導来圏

序論

まず、三角圏および三角圏における局所化について論じる。次に、加法圏の 複体のホモトピー圏が三角圏であることを証明する。その上で、アーベル圏の 導来圏を、擬同型に関するホモトピー圏の局所化として定義する。 よい参考文献として Verdier の学位論文 [Verdier] がある。

三角圏

三角圏は、アーベル圏の導来圏に内在する構造を記述するための便利な道具である。 参考文献として [Verdier]、[KS]、[Neeman] がある。

三角圏の定義

本節では、三角圏および前三角圏に関する定義の大部分をまとめる。

定義

\(\mathcal{D}\) を加法圏とする。また \([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\)、\(E \mapsto E[1]\) を \(\mathcal{D}\) の加法的自己同値関手とする。

1. 三角とは、\(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D})\) であり、 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)、\(h : Z \to X[1]\) が \(\mathcal{D}\) の射であるような六つ組 \((X, Y, Z, f, g, h)\) のことである。

2. 三角の射 \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\) とは、\(\mathcal{D}\) の射 \(a : X \to X'\)、\(b : Y \to Y'\)、 \(c : Z \to Z'\) であって、 \(b \circ f = f' \circ a\)、\(c \circ g = g' \circ b\)、 \(a[1] \circ h = h' \circ c\) を満たすもののことである。

三角の射は、次の可換図式によって表される。 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^a & Y \ar[r] \ar[d]^b & Z \ar[r] \ar[d]^c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] 定義 0144 の設定において、\([0] = \text{id}\) と書く。 \(n > 0\) に対しては \([1]\) の \(n\) 回の合成を \([n]\) と書き、\([1]\) の擬逆 \([-1]\) を一つ選び、\([-1]\) の \(n\) 回の合成を \([-n]\) と定める。このとき \(\{[n]\}_{n \in \mathbf{Z}}\) は \(n \in \mathbf{Z}\) を添字とする \(\mathcal{D}\) の加法的自己同値関手の族であり、関手の同型 \([n] \circ [m] \cong [n + m]\) が与えられている。

以下は Verdier の学位論文で与えられた三角圏の定義である。

定義

三角圏とは、三つ組 \((\mathcal{D}, \{[n]\}_{n\in \mathbf{Z}}, \mathcal{T})\) であって、次を満たすものをいう。

1. \(\mathcal{D}\) は加法圏である。

2. \([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\)、\(E \mapsto E[1]\) は加法的自己同値関手であり、\(n \in \mathbf{Z}\) に対する \([n]\) は 上で述べたとおりである。

3. \(\mathcal{T}\) は三角（定義 0144）の集合であり、 その元を 完全三角 と呼ぶ。

さらに、次の条件を課す。

1. 完全三角と同型な三角はすべて完全三角である。 \((X, X, 0, \text{id}, 0, 0)\) の形の三角はすべて完全三角である。 \(\mathcal{D}\) の任意の射 \(f : X \to Y\) に対して、 \((X, Y, Z, f, g, h)\) の形の完全三角が存在する。

2. 三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が完全三角であるための必要十分条件は、 三角 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) が完全三角であることである。

3. 実線で描かれた図式 \[\xymatrix{ X \ar[r]^f \ar[d]^a & Y \ar[r]^g \ar[d]^b & Z \ar[r]^h \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] が与えられ、その各行が完全三角であり、\(b \circ f = f' \circ a\) を 満たすとする。このとき、\((a, b, c)\) が三角の射となるような射 \(c : Z \to Z'\) が存在する。

4. \(\mathcal{D}\) の対象 \(X\)、\(Y\)、\(Z\)、射 \(f : X \to Y\)、\(g : Y \to Z\)、および完全三角 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\)、 \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\)、 \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\) が与えられたとする。このとき、次を満たす射 \(a : Q_1 \to Q_2\) および \(b : Q_2 \to Q_3\) が存在する。

   1. \((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, p_1[1] \circ d_3)\) は完全三角である。

   2. 三つ組 \((\text{id}_X, g, a)\) は三角の射 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1) \to (X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\) である。

   3. 三つ組 \((f, \text{id}_Z, b)\) は三角の射 \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2) \to (Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\) である。

TR1、TR2、TR3 が成り立つとき、\((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\) を 前三角圏 と呼ぶ。 ¹

TR4 は次のように説明できる。\(Q_1\) を \(Y/X\)、\(Q_2\) を \(Z/X\)、 \(Q_3\) を \(Z/Y\) と考えれば、TR4(a) は同型 \((Z/X)/(Y/X) \cong Z/Y\) を表し、TR4(b) と TR4(c) は、三角の射によって \(X \to Y \to Q_1 \to X[1]\) などの三角を比較できることを表している。 この考えをより精密に述べ直したものについては、 補題 014R の証明を参照されたい。

TR2 の符号は、\((X, Y, Z, f, g, h)\) が完全三角ならば、長い列 [05QL]\[\begin{equation} \ldots \to Z[-1] \xrightarrow{-h[-1]} X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1] \xrightarrow{-f[1]} Y[1] \xrightarrow{-g[1]} Z[1] \to \ldots \end{equation}\] の各連続する四項が完全三角を与えることを意味する。

通常どおり記号を濫用し、付加的なデータの記号を明示的に導入せず、単に （前）三角圏 \(\mathcal{D}\) と呼ぶことにする。前三角圏という概念は、TR4 と 同値な命題を見いだす際に有用である。

三角関手を次のように定義する。

定義

\(\mathcal{D}\)、\(\mathcal{D}'\) を前三角圏とする。\(\mathcal{D}\) から \(\mathcal{D}'\) への 完全関手、または 三角関手 とは、関手 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) と、関手的同型 \(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\) の組であって、\(\mathcal{D}\) の任意の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) に対し、三角 \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), \xi_X \circ F(h))\) が \(\mathcal{D}'\) の完全三角となるものをいう。

完全関手は加法的である。補題 05QY を参照されたい。 二つの三角圏が同値であるというとき、それらが三角圏の \(2\)-圏において 同値であることを意味する。この \(2\)-圏における \(2\)-射 \(a : (F, \xi) \to (F', \xi')\) とは、単に \(\xi\) と \(\xi'\) に整合する 関手の自然変換 \(a : F \to F'\)、すなわち図式 \[\xymatrix{ F \circ [1] \ar[r]_\xi \ar[d]_{a \star 1} & [1] \circ F \ar[d]^{1 \star a} \\ F' \circ [1] \ar[r]^{\xi'} & [1] \circ F' }\] が可換となるようなもののことである。

定義

\((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\) を前三角圏とする。 前三角部分圏² とは、次を満たす組 \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) のことである。

1. \(\mathcal{D}'\) は \(\mathcal{D}\) の加法部分圏であり、\([1]\) によって 保たれ、かつ \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\) は自己同値である。

2. \(\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}\) は、任意の \((X, Y, Z, f, g, h) \in \mathcal{T}'\) に対して \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\) および \(f, g, h \in \text{Arrows}(\mathcal{D}')\) が成り立つような部分集合である。

3. \((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\) は前三角圏である。

\(\mathcal{D}\) が三角圏であるとする。このとき、 \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) が前三角部分圏であり、かつ \((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\) が三角圏であるならば、 この組を 三角部分圏 と呼ぶ。

この状況では、包含関手 \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) は完全関手であり、 \(\xi_X : X[1] \to X[1]\) は \(X[1]\) 上の恒等射によって与えられる。

補題 0146 において、前三角圏の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) に対して合成 \(g \circ f : X \to Z\) が零であることを見る。 したがって、列 (05QL) は複体である。ホモロジー的関手とは、 この複体を長完全列に移す関手である。

定義

\(\mathcal{D}\) を前三角圏、\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 加法的関手 \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) が ホモロジー的 であるとは、任意の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) に対して列 \[H(X) \to H(Y) \to H(Z)\] がアーベル圏 \(\mathcal{A}\) において完全であることをいう。加法的関手 \(H : \mathcal{D}^{opp} \to \mathcal{A}\) が コホモロジー的 であるとは、 対応する関手 \(\mathcal{D} \to \mathcal{A}^{opp}\) がホモロジー的であることをいう。

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) がホモロジー的関手であるとき、しばしば \(H^n(X) = H(X[n])\) と書き、\(H(X) = H^0(X)\) とする。上での TR2 の議論から、 完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) は長完全列 [0148]\[\begin{equation} \xymatrix@C=3pc{ H^{-1}(Z) \ar[r]^{H(h[-1])} & H^0(X) \ar[r]^{H(f)} & H^0(Y) \ar[r]^{H(g)} & H^0(Z) \ar[r]^{H(h)} & H^1(X) } \end{equation}\] を定める。これを、その完全三角とホモロジー的関手に付随する 長完全列 と呼ぶ。表示したとおり、長完全列の射には符号を付けない。 そのため、完全三角を回転して得られる三角（TR2）に付随する長完全列の写像は、 上の列の写像といくつかの符号だけ異なることになる。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏、\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。 \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{D}\) への \(\delta\)-関手とは、関手 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) と、任意の短完全列 \[0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\] に射 \(\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\) を対応させる 規則であって、次を満たすものをいう。

1. 上のような任意の短完全列に対して、三角 \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\) は \(\mathcal{D}\) の完全三角である。

2. 短完全列の任意の射 \((A \to B \to C) \to (A' \to B' \to C')\) に対して、図式 \[\xymatrix{ G(C) \ar[d] \ar[rr]_{\delta_{A \to B \to C}} & & G(A)[1] \ar[d] \\ G(C') \ar[rr]^{\delta_{A' \to B' \to C'}} & & G(A')[1] }\] は可換である。

この状況で、 \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\) を、与えられた \(\delta\)-関手による短完全列の 像 と呼ぶ。

\(\delta\)-関手には付加的な構造が備わっていることに注意する。厳密にいえば、 与えられた関手 \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}\) が \(\delta\)-関手であるというのは 意味をなさないが、それでもしばしばそのように述べる。

三角圏に関する初等的結果

本節の結果の大部分は前三角圏に対して証明されるので、特に任意の三角圏においても 成り立つ。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を完全三角とする。このとき \(g \circ f = 0\)、\(h \circ g = 0\)、\(f[1] \circ h = 0\) である。

証明

TR1 により、\((X, X, 0, 1, 0, 0)\) は完全三角である。図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar[d]^f & 0 \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{1[1]} \\ X \ar[r]^f & Y \ar[r]^g & Z \ar[r]^h & X[1] }\] に TR3 を適用する。もちろん点線の矢印は零写像である。したがって図式の可換性から \(g \circ f = 0\) が従う。他の場合については、三角を回転する、すなわち TR2 を 適用すればよい。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。\(\mathcal{D}\) の任意の対象 \(W\) に対して、関手 \(\Hom_\mathcal{D}(W, -)\) はホモロジー的であり、関手 \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\) はコホモロジー的である。

証明

完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を考える。すでに \(g \circ f = 0\) を見た。補題 0146 を参照されたい。 \(g \circ a = 0\) を満たす射 \(a : W \to Y\) が与えられたとする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ W \ar[r]_1 \ar@{..>}[d]^b & W \ar[r] \ar[d]^a & 0 \ar[r] \ar[d]^0 & W[1] \ar@{..>}[d]^{b[1]} \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] を得る。両方の行は完全三角である（上の行には TR1 を用いる）。したがって、 点線の矢印 \(b\) を補うことができる（まず TR2 により回転し、次に TR3 を適用して、 最後に元へ回転する）。これで補題が証明された。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。 \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] を完全三角の射とする。\(a, b, c\) のうち二つが同型ならば、残る一つも同型である。

証明

\(a\) と \(c\) が同型であると仮定する。\(\mathcal{D}\) の任意の対象 \(W\) に対して \(H_W( - ) = \Hom_\mathcal{D}(W, -)\) と書く。このとき、アーベル群の可換図式 \[\xymatrix{ H_W(Z[-1]) \ar[r] \ar[d] & H_W(X) \ar[r] \ar[d] & H_W(Y) \ar[r] \ar[d] & H_W(Z) \ar[r] \ar[d] & H_W(X[1]) \ar[d] \\ H_W(Z'[-1]) \ar[r] & H_W(X') \ar[r] & H_W(Y') \ar[r] & H_W(Z') \ar[r] & H_W(X'[1]) }\] を得る。仮定により、右側の二本および左側の二本の縦の矢印は全単射である。 補題 0149 により \(H_W\) はホモロジー的であるから、 五項補題（Homology, Lemma 05QB）によって中央の縦の矢印は 同型である。したがって、米田の補題 （Categories, Lemma 001P）により、\(b\) が同型であることが 分かる。他の場合は、TR2 を用いて回転することにより従う。

注意

\(\mathcal{D}\) を加法圏とし、定義 0144 のような シフト関手 \([n]\) を備えているとする。三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が 特殊³ であるとは、\(\mathcal{D}\) の任意の対象 \(W\) に対してアーベル群の長い列 \[\ldots \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(W, X[1]) \to \ldots\] が完全であることとする。補題 014A の証明から、 \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] が特殊三角の射であり、\(a, b, c\) のうち二つが同型ならば、残る一つも同型である。 余特殊 三角、すなわち関手 \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\) を適用すると 長完全列になる三角については、双対な主張が成り立つ。したがって完全三角は 特殊かつ余特殊であるが、一般には（余）特殊三角は完全三角よりはるかに多い。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。 \[(0, b, 0), (0, b', 0) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X, Y, Z, f, g, h)\] を、ある完全三角の自己射とする。このとき \(bb' = 0\) である。

証明

図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^0 & Y \ar[r] \ar[d]^{b, b'} \ar@{..>}[ld]^\alpha & Z \ar[r] \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\beta & X[1] \ar[d]^0 \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] を考える。補題 0149 を適用すると、 \(b' = f \circ \alpha\) および \(b = \beta \circ g\) を満たす点線の矢印 \(\alpha\) と \(\beta\) が得られる。ゆえに \(bb' = \beta \circ g \circ f \circ \alpha = 0\) である。実際、 補題 0146 により \(g \circ f = 0\) である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\((X, Y, Z, f, g, h)\) を完全三角とする。 図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ Z \ar[r]^h & X[1] }\] が可換で、\(a^2 = a\) および \(c^2 = c\) が成り立つとする。このとき、 \(b^2 = b\) を満たす射 \(b : Y \to Y\) であって、\((a, b, c)\) が三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) の自己射となるものが存在する。

証明

TR3 により、\((a, b', c)\) が \((X, Y, Z, f, g, h)\) の自己射となるような射 \(b'\) が存在する。このとき \((0, (b')^2 - b', 0)\) も自己射である。 補題 05QP により、\((b')^2 - b'\) の二乗は零である。 \(b = b' - (2b' - 1)((b')^2 - b') = 3(b')^2 - 2(b')^3\) と置く。計算により \((a, b, c)\) が自己射であり、 \(b^2 - b = (4(b')^2 - 4b' - 3)((b')^2 - b')^2 = 0\) であることが分かる。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とする。 完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が存在し、これは三角の（一意とは限らない） 同型を除いて一意である。より正確には、もう一つのそのような完全三角 \((X, Y, Z', f, g', h')\) が与えられると、同型 \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Z', f, g', h')\] が存在する。

証明

存在は TR1 による。同型を除く一意性は TR3 と 補題 014A による。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。 \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] を完全三角の射とする。次の条件のいずれかが成り立つとする。

1. \(\Hom(Y, X') = 0\),

2. \(\Hom(Z, Y') = 0\),

3. \(\Hom(X, X') = \Hom(Z, X') = 0\),

4. \(\Hom(Z, X') = \Hom(Z, Z') = 0\), or

5. \(\Hom(X[1], Z') = \Hom(Z, X') = 0\)

このとき、\((a, b, c)\) が三角の射となるような \(Y \to Y'\) の射として \(b\) は一意である。

証明

もう一つの三角の射 \((a, b', c)\) があるとすれば、\((0, b - b', 0)\) も 三角の射である。したがって示すべきことは、\(X \to Y \to Y'\) と \(Y \to Y' \to Z'\) がともに零となるような射 \(b : Y \to Y'\) は零射だけだ、 ということである。以下、補題 0149 を 断りなく用いる。特に、条件 (3) は (1) を含意する。条件 (1) を仮定する。 合成 \(g' \circ b : Y \to Y' \to Z'\) が零ならば、\(b\) は射 \(Y \to X'\) に 持ち上がり、この射は \(0\) でなければならない。これで (1) が証明された。

(2) と (4) の証明はこの議論の双対である。

(5) を仮定する。図式 \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d]^0 & Y \ar[r]_g \ar[d]^b & Z \ar[r]_h \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\epsilon & X[1] \ar[d]^0 \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] を考える。\(b = \epsilon \circ g\) となるように \(\epsilon\) を選べる。 このとき \(g' \circ \epsilon \circ g = 0\) なので、ある \(\delta \in \Hom(X[1], Z')\) に対して \(g' \circ \epsilon = \delta \circ h\) となる。 \(\Hom(X[1], Z') = 0\) であるから \(g' \circ \epsilon = 0\) と結論できる。 したがって、ある \(\gamma \in \Hom(Z, X')\) に対して \(\epsilon = f' \circ \gamma\) となる。\(\Hom(Z, X') = 0\) であるから \(\epsilon = 0\)、したがって望みどおり \(b = 0\) である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は同型である。

2. \((X, Y, 0, f, 0, 0)\) は完全三角である。

3. 任意の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) に対して \(Z = 0\) である。

証明

TR1 により、三角 \((X, X, 0, 1, 0, 0)\) は完全である。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を完全三角とする。TR3 により、完全三角の射 \((1, f, 0) : (X, X, 0) \to (X, Y, Z)\) が存在する。 \(f\) が同型ならば、補題 014A により \((1, f, 0)\) は三角の同型であり、\(Z = 0\) である。逆に、\(Z = 0\) ならば \((1, f, 0)\) も三角の同型であり、したがって \(f\) は同型である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) および \((X', Y', Z', f', g', h')\) を三角とする。 次は同値である。

1. \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\) は完全三角である。

2. \((X, Y, Z, f, g, h)\) と \((X', Y', Z', f', g', h')\) はともに 完全三角である。

証明

(2) を仮定する。TR1 により、完全三角 \((X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) を選べる。TR3 により、完全三角の射 \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) および \((X', Y', Z', f', g', h') \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) を見いだすことができる。これらの射の直和を取ると、三角の射 \[\xymatrix{ (X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \ar[d]^{(1, 1, c)} \\ (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h''). }\] を得る。注意 09WA の用語では、これは特殊三角の射である （特殊三角の直和は特殊である）。したがって \(c\) は同型であり、(1) が成り立つ。

(1) を仮定する。\((X, Y, Z, f, g, h)\) が完全三角であることを示す。 まず、\((X, Y, Z, f, g, h)\) は、完全三角、したがって特殊三角である \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\) の直和因子なので、特殊三角である （注意 09WA の用語を用いた）。 TR1 により、完全三角 \((X, Y, Q, f, g'', h'')\) を取る。 TR3 により、完全三角の射 \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \to (X, Y, Q, f, g'', h'')\) が存在する。これを包含写像と合成すると、三角の射 \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Q, f, g'', h'')\] を得る。注意 09WA により \(c\) は同型であり、(2) が 成り立つ。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\((X, Y, Z, f, g, h)\) を完全三角とする。

1. \(h = 0\) ならば、\(g\) の右逆射 \(s : Z \to Y\) が存在する。

2. \(g\) の任意の右逆射 \(s : Z \to Y\) に対して、写像 \(f \oplus s : X \oplus Z \to Y\) は同型である。

3. \(\mathcal{D}\) の任意の対象 \(X', Z'\) に対して、三角 \((X', X' \oplus Z', Z', (1, 0), (0, 1), 0)\) は完全である。

証明

(1) を見るには、補題 0149 により \(\Hom_\mathcal{D}(Z, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, X[1])\) が完全であることを用いる。同様に、\(s\) が (2) のような射ならば \(h = 0\) であり、 列 \[0 \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to 0\] は分裂完全である（\(s : Z \to Y\) によって分裂する）。したがって、米田の補題により \(X \oplus Z \to Y\) は同型である。最後の主張は TR1 と 補題 05QS から従う。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とする。 次は同値である。

1. \(f\) は核をもつ。

2. \(f\) は余核をもつ。

3. \(\mathcal{D}\) のある対象 \(K, Z, Q\) に対して、\(f\) は射影と余射影の合成 \(K \oplus Z \to Z \to Z \oplus Q\) と同型である。

証明

\(X' \oplus Z \to Z \oplus Y'\) の形の写像と同型な任意の射は、核と余核の両方を もつ。したがって (3) \(\Rightarrow\) (1), (2) である。次に (1) \(\Rightarrow\) (3) を証明する。まず、\(f : X \to Y\) が単射、すなわち その核が零であるとする。TR1 により、完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が存在する。 補題 0146 により、合成 \(f \circ h[-1] = 0\) である。 \(f\) は単射なので \(h[-1] = 0\)、したがって \(h = 0\) である。すると 補題 05QT から \(Y = X \oplus Z\) となり、(3) が成り立つ。 次に、\(f\) が核 \(K\) をもつと仮定する。\(K \to X\) は単射なので、 \(X = K \oplus X'\) であり、\(f|_{X'} : X' \to Y\) は単射である。したがって \(Y = X' \oplus Y'\) となり、主張を得る。(2) \(\Rightarrow\) (3) はこれの双対である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(I\) を集合とする。

1. \(X_i\)、\(i \in I\) を \(\mathcal{D}\) の対象の族とする。

   1. \(\prod X_i\) が存在すれば、\((\prod X_i)[1] = \prod X_i[1]\) である。

   2. \(\bigoplus X_i\) が存在すれば、\((\bigoplus X_i)[1] = \bigoplus X_i[1]\) である。

2. \(X_i \to Y_i \to Z_i \to X_i[1]\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角の族とする。

   1. \(\prod X_i\)、\(\prod Y_i\)、\(\prod Z_i\) が存在すれば、 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\) は完全三角である。

   2. \(\bigoplus X_i\)、\(\bigoplus Y_i\)、\(\bigoplus Z_i\) が存在すれば、 \(\bigoplus X_i \to \bigoplus Y_i \to \bigoplus Z_i \to \bigoplus X_i[1]\) は完全三角である。

証明

(1) は、\([1]\) が \(\mathcal{D}\) の自己同値であり、直和と積が圏の構造によって 定義されるため成り立つ。(2)(a) を証明しよう。完全三角 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to Z \to \prod X_i[1]\) を選ぶ。 各 \(j\) に対して TR3 を用い、射影写像 \(\prod X_i \to X_j\) および \(\prod Y_i \to Y_j\) とともに完全三角の射をなす射 \(p_j : Z \to Z_j\) を選べる。 積の定義を用いると、完全三角から積で作られた三角への三角の射に組み込まれる写像 \(\prod p_i : Z \to \prod Z_i\) が得られる。アーベル群の完全列の積は完全なので、 「積」の三角 \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\) は注意 09WA の用語で特殊である。したがって 注意 09WA により、この三角の射は同型であり、 TR1 から結論が従う。(2)(b) の証明は双対である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。\(\mathcal{D}\) が可算積をもてば、 \(\mathcal{D}\) はカルービ圏である。\(\mathcal{D}\) が可算余積をもつ場合も、 \(\mathcal{D}\) はカルービ圏である。

証明

\(\mathcal{D}\) が可算積をもつと仮定する。Homology, Lemma 05QV により、右逆射をもつ射が核をもつことを 確かめれば十分である。右逆射をもつ任意の射は全射であり、したがって 補題 05QU により核をもつ。二番目の主張は一番目の双対である。

次の補題を用いると、前三角圏が三角圏であることを証明するのが少し容易になる。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。TR4 を証明するためには、任意の合成可能な射の組 \(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) が与えられたとき、次が存在することを 示せば十分である。

1. 同型 \(i : X' \to X\)、\(j : Y' \to Y\)、\(k : Z' \to Z\) が存在し、さらに \(f' = j^{-1}fi : X' \to Y'\) および \(g' = k^{-1}gj : Y' \to Z'\) と置くと、

2. 完全三角 \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\)、 \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\)、 \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\) が存在して、TR4 の主張が成り立つ。

証明

\(X, Y, Z\) を \(X', Y', Z'\) で置き換えることは、完全三角およびその同型の定義から 問題にならない。この補題は、補題 014B により完全三角 \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\)、 \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\)、 \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\) が同型を除いて一意であることから従う。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(\mathcal{D}'\) を \(\mathcal{D}\) の加法的充満部分圏と する。次は同値である。

1. \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) が \(\mathcal{D}\) の前三角部分圏となるような 三角の集合 \(\mathcal{T}'\) が存在する。

2. \(\mathcal{D}'\) は \([1]\) によって保たれ、 \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\) は自己同値であり、かつ \(\mathcal{D}'\) の任意の射 \(f : X \to Y\) に対して、\(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) であって、\(Z\) が \(\mathcal{D}'\) の対象と同型となるものが 存在する。

この場合、(1) の \(\mathcal{T}'\) は、\(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\) を満たす \(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) の集合である。最後に、 \(\mathcal{D}\) が三角圏ならば、(1) と (2) は次とも同値である。

1. \(\mathcal{D}'\) は三角部分圏である。

証明

省略する。

補題

前三角圏の完全関手は加法的である。

証明

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏の完全関手とする。 \((0, 0, 0, 1_0, 1_0, 0)\) は \(\mathcal{D}\) の完全三角なので、三角 \[(F(0), F(0), F(0), 1_{F(0)}, 1_{F(0)}, F(0))\] は \(\mathcal{D}'\) において完全である。これは \(1_{F(0)} \circ 1_{F(0)}\) が零であることを意味する。補題 0146 を参照されたい。したがって \(F(0)\) は \(\mathcal{D}'\) の零対象である。このことから、任意の零射に \(F\) を適用したものも 零である（加法圏の射が零であるための必要十分条件は、それが零対象を経由して 分解することである）。次に、補題 05QT の (3) により \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\) が完全三角であることを用いると、 \((F(X), F(X \oplus Y), F(Y), F(1, 0), F(0, 1), 0)\) も完全三角である。 補題 05QT の (2) により、写像 \(F(X) \oplus F(Y) \to F(X \oplus Y)\) は同型である。最後に、 Homology, Lemma 0DLP を適用すればよい。

補題

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏の充満忠実な完全関手とする。 このとき、\(\mathcal{D}\) の三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が完全であるための 必要十分条件は、 \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\) が \(\mathcal{D}'\) において 完全であることである。

証明

必要性は明らかである。\((F(X), F(Y), F(Z))\) が \(\mathcal{D}'\) において 完全であると仮定する。\(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y, Z', f, g', h')\) を選ぶ。補題 014B により、三角の同型 \[(1, 1, c') : (F(X), F(Y), F(Z)) \longrightarrow (F(X), F(Y), F(Z')).\] が存在する。\(F\) は充満忠実なので、\(F(c) = c'\) となる射 \(c : Z \to Z'\) が 存在する。このとき \((1, 1, c)\) は \((X, Y, Z)\) と \((X, Y, Z')\) の間の同型である。 ゆえに TR1 により \((X, Y, Z)\) は完全である。

補題

\(\mathcal{D}, \mathcal{D}', \mathcal{D}''\) を前三角圏とする。 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) および \(F' : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}''\) を完全関手とする。 このとき \(F' \circ F\) は完全関手である。

証明

省略する。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏、\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) をホモロジー的関手とする。

1. \(\mathcal{D}'\) を前三角圏とし、 \(F : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) を完全関手とする。 このとき、合成 \(H \circ F\) もホモロジー的関手である。

2. \(\mathcal{A}'\) をアーベル圏とし、 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) を完全関手とする。 このとき \(G \circ H\) もホモロジー的関手である。

証明

省略する。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏、\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) を \(\delta\)-関手とする。

1. \(\mathcal{D}'\) を三角圏とし、 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を完全関手とする。 このとき、合成 \(F \circ G\) も \(\delta\)-関手である。

2. \(\mathcal{A}'\) をアーベル圏とし、 \(H : \mathcal{A}' \to \mathcal{A}\) を完全関手とする。 このとき \(G \circ H\) も \(\delta\)-関手である。

証明

省略する。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏、\(\mathcal{A}\) および \(\mathcal{B}\) をアーベル圏とする。 \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) を \(\delta\)-関手、 \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{B}\) をホモロジー的関手とする。 \(\mathcal{A}\) のすべての \(A\) に対して \(H^{-1}(G(A)) = 0\) であると仮定する。 このとき族 \[\{H^n \circ G, H^n(\delta_{A \to B \to C})\}_{n \geq 0}\] は \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) の \(\delta\)-関手である。 Homology, Definition 010Q を 参照されたい。

証明

この記号は次を意味する。 \(0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\) が \(\mathcal{A}\) の短完全列ならば、 \[\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\] は \(\mathcal{D}\) の射であって、 \((G(A), G(B), G(C), a, b, \delta)\) は完全三角である。 定義 0150 を参照されたい。このとき \(H^n(\delta) : H^n(G(C)) \to H^n(G(A)[1]) = H^{n + 1}(G(A))\) が短完全列に関して関手的であることは明らかである。最後に、長完全コホモロジー列 (0148) と \(H^{-1}(G(C))\) の消滅を 組み合わせると、望みどおり \(\mathcal{B}\) の長完全列 \[0 \to H^0(G(A)) \to H^0(G(B)) \to H^0(G(C)) \xrightarrow{H^0(\delta)} H^1(G(A)) \to \ldots\] が得られる。

次の結果の証明では TR4 を用いる。

命題

\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。任意の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & Y' }\] は、図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[r] \ar[d] & X[1] \ar[d] \\ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & X'[1] \ar[d] \\ X'' \ar[r] \ar[d] & Y'' \ar[r] \ar[d] & Z'' \ar[r] \ar[d] & X''[1] \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] \ar[r] & Z[1] \ar[r] & X[2] }\] へ拡張できる。ここですべての正方形は可換であるが、右下の正方形だけは 反可換である。さらに、各行と各列は完全三角である。最後に、下の行 （それぞれ右の列）の射は、上の行（それぞれ左の列）の射に \([1]\) を適用して 得られる。

証明

証明を読みやすくするため、この証明では矢印を書かない。完全三角 \((X, Y, Z)\)、\((X', Y', Z')\)、\((X, X', X'')\)、\((Y, Y', Y'')\)、 \((X, Y', A)\) を選ぶ。射 \(X \to Y'\) は、合成 \(X \to Y \to Y'\) と 合成 \(X \to X' \to Y'\) の両方に等しいことに注意する。したがって TR4 の とおり、次の射を見いだせる。

1. \(a : Z \to A\) および \(b : A \to Y''\)、

2. \(a' : X'' \to A\) および \(b' : A \to Z'\)。

\(c : Y'' \to Z[1]\) を合成 \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\) とし、 \(c' : Z' \to X''[1]\) を合成 \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\) とする。 この TR4 の適用から次が得られる。

1. \((Z, A, Y'', a, b, c)\) および \((X'', A, Z', a', b', c')\) は完全三角である。

2. \((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\)、 \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\)、 \((X, X', X'') \to (X, Y', A)\)、 \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) は三角の射である。

まず、\((X, X', X'') \to (X, Y', A)\) と \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\) が三角の射であることから、次の二図式の うち一番目が可換であると分かる。 \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ X'' \ar[r]^{b \circ a'} \ar[d] & Y'' \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d]^{b' \circ a} \ar[r] & X[1] \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] } }\] \((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\) と \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) が 三角の射であることから、二番目も可換である。この時点で、写像 \(b \circ a' : X'' \to Y''\) から始まる完全三角 \((X'', Y'' , Z'')\) を選ぶ。

次に、射 \(X'' \to A \to Y''\) と三角 \((X'', A, Z', a', b', c')\)、 \((X'', Y'', Z'')\)、 \((A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) に TR4 をもう一度適用し、射 \(a'' : Z' \to Z''\) および \(b'' : Z'' \to Z[1]\) を得る。 すると \((Z', Z'', Z[1], a'', b'', - b'[1] \circ a[1])\) は完全三角であり、 したがって \((Z, Z', Z'', -b' \circ a, a'', -b'')\) も完全三角であり、 したがって \((Z, Z', Z'', b' \circ a, a'', b'')\) も完全三角である。 さらに、\((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) および \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) は三角の射である。この時点ですべての完全三角とすべての射を定義し終えたので、 残るのはいくつかの可換性関係を確かめることだけである。

図式の中央の正方形が可換であることを見る。射 \(Y' \to Z'\) は \(Y' \to A \to Z'\) と分解する。なぜなら \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) が三角の射だからである。同様に、射 \(Y' \to Y''\) は \(Y' \to A \to Y''\) と分解する。なぜなら \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\) が三角の射だからである。したがって、 辺が \((A, Z', Z'', Y'')\) である正方形は可換である。実際、TR4 により \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) は三角の射である。 辺が \((Y'', Z'', Y[1], Z[1])\) である正方形は可換である。なぜなら \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) は三角の射であり、\(c : Y'' \to Z[1]\) は合成 \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\) だからである。 辺が \((Z', X'[1], X''[1], Z'')\) である正方形は可換である。なぜなら \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) は三角の射であり、 \(c' : Z' \to X''[1]\) は合成 \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\) だからである。 最後に、辺が \((Z'', X''[1], Z[1], X[2])\) である正方形が反可換であることを 示さなければならない。これは \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) が三角の射であることから従い、証明が完了する。

三角圏の局所化

複体のホモトピー圏から導来圏を構成するために、局所化の手続きを用いる。

定義

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。乗法系 \(S\) が 三角構造と両立する とは、次の二条件が成り立つことをいう。

1. \(\mathcal{D}\) の射 \(f\) に対して \(f \in S \Leftrightarrow f[1] \in S\)⁴ が成り立つ。

2. 実線部分が可換な図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[r] \ar[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{s[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] が与えられ、その各行が完全三角で \(s, s' \in S\) を満たすならば、 \((s, s', s'')\) が三角の射となるような \(S\) の射 \(s'' : Z \to Z'\) が存在する。

これらの公理は、乗法系を定義する公理から独立ではないことが分かる。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(S \subset \text{Arrows}(\mathcal{D})\) とする。

1. \(S\) がすべての恒等射を含み、MS6 （定義 05R2）が成り立つならば、 \(\mathcal{D}\) のすべての同型が \(S\) に属する。

2. MS1、MS5（Categories, Definition 04VC）、MS6 が成り立つならば、 MS2 も成り立つ。

証明

\(S\) がすべての恒等射を含み、MS6 が成り立つと仮定する。 \(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の同型とする。図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r]_1 \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar@{-->}[d] & 0[1] \ar[d]^{1[1]} \\ 0 \ar[r] & X \ar[r]^f & Y \ar[r] & 0[1] }\] を考える。補題 05QR により各行は完全三角である。 MS6 により点線の矢印が存在して \(S\) に属するので、\(f\) は \(S\) に属する。

