Algébrisation des espaces formels

Introduction

Le but principal de ce chapitre est de démontrer le théorème d’Artin sur les dilatations, voir le théorème 0GDU ; le résultat sur les contractions sera étudié dans Axiomes d’Artin, section 0GH7. Ces deux résultats utilisent des faits sur les espaces algébriques formels ; c’est pourquoi, dans la partie centrale de ce chapitre, nous poursuivons l’étude des espaces algébriques formels commencée au chapitre précédent, voir Espaces formels, section 0AHX. La première partie de ce chapitre est consacrée à des préliminaires algébriques, portant principalement sur l’algébrisation des algèbres rig-étales.

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Dans la première partie de ce chapitre (sections 0AL2 – 0AK5), nous étudions la catégorie des algèbres complètes pour la topologie \(I\)-adique, notées \(B\), et topologiquement de type fini sur l’anneau noethérien \(A\). Nous montrons que \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\) pour un certain idéal (fermé) \(J\) de l’anneau de séries formelles restreintes (où \(A\) est muni de la topologie \(I\)-adique). Nous montrons qu’il existe une bonne notion de complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}^\wedge\). Si une puissance de \(I\) annule \(\NL_{B/A}^\wedge\), nous disons que \(B\) est une algèbre rig-étale sur \((A, I)\) ; il existe une notion analogue d’algèbre rig-lisse. Si \(A\) est un anneau G, nous montrons, à l’aide du théorème de Popescu, que toute algèbre rig-lisse \(B\) sur \((A, I)\) est le complété d’une \(A\)-algèbre de type fini ; de manière informelle, nous disons que l’on peut « algébriser » \(B\). Cependant, le résultat principal de la première partie affirme que toute algèbre rig-étale \(B\) sur \((A, I)\) est algébrisable (sans supposer que \(A\) est un anneau G), voir le lemme 0AKA. Pour des indications bibliographiques sur ce type d’algébrisation, voir la remarque 0GAX. Les références générales pour la première partie sont [EGA], [Abbes] et [Fujiwara-Kato].

Dans la deuxième partie de ce chapitre (sections 0GC1 – 0GDJ), nous étudions différents types de morphismes d’espaces algébriques formels à un degré de généralité raisonnable (principalement pour les espaces algébriques formels localement noethériens). La notion la plus intéressante est celle de « modification formelle », introduite dans la dernière section. Nous vérifions soigneusement que notre définition coïncide avec celle d’Artin dans [ArtinII].

Enfin, dans la troisième et dernière partie de ce chapitre (sections 0GDP – 0AS1), nous démontrons le théorème principal et en donnons quelques applications. En fait, nous déduisons le théorème d’Artin d’un résultat plus fort, à savoir le théorème 0ARB. Très sommairement, ce théorème affirme que, si \(f : \mathfrak X \to \mathfrak X'\) est un morphisme rig-étale et si \(\mathfrak X'\) est le complété formel d’un espace algébrique localement noethérien, alors \(\mathfrak X\) l’est aussi. Dans les travaux d’Artin, le morphisme \(f\) est supposé propre et rig-surjectif.

Deux catégories

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal. Dans cette section, \({}^\wedge\) désignera la complétion \(I\)-adique. Posons \(A_n = A/I^n\), de sorte que le complété \(I\)-adique de \(A\) soit \(A^\wedge = \lim A_n\). Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie [0AL3]\[\begin{equation} \mathcal{C} = \left\{ \begin{matrix} \text{des systèmes projectifs }\ldots \to B_3 \to B_2 \to B_1 \\ \text{où }B_n\text{ est une }A_n\text{-algèbre de type fini,}\\ B_{n + 1} \to B_n\text{ est un homomorphisme de }A_{n + 1}\text{-algèbres}\\ \text{qui induit }B_{n + 1}/I^nB_{n + 1} \cong B_n \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Les morphismes de \(\mathcal{C}\) sont donnés par des systèmes d’homomorphismes. Soit \(\mathcal{C}'\) la catégorie [0AL4]\[\begin{equation} \mathcal{C}' = \left\{ \begin{matrix} A\text{-algèbres }B\text{ qui sont complètes pour la topologie }I\text{-adique}\\ \text{et telles que }B/IB\text{ soit de type fini sur }A/I \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Les morphismes de \(\mathcal{C}'\) sont les homomorphismes de \(A\)-algèbres. Il existe un foncteur [0AJN]\[\begin{equation} \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C},\quad B \longmapsto (B/I^nB) \end{equation}\] En effet, puisque \(B/IB\) est de type fini sur \(A/I\), les homomorphismes d’anneaux \(A_n = A/I^n \to B/I^nB\) sont de type fini d’après Algèbre, lemme 0G8U.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Le foncteur \[\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}',\quad (B_n) \longmapsto B = \lim B_n\] est un quasi-inverse de (0AJN). Les complétés \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) appartiennent à \(\mathcal{C}'\), et tout objet de \(\mathcal{C}'\) est de la forme \[B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\] pour un certain idéal \(J \subset A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\).

Démonstration

Soit \((B_n)\) un objet de \(\mathcal{C}\). D’après Algèbre, lemme 09B8, \(B = \lim B_n\) est complète pour la topologie \(I\)-adique et \(B/I^nB = B_n\). Ainsi, \(B\) est un objet de \(\mathcal{C}'\) et l’on peut retrouver l’objet \((B_n)\) en prenant les quotients. Réciproquement, si \(B\) est un objet de \(\mathcal{C}'\), alors \(B = \lim B/I^nB\) par hypothèse. Par conséquent, \(B \mapsto (B/I^nB)\) est un quasi-inverse du foncteur du lemme.

Comme \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = \lim A_n[x_1, \ldots, x_r]\), c’est un objet de \(\mathcal{C}'\) d’après la première assertion du lemme. Enfin, soit \(B\) un objet de \(\mathcal{C}'\). Choisissons \(b_1, \ldots, b_r \in B\) dont les images dans \(B/IB\) engendrent \(B/IB\) comme algèbre sur \(A/I\). Puisque \(B\) est complète pour la topologie \(I\)-adique, l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\), \(x_i \mapsto b_i\), se prolonge en un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to B\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que cet homomorphisme est surjectif. Cela résulte d’Algèbre, lemme 0315, car notre homomorphisme \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\) est surjectif modulo \(I\) et \(B = B^\wedge\).

Signalons que, lorsque \(A\) n’est pas noethérien, le quotient d’un objet de \(\mathcal{C}'\) peut ne pas être un objet de \(\mathcal{C}'\). Voir Exemples, lemme 05JE. Nous montrons maintenant que cela ne se produit pas lorsque \(A\) est noethérien.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Alors :

1. tout objet de la catégorie \(\mathcal{C}'\) (0AL4) est noethérien ;

2. si \(B \in \Ob(\mathcal{C}')\) et si \(J \subset B\) est un idéal, alors \(B/J\) est un objet de \(\mathcal{C}'\) ;

3. pour toute \(A\)-algèbre de type fini \(C\), le complété \(I\)-adique \(C^\wedge\) appartient à \(\mathcal{C}'\) ;

4. en particulier, le complété \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) appartient à \(\mathcal{C}'\).

Démonstration

L’assertion (4) résulte d’Algèbre, lemme 0316, puisque \(A[x_1, \ldots, x_r]\) est noethérien (Algèbre, lemme 00FN). Pour démontrer (1), le lemme 0AJP nous ramène au cas du complété de l’anneau de polynômes, que nous venons de traiter. L’assertion (2) résulte d’Algèbre, lemme 00MA, qui affirme que tout \(B\)-module fini est complet pour la topologie \(IB\)-adique. L’assertion (3) se démontre de la même manière que l’assertion (4).

Remarque

Soient \(\varphi : A_1 \to A_2\) un homomorphisme d’anneaux et \(I_i \subset A_i\) des idéaux tels que \(\varphi(I_1^c) \subset I_2\) pour un certain \(c \geq 1\). Cela induit des homomorphismes d’anneaux \(A_{1, cn} = A_1/I_1^{cn} \to A_2/I_2^n = A_{2, n}\) pour tout \(n \geq 1\). Soit \(\mathcal{C}_i\) la catégorie (0AL3) associée à \((A_i, I_i)\). Il existe un foncteur de changement de base [0AJZ]\[\begin{equation} \mathcal{C}_1 \longrightarrow \mathcal{C}_2,\quad (B_n) \longmapsto (B_{cn} \otimes_{A_{1, cn}} A_{2, n}) \end{equation}\] Soit \(\mathcal{C}_i'\) la catégorie (0AL4) associée à \((A_i, I_i)\). Si \(I_2\) est de type fini, il existe alors un foncteur de changement de base [0AK0]\[\begin{equation} \mathcal{C}_1' \longrightarrow \mathcal{C}_2',\quad B \longmapsto (B \otimes_{A_1} A_2)^\wedge \end{equation}\] car, dans ce cas, le complété est complet (Algèbre, lemme 05GG). Si \(I_1\) et \(I_2\) sont tous deux de type fini, alors les deux foncteurs de changement de base coïncident par l’intermédiaire des foncteurs (0AJN), qui sont des équivalences d’après le lemme 0AJP.

Remarque

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(\mathfrak a \subset A\) un idéal. Posons \(\bar A = A/\mathfrak a\). Soit \(\bar I \subset \bar A\) un idéal tel que \(I^c \bar A \subset \bar I\) et \(\bar I^d \subset I\bar A\) pour certains \(c, d \geq 1\). Dans ce cas, le foncteur de changement de base (0AK0) de \((A, I)\) vers \((\bar A, \bar I)\) est donné par \(B \mapsto \bar B = B/\mathfrak aB\). En effet, on a [0AK1]\[\begin{equation} \bar B = (B \otimes_A \bar A)^\wedge = (B/\mathfrak a B)^\wedge = B/\mathfrak a B \end{equation}\] la dernière égalité résultant du fait que tout \(B\)-module fini est complet pour la topologie \(I\)-adique d’après Algèbre, lemme 00MA, et que, s’il est annulé par \(\mathfrak a\), il est aussi complet pour la topologie \(\bar I\)-adique d’après Algèbre, lemme 0319.

Un complexe cotangent naïf

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique et telle que \(A/I \to B/IB\) soit de type fini, c’est-à-dire un objet de (0AL4). D’après le lemme 0AJQ, on peut écrire \[B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\] pour un certain idéal de type fini \(J\). Pour un choix de présentation comme ci-dessus, nous définissons dans ce cadre le complexe cotangent naïf par la formule [0AJR]\[\begin{equation} \NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \longrightarrow \bigoplus B\text{d}x_i) \end{equation}\] dont les termes sont placés en degrés \(-1\) et \(0\), l’homomorphisme envoyant la classe résiduelle de \(g \in J\) sur la différentielle \(\text{d}g = \sum (\partial g/\partial x_i) \text{d}x_i\). La dérivée partielle est ici calculée en considérant \(g\) comme une série formelle. Le lemme suivant montre que \(\NL_{B/A}^\wedge\) est bien défini à homotopie près.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}^\wedge\) est bien défini dans \(K(B)\).

Démonstration

Le lemme signifie que, pour une seconde présentation \(B = A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge / K\), les complexes de \(B\)-modules \[(J/J^2 \to B\text{d}x_i) \quad\text{et}\quad (K/K^2 \to \bigoplus B\text{d}y_j)\] sont homotopiquement équivalents. Pour le voir, on peut raisonner exactement comme dans la démonstration d’Algèbre, lemme 00S1.

Étape 1. Si nous choisissons \(g_i(y_1, \ldots, y_s) \in A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge\) ayant pour image l’image de \(x_i\) dans \(B\), nous obtenons un unique homomorphisme continu de \(A\)-algèbres \[A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to A[y_1, \ldots, y_s]^\wedge,\quad x_i \mapsto g_i(y_1, \ldots, y_s)\] compatible avec les surjections données sur \(B\). Un tel homomorphisme est appelé un morphisme de présentations. Il induit un homomorphisme de \(J\) dans \(K\), donc un homomorphisme de \(B\)-modules \(J/J^2 \to K/K^2\). En envoyant \(\text{d}x_i\) sur \(\sum (\partial g_i/\partial y_j)\text{d}y_j\), nous obtenons un morphisme de complexes \[(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i) \longrightarrow (K/K^2 \to \bigoplus B\text{d}y_j)\] Bien entendu, on peut procéder de même en échangeant les rôles des deux présentations, ce qui donne un morphisme de complexes en sens inverse.

Étape 2. La construction précédente est compatible avec la composition des morphismes de présentations. Pour achever la démonstration, il suffit donc de montrer que, étant donné \(g_i(x_1, \ldots, x_r) \in A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) ayant pour image celle de \(x_i\) dans \(B\), le morphisme de complexes induit \[(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i) \longrightarrow (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\] est homotope à l’identité. Pour le voir, considérons l’homomorphisme \(h : \bigoplus B \text{d}x_i \to J/J^2\) défini par \(\text{d}x_i \mapsto g_i(x_1, \ldots, x_n) - x_i\), puis calculons.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Choisissons une présentation \(\alpha : A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Alors \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \lim \NL(\alpha) \otimes_B B^\wedge\) comme complexes, et \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^\wedge\) dans \(D(B^\wedge)\).

Démonstration

L’énoncé a un sens puisque \(B^\wedge\) est un objet de (0AL4) d’après le lemme 0AJQ. Posons \(J = \Ker(\alpha)\). Le foncteur de complétion \(I\)-adique est exact sur les modules finis sur \(A[x_1, \ldots, x_n]\) et coïncide avec le foncteur \(M \mapsto M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) ; voir Algèbre, lemmes 00MA et 00MB. En outre, les homomorphismes d’anneaux \(A[x_1, \ldots, x_n] \to A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) et \(B \to B^\wedge\) sont plats. Par conséquent, \(B^\wedge = A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge / J^\wedge\) et \[(J/J^2) \otimes_B B^\wedge = (J/J^2)^\wedge = J^\wedge/(J^\wedge)^2\] Puisque \(\NL(\alpha) = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\), voir Algèbre, section 00S0, nous en concluons que le complexe \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\) est égal à \(\NL(\alpha) \otimes_B B^\wedge\). La dernière assertion résulte du fait que \(\NL_{B/A}\) est homotopiquement équivalent à \(\NL(\alpha)\) et que l’homomorphisme d’anneaux \(B \to B^\wedge\) est plat (le changement de base dérivé le long de \(B \to B^\wedge\) n’est donc que le changement de base).

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Alors :

1. les pro-objets \(\{\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\}\) et \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\) sont strictement isomorphes dans \(D(B)\) (voir la démonstration pour des précisions) ;

2. \(\NL_{B/A}^\wedge = R\lim \NL_{B_n/A_n}\) dans \(D(B)\).

Ici, \(B_n\) et \(A_n\) sont définis comme dans la section 0AL2.

Démonstration

L’énoncé signifie ceci : pour tout \(n\), nous disposons d’un complexe bien défini \(\NL_{B_n/A_n}\) de \(B_n\)-modules et de morphismes de transition \(\NL_{B_{n + 1}/A_{n + 1}} \to \NL_{B_n/A_n}\). Voir Algèbre, section 00S0. Nous pouvons donc considérer \[\ldots \to \NL_{B_3/A_3} \to \NL_{B_2/A_2} \to \NL_{B_1/A_1}\] comme un système projectif de complexes de \(B\)-modules et, a fortiori, comme un système projectif dans \(D(B)\). En outre, \(R\lim \NL_{B_n/A_n}\) est une limite homotopique de ce système projectif ; voir Catégories dérivées, section 08TB.

Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge / J\). Elle définit des présentations \[B_n = B/I^nB = A_n[x_1, \ldots, x_r]/J_n\] où \[J_n = JA_n[x_1, \ldots, x_r] = J/(J \cap I^nA[x_1, \ldots, x_r]^\wedge)\] Le complexe à deux termes \(J_n/J_n^2 \longrightarrow \bigoplus B_n \text{d}x_i\) représente \(\NL_{B_n/A_n}\) ; voir Algèbre, section 00S0. Le lemme d’Artin–Rees (Algèbre, lemme 00IN), appliqué dans l’anneau noethérien \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) (lemme 0AJQ), fournit un \(c \geq 0\) tel que l’on ait des surjections canoniques \[J/I^nJ \to J_n \to J/I^{n - c}J \to J_{n - c},\quad n \geq c\] pour tout \(n \geq c\). On vérifie aussitôt que ces homomorphismes sont compatibles aux différentielles, et l’on obtient des morphismes de complexes \[\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB \to \NL_{B_n/A_n} \to \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^{n - c}B \to \NL_{B_{n - c}/A_{n - c}}\] compatibles aux morphismes de transition des systèmes projectifs \(\{\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\}\) et \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\). Cela démontre l’assertion (1) du lemme.

En vertu de l’assertion (1), et puisque des systèmes pro-isomorphes ont le même \(R\lim\), il suffit, pour démontrer (2), de montrer que \(\NL_{B/A}^\wedge\) est égal à \(R\lim \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B/I^nB\). Or \(\NL_{B/A}^\wedge\) est un complexe à deux termes \(M^\bullet\) de \(B\)-modules finis, qui sont complets pour la topologie \(I\)-adique, par exemple d’après Algèbre, lemme 00MA. Par conséquent, \(M^\bullet = \lim M^\bullet/I^nM^\bullet = R\lim M^\bullet/I^n M^\bullet\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 091D et remarque 07KZ.

Lemme

Soit \((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\) comme dans la remarque 0AL5, avec \(A_1\) et \(A_2\) noethériens. Soit \(B_1\) un objet de (0AL4) pour \((A_1, I_1)\). Soit \(B_2\) le changement de base de \(B_1\). Il existe alors un morphisme canonique \[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\] qui induit un isomorphisme sur \(H^0\) et une surjection sur \(H^{-1}\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(B_1 = A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J_1\). Puisque \(A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r] = A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r] \otimes_{A_1/I_1^{cn}} A_2/I_2^n\) on a \[A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = (A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \otimes_{A_1} A_2)^\wedge\] où l’on prend la complétion \(I_2\)-adique des deux côtés (mais, bien entendu, la complétion \(I_1\)-adique pour \(A_1[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)). Posons \(J_2 = J_1 A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\). Un raisonnement analogue donne la présentation \[\begin{align*} B_2 & = (B_1 \otimes_{A_1} A_2)^\wedge \\ & = \lim \frac{A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r]}{J_1(A_1/I_1^{cn}[x_1, \ldots, x_r])} \otimes_{A_1/I_1^{cn}} A_2/I_2^n \\ & = \lim \frac{A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r]}{J_2(A_2/I_2^n[x_1, \ldots, x_r])} \\ & = A_2[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J_2 \end{align*}\] de \(B_2\) sur \(A_2\). On obtient par conséquent un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \NL^\wedge_{B_1/A_1} : \ar[d] & J_1/J_1^2 \ar[r]_-{\text{d}} \ar[d] & \bigoplus B_1\text{d}x_i \ar[d] \\ \NL^\wedge_{B_2/A_2} : & J_2/J_2^2 \ar[r]^-{\text{d}} & \bigoplus B_2\text{d}x_i }\] La flèche induite \(J_1/J_1^2 \otimes_{B_1} B_2 \to J_2/J_2^2\) est surjective, car \(J_2\) est engendré par l’image de \(J_1\). Cela détermine la flèche affichée dans le lemme. Nous omettons de démontrer que cette flèche est bien définie à homotopie près (c’est-à-dire indépendante, à homotopie près, du choix des présentations). L’assertion relative au morphisme induit sur les modules de cohomologie découle aisément de ce qui précède (détails omis).

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B \to C\) un morphisme de (0AL4). Il existe alors une suite exacte \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] Voir la démonstration pour des précisions.

Démonstration

Notons que le produit tensoriel \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C\) a un sens, puisque \(\NL_{B/A}^\wedge\) est bien défini à homotopie près d’après le lemme 0GAE. De plus, \((B, IB)\) est un couple où \(B\) est un anneau noethérien (lemme 0AJQ), et \(C\) appartient à la catégorie correspondante (0AL4). Tous les termes de la suite à \(6\) termes sont donc bien définis.

Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\), puis une présentation \(C = B[y_1, \ldots, y_s]^\wedge/J'\). En combinant ces présentations, on obtient une présentation \[C = A[x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s]^\wedge/K\] Le lecteur vérifie alors que l’on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus C \text{d}x_i \ar[r] & \bigoplus C \text{d}x_i \oplus \bigoplus C \text{d}y_j \ar[r] & \bigoplus C \text{d}y_j \ar[r] & 0 \\ & J/J^2 \otimes_B C \ar[r] \ar[u] & K/K^2 \ar[r] \ar[u] & J'/(J')^2 \ar[r] \ar[u] & 0 }\] à lignes exactes. Notons que la flèche verticale de gauche est le produit tensoriel de la flèche définissant \(\NL_{B/A}^\wedge\) par \(\text{id}_C\). Le lemme résulte alors du lemme du serpent (Algèbre, lemme 07JW).

Lemme

Sous les hypothèses du lemme 0ALM, supposons que \(B/I^nB \to C/I^nC\) soit un homomorphisme d’intersection complète locale pour tout \(n\). Alors \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\) est injectif.

Démonstration

Pour tout \(n \geq 1\), posons \(A_n = A/I^n\), \(B_n = B/I^nB\) et \(C_n = C/I^nC\). On a \[\begin{align*} H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) & = \lim H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C_n) \\ & = \lim H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_n \otimes_{B_n} C_n) \\ & = \lim H^{-1}(\NL_{B_n/A_n} \otimes_{B_n} C_n) \end{align*}\] La première égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0EGU, et du fait que \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\) est un \(C\)-module fini, donc complet pour la topologie \(I\)-adique, par exemple d’après Algèbre, lemme 00MA. La deuxième égalité est immédiate. La troisième résulte du lemme 0AJS. Les homomorphismes \(H^{-1}(\NL_{B_n/A_n} \otimes_{B_n} C_n) \to H^{-1}(\NL_{C_n/A_n})\) sont injectifs d’après Compléments d’algèbre, lemme 07D4. La démonstration s’achève car nous avons aussi \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) = \lim H^{-1}(\NL_{C_n/A_n})\) par le même raisonnement.

Algèbres rig-lisses

Pour motiver la définition suivante, voir Compléments d’algèbre, remarque 0G9D.

Définition

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Nous disons que \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\) s’il existe un entier \(c \geq 0\) tel que \(I^c\) annule \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) pour tout \(B\)-module \(N\).

Explicitons cette définition.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\) (lemme 0AJQ) et soit \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\) son complexe cotangent naïf (0AJR). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\) ;

2. l’objet \(\NL_{B/A}^\wedge\) de \(D(B)\) satisfait les conditions équivalentes (1) – (6) de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K, relativement à l’idéal \(IB\) ;

3. il existe \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in I^c\), il existe un homomorphisme \(h : \bigoplus B\text{d}x_i \to J/J^2\) tel que \(a : J/J^2 \to J/J^2\) soit égal à \(h \circ \text{d}\) ;

4. il existe \(b_1, \ldots, b_s \in B\) tels que \(V(b_1, \ldots, b_s) \subset V(IB)\) et tels que, pour tout \(l = 1, \ldots, s\), il existe \(m \geq 0\), \(f_1, \ldots, f_m \in J\) et une partie \(T \subset \{1, \ldots, n\}\) vérifiant \(|T| = m\) et les conditions suivantes :

   1. \(\det_{i \in T, j \leq m}(\partial f_j/ \partial x_i)\) divise \(b_l\) dans \(B\) ;

   2. \(b_l J \subset (f_1, \ldots, f_m) + J^2\).

Démonstration

L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte immédiatement de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K.

Supposons que \(b_1, \ldots, b_s\) soient comme en (4). Puisque \(B\) est noethérien, l’inclusion \(V(b_1, \ldots, b_s) \subset V(IB)\) implique \(I^cB \subset (b_1, \ldots, b_s)\) pour un certain \(c \geq 0\) (par exemple d’après Algèbre, lemme 00L6). Fixons \(1 \leq l \leq s\), ainsi que \(m \geq 0\), \(f_1, \ldots, f_m \in J\) et \(T \subset \{1, \ldots, n\}\) avec \(|T| = m\), satisfaisant (4)(a) et (b). Après inversion de \(b_l\), on voit que \[\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_{b_l} = \left( \bigoplus\nolimits_{j \leq m} B_{b_l} f_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B_{b_l} \text{d}x_i \right)\] et que, de plus, la flèche est isomorphe à l’inclusion du facteur direct \(\bigoplus_{i \in T} B_{b_l} \text{d}x_i\). On en déduit que \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\) est de torsion annulée par une puissance de \(b_l\) et que \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\) devient libre de type fini après inversion de \(b_l\). En combinant ceci avec l’inclusion \(I^cB \subset (b_1, \ldots, b_s)\), on voit que \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\) est de torsion annulée par une puissance de \(IB\). La condition (4) de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K, est donc satisfaite. Ainsi, (4) implique (2).

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (1), (2) et (3). Nous allons démontrer (4), mais nous invitons vivement le lecteur à s’en convaincre par lui-même. Le complexe \(\NL_{B/A}^\wedge\) détermine un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\Spec(B))\) dont la restriction à l’ouvert de Zariski \(U = \Spec(B) \setminus V(IB)\) est un module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\) placé en degré \(0\) (cela résulte, par exemple, de la quatrième condition équivalente de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K). Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_M\) de \(J\). Ils déterminent une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, M} \mathcal{O}_U \cdot f_j \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \cdot \text{d}x_i \to \mathcal{E} \to 0\] Soit \(U = \bigcup_{l = 1, \ldots, s} U_l\) un recouvrement ouvert affine fini tel que \(\mathcal{E}|_{U_l}\) soit libre de rang \(r_l = n - m_l\) pour un entier \(n \geq m_l \geq 0\). En remplaçant chaque \(U_l\) par un recouvrement ouvert affine, on peut supposer qu’il existe une partie \(T_l \subset \{1, \ldots, n\}\) telle que les éléments \(\text{d}x_i\), \(i \in \{1, \ldots, n\} \setminus T_l\), aient pour images une base de \(\mathcal{E}|_{U_l}\). En répétant l’argument, on peut supposer qu’il existe une partie \(T'_l \subset \{1, \ldots, M\}\) de cardinal \(m_l\) telle que les images des \(f_j\), \(j \in T'_l\), forment une base du noyau de \(\mathcal{O}_{U_l} \cdot \text{d}x_i \to \mathcal{E}|_{U_l}\). Enfin, puisque le recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_l\) peut être raffiné par un recouvrement par des ouverts principaux (Algèbre, lemme 00E0), on peut supposer que \(U_l = D(g_l)\) pour un certain \(g_l \in B\). En particulier, \(V(g_1, \ldots, g_s) = V(IB)\). Un argument d’algèbre linéaire utilisant les choix précédents montre que \(\det_{i \in T_l, j \in T'_l}(\partial f_j/ \partial x_i)\) a pour image un élément inversible de \(B_{b_l}\). De même, l’annulation de la cohomologie de \(\NL_{B/A}^\wedge\) en degré \(-1\) sur \(U_l\) montre que \(J/J^2 + (f_j; j \in T')\) est annulé par une puissance de \(b_l\). En remplaçant chaque \(g_l\) par une puissance convenable, on obtient les conditions (4)(a) et (4)(b) du lemme. Certains détails sont omis.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I\) un idéal. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre de type fini.

1. Si \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est lisse au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\), alors \(B^\wedge\) est rig-lisse sur \((A, I)\).

2. Si \(B^\wedge\) est rig-lisse sur \((A, I)\), alors il existe \(g \in 1 + IB\) tel que \(\Spec(B_g)\) soit lisse au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\).

Démonstration

Nous utiliserons le lemme 0GAJ sans plus de commentaires.

Supposons (1). Rappelons que la formation de \(\NL_{B/A}\) commute à la localisation ; voir Algèbre, lemme 00S7. Par la définition même des homomorphismes d’anneaux lisses (selon laquelle le complexe cotangent naïf est quasi-isomorphe à un module projectif de type fini placé en degré \(0\)), on voit donc que \(\NL_{B/A}\) satisfait la quatrième condition équivalente de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K, relativement à l’idéal \(IB\) (un petit détail est omis). Puisque \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge\) d’après le lemme 0GAF, on en conclut que (2) est satisfaite d’après Compléments d’algèbre, lemme 0G9H.

Supposons (2). Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/J\), posons \(N = J/J^2\) et considérons l’élément \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, J/J^2)\) déterminé par l’identité de \(J/J^2\). En utilisant de nouveau l’égalité \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge = \NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge\), on voit que notre hypothèse implique que l’image \[\xi \otimes 1 \in \Ext^1_{B^\wedge}(\NL_{B/A} \otimes_B B^\wedge, N \otimes_B B^\wedge) = \Ext^1_{B^\wedge}(\NL_{B/A}, N) \otimes_B B^\wedge\] est annulée par \(I^c\) pour un certain entier \(c \geq 0\). L’égalité résulte, par exemple, de Compléments d’algèbre, lemme 0A6A (mais elle se déduit aussi aisément du lemme beaucoup plus simple de Compléments d’algèbre, 087R). Ainsi, \(M = I^cB\xi \subset \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) est un sous-module fini dont l’image dans \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N) \otimes_B B^\wedge\) est nulle. Comme \(B \to B^\wedge\) est plat, cela signifie que \(M \otimes_B B^\wedge\) est nul. Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) implique alors que \(M = I^cB\xi\) est annulé par un élément de la forme \(g = 1 + x\) avec \(x \in IB\). Il s’ensuit que, pour tout \(b \in I^cB\), il existe une flèche pointillée \(B\)-linéaire rendant le diagramme commutatif \[\xymatrix{ J/J^2 \ar[r] \ar[d]^b & \bigoplus B\text{d}x_i \ar@{..>}[d]^h \\ J/J^2 \ar[r] & (J/J^2)_g }\] Ainsi, \((\NL_{B/A})_{gb}\) est quasi-isomorphe à un module projectif de type fini ; un petit détail est omis. Comme \((\NL_{B/A})_{gb} = \NL_{B_{gb}/A}\) dans \(D(B_{gb})\), cela montre que \(B_{gb}\) est lisse sur \(\Spec(A)\). Puisque ceci vaut pour tout \(b \in I^cB\), on en conclut que \(\Spec(B_g) \to \Spec(A)\) est lisse au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\), comme souhaité.

Lemme

Soit \((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\) comme dans la remarque 0AL5, avec \(A_1\) et \(A_2\) noethériens. Soit \(B_1\) un objet de (0AL4) pour \((A_1, I_1)\). Soit \(B_2\) le changement de base de \(B_1\). Soient \(f_1 \in B_1\) et son image \(f_2 \in B_2\). Si \(\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}^\wedge, N_1)\) est annulé par \(f_1\) pour tout \(B_1\)-module \(N_1\), alors \(\Ext^1_{B_2}(\NL_{B_2/A_2}^\wedge, N_2)\) est annulé par \(f_2\) pour tout \(B_2\)-module \(N_2\).

Démonstration

D’après le lemme 0GAG, il existe un morphisme \[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\] qui induit un isomorphisme sur \(H^0\) et une surjection sur \(H^{-1}\). Le résultat découle donc des lemmes de Compléments d’algèbre 0G9G, 0G9H et 0G9J — les deux derniers étant appliqués aux idéaux principaux \((f_1) \subset B_1\) et \((f_2) \subset B_2\).

Lemme

Soit \(A_1 \to A_2\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Soit \(I_i \subset A_i\) un idéal tel que \(V(I_1A_2) = V(I_2)\). Soit \(B_1\) un objet de (0AL4) pour \((A_1, I_1)\). Soit \(B_2\) le changement de base de \(B_1\), comme dans la remarque 0AL5. Si \(B_1\) est rig-lisse sur \((A_1, I_1)\), alors \(B_2\) est rig-lisse sur \((A_2, I_2)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0GAL, de la définition 0GAI et du fait que \(I_2^c\) est contenu dans \(I_1A_2\) pour un certain \(c \geq 0\), puisque \(A_2\) est noethérien.

Déformations d’homomorphismes d’anneaux

Quelques résultats sur le relèvement des homomorphismes d’anneaux issus d’algèbres rig-lisses.

Remarque

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(C\) une algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique sur \(A\). Soit \(\psi : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C\) un homomorphisme continu de \(A\)-algèbres. Supposons donnés \(\delta_i \in C\), \(i = 1, \ldots, r\). On peut alors considérer \[\psi' : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C,\quad x_i \longmapsto \psi(x_i) + \delta_i\] voir Espaces formels, remarque 0AJM. On a alors \[\psi'(g) = \psi(g) + \sum \psi(\partial g/\partial x_i)\delta_i + \xi\] avec un terme d’erreur \(\xi \in (\delta_i\delta_j)\). Cela se voit en écrivant \(g\) comme une série formelle et en procédant terme à terme. La convergence est automatique puisque les coefficients de \(g\) tendent vers zéro. Les détails sont omis.

