Introduction
Dans ce chapitre, nous rassemblons des résultats relatifs aux limites de champs algébriques. De nombreux résultats sur les limites de champs algébriques et d’espaces algébriques ont été obtenus par David Rydh dans [rydh_approx].
Conventions
Nous continuons d’employer les conventions et l’abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA.
Morphismes de présentation finie
Cette section est l’analogue de Limites d’espaces, section 049I. Nous y avons défini ce que signifie, pour une transformation de foncteurs sur \(\Sch\), le fait de commuter aux limites (nous suggérons de consulter la caractérisation de Limites d’espaces, lemme 06BC). Dans Critères de représentabilité, section 06CT, nous avons défini la notion de « commutation aux limites sur les objets ». Rappelons enfin que, dans Axiomes d’Artin, section 07XK, nous avons défini ce que signifie, pour une catégorie fibrée en groupoïdes sur \(\Sch\), le fait de commuter aux limites. En combinant ces notions, nous obtenons la définition suivante.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous disons que \(f\) commute aux limites si, pour toute limite projective filtrante \(U = \lim U_i\) de schémas affines sur \(S\), le diagramme \[\xymatrix{ \colim \mathcal{X}_{U_i} \ar[r] \ar[d]_f & \mathcal{X}_U \ar[d]^f \\ \colim \mathcal{Y}_{U_i} \ar[r] & \mathcal{Y}_U }\] de catégories fibres est \(2\)-cartésien.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) commute aux limites (définition 0CMR), alors \(f\) commute aux limites sur les objets (Critères de représentabilité, section 06CT).
Démonstration
Si, pour toute limite projective filtrante \(U = \lim U_i\) de schémas affines sur \(U\), le foncteur \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow (\colim \mathcal{Y}_{U_i}) \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\] est essentiellement surjectif, alors \(f\) commute aux limites sur les objets.
Lemme
Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) commute aux limites, il en va de même du changement de base \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) de \(p\) suivant \(q\).
Démonstration
C’est formel. Soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\). Pour tout \(i\), nous avons \[(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{Z}_{U_i}\] Les colimites filtrantes commutent aux \(2\)-produits fibrés de catégories (nous omettons les détails). Puisque \(p\) commute aux limites, il vient \[\begin{align*} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} & = \colim \mathcal{X}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Z}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] comme voulu.
Lemme
Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) et \(q\) commutent aux limites, leur composé \(q \circ p\) y commute également.
Démonstration
C’est formel. Soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\). Puisque \(p\) et \(q\) commutent aux limites, nous obtenons \[\begin{align*} \colim \mathcal{X}_{U_i} & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Y}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] comme voulu.
Lemme
Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) est représentable par des espaces algébriques, les conditions suivantes sont équivalentes :
\(p\) commute aux limites,
\(p\) commute aux limites sur les objets, et
\(p\) est localement de présentation finie (voir Champs algébriques, définition 03YK).
Démonstration
Dans Critères de représentabilité, lemme 06CX, nous avons vu que (2) et (3) sont équivalentes. Il suffit donc de montrer l’équivalence de (1) et (2). Une implication a été établie dans le lemme 0CMS. Pour la réciproque, soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\). Nous devons montrer que \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] est une équivalence. L’hypothèse (2) assure qu’il est essentiellement surjectif ; il reste donc à prouver qu’il est pleinement fidèle. Comme \(p\) est fidèle sur les catégories fibres (Champs algébriques, lemme 02ZY), ce foncteur est fidèle. Soient \(x_i\) et \(x'_i\) des objets de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) sur \(U_i\). Le foncteur ci-dessus envoie \(x_i\) sur \((x_i|_U, p(x_i), can)\), où \(can\) est l’isomorphisme canonique \(p(x_i|_U) \to p(x_i)|_U\). Supposons donc donné un morphisme \[(\alpha, \beta_i) : (x_i|_U, p(x_i), can) \longrightarrow (x'_i|_U, p(x'_i), can)\] dans la catégorie qui figure au membre de droite de la première flèche affichée de cette démonstration. Il s’agit de construire un \(i' \geq i\) et un morphisme \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\) dont l’image soit \((\alpha, \beta_i|_{U_{i'}})\).