MS1、MS5、MS6 を仮定する。\(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とし、 \(t : X \to X'\) を \(S\) の元とする。完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を選ぶ。 次に完全三角 \((X', Y', Z, f', g', t[1] \circ h)\) を選ぶ （ここでは TR1 と TR2 を用いる）。MS5、MS6（および回転のための TR2）により、 可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^t & Y \ar[r] \ar@{..>}[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar[d]^1 & X[1] \ar[d]^{t[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z \ar[r] & X'[1] }\] の点線の矢印を、さらに \(s' \in S\) となるように見いだせる。これは LMS2 を 証明する。RMS2 の証明は双対である。

注意

MS1 と MS6 のもとで、条件 MS5 は、すべての \(s \in S\) と \(n \in \mathbf{Z}\) に対して \(s[n] \in S\) であるという条件と同値である。 例えば、MS5 が成り立ち、\(s \in S\) であり、\(s[-1] \in S\) を示したいとする。 \(s[-1][1]\) は \(s\) と等しいのではなく、\(\mathcal{D}\) の矢印として \(s\) と 同型なだけなので、これは直ちには分からない。それでも、ある同型 \(f\), \(g\) に 対して \(s[-1][1] = f \circ s \circ g\) となることは従う。補題 05R3 (1) により \(f, g \in S\) であるから、 MS1 により \(s[-1][1] \in S\)、さらに MS5 により \(s[-1] \in S\) となる。 完全な証明は演習として読者に委ねる。

補題

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏の完全関手とする。 \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid F(f)\text{ is an isomorphism}\}\] と置く。このとき \(S\) は飽和しており（Categories, Definition 05Q8 を参照）、 \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立する乗法系である。

証明

公理 MS1 – MS6 を証明しなければならない。Categories, Definitions 04VC、 05Q8、および 定義 05R2 を参照されたい。 MS1、MS4、MS5 は定義から直ちに従う。MS6 は TR3 と 補題 014A から従う。補題 05R3 により MS2 が成り立つ。証明を終えるには MS3 を示さなければならない。このため、\(f, g : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とし、\(t : Z \to X\) を \(f \circ t = g \circ t\) を満たす \(S\) の元とする。\(\mathcal{D}\) は加法的なので、 これは \(a = f - g\) と置いたとき \(a \circ t = 0\) であることにほかならない。 TR1 により完全三角 \((Z, X, Q, t, d, h)\) を選ぶ。 \(a \circ t = 0\) なので、補題 0149 により、 \(i \circ d = a\) を満たす射 \(i : Q \to Y\) が存在する。最後に、TR1 を再び用いて 三角 \((Q, Y, W, i, j, k)\) を選べる。図示すると \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_d \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] となる。さて、この図式に関手 \(F\) を適用する。\(t \in S\) なので \(F(Q) = 0\) である。補題 05QR を参照されたい。 したがって同じ補題により \(F(j)\) は同型、すなわち \(j \in S\) である。 最後に、\(j \circ i = 0\) なので \(j \circ a = j \circ i \circ d = 0\) である。したがって \(j \circ f = j \circ g\) となり、LMS3 が成り立つ。RMS3 の証明は双対である。

補題

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) を、前三角圏からアーベル圏への ホモロジー的関手とする。 \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ is an isomorphism for all }i \in \mathbf{Z}\}\] と置く。このとき \(S\) は飽和しており（Categories, Definition 05Q8 を参照）、 \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立する乗法系である。

証明

公理 MS1 – MS6 を証明しなければならない。Categories, Definitions 04VC、 05Q8、および 定義 05R2 を参照されたい。 MS1、MS4、MS5 は定義から直ちに従う。MS6 は TR3 と長完全コホモロジー列 (0148) から従う。補題 05R3 により MS2 が成り立つ。証明を終えるには MS3 を示さなければならない。このため、\(f, g : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とし、\(t : Z \to X\) を \(f \circ t = g \circ t\) を満たす \(S\) の元とする。\(\mathcal{D}\) は加法的なので、 これは \(a = f - g\) と置いたとき \(a \circ t = 0\) であることにほかならない。 TR1 と TR2 により完全三角 \((Z, X, Q, t, u, v)\) を選ぶ。 \(a \circ t = 0\) なので、補題 0149 により、

\(i \circ g = a\) を満たす射 \(i : Q \to Y\) が存在する。最後に、TR1 を再び用いて 三角 \((Q, Y, W, i, j, k)\) を選べる。図示すると \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_u \ar[d]^1 & Q \ar[r]_v \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] となる。さて、この図式に関手 \(H^i\) を適用する。\(t \in S\) なので、 長完全コホモロジー列 (0148) により \(H^i(Q) = 0\) である。同じ議論から、すべての \(i\) に対して \(H^i(j)\) は同型、 すなわち \(j \in S\) である。最後に、\(j \circ i = 0\) なので \(j \circ a = j \circ i \circ u = 0\) である。したがって \(j \circ f = j \circ g\) となり、LMS3 が成り立つ。RMS3 の証明は双対である。

命題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(S\) を三角構造と両立する乗法系とする。 このとき、\([1] \circ Q = Q \circ [1]\) であり、局所化関手 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) が完全となるような \(S^{-1}\mathcal{D}\) 上の前三角圏構造が一意に存在する。さらに、 \(\mathcal{D}\) が三角圏ならば \(S^{-1}\mathcal{D}\) も三角圏である。

証明

Homology, Lemma 05QE において、 \(S^{-1}\mathcal{D}\) が加法圏であり、局所化関手 \(Q\) が加法的であることを見た。 MS5 から、\(Q \circ [1] = [1] \circ Q\)（関手としての等式）を満たす 加法的自己同値 \([1] : S^{-1}\mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) が一意に存在することが従う。詳細は省略する。\(S^{-1}\mathcal{D}\) の三角が 完全であるとは、それが局所化関手 \(Q\) による完全三角の像と同型であることと定める。

TR1 の証明。ここで証明すべき唯一のことは、 \(a : Q(X) \to Q(Y)\) が \(S^{-1}\mathcal{D}\) の射ならば、\(a\) が完全三角に 組み込まれることである。\(S\) のある \(s : Y \to Y'\) と射 \(f : X \to Y'\) によって \(a = Q(s)^{-1} \circ Q(f)\) と書く。 \(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y', Z, f, g, h)\) を選ぶ。このとき \((Q(X), Q(Y), Q(Z), a, Q(g) \circ Q(s), Q(h))\) は \(S^{-1}\mathcal{D}\) の完全三角である。

TR2 の証明。定義から直ちに従う。

TR3 の証明。存在を要求される点線の矢印は、二つの三角を同型な三角で置き換えた後に 構成してよいことに注意する。したがって、\(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\)、\((X', Y', Z', f', g', h')\) と、 \(S^{-1}\mathcal{D}\) における可換図式 \[\xymatrix{ Q(X) \ar[r]_{Q(f)} \ar[d]_a & Q(Y) \ar[d]^b \\ Q(X') \ar[r]^{Q(f')} & Q(Y') }\] が与えられていると仮定してよい。Categories, Lemma 05Q3 を適用すると、 \(\mathcal{D}\) の射 \(f'' : X'' \to Y''\) と可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_k & X'' \ar[d]^{f''} & X' \ar[d]^{f'} \ar[l]^s \\ Y \ar[r]^l & Y'' & Y' \ar[l]_t }\] であって、\(s, t \in S\) かつ \(a = s^{-1}k\)、\(b = t^{-1}l\) を満たすものが 得られる。この時点で \(\mathcal{D}\) に対する TR3 と MS6 を用い、可換図式

\[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^k & Y \ar[r] \ar[d]^l & Z \ar[r] \ar[d]^m & X[1] \ar[d]^{g[1]} \\ X'' \ar[r] & Y'' \ar[r] & Z'' \ar[r] & X''[1] \\ X' \ar[r] \ar[u]_s & Y' \ar[r] \ar[u]_t & Z' \ar[r] \ar[u]_r & X'[1] \ar[u]_{s[1]} }\] であって \(r \in S\) となるものを得る。したがって \(c = Q(r)^{-1}Q(m)\) と置けば、求める三角の射 \[\xymatrix{ (Q(X), Q(Y), Q(Z), Q(f), Q(g), Q(h)) \ar[d]^{(a, b, c)} \\ (Q(X'), Q(Y'), Q(Z'), Q(f'), Q(g'), Q(h')) }\] が得られる。

以上で最初の主張が証明された。さらに \(\mathcal{D}\) が三角圏であるとき、 \(S^{-1}\mathcal{D}\) も三角圏であることを示すには、なお TR4 を証明しなければ ならない。このため、補題 014C によって次の主張に 帰着する。合成可能な射 \(a : Q(X) \to Q(Y)\) と \(b : Q(Y) \to Q(Z)\) が 与えられたとき、\(Q(X), Q(Y), Q(Z)\) を必要に応じて同型な対象で置き換えた後、 八面体を構成しなければならない。まず、\(\mathcal{D}\) のある射 \(f : X \to Y\) によって \(a = Q(f)\) となるような対象で \(Y\) を置き換えてよい。 （より正確には、\(S\) の \(s : Y \to Y'\) と射 \(f : X \to Y'\) によって \(a = s^{-1}f\) と書き、\(Y\) を \(Y'\) で置き換える。）その後、同様に \(\mathcal{D}\) のある射 \(g : Y \to Z\) によって \(b = Q(g)\) となるような対象で \(Z\) を置き換える。ここで \(\mathcal{D}\) の完全三角 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\)、 \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\)、 \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\) を TR1 により取り、TR4 のとおりの射 \(a : Q_1 \to Q_2\) および \(b : Q_2 \to Q_3\) を取る。これらすべてのデータに関手 \(Q\) を適用すれば、 \(S^{-1}\mathcal{D}\) に対応する構造が得られることは直ちに確かめられる。

三角圏の局所化の普遍性は次のとおりである （前三角圏について定式化するので、特に三角圏についても成り立つ）。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、\(S\) を三角構造と両立する乗法系とする。 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) を局所化関手とする。 命題 05R6 を参照されたい。

1. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) をアーベル圏 \(\mathcal{A}\) への ホモロジー的関手とし、すべての \(s \in S\) に対して \(H(s)\) が同型であるとする。 このとき、\(H = H' \circ Q\) を満たす一意な分解 \(H' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{A}\) （Categories, Lemma 04VG を参照） もホモロジー的関手である。

2. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏 \(\mathcal{D}'\) への 完全関手とし、すべての \(s \in S\) に対して \(F(s)\) が同型であるとする。 このとき、\(F = F' \circ Q\) を満たす一意な分解 \(F' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) （Categories, Lemma 04VG を参照） も完全関手である。

証明

この補題はほとんど自明である。詳細は省略する。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とし、 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) を充満な前三角部分圏とする。 \(S\) を \(\mathcal{D}\) の、三角構造と両立する飽和乗法系とする。 \(\mathcal{D}\) の各 \(X\) に対して、\(X'\) が \(\mathcal{D}'\) の対象であるような \(S\) の元 \(s : X' \to X\) が存在すると仮定する。このとき \(S' = S \cap \text{Arrows}(\mathcal{D}')\) は三角構造と両立する飽和乗法系であり、 関手 \[(S')^{-1}\mathcal{D}' \longrightarrow S^{-1}\mathcal{D}\] は前三角圏の同値である。

証明

命題 05R6 の商関手 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) を考える。\(S\) は飽和しているので、 射 \(f : X \to Y\) が \(S\) に属するための必要十分条件は \(Q(f)\) が可逆である ことである。Categories, Lemma 05Q9 を 参照されたい。したがって \(S'\) は、合成 \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) によって同型に移される矢印の集合である。ゆえに、

補題 05R4 により \(S'\) は三角構造と両立する 飽和乗法系である。補題 05R7 により、 前三角圏の完全関手 \((S')^{-1}\mathcal{D}' \to S^{-1}\mathcal{D}\) を得る。 仮定により、この関手は本質的全射である。\(X', Y'\) を \(\mathcal{D}'\) の対象とする。 Categories, Remark 05Q4 により \[\Mor_{S^{-1}\mathcal{D}}(X', Y') = \colim_{s : X \to X'\text{ in }S} \Mor_\mathcal{D}(X, Y')\] である。仮定から、任意の \(S\) の元 \(s : X \to X'\) に対して、 \(X''\) が \(\mathcal{D}'\) に属するような \(S\) の射 \(s' : X'' \to X\) が 存在する。このとき \(s \circ s' : X'' \to X'\) は \(S'\) に属する。 したがって上の余極限は \[\colim_{s'' : X'' \to X'\text{ in }S'} \Mor_{\mathcal{D}'}(X'', Y') = \Mor_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(X', Y')\] に等しい。これにより関手が充満忠実でもあることが示され、証明が完了する。

次の補題は、局所化関手の核 （定義 05RF を参照）を記述する。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏、\(S\) を三角構造と両立する乗法系とし、 \(Z\) を \(\mathcal{D}\) の対象とする。次は同値である。

1. \(S^{-1}\mathcal{D}\) において \(Q(Z) = 0\) である。

2. \(0 : Z \to Z'\) が \(S\) の元となるような \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\) が存在する。

3. \(0 : Z' \to Z\) が \(S\) の元となるような \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\) が存在する。

4. ある対象 \(Z'\) と完全三角 \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\) であって \(f \in S\) を満たすものが存在する。

\(S\) が飽和していれば、これらは次とも同値である。

1. 射 \(0 \to Z\) は \(S\) の元である。

2. 射 \(Z \to 0\) は \(S\) の元である。

3. \(f \in S\) を満たす完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が存在する。

証明

(1)、(2)、(3) の同値性は Homology, Lemma 05QF である。(2) が成り立つならば、 \((Z'[-1], Z'[-1] \oplus Z, Z, (1, 0), (0, 1), 0)\) は 「\(0 \in S\)」をもつ完全三角である （補題 05QT を参照）。回転することにより (4) が従う。 \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\) が \(f \in S\) を満たす完全三角ならば、 \(Q(f)\) は同型であり、したがって \(Q(Z \oplus Z') = 0\)、さらに \(Q(Z) = 0\) である。よって (1) – (4) はすべて同値である。

次に \(S\) が飽和していると仮定する。(5)、(6)、(7) はいずれも、同値な条件 (1) – (4) の一つを含意することに注意する。\(Q(Z) = 0\) と仮定する。 すると \(0 \to Z\) は、\(S^{-1}\mathcal{D}\) において同型となる \(\mathcal{D}\) の射である。Categories, Lemma 05Q9 によれば、\(S\) が飽和していることから \(0 \to Z\) は \(S\) に属する。したがって (1) \(\Rightarrow\) (5) である。 双対的に (1) \(\Rightarrow\) (6) である。最後に、\(0 \to Z\) が \(S\) に 属するならば、三角 \((0, Z, Z, 0, \text{id}_Z, 0)\) は TR1 と TR2 により 完全であり、(7) のような三角である。

補題

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。\(S\) を \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立する 飽和乗法系とし、\((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角とする。 三角の射からなる圏 \[\mathcal{I} = \{(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h') \mid s, s', s'' \in S\}\] を考える。このとき \(\mathcal{I}\) はフィルター圏であり、関手 \(\mathcal{I} \to X/S\)、\(\mathcal{I} \to Y/S\)、\(\mathcal{I} \to Z/S\) は余終である。

証明

読者には、この補題の証明を読み飛ばし、代わりに紙片の上で自ら導くことを強く勧める。

最初に、完全三角の回転（TR2）を用いると、\(\mathcal{I}\) と、完全三角 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) に対応する圏との圏同値が得られることに注意する。 これを用いると、例えば関手 \(\mathcal{I} \to X/S\) が余終であることを証明すれば、 関手 \(\mathcal{I} \to Y/S\) と \(\mathcal{I} \to Z/S\) についても同じことが 成り立つと分かる。

\(s : X \to X'\) を \(S\) の射とする。MS2 により、\(f' \circ s = s' \circ f\) を 満たす \(s' : Y \to Y'\) と \(f' : X' \to Y'\) を見いだし、次いで MS6 により これを \(\mathcal{I}\) の対象へ完成できる。したがって関手 \(\mathcal{I} \to X/S\) は対象上全射である。上のように回転することで、 関手 \(\mathcal{I} \to Y/S\) と \(\mathcal{I} \to Z/S\) についても同じことが 成り立つ。

\(X/S\) の対象 \(s_1 : X \to X_1\)、\(s_2 : X \to X_2\) と、\(X/S\) の射 \(a : X_1 \to X_2\) が与えられたとする。\(S\) は飽和しているので \(a \in S\) である。Categories, Lemma 05Q9 を参照されたい。前段落の議論により、 \(s_1 : X \to X_1\) を \(\mathcal{I}\) の対象 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) へ完成できる。次にこれを繰り返し、与えられた \(a : X_1 \to X_2\) を完成する \((a, b, c) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) であって \(a, b, c \in S\) を満たすものを見いだせる。このとき \((a, b, c)\) は \(\mathcal{I}\) の射である。このようにして、関手 \(\mathcal{I} \to X/S\) は射上でも全射である。上のように回転すれば、 関手 \(\mathcal{I} \to Y/S\) と \(\mathcal{I} \to Z/S\) についても同じことが 成り立つ。

恒等射が対象を与えるので、圏 \(\mathcal{I}\) は空でない。これでフィルター圏の 定義の条件 (1) が証明された。Categories, Definition 002V を参照されたい。

圏 \(\mathcal{I}\) について Categories, Definition 002V の条件 (2) を確かめる。\(\mathcal{I}\) の対象 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) および \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) が与えられたとする。\((X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) と \((X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) の両方から射を受ける \(\mathcal{I}\) の対象を 見いだしたい。Categories, Remark 05Q0 により、圏 \(X/S\)、\(Y/S\)、\(Z/S\) はフィルター圏である。したがって、\(X/S\) の射 \(X \to X_3\)、\(s : X_2 \to X_3\)、\(a : X_1 \to X_3\) を見いだせる。 上の議論により、\(s', s'' \in S\) を満たす三角の射 \((s, s', s'') : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) を見いだせる。\((X_2, Y_2, Z_2)\) を \((X_3, Y_3, Z_3)\) で置き換えれば、 \(X/S\) の射 \(a : X_1 \to X_2\) が存在すると仮定してよい。\(Y\) と \(Z\) について 同じ議論を繰り返すことにより（上のように回転する）、\(X/S\) の射 \(a : X_1 \to X_2\)、\(Y/S\) の射 \(b : Y_1 \to Y_2\)、\(Z/S\) の射 \(c : Z_1 \to Z_2\) が存在すると仮定してよい。しかし、これらの射が必ずしも 完全三角の射を与えるとは限らない。一方、必要な図式は \(S^{-1}\mathcal{D}\) において可換である。したがって、例えば \(s'_2 \circ f_2 \circ a = s'_2 \circ b \circ f_1\) を満たす \(S\) の射 \(s'_2 : Y_2 \to Y_3\) が存在することが分かる。 上のように \((X_2, Y_2, Z_2)\) をもう一度置き換えれば、 \(f_2 \circ a = b \circ f_1\) となる状況に帰着する。さらに二度回転して同じ議論を 適用すると、\((a, b, c)\) が三角の射であると仮定してよい。これで条件 (2) が 証明された。

次に Categories, Definition 002V の条件 (3) を 確かめる。\((s_1, s_1', s_1'') : (X, Y, Z) \to (X_1, Y_1, Z_1)\) と \((s_2, s_2', s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_2, Y_2, Z_2)\) を \(\mathcal{I}\) の対象とし、\((a, b, c), (a', b', c')\) をそれらの間の二つの 射とする。\(a \circ s_1 = a' \circ s_1\) なので、 \(s_3 \circ a = s_3 \circ a'\) を満たす射 \(s_3 : X_2 \to X_3\) が存在する。 上の全射性の主張を用いると、これを \(s_3, s_3', s_3'' \in S\) を満たす 三角の射 \((s_3, s_3', s_3'') : (X_2, Y_2, Z_2) \to (X_3, Y_3, Z_3)\) へ完成できる。したがって \((s_3 \circ s_2, s_3' \circ s_2', s_3'' \circ s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_3, Y_3, Z_3)\) も \(\mathcal{I}\) の対象であり、写像 \((a, b, c), (a', b', c')\) を \((s_3, s_3', s_3'')\) と合成すると \(a = a'\) を得る。回転することにより、 同じ操作を行って \(b = b'\) と \(c = c'\) も得られる。

最後に、\(\mathcal{I} \to X/S\) が余終であることを確かめる。Categories, Definition 04E6 を参照されたい。この関手は 全射なので、一番目の条件は成り立つ。\(X/S\) の対象 \(s : X \to X'\) と、 \(\mathcal{I}\) の二対象 \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) および \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\)、 さらに \(X/S\) の射 \(t_1 : X' \to X_1\)、\(t_2 : X' \to X_2\) が 与えられたとする。上で証明した \(\mathcal{I}\) の性質 (2) により、射 \((s_3, s'_3, s''_3) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) および \((s_4, s'_4, s''_4) : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) を \(\mathcal{I}\) において見いだせる。合成 \(X' \to X_1 \to X_3\) と \(X' \to X_2 \to X_3\) が等しければ完了する （Categories, Definition 04E6 の表示式を参照）。 等しくない場合、\(X/S\) はフィルター圏なので、合成 \(X' \to X_1 \to X_3 \to X_4\) と \(X' \to X_2 \to X_3 \to X_4\) が 等しくなるような \(X/S\) の射 \(X_3 \to X_4\) を選べる。最後に \(X_3 \to X_4\) を \(\mathcal{I}\) の射 \((X_3, Y_3, Z_3) \to (X_4, Y_4, Z_4)\) へ完成し、その射と合成すれば所望の結果を得る。

三角圏の商

三角圏とその三角部分圏が与えられると、「商」を取ることによって別の三角圏を 構成できる。この構成には局所化を用いる。これはアーベル圏をセール部分圏で 割った商と類似している。Homology, Section 02MN を参照されたい。実際の構成を行う前に、 完全関手の核について簡単に論じる。

定義

\(\mathcal{D}\) を前三角圏とする。\(\mathcal{D}\) の充満前三角部分圏 \(\mathcal{D}'\) が 飽和している とは、\(X \oplus Y\) が \(\mathcal{D}'\) の対象と同型ならば、\(X\) と \(Y\) の両方が \(\mathcal{D}'\) の対象と同型であることをいう。

飽和三角部分圏は 厚い三角部分圏 と呼ばれることもある。一部の文献では、 この語は厳密充満三角部分圏に対してだけ用いられる（また、定義そのものが 厳密充満性を含意するように書かれることもある）。これとは別に épaisse 三角部分圏 という概念もある。その定義は次のとおりである。 可換図式 \[\xymatrix{ & S \ar[rd] \\ X \ar[ru] \ar[rr] & & Y \ar[r] & T \ar[r] & X[1] }\] が与えられ、第二の行が完全三角であり、\(S\) と \(T\) が \(\mathcal{D}'\) の対象と 同型ならば、\(X\) と \(Y\) も \(\mathcal{D}'\) の対象と同型であると要求する。 これは飽和性と同値であることが分かる （これは初等的であり、[Rickard-derived] に見いだせる）。 実際に扱うには、飽和圏という概念の方が容易である。

補題

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏の完全関手とする。 \(\mathcal{D}''\) を、対象が \[\Ob(\mathcal{D}'') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid F(X) = 0\}\] である \(\mathcal{D}\) の充満部分圏とする。このとき \(\mathcal{D}''\) は \(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和前三角部分圏である。 \(\mathcal{D}\) が三角圏ならば、\(\mathcal{D}''\) は三角部分圏である。

証明

\(\mathcal{D}''\) が \([1]\) と \([-1]\) によって保たれることは明らかである。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角とし、 \(F(X) = F(Y) = 0\) とする。このとき \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\) は完全なので、\(F(Z) = 0\) でもある。 したがって補題 05QX を適用し、 \(\mathcal{D}''\) が前三角部分圏 （それぞれ、\(\mathcal{D}\) が三角圏ならば三角部分圏）であることが分かる。 最後の飽和性の主張は \(F(X) \oplus F(Y) = 0 \Rightarrow F(X) = F(Y) = 0\) から従う。

補題

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) を、前三角圏からアーベル圏への ホモロジー的関手とする。\(\mathcal{D}'\) を、対象が \[\Ob(\mathcal{D}') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \in \mathbf{Z}\}\] である \(\mathcal{D}\) の充満部分圏とする。このとき \(\mathcal{D}'\) は \(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和前三角部分圏である。 \(\mathcal{D}\) が三角圏ならば、\(\mathcal{D}'\) は三角部分圏である。

証明

\(\mathcal{D}'\) が \([1]\) と \([-1]\) によって保たれることは明らかである。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角とし、すべての \(n\) に対して \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\) とする。このとき長完全列 (0148) により、すべての \(n\) に対して \(H(Z[n]) = 0\) でもある。したがって補題 05QX を適用し、\(\mathcal{D}'\) が前三角部分圏 （それぞれ、\(\mathcal{D}\) が三角圏ならば三角部分圏）であることが分かる。 飽和性の主張は、すべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対する \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] から従う。

補題

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) を、前三角圏からアーベル圏への ホモロジー的関手とする。 \(\mathcal{D}_H^{+}, \mathcal{D}_H^{-}, \mathcal{D}_H^b\) を、それぞれ対象が \[\begin{matrix} \Ob(\mathcal{D}_H^{+}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \ll 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^{-}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }n \gg 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^b) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ for all }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] である \(\mathcal{D}\) の充満部分圏とする。これらはすべて \(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和前三角部分圏である。 \(\mathcal{D}\) が三角圏ならば、これらはすべて三角部分圏である。

証明

\(\mathcal{D}_H^{+}\) について証明しよう。これが \([1]\) と \([-1]\) によって 保たれることは明らかである。\((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の 完全三角とし、すべての \(n \ll 0\) に対して \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\) とする。 このとき長完全列 (0148) により、 すべての \(n \ll 0\) に対して \(H(Z[n]) = 0\) でもある。したがって補題 05QX を適用し、\(\mathcal{D}_H^{+}\) が 前三角部分圏（それぞれ、\(\mathcal{D}\) が三角圏ならば三角部分圏）であることが 分かる。飽和性の主張は、すべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対する \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] から従う。

定義

\(\mathcal{D}\) を（前）三角圏とする。

1. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を完全関手とする。 \(F\) の核 とは、補題 05RC で記述した 厳密充満な飽和（前）三角部分圏のことである。

2. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) をホモロジー的関手とする。 \(H\) の核 とは、補題 05RD で記述した 厳密充満な飽和（前）三角部分圏のことである。

これらを \(\Ker(F)\) または \(\Ker(H)\) と書くこともある。

次の補題の証明では TR4 を用いる。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏とし、 \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) を充満三角部分圏とする。 [05RH]\[\begin{equation} S = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with } Z\text{ isomorphic to an object of }\mathcal{D}' \end{matrix} \right\} \end{equation}\] と置く。このとき \(S\) は \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立する乗法系である。 この状況で、次は同値である。

1. \(S\) は飽和乗法系である。

2. \(\mathcal{D}'\) は飽和三角部分圏である。

証明

最初の主張を証明するには、MS1、MS2、MS3、MS5、MS6 が成り立つことを 示さなければならない。

MS1 の証明。\(\mathcal{D}\) の各対象 \(X\) に対して \((X, X, 0, 1, 0, 0)\) は完全であり、\(0\) は \(\mathcal{D}'\) の対象なので、 恒等射が \(S\) に属することは明らかである。\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を、 \(S\) に属する合成可能な射とする。完全三角 \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\)、 \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\)、 \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\) を選ぶ。仮定により、\(Q_1\) と \(Q_3\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。 TR4 により完全三角 \((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, c)\) が存在する。 \(\mathcal{D}'\) は三角部分圏なので、\(Q_2\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。 したがって \(g \circ f \in S\) である。

MS3 の証明。\(a : X \to Y\) を射とし、\(t : Z \to X\) を \(a \circ t = 0\) を満たす \(S\) の元とする。LMS3 を証明するには、 \(s \circ a = 0\) を満たす \(s \in S\) を見いだせば十分である。 補題 05R4 の証明と比較されたい。 TR1 と TR2 により完全三角 \((Z, X, Q, t, g, h)\) を選ぶ。 \(a \circ t = 0\) なので、補題 0149 により、 \(i \circ g = a\) を満たす射 \(i : Q \to Y\) が存在する。最後に、TR1 を再び用いて 三角 \((Q, Y, W, i, s, k)\) を選べる。図示すると \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_g \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^s \\ & & W }\] となる。\(t \in S\) なので、\(Q\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。 したがって \(s \in S\) である。最後に、補題 0146 により \(s \circ i = 0\) なので、 \(s \circ a = s \circ i \circ g = 0\) である。ゆえに LMS3 が成り立つ。 RMS3 の証明は双対である。

MS5 の証明。完全三角および \(\mathcal{D}'\) がシフトによって保たれることから 従う。

MS6 の証明。\(s, s' \in S\) を満たす可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[d]^{s'} \\ X' \ar[r] & Y' }\] が与えられたとする。命題 05R0 により、これを九つの正方形から なる図式へ拡張できる。\(s, s'\) は \(S\) の元なので、\(X'', Y''\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。\(\mathcal{D}'\) は充満三角部分圏なので、 \(Z''\) も \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。したがって射 \(Z \to Z'\) は \(S\) の元である。これで MS6 が証明された。

MS2 は MS1、MS5、MS6 の形式的帰結である。補題 05R3 を参照されたい。 これで補題の最初の主張の証明が完了する。

\(S\) が飽和していると仮定しよう （以下、完全三角の回転を断りなく用いる）。\(X \oplus Y\) が \(\mathcal{D}'\) の対象と同型であるとする。射 \(f : 0 \to X\) を考える。 \((0, X \oplus Y, X \oplus Y, 0, 1, 0)\) は完全三角なので、合成 \(0 \to X \to X \oplus Y\) は \(S\) の元である。また、三角 \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\) は完全なので、合成 \(Y[-1] \to 0 \to X\) は \(S\) の元である。補題 05QT を 参照されたい。したがって、\(S\) が飽和していることから \(0 \to X\) は \(S\) の元である。ゆえに、望みどおり \(X\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。

最後に、\(\mathcal{D}'\) が飽和三角部分圏であると仮定する。 \[W \xrightarrow{h} X \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} Z\] を、\(fg, gh \in S\) を満たす \(\mathcal{D}\) の合成可能な射とする。 次の図式にある対象を順次構成する。 \[\xymatrix{ & & Q_{12} \ar[rd] & & Q_{23} \ar[rd] \\ & Q_1 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_2 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_3 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \\ W \ar[rr] & & X \ar[lu] \ar[rr] & & Y \ar[lu] \ar[rr] & & Z \ar[lu] }\] まず、完全三角 \((W, X, Q_1)\)、\((X, Y, Q_2)\)、\((Y, Z, Q_3)\) \((W, Y, Q_{12})\)、 \((X, Z, Q_{23})\) を選ぶ。\(s : Q_2 \to Q_1[1]\) を合成 \(Q_2 \to X[1] \to Q_1[1]\) とし、\(t : Q_3 \to Q_2[1]\) を合成 \(Q_3 \to Y[1] \to Q_2[1]\) とする。合成 \(W \to X \to Y\) および \(X \to Y \to Z\) に TR4 を適用すると、射 \(s\) と \(t\) を用いる完全三角 \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\) と \((Q_2, Q_{23}, Q_3)\) が存在する。 \(W \to Y\) と \(X \to Z\) は \(S\) に属すると仮定したので、\(Q_{12}\) と \(Q_{23}\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。したがって \(S\) は合成と シフトで閉じているので、\(s[1]t\) も \(S\) の元である。 \(Y[1] \to Q_2[1] \to X[2]\) は零なので、\(s[1]t = 0\) であることに注意する。 補題 0146 を参照されたい。したがって補題 05QT により、\(Q_3[1] \oplus Q_1[2]\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。\(\mathcal{D}'\) に関する仮定から、 \(Q_3\) と \(Q_1\) は \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。完全三角 \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\) を見ると、\(Q_2\) も \(\mathcal{D}'\) の対象と同型である。 完全三角 \((X, Y, Q_2)\) を見て、最後に \(g \in S\) と結論する。

（\(h, f \in S\) も従うが、これは必要ない。）

定義

\(\mathcal{D}\) を三角圏、\(\mathcal{B}\) を充満三角部分圏とする。 商圏 \(\mathcal{D}/\mathcal{B}\) を \(\mathcal{D}/\mathcal{B} = S^{-1}\mathcal{D}\) によって定義する。 ここで \(S\) は、補題 05RG により \(\mathcal{B}\) に付随する \(\mathcal{D}\) の乗法系である。この場合、 局所化関手 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) を 商関手 と呼ぶ。

商関手 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) は三角圏の 完全関手であることに注意する。命題 05R6 を 参照されたい。この構成の普遍性は次のとおりである。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏、\(\mathcal{B}\) を \(\mathcal{D}\) の充満三角部分圏とし、 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) を商関手とする。

1. \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) をアーベル圏 \(\mathcal{A}\) への ホモロジー的関手とし、\(\mathcal{B} \subset \Ker(H)\) を満たすとする。 このとき、\(H = H' \circ Q\) を満たす一意な分解 \(H' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) が存在し、 \(H'\) もホモロジー的関手である。

2. \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を前三角圏 \(\mathcal{D}'\) への 完全関手とし、\(\mathcal{B} \subset \Ker(F)\) を満たすとする。 このとき、\(F = F' \circ Q\) を満たす一意な分解 \(F' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{D}'\) が存在し、 \(F'\) も完全関手である。

証明

この補題は補題 05R7 から従う。 実際、\(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とし、ある完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) に対して \(Z\) が \(\mathcal{B}\) の対象と同型であるとする。 このとき、(1) の仮定のもとでは \(H(f)\) が、(2) の仮定のもとでは \(F(f)\) が それぞれ同型である。詳細は省略する。

商関手の核は次のように記述できる。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏、\(\mathcal{B}\) を充満三角部分圏とする。 商関手 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) の核は、 対象が \[\Ob(\Ker(Q)) = \left\{ \begin{matrix} Z \in \Ob(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a }Z' \in \Ob(\mathcal{D}) \\ \text{ such that }Z \oplus Z'\text{ is isomorphic to an object of }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] である \(\mathcal{D}\) の厳密充満部分圏である。言い換えれば、これは \(\mathcal{B}\) を含む \(\mathcal{D}\) の最小の厳密充満な飽和三角部分圏である。

証明

まず、核は自動的に、各対象の直和因子を含む厳密充満三角部分圏である。 補題 05RC を参照されたい。その対象の記述は、 定義と補題 05R8 の (4) から従う。

\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。この時点で、次の二つの半順序集合の間に 順序保存写像を誘導する構成が得られている。

1. \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立する乗法系 \(S\) の半順序集合。

2. 充満三角部分圏 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\) の半順序集合。

具体的には、構成は \(S \mapsto \mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\) および \(\mathcal{B} \mapsto S(\mathcal{B})\) によって与えられる。 ここで \(S(\mathcal{B})\) は (05RH) の乗法系、 すなわち \[S(\mathcal{B}) = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with } Z\text{ isomorphic to an object of }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] である。これらの操作は互いに逆ではないことに注意する。

