Corps

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudierons la théorie des corps. Rappelons qu’un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible. De manière équivalente, les deux seuls idéaux d’un corps sont \((0)\) et \((1)\), puisque tout élément non nul est une unité. Les corps constitueront donc les cas les plus simples d’une grande partie de la théorie développée ultérieurement.

La théorie des extensions de corps présente un aspect différent de l’algèbre commutative classique puisque, par exemple, tout morphisme de corps est injectif. Il s’avère néanmoins que des questions portant sur les anneaux peuvent souvent se ramener à des questions sur les corps. Par exemple, tout anneau intègre se plonge dans un corps (son corps des fractions), et à tout anneau local (c’est-à-dire un anneau possédant un unique idéal maximal ; nous n’avons pas encore défini ce terme) est associé son corps résiduel (c’est-à-dire son quotient par l’idéal maximal). La connaissance des extensions de corps sera donc utile.

Définitions de base

Comme nous avons placé ce chapitre avant celui consacré à l’algèbre commutative, nous devons introduire ici certaines définitions élémentaires avant de les étudier plus en détail dans les chapitres d’algèbre.

Définition

Un corps est un anneau non nul dont tout élément non nul est inversible. Étant donné un corps, un sous-corps est un sous-anneau qui est lui-même un corps.

Pour un corps \(k\), nous notons \(k^*\) le sous-ensemble \(k \setminus \{0\}\). Cette notation généralise la notation usuelle \(R^*\) qui désigne le groupe des éléments inversibles d’un anneau \(R\).

Définition

Un anneau intègre, ou un domaine d’intégrité, est un anneau non nul dans lequel \(0\) est le seul diviseur de zéro.

Exemples de corps

Pour commencer, donnons plusieurs exemples de corps. Le lecteur se rappellera que, si \(R\) est un anneau et \(I \subset R\) un idéal, alors \(R/I\) est un corps si et seulement si \(I\) est un idéal maximal.

Exemple

Les nombres rationnels forment un corps. On l’appelle le corps des nombres rationnels et on le note \(\mathbf{Q}\).

Exemple

Si \(p\) est un nombre premier, alors \(\mathbf{Z}/(p)\) est un corps, noté \(\mathbf{F}_p\). En effet, \((p)\) est un idéal maximal de \(\mathbf{Z}\). Ainsi, un corps peut être fini : \(\mathbf{F}_p\) contient \(p\) éléments.

Exemple

Dans un anneau principal, tout idéal engendré par un élément irréductible est maximal. Or, si \(k\) est un corps, l’anneau de polynômes \(k[x]\) est un anneau principal. Il s’ensuit que, si \(P \in k[x]\) est un polynôme irréductible (c’est-à-dire un polynôme non constant qui n’admet pas de factorisation en facteurs de degrés plus petits), alors \(k[x]/(P)\) est un corps. Il contient naturellement une copie de \(k\). C’est une méthode très générale pour construire des corps. Par exemple, les nombres complexes \(\mathbf{C}\) peuvent être construits sous la forme \(\mathbf{R}[x]/(x^2 + 1)\).

Exemple

Rappelons qu’étant donné un anneau intègre \(A\), il existe un plongement \(A \to F\) dans un corps \(F\) construit à partir de \(A\) exactement de la même manière que \(\mathbf{Q}\) est construit à partir de \(\mathbf{Z}\). Formellement, les éléments de \(F\) sont des fractions \(a/b\) (ou, plus précisément, leurs classes d’équivalence), \(a, b \in A\), \(b \not = 0\). Comme d’habitude, \(a/b = a'/b'\) si et seulement si \(ab' = ba'\). Le corps \(F\) est appelé le corps des fractions de \(A\) (en anglais quotient field, field of fractions ou fraction field). Le corps des fractions possède la propriété universelle suivante : pour tout morphisme injectif d’anneaux \(\varphi : A \to K\) vers un corps \(K\), il existe un unique morphisme \(\psi : F \to K\) qui rende le diagramme \[\xymatrix{ F \ar[r]_\psi & K \\ A \ar[u] \ar[ru]_\varphi }\] commutatif. En effet, la façon de définir un tel morphisme est claire : on pose \(\psi(a/b) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1}\), l’injectivité de \(\varphi\) assurant que \(\varphi(b) \not = 0\) si \(b \not = 0\).

Exemple

Si \(k\) est un corps, on peut considérer le corps \(k(x)\) des fonctions rationnelles sur \(k\). C’est le corps des fractions de l’anneau de polynômes \(k[x]\). Autrement dit, c’est l’ensemble des quotients \(F/G\) avec \(F, G \in k[x]\), \(G \not = 0\), muni de la relation d’équivalence évidente.

Exemple

Soit \(X\) une surface de Riemann. Notons \(\mathbf{C}(X)\) l’ensemble des fonctions méromorphes sur \(X\). Alors \(\mathbf{C}(X)\) est un anneau pour la multiplication et l’addition des fonctions. Il s’avère qu’en fait \(\mathbf{C}(X)\) est un corps. En effet, si une fonction non nulle \(f(z)\) est méromorphe, il en va de même de \(1/f(z)\). Par exemple, soit \(S^2\) la sphère de Riemann ; l’analyse complexe nous apprend que l’anneau des fonctions méromorphes \(\mathbf{C}(S^2)\) est le corps des fonctions rationnelles \(\mathbf{C}(z)\).

Espaces vectoriels

L’une des raisons pour lesquelles les corps sont si commodes est que la théorie des modules sur un corps (c’est-à-dire des espaces vectoriels) est très simple.

Lemme

Si \(k\) est un corps, tout \(k\)-module est libre.

Démonstration

En effet, l’algèbre linéaire nous apprend qu’un \(k\)-module (c’est-à-dire un espace vectoriel) \(V\) possède une base \(\mathcal{B} \subset V\), laquelle définit un isomorphisme de l’espace vectoriel libre sur \(\mathcal{B}\) vers \(V\).

Lemme

Toute suite exacte de modules sur un corps est scindée.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 09FN, puisque tout espace vectoriel est un module projectif.

C’est une autre raison pour laquelle une grande partie de la théorie des chapitres ultérieurs dira peu de choses sur les corps, puisque les modules s’y comportent de manière si simple. Notons que le Lemme 09FP est un énoncé portant sur la catégorie des \(k\)-modules (où \(k\) est un corps), car la notion d’exactitude est intrinsèquement de nature morphique, c’est-à-dire qu’elle ne fait intervenir que des notions catégoriques, et peut en fait se formuler dans ce que l’on appelle une catégorie abélienne.

Désormais, puisque l’étude des modules sur un corps relève de l’algèbre linéaire et que la théorie des idéaux d’un corps présente peu d’intérêt, nous étudierons le véritable objet de ce chapitre : les extensions de corps.

La caractéristique d’un corps

Dans la catégorie des anneaux, il existe un objet initial \(\mathbf{Z}\) : tout anneau \(R\) reçoit un morphisme de \(\mathbf{Z}\) d’une manière et d’une seule. Pour les corps, il n’existe pas d’objet initial. Il existe néanmoins une famille d’objets telle que tout corps reçoive d’une manière unique un morphisme provenant d’exactement l’un d’entre eux, et aucun morphisme provenant des autres.

Soit \(F\) un corps. Considérons \(F\) comme un anneau afin d’obtenir un morphisme d’anneaux \(f : \mathbf{Z} \to F\). L’image de ce morphisme d’anneaux est un anneau intègre (en tant que sous-anneau d’un corps) ; le noyau de \(f\) est donc un idéal premier de \(\mathbf{Z}\). Par conséquent, le noyau de \(f\) est soit \((0)\), soit \((p)\) pour un certain nombre premier \(p\).

Dans le premier cas, \(f\) est injectif, et nous considérons alors \(\mathbf{Z}\) comme un sous-anneau de \(F\). De plus, puisque tout élément non nul de \(F\) est inversible, il est légitime de parler de \(p/q \in F\) pour \(p, q \in \mathbf{Z}\) avec \(q \not = 0\). Dans ce cas, nous pouvons donc considérer, et nous considérons, \(\mathbf{Q}\) comme un sous-anneau de \(F\). On vérifie aisément que c’est alors le plus petit sous-corps de \(F\).

Dans le second cas, c’est-à-dire lorsque \(\Ker(f) = (p)\), on voit que \(\mathbf{Z}/(p) = \mathbf{F}_p\) est un sous-anneau de \(F\). C’est manifestement le plus petit sous-corps de \(F\).

Ce raisonnement montre que tout corps contient un plus petit sous-corps, qui est soit \(\mathbf{Q}\), soit le corps fini \(\mathbf{F}_p\) pour un certain nombre premier \(p\).

Définition

La caractéristique d’un corps \(F\) est \(0\) si \(\mathbf{Z} \subset F\), et est un nombre premier \(p\) si \(p = 0\) dans \(F\). Le sous-corps premier de \(F\) est le plus petit sous-corps de \(F\) ; il s’agit soit de \(\mathbf{Q} \subset F\) si la caractéristique est nulle, soit de \(\mathbf{F}_p \subset F\) si la caractéristique est \(p > 0\).

Il est facile de voir que, si \(E \subset F\) est un sous-corps, la caractéristique de \(E\) est la même que celle de \(F\).

Exemple

La caractéristique de \(\mathbf{F}_p\) est \(p\), et celle de \(\mathbf{Q}\) est \(0\).

Extensions de corps

En général, cependant, ce ne sont pas tant les corps eux-mêmes qui nous intéressent que leurs extensions. Cette démarche est peut-être analogue à celle qui consiste à étudier non les anneaux, mais les algèbres sur un anneau fixé. Dans le cas des corps, la notion de “corps sur un autre corps” redonne simplement celle d’extension de corps, comme le montre le résultat suivant.

Lemme

Si \(F\) est un corps et \(R\) un anneau non nul, alors tout homomorphisme d’anneaux \(\varphi : F \to R\) est injectif.

Démonstration

En effet, soit \(a \in \Ker(\varphi)\) un élément non nul. On a alors \(\varphi(1) = \varphi(a^{-1} a) = \varphi(a^{-1}) \varphi(a) = 0\). Ainsi \(1 = \varphi(1) = 0\), et \(R\) est l’anneau nul.

Définition

Si \(F\) est un corps contenu dans un corps \(E\), on dit que \(E\) est une extension de corps de \(F\). Nous écrirons \(E/F\) pour indiquer que \(E\) est une extension de \(F\).

Ainsi, si \(F, F'\) sont des corps et \(F \to F'\) un homomorphisme d’anneaux quelconque, le Lemme 09FU montre qu’il est injectif, et \(F'\) peut être considéré comme une extension de \(F\), par un léger abus de langage. De façon équivalente, une extension de corps de \(F\) n’est autre qu’une \(F\)-algèbre qui est un corps. La situation est entièrement différente pour les anneaux généraux, puisqu’un homomorphisme d’anneaux n’est pas nécessairement injectif.

Soit \(k\) un corps. Il existe une catégorie des extensions de corps de \(k\). Un objet de cette catégorie est une extension \(E/k\), c’est-à-dire un morphisme de corps (nécessairement injectif) \[k \to E,\] tandis qu’un morphisme entre les extensions \(E/k\) et \(E'/k\) est un morphisme de \(k\)-algèbres \(E \to E'\) ; de façon équivalente, c’est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ E \ar[rr] & & E' \\ & k \ar[ru] \ar[lu] & }\] L’ensemble des morphismes \(E \to E'\) dans la catégorie des extensions de \(k\) sera noté \(\Mor_k(E, E')\).

Définition

Une tour de corps \(E_n/E_{n - 1}/\ldots/E_0\) consiste en une suite d’extensions de corps \(E_n/E_{n - 1}\), \(E_{n - 1}/E_{n - 2}\), \(\ldots\), \(E_1/E_0\).

Donnons quelques exemples d’extensions de corps.

Exemple

Soient \(k\) un corps et \(P \in k[x]\) un polynôme irréductible. Nous avons vu que \(k[x]/(P)\) est un corps (Exemple 09FI). Comme c’est aussi une \(k\)-algèbre de façon évidente, il s’agit d’une extension de \(k\).

Exemple

Si \(X\) est une surface de Riemann, le corps des fonctions méromorphes \(\mathbf{C}(X)\) (Exemple 09FL) est une extension de corps de \(\mathbf{C}\), car tout élément de \(\mathbf{C}\) définit sur \(X\) une fonction constante méromorphe — et même holomorphe.

Soit \(F/k\) une extension de corps. Soit \(S \subset F\) un sous-ensemble quelconque. Il existe alors une plus petite sous-extension de \(F\) (c’est-à-dire un sous-corps de \(F\) contenant \(k\)) qui contienne \(S\). Pour le voir, considérons la famille des sous-corps de \(F\) contenant \(S\) et \(k\), puis prenons leur intersection ; on vérifie qu’il s’agit d’un corps. Un argument classique montre en fait que c’est l’ensemble des éléments de \(F\) que l’on peut obtenir au moyen d’un nombre fini d’opérations algébriques élémentaires (addition, multiplication, soustraction et division) portant sur des éléments de \(k\) et de \(S\).

Définition

Soit \(k\) un corps. Si \(F/k\) est une extension de corps et \(S \subset F\), nous notons \(k(S)\) le plus petit sous-corps de \(F\) contenant \(k\) et \(S\). Nous dirons que \(S\) engendre l’extension de corps \(k(S)/k\). Si \(S = \{\alpha\}\) est un singleton, nous écrirons \(k(\alpha)\) au lieu de \(k(\{\alpha\})\). On dit que \(F/k\) est une extension de corps de type fini s’il existe un sous-ensemble fini \(S \subset F\) tel que \(F = k(S)\).

Par exemple, \(\mathbf{C}\) est engendré par \(i\) sur \(\mathbf{R}\).

Exercice

Montrer que \(\mathbf{C}\) ne possède pas de famille dénombrable de générateurs sur \(\mathbf{Q}\).

Classifions maintenant les extensions engendrées par un élément.

Lemme

Si une extension de corps \(F/k\) est engendrée par un élément, alors elle est \(k\)-isomorphe soit au corps des fonctions rationnelles \(k(t)/k\), soit à l’une des extensions \(k[t]/(P)\), où \(P \in k[t]\) est irréductible.

Nous verrons que bon nombre des cas les plus importants d’extensions de corps sont engendrés par un élément ; ce résultat est donc effectivement utile.

Démonstration

Soit \(\alpha \in F\) tel que \(F = k(\alpha)\) ; par hypothèse, un tel \(\alpha\) existe. Il existe un morphisme d’anneaux \[k[t] \to F\] qui envoie l’indéterminée \(t\) sur \(\alpha\). Son image est un anneau intègre, donc son noyau est un idéal premier. Celui-ci est donc soit \((0)\), soit \((P)\) pour un \(P \in k[t]\) irréductible.

Si le noyau est \((P)\) pour un \(P \in k[t]\) irréductible, le morphisme se factorise par \(k[t]/(P)\) et induit un morphisme de corps \(k[t]/(P) \to F\). Puisque l’image contient \(\alpha\), on voit aisément que ce morphisme est surjectif, donc est un isomorphisme. Dans ce cas, \(k[t]/(P) \simeq F\).

Si le noyau est trivial, on obtient une injection \(k[t] \to F\). On peut donc définir un morphisme du corps des fractions \(k(t)\) dans \(F\) ; à un quotient \(R(t)/Q(t)\) avec \(R(t), Q(t) \in k[t]\), on associe \(R(\alpha)/Q(\alpha)\). L’hypothèse selon laquelle \(k[t] \to F\) est injectif implique que \(Q(\alpha) \neq 0\), sauf si \(Q\) est le polynôme nul. Le corps des fractions de \(k[t]\) est le corps des fonctions rationnelles \(k(t)\) ; on obtient donc un morphisme \(k(t) \to F\) dont l’image contient \(\alpha\). Il est par conséquent surjectif, donc est un isomorphisme.

Lemme

Soient \(k\) un corps et \(E/k\), \(F/k\) des extensions de corps. Il existe alors une extension de corps commune \(M/k\), c’est-à-dire une extension de corps telle qu’il existe des morphismes \(E \to M\) et \(F \to M\) d’extensions de \(k\).

Démonstration

Nous ne démontrons ce résultat que lorsque \(E\) est une extension de corps de type fini de \(k\) ; le cas général s’en déduit par un argument de type lemme de Zorn (les détails sont omis).

Supposons d’abord que \(E\) soit une extension simple de \(k\). D’après le Lemme 09G1, cela signifie soit que \(E = k(t)\) est le corps des fonctions rationnelles, soit que \(E = k[t]/(P)\) pour un certain polynôme irréductible \(P \in k[t]\). Dans le premier cas, prenons pour \(M = F(t)\) le corps des fonctions rationnelles, muni des morphismes évidents \(E \to M\) et \(F \to M\). Dans le second cas, nous choisissons un facteur irréductible \(Q\) de l’image de \(P\) dans \(F[t]\) et prenons \(M = F[t]/(Q)\), muni des morphismes évidents \(E \to M\) et \(F \to M\).

Si \(E = k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\), une récurrence sur \(n\) permet de trouver une extension \(M/k\) et des morphismes \(F \to M\) et \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1}) \to M\). En appliquant le cas simple étudié au paragraphe précédent, on trouve une extension \(M'/k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1})\) et des morphismes \(M \to M'\) et \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \to M'\). Alors \(M'\), considéré comme une extension de \(k\), convient.

Extensions finies

Si \(F/E\) est une extension de corps, alors \(F\) est aussi, de manière évidente, un espace vectoriel sur \(E\) (l’action scalaire n’est autre que la multiplication dans \(F\)).

Définition

Soit \(F/E\) une extension de corps. La dimension de \(F\), considéré comme un \(E\)-espace vectoriel, est appelée le degré de l’extension et est notée \([F : E]\). Si \([F : E] < \infty\), on dit que \(F\) est une extension finie de \(E\).

Exemple

Le corps \(\mathbf{C}\) est un espace vectoriel de dimension deux sur \(\mathbf{R}\), de base \(1, i\). Ainsi \(\mathbf{C}\) est une extension finie de \(\mathbf{R}\) de degré 2.

Lemme

Soit \(K/E/F\) une tour d’extensions algébriques de corps. Si \(K\) est fini sur \(F\), alors \(K\) est fini sur \(E\).

Démonstration

Cela résulte directement de la définition.

Calculons maintenant le degré dans l’exemple particulier le plus important, celui fourni par le Lemme 09G1, au moyen des deux exemples suivants.

Exemple

Si \(k\) est un corps quelconque, le corps des fonctions rationnelles \(k(t)\) n’est pas une extension finie. Par exemple, les éléments \(\left\{t^n, n \in \mathbf{Z}\right\}\) sont linéairement indépendants sur \(k\).

En fait, si \(k\) est non dénombrable, alors \(k(t)\) est de dimension non dénombrable comme \(k\)-espace vectoriel. Pour le montrer, affirmons que la famille d’éléments \(\{1/(t- \alpha), \alpha \in k\} \subset k(t)\) est linéairement indépendante sur \(k\). Une relation non triviale entre eux conduirait à une contradiction : par exemple, si l’on travaille sur \(\mathbf{C}\), cela résulte du fait que \(\frac{1}{t-\alpha}\), considéré comme une fonction méromorphe sur \(\mathbf{C}\), possède un pôle en \(\alpha\) et nulle part ailleurs. Par conséquent, toute somme \(\sum c_i \frac{1}{t - \alpha_i}\), où les \(c_i \in k^*\) et les \(\alpha_i \in k\) sont distincts, aurait un pôle en chacun des \(\alpha_i\). Elle ne pourrait notamment pas être nulle.

Fait amusant, ceci donne une démonstration rapide du Nullstellensatz de Hilbert sur les nombres complexes. Pour un résultat légèrement plus général, voir Algèbre, Théorème 00FU.

Lemme

Toute extension finie de corps est une extension de corps de type fini. La réciproque est fausse.