Posons \(y_i = p(x_i)\) et \(y'_i = p(x'_i)\). D’après Champs algébriques, lemme 02ZY, le foncteur \[X_{y_i} : (\Sch/U_i)^{opp} \to \textit{Ensembles},\quad V/U_i \mapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : f(x) \to y_i|V\}/\cong\] est un espace algébrique sur \(U_i\), et il en va de même du foncteur \(X_{y'_i}\) défini de façon analogue. Puisque (2) équivaut à (3), nous voyons que \(X_{y'_i}\) est localement de présentation finie sur \(U_i\). Remarquons que \((x_i, \text{id})\) et \((x'_i, \text{id})\) définissent des points à valeurs dans \(U_i\) de \(X_{y_i}\) et de \(X_{y'_i}\). Il existe une transformation de foncteurs \[\beta_i : X_{y_i} \to X_{y'_i},\quad (x/V, \phi) \mapsto (x/V, \beta_i|_V \circ \phi)\] autrement dit, un morphisme d’espaces algébriques sur \(U_i\). Nous affirmons que le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] est commutatif. En effet, cela équivaut à dire que les couples \((x_i|_U, \beta_i|_U)\) et \((x'_i|_U, \text{id})\) intervenant dans la définition du foncteur \(X_{y'_i}\) sont isomorphes. Or le morphisme \(\alpha : x_i|_U \to x'_i|_U\) fournit précisément un tel isomorphisme. En remontant cet argument, on voit qu’il suffit de trouver un \(i' \geq i\) pour lequel le diagramme \[\xymatrix{ U_{i'} \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] soit commutatif : on obtient alors un isomorphisme \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\) qui résout le problème posé au paragraphe précédent. Or le morphisme diagonal \[\Delta : X_{y'_i} \to X_{y'_i} \times_{U_i} X_{y'_i}\] est localement de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 084P). Puisque \(U \to U_i\) égalise les deux morphismes vers \(X_{y'_i}\), il existe donc un \(i' \geq i\) tel que \(U_{i'} \to U_i\) les égalise également ; voir Limites d’espaces, proposition 04AK.
Lemme
Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
la diagonale \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) commute aux limites, et
pour toute limite projective filtrante \(U = \lim U_i\) de schémas affines sur \(S\), le foncteur \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] est pleinement fidèle.
En particulier, si \(p\) commute aux limites, il en va de même de \(\Delta\).
Démonstration
Soit \(U = \lim U_i\) une limite projective filtrante de schémas affines sur \(S\). Nous affirmons que le foncteur \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] est pleinement fidèle si et seulement si le foncteur \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i}\] est une équivalence. Cela démontrera le lemme. Comme \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\) et \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{X}_{U_i}\) il s’agit d’une assertion purement catégorique, que nous examinons au paragraphe suivant.
Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie filtrante d’indices. Soient \((\mathcal{C}_i)\) et \((\mathcal{D}_i)\) des systèmes de groupoïdes sur \(\mathcal{I}\). Soit \(p : (\mathcal{C}_i) \to (\mathcal{D}_i)\) un morphisme de systèmes de groupoïdes sur \(\mathcal{I}\). Supposons donnés un foncteur de groupoïdes \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et des foncteurs \(f : \colim \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) et \(g : \colim \mathcal{D}_i \to \mathcal{D}\) qui s’insèrent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \colim \mathcal{C}_i \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \colim \mathcal{D}_i \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] Nous affirmons alors que \[A : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \colim \mathcal{D}_i\] est pleinement fidèle si et seulement si le foncteur \[B : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} \colim (\mathcal{C}_i \times_{\mathcal{D}_i} \mathcal{C}_i)\] est une équivalence. Posons \(\mathcal{C}' = \colim \mathcal{C}_i\) et \(\mathcal{D}' = \colim \mathcal{D}_i\). Puisque les \(2\)-produits fibrés commutent aux colimites filtrantes, \(A\) et \(B\) deviennent les foncteurs \[A' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}' \quad\text{et}\quad B' : \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}')\] Il suffit donc de prouver que, si \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \mathcal{D}' \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] est un diagramme commutatif de groupoïdes, alors \(A'\) est pleinement fidèle si et seulement si \(B'\) est une équivalence. Cela résulte de Catégories, lemme 04Z7 (avec une catégorie de base triviale, c’est-à-dire ponctuelle), car \[\mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}') = \mathcal{C}' \times_{A', \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}', A'} \mathcal{C}'\] La démonstration est achevée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Si \(\mathcal{X} \to S\) est localement de présentation finie, alors \(\mathcal{X}\) commute aux limites au sens de Axiomes d’Artin, définition 07XL (de manière équivalente, le morphisme \(\mathcal{X} \to S\) commute aux limites).
