Faisceaux de modules

Introduction

Dans ce chapitre, nous développons les notions de base relatives aux faisceaux de modules. Cela comprend en particulier le cas des faisceaux abéliens, puisque ceux-ci peuvent être considérés comme des faisceaux de \(\underline{\mathbf{Z}}\)-modules. Les références de base sont [FAC], [EGA] et [SGA4].

Nous étudions dans un autre chapitre le cas des faisceaux de modules sur les topos annelés (voir Modules sur les sites, section 03A5), bien que nous y reprenions essentiellement les considérations du présent chapitre.

Pathologie

Un espace annelé est un couple formé d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\). Nous autorisons \(\mathcal{O} = 0\) dans la définition. Dans ce cas, la catégorie des modules possède un seul objet (à savoir \(0\)). Elle demeure une catégorie abélienne, etc., mais elle est quelque peu dégénérée. De même, le faisceau \(\mathcal{O}\) peut être nul sur certains ouverts de \(X\), etc.

Ce phénomène ne se produit pas pour les espaces localement annelés (que nous considérerons plus loin).

La catégorie abélienne des faisceaux de modules

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé, voir Faisceaux, Définition 0091. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules, voir Faisceaux, Définition 0077. Soient \(\varphi, \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) des morphismes de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous définissons \(\varphi + \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) comme l’application qui, sur chaque ouvert \(U \subset X\), est la somme des applications induites par \(\varphi\) et \(\psi\). Il s’agit manifestement encore d’une application de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il est également clair que la composition des applications de \(\mathcal{O}_X\)-modules est bilinéaire pour cette addition. Ainsi, \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie préadditive, voir Homologie, Définition 00ZY.

Nous noterons \(0\) le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules qui prend la valeur constante \(\{0\}\) sur tout ouvert \(U \subset X\). Il s’agit manifestement à la fois d’un objet final et d’un objet initial de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Étant donné un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), les assertions suivantes sont équivalentes : (a) \(\varphi\) est nul, (b) \(\varphi\) se factorise par \(0\), (c) \(\varphi\) est nul sur les sections au-dessus de tout ouvert \(U\), et (d) \(\varphi_x = 0\) pour tout \(x \in X\). Voir Faisceaux, Lemme 007T.

En outre, étant donnés deux faisceaux \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, nous pouvons définir leur somme directe par \[\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{F} \times \mathcal{G}\] munie des applications évidentes \((i, j, p, q)\) comme dans Homologie, Définition 0102. Ainsi \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie additive, voir Homologie, Définition 0104.

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous pouvons définir \(\Ker(\varphi)\) comme le sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) dont les sections sont \[\Ker(\varphi)(U) = \{ s \in \mathcal{F}(U) \mid \varphi(s) = 0 \text{ dans } \mathcal{G}(U)\}\] pour tout ouvert \(U \subset X\). On vérifie aisément qu’il s’agit bien d’un noyau dans la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Autrement dit, un morphisme \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) se factorise par \(\Ker(\varphi)\) si et seulement si \(\varphi \circ \alpha = 0\). De plus, au niveau des germes, nous avons \(\Ker(\varphi)_x = \Ker(\varphi_x)\).

D’autre part, nous définissons \(\Coker(\varphi)\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules associé au préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules défini par la règle \[U \longmapsto \Coker(\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)) = \mathcal{G}(U)/\varphi(\mathcal{F}(U)).\] Comme la prise des germes commute au passage au faisceau associé, voir Faisceaux, Lemme 007Z, nous obtenons \(\Coker(\varphi)_x = \Coker(\varphi_x)\). L’application \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi)\) est donc surjective (comme application de faisceaux d’ensembles), voir Faisceaux, section 007S. Pour montrer qu’il s’agit d’un conoyau, remarquons que si \(\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules tel que \(\beta \circ \varphi\) soit nul, alors, pour tout ouvert \(U \subset X\), \(\beta\) induit une application de \(\mathcal{G}(U)/\varphi(\mathcal{F}(U))\) dans \(\mathcal{H}(U)\). Par la propriété universelle du faisceau associé (voir Faisceaux, Lemme 0089), nous obtenons une application canonique \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\) telle que l’application \(\beta\) initiale soit égale à la composée \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\). Le morphisme \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\) est unique en vertu de la surjectivité mentionnée ci-dessus.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne. De plus, un complexe \[\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\] est exact en \(\mathcal{G}\) si et seulement si, pour tout \(x \in X\), le complexe \[\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x\] est exact en \(\mathcal{G}_x\).