Démonstration

Soit \(F/E\) une extension finie de corps. Soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) une base de \(F\) comme espace vectoriel sur \(E\). Alors \(F = E(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) ; ainsi \(F/E\) est une extension de corps de type fini. La réciproque est fausse d’après l’Exemple 09G6.

Exemple

Considérons une extension de corps monogène \(E/k\) de la forme étudiée dans l’Exemple 09FX. Autrement dit, \(E = k[t]/(P)\), où \(P \in k[t]\) est un polynôme irréductible. Alors le degré \([E : k]\) est simplement le degré \(d = \deg(P)\) du polynôme \(P\). Écrivons en effet [09G8]\[\begin{equation} P = a_d t^d + a_{d - 1} t^{d - 1} + \ldots + a_0. \end{equation}\] avec \(a_d \not = 0\). Les images de \(1, t, \ldots, t^{d - 1}\) dans \(k[t]/(P)\) sont alors linéairement indépendantes sur \(k\), car toute relation entre elles serait de degré strictement inférieur à celui de \(P\), alors que \(P\) est l’élément de plus petit degré de l’idéal \((P)\).

Réciproquement, l’ensemble \(S = \{1, t, \ldots, t^{d - 1}\}\) (ou, plus précisément, l’ensemble de leurs images) engendre \(k[t]/(P)\) comme espace vectoriel. En effet, il résulte de (09G8) que \(a_d t^d\) appartient au sous-espace engendré par \(S\). Comme \(a_d\) est inversible, on voit que \(t^d\) appartient au sous-espace engendré par \(S\). De même, la relation \(t P(t) = 0\) montre que l’image de \(t^{d + 1}\) appartient au sous-espace engendré par \(\{1, t, \ldots, t^d\}\) — donc, d’après ce qui précède, au sous-espace engendré par \(S\). Une récurrence ascendante montre alors que l’image de \(t^n\), pour \(n \geq d\), appartient au sous-espace engendré par \(S\).

Ceci confirme, par exemple, que \([\mathbf{C}: \mathbf{R}] = 2\). Plus généralement, si \(k\) est un corps et \(\alpha \in k\) n’est pas un carré, le polynôme irréductible \(x^2 - \alpha \in k[x]\) permet de construire une extension \(k[x]/(x^2 - \alpha)\) de degré deux. Nous noterons celle-ci \(k(\sqrt{\alpha})\). De telles extensions seront dites quadratiques, pour des raisons évidentes.

Le fait fondamental concernant le degré est qu’il est multiplicatif dans les tours.

Lemme

Supposons donnée une tour de corps \(F/E/k\). Alors \[[F:k] = [F:E][E:k]\]

Démonstration

Soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) une \(E\)-base de \(F\), et \(\beta_1, \ldots, \beta_m \in E\) une \(k\)-base de \(E\). L’affirmation est que l’ensemble des produits \(\{\alpha_i \beta_j, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\}\) est une \(k\)-base de \(F\). Vérifions d’abord qu’ils engendrent \(F\) sur \(k\).

Par hypothèse, les \(\{\alpha_i\}\) engendrent \(F\) sur \(E\). Ainsi, si \(f \in F\), il existe des \(a_i \in E\) tels que \[f = \sum\nolimits_i a_i \alpha_i,\] et, pour chaque \(i\), on peut écrire \(a_i = \sum b_{ij} \beta_j\) avec des \(b_{ij} \in k\). En regroupant ces égalités, on obtient \[f = \sum\nolimits_{i,j} b_{ij} \alpha_i \beta_j,\] ce qui prouve que les \(\{\alpha_i \beta_j\}\) engendrent \(F\) sur \(k\).

Supposons maintenant qu’il existe une relation non triviale \[\sum\nolimits_{i,j} c_{ij} \alpha_i \beta_j = 0\] avec des \(c_{ij} \in k\). On aurait alors \[\sum\nolimits_i \alpha_i \left( \sum\nolimits_j c_{ij} \beta_j \right) = 0,\] et les termes entre parenthèses appartiennent à \(E\), puisque les \(\beta_j\) y appartiennent. L’indépendance \(E\)-linéaire des \(\{\alpha_i\}\) montre que toutes les sommes intérieures sont nulles. Puis l’indépendance \(k\)-linéaire des \(\{\beta_j\}\) montre que tous les \(c_{ij}\) sont nuls.

Ouvrons une parenthèse pour donner une définition quelque peu tangente à notre propos.

Définition

On dit qu’un corps \(K\) est un corps de nombres s’il est de caractéristique \(0\) et si l’extension \(K/\mathbf{Q}\) est finie.

Les corps de nombres sont les objets fondamentaux de la théorie algébrique des nombres. Nous verrons plus loin que, pour l’analogue des entiers \(\mathbf{Z}\) dans un corps de nombres, une propriété assez proche de la factorisation unique subsiste (bien qu’il n’y ait généralement pas de factorisation unique au sens strict !).

Extensions algébriques

Une classe importante d’extensions est formée de celles dans lesquelles chaque élément engendre une extension finie.

Définition

Considérons une extension de corps \(F/E\). Un élément \(\alpha \in F\) est dit algébrique sur \(E\) si \(\alpha\) est racine d’un polynôme non nul à coefficients dans \(E\). Si tous les éléments de \(F\) sont algébriques, on dit que \(F\) est une extension algébrique de \(E\).

D’après le Lemme 09G1, la sous-extension \(E(\alpha)\) est isomorphe soit au corps des fonctions rationnelles \(E(t)\), soit à un anneau quotient \(E[t]/(P)\), où \(P \in E[t]\) est un polynôme irréductible. Dans le second cas, \(\alpha\) est algébrique sur \(E\) (en fait, la preuve du Lemme 09G1 montre que l’on peut choisir \(P\) de sorte que \(\alpha\) soit une racine de \(P\)) ; dans le premier cas, il ne l’est pas.

Exemple

Le corps \(\mathbf{C}\) est algébrique sur \(\mathbf{R}\). En effet, si \(\alpha = a + ib\) dans \(\mathbf{C}\), alors \(\alpha^2 - 2a\alpha + a^2 + b^2 = 0\) est une équation polynomiale satisfaite par \(\alpha\) sur \(\mathbf{R}\).

Exemple

Soient \(X\) une surface de Riemann compacte et \(f \in \mathbf{C}(X) - \mathbf{C}\) une fonction méromorphe non constante quelconque sur \(X\) (voir l’Exemple 09FL). On sait alors que \(\mathbf{C}(X)\) est algébrique sur la sous-extension \(\mathbf{C}(f)\) engendrée par \(f\). Nous ne le démontrerons pas.

Lemme

Soit \(K/E/F\) une tour d’extensions de corps.

1. Si \(\alpha \in K\) est algébrique sur \(F\), alors \(\alpha\) est algébrique sur \(E\).

2. Si \(K\) est algébrique sur \(F\), alors \(K\) est algébrique sur \(E\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Montrons à présent qu’il existe un lien étroit entre la finitude et le caractère algébrique.

Lemme

Toute extension finie est algébrique. En fait, une extension \(E/k\) est algébrique si et seulement si toute sous-extension \(k(\alpha)/k\) engendrée par un \(\alpha \in E\) est finie.

En général, il est tout à fait faux qu’une extension algébrique soit finie.

Démonstration

Soit \(E/k\) finie, de degré \(n\). Choisissons \(\alpha \in E\). Les éléments \(1, \alpha, \ldots, \alpha^n\) sont linéairement dépendants sur \(k\), sans quoi on aurait nécessairement \([E : k] > n\). Une relation de dépendance linéaire fournit alors le polynôme recherché que \(\alpha\) doit annuler.

Pour la dernière assertion, remarquons qu’une extension monogène \(k(\alpha)/k\) est finie si et seulement si \(\alpha\) est algébrique sur \(k\), d’après les Exemples 09G6 et 09G7. Ainsi, si \(E/k\) est algébrique, chaque \(k(\alpha)/k\), pour \(\alpha \in E\), est une extension finie, et réciproquement.

Nous pouvons extraire un lemme de la preuve précédente (en réalité, des Exemples 09G6 et 09G7) : une extension monogène est finie si et seulement si elle est algébrique. Nous utiliserons cette observation dans le résultat suivant.

Lemme

Soient \(k\) un corps et \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) des éléments d’un corps d’extension tels que chaque \(\alpha_i\) soit algébrique sur \(k\). Alors l’extension \(k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)/k\) est finie. Autrement dit, une extension algébrique de type fini est finie.

Démonstration

En effet, chaque extension \(k(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i+1})/k(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i})\) est engendrée par un élément et algébrique, donc finie. La multiplicativité du degré (Lemme 09G9) donne le résultat.

L’ensemble des nombres complexes qui sont algébriques sur \(\mathbf{Q}\) est simplement appelé l’ensemble des nombres algébriques. Par exemple, \(\sqrt{2}\) est algébrique, \(i\) est algébrique, mais \(\pi\) ne l’est pas. C’est un fait fondamental que les nombres algébriques forment un corps, bien qu’il ne soit pas évident de le démontrer à partir de la définition selon laquelle un nombre est algébrique exactement lorsqu’il satisfait une équation polynomiale non nulle à coefficients rationnels (par exemple, en manipulant des équations polynomiales).

Lemme

Soit \(E/k\) une extension de corps. Les éléments de \(E\) algébriques sur \(k\) forment une sous-extension de \(E/k\).

Démonstration

Soient \(\alpha, \beta \in E\) algébriques sur \(k\). Alors \(k(\alpha, \beta)/k\) est une extension finie d’après le Lemme 09GH. Il s’ensuit que \(k(\alpha + \beta) \subset k(\alpha, \beta)\) est une extension finie, ce qui implique que \(\alpha + \beta\) est algébrique d’après le Lemme 09GG. Il en va de même pour la différence, le produit et le quotient de \(\alpha\) et \(\beta\).

De nombreuses propriétés remarquables des extensions de corps, tout comme celles des anneaux, sont préservées par les tours et les corps composés.

Lemme

Soient \(E/k\) et \(F/E\) des extensions algébriques de corps. Alors \(F/k\) est une extension algébrique de corps.

Démonstration

Choisissons \(\alpha \in F\). Alors \(\alpha\) est algébrique sur \(E\). L’observation essentielle est que \(\alpha\) est algébrique sur une sous-extension de type fini de \(k\). Autrement dit, il existe un ensemble fini \(S \subset E\) tel que \(\alpha\) soit algébrique sur \(k(S)\) : cela est clair, puisque le fait d’être algébrique signifie qu’il existe un polynôme de \(E[x]\) annulé par \(\alpha\), et l’on peut prendre pour \(S\) l’ensemble des coefficients de ce polynôme. Il en résulte que \(\alpha\) est algébrique sur \(k(S)\). En particulier, l’extension \(k(S, \alpha)/ k(S)\) est finie. Comme \(S\) est un ensemble fini et que \(k(S)/k\) est algébrique, le Lemme 09GH montre que \(k(S)/k\) est finie. En utilisant la multiplicativité (Lemme 09G9), on trouve que \(k(S,\alpha)/k\) est finie ; ainsi \(\alpha\) est algébrique sur \(k\).

La méthode de la preuve précédente — le fait que la propriété d’être algébrique sur \(E\) descendait à une sous-extension de type fini de \(E\) — est une idée récurrente en algèbre. Elle permet souvent, par exemple, de ramener des questions générales d’algèbre commutative au cas noethérien.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Alors le cardinal \(|E|\) de \(E\) est au plus \(\max(\aleph_0, |F|)\).

Démonstration

Soit \(S\) l’ensemble des polynômes non constants à coefficients dans \(F\). Pour tout \(P \in S\), l’ensemble des racines \(r(P, E) = \{\alpha \in E \mid P(\alpha) = 0\}\) est fini (les détails sont omis). De plus, le fait que \(E\) soit algébrique sur \(F\) implique que \(E = \bigcup_{P \in S} r(P, E)\). Il est clair que le cardinal de \(S\) est majoré par \(\max(\aleph_0, |F|)\), car cet ensemble est une réunion dénombrable de produits finis de copies de \(F\). Il en va donc de même pour \(E\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension finie, ou plus généralement algébrique, de corps. Tout sous-anneau \(F \subset R \subset E\) est un corps.

Démonstration

Soit \(\alpha \in R\) non nul. Alors \(1, \alpha, \alpha^2, \ldots\) appartiennent à \(R\). D’après le Lemme 09GG, il existe une relation non triviale \(a_0 + a_1 \alpha + \ldots + a_d \alpha^d = 0\), avec \(a_i \in F\). Nous pouvons supposer \(a_0 \not = 0\), car sinon nous pouvons diviser la relation par \(\alpha\) afin de diminuer \(d\). On obtient alors \[a_0 = \alpha (- a_1 - \ldots - a_d \alpha^{d - 1})\] ce qui prouve que l’inverse de \(\alpha\) est l’élément \(a_0^{-1} (- a_1 - \ldots - a_d \alpha^{d - 1})\) de \(R\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Tout morphisme de \(F\)-algèbres \(f : E \to E\) est un automorphisme.

Démonstration

Si \(E/F\) est finie, alors \(f : E \to E\) est une application \(F\)-linéaire injective (Lemme 09FU) entre espaces vectoriels de dimension finie, donc est bijective. Dans le cas général, on voit encore que \(f\) est injective. Soit \(\alpha \in E\), et soit \(P \in F[x]\) un polynôme tel que \(P(\alpha) = 0\). Soit \(E' \subset E\) le sous-corps de \(E\) engendré par les racines \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) de \(P\) dans \(E\). Alors \(E'\) est fini sur \(F\) d’après le Lemme 09GH. Comme \(f\) préserve l’ensemble des racines, on a \(f|_{E'} : E' \to E'\). Ainsi \(f|_{E'}\) est un isomorphisme d’après la première partie de la preuve, et l’on conclut que \(\alpha\) appartient à l’image de \(f\).

Polynômes minimaux

Soient \(E/k\) une extension de corps et \(\alpha \in E\) algébrique sur \(k\). Alors \(\alpha\) satisfait une équation polynomiale (non triviale) dans \(k[x]\). Considérons l’ensemble des polynômes \(P \in k[x]\) tels que \(P(\alpha) = 0\) ; par hypothèse, cet ensemble ne contient pas seulement le polynôme nul. On vérifie facilement que cet ensemble est un idéal. C’est en effet le noyau du morphisme \[k[x] \to E, \quad x \mapsto \alpha\] Puisque \(k[x]\) est un anneau principal, il existe un générateur \(P \in k[x]\) de cet idéal. Si l’on suppose, sans perte de généralité, que \(P\) est unitaire, alors \(P\) est déterminé de manière unique.

Définition

Le polynôme \(P\) ci-dessus est appelé le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(k\).

Le polynôme minimal possède la caractérisation suivante : c’est le polynôme unitaire, de plus petit degré, qui annule \(\alpha\). Tout multiple non constant de \(P\) sera de degré plus grand, et seuls les multiples de \(P\) peuvent annuler \(\alpha\). Cela explique le qualificatif minimal.

Le polynôme minimal est manifestement irréductible. Cela équivaut à affirmer que l’idéal de \(k[x]\) formé des polynômes qui annulent \(\alpha\) est premier. Ce fait résulte de ce que le morphisme \(k[x] \to E, x \mapsto \alpha\) prend ses valeurs dans un anneau intègre (et même dans un corps), de sorte que son noyau est un idéal premier.

Lemme

Le degré du polynôme minimal est \([k(\alpha) : k]\).

Démonstration

Il s’agit simplement d’une reformulation de l’argument donné dans le Lemme 09G1 : l’observation est que, si \(P\) est le polynôme minimal de \(\alpha\), le morphisme \[k[x]/(P) \to k(\alpha), \quad x \mapsto \alpha\] est un isomorphisme comme dans la preuve précitée, et nous avons calculé le degré d’une telle extension (voir l’Exemple 09G7).

L’observation de la preuve ci-dessus est donc que, si \(\alpha \in E\) est algébrique, alors \(k(\alpha) \subset E\) est isomorphe à \(k[x]/(P)\).

Clôture algébrique

Le “théorème fondamental de l’algèbre” affirme que \(\mathbf{C}\) est algébriquement clos. Une belle démonstration de ce résultat utilise le théorème de Liouville en analyse complexe ; nous en donnerons une autre (voir le Lemme 09I5).

Définition

On dit qu’un corps \(F\) est algébriquement clos si toute extension algébrique \(E/F\) est triviale, c’est-à-dire si \(E = F\).

Ce n’est peut-être pas la définition retenue dans tous les ouvrages. Le lemme suivant la compare à l’autre définition usuelle.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est algébriquement clos,

2. tout polynôme irréductible sur \(F\) est de degré un,

3. tout polynôme non constant sur \(F\) possède une racine,

4. tout polynôme non constant sur \(F\) est un produit de facteurs de degré un.

Démonstration

Si \(F\) est algébriquement clos, alors tout polynôme irréductible est de degré un. En effet, s’il existe un polynôme irréductible de degré \(> 1\), celui-ci engendre une extension de corps finie non triviale (donc algébrique) ; voir l’Exemple 09G7. Ainsi (1) implique (2). Si tout polynôme irréductible est de degré un, alors tout polynôme irréductible possède une racine, et par conséquent tout polynôme non constant possède une racine. Ainsi (2) implique (3).

Supposons que tout polynôme non constant possède une racine. Soit \(P \in F[x]\) non constant. Si \(P(\alpha) = 0\) avec \(\alpha \in F\), on voit alors que \(P = (x - \alpha)Q\) pour un certain \(Q \in F[x]\) (par division euclidienne). On peut donc raisonner par récurrence sur le degré pour écrire tout polynôme non constant sous la forme d’un produit \(c \prod (x - \alpha_i)\).

Supposons enfin que tout polynôme non constant sur \(F\) soit un produit de facteurs de degré un. Soit \(E/F\) une extension algébrique. Toutes les sous-extensions simples \(F(\alpha)/F\) de \(E\) sont alors nécessairement triviales (car, par hypothèse, les seuls polynômes irréductibles sont de degré un). Ainsi \(E = F\). Nous voyons que (4) implique (1), ce qui achève la preuve.

Nous voulons maintenant définir une extension algébrique “universelle” d’un corps. En réalité, il convient d’être prudent : la clôture algébrique n’est pas un objet universel. En effet, la clôture algébrique n’est pas unique à unique isomorphisme près : elle n’est unique qu’à isomorphisme près. Elle n’en sera pas moins très utile, bien que non fonctorielle.

Définition

Soit \(F\) un corps. Une clôture algébrique de \(F\) est un corps \(\overline{F}\) contenant \(F\) tel que :

1. \(\overline{F}\) est algébrique sur \(F\).

2. \(\overline{F}\) est algébriquement clos.

Si \(F\) est algébriquement clos, alors \(F\) est sa propre clôture algébrique. Démontrons maintenant le résultat fondamental d’existence.

Théorème

Tout corps possède une clôture algébrique.

La preuve sera pour l’essentiel sans rapport avec le reste du chapitre. Nous voudrons toutefois savoir qu’il est possible de plonger un corps dans un corps algébriquement clos, et nous supposerons souvent ce plongement effectué.

Démonstration

Soit \(F\) un corps. D’après le Lemme 09GK, le cardinal d’une extension algébrique de \(F\) est majoré par \(\max(\aleph_0, |F|)\). Choisissons un ensemble \(S\) contenant \(F\) tel que \(|S| > \max(\aleph_0, |F|)\). Considérons les triplets \((E, \sigma_E, \mu_E)\) où

1. \(E\) est un ensemble tel que \(F \subset E \subset S\), et

2. \(\sigma_E : E \times E \to E\) et \(\mu_E : E \times E \to E\) sont des applications d’ensembles telles que \((E, \sigma_E, \mu_E)\) définisse la structure d’une extension de corps de \(F\) (en particulier, \(\sigma_E(a, b) = a +_F b\) pour \(a, b \in F\), et de même pour \(\mu_E\)), et

3. \(E/F\) est une extension algébrique de corps.

