで最初の矢印は \(\text{d}_{X/B}\) により誘導され、 第二の矢印は Lemma 04CX から得られる。

証明

これは Morphisms, Lemma 01UZ の代数空間版であり、その補題と、Lemmas 04CU および 04CO によるエタール局所化から従う。 しかし、最初の矢印を大域的に定義できることを確認すべきである。 したがって、ここで「\(\text{d}_{X/B}\) により誘導される」の意味を説明する。 \(i\) は、\(X\) を開部分空間で置き換えた後、閉埋め込みであると 仮定してよい。\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z \subset X\) に対応する準連接イデアル層とする。

このとき \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\) は 部分層 \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\) を \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) に写す。したがってこれは \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) という \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) 線形写像を誘導する。 Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ により、これは所望の写像 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\) に対応する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(i : Z \to X\) を \(B\) 上の代数空間の埋め込みとし、 \(i\) は（エタール局所的に）左逆をもつと仮定する。このとき Lemma 05ZA の標準的な列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] は（エタール局所的に）分裂完全である。

証明

明確化：\(g : X \to Z\) が \(i\) の \(B\) 上の左逆ならば、 \(i^*c_g\) は写像 \(i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B}\) の右逆であると主張している。 こう述べれば、結果はスキームの射に対する対応する結果と、 Lemmas 04CU および 04CO によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(g : Y' \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X' = X_{Y'}\) を \(X\) の基底変換とする。 射影を \(g' : X' \to X\) と表す。このとき Lemma 04CX の写像 \[(g')^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X'/Y'}\] は同型である。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01V0 と、 Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to B\) と \(g : Y \to B\) を、 同じ標的をもつ \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(p : X \times_B Y \to X\) と \(q : X \times_B Y \to Y\) を射影とする。 Lemma 04CX の写像は同型 \[p^*\Omega_{X/B} \oplus q^*\Omega_{Y/B} \longrightarrow \Omega_{X \times_B Y/B}\] を与える。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01V1 と、 Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限型ならば、\(\Omega_{X/Y}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01V2 と、 Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限表示ならば、\(\Omega_{X/Y}\) は有限表示 \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

証明

スキームの場合の結果 Morphisms, Lemma 01V3 と、 Lemma 04CU によるエタール局所化から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の 滑らかな射とする。このとき微分加群 \(\Omega_{X/Y}\) は有限局所自由である。

証明

Lemma 04CU により、主張は \(X\) と \(Y\) 上 エタール局所的である。したがってスキームの場合から従う。次を参照せよ。 Morphisms, Lemma 02G1。

エタールサイトの位相的不変性

サイト \(X_{spaces, \etale}\) が「位相的不変量」であることを示す。 すると \(X_\etale\) も位相的不変量であることが従う。これは \(X_{spaces, \etale}\) の表現可能な対象からなる。Lemma 07VW を参照せよ。

定理

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は整、普遍単射かつ全射であると仮定する。関手 \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] は圏の同値 \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\) を定める。

証明

射 \(f\) は表現可能な普遍同相射である。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Section 05Z3。

まず、この関手が忠実であることを示す。 \(V', V\) を \(Y_{spaces, \etale}\) の対象とし、 \(a, b : V' \to V\) を \(Y\) 上の異なる射とする。 \(V', V\) は \(Y\) 上エタールなので、 \[E = V' \times_{(a, b), V \times_Y V, \Delta_{V/Y}} V\] で与えられる \(a, b\) の等化子も \(Y\) 上エタールである。 したがって \(E \to V'\) はエタールなモノ射 （すなわち開埋め込み）であり、全射である場合に限り同型である。 \(X \to Y\) は普遍同相射なので、これが成り立つのは \(E_X = V'_X\) の場合、すなわち \(a_X = b_X\) の場合に限る。

次に、この関手が充満忠実であることを示す。 \(V', V\) を \(Y_{spaces, \etale}\) の対象とし、 \(c : V'_X \to V_X\) を \(X\) 上の射とする。 射 \(a : V' \to V\) を \(Y\) 上で、\(a_X = c\) となるように構成したい。 \(a' : V'' \to V'\) を、\(V''\) が分離的代数空間となる全射エタール射とする。 射 \(a'' : V'' \to V\) を、\(a''_X = c \circ a'_X\) となるように 構成できれば、 二つの合成 \[V'' \times_{V'} V'' \xrightarrow{\text{pr}_i} V'' \xrightarrow{a''} V\] は、第一段落で示した関手の忠実性により等しい。 したがって \(a''\) は一意な射 \(a : V' \to V\) を経由する。 実際、\(V'\) は層として \(V''\) を同値関係 \(V'' \times_{V'} V''\) で割った商である。 ゆえに \(V'\) は分離的であると仮定してよい。この場合、グラフ \[\Gamma_c \subset (V' \times_Y V)_X\] は開かつ閉である（細部は省略する）。\(X \to Y\) は普遍同相射なので、 開かつ閉な部分空間 \(\Gamma \subset V' \times_Y V\) であって \(\Gamma_X = \Gamma_c\) となるものが存在する。 射影 \(\Gamma \to V'\) はエタール射であり、その \(X\) への基底変換は 同型である。したがって \(\Gamma \to V'\) はエタール、普遍単射かつ全射 であるから、Morphisms of Spaces, Lemma 05W5 により同型である。ゆえに \(\Gamma\) は所望の射 \(a : V' \to V\) のグラフである。

最後に、この関手が本質的全射であることを示す。 \(U\) を \(X_{spaces, \etale}\) の対象とする。 \(V\) を \(Y_{spaces, \etale}\) の対象として見いだし、 \(V_X \cong U\) を満たさなければならない。 全射エタール射 \(U' \to U\) を、同型 \(U' \cong V'_X\) および \(U' \times_U U' \cong V''_X\) が存在するようにとる。 ここで \(V'', V'\) は \(Y_{spaces, \etale}\) の対象である。 すると関手の充満忠実性により、射 \(s, t : V'' \to V'\) であって、 \(t_X = \text{pr}_0\) および \(s_X = \text{pr}_1\) が \(U' \times_U U' \to U'\) の射として成り立つものを得る。 \((\text{pr}_0, \text{pr}_1) : U' \times_U U' \to U' \times_S U'\) がエタール同値関係であること、 ならびに \(U' \to V'\) と \(U' \times_U U' \to V''\) が普遍単射かつ 全射であることを用いると、 \((t, s) : V'' \to V' \times_S V'\) がエタール同値関係であることが 従う。このとき商 \(V = V'/V''\) （Spaces, Theorem 02WW を参照）は 代数空間 \(V\) であり、\(Y\) 上にある。射 \(V' \to V\) が存在し、 \(V'' = V' \times_V V'\) を満たす。したがって射 \(V \to Y\) を得る （Descent on Spaces, Lemma 04P2 を参照）。\(X\) へ基底変換すると、射 \(U' \to V_X\) と、それと両立する同型 \(U' \times_{V_X} U' = U' \times_U U'\) を得る。 これは \(V_X \cong U\) を意味する （直前に引用した補題をもう一度用いる）。

スキーム \(W\) と全射エタール射 \(W \to Y\) を選ぶ。 スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to U \times_X W_X\) を選ぶ。 \(U'\) と \(U' \times_U U'\) は \(X\) 上エタールなスキームであり、 \(X\) への構造射はスキーム \(W_X\) を経由することに注意する。 したがって Étale Cohomology, Theorem 04DZ により、スキーム \(V', V''\) が存在し、これらは \(W\) 上エタールで、 その \(W_X\) への基底変換がそれぞれ \(U'\) と \(U' \times_U U'\) に 同型となる。これで証明が完了する。

補題

Theorem 05ZH と同じ仮定と記法のもとで、 圏の同値 \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\) は 圏の同値 \(Y_\etale \to X_\etale\) および \(Y_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\) に制限される。

証明

これは、対象 \(V \in Y_{spaces, \etale}\) に対し、\(V\) が （アフィン）スキームであることと、\(V \times_Y X\) が （アフィン）スキームであることが同値だという主張にすぎない。 \(V \times_Y X \to V\) は \(X \to Y\) の基底変換として整、普遍単射かつ全射なので、これは Limits of Spaces, Lemma 07VV および Proposition 07VT から従う。

注意

代数空間の普遍同相射は表現可能であるとは限らない。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Example 05Z6。 実際、Theorem 05ZH は 普遍同相射については成り立たない。これを見るため、\(k\) を標数 \(0\) の 代数閉体とし、 \[\mathbf{A}^1 \to X \to \mathbf{A}^1\] を Morphisms of Spaces, Example 05Z6 のものとする。最初の射はエタールであり、 \(t\) と \(-t\) を同一視する。ここで \(t \in \mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) である。 第二の射は考えている普遍同相射であった。 \(\mathbf{A}^1_k\) は非自明な連結有限エタール被覆をもたないので （\(k\) が標数零の代数閉体だからである。細部は省略する）、 非自明な連結有限エタール被覆 \(Y \to X\) を構成すれば十分である。 そのために \(Y\) を、零点を二重化したアフィン直線とする （Schemes, Example 01JD）。 このとき \(Y = Y_1 \cup Y_2\) であり、 \(Y_i = \mathbf{A}^1_k\) を \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) に沿って 貼り合わせたものである。射 \(Y \to X\) を定義するため、射 \[Y_1 \xrightarrow{1} \mathbf{A}^1_k \to X \quad\text{and}\quad Y_2 \xrightarrow{-1} \mathbf{A}^1_k \to X.\] を用いる。これらは \(Y_1 \cap Y_2\) 上で、\(X\) の構成により貼り合わさり、 したがって射 \(Y \to X\) を定める。実際、 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & Y_1 \amalg Y_2 \ar[l] \ar[d] \\ X & \mathbf{A}^1_k \ar[l] }\] はカルテジアン正方形であると主張する。細部は省略する。例えば Groupoids, Lemma 07S3 を用いられる。\(\mathbf{A}^1_k \to X\) はエタールかつ全射なので、 これにより \(Y \to X\) は次数 \(2\) の有限エタール射であり、 所望の例を与えることが分かる。

より簡単には、次のように論じられる。スキーム \(Y\) には群 \(G = \{+1, -1\}\) の自由作用があり、\(-1\) は \(Y_1\) と \(Y_2\) を交換し、 座標の符号を変える。このとき \(X = Y/G\) （Spaces, Definition 02Z3 を参照）であり、 したがって \(Y \to X\) は有限エタールである。また、アフィン空間上の 普遍同相射 \(X \to \mathbf{A}^1_k\) が存在することも、 \(t \mapsto t^2\) を用いて直接示せる。 実際、この \(X\) は上の \(X\) と同じである。

肥厚化

次の用語は完全に標準的ではないかもしれないが、便利である。

定義

肥厚化。\(S\) をスキームとする。

1. 代数空間 \(X'\) が代数空間 \(X\) の 肥厚化であるとは、 \(X\) が \(X'\) の閉部分空間であり、付随する位相空間が等しいことをいう。

2. \(X'\) が \(X\) の 一次肥厚化であるとは、 \(X\) が \(X'\) の閉部分空間であり、準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) で \(X\) を定めるものの二乗が 零であることをいう。

3. \(X'\) が \(X\) の 有限次肥厚化であるとは、

   \(X\) が \(X\) の閉部分空間であり、準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) で \(X\) を定めるものが冪零で あること、すなわち整数 \(n \geq 0\) が存在して \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\) となることをいう。

4. \(X'\) が \(n\) 次肥厚化として \(X\) を肥厚化するとは、

   \(X\) が \(X\) の閉部分空間であり、\(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\) であることを いう。ここで \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) は \(X\) を定める 準連接イデアル層である。

5. 二つの肥厚化 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) が与えられたとき、 肥厚化の射とは射

   \(f' : X' \to Y'\) であって \(f(X) \subset Y\) を満たすもの、 すなわち \(f'|_X\) が閉部分空間 \(Y\) を経由するものをいう。 この状況で \(f = f'|_X : X \to Y\) とおき、 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を肥厚化の射という。

6. \(B\) を代数空間とする。同様に \(B\) 上の肥厚化と \(B\) 上の肥厚化の射を定義する。これは、上の空間 \(X, X', Y, Y'\) が \(B\) への構造射を備えた代数空間であり、射 \(X \to X'\), \(Y \to Y'\) および \(f' : X' \to Y'\) が \(B\) 上の射であることを意味する。

基本的な同値を述べる。\(X \subset X'\) が肥厚化ならば、 \(X \to X'\) は整かつ普遍全単射であることに注意する。 したがって、引き戻し関手により [05ZL]\[\begin{equation} X_{spaces, \etale} = X'_{spaces, \etale} \end{equation}\] となる。Theorem 05ZH を参照せよ。 ゆえに \(\mathcal{O}_{X'}\) を \(X_{spaces, \etale}\) 上の層と 考えてよい。したがって局所環付きトポスの標準的な同値 [05ZM]\[\begin{equation} (\Sh(X'_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \cong (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \end{equation}\] を得る。以下では、これを Properties of Spaces, Theorem 04KL の充満忠実性の結果と頻繁に組み合わせる。例えば閉埋め込み \(i_X : X \to X'\) は全射 \(i_X^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\) に対応する。

\(S\) をスキームとし、\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(B\) 上の肥厚化の射とする。連続関手の図式 \[\xymatrix{ X_{spaces, \etale} & Y_{spaces, \etale} \ar[l] \\ X'_{spaces, \etale} \ar[u] & Y'_{spaces, \etale} \ar[u] \ar[l] }\] は可換であり、縦の矢印は同値であることに注意する。したがって \(f_{spaces, \etale}\), \(f_{small}\), \(f'_{spaces, \etale}\), \(f'_{small}\) はすべて同じトポスの射を定める。 ゆえに \[(f')^\sharp : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X'}\] を \(\mathcal{O}_B\) 代数の層の写像と考えてよい。これは可換図式 \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-{(f')^\sharp} \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] に入る。 ここで \(i_X : X \to X'\) および \(i_Y : Y \to Y'\) は、与えられた 閉埋め込みの名称である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) を \(B\) 上の代数空間の肥厚化とする。 \(f : X \to Y\) を \(B\) 上の代数空間の射とする。 任意の \(\mathcal{O}_B\) 代数の写像 \[\alpha : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] であって、図式 \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-\alpha \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] を可換にするものが与えられたとする。このとき

一意な肥厚化の射 \((f, f')\) が \(B\) 上で存在し、 \(\alpha = (f')^\sharp\) を満たす。

証明

\(f'\) を見いだすには、Properties of Spaces, Theorem 04KL により、環付きトポスの射 \[(f_{spaces, \etale}, \alpha) : (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \longrightarrow (\Sh(Y_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{Y'})\] が局所環付きトポスの射であることを示すだけでよい。 これは、局所環付きトポスの射の定義 （Modules on Sites, Definition 04HA）、 \((f, f^\sharp)\) が局所環付きトポスの射であること （Properties of Spaces, Lemma 04KJ）、 \(\alpha\) が与えられた可換図式に入ること、および \(i_X^\sharp\) と \(i_Y^\sharp\) の核が局所冪零であることから直ちに従う。 最後に、\(f' \circ i_X = i_Y \circ f\) であることは、この図式の可換性と Properties of Spaces, Theorem 04KL のもう一度の適用から従う。\(f'\) が \(B\) 上の射であることの確認は省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の代数空間の肥厚化とする。 任意の開部分空間 \(U \subset X\) に対して、一意な開部分空間 \(U' \subset X'\) であって \(U = X \times_{X'} U'\) を満たすものが存在する。

証明

\(U' \to X'\) を \(X'_{spaces, \etale}\) の対象とし、 (05ZL) により 対象 \(U \to X\)、すなわち \(X_{spaces, \etale}\) の対象に 対応するものとする。 射 \(U' \to X'\) はエタールかつ 普遍単射なので開埋め込みである。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 05W5。

\(i_X : X \to X'\) を代数空間の肥厚化とする。核 \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) の任意の局所切断は局所冪零である。これにより \(\mathcal{O}_{X'}\) の構造層をある程度制御できるが、技術的には 有限次肥厚化 \(X \subset X'\) のクラスのほうがはるかに扱いやすい。 実際、\(X'\) が \(n\) 次肥厚化ならば、フィルトレーション \[0 \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] をもち、\(X'\) が閉部分空間によりフィルター付けられることが分かる。

\[X = X_0 \subset X_1 \subset \ldots \subset X_{n - 1} \subset X_{n + 1} = X'\] 各対 \(X_i \subset X_{i + 1}\) は \(B\) 上の一次肥厚化である。

単純な帰納法を用いれば、一次肥厚化について証明された多くの結果を 有限次肥厚化についての結果として言い換えられる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の代数空間の 肥厚化とする。\(U\) を \(X_{spaces, \etale}\) のアフィン対象とする。 このとき \[\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\] は全射である。ここでは (05ZM) により \(\mathcal{O}_{X'}\) を \(X_{spaces, \etale}\) 上の層と考えている。

証明

\(U' \to X'\) を、 \(U = X \times_{X'} U'\) を満たす代数空間のエタール射とする。 Theorem 05ZH を参照せよ。 Limits of Spaces, Lemma 07VS により \(U'\) はアフィンスキームである。したがって \(\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は全射である。実際、\(U \to U'\) はアフィンスキームの閉埋め込みである。 以下では、実際に最もよく使われる有限次肥厚化について直接証明を与える。

証明

上で説明した原理により、\(X \subset X'\) は一次肥厚化であると 仮定してよい。\(\mathcal{I}\) で全射 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\) の核を表す。 \(\mathcal{I}\) は準連接 \(\mathcal{O}_{X'}\) 加群であり、一次肥厚化の 定義により \(\mathcal{I}^2 = 0\) なので、Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ を適用して、\(\mathcal{I}\) が準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群であることが 分かる。したがって補題は、短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] に付随するコホモロジー長完全列と、 \(H^1_\etale(U, \mathcal{I}) = 0\) となることから従う。 ここで \(\mathcal{I}\) は準連接である。次を参照せよ。 Descent, Proposition 03DW および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の代数空間の 肥厚化とする。\(X\) がスキーム（で表現可能）ならば、\(X'\) もそうである。

証明

\(X'_{red} = X_{red}\) であることに注意する。したがって \(X\) が スキームならば、\(X'_{red}\) はスキームである。ゆえに結果は Limits of Spaces, Lemma 07VU から従う。 以下では、実際に最も頻繁に使われる有限次肥厚化について直接証明を与える。

証明

\(X'\) が \(X\) の一次肥厚化である場合を証明すれば十分である。 Properties of Spaces, Lemma 03JH により、\(X'\) には スキームである最大の開部分空間が存在する。したがって、任意の点 \(x\)、すなわち \(|X'| = |X|\) の点が、スキームである \(X'\) の 開部分空間に含まれることを示さなければならない。 Lemma 05ZP を用いて、 \(X \subset X'\) を \(U \subset U'\) で置き換えてよい。 ここで \(x \in U\) であり、\(U\) はアフィンスキームである。 したがって \(X\) はアフィンであると仮定してよい。 こうして次段落で論じる場合に帰着する。

\(X \subset X'\) を、\(X\) がアフィンスキームである一次肥厚化とする。 \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) および \(A' = \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) とおく。 Lemma 05ZQ により、 写像 \(A' \to A\) は全射である。その核 \(I\) は二乗零のイデアルである。 Properties of Spaces, Lemma 05Z1 により、 次の可換図式に入る標準的な射 \(f : X' \to \Spec(A')\) を得る。 \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r] & X' \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(A') }\] 横の矢印は肥厚化なので、\(f\) が普遍単射かつ全射であることは明らかである。 したがって \(f\) がエタールであることを示せば十分である。実際、そのとき Morphisms of Spaces, Lemma 05W5 により \(f\) は同型となる。

\(f\) がエタールであることを示すため、アフィンスキーム \(U'\) と エタール射 \(U' \to X'\) を選ぶ。合成 \(U' \to X' \to \Spec(A')\) がエタールであることを示せば十分である。 Properties of Spaces, Definition 03FR を参照せよ。 \(U' = \Spec(B')\) と書く。\(U = X \times_{X'} U'\) とおく。 \(U\) は \(U'\) の閉部分空間なので閉部分スキームである。したがって \(U = \Spec(B)\) であり、\(B' \to B\) は全射である。 \(J = \Ker(B' \to B)\) と表す。また \(J = \Gamma(U, \mathcal{I})\) であることに注意する。 ここで \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X)\) は、 Lemma 05ZQ の証明と同じく \(X_{spaces, \etale}\) 上で考える。射 \(U' \to X' \to \Spec(A')\) は可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を誘導する。さて、\(\mathcal{I}\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群なので、 \(\mathcal{I} = (\widetilde I)^a\) である。記法については Descent, Definition 03DU を、 この事実については Descent, Proposition 03DX を参照せよ。 したがって \(J = I \otimes_A B\) である。最後に、 \(A \to B\) はエタールであることに注意する。実際、 \(U \to X\) はエタール射 \(U' \to X'\) の基底変換としてエタールである。 Algebra, Lemma 05YT により、 \(A' \to B'\) はエタールであると結論する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の代数空間の 肥厚化とする。関手 \[V' \longmapsto V = X \times_{X'} V'\] は圏の同値 \(X'_\etale \to X_\etale\) を定める。

証明

関手 \(V' \mapsto V\) は圏の同値 \(X'_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\) を定める。Theorem 05ZH を参照せよ。 したがって \(V\) がスキームであることと \(V'\) がスキームであることが 同値であると示せば十分である。これは Lemma 05ZR の内容である。

一次肥厚化は次のように記述される。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to B\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] を \(X_\etale\) 上の層について考える。ここで \(\mathcal{A}\) は \(f^{-1}\mathcal{O}_B\) 代数の層であり、 \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) は \(f^{-1}\mathcal{O}_B\) 代数の層の全射であり、 \(\mathcal{I}\) はその核である。次を仮定する。

1. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{A}\) の二乗零イデアルである。

2. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{O}_X\) 加群として準連接である。

このとき一次肥厚化 \(X \subset X'\) が \(B\) 上に存在し、さらに同型 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\) が存在する。これは \(f^{-1}\mathcal{O}_B\) 代数の同型であって、 \(\mathcal{O}_X\) への全射と両立するものが存在する。

証明

この証明では、Lemmas 05ZQ および 05ZR の証明で用いた議論の一部をやり直す。 まず \(B = S = \Spec(\mathbf{Z})\) の場合を扱う。 \(U\) をアフィンスキームとし、\(U \to X\) はエタールであるとする。 このとき \[0 \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{A}(U) \to \mathcal{O}_X(U) \to 0\] は完全である。実際、\(H^1(U_\etale, \mathcal{I}) = 0\) である。 ここで \(\mathcal{I}\) は準連接である。次を参照せよ。 Descent, Proposition 03DW および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB。 \(V \to U\) が \(X_{spaces, \etale}\) のアフィン対象の射ならば、 \[\mathcal{I}(V) = \mathcal{I}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{O}_X(V)\] である。これは \(\mathcal{I}\) が準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群だからで ある。Descent, Proposition 03DX を参照せよ。 したがって \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{A}(V)\) はエタールな環準同型で ある。Algebra, Lemma 05YT を参照せよ。 ゆえに \[U \longmapsto U' = \Spec(\mathcal{A}(U))\] は \(X_{affine, \etale}\) からアフィンスキームとエタール射の圏への 関手である。実際、この関手は関手 \(U \mapsto U'\) として \(X_\etale\) 全体上に拡張できると主張する。 これを見るため、\(U\) が \(X_\etale\) の対象ならば、 \[0 \to \mathcal{I}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{A}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{O}_X|_{U_{Zar}} \to 0\] であり、\(\mathcal{I}|_{U_{Zar}}\) は \(U\) 上の準連接層であることに 注意する。Descent, Proposition 03LC を参照せよ。したがって More on Morphisms, Lemma 05YV により、 スキームの一次肥厚化 \(U \subset U'\) であって、 \(\mathcal{O}_{U'}\) が \(\mathcal{A}|_{U_{Zar}}\) に同型となるものを得る。 この構成が上のアフィンの場合の構成と両立することは明らかである。

表示 \(X = U/R\) を選ぶ。Spaces, Definition 0263 を参照せよ。すると \(s, t : R \to U\) はエタール同値関係を定める。 上の関手を適用すると、スキームにおけるエタール同値関係 \(s', t' : R' \to U'\) を得る。代数空間 \(X' = U'/R'\) を考える （Spaces, Theorem 02WW を参照）。 射 \(X = U/R \to U'/R' = X'\) は一次肥厚化である。 \(\mathcal{O}_{X'}\) を \(X_\etale\) 上の層とみなして考える。 構成により同型 \[\gamma : \mathcal{O}_{X'}|_{U_\etale} \longrightarrow \mathcal{A}|_{U_\etale}\] を得て、\(s^{-1}\gamma\) と \(t^{-1}\gamma\) は \(R_\etale\) 上で一致する。したがって Properties of Spaces, Lemma 05YY により、 \(\gamma\) は所望の一意な同型 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\) から来る。