Remarque

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Soit \(C\) une algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique sur \(A\). Soit \(\psi_n : B \to C/I^nC\) un homomorphisme de \(A\)-algèbres. L’obstruction au relèvement de \(\psi_n\) en un homomorphisme de \(A\)-algèbres à valeurs dans \(C/I^{2n}C\) est un élément \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C)\] comme nous allons l’expliquer. Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\), puis un relèvement \(\psi : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C\) de \(\psi_n\). Puisque \(\psi(J) \subset I^nC\), on a \(\psi(J^2) \subset I^{2n}C\), et donc un homomorphisme \(B\)-linéaire \[o(\psi) : J/J^2 \longrightarrow I^nC/I^{2n}C, \quad g \longmapsto \psi(g)\] qui se prolonge évidemment en un homomorphisme \(C\)-linéaire \(J/J^2 \otimes_B C \to I^nC/I^{2n}C\). Puisque \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B \text{d}x_i)\), on obtient \(o(\psi_n)\) comme image de \(o(\psi)\) par l’identification \[\begin{align*} & \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C) \\ & = \Coker\left(\Hom_B(\bigoplus B\text{d}x_i, I^nC/I^{2n}C) \to \Hom_B(J/J^2, I^nC/I^{2n}C)\right) \end{align*}\] Pour cette égalité, voir Compléments d’algèbre, lemme 0ALN, assertion (1).

Supposons que \(o(\psi_n)\) ait une image nulle dans \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^{n'}C/I^{2n'}C)\) pour un entier \(n'\) tel que \(n > n' > n/2\). Nous affirmons que cela permet de trouver un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\) qui coïncide avec \(\psi_n\) comme homomorphisme à valeurs dans \(C/I^{n'}C\). Le cas extrême \(n' = n\) explique pourquoi nous avons dit plus haut que \(o(\psi_n)\) est l’obstruction au relèvement de \(\psi_n\) à \(C/I^{2n}C\). Démontrons l’affirmation. L’hypothèse selon laquelle l’image de \(o(\psi_n)\) est nulle fournit un homomorphisme de \(B\)-modules \[h : \bigoplus B\text{d}x_i \longrightarrow I^{n'}C/I^{2n'}C\] tel que \(o(\psi)\) et \(h \circ \text{d}\) coïncident comme homomorphismes à valeurs dans \(I^{n'}C/I^{2n'}C\). Écrivons \(h(\text{d}x_i) = \delta_i \bmod I^{2n'}C\) pour certains \(\delta_i \in I^{n'}C\). Considérons alors l’homomorphisme \[\psi' : A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge \to C,\quad x_i \longmapsto \psi(x_i) - \delta_i\] Un calcul sur les séries formelles montre que \(\psi'(J) \subset I^{2n'}C\). En effet, pour \(g \in J\), on obtient \[\psi'(g) \equiv \psi(g) - \sum \psi(\partial g/\partial x_i)\delta_i \equiv o(\psi)(g) - (h \circ \text{d})(g) \equiv 0 \bmod I^{2n'}C\] Pour la première égalité, voir la remarque 0AK3. Par conséquent, \(\psi'\) induit un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\), comme voulu.

Lemme

Supposons données les données suivantes :

1. un entier \(c \geq 0\) ;

2. un idéal \(I\) d’un anneau noethérien \(A\) ;

3. un objet \(B\) de (0AL4) pour \((A, I)\) tel que \(I^c\) annule \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) pour tout \(B\)-module \(N\) ;

4. une algèbre noethérienne complète pour la topologie \(I\)-adique, munie d’une structure de \(A\)-algèbre et notée \(C\) ; notons \(d = d(\text{Gr}_I(C))\) et \(q_0 = q(\text{Gr}_I(C))\) les entiers obtenus dans Cohomologie locale, section 0GA6 ;

5. un entier \(n \geq \max(q_0 + (d + 1)c, 2(d + 1)c + 1)\) ;

6. un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi_n : B \to C/I^nC\).

Il existe alors un homomorphisme \(\varphi : B \to C\) de \(A\)-algèbres tel que \(\psi_n \bmod I^{n - (d + 1)c} = \varphi \bmod I^{n - (d + 1)c}\).

Démonstration

Considérons la classe d’obstruction \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^nC/I^{2n}C)\] de la remarque 0GAP. Pour tout \(C/I^nC\)-module \(N\), on a \[\begin{align*} \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N) & = \Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B^\mathbf{L} C/I^nC, N) \\ & = \Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, N) \end{align*}\] La première égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0E1W, et la seconde de Compléments d’algèbre, lemme 0G9G. En particulier, \(\Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, N)\) est annulé par \(I^cC\) pour tout \(C/I^nC\)-module \(N\). On peut donc appliquer Cohomologie locale, lemme 0GAD, pour voir que l’image de \(o(\psi_n)\) est nulle dans \[\Ext^1_{C/I^nC}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C/I^nC, I^{n'}C/I^{2n'}C) = \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, I^{n'}C/I^{2n'}C) =\] où \(n' = n - (d + 1)c\). D’après la discussion de la remarque 0GAP, on obtient un homomorphisme \[\psi'_{2n'} : B \to C/I^{2n'}C\] qui coïncide avec \(\psi_n\) modulo \(I^{n'}\). Notons que \(2n' > n\) puisque \(n \geq 2(d + 1)c + 1\).

On peut répéter ce procédé. En partant de \(n_0 = n\) et de \(\psi^0 = \psi_n\), on obtient une suite strictement croissante d’entiers \[n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\] et des homomorphismes de \(A\)-algèbres \(\psi^i : B \to C/I^{n_i}C\) tels que \(\psi^{i + 1}\) et \(\psi^i\) coïncident modulo \(I^{n_i - tc}\). Puisque \(C\) est complète pour la topologie \(I\)-adique, on peut prendre pour \(\varphi\) la limite des homomorphismes \(\psi^i \bmod I^{n_i - (d + 1)c} : B \to C/I^{n_i - (d + 1)c}C\) et le lemme en résulte.

Nous suggérons au lecteur de passer directement à la section suivante. En effet, les deux lemmes qui suivent sont des conséquences du résultat précédent si l’on y suppose l’algèbre \(C\) noethérienne.

Lemme

Soit \(I = (a)\) un idéal principal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(B\) un objet de (0AL4). Supposons donné un entier \(c \geq 0\) tel que \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) soit annulé par \(a^c\) pour tout \(B\)-module \(N\). Soit \(C\) une algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique sur \(A\), telle que \(a\) soit non-diviseur de zéro dans \(C\). Soit \(n > 2c\). Pour tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi_n : B \to C/a^nC\), il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B \to C\) tel que \(\psi_n \bmod a^{n - c}C = \varphi \bmod a^{n - c}C\).

Démonstration

Considérons la classe d’obstruction \[o(\psi_n) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^nC/a^{2n}C)\] de la remarque 0GAP. Puisque \(a\) est non-diviseur de zéro dans \(C\), l’homomorphisme \(a^c : a^nC/a^{2n}C \to a^nC/a^{2n}C\) est isomorphe à l’homomorphisme \(a^nC/a^{2n}C \to a^{n - c}C/a^{2n - c}C\) dans la catégorie des \(C\)-modules. Notre hypothèse sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) implique donc que l’image de la classe \(o(\psi_n)\) est nulle dans \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^{n - c}C/a^{2n - c}C)\] et, a fortiori, dans \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, a^{n - c}C/a^{2n - 2c}C)\] D’après la discussion de la remarque 0GAP, on obtient un homomorphisme \[\psi_{2n - 2c} : B \to C/a^{2n - 2c}C\] qui coïncide avec \(\psi_n\) modulo \(a^{n - c}C\). Notons que \(2n - 2c > n\) puisque \(n > 2c\).

On peut répéter ce procédé. En partant de \(n_0 = n\) et de \(\psi^0 = \psi_n\), on obtient une suite strictement croissante d’entiers \[n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\] et des homomorphismes de \(A\)-algèbres \(\psi^i : B \to C/a^{n_i}C\) tels que \(\psi^{i + 1}\) et \(\psi^i\) coïncident modulo \(a^{n_i - c}C\). Puisque \(C\) est complète pour la topologie \(I\)-adique, on peut prendre pour \(\varphi\) la limite des homomorphismes \(\psi^i \bmod a^{n_i - c}C : B \to C/a^{n_i - c}C\) et le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(I = (a)\) un idéal principal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(B\) un objet de (0AL4). Supposons donné un entier \(c \geq 0\) tel que \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) soit annulé par \(a^c\) pour tout \(B\)-module \(N\). Soit \(C\) une algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique sur \(A\). Supposons donné un entier \(d \geq 0\) tel que \(C[a^\infty] \cap a^dC = 0\). Soit \(n > \max(2c, c + d)\). Pour tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi_n : B \to C/a^nC\), il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B \to C\) tel que \(\psi_n \bmod a^{n - c} = \varphi \bmod a^{n - c}\).

Si \(C\) est noethérien, on a \(C[a^\infty] = C[a^e]\) pour un certain \(e \geq 0\). D’après Artin–Rees (Algèbre, lemme 00IN), il existe un entier \(f\) tel que \(a^nC \cap C[a^\infty] \subset a^{n - f}C[a^\infty]\) pour tout \(n \geq f\). Alors \(d = e + f\) est un entier comme dans le lemme. Cet argument s’applique en particulier si \(C\) est un objet de (0AL4), d’après le lemme 0AJQ.

Démonstration

Soit \(C \to C'\) le quotient de \(C\) par \(C[a^\infty]\). La \(A\)-algèbre \(C'\) est complète pour la topologie \(I\)-adique d’après Algèbre, lemme 031A, et parce que \(\bigcap (C[a^\infty] + a^nC) = C[a^\infty]\) : pour \(n \geq d\), la somme \(C[a^\infty] + a^nC\) est directe. Pour \(m \geq d\), le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & C[a^\infty] \ar[r] \ar[d] & C \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & C[a^\infty] \ar[r] & C/a^m C \ar[r] & C'/a^m C' \ar[r] & 0 }\] a ses lignes exactes. Ainsi, \(C\) est le produit fibré de \(C'\) et de \(C/a^mC\) au-dessus de \(C'/a^mC'\) pour tout \(m \geq d\). D’après le lemme 0AK6, on peut choisir un homomorphisme \(\varphi' : B \to C'\) tel que \(\varphi'\) et \(\psi_n\) coïncident comme homomorphismes à valeurs dans \(C'/a^{n - c}C'\). On obtient un homomorphisme \((\varphi', \psi_n \bmod a^{n - c}C) : B \to C' \times_{C'/a^{n - c}C'} C/a^{n - c}C\). Puisque \(n - c \geq d\), cela équivaut à un homomorphisme \(\varphi : B \to C\). La démonstration est achevée.

Algébrisation des algèbres rig-lisses sur les anneaux G

Si l’anneau de base \(A\) est un anneau G noethérien, nous pouvons démontrer [Elkik, III théorème 7] pour toute algèbre rig-lisse relativement à un idéal quelconque \(I \subset A\) (non nécessairement principal).

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(r \geq 0\) et notons \(P = A[x_1, \ldots, x_r]\) le complété \(I\)-adique. Considérons une résolution \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K} P^{\oplus m} \xrightarrow{g_1, \ldots, g_m} P \to B \to 0\] d’un quotient de \(P\). Supposons que \(B\) soit rig-lisse sur \((A, I)\). Il existe alors un entier \(n\) tel que, pour tout complexe \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K'} P^{\oplus m} \xrightarrow{g'_1, \ldots, g'_m} P\] vérifiant \(g_i - g'_i \in I^nP\) et \(K - K' \in I^n\text{Mat}(m \times t, P)\), il existe un isomorphisme \(B \to B'\) de \(A\)-algèbres, où \(B' = P/(g'_1, \ldots, g'_m)\).

Démonstration

(A) D’après la définition 0GAI, on peut choisir \(c \geq 0\) tel que \(I^c\) annule \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) pour tout \(B\)-module \(N\).

(B) D’après Compléments d’algèbre, lemmes 07VE et 07VF, il existe une constante \(c_1 = c(g_1, \ldots, g_m, K)\) telle que, pour \(n \geq c_1 + 1\), le complexe \[P^{\oplus t} \xrightarrow{K'} P^{\oplus m} \xrightarrow{g'_1, \ldots, g'_m} P \to B' \to 0\] est exact et \(\text{Gr}_I(B) \cong \text{Gr}_I(B')\).

(C) Soient \(d_0 = d(\text{Gr}_I(B))\) et \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B))\) les entiers obtenus dans Cohomologie locale, section 0GA6.

Nous affirmons que \(n = \max(c_1 + 1, q_0 + (d_0 + 1)c, 2(d_0 + 1)c + 1)\) convient, où \(c\) est comme en (A), \(c_1\) comme en (B), et \(q_0, d_0\) comme en (C).

Soient \(g'_1, \ldots, g'_m\) et \(K'\) comme dans le lemme. Puisque \(g_i = g'_i \in I^nP\), on obtient un homomorphisme canonique de \(A\)-algèbres \[\psi_n : B \longrightarrow B'/I^nB'\] qui induit un isomorphisme \(B/I^nB \to B'/I^nB'\). Puisque \(\text{Gr}_I(B) \cong \text{Gr}_I(B')\), on a \(d_0 = d(\text{Gr}_I(B'))\) et \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B'))\) ; puisque \(n \geq \max(q_0 + (1 + d_0)c, 2(d_0 + 1)c + 1)\), on peut appliquer le lemme 0GAQ pour trouver un homomorphisme de \(A\)-algèbres \[\varphi : B \longrightarrow B'\] tel que \(\varphi \bmod I^{n - (d_0 + 1)c}B' = \psi_n \bmod I^{n - (d_0 + 1)c}B'\). Puisque \(n - (d_0 + 1)c > 0\), on voit que \(\varphi\) est un homomorphisme de \(A\)-algèbres qui, modulo \(I\), induit l’isomorphisme \(B/IB \to B'/IB'\) trouvé ci-dessus. La fin de la démonstration établit que ces faits imposent à \(\varphi\) d’être un isomorphisme ; nous suggérons au lecteur d’en trouver sa propre démonstration.

En effet, il s’ensuit que \(\varphi\) est surjectif, par exemple en appliquant Algèbre, lemme 0315, assertion (1), et en utilisant le fait que \(B\) et \(B'\) sont complets. Ainsi, \(\varphi\) induit une surjection \(\text{Gr}_I(B) \to \text{Gr}_I(B')\), qui est nécessairement un isomorphisme puisque sa source et son but sont des anneaux noethériens isomorphes ; voir Algèbre, lemme 06RN (on peut bien sûr montrer que \(\varphi\) induit l’isomorphisme obtenu ci-dessus, au prix d’un très petit argument). Ainsi, \(\varphi\) induit des homomorphismes injectifs \(I^eB/I^{e + 1}B \to I^eB'/I^{e + 1}B'\) pour tout \(e \geq 0\). Cela implique que \(\varphi\) est injectif, car, pour tout \(b \in B\), il existe \(e \geq 0\) tel que \(b \in I^eB\), \(b \not \in I^{e + 1}B\), d’après le théorème d’intersection de Krull (Algèbre, lemme 00IP). La démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(C^h\) l’hensélisé d’une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) relativement à l’idéal \(IC\). Soit \(J \subset C^h\) un idéal. Il existe alors une \(A\)-algèbre de type fini \(B\) telle que \(B^\wedge \cong (C^h/J)^\wedge\).

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, lemme 0AGV, l’anneau \(C^h\) est noethérien. Écrivons \(J = (g_1, \ldots, g_m)\). L’anneau \(C^h\) est la colimite filtrante de \(C\)-algèbres étales \(C'\) telles que \(C/IC \to C'/IC'\) soit un isomorphisme (voir la démonstration de Compléments d’algèbre, lemme 0A02). Choisissons \(C'\) tel que \(g_1, \ldots, g_m\) soient les images de \(g'_1, \ldots, g'_m \in C'\). En posant \(B = C'/(g'_1, \ldots, g'_m)\), on obtient une \(A\)-algèbre de type fini. Bien entendu, \((C, IC)\) et \(C', IC')\) ont les mêmes hensélisés et les mêmes complétés. Il s’ensuit aisément que \(B^\wedge = (C^h/J)^\wedge\).

Proposition

Soit \(I\) un idéal d’un anneau G noethérien \(A\). Soit \(B\) un objet de (0AL4). Si \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\), alors il existe une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) et un isomorphisme \(B \cong C^\wedge\) de \(A\)-algèbres.

Démonstration

Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\). Posons \(P = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\). Choisissons des générateurs \(g_1, \ldots, g_m \in J\), puis des générateurs \(k_1, \ldots, k_t\) du module des relations entre \(g_1, \ldots, g_m\), c’est-à-dire tels que \[P^{\oplus t} \xrightarrow{k_1, \ldots, k_t} P^{\oplus m} \xrightarrow{g_1, \ldots, g_m} P \to B \to 0\] soit une résolution. Écrivons \(k_i = (k_{i1}, \ldots, k_{im})\), de sorte que l’on ait [0AKB]\[\begin{equation} \sum\nolimits_j k_{ij}g_j = 0 \end{equation}\] pour \(i = 1, \ldots, t\). Notons \(K = (k_{ij})\) la matrice \(m \times t\) de coefficients \(k_{ij}\).

Soit \(A[x_1, \ldots, x_r]^h\) l’hensélisé du couple \((A[x_1, \ldots, x_r], IA[x_1, \ldots, x_r])\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0A02. Nous pouvons, et allons, considérer \(A[x_1, \ldots, x_r]^h\) comme un sous-anneau de \(P = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0AGV. Puisque \(A\) est un anneau G noethérien, \(A[x_1, \ldots, x_r]\) l’est aussi ; voir Compléments d’algèbre, proposition 07PV. On dispose donc de l’approximation pour l’homomorphisme \(A[x_1, \ldots, x_r]^h \to A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge = P\) relativement à l’idéal engendré par \(I\) ; voir Lissage des homomorphismes d’anneaux, lemme 0AH5. Choisissons un entier \(n\) suffisamment grand comme dans le lemme 0GAR. Par la propriété d’approximation, on peut choisir \(g'_1, \ldots, g'_m \in A[x_1, \ldots, x_r]^h\) et une matrice \(K' = (k'_{ij}) \in \text{Mat}(m \times t, A[x_1, \ldots, x_r]^h)\) tels que \(\sum\nolimits_j k'_{ij}g'_j = 0\) dans \(A[x_1, \ldots, x_r]^h\) et que \(g_i - g'_i \in I^nP\) et \(K - K' \in I^n\text{Mat}(m \times t, P)\). Le choix de \(n\) implique alors qu’il existe un isomorphisme \[B \to P/(g'_1, \ldots, g'_m) = \left(A[x_1, \ldots, x_r]^h/(g'_1, \ldots, g'_m)\right)^\wedge\] Le lemme 0GAS achève la démonstration.

Le lemme suivant n’est pas vrai en général si \(A\) n’est pas un anneau G, mais seulement noethérien. En effet, si \((A, \mathfrak m)\) est local et si \(I = \mathfrak m\), le lemme équivaut à l’approximation d’Artin pour \(A^h\) (comme dans Lissage des homomorphismes d’anneaux, théorème 07QY), laquelle n’est pas valable pour tout anneau local noethérien.

Lemme

Soit \(A\) un anneau G noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soient \(B, C\) des \(A\)-algèbres de type fini. Pour tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B^\wedge \to C^\wedge\) entre les complétés \(I\)-adiques et tout \(N \geq 1\), il existe :

1. un homomorphisme étale d’anneaux \(C \to C'\) qui induit un isomorphisme \(C/IC \to C'/IC'\) ;

2. un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B \to C'\),

tels que \(\varphi\) et \(\psi\) coïncident modulo \(I^N\) à valeurs dans \(C^\wedge = (C')^\wedge\).

Démonstration

L’énoncé du lemme a un sens car \(C \to C'\) est plat (Algèbre, lemme 00U2) et induit donc un isomorphisme \(C/I^nC \to C'/I^nC'\) pour tout \(n\) (Compléments d’algèbre, lemme 05E9), donc un isomorphisme sur les complétés. Soit \(C^h\) l’hensélisé du couple \((C, IC)\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0A02. Alors \(C^h\) est la colimite filtrante des algèbres \(C'\), et les homomorphismes \(C \to C' \to C^h\) induisent un isomorphisme sur les complétés (Compléments d’algèbre, lemme 0AGV). Il suffit donc de montrer qu’il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to C^h\) congru à \(\psi\) modulo \(I^N\). Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). L’homomorphisme d’anneaux \(\psi\) correspond à des éléments \(\hat c_1, \ldots, \hat c_n \in C^\wedge\) tels que \(f_j(\hat c_1, \ldots, \hat c_n) = 0\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Comme \(A\) est un anneau G noethérien, \(C\) l’est aussi ; voir Compléments d’algèbre, proposition 07PV. Le lemme 0AH5 de Lissage des homomorphismes d’anneaux fournit donc des éléments \(c_1, \ldots, c_n \in C^h\) tels que \(f_j(c_1, \ldots, c_n) = 0\) pour \(j = 1, \ldots, m\) et tels que \(\hat c_i - c_i \in I^NC^h\). Cela détermine l’homomorphisme \(B \to C^h\) souhaité.

Algébrisation des algèbres rig-lisses

Il s’avère que, si l’algèbre rig-lisse possède une présentation particulière, son algébrisation est immédiate. Voir aussi la remarque 0GAX pour une discussion.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\) et posons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Supposons \(m \leq n\) et posons \(g = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/\partial x_i)\). Alors :

1. \(g\) annule \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) pour tout \(B\)-module \(N\) ;

2. si \(n = m\), alors la multiplication par \(g\) sur \(\NL_{B/A}\) est \(0\) dans \(D(B)\).

Démonstration

Soit \(T\) la matrice \(m \times m\) de coefficients \(\partial f_j/\partial x_i\) pour \(1 \leq i, j \leq n\). Soit \(K \in D(B)\) représenté par le complexe \(T : B^{\oplus m} \to B^{\oplus m}\), dont les termes sont placés en degrés \(-1\) et \(0\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0G9L, l’homomorphisme \(g : K \to K\) est nul dans \(D(B)\). Posons \(J = (f_1, \ldots, f_m)\). Rappelons que \(\NL_{B/A}\) est homotopiquement équivalent à \(J/J^2 \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} B\text{d}x_i\) ; voir Algèbre, section 00S0. Notons \(L\) le complexe \(J/J^2 \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, m} B\text{d}x_i\), de sorte que l’on ait le morphisme quotient \(\NL_{B/A} \to L\). On dispose aussi d’un morphisme surjectif de complexes \(K \to L\), obtenu en envoyant le \(j\)-ième vecteur de base du terme \(B^{\oplus m}\) en degré \(-1\) sur la classe de \(f_j\) dans \(J/J^2\). On a le diagramme \[\NL_{B/A} \to L \leftarrow K\] Le lemme 0G9I de Compléments d’algèbre montre que la multiplication par \(g\) sur \(L\) est \(0\) dans \(D(B)\). D’autre part, le triangle distingué \(B^{\oplus n - m}[0] \to \NL_{B/A} \to L\) montre que \(\Ext^1_B(L, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) est surjectif pour tout \(B\)-module \(N\), et donc annulé par \(g\). Cela démontre l’assertion (1). Si \(n = m\), alors \(\NL_{B/A} = L\), et (2) est satisfaite.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(B\) un objet de (0AL4). Soit \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\) une présentation. Supposons qu’il existe un élément \(b \in B\), un entier \(0 \leq m \leq r\) et des éléments \(f_1, \ldots, f_m \in J\) tels que :

1. \(V(b) \subset V(IB)\) dans \(\Spec(B)\) ;

2. l’image de \(\Delta = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/\partial x_i)\) dans \(B\) divise \(b\) ;

3. \(b J \subset (f_1, \ldots, f_m) + J^2\).

Il existe alors une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) et un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \cong C^\wedge\).

Démonstration

Les conditions impliquent que \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\) ; voir le lemme 0GAJ. Écrivons \(b' \Delta = b\) dans \(B\) pour un certain \(b' \in B\). Écrivons \(I = (a_1, \ldots, a_t)\). Puisque \(V(b) \subset V(IB)\), il existe un entier \(c \geq 0\) tel que \(I^cB \subset bB\). Écrivons \(bb_i = a_i^c\) dans \(B\) pour certains \(b_i \in B\).

Choisissons un entier \(n \gg 0\) (nous préciserons plus loin à quel point il doit être grand). Choisissons des polynômes \(f'_1, \ldots, f'_m \in A[x_1, \ldots, x_r]\) tels que \(f_i - f'_i \in I^nA[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\). Posons \(\Delta' = \det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f'_j/\partial x_i)\) et considérons la \(A\)-algèbre de type fini \[C = A[x_1, \ldots, x_r, z_1, \ldots, z_t]/ (f'_1, \ldots, f'_m, z_1\Delta' - a_1^c, \ldots, z_t\Delta' - a_t^c)\] Nous allons appliquer le lemme 0GAV à \(C\). Calculons \[\det\left( \begin{matrix} \text{matrice des dérivées partielles de} \\ f'_1, \ldots, f'_m, z_1\Delta' - a_1^c, \ldots, z_t\Delta' - a_t^c \\ \text{par rapport aux variables} \\ x_1, \ldots, x_m, z_1, \ldots, z_t \end{matrix} \right) = (\Delta')^{t + 1}\] On voit donc que \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\) est annulé par \((\Delta')^{t + 1}\) pour tout \(C\)-module \(N\). Puisque \(a_i^c\) est divisible par \(\Delta'\) dans \(C\), on voit que \(a_i^{(t + 1)c}\) annule aussi ces \(\Ext^1\). Ainsi, \(I^{c_1}\) annule \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\) pour tout \(C\)-module \(N\), où \(c_1 = 1 + t((t + 1)c - 1)\). La valeur exacte de \(c_1\) importe peu pour la suite de l’argument ; ce qui compte, c’est qu’elle soit indépendante de \(n\).

Puisque \(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge = \NL_{C/A} \otimes_C C^\wedge\) d’après le lemme 0GAF, on en conclut que la multiplication par \(I^{c_1}\) est également nulle sur \(\Ext^1_{C^\wedge}(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge, N)\) pour tout \(C^\wedge\)-module \(N\) ; voir Compléments d’algèbre, lemmes 0G9H et 0G9G. En particulier, \(C^\wedge\) est rig-lisse sur \((A, I)\).

Notons que nous avons un homomorphisme surjectif de \(A\)-algèbres \[\psi_n : C \longrightarrow B/I^nB\] qui envoie la classe de \(x_i\) sur celle de \(x_i\) et la classe de \(z_i\) sur celle de \(b_ib'\). Cet homomorphisme est bien défini grâce aux choix de \(b'\) et de \(b_i\) faits dans le premier paragraphe de la démonstration.

Soient \(d = d(\text{Gr}_I(B))\) et \(q_0 = q(\text{Gr}_I(B))\) les entiers obtenus dans Cohomologie locale, section 0GA6. D’après le lemme 0GAQ, si l’on prend \(n \geq \max(q_0 + (d + 1)c_1, 2(d + 1)c_1 + 1)\), on peut trouver un homomorphisme \(\varphi : C^\wedge \to B\) de \(A\)-algèbres, congru à \(\psi_n\) modulo \(I^{n - (d + 1)c_1}B\).

Puisque \(\varphi : C^\wedge \to B\) est surjectif modulo \(I\), il est surjectif (on peut, par exemple, utiliser Algèbre, lemme 0315). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(\Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\) est annulé par une puissance de \(I\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0ALR.

Puisque \(\varphi\) est surjectif, on voit que les modules de cohomologie de \(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge\) sont \(H^0(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) = 0\) et \(H^{-1}(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) = \Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\). On a une suite exacte \[H^{-1}(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) \to H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge) \to H^{-1}(\NL_{B/C^{\wedge}}^\wedge) \to H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) \to H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \to 0\] d’après le lemme 0ALM. Les deux premiers modules sont annulés par une puissance de \(I\), puisque \(B\) et \(C^\wedge\) sont rig-lisses sur \((A, I)\). Il suffit donc de montrer que le noyau de l’homomorphisme surjectif \(H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge \otimes_{C^\wedge} B) \to H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\) est annulé par une puissance de \(I\). Pour cela, il suffit de montrer qu’il est annulé par une puissance de \(b\). Autrement dit, il suffit de montrer que \[H^0(\NL_{C^\wedge/A}^\wedge) \otimes_{C^\wedge} B[1/b] \longrightarrow H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_B B[1/b]\] est un isomorphisme. Or les deux membres sont des \(B[1/b]\)-modules libres de rang \(r - m\), de base \(\text{d}x_{m + 1}, \ldots, \text{d}x_r\), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(B\) un objet de (0AL4) qui est rig-lisse sur \((A, I)\). Il est démontré dans [gabber-zavyalov, théorème 1.2] que \(B\) est isomorphe au complété \(I\)-adique d’une \(A\)-algèbre de type fini. Ce résultat remplace les résultats partiels suivants :

1. si \(A\) est un anneau G, le résultat découle de la proposition 0GAT ;

2. si \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\), le résultat découle du lemme 0AKA ;

3. si \(I\) est principal, le résultat découle de [Elkik, III théorème 7].

Algèbres rig-étales

Au vu de notre définition des algèbres rig-lisses (définition 0GAI), la définition suivante ne devrait pas surprendre.

Définition

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Nous disons que \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\) s’il existe un entier \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in I^c\), la multiplication par \(a\) sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) soit nulle dans \(D(B)\).

La condition (0AJY) du lemme suivant est l’une de celles qu’emploie [ArtinII] pour définir les modifications formelles. Nous l’avons ajoutée à la liste afin de faciliter sa comparaison ultérieure avec nos conditions.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\) (lemme 0AJQ) et soit \(\NL_{B/A}^\wedge = (J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\) son complexe cotangent naïf (0AJR). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\) ;

2. il existe \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in I^c\), la multiplication par \(a\) sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) soit nulle dans \(D(B)\) ;

3. il existe \(c \geq 0\) tel que \(H^i(\NL_{B/A}^\wedge)\), \(i = -1, 0\), soit annulé par \(I^c\) ;

4. il existe \(c \geq 0\) tel que \(H^i(\NL_{B_n/A_n})\), \(i = -1, 0\), soit annulé par \(I^c\) pour tout \(n \geq 1\), où \(A_n = A/I^n\) et \(B_n = B/I^nB\) ;

5. pour tout \(a \in I\), il existe \(c \geq 0\) tel que :

   1. \(a^c\) annule \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\) ;

   2. il existe \(f_1, \ldots, f_r \in J\) tels que \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\) ;

6. pour tout \(a \in I\), il existe \(f_1, \ldots, f_r \in J\) et \(c \geq 0\) tels que :

   1. \(\det_{1 \leq i, j \leq r}(\partial f_j/\partial x_i)\) divise \(a^c\) dans \(B\) ;

   2. \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\) ;

7. si l’on choisit des générateurs \(f_1, \ldots, f_t\) de \(J\), on a :

   1. l’idéal jacobien de \(B\) sur \(A\), c’est-à-dire l’idéal de \(B\) engendré par les mineurs \(r \times r\) de la matrice \((\partial f_j/\partial x_i)_{1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq t}\), contient l’idéal \(I^cB\) pour un certain \(c\) ;

   2. l’idéal de Cramer de \(B\) sur \(A\), c’est-à-dire l’idéal de \(B\) engendré par l’image dans \(B\) du \(r\)-ième idéal de Fitting de \(J\), considéré comme \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\)-module, contient \(I^cB\) pour un certain \(c\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et de (0AJV) reformule la définition 0GAY.

L’équivalence de (0AJV) et de (0AJW) résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0AJT.

L’équivalence de (0AJW) et de (0AJX) résulte du fait que les systèmes \(\{\NL_{B_n/A_n}\}\) et \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B B_n\) sont strictement isomorphes ; voir le lemme 0AJS. Certains détails sont omis.

Supposons (0AJV). Soit \(a \in I\). Soit \(c\) tel que la multiplication par \(a^c\) soit nulle sur \(\NL_{B/A}^\wedge\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0ALN, assertion (1), il existe un homomorphisme \(\alpha : \bigoplus B\text{d}x_i \to J/J^2\) tel que \(\text{d} \circ \alpha\) et \(\alpha \circ \text{d}\) soient tous deux la multiplication par \(a^c\). Soit \(f_i \in J\) un élément dont la classe modulo \(J^2\) est égale à \(\alpha(\text{d}x_i)\). Un calcul élémentaire montre que (0GB0)(a), (b) sont satisfaites.

Nous omettons de vérifier que (0GB0) implique (0GAZ) ; il s’agit simplement d’un énoncé sur les complexes à deux termes sur \(B\) de la forme \(M \to B^{\oplus r}\).