La collection de tous les triplets \((E, \sigma_E, \mu_E)\) forme un ensemble \(I\). Pour \(i \in I\), nous noterons \(E_i = (E_i, \sigma_i, \mu_i)\) l’extension de corps de \(F\) correspondante. Nous définissons un ordre partiel sur \(I\) en déclarant que \(i \leq i'\) si et seulement si \(E_i \subset E_{i'}\) (cela a un sens puisque \(E_i\) et \(E_{i'}\) sont des sous-ensembles du même ensemble \(S\)) et si \(\sigma_i = \sigma_{i'}|_{E_i \times E_i}\) et \(\mu_i = \mu_{i'}|_{E_i \times E_i}\) ; autrement dit, \(E_{i'}\) est une extension de corps de \(E_i\).

Soit \(T \subset I\) un sous-ensemble totalement ordonné. Il est alors clair que \(E_T = \bigcup_{i \in T} E_i\), muni des applications induites \(\sigma_T = \bigcup \sigma_i\) et \(\mu_T = \bigcup \mu_i\), est un autre élément de \(I\). Autrement dit, tout sous-ensemble totalement ordonné de \(I\) possède un majorant dans \(I\). D’après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal \((E, \sigma_E, \mu_E)\) de \(I\). Nous affirmons que \(E\) est une clôture algébrique. Puisque, par définition de \(I\), l’extension \(E/F\) est algébrique, il suffit de montrer que \(E\) est algébriquement clos.

Pour le voir, raisonnons par l’absurde. Supposons donc que \(E\) ne soit pas algébriquement clos. Il existe alors un polynôme irréductible \(P\) sur \(E\) de degré \(> 1\) ; voir le Lemme 09GR. D’après le Lemme 09GG, on obtient une extension finie non triviale \(E' = E[x]/(P)\). Remarquons que \(E'/F\) est algébrique d’après le Lemme 09GJ. Le cardinal de \(E'\) est donc \(\leq \max(\aleph_0, |F|)\). La théorie élémentaire des ensembles permet de prolonger l’injection donnée \(E \subset S\) en une injection \(E' \to S\). Autrement dit, nous pouvons considérer \(E'\) comme un élément de notre ensemble \(I\), ce qui contredit la maximalité de \(E\). Cette contradiction achève la preuve.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Soit \(\overline{F}\) une clôture algébrique de \(F\). Soit \(M/F\) une extension algébrique. Il existe alors un morphisme d’extensions de \(F\), \(M \to \overline{F}\).

Démonstration

Considérons l’ensemble \(I\) des couples \((E, \varphi)\), où \(F \subset E \subset M\) est une sous-extension et \(\varphi : E \to \overline{F}\) un morphisme d’extensions de \(F\). Munissons \(I\) de l’ordre partiel défini en déclarant que \((E, \varphi) \leq (E', \varphi')\) si et seulement si \(E \subset E'\) et \(\varphi'|_E = \varphi\). Si \(T = \{(E_t, \varphi_t)\} \subset I\) est un sous-ensemble totalement ordonné, alors \(\bigcup \varphi_t : \bigcup E_t \to \overline{F}\) est un élément de \(I\). Ainsi, tout sous-ensemble totalement ordonné de \(I\) possède un majorant. Le lemme de Zorn assure l’existence d’un élément maximal \((E, \varphi)\) de \(I\). Nous affirmons que \(E = M\), ce qui achèvera la preuve. Sinon, choisissons \(\alpha \in M\), \(\alpha \not \in E\). Alors \(\alpha\) est algébrique sur \(E\) ; voir le Lemme 09GF. Soit \(P\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(E\). Soit \(P^\varphi\) l’image de \(P\) par \(\varphi\) dans \(\overline{F}[x]\). Comme \(\overline{F}\) est algébriquement clos, il existe une racine \(\beta\) de \(P^\varphi\) dans \(\overline{F}\). On peut alors prolonger \(\varphi\) en \(\varphi' : E(\alpha) = E[x]/(P) \to \overline{F}\) en envoyant \(x\) sur \(\beta\). Cela contredit la maximalité de \((E, \varphi)\), comme voulu.

Lemme

Deux clôtures algébriques quelconques d’un corps sont isomorphes.

Démonstration

Soit \(F\) un corps. Si \(M\) et \(\overline{F}\) sont des clôtures algébriques de \(F\), il existe alors un morphisme d’extensions de \(F\) \(\varphi : M \to \overline{F}\) d’après le Lemme 09GU. Or l’image \(\varphi(M)\) est algébriquement close. D’autre part, l’extension \(\varphi(M) \subset \overline{F}\) est algébrique d’après le Lemme 09GF. Ainsi \(\varphi(M) = \overline{F}\).

Polynômes premiers entre eux

Soit \(K\) un corps algébriquement clos. L’anneau \(K[x]\) possède alors une structure d’idéaux très simple, comme nous l’avons vu au Lemme 09GR. En particulier, tout polynôme \(P \in K[x]\) peut s’écrire \[P = c(x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n),\] où \(c\) est le terme constant et où les \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k\) sont les racines de \(P\) (comptées avec multiplicité). Manifestement, les seuls polynômes irréductibles de \(K[x]\) sont les polynômes de degré un \(c(x - \alpha)\), \(c, \alpha \in K\) (avec \(c \neq 0\)).

Définition

Si \(k\) est un corps quelconque, nous disons que deux polynômes de \(k[x]\) sont premiers entre eux s’ils engendrent l’idéal unité de \(k[x]\).

Poursuivons la discussion précédente. Si \(K\) est un corps algébriquement clos, deux polynômes de \(K[x]\) sont premiers entre eux si et seulement s’ils n’ont aucune racine commune. Cela résulte du fait que les idéaux maximaux de \(K[x]\) sont de la forme \((x - \alpha)\), \(\alpha \in K\). Ainsi, si \(F, G \in K[x]\) n’ont aucune racine commune, alors \((F, G)\) ne peut être contenu dans aucun \((x - \alpha)\) (car ils auraient alors une racine commune en \(\alpha\)).

Si \(k\) n’est pas algébriquement clos, ceci fournit encore des informations permettant de déterminer quand deux polynômes de \(k[x]\) engendrent l’idéal unité.

Lemme

Deux polynômes de \(k[x]\) sont premiers entre eux si et seulement s’ils n’ont aucune racine commune dans une clôture algébrique \(\overline{k}\) de \(k\).

Démonstration

L’affirmation est que deux polynômes quelconques \(P, Q\) engendrent \((1)\) dans \(k[x]\) si et seulement s’ils engendrent \((1)\) dans \(\overline{k}[x]\). C’est une question d’algèbre linéaire : un système d’équations linéaires à coefficients dans \(k\) possède une solution si et seulement s’il possède une solution dans une extension quelconque de \(k\). On peut par conséquent se ramener au cas d’un corps algébriquement clos ; dans ce cas, le résultat découle clairement de ce qui précède.

Extensions algébriques séparables

En caractéristique \(p\), un phénomène curieux se produit pour les polynômes irréductibles sur un corps. Le lemme suivant l’explique.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Soit \(P \in F[x]\) un polynôme irréductible sur \(F\). Soit \(P' = \text{d}P/\text{d}x\) le polynôme dérivé de \(P\) par rapport à \(x\). L’un des deux cas suivants se produit :

1. \(P\) et \(P'\) sont premiers entre eux, ou

2. \(P'\) est le polynôme nul.

Le second cas ne peut se produire que si \(F\) est de caractéristique \(p > 0\). Dans ce cas, \(P(x) = Q(x^q)\), où \(q = p^f\) est une puissance de \(p\) et \(Q \in F[x]\) un polynôme irréductible tel que \(Q\) et \(Q'\) soient premiers entre eux.

Démonstration

Remarquons que \(P'\) est de degré \(< \deg(P)\). Par conséquent, si \(P\) et \(P'\) ne sont pas premiers entre eux, alors \((P, P') = (R)\), où \(R\) est un polynôme de degré \(< \deg(P)\), ce qui contredit l’irréductibilité de \(P\). Cela établit la dichotomie entre (1) et (2).

Supposons que nous soyons dans le cas (2) et que \(P = a_d x^d + \ldots + a_0\). Alors \(P' = da_d x^{d - 1} + \ldots + a_1\). En caractéristique \(0\), on voit que cela impose \(a_d, \ldots, a_1 = 0\), ce qui signifierait que \(P\) est constant, une contradiction. On conclut donc que la caractéristique \(p\) est positive. Dans ce cas, la condition \(P' = 0\) impose \(a_i = 0\) chaque fois que \(p\) ne divise pas \(i\). Autrement dit, \(P(x) = P_1(x^p)\) pour un certain polynôme non constant \(P_1\). Manifestement, \(P_1\) est lui aussi irréductible. Par récurrence sur le degré, on voit que \(P_1(x) = Q(x^q)\) comme dans l’énoncé du lemme ; ainsi \(P(x) = Q(x^{pq})\), et le lemme est démontré.

Définition

Soit \(F\) un corps. Soit \(K/F\) une extension de corps.

1. On dit qu’un polynôme irréductible \(P\) sur \(F\) est séparable s’il est premier avec son polynôme dérivé.

2. Étant donné \(\alpha \in K\) algébrique sur \(F\), on dit que \(\alpha\) est séparable sur \(F\) si son polynôme minimal est séparable sur \(F\).

3. Si \(K\) est une extension algébrique de \(F\), on dit que \(K\) est séparable¹ sur \(F\) si tout élément de \(K\) est séparable sur \(F\).

D’après le Lemme 09H0, en caractéristique \(0\), tout polynôme irréductible est séparable, tout élément algébrique d’une extension est séparable et toute extension algébrique est séparable.

Lemme

Soit \(K/E/F\) une tour d’extensions algébriques de corps.

1. Si \(\alpha \in K\) est séparable sur \(F\), alors \(\alpha\) est séparable sur \(E\).

2. Si \(K\) est séparable sur \(F\), alors \(K\) est séparable sur \(E\).

Démonstration

Nous utiliserons le Lemme 09H0 sans le mentionner davantage. Soit \(P\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(F\). Soit \(Q\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(E\). Alors \(Q\) divise \(P\) dans l’anneau de polynômes \(E[x]\), disons \(P = QR\). Alors \(P' = Q'R + QR'\). Ainsi, si \(Q' = 0\), alors \(Q\) divise \(P\) et \(P'\), donc \(P' = 0\) d’après le lemme. Ceci démontre (1). L’assertion (2) découle immédiatement de (1) et des définitions.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Un polynôme irréductible \(P\) sur \(F\) est séparable si et seulement si \(P\) possède des racines deux à deux distinctes dans une clôture algébrique de \(F\).

Démonstration

Supposons que \(\alpha \in \overline{F}\) soit une racine à la fois de \(P\) et de \(P'\). Alors \(P = (x - \alpha)Q\) pour un certain polynôme \(Q\). En dérivant, nous obtenons \(P' = Q + (x - \alpha)Q'\). Ainsi \(\alpha\) est une racine de \(Q\). On voit donc que si \(P\) et \(P'\) ont une racine commune, alors \(P\) ne possède pas de racines deux à deux distinctes. Réciproquement, si \(P\) possède une racine multiple, c’est-à-dire si \((x - \alpha)^2\) divise \(P\), alors \(\alpha\) est une racine à la fois de \(P\) et de \(P'\). Conjointement avec le Lemme 09GY, ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(F\) un corps et soit \(\overline{F}\) une clôture algébrique de \(F\). Soit \(p > 0\) la caractéristique de \(F\). Soit \(P\) un polynôme sur \(F\). Alors les ensembles des racines de \(P\) et de \(P(x^p)\) dans \(\overline{F}\) ont le même cardinal (sans compter les multiplicités).

Démonstration

Manifestement, \(\alpha\) est une racine de \(P(x^p)\) si et seulement si \(\alpha^p\) est une racine de \(P\). Autrement dit, les racines de \(P(x^p)\) sont les racines de \(x^p - \beta\), où \(\beta\) est une racine de \(P\). Il suffit donc de montrer que l’application \(\overline{F} \to \overline{F}\), \(\alpha \mapsto \alpha^p\) est bijective. Elle est surjective, puisque \(\overline{F}\) est algébriquement clos, ce qui signifie que tout élément possède une racine \(p\)-ième. Elle est injective car \(\alpha^p = \beta^p\) implique \((\alpha - \beta)^p = 0\), puisque la caractéristique est \(p\). Et bien sûr, dans un corps, \(x^p = 0\) implique \(x = 0\).

Soit \(F\) un corps et soit \(P\) un polynôme irréductible sur \(F\). Nous savons alors que \(P = Q(x^q)\) pour un certain polynôme irréductible séparable \(Q\) (Lemme 09H0), où \(q\) est une puissance de la caractéristique \(p\) (et, si la caractéristique est nulle, alors \(q = 1\)² et \(Q = P\)). D’après le Lemme 09H4, le nombre de racines de \(P\) et de \(Q\) dans toute clôture algébrique de \(F\) est le même. D’après le Lemme 09H3, ce nombre est égal au degré de \(Q\).

Définition

Soit \(F\) un corps. Soit \(P\) un polynôme irréductible sur \(F\). Le degré séparable de \(P\) est le cardinal de l’ensemble des racines de \(P\) dans toute clôture algébrique de \(F\) (voir la discussion ci-dessus). Notation \(\deg_s(P)\).

Le degré séparable de \(P\) divise toujours son degré, et le quotient est une puissance de la caractéristique. Si la caractéristique est nulle, alors \(\deg_s(P) = \deg(P)\).

Situation

Ici, \(F\) est un corps et \(K/F\) est une extension finie engendrée par des éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\). Nous posons \(K_0 = F\) et \[K_i = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\] pour obtenir une tour d’extensions finies \(K = K_n / K_{n - 1} / \ldots / K_0 = F\). Notons \(P_i\) le polynôme minimal de \(\alpha_i\) sur \(K_{i - 1}\). Enfin, fixons une clôture algébrique \(\overline{F}\) de \(F\).

Soient \(F\), \(K\), les \(\alpha_i\) et \(\overline{F}\) comme dans la Situation 09H6. Supposons que \(\varphi : K \to \overline{F}\) soit un morphisme d’extensions de \(F\). Nous obtenons alors des applications \(\varphi_i : K_i \to \overline{F}\). L’image de \(P_i \in K_{i - 1}[x]\) par \(\varphi_{i - 1}\) est un polynôme \(P_i^{\varphi_{i - 1}} \in \overline{F}[x]\) et \(\varphi(\alpha_i)\) est une racine de ce polynôme.

Lemme

Dans la Situation 09H6, la correspondance \[\Mor_F(K, \overline{F}) \longrightarrow \{(\beta_1, \ldots, \beta_n)\text{ comme ci-dessous}\}, \quad \varphi \longmapsto (\varphi(\alpha_1), \ldots, \varphi(\alpha_n))\] est une bijection. Ici, le membre de droite est l’ensemble des \(n\)-uplets \((\beta_1, \ldots, \beta_n)\) d’éléments de \(\overline{F}\) possédant la propriété suivante :

1. \(\beta_1 \in \overline{F}\) est une racine de \(P_1\) ; soit \(\varphi_1 : K_1 \to \overline{F}\) l’homomorphisme de \(F\)-algèbres qui envoie \(\alpha_1\) sur \(\beta_1\),

2. \(\beta_2 \in \overline{F}\) est une racine de \(P_2^{\varphi_1}\) ; soit \(\varphi_2 : K_2 \to \overline{F}\) l’homomorphisme qui prolonge \(\varphi_1\) et envoie \(\alpha_2\) sur \(\beta_2\),

3. et ainsi de suite jusqu’au dernier cas,

4. \(\beta_n \in \overline{F}\) est une racine de \(P_n^{\varphi_{n - 1}}\).

À chaque étape, l’homomorphisme \(\varphi_i\) existe et est unique, car \(K_i = K_{i - 1}[x]/(P_i)\) et \(\beta_i\) est une racine de \(P_i^{\varphi_{i - 1}}\).

Démonstration

L’application de gauche à droite a été décrite avant le lemme. Soit \((\beta_1, \ldots, \beta_n)\) un élément du membre de droite. Nous définissons alors \(\varphi : K = K_n \to \overline{F}\) comme l’unique homomorphisme qui prolonge \(\varphi_{n - 1}\) et envoie \(\alpha_n\) sur \(\beta_n\). L’unicité implique que les deux constructions sont inverses l’une de l’autre.

Lemme

Dans la Situation 09H6, nous avons \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = \prod_{i = 1}^n \deg_s(P_i)\).

Démonstration

Ceci découle immédiatement du Lemme 09H7. Remarquons qu’un ingrédient essentiel que nous utilisons ici implicitement est le caractère bien défini du degré séparable d’un polynôme irréductible, qui a été constaté juste avant la Définition 09H5.

Nous utilisons maintenant le résultat précédent pour caractériser les extensions de corps séparables.

Lemme

Hypothèses et notations comme dans la Situation 09H6. Si chaque \(P_i\) est séparable, c’est-à-dire si chaque \(\alpha_i\) est séparable sur \(K_{i - 1}\), alors \[|\Mor_F(K, \overline{F})| = [K : F]\] et l’extension de corps \(K/F\) est séparable. Si l’un des \(\alpha_i\) n’est pas séparable sur \(K_{i - 1}\), alors \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\).

Démonstration

Si \(\alpha_i\) est séparable sur \(K_{i - 1}\), alors \(\deg_s(P_i) = \deg(P_i) = [K_i : K_{i - 1}]\) (la dernière égalité résultant du Lemme 09GN). Par multiplicativité (Lemme 09G9), nous avons \[[K : F] = \prod [K_i : K_{i - 1}] = \prod \deg(P_i) = \prod \deg_s(P_i) = |\Mor_F(K, \overline{F})|\] où la dernière égalité est le Lemme 09H8. Par exactement le même raisonnement, nous obtenons l’inégalité stricte \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\) si l’un des \(\alpha_i\) n’est pas séparable sur \(K_{i - 1}\).

Supposons enfin, à nouveau, que chaque \(\alpha_i\) soit séparable sur \(K_{i - 1}\). Nous allons montrer que \(K/F\) est séparable. Soit \(\gamma = \gamma_1 \in K\) quelconque. Nous pouvons alors trouver des éléments supplémentaires \(\gamma_2, \ldots, \gamma_m\) tels que \(K = F(\gamma_1, \ldots, \gamma_m)\) (nous pourrions par exemple prendre \(\gamma_2 = \alpha_1, \ldots, \gamma_{n + 1} = \alpha_n\)). La dernière partie du lemme (déjà démontrée ci-dessus) montre alors que si \(\gamma\) n’était pas séparable sur \(F\), nous aurions l’inégalité stricte \(|\Mor_F(K, \overline{F})| < [K : F]\), en contradiction avec la toute première partie du lemme (elle aussi déjà démontrée ci-dessus).

Lemme

Soit \(K/F\) une extension finie de corps. Soit \(\overline{F}\) une clôture algébrique de \(F\). Nous avons alors \[|\Mor_F(K, \overline{F})| \leq [K : F]\] avec égalité si et seulement si \(K\) est séparable sur \(F\).

Démonstration

C’est un corollaire du Lemme 09H9. En effet, puisque \(K/F\) est finie, nous pouvons trouver un nombre fini d’éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\) qui engendrent \(K\) sur \(F\) (nous pouvons par exemple choisir les \(\alpha_i\) de manière à former une base de \(K\) sur \(F\)). Si \(K/F\) est séparable, alors chaque \(\alpha_i\) est séparable sur \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) d’après le Lemme 09H2, et le Lemme 09H9 donne l’égalité. Réciproquement, si nous avons l’égalité, alors, quelle que soit la manière de choisir \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\), le Lemme 09H9 montre que \(\alpha_1\) est séparable sur \(F\). Comme nous pouvons commencer la suite par un élément arbitraire de \(K\), il s’ensuit que \(K\) est séparable sur \(F\).