Démonstration
Choisissons un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma. Alors \(U \to S\) est localement de présentation finie ; voir Morphismes de champs, section 06Q1. Nous pouvons écrire \(\mathcal{X} = [U/R]\) pour un groupoïde lisse en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\) ; voir Champs algébriques, lemme 04T5. Puisque \(U\) est localement de présentation finie sur \(S\), l’espace algébrique \(R\) l’est lui aussi sur \(S\). Rappelons que \([U/R]\) est le champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) obtenu en passant au champ associé à la catégorie fibrée en groupoïdes dont la catégorie fibre sur \(T\) est le groupoïde \((U(T), R(T), s, t, c)\). Comme les foncteurs \(U\) et \(R\) commutent aux limites (Limites d’espaces, proposition 04AK), cette catégorie fibrée en groupoïdes commute aux limites. Il suffit donc de montrer que le passage au champ fppf associé conserve cette propriété. C’est bien le cas (indication : utiliser Topologies, lemme 049N). Nous donnons néanmoins ci-dessous une démonstration directe, en utilisant que nous connaissons ici explicitement le passage au champ associé.
Soit \(T = \lim T_\lambda\) une limite projective filtrante de schémas affines sur \(S\). Nous devons montrer que le foncteur \[\colim [U/R]_{T_\lambda} \longrightarrow [U/R]_T\] est une équivalence de catégories. Montrons d’abord qu’il est essentiellement surjectif. Soit \(x \in \Ob([U/R]_T)\). Groupoïdes en espaces, lemme 044X, décrit la catégorie \([U/R]_T\). En particulier, \(x\) correspond à un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et à une donnée de descente dans \([U/R]\) \((u_i, r_{ij})\) relative à ce recouvrement. Après avoir raffiné celui-ci, nous pouvons supposer qu’il s’agit d’un recouvrement fppf standard du schéma affine \(T\). Par Topologies, lemme 049N, nous pouvons choisir un \(\lambda\) et un recouvrement fppf standard \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\) dont le changement de base à \(T\) soit égal à \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\). Pour tout \(i\), quitte à augmenter \(\lambda\), il existe un morphisme \(u_{\lambda, i} : T_{\lambda, i} \to U\) dont le composé avec \(T_i \to T_{\lambda, i}\) est le morphisme donné \(u_i\) (c’est ici que nous utilisons la commutation de \(U\) aux limites). De même, pour tous \(i, j\), quitte à augmenter \(\lambda\), il existe un morphisme \(r_{\lambda, ij} : T_{\lambda, i} \times_{T_\lambda} T_{\lambda, j} \to R\) dont le composé avec \(T_{ij} \to T_{\lambda, ij}\) est le morphisme donné \(r_{ij}\) (c’est ici que nous utilisons la commutation de \(R\) aux limites). Quitte à augmenter encore \(\lambda\), nous pouvons supposer que \[s \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, i} \circ \text{pr}_0 \quad\text{et}\quad t \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, j} \circ \text{pr}_1,\] et \[c \circ (r_{\lambda, jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{\lambda, ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{\lambda, ik} \circ \text{pr}_{02}.\] Autrement dit, nous pouvons supposer que \((u_{\lambda, i}, r_{\lambda, ij})\) est une donnée de descente dans \([U/R]\) relative au recouvrement \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\). Nous obtenons alors un objet correspondant de \([U/R]\) sur \(T_\lambda\) dont l’image réciproque sur \(T\) est isomorphe à \(x\), comme voulu. La pleine fidélité se démontre exactement de la même façon, à l’aide de la description des morphismes dans les catégories fibres de \([U/T]\) donnée dans Groupoïdes en espaces, lemme 044X.
Proposition
Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) commute aux limites,
\(f\) commute aux limites sur les objets, et
\(f\) est localement de présentation finie.