Supposons (0GAZ) satisfaite. Écrivons \(I = (a_1, \ldots, a_t)\). Soit \(c_i \geq 0\) l’entier tel que (0GAZ)(a), (b) soient satisfaites pour \(a_i^{c_i}\). Alors \(I^{\sum c_i}\) annule \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)\). Soient \(f_{i, 1}, \ldots, f_{i, r} \in J\) comme dans (0GAZ)(b) pour \(a_i\). Considérons le composé \[B^{\oplus r} \to J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i\] où le \(j\)-ième vecteur de base est envoyé sur la classe de \(f_{i, j}\) dans \(J/J^2\). D’après (0GAZ)(a) et (b), le conoyau du composé est annulé par \(a_i^{2c_i}\). Cet homomorphisme est donc surjectif après inversion de \(a_i^{c_i}\), et par conséquent un isomorphisme (Algèbre, lemme 05G8). Ainsi, le noyau de \(B^{\oplus r} \to \bigoplus B\text{d}x_i\) est de torsion annulée par une puissance de \(a_i\), et donc \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge) = \Ker(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i)\) est de torsion annulée par une puissance de \(a_i\). Comme \(B\) est noethérien (lemme 0AJQ), tous les modules, y compris \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\), sont finis. Ainsi, \(a_i^{d_i}\) annule \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\) pour un certain \(d_i \geq 0\). Il s’ensuit que \(I^{\sum d_i}\) annule \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge)\), et la condition (0AJW) est satisfaite.

Ainsi, les conditions (0AJV), (0AJW), (0AJX), (0GAZ) et (0GB0) sont équivalentes. Il reste à montrer que ces conditions équivalent à (0AJY). Notons que l’idéal de Cramer \(\text{Fit}_r(J) B\) est égal à \(\text{Fit}_r(J/J^2)\), puisque \(J/J^2 = J \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge} B\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07ZA, assertion (3). Notons aussi que l’idéal jacobien n’est autre que \(\text{Fit}_0(H^0(\NL_{B/A}^\wedge))\). L’équivalence de (0AJW) et de (0AJY) est donc une question purement algébrique, que nous traitons au paragraphe suivant.

Soit \(R\) un anneau noethérien et soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M \xrightarrow{d} R^{\oplus r}\) un complexe à deux termes. Il faut montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. la cohomologie de \(M \to R^{\oplus r}\) est annulée par une puissance de \(I\) ;

2. les idéaux \(\text{Fit}_r(M)\) et \(\text{Fit}_0(\text{Coker}(d))\) contiennent une puissance de \(I\).

Puisque \(R\) est noethérien, on peut reformuler l’assertion (2) comme une inclusion des sous-schémas fermés correspondants ; voir Algèbre, lemmes 00E0 et 00IM. D’autre part, sur le complémentaire de \(V(\text{Fit}_0(\Coker(d)))\), le conoyau de \(d\) est nul, et sur le complémentaire de \(V(\text{Fit}_r(M))\), le module \(M\) est localement engendré par \(r\) éléments ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07ZC. Ainsi, (B) équivaut à :

1. hors de \(V(I)\), le conoyau de \(d\) est nul et le module \(M\) est localement engendré par \(\leq r\) éléments.

Cela équivaut évidemment à l’annulation de la cohomologie de \(M \to R^{\oplus r}\) sur \(\Spec(R) \setminus V(I)\), laquelle équivaut à son tour à (A). La démonstration est achevée.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4). Si \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\), alors \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions 0GAI et 0GAY.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I\) un idéal. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre de type fini.

1. Si \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\), alors \(B^\wedge\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0AJU.

2. Si \(B^\wedge\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0AJU, alors il existe \(g \in 1 + IB\) tel que \(\Spec(B_g)\) soit étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\).

Démonstration

Supposons que \(B^\wedge\) satisfasse les conditions équivalentes du lemme 0AJU. Le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}\) est un complexe de \(B\)-modules de type fini ; par conséquent, \(H^{-1}\) et \(H^0\) sont des \(B\)-modules finis. Le foncteur de complétion est exact sur les \(B\)-modules finis (Algèbre, lemme 00MB) et \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\) est le complété du complexe \(\NL_{B/A}\) (cela se voit aisément en choisissant des présentations). L’hypothèse implique donc qu’il existe \(c \geq 0\) tel que \(H^{-1}/I^nH^{-1}\) et \(H^0/I^nH^0\) soient annulés par \(I^c\) pour tout \(n\). D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), cela signifie que \(I^cH^{-1}\) et \(I^cH^0\) sont annulés par un élément de la forme \(g = 1 + x\) avec \(x \in IB\). Après inversion de \(g\) (ce qui ne modifie pas les quotients \(B/I^nB\)), on voit que la cohomologie de \(\NL_{B/A}\) est annulée par \(I^c\). Ainsi, \(A \to B\) est étale en tout idéal premier de \(B\) qui n’est pas au-dessus de \(V(I)\), par la définition des homomorphismes d’anneaux étales ; voir Algèbre, définition 00U1.

Réciproquement, supposons que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\). Alors, pour tout \(a \in I\), il existe \(c \geq 0\) tel que la multiplication par \(a^c\) soit nulle sur \(\NL_{B/A}\). Puisque \(\NL_{B^\wedge/A}^\wedge\) est le complété dérivé de \(\NL_{B/A}\) (voir le lemme 0AJS), il s’ensuit que \(B^\wedge\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0AJU.

Lemme

Soit \((A_1, I_1) \to (A_2, I_2)\) comme dans la remarque 0AL5, avec \(A_1\) et \(A_2\) noethériens. Soit \(B_1\) un objet de (0AL4) pour \((A_1, I_1)\). Soit \(B_2\) le changement de base de \(B_1\). Si la multiplication par \(f_1 \in B_1\) sur \(\NL^\wedge_{B_1/A_1}\) est nulle dans \(D(B_1)\), alors la multiplication par l’image \(f_2 \in B_2\) sur \(\NL^\wedge_{B_2/A_2}\) est nulle dans \(D(B_2)\).

Démonstration

D’après le lemme 0GAG, il existe un morphisme \[\NL_{B_1/A_1} \otimes_{B_2} B_1 \to \NL_{B_2/A_2}\] qui induit un isomorphisme sur \(H^0\) et une surjection sur \(H^{-1}\). Le résultat découle donc de Compléments d’algèbre, lemme 0G9I.

Lemme

Soit \(A_1 \to A_2\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Soit \(I_i \subset A_i\) un idéal tel que \(V(I_1A_2) = V(I_2)\). Soit \(B_1\) un objet de (0AL4) pour \((A_1, I_1)\). Soit \(B_2\) le changement de base de \(B_1\), comme dans la remarque 0AL5. Si \(B_1\) est rig-étale sur \((A_1, I_1)\), alors \(B_2\) est rig-étale sur \((A_2, I_2)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0AK2, de la définition 0GAY et du fait que \(I_2^c \subset I_1A_2\) pour un certain \(c \geq 0\), puisque \(A_2\) est noethérien.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre de type fini telle que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\). Soit \(C\) une \(A\)-algèbre noethérienne. Tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B^\wedge \to C^\wedge\) entre les complétés \(I\)-adiques provient alors d’un unique homomorphisme de \(A\)-algèbres \[B \longrightarrow C^h\] où \(C^h\) est l’hensélisé du couple \((C, IC)\), comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A02. De plus, tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to C^h\) se factorise par une \(C\)-algèbre étale \(C'\) telle que \(C/IC \to C'/IC'\) soit un isomorphisme.

Démonstration

L’unicité résulte du fait que \(C^h\) est un sous-anneau de \(C^\wedge\) ; voir, par exemple, Compléments d’algèbre, lemme 0AGV. La dernière assertion résulte du fait que \(C^h\) est la colimite filtrante de ces \(C\)-algèbres \(C'\) ; voir la démonstration de Compléments d’algèbre, lemme 0A02. Cela étant établi, démontrons l’existence.

Soit \(\varphi : B^\wedge \to C^\wedge\) l’homomorphisme donné. Il définit une section \[\sigma : (B \otimes_A C)^\wedge \longrightarrow C^\wedge\] du complété de l’homomorphisme \(C \to B \otimes_A C\). On peut remplacer \((A, I, B, C, \varphi)\) par \((C, IC, B \otimes_A C, C, \sigma)\). On voit ainsi que l’on peut supposer \(A = C\).

Existence dans le cas \(A = C\). Dans ce cas, l’homomorphisme \(\varphi : B^\wedge \to A^\wedge\) est nécessairement surjectif. D’après les lemmes 0ALQ et 0ALM, les groupes de cohomologie de \(\NL_{A^\wedge/\!_\varphi B^\wedge}^\wedge\) sont annulés par une puissance de \(I\). Puisque \(\varphi\) est surjectif, cela implique que \(\Ker(\varphi)/\Ker(\varphi)^2\) est annulé par une puissance de \(I\). Ainsi, \(\varphi : B^\wedge \to A^\wedge\) est le complété d’une \(B\)-algèbre de type fini \(B \to D\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0ALR. Par conséquent, \(A \to D\) est un homomorphisme d’algèbres de type fini qui induit un isomorphisme \(A^\wedge \to D^\wedge\). D’après le lemme 0ALQ, on peut remplacer \(D\) par un localisé et supposer que \(A \to D\) est étale hors de \(V(I)\). Puisque \(A^\wedge \to D^\wedge\) est un isomorphisme, on voit que \(\Spec(D) \to \Spec(A)\) est aussi étale dans un voisinage de \(V(ID)\) (par exemple d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0A43). Ainsi, \(\Spec(D) \to \Spec(A)\) est étale. Par conséquent, \(D\) s’envoie dans \(A^h\), et le lemme est démontré.

Un argument de somme amalgamée

Le seul but de cette section est de démontrer le lemme suivant, qui jouera un rôle essentiel dans l’algébrisation des algèbres rig-étales. Nous utiliserons un peu de théorie des espaces algébriques pour le démontrer ; une version antérieure de ce chapitre donnait une démonstration (beaucoup plus longue) fondée sur l’algèbre et un peu de théorie des déformations, que le lecteur intéressé trouvera dans l’historique du projet Champs.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(J \subset A\) un idéal nilpotent. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ C \ar[r] & C_0 \ar@{=}[r] & C/JC \\ & B_0 \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[uu] & A_0 \ar[u] \ar@{=}[r] & A/J }\] dont les flèches verticales sont de type fini et tel que :

1. \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) est étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\) ;

2. \(\Spec(B_0) \to \Spec(A_0)\) est étale au-dessus de \(\Spec(A_0) \setminus V(IA_0)\) ;

3. \(B_0 \to C_0\) est étale et induit un isomorphisme \(B_0/IB_0 = C_0/IC_0\).

On peut alors compléter le diagramme précédent en un diagramme commutatif \[\xymatrix{ C \ar[r] & C/JC \\ B \ar[u] \ar[r] & B_0 \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[u] & A/J \ar[u] }\] où \(A \to B\) est de type fini, \(B/JB = B_0\), \(B \to C\) est étale et \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\).

Démonstration

Posons \(X = \Spec(A)\), \(X_0 = \Spec(A_0)\), \(Y_0 = \Spec(B_0)\), \(Z = \Spec(C)\) et \(Z_0 = \Spec(C_0)\). De plus, notons \(U \subset X\), \(U_0 \subset X_0\), \(V_0 \subset Y_0\), \(W \subset Z\) et \(W_0 \subset Z_0\) les complémentaires des lieux d’annulation de \(I\). Le diagramme suivant aide à visualiser la situation : \[\xymatrix{ Z \ar[dd] & Z_0 \ar[l] \ar[d] \\ & Y_0 \ar[d] \\ X & X_0 \ar[l] } \quad\quad\quad \xymatrix{ W \ar[dd] & W_0 \ar[l] \ar[d] \\ & V_0 \ar[d] \\ U & U_0 \ar[l] }\] Les conditions du lemme garantissent que \[\xymatrix{ W_0 \ar[r] \ar[d] & Z_0 \ar[d] \\ V_0 \ar[r] & Y_0 }\] est un carré distingué élémentaire ; voir Catégories dérivées d’espaces, définition 08GM. De plus, nous savons que \(W_0 \to U_0\) et \(V_0 \to U_0\) sont étales. Le morphisme \(X_0 \subset X\) est un épaississement d’ordre fini puisque \(J\) est supposé nilpotent. Par invariance topologique du site étale, on peut trouver un unique morphisme étale de schémas \(V \to X\) tel que \(V_0 = V \times_X X_0\), et relever le morphisme donné \(W_0 \to V_0\) en un unique morphisme \(W \to V\) sur \(X\). Voir Morphismes étales, théorème 039R. Puisque \(W_0 \to V_0\) est séparé, le morphisme \(W \to V\) est lui aussi séparé ; voir, par exemple, Compléments sur les morphismes, lemme 06AG. D’après Sommes amalgamées d’espaces, lemme 0DVJ, on peut construire un carré distingué élémentaire \[\xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] dans la catégorie des espaces algébriques sur \(X\). Comme le changement de base d’un carré distingué élémentaire est encore un carré distingué élémentaire (Catégories dérivées d’espaces, lemme 08GN), on voit que \[\xymatrix{ W_0 \ar[r] \ar[d] & Z_0 \ar[d] \\ V_0 \ar[r] & Y \times_X X_0 }\] est un carré distingué élémentaire. Il existe donc un unique isomorphisme \(Y \times_X X_0 = Y_0\) compatible avec les deux carrés faisant intervenir ces espaces, car les carrés distingués élémentaires sont des sommes amalgamées (Sommes amalgamées d’espaces, lemme 0DVI). Il s’ensuit que \(Y\) est affine d’après Limites d’espaces, proposition 07VT. Écrivons \(Y = \Spec(B)\). Il est clair que \(B\) s’insère dans le diagramme voulu et satisfait toutes les propriétés requises.

Algébrisation des algèbres rig-étales

Le but principal est de démontrer l’algébrisation des algèbres rig-étales sans supposer que l’anneau noethérien de base \(A\) soit un anneau G, et pour un idéal arbitraire \(I \subset A\) — non nécessairement principal. Nous démontrons d’abord le cas d’un idéal principal, puis utilisons le résultat de la section 0AK8 pour achever la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(I = (a)\) un idéal principal. Soit \(B\) un objet de (0AL4) rig-étale sur \((A, I)\). Il existe alors une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) et un isomorphisme \(B \cong C^\wedge\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(B = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge/J\). D’après le lemme 0AJU, assertion (6), on peut trouver \(c \geq 0\) et \(f_1, \ldots, f_r \in J\) tels que \(\det_{1 \leq i, j \leq r}(\partial f_j/\partial x_i)\) divise \(a^c\) dans \(B\) et que \(a^c J \subset (f_1, \ldots, f_r) + J^2\). Le lemme 0GAW s’applique donc. Ceci achève la démonstration, mais signalons que, dans ce cas, l’emploi du lemme 0GAQ peut être remplacé par celui, beaucoup plus simple, du lemme 0AK7.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) un objet de (0AL4) rig-étale sur \((A, I)\). Il existe alors une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) et un isomorphisme \(B \cong C^\wedge\).

Démonstration

Nous démontrons ce lemme par récurrence sur le nombre de générateurs de \(I\). Écrivons \(I = (a_1, \ldots, a_t)\). Si \(t = 0\), alors \(I = 0\) et il n’y a rien à démontrer. Si \(t = 1\), le lemme résulte du lemme 0ALS. Supposons \(t > 1\).

Pour tout \(m \geq 1\), posons \(\bar A_m = A/(a_t^m)\). Considérons l’idéal \(\bar I_m = (\bar a_1, \ldots, \bar a_{t - 1})\) de \(\bar A_m\). Notons que \(V(I \bar A_m) = V(\bar I_m)\). Soit \(B_m = B/(a_t^m)\) le changement de base de \(B\) par l’homomorphisme \((A, I) \to (\bar A_m, \bar I_m)\) ; voir la remarque 0AL6. D’après le lemme 0GB2, \(B_m\) est rig-étale sur \((\bar A_m, \bar I_m)\).

Par l’hypothèse de récurrence (sur \(t\)), on peut trouver une \(\bar A_m\)-algèbre de type fini \(C_m\) et un homomorphisme \(C_m \to B_m\) qui induit un isomorphisme \(C_m^\wedge \cong B_m\), la complétion étant prise relativement à \(\bar I_m\). D’après le lemme 0ALQ, on peut supposer que \(\Spec(C_m) \to \Spec(\bar A_m)\) est étale au-dessus de \(\Spec(\bar A_m) \setminus V(\bar I_m)\).

Nous affirmons que l’on peut choisir \(A_m \to C_m \to B_m\) comme au paragraphe précédent, de telle sorte qu’il existe en outre des isomorphismes \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C_{m - 1}\) compatibles avec la structure de \(A\)-algèbre donnée et avec les homomorphismes vers \(B_{m - 1} = B_m/(a_t^{m - 1})\). Fixons d’abord un choix de \(A_1 \to C_1 \to B_1\). Supposons construits \(C_{m - 1} \to C_{m - 2} \to \ldots \to C_1\) avec les propriétés voulues. Notons que \(C_m/(a_t^{m - 1})\) est étale au-dessus de \(\Spec(\bar A_{m - 1}) \setminus V(\bar I_{m - 1})\). D’après le lemme 0AKJ, il existe une extension étale \(C_{m - 1} \to C'_{m - 1}\) induisant un isomorphisme modulo \(\bar I_{m - 1}\), et un homomorphisme de \(\bar A_{m - 1}\)-algèbres \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\) induisant sur les complétés l’isomorphisme \(B_m/(a_t^{m - 1}) \to B_{m - 1}\). Notons que \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\) est étale sur le complémentaire de \(V(\bar I_{m - 1})\) d’après Morphismes, lemme 02GW, et qu’au-dessus de \(V(\bar I_{m - 1})\), il induit un isomorphisme sur les complétés et y est donc également étale (par exemple d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0A43). Ainsi, \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\) est étale. Par invariance topologique des morphismes étales (Morphismes étales, théorème 039R), il existe un homomorphisme d’anneaux étale \(C_m \to C'_m\) tel que \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_{m - 1}\) soit isomorphe à \(C_m/(a_t^{m - 1}) \to C'_m/(a_t^{m - 1})\). Notons que le complété \(\bar I_m\)-adique de \(C'_m\) est égal au complété \(\bar I_m\)-adique de \(C_m\), c’est-à-dire à \(B_m\) (détails omis). Appliquons le lemme 0ALT au diagramme \[\xymatrix{ & C'_m \ar[r] & C'_m/(a_t^{m - 1}) \\ C''_m \ar@{..>}[ru] \ar@{..>}[rr] & & C_{m - 1} \ar[u] \\ & \bar A_m \ar[r] \ar[uu] \ar@{..>}[lu] & \bar A_{m - 1} \ar[u] }\] pour voir qu’il existe un « relèvement » \(C''_m\) de \(C_{m - 1}\) en une algèbre sur \(\bar A_m\) possédant toutes les propriétés voulues.

Par construction, \((C_m)\) est un objet de la catégorie (0AL3) pour l’idéal principal \((a_t)\). Par conséquent, la limite projective \(B' = \lim C_m\) est une algèbre complète pour la topologie \((a_t)\)-adique sur \(A\), telle que \(B'/a_t B'\) soit de type fini sur \(A/(a_t)\) ; voir le lemme 0AJP. Par construction, on a \(C_m = B'/(a_t^m)\), le complété \(I\)-adique de \(C_m\) est \(B_m\), et le complété \(I\)-adique de \(B'\) est isomorphe à \(B\). Pour tout \(m\), le complexe \(\NL_{C_m/A_m}\) a, par construction, des modules de cohomologie finis à support dans \(V(IC_m) \subset \Spec(C_m)\). Ces modules sont donc complets pour la topologie \(I\)-adique (puisqu’ils sont annulés par une puissance de \(I\)). Comme \(\NL^\wedge_{B_m/A_m}\) est le complété \(I\)-adique de \(\NL_{C_m/A_m}\), voir le lemme 0GAF, l’homomorphisme \(\NL_{C_m/A_m} \to \NL_{B_m/A_m}\) induit un isomorphisme en cohomologie. Puisque \(B\) est rig-étale sur \(A\), il existe donc une puissance fixe de \(I\) qui annule la cohomologie de \(\NL_{C_m/A_m}\) pour tout \(m\) ; voir le lemme 0AJU. Il en résulte, par le même lemme, que \(B'\) est rig-étale sur \((A, (a_t))\). Enfin, on peut appliquer le lemme 0ALS à \(B'\) sur \((A, (a_t))\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(B\) une algèbre complète pour la topologie \(I\)-adique sur \(A\), telle que \(A/I \to B/IB\) soit de type fini. Les conditions équivalentes du lemme 0AJU équivalent encore à la suivante :

1. il existe une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) telle que \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) soit étale au-dessus de \(\Spec(A) \setminus V(I)\) et que \(B \cong C^\wedge\).

Démonstration

Il suffit de combiner les lemmes 0AJU, 0AKA et 0ALQ. Un petit détail est omis.

Morphismes de type fini

Dans Espaces formels, section 0AM3, nous avons défini les morphismes de type fini d’espaces algébriques formels. Dans la présente section, nous étudions les types correspondants d’homomorphismes continus entre anneaux topologiques adiques possédant un idéal de définition de type fini. Nous conseillons vivement au lecteur de sauter cette section.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux topologiques adiques possédant un idéal de définition de type fini. Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\varphi\) est adique et \(B\) est topologiquement de type fini sur \(A\) ;

2. \(\varphi\) est tendu et \(B\) est topologiquement de type fini sur \(A\) ;

3. il existe un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique, et il existe un idéal de définition \(I' \subset A\) tel que \(A/I' \to B/I'B\) soit de type fini ;

4. pour tout idéal de définition \(I \subset A\), la topologie de \(B\) est la topologie \(I\)-adique et \(A/I \to B/IB\) est de type fini ;

5. il existe un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique et que \(B\) appartienne à la catégorie (0AL4) ;

6. pour tout idéal de définition \(I \subset A\), la topologie de \(B\) est la topologie \(I\)-adique et \(B\) appartient à la catégorie (0AL4) ;

7. \(B\), comme \(A\)-algèbre topologique, est le quotient de \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) par un idéal fermé ;

8. \(B\), comme \(A\)-algèbre topologique, est le quotient de \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) par un idéal fermé, où \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) est le complété de \(A[x_1, \ldots, x_r]\) relativement à un idéal de définition de \(A\) ;

9. ajouter d’autres conditions ici.

En outre, ces conditions équivalentes définissent une propriété locale des morphismes de \(\text{WAdm}^{adic*}\) au sens d’Espaces formels, remarque 0ANH.

Démonstration

Les homomorphismes d’anneaux tendus sont définis dans Espaces formels, définition 0AMX. Les homomorphismes d’anneaux adiques sont définis dans Espaces formels, définition 0GBR. Le lemme résulte de la combinaison des lemmes d’Espaces formels 0ANU, 0CB6 et 0GBS. Nous omettons les détails. Pour être précis, il n’y a aucune différence entre les anneaux topologiques \(A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) et \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) ; voir Espaces formels, remarque 0AL0.

Remarque

Soit \(A \to B\) une flèche de \(\text{WAdm}^{adic*}\), adique et topologiquement de type fini (voir le lemme 0GBW). Écrivons \(B = A\{x_1, \ldots, x_r\}/J\). On peut alors poser¹ \[\NL_{B/A}^\wedge = \left(J/J^2 \longrightarrow \bigoplus B\text{d}x_i\right)\] Exactement comme dans la démonstration du lemme 0GAE, le lecteur peut montrer que ce complexe de \(B\)-modules est bien défini à isomorphisme unique près dans la catégorie homotopique \(K(B)\). Si maintenant \(A\) est noethérien et si \(I \subset A\) est un idéal de définition, cette construction redonne le complexe cotangent naïf de \(B\) sur \((A, I)\) défini par l’équation (0AJR) dans la section 0AJL, simplement parce que \(A[x_1, \ldots, x_n]^\wedge\) coïncide avec \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) d’après Espaces formels, remarque 0AL0. En particulier, toujours lorsque \(A\) est un anneau topologique adique noethérien, l’objet \(\NL_{B/A}^\wedge\) est indépendant du choix de l’idéal de définition \(I \subset A\).

Lemme

Considérons la propriété \(P\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) définie dans le lemme 0GBW. Alors \(P\) est stable par changement de base au sens d’Espaces formels, remarque 0GBE.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GBW. Pour le vérifier, supposons donnés des morphismes \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\) et supposons que, comme \(B\)-algèbre topologique, on ait \(A = B\{x_1, \ldots, x_r\}/J\) pour un certain idéal fermé \(J\). Alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est isomorphe au quotient \(C\{x_1, \ldots, x_r\}/J'\), où \(J'\) est l’adhérence de \(JC\{x_1, \ldots, x_r\}\). Certains détails sont omis.

Lemme

Considérons la propriété \(P\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) définie dans le lemme 0GBW. Alors \(P\) est stable par composition au sens d’Espaces formels, remarque 0GBJ.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GBW. La manière la plus simple de le démontrer consiste à vérifier (a) que les composés d’homomorphismes d’anneaux adiques entre anneaux topologiques adiques sont adiques et (b) que la composition des homomorphismes continus d’anneaux préserve la propriété d’être topologiquement de type fini. Nous omettons les détails.

Le lemme suivant affirme que les morphismes d’espaces algébriques formels adiques* sont localement de type fini si et seulement si, localement pour la topologie étale, ils sont donnés par les types d’homomorphismes d’anneaux topologiques décrits dans le lemme 0GBW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à une flèche de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) qui est adique et topologiquement de type fini ;

2. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à une flèche de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) adique et topologiquement de type fini ;

3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et \(X_i \to Y_i\) correspond à une flèche de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) adique et topologiquement de type fini ;

4. \(f\) est localement de type fini.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate de l’équivalence de (1) et (2) dans le lemme 0GBW et d’Espaces formels, lemme 0ANW.

Type fini sur les réductions

Dans cette section, nous traitons brièvement des morphismes \(X \to Y\) d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable tels que \(X_{red} \to Y_{red}\) soit localement de type fini. Nous allons traduire cette propriété en une condition algébrique. Pour comprendre cette condition, il est utile de garder à l’esprit le fait suivant :

• Si \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible, alors l’ensemble \(\mathfrak a \subset A\) des éléments topologiquement nilpotents est un idéal radical ouvert et \(\text{Spf}(A)_{red} = \Spec(A/\mathfrak a)\).

Voir Espaces formels, définition 0AMV, lemme 0AMW, et exemple 0GB6.

Lemme

Pour une flèche \(\varphi : A \to B\) de \(\text{WAdm}^{count}\), considérons la propriété \(P(\varphi)=\)“l’homomorphisme d’anneaux induit \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b\) est de type fini”, où \(\mathfrak a \subset A\) et \(\mathfrak b \subset B\) sont les idéaux des éléments topologiquement nilpotents. Alors \(P\) est une propriété locale au sens d’Espaces formels, situation 0CBA.

Démonstration

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] comme dans Espaces formels, situation 0CBA. En appliquant \(\text{Spf}\) à ce diagramme, on obtient \[\xymatrix{ \text{Spf}(B) \ar[d] & \text{Spf}((B')^\wedge) \ar[l] \ar[d] \\ \text{Spf}(A) & \text{Spf}((A')^\wedge) \ar[l] }\] d’espaces algébriques formels affines dont les flèches horizontales sont représentables par des espaces algébriques et étales d’après Espaces formels, lemme 0AN8. On obtient donc un diagramme commutatif de schémas affines \[\xymatrix{ \text{Spf}(B)_{red} \ar[d]^f & \text{Spf}((B')^\wedge)_{red} \ar[l]^g \ar[d]^{f'} \\ \text{Spf}(A)_{red} & \text{Spf}((A')^\wedge)_{red} \ar[l] }\] dont les flèches horizontales sont étales d’après Espaces formels, lemme 0GB7. D’après Espaces formels, exemple 0GB6, et lemme 0AN9, les conditions (1), (2) et (3) d’Espaces formels, situation 0CBA se traduisent par les énoncés suivants :

1. si \(f\) est localement de type fini, alors \(f'\) est localement de type fini ;

2. si \(f'\) est localement de type fini et si \(g\) est surjectif, alors \(f\) est localement de type fini ;

3. si \(T_i \to S\), \(i = 1, \ldots, n\), sont localement de type fini, alors \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} T_i \to S\) est localement de type fini.

Les propriétés (1) et (2) résultent du fait que la propriété d’être localement de type fini est locale sur la source et sur le but pour la topologie étale ; voir la discussion dans Morphismes d’espaces, section 03XE. La propriété (3) est une conséquence immédiate de la définition.

Lemme

Considérons la propriété \(P\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{count}\) définie dans le lemme 0GC2. Alors \(P\) est stable par changement de base (Espaces formels, situation 0GBC).

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GC2. Pour le démontrer, supposons donnés des homomorphismes \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{count}\) tels que \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\) soit de type fini, où \(\mathfrak b \subset B\) et \(\mathfrak a \subset A\) sont les idéaux des éléments topologiquement nilpotents. Puisque \(A\) et \(B\) sont faiblement admissibles, les idéaux \(\mathfrak a\) et \(\mathfrak b\) sont ouverts. Soit \(\mathfrak c \subset C\) l’idéal (ouvert) des éléments topologiquement nilpotents. Il existe alors une surjection \(A \widehat{\otimes}_B C \to A/\mathfrak a \otimes_{B/\mathfrak b} C/\mathfrak c\) dont le noyau est un idéal faible de définition et est donc constitué d’éléments topologiquement nilpotents (comparer avec la démonstration d’Espaces formels, lemme 0GB4). Comme \(C/\mathfrak c \to A/\mathfrak a \otimes_{B/\mathfrak b} C/\mathfrak c\) est déjà de type fini en tant que changement de base de \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\), on conclut.

Lemme

Considérons la propriété \(P\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{count}\) définie dans le lemme 0GC2. Alors \(P\) est stable par composition (Espaces formels, situation 0GBH).

Démonstration

Omis. Indication : les composés d’homomorphismes d’anneaux de type fini sont de type fini.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\). Si \(\varphi\) est tendu et topologiquement de type fini, alors \(\varphi\) satisfait la condition définie dans le lemme 0GC2.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate des définitions.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) satisfaisant la condition définie dans le lemme 0GC2. Alors \(A \to B\) est topologiquement de type fini.

Démonstration

Soit \(\mathfrak b \subset B\) l’idéal des éléments topologiquement nilpotents. Choisissons \(b_1, \ldots, b_r \in B\) dont les images engendrent \(B/\mathfrak b\) sur \(A\). Choisissons des générateurs \(b_{r + 1}, \ldots, b_s\) de l’idéal \(\mathfrak b\). Nous affirmons que l’image de \[\varphi : A[x_1, \ldots, x_s] \longrightarrow B, \quad x_i \longmapsto b_i\] est dense. En effet, si \(b \in \mathfrak b^n\) pour un certain \(n \geq 0\), on peut écrire \(b = \sum b_E b_{r + 1}^{e_{r + 1}} \ldots b_s^{e_s}\), où les multi-indices \(E = (e_{r + 1}, \ldots, e_s)\) satisfont \(|E| = \sum e_i = n\) et où \(b_E \in B\). On peut ensuite écrire \(b_E = f_E(b_1, \ldots, b_r) + b'_E\) avec \(b'_E \in \mathfrak b\) et \(f_E \in A[x_1, \ldots, x_r]\). En combinant ces expressions, on obtient \(b \in \Im(\varphi) + \mathfrak b^{n + 1}\). Par récurrence, on voit que \(B = \Im(\varphi) + \mathfrak b^n\) pour tout \(n \geq 0\), ce qui donne le résultat puisque \(\mathfrak b\) est un idéal de définition de \(B\).

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Si \(\varphi\) est adique, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\varphi\) satisfait la condition définie dans le lemme 0GC2 ;

2. \(\varphi\) satisfait la condition définie dans le lemme 0GBW.

Démonstration

Omis. Indication : pour démontrer (1) \(\Rightarrow\) (2), utiliser le lemme 0GC6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\) satisfaisant la propriété définie dans le lemme 0GC2 ;

2. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\) satisfaisant la propriété définie dans le lemme 0GC2 ;

3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et où \(X_i \to Y_i\) correspond à une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\) satisfaisant la propriété définie dans le lemme 0GC2 ;

4. le morphisme \(f_{red} : X_{red} \to Y_{red}\) est localement de type fini.

Démonstration

L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte du lemme 0GC2 et d’une application d’Espaces formels, lemme 0ANG. Soient \(Y_j\) et \(X_{ji}\) comme en (2). Alors :

• Les familles \(\{Y_{j, red} \to Y_{red}\}\) et \(\{X_{ji, red} \to X_{red}\}\) sont des recouvrements étales par des schémas affines. Cela résulte de la discussion dans la démonstration d’Espaces formels, lemme 0AIN ou directement d’Espaces formels, lemme 0GB7.