Démonstration

D’après Homologie, Définition 0109, il faut montrer que l’image et la coimage coïncident. D’après Faisceaux, Lemme 007T, il suffit de montrer qu’elles ont le même germe en tout \(x \in X\). Par les constructions des noyaux et conoyaux ci-dessus, ces germes sont respectivement la coimage et l’image dans la catégorie des \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Le résultat découle donc du fait que la catégorie des modules sur un anneau est abélienne.

En fait, la catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) possède bien d’autres propriétés. Voici deux constructions que nous pouvons effectuer.

1. Étant donnés un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i \in I\), un \(\mathcal{O}_X\)-module, nous pouvons former le produit \[\prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\] qui est le faisceau associant à chaque ouvert \(U\) le produit des modules \(\mathcal{F}_i(U)\). C’est aussi le produit catégorique, comme dans Catégories, Définition 002I.

2. Étant donnés un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i \in I\), un \(\mathcal{O}_X\)-module, nous pouvons former la somme directe \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\] qui est le faisceau associé au préfaisceau associant à chaque ouvert \(U\) la somme directe des modules \(\mathcal{F}_i(U)\). C’est aussi le coproduit catégorique, comme dans Catégories, Définition 002J. Cela résulte de la propriété universelle du faisceau associé.

Nous en déduisons que toutes les limites projectives et inductives existent dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé.

1. Toutes les limites projectives existent dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Elles coïncident avec les limites projectives correspondantes de préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules (autrement dit, elles commutent à la prise des sections sur les ouverts).

2. Toutes les limites inductives existent dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Elles s’obtiennent en prenant le faisceau associé à la limite inductive correspondante dans la catégorie des préfaisceaux. La prise des limites inductives commute à la prise des germes.

3. Les limites inductives filtrantes sont exactes.

4. Les sommes directes finies coïncident avec les sommes directes finies correspondantes de préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Comme \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est abélienne (Lemme 01AG), elle admet toutes les limites projectives et inductives finies (Homologie, Lemme 010D). L’existence et la description des limites projectives et inductives découlent donc de celles des produits et coproduits (voir la discussion ci-dessus) et des lemmes de Catégories 002N et 002P. Puisque le passage au faisceau associé commute à la prise des germes, les limites inductives commutent à la prise des germes. L’assertion (3) signifie que, pour un système \(0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i \to 0\) de suites exactes de \(\mathcal{O}_X\)-modules indexé par un ensemble filtrant \(I\), la suite \(0 \to \colim \mathcal{F}_i \to \colim \mathcal{G}_i \to \colim \mathcal{H}_i \to 0\) est encore exacte. Comme l’exactitude se vérifie sur les germes (Lemme 01AG), cela découle du cas des modules, qui est Algèbre, Lemme 00DB. Nous omettons la démonstration de (4).

L’existence des limites projectives et inductives permet d’exprimer les propriétés d’exactitude des foncteurs définis sur la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules en termes de ces limites, comme dans Catégories, section 0033. Voir Homologie, Lemme 010N, pour une description des propriétés d’exactitude en termes de suites exactes courtes.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés.

1. Le foncteur \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) est exact à gauche. En fait, il commute à toutes les limites projectives.

2. Le foncteur \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact à droite. En fait, il commute à toutes les limites inductives.

3. Le foncteur image inverse \(f^{-1} : \textit{Ab}(Y) \to \textit{Ab}(X)\) sur les faisceaux abéliens est exact.

Démonstration

Les assertions (1) et (2) résultent de ce que \((f^*, f_*)\) est un couple de foncteurs adjoints, voir Faisceaux, Lemme 0096, et Catégories, section 0036. L’assertion (3) résulte de ce que l’exactitude se vérifie sur les germes (Lemme 01AG) et de la description des germes de l’image inverse, voir Faisceaux, Lemme 008O.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte d’espaces topologiques. Le foncteur \(j_! : \textit{Ab}(U) \to \textit{Ab}(X)\) est exact.

Démonstration

Cela découle de la description des germes donnée dans Faisceaux, Lemme 00A5.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(I\) un ensemble. Pour \(i \in I\), soit \(\mathcal{F}_i\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), l’application \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i\right)(U)\] est bijective.