Démonstration
Supposons (3). Soit \(T = \lim T_i\) une limite projective filtrante de schémas affines. Considérons le foncteur \[\colim \mathcal{X}_{T_i} \longrightarrow \mathcal{X}_T \times_{\mathcal{Y}_T} \colim \mathcal{Y}_{T_i}\] Soit \((x, y_i, \beta)\) un objet du membre de droite, c’est-à-dire que \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\), \(y_i \in \Ob(\mathcal{Y}_{T_i})\) et que \(\beta : f(x) \to y_i|_T\) est un morphisme de \(\mathcal{Y}_T\). Nous pouvons alors considérer \((x, y_i, \beta)\) comme un objet du champ algébrique \(\mathcal{X}_{y_i} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}, y_i} T_i\) au-dessus de \(T\). Comme \(\mathcal{X}_{y_i} \to T_i\) est localement de présentation finie (c’est un changement de base de \(f\)), il commute aux limites par le lemme 0CMX. Ainsi, \((x, y_i, \beta)\) provient d’un objet sur \(T_{i'}\) pour un certain \(i' \geq i\). En explicitant les définitions, nous voyons que \((x, y_i, \beta)\) appartient à l’image essentielle du foncteur affiché. Celui-ci est donc essentiellement surjectif. Autrement dit, \(f\) commute aux limites sur les objets. Appliquons maintenant ce résultat à la diagonale \(\Delta\) de \(f\). D’après Morphismes de champs, lemme 0CMG, le morphisme \(\Delta\) est localement de présentation finie. L’argument précédent montre donc que \(\Delta\) commute aux limites sur les objets. Par le lemme 0CMV, \(\Delta\) commute aux limites. Le lemme 0CMW entraîne alors que le foncteur affiché ci-dessus est pleinement fidèle. C’est donc une équivalence, puisque nous avons déjà prouvé sa surjectivité essentielle, et (1) est établi.
L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Par Critères de représentabilité, lemme 06CV, le changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) commute aux limites sur les objets. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Un morphisme lisse étant localement de présentation finie, \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) commute aux limites, d’après la première partie de la démonstration. Par Critères de représentabilité, lemme 06CW, le composé \(U \to V\) commute aux limites sur les objets. Nous en concluons que \(U \to V\) est localement de présentation finie ; voir Critères de représentabilité, lemme 06CX. C’est exactement la condition disant que \(f\) est localement de présentation finie ; voir Morphismes de champs, définition 06Q2.
Descente de propriétés
Cette section est l’analogue de Limites, section 081A.
Situation
Soit \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) la limite projective d’un système filtrant d’espaces algébriques dont les morphismes de transition sont affines. Nous supposons que \(X_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Nous choisissons en outre un élément \(0 \in I\).
Lemme
Dans la situation 0CPY, supposons que \(\mathcal{X}_0 \to Y_0\) soit un morphisme d’un champ algébrique vers \(Y_0\). Supposons \(\mathcal{X}_0\) quasi-compact et quasi-séparé. Si \(Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y\) est séparé, alors \(Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y_i\) est séparé pour tout \(i \in I\) suffisamment grand.
Démonstration
Écrivons \(\mathcal{X} = Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\) et \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme lisse surjectif \(U_0 \to \mathcal{X}_0\). Posons \(U = Y \times_{Y_0} U_0\) et \(U_i = Y_i \times_{Y_0} U_0\). Alors \(U\) et \(U_i\) sont affines, tandis que \(U \to \mathcal{X}\) et \(U_i \to \mathcal{X}_i\) sont lisses et surjectifs. Posons \(R_0 = U_0 \times_{\mathcal{X}_0} U_0\), puis \(R = Y \times_{Y_0} R_0\) et \(R_i = Y_i \times_{Y_0} R_0\). Nous avons alors \(R = U \times_\mathcal{X} U\) et \(R_i = U_i \times_{\mathcal{X}_i} U_i\).
Avec ces notations, remarquons que, si \(\mathcal{X} \to Y\) est séparé, alors \(R \to U \times_Y U\) est propre : c’est le changement de base de \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) suivant \(U \times_Y U \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\). Réciproquement, \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) est séparé dès que \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) est propre, car \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) est lisse et surjectif ; voir Propriétés des champs, lemme 04XD. Remarquons que \(R_0 \to U_0 \times_{Y_0} U_0\) est localement de type fini et que \(R_0\) est quasi-compact et quasi-séparé. Par Limites d’espaces, lemme 08K1, le morphisme \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) est propre pour \(i\) assez grand, ce qui achève la démonstration.