• Si \(X_{ji} \to Y_j\) correspond au morphisme \(B_j \to A_{ji}\) de \(\textit{WAdm}^{count}\), alors \(X_{ji, red} \to Y_{j, red}\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(B_j/\mathfrak b_j \to A_{ji}/\mathfrak a_{ji}\), où \(\mathfrak b_j\) et \(\mathfrak a_{ji}\) sont les idéaux des éléments topologiquement nilpotents. Cela résulte d’Espaces formels, exemple 0GB6. Ainsi, \(X_{ji, red} \to Y_{j, red}\) est localement de type fini si et seulement si \(B_j \to A_{ji}\) satisfait la propriété définie dans le lemme 0GC2.

L’équivalence de (2) et (4) résulte de ces remarques, car la propriété d’être localement de type fini est une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie étale sur la source et sur le but ; voir la discussion dans Morphismes d’espaces, section 03XE.

Morphismes plats

Dans cette section, nous définissons les morphismes plats d’espaces algébriques formels localement noethériens.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\)“\(\varphi\) is flat” des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est une propriété locale au sens d’Espaces formels, remarque 0ANI.

Démonstration

Rappelons ce que signifie l’énoncé. Tout d’abord, \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est la catégorie dont les objets sont les anneaux topologiques noethériens adiques et dont les morphismes sont les homomorphismes continus d’anneaux. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] satisfaisant aux conditions suivantes : \(A\) et \(B\) sont des anneaux topologiques noethériens adiques, \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont des homomorphismes étales d’anneaux, \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\) pour un idéal de définition \(I \subset A\), \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\) pour un idéal de définition \(J \subset B\), et \(\varphi : A \to B\) et \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) sont continus. Notons que \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) sont des anneaux topologiques noethériens adiques d’après Espaces formels, lemme 0ANB. Nous devons montrer que

1. \(\varphi\) est plat \(\Rightarrow \varphi'\) est plat ;

2. si \(B \to B'\) est fidèlement plat, alors \(\varphi'\) est plat \(\Rightarrow \varphi\) est plat ; et

3. si \(A \to B_i\) est plat pour \(i = 1, \ldots, n\), alors \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\) est plat.

Nous utiliserons sans plus de précisions que les complétés d’anneaux noethériens sont plats (Algèbre, lemme 00MB). Comme \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont bien sûr plats, les flèches horizontales du diagramme sont en particulier plates.

Démonstration de (1). Si \(\varphi\) est plat, alors la composée \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) est plate. Par suite, \(A' \to (B')^\wedge\) est plat d’après Compléments sur la platitude, lemme 05B9. Ainsi, \((A')^\wedge \to (B')^\wedge\) est plat par application de Compléments sur l’algèbre, lemme 0AGW, avec \(R = A'\), l’idéal \(I(A')\) et \(M = (B')^\wedge = M^\wedge\).

Démonstration de (2). Supposons \(\varphi'\) plat et \(B \to B'\) fidèlement plat. La composée \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) est alors plate. D’autre part, \(B \to (B')^\wedge\) est fidèlement plat d’après Espaces formels, lemme 0AN9. Il résulte donc d’Algèbre, lemme 0584, que \(\varphi : A \to B\) est plat.

Démonstration de (3). Omise.

Lemme

Notons \(P\) la propriété des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) définie dans le lemme 0GC9. Notons \(Q\) la propriété définie dans le lemme 0GC2, considérée comme propriété des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Notons \(R\) la propriété définie dans le lemme 0GBW, considérée comme propriété des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Alors

1. \(P\) est stable par changement de base par \(Q\) (Espaces formels, remarque 0GBG) ; et

2. \(P + R\) est stable par changement de base (Espaces formels, remarque 0GBF).

Démonstration

L’énoncé a un sens puisque chacune des propriétés \(P\), \(Q\) et \(R\) est une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Soient \(\varphi : B \to A\) et \(\psi : B \to C\) des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Si \(Q(\varphi)\) ou \(Q(\psi)\) est satisfaite, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est noethérien d’après Espaces formels, lemme 0GB4. Comme \(R\) entraîne \(Q\) (lemme 0GC5), cela vaut dans les deux cas (1) et (2). C’est le premier point à vérifier. Il reste à montrer que \(C \to A \widehat{\otimes}_B C\) est plat.

Démonstration de (1). Fixons des idéaux de définition \(I \subset A\) et \(J \subset B\). D’après le lemme 0GC6, l’homomorphisme d’anneaux \(B \to C\) est topologiquement de type fini. Ainsi, \(B \to C/J^n\) est de type fini pour tout \(n \geq 1\). L’anneau \(A \otimes_B C/J^n\) est donc noethérien (car il est de type fini sur \(A\) et \(A\) est noethérien). Par conséquent, le complété \(I\)-adique \(A \widehat{\otimes}_B C/J^n\) de \(A \otimes_B C/J^n\) est plat sur \(C/J^n\) : en effet, \(C/J^n \to A \otimes_B C/J^n\) est plat comme changement de base de \(B \to A\), et \(A \otimes_B C/J^n \to A \widehat{\otimes}_B C/J^n\) est plat d’après Algèbre, lemme 00MB. Remarquons que \(A \widehat{\otimes}_B C/J^n = (A \widehat{\otimes}_B C)/J^n(A \widehat{\otimes}_B C)\) ; nous omettons les détails. Nous en concluons que \(M = A \widehat{\otimes}_B C\) est un \(C\)-module complet pour la topologie \(J\)-adique, tel que \(M/J^nM\) soit plat sur \(C/J^n\) pour tout \(n \geq 1\). Il en résulte que \(M\) est plat sur \(C\) d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0912.

Démonstration de (2). Dans ce cas, \(B \to A\) est adique, et l’on a donc simplement \(A \widehat{\otimes}_B C = \lim A \otimes_B C/J^n\). Les anneaux \(A \otimes_B C/J^n\) sont noethériens par application d’Espaces formels, lemme 0GB4, où l’on remplace \(C\) par \(C/J^n\). On conclut comme précédemment.

Lemme

Notons \(P\) la propriété des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) définie dans le lemme 0GC9. Alors \(P\) est stable par composition (Espaces formels, remarque 0GBK).

Démonstration

Cela résulte de ce que les composées d’homomorphismes plats d’anneaux sont plates.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). On dit que \(f\) est plat si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines et où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme plat d’anneaux topologiques noethériens adiques.

Montrons que cette condition peut se vérifier localement pour la topologie étale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est plat ;

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines et où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ;

3. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour chaque \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un homomorphisme plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; et

4. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour chaque \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et \(X_i \to Y_i\) correspond à un homomorphisme plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition 0GCC. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte de ce que la platitude est une propriété locale des flèches de \(\text{WAdm}^{Noeth}\) d’après le lemme 0GC9, puis de l’application de la variante d’Espaces formels, lemme 0ANG, pour les morphismes entre espaces algébriques localement noethériens, mentionnée dans Espaces formels, remarque 0ANI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\).

1. Si \(f\) est plat et si \(g_{red} : Z_{red} \to Y_{red}\) est localement de type fini, alors le changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) est plat.

2. Si \(f\) est plat et localement de type fini, alors le changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) est plat et localement de type fini.

Démonstration

L’assertion (1) résulte de la combinaison d’Espaces formels, remarque 0GBG, du lemme 0GCA, partie (1), du lemme 0GCD et du lemme 0GC7.

L’assertion (2) résulte de la combinaison d’Espaces formels, remarque 0GBF, du lemme 0GCA, partie (2), du lemme 0GCD et du lemme 0GC0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) et \(g\) sont plats, alors \(g \circ f\) l’est aussi.

Démonstration

Combiner Espaces formels, remarque 0GBK, et le lemme 0GCB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et plat au sens d’Amorçage, définition 03XZ, alors \(f\) est plat au sens de la définition 0GCC.

Démonstration

Il s’agit d’une vérification de cohérence dont la démonstration devrait être triviale, mais ne l’est pas tout à fait. Nous invitons le lecteur à passer cette démonstration. Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques et plat au sens d’Amorçage, définition 03XZ. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines et où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales. Alors le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme tendu \(B \to A\) de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) d’après Espaces formels, lemme 0ANK. Remarquons que cela signifie que \(B \to A\) est adique (Espaces formels, lemme 0GBS) et que, en particulier, pour tout idéal de définition \(J \subset B\), la topologie de \(A\) est la topologie \(J\)-adique et les diagrammes \[\xymatrix{ \Spec(A/J^nA) \ar[r] \ar[d] & \Spec(B/J^n) \ar[d] \\ U \ar[r] & V }\] sont cartésiens.

Soit \(T \to V\) un morphisme, où \(T\) est un schéma. Alors \[\begin{align*} X \times_Y T \to T\text{ est plat} & \Rightarrow U \times_Y T \to T\text{ est plat} \\ & \Rightarrow U \times_V V \times_Y T \to T\text{ est plat} \\ & \Rightarrow U \times_V V \times_Y T \to V \times_Y T\text{ est plat} \\ & \Rightarrow U \times_V T \to T\text{ est plat} \end{align*}\] Le premier énoncé est l’hypothèse faite sur \(f\). La première implication vient de ce que \(U \to X\) est étale, donc plat, et de ce que les composées de morphismes plats d’espaces algébriques sont plates. La deuxième vient de l’égalité \(U \times_Y T = U \times_V V \times_Y T\). La troisième résulte de Compléments sur la platitude, lemme 05B9. La quatrième vient de ce que l’on peut effectuer le changement de base par le morphisme \(T \to V \times_Y T\). Nous en concluons que \(U \to V\) est plat au sens d’Amorçage, définition 03XZ. En termes de l’homomorphisme continu d’anneaux \(B \to A\), cela signifie que les homomorphismes \(B/J^n \to A/J^nA\) sont plats (voir le diagramme ci-dessus).

Enfin, on peut conclure, par exemple à l’aide de Compléments sur l’algèbre, lemme 0912, que \(B \to A\) est plat.

Points rig-fermés

Nous développons juste assez de théorie pour pouvoir l’utiliser afin de tester la rig-platitude dans une section ultérieure. Le lecteur trouvera davantage de théorie dans [BL-I], où est notamment étudié le cas des schémas formels localement noethériens.

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique adique noethérien. Soit \(\mathfrak q \subset A\) un idéal premier. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour un idéal de définition \(I \subset A\), on a \(I \not \subset \mathfrak q\) et \(\mathfrak q\) est maximal pour cette propriété ;

2. pour un idéal de définition \(I \subset A\), l’idéal premier \(\mathfrak q\) définit un point fermé de \(\Spec(A) \setminus V(I)\) ;

3. pour tout idéal de définition \(I \subset A\), on a \(I \not \subset \mathfrak q\) et \(\mathfrak q\) est maximal pour cette propriété ;

4. pour tout idéal de définition \(I \subset A\), l’idéal premier \(\mathfrak q\) définit un point fermé de \(\Spec(A) \setminus V(I)\) ;

5. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\) et, pour un idéal de définition \(I \subset A\), on a \(I \not \subset \mathfrak q\) ;

6. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\) et, pour tout idéal de définition \(I \subset A\), on a \(I \not \subset \mathfrak q\) ;

7. \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\) et la topologie induite sur \(A/\mathfrak q\) est non triviale ;

8. \(A/\mathfrak q\) est un anneau local noethérien complet intègre de dimension \(1\), dont l’idéal maximal est le radical de l’image de tout idéal de définition de \(A\) ; et

9. ajouter d’autres conditions ici.

Démonstration

Il est clair que (1) et (2) sont équivalentes et, pour la même raison, que (3) et (4) sont équivalentes. Puisque \(V(I)\) est indépendant du choix de l’idéal de définition \(I\) de \(A\), on voit que (2) et (4) sont équivalentes.

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (1) – (4). Si \(\dim(A/\mathfrak q) > 1\), on peut choisir un idéal maximal \(\mathfrak q \subset \mathfrak m \subset A\) tel que \(\dim((A/\mathfrak q)_\mathfrak m) > 1\). Alors \(\Spec((A/\mathfrak q)_\mathfrak m) - V(I(A/\mathfrak q)_\mathfrak m)\) serait infini d’après Algèbre, Lemme 02IG. Cela contredit le fait que \(\mathfrak q\) est fermé dans \(\Spec(A) \setminus V(I)\). On voit donc que (6) est satisfaite. Il est immédiat que (6) implique (5).

Réciproquement, supposons (5) satisfaite. Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Puisque \(A/\mathfrak q\) est complet pour \(I(A/\mathfrak q)\) (par exemple d’après Algèbre, Lemme 00MA), on voit que tous les points fermés de \(\Spec(A/\mathfrak q)\) sont contenus dans \(V(IA/\mathfrak q)\) d’après Algèbre, Lemme 05GI. Comme \(\dim(A/\mathfrak q) = 1\) et \(I \not \subset \mathfrak q\), on en déduit deux faits : (a) \(V(IA/\mathfrak q)\) doit contenir tous les points distincts du point générique de \(\Spec(A/\mathfrak q)\), et (b) \(V(IA/\mathfrak q)\) doit être un ensemble discret (fini). D’après (a), \(\mathfrak q\) est un point fermé de \(\Spec(A) \setminus V(I)\), et l’on conclut que (2) est satisfaite.

Toujours sous l’hypothèse (5), on voit que l’espace discret fini \(V(IA/\mathfrak q)\) doit être un singleton d’après Compléments d’algèbre, Lemme 09Y6 par exemple (et le fait que les couples complets sont henséliens ; voir Compléments d’algèbre, Lemme 0ALJ). On voit donc que (8) est vraie. Réciproquement, il est clair que (8) implique (5).

À ce stade, nous savons que (1) – (6) et (8) sont équivalentes. Nous omettons la vérification qu’elles sont aussi équivalentes à (7).

Pour parler commodément de tels idéaux premiers, nous introduisons la terminologie non standard suivante.

Définition

Soit \(A\) un anneau topologique adique noethérien. Soit \(\mathfrak q \subset A\) un idéal premier. Nous disons que \(\mathfrak q\) est rig-fermé si les conditions équivalentes du Lemme 0GG8 sont satisfaites.

Nous aurons besoin de quelques lemmes qui disent essentiellement qu’il existe beaucoup d’idéaux premiers rig-fermés, même dans un cadre relatif.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Notons \(\mathfrak a \subset A\) et \(\mathfrak b \subset B\) les idéaux des éléments topologiquement nilpotents. Supposons que \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b\) soit de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset B\) rig-fermé. Le corps résiduel \(\kappa\) de l’anneau local \(B/\mathfrak q\) est une \(A/\mathfrak a\)-algèbre de type fini.

Démonstration

Soit \(\mathfrak q \subset \mathfrak m \subset B\) l’unique idéal maximal contenant \(\mathfrak q\). Alors \(\mathfrak b \subset \mathfrak m\). Par conséquent, \(A/\mathfrak a \to B/\mathfrak b \to B/\mathfrak m = \kappa\) est de type fini.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui est adique et topologiquement de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset B\) rig-fermé. Soit \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q) \subset A\). Soit \(\mathfrak a \subset A\) l’idéal des éléments topologiquement nilpotents. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le corps résiduel \(\kappa\) de \(B/\mathfrak q\) est fini sur \(A/\mathfrak a\) ;

2. \(\mathfrak p \subset A\) est rig-fermé ;

3. \(A/\mathfrak p \subset B/\mathfrak q\) est une extension finie d’anneaux.

Démonstration

Supposons (1). Rappelons que \(B/\mathfrak q\) est un anneau local noethérien de dimension \(1\), dont la topologie est la topologie adique définie par l’idéal maximal. Puisque \(\varphi\) est adique, on voit que \(A \to B/\mathfrak q\) est adique. Ainsi, \(\varphi(\mathfrak a)\) est un idéal non nul de \(B/\mathfrak q\). Par conséquent, \(B/\mathfrak q + \varphi(\mathfrak a)\) est de longueur finie. Ainsi, \(B/\mathfrak q + \varphi(\mathfrak a)\) est fini comme \(A/\mathfrak a\)-module par hypothèse. Il s’ensuit que \(B/\mathfrak q\) est fini sur \(A\) d’après Algèbre, Lemme 031D. Donc (3) est satisfaite.

Supposons (3). Alors \(\Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(A/\mathfrak p)\) est surjectif d’après Algèbre, Lemme 00GQ. Cela implique (2).

Supposons (2). Notons \(\kappa'\) le corps résiduel de \(A/\mathfrak p\). D’après le Lemme 0GGA (et le Lemme 0GC5), l’extension \(\kappa/\kappa'\) est une algèbre de type fini. D’après le théorème des zéros de Hilbert (Algèbre, Lemme 00FY) on voit que \(\kappa/\kappa'\) est une extension finie. On voit donc que (1) est satisfaite.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui est adique et topologiquement de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset B\) rig-fermé. Si \(A/I\) est de Jacobson pour un idéal de définition \(I \subset A\), alors \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q) \subset A\) est rig-fermé.

Démonstration

D’après le Lemme 0GGA (combiné au Lemme 0GC5), le corps résiduel \(\kappa\) de \(B/\mathfrak q\) est de type fini sur \(A/\mathfrak a\). Puisque \(A/\mathfrak a\) est de Jacobson, on voit que \(\kappa\) est fini sur \(A/\mathfrak a\) d’après Algèbre, Lemme 0CY7. On conclut par le Lemme 0GGB.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui est adique et topologiquement de type fini. Soit \(\mathfrak p \subset A\) rig-fermé. Soient \(\mathfrak a \subset A\) et \(\mathfrak b \subset B\) les idéaux des éléments topologiquement nilpotents. Si \(\varphi\) est plat, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l’idéal maximal de \(A/\mathfrak p\) appartient à l’image de \(\Spec(B/\mathfrak b) \to \Spec(A/\mathfrak a)\) ;

2. il existe un idéal premier rig-fermé \(\mathfrak q \subset B\) tel que \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\).

Dans ce cas, \(\varphi\), \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q\) satisfont les conclusions du Lemme 0GGB.

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Supposons (1). Pour prouver l’existence de \(\mathfrak q\), on peut remplacer \(A\) par \(A/\mathfrak p\) et \(B\) par \(B/\mathfrak p B\) (certains détails sont omis). On peut donc supposer que \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local noethérien complet de dimension \(1\), que \(\mathfrak m = \mathfrak a\) et que \(\mathfrak p = (0)\). La condition (1) dit simplement que \(B_0 = B \otimes_A \kappa = B/\mathfrak m B = B/\mathfrak a B\) est non nul. Remarquons que \(B_0\) est de type fini sur \(\kappa\). On peut donc raisonner par récurrence sur \(\dim(B_0)\). Si \(\dim(B_0) = 0\), tout idéal premier minimal \(\mathfrak q \subset B\) convient (la platitude de \(A \to B\) assure que \(\mathfrak q\) est au-dessus de \(\mathfrak p = (0)\)). Si \(\dim(B_0) > 0\), on peut trouver un élément \(b \in B\) dont l’image \(b_0 \in B_0\) est un élément non diviseur de zéro et non inversible ; voir Algèbre, Lemme 0GEC. D’après Algèbre, Lemme 00MF, l’anneau \(B' = B/bB\) est plat sur \(A\). Puisque \(B'_0 = B' \otimes_A \kappa = B_0/(b_0)\) est non nul, on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à \(B'\) et conclure. La dernière assertion du lemme résulte clairement du Lemme 0GGB.

Introduisons une notation.

Définition

Soit \(A\) un anneau topologique adique possédant un idéal de définition de type fini. Soit \(f \in A\). La localisation principale complétée \(A_{\{f\}}\) de \(A\) est le complété de \(A_f = A[1/f]\), la localisation principale de \(A\) en \(f\), relativement à n’importe quel idéal de définition de \(A\).

Bien entendu, si \(f\) est topologiquement nilpotent, alors \(A_{\{f\}}\) est l’anneau nul.

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique adique noethérien. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Soit \(f \in A\) un élément dont l’image dans \(A/\mathfrak p\) est inversible. Alors \[\mathfrak p A_{\{f\}} = \mathfrak p(A_f)^\wedge = \mathfrak p \otimes_A (A_f)^\wedge = (\mathfrak p_f)^\wedge\] est un idéal premier de quotient \[A/\mathfrak p = (A/\mathfrak p) \otimes_A (A_f)^\wedge = (A_f)^\wedge / \mathfrak p (A_f)^\wedge = A_{\{f\}}/\mathfrak p A_{\{f\}}\]

Démonstration

Puisque \(A_f\) est noethérien, l’homomorphisme d’anneaux \(A \to A_f \to (A_f)^\wedge\) est plat. Pour tout \(A\)-module fini \(M\), on voit que \(M \otimes_A (A_f)^\wedge\) est le complété de \(M_f\). Si \(f\) agit comme un élément inversible sur \(M\), alors \(M_f = M\) est déjà complet. Voir la discussion dans Algèbre, section 0BNH. Ces observations donnent aisément les assertions.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui est adique et topologiquement de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset B\) rig-fermé. Il existe un \(f \in A\) dont l’image dans \(B/\mathfrak q\) est inversible et tel que l’on obtienne un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ B \ar[r] & B_{\{f\}} \\ A \ar[r] \ar[u]_\varphi & A_{\{f\}} \ar[u]_{\varphi_{\{f\}}} } } \quad\text{avec les idéaux premiers}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathfrak q \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \mathfrak q' \ar@{-}[d] \ar@{=}[r] & \mathfrak q B_{\{f\}} \\ \mathfrak p \ar@{-}[r] & \mathfrak p' } }\] tel que \(\mathfrak p'\) soit rig-fermé, c’est-à-dire que l’homomorphisme \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\) et les idéaux premiers \(\mathfrak q'\) et \(\mathfrak p'\) satisfassent les conditions équivalentes du Lemme 0GGB.

Démonstration

Voir le Lemme 0GGF pour la description de \(\mathfrak q'\). La seule assertion du lemme est que, pour un choix convenable de \(f\), l’idéal premier \(\mathfrak p'\) vérifie \(\dim((A_f)^\wedge/\mathfrak p') = 1\). D’après le Lemme 0GGB, cela signifie à son tour simplement que le corps résiduel \(\kappa\) de \(B/\mathfrak q = (B_f)^\wedge/\mathfrak q'\) est fini sur \((A_f)^\wedge/\mathfrak a' = (A/\mathfrak a)_f\). D’après le Lemme 0GGA, on sait que \(A/\mathfrak a \to \kappa\) est un homomorphisme d’algèbres de type fini. Le théorème des zéros de Hilbert, sous la forme d’Algèbre, Lemme 00FY, permet de trouver un \(f \in A\) dont l’image dans \(\kappa\) est inversible et tel que \(\kappa\) soit fini sur \(A_f\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique adique noethérien. Notons \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\) l’anneau des séries formelles restreintes sur \(A\). Soit \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\) un idéal premier. Posons \(\mathfrak q' = A[x_1, \ldots, x_n] \cap \mathfrak q\) et \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\). Si \(\mathfrak q\) et \(\mathfrak p\) sont rig-fermés, alors l’homomorphisme \[A[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak q'} \to A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\] induit un isomorphisme sur les complétés relativement à leurs idéaux maximaux.

Démonstration

D’après le Lemme 0GGB, l’homomorphisme d’anneaux \(A/\mathfrak p \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\) est fini. Pour tout \(m \geq 1\), le module \(\mathfrak q^m/\mathfrak q^{m + 1}\) est fini sur \(A\), puisqu’il s’agit d’un \(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\)-module fini. Ainsi, \(A\{x_1, \ldots x_n\}/\mathfrak q^m\) est un \(A\)-module fini. Par conséquent, \(A[x_1, \ldots, x_n] \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\) est surjectif (car son image est dense et est un \(A\)-sous-module). On en déduit directement que \(A[x_1, \ldots, x_n]/(\mathfrak q')^m \to A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\) est un isomorphisme pour tout \(m\). Le lemme en résulte aisément. Indication : choisissons un élément topologiquement nilpotent \(g \in A\) qui n’appartient pas à \(\mathfrak p\). L’homomorphisme entre les complétés est alors \[\lim_m \left(A[x_1, \ldots, x_n]/(\mathfrak q')^m\right)_g \longrightarrow \left(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q^m\right)_g\] Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Supposons que \(\varphi\) soit adique, topologiquement de type fini et plat, et que \(A/I \to B/IB\) soit étale pour un (respectivement tout) idéal de définition \(I \subset A\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) rig-fermé tel que \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\) soit lui aussi rig-fermé. Alors \(\mathfrak p B_\mathfrak q = \mathfrak q B_\mathfrak q\).

Démonstration

Soit \(\kappa\) le corps résiduel de l’anneau local complet de dimension \(1\) \(A/\mathfrak p\). Puisque \(A/I \to B/IB\) est étale, on voit que \(B \otimes_A \kappa\) est un produit fini d’extensions finies séparables de \(\kappa\) ; voir Algèbre, Lemme 00U3. L’une d’elles est le corps résiduel de \(B/\mathfrak q\). D’après Algèbre, Lemme 031D, on voit que \(B/\mathfrak p B\) est une \(A/\mathfrak p\)-algèbre finie. Elle est également plate. En combinant ce qui précède, on voit que \(A/\mathfrak p \to B /\mathfrak p B\) est fini étale ; voir Algèbre, Lemme 00U6. Ainsi, \(B/\mathfrak p B\) est réduit, ce qui implique l’assertion du lemme (détails omis).

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique adique noethérien. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier rig-fermé. Pour tout \(n \geq 1\), l’homomorphisme d’anneaux \[A/\mathfrak p \longrightarrow A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A A/\mathfrak p = A/\mathfrak p\{x_1, \ldots, x_n\}\] est régulier. En particulier, l’algèbre \(A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est géométriquement régulière sur \(\kappa(\mathfrak p)\).

Démonstration

Nous utiliserons quelques faits sur les homomorphismes réguliers d’anneaux, que le lecteur trouvera dans Compléments d’algèbre, section 07BY. Puisque \(A/\mathfrak p\) est un anneau local noethérien complet, il est excellent (Compléments d’algèbre, Proposition 07QW). Ainsi, \(A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n]\) est excellent (d’après la même référence). Par conséquent, \(A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n] \to A/\mathfrak p\{x_1, \ldots, x_n\}\) est un homomorphisme régulier d’anneaux d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0AH2. Bien sûr, \(A/\mathfrak p \to A/\mathfrak p[x_1, \ldots, x_n]\) est lisse, donc régulier. Comme la composée d’homomorphismes réguliers d’anneaux est régulière, la démonstration est achevée.

Homomorphismes rig-plats

Dans cette section, nous définissons les homomorphismes rig-plats d’anneaux topologiques adiques noethériens.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un morphisme dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\) (Espaces formels, section 0ANA). Supposons que \(\varphi\) soit adique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(B_f\) est plat sur \(A\) pour tout \(f \in A\) topologiquement nilpotent ;

2. \(B_g\) est plat sur \(A\) pour tout \(g \in B\) topologiquement nilpotent ;

3. \(B_\mathfrak q\) est plat sur \(A\) pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) qui ne contient aucun idéal de définition ;

4. \(B_\mathfrak q\) est plat sur \(A\) pour tout idéal premier rig-fermé \(\mathfrak q \subset B\) ; et

5. ajouter d’autres conditions ici.

Démonstration

Cela résulte des définitions et d’Algèbre, lemme 00HT.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques adiques noethériens, c’est-à-dire que \(\varphi\) est une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Nous disons que \(\varphi\) est naïvement rig-plat si \(\varphi\) est adique, topologiquement de type fini et satisfait les conditions équivalentes du lemme 0GGL.

L’exemple ci-dessous montre que cette notion ne « se localise » pas.

Exemple

D’après Exemples, lemme 0GHI, il existe un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\), noté \((A, \mathfrak m)\), complet relativement à un idéal principal \(I = (a)\), et un élément \(f \in \mathfrak m\), \(f \not \in I\), ayant la propriété suivante : l’anneau \(A_{\{f\}}[1/a]\) n’est pas réduit. Ici, \(A_{\{f\}}\) est le complété \(I\)-adique \((A_f)^\wedge\) de la localisation principale \(A_f\). Précisons que l’anneau \(A_{\{f\}}[1/a]\) est non nul. Soit \(B = A_{\{f\}}/ \text{nil}(A_{\{f\}})\) le quotient par son nilradical. Remarquons que \(A \to B\) est adique et topologiquement de type fini. En fait, \(B\) est un quotient de \(A\{x\} = A[x]^\wedge\) par l’homomorphisme qui envoie \(x\) sur l’image de \(1/f\) dans \(B\). Tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(B\) ne contenant pas \(a\) doit être au-dessus de \((0) \subset A\)². Ainsi, \(B_\mathfrak q\) est plat sur \(A\), car c’est un module sur le corps des fractions de \(A\). Par conséquent, \(A \to B\) est naïvement rig-plat. D’autre part, l’homomorphisme \[A_{\{f\}} \longrightarrow B_{\{f\}} = (B_f)^\wedge = B = A_{\{f\}} /\text{nil}(A_{\{f\}})\] n’est pas plat après inversion de \(a\), car on obtient la surjection non triviale \(A_{\{f\}}[1/a] \to A_{\{f\}}[1/a]/\text{nil}(A_{\{f\}}[1/a])\). Ainsi, \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}^\wedge\) n’est pas naïvement rig-plat !

Il est facile de contourner ce problème en adoptant la définition suivante.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu entre anneaux topologiques adiques noethériens, c’est-à-dire que \(\varphi\) est une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Nous disons que \(\varphi\) est rig-plat si \(\varphi\) est adique, topologiquement de type fini et si, pour tout \(f \in A\), l’homomorphisme induit \[A_{\{f\}} \longrightarrow B_{\{f\}}\] est naïvement rig-plat (définition 0GGM).

En posant \(f = 1\) dans la définition précédente, on voit que la rig-platitude implique la rig-platitude naïve. L’exemple montre que la réciproque est fausse. Cependant, dans de nombreuses situations, il n’est pas nécessaire de se soucier de la différence entre la rig-platitude et sa version naïve, comme le montre le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Si \(A/I\) est de Jacobson pour un idéal de définition \(I \subset A\) (ou, de manière équivalente, pour tout tel idéal) et si \(\varphi\) est naïvement rig-plat, alors \(\varphi\) est rig-plat.

Démonstration

Supposons que \(\varphi\) soit naïvement rig-plat. Énonçons d’abord quelques conséquences immédiates des hypothèses. Soit donc \(f \in A\). Alors \(A, B, A_{\{f\}}, B_{\{f\}}\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens. Les homomorphismes \(A \to A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\) et \(A \to B \to B_{\{f\}}\) sont adiques et topologiquement de type fini. Les homomorphismes d’anneaux \(A \to A_{\{f\}}\) et \(B \to B_{\{f\}}\) sont plats, car ce sont les composées de \(A \to A_f\) et \(B \to B_f\) avec les homomorphismes de complétion, lesquels sont plats d’après Algèbre, lemme 00MB. Les quotients de chacun des anneaux \(A, B, A_{\{f\}}, B_{\{f\}}\) par \(I\) sont de type fini sur \(A/I\), donc sont eux aussi de Jacobson (Algèbre, proposition 00GB).

Soit \(\mathfrak q' \subset B_{\{f\}}\) rig-fermé. Il suffit de prouver que \((B_{\{f\}})_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(A_{\{f\}}\) ; voir le lemme 0GGL. D’après le lemme 0GGC, les idéaux premiers \(\mathfrak q \subset B\), \(\mathfrak p' \subset A_{\{f\}}\) et \(\mathfrak p \subset A\) situés sous \(\mathfrak q'\) sont rig-fermés. Nous allons appliquer Algèbre, lemme 0GEB, au diagramme \[\xymatrix{ B_\mathfrak q \ar[r] & (B_{\{f\}})_{\mathfrak q'} \\ A_\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & (A_{\{f\}})_{\mathfrak p'} \ar[u] }\] avec \(M = B_\mathfrak q\). La seule hypothèse qui n’a pas encore été vérifiée est que \(\mathfrak p\) engendre l’idéal maximal de \((A_{\{f\}})_{\mathfrak p'}\). Cela résulte du lemme 0GGF ; on utilise ici le fait que \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\) sont rig-fermés pour voir que l’image de \(f\) dans \(A/\mathfrak p\) est inversible (c’est la seule étape de la démonstration qui échoue sans l’hypothèse de Jacobson). En effet, cela nous dit que \(A/\mathfrak p \to A_{\{f\}}/\mathfrak p'\) est une inclusion finie d’anneaux locaux (lemme 0GGB) et que l’image de \(f\) dans le second est inversible.

Lemme

Soient \(\varphi : A \to B\) et \(A \to C\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Supposons que \(\varphi\) soit rig-plat et que \(A \to C\) soit adique et topologiquement de type fini. Alors \(C \to B \widehat{\otimes}_A C\) est rig-plat.