補題

\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。上で述べた操作は次の性質をもつ。

1. \(S(\mathcal{B}(S))\) は \(S\) の「飽和」、すなわち \(S\) を含む \(\mathcal{D}\) の最小の飽和乗法系である。

2. \(\mathcal{B}(S(\mathcal{B}))\) は \(\mathcal{B}\) の「飽和」、 すなわち \(\mathcal{B}\) を含む \(\mathcal{D}\) の最小の厳密充満な 飽和三角部分圏である。

特に、これらの構成は、\(\mathcal{D}\) の飽和乗法系であって \(\mathcal{D}\) の三角構造と両立するものの （半順序）集合と、\(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和三角部分圏の（半順序）集合との 間の互いに逆な写像を定める。

証明

まず、充満三角部分圏 \(\mathcal{B}\) から始める。このとき \(\mathcal{B}(S(\mathcal{B})) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B})\) であり、したがって (2) は補題 05RK の内容である。

次に、\(S\) を \(\mathcal{D}\) の乗法系であって、\(\mathcal{D}\) の 三角構造と両立するものとする。このとき \(\mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\) である。 したがって、局所化された圏において補題 05QR を用いると、 \[\begin{align*} S(\mathcal{B}(S)) & = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished}\\ \text{triangle }(X, Y, Z, f, g, h) \text{ of }\mathcal{D}\text{ with }Q(Z) = 0 \end{matrix} \right\}. \\ & = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid Q(f)\text{ is an isomorphism}\} \\ & = \hat S = S' \end{align*}\] を得る。Categories, Lemma 05Q9 の 記号を用いた。その補題の最後の主張によって証明が完了する。

補題

\(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) を、三角圏 \(\mathcal{D}\) から アーベル圏 \(\mathcal{A}\) へのホモロジー的関手とする。定義 0147 を参照されたい。\(\mathcal{D}\) の部分圏 \(\Ker(H)\) は \(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和三角部分圏であり、それに対応する 飽和乗法系（補題 05RL を参照）は \[S = \{f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ is an isomorphism for all }i \in \mathbf{Z}\}.\] である。関手 \(H\) は商関手 \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\Ker(H)\) を経由して分解する。

証明

補題 05RD により、圏 \(\Ker(H)\) は \(\mathcal{D}\) の厳密充満な飽和三角部分圏である。補題 05R5 により、集合 \(S\) は 三角構造と両立する飽和乗法系である。\(\Ker(H)\) に対応する乗法系は集合 \[\left\{ \begin{matrix} f \in \text{Arrows}(\mathcal{D}) \text{ such that there exists a distinguished triangle }\\ (X, Y, Z, f, g, h)\text{ with } H^i(Z) = 0 \text{ for all }i \end{matrix} \right\}.\] であった。長完全コホモロジー列 (0148) により、\(f\) がこの集合の元で あるための必要十分条件は \(f\) が \(S\) の元であることだと明らかに分かる。 最後に、\(H\) が \(Q\) を経由して分解することは 補題 05RJ の帰結である。

完全関手の随伴

三角圏の間の随伴関手に関する結果を述べる。

補題

\(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) を三角圏の間の完全関手とする。 \(F\) が右随伴 \(G: \mathcal{D'} \to \mathcal{D}\) をもつならば、 \(G\) も完全関手である。

証明

\(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\) を定義 014V のものとする。 \(\epsilon_A : F(G(A)) \to A\) を随伴射とする。合成 \[F(G(A)[1]) \xrightarrow{\xi_{G(A)}} F(G(A))[1] \xrightarrow{\epsilon_A[1]} A[1]\] を考える。この写像に随伴する写像 \(G(A)[1] \to G(A[1])\) は同型であると 主張する。これを見るには、米田の補題により、\(\mathcal{D}\) の各対象 \(X\) に対して \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], -)\) を適用すると全単射が得られることを示せば十分である。 実際、任意の射 \(f : X[1] \to G(A)[1]\) は一意な \(g : X \to G(A)\) によって \(g[1]\) と書かれ、任意の \(g\) は一意な \(h : F(X) \to A\) に随伴し、さらに \(h[1] \circ \xi_X\) は一意な \(i : X[1] \to G(A[1])\) に随伴する。\(f\) を \(i\) に送る規則は \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A)[1])\) と \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A[1]))\) の間の全単射を与える。 この全単射が上の射によって与えられることは、Categories, Section 0036 の議論と次の計算から従う。 \[\begin{align*} \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(f) & = \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(g[1]) \\ & = \epsilon_A[1] \circ F(g)[1] \circ \xi_X \\ & = (\epsilon_A \circ F(g))[1] \circ \xi_X \\ & = h[1] \circ \xi_X \end{align*}\] 詳細の一部は省略する。同型 \(G(A)[1] \to G(A[1])\) の逆を用いて、 \(G\) が完全関手であることを示す。これらの同型は \(A\) に関して関手的である （詳細は省略する）。

\(A \to B \to C \to A[1]\) を \(\mathcal{D}'\) の完全三角とする。 \(\mathcal{D}\) の完全三角 \[G(A) \to G(B) \to X \to G(A)[1]\] を選ぶ。このとき \(F(G(A)) \to F(G(B)) \to F(X) \to F(G(A))[1]\) は \(\mathcal{D}'\) の完全三角である。TR3 により、完全三角の射 \[\xymatrix{ F(G(A)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_A} & F(G(B)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_B} & F(X) \ar[r] \ar[d] & F(G(A))[1] \ar[d]^{\epsilon_A[1]} \\ A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & A[1] }\] を選べる。射 \(F(X) \to F(G(A))[1]\) は、\(F(X) \to F(G(A)[1])\) と \(\xi_{G(A)}\) の合成であることを思い出そう。したがって、\(G\) が \(F\) の 右随伴であることと上の議論から、図式 \[\xymatrix{ G(A) \ar[r] \ar[d] & G(B) \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar[d] & G(A)[1] \ar[d] \\ G(A) \ar[r] & G(B) \ar[r] & G(C) \ar[r] & G(A[1]) }\] が可換となるような射 \(X \to G(C)\) が存在し、右端の縦の射は上で構成した 射である。

対象 \(W\) が \(\mathcal{D}'\) に属するとしてホモロジー的関手 \(\Hom_{\mathcal{D}'}(W, -)\) を適用すると、\(5\) 項補題から \[\Hom_{\mathcal{D}'}(W, X) \to \Hom_{\mathcal{D}'}(W, G(C))\] が全単射であることが従う。米田の補題をもう一度用いて、\(X \to G(C)\) が 同型であると結論する。したがって \(G(A) \to G(B) \to G(C) \to G(A)[1]\) は完全三角であり、これが示すべきことで あった。

補題

\(\mathcal{D}\)、\(\mathcal{D}'\) を三角圏とし、 \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) および \(G : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) を関手とする。次を仮定する。

1. \(F\) と \(G\) は完全関手である。

2. \(F\) は充満忠実である。

3. \(G\) は \(F\) の右随伴である。

4. \(G\) の核は零である。

このとき \(F\) は圏同値である。

証明

\(F\) は充満忠実なので、随伴射 \(\text{id} \to G \circ F\) は同型である （Categories, Lemma 07RB）。 \(X\) を \(\mathcal{D}'\) の対象とする。\(\mathcal{D}'\) の完全三角 \[F(G(X)) \to X \to Y \to F(G(X))[1]\] を選ぶ。\(G\) を適用し、\(G(F(G(X))) = G(X)\) を用いると、完全三角 \[G(X) \to G(X) \to G(Y) \to G(X)[1]\] を得る。したがって \(G(Y) = 0\) であり、ゆえに \(Y = 0\) である。 したがって \(F(G(X)) \to X\) は同型である。

ホモトピー圏

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(\mathcal{A}\) のホモトピー圏 \(K(\mathcal{A})\) とは、\(\mathcal{A}\) の複体を対象とし、複体の射の ホモトピー類を射とする圏である。形式的な定義は次のとおりである。

定義

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。

1. \(\text{Comp}(\mathcal{A}) = \text{CoCh}(\mathcal{A})\) を （余鎖）複体の圏 とする。

2. 複体 \(K^\bullet\) が 下に有界 であるとは、すべての \(n \ll 0\) に 対して \(K^n = 0\) であることをいう。

3. 複体 \(K^\bullet\) が 上に有界 であるとは、すべての \(n \gg 0\) に 対して \(K^n = 0\) であることをいう。

4. 複体 \(K^\bullet\) が 有界 であるとは、すべての \(|n| \gg 0\) に 対して \(K^n = 0\) であることをいう。

5. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\)、\(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A})\)、 それぞれ \(\text{Comp}^b(\mathcal{A})\) を、 \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) の充満部分圏で、対象がそれぞれ下に有界、上に有界、 有界な複体であるものとする。

6. \(K(\mathcal{A})\) を、\(\text{Comp}(\mathcal{A})\) と同じ対象をもち、 複体の写像のホモトピー類を射とする圏とする （Homology, Lemma 0112 を参照）。

7. \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、 それぞれ \(K^b(\mathcal{A})\) を、\(K(\mathcal{A})\) の充満部分圏で、 対象がそれぞれ \(\mathcal{A}\) の下に有界、上に有界、有界な複体であるものとする。

圏 \(K(\mathcal{A})\)、\(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、 \(K^b(\mathcal{A})\) は三角圏になることが分かる。その証明のため、まず錐と 分裂完全列に関する道具立てを整える。

錐と項ごとに分裂する列

\(\mathcal{A}\) を加法圏とし、\(K(\mathcal{A})\) を \(\mathcal{A}\) の複体を対象、 ホモトピーを法とする複体の射を射とする圏とする。複体上のシフト関手 \([n]\)（Homology, Definition 011G を参照）は、 \([n] \circ [m] = [n + m]\) かつ \([0] = \text{id}\) を満たす関手 \([n] : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\) を誘導することに注意する。

定義

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(f : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体の射とする。\(f\) の 錐 とは、 \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\) であり、微分が \[d_{C(f)}^n = \left( \begin{matrix} d^n_L & f^{n + 1} \\ 0 & -d_K^{n + 1} \end{matrix} \right)\] で与えられる複体 \(C(f)^\bullet\) のことである。これには、自明な写像 \(L^n \to C(f)^n \to K^{n + 1}\) から誘導される標準的な複体の射 \(i : L^\bullet \to C(f)^\bullet\) および \(p : C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\) が備わっている。

言い換えれば、\((K, L, C(f), f, i, p)\) は三角 \[K^\bullet \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\] をなす。この三角の構成は、次の意味で関手的である。

補題

\[\xymatrix{ K_1^\bullet \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1^\bullet \ar[d]^b \\ K_2^\bullet \ar[r]^{f_2} & L_2^\bullet }\] が、ホモトピーの意味で可換な複体の射の図式であるとする。このとき、 \(K(\mathcal{A})\) における三角の射 \[(a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \to (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\] を与える射 \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\) が存在する。

証明

\(b \circ f_1 - f_2 \circ a= d \circ h + h \circ d\) を満たす射の族 \(h^n : K_1^n \to L_2^{n - 1}\) を取る。\(c^n\) を行列 \[c^n = \left( \begin{matrix} b^n & h^{n + 1} \\ 0 & a^{n + 1} \end{matrix} \right) : L_1^n \oplus K_1^{n + 1} \to L_2^n \oplus K_2^{n + 1}\] によって定める。

行列計算により \(c\) は複体の射である。\(c \circ i_1 = i_2 \circ b\) は自明であり、 \(p_2 \circ c = a \circ p_1\) も直ちに確かめられる。

補題 014F の証明で構成した射 \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\) は、一般には \(f_2 \circ a\) と \(b \circ f_1\) の間に選んだホモトピー \(h\) に依存する。

補題

\(f: K^\bullet \to L^\bullet\) および \(g : L^\bullet \to M^\bullet\) を、 \(g \circ f\) が零とホモトピックであるような複体の射とする。このとき

1. \(g\) は射 \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\) を経由して分解し、

2. \(f\) は射 \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\) を経由して分解する。

証明

仮定は、図式 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[d]^g \\ 0 \ar[r] & M^\bullet }\] がホモトピーの意味で可換であることをいう。\(0 \to M^\bullet\) の錐は \(M^\bullet\) なので、補題 014F の写像 \(C(f)^\bullet \to C(0 \to M^\bullet) = M^\bullet\) が (1) の写像である。 \(K^\bullet \to 0\) の錐は \(K^\bullet[1]\) であり、補題 014F を適用すると \(K^\bullet[1] \to C(g)^\bullet\) が得られる。\([-1]\) を適用して (2) の写像を得る。

補題 08RI の証明で構成した射 \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\) および \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\) は、 一般には選んだホモトピーに依存することに注意する。

定義

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。項ごとに分裂する単射 \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\) とは、各 \(A^n \to B^n\) が 直和因子の包含と同型であるような複体の射のことである。 項ごとに分裂する全射 \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) とは、 各 \(B^n \to C^n\) が直和因子への射影と同型であるような複体の射のことである。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r]_f \ar[d]_a & B^\bullet \ar[d]^b \\ C^\bullet \ar[r]^g & D^\bullet }\] を、ホモトピーの意味で可換な複体の射の図式とする。\(f\) が項ごとに分裂する 単射ならば、\(b\) はこの図式を可換にする射とホモトピックである。\(g\) が 項ごとに分裂する全射ならば、\(a\) はこの図式を可換にする射とホモトピックである。

証明

\(bf - ga = dh + hd\) を満たす射の族 \(h^n : A^n \to D^{n - 1}\) を取る。 \(\pi^n : B^n \to A^n\) を \(f^n\) の分裂射とする。 \(b' = b - dh\pi - h\pi d\) と置く。\(s^n : D^n \to C^n\) を \(g^n : C^n \to D^n\) の分裂射とする。\(a' = a + dsh + shd\) と置く。 計算は省略する。

次の補題を用いると、複体の射を、各次数で直和因子の包含となる射に 置き換えることができる。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体の射とする。このとき、分解 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L^\bullet \ar[r]^\pi & L^\bullet }\] であって、次を満たすものが存在する。

1. \(\tilde \alpha\) は項ごとに分裂する単射である （Definition 014G を参照）。

2. \(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\) を満たし、かつ \(s \circ \pi\) が \(\text{id}_{\tilde L^\bullet}\) とホモトピックであるような 複体の射 \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\) が存在する。

さらに、\(K^\bullet\) と \(L^\bullet\) がともに \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) に属するならば、 \(\tilde L^\bullet\) も同じ圏に属する。

証明

\[\tilde L^n = L^n \oplus K^n \oplus K^{n + 1}\] と置き、 \[d^n_{\tilde L} = \left( \begin{matrix} d^n_L & 0 & 0 \\ 0 & d^n_K & \text{id}_{K^{n + 1}} \\ 0 & 0 & -d^{n + 1}_K \end{matrix} \right)\] と定める。言い換えれば、 \(\tilde L^\bullet = L^\bullet \oplus C(1_{K^\bullet})\) である。さらに、 \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha \\ \text{id}_{K^n} \\ 0 \end{matrix} \right)\] と置く。これは明らかに分裂単射であり、複体の射を定めることも明らかである。 また、 \[\pi = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] と定めれば、明らかに \(\pi \circ \tilde \alpha = \alpha\) である。さらに、 \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] と置けば、\(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\) である。最後に、 \(h^n : \tilde L^n \to \tilde L^{n - 1}\) を、\(\tilde L^n\) の直和因子 \(K^n\) を 恒等射によって \(\tilde L^{n - 1}\) の直和因子 \(K^n\) に写す射とする。このとき \[\text{id}_{\tilde L^\bullet} - s \circ \pi = d \circ h + h \circ d\] であることは直ちに確かめられる（下の remark の計算を参照）。これで補題の証明が完了する。

注意

上の証明の最後に表示した等式は、元を用いて次のように確かめられる。 \(s\pi(l, k, k^{+}) = (l, 0, 0)\) である。したがって、左辺の射は \((l, k, k^{+})\) を \((0, k, k^{+})\) に写す。一方、 \(h(l, k, k^{+}) = (0, 0, k)\) および \(d(l, k, k^{+}) = (dl, dk + k^{+}, -dk^{+})\) である。したがって、望みどおり \[(dh + hd)(l, k, k^{+}) = d(0, 0, k) + h(dl, dk + k^{+}, -dk^{+}) = (0, k, -dk) + (0, 0, dk + k^{+}) = (0, k, k^{+})\] を得る。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体の射とする。このとき、分解 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^i \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} & L^\bullet }\] であって、次を満たすものが存在する。

1. \(\tilde \alpha\) は項ごとに分裂する全射である （Definition 014G を参照）。

2. \(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\) を満たし、かつ \(i \circ s\) が \(\text{id}_{\tilde K^\bullet}\) とホモトピックであるような 複体の射 \(s : \tilde K^\bullet \to K^\bullet\) が存在する。

さらに、\(K^\bullet\) と \(L^\bullet\) がともに \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) に属するならば、 \(\tilde K^\bullet\) も同じ圏に属する。

証明

補題 013N の双対である。 \[\tilde K^n = K^n \oplus L^{n - 1} \oplus L^n\] と置き、 \[d^n_{\tilde K} = \left( \begin{matrix} d^n_K & 0 & 0 \\ 0 & - d^{n - 1}_L & \text{id}_{L^n} \\ 0 & 0 & d^n_L \end{matrix} \right)\] と定める。言い換えれば、 \(\tilde K^\bullet = K^\bullet \oplus C(1_{L^\bullet[-1]})\) である。さらに、 \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha & 0 & \text{id}_{L^n} \end{matrix} \right)\] と置く。これは明らかに分裂全射であり、複体の射を定めることも明らかである。 また、 \[i = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] と定めれば、明らかに \(\tilde \alpha \circ i = \alpha\) である。さらに、 \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] と置けば、\(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\) である。最後に、 \(h^n : \tilde K^n \to \tilde K^{n - 1}\) を、\(\tilde K^n\) の直和因子 \(L^{n - 1}\) を恒等射によって \(\tilde K^{n - 1}\) の直和因子 \(L^{n - 1}\) に写す射とする。このとき \[\text{id}_{\tilde K^\bullet} - i \circ s = d \circ h + h \circ d\] であることは直ちに確かめられる。これで補題の証明が完了する。

定義

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(\mathcal{A}\) の複体の 項ごとに分裂する完全列とは、複体を項とする複体 \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{\alpha} B^\bullet \xrightarrow{\beta} C^\bullet \to 0\] と、\(\alpha^n\) および \(\beta^n\) と両立する指定された直和分解 \(B^n = A^n \oplus C^n\) との組のことである。直和分解から誘導される写像を、 しばしば \(s^n : C^n \to B^n\) および \(\pi^n : B^n \to A^n\) と書く。 Homology, Lemma 011J により、 対応する複体の射 \[\delta : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\] が得られ、その次数 \(n\) における写像は \(\pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n\) である。言い換えれば、 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) は三角 \[A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\] をなす。これを 項ごとに分裂する複体の列に付随する三角 と呼ぶ。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) を、 Definition 014I の意味で項ごとに分裂する完全列とする。 \((\pi')^n\), \((s')^n\) を第二の分裂射の族とし、この第二の分裂の組に付随する 射を \(\delta' : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\) と書く。このとき \[(1, 1, 1) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta) \longrightarrow (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta')\] は \(K(\mathcal{A})\) における三角の同型である。

証明

主張は単に、\(\delta\) と \(\delta'\) がホモトピックな複体の写像であることをいう。 これは Homology, Lemma 011L である。

注意

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\)、\(i = 1, 2\) を、 項ごとに分裂する完全列とする。また、\(a : A_1^\bullet \to A_2^\bullet\)、 \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\)、\(c : C_1^\bullet \to C_2^\bullet\) を、 図式 \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_a \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_c \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet }\] が \(K(\mathcal{A})\) で可換となるような複体の射とする。一般には、上の図式を 複体の圏で可換にする、\(b\) とホモトピックな射 \(b' : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\) は 存在しない。 実際、Examples, Equation (087K) を考える。そこで中央の写像を、図式を可換にするホモトピックな写像で 置き換えられたとすれば、成り立たないはずの跡の加法性が成り立ってしまう。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\)、 \(i = 1, 2, 3\) を、項ごとに分裂する複体の完全列とする。 \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\) および \(b' : B_2^\bullet \to B_3^\bullet\) を、図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_0 \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_0 \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_2^\bullet \ar[d]^0 \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[d]^{b'} & C_2^\bullet \ar[d]^0 \\ A_3^\bullet \ar[r] & B_3^\bullet \ar[r] & C_3^\bullet } }\] が \(K(\mathcal{A})\) で可換となるような複体の射とする。このとき \(b' \circ b = 0\) が \(K(\mathcal{A})\) で成り立つ。

証明

補題 014H により、\(b\) と \(b'\) をホモトピックな写像で 置き換えて、左の図式の右の正方形と右の図式の左の正方形を可換にできる。 言い換えれば、 \(\Im(b^n) \subset \Im(A_2^n \to B_2^n)\) および \(\Ker((b')^n) \supset \Im(A_2^n \to B_2^n)\) である。 したがって、複体の写像として \(b' \circ b = 0\) である。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \(f_1 : K_1^\bullet \to L_1^\bullet\) および \(f_2 : K_2^\bullet \to L_2^\bullet\) を複体の射とする。 \[(a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\] を \(K(\mathcal{A})\) の三角の任意の射とする。\(a\) と \(b\) が ホモトピー同値ならば、\(c\) もホモトピー同値である。

証明

\(a^{-1} : K_2^\bullet \to K_1^\bullet\) を、\(K(\mathcal{A})\) で \(a\) の逆となる 複体の射とする。同様に、\(b^{-1} : L_2^\bullet \to L_1^\bullet\) を、 \(K(\mathcal{A})\) で \(b\) の逆となる複体の射とする。 \(c' : C(f_2)^\bullet \to C(f_1)^\bullet\) を、等式 \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\) に補題 014F を適用して得られる射とする。 \(c \circ c'\) と \(c' \circ c\) が \(K(\mathcal{A})\) の同型であることを示せばよい。 したがって、次を示せば十分である。\(K(\mathcal{A})\) に三角の射 \[(1, 1, c) : (K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, p)\] が与えられれば、\(c\) は \(K(\mathcal{A})\) の同型である。仮定により、図式 \[\xymatrix{ L^\bullet \ar[r] \ar[d]_1 & C(f)^\bullet \ar[r] \ar[d]_c & K^\bullet[1] \ar[d]_1 \\ L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r] & K^\bullet[1] }\] の二つの正方形はホモトピーの意味で可換である。\(C(f)^\bullet\) の構成により、 各行は項ごとに分裂する複体の列をなす。したがって補題 086L により、\(K(\mathcal{A})\) で \((c - 1)^2 = 0\) である。ゆえに、\(c\) は \(2 - c\) を逆射とする \(K(\mathcal{A})\) の同型である。

したがって、\(a\) と \(b\) がホモトピー同値ならば、それらから得られる三角の射は \(K(\mathcal{A})\) における三角の同型である。実際、\(K(\mathcal{A})\) において 錐から得られる三角の族と、\(K(\mathcal{A})\) において項ごとに分裂する 複体の列から得られる三角の族とは、 少なくとも符号を除けば、同型を除いて一致する。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。

1. 項ごとに分裂する複体の列 \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\) が与えられたとする。このとき、図式 \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[d] \ar[r] & C(\alpha)^\bullet \ar[r]_{-p} \ar[d] & A^\bullet[1] \ar[d] \\ A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r]^\delta & A^\bullet[1] }\] が \(K(\mathcal{A})\) における三角の同型を定めるようなホモトピー同値 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\) が存在する。

2. 複体の射 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) が与えられたとする。このとき 三角の同型 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tilde L^\bullet \ar[d] \ar[r] & M^\bullet \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K^\bullet[1] \ar[d] \\ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r]^{-p} & K^\bullet[1] }\] が存在する。ここで上の三角は、項ごとに分裂する完全列 \(K^\bullet \to \tilde L^\bullet \to M^\bullet\) に付随する三角である。

証明

(1) の証明。\(C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\) である。 \(C(\alpha)^n \to C^n\) を、\(B^n\) への射影とそれに続く \(\beta^n\) によって 定める。合成 \(A^{n + 1} \to B^{n + 1} \to C^{n + 1}\) が零なので、これは 複体の射を定める。ホモトピー逆として、次数 \(n\) で \((s^n , -\delta^n)\) によって与えられる \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) を取る。これは複体の射である。実際、 \(\delta^n\) は \[d \circ s^n - s^{n + 1} \circ d = \alpha \circ \delta^n\] を満たす一意な射 \(C^n \to A^{n + 1}\) として特徴づけられる。Homology, Lemma 011J の証明を参照せよ。 合成 \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\) は恒等射である。 逆向きの合成 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) は射 \[\left( \begin{matrix} s^n \circ \beta^n & 0 \\ -\delta^n \circ \beta^n & 0 \end{matrix} \right)\] に等しい。これが恒等射とホモトピックであることを見るには、行列 \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1} \to B^{n - 1} \oplus A^n = C(\alpha)^{n - 1}\] で与えられるホモトピー \(h^n : C(\alpha)^n \to C(\alpha)^{n - 1}\) を用いる。実際、 \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s^n \\ -\delta^n \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta^n & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d & \alpha^n \\ 0 & -d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^{n + 1} & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} d & \alpha^{n + 1} \\ 0 & -d \end{matrix} \right)\] は直ちに確かめられる。(1) の証明を終えるには、射 \(-p : C(\alpha)^\bullet \to A^\bullet[1]\)（Definition 014E を参照）と、合成 \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\) とがホモトピーを除いて 一致することを示す必要がある。これは上の計算から明らかである。すなわち、 ホモトピー逆 \((s, -\delta) : C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) を用いて、代わりに 二つの写像 \(C^\bullet \to A^\bullet[1]\) が一致することを確かめればよい。 実際、望みどおり \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\) である。

(2) の証明。\(\tilde f : K^\bullet \to \tilde L^\bullet\)、 \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\)、および \(\pi : \tilde L^\bullet \to L^\bullet\) を補題 013N のものとする。補題 014F および補題 014K により、三角 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), i, p)\) と \((K^\bullet, \tilde L^\bullet, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\) は同型である。 三角の同型は合成できることに注意する。したがって、\(L^\bullet\) を \(\tilde L^\bullet\) で、\(f\) を \(\tilde f\) で置き換えてよい。言い換えれば、 \(f\) は項ごとに分裂する単射であると仮定してよい。この場合、結果は (1) から従う。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \(A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots \to A_n^\bullet\) を、 合成可能な複体の射の列とする。このとき、可換図式 \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[r] & A_2^\bullet \ar[r] & \ldots \ar[r] & A_n^\bullet \\ B_1^\bullet \ar[r] \ar[u] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & B_n^\bullet \ar[u] }\] であって、各射 \(B_i^\bullet \to B_{i + 1}^\bullet\) が項ごとに分裂する単射、 各射 \(B_i^\bullet \to A_i^\bullet\) がホモトピー同値となるものが存在する。 さらに、すべての \(A_i^\bullet\) が \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) に属するならば、 \(B_i^\bullet\) もすべて同じ圏に属する。

証明

\(n = 1\) の場合は主張すべきことがない。補題 013N が \(n = 2\) の場合である。\(B_n^\bullet\) を除く図式を構成できたと仮定する。 合成 \(B_{n - 1}^\bullet \to A_{n - 1}^\bullet \to A_n^\bullet\) に補題 013N を適用する。すると、望む分解 \(B_{n - 1}^\bullet \to B_n^\bullet \to A_n^\bullet\) が得られる。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。 \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\) を項ごとに分裂する複体の列とし、 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) を それに付随する三角とする。このとき、三角 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\) は、三角 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\) と同型である。

証明

\(B^n = A^n \oplus C^n\) と書き、\(\alpha^n\) と \(\beta^n\) をそれぞれ自然な 包含写像と射影写像と同一視する。\(\delta\) の構成により、 \[d_B^n = \left( \begin{matrix} d_A^n & \delta^n \\ 0 & d_C^n \end{matrix} \right)\] である。一方、\(\delta[-1] : C^\bullet[-1] \to A^\bullet\) の錐は \(C(\delta[-1])^n = A^n \oplus C^n\) で与えられ、その微分は上の行列と同一である。 これで補題が従う。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(f : K^\bullet \to L^\bullet\) を複体の射とする。 三角 \((L^\bullet, C(f)^\bullet, K^\bullet[1], i, p, f[1])\) は、\(f\) の錐の 定義から得られる項ごとに分裂する列 \[0 \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1] \to 0\] に付随する三角である。

証明

定義から直ちに従う。

ホモトピー圏における完全三角

コホモロジー長完全列の境界写像が符号を伴わず蛇の補題の写像によって 与えられるようにしたいので、ホモトピー圏の完全三角を次のように定義する。

定義

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(K(\mathcal{A})\) の三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が、項ごとに分裂する複体の完全列に付随する三角と 同型であるとき、これを \(K(\mathcal{A})\) の完全三角 と呼ぶ。 Definition 014I を参照せよ。 \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、\(K^b(\mathcal{A})\) についても 同様に定義する。

補題 014L により、形 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\) の三角は完全三角である。 実際、この定義から三角圏が得られる。命題 014S を参照せよ。この命題を 証明する前に、TR4 を証明するための補題をもう一つ用意する。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。\(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\) および \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) を複体の分裂単射とする。このとき、TR4 が 成り立つような完全三角 \((A^\bullet, B^\bullet, Q_1^\bullet, \alpha, p_1, d_1)\)、 \((A^\bullet, C^\bullet, Q_2^\bullet, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\)、および \((B^\bullet, C^\bullet, Q_3^\bullet, \beta, p_3, d_3)\) が存在する。

証明

\(\pi_1^n : B^n \to A^n\) および \(\pi_3^n : C^n \to B^n\) を分裂射とする。 すると \(A^\bullet \to C^\bullet\) も分裂射 \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\) を持つ分裂単射である。 \(Q_1^\bullet\)、\(Q_2^\bullet\)、\(Q_3^\bullet\) を「商」複体と書く。言い換えれば、 \(Q_1^n = \Ker(\pi_1^n)\)、\(Q_3^n = \Ker(\pi_3^n)\)、および \(Q_2^n = \Ker(\pi_2^n)\) である。これらの核は存在することに注意する。このとき、 \(B^n = A^n \oplus Q_1^n\) および \(C^n = B^n \oplus Q_3^n\) である。ここでは \(A^n\) を \(B^n\) の部分対象とみなし、以下も同様とする。したがって \(C^n = A^n \oplus Q_1^n \oplus Q_3^n\) である。また、 \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\) は \(Q_1^n\) と \(Q_3^n\) の双方で零なので、 \(Q_2^n = Q_1^n \oplus Q_3^n\) である。可換図式 \[\begin{matrix} 0 & \to & A^\bullet & \to & B^\bullet & \to & Q_1^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & A^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_2^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & B^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_3^\bullet & \to & 0 \end{matrix}\] を考える。この図式の各行は項ごとに分裂する完全列なので、定義により 完全三角を定める。さらに、上の図式の下向きの矢印は選んだ分裂と両立するため、 三角の射 \[(A^\bullet \to B^\bullet \to Q_1^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1])\] および \[(A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (B^\bullet \to C^\bullet \to Q_3^\bullet \to B^\bullet[1]).\] を定める。上の図式の最下段の分裂列の分裂射 \(Q_3^n \to C^n\) を \(C^n \to Q_2^n\) と合成すると、分裂列 \(0 \to Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to 0\) の分裂射が得られる。 これから、対応する完全三角 \[(Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1])\] の射 \(\delta : Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1]\) は、合成 \(Q_3^\bullet \to B^\bullet[1] \to Q_1^\bullet[1]\) に等しいことが容易に従う。 したがって、公理 TR4 の結論にある構造が得られる。

命題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。ホモトピーを法とする複体の圏 \(K(\mathcal{A})\) は、その自然なシフト関手と上で定義した完全三角によって 三角圏となる。

証明

TR1 の証明。定義により、完全三角と同型な三角はすべて完全である。また、任意の三角 \((A^\bullet, A^\bullet, 0, 1, 0, 0)\) は完全である。実際、 \(0 \to A^\bullet \to A^\bullet \to 0 \to 0\) は項ごとに分裂する複体の列である。 最後に、複体の任意の射 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) に対し、三角 \((K, L, C(f), f, i, -p)\) は補題 014L により完全である。

TR2 の証明。\((X, Y, Z, f, g, h)\) を三角とし、 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) が完全であると仮定する。このとき、項ごとに 分裂する複体の列 \(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\) であって、それに 付随する三角 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) が \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) と同型となるものが存在する。逆向きに回転すると、 \((X, Y, Z, f, g, h)\) は \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, -\delta[-1], \alpha, \beta)\) と同型である。 補題 014N により、三角 \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\) は \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\) と同型である。 前の三角の同型を \(Y\) 上の \(-1\) と前合成すると、 \((X, Y, Z, f, g, h)\) は \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, -p)\) と同型になる。 したがって補題 014L により完全である。 逆に、\((X, Y, Z, f, g, h)\) が完全であると仮定する。補題 014L により、これはある複体の射 \(f\) に対する 形 \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), f, i, -p)\) の三角と同型である。すると回転した 三角 \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) は \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, -p, -f[1])\) と同型であり、これはさらに 三角 \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, p, f[1])\) と同型である。 補題 014O により、この三角は完全である。ゆえに、望みどおり \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) は完全である。

TR3 の証明。\((X, Y, Z, f, g, h)\) および \((X', Y', Z', f', g', h')\) を \(K(\mathcal{A})\) の完全三角とし、 \(a : X \to X'\) および \(b : Y \to Y'\) を \(f' \circ a = b \circ f\) を満たす射とする。補題 014L により、 \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\) および \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\) と仮定してよい。 ここで、\(f, f', a, b\) が与える可換図式に補題 014F を適用すればよい。

TR4 の証明。ここまでで \(K(\mathcal{A})\) が前三角圏であることは分かっている。 したがって補題 014C を用いることができる。 \(A^\bullet \to B^\bullet\) および \(B^\bullet \to C^\bullet\) を \(K(\mathcal{A})\) の合成可能な射とする。補題 014M により、 \(A^\bullet \to B^\bullet\) と \(B^\bullet \to C^\bullet\) は分裂単射であると 仮定してよい。この場合、結果は補題 014R から従う。

注意

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。命題 014S とまったく同じ証明により、圏 \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、\(K^b(\mathcal{A})\) も三角圏である。 実際、上または下に有界な複体の間の射の錐も、それぞれ上または下に有界である。 ただし、下でこれらが \(K(\mathcal{A})\) の三角部分圏であることを証明するので、 それによって別の証明も得られる。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とする。圏 \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、\(K^b(\mathcal{A})\) は \(K(\mathcal{A})\) の 充満三角部分圏である。

