適切加群

序論

任意のスキーム \(X\) に対し、準連接加群の圏 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) はアーベル圏であり、全ての \(\mathcal{O}_X\)-加群のアーベル圏の弱い Serre 部分圏である。代数空間 \(X\) 上の準連接加群についても、 \(X\) の小さい étale サイト上の全ての \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏の部分圏とみなせば同じことが成り立つ。さらに、準コンパクトかつ準分離な射 \(f : X \to Y\) に対して、押し出し \(f_*\) および高次直接像は準連接性を保つ。

次に、\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{O}\) を \(X\) の大きいサイトの一つ、例えば大きい fppf サイト上の構造層とする。準連接 \(\mathcal{O}\)-加群の圏はアーベル圏である（実際、上述のスキーム \(X\) 上の通常の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏と同値である）が、\(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) への埋め込みは完全ではない。例として、準連接加群の射 \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k}\] を考える。これは \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\) 上で \(x\) による乗法として与えられる。この射は準連接層のアーベル圏では単射である。一方、\(\mathbf{A}^1_k\) の大きいサイト上の全ての \(\mathcal{O}\)-加群のアーベル圏では、\(\Spec(k[x]/(x)) = \Spec(k)\) 上の切断で評価すれば分かるように、非自明な核をもつ。さらに、準コンパクトかつ準分離な射 \(f : X \to Y\) に対し、函手 \(f_{big, *}\) は準連接性を保たない。

本章では、準連接加群と密接に関係し、上記二つの問題を「修正」する適切加群と呼ぶ圏を導入する。別の解決策として、代数的スタック上の準連接加群を扱う際には、局所的に準連接で平坦基底変換性を満たす \(\mathcal{O}\)-加群を考える方法を後で実装する。 Cohomology of 『スタック』の第 0GQG 節、 Cohomology of 『スタック』の注意 07B2、および Derived Categories of 『スタック』の第 07B5 節を参照されたい。

規約

本章では \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) を固定し、『スキーム上の位相』の第 020M 節に従って大きい \(\tau\)-サイト \(\Sch_\tau\) を一つ固定する。全てのスキームは \(\Sch_\tau\) の対象とする。特に、スキーム \(S\) に対してサイト \((\textit{Aff}/S)_\tau \subset (\Sch/S)_\tau\) を得る。これらのサイト上の構造層 \(\mathcal{O}\) は \(\mathcal{O}(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) という規則で定義される。

全ての環 \(A\) は \(\Spec(A)\) が \(\Sch_\tau\) の対象（と同型）となるものとする。環 \(A\) に対し、\(\textit{Alg}_A\) を、対象が \(B = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) の形の \(A\)-代数 \(B\)（ただし \(U\) は \(\Sch_\tau\) のアフィン対象）であるような \(A\)-代数の圏とする。従って、アフィンスキーム \(S = \Spec(A)\) に対し、函手 \[(\textit{Aff}/S)_\tau \longrightarrow \textit{Alg}_A, \quad U \longmapsto \mathcal{O}(U)\] は同値である。

適切函手

本節では、準連接層の直接像に密接に関係する話題を扱う。この内容の大部分は論文 [Jaffe] から取ったものである。

定義

環 \(A\) に対し、加群値函手とは、次の条件を満たす函手 \(F : \textit{Alg}_A \to \textit{Ab}\) である：

\(\textit{Alg}_A\) の各対象 \(B\) に対して、群 \(F(B)\) に \(B\)-加群の構造が与えられており、

\(\textit{Alg}_A\) の任意の射 \(B \to B'\) に対し、写像 \(F(B) \to F(B')\) は \(B\)-線形である。

加群値函手の射とは、函手の変換 \(\varphi : F \to G\) であって、全ての \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) に対し \(F(B) \to G(B)\) が \(B\)-線形となるものである。

\(S = \Spec(A)\) をアフィンスキームとする。 \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏は \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/S)_\tau, \mathcal{O})\) という \(\mathcal{O}\)-加群の前層の圏と同値である。この同値は、加群値函手 \(F\) に対し、規則 \(\mathcal{F}(U) = F(\mathcal{O}(U))\) で定義される前層 \(\mathcal{F}\) を対応させることで与えられる。これは第 06Z3 節で与えた同値 \((\textit{Aff}/S)_\tau \to \textit{Alg}_A\), \(U \mapsto \mathcal{O}(U)\) から明らかである。準逆は \(F(B) = \mathcal{F}(\Spec(B))\) と置く。

加群値函手の重要な特殊例は次のように得られる。 \(M\) を \(A\)-加群とする。このとき \(\underline{M}\) を \(B \mapsto M \otimes_A B\)（明らかな \(B\)-加群構造をもつ）という加群値函手とする。\(M \to N\) が \(A\)-加群の射ならば、加群値函手の射 \(\underline{M} \to \underline{N}\) が付随する。逆に、加群値函手の任意の射 \(\underline{M} \to \underline{N}\) は \(A\)-加群の射 \(M \to N\) から生じる。これは \(B = A\) で評価すれば分かる。つまり、\(\text{Mod}_A\) は \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏の充満部分圏である。

\(A\)-加群の射 \(\varphi : M \to N\) が与えられているとする。このとき \(\Coker(\underline{M} \to \underline{N}) = \underline{Q}\) であり、ここで \(Q = \Coker(M \to N)\) である。これは \(\otimes\) が右完全だからである。しかし、核については一般にはそうならない。例えば \(A\)-加群の単射が基底変換後も単射とは限らない。このため次の定義を行う。

定義

環 \(A\) に対し、\(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手 \(F\) が

adequate であるとは、ある \(A\)-加群の射 \(M \to N\) が存在して \(F\) が \(\Ker(\underline{M} \to \underline{N})\) と同型であることをいう。

linearly adequate であるとは、\(F\) が \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\) の核と同型であることをいう。

\(F\) が適切であることと、完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) が存在することは同値である。また、\(F\) が線形適切であることと、完全列 \(0 \to F \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\) が存在することも同値である。

環 \(A\) に対し、本節では \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏がアーベル圏であること（補題 06V2 および 06V3）、生成元の集合をもつこと（補題 06UX）を示す。さらに、この圏が \(\textit{Alg}_A\) 上の全ての加群値函手の圏の弱い Serre 部分圏であり（補題 06V8）、任意の余極限をもつこと（補題 06V4）も見る。

補題

環 \(A\) をとる。 \(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手とする。 \(B = \colim B_i\) が \(A\)-代数のフィルター付き余極限であるならば、 \(F(B) = \colim F(B_i)\) である。

証明

任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して \(M \otimes_A B = \colim M \otimes_A B_i\) が成り立つ（『可換代数』の補題 00DD 参照）こと、およびフィルター付き余極限が完全列と可換すること（『可換代数』の補題 00DB 参照）による。

注意

\(\textit{Alg}_{fp, A}\) を、対象 \(B\) が \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) の形の \(A\)-代数であり、射が \(A\)-代数の写像である圏とする。任意の \(A\)-代数 \(B\) は有限表示 \(A\)-代数のフィルター付き余極限、すなわち \(\textit{Alg}_{fp, A}\) の対象のフィルター付き余極限である。補題 06UU により、任意の適切函手 \(F\) は \(\textit{Alg}_{fp, A}\) への制限によって決まる。したがって、いくつかの問題では \(\textit{Alg}_{fp, A}\) 上の函手に制限できる。例えば、適切函手の圏は選んだ大きい \(\tau\)-サイトの選択に依存せず、第 06Z3 節で選んだサイトにも依存しない。

補題

環 \(A\) をとる。 \(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手とする。 \(B \to B'\) が平坦ならば、\(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) は同型である。

証明

完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) を選ぶ。これにより図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F(B) \otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (N \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F(B') \ar[r] & M \otimes_A B' \ar[r] & N \otimes_A B' }\] を得る。行は完全である（上の行は \(B \to B'\) が平坦であることによる）。右側二つの垂直矢印が同型なので、左の矢印も同型である。

補題

環 \(A\) をとる。 \(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手とする。このとき、全射 \(L \to F\) が存在し、\(L\) は線形適切函手の直和である。

証明

完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) を選ぶ。ここで \(\underline{M} \to \underline{N}\) は \(\varphi : M \to N\) で与えられる。補題 06UU により、任意の有限表示 \(A\)-代数 \(B\) に対して \(L(B) \to F(B)\) が全射となるような \(L \to F\) を構成すれば十分である。従って、有限表示 \(A\)-代数 \(B\) と \(\xi \in F(B)\) が与えられたとき、\(L\) が線形適切であり、 \(\xi\) が \(L(B) \to F(B)\) の像に入るような \(L \to F\) を構成すればよい。（同型を除けば、このような組 \((B, \xi)\) は集合をなす。）

\(\xi\) の \(\underline{M}(B) = M \otimes_A B\) における像を \(\sum_{i = 1, \ldots, n} m_i \otimes b_i\) と書く。 \(N \otimes_A B\) において \(\sum \varphi(m_i) \otimes b_i = 0\) である。 \(N\) は有限表示 \(A\)-加群のフィルター付き余極限なので、有限表示 \(A\)-加群 \(N'\) と \(A\)-加群の可換図式 \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]_{m_1, \ldots, m_n} & N' \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] を、\((b_1, \ldots, b_n)\) が \(N' \otimes_A B\) で零に写るように選べる。 \(A^{\oplus l} \to A^{\oplus k} \to N' \to 0\) という表示を選ぶ。図式の \(A^{\oplus n} \to N'\) の持ち上げ \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus k}\) を選ぶ。このとき、 \((c_1, \ldots, c_l) \in B^{\oplus l}\) が存在して \((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l)\) が \(B^{\oplus n} \oplus B^{\oplus l} \to B^{\oplus k}\) によって \(B^{\oplus k}\) の零元に写る。可換図式 \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \oplus A^{\oplus l} \ar[r] \ar[d] & A^{\oplus k} \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] を考える。左の垂直矢印は \(A^{\oplus l}\) の直和因子上で零とする。すると、\(L\) を \(\underline{A^{\oplus n + l}} \to \underline{A^{\oplus k}}\) の核とすればよい。実際、\((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l) \in L(B)\) は \(\xi\) に写る。

次数付き \(A\)-代数 \(B = \bigoplus_{d \geq 0} B_d\) を考える。このとき、二つの \(A\)-代数写像 \(p, a : B \to B[t, t^{-1}]\)、すなわち \(p : b \mapsto b\) と \(a : b \mapsto t^{\deg(b)} b\) がある。ここで \(b\) は斉次元である。\(F\) が \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手ならば、次を定義する： [06UY]\[\begin{equation} F(B)^{(k)} = \{\xi \in F(B) \mid t^k F(p)(\xi) = F(a)(\xi)\}. \end{equation}\] 平坦環拡大に関してよく振る舞う函手については、これにより直和分解が得られる。これは \(\mathbf{G}_m\) の表現が完全可約であるという事実に相当する。

補題

環 \(A\) をとる。 \(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手とする。 \(B \to B'\) が平坦なとき、写像 \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) が同型であると仮定する。 \(B\) を次数付き \(A\)-代数とする。このとき

\(F(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} F(B)^{(k)}\) であり、

写像 \(B \to B_0 \to B\) が誘導する写像 \(F(B) \to F(B)\) の像は \(F(B)^{(0)}\) に含まれる。

証明

\(x \in F(B)\) をとる。写像 \(p : B \to B[t, t^{-1}]\) は自由なので、 \[F(B[t, t^{-1}]) = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(p)(F(B)) \cdot t^k = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^k\] である。以下の証明では、表示のとおり \(F(p)\) を省略する。ある \(x_k \in F(B)\) により \(F(a)(x) = \sum t^k x_k\) と書く。 \(\epsilon : B[t, t^{-1}] \to B\) を \(B\)-代数写像 \(t \mapsto 1\) とする。合成 \(\epsilon \circ p, \epsilon \circ a : B \to B[t, t^{-1}] \to B\) は恒等写像である。従って \[x = F(\epsilon)(F(a)(x)) = F(\epsilon)(\sum t^k x_k) = \sum x_k.\] を得る。一方、\(x_k \in F(B)^{(k)}\) であると主張する。実際、可換図式 \[\xymatrix{ B \ar[r]_a \ar[d]_{a'} & B[t, t^{-1}] \ar[d]^f \\ B[s, s^{-1}] \ar[r]^-g & B[t, s, t^{-1}, s^{-1}] }\] を考える。ここで \(a'(b) = s^{\deg(b)}b\), \(f(b) = b\), \(f(t) = st\) および \(g(b) = t^{\deg(b)}b\), \(g(s) = s\) である。このとき \[F(g)(F(a'))(x) = F(g)(\sum s^k x_k) = \sum s^k F(a)(x_k)\] であり、他方の経路では \[F(f)(F(a))(x) = F(f)(\sum t^k x_k) = \sum (st)^k x_k.\] を得る。\(B \to B[s, t, s^{-1}, t^{-1}]\) は自由なので、 \(F(B[t, s, t^{-1}, s^{-1}]) = \bigoplus_{k, l \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^ks^l\) である。上の式の係数を比較すれば、望むとおり \(F(a)(x_k) = t^k x_k\) を得る。