Démonstration

Supposons que \(\varphi\) soit rig-plat. Soit \(f \in C\) un élément. Il faut montrer que \(C_{\{f\}} \to B \widehat{\otimes}_A C_{\{f\}}\) est naïvement rig-plat. Puisque l’on peut remplacer \(C\) par \(C_{\{f\}}\), il suffit de montrer que \(C \to B \widehat{\otimes}_A C\) est naïvement rig-plat.

Si \(A \to C\) est surjectif, ou plus généralement si \(C\) est fini comme \(A\)-module, alors \(B \otimes_A C = B \widehat{\otimes}_A C\), car tout module fini sur un anneau noethérien complet est complet ; voir Algèbre, lemme 00MA. Par le changement de base usuel pour la platitude (Algèbre, lemme 00HI), on voit que la rig-platitude naïve de \(\varphi\) implique celle de \(C \to B \times_A C\) dans ce cas.

Dans le cas général, on peut factoriser \(A \to C\) sous la forme \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\} \to C\) où \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\) est l’anneau des séries formelles restreintes et \(A\{x_1, \ldots, x_n\} \to C\) est surjectif. Il suffit donc de montrer que \(C \to B \widehat{\otimes}_A B\) est naïvement rig-plat lorsque \(C = A\{x_1, \ldots, x_n\}\). Puisque \(A\{x_1, \ldots, x_n\} = A\{x_1, \ldots, x_{n - 1}\}\{x_n\}\), une récurrence sur \(n\) ramène au cas traité dans le paragraphe suivant.

Ici, \(C = A\{x\}\). Remarquons que \(B \widehat{\otimes}_A C = B\{x\}\). Il faut montrer que \(A\{x\} \to B\{x\}\) est naïvement rig-plat. Soit \(\mathfrak q \subset B\{x\}\) un idéal premier rig-fermé. Il faut montrer que \(B\{x\}_{\mathfrak q}\) est plat sur \(A\{x\}\). Posons \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\). D’après le lemme 0GGG, on peut trouver un \(f \in A\) tel que l’image de \(f\) dans \(B\{x\}/\mathfrak q\) soit inversible et que l’idéal premier induit \(\mathfrak p'\) de \(A_{\{f\}}\) soit rig-fermé. Nous utiliserons ci-dessous que \(A_{\{f\}}\{x\} = A\{x\}_{\{f\}}\), et de même pour \(B\) ; les détails sont omis. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ (B\{x\})_{\mathfrak q} \ar[r] & (B_{\{f\}}\{x\})_{\mathfrak q'} \\ A\{x\} \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}}\{x\} \ar[u] }\] Nous voulons montrer que la flèche verticale gauche est plate. La flèche horizontale supérieure est fidèlement plate : c’est un homomorphisme local d’anneaux locaux, et elle est plate puisque \(B_{\{f\}}\{x\}\) est le complété d’une localisation de l’anneau noethérien \(B\{x\}\). De même, la flèche horizontale inférieure est plate. Il suffit donc de prouver que la flèche verticale droite est plate. Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Ici, \(C = A\{x\}\), et nous disposons d’un idéal premier rig-fermé \(\mathfrak q \subset B\{x\}\) tel que \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\) soit lui aussi rig-fermé. Il résulte alors du lemme 0GGB que les idéaux premiers intermédiaires \(B \cap \mathfrak q\) et \(A\{x\} \cap \mathfrak q\) sont eux aussi rig-fermés. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ (B[x])_{B[x] \cap \mathfrak q} \ar[r] & (B\{x\})_{\mathfrak q} \\ (A[x])_{A[x] \cap \mathfrak q} \ar[r] \ar[u] & (A\{x\})_{A\{x\} \cap \mathfrak q} \ar[u] }\] formé d’homomorphismes locaux d’anneaux locaux noethériens. D’après le lemme 0GGH, les flèches horizontales induisent des isomorphismes sur les complétés. Nous savons déjà que la flèche verticale gauche est plate (car \(A \to B\) est naïvement rig-plat, donc \(A[x] \to B[x]\) est plat hors du lieu fermé défini par un idéal de définition). On conclut alors par Compléments d’algèbre, lemme 0C4G.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & A' \ar[u]_{\varphi'} }\] dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), dont toutes les flèches sont adiques et topologiquement de type fini. Supposons que \(A \to A'\) et \(B \to B'\) soient plats. Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Si \(\varphi\) est rig-plat et si \(A/I \to A'/IA'\) est étale, alors \(\varphi'\) est rig-plat.

Démonstration

Pour \(f \in A'\), les hypothèses du lemme restent vraies pour le diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')_{\{f\}} \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')_{\{f\}} \ar[u] }\] Il suffit donc de prouver que \(\varphi'\) est naïvement rig-plat.

Prenons un idéal premier rig-fermé \(\mathfrak q' \subset B'\). Il faut montrer que \((B')_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(A'\). On peut choisir un \(f \in A\) dont l’image dans \(B'/\mathfrak q'\) est inversible et tel que l’idéal premier induit \(\mathfrak p''\) de \(A_{\{f\}}\) soit rig-fermé ; voir le lemme 0GGG. Plus précisément, on a ici \(\mathfrak q'' = \mathfrak q' B'_{\{f\}}\) et \(\mathfrak p'' = A_{\{f\}} \cap \mathfrak q''\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ B'_{\mathfrak q'} \ar[r] & (B'_{\{f\}})_{\mathfrak q''} \\ A \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}} \ar[u] }\] Nous voulons montrer que la flèche verticale gauche est plate. La flèche horizontale supérieure est fidèlement plate : c’est un homomorphisme local d’anneaux locaux, et elle est plate puisque \(B'_{\{f\}}\) est le complété d’une localisation de l’anneau noethérien \(B'_f\). De même, la flèche horizontale inférieure est plate. Il suffit donc de prouver que la flèche verticale droite est plate. Enfin, toutes les hypothèses du lemme restent vraies pour le diagramme \[\xymatrix{ B_{\{f\}} \ar[r] & B'_{\{f\}} \\ A_{\{f\}} \ar[r] \ar[u] & A'_{\{f\}} \ar[u] }\] Cela nous ramène au cas traité dans le paragraphe suivant.

Prenons un idéal premier rig-fermé \(\mathfrak q' \subset B'\) et supposons que \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q'\) soit lui aussi rig-fermé. Alors les idéaux premiers \(\mathfrak q = B \cap \mathfrak q'\) et \(\mathfrak p' = A' \cap \mathfrak q'\) sont eux aussi rig-fermés ; voir le lemme 0GGB. Nous allons appliquer Algèbre, lemme 0GEB, au diagramme \[\xymatrix{ B_\mathfrak q \ar[r] & B'_{\mathfrak q'} \\ A_\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & A'_{\mathfrak p'} \ar[u] }\] avec \(M = B_\mathfrak q\). La seule hypothèse qui n’a pas encore été vérifiée est que \(\mathfrak p\) engendre l’idéal maximal de \(A'_{\mathfrak p'}\). Cela résulte du lemme 0GGI.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & A' \ar[u]_{\varphi'} }\] dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), dont toutes les flèches sont adiques et topologiquement de type fini. Supposons \(A \to A'\) plat et \(B \to B'\) fidèlement plat. Si \(\varphi'\) est rig-plat, alors \(\varphi\) est rig-plat.

Démonstration

Pour \(f \in A\), les hypothèses du lemme restent vraies pour le diagramme \[\xymatrix{ B_{\{f\}} \ar[r] & (B')_{\{f\}} \\ A_{\{f\}} \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')_{\{f\}} \ar[u] }\] (Pour vérifier la condition de fidèle platitude : la fidèle platitude de \(B \to B'\) équivaut à la platitude de \(B \to B'\) et à la surjectivité de \(\Spec(B'/IB') \to \Spec(B/IB)\) pour un idéal de définition \(I \subset A\).) Il suffit donc de prouver que \(\varphi\) est naïvement rig-plat. Or nous savons que \(\varphi'\) est naïvement rig-plat et que \(\Spec(B') \to \Spec(B)\) est surjectif. Le résultat en découle immédiatement.

Enfin, nous pouvons montrer que la rig-platitude est une propriété locale.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-plat » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est une propriété locale au sens d’ Espaces formels, remarque 0ANH.

Démonstration

Rappelons ce que signifie l’énoncé. Tout d’abord, \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est la catégorie dont les objets sont les anneaux topologiques adiques noethériens et dont les morphismes sont les homomorphismes continus d’anneaux. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] satisfaisant les conditions suivantes : \(A\) et \(B\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens, \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont des homomorphismes étales d’anneaux, \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\) pour un idéal de définition \(I \subset A\), \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\) pour un idéal de définition \(J \subset B\), et \(\varphi : A \to B\) et \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) sont continus. Remarquons que \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens d’après Espaces formels, lemme 0ANB. Il faut montrer :

1. \(\varphi\) est rig-plat \(\Rightarrow \varphi'\) est rig-plat ;

2. si \(B \to B'\) est fidèlement plat, alors \(\varphi'\) est rig-plat \(\Rightarrow \varphi\) est rig-plat ; et

3. si \(A \to B_i\) est rig-plat pour \(i = 1, \ldots, n\), alors \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\) est rig-plat.

Les propriétés d’être adique et topologiquement de type fini satisfont les conditions (1), (2) et (3) ; voir le lemme 0GBW. Ainsi, lorsque nous vérifions (1), (2) et (3) pour la propriété « rig-plat », nous pouvons déjà supposer que tous nos homomorphismes d’anneaux sont adiques et topologiquement de type fini. Alors (1) et (2) résultent des lemmes 0GGS et 0GGT. Nous omettons la démonstration immédiate de (3).

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-plat » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est stable par composition au sens d’Espaces formels, remarque 0GBK.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GGU. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des morphismes rig-plats \(A \to B\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Alors \(A \to C\) est adique et topologiquement de type fini d’après le lemme 0GBZ. Pour achever la démonstration, il faut montrer que, pour tout \(f \in A\), l’homomorphisme \(A_{\{f\}} \to C_{\{f\}}\) est naïvement rig-plat. Puisque \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\) et \(B_{\{f\}} \to C_{\{f\}}\) sont naïvement rig-plats, il suffit de montrer qu’une composée d’homomorphismes naïvement rig-plats est naïvement rig-plate. C’est une conséquence d’Algèbre, lemme 00HC.

Morphismes rig-plats

Dans cette section, nous utilisons le travail accompli dans la section 0GGK pour définir les morphismes rig-plats d’espaces algébriques localement noethériens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Nous disons que \(f\) est rig-plat si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-plat d’anneaux topologiques adiques noethériens.

Montrons que cette condition peut être vérifiée localement pour la topologie étale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-plat ;

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ;

3. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un homomorphisme rig-plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; et

4. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et \(X_i \to Y_i\) correspond à un homomorphisme rig-plat dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition 0GGX. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte du fait que la rig-platitude est une propriété locale des flèches de \(\text{WAdm}^{Noeth}\) d’après le lemme 0GGU, et de l’application de la variante d’ Espaces formels, lemme 0ANG pour les morphismes entre espaces algébriques localement noethériens mentionnée dans Espaces formels, remarque 0ANI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) est rig-plat et \(g\) est localement de type fini, alors le changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) est rig-plat.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBG et de la discussion d’Espaces formels, section 0AQ2, ainsi que du lemme 0GGR.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) et \(g\) sont rig-plats, alors \(g \circ f\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBK et du lemme 0GGV.

Homomorphismes rig-lisses

Dans cette section, nous démontrons quelques propriétés des homomorphismes rig-lisses d’anneaux topologiques adiques noethériens nécessaires pour introduire les morphismes rig-lisses d’espaces algébriques formels localement noethériens.

Lemme

Soit \(A \to B\) un morphisme dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) (Espaces formels, section 0ANA). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A \to B\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0GBW et il existe un idéal de définition \(I \subset B\) tel que \(B\) soit rig-lisse sur \((A, I)\) ; et

2. \(A \to B\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0GBW et, pour tout idéal de définition \(I \subset A\), l’algèbre \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\).

Démonstration

Soient \(I\) et \(I'\) des idéaux de définition de \(A\). Il existe alors un entier \(c \geq 0\) tel que \(I^c \subset I'\) et \((I')^c \subset I\). Par conséquent, \(B\) est rig-lisse sur \((A, I)\) si et seulement si \(B\) est rig-lisse sur \((A, I')\). Cela résulte de la définition 0GAI, des inclusions \(I^c \subset I'\) et \((I')^c \subset I\), ainsi que du fait que le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}^\wedge\) est indépendant du choix de l’idéal de définition de \(A\) d’après la remarque 0GBX.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques adiques noethériens, c’est-à-dire que \(\varphi\) est une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Nous disons que \(\varphi\) est rig-lisse si les conditions équivalentes du lemme 0GCI sont satisfaites.

Cela définit une propriété locale.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-lisse » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est une propriété locale au sens d’ Espaces formels, remarque 0ANI.

Démonstration

Rappelons ce que signifie l’énoncé. Tout d’abord, \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est la catégorie dont les objets sont les anneaux topologiques adiques noethériens et dont les morphismes sont les homomorphismes continus d’anneaux. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] satisfaisant les conditions suivantes : \(A\) et \(B\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens, \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont des homomorphismes étales d’anneaux, \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\) pour un idéal de définition \(I \subset A\), \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\) pour un idéal de définition \(J \subset B\), et \(\varphi : A \to B\) et \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) sont continus. Remarquons que \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens d’après Espaces formels, lemme 0ANB. Il faut montrer :

1. \(\varphi\) est rig-lisse \(\Rightarrow \varphi'\) est rig-lisse ;

2. si \(B \to B'\) est fidèlement plat, alors \(\varphi'\) est rig-lisse \(\Rightarrow \varphi\) est rig-lisse ; et

3. si \(A \to B_i\) est rig-lisse pour \(i = 1, \ldots, n\), alors \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\) est rig-lisse.

Les conditions équivalentes du lemme 0GBW satisfont les conditions (1), (2) et (3). Ainsi, lors de la vérification de (1), (2) et (3) pour la propriété « rig-lisse », nous pouvons déjà supposer dans chaque cas que nos homomorphismes d’anneaux satisfont les conditions équivalentes du lemme 0GBW.

Choisissons un idéal de définition \(I \subset A\). D’après les remarques précédentes, la topologie de chaque anneau du diagramme est la topologie \(I\)-adique, et \(B\), \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) appartiennent à la catégorie (0AL4) pour \((A, I)\). Puisque \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont étales, les complexes \(\NL_{A'/A}\) et \(\NL_{B'/B}\) sont nuls ; par conséquent, \(\NL_{(A')^\wedge/A}^\wedge\) et \(\NL_{(B')^\wedge/B}^\wedge\) sont nuls d’après le lemme 0GAF. En appliquant le lemme 0ALM à \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\), on obtient les isomorphismes \[H^i(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] Ainsi, \(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}\) est un quasi-isomorphisme. Les homomorphismes d’anneaux \(B/I^nB \to B'/I^nB'\) sont étales, donc sont des intersections complètes locales (Algèbre, lemme 00U9). On peut donc appliquer les lemmes 0ALM et 0AQJ à \(A \to B \to (B')^\wedge\), et l’on obtient les isomorphismes \[H^i(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] On en conclut que \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge\) est un quasi-isomorphisme. En combinant ces deux observations, on obtient \[\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge \cong \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\] dans \(D((B')^\wedge)\). Ces préparatifs étant achevés, nous pouvons commencer la démonstration proprement dite.

Preuve de (1). Supposons que \(\varphi\) soit rig-lisse. Il existe alors un \(c \geq 0\) tel que \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) soit annulé par \(I^c\) pour tout \(B\)-module \(N\). D’après Compléments d’algèbre, lemmes 0G9G et 0G9H cette propriété est préservée par le changement de base \(B \to (B')^\wedge\). Ainsi, \(\Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge, N)\) est annulé par \(I^c(A')^\wedge\) pour tout \((B')^\wedge\)-module \(N\), ce qui montre que \(\varphi'\) est rig-lisse. Ceci prouve (1).

Pour prouver (2), supposons que \(B \to B'\) soit fidèlement plat et que \(\varphi'\) soit rig-lisse. Il existe alors un \(c \geq 0\) tel que \(\Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge, N')\) soit annulé par \(I^c(B')^\wedge\) pour tout \((B')^\wedge\)-module \(N'\). La composée \(B \to B' \to (B')^\wedge\) est plate (Algèbre, lemme 00MB) ; ainsi, pour tout \(B\)-module \(N\), on a \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N) \otimes_B (B')^\wedge = \Ext^1_{(B')^\wedge}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge, N \otimes_B (B')^\wedge)\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6A, partie (3) (quelques détails mineurs sont omis). On voit donc que ce module est annulé par \(I^c\). Or \(B \to (B')^\wedge\) est en fait fidèlement plat, car \(B \to B'\) est fidèlement plat par hypothèse (Espaces formels, lemme 0AN9). On en conclut que \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}^\wedge, N)\) est annulé par \(I^c\). Ainsi, \(\varphi\) est rig-lisse. Ceci prouve (2).

Pour prouver (3), posons \(B = \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\). Il suffit d’observer que \(\NL_{B/A}^\wedge\) est la somme directe des complexes \(\NL_{B_i/A}^\wedge\), considérés comme complexes de \(B\)-modules.

Lemme

Considérons les propriétés \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-lisse » et \(Q(\varphi)\)= « \(\varphi\) est adique » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Alors \(P\) est stable par changement de base par \(Q\) au sens d’ Espaces formels, remarque 0GBG.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GCI. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des morphismes \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), et supposons que \(B \to A\) soit rig-lisse et que \(B \to C\) soit adique (Espaces formels, définition 0GBR). On peut alors choisir un idéal de définition \(I \subset B\) tel que la topologie de \(A\) et de \(C\) soit la topologie \(I\)-adique. Dans cette situation, il résulte immédiatement du lemme 0GAM que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est rig-lisse sur \((C, IC)\).

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-lisse » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est stable par composition au sens d’Espaces formels, remarque 0GBK.

Démonstration

Nous recommandons vivement au lecteur de chercher sa propre démonstration et de ne pas lire celle qui suit. L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GCI. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des morphismes rig-lisses \(A \to B\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). On peut alors choisir un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(C\) et de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique. D’après le lemme 0ALM, on obtient une suite exacte \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] Remarquons que \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\) et \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\) sont annulés par une puissance de \(I\) ; cela résulte de la partie (2) du lemme 0GAJ, combinée aux lemmes de Compléments d’algèbre 0G9G et 0G9H (pour traiter le changement de base \(B \to C\)). Ainsi, \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\) est annulé par une puissance de \(I\). Ensuite, d’après la caractérisation des algèbres rig-lisses donnée dans la partie (2) du lemme 0GAJ, qui renvoie elle-même à la partie (5) de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K, on peut choisir \(f_1, \ldots, f_s \in IB\) et \(g_1, \ldots, g_t \in IC\) tels que \(V(f_1, \ldots, f_s) = V(IB)\) et \(V(g_1, \ldots, g_t) = V(IC)\), et tels que \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge)_{f_i}\) soit un \(B_{f_i}\)-module projectif fini et \(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)_{g_j}\) un \(C_{g_j}\)-module projectif fini. Comme les cohomologies en degré \(-1\) s’annulent après localisation en \(f_ig_j\), on obtient une suite exacte courte \[0 \to (C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge))_{f_ig_j} \to H^0(\NL_{C/A}^\wedge)_{f_ig_j} \to H^0(\NL_{C/B}^\wedge)_{f_ig_j} \to 0\] et l’on conclut que \(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)_{f_ig_j}\) est un \(C_{f_ig_j}\)-module projectif fini, puisqu’il est une extension des deux autres. Ainsi, par le critère de la partie (2) du lemme 0GAJ, et donc par celui de la partie (4) de Compléments d’algèbre, lemme 0G9K, on conclut que \(C\) est rig-lisse sur \((A, I)\).

Le lemme suivant peut s’interpréter en disant qu’un homomorphisme rig-lisse est « rig-syntomique » ou « rig-plat\(+\)rig-intersection complète locale ».

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Si \(\varphi\) est rig-lisse, alors \(\varphi\) est rig-plat et, pour toute présentation \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\) et tout idéal premier \(J \subset \mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\) ne contenant pas un idéal de définition, l’idéal \(J_\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\) est engendré par une suite régulière.

Démonstration

Soit \(f \in A\). Pour prouver que \(\varphi\) est rig-plat, il faut montrer que \(\varphi_{\{f\}} : A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\) est naïvement rig-plat. Or, soit en considérant \(\varphi_{\{f\}}\) comme un changement de base de \(\varphi\) et en utilisant le lemme 0GCL, soit en utilisant le fait que la rig-lissité est une propriété locale (lemme 0GCK), on voit que \(\varphi_{\{f\}}\) est rig-lisse. Il suffit donc de montrer que \(\varphi\) est naïvement rig-plat.

Choisissons une présentation \(B = A\{x_1, \ldots, x_n\}/J\). Pour vérifier la seconde partie du lemme, il suffit de vérifier que \(J_\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\) est engendré par une suite régulière pour \(J \subset \mathfrak q\), l’idéal \(\mathfrak q\) étant maximal parmi ceux qui ne contiennent pas d’idéal de définition ; voir Algèbre, lemme 061L (qui montre que l’ensemble des idéaux premiers de \(V(J)\) en lesquels \(J\) est engendré par une suite régulière est ouvert). Autrement dit, on peut supposer que \(\mathfrak q\) est rig-fermé dans \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\). Pour vérifier que \(B\) est naïvement rig-plat, il suffit également de vérifier que les localisés correspondants \(B_\mathfrak q\) sont plats sur \(A\).

Soit \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\) rig-fermé avec \(J \subset \mathfrak q\). D’après le lemme 0GGG, on peut choisir un \(f \in A\) dont l’image dans \(A\{x_1, \ldots, x_n\}/\mathfrak q\) est inversible et tel que l’idéal premier induit \(\mathfrak p'\) de \(A_{\{f\}}\) soit rig-fermé. Nous utiliserons ci-dessous que \(A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\} = A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\{f\}}\) ; les détails sont omis. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} / J_\mathfrak q \ar[r] & A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}/ J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'} \\ A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'} \ar[u] \\ A \ar[r] \ar[u] & A_{\{f\}} \ar[u] }\] La flèche horizontale médiane est fidèlement plate : c’est un homomorphisme local d’anneaux locaux, et elle est plate puisque \(A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}\) est le complété d’une localisation de l’anneau noethérien \(A\{x_1, \ldots, x_n\}\). De même, la flèche horizontale inférieure est plate. Ainsi, pour montrer que \(J_\mathfrak q\) est engendré par une suite régulière et que \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q} / J_\mathfrak q\) est plat, il suffit de prouver les mêmes assertions pour \(J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}\) et \(A_{\{f\}} \to A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}/ J A_{\{f\}}\{x_1, \ldots, x_n\}_{\mathfrak q'}\). Voir Algèbre, lemme 00LM, ou Compléments d’algèbre, lemme 068N, pour l’assertion sur les suites régulières. Enfin, nous avons déjà vu que \(A_{\{f\}} \to B_{\{f\}}\) est rig-lisse. Cela nous ramène au cas traité dans le paragraphe suivant.

Soit \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_n\}\) rig-fermé avec \(J \subset \mathfrak q\), et supposons en outre que \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\) soit lui aussi rig-fermé. D’après la caractérisation des algèbres rig-lisses donnée dans le lemme 0GAJ, après réordonnement des variables \(x_1, \ldots, x_n\), on peut trouver \(m \geq 0\) et \(f_1, \ldots, f_m \in J\) tels que

1. \(J_\mathfrak q\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_m\) ; et

2. \(\det_{1 \leq i, j \leq m}(\partial f_j/ \partial x_i)\) a une image inversible dans \(A\{x_1, \ldots, x_n\}_\mathfrak q\).

D’après le lemme 0GGJ, l’anneau fibre \[F = A\{x_1, \ldots, x_n\} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\] est régulier. Remarquons que les \(A\)-dérivations \(\partial / \partial x_i\) se prolongent (de manière unique) en des dérivations \(D_i : F \to F\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0GEE, on voit que les images de \(f_1, \ldots, f_m\) forment une suite régulière dans \(F_\mathfrak q\). La platitude de \(A \to A\{x_1, \ldots, x_n\}\) et Algèbre, lemme 00MG, montrent alors que les images de \(f_1, \ldots, f_m\) forment une suite régulière dans \(A\{x_1, \ldots, x_m\}_\mathfrak q\), et que le quotient par ces éléments est plat sur \(A\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(A \to B \to C\) des flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui sont adiques et topologiquement de type fini. Si \(B \to C\) est rig-lisse, alors le noyau de l’homomorphisme \[H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\] (voir le lemme 0ALM) est annulé par un idéal de définition.

Démonstration

Soit \(\overline{\mathfrak q} \subset C\) un idéal premier qui ne contient aucun idéal de définition. Puisque les modules considérés sont finis, il suffit de montrer que \[H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)_{\overline{\mathfrak q}} \to H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)_{\overline{\mathfrak q}}\] est injectif. Comme dans la démonstration du lemme 0ALM, choisissons des présentations \(B = A\{x_1, \ldots, x_r\}/J\), \(C = B\{y_1, \ldots, y_s\}/J'\) et \(C = A\{x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\}/K\). En examinant le diagramme de la démonstration du lemme 0ALM, on voit qu’il suffit de montrer que \(J/J^2 \otimes_B C \to K/K^2\) est injectif après localisation en l’idéal premier \(\mathfrak q \subset A\{x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\}\) correspondant à \(\overline{\mathfrak q}\). Comparer avec Compléments d’algèbre, lemme 07D4, et sa démonstration. Cela revient à demander que \(J/KJ \to K/K^2\) soit injectif après localisation en \(\mathfrak q\). De manière équivalente, il faut montrer que \(J_\mathfrak q \cap K^2_\mathfrak q = (KJ)_\mathfrak q\). D’après le lemme 0GH1, on sait que \((K/J)_\mathfrak q = J'_\mathfrak q\) est engendré par une suite régulière. La propriété d’intersection voulue résulte donc de Compléments d’algèbre, lemme 07CX (et du fait qu’un idéal engendré par une suite régulière est \(H_1\)-régulier ; voir Compléments d’algèbre, section 07CU).

Morphismes rig-lisses

Dans cette section, nous utilisons le travail accompli dans la section 0GCH pour définir les morphismes rig-lisses d’espaces algébriques localement noethériens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Nous disons que \(f\) est rig-lisse si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-lisse d’anneaux topologiques adiques noethériens.

Montrons que cette condition peut être vérifiée localement pour la topologie étale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-lisse ;

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-lisse dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ;

3. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un homomorphisme rig-lisse dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; et

4. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et \(X_i \to Y_i\) correspond à un homomorphisme rig-lisse dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition 0GCP. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte du fait que la rig-lissité est une propriété locale des flèches de \(\text{WAdm}^{Noeth}\) d’après le lemme 0GCK, et de l’application de la variante d’ Espaces formels, lemme 0ANG pour les morphismes entre espaces algébriques localement noethériens mentionnée dans Espaces formels, remarque 0ANI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) est rig-lisse et \(g\) est adique, alors le changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) est rig-lisse.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBG et de la discussion d’Espaces formels, section 0AQ2, ainsi que du lemme 0GCL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) et \(g\) sont rig-lisses, alors \(g \circ f\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBK et du lemme 0GCM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) est rig-lisse, alors \(f\) est rig-plat.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0GH1 et des définitions.

Homomorphismes rig-étales

Dans cette section, nous démontrons quelques propriétés des homomorphismes rig-étales d’anneaux topologiques adiques noethériens nécessaires pour introduire les morphismes rig-étales d’espaces algébriques localement noethériens.

Lemme

Soit \(A \to B\) un morphisme dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) (Espaces formels, section 0ANA). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A \to B\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0GBW et il existe un idéal de définition \(I \subset B\) tel que \(B\) soit rig-étale sur \((A, I)\) ; et

2. \(A \to B\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0GBW et, pour tout idéal de définition \(I \subset A\), l’algèbre \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\).

Démonstration

Soient \(I\) et \(I'\) des idéaux de définition de \(A\). Il existe alors un entier \(c \geq 0\) tel que \(I^c \subset I'\) et \((I')^c \subset I\). Par conséquent, \(B\) est rig-étale sur \((A, I)\) si et seulement si \(B\) est rig-étale sur \((A, I')\). Cela résulte de la définition 0GAY, des inclusions \(I^c \subset I'\) et \((I')^c \subset I\), ainsi que du fait que le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}^\wedge\) est indépendant du choix de l’idéal de définition de \(A\) d’après la remarque 0GBX.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques adiques noethériens, c’est-à-dire que \(\varphi\) est une flèche de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Nous disons que \(\varphi\) est rig-étale si les conditions équivalentes du lemme 0GCU sont satisfaites.

Cela définit une propriété locale.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-étale » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est une propriété locale au sens d’ Espaces formels, remarque 0ANI.

Démonstration

Cette démonstration est exactement la même que celle du lemme 0GCK. Rappelons ce que signifie l’énoncé. Tout d’abord, \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est la catégorie dont les objets sont les anneaux topologiques adiques noethériens et dont les morphismes sont les homomorphismes continus d’anneaux. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & (B')^\wedge \\ A \ar[r] \ar[u]^\varphi & (A')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} }\] satisfaisant les conditions suivantes : \(A\) et \(B\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens, \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont des homomorphismes étales d’anneaux, \((A')^\wedge = \lim A'/I^nA'\) pour un idéal de définition \(I \subset A\), \((B')^\wedge = \lim B'/J^nB'\) pour un idéal de définition \(J \subset B\), et \(\varphi : A \to B\) et \(\varphi' : (A')^\wedge \to (B')^\wedge\) sont continus. Remarquons que \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) sont des anneaux topologiques adiques noethériens d’après Espaces formels, lemme 0ANB. Il faut montrer :

1. \(\varphi\) est rig-étale \(\Rightarrow \varphi'\) est rig-étale ;

2. si \(B \to B'\) est fidèlement plat, alors \(\varphi'\) est rig-étale \(\Rightarrow \varphi\) est rig-étale ; et

3. si \(A \to B_i\) est rig-étale pour \(i = 1, \ldots, n\), alors \(A \to \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\) est rig-étale.

Les conditions équivalentes du lemme 0GBW satisfont les conditions (1), (2) et (3). Ainsi, lors de la vérification de (1), (2) et (3) pour la propriété « rig-étale », nous pouvons déjà supposer dans chaque cas que nos homomorphismes d’anneaux satisfont les conditions équivalentes du lemme 0GBW.

Choisissons un idéal de définition \(I \subset A\). D’après les remarques précédentes, la topologie de chaque anneau du diagramme est la topologie \(I\)-adique, et \(B\), \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) appartiennent à la catégorie (0AL4) pour \((A, I)\). Puisque \(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont étales, les complexes \(\NL_{A'/A}\) et \(\NL_{B'/B}\) sont nuls ; par conséquent, \(\NL_{(A')^\wedge/A}^\wedge\) et \(\NL_{(B')^\wedge/B}^\wedge\) sont nuls d’après le lemme 0GAF. En appliquant le lemme 0ALM à \(A \to (A')^\wedge \to (B')^\wedge\), on obtient les isomorphismes \[H^i(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] Ainsi, \(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}\) est un quasi-isomorphisme. Les homomorphismes d’anneaux \(B/I^nB \to B'/I^nB'\) sont étales, donc sont des intersections complètes locales (Algèbre, lemme 00U9). On peut donc appliquer les lemmes 0ALM et 0AQJ à \(A \to B \to (B')^\wedge\), et l’on obtient les isomorphismes \[H^i(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge) \to H^i(\NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge)\] On en conclut que \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge \to \NL_{(B')^\wedge/A}^\wedge\) est un quasi-isomorphisme. En combinant ces deux observations, on obtient \[\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge \cong \NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\] dans \(D((B')^\wedge)\). Ces préparatifs étant achevés, nous pouvons commencer la démonstration proprement dite.

Preuve de (1). Supposons que \(\varphi\) soit rig-étale. Il existe alors un \(c \geq 0\) tel que la multiplication par \(a \in I^c\) soit nulle sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) dans \(D(B)\). Cette propriété est préservée par le changement de base \(B \to (B')^\wedge\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0G9G. L’isomorphisme précédent montre que \(\varphi'\) est rig-étale. Ceci prouve (1).