証明

挙げた各圏は充満加法部分圏である。これらが三角部分圏であることを示すため、 補題 05QX の判定条件を用いる。各圏 \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、\(K^b(\mathcal{A})\) が シフト関手 \([1], [-1]\) で保たれることは明らかである。最後に、 \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) を \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) の射とする。このとき \((A^\bullet, B^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\) は \(K(\mathcal{A})\) の完全三角であり、 錐の構成から明らかなように \(C(f)^\bullet \in K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) である。これで補題が示された。 （別の方法として、

\(K^\bullet \to L^\bullet\) は \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、または \(K^b(\mathcal{A})\) において、項ごとに分裂する複体の単射と同型である （補題 013N を参照）から、それに付随する完全三角を直接取ってもよい。）

補題

\(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\) を加法圏とし、 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) を加法関手とする。誘導される関手 \[\begin{matrix} F : K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{B}) \\ F : K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{B}) \\ F : K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{-}(\mathcal{B}) \\ F : K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow K^b(\mathcal{B}) \end{matrix}\] は三角圏の完全関手である。

証明

\(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\) を、分裂 \((s^n, \pi^n)\) と付随する射 \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\) を持つ \(\mathcal{A}\) の複体の項ごとに分裂する列とする。Definition 014I を参照せよ。このとき \(F(A^\bullet) \to F(B^\bullet) \to F(C^\bullet)\) は、分裂 \((F(s^n), F(\pi^n))\) と付随する射 \(F(\delta) : F(C^\bullet) \to F(A^\bullet)[1]\) を持つ、項ごとに分裂する 複体の列である。したがって \(F\) は完全三角を完全三角に移す。

補題

\(\mathcal{A}\) を加法圏とし、 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c)\) を \(K(\mathcal{A})\) の完全三角とする。 このとき、すべての \(n\) に対して \(0 \to A^n \to (B')^n \to C^n \to 0\) が分裂短完全列となるような、これと 同型な完全三角 \((A^\bullet, (B')^\bullet, C^\bullet, a', b', c)\) が存在する。

証明

命題 014S により \(K(\mathcal{A})\) が三角圏であることを用いる。 \(W^\bullet\) を \(c : C^\bullet \to A^\bullet[1]\) の錐とし、その写像を \(i : A^\bullet[1] \to W^\bullet\) および \(p : W^\bullet \to C^\bullet[1]\) とする。 補題 014L により、 \((C^\bullet, A^\bullet[1], W^\bullet, c, i, -p)\) は完全三角である。 二回逆向きに回転すると、 \((A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\) が完全三角であると分かる。 TR3 により、完全三角の射 \[(\text{id}, \beta, \text{id}) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c) \to (A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\] が存在し、補題 014A によりこれは同型でなければならない。 錐の構成そのものにより \(0 \to A^\bullet \to W^\bullet[-1] \to C^\bullet \to 0\) は項ごとに分裂する 複体の短完全列だから、これで証明が完了する。Section 014D を参照せよ。

注意

\(\mathcal{A}\) を可算直和を持つ加法圏とする。 \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) を \(\mathcal{A}\) における二重複体の圏とする。 Homology, Section 0FNB を参照せよ。この圏を 用いて二つの三角圏を構成できる。

1. \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) の対象 \(A^{\bullet, \bullet}\) を、次のように 複体を項とする複体とみなす。 \[\ldots \to A^{\bullet, -1} \to A^{\bullet, 0} \to A^{\bullet, 1} \to \ldots\] そして、命題 014S による対応する三角構造を 持つホモトピー圏 \(K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\) を取る。 Homology, Remark 0G6A により、関手 \[\text{Tot} : K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] は三角圏の完全関手である。

2. \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) の対象 \(A^{\bullet, \bullet}\) を、次のように 複体を項とする複体とみなす。 \[\ldots \to A^{-1, \bullet} \to A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to \ldots\] そして、命題 014S による対応する三角構造を 持つホモトピー圏 \(K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\) を取る。 Homology, Remark 0G6B により、関手 \[\text{Tot} : K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] は三角圏の完全関手である。

注意

\(\mathcal{A}\)、\(\mathcal{B}\)、\(\mathcal{C}\) を加法圏とし、\(\mathcal{C}\) は 可算直和を持つと仮定する。射について双線形な関手 \[\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{C}, \quad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y\] が与えられたとする。これは関手 \[\text{Comp}(\mathcal{A}) \times \text{Comp}(\mathcal{B}) \longrightarrow \text{DoubleComp}(\mathcal{C}), \quad (X^\bullet, Y^\bullet) \longmapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\] を定める。Homology, Example 0A5J を参照せよ。

1. \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) の対象 \(X^\bullet\) を固定すると、関手 \[K(\mathcal{B}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad Y^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] は三角圏の完全関手である。

2. \(\text{Comp}(\mathcal{B})\) の対象 \(Y^\bullet\) を固定すると、関手 \[K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad X^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] は三角圏の完全関手である。

これは remark 0G6D から従う。実際、関手 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\)、 \(Y^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\) および \(\text{Comp}(\mathcal{B}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\)、 \(X^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\) はホモトピーおよび 項ごとに分裂する短完全列と両立することが直ちに分かるため、三角圏の完全関手 \[K(\mathcal{B}) \to K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C})) \quad\text{and}\quad K(\mathcal{A}) \to K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C}))\] を誘導する。二つのうち最初のものについては、同型 \[\text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet[1]) \cong \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)[1]\] が符号を伴うことに注意する（これは Homology, Remark 0FLG で選んだ符号に由来する）。

導来圏

この節では、アーベル圏 \(\mathcal{A}\) の導来圏を、\(K(\mathcal{A})\) において 擬同型を可逆にすることによって構成する。その前に、関手 \(H^i : \text{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) は \(K(\mathcal{A})\) を経由して 分解することを思い出そう。Homology, Lemma 0116 を参照せよ。さらに、 Homology, Definition 011H では同一視 \(H^i(K^\bullet[n]) = H^{i + n}(K^\bullet)\) を定義した。ここでは混乱と起こり得る 符号の誤りを避けるため、 \[H^i(K^\bullet) = H^0(K^\bullet[i])\] と改めて定義することにする。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。関手 \[H^0 : K(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] はホモロジー的である。

証明

\(H^0\) は関手なので、完全三角の定義により、項ごとに分裂する複体の短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) が与えられたとき、列 \(H^0(A^\bullet) \to H^0(B^\bullet) \to H^0(C^\bullet)\) が完全であることを 示せば十分である。これは Homology, Lemma 0117 から従う。

特に、この補題により、\(K(\mathcal{A})\) の完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) から コホモロジー長完全列 [05ST]\[\begin{equation} \xymatrix{ \ldots \ar[r] & H^i(X) \ar[r]^{H^i(f)} & H^i(Y) \ar[r]^{H^i(g)} & H^i(Z) \ar[r]^{H^i(h)} & H^{i + 1}(X) \ar[r] & \ldots } \end{equation}\] が得られる。式 (0148) を参照せよ。 さらに、これは複体の短完全列に付随するコホモロジー長完全列と両立する

（将来の参照をここに挿入）。例えば、 \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) が、項ごとに 分裂する複体の完全列に付随する完全三角ならば（Definition 014I を参照）、上のコホモロジー列は蛇の補題を用いて 定義した列と一致する。Homology, Lemma 0117、また列の一致については Homology, Lemma 011K を参照せよ。

複体 \(K^\bullet\) は、すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(H^i(K^\bullet) = 0\) であるとき 非輪状 であることを思い出そう。 また、複体の射 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) は、すべての \(i\) に対して \(H^i(f)\) が同型であるとき、かつそのときに限り 擬同型 である。 Homology, Definition 0115 を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。非輪状複体からなる \(K(\mathcal{A})\) の充満部分圏 \(\text{Ac}(\mathcal{A})\) は、\(K(\mathcal{A})\) の厳密充満飽和三角部分圏である。 これに対応する \(K(\mathcal{A})\) の飽和乗法系（補題 05RL を参照）は、 擬同型の集合 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) である。特に、局所化関手 \(Q : K(\mathcal{A}) \to \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1}K(\mathcal{A})\) の核は \(\text{Ac}(\mathcal{A})\) であり、関手 \(H^0\) は \(Q\) を経由して分解する。

証明

補題 05RS により \(H^0\) がホモロジー的関手であることは 分かっている。したがって、この補題は補題 05RM の特別な場合である。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(\text{Ac}(\mathcal{A})\) および \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) を補題 05RT のものとする。 \(\mathcal{A}\) の導来圏とは、三角圏 \[D(\mathcal{A}) = K(\mathcal{A})/\text{Ac}(\mathcal{A}) = \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1} K(\mathcal{A}).\] のことである。商関手との合成が上で定義した関手 \(H^0\) に戻る一意な関手を \(H^0 : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) と書く。補題 05RE を用いて、対象の集合が \[\begin{matrix} \Ob(D^{+}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }n \ll 0\} \\ \Ob(D^{-}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }n \gg 0\} \\ \Ob(D^b(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ for all }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] である厳密充満飽和三角部分圏 \(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\) を導入する。 圏 \(D^b(\mathcal{A})\) を \(\mathcal{A}\) の 有界導来圏 と呼ぶ。

\(K^\bullet\) と \(L^\bullet\) が \(\mathcal{A}\) の複体であるとき、 \(K^\bullet\) と \(L^\bullet\) が \(D(\mathcal{A})\) の対象として同型であることを、 「\(K^\bullet\) は \(L^\bullet\) と 擬同型である」と言うことがある。

注意

この章では一貫して「小さい」アーベル圏を扱う（Stacks project の慣例である）。 「大きい」アーベル圏 \(\mathcal{A}\) については、導来圏の射が集合であるかどうか 明らかでないため、導来圏 \(D(\mathcal{A})\) が存在するかどうかも明らかでない。 実際、一般には射は集合でない。Examples, Lemma 07JT を参照せよ。しかし、\(\mathcal{A}\) が Grothendieck アーベル圏で、\(K^\bullet, L^\bullet\) が \(K(\mathcal{A})\) に属するならば、 Injectives, Theorem 079P により、 K-入射的複体 \(I^\bullet\) への擬同型 \(L^\bullet \to I^\bullet\) が存在し、 補題 070I により \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] となる。これは集合である。Grothendieck アーベル圏の例には、環上の加群の圏や、 より一般に環付きサイト上の加群の層の圏がある。

各変種 \(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\) は、対応する ホモトピー圏の局所化として構成できる。これは次の簡単な補題に基づく。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K^\bullet\) を複体とする。

1. すべての \(n \ll 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(L^\bullet\) が下に有界であるような擬同型 \(K^\bullet \to L^\bullet\) が存在する。

2. すべての \(n \gg 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(M^\bullet\) が上に有界であるような擬同型 \(M^\bullet \to K^\bullet\) が存在する。

3. すべての \(|n| \gg 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 複体の射の可換図式 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] であって、すべての矢印が擬同型、\(L^\bullet\) が下に有界、\(M^\bullet\) が 上に有界、\(N^\bullet\) が有界複体となるものが存在する。

証明

\(a \ll 0 \ll b\) を取り、\(M^\bullet = \tau_{\leq b}K^\bullet\)、 \(L^\bullet = \tau_{\geq a}K^\bullet\)、および \(N^\bullet = \tau_{\leq b}L^\bullet = \tau_{\geq a}M^\bullet\) と置く。 切断関手については Homology, Section 0118 を参照せよ。

次の補題を述べるため、\(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\)、 \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\) を、それぞれ \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、および \(K^b(\mathcal{A})\) と \(\text{Ac}(\mathcal{A})\) との共通部分とする。同様に、 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)、\(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\) を、それぞれ \(K^{+}(\mathcal{A})\)、 \(K^{-}(\mathcal{A})\)、および \(K^b(\mathcal{A})\) と \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) との共通部分とする。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。部分圏 \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\)、 \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\) は、それぞれ \(K^{+}(\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\mathcal{A})\)、および \(K^b(\mathcal{A})\) の 厳密充満飽和三角部分圏である。対応する飽和乗法系（補題 05RL を参照）は、それぞれ集合 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\)、\(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\) である。

1. 関手 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) の核は \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^{+}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{+}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\] を誘導する。

2. 関手 \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\) の核は \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^{-}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{-}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{A})\] を誘導する。

3. 関手 \(K^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\) の核は \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^b(\mathcal{A})/\text{Ac}^b(\mathcal{A}) = \text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow D^b(\mathcal{A})\] を誘導する。

証明

最初の主張は、ホモロジー的関手 \(H^0\) の制限を考え、補題 05RM を適用すれば従う。(1)、(2)、(3) の核に関する主張は、 それぞれの場合の定義から従う。補題 05RV により、 各関手は本質的全射である。証明を終えるには、各関手が充満忠実であることを 示す必要がある。まず下に有界な場合を示す。

\(K^\bullet, L^\bullet\) を下に有界な複体とする。これらの間の \(D(\mathcal{A})\) における射は、\(s\) が擬同型であるような組 \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\) に対する \(s^{-1}f\) の形である。このことから \((L')^\bullet\) のコホモロジーは下に有界である。 したがって補題 05RV により、 \((L'')^\bullet\) が下に有界となる擬同型 \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\) を選べる。このとき組 \((s' \circ f, s' \circ s)\) は \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\) の射を定める。 したがって関手は「充満」である。最後に、組 \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\) が \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\) の射を定め、その像が \(D(\mathcal{A})\) で零であると仮定する。これは、\(s' \circ f = 0\) を満たす 擬同型 \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\) が存在することを意味する。 補題 05RV をもう一度用いると、 \((L''')^\bullet\) が下に有界となる擬同型 \(s'' : (L'')^\bullet \to (L''')^\bullet\) が得られる。したがって \(s'' \circ s' \circ f = 0\) であり、これは \(s^{-1}f\) が \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\) で零であることを意味する。 これで (1) の関手が同値であることが示された。

(2) の証明は (1) の証明の双対である。(3) を証明するために (2) の結果を 用いてよい。したがって、関手 \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A})\) が充満忠実であることを示せば十分である。前段落の議論は、初めから上に有界な 複体だけを一貫して用いれば、この場合にもそのまま適用できる。

標準 \(\delta\)-関手

導来圏は普遍コホモロジー関手の受け皿であるべきである。その結果を述べるため、 アーベル圏から三角圏への \(\delta\)-関手という概念を用いる。Definition 0150 を参照せよ。

関手 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\) を考える。この関手は一般には \(\delta\)-関手でない。これを見る最も簡単な方法は、\(\mathcal{A}\) の対象の 分裂しない短完全列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) を考えることである。 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(C[0], A[1]) = 0\) なので、この短完全列から生じる 完全三角は \((A[0], B[0], C[0], a, b, 0)\) の形でなければならない。しかし、 \(K(\mathcal{A})\) にそのような完全三角が存在すれば、この拡大は分裂することになる。 これは矛盾である。

一方、関手 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) は \(\delta\)-関手である。 これを見るため、アーベル圏 \(\mathcal{A}\) の複体の短完全列 \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{a} B^\bullet \xrightarrow{b} C^\bullet \to 0\] に付随する射 \(\delta\) を定義する必要がある。射 \(a\) の錐 \(C(a)^\bullet\) を考える。 \(C(a)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\) であり、\(q^n : C(a)^n \to C^n\) を \(B^n\) への射影とそれに続く \(b^n\) によって定める。こうして複体の射 \[q : C(a)^\bullet \longrightarrow C^\bullet.\] を得る。ここで \(i\) は Definition 014E のものとすると、 \(q \circ i = b\) であることは明らかである。\(a^\bullet\) は各次数で単射なので、 \(q\) の核は \(\text{id}_{A^\bullet}\) の錐と同一視され、これは非輪状である。 したがって \(q\) は擬同型である。補題 014L により、三角 \[(A, B, C(a), a, i, -p)\] は \(K(\mathcal{A})\) の完全三角である。局所化関手 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) は完全なので、 \((A, B, C(a), a, i, -p)\) は \(D(\mathcal{A})\) の完全三角でもある。 \(q\) は擬同型だから、\(q\) は \(D(\mathcal{A})\) の同型である。したがって \[(A, B, C, a, b, -p \circ q^{-1})\] は \(D(\mathcal{A})\) の完全三角である。これは次の補題を示唆する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。上で定義した関手 \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) は、 \[\delta_{A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet} = - p \circ q^{-1}\] によって自然な \(\delta\)-関手の構造を持つ。ここで \(p\) と \(q\) は上で説明した ものである。同じ構成により、関手 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\)、 \(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{Comp}^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\) も \(\delta\)-関手となる。

証明

この選択により、複体の任意の短完全列から完全三角が得られることはすでに見た。 可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r]_a \ar[d]_f & B^\bullet \ar[r]_b \ar[d]_g & C^\bullet \ar[r] \ar[d]_h & 0 \\ 0 \ar[r] & (A')^\bullet \ar[r]^{a'} & (B')^\bullet \ar[r]^{b'} & (C')^\bullet \ar[r] & 0 }\] が与えられたとき、Definition 0150 (2) の望ましい 可換図式が得られることを示す必要がある。補題 014F により、組 \((f, g)\) は標準射 \(c : C(a)^\bullet \to C(a')^\bullet\) を誘導する。簡単な計算により \(q' \circ c = h \circ q\) および \(f[1] \circ p = p' \circ c\) が分かる。 これから結果が直ちに従う。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & D^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & F^\bullet \ar[r] & 0 }\] を、各行が複体の短完全列、各縦矢印が擬同型であるような複体の射の可換図式とする。 上の補題 0152 の \(\delta\)-関手は、短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) および \(0 \to D^\bullet \to E^\bullet \to F^\bullet \to 0\) を、互いに同型な 完全三角へ移す。

証明

\(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) が擬同型を同型に移し、付随する完全三角が 関手的であることから直ちに従う。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] を複体の短完全列とし、この列は項ごとに分裂すると仮定する。

\((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) を、この列に付随する \(K(\mathcal{A})\) の完全三角とする。上の補題 0152 の \(\delta\)-関手は短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) を、完全三角 \[(A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta).\] と同型な三角へ移す。

証明

補題 014L から従う。

注意

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体、 \(a \in \mathbf{Z}\) とする。このとき \(D(\mathcal{A})\) に標準的な完全三角 \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] が存在すると主張する。ここでは Homology, Section 0118 の標準切断関手 \(\tau\) を用いた。実際、まず 短完全列 \[0 \to \tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to 0\] に、われわれの \(\delta\)-関手（補題 0152）が付随させる完全三角を取る。次に、 Homology, Section 0118 のコホモロジー群の記述により、 写像 \(K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) は擬同型 \(K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) を 経由して分解することを用いる。同様にして、標準的な完全三角 \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\leq a + 1}K^\bullet \to H^{a + 1}(K^\bullet)[-a-1] \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] および \[H^a(K^\bullet)[-a] \to \tau_{\geq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to H^a(K^\bullet)[-a + 1]\] を得る。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \[K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to \ldots \to K_n^\bullet\] を、次を満たす複体の写像とする。

1. \(i > 0\) に対して \(H^i(K_0^\bullet) = 0\) である。

2. \(H^{-j}(K_j^\bullet) \to H^{-j}(K_{j + 1}^\bullet)\) は零である。

このとき、合成 \(K_0^\bullet \to K_n^\bullet\) は \(D(\mathcal{A})\) において \(\tau_{\leq -n}K_n^\bullet \to K_n^\bullet\) を経由して分解する。双対的に、 \[K_n^\bullet \to K_{n - 1}^\bullet \to \ldots \to K_0^\bullet\] を、次を満たす複体の写像とする。

1. \(i < 0\) に対して \(H^i(K_0^\bullet) = 0\) である。

2. \(H^j(K_{j + 1}^\bullet) \to H^j(K_j^\bullet)\) は零である。

このとき、合成 \(K_n^\bullet \to K_0^\bullet\) は \(D(\mathcal{A})\) において \(K_n^\bullet \to \tau_{\geq n}K_n^\bullet\) を経由して分解する。

証明

\(n = 1\) の場合。\(D(\mathcal{A})\) では \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet = K_0^\bullet\) なので、\(K_0^\bullet\) を \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet\) で、\(K_1^\bullet\) を \(\tau_{\leq 0}K_1^\bullet\) で 置き換えてよい。完全三角 \[\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0] \to (\tau_{\leq -1}K_1^\bullet)[1]\] を考える（remark 08J5）。合成 \(K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0]\) は、合成 \(K_0^\bullet \to H^0(K_0^\bullet)[0] \to H^0(K_1^\bullet)[0]\) に等しく、 仮定により後者は零なので、零である。\(\Hom_{D(\mathcal{A})}(K_0^\bullet, -)\) が ホモロジー的関手であること（補題 0149）から、 望む分解が得られる。\(n = 2\) の場合は、\(n = 1\) の場合から分解 \(K_0^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_1^\bullet\) を得て、複体の写像 \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_2^\bullet\) に再び \(n = 1\) の場合を適用し、分解 \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -2}K_2^\bullet\) を得る。 一般の場合もまったく同様に証明される。

フィルトレーション付き導来圏

この節の参考文献は [cotangent, I, Chapter V] である。 \(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。この節では \(\mathcal{A}\) の フィルトレーション付き導来圏 \(DF(\mathcal{A})\) を定義する。簡潔に言えば、 \(\mathcal{A}\) の有限フィルトレーションを備えた対象からなる完全圏の導来圏として 定義する。（したがって、われわれの構成は完全圏の導来圏というより一般的な構成の 特別な場合である。例えば [Buhler]、[Keller] を参照せよ。） Illusie のフィルトレーション付き導来圏は、フィルトレーションが有限である対象から なる、われわれの圏の充満部分圏である。（われわれの圏でもフィルトレーションは 各次数で有限だが、一様に有界とは限らない。）この選択をする理由は、構成が難しく なるわけではなく、補題 015J のスペクトル系列に議論を 適用できるからである。remark 015K も参照せよ。

Homology, Section 0120 で導入した フィルトレーション付き対象の記法を用いる。\(\mathcal{A}\) のフィルトレーション付き 対象の圏を \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) と書く。すべてのフィルトレーションは減少であると定める。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) の有限フィルトレーション付き 対象の圏とは、フィルトレーション \(F\) が有限である \(\mathcal{A}\) の フィルトレーション付き対象 \((A, F)\) の圏である。これを \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) と書く。

したがって \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) は \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) の充満部分圏である。 各 \(p \in \mathbf{Z}\) に対して関手 \(\text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) がある。また、関手 \[\text{gr} = \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} \text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Gr}(\mathcal{A})\] がある。ここで \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) は \(\mathcal{A}\) の次数付き対象の圏である。 Homology, Definition 0125 を参照せよ。最後に、 フィルトレーション付き対象 \((A, F)\) に \(\mathcal{A}\) の台となる対象を対応させる関手 \[(\text{forget }F) : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] がある。圏 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) は加法圏だが、一般にはアーベル圏でない。 Homology, Example 0108 を参照せよ。

関手 \(\text{gr}^p\)、\(\text{gr}\)、\((\text{forget }F)\) は加法的なので、補題 014X により三角圏の完全関手 \[\text{gr}^p, (\text{forget }F) : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\mathcal{A}) \quad\text{and}\quad \text{gr} : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] を誘導する。アーベル圏のホモトピー圏の場合との類似により、次を定義する。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。

1. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の射とする。射 \(\text{gr}(\alpha)\) が擬同型であるとき、 \(\alpha\) を フィルトレーション付き擬同型 と呼ぶ。

2. \(K^\bullet\) を \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の対象とする。複体 \(\text{gr}(K^\bullet)\) が非輪状であるとき、\(K^\bullet\) を フィルトレーション付き非輪状 と呼ぶ。

\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) がフィルトレーション付き擬同型であるための 必要十分条件は、各 \(\text{gr}^p(\alpha)\) が擬同型であることである。同様に、複体 \(K^\bullet\) がフィルトレーション付き非輪状であるための必要十分条件は、各 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) が非輪状であることである。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。

1. 関手 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{Gr}(\mathcal{A})\)、 \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}(K^\bullet))\) はホモロジー的である。

2. 関手 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \rightarrow \mathcal{A}\)、 \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}^p(K^\bullet))\) はホモロジー的である。

3. 関手 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \mathcal{A}\)、 \(K^\bullet \longmapsto H^0((\text{forget }F)K^\bullet)\) はホモロジー的である。

証明

\(H^0 : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) がホモロジー的であること（補題 05RS）と、関手 \(\text{gr}, \text{gr}^p, (\text{forget }F)\) が三角圏の完全関手であることから従う。 補題 05QZ を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。フィルトレーション付き非輪状複体からなる \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の充満部分圏 \(\text{FAc}(\mathcal{A})\) は、 \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の厳密充満飽和三角部分圏である。対応する \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の飽和乗法系（補題 05RL を参照）は、 フィルトレーション付き擬同型の集合 \(\text{FQis}(\mathcal{A})\) である。特に、局所化関手 \[Q : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1}K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\] の核は \(\text{FAc}(\mathcal{A})\) であり、関手 \(H^0 \circ \text{gr}\) は \(Q\) を 経由して分解する。

証明

補題 05S0 により \(H^0 \circ \text{gr}\) はホモロジー的関手である。したがって、この補題は補題 05RM の特別な場合である。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(\text{FAc}(\mathcal{A})\) および \(\text{FQis}(\mathcal{A})\) を補題 05S1 のものとする。 \(\mathcal{A}\) のフィルトレーション付き導来圏とは、三角圏 \[DF(\mathcal{A}) = K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))/\text{FAc}(\mathcal{A}) = \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1} K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})).\] のことである。

補題

関手 \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{forget }F)\) は、局所化関手と可換する標準的な 完全関手 \[\text{gr}^p, (\text{forget }F): DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A})\] および \[\text{gr}: DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] を誘導する。

証明

各関手 \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{forget }F)\) がフィルトレーション付き擬同型を 擬同型に移すことを示せば、局所化の普遍性（補題 05R7）から従う。最初の二つについては定義から 明らかである。最後のものについては少し議論が必要である。 \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の フィルトレーション付き擬同型とする。\(f\) を含む完全三角 \((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\) を選ぶ。このとき、補題 05S1 により \(M^\bullet\) はフィルトレーション付き非輪状である。 したがって、\(K(\mathcal{A})\) に対する対応する補題により、フィルトレーションを 忘れたときフィルトレーション付き非輪状複体が非輪状複体になることを示せば十分である。 これは Homology, Lemma 05QH から従う。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。有界フィルトレーション付き導来圏 \(DF^b(\mathcal{A})\) とは、\(\text{gr}(X) \in D^b(\mathcal{A})\) を満たす対象 \(X\) から なる \(DF(\mathcal{A})\) の充満部分圏である。下に有界なフィルトレーション付き導来圏 \(DF^{+}(\mathcal{A})\) および上に有界なフィルトレーション付き導来圏 \(DF^{-}(\mathcal{A})\) も同様に定義する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(K^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) とする。

1. すべての \(n < a\) に対して \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) ならば、 すべての \(n < a\) に対して \(L^n = 0\) となるフィルトレーション付き擬同型 \(K^\bullet \to L^\bullet\) が存在する。

2. すべての \(n > b\) に対して \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) ならば、 すべての \(n > b\) に対して \(M^n = 0\) となるフィルトレーション付き擬同型 \(M^\bullet \to K^\bullet\) が存在する。

3. すべての \(|n| \gg 0\) に対して \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) ならば、 複体の射の可換図式 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] であって、すべての矢印がフィルトレーション付き擬同型、\(L^\bullet\) が下に有界、 \(M^\bullet\) が上に有界、\(N^\bullet\) が有界複体となるものが存在する。

証明

すべての \(n < a\) に対して \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) であると仮定する。 Homology, Lemma 05QH により、列 \[K^{a - 2} \xrightarrow{d^{a - 2}} K^{a - 1} \xrightarrow{d^{a - 1}} K^a\] は \(\mathcal{A}\) の対象の完全列であり、射 \(d^{a - 2}\) と \(d^{a - 1}\) は厳密である。 したがって \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) において \(\Coim(d^{a - 1}) = \Im(d^{a - 1})\) であり、写像 \(\text{gr}(\Im(d^{a - 1})) \to \text{gr}(K^a)\) は単射で、その像は \(\text{gr}(K^{a - 1}) \to \text{gr}(K^a)\) の像に等しい。Homology, Lemma 0127 を参照せよ。これは、切断への写像 \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}K^\bullet\)、ただし \[\tau_{\geq a}K^\bullet = (\ldots \to 0 \to K^a/\Im(d^{a - 1}) \to K^{a + 1} \to \ldots)\] がフィルトレーション付き擬同型であることを意味する。これで (1) が示された。 (2) の証明は (1) の証明の双対である。(3) は (1) と (2) から形式的に従う。

次の補題を述べるため、\(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\)、 \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\) を、それぞれ \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、および \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\) と \(\text{FAc}(\mathcal{A})\) との共通部分とする。 同様に、\(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\)、\(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\) を、それぞれ \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、および \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\) と \(\text{FQis}(\mathcal{A})\) との共通部分とする。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。部分圏 \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\)、 \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\) は、それぞれ \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、\(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\)、および \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\) の厳密充満飽和三角部分圏である。対応する飽和乗法系 （補題 05RL を参照）は、それぞれ集合 \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\)、\(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\)、および \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\) である。

1. 関手 \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{A})\) の核は \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{+}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\] を誘導する。

2. 関手 \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{-}(\mathcal{A})\) の核は \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{-}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{-}(\mathcal{A})\] を誘導する。

3. 関手 \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^b(\mathcal{A})\) の核は \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\) であり、これは三角圏の同値 \[K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^b(\mathcal{A}) = \text{FQis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^b(\mathcal{A})\] を誘導する。

証明

上の結果、特に補題 05S5 と、補題 05RW の証明で用いたものとまったく同じ議論から従う。

一般の導来関手

この節の参考文献は [SGA4] に収められた Deligne の exposé XVII である。 三角圏の間の完全関手と始域圏の乗法系が与えられ、完全関手を局所化された圏へ 「正しく」延長したいときの、右導来関手および左導来関手の非常に一般的な概念がある。

設定

ここで \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) は三角圏の完全関手であり、\(S\) は \(\mathcal{D}\) の三角圏構造と両立する \(\mathcal{D}\) の飽和乗法系である。

\(X \in \Ob(\mathcal{D})\) とする。Categories, Remark 05Q0 で、始域が \(X\) である \(S\) の矢印 \(s : X \to X'\) からなるフィルター圏 \(X/S\) を定義したことを思い出そう。 双対的に、Categories, Remark 05Q4 では、終域が \(X\) である \(S\) の矢印 \(s : X' \to X\) からなる余フィルター圏 \(S/X\) を定義した。

定義

Situation 05S8 の仮定と記法を用い、 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) とする。

1. ind-対象 \[(X/S) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s : X \to X') \longmapsto F(X')\] が本質的に定値であるとき、右導来関手 \(RF\) は \(X\) で定義されるという ⁵。 この場合、\(\mathcal{D}'\) における値 \(Y\) を \(X\) における \(RF\) の値と呼ぶ。

2. pro-対象 \[(S/X) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s: X' \to X) \longmapsto F(X')\] が本質的に定値であるとき、左導来関手 \(LF\) は \(X\) で定義されるという。 この場合、\(\mathcal{D}'\) における値 \(Y\) を \(X\) における \(LF\) の値と呼ぶ。

記法を濫用して、これらの値を単に \(RF(X)\) または \(LF(X)\) と書くことが多い。

\(RF\) が定義される対象からなる \(\mathcal{D}\) の充満部分圏は三角部分圏となり、 \(RF\) はこの部分圏上で \(S\) の射を同型に移す関手を定めることが後で分かる。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(f : X \to Y\) を \(\mathcal{D}\) の射とする。

1. \(RF\) が \(X\) と \(Y\) で定義されるならば、値の間に一意な射 \(RF(f) : RF(X) \to RF(Y)\) が存在し、\(s, s' \in S\) を持つ任意の可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] に対して図式 \[\xymatrix{ F(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & RF(X) \ar[d] \\ F(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & RF(Y) }\] が可換となる。

2. \(LF\) が \(X\) と \(Y\) で定義されるならば、値の間に一意な射 \(LF(f) : LF(X) \to LF(Y)\) が存在し、\(s, s'\) が \(S\) に属する任意の可換図式 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_s & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^{s'} & Y }\] に対して図式 \[\xymatrix{ LF(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & F(X) \ar[d] \\ LF(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & F(Y) }\] が可換となる。

証明

(1) は、余極限 \[RF(X) = \colim_{s : X \to X'} F(X') \quad\text{and}\quad RF(Y) = \colim_{s' : Y \to Y'} F(Y')\] が存在することだけを仮定しても成り立つ。実際、余極限の間の射 \(RF(X) \to RF(Y)\) を与えることは、\(\Ob(X/S)\) の各 \(s : X \to X'\) に対し、 圏 \(X/S\) の射と両立する射 \(F(X') \to RF(Y)\) を与えることと同じである。 その射を得るには、MS2 により可能な、\(s, s'\) が \(S\) に属する可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] を選び、\(F(X') \to RF(Y)\) を合成 \(F(X') \to F(Y') \to RF(Y)\) に等しいと置く。 これが上の図式の選択に依存しないことは MS3 を用いて分かる。詳細は省略する。 (2) の証明は双対である。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(s : X \to Y\) を \(S\) の元とする。

1. \(RF\) が \(X\) で定義されるための必要十分条件は \(Y\) で定義されることである。 この場合、値の間の写像 \(RF(s) : RF(X) \to RF(Y)\) は同型である。

2. \(LF\) が \(X\) で定義されるための必要十分条件は \(Y\) で定義されることである。 この場合、値の間の写像 \(LF(s) : LF(X) \to LF(Y)\) は同型である。

証明

省略する。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(X\) を \(\mathcal{D}\) の対象、\(n \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(RF\) が \(X\) で定義されるための必要十分条件は \(X[n]\) で定義されることである。 この場合、値の間に標準同型 \(RF(X)[n]= RF(X[n])\) がある。

2. \(LF\) が \(X\) で定義されるための必要十分条件は \(X[n]\) で定義されることである。 この場合、値の間に標準同型 \(LF(X)[n] \to LF(X[n])\) がある。

証明

省略する。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角とする。\(RF\) が \(X, Y, Z\) の 三つのうち二つで定義されるならば、残る一つでも定義される。さらに、この場合 \[(RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h))\] は \(\mathcal{D}'\) の完全三角である。\(LF\) についても同様である。

証明

\(RF\) が \(X, Y\) で定義され、その値が \(A, B\) であるとする。補題 05SA の誘導射を \(RF(f) : A \to B\) とする。 \(\mathcal{D}'\) の完全三角 \((A, B, C, RF(f), b, c)\) を選べる。 \(C\) が \(Z\) における \(RF\) の値であると主張する。