一般の基底代数空間 \(B\) の場合を扱うため、まず上のように \(X'\) を \(\mathbf{Z}\) 上の代数空間として構成する。 次に同型 \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\) を用いて \(f^{-1}\mathcal{O}_B \to \mathcal{O}_{X'}\) を定義する。 Lemma 05ZN により、これは 射 \(X' \to B\) を定め、これは与えられた射 \(X \to B\) と両立する。 これで完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(Y \subset Y'\) を \(S\) 上の代数空間の 肥厚化とする。\(X' \to Y'\) を射とし、 \(X = Y \times_{Y'} X'\) とおく。このとき \((X \subset X') \to (Y \subset Y')\) は肥厚化の射である。 \(Y \subset Y'\) が一次（それぞれ有限次）肥厚化ならば、 \(X \subset X'\) は一次（それぞれ有限次）肥厚化である。

証明

省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) と \(X' \subset X''\) が \(S\) 上の代数空間の肥厚化ならば、\(X \subset X''\) もそうである。

証明

省略する。

補題

肥厚化であるという性質は fpqc 局所的である。 一次肥厚化についても同様である。

証明

この主張の意味は次である。\(S\) をスキームとし、 \(X \to X'\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\{g_i : X'_i \to X'\}\) を代数空間の fpqc 被覆とし、 基底変換 \(X_i \to X'_i\) がすべての \(i\) に対して肥厚化であるとする。 このとき \(X \to X'\) は肥厚化である。 射 \(g_i\) は共同全射なので、\(X \to X'\) は全射であると結論する。 Descent on Spaces, Lemma 0420 により \(X \to X'\) は閉埋め込みであると結論する。 したがって \(X \to X'\) は肥厚化である。 一次肥厚化の場合の証明は省略する。

肥厚化の射

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) が代数空間の肥厚化の射ならば、 射 \(f\) の性質はしばしば \(f'\) に継承される。いくつかの変種がある。

補題

\(S\) をスキームとする。 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(S\) 上の代数空間の肥厚化の射とする。このとき次が成り立つ。

1. \(f\) がアフィン射であることと \(f'\) がアフィン射であることは同値である。

2. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。

3. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは 同値である。

4. \(f\) が普遍閉であることと \(f'\) が普遍閉であることは同値である。

5. \(f\) が整であることと \(f'\) が整であることは同値である。

6. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは 同値である。

7. \(f\) が普遍単射であることと \(f'\) が普遍単射であることは同値である。

8. \(f\) が普遍開であることと \(f'\) が普遍開であることは同値である。

9. \(f\) が表現可能であることと \(f'\) が表現可能であることは同値である。

10. ここにさらに追加する。

証明

\(Y \to Y'\) と \(X \to X'\) は整な普遍同相射であることに注意する。 これは直ちに (2), (3), (4), (7), (8) を与える。 (1) は Limits of Spaces, Proposition 07VT から従う。この命題は、 \(X\) および \(X'\) 上エタールなアフィンスキームの間、また \(Y\) および \(Y'\) 上エタールなアフィンスキームの間に 一対一対応があることを述べる。 (5) は (1), (4) と Morphisms of Spaces, Lemma 0415 から従う。 最後に、 \[X \times_Y X = X \times_{Y'} X \to X \times_{Y'} X' \to X' \times_{Y'} X'\] は肥厚化であることに注意する （二つの矢印は Lemma 09ZX により 肥厚化である）。したがって射

\((X \subset X') \to (X \times_Y X \to X' \times_{Y'} X')\) に (3), (4) を適用して (6) を得る。 最後に (9) は、スキームの代数空間肥厚化が再びスキームであることから 従う。Lemma 05ZR を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(S\) 上の代数空間の肥厚化の射とし、 \(X = Y \times_{Y'} X'\) を満たすとする。 \(X \subset X'\) が有限次肥厚化ならば、次が成り立つ。

1. \(f\) が閉埋め込みであることと \(f'\) が閉埋め込みであることは 同値である。

2. \(f\) が局所有限型であることと \(f'\) が局所有限型であることは 同値である。

3. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは 同値である。

4. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型射であることと、 \(f'\) が相対次元 \(d\) の局所有限型射であることは同値である。

5. \(\Omega_{X/Y} = 0\) であることと \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) であることは同値である。

6. \(f\) が非分岐であることと \(f'\) が非分岐であることは同値である。

7. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。

8. \(f\) が有限射であることと \(f'\) が有限射であることは同値である。

9. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。

10. \(f\) が埋め込みであることと \(f'\) が埋め込みであることは同値である。

11. ここにさらに追加する。

証明

スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to Y'\) を選ぶ。 スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\) を選ぶ。 \(V = Y \times_{Y'} V'\) および \(U = X \times_{X'} U'\) とおく。 すると射のエタール局所的な性質については、スキームの肥厚化の射 \((U \subset U') \to (V \subset V')\) に帰着し、 More on Morphisms, Lemma 09ZW を適用できる。これで (2), (3), (4), (5), (6) が証明される。

(1), (7), (8), (9), (10) の射の性質は基底変換で安定なので、 \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) ももつ。次を参照せよ。 Spaces, Lemma 02YW、および Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP, 03ZS, 042P。

(1), (7), (8), (9), (10) で興味深い向きは、\(f\) がその性質をもつと 仮定して、\(f'\) ももつことを導く向きである。 肥厚化の次数に関する帰納法により、\(Y \subset Y'\) は一次肥厚化であると 仮定してよい。上の有限次肥厚化に関する議論を参照せよ。

(1) の証明。スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to Y'\) を選ぶ。 \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\), \(U = X \times_Y V\) とおく。すると \(U \to V\) は閉埋め込みなので \(U\) はスキームであり、したがって \(U'\) もスキームである （Lemma 05ZR）。 ゆえにスキームの場合の補題 （More on Morphisms, Lemma 09ZW） を \((U \subset U') \to (V \subset V')\) に適用して結論を得る。

(7) の証明。Lemma 09ZY の結果 (2) と、 固有が準コンパクト \(+\) 分離的 \(+\) 局所有限型 \(+\) 普遍閉であることを 組み合わせれば従う。

(8) の証明。Lemma 09ZY の結果 (2) と、 有限が整 \(+\) 局所有限型であること （Morphisms, Lemma 01WJ）を 組み合わせれば従う。

(9) の証明。\(f\) はモノ射なので \(X = X \times_Y X\) である。 これまでに証明した結果を肥厚化の射 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\) に適用してよい。(1) により \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) は閉埋め込みであると結論する。 実際、閉埋め込み \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) を定めるイデアルは、 イデアル \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{Y'}\) で \(Y\) を \(Y'\) の中で切り出すものの引き戻しに含まれるので、 これは一次肥厚化である。実際、 \(X = X \times_Y X = (X' \times_{Y'} X') \times_{Y'} Y\) は \(X'\) に含まれる。 閉埋め込み \(\Delta : X' \to X' \times_{Y'} X'\) の余法層は \(\Omega_{X'/Y'}\) に等しい （これは代数空間に対する Morphisms, Lemma 08S2 の類似であり、 エタール局所化により、または Lemmas 05ZB と 05ZD を組み合わせることにより従う。 細部は省略する）。したがって \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) を示せば十分であり、これは (5) と \(X/Y\) に対する対応する主張から従う。

(10) の証明。\(f : X \to Y\) が埋め込みならば、 \(X \to V \to Y\) と分解する。ここで \(V \to Y\) は開部分空間であり、 \(X \to V\) は閉埋め込みである。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Remark 04CE。 \(V' \subset Y'\) を、台となる位相空間 \(|V'|\) が \(|V| \subset |Y| = |Y'|\) と同じである開部分空間とする。 すると \(X' \to Y'\) は \(V'\) を経由し、(1) により \(X' \to V'\) は閉埋め込みであると結論する。これで証明が完了する。

次の補題は直前の補題の変種である。関係する肥厚化が有限次であると 仮定する代わりに（この仮定によれば、局所有限型であるという性質を \(f\) から \(f'\) へ移せる）、\(f\) と \(f'\) がそれぞれ局所有限型であることを 仮定する。

補題

\(S\) をスキームとする。

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\) を \(S\) 上の代数空間の肥厚化の射とする。\(f\) と \(f'\) は局所有限型であり、 \(X = Y \times_{Y'} X'\) であると仮定する。このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは 同値である。

2. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。

3. \(f\) が閉埋め込みであることと \(f'\) が閉埋め込みであることは 同値である。

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) であることと \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) であることは同値である。

5. \(f\) が非分岐であることと \(f'\) が非分岐であることは同値である。

6. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。

7. \(f\) が埋め込みであることと \(f'\) が埋め込みであることは同値である。

8. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。

9. ここにさらに追加する。

証明

スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to Y'\) を選ぶ。 スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\) を選ぶ。 \(V = Y \times_{Y'} V'\) および \(U = X \times_{X'} U'\) とおく。 すると射のエタール局所的な性質については、スキームの肥厚化の射 \((U \subset U') \to (V \subset V')\) に帰着し、 More on Morphisms, Lemma 0BPG を適用できる。これで (1), (4), (5) が証明される。

(2), (3), (6), (7), (8) の性質は基底変換で安定なので、 \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) ももつ。次を参照せよ。 Spaces, Lemma 02YW、および Morphisms of Spaces, Lemmas 04WP, 03ZS, 042P。 したがって各場合に、\(f\) が所望の性質をもつならば \(f'\) ももつことだけを証明すればよい。

(2) は Lemma 09ZY の (5) と、 有限射がちょうど局所有限型な整射であるという事実 （Morphisms of Spaces, Lemma 0414）から従う。

(3) の場合。これは Limits of Spaces, Lemma 08B2 から直ちに従う。

(6) の証明。\(f\) はモノ射なので \(X = X \times_Y X\) である。 これまでに証明した結果を肥厚化の射 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\) に適用してよい。(3) により \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) は閉埋め込みである。 実際、\(\Delta_{X'/Y'}\) は全単射 \(|X'| \to |X' \times_{Y'} X'|\) を誘導するので、 \(\Delta_{X'/Y'}\) は肥厚化である。他方、 \(\Delta_{X'/Y'}\) は Morphisms of Spaces, Lemma 084P により局所有限表示である。言い換えると、 \(\Delta_{X'/Y'}(X')\) は有限型の準連接イデアル層 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\) により切り出される。(5) により \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) なので、 閉埋め込み \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) の余法層は零である。 （閉埋め込み \(\Delta_{X'/Y'}\) の余法層は \(\Omega_{X'/Y'}\) に等しい。これは代数空間に対する Morphisms, Lemma 08S2 の類似であり、エタール局所化により、または Lemmas 05ZB と 05ZD を組み合わせることにより従う。 細部は省略する。）言い換えると \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\) である。 例えば Algebra, Lemma 00EH により、これは \(\Delta_{X'/Y'}\) が同型であることを意味する。

(7) の証明。\(f : X \to Y\) が埋め込みならば、 \(X \to V \to Y\) と分解する。ここで \(V \to Y\) は開部分空間であり、 \(X \to V\) は閉埋め込みである。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Remark 04CE。 \(V' \subset Y'\) を、台となる位相空間 \(|V'|\) が \(|V| \subset |Y| = |Y'|\) と同じである開部分空間とする。 すると \(X' \to Y'\) は \(V'\) を経由し、(3) により \(X' \to V'\) は閉埋め込みであると結論する。

(8) は Lemma 09ZY と、 固有射が局所有限型、準コンパクト、普遍閉かつ分離的な射であるという 定義から従う。

肥厚化の Picard 群

肥厚化の Picard 群に関するいくつかの事項を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の代数空間の 一次肥厚化とし、そのイデアル層を \(\mathcal{I}\) とする。 このとき、アーベル群の標準的な完全列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] が存在する。

証明

\(X_\etale = X'_\etale\) であることを思い出す。Lemma 05ZS、およびより一般には Section 05ZJ の議論を参照せよ。 補題の列は、アーベル群の層の短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] に付随するコホモロジー長完全列である。これは \(X_\etale\) 上で考える。 ここで最初の写像は局所切断 \(f\)、すなわち \(\mathcal{I}\) の局所切断を \(1 + f\)、すなわち \(\mathcal{O}_{X'}\) の可逆切断に写す。 また、環付きサイトの Picard 群を可逆函数の層の一次コホモロジー群と 同一視する。Cohomology on Sites, Lemma 040E を参照せよ。

無限小近傍

有限次肥厚化の自然な構成は次のとおりである。

\(i : Z \to X\) を代数空間の埋め込みとする。 開部分空間 \(U \subset X\) を、\(i\) が \(Z\) を閉部分空間 \(Z \subset U\) と同一視するように選ぶ （Morphisms of Spaces, Remark 04CE を参照）。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を、\(Z\) を \(U\) の中で定める 準連接イデアル層とする。次を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB。 \(n \geq 1\) に対して閉部分空間 \(Z_n \subset U\) を考えられる。 これは準連接イデアル層 \(\mathcal{I}^{n + 1}\) により定められる。

定義

\(i : Z \to X\) を代数空間の埋め込みとする。

1. \(Z\) の \(X\) における 一次無限小近傍とは、 上で述べた一次肥厚化 \(Z \subset Z_1\)、すなわち \(X\) 上のものをいう。

2. \(n\) 次無限小近傍、すなわち \(Z\) の \(X\) におけるものとは、 上で述べた \(n\) 次肥厚化 \(Z \subset Z_n\)、すなわち \(X\) 上のものをいう。

この肥厚化は次の普遍性をもつ （したがって、上の構成が開集合 \(U\) の選択に依存するという懸念は解消される）。

補題

\(i : Z \to X\) を代数空間の埋め込みとする。

1. 一次無限小近傍 \(Z'\)、すなわち \(Z\) の \(X\) におけるものは 次の普遍性をもつ。 任意の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] が与えられ、\(T \subset T'\) が \(X\) 上の一次肥厚化であるとする。 このとき一意な肥厚化の射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) が存在し、 \(X\) 上の射である。

2. \(n \geq 1\) に対して、\(n\) 次無限小近傍 \(Z_n\)、 すなわち \(Z\) の \(X\) におけるものは次の普遍性をもつ。 任意の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] が与えられ、\(T \subset T'\) が \(n\) 次肥厚化であり、\(X\) 上にあるとする。 このとき一意な肥厚化の射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\) が存在し、 \(X\) 上の射である。

証明

(1) だけを証明する。\(U \subset X\) を \(Z'\) の構成で用いた 開部分空間、すなわち \(Z\) が \(U\) の閉部分空間と同一視され、 準連接イデアル層 \(\mathcal{I}\) により切り出されるような開集合とする。 \(|T| = |T'|\) なので、\(|b|(|T'|) \subset |U|\) である。 したがって \(b\) を \(U\) への射と考えてよい。次を参照せよ。 Properties of Spaces, Lemma 03IE。 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\) を、\(T\) を切り出す二乗零の 準連接イデアル層とする。図式の可換性により \(b|_T = i \circ a\) である。ここで \(i : Z \to U\) は閉埋め込みである。 したがって Morphisms of Spaces, Lemma 03MB により \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\) である。 \(T'\) は \(T\) の一次肥厚化なので \(\mathcal{J}^2 = 0\) であり、したがって \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\) である。 Morphisms of Spaces, Lemma 03MB により、これは \(b\) が \(Z'\) を経由することを意味する。 \(a' : T' \to Z'\) をこの分解とすればよい。

補題

\(i : Z \to X\) を代数空間の埋め込みとする。 \(Z \subset Z'\) を \(Z\) の \(X\) における一次無限小近傍とする。 このとき図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] は Lemma 04CP により余法層の写像 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) を誘導する。 この写像は同型である。

証明

これは上の \(Z'\) の構成から明らかである。

形式的に滑らか、エタール、非分岐な変換

環準同型 \(R \to A\) が 形式的に滑らか、 それぞれ 形式的エタール、形式的非分岐であるとは、 Algebra, Definition 00TI、 それぞれ Definition 00UQ、 Definition 00UN の意味で、 任意の実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] で、\(I \subset B\) が二乗零イデアルであるものに対し、 図式を可換にする点線矢印が存在する、それぞれ一意に存在する、 高々一つ存在することをいう。このことが、代数空間の射、さらに一般には 関手に対する次の類似物を動機づける。

定義

\(S\) をスキームとする。\(a : F \to G\) を関手 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) の変換とする。 次の形の実線部分が可換な図式を考える。 \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] ここで \(T\) と \(T'\) はアフィンスキームであり、\(i\) は二乗零イデアルで 定められる閉埋め込みである。

1. 上の任意の実線図式に対して、図式を可換にする点線矢印が存在するとき、 \(a\) は 形式的に滑らかであるという¹。

2. 上の任意の実線図式に対して、図式を可換にする点線矢印がちょうど一つ 存在するとき、\(a\) は 形式的エタールであるという。

3. 上の任意の実線図式に対して、図式を可換にする点線矢印が高々一つ 存在するとき、\(a\) は 形式的非分岐であるという。

補題

\(S\) をスキームとする。\(a : F \to G\) を関手 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) の変換とする。 このとき \(a\) が形式的エタールであることと、 \(a\) が形式的に滑らかかつ形式的非分岐であることは同値である。

証明

定義から形式的に従う。

補題

合成について次が成り立つ。

1. 形式的に滑らかな関手の変換の合成は形式的に滑らかである。

2. 形式的エタールな関手の変換の合成は形式的エタールである。

3. 形式的非分岐な関手の変換の合成は形式的非分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

\(S\) を \(\Sch_{fppf}\) に含まれるスキームとする。 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) とする。 \(a : F \to G\), \(b : H \to G\) を関手の変換とする。 ファイバー積図式 \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] を考える。

1. \(a\) が形式的に滑らかならば、基底変換 \(a'\) は 形式的に滑らかである。

2. \(a\) が形式的エタールならば、基底変換 \(a'\) は 形式的エタールである。

3. \(a\) が形式的非分岐ならば、基底変換 \(a'\) は 形式的非分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) とする。 \(a : F \to G\) を表現可能な関手の変換とする。

1. \(a\) が滑らかならば \(a\) は形式的に滑らかである。

2. \(a\) がエタールならば \(a\) は形式的エタールである。

3. \(a\) が非分岐ならば \(a\) は形式的非分岐である。

証明

Definition 049S のような 実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。このとき \(F \times_G T'\) は \(T'\) 上滑らかな （それぞれエタールな、非分岐な）スキームである。したがって More on Morphisms, Lemma 02H6 （それぞれ Lemma 02HM、 Lemma 02HE）により、 図式 \[\xymatrix{ F \times_G T' \ar[d] & T \ar[d]^i \ar[l] \\ T' & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] の点線矢印を補える （それぞれ一意に補える、高々一通りに補える）。

したがって最初の図式でも対応する主張を得る。

補題

\(S\) を \(\Sch_{fppf}\) に含まれるスキームとする。 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) とする。 \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) を関手の変換とする。 \(a\) は表現可能、全射かつエタールであると仮定する。

1. \(b\) が形式的に滑らかならば、\(b \circ a\) は形式的に滑らかである。

2. \(b\) が形式的エタールならば、\(b \circ a\) は形式的エタールである。

3. \(b\) が形式的非分岐ならば、\(b \circ a\) は形式的非分岐である。

逆に、実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[d]^i \ar[l] \\ H & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。ここで \(T'\) は \(S\) 上のアフィンスキームであり、 \(i : T \to T'\) は二乗零イデアルで定められる閉埋め込みである。

1. \(b \circ a\) が形式的に滑らかならば、任意の \(t \in T\) に対し、 アフィンスキームのエタール射 \(U' \to T'\) と射 \(U' \to G\) であって、 \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] が可換となり、かつ \(t\) が \(U' \to T'\) の像に属するものが存在する。

2. \(b \circ a\) が形式的非分岐ならば、上の図式の点線矢印は 高々一つしか存在しない。すなわち \(b\) は形式的非分岐である。

3. \(b \circ a\) が形式的エタールならば、上の図式の点線矢印は ちょうど一つ存在する。すなわち \(b\) は形式的エタールである。

証明

\(b\) が形式的に滑らか（それぞれ形式的エタール、形式的非分岐）であると仮定する。 エタール射は滑らかかつ非分岐なので、\(a\) は表現可能かつ滑らか （それぞれエタール、非分岐）である。したがって (1)、(2)、(3) は Lemma 04AL と Lemma 049T を組み合わせれば従う。

\(b \circ a\) が形式的に滑らかであると仮定し、補題の主張にある図式を考える。 \(W = F \times_G T\) とおく。仮定により \(W\) は \(T\) 上全射エタールな スキームである。Étale Morphisms, Theorem 039R により、スキーム \(W'\) で \(T'\) 上エタールかつ \(W = T \times_{T'} W'\) を満たすものが存在する。 アフィン開部分スキーム \(U' \subset W'\) で、\(t\) が \(U' \to T'\) の像に 属するものを選ぶ。\(b \circ a\) は形式的に滑らかなので、

次の図式を可換にする射 \(U' \to F\) が存在する。 \[\xymatrix{ F \ar[d]_{b \circ a} & W \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] 合成 \(U' \to F \to G\) を取れば、補題の

(4) にある写像が得られる。

\(f, g : T' \to G\) を、補題の図式に入る二つの点線矢印とする。 \(W = F \times_G T\) とおく。仮定により \(W\) は \(T\) 上全射エタールな スキームである。Étale Morphisms, Theorem 039R により、スキーム \(W'\) で \(T'\) 上エタールかつ \(W = T \times_{T'} W'\) を満たすものが存在する。 \(a\) は形式的エタールなので、合成 \[W' \to T' \xrightarrow{f} G \quad\text{and}\quad W' \to T' \xrightarrow{g} G\] は射 \(f', g' : W' \to F\) に持ち上がる （アフィン開集合上で持ち上げ、一意性によって貼り合わせる）。 ここで \(b \circ a : F \to H\) が形式的非分岐ならば \(f' = g'\) であり、 したがって \(f = g\) となる。実際、\(W' \to T'\) はエタール被覆である。これは

(5) を証明する。

\(b \circ a\) が形式的エタールであると仮定する。このとき (4) により \(T'\) 上エタール局所的に図式に入る点線矢印を見つけることができ、 (5) によりこの点線矢印は一意である。したがって局所解を貼り合わせて (6) を得る。細部は省略する。

注意

Lemma 04CY の状況では 「\(b\) が形式的に滑らか」\(\Leftrightarrow\) 「\(b \circ a\) が形式的に滑らか」 であると考えたくなる。しかし一般には、おそらくこれは正しくない。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Sets}\) とする。 \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) を関手の変換とする。 \(b\) は形式的非分岐であると仮定する。

1. \(b \circ a\) が形式的非分岐ならば \(a\) は形式的非分岐である。

2. \(b \circ a\) が形式的エタールならば \(a\) は形式的エタールである。

3. \(b \circ a\) が形式的に滑らかならば \(a\) は形式的に滑らかである。

証明

\(T \subset T'\) を、二乗零イデアルで定められるアフィンスキームの閉埋め込みとする。 \(g' : T' \to G\) と \(f : T \to F\) が与えられ、 \(g'|_T = a \circ f\) を満たすとする。\(b\) は形式的非分岐なので、 \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ and }a \circ f' = g'\}\] と \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ and }b \circ a \circ f' = b \circ g'\}.\] の間には一対一対応がある。これから補題は形式的に従う。

形式的非分岐射

この節では、代数空間の射が形式的非分岐であることの意味を詳しく調べる。

定義

\(S\) をスキームとする。代数空間の射 \(f : X \to Y\) が \(S\) 上で 形式的非分岐であるとは、Definition 049S の意味で、 関手の変換として形式的非分岐であることをいう。

Section 04G3 で、より一般の 形式的非分岐な関手の変換について証明した結果はここでは再掲しない。 この性質は相対微分加群の消滅によって特徴づけられることが分かる。 Lemma 04G9 を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的非分岐である。

2. 任意の図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールであるものに対して、 スキームの射 \(\psi\) は形式的非分岐である（More on Morphisms, Definition 02H8 の意味で）。

3. 全射な縦の矢印をもつこのような図式の一つについて、射 \(\psi\) は 形式的非分岐である。

証明

\(f\) が形式的非分岐であると仮定する。Lemma 04AL により、射 \(U \to X\) と \(V \to Y\) は形式的非分岐である。したがって Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的非分岐である。すると Lemma 04G5 から \(U \to V\) は形式的非分岐である。 ゆえに (1) は (2) を含意する。また (2) が (3) を含意することは明らかである。

(3) にある図式が与えられたと仮定する。Lemma 04AL により、射 \(V \to Y\) は形式的非分岐である。したがって Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的非分岐である。すると Lemma 04CY から \(X \to Y\) は形式的非分岐、すなわち (1) が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。このとき、 任意の実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で、\(T \subset T'\) が \(S\) 上の代数空間の一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印は高々一つ存在する。言い換えれば、 Definition 04G7 における \(T\) がアフィンスキームであるという条件は取り除ける。

