スキームの射

はじめに

本章では、スキームの射のいくつかの型を導入する。 基本的な参考文献は [EGA] である。

閉埋め込み

本節では、スキームの閉埋め込みについて先に得られた結果を明らかにする。 スキームの射 \(i : Z \to X\) が閉埋め込みであるとは、(a) \(i\) が \(X\) の閉集合への同相写像を誘導し、(b) \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) が全射であり、(c) \(i^\sharp\) の核が切断によって局所的に生成される、という条件で定義されることを思い出そう。これはスキームの章の定義 01IO および 01HK を参照せよ。\(Z\) と \(X\) がスキームであることを仮定すると、閉埋め込みを特徴づける方法は実に多数ある。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの射とする。 次は同値である。

1. 射 \(i\) は閉埋め込みである。

2. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset X\) に対して、 あるイデアル \(I \subset R\) が存在し、 \(i^{-1}(U) = \Spec(R/I)\) が \(U = \Spec(R)\) 上のスキームとして成り立つ。

3. アフィン開被覆 \(X = \bigcup_{j \in J} U_j\) が存在し、 \(U_j = \Spec(R_j)\) であり、各 \(j \in J\) に対してあるイデアル \(I_j \subset R_j\) が存在して \(i^{-1}(U_j) = \Spec(R_j/I_j)\) が \(U_j = \Spec(R_j)\) 上のスキームとして成り立つ。

4. 射 \(i\) は \(Z\) と \(X\) の閉集合との同相写像を誘導し、 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は全射である。

5. 射 \(i\) は \(Z\) と \(X\) の閉集合との同相写像を誘導し、 写像 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は全射であり、 核 \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\) は準連接イデアル層である。

6. 射 \(i\) は \(Z\) と \(X\) の閉集合との同相写像を誘導し、 写像 \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) は全射であり、 核 \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\) は切断によって局所的に生成される イデアル層である。

証明

条件 (6) は閉埋め込みの定義そのものであり、スキームの章の定義 01HK および 01IO を参照せよ。 したがって (6) \(\Leftrightarrow\) (1) である。スキームの補題 01IN により (1) \(\Rightarrow\) (2) が成り立つ。 自明に (2) \(\Rightarrow\) (3) である。

(3) を仮定する。射のそれぞれ \(\Spec(R_j/I_j) \to \Spec(R_j)\) は閉埋め込みである（スキームの例 01IG を参照）。 したがって \(i^{-1}(U_j) \to U_j\) はその像への同相写像であり、 \(i^\sharp|_{U_j}\) は全射である。ゆえに \(i\) はその像への同相写像であり、 \(i^\sharp\) は全射である。これは局所的に確認できるからである。 したがって (3) \(\Rightarrow\) (4) を得る。

(4) \(\Rightarrow\) (1) はスキームの補題 01LD である。 (5) \(\Rightarrow\) (6) は自明である。そして (6) \(\Rightarrow\) (5) は スキームの補題 01IN から従う。

補題

\(X\) をスキームとする。\(i : Z \to X\) および \(i' : Z' \to X\) を閉埋め込みとし、イデアル層 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) および \(\mathcal{I}' = \Ker((i')^\sharp)\) を \(\mathcal{O}_X\) のイデアル層とする。

1. 射 \(i : Z \to X\) が \(Z \to Z' \to X\) と因数分解する、すなわち ある \(a : Z \to Z'\) が存在することと、\(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) であることは同値である。 このとき \(a\) は閉埋め込みである。

2. \(Z \cong Z'\) が \(X\) 上で成り立つことと \(\mathcal{I} = \mathcal{I}'\) は同値である。

証明

これは閉部分空間についての議論、特にスキームの節 01HJ、補題 01HO および 01HP から従う。 また、上の補題 01QO の特徴づけ (3) からも直接的に従う。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) をイデアル層とする。 次は同値である。

1. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群の層として切断によって局所的に生成される。

2. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群の層として準連接である。

3. \(i : Z \to X\) なるスキームの閉埋め込みが存在し、その対応するイデアル層 \(\Ker(i^\sharp)\) が \(\mathcal{I}\) に等しい。

証明

(1) と (2) の同値性はスキームの補題 01IN から直ちに分かる。 (1) が成り立つなら、スキームの定義 01HN および例 01HM により、閉部分空間 \(i : Z \to X\) が存在し、 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) となる。 スキームの補題 01IN により、これは スキームの閉埋め込みであり、(3) が成り立つ。 逆に、(3) が成り立つなら、スキームの補題 01IN により (2) が成り立つ （スキームの閉埋め込みは、局所環付き空間の閉埋め込みでもあるので、この補題を適用できる）。

補題

閉埋め込みの基底変換は閉埋め込みである。

証明

スキームの補題 01JY を参照せよ。

補題

閉埋め込みの合成は閉埋め込みである。

証明

これはスキームの補題 02V0 で既に見たが、 ここでは別の証明を与える。すなわち、補題 01QO における 閉埋め込みの特徴づけ (3) から従う。実際、\(I \subset R\) がイデアルで、 \(\overline{J} \subset R/I\) がイデアルならば、\(\overline{J} = J/I\) を満たす あるイデアル \(J \subset R\) が存在し、それは \(I\) を含み、\((R/I)/\overline{J} = R/J\) となる。

補題

閉埋め込みは準コンパクトである。

証明

この補題はスキームの補題 01K7 と重複している。

補題

閉埋め込みは分離的である。

証明

この補題はスキームの補題 01L7 の特殊例である。

埋め込み

本節では、埋め込みに関するいくつかの事実をまとめる。

補題

\(Z \to Y \to X\) をスキームの射とする。

1. \(Z \to X\) が埋め込みならば、\(Z \to Y\) は埋め込みである。

2. \(Z \to X\) が準コンパクトな埋め込みであり、\(Y \to X\) が 準分離的ならば、\(Z \to Y\) は準コンパクトな埋め込みである。

3. \(Z \to X\) が閉埋め込みであり、\(Y \to X\) が分離的ならば、 \(Z \to Y\) は閉埋め込みである。

証明

いずれの場合も、次の可換図を考察すればよい。 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] ここで、上の二つの水平射の合成は恒等射である。 (1) を証明しよう。最初の水平射は \(Y \times_X Z \to Z\) の切断であるから、スキームの補題 01KT により埋め込みである。 射 \(Y \times_X Z \to Y\) は \(Z \to X\) の基底変換であるから、 埋め込みである（スキームの補題 01JY）。 最後に、埋め込みの合成は埋め込みである （スキームの補題 02V0）。これで (1) が示された。 残り二つの結果もまったく同じように証明される。

補題

\(h : Z \to X\) を埋め込みとする。 \(h\) が準コンパクトならば、\(h = i \circ j\) と因数分解できる。ここで \(j : Z \to \overline{Z}\) は開埋め込みであり、 \(i : \overline{Z} \to X\) は閉埋め込みである。

証明

\(h\) は準コンパクトかつ準分離的であることに注意せよ （スキームの補題 01L7 を参照）。 したがって、スキームの補題 01LC により、 \(h_*\mathcal{O}_Z\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群の準連接層である。 これから \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to h_*\mathcal{O}_Z)\) は準連接イデアル層であることが従う。スキームの節 01LA を参照せよ。 \(\overline{Z} \subset X\) を \(\mathcal{I}\) に対応する閉部分スキームとする （補題 01QQ を参照）。 スキームの補題 01HP により、 射 \(h\) は \(h = i \circ j\) と因数分解する。ここで \(i : \overline{Z} \to X\) は包含射である。 \(j\) が開埋め込みであることを見るため、開部分スキーム \(U \subset X\) を、\(h\) が \(Z\) から \(U\) への閉埋め込みを誘導するように選ぶ。 すると、\(\mathcal{I}|_U\) が閉埋め込み \(Z \to U\) に対応する イデアル層であることは明らかである。したがって \(Z = \overline{Z} \cap U\) である。

補題

\(h : Z \to X\) を埋め込みとする。 \(Z\) が被約ならば、\(h = i \circ j\) と因数分解できる。ここで \(j : Z \to \overline{Z}\) は開埋め込みであり、 \(i : \overline{Z} \to X\) は閉埋め込みである。

証明

\(\overline{Z} \subset X\) を \(h(Z)\) の閉包に被約誘導閉部分スキーム構造を 入れたものとする。スキームの定義 01J4 を参照せよ。 スキームの補題 0356 により、射 \(h\) は \(h = i \circ j\) と因数分解する。ここで \(i : \overline{Z} \to X\) は包含射であり、 \(j : Z \to \overline{Z}\) である。埋め込みの定義から、ある開部分スキーム \(U \subset X\) が存在し、\(h\) は \(U\) への閉埋め込みを経由して因数分解する。 したがって、\(\overline{Z} \cap U\) と \(h(Z)\) は、ともに \(U\) の被約閉部分スキームであり、 同じ基礎閉集合をもつ。ゆえに、スキームの補題 01J3 の一意性により \(h(Z) \cong \overline{Z} \cap U\) である。 したがって \(j\) は \(Z\) と \(\overline{Z} \cap U\) との同型を誘導する。 言い換えれば、\(j\) は開埋め込みである。

例

開埋め込みに続く閉埋め込みの合成として表せない埋め込みの例を挙げる。 \(k\) を体とする。 \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\) とする。 \(U = \bigcup_{n = 1}^{\infty} D(x_n)\) とする。 すると \(U \to X\) は開埋め込みである。 イデアル \[I_n = (x_1^n, x_2^n, \ldots, x_{n - 1}^n, x_n - 1, x_{n + 1}, x_{n + 2}, \ldots) \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n].\] を考える。\(I_n k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_nx_m] = (1)\) は 任意の \(m \not = n\) に対して成り立つことに注意せよ。 したがって、準連接イデアル \(\widetilde I_n\) は \(D(x_n)\) 上にあり、 \(D(x_nx_m)\) 上で一致する。すなわち、 \(\widetilde I_n|_{D(x_nx_m)} = \mathcal{O}_{D(x_n x_m)}\) は \(n \not = m\) のとき成り立つ。 したがって、これらのイデアルは貼り合わさって準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を与える。 \(Z \subset U\) を \(\mathcal{I}\) に対応する閉部分スキームとする。 よって \(Z \to X\) は埋め込みである。

\(Z \to X\) を \(Z \to \overline{Z} \to X\) と因数分解することはできないと主張する。 ここで \(\overline{Z} \to X\) は閉埋め込みであり、 \(Z \to \overline{Z}\) は開埋め込みであるとする。実際、\(\overline{Z}\) は、 あるイデアル \(I \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) によって定義され、 \(I_n = I k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n]\) を満たさなければならない。 しかし、唯一の元 \(f \in k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) で、 すべての \(I_n\) に入るものは \(0\) である！ したがって \(I\) は存在しない。

補題

\(f : Y \to X\) をスキームの射とする。すべての \(y \in Y\) に対して、 \(f(y) \in U \subset X\) なる開部分スキームが存在し、 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) が埋め込みならば、\(f\) は埋め込みである。

証明

この主張は、スキームの節 01IM の末尾にある 閉部分スキームの議論から容易に従うが、詳しい証明も与える。 \(Z \subset X\) を \(f(Y)\) の閉包とする。閉包をとる操作は開集合への制限と可換なので、 仮定から \(f(Y) \subset Z\) は開である。したがって \(Z' = Z \setminus f(Y)\) は閉である。ゆえに \(X' = X \setminus Z'\) は \(X\) の開部分スキームであり、 \(f\) は \(f : Y \to X'\) と包含射との合成に因数分解する。 \(y \in Y\) とし、\(U \subset X\) を補題の仮定にあるものとする。このとき \(U' = X' \cap U\) は \(f'(y)\) の開近傍であり、 \((f')^{-1}(U') \to U'\) は閉な像をもつ埋め込みである （補題 07RK）。したがって、これは閉埋め込みである。 スキームの補題 01IQ を参照せよ。 閉埋め込みであるという性質は目標上局所的なので （例えば補題 01QO による）、 \(f'\) は所望の閉埋め込みであると結論する。

閉埋め込みと準連接層

次の補題は、アーベル層に対して加群の補題 01AX が果たす役割を、ついにスキーム上の準連接層に対して果たす。 加群の節 01C1 の議論も参照せよ。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z\) を切り出す準連接イデアル層とする。 関手 \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] は完全かつ充満忠実であり、その本質像は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}\) で \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\) を満たすものからなる。

証明

閉埋め込みは準コンパクトかつ分離的である。補題 01QT および 01QU を参照せよ。 したがって、スキームの補題 01LC を適用でき、 \(Z\) 上の準連接層の順像は実際に \(X\) 上の準連接層である。

加群の補題 08KS により、関手 \(i_*\) は充満忠実である。

次に関手 \(i_*\) の本質像を記述する。 \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{F}) = 0\) は任意の準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群に対して成り立つ。例えば、 加群の補題 08KS による。 次に、\(\mathcal{G}\) を任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\) を満たすものとする。標準写像 \[\mathcal{G} \longrightarrow i_* i^*\mathcal{G}\] が同型であることを示せば十分である¹。 スキームと準連接加群の場合には、\(X\) 上でアフィン局所的に考え、補題 01QO およびスキームの補題 01I9 を用いると、次の代数的主張を証明すればよい。 環 \(R\)、イデアル \(I\)、および \(R\)-加群 \(N\) が与えられ、\(IN = 0\) を満たすとき、 標準写像 \[N \longrightarrow N \otimes_R R/I,\quad n \longmapsto n \otimes 1\] は \(R\)-加群の同型である。この易しい代数的事実の証明は省略する。

\(i : Z \to X\) を閉埋め込みとする。上の補題により、記号の濫用ではあるが、 \(\mathcal{F}\) で層 \(i_*\mathcal{F}\) を \(X\) 上の層として表すことがよくある。

補題

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-部分加群とする。 次の性質をもつ準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群 \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) が一意に存在する。任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{H}\) に対して、写像 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] は全単射である。特に、\(\mathcal{G}'\) は最大の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群であり、\(\mathcal{F}\) の部分加群として \(\mathcal{G}\) に含まれる。

証明

\(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群で \(\mathcal{G}\) に含まれるもの全体とする。このとき \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] の像 \(\mathcal{G}'\) は準連接である。実際、\(X\) 上の準連接層の射の像は準連接であり、 準連接層の直和も準連接である。スキームの節 01LA を参照せよ。 加群 \(\mathcal{G}'\) は \(\mathcal{G}\) に含まれる。したがって、これは 最大の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、\(\mathcal{G}\) に含まれる。

公式を証明するため、\(\mathcal{H}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の射とする。 合成 \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) の像は、準連接層の射の像として 準連接である。したがって、それは \(\mathcal{G}'\) に含まれる。 ゆえに、所望のように \(\alpha\) は \(\mathcal{G}'\) を経由して因数分解する。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの閉埋め込みとする。 関手² \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) が存在し、 \(i_*\) の右随伴である。（加群の補題 01AZ と比較せよ。）

証明

準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}\) が与えられたとき、 部分層 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\)、すなわち \(\mathcal{G}\) のうち \(\mathcal{I}\) によって零化される局所切断からなる部分層を考える。補題 01QZ により、標準的な最大準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群 \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\) がある。構成により \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] が任意の準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して成り立つ。 したがって \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\) と定められる。 詳細は省略する。

準連接イデアル層と閉部分スキームとの \(1\) 対 \(1\) の対応（補題 01QQ を参照）を用いると、 閉部分スキームのスキーム論的交わりと合併を定義できる。

定義

\(X\) をスキームとする。\(Z, Y \subset X\) を準連接イデアル層 \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) に対応する閉部分スキームとする。 \(Z\) と \(Y\) の スキーム論的交わりとは、\(X\) の閉部分スキームで、 \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\) によって切り出されるものである。 \(Z\) と \(Y\) の スキーム論的合併とは、 \(X\) の閉部分スキームで、\(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\) によって切り出されるものである。

補題

\(X\) をスキームとする。\(Z, Y \subset X\) を閉部分スキームとする。 \(Z \cap Y\) を \(Z\) と \(Y\) のスキーム論的交わりとする。 このとき \(Z \cap Y \to Z\) および \(Z \cap Y \to Y\) は閉埋め込みであり、 \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] はスキームのカルテジアン図式、すなわち \(Z \cap Y = Z \times_X Y\) である。

証明

射 \(Z \cap Y \to Z\) および \(Z \cap Y \to Y\) は、補題 01QP により閉埋め込みである。 \(U = \Spec(A)\) を \(X\) のアフィン開集合とし、\(Z \cap U\) および \(Y \cap U\) がそれぞれ イデアル \(I \subset A\) および \(J \subset A\) に対応するとする。このとき \(Z \cap Y \cap U\) は \(I + J \subset A\) に対応する。 \(A/I \otimes_A A/J = A/(I + J)\) なので、この図式がカルテジアンであることは、 スキームの節 01JO における スキームのファイバー積の記述から分かる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X, Y \subset S\) を閉部分スキームとする。 \(X \cup Y\) を \(X\) と \(Y\) のスキーム論的合併とする。 \(X \cap Y\) を \(X\) と \(Y\) のスキーム論的交わりとする。 このとき \(X \to X \cup Y\) および \(Y \to X \cup Y\) は閉埋め込みであり、 \(\mathcal{O}_S\)-加群の短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X \times \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y} \to 0\] が存在し、図式 \[\xymatrix{ X \cap Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & X \cup Y }\] はスキームの圏において余カルテジアン、すなわち \(X \cup Y = X \amalg_{X \cap Y} Y\) である。

証明

射 \(X \to X \cup Y\) および \(Y \to X \cup Y\) は、補題 01QP により閉埋め込みである。 短完全列では、補題 01QY の同値性を用いて、 \(S\) の閉部分スキーム上の準連接加群を \(S\) 上の準連接加群とみなす。 列の最初の射には標準写像 \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X\) および \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_Y\) を用い、二番目の射には標準写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\) と、標準写像 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\) の負を用いる。 完全性を確認するにはアフィン局所的に考えればよい。 \(U = \Spec(A)\) を \(S\) のアフィン開集合とし、\(X \cap U\) および \(Y \cap U\) がそれぞれ イデアル \(I \subset A\) および \(J \subset A\) に対応するとする。このとき \((X \cup Y) \cap U\) は \(I \cap J \subset A\) に対応し、 \(X \cap Y \cap U\) は \(I + J \subset A\) に対応する。 したがって、完全性は \[0 \to A/I \cap J \to A/I \times A/J \to A/(I + J) \to 0\] の完全性から従う。 図式が余カルテジアンであることを示すため、スキーム \(T\) とスキームの射 \(f : X \to T\), \(g : Y \to T\) が与えられ、それらは射 \(X \cap Y \to T\) として 一致するとする。目標は、一意な射 \(h : X \cup Y \to T\) が存在し、 \(f\) および \(g\) と一致することを示すことである。 \(h\) を構成するには \(X \cup Y\) 上でアフィン局所的に考えればよい。スキームの節 01JA を参照せよ。 \(s \in X\), \(s \not \in Y\) ならば、\(X \to X \cup Y\) は \(s\) の近傍で同型であり、 \(h\) の構成は明らかである。\(s \in Y\), \(s \not \in X\) の場合も同様である。 \(s \in X \cap Y\) の場合、アフィン開集合 \(V = \Spec(B) \subset T\) を選び、 \(f(s) = g(s)\) を含むようにできる。次にアフィン開集合 \(U = \Spec(A) \subset S\) を、\(s\) を含み、\(f(X \cap U)\) および \(g(Y \cap U)\) が \(V\) に含まれるように選べる。射 \(f|_{X \cap U}\) および \(g|_{Y \cap V}\) は \(V\) への射であり、環準同型 \[B \to A/I \quad\text{and}\quad B \to A/J\] に対応し、これらは \(A/(I + J)\) への写像として一致する。 上に表示した短完全列により、これらの環準同型は所望の環準同型 \(B \to A/I \cap J\) へ一意に持ち上がる。

加群の台

本節では、スキーム上の準連接加群の台に関する初等的な結果をまとめる。 加群層の台は加群の節 01AS で定義されていることを思い出そう。 一方、加群の台は代数の節 00KY で定義された。 これらは一致する。

補題

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(\Spec(A) = U \subset X\) をアフィン開集合とし、 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\) とおく。 \(x \in U\) とし、\(\mathfrak p \subset A\) を対応する素イデアルとする。 次は同値である。

1. \(\mathfrak p\) は \(M\) の台に属する。

2. \(x\) は \(\mathcal{F}\) の台に属する。

証明

これは等式 \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\) から従う。スキームの補題 01HV および定義を参照せよ。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(\mathcal{F}\) の台は特殊化について閉じている。

証明

\(x' \leadsto x\) が特殊化であり \(\mathcal{F}_x = 0\) ならば、 \(\mathcal{F}_{x'}\) は零である。実際、\(\mathcal{F}_{x'}\) は加群 \(\mathcal{F}_x\) の局所化である。したがって、\(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の補集合は 一般化について閉じている。

有限型準連接加群については、台は閉であり、ファイバー上で確認でき、 基底変換と可換である。

補題

\(\mathcal{F}\) をスキーム \(X\) 上の有限型準連接加群とする。このとき

1. \(\mathcal{F}\) の台は閉である。

2. \(x \in X\) に対して \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) \not = 0.\]

3. 任意のスキームの射 \(f : Y \to X\) に対して、引き戻し \(f^*\mathcal{F}\) も有限型であり、 \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\) である。

証明

(1) は加群の補題 01BA の言い換えである。 補題 056I、性質の補題 01PB、および代数の補題 00L2 を組み合わせても分かる。 (2) の最初の同値は台の定義であり、二番目の同値は中山の補題から従う。 代数の補題 00DV を参照せよ。 \(f : Y \to X\) をスキームの射とする。加群の補題 01B6 により、\(f^*\mathcal{F}\) は有限型である。 最後の主張について、\(y \in Y\) とし、その像を \(x \in X\) とする。 次を思い出そう。 \[(f^*\mathcal{F})_y = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Y, y},\] 層の補題 0098 を参照せよ。 したがって、\((f^*\mathcal{F})_y \otimes \kappa(y)\) が零でないことと \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) が零でないことは同値である。 (2) により、これは \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) と \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\) が同値であることを意味し、これが主張 (3) の内容である。

補題

\(\mathcal{F}\) をスキーム \(X\) 上の有限型準連接加群とする。 最小の閉部分スキーム \(i : Z \to X\) が存在し、ある準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{G}\) が存在して \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) となる。さらに、次が成り立つ。

1. \(\Spec(A) \subset X\) が任意のアフィン開集合で、 \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\) ならば、 \(Z \cap \Spec(A) = \Spec(A/I)\) である。ここで \(I = \text{Ann}_A(M)\) である。

2. 準連接層 \(\mathcal{G}\) は一意な同型を除いて一意である。

3. 準連接層 \(\mathcal{G}\) は有限型である。

4. \(\mathcal{G}\) および \(\mathcal{F}\) の台は \(Z\) である。

証明

\(i' : Z' \to X\) を、補題にあるアフィン開集合上の記述を満たす閉部分スキームとする。 すると補題 01QY により、 \(\mathcal{F} \cong i'_*\mathcal{G}'\) が、ある一意な準連接層 \(\mathcal{G}'\) について \(Z'\) 上で成り立つ。 さらに、\(Z'\) がこの性質をもつ最小の閉部分スキームであることは明らかである （同じ補題による）。最後に、性質の補題 01PB および代数の補題 0560 を用いると、\(\mathcal{G}'\) が有限型であることが従う。 代数の補題 00L2 により \(\text{Supp}(\mathcal{G}') = Z\) である。 したがって、補題を証明するには、(1) の特徴づけが実際に閉部分スキームを定めることを 示せば十分である。さらに、そのためには与えられた規則が準連接イデアル層を生み出すことを 示せば十分である。補題 01QQ を参照せよ。 これは次の代数的事実に帰着する。\(A\) が環、\(f \in A\)、 \(M\) が有限 \(A\)-加群ならば、 \(\text{Ann}_A(M)_f = \text{Ann}_{A_f}(M_f)\) である。 証明は省略する。

定義

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) の スキーム論的な台とは、 補題 05JU で構成された閉部分スキーム \(Z \subset X\) のことである。

この状況では、\(\mathcal{F}\) を \(Z\) 上の有限型準連接層とみなすことが多い （補題 01QY の圏同値を介して）。

スキーム論的像

注意：この節の内容の一部はきわめて一般的であり、予想とは異なる挙動を示す。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。閉部分スキーム \(Z \subset Y\) であって、 \(f\) が \(Z\) を経由して因数分解し、かつ任意の他の閉部分スキーム \(Z' \subset Y\) で \(f\) が \(Z'\) を経由して因数分解するものに対して \(Z \subset Z'\) となるものが存在する。

証明

\(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) とおく。 \(\mathcal{I}\) が準連接ならば、補題 01QQ を参照して、閉部分スキーム \(Z\) を \(\mathcal{I}\) が定めるものとして取ればよい。補題 01QP により、これは機能する。 一般の場合、同じ補題により、最大の準連接イデアル層 \(\mathcal{I}'\) で \(\mathcal{I}\) に含まれるものが存在することを示せばよい。これは補題 01QZ から従う。

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) の スキーム論的像とは、 最小の閉部分スキーム \(Z \subset Y\) であって \(f\) がそれを経由して因数分解する もののことである。 上の補題 01R6 を参照せよ。

スキームの射 \(f : X \to Y\) とそのスキーム論的像 \(Z\) に対し、 \(f : X \to Z\) と書いて、\(f\) のスキーム論的像を経由する因数分解を表すことが多い。 射 \(f\) が準コンパクトでない場合、一般には次が成り立つ。

1. 集合論的包含 \(\overline{f(X)} \subset Z\) は等号でない。すなわち、 \(f(X) \subset Z\) は稠密部分集合でない。

2. スキーム論的像の構成は、\(Y\) の開部分スキームへの制限と可換でない。

例の章、節 0GIK には、これら二つの現象の例がある。 これらの現象は埋め込みに対してさえ生じうる。例の章、節 078B を参照せよ。 しかし次の補題は、射が準コンパクトならば二つの問題がともに回避されることを示す。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(Z \subset Y\) を \(f\) のスキーム論的像とする。 \(f\) が準コンパクトならば、次が成り立つ。

1. イデアル層 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) は準連接である。

2. スキーム論的像 \(Z\) は \(\mathcal{I}\) が定める閉部分スキームである。

3. 任意の開集合 \(U \subset Y\) に対し、 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) のスキーム論的像は \(Z \cap U\) に等しい。

4. 像 \(f(X) \subset Z\) は \(Z\) の稠密部分集合である。言い換えれば、射 \(X \to Z\) は支配的である（定義 01RJ を参照）。

証明

(4) は (3) から従う。\(\mathcal{I}\) の形成は \(Y\) の開部分スキームへの制限と 可換なので、(3) を示すには (1) を示せば十分である。また、(1) が成り立てば、補題 01R6 の証明で (2) を示した。 従って、\(\mathcal{I}\) が準連接であることを証明すれば十分である。 準連接性は局所的な性質なので、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 \(f\) は準コンパクトだから、有限アフィン開被覆 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) を取れる。\(f'\) を合成 \[X' = \coprod U_i \longrightarrow X \longrightarrow Y.\] とする。このとき \(f_*\mathcal{O}_X\) は \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\) の部分層であり、従って \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f'_*\mathcal{O}_{X'})\) である。 スキームの章、補題 01LC により、 層 \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\) は \(Y\) 上準連接である。従って主張が従う。

例

\(A \to B\) が核 \(I\) をもつ環準同型ならば、 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) のスキーム論的像は \(\Spec(A/I)\)、すなわち \(\Spec(A)\) の閉部分スキームである。これは補題 01R8 から従う。

射が準コンパクトならば、そのスキーム論的像は、像の点の特殊化である点のみを付け加える。

補題

\(f : X \to Y\) を準コンパクト射とする。\(Z\) を \(f\) のスキーム論的像とする。 \(z \in Z\)³ とする。 付値環 \(A\) とその分数体 \(K\)、および可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] であって、\(\Spec(A)\) の閉点が \(z\) に写るものが存在する。特に、 \(Z\) の任意の点は \(f(X)\) の点の特殊化である。