これを見るため、Categories, Definition 05PU のような射 \(\alpha : A \to F(X')\) が存在する \(S\) の元 \(s : X \to X'\) を選ぶ。MS2 により、 \(s' \in S\) を持つ可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] を選べる。\(Y/S\) はフィルター圏なので、\(s'\) を \(S\) のある \(s'' : Y \to Y''\) で置き換えた後、Categories, Definition 05PU のような射 \(\beta : B \to F(Y')\) が存在すると仮定できる。図示すると \[\xymatrix{ A \ar[d]_{RF(f)} \ar[r]_-\alpha & F(X') \ar[r] \ar[d]^{F(f')} & A \ar[d]^{RF(f)} \\ B \ar[r]^-\beta & F(Y') \ar[r] & B }\] である。左の正方形は可換とは限らないが、外側の正方形と右の正方形は可換である。

ind-対象 \(\{F(Y')\}_{s' : Y' \to Y}\) が本質的に定値であるという仮定は、 \(S\) の元 \(s'' : Y \to Y''\) と、\(s'' = h \circ s'\) を満たす射 \(h : Y' \to Y''\) が存在し、\(F(h)\) が合成 \(F(Y') \to B \to F(Y') \to F(Y'')\) に等しいことを意味する。したがって、 \(Y'\) を \(Y''\) で、\(\beta\) を \(F(h) \circ \beta\) で置き換えると、この図式は 可換になる（矢印を用いた直接計算による）。

MS6 を用いて、\(s'' \in S\) を持つ三角の射 \[(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X', Y', Z', f', g', h')\] を選ぶ。TR3 により、三角の射 \[(\alpha, \beta, \gamma) : (A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (F(X'), F(Y'), F(Z'), F(f'), F(g'), F(h'))\] を選ぶ。

補題 05SB により、\(RF(Z')\) が定義され、矢印 \(\gamma : C \to F(Z')\) が同型 \(C \to RF(Z')\) を誘導することを示せば十分である。 実際、このとき三角の同型 \[(A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (RF(X'), RF(Y'), RF(Z'), RF(f'), RF(g'), RF(h'))\] が得られ、TR1 により終域は完全三角である。補題 05R9 の 三角からなる圏 \(\mathcal{I}\) \[\mathcal{I} = \{(t, t', t'') : (X', Y', Z', f', g', h') \to (X'', Y'', Z'', f'', g'', h'') \mid (t, t', t'') \in S\}\] を考える。系 \(F(Z'')\) が圏 \(Z'/S\) 上で本質的に定値であることを示すことは、 \(\mathcal{I} \to Z'/S\) が余終であるため、\(F(Z'')\) の系が \(\mathcal{I}\) 上で 本質的に定値であることを示すことと同値である。Categories, Lemma 0A1S を参照せよ（余終性は補題 05R9 で証明されている）。\(\mathcal{D}'\) の任意の対象 \(W\) に対して図式 \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A) \ar[l] \ar[d] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X''[1])) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A[1]) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y''[1])) & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B[1]) \ar[l] }\] を考える。横の矢印は \((\alpha, \beta, \gamma)\) との合成によって与えられる。 フィルター余極限は完全なので（Algebra, Lemma 00DB）、左の列は完全である。したがって \(5\) 項補題 （Homology, Lemma 05QB）により写像 \[\colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C)\] は全単射である。Categories, Lemma 05PY (4) により、 \(F(Z'')\) は値 \(C\) を持つ \(\mathcal{I}\) 上の本質的に定値な系であると結論する。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(X, Y\) を \(\mathcal{D}\) の対象とする。

1. \(RF\) が \(X\) と \(Y\) で定義されるならば、\(RF\) は \(X \oplus Y\) で定義される。

2. \(\mathcal{D}'\) がカルービ圏で、\(RF\) が \(X \oplus Y\) で定義されるならば、 \(RF\) は \(X\) と \(Y\) の双方で定義される。

いずれの場合も \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\) である。 \(LF\) についても同様である。

証明

\(RF\) が \(X\) と \(Y\) で定義されるならば、完全三角 \(X \to X \oplus Y \to Y \to X[1]\)（補題 05QT）と補題 05SC により、\(RF\) は \(X \oplus Y\) で定義され、完全三角 \(RF(X) \to RF(X \oplus Y) \to RF(Y) \to RF(X)[1]\) が得られる。 これに補題 05QT をもう一度適用すると、 \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\) を得る。これで (1) と最後の主張が示された。

逆に、\(RF\) が \(X \oplus Y\) で定義され、\(\mathcal{D}'\) がカルービ圏であると仮定する。 \(S\) は飽和系なので、\(S\) は加法的局所化関手 \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) によって可逆になる矢印の集合である。 Categories, Lemma 05Q9 を参照せよ。したがって、 \(S\) の任意の \(s : X \to X'\) および \(s' : Y \to Y'\) に対し、射 \(s \oplus s' : X \oplus Y \to X' \oplus Y'\) は \(S\) の元である。これにより関手 \[X/S \times Y/S \longrightarrow (X \oplus Y)/S\] を得る。圏 \(X/S, Y/S, (X \oplus Y)/S\) はフィルター圏であることを思い出そう （Categories, Remark 05Q0）。Categories, Lemma 0A2C により、\(X/S \times Y/S\) は フィルター圏であり、\(F|_{X/S} : X/S \to \mathcal{D}'\)（それぞれ

\(G|_{Y/S} : Y/S \to \mathcal{D}'\)）が本質的に定値であるための必要十分条件は、 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\) （それぞれ \(G|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\)）が 本質的に定値であることである。下で上の表示した関手が余終であることを示す。 したがって Categories, Lemma 0A1S により、 \(F|_{(X \oplus Y)/S}\) が本質的に定値ならば、 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\) が本質的に定値である。 Homology, Lemma 0A2G により （ここで \(\mathcal{D}'\) がカルービ圏であることを用いる）、 \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\) が 本質的に定値ならば、\(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1\) と \(F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\) は本質的に定値である。したがって \(RF\) は \(X\) と \(Y\) で定義される。

表示した関手が余終であることを証明する。任意の \(S\) の元 \(t : X \oplus Y \to Z\) を取る。MS2 を用いると、図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]^s & X \oplus Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d]_{s'} \\ X' & Z \ar[l] \ar[r] & Y' }\] が可換となるような射 \(Z \to X'\)、\(Z \to Y'\) と \(S\) の元 \(s : X \to X'\)、\(s' : Y \to Y'\) を見いだせる。したがって \((X \oplus Y)/S\) に写像 \(Z \to X' \oplus Y'\) が存在する。すなわち、 Categories, Definition 04E6 の (1) が成り立つ。 (2) を証明するには、\(t : X \oplus Y \to Z\) と \((X \oplus Y)/S\) の射 \(s_i \oplus s'_i : Z \to X'_i \oplus Y'_i\)、\(i = 1, 2\) が与えられたとき、 \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) および \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\) を満たす \(S\) の射 \(a : X'_1 \to X'\)、\(b : X'_2 \to X'\)、 \(c : Y'_1 \to Y'\)、\(d : Y'_2 \to Y'\) を見いだせることを示せば十分である。 そのため、まず任意の \(X'\)、\(Y'\) と \(S\) の写像 \(a, b, c, d\) を選ぶ。 \(X/S\) と \(Y/S\) はフィルター圏なので、これは可能である。このとき二つの写像 \(a \circ s_1, b \circ s_2 : Z \to X'\) は \(S^{-1}\mathcal{D}\) で等しくなる。 したがって、これらを等しくする \(S\) の射 \(X' \to X''\) を見いだせる。同様に、 \(c \circ s'_1\) と \(d \circ s'_2\) を等しくする \(S\) の射 \(Y' \to Y''\) を 見いだせる。\(X'\) を \(X''\) で、\(Y'\) を \(Y''\) で置き換えれば、 \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) および \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\) を得る。

\(LF\) に対する対応する主張の証明は双対である。

命題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。

1. \(RF\) が定義される対象からなる \(\mathcal{D}\) の充満部分圏 \(\mathcal{E}\) は、\(\mathcal{D}\) の厳密充満三角部分圏である。

2. 三角圏の完全関手 \(RF : \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'\) を得る。

3. 始域または終域が \(\mathcal{E}\) に属する \(S\) の元は、\(\mathcal{E}\) の射である。

4. \(S_\mathcal{E} = \text{Arrows}(\mathcal{E}) \cap S\) の任意の元は \(RF\) によって同型に移される。

5. 集合 \(S_\mathcal{E}\) は三角構造と両立する \(\mathcal{E}\) の飽和乗法系である。

6. 関手 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\) は 三角圏の充満忠実な完全関手である。

7. 完全関手 \[RF : S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'.\] を得る。

8. \(\mathcal{D}'\) がカルービ圏ならば、\(\mathcal{E}\) は \(\mathcal{D}\) の飽和三角部分圏である。

\(LF\) についても同様の結果が成り立つ。

証明

\(S\) は飽和なので、すべての同型を含む（Categories, Definition 05Q8 に続く remark を参照）。 したがって (1) は補題 05SB、 05SC、05SU から従う。 (2) は補題 05SA、05SU、 05SC から得られる。(3) は補題 05SB から従う。(4) も補題 05SB から従う。(5) は定義と (3) から従う。 (6) の充満忠実性は (3) と定義から従う。関手 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\) が完全であることは、 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E}\) の三角が完全であるための必要十分条件が、 \(\mathcal{E}\) の完全三角の像と同型であることだから従う。命題 05R6 の証明を参照せよ。 \(RF : \mathcal{E} \to \mathcal{D}'\) が完全関手 \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to \mathcal{D}'\) を経由して分解することは、補題 05R7 から従う。最後に、(8) は補題 05SD から従う。

命題 05SE により、\(RF\) は \(S^{-1}\mathcal{D}\) の極大な厳密充満三角部分圏上にあり、その三角圏上の完全関手である。 図示すると \[\xymatrix{ \mathcal{D} \ar[d]_Q \ar[rrr]_F & & & \mathcal{D}' \\ S^{-1}\mathcal{D} & & S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \ar[ll]_{\text{fully faithful}}^{\text{exact}} \ar[ur]_{RF} }\] である。

定義

Situation 05S8 において、\(RF\) が \(\mathcal{D}\) のすべての 対象で定義されるとき、\(F\) は 右導来可能、または \(RF\) は 至る所で定義されるという。\(LF\) が \(\mathcal{D}\) のすべての対象で 定義されるとき、\(F\) は 左導来可能、または \(LF\) は 至る所で定義されるという。

この場合、右（それぞれ左）導来関手 [05SW]\[\begin{equation} RF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}', \quad\text{(resp. } LF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}'), \end{equation}\] を得る。命題 05SE を参照せよ。興味深い状況の大半では、 \(RF \circ Q\) は \(F\) と等しくない。実際、標準写像 \(F(X) \to RF(X)\) が決して 同型にならないことさえあり得る。実際の応用ではこれは起こらない。というのも、 実際には、三角圏 \(\mathcal{D}\) の適切に選んだ対象で \(F\) を評価することによって \(RF\) を計算できると示すことでしか、\(F\) が右導来可能であることを証明できないからである。 これは次の定義の根拠となる。

定義

Situation 05S8 において、

1. \(RF\) が \(X\) で定義され、標準写像 \(F(X) \to RF(X)\) が同型であるとき、 \(\mathcal{D}\) の対象 \(X\) は \(RF\) を 計算するという。

2. \(LF\) が \(X\) で定義され、標準写像 \(LF(X) \to F(X)\) が同型であるとき、 \(\mathcal{D}\) の対象 \(X\) は \(LF\) を 計算するという。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(X\) を \(\mathcal{D}\) の対象、\(n \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(X\) が \(RF\) を計算するための必要十分条件は \(X[n]\) が \(RF\) を計算することである。

2. \(X\) が \(LF\) を計算するための必要十分条件は \(X[n]\) が \(LF\) を計算することである。

証明

省略する。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \((X, Y, Z, f, g, h)\) を \(\mathcal{D}\) の完全三角とする。 \(X, Y\) が \(RF\) を計算するならば、\(Z\) もこれを計算する。 \(LF\) についても同様である。

証明

補題 05SC により、\(RF\) は \(Z\) で定義され、\(RF\) を この三角に適用すると完全三角が得られる。完全三角の射 \[\xymatrix{ (F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h)) \ar[d] \\ (RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h)) }\] を考える。三つの写像のうち二つが同型なので、残る一つも同型である。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。 \(X, Y\) を \(\mathcal{D}\) の対象とする。\(X \oplus Y\) が \(RF\) を計算するならば、 \(X\) と \(Y\) も \(RF\) を計算する。\(LF\) についても同様である。

証明

\(X \oplus Y\) が \(RF\) を計算するならば、 \(RF(X \oplus Y) = F(X) \oplus F(Y)\) である。補題 05SD の証明で、関手 \(X/S \times Y/S \to (X \oplus Y)/S\), \((s, s') \mapsto s \oplus s'\) が 余終であることを見た。したがって Categories, Lemma 0A1S と Categories, Lemma 05PY の特徴づけ (4) により、 \(\mathcal{D}'\) の任意の対象 \(W\) に対して写像 \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X \oplus Y), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X', s' : Y \to Y'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X' \oplus Y'), W)\] は全単射である。この矢印は両辺の直和分解と明らかに両立するので、写像 \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X'), W)\] も全単射である（細部は省略する）。したがって Categories, Lemma 05PY により、\(RF\) は \(X\) で 定義され、その値は \(F(X)\) である。\(Y\) についても同様である。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。

1. すべての対象 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して、\(X'\) が \(RF\) を計算するような \(S\) の矢印 \(s : X \to X'\) が存在するならば、\(RF\) は至る所で定義される。

2. すべての対象 \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して、\(X'\) が \(LF\) を計算するような \(S\) の矢印 \(s : X' \to X\) が存在するならば、\(LF\) は至る所で定義される。

証明

定義から明らかである。

補題

Situation 05S8 の仮定と記法を用いる。部分集合 \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{D})\) であって、

1. すべての \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して、\(X' \in \mathcal{I}\) を満たす \(S\) の射 \(s : X \to X'\) が存在し、

2. \(X, X' \in \mathcal{I}\) を満たす \(S\) の任意の矢印 \(s : X \to X'\) に対し、 写像 \(F(s) : F(X) \to F(X')\) が同型である

ものが存在するとする。このとき \(RF\) は至る所で定義され、すべての \(X \in \mathcal{I}\) は \(RF\) を計算する。双対的に、部分集合 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\) であって、

1. すべての \(X \in \Ob(\mathcal{D})\) に対して、\(X' \in \mathcal{P}\) を満たす \(S\) の射 \(s : X' \to X\) が存在し、

2. \(X, X' \in \mathcal{P}\) を満たす \(S\) の任意の矢印 \(s : X \to X'\) に対し、 写像 \(F(s) : F(X) \to F(X')\) が同型である

ものが存在するとする。このとき \(LF\) は至る所で定義され、すべての \(X \in \mathcal{P}\) は \(LF\) を計算する。

証明

\(X\) を \(\mathcal{D}\) の対象とする。仮定 (1) により、\(X' \in \mathcal{I}\) を満たす \(S\) の矢印 \(s : X \to X'\) は圏 \(X/S\) で余終である。仮定 (2) により、 \(F\) はこの余終部分圏上で定値である。したがって、\(X' \in \mathcal{I}\) を満たす \(S\) の任意の \(s : X \to X'\) に対し、 \(F : (X/S) \to \mathcal{D}'\) は値 \(F(X')\) を持つ本質的に定値な関手である。

補題

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) を三角圏とする。\(S\)、それぞれ \(S'\) を、 \(\mathcal{A}\)、それぞれ \(\mathcal{B}\) の三角構造と両立する飽和乗法系とする。 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) および \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) を 完全関手とする。\(F\) と局所化関手との合成を \(F' : \mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\) と書く。

1. \(RF'\)、\(RG\)、\(R(G \circ F)\) が至る所で定義されるならば、関手の標準自然変換 \(t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF'\) が存在する。

2. \(LF'\)、\(LG\)、\(L(G \circ F)\) が至る所で定義されるならば、関手の標準自然変換 \(t : LG \circ LF' \to L(G \circ F)\) が存在する。

証明

この証明では慎重に議論する。そこで導来関手を関手 \[RF' : S^{-1}\mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}, \quad R(G \circ F) : S^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{C}, \quad RG : (S')^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{C}.\] と考える。局所化関手を \(Q_A : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) および \(Q_B : \mathcal{B} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\) と書く。このとき \(F' = Q_B \circ F\) である。\(\mathcal{B}\) の任意の対象 \(Y\) に対して標準写像 \[G(Y) \longrightarrow RG(Q_B(Y))\] があることに注意する。言い換えれば、関手の自然変換 \(t' : G \to RG \circ Q_B\) がある。\(X\) を \(\mathcal{A}\) の対象とする。このとき \[\begin{align*} R(G \circ F)(Q_A(X)) & = \colim_{s : X \to X' \in S} G(F(X')) \\ & \xrightarrow{t'} \colim_{s : X \to X' \in S} RG(Q_B(F(X'))) \\ & = \colim_{s : X \to X' \in S} RG(F'(X')) \\ & = RG(\colim_{s : X \to X' \in S} F'(X')) \\ & = RG(RF'(X)). \end{align*}\] 系 \(F'(X')\) は圏 \((S')^{-1}\mathcal{B}\) において本質的に定値である。したがって、 上の図式の第三の等式で余極限を関手 \(RG\) の内側に移せる。Categories, Lemma 05SH とその証明を参照せよ。これが関手の 自然変換を定めることの証明は省略する。左導来関手の場合も同様である。

導来圏上の導来関手

実際には、導来関手はアーベル圏の間の加法的関手が与えられたときに 現れることが最も多い。

設定

ここで \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) はアーベル圏の間の加法的関手である。 これは完全関手 \[F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).\] を誘導する。補題 014X を参照せよ。 また、\(F\) と局所化関手 \(K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})\) などとの合成 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\)、 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\)、および \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})\) も \(F\) と書く。この状況から、 以下で考察する四つの導来関手が得られる。

1. 乗法系 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) に関する \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の右導来関手。

2. 乗法系 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) に関する \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) の右導来関手。

3. 乗法系 \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) に関する \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の左導来関手。

4. 乗法系 \(\text{Qis}^-(\mathcal{A})\) に関する \(F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\) の左導来関手。

これらはいずれも Situation 05S8 の例である。

生じ得る曖昧さの一部は、次の結果によって解消される。

補題

Situation 05T4 の仮定のもとで、次が成り立つ。

1. \(X\) を \(K^{+}(\mathcal{A})\) の対象とする。 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の右導来関手が \(X\) で定義されるための 必要十分条件は、\(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) の右導来関手が \(X\) で定義されることである。さらに、その値は標準的に同型である。

2. \(X\) を \(K^{+}(\mathcal{A})\) の対象とする。このとき \(X\) が \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の右導来関手を計算するための 必要十分条件は、\(X\) が \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) の右導来関手を計算することである。

3. \(X\) を \(K^{-}(\mathcal{A})\) の対象とする。 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の左導来関手が \(X\) で定義されるための 必要十分条件は、\(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\) の左導来関手が \(X\) で定義されることである。さらに、その値は標準的に同型である。

4. \(X\) を \(K^{-}(\mathcal{A})\) の対象とする。このとき \(X\) が \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) の左導来関手を計算するための 必要十分条件は、\(X\) が \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\) の左導来関手を計算することである。

証明

\(X\) を \(K^{+}(\mathcal{A})\) の対象とする。\(K(\mathcal{A})\) における擬同型 \(s : X \to X'\) を考える。補題 05RV により、 \(X''\) が下に有界となる擬同型 \(X' \to X''\) が存在する。したがって \(X/\text{Qis}^+(\mathcal{A})\) は \(X/\text{Qis}(\mathcal{A})\) で余終である。 これより (1) は明らかである。(2) は (1) から直ちに従う。 (3) と (4) はそれぞれ (1) と (2) の双対である。

アーベル圏 \(\mathcal{A}\) の対象 \(A\) が与えられると、\(A\) を次数ゼロに置いた複体 \[A[0] = ( \ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots )\] が得られる。したがって関手 \(\mathcal{A} \to K(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\) が得られる。 しばらくの間、部分圏上で定義された関手を部分関手と呼ぶことにする。

定義

Situation 05T4 の仮定のもとで、次のように定める。

1. \(F\) の右導来関手とは、Situation 05T4 の (1) と (2) に対応する部分関手 \(RF\) のことである。

2. \(F\) の左導来関手とは、Situation 05T4 の (3) と (4) に対応する部分関手 \(LF\) のことである。

3. \(\mathcal{A}\) の対象 \(A\) が \(F\) に関して右非輪状、または \(RF\) に関して非輪状であるとは、\(A[0]\) が \(RF\) を計算することをいう。

4. \(\mathcal{A}\) の対象 \(A\) が \(F\) に関して左非輪状、または \(LF\) に関して非輪状であるとは、\(A[0]\) が \(LF\) を計算することをいう。

次のいくつかの補題は、十分多くの非輪状対象が存在するための判定条件を与える。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) を \(0\) を含む部分集合で、\(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(\mathcal{P}\) の元の 商となるものとする。\(a \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(K^n = 0\) が \(n > a\) に対して成り立つ \(K^\bullet\) が与えられると、 擬同型 \(P^\bullet \to K^\bullet\) であって、すべての \(n\) に対して \(P^n \in \mathcal{P}\) かつ \(P^n \to K^n\) が全射であり、 \(n > a\) に対して \(P^n = 0\) となるものが存在する。

2. \(H^n(K^\bullet) = 0\) が \(n > a\) に対して成り立つ \(K^\bullet\) が 与えられると、擬同型 \(P^\bullet \to K^\bullet\) であって、 すべての \(n\) に対して \(P^n \in \mathcal{P}\) であり、 \(n > a\) に対して \(P^n = 0\) となるものが存在する。

証明

(1) を証明する。次の帰納法の仮定 \(IH_n\) を考える。 \(P^j \in \mathcal{P}\), \(j \geq n\) で、\(j > a\) に対して \(P^j = 0\) となるもの、 \(j \geq n\) に対する写像 \(d^j : P^j \to P^{j + 1}\)、および \(j \geq n\) に対する全射 \(\alpha^j : P^j \to K^j\) が存在し、図式 \[\xymatrix{ & & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] が可換であり、\(j \geq n\) に対して \(d^{j + 1} \circ d^j = 0\) であり、 \(j > n\) に対して \(\alpha\) が同型 \(\Ker(d^j)/\Im(d^{j - 1}) \to H^j(K^\bullet)\) を誘導し、さらに \(\alpha : \Ker(d^n) \to \Ker(d_K^n)\) が全射である、と仮定する。 このとき \(P^{n - 1}\) が \(\mathcal{P}\) に属する全射 \[P^{n - 1} \longrightarrow K^{n - 1} \times_{K^n} \Ker(d^n) = K^{n - 1} \times_{\Ker(d_K^n)} \Ker(d^n)\] を選ぶ。これにより、上の図式を \[\xymatrix{ & P^{n - 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] へ拡張できる。この選択によって \(IH_{n - 1}\) が成り立つことは容易に確かめられる。

次のようにして (1) の証明を終える。\(j > a\) に対して \(P^j = 0\) と取ればよいので、 \(n = a + 1\) に対して \(IH_n\) が成り立つ。したがって降下帰納法を進めると、 \(\mathcal{P}\) の対象からなり、\(n > a\) に対して \(P^n = 0\) となる複体 \(P^\bullet\) と、所望の項ごとに全射な擬同型 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) が得られる。

(2) を証明する。仮定より射 \(\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet\) （Homology, Section 0118）は擬同型である。 (1) を適用して \(P^\bullet \to \tau_{\leq a}K^\bullet\) を取る。 合成 \(P^\bullet \to K^\bullet\) が所望の擬同型である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\) を \(0\) を含む部分集合で、\(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(\mathcal{I}\) の元の 部分対象となるものとする。\(a \in \mathbf{Z}\) とする。

1. \(K^n = 0\) が \(n < a\) に対して成り立つ \(K^\bullet\) が与えられると、 擬同型 \(K^\bullet \to I^\bullet\) であって、すべての \(n\) に対して \(K^n \to I^n\) が単射かつ \(I^n \in \mathcal{I}\) であり、 \(n < a\) に対して \(I^n = 0\) となるものが存在する。

2. \(H^n(K^\bullet) = 0\) が \(n < a\) に対して成り立つ \(K^\bullet\) が 与えられると、擬同型 \(K^\bullet \to I^\bullet\) であって、 \(I^n \in \mathcal{I}\) かつ \(n < a\) に対して \(I^n = 0\) となるものが存在する。

証明

本補題は補題 05T7 の双対である。

補題

Situation 05T4 の仮定のもとで、 \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\) を次の性質を持つ部分集合とする。

1. \(\mathcal{A}\) の任意の対象は \(\mathcal{I}\) の元の部分対象である。

2. \(\mathcal{A}\) の任意の短完全列 \(0 \to P \to Q \to R \to 0\) に対し、 \(P, Q \in \mathcal{I}\) ならば \(R \in \mathcal{I}\) であり、 \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\) は完全である。

このとき \(\mathcal{I}\) のすべての対象は \(RF\) に関して非輪状である。

証明

\(A \in \mathcal{I}\) を取る。\(K^\bullet\) が下に有界である擬同型 \(A[0] \to K^\bullet\) を取る。このとき \(I^\bullet\) が下に有界で、各 \(I^n \in \mathcal{I}\) となる擬同型 \(K^\bullet \to I^\bullet\) を取れる。 補題 05T6⁶を参照せよ。 したがって、これらの分解は圏 \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) で余終である。ゆえに証明を終えるには、 \(I^\bullet\) が下に有界かつ \(I^n \in \mathcal{I}\) となる任意の擬同型 \(A[0] \to I^\bullet\) に対し、\(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\) が擬同型であることを 示せば十分である。これを見るため、\(n < n_0\) に対して \(I^n = 0\) と仮定する。 もちろん \(n_0 < 0\) としてよい。\(n = n_0\) から始め、性質 (2) と完全列 \[0 \to \Ker(d^n) \to I^n \to \Im(d^n) \to 0.\] を用いる帰納法により、\(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\) と \(\Im(d^{-1})\) が \(\mathcal{I}\) の元であることを示す。さらに性質 (2) により、複体 \[0 \to F(I^{n_0}) \to F(I^{n_0 + 1}) \to \ldots \to F(I^{-1}) \to F(\Im(d^{-1})) \to 0\] も完全である。完全列 \(0 \to \Im(d^{-1}) \to I^0 \to I^0/\Im(d^{-1}) \to 0\) より、\(I^0/\Im(d^{-1})\) は \(\mathcal{I}\) の元である。

次に完全列 \(0 \to A \to I^0/\Im(d^{-1}) \to \Im(d^0) \to 0\) より、 \(\Im(d^0) = \Ker(d^1)\) は \(\mathcal{I}\) の元である。その後も同様にして、 すべての \(n > 0\) に対して \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\) が \(\mathcal{I}\) の元であることを示せる。上で述べた各短完全列に \(F\) を適用し、 (2) を用いると、次が分かる。

\(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\) は所望の同型である。

補題

Situation 05T4 の仮定のもとで、 \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) を次の性質を持つ部分集合とする。

1. \(\mathcal{A}\) の任意の対象は \(\mathcal{P}\) の元の商である。

2. \(\mathcal{A}\) の任意の短完全列 \(0 \to P \to Q \to R \to 0\) に対し、 \(Q, R \in \mathcal{P}\) ならば \(P \in \mathcal{P}\) であり、 \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\) は完全である。

このとき \(\mathcal{P}\) のすべての対象は \(LF\) に関して非輪状である。

証明

補題 05T8 の証明の双対である。

高次導来関手

次の簡単な補題は、右導来関手が「右へ移る」ことを示す。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とする。 \(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体とし、\(a \in \mathbf{Z}\) とする。

1. すべての \(i < a\) に対して \(H^i(K^\bullet) = 0\) であり、\(RF\) が \(K^\bullet\) で定義されるならば、すべての \(i < a\) に対して \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\) である。

2. \(RF\) が \(K^\bullet\) と \(\tau_{\leq a}K^\bullet\) で定義されるならば、 すべての \(i \leq a\) に対して \(H^i(RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)) = H^i(RF(K^\bullet))\) である。

証明

\(K^\bullet\) が (1) の仮定を満たすとする。任意の擬同型 \(s : K^\bullet \to L^\bullet\) を取る。\(K^\bullet\) に関する仮定により、 \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}L^\bullet\) も擬同型である。したがって圏 \(K^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) において、\(n < a\) に対して \(L^n = 0\) となる擬同型 \(s : K^\bullet \to L^\bullet\) は余終である。 Categories, Lemma 0A1S により、\(RF\) はこれらの \(s\) に対する本質的に定値な ind-対象 \(F(L^\bullet)\) の値である。これは、ある複体 \(L^\bullet\) で \(n < a\) に対して \(L^n = 0\) となるものに対し、 \(\text{id} : RF(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\) が \(F(L^\bullet)\) を通じて分解することを意味する。 したがって \(i < a\) に対して \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\) である。

(2) を証明するため、Remark 08J5 の完全三角 \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] を用いる。補題 05SC により、\(RF\) は \(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) でも定義され、\(D(\mathcal{B})\) に完全三角 \[RF(\tau_{\leq a}K^\bullet) \to RF(K^\bullet) \to RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet) \to RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] が得られる。(1) により \(RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet)\) の 次数 \(< a + 1\) のコホモロジーは消える。この完全三角のコホモロジー長完全列から 所望の結論が従う。

定義

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とする。 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) が至る所で定義されると仮定し、 \(i \in \mathbf{Z}\) とする。\(F\) の第 \(i\) 右導来関手 \(R^iF\) とは関手 \[R^iF = H^i \circ RF : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}\] のことである。

次の補題は、関手が左完全でない限り、その右導来関手を取ることには 実際あまり意味がないことを示す。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とし、 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) が至る所で定義されると仮定する。

1. \(i < 0\) に対して \(R^iF = 0\) である。

2. \(R^0F\) は左完全である。

3. 写像 \(F \to R^0F\) が同型であるための必要十分条件は、\(F\) が左完全なことである。

証明

\(A\) を \(\mathcal{A}\) の対象とする。補題 05TC により、

\(i < 0\) に対して \(H^i(RF(A[0]) = 0\) である。これで (1) が示された。

\(0 \to A \to B \to C \to 0\) を \(\mathcal{A}\) の短完全列とする。 補題 0152 により、 \(D^{+}(\mathcal{A})\) に完全三角 \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\) が得られる。コホモロジー長完全列と、 上で示した \(i < 0\) における消滅から、 \(0 \to R^0F(A) \to R^0F(B) \to R^0F(C)\) は完全である。 したがって \(R^0F\) は左完全である。またこれにより、\(F \to R^0F\) が同型ならば \(F\) が左完全であることも示される。

\(F\) が左完全であると仮定する。\(RF(A[0])\) は、擬同型 \(s : A[0] \to K^\bullet\) に対する本質的に定値な系 \(F(K^\bullet)\) の値であることを 思い出そう。したがって \(R^0F(A)\) は、擬同型 \(s : A[0] \to K^\bullet\) に対する 本質的に定値な系 \(H^0(F(K^\bullet))\) の値である。Categories, Lemma 05SH を参照せよ。 しかし \(s : A[0] \to K^\bullet\) が擬同型ならば、 \(A[0] \to \tau_{\geq 0}K^\bullet\) は擬同型である。したがって圏 \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) において、\(n < 0\) に対して \(K^n = 0\) となる擬同型 \(s : A[0] \to K^\bullet\) は余終である。 Categories, Lemma 0A1S により、そのような \(s\) に制限してよい。さらに、そのような \(s\) に対して列 \[0 \to A \to K^0 \to K^1\] は完全である。\(F\) は左完全なので \(0 \to F(A) \to F(K^0) \to F(K^1)\) も完全である。 したがって \(F(A) \to H^0(F(K^\bullet))\) は同型であり、この系は実際に \(F(A)\) を値とする定値系である。ゆえに所望のとおり \(R^0F = F\) である。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とし、 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) が至る所で定義されると仮定する。 \(A\) を \(\mathcal{A}\) の対象とする。

1. \(A\) が \(F\) に関して右非輪状であるための必要十分条件は、 \(F(A) \to R^0F(A)\) が同型であり、すべての \(i > 0\) に対して \(R^iF(A) = 0\) となることである。

2. \(F\) が左完全ならば、\(A\) が \(F\) に関して右非輪状であるための必要十分条件は、 すべての \(i > 0\) に対して \(R^iF(A) = 0\) となることである。

証明

\(A\) が \(F\) に関して右非輪状ならば \(RF(A[0]) = F(A)[0]\) であり、特に \(F(A) \to R^0F(A)\) は同型で、\(i \not = 0\) に対して \(R^iF(A) = 0\) である。 逆に、\(F(A) \to R^0F(A)\) が同型で、すべての \(i > 0\) に対して \(R^iF(A) = 0\) ならば、補題 05TD の (1) により \(F(A[0]) \to RF(A[0])\) は擬同型であり、したがって \(A\) は非輪状である。 \(F\) が左完全ならば、補題 05TD により \(F = R^0F\) である。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の左完全関手とし、 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) が至る所で定義されると仮定する。 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) を \(\mathcal{A}\) の短完全列とする。

1. \(A\) と \(C\) が \(F\) に関して右非輪状ならば、\(B\) もそうである。

2. \(A\) と \(B\) が \(F\) に関して右非輪状ならば、\(C\) もそうである。

3. \(B\) と \(C\) が \(F\) に関して右非輪状であり、\(F(B) \to F(C)\) が 全射ならば、\(A\) は \(F\) に関して右非輪状である。

三つのいずれの場合にも \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\] は \(\mathcal{B}\) の短完全列である。

証明

補題 0152 により、 \(D^{+}(\mathcal{A})\) に完全三角 \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\) が得られる。\(RF\) は完全関手であり、 \(i < 0\) に対して \(R^iF = 0\) かつ \(R^0F = F\) なので （補題 05TD）、アーベル圏 \(\mathcal{B}\) に完全な コホモロジー列 \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to R^1F(A) \to \ldots\] が得られる。したがって補題 015C の非輪状対象の特徴づけから 結論が従う。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とし、 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) が至る所で定義されると仮定する。

1. 関手 \(R^iF\), \(i \geq 0\) には、\(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) の \(\delta\)-関手の標準構造が備わる。Homology, Definition 010Q を参照せよ。

2. \(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(F\) に関して右非輪状な対象の部分対象ならば、 \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\) は普遍 \(\delta\)-関手である。Homology, Definition 010S を参照せよ。