証明

全射エタール射 \(U' \to T'\) で、\(U'\) がアフィンスキームの非交和である ものが存在し（Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照）、 射 \(T' \to X\) はその \(U'\) への制限によって決まるからである。

補題

形式的非分岐射の合成は形式的非分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

形式的非分岐射の基底変換は形式的非分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的非分岐である。

2. \(\Omega_{X/Y} = 0\) である。

証明

これは Lemma 04G8、 More on Morphisms, Lemma 02H9、および Lemma 04CU を組み合わせたものである。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は非分岐である。

2. 射 \(f\) は局所有限型であり、\(\Omega_{X/Y} = 0\) である。

3. 射 \(f\) は局所有限型かつ形式的非分岐である。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールかつ全射であるものを選ぶ。 すると次を得る。 \[\begin{align*} f\text{ unramified} & \Leftrightarrow \psi\text{ unramified} \\ & \Leftrightarrow \psi\text{ locally finite type and }\Omega_{U/V} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{ locally finite type and }\Omega_{X/Y} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{ locally finite type and formally unramified} \end{align*}\] ここで Morphisms, Lemma 02G5 と Lemma 04G9 を用いた。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は非分岐かつ単射である。

2. \(f\) は非分岐かつ普遍的単射である。

3. \(f\) は局所有限型かつ単射である。

4. \(f\) は普遍的単射かつ局所有限型かつ形式的非分岐である。

さらに、この場合 \(f\) は表現可能、分離的かつ局所準有限でもある。

証明

Lemma 04GA で、形式的非分岐かつ 局所有限型であることは非分岐であることと同値であると見た。 したがって (4) は (2) と同値である。単射は確かに形式的非分岐なので (3) は (4) を含意する。(1) が (3) を含意することは明らかである。 最後に (2) が成り立つならば、 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) は開埋め込みであり （Morphisms of Spaces, Lemma 05W1）、かつ全射である （Morphisms of Spaces, Lemma 040X）。したがって同型であり、 すなわち \(f\) は単射である。このようにして (2) が (1) を含意することが分かる。 最後に Morphisms of Spaces, Lemmas 0463 and 0418 により、\(f\) は表現可能、分離的かつ局所準有限である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は閉埋め込みである。

2. \(f\) は普遍的閉、非分岐かつ単射である。

3. \(f\) は普遍的閉、非分岐かつ普遍的単射である。

4. \(f\) は普遍的閉、局所有限型かつ単射である。

5. \(f\) は普遍的閉、普遍的単射、局所有限型かつ形式的非分岐である。

証明

(2) – (5) の同値性は Lemma 05W6 から直ちに従う。 さらに (2) – (5) が成り立つならば \(f\) は表現可能である。 同様に (1) が成り立つならば \(f\) は表現可能である。 したがって結果はスキームの場合から従う。Étale Morphisms, Lemma 04XV を参照せよ。

普遍一次肥厚化

\(S\) をスキームとする。 \(h : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z\) の \(X\) 上の 普遍一次肥厚化とは、一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) で \(X\) 上にあるもののうち、任意の一次肥厚化 \(T \subset T'\) で \(X\) 上にあるものと 実線部分が可換な図式 [0602]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X } } \end{equation}\] が与えられるたびに、図式を可換にする点線矢印が一意に存在するものをいう。 この状況では \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) は \(X\) 上の肥厚化の射であることに注意せよ。したがって普遍一次肥厚化が 存在すれば、一意な同型を除いて一意である。一般には普遍一次肥厚化は 存在しないが、\(h\) が形式的非分岐ならば存在する。これを証明する前に、 スキームの圏における普遍一次肥厚化が代数空間の圏においても 普遍一次肥厚化であることを示そう。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(h : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z \subset Z'\) を \(X\) 上の一次肥厚化とする。 次は同値である。

1. \(Z \subset Z'\) は普遍一次肥厚化である。

2. \(T'\) がスキームである任意の図式 (0602) に対し、図式を可換にする 点線矢印が一意に存在する。

3. \(T'\) がアフィンスキームである任意の図式 (0602) に対し、図式を可換にする 点線矢印が一意に存在する。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) は形式的である。

(3) を仮定し、任意の図式 (0602) が与えられたとする。 表示 \(T' = U'/R'\) を選ぶ。Spaces, Definition 0263 を参照せよ。 \(U' = \coprod U'_i\) はアフィンスキームの非交和であるとしてよい。したがって

\(R' = U' \times_{T'} U' = \coprod_{i, j} U'_i \times_T' U'_j\) である。 各組 \((i, j)\) に対し、アフィン開被覆 \(U'_i \times_T' U'_j = \bigcup_k R'_{ijk}\) を選ぶ。 \(U_i, R_{ijk}\) を、それぞれ \(T\) と \(T'\) 上で取ったファイバー積とする。 すると各 \(U_i \subset U'_i\) と \(R_{ijk} \subset R'_{ijk}\) は アフィンスキームの一次肥厚化である。 \(a_i : U_i \to Z\)、それぞれ \(a_{ijk} : R_{ijk} \to Z\) を、 \(a : T \to Z\) と射 \(U_i \to T\)、それぞれ \(R_{ijk} \to T\) との合成とする。 (3) を \(a_i : U_i \to Z\) に適用すると、一意な射 \(a'_i : U'_i \to Z'\) を得る。 (3) を \(a_{ijk}\) に適用すると、二つの合成

\(R'_{ijk} \to R'_i \to Z'\) と \(R'_{ijk} \to R'_j \to Z'\) は等しい。 したがって \(a' = \coprod a'_i : U' = \coprod U'_i \to Z'\) は 商層 \(T' = U'/R'\) に降下し、証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Z \to Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z \subset Z'\) が \(Z\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化であり、 \(Y \to X\) が形式的エタールならば、\(Z \subset Z'\) は \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化である。

証明

これは形式的である。実際、Lemma 0603 により、\(T'\) が アフィンスキームである実線部分が可換な図式 (0602) だけを考えれば十分である。 合成 \(T \to Z \to Y\) は \(T' \to Y\) へ一意に持ち上がる。 これは \(Y \to X\) が形式的エタールと仮定されているからである。 したがって \(Z \subset Z'\) が \(Y\) 上の普遍一次肥厚化であることから、 求める射 \(a' : T' \to Z'\) が得られる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Z \to Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Z \to Y\) はエタールであると仮定する。

1. \(Y \subset Y'\) が \(Y\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化ならば、 一意なエタール射 \(Z' \to Y'\) で \(Z = Y \times_{Y'} Z'\) を満たすもの （Theorem 05ZH を参照）によって、 \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化が与えられる。

2. \(Z \to Y\) が全射であり、\((Z \subset Z') \to (Y \subset Y')\) が \(X\) 上の一次肥厚化のエタール射で、\(Z'\) が \(Z\) の \(X\) 上の 普遍一次肥厚化ならば、\(Y'\) は \(Y\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化である。

証明

(1) の証明。Lemma 0603 により、 \(T'\) がアフィンスキームである実線部分が可換な図式 (0602) だけを考えれば十分である。 合成 \(T \to Z \to Y\) は \(T' \to Y'\) へ一意に持ち上がる。 これは \(Y'\) が普遍一次肥厚化だからである。さらに \(Z' \to Y'\) がエタールであることから （Lemma 04AL を参照）、 \(T' \to Y'\) は求める射 \(a' : T' \to Z'\) へ持ち上がる。

(2) の証明。\(T \subset T'\) を \(X\) 上の一次肥厚化とし、 \(a : T \to Y\) を射とする。\(W = T \times_Y Z\) とおき、射影を \(c : W \to Z\) と書く。一意なエタール射 \(W' \to T'\) で \(W = T \times_{T'} W'\) を満たすものを取る。Theorem 05ZH を参照せよ。 \(W' \to T'\) は全射である。これは \(Z \to Y\) が全射だからである。 仮定により、一意な射 \(c' : W' \to Z'\) を得る。この射は \(X\) 上の射で、 \(c\) を \(W\) 上に延長する。一意性により、\(c'\) の \(W' \times_{T'} W'\) への二つの制限は等しい（\(c\) の \(W \times_T W\) への二つの制限が等しいからである）。 したがって \(c'\) は一意な射 \(a' : T' \to Y'\) に降下し、証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(h : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。 \(Z \subset Z'\) で、\(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化であるものが存在する。

証明

任意の可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] で、\(V\) と \(U\) がスキームであり、縦の矢印がエタールであるものを選ぶ。 \(V \to U\) はスキームの形式的非分岐射であることに注意せよ。 Lemma 04G8 を参照せよ。 Lemma 0603 と More on Morphisms, Lemma 04F3 を組み合わせると、 \(V \subset V'\) が存在し、それは \(V\) の \(U\) 上の普遍一次肥厚化である。

Lemma 0604 part (1) により、 \(V'\) は \(V\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化である。

スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を固定する。 上の議論は、任意のエタール射 \(V \to Z\) で、\(V\) がスキームであり、 \(V \to Z \to X\) が \(U\) を経由するものに対し、普遍一次肥厚化 \(V \subset V'\) が存在し、それが \(V\) の \(X\) 上にあることを示す （ただし \(V \to X\) の \(U\) を 経由する分解の選択には依存しない）。ここで \(V\) を、\(V \to Z\) が 全射エタールとなるように選べる（Spaces, Lemma 02X1 を参照）。すると

\(R = V \times_Z V\) は \(Z\) 上エタールなスキームであり、\(R \to X\) も \(U\) を経由する。したがって普遍一次肥厚化 \(V \subset V'\) と \(R \subset R'\) を \(X\) 上に得る。 \(V \subset V'\) は普遍一次肥厚化なので、二つの射影 \(s, t : R \to V\) は 射 \(s', t': R' \to V'\) に持ち上がる。Lemma 0605 により、\(R'\) は \(R\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化だから、これらの射はエタールである。

このとき \((t', s') : R' \to V'\) はエタール同値関係であり、 \(Z' = V'/R'\) とおける。\(V' \to Z'\) は全射エタールであり、

\(v'\) は \(V\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化なので、

Lemma 0604 part (2) により、 \(Z'\) は \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化である。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(h : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。

1. \(Z\) の \(X\) 上の 普遍一次肥厚化とは、Lemma 0606 で構成した肥厚化 \(Z \subset Z'\) をいう。

2. \(Z\) の \(X\) 上の余法層とは、\(Z\) の余法層で、その普遍一次肥厚化 \(Z'\) におけるものをいう。この肥厚化は \(X\) 上にある。

この状況では余法層をしばしば \(\mathcal{C}_{Z/X}\) と書く。

したがって層の短完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] が \(Z_\etale\) 上にあり、\(\mathcal{C}_{Z/X}\) は準連接 \(\mathcal{O}_Z\) 加群である。 次の補題は、この定義が \(Z \to X\) が埋め込みである場合の定義と 矛盾しないことを示す。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(i : Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の埋め込みとする。このとき

1. \(i\) は形式的非分岐である。

2. \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化は、Definition 05ZV の \(Z\) の \(X\) における一次無限小近傍である。

3. Definition 04CN の意味での \(i\) の余法層は、 Definition 0607 の意味での \(i\) の余法層と一致する。

証明

代数空間の埋め込みは、定義により表現可能な射である。したがって Morphisms, Lemmas 02GB and 02GC により、埋め込みは非分岐である （Spaces, Lemma 02YO の抽象原理を用いる）。ゆえに Lemma 04GA により形式的非分岐である。 他の主張は Lemmas 05ZW and 05ZX と定義を組み合わせれば従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Z \to X\) を \(S\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。 このとき普遍一次肥厚化 \(Z'\) は \(X\) 上形式的非分岐である。

証明

\(T \subset T'\) を \(X\) 上のアフィンスキームの一次肥厚化とする。 可換図式 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] を考える。\(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\) および \(T'_a = a^{-1}(Z)\) とおく（スキーム論的に取る）。 \(Z'\) は \(Z\) の一次肥厚化なので、\(T'\) は \(T'_a\) の一次肥厚化である。 さらに \(c = a|_T\) なので、\(T_0 = T \cap T'_a\) である （スキーム論的に取る）。\(T'\) は \(T\) の一次肥厚化なので、 \(T'_a\) は \(T_0\) の一次肥厚化である。ここで \(a|_{T'_a}\) と \(b|_{T'_a}\) は \(T'_a\) から \(Z'\) への \(X\) 上の射であり、\(T_0\) 上では \(Z\) への射として 一致する。したがって \(Z'\) の普遍性により \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\) である。このように \(a\) と \(b\) は、一次肥厚化 \(T'\) からの射である。この肥厚化は \(T'_a\) のものであり、両射の \(T'_a\) への制限は \(Z\) への射として 一致する。そこで \(Z'\) の普遍性をもう一度用いると \(a = b\) を得る。 言い換えれば、形式的非分岐射の定義性質が望みどおり \(Z' \to X\) に対して 成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(S\) 上の代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] を考え、\(h\) と \(h'\) は形式的非分岐であるとする。 \(Z \subset Z'\) を \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化とする。 \(W \subset W'\) を \(W\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化とする。 肥厚化の標準的な射 \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\) で、 \(Y\) 上にあり、次の可換図式に入るものが存在する。 \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] 特に、肥厚化の射 \((f, f')\) は余法層の射 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) を誘導する。

証明

最初の主張は \(W'\) の普遍性から明らかである。余法層上の誘導写像は、 \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\) に Lemma 04CP を適用して得られる写像である。

補題

\(S\) をスキームとする。代数空間のファイバー積図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] を \(S\) 上で考え、\(h'\) が形式的非分岐であるとする。このとき \(h\) は 形式的非分岐であり、\(W \subset W'\) が \(W\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化ならば、 \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\) は \(Z\) の \(X\) 上の 普遍一次肥厚化である。特に Lemma 060A の標準写像 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は全射である。

証明

射 \(h\) は Lemma 0600 により 形式的非分岐である。\(X \times_Y W'\) が一次肥厚化であることは明らかである。 \(W'\) が普遍性をもつので、これも普遍性をもつことは （ファイバー積の写像性質により）直ちに確かめられる。これが余法層の写像の 全射性を含意する理由については Lemma 04CQ を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。代数空間のファイバー積図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] を \(S\) 上で考え、\(h'\) が形式的非分岐かつ \(g\) が平坦であるとする。この場合、 対応する普遍一次肥厚化の写像 \(Z' \to W'\) は平坦であり、 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は同型である。

証明

平坦性は基底変換で保たれる。Morphisms of Spaces, Lemma 03MO を参照せよ。 したがって最初の主張は Lemma 060B における \(W'\) の記述から従う。 \(X \times_Y W'\) が一次肥厚化であることは明らかである。 \(W'\) が普遍性をもつので、これも普遍性をもつことは （ファイバー積の写像性質により）直ちに確かめられる。これが余法層の写像の 同型性を含意する理由については Lemma 04CQ を参照せよ。

補題

普遍一次肥厚化を取る操作はエタール局所化と可換である。より正確には、 形式的非分岐射 \(h : Z \to X\) を基礎スキーム \(S\) 上の代数空間の射とする。 可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] で、縦の矢印がエタールであるものを考える。 \(Z'\) を \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化とする。このとき \(V \to U\) は 形式的非分岐であり、普遍一次肥厚化 \(V'\) は \(V\) の \(U\) 上にあり、\(Z'\) 上 エタールである。特に \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\) である。

証明

最初の主張は Lemma 04G8 である。 普遍一次肥厚化の両立性は Lemmas 0604 and 0605 の帰結である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(h : Z \to X\) を \(B\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。 \(Z \subset Z'\) を \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化とし、その構造射を \(h' : Z' \to X\) とする。標準写像 \[\text{d}h' : (h')^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B}\] は同型 \(h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z\) を誘導する。

証明

写像 \(c_{h'}\) は Lemma 04CX で定義した写像である。 \(i : Z \to Z'\) を与えられた閉埋め込みとすれば、\(i^*c_{h'}\) は写像

\(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\) である。 これが同型であることの確認は、エタール局所化によりスキームの場合に帰着する。 Lemma 060D および Lemma 04CU を参照せよ。この場合の結果は More on Morphisms, Lemma 04FB である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(h : Z \to X\) を \(B\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。 標準的な完全列 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0.\] が存在する。最初の矢印は \(\text{d}_{Z'/B}\) が誘導する。ここで \(Z'\) は \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次近傍である。

証明

標準的な完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] があることは既知である。ここで基礎が主張と一致しない点も含め、

Lemma 05ZA を参照せよ。 したがって Lemma 060E を適用すれば結果が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] を \(S\) 上で考え、\(i\) と \(j\) が形式的非分岐であるとする。 このとき標準的な完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] がある。最初の矢印は Lemma 060A から、二番目は Lemma 060F から得られる。

証明

写像はすでに定義したので、列の完全性の確認はエタール局所化により スキームの場合に帰着する。Lemma 060D および Lemma 04CU を参照せよ。この場合の結果は More on Morphisms, Lemma 067V である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(Z \to Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。

1. \(Z \subset Z'\) が \(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化で、 \(Y \subset Y'\) が \(Y\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化ならば、射 \(Z' \to Y'\) が存在し、\(Y \times_{Y'} Z'\) は \(Z\) の \(Y\) 上の 普遍一次肥厚化である。

2. 標準的な完全列 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] があり、その写像は Lemma 060A から得られる。ここで \(i : Z \to Y\) は最初の射である。

証明

(1) の写像 \(h : Z' \to Y'\) は Lemma 060A から得られる。 \(Y \times_{Y'} Z'\) が \(Z\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化であるという主張は、 \(Z'\) と \(Y'\) の普遍性から明らかである。Lemma 06BD により完全列 \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] がある。ここで \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\) は与えられた射である。 Lemma 04CQ により全射 \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\) が存在する。 これを等式 \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\)、 \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\)、および \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\) と組み合わせれば補題が従う。

形式的エタール射

この節では、代数空間の射が形式的エタールであることの意味を詳しく調べる。

定義

\(S\) をスキームとする。代数空間の射 \(f : X \to Y\) が \(S\) 上で 形式的エタールであるとは、Definition 049S の意味で、 関手の変換として形式的エタールであることをいう。

Section 04G3 で、より一般の 形式的エタールな関手の変換について証明した結果はここでは再掲しない。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. 任意の図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールであるものに対し、 スキームの射 \(\psi\) は形式的エタールである（More on Morphisms, Definition 02HG の意味で）。

3. 全射な縦の矢印をもつこのような図式の一つについて、射 \(\psi\) は 形式的エタールである。

証明

\(f\) が形式的エタールであると仮定する。Lemma 04AL により、射 \(U \to X\) と \(V \to Y\) は形式的エタールである。したがって Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的エタールである。すると Lemma 04G5 から \(U \to V\) は形式的エタールである。 ゆえに (1) は (2) を含意する。また (2) が (3) を含意することは明らかである。

(3) にある図式が与えられたと仮定する。Lemma 04AL により、射 \(V \to Y\) は形式的エタールである。したがって Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的エタールである。すると Lemma 04CY から \(X \to Y\) は形式的エタール、すなわち (1) が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の形式的エタール射とする。 このとき任意の実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]_a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で、\(T \subset T'\) が \(Y\) 上の代数空間の一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印がちょうど一つ存在する。言い換えれば、 Definition 04GC における \(T\) がアフィンである という条件は取り除ける。

証明

\(U' \to T'\) を全射エタール射とし、\(U' = \coprod U'_i\) は アフィンスキームの非交和であるとする。 \(U_i = T \times_{T'} U'_i\) とおく。このとき射 \(a'_i : U'_i \to X\) で、その制限 \(a'_i|_{U_i}\) が合成 \(U_i \to T \to X\) に等しいものを得る。一意性により（Lemma 05ZY を参照）、\(a'_i\) と \(a'_j\) は ファイバー積 \(U'_i \times_{T'} U'_j\) 上で一致する。したがって \(\coprod a'_i : U' \to X\) は降下して、一意な射 \(a' : T' \to X\) を与える。

補題

形式的エタール射の合成は形式的エタールである。

証明

これは形式的である。

補題

形式的エタール射の基底変換は形式的エタールである。

証明

これは形式的である。

補題

\(S\) をスキームとする。

\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. \(f\) は形式的非分岐であり、\(X\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化は \(X\) に等しい。

3. \(f\) は形式的非分岐であり、\(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\) である。

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) かつ \(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\) である。

証明

実際、最後の主張が意味をなすのは、\(\Omega_{X/Y} = 0\) ならば Lemma 04G9 と Definition 0607 によって \(\mathcal{C}_{X/Y}\) が定義されるからにほかならない。 これは (3) と (4) が同値であることも明らかにする。

仮定 (1)、(2)、(3) のいずれからも \(f\) が形式的非分岐であることが従う。 したがって \(f\) は形式的非分岐であるとしてよい。(1)、(2)、(3) の同値性は、

\(X'\) の普遍性（これは \(X\) の \(S\) 上の普遍一次肥厚化である）、および \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/Y} = 0\) から従う。実際、定義により \(\mathcal{C}_{X/Y} = \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(X\) の \(X'\) におけるイデアル層である。

補題

非分岐平坦射は形式的エタールである。

証明

これはスキームの場合 More on Morphisms, Lemma 04FF と、エタール局所化 Lemmas 04G8 and 04GD、および Morphisms of Spaces, Lemma 03MM から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) はエタールである。

2. 射 \(f\) は局所有限表示かつ形式的エタールである。

証明

これはスキームの場合 More on Morphisms, Lemma 02HM と、エタール局所化 Lemma 04GD、および Morphisms of Spaces, Lemmas 0410 and 03XT から従う。

写像の無限小変形

この節では、導分を用いて写像を無限小に動かす方法を説明する。 この節を通じて、肥厚化 \(X'\)（これは \(X\) の肥厚化である）上の層を \(X\) 上の層とみなせることを用いる。Equations (05ZL) and (05ZM) を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) を \(B\) 上の代数空間の二つの一次肥厚化とする。 \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(B\) 上の肥厚化の二つの射とする。次を仮定する。

1. \(a = b\) である。

2. 二つの写像 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) （Lemma 04CP）は等しい。

このとき写像 \((a')^\sharp - (b')^\sharp\) は \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] と分解する。ここで \(D\) は \(\mathcal{O}_B\) 導分である。

証明

\(Y\) 上で作業する代わりに \(X\) 上で作業する。その利点は引戻し関手 \(a^{-1}\) が完全であることである。(1) と (2) を用いると、行が完全な可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得る。このような状況では、\(\mathcal{O}_B\) 代数の写像 \((a')^\sharp\) と \((b')^\sharp\) の差が、\(\mathcal{O}_B\) 導分であって \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\) から \(\mathcal{C}_{X/X'}\) へのものになることは 一般的事実である。関手 \(a^{-1}\) と \(a_*\) の随伴性により、これは \(\mathcal{O}_B\) 導分であって \(\mathcal{O}_Y\) から \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\) へのものと同じである。 細部は省略する。

上の補題の状況では \(D\) を [0619]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/B} \circ \theta \end{equation}\] と書けることに注意せよ。ここで \(\theta\) は \(\mathcal{O}_Y\) 線形写像 \(\theta : \Omega_{Y/B} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\) である。 もちろん、再び随伴により \(\theta\) を \(\mathcal{O}_X\) 線形写像 \(\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) とみなすこともできる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(B\) 上の一次肥厚化の射とする。写像 \[\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] を \(\mathcal{O}_X\) 線形とする。このとき対の射 \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) で、Lemma 0618 の (1) と (2) を満たし、導分 \(D\) と \(\theta\) が Equation (0619) によって関係づけられるものが 一意に存在する。

証明

写像 \[\alpha = (a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] を考える。ここで \(D\) は Equation (0619) のものである。 \(D\) は \(\mathcal{O}_B\) 導分なので、\(\alpha\) は \(\mathcal{O}_B\) 代数の層の 写像である。構成により \(i_X^\sharp \circ \alpha = a^\sharp \circ i_Y^\sharp\) である。ここで \(i_X : X \to X'\) と \(i_Y : Y \to Y'\) は与えられた 閉埋め込みである。Lemma 05ZN により、 肥厚化の一意な射 \((a, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(B\) 上に得て、これは \(\alpha = (b')^\sharp\) を満たす。\(b = a\) とおけばよい。

注意

仮定と記法は Lemma 04D0 と同じとする。 局所切断 \(\theta\) の \(a'\) への作用を \(\theta \cdot a'\) と書くことがある。 これは、\((a')^\sharp\) と \((\theta \cdot a')^\sharp\) の差が導分 \(D\) であり、 その導分が Equation (0619) によって \(\theta\) と関係づけられることに ほかならない。