Pour prouver (2), supposons que \(B \to B'\) soit fidèlement plat et que \(\varphi'\) soit rig-étale. Il existe alors un \(c \geq 0\) tel que la multiplication par \(a \in I^c\) soit nulle sur \(\NL_{(B')^\wedge/(A')^\wedge}^\wedge\) dans \(D((B')^\wedge)\). D’après l’isomorphisme précédent, \(a^c\) annule les modules de cohomologie de \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B (B')^\wedge\). La composée \(B \to (B')^\wedge\) est fidèlement plate, car \(B \to B'\) est fidèlement plat par hypothèse ; voir Espaces formels, lemme 0AN9. Ainsi, les modules de cohomologie de \(\NL_{B/A}^\wedge\) sont annulés par \(I^c\). Il résulte du lemme 0AJU que \(\varphi\) est rig-étale. Ceci prouve (2).

Pour prouver (3), posons \(B = \prod_{i = 1, \ldots, n} B_i\). Il suffit d’observer que \(\NL_{B/A}^\wedge\) est la somme directe des complexes \(\NL_{B_i/A}^\wedge\), considérés comme complexes de \(B\)-modules.

Lemme

Considérons les propriétés \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-étale » et \(Q(\varphi)\)= « \(\varphi\) est adique » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Alors \(P\) est stable par changement de base par \(Q\) au sens d’ Espaces formels, remarque 0GBG.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GCU. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des morphismes \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), et supposons que \(B \to A\) soit rig-étale et que \(B \to C\) soit adique (Espaces formels, définition 0GBR). On peut alors choisir un idéal de définition \(I \subset B\) tel que la topologie de \(A\) et de \(C\) soit la topologie \(I\)-adique. Dans cette situation, il résulte immédiatement que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est rig-étale sur \((C, IC)\) d’après le lemme 0GB2.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-étale » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) est stable par composition au sens d’Espaces formels, remarque 0GBK.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GCU. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des morphismes rig-étales \(A \to B\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). On peut alors choisir un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(C\) et de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique. D’après le lemme 0ALM, on obtient une suite exacte \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] Il existe un \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in I\), la multiplication par \(a^c\) soit nulle sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) dans \(D(B)\) et sur \(\NL_{C/B}^\wedge\) dans \(D(C)\). Alors, bien sûr, la multiplication par \(a^c\) est aussi nulle sur \(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C\) dans \(D(C)\). Ainsi, \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_A C\), \(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)\), \(H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C)\), et \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\) sont annulés par \(a^c\). La suite exacte montre que la multiplication par \(a^{2c}\) est nulle sur \(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)\) et \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\). Il résulte du lemme 0AJU que \(C\) est rig-étale sur \((A, I)\), comme voulu.

Lemme

La propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est rig-étale » sur les flèches de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) possède la propriété de simplification au sens d’Espaces formels, remarque 0GBP.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après le lemme 0GCU. Pour voir qu’il est vrai, supposons donnés des homomorphismes \(A \to B\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), avec \(A \to C\) et \(A \to B\) rig-étales. Il faut montrer que \(B \to C\) est rig-étale. On peut alors choisir un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(C\) et de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique. D’après le lemme 0ALM, on obtient une suite exacte \[\xymatrix{ C \otimes_B H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^0(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{B/A}^\wedge \otimes_B C) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge) \ar[llu] }\] Il existe un \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in I\), la multiplication par \(a^c\) soit nulle sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) dans \(D(B)\) et sur \(\NL_{C/A}^\wedge\) dans \(D(C)\). Ainsi, \(H^0(\NL_{B/A}^\wedge) \otimes_A C\), \(H^0(\NL_{C/A}^\wedge)\), et \(H^{-1}(\NL_{C/A}^\wedge)\) sont annulés par \(a^c\). La suite exacte montre que la multiplication par \(a^{2c}\) est nulle sur \(H^0(\NL_{C/B}^\wedge)\) et \(H^{-1}(\NL_{C/B}^\wedge)\). Il résulte du lemme 0AJU que \(C\) est rig-étale sur \((B, IB)\), comme voulu.

Morphismes rig-étales

Dans cette section, nous utilisons le travail accompli dans la section 0GCT pour définir les morphismes rig-étales d’espaces algébriques localement noethériens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Nous disons que \(f\) est rig-étale si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-étale d’anneaux topologiques adiques noethériens.

Montrons que cette condition peut être vérifiée localement pour la topologie étale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-étale ;

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme rig-étale dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ;

3. il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un homomorphisme rig-étale dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; et

4. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM, et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et \(X_i \to Y_i\) correspond à un homomorphisme rig-étale dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition 0AQM. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte du fait que la rig-étalité est une propriété locale des flèches de \(\text{WAdm}^{Noeth}\) d’après le lemme 0AQL, et de l’application de la variante d’ Espaces formels, lemme 0ANG pour les morphismes entre espaces algébriques localement noethériens, mentionnée dans Espaces formels, remarque 0ANI.

Précisons qu’un morphisme rig-étale est localement de type fini.

Lemme

Un morphisme rig-étale d’espaces algébriques formels localement noethériens est localement de type fini.

Démonstration

La propriété \(P\) du lemme 0AQL implique les conditions équivalentes (a), (b), (c) et (d) d’ Espaces formels, lemme 0ANU. L’assertion résulte donc d’Espaces formels, lemme 0ANW.

Lemme

Un morphisme rig-étale d’espaces algébriques formels localement noethériens est rig-lisse.

Démonstration

Cela résulte des définitions et du lemme 0GB1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) est rig-étale et \(g\) est adique, alors le changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) est rig-étale.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBG et de la discussion d’Espaces formels, section 0AQ2, ainsi que du lemme 0GCW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(f\) et \(g\) sont rig-étales, alors \(g \circ f\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBK et du lemme 0GCX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(g \circ f\) et \(g\) sont rig-étales, alors \(f\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte d’Espaces formels, remarque 0GBP et du lemme 0GCY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(g \circ f\) est rig-étale et \(g\) est un monomorphisme adique, alors \(f\) est rig-étale.

Démonstration

Utiliser le lemme 0GD1 et le fait que \(f\) est le changement de base de \(g \circ f\) par \(g\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons que \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens et que \(f\) soit une immersion fermée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-lisse ;

2. \(f\) est rig-étale ;

3. pour tout espace algébrique formel affine \(V\) et tout morphisme \(V \to Y\) représentable par des espaces algébriques et étale, le morphisme \(X \times_Y V \to V\) correspond à un morphisme surjectif \(B \to A\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) dont le noyau \(J\) possède la propriété suivante : \(I(J/J^2) = 0\) pour un idéal de définition \(I\) de \(B\).

Démonstration

Remarquons que, étant donnés \(V\) et \(V \to Y\) comme en (2), sans autre hypothèse sur \(f\), le morphisme \(X \times_Y V \to V\) correspond à un morphisme surjectif \(B \to A\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) d’après Espaces formels, lemme 0AQI.

On a (2) \(\Rightarrow\) (1) d’après le lemme 0GD0.

Démonstration de (3) \(\Rightarrow\) (2). Supposons (3). D’après le lemme 0GCZ, il suffit de montrer que les homomorphismes d’anneaux \(B \to A\) qui apparaissent en (3) sont rig-étales au sens de la définition 0GCV. Soit \(I\) comme en (3). Le complexe cotangent naïf \(\NL_{A/B}^\wedge\) de \(A\) sur \((B, I)\) est le complexe de \(A\)-modules obtenu en plaçant \(J/J^2\) en degré \(-1\). Par conséquent, \(A\) est rig-étale sur \((B, I)\) d’après la définition 0GAY.

Supposons (1), et soient \(V\) et \(B \to A\) comme en (3). D’après la définition 0GCP, on voit que \(B \to A\) est rig-lisse. Choisissons un idéal de définition quelconque \(I \subset B\). Alors \(A\) est rig-lisse sur \((B, I)\). Comme ci-dessus, le complexe \(\NL_{A/B}^\wedge\) est obtenu en plaçant \(J/J^2\) en degré \(-1\). Ainsi, d’après le lemme 0GAJ, on voit que \(J/J^2\) est annulé par une puissance \(I^n\) pour un \(n \geq 1\). Puisque \(B\) est adique, on voit que \(I^n\) est un idéal de définition de \(B\), ce qui achève la démonstration.

Morphismes rig-surjectifs

Pour les morphismes localement de type fini entre espaces algébriques formels localement noethériens, on peut utiliser une définition empruntée à [ArtinII]. Voir la remarque 0AQZ pour une discussion du traitement des cas plus généraux.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons que \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens et que \(f\) soit localement de type fini. Nous disons que \(f\) est rig-surjectif si, pour tout diagramme à flèches pleines \[\xymatrix{ \text{Spf}(R') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & X \ar[d]^f \\ \text{Spf}(R) \ar[r]^-p & Y }\] où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet et où \(p\) est un morphisme adique, il existe une extension d’anneaux de valuation discrète complets \(R \subset R'\) et un morphisme \(\text{Spf}(R') \to X\) rendant commutatif le diagramme affiché.

Nous verrons dans les lemmes ci-dessous que cette notion se comporte raisonnablement dans le contexte des espaces algébriques formels localement noethériens et des morphismes localement de type fini. Dans la remarque suivante, nous discutons plusieurs manières de modifier cette définition pour une classe plus large de morphismes d’espaces algébriques formels.

Remarque

La condition formulée dans la définition 0AQQ ne convient pas même aux morphismes de type fini d’espaces algébriques formels localement adiques*. Par exemple, si \(A = (\bigcup_{n \geq 1} k[t^{1/n}])^\wedge\), où la complétion est la complétion \(t\)-adique, alors il n’existe aucun morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(A)\) où \(R\) soit un anneau de valuation discrète complet. Ainsi, tout morphisme \(X \to \text{Spf}(A)\) serait rig-surjectif ; mais, puisque \(A\) est intègre et que \(t \in A\) est non nul, nous voulons considérer que \(A\) possède au moins un « point rigide », et nous ne voulons pas autoriser \(X = \emptyset\). Pour traiter ce cas particulier, on peut considérer des morphismes adiques \[\text{Spf}(R) \longrightarrow Y\] où \(R\) est un anneau de valuation complet relativement à un idéal principal \(J\) dont le radical est \(\mathfrak m_R = \sqrt{J}\). Dans ce cas, le groupe de valeurs de \(R\) peut se plonger dans \((\mathbf{R}, +)\), et l’on obtient le point de vue utilisé par Berkovich pour définir un espace analytique associé à \(Y\) ; voir [Berkovich]. Une autre approche est défendue par Huber. Dans sa théorie, on abandonne l’hypothèse que \(\Spec(R/J)\) est un singleton ; voir [Huber-continuous-valuations].

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) et \(Z\) localement noethériens, et \(f\) et \(g\) localement de type fini. Si \(f\) et \(g\) sont rig-surjectifs, alors \(g \circ f\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte directement des définitions (et d’Espaces formels, lemme 0AQ4).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) et \(Z\) localement noethériens, et \(f\) et \(g\) localement de type fini. Si \(f\) est rig-surjectif, alors le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte directement des définitions (et d’ Espaces formels, lemmes 0AQ8 et 0AQ5).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes localement de type fini d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Si \(g \circ f\) est rig-surjectif et si \(g\) est un monomorphisme, alors \(f\) est rig-surjectif.

Démonstration

Utiliser le lemme 0AQS et le fait que \(f\) est le changement de base de \(g \circ f\) par \(g\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) et \(Z\) localement noethériens, et \(f\) et \(g\) localement de type fini. Si \(g \circ f : X \to Z\) est rig-surjectif, alors \(g : Y \to Z\) l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens, représentable par des espaces algébriques, étale et surjectif. Alors \(f\) est rig-surjectif.

Démonstration

Soit \(p : \text{Spf}(R) \to Y\) un morphisme adique, où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet. Soit \(Z = \text{Spf}(R) \times_Y X\). Alors \(Z \to \text{Spf}(R)\) est représentable par des espaces algébriques, étale et surjectif. Ainsi, \(Z\) est non vide. Choisissons un espace algébrique formel affine non vide \(V\) et un morphisme étale \(V \to Z\) (ce qui est possible par nos définitions). Alors \(V \to \text{Spf}(R)\) correspond à \(R \to A^\wedge\), où \(R \to A\) est un homomorphisme étale d’anneaux ; voir Espaces formels, lemme 0AN8. Puisque \(A^\wedge \not = 0\) (puisque \(V \not = \emptyset\)), on peut trouver un idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\) au-dessus de \(\mathfrak m_R\). Alors \(A_\mathfrak m\) est un anneau de valuation discrète (Compléments d’algèbre, lemme 0AP2). Alors \(R' = A_\mathfrak m^\wedge\) est un anneau de valuation discrète complet (Compléments d’algèbre, lemme 0AP1). En appliquant Espaces formels, lemme 0AN0. on trouve le morphisme voulu \(\text{Spf}(R') \to V \to Z \to X\).

Il résulte des lemmes précédents que l’on peut vérifier si \(f : X \to Y\) est rig-surjectif localement pour la topologie étale sur \(Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens qui est localement de type fini. Soit \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques formels représentables par des espaces algébriques et étales, telle que \(\coprod g_i\) soit surjectif. Alors \(f\) est rig-surjectif si et seulement si chaque \(f_i : X \times_Y Y_i \to Y_i\) est rig-surjectif.

Démonstration

En effet, si \(f\) est rig-surjectif, tout changement de base l’est aussi (lemme 0AQS). Réciproquement, si tous les \(f_i\) sont rig-surjectifs, alors \(\coprod f_i : \coprod X \times_Y Y_i \to \coprod Y_i\) l’est aussi. D’après le lemme 0AQU, le morphisme \(\coprod g_i : \coprod Y_i \to Y\) est rig-surjectif. Ainsi, \(\coprod X \times_Y Y_i \to Y\) est rig-surjectif (lemme 0AQR). Puisque ce morphisme se factorise par \(X \to Y\), on voit que \(X \to Y\) est rig-surjectif d’après le lemme 0AQT.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet relativement à un idéal \(I\). Soit \(B\) une algèbre \(I\)-adiquement complète sur \(A\). Si \(A/I^n \to B/I^nB\) est de type fini et plat pour tout \(n\), et fidèlement plat pour \(n = 1\), alors \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est rig-surjectif.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention le fait que les morphismes entre spectres formels sont donnés par les homomorphismes continus entre les anneaux topologiques correspondants ; voir Espaces formels, lemme 0AN0. Soit \(\varphi : A \to R\) un homomorphisme continu vers un anneau de valuation discrète complet \(A\). Cela implique \(\varphi(I) \subset \mathfrak m_R\). D’autre part, puisque nous devons seulement produire le relèvement \(\varphi' : B' \to R'\) dans le cas où \(\varphi\) correspond à un morphisme adique, on peut supposer que \(\varphi(I) \not = 0\). On peut donc considérer le changement de base \(C = B \widehat{\otimes}_A R\) ; voir par exemple la remarque 0AL5. Alors \(C\) est une algèbre \(\mathfrak m_R\)-adiquement complète sur \(R\) telle que \(C/\mathfrak m_R^n C\) soit de type fini et plate sur \(R/\mathfrak m_R^n\), et que \(C/\mathfrak m_R C\) soit non nulle. Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m \subset C\) au-dessus de \(\mathfrak m_R\). Par platitude (qui implique la propriété de descente), on voit que \(\Spec(C_\mathfrak m) \setminus V(\mathfrak m_R C_\mathfrak m)\) est un ouvert non vide. On peut donc choisir un idéal premier \(\mathfrak q \subset \mathfrak m\) tel que \(\mathfrak q\) définisse un point fermé de \(\Spec(C_\mathfrak m) \setminus \{\mathfrak m\}\) et tel que \(\mathfrak q \not \in V(IC_\mathfrak m)\) ; voir Propriétés, lemme 02IM. Alors \(C/\mathfrak q\) est un anneau local intègre de dimension \(1\), et l’on peut trouver \(C/\mathfrak q \subset R'\), où \(R'\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, lemme 00PH). Par construction, \(\mathfrak m_R R' \subset \mathfrak m_{R'}\), et l’on voit que \(C \to R'\) se prolonge en un homomorphisme continu \(C \to (R')^\wedge\) (en fait, dans la situation présente, on peut choisir \(R'\) tel que \(R' = (R')^\wedge\), mais cela ne nous est pas nécessaire). Puisque le complété d’un anneau de valuation discrète est un anneau de valuation discrète, on voit que l’hypothèse donne un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ (R')^\wedge & C \ar[l] & B \ar[l] \\ R \ar[u] & R \ar[l] \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] qui fournit le relèvement voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet relativement à un idéal \(I\). Soit \(B\) une algèbre \(I\)-adiquement complète sur \(A\). Supposons que

1. la \(I\)-torsion de \(A\) soit \(0\) ;

2. \(A/I^n \to B/I^nB\) soit plat et de type fini pour tout \(n\).

Alors \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est rig-surjectif si et seulement si \(A/I \to B/IB\) est fidèlement plat.

Démonstration

La fidèle platitude implique la rig-surjectivité d’après le lemme 0AQX. Pour prouver la réciproque, nous utiliserons sans autre mention que l’annulation de la \(I\)-torsion équivaut à celle de la torsion par une puissance de \(I\) (Compléments d’algèbre, lemme 05EA). Nous utiliserons également sans autre mention le fait que les morphismes entre spectres formels sont donnés par des homomorphismes continus entre les anneaux topologiques correspondants ; voir Espaces formels, lemme 0AN0.

Supposons que \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) soit rig-surjectif. Choisissons un idéal maximal \(I \subset \mathfrak m \subset A\). L’ouvert \(U = \Spec(A_\mathfrak m) \setminus V(I_\mathfrak m)\) de \(\Spec(A_\mathfrak m)\) est non vide, car la \(I_\mathfrak m\)-torsion de \(A_\mathfrak m\) est nulle (utiliser Algèbre, lemme 00L6). On peut donc trouver un idéal premier \(\mathfrak q \subset A_\mathfrak m\) qui définit un point de \(U\) (c’est-à-dire \(IA_\mathfrak m \not \subset \mathfrak q\)) et qui correspond à un point fermé de \(\Spec(A_\mathfrak m) \setminus \{\mathfrak m\}\) ; voir Propriétés, lemme 02IM. Alors \(A_\mathfrak m/\mathfrak q\) est un anneau local intègre de dimension \(1\). On peut donc trouver un homomorphisme local injectif d’anneaux locaux \(A_\mathfrak m/\mathfrak q \subset R\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, lemme 00PH). Par construction, \(IR \subset \mathfrak m_R\), et l’on voit que \(A \to R\) se prolonge en un homomorphisme continu \(A \to R^\wedge\). Puisque le complété d’un anneau de valuation discrète est un anneau de valuation discrète, on voit que l’hypothèse donne un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ R' & B \ar[l] \\ R^\wedge \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] On trouve ainsi un idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak m\). Il s’ensuit que \(\Spec(B/IB) \to \Spec(A/I)\) est surjectif, d’où la fidèle platitude de \(A/I \to B/IB\) (Algèbre, lemme 00HQ).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons \(X\) et \(Y\) localement noethériens, \(f\) localement de type fini, et \(f\) un monomorphisme. Alors \(f\) est rig-surjectif si et seulement si tout morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to Y\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet, se factorise par \(X\).

Démonstration

Un sens est immédiat. Pour l’autre, supposons que \(\text{Spf}(R) \to Y\) soit un morphisme adique tel qu’il existe une extension d’anneaux de valuation discrète complets \(R \subset R'\) avec \(\text{Spf}(R') \to \text{Spf}(R) \to X\) se factorisant par \(Y\). Alors \(\Spec(R'/\mathfrak m_R^n R') \to \Spec(R/\mathfrak m_R^n)\) est surjectif et plat ; les morphismes \(\Spec(R/\mathfrak m_R^n) \to X\) se factorisent donc par \(X\), puisque \(X\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc ; voir Espaces formels, lemme 0AQD. Autrement dit, \(\text{Spf}(R) \to Y\) se factorise par \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons que \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens et que \(f\) soit une immersion fermée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-surjectif ; et

2. pour tout espace algébrique formel affine \(V\) et tout morphisme \(V \to Y\) représentable par des espaces algébriques et étale, le morphisme \(X \times_Y V \to V\) correspond à un morphisme surjectif \(B \to A\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) dont le noyau \(J\) possède la propriété suivante : \(IJ^n = 0\) pour un idéal de définition \(I\) de \(B\) et un \(n \geq 1\).

Démonstration

Remarquons que, étant donnés \(V\) et \(V \to Y\) comme en (2), sans autre hypothèse sur \(f\), le morphisme \(X \times_Y V \to V\) correspond à un morphisme surjectif \(B \to A\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) d’après Espaces formels, lemme 0AQI.

Supposons (1). D’après le lemme 0AQS, on voit que \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\) est rig-surjectif. Soit \(I \subset B\) un idéal de définition. Puisque \(B\) est adique, \(I^m \subset B\) est un idéal de définition pour tout \(m \geq 1\). Si \(I^m J^n \not = 0\) pour tous \(n, m \geq 1\), alors \(IJ\) n’est pas nilpotent, donc \(V(IJ) \not = \Spec(B)\). On peut donc trouver un idéal premier \(\mathfrak p \subset B\) avec \(\mathfrak p \not \in V(I) \cup V(J)\). Remarquons que \(I(B/\mathfrak p) \not = B/\mathfrak p\) ; on peut donc trouver un idéal maximal \(\mathfrak p + I \subset \mathfrak m \subset B\). D’après Algèbre, lemme 00PH, on peut trouver un anneau de valuation discrète \(R\) et un homomorphisme local injectif d’anneaux \((B/\mathfrak p)_\mathfrak m \to R\). Il est clair que l’homomorphisme d’anneaux \(B \to R\) ne peut se factoriser par \(A = B/J\). D’après le lemme 0AR0, cela contredit la rig-surjectivité de \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\). Ainsi, pour certains \(n, m\), on a bien \(I^n J^m = 0\), ce qui montre (2).

Supposons (2). D’après le lemme 0AQV, il suffit de montrer que \(\text{Spf}(A) \to \text{Spf}(B)\) est rig-surjectif. Choisissons un idéal de définition \(I \subset B\) et un entier \(n\) tels que \(I J^n = 0\). Considérons un homomorphisme d’anneaux \(B \to R\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète et où l’image de \(I\) est non nulle. Puisque \(R\) est intègre, on en déduit que l’image de \(J\) dans \(R\) est nulle. Ainsi, \(B \to R\) se factorise par la surjection \(B \to A\), et l’on conclut par la définition des morphismes rig-surjectifs.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons que \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens et que \(f\) soit une immersion fermée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est rig-lisse et rig-surjectif ;

2. \(f\) est rig-étale et rig-surjectif ; et

3. pour tout espace algébrique formel affine \(V\) et tout morphisme \(V \to Y\) représentable par des espaces algébriques et étale, le morphisme \(X \times_Y V \to V\) correspond à un morphisme surjectif \(B \to A\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) dont le noyau \(J\) possède la propriété suivante : \(IJ = 0\) pour un idéal de définition \(I\) de \(B\).

Démonstration

Soient \(I\) et \(J\) des idéaux d’un anneau \(B\) tels que \(IJ^n = 0\) et \(I(J/J^2) = 0\). Alors \(I^nJ = 0\) (démonstration omise). Le lemme résulte donc d’une combinaison immédiate des lemmes 0GD4 et 0GD5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Supposons que :

1. \(g\) soit localement de type fini ;

2. \(f\) soit rig-lisse (respectivement rig-étale) et rig-surjectif ;

3. \(g \circ f\) soit rig-lisse (respectivement rig-étale).

Alors \(g\) est rig-lisse (respectivement rig-étale).

Démonstration

Nous le démontrerons dans le cas rig-lisse et indiquerons à la fin les modifications nécessaires pour traiter le cas rig-étale. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \times_Y V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] où \(V\) et \(W\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(V \to Y\) et \(W \to Z\) sont représentables par des espaces algébriques et étales. Il faut montrer que \(V \to W\) correspond à un homomorphisme rig-lisse d’anneaux topologiques adiques noethériens ; voir la définition 0GCP. On peut écrire \(V = \text{Spf}(B)\) et \(W = \text{Spf}(C)\), et dire que \(V \to W\) correspond à un homomorphisme adique d’anneaux \(C \to B\) qui est topologiquement de type fini ; voir le lemme 0GC0.

Nous utiliserons ci-dessous sans autre mention que \(X \times_Y V \to V\) est rig-lisse et rig-surjectif ; voir les lemmes 0GCR et 0AQS. En outre, la composée \(X \times_Y V \to V \to W\) est rig-lisse puisque \(g \circ f\) est rig-lisse.

Soit \(I \subset C\) un idéal de définition. Le module Supposons, pour obtenir une contradiction, que \(C \to B\) ne soit pas rig-lisse. Cela signifie qu’il existe un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) ne contenant pas \(IB\) tel que soit \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak p\) est non nul, soit \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak p\) n’est pas un \(B_\mathfrak q\)-module libre de type fini. Voir le lemme 0GAJ ; certains détails sont omis. On peut choisir un idéal maximal \(IB + \mathfrak q \subset \mathfrak m\). D’après Algèbre, lemme 00PH, on peut trouver un anneau de valuation discrète complet \(R\) et un homomorphisme local injectif d’anneaux \((B/\mathfrak q)_\mathfrak m \to R\).

Après avoir remplacé \(R\) par une extension, on peut supposer donné un relèvement \(\text{Spf}(R) \to X \times_Y V\) du morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to V = \text{Spf}(B)\). Choisissons un recouvrement étale \(\{\text{Spf}(A_i) \to X \times_Y V\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. D’après le lemme 0AQU, on peut supposer que \(\text{Spf}(R) \to X \times_Y V\) se relève en un morphisme \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(A_i)\) pour un certain \(i\) (cela peut nécessiter de remplacer \(R\) par une autre extension). Posons \(A = A_i\). Considérons les homomorphismes d’anneaux \[C \to B \to A \to R\] Soit \(\mathfrak p \subset A\) le noyau de l’homomorphisme \(A \to R\), et remarquons que \(\mathfrak p\) est au-dessus de \(\mathfrak q\). Nous savons que \(C \to A\) et \(B \to A\) sont rig-lisses. En particulier, l’homomorphisme d’anneaux \(B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\) est plat d’après le lemme 0GH1. Considérons la suite exacte associée \[\xymatrix{ & H^0(\NL_{B/C}^\wedge) \otimes_B A_\mathfrak p \ar[r] & H^0(\NL_{A/C}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & H^0(\NL_{A/B}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge \otimes_B A)_\mathfrak p \ar[r] & H^{-1}(\NL_{A/C}^\wedge)_\mathfrak p \ar[r] & H^{-1}(\NL_{A/B}^\wedge)_\mathfrak p \ar[llu] }\] des lemmes 0ALM et 0GH2. La rig-lissité de \(C \to A\) et de \(B \to A\) permet de conclure que \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge \otimes_B A)_\mathfrak p = 0\) et que \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge) \otimes_B A_\mathfrak p\) est libre de type fini, comme noyau d’une surjection entre \(A_\mathfrak p\)-modules libres de type fini. Puisque \(B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\) est plat, donc fidèlement plat, cela implique que \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q = 0\) et que \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\) est libre de type fini, ce qui est la contradiction recherchée.

Dans le cas rig-étale, on raisonne exactement de la même manière, mais la conclusion obtenue est que \(H^{-1}(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\) et \(H^0(\NL_{B/C}^\wedge)_\mathfrak q\) sont tous deux nuls.

Espaces algébriques formels sur des anneaux de valuation discrète complets

Dans cette section, nous emploierons la terminologie suivante : si \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible, nous dirons que « \(X\) est un espace algébrique formel sur \(A\) » lorsque \(X\) est un espace algébrique formel muni d’un morphisme \(p : X \to \text{Spf}(A)\) d’espaces algébriques formels. Dans cette situation, nous appellerons \(p\) le morphisme structural.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique formel localement noethérien sur un anneau de valuation discrète complet \(A\). Il existe alors une immersion fermée \(X' \to X\) d’espaces algébriques formels telle que \(X'\) soit plat sur \(A\) et que tout morphisme \(Y \to X\) d’espaces algébriques formels localement noethériens, avec \(Y\) plat sur \(A\), se factorise par \(X'\).

Démonstration

Soit \(\pi \in A\) une uniformisante. Rappelons qu’un \(A\)-module est plat si et seulement si sa torsion annulée par une puissance de \(\pi\) est \(0\).

Supposons d’abord que \(X\) soit un espace algébrique formel affine. Alors \(X = \text{Spf}(B)\), où \(B\) est une \(A\)-algèbre noethérienne adique. Dans ce cas, posons \(X' = \text{Spf}(B')\), où \(B' = B/\pi\text{-power torsion}\). Il est clair que \(X'\) est plat sur \(A\) et que \(X' \to X\) est une immersion fermée. Soit \(g : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens, avec \(Y\) plat sur \(A\). Choisissons un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. Alors \(Y_j = \text{Spf}(C_j)\) avec \(C_j\) plat sur \(A\). Par conséquent, le morphisme \(Y_j \to X\), qui correspond à un homomorphisme continu de \(R\)-algèbres \(B \to C_j\), se factorise par \(X'\), car \(B \to C_j\) annule manifestement la torsion tuée par une puissance de \(\pi\). Comme \(\{Y_j \to Y\}\) est un recouvrement et que \(X' \to X\) est un monomorphisme, nous concluons que \(g\) se factorise par \(X'\).

Soient \(X\) et \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. Pour tout \(i\), soit \(X'_i \to X_i\) la partie plate construite ci-dessus. Pour \(i, j \in I\), la projection \(X'_i \times_X X_j \to X'_i\) est un morphisme étale (par hypothèse) de schémas (d’après Espaces formels, lemme 0AIG). Ainsi, \(X'_i \times_X X_j\) est plat sur \(A\), puisque les morphismes étales représentables par des espaces algébriques sont plats (lemme 0GCG). La projection \(X'_i \times_X X_j \to X_j\) se factorise donc par \(X'_j\) en vertu de la propriété universelle. Nous en concluons que \[R_{ij} = X'_i \times_X X_j = X'_i \times_X X'_j = X_i \times_X X'_j\] car les morphismes \(X'_i \to X_i\) sont des injections de faisceaux. Posons \(U = \coprod X'_i\) et \(R = \coprod R_{ij}\), et notons \(s, t : R \to U\) les deux projections. En tant que faisceau, \(R = U \times_X U\), et \(s\) et \(t\) sont étales. D’après les observations précédentes, \((t, s) : R \to U\) définit alors une relation d’équivalence étale. Ainsi, \(X' = U/R\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW. Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ \coprod X'_i \ar[r] \ar[d] & \coprod X_i \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] est cartésien. Comme la flèche verticale de droite est étale surjective et que la flèche horizontale supérieure est représentable et est une immersion fermée, nous concluons que \(X' \to X\) est représentable d’après Amorçage, lemme 046J. Nous pouvons alors appliquer Espaces, lemme 03KD pour conclure que \(X' \to X\) est une immersion fermée.

Enfin, supposons que \(Y \to X\) soit un morphisme, où \(Y\) est un espace algébrique formel localement noethérien plat sur \(A\). Alors chaque \(X_i \times_X Y\) est étale sur \(Y\) et donc plat sur \(A\) (voir ci-dessus). Le morphisme \(X_i \times_X Y \to X_i\) se factorise donc par \(X'_i\). Par conséquent, \(Y \to X\) se factorise par \(X'\), puisque \(\{X_i \times_X Y \to Y\}\) est un recouvrement étale.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique formel localement noethérien qui est localement de type fini sur un anneau de valuation discrète complet \(A\). Soit \(X' \subset X\) comme dans le lemme 0GD8. Si \(X \to X \times_{\text{Spf}(A)} X\) est rig-étale et rig-surjectif, alors \(X' = \text{Spf}(A)\) ou \(X' = \emptyset\).