Lemme

Soient \(E/k\) et \(F/E\) des extensions algébriques séparables de corps. Alors \(F/k\) est une extension séparable de corps.

Démonstration

Choisissons \(\alpha \in F\). Alors \(\alpha\) est algébrique séparable sur \(E\). Soit \(P = x^d + \sum_{i < d} a_i x^i\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(E\). Chaque \(a_i\) est algébrique séparable sur \(k\). Considérons la tour de corps \[k \subset k(a_0) \subset k(a_0, a_1) \subset \ldots \subset k(a_0, \ldots, a_{d - 1}) \subset k(a_0, \ldots, a_{d - 1}, \alpha)\] Puisque \(a_i\) est algébrique séparable sur \(k\), il est algébrique séparable sur \(k(a_0, \ldots, a_{i - 1})\) d’après le Lemme 09H2. Enfin, \(\alpha\) est algébrique séparable sur \(k(a_0, \ldots, a_{d - 1})\) car c’est une racine de \(P\), qui est irréductible (puisqu’il est irréductible sur le corps éventuellement plus grand \(E\)) et séparable (puisqu’il est séparable sur \(E\)). Ainsi \(k(a_0, \ldots, a_{d - 1}, \alpha)\) est séparable sur \(k\) d’après le Lemme 09H9, et nous concluons que \(\alpha\) est séparable sur \(k\), comme voulu.

Lemme

Soit \(E/k\) une extension de corps. Alors les éléments de \(E\) séparables sur \(k\) forment une sous-extension de \(E/k\).

Démonstration

Soient \(\alpha, \beta \in E\) séparables sur \(k\). Alors \(\beta\) est séparable sur \(k(\alpha)\) d’après le Lemme 09H2. Le Lemme 09H9 (appliqué avec \(n = 2\), \(\alpha_1 = \alpha\) et \(\alpha_2 = \beta\)) montre que \(k(\alpha, \beta)\) est séparable sur \(k\).

Indépendance linéaire des caractères

Voici l’énoncé.

Lemme

Soit \(L\) un corps. Soit \(G\) un monoïde, par exemple un groupe. Soient \(\chi_1, \ldots, \chi_n : G \to L\) des homomorphismes de monoïdes deux à deux distincts, où \(L\) est considéré comme un monoïde pour la multiplication. Alors \(\chi_1, \ldots, \chi_n\) sont linéairement indépendants sur \(L\) : si \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\) ne sont pas tous nuls, alors \(\sum \lambda_i\chi_i(g) \not = 0\) pour un certain \(g \in G\).

Démonstration

Si \(n = 1\), cela résulte de \(\chi_1(e) = 1\), où \(e \in G\) est l’élément neutre (identité). Nous démontrons le résultat par récurrence pour \(n > 1\). Supposons que \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\) ne soient pas tous nuls. Si \(\lambda_i = 0\) pour un certain \(i\), le résultat découle de la récurrence sur \(n\). Puisque nous voulons montrer que \(\sum \lambda_i\chi_i(g) \not = 0\) pour un certain \(g \in G\), nous pouvons, après division par \(-\lambda_n\), supposer que \(\lambda_n = -1\). La seule difficulté possible surviendrait si \[\chi_n(g) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(g)\] pour tout \(g \in G\). Fixons \(h \in G\). Nous aurions alors également \[\begin{align*} \chi_n(h)\chi_n(g) & = \chi_n(hg) \\ & = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(hg) \\ & = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i\chi_i(h) \chi_i(g) \end{align*}\] En multipliant la relation précédente par \(\chi_n(h)\) puis en soustrayant, on obtient \[0 = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n - 1} \lambda_i (\chi_n(h) - \chi_i(h)) \chi_i(g)\] pour tout \(g \in G\). Comme \(\lambda_i \not = 0\), la récurrence donne \(\chi_n(h) = \chi_i(h)\) pour tout \(i\). Le choix de \(h\) étant arbitraire, nous en déduisons que \(\chi_i = \chi_n\) pour \(i \leq n - 1\), ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle les caractères \(\chi_i\) sont deux à deux distincts.

Lemme

Soient \(L\) un corps, \(n \geq 1\) et \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in L\) des éléments deux à deux distincts de \(L\). Alors il existe un \(e \geq 0\) tel que \(\sum_{i = 1, \ldots, n} \alpha_i^e \not = 0\).

Démonstration

Appliquons l’indépendance linéaire des caractères (Lemme 0CKL) aux homomorphismes de monoïdes \(\mathbf{Z}_{\geq 0} \to L\), \(e \mapsto \alpha_i^e\).

Lemme

Soient \(K/F\) et \(L/F\) des extensions de corps. Soient \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n : K \to L\) des morphismes de \(F\)-extensions deux à deux distincts. Alors \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\) sont linéairement indépendants sur \(L\) : si \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\) ne sont pas tous nuls, alors \(\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha) \not = 0\) pour un certain \(\alpha \in K\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 0CKL aux restrictions des \(\sigma_i\) aux groupes des unités.

Lemme

Soient \(K/F\) et \(L/F\) des extensions de corps, avec \(K/F\) finie séparable et \(L\) algébriquement clos. Alors l’application \[K \otimes_F L \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Hom_F(K, L)} L,\quad \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma(\alpha)\beta)_\sigma\] est un isomorphisme de \(L\)-algèbres.

Démonstration

Choisissons une base \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) de \(K\) comme espace vectoriel sur \(F\). D’après le Lemme 09HA (et un petit argument omis), l’ensemble \(\Hom_F(K, L)\) possède \(n\) éléments, disons \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\). En particulier, les deux membres ont la même dimension \(n\) comme espaces vectoriels sur \(L\). Ainsi, si l’application n’est pas un isomorphisme, elle a un noyau. Autrement dit, il existerait des \(\mu_j \in L\), \(j = 1, \ldots, n\), non tous nuls, tels que \(\sum \alpha_j \otimes \mu_j\) appartienne au noyau. Autrement dit, \(\sum \sigma_i(\alpha_j)\mu_j = 0\) pour tout \(i\). Cela signifierait que la matrice \(n \times n\) de coefficients \(\sigma_i(\alpha_j)\) n’est pas inversible. Nous pouvons donc trouver \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in L\), non tous nuls, tels que \(\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha_j) = 0\) pour tout \(j\). Or tout élément \(\alpha \in K\) peut s’écrire \(\alpha = \sum \beta_j \alpha_j\) avec \(\beta_j \in F\), et nous obtiendrions \[\sum \lambda_i\sigma_i(\alpha) = \sum \lambda_i\sigma_i(\sum \beta_j \alpha_j) = \sum \beta_j \sum \lambda_i\sigma_i(\alpha_j) = 0\] ce qui contredit le Lemme 0CKM.

Extensions purement inséparables

Les extensions purement inséparables sont à l’opposé des extensions séparables définies à la section précédente. Elles n’apparaissent qu’en caractéristique positive.

Définition

Soit \(F\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(K/F\) une extension.

1. Un élément \(\alpha \in K\) est dit purement inséparable sur \(F\) s’il existe une puissance \(q\) de \(p\) telle que \(\alpha^q \in F\).

2. L’extension \(K/F\) est dite purement inséparable si et seulement si tout élément de \(K\) est purement inséparable sur \(F\).

Si \(L/M\) est une extension de corps (sans condition sur la caractéristique de \(M\)), nous dirons que l’extension est purement inséparable si \(L = M\), ou si la caractéristique de \(M\) est un nombre premier \(p\) et que \(L/M\) est purement inséparable au sens défini ci-dessus.

Observons qu’une extension purement inséparable est nécessairement algébrique. Soit \(F\) un corps de caractéristique \(p > 0\). On obtient un exemple d’extension purement inséparable en adjoignant la racine \(p\)-ième d’un élément \(t \in F\) qui n’en possède pas encore. En effet, le lemme ci-dessous montre que \(P = x^p - t\) est irréductible, et donc \[K = F[x]/(P) = F[t^{1/p}]\] est un corps. De plus, \(K\) est purement inséparable sur \(F\), car tout élément \[a_0 + a_1t^{1/p} + \ldots + a_{p - 1}t^{(p - 1)/p},\quad a_i \in F\] de \(K\) a pour puissance \(p\)-ième \[(a_0 + a_1t^{1/p} + \ldots + a_{p - 1}t^{(p - 1)/p})^p = a_0^p + a_1^p t + \ldots + a_{p - 1}^pt^{p - 1} \in F\] Cette situation se présente pour le corps \(\mathbf{F}_p(t)\) des fonctions rationnelles sur \(\mathbf{F}_p\).

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(F\) un corps de caractéristique \(p\). Soit \(t \in F\) un élément qui n’a pas de racine \(p\)-ième dans \(F\). Alors le polynôme \(x^p - t\) est irréductible sur \(F\).

Démonstration

Pour le voir, supposons donnée une factorisation \(x^p - t = f g\). En dérivant, on obtient \(f' g + f g' = 0\). Notons que ni \(f' = 0\) ni \(g' = 0\), puisque les degrés de \(f\) et de \(g\) sont strictement inférieurs à \(p\). En outre, \(\deg(f') < \deg(f)\) et \(\deg(g') < \deg(g)\). Nous en déduisons que \(f\) et \(g\) ont un facteur commun. Ainsi, si \(x^p - t\) est réductible, il est de la forme \(x^p - t = c f^n\) pour un certain polynôme irréductible \(f\), un certain \(c \in F^*\) et un certain \(n > 1\). Comme \(p\) est premier, cela entraîne \(n = p\) et \(f\) linéaire, ce qui impliquerait que \(x^p - t\) possède une racine dans \(F\). Contradiction.

Nous verrons que l’extraction de racines \(p\)-ièmes est une opération très importante en caractéristique \(p\).

Lemme

Soient \(E/k\) et \(F/E\) des extensions de corps purement inséparables. Alors \(F/k\) est une extension de corps purement inséparable.

Démonstration

Disons que la caractéristique de \(k\) est \(p\). Choisissons \(\alpha \in F\). Alors \(\alpha^q \in E\) pour une certaine puissance de \(p\), notée \(q\). Dès lors, \((\alpha^q)^{q'} \in k\) pour une certaine puissance de \(p\), notée \(q'\). Par conséquent, \(\alpha^{qq'} \in k\).

Lemme

Soit \(E/k\) une extension de corps. Alors les éléments de \(E\) purement inséparables sur \(k\) forment une sous-extension de \(E/k\).

Démonstration

Soit \(p\) la caractéristique de \(k\). Soient \(\alpha, \beta \in E\) purement inséparables sur \(k\). Écrivons \(\alpha^q \in k\) et \(\beta^{q'} \in k\) pour certaines puissances de \(p\), notées \(q, q'\). Si \(q''\) est une puissance de \(p\), alors \((\alpha + \beta)^{q''} = \alpha^{q''} + \beta^{q''}\). Par conséquent, si \(q'' \geq q, q'\), nous en déduisons que \(\alpha + \beta\) est purement inséparable sur \(k\). Il en va de même de la différence, du produit et du quotient de \(\alpha\) et \(\beta\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension de corps finie purement inséparable de caractéristique \(p > 0\). Alors il existe une suite d’éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in E\) qui donne une tour de corps \[E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1}) \supset \ldots \supset F(\alpha_1) \supset F\] telle que chaque extension intermédiaire soit de degré \(p\) et s’obtienne par adjonction d’une racine \(p\)-ième. Plus précisément, \(\alpha_i^p \in F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) est un élément qui ne possède pas de racine \(p\)-ième dans \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\), pour \(i = 1, \ldots, n\).

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur le degré de \(E/F\). Si ce degré vaut \(1\), le résultat est clair (avec \(n = 0\)). Sinon, choisissons \(\alpha \in E\), \(\alpha \not \in F\). Écrivons \(\alpha^{p^r} \in F\) pour un certain \(r > 0\). Prenons \(r\) minimal et remplaçons \(\alpha\) par \(\alpha^{p^{r - 1}}\). Alors \(\alpha \not \in F\), mais \(\alpha^p \in F\). Ainsi \(t = \alpha^p\) n’est pas une puissance \(p\)-ième dans \(F\) (car cela entraînerait \(\alpha \in F\), voir le Lemme 09H4 ou sa démonstration). Ainsi, \(F \subset F(\alpha)\) est une sous-extension de degré \(p\) (Lemme 09HF). Par récurrence, nous trouvons \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in E\) qui engendrent \(E/F(\alpha)\) et satisfont aux conclusions du lemme. La suite \(\alpha, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) convient alors pour l’extension \(E/F\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Il existe une unique sous-extension \(E/E_{sep}/F\) telle que \(E_{sep}/F\) soit séparable et que \(E/E_{sep}\) soit purement inséparable.

Démonstration

Si la caractéristique est nulle, posons \(E_{sep} = E\). Supposons désormais la caractéristique égale à \(p > 0\). Soit \(E_{sep}\) l’ensemble des éléments de \(E\) qui sont séparables sur \(F\). C’est une sous-extension d’après le Lemme 09HC, et bien entendu \(E_{sep}\) est séparable sur \(F\). Étant donné \(\alpha\) dans \(E\), il existe une puissance de \(p\), notée \(q\), telle que \(\alpha^q\) soit séparable sur \(F\). En effet, \(q\) est la puissance de \(p\) telle que le polynôme minimal de \(\alpha\) soit de la forme \(P(x^q)\), où \(P\) est un polynôme séparable, voir le Lemme 09H0. Ainsi \(E/E_{sep}\) est purement inséparable. L’unicité est claire.

Définition

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Soit \(E_{sep}\) la sous-extension obtenue au Lemme 030K.

1. L’entier \([E_{sep} : F]\) est appelé le degré séparable de l’extension. Notation : \([E : F]_s\).

2. L’entier \([E : E_{sep}]\) est appelé le degré inséparable, ou le degré d’inséparabilité de l’extension. Notation : \([E : F]_i\).

Bien entendu, en caractéristique \(0\), on a \([E : F] = [E : F]_s\) et \([E : F]_i = 1\). Par multiplicativité (Lemme 09G9), on a \[[E : F] = [E : F]_s [E : F]_i\] même lorsque certains de ces degrés sont infinis. En fait, le degré séparable et le degré inséparable sont eux aussi multiplicatifs (voir le Lemme 09HK).

Lemme

Soit \(K/F\) une extension finie. Soit \(\overline{F}\) une clôture algébrique de \(F\). Alors \([K : F]_s = |\Mor_F(K, \overline{F})|\).

Démonstration

Démontrons d’abord ce résultat lorsque \(K/F\) est purement inséparable. Nous affirmons que, dans ce cas, il existe une unique application \(K \to \overline{F}\). On peut le voir en choisissant une suite d’éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K\) comme au Lemme 09HI. Le polynôme irréductible de \(\alpha_i\) sur \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\) est \(x^p - \alpha_i^p\). En appliquant le Lemme 09H8, on voit que \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = 1\). D’autre part, \([K : F]_s = 1\) dans ce cas, d’où l’égalité.

Revenons à une extension finie générale \(K/F\). Dans ce cas, choisissons \(F \subset K_s \subset K\) comme au Lemme 030K. D’après le Lemme 09HA, on a \(|\Mor_F(K_s, \overline{F})| = [K_s : F] = [K : F]_s\). D’autre part, tout morphisme de corps \(\sigma' : K_s \to \overline{F}\) se prolonge de manière unique en un morphisme de corps \(\sigma : K \to \overline{F}\), d’après le résultat du paragraphe précédent. Autrement dit, \(|\Mor_F(K, \overline{F})| = |\Mor_F(K_s, \overline{F})|\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Supposons donnée une tour d’extensions algébriques de corps \(K/E/F\). Alors \[[K : F]_s = [K : E]_s [E : F]_s \quad\text{et}\quad [K : F]_i = [K : E]_i [E : F]_i\]

Démonstration

Démontrons d’abord le résultat lorsque \(K\) est fini sur \(F\). Comme la multiplicativité vaut pour le degré usuel (d’après le Lemme 09G9), il suffit de démontrer l’une des deux formules. D’après le Lemme 09HJ, on a \([K : F]_s = |\Mor_F(K, \overline{F})|\). Par le même lemme, pour tout \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\), le nombre de prolongements de \(\sigma\) en une application \(\tau : K \to \overline{F}\) est \([K : E]_s\). En effet, via \(E \cong \sigma(E) \subset \overline{F}\), nous pouvons considérer \(\overline{F}\) comme une clôture algébrique de \(E\). En combinant ceci avec le fait qu’il existe \([E : F]_s = |\Mor_F(E, \overline{F})|\) choix pour \(\sigma\), on obtient le résultat.

Nous omettons la démonstration lorsque les extensions sont infinies.

Extensions normales

Soit \(P \in F[x]\) un polynôme non constant sur un corps \(F\). Nous dirons que \(P\) se décompose complètement en facteurs linéaires sur \(F\) ou est complètement décomposé sur \(F\) s’il existe \(c \in F^*\), \(n \geq 1\), \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) tels que \[P = c(x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\] dans \(F[x]\). Les extensions normales sont définies comme suit.

Définition

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Nous dirons que \(E\) est normale sur \(F\) si, pour tout \(\alpha \in E\), le polynôme minimal \(P\) de \(\alpha\) sur \(F\) se décompose complètement en facteurs linéaires sur \(E\).

Comme pour les extensions séparables, l’établissement des propriétés fondamentales de cette notion demande un peu de travail.

Lemme

Soit \(K/E/F\) une tour d’extensions algébriques de corps. Si \(K\) est normale sur \(F\), alors \(K\) est normale sur \(E\).

Démonstration

Soit \(\alpha \in K\). Soit \(P\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(F\). Soit \(Q\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(E\). Alors \(Q\) divise \(P\) dans l’anneau de polynômes \(E[x]\), disons \(P = QR\). Par conséquent, si \(P\) est complètement décomposé sur \(K\), il en va de même de \(Q\).

Lemme

Soit \(F\) un corps. Soit \(M/F\) une extension algébrique. Soient \(M/E_i/F\), \(i \in I\), des sous-extensions telles que \(E_i/F\) soit normale. Alors \(\bigcap E_i\) est normale sur \(F\).

Démonstration

Cela résulte directement des définitions.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps normale. Alors la sous-extension \(E/E_{sep}/F\) du Lemme 030K est normale.

Démonstration

Si la caractéristique est nulle, alors \(E_{sep} = E\), et le résultat est clair. Si la caractéristique vaut \(p > 0\), alors \(E_{sep}\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui sont séparables sur \(F\). Alors, si \(\alpha \in E_{sep}\) a pour polynôme minimal \(P\), écrivons \(P = c(x - \alpha)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_d)\) avec \(\alpha_2, \ldots, \alpha_d \in E\). Puisque \(P\) est un polynôme séparable et que \(\alpha_i\) est une racine de \(P\), nous en déduisons \(\alpha_i \in E_{sep}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Soit \(\overline{F}\) une clôture algébrique de \(F\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\) est normale sur \(F\) ;

2. pour toute paire \(\sigma, \sigma' \in \Mor_F(E, \overline{F})\), on a \(\sigma(E) = \sigma'(E)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}\) l’ensemble de tous les polynômes minimaux sur \(F\) de tous les éléments de \(E\). Posons \[T = \{\beta \in \overline{F} \mid P(\beta) = 0\text{ pour un certain }P \in \mathcal{P}\}\] Il est clair que, si \(E\) est normale sur \(F\), alors \(\sigma(E) = T\) pour tout \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\). Nous voyons donc que (1) implique (2).