最後に、\(F(B_0) \to F(B)\) の像は \(F(B)^{(0)}\) に含まれる。これは \(B_0 \to B \xrightarrow{a} B[t, t^{-1}]\) が \(B_0 \to B \xrightarrow{p} B[t, t^{-1}]\) に等しいからである。

補題 06UZ の特別な場合として、 \[\underline{M}(B)^{(k)} = M \otimes_A B_k\] であることに注意する。ここで \(B_k\) は次数付き \(A\)-代数 \(B\) の次数 \(k\) の成分である。

補題

環 \(A\) をとる。\(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の実線図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & L \ar[d]_\varphi \ar[r] & \underline{A^{\oplus n}} \ar[r] \ar@{..>}[ld] & \underline{A^{\oplus m}} \\ & \underline{M} }\] が与えられ、その行が完全であるとする。このとき、図式を可換にする点線矢印が存在する。

証明

写像 \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\) が \(m \times n\)-行列 \((a_{ij})\) で与えられるとする。

環 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\) を考える。元 \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\) は \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\) の零元に写るので、唯一の元 \(\xi \in L(B)\) の像である。\(\xi\) は次の普遍性をもつ：任意の \(A\)-代数 \(C\) と任意の \(\xi' \in L(C)\) に対し、 \(L(B) \to L(C)\) により \(\xi\) が \(\xi'\) に写るような \(A\)-代数写像 \(B \to C\) が存在する。

\(B\) は次数付き \(A\)-代数なので、補題 06UZ および 06UW を用いて、 \(B\) 上の函手の値を次数付き成分に分解できる。 \((x_1, \ldots, x_n)\) は \(\underline{A^{\oplus n}}(B)\) の次数一の元なので、 \(\xi \in L(B)^{(1)}\) である。従って \(\varphi(\xi) \in \underline{M}(B)^{(1)} = M \otimes_A B_1\) である。 \(B_1\) は \(A\)-加群として \(x_1, \ldots, x_n\) で生成されるので、 \(\varphi(\xi) = \sum m_i \otimes x_i\) と書ける。第 \(i\) 基底ベクトルを \(m_i\) に写す写像 \(A^{\oplus n} \to M\) を考える。構成により、付随する写像 \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{M}\) は、元 \(\xi\) を \(\varphi(\xi)\) に写す。上記の普遍性から図式は可換である。

補題

環 \(A\) をとる。 \(\varphi : F \to \underline{M}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の写像とし、 \(F\) は適切であるとする。このとき \(\Coker(\varphi)\) は適切である。

証明

補題 06UX により、 \(F = \bigoplus L_i\) は線形適切函手の直和であると仮定してよい。完全列 \(0 \to L_i \to \underline{A^{\oplus n_i}} \to \underline{A^{\oplus m_i}}\) を選ぶ。各 \(i\) に対し、補題 06V0 のように写像 \(A^{\oplus n_i} \to M\) を選ぶ。図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus L_i \ar[r] \ar[d] & \bigoplus \underline{A^{\oplus n_i}} \ar[r] \ar[ld] & \bigoplus \underline{A^{\oplus m_i}} \\ & \underline{M} }\] を考える。\(A\)-加群 \[Q = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to M \oplus \bigoplus A^{\oplus m_i}) \quad\text{and}\quad P = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to \bigoplus A^{\oplus m_i}).\] を考える。このとき \(\Coker(\varphi)\) は \(\underline{Q} \to \underline{P}\) の核と同型である。

補題

環 \(A\) をとる。 \(\varphi : F \to G\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の写像とする。このとき \(\Coker(\varphi)\) は適切である。

証明

単射 \(G \to \underline{M}\) を選ぶ。すると単射 \(G/F \to \underline{M}/F\) がある。補題 06V1 により \(\underline{M}/F\) は適切なので、単射 \(\underline{M}/F \to \underline{N}\) を選べる。合成して単射 \(G/F \to \underline{N}\) を得る。補題 06V1 により、誘導される写像 \(G \to \underline{N}\) の余核は適切であるから、単射 \(\underline{N}/G \to \underline{K}\) を選べる。従って \(0 \to G/F \to \underline{N} \to \underline{K}\) は完全であり、結論を得る。

補題

環 \(A\) をとる。 \(\varphi : F \to G\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の写像とする。このとき \(\Ker(\varphi)\) は適切である。

証明

単射 \(F \to \underline{M}\) と単射 \(G \to \underline{N}\) を選ぶ。図式 \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \\ \underline{M \oplus N} \ar[r] & \underline{N} }\] が可換になるように、対角写像を \(F \to \underline{M \oplus N}\) と書く。補題 06V2 により、\(F\) が \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K}\) の核となるような加群写像 \(M \oplus N \to K\) を選べる。このとき \(\Ker(\varphi)\) は \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K \oplus N}\) の核である。

補題

環 \(A\) をとる。 \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の任意の直和は適切である。適切函手の余極限も適切である。

証明

直和についての主張は直ちに従う。一般の余極限は直和間の写像の核として書ける；『圏論』の補題 002P を参照されたい。従って、補題 06V3 から従う。

補題

環 \(A\) をとる。 \(F, G\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手とし、 \(\varphi : F \to G\) を函手の変換とする。次を仮定する：

\(\varphi\) は加法的である；

任意の \(A\)-代数 \(B\)、\(\xi \in F(B)\)、および単元 \(u \in B^*\) に対し、\(G(B)\) において \(\varphi(u\xi) = u\varphi(\xi)\) である；

任意の平坦環写像 \(B \to B'\) に対し \(G(B) \otimes_B B' = G(B')\) である。

このとき \(\varphi\) は加群値函手の射である。

証明

\(B\) を \(A\)-代数、\(\xi \in F(B)\)、\(b \in B\) とする。 \(\varphi(b \xi) = b \varphi(\xi)\) を示せばよい。環写像 \[B \to B' = B[x, y, x^{-1}, y^{-1}]/(x + y - b).\] を考える。この環写像は忠実平坦なので \(G(B) \subset G(B')\) である。一方、 \[\varphi(b\xi) = \varphi((x + y)\xi) = \varphi(x\xi) + \varphi(y\xi) = x\varphi(\xi) + y\varphi(\xi) = (x + y)\varphi(\xi) = b\varphi(\xi)\] である。実際、\(x, y\) は \(B'\) の単元である。従って結論を得る。

補題

環 \(A\) をとる。 \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の短完全列とし、\(L\) は線形適切であるとする。このとき \(G\) は適切である。

証明

まず、任意の平坦な \(A\)-代数写像 \(B \to B'\) に対し、写像 \(G(B) \otimes_B B' \to G(B')\) が同型であることを指摘する。実際、補題 06UW により、これは \(\underline{M}\) と \(L\) について成り立つので、五項補題により \(G\) についても成り立つ。特に、補題 06UZ により、任意の次数付き \(A\)-代数 \(B\) に対して \(G(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} G(B)^{(k)}\) である。

完全列 \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\) を選ぶ。写像 \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\) が \(m \times n\)-行列 \((a_{ij})\) で与えられるとする。次数付き \(A\)-代数 \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\) を考える。元 \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\) は \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\) の零元に写るので、唯一の元 \(\xi \in L(B)\) の像である。\(\xi \in L(B)^{(1)}\) であることに注意する。写像 \[\Hom_A(B, C) \longrightarrow L(C), \quad f \longmapsto L(f)(\xi)\] は函手の同型を定める。実際、\(f\) は像 \(c_i = f(x_i) \in C\) によって決まり、それらは関係式 \(\sum a_{ij}c_j = 0\) を満たさなければならない。一方、 \(L(C)\) は関係式 \(\sum a_{ij} c_j = 0\) を満たす \(n\)-組 \((c_1, \ldots, c_n)\) の集合である。

上記の補題により、\(B\) 上の各函手 \(\underline{M}\)、\(G\)、\(L\) の値はその重み空間の直和である。従って、 \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\) の完全性から、列 \(0 \to \underline{M}(B)^{(1)} \to G(B)^{(1)} \to L(B)^{(1)} \to 0\) は完全である。よって \(\xi\) に写る元 \(\theta \in G(B)^{(1)}\) を選べる。

次数付き \(A\)-代数 \[C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\] を考える。規則 \[p_1(x_i) = x_i, \quad p_1(x_i) = y_i, \quad m(x_i) = x_i + y_i.\] で定まる三つの次数付き \(A\)-代数準同型 \(p_1, p_2, m : B \to C\) がある。元 \[\tau = G(m)(\theta) - G(p_1)(\theta) - G(p_2)(\theta) \in G(C)\] が零であることを示す。まず、直接計算により \(\tau\) は \(L(C)\) の零元に写る。従って \(\tau\) は \(\underline{M}(C)\) の元である。さらに、\(m\)、\(p_1\)、\(p_2\) は次数付き代数写像なので \(\tau \in G(C)^{(1)}\) であり、 \(\underline{M} \subset G\) だから \[\tau \in \underline{M}(C)^{(1)} = M \otimes_A C_1.\] を得る。\(C_1 = p_1(B_1) \oplus p_2(B_1)\) なので、一意的に \(\tau = \underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)\) と書ける。ここで \(\tau_i \in M \otimes_A B_1 = \underline{M}(B)^{(1)}\) である。 \(x_i \mapsto x_i\)、\(y_i \mapsto 0\) で定まる環写像 \(q_1 : C \to B\) を考える。このとき \(\underline{M}(q_1)(\tau) = \underline{M}(q_1)(\underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)) = \tau_1\) である。一方、\(q_1 \circ m = q_1 \circ p_1\) なので \(G(q_1)(\tau) = - G(q_1 \circ p_2)(\tau)\) である。\(q_1 \circ p_2\) は \(B \to A \to B\) と分解するので、補題 06UZ により \(G(q_1 \circ p_2)(\tau)\) は \(G(B)^{(0)}\) に属する。従って \(\tau_1 = 0\) である。なぜなら \(G(B)^{(0)} \cap \underline{M}(B)^{(1)} \subset G(B)^{(0)} \cap G(B)^{(1)} = 0\) だからである。同様に \(\tau_2 = 0\) であり、従って \(\tau = 0\) である。

\(\theta \in G(B)\) から、\(f : B \to C\) を \(G(f)(\theta)\) に写すことにより函手の変換 \[\psi : L(-) = \Hom_A(B, - ) \longrightarrow G(-)\] を得る。\(\theta\) は \(\xi\) の持ち上げなので、写像 \(\psi\) は \(G \to L\) の右逆である。上で示した主張を \(\psi\) で言い換えると、 \(\tau = 0\) は \(\psi\) が加法的であることを意味し、 \(\theta \in G(B)^{(1)}\) は、任意の \(A\)-代数 \(D\)、\(l \in L(D)\)、および単元 \(u \in D^*\) に対して \(G(D)\) において \(\psi(ul) = u\psi(l)\) となることを含意する。従って、補題 06V5 により \(\psi\) は加群値函手の射である。明らかに \(G \cong \underline{M} \oplus L\) となり、結論を得る。

注意

環 \(A\) をとる。補題 06V6 の証明は、 \(L\) が線形適切であるとき、\(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の任意の拡大 \(0 \to \underline{M} \to E \to L \to 0\) が分裂することを示している。この証明では、加群値函手 \(F = \underline{M}\) の次の性質だけを用いた：

平坦環写像 \(B \to B'\) に対し、 \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) は同型である；

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\) および \(C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\) とすると、 \(F(C)^{(1)} = F(p_1)(F(B)^{(1)}) \oplus F(p_2)(F(B)^{(1)})\) である。

この二つの性質は任意の適切函手 \(F\) に対して成り立つ。詳細は省略する。従って、\(L\) は適切函手のアーベル圏の射影対象である。

補題

環 \(A\) をとる。 \(0 \to F \to G \to H \to 0\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の短完全列とする。\(F\) と \(H\) が適切ならば \(G\) も適切である。