補題

\(S\) をスキームとする。\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) を \(B\) 上の一次肥厚化とする。 射 \(a : X \to Y\) と写像 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) が与えられ、後者は \(\mathcal{O}_X\) 加群の写像であると仮定する。対象 \(U'\) を \((X')_{spaces, \etale}\) において取り、 \(U = X \times_{X'} U'\) とおき、次を満たす射 \(a' : U' \to Y'\) を考える。

1. \(a'\) は \(B\) 上の射である。

2. \(a'|_U = a|_U\) である。

3. 誘導写像 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) は \(A\) の \(U\) への制限である。

このとき規則 [061B]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ such that (1), (2), (3) hold.}\} \end{equation}\] は \((X')_{spaces, \etale}\) 上の集合の層を定める。

証明

補題の規則を \(\mathcal{F}\) と書く。制限写像 \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\)（ここで \(V' \subset U' \subset X'\)）は、\(\mathcal{F}\) において、まさに制限写像 \(a' \mapsto a'|_{V'}\) である。この定義のもとで \(\mathcal{F}\) が層であることは 明らかである。実際、代数空間の射はエタール降下を満たす。Descent on Spaces, Lemma 04P2 を参照せよ。

補題

記法と仮定は Lemma 061A と同じとする。 (05ZL) によって \(X\) 上の層と \(X'\) 上の層を 同一視する。層 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\] は層 (061B) に作用する。さらに、任意の対象 \(U'\) で、 \((X')_{spaces, \etale}\) の対象であり、層 (061B) がその上で 切断をもつものに対し、この作用は単純推移的である。

証明

これは Lemmas 0618, 04D0, and 061A を組み合わせたものである。

注意

Lemmas 0618, 04D0, 061A, and 061C の特別な場合として \(Y = Y'\) の場合がある。 この場合、写像 \(A\) は常に零である。Lemma 061A の層は単に規則 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{ over }B\text{ with } a'|_U = a|_U\}\] で与えられ、この層に \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\) が作用する。

注意

Lemmas 0618, 04D0, 061A, and 061C の別の特別な場合は、\(B\) 自身が肥厚化 \(Z \subset Z' = B\) であり、\(Y = Z \times_{Z'} Y'\) となる場合である。 図式で表すと \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] である。この場合、写像 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(a\) によって決まる。 実際、写像 \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\) は全射である （\(Y = Z \times_{Z'} Y'\) と仮定したからである）。したがって引戻し \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\) は全射であり、合成 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(g'\) が誘導する標準写像でなければならない。したがって Lemma 061A の層は単に規則 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ over }Z'\text{ with } a'|_U = a|_U\}\] で与えられ、この層に \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\) が作用する。

補題

\(S\) をスキームとする。一次肥厚化の可換図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{and a commutative} \\ \text{diagram} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & B_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & B_1 } }\] を \(S\) 上の代数空間について考え、\(X_2 \to X_1\) と \(B_2 \to B_1\) は エタールであるとする。任意の \(\mathcal{O}_{T_1}\) 線形写像 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) に対し、 \(\theta_2\) を合成 \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/B_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] とする（等号は証明で説明する）。このとき図式 \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] は可換である。ここで作用 \(\theta_2 \cdot a_2'\) と \(\theta_1 \cdot a_1'\) は Remark 0CK6 のものである。

証明

等号は、微分層の構成が始域と終域の双方についてエタール局所化と両立するため 得られる同一視 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\) から来る。 Lemma 04CU を参照せよ。実際、これを用いると \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\) を得る。これは \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\) だからである。

以上を踏まえると、図式の可換性はエタール局所的に確認できる。 したがって \(T'_i\), \(X'_i\), \(B_2\), \(B_1\) はスキームであるとしてよく、 この場合、補題は More on Morphisms, Lemma 04BY から従う。 別証明：Lemma 05ZN により、\(X_1'\) 上の 環の層のある図式が可換であることを示せば十分である。そこで前述の More on Morphisms, Lemma 04BY の証明とまったく同様に論じれば、実際に可換であることが分かる。

代数空間の無限小変形

次の簡単な補題は、写像の無限小変形が平坦かどうかを確認するための 便利な道具としてしばしば使われる。

補題

\(S\) をスキームとする。\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(S\) 上の代数空間の一次肥厚化の射とする。\(f\) は平坦であると仮定する。

次は同値である。

1. \(f'\) は平坦であり、\(X = Y \times_{Y'} X'\) である。

2. 標準写像 \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は同型である。

証明

スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to Y'\) を選ぶ。 スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to X' \times_{Y'} V'\) を選ぶ。 \(U = X \times_{X'} U'\) および \(V = Y \times_{Y'} V'\) とおく。 代数空間の平坦射の定義により、誘導写像 \(g : U \to V\) はスキームの 平坦射であり、\(f'\) が平坦であることと、対応する射 \(g' : U' \to V'\) が平坦であることは同値である。また、

\(X = Y \times_{Y'} X'\) であることと \(U = V \times_{V'} V'\) であることは 同値である。最後に、写像 \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) が同型であることと、 \(g^*\mathcal{C}_{V/V'} \to \mathcal{C}_{U/U'}\) が同型であることは同値である。 したがって補題はスキームの射に対する類似の結果から従う。 More on Morphisms, Lemma 063Y を参照せよ。

次の補題は「ファイバーによる平坦性判定法」の「冪零」版である。 Section 05WX を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] を \(S\) 上の代数空間の肥厚化について考える。次を仮定する。

1. \(X'\) は \(B'\) 上平坦である。

2. \(f\) は平坦である。

3. \(B \subset B'\) は有限次肥厚化である。

4. \(X = B \times_{B'} X'\) かつ \(Y = B \times_{B'} Y'\) である。

このとき \(f'\) は平坦であり、\(Y'\) は \(B'\) 上で、\(f'\) の像に属する すべての点において平坦である。

証明

スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to B'\) を選ぶ。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\) を選ぶ。 スキーム \(W'\) と全射エタール射 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\) を選ぶ。\(U, V, W\) を \(U', V', W'\) の \(B \to B'\) による基底変換とする。このとき \(f'\) の 平坦性は \(W' \to V'\) の平坦性と同値であり、\(W \to V\) は平坦であると 与えられている。したがってスキームの肥厚化の図式 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] にスキームの場合の補題を適用できる。More on Morphisms, Lemma 06AF を参照せよ。 \(Y'/B'\) の平坦性に関する、\(f'\) の像に属する点での主張も同様に従う。

スキームの射の多くの性質は平坦変形で保たれる。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] を \(S\) 上の代数空間の肥厚化について考える。\(B \subset B'\) は有限次肥厚化、 \(X'\) は \(B'\) 上平坦、\(X = B \times_{B'} X'\)、かつ \(Y = B \times_{B'} Y'\) であると仮定する。このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が表現可能であることと \(f'\) が表現可能であることは同値である。 [0CG7]

2. \(f\) が平坦であることと \(f'\) が平坦であることは同値である。 [0CG8]

3. \(f\) が同型であることと \(f'\) が同型であることは同値である。 [0CG9]

4. \(f\) が開埋め込みであることと \(f'\) が開埋め込みであることは同値である。 [0CGA]

5. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である。 [0CGB]

6. \(f\) が普遍的閉であることと \(f'\) が普遍的閉であることは同値である。 [0CGC]

7. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは同値である。 [0CGD]

8. \(f\) が単射であることと \(f'\) が単射であることは同値である。 [0CGE]

9. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。 [0CGF]

10. \(f\) が普遍的単射であることと \(f'\) が普遍的単射であることは同値である。 [0CGG]

11. \(f\) がアフィンであることと \(f'\) がアフィンであることは同値である。 [0CGH]

12. \(f\) が局所有限型であることと \(f'\) が局所有限型であることは同値である。

13. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。 [0CGJ]

14. \(f\) が局所有限表示であることと \(f'\) が局所有限表示であることは同値である。

15. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることと、\(f'\) が相対次元 \(d\) の 局所有限型であることは同値である。

16. \(f\) が普遍的開であることと \(f'\) が普遍的開であることは同値である。 [0CGM]

17. \(f\) がシントミックであることと \(f'\) がシントミックであることは同値である。 [0CGN]

18. \(f\) が滑らかであることと \(f'\) が滑らかであることは同値である。 [0CGP]

19. \(f\) が非分岐であることと \(f'\) が非分岐であることは同値である。 [0CGQ]

20. \(f\) がエタールであることと \(f'\) がエタールであることは同値である。 [0CGR]

21. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。 [0CGS]

22. \(f\) が整であることと \(f'\) が整であることは同値である。 [0CGT]

23. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。 [0CGU]

24. \(f\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることと、\(f'\) が（階数 \(d\) の） 有限局所自由であることは同値である。

25. さらに追加せよ。

証明

(0CG7) の場合は Lemma 09ZY から従う。

スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to B'\) を選ぶ。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\) を選ぶ。 スキーム \(W'\) と全射エタール射 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\) を選ぶ。 \(U, V, W\) を \(U', V', W'\) の \(B \to B'\) による基底変換とする。 スキームの肥厚化の図式 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] を考える。始域と終域の双方でエタール局所的な任意の性質について、結果は 上の図式に適用したスキームの肥厚化の射に対する対応する結果から直ちに従う。 したがって場合 (0CG8), (0CGI), (0CGJ), (0CGK), (0CGL), (0CGN), (0CGP), (0CGQ), (0CGR) は More on Morphisms, Lemma 06AG の対応する場合から従う。

\(X \to X'\) と \(Y \to Y'\) は普遍同相なので、写像 \(X \to Y\) と \(X' \to Y'\) の位相に関する任意の問いは同じ答えをもつ。したがって場合 (0CGB), (0CGC), (0CGF), (0CGG), and (0CGM) が成り立つ。

残る各場合では、含意 \(f\text{ has }P \Rightarrow f'\text{ has }P\) だけを証明する。逆の含意は \(P\) が基底変換で安定であることから従う。 Spaces, Lemma 02YW および Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, and 03ZY を参照せよ。

(0CGA) の場合。\(f\) は開埋め込みであると仮定する。 このとき \(f'\) は (0CGR) によりエタールであり、 (0CGG) により普遍的単射なので、\(f'\) は開埋め込みである。 Morphisms of Spaces, Lemma 05W5 を参照せよ。 この補題を使わず、まず (0CG7) を用いてスキームの場合に 帰着することもできる。

(0CG9) の場合。場合 (0CGA) と (0CGF) から従う。

(0CGD) の場合。Lemma 09ZY を参照せよ。

(0CGE) の場合。\(f\) は単射であると仮定する。 対角射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) を考える。 \(\Delta_{X'/Y'}\) の \(B \to B'\) による基底変換は \(\Delta_{X/Y}\) であり、 仮定により同型である。(0CG9) により \(\Delta_{X'/Y'}\) は同型であり、したがって \(f'\) は単射である。

(0CGH) の場合。Lemma 09ZY を参照せよ。

(0CGS) の場合。Lemma 09ZZ を参照せよ。

(0CGT) の場合。Lemma 09ZY を参照せよ。

(0CGU) の場合。Lemma 09ZZ を参照せよ。

(0CGV) の場合。\(f\) は有限局所自由であると仮定する。 (0CGU) により \(f'\) は有限である。 (0CG8) により \(f'\) は平坦である。 (0CGK) により \(f'\) は局所有限表示である。 したがって Morphisms of Spaces, Lemma 0416 により \(f'\) は有限局所自由である。

次の補題は「ファイバーによる平坦性判定法」の「局所冪零」版である。 Section 05WX を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] を \(S\) 上の代数空間の肥厚化について考える。次を仮定する。

1. \(Y' \to B'\) は局所有限型である。

2. \(X' \to B'\) は平坦かつ局所有限表示である。

3. \(f\) は平坦である。

4. \(X = B \times_{B'} X'\) かつ \(Y = B \times_{B'} Y'\) である。

このとき \(f'\) は平坦であり、任意の \(y' \in |Y'|\) で \(|f'|\) の像に 属するものに対し、射 \(Y' \to B'\) は \(y'\) で平坦である。

証明

スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to B'\) を選ぶ。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\) を選ぶ。 スキーム \(W'\) と全射エタール射 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\) を選ぶ。 \(U, V, W\) を \(U', V', W'\) の \(B \to B'\) による基底変換とする。 このとき \(f'\) の平坦性は \(W' \to V'\) の平坦性と同値であり、 \(W \to V\) は平坦であると与えられている。したがってスキームの肥厚化の図式 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] にスキームの場合の補題を適用できる。More on Morphisms, Lemma 0CF3 を参照せよ。 \(Y'/B'\) の平坦性に関する、\(f'\) の像に属する点での主張も同様に従う。

スキームの射の多くの性質は、上の補題にあるような平坦変形で保たれる。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] を \(S\) 上の代数空間の肥厚化について考える。

\(Y' \to B'\) は局所有限型、\(X' \to B'\) は平坦かつ局所有限表示、 \(X = B \times_{B'} X'\)、かつ \(Y = B \times_{B'} Y'\) であると仮定する。 このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が表現可能であることと \(f'\) が表現可能であることは同値である。 [0CGY]

2. \(f\) が平坦であることと \(f'\) が平坦であることは同値である。 [0CGZ]

3. \(f\) が同型であることと \(f'\) が同型であることは同値である。 [0CH0]

4. \(f\) が開埋め込みであることと \(f'\) が開埋め込みであることは同値である。 [0CH1]

5. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である。 [0CH2]

6. \(f\) が普遍的閉であることと \(f'\) が普遍的閉であることは同値である。 [0CH3]

7. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは同値である。 [0CH4]

8. \(f\) が単射であることと \(f'\) が単射であることは同値である。 [0CH5]

9. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。 [0CH6]

10. \(f\) が普遍的単射であることと \(f'\) が普遍的単射であることは同値である。 [0CH7]

11. \(f\) がアフィンであることと \(f'\) がアフィンであることは同値である。 [0CH8]

12. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。 [0CH9]

13. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることと、\(f'\) が相対次元 \(d\) の 局所有限型であることは同値である。

14. \(f\) が普遍的開であることと \(f'\) が普遍的開であることは同値である。 [0CHB]

15. \(f\) がシントミックであることと \(f'\) がシントミックであることは同値である。 [0CHC]

16. \(f\) が滑らかであることと \(f'\) が滑らかであることは同値である。 [0CHD]

17. \(f\) が非分岐であることと \(f'\) が非分岐であることは同値である。 [0CHE]

18. \(f\) がエタールであることと \(f'\) がエタールであることは同値である。 [0CHF]

19. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。 [0CHG]

20. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。 [0CHH]

21. \(f\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることと、\(f'\) が（階数 \(d\) の） 有限局所自由であることは同値である。

22. さらに追加せよ。

証明

(0CGY) の場合は Lemma 09ZY から従う。

スキーム \(U'\) と全射エタール射 \(U' \to B'\) を選ぶ。 スキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to U' \times_{B'} Y'\) を選ぶ。 スキーム \(W'\) と全射エタール射 \(W' \to V' \times_{Y'} X'\) を選ぶ。 \(U, V, W\) を \(U', V', W'\) の \(B \to B'\) による基底変換とする。 スキームの肥厚化の図式 \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] を考える。始域と終域の双方でエタール局所的な任意の性質について、結果は 上の図式に適用したスキームの肥厚化の射に対する対応する結果から直ちに従う。 したがって場合 (0CGZ), (0CH9), (0CHA), (0CHC), (0CHD), (0CHE), (0CHF) は More on Morphisms, Lemma 0CF4 の対応する場合から従う。

\(X \to X'\) と \(Y \to Y'\) は普遍同相なので、写像 \(X \to Y\) と \(X' \to Y'\) の位相に関する任意の問いは同じ答えをもつ。したがって場合 (0CH2), (0CH3), (0CH6), (0CH7), and (0CHB) が成り立つ。

残る各場合では、含意 \(f\text{ has }P \Rightarrow f'\text{ has }P\) だけを証明する。逆の含意は \(P\) が基底変換で安定であることから従う。 Spaces, Lemma 02YW および Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, and 03ZY を参照せよ。

(0CH1) の場合。 \(f\) は開埋め込みであると仮定する。このとき \(f'\) は (0CHF) によりエタールであり、 (0CH7) により普遍的単射なので、 \(f'\) は開埋め込みである。Morphisms of Spaces, Lemma 05W5 を参照せよ。 この補題を使わず、まず (0CGY) を用いて スキームの場合に帰着することもできる。

(0CH0) の場合。場合 (0CH1) と (0CH6) から従う。

(0CH4) の場合。Lemma 09ZY を参照せよ。

(0CH5) の場合。\(f\) は単射であると仮定する。 対角射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) を考える。 \(\Delta_{X'/Y'}\) の \(B \to B'\) による基底変換は \(\Delta_{X/Y}\) であり、 仮定により同型である。(0CH0) により \(\Delta_{X'/Y'}\) は同型であり、したがって \(f'\) は単射である。

(0CH8) の場合。Lemma 09ZY を参照せよ。

(0CHG) の場合。Lemma 0BPJ を参照せよ。

(0CHH) の場合。Lemma 0BPJ を参照せよ。

(0CHI) の場合。 \(f\) は有限局所自由であると仮定する。 (0CHH) により \(f'\) は有限である。 (0CGZ) により \(f'\) は平坦である。

また Morphisms of Spaces, Lemma 05WT により、 \(f'\) は局所有限表示である。したがって Morphisms of Spaces, Lemma 0416 により \(f'\) は有限局所自由である。

形式的に滑らかな射

この節では、代数空間の形式的に滑らかな射 \(X \to Y\) の概念を導入する。 このような射は、\(T\) がアフィンであるとき、\(X\) の \(T\) 値点が \(T\) の 無限小肥厚化へ持ち上がるという性質によって特徴づけられる。 主結果は、形式的に滑らかかつ局所有限表示な射が滑らかであるというものである。 Lemma 04AM を参照せよ。この判定法はしばしば ヤコビ判定法より使いやすいことが分かる。

定義

\(S\) をスキームとする。代数空間の射 \(f : X \to Y\) が \(S\) 上で 形式的に滑らかであるとは、Definition 049S の意味で、 関手の変換として形式的に滑らかであることをいう。

形式的非分岐射および形式的エタール射の場合には、\(T'\) がアフィンであるという 条件を取り除けた。Lemmas 05ZY and 0611 を参照せよ。形式的に滑らかな射の場合、 これはもはや正しくない。実際、もう少し自然な条件は、\(T'\) 上エタール局所的に 点線矢印を補えることだろう。Lemma 04AM の証明を 分析すると、これは現在の定義と同値になることが分かる。また、\(T'\) 上 fppf 局所的に点線矢印の存在を要求しても十分であるが、その証明は少し難しい。

Section 04G3 で、より一般の 形式的に滑らかな関手の変換について証明した結果はここでは再掲しない。

補題

形式的に滑らかな射の合成は形式的に滑らかである。

証明

省略する。

補題

形式的に滑らかな射の基底変換は形式的に滑らかである。

証明

省略する。ただし代数版については Algebra, Lemma 00TJ を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。このとき \(f\) が形式的エタールであることと、 \(f\) が形式的に滑らかかつ形式的非分岐であることは同値である。

証明

省略する。

次は Lemma 061K によって後に置き換えられる補助補題である。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の射について考える。縦の矢印がエタールで、 \(f\) が形式的に滑らかならば、 \(\psi\) は形式的に滑らかである。

証明

Lemma 04AL により、射 \(U \to X\) と \(V \to Y\) は形式的エタールである。Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的に滑らかである。Lemma 04G5 により、\(\psi : U \to V\) は形式的に 滑らかである。

次の補題がこの節の主結果である。Limits of Spaces, Proposition 04AK と組み合わせると、代数空間の射 \(f : X \to Y\) が滑らかかどうかを、 関手の変換 \(X \to Y\) の「単純な」性質で認識できることが従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は滑らかである。

2. 射 \(f\) は局所有限表示かつ形式的に滑らかである。

証明

\(f : X \to S\) は局所有限表示かつ形式的に滑らかであると仮定する。 可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールかつ全射であるものを 考える。Lemma 061H により \(\psi : U \to V\) は形式的に滑らかである。Morphisms of Spaces, Lemma 0410 により、射 \(\psi\) は 局所有限表示である。したがってスキームの場合により射 \(\psi\) は滑らかである。 More on Morphisms, Lemma 02H6 を参照せよ。したがって \(f\) は滑らかである。Morphisms of Spaces, Lemma 03ZF を参照せよ。

逆に、\(f : X \to Y\) は滑らかであると仮定する。Definition 060G にあるような実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。点線矢印が存在することを示し、それによって \(f\) が形式的に 滑らかであることを証明する。\(\mathcal{F}\) を Lemma 061A の \((T')_{spaces, \etale}\) 上の集合の層とし、ここでは Remark 061D で論じた特別な場合を考える。また \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] を \(\mathcal{O}_T\) 加群の層として \(T_{spaces, \etale}\) 上に考え、Lemma 061C の作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) を備えるものとする。 この作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は \(\mathcal{F}\) を擬 \(\mathcal{H}\) トーサーにする。Cohomology on Sites, Definition 03AH を参照せよ。 目標は \(\mathcal{F}\) が自明な \(\mathcal{H}\) トーサーであることを示すことである。 二つの段階がある。(I) \(\mathcal{F}\) がトーサーであることを示すには、 \(\mathcal{F}\) がエタール局所的に切断をもつことを示さなければならない。 (II) \(\mathcal{F}\) が自明なトーサーであることを示すには \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\) を示せば十分である。Cohomology on Sites, Lemma 03AJ を参照せよ。

まず (I) を証明する。そのため可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールかつ全射であるものを 選ぶ。\(f\) は滑らかと仮定したので \(\psi\) は滑らかであり、したがって Lemma 04AL により形式的に 滑らかである。同じ補題により射 \(V \to Y\) は形式的エタールである。 したがって Lemma 049T により合成 \(U \to Y\) は形式的に滑らかである。このとき (I) は Lemma 04CY part (4) から従う。

最後に (II) を証明する。Lemma 05ZF により

\(\Omega_{X/S}\) は有限表示である。したがって \(a^*\Omega_{X/S}\) は有限表示である （Properties of Spaces, Section 05VR を参照）。したがって層 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\) は準連接である。Properties of Spaces, Lemma 03M1 を参照せよ。 ゆえに Descent, Proposition 03DW および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB により、望みどおり \[H^1(T_{spaces, \etale}, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T, \mathcal{H}) = 0\] である。

滑らかな射は強い局所持上げ性質を満たす。Lemma 0CHJ を参照せよ。この補題で \(T'\) がアフィンであると 仮定した場合、エタール被覆を取る必要があるかどうかは分からない。 より正確には、代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{..>}[lu] }\] で、\(X \to Y\) が滑らかで \(T \to T'\) がアフィンスキームの肥厚化であるものが 与えられたとき、図式を可換にする点線矢印は常に存在するだろうか。

答え、または参考文献を知っている場合は stacks.project@gmail.com まで連絡されたい。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] }\] を \(S\) 上の代数空間について考える。ここで \(X \to Y\) は滑らかで、 \(T \to T'\) は肥厚化である。このときエタール被覆 \(\{T'_i \to T'\}\) が存在し、図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] & T \times_{T'} T'_i \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] & T'_i \ar[l] \ar@{..>}[llu] }\] を可換にする点線矢印を、すべての \(i\) に対して見つけることができる。

証明

エタール被覆 \(\{Y_i \to Y\}\) で、各 \(Y_i\) がアフィンであるものを選ぶ。 \(T'\) を誘導されるエタール被覆で置き換えると、\(Y\) はアフィンであるとしてよい。

\(Y\) はアフィンであると仮定する。エタール被覆 \(\{X_i \to X\}\) を選ぶ。 これは \(T\) のエタール被覆を生じる。この \(T\) のエタール被覆は \(T'\) の エタール被覆から来る（Theorem 05ZH および Section 05ZJ の議論を参照）。したがって \(X\) は アフィンであるとしてよい。

\(X\) と \(Y\) はアフィンであると仮定する。\(T'\) のエタール被覆をもう一度取り、 \(T'\) はアフィンであるとしてよい。この場合、補題は Algebra, Lemma 07K4 から従う。

形式的に滑らかであることが始域上エタール局所的であることを示すため、 もう少し準備をする。まず、形式的に滑らかな射の微分の層が良い性質をもつことを 示す。局所射影的な準連接加群の概念は Properties of Spaces, Section 060P で定義されている。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の 形式的に滑らかな射とする。このとき \(\Omega_{X/Y}\) は \(X\) 上局所射影的である。

証明

図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がアフィン（！）スキームであり、縦の矢印がエタールであるものを 選ぶ。Lemma 061H により \(\psi : U \to V\) は形式的に滑らかである。したがって \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は 形式的に滑らかな環準同型である。More on Morphisms, Lemma 02H4 を参照せよ。ゆえに Algebra, Lemma 031I により、 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) 加群 \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) は射影的である。したがって \(\Omega_{U/V}\) は局所射影的である。 Properties, Section 05JN を参照せよ。 \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\) なので、\(\Omega_{X/Y}\) も局所射影的である。 （\(X\) のエタール被覆を、上のような図式に入るアフィンな \(U\) たちによって 見つけられるためである—詳細は省略する。）