証明

関手 \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\) は完全である。関手 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) は \(\delta\)-関手である。補題 0152 を参照せよ。 関手 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) は完全である。 最後に、関手 \(H^0 : D^{+}(\mathcal{B}) \to \mathcal{B}\) はホモロジー的関手である。 定義 05RU を参照せよ。 したがって補題 05SR と 補題 0151 により、\(\delta\)-関手の構造が得られる。 (2) は Homology, Lemma 010T と 補題 015C による非輪状対象の記述から従う。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とする。 \(A^\bullet\) を右 \(F\)-非輪状対象からなる下に有界な複体で、\(RF\) が \(A^\bullet\) で定義されるものとする⁷。 標準写像 \[F(A^\bullet) \longrightarrow RF(A^\bullet)\] は \(D^{+}(\mathcal{B})\) で同型である。すなわち、\(A^\bullet\) は \(RF\) を計算する。

証明

\(A^\bullet\) を右 \(F\)-非輪状対象からなる有界複体とする。\(RF\) は \(A^\bullet\) で定義され、\(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\) は \(D^+(\mathcal{B})\) で同型であることを示す。実際、非零な右 \(F\)-非輪状対象を 高々一つしか持たない複体については、定義 0157 により 成り立つ。次に \(n \not \in [a, b]\) に対して \(A^n = 0\) と仮定する。 「素朴な」切断を用いると、複体の項ごとに分裂する短完全列 \[0 \to \sigma_{\geq a + 1} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq a} A^\bullet \to 0\] が得られる。Homology, Section 0118 を参照せよ。 したがって完全三角 \((\sigma_{\geq a + 1} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq a} A^\bullet)\) が得られる。帰納法の仮定により、\(RF\) は両端の二つの複体で定義され、それらの 複体は \(RF\) を計算する。このとき補題 05SZ により、 中央の複体についても同じことが成り立つ。

\(A^\bullet\) を非輪状対象からなる下に有界な複体で、\(RF\) が \(A^\bullet\) で定義されるものとする。 \(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\) が \(D^{+}(\mathcal{B})\) で同型であることを 示すには、すべての \(i\) に対して \(H^i(F(A^\bullet)) \to H^i(RF(A^\bullet))\) が同型であることを示せば十分である。 \(i\) を取る。複体の項ごとに分裂する短完全列 \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet \to 0.\] を考える。これは項ごとに分裂する短完全列 \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet) \to F(A^\bullet) \to \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet) \to 0.\] を誘導することに注意する。したがって完全三角 \[(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet) \quad\text{and}\quad (\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet), F(A^\bullet), \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet))\] が得られる。\(RF\) は \(A^\bullet\) で仮定により定義され、 \(\sigma_{\leq i + 1}A^\bullet\) では第一段落により定義されるので、 \(RF\) は \(\sigma_{\geq i + 2}A^\bullet\) でも定義され、完全三角 \[(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet), RF(A^\bullet), RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet))\] が得られる。補題 05SC を参照せよ。 これらの完全三角を用いると、完全列の射 \[\xymatrix{ H^i(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d] & H^i(F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\alpha & H^i(\sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\beta & H^{i + 1}(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[d] \\ H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet)) \ar[r] & H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) }\] が得られる。第一段落の結果により、写像 \(\beta\) は同型である。 上段左端と上段右端の対象は、見れば分かるように零である。したがって証明を 終えるには、 \(H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\) および \(H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\) を示せば十分である。これは補題 05TC から直ちに従う。

命題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の加法的関手とする。

1. \(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(RF\) に関して非輪状な対象へ単射で写るならば、 \(RF\) は \(K^{+}(\mathcal{A})\) のすべてで定義され、完全関手 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] が得られる。(05SW) を参照せよ。さらに、各項が \(RF\) に関して非輪状な任意の下に有界な複体 \(A^\bullet\) は \(RF\) を計算する。

2. \(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(LF\) に関して非輪状な対象の商ならば、 \(LF\) は \(K^{-}(\mathcal{A})\) のすべてで定義され、完全関手 \[LF : D^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{B})\] が得られる。(05SW) を参照せよ。さらに、各項が \(LF\) に関して非輪状な任意の上に有界な複体 \(A^\bullet\) は \(LF\) を計算する。

証明

\(\mathcal{A}\) の任意の対象が \(RF\) に関して非輪状な対象へ単射で写ると仮定する。 \(\mathcal{I}\) を \(RF\) に関して非輪状な対象の集合とする。 \(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体とする。補題 05T6 により、\(I^\bullet\) が下に有界で \(I^n \in \mathcal{I}\) となる擬同型 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) が存在する。したがって (1) を証明するには、 \(s : I^\bullet \to (I')^\bullet\) が \(\mathcal{I}\) の対象からなる下に有界な 複体の擬同型であるとき、\(F(I^\bullet) \to F((I')^\bullet)\) が擬同型であることを 示せば十分である。補題 06XN を参照せよ。 錐 \(C(s)^\bullet\) は、すべての項が \(\mathcal{I}\) に属する非輪状かつ下に有界な 複体であることに注意する。したがって、すべての項が \(\mathcal{I}\) に属する 非輪状かつ下に有界な複体 \(I^\bullet\) が与えられたとき、 \(F(I^\bullet)\) が非輪状であることを示せば十分である。

\(n < n_0\) に対して \(I^n = 0\) とする。\(J^n = \Im(d^n)\) と置くことにより、 \(n \geq n_0\) に対する短完全列 \(0 \to J^n \to I^{n + 1} \to J^{n + 1} \to 0\) へ \(I^\bullet\) を分解する。補題 0152 により、 これらの列は \(D^+(\mathcal{A})\) に完全三角 \((J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1})\) を誘導する。各 \(k \in \mathbf{Z}\) に対して \(H_k\) を「すべての \(n \leq k\) に対して対象 \(J^n\) が \(\mathcal{I}\) に属する」 という主張とする。\(k < n_0\) ならば \(H_k\) は自明に成り立つ。\(H_n\) が成り立つと、 補題 05SZ により \(J^{n + 1}\) は \(\mathcal{I}\) に属し、\(H_{n + 1}\) が成り立つ。命題 05SE により完全三角 \((RF(J^n), RF(I^{n + 1}), RF(J^{n + 1}))\) が得られる。 \(J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1}\) は \(\mathcal{I}\) に属するので、この完全三角に付随する コホモロジー長完全列 (05ST) は完全列 \[0 \to F(J^n) \to F(I^{n + 1}) \to F(J^{n + 1}) \to 0\] に退化する。これから \(F(I^\bullet)\) が完全であることが従う。

\(LF\) の場合の証明は双対的である。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の完全関手とする。このとき

1. \(\mathcal{A}\) のすべての対象は \(F\) に関して右非輪状である。

2. \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) は至る所で定義される。

3. \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) は至る所で定義される。

4. すべての複体は \(RF\) を計算する。言い換えれば、すべての複体に対して標準写像 \(F(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\) は同型である。

5. \(i \not = 0\) に対して \(R^iF = 0\) である。

証明

\(F\) は非輪状複体を非輪状複体へ、擬同型を擬同型へ写すので、これは成り立つ。 詳細は省略する。

導来圏の三角部分圏

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。本節では、ある厳密充満飽和三角部分圏 \(\mathcal{D}' \subset D(\mathcal{A})\) を考察する。

\(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) を弱 Serre 部分圏とする。Homology, Definition 02MO および Lemma 0754 を参照せよ。

\(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) を、対象が \[\Ob(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) \text{ is an object of }\mathcal{B}\text{ for all }n\}\] である \(D(\mathcal{A})\) の充満部分圏とする。また \(D^{+}_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D^{+}(\mathcal{A}) \cap D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) と定め、他の有界版についても同様に定める。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) を弱 Serre 部分圏とする。 圏 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) は \(D(\mathcal{A})\) の 厳密充満飽和三角部分圏である。有界版についても同様である。

証明

\(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) が、平行移動関手で保たれる加法的部分圏であることは 明らかである。\(X \oplus Y\) が \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) に属するならば、

\(H^n(X \oplus Y) = H^n(X) \oplus H^n(Y)\) なので、\(H^n(X)\) と \(H^n(Y)\) はともに \(\mathcal{B}\) の対象間の射の核である。したがって \(X\) と \(Y\) はともに \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) に属する。ゆえに補題 05QX により、\(X\) と \(Y\) が \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) に属する完全三角 \((X, Y, Z, f, g, h)\) が与えられたとき、\(Z\) が \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) の対象であることを示せば十分である。 コホモロジー長完全列 (05ST) と 弱 Serre 部分圏の定義（Homology, Definition 02MO を参照）により、すべての \(n\) に対して \(H^n(Z)\) は \(\mathcal{B}\) の対象である。したがって \(Z\) は \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) の対象である。

引き続き、\(\mathcal{B}\) をアーベル圏 \(\mathcal{A}\) の弱 Serre 部分圏と仮定する。 このとき \(\mathcal{B}\) はアーベル圏であり、包含関手 \(\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) は完全である。したがって補題 015F により導来関手 \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) が得られる。関手 \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) が標準完全関手 [06UR]\[\begin{equation} D(\mathcal{B}) \longrightarrow D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \end{equation}\] を経由することは明らかである。実際、\(\mathcal{B}\) の対象からなる複体は 確かに \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) の対象を与える。また、 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) の完全三角は、その頂点が \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) に属する \(D(\mathcal{A})\) の完全三角にほかならない。 したがって \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) が完全であることから、 この関手も完全である。同様に有界版について、関手 \(D^+(\mathcal{B}) \to D^+_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)、 \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\)、および \(D^b(\mathcal{B}) \to D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) が得られる。多くの場合、表示された関手が圏同値であるかどうかが重要な問題となる。

ここで \(\mathcal{B}\) が \(\mathcal{A}\) の Serre 部分圏であると仮定する。 この場合、商関手 \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\) がある。 Homology, Lemma 02MS を参照せよ。 この場合 \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) は関手 \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) の核である。 したがって補題 05RJ により標準関手 \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] が得られる。有界版についても同様である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) を Serre 部分圏とする。このとき \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) は本質的全射である。

証明

Homology, Lemma 02MS の証明における 圏 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) の記述を用いる。 \((X^\bullet, d^\bullet)\) を \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) の複体とする。 これは、\(X^i\) が \(\mathcal{A}\) の対象であり、 \(d^i : X^i \to X^{i + 1}\) が \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) の射で、 \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) において \(d^i \circ d^{i - 1} = 0\) となることを意味する。

\(i \geq 0\) に対して \(d^i = (s^i, f^i)\) と書ける。ここで \(s^i : Y^i \to X^i\) は、その核と余核が \(\mathcal{B}\) に属する \(\mathcal{A}\) の射であり（同値なことに、\(s^i\) は商圏で同型となる）、 \(f^i : Y^i \to X^{i + 1}\) は \(\mathcal{A}\) の射である。 帰納法により可換図式 \[\xymatrix{ & (X')^1 \ar@{..>}[r] & (X')^2 \ar@{..>}[r] & \ldots \\ X^0 \ar@{..>}[ru] & X^1 \ar@{..>}[u] & X^2 \ar@{..>}[u] & \ldots \\ Y^0 \ar[u]_{s^0} \ar[ru]_{f^0} & Y^1 \ar[u]_{s^1} \ar[ru]_{f^1} & Y^2 \ar[u]_{s^2} \ar[ru]_{f^2} & \ldots }\] で、垂直な矢印 \(X^i \to (X')^i\) が商圏で同型となるものを構成する。 実際、まず \((X')^1 = \Coker(Y^0 \to X^0 \oplus X^1)\) （より正確には、矢印 \(s^0\) と \(f^0\) からなる図式の押し出し）と置けば、 最初の可換図式が得られる。次に \((X')^2 = \Coker(Y^1 \to (X')^1 \oplus X^2)\) と置き、以下同様に進める。 さらに \(n \leq 0\) に対して \((X')^n = X^n\) と置くと、写像 \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\) は \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) における複体の同型であることが分かる。 したがって \(n \geq 0\) に対して、\(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) が \(\mathcal{A}\) の写像 \(X^n \to X^{n + 1}\) によって与えられると仮定してよい。

双対的に、\(i < 0\) に対して \(d^i = (g^i, t^{i + 1})\) と書ける。ここで \(t^{i + 1} : X^{i + 1} \to Z^{i + 1}\) は商圏における同型であり、 \(g^i : X^i \to Z^{i + 1}\) は射である。帰納法により可換図式

\[\xymatrix{ \ldots & Z^{-2} & Z^{-1} & Z^0 \\ \ldots & X^{-2} \ar[u]_{t_{-2}} \ar[ru]_{g_{-2}} & X^{-1} \ar[u]_{t_{-1}} \ar[ru]_{g_{-1}} & X^0 \ar[u]_{t^0} \\ \ldots & (X')^{-2} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[r] & (X')^{-1} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[ru] }\] で、垂直な矢印 \((X')^i \to X^i\) が商圏で同型となるものを構成する。 実際、\((X')^{-1} = X^{-1} \times_{Z^0} X^0\) と置き、次に \((X')^{-2} = X^{-2} \times_{Z^{-1}} (X')^{-1}\) と置き、以下同様に進める。 さらに \(n \geq 0\) に対して \((X')^n = X^n\) と置くと、写像 \(((X')^\bullet, (d')^\bullet) \to (X^\bullet, d^\bullet)\) は \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) における複体の同型であることが分かる。 したがってすべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対して、 \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) が \(\mathcal{A}\) の写像 \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) によって与えられると仮定してよい。

この場合、合成 \(d^n \circ d^{n - 1}\) が \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) で零であることが分かっている。\(n > 0\) に対して \(X^n\) を \[(X')^n = X^n/\sum\nolimits_{0 < k \leq n} \Im(\Im(X^{k - 2} \to X^k) \to X^n)\] で置き換えると、\(n \geq 0\) に対して合成 \(d^n \circ d^{n - 1}\) は零となる。（上の第二段落と同様に、複体の同型 \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\) が得られる。） 最後に、\(n < 0\) に対して \(X^n\) を \[(X')^n = \bigcap\nolimits_{n \leq k < 0} (X^n \to X^k)^{-1}\Ker(X^k \to X^{k + 2})\] で置き換え、同様に議論すると、その \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) における像が 与えられた複体と同型であるような \(\mathcal{A}\) の複体が得られる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) を Serre 部分圏とする。 関手 \(v : \mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\) が左随伴 \(u : \mathcal{A}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) を持ち、 \(vu \cong \text{id}\) であると仮定する。このとき \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] であり、有界版についても同様である。

証明

補題 06XL により、関手 \(D(v) : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) は本質的全射である。 \(D(\mathcal{A})\) の対象 \(X\) に対する随伴写像 \(c_X : uvX \to X\) は \(D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) で同型へ写る。 実際、\(vu \cong \text{id}\) という仮定により \(vuv \cong v\) である。 したがって完全三角 \((uvX, X, Z, c_X, g, h)\) において、コホモロジー長完全列を 見れば、\(Z\) は \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) の対象であることが分かる。 ゆえに \(c_X\) は商圏 \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) を定義するための 乗法系の元である。したがって \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) において \(uvX \cong X\) である。

\(X, Y \in \Ob(\mathcal{A}))\) に対して写像 \[\Hom_{D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})}(X, Y) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{A}/\mathcal{B})}(vX, vY)\] は全単射である。上の注意により、\(u\) がその逆を与えるからである。

ある Serre 部分圏 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) に対しては、関手 \(D(\mathcal{B}) \to D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) が充満忠実であることを示せる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) を Serre 部分圏とする。 \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) かつ \(Y \in \Ob(\mathcal{B})\) である任意の全射 \(X \to Y\) に対して、\(Y\) へ全射となる \(X' \subset X\), \(X' \in \Ob(\mathcal{B})\) が存在すると仮定する。このとき (06UR) の関手 \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) は圏同値である。

証明

\(X^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の上に有界な複体で、すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(H^i(X^\bullet) \in \Ob(\mathcal{B})\) となるものとする。 さらに、すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(B^i \subset X^i\), \(B^i \in \Ob(\mathcal{B})\) が与えられているとする。 主張：次を満たす部分複体 \(Y^\bullet \subset X^\bullet\) が存在する。

1. \(Y^\bullet \to X^\bullet\) は擬同型である。

2. すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(Y^i \in \Ob(\mathcal{B})\) である。

3. すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(B^i \subset Y^i\) である。

この主張を示すため、まず補題の仮定を用いて、 \(H^i(X^\bullet)\) へ全射となる \(C^i \subset \Ker(d^i : X^i \to X^{i + 1})\), \(C^i \in \Ob(\mathcal{B})\) を選ぶ。 \(D^i = C^i + d^{i - 1}(B^{i - 1}) + B^i\) と置くと、(2) と (3) を満たす 部分複体 \(D^\bullet\) で、すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(H^i(D^\bullet) \to H^i(X^\bullet)\) が全射となるものが得られる。 \(E^i \subset X^i\), \(E^i \in \Ob(\mathcal{B})\) で \(d^i(E^i) \subset D^{i + 1} + E^{i + 1}\) を満たす任意の選択に対して、 \(Y^i = D^i + E^i\) と置けば、その各項が \(\mathcal{B}\) に属し、その コホモロジーが \(X^\bullet\) のコホモロジーへ全射となる部分複体が得られる。 明らかに、 \(d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\) ならば、コホモロジー上の写像は単射でもある。\(n \gg 0\) に対しては \(E^n\) を \(0\) と取れる。降下帰納法により、所望の性質を持つ \(E^i\) を すべての \(i\) に対して選べる。実際、 \(E^{i + 1}, E^{i + 2}, \ldots\) が与えられたとき、 \[d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\] となる \(E^i \subset X^i\) を選ぶ。これは補題の仮定と、 \(\mathcal{B}\) が \(\mathcal{A}\) の Serre 部分圏であるため \((D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\) が \(\mathcal{B}\) に属するという事実から 可能である。

上の主張から補題が従う。本質的全射性は主張から直ちに従う。 忠実性を証明しよう。\(\mathcal{B}\) の上に有界な複体の射 \(f : U^\bullet \to V^\bullet\) で、その \(D(\mathcal{A})\) における像が零となるものを 取る。このとき \(\mathcal{A}\) の上に有界な複体への擬同型 \(s : V^\bullet \to X^\bullet\) で、\(s \circ f\) が零とホモトピックとなるものが 存在する。\(0\) と \(s \circ f\) の間のホモトピー \(h^i : U^i \to X^{i - 1}\) を選ぶ。上の主張を \(B^i = h^{i + 1}(U^{i + 1}) + s^i(V^i)\) に適用する。 得られる写像 \(s' : V^\bullet \to Y^\bullet\) も擬同型であり、 \(h^i\) が \(Y^{i - 1}\) を経由することから明らかなように、 \(s' \circ f\) は零とホモトピックである。これで忠実性が示された。

充満忠実性もまったく同じ方法で示される。

入射分解

本節では、十分多くの入射対象を持つアーベル圏における入射分解の存在に関する いくつかの補題を証明する。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(A \in \Ob(\mathcal{A})\) とする。 \(A\) の入射分解とは、複体 \(I^\bullet\) と写像 \(A \to I^0\) であって、 次を満たすものをいう。

1. \(n < 0\) に対して \(I^n = 0\) である。

2. 各 \(I^n\) は \(\mathcal{A}\) の入射対象である。

3. 写像 \(A \to I^0\) は \(\Ker(d^0)\) への同型である。

4. \(i > 0\) に対して \(H^i(I^\bullet) = 0\) である。

したがって \(A[0] \to I^\bullet\) は擬同型である。言い換えれば、複体 \[\ldots \to 0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] は非輪状である。\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体とする。 \(K^\bullet\) の入射分解とは、複体 \(I^\bullet\) と複体の写像 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) であって、次を満たすものをいう。

1. \(n \ll 0\) に対して \(I^n = 0\)、すなわち \(I^\bullet\) は下に有界である。

2. 各 \(I^n\) は \(\mathcal{A}\) の入射対象である。

3. 写像 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) は擬同型である。

言い換えれば、入射分解 \(K^\bullet \to I^\bullet\) は図式 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[d] \ar[r] & K^n \ar[d] \ar[r] & K^{n + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & I^{n - 1} \ar[r] & I^n \ar[r] & I^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] を与え、これは各次数のコホモロジー対象上で同型を誘導する。 \(\mathcal{A}\) の対象 \(A\) の入射分解は、複体 \(A[0]\) の入射分解とほぼ同じものである。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体とする。

1. \(K^\bullet\) が入射分解を持つならば、\(n \ll 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) である。

2. すべての \(n \ll 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(L^\bullet\) が下に有界である擬同型 \(K^\bullet \to L^\bullet\) が存在する。

証明

省略する。第二の主張には、ある \(n \ll 0\) に対して \(L^\bullet = \tau_{\geq n}K^\bullet\) と取ればよい。 切断 \(\tau_{\geq n}\) の定義については Homology, Section 0118 を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。

1. \(\mathcal{A}\) の任意の対象は入射分解を持つ。

2. すべての \(n \ll 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(K^\bullet\) は入射分解を持つ。

3. \(K^\bullet\) が \(n < a\) に対して \(K^n = 0\) となる複体ならば、 各 \(\alpha^n : K^n \to I^n\) が単射であり、\(n < a\) に対して \(I^n = 0\) となる入射分解 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) が存在する。

証明

(1) を証明する。まず \(A\) から \(\mathcal{A}\) の入射対象への単射 \(A \to I^0\) を選ぶ。次に、

\(\mathcal{A}\) の入射対象への単射 \(I_0/A \to I^1\) を選ぶ。 誘導される写像 \(I^0 \to I^1\) を \(d^0\) と書く。次に、 \(\mathcal{A}\) の入射対象への単射 \(I^1/\Im(d^0) \to I^2\) を選び、 誘導される写像 \(I^1 \to I^2\) を \(d^1\) と書く。以下同様に進める。 補題 013J により、(2) は (3) から従う。 (3) は補題 05T6 の特別な場合である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(K^\bullet\) を非輪状複体とし、 \(I^\bullet\) を入射対象からなる下に有界な複体とする。 任意の射 \(K^\bullet \to I^\bullet\) は零とホモトピックである。

証明

\(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) を複体の射とする。\(I^\bullet\) は 下に有界なので、\(j \ll 0\) に対して \(\alpha^j = 0\) であることに注意する。 特に、\(j \leq n\) に対する \(h^j : K^j \to I^{j - 1}\) で、 \(j < n\) に対して \(\alpha^j = d^{j - 1} \circ h^j + h^{j + 1} \circ d^j\) となるものが存在するような \(n\) を取れる。 \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\) となる射 \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\) が存在することを示す。

\[\begin{align*} (\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}) \circ d^{n - 1} & = \alpha^{n - 1} \circ d^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ \alpha^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ (d^{n - 2} \circ h^{n - 1} + h^n \circ d^{n - 1}) - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = 0 \end{align*}\] \(K^\bullet\) は非輪状なので \(d^{n - 1}(K^{n - 1}) = \Ker(K^n \to K^{n + 1})\) である。 したがって \(\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}\) を、 \(K^{n + 1}\) の部分対象 \(\Im(K^n \to K^{n + 1})\) 上で定義された \(I^n\) への写像とみなせる。対象 \(I^n\) の入射性により、これを写像 \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\) へ拡張できる。この選択に対して実際に \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\) となることは容易に確かめられる。

\(n\) に関する帰納法により、所望の \(\alpha\) と \(0\) の間のホモトピーをなす \(h = (h^j)_{j \in \mathbf{Z}}\) が得られる。

注意

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(K(\mathcal{A})\) が三角圏であることと 補題 013R を用いれば、通常は図式追跡で証明される 以下の補題のいくつかについて別の証明が得られる。 実際、\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を複体の擬同型とする。このとき \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] は \(K(\mathcal{A})\) の完全三角であり （補題 014L）、 \(C(\alpha)^\bullet\) は非輪状複体である（補題 05RT）。 次に、\(I^\bullet\) を入射対象からなる下に有界な複体とする。このとき \[\xymatrix{ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] はアーベル群の完全列である。補題 0149 を 参照せよ。ここで補題 013R により両端の二群は零であり、 したがって \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\) である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。実線からなる図式 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] を考える。ここで \(I^\bullet\) は入射対象からなる下に有界な複体であり、 \(\alpha\) は擬同型である。

1. ホモトピーを除いて図式を可換にする複体の写像 \(\beta\) が存在する。

2. \(\alpha\) が各次数で単射ならば、図式を可換にする \(\beta\) を取れる。

証明

(1) の「正しい」証明は Remark 05TF で説明した。 ここでは直接的な証明も与える。

まず (2) から (1) が従うことを示す。補題 013N と同じく、

\(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\) を取る。 \(\tilde \alpha\) は単射なので、(2) により \(\gamma = \tilde \beta \circ \tilde \alpha\) となる射 \(\tilde \beta : \tilde L^\bullet \to I^\bullet\) が存在する。 \(\beta = \tilde \beta \circ s\) と置く。このとき所望のとおり \[\beta \circ \alpha = \tilde \beta \circ s \circ \pi \circ \tilde \alpha \sim \tilde \beta \circ \tilde \alpha = \gamma\] である。

\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) が単射であると仮定する。 すべての次数 \(\leq n - 1\) で \(\beta\) が既に定義され、微分と両立し、 すべての \(j \leq n - 1\) に対して \(\gamma^j = \beta^j \circ \alpha^j\) となると仮定する。 実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ K^{n - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]_\gamma \ar[d]^\alpha & K^n \ar@/^2pc/[dd]^\gamma \ar[d]^\alpha \\ L^{n - 1} \ar[r] \ar[d]^\beta & L^n \ar@{-->}[d] \\ I^{n - 1} \ar[r] & I^n }\] を考える。点線の矢印は部分対象 \(\alpha(K^n)\) と \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\) 上で指定されることが分かる。さらに、この二つの矢印は \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1}))\) 上で一致する。したがって [013Q]\[\begin{equation} \alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) = \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1}) \end{equation}\] ならば、これらの射は貼り合わされて射 \(\alpha(K^n) + d^{n - 1}(L^{n - 1}) \to I^n\) となり、 \(I^n\) の入射性を用いて \(L^n\) 全体から \(I^n\) への射へ拡張できる。 この後、帰納法によりすべての \(n\) に対する射 \(\beta\) が同時に得られる （\(I^\bullet\) は下に有界なので、すべての \(n \ll 0\) に対して \(\beta^n = 0\) と置ける。このようにして帰納法を開始する）。

残るのは等式 (013Q) の証明である。適切な図式追跡によって 各自で示すことを勧めるが、以下に議論を与える。 包含 \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) \subset \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\) は明らかである。\(\mathcal{A}\) の対象 \(T\) と、その像が部分対象 \(\alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\) に含まれる射 \(x : T \to L^n\) を取る。\(\alpha\) は単射なので、ある \(x' : T \to K^n\) に対して \(x = \alpha \circ x'\) である。 さらに \(x\) は \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\) に属するので \(d^n \circ x = 0\) である。再び \(\alpha\) の単射性により \(d^n \circ x' = 0\) である。したがって \(x'\) は射 \([x'] : T \to H^n(K^\bullet)\) を与える。一方、\(x\) が誘導する対応する写像 \([x] : T \to H^n(L^\bullet)\) は仮定により零である。 \(\alpha\) は擬同型なので、\([x'] = 0\) と結論できる。これはまさに \(x'\) の像が \(d^{n - 1}(K^{n - 1})\) に含まれることを意味し、証明が終わる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。実線からなる図式 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] を考える。ここで \(I^\bullet\) は入射対象からなる下に有界な複体であり、 \(\alpha\) は擬同型である。ホモトピーを除いて図式を可換にする任意の二射 \(\beta_1, \beta_2\) は互いにホモトピックである。

証明

これは Remark 05TF から従う。 ここでも直接的な議論を与える。

補題 013N と同じく、

\(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\) を取る。 \(\beta_1 \circ\pi\) が \(\beta_2 \circ \pi\) とホモトピックであることを示せれば、 \(\pi \circ s\) は恒等射なので \(\beta_1 \sim \beta_2\) が従う。 したがって、すべての \(n\) に対して \(\alpha^n : K^n \to L^n\) が直和因子の包含であると仮定してよい。 このとき複体の短完全列 \[0 \to K^\bullet \to L^\bullet \to M^\bullet \to 0\] で、項ごとに分裂し、\(M^\bullet\) が非輪状であるものが得られる。 分裂 \(L^n = K^n \oplus M^n\) を選ぶ。すると \(\beta_i^n : K^n \oplus M^n \to I^n\) および \(\gamma^n : K^n \to I^n\) がある。この場合、\(\beta_i\) に関する条件は、 射 \(h_i^n : K^n \to I^{n - 1}\) で \[\gamma^n - \beta_i^n|_{K^n} = d \circ h_i^n + h_i^{n + 1} \circ d\] となるものが存在することである。したがって \[\beta_1^n|_{K^n} - \beta_2^n|_{K^n} = d \circ (h_1^n - h_2^n) + (h_1^{n + 1} - h_2^{n + 1}) \circ d\] である。第一因子上で \(h_1^n - h_2^n\) に等しく、第二因子上で零となる写像 \(h^n : K^n \oplus M^n \to I^{n - 1}\) を考える。このとき

\[\beta_1^n - \beta_2^n - (d \circ h^n + h^{n + 1}) \circ d\] は複体の射 \(L^\bullet \to I^\bullet\) であり、部分複体 \(K^\bullet\) 上で 恒等的に零である。したがってこれは \(L^\bullet \to M^\bullet \to I^\bullet\) と分解する。 ゆえに補題 013R から本補題の結論が従う。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(I^\bullet\) を入射対象からなる下に有界な 複体とし、\(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\) とする。このとき \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]

証明

\(a\) を右辺の元とする。ここで \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) は擬同型、 \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\) は複体の写像として、 \(a = \gamma\alpha^{-1}\) と表示できる。補題 013P により、\(\beta \circ \alpha\) が \(\gamma\) と ホモトピックになるような射 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) を取れる。 これで写像が全射であることが示された。\(b\) を左辺の元で、右辺で零へ写るものとする。 このとき \(b\) は射 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) のホモトピー類であり、 \(\beta \circ \alpha\) が零とホモトピックとなるような擬同型 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) が存在する。補題 013S により \(\beta\) 自身も零と ホモトピックである。すなわち \(b = 0\) である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) の任意の短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) に対して、 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) に可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & I_3^\bullet \ar[r] & 0 }\] であって、垂直な矢印が入射分解で、各行が複体の短完全列となるものが存在する。 さらに、次が成り立つ。

1. 任意の入射分解 \(A^\bullet \to I^\bullet\) が与えられたとき、 \(I_1^\bullet = I^\bullet\) と仮定してよい。

2. \(n < 0\) に対して \(A^n = B^n = C^n = 0\) ならば、 \(n < 0\) に対して \(I_j^n = 0\) と仮定してよい。

3. さらに \(n < 0\) に対して \(I^n = 0\) ならば、(1) と (2) を同時に満たせる。

4. ここにさらに追加する。

証明

ステップ 1。入射分解 \(A^\bullet \to I^\bullet\) を選ぶ （補題 013K を参照）か、与えられたものを用いる。 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) はアーベル圏であることを思い出そう。 Homology, Lemma 0114 を参照せよ。 したがって写像 \(A^\bullet \to I^\bullet\) に沿った押し出しを作ると、 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] が得られる。\(5\)-補題と Homology, Lemma 0117 の最後の主張により、 写像 \(B^\bullet \to E^\bullet\) は擬同型である。下の短完全列は項ごとに 分裂することに注意する。Homology, Lemma 0136 を参照せよ。したがって \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) が項ごとに分裂する場合に 補題を証明すれば十分である。

ステップ 2。分裂を選ぶ。すなわち \(B^n = A^n \oplus C^n\) と書く。 Homology, Lemma 011J と同じく、 射 \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\) を書く。 入射分解 \(f_1 : A^\bullet \to I_1^\bullet\) と \(f_3 : C^\bullet \to I_3^\bullet\) を選ぶ。 （\(A^\bullet\) が入射対象からなる複体ならば \(I_1^\bullet = A^\bullet\) を用いる。\(n < 0\) に対して \(A^n = C^n = 0\) ならば、補題 013K により \(n < 0\) に対して \(I_1^n = I_3^n = 0\) となるように選ぶ。） \(f_3\) は各次数で単射であると仮定してよい。補題 013P により、複体の射の等式 \(\delta' \circ f_3 = f_1[1] \circ \delta\) を満たす射 \(\delta' : I_3^\bullet \to I_1^\bullet[1]\) を取れる。 \(I_2^n = I_1^n \oplus I_3^n\) と置き、 \[d_{I_2}^n = \left( \begin{matrix} d_{I_1}^n & (\delta')^n \\ 0 & d_{I_3}^n \end{matrix} \right)\] と定める。また、写像 \(B^n \to I_2^n\) を、写像 \(A^n \to I_1^n\) と \(C^n \to I_3^n\) の和によって定める。 すべて明らかである。

射影分解

本節は Section 013G の双対である。 定義と結果の主張を与えるが、補題は再証明しない。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(A \in \Ob(\mathcal{A})\) とする。 \(A\) の射影分解とは、複体 \(P^\bullet\) と写像 \(P^0 \to A\) であって、 次を満たすものをいう。

1. \(n > 0\) に対して \(P^n = 0\) である。

2. 各 \(P^n\) は \(\mathcal{A}\) の射影対象である。

3. 写像 \(P^0 \to A\) は同型 \(\Coker(d^{-1}) \to A\) を誘導する。

4. \(i < 0\) に対して \(H^i(P^\bullet) = 0\) である。

したがって \(P^\bullet \to A[0]\) は擬同型である。言い換えれば、複体 \[\ldots \to P^{-1} \to P^0 \to A \to 0 \to \ldots\] は非輪状である。\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体とする。 \(K^\bullet\) の射影分解とは、複体 \(P^\bullet\) と複体の写像 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) であって、次を満たすものをいう。

1. \(n \gg 0\) に対して \(P^n = 0\)、すなわち \(P^\bullet\) は上に有界である。

2. 各 \(P^n\) は \(\mathcal{A}\) の射影対象である。

3. 写像 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) は擬同型である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の複体とする。

1. \(K^\bullet\) が射影分解を持つならば、\(n \gg 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) である。

2. \(n \gg 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(L^\bullet\) が上に有界である擬同型 \(L^\bullet \to K^\bullet\) が存在する。

証明

補題 013J の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) は十分多くの射影対象を持つと仮定する。

1. \(\mathcal{A}\) の任意の対象は射影分解を持つ。

2. すべての \(n \gg 0\) に対して \(H^n(K^\bullet) = 0\) ならば、 \(K^\bullet\) は射影分解を持つ。

3. \(K^\bullet\) が \(n > a\) に対して \(K^n = 0\) となる複体ならば、 各 \(\alpha^n : P^n \to K^n\) が全射であり、\(n > a\) に対して \(P^n = 0\) となる射影分解 \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) が存在する。

証明

補題 013K の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(K^\bullet\) を非輪状複体とし、 \(P^\bullet\) を射影対象からなる上に有界な複体とする。 任意の射 \(P^\bullet \to K^\bullet\) は零とホモトピックである。