Descente d’objets relatifs
Cette section est l’analogue de Limites d’espaces, section 07SJ.
Lemme
Soit \(I\) un ensemble filtrant. Soit \((X_i, f_{ii'})\) un système projectif d’espaces algébriques indexé par \(I\). Supposons que
les morphismes \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) sont affines,
les espaces \(X_i\) sont quasi-compacts et quasi-séparés.
Soit \(X = \lim X_i\). Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique de présentation finie sur \(X\), il existe un \(i \in I\) et un champ algébrique \(\mathcal{X}_i\) de présentation finie sur \(X_i\) tels que \(\mathcal{X} \cong \mathcal{X}_i \times_{X_i} X\) comme champs algébriques sur \(X\).
Démonstration
Par Morphismes de champs, définition 06Q2, le morphisme \(\mathcal{X} \to X\) est quasi-compact, localement de présentation finie et quasi-séparé. Comme \(X\) et \(\mathcal{X} \to X\) sont quasi-compacts, le champ \(\mathcal{X}\) est quasi-compact (Morphismes de champs, définition 050U). Il existe donc un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\) (Propriétés des champs, lemme 04YC). Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). Nous obtenons un groupoïde lisse en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\) sur \(X\) tel que \(\mathcal{X} = [U/R]\) ; voir Champs algébriques, lemme 04T5. Puisque \(\mathcal{X} \to X\) et \(X\) sont quasi-séparés, \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé (Morphismes de champs, lemme 050K). Ainsi, \(R \to U \times U\) est quasi-compact et quasi-séparé (Morphismes de champs, lemme 050H) ; par conséquent, \(R\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé. D’autre part, \(U \to X\) est localement de présentation finie, et il en va donc de même de \(R \to X\) (car \(s : R \to U\) est lisse, donc localement de présentation finie). Le quintuplet \((U, R, s, t, c)\) est ainsi un objet groupoïde dans la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(X\). Par Limites d’espaces, lemme 07SK, il existe un \(i\) et un groupoïde en espaces algébriques \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\) sur \(X_i\) dont le changement de base à \(X\) est isomorphe à \((U, R, s, t, c)\). Quitte à augmenter \(i\), nous pouvons supposer \(s_i\) et \(t_i\) lisses ; voir Limites d’espaces, lemme 0CN2. Le champ quotient \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) est algébrique (Champs algébriques, théorème 04TK).
Il existe un morphisme \([U/R] \to [U_i/R_i]\) ; voir Groupoïdes en espaces, lemme 046Q. Nous affirmons que, joint aux morphismes \([U/R] \to X\) et \([U_i/R_i] \to X_i\) (Groupoïdes en espaces, lemme 044R), il fournit un isomorphisme, c’est-à-dire une équivalence, \[[U/R] \longrightarrow [U_i/R_i] \times_{X_i} X\] Le morphisme correspondant \[[U/_{\!p}R] \longrightarrow [U_i/_{\!p}R_i] \times_{X_i} X\] au niveau des « préfaisceaux de groupoïdes » de Groupoïdes en espaces, équation (044P), est un isomorphisme. L’affirmation résulte donc du fait que le passage au champ associé commute aux produits fibrés ; voir Champs, lemme 04Y1.
Immersion fermée d’un morphisme de type fini dans un morphisme de présentation finie
Cette section est l’analogue de Limites d’espaces, section 07SP.
Lemme
Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Supposons que :
\(f\) est de type fini et quasi-séparé ;
\(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé.
Il existe alors un morphisme de présentation finie \(f' : \mathcal{X}' \to Y\) et une immersion fermée \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) de champs algébriques sur \(Y\).
Démonstration
Écrivons \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) comme limite projective d’espaces algébriques indexés par un ensemble filtrant \(I\), dont les morphismes de transition sont affines et les \(Y_i\) noethériens ; voir Limites d’espaces, proposition 07SU. Nous utiliserons les résultats de Limites d’espaces, section 0CP5.