補題

\(T\) をアフィンスキームとする。\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_T\) 加群で、\(T_\etale\) 上にあるものとする。内部 Hom 層 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) を \(T_\etale\) 上で考える。\(\mathcal{F}\) が局所射影的ならば \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\) である。

証明

代数空間上の局所射影的な層の定義（Properties of Spaces, Definition 060R を参照）により、 \(\mathcal{F}_{Zar} = \mathcal{F}|_{T_{Zar}}\) はスキーム \(T\) 上の 局所射影的な層である。したがって \(\mathcal{F}_{Zar}\) は自由な \(\mathcal{O}_{T_{Zar}}\) 加群の直和因子である。そこで \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}_{Zar})^a\) であること（Descent, Proposition 03DX を参照）から、 \(\mathcal{F}\) は自由な \(\mathcal{O}_T\) 加群の直和因子として \(T_\etale\) 上にあると 結論する。したがって \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\) が 自由加群であると仮定してよい。この場合 \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\) は準連接加群の積である。 Cohomology on Sites, Lemma 060L により、アフィンスキーム上の 準連接層のコホモロジーは零なので \(H^1 = 0\) と結論する。Descent, Proposition 03DW および Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的に滑らかである。

2. 任意の図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキームであり、縦の矢印がエタールであるものに対して、 スキームの射 \(\psi\) は形式的に滑らかである（More on Morphisms,

   Definition 02H8 の意味で）。

3. 全射な縦の矢印をもつこのような図式が一つ存在し、その図式における射 \(\psi\) が形式的に滑らかである。

証明

Lemma 061H で、(1) が (2) と (3) を含意することを 見た。(3) を仮定する。\(f\) が形式的に滑らかであることの証明は、Lemma 04AM の (1) \(\Rightarrow\) (2) の証明と まったく同様である。

Definition 060G にあるような実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。点線矢印が存在することを示し、それによって \(f\) が形式的に 滑らかであることを証明する。\(\mathcal{F}\) を Lemma 061A の \((T')_{spaces, \etale}\) 上の集合の層とし、ここでは Remark 061D で論じた特別な場合を考える。 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] を \(\mathcal{O}_T\) 加群の層として \(T_{spaces, \etale}\) 上に考え、Lemma 061C の作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) を備えるものとする。 この作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) は \(\mathcal{F}\) を擬 \(\mathcal{H}\) トーサーにする。Cohomology on Sites, Definition 03AH を参照せよ。目標は \(\mathcal{F}\) が自明な \(\mathcal{H}\) トーサーであることを示すことである。 二つの段階がある。(I) \(\mathcal{F}\) がトーサーであることを示すには、 \(\mathcal{F}\) がエタール局所的に切断をもつことを示さなければならない。 (II) \(\mathcal{F}\) が自明なトーサーであることを示すには \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\) を示せば十分である。Cohomology on Sites, Lemma 03AJ を参照せよ。

まず (I) を証明する。そのため、(3) を仮定しているので存在する図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] を考える。ここで \(U\) と \(V\) はスキーム、縦の矢印はエタールかつ全射であり、 \(\psi\) は形式的に滑らかである。Lemma 04AL により、射 \(V \to Y\) は 形式的エタールである。したがって Lemma 049T により、合成 \(U \to Y\) は形式的に滑らかである。このとき (I) は Lemma 04CY part (4) から従う。

最後に (II) を証明する。Lemma 061I により、

\(\Omega_{U/V}\) は局所射影的である。したがって \(\Omega_{X/Y}\) は 局所射影的である。Descent on Spaces, Lemma 060Y を参照せよ。 ゆえに \(a^*\Omega_{X/Y}\) は局所射影的である。Properties of Spaces, Lemma 060S を参照せよ。したがって

\[H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'}) = 0\] である。Lemma 061J により、これで示された。

補題

性質 \(\mathcal{P}(f) =\)「\(f\) は形式的に滑らかである」は基底上 fpqc 局所的である。

証明

\(f : X \to Y\) をスキーム \(S\) 上の代数空間の射とする。添字集合 \(I\) と図式 \[\xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r]_{\psi_i} & V_i \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] を選び、縦の矢印はエタール、\(U_i\) と \(V_i\) はアフィンスキームであるとする。 さらに \(\coprod U_i \to X\) と \(\coprod V_i \to Y\) は全射であると仮定する。 Properties of Spaces, Lemma 03FX を参照せよ。Lemma 061K により、\(f\) が形式的に滑らかであることと、各射

\(\psi_i\) が形式的に滑らかであることは同値である。したがってアフィンスキームの 射の場合に帰着する。この場合、結果は Algebra, Lemma 06CM から従う。いくつかの詳細は省略する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の 代数空間の射とする。\(f\) が形式的に滑らかであると仮定する。このとき \[0 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] という Lemma 05Z8 の列は短完全である。

証明

エタール局所化によりスキームの場合から従う。More on Morphisms, Lemma 06B6 と、Lemmas 061K and 04CU を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとし、\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(h : Z \to X\) を \(B\) 上の代数空間の形式的非分岐射とする。 \(Z\) が \(B\) 上形式的に滑らかであると仮定する。このとき標準完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] は短完全である。Lemma 060F を参照せよ。

証明

\(Z \to Z'\) を、\(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化とする。Lemma 060F の証明から、上の列は \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/B} \to 0.\] と同一視される。

\(Z \to S\) は形式的に滑らかなので、\(Z'\) 上エタール局所的に射 \(Z' \to Z\) を \(B\) 上で見つけられ、これは包含写像 \(Z \to Z'\) の左逆である。 したがって列は エタール局所的に分裂する。Lemma 05ZB を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] を \(S\) 上の代数空間について考える。ここで \(i\) と \(j\) は形式的非分岐、 \(f\) は形式的に滑らかである。 このとき標準完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] は完全かつ局所的に分裂する。Lemma 06BE を参照せよ。

証明

\(Z \to Z'\) を、\(Z\) の \(X\) 上の普遍一次肥厚化とする。 \(Z \to Z''\) を、\(Z\) の \(Y\) 上の普遍一次肥厚化とする。Lemma 060F により、標準射

\(Z' \to Z''\) が存在し、可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] を得る。上の列は、形式的非分岐射の余法層に関する定義により、列 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] と同一視される。\(U'' \to Z''\) を \(U''\) がアフィンであるようなエタール射とする。 \(U \to Z\) および \(U' \to Z'\) を、それぞれ \(Z\) および \(Z'\) 上エタールな 対応するアフィンスキームとする。\(f\) は形式的に滑らかなので、射 \(h : U'' \to X\) で、\(i\) と \(U\) 上で一致し、\(f \circ h\) が \(b|_{U''}\) に等しい ものが存在する。\(Z'\) は普遍一次肥厚化なので、一意な射

\(g : U'' \to Z'\) で \(g = a \circ h\) を満たすものを得る。\(Z''\) の普遍性により、 \(k \circ g\) は包含写像 \(U'' \to Z''\) である。したがって \(g\) は \(k\) の左逆である。 図式で表すと \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] となる。したがって \(g\) は写像 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\) を誘導し、これは \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) の \(U\) 上での左逆である。

ネーター基底上の滑らかさ

この節は More on Morphisms, Section 02HW に対応するものである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とし、 \(x \in |X|\) とする。\(Y\) は局所ネーター的で、\(f\) は局所有限型であると仮定する。 次は同値である。

1. \(f\) は \(x\) で滑らかである。

2. 任意の実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] で、\(B' \to B\) が局所環の全射、\(\Ker(B' \to B)\) の平方が零であり、 \(\alpha\) が \(\Spec(B)\) の閉点を \(x\) に写すものに対して、図式を可換にする

   点線矢印が存在する。

3. (2) と同じ。ただし \(B' \to B\) は小拡大全体を動くものとする （Algebra, Definition 02HS を参照）。

証明

条件 (1) は、開部分空間 \(X' \subset X\) で \(X' \to Y\) が滑らかなものが 存在することを意味する。したがって Lemma 04AM により、(1) は条件 (2) と (3) を含意する。 条件 (2) が条件 (3) を含意することは明らかである。(3) を仮定する。 可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ Y & V \ar[l] }\] で、\(U\) と \(V\) がアフィン、横の矢印がエタールであり、点 \(u \in U\) で \(x\) に写るものが存在する図式を選ぶ。次に、図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} }\] を、\(u \in U \to V\) に対する (3) のような図式として考える。矢印 \(\gamma : \Spec(B') \to X\) を、(3) が \(X\) に対して成り立つという仮定から 得られるものとする。\(U \to X\) はエタール、したがって形式的エタールなので （Lemma 0616）、射 \(\gamma\) は \(U\) への一意な 持上げで \(\alpha\) と両立するものをもつ。さらに \(V \to Y\) はエタール、 したがって形式的エタールなので、この持上げは \(\beta\) と両立する。 ゆえに (3) は \(u \in U \to V\) に対して成り立ち、More on Morphisms, Lemma 02HX により \(U \to V\) は \(u\) で滑らかであると結論する。これにより \(X \to Y\) は \(x\) で滑らかであり、証明が完了する。

小拡大に対する持上げ判定法を、有限型の点を「中心」とする場合だけ確認すれば よいことが役立つ場合がある。Morphisms of Spaces, Section 06EE を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(Y\) は局所ネーター的で、\(f\) は局所有限型であると仮定する。次は同値である。

1. \(f\) は滑らかである。

2. 任意の実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] で、\(B' \to B\) がアルティン局所環の小拡大であり、\(\beta\) が有限型（！）で あるものに対して、図式を可換にする点線矢印が存在する。

証明

\(f\) が滑らかならば、無限小持上げ判定法（Lemma 04AM）により \(f\) は形式的に滑らかであり、 (2) が成り立つ。

\(f\) が滑らかでないと仮定する。点 \(x \in X\) で \(f\) が滑らかでないもの全体は、 閉部分集合 \(T\) を \(|X|\) の中になす。Morphisms of Spaces, Lemma 06EK により、点 \(x \in T \subset X\) で \(x \in X_{\text{ft-pts}}\) であるものが存在する。 可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & u \ar@{|->}[d] \\ Y & V \ar[l] & v }\] で、\(U\) と \(V\) がアフィン、横の矢印がエタールであり、点 \(u \in U\) で \(x\) に写るものが存在する図式を選ぶ。このとき \(u\) は \(U\) の有限型の点である。 \(U \to V\) は点 \(u\) で滑らかでないから、More on Morphisms, Lemma 02HX により図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] で、\(B' \to B\) が（アルティン）局所環の小拡大、\(B\) の剰余体が \(\kappa(v)\) に等しく、点線矢印が存在しないものがある。\(U \to V\) は有限型なので、 \(v\) は \(V\) の有限型の点である。Morphisms, Lemma 02HV により、射 \(\beta\) は有限型であり、

したがって合成 \(\Spec(B) \to Y\) も有限型である。Lemma 0APN の証明とまったく同じ議論 （\(U \to X\) と \(V \to Y\) はエタール、したがって形式的エタールであることを 用いる）により、最後に表示した図式の外側の長方形に入る矢印

\(\Spec(B) \to X\) は存在しえない。言い換えれば (2) は成り立たず、証明は完了する。

有用な応用を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限型で、\(Y\) は局所ネーター的であると仮定する。 \(Z \subset Y\) を閉部分空間とし、その第 \(n\) 無限小近傍を \(Z_n \subset Y\) とする。 \(X_n = Z_n \times_Y X\) とおく。

1. \(X_n \to Z_n\) がすべての \(n\) に対して滑らかならば、\(f\) は \(f^{-1}(Z)\) のすべての点で滑らかである。

2. \(X_n \to Z_n\) がすべての \(n\) に対してエタールならば、\(f\) は \(f^{-1}(Z)\) のすべての点でエタールである。

証明

\(X_n \to Z_n\) がすべての \(n\) に対して滑らかであると仮定する。 \(x \in X\) を \(Z\) の点の上にある点とする。Lemma 0APN part (3) にあるような小拡大 \(B' \to B\) と射 \(\alpha\), \(\beta\) が与えられたとする。\(B'\) の極大イデアルは 冪零である（\(B'\) はアルティン環だから）。したがって、射 \(\beta\) は \(Z_n\) を 経由し、\(\alpha\) は \(X_n\) を経由するような適当な \(n\) が存在する。ゆえに \(X_n \to Z_n\) の持上げ性質を使えば、図式に必要な点線矢印を得る。 これで (1) が示された。(2) は (1) と、射がエタールであることと相対次元 \(0\) の滑らかな射であることが同値であるという事実から従う。

素朴な余接複体

この節は Modules on Sites, Section 08TT の続きであり、さらにこれは Algebra, Section 00S0 の議論の続きである。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) の素朴な余接複体とは、環付きトポスの射 \(f_{small}\)、すなわち \(X\) と \(Y\) の小エタールサイトの間の射に対して Modules on Sites, Definition 08U0 で定義される 複体である。Properties of Spaces, Lemma 03G8 を参照せよ。記法は \(\NL_f\) または \(\NL_{X/Y}\) とする。

次の補題群は、この定義が環準同型およびスキームに対する定義と両立し、 \(\NL_{X/Y}\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) の対象であることを示す。

補題

\(S\) をスキームとする。可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] を \(S\) 上の代数空間について考え、\(p\) と \(q\) はエタールであるとする。 このとき標準的な同一視 \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\) が \(D(\mathcal{O}_U)\) において存在する。

証明

素朴な余接複体の構成は引き戻しと可換であり（Modules on Sites, Lemma 08TZ）、 \(p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U\) および \(g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\) が成り立つ。後者は \(q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}\) が Properties of Spaces, Lemma 03LV により成り立つためである。 定義をたどると \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\) と結論する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(X\) と \(Y\) はそれぞれスキーム \(X_0\) と \(Y_0\) によって表現可能であると仮定する。 このとき標準的な同一視 \(\NL_{X/Y} = \epsilon^*\NL_{X_0/Y_0}\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) において存在する。ここで \(\epsilon\) は Derived Categories of Spaces, Section 071P におけるものとし、 \(\NL_{X_0/Y_0}\) は More on Morphisms, Definition 0D0H におけるものとする。

証明

\(f_0 : X_0 \to Y_0\) を \(f\) に対応するスキームの射とする。標準写像 \(\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\) が存在し、これは \(\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X\) と両立する。実際、可換図式 \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] がある。Derived Categories of Spaces, Remark 08GH を参照せよ。したがって、 素朴な余接複体の関手性により標準写像 \[\epsilon^{-1}\NL_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}\NL_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = \NL_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \to \NL_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = \NL_{X/Y}\] を得る。誘導される写像 \(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0} \to \NL_{X/Y}\) が \(D(\mathcal{O}_X)\) において同型であることは、幾何学的点における茎で確認して よい（Properties of Spaces, Theorem 04K5）。幾何学的点 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X_0\) が \(x \in X_0\) の上にあり、

\(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) が \(y \in Y_0\) の上にあるとする。このとき \[\NL_{X/Y, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] である。これは \(\overline{x}\) における茎を取ることが、 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) による逆像を取ることと同じであり、Modules on Sites, Lemma 08TZ を適用できるためである。 一方、 \[(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = \NL_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] である。いくつかの詳細は省略する（ヒント：引き戻しの茎が像点における茎で あることについて Sites, Lemma 05V1 を用い、 加群についての対応する結果として Modules on Sites, Lemma 05V5 も用いる）。 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{X_0, x}\) の狭義ヘンゼル化であり、 \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) についても同様であることに注意せよ （Properties of Spaces, Lemma 04KF）。したがって結果は More on Algebra, Lemma 0D08 から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 複体 \(\NL_{X/Y}\) のコホモロジー層は準連接であり、次数 \(-1\), \(0\) 以外では 零で、\(\Omega_{X/Y}\) に次数 \(0\) で等しい。

証明

Modules on Sites, Section 08TT における 素朴な余接複体の構成により、\(\NL_{X/Y}\) は次数 \(-1\), \(0\) に位置する複体であり、 次数 \(0\) のコホモロジーは \(\Omega_{X/Y}\) である（Section 04CR における \(\Omega_{X/Y}\) の構成による）。 微分の層は準連接である（Lemma 04CV）。証明を終えるには \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\) が準連接であることを示せば十分である。これはエタール 局所的に確認することで従う（Lemma 0D0W および Properties of Spaces, Lemma 03M0 により許される）。 まずスキームの場合へ帰着し（Lemma 0D0X）、最後にスキームの場合の結果 （More on Morphisms, Lemma 0D0J）を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が局所有限表示ならば、\(\NL_{X/Y}\) は \(X\) 上エタール局所的に、準同型 \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] からなる準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群の複体と擬同型であり、 \(\mathcal{F}^0\) は有限表示、\(\mathcal{F}^{-1}\) は有限型である。

証明

Lemma 0D0W により、素朴な余接複体の構成は エタール局所化と可換である。Lemma 0D0X によりスキームの場合へ帰着する。 スキームの場合の結果は More on Morphisms, Lemma 0D0K である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は形式的に滑らかである。

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) であり、 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) は局所射影的である。

証明

Lemma 061K, Lemma 0D0W, Lemma 0D0X、およびスキームの場合である More on Morphisms, Lemma 0D0L から従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\) である。

証明

(1) を仮定する。形式的エタール射は形式的に滑らかな射である。したがって \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) である。Lemma 0D10 を参照せよ。一方、形式的エタール射は

形式的非分岐であるから、\(\Omega_{X/Y} = 0\) である。Lemma 04G9 を参照せよ。逆に (2) が成り立つならば、 \(f\) は Lemma 0D10 により形式的に滑らかであり、 Lemma 04G9 により形式的非分岐である。 したがって Lemmas 061G により形式的 エタールである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は滑らかである。

2. \(f\) は局所有限表示であり、\(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) で、 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) は有限局所自由である。

証明

Lemma 061K, Lemma 0D0W, Lemma 0D0X、およびスキームの場合である More on Morphisms, Lemma 0D0N から従う。

平坦軌跡の開性

この節は More on Morphisms, Section 0398 に対応する。代数空間上の準連接加群の 平坦性という概念は Morphisms of Spaces, Section 05VT で定義したことに注意せよ。

定理

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。\(f\) は局所有限表示であり、 \(\mathcal{F}\) は局所有限表示な \(\mathcal{O}_X\) 加群であると仮定する。このとき \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ is flat over }Y\text{ at }x\}\] は \(|X|\) の開集合である。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^a & Y }\] で、\(U\), \(V\) がスキーム、\(p\), \(q\) が全射かつエタールであるものを選ぶ。 Spaces, Lemma 02X1 を参照せよ。 More on Morphisms, Theorem 0399 により、集合 \(U' = \{u \in |U| : p^*\mathcal{F}\text{ is flat over }V\text{ at }u\}\) は \(U\) で開である。Morphisms of Spaces, Definition 05VV により、\(U'\) の \(|X|\) における像は 定理の集合である。写像 \(|U| \to |X|\) は開なので、これで示された。 Properties of Spaces, Lemma 03BX を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。カルテジアン図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間について考える。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 \(g\) は平坦、\(f\) は局所有限表示、\(\mathcal{F}\) は局所有限表示であると仮定する。 このとき \[\{x' \in |X'| : (g')^*\mathcal{F}\text{ is flat over }Y'\text{ at }x'\}\] は Theorem 05WV の開部分集合の、連続写像 \(|g'| : |X'| \to |X|\) による逆像である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 05VW から従う。

ファイバーによる平坦性判定法

\(S\) をスキームとする。\(S\) 上の代数空間の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h \\ & Z }\] と準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群 \(\mathcal{F}\) を考える。点 \(x \in |X|\) が 与えられたとき、\(\mathcal{F}\) が \(Y\) 上 \(x\) で平坦かどうかを問題にする。 \(\mathcal{F}\) が \(Z\) 上 \(x\) で平坦ならば、下の定理はこの問いが、 \(\mathcal{F}\) の \(X \to Z\) の \(g(x)\) 上のファイバーへの制限が \(Y \to Z\) の \(g(x)\) 上のファイバー上で平坦かどうかという問いと密接に関係する ことを述べる。これを意味づけるため、次の準備的な補題を与える。

補題

上の状況で次は同値である。

1. 幾何学的点 \(\overline{x}\) を \(X\) 上で選び、\(x\) の上にあるものとする。 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) および \(\overline{z} = g \circ \overline{x}\) とおく。このとき加群 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}}\) は \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) 上平坦である。

2. 射 \(x : \Spec(K) \to X\) を選び、\(x\) の同値類に属するものとする。 \(z = g \circ x\), \(X_z = \Spec(K) \times_{z, Z} X\), \(Y_z = \Spec(K) \times_{z, Z} Y\) とおき、\(\mathcal{F}_z\) を \(\mathcal{F}\) の \(X_z\) への引き戻しとする。このとき \(\mathcal{F}_z\) は \(x\) で \(Y_z\) 上平坦である（Morphisms of Spaces, Definition 05VV の意味で）。

3. 可換図式 \[\xymatrix{ & & & U \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h & & W \ar[llld]_c \\ & Z }\] を選ぶ。ここで \(U, V, W\) はスキーム、\(a, b, c\) はエタールで、点 \(u \in U\) は \(x\) に写るものとする。\(w \in W\) を \(u\) の像とする。 \(\mathcal{F}_w\) を \(\mathcal{F}\) のファイバー \(U_w\) への引き戻しとする。 このファイバーは \(U \to W\) の \(w\) におけるものである。このとき \(\mathcal{F}_w\) は \(V_w\) 上 \(u\) で平坦である。

証明

(2) において射 \(x : \Spec(K) \to X\) は \(K\) 有理点を \(X_z\) 上に定めるので、 主張は意味をもつことに注意せよ。さらに (2) の条件は、\(\Spec(K) \to X\) の 選び方で \(x\) の同値類に属するものの間では変わらない（詳細は省略する。ほかの条件はこの選択に 依存しないので、これは下の議論からも従う）。また (3) のような図式は常に次の ように選べる。まずスキーム \(W\) と全射エタール射 \(W \to Z\) を選び、次に スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to W \times_Z Y\) を選び、最後に スキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to V \times_Y X\) を選ぶ。これらを選んだ後、 \(U \to W\) を合成 \(U \to V \to W\) と等しくおき、点 \(u \in U\) で \(x\) に写るものを 選べる。実際、射 \(U \to X\) は全射である。

(3) のような図式と (1) のような幾何学的点 \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) の双方が与えられたとする。Properties of Spaces, Lemma 05VN により、幾何学的点 \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) を \(u\) の上で選び、 \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\) を満たすようにできる。 \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\) および \(\overline{w} : \Spec(k) \to W\) を、それぞれ \(V\) および \(W\) の誘導される 幾何学的点とする。この状況では \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) であり、\(Y\) と \(Z\) に ついても同様である。Properties of Spaces, Lemma 04KF を参照せよ。同様に \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] である。Properties of Spaces, Lemma 05VP を参照せよ。 \(\mathcal{F}_w\) の \(u\) における茎は \[(\mathcal{F}_w)_u = (a^*\mathcal{F})_u/\mathfrak m_w(a^*\mathcal{F})_u\] で与えられ、\(V_w\) の \(v\) における局所環は \[\mathcal{O}_{V_w, v} = \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}.\] で与えられる。また \(\mathfrak m_{\overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{Z, \overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{W, w}^{sh}\) なので、 \[\begin{align*} \mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}} & = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U_w, \overline{u}}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_{\overline{u}} \end{align*}\] を得る。最後から二番目の等号は Algebra, Lemma 05WS により、最後の等号は Properties of Spaces, Lemma 05VP による。\(V\) と \(Y\) の構造層に 同じ議論を適用すると \[\mathcal{O}_{V_w, \overline{v}}^{sh} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}/\mathfrak m_w \mathcal{O}_{V, v}^{sh} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}.\] となる。ここで Morphisms of Spaces, Lemma 05VU を用いると、(1) と (3) が同値であると 分かる。

最後に (2) と (3) の同値性を証明する。そのため体拡大 \(\tilde K\) を \(K\) 上で取り、 射 \(\tilde x : \Spec(\tilde K) \to U\) で \(u\) の上にあるものを選ぶ （\(u \times_{X, x} \Spec(K)\) は空でないスキームなので可能である）。