証明

完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) を選ぶ。 \((\underline{M} \oplus G)/F\) が適切であることを示せたとする。このとき \(G\) は適切函手間の写像 \((\underline{M} \oplus G)/F \to \underline{N}\) の核なので、補題 06V3 により適切である。従って \(F = \underline{M}\) と仮定してよい。

\(L\) が線形適切函手の直和となる全射 \(L \to H\) を選べる；補題 06UX を参照されたい。引き戻し \(G \times_H L\) が適切であることを示せたとする。このとき \(G\) は写像 \(\Ker(L \to H) \to G \times_H L\) の余核なので、補題 06V2 により適切である。従って、\(H = \bigoplus L_i\) が線形適切函手の直和であると仮定してよい。補題 06V6 により、各引き戻し \(G \times_H L_i\) は適切である。補題 06V4 により、 \(\bigoplus G \times_H L_i\) も適切である。このとき \(G\) は \[\bigoplus\nolimits_{i \not = i'} F \longrightarrow \bigoplus G \times_H L_i\] の余核である。ここで、直和因子 \((i, i')\) の \(\xi\) は、非零成分が直和因子 \(i\) と \(i'\) にある \((0, \ldots, 0, \xi, 0, \ldots, 0, -\xi, 0, \ldots, 0)\) に写る。従って、補題 06V2 により \(G\) は適切である。

補題

\(A \to A'\) を環写像とする。\(F\) が \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手ならば、 \(\textit{Alg}_{A'}\) への制限 \(F'\) も適切である。

証明

完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) を選ぶ。このとき \(F'(B') = F(B') = \Ker(M \otimes_A B' \to N \otimes_A B')\) である。 \(M \otimes_A B' = M \otimes_A A' \otimes_{A'} B'\) であり、\(N\) についても同様なので、\(F'\) は \(\underline{M \otimes_A A'} \to \underline{N \otimes_A A'}\) の核である。

補題

\(A \to A'\) を環写像とする。\(F'\) が \(\textit{Alg}_{A'}\) 上の適切函手ならば、 \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手 \(F : B \mapsto F'(A' \otimes_A B)\) も適切である。

証明

完全列 \(0 \to F' \to \underline{M'} \to \underline{N'}\) を選ぶ。このとき \[\begin{align*} F(B) & = F'(A' \otimes_A B) \\ & = \Ker(M' \otimes_{A'} ( A' \otimes_A B) \to N' \otimes_{A'} (A' \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M' \otimes_A B \to N' \otimes_A B) \end{align*}\] である。従って \(F\) は \(\underline{M} \to \underline{N}\) の核である。ここで、 \(M = M'\) および \(N = N'\) は \(A\)-加群とみなしている。

補題

\(A = A_1 \times \ldots \times A_n\) を環の積とする。\(A\) 上の適切函手を与えることと、\(A_i\) 上の適切函手 \(F_i\) の列 \(F_1, \ldots, F_n\) を与えることは同じである。

証明

\(A\)-代数 \(B\) は標準的に積 \(B_1 \times \ldots \times B_n\) であり、 \(A\)-加群についても同じことが成り立つからである。 \(F(B) = \coprod F_i(B_i)\) と置けば対応を得る。詳細は省略する。

補題

\(A \to A'\) を環写像とし、\(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手とする。次を仮定する：

\(F\) の \(A'\)-代数の圏への制限 \(F'\) は適切である；

任意の \(A\)-代数 \(B\) に対し、列 \[0 \to F(B) \to F(B \otimes_A A') \to F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\] は完全である。

このとき \(F\) は適切である。

証明

函手 \(B \to F(B \otimes_A A')\) および \(B \mapsto F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\) は適切である；補題 06VA および 06V9 を参照されたい。従って \(F\) は適切函手間の写像の核として適切である；補題 06V3 を参照されたい。

適切函手の高次 Ext

環 \(A\) をとる。補題 06V8 で、 \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏における適切函手の任意の拡大が適切であることを見た。本節では、高次 Ext 群についても同じことが成り立つことを示す。

補題

環 \(A\) をとる。\(\textit{Alg}_A\) 上の任意の加群値函手 \(F\) に対し、 \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の射 \(Q(F) \to F\) であって、 (1) \(Q(F)\) は適切であり、(2) 任意の適切函手 \(G\) に対して写像 \(\Hom(G, Q(F)) \to \Hom(G, F)\) が全単射となるものが存在する。

証明

任意の線形適切函手がいずれかの \(L_i\) と同型になるような線形適切函手の集合 \(\{L_i\}_{i \in I}\) を選ぶ。これは可能である。(1) と次の性質 (2)’ を満たす \(Q(F) \to F\) を選べると仮定する：任意の \(i \in I\) に対し、写像 \(\Hom(L_i, Q(F)) \to \Hom(L_i, F)\) は全単射である。このとき (2) が成り立つ。実際、補題 06UX および 06V3 を合わせると、任意の適切函手 \(G\) は完全列 \[K \to L \to G \to 0\] に入り、\(K\) と \(L\) は線形適切函手の直和である。従って (2)’ から \(\Hom(L, Q(F)) \to \Hom(L, F)\) および \(\Hom(K, Q(F)) \to \Hom(K, F)\) は全単射であり、\(G\) についても同様である。

対象が組 \((i, \varphi)\) である圏 \(\mathcal{I}\) を考える。ここで \(i \in I\) であり、\(\varphi : L_i \to F\) は射である。射 \((i, \varphi) \to (i', \varphi')\) とは、 \(\varphi' \circ \psi = \varphi\) を満たす写像 \(\psi : L_i \to L_{i'}\) である。 \[Q(F) = \colim_{(i, \varphi) \in \Ob(\mathcal{I})} L_i\] と置く。自然な写像 \(Q(F) \to F\) がある。補題 06V4 によりこれは適切であり、構成から性質 (2)’ をもつ。

補題

環 \(A\) をとる。\(\mathcal{P}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏、 \(\mathcal{A}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏とする。包含函手を \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\) と書き、補題 06Z6 の構成を \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\) と書く。このとき

\(i\) は充満忠実かつ完全であり、その像は弱 Serre 部分圏である；

\(\mathcal{P}\) は十分多くの入射対象をもつ；

函手 \(Q\) は \(i\) の右随伴であり、従って左完全である；

\(Q\) は入射対象を入射対象に写す；

\(\mathcal{A}\) は十分多くの入射対象をもつ。

証明

この補題は、これまでに見た事実をまとめただけである。(1) は定義、弱 Serre 部分圏の特徴づけ（『ホモロジー代数』の補題 0754 参照）、および補題 06V2、06V3 および 06V8 から明らかである。 \(\mathcal{P}\) は圏 \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/\Spec(A))_\tau, \mathcal{O})\) と同値であることを思い出す。従って、『入射対象』の命題 01DV により (2) が成り立つ。 (3) は補題 06Z6 および『圏論』の補題 0038 から従う。(4) と (5) は『ホモロジー代数』の補題 015Z および 0160 から従う。

環 \(A\) をとる。『形式変形理論』の第 06I2 節と同様に、 \(A\)-代数 \(B\) と \(B\)-加群 \(N\) が与えられたとき、\(B[N]\) を、台となる \(B\)-加群が \(B \oplus N\) であり、乗法が \((b, m)(b', m ') = (bb', bm' + b'm)\) で与えられる \(R\)-代数とする。この構成は組 \((B, N)\) について函手的である。ここで射 \((B, N) \to (B', N')\) は、\(A\)-代数写像 \(B \to B'\) と \(B\)-加群写像 \(N \to N'\) で与えられる。ある意味で、次の補題で定義する組の函手 \(TF\) は \(F\) の接空間である。以下では、\(B[N]\) が \(\textit{Alg}_A\) の対象となる組 \((B, N)\) だけを考える。

補題

環 \(A\) をとり、\(F\) を加群値函手とする。任意の \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) と \(B\)-加群 \(N\) に対し、次の性質で特徴づけられる標準分解 \[F(B[N]) = F(B) \oplus TF(B, N)\] がある：

\(TF(B, N) = \Ker(F(B[N]) \to F(B))\) である；

\(TF(B, N)\) には \(B\)-加群構造があり、これは \(F(B[N])\) 上の \(B[N]\)-加群構造と両立する；

\(TF\) は組 \((B, N)\) の圏からの函手である；

標準写像 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) があり、組 \((B, N)\) の圏上で定義された函手間の変換を誘導する；

\(TF(B, 0) = 0\) であり、\(N \to N'\) が零写像ならば、写像 \(TF(B, N) \to TF(B, N')\) は零である。

証明

\(B \to B[N] \to B\) は恒等写像なので、\(F(B) \to F(B[N])\) は直和因子であり、その補因子は (1) で定義された \(TF(N, B)\) である。この構成は組 \((B, N)\) について函手的である。実際、組の射 \((B, N) \to (B', N')\) が与えられると、 \(\textit{Alg}_A\) における可換図式 \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B'[N'] \ar[r] & B' \\ B \ar[r] \ar[u] & B[N] \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] を得る。\(B\)-加群構造は \(B[N]\)-加群構造と環写像 \(B \to B[N]\) から得られる。 (4) の写像は合成 \[N \otimes_B F(B) \longrightarrow B[N] \otimes_{B[N]} F(B[N]) \longrightarrow F(B[N])\] であり、その像は \(TF(B, N)\) に含まれる。（最初の矢印は包含 \(N \to B[N]\) と \(F(B) \to F(B[N])\) を用い、二つ目の矢印は乗法写像である。） \(N = 0\) ならば \(B = B[N]\) なので \(TF(B, 0) = 0\) である。 \(N \to N'\) が零写像ならば \(N \to 0 \to N'\) と分解するので、 \(TF(B, 0) = 0\) より誘導写像は零である。

環 \(A\) をとり、\(M\) を \(A\)-加群とする。このとき、加群値函手 \(\underline{M}\) の接空間 \(T\underline{M}\) は規則 \(T\underline{M}(B, N) = N \otimes_A M\) で与えられる。特に、\(B\) を固定すると、函手 \(N \mapsto T\underline{M}(B, N)\) は加法的かつ右完全である。これは入射的な加群値函手についても成り立つ。

補題

環 \(A\) をとり、\(I\) を加群値函手の圏の入射対象とする。このとき、任意の \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) と \(B\)-加群の短完全列 \(0 \to N_1 \to N \to N_2 \to 0\) に対し、列 \[TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\] は完全である。

証明

以下、補題 06Z8 の結果を断りなく用いる。 \(h : \textit{Alg}_A \to \textit{Sets}\) を \(h(C) = \Mor_A(B[N], C)\) で与えられる函手とする。\(h_1\) と \(h_2\) も同様に定める。全射 \(N \to N_2\) に対応する写像 \(B[N] \to B[N_2]\) は全射である。これは写像 \(h_2 \to h\) に対応し、任意の \(A\)-代数 \(C\) に対して \(h_2(C) \to h(C)\) は単射である。一方、零写像 \(N_1 \to N\) と単射 \(N_1 \to N\) に対応する二つの写像 \(p, q : h \to h_1\) がある。図式 \[\xymatrix{ h_2 \ar[r] & h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_1 }\] は等化子図式である。\(\mathcal{O}_h\) を加群値函手 \(C \mapsto \bigoplus_{h(C)} C\) とする。\(\mathcal{O}_{h_1}\) と \(\mathcal{O}_{h_2}\) も同様に定める。 \[\Hom_\mathcal{P}(\mathcal{O}_h, F) = F(B[N])\] であることに注意する。ここで \(\mathcal{P}\) は \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏である。\(\mathcal{P}\) において等化子図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{h_2} \ar[r] & \mathcal{O}_h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{O}_{h_1} }\] があることを主張する。実際、\(C \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) とし、 \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} c_i \cdot f_i\) と書く。ここで \(c_i \in C\)、 \(f_i : B[N] \to C\) は \(\mathcal{O}_h(C)\) の元である。 \(p(\xi) = q(\xi)\) ならば \[\sum c_i \cdot f_i \circ z = \sum c_i \cdot f_i \circ y\] である。ここで \(z, y : B[N_1] \to B[N]\) は \(z : (b, m_1) \mapsto (b, 0)\) および \(y : (b, m_1) \mapsto (b, m_1)\) である。これは、各 \(i\) に対して \(f_j \circ z = f_i \circ y\) となる \(j\) が存在することを意味する。明らかに \(f_i(N_1) = 0\) であり、従って \(f_i\) は一意な写像 \(\overline{f}_i : B[N_2] \to C\) を経由する。よって \(\xi\) は \(\overline{\xi} = \sum c_i \cdot \overline{f}_i\) の像である。 \(I\) は入射的なので、この等化子図式を余等化子図式 \[\xymatrix{ I(B[N_1]) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & I(B[N]) \ar[r] & I(B[N_2]) }\] に写す。この図式は直和分解 \(I(B[N]) = I(B) \oplus TI(B, N)\) および \(I(B[N_i]) = I(B) \oplus TI(B, N_i)\) と両立する。零写像 \(N \to N_1\) は零写像 \(TI(B, N) \to TI(B, N_1)\) を誘導する。従って、上の余等化子性は、望む完全列 \(TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\) があることを意味する。