Réciproquement, supposons (2). Choisissons \(\beta \in T\). Nous pouvons trouver \(\alpha \in E\) dont le polynôme minimal \(P \in \mathcal{P}\) annule \(\beta\). Puisque \(F(\alpha) = F[x]/(P)\), nous pouvons trouver un élément \(\sigma_0 \in \Mor_F(F(\alpha), \overline{F})\) qui envoie \(\alpha\) sur \(\beta\). D’après le Lemme 09GU, nous pouvons prolonger \(\sigma_0\) en un morphisme \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\). Nous voyons ainsi que \(\beta\) appartient à l’image commune de tous les plongements \(\sigma : E \to \overline{F}\). Il s’ensuit que \(\sigma(E) = T\) pour tout \(\sigma\). Fixons un \(\sigma\). Soit maintenant \(P \in \mathcal{P}\). Alors nous pouvons écrire \[P = (x - \beta_1) \ldots (x - \beta_n)\] pour un certain \(n\) et des \(\beta_i \in \overline{F}\), d’après le Lemme 09GR. Observons que \(\beta_i \in T\). Ainsi \(\beta_i = \sigma(\alpha_i)\) pour un certain \(\alpha_i \in E\). Par conséquent, \(P = (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\) se décompose complètement sur \(E\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique de corps. Si \(E\) est engendrée par les éléments \(\alpha_i \in E\), \(i \in I\), sur \(F\), et si, pour tout \(i\), le polynôme minimal de \(\alpha_i\) sur \(F\) se décompose complètement dans \(E\), alors \(E/F\) est normale.

Démonstration

Soit \(P_i\) le polynôme minimal de \(\alpha_i\) sur \(F\). Soient \(\alpha_i = \alpha_{i, 1}, \alpha_{i, 2}, \ldots, \alpha_{i, d_i}\) les racines de \(P_i\) sur \(E\). Étant donnés deux plongements \(\sigma, \sigma' : E \to \overline{F}\) au-dessus de \(F\), on voit que \[\{\sigma(\alpha_{i, 1}), \ldots, \sigma(\alpha_{i, d_i})\} = \{\sigma'(\alpha_{i, 1}), \ldots, \sigma'(\alpha_{i, d_i})\}\] car les deux membres sont égaux à l’ensemble des racines de \(P_i\) dans \(\overline{F}\). Les éléments \(\alpha_{i, j}\) engendrent \(E\) sur \(F\), et l’on obtient \(\sigma(E) = \sigma'(E)\). Ainsi \(E/F\) est normale d’après le Lemme 09HQ.

Lemme

Soit \(L/M/K\) une tour d’extensions algébriques.

1. Si \(M/K\) est normale, alors tout automorphisme \(\tau\) de \(L/K\) induit un automorphisme \(\tau|_M : M \to M\).

2. Si \(L/K\) est normale, alors tout morphisme de \(K\)-algèbres \(\sigma : M \to L\) se prolonge en un automorphisme de \(L\).

Démonstration

Choisissons une clôture algébrique \(\overline{L}\) de \(L\) (Théorème 09GT).

Soit \(\tau\) comme en (1). Alors \(\tau(M) = M\) comme sous-corps de \(\overline{L}\) d’après le Lemme 09HQ, et donc \(\tau|_M : M \to M\) est un automorphisme.

Soit \(\sigma : M \to L\) comme en (2). D’après le Lemme 09GU, nous pouvons prolonger \(\sigma\) en une application \(\tau : L \to \overline{L}\), c’est-à-dire de telle sorte que le diagramme \[\xymatrix{ L \ar[r]_\tau & \overline{L} \\ M \ar[u] \ar[ru]_\sigma & K \ar[l] \ar[u] }\] soit commutatif. D’après le Lemme 09HQ, on voit que \(\tau(L) = L\). Ainsi \(\tau : L \to L\) est un automorphisme qui prolonge \(\sigma\).

Définition

Soit \(E/F\) une extension de corps. Alors \(\text{Aut}(E/F)\) ou \(\text{Aut}_F(E)\) désigne le groupe des automorphismes de \(E\) comme objet de la catégorie des \(F\)-extensions. Les éléments de \(\text{Aut}(E/F)\) sont appelés automorphismes de \(E\) sur \(F\) ou automorphismes de \(E/F\).

Voici une caractérisation des extensions normales en termes d’automorphismes.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension finie. On a \[|\text{Aut}(E/F)| \leq [E : F]_s\] avec égalité si et seulement si \(E\) est normale sur \(F\).

Démonstration

Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\) de \(F\). Rappelons que \([E : F]_s = |\Mor_F(E, \overline{F})|\). Choisissons un élément \(\sigma_0 \in \Mor_F(E, \overline{F})\). Alors l’application \[\text{Aut}(E/F) \longrightarrow \Mor_F(E, \overline{F}),\quad \tau \longmapsto \sigma_0 \circ \tau\] est injective. D’où l’inégalité. S’il y a égalité, tout \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\) s’obtient en précomposant \(\sigma_0\) par un automorphisme. Ainsi \(\sigma(E) = \sigma_0(E)\). Donc \(E\) est normale sur \(F\) d’après le Lemme 09HQ.

Réciproquement, supposons que \(E/F\) est normale. Alors, d’après le Lemme 09HQ, on a \(\sigma(E) = \sigma_0(E)\) pour tout \(\sigma \in \Mor_F(E, \overline{F})\). On obtient donc un automorphisme de \(E\) sur \(F\) en posant \(\tau = \sigma_0^{-1} \circ \sigma\). Par conséquent, l’application ci-dessus est surjective.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension algébrique normale de corps. Soit \(E/K\) une extension de corps. Alors, soit il n’existe aucun \(K\)-plongement de \(L\) dans \(E\), soit il en existe un \(\tau : L \to E\) et tout autre est de la forme \(\tau \circ \sigma\), où \(\sigma \in \text{Aut}(L/K)\).

Démonstration

Étant donné \(\tau\), remplaçons \(L\) par \(\tau(L) \subset E\) et appliquons le Lemme 0BME.

Corps de décomposition

Le lemme suivant est un outil utile pour construire des extensions normales de corps.

Lemme

Soit \(F\) un corps. Soit \(P \in F[x]\) un polynôme non constant. Il existe une plus petite extension de corps \(E/F\) telle que \(P\) soit scindé sur \(E\). De plus, l’extension de corps \(E/F\) est normale et unique à isomorphisme près, cet isomorphisme n’étant pas nécessairement unique.

Démonstration

Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\). Nous pouvons alors écrire \(P = c (x - \beta_1) \ldots (x - \beta_n)\) dans \(\overline{F}[x]\), voir le Lemme 09GR. Notons que \(c \in F^*\). Posons \(E = F(\beta_1, \ldots, \beta_n)\). Il est alors clair que \(E\) est minimale sous la condition que \(P\) soit scindé sur \(E\).

Soit ensuite \(E'\) une autre extension minimale de \(F\) telle que \(P\) soit scindé sur \(E'\). Écrivons \(P = c (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\) avec \(c \in F\) et \(\alpha_i \in E'\). La minimalité entraîne de nouveau que \(E' = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\). De plus, si nous choisissons un \(\sigma : E' \to \overline{F}\) quelconque (Lemme 09GU), nous voyons immédiatement que \(\sigma(\alpha_i) = \beta_{\tau(i)}\) pour une certaine permutation \(\tau : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}\). Ainsi \(\sigma(E') = E\). Cela implique que \(E'\) est une extension normale de \(F\) d’après le Lemme 09HQ, et que \(E \cong E'\) comme extensions de \(F\), ce qui achève la démonstration.

Définition

Soit \(F\) un corps. Soit \(P \in F[x]\) un polynôme non constant. L’extension de corps \(E/F\) construite au Lemme 09HU est appelée le corps de décomposition de \(P\) sur \(F\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension finie de corps. Il existe une unique plus petite extension finie \(K/E\) telle que \(K\) soit normale sur \(F\).

Démonstration

Choisissons des générateurs \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) de \(E\) sur \(F\). Soient \(P_1, \ldots, P_n\) les polynômes minimaux de \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sur \(F\). Posons \(P = P_1 \ldots P_n\). Observons que \((x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\) divise \(P\), puisque chaque \((x - \alpha_i)\) divise \(P_i\). Écrivons \(P = (x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)Q\). Soit \(K/E\) le corps de décomposition de \(P\) sur \(E\). Nous affirmons que \(K\) est également le corps de décomposition de \(P\) sur \(F\) (ce qui implique que \(K\) est normale sur \(F\)). Cela est clair, car \(K/E\) est engendrée par les racines de \(Q\) sur \(E\), tandis que \(E\) est engendrée par les racines de \((x - \alpha_1) \ldots (x - \alpha_n)\) sur \(F\) ; ainsi, \(K\) est engendrée par les racines de \(P\) sur \(F\).

Unicité. Supposons que \(K'/E\) soit une seconde extension minimale telle que \(K'/F\) soit normale. Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\) et un plongement \(\sigma_0 : E \to \overline{F}\). D’après le Lemme 09GU, nous pouvons prolonger \(\sigma_0\) en \(\sigma : K \to \overline{F}\) et en \(\sigma' : K' \to \overline{F}\). D’après le Lemme 09HP, on voit que \(\sigma(K) \cap \sigma'(K')\) est normale sur \(F\). La minimalité donne \(\sigma(K) = \sigma'(K')\). Ainsi \(\sigma^{-1} \circ \sigma' : K' \to K\) fournit un isomorphisme d’extensions de \(E\).

Définition

Soit \(E/F\) une extension finie de corps. L’extension de corps \(K/E\) construite au Lemme 09DT est appelée la clôture normale de \(E\) sur \(F\).

On peut construire la clôture normale à l’intérieur de toute extension normale donnée.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension algébrique normale.

1. Si \(L/M/K\) est une sous-extension avec \(M/K\) finie, alors il existe une tour \(L/M'/M/K\) telle que \(M'/K\) soit finie et normale.

2. Si \(L/M'/M/K\) est une tour telle que \(M/K\) soit normale et \(M'/M\) finie, alors il existe une tour \(L/M''/M'/M/K\) telle que \(M''/M\) soit finie et \(M''/K\) normale.

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(M'\) la plus petite sous-extension de \(L/K\) contenant \(M\) qui soit normale sur \(K\). D’après le Lemme 09DT, c’est la clôture normale de \(M/K\), et elle est finie sur \(K\).

Démonstration de (2). Soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in M'\) des générateurs de \(M'\) sur \(M\). Soient \(P_1, \ldots, P_n\) les polynômes minimaux de \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sur \(K\). Soient \(\alpha_{i, j}\) les racines de \(P_i\) dans \(L\). Posons \(M'' = M(\alpha_{i, j})\). Il résulte du Lemme 0BR3 (appliqué à l’ensemble de générateurs \(M \cup \{\alpha_{i, j}\}\)) que \(M''\) est normale sur \(K\).

Le lemme suivant peut parfois servir à démontrer des propriétés de la clôture normale.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie. Soit \(M/L\) la clôture normale de \(L\) sur \(K\). Alors il existe une application surjective \[L \otimes_K L \otimes_K \ldots \otimes_K L \longrightarrow M\] de \(K\)-algèbres, où le nombre de facteurs tensoriels peut être pris égal à \([L : K]_s \leq [L : K]\).

Démonstration

Choisissons une clôture algébrique \(\overline{K}\) de \(K\). Posons \(n = [L : K]_s = |\Mor_K(L, \overline{K})|\), l’égalité résultant du Lemme 09HJ. Écrivons \(\Mor_K(L, \overline{K}) = \{\sigma_1, \ldots, \sigma_n\}\). Soit \(M' \subset \overline{K}\) la \(K\)-sous-algèbre engendrée par \(\sigma_i(L)\), \(i = 1, \ldots, n\). Alors \(M'\) est un corps, car toute \(K\)-sous-algèbre de \(\overline{K}\) est un corps. Tout morphisme de \(K\)-algèbres de \(M'\) vers \(\overline{K}\) permute les \(\sigma_i\), et envoie donc le sous-corps \(M'\) sur \(M'\). Par construction, le corps \(M'\) est engendré par les conjugués d’éléments de \(\sigma_1(L)\). Cela étant, il résulte du Lemme 09HQ que \(M'\) est normal sur \(K\) et qu’il est la plus petite sous-extension normale de \(\overline{K}\) contenant \(\sigma_1(L)\). Par unicité de la clôture normale, on a \(M \cong M'\). Enfin, il existe une application surjective \[L \otimes_K L \otimes_K \ldots \otimes_K L \longrightarrow M', \quad \lambda_1 \otimes \ldots \otimes \lambda_n \longmapsto \sigma_1(\lambda_1) \ldots \sigma_n(\lambda_n)\] et notons que \(n \leq [L : K]\) par définition.

Racines de l’unité

Soit \(F\) un corps. Pour un entier \(n \geq 1\), posons \[\mu_n(F) = \{\zeta \in F \mid \zeta^n = 1\}\] On appelle cet ensemble le groupe des racines \(n\)-ièmes de l’unité ; ses éléments sont les racines \(n\)-ièmes de \(1\). C’est un groupe abélien pour la multiplication, dont l’élément neutre est \(1\). Observons que, dans un corps, le nombre de racines d’un polynôme de degré \(d\) est toujours au plus \(d\). Ainsi \(|\mu_n(F)| \leq n\), puisque cet ensemble est défini par une équation polynomiale de degré \(n\). Bien entendu, tout élément de \(\mu_n(F)\) est d’ordre divisant \(n\). En outre, les sous-groupes \[\mu_d(F) \subset \mu_n(F),\quad d | n\] ont chacun au plus \(d\) éléments. Cela implique que \(\mu_n(F)\) est cyclique.

Lemme

Soit \(A\) un groupe abélien d’exposant divisant \(n\) tel que \(\{x \in A \mid dx = 0\}\) soit de cardinal au plus \(d\) pour tout \(d | n\). Alors \(A\) est cyclique d’ordre divisant \(n\).

Démonstration

Les conditions impliquent que \(|A| \leq n\) ; en particulier, \(A\) est fini. La structure des groupes abéliens finis montre que \(A = \mathbf{Z}/e_1\mathbf{Z} \oplus \ldots \oplus \mathbf{Z}/e_r\mathbf{Z}\) pour des entiers \(1 < e_1 | e_2 | \ldots | e_r\). Cela impliquerait que \(\{x \in A \mid e_1 x = 0\}\) est de cardinal \(e_1^r\). Par conséquent, \(r = 1\).

Appliqué au corps \(\mathbf{F}_p\), ceci donne le célèbre résultat selon lequel le groupe \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) est cyclique. Nous reviendrons sur cette question dans la section consacrée aux corps finis.

Une autre observation est souvent utile : si \(F\) est de caractéristique \(p > 0\), alors \(\mu_{p^n}(F) = \{1\}\). Cela tient à ce que l’élévation à la puissance \(p\) est une application injective sur les corps de caractéristique \(p\), comme nous l’avons vu dans la démonstration du Lemme 09H4. (Bien entendu, cela résulte aussi de l’énoncé même de ce lemme.)

Corps finis

Soit \(F\) un corps fini. Il est clair que \(F\) est de caractéristique positive, car il ne peut exister d’injection \(\mathbf{Q} \to F\). Supposons que la caractéristique de \(F\) soit \(p\). L’extension \(\mathbf{F}_p \subset F\) est finie. Nous voyons ainsi que \(F\) possède \(q = p^f\) éléments pour un certain \(f \geq 1\).

Considérons le groupe des unités \(F^*\). C’est un groupe abélien fini, il possède donc un certain exposant \(e\). Alors \(F^* = \mu_e(F)\), et la discussion de la section 09HW montre que \(F^*\) est un groupe cyclique d’ordre \(q - 1\). (A posteriori, il en résulte aussi que \(e = q - 1\).) En particulier, si \(\alpha \in F^*\) est un générateur, alors il est clair que \[F = \mathbf{F}_p(\alpha)\] Autrement dit, l’extension \(F/\mathbf{F}_p\) est engendrée par un seul élément. Bien entendu, il en va de même de toute extension de corps finis \(E/F\) (car \(E\) est déjà engendré par un seul élément sur le corps premier).

Éléments primitifs

Soit \(E/F\) une extension finie de corps. Un élément \(\alpha \in E\) est appelé élément primitif de \(E\) sur \(F\) si \(E = F(\alpha)\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension finie de corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un élément primitif de \(E\) sur \(F\) ;

2. il existe un nombre fini de sous-extensions \(E/K/F\).

De plus, (1) et (2) sont vérifiées si \(E/F\) est séparable.

Démonstration

Soit \(\alpha \in E\) un élément primitif. Soit \(P\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(F\). Soit ensuite \(E/K/F\) une sous-extension. Soit \(Q\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Observons que \(\deg(Q) = [E : K]\). En écrivant \(Q = x^d + \sum_{i < d} a_i x^i\), nous affirmons que \(K\) est égal à \(L = F(a_0, \ldots, a_{d - 1})\). En effet, \(\alpha\) est de degré \(d\) sur \(L\) et \(L \subset K\). Ainsi \([E : L] = [E : K]\), d’où \([K : L] = 1\), c’est-à-dire \(K = L\). Il suffit donc de montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de possibilités pour le polynôme \(Q\). Cela est clair, puisque nous avons une factorisation \(P = QR\) dans \(K[x]\), et en particulier dans \(E[x]\). Comme la factorisation est unique dans \(E[x]\), le polynôme \(P\) n’a qu’un nombre fini de facteurs unitaires dans \(E[x]\).

Si \(F\) est un corps fini (ce qui équivaut à dire que \(E\) est un corps fini), alors \(E/F\) possède un élément primitif d’après la discussion de la section 09HY. Supposons ensuite \(F\) infini et qu’il n’existe qu’un nombre fini de sous-corps propres \(E/K/F\). Énumérons-les, disons \(K_1, \ldots, K_N\). Alors chaque \(K_i \subset E\) est un sous-espace vectoriel propre sur \(F\). Comme \(F\) est infini, nous pouvons trouver un vecteur \(\alpha \in E\) tel que \(\alpha \not \in K_i\) pour tout \(i\) (un espace vectoriel ne peut jamais être la réunion d’un nombre fini de sous-espaces propres ; nous omettons les détails). Alors \(\alpha\) est un élément primitif de \(E\) sur \(F\).

Après avoir établi l’équivalence de (1) et (2), démontrons maintenant la dernière assertion du lemme. Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\) de \(F\). Énumérons les éléments \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n \in \Mor_F(E, \overline{F})\). Puisque \(E/F\) est séparable, on a \(n = [E : F]\) d’après le Lemme 09HA. Notons que, si \(i \not = j\), alors \[V_{ij} = \Ker(\sigma_i - \sigma_j : E \longrightarrow \overline{F})\] n’est pas égal à \(E\). En raisonnant comme au paragraphe précédent, nous pouvons donc trouver \(\alpha \in E\) tel que \(\alpha \not \in V_{ij}\) pour tous \(i \not = j\). Il s’ensuit que \(|\Mor_F(F(\alpha), \overline{F})| \geq n\). D’autre part, \([F(\alpha) : F] \leq [E : F]\). Il y a donc égalité d’après le Lemme 09HA, et nous concluons que \(E = F(\alpha)\).

Trace et norme

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. D’après le Lemme 09FN, nous pouvons choisir un isomorphisme \(L \cong K^{\oplus n}\) de \(K\)-modules. Bien entendu, \(n = [L : K]\) est le degré de l’extension de corps. À l’aide de cet isomorphisme, nous obtenons un morphisme de \(K\)-algèbres \[L \longrightarrow \text{Mat}(n \times n, K),\quad \alpha \longmapsto \text{matrice de la multiplication par }\alpha\] Ainsi, étant donné \(\alpha \in L\), nous pouvons prendre la trace et le déterminant de la matrice correspondante. Bien entendu, ces quantités ne dépendent pas du choix de la base effectué ci-dessus. Plus canoniquement, en considérant simplement \(L\) comme un espace vectoriel de dimension finie sur \(K\), nous avons \(\text{Trace}_K(\alpha : L \to L)\) et le déterminant \(\det_K(\alpha : L \to L)\).