\(\tilde z : \Spec(\tilde K) \to U \to W\) をその合成とする。可換図式 \[\xymatrix{ & & & U_w \times_w \tilde z \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V_w \times_w \tilde z \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X_z \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y_z \ar[dl]^h & & \tilde z \ar[llld]_c \\ & z }\] を得る。ここで \(z = \Spec(K)\) および \(w = \Spec(\kappa(w))\) である。 \(\mathcal{F}_w\) と \(\mathcal{F}_z\) は \(U_w \times_w \tilde z\) 上の同じ加群へ 引き戻されることが明らかである。これにより可換図式 \[\xymatrix{ X_z \ar[d] & U_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U_w \ar[d] \\ Y_z & V_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[r] & V_w }\] を得る。その二つの正方形はいずれもカルテジアンで、下の横矢印はいずれも 平坦である。左下の横矢印は、射 \(Y \times_Z \tilde z \to Y \times_Z z = Y_z\)（平坦射の基底変換）、エタール射 \(V \times_Z \tilde z \to Y \times_Z \tilde z\)、およびエタール射 \(V \times_W \tilde z \to V \times_Z \tilde z\) の合成である。したがって Morphisms of Spaces, Lemma 05VW により \[\mathcal{F}_z\text{ flat at }x\text{ over }Y_z \Leftrightarrow \mathcal{F}|_{U_w \times_w \tilde z} \text{ flat at }\tilde x\text{ over }V_w \times_w \tilde z \Leftrightarrow \mathcal{F}_w\text{ flat at }u\text{ over }V_w\] となり、証明が完了する。

定義

\(S\) をスキームとする。\(X \to Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。\(x \in |X|\) を点とし、 その像を \(z \in |Z|\) と書く。

1. Lemma 05WY の同値な条件が満たされるとき、 \(\mathcal{F}\) の \(z\) 上のファイバーへの制限は、\(x\) で、\(Y\) の \(z\) 上の ファイバー上平坦であるという。

2. \(X\) の \(z\) 上のファイバーは、\(x\) で、\(Y\) の \(z\) 上の ファイバー上平坦であるとは、Lemma 05WY の同値な条件が \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\) に対して成り立つことをいう。

3. \(X\) の \(z\) 上のファイバーは \(Y\) の \(z\) 上のファイバー上平坦である とは、すべての \(x \in |X|\) で \(z\) の上にあるものに対して、\(X\) の \(z\) 上の ファイバーが \(x\) で \(Y\) の \(z\) 上のファイバー上平坦であることをいう

この定義を用いると判定法を次のように述べられる。ネーター版は Section 08VN にある。

定理

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の 代数空間の射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 次を仮定する。

1. \(X\) は \(Z\) 上局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示な \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

3. \(Y\) は \(Z\) 上局所有限型である。

\(x \in |X|\) とし、\(y \in |Y|\) および \(z \in |Z|\) を \(x\) の像とする。 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\) ならば、次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は \(Z\) 上 \(x\) で平坦であり、\(\mathcal{F}\) の \(z\) 上の ファイバーへの制限は、\(x\) で \(Y\) の \(z\) 上のファイバー上平坦である。

2. \(Y\) は \(Z\) 上 \(y\) で平坦であり、\(\mathcal{F}\) は \(Y\) 上 \(x\) で平坦である。

さらに、(1) と (2) が成り立つ点 \(x\) の集合は \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) で開である。

証明

Lemma 05WY part (3) のような図式を選ぶ。 定義から、これはスキームの射 \(U \to V \to W\)、準連接層 \(a^*\mathcal{F}\)、および点 \(u \in U\) に対する対応する定理へ帰着する。 したがって定理はスキームの場合の対応する結果、すなわち More on Morphisms, Theorem 039C から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の 代数空間の射とする。次を仮定する。

1. \(X\) は \(Z\) 上局所有限表示である。

2. \(X\) は \(Z\) 上平坦である。

3. すべての \(z \in |Z|\) に対して、\(X\) の \(z\) 上のファイバーは \(Y\) の \(z\) 上のファイバー上平坦である。

4. \(Y\) は \(Z\) 上局所有限型である。

このとき \(f\) は平坦である。さらに \(f\) が全射ならば、\(Y\) は \(Z\) 上平坦である。

証明

Theorem 05X0 の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の 代数空間の射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。 次を仮定する。

1. \(X\) は \(Z\) 上局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示な \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(Z\) 上平坦である。

4. \(Y\) は \(Z\) 上局所有限型である。

このとき集合 \[A = \{x \in |X| : \mathcal{F} \text{ flat at }x \text{ over }Y\}.\] は \(|X|\) で開であり、その構成は任意の基底変換と可換である。すなわち、 \(Z' \to Z\) が代数空間の射であり、\(A'\) が \(X' = X \times_Z Z'\) の点で \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_Z Z'\) が \(Y' = Y \times_Z Z'\) 上平坦であるもの全体ならば、\(A'\) は \(A\) の連続写像 \(|X'| \to |X|\) による逆像である。

証明

一つの証明法は More on Morphisms, Lemma 039E の証明を代数空間の圏へ 移すことである。ここでは代わりにスキームの場合へ帰着して証明する。すなわち Lemma 05WY part (3) のような図式で、 \(a\), \(b\), \(c\) が全射であるものを選ぶ。定義から、これはスキームの射 \(U \to V \to W\)、準連接層 \(a^*\mathcal{F}\)、および点 \(u \in U\) に対する 対応する定理へ帰着する。注意すべき小さな点は、代数空間の射 \(Z' \to Z\) が 与えられたとき、スキーム \(W'\) と全射エタール射 \(W' \to W \times_Z Z'\) を選ぶことである。次に \(U' = W' \times_W U\) および \(V' = W' \times_W V\) とおく。 \(a', b', c'\) を \(U', V', W'\) から \(X', Y', Z'\) への射と書く。この場合、 \(A\) と \(A'\) はそれぞれ、\(U\) と \(U'\) の開部分集合で、 \(a^*\mathcal{F}\) と \((a')^*\mathcal{F}'\) に付随するものの像である。 これで実際に補題は More on Morphisms, Lemma 039E へ帰着する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の 代数空間の射とする。次を仮定する。

1. \(X\) は \(Z\) 上局所有限表示である。

2. \(X\) は \(Z\) 上平坦である。

3. \(Y\) は \(Z\) 上局所有限型である。

このとき集合 \[\{x \in |X| : X\text{ flat at }x \text{ over }Y\}.\] は \(|X|\) で開であり、その構成は任意の基底変換 \(Z' \to Z\) と可換である。

証明

Lemma 05X2 の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の局所有限表示な射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限表示な \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。\(x \in |X|\) とし、 その像を \(y \in |Y|\) とする。\(\mathcal{F}\) が \(x\) で \(Y\) 上平坦ならば、 次は同値である。

1. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) は平坦な \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\) 加群である。

2. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) は自由な \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\) 加群である。

3. \(\mathcal{F}_{\overline{y}}\) は \(\overline{x}\) の、 \(X_{\overline{y}}\) におけるエタール近傍上で有限自由である。

4. \(\mathcal{F}\) は \(x\) の、\(X\) におけるエタール近傍上で有限自由である。

ここで \(\overline{x}\) は \(X\) の幾何学的点で \(x\) の上にあり、 \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) である。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、\(U\) と \(V\) がスキーム、縦の矢印がエタールであり、点 \(u \in U\) で \(x\) に写るものが存在する図式を選ぶ。\(v \in V\) を \(u\) の像とする。 Lemma 05WY を \(\text{id} : X \to X\) に \(Y\) 上で適用すると、(1) は「\(\mathcal{F}|_{U_v}\) が \(U_v\) 上 \(u\) で平坦である」という条件へ移される。言い換えると、(1) は \((\mathcal{F}|_{U_v})_u\) が平坦な \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) 加群であることと 同値である。スキームの場合（More on Morphisms, Lemma 080Q）により、これは \(\mathcal{F}|_U\) が \(u\) のある開近傍上で有限自由であることを含意する。 これで (1) が (4) を含意することが分かる。(4) \(\Rightarrow\) (3) および (2) \(\Rightarrow\) (1) は明らかである。(3) \(\Rightarrow\) (2) には、 Properties of Spaces, Lemmas 04KF and 05VP における局所環と茎の記述を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の局所有限表示な射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限表示な \(\mathcal{O}_X\) 加群で \(Y\) 上平坦なものとする。 このとき集合 \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ free in an \'etale neighbourhood of }x\}\] は \(|X|\) で開であり、その構成は任意の基底変換 \(Y' \to Y\) と可換である。

証明

開性は明らかである。\(Y' \to Y\) を代数空間の射とし、 \(X' = Y' \times_Y X\) とおき、\(x' \in |X'|\) を \(x \in |X|\) の上の点とする。 Lemma 0CZS により、\(x\) が上の集合に属することと \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) が平坦な \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\) 加群であることは同値である。 同様に、\(x'\) が引き戻し \(\mathcal{F}'\)、すなわち \(\mathcal{F}\) の \(X'\) への 引き戻しに対する対応する集合に属することと \((\mathcal{F}'_{\overline{y}'})_{\overline{x}'}\) が平坦な \(\mathcal{O}_{X'_{\overline{y}'}, \overline{x}'}\) 加群であることは同値である （記法は明らかである）。この二つの主張は、Lemma 05WY を射 \(\text{id} : X \to X\) に \(Y\) 上で適用することにより同値である。したがって基底変換に 関する主張が成り立つ。

ネーター的基底上の平坦性

ネーターの場合の「ファイバーによる平坦性判定法」を述べる。

定理

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。次を仮定する：

1. \(X\), \(Y\), \(Z\) は局所ネーター的である。

2. \(\mathcal{F}\) は連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群である。

\(x \in |X|\) とし、\(y \in |Y|\) および \(z \in |Z|\) を \(x\) の像とする。 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\) ならば、次は同値である：

1. \(\mathcal{F}\) は \(Z\) 上 \(x\) で平坦であり、かつ \(\mathcal{F}\) の \(z\) 上のファイバーへの制限は \(x\) で、\(Y\) の \(z\) 上の ファイバーに対して平坦である。

2. \(Y\) は \(Z\) 上 \(y\) で平坦であり、かつ \(\mathcal{F}\) は \(Y\) 上 \(x\) で平坦である。

証明

Lemma 05WY の (3) にある図を選ぶ。 定義から、これはスキームの射 \(U \to V \to W\)、準連接層 \(a^*\mathcal{F}\)、および点 \(u \in U\) に対する対応する定理へ帰着する。 したがって、スキームに対する対応する結果である More on Morphisms, Theorem 039B から定理が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) および \(Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次を仮定する：

1. \(X\), \(Y\), \(Z\) は局所ネーター的である。

2. \(X\) は \(Z\) 上平坦である。

3. 任意の \(z \in |Z|\) に対し、\(X\) の \(z\) 上のファイバーは \(Y\) の \(z\) 上のファイバーに対して平坦である。

このとき \(f\) は平坦である。さらに \(f\) が全射ならば、\(Y\) は \(Z\) 上平坦である。

証明

これは Theorem 0APR の特別な場合である。

滑らかさを調べる場合とまったく同様に、基底がネーター的ならば、アルティン環上で 平坦性を調べれば十分である。その一例を述べる。

補題

\(A\) をネーター環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(X\) を \(S = \Spec(A)\) 上局所有限表示な代数空間とする。 \(n \geq 1\) に対して \(S_n = \Spec(A/I^n)\) および \(X_n = S_n \times_S X\) とおく。\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\) 加群とする。

任意の \(n \geq 1\) に対して、引き戻し \(\mathcal{F}_n\)、すなわち \(\mathcal{F}\) の \(X\) への引き戻しが \(S_n\) 上平坦ならば、

\(\mathcal{F}\) が \(X\) 上平坦である（開）軌跡は、\(V(I)\) の \(X \to S\) による逆像を含む。

証明

\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦である軌跡は、Theorem 05WV により \(|X|\) で開である。 主張は \(X\) をエタール被覆の各要素で置き換えても変わらないので、 \(X\) がアフィンスキームであると仮定してよい。この場合、結果は Algebra, Lemma 0523 から直ちに従う。 いくつかの詳細は省略する。

正規化再訪

正規化は滑らかな基底変換と可換である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の滑らかな射とする。 \(\mathcal{A}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\) 代数の層とする。 \(\mathcal{O}_Y\) の \(f^*\mathcal{A}\) における整閉包は \(f^*\mathcal{A}'\) に等しい。ここで \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) は \(\mathcal{O}_X\) の \(\mathcal{A}\) における整閉包である。

証明

整閉包の構成（Morphisms of Spaces, Definition 0821 を参照）により、これは直ちに \(X\) と \(Y\) がアフィンである場合へ帰着する。この場合、結果は Algebra, Lemma 03GG である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_1 \ar[d]^f \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] を \(S\) 上の代数空間のファイバー積の図式とする。\(f\) は準コンパクトかつ 準分離的であり、\(\varphi\) は滑らかであると仮定する。 \(Y_i \to X_i' \to X_i\) を \(X_i\) の \(Y_i\) における正規化とする。 このとき \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\) である。

証明

分解 \(Y_1 \to X_1' \to X_1\) の \(X_2\) への基底変換は

\(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\) という分解であり、 \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\) は整である （Morphisms of Spaces, Lemma 03ZS）。 したがって Morphisms of Spaces, Lemma 0823 の普遍性により射 \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\) を得る。 \(X_2'\) は \(\mathcal{O}_{X_2}\) の \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\) における整閉包の相対スペクトルであることに注意する。

\(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) が \(\mathcal{O}_{X_2}\) の整閉包を表すとすると、相対スペクトルの構成は任意の 基底変換と可換なので、\(X_2 \times_{X_1} X_1'\) は \(\varphi^*\mathcal{A}'\) の相対スペクトルである。Cohomology of Spaces, Lemma 073K により \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) である。 したがって結果は Lemma 082E から従う。

Cohen–Macaulay 射

これは More on Morphisms, Section 045Q の類似である。

補題

スキームの芽の射に関する性質 \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{ファイバーの局所環 } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{ がネーター的かつ Cohen--Macaulay である} \end{align*}\] は始域と終域の上でエタール局所的である（Descent, Definition 04NB）。

証明

Descent, Definition 04NB にある図式が与えられると、ファイバーのエタール射 \(U'_{v'} \to U_v\) で \(u'\) を \(u\) へ写すものを得る。Descent, Lemma 04NI を参照せよ。 したがって局所環 \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) と \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) の狭義ヘンゼル化は同じである。 More on Algebra, Lemma 06LM により結論を得る。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する （Divisors on Spaces, Definition 0CUX）。

1. \(x \in |X|\) とし、\(y = f(x)\) とする。\(f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay であるとは、\(f\) が \(x\) で平坦であり、 Morphisms of Spaces, Lemma 04NC の同値な条件が Lemma 0E0U に記述された性質 \(\mathcal{P}\) に対して 成り立つことをいう。

2. \(f\) が Cohen–Macaulay 射であるとは、\(f\) が \(X\) のすべての点で Cohen–Macaulay であることをいう。

次はスキームの場合からの移し替えである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する。次は同値である：

1. \(f\) は Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) は平坦であり、ある全射エタール射 \(V \to Y\) で \(V\) が スキームであるものに対し、\(X_V \to V\) のファイバーは Cohen–Macaulay 代数空間である。

3. \(f\) は平坦であり、任意のエタール射 \(V \to Y\) で \(V\) が スキームであるものに対し、\(X_V \to V\) のファイバーは Cohen–Macaulay 代数空間である。

\(x \in |X|\) を、像 \(y \in |Y|\) をもつ点とする。このとき次は同値である：

1. \(f\) は \(x\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は平坦であり、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は Cohen–Macaulay である。

証明

\(V \to Y\) を \(V\) がスキームであるようなエタール射とし、スキーム \(U\) と 全射エタール射 \(U \to X \times_Y V\) を選ぶ。可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を考える。\(u \in U\) とし、その像をそれぞれ \(x \in |X|\)、 \(y \in |Y|\)、\(v \in V\) とする。このとき \(f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay であることと \(U \to V\) が \(u\) で Cohen–Macaulay であることは（定義により）同値である。さらに射 \(U_v \to X_v = (X_V)_v\) は全射エタールである。したがってスキーム \(U_v\) が Cohen–Macaulay であることと、代数空間 \(X_v\) が Cohen–Macaulay であることは同値である。ゆえに (1), (2), (3) の同値性は、 スキームの射に対する対応する同値性 More on Morphisms, Lemma 045S から形式的な議論により従う。

(a) と (b) の同値性を証明する。平坦性について対応する同値性は Morphisms of Spaces, Lemma 04NG である。 したがって同値性を証明する際には \(f\) が \(x\) で平坦であると仮定してよい。 上のような図式と \(x, y, u, v\) を考える。このとき \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は、 局所環の狭義ヘンゼル化の間の写像 \(\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) に等しい。 Properties of Spaces, Lemma 04KF を参照せよ。 したがって Algebra, Lemma 05WS により \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] である。ゆえに、ネーター局所環 \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\) が Cohen–Macaulay であることと、その狭義ヘンゼル化が Cohen–Macaulay であることが同値であると示せばよい。これは More on Algebra, Lemma 06LM である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(f\), \(g\), \(g \circ f\) のファイバーは 局所ネーター的であると仮定する。\(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\) および \(z \in |Z|\) とする。

1. \(f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(g\) が \(f(x)\) で Cohen–Macaulay ならば、\(g \circ f\) は \(x\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) と \(g\) が Cohen–Macaulay ならば、\(g \circ f\) は Cohen–Macaulay である。

3. \(g \circ f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(f\) が \(x\) で 平坦ならば、\(f\) は \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(g\) は \(f(x)\) で Cohen–Macaulay である。

4. \(f \circ g\) が Cohen–Macaulay であり、\(f\) が平坦ならば、 \(f\) は Cohen–Macaulay であり、\(g\) は \(f\) の像の各点で Cohen–Macaulay である。

証明

エタール局所的に作業すれば、これはスキームに対する対応する結果 More on Morphisms, Lemma 0C0W から従う。別の方法として Lemma 0E0W の (a) と (b) の同値性を 用いてもよい。そこでネーター局所環の局所準同型 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] を考える。そのファイバーは \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] であるから、Algebra, Lemma 045J を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の局所ネーター代数空間の 平坦な射とする。\(X\) が Cohen–Macaulay ならば、\(f\) は Cohen–Macaulay であり、\(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\) は すべての \(x \in |X|\) に対して Cohen–Macaulay である。

証明

Lemma 0E0W を用いて代数へ移し替えると （Lemma 0E0X の証明と比較せよ）、これは Algebra, Lemma 045J から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する。 \(Y' \to Y\) は局所有限型であるとし、\(f' : X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換とする。 \(x' \in |X'|\) を、像 \(x \in |X|\) をもつ点とする。

1. \(f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay ならば、 \(f' : X' \to Y'\) は \(x'\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) が \(x\) で平坦であり、\(f'\) が \(x'\) で Cohen–Macaulay ならば、 \(f\) は \(x\) で Cohen–Macaulay である。

3. \(Y' \to Y\) が \(f'(x')\) で平坦であり、\(f'\) が \(x'\) で Cohen–Macaulay ならば、\(f\) は \(x\) で Cohen–Macaulay である。

証明

\(y \in |Y|\) および \(y' \in |Y'|\) を \(x'\) の像と書く。 \(V \to Y\) を \(V\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。 \(U \to X \times_Y V\) を \(U\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。

\(V' \to Y' \times_Y V\) を \(V'\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。 このとき \(U' = U \times_V V'\) は、全射エタール射 \(U' \to X'\) を備えた スキームである。\(u' \in U'\) を \(x'\) へ写るものとして選び、次いで \(u \in U\) で \(u'\) の像を表す。このとき補題は \(U \to V\) とその基底変換 \(U' \to V'\)、および点 \(u'\) と \(u\) に対する補題から従う （これは定義から従う）。したがって補題はスキームの場合 More on Morphisms, Lemma 045T から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射で、 平坦かつ局所有限表示なものとする。 \[W = \{x \in |X| : f\text{ が Cohen--Macaulay である点 }x\}\] とおく。このとき \(W\) は \(|X|\) で開であり、\(W\) の構成は \(f\) の 任意の基底変換と可換である。任意の射 \(g : Y' \to Y\) に対し、 基底変換 \(f' : X' \to Y'\)、すなわち \(f\) の基底変換、および射影 \(g' : X' \to X\) を考える。

このとき対応する集合 \(W'\)、すなわち射 \(f'\) に対するものは \(W' = (g')^{-1}(W)\) に等しい。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、垂直射がエタールであり、\(U\) と \(V\) がスキームであるものを選ぶ。 \(u \in U\) とし、その像を \(x \in |X|\) とする。このとき \(f\) が \(x\) で Cohen–Macaulay であることと、\(U \to V\) が \(u\) で Cohen–Macaulay であることは（定義により）同値である。したがって射 \(U \to V\) の場合へ帰着する。 More on Morphisms, Lemma 045U を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は局所有限表示かつ Cohen–Macaulay であると仮定する。このとき

開かつ閉な部分スキーム \(X_d \subset X\) で、 \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\) かつ \(f|_{X_d} : X_d \to Y\) が 相対次元 \(d\) をもつものが存在する。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] で、垂直射がエタールであり、\(U\) と \(V\) がスキームであるものを選ぶ。 このとき \(U \to V\) は局所有限表示かつ Cohen–Macaulay である （定義から直ちに従う）。したがって、開かつ閉な部分スキームへの分解 \(U = \coprod_{d \geq 0} U_d\) で、

\(f|_{U_d} : U_d \to V\) が相対次元 \(d\) をもつものが得られる。 Morphisms, Lemma 02NM を参照せよ。\(u \in U\) とし、その像を \(x \in |X|\) とする。このとき \(f\) が相対次元 \(d\) を \(x\) でもつことと、\(U \to V\) が相対次元 \(d\) を \(u\) でもつことは同値である（これは定義から従う）。 このようにして、\(U_d\) はある部分集合 \(X_d \subset |X|\) の逆像であり、 この部分集合は必然的に開かつ閉であることが分かる。

\(X_d\) で \(X\) の対応する開かつ閉な代数部分空間を表せば、補題が成り立つ。

Gorenstein 射

これは Duality for Schemes, Section 0C02 の類似である。

補題

スキームの芽の射に関する性質 \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{ファイバーの局所環 } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{ がネーター的かつ Gorenstein である} \end{align*}\] は始域と終域の上でエタール局所的である（Descent, Definition 04NB）。

証明

Descent, Definition 04NB にある図式が与えられると、ファイバーのエタール射 \(U'_{v'} \to U_v\) で \(u'\) を \(u\) へ写すものを得る。Descent, Lemma 04NI を参照せよ。 したがって \(\mathcal{O}_{U_v, u} \to \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) は エタール環準同型の局所化である。それゆえ、前者がネーター的であることと 後者がネーター的であることは同値である。More on Algebra, Lemma 0AGZ を参照せよ。さらに \[\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}/\mathfrak m_u \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'} = \kappa(u')\] は Gorenstein 環であるから（Algebra, Lemma 00U4）、Dualizing Complexes, Lemma 0BJL により \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) が Gorenstein であることと \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) が Gorenstein であることは同値である。

定義

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する （Divisors on Spaces, Definition 0CUX）。

1. \(x \in |X|\) とし、\(y = f(x)\) とする。\(f\) が \(x\) で Gorenstein であるとは、\(f\) が \(x\) で平坦であり、 Morphisms of Spaces, Lemma 04NC の同値な条件が Lemma 0E13 に記述された性質 \(\mathcal{P}\) に対して成り立つことをいう。

2. \(f\) が Gorenstein 射であるとは、\(f\) が \(X\) の すべての点で Gorenstein であることをいう。

次はスキームの場合からの移し替えである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する。次は同値である：

1. \(f\) は Gorenstein である。

2. \(f\) は平坦であり、ある全射エタール射 \(V \to Y\) で \(V\) が スキームであるものに対し、\(X_V \to V\) のファイバーは Gorenstein 代数空間である。

3. \(f\) は平坦であり、任意のエタール射 \(V \to Y\) で \(V\) が スキームであるものに対し、\(X_V \to V\) のファイバーは Gorenstein 代数空間である。

\(x \in |X|\) を、像 \(y \in |Y|\) をもつ点とする。このとき次は同値である：

1. \(f\) は \(x\) で Gorenstein である。

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は平坦であり、 \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は Gorenstein である。

証明

\(V \to Y\) を \(V\) がスキームであるようなエタール射とし、スキーム \(U\) と 全射エタール射 \(U \to X \times_Y V\) を選ぶ。可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を考える。\(u \in U\) とし、その像をそれぞれ \(x \in |X|\)、 \(y \in |Y|\)、\(v \in V\) とする。このとき \(f\) が \(x\) で Gorenstein であることと、\(U \to V\) が \(u\) で Gorenstein であることは （定義により）同値である。さらに射 \(U_v \to X_v = (X_V)_v\) は 全射エタールである。したがってスキーム \(U_v\) が Gorenstein であることと、 代数空間 \(X_v\) が Gorenstein であることは同値である。 ゆえに (1), (2), (3) の同値性は、スキームの射に対する対応する同値性 Duality for Schemes, Lemma 0BFQ から 形式的な議論により従う。