証明

補題 013R の双対である。

注意

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を 複体の擬同型とし、\(P^\bullet\) を射影対象からなる上に有界な複体とする。このとき \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) \longrightarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet)\] は同型である。これは Remark 05TF の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。実線からなる図式 \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_\beta }\] を考える。ここで \(P^\bullet\) は射影対象からなる上に有界な複体であり、 \(\alpha\) は擬同型である。

1. ホモトピーを除いて図式を可換にする複体の写像 \(\beta\) が存在する。

2. \(\alpha\) が各次数で全射ならば、図式を可換にする \(\beta\) を取れる。

証明

補題 013P の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。実線からなる図式 \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_{\beta_i} }\] を考える。ここで \(P^\bullet\) は射影対象からなる上に有界な複体であり、 \(\alpha\) は擬同型である。ホモトピーを除いて図式を可換にする任意の二射 \(\beta_1, \beta_2\) は互いにホモトピックである。

証明

補題 013S の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(P^\bullet\) を射影対象からなる上に有界な 複体とし、\(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\) とする。このとき \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet).\]

証明

補題 05TG の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) は十分多くの射影対象を持つと仮定する。

\(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) の任意の短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) に対して、 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) に可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & P_1^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_2^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_3^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] であって、垂直な矢印が射影分解で、各行が複体の短完全列となるものが存在する。 実際、任意の射影分解 \(P^\bullet \to C^\bullet\) が与えられたとき、 \(P_3^\bullet = P^\bullet\) と仮定してよい。

証明

補題 013T の双対である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(P^\bullet\), \(K^\bullet\) を複体とし、 \(n \in \mathbf{Z}\) とする。次を仮定する。

1. \(P^\bullet\) は射影対象からなる有界複体である。

2. \(i < n\) に対して \(P^i = 0\) である。

3. \(i \geq n\) に対して \(H^i(K^\bullet) = 0\) である。

このとき \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = 0\) である。

証明

第一の等式は補題 064B から従う。 Remark 08J5 により完全三角 \[(\tau_{\leq n - 1}K^\bullet, K^\bullet, \tau_{\geq n}K^\bullet, f, g, h)\] があることに注意する。したがって補題 0149 により、 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\leq n - 1}K^\bullet) = 0\) および \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\geq n} K^\bullet) = 0\) を示せば十分である。第一の消滅は自明であり、第二は補題 0647 である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\beta : P^\bullet \to L^\bullet\) と \(\alpha : E^\bullet \to L^\bullet\) を複体の写像とし、 \(n \in \mathbf{Z}\) とする。次を仮定する。

1. \(P^\bullet\) は射影対象からなる有界複体であり、 \(i < n\) に対して \(P^i = 0\) である。

2. \(H^i(\alpha)\) は \(i > n\) に対して同型であり、\(i = n\) に対して全射である。

このとき、\(\alpha \circ \gamma\) と \(\beta\) がホモトピックになる複体の写像 \(\gamma : P^\bullet \to E^\bullet\) が存在する。

証明

錐 \(C^\bullet = C(\alpha)^\bullet\) と写像 \(i : L^\bullet \to C^\bullet\) を考える。補題 064D により \(i \circ \beta\) は零である。 したがって補題 0149 により \(\beta\) を \(E^\bullet\) へ持ち上げられる。

右導来関手と入射分解

ここまでの結果を用いると、十分多くの入射対象を持つアーベル圏から一般の アーベル圏への加法的関手の右導来関手を定義できる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(I \in \Ob(\mathcal{A})\) を入射対象とし、 \(I^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の入射対象からなる下に有界な複体とする。

1. 任意の三角圏 \(\mathcal{D}\) への任意の完全関手 \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) に対して、 \(I^\bullet\) は \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) に関する \(RF\) を計算する。

2. 任意のアーベル圏 \(\mathcal{B}\) への任意の加法的関手 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) に対して、\(I\) は右非輪状である。

証明

(2) は (1) と定義 0157 の直接の帰結である。 (1) を証明するため、複体への擬同型 \(\alpha : I^\bullet \to K^\bullet\) を取る。補題 013P により、\(\alpha\) は左逆を持つ。したがって圏 \(I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) は \(\text{id} : I^\bullet \to I^\bullet\) を値として本質的に定値である。 ゆえに ind-対象 \[I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (I^\bullet \to K^\bullet) \longmapsto F(K^\bullet)\] も \(F(I^\bullet)\) を値として本質的に定値である。これで (1) が示された。 定義 05S9 および 05SX を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。

1. 任意の三角圏 \(\mathcal{D}\) への任意の完全関手 \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) に対して、右導来関手 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] は至る所で定義される。

2. 任意のアーベル圏 \(\mathcal{B}\) への任意の加法的関手 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) に対して、右導来関手 \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] は至る所で定義される。

証明

第二の主張には補題 05TH と命題 05TA を組み合わせる。第一の主張には補題 013K、補題 05TH、補題 05T1、および式 (05SW) を組み合わせる。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とし、 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) を加法的関手とする。

1. 関手 \(RF\) は完全関手 \(D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) である。

2. 関手 \(RF\) は完全関手 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) を誘導する。

3. 関手 \(RF\) は \(\delta\)-関手 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) を誘導する。

4. 関手 \(RF\) は \(\delta\)-関手 \(\mathcal{A} \to D^{+}(\mathcal{B})\) を誘導する。

証明

本補題は、これまでに得た結果のいくつかをまとめたものにすぎない。 補題 05TI により \(RF\) は 至る所で定義されることに注意する。参照先を挙げる。

1. 導来関手が完全であることは、補題 05SC に帰着する。

2. \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) は完全であり、 完全関手の合成は完全なので成り立つ。

3. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) は \(\delta\)-関手なので成り立つ。補題 0152 を参照せよ。

4. \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) は完全であり、 \(\delta\)-関手に完全関手を前合成すると \(\delta\)-関手が得られるので成り立つ。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とし、 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) を左完全関手とする。

1. \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) の複体の任意の短完全列 \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) に対して、 付随する長完全列 \[\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots\] がある。

2. 関手 \(R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) は \(i < 0\) に対して零である。 また \(R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) である。

3. \(i > 0\) かつ \(I\) が入射的ならば \(R^iF(I) = 0\) である。

4. 列 \((R^iF, \delta)\) は \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}\) への 普遍 \(\delta\)-関手をなす（Homology, Definition 010S を参照）。

証明

本補題は、これまでに得た結果のいくつかをまとめたものにすぎない。 補題 05TI により \(RF\) は 至る所で定義されることに注意する。参照先を挙げる。

1. 補題 0159 の (3) と、 \(D^{+}(\mathcal{B})\) に対するコホモロジー長完全列 (05ST) から従う。

2. これは補題 05TD である。

3. これは入射対象が非輪状であるという事実である。

4. これは補題 05TE である。

Cartan–Eilenberg 分解

本節は拡張の余地がある。ここでの内容は一般化でき、より多くの場合に適用できる。 分解に入射対象を用いる必要はなく、状況によっては非有界の場合にもこの方法は働く。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K^\bullet\) を下に有界な複体とする。 \(K^\bullet\) の Cartan–Eilenberg 分解とは、二重複体 \(I^{\bullet, \bullet}\) と複体の射 \(\epsilon : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\) であって、次の性質を持つものをいう。

1. ある \(i \ll 0\) が存在し、すべての \(p < i\) とすべての \(q\) に対して \(I^{p, q} = 0\) である。

2. \(q < 0\) ならば \(I^{p, q} = 0\) である。

3. 複体 \(I^{p, \bullet}\) は \(K^p\) の入射分解である。

4. 複体 \(\Ker(d_1^{p, \bullet})\) は \(\Ker(d_K^p)\) の入射分解である。

5. 複体 \(\Im(d_1^{p, \bullet})\) は \(\Im(d_K^p)\) の入射分解である。

6. 複体 \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\) は \(H^p(K^\bullet)\) の入射分解である。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とし、 \(K^\bullet\) を下に有界な複体とする。このとき \(K^\bullet\) の Cartan–Eilenberg 分解が存在する。

証明

\(p < n\) に対して \(K^p = 0\) と仮定する。\(K^\bullet\) を次のように短完全列へ 分解する。\(Z^p = \Ker(d^p)\), \(B^p = \Im(d^{p - 1})\), \(H^p = Z^p/B^p\) と置き、 \[\begin{matrix} 0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to Z^{n + 1} \to K^{n + 1} \to B^{n + 2} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 2} \to Z^{n + 2} \to H^{n + 2} \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] を考える。\(p < n\) に対して \(I^{p, q} = 0\) と置く。 帰納的に、次のように入射分解を選ぶ。

1. \(m < 0\) に対して \(J_Z^{n, m} = 0\) となる入射分解 \(Z^n \to J_Z^{n, \bullet}\) を選ぶ。補題 013K を参照せよ。

2. 補題 013T を用いて、入射分解 \(K^n \to I^{n, \bullet}\) と \(B^{n + 1} \to J_B^{n + 1, \bullet}\) で、\(m < 0\) に対して \(I^{n, m} = 0\)、かつ \(m < 0\) に対して \(J_B^{n + 1, m} = 0\) となるもの、 および短完全列 \(0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0\) と両立する複体の完全列 \(0 \to J_Z^{n, \bullet} \to I^{n, \bullet} \to J_B^{n + 1, \bullet} \to 0\) を選ぶ。

3. 補題 013T を用いて、入射分解 \(Z^{n + 1} \to J_Z^{n + 1, \bullet}\) と \(H^{n + 1} \to J_H^{n + 1, \bullet}\) で、\(m < 0\) に対して \(J_Z^{n + 1, m} = 0\)、かつ \(m < 0\) に対して \(J_H^{n + 1, m} = 0\) となるもの、および 短完全列 \(0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0\) と 両立する複体の完全列 \(0 \to J_B^{n + 1, \bullet} \to J_Z^{n + 1, \bullet} \to J_H^{n + 1, \bullet} \to 0\) を選ぶ。

4. 以下同様である。

写像 \(d_1^\bullet : I^{p, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\) を合成 \(I^{p, \bullet} \to J_B^{p + 1, \bullet} \to J_Z^{p + 1, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\) とすれば、すべて明らかである。

補題

\(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の左完全関手とする。 \(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体とし、 \(I^{\bullet, \bullet}\) を \(K^\bullet\) の Cartan–Eilenberg 分解とする。 二重複体 \(F(I^{\bullet, \bullet})\) に付随するスペクトル系列 \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) と \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) は関係式 \[{}'E_1^{p, q} = R^qF(K^p) \quad \text{and} \quad {}''E_2^{p, q} = R^pF(H^q(K^\bullet))\] を満たす。さらに、これらのスペクトル系列は有界で、 \(H^*(RF(K^\bullet))\) に収束し、\(H^n(RF(K^\bullet))\) 上に誘導される 付随フィルトレーションは有限である。

証明

以下の注意を断りなく用いる。

1. \(I^{p, \bullet}\) は \(K^p\) の入射分解なので、\(RF\) は \(K^p[0]\) で定義され、その値は \(F(I^{p, \bullet})\) である。

2. \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\) は \(H^p(K^\bullet)\) の入射分解なので、 導来関手 \(RF\) は \(H^p(K^\bullet)[0]\) で定義され、その値は \(F(H^p_I(I^{\bullet, \bullet}))\) である。

3. Homology, Lemma 0133 により、全複体 \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) は \(K^\bullet\) の入射分解である。 したがって \(RF\) は \(K^\bullet\) で定義され、その値は \(F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\) である。

二重複体 \(L^{\bullet, \bullet} = F(I^{\bullet, \bullet})\) に付随する二つの スペクトル系列を考える。Homology, Lemma 0130 を参照せよ。これらはいずれも有界で、 \(H^*(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\) に収束し、 \(H^n(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\) 上に有限フィルトレーションを誘導する。 Homology, Lemma 0132 を参照せよ。 \[\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}) = \text{Tot}(F(I^{\bullet, \bullet})) = F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\] は \(RF(K^\bullet)\) を計算するので、補題の最後の主張が成り立つ。

第一スペクトル系列を計算する。 \({}'E_1^{p, q} = H^q(L^{p, \bullet})\)、言い換えれば所望のとおり \[{}'E_1^{p, q} = H^q(F(I^{p, \bullet})) = R^qF(K^p)\] である。後で用いるため、写像 \({}'d_1^{p, q} : {}'E_1^{p, q} \to {}'E_1^{p + 1, q}\) は、 \(K^p \to K^{p + 1}\) と \(R^qF\) が関手であることから誘導される写像 \(R^qF(K^p) \to R^qF(K^{p + 1})\) であることに注意する。

第二スペクトル系列を計算する。 \({}''E_1^{p, q} = H^q(L^{\bullet, p}) = H^q(F(I^{\bullet, p}))\) である。 複体 \(I^{\bullet, p}\) は下に有界で、入射対象からなり、さらに微分の各核、像、 およびコホモロジー群は \(\mathcal{A}\) の入射対象であることに注意する。 したがって微分を分裂できる。すなわち各微分は、直和因子への分裂全射である。 \(F\) を適用した後にも同じことが成り立つ。ゆえに \({}''E_1^{p, q} = F(H^q(I^{\bullet, p})) = F(H^q_I(I^{\bullet, p}))\) である。

この上の微分は、\(H^p(K^\bullet)\) の入射分解である複体 \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\) の微分に \(F\) を適用したものの \((-1)^q\) 倍である。これで \(E_2\) 項の記述が得られる。

注意

補題 015J のスペクトル系列は、複体 \(K^\bullet\) に関して関手的である。これは Cartan–Eilenberg 分解の 関手性から従う。一方、これらはいずれも、\(\mathcal{A}\) の フィルトレーション付き複体に付随させられる、より一般のスペクトル系列の例である。 その関手性は構成から従う。フィルトレーション付き導来圏を扱う節でこの点に戻る。 Remark 015X を参照せよ。

右導来関手の合成

合成の右導来関手を計算できる場合がある。

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) をアーベル圏とする。 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) および \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) を左完全関手とする。右導来関手 \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\), \(RG : D^{+}(\mathcal{B}) \to D^{+}(\mathcal{C})\), および \(R(G \circ F) : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{C})\) が至る所で定義されると仮定する。このとき \(D^{+}(\mathcal{A})\) から \(D^{+}(\mathcal{C})\) への関手の間の 標準自然変換 \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF\] が存在する。補題 05T2 を参照せよ。 この変換は常に同型であるとは限らない。

補題

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) をアーベル圏とする。 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) および \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) を左完全関手とする。 \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 次の条件は同値である。

1. \(\mathcal{A}\) の各入射対象 \(I\) に対して、\(F(I)\) は \(G\) に関して右非輪状である。

2. 標準写像

   \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF.\] は \(D^{+}(\mathcal{A})\) から \(D^{+}(\mathcal{C})\) への関手の同型である。

証明

(2) が成り立つなら、同型 \(t\) を \(RF(I) = F(I)\) において評価すれば (1) が従う。逆に (1) が成り立つと仮定する。 \(A^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体とし、 入射分解 \(A^\bullet \to I^\bullet\) を選ぶ。写像 \(t\) は （補題 05T2 の証明を参照） 次の写像によって与えられる。

\[R(G \circ F)(A^\bullet) = (G \circ F)(I^\bullet) = G(F(I^\bullet))) \to RG(F(I^\bullet)) = RG(RF(A^\bullet))\] ここで矢印は補題 015E により同型である。

補題

補題 015M と同じ仮定のもとで、 その同値な条件 (1), (2) が成り立つと仮定する。 \(X\) を \(D^{+}(\mathcal{A})\) の対象とする。 \(\mathcal{C}\) の二重次数付き対象 \(E_r\) からなるスペクトル系列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) で、\(d_r\) の双次数が \((r, - r + 1)\) であり、かつ \[E_2^{p, q} = R^pG(H^q(RF(X)))\] となるものが存在する。さらに、このスペクトル系列は有界で、 \(H^*(R(G \circ F)(X))\) に収束し、各 \(H^n(R(G \circ F)(X))\) 上に有限フィルトレーションを誘導する。

\(\mathcal{A}\) の対象 \(A\) に対しては \(E_2^{p, q} = R^pG(R^qF(A))\) が \(R^{p + q}(G \circ F)(A)\) に収束する。

証明

\(X\) を下に有界な複体 \(A^\bullet\) で表してよい。 入射分解 \(A^\bullet \to I^\bullet\) を選ぶ。 補題 015I を用いて Cartan–Eilenberg 分解 \(F(I^\bullet) \to I^{\bullet, \bullet}\) を選ぶ。 補題 015J の第二スペクトル系列を適用する。

分解関手

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(\mathcal{I}\) で、対象が \(\mathcal{A}\) の入射対象である \(\mathcal{A}\) の充満加法部分圏を表す。この場合 \(K^{+}(\mathcal{I})\) と \(D^{+}(\mathcal{A})\) は同値であることが分かる （命題 013V を参照）。 したがって多くの目的において、この場合の \(D^{+}(\mathcal{A})\) を （より把握しやすい）圏 \(K^{+}(\mathcal{I})\) と考えることが有用である。

命題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) で、対象が \(\mathcal{A}\) の 入射対象である厳密充満加法部分圏を表す。関手 \[K^{+}(\mathcal{I}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\] は完全かつ充満忠実で本質的全射である。すなわち三角圏の同値である。

証明

この関手が完全であることは明らかである。 補題 013K により本質的全射である。 充満忠実性は補題 05TG から従う。

命題 013V により、分解関手を見つけることができる。 実際、アーベル圏 \(\mathcal{A}\) が「大きい」圏、すなわち対象が類をなす場合にも、 分解関手の存在を証明できることがある。

定義

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(\mathcal{A}\) のit 分解関手⁸ とは、次のデータのことである。

1. すべての \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\) に対する、 入射対象からなる下に有界な複体 \(j(K^\bullet)\)。

2. すべての \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\) に対する、 擬同型 \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\)。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 分解関手 \((j, i)\) が与えられたとき、\(j\) を関手にし、 \(i\) を \(2\)-同型にして、\(2\)-可換図 \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd] \ar[rr]_j & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld] \\ & D^{+}(\mathcal{A}) }\] を生じさせる仕方が一意に存在する。ここで \(\mathcal{I}\) は、 入射対象からなる \(\mathcal{A}\) の充満加法部分圏である。

証明

\(K^{+}(\mathcal{A})\) の各射 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) に対して、\(K^{+}(\mathcal{I})\) における一意な射 \(j(\alpha) : j(K^\bullet) \to j(L^\bullet)\) で、 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_{i_{K^\bullet}} & L^\bullet \ar[d]^{i_{L^\bullet}} \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(\alpha)} & j(L^\bullet) }\] が \(K^{+}(\mathcal{A})\) において可換となるものが存在する。 これを見るには補題 013P と 013S、または同値な補題 05TG を用いればよい。 一意性から \(j\) は関手であり、図の可換性から \(i\) は、 補題の主張にある圏の図の \(2\)-可換性を立証する \(2\)-射を与える。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 このとき分解関手 \(j\) が存在し、関手の一意な同型を除いて一意である。

証明

\(K^{+}(\mathcal{A})\) のすべての対象 \(K^\bullet\) からなる集合を考える。 （別途言及しない限り、どの圏も対象の集合を持つという規約を思い出そう。） 補題 013K により、各対象は入射分解を持つ。 選択公理により、各 \(K^\bullet\) に対して入射分解 \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\) を選ぶことができる。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 任意の分解関手 \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) は完全である。

証明

定義 013W の標準写像を \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\) と表す。 まず、関手的同型 \(j(K^\bullet[1]) \to j(K^\bullet)[1]\) の存在を論じる。 図 \[\xymatrix{ K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet[1]}} \ar@{=}[rr] & & K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet}[1]} \\ j(K^\bullet[1]) \ar@{..>}[rr]^{\xi_{K^\bullet}} & & j(K^\bullet)[1] }\] を考える。補題 013P と 013S により、 \(K^{+}(\mathcal{I})\) において一意な点線矢印 \(\xi_{K^\bullet}\) で、 図を \(K^{+}(\mathcal{A})\) において可換にするものが存在する。 これが関手的同型を与えることの確認は省略する。 （ヒント：補題 013S を再び用いよ。）

\((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\) を \(K^{+}(\mathcal{A})\) の完全三角とする。 \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) が \(K^{+}(\mathcal{I})\) の完全三角であることを示さなければならない。 \(K^{+}(\mathcal{A})\) において、縦矢印が擬同型 \(i_K, i_L, i_M\) である 次の可換図を得る。 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[r]_g \ar[d] & M^\bullet \ar[rr]_h \ar[d] & & K^\bullet[1] \ar[d] \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(f)} & j(L^\bullet) \ar[r]^{j(g)} & j(M^\bullet) \ar[rr]^{\xi_{K^\bullet} \circ j(h)} & & j(K^\bullet)[1] }\] したがって \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) の \(D^{+}(\mathcal{A})\) における像は 完全三角と同型であり、従って TR1 により完全三角である。 ゆえに補題 05SQ から \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) は \(K^{+}(\mathcal{I})\) における 完全三角である。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(j\) を分解関手とする。自然な関手を \(Q : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) と書く。 このとき \(j = j' \circ Q\) であり、標準関手 \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) の擬逆となる一意な関手 \(j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) が存在する。

証明

補題 05RW により、関手 \(Q\) は局所化である。 \(j'\) の存在を証明するには、補題 05R7 により、 \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) の任意の元が関手 \(j\) によって 同型に写されることを示せば十分である。 補題 014W の証明にある可換な正方形を考える。 この正方形において \(\alpha\) が擬同型なら、 \(i_{L^\bullet}\circ\alpha=j(\alpha)\circ i_{K^\bullet}\) も擬同型であり、従って \(j(\alpha)\) も擬同型である。 ゆえに命題 013V により、射 \(j(\alpha)\) は \(K^+(\mathcal{I})\) における同型である。 \(j'\) が \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) の擬逆であることの 確認は省略する。

注意

\(\mathcal{A}\) が、アーベル群の圏のような十分多くの入射対象を持つ 「大きい」アーベル圏であると仮定する。この場合、類の上を走る量化子に 選択公理を用いることはできないため、分解関手の構成には少し注意が必要である。 しかし、この補題の証明が任意の二つの局所化関手は標準的に同型であることを 示す点に注意する。すなわち、下に有界な複体 \(K^\bullet\) から、 入射対象からなる下に有界な複体への擬同型 \(i : K^\bullet \to I^\bullet\) および \(i' : K^\bullet \to J^\bullet\) が与えられると、 \(K^{+}(\mathcal{I})\) において一意の（！）射 \(a : I^\bullet \to J^\bullet\) で、

\(K^{+}(\mathcal{I})\) における射として \(i' = i \circ a\) を満たすものが存在する。 したがって唯一の問題は存在性であり、次節でこれをどのように扱うかを見る。

関手的入射埋め込みと分解関手

本節では、圏 \(\mathcal{A}\) が関手的入射埋め込みを持つ場合に、 分解関手 \(K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) の構成を やり直す。理由は二つある。(1) 証明がより容易であり、(2) \(\mathcal{A}\) が「大きい」アーベル圏である場合にも構成が機能するからである。 下の Remark 0142 を参照せよ。

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。以前と同様に \(\mathcal{I}\) で、 入射対象からなる \(\mathcal{A}\) の充満加法部分圏を表す。 矢印 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) からなる圏 \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\) を考える。ここで \(K^\bullet\) は \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体、\(I^\bullet\) は \(\mathcal{A}\) の入射対象からなる下に有界な複体であり、 \(\alpha\) は擬同型である。言い換えると、\(\alpha\) は入射分解であり、 \(K^\bullet\) は下に有界である。明らかな関手 \[s : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\] があり、\((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto K^\bullet\) によって定義される。また、関手 \[t : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] があり、\((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto I^\bullet\) によって定義される。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(\mathcal{A}\) は関手的入射埋め込みを 持つと仮定する。Homology, Definition 0139 を参照せよ。

1. \(s \circ inj = \text{id}\) を満たす関手 \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\) が存在する。

2. \(s \circ inj = \text{id}\) を満たす任意の関手 \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\) から、分解関手が得られる。定義 013W を参照せよ。

証明

\(A \mapsto (A \to J(A))\) を関手的入射埋め込みとする。 Homology, Definition 0139 を参照せよ。まず \(J(0) = 0\) と仮定してよいことに注意する。 実際、そうでなければ任意の対象 \(A\) に対して \(0 \to A \to 0\) があり、 これは直和分解 \(J(A) = J(0) \oplus \Ker(J(A) \to J(0))\) を与える。 関手的な射 \(A \to J(A)\) は第二直和因子へ写らなければならないことに 注意する。したがって必要なら、関手を \(J'(A) = \Ker(J(A) \to J(0))\) で置き換えることができる。

\(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体とする。 \(p < B\) ならば \(K^p = 0\) であるとする。 入射対象からなる二重複体 \(I^{\bullet, \bullet}\) と写像 \(\alpha : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\) で、\(\alpha\) が \(K^\bullet\) と \(I^{\bullet, \bullet}\) に付随する全複体との間の 擬同型を誘導するものを構成する。 まず \(q < 0\) のときは常に \(I^{p, q} = 0\) と置く。 次に \(I^{p, 0} = J(K^p)\) と置き、 \(\alpha^p : K^p \to I^{p, 0}\) を関手的埋め込みとする。 \(J\) は関手なので \(I^{\bullet, 0}\) は複体であり、\(\alpha\) は 複体の射である。各 \(\alpha^p\) は単射である。また \(J(0) = 0\) なので、\(p < B\) に対して \(I^{p, 0} = 0\) である。 次に \(I^{p, 1} = J(\Coker(K^p \to I^{p, 0}))\) と置く。 再び関手性から \(I^{\bullet, 1}\) は複体である。また \(p < B\) に対して \(I^{p, 1} = 0\) である。 \(K^p\) が \(\Ker(I^{p, 0} \to I^{p, 1})\) の上へ同型に写ることも明らかである。 第三段階として \(I^{p, 2} = J(\Coker(I^{p, 0} \to I^{p, 1}))\) を取り、以下同様に続ける。

ここで Homology, Lemma 0133 を適用して、写像 \[\alpha : K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] が擬同型であることを得る。

関手 \(inj\) が得られることを証明するには、上の構成が関手的であることを 示すことが残る。この確認は省略する。

\(s \circ inj = \text{id}\) を満たす関手 \(inj\) があると仮定する。 \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) の各対象 \(K^\bullet\) に対して \[inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\] と書くことができる。これは定義 013W の分解関手を与える。

注意

\(inj\) が、補題 0141 の (2) にある \(s \circ inj = \text{id}\) を満たす関手であると仮定する。 同補題の証明と同様に \(inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\) と書く。\(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を下に有界な複体の写像とする。 圏 \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\) における写像 \(inj(\alpha)\) を考える。 これは複体の射の可換図

\[\xymatrix{ K^\bullet \ar[rr]^-{\alpha} \ar[d]_{i_K} & & L^\bullet \ar[d]^{i_L} \\ j(K)^\bullet \ar[rr]^-{inj(\alpha)} & & j(L)^\bullet }\] を誘導する。したがって補題 05TJ の証明を見ると、 関手 \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) は規則 \[j(\alpha\text{ up to homotopy}) = inj(\alpha)\text{ up to homotopy}\in \Hom_{K^{+}(\mathcal{I})}(j(K^\bullet), j(L^\bullet))\] によって与えられることが分かる。ゆえにこの場合 \(j\) は \(t \circ inj\) と一致する。すなわち図 \[\xymatrix{ \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \ar[rr]_{t \circ inj} \ar[rd] & & K^{+}(\mathcal{I}) \\ & K^{+}(\mathcal{A}) \ar[ru]_j }\] は可換である。

注意

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) を、環付き空間 \((X, \mathcal{O}_X)\)（またはより一般に環付きサイト）上の \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏とする。後で \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) が十分多くの入射対象を持ち、 実際に関手的入射埋め込みを持つことを見る。Injectives, Theorem 01DU を参照せよ。 補題 013X の証明は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) に適用できないことに注意する。 しかし補題 0141 の証明は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) に適用できる。したがって \[j : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] を得る。これは分解関手であり、ここで \(\mathcal{I}\) は入射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群の加法圏である。この議論は次の場合にも機能する。

1. 環 \(R\) 上の \(R\)-加群の圏 \(\text{Mod}_R\)。

2. 環の前層を備えたサイト上の \(\mathcal{O}\)-加群の前層の圏 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)。

3. 環付きサイト上の \(\mathcal{O}\)-加群の層の圏 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)。

4. 必要に応じてここに追加する。

分解関手による右導来関手

次の補題の内容は、分解関手 \(j\) が与えられているならば、単に \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\) と定義できるということである。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏への加法関手とする。 \((i, j)\) を分解関手とする。定義 013W を参照せよ。 \(F\) の右導来関手 \(RF\) は次の \(2\)-可換図に組み込まれる。 \[\xymatrix{ D^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd]_{RF} \ar[rr]^{j'} & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld]^F \\ & D^{+}(\mathcal{B}) }\] ここで \(j'\) は補題 05TK の関手である。

証明

補題 05TH により \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\) である。

注意

補題 05TN の状況では、実際に右導来関手を 完全関手 \(F \circ j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B})\) へ持ち上げている。このような分解を用いることが有用な場合がある。

フィルトレーション付き導来圏と入射分解

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。本節では \(\mathcal{A}\) が 十分多くの入射対象を持つならば、ある意味で圏 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) もそうであることを示す。 この観察を用いて \(\mathcal{A}\) のフィルトレーション付き導来圏で 計算することができる。

圏 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) は完全圏の一例である。 Injectives, Remark 05SF を参照せよ。 厳密射が特別な役割を果たす。Homology, Definition 0123 を参照せよ。すなわち \(\Coim(f) = \Im(f)\) を満たす射 \(f\) である。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の複体 \(A \to B \to C\) について、 列 \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(C)\) が \(\mathcal{A}\) において完全ならば、その複体をit 完全という。 これは \(A \to B\) と \(B \to C\) が厳密射であることを意味する。 Homology, Lemma 05QH を参照せよ。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の対象 \(I\) について、各 \(\text{gr}^p(I)\) が \(\mathcal{A}\) の入射対象であるとき、 この対象をit フィルトレーション付き入射対象という。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の対象 \(I\) が フィルトレーション付き入射対象であることと、\(a \leq b\)、 \(\mathcal{A}\) の入射対象 \(I_n\)（\(a \leq n \leq b\)）、および同型 \(I \cong \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\) で \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\) を満たすものが存在することとは同値である。

証明

\(J\) が入射対象ならば \(\mathcal{A}\) の任意の単射 \(J \to M\) が 分裂するという事実から従う。詳細は省略する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の任意の厳密単射 \(u : I \to A\) は、\(I\) がフィルトレーション付き入射対象ならば分裂単射である。

証明

\(p\) を \(F^pI \not = 0\) を満たす最大の整数とする。 特に \(\text{gr}^p(I) = F^pI\) である。 \(I'\) を次のような \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の対象とする。 その \(\mathcal{A}\) における基礎対象は \(F^pI\) であり、 フィルトレーションは \(n > p\) に対して \(F^nI' = 0\)、 \(n \leq p\) に対して \(F^nI' = I' = F^pI\) で与えられる。 \(I' \to I\) も厳密単射であることに注意する。 \(u\) が厳密単射であることから \(F^pI \to A/F^{p + 1}(A)\) は単射である。Homology, Lemma 0127 を参照せよ。 \(\mathcal{A}\) において分裂 \(s : A/F^{p + 1}A \to F^pI\) を選ぶ。 誘導される射 \(s' : A \to I'\) は、合成 \(I' \to I \to A\) を 分裂させるフィルトレーション付き対象の厳密射である。 したがって \(A = I' \oplus \Ker(s')\) および \(I = I' \oplus \Ker(s'|_I)\) と書ける。 \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\) は厳密単射であり、 \(\Ker(s'|_I)\) はフィルトレーション付き入射対象であることに注意する。 \(I\) のフィルトレーションの長さに関する帰納法により、写像 \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\) は分裂単射である。これで証明は終わる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(u : A \to B\) を \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の厳密単射とし、 \(f : A \to I\) を \(A\) から \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の フィルトレーション付き入射対象への射とする。このとき \(f = g \circ u\) を満たす射 \(g : B \to I\) が存在する。

証明

\(f\) を \(u\) に沿って押し出して得られる \(f' : I \to I \amalg_A B\) は厳密単射である。Homology, Lemma 05SM を参照せよ。 したがって結論は補題 05TQ から 形式的に従う。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の任意の対象 \(A\) に対して、 \(I\) がフィルトレーション付き入射対象であるような厳密単射 \(A \to I\) が存在する。

証明

\(p \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\) でない限り \(\text{gr}^p(A) = 0\) となるように \(a \leq b\) を選ぶ。 各 \(n \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\) に対し、 \(I_n\) が入射対象であるような単射 \(u_n : A/F^{n + 1}A \to I_n\) を選ぶ。 \(I = \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\) と置き、そのフィルトレーションを \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\) とし、\(u : A \to I\) を 写像 \(u_n\) の直和とする。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の任意の対象 \(A\) に対して、 フィルトレーション付き擬同型 \(A[0] \to I^\bullet\) で、 \(I^\bullet\) がフィルトレーション付き入射対象の複体であり、 \(n < 0\) に対して \(I^n = 0\) であるものが存在する。

証明

まず、\(A\) からフィルトレーション付き入射対象への厳密単射 \(u_0 : A \to I^0\) を選ぶ。補題 05TS を参照せよ。 次に、\(\mathcal{A}\) のフィルトレーション付き入射対象への厳密単射

\(u_1 : \Coker(u_0) \to I^1\) を選ぶ。\(d^0\) で誘導される写像 \(I^0 \to I^1\) を表す。次に、\(\mathcal{A}\) の フィルトレーション付き入射対象への厳密単射 \(u_2 : \Coker(u_1) \to I^2\) を選ぶ。\(d^1\) で誘導される写像 \(I^1 \to I^2\) を表す。以下同様である。これが機能するのは、各列 \[0 \to \Coker(u_n) \to I^{n + 1} \to \Coker(u_{n + 1}) \to 0\] が短完全、すなわち \(\text{gr}\) を適用すると短完全列を誘導するからである。 これを見るには Homology, Lemma 0127 を用いる。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(f : A \to B\) を \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の射とする。 フィルトレーション付き擬同型 \(A[0] \to I^\bullet\) および \(B[0] \to J^\bullet\) が与えられ、\(I^\bullet, J^\bullet\) が フィルトレーション付き入射対象の複体で \(n < 0\) に対して \(I^n = J^n = 0\) ならば、可換図 \[\xymatrix{ A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\] が存在する。