Démonstration

Si \(s\) est un élément du membre de droite, il existe un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{j \in J} U_j\) tel que \(s|_{U_j}\) soit une somme finie \(\sum_{i \in I_j} s_{ji}\), où \(s_{ji} \in \mathcal{F}_i(U_j)\). Comme \(U\) est quasi-compact, nous pouvons supposer le recouvrement fini, c’est-à-dire \(J\) fini. Alors \(I' = \bigcup_{j \in J} I_j\) est une partie finie de \(I\). Manifestement, \(s\) est une section du sous-faisceau \(\bigoplus_{i \in I'} \mathcal{F}_i\). Le résultat découle du fait que, pour une somme directe finie, le passage au faisceau associé n’est pas nécessaire ; voir le Lemme 01AH ci-dessus.

sections des faisceaux de modules

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X)\) une section globale. Il existe une unique application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F}, \ f \longmapsto fs\] associée à \(s\). La notation ci-dessus signifie qu’une section locale \(f\) de \(\mathcal{O}_X\), c’est-à-dire une section \(f\) sur un ouvert \(U\), est envoyée sur le produit de \(f\) par la restriction de \(s\) à \(U\). Réciproquement, toute application \(\varphi : \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) donne une section \(s = \varphi(1)\) telle que \(\varphi\) soit le morphisme associé à \(s\).

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales s’il existe un ensemble \(I\) et des sections globales \(s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})\), \(i \in I\), tels que l’application \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F}\] qui est l’application associée à \(s_i\) sur le facteur correspondant à \(i\), soit surjective. Dans ce cas, nous disons que les sections \(s_i\) engendrent \(\mathcal{F}\).

Nous emploierons souvent l’abus de notation introduit dans Faisceaux, section 0078 : si \(s\) est une section locale de \(\mathcal{F}\) définie dans un voisinage ouvert d’un point \(x \in X\), nous notons \(s_x\), voire \(s\), l’image de \(s\) dans le germe \(\mathcal{F}_x\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(I\) un ensemble. Soient \(s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})\), \(i \in I\), des sections globales. Les sections \(s_i\) engendrent \(\mathcal{F}\) si et seulement si, pour tout \(x\in X\), les éléments \(s_{i, x} \in \mathcal{F}_x\) engendrent le \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(\mathcal{F}_x\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont engendrés par leurs sections globales, il en est de même de \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(I\) un ensemble. Soient \(s_i\), \(i \in I\), une famille de sections locales de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) pour certains ouverts \(U_i \subset X\). Il existe un unique plus petit sous-faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{G}\) tel que chaque \(s_i\) corresponde à une section locale de \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Considérons le sous-préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules défini par la règle \[U \longmapsto \{ \text{sommes } \sum\nolimits_{i \in J} f_i (s_i|_U) \text{ où } J \text{ est fini, } U \subset U_i \text{ pour } i\in J, \text{ et } f_i \in \mathcal{O}_X(U) \}\] Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau associé à ce sous-préfaisceau. C’est un sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) d’après Faisceaux, Lemme 0H7I. Puisque toutes les sommes finies doivent manifestement appartenir à \(\mathcal{G}\), c’est bien le plus petit sous-faisceau voulu.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Étant donnés un ensemble \(I\) et des sections locales \(s_i\), \(i \in I\), de \(\mathcal{F}\), nous disons que le sous-faisceau \(\mathcal{G}\) du Lemme 01AP ci-dessus est le sous-faisceau engendré par les \(s_i\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soient un ensemble \(I\) et des sections locales \(s_i\), \(i \in I\), de \(\mathcal{F}\). Soit \(\mathcal{G}\) le sous-faisceau engendré par les \(s_i\), et soit \(x\in X\). Alors \(\mathcal{G}_x\) est le sous-\(\mathcal{O}_{X, x}\)-module de \(\mathcal{F}_x\) engendré par les éléments \(s_{i, x}\) pour les indices \(i\) tels que \(s_i\) soit définie en \(x\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(\mathcal{G}\) dans la démonstration du Lemme 01AP.

Supports des modules et des sections

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Le support de \(\mathcal{F}\) est l’ensemble des points \(x \in X\) tels que \(\mathcal{F}_x \not = 0\).

2. Nous notons \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) le support de \(\mathcal{F}\).

3. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) une section globale. Le support de \(s\) est l’ensemble des points \(x \in X\) tels que l’image \(s_x \in \mathcal{F}_x\) de \(s\) soit non nulle.

Le support d’une section locale se trouve bien entendu ainsi défini, puisqu’une section locale est une section globale de la restriction de \(\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(U \subset X\) un ouvert.