Choisissons une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\). Notons \((U, R, s, t, c, e, i)\) le groupoïde correspondant en espaces algébriques sur \(Y\). Nous pouvons et allons supposer \(U\) affine. Alors \(U\), \(R\) et \(R \times_{s, U, t} R\) sont des espaces algébriques quasi-séparés et de type fini sur \(Y\). Nous avons deux morphismes \(s, t : R \to U\), trois morphismes \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_2 : R \times_{s, U, t} R \to R\), un morphisme \(e : U \to R\) et, enfin, un morphisme \(i : R \to R\). Ces morphismes satisfont une liste d’axiomes explicitée dans Groupoïdes, section 0230.
D’après Limites d’espaces, remarque 0CPB nous pouvons trouver un \(i_0 \in I\) et des systèmes projectifs
\((U_i)_{i \geq i_0}\),
\((R_i)_{i \geq i_0}\),
\((T_i)_{i \geq i_0}\)
sur \((Y_i)_{i \geq i_0}\) tels que \(U = \lim_{i \geq i_0} U_i\), \(R = \lim_{i \geq i_0} R_i\) et \(R \times_{s, U, t} R = \lim_{i \geq i_0} T_i\) et tels qu’il existe des morphismes de systèmes projectifs
\((s_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),
\((t_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),
\((c_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),
\((p_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),
\((q_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),
\((e_i)_{i \geq i_0} : (U_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),
\((i_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)
vérifiant \(s = \lim_{i \geq i_0} s_i\), \(t = \lim_{i \geq i_0} t_i\), \(c = \lim_{i \geq i_0} c_i\), \(\text{pr}_1 = \lim_{i \geq i_0} p_i\), \(\text{pr}_2 = \lim_{i \geq i_0} q_i\), \(e = \lim_{i \geq i_0} e_i\) et \(i = \lim_{i \geq i_0} i_i\). Par Limites d’espaces, lemme 0CPD nous pouvons supposer \(s_i\) et \(t_i\) lisses, quitte à augmenter \(i_0\). Par Limites d’espaces, lemme 0CPC nous pouvons supposer que les applications \(R \to U \times_{U_i, s_i} R_i\) données par \(s\) et \(R \to R_i\), ainsi que \(R \to U \times_{U_i, t_i} R_i\) données par \(t\) et \(R \to R_i\), sont des isomorphismes pour tout \(i \geq i_0\). Par Limites d’espaces, lemme 0CPF, nous pouvons supposer les diagrammes \[\xymatrix{ T_i \ar[r]_{q_i} \ar[d]_{p_i} & R_i \ar[d]^{t_i} \\ R_i \ar[r]^{s_i} & U_i }\] cartésiens. L’assertion d’unicité de Limites d’espaces, lemme 0CPA, garantit alors que, pour un \(i\) assez grand, les relations mentionnées plus haut entre les morphismes \(s, t, c, e, i\) sont satisfaites par \(s_i, t_i, c_i, e_i, i_i\). Fixons un tel \(i\).
Il s’ensuit que \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\) est un groupoïde lisse en espaces algébriques sur \(Y_i\). Ainsi, \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) est un champ algébrique (Champs algébriques, théorème 04TK). Le morphisme de groupoïdes \[(U, R, s, t, c, e, i) \to (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\] au-dessus de \(Y \to Y_i\) détermine un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X}_i \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y_i }\] (Groupoïdes en espaces, lemme 046Q). Nous affirmons que le morphisme \(\mathcal{X} \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) est une immersion fermée. Cette affirmation achève la démonstration, car le champ algébrique \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) est de présentation finie par construction. Pour la prouver, remarquons que le diagramme de gauche \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}_i } \quad\quad \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Y \times_{Y_i} U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i }\] est cartésien par Groupoïdes en espaces, lemme 04ZN et les résultats rappelés ci-dessus. Le diagramme commutatif de droite est donc lui aussi cartésien. Le résultat voulu découle alors du fait que \(U \to Y \times_{Y_i} U_i\) est une immersion fermée, par construction du système projectif \((U_i)\) dans Limites d’espaces, lemme 0CP9, du fait que \(Y \times_{Y_i} U_i \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) est lisse et surjectif, et de Propriétés des champs, lemme 0503.
Il existe une variante pour les champs algébriques séparés.
Lemme
Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Supposons que :
\(f\) est de type fini et séparé ;
\(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé.