Démonstration

(Parenthèse : la diagonale est toujours localement de type fini d’après Espaces formels, lemme 0AN2 et \(X \times_{\text{Spf}(A)} X\) est localement noethérien d’après Espaces formels, lemmes 0AQ5 et 0AQ7. Il est donc légitime d’imposer ces conditions au morphisme diagonal.) Le diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X' \times_{\text{Spf}(A)} X' \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_{\text{Spf}(A)} X }\] est cartésien. Par conséquent, \(X' \to X' \times_{\text{Spf}(A)} X'\) est rig-étale et rig-surjectif d’après le lemme 0AQS. Choisissons un espace algébrique formel affine \(U\) et un morphisme \(U \to X'\) qui soit étale et représentable par des espaces algébriques. Alors \(U = \text{Spf}(B)\), où \(B\) est un anneau topologique noethérien adique qui est une \(A\)-algèbre plate, dont la topologie est la topologie \(\pi\)-adique, où \(\pi \in A\) est une uniformisante, et tel que \(A/\pi^n A \to B/\pi^n B\) soit de type fini pour tout \(n\). Pour usage ultérieur, remarquons que cela implique en particulier que, si \(B \not = 0\), alors l’application \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est une surjection de faisceaux (rappelons que nous employons, comme toujours, la topologie fppf). En répétant l’argument précédent, nous voyons que \[W = U \times_{X'} U = X' \times_{X' \times_{\text{Spf}(A)} X'} (U \times_{\text{Spf}(A)} U) \longrightarrow U \times_{\text{Spf}(A)} U\] est une immersion fermée, rig-étale et rig-surjective. Nous avons \(U \times_{\text{Spf}(A)} U = \text{Spf}(B \widehat{\otimes}_A B)\) d’après Espaces formels, lemme 0AN3. Alors \(B \widehat{\otimes}_A B\) est une \(A\)-algèbre plate, car c’est le complété \(\pi\)-adique de la \(A\)-algèbre plate \(B \otimes_A B\). Ainsi, \(W = U \times_{\text{Spf}(A)} U\) d’après le lemme 0GD6. Autrement dit, nous avons \(U \times_{X'} U = U \times_{\text{Spf}(A)} U\), ce qui signifie à son tour que l’image de \(U \to X'\) (comme application de faisceaux) s’envoie injectivement dans \(\text{Spf}(A)\). Choisissons un recouvrement \(\{U_i \to X'\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. En particulier, \(\coprod U_i \to X'\) est une surjection de faisceaux. En appliquant ce qui précède à \(U_i \coprod U_j \to X'\) (et en utilisant le fait que \(U_i \amalg U_j\) est lui aussi un espace algébrique formel affine), nous voyons que \(X' \to \text{Spf}(A)\) est une injection de faisceaux fppf. Comme \(X'\) est plat sur \(A\), soit \(X'\) est vide (si \(U_i\) est vide pour tout \(i\)), soit l’application est un isomorphisme (si \(U_i\) est non vide pour un certain \(i\), auquel cas nous avons vu que \(U_i \to \text{Spf}(A)\) est une surjection de faisceaux), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons que

1. \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens,

2. \(f\) soit localement de type fini,

3. \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\) soit rig-étale et rig-surjectif.

Alors \(f\) est rig-surjectif si et seulement si tout morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to Y\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet, se relève en un morphisme \(\text{Spf}(R) \to X\).

Démonstration

Une implication est triviale. Pour la réciproque, supposons que \(\text{Spf}(R) \to Y\) soit un morphisme adique tel qu’il existe une extension d’anneaux de valuation discrète complets \(R \subset R'\) pour laquelle \(\text{Spf}(R') \to \text{Spf}(R) \to X\) se factorise par \(Y\). Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \text{Spf}(R') \ar[r] \ar[rd] & \text{Spf}(R) \times_Y X \ar[r] \ar[d]^p & X \ar[d]^f \\ & \text{Spf}(R) \ar[r] & Y }\] Le morphisme \(p\) est localement de type fini en tant que changement de base de \(f\), voir Espaces formels, lemme 0AQ5. Le morphisme diagonal \(\Delta_p\) est le changement de base de \(\Delta_f\) ; il est donc rig-étale et rig-surjectif. D’après le lemme 0GD9, le lieu plat de \(\text{Spf}(R) \times_Y X\) sur \(R\) est soit \(\emptyset\), soit égal à \(\text{Spf}(R)\). Toutefois, puisque \(\text{Spf}(R')\) se factorise par ce lieu, nous concluons que celui-ci n’est pas vide et obtenons donc un morphisme \(\text{Spf}(R) \to \text{Spf}(R) \times_Y X \to X\), comme souhaité.

Le foncteur de complétion

Dans cette section, nous considérons la situation suivante. Fixons d’abord un schéma de base \(S\). Tous les anneaux, anneaux topologiques, schémas, espaces algébriques et espaces algébriques formels, ainsi que leurs morphismes, seront sur \(S\). Fixons ensuite un espace algébrique \(X\) et une partie fermée \(T \subset |X|\). Notons \(U \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(|U| = |X| \setminus T\). On peut représenter la situation ainsi : \[U \to X \quad |X| = |U| \amalg T\] Dans cette situation, étant donné un espace algébrique \(X'\) sur \(X\), c’est-à-dire un espace algébrique \(X'\) muni d’un morphisme \(f : X' \to X\), nous notons \(T' \subset |X'|\) l’image réciproque de \(T\) et désignons par \(U' \subset X'\) le sous-espace ouvert tel que \(|U'| = |X'| \setminus T'\). On peut représenter la situation ainsi : \[U' = f^{-1}U \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & X' \ar[d]_f \\ U \ar[r] & X } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ |U'| \ar[r] \ar[d] & |X'| \ar[d]^{|f|} & T' \ar[l] \ar[d] \\ |U| \ar[r] & |X| & T \ar[l] } } \quad\quad T' = |f|^{-1}T\] Nous relierons les propriétés de \(f\) à celles du morphisme induit \[f_{/T} : X'_{/T'} \longrightarrow X_{/T}\] de complétés formels. Comme l’indique la formule affichée, nous noterons ce morphisme \(f_{/T}\). Nous avons déjà vu que \(f_{/T}\) est représentable par des espaces algébriques dans Espaces formels, lemme 0APV. En fait, comme le montre la démonstration de ce lemme, le diagramme \[\xymatrix{ X'_{/T'} \ar[d]_{f_{/T}} \ar[r] & X' \ar[d]^f \\ X_{/T} \ar[r] & X }\] est cartésien. Il convient de garder ce fait à l’esprit en lisant les lemmes énoncés et démontrés ci-dessous.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est localement de type fini, alors \(f_{/T}\) est localement de type fini.

Démonstration

(Les morphismes de type fini d’espaces algébriques formels sont étudiés dans Espaces formels, section 0AM3.) En effet, supposons que \(Z \to X\) soit un morphisme d’un schéma vers \(X\) tel que \(|Z|\) s’envoie dans \(T\). Le carré cartésien ci-dessus montre que \(Z \times_X X'\) est un espace algébrique qui représente \(Z \times_{X_{/T}} X'_{/T'}\). Comme \(Z \times_X X' \to Z\) est localement de type fini d’après Morphismes d’espaces, lemme 03XH, cela permet de conclure.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est étale, alors \(f_{/T}\) est étale.

Démonstration

Le même argument que dans la démonstration du lemme 0AQ9 ramène l’assertion à Morphismes d’espaces, lemme 0466.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est une immersion fermée, alors \(f_{/T}\) est une immersion fermée.

Démonstration

(Les immersions fermées d’espaces algébriques formels sont étudiées dans Espaces formels, section 0ANN.) Le même argument que dans la démonstration du lemme 0AQ9 ramène l’assertion à Espaces, lemme 02YW.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est propre, alors \(f_{/T}\) est propre.

Démonstration

(Les morphismes propres d’espaces algébriques formels sont étudiés dans Espaces formels, section 0AM5.) Le même argument que dans la démonstration du lemme 0AQ9 ramène l’assertion à Morphismes d’espaces, lemme 04WP.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est quasi-compact, alors \(f_{/T}\) est quasi-compact.

Démonstration

(Les morphismes quasi-compacts d’espaces algébriques formels sont étudiés dans Espaces formels, section 0AJ8.) Il faut montrer que \((X'_{/T'})_{red} \to (X_{/T})_{red}\) est un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques. D’après Espaces formels, lemme 0GB9, il s’agit du morphisme \(Z' \to Z\), où \(Z' \subset X'\), resp. \(Z \subset X\), est la structure d’espace algébrique réduit induite sur \(T'\), resp. \(T\). Il s’ensuit que \(Z' \to f^{-1}Z = Z \times_X X'\) est un épaississement (une immersion fermée induisant un isomorphisme sur les espaces topologiques sous-jacents). Comme \(Z \times_X X' \to Z\) est quasi-compact en tant que changement de base de \(f\) (Morphismes d’espaces, lemme 03HF) nous concluons que \(Z' \to Z\) l’est aussi d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 09ZY.

Remarque

Dans la situation ci-dessus, considérons les morphismes diagonaux \(\Delta_f : X' \to X' \times_X X'\) et \(\Delta_{f_{/T}} : X'_{/T'} \to X'_{/T'} \times_{X_{/T}} X'_{/T'}\). On voit facilement que \[X'_{/T'} \times_{X_{/T}} X'_{/T'} = (X' \times_X X')_{/T''}\] comme sous-foncteurs de \(X' \times_X X'\), où \(T'' \subset |X' \times_X X'|\) est l’image réciproque de \(T\). Nous voyons donc que \(\Delta_{f_{/T}} = (\Delta_f)_{/T''}\). Nous utiliserons ce fait ci-dessous pour montrer que les propriétés de \(\Delta_f\) sont héritées par \(\Delta_{f_{/T}}\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(f\) est (quasi-)séparé, alors \(f_{/T}\) l’est aussi.

Démonstration

(Les conditions de séparation des morphismes d’espaces algébriques formels sont étudiées dans Espaces formels, section 0ARM.) Il faut montrer que si \(\Delta_f\) est quasi-compact, resp. une immersion fermée, alors il en va de même pour \(\Delta_{f_{/T}}\). Cela résulte de la discussion de la remarque 0GDF et des lemmes 0GDE et 0GDC.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(X\) est localement noethérien, si \(f\) est localement de type fini et si \(U' \to U\) est lisse, alors \(f_{/T}\) est rig-lisse.

Démonstration

La stratégie de la démonstration est la suivante : se ramener au cas où \(X\) et \(X'\) sont affines, traduire le cas affine en algèbre, puis appliquer le lemme 0GAK. Nous invitons le lecteur à omettre les détails.

Choisissons un morphisme étale surjectif \(W \to X\), où \(W = \coprod W_i\) est une réunion disjointe de schémas affines, voir Propriétés des espaces, lemme 03FX. Pour chaque \(i\), choisissons un morphisme étale surjectif \(W'_i \to W_i \times_X X'\), où \(W'_i = \coprod W'_{ij}\) est une réunion disjointe de schémas affines. En particulier, \(\coprod W'_{ij} \to X'\) est surjectif et étale. Notons \(f_{ij} : W_{ij} \to W_i\) le morphisme donné. Notons \(T_i \subset W_i\) et \(T'_{ij} \subset W_{ij}\) les images réciproques de \(T\). Comme la complétion le long de l’image réciproque de \(T\) produit des diagrammes cartésiens (voir ci-dessus), nous avons \((W_i)_{/T_i} = W_i \times_X X_{/T}\) et, de même, \((W'_{ij})_{/T'_{ij}} = W'_{ij} \times_{X'} X'_{/T'}\). Rappelons en outre que \((W_i)_{/T_i}\) et \((W'_{ij})_{/T'_{ij}}\) sont des espaces algébriques formels affines. Ainsi, \(\{W'_{ij})_{/T'_{ij}} \to X'_{/T'}\}\) est un recouvrement comme dans Espaces formels, définition 0AIM. D’après le lemme 0GCQ, il suffit de démontrer que \[(W'_{ij})_{/T'_{ij}} \longrightarrow (W_i)_{/T_i}\] est rig-lisse. Observons que \(W'_{ij} \to W_i\) est localement de type fini et induit un morphisme lisse \(W'_{ij} \setminus T'_{ij} \to W_i \setminus T_i\) (car c’est vrai pour \(f\) et que ces propriétés des morphismes sont locales pour la topologie étale sur la source et le but). Observons que \(W_i\) est localement noethérien (car \(X\) est localement noethérien et cette propriété est locale pour la topologie étale sur l’espace algébrique). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X\) et \(X'\) sont des schémas affines.

Supposons que \(X = \Spec(A)\) et \(X' = \Spec(A')\) soient des schémas affines. Comme \(X\) est noethérien, nous voyons que \(A\) est noethérien. Le morphisme \(f\) est donné par un homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\) de type fini. Soit \(I \subset A\) un idéal définissant \(T\). Alors \(IA'\) définit \(T'\). De plus, \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) est lisse sur \(\Spec(A) \setminus T\). Soient \(A^\wedge\) et \((A')^\wedge\) les complétés \(I\)-adiques. Nous avons \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\) et \(X'_{/T'} = \text{Spf}((A')^\wedge)\), voir la démonstration d’ Espaces formels, lemme 0AQ1. D’après le lemme 0GAK, nous voyons que \((A')^\wedge\) est rig-lisse sur \((A. I)\), ce qui signifie à son tour que \(A^\wedge \to (A')^\wedge\) est rig-lisse ; cela implique enfin que \(X'_{/T'} \to X_{/T}\) est rig-lisse d’après le lemme 0GCQ.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(X\) est localement noethérien, si \(f\) est localement de type fini et si \(U' \to U\) est étale, alors \(f_{/T}\) est rig-étale.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0GDH, à ceci près que les lemmes 0GAK et 0GCQ sont remplacés par les lemmes 0ALQ et 0GCZ.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(X\) est localement noethérien, si \(f\) est propre et si \(U' \to U\) est surjectif, alors \(f_{/T}\) est rig-surjectif.

Démonstration

(L’énoncé a un sens d’après le lemme 0AQ9 et Espaces formels, lemme 0AQ1.) Soit \(R\) un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\). Soit \(p : \text{Spf}(R) \to X_{/T}\) un morphisme adique d’espaces algébriques formels. D’après Espaces formels, lemme 0GBU le composé \(\text{Spf}(R) \to X_{/T} \to X\) correspond à un morphisme \(q : \Spec(R) \to X\) qui envoie \(\Spec(K)\) dans \(U\). Comme \(U' \to U\) est propre et surjectif, nous voyons que \(\Spec(K) \times_U U'\) est non vide et propre sur \(K\). Nous pouvons donc choisir une extension de corps \(K'/K\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & U' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & U \ar[r] & X }\] Soit \(R' \subset K'\) un anneau de valuation discrète dominant \(R\) et de corps des fractions \(K'\), voir Algèbre, lemme 00PH. Comme \(\Spec(K) \to X\) se prolonge en \(\Spec(R) \to X\), le critère valuatif de propreté (Morphismes d’espaces, lemme 0A40) montre que nous pouvons prolonger notre \(K'\)-point de \(U'\) en un morphisme \(\Spec(R') \to X'\) au-dessus de \(\Spec(R) \to X\). Il s’ensuit que l’image réciproque de \(T'\) dans \(\Spec(R')\) est le point fermé, et nous obtenons un morphisme adique \(\text{Spf}((R')^\wedge) \to X'_{/T'}\) relevant \(p\), comme souhaité (notons que \((R')^\wedge\) est un anneau de valuation discrète complet d’après Compléments d’algèbre, lemme 0AP1).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(X\) est localement noethérien, si \(f\) est séparé et localement de type fini et si \(U' \to U\) est un monomorphisme, alors \(\Delta_{f_{/T}}\) est rig-surjectif.

Démonstration

La diagonale \(\Delta_f : X' \to X' \times_X X'\) est une immersion fermée et la restriction \(U' \to U' \times_U U'\) de \(\Delta_f\) est surjective. Le lemme résulte donc de la discussion de la remarque 0GDF et du lemme 0AQW.

Modifications formelles

Dans cette section, nous définissons et étudions la notion de modification formelle d’Artin pour les espaces algébriques formels localement noethériens. Commençons par la définition.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Nous disons que \(f\) est une modification formelle si

1. \(f\) est un morphisme propre (Espaces formels, définition 0AM6),

2. \(f\) est rig-étale,

3. \(f\) est rig-surjectif,

4. \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\) est rig-surjectif.

Un exemple typique est donné au lemme 0GDM, et nous montrerons en fait plus loin que toute modification formelle est « formellement locale » de ce type, voir le lemme 0GDV. Comparons ces conditions à celles de l’article d’Artin.

Remarque

Dans [ArtinII, définition 1.7], une modification formelle est définie comme un morphisme propre \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques formels localement noethériens satisfaisant aux trois conditions suivantes³

1. les idéaux de Cramer et jacobien de \(f\) contiennent chacun un idéal de définition de \(X\),

2. l’idéal définissant l’application diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est annulé par un idéal de définition de \(X \times_Y X\), et

3. tout morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to Y\) se relève en \(\text{Spf}(R) \to X\) dès que \(R\) est un anneau de valuation discrète complet.

Comparons ces conditions à notre liste ci-dessus.

Pour (i). La propriété (i) coïncide avec notre condition que \(f\) soit un morphisme rig-étale : cela résulte du lemme 0AJU, partie (0AJY).

Pour (ii). Supposons que \(f\) soit rig-étale. Alors \(\Delta_f : X \to X \times_Y X\) est rig-étale en tant que morphisme entre espaces algébriques formels localement noethériens qui sont rig-étales sur \(X\) (par \(\text{id}_X\) pour le premier et par \(\text{pr}_1\) pour le second). Voir les lemmes 0GD1 et 0GD3. La propriété (ii) coïncide donc avec notre condition que \(\Delta_f\) soit rig-surjectif d’après le lemme 0GD6.

Pour (iii). La propriété (iii) ne coïncide pas tout à fait avec notre notion de morphisme rig-surjectif, car Artin exige que tout morphisme adique \(\text{Spf}(R) \to Y\) se relève en un morphisme vers \(X\), tandis que notre notion de rig-surjectivité affirme seulement l’existence d’un relèvement après remplacement de \(R\) par une extension. Toutefois, puisque nous savons déjà, par (i) et (ii), que \(\Delta_f\) est rig-étale et rig-surjectif, ces conditions sont équivalentes d’après le lemme 0GDA.

Lemme

Soient \(S\), \(f : X' \to X\), \(T \subset |X|\), \(U \subset X\), \(T' \subset |X'|\) et \(U' \subset X'\) comme dans la section 0GDB. Si \(X\) est localement noethérien, si \(f\) est propre et si \(U' \to U\) est un isomorphisme, alors \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\) est une modification formelle.

Démonstration

D’après Espaces formels, lemme 0AQ1, la source et le but de la flèche sont des espaces algébriques formels localement noethériens. Les autres conditions résultent des lemmes 0GDD, 0AR2, 0AQW et 0GDI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\) qui est une modification formelle. Alors, pour tout morphisme adique \(Y' \to Y\) d’espaces algébriques formels localement noethériens, le changement de base \(f' : X \times_Y Y' \to Y'\) est une modification formelle.

Démonstration

Le morphisme \(f'\) est propre d’après Espaces formels, lemme 0GBT. Le morphisme \(f'\) est rig-étale d’après le lemme 0GD1. Le morphisme \(f'\) est donc rig-surjectif d’après le lemme 0AQS. Posons \(X' = X \times_ Y'\). Le morphisme \(\Delta_{f'}\) est le changement de base de \(\Delta_f\) par le morphisme adique \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\). Ainsi, \(\Delta_{f'}\) est rig-surjectif d’après le lemme 0AQS.

Complétions et morphismes, I

Dans cette section, nous établissons quelques résultats préliminaires sur les complétions que nous utiliserons dans la démonstration du théorème 0ARB. Bien que les lemmes énoncés et démontrés ici ne soient pas triviaux (certains reposent sur notre étude de l’algébrisation des algèbres rig-étales), nous conseillons néanmoins au lecteur d’omettre cette section en première lecture.

Lemme

Soit \(T \subset X\) une partie fermée d’un schéma affine noethérien \(X\). Soit \(W\) un espace algébrique formel affine noethérien. Soit \(g : W \to X_{/T}\) un morphisme rig-étale. Il existe alors un schéma affine \(X'\) et un morphisme de type fini \(f : X' \to X\), étale sur \(X \setminus T\), ainsi qu’un isomorphisme \(X'_{/f^{-1}T} \cong W\) compatible avec \(f_{/T}\) et \(g\). De plus, si \(W \to X_{/T}\) est étale, alors \(X' \to X\) est étale.

Démonstration

L’existence de \(X'\) est une reformulation du lemme 0AKG. La dernière assertion résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0A43.

Lemme

Supposons donnés

1. des schémas affines noethériens \(X\), \(X'\) et \(Y\),

2. une partie fermée \(T \subset |X|\),

3. un morphisme \(f : X' \to X\) localement de type fini et étale sur \(X \setminus T\),

4. un morphisme \(h : Y \to X\),

5. un morphisme \(\alpha : Y_{/T} \to X'_{/T}\) sur \(X_{/T}\) (voir la démonstration pour la notation).

Il existe alors un morphisme étale \(b : Y' \to Y\) de schémas affines qui induit un isomorphisme \(b_{/T} : Y'_{/T} \to Y_{/T}\) et un morphisme \(a : Y' \to X'\) sur \(X\) tels que \(\alpha = a_{/T} \circ b_{/T}^{-1}\).

Démonstration

Dans l’énoncé, la notation utilisant l’indice \({}_{/T}\) renvoie à la construction qui, à un morphisme de schémas \(g : V \to X\), associe le morphisme \(g_{/T} : V_{/g^{-1}T} \to X_{/T}\) d’espaces algébriques formels ; c’est un foncteur de la catégorie des schémas sur \(X\) vers la catégorie des espaces algébriques formels sur \(X_{/T}\), voir la section 0GDB. Cela étant dit, le lemme n’est qu’une reformulation du lemme 0AKJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques. Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Supposons que

1. \(X\) soit localement noethérien,

2. \(g\) soit un monomorphisme localement de type fini,

3. \(f|_{X \setminus T} : X \setminus T \to Y\) se factorise par \(g\), et

4. \(f_{/T} : X_{/T} \to Y\) se factorise par \(g\),

alors \(f\) se factorise par \(g\).

Démonstration

Considérons le produit fibré \(E = X \times_Y Z \to X\). Par hypothèse, l’immersion ouverte \(X \setminus T \to X\) se factorise par \(E\), et tout morphisme \(\varphi : X' \to X\) tel que \(|\varphi|(|X'|) \subset T\) se factorise lui aussi par \(E\), voir Espaces formels, section 0AIX. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0APQ cela implique que \(E \to X\) est étale en tout point de \(E\) qui s’envoie sur un point de \(T\). Ainsi, \(E \to X\) est un monomorphisme étale, donc une immersion ouverte (Morphismes d’espaces, lemme 05W5). Il s’ensuit que \(E = X\), puisque nos hypothèses impliquent que \(|X| = |E|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(W\) des espaces algébriques sur \(S\), avec \(X\) localement noethérien. Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soient \(a, b : X \to W\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) tels que \(a|_{X \setminus T} = b|_{X \setminus T}\) et que \(a_{/T} = b_{/T}\) comme morphismes \(X_{/T} \to W\). Alors \(a = b\).

Démonstration

Soit \(E\) l’égalisateur de \(a\) et \(b\). Alors \(E\) est un espace algébrique et \(E \to X\) est localement de type fini et est un monomorphisme, voir Morphismes d’espaces, lemme 03HK. Nos hypothèses permettent d’appliquer le lemme 0AR6 aux deux morphismes \(f = \text{id} : X \to X\) et \(g : E \to X\), ainsi qu’à la partie fermée \(T\) de \(|X|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques localement noethériens sur \(S\). Soient \(T \subset |X|\) et \(T' \subset |Y|\) des parties fermées. Soient \(a, b : X \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) tels que \(a|_{X \setminus T} = b|_{X \setminus T}\), que \(|a|(T) \subset T'\) et \(|b|(T) \subset T'\), et que \(a_{/T} = b_{/T}\) comme morphismes \(X_{/T} \to Y_{/T'}\). Alors \(a = b\).

Démonstration

C’est une conséquence du lemme plus général 0GI1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soient \(s, t : R \to U\) deux morphismes d’espaces algébriques sur \(X\). Supposons que

1. \(R\) et \(U\) soient localement de type fini sur \(X\),

2. le changement de base de \(s\) et \(t\) à \(X \setminus T\) soit une relation d’équivalence étale, et

3. le complété formel \((t_{/T}, s_{/T}) : R_{/T} \to U_{/T} \times_{X_{/T}} U_{/T}\) soit lui aussi une relation d’équivalence (voir la démonstration pour la notation).

Alors \((t, s) : R \to U \times_X U\) est une relation d’équivalence étale.

Démonstration

Dans l’énoncé, la notation utilisant l’indice \({}_{/T}\) renvoie à la construction qui, à un morphisme \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques, associe le morphisme \(f_{/T} : X'_{/f^{-1}T} \to X_{/T}\) d’espaces algébriques formels, voir la section 0GDB. Les morphismes \(s, t : R \to U\) sont étales sur \(X \setminus T\) par hypothèse. Comme les complétés formels des applications \(s, t : R \to U\) sont étales, nous voyons que \(s\) et \(t\) sont étales, par exemple d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0A43. En appliquant le lemme 0AR6 aux morphismes \(\text{id} : R \times_{U \times_X U} R \to R \times_{U \times_X U} R\) et \(\Delta : R \to R \times_{U \times_X U} R\), nous concluons que \((t, s)\) est un monomorphisme. En l’appliquant de nouveau à \((t \circ \text{pr}_0, s \circ \text{pr}_1) : R \times_{s, U, t} R \to U \times_X U\) et \((t, s) : R \to U \times_X U\), nous constatons que la « transitivité » est satisfaite. Nous omettons la démonstration des deux autres axiomes d’une relation d’équivalence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\), et soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini et étale hors de \(T\). Il existe une factorisation \[X' \longrightarrow X'' \longrightarrow X\] de \(f\) ayant les propriétés suivantes : \(X'' \to X\) est localement de type fini, \(X'' \to X\) est un isomorphisme sur \(X \setminus T\), et \(X'_{/T} \to X''_{/T}\) est un isomorphisme (voir la démonstration pour la notation).

Démonstration

Dans l’énoncé, la notation utilisant l’indice \({}_{/T}\) renvoie à la construction qui, à un morphisme \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques, associe le morphisme \(f_{/T} : X'_{/f^{-1}T} \to X_{/T}\) d’espaces algébriques formels, voir la section 0GDB. Nous utiliserons également les notations \(U \subset X\) et \(U' \subset X'\) pour les sous-espaces ouverts tels que \(|U| = |X| \setminus T\) et \(U' = |X'| \setminus f^{-1}T\), introduits à la section 0GDB.

Après avoir remplacé \(X'\) par \(X' \amalg U\), nous pouvons supposer, et supposons désormais, que l’image de \(X' \to X\) contient \(U\). Soit \[R = X' \amalg_{U'} (U' \times_U U')\] la somme amalgamée de \(U' \to X'\) et du morphisme diagonal \(U' \to U' \times_U U' = U' \times_X U'\). Comme \(U' \to X\) est étale, cette diagonale est une immersion ouverte, et nous voyons que \(R\) est un espace algébrique (cela résulte par exemple d’ Espaces, lemme 02WR). Les deux projections \(U' \times_U U' \to U'\) se prolongent à \(R\) et nous obtenons deux morphismes étales \(s, t : R \to X'\). En vérifiant séparément sur chaque morceau, nous constatons que \(R\) est une relation d’équivalence étale sur \(X'\). Posons \(X'' = X'/R\), qui est un espace algébrique d’après Amorçage, théorème 04S6. Par construction, nous avons la factorisation de l’énoncé, et le morphisme \(X'' \to X\) est localement de type fini (car cela se vérifie localement pour la topologie étale, c’est-à-dire sur \(X'\)). Comme \(U' \to U\) est un morphisme étale surjectif et que \(s^{-1}(U') = t^{-1}(U') = U' \times_U U'\), nous voyons que \(U'' = U \times_X X'' \to U\) est un isomorphisme. Enfin, il faut montrer que le morphisme \(X' \to X''\) induit un isomorphisme \(X'_{/T} \to X''_{/T}\). Pour cela, notons que le complété formel de \(R\) le long de l’image réciproque de \(T\) est égal au complété formel de \(X'\) le long de l’image réciproque de \(T\), par notre choix de \(R\) ! D’après notre construction du complété formel dans Espaces formels, section 0AIX, nous avons \(X''_{/T} = (X'_{/T}) / (R_{/T})\) comme faisceaux. Comme \(X'_{/T} = R_{/T}\), nous concluons que \(X'_{/T} = X''_{/T}\), ce qui achève la démonstration.

Recollement rigide de morphismes

Soient \(X\) et \(W\) des espaces algébriques, avec \(X\) noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé de complémentaire ouvert \(U\). La proposition ci-dessous affirme, en gros, que \[\{\text{morphismes }X \to W\} = \{\text{morphismes compatibles }U \to W\text{ et }X_{/Z} \to W\}\] où la compatibilité de \(a : U \to W\) et \(b : X_{/Z} \to W\) signifie que \(a\) et \(b\) définissent le même « morphisme d’espaces rigides ». Introduire la catégorie des « espaces rigides » demande beaucoup de travail, mais nous n’avons pas à le faire pour énoncer précisément ce que signifie la condition dans ce cas.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée de sous-espace ouvert complémentaire \(U \subset X\). Soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre d’espaces algébriques tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme. Pour tout espace algébrique \(W\) sur \(S\), l’application \[\Mor_S(X, W) \longrightarrow \Mor_S(X', W) \times_{\Mor_S(X'_{/T}, W)} \Mor_S(X_{/T}, W)\] est bijective.

Démonstration

Soient \(w' : X' \to W\) et \(\hat w : X_{/T} \to W\) des morphismes qui déterminent le même morphisme \(X'_{/T} \to W\) par composition avec \(X'_{/T} \to X\) et \(X'_{/T} \to X_{/T}\). Il faut montrer qu’il existe un unique morphisme \(w : X \to W\) dont la composition avec \(X' \to X\) et \(X_{/T} \to X\) redonne \(w'\) et \(\hat w\). L’unicité résulte immédiatement du lemme 0GI1.

Les hypothèses sur \(T\) et \(f\) sont préservées par changement de base par tout morphisme étale \(X_1 \to X\) d’espaces algébriques. Comme les espaces algébriques formels sont des faisceaux pour la topologie étale et que l’unicité est déjà acquise, il suffit de démontrer l’existence après avoir remplacé \(X\) par les membres d’un recouvrement étale. Nous pouvons donc supposer que \(X\) est un schéma affine noethérien.

Supposons que \(X\) soit un schéma affine noethérien. Nous allons construire le morphisme \(w : X \to W\) à l’aide des résultats de Sommes amalgamées d’espaces, section 0AGF. Il peut être utile de lire une partie de cette section avant de poursuivre la lecture de la démonstration.

Posons \(X'' = X' \times_X X'\) et considérons les deux morphismes \(a = w' \circ \text{pr}_1 : X'' \to W\) et \(b = w' \circ \text{pr}_2 : X'' \to W\). Nous voyons alors que \(a\) et \(b\) coïncident sur l’ouvert \(U\) et que \(a_{/T}\) et \(b_{a/T}\) coïncident (car ils sont tous deux égaux au composé \(X''_{/T} \to X_{/T} \to W\), où la seconde flèche est \(\hat w\)). Le lemme 0GI1 donne donc \(a = b\).

Notons \(Z \subset X\) la structure de sous-schéma fermé réduit induite sur \(T\). Pour \(n \geq 1\), notons \(Z_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Z\). Posons \(w_n = \hat w|_{Z_n} : Z_n \to W\), de sorte que \(\hat w = \colim w_n\) sur \(X_{/T} = \colim Z_n\). Posons \(Y_n = X' \amalg Z_n\). Considérons les deux projections \[s_n, t_n : R_n = Y_n \times_X Y_n \longrightarrow Y_n\] Soit \(Y_n \to X_n \to X\) le coégalisateur de \(s_n\) et \(t_n\) comme dans Sommes amalgamées d’espaces, section 0AGF (en particulier, ce coégalisateur existe et possède de bonnes propriétés, voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 0AGG). D’après l’égalité \(a = b\) du paragraphe précédent et la coïncidence de \(w'\) et \(\hat w\) sur \(X'_{/T}\), nous voyons que le morphisme \[w' \amalg w_n : Y_n \longrightarrow W\] égalise les morphismes \(s_n\) et \(t_n\). Ainsi, pour tout \(n \geq 1\), il existe un morphisme \(w^n : X_n \to W\) compatible avec \(w'\) et \(w_n\). De plus, pour \(m \geq 1\), le composé \[X_n \to X_{n + m} \xrightarrow{w^{n + m}} W\] est égal à \(w^n\) par construction (car l’assertion correspondante vaut pour \(w' \amalg w_{n + m}\) et \(w' \amalg w_n\)). D’après Sommes amalgamées d’espaces, lemme 0AGK et de la remarque 0AGL, le système d’espaces algébriques \(X_n\) est essentiellement constant de valeur \(X\), ce qui permet de conclure.

Algébrisation des morphismes rig-étales

Dans cette section, nous démontrons une généralisation du résultat sur les dilatations de l’article d’Artin [ArtinII].

Les notations de cette section seront celles de la section 0GDB, à ceci près que nos espaces algébriques et espaces algébriques formels seront localement noethériens.