補題

環 \(A\) をとる。\(F\) を加群値函手とし、任意の \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) に対して、\(B\)-加群上の函手 \(TF(B, -)\) が \(B\)-加群の短完全列を右完全列に写すと仮定する。このとき

\(TF(B, N_1 \oplus N_2) = TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2)\) である；

\(TF(B, N)\) には第二の函手的な \(B\)-加群構造がある。これは \(x \in TF(B, N)\) と \(b \in B\) に対し \(x \cdot b = TF(B, b\cdot 1_N)(x)\) と置くことで定義される；

補題 06Z8 の標準写像 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) は、第二の \(B\)-加群構造に関しても \(B\)-線形である；

有限表示 \(B\)-加群 \(N\) が与えられると、標準同型 \(TF(B, B) \otimes_B N \to TF(B, N)\) がある。ここでテンソル積には \(TF(B, B)\) 上の第二の \(B\)-加群構造を用いる。

証明

以下、補題 06Z8 の結果を断りなく用いる。写像 \(N_1 \to N_1 \oplus N_2\) と \(N_2 \to N_1 \oplus N_2\) は写像 \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\) を与える。これは単射である。なぜなら写像 \(N_1 \oplus N_2 \to N_1\) と \(N_1 \oplus N_2 \to N_2\) が逆写像を誘導するからである。 \(TF\) は右完全なので、列 \(TF(B, N_1) \to TF(B, N_1 \oplus N_2) \to TF(B, N_2) \to 0\) は完全である。従って \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\) は同型である。これで (1) が示された。

(2) を示すには \(x \cdot (b_1 + b_2) = x \cdot b_1 + x \cdot b_2\) を示せば十分である。（結合律と加法性は明らかである。）このために \[N \xrightarrow{(b_1, b_2)} N \oplus N \xrightarrow{+} N\] を考え、\(TF(B, -)\) を適用する。

(3) は、\(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) が組 \((B, N)\) について函手的であることから直ちに従う。

\(N\) を有限表示 \(B\)-加群とする。表示 \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n} \to N \to 0\) を選ぶ。 \(TF(B, -)\) の右完全性により、完全列 \[TF(B, B^{\oplus m}) \to TF(B, B^{\oplus n}) \to TF(B, N) \to 0\] を得る。(1) により \(TF(B, B^{\oplus m}) = TF(B, B)^{\oplus m}\) および \(TF(B, B^{\oplus n}) = TF(B, B)^{\oplus n}\) と書ける。次に、写像 \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n}\) が行列 \(T = (b_{ij})\) で与えられるとする。このとき誘導写像 \(TF(B, B)^{\oplus m} \to TF(B, B)^{\oplus n}\) は、成分が \(TF(B, b_{ij} \cdot 1_B)\) である行列によって与えられる。これと \(\otimes\) の右完全性から (4) が従う。

例

\(F\) を補題 06ZB のような加群値函手とする。 \(TF(B, N)\) 上の二つの加群構造は、常に一致するとは限らない。例を挙げる。 \(A = \mathbf{F}_p\) とし、\(p\) は素数とする。\(F(B) = B\) と置くが、 \(B\)-加群構造は \(b \cdot x = b^px\) で与える。このとき \(TF(B, N) = N\) であり、\(x \in N\) に対する \(B\)-加群構造は \(b \cdot x = b^px\) で与えられる。しかし、第二の \(B\)-加群構造は \(x \cdot b = bx\) で与えられる。この場合、標準写像 \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) は零であることに注意する。実際、元 \(n \in B[N]\) の \(p\) 乗は零である。

次の補題では、以下の観察を繰り返し用いる。 \(0 \to F \to G \to H \to 0\) が \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の完全列ならば、任意の組 \((B, N)\) に対し、列 \(0 \to TF(B, N) \to TG(B, N) \to TH(B, N) \to 0\) は完全である。これは \(0 \to F(B[N]) \to G(B[N]) \to H(B[N]) \to 0\) が完全であることから従う。

補題

環 \(A\) をとる。\(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手とする。全ての \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) に対し、\(B\)-加群上の函手 \(TF(B, -)\) が \(B\)-加群の短完全列を右完全列に写すとき、この函手は \((*)\) を満たすという。 \(0 \to F \to G \to H \to 0\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の短完全列とする。

\(F, G\) が \((*)\) を満たすならば、\(H\) も \((*)\) を満たす。

\(F, H\) が \((*)\) を満たすならば、\(G\) も \((*)\) を満たす。

\(H' \to H\) が \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の射であり、 \(F\)、\(G\)、\(H\)、\(H'\) が \((*)\) を満たすならば、\(G \times_H H'\) も \((*)\) を満たす。

証明

\(B\) を固定し、\(0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0\) を \(B\)-加群の短完全列とする。(1) は図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_3) \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 }\] における図式追跡から従う。ここで横の行と、\(TF\) および \(TG\) を含む列は完全である。(2) を示すには、図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] & TH(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & & 0 }\] で図式追跡を行う。ここで横の行と、\(TF\) および \(TH\) を含む列は完全である。 (3) は (2) から従う。実際、\(G \times_H H'\) は完全列 \(0 \to F \to G \times_H H' \to H' \to 0\) に入る。

本節の議論の大部分は、次の鍵となる消滅結果を証明するためのものであった。

補題

環 \(A\) をとる。\(M\), \(P\) を \(A\)-加群とし、\(P\) は有限表示であるとする。このとき \(i > 0\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M}) = 0\) である。ここで \(\mathcal{P}\) は \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏である。

証明

\(\mathcal{P}\) における入射分解 \(\underline{M} \to I^\bullet\) を選ぶ；補題 06Z7 を参照されたい。『導来圏』の補題 06XR により、 \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\) の任意の元は、 \(d^i \circ \varphi = 0\) を満たす射 \(\varphi : \underline{P} \to I^i\) から生じる。 \(\varphi\) に付随する \(\underline{P}\) の \(\underline{M}\) による Yoneda 拡大 \[E : 0 \to \underline{M} \to I^0 \to \ldots \to I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P} \to \underline{P} \to 0\] が自明であることを示す。これにより、『導来圏』の補題 06XU から補題が従う。

\(F\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手とする。全ての \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) に対し、\(B\)-加群上の函手 \(TF(B, -)\) が \(B\)-加群の短完全列を右完全列に写すとき、\((*)\) が成り立つという。加群値函手 \(\underline{M}, I^n, \underline{P}\) はそれぞれ性質 \((*)\) をもつ；補題 06ZA とその前の考察を参照されたい。 \(0 \to \underline{M} \to I^\bullet\) を短完全列に分解し、補題 06ZF を用いると、各函手 \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n) \subset I^n\) が性質 \((*)\) をもち、さらに \(I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P}\) も性質 \((*)\) をもつことが分かる。

従って、Yoneda 拡大が \[E : 0 \to \underline{M} \to F_{i - 1} \to \ldots \to F_0 \to \underline{P} \to 0\] で与えられ、各加群値函手 \(F_j\) が性質 \((*)\) をもつと仮定してよい。 \(G_j(B) = TF_j(B, B)\) と置き、補題 06ZB で定義した 第二の \(B\)-加群構造により \(B\)-加群とみなす。\(TF_j\) は組上の函手なので、 \(G_j\) は \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手である。さらに、\(E\) は完全列なので、列 \(G_{j + 1} \to G_j \to G_{j - 1}\) は完全である（補題 06ZF の前の考察を参照）。 \(T\underline{M}(B, B) = M \otimes_A B = \underline{M}(B)\) であり、その上の二つの \(B\)-加群構造は一致する。従って Yoneda 拡大 \[E' : 0 \to \underline{M} \to G_{i - 1} \to \ldots \to G_0 \to \underline{P} \to 0\] を得る。さらに、補題 06Z8 (06Z9) の標準写像 \[F_j(B) = B \otimes_B F_j(B) \longrightarrow TF_j(B, B) = G_j(B)\] は、補題 06ZB (06ZC) により \(B\)-線形であり、\(B\) について函手的である。従って Yoneda 拡大の写像 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] \ar[d]^1 & F_{i - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & F_0 \ar[r] \ar[d] & \underline{P} \ar[r] \ar[d]^1 & 0 \\ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] & G_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & G_0 \ar[r] & \underline{P} \ar[r] & 0 }\] を得る。特に、上で述べた Yoneda Ext に関する補題により、\(E\) と \(E'\) は \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\) において同じ類をもつ。最後に、\(N\) を有限表示 \(A\)-加群とする。このとき \[0 \to T\underline{M}(A, N) \to TF_{i - 1}(A, N) \to \ldots \to TF_0(A, N) \to T\underline{P}(A, N) \to 0\] は完全である。補題 06ZB (06ZD) を \(B = A\) として用いると、これは \(A\)-加群の列 \[0 \to M \otimes_A N \to G_{i - 1}(A) \otimes_A N \to \ldots \to G_0(A) \otimes_A N \to P \otimes_A N \to 0\] が完全であることを意味する。従って \(A\)-加群の列 \(0 \to M \to G_{i - 1}(A) \to \ldots \to G_0(A) \to P \to 0\) は普遍完全である。すなわち、任意の有限表示 \(A\)-加群 \(N\) とテンソル積をとっても完全である。 \(K = \Ker(G_0(A) \to P)\) と置くと、完全列 \[0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0 \quad\text{and}\quad G_2(A) \to G_1(A) \to K \to 0\] を得る。第二の列を \(N\) とテンソル積すると \(K \otimes_A N = \Coker(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N)\) を得る。列 \(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\) の完全性から、\(K \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\) は単射である。『可換代数』の定理 058K により、これは \(A\)-加群の拡大 \(0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0\) が完全であることを意味する。 \(P\) は有限表示と仮定したので、この列は分裂する；『可換代数』の補題 058L を参照されたい。任意の分裂 \(P \to G_0(A)\) は、全射 \(G_0 \to \underline{P}\) を分裂させる写像 \(\underline{P} \to G_0\) を定める。従って Yoneda 拡大 \(E'\) は自明な Yoneda 拡大と同値であり、結論を得る。

補題

環 \(A\) をとる。\(M\) を \(A\)-加群とし、\(L\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の線形適切函手とする。このとき \(i > 0\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M}) = 0\) である。ここで \(\mathcal{P}\) は \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏である。

証明

\(L\) は線形適切なので、完全列 \[0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\] が存在する。ここで \(P = \Coker(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n})\) は、線形適切函手の定義に現れる有限自由 \(A\)-加群間の写像の余核である。補題 06ZG により、\(i > 0\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\) および \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{A}, \underline{M})\) は消滅する。 \(K = \Ker(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P})\) と置く。完全列 \(0 \to K \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\) に付随する Ext 群の長完全列により、\(i > 0\) に対して \(\Ext^i_\mathcal{P}(K, \underline{M}) = 0\) を得る。列 \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to K \to 0\) について同じ議論を繰り返せば結論を得る。

補題

補題 06Z7 の記法のもとで、任意の適切函手 \(F\) と全ての \(p > 0\) に対して \(R^pQ(F) = 0\) である。

証明

完全列 \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1}\) を選ぶ。 \(M^2 = \Coker(M^0 \to M^1)\) と置くと、 \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1} \to \underline{M^2} \to 0\) は分解である。『導来圏』の補題 015J によりスペクトル系列 \[R^pQ(\underline{M^q}) \Rightarrow R^{p + q}Q(F)\] を得る。\(Q(\underline{M^q}) = \underline{M^q}\) なので、任意の \(A\)-加群 \(M\) と \(p > 0\) に対して \(R^pQ(\underline{M}) = 0\) を示せば十分である。

圏 \(\mathcal{P}\) における入射分解 \(\underline{M} \to I^\bullet\) を選ぶ。 \(R^iQ(\underline{M})\) が非零であると仮定する。このとき \(\Ker(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1}))\) は \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\) の像より真に大きい。従って、補題 06UX により、線形適切函手 \(L\) と写像 \(\varphi : L \to Q(I^i)\) であって、 \(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1})\) の核に写り、かつ \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\) の像を経由しないものが存在する。 \(Q\) は包含函手の左随伴なので、写像 \(\varphi\) は同じ性質をもつ写像 \(\varphi' : L \to I^i\) に対応する。従って \(\varphi'\) は \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M})\) の非零元を与え、補題 06ZH に矛盾する。