(a) と (b) の同値性を証明する。平坦性について対応する同値性は Morphisms of Spaces, Lemma 04NG である。 したがって同値性を証明する際には \(f\) が \(x\) で平坦であると仮定してよい。 上のような図式と \(x, y, u, v\) を考える。このとき \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) は、 局所環の狭義ヘンゼル化の間の写像 \(\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) に等しい。 Properties of Spaces, Lemma 04KF を参照せよ。 したがって Algebra, Lemma 05WS により \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] である。ゆえに、ネーター局所環 \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\) が Gorenstein であることと、その狭義ヘンゼル化が Gorenstein であることが 同値であると示せばよい。これは Dualizing Complexes, Lemma 0DWD と、自身の上の 双対複体であるネーター局所環としての Gorenstein 局所環の定義から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。\(f\), \(g\), \(g \circ f\) のファイバーは 局所ネーター的であると仮定する。\(x \in |X|\) とし、その像を \(y \in |Y|\) および \(z \in |Z|\) とする。

1. \(f\) が \(x\) で Gorenstein であり、\(g\) が \(f(x)\) で Gorenstein ならば、\(g \circ f\) は \(x\) で Gorenstein である。

2. \(f\) と \(g\) が Gorenstein ならば、\(g \circ f\) は Gorenstein である。

3. \(g \circ f\) が \(x\) で Gorenstein であり、\(f\) が \(x\) で平坦ならば、 \(f\) は \(x\) で Gorenstein であり、\(g\) は \(f(x)\) で Gorenstein である。

4. \(f \circ g\) が Gorenstein であり、\(f\) が平坦ならば、\(f\) は Gorenstein であり、\(g\) は \(f\) の像の各点で Gorenstein である。

証明

エタール局所的に作業すれば、これはスキームに対する対応する結果 Duality for Schemes, Lemma 0C11 から従う。別の方法として Lemma 0E15 の (a) と (b) の同値性を用いてもよい。 そこでネーター局所環の局所準同型 \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] を考える。そのファイバーは \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] であるから、Dualizing Complexes, Lemma 0BJL を用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の局所ネーター代数空間の 平坦な射とする。\(X\) が Gorenstein ならば、\(f\) は Gorenstein であり、 \(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\) はすべての \(x \in |X|\) に対して Gorenstein である。

証明

Lemma 0E15 を用いて代数へ移し替えると （Lemma 0E16 の証明と比較せよ）、これは Dualizing Complexes, Lemma 0BJL から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) のファイバーは局所ネーター的であると仮定する。 \(Y' \to Y\) は局所有限型であるとする。\(f' : X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換とする。\(x' \in |X'|\) を、像 \(x \in |X|\) をもつ点とする。

1. \(f\) が \(x\) で Gorenstein ならば、\(f' : X' \to Y'\) は \(x'\) で Gorenstein である。

2. \(f\) が \(x\) で平坦であり、\(f'\) が \(x'\) で Gorenstein ならば、 \(f\) は \(x\) で Gorenstein である。

3. \(Y' \to Y\) が \(f'(x')\) で平坦であり、\(f'\) が \(x'\) で Gorenstein ならば、\(f\) は \(x\) で Gorenstein である。

証明

\(y \in |Y|\) および \(y' \in |Y'|\) を \(x'\) の像と書く。 \(V \to Y\) を \(V\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。 \(U \to X \times_Y V\) を \(U\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。

\(V' \to Y' \times_Y V\) を \(V'\) がスキームであるような全射エタール射として選ぶ。 このとき \(U' = U \times_V V'\) は、全射エタール射 \(U' \to X'\) を備えた スキームである。\(u' \in U'\) を \(x'\) へ写るものとして選び、次いで \(u \in U\) で \(u'\) の像を表す。このとき補題は \(U \to V\) とその基底変換 \(U' \to V'\)、および点 \(u'\) と \(u\) に対する補題から従う （これは定義から従う）。したがって補題はスキームの場合 Duality for Schemes, Lemma 0C07 から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射で、 平坦かつ局所有限表示なものとする。 \[W = \{x \in |X| : f\text{ が Gorenstein である点 }x\}\] とおく。このとき \(W\) は \(|X|\) で開であり、\(W\) の構成は \(f\) の 任意の基底変換と可換である。任意の射 \(g : Y' \to Y\) に対し、 基底変換 \(f' : X' \to Y'\)、すなわち \(f\) の基底変換、および射影 \(g' : X' \to X\) を考える。

このとき対応する集合 \(W'\)、すなわち射 \(f'\) に対するものは \(W' = (g')^{-1}(W)\) に等しい。

証明

可換図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] を選ぶ。\(u \in U\) とし、その像を \(x \in |X|\) とする。このとき \(f\) が \(x\) で Gorenstein であることと、\(U \to V\) が \(u\) で Gorenstein であることは（定義により）同値である。したがってスキームの射 \(U \to V\) の場合へ帰着する。開性は Duality for Schemes, Lemma 0C09 で、基底変換との可換性は Duality for Schemes, Lemma 0E0Q で証明されている。

Cohen–Macaulay 射の切断

\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とする。この場合、

\(V(f_1, \ldots, f_r)\) で、\(X\) の \(f_1, \ldots, f_r\) により切り出される 閉部分空間を表す。より正確には、\(V(f_1, \ldots, f_r)\) を、 \(X\) の閉部分空間であって、\(f_1, \ldots, f_r\) により生成される 準連接イデアル層に対応するものとして定義できる。Morphisms of Spaces, Lemma 03MB を参照せよ。 別の方法として、表示 \(X = U/R\) を選び、その閉部分スキーム \(Z \subset U\) で \(f_1|U, \ldots, f_r|_U\) により切り出されるものを考えてもよい。 \(Z\) が \(R\) 不変な閉部分スキームであることは明らかであり （Groupoids, Definition 03BC を参照）、 \(V(f_1, \ldots, f_r) = Z/R_Z\) とおいてよい。

補題

\(S\) をスキームとする。カルテシアン図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] を考える。ここで \(X \to Y\) は \(S\) 上の代数空間の射であって平坦かつ 局所有限表示であり、\(k\) は \(S\) 上の体である。 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とし、 \(z \in |F|\) は \(f_1, \ldots, f_r\) が局所環 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\) の正則列へ写るような点とする。 このとき \(X\) を \(p(z)\) を含む開部分空間で置き換えれば、射 \[V(f_1, \ldots, f_r) \longrightarrow Y\] は平坦かつ局所有限表示である。

証明

\(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) とおく。\(Z \to X\) が局所有限表示であることは 明らかなので、合成 \(Z \to Y\) は局所有限表示である。Morphisms of Spaces, Lemma 03XQ を参照せよ。 したがって \(Z \to Y\) が \(p(z)\) のある近傍で平坦であることを示せば十分である。 \(k'/k\) を拡大体とする。このとき \(F' = F \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) は \(F\) 上全射かつ平坦であるから、 \(z' \in |F'|\) で \(z\) へ写るものを見つけられ、局所環準同型 \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) は平坦である。 Morphisms of Spaces, Lemma 04NG を参照せよ。 したがって \(f_1, \ldots, f_r\) の \(\mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) における像も 正則列である。Algebra, Lemma 00LM を参照せよ。 ゆえに証明中で \(k\) を拡大体に置き換えてよい。特に、\(z \in |F|\) が 切断 \(z : \Spec(k) \to F\)、すなわち構造射 \(F \to \Spec(k)\) の切断から 来ると仮定してよい。

スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。スキーム \(U\) と 全射エタール射 \(U \to X \times_Y V\) を選ぶ。必要ならば \(k\) をさらに 拡大して、\(\Spec(k) \to F \to X\) が \(U\) を経由すると仮定してよい （\(U \to X\) は全射だからである）。そのような分解 \(u : \Spec(k) \to U\) をとり、

\(v \in V\) で \(u\) の像を表す。射 \[U_v \times_{\Spec(\kappa(v))} \Spec(k) = U \times_V \Spec(k) \to U \times_Y \Spec(k) \to F\] はエタールである（第一の射は \(V \to V \times_Y V\) の基底変換であり、 第二の射は \(U \to X\) の基底変換である）。さらに構成により、点 \(u : \Spec(k) \to U\) は左端の空間の点を与え、それは右端で \(z\) へ写る。

したがって元 \(f_1, \ldots, f_r\) は次の写像の右側の局所環における 正則列へ写る： \[\mathcal{O}_{U_v, u} \longrightarrow \mathcal{O}_{U_v \times_{\Spec(\kappa(v)} \Spec(k), \overline{u}} = \mathcal{O}_{U \times_V \Spec(k), \overline{u}}.\] ところが表示された矢印は平坦であるから（More on Flatness, Lemma 05VL と Morphisms of Spaces, Lemma 04NG を合わせて用いる）、 Algebra, Lemma 00LM により

\(f_1, \ldots, f_r\) は \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) の正則列へ写ることが分かる。 More on Morphisms, Lemma 06LI により、スキームの射 \[V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U = V(f_1|_U, \ldots, f_r|_U) \to V\] はある開近傍 \(U'\)、すなわち \(u\) の開近傍で平坦である。\(X' \subset X\) を \(|U'| \to |X|\) の像に対応する開部分空間とする（Properties of Spaces, Lemmas 03BX and 03BZ を参照）。 \(V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \to Y\) は平坦であると結論できる （Morphisms of Spaces, Definition 03ML を参照）。 実際、可換図式 \[\xymatrix{ V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U' \ar[d]_a \ar[r] & V \ar[d]^b \\ V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \ar[r] & Y }\] があり、\(a, b\) はエタールで \(a\) は全射である。

被約ファイバー

この節は More on Morphisms, Section 0574 の類似である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(y \in |Y|\) とする。次は同値である：

1. ある射 \(\Spec(k) \to Y\) で \(y\) の同値類に属するものに対して、 代数空間 \(X_k\) は \(k\) 上幾何学的被約である。

2. すべての射 \(\Spec(k) \to Y\) で \(y\) の同値類に属するものに対して、 代数空間 \(X_k\) は \(k\) 上幾何学的被約である。

3. すべての射 \(\Spec(k) \to Y\) で \(y\) の同値類に属するものに対して、 代数空間 \(X_k\) は被約である。

証明

これは Spaces over Fields, Lemma 0E04 と、

Properties of Spaces, Section 03BT で与えられる \(|X|\) を定義する同値関係の定義から直ちに従う。

定義

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(y \in |Y|\) とする。\(f : X \to Y\) の \(y\) におけるファイバーが 幾何学的被約であるとは、Lemma 0E07 の 同値な条件が成り立つことをいう。

必要な標準的補題を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) および \(g : Y' \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。

\(f' : X' \to Y'\) で、\(f\) の \(g\) による基底変換を表す。このとき \[\begin{align*} \{y' \in |Y'| : \text{ファイバー }f' : X' \to Y'\text{ は点 }y' \text{ で幾何学的被約である}\} \\ = g^{-1}(\{y \in |Y| : \text{ファイバー }f : X \to Y\text{ は点 }y \text{ で幾何学的被約である}\}). \end{align*}\]

証明

\(y' \in |Y'|\) に対し、射 \(\Spec(k) \to Y'\) で \(y'\) の同値類に属するものを選ぶ。このとき \(g(y')\) は合成 \(\Spec(k) \to Y' \to Y\) により表される。したがって \(X' \times_{Y'} \Spec(k) = X \times_Y \Spec(k)\) であり、結果は定義から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射で、 準コンパクトかつ局所有限表示なものとする。このとき集合 \[E = \{y \in |Y| : \text{ }f : X \to Y\text{ の }y \text{ におけるファイバーが幾何学的被約である}\}\] はエタール局所的に構成可能である。

証明

アフィンスキーム \(V\) とエタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。主張の意味は、 \(E\) の \(|V|\) における逆像が構成可能であるということである。 Lemma 0E09 により \(Y\) を \(V\) で 置き換えてよい。すなわち \(Y\) がアフィンスキームであると仮定してよい。 このとき \(X\) は準コンパクトである。アフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を選ぶ。射 \(\Spec(k) \to Y\) に対し、ファイバー間の射 \(U_k \to X_k\) は全射エタールである。したがって \(U_k\) が \(k\) 上 幾何学的被約であることと \(X_k\) が \(k\) 上幾何学的被約であることは同値である。 Spaces over Fields, Lemma 0E05 を参照せよ。 ゆえに集合 \(E\)、すなわち \(X \to Y\) に対するものは、集合 \(E\)、すなわち \(U \to Y\) に対するものと同じである。 このようにして、補題はスキームの場合 More on Morphisms, Lemma 0579 から従う。

補題

\(X\) を離散付値環 \(R\) 上の代数空間とし、その構造射 \(X \to \Spec(R)\) は固有かつ平坦であるとする。特殊ファイバーが被約ならば、 \(X\) と一般ファイバー \(X_\eta\) はともに被約である。

証明

エタール射 \(U \to X\) で \(U\) がアフィンスキームであるものを選ぶ。 このとき \(U\) は \(R\) 上有限型である。\(u \in U\) を特殊ファイバー内の点とする。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{U, u}\) は \(R\) 上本質的有限型であり、したがって ネーター的である。\(\pi \in R\) を一様化元とする。\(X\) は \(R\) 上平坦なので、 \(\pi \in \mathfrak m_A\) は \(A\) 上の非零因子であり、\(X\) の特殊ファイバーは 被約なので \(A/\pi A\) は被約である。 \(a \in A\), \(a \not = 0\) ならば、ある \(n \geq 0\) と元 \(a' \in A\) が存在し、 \(a = \pi^n a'\) かつ \(a' \not \in \pi A\) である。これは Krull の交叉定理 （Algebra, Lemma 00IP）から従う。 \(a\) が冪零ならば、\(a'\) も冪零である。実際、\(\pi\) は非零因子である。 しかし \(a'\) は被約環 \(A/\pi A\) の非零元へ写るので、これは不可能である。 ゆえに \(A\) は被約である。したがって \(u\) の、\(U\) 内のある開近傍で 被約なものが存在する（小さな詳細は省略する；\(U\) がネーター的であることを使う）。 これにより、エタール射 \(U \to X\) で \(U\) が被約スキームであり、 \(X\) の特殊ファイバーのすべての点が像に属するものを見つけられる。 \(X\) は \(R\) 上固有なので、 \(U \to X\) は全射である。したがって \(X\) は被約である。 \(U \to \Spec(R)\) の一般ファイバーも被約なので（アフィン部分上では局所化を とることにより計算される）、一般ファイバーについても同じ結論を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) が平坦、固有、かつ有限表示ならば、集合 \[E = \{y \in |Y| : \text{ }f : X \to Y\text{ の }y \text{ におけるファイバーが幾何学的被約である}\}\] は \(|Y|\) で開である。

証明

Lemma 0E09 により \(E\) の構成は 基底変換と可換である。\(|Y|\) の部分集合が開であることを調べるには、 \(Y\) をエタール被覆の各要素で置き換えてよい。したがって \(Y\) がアフィンであると 仮定してよい。このとき \(Y\) は \(\mathbf{Z}\) 上有限型なアフィンスキームの 余フィルター極限である。ゆえに \(X \to Y\) は \(X_0 \to Y_0\) の基底変換で、 \(Y_0\) が有限型 \(\mathbf{Z}\) 代数のスペクトルであり、\(X_0 \to Y_0\) が 平坦かつ固有であるものと仮定してよい。Limits of Spaces, Lemma 07SK, 08K0, and 08K1 を参照せよ。\(E\) の構成は基底変換と 可換なので（上を参照）、基底がネーター的であると仮定してよい。

\(Y\) がネーター的であると仮定する。この集合は Lemma 0E0A により構成可能である。 したがって、この集合が一般化の下で安定であることを示せば十分である （Topology, Lemma 0542）。 Properties, Lemma 054F により、\(Y = \Spec(R)\) で \(R\) が離散付値環であり、閉ファイバー \(X_y\) が 幾何学的被約である場合へ帰着する。示すべきことは、一般ファイバー \(X_\eta\) が幾何学的被約であることである。

そうでなければ、有限拡大 \(L\)、すなわち \(R\) の分数体の有限拡大で \(X_L\) が被約でないものが 存在する。Spaces over Fields, Lemmas 0E02（標数零）and 0E03 （正標数）を参照せよ。離散付値環 \(R' \subset L\) で、分数体 \(L\) をもち \(R\) を支配するものが存在する。Algebra, Lemma 09IG を参照せよ。 \(R\) を \(R'\) で置き換えると、Lemma 0E0B へ帰着する。

ファイバーの連結成分

この節は More on Morphisms, Section 055C の類似である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \[n_{X/Y} : |Y| \to \{0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\}\] を、\(y \in Y\) に \(X_k\) の連結成分の個数を対応させる関数とする。ここで \(\Spec(k) \to Y\) は \(y\) の同値類に属し、\(k\) は代数閉体である。

これは良定義であり、\(g : Y' \to Y\) が射ならば \[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ g\] である。ここで \(X' \to Y'\) は \(f\) の基底変換である。

証明

\(y' \in Y'\) の像が \(y \in Y\) であると仮定する。\(\Spec(k') \to Y'\) を \(y'\) の同値類に属し、\(k'\) が代数閉体であるものとしてとる。このとき可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[rd] & \Spec(k') \ar[r] & Y' \ar[d] \\ & \Spec(k) \ar[r] & Y }\] を選べる。ここで \(K\) は代数閉体である。スキームの射 \[\xymatrix{ X'_{k'} & (X'_{k'})_K = (X_k)_K \ar[l] \ar[r] & X_k }\] は連結成分の間に全単射を誘導するので、結果が従う。Spaces over Fields, Lemma 0A12 を参照せよ。これを用いて関数が良定義であることを証明するには \(Y' = Y\) とする。

ファイバーの次元

この節は More on Morphisms, Section 05F6 の類似である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の有限型射とする。 \(y \in |Y|\) とする。次の量は等しい：

1. \(d = -\infty\)（\(y\) が \(|f|\) の像に属さない場合）とし、そうでなければ、 最小の整数 \(d\) であって、\(f\) が相対次元 \(\leq d\) を、すべての \(x \in |X|\)、すなわち \(y\) へ写る点でもつもの。

2. 代数空間 \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) の次元。ここで任意の射 \(\Spec(k) \to Y\) は \(y\) を定義する同値類に属する。

証明

これを解釈するには Morphisms of Spaces, Definition 04NM, Properties of Spaces, Definition 04N6, Properties of Spaces, Definition 04N5 を参照する必要がある。 固定した射 \(\Spec(k) \to Y\) に対して (1) と (2) の数が等しいことを示す。 エタール射 \(V \to Y\) で \(V\) がアフィンスキームであるものと、点 \(v \in V\) で \(y\) へ写るものを選ぶ。\(V \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\) は全射エタールなので （Properties of Spaces, Lemma 03H4）、有限分離拡大 \(k'/k\) と （Morphisms, Lemma 02GL）、可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & Y }\] を見つけられる。問題の次元は Properties of Spaces, Lemma 0A4H と Morphisms of Spaces, Lemma 04NS により変わらないので、 \(X \to Y\) を \(V \times_Y X \to V\) で置き換え、\(X_k\) を \(X_{k'} = \Spec(k') \times_V (V \times_Y X)\) で置き換えてよい。 したがって \(Y\) がアフィンスキームであると仮定してよい。 この場合、\(k = \kappa(y)\) と仮定してよい。実際、\(X_{\kappa(y)}\) と \(X_k\) の 次元は、上記の Morphisms of Spaces, Lemma 04NS により同じである。 また、代数空間 \(Z\)、すなわち体 \(K\) 上のものに対し、\(Z\) の相対次元は点 \(z \in |Z|\) で、定義により \(\dim_z(Z)\) と同じである。\(Y\) はアフィンで \(k = \kappa(y)\) と仮定する。

\(X\) は準コンパクトであり、アフィンスキーム \(U\) と

全射エタール射 \(U \to X\) を選べる。このとき \(\dim(X_k) = \dim(U_k) = \max \dim_u(U_k)\) は定義により (1) の数に等しい。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の有限型射とする。 \[n_{X/Y} : |Y| \to \{-\infty, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\] を、\(y \in |Y|\) に Lemma 0D4M で論じた整数を 対応させる関数とする。\(g : Y' \to Y\) が射ならば \[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ |g|\] である。ここで \(X' \to Y'\) は \(f\) の基底変換である。

証明

これは Lemma 0D4M から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の 平坦かつ有限表示な射とする。\(n_{X/Y}\) を、Lemma 0D4N で導入した、\(Y\) 上の \(f\) の ファイバーの次元を与える関数とする。このとき \(n_{X/Y}\) は下半連続である。

証明

全射エタール射 \(V \to Y\) で \(V\) がスキームであるものをとる。

合成 \(n_{X/Y} \circ |g|\) が下半連続であることを示せれば、\(|g|\) は開なので 補題が従う。したがって \(Y\) がスキームであると仮定してよい。

局所的に作業して \(V\) がアフィンスキームであると仮定してよい。 このときアフィンスキーム \(U\) と全射エタール射 \(U \to X\) を選べる。 すると \(n_{X/Y} = n_{U/Y}\) である。したがって \(X\) と \(Y\) はともに スキームであると仮定してよい。この場合、補題は More on Morphisms, Lemma 0D4H から従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の固有射とする。 \(n_{X/Y}\) を、Lemma 0D4N で導入した、 \(Y\) 上の \(f\) のファイバーの次元を与える関数とする。このとき \(n_{X/Y}\) は上半連続である。

証明

\(Z_d = \{x \in |X| : \text{ }f\text{ のファイバーは }x\text{ で次元 }> d\}\) とおく。このとき \(Z_d\) は Morphisms of Spaces, Lemma 04NT により \(|X|\) の閉部分集合である。\(f\) は固有なので \(f(Z_d)\) は \(|Y|\) で閉である。 \(y \in f(Z_d) \Leftrightarrow n_{X/Y}(y) > d\) だから、補題が成り立つ。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の 固有、平坦、かつ有限表示な射とする。\(n_{X/Y}\) を、Lemma 0D4N で導入した、\(Y\) 上の \(f\) の ファイバーの次元を与える関数とする。このとき \(n_{X/Y}\) は局所定数である。

証明

これは Lemmas 0D4P and 0D4Q の直ちに得られる帰結である。

鎖状代数空間

この節では Decent Spaces, Section 0ED3 で始めた議論を続ける。 次の補題は、その次の補題の証明で用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の整射とする。 \(y \in |Y|\) を、閉埋め込み \(y : \Spec(k) \to Y\) により表せる点とする。 このとき分解 \(X \to X' \to Y\)、すなわち \(f\) の分解で、次を満たすものが存在する：

1. \(X' \to Y\) は整である。

2. \(X \to X'\) は \(X' \setminus X'_y\) 上で同型である。

3. \(X'_y\) はただ一つの点 \(x'\) をもち、\(\kappa(x') = k\) である。

さらに \(f\) が有限で \(Y\) が局所ネーター的ならば、\(X' \to Y\) は有限である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 03M9 により、層 \(f_*\mathcal{O}_X\)、\((X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y}\)、および \(y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) は準連接 \(\mathcal{O}_Y\) 代数の層である。写像 \[f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow (X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y} \longleftarrow y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\] を考える。ファイバー積は準連接 \(\mathcal{O}_Y\) 代数の層 \(\mathcal{A}'\) であり、\(X' \to Y\) を \(\mathcal{A}'\) の \(Y\) 上の 相対スペクトルとして定義できる。Morphisms, Lemma 01SA を参照せよ。 この構成は任意の基底変換と可換である。特に開部分空間 \(|Y| \setminus \{y\}\) 上で射 \(X \to X'\) が同型であり、 \(|Y| \setminus \{y\}\) 上で射 \(X' \to Y\) が整であることは明らかである。 \(y\) の小さな近傍で主張を証明することだけが残る。 アフィンスキーム \(V = \Spec(R)\) とエタール射 \(\varphi : V \to Y\) で、 \(y\) が \(\varphi\) の像に属するものを選ぶ。このとき \(V_y\) は \(V\) の 閉部分スキームで \(k\) 上エタールであり、したがって有限個の点からなり、 各剰余体は \(k\) 上分離的である（Decent Spaces, Remark 03II を参照）。\(V\) を縮小して、ただ一つの閉点 \(v = \Spec(l) \to V\) で \(y\) へ写るものが存在し、\(l/k\) は有限分離的であると 仮定してよい。\(V \times_Y X = \Spec(C)\) と書け、\(R \to C\) は整環準同型である。 上で述べた基底変換との可換性により