Définition

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Pour \(\alpha \in L\), nous définissons la trace \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha) = \text{Trace}_K(\alpha : L \to L)\) et la norme \(\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = \det_K(\alpha : L \to L)\).

Il résulte clairement de la définition que \(\text{Trace}_{L/K}\) est \(K\)-linéaire et vérifie \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha) = [L : K]\alpha\) pour \(\alpha \in K\). De même, \(\text{Norm}_{L/K}\) est multiplicative et \(\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = \alpha^{[L : K]}\) pour \(\alpha \in K\). C’est un cas particulier de la construction plus générale examinée dans les Exercices 02DU et 02DV.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Soit \(\alpha \in L\), et soit \(P\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Alors le polynôme caractéristique de l’application \(K\)-linéaire \(\alpha : L \to L\) est égal à \(P^e\), avec \(e \deg(P) = [L : K]\).

Démonstration

Choisissons une base \(\beta_1, \ldots, \beta_e\) de \(L\) sur \(K(\alpha)\). Alors \(e\) vérifie \(e \deg(P) = [L : K]\) d’après les Lemmes 09GN et 09G9. Nous voyons alors que \(L = \bigoplus K(\alpha) \beta_i\) est une décomposition en somme directe de sous-espaces invariants par \(\alpha\) ; le polynôme caractéristique de \(\alpha : L \to L\) est donc égal au polynôme caractéristique de \(\alpha : K(\alpha) \to K(\alpha)\) élevé à la puissance \(e\).

Pour achever la démonstration, nous pouvons supposer que \(L = K(\alpha)\). Dans ce cas, le théorème de Cayley-Hamilton montre que \(\alpha\) est une racine du polynôme caractéristique. Et puisque le polynôme caractéristique a le même degré que le polynôme minimal, nous obtenons l’égalité.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Soit \(\alpha \in L\), et soit \(P = x^d + a_1 x^{d - 1} + \ldots + a_d\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Alors \[\text{Norm}_{L/K}(\alpha) = (-1)^{[L : K]} a_d^e \quad\text{et}\quad \text{Trace}_{L/K}(\alpha) = - e a_1\] où \(e d = [L : K]\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 0BIG et des définitions.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie sur \(L\). Soit \(\varphi : V \to V\) une application \(L\)-linéaire. Alors \[\text{Trace}_K(\varphi : V \to V) = \text{Trace}_{L/K}(\text{Trace}_L(\varphi : V \to V))\] et \[\det\nolimits_K(\varphi : V \to V) = \text{Norm}_{L/K}(\det\nolimits_L(\varphi : V \to V))\]

Démonstration

Choisissons un isomorphisme \(V = L^{\oplus n}\) de sorte que \(\varphi\) corresponde à une matrice \(n \times n\). Dans le cas des traces, les deux membres de la formule sont additifs en \(\varphi\). Nous pouvons donc supposer que \(\varphi\) corresponde à la matrice dont l’unique coefficient non nul est en position \((i, j)\). Dans ce cas, un calcul direct montre que les deux membres sont égaux.

Dans le cas des normes, les deux membres sont nuls si \(\varphi\) possède un noyau non nul. Nous pouvons donc supposer que \(\varphi\) corresponde à un élément de \(\text{GL}_n(L)\). Les deux membres de la formule sont multiplicatifs en \(\varphi\). Puisque tout élément de \(\text{GL}_n(L)\) est un produit de matrices élémentaires, nous pouvons supposer que \(\varphi\) soit de la forme \[E_{12}(\lambda) = \left( \begin{matrix} 1 & \lambda & \ldots \\ 0 & 1 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right) \quad\text{ou}\quad E_1(a) = \left( \begin{matrix} a & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] (car nous pouvons également permuter les éléments de la base à notre convenance). Dans les deux cas, la formule se vérifie aisément par un calcul direct.

Lemme

Soit \(M/L/K\) une tour d’extensions finies de corps. Alors \[\text{Trace}_{M/K} = \text{Trace}_{L/K} \circ \text{Trace}_{M/L} \quad\text{et}\quad \text{Norm}_{M/K} = \text{Norm}_{L/K} \circ \text{Norm}_{M/L}\]

Démonstration

Considérons \(M\) comme un espace vectoriel sur \(L\) et appliquons le Lemme 0BII.

La forme trace se définit au moyen de la trace.

Définition

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. La forme trace de \(L/K\) est la forme \(K\)-bilinéaire symétrique \[Q_{L/K} : L \times L \longrightarrow K,\quad (\alpha, \beta) \longmapsto \text{Trace}_{L/K}(\alpha\beta)\]

Il se trouve qu’une extension finie de corps est séparable si et seulement si la forme trace est non dégénérée.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(L/K\) est séparable,

2. \(\text{Trace}_{L/K}\) n’est pas identiquement nulle, et

3. la forme trace \(Q_{L/K}\) est non dégénérée.

Démonstration

Il est clair que (3) implique (2). Si (2) est vérifiée, choisissons \(\gamma \in L\) tel que \(\text{Trace}_{L/K}(\gamma) \not = 0\). Alors, si \(\alpha \in L\) est non nul, nous voyons que \(Q_{L/K}(\alpha, \gamma/\alpha) \not = 0\). Ainsi, \(Q_{L/K}\) est non dégénérée. Cela démontre l’équivalence de (2) et (3).

Supposons que \(K\) soit de caractéristique \(p\) et que \(L = K(\alpha)\) avec \(\alpha \not \in K\) et \(\alpha^p \in K\). Alors \(\text{Trace}_{L/K}(1) = p = 0\). Pour \(i = 1, \ldots, p - 1\), nous voyons que \(x^p - \alpha^{pi}\) est le polynôme minimal de \(\alpha^i\) sur \(K\), et nous obtenons \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha^i) = 0\) d’après le Lemme 0BIH. Ainsi, pour ce type d’extension purement inséparable de degré \(p\), nous voyons que \(\text{Trace}_{L/K}\) est identiquement nulle.

Supposons que \(L/K\) ne soit pas séparable. Il existe alors un corps intermédiaire \(L/K'/K\) tel que \(L/K'\) soit une extension purement inséparable de degré \(p\) comme au paragraphe précédent ; voir les Lemmes 030K et 09HI. Ainsi, d’après le Lemme 0BIJ, nous voyons que \(\text{Trace}_{L/K}\) est identiquement nulle.

Supposons au contraire que \(L/K\) soit séparable. Par récurrence sur le degré, nous allons montrer que \(\text{Trace}_{L/K}\) n’est pas identiquement nulle. Ainsi, d’après le Lemme 0BIJ, nous pouvons supposer que \(L/K\) est engendrée par un seul élément \(\alpha\) (utiliser le fait que, si la trace est non nulle, alors elle est surjective). Nous devons montrer que \(\text{Trace}_{L/K}(\alpha^e)\) est non nulle pour un certain \(e \geq 0\). Soit \(P = x^d + a_1 x^{d - 1} + \ldots + a_d\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Alors \(P\) est aussi le polynôme caractéristique de l’application linéaire \(\alpha : L \to L\) ; voir le Lemme 0BIG. Puisque \(L/k\) est séparable, le Lemme 09H3 montre que \(P\) a \(d\) racines deux à deux distinctes \(\alpha_1, \ldots, \alpha_d\) dans une clôture algébrique \(\overline{K}\) de \(K\). Ce sont donc les valeurs propres de \(\alpha : L \to L\). D’après l’algèbre linéaire, la trace de \(\alpha^e\) est égale à \(\alpha_1^e + \ldots + \alpha_d^e\). Nous concluons donc par le Lemme 0EM9.

Soit \(K\) un corps et soit \(Q : V \times V \to K\) une forme bilinéaire sur un espace vectoriel de dimension finie sur \(K\). Posons \(\dim_K(V) = n\). Alors \(Q\) définit une application linéaire \(Q : V \to V^*\), \(v \mapsto Q(v, -)\), où \(V^* = \Hom_K(V, K)\) est l’espace vectoriel dual. D’où une application linéaire \[\det(Q) : \wedge^n(V) \longrightarrow \wedge^n(V)^*\] Si nous choisissons un vecteur de base \(\omega \in \wedge^n(V)\), nous pouvons écrire \(\det(Q)(\omega) = \lambda \omega^*\), où \(\omega^*\) est le vecteur de base dual dans \(\wedge^n(V)^*\). Si nous remplaçons notre choix de \(\omega\) par \(c \omega\) pour un certain \(c \in K^*\), alors \(\omega^*\) devient \(c^{-1} \omega^*\) et, par conséquent, \(\lambda\) devient \(c^2 \lambda\). Ainsi, la classe de \(\lambda\) dans \(K/(K^*)^2\) est bien définie et s’appelle le discriminant de \(Q\). En développant les définitions, nous voyons que \[\lambda = \det(Q(v_i, v_j)_{1 \leq i, j \leq n})\] si \(\{v_1, \ldots, v_n\}\) est une base de \(V\) sur \(K\). Notons que le discriminant est non nul si et seulement si \(Q\) est non dégénérée.

Définition

Soit \(L/K\) une extension finie de corps. Le discriminant de \(L/K\) est le discriminant de la forme trace \(Q_{L/K}\).

D’après la discussion ci-dessus et le Lemme 0BIL, nous voyons que le discriminant est non nul si et seulement si \(L/K\) est séparable. Pour \(a \in K\), nous disons souvent « le discriminant vaut \(a\) » alors qu’il serait plus exact de dire que le discriminant est la classe de \(a\) dans \(K/(K^*)^2\).

Exercice

Soit \(L/K\) une extension de degré \(2\). Montrer qu’il se produit exactement l’un des cas suivants :

1. le discriminant vaut \(0\), la caractéristique de \(K\) vaut \(2\), et \(L/K\) est purement inséparable et s’obtient en adjoignant une racine carrée d’un élément de \(K\),

2. le discriminant vaut \(1\), la caractéristique de \(K\) vaut \(2\), et \(L/K\) est séparable de degré \(2\),

3. le discriminant n’est pas un carré, la caractéristique de \(K\) n’est pas \(2\), et \(L\) s’obtient à partir de \(K\) en adjoignant la racine carrée du discriminant.

Théorie de Galois

Voici la définition.

Définition

Une extension de corps \(E/F\) est dite galoisienne si elle est algébrique, séparable et normale.

On verra qu’une extension finie est galoisienne si et seulement si elle possède le nombre « correct » d’automorphismes.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension finie de corps. Alors \(E\) est galoisienne sur \(F\) si et seulement si \(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\).

Démonstration

Supposons que \(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\). D’après le Lemme 09HS, cela implique que \(E/F\) est séparable et normale, donc galoisienne. Réciproquement, si \(E/F\) est séparable, alors \([E : F] = [E : F]_s\), et si \(E/F\) est de plus normale, le Lemme 09HS implique que \(|\text{Aut}(E/F)| = [E : F]\).

Motivés par le lemme précédent, nous introduisons le groupe de Galois comme suit.

Définition

Si \(E/F\) est une extension galoisienne, le groupe \(\text{Aut}(E/F)\) est appelé le groupe de Galois et est noté \(\text{Gal}(E/F)\).

Si \(L/K\) est une extension galoisienne infinie, il faut considérer le groupe de Galois comme un groupe topologique. Nous y reviendrons à la section 0BMI.

Lemme

Soit \(K/E/F\) une tour d’extensions algébriques de corps. Si \(K\) est galoisienne sur \(F\), alors \(K\) est galoisienne sur \(E\).

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 09HN et 09H2.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension finie séparable de corps. Soit \(M\) la clôture normale de \(L\) sur \(K\) (Définition 0BMF). Alors \(M/K\) est galoisienne.

Démonstration

L’extension intermédiaire \(M/M_{sep}/K\) du Lemme 030K est normale d’après le Lemme 0EXK. Puisque \(L/K\) est séparable, nous avons \(L \subset M_{sep}\). Par minimalité, \(M = M_{sep}\), ce qui achève la démonstration.

Soit \(G\) un groupe agissant sur un corps \(K\) (par automorphismes de corps). Nous emploierons souvent la notation \[K^G = \{x \in K \mid \sigma(x) = x \ \forall \sigma \in G\}\] et appellerons ce corps le corps des invariants de l’action de \(G\) sur \(K\).

Lemme

Soit \(K\) un corps. Soit \(G\) un groupe fini agissant fidèlement sur \(K\). Alors l’extension \(K/K^G\) est galoisienne, on a \([K : K^G] = |G|\), et le groupe de Galois de l’extension est \(G\).

Démonstration

Étant donné \(\alpha \in K\), considérons l’orbite \(G \cdot \alpha \subset K\) de \(\alpha\) sous l’action du groupe. Considérons le polynôme \[P = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \beta) \in K[x]\] Le point clé de tout le lemme est que ce polynôme est invariant sous l’action de \(G\) et possède donc ses coefficients dans \(K^G\). En effet, pour \(\tau \in G\), nous avons \[P^\tau = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \tau(\beta)) = \prod\nolimits_{\beta \in G \cdot \alpha} (x - \beta) = P\] car l’application \(\beta \mapsto \tau(\beta)\) est une permutation de l’orbite \(G \cdot \alpha\). Ainsi \(P \in K^G[x]\). De plus, \(P(\alpha) = 0\), puisque \(\alpha\) appartient à son orbite ; nous en concluons que l’extension \(K/K^G\) est algébrique. En outre, le polynôme minimal \(Q\) de \(\alpha\) sur \(K^G\) divise le polynôme \(P\) que nous venons de construire. Par conséquent, \(Q\) est séparable (par exemple d’après le Lemme 09H3) et nous en concluons que \(K/K^G\) est séparable. Ainsi \(K/K^G\) est galoisienne. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \([K : K^G] = |G|\), car alors \(G\) sera le groupe de Galois d’après le Lemme 09I1.

Choisissons un nombre fini d’éléments \(\alpha_i \in K\), \(i = 1, \ldots, n\), de sorte que les égalités \(\sigma(\alpha_i) = \alpha_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\) impliquent que \(\sigma\) est l’élément neutre de \(G\). Posons \[L = K^G(\{\sigma(\alpha_i); 1 \leq i \leq n, \sigma \in G\}) \subset K\] et observons que l’action de \(G\) sur \(K\) induit une action de \(G\) sur \(L\). Nous allons montrer que \(L\) est de degré \(|G|\) sur \(K^G\). Cela achèvera la démonstration : en effet, si \(L \subset K\) était stricte, nous pourrions ajouter un élément \(\alpha \in K\), \(\alpha \not \in L\), à notre liste d’éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sans agrandir \(L\), ce qui est absurde. Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(K/K^G\) est finie, lequel est traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(K/K^G\) finie. D’après le Lemme 030N, nous pouvons trouver \(\alpha \in K\) tel que \(K = K^G(\alpha)\). La construction du premier paragraphe de cette démonstration montre que \(\alpha\) est de degré au plus \(|G|\) sur \(K\). Toutefois, ce degré ne peut être inférieur à \(|G|\), puisque \(G\) agit fidèlement sur \(K^G(\alpha) = L\) par construction et en vertu de l’inégalité du Lemme 09HS.

Théorème

Soit \(L/K\) une extension galoisienne finie de groupe de Galois \(G\). Alors \(K = L^G\) et l’application \[\{\text{sous-groupes de }G\} \longrightarrow \{\text{extensions intermédiaires }L/M/K\},\quad H \longmapsto L^H\] est une bijection dont l’inverse envoie \(M\) sur \(\text{Gal}(L/M)\). Les sous-groupes normaux \(H\) de \(G\) correspondent exactement aux extensions intermédiaires \(M\) telles que \(M/K\) soit galoisienne.

Démonstration

D’après le Lemme 09I2, pour toute extension intermédiaire \(L/M/K\), l’extension \(L/M\) est galoisienne. Bien entendu, \(L/M\) est aussi finie (Lemme 09G5). Ainsi \(|\text{Gal}(L/M)| = [L : M]\) d’après le Lemme 09I1. Réciproquement, si \(H \subset G\) est un sous-groupe fini, alors \([L : L^H] = |H|\) d’après le Lemme 09I3. Il résulte formellement de ces deux observations que nous obtenons la correspondance bijective annoncée dans le théorème.

Si \(H \subset G\) est normal, alors \(L^H\) est stable sous l’action de \(G\) et nous obtenons une application canonique \(G/H \to \text{Aut}(L^H/K)\). Cette application est nécessairement injective puisque \(\text{Gal}(L/L^H) = H\). Ainsi \(|G/H| = [L^H : K]\) et \(L^H\) est galoisienne d’après le Lemme 09I1.

Réciproquement, supposons que \(K \subset M \subset L\) et que \(M/K\) soit galoisienne. D’après le Lemme 0BME, tout élément \(\tau \in \text{Gal}(L/K)\) induit un élément \(\tau|_M \in \text{Gal}(M/K)\). On obtient ainsi un homomorphisme de groupes de Galois \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\) dont le noyau est \(H\). Ainsi \(H\) est un sous-groupe normal.

Lemme

Soit \(L/M/K\) une tour de corps. Supposons \(L/K\) et \(M/K\) finies galoisiennes. Alors nous obtenons une suite exacte courte \[1 \to \text{Gal}(L/M) \to \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] de groupes finis.

Démonstration

En effet, d’après le Lemme 0BME, nous voyons que tout élément \(\tau \in \text{Gal}(L/K)\) induit un élément \(\tau|_M \in \text{Gal}(M/K)\), ce qui fournit l’homomorphisme de droite. L’application de gauche identifie le groupe de gauche au noyau de la flèche de droite. La suite est exacte parce que les ordres des groupes coïncident comme il convient, par multiplicativité des degrés dans les tours d’extensions finies (Lemme 09G9). On peut aussi appliquer directement le Lemme 0BME pour voir que l’application de droite est surjective.

Théorie de Galois infinie

Le groupe de Galois est muni d’une topologie canonique.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension galoisienne. Munissons \(\text{Gal}(E/F)\) de la topologie la moins fine telle que \[\text{Gal}(E/F) \times E \longrightarrow E\] soit continue lorsque \(E\) est muni de la topologie discrète. Alors

1. pour tout espace topologique \(X\) et toute application \(X \to \text{Gal}(E/F)\) tels que l’action \(X \times E \to E\) soit continue, l’application induite \(X \to \text{Gal}(E/F)\) est continue,

2. cette topologie fait de \(\text{Gal}(E/F)\) un groupe topologique profini.

Démonstration

Dans toute cette démonstration, nous considérons \(E\) comme un espace topologique discret. Rappelons que la topologie compacte-ouverte sur l’ensemble des applications d’un ensemble dans lui-même \(\text{Map}(E, E)\) est la topologie universelle telle que l’action \(\text{Map}(E, E) \times E \to E\) soit continue. Voir Topologie, Exemple 0BMC pour un énoncé précis. La topologie du lemme sur \(\text{Gal}(E/F)\) est la topologie induite par l’application injective \(\text{Gal}(E/F) \to \text{Map}(E, E)\). La propriété universelle (1) découle donc de la propriété universelle correspondante de la topologie compacte-ouverte. Comme l’ensemble des applications bijectives de l’espace discret considéré, \(\text{Aut}(E)\), muni de la topologie compacte-ouverte, forme un groupe topologique, voir Topologie, Exemple 0BMC, et comme \(\text{Gal}(E/F) = \text{Aut}(E/F) \to \text{Map}(E, E)\) se factorise par \(\text{Aut}(E)\), nous obtenons un groupe topologique. Autrement dit, nous utilisons l’injection \[\text{Gal}(E/F) \subset \text{Aut}(E)\] pour munir \(\text{Gal}(E/F)\) de la structure induite de groupe topologique (voir Topologie, section 0B1Y) et, par construction, il s’agit de la structure de groupe topologique la moins fine pour laquelle l’action \(\text{Gal}(E/F) \times E \to E\) est continue.