証明

\(z \in \Spec(R) = V \subset Y\) を \(z\) のアフィン開近傍とする。 補題 01R8 により、 \(Z \cap V\) は \(f^{-1}(V) \to V\) のスキーム論的像である。従って、\(Y\) を \(V\) で 置き換えて \(Y = \Spec(R)\) はアフィンであると仮定してよい。 この場合、\(X\) は \(f\) が準コンパクトだから準コンパクトである。 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) を有限アフィン開被覆とし、 \(U_i = \Spec(A_i)\) と書く。\(I = \Ker(R \to A_1 \times \ldots \times A_n)\) とおく。 再び補題 01R8 により、\(Z\) は 閉部分スキーム \(\Spec(R/I)\)（\(Y\) のもの）に対応する。 \(\mathfrak p \subset R\) を \(z\) に対応する素イデアルとすると、 \(I_{\mathfrak p} \subset R_{\mathfrak p}\) は等号でない。 従って、局所化は完全なので（代数の章、命題 00CS を参照）、写像 \(R_{\mathfrak p} \to (A_1)_{\mathfrak p} \times \ldots \times (A_n)_{\mathfrak p}\) は零でない。従って環 \((A_i)_{\mathfrak p}\) の少なくとも一つは零でない。 よって、ある \(i\) と素イデアル \(\mathfrak q_i \subset A_i\) が存在し、これはある 素イデアル \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak p\) の上にある。 代数の章、補題 00IA により、付値環 \(A \subset K = \kappa(\mathfrak q_i)\) であって、局所環 \(R_{\mathfrak p}/\mathfrak p_iR_{\mathfrak p} \subset \kappa(\mathfrak q_i)\) を支配するものを選べる。 これにより所望の図式が得られる。いくつかの詳細は省略する。

補題

\[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] をスキームの可換図式とする。\(Z_i \subset Y_i\), \(i = 1, 2\) を \(f_i\) の スキーム論的像とする。このとき射 \(Y_1 \to Y_2\) は射 \(Z_1 \to Z_2\) および 可換図式 \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\] を誘導する。

証明

\(Z_2\) の \(Y_1\) におけるスキーム論的逆像は、\(Y_1\) の閉部分スキームであり、 \(f_1\) はそれを経由して因数分解する。 従って \(Z_1\) はこれに含まれる。これで補題が従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(X\) が被約ならば、\(f\) のスキーム論的像は \(\overline{f(X)}\) 上の被約誘導スキーム構造である。

証明

\(\overline{f(X)}\) 上の被約誘導スキーム構造は、明らかに \(Y\) の最小の閉部分スキームであって \(f\) がそれを経由して因数分解するものだからである。スキームの章、補題 0356 を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの分離的射とする。\(V \subset Y\) を逆コンパクトな開集合とし、 \(s : V \to X\) を \(f \circ s = \text{id}_V\) を満たす射とする。 \(Y'\) を \(s\) のスキーム論的像とする。このとき \(Y' \to Y\) は \(V\) 上同型である。

証明

\(V\) が \(Y\) において逆コンパクトであるという仮定 （位相の章、定義 005A）は、 \(V \to Y\) が準コンパクト射であることを意味する。 スキームの章、補題 03GI により、射 \(s : V \to X\) は準コンパクトである。従って、補題 01R8 により、スキーム論的像 \(Y'\)（\(s\) のもの）の構成は開集合への制限と可換である。特に、 \(Y' \cap f^{-1}(V)\) は、分離的射 \(f^{-1}(V) \to V\) の切断のスキーム論的像である。 分離的射の切断は閉埋め込みなので （スキームの章、補題 01KT）、所望の通り \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\) は同型である。

スキーム論的閉包と稠密性

次の定義は [EGA, IV, Definition 11.10.2] から取る。

定義

\(X\) をスキームとし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。

1. 射 \(U \to X\) のスキーム論的像を \(U\) の \(X\) におけるスキーム論的閉包という。

2. \(U\) が \(X\) においてスキーム論的に稠密であるとは、任意の開集合 \(V \subset X\) に対し、\(U \cap V\) の \(V\) におけるスキーム論的閉包が \(V\) に 等しいことをいう。

この定義では、\(U\) が \(X\) においてスキーム論的に稠密であることと、 \(U\) のスキーム論的閉包が \(X\) であることは同値では ない。 例 01RC を参照せよ。 これは多少不格好であるが、下の補題 01RD および 056D も参照せよ。 一方、この定義では、\(U\) が \(X\) においてスキーム論的に稠密であることと、 任意の開集合 \(V \subset X\) に対して環準同型 \(\mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U \cap V)\) が単射であることは同値である。 下の補題 01RE を参照せよ。 特に、スキーム論的に稠密ならば稠密であることが分かり、これは望ましい。

例

スキーム論的閉包が \(X\) であっても台位相空間において稠密とは限らない例を挙げる。 \(k\) を体とする。 \(A = k[x, z_1, z_2, \ldots]/(x^n z_n)\) とおき、 \(I = (z_1, z_2, \ldots) \subset A\) とおく。 アフィンスキーム \(X = \Spec(A)\) と開部分スキーム \(U = X \setminus V(I)\) を考える。 \(A \to \prod_n A_{z_n}\) は単射なので、\(U\) のスキーム論的閉包は \(X\) である。 射 \(X \to \Spec(k[x])\) を考える。この射は全射である （すべての \(z_n = 0\) とおけば分かる）。しかし、この射を \(U\) に制限したものは、 \(x = 0\) という点に写るため全射でない。従って \(U\) は \(X\) において位相的に稠密ではない。

補題

\(X\) をスキームとし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。 包含射 \(U \to X\) が準コンパクトならば、\(U\) が \(X\) においてスキーム論的に稠密であることと、 \(U\) の \(X\) におけるスキーム論的閉包が \(X\) であることは同値である。

証明

補題 01R8 の (3) から従う。

例

\(A\) を環とし、\(X = \Spec(A)\) とする。 \(f_1, \ldots, f_n \in A\) とし、\(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) とおく。 \(I = \Ker(A \to \prod A_{f_i})\) とおく。このとき \(U\) の \(X\) における スキーム論的閉包は \(\Spec(A/I)\)、すなわち \(X\) の閉部分スキームである。 \(U \to X\) は準コンパクトであることに注意せよ。従って補題 01RD により、\(U\) が \(X\) において スキーム論的に稠密であることと \(I = 0\) は同値である。

補題

\(j : U \to X\) をスキームの開埋め込みとする。このとき、\(U\) が \(X\) において スキーム論的に稠密であることと、\(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射であることは同値である。

証明

\(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射ならば、任意の開集合 \(V\)（\(X\) のもの）への 制限も単射である。従って \(U \cap V\) の \(V\) におけるスキーム論的閉包は \(V\) に等しい。 補題 01R6 の証明を参照せよ。 逆に、\(U \cap V\) のスキーム論的閉包が \(V\) に等しいことを、すべての開集合 \(V\) に 対して仮定する。 \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) が単射でないと仮定する。 すると、あるアフィン開集合 \(\Spec(A) = V \subset X\) と非零元 \(f \in A\) であって、 \(f\) が \(\Gamma(V \cap U, \mathcal{O}_X)\) において零に写るものを取れる。 この場合、\(V \cap U\) の \(V\) におけるスキーム論的閉包は \(\Spec(A/(f))\) に明らかに含まれ、矛盾である。

補題

\(X\) をスキームとする。\(U\), \(V\) が \(X\) のスキーム論的に稠密な開部分スキームならば、 \(U \cap V\) もそうである。

証明

\(W \subset X\) を任意の開集合とする。写像 \(\mathcal{O}_X(W) \to \mathcal{O}_X(W \cap V) \to \mathcal{O}_X(W \cap V \cap U)\) を考える。補題 01RE により、 両方の写像は単射である。従って合成も単射である。 ゆえに再び補題 01RE により、 \(U \cap V\) は \(X\) においてスキーム論的に稠密である。

補題

\(h : Z \to X\) を埋め込みとする。\(h\) が準コンパクトであるか、または \(Z\) が被約であると仮定する。 \(\overline{Z} \subset X\) を \(h\) のスキーム論的像とする。このとき射 \(Z \to \overline{Z}\) は開埋め込みであり、\(Z\) を \(\overline{Z}\) のスキーム論的に稠密な 開部分スキームと同一視する。さらに、\(Z\) は \(\overline{Z}\) において位相的に稠密である。

証明

補題 01QV または補題 03DQ により、\(Z \to X\) を \(Z \to \overline{Z}_1 \to X\) と因数分解できる。ここで \(Z \to \overline{Z}_1\) は開で、 \(\overline{Z}_1 \to X\) は閉である。一方、\(Z \to \overline{Z} \subset X\) を \(Z \to X\) のスキーム論的像とする。このとき \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\) である。 \(Z\) は \(\overline{Z}_1\) の開部分スキームなので、\(Z\) は \(\overline{Z}\) の開部分スキームでもある。 \(Z\) が被約の場合、\(Z \subset \overline{Z}_1\) は、補題 03DQ の証明における \(\overline{Z}_1\) の構成により 位相的に稠密である。 従って \(\overline{Z}_1\) と \(\overline{Z}\) の台位相空間は同じである。 ゆえに \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\) は、台位相空間上全単射を誘導する 被約スキームへの閉埋め込みであり、従って同型である。 \(Z \to X\) が準コンパクトの場合は次のように論じる。 \(Z\) が \(\overline{Z}\) においてスキーム論的に稠密であるという主張は、補題 01R8 の (3) から従う。 最後の主張は補題 01R8 の (4) から従う。

補題

\(X\) を被約スキームとし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。次は同値である。

1. \(U\) は \(X\) において位相的に稠密である。

2. \(U\) の \(X\) におけるスキーム論的閉包は \(X\) である。

3. \(U\) は \(X\) においてスキーム論的に稠密である。

証明

これは補題 01RG と、\(Z\) を \(X\) の閉部分スキームとするとき、 その台位相空間が \(X\) に等しければスキームとして \(X\) に等しくなければならないという事実から従う。

補題

\(X\) をスキームとし、\(U \subset X\) を被約な開部分スキームとする。次は同値である。

1. \(U\) の \(X\) におけるスキーム論的閉包は \(X\) である。

2. \(U\) は \(X\) においてスキーム論的に稠密である。

これらが成り立つならば、\(X\) は被約スキームである。

証明

これは補題 01RG と、補題 056B により \(U\) の \(X\) における スキーム論的閉包が被約であるという事実から従う。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\), \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする。 \(f, g : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 \(U \subset X\) を \(f|_U = g|_U\) を満たす開部分スキームとする。 \(U\) の \(X\) におけるスキーム論的閉包が \(X\) であり、\(Y \to S\) が分離的ならば、 \(f = g\) である。

証明

定義とスキームの章、補題 01KM から従う。

支配的射

スキームの射が支配的であるという定義は、多様体の支配的射という概念に 慣れている場合に予想するものとは少し異なる。

定義

スキームの射 \(f : X \to S\) は、\(f\) の像が \(S\) の稠密部分集合であるとき 支配的であるという。

例えば、\(k\) が無限体で、\(\lambda_1, \lambda_2, \ldots\) が \(k\) の相異なる元からなる 可算集合ならば、射 \[\coprod\nolimits_{i = 1, 2, \ldots } \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k[x])\] であって、第 \(i\) 因子を点 \(x = \lambda_i\) に写すものは支配的である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(S\) の各既約成分のすべての生成点が \(f\) の像に属するならば、\(f\) は支配的である。

証明

これは、スキームの台位相空間が sober であるという事実 （スキームの章、補題 01IS）と、\(S\) のすべての点が \(S\) のある既約成分に含まれるという事実 （位相の章、補題 004W）から直ちに従う位相的事実である。

射が支配的ならば標的の生成点が像に属するはずだという予想は、射が準コンパクトならば成り立つ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの準コンパクト射とする。このとき \(f\) が支配的であることと、 任意の既約成分 \(Z \subset S\) に対して \(Z\) の生成点が \(f\) の像に属することは同値である。

証明

\(V \subset S\) をアフィン開集合とする。\(f\) は準コンパクトなので、有限個のアフィン開集合 \(U_i \subset f^{-1}(V)\)、\(i = 1, \ldots, n\) で \(f^{-1}(V)\) を被覆するものを選べる。 アフィンスキームの射 \[f' : \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} U_i \longrightarrow V.\] を考える。アフィンスキームの非交和はアフィンである。スキームの章、補題 01I5 を参照せよ。 \(V\) の既約成分の生成点は、\(S\) の既約成分で \(V\) と交わるものの生成点にちょうど一致する。 また、\(f\) が支配的であることと \(f'\) が支配的であることは、上で \(V, n, U_i\) をどのように選んでも同値である。従って補題はアフィンスキームの射の場合に帰着した。 アフィンの場合は代数の章、補題 00FL である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの準コンパクトかつ支配的な射とする。 \(g : S' \to S\) をスキームの射とし、\(f' : X' \to S'\) を \(f\) の \(g\) による基底変換とする。 \(g\) に沿って一般化が持ち上がるならば、\(f'\) は支配的である。

\(g\) が開ならば（補題 040F）、または平坦ならば （補題 03HV）、一般化は \(g\) に沿って持ち上がることを後で見る。

証明

スキームの章、補題 01K5 により、 \(f'\) は準コンパクトである。\(\eta' \in S'\) を \(S'\) の既約成分の生成点とする。 \(g\) に沿って一般化が持ち上がるならば、\(\eta = g(\eta')\) は \(S\) の既約成分の生成点である。 補題 01RL により、\(\eta\) は \(f\) の像に属する。 従ってスキームの章、補題 01JT により、 \(\eta'\) は \(f'\) の像に属する。補題 01RL により、 \(f'\) は支配的である。

この主張の一部は、任意の（必ずしも準コンパクトでない）支配的射に対しても成り立つ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの支配的射とする。 \(g : S' \to S\) をスキームの開射とし、\(f' : X' \to S'\) を \(f\) の \(g\) による基底変換とする。 このとき \(f'\) は支配的である。

証明

\(f'\) が支配的でないならば、\(f'(X')\) はある閉部分集合 \(B\) で \(S'\) と等しくないものに含まれる。 すると \(S'-B\) は \(S'\) の空でない開集合である。\(g\) は開なので、\(g(S'-B)\) は \(S\) の空でない開集合である。\(f(X)\) は \(S\) において稠密なので、点 \(x\in X\) で \(f(x) \in g(S'-B)\) となるものが存在する。 \(W = \Spec(\kappa (f(x)))\) とおき、\(X_W\), \(S_W\), \(S'_W\) で、これらのスキームを \(S\) から \(W\) へ引き戻したものを表す。このとき \(X_W\) と \((S'-B)_W\) は空でない。 従って \(X_W \times_W (S'-B)_W\) も空でない。なぜなら \(W\) は体のスペクトルだからである。 これは \(f'(X \times_S S')\) が \(B \subset S'\) に含まれることと矛盾する。 従って実際には \(f'\) は支配的である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの準コンパクト射とする。 \(\eta \in S\) を \(S\) の既約成分の生成点とする。\(\eta \not \in f(X)\) ならば、 開集合 \(V \subset S\) であって \(\eta\) の近傍であり、\(f^{-1}(V) = \emptyset\) となるものが存在する。

証明

\(Z \subset S\) を \(f\) のスキーム論的像とする。\(\eta \not \in Z\) を示さなければならない。 これは補題 02JQ から従うが、次のようにも分かる。 補題 01R8 により、射 \(X \to Z\) は支配的である。 補題 01RL によれば、これは \(Z\) のすべての既約成分の すべての生成点が \(X \to Z\) の像に属することを意味する。 仮定により \(\eta \not \in Z\) である。実際、もし \(\eta\) が \(Z\) に属すれば、 \(Z\) のある既約成分の生成点となる。

支配的であることが、すべての既約成分の生成点が像に属することと同値になる別の場合がある。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(X\) が有限個の既約成分を持つと仮定する。 このとき、\(f\) が支配的であることと、任意の既約成分 \(Z \subset S\) に対して \(Z\) の生成点が \(f\) の像に属することは同値である。これらが成り立つならば、 \(S\) も有限個の既約成分を持つ。

証明

\(f\) が支配的であると仮定する。\(X = Z_1 \cup Z_2 \cup \ldots \cup Z_n\) を \(X\) の既約成分への分解とする。\(\xi_i \in Z_i\) をその生成点とすれば、 \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}}\) である。\(f(Z_i)\) は \(S\) の既約部分集合であることに注意せよ。 従って \[S = \overline{f(X)} = \bigcup \overline{f(Z_i)} = \bigcup \overline{\{f(\xi_i)\}}\] は生成点が \(f\) の像に属する既約部分集合の有限合併である。補題が従う。

補題

\(f : X \to Y\) を二つの整スキームの間の射とする。次は同値である。

1. \(f\) は支配的である。

2. \(f\) は \(X\) の生成点を \(Y\) の生成点に写す。

3. ある空でないアフィン開集合 \(U \subset X\) および \(V \subset Y\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものについて、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は単射である。

4. すべての空でないアフィン開集合 \(U \subset X\) および \(V \subset Y\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものについて、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は単射である。

5. ある \(x \in X\) とその像 \(y = f(x) \in Y\) に対して、局所環準同型 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は単射である。

6. すべての \(x \in X\) とその像 \(y = f(x) \in Y\) に対して、局所環準同型 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は単射である。

証明

(1) と (2) の同値性は補題 01RM から従う。 \(U \subset X\) および \(V \subset Y\) を \(f(U) \subset V\) を満たす空でないアフィン開集合とする。 環 \(A = \mathcal{O}_X(U)\) および \(B = \mathcal{O}_Y(V)\) は整域であることを思い出そう。 射 \(f|_U : U \to V\) は環準同型 \(\varphi : B \to A\) に対応する。 \(X\) と \(Y\) の生成点は、素イデアル \((0) \subset A\) と \((0) \subset B\) に対応する。 従って (2) は条件 \((0) = \varphi^{-1}((0))\)、すなわち \(\varphi\) が単射であるという条件と同値である。 このようにして (2)、(3)、(4) が同値であることが分かる。 同様に、(5) にあるような \(x\) と \(y\) が与えられると、局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) と \(\mathcal{O}_{Y, y}\) は整域であり、素イデアル \((0) \subset \mathcal{O}_{X, x}\) と \((0) \subset \mathcal{O}_{Y, y}\) は \(X\) と \(Y\) の生成点に対応する（\(x\) における局所環のスペクトルを、 \(x\) に特殊化する点の集合と同一視することによる。スキームの章、補題 01J7 を参照せよ）。 従って上と全く同じように論じて、(2)、(5)、(6) が同値であることが分かる。

全射

定義

スキームの射が台位相空間上全射であるとき、その射を 全射という。

補題

全射の合成は全射である。

証明

省略する。

補題

\(X\) と \(Y\) を基礎スキーム \(S\) 上のスキームとする。点 \(x \in X\) と \(y \in Y\) が 与えられたとき、\(X \times_S Y\) のある点が射影のもとで \(x\) と \(y\) に写ることと、 \(x\) と \(y\) が \(S\) の同じ点の上にあることは同値である。

証明

条件が必要であることは明らかであり、逆はスキームの章、補題 01JT の証明から従う。

補題

全射の基底変換は全射である。

証明

\(f: X \to Y\) を基礎スキーム \(S\) 上のスキームの射とする。 \(S' \to S\) がスキームの射ならば、\(p: X_{S'} \to X\) および \(q: Y_{S'} \to Y\) を標準射影とする。可換正方形 \[\xymatrix{ X_{S'} \ar[d]_{f_{S'}} \ar[r]_p & X \ar[d]^{f} \\ Y_{S'} \ar[r]^{q} & Y. }\] は、\(X_{S'}\) を \(X \to Y\) と \(Y_{S'} \to Y\) のファイバー積と同一視する。 \(Z\) を \(X\) の台位相空間の部分集合とする。このとき \(q^{-1}(f(Z)) = f_{S'}(p^{-1}(Z))\) である。実際、 \(y' \in q^{-1}(f(Z))\) であることと、\(q(y') = f(x)\) となるある \(x \in Z\) が存在することは同値であり、 さらに補題 0495 により、ある \(x' \in X_{S'}\) が存在して \(f_{S'}(x') = y'\) および \(p(x') = x\) となることと同値である。特に、\(Z = X\) と取れば、 \(f\) が全射ならば基底変換 \(f_{S'}: X_{S'} \to Y_{S'}\) も全射であることが分かる。

例

全単射性は基底変換で安定でなく、従って単射性も安定でない。 例えば全単射 \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{R})\) を考える。基底変換 \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{C})\) は単射でない。実際、同型 \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C} \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\) が存在し（この分解は冪等元 \(\frac{1 \otimes 1 + i \otimes i}{2}\) から生じる）、従って \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C})\) は二点を持つ。

補題

\[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] をスキームの射の可換図式とする。\(f\) が全射で \(p\) が準コンパクトならば、 \(q\) は準コンパクトである。

証明

\(W \subset Z\) を準コンパクト開集合とする。仮定により \(p^{-1}(W)\) は準コンパクトである。 従って位相の章、補題 04Z9 により、逆像 \(q^{-1}(W) = f(p^{-1}(W))\) も準コンパクトである。これで補題が従う。

純非分離射と普遍的単射

本節では、スキームの射が 純非分離であることと、スキームの射が 普遍的単射であることを定義する。次いで、これらの概念が一致することを示す。 両方を導入する理由は、代数空間の場合には対応する概念があり、それらが必ずしも 常に一致するとは限らないからである。

定義

\(f : X \to S\) を射とする。

1. \(f\) が 普遍的単射であるとは、スキームの任意の射 \(S' \to S\) に対して基底変換 \(f' : X_{S'} \to S'\) が（台位相空間上）単射であることをいう。

2. \(f\) が 純非分離であるとは、\(f\) が位相空間の写像として単射であり、かつ すべての \(x \in X\) に対して体拡大 \(\kappa(x)/\kappa(f(x))\) が純非分離であることをいう。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. すべての体 \(K\) に対して、誘導される写像 \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\) は単射である。

2. 射 \(f\) は普遍的単射である。

3. 射 \(f\) は純非分離である。

4. 対角射 \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\) は全射である。

証明

\(K\) を体とし、\(s : \Spec(K) \to S\) を射とする。 \(x : \Spec(K) \to X\) という射で \(f \circ x = s\) を満たすものを与えることは、射影 \(X_K = \Spec(K) \times_S X \to \Spec(K)\) の切断を与えることと同じであり、さらに 点 \(x \in X_K\) で剰余体が \(K\) であるものを与えることと同じである。 従って (2) は (1) を含意する。

逆に、(1) が成り立つと仮定する。\(x, x' \in X_{S'}\) が同じ点 \(s' \in S'\) に写ると仮定する。体の可換図式 \[\xymatrix{ K & \kappa(x) \ar[l] \\ \kappa(x') \ar[u] & \kappa(s') \ar[l] \ar[u] }\] を選ぶ。スキームの章、補題 01J9 により、二つの射 \(a, a' : \Spec(K) \to X_{S'}\) を得る。一方は点 \(x\) と埋め込み \(\kappa(x) \subset K\) に対応し、他方は点 \(x'\) と埋め込み \(\kappa(x') \subset K\) に対応する。また \(f' \circ a = f' \circ a'\) である。 条件 (1) により、\(a\) と \(a'\) を \(X_{S'} \to X\) と合成したものは等しい。 \(X_{S'}\) は \(S'\) と \(X\) の \(S\) 上のファイバー積なので、\(a = a'\) である。 従って \(x = x'\) である。ゆえに (1) は (2) を含意する。

\(x, x' \in X\) という相異なる二点が同じ点 \(s\) に写るならば、(2) に反する。 ある \(s = f(x)\)、\(x \in X\) に対して体拡大 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) が純非分離でないならば、 体拡大 \(K/\kappa(s)\) であって、\(\kappa(x)\) が二つの \(\kappa(s)\)-準同型を \(K\) へ持つものを取れる。スキームの章、補題 01J9 により、これは写像 \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\) が単射でないことを含意し、従って (1) に反する。 ゆえに同値な条件 (1) と (2) は \(f\) が純非分離であること、すなわち (3) を含意する。

(3) を仮定する。スキームの章、補題 01J9 により、射 \(\Spec(K) \to X\) は組 \((x, \kappa(x) \to K)\) によって与えられる。 性質 (3) は、組 \((x, \kappa(x) \to K)\) に組 \((s, \kappa(s) \to \kappa(x) \to K)\) を対応させることが単射であると正確に述べる。 言い換えれば (1) が成り立つ。この時点で (1)、(2)、(3) はすべて同値である。

最後に、(4) と (1)、(2)、(3) の同値性を証明する。 \(X \times_S X\) の点は四つ組 \((x_1, x_2, s, \mathfrak p)\) によって与えられる。ここで \(x_1, x_2 \in X\)、\(f(x_1) = f(x_2) = s\) であり、 \(\mathfrak p \subset \kappa(x_1) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x_2)\) は素イデアルである。 スキームの章、補題 01JT を参照せよ。 \(f\) が普遍的単射ならば、その定義において \(S'=X\) と取ることにより、 \(\Delta_{X/S}\) は全射でなければならない。実際、これは単射 \(X \times_S X \longrightarrow X\) の切断である。 逆に、\(\Delta_{X/S}\) が全射ならば、常に \(x_1 = x_2 = x\) であり、そのような素イデアル \(\mathfrak p\) はちょうど一つしかない。これは \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) が 純非分離であることを意味する。従って \(f\) は純非分離である。 別の証明として、\(\Delta_{X/S}\) が全射ならば、任意の \(S' \to S\) に対して基底変換 \(\Delta_{X_{S'}/S'}\) は全射であり、これから \(f\) は普遍的単射であることが従う。 これで補題の証明が完了する。

補題

普遍的単射な射は分離的である。

証明

補題 01S4 と、\(X \to S\) が分離的であることと \(\Delta_{X/S}\) の像が \(X \times_S X\) において閉であることが同値であるという注意を合わせればよい。 スキームの章、定義 01KK とそれに続く議論を参照せよ。

補題

普遍的単射な射の基底変換は普遍的単射である。

証明

これは形式的である。

補題

純非分離射の合成は純非分離であり、従って同値な条件である普遍的単射性についても同じことが成り立つ。

証明

省略する。

アフィン射

定義

スキームの射 \(f : X \to S\) は、\(S\) の任意のアフィン開集合の逆像が \(X\) のアフィン開集合であるとき アフィンであるという。

補題

アフィン射は分離的かつ準コンパクトである。

証明

\(f : X \to S\) をアフィンとする。準コンパクト性はスキームの章、補題 01K4 から直ちに従う。スキームの章、補題 01KP を用いて \(f\) が分離的であることを示す。 \(x_1, x_2 \in X\) を \(X\) の点で同じ点 \(s \in S\) に写るものとする。 任意のアフィン開集合 \(W \subset S\) で \(s\) を含むものを選ぶ。仮定により \(f^{-1}(W)\) は アフィンである。引用した補題を \(U = V = f^{-1}(W)\) として適用すればよい。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) はアフィンである。

2. アフィン開被覆 \(S = \bigcup W_j\) で、各 \(f^{-1}(W_j)\) がアフィンとなるものが存在する。

3. 準連接 \(\mathcal{O}_S\)-代数層 \(\mathcal{A}\) と同型 \(X \cong \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)（\(S\) 上のスキームのもの）が存在する。記法については構成の章、節 01LQ を参照せよ。

さらに、この場合 \(X = \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\) である。

証明

(1) が (2) を含意することは明らかである。

\(S = \bigcup_{j \in J} W_j\) を、各 \(f^{-1}(W_j)\) がアフィンとなるアフィン開被覆と仮定する。 スキームの章、補題 01K4 により \(f\) は準コンパクトである。 スキームの章、補題 01KO により、射 \(f\) は準分離的である。 従ってスキームの章、補題 01LC により、層 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) は準連接 \(\mathcal{O}_S\)-代数層である。 ゆえにスキーム \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)（\(S\) 上のもの）が得られる。 恒等写像 \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\) は、相対スペクトルの定義を介して射 \(can : X \to Y\)（\(S\) 上のもの）を与える。 構成の章、補題 01LY を参照せよ。 仮定と今引用した補題により、制限 \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\) は同型である。従って \(can\) は同型である。これで (2) が (3) を含意することを示した。