『降下』の第 03DR 節で、スキーム \(S\) 上の準連接加群は、\(S\) に付随する任意の大サイト \((\Sch/S)_\tau\) 上の準連接加群と同じであることを見た。この同一視には二つの問題がある：

函手 \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) は一般には完全でない（『降下』の補題 06VE）；
準コンパクトかつ準分離な射 \(f : X \to S\) が与えられても、函手 \(f_*\) は一般に大サイト上の準連接層を保たない（『降下』の命題 03LC）。

(1) は、コホモロジー層が準連接である複体からなる \(D(\mathcal{O})\) の三角部分圏を定義できないことを意味する。(2) は、\(\mathcal{F}\) が準連接で \(f\) が準コンパクトかつ準分離であっても、\(Rf_*\mathcal{F}\) が準連接なコホモロジー層をもつ複体とは限らないことを意味する。さらに、『降下』の補題 06VE および『降下』の命題 03LC の証明で与えた例は病理的なものではない。

本節では、\((\Sch/S)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の少し大きな圏を扱う。この圏は準連接加群を含み、アーベル圏であり、\(f\) が準コンパクトかつ準分離ならば \(f_*\) で保たれる。このために、\(S\) をスキームとし、 \(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の前層とする。 \((\Sch/S)_\tau\) の任意のアフィン対象 \(U = \Spec(A)\) に対し、 \(\mathcal{F}\) を \((\textit{Aff}/U)_\tau\) に制限して、このサイト上の \(\mathcal{O}\)-加群の前層を得る。第 06US 節の対応する加群値函手を \[F = F_{\mathcal{F}, A} : \textit{Alg}_A \longrightarrow \textit{Ab}, \quad B \longmapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\] と書く。対応 \(\mathcal{F} \mapsto F_{\mathcal{F}, A}\) はアーベル圏間の完全函手である。

定義

\((\Sch/S)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) が適切であるとは、任意の \(i \in I\) に対して \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) が適切となる \(\tau\)-被覆 \(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\) が存在することをいう。

適切 \(\mathcal{O}\)-加群の圏が、選んだ位相 \(\tau\) に依存しないことを後で見る。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群とする。\(S\) 上の任意のアフィンスキーム \(\Spec(A)\) に対し、函手 \(F_{\mathcal{F}, A}\) は適切である。

証明

\(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\) を、全ての \(i \in I\) に対して \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) が適切となる \(\tau\)-被覆とする。標準アフィン \(\tau\)-被覆 \(\{\Spec(A'_j) \to \Spec(A)\}_{j = 1, \ldots, m}\) であって、各添字に対して \(i(j) \in I\) が存在し、\(\Spec(A'_j) \to \Spec(A) \to S\) が \(\Spec(A_{i(j)})\) を経由するものを選べる。このとき \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) は \(F_{\mathcal{F}, A_{i(j)}}\) の \(A'_j\)-代数の圏への制限である。従って補題 06V9 により \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) は適切である。補題 06VB により、列 \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) は \(A' = A'_1 \times \ldots \times A'_m\) 上の適切な「積」函手 \(F'\) に対応する。 \(\mathcal{F}\) は Zariski 位相について層なので、この積函手 \(F'\) は \(F_{\mathcal{F}, A'}\) に等しい。すなわち、\(F\) の \(A'\)-代数への制限である。最後に \(\{\Spec(A') \to \Spec(A)\}\) は \(\tau\)-被覆である。従って補題 06VH により \(F_{\mathcal{F}, A}\) は適切である。

補題

\(S = \Spec(A)\) をアフィンスキームとする。\((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群の圏は、\(\textit{Alg}_A\) 上の適切加群値函手の圏と同値である。

証明

適切加群 \(\mathcal{F}\) が与えられると、補題 06VI により函手 \(F_{\mathcal{F}, A}\) は適切である。適切函手 \(F\) が与えられたときは、完全列 \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) を選び、 \(\mathcal{O}\)-加群 \(\mathcal{F} = \Ker(M^a \to N^a)\) を考える。ここで \(M^a\) は、 \(S\) 上の準連接層 \(\widetilde{M}\) に付随する \((\Sch/S)_\tau\) 上の準連接 \(\mathcal{O}\)-加群を表す。\(F = F_{\mathcal{F}, A}\) であることに注意する。特に、加群 \(\mathcal{F}\) は定義により適切である。これらの構成が互いに逆な圏同値を定めることの証明は省略する。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの射とする。\((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群 \(\mathcal{F}\) の引き戻し \(f^*\mathcal{F}\) は、 \((\Sch/T)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群である。

証明

引き戻し写像 \(f^* : \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/T)_\tau, \mathcal{O})\) は制限で与えられる。すなわち、\(T\) 上の任意のスキーム \(V\) に対し \(f^*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\) である。従って、この補題は補題 06VI と定義から直ちに従う。

適切 \(\mathcal{O}\)-加群の圏を次のように特徴づける。その意味を理解するため、スキーム \(S\) 上の準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群間の写像 \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) を考える。付随する \(\mathcal{O}\)-加群の写像 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) の余核は \((\mathcal{H}/\mathcal{G})^a\) に等しいので準連接である。一方、 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) の核は一般には準連接でないが、適切である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群とする。次は同値である：

\(\mathcal{F}\) は適切である；

アフィン開被覆 \(S = \bigcup S_i\) と準連接 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-加群の写像 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\) が存在し、 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) は \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\) の核である；

\(\tau\)-被覆 \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) と準連接 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-加群の写像 \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\) が存在し、 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) は \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\) の核である；

\(\tau\)-被覆 \(\{f_i : S_i \to S\}_{i \in I}\) が存在し、各 \(f_i^*\mathcal{F}\) は適切である；

\(S\) 上の任意のアフィンスキーム \(U\) に対し、制限 \(\mathcal{F}|_{(\Sch/U)_\tau}\) は準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群間の写像 \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) の核である。

証明

\(U = \Spec(A)\) を \(S\) 上のアフィンスキームとし、 \(F = F_{\mathcal{F}, A}\) と置く。定義により、函手 \(F\) が適切であることと、 \(F = \Ker(\underline{M} \to \underline{N})\) となる \(A\)-加群の写像 \(M \to N\) が存在することは同値である。補題 06VI および 06ZJ と合わせると、 (1) と (5) が同値であることが分かる。

(5) が (2) を含意し、(2) が (3) を含意することは明らかである。 (3) が成り立つとする。被覆 \(\{S_i \to S\}\) を細分して、各 \(S_i = \Spec(A_i)\) がアフィンであるようにできる。このとき、証明冒頭の考察から \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) は適切である。従って \(\mathcal{F}\) は定義により適切であり、(3) は (1) を含意する。

最後に、一方の含意には補題 06VJ を用い、他方には \(\tau\)-被覆の合成が \(\tau\)-被覆であることを用いれば、(4) と (1) は同値である。

準連接層の場合と同様に、適切加群の圏は位相に依存しない。

補題

\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群とする。 \(S\) 上のアフィンスキーム間の任意の全射平坦射 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) に対し、増大 Čech 複体 \[0 \to \mathcal{F}(\Spec(A)) \to \mathcal{F}(\Spec(B)) \to \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) \to \ldots\] は完全である。特に、\(\mathcal{F}\) は fpqc 被覆に対する層条件を満たし、 \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の層である。

証明

\(A \to B\) を補題のとおりとし、\(F = F_{\mathcal{F}, A}\) と置く。この函手は補題 06VI により適切である。\(A \to B\)、 \(A \to B \otimes_A B\) などは平坦なので、補題 06UW により \(F(B) = F(A) \otimes_A B\)、 \(F(B \otimes_A B) = F(A) \otimes_A B \otimes_A B\) などを得る。完全性は『降下』の補題 023M から従う。

従って \(\mathcal{F}\) は \(\tau\)-被覆（特に Zariski 被覆）およびアフィンをアフィンで被覆する任意の忠実平坦被覆に対する層条件を満たす。『降下』の補題 023S および『降下』の命題 023T の証明と同様に論じると、 \(\mathcal{F}\) は \((\Sch/S)_\tau\) の対象からなる全ての fpqc 被覆に対する層条件を満たす。詳細は省略する。

特に補題 06VL は、任意の二つの位相 \(\tau, \tau'\) に対し、\(\tau\)-位相に関する適切加群の集まりと \(\tau'\)-位相に関する適切加群の集まりが、台となる圏 \(\Sch/S\) 上の加群の前層として同一であることを示す。

定義

\(S\) をスキームとする。\((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群の圏を \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) または \(\textit{Adeq}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) と書く。位相を選ばずに適切加群のアーベル圏だけを考えるときは、単に \(\textit{Adeq}(S)\) と書く。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群とする。

制限 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) はスキーム \(S\) 上の準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群である。

制限 \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) は \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) に付随する準連接加群である。

\(S\) 上の任意のアフィンスキーム \(U\) と全ての \(q > 0\) に対し、 \(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\) である。

標準同型 \[H^q(S, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) = H^q((\Sch/S)_\tau, \mathcal{F}).\] がある。

証明

補題 06UW および 06VI により、\(S\) 上のアフィンスキーム間の任意の平坦射 \(U \to V\) に対して \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\) である。特に、\(U \subset V \subset S\) が \(S\) のアフィン開部分ならばこれが成り立つので、\(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) は準連接である。従って (1) が成り立つ。

\(S' \to S\) をスキームの étale 射とする。アフィン開部分 \(U \subset S'\) がアフィン開部分 \(V \subset S\) に写るとする。\(U \to V\) は étale、従って平坦なので \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\) である。従って \(\mathcal{F}|_{S'_{Zar}}\) は \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) の引き戻しである。これで (2) が示された。

『サイト上のコホモロジー』の補題 03F9 をサイト \((\Sch/S)_\tau\) に適用する。ここで \(\mathcal{B}\) は \(S\) 上のアフィンスキームの集合、\(\text{Cov}\) は標準アフィン \(\tau\)-被覆の集合とする。補題の仮定 (3) は、『降下』の補題 03FI および、単一のアフィンによる被覆の場合の補題 06VL により満たされる。従って、\(S\) 上の任意のアフィンスキーム \(U\) に対して \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) を得る。これで (3) が示された。『降下』の命題 03DW の証明と全く同様に、これは (4) のコホモロジーの等式を含意する。

注意

\(S\) をスキームとする。函手 \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) および \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) がある。すなわち、函手 \(u : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) は、付随する \(\mathcal{O}\)-加群をとることで得られ、補題 06VK によりこれは適切である。逆に、函手 \(v\) は制限 \(v : \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}|_{S_{Zar}}\) で得られる；補題 06VM を参照されたい。 \(\mathcal{F}^a\) は環付きトポスの射 \(((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O}_S)\) による \(\mathcal{F}\) の引き戻しとして記述できる（『降下』の注意 03FH 参照）。また、制限は押し出しなので、 \(u\) と \(v\) は次のように随伴する： \[\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_\mathcal{O}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] ここで \(\mathcal{O}\) は大サイト上の構造層を表す。この記述から、任意の準連接層について随伴写像 \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\) が同型であることは直ちに分かる。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の前層とする。\(S\) 上の全てのアフィンスキーム \(\Spec(A)\) に対して函手 \(F_{\mathcal{F}, A}\) が適切ならば、 \(\mathcal{F}\) の層化は適切 \(\mathcal{O}\)-加群である。

証明

\(U = \Spec(A)\) を \(S\) 上のアフィンスキームとし、 \(F = F_{\mathcal{F}, A}\) と置く。層化は \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) である；『サイトと層』の第 00W1 節を参照されたい。構成により \[(\mathcal{F})^+(U) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] であり、余極限はサイト \((\Sch/S)_\tau\) の被覆全体にわたる。\(U\) はアフィンなので、\(U\) の標準アフィン \(\tau\)-被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} = \{\Spec(A_i) \to \Spec(A)\}_{i \in I}\) にわたる極限だけをとれば十分である。各 \(A \to A_i\) および \(A \to A_i \otimes_A A_j\) は平坦なので、補題 06UW により \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \Ker(\prod F(A) \otimes_A A_i \to \prod F(A) \otimes_A A_i \otimes_A A_j)\] である。\(A \to \prod A_i\) は忠実平坦なので、『降下』の補題 023M により、これは常に標準的に \(F(A)\) と同型である。従って前層 \((\mathcal{F})^+\) は、\(S\) 上の全てのアフィンスキームで \(\mathcal{F}\) と同じ値をもつ。議論をもう一度繰り返すと、 \(\mathcal{F}^\# = ((\mathcal{F})^+)^+\) についても同じことが分かる。従って \(F_{\mathcal{F}, A} = F_{\mathcal{F}^\#, A}\) であり、 \(\mathcal{F}^\#\) は適切である。