Ainsi, fixons d’abord un schéma de base \(S\). Tous les anneaux, anneaux topologiques, schémas, espaces algébriques et espaces algébriques formels, ainsi que leurs morphismes, seront sur \(S\). Fixons ensuite un espace algébrique localement noethérien \(X\) et une partie fermée \(T \subset |X|\). Notons \(U \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(|U| = |X| \setminus T\). On peut représenter la situation ainsi : \[U \to X \quad |X| = |U| \amalg T\] Étant donné un morphisme d’espaces algébriques \(f : X' \to X\), nous emploierons les notations \(U' = f^{-1}U\), \(T' = |f|^{-1}(T)\) et \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\) comme dans la section 0GDB. Nous écrirons parfois \(X'_{/T}\) au lieu de \(X'_{/T'}\) et, plus généralement, pour un morphisme \(a : X' \to X''\) d’espaces algébriques sur \(X\), nous noterons \(a_{/T} : X'_{/T} \to X''_{/T}\) le morphisme induit d’espaces algébriques formels obtenu en complétant le morphisme \(a\) le long des images réciproques de \(T\) dans \(X'\) et \(X''\).

Dans cette situation, nous considérerons le foncteur [0AR5]\[\begin{equation} \left\{ \begin{matrix} \text{morphismes d'espaces algébriques}\\ f : X' \to X\text{ qui sont localement}\\ \text{de type fini et tels que}\\ U' \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{morphismes }g : W \to X_{/T}\\ \text{d'espaces algébriques formels}\\ \text{avec }W\text{ localement noethérien}\\ \text{et }g\text{ rig-étale} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] qui envoie \(f : X' \to X\) sur \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\). Cette définition a un sens, car \(f_{/T}\) est rig-étale d’après le lemme 0AR2.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(X_1 \to X\) un morphisme d’espaces algébriques, avec \(X_1\) localement noethérien. Notons \(T_1 \subset |X_1|\) l’image réciproque de \(T\) et \(U_1 \subset X_1\) l’image réciproque de \(U\). Nous notons

1. \(\mathcal{C}_{X, T}\) la catégorie dont les objets sont les morphismes d’espaces algébriques \(f : X' \to X\) qui sont localement de type fini et tels que \(U' = f^{-1}U \to U\) soit un isomorphisme,

2. \(\mathcal{C}_{X_1, T_1}\) la catégorie dont les objets sont les morphismes d’espaces algébriques \(f_1 : X_1' \to X_1\) qui sont localement de type fini et tels que \(f_1^{-1}U_1 \to U_1\) soit un isomorphisme,

3. \(\mathcal{C}_{X_{/T}}\) la catégorie dont les objets sont les morphismes \(g : W \to X_{/T}\) d’espaces algébriques formels, avec \(W\) localement noethérien et \(g\) rig-étale,

4. \(\mathcal{C}_{X_{1, /T_1}}\) la catégorie dont les objets sont les morphismes \(g_1 : W_1 \to X_{1, /T_1}\) d’espaces algébriques formels, avec \(W_1\) localement noethérien et \(g_1\) rig-étale.

Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{C}_{X, T} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{C}_{X_{/T}} \ar[d] \\ \mathcal{C}_{X_1, T_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{X_{1, /T_1}} }\] est commutatif, où les flèches horizontales sont données par (0AR5) et les flèches verticales par changement de base le long de \(X_1 \to X\) et de \(X_{1, /T_1} \to X_{/T}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que le foncteur de complétion \((h : Y \to X) \mapsto Y_{/T} = Y_{/|h|^{-1}T}\) sur la catégorie des espaces algébriques sur \(X\) commute aux produits fibrés.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini et qui est un isomorphisme sur \(U\). Soit \(g : Y \to X\) un morphisme, avec \(Y\) localement noethérien. Alors la complétion définit une bijection \[\Mor_X(Y, X') \longrightarrow \Mor_{X_{/T}}(Y_{/T}, X'_{/T})\] En particulier, le foncteur (0AR5) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soient \(a, b : Y \to X'\) des morphismes sur \(X\) tels que \(a_{/T} = b_{/T}\). Nous voyons alors que \(a\) et \(b\) coïncident sur le sous-espace ouvert \(g^{-1}U\) et après complétion le long de \(g^{-1}T\). Ainsi, \(a = b\) d’après le lemme 0AR7. Autrement dit, l’application de complétion est toujours injective.

Soit \(\alpha : Y_{/T} \to X'_{/T}\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(X_{/T}\). Il faut montrer qu’il existe un morphisme \(a : Y \to X'\) sur \(X\) tel que \(\alpha = a_{/T}\). La démonstration procède par une réduction standard, mais laborieuse, au cas affine, puis applique le lemme 0AR3.

Soit \(\{h_i : Y_i \to Y\}\) un recouvrement étale d’espaces algébriques. Si, pour tout \(i\), nous pouvons trouver un morphisme \(a_i : Y_i \to X'\) sur \(X\) dont le complété \((a_i)_{/T} : (Y_i)_{/T} \to X'_{/T}\) est égal à \(\alpha \circ (h_i)_{/T}\), alors nous obtenons un morphisme \(a : Y \to X'\) tel que \(\alpha = a_{/T}\). En effet, observons d’abord que \((a_i)_{/T} \circ \text{pr}_1 = (a_j)_{/T} \circ \text{pr}_2\) comme morphismes \((Y_i \times_Y Y_j)_{/T} \to X'_{/T}\), par coïncidence avec \(\alpha\) (on utilise ici le fait que la complétion \({}_{/T}\) commute aux produits fibrés). L’injectivité déjà démontrée montre alors que \(a_i \circ \text{pr}_1 = a_j \circ \text{pr}_2\) comme morphismes comme morphismes \(Y_i \times_Y Y_j \to X'\). Comme \(X'\) est un faisceau fppf, cela signifie que la famille de morphismes \(a_i\) descend en un morphisme \(a : Y \to X'\). Nous avons \(\alpha = a_{/T}\), car \(\{(a_i)_{/T} : (Y_i)_{/T} \to X'_{/T}\}\) est un recouvrement étale.

D’après le paragraphe précédent, pour démontrer l’existence, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine et que \(g : Y \to X\) se factorise par \(g_1 : Y \to X_1\) et par un morphisme étale \(X_1 \to X\), avec \(X_1\) affine. Nous pouvons alors considérer \(T_1 \subset |X_1|\), image réciproque de \(T\), et poser \(X'_1 = X' \times_X X_1\), avec projection \(f_1 : X'_1 \to X_1\), et \[\alpha_1 = (\alpha, (g_1)_{/T_1}) : Y_{/T_1} = Y_{/T} \longrightarrow X'_{/T} \times_{X_{/T}} (X_1)_{/T_1} = (X'_1)_{/T_1}\] Nous concluons qu’il suffit de démontrer l’existence pour \(\alpha_1\) sur \(X_1\) ; autrement dit, nous pouvons remplacer \(X, T, X', Y, f, g, \alpha\) par \(X_1, T_1, X'_1, Y, g_1, \alpha_1\). Nous sommes ainsi ramenés au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) et \(X\) soient affines. Rappelons que \((Y_{/T})_{red}\) est un schéma affine (isomorphe à la structure de schéma réduit induite sur \(g^{-1}T \subset Y\), voir Espaces formels, lemme 0GB9). Ainsi, \(\alpha_{red} : (Y_{/T})_{red} \to (X'_{/T})_{red}\) a une image quasi-compacte \(E\) dans \(f^{-1}T\) (c’est l’espace topologique sous-jacent à \((X'_{/T})_{red}\) d’après le même lemme). Nous pouvons donc trouver un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(h : V \to X'\) tel que l’image de \(h\) contienne \(E\). Choisissons un diagramme cartésien sur les flèches pleines \[\xymatrix{ Y'_{/T} \ar@{..>}[rd] \ar@{..>}[r] & W \ar[d] \ar[r] & V_{/T} \ar[d]^{h_{/T}} \\ & Y_{/T} \ar[r]^\alpha & X'_{/T} }\] Par construction, le morphisme \(W \to Y_{/T}\) est représentable par des espaces algébriques, étale et surjectif (la surjectivité se voit en considérant les réductions, voir Espaces formels, lemme 0GB8). D’après le lemme 0AR4, nous pouvons écrire \(W = Y'_{/T}\), où \(Y' \to Y\) est étale et \(Y'\) affine. Cela fournit les flèches pointillées du diagramme. Comme \(W \to Y_{/T}\) est surjectif, nous voyons que l’image de \(Y' \to Y\) contient \(g^{-1}T\). Ainsi, \(\{Y' \to Y, Y \setminus g^{-1}T \to Y\}\) est un recouvrement étale. Comme \(f\) est un isomorphisme sur \(U\), nous avons un unique morphisme \(Y \setminus g^{-1}T \to X'\) sur \(X\) qui coïncide avec \(\alpha\) sur les complétés (car le complété de \(Y \setminus g^{-1}T\) est vide). Il suffit donc de démontrer l’existence pour \(Y'\), ce qui nous ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

D’après le paragraphe précédent, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine et que \(\alpha\) se factorise en \(Y_{/T} \to V_{/T} \to X'_{/T}\), où \(V\) est un schéma affine étale sur \(X'\). Nous pouvons encore remplacer \(Y\) par les membres d’un recouvrement étale affine. D’après le lemme 0AR3, nous pouvons trouver un morphisme étale \(b : Y' \to Y\) de schémas affines qui induit un isomorphisme \(b_{/T} : Y'_{/T} \to Y_{/T}\) et un morphisme \(c : Y' \to V\) tel que \(c_{/T} \circ b_{/T}^{-1}\) soit le morphisme donné \(Y_{/T} \to V_{/T}\). Si nous posons \(a' : Y' \to X'\) égal au composé de \(c\) et \(V \to X'\), nous obtenons \(a'_{/T} = \alpha \circ b_{/T}\) ; autrement dit, nous avons l’existence pour \(Y'\) et \(\alpha \circ b_{/T}\). Nous concluons en considérant une fois encore le recouvrement étale \(\{Y' \to Y, Y \setminus g^{-1}T \to Y\}\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X\) soit affine. Alors le foncteur (0AR5) est une équivalence.

Avant de démontrer ce lemme, examinons un exemple. Supposons que \(S = \Spec(k)\), \(X = \mathbf{A}^1_k\) et \(T = \{0\}\). Alors \(X_{/T} = \text{Spf}(k[[x]])\). Soit \(W = \text{Spf}(k[[x]] \times k[[x]])\). Le morphisme correspondant \(f : X' \to X\) est alors la droite affine à origine dédoublée envoyée sur la droite affine (Schémas, exemple 01JD). De plus, c’est le résultat de la construction du lemme 0AR9 appliquée à \(X \amalg X\) sur \(X\).

Démonstration

Nous savons déjà que le foncteur est pleinement fidèle, voir le lemme 0GDR. Surjectivité essentielle. Soit \(g : W \to X_{/T}\) un morphisme d’espaces algébriques formels, avec \(W\) localement noethérien et \(g\) rig-étale. Nous allons démontrer en plusieurs étapes que \(W\) appartient à l’image essentielle.

Étape 1 : \(W\) est un espace algébrique formel affine. Nous pouvons alors trouver \(U \to X\) de type fini et étale sur \(X \setminus T\) tel que \(U_{/T}\) soit isomorphe à \(W\), voir le lemme 0AR4. Le lemme 0AR9 montre donc que \(W\) appartient à l’image essentielle.

Étape 2 : \(W\) est séparé. Choisissons \(\{W_i \to W\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. D’après l’étape 1, les espaces algébriques formels \(W_i\) et \(W_i \times_W W_j\) appartiennent à l’image essentielle. Écrivons \(W_i = (X'_i)_{/T}\) et \(W_i \times_W W_j = (X'_{ij})_{/T}\). Par pleine fidélité, nous obtenons des morphismes \(t_{ij} : X'_{ij} \to X'_i\) et \(s_{ij} : X'_{ij} \to X'_j\) correspondant aux projections \(W_i \times_W W_j \to W_i\) et \(W_i \times_W W_j \to W_j\). Considérons les données \[R = \coprod X'_{ij},\quad V = \coprod X'_i,\quad s = \coprod s_{ij},\quad t = \coprod t_{ij}\] (Nous ne pouvons pas employer la lettre \(U\), car elle l’est déjà.) En appliquant le lemme 0AR8, nous constatons que \((t, s) : R \to V \times_X V\) définit une relation d’équivalence étale sur \(V\) au-dessus de \(X\). Nous pouvons donc prendre le quotient \(X' = V/R\), qui est un espace algébrique, voir Amorçage, théorème 04S6. Comme la complétion commute aux produits fibrés et à la formation des faisceaux quotients, nous obtenons \(X'_{/T} \cong W\) comme espaces algébriques formels sur \(X_{/T}\).

Étape 3 : \(W\) est quelconque. Choisissons \(\{W_i \to W\}\) comme dans Espaces formels, définition 0AIM. Les espaces algébriques formels \(W_i\) et \(W_i \times_W W_j\) sont séparés. L’étape 2 montre donc que les espaces algébriques formels \(W_i\) et \(W_i \times_W W_j\) appartiennent à l’image essentielle. Le même argument que dans le paragraphe précédent montre alors que \(W\) appartient lui aussi à l’image essentielle. Cela achève la démonstration.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(|U| = |X| \setminus T\). Le foncteur de complétion (0AR5) \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphismes d'espaces algébriques}\\ f : X' \to X\text{ qui sont localement}\\ \text{de type fini et tels que}\\ f^{-1}U \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{morphismes }g : W \to X_{/T}\\ \text{d'espaces algébriques formels}\\ \text{avec }W\text{ localement noethérien}\\ \text{et }g\text{ rig-étale} \end{matrix} \right\}\] qui envoie \(f : X' \to X\) sur \(f_{/T} : X'_{/T'} \to X_{/T}\) est une équivalence.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après le lemme 0GDR. Soit \(g : W \to X_{/T}\) un morphisme d’espaces algébriques formels, avec \(W\) localement noethérien et \(g\) rig-étale. Pour achever la démonstration, montrons que \(W\) appartient à l’image essentielle.

Choisissons un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}\) tel que \(X_i\) soit affine pour tout \(i\). Notons \(U_i \subset X_i\) l’image réciproque de \(U\) et \(T_i \subset X_i\) l’image réciproque de \(T\). Rappelons que \((X_i)_{/T_i} = (X_i)_{/T} = (X_i \times_X X)_{/T}\) et \(W_i = X_i \times_X W = (X_i)_{/T} \times_{X_{/T}} W\), voir le lemme 0GDQ. Observons que nous obtenons des isomorphismes \[\alpha_{ij} : W_i \times_{X_{/T}} (X_j)_{/T} \longrightarrow (X_i)_{/T} \times_{X_{/T}} W_j\] qui satisfont à une condition de cocycle convenable. En appliquant le lemme 0ARA à \(X_i, T_i, U_i, W_i \to (X_i)_{/T}\) nous obtenons un morphisme \(X'_i \to X_i\) d’espaces algébriques, localement de type fini et qui est un isomorphisme sur \(U_i\), ainsi qu’un isomorphisme \(\beta_i : (X'_i)_{/T} \cong W_i\) sur \((X_i)_{/T}\). Par pleine fidélité, nous obtenons un isomorphisme \[a_{ij} : X'_i \times_X X_j \longrightarrow X_i \times_X X'_j\] sur \(X_i \times_X X_j\) tel que \(\alpha_{ij} = \beta_j|_{X_i \times_X X_j} \circ (a_{ij})_{/T} \circ \beta_i^{-1}|_{X_i \times_X X_j}\). En utilisant de nouveau la pleine fidélité (cette fois sur \(X_i \times_X X_j \times_X X_k\)), nous voyons que ces morphismes \(a_{ij}\) satisfont à la même condition de cocycle que les \(\alpha_{ij}\). Autrement dit, nous obtenons une donnée de descente (comme dans Descente sur les espaces, définition 0ADI) \((X'_i, a_{ij})\) relative à la famille \(\{X_i \to X\}\). D’après Amorçage, lemme 0ADV, cette donnée de descente est effective. Nous obtenons donc un morphisme \(f : X' \to X\) d’espaces algébriques et des isomorphismes \(h_i : X' \times_X X_i \to X'_i\) sur \(X_i\) tels que \(a_{ij} = h_j|_{X_i \times_X X_j} \circ h_i^{-1}|_{X_i \times_X X_j}\). Le lecteur vérifiera que les isomorphismes qui en résultent \[(X' \times_X X_i)_{/T} \xrightarrow{\beta_i \circ (h_i)_{/T}} W_i\] sur \(X_i\) se recollent en un isomorphisme \(X'_{/T} \to W\) sur \(X_{/T}\) ; certains détails sont omis.

Complétions et morphismes, II

Pour obtenir le théorème d’Artin sur les dilatations, nous devons faire correspondre les modifications formelles aux modifications algébriques dans l’équivalence donnée par le théorème 0ARB. Nous invitons le lecteur à omettre cette section.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du théorème 0ARB, soit \(f : X' \to X\) correspondant à \(g : W \to X_{/T}\). Alors \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(g\) est quasi-compact.

Démonstration

Si \(f\) est quasi-compact, alors \(g\) est quasi-compact d’après le lemme 0GDE. Réciproquement, supposons que \(g\) soit quasi-compact. Choisissons un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}\) avec \(X_i\) affine. Il suffit de démontrer que le changement de base \(X' \times_X X_i \to X_i\) est quasi-compact, voir Morphismes d’espaces, lemme 03KG. D’après Espaces formels, lemme 0AJB les changements de base \(W_i \times_{X_{/T}} (X_i)_{/T} \to (X_i)_{/T}\) sont quasi-compacts. Le lemme 0GDQ nous ramène au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) soit affine et que \(g : W \to X_{/T}\) soit quasi-compact. Il faut montrer que \(X'\) est quasi-compact. Soit \(V \to X'\) un morphisme étale surjectif, où \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) est une réunion disjointe de schémas affines. Alors \(V_{/T} \to X'_{/T} = W\) est un morphisme étale surjectif. Comme \(W\) est quasi-compact, nous pouvons trouver une partie finie \(J' \subset J\) telle que \(\coprod_{j \in J'} (V_j)_{/T} \to W\) soit surjective. Il s’ensuit que \[U \amalg \coprod\nolimits_{j \in J'} V_j \longrightarrow X'\] est surjectif (et donc que \(X'\) est quasi-compact). En effet, nous avons \(|X'| = |U| \amalg |W_{red}|\), puisque \(X'_{/T} = W\).

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du théorème 0ARB, soit \(f : X' \to X\) correspondant à \(g : W \to X_{/T}\). Alors \(f\) est quasi-séparé si et seulement si \(g\) l’est.

Démonstration

Si \(f\) est quasi-séparé, alors \(g\) est quasi-séparé d’après le lemme 0GDG. Réciproquement, supposons que \(g\) soit quasi-séparé. Il faut montrer que \(f\) est quasi-séparé. Exactement comme dans la démonstration du lemme 0ARU, nous pouvons le vérifier sur les membres d’un recouvrement étale de \(X\) par des schémas affines, en utilisant Morphismes d’espaces, lemme 03KM et Espaces formels, lemme 0ARS. Nous pouvons donc supposer, et supposons désormais, que \(X\) est affine.

Soit \(V \to X'\) un morphisme étale surjectif, où \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) est une réunion disjointe de schémas affines. Pour montrer que \(X'\) est quasi-séparé, il suffit de montrer que \(V_j \times_{X'} V_{j'}\) est quasi-compact pour tous \(j, j' \in J\). Comme \(W\) est quasi-séparé, les produits fibrés \((V_j \times_Y V_{j'})_{/T} = (V_j)_{/T} \times_{X'_{/T}} (V_{j'})_{/T}\) sont quasi-compacts pour tous \(j, j' \in J\). Comme \(X\) est affine noethérien et que \(U' \to U\) est un isomorphisme, nous voyons que \[(V_j \times_{X'} V_{j'}) \times_X U = (V_j \times_X V_{j'}) \times_X U\] est quasi-compact. Nous concluons donc grâce à l’égalité \[|V_j \times_{X'} V_{j'}| = |(V_j \times_{X'} V_{j'}) \times_X U| \amalg |(V_j \times_{X'} V_{j'})_{/T, red}|\] et au fait qu’un espace algébrique formel est quasi-compact si et seulement si l’espace algébrique réduit qui lui est associé l’est.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du théorème 0ARB, soit \(f : X' \to X\) correspondant à \(g : W \to X_{/T}\). Alors \(f\) est séparé \(\Leftrightarrow\) \(g\) est séparé et \(\Delta_g : W \to W \times_{X_{/T}} W\) est rig-surjectif.

Démonstration

Si \(f\) est séparé, alors \(g\) est séparé et \(\Delta_g\) est rig-surjectif d’après les lemmes 0GDG et 0GDI. Supposons que \(g\) soit séparé et que \(\Delta_g\) soit rig-surjectif. Exactement comme dans la démonstration du lemme 0ARU, nous pouvons le vérifier sur les membres d’un recouvrement étale de \(X\) par des schémas affines, en utilisant Morphismes d’espaces, lemme 03KL (la propriété d’être séparé pour les morphismes d’espaces algébriques est locale sur la base), Espaces formels, lemme 0ARP (la propriété d’être séparé pour les morphismes d’espaces algébriques formels est préservée par changement de base), et le lemme 0AQS (la rig-surjectivité est préservée par changement de base). Nous pouvons donc supposer, et supposons désormais, que \(X\) est affine. De plus, nous savons déjà que \(f : X' \to X\) est quasi-séparé d’après le lemme 0ARV.

D’après Cohomologie des espaces, lemme 0ARJ et remarque 0ARL, il suffit de montrer que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[r]^p \ar@{-->}[ru] & X' \times_X X' }\] où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif (cela donnera la partie unicité du critère valuatif). Soit \(h : \Spec(R) \to X\) le composé de \(p\) avec le morphisme \(Y \times_X Y \to X\). Il y a trois cas : Cas I : \(h(\Spec(R)) \subset U\). Ce cas est trivial, car \(U' = X' \times_X U \to U\) est un isomorphisme. Cas II : \(h\) envoie \(\Spec(R)\) dans \(T\). Ce cas résulte de notre hypothèse que \(g : W \to X_{/T}\) est séparé. En effet, si \(Z\) désigne la structure de sous-espace fermé réduit induite sur \(T\), alors \(h\) se factorise par \(Z\) et \[W \times_{X_{/T}} Z = X' \times_X Z \longrightarrow Z\] est séparé par hypothèse (voir par exemple Espaces formels, lemme 0ARS), ce qui donne la propriété de relèvement d’après Cohomologie des espaces, lemme 0ARJ, appliqué à la flèche affichée. Cas III : \(h(\Spec(K))\) n’appartient pas à \(T\), mais \(h\) envoie le point fermé de \(\Spec(R)\) dans \(T\). Dans ce cas, le morphisme correspondant \[p_{/T} : \text{Spf}(R) \longrightarrow (X' \times_X X')_{/T} = W \times_{X_{/T}} W\] est un morphisme adique (d’après Espaces formels, lemme 0APV et définition 0AQ3). Notre hypothèse que \(\Delta_g : W \to W \times_{X_{/T}} W\) est rig-surjectif implique donc que nous pouvons relever \(p_{/T}\) en un morphisme \(\text{Spf}(R) \to W = X'_{/T}\), voir le lemme 0AR0. En algébrisant le composé \(\text{Spf}(R) \to X'\) à l’aide d’ Espaces formels, lemme 0AQH, nous obtenons un morphisme \(\Spec(R) \to X'\) relevant \(p\), comme souhaité.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du théorème 0ARB, soit \(f : X' \to X\) correspondant à \(g : W \to X_{/T}\). Alors \(f\) est propre si et seulement si \(g\) est une modification formelle (définition 0GDK).

Démonstration

Si \(f\) est propre, alors \(g\) est une modification formelle d’après le lemme 0GDM. Supposons que \(g\) soit une modification formelle. D’après les lemmes 0ARU et 0ARW, nous voyons que \(f\) est quasi-compact et séparé.

D’après Cohomologie des espaces, lemme 0ARK et remarque 0ARL, il suffit de montrer que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^f \\ \Spec(R) \ar[r]^p \ar@{-->}[ru] & X }\] où \(R\) est un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Il y a trois cas : Cas I : \(p(\Spec(R)) \subset U\). Ce cas est trivial, car \(U' \to U\) est un isomorphisme. Cas II : \(p\) envoie \(\Spec(R)\) dans \(T\). Ce cas résulte de notre hypothèse que \(g : W \to X_{/T}\) est propre. En effet, si \(Z\) désigne la structure de sous-espace fermé réduit induite sur \(T\), alors \(p\) se factorise par \(Z\) et \[W \times_{X_{/T}} Z = X' \times_X Z \longrightarrow Z\] est propre par hypothèse, ce qui donne la propriété de relèvement d’après Cohomologie des espaces, lemme 0ARK, appliqué à la flèche affichée. Cas III : \(p(\Spec(K))\) n’appartient pas à \(T\), mais \(p\) envoie le point fermé de \(\Spec(R)\) dans \(T\). Dans ce cas, le morphisme correspondant \[p_{/T} : \text{Spf}(R) \longrightarrow X'_{/T} = W\] est un morphisme adique (d’après Espaces formels, lemme 0APV et définition 0AQ3). Notre hypothèse que \(g : W \to X_{/T}\) est rig-surjectif implique donc que nous pouvons relever \(g_{/T}\) en un morphisme \(\text{Spf}(R') \to W = X'_{/T}\) pour une certaine extension d’anneaux de valuation discrète complets \(R \subset R'\). En algébrisant le composé \(\text{Spf}(R') \to X'\) à l’aide d’ Espaces formels, lemme 0AQH, nous obtenons un morphisme \(\Spec(R') \to X'\) relevant \(p\), comme souhaité.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du théorème 0ARB, soit \(f : X' \to X\) correspondant à \(g : W \to X_{/T}\). Alors \(f\) est étale si et seulement si \(g\) est étale.

Démonstration

Si \(f\) est étale, alors \(g\) est étale d’après le lemme 0GI0. Réciproquement, supposons que \(g\) soit étale. Comme \(f\) est un isomorphisme sur \(U\), nous voyons que \(f\) est étale sur \(U\). Il suffit donc de démontrer que \(f\) est étale en tout point de \(X'\) situé au-dessus de \(T\). Notons \(Z \subset X\) le sous-espace fermé réduit dont l’espace topologique sous-jacent est \(|Z| = T \subset |X|\), voir Propriétés des espaces, définition 047X. Si \(Z_n \subset X\) désigne le \(n\)-ième voisinage infinitésimal, nous avons \(X_{/T} = \colim Z_n\). Puisque \(X'_{/T} = W \to X_{/T}\), nous concluons que \(f^{-1}(Z_n) = X' \times_X Z_n \to Z_n\) est étale par l’étalité supposée de \(g\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0APQ nous concluons que \(f\) est étale aux points situés au-dessus de \(T\).

Théorème d’Artin sur les dilatations

Dans cette section, nous employons une fonte différente pour les espaces algébriques formels afin de souligner la similitude des énoncés avec les énoncés correspondants de [ArtinII]. Voici le premier théorème principal de ce chapitre.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soit \(\mathfrak X = X_{/T}\) le complété formel de \(X\) le long de \(T\). Soit \[\mathfrak f : \mathfrak X' \to \mathfrak X\] une modification formelle (définition 0GDK). Alors il existe un unique morphisme propre \(f : X' \to X\) qui est un isomorphisme sur le complémentaire de \(T\) dans \(X\) et dont le complété \(f_{/T}\) redonne \(\mathfrak f\).

Démonstration

Cela résulte du théorème 0ARB et du lemme 0ARX.

Voici la caractérisation des modifications formelles annoncée dans la section 0GDJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathfrak X' \to \mathfrak X\) une modification formelle (définition 0GDK) d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\). Étant donnés

1. un anneau topologique noethérien adique quelconque \(A\),

2. un morphisme adique quelconque \(\text{Spf}(A) \longrightarrow \mathfrak X\),

il existe un morphisme propre \(X \to \Spec(A)\) d’espaces algébriques et un isomorphisme \[\text{Spf}(A) \times_{\mathfrak X} \mathfrak X' \longrightarrow X_{/Z}\] sur \(\text{Spf}(A)\), entre le changement de base de \(\mathfrak X\) et le complété formel de \(X\) le long de la « fibre fermée » \(Z = X \times_{\Spec(A)} \text{Spf}(A)_{red}\) de \(X\) sur \(A\).

Démonstration

Le morphisme \(\text{Spf}(A) \times_{\mathfrak X} \mathfrak X' \to \text{Spf}(A)\) est une modification formelle d’après le lemme 0GDN. L’assertion résulte donc du théorème 0GDU.

Application aux modifications

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(I \subset A\) un idéal. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus V(I)\). Dans cette section, nous considérerons la catégorie [0AS2]\[\begin{equation} \left\{ f : X' \longrightarrow X \quad \middle| \quad \begin{matrix} X'\text{ est un espace algébrique}\\ f\text{ est localement de type fini}\\ f^{-1}(U) \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Un morphisme de \(X'/X\) vers \(X''/X\) sera un morphisme d’espaces algébriques \(X' \to X''\) sur \(X\).

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens et soit \(J \subset B\) un idéal tel que \(J = \sqrt{I B}\). Le changement de base le long du morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) fournit alors un foncteur de la catégorie (0AS2) pour \(A\) vers la catégorie (0AS2) pour \(B\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens induisant un isomorphisme sur les complétés \(I\)-adiques pour un certain idéal \(I \subset A\) (par exemple, si \(B\) est le complété \(I\)-adique de \(A\)). Alors le changement de base définit une équivalence entre la catégorie (0AS2) pour \((A, I)\) et la catégorie (0AS2) pour \((B, IB)\).

Démonstration

Posons \(X = \Spec(A)\) et \(T = V(I)\). Posons \(X_1 = \Spec(B)\) et \(T_1 = V(IB)\). D’après le théorème 0ARB (en fait, seul le cas affine traité dans le lemme 0ARA est nécessaire), la catégorie (0AS2) pour \(X\) et \(T\) est équivalente à la catégorie des morphismes rig-étales \(W \to X_{/T}\) d’espaces algébriques formels localement noethériens. De même, la catégorie (0AS2) pour \(X_1\) et \(T_1\) est équivalente à la catégorie des morphismes rig-étales \(W_1 \to X_{1, /T_1}\) d’espaces algébriques formels localement noethériens. Comme \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\) et \(X_{1, /T_1} = \text{Spf}(B^\wedge)\) (Espaces formels, lemme 0GBA), nous voyons que ces catégories sont équivalentes en vertu de notre hypothèse selon laquelle \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un isomorphisme. Nous omettons la vérification que cette équivalence est donnée par changement de base.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 0AE5. Soit \(f : X' \to \Spec(A)\) correspondant à \(g : Y' \to \Spec(B)\) par l’équivalence. Alors \(f\) est quasi-compact, quasi-séparé, séparé, propre, fini, et ajouter d’autres conditions ici si et seulement si \(g\) l’est.

Démonstration

On peut le déduire pour les propriétés quasi-compact, quasi-séparé, séparé et propre en utilisant les lemmes 0ARU, 0ARV, 0ARW, 0ARV et 0ARX, pour traduire la propriété correspondante en une propriété du complété formel, puis en utilisant l’argument de la démonstration du lemme 0AE5. Il existe toutefois l’argument direct suivant, par descente fpqc. On peut d’abord se ramener à démontrer le lemme pour \(A \to A^\wedge\) et \(B \to B^\wedge\), puisque \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un isomorphisme. Notons ensuite que \(\{U \to \Spec(A), \Spec(A^\wedge) \to \Spec(A)\}\) est un recouvrement fpqc, avec \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) comme précédemment. Le changement de base de \(f\) par \(U \to \Spec(A)\) est \(\text{id}_U\) par définition de notre catégorie (0AS2). Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie fpqc sur la base (Descente sur les espaces, définition 03YH) et telle que \(P\) soit satisfaite par les morphismes identiques. Nous voyons alors que \(P\) est satisfaite par \(f\) si et seulement si \(P\) est satisfaite par \(g\). Cela s’applique lorsque \(P\) est l’une des propriétés quasi-compact, quasi-séparé, séparé, propre et fini, d’après Descente sur les espaces, lemmes 041L, 041N, 0421, 0422 et 0426.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens tel que

1. \(A \to B\) soit plat,

2. \(\mathfrak m_B = \mathfrak m_A B\), et

3. \(\kappa(\mathfrak m_A) = \kappa(\mathfrak m_B)\)

Alors le foncteur de changement de base de la catégorie (0AS2) pour \((A, \mathfrak m_A)\) vers la catégorie (0AS2) pour \((B, \mathfrak m_B)\) est une équivalence.

Démonstration

Les conditions signifient que \(A \to B\) induit un isomorphisme sur les complétés, voir Compléments d’algèbre, lemme 0AGX. Ce lemme est donc un cas particulier du lemme 0AE5.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(f : X \to S\) un objet de (0AS2) tel que \(f\) soit propre. Alors il existe un éclatement \(U\)-admissible \(S' \to S\) qui domine \(X\).

Démonstration

C’est un cas particulier de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 087G.