(3) を仮定する。構成の章、補題 01LX により、 任意のアフィン開集合の逆像はアフィンであり、従って定義により射はアフィンである。

注意

上の補題 01S8 において、(2) が (1) を含意することを 次のように直接論じることもできる。 \(S = \bigcup W_j\) を、各 \(f^{-1}(W_j)\) がアフィンとなるアフィン開被覆と仮定する。 まず上の証明と同様に \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) が準連接であることを示す。 \(\Spec(R) = V \subset S\) をアフィン開集合とする。\(f^{-1}(V)\) がアフィンであることを 示さなければならない。 \(A = \mathcal{A}(V) = f_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))\) とおく。 スキームの章、補題 01I1 により、標準射 \(\psi : f^{-1}(V) \to \Spec(A)\)（\(\Spec(R) = V\) 上のもの）がある。 スキームの章、補題 01IX により、整数 \(n \geq 0\)、標準開被覆 \(V = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(h_i)\)、\(h_i \in R\)、および写像 \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\) であって、各 \(D(h_i)\) がアフィンスキーム \(W_{a(i)}\) の標準開集合でもあるものが存在する。アフィンスキームの射による標準開集合の 逆像は標準開集合である。代数の章、補題 00E2 を参照せよ。 従って \(f^{-1}(D(h_i))\) は \(f^{-1}(W_{a(i)})\) の標準開集合であり、特に \(f^{-1}(D(h_i))\) はアフィンである。\(\mathcal{A}\) は準連接なので \(A_{h_i} = \mathcal{A}(D(h_i)) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(D(h_i)))\) であり、従って \(f^{-1}(D(h_i))\) は \(A_{h_i}\) のスペクトルである。 ゆえに射 \(\psi\) は開集合 \(f^{-1}(D(h_i))\) と \(\Spec(A_{h_i})\)（\(\Spec(A)\) の開集合）との 同型を誘導する。\(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(D(h_i))\) かつ \(\Spec(A) = \bigcup \Spec(A_{h_i})\) なので主張が従う。

補題

\(S\) をスキームとする。圏の反同値 \[\begin{matrix} \text{Schemes affine} \\ \text{over }S \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{quasi-coherent sheaves} \\ \text{of }\mathcal{O}_S\text{-algebras} \end{matrix}\] が存在し、\(f : X \to S\) に層 \(f_*\mathcal{O}_X\) を対応させる。 さらに、この同値は任意の基底変換と可換である。

証明

右から左への関手は \(\underline{\Spec}_S\) によって与えられる。 補題 01S8 および構成の章、補題 01LX の (3) により、二つの関手は互いに逆である。 最後の主張は構成の章、補題 01LX の (2) である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{A}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-代数とする。 \(\mathcal{A}\)-加群が \(\mathcal{O}_S\)-加群として準連接であることと、 \(\mathcal{A}\)-加群として準連接であることは同値である。

証明

\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{A}\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{A}\)-加群として 準連接ならば、すべての \(s \in S\) に対して開近傍 \(U\)（\(s\) のもの）と完全列 \[\bigoplus\nolimits_J\mathcal{A}|_U\to \bigoplus\nolimits_I\mathcal{A}|_U\to \mathcal{F}|_U\] （\(\mathcal{A}|_U\)-加群のもの）が存在する。これは \(\mathcal{O}_U\)-加群の完全列でもある。 従って \(\mathcal{F}|_U\) は、スキーム上の準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群の射の余核として準連接である。 ゆえに \(\mathcal{F}\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群として準連接である。

逆に、\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{O}_X\)-加群として準連接であると仮定する。 アフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset S\) を選ぶ。\(\mathcal{O}_U\)-加群の同型 \(\mathcal{A}|_U \cong \widetilde{A}\) および \(\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{M}\) がある。 これは、ある \(R\)-代数 \(A\) とある \(R\)-加群 \(M\) に対してである。 \(\mathcal{A}\)-加群構造（\(\mathcal{F}\) 上のもの）は、\(A\)-加群構造（\(M\) 上のもの）で、 与えられた \(R\)-加群構造と両立するものに移る（詳細は省略する）。 \(A\)-加群の完全列 \[\bigoplus\nolimits_J A \to \bigoplus\nolimits_I A \to M \to 0\] を選ぶ。関手 \(\widetilde{\ }\) は完全なので、これは \(\widetilde{A}\)-加群の完全列 \[\bigoplus\nolimits_J \widetilde{A}\to \bigoplus\nolimits_I \widetilde{A}\to \widetilde{M} \to 0\] を生じる。これは \(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{A}\)-加群として準連接であることを意味する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームのアフィン射とする。 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) とおく。 関手 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) は圏同値 \[\left\{ \begin{matrix} \text{category of quasi-coherent}\\ \mathcal{O}_X\text{-modules} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{category of quasi-coherent}\\ \mathcal{A}\text{-modules} \end{matrix} \right\}\] を誘導する。さらに、\(\mathcal{A}\)-加群が \(\mathcal{O}_S\)-加群として準連接であることと、 \(\mathcal{A}\)-加群として準連接であることは同値である。

証明

最後の主張は補題 0H88 である。 補題 01S7 とスキームの章、補題 01LC により、順像 \(f_*\mathcal{F}\)（準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) のもの）は 準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群である。従って補題の主張にある関手が得られる。

この関手の準逆関手 \(h\) を構成する。\(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{A}\)-加群とする。このとき \[h(\mathcal{G}) = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*\mathcal{A}} \mathcal{O}_X = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] とおく。詳しく述べると、引戻し \(f^*\mathcal{A} = f^*f_*\mathcal{O}_X\) は \(\mathcal{O}_X\)-代数であり、随伴射 \(f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) は代数準同型であり、引戻し \(f^*\mathcal{G}\) は \(f^*\mathcal{A}\)-加群である。準連接性は引戻しと環の変更で 保たれるので、\(h(\mathcal{G})\) は準連接である。随伴射 \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) から関手的な写像 \[h(f_*\mathcal{F}) = f^*f_*\mathcal{F} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\] が得られ、さらに関手的な写像 \[\mathcal{G} \to f_*h(\mathcal{G}) \quad\text{adjoint to the map}\quad f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] が得られる。これは局所切断 \(s\)（\(f^*\mathcal{F}\) のもの）を \(s \otimes 1\) に送る。 証明を終えるには、上の \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) に対してこれらの写像が同型であることを 示せば十分である。これはアフィン被覆の各要素上、すなわち \(X\) と \(S\) がアフィンの場合に 検証すればよい。

この構成を成り立たせる鍵となる代数的観察は次の通りである。環準同型 \(R \to A\) を取り、\(N\) を \(A\)-加群とする。このとき \[(N \otimes_R A) \otimes_{(A \otimes_R A)} A = N\] である。実際、この等式の左辺は、\(h\) を準連接 \(\widetilde{A}\)-加群 \(\widetilde{N}\)（\(\Spec(R)\) 上のもの）に適用した結果である。詳細は省略する。

補題

アフィン射の合成はアフィンである。

証明

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) をアフィン射とする。 \(U \subset Z\) をアフィン開集合とする。\(g^{-1}(U)\) は \(g\) に関する仮定によりアフィンである。 すると \(f^{-1}(g^{-1}(U))\) は \(f\) に関する仮定によりアフィンである。 従って \((g \circ f)^{-1}(U)\) はアフィンである。

補題

アフィン射の基底変換はアフィンである。

証明

\(f : X \to S\) をアフィン射とする。\(S' \to S\) を任意の射とする。 \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) で \(f\) の基底変換を表す。 任意の \(s' \in S'\) に対し、あるアフィン開近傍 \(s' \in V \subset S'\) で、あるアフィン開集合 \(U \subset S\) の中へ写るものが存在する。 仮定により \(f^{-1}(U)\) はアフィンである。スキームの章、節 01JO の内容により、 \(f^{-1}(U)_V = V \times_U f^{-1}(U)\) はアフィンであり、 \((f')^{-1}(V)\) に等しい。従って \(S'\) は、その各要素の \(f'\) による逆像がアフィンとなる アフィン開被覆を持つ。上の補題 01S8 により結論を得る。

補題

閉埋め込みはアフィンである。

証明

これを最初に示唆するのはスキームの章、補題 01IH である。完全な主張についてはスキームの章、補題 01IN を参照せよ。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) とする。 包含射 \(j : X_s \to X\) はアフィンである。

証明

これは性質の章、補題 01PV と定義から従う。

補題

\(g : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。

1. \(X\) が \(S\) 上アフィンであり、\(\Delta : Y \to Y \times_S Y\) がアフィンならば、 \(g\) はアフィンである。

2. \(X\) が \(S\) 上アフィンであり、\(Y\) が \(S\) 上分離的ならば、 \(g\) はアフィンである。

3. アフィンスキームから、対角射がアフィンであるスキームへの射はアフィンである。

4. アフィンスキームから分離的スキームへの射はアフィンである。

証明

(1) を証明する。基底変換 \(X \times_S Y \to Y\) は補題 01SD によりアフィンである。 射 \((1, g) : X \to X \times_S Y\) は、\(Y \to Y \times_S Y\) を射 \(X \times_S Y \to Y \times_S Y\) により基底変換したものである。従って補題 01SD によりアフィンである。 アフィン射の合成はアフィンである（補題 01SC を参照）ので、(1) が従う。 (2) は (1) から従う。実際、閉埋め込みはアフィンであり （補題 01SE を参照）、\(Y/S\) が分離的であるとは \(\Delta\) が閉埋め込みであることを意味する。(3) と (4) は (1) と (2) の特別な場合である。

補題

アフィンスキーム間の射はアフィンである。

証明

補題 01SG で \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) とすれば直ちに従う。 補題 01S8 の (1) と (2) の同値からも直接従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(A\) を Artin 環とする。 任意の射 \(\Spec(A) \to S\) はアフィンである。

証明

省略する。

補題

\(j : Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。開集合 \(U \subset X\) で、その補集合が \(Z = X \setminus U\) であり、次を満たすものが存在すると仮定する。

1. \(U \to X\) はアフィンである。

2. \(j^{-1}(U) \to U\) はアフィンである。

3. \(j(Y) \cap Z\) は閉である。

このとき \(j\) はアフィンである。特に、\(X\) がアフィンならば \(Y\) もアフィンである。

証明

スキームの章、定義 01IO により、開部分スキーム \(W \subset X\) で、\(j\) が閉埋め込み \(i : Y \to W\) と包含射 \(W \to X\) の合成として 分解するものが存在する。閉埋め込みはアフィンなので （補題 01SE）、任意の \(x \in W\) に対して、 \(x\) の \(X\) におけるアフィン開近傍で、その \(j\) による逆像がアフィンとなるものが存在する。 \(x \in U\) ならば、仮定 (2) により同じことが成り立つ。 最後に、\(x \in Z\) かつ \(x \not \in W\) と仮定する。このとき \(x \not \in j(Y) \cap Z\) である。仮定 (3) により、アフィン開近傍 \(V \subset X\)（\(x\) のもの）で \(j(Y) \cap Z\) と交わらないものを選べる。このとき \(j^{-1}(V) = j^{-1}(V \cap U)\) は仮定 (1) と (2) によりアフィンである。 従って補題 01S8 により \(j\) はアフィンである。

豊富な可逆層の族

豊富な可逆層の族という概念についての短い節である。

定義

\(X\) をスキームとする。\(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群の族とする。\(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) が 次を満たすとき、これを \(X\) 上の豊富な可逆層の族という。

1. \(X\) は準コンパクトである。

2. 任意の \(x \in X\) に対して、ある \(i \in I\)、ある \(n \geq 1\)、および \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}_i^{\otimes n})\) で、\(x \in X_s\) かつ \(X_s\) がアフィンとなるものが存在する。

\(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) がスキーム \(X\) 上の豊富な可逆層の族ならば、 有限部分集合 \(I' \subset I\) で、\(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I'}\) が \(X\) 上の豊富な可逆層の族となるものが存在する（準コンパクト性から直ちに従う）。 豊富な可逆層の族を持つスキームは、次の補題によりアフィン対角射を持ち、 従って特に準分離的である。

補題

\(X\) をスキームとし、任意の点 \(x \in X\) に対して、可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) と大域切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) で、\(x \in X_s\) かつ \(X_s\) がアフィンとなるものが 存在するとする。このとき \(X\) の対角射はアフィン射である。

証明

可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{M}\) と大域切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)、\(t \in \Gamma(X, \mathcal{M})\) で、 \(X_s\) と \(X_t\) がアフィンとなるものが与えられたとき、\(X_s \cap X_t\) がアフィンであることを 示せばよい。実際、そのとき補題 01S8 を \(\Delta : X \to X \times X\) に適用し、 \(\Delta^{-1}(X_s \times X_t) = X_s \cap X_t\) であることを用いれば、\(\Delta\) が アフィンであると分かる。\(X_s \cap X_t\) がアフィンであることは性質の章、補題 01PV から従う。

注意

性質の章、補題 01PY では、 豊富な可逆層を持つスキームが分離的であることを見た。豊富な可逆層の族を持つスキームについては、 これは成り立たない。実際、\(X\) をスキームの章、例 01JD の \(n = 1\) の場合、すなわち原点を二重化した アフィン直線とする。その例の記法を用いるが、\(x\) と書いて \(x_1\) を表し、\(y\) と書いて \(y_1\) を表す。 任意の整数 \(n\) に対し、可逆層 \(\mathcal{L}_n\)（\(X\) 上のもの）で、\(X_1\) と \(X_2\) 上では自明であり、 その遷移関数 \(U_{12} \to U_{21}\) が \(f(x) \mapsto y^n f(y)\) であるものが存在する。 \(\mathcal{L}_n\) の大域切断は組 \((f(x), g(y)) \in k[x] \oplus k[y]\) で、\(y^n f(y) = g(y)\) を満たすものである。切断 \(s = (1, y)\)（\(\mathcal{L}_1\) のもの）と \(t = (x, 1)\)（\(\mathcal{L}_{-1}\) のもの）は、 \(X_s = X_1\) かつ \(X_t = X_2\) であるためアフィン開被覆を定める。従って \(X\) は 豊富な可逆層の族を持つが、分離的ではない。

準アフィン射

スキーム \(X\) が準コンパクトで、あるアフィンスキームの開部分スキームと同型であるとき、 そのスキームを 準アフィンと呼ぶことを思い出そう。性質の章、定義 01P6 を参照せよ。

定義

スキームの射 \(f : X \to S\) は、\(S\) の任意のアフィン開集合の逆像が準アフィンスキームであるとき 準アフィンであるという。

補題

準アフィン射は分離的かつ準コンパクトである。

証明

\(f : X \to S\) を準アフィンとする。準コンパクト性はスキームの章、補題 01K4 から直ちに従う。 \(U \subset S\) をアフィン開集合とする。\(f^{-1}(U)\) が分離的スキームであることを 示せれば、\(f\) は分離的である（スキームの章、補題 01KP により、分離性は底上局所的である）。 仮定により \(f^{-1}(U)\) はアフィンスキームの開部分スキームと同型である。 アフィンスキームは分離的であり、従ってその任意の開部分スキームも分離的である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は準アフィンである。

2. アフィン開被覆 \(S = \bigcup W_j\) で、各 \(f^{-1}(W_j)\) が準アフィンとなるものが存在する。

3. 準連接 \(\mathcal{O}_S\)-代数層 \(\mathcal{A}\) と準コンパクトな開埋め込み \[\xymatrix{ X \ar[rr] \ar[rd] & & \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \ar[dl] \\ & S & }\] （\(S\) 上のもの）が存在する。

4. (3) と同じであるが、\(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) とし、水平矢印を 構成の章、補題 01LY の標準射とする。

証明

(1) が (2) を含意し、(4) が (3) を含意することは明らかである。

\(S = \bigcup_{j \in J} W_j\) を、各 \(f^{-1}(W_j)\) が準アフィンとなるアフィン開被覆と仮定する。 スキームの章、補題 01K4 により、\(f\) は準コンパクトである。 スキームの章、補題 01KO により、射 \(f\) は準分離的である。 従ってスキームの章、補題 01LC により、層 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-代数層である。ゆえにスキーム \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\)（\(S\) 上のもの）が得られる。恒等写像 \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\) は、相対スペクトルの定義を介して 射 \(can : X \to Y\)（\(S\) 上のもの）を与える。構成の章、補題 01LY を参照せよ。仮定、今引用した補題、および性質の章、補題 01P9 により、制限 \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\) は準コンパクトな開埋め込みである。 従って \(can\) は準コンパクトな開埋め込みである。これで (2) が (4) を含意することを示した。

(3) を仮定する。任意のアフィン開集合 \(U \subset S\) を選ぶ。構成の章、補題 01LX により、相対スペクトルにおける \(U\) の逆像はアフィンである。 従って \(f^{-1}(U)\) は準アフィンである（準コンパクト性も (3) に組み込まれていることに注意せよ）。 これで (3) が (1) を含意することを示した。

補題

準アフィン射の合成は準アフィンである。

証明

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を準アフィン射とする。 \(U \subset Z\) をアフィン開集合とする。\(g^{-1}(U)\) は \(g\) に関する仮定により準アフィンである。 \(j : g^{-1}(U) \to V\) を、アフィンスキーム \(V\) への準コンパクトな開埋め込みとする。 上の補題 01SM により、\(f^{-1}(g^{-1}(U))\) は相対スペクトル \(\underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A})\) の準コンパクトな開部分スキームである。ここでは準連接 \(\mathcal{O}_{g^{-1}(U)}\)-代数層 \(\mathcal{A}\) を用いた。 スキームの章、補題 01LC により、層 \(\mathcal{A}' = j_*\mathcal{A}\) は準連接 \(\mathcal{O}_V\)-代数層であり、 \(j^*\mathcal{A}' = \mathcal{A}\) を満たす。従って可換図式 \[\xymatrix{ f^{-1}(g^{-1}(U)) \ar[r] & \underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A}) \ar[r] \ar[d] & \underline{\Spec}_V(\mathcal{A}') \ar[d] \\ & g^{-1}(U) \ar[r]^j & V }\] が得られ、その正方形はファイバー積である。構成の章、補題 01LX を参照せよ。右上隅がアフィンスキームであることに注意せよ。 従って \((g \circ f)^{-1}(U)\) は準アフィンである。

補題

準アフィン射の基底変換は準アフィンである。

証明

\(f : X \to S\) を準アフィン射とする。上の補題 01SM により、 準連接 \(\mathcal{O}_S\)-代数層 \(\mathcal{A}\) と準コンパクトな開埋め込み \(X \to \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\)（\(S\) 上のもの）を見つけられる。 \(g : S' \to S\) を任意の射とする。\(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) で \(f\) の基底変換を表す。準コンパクトな開埋め込みの基底変換は準コンパクトな開埋め込みなので、 \(X_{S'} \to \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\) は準コンパクトな開埋め込みである （スキームの章、補題 01K5、 01JY、および構成の章、補題 01LX を用いた）。再び補題 01SM により、\(X_{S'} \to S'\) は準アフィンである。

補題

準コンパクトな埋め込みは準アフィンである。

証明

\(X \to S\) を準コンパクトな埋め込みとする。任意のアフィン開集合の逆像が準アフィンであることを 示さなければならない。従って \(S\) がアフィンスキームであると仮定して、\(X\) が準アフィンであることを 示せばよい。補題 01RG により、射 \(X \to S\) は \(X \to Z \to S\) と分解し、ここで \(Z\) は \(S\) の閉部分スキーム、\(X \subset Z\) は 準コンパクトな開部分集合である。\(S\) はアフィンなので、補題 01QO により \(Z\) はアフィンである。これで証明が終わる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(X\) をアフィンスキームとする。射 \(f : X \to S\) が準アフィンであることと 準コンパクトであることは同値である。特に、アフィンスキームから準分離的スキームへの任意の射は 準アフィンである。

証明

\(V \subset S\) をアフィン開集合とする。このとき \(f^{-1}(V)\) はアフィンスキーム \(X\) の 開部分スキームなので、それが準アフィンであることと準コンパクトであることは同値である。 これで最初の主張を示した。任意の \(f : X \to S\) に対し、\(X\) がアフィンで \(S\) が準分離的であるとき、その準コンパクト性はスキームの章、補題 03GI を \(X \to S \to \Spec(\mathbf{Z})\) に適用すれば従う。

補題

\(g : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。\(X\) が \(S\) 上準アフィンで、 \(Y\) が \(S\) 上準分離的ならば、\(g\) は準アフィンである。特に、準アフィンスキームから 準分離的スキームへの任意の射は準アフィンである。

証明

基底変換 \(X \times_S Y \to Y\) は補題 01SO により準アフィンである。 射 \(X \to X \times_S Y\) は、\(Y \to S\) が準分離的なので準コンパクトな埋め込みである。 スキームの章、補題 01KT を参照せよ。 準コンパクトな埋め込みは補題 02JR により準アフィンであり、 準アフィン射の合成は準アフィンである（補題 01SN を参照）。 これで証明が終わる。

環準同型の性質によって定義される射の型

この節では、スキームの射の局所的性質を定義できるような環準同型の性質を調べる。

定義

\(P\) を環準同型の性質とする。

1. 次の条件が成り立つとき、\(P\) は 局所的であるという。

   1. 任意の環準同型 \(R \to A\) と任意の \(f \in R\) に対し、 \(P(R \to A) \Rightarrow P(R_f \to A_f)\) が成り立つ。

   2. 任意の環 \(R\), \(A\)、任意の \(f \in R\), \(a\in A\)、および任意の環準同型 \(R_f \to A\) に対し、\(P(R_f \to A) \Rightarrow P(R \to A_a)\) が成り立つ。

   3. 任意の環準同型 \(R \to A\) と \(a_i \in A\) で、 \((a_1, \ldots, a_n) = A\) を満たすものに対し、 \(\forall i, P(R \to A_{a_i}) \Rightarrow P(R \to A)\) が成り立つ。

2. \(P\) は、任意の環準同型 \(R \to A\), \(R \to R'\) に対して \(P(R \to A) \Rightarrow P(R' \to R' \otimes_R A)\) が成り立つとき、 基底変換で安定であるという。

3. \(P\) は、任意の環準同型 \(A \to B\), \(B \to C\) に対して \(P(A \to B) \wedge P(B \to C) \Rightarrow P(A \to C)\) が成り立つとき、 合成で安定であるという。

定義

\(P\) を環準同型の性質とし、\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) が 局所的に \(P\) 型であるとは、任意の \(x \in X\) に対して、 あるアフィン開近傍 \(U\)（\(x\) の \(X\) における近傍）で、あるアフィン開集合 \(V \subset S\) に写され、誘導される環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) が性質 \(P\) を持つものが存在することをいう。

性質 \(P\) が局所的性質でなければ、これは「よい」定義ではない。 \(P\) が局所的性質であっても、別の箇所で定義を明示しない限り、 この定義を自動的に用いて射を「局所的に \(P\) 型」と呼ぶことはしない。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(P\) を環準同型の性質とする。 \(U\) を \(X\) のアフィン開集合、\(V\) を \(S\) のアフィン開集合で \(f(U) \subset V\) を満たすものとする。\(f\) が局所的に \(P\) 型で、\(P\) が局所的ならば、 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\) が成り立つ。

証明

\(f\) は局所的に \(P\) 型なので、任意の \(u \in U\) に対し、あるアフィン開集合 \(U_u \subset X\) と \(V_u \subset S\) が存在して、前者は後者へ写され、 \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U_u))\) が成り立つ。 \(U'_u \subset U \cap U_u\) という \(u\) の開近傍で、\(U\) と \(U_u\) の双方において 標準アフィン開集合となるものを選ぶ。スキームの章、補題 01IW を参照せよ。定義 01SR (1)(b) により、 \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\) が成り立つ。 従って \(U_u \subset U\) は標準アフィン開集合であると仮定してよい。 \(V'_u \subset V \cap V_u\) という \(f(u)\) の開近傍で、\(V\) と \(V_u\) の双方において 標準アフィン開集合となるものを選ぶ。スキームの章、補題 01IW を参照せよ。このとき \(U'_u = f^{-1}(V'_u) \cap U_u\) は \(U_u\) の（従って \(U\) の）標準アフィン開集合であり、 定義 01SR (1)(a) により \(P(\mathcal{O}_S(V'_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\) が成り立つ。 従って \(U_u \subset U\) と \(V_u \subset V\) はともに標準アフィン開集合であると 仮定してよい。定義 01SR (1)(b) をもう一度適用すると、 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_u))\) が成り立つ。 \(U\) は準コンパクトなので、有限個の点 \(u_1, \ldots, u_n \in U\) を \[U = U_{u_1} \cup \ldots \cup U_{u_n}.\] となるように選べる。定義 01SR (1)(c) により、 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\) が成り立つ。

補題

\(P\) を環準同型の局所的性質とし、\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は局所的に \(P\) 型である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対し、 \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\) が成り立つ。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) と開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、各射 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) が局所的に \(P\) 型となるものが存在する。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) とアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、 \(P(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i))\) がすべての \(j\in J, i\in I_j\) に対して成り立つものが存在する。

さらに、\(f\) が局所的に \(P\) 型ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対し、 制限 \(f|_U : U \to V\) は局所的に \(P\) 型である。

証明

これは上の補題 01ST から従う。

補題

\(P\) を環準同型の性質とする。\(P\) は局所的で、合成で安定であると仮定する。 局所的に \(P\) 型である射の合成も局所的に \(P\) 型である。

証明

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を局所的に \(P\) 型の射とする。 \(x \in X\) とする。アフィン開近傍 \(W \subset Z\)（\(g(f(x))\) のもの）を選ぶ。 アフィン開近傍 \(V \subset g^{-1}(W)\)（\(f(x)\) のもの）を選び、さらにアフィン開近傍 \(U \subset f^{-1}(V)\)（\(x\) のもの）を選ぶ。補題 01SU により、環準同型 \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_Y(V)\) と \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は \(P\) を満たす。 従って \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_X(U)\) は \(P\) を満たす。これは \(P\) が 合成で安定と仮定したためである。

補題

\(P\) を環準同型の性質とする。\(P\) は局所的で、基底変換で安定であると仮定する。 局所的に \(P\) 型である射の基底変換も局所的に \(P\) 型である。

証明

\(f : X \to S\) を局所的に \(P\) 型の射とする。\(S' \to S\) を任意の射とする。 \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) で \(f\) の基底変換を表す。 任意の \(s' \in S'\) に対し、アフィン開近傍 \(s' \in V' \subset S'\) で、あるアフィン開集合 \(V \subset S\) に写されるものが存在する。補題 01SU により、 開集合 \(f^{-1}(V)\) はアフィン開集合 \(U_i\) の合併であり、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) は すべて \(P\) を満たす。スキームの章、節 01JO の内容により、 \(f^{-1}(U)_{V'} = V' \times_V f^{-1}(V)\) はアフィン開集合 \(V' \times_V U_i\) の合併である。さらに \(\mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i) = \mathcal{O}_{S'}(V') \otimes_{\mathcal{O}_S(V)} \mathcal{O}_X(U_i)\) である。従って環準同型 \(\mathcal{O}_{S'}(V') \to \mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i)\) は \(P\) を満たす。 これは \(P\) が基底変換で安定と仮定したためである。

補題

環準同型 \(R \to A\) の次の性質は局所的である。

1. （局所環上の同型。） 素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）が素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) の上にあるとき、 環準同型 \(R \to A\) が誘導する写像 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\) は同型である。

2. （開埋め込み。） 任意の素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）に対し、ある \(f \in R\) が存在して、 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) かつ環準同型 \(\varphi : R \to A\) が誘導する写像 \(R_f \to A_f\) は同型である。

3. （ファイバーが被約。） 任意の素イデアル \(\mathfrak p\)（\(R\) のもの）に対し、ファイバー環 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) は被約である。