補題

\(S\) をスキームとする。

圏 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) はアーベル圏である。

函手 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) は完全である。

\(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) が \(\mathcal{O}\)-加群の短完全列であり、\(\mathcal{F}_1\) と \(\mathcal{F}_3\) が適切ならば、\(\mathcal{F}_2\) も適切である。

圏 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) は余極限をもち、函手 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) は余極限と可換する。

証明

\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を適切 \(\mathcal{O}\)-加群の写像とする。 (1) と (2) を示すには、 \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) で計算した \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\) と \(\mathcal{Q} = \Coker(\varphi)\) が適切であることを示せば十分である。\(U = \Spec(A)\) を \(S\) 上のアフィンスキームとし、\(F = F_{\mathcal{F}, A}\) および \(G = F_{\mathcal{G}, A}\) と置く。補題 06V3 および 06V2 により、誘導写像 \(F \to G\) の核 \(K\) と余核 \(Q\) は適切函手である。核は前層の段階で計算されるので、 \(K = F_{\mathcal{K}, A}\) であり、\(\mathcal{K}\) は適切である。余核については、 \(\mathcal{Q}'\) を \(\varphi\) の前層としての余核と書く。このとき \(Q = F_{\mathcal{Q}', A}\) および \(\mathcal{Q} = (\mathcal{Q}')^\#\) である。従って補題 06VP により \(\mathcal{Q}\) は適切である。

\(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) を \(\mathcal{O}\)-加群の短完全列とし、\(\mathcal{F}_1\) と \(\mathcal{F}_3\) は適切とする。 \(U = \Spec(A)\) を \(S\) 上のアフィンスキームとし、 \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\) と置く。函手の列 \[0 \to F_1 \to F_2 \to F_3 \to 0\] は完全である。実際、\(V = \Spec(B)\) が \(U\) 上アフィンならば、補題 06VM により \(H^1(V, \mathcal{F}_1) = 0\) である。補題 06VI により \(F_1\) と \(F_3\) は適切函手なので、補題 06V8 により \(F_2\) は適切である。従って \(\mathcal{F}_2\) は適切である。

\(\mathcal{I} \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) を図式とする。\(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\) を \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) で計算した余極限とする。 (4) を示すには、\(\mathcal{F}\) が適切であることを示せば十分である。 \(\mathcal{F}' = \colim_i \mathcal{F}_i\) を \(\mathcal{O}\)-加群の前層の圏で計算した余極限とする。このとき \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}')^\#\) である。 \(U = \Spec(A)\) を \(S\) 上のアフィンスキームとし、 \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\) と置く。補題 06V4 により函手 \(\colim_i F_i = F_{\mathcal{F}', A}\) は適切である。補題 06VP により \(\mathcal{F}\) は適切である。

次の補題は、準コンパクトかつ準分離な射による適切加群の全導来直接像 \(Rf_*\mathcal{F}\) が、コホモロジー層の適切な複体であることを述べる。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射とする。 \((\Sch/T)_\tau\) 上の任意の適切 \(\mathcal{O}_T\)-加群について、押し出し \(f_*\mathcal{F}\) と高次直接像 \(R^if_*\mathcal{F}\) は \((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}_S\)-加群である。

証明

まず高次直接像の計算法を説明する。入射分解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) を選ぶ。このとき \(R^if_*\mathcal{F}\) は複体 \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) の第 \(i\) コホモロジー層である。従って \(R^if_*\mathcal{F}\) は、\((\Sch/S)_\tau\) の対象 \(U/S\) に加群 \[\begin{align*} \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(U) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(U))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(U) \to f_*\mathcal{I}^i(U))} & = \frac{\Ker(\mathcal{I}^i(U \times_S T) \to \mathcal{I}^{i + 1}(U \times_S T))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(U \times_S T) \to \mathcal{I}^i(U \times_S T))} \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}) \\ & = H^i((\Sch/U \times_S T)_\tau, \mathcal{F}|_{(\Sch/U \times_S T)_\tau}) \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}|_{(U \times_S T)_{Zar}}) \end{align*}\] を対応させる前層に付随する層である。最初の等号は『スキーム上の位相』の補題 021W（および他の位相に対する類似結果）、第二の等号は \((\Sch/T)_\tau\) の対象上の \(\mathcal{F}\) のコホモロジーの定義、第三の等号は『サイト上のコホモロジー』の補題 03F3、最後の等号は補題 06VM による。従って補題 06VP により、次の段落の主張を示せば十分である。

環 \(A\) をとる。\(T\) を \(A\) 上準コンパクトかつ準分離なスキームとし、 \(\mathcal{F}\) を \((\Sch/T)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}_T\)-加群とする。 \(A\)-代数 \(B\) に対し \(T_B = T \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\) と置き、 \(\mathcal{F}_B = \mathcal{F}|_{(T_B)_{Zar}}\) を \(\mathcal{F}\) の \(T_B\) の小 Zariski サイトへの制限とする。（これはスキーム \(T_B\) 上の通常の準連接層である；補題 06VM を参照されたい。）主張：函手 \[B \longmapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\] は適切である。\(T\) を部分に切り分ける通常の手順で補題を証明する。

場合 I：\(T\) はアフィンである。この場合、スキーム \(T_B\) は全てアフィンであり、全ての \(q \geq 1\) に対して \(H^q(T_B, \mathcal{F}_B) = 0\) である。函手 \(B \mapsto H^0(T_B, \mathcal{F}_B)\) は補題 06VA により適切である。

場合 II：\(T\) は分離的である。\(T\) を被覆するのに必要なアフィンの最小個数を \(n\) とする。\(n\) に関する帰納法を用いる。基底の場合は場合 I である。アフィン開被覆 \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) を選び、 \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) および \(U = V_n\) と置く。 \[U \cap V = (V_1 \cap V_n) \cup \ldots \cup (V_{n - 1} \cap V_n)\] も \(n - 1\) 個のアフィン開部分の合併である。実際、\(T\) は分離的である；『スキーム』の補題 01KP を参照されたい。各 \(B\) に対して、基底変換 \(U_B\)、\(V_B\)、および \((U \cap V)_B = U_B \cap V_B\) も同様に振る舞う。従って各 \(B\) に対し、 \(B\) について函手的な長完全列 \[0 \to H^0(T_B, \mathcal{F}_B) \to H^0(U_B, \mathcal{F}_B) \oplus H^0(V_B, \mathcal{F}_B) \to H^0((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B) \to H^1(T_B, \mathcal{F}_B) \to \ldots\] がある；『層のコホモロジー』の補題 01EB を参照されたい。帰納法の仮定により、函手 \(B \mapsto H^q(U_B, \mathcal{F}_B)\)、 \(B \mapsto H^q(V_B, \mathcal{F}_B)\)、および \(B \mapsto H^q((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B)\) は適切である。補題 06V3 および 06V2 を用いると、函手 \(B \mapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\) は、両端が適切である短完全列の中央に入る。従って補題 06V8 から主張が従う。

場合 III：一般の準コンパクトかつ準分離な場合。証明は再び、\(T\) を被覆するのに必要なアフィンの個数 \(n\) に関する帰納法で行う。基底の場合 \(n = 1\) は場合 I である。アフィン開被覆 \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) を選び、 \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) および \(U = V_n\) と置く。 \(T\) は準分離なので \(U \cap V\) はアフィンスキームの準コンパクトな開部分であり、場合 II を適用できる。残りの議論は前段落と全く同じであるため省略する。

寄生的適切加群

本節では、スキーム \(S\) 上の適切加群と準連接加群の比較を始める。函手 \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) および \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) があり、随伴 \[\SheafHom_{\QCoh(\mathcal{O}_S)}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] を満たすことを思い出す。また、任意の準連接層 \(\mathcal{F}\) に対して \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\) は同型である；注意 06VN を参照されたい。従って \(u\) は充満忠実な埋め込みであり、 \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) を \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) の充満部分圏と同一視できる。函手 \(v\) は完全だが、\(u\) は一般には左完全でない。 \(v\) の核は寄生的適切加群の部分圏である。

『降下』の定義 06ZL で寄生加群を定義した。適切加群については、この概念は選んだ位相に依存しない。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上の適切 \(\mathcal{O}\)-加群とする。次は同値である：

\(v\mathcal{F} = 0\) である；

\(\mathcal{F}\) は寄生的である；

\(\mathcal{F}\) は \(\tau\)-位相に関して寄生的である；

全ての開部分 \(U \subset S\) に対して \(\mathcal{F}(U) = 0\) である；

アフィン開被覆 \(S = \bigcup U_i\) であって、全ての \(i\) に対して \(\mathcal{F}(U_i) = 0\) となるものが存在する。

証明

含意 (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5) は定義から直ちに従う。(5) を仮定する。\(S = \bigcup U_i\) を、全ての \(i\) に対し \(\mathcal{F}(U_i) = 0\) となるアフィン開被覆とする。\(V \to S\) を平坦射とする。各 \(V_j\) がいずれかの \(U_i\) に写るようなアフィン開被覆 \(V = \bigcup V_j\) が存在する。射 \(V_j \to S\) は平坦なので、 \(V_j \to U_i\) も平坦である。従って、対応する環写像 \(A_i = \mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j) = B_j\) は平坦である。補題 06VI および 06UW により、写像 \(\mathcal{F}(U_i) \otimes_{A_i} B_j \to \mathcal{F}(V_j)\) は同型である。従って \(\mathcal{F}(V_j) = 0\) である。\(\mathcal{F}\) は Zariski 位相の層なので \(\mathcal{F}(V) = 0\) を得る。よって (5) は (2) を含意する。

これで (2)、(3)、(4)、(5) の同値が示された。(1) は (3) と同値なので（注意 06VN 参照）、五条件は全て同値である。

\(S\) をスキームとする。寄生的適切加群の部分圏は \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) の Serre 部分圏であり、その商は準連接加群の圏である。

補題

\(S\) をスキームとする。寄生的適切加群の部分圏 \(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) は Serre 部分圏である。さらに、函手 \(v\) は圏同値 \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} = \QCoh(\mathcal{O}_S).\] を誘導する。

証明

圏 \(\mathcal{C}\) は完全函手 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) の核である；補題 06ZM を参照されたい。従って『ホモロジー代数』の補題 02MQ により Serre 部分圏である。『ホモロジー代数』の補題 02MS により、誘導される完全函手 \(\overline{v} : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) を得る。\(u\) は \(v\) の右逆なので、\(\overline{v}\) は直ちに本質的全射である。『ホモロジー代数』の補題 06XK により \(\overline{v}\) は忠実である。最後に、再び \(u\) が \(v\) の右逆であることから、 \(\overline{v}\) は充満忠実である。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射とする。 \((\Sch/T)_\tau\) 上の任意の寄生的適切 \(\mathcal{O}_T\)-加群について、押し出し \(f_*\mathcal{F}\) と高次直接像 \(R^if_*\mathcal{F}\) は \((\Sch/S)_\tau\) 上の寄生的適切 \(\mathcal{O}_S\)-加群である。

証明

補題 06VR で、これらの高次直接像が適切であることは既に見た。従って、任意の開 \(\tau\)-被覆 \(\{U_i \to S\}\) に対して \((R^if_*\mathcal{F})(U_i) = 0\) を示せば十分である。そして『降下』の補題 07AG により \(R^if_*\mathcal{F}\) は寄生的である。

適切加群の導来圏 I

\(S\) をスキームとする。第 06ZK 節で始めた議論を続ける。完全函手 \(v\) は函手 \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] を誘導し、有界版についても同様である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) を寄生的適切加群からなる充満部分圏とする。このとき \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))/D_\mathcal{C}(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] であり、有界版についても同様である。

証明

『導来圏』の補題 06XM から直ちに従う。

次に、函手 \[K^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)) \longrightarrow K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)).\] を調べて逆向きの記述を求める。場合によっては、適切加群の導来圏は、準連接加群の複体のホモトピー圏を普遍擬同型で局所化したものである。 \(S\) をスキームとする。準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群の複体間の写像 \(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) が 普遍擬同型 であるとは、任意のスキームの射 \(f : T \to S\) に対して引き戻し \(f^*\varphi\) が擬同型であることをいう。