\(U \times_X Y' = \Spec(C')\) であり、ここで \[C' = C \times_{C \otimes_R l} l\] である。\(R \to l\) は全射なので \(C \to C \otimes_R l\) も全射であり、 これは More on Algebra, Situation 08KH で研究した種類の ファイバー積である（\(A, A', B, B'\) はそれぞれ \(C \otimes_R l, C, l, C'\) に対応する）。\(C'\) は \(R\) 部分代数、すなわち \(C\) の部分代数であり、 したがって \(R\) 上整であることに注意する。これで (1) が証明された。 最後に More on Algebra, Lemma 0B7J により、 \(V \times_X Y' = \Spec(C')\) はただ一つの点 \(y''\) をもち、それは \(v\) の上にあり、 その剰余体は \(l\) である（これは明らかな全射 \(C' \to l\) に対応する）。 したがって

\(X_y \times_{\Spec(k)} \Spec(l)\) は剰余体 \(l\) をもつただ一つの点をもつ。 \(l/k\) は有限分離的なので、これは \(X'_y\) が剰余体 \(k\) をもつただ一つの点を もつことを含意する。すなわち (3) が成り立つ。

最後の主張を証明するため、\(Y\) が局所ネーター的ならば \(R\) はネーター環であり、 \(f\) が有限ならば \(R \to C\) は有限であることに注意する。このとき \(C'\) は More on Algebra, Lemma 00IT により有限型 \(R\) 代数である。これにより \(X' \to Y\) は有限である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(B\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\delta : |B| \to \mathbf{Z}\) を関数とする。\(B\) は decent、局所ネーター的、 かつ普遍的鎖状であり、\(\delta\) は次元関数であると仮定する。 \(X\) を \(B\) 上の decent な代数空間で、その構造射 \(f : X \to B\) が局所有限型であるものとする。このとき \(\delta_X : |X| \to \mathbf{Z}\) を規則 \[\delta_X(x) = \delta(f(x)) + \text{超越次数 }x/f(x)\] により定義する（Morphisms of Spaces, Definition 04NM）。このとき \(\delta_X\) は次元関数である。

証明

問題は \(B\) 上局所的である。したがって \(B\) が準コンパクトであると仮定してよい。 Decent Spaces, Lemma 0BB6 により \(B\) は準分離的である。Limits of Spaces, Proposition 09YC により、

有限全射 \(\pi : Y \to X\) で \(Y\) がスキームであるものを選べる。 主張：\(\delta_Y\) は次元関数である。

この主張は補題を含意する。補題にある \(X \to B\) に対し、 \(Z = Y \times_B X\) とおき、射影を \(p : Z \to Y\) および \(q : Z \to X\) とする。 このとき \[\delta_Z(z) = \delta_Y(p(z)) + \text{超越次数 }z/p(z)\] および \(\delta_Z(z) = \delta_X(q(z))\) が成り立つ。これは Morphisms of Spaces, Lemma 04NR と、 有限射に対してこれらの超越次数が零であることから従う。 Decent Spaces, Lemma 0ED5 と主張により、\(\delta_Z\) は次元関数である。次いで Decent Spaces, Lemma 0ED9 により \(\delta_X\) は次元関数であることが分かる。

主張を証明する。特殊化 \(y \leadsto y'\)、\(y \not = y'\)、すなわち ネータースキーム \(Y\) の点の特殊化を考える。 \(\delta_Y(y) > \delta_Y(y')\) である。実際、\(Y\) のファイバー内の点の間には 特殊化がない （Decent Spaces, Lemma 0ACK を参照）。 これを特殊化の鎖に用いると \[\delta_Y(y) - \delta_Y(y') \geq \text{codim}(\overline{\{y'\}}, \overline{\{y\}})\] を得る。等号を示すことが課題である。Properties, Lemma 02IL により特殊化 \(y' \leadsto y_0\) を選べる。 \[\delta_Y(y) - \delta_Y(y_0) = \text{codim}(\overline{\{y_0\}}, \overline{\{y\}})\] を示せば十分である。なぜなら、これは \(y \leadsto y'\) と \(y' \leadsto y_0\) の双方について等号を含意するからである。

特殊化の極大鎖 \(y = y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\)、すなわち \(Y\) におけるもの を選ぶ。\(b = \pi(y)\) および \(b_0 = \pi(y_0)\) とおく。 特殊化の極大鎖 \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\)、すなわち \(|B|\) におけるもの を選ぶ。\(e = c\) を示さなければならない。 \(\pi\) は閉なので（Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ）、特殊化の列 \(y = y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) で \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\) へ写るものを見つけられる。 \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) も極大鎖であることに注意する。\(y_0 = y'_0\) ならば、\(Y\) は鎖状なので、 望みどおり \(e = c\) と結論する。次の段落では、技巧によりこの場合へ帰着し、 同じ仕方で結論する。

\(\pi\) は閉なので、\(b_0\) は \(|B|\) の閉点である。Decent Spaces, Lemma 0AHB により、\(b_0\) を閉埋め込み \(b_0 : \Spec(k) \to B\) で表せる。Lemma 0EDM により分解 \[Y \to Y' \to X\] で、\(\pi' : Y' \to X\) が有限であり、\(Y \to Y'\) は \(y_0\) と \(y'_0\) を 同じ点へ写し、\(b_0\) の逆像の外で同型であるような射であるものを見つけられる。

（もちろん \(Y'\) はスキームではないが、以下の議論には差し支えない。） 特殊化の極大鎖 \(y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\) および \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) は、\(Y'\) において 始点と終点が同じ特殊化の極大鎖へ写ることが明らかである。 \(B\) は普遍的鎖状なので \(|Y'|\) は鎖状であり、先と同様に結論する。

射のエタール局所化

この節は More on Morphisms, Section 04HF の類似である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(y \in |Y|\) とし、\(x_1, \ldots, x_n \in |X|\) を \(y\) へ写る点とする。 次を仮定する：

1. \(f\) は局所有限型である。

2. \(f\) は分離的である。

3. \(f\) は \(x_1, \ldots, x_n\) で準有限である。

4. \(f\) は準コンパクトであるか、または \(Y\) は decent である。

このとき点付き代数空間のエタール射 \((U, u) \to (Y, y)\) と、 開かつ閉な部分空間への分解 \[U \times_Y X = W \amalg V\] で、射 \(V \to U\) が有限であり、\(|V| \to |U|\) の \(u\) 上のファイバーの 各点がいずれかの \(x_i\) へ写り、\(|W| \to |U|\) の \(u\) 上のファイバーが いずれの \(x_i\) へ写る点も含まないものが存在する。

証明

\((U, u) \to (Y, y)\) を代数空間のエタール射とし、\(w \in |U \times_Y X|\) のうち \(u \in |U|\) へ写り、かついずれかの \(x_i \in |X|\) へ写るもの全体を考える。 Decent Spaces, Lemma 0AC6 （\(f\) が有限型の場合）または Decent Spaces, Lemma 0AC7（\(Y\) が decent の場合）により、 この集合は有限である。したがって \(f\) を基底変換 \(U \times_Y X \to U\) で 置き換え、\(x_1, \ldots, x_n\) をこれらの \(w\) の集合で置き換えてよい。 特に \(Y\) がアフィンスキームであると仮定し、実際そう仮定する。このとき \(X\) は分離的代数空間である。

アフィンスキーム \(Z\) とエタール射 \(Z \to X\) で、\(x_1, \ldots, x_n\) が \(|Z| \to |X|\) の像に属するものを選ぶ。\(|Z| \to |X|\) のファイバーは有限である。 Properties of Spaces, Lemma 03IJ（またはより一般的な議論 Decent Spaces, Section 03I7）を参照せよ。 \(\{z_1, \ldots, z_m\} \subset |Z|\) を \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) の逆像とする。More on Morphisms, Lemma 02LN により、エタール射 \((U, u) \to (Y, y)\) で \(U \times_Y Z = Z_1 \amalg Z_2\)、\(Z_1 \to U\) が有限、かつ

\((Z_1)_y = \{z_1, \ldots, z_m\}\) となるものが存在する。 \(U\) がアフィンであると仮定してよく、したがって \(Z_1\) もアフィンである。

\(f\) は分離的なので、像 \(V\)、すなわち \(Z_1 \to X\) の像は開かつ閉である （Morphisms of Spaces, Lemma 04NX）。 \(W = X \setminus V\) とおけば補題にある分解を得る。証明を終えるには \(V \to U\) が有限であることを示さなければならない。 \(Z_1 \to V\) は全射エタールなので、\(V\) は \(Z_1\) をエタール同値関係 \(R = Z_1 \times_V Z_1\) で割った商である。Spaces, Lemma 0262 を参照せよ。 \(f\) は分離的なので \(V \to U\) は分離的であり、\(R\) は \(Z_1 \times_U Z_1\) の閉部分である。\(Z_1 \to U\) は有限なので、射影 \(s, t : R \to Z_1\) は有限である。したがって Groupoids, Proposition 03BM により \(V\) は アフィンスキームである。Morphisms, Lemma 03GN により \(V \to U\) は固有であり、 Morphisms, Lemma 01WN により \(V \to U\) は有限である。 これで証明が完了する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(x \in |X|\) を、像 \(y \in |Y|\) をもつ点とする。次を仮定する：

1. \(f\) は局所有限型である。

2. \(f\) は分離的である。

3. \(f\) は \(x\) で準有限である。

このとき点付き代数空間のエタール射 \((U, u) \to (Y, y)\) と、 開かつ閉な部分空間への分解 \[U \times_Y X = W \amalg V\] で、射 \(V \to U\) が有限であり、点 \(v \in |V|\) で、\(x\) へ（\(|X|\) において）、 \(u\) へ（\(|U|\) において）写るものが存在するものがある。

証明

スキーム \(U\)、点 \(u \in U\)、およびエタール射 \(U \to Y\) で \(u\) を \(y\) へ写すものを選ぶ。点 \(x' \in |U \times_Y X|\) で、 \(x\) へ（\(|X|\) において）、\(u\) へ（\(|U|\) において）写るものが存在する （Properties of Spaces, Lemma 03H4）。証明を終えるには、射 \(U \times_Y X \to U\) と点 \(x'\) に Lemma 082H を適用する。 \(U\) はスキームであり、したがって \(u\) はモノ射 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) から来るので、この補題を適用できる。

ザリスキーの主定理

この節では、前節の結果を用いて代数空間の射に対する ザリスキーの主定理を証明する。この節は More on Morphisms, Section 02LQ の類似である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の有限型かつ 分離的な射とする。\(Y'\) を、\(Y\) の \(X\) における正規化とする。図式は \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] である。このとき開部分空間 \(U' \subset Y'\) で、次を満たすものが存在する：

1. \((f')^{-1}(U') \to U'\) は同型である。

2. \((f')^{-1}(U') \subset X\) は、\(f\) が準有限である点全体の集合である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 04NW により、開部分空間 \(U \subset X\) が存在し、その点は \(|X|\) のうち \(f\) が準有限である点に対応する。証明すべきことは次である：

1. \(|U| \to |Y'|\) の像は \(|U'|\) であり、ここで \(U'\) は \(Y'\) のある開部分空間である。

2. \(U = f^{-1}(U')\) である。

3. \(U \to U'\) は同型である。

\(U\) の形成は任意の基底変換と可換であり （Morphisms of Spaces, Lemma 04NW）、 正規化 \(Y'\) の形成は滑らかな基底変換と可換であり （Lemma 082F）、 エタール射は開であり、さらに「同型であること」は基底上 fpqc 局所的である （Descent on Spaces, Lemma 041Y）。したがって (a), (b), (c) を \(Y\) 上エタール局所的に証明すれば十分である （細部の一部は省略する）。ゆえに \(Y\) はアフィンスキームであると仮定してよい。 すると \(Y'\) も（アフィン）スキームである。

\(x \in |U|\) とする。主張：開近傍 \(f'(x) \in V \subset Y'\) で、 \((f')^{-1}V \to V\) が同型となるものが存在する。まず、この主張から補題が従うことを示す。 実際、このとき \((f')^{-1}V \cong V\) はスキームであり（\(Y'\) の開部分として）、 \(Y\) 上局所有限型である（\(X\) の開部分空間として）。また \(v \in V\) に対し、 剰余体拡大 \(\kappa(v)/\kappa(\nu(v))\) は代数的である （\(V \subset Y'\) かつ \(Y'\) は \(Y\) 上整だからである）。したがって \(V \to Y\) のファイバーは離散的であり（Morphisms, Lemma 01TE）、 \((f')^{-1}V \to Y\) は局所準有限である （Morphisms, Lemma 06RT）。 これより \((f')^{-1}V \subset U\) および \(V \subset U'\) が従う。 \(x\) は任意であったから、(a), (b), (c) が成り立つ。

\(y = f(x) \in |Y|\) とする。\((T, t) \to (Y, y)\) を点付きスキームの エタール射とする。下付き添字 \({}_T\) で \(T\) への基底変換を表す。 \(z \in X_T\) を、ファイバー \(X_t\) に属し \(x\) の上にある点とする。 \(U_T \subset X_T\) は \(f_T\) が準有限である点全体の集合であることに注意する。 Morphisms of Spaces, Lemma 04NW を参照せよ。 また \[X_T \xrightarrow{f'_T} Y'_T \xrightarrow{\nu_T} T\] は \(T\) の \(X_T\) における正規化である。Lemma 082F を参照せよ。 \(z \in U_T \subset X_T \to Y'_T \to T\) に対して主張が成り立つと仮定する。 すなわち、開近傍 \(f'_T(z) \in V' \subset Y'_T\) で \((f'_T)^{-1}V' \to V'\) が同型となるものを取れると仮定する。 射 \(Y'_T \to Y'\) はエタールなので、その像 \(V \subset Y'\) は、\(V'\) の像として 開である。\(f'(x) \in V\) であることに注意する。実際 \(f'_T(z) \in V'\) である。また \[\xymatrix{ (f'_T)^{-1}V' \ar[r] \ar[d] & (f')^{-1}(V) \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] はファイバー積の図式である（\(Y'_T \times_{Y'} X = X_T\) だからである）。 左の垂直射は同型であり、\(\{V' \to V\}\) はエタール被覆なので、 Descent on Spaces, Lemma 041Y により右の垂直射も同型である。言い換えれば、 \(x \in U \subset X \to Y' \to Y\) に対して主張が成り立つ。

前段落の結果により、\(x \in |U|\) に対する主張を証明する際、 \(Y\) をエタール近傍 \(T\)、すなわち \(y = f(x)\) の近傍で置き換え、さらに \(x\) を、\(x\) の上にある \(T \times_Y X\) の任意の点で置き換えてよい。 したがって、開かつ閉な部分空間への分解 \[X = V \amalg W\] で、\(V \to Y\) が有限かつ \(x \in V\) となるものが存在すると仮定してよい。 Lemma 082H を参照せよ。 \(X\) は \(V\) と \(W\) の \(Y\) 上の直和であり、\(V \to Y\) は有限なので、 \(Y\) の \(X\) における正規化は次の射である：

\[X = V \amalg W \longrightarrow V \amalg W' \longrightarrow S\] ここで \(W'\) は \(Y\) の \(W\) における正規化である。Morphisms of Spaces, Lemmas 0824, 0414, and 0825 を参照せよ。これで主張が従い、証明が完了する。

次の補題は Morphisms of Spaces, Lemma 0ABS と重複している。同じ補題を二つ置く理由は、証明がいくぶん異なるためである。 以下の証明は、上で与えた代数空間の非表現可能な射に対する ザリスキーの主定理に基づく。一方、Morphisms of Spaces, Lemma 0ABS の証明は Morphisms of Spaces, Proposition 03XX に基づき、スキームの射の場合へ帰着する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は準有限かつ分離的であると仮定する。\(Y'\) を、\(Y\) の \(X\) における 正規化とする。図式は \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] である。このとき \(f'\) は準コンパクトな開埋入であり、\(\nu\) は整である。 特に \(f\) は準アフィンである。

証明

これは Lemma 082I から従う。実際、その補題により 開部分空間 \(U' \subset Y'\) で、\((f')^{-1}(U') = X\)（！）かつ \(X \to U'\) が同型となるものが存在する！ 言い換えれば、\(f'\) は開埋入である。 \(f'\) が準コンパクトであることに注意する。実際 \(f\) は準コンパクトであり、 \(\nu : Y' \to Y\) は分離的である（Morphisms of Spaces, Lemma 03KS）。 したがって、任意のアフィンスキーム \(Z\) と射 \(Z \to Y\) に対し、 ファイバー積 \(Z \times_Y X\) はアフィンスキーム \(Z \times_Y Y'\) の 準コンパクトな開部分スキームである。ゆえに定義により \(f\) は準アフィンである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(f\) は準有限かつ分離的であり、\(Y\) は準コンパクトかつ準分離的であると仮定する。 このとき分解 \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & Y & }\] で、\(j\) が準コンパクトな開埋入、\(\pi\) が有限となるものが存在する。

証明

\(X \to Y' \to Y\) を Lemma 082J の結論にあるものとする。 Limits of Spaces, Lemma 082C により、

\(\nu_*\mathcal{O}_{Y'} = \colim_{i \in I} \mathcal{A}_i\) を、有限な準連接 \(\mathcal{O}_X\)-代数 \(\mathcal{A}_i \subset \nu_*\mathcal{O}_{Y'}\) の有向余極限として書ける。 \(\pi_i : T_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i) \to Y\) は各 \(i\) に対し有限射である。遷移射 \(T_{i'} \to T_i\) はアフィンであり、 \(Y' = \lim T_i\) であることに注意する。

Limits of Spaces, Lemma 0827 により、ある \(i\) と準コンパクトな開部分 \(U_i \subset T_i\) で、その \(Y'\) における逆像が \(f'(X)\) に等しいものが存在する。 \(i' \geq i\) に対し、\(U_{i'}\) を \(U_i\) の \(T_{i'}\) における逆像とする。 このとき \(X \cong f'(X) = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\) である。Limits of Spaces, Lemma 07SF を参照せよ。 Limits of Spaces, Lemma 0828 により、 \(X \to U_{i'}\) は、ある \(i' \geq i\) に対し閉埋入である。 （実際、\(X \cong U_{i'}\) は十分大きな \(i'\) に対して成り立つが、これは不要である。） したがって \(X \to T_{i'}\) は埋入である。Morphisms of Spaces, Lemma 081U により、これを \(X \to T \to T_{i'}\) と分解できる。ここで第一の射は開埋入、 第二の射は閉埋入である。これで証明が完了する。

補題

Lemma 082K と同じ記法と仮定を用いる。 さらに \(f\) は局所有限表示であると仮定する。このとき \(T\) が \(Y\) 上有限かつ 有限表示となるように分解を選べる。

証明

Limits of Spaces, Lemma 07VR により、\(T = \lim T_i\) と書ける。ここで全ての \(T_i\) は \(Y\) 上有限かつ有限表示であり、 遷移射 \(T_{i'} \to T_i\) は閉埋入である。Limits of Spaces, Lemma 0827 により、ある \(i\) と開部分スキーム

\(U_i \subset T_i\) で、その \(T\) における逆像が \(X\) となるものが存在する。 Limits of Spaces, Lemma 0828 により、\(X \cong U_i\) は十分大きな \(i\) に対し成り立つ。 \(T\) を \(T_i\) で置き換えれば証明が完了する。

ザリスキーの主定理の応用 I

第一の応用は、有限射をファイバーが有限な固有射として特徴づけることである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 次は同値である：

1. \(f\) は有限である。

2. \(f\) は固有かつ局所準有限である。

3. \(f\) は固有であり、\(|X_k|\) は任意の射 \(\Spec(k) \to Y\) に対し 離散空間である。ここで \(k\) は体である。

4. \(f\) は普遍的閉、分離的、局所有限型であり、\(|X_k|\) は任意の射 \(\Spec(k) \to Y\) に対し離散空間である。ここで \(k\) は体である。

証明

Morphisms of Spaces, Lemmas 04NZ, 04NY により (1) \(\Rightarrow\) (2) である。Morphisms of Spaces, Lemma 06RW により (2) \(\Rightarrow\) (3) である。定義により (3) は (4) を含意する。

(4) を仮定する。\(f\) は普遍的閉なので準コンパクトである （Morphisms of Spaces, Lemma 04XW）。 点 \(y\) を \(|Y|\) から取る。\(y\) を射 \(\Spec(k) \to Y\) で表す。 \(|X_k|\) は準コンパクトな離散空間なので、有限離散空間である。 写像 \(|X_k| \to |X|\) は、\(|X| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバーへ全射である （Properties of Spaces, Lemma 03H4）。 Morphisms of Spaces, Lemma 06LS により、\(X \to Y\) は \(|X| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバーの全ての点で 準有限である。初等エタール近傍 \((U, u) \to (Y, y)\) と分解 \(X_U = V \amalg W\) を、\(|X|\) の \(y\) の上にある全ての点に適合するように選ぶ。 Lemma 082H を参照せよ。 \(W_u = \emptyset\) であることに注意する。実際、\(|X| \to |Y|\) の \(y\) 上のファイバーの全ての点を用いた。\(f\) は普遍的閉なので、 \(|W|\) の \(|U|\) における像は \(u\) を含まない閉集合である。 \(U\) を縮小した後、\(W = \emptyset\) と仮定してよい。言い換えれば、 \(X_U = V\) は \(U\) 上有限である。\(y \in |Y|\) は任意であったから、 エタール射の族 \(\{U_i \to Y\}\) で、その像が \(Y\) を被覆し、 基底変換 \(X_{U_i} \to U_i\) が有限となるものが存在する。 Morphisms of Spaces, Lemma 03ZQ により \(f\) は有限である。

帰結として、次の有用な結果を得る。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 \(y \in |Y|\) とする。次を仮定する：

1. \(f\) は固有である。

2. \(f\) は、全ての \(x \in |X|\) で準有限であり、それらの点は \(y\) の上にある （Decent Spaces, Lemma 0ACK）。

このとき開近傍 \(V \subset Y\) で \(y\) を含み、 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) が有限となるものが存在する。

証明

Morphisms of Spaces, Lemma 04NW により、\(f\) が準有限である点全体は開集合 \(U \subset X\) である。 \(Z = X \setminus U\) とおく。このとき \(y \not \in f(Z)\) である。 \(f\) は固有なので、集合 \(f(Z) \subset Y\) は閉である。任意の開近傍 \(V \subset Y\) で \(y\) を含み、次を満たすものを選ぶ：

\(Z \cap V = \emptyset\)。すると \(f^{-1}(V) \to V\) は局所準有限かつ固有である。 したがって Lemma 0A4X により \(f^{-1}(V) \to V\) は有限である。

補題

\(S\) をスキームとする。代数空間の射からなる可換図式

\[\xymatrix{ X \ar[rr]_h \ar[rd]_f & & Y \ar[ld]^g \\ & B }\] を考える。この図式は \(S\) 上にある。\(b \in B\) とし、\(\Spec(k) \to B\) を \(b\) の同値類に属する射とする。 次を仮定する：

1. \(X \to B\) は固有射である。

2. \(Y \to B\) は分離的かつ局所有限型である。

3. 次のいずれかが成り立つ：

   1. \(|X_k| \to |Y_k|\) の像は有限である。

   2. \(|f|^{-1}(\{b\})\) の \(|Y|\) における像は有限であり、 \(B\) は decent である。

このとき開部分空間 \(B' \subset B\) で \(b\) を含み、 \(X_{B'} \to Y_{B'}\) が閉部分空間 \(Z \subset Y_{B'}\) を経由して分解し、 この閉部分空間が \(B'\) 上有限となるものが存在する。

証明

\(Z \subset Y\) を \(h\) のスキーム論的像とする。Morphisms of Spaces, Section 082W を参照せよ。 Morphisms of Spaces, Lemma 0AGD により、\(X \to Z\) は全射であり、\(Z \to B\) は固有である。したがって \[\{x \in |X|\text{ lying over }b\} \to \{z \in |Z|\text{ lying over }b\}\] および \(|X_k| \to |Z_k|\) は全射である。(3)(a) または (3)(b) のいずれからも、

\(Z \to B\) は \(|Z|\) の \(b\) の上にある全ての点で準有限であることが分かる。 Decent Spaces, Lemma 0ACK を参照せよ。ゆえに Lemma 0A4Y により、 \(Z \to B\) は \(b\) の開近傍上有限である。

シュタイン分解

シュタイン分解とは、固有射 \(f : X \to S\) が \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) を満たすならば連結なファイバーをもつ、 という主張である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を、\(S\) 上の代数空間の普遍的閉かつ 準分離的な射とする。次の分解が存在する： \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{f'} \ar[rd]_f & & Y' \ar[dl]^\pi \\ & Y & }\] これは次の性質をもつ：

1. 射 \(f'\) は普遍的閉、準コンパクト、準分離的、かつ全射である。

2. 射 \(\pi : Y' \to Y\) は整である。

3. \(f'_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{Y'}\) である。

4. \(Y' = \underline{\Spec}_Y(f_*\mathcal{O}_X)\) である。

5. \(Y'\) は、\(Y\) の \(X\) における正規化であり、Morphisms of Spaces, Definition 0822 で定義されたものである。

分解 \(f = \pi \circ f'\) の形成は平坦な基底変換と可換である。