1. Le support de \(s \in \mathcal{F}(U)\) est fermé dans \(U\).

2. Le support de \(fs\) est contenu dans l’intersection des supports de \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) et de \(s \in \mathcal{F}(U)\).

3. Le support de \(s + s'\) est contenu dans la réunion des supports de \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\).

4. Le support de \(\mathcal{F}\) est la réunion des supports de toutes les sections locales de \(\mathcal{F}\).

5. Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors le support de \(\varphi(s)\) est contenu dans celui de \(s \in \mathcal{F}(U)\).

Démonstration

En effet, si \(s_x = 0\), alors \(s\) est nul dans un voisinage ouvert de \(x\) par définition des germes. Il en va de même pour \(f\). Nous omettons les détails.

En général, le support d’un faisceau de modules n’est pas fermé. En effet, on peut prendre sur \(\mathbf{R}\) (muni de sa topologie archimédienne usuelle) le faisceau abélien somme directe d’une infinité de faisceaux gratte-ciel non nuls, chacun supporté en un seul point \(p_i\) de \(\mathbf{R}\). Son support est alors l’ensemble des points \(p_i\), qui peut ne pas être fermé.

Un autre exemple s’obtient en considérant l’immersion ouverte \(j : U = (0 , \infty) \to \mathbf{R} = X\) et le faisceau abélien \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\). D’après Faisceaux, section 009Z, le support de ce faisceau est exactement \(U\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Le support d’un faisceau d’anneaux est fermé.

Démonstration

Cela résulte de ce que, selon nos conventions, un anneau est \(0\) si et seulement si \(1 = 0\) ; le support d’un faisceau d’anneaux est donc le support de la section unité.

Immersions fermées et faisceaux abéliens

Rappelons que nous considérons un faisceau abélien sur un espace topologique \(X\) comme un faisceau de \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-modules. Nous pouvons donc appliquer aux faisceaux abéliens tous les résultats et définitions concernant les faisceaux de modules.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(Z \subset X\) une partie fermée. Notons \(i : Z \to X\) l’inclusion. Le foncteur \[i_* : \textit{Ab}(Z) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] est exact et pleinement fidèle ; son image essentielle est exactement constituée des faisceaux abéliens dont le support est contenu dans \(Z\). Le foncteur \(i^{-1}\) est un inverse à gauche de \(i_*\).

Démonstration

L’exactitude résulte de la description des germes dans Faisceaux, Lemme 00AE, et du Lemme 01AG. Le reste a été démontré dans Faisceaux, Lemme 00AG.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur l’espace topologique \(X\). Étant donnée une partie fermée \(Z\), il existe un sous-faisceau abélien canonique de \(\mathcal{F}\) formé exactement des sections dont le support est contenu dans \(Z\). Voici l’énoncé précis.

Remarque

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(Z \subset X\) une partie fermée et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), posons \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{ le support de }s\text{ est contenu dans }Z \cap U\}.\] Alors \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) est un sous-faisceau abélien de \(\mathcal{F}\). C’est le plus grand sous-faisceau abélien de \(\mathcal{F}\) dont le support est contenu dans \(Z\). D’après le Lemme 01AX, nous pouvons (et allons) considérer \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) comme un faisceau abélien sur \(Z\). Nous obtenons ainsi un foncteur exact à gauche \[\textit{Ab}(X) \longrightarrow \textit{Ab}(Z),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{ considéré comme faisceau abélien sur }Z\] Toutes les assertions précédentes découlent directement du Lemme 01AU.

C’est l’occasion de montrer que le foncteur \(i_*\) possède un adjoint à droite sur les faisceaux abéliens.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée dans l’espace topologique \(X\). Le foncteur \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Z)\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) de la Remarque 01AY est adjoint à droite de \(i_* : \textit{Ab}(Z) \to \textit{Ab}(X)\). En particulier, \(i_*\) commute aux limites inductives arbitraires.

Démonstration

Il faut montrer que, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(Z\), nous avons \[\Hom_{\textit{Ab}(X)}(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{Ab}(Z)}(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}))\] C’est clair puisque toute section de \(i_*\mathcal{G}\) a son support dans \(Z\). Nous omettons les détails.

Remarque

Dans Faisceaux, Remarque 00AI, nous avons montré que \(i_*\), comme foncteur entre catégories de faisceaux d’ensembles, n’admet pas d’adjoint à droite, simplement parce qu’il n’est pas exact. Toutefois, cette assertion est presque vraie : le foncteur \(i_*\) est en effet exact sur les faisceaux d’ensembles pointés, on peut définir pour ceux-ci les sections à support dans \(Z\), et \(\mathcal{H}_Z\) a un sens et est adjoint à droite de \(i_*\).