Il existe alors un morphisme séparé de présentation finie \(f' : \mathcal{X}' \to Y\) et une immersion fermée \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) de champs algébriques sur \(Y\).
Démonstration
Nous appliquons d’abord exactement le même procédé que dans la démonstration du lemme 0CQ1, dont nous reprenons les notations, pour construire l’immersion \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) sous la forme d’un morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\), où \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\). Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) est séparé pour \(i\) assez grand. Autrement dit, il suffit de montrer que \(\mathcal{X}_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) est propre pour \(i\) assez grand. Puisque le morphisme \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) est surjectif et lisse, et puisque \(R_i = \mathcal{X}_i \times_{\mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i} U_i \times_{Y_i} U_i\) il suffit de montrer que le morphisme \((s_i, t_i) : R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) est propre pour \(i\) assez grand ; voir Propriétés des champs, lemme 04XD. Nous le démontrons au paragraphe suivant.
Observons que \(U \times_Y U \to Y\) est quasi-séparé et de type fini. Nous pouvons donc appliquer la construction de Limites d’espaces, remarque 0CPB pour trouver un \(i_1 \in I\) et un système projectif \((V_i)_{i \geq i_1}\) tels que \(U \times_Y U = \lim_{i \geq i_1} V_i\). Par Limites d’espaces, lemme 0CPF, pour \(i\) assez grand, la fonctorialité de la construction appliquée aux projections \(U \times_Y U \to U\) donne des immersions fermées \[V_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\] (Il existe ici un léger décalage : il faudrait en réalité remplacer \(Y_i\) par l’image schématique de \(Y \to Y_i\), mais cela ne change manifestement pas le produit fibré.) D’autre part, par Limites d’espaces, lemme 0CPE la fonctorialité appliquée au morphisme propre \((s, t) : R \to U \times_Y U\) (nous utilisons ici que \(\mathcal{X}\) est séparé) fournit des morphismes \(R_i \to V_i\) propres pour \(i\) assez grand. En les composant, nous obtenons un morphisme propre \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) pour tout \(i\) assez grand. La fonctorialité de la construction de Limites d’espaces, remarque 0CPB montre que ce morphisme coïncide avec \((s_i, t_i)\) pour \(i\) assez grand, ce qui achève la démonstration.
Morphismes universellement fermés
Cette section est l’analogue de Limites d’espaces, section 0CM7.
Lemme
Soit \(g : Z \to Y\) un morphisme de schémas affines. Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme quasi-compact de champs algébriques. Soit \(z \in Z\), et soit \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\) une partie fermée telle que \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\). Si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, il existe un voisinage ouvert \(V \subset Z\) de \(z\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |X \times_Y Z'|\) tels que :
\(Z'\) est un schéma affine de présentation finie sur \(Y\) ;
en posant \(z' = a(z)\), on a \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) ;
l’image réciproque de \(T\) dans \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) s’envoie dans \(T'\) par \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\).
Démonstration
Nous allons déduire l’assertion du résultat correspondant pour les morphismes de schémas. Comme \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). Soit \(T_W \subset |W \times_Y Z|\) l’image réciproque de \(T\). Alors \(z\) n’appartient pas à l’image de \(T_W\). Le cas des schémas (Limites, lemme 05BD) fournit un voisinage ouvert \(V \subset Z\) de \(z\), un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |W \times_Y Z'|\) tels que :
\(Z'\) est un schéma affine de présentation finie sur \(Y\) ;
en posant \(z' = a(z)\), on a \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) ;
\(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) s’envoie dans \(T'\) par \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\).
Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ \mathcal{X} \times_Y Z & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & \mathcal{X} \times_Y Z' }\] est formé de carrés cartésiens, et ses flèches verticales sont surjectives, lisses et, a fortiori, ouvertes. Le carré de gauche montre que \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) est l’image réciproque de \(T_2 = T \cap |\mathcal{X} \times_Y V|\) par \(c\). Par Propriétés des champs, lemme 04XH, on obtient \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\). Par Topologie, lemme 02YB, on a \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] Comme \(q\) est surjectif, l’image de \(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\) ne contient pas \(z'\), puisque cela vaut pour \(T'\). Le diagramme ci-dessus, avec \(Z', V, a, b\), et la partie fermée \(\overline{a_2(T_2)} \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) répondent donc au problème posé dans le lemme.