4. （ファイバーの次元が高々 \(n\)。） 任意の素イデアル \(\mathfrak p\)（\(R\) のもの）に対し、ファイバー環 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の Krull 次元は高々 \(n\) である。

5. （標的上局所 Noether。） 環準同型 \(R \to A\) は、\(A\) が Noether 環であるという性質を持つ。

6. 必要に応じてここに追加する⁴。

証明

省略する。

補題

環準同型の次の性質は基底変換で安定である。

1. （局所環上の同型。） 素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）が素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) の上にあるとき、 環準同型 \(R \to A\) が誘導する写像 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\) は同型である。

2. （開埋め込み。） 任意の素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）に対し、ある \(f \in R\) が存在して、 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) かつ環準同型 \(\varphi : R \to A\) が誘導する写像 \(R_f \to A_f\) は同型である。

3. 必要に応じてここに追加する⁵。

証明

省略する。

補題

環準同型の次の性質は合成で安定である。

1. （局所環上の同型。） 素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）が素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) の上にあるとき、 環準同型 \(R \to A\) が誘導する写像 \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\) は同型である。

2. （開埋め込み。） 任意の素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) のもの）に対し、ある \(f \in R\) が存在して、 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) かつ環準同型 \(\varphi : R \to A\) が誘導する写像 \(R_f \to A_f\) は同型である。

3. （標的上局所 Noether。） 環準同型 \(R \to A\) は、\(A\) が Noether 環であるという性質を持つ。

4. 必要に応じてここに追加する⁶。

証明

省略する。

有限型の射

環準同型 \(R \to A\) が有限型であるとは、\(A\) が \(R[x_1, \ldots, x_n]\) の商と \(R\)-代数として同型であることをいう。代数の章、定義 00F3 を参照せよ。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が \(x \in X\) において有限型であるとは、アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset X\)（\(x\) のもの）と、アフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) で、 \(f(U) \subset V\) かつ誘導される環準同型 \(R \to A\) が有限型となるものが存在することをいう。

2. \(f\) が 局所有限型であるとは、それが \(X\) のすべての点で有限型であることをいう。

3. \(f\) が 有限型であるとは、それが局所有限型かつ準コンパクトであることをいう。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は局所有限型である。

2. すべてのアフィン開集合 \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対し、 環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は有限型である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) と開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、各射 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) が局所有限型となるものが存在する。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) とアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) がすべての \(j\in J, i\in I_j\) に対して有限型となるものが存在する。

さらに、\(f\) が局所有限型ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対し、 制限 \(f|_U : U \to V\) は局所有限型である。

証明

性質「\(R \to A\) が有限型である」が局所的であることを示せば、補題 01ST から従う。定義 01SR の条件 (a)、(b)、(c) を確認する。 代数の章、補題 05G5 により、有限型であることは 基底変換で安定なので (a) が成り立つ。代数の章、補題 00F4 により有限型であることは合成で安定であり、 任意の環 \(R\) に対して環準同型 \(R \to R_f\) が有限型であることは明らかである。 従って (b) が成り立つ。最後に (c) は代数の章、補題 00EP により成り立つ。

補題

二つの局所有限型の射の合成は局所有限型である。有限型の射についても同じことが成り立つ。

証明

補題 01T2 の証明で、有限型であることが 環準同型の局所的性質であることを見た。従って補題の最初の主張は、補題 01SV と、有限型であることが合成で安定な環準同型の性質であることを 組み合わせれば従う。代数の章、補題 00F4 を参照せよ。 以上と、準コンパクトな射の合成が準コンパクトであることから、有限型の射の合成は 有限型である。スキームの章、補題 01K6 を参照せよ。

補題

局所有限型の射の基底変換は局所有限型である。有限型の射についても同じことが成り立つ。

証明

補題 01T2 の証明で、有限型であることが 環準同型の局所的性質であることを見た。従って補題の最初の主張は、補題 01SW と、有限型であることが基底変換で安定な環準同型の性質であることを 組み合わせれば従う。代数の章、補題 05G5 を参照せよ。 以上と、準コンパクトな射の基底変換が準コンパクトであることから、有限型の射の基底変換は 有限型の射である。スキームの章、補題 01K5 を参照せよ。

補題

閉埋め込みは有限型である。埋め込みは局所有限型である。

証明

開埋め込みは局所同型であり、閉埋め込みは明らかに有限型だからである。

補題

\(f : X \to S\) を射とする。\(S\) が（局所）Noether で、\(f\) が（局所）有限型ならば、 \(X\) は（局所）Noether である。

証明

Noether 環上の有限型環が Noether 環であることから直ちに従う。代数の章、補題 00FN を参照せよ。 （また、準コンパクトな標的を持つ準コンパクトな射の始域が準コンパクトであることを用いよ。）

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型とし、\(S\) を局所 Noether とする。このとき \(f\) は準分離的である。

証明

実際、\(X\) が準分離的である。性質の章、補題 01OY と上の補題 01T6 を参照せよ。そのうえでスキームの章、補題 01KV を適用すれば、\(f\) が準分離的であると結論できる。

補題

\(X \to Y\) を基礎スキーム \(S\) 上のスキームの射とする。\(X\) が \(S\) 上局所有限型ならば、 \(X \to Y\) は局所有限型である。

証明

補題 01T2 を介すと、これは次の代数的事実に翻訳される。 環準同型 \(A \to B \to C\) が与えられ、\(A \to C\) が有限型ならば、\(B \to C\) も有限型である。 （代数の章、補題 00F4 を参照せよ。）

有限型の点と Jacobson スキーム

\(S\) をスキームとする。有限型の点 \(s\)（\(S\) の点）とは、射 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) が有限型であるような点をいう。これを調べる理由は、 ある意味で、またある状況では、有限型の点が閉点の代わりを果たせるからである。 例えば、そのような点は常に十分多く存在する。さらに、スキームが Jacobson であることと、 その有限型の点がすべて閉点であることは同値である。

補題

\(S\) をスキーム、\(k\) を体とし、\(f : \Spec(k) \to S\) を射とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は有限型である。

2. 射 \(f\) は局所有限型である。

3. アフィン開集合 \(U = \Spec(R)\)（\(S\) のもの）で、\(f\) が有限環準同型 \(R \to k\) に 対応するものが存在する。

4. アフィン開集合 \(U = \Spec(R)\)（\(S\) のもの）で、\(f\) の像が閉点 \(u\)（\(U\) のもの）からなり、 体拡大 \(k/\kappa(u)\) が有限となるものが存在する。

証明

\(\Spec(k)\) は一点集合であり、従ってそこからの任意の射は準コンパクトなので、 (1) と (2) の同値性は明らかである。

\(f\) が局所有限型であると仮定する。任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset S\) で、\(f\) の像が \(U\) に含まれ、環準同型 \(R \to k\) が有限型となるものを選ぶ。 \(\mathfrak p \subset R\) をその核とする。このとき \(R/\mathfrak p \subset k\) は有限型である。 代数の章、補題 00FY により、ある \(\overline{f} \in R/\mathfrak p\) が存在して、\((R/\mathfrak p)_{\overline{f}}\) は体であり、 \((R/\mathfrak p)_{\overline{f}} \to k\) は有限次体拡大である。 \(f \in R\) が \(\overline{f}\) の持ち上げならば、\(k\) は有限 \(R_f\)-加群であることが分かる。 従って (2) \(\Rightarrow\) (3) である。

\(\Spec(R) = U \subset S\) がアフィン開集合で、\(f\) が有限環準同型 \(R \to k\) に 対応すると仮定する。このとき補題 01T2 により、 \(f\) は局所有限型である。従って (3) \(\Rightarrow\) (2) である。

\(R \to k\) が有限であると仮定する。代数の章、補題 00GR により、\(R \to k\) の像は体で、その上で \(k\) は有限である。 従って \(R \to k\) の核は極大イデアルである。ゆえに (3) \(\Rightarrow\) (4) である。

(4) \(\Rightarrow\) (3) は直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。\(A\) を剰余体 \(\kappa\) を持つ Artin 局所環とし、 \(f : \Spec(A) \to S\) をスキームの射とする。このとき \(f\) が有限型であることと、合成 \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A) \to S\) が有限型であることは同値である。

証明

射 \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A)\) は有限型なので、\(f\) が有限型ならば合成 \(\Spec(\kappa) \to S\) も有限型であることは明らかである（補題 01T3 を参照せよ）。逆向きについては、射 \(\Spec(A) \to S\) はアフィン開集合 \(U = \Spec(B)\)（\(S\) のもの）に写ることに注意せよ。 これは \(\Spec(A)\) が一点しか持たないためである。証明を終えるには、代数の章、補題 07DT を \(B \to A\) に適用する。

点 \(s\)（スキーム \(S\) のもの）が与えられると標準射 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) があることを思い出そう。 スキームの章、節 01J5 を参照せよ。

定義

\(S\) をスキームとする。点 \(s\)（\(S\) のもの）は、標準射 \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) が有限型であるとき 有限型の点であるという。\(S_{\text{ft-pts}}\) で有限型の点全体の集合（\(S\) のもの）を表す。

有限型の点全体の集合は次のように記述できる。

補題

\(S\) をスキームとする。このとき \[S_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{U \subset S\text{ open}} U_0\] である。ここで \(U_0\) は \(U\) の閉点全体の集合である。 このとき \(U\) を \(S\) のすべての開集合にわたらせても、すべてのアフィン開集合に わたらせてもよい。

証明

補題 01TA から直ちに従う。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの射とする。\(f\) が局所有限型ならば、 \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\) である。

証明

\(T\) が体のスペクトルならば、これは補題 01TA である。 一般の場合は、局所有限型の射の合成が局所有限型であることから従う （補題 01T3）。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの射とする。\(f\) が局所有限型かつ全射ならば、 \(f(T_{\text{ft-pts}}) = S_{\text{ft-pts}}\) である。

証明

補題 02J3 により \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\) である。 \(s \in S\) を有限型の点とする。\(f\) は全射なので、スキーム \(T_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S T\) は空でない。従って補題 02J2 により、それは有限型の点 \(t \in T_s\) を持つ。 ここで \(T_s \to T\) は \(s \to S\) の基底変換として有限型の射である （補題 01T4）。従って補題 02J3 により、\(t\) の \(T\) における像は有限型の点であり、 構成により \(s\) に写る。

補題

\(S\) をスキームとする。任意の局所閉部分集合 \(T \subset S\) に対し、 \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap S_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] 特に、任意の閉部分集合 \(T \subset S\) に対し、\(T \cap S_{\text{ft-pts}}\) は \(T\) で稠密である。

証明

\(T\) は、\(T \to S\) が局所閉埋め込みとなるようなスキーム構造を持つことに注意せよ （スキームの章、補題 01J3 を参照）。 任意の局所閉埋め込みは局所有限型である。補題 01T5 を参照せよ。従って補題 02J3 により、\(T_{\text{ft-pts}} \subset S_{\text{ft-pts}}\) である。 最後に、\(T\) の任意の空でないアフィン開集合は少なくとも一つ閉点を持ち、その閉点は補題 02J2 により \(T\) の有限型の点である。

以上から、位相の章、節 005T の内容の大部分は、 閉点全体の集合を有限型の点全体の集合に置き換えても成り立つ。 実際、\(S\) が Jacobson ならば、有限型の点として閉点が再び得られる。

補題

\(S\) をスキームとする。次は同値である。

1. スキーム \(S\) は Jacobson である。

2. \(S_{\text{ft-pts}}\) は \(S\) の閉点全体の集合である。

3. 局所有限型のすべての \(T \to S\) に対し、閉点は閉点に写る。

4. 局所有限型のすべての \(T \to S\) に対し、閉点 \(t \in T\) は閉点 \(s \in S\) に写り、\(\kappa(s) \subset \kappa(t)\) は有限である。

証明

(4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2) は明らかである。 補題 02J4 により (2) は (1) を含意する。 従って (1) が (4) を含意することを示せば十分である。 \(T \to S\) が局所有限型であると仮定する。閉点 \(t \in T\) を選び、その像を \(s \in S\) とする。 アフィン開近傍 \(\Spec(R) = U \subset S\)（\(s\) のもの）と アフィン開近傍 \(\Spec(A) = V \subset T\)（\(t\) のもの）で、\(V\) が \(U\) に写るものを選ぶ。誘導される環準同型 \(R \to A\) は有限型であり（補題 01T2 を参照）、 性質の章、補題 01P4 により \(R\) は Jacobson である。 従って結果は代数の章、命題 00GB から従う。

補題

\(S\) を Jacobson スキームとする。\(S\) 上局所有限型の任意のスキームは Jacobson である。

証明

これは代数の章、命題 00GB から明らかである （性質の章、補題 01P4 と補題 01T2 も参照せよ）。

補題

次の型のスキームは Jacobson である。

1. 体上局所有限型の任意のスキーム。

2. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型の任意のスキーム。

3. 無限個の素イデアルを持つ \(1\)-次元 Noether 整域上局所有限型の任意のスキーム。

4. \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) の形のスキームで、 \((R, \mathfrak m)\) が Noether 局所環であるもの、およびその上局所有限型の任意のスキーム。

証明

補題 02J5 を断りなく用いる。 体のスペクトルは明らかに Jacobson である。\(\mathbf{Z}\) のスペクトルは Jacobson である。 代数の章、補題 00G4 を参照せよ。(3) については代数の章、補題 00KX を参照せよ。(4) については性質の章、補題 02IM を参照せよ。

普遍鎖状スキーム

位相空間 \(X\) が 鎖状であるとは、既約閉部分集合の任意の対 \(T \subset T'\) に対して、既約閉部分集合の極大鎖 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] が存在し、かつそのようなすべての鎖が同じ長さを持つことをいう。位相の章、定義 02I1 を参照せよ。スキームが鎖状であるとは、その台位相空間が 鎖状であることをいう。性質の章、定義 02IW を参照せよ。

定義

\(S\) をスキームとし、\(S\) は局所 Noether であると仮定する。このとき \(S\) は、局所有限型の任意の射 \(X \to S\) に対してスキーム \(X\) が鎖状であるとき、普遍鎖状であるという。

これは鎖状性よりも「よい」概念である。実際、鎖状ではあるが普遍鎖状ではない Noether スキームが 存在する。例の章、節 02JE を参照せよ。 多くのスキームが普遍鎖状である。下の補題 02JB を参照せよ。

環 \(A\) が 鎖状であるとは、素イデアルの任意の対 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) に対して、素イデアルの極大鎖 \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] が存在し、これらがすべて同じ長さを持つことをいう。代数の章、定義 00NI を参照せよ。鎖状スキームと鎖状環の関係は性質の章、節 02IV で見た。環 \(A\) が 普遍鎖状であるとは、 \(A\) が Noether で、任意の有限型環準同型 \(A \to B\) に対して環 \(B\) が鎖状であることをいう。 代数の章、定義 00NL を参照せよ。 代数幾何に現れる興味深い環の多くはこの性質を満たす。

補題

\(S\) を局所 Noether スキームとする。次は同値である。

1. \(S\) は普遍鎖状である。

2. \(S\) の開被覆で、そのすべての要素が普遍鎖状スキームとなるものが存在する。

3. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset S\) に対し、環 \(R\) は普遍鎖状である。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup U_i\) で、各 \(U_i\) が普遍鎖状環のスペクトルとなるものが存在する。

さらに、この場合 \(S\) 上局所有限型の任意のスキームも普遍鎖状である。

証明

補題 01T5 により、開埋め込みは局所有限型である。 局所有限型の射の合成は局所有限型である（補題 01T3）。 従って \(S\) が普遍鎖状ならば、その任意の開部分スキーム、および \(S\) 上局所有限型の 任意のスキームも普遍鎖状であることは明らかである。これにより補題の最後の主張と、 (1) が (2) を含意することが示された。

\(\Spec(R)\) が普遍鎖状スキームならば、任意のスキーム \(\Spec(A)\) で、 \(A\) が有限型 \(R\)-代数であるものは鎖状である。従って代数の章、補題 02IH により、 これらの環 \(A\) はすべて鎖状である。ゆえに \(R\) は普遍鎖状である。 以上の考察と合わせて、(1) は (3) を含意し、(2) は (4) を含意する。 もちろん (3) は (4) を直ちに含意する。

証明を終えるため、(4) が (1) を含意することを示す。(4) を仮定し、 \(X \to S\) を局所有限型の射とする。アフィン開被覆 \(X = \bigcup V_j\) で、 各 \(V_j \to S\) がいずれかの \(U_i\) に写るものを見つけられる。補題 01T2 により、誘導される環準同型 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\) は有限型である。従って \(\mathcal{O}(V_j)\) は鎖状である。 ゆえに性質の章、補題 02IX により \(X\) は鎖状である。

補題

\(S\) を局所 Noether スキームとする。次は同値である。

1. \(S\) は普遍鎖状である。

2. すべての局所環 \(\mathcal{O}_{S, s}\)（\(S\) のもの）は普遍鎖状である。

証明

\(S\) のすべての局所環が普遍鎖状であると仮定する。\(f : X \to S\) を局所有限型とする。 \(X\) が鎖状であることと、\(\mathcal{O}_{X, x}\) がすべての \(x \in X\) に対して鎖状であることは 同値である。\(f(x) = s\) ならば、\(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上本質的有限型である。 従って \(\mathcal{O}_{X, x}\) は鎖状である。これは \(\mathcal{O}_{S, s}\) が普遍鎖状であるという 仮定による。

逆に、\(S\) が普遍鎖状であると仮定し、\(s \in S\) とする。補題 02J9 により、\(S\) を \(s\) のアフィン開近傍で置き換えてよい。 \(S = \Spec(R)\) とし、\(s\) は素イデアル \(\mathfrak p\) に対応するとする。 任意の有限型 \(R_{\mathfrak p}\)-代数 \(A'\) は \(A_{\mathfrak p}\) の形であり、ここで \(R\)-代数 \(A\) は有限型である。仮定（必要なら補題 02J9）により 環 \(A\) は鎖状であり、従って \(A'\)（\(A\) の局所化）も鎖状である。 ゆえに \(R_{\mathfrak p}\) は普遍鎖状である。

補題

\(S\) を局所 Noether スキームとする。このとき \(S\) が普遍鎖状であることと、 \(S\) の既約成分が普遍鎖状であることは同値である。

証明

省略する。アフィンの場合については、代数の章、補題 0AUP を参照せよ。

補題

次の型のスキームは普遍鎖状である。

1. 体上局所有限型の任意のスキーム。

2. Cohen–Macaulay スキーム上局所有限型の任意のスキーム。

3. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型の任意のスキーム。

4. \(1\)-次元 Noether 整域上局所有限型の任意のスキーム。

5. など。

証明

これらはすべて、Cohen–Macaulay 環が普遍鎖状であることから従う。代数の章、補題 00NM を参照せよ。また、補題 02J9 の最後の主張を用いる。細部の一部は省略する。

永田スキーム再論

永田スキームおよび普遍的日本スキームの定義と基本性質については、 性質の章、節 033R を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) を射とする。 \(S\) が永田スキームで \(f\) が局所有限型ならば、\(X\) は永田スキームである。 \(S\) が普遍的日本スキームで \(f\) が局所有限型ならば、 \(X\) は普遍的日本スキームである。

証明

「普遍的日本」については、代数の章、補題 032S から従う。 「永田」については、代数の章、命題 0334 から従う。

補題

次の型のスキームは永田スキームである。

1. 体上局所有限型の任意のスキーム。

2. Noether 完備局所環上局所有限型の任意のスキーム。

3. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型の任意のスキーム。

4. 標数零の Dedekind 環上局所有限型の任意のスキーム。

5. など。

証明

補題 035A により、上で述べた環が永田環であることを 示せばよい。このことについては、代数の章、命題 0335 を参照せよ。

特異点集合再論

基底上局所有限型の任意のスキームについて、正則点集合が開となることを保証する 判定条件を求める。定義は次のとおりである。

定義

\(X\) を局所 Noether スキームとする。\(X\) が J-2 であるとは、 局所有限型の任意の射 \(Y \to X\) に対し、正則点集合 \(\text{Reg}(Y)\) が \(Y\) の開集合であることをいう。

これは Noether 環に対する対応する概念の類似である。発展代数の章、定義 07P7 を参照せよ。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。次の条件は同値である。

1. \(X\) は J-2 である。

2. \(X\) には、各要素が J-2 スキームであるような開被覆が存在する。

3. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset X\) に対し、環 \(R\) は J-2 である。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup U_i\) であって、各 \(\mathcal{O}(U_i)\) がすべての \(i\) に対し J-2 であるものが存在する。

さらに、この場合には \(X\) 上局所有限型の任意のスキームも J-2 である。

証明

補題 01T5 により、開埋め込みは局所有限型である。 局所有限型の射の合成は局所有限型である （補題 01T3）。したがって、\(X\) が J-2 ならば、 任意の開部分スキームおよび \(X\) 上局所有限型の任意のスキームも J-2 であることは明らかである。 これで補題の最後の主張が証明された。

\(\Spec(R)\) が J-2 ならば、任意の有限型 \(R\)-代数 \(A\) に対し、 スキーム \(\Spec(A)\) の正則点集合は開である。したがって定義により \(R\) は J-2 である（発展代数の章、定義 07P7 を参照）。 上の考察と合わせると、(1) は (3) を、(2) は (4) を含意する。 もちろん (1) \(\Rightarrow\) (2) および (3) \(\Rightarrow\) (4) は自明である。

証明を完了するため、(4) が (1) を含意することを示す。(4) を仮定し、 \(Y \to X\) を局所有限型の射とする。アフィン開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) であって、 各 \(V_j \to X\) の像がいずれか一つの \(U_i\) に含まれるものを取ることができる。 補題 01T2 により、誘導される環準同型 \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\) は有限型である。したがって \(V_j = \Spec(\mathcal{O}(V_j))\) の正則点集合は開である。 \(\text{Reg}(Y) \cap V_j = \text{Reg}(V_j)\) なので、望んだとおり \(\text{Reg}(Y)\) は開である。

補題

次の型のスキームは J-2 である。

1. 体上局所有限型の任意のスキーム。

2. Noether 完備局所環上局所有限型の任意のスキーム。

3. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型の任意のスキーム。

4. 次元 \(1\) の Noether 局所環上局所有限型の任意のスキーム。

5. 次元 \(1\) の永田環上局所有限型の任意のスキーム。

6. 標数零の Dedekind 環上局所有限型の任意のスキーム。

7. など。

証明

補題 07R4 により、上で述べた環が J-2 であることを示せばよい。 このことについては、発展代数の章、命題 07PJ を参照せよ。

優秀スキーム

環が G-環かつ J-2 であるとき準優秀であるということを思い出そう。 環が準優秀かつ普遍鎖状であるとき優秀であるという。

定義

\(X\) をスキームとする。

1. \(X\) が 準優秀であるとは、任意の \(x \in X\) に対し、 アフィン開近傍 \(x \in U \subset X\) であって、その環 \(\mathcal{O}_X(U)\) が準優秀となるものが存在することをいう（発展代数の章、定義 07QT を参照）。

2. \(X\) が 優秀であるとは、任意の \(x \in X\) に対し、 アフィン開近傍 \(x \in U \subset X\) であって、その環 \(\mathcal{O}_X(U)\) が優秀となるものが存在することをいう（発展代数の章、定義 07QT を参照）。

準優秀スキームは局所 Noether である（G-環は Noether 環である）。

補題

\(X\) をスキームとする。次の条件は同値である。

1. \(X\) は準優秀である。

2. \(X\) は G-スキームかつ J-2 である。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は、準優秀スキームの定義 （定義 0HA7）、準優秀環の定義 （発展代数の章、定義 07QT）、 G-スキームの定義（性質の章、定義 0HA3）、および補題 07R4 を組み合わせれば従う。逆に、\(X\) が G-スキームかつ J-2 ならば、 任意の \(x \in X\) に対し、アフィン開近傍 \(x \in U \subset X\) であって、 \(\mathcal{O}_X(U)\) が G-環となるものを取ることができる。 補題 07R4 により、環 \(\mathcal{O}_X(U)\) も J-2 であり、従って準優秀である。

補題

準優秀スキームは永田スキームである。

証明

発展代数の章、補題 07QV を参照せよ。

補題

\(X\) をスキームとする。次の条件は同値である。

1. \(X\) は優秀である。

2. \(X\) は準優秀かつ普遍鎖状である。

証明

(1) を仮定する。優秀環は準優秀なので、\(X\) が準優秀であることは明らかである。 優秀環は普遍鎖状なので、補題 02J9 により、 \(X\) が普遍鎖状であることも従う。(2) を仮定する。 \(x \in X\) とする。\(X\) は準優秀なので、アフィン開近傍 \(x \in U \subset X\) であって、\(\mathcal{O}_X(U)\) が準優秀となるものが存在する。 \(X\) は普遍的に圏であるので、 補題 02J9 により、環 \(\mathcal{O}_X(U)\) も 普遍鎖状であり、従って優秀である。

補題

\(X\) をスキームとする。次の条件は同値である。

1. スキーム \(X\) は（準）優秀である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、環 \(\mathcal{O}_X(U)\) は （準）優秀である。

3. アフィン開被覆 \(X = \bigcup U_i\) であって、各 \(\mathcal{O}_X(U_i)\) が（準）優秀であるものが存在する。

4. 開被覆 \(X = \bigcup X_j\) であって、各開部分スキーム \(X_j\) が（準）優秀であるものが存在する。

さらに、\(X\) が（準）優秀ならば、任意の開部分スキームも（準）優秀である。

証明

補題 0HA8 により、準優秀であることは G-スキームかつ J-2 であることと同じである。従って準優秀の場合、主張は補題 07R4 および性質の章、補題 0HA5 から従う。 優秀の場合には、補題 0HAA、準優秀の場合、および補題 02J9 を用いる。

補題

\(f : X \to S\) を射とする。\(S\) が（準）優秀で \(f\) が局所有限型ならば、 \(X\) は（準）優秀である。

証明

発展代数の章、補題 07QU を参照せよ。

補題

次の型のスキームは優秀である。

1. 体上局所有限型の任意のスキーム。

2. Noether 完備局所環上局所有限型の任意のスキーム。

3. \(\mathbf{Z}\) 上局所有限型の任意のスキーム。

4. 標数零の Dedekind 環上局所有限型の任意のスキーム。

証明

補題 0HAB および 0HAC により、 上で述べた環が優秀であることを示せばよい。このことについては、 発展代数の章、命題 07QW を参照せよ。

準有限射

準有限射を堅固に扱うことは、後に現れる多くの展開の基礎となる。 これは Zariski の主定理のさまざまな形、ファイバーの次元の振る舞い、 étale 射の降下などへつながる。本節を読む前に、代数の章、節 02MK の代数的結果に目を通しておくとよいだろう。

有限型環準同型 \(R \to A\) が素イデアル \(\mathfrak q\) において準有限であるとは、 \(\mathfrak q\) がそのファイバーの孤立点を定めることだった。代数の章、定義 00PL を参照せよ。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が 点 \(x \in X\) において準有限であるとは、アフィン近傍 \(\Spec(A) = U \subset X\)（\(x\) の近傍）とアフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) であって、\(f(U) \subset V\)、環準同型 \(R \to A\) は有限型、かつ \(R \to A\) は \(A\) の \(x\) に対応する素イデアルにおいて 準有限となるものが存在することをいう（上を参照）。

2. \(f\) が 局所準有限であるとは、\(f\) がすべての点 \(x\)（\(X\) の点） において準有限であることをいう。

3. \(f\) が 準有限であるとは、\(f\) が有限型であり、すべての点 \(x\) が そのファイバーの孤立点であることをいう。

局所準有限射が局所有限型であることは自明である。局所有限型の射 \(f\) が \(x\) において準有限であることと、\(x\) がそのファイバーの孤立点であることが 同値であることを後で示す。さらに、射が準有限となる点の集合は開である。 これは Zariski の主定理を扱う節 03GS で示す。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、\(s = f(x)\) と置く。 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) が代数的体拡大ならば、