補題

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとする。下に有界な導来圏 \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) は、\(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) を普遍擬同型の乗法的部分集合で局所化したものである。

証明

\(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) を準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群の複体の射とする。このとき \(u\varphi : u\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\) が擬同型であることと、 \(\varphi\) が普遍擬同型であることは同値である。従って、普遍擬同型の集まり \(S\) は、『導来圏』の補題 05R4 により三角構造と両立する飽和乗法系である。従って \(S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) は存在し、三角圏である；『導来圏』の命題 05R6 を参照されたい。『導来圏』の補題 05R7 により標準函手 \(can : S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D^{+}(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) を得る。

ほとんど定義から、\(U\) 上の任意の適切加群は準連接層への埋め込みをもつ；補題 06VK を参照されたい。従って『導来圏』の補題 05T6 により、 \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})))\) が与えられると、 \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)))\) となる擬同型 \(\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\) が存在する。これで \(can\) が本質的全射であることが示された。

同様に、\(\mathcal{F}^\bullet\) と \(\mathcal{G}^\bullet\) を下に有界な準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群の複体とする。これらの間の \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) における射は、組 \(f : u\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) と \(s : u\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) からなり、\(s\) は擬同型である。擬同型 \(s' : \mathcal{H}^\bullet \to u\mathcal{E}^\bullet\) を選ぶ。このとき \(s' \circ f : \mathcal{F} \to \mathcal{E}^\bullet\) と普遍擬同型 \(s' \circ s : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) は、与えられた射に写る \(S^{-1}K^{+}(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) の射を与える。これで充満忠実性の「充満」部分が示された。忠実性も同様に示される。

補題

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとする。包含函手 \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/U)_\tau, \mathcal{O})\] は右随伴 \(A\)¹ をもつ。さらに、任意の適切加群 \(\mathcal{F}\) に対し、随伴写像 \(A(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) は同型である。

証明

『スキーム上の位相』の補題 021V （および他の位相に対する同様の結果）により、\((\textit{Aff}/U)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群を扱ってよい。\(\mathcal{P}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の加群値函手の圏、\(\mathcal{A}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏とする。包含函手を \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\) と書き、補題 06Z6 の構成を \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\) と書く。可換図式 [06ZT]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \ar[r]_-k \ar@{=}[d] & \textit{Mod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar[r]_-j & \textit{PMod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar@{=}[d] \\ \mathcal{A} \ar[rr]^-i & & \mathcal{P} } } \end{equation}\] がある。左の縦の等号は補題 06ZJ であり、右の縦の等号は第 06US 節で説明した。 \(A(\mathcal{F}) = Q(j(\mathcal{F}))\) と定義する。\(j\) は充満忠実なので、\(A\) は包含函手 \(k\) の右随伴であることが直ちに従う。さらに \(k\) も充満忠実なので、最後の主張は形式的に従う。

函手 \(A\) は右随伴なので左完全である。包含函手は完全なので（補題 06VQ 参照）、\(A\) は入射対象を入射対象に写し、圏 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) は十分多くの入射対象をもつ；『ホモロジー代数』の補題 0160 および『入射対象』の定理 01DU を参照されたい。これは (06ZT) の同値と補題 06Z7 からも従う。

補題

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとする。 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) の任意の対象 \(\mathcal{F}\) と全ての \(p > 0\) に対し、 \(R^pA(\mathcal{F}) = 0\) である。ここで \(A\) は補題 06ZS のものとする。

証明

補題 06ZS の証明の記法を用いる。 \((\textit{Aff}/U)_\tau\) 上の \(\mathcal{O}\)-加群の圏で入射分解 \(k(\mathcal{F}) \to \mathcal{I}^\bullet\) を選ぶ。『サイト上のコホモロジー』の補題 06YK および補題 06VM により、複体 \(j(\mathcal{I}^\bullet)\) は完全である。一方、『サイト上のコホモロジー』の補題 03FB により、各 \(j(\mathcal{I}^n)\) は加群の前層の圏の入射対象である。従って \(R^pA(\mathcal{F}) = R^pQ(j(k(\mathcal{F})))\) である。ここで補題 06ZI を用いれば結果が従う。

\(S\) をスキームとする。第 06VF 節の議論により、埋め込み \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \subset \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) は \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) を全ての \(\mathcal{O}\)-加群の圏の弱 Serre 部分圏として表す。コホモロジー層が適切である複体の三角部分圏を \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \subset D(\mathcal{O}) = D(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}))\] と書く；『導来圏』の第 06UP 節を参照されたい。標準函手 \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\] を得る；Derived Categories, Equation (06UR) を参照されたい。

補題

\(U = \Spec(A)\) がアフィンスキームならば、上の函手の下に有界な版 [06VV]\[\begin{equation} D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \end{equation}\] は同値である。

証明

\(A : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) を、補題 06ZS で構成した包含函手の右随伴とする。 \(A\) は左完全であり、\(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) は十分多くの入射対象をもつので、 \(A\) は右導来函手 \(RA : D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) をもつ。\(RA\) が (06VV) の擬逆であることを主張する。鍵となる事実は、\(\mathcal{F}\) が適切加群ならば、補題 06ZU により随伴写像 \(\mathcal{F} \to RA(\mathcal{F})\) が擬同型であることである。

すなわち、補題を完全に証明するには次を示せば十分である：

\(\mathcal{F}^\bullet \in K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) が与えられると、標準写像 \(\mathcal{F}^\bullet \to RA(\mathcal{F}^\bullet)\) は擬同型である；

\(\mathcal{G}^\bullet \in K^+(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) が与えられると、標準写像 \(RA(\mathcal{G}^\bullet) \to \mathcal{G}^\bullet\) は擬同型である。

(1) と (2) はいずれも、『導来圏』の補題 015J のスペクトル系列の一つを用いるスペクトル系列の議論により、鍵となる事実から従う。いくつかの詳細は省略する。

補題

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとし、\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) を適切 \(\mathcal{O}\)-加群とする。任意の \(i \geq 0\) に対し、自然な写像 \[\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] は同型である。

証明

定義により、これらの Ext 群は導来圏の Hom 集合として計算される。従って補題 06ZV から直ちに従う。

純拡大

アフィンスキームの大サイト上の準連接層の拡大を、代数によって特徴づけたい。このために次の概念を導入する。

定義

\(A\) を環とする。

\(A\)-加群 \(P\) が 純射影 であるとは、任意の \(A\)-加群の普遍完全列 \(0 \to K \to M \to N \to 0\) に対して列 \(0 \to \Hom_A(P, K) \to \Hom_A(P, M) \to \Hom_A(P, N) \to 0\) が完全であることをいう。

\(A\)-加群 \(I\) が 純入射 であるとは、任意の \(A\)-加群の普遍完全列 \(0 \to K \to M \to N \to 0\) に対して列 \(0 \to \Hom_A(N, I) \to \Hom_A(M, I) \to \Hom_A(K, I) \to 0\) が完全であることをいう。

純射影加群を特徴づけよう。

補題

\(A\) を環とする。

加群が純射影であることと、有限表示 \(A\)-加群の直和の直和因子であることは同値である。

任意の加群 \(M\) に対し、\(P\) が純射影である普遍完全列 \(0 \to N \to P \to M \to 0\) が存在する。

証明

まず『可換代数』の定理 058K により、有限表示 \(A\)-加群は純射影である。従って有限表示 \(A\)-加群の直和の直和因子は実際に純射影である。\(M\) を任意の \(A\)-加群とする。これを有限表示 \(A\)-加群のフィルター余極限 \(M = \colim_{i \in I} P_i\) として書く。列 \[0 \to N \to \bigoplus P_i \to M \to 0.\] を考える。任意の有限表示 \(A\)-加群 \(P\) に対して写像 \(\Hom_A(P, \bigoplus P_i) \to \Hom_A(P, M)\) は全射である。実際、任意の写像 \(P \to M\) はある \(P_i\) を経由する。従って『可換代数』の定理 058K により、この列は普遍完全である。これで (2) が示された。ここで \(M\) が純射影ならば、この列は分裂し、\(M\) は \(\bigoplus P_i\) の直和因子であることが分かる。

次に純入射加群を特徴づけよう。

補題

\(A\) を環とする。任意の \(A\)-加群 \(M\) に対し \(M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\) とおく。

任意の \(A\)-加群 \(M\) に対し、\(A\)-加群 \(M^\vee\) は純入射である。

\(A\)-加群 \(I\) が純入射であることと、写像 \(I \to (I^\vee)^\vee\) が分裂することは同値である。

任意の加群 \(M\) に対し、\(I\) が純入射である普遍完全列 \(0 \to M \to I \to N \to 0\) が存在する。

証明

『代数の続論』の第 01D8 節にある函手 \(M \mapsto M^\vee\) の性質を、以後断りなく用いる。(1) は \(\Hom_A(N, M^\vee) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\) であり、かつ \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) がアーベル群の圏で入射的であることから従う。従って \(I \to (I^\vee)^\vee\) が分裂すれば \(I\) は純入射である。任意の \(A\)-加群 \(M\) に対し、評価写像 \(ev : M \to (M^\vee)^\vee\) は普遍単射であると主張する。実際、\(ev^\vee : ((M^\vee)^\vee)^\vee \to M^\vee\) は右逆 \(ev' : M^\vee \to ((M^\vee)^\vee)^\vee\) をもつ。そこで任意の \(A\)-加群 \(N\) に対し、写像 \(N \otimes_A M \to N \otimes_A (M^\vee)^\vee\) に完全忠実函手 \({}^\vee\) を適用すると \[\Hom_A(N, ((M^\vee)^\vee)^\vee) = \Big(N \otimes_A (M^\vee)^\vee\Big)^\vee \to \Big(N \otimes_A M\Big)^\vee = \Hom_A(N, M^\vee)\] を得る。これは右逆の存在により全射であるから、主張が従う。この主張から (3) と、 (2) の条件の必要性が従う。

先へ進む前に、この節の残りで頻繁に用いる次の観察を述べる。

補題

\(A\) を環とする。

\(L \to M \to N\) を \(A\)-加群の普遍完全列とし、 \(K = \Im(M \to N)\) とおく。このとき \(K \to N\) は普遍単射である。

任意の普遍完全複体は、普遍完全な短完全列へ分解できる。

証明

(1) を証明する。任意の \(A\)-加群 \(T\) に対し、\(\otimes\) の右完全性により列 \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to K \otimes_A T \to 0\) は完全である。仮定により列 \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to N \otimes_A T\) も完全である。これらを合わせると、\(K \otimes_A T \to N \otimes_A T\) は単射である。

(2) の意味は次の通りである。\(M^\bullet\) を \(A\)-加群の普遍完全複体とし、 \(K^i = \Ker(d^i) \subset M^i\) とおく。このとき短完全列 \(0 \to K^i \to M^i \to K^{i + 1} \to 0\) は普遍完全である。これは (1) から直ちに従う。

定義

\(A\) を環とし、\(M\) を \(A\)-加群とする。

純射影分解 \(P_\bullet \to M\) とは、各 \(P_i\) が純射影である普遍完全列 \[\ldots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\] のことである。

純入射分解 \(M \to I^\bullet\) とは、各 \(I^i\) が純入射である普遍完全列 \[0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] のことである。

これらの分解は、あらゆる普遍完全な左分解または右分解の類の中で、通常の一意性を満たす。

補題

\(A\) を環とする。

任意の \(A\)-加群は純射影分解をもつ。

\(M \to N\) を \(A\)-加群の写像とする。\(P_\bullet \to M\) を純射影分解、 \(N_\bullet \to N\) を普遍完全分解とする。

与えられた写像 \[M = \Coker(P_1 \to P_0) \to \Coker(N_1 \to N_0) = N\] を誘導する複体の写像 \(P_\bullet \to N_\bullet\) が存在する。

同じ写像 \(M \to N\) を誘導する二つの写像 \(\alpha, \beta : P_\bullet \to N_\bullet\) はホモトピックである。

証明

(1) は補題 06ZZ から直ちに従う。(2) と (3) を証明する前に、補題 0701 により普遍完全複体 \(N_\bullet \to N \to 0\) を普遍完全な短完全列 \(0 \to K_0 \to N_0 \to N \to 0\) および \(0 \to K_i \to N_i \to K_{i - 1} \to 0\) に分解できることに注意する。