証明

\(A[0] \to I^\bullet\) と \(C[0] \to J^\bullet\) は フィルトレーション付き擬同型なので、\(a : A \to I^0\), \(b : B \to J^0\) およびすべての射 \(d_I^n\), \(d_J^n\) は厳密である。 Homology, Lemma 05QH を参照せよ。 次の可換図の写像 \(f^n\) を帰納的に構成する。 \[\xymatrix{ A \ar[r]_a \ar[d]_f & I^0 \ar[r] \ar[d]^{f^0} & I^1 \ar[r] \ar[d]^{f^1} & I^2 \ar[r] \ar[d]^{f^2} & \ldots \\ B \ar[r]^b & J^0 \ar[r] & J^1 \ar[r] & J^2 \ar[r] & \ldots }\] \(A \to I^0\) は厳密単射で \(J^0\) はフィルトレーション付き入射対象なので、 補題 05TR により \(f^0 \circ a = b \circ f\) を満たす射 \(f^0 : I^0 \to J^0\) を 見つけることができる。合成 \(d_J^0 \circ b \circ f\) は零なので \(d_J^0 \circ f^0 \circ a = 0\)、従って \(d_J^0 \circ f^0\) は 一意な射 \[\Coker(a) = \Coim(d_I^0) = \Im(d_I^0) \longrightarrow J^1.\] を経由する。\(\Im(d_I^0) \to I^1\) は厳密単射なので、 補題 05TR を再び用いて、 表示された矢印を射 \(f^1 : I^1 \to J^1\) に延長できる。 以下同様である。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) を \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の短完全列とする。 フィルトレーション付き擬同型 \(A[0] \to I^\bullet\) および \(C[0] \to J^\bullet\) が与えられ、\(I^\bullet, J^\bullet\) が フィルトレーション付き入射対象の複体で \(n < 0\) に対して \(I^n = J^n = 0\) ならば、可換図 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[r] \ar[d] & C[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & M^\bullet \ar[r] & J^\bullet \ar[r] & 0 }\] で、下段が複体の項ごとに分裂する列であるものが存在する。

証明

\(A[0] \to I^\bullet\) と \(C[0] \to J^\bullet\) は フィルトレーション付き擬同型なので、\(a : A \to I^0\), \(c : C \to J^0\) およびすべての射 \(d_I^n\), \(d_J^n\) は厳密である。 Homology, Lemma

05S1 を参照せよ。 次の可換図の南東向きおよび南向きの矢印を段階的に構成する。 \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]^b & C \ar[r]_c \ar[rd]^{\overline{b}} & J^0 \ar[d]^{\delta^0} \ar[r] & J^1 \ar[d]^{\delta^1} \ar[r] & \ldots \\ A \ar[u]^\alpha \ar[r]^a & I^0 \ar[r] & I^1 \ar[r] & I^2 \ar[r] & \ldots }\] \(A \to B\) は厳密単射なので、補題 05TR により \(b \circ \alpha = a\) を満たす射 \(b : B \to I^0\) を見つけられる。 \(A\) は厳密射 \(I^0 \to I^1\) の核であり、 \(\beta = \Coker(\alpha)\) なので、図に組み込まれる一意な射 \(\overline{b} : C \to I^1\) を得る。 \(c\) は厳密単射で \(I^1\) はフィルトレーション付き入射対象なので、 補題 05TR により \(\delta^0 : J^0 \to I^1\) を見つけられる。 \(B \to C\) は厳密全射で、\(B \to I^0 \to I^1 \to I^2\) は零なので、 \(C \to I^1 \to I^2\) は零である。従って \(d_I^1 \circ \delta^0\) は \(C \cong \Im(c)\) 上で零である。 ゆえに \(d_I^1 \circ \delta^0\) は一意な射 \[\Coker(c) = \Coim(d_J^0) = \Im(d_J^0) \longrightarrow I^2.\] を経由する。\(I^2\) はフィルトレーション付き入射対象で、 \(\Im(d_J^0) \to J^1\) は厳密単射なので、補題 05TR により、表示された射を \(\delta^1 : J^1 \to I^2\) に延長できる。以下同様である。 \(M^\bullet = I^\bullet \oplus J^\bullet\) と置き、微分を \[d_M^n = \left( \begin{matrix} d_I^n & (-1)^{n + 1}\delta^n \\ 0 & d_J^n \end{matrix} \right)\] とする。最後に、写像 \(B[0] \to M^\bullet\) は

\(b \oplus c \circ \beta : M \to I^0 \oplus J^0\) によって与えられる。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 すべての \(K^\bullet \in K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) に対して、 フィルトレーション付き擬同型 \(K^\bullet \to I^\bullet\) で、 \(I^\bullet\) が下に有界、各 \(I^n\) がフィルトレーション付き入射対象、 各 \(K^n \to I^n\) が厳密単射であるものが存在する。

証明

\(K^\bullet\) をシフトで置き換えた後（証明には影響しない）、 \(n < 0\) に対して \(K^n = 0\) と仮定してよい。完全圏 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の短完全列 \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(d_K^0) \to K^0 \to \Coim(d_K^0) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^1) \to K^1 \to \Coim(d_K^1) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^2) \to K^2 \to \Coim(d_K^2) \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] および写像 \(u_i : \Coim(d_K^i) \to \Ker(d_K^{i + 1})\) を考える。 各 \(i \geq 0\) に対して、フィルトレーション付き擬同型 \[\begin{matrix} \Ker(d_K^i)[0] \to I_{ker, i}^\bullet \\ \Coim(d_K^i)[0] \to I_{coim, i}^\bullet \end{matrix}\] で、\(I_{ker, i}^n, I_{coim, i}^n\) がフィルトレーション付き入射対象であり、 \(n < 0\) に対して零であるものを選べる。補題 05TT を参照せよ。 補題 05TU により、 \(u_i\) を複体の射 \(u_i^\bullet : I_{coim, i}^\bullet \to I_{ker, i + 1}^\bullet\) へ持ち上げることができる。最後に、各 \(i \geq 0\) に対して、図 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & K^i[0] \ar[r] \ar[d] & \Coim(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_{ker, i}^\bullet \ar[r]^{\alpha_i} & I_i^\bullet \ar[r]^{\beta_i} & I_{coim, i}^\bullet \ar[r] & 0 }\] を、下段が項ごとに分裂する完全列となるように完成できる。 補題 05TV を参照せよ。 \(i \geq 0\) に対して \(d_i : I_i^\bullet \to I_{i + 1}^\bullet\) を \(d_i = \alpha_{i + 1} \circ u_i^\bullet \circ \beta_i\) と置く。 \(\beta_i \circ \alpha_i = 0\) なので \(d_i \circ d_{i - 1} = 0\) であることに注意する。 従って可換図 \[\xymatrix{ I_0^\bullet \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & \ldots \\ K^0[0] \ar[r] \ar[u] & K^1[0] \ar[r] \ar[u] & K^2[0] \ar[r] \ar[u] & \ldots }\] を構成した。ここで縦矢印はフィルトレーション付き擬同型である。 上段は複体の複体であり、各複体はフィルトレーション付き入射対象からなり、 次数 \(< 0\) に非零対象を持たない。従って \(I^{a, b} = I_a^b\) と置き、 \[d_1^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_{a + 1}^b = I^{a + 1, b}\] には写像 \(d_a^b\) を用い、 \[d_2^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_a^{b + 1} = I^{a, b + 1}\] には写像 \(d_{I_a}^b\) を用いることで二重複体を得る。 この二重複体に付随する全複体を \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) と表す。Homology, Definition 012Z を参照せよ。 写像 \(K^n[0] \to I_n^\bullet\) は写像 \(K^n \to I^{n, 0}\) から来ており、複体の写像 \[K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] を生じさせることに注意する。これはフィルトレーション付き擬同型であると主張する。 \(\text{gr}(-)\) は加法関手なので \(\text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})) = \text{Tot}(\text{gr}(I^{\bullet, \bullet}))\) である。 従って Homology, Lemma 0133 を用いて、 望みどおり \(\text{gr}(K^\bullet) \to \text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\) が擬同型であると結論できる。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(K^\bullet, I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) とする。 \(K^\bullet\) はフィルトレーション付き非輪状で、 \(I^\bullet\) は下に有界かつフィルトレーション付き入射対象からなると仮定する。 任意の射 \(K^\bullet \to I^\bullet\) は零とホモトピックである。 \(\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) = 0\)。

証明

\(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) を複体の射とする。 \(j < n\) に対して \(\alpha^j = 0\) と仮定する。 \(\alpha^n = h \circ d\) を満たす射 \(h : K^{n + 1} \to I^n\) が存在することを示す。 すると \(\alpha\) は、次で定義される複体の射 \(\beta\) とホモトピックになる。 \[\beta^j = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & j \leq n \\ \alpha^{n + 1} - d \circ h & \text{if} & j = n + 1 \\ \alpha^j & \text{if} & j > n + 1 \end{matrix} \right.\] これで帰納法により補題が証明されることは明らかである。 \(h\) の存在を示すため、\(\alpha^{n - 1} = 0\) なので \(\alpha^n \circ d_K^{n - 1} = 0\) であることに注意する。 \(K^\bullet\) はフィルトレーション付き非輪状なので、 \(d_K^{n - 1}\) と \(d_K^n\) は厳密であり、 \[0 \to \Im(d_K^{n - 1}) \to K^n \to \Im(d_K^n) \to 0\] は完全圏 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) の完全列である。 Homology, Lemma 05QH を参照せよ。 従って \(\alpha^n\) を \(\Im(d_K^n)\) 上で定義された \(I^n\) への写像と 考えることができる。\(\Im(d_K^n) \to K^{n + 1}\) が厳密単射で、 \(I^n\) がフィルトレーション付き入射対象であることを用いれば、 この写像を望みの写像 \(h : K^{n + 1} \to I^n\) に持ち上げられる。 補題 05TR を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) を、 フィルトレーション付き入射対象からなる下に有界な複体とする。

1. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) を \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) におけるフィルトレーション付き擬同型とする。 このとき写像 \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \to \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet)\] は全単射である。

2. \(L^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) とする。このとき \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{DF(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]

証明

(1) の証明。補題 014L により \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] は \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) における完全三角であり、 補題 05S1 により \(C(\alpha)^\bullet\) はフィルトレーション付き非輪状複体である。 従って \[\xymatrix{ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] はアーベル群の完全列である。補題 0149 を参照せよ。 ここで補題 05TX により外側の二つの群は 零であり、従って

\(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\) である。

(2) の証明。\(a\) を右辺の元とする。 \(a = \gamma\alpha^{-1}\) と表すことができる。ここで \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) はフィルトレーション付き擬同型で、 \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\) は複体の写像である。 (1) により、\(\beta \circ \alpha\) が \(\gamma\) とホモトピックとなる射 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) を見つけることができる。 これで写像が全射であることが示された。 \(b\) を左辺の元で、右辺における像が零であるものとする。 すると \(b\) は射 \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) のホモトピー類であり、 \(\beta \circ \alpha\) が零とホモトピックとなる フィルトレーション付き擬同型 \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) が存在する。 このとき (1) により \(\beta\) も零とホモトピック、すなわち \(b = 0\) である。

補題

\(\mathcal{A}\) を十分多くの入射対象を持つアーベル圏とする。 \(\mathcal{I}^f \subset \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) で、 対象がフィルトレーション付き入射対象である厳密充満加法部分圏を表す。 標準関手 \[K^{+}(\mathcal{I}^f) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\] は完全かつ充満忠実で本質的全射である。すなわち三角圏の同値である。 さらに図 \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]_{\text{gr}^p} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]_{\text{gr}^p} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) } \quad \xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]^{\text{forget }F} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]^{\text{forget }F} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) }\] は可換である。ここで \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) は、 対象が入射対象である厳密充満加法部分圏である。

証明

補題 05TW により、関手 \(K^{+}(\mathcal{I}^f) \to DF^{+}(\mathcal{A})\) は本質的全射である。 補題 05TY により 充満忠実である。完全三角に関する定義により、これは完全関手である。 正方形の可換性は明らかである。

注意

補題の矢印を逆にできるのは、\(\mathcal{A}\) がわれわれの意味での圏、 すなわち対象の集合を持つ場合に限られる。しかし例えば \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) のように、十分多くの入射対象を持つ 大きなアーベル圏 \(\mathcal{A}\) が与えられたと仮定しよう。 このとき、任意に与えられた対象の集合 \(\{A_i\}_{i\in I}\) に対し、 それらをすべて含み、十分多くの入射対象を持つアーベル部分圏 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) が存在する。Sets, Lemma 0010 を参照せよ。 従って上の補題を \(\mathcal{A}'\) に用いることができる。 これは本質的に、集合個分の図などを用いる限り、補題を使って問題に 遭遇することは決してないということである。

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) をアーベル圏とする。 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) を左完全関手とする。 （関手に文字 \(F\) を使うことはできない。フィルトレーションを表す文字 \(F\) の用法とあまりにも衝突するからである。） \(T\) は規則 \(T(A, F) = (T(A), F)\) により加法関手 \[T : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Fil}^f(\mathcal{B})\] を誘導することに注意する。ここで \(F^pT(A) = T(F^pA)\) であり、 \(T\) は左完全なのでこれは意味を持つ。 （警告：\(\text{gr}(T(A)) = T(\text{gr}(A))\) とは限らない。） これは三角圏の関手 [05TZ]\[\begin{equation} T : K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] を誘導する。\(T\) のフィルトレーション付き右導来関手とは、この完全関手と 完全関手 \(K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \to DF^{+}(\mathcal{B})\) との合成および乗法系 \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\) に対する、 定義 05S9 の右導来関手である。 \(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 ここで Section 0156 の議論を繰り返して、 関手 \(T\) のフィルトレーション付き右導来関手 [015S]\[\begin{equation} RT : DF^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] を定義できる。

しかし代わりに Section 05TM と同様に進める。 すると \(T\) が単に加法的である場合にも \(RT\) を定義できることが分かる。 まず、補題 015Q の同値の擬逆 \(j' : DF^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I}^f)\) を選ぶ。 補題 05SQ により、\(j'\) は三角圏の完全関手である。 次に、フィルトレーション付き入射対象 \(I\) に対して、 補題 05TP により（非標準的な）分解 [015T]\[\begin{equation} I \cong \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} I_p, \quad\text{with}\quad F^pI = \bigoplus\nolimits_{q \geq p} I_q \end{equation}\] があることに注意する。従って \(T\) が任意の加法関手 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) ならば、 \(T_{ext}(I) = \bigoplus T(I_p)\) および \(F^pT_{ext}(I) = \bigoplus_{q \geq p} T(I_q)\) と置くことで加法関手 [05U0]\[\begin{equation} T_{ext} : \mathcal{I}^f \to \text{Fil}^f(\mathcal{B}) \end{equation}\] を得る。構成により \(\text{gr}(T_{ext}(I)) = T(\text{gr}(I))\) という性質を持つことに注意する。 従って \(\text{gr}\) と可換する関手 [05U1]\[\begin{equation} T_{ext} : K^{+}(\mathcal{I}^f) \to K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] を得る。そして (015S) を合成 [05U2]\[\begin{equation} RT = T_{ext} \circ j'. \end{equation}\] により定義する。\(RT : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) も 入射分解によって計算されるので（補題 05TH を参照）、\(T\) と \(\text{gr}\) の可換性および補題 015Q の可換図から [015U]\[\begin{equation} \text{gr}^p \circ RT \cong RT \circ \text{gr}^p \end{equation}\] および [015V]\[\begin{equation} (\text{forget }F) \circ RT \cong RT \circ (\text{forget }F) \end{equation}\] を \(DF^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) の関手として得る。

フィルトレーション付き導来関手 \(RT\) （015S）は関手 \[\begin{matrix} RT : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : \text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : KF^{+}(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}). \end{matrix}\] を誘導する。\(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) および \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) はもはやアーベル圏ではないので、 \(RT\) がそれらの上で \(\delta\)-関手に制限されると言うことは意味を持たない。 （これらの圏を完全圏と考え、完全圏から三角圏への \(\delta\)-関手の概念を 定式化すれば修復できる。） しかし \(RT\) が三角圏 \(KF^{+}(\mathcal{A})\) 上の完全関手であると言うことには 意味があり、構成により実際にそうである。

補題

\(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) をアーベル圏とする。 \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) を左完全関手とする。 \(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定する。 \((K^\bullet, F)\) を \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の対象とする。 \(\mathcal{B}\) の二重次数付き対象 \(E_r\) と双次数 \((r, - r + 1)\) の \(d_r\) からなるスペクトル系列 \((E_r, d_r)_{r\geq 0}\) で、 \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\] を満たすものが存在する。さらに、このスペクトル系列は有界で、 \(R^*T(K^\bullet)\) に収束し、各 \(R^nT(K^\bullet)\) 上に 有限フィルトレーションを誘導する。このスペクトル系列の構成は \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の対象 \(K^\bullet\) に関して関手的であり、\(r \geq 1\) に対する項 \((E_r, d_r)\) はいかなる選択にも依存しない。

証明

フィルトレーション付き擬同型 \(K^\bullet \to I^\bullet\) で、 \(I^\bullet\) がフィルトレーション付き入射対象からなる下に有界な複体であるものを 選ぶ。補題 05TW を参照せよ。 複体 \(RT(K^\bullet) = T_{ext}(I^\bullet)\) を考える。 (05U2) を参照せよ。 これを \(\mathcal{B}\) のフィルトレーション付き複体と見て、付随する スペクトル系列 \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) を考えることができる。 Homology, Section 012K を参照せよ。 Homology, Lemma 012M により \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(T(I^\bullet)))\) である。 Equation (015T) により \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(T(\text{gr}^p(I^\bullet)))\) であり、 フィルトレーション付き入射分解の定義により、写像 \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(I^\bullet)\) は入射分解である。 従って \(E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\) である。

一方、各 \(I^n\) は有限フィルトレーションを持つので、 各 \(T(I^n)\) も有限フィルトレーションを持つ。 従って Homology, Lemma 012W を適用して、 スペクトル系列が有界で \(H^n(T(I^\bullet)) = R^nT(K^\bullet)\) に収束し、 さらに各項に有限フィルトレーションを誘導すると結論できる。

\(K^\bullet \to L^\bullet\) を \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) の射と仮定する。 フィルトレーション付き擬同型 \(L^\bullet \to J^\bullet\) で、 \(J^\bullet\) がフィルトレーション付き入射対象からなる下に有界な複体であるものを 選ぶ。補題 05TW を参照せよ。 上の結果、例えば補題 05TY により、図 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & L^\bullet \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\] でホモトピーを除いて可換なものが存在する。従って フィルトレーション付き複体の射 \(T(I^\bullet) \to T(J^\bullet)\) を得て、これはスペクトル系列の射を生じさせる。 Homology, Lemma 012O を参照せよ。 最後の主張はこれから従う。

注意

Remark 015K で約束したとおり、上の補題と Cartan–Eilenberg 分解を用いる構成との関係を論じる。 すなわち \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) をアーベル圏の間の 左完全関手とし、\(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象を持つと仮定し、 \(K^\bullet\) を \(\mathcal{A}\) の下に有界な複体とする。 補題 015J のスペクトル系列 \({}'E\) と \({}''E\) の別の構成を与える。

第一スペクトル系列。\(F^p(K^\bullet) = \sigma_{\geq p}(K^\bullet)\) と置くことで得られる \(K^\bullet\) 上の「素朴な」フィルトレーションを考える。 Homology, Section 0118 を参照せよ。

\(d(F^p(K^\bullet)) \subset F^{p + 1}(K^\bullet)\) という意味で これが「素朴」であることに注意する。Homology, Lemma 012N と比較せよ。 このフィルトレーションについて \(\text{gr}^p(K^\bullet) = K^p[-p]\) であることに注意する。 補題 015W により、\(E_1\) 項が \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(K^p[-p]) = R^qT(K^p)\] となるスペクトル系列が存在し、これはスペクトル系列 \({}'E_r\) と同様である。 さらに、微分 \(E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\) は \('{}E_1\) における 微分と一致することに注意する。Homology, Lemma 012N の (2) および 補題 015J の証明における \({}'d_1\) の記述を参照せよ。

第二スペクトル系列。\(F^p(K^\bullet) = \tau_{\leq -p}(K^\bullet)\) と置くことで得られる複体 \(K^\bullet\) 上のフィルトレーションを考える。 Homology, Section 0118 を参照せよ。 減少フィルトレーションを得るために負号が必要である。 このフィルトレーションについて \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) は \(H^{-p}(K^\bullet)[p]\) と擬同型であることに注意する。 補題 015W により、\(E_1\) 項が \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)[p]) = R^{2p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)) = {}''E_2^{i, j}\] となるスペクトル系列が存在する。ここで \(i = 2p + q\) および \(j = -p\) である。 （これは不自然に見えるが、フィルトレーション付き複体の理論全体を 増加フィルトレーションを用いて展開することもでき、その場合はこちらが自然に見え、 他方が不自然に見えることに注意する。） 微分が一致することの確認は読者に委ねる。

実際、Cartan–Eilenberg 分解 \(K^\bullet \to I^{\bullet, \bullet}\) が与えられると、付随する全複体への 誘導射 \(K^\bullet \to \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) は、 \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) 上に適切なフィルトレーションを用いることで、 いずれのフィルトレーションについてもフィルトレーション付き入射分解になる。 これを用いてスペクトル系列を正確に一致させることができる。

Ext 群

本節ではアーベル圏の対象の Ext 群の記述を始める。 まず次の非常に一般的な定義がある。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(i \in \mathbf{Z}\) とする。 \(X, Y\) を \(D(\mathcal{A})\) の対象とする。 \(Y\) による \(X\) の第 \(i\) Ext 群とは、群 \[\Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X, Y[i]) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X[-i], Y).\] のことである。\(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\) ならば \(\Ext^i_\mathcal{A}(A, B) = \text{Ext}^i_\mathcal{A}(A[0], B[0])\) と置く。

\(\Hom_{D(\mathcal{A})}(X, -)\) はホモロジー的関手、 \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(-, Y)\) はコホモロジー的関手である。 補題 0149 を参照せよ。 従って完全三角 \((Y, Y', Y'')\) は長完全列 \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y') \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y'') \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X, Y) \to \ldots\] を、完全三角 \((X, X', X'')\) はそれぞれ長完全列 \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X'', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X'', Y) \to \ldots\] を与える。\(D^+(\mathcal{A})\), \(D^-(\mathcal{A})\), \(D^b(\mathcal{A})\) は充満部分圏なので、\(X\), \(Y\) がそれらに含まれるならば、 これらの圏における Hom 群によって Ext 群を計算してよいことに注意する。

圏 \(\mathcal{A}\) が十分多くの入射対象または十分多くの射影対象を持つ場合、 入射分解または射影分解を用いて Ext 群を計算できる。 混同を避けるため、入射分解（それぞれ射影分解）を持つことは、 すべての低い（それぞれ高い）次数におけるホモロジーの消滅を意味することを 思い出そう。補題 013J および 0645 を参照せよ。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(X^\bullet, Y^\bullet \in \Ob(K(\mathcal{A}))\) とする。

1. \(Y^\bullet \to I^\bullet\) を入射分解とする （定義 013I）。このとき \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(X^\bullet, I^\bullet[i]).\]

2. \(P^\bullet \to X^\bullet\) を射影分解とする （定義 0644）。このとき \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet[-i], Y^\bullet).\]

証明

補題 05TG および 補題 064B から直ちに従う。

本節の残りではアーベル圏そのものの対象の拡大を論じる。 まず次を観察する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。

1. \(X\), \(Y\) を \(D(\mathcal{A})\) の対象とする。 \(i > a\) に対して \(H^i(X) = 0\)、\(j < b\) に対して \(H^j(Y) = 0\) となる \(a, b \in \mathbf{Z}\) が与えられたとする。 このとき \(n < b - a\) に対して \(\Ext^n_\mathcal{A}(X, Y) = 0\) であり、 \[\Ext^{b - a}_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_\mathcal{A}(H^a(X), H^b(Y))\] である。

2. \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\) とする。 \(i < 0\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\) である。 \(\Ext^0_\mathcal{A}(B, A) = \Hom_\mathcal{A}(B, A)\) である。

証明

\(X\) と \(Y\) を表す複体 \(X^\bullet\) と \(Y^\bullet\) を選ぶ。 \(Y^\bullet \to \tau_{\geq b}Y^\bullet\) は擬同型なので、 \(j < b\) に対して \(Y^j = 0\) と仮定してよい。 \(L^\bullet \to X^\bullet\) を任意の擬同型とする。このとき \(\tau_{\leq a}L^\bullet \to X^\bullet\) は擬同型である。 従って \(D(\mathcal{A})\) の射 \(X \to Y[n]\) は \(fs^{-1}\) と表せる。ここで \(s : L^\bullet \to X^\bullet\) は擬同型、 \(f : L^\bullet \to Y^\bullet[n]\) は射であり、

\(i < a\) に対して \(L^i = 0\) である。 \(f\) は \(L^i\) を \(Y^{i + n}\) に写すことに注意する。 従って \(n < b - a\) ならば、常に \(L^i\) または \(Y^{i + n}\) の一方が 零なので \(f = 0\) である。\(n = b - a\) ならば、\(f\) はちょうど射 \(H^a(X) \to H^b(Y)\) に対応する。(2) は (1) の特別な場合である。

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(0 \to A \to A' \to A'' \to 0\) を \(\mathcal{A}\) の対象の短完全列と仮定する。このとき \(0 \to A[0] \to A'[0] \to A''[0] \to 0\) は \(D(\mathcal{A})\) における完全三角を生じさせ （補題 0152 を参照）、 従って Ext 群の長完全列 \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A') \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A'') \to \Ext^1_\mathcal{A}(B, A) \to \ldots\] を生じさせる。同様に、短完全列 \(0 \to B \to B' \to B'' \to 0\) が与えられると、Ext 群の長完全列 \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B'', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^1_\mathcal{A}(B'', A) \to \ldots\] を得る。これらの Ext 群を導来圏の構成の応用と見ることができる。 これは、十分多くの入射対象または射影対象の存在を必要とせずに Ext 群を定義し、 Ext 群の長完全列を構成できることを示す。 Yoneda による Ext 群の別の構成は導来圏の使用を避ける。 [Yoneda] を参照せよ。

定義

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\) とする。 \(i \geq 1\) に対して、\(A\) による \(B\) の次数 \(i\) の Yoneda 拡大とは、\(\mathcal{A}\) における完全列 \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] のことである。同じ次数の二つの Yoneda 拡大 \(E\) と \(E'\) について、 可換図 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[u]^{\text{id}} \ar[d]_{\text{id}} & Z''_{i - 1} \ar[r] \ar[u] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Z''_0 \ar[r] \ar[u] \ar[d] & B \ar[r] \ar[u]_{\text{id}} \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z'_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z'_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] で中段も Yoneda 拡大であるものが存在するとき、両者は同値であるという。

定義の同値性が同値関係であることは直ちには明らかでない。 これを直接証明することは有益だが、下の補題 06XU からも従う。

\(\mathcal{A}\) を対象 \(A\), \(B\) を持つアーベル圏とする。 Yoneda 拡大 \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\) が与えられたとき、付随する元 \(\delta(E) \in \Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\) を射 \(\delta(E) = fs^{-1} : B[0] \to A[i]\) として定義する。 ここで \(s\) は擬同型 \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow B[0]\] であり、\(f\) は複体の射 \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow A[i]\] である。\(\delta(E) = fs^{-1}\) を Yoneda 拡大の類という。 この類は Yoneda 拡大の同値類を特徴づけることが分かる。

補題

\(\mathcal{A}\) を対象 \(A\), \(B\) を持つアーベル圏とし、\(i \geq 1\) とする。 \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\) の任意の元は、\(A\) による \(B\) の次数 \(i\) の ある Yoneda 拡大に対する \(\delta(E)\) である。 同じ次数の二つの Yoneda 拡大 \(E\), \(E'\) が与えられたとき、 \(E\) と \(E'\) が同値であることと \(\delta(E) = \delta(E')\) であることとは同値である。

証明

\(\xi : B[0] \to A[i]\) を \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\) の元とする。 ある擬同型 \(s : L^\bullet \to B[0]\) と写像 \(f : L^\bullet \to A[i]\) を用いて \(\xi = f s^{-1}\) と書ける。 \(L^\bullet\) を \(\tau_{\leq 0}L^\bullet\) で置き換えた後、 \(j > 0\) に対して \(L^j = 0\) と仮定してよい。図示すると \[\xymatrix{ L^{- i - 1} \ar[r] & L^{-i} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & L^0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ & A }\] である。\(Z_{i - 1} = (L^{- i + 1} \oplus A)/L^{-i}\) と置き、 \(j = i - 2, \ldots, 0\) に対して \(Z_j = L^{-j}\) と置けば、 \(A\) による \(B\) の次数 \(i\) の拡大 \(E\) で、 その類 \(\delta(E)\) が \(\xi\) に等しいものを得る。

同値な Yoneda 拡大が同じ類を持つことは定義から直ちに分かる。 \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\) および \(E' : 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to Z'_{i - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to B \to 0\) を同じ類を持つ Yoneda 拡大と仮定する。 \(D(\mathcal{A})\) を \(K(\mathcal{A})\) の擬同型の集合における局所化として 構成したことにより、これは複体 \(L^\bullet\) と擬同型 \[t : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots)\] および \[t' : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to \ldots \to Z'_0 \to 0 \to \ldots)\] で、\(s \circ t = s' \circ t'\) および \(f \circ t = f' \circ t'\) を満たすものが存在することを意味する。 Categories, Section 04VB を参照せよ。 \(E''\) を、証明の第一段落で一対の写像 \(L^\bullet \to B[0]\) と \(L^\bullet \to A[i]\) から構成した、 \(A\) による \(B\) の次数 \(i\) の拡大とする。 このとき同値な Yoneda 拡大の定義にあるような、次数 \(i\) の Yoneda 拡大の「射」\(E'' \to E\) および \(E'' \to E'\) が存在することは 読者に容易に分かる（詳細は省略する）。これで証明が完了する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。\(A\), \(B\) を \(\mathcal{A}\) の対象とする。 このとき \(\Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) は、Homology, Definition 010K で構成した群 \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) である。

証明

これは補題 06XU の \(i = 1\) の場合である。

アーベル圏 \(\mathcal{A}\) と \(D(\mathcal{A})\) の対象 \(X, Y, Z\) が与えられたとき、双線形かつ結合的な合成則 \[\Ext^j_\mathcal{A}(Y, Z) \times \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(X, Z),\quad (\eta, \xi) \longmapsto \eta \circ \xi\] がある。すなわち \(\xi : X \to Y[i]\) および \(\eta : Y \to Z[j]\) ならば、\(\eta \circ \xi\) を \(\xi\) と \(\eta[i] : Y[i] \to Z[i + j]\) の合成として定義する。 \(A, B, C\) が \(\mathcal{A}\) の対象で \(i, j \geq 1\) ならば、この合成則 \[\Ext^j_\mathcal{A}(B, C) \times \Ext^i_\mathcal{A}(A, B) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(A, C)\] は Yoneda 拡大を用いて次のように記述できる。次の拡大 \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] と \[0 \to B \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\] の合成は Yoneda 拡大 \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\] である。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(0 \to A \to Z \to B \to 0\) および \(0 \to B \to Z' \to C \to 0\) を \(\mathcal{A}\) の短完全列とする。 それらの類を \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) および \([Z'] \in \Ext^1_\mathcal{A}(C, B)\) と表す。 このとき \([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\) が \(0\) であることと、 可換図 \[\xymatrix{ & & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^1 & Z \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & W \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & & C \ar[r]^1 \ar[d]& C \ar[d]\\ & & 0 & 0 }\] で行と列が \(\mathcal{A}\) において完全であるものが存在することとは同値である。

証明

省略する。ヒント：補題 06XU の結果を用い、 \(2\)-拡大の類が零であることの意味を具体的に調べればよい。 または、\([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\) が零ならば、 \(\Ext\) の長完全コホモロジー列により \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) が \(\Ext^1_\mathcal{A}(Z', A)\) のある元の像であることを用いてもよい。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(p \geq 0\) とする。 \(\mathcal{A}\) の任意の対象の対 \(A\), \(B\) に対して \(\Ext^p_\mathcal{A}(B, A) = 0\) ならば、\(i \geq p\) および \(\mathcal{A}\) の任意の対象の対 \(A\), \(B\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\) である。

証明

\(i > p\) に対して、任意の類 \(\xi\) を \(\delta(E)\) と書く。 ここで \(E\) は Yoneda 拡大 \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] である。これは補題 06XU により可能である。 \(C = \Ker(Z_{p - 1} \to Z_{p - 2}) = \Im(Z_p \to Z_{p - 1})\) と置く。 このとき \(\delta(E)\) は \(\delta(E')\) と \(\delta(E'')\) の合成である。 ここで \[E' : 0 \to C \to Z_{p - 1} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] および \[E'' : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_p \to C \to 0\] である。\(\delta(E') \in \Ext^p_\mathcal{A}(B, C) = 0\) なので結論を得る。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とし、\(K\) を \(D^b(\mathcal{A})\) の対象で、 すべての \(p \geq 2\) と \(i > j\) に対して \(\Ext^p_\mathcal{A}(H^i(K), H^j(K)) = 0\) を満たすものとする。 このとき \(K\) はそのコホモロジーの直和と同型である。 \(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\)。

証明

\(i \not \in [a, b]\) に対して \(H^i(K) = 0\) となる \(a, b\) を選ぶ。 \(b - a\) に関する帰納法で補題を証明する。 \(b - a \leq 0\) ならば結論は明らかである。 \(b - a > 0\) ならば、切断の完全三角 \[\tau_{\leq b - 1}K \to K \to H^b(K)[-b] \to (\tau_{\leq b - 1}K)[1]\] を見る。Remark 08J5 を参照せよ。 最後の矢印が零ならば、補題 05QT により \(K \cong \tau_{\leq b - 1}K \oplus H^b(K)[-b]\) であり、 帰納法により結論を得る。再び帰納法を用いると \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(H^b(K)[-b], (\tau_{\leq b - 1}K)[1]) = \bigoplus\nolimits_{i < b} \Ext_\mathcal{A}^{b - i + 1}(H^b(K), H^i(K))\] である。仮定により直和は零なので、証明が完了する。

補題

\(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする。 \(\mathcal{A}\) の任意の対象の対 \(A\), \(B\) に対して \(\Ext^2_\mathcal{A}(B, A) = 0\) と仮定する。 このとき \(D^b(\mathcal{A})\) の任意の対象 \(K\) はそのコホモロジーの直和と 同型である。\(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\)。

証明

補題 0EWW により、仮定から \(i \geq 2\) および \(\mathcal{A}\) の任意の対象の対 \(A, B\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\) が従う。 従ってこの補題は補題 0GM4 の特別な場合である。

K 群

三角圏の \(K_0\) について少しだけ述べる。

定義

\(\mathcal{D}\) を三角圏とする。\(K_0(\mathcal{D})\) で \(\mathcal{D}\) の第零 \(K\) 群を表す。 これは次のように構成されるアーベル群である。

\(\mathcal{D}\) の対象上の自由アーベル群を取り、各完全三角 \(X \to Y \to Z\) に対して関係 \([Y] - [X] - [Z] = 0\) を課す。