1. \(x\) はそのファイバーの閉点である。

2. さらに \(s\) が \(S\) の閉点ならば、\(x\) は \(X\) の閉点である。

証明

第二の主張は、第一の主張から初等的な位相により従う。 第一の主張を証明するには、スキームの章、補題 01K1 により、\(X\) を \(X_s\) で、\(S\) を \(\Spec(\kappa(s))\) で置き換えてよい。従って \(S = \Spec(k)\) が体のスペクトルであると 仮定してよい。この場合、任意のアフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) であって \(x\) を含むものを取る。点 \(x\) は素イデアル \(\mathfrak q \subset A\) に対応し、\(\kappa(\mathfrak q)/k\) は代数的体拡大である。 代数の章、補題 00GA により、 \(\mathfrak q\) は極大イデアル、すなわち \(x \in U\) は閉点である。 アフィン開集合は \(X\) の位相の基底をなすので、\(\{x\}\) は閉である。

次の補題は Hilbert の零点定理の一つの形である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、\(s = f(x)\) と置く。 \(f\) が局所有限型であると仮定する。このとき、\(x\) がそのファイバーの閉点であることと、 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) が有限体拡大であることは同値である。

証明

拡大が有限ならば、上の補題 01TE により、\(x\) は そのファイバーの閉点である。逆に、\(x\) がそのファイバーの閉点であると仮定する。 アフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) および \(\Spec(R) = V \subset S\) であって、\(f(U) \subset V\) となるものを取る。 補題 01T2 により、環準同型 \(R \to A\) は有限型である。 \(\mathfrak q \subset A\)、およびそれぞれ \(\mathfrak p \subset R\) を、\(x\)、およびそれぞれ \(s\) に対応する素イデアルとする。ファイバー環 \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) を考える。 \(\overline{\mathfrak q}\) を、\(\overline{A}\) の素イデアルであって \(\mathfrak q\) に対応するものとする。 \(x\) がそのファイバーの閉点であるという仮定から、\(\overline{\mathfrak q}\) は \(\overline{A}\) の極大イデアルである。\(\overline{A}\) は体 \(\kappa(\mathfrak p)\) 上有限型の代数なので、Hilbert の零点定理、すなわち代数の章、定理 00FV により、\(\kappa(\overline{\mathfrak q})\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) の有限拡大である。 \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\) かつ \(\kappa(x) = \kappa(\mathfrak q) = \kappa(\overline{\mathfrak q})\) なので、結論を得る。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型のスキームの射とする。\(g : S' \to S\) を任意の射とし、 基底変換を \(f' : X' \to S'\) と書く。\(x' \in X'\) が点 \(x \in X\) であって \(X_{f(x)}\) において閉であるものに写るならば、\(x'\) は \(X'_{f'(x')}\) において閉である。

証明

剰余体 \(\kappa(x')\) は \(\kappa(f'(x')) \otimes_{\kappa(f(x))} \kappa(x)\) の商である。スキームの章、補題 01JT を参照せよ。従って、それは \(\kappa(f'(x'))\) の有限拡大である。実際、補題 01TF により \(\kappa(x)\) は \(\kappa(f(x))\) の有限拡大である。 この補題をもう一度適用すれば、\(x'\) がそのファイバーにおいて閉であることが分かる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、\(s = f(x)\) と置く。 \(f\) が \(x\) において準有限ならば、剰余体拡大 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) は有限である。

証明

これは代数の章、定義 00PL から明らかである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、\(s = f(x)\) と置く。 \(X_s\) を \(f\) の \(s\) におけるファイバーとする。\(f\) が局所有限型であると仮定する。 次の条件は同値である。

1. 射 \(f\) は \(x\) において準有限である。

2. 点 \(x\) は \(X_s\) において孤立している。

3. 点 \(x\) は \(X_s\) において閉であり、点 \(x' \in X_s\) であって \(x' \not = x\) かつ \(x\) に特殊化するものは存在しない。

4. \(\Spec(A) = U \subset X\)、\(\Spec(R) = V \subset S\) を、 \(f(U) \subset V\) かつ \(x \in U\) が \(\mathfrak q \subset A\) に対応するような 任意の一対のアフィン開集合とするとき、環準同型 \(R \to A\) は \(\mathfrak q\) において準有限である。

証明

\(f\) が \(x\) において準有限であると仮定する。仮定により、開集合 \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって、\(f(U) \subset V\)、\(x \in U\)、かつ \(x\) が \(U_s\) の孤立点となるものが存在する。従って \(\{x\} \subset U_s\) は開集合である。 \(U_s = U \cap X_s \subset X_s\) も開なので、\(\{x\} \subset X_s\) も開集合である。 従って \(x\) は \(X_s\) の孤立点である。

補題 02J6（および補題 01T4）により、\(X_s\) は Jacobson スキームであることに注意する。 \(x\) が \(X_s\) において孤立している、すなわち \(\{x\} \subset X_s\) が開ならば、 \(\{x\}\) は閉点を含む（Jacobson 性質による）ので、\(x\) は \(X_s\) において閉である。 点 \(x' \in X_s\) であって、\(x\) と異なり \(x\) に特殊化するものが存在しないことは明らかである。

\(x\) が \(X_s\) において閉であり、点 \(x' \in X_s\) であって、 \(x\) と異なり \(x\) に特殊化するものが存在しないと仮定する。アフィン開集合の対 \(\Spec(A) = U \subset X\)、\(\Spec(R) = V \subset S\) であって、 \(f(U) \subset V\) かつ \(x \in U\) となるものを考える。 \(\mathfrak q \subset A\) を \(x\) に対応するもの、\(\mathfrak p \subset R\) を \(s\) に対応するものとする。補題 01T2 により、 環準同型 \(R \to A\) は有限型である。ファイバー環 \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) を考える。 \(\overline{\mathfrak q}\) を、\(\overline{A}\) の素イデアルであって \(\mathfrak q\) に対応するものとする。\(\Spec(\overline{A})\) はファイバー \(X_s\) の開部分スキームなので、\(\overline{q}\) は \(\overline{A}\) の極大イデアルであり、 \(\Spec(\overline{A})\) には \(\overline{\mathfrak q}\) に特殊化する点が存在しない。 これは \(\dim(\overline{A}_{\overline{q}}) = 0\) を含意する。従って代数の章、定義 00PL により、\(R \to A\) は \(\mathfrak q\) において準有限、 すなわち定義により \(X \to S\) は \(x\) において準有限である。

ここまでで、条件 (1)–(3) がすべて同値であることを示した。 (4) が (1) を含意することは明らかである。また、\(x\) が \(X_s\) の孤立点ならば、 それは \(U_s\) の孤立点でもある（その点を含む任意の開集合 \(U\) に対し）ので、 (2) が (4) を含意することも明らかである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限型である。

2. \(f^{-1}(\{s\})\) は有限集合である。

このとき \(X_s\) は有限離散位相空間であり、\(f\) は \(X\) の \(s\) 上にある各点において 準有限である。

証明

\(T\) を、(a) 体 \(k\) 上局所有限型であり、(b) 有限個の点を持つスキームとする。 補題 02J6 により、\(T\) は Jacobson スキームである。 有限 Jacobson 空間は離散的である。位相の章、補題 07JU を参照せよ。この考察を、ファイバー \(X_s\)（これは \(\Spec(\kappa(s))\) 上局所有限型である）に適用すると第一の主張を得る。 最後に、補題 01TH を適用すると第二の主張を得る。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(f\) が局所有限型であると仮定する。 次の条件は同値である。

1. \(f\) は局所準有限である。

2. 任意の \(s \in S\) に対し、ファイバー \(X_s\) は離散位相空間である。

3. 任意の射 \(\Spec(k) \to S\)（ここで \(k\) は体）に対し、基底変換 \(X_k\) の 台位相空間は離散的である。

証明

(3) が (2) を含意することは直ちに分かる。補題 01TH により、(2) と (1) は同値である。 (2) を仮定し、\(\Spec(k) \to S\) を (3) のような射とする。 \(s \in S\) を \(\Spec(k) \to S\) の像と書く。このとき \(X_k\) は \(X_s\) の、射 \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(s))\) による基底変換である。 従って、補題 053M により、 \(X_k\) のすべての点は閉である。\(X_k \to \Spec(k)\) は局所有限型なので （補題 01T4 による）、補題 01TH を適用すると、\(X_k\) のすべての点が 孤立していること、すなわち \(X_k\) の台位相空間が離散的であることが分かる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(f\) が準有限であることと、\(f\) が局所準有限かつ 準コンパクトであることは同値である。

証明

\(f\) が準有限であると仮定する。定義 01T1 により準コンパクトである。 \(x \in X\) とする。補題 01TH により、\(f\) は \(x\) において準有限であることが分かる。従って \(f\) は準コンパクトかつ局所準有限である。

\(f\) が準コンパクトかつ局所準有限であると仮定する。このとき \(f\) は有限型である。 \(x \in X\) を点とする。補題 01TH により、 \(x\) がそのファイバーの孤立点であることが分かる。補題が証明された。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次の条件は同値である。

1. \(f\) は準有限である。

2. \(f\) は局所有限型かつ準コンパクトで、有限ファイバーを持つ。

証明

\(f\) が準有限であると仮定する。特に \(f\) は局所有限型かつ準コンパクトである （有限型だからである）。\(s \in S\) とする。すべての \(x \in X_s\) は \(X_s\) において孤立しているので、\(X_s = \bigcup_{x \in X_s} \{x\}\) は開被覆である。 \(f\) は準コンパクトなので、ファイバー \(X_s\) は準コンパクトである。 従って \(X_s\) は有限である。

逆に、\(f\) が局所有限型かつ準コンパクトで、有限ファイバーを持つと仮定する。 補題 02NG により局所準有限である。従って補題 01TJ により準有限である。

環準同型 \(R \to A\) が準有限であるとは、それが有限型で、\(A\) の すべての 素イデアルにおいて準有限であることだった。代数の章、定義 00PL を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次の条件は同値である。

1. 射 \(f\) は局所準有限である。

2. アフィン開集合の任意の対 \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は準有限である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) および開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、各射 \(U_i \to V_j\)（\(j\in J, i\in I_j\)）が局所準有限となるものが存在する。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) およびアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) が、すべての \(j\in J, i\in I_j\) に対し準有限となるものが存在する。

さらに、\(f\) が局所準有限ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、制限 \(f|_U : U \to V\) は局所準有限である。

証明

環準同型 \(R \to A\) に対し、\(P(R \to A)\) が「\(R \to A\) は準有限である」を 意味するものと定義する（補題の前の注意を参照）。\(P\) は環準同型の局所的性質であると主張する。 定義 01SR の条件 (a), (b), (c) を確認する。 補題 01T2 の証明において、「有限型である」という 性質について (a), (b), (c) が成り立つことを見た。有限型環準同型 \(R \to A\) に対し、\(R \to A\) が \(\mathfrak q\) において準有限であるという性質は、局所環 \(A_{\mathfrak q}\) の \(R_{\mathfrak p}\)-代数としての構造のみに依存することに注意する。ここで \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\) である（通常の記法の濫用をしている）。 これらの注意から、定義 01SR の (a), (b), (c) は直ちに従う。 例えば、\(R \to A\) を環準同型とし、環準同型 \(R \to A_{a_i}\) がすべて準有限であって、 \(a_1, \ldots, a_n \in A\) が単位イデアルを生成すると仮定する。 \(R \to A\) は有限型であると結論できる。また、任意の素イデアル \(\mathfrak q \subset A\) に対し、局所環 \(A_{\mathfrak q}\) は \(R\)-代数として局所環 \((A_{a_i})_{\mathfrak q_i}\) と同型である。ここで \(i\) はある添字であり、 \(\mathfrak q_i \subset A_{a_i}\) である。従って \(R \to A\) は \(\mathfrak q\) において準有限である。

以上から、前段落の \(P\) に対して補題 01ST を適用できる。 従って、\(f\) が局所準有限であることと、\(f\) が局所的に型 \(P\) であることが同値であると 証明すれば十分である。\(P(R \to A)\) は「\(R \to A\) は準有限である」、すなわち \(R \to A\) が \(A\) のすべての素イデアルにおいて準有限であることを意味するので、これは補題 01TH から従う。

補題

局所準有限な二つの射の合成は局所準有限である。準有限射についても同じことが成り立つ。

証明

補題 01TK の証明において、 \(P =\)「準有限」が環準同型の局所的性質であり、スキームの射が局所準有限であることと、 定義 01SS の意味で局所的に型 \(P\) であることが同値であると分かった。 従って補題の第一の主張は、補題 01SV と、準有限であるという 環準同型の性質が合成の下で安定であるという事実を合わせれば従う。後者については、 代数の章、補題 00PO を参照せよ。 以上と補題 01TJ、および準コンパクト射の合成が 準コンパクトであるという事実（スキームの章、補題 01K6 を参照）から、準有限射の合成が準有限であると分かる。

後で（補題 01TI）、次の補題の集合 \(U\) が開であることを示す。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(g : S' \to S\) をスキームの射とする。 \(f' : X' \to S'\) を \(f\) の \(g\) による基底変換と書き、射影を \(g' : X' \to X\) と書く。\(X\) が \(S\) 上局所有限型であると仮定する。

1. \(U \subset X\)（それぞれ \(U' \subset X'\)）を、\(f\)（それぞれ \(f'\)）が 準有限となる点の集合とする。このとき \(U' = U \times_S S' = (g')^{-1}(U)\) である。

2. 局所準有限射の基底変換は局所準有限である。

3. 準有限射の基底変換は準有限である。

証明

第一および第二の主張は、対応する代数的結果、すなわち代数の章、補題 00PP から従う（補題 01T4 により \(f'\) も局所有限型であることと合わせる）。 以上、補題 01TJ、および準コンパクト射の基底変換が 準コンパクトであるという事実（スキームの章、補題 01K5 を参照）から、準有限射の基底変換が 準有限であることが分かる。

補題

\(f : X \to S\) を有限型のスキームの射とする。\(s \in S\) とする。 \(X\) の \(s\) 上にあって \(f\) が準有限となる点は高々有限個である。

証明

ファイバー \(X_s\) は体上有限型のスキームなので Noether である （補題 01T6）。従って \(X_s\) の位相は Noether であり （性質の章、補題 01OZ）、孤立点を高々有限個しか 持てない（初等的な位相による）。従って補題 01TH から主張が従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) が局所有限型かつモノ射ならば、\(f\) は 分離的かつ局所準有限である。

証明

スキームの章、補題 01L4 により、モノ射は分離的である。 モノ射は単射なので、例えば補題 01TH により、 \(f\) はすべての \(x \in X\) において準有限である。

補題

任意の埋め込みは局所準有限である。

証明

開埋め込みは局所同型であり、閉埋め込みは明らかに準有限なので、これは成り立つ。

補題

\(X \to Y\) を基底スキーム \(S\) 上のスキームの射とする。\(x \in X\) とする。 \(X \to S\) が \(x\) において準有限ならば、\(X \to Y\) は \(x\) において準有限である。 \(X\) が \(S\) 上局所準有限ならば、\(X \to Y\) は局所準有限である。

証明

補題 01TK により、これは次の代数的事実に翻訳される。 環準同型 \(A \to B \to C\) が与えられ、\(A \to C\) が準有限ならば、\(B \to C\) は準有限である。 これは代数の章、補題 00PN において \(R = A\)、\(S = S' = C\)、\(R' = B\) とすれば従う。

補題

\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to S\) をスキームの射とする。\(f\) が全射、 \(g \circ f\) が局所準有限、かつ \(g\) が局所有限型ならば、\(g : Y \to S\) は局所準有限である。

証明

\(x \in X\) とし、その像を \(y \in Y\) および \(s \in S\) とする。 \(g \circ f\) は局所準有限なので、補題 01TG により、拡大 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) は有限である。従って \(\kappa(y)/\kappa(s)\) は有限である。 従って補題 01TE により、 \(y\) は \(Y_s\) の閉点である。\(f\) は全射なので、\(Y\) のすべての点が \(S\) 上の そのファイバーにおいて閉であることが分かる。従って補題 01TH により、\(g\) はすべての点で準有限である。

有限表示の射

環準同型 \(R \to A\) が有限表示であるとは、\(A\) が \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) と \(R\)-代数として同型であることだった。 ここで \(n, m\) はある整数、\(f_j\) はある多項式である。代数の章、定義 00F3 を参照せよ。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が \(x \in X\) において有限表示 であるとは、アフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) であって \(x\) の近傍であるものと、アフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となり、誘導される環準同型 \(R \to A\) が有限表示であるものが 存在することをいう。

2. \(f\) が 局所有限表示 であるとは、それが \(X\) の各点において 有限表示であることをいう。

3. \(f\) が 有限表示 であるとは、それが局所有限表示、準コンパクト、 かつ準分離的であることをいう。

有限表示の射は、局所有限表示である準コンパクト射だけでは ないことに注意せよ。後に、局所有限表示の射は、任意の有向系 \(T_i\)（\(S\) 上のアフィンスキームからなる）に対して \[\colim \Mor_S(T_i, X) = \Mor_S(\lim T_i, X)\] を満たす射として特徴付けられる。極限の章、命題 01ZC を参照せよ。 極限の章、節 01ZL では、\(S = \lim_i S_i\) が アフィンスキームの極限ならば、任意のスキーム \(X\) であって \(S\) 上有限表示のものは、 スキーム \(X_i\) であって \(S_i\) 上のものへ、ある \(i\) に対して降下することを示す。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次の条件は同値である。

1. 射 \(f\) は局所有限表示である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は有限表示である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) と開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、各射 \(U_i \to V_j\)（\(j\in J, i\in I_j\)）が局所有限表示となるものが存在する。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) とアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) がすべての \(j\in J, i\in I_j\) に対し有限表示となるものが存在する。

さらに、\(f\) が局所有限表示ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、制限 \(f|_U : U \to V\) は局所有限表示である。

証明

性質「\(R \to A\) が有限表示である」が局所的であることを示せば、補題 01SU から従う。定義 01SR の条件 (a), (b), (c) を確認する。 有限表示であることは基底変換の下で安定であるから、代数の章、補題 05G5 により (a) が成り立つ。 有限表示であることは合成の下で安定であり、任意の環 \(R\) に対して環準同型 \(R \to R_f\) は明らかに有限表示であるから、代数の章、補題 00F4 により (b) が成り立つ。 最後に、代数の章、補題 00EP により (c) が成り立つ。

補題

二つの局所有限表示射の合成は局所有限表示である。 有限表示射についても同じことが成り立つ。

証明

補題 01TQ の証明において、 有限表示であることが環準同型の局所的性質であることを見た。 従って補題の第一の主張は、補題 01SV と、 有限表示であることが合成の下で安定な環準同型の性質であるという事実との組合せから従う。 代数の章、補題 00F4 を参照せよ。 以上と、準コンパクトかつ準分離的な射の合成が準コンパクトかつ準分離的であるという事実 （スキームの章、補題 01K6 および 01KU を参照）により、 有限表示射の合成は有限表示である。

補題

局所有限表示射の基底変換は局所有限表示である。 有限表示射についても同じことが成り立つ。

証明

補題 01TQ の証明において、 有限表示であることが環準同型の局所的性質であることを見た。 従って補題の第一の主張は、補題 01SV と、 有限表示であることが基底変換の下で安定な環準同型の性質であるという事実との組合せから従う。 代数の章、補題 05G5 を参照せよ。 以上と、準コンパクトかつ準分離的な射の基底変換が準コンパクトかつ準分離的であるという事実 （スキームの章、補題 01K5 および 01KU を参照）により、 有限表示射の基底変換は有限表示射である。

補題

任意の開埋め込みは局所有限表示である。

証明

開埋め込みは局所同型だからである。

補題

任意の開埋め込みが有限表示であることと、それが準コンパクトであることは同値である。

証明

開埋め込みが局所有限表示であることを、補題 01TT で見た。 埋め込みが分離的、従って準分離的であることを、スキームの章、補題 01L7 で見た。 このことと定義 01TP から補題が従う。

補題

閉埋め込み \(i : Z \to X\) が有限表示であるための必要十分条件は、 付随する準連接イデアル層 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) が（\(\mathcal{O}_X\)-加群として）有限型であることである。

証明

任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) \subset X\) 上で \(i^{-1}(\Spec(R)) = \Spec(R/I)\) かつ \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\) である。さらに、\(\mathcal{I}\) が有限型であることと、 \(I\) が有限 \(R\)-加群であることは、そのような各アフィン開集合に対して同値である （性質の章、補題 01PB を参照）。 また、\(R/I\) が \(R\) 上有限表示であることと、\(I\) が有限 \(R\)-加群であることは同値である。 従って主張を得る。

補題

局所有限表示射は局所有限型である。有限表示射は有限型である。

証明

省略する。

補題

\(f : X \to S\) を射とする。

1. \(S\) が局所 Noether で \(f\) が局所有限型ならば、\(f\) は局所有限表示である。

2. \(S\) が局所 Noether で \(f\) が有限型ならば、\(f\) は有限表示である。

証明

第一の主張は、Noether 環上有限型の環が有限表示であるという事実から従う。 代数の章、補題 00FP を参照せよ。 \(f\) が有限型であり、\(S\) が局所 Noether であると仮定する。 このとき \(f\) は準コンパクトであり、(1) により局所有限表示である。 従って、\(f\) が準分離的であることを示せば十分である。 これは補題 01T7 （および補題 01TW）から従う。

補題

\(S\) を準コンパクトかつ準分離的なスキームとする。 \(X\) が \(S\) 上有限表示ならば、\(X\) は準コンパクトかつ準分離的である。

証明

省略する。

補題

\(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。

1. \(X\) が \(S\) 上局所有限表示であり、\(Y\) が \(S\) 上局所有限型ならば、 \(f\) は局所有限表示である。

2. \(X\) が \(S\) 上有限表示であり、\(Y\) が準分離的かつ \(S\) 上局所有限型ならば、 \(f\) は有限表示である。

証明

(1) の証明。補題 01TQ により、 これは次の代数的事実に帰着する。環準同型 \(A \to B \to C\) が与えられ、 \(A \to C\) が有限表示、\(A \to B\) が有限型ならば、\(B \to C\) は有限表示である。 代数の章、補題 00F4 を参照せよ。

(2) は (1) と、スキームの章、補題 01KV および 03GI から従う。

補題

\(f : X \to Y\) を、対角射 \(\Delta : X \to X \times_Y X\) をもつスキームの射とする。 \(f\) が局所有限型ならば、\(\Delta\) は局所有限表示である。 \(f\) が準分離的かつ局所有限型ならば、\(\Delta\) は有限表示である。

証明

\(\Delta\) は \(X\) 上のスキームの射であることに注意する（その構造射は第二射影 \(X \times_Y X \to X\) である）。 \(f\) が局所有限型であると仮定する。\(X\) は \(X\) 上有限表示であり、 \(X \times_Y X\) は \(X\) 上局所有限型であることに注意する （補題 01T4 による）。 従って第一の主張は補題 02FV から従う。 第二の主張は、第一の主張、各定義、および対角射がモノ射、従って分離的であるという事実 （スキームの章、補題 01L4）から従う。

構成可能集合

スキームの構成可能集合および局所構成可能集合については、性質の章、節 054B で論じた。本節では、（局所）構成可能集合の 像および逆像に関するいくつかの結果を証明する。主結果は Chevalley の定理であり、 有限表示射による局所構成可能集合の像が局所構成可能であることを述べる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(E \subset Y\) を部分集合とする。 \(E\) が \(Y\) において（局所）構成可能ならば、\(f^{-1}(E)\) は \(X\) において （局所）構成可能である。

証明

任意の構成可能部分集合の逆像が構成可能であることを示すには、任意の 逆コンパクトな開集合 \(V\) であって \(Y\) に含まれるものの逆像が \(X\) において 逆コンパクトであることを示せば十分である。 位相の章、補題 005I を参照せよ。 \(V\) が \(Y\) において逆コンパクトであることの意味は、開埋め込み \(V \to Y\) が 準コンパクトであることにほかならない。従って基底変換 \(f^{-1}(V) = X \times_Y V \to X\) も準コンパクトである。 スキームの章、補題 01K5 を参照せよ。 従って \(f^{-1}(V)\) は \(X\) において逆コンパクトである。 \(E\) が \(Y\) において局所構成可能であると仮定する。\(x \in X\) を選ぶ。 アフィン近傍 \(V\)（\(f(x)\) のもの）と、アフィン近傍 \(U \subset X\)（\(x\) のもの）であって \(f(U) \subset V\) となるものを選ぶ。従って \(f|_U : U \to V\) を \(V\) への射とみなす。 性質の章、補題 054C により、 \(E \cap V\) は \(V\) において構成可能である。構成可能の場合により、 \((f|_U)^{-1}(E \cap V)\) は \(U\) において構成可能である。 \((f|_U)^{-1}(E \cap V) = f^{-1}(E) \cap U\) だから、主張を得る。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次を仮定する。

1. \(f\) は準コンパクトかつ局所有限表示である。

2. \(Y\) は準コンパクトかつ準分離的である。

このとき、\(X\) の任意の構成可能部分集合の像は \(Y\) において構成可能である。

証明

性質の章、補題 054E により、 \(Y\) がアフィンの場合にこの補題を証明すれば十分である。この場合 \(X\) は準コンパクトである。 従って \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) と書ける。ここで各 \(U_i\) は \(X\) のアフィン開集合である。\(E \subset X\) が構成可能ならば、各 \(E \cap U_i\) も構成可能である。位相の章、補題 005J を参照せよ。 \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\) であり、構成可能集合の有限合併は構成可能だから、 \(X\) がアフィンの場合に帰着する。この場合の結果は、代数の章、定理 00FE である。

定理

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) が準コンパクトかつ局所有限表示であると仮定する。 このとき、任意の局所構成可能部分集合の像は局所構成可能である。

証明

\(E \subset X\) を局所構成可能とする。\(f(E)\) も局所構成可能であることを示さなければならない。 \(f(E) \cap V\) が、任意のアフィン開集合 \(V \subset Y\) に対して構成可能であることを示す。 従って \(Y\) がアフィンの場合に帰着する。この場合 \(X\) は準コンパクトである。 従って \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) と書ける。ここで各 \(U_i\) は \(X\) のアフィン開集合である。\(E \subset X\) が局所構成可能ならば、 各 \(E \cap U_i\) は構成可能である。性質の章、補題 054C を参照せよ。 \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\) であり、構成可能集合の有限合併は構成可能だから、 \(X\) がアフィンの場合に帰着する。この場合の結果は、代数の章、定理 00FE である。

補題

\(X\) をスキームとする。\(x \in X\) とする。\(E \subset X\) を局所構成可能部分集合とする。 \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\) ならば、\(E\) は \(x\) の開近傍を含む。

証明

\(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\) と仮定する。\(X\) はアフィンであると仮定してよい。 この場合 \(E\) は構成可能である。性質の章、補題 054C を参照せよ。 特に補集合 \(E^c\) も構成可能である。代数の章、補題 00F8 により、アフィンスキームの射 \(f : Y \to X\) であって \(E^c = f(Y)\) となるものを見いだせる。 \(Z \subset X\) を \(f\) のスキーム論的像とする。 補題 02JQ と仮定 \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\) により、\(x \not \in Z\) である。 従って \(X \setminus Z \subset E\) は \(x\) の開近傍であり、\(E\) に含まれる。

開射

定義

\(f : X \to S\) を射とする。

1. \(f\) が 開 であるとは、台となる位相空間上の写像が開であることをいう。

2. \(f\) が 普遍開 であるとは、スキームの任意の射 \(S' \to S\) に対し、 基底変換 \(f' : X_{S'} \to S'\) が開であることをいう。

位相の章、補題 0066 によれば、 ある種の位相空間の開写像に沿って一般化が持ち上がる。実際、スキームの任意の 開射に沿って一般化が持ち上がる（補題 040F を参照）。 また、スキームの平坦射に沿って一般化が持ち上がることを後で見る （補題 03HV）。このことから逆に、その射が開であると 結論できる場合がある。