(2) を証明する。\(P_0\) は純射影なので、写像 \(P_0 \to M \to N\) の持ち上げとなる写像 \(P_0 \to N_0\) をとれる。ここから \(K_0\) に値をとる誘導写像 \(P_1 \to F_0 \to N_0\) を得る。\(P_1\) は純射影なので、これを写像 \(P_1 \to N_1\) に持ち上げられる。するとさらに写像 \(P_2 \to P_1 \to N_1\) が誘導され、これは \(N_0\) への写像、すなわち \(K_1\) への写像として零になる。従って持ち上げて写像 \(P_2 \to N_2\) を得られる。この操作を繰り返す。

(3) を証明する。\(\alpha, \beta\) がホモトピックであることを示すには、差 \(\gamma = \alpha - \beta\) が零にホモトピックであることを示せばよい。 \(\gamma_0 : P_0 \to N_0\) の像は \(K_0\) に含まれることに注意する。従って \(\gamma_0\) を写像 \(h_0 : P_0 \to N_1\) に持ち上げられる。写像 \(\gamma_1' = \gamma_1 - h_0 \circ d_{P, 1} : P_1 \to N_1\) を考える。 \(h_0\) の選び方により、\(\gamma_1'\) の像は \(K_1\) に含まれる。\(P_1\) は純射影なので、 \(\gamma_1'\) を写像 \(h_1 : P_1 \to N_2\) に持ち上げられる。この時点で \(\gamma_1 = h_0 \circ d_{F, 1} + d_{N, 2} \circ h_1\) を得る。この操作を繰り返す。

補題

\(A\) を環とする。

任意の \(A\)-加群は純入射分解をもつ。

\(M \to N\) を \(A\)-加群の写像とする。\(M \to M^\bullet\) を普遍完全分解、 \(N \to I^\bullet\) を純入射分解とする。

与えられた写像 \[M = \Ker(M^0 \to M^1) \to \Ker(I^0 \to I^1) = N\] を誘導する複体の写像 \(M^\bullet \to I^\bullet\) が存在する。

同じ写像 \(M \to N\) を誘導する二つの写像 \(\alpha, \beta : M^\bullet \to I^\bullet\) はホモトピックである。

証明

この補題は補題 0703 の双対である。全ての矢印を逆向きにする点を除けば、証明は同一である。

以上の結果を用いて、純拡大群を次のように定義できる。\(A\) を環とし、\(M\), \(N\) を \(A\)-加群とする。純入射分解 \(N \to I^\bullet\) を選ぶ。補題 0704 により、複体 \[\Hom_A(M, I^\bullet)\] はホモトピーを除いて矛盾なく定まる。従ってその \(i\) 次コホモロジー加群は、 \(M\) と \(N\) の矛盾なく定まる不変量である。

定義

\(A\) を環とし、\(M\), \(N\) を \(A\)-加群とする。\(i\) 次 純拡大加群 \(\text{Pext}^i_A(M, N)\) とは、\(N\) の純入射分解を \(I^\bullet\) としたときの複体 \(\Hom_A(M, I^\bullet)\) の \(i\) 次コホモロジー加群である。

注意：\(A\)-加群の完全列が純拡大群の長完全列を誘導するとは限らない。（このためには普遍完全列が必要である。）以上の結果から明らかな事実をまとめる。

補題

\(A\) を環とする。

\(N\) が純入射ならば、\(i > 0\) に対し \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\) である。

\(M\) が純射影ならば、\(i > 0\) に対し \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\) である。特に \(M\) が有限表示 \(A\)-加群ならばそうである。

\(P_\bullet\) を \(M\) の純射影分解とすると、\(\text{Pext}^i_A(M, N)\) は複体 \(\Hom_A(P_\bullet, N)\) の \(i\) 次コホモロジー加群でもある。

証明

(3) を示すため、二重複体 \[A^{\bullet, \bullet} = \Hom_A(P_\bullet, I^\bullet)\] を考える。その各行は次数 \(0\) を除いて完全であり、その唯一のコホモロジーは \(\Hom_A(M, I^q)\) である。各列も次数 \(0\) を除いて完全であり、その唯一のコホモロジーは \(\Hom_A(P_p, N)\) である。従って『ホモロジー代数』の第 012X 節においてこの複体に付随する二つのスペクトル系列は退化し、等式を与える。

大サイト上の準連接層の高次 Ext

純入射加群 \(I\) に付随する加群値函手 \(\underline{I}\) は、\(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏における入射対象を与える。注意すべきことに、純射影加群が適切函手の圏における射影対象を与えるとは限らない。ただし、線形適切函手という十分豊富な射影対象は存在する。

補題

\(A\) を環とし、\(\mathcal{A}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏とする。 \(\mathcal{A}\) の入射対象は、\(I\) が純入射 \(A\)-加群であるような函手 \(\underline{I}\) にちょうど一致する。

証明

\(I\) を \(\mathcal{A}\) の入射対象とする。ある \(A\)-加群 \(M\) に対する埋め込み \(I \to \underline{M}\) を選ぶ。\(I\) は入射的なので、ある加群値函手 \(F\) によって \(\underline{M} = I \oplus F\) と書ける。すると \(M = I(A) \oplus F(A)\) であり、 \(I = \underline{I(A)}\) が従う。従って任意の入射対象は、ある \(A\)-加群 \(I\) に対する \(\underline{I}\) の形である。任意の普遍完全列 \(0 \to M \to N \to L \to 0\) が \(\mathcal{A}\) の完全列 \(0 \to \underline{M} \to \underline{N} \to \underline{L} \to 0\) を誘導するので、加群 \(I\) が純入射でなければならないことは明らかである。

最後に、\(I\) を純入射 \(A\)-加群とする。\(\mathcal{A}\) の入射対象への埋め込み \(\underline{I} \to J\) を選ぶ（補題 06Z7 参照）。上で見たように、\(J = \underline{I'}\) であり、ここで \(I'\) は純入射 \(A\)-加群である。 \(\underline{I} \to \underline{I'}\) は単射なので、写像 \(I \to I'\) は普遍単射である。 \(I\) に関する仮定により、この写像は分裂する。従って \(\underline{I}\) は \(J = \underline{I'}\) の直和因子であり、それゆえ \(\mathcal{A}\) の入射対象である。

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとし、\(M\) を \(A\)-加群とする。\(U\) 上の準連接層 \(\widetilde{M}\) に付随する \((\Sch/U)_\tau\) 上の準連接 \(\mathcal{O}\)-加群を \(M^a\) と書く。これで次の補題を述べるための記法が全て整った。

補題

\(U = \Spec(A)\) をアフィンスキームとし、\(M\), \(N\) を \(A\)-加群とする。全ての \(i\) に対し、\(M\) と \(N\) に関して函手的な標準同型 \[\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] が存在する。

証明

右辺から左辺への標準射を構成しよう。すなわち、\(N \to I^\bullet\) が純入射分解ならば、 \(M^a \to (I^\bullet)^a\) は（適切な）\(\mathcal{O}\)-加群の完全複体である。従って \(\text{Pext}^i_A(M, N)\) の任意の元は \(D(\mathcal{O})\) における写像 \(N^a \to M^a[i]\)、すなわち左辺の群の元を与える。

この写像が同型であることを示す。補題 06ZW により、

\(\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\) を \(\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\) で置き換えられる。 \(\mathcal{A}\) を \(\textit{Alg}_A\) 上の適切函手の圏とする。補題 06ZJ により、\(\mathcal{A}\) は \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) と同値であることを既に見た；補題 06ZS の証明も参照されたい。従って示すべきことは \[\Ext^i_\mathcal{A}(\underline{M}, \underline{N}) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] だけである。しかし、純入射分解 \(N \to I^\bullet\) は \(\mathcal{A}\) における \(\underline{N}\) の入射分解に正確に対応するので、これは補題 0708 から明らかである。

適切加群の導来圏 II

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{O}_S\) を \(S\) の構造層、\(\mathcal{O}\) を大サイト \((\Sch/S)_\tau\) の構造層とする。『降下』の注意 070R では、環付きサイトの射 [070U]\[\begin{equation} f : ((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \longrightarrow (S_{Zar}, \mathcal{O}_S). \end{equation}\] を構成した。前節までに、函手 \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_S)\) が適切層を準連接層へ移し、完全函手 \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) を誘導すること、さらに \(f_* = v\) が同値 \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})/\mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) を誘導することを見た。ここで \(\mathcal{C}\) は寄生的適切加群の部分圏である。また、函手 \(f^*\) は準連接加群を適切加群へ移し、\(v\) の左随伴である函手 \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) を誘導する。

\(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) と \(D_\QCoh(S)\) の間にも、非常によく似た関係がある。まず、圏 \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) が選んだ位相によらない理由を説明する。

注意

\(S\) をスキームとし、\(\tau, \tau' \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) とする。構造層 \(\mathcal{O}\) を \((\Sch/S)_\tau\) 上、または \((\Sch/S)_{\tau'}\) 上の層とみなしたものを、それぞれ \(\mathcal{O}_\tau\)、 \(\mathcal{O}_{\tau'}\) と書く。このとき \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_\tau)\) と \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_{\tau'})\) は標準同型である。これは『サイト上のコホモロジー』の補題 07A8 から従う。実際、\(\tau\) が位相 \(\tau'\) より強いと仮定し、 \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_{fppf}\)、\(\mathcal{B}\) を \(S\) 上のアフィンスキーム全体とする。仮定 (1) と (2) は上で確認した。仮定 (3) は明らかであり、仮定 (4) は補題 06VM から従う。

注意

\(S\) をスキームとする。射 \(f\)（(070U) 参照）は随伴函手 \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\) および \(Lf^* : D_\QCoh(S) \to D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) を誘導する。さらに \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\) である。

証明の概略を述べる。注意 070V により、位相 \(\tau\) は Zariski 位相であると仮定してよい。\(\mathcal{O}\)-加群上の無界全導来函手 \(Lf^*\) と \(Rf_*\) の存在およびその随伴性を用いる；『サイト上のコホモロジー』の補題 07A6 を参照されたい。この場合 \(f_*\) は単に \((\Sch/S)_{Zar}\) の部分圏 \(S_{Zar}\) への制限である。従って \(Rf_* = f_*\) が \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\) を誘導することは明らかである。\(\mathcal{G}^\bullet\) を \(D_\QCoh(S)\) の対象とする。遷移写像が各項で分裂単射である平坦 \(\mathcal{O}_S\)-加群の上に有界な複体の系 \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\) と図式 \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] を、『導来圏』の補題 06XX に列挙された性質 (1), (2), (3) を満たすように選べる。ここで \(\mathcal{P}\) は平坦 \(\mathcal{O}_S\)-加群全体である。このとき \(Lf^*\mathcal{G}^\bullet\) は \(\colim f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) により計算される；『サイト上のコホモロジー』の補題 0G7E および 06YY を参照されたい（我々のサイトが十分多くの点をもつことは『エタール・コホモロジー（Étale Cohomology）』の補題 06VX による）。各 \(i\) に対し \(H^i(Lf^*\mathcal{G}^\bullet) = \colim H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) が適切であることを示す必要がある。補題 06VQ により、各 \(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) が適切であることを示せば十分である。

\(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) の適切性は \(S\) 上局所的なので、 \(S = \Spec(A)\) はアフィンであると仮定してよい。\(S\) はアフィンなので \(D_\QCoh(S) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\) である；『スキームの導来圏』の第 06YZ 節の議論を参照されたい。従って擬同型 \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet\) が存在し、ここで \(\mathcal{F}^\bullet\) は平坦な準連接加群からなる上に有界な複体である。すると \(f^*\mathcal{F}^\bullet \to f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) は擬同型であり、 \(f^*\mathcal{F}^\bullet\) のコホモロジー層は適切である。

最後の主張 \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\) は、上の函手の明示的記述から従う。（平たく言えば、\(\mathcal{F}\) が準連接で \(p > 0\) ならば、\(L_pf^*\mathcal{F}\) は寄生的適切加群である。）

注意

上の注意 070W から、導来圏の同値 \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O}) \longrightarrow D_\QCoh(S)\] を得る。ここで \(\mathcal{C}\) は寄生的適切加群の圏である。実際、 \(D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\) が \(Rf_*\) の核であることは明らかなので、表示された函手を得る。\(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) の任意の対象 \(X\) に対し、写像 \(Lf^*Rf_*X \to X\) は \(D_\QCoh(S)\) において擬同型へ写る。従って \(Lf^*Rf_*X \to X\) は \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\) における同型である。最後に、\(X, Y\) を \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) の対象とすると、写像 \[Rf_* : \Hom_{D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})}(X, Y) \to \Hom_{D_\QCoh(S)}(Rf_*X, Rf_*Y)\] は全単射である。実際、上の注意により \(Lf^*\) がその逆を与える。

これは「adequator」である。↩︎