Pour montrer que \(\text{Gal}(E/F)\) est profini, nous raisonnons comme suit (notre argument est nécessairement non standard, car nous avons défini la topologie avant de montrer que le groupe de Galois est une limite projective de groupes finis). D’après Topologie, Lemme 0BR1, il suffit de montrer que l’espace topologique sous-jacent à \(\text{Gal}(E/F)\) est profini. Pour toute partie \(S \subset E\), considérons l’ensemble \[G(S) = \{ f : S \to E \mid \begin{matrix} f(\alpha)\text{ est une racine du polynôme minimal}\\ \text{de }\alpha\text{ sur }F\text{ pour tout }\alpha \in S \end{matrix} \}\] Comme un polynôme n’a qu’un nombre fini de racines, nous voyons que \(G(S)\) est fini pour toute partie finie \(S \subset E\). Si \(S \subset S'\), la restriction fournit une application \(G(S') \to G(S)\). Observons également que si \(\alpha \in S \cap F\) et \(f \in G(S)\), alors \(f(\alpha) = \alpha\) car le polynôme minimal est linéaire dans ce cas. Considérons l’espace topologique profini \[G = \lim_{S \subset E\text{ fini}} G(S)\] Considérons l’application canonique \[c : \text{Gal}(E/F) \longrightarrow G,\quad \sigma \longmapsto (\sigma|_S : S \to E)_S\] Elle est injective et, en explicitant les définitions, le lecteur constate que la topologie sur \(\text{Gal}(E/F)\) définie ci-dessus est la topologie induite par \(G\). Un élément \((f_S) \in G\) appartient à l’image de \(c\) exactement lorsque (A) \(f_S(\alpha) + f_S(\beta) = f_S(\alpha + \beta)\) et (M) \(f_S(\alpha)f_S(\beta) = f_S(\alpha\beta)\) chaque fois que ces expressions ont un sens (c’est-à-dire lorsque \(\alpha, \beta, \alpha + \beta, \alpha\beta \in S\)). En effet, cela signifie que \(\lim f_S : E \to E\) sera un morphisme de \(F\)-algèbres, et donc un automorphisme d’après le Lemme 0BMD. Les conditions (A) et (M) pour un triplet donné \((S, \alpha, \beta)\) définissent un fermé de \(G\) ; ainsi \(\text{Gal}(E/F)\) est homéomorphe à un fermé d’un espace profini, et est donc lui-même profini.

Lemme

Soit \(L/M/K\) une tour de corps. Supposons que \(L/K\) et \(M/K\) soient toutes deux galoisiennes. Alors il existe un homomorphisme canonique continu surjectif \(c : \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\).

Démonstration

D’après le Lemme 0BME, pour \(\tau : L \to L\) appartenant à \(\text{Gal}(L/K)\), la restriction \(\tau|_M : M \to M\) est un élément de \(\text{Gal}(M/K)\). Cela définit l’homomorphisme \(c\). La continuité découle de la propriété universelle de la topologie : l’action \[\text{Gal}(L/K) \times M \longrightarrow M,\quad (\tau, x) \longmapsto \tau(x) = c(\tau)(x)\] est continue puisque \(M \subset L\) et que l’action \(\text{Gal}(L/K) \times L \to L\) est continue. La continuité de \(c\) résulte donc de la partie (1) du Lemme 0BMJ. Le Lemme 0BME montre également que l’application est surjective.

Voici une manière plus classique de considérer le groupe de Galois d’une extension galoisienne infinie.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension galoisienne de groupe de Galois \(G\). Soit \(\Lambda\) l’ensemble des extensions intermédiaires finies galoisiennes, c’est-à-dire que \(\lambda \in \Lambda\) correspond à \(L/L_\lambda/K\), où \(L_\lambda/K\) est finie galoisienne de groupe de Galois \(G_\lambda\). Définissons un ordre partiel sur \(\Lambda\) par la règle \(\lambda \geq \lambda'\) si et seulement si \(L_\lambda \supset L_{\lambda'}\). Alors

1. \(\Lambda\) est un ensemble ordonné filtrant,

2. les \(L_\lambda\) forment un système d’extensions de \(K\) indexé par \(\Lambda\) et \(L = \colim L_\lambda\),

3. les \(G_\lambda\) forment un système projectif de groupes finis indexé par \(\Lambda\), les morphismes de transition sont surjectifs, et \[G = \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\] comme groupe profini, et

4. chacune des projections \(G \to G_\lambda\) est continue et surjective.

Démonstration

Tout sous-corps de \(L\) contenant \(K\) est séparable sur \(K\) (cela résulte immédiatement de la définition). Soit \(S \subset L\) une partie finie. Alors \(K(S)/K\) est finie et il existe une tour \(L/E/K(S)/K\) telle que \(E/K\) soit finie galoisienne, voir le Lemme 0BMG. Ainsi \(E = L_\lambda\) pour un certain \(\lambda \in \Lambda\). Cela implique en particulier que l’ensemble \(\Lambda\) n’est pas vide. De plus, étant donnés \(\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda\), nous pouvons écrire \(L_{\lambda_i} = K(S_i)\) pour des ensembles finis \(S_1, S_2 \subset L\) (Lemme 0BU1). Il existe alors un \(\lambda \in \Lambda\) tel que \(K(S_1 \cup S_2) \subset L_\lambda\). Par conséquent, \(\lambda \geq \lambda_1, \lambda_2\) et \(\Lambda\) est filtrant (Catégories, Définition 0031). Enfin, puisque tout élément de \(L\) appartient à \(L_\lambda\) pour un certain \(\lambda \in \Lambda\), il résulte de la description des limites inductives filtrantes dans Catégories, section 04AX, que \(\colim L_\lambda = L\).

Si \(\lambda \geq \lambda'\) dans \(\Lambda\), nous obtenons une application canonique surjective \(G_\lambda \to G_{\lambda'}\), \(\sigma \mapsto \sigma|_{L_{\lambda'}}\), d’après le Lemme 0BMH. Nous obtenons ainsi un système projectif de groupes finis dont les morphismes de transition sont surjectifs.

Rappelons que \(G = \text{Aut}(L/K)\). D’après le Lemme 0BMK, la restriction \(\sigma|_{L_\lambda}\) d’un \(\sigma \in G\) à \(L_\lambda\) est un élément de \(G_\lambda\). De plus, ce procédé fournit une surjection continue \(G \to G_\lambda\). Puisque les morphismes de transition du système projectif des \(G_\lambda\) sont eux aussi donnés par restriction, il est clair que nous obtenons une application continue canonique \[G \longrightarrow \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\] La continuité résulte de la définition des limites dans la catégorie des groupes topologiques ; rappelons que ces limites commutent avec le foncteur d’oubli vers les catégories des ensembles et des espaces topologiques d’après Topologie, Lemme 0B20. D’autre part, puisque \(L = \colim L_\lambda\), il est clair que tout élément de la limite projective (considérée comme un ensemble) définit un automorphisme de \(L\). L’application est donc bijective. Comme la topologie des deux membres est profinie et qu’une application continue bijective entre espaces profinis est un homéomorphisme (Topologie, Lemme 08YE), la démonstration est achevée.

Théorème

Soit \(L/K\) une extension galoisienne. Soit \(G = \text{Gal}(L/K)\) le groupe de Galois considéré comme un groupe topologique profini (Lemme 0BMJ). Alors \(K = L^G\) et l’application \[\{\text{sous-groupes fermés de }G\} \longrightarrow \{\text{extensions intermédiaires }L/M/K\},\quad H \longmapsto L^H\] est une bijection dont l’inverse envoie \(M\) sur \(\text{Gal}(L/M)\). Les extensions intermédiaires finies \(M\) correspondent exactement aux sous-groupes ouverts \(H \subset G\). Les sous-groupes fermés normaux \(H\) de \(G\) correspondent exactement aux extensions intermédiaires \(M\) galoisiennes sur \(K\).

Démonstration

Nous utiliserons le résultat de la théorie de Galois finie (Théorème 09DW) sans autre mention. Soit \(S \subset L\) une partie finie. Il existe une tour \(L/E/K\) telle que \(K(S) \subset E\) et que \(E/K\) soit finie galoisienne, voir le Lemme 0BMG. Autrement dit, \(L/K\) est la réunion de ses extensions intermédiaires finies galoisiennes. Pour un tel \(E\), d’après le Lemme 0BMK, l’application \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(E/K)\) est surjective et continue, c’est-à-dire que son noyau est ouvert puisque la topologie sur \(\text{Gal}(E/K)\) est discrète. En particulier, aucun élément de \(L \setminus K\) n’est fixé par \(\text{Gal}(L/K)\), car \(E^{\text{Gal}(E/K)} = K\). Cela prouve que \(L^G = K\).

D’après le Lemme 09I2, pour toute extension intermédiaire \(L/M/K\), l’extension \(L/M\) est galoisienne. Il résulte immédiatement de la définition de la topologie sur \(G\) que le sous-groupe \(\text{Gal}(L/M)\) est fermé. En appliquant ce qui précède à \(L/M\), nous voyons que \(L^{\text{Gal}(L/M)} = M\).

Réciproquement, soit \(H \subset G\) un sous-groupe fermé. Nous affirmons que \(H = \text{Gal}(L/L^H)\). L’inclusion \(H \subset \text{Gal}(L/L^H)\) est claire. Supposons que \(g \in \text{Gal}(L/L^H)\). Soit \(S \subset L\) une partie finie. Nous allons montrer que le voisinage ouvert \(U_S(g) = \{g' \in G \mid g'(s) = g(s)\}\) de \(g\) rencontre \(H\). Cela implique que \(g \in H\), puisque \(H\) est fermé. Soit \(L/E/K\) une extension intermédiaire finie galoisienne contenant \(K(S)\), comme dans le premier paragraphe de la démonstration, et considérons l’homomorphisme \(c : \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(E/K)\). Alors \(L^H \cap E = E^{c(H)}\). Puisque \(g\) fixe \(L^H\), il fixe \(E^{c(H)}\) et donc \(c(g) \in c(H)\) par la théorie de Galois finie. Choisissons \(h \in H\) tel que \(c(h) = c(g)\). Alors \(h \in U_S(g)\), comme voulu.

À ce stade, nous avons établi la correspondance entre sous-groupes fermés et extensions intermédiaires.

Supposons \(H \subset G\) ouvert. En raisonnant comme ci-dessus, nous voyons que \(H\) contient \(\text{Gal}(L/E)\) pour une extension intermédiaire finie galoisienne \(E\) assez grande, et que \(L^H\) est contenu dans \(E\), donc fini sur \(K\). Réciproquement, si \(M\) est une extension intermédiaire finie, alors \(M\) est engendré par une partie finie \(S\), et le sous-groupe correspondant est l’ouvert \(U_S(e)\), où \(e \in G\) est l’élément neutre.

Supposons que \(K \subset M \subset L\) et que \(M/K\) soit galoisienne. D’après le Lemme 0BMK, il existe un homomorphisme surjectif continu de groupes de Galois \(\text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\) dont le noyau est \(\text{Gal}(L/M)\). Ainsi \(\text{Gal}(L/M)\) est un sous-groupe fermé normal.

Enfin, supposons \(N \subset G\) normal et fermé. Pour toute extension intermédiaire \(L/E/K\) comme dans le premier paragraphe de la démonstration, l’image \(c(N) \subset \text{Gal}(E/K)\) est un sous-groupe normal. Par conséquent, \(L^N = \bigcup E^{c(N)}\) est une réunion d’extensions galoisiennes de \(K\) (par la théorie de Galois finie), et est donc galoisienne sur \(K\).

Lemme

Soit \(L/M/K\) une tour de corps. Supposons \(L/K\) et \(M/K\) galoisiennes. Alors nous obtenons une suite exacte courte \[1 \to \text{Gal}(L/M) \to \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] de groupes topologiques profinis.

Démonstration

C’est une reformulation du Lemme 0BMK.

Les nombres complexes

Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Nous en discutons brièvement dans cette section.

La première remarque que nous souhaitons faire est qu’il faut utiliser quelques résultats d’analyse pour le démontrer. Nous utiliserons le fait intuitivement clair que tout polynôme de degré impair à coefficients réels possède une racine réelle. En effet, soit \(P(x) = a_{2k + 1} x^{2k + 1} + \ldots + a_0 \in \mathbf{R}[x]\) pour un certain \(k \geq 0\) et avec \(a_{2k + 1} \not = 0\). Nous pouvons supposer, et supposons, que \(a_{2k + 1} > 0\). Alors, pour \(x \in \mathbf{R}\) positif et très grand, nous avons \(P(x) > 0\), car le terme \(a_{2k + 1} x^{2k + 1}\) domine tous les autres termes. De même, si \(x \ll 0\), alors \(P(x) < 0\) pour la même raison (et c’est ici que nous utilisons que le degré est impair). Le théorème des valeurs intermédiaires donne donc un \(x \in \mathbf{R}\) tel que \(P(x) = 0\).

Une conséquence de ce qui précède est que \(\mathbf{R}\) ne possède aucune extension de corps non triviale de degré impair, car les éléments de telles extensions auraient des polynômes minimaux de degré impair.

Soit ensuite \(K/\mathbf{R}\) une extension finie galoisienne de groupe de Galois \(G\). Soit \(P \subset G\) un \(2\)-sous-groupe de Sylow. Alors \(K^P/\mathbf{R}\) est une extension de degré impair, donc \(K^P = \mathbf{R}\) d’après ce qui précède, ce qui implique à son tour \(G = P\). (Tous ces arguments reposent bien entendu sur la théorie de Galois.) Ainsi \(G\) est un \(2\)-groupe. Si \(G\) est non trivial, nous voyons alors que \(\mathbf{C} \subset K\), puisque \(\mathbf{C}\) est (à isomorphisme près) l’unique extension de degré \(2\) de \(\mathbf{R}\). Si \(G\) avait plus de \(2\) éléments, nous obtiendrions une extension quadratique de \(\mathbf{C}\). C’est absurde, car tout nombre complexe possède une racine carrée.

Conclusion : \(\mathbf{C}\) est algébriquement clos. En effet, sinon nous obtiendrions une extension finie non triviale \(K/\mathbf{C}\) que nous pourrions supposer normale (donc galoisienne) sur \(\mathbf{R}\) d’après le Lemme 09DT. Mais nous avons vu ci-dessus qu’alors \(K = \mathbf{C}\).

Lemme

Le corps \(\mathbf{C}\) est algébriquement clos.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Extensions de Kummer

Soit \(K\) un corps. Soit \(n \geq 2\) un entier tel que \(K\) contienne une racine primitive \(n\)-ième de \(1\). Soit \(a \in K\). Soit \(L\) une extension de \(K\) obtenue en adjoignant une racine \(b\) de l’équation \(x^n = a\). Alors \(L/K\) est galoisienne. Si \(G = \text{Gal}(L/K)\) est le groupe de Galois, l’application \[G \longrightarrow \mu_n(K),\quad \sigma \longmapsto \sigma(b)/b\] est un homomorphisme injectif de groupes. En particulier, \(G\) est cyclique et son ordre divise \(n\), puisqu’il s’identifie à un sous-groupe du groupe cyclique \(\mu_n(K)\). La théorie de Kummer fournit une réciproque.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension galoisienne de corps dont le groupe de Galois est \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\). Supposons de plus que la caractéristique de \(K\) soit première à \(n\) et que \(K\) contienne une racine primitive \(n\)-ième de \(1\). Alors \(L = K[z]\) avec \(z^n \in K\).

Démonstration

Soit \(\zeta \in K\) une racine primitive \(n\)-ième de \(1\). Soit \(\sigma\) un générateur de \(\text{Gal}(L/K)\). Considérons \(\sigma : L \to L\) comme un opérateur \(K\)-linéaire. Notons que \(\sigma^n - 1 = 0\) comme opérateur linéaire. En appliquant l’indépendance linéaire des caractères (Lemme 0CKL), nous voyons qu’aucun polynôme sur \(K\) de degré \(< n\) ne peut annuler \(\sigma\). Le polynôme minimal de \(\sigma\) comme opérateur linéaire est donc \(x^n - 1\). Puisque \(\zeta\) est une racine de \(x^n - 1\), l’algèbre linéaire donne un \(0 \neq z \in L\) tel que \(\sigma(z) = \zeta z\). Cet élément \(z\) vérifie \(z^n \in K\), car \(\sigma(z^n) = (\zeta z)^n = z^n\). De plus, les éléments \(z, \sigma(z), \ldots, \sigma^{n - 1}(z) = z, \zeta z, \ldots \zeta^{n - 1} z\) sont deux à deux distincts, ce qui garantit que \(z\) engendre \(L\) sur \(K\). Ainsi \(L = K[z]\), ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(K\) un corps, muni d’une clôture algébrique \(\overline{K}\). Soit \(p\) un nombre premier distinct de la caractéristique de \(K\). Soit \(\zeta \in \overline{K}\) une racine primitive \(p\)-ième de \(1\). Alors \(K(\zeta)/K\) est une extension galoisienne dont le degré divise \(p - 1\).

Démonstration

Le polynôme \(x^p - 1\) se décompose entièrement sur \(K(\zeta)\), ses racines étant \(1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{p - 1}\). Ainsi, dans l’extension \(K(\zeta)/K\), le corps supérieur est un corps de décomposition ; cette extension est donc normale. L’extension est séparable, car \(x^p - 1\) est un polynôme séparable. Elle est donc galoisienne. Tout automorphisme de \(K(\zeta)\) sur \(K\) envoie \(\zeta\) sur \(\zeta^i\) pour un certain \(1 \leq i \leq p - 1\). Le groupe de Galois est donc un sous-groupe de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\).

Lemme

Soit \(K\) un corps. Soit \(L/K\) une extension finie de degré \(e\) engendrée par un élément \(\alpha\) tel que \(a = \alpha^e \in K\). Si toute racine \(e\)-ième de l’unité appartenant à \(L\) est contenue dans \(K\), alors toute extension intermédiaire \(L/L'/K\) est engendrée par \(\alpha^d\) pour un certain \(d | e\).

Démonstration

Observons que, pour \(d | e\), le sous-corps \(K(\alpha^d)\) vérifie \([K(\alpha^d) : K] = e/d\) et \([L : K(\alpha^d)] = d\). Soit \(L/L'/K\) une extension intermédiaire. Posons \(d = [L : L']\). Si \(\alpha^d \in L'\), alors \(L' = K(\alpha^d)\) pour des raisons de degré. Soit \(P \in L'[x]\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(L'\). Alors \(P\) divise \(x^e - a\) et \(P\) est de degré \(d\). Écrivons \[x^e - a = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, e} (x - \zeta_i \alpha)\] dans un corps de décomposition de \(x^e - a\) sur \(L\). Les \(\zeta_i\) sont des racines \(e\)-ièmes de l’unité et, après renumérotation, nous avons \[P = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} (x - \zeta_i \alpha)\] Le terme constant de \(P\) est égal à \[c = (\prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} \zeta_i) \alpha^d\] et appartient à \(L' \subset L\). Comme \(\alpha \in L\), cela implique que \(\zeta = \prod_{i = 1, \ldots, d} \zeta_i\) appartient à \(L\), et donc à \(K\) par notre hypothèse. Ainsi \(\alpha^d = \zeta^{-1}c \in L'\), ce qui conclut.

Extensions d’Artin-Schreier

Soit \(K\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(a \in K\). Soit \(L\) une extension de \(K\) obtenue en adjoignant une racine \(b\) de l’équation \(x^p - x = a\). Alors \(L/K\) est galoisienne. Si \(G = \text{Gal}(L/K)\) est le groupe de Galois, alors l’application \[G \longrightarrow \mathbf{Z}/p\mathbf{Z},\quad \sigma \longmapsto \sigma(b) - b\] est un homomorphisme injectif de groupes. En particulier, \(G\) est cyclique d’ordre divisant \(p\) en tant que sous-groupe de \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\). La théorie des extensions d’Artin-Schreier fournit une réciproque.

Lemme

Soit \(L/K\) une extension galoisienne de corps de caractéristique \(p > 0\) de groupe de Galois \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\). Alors \(L = K[z]\) avec \(z^p - z \in K\).