補題

\(f : X \to S\) を射とする。

1. \(f\) が局所有限表示であり、一般化が \(f\) に沿って持ち上がるならば、 \(f\) は開である。

2. \(f\) が局所有限表示であり、一般化が \(f\) のすべての基底変換に沿って 持ち上がるならば、\(f\) は普遍開である。

証明

第一の主張を証明すれば十分である。\(X\) と \(S\) がともにアフィンの場合に帰着する。 この場合、結果は代数の章、補題 00HW および命題 00I1 から従う。

有限表示平坦射の場合については、補題 01UA も参照せよ。

補題

（普遍）開射の合成は（普遍）開である。

証明

省略する。

補題

\(k\) を体とする。\(X\) を \(k\) 上のスキームとする。 構造射 \(X \to \Spec(k)\) は普遍開である。

証明

\(S \to \Spec(k)\) を射とする。基底変換 \(X_S \to S\) が開であることを示さなければならない。 問題は \(S\) および \(X\) 上局所的だから、\(S\) と \(X\) はアフィンであると仮定してよい。 この場合、結果は代数の章、補題 037G である。

補題

\(\varphi : X \to Y\) をスキームの射とする。\(\varphi\) が開ならば、\(\varphi\) は 一般化的である（すなわち、一般化が \(\varphi\) に沿って持ち上がる）。 \(\varphi\) が普遍開ならば、\(\varphi\) は普遍一般化的である。

証明

\(\varphi\) が開であると仮定する。\(y' \leadsto y\) を \(Y\) の点の特殊化とする。 \(x \in X\) を \(\varphi(x) = y\) となるものとする。 アフィン開集合 \(U \subset X\) および \(V \subset Y\) であって \(\varphi(U) \subset V\) かつ \(x \in U\) となるものを選ぶ。このとき \(y' \in V\) でもある。 従って \(X\) を \(U\) で、\(Y\) を \(V\) で置き換え、\(X\), \(Y\) がアフィンであると仮定してよい。 アフィンの場合は、代数の章、補題 0407 と 代数の章、補題 00HW の組合せである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(g : Y' \to Y\) を開かつ全射とし、 基底変換 \(f' : X' \to Y'\) が準コンパクトであるとする。このとき \(f\) は準コンパクトである。

証明

\(V \subset Y\) を準コンパクト開集合とする。\(g\) は開かつ全射だから、 準コンパクト開集合 \(W' \subset W\) であって \(g(W') = V\) となるものを見いだせる。 仮定により \((f')^{-1}(W')\) は準コンパクトである。\((f')^{-1}(W')\) の \(X\) における像は \(f^{-1}(V)\) に等しい。補題 0495 を参照せよ。 従って \(f^{-1}(V)\) は準コンパクト空間の像として準コンパクトである。 位相の章、補題 04Z9 を参照せよ。 ゆえに \(f\) は準コンパクトである。

submersive な射

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が submersive⁷ であるとは、台となる位相空間の連続写像が submersive であることをいう。 位相の章、定義 0406 を参照せよ。

2. \(f\) が 普遍 submersive であるとは、スキームの任意の射 \(Y' \to Y\) に対し、基底変換 \(Y' \times_Y X \to Y'\) が submersive であることをいう。

submersive な射は特に全射であることに注意する。

補題

スキームの普遍 submersive な射をスキームの任意の射によって基底変換して得られる射は、 普遍 submersive である。

証明

定義から直ちに従う。

補題

スキームの二つの（普遍）submersive な射の合成は（普遍）submersive である。

証明

省略する。

平坦射

平坦性は、代数幾何学における最も重要な技術的道具の一つである。本節でこの概念を導入する。 補題 01UA を除き、ここでは意図的に議論を直接的な考察に限定する。 非常に重要な一群の結果である平坦性の判定法については、代数の章、節 00MD、 051E、 00R3、および 発展的な射の章、節 039A で論じる。 スキームの平坦射に関する発展的な内容には独立した章を設けてある。 平坦性詳論の章、節 057N を参照せよ。

加群 \(M\)（環 \(R\) 上）が 平坦 であるとは、関手 \(-\otimes_R M : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) が完全であることだった。 環準同型 \(R \to A\) が 平坦 であるとは、\(A\) が \(R\)-加群として平坦であることをいう。 代数の章、定義 00HB を参照せよ。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。

1. \(f\) が 点 \(x \in X\) において平坦 であるとは、 局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) が局所環 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\) 上平坦であることをいう。

2. \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上、点 \(x \in X\) において平坦 であるとは、 茎 \(\mathcal{F}_x\) が平坦な \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-加群であることをいう。

3. \(f\) が 平坦 であるとは、\(f\) が \(X\) の各点において平坦であることをいう。

4. \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦 であるとは、 \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上、各点 \(x\)（\(X\) の点）において平坦であることをいう。

従って、\(f\) が平坦であることと、構造層 \(\mathcal{O}_X\) が \(S\) 上平坦であることは同値である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。次の条件は同値である。

1. 層 \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、\(\mathcal{O}_S(V)\)-加群 \(\mathcal{F}(U)\) は平坦である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) および開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、各加群 \(\mathcal{F}|_{U_i}\) が \(V_j\) 上平坦となるものが存在する。ここで \(j\in J, i\in I_j\) は任意である。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) およびアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、\(\mathcal{F}(U_i)\) が平坦な \(\mathcal{O}_S(V_j)\)-加群となるものが存在する。ここで \(j\in J, i\in I_j\) は任意である。

さらに、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、 制限 \(\mathcal{F}|_U\) は \(V\) 上平坦である。

証明

\(R \to A\) を環準同型とする。\(M\) を \(A\)-加群とする。 \(M\) が \(R\)-平坦ならば、すべての素イデアル \(\mathfrak q\) に対し、 加群 \(M_{\mathfrak q}\) は \(R_{\mathfrak p}\) 上平坦である。ここで \(\mathfrak p\) は \(R\) の素イデアルであって \(\mathfrak q\) の下にあるものである。 逆に、\(M_{\mathfrak q}\) が \(R_{\mathfrak p}\) 上平坦であることがすべての素イデアル \(\mathfrak q\)（\(A\) の素イデアル）に対して成り立つならば、\(M\) は \(R\) 上平坦である。 代数の章、補題 00HT を参照せよ。 この同値性から補題の各主張は容易に従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次の条件は同値である。

1. 射 \(f\) は平坦である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は平坦である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) および開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、各射 \(U_i \to V_j\)（\(j\in J, i\in I_j\)）が平坦となるものが存在する。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) およびアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) であって、 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) が平坦となるものが存在する。 ここで \(j\in J, i\in I_j\) は任意である。

さらに、\(f\) が平坦ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\)、\(V \subset S\) であって \(f(U) \subset V\) となるものに対し、 制限 \(f|_U : U \to V\) は平坦である。

証明

上の補題 01U4 の特別な場合である。

補題

\(f : X \to Y\) を基底スキーム \(S\) 上のスキームのアフィン射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 このとき \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦であることと、 \(f_*\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦であることは同値である。

証明

補題 01U4 と、\(f\) がアフィン射であることにより、 アフィンの場合に帰着する。\(X \to Y \to S\) が環準同型 \(C \leftarrow B \leftarrow A\) に対応するとする。 \(N\) を \(C\)-加群であって \(\mathcal{F}\) に対応するものとする。 \(f_*\mathcal{F}\) は \(N\) を \(B\)-加群とみなしたものに対応することを思い出そう。 スキームの章、補題 01I9 を参照せよ。 従って結果は明らかである。

補題

\(X \to Y \to Z\) をスキームの射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \in X\) を、像が \(y\)（\(Y\) の点）である点とする。 \(\mathcal{F}\) が \(Y\) 上、\(x\) において平坦であり、\(Y\) が \(Z\) 上、 \(y\) において平坦ならば、\(\mathcal{F}\) は \(Z\) 上、\(x\) において平坦である。

証明

代数の章、補題 00HC を参照せよ。

補題

平坦射の合成は平坦である。

証明

補題 01U6 の特別な場合である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。 \(g : S' \to S\) をスキームの射とする。 \(g' : X' = X_{S'} \to X\) を射影と書く。 \(x' \in X'\) を、像が \(x = g'(x') \in X\) である点とする。 \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上、\(x\) において平坦ならば、 \((g')^*\mathcal{F}\) は \(S'\) 上、\(x'\) において平坦である。 特に、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦ならば、\((g')^*\mathcal{F}\) は \(S'\) 上平坦である。

証明

代数の章、補題 00HI を参照せよ。

補題

平坦射の基底変換は平坦である。

証明

補題 01U8 の特別な場合である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの平坦射とする。このとき \(f\) に沿って一般化が持ち上がる。 位相の章、定義 0063 を参照せよ。

証明

代数の章、節 00HU を参照せよ。

補題

局所有限表示の平坦射は普遍開である。

証明

上の補題 03HV および補題 01U1 から従う。 次のように直接論じることもできる。

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示とする。 補題 01U9 および 01TS により、\(f\) の任意の基底変換は平坦かつ 局所有限表示である。従って \(f\) が開であることを示せば十分である。 \(f\) が開であることを示すには、\(X\) をアフィン開集合で被覆して \(X = \bigcup U_i\) と書き、\(U_i \to S\) が開であるようにできることを示せば十分である。 \(X\) はアフィン開集合 \(U_i \subset X\) により被覆でき、各 \(U_i\) がアフィン開集合 \(V_i \subset S\) に写り、誘導される環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_i) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) が平坦かつ有限表示となるようにできる （補題 01U5 および 01TQ）。 このとき \(U_i \to V_i\) は、代数の章、命題 00I1 により 開である。これで証明が完了する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(f\) が局所有限表示、\(\mathcal{F}\) が有限型、\(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\) であり、 \(\mathcal{F}\) が \(Y\) 上平坦であると仮定する。このとき \(f\) は普遍開である。

証明

補題 01U8、 01TS、および 056J により、仮定は基底変換の下で保たれる。 補題 01U1 により、 \(f\) に沿って一般化が持ち上がることを示せば十分である。 これは代数の章、補題 080T から従う。

補題

\(f : X \to Y\) を準コンパクトかつ全射な平坦射とする。 部分集合 \(T \subset Y\) が開（それぞれ閉）であることと、 \(f^{-1}(T)\) が開（それぞれ閉）であることは同値である。 言い換えれば、\(f\) は submersive な射である。

証明

問題は \(Y\) 上局所的だから、\(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 この場合、\(X\) は \(f\) が準コンパクトであることにより準コンパクトである。 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) と、アフィン開集合の有限合併として書く。 このとき \(f' : X' = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n \to Y\) は、アフィンスキームの 全射な平坦射である。\(T \subset Y\) に対して \((f')^{-1}(T) = f^{-1}(T) \cap X_1 \amalg \ldots \amalg f^{-1}(T) \cap X_n\) であることに注意する。従って、\(f^{-1}(T)\) が開であることと \((f')^{-1}(T)\) が開であることは同値である。ゆえに \(X\) と \(Y\) がともにアフィンであると仮定してよい。

\(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\) を、平坦な環準同型 \(A \to B\) に対応する アフィンスキームの全射とする。\(f^{-1}(T)\) は閉であり、 \(f^{-1}(T) = V(J)\)（\(J \subset B\) はイデアル）と書けると仮定する。 このとき \(T = f(f^{-1}(T)) = f(V(J))\) は \(\Spec(B/J) \to \Spec(A)\) の像である（ここで \(f\) が全射であることを用いた）。 一方、\(f\) に沿って一般化が持ち上がる（補題 03HV）。 従って位相の章、補題 0065 により、 \(Y \setminus T = f(X \setminus f^{-1}(T))\) は一般化の下で安定である。 従って \(T\) は特殊化の下で安定である （位相の章、補題 0062）。 ゆえに \(T\) は、代数の章、補題 00HY により閉である。

補題

\(h : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 \(\mathcal{G}\) を \(Y\) 上の準連接層とする。 \(x \in X\) とし、\(y = h(x) \in Y\) とする。\(h\) が \(x\) において平坦ならば、 \[\mathcal{G}\text{ flat over }S\text{ at }y \Leftrightarrow h^*\mathcal{G}\text{ flat over }S\text{ at }x.\] 特に、\(h\) が全射かつ平坦ならば、\(\mathcal{G}\) が \(S\) 上平坦であることと、 \(h^*\mathcal{G}\) が \(S\) 上平坦であることは同値である。 \(h\) が全射かつ平坦であり、\(X\) が \(S\) 上平坦ならば、\(Y\) は \(S\) 上平坦である。

証明

代数の章、補題 0584 を適用して証明できる。 直接の証明を与えよう。\(s \in S\) を \(y\) の像とする。局所環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) を考える。 仮定により、環準同型 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は忠実平坦である。 代数の章、補題 00HR を参照せよ。 \(N = \mathcal{G}_y\) とおく。このとき \(h^*\mathcal{G}_x = N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}\) である。 層の章、補題 0098 を参照せよ。 \(M' \to M\) を \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群の単射とする。 上に述べた忠実平坦性により、 \[\begin{align*} \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \\ = \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}) \end{align*}\] である。従って補題の同値性は、代数の章、補題 00HD の 平坦性の第二の特徴付けから従う。

補題

\(f : Y \to X\) をスキームの射とする。\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、そのスキーム論的台を \(Z \subset X\) とする。 \(f\) が平坦ならば、\(f^{-1}(Z)\) は \(f^*\mathcal{F}\) のスキーム論的台である。

証明

補題 05JU によるアフィン上のスキーム論的台の 特徴付けを用いると、代数の章、補題 07T8 に帰着する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの平坦射とする。 \(V \subset Y\) をスキーム論的に稠密な逆コンパクト開集合とする。 このとき \(f^{-1}V\) は \(X\) においてスキーム論的に稠密である。

証明

補題 01RE の特徴付けを用いる。 任意の開集合 \(U \subset X\) に対して、写像 \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_X(U \cap f^{-1}V)\) が単射であることを示さなければならない。 \(U\) が、アフィン開集合 \(W \subset Y\) に写るアフィン開集合である場合に証明すれば十分である。 \(W = \Spec(A)\)、\(U = \Spec(B)\) と書く。 このとき \(V \cap W = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) と、ある \(f_i \in A\) を用いて書ける。代数の章、補題 00F6 を参照せよ。 従って \(B \to B_{f_1} \times \ldots \times B_{f_n}\) が単射であることを示せばよい。 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) は単射であり、 \(A \to B\) は平坦であることが分かっている。 \(B_{f_i} = A_{f_i} \otimes_A B\) だから、主張を得る。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの平坦射とする。 \(g : V \to Y\) をスキームの準コンパクト射とする。 \(Z \subset Y\) を \(g\) のスキーム論的像とし、\(Z' \subset X\) を基底変換 \(V \times_Y X \to X\) のスキーム論的像とする。このとき \(Z' = f^{-1}Z\) である。

証明

\(Z\) は \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to g_*\mathcal{O}_V)\) により定まり、 \(Z'\) は \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_X \to (V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X})\) により定まることを思い出そう。補題 01R8 を参照せよ。 従って問題は \(X\) および \(Y\) 上局所的であり、\(X\) と \(Y\) はアフィンであると仮定してよい。 \(V\) を \(\coprod V_i\) で置き換えてよいことに注意する。ここで \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) は有限アフィン開被覆である。 従って \(g\) はアフィンであると仮定してよい。この場合、 \((V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X}\) は \(g_*\mathcal{O}_V\) の \(f\) による引き戻しである。 \(f\) は平坦だから、\(f^*\mathcal{I} = \mathcal{I}'\) を得る。これで補題が成り立つ。

平坦な閉埋め込み

スキームの連結成分は必ずしも開ではない。しかし常に標準的なスキーム構造をもつ。 本節ではこのことを説明する。

補題

\(X\) をスキームとする。\(X\) の閉部分スキームにその台となる閉部分集合を対応させる規則は、 次の全単射を定める。 \[\left\{ \begin{matrix} \text{closed subschemes }Z \subset X \\ \text{such that }Z \to X\text{ is flat} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{closed subsets }Z \subset X \\ \text{closed under generalizations} \end{matrix} \right\}\] \(Z \subset X\) がそのような閉部分スキームならば、スキームの任意の射 \(g : Y \to X\) であって集合論的に \(g(Y) \subset Z\) を満たすものは、 （スキーム論的に）\(Z\) を経由して分解する。

証明

この全単射のアフィンの場合は、代数の章、補題 04PU である。 一般のスキーム \(X\) の場合、\(X\) をアフィンで被覆し、貼り合わせることにより全単射を得る。 詳細は省略する。最後の主張については、射影 \(Z \times_{X, g} Y \to Y\) が平坦な （補題 01U9）閉埋め込みであり、台となる位相空間上で 全単射であることに注意する。従って、証明の最初の部分で得た全単射により、 この射影は同型でなければならない。

補題

有限表示の平坦な閉埋め込みは、開かつ閉な部分スキームの開埋め込みである。

証明

アフィンの場合は、代数の章、補題 05KK である。 一般の場合、\(X\) をアフィンで被覆することにより補題が従う。詳細は省略する。

連結成分 \(T\)（スキーム \(X\) のもの）は、一般化の下で安定な閉部分集合であることに注意する。 従って次の定義は意味をもつ。

定義

\(X\) をスキームとする。\(T \subset X\) を連結成分とする。 \(T\) 上の標準的なスキーム構造とは、\(T\) 上のスキーム構造であって、 閉埋め込み \(T \to X\) が平坦となる唯一のものをいう。 補題 04PW を参照せよ。

前の補題を用いると、すべての有限平坦 \(\mathcal{O}_X\)-加群が有限局所自由となるのは いつかを判定できる。

補題

\(X\) をスキームとする。次の条件は同値である。

1. 任意の有限平坦準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群は有限局所自由である。

2. 一般化で閉じた任意の閉部分集合 \(Z \subset X\) は開である。

証明

アフィンの場合は、代数の章、補題 052U である。 スキームの場合はアフィンの場合から直接には従わないので、議論を繰り返す。

(1) を仮定する。閉埋め込み \(i : Z \to X\) であって \(i\) が平坦であるものを考える。 このとき \(i_*\mathcal{O}_Z\) は準連接かつ平坦であり、従って (1) により有限局所自由である。 ゆえに \(Z = \text{Supp}(i_*\mathcal{O}_Z)\) は開でもあり、(2) が成り立つ。 従って含意 (1) \(\Rightarrow\) (2) は、補題 04PW による平坦な閉埋め込みの特徴付けから従う。

逆を示すため、\(X\) が (2) を満たすと仮定する。 \(\mathcal{F}\) を有限平坦準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 台 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)（\(\mathcal{F}\) の台）は閉である。 加群の章、補題 01BA を参照せよ。 一方、\(x \leadsto x'\) が特殊化ならば、代数の章、補題 00NZ により、加群 \(\mathcal{F}_{x'}\) は \(\mathcal{O}_{X, x'}\) 上自由であり、 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x'}} \mathcal{O}_{X, x}.\] 従って \(x' \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Rightarrow x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)、 すなわち台は一般化で閉じている。\(X\) は (2) を満たすから、 \(\mathcal{F}\) の台は開かつ閉である。加群 \(\wedge^i(\mathcal{F})\)（\(i = 1, 2, 3, \ldots\)） も有限平坦準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 加群の章、節 01CF を参照せよ。 このとき \(\text{Supp}(\wedge^{i + 1}(\mathcal{F})) \subset \text{Supp}(\wedge^i(\mathcal{F}))\) であることに注意する。従って、開かつ閉な部分集合による分解 \[X = U_0 \amalg U_1 \amalg U_2 \amalg \ldots\] であって、\(\wedge^i(\mathcal{F})\) の台が \(U_i \cup U_{i + 1} \cup \ldots\) となるという条件を すべての \(i\) に対して満たすものが存在する。\(x\) を \(X\) の点とし、\(x \in U_r\) とする。 このとき \(\wedge^i(\mathcal{F})_x \otimes \kappa(x) = \wedge^i(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x))\) であることに注意する。従って、\(x \in U_r\) ならば、\(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) は次元 \(r\) のベクトル空間である。Nakayama の補題、すなわち代数の章、補題 00DV により、アフィン開近傍 \(U \subset U_r \subset X\) （\(x\) の近傍）と切断 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\) を、 誘導される写像 \[\mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F}|_U, \quad (f_1, \ldots, f_r) \longmapsto \sum f_i s_i\] が全射となるように選べる。このことは、\(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\) が有限平坦準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群で、その台が \(U\) 全体であることを意味する。 上記により、それは単一の元 \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\) により生成される。 従って \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U) \cong \mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) と、 ある準連接イデアル層 \(\mathcal{I}\) を用いて書ける。このとき \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) は \(\mathcal{O}_U\) 上平坦であり、 \(V(\mathcal{I}) = U\) である。補題 04PW を適用すると \(\mathcal{I} = 0\) が従う。 従って \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\) は \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\) の基底であり、 上に表示した写像は全射であるだけでなく単射でもある。 これで \(\mathcal{F}\) が望みどおり有限局所自由であることが示された。

Generic flatness

整な基底上有限型のスキームは、基底のある稠密開集合上で平坦である。 代数、節 051Q では、Noether 的な場合、 有限表示の射の場合、および一般の場合を証明した。ここでは一般の場合のみを述べて証明する。 ただし、実際にはこれをさらに強めた命題 052B が成り立ち、基底が被約であることのみを 仮定しても同じ結果が成立する。

命題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。 次を仮定する。

1. \(S\) は整である。

2. \(f\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は有限型の \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

このとき、ある開稠密部分スキーム \(U \subset S\) が存在し、 \(X_U \to U\) は平坦かつ有限表示であり、 \(\mathcal{F}|_{X_U}\) は \(U\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_{X_U}\) 上有限表示である。

証明

\(S\) は整なので既約であり（性質、補題 01ON 参照）、空でない開集合はすべて稠密である。 従って \(S\) を \(S\) のアフィン開集合で置き換え、 \(S = \Spec(A)\) はアフィンであると仮定してよい。 \(S\) が整であることから \(A\) は整域である。 \(f\) は有限型なので準コンパクトであり、従って \(X\) は準コンパクトである。 よって有限アフィン開被覆 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) が取れる。 \(X_i = \Spec(B_i)\) と書く。 このとき \(B_i\) は有限型 \(A\)-代数である。補題 01T2 参照。 さらに有限型の \(B_i\)-加群 \(M_i\) が存在し、\(\mathcal{F}|_{X_i}\) は \(B_i\)-加群 \(M_i\) に付随する準連接層となる。性質、補題 01PB 参照。 次に、添字の各対 \(i, j\) に対してイデアル \(I_{ij} \subset B_i\) を、 \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\) が \(X_i = \Spec(B_i)\) の中で成り立つように取る。 \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\) とおき、これを \(B_i\)-加群とみなす。 すると \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\) であり、 \(M_{ij}\) は有限 \(B_i\)-加群である。

ここで代数、補題 051T を、 対 \((A \to B_i, M_{ij})\) および対 \((A \to B_i, M_i)\) に適用する。 これにより、零でない \(f_{ij}, f_i \in A\) が得られ、次が成り立つ。 (a) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\) は平坦かつ有限表示であり、 \(M_{ij, f_{ij}}\) は \(A_{f_{ij}}\) 上平坦かつ \(B_{i, f_{ij}}\) 上有限表示である。 (b) \(B_{i, f_i}\) は \(A_f\) 上平坦かつ有限表示であり、 \(M_{i, f_i}\) は \(B_{i, f_i}\) 上平坦かつ有限表示である。 \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\) とおく。 \(U = D(f)\) と取ればよいと主張する。

この主張を示すには、\(A\) を \(A_f\) で置き換えてよい。すなわち、 \(U = \Spec(A_f) \to S\) による基底変換を行う。 この基底変換の後では、各 \(A \to B_i\) は平坦かつ有限表示であり、 \(M_i\), \(M_{ij}\) は \(A\) 上平坦かつ \(B_i\) 上有限表示である。 これにより、\(X \to S\) は準コンパクト、局所有限表示かつ平坦であり、 \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_X\) 上有限表示であることが 既に分かる。補題 01TQ および性質、補題 01PC 参照。 \(M_{ij}\) は \(B_i\) 上有限表示なので、 \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\) は \(X_i\) の準コンパクト開集合である。代数、補題 051B 参照。 従って、スキーム、補題 01KO により \(X \to S\) は準分離的である。これで命題が証明された。

実際には、任意の被約な基底上での generic flatness も成り立つ。 その定式化は次のとおりである。

命題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。 次を仮定する。

1. \(S\) は被約である。

2. \(f\) は有限型である。

3. \(\mathcal{F}\) は有限型の \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

このとき、ある開稠密部分スキーム \(U \subset S\) が存在し、 \(X_U \to U\) は平坦かつ有限表示であり、 \(\mathcal{F}|_{X_U}\) は \(U\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_{X_U}\) 上有限表示である。

証明

結論を急ぐ読者のために述べると、この証明は命題 052A の証明で、代数、補題 051Z を代数、補題 051T の代わりに用いたものである。

平坦性と有限表示性は基底について局所的である （補題 01U4 および 01TQ 参照）から、 \(S\) 上アフィン局所的に考えてよい。 従って \(S = \Spec(A)\) と仮定でき、ここで \(A\) は被約環である （性質、補題 01OL 参照）。 \(f\) は有限型なので準コンパクトであり、従って \(X\) は準コンパクトである。 よって有限アフィン開被覆 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) が取れる。 \(X_i = \Spec(B_i)\) と書く。 このとき \(B_i\) は有限型 \(A\)-代数である。補題 01T2 参照。 さらに有限型の \(B_i\)-加群 \(M_i\) が存在し、\(\mathcal{F}|_{X_i}\) は \(B_i\)-加群 \(M_i\) に付随する準連接層となる。性質、補題 01PB 参照。 次に、添字の各対 \(i, j\) に対してイデアル \(I_{ij} \subset B_i\) を、 \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\) が \(X_i = \Spec(B_i)\) の中で成り立つように取る。 \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\) とおき、これを \(B_i\)-加群とみなす。 すると \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\) であり、 \(M_{ij}\) は有限 \(B_i\)-加群である。

ここで代数、補題 051Z を、 対 \((A \to B_i, M_{ij})\) および対 \((A \to B_i, M_i)\) に適用する。 これにより、稠密開集合 \(U(A \to B_i, M_{ij}) \subset S\) および 稠密開集合 \(U(A \to B_i, M_i) \subset S\) が得られる。 記法は代数、式 (051V) のとおりである。 有限個の稠密開集合の共通部分は稠密開集合なので、 \[U = \bigcap\nolimits_{i, j} U(A \to B_i, M_{ij}) \quad\cap\quad \bigcap\nolimits_i U(A \to B_i, M_i)\] は \(S\) の開稠密集合である。この \(U\) が求める開集合であると主張する。

\(u \in U\) を取る。集合 \(U(A \to B_i, M_{ij})\) および \(U(A \to B, M_i)\) の定義により、\(f_{ij}, f_i \in A\) が存在して次が成り立つ。 (a) \(u \in D(f_i)\) かつ \(u \in D(f_{ij})\)。 (b) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\) は平坦かつ有限表示であり、 \(M_{ij, f_{ij}}\) は \(A_{f_{ij}}\) 上平坦かつ \(B_{i, f_{ij}}\) 上有限表示である。 (c) \(B_{i, f_i}\) は \(A_{f_i}\) 上平坦かつ有限表示であり、 \(M_{i, f_i}\) は \(B_{i, f_i}\) 上有限表示かつ \(A_{f_i}\) 上平坦である。 \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\) とおく。 すると、\(X \to S\) が \(D(f)\) 上平坦かつ有限表示であり、 \(\mathcal{F}\) を \(X_{D(f)}\) に制限したものが \(D(f)\) 上平坦かつ \(X_{D(f)}\) の構造層上有限表示であることを示せば十分である。

従って \(A\) を \(A_f\) で置き換えてよい。すなわち、 \(\Spec(A_f) \to S\) による基底変換を行う。 この基底変換の後では、各 \(A \to B_i\) は平坦かつ有限表示であり、 \(M_i\), \(M_{ij}\) は \(A\) 上平坦かつ \(B_i\) 上有限表示である。 これにより、\(X \to S\) は準コンパクト、局所有限表示かつ平坦であり、 \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦かつ \(\mathcal{O}_X\) 上有限表示であることが 既に分かる。補題 01TQ および性質、補題 01PC 参照。 \(M_{ij}\) は \(B_i\) 上有限表示なので、 \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\) は \(X_i\) の準コンパクト開集合である。代数、補題 051B 参照。 従って、スキーム、補題 01KO により \(X \to S\) は準分離的である。これで命題が証明された。