Lemme
Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) est universellement fermé ;
pour tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\) localement de présentation finie, où \(Z\) est un schéma affine, l’application \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) est fermée ;
il existe un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) tels que l’application \(|\mathbf{A}^n \times (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) soit fermée pour tout \(n \geq 0\).
Démonstration
Il est clair que (1) implique (2).
Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) qui soit réunion disjointe de schémas affines, ainsi qu’un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Pour montrer que \(f\) est universellement fermé, il suffit de montrer que le changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) de \(f\) est universellement fermé ; voir Morphismes de champs, lemme 0CL3. Remarquons que la condition (2) vaut pour ce changement de base. Afin de prouver que (2) implique (1), nous pouvons donc supposer que \(Y = \mathcal{Y}\) est un schéma affine.
Supposons (2), et supposons que \(\mathcal{Y} = Y\) est un schéma affine. Si \(f\) n’est pas universellement fermé, il existe un schéma affine \(Z\) sur \(Y\) tel que \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) ne soit pas fermé ; voir Morphismes de champs, lemme 0CL3. Il existe donc une partie fermée \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\) telle que \(\Im(T \to |Z|)\) ne soit pas fermée. Choisissons \(z \in |Z|\) dans l’adhérence de l’image de \(T\), mais non dans cette image. Appliquons le lemme 0H29. Nous obtenons un voisinage ouvert \(V \subset Z\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) tels que :
\(Z'\) est un schéma affine de présentation finie sur \(Y\) ;
en posant \(z' = a(z)\), on a \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) ;
l’image réciproque de \(T\) dans \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) s’envoie dans \(T'\) par \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\).
Nous affirmons que \(z'\) appartient à l’adhérence de \(\Im(T' \to |Z'|)\). Il en résulte que \(|\mathcal{X} \times_Y Z'| \to |Z'|\) n’est pas fermée, contrairement à (2). Autrement dit, cette affirmation montre que (2) implique (1). Pour la vérifier, considérons le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] Soit \(T_V \subset |\mathcal{X} \times_Y V|\) l’image réciproque de \(T\). Par Propriétés des champs, lemme 04XH, l’image de \(T_V\) dans \(|V|\) est l’image réciproque de l’image de \(T\) dans \(|Z|\). Puisque \(z\) appartient à l’adhérence de l’image de \(T \to |Z|\) et que \(|V| \to |Z|\) est ouverte, \(z\) appartient donc à l’adhérence de l’image de \(T_V \to |V|\). Comme l’image de \(T_V\) dans \(|\mathcal{X} \times_Y Z'|\) est contenue dans \(|T'|\), il s’ensuit immédiatement que \(z' = a(z)\) appartient à l’adhérence de l’image de \(T'\).
Il est clair que (1) implique (3). Soit \(V \to \mathcal{Y}\) comme dans (3). Si nous montrons que \(\mathcal{X} \times_Y V \to V\) est universellement fermé, alors \(f\) est universellement fermé par Morphismes de champs, lemme 0CL3. Il suffit donc de montrer que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) satisfait (2) lorsque \(f\) est un morphisme quasi-compact de champs algébriques, que \(\mathcal{Y} = Y\) est un schéma et que \(|\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\) soit fermée pour tout \(n\). Soit \(Z \to Y\) localement de présentation finie, où \(Z\) est un schéma affine. Nous devons montrer que l’application \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) est fermée. Comme \(Y\) est un schéma, que \(Z\) est affine et que \(Z \to Y\) est localement de présentation finie, il existe une immersion \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\) ; voir Morphismes, lemme 04II. Considérons le diagramme cartésien \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times \mathcal{X} \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{qui induit le} \\ \text{carré cartésien} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |\mathcal{X} \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] des espaces topologiques, dont les flèches horizontales sont des homéomorphismes sur des parties localement fermées (Propriétés des champs, lemme 0H20). Toute partie fermée \(T\) de \(|X \times_Y Z|\) est donc l’image réciproque d’une partie fermée \(T'\) de \(|\mathbf{A}^n \times Y|\). Comme, par hypothèse, l’image de \(T'\) dans \(|\mathbf{A}^n \times X|\) est fermée, nous en concluons que l’image de \(T\) dans \(|Z|\) est fermée, comme voulu.