Démonstration

Soit \(\sigma\) un générateur de \(\text{Gal}(L/K)\). Considérons \(\sigma : L \to L\) comme un opérateur \(K\)-linéaire. Observons que \(\sigma^p - 1 = 0\) comme opérateur linéaire. D’après l’indépendance linéaire des caractères (Lemme 0CKL), aucun polynôme de degré \(< p\) ne peut annuler \(\sigma\). Nous en concluons que le polynôme minimal de \(\sigma\) est \(x^p - 1 = (x - 1)^p\). Cela implique qu’il existe \(w \in L\) tel que \((\sigma - 1)^{p - 1}(w) = y\) soit non nul. Alors \(\sigma(y) = y\), c’est-à-dire \(y \in K\). Ainsi \(z = y^{-1}(\sigma - 1)^{p - 2}(w)\) vérifie \(\sigma(z) = z + 1\). Comme \(z \not \in K\), nous avons \(L = K[z]\). De plus, puisque \(\sigma(z^p - z) = (z + 1)^p - (z + 1) = z^p - z\), nous voyons que \(z^p - z \in K\), ce qui achève la démonstration.

Transcendance

Rappelons les définitions usuelles.

Définition

Soit \(K/k\) une extension de corps.

1. Une famille d’éléments \(\{x_i\}_{i \in I}\) de \(K\) est dite algébriquement indépendante sur \(k\) si l’application \[k[X_i; i\in I] \longrightarrow K\] qui envoie \(X_i\) sur \(x_i\) est injective.

2. Le corps des fractions d’un anneau de polynômes \(k[x_i; i \in I]\) est noté \(k(x_i; i\in I)\).

3. Une extension transcendante pure de \(k\) est toute extension de corps \(K/k\) isomorphe au corps des fractions d’un anneau de polynômes sur \(k\).

4. Une base de transcendance de \(K/k\) est une famille d’éléments \(\{x_i\}_{i \in I}\) qui sont algébriquement indépendants sur \(k\) et tels que l’extension \(K/k(x_i; i\in I)\) soit algébrique.

Exemple

Le corps \(\mathbf{Q}(\pi)\) est une extension transcendante pure, car \(\pi\) n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients rationnels. En particulier, \(\mathbf{Q}(\pi) \cong \mathbf{Q}(x)\).

Lemme

Soit \(E/F\) une extension de corps. Il existe une base de transcendance de \(E\) sur \(F\). Deux bases de transcendance quelconques ont même cardinal.

Démonstration

Soit \(A\) une partie algébriquement indépendante de \(E\). Soit \(G\) une partie de \(E\) contenant \(A\) qui engendre \(E/F\). Nous affirmons qu’il existe une base de transcendance \(B\) telle que \(A \subset B \subset G\). Pour le démontrer, considérons l’ensemble \(\mathcal{B}\) des parties algébriquement indépendantes qui sont des parties de \(G\) contenant \(A\). Ordonnons partiellement \(\mathcal{B}\) par inclusion. Alors \(\mathcal{B}\) contient au moins l’élément \(A\). La réunion des éléments d’une partie totalement ordonnée \(T\) de \(\mathcal{B}\) est une partie de \(E\) algébriquement indépendante sur \(F\), car toute relation de dépendance algébrique apparaîtrait déjà dans l’un des éléments de \(T\) (puisque les polynômes ne font intervenir qu’un nombre fini de variables). Cette réunion contient aussi \(A\) et est contenue dans \(G\). D’après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal \(B \in \mathcal{B}\). Nous affirmons maintenant que \(E\) est algébrique sur \(F(B)\). En effet, sinon il existerait un élément \(f \in G\) transcendant sur \(F(B)\), puisque \(F(G) = E\). Alors \(B \cup\{f\}\) serait algébriquement indépendante, contrairement à la maximalité de \(B\). Ainsi \(B\) est la base de transcendance recherchée.

Soient \(B\) et \(B'\) deux bases de transcendance. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que \(|B'| \leq |B|\). Divisons la démonstration en deux cas : le premier est celui où \(B\) est un ensemble infini. Alors, pour chaque \(\alpha \in B'\), il existe un ensemble fini \(B_{\alpha} \subset B\) tel que \(\alpha\) soit algébrique sur \(F(B_{\alpha})\), puisque toute relation de dépendance algébrique n’utilise qu’un nombre fini d’indéterminées. Posons alors \(B^* = \bigcup_{\alpha\in B'} B_{\alpha}\). Par construction, \(B^* \subset B\), mais nous affirmons qu’en fait ces deux ensembles sont égaux. Pour le voir, supposons qu’ils ne le soient pas et qu’il existe, par exemple, un élément \(\beta \in B \setminus B^*\). Nous savons que \(\beta\) est algébrique sur \(F(B')\), qui est algébrique sur \(F(B^*)\). Par conséquent, \(\beta\) est algébrique sur \(F(B^*)\), ce qui est une contradiction. Ainsi \(|B| \leq |\bigcup_{\alpha \in B'} B_{\alpha}|\). Si \(B'\) est fini, alors \(B\) l’est également ; nous pouvons donc supposer \(B'\) infini. Il vient \[|B| \leq |\bigcup\nolimits_{\alpha \in B'} B_{\alpha}| = |B'|\] car chaque \(B_\alpha\) est fini et \(B'\) est infini. Par conséquent, dans le cas infini, \(|B| = |B'|\).

Il reste à étudier le cas où \(B\) est fini. Dans ce cas, \(B'\) est également fini ; écrivons \(B = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) et \(B' = \{\beta_1, \ldots, \beta_m\}\) avec \(m \leq n\). Raisonnons par récurrence sur \(m\) : si \(m = 0\), alors \(E/F\) est algébrique, donc \(B = \emptyset\) et \(n = 0\). Si \(m > 0\), il existe un polynôme irréductible \(f \in F[x, y_1, \ldots, y_n]\) tel que \(f(\beta_1, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) = 0\) et tel que \(x\) intervienne dans \(f\). Puisque \(\beta_1\) n’est pas algébrique sur \(F\), \(f\) doit faire intervenir un certain \(y_i\) ; sans perte de généralité, supposons que \(f\) fasse intervenir \(y_1\). Posons \(B^* = \{\beta_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}\). Nous affirmons que \(B^*\) est une base de transcendance de l’extension \(E/F\). Pour le montrer, remarquons que nous avons une tour d’extensions algébriques \[E/ F(B^*, \alpha_1) / F(B^*)\] puisque \(\alpha_1\) est algébrique sur \(F(B^*)\). Nous affirmons maintenant que \(B^*\) (en comptant les éléments avec multiplicité) est algébriquement indépendante sur \(F\) : en effet, sinon, il existerait un polynôme irréductible \(g\in F[x, y_2, \ldots, y_n]\) tel que \(g(\beta_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = 0\), dans lequel \(x\) devrait intervenir, rendant \(\beta_1\) algébrique sur \(F(\alpha_2, \ldots, \alpha_n)\), ce qui rendrait \(\alpha_1\) algébrique sur \(F(\alpha_2, \ldots, \alpha_n)\), chose impossible. Cela signifie donc que \(\{\alpha_2, \ldots, \alpha_n\}\) et \(\{\beta_2, \ldots, \beta_m\}\) sont des bases de transcendance de \(E\) sur \(F(\beta_1)\) ; par récurrence, \(m = n\).

Définition

Soit \(K/k\) une extension de corps. Le degré de transcendance de \(K\) sur \(k\) est le cardinal d’une base de transcendance de \(K\) sur \(k\). Il est noté \(\text{trdeg}_k(K)\).

Lemme

Soient \(L/K/k\) des extensions de corps. Alors \[\text{trdeg}_k(L) = \text{trdeg}_K(L) + \text{trdeg}_k(K).\]

Démonstration

Choisissons une base de transcendance \(A \subset K\) de \(K\) sur \(k\). Choisissons une base de transcendance \(B \subset L\) de \(L\) sur \(K\). Il est alors immédiat que \(A \cup B\) est une base de transcendance de \(L\) sur \(k\).

Exemple

Considérons l’extension de corps \(\mathbf{Q}(e, \pi)\) obtenue en adjoignant les nombres \(e\) et \(\pi\). Cette extension de corps a un degré de transcendance au moins égal à \(1\), puisque \(e\) et \(\pi\) sont tous deux transcendants sur les rationnels. Toutefois, cette extension de corps pourrait avoir un degré de transcendance égal à \(2\) si \(e\) et \(\pi\) sont algébriquement indépendants. On ignore si c’est le cas ; le problème de la détermination de \(\text{trdeg}(\mathbf{Q}(e, \pi))\) est donc ouvert.

Exemple

Soit \(F\) un corps et soit \(E = F(t)\). Alors \(\{t\}\) est une base de transcendance puisque \(E = F(t)\). Toutefois, \(\{t^2\}\) est aussi une base de transcendance puisque \(F(t)/F(t^2)\) est algébrique. Cela montre que, bien que nous puissions toujours décomposer une extension \(E/F\) en une extension algébrique \(E/F'\) et une extension transcendante pure \(F'/F\), cette décomposition n’est pas unique et dépend du choix d’une base de transcendance.

Exemple

Soit \(X\) une surface de Riemann compacte. Alors le corps des fonctions \(\mathbf{C}(X)\) (voir Exemple 09FL) est de degré de transcendance un sur \(\mathbf{C}\). En fait, toute extension de type fini de \(\mathbf{C}\) de degré de transcendance un provient d’une surface de Riemann. Il existe même une équivalence de catégories entre la catégorie des surfaces de Riemann compactes et des applications holomorphes (non constantes), et l’opposée de la catégorie des extensions de type fini de \(\mathbf{C}\) de degré de transcendance \(1\) et des morphismes de \(\mathbf{C}\)-algèbres. Voir [Forster].

Il existe également une version algébrique de l’énoncé précédent. Étant donnée une courbe algébrique (irréductible) dans l’espace projectif sur un corps algébriquement clos \(k\) (par exemple le corps des nombres complexes), on peut considérer son « corps des fonctions rationnelles » : il s’agit essentiellement des fonctions qui se présentent comme des quotients de polynômes, dont le dénominateur ne s’annule pas identiquement sur la courbe. Il existe une anti-équivalence analogue de catégories (Courbes algébriques, Théorème 0BY1) entre les courbes projectives lisses et les morphismes non constants de courbes, et les extensions de type fini de \(k\) de degré de transcendance un. Voir [H].

Définition

Soit \(K/k\) une extension de corps.

1. La clôture algébrique de \(k\) dans \(K\) est le sous-corps \(k'\) de \(K\) formé des éléments de \(K\) qui sont algébriques sur \(k\).

2. Nous disons que \(k\) est algébriquement clos dans \(K\) si tout élément de \(K\) qui est algébrique sur \(k\) appartient à \(k\).

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension finie de corps. Soit \(k'(x_1, \ldots, x_r)/k(x_1, \ldots, x_r)\) l’extension induite des extensions transcendantes pures. Alors \([k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] = [k' : k] < \infty\).

Démonstration

Par multiplicativité des degrés des extensions (Lemme 09G9), il suffit de le démontrer lorsque \(k'\) est engendré par un unique élément \(\alpha \in k'\) sur \(k\). Soit \(f \in k[T]\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(k\). Alors \(k'(x_1, \ldots, x_r)\) est engendré par \(\alpha, x_1, \ldots, x_r\) sur \(k\), et donc \(k'(x_1, \ldots, x_r)\) est engendré par \(\alpha\) sur \(k(x_1, \ldots, x_r)\). Il suffit donc de montrer que \(f\) reste irréductible comme élément de \(k(x_1, \ldots, x_r)[T]\). Nous ne faisons qu’esquisser la démonstration. Il est clair que \(f\) est irréductible comme élément de \(k[x_1, \ldots, x_r, T]\), par exemple parce que \(f\) est unitaire comme polynôme en \(T\) et que toute factorisation éventuelle dans \(k[x_1, \ldots, x_r, T]\) conduirait à une factorisation dans \(k[T]\) en posant les \(x_i\) égaux à \(0\). Le lemme de Gauss permet de conclure.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps de type fini. La clôture algébrique de \(k\) dans \(K\) est finie sur \(k\).

Démonstration

Supposons que \(x_1, \ldots, x_r \in K\) forment une base de transcendance de \(K\) sur \(k\). Alors \(n = [K : k(x_1, \ldots, x_r)] < \infty\). Supposons que \(k \subset k' \subset K\) et que \(k'/k\) soit finie. Dans ce cas, \([k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] = [k' : k] < \infty\), voir le Lemme 0G1M. Par conséquent, \[[k' : k] = [k'(x_1, \ldots, x_r) : k(x_1, \ldots, x_r)] \leq [K : k(x_1, \ldots, x_r)] = n.\] Autrement dit, les degrés des extensions intermédiaires finies sont bornés, et le lemme en résulte.

Extensions linéairement disjointes

Soit \(k\) un corps, et soient \(K\) et \(L\) des extensions de corps de \(k\). Supposons aussi que \(K\) et \(L\) soient plongés dans un corps plus grand \(\Omega\).

Définition

Considérons un diagramme [09IE]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ L \ar[r] & \Omega \\ k \ar[r] \ar[u] & K \ar[u] } } \end{equation}\] d’extensions de corps. Le composé de \(K\) et \(L\) dans \(\Omega\), noté \(KL\), est le plus petit sous-corps de \(\Omega\) contenant à la fois \(L\) et \(K\).

Il est clair que \(KL\) est engendré par l’ensemble \(K \cup L\) sur \(k\), par l’ensemble \(K\) sur \(L\), et par l’ensemble \(L\) sur \(K\).

Avertissement : La classe d’isomorphisme du corps composé dépend du choix des plongements de \(K\) et \(L\) dans \(\Omega\). Considérons par exemple les corps de nombres \(K = \mathbf{Q}(2^{1/8}) \subset \mathbf{R}\) et \(L = \mathbf{Q}(2^{1/12}) \subset \mathbf{R}\). Leur composé dans \(\mathbf{R}\) est le corps \(\mathbf{Q}(2^{1/24})\), de degré \(24\) sur \(\mathbf{Q}\). Toutefois, si nous plongeons \(K = \mathbf{Q}[x]/(x^8 - 2)\) dans \(\mathbf{C}\) en envoyant \(x\) sur \(2^{1/8}e^{2\pi i/8}\), alors le composé \(\mathbf{Q}(2^{1/12}, 2^{1/8}e^{2\pi i/8})\) contient \(i = e^{2\pi i/4}\) et est de degré \(48\) sur \(\mathbf{Q}\) (nous omettons de montrer que le degré vaut \(48\), mais l’existence de \(i\) prouve assurément que les deux composés ne sont pas isomorphes).

Définition

Considérons un diagramme de corps comme dans (09IE). Nous disons que \(K\) et \(L\) sont linéairement disjoints sur \(k\) dans \(\Omega\) si l’application \[K \otimes_k L \longrightarrow KL,\quad \sum x_i \otimes y_i \longmapsto \sum x_i y_i\] est injective.

Le lemme suivant ne semble trouver sa place nulle part ailleurs.

Lemme

Soit \(E/F\) une extension algébrique normale de corps. Il existe des extensions intermédiaires \(E / E_{sep} /F\) et \(E / E_{insep} / F\) telles que

1. \(F \subset E_{sep}\) soit galoisienne et \(E_{sep} \subset E\) soit purement inséparable,

2. \(F \subset E_{insep}\) soit purement inséparable et \(E_{insep} \subset E\) soit galoisienne,

3. \(E = E_{sep} \otimes_F E_{insep}\).

Démonstration

Nous avons trouvé le sous-corps \(E_{sep}\) dans le Lemme 030K. Nous posons \(E_{insep} = E^{\text{Aut}(E/F)}\). Les détails sont omis.

Rappels

Dans cette section, nous récapitulons brièvement les résultats obtenus ci-dessus.

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(\alpha \in K\). Les possibilités suivantes se présentent :

1. L’élément \(\alpha\) est transcendant sur \(k\).

2. L’élément \(\alpha\) est algébrique sur \(k\). Notons \(P(T) \in k[T]\) son polynôme minimal. C’est un polynôme unitaire \(P(T) = T^d + a_1 T^{d - 1} + \ldots + a_d\) à coefficients dans \(k\). Il est irréductible et \(P(\alpha) = 0\). Ces propriétés déterminent \(P\) de manière unique, et l’entier \(d\) est appelé le degré de \(\alpha\) sur \(k\). Il existe deux sous-cas :

   1. Le polynôme \(\text{d}P/\text{d}T\) n’est pas identiquement nul. Cela équivaut à la condition \(P(T) = \prod_{i = 1, \ldots, d} (T - \alpha_i)\) pour des éléments deux à deux distincts \(\alpha_1, \ldots, \alpha_d\) de la clôture algébrique de \(k\). Dans ce cas, nous disons que \(\alpha\) est séparable sur \(k\).

   2. Le polynôme \(\text{d}P/\text{d}T\) est identiquement nul. Dans ce cas, la caractéristique \(p\) de \(k\) est \(> 0\), et \(P\) est en fait un polynôme en \(T^p\). Il existe manifestement une plus grande puissance \(q = p^e\) telle que \(P\) soit un polynôme en \(T^q\). Alors l’élément \(\alpha^q\) est séparable sur \(k\).

Définition

Extensions algébriques de corps.

1. Une extension de corps \(K/k\) est dite algébrique si tout élément de \(K\) est algébrique sur \(k\).

2. Une extension algébrique \(k'/k\) est dite séparable si tout \(\alpha \in k'\) est séparable sur \(k\).

3. Une extension algébrique \(k'/k\) est dite purement inséparable si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\) et si, pour tout élément \(\alpha \in k'\), il existe une puissance \(q\) de \(p\) telle que \(\alpha^q \in k\).

4. Une extension algébrique \(k'/k\) est dite normale si, pour tout \(\alpha \in k'\), le polynôme minimal \(P(T) \in k[T]\) de \(\alpha\) sur \(k\) se décompose entièrement en facteurs linéaires sur \(k'\).

5. Une extension algébrique \(k'/k\) est dite galoisienne si elle est séparable et normale.

Le lemme suivant ne semble trouver sa place nulle part ailleurs.

Lemme

Soit \(K\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(L/K\) une extension algébrique séparable. Soit \(\alpha \in L\).

1. Si les coefficients du polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\) sont des puissances \(p\)-ièmes dans \(K\), alors \(\alpha\) est une puissance \(p\)-ième dans \(L\).

2. Plus généralement, si \(P \in K[T]\) est un polynôme tel que (a) \(\alpha\) soit une racine de \(P\), (b) \(P\) possède des racines deux à deux distinctes dans une clôture algébrique, et (c) tous les coefficients de \(P\) soient des puissances \(p\)-ièmes, alors \(\alpha\) est une puissance \(p\)-ième dans \(L\).

Démonstration

Il résulte des définitions que (2) implique (1). Supposons que \(P\) satisfasse aux hypothèses de (2). Écrivons \(P(T) = \sum\nolimits_{i = 0}^d a_i T^{d - i}\) et \(a_i = b_i^p\). Le polynôme \(Q(T) = \sum\nolimits_{i = 0}^d b_i T^{d - i}\) possède lui aussi des racines distinctes dans une clôture algébrique, car les racines de \(Q\) sont les racines \(p\)-ièmes des racines de \(P\). Si \(\alpha\) n’est pas une puissance \(p\)-ième, alors \(T^p - \alpha\) est un polynôme irréductible sur \(L\) (Lemme 09HF). De plus, \(Q\) et \(T^p - \alpha\) ont une racine commune dans une clôture algébrique \(\overline{L}\). Ainsi \(Q\) et \(T^p - \alpha\) ne sont pas premiers entre eux, ce qui implique que \(T^p - \alpha | Q\) dans \(L[T]\). Cela contredit le fait que les racines de \(Q\) sont deux à deux distinctes.