注意

上の結果は、スキームの射に対するより精密な平坦化の手法への第一歩である。 Raynaud と Gruson の論文 [GruRay] には、 この方向における多くの優れた結果が含まれている。

射とファイバーの次元

\(X\) を位相空間とし、\(x \in X\) とする。 \(\dim_x(X)\) は、\(x\) の \(X\) における開近傍の次元の最小値として 定義したことを思い出そう。位相、定義 0055 参照。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(x \in X\) とし、\(s = f(x)\) とおく。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)).\]

証明

直ちに \(S = s\) かつ \(X\) がアフィンの場合に帰着する。 この場合、主張は代数、補題 00P1 から従う。

補題

\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to S\) をスキームの射とする。 \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\), \(s = g(y)\) とおく。 \(f\) および \(g\) は局所有限型であると仮定する。このとき \[\dim_x(X_s) \leq \dim_x(X_y) + \dim_y(Y_s).\] さらに、\(\mathcal{O}_{X_s, x}\) が \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\) 上平坦ならば 等号が成り立つ。この平坦性は、例えば \(\mathcal{O}_{X, x}\) が \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦ならば成り立つ。

証明

\(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(y))\) に注意する。従って補題 02FX により、 主張は \[\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}).\] と同値である。これについては代数、補題 00OM を参照。 平坦な場合については代数、補題 00ON を参照。

補題

スキームのファイバー積図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] を考える。\(f\) は局所有限型であると仮定する。 \(x' \in X'\), \(x = g'(x')\), \(s' = f'(x')\) および \(s = g(s') = f(x)\) とする。このとき

1. \(\dim_x(X_s) = \dim_{x'}(X'_{s'})\)。

2. \(F\) が射 \(X'_{s'} \to X_s\) の \(x\) 上のファイバーならば、 \[\dim(\mathcal{O}_{F, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) - \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) - \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\] 特に \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) \geq \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\) かつ \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) \geq \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\)。

3. \(s', s, x\) が与えられたとき、\(x'\) を \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\) および \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\) が成り立つように選べる。

証明

(1) は代数、補題 00P4 から直ちに従う。(2) と (3) は代数、補題 0CWE から従う。

次の補題は、非自明な代数的結果、すなわち Zariski の主定理の代数的な形から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(n \geq 0\) とする。\(f\) は局所有限型であると仮定する。 集合 \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] は \(X\) の開集合である。

証明

これは代数、補題 00QH から直ちに従う。

補題

\(f : X \to Y\) を有限型の射とし、\(Y\) は準コンパクトとする。 このとき \(f\) のファイバーの次元は有界である。

証明

補題 02FZ により、 集合 \(U_n \subset X\)、すなわちファイバーの次元が \(\leq n\) である点の集合は開集合である。 \(f\) は有限型なので、各点はいずれかの \(U_n\) に属する （体上有限型の代数の次元は有限だからである）。 \(Y\) は準コンパクトであり、\(f\) は有限型なので、\(X\) は準コンパクトである。 従って \(X = U_n\) がある \(n\) に対して成り立つ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(n \geq 0\) とする。\(f\) は局所有限表示であると仮定する。 補題 02FZ の開集合 \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] は \(X\) において逆コンパクトである （位相、定義 005A 参照）。

証明

位相空間 \(X\) の位相には、アフィン開集合 \(U \subset X\) であって 誘導射 \(f|_U : U \to S\) があるアフィン開集合 \(V \subset S\) を経由するものからなる 基底が存在する。従って \(U \cap U_n\) が準コンパクトであることを、 そのような \(U\) に対して示せば十分である。 \(U_n \cap U\) は開集合 \(\{x \in U \mid \dim_x U_{f(x)} \leq n\}\) と同じである。 これにより \(X\) および \(S\) がアフィンの場合に帰着する。 この場合、補題は代数、補題 00QJ （および補題 01TQ）から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(x \leadsto x'\) を \(X\) の点の非自明な特殊化とし、 これらの点は同じ点 \(s \in S\) の上にあるとする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき

1. \(\dim_x(X_s) \leq \dim_{x'}(X_s)\)。

2. \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X_s, x'})\)。

3. \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) > \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x'))\)。

証明

(1) は、\(X_s\) の開集合で \(x'\) を含むものはすべて \(x\) も含むことから従う。 (2) について、\(\mathcal{O}_{X_s, x}\) は \(\mathcal{O}_{X_s, x'}\) を ある素イデアルで局所化したものである。従って \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) の 素イデアルの任意の鎖は、\(\mathcal{O}_{X_s, x'}\) の真に長い素イデアルの鎖の一部となる。 最後の不等式は代数、補題 06RP から従う。

与えられた相対次元をもつ射

与えられた相対次元をもつ射について容易に述べられるよう、次の概念を導入する。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。

1. \(f\) の相対次元が \(\leq d\) である（点 \(x\) において）とは、 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\) が成り立つことをいう。

2. \(f\) の相対次元が \(\leq d\) であるとは、 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\) がすべての \(x \in X\) に対して成り立つことをいう。

3. \(f\) の相対次元が \(d\) であるとは、 空でないファイバー \(X_s\) がすべて次元 \(d\) の等次元スキームであることをいう。

この概念は特に振る舞いがよいものではないが、多くの状況ではうまく機能する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型のスキームの射とする。 \(f\) の相対次元が \(d\) ならば、\(f\) の任意の基底変換についても同じことが成り立つ。 相対次元が \(\leq d\) であることについても同様である。

証明

これは補題 02FY から直ちに従う。

補題

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) は局所有限型とする。 \(f\) の相対次元が \(\leq d\) であり、\(g\) の相対次元が \(\leq e\) ならば、 \(g \circ f\) の相対次元は \(\leq d + e\) である。 また、

1. \(f\) の相対次元は \(d\) である。

2. \(g\) の相対次元は \(e\) である。

3. \(f\) は平坦である。

が成り立つならば、\(g \circ f\) の相対次元は \(d + e\) である。

証明

これは補題 02JS から直ちに従う。

一般には、射を相対次元が一定となる部分に分解することはできない。 しかし、射のファイバーが Cohen-Macaulay であり、射が平坦かつ有限表示ならば そのような分解が可能である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 次を仮定する。

1. \(f\) は平坦である。

2. \(f\) は局所有限表示である。

3. すべての \(s \in S\) に対してファイバー \(X_s\) は Cohen-Macaulay である （性質、定義 02IO）。

このとき、開かつ閉な部分スキーム \(X_d \subset X\) が存在して、 \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\) であり、\(f|_{X_d} : X_d \to S\) の 相対次元は \(d\) である。

証明

これは代数、補題 00RL から直ちに従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。 \(x \in X\) とし、\(s = f(x)\) とおく。 このとき、\(f\) が \(x\) で準有限であることと \(\dim_x(X_s) = 0\) は同値である。 特に、\(f\) が局所準有限であることと、\(f\) の相対次元が \(0\) であることは同値である。

証明

第一の証明。 \(f\) が \(x\) で準有限ならば、\(\kappa(x)\) は \(\kappa(s)\) の有限拡大であり （補題 01TG）、 \(x\) は \(X_s\) の孤立点である （補題 01TH）。 従って、補題 02FX により \(\dim_x(X_s) = 0\) である。 逆に、\(\dim_x(X_s) = 0\) ならば、補題 02FX により、 \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) は代数拡大であり、 \(X_s\) の点で \(x\) に特殊化するものはほかに存在しない。 よって、補題 01TE により \(x\) はそのファイバーで閉点であり、補題 01TH (3) により、 \(f\) は \(x\) で準有限であると結論できる。

第二の証明。ファイバー \(X_s\) は体上局所有限型のスキームなので、 局所 Noether 的である（補題 01T6）。 従って、主張は補題 01TH および性質、補題 0H7C から従う。

補題

\(f : X \to Y\) を局所 Noether スキームの射で、 平坦、局所有限型かつ相対次元 \(d\) のものとする。 任意の点 \(x\) が \(X\) に属し、その像 \(y\) が \(Y\) に属するとき、 \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\) が成り立つ。

証明

\(X\) および \(Y\) を \(x\) および \(y\) の開近傍に縮小することで、 \(\dim(X) = \dim_x(X)\) かつ \(\dim(Y) = \dim_y(Y)\) と仮定してよい。 これは点におけるスキームの次元の定義による （性質、定義 04MT）。 射 \(f\) は補題 01TX および 01UA により開射である。 従って \(Y\) を縮小して \(f\) が全射であるようにできる。 残るのは \(\dim(X) = \dim(Y) + d\) を示すことである。

\(a\) を \(X\) の点とし、その像 \(b\) は \(Y\) に属するとする。 代数、補題 00ON により、 \[\dim(\mathcal{O}_{X,a}) = \dim(\mathcal{O}_{Y,b}) + \dim(\mathcal{O}_{X_b, a}).\] 点 \(a\) を \(X\) 全体にわたって動かして上限を取ると、求める \(\dim(X) = \dim(Y) + d\) が従う。性質、補題 04MU 参照。

Syntomic 射

代数 \(A\) が体 \(k\) 上の代数であるとき、 \(k\) 上の大域完全交叉であるとは、 \(A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) かつ \(\dim(A) = n - c\) と書けることをいう。 代数 \(A\) が体 \(k\) 上の代数であるとき、 局所完全交叉であるとは、\(\Spec(A)\) を標準開集合で被覆でき、 それぞれが \(k\) 上の大域完全交叉となることをいう。 代数、節 00S8 参照。 環準同型 \(R \to A\) がsyntomic であるとは、有限表示かつ平坦であり、 ファイバーが局所完全交叉環であることをいう。代数、定義 00SL 参照。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が点 \(x \in X\) において syntomic であるとは、 アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset X\) が \(x\) に対して存在し、 アフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) が存在して、 \(f(U) \subset V\) であり、誘導される環準同型 \(R \to A\) が syntomic となることをいう。

2. \(f\) がsyntomic であるとは、\(X\) のすべての点で syntomic であることをいう。

3. \(S = \Spec(k)\) であり \(f\) が syntomic であるとき、 \(X\) は\(k\) 上の局所完全交叉であるという。

4. アフィンスキームの射 \(f : X \to S\) が標準 syntomic であるとは、 大域相対完全交叉 \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) （代数、定義 00SP 参照）が存在し、 \(X \to S\) が \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] と同型であることをいう。

文献によっては、syntomic 射は平坦な局所完全交叉射と呼ばれる。 これは扱いやすい射のクラスである。 例えば、これらの射を用いて syntomic 位相を定義できる。この位相は滑らかな位相や エタール位相より細かいが、それらと多くの形式的性質を共有する。

大域相対完全交叉（標準 syntomic 環準同型の定義に用いたもの）は、特に平坦である。 射の詳論、節 068E では、射 \(X \to S\) で局所的に \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] という形をもち、ある Koszul 正則列 \(f_1, \ldots, f_r\) が \(R[x_1, \ldots, x_n]\) の中に存在するものを考える。 そのような射を局所完全交叉射と呼ぶ。 この定義を導入すると、射が syntomic であることと、 平坦な局所完全交叉射であることは同値となる。

syntomic 射の定義には、分離性や準コンパクト性の仮定がないことに注意する。 従って、syntomic であるかどうかは始域について局所的な問題である。 正確な結果は次のとおりである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は syntomic である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものについて、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は syntomic である。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) および開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) が存在し、 各射 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) は syntomic である。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) およびアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) が存在し、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) は すべての \(j\in J, i\in I_j\) に対して syntomic である。

さらに、\(f\) が syntomic ならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対して、 制限 \(f|_U : U \to V\) は syntomic である。

証明

性質「\(R \to A\) は syntomic である」が局所的であることを示せば、 補題 01ST から従う。 定義 01SR の条件 (a), (b), (c) を確認する。 代数、補題 00SN により、 syntomic 性は基底変換で保たれるので、(a) が成り立つ。 代数、補題 00SZ により、 syntomic 性は合成で保たれる。また、任意の環 \(R\) について 環準同型 \(R \to R_f\) は明らかに syntomic である。 従って (b) が成り立つ。最後に、性質 (c) は代数、補題 00SO によって成り立つ。

補題

二つの syntomic 射の合成は syntomic である。

証明

補題 01UD の証明において、 syntomic 性が環準同型の局所的性質であることを見た。 従って、この補題の最初の主張は補題 01SV と、 syntomic 性が合成で保たれる環準同型の性質であること （代数、補題 00SZ 参照）を合わせると従う。

補題

syntomic 射の基底変換は syntomic である。

証明

補題 01UD の証明において、 syntomic 性が環準同型の局所的性質であることを見た。 従って、この補題は補題 01SV と、 syntomic 性が基底変換で保たれる環準同型の性質であること （代数、補題 00SN 参照）を合わせると従う。

補題

任意の開埋め込みは syntomic である。

証明

開埋め込みは局所同型なので成り立つ。

補題

syntomic 射は局所有限表示である。

証明

syntomic 環準同型は定義により有限表示なので成り立つ。

補題

syntomic 射は平坦である。

証明

syntomic 環準同型は定義により平坦なので成り立つ。

補題

syntomic 射は普遍開である。

証明

補題 01UK, 01UL および 01UA を組み合わせる。

\(k\) を体とする。\(A\) を局所 \(k\)-代数であって \(k\) 上本質的有限型のものとする。 \(A\) が\(k\) 上の完全交叉であるとは、 \(A \cong R/(f_1, \ldots, f_c)\) と書けることをいう。ここで \(R\) は \(k\) 上本質的有限型の正則局所環であり、 \(f_1, \ldots, f_c\) は \(R\) の正則列である。 代数、定義 00SD 参照。

補題

\(k\) を体とする。 \(X\) を \(k\) 上局所有限型のスキームとする。 次は同値である。

1. \(X\) は \(k\) 上の局所完全交叉である。

2. すべての \(x \in X\) に対して、アフィン開集合 \(U = \Spec(R) \subset X\) が \(x\) の近傍として存在し、 \(R \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) は \(k\) 上の大域完全交叉である。

3. すべての \(x \in X\) に対して、局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(k\) 上の完全交叉である。

証明

対応する代数の結果は、代数、補題 00SG および 00SH にある。

次の補題によれば、任意の syntomic 射は局所的に標準 syntomic である。 従って、標準 syntomic 射を syntomic 射の局所モデルとして用いることができる。 さらに、有限表示の平坦射が syntomic であることと、 ファイバーが局所完全交叉スキームであることは同値である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。点 \(x \in X\) の像を \(s = f(x)\) とする。\(V \subset S\) を \(s\) のアフィン開近傍とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は \(x\) で syntomic である。

2. アフィン開集合 \(U \subset X\) が存在し、\(x \in U\) かつ \(f(U) \subset V\) であり、\(f|_U : U \to V\) は標準 syntomic である。

3. 射 \(f\) は \(x\) において有限表示であり、局所環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は平坦であり、 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x}\) は \(\kappa(s)\) 上の完全交叉である （代数、定義 00SD 参照）。

証明

定義および代数、補題 00SY から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) が平坦かつ局所有限表示であり、すべてのファイバー \(X_s\) が 局所完全交叉ならば、\(f\) は syntomic である。

証明

補題 01UG および 01UE と、局所環の同型 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x} \cong \mathcal{O}_{X_s, x}\) から明らかである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。集合 \[T = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x} \text{ is a complete intersection over }\kappa(f(x))\}\] の形成は任意の基底変換と可換である。 すなわち、任意の射 \(g : S' \to S\) に対して、 基底変換 \(f' : X' \to S'\) を \(f\) から得て、 射影 \(g' : X' \to X\) を考える。このとき対応する集合 \(T'\) は、 射 \(f'\) に対して \(T' = (g')^{-1}(T)\) を満たす。 特に、\(f\) が平坦かつ局所有限表示であると仮定すると、 \(f\) が syntomic である点の開集合についても同じことが成り立つ。

証明

\(s' \in S'\) を点とし、\(s = g(s')\) とおく。このとき \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] である。言い換えると、基底変換のファイバーはファイバーの基底変換である。 従って最初の主張は、代数、補題 00SI と同値である。 第二の主張は最初の主張から従う。実際、この場合、\(T\) は \(f\) が syntomic である点の集合であることが補題 01UE により分かる。

補題

\(R\) を環とする。 \(R \to A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) を相対大域完全交叉とする。 \(S = \Spec(R)\) および \(X = \Spec(A)\) とおく。 射 \(f : X \to S\) で環準同型 \(R \to A\) に付随するものを考える。 関数 \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\) は定数であり、その値は \(n - c\) である。

証明

代数、定義 00SP により、 \(R \to A\) が相対大域完全交叉であるということは、 零でないすべてのファイバー環の次元が \(n - c\) であることを意味する。 従って、\(\mathfrak p\) を \(R\) の素イデアルとすると、ファイバー環 \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\) は零であるか、次元 \(n - c\) の大域完全交叉環である。 代数、定義 00S9 の後の議論により、 このことから、それは次元 \(n - c\) の等次元環であることが分かる。 よって補題が従う。

補題

\(f : X \to S\) を syntomic 射とする。 関数 \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\) は \(X\) 上局所定数である。

証明

補題 01UE により、 射 \(f\) は局所的にアフィンスキーム間の標準 syntomic 射の形をしている。 従って主張は補題 02K0 から従う。

補題 02K1 により、次の定義は意味をもつ。

定義

\(d \geq 0\) を整数とする。スキームの射 \(f : X \to S\) が 相対次元 \(d\) の syntomic 射であるとは、\(f\) が syntomic であり、 関数について \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\) がすべての \(x \in X\) に対して成り立つことをいう。

言い換えると、\(f\) は syntomic であり、空でないファイバーは次元 \(d\) の等次元スキームである。

補題

スキームの射の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] を考える。次を仮定する。

1. \(f\) は全射かつ syntomic である。

2. \(p\) は syntomic である。

3. \(q\) は局所有限表示である⁸。

このとき \(q\) は syntomic である。

証明

補題 02JZ により \(q\) は平坦である。 従って \(Y \to S\) のファイバーが局所完全交叉であることを示せば十分である。 補題 01UF 参照。 \(s \in S\) とし、射 \(X_s \to Y_s\) を考える。 これは射 \(X \to Y\) の基底変換なので、全射かつ syntomic である （補題 01UI）。 同じ理由により \(X_s\) は \(\kappa(s)\) 上 syntomic である。 さらに \(Y_s\) は \(\kappa(s)\) 上局所有限型である （補題 01T4）。 このようにして、\(S\) が体のスペクトルである場合に帰着する。

\(S = \Spec(k)\) と仮定する。\(y \in Y\) とする。 アフィン開集合 \(\Spec(A) \subset Y\) を \(y\) の近傍として取る。 \(\Spec(B) \subset X\) をアフィン開集合であって、 \(f(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\) であり、点 \(x \in X\) で \(f(x) = y\) を満たすものを含むように取る。 全射 \(k[x_1, \ldots, x_n] \to A\) を取り、その核を \(I\) とする。 全射 \(A[y_1, \ldots, y_m] \to B\) を取ると、さらに全射 \(k[x_i, y_j] \to B\) が得られ、その核を \(J\) とする。 素イデアル \(\mathfrak q \subset k[x_i, y_j]\) を \(y \in \Spec(B)\) に対応するものとし、 素イデアル \(\mathfrak p \subset k[x_i]\) を \(x \in \Spec(A)\) に対応するものとする。 \(x\) は \(y\) に写るので、\(\mathfrak p = \mathfrak q \cap k[x_i]\) である。 次の局所環の可換図式を考える。 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, x} \ar@{=}[r] & B_{\mathfrak q} & k[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]_{\mathfrak q} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y, y} \ar@{=}[r] \ar[u] & A_{\mathfrak p} \ar[u] & k[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak p} \ar[l] \ar[u] }\] 代数、補題 02JP の仮定が満たされると主張する。 条件 (1) と (2) は明らかである。条件 (4) は \(X \to Y\) が平坦であることから従う。 条件 (3) は、環 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) および \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) が、 \(f\) および \(p\) は syntomic という仮定により完全交叉環であることから従う。 補題 01UE 参照。 代数、補題 02JP の結論は、まさに \(\mathcal{O}_{Y, y}\) が完全交叉環であるということである！ 従って再び補題 01UE により、 \(Y\) は \(k\) 上、点 \(y\) で syntomic であり、求める結果が得られる。

埋め込みの余法層

\(i : Z \to X\) を閉埋め込みとする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を対応する準連接イデアル層とする。 短完全列 \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] を \(X\) 上の準連接層の列として考える。 層 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) は \(\mathcal{I}\) により零化されるので、 補題 01QY により \(Z\) 上の層に対応する。 この準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群を \(Z\) の \(X\) における余法層と呼ぶ。 しばしば、節 01QX で述べた 記法の濫用によって、単に \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) と書く。

\(i : Z \to X\) が（局所閉）埋め込みである場合には、 \(i\) の余法層を、閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) の余法層として定義する。 ここで \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\) である。 これをしばしば \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) と書く。ただし \(\mathcal{I}\) は 閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) のイデアル層である。

定義

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。 余法層 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)（\(Z\) の \(X\) におけるもの）、 あるいは\(i\) の余法層とは、上で述べた準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) である。

[EGA, IV Definition 16.1.2] では、この層を \(\mathcal{N}_{Z/X}\) と書く。 ここではこの慣習には従わない。記号 \(\mathcal{N}_{Z/X}\) は 埋め込みの法層のために取っておきたいからである。 これは \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] と定義される。ただし余法層は有限表示であるとする （そうでなければ、法層は準連接ですらないかもしれない）。 法層については後で再び扱う（ここに後の参照を挿入）。

補題

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。 \(i\) の余法層は次の性質をもつ。

1. \(U \subset X\) を任意の開部分スキームであって、 \(i\) が \(Z \xrightarrow{i'} U \to X\) と分解し、 \(i'\) が閉埋め込みとなるものとする。 \(\mathcal{I} = \Ker((i')^\sharp) \subset \mathcal{O}_U\) とおく。このとき \[\mathcal{C}_{Z/X} = (i')^*\mathcal{I}\quad\text{and}\quad i'_*\mathcal{C}_{Z/X} = \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\]

2. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset X\) で \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) を満たすものに対して、標準同型 \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X}) = I/I^2\) が存在する。

証明

ほとんど定義から明らかである。環 \(R\) とイデアル \(I\) が \(R\) に与えられたとき、 \(I/I^2 = I \otimes_R R/I\) であることに注意する。詳細は省略する。

補題

スキームの圏における可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を考える。\(i\), \(i'\) は埋め込みであると仮定する。 \(\mathcal{O}_Z\)-加群の標準写像 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\] が存在し、次の性質で特徴づけられる。任意のアフィン開集合の対 \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\) で \(g(U) \subset U'\) かつ \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) および \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\) を満たすものについて、誘導写像 \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X'}) = I'/I'^2 \longrightarrow I/I^2 = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X})\] は環準同型 \(g^\sharp : R' \to R\) から誘導される写像である。 この環準同型は \(g^\sharp(I') \subset I\) を満たす。

証明

\(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) および \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\) とおく。 これらはそれぞれ \(X'\) および \(X\) の閉部分集合である。 \(X'\) を \(X' \setminus \partial Z'\) で、\(X\) を \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\) で置き換えることで、 \(i\) および \(i'\) は閉埋め込みであると仮定してよい。

\(g \circ i\) が \(i'\) を経由することから、 \(g^*\mathcal{I}'\) は \(\mathcal{I}\) に、標準写像 \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\) の下で写る。 スキーム、補題 01HP および 01HQ 参照。 従って準連接層の誘導写像 \(g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) が得られる。 \(i\) によって引き戻すと、 \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\) を得る。 \(i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) = \mathcal{C}_{Z/X}\) に注意する。一方、 \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*(i')^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X'}\) である。 これにより、求める写像が得られる。

この写像が局所的に上記の写像 \(I'/(I')^2 \to I/I^2\) で記述されることの確認は、 定義を展開するだけなので省略する。 また、任意の \(x \in i(Z)\) に対し、アフィン開近傍 \(U\), \(U'\) が存在し、 \(f(U) \subset U'\) であり、\(Z \cap U\) および \(U' \cap Z'\) は閉であり、 \(x \in U\) となる。証明は省略する。 従って、補題の条件は確かに写像を特徴づける （そしてこの条件を用いて写像を定義することもできた）。

補題

スキームの圏におけるファイバー積図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を考え、\(i\), \(i'\) は埋め込みとする。 このとき、標準写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)、 すなわち補題 01R4 の写像は全射である。 \(g\) が平坦ならば、これは同型である。

証明

\(R' \to R\) を環準同型とし、\(I' \subset R'\) をイデアルとする。 \(I = I'R\) とおく。このとき \(I'/(I')^2 \otimes_{R'} R \to I/I^2\) は全射である。 \(R' \to R\) が平坦ならば、\(I = I' \otimes_{R'} R\) および \(I^2 = (I')^2 \otimes_{R'} R\) であり、この写像は同型であることが分かる。

補題

\(Z \to Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。このとき標準完全列 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] が存在する。ここで写像は補題 01R4 から得られ、 \(i : Z \to Y\) は最初の射である。

証明

補題 01R4 により、これは次の代数的事実に言い換えられる。 \(C \to B \to A\) を全射環準同型とする。 \(I = \Ker(B \to A)\), \(J = \Ker(C \to A)\) および \(K = \Ker(C \to B)\) とおく。 このとき完全列 \[K/K^2 \otimes_B A \to J/J^2 \to I/I^2 \to 0.\] が存在する。これは \(I = J/K\) という観察から直ちに従う。

射の微分層

可換代数の章の対応する節（代数、節 00RM） および加群の層の章の対応する節（加群、節 08RL）に目を通すことを勧める。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 微分層 \(\Omega_{X/S}\)（\(X\) の \(S\) 上のもの）とは、 \(f\) を環付き空間の射とみなしたときの微分層 （加群、定義 08RT）であり、 その普遍 \(S\)-導分 \[\text{d}_{X/S} : \mathcal{O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}.\] を備えたものである。

\(\Omega_{X/S}\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 これは例えば、対角射 \(\Delta : X \to X \times_S X\) の余法層と同型であること （補題 08S2）から分かる。 ここでは \(X\) の \(S\) 上の微分加群を、普遍性、すなわち普遍導分の値域であることを 用いて定義した。相対微分層の別の構成がこの普遍性を満たすならば、 米田の補題により、それは上で定義したものと標準的に同型となる。 便宜のため、ここで普遍性を再掲する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。写像 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}),\quad \alpha \longmapsto \alpha \circ \text{d}_{X/S}\] は関手 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets}\) の同型である。

証明

これは定義の言い換えにすぎない。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(U \subset X\), \(V \subset S\) を開部分スキームで \(f(U) \subset V\) を満たすものとする。このとき、同型 \(\Omega_{X/S}|_U = \Omega_{U/V}\) が \(\mathcal{O}_U\)-加群の同型として一意に存在し、 \(\text{d}_{X/S}|_U = \text{d}_{U/V}\) を満たす。

証明

標準的な同一視 \(f^{-1}\mathcal{O}_S|_U = (f|_U)^{-1}\mathcal{O}_V\) を用いれば、 これは加群、補題 08RQ の特別な場合である。

今後はこれらの標準的な同一視を用い、\(\Omega_{U/S}\) あるいは \(\Omega_{U/V}\) と 単に書くことで、\(\Omega_{X/S}\) の \(U\) への制限を表す。

補題

\(R \to A\) を環準同型とする。\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の層で \(X = \Spec(A)\) 上のものとする。 \(S = \Spec(R)\) とおく。 \(S\)-導分で \(\mathcal{F}\) に値をもつものに、その大域切断への作用を対応させる規則は、 \(S\)-導分で \(\mathcal{F}\) に値をもつものの集合と、 \(R\)-導分で \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\) に値をもつものの集合との間の全単射を定める。

証明

\(D : A \to M\) を \(R\)-導分とする。 一意な \(S\)-導分で \(\mathcal{F}\) に値をもち、 大域切断上で \(D\) を与えるものが存在することを示す。 \(U = D(f) \subset X\) を標準アフィン開集合とする。 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) の任意の元は \(a/f^n\) という形であり、 ここで \(a \in A\) および \(n \geq 0\) である。Leibniz 則により \[D(a)|_U = a/f^n D(f^n)|_U + f^n D(a/f^n)\] が \(\Gamma(U, \mathcal{F})\) において成り立つ。 \(f\) は \(\Gamma(U, \mathcal{F})\) に可逆に作用するので、 これは \(D(a/f^n) \in \Gamma(U, \mathcal{F})\) の値を完全に決定する。 これで一意性が示された。存在については、単に \[D(a/f^n) := (1/f^n) D(a)|_U - a/f^{2n} D(f^n)|_U\] と定義し、これが必要なすべての性質を満たすことを （\(X\) の標準開集合からなる基底上で）証明すればよい。詳細は省略する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。任意のアフィン開集合の対 \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対して、一意な同型 \[\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}.\] が存在し、\(\text{d}_{X/S}\) および \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\) と両立する。

証明

補題 01US により、 \(X\) および \(S\) を \(U\) および \(V\) で置き換えてよい。 従って \(X = \Spec(A)\) および \(S = \Spec(R)\) と仮定でき、 \(U = X\) かつ \(V = S\) として補題を示せばよい。 \(A\)-加群 \(M = \Gamma(X, \Omega_{X/S})\) を、 \(R\)-導分 \(\text{d}_{X/S} : A \to M\) とともに考える。 \(N\) を別の \(A\)-加群とし、\(\widetilde{N}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群で \(N\) に付随するものとする。 スキーム、節 01I6 参照。 \(\text{d}_{X/S} : A \to M\) との前合成によって、矢 \[\alpha : \Hom_A(M, N) \longrightarrow \text{Der}_R(A, N)\] を得る。補題 01UR および 01UO を用いると、同一視 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) = \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \widetilde{N}) = \text{Der}_R(A, N)\] を得る。大域切断を取ることにより、矢 \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) \to \Hom_R(M, N)\) が定まる。 この矢と上の同一視を組み合わせると、矢 \[\beta : \text{Der}_R(A, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] を得る。大域切断上での作用を調べると、\(\alpha\) と \(\beta\) は互いに逆である。 従って \(\text{d}_{X/S} : A \to M\) は \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\) と同じ普遍性を満たす。 代数、補題 00RO 参照。 よって米田の補題（圏、補題 001P）から、 \(A\)-加群の一意な同型 \(M \cong \Omega_{A/R}\) で導分と両立するものが存在する。

注意

上の補題は、微分加群を構成する第二の方法を与える。 すなわち、\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 すべてのアフィン開集合 \(U \subset X\) で、\(S\) のあるアフィン開集合に写るものを考える。 これらは \(X\) の位相の基底をなす。 従って \(\Gamma(U, \Omega_{X/S})\) をそのような \(U\) に対して定めれば十分である。 単に \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\) とおく。 ここで \(A\), \(R\) は上の補題 01UT のとおりである。 この方法でも構成できるが、制限写像を構成し層条件を確認するには、 やや多くの代数的準備が必要となる。

次の補題は、微分層を定義するさらに別の方法を与える。 特に、\(\Omega_{X/S}\) が準連接であることを、\(X\) と \(S\) がスキームの場合に示す。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\Omega_{X/S}\) と対角射 \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\) の余法層との間に標準同型が存在する。

証明

まず幾つかの「大域的な」層と層の大域的写像の存在を示し、 その後で、幾つかのアフィン開集合上でこの構成を記述する。

\(\Delta = \Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) は埋め込みであることを思い出そう。 スキーム、補題 01KJ 参照。 \(\mathcal{J}\) をこの埋め込みのイデアル層とする。 これはある開部分スキーム \(W\)（\(X \times_S X\) の中のもの）上にあり、 \(\Delta(X) \subset W\) は閉である。 スキーム、補題 01KJ の証明で 得られたものを取ることにする。 環の層 \(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\) の台は \(\Delta(X)\) に含まれることに注意する。 さらに、この層は層の短完全列 \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2 \to \Delta_*\mathcal{O}_X \to 0.\] の中に現れる。\(\Delta^{-1}\) を用いると、これを \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数の層の全射で、核が \(\Delta\) の余法層であるものとみなせる （定義 01R2 および補題 01R3 参照）。 \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X \to 0\] これは加群、補題 01UP の状況である。 射影 \(p_i : X \times_S X \to X\), \(i = 1, 2\) は環の層の写像 \((p_i)^\sharp : (p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \times_S X}\) を誘導する。 \(W\) に制限し、\(\mathcal{J}^2\) による商を取ることで、 \((p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\) を得る。 \(\Delta^{-1}p_i^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X\) なので、写像 \[s_i : \mathcal{O}_X \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2).\] を得る。\(s_1\) と \(s_2\) はともに写像 \(\Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X\) の切断であり、 加群、補題 01UP の状況になっている。 従って \(S\)-導分 \(\text{d} = s_2 - s_1 : \mathcal{O}_X \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\) を得る。 微分加群の普遍性により、一意な \(\mathcal{O}_X\)-線形写像 \[\Omega_{X/S} \longrightarrow \mathcal{C}_{X/X \times_S X},\quad f\text{d}g \longmapsto fs_2(g) - fs_1(g)\] を得る。この写像が同型であることを見るため、適当なアフィン開集合上で計算しよう。 \(X\) をアフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) で、 像がアフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) に含まれるものにより被覆できる。 スキーム、補題 01KJ の証明により、 \(U \times_V U \subset X \times_S X\) は、上の開集合 \(W\) に含まれるアフィン開集合である。 また \(U \times_V U = \Spec(A \otimes_R A)\) である。 層 \(\mathcal{J}\) はイデアル \(J = \Ker(A \otimes_R A \to A)\) に対応する。 短完全列は、\(A \otimes_R A\)-加群の短完全列 \[0 \to J/J^2 \to (A \otimes_R A)/J^2 \to A \to 0\] に対応する。切断 \(s_i\) は環準同型 \[A \longrightarrow (A \otimes_R A)/J^2,\quad s_1 : a \mapsto a \otimes 1,\quad s_2 : a \mapsto 1 \otimes a.\] に対応する。補題 01R3 により \(\Gamma(U, \mathcal{C}_{X/X \times_S X}) = J/J^2\) であり、 補題 01UT により \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\) である。 上の写像は \(a \text{d}b \mapsto a \otimes b - ab \otimes 1\) という写像であり、 これが同型であることは代数、補題 00RW で示されている。

補題

スキームの可換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] を考える。標準写像 \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) と写像 \(f_*\text{d}_{X'/S'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/S'}\) の合成は \(S\)-導分である。従って標準的な \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像 \(\Omega_{X/S} \to f_*\Omega_{X'/S'}\) を得る。 \(f_*\) と \(f^*\) の随伴性により、標準的な \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群準同型 \[c_f : f^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{X'/S'}.\] を得る。これは、\(f^*\text{d}_{X/S}(h)\) が \(\text{d}_{X'/S'}(f^* h)\) に写るという性質が、 任意の局所切断 \(h\)（\(\mathcal{O}_X\) のもの）に対して成り立つことにより一意に特徴づけられる。

証明

これは加群、補題 08RU の特別な場合である。スキームの場合には、余法層の関手性 （補題 01R4 参照）と 補題 08S2 を用いて \(c_f\) を定義することもできる。 あるいは、補題の最後の行の特徴づけを用いて、アフィン開集合上で定義された写像を 貼り合わせることもできる（代数、式 (00RQ) 参照）。

補題

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\) をスキームの射とする。 このとき標準完全列 \[f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] が存在する。ここで写像は補題 01UV の適用から得られる。

証明

これは代数、補題 00RS を層の言葉にしたものである。 また、環付き空間の射に対する一般形もある。 加群、補題 0H79 参照。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とする。 \(g : S' \to S\) をスキームの射とする。 \(X' = X_{S'}\) を \(X\) の基底変換とする。 \(g' : X' \to X\) を射影とする。このとき写像 \[(g')^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X'/S'}\] は、補題 01UV によるものとして同型である。

証明

これは代数、補題 00RV を層の言葉にしたものである。

補題

\(f : X \to S\) および \(g : Y \to S\) を同じ終域をもつスキームの射とする。 \(p : X \times_S Y \to X\) および \(q : X \times_S Y \to Y\) を射影とする。 補題 01UV から得られる写像 \[p^*\Omega_{X/S} \oplus q^*\Omega_{Y/S} \longrightarrow \Omega_{X \times_S Y/S}\] は同型を与える。

証明

補題 01V0 により、合成 \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S} \to \Omega_{X \times_S Y/Y}\) は同型であり、\(q\) についても同様である。 さらに \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S}\) の余核は \(\Omega_{X \times_S Y/X}\) であることが、 補題 01UX により分かる。これで主張が従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) が局所有限型ならば、\(\Omega_{X/S}\) は有限型の \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

証明

代数、補題 00RZ、 補題 01UT、 補題 01T2 および 性質、補題 01PB から直ちに従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) が局所有限表示ならば、\(\Omega_{X/S}\) は 有限表示の \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

証明

代数、補題 00RY、 補題 01UT、 補題 01TQ および 性質、補題 01PC から直ちに従う。

補題

\(X \to S\) が埋め込み、より一般にモノ射であれば、 \(\Omega_{X/S}\) は零である。

証明

この場合、\(\Delta_{X/S}\) は同型であり、従ってその余法層は自明である。 よって \(\Omega_{X/S} = 0\) が補題 08S2 により従う。 代数的な形は、代数、補題 00RP である。

補題

\(i : Z \to X\) を \(S\) 上のスキームの埋め込みとする。 標準完全列 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] が存在する。ここで最初の矢は \(\text{d}_{X/S}\) から誘導され、 第二の矢は補題 01UV から得られる。

証明

これは代数、補題 00RU を層の言葉にしたものである。 ただし、最初の矢を大域的に定義できることを確認する必要がある。 そこで「\(\text{d}_{X/S}\) から誘導される」という意味をここで説明する。 すなわち、\(i\) は閉埋め込みであると、\(X\) を縮小することで仮定してよい。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z \subset X\) に対応するイデアル層とする。 このとき \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\) は 部分層 \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\) を \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) に写す。 従って、写像 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) が誘導され、 これは \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-線形である。 補題 01QY により、これは求める写像 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\) に対応する。

補題

\(i : Z \to X\) を \(S\) 上のスキームの埋め込みとし、 \(i\) は（局所的に）左逆をもつと仮定する。 このとき標準列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] は、補題 01UZ の列として、 （局所的に）分裂完全である。 特に、\(s : S \to X\) が構造射 \(X \to S\) の切断ならば、 写像 \(\mathcal{C}_{S/X} \to s^*\Omega_{X/S}\) で \(\text{d}_{X/S}\) から誘導されるものは同型である。

証明

代数、補題 02HP により、 \(X, Z, S\) がアフィンの場合には主張が成り立つ。 一般の場合には、列は局所的に分裂完全であると結論できる。 \(g : X \to Z\) が \(i\) の左逆ならば、 \(i^*c_g\) は写像 \(i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S}\) の右逆である。 これは加群、補題 01UW による。 従って、ホモロジー、補題 010G により列は分裂する。 最後に、\(s\) が切断ならば、それは埋め込み \(s : Z = S \to X\) であり、 \(S\) 上の射である（スキーム、補題 01KT 参照）。 この場合、\(\Omega_{Z/S} = 0\) である。

注意

\(X \to S\) をスキームの射とする。 補題 01V1 により、 \[\Omega_{X \times_S X/S} = \text{pr}_1^*\Omega_{X/S} \oplus \text{pr}_2^*\Omega_{X/S}\] である。一方、対角射 \(\Delta : X \to X \times_S X\) は埋め込みであり、 局所的に左逆をもつ。従って、補題 0474 により、標準短完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Omega_{X/S} \oplus \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/S} \to 0\] を得る。右の矢は \((1, 1)\) であり、確かに分裂全射であることに注意する。 一方、補題 08S2 により、 同一視 \(\Omega_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\) がある。 この同一視で \(\text{d}_{X/S}(f) = s_2(f) - s_1(f)\) と選んだので、 左の矢は写像 \((-1, 1)\) となる⁹。

補題

スキームの可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] を考え、\(i\) と \(j\) は埋め込みとする。 このとき標準完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] が存在する。最初の矢は補題 01R4 から、 第二の矢は補題 01UZ から得られる。

証明

この代数的な形は、代数、補題 065V である。

有限階微分作用素

可換代数の章の対応する節（代数、節 09CH）および加群の層の章の 対応する節（加群、節 0G3P）に 目を通すことを勧める。

補題

\(R \to A\) を環準同型とする。\(f : X \to S\) を対応するアフィンスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) および \(\mathcal{G}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) が準連接ならば、写像 \[\text{Diff}^k_{X/S}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \text{Diff}^k_{A/R}(\Gamma(X, \mathcal{F}), \Gamma(X, \mathcal{G}))\] で微分作用素にその大域切断への作用を対応させるものは全単射である。

証明

\(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) と、ある \(A\)-加群 \(M\) を用いて書く。 \(N = \Gamma(X, \mathcal{G})\) とおく。 \(D : M \to N\) を \(k\) 階微分作用素とする。 一意な微分作用素 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) で、\(k\) 階であり 大域切断上で \(D\) を与えるものが存在することを示す。 \(U = D(f) \subset X\) を標準アフィン開集合とする。 このとき \(\mathcal{F}(U) = M_f\) は局所化である。 代数、補題 0G36 により、 微分作用素 \(D\) は一意な微分作用素 \[D_f : \mathcal{F}(U) = \widetilde{M}(U) = M_f \to N_f = \widetilde{N}(U)\] に拡張される。一意性から、これらの写像 \(D_f\) は貼り合わさって層の写像 \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\) を、\(X\) のすべての標準開集合からなる基底上で与える。 従って、一意な層の写像 \(\widetilde{D} : \widetilde{M} \to \widetilde{N}\) で、 これらの写像と一致するものが得られる。層、節 009H の議論による。 \(\widetilde{D}\) は標準開集合上で \(k\) 階微分作用素として与えられるので、 \(\widetilde{D}\) は \(k\) 階微分作用素である（細部は省略する）。 最後に、標準的な \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像 \(c : \widetilde{N} \to \mathcal{G}\) （スキーム、補題 01I7）を後から合成して、 \(c \circ \widetilde{D} : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を得る。 これは \(k\) 階微分作用素であることが、加群、補題 0G3R により分かる。 これで存在が示された。一意性の証明は省略する。

補題

\(a : X \to S\) および \(b : Y \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) および \(\mathcal{F}'\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) を \(k\) 階の \(X/S\) 上の微分作用素とする。 \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。 このとき一意な微分作用素 \[D' : \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] で、\(k\) 階であり \(X \times_S Y / Y\) 上で定義され、 \(D'(s \otimes t) = D(s) \otimes t\) が局所切断 \(s\)（\(\mathcal{F}\) のもの）および \(t\)（\(\mathcal{G}\) のもの）に対して成り立つものが存在する。

証明

\(X\), \(Y\) および \(S\) がアフィンの場合、補題 0G44 を通じて、 対応する代数の結果から従う。代数、補題 0G37 参照。 一般の場合には、アフィン被覆（例えば、スキーム、補題 01JS のようなもの）を用いて、 \(D'\) を大域的に構成する。詳細は省略する。

注意

\(a : X \to S\) および \(b : Y \to S\) をスキームの射とする。 \(p : X \times_S Y \to X\) および \(q : X \times_S Y \to Y\) を射影とする。 この注意では、\(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) および \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\mathcal{G}\) が与えられたとき、 \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] とおく。\(\mathcal{A}_{X/S}\) を、対象が準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、 射が \(X/S\) 上の有限階微分作用素である加法圏とする。 \(\mathcal{A}_{Y/S}\) および \(\mathcal{A}_{X \times_S Y/S}\) についても同様とする。 補題 0G45 の構成は、関手 \[\boxtimes : \mathcal{A}_{X/S} \times \mathcal{A}_{Y/S} \longrightarrow \mathcal{A}_{X \times_S Y/S}, \quad (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longmapsto \mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G}\] を定め、これは射に関して双線形である。 \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\) および \(S = \Spec(R)\) ならば、 準連接層と加群との同一視の下で、この関手は対象に対して \((M, N) \mapsto M \otimes_R N\) で与えられ、 射 \((D, D') : (M, N) \to (M', N')\) を \(D \otimes D' : M \otimes_R N \to M' \otimes_R N'\) に写す。

滑らかな射

\(f : X \to Y\) を位相空間の連続写像とする。 次の条件を考える。すべての \(x \in X\) に対して開近傍 \(x \in U \subset X\) および \(f(x) \in V \subset Y\) と整数 \(d\) が存在し、 \(f(U) \subset V\) であり、可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & V \times \mathbf{R}^d \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] }\] が得られ、ここで \(\pi\) はある開部分集合への同相写像である。 スキームの滑らかな射は、スキームの圏におけるこれらの写像の類似物である。 補題 01V7 および 補題 054L 参照。

（おそらく）予想に反して、滑らかな環準同型の概念は微分加群だけを用いて 定義されるわけではない。すなわち、\(R \to A\) が滑らかな環準同型であるとは、 \(A\) が \(R\) 上有限表示であり、\(A\) の \(R\) 上のナイーブ余接複体が、 次数 \(0\) に置かれた射影加群と擬同型であることをいう。 代数、定義 00T2 参照。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。

1. \(f\) が点 \(x \in X\) において滑らかであるとは、 アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset X\) が \(x\) に対して存在し、 アフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) が存在して、 \(f(U) \subset V\) であり、誘導される環準同型 \(R \to A\) が滑らかとなることをいう。

2. \(f\) が滑らかであるとは、\(X\) のすべての点で滑らかであることをいう。

3. アフィンスキームの射 \(f : X \to S\) が標準滑らかであるとは、 標準滑らかな環準同型 \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) （代数、定義 00T6 参照）が存在し、 \(X \to S\) が \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] と同型であることをいう。

この定義の好ましい点は、射が滑らかである点の集合が自動的に開集合となることである。

定義には分離性や準コンパクト性の仮定がないことに注意する。 従って、滑らかであるかどうかは始域について局所的な問題である。 正確な結果は次のとおりである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は滑らかである。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものについて、環準同型 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は滑らかである。

3. 開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) および開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) が存在し、 各射 \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) は滑らかである。

4. アフィン開被覆 \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) およびアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) が存在し、 環準同型 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) は、 すべての \(j\in J, i\in I_j\) に対して滑らかである。

さらに、\(f\) が滑らかならば、任意の開部分スキーム \(U \subset X\), \(V \subset S\) で \(f(U) \subset V\) を満たすものに対して、 制限 \(f|_U : U \to V\) は滑らかである。

証明

性質「\(R \to A\) は滑らかである」が局所的であることを示せば、 補題 01ST から従う。 定義 01SR の条件 (a), (b), (c) を確認する。 代数、補題 00T4 により、 滑らかさは基底変換で保たれるので、(a) が成り立つ。 代数、補題 00TD により、 滑らかさは合成で保たれる。また、任意の環 \(R\) に対して 環準同型 \(R \to R_f\) は（標準）滑らかである。 従って (b) が成り立つ。最後に、性質 (c) は代数、補題 00TC によって成り立つ。

次の補題は、滑らかな射を、滑らかなファイバーをもつ平坦な有限表示射として特徴づける。 体上滑らかなスキームについては、多様体、節 04QM で詳しく論じることに注意する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) が平坦かつ局所有限表示であり、すべてのファイバー \(X_s\) が滑らかならば、 \(f\) は滑らかである。

証明

代数、補題 00TF から従う。

補題

二つの滑らかな射の合成は滑らかである。

証明

補題 01V6 の証明において、 滑らかさが環準同型の局所的性質であることを見た。 従って、この補題の最初の主張は補題 01SV と、 滑らかさが合成で保たれる環準同型の性質であること （代数、補題 00TD 参照）を合わせると従う。

補題

滑らかな射の基底変換は滑らかである。

証明

補題 01V6 の証明において、 滑らかさが環準同型の局所的性質であることを見た。 従って、この補題は補題 01SV と、 滑らかさが基底変換で保たれる環準同型の性質であること （代数、補題 00T4 参照）を合わせると従う。

補題

任意の開埋め込みは滑らかである。

証明

開埋め込みは局所同型なので成り立つ。

補題

滑らかな射は syntomic である。

証明

代数、補題 00TA を参照。

補題

滑らかな射は局所有限表示である。

証明

滑らかな環準同型は定義により有限表示なので成り立つ。

補題

滑らかな射は平坦である。

証明

補題 01UL と 01VD を組み合わせる。

補題

滑らかな射は普遍開である。

証明

補題 01VF, 01VE および 01UA を組み合わせる。 あるいは、補題 01VD, 056F を組み合わせてもよい。

次の補題によれば、任意の滑らかな射は局所的に標準滑らかである。 従って、標準滑らかな射を滑らかな射の局所モデルとして用いることができる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(x \in X\) を点とする。 \(V \subset S\) を \(f(x)\) のアフィン開近傍とする。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は \(x\) において滑らかである。

2. アフィン開集合 \(U \subset X\) が存在し、 \(x \in U\) かつ \(f(U) \subset V\) であり、 誘導射 \(f|_U : U \to V\) は標準滑らかである。

証明

定義と、代数、補題 00T7 および 00TA から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は滑らかであると仮定する。 このとき微分加群 \(\Omega_{X/S}\)（\(X\) の \(S\) 上のもの）は有限局所自由であり、 \[\text{rank}_x(\Omega_{X/S}) = \dim_x(X_{f(x)})\] がすべての \(x \in X\) に対して成り立つ。

証明

主張は \(X\) および \(S\) について局所的である。 上の補題 01V7 により、 \(f\) はアフィンスキーム間の標準滑らかな射であると仮定してよい。 この場合、主張は代数、補題 00T7 （および相対大域完全交叉の定義、代数、定義 00SP 参照）から従う。

補題 02G1 により、次の定義は意味をもつ。

定義

\(d \geq 0\) を整数とする。スキームの射 \(f : X \to S\) が 相対次元 \(d\) の滑らかな射であるとは、 \(f\) が滑らかであり、\(\Omega_{X/S}\) が一定の階数 \(d\) の有限局所自由加群であることをいう。

言い換えると、\(f\) は滑らかであり、空でないファイバーは次元 \(d\) の等次元スキームである。 以下の補題 01V9 により、これは次の条件を課すこととも同値である。 (a) \(f\) は局所有限表示である。 (b) \(f\) は平坦である。 (c) 空でないファイバーはすべて次元 \(d\) の等次元スキームである。 (d) \(\Omega_{X/S}\) は階数 \(d\) の有限局所自由加群である。 単に \(f\) が平坦かつ有限表示であり、 \(\Omega_{X/S}\) が階数 \(d\) の有限局所自由加群であると仮定するだけでは不十分である。 反例は \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]) \to \Spec(\mathbf{F}_p[t^p])\) で与えられる。

点における滑らかさの微分による判定法を述べる。 この結果には多くの変種があり、どれも何らかの場面で役立ちうる。 ここには必要に応じてそれらを加えていく。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(x \in X\) とする。 \(s = f(x)\) とおく。 \(f\) は局所有限表示であると仮定する。 次は同値である。

1. 射 \(f\) は \(x\) において滑らかである。

2. 局所環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は平坦であり、 \(X_s \to \Spec(\kappa(s))\) は \(x\) において滑らかである。

3. 局所環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は平坦であり、 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群 \(\Omega_{X/S, x}\) は 高々 \(\dim_x(X_{f(x)})\) 個の元で生成できる。

4. 局所環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は平坦であり、 \(\kappa(x)\)-ベクトル空間 \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] は高々 \(\dim_x(X_{f(x)})\) 個の元で生成できる。

5. アフィン開集合 \(U \subset X\) および \(V \subset S\) が存在し、 \(x \in U\), \(f(U) \subset V\) であり、 誘導射 \(f|_U : U \to V\) は標準滑らかである。

6. アフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) および \(\Spec(R) = V \subset S\) が存在し、\(x \in U\) は \(\mathfrak q \subset A\) に対応し、\(f(U) \subset V\) であり、表示 \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] で、 \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_c/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_c/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_c & \partial f_2/\partial x_c & \ldots & \partial f_c/\partial x_c \end{matrix} \right)\] が \(A\) の元で \(\mathfrak q\) に属さないものに写るようなものが存在する。

証明

\(f\) が \(x\) において滑らかならば、補題 01V7 により (5) が成り立ち、 (6) は (5) を少し弱めたものである。 さらに、\(f\) が滑らかならば環準同型 \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) は平坦であり （補題 01VF 参照）、 \(\Omega_{X/S}\) は階数 \(\dim_x(X_s)\) の有限局所自由加群である （補題 02G1 参照）。 従って (1) は (3) と (4) を導く。 また、補題 01VB により (1) は (2) を導く。

補題 01V0 により、 微分加群 \(\Omega_{X_s/s}\)（ファイバー \(X_s\) の \(\kappa(s)\) 上のもの）は、 微分加群 \(\Omega_{X/S}\)（\(X\) の \(S\) 上のもの）の引き戻しである。 これにより、補題の (4) に表示した等式が得られる。 補題 01V2 により、これらの加群は有限型である。 従って、加群 \(\Omega_{X/S, x}\) と \(\Omega_{X_s/s, x}\) の生成元の最小個数は同じであり、 この \(\kappa(x)\)-ベクトル空間の次元に等しい。これは中山の補題 （代数、補題 00DV）による。 特に (3) と (4) は同値である。

代数、補題 00TF により (2) は (1) を導く。 代数、補題 00TT により (3) と (4) は (2) を導く。最後に、(6) は (5) を導く。 例えば代数、例 00T8 を参照。 また、(5) は (1) を代数、補題 00T7 によって導く。

補題

スキームのカルテジアン図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] を考える。\(W \subset X\) および \(W' \subset X'\) を、それぞれ \(f\) および \(f'\) が滑らかである点からなる開部分スキームとする。 次のいずれかが成り立つならば、\(W' = (g')^{-1}(W)\) である。

1. \(f\) は平坦かつ局所有限表示である。

2. \(f\) は局所有限表示であり、\(g\) は平坦である。

証明

まず \(f\) は局所有限型であると仮定する。集合 \[T = \{x \in X \mid X_{f(x)}\text{ is smooth over }\kappa(f(x))\text{ at }x\}\] および対応する集合 \(T' \subset X'\)（\(f'\) に対するもの）を考える。 \(T' = (g')^{-1}(T)\) と主張する。実際、\(s' \in S'\) を点とし、 \(s = g(s')\) とおく。このとき \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] である。言い換えると、基底変換のファイバーはファイバーの基底変換である。 従って主張は代数、補題 02UQ と同値である。

これにより (1) の場合が従う。実際、(1) の場合には \(T\) は \(f\) が滑らかである点の（開）集合であることが補題 01V9 により分かる。

(2) の場合、\(x' \in W'\) とする。 このとき \(g'\) は \(x'\) で平坦であり（補題 01U8）、 \(g \circ f'\) は \(x'\) で平坦である（補題 01U6）。 従って \(f\) は \(x = g'(x')\) で平坦であることが補題 02JZ により従う。 一方、\(x' \in T'\)（補題 01VB）なので、\(x \in T\) である。 よって \(f\) は \(x\) で滑らかであることが補題 01V9 により分かる。

次の補題では、滑らかな環準同型のナイーブ余接複体の \(H^{-1}\) の消滅を実際に用いる。

補題

\(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は滑らかであると仮定する。このとき \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] （補題 01UX 参照）は短完全列である。

証明

この補題の代数的な形は次のとおりである。 環準同型 \(A \to B \to C\) が与えられ、\(B \to C\) が滑らかならば、列 \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] （代数、補題 00RS の列）は完全である。 これは代数、補題 04B2 である。