Une suite exacte canonique

Nous consacrons une section à cette suite exacte.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(U \subset X\) une partie ouverte de complémentaire \(Z \subset X\). Notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte et \(i : Z \to X\) l’immersion fermée. Pour tout faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) sur \(X\), les morphismes d’adjonction \(j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et \(\mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F}\) donnent une suite exacte courte \[0 \to j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] de faisceaux de groupes abéliens. Pour tout morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de faisceaux abéliens sur \(X\), nous obtenons un morphisme de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & j_{!}j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & j_{!}j^{-1}\mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & i_*i^{-1}\mathcal{G} \ar[r] & 0 }\]

Démonstration

La fonctorialité de la suite exacte courte résulte immédiatement de la naturalité des morphismes d’adjonction. Nous pouvons vérifier l’exactitude sur les germes (Lemme 01AG). Pour une description des germes en question, voir Faisceaux, Lemmes 00A5 et 00AE.

Modules localement engendrés par des sections

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Dans cette section et la suivante, nous restreindrons souvent les faisceaux aux sous-espaces ouverts \(U \subset X\), voir Faisceaux, section 009Z. En particulier, nous noterons souvent le sous-espace ouvert \((U, \mathcal{O}_U)\) plutôt que d’employer la notation plus correcte \((U, \mathcal{O}_X|_U)\), voir Faisceaux, Définition 00A1.

Considérons l’immersion ouverte \(j : U = (0 , \infty) \to \mathbf{R} = X\) et le faisceau abélien \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\). D’après Faisceaux, section 009Z, le germe de \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\) en \(x = 0\) est \(0\). En fait, les sections de ce faisceau sur tout intervalle ouvert contenant \(0\) sont \(0\). Il n’existe donc aucun voisinage ouvert du point \(0\) sur lequel le faisceau puisse être engendré par des sections.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit engendré par ses sections globales comme faisceau de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

Autrement dit, il existe un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i\), une section \(s_i \in \mathcal{F}(U)\) telle que l’application associée \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}|_U\] soit surjective.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) est localement engendrée par des sections si \(\mathcal{G}\) l’est.

Démonstration

Étant donné un sous-espace ouvert \(V\) de \(Y\), nous pouvons considérer le diagramme commutatif d’espaces annelés \[\xymatrix{ (f^{-1}V, \mathcal{O}_{f^{-1}V}) \ar[r]_{j'} \ar[d]_{f'} & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (V, \mathcal{O}_V) \ar[r]^j & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] Nous savons que \(f^*\mathcal{G}|_{f^{-1}V} \cong (f')^*(\mathcal{G}|_V)\), voir Faisceaux, Lemme 0097. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{G}\) est engendré par ses sections globales.

Nous avons vu que \(f^*\) commute à toutes les limites inductives et est exact à droite, voir le Lemme 01AJ. Ainsi, si nous avons une surjection \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_Y \to \mathcal{G} \to 0\] alors, en appliquant \(f^*\), nous obtenons la surjection \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \to f^*\mathcal{G} \to 0.\] Cela démontre le lemme.

Modules de type fini

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est de type fini si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(U\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit engendré par un nombre fini de sections.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) d’un \(\mathcal{O}_Y\)-module de type fini est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Démonstration

En raisonnant comme dans la démonstration du Lemme 01B3, nous pouvons supposer que \(\mathcal{G}\) est engendré par un nombre fini de sections globales. Nous avons vu que \(f^*\) commute à toutes les limites inductives et est exact à droite, voir le Lemme 01AJ. Ainsi, si nous avons une surjection \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y \to \mathcal{G} \to 0\] alors, en appliquant \(f^*\), nous obtenons la surjection \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to f^*\mathcal{G} \to 0.\] Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. L’image d’un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini est de type fini. Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont de type fini, alors \(\mathcal{F}_2\) l’est aussi.

Démonstration

L’assertion sur les images est triviale. Celle sur les suites exactes courtes résulte de ce que les sections de \(\mathcal{F}_3\) se relèvent localement en des sections de \(\mathcal{F}_2\), ainsi que du résultat correspondant dans la catégorie des modules sur un anneau (appliqué, par exemple, aux germes).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(x \in X\). Supposons \(\mathcal{F}\) de type fini et l’application sur les germes \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) surjective. Il existe alors un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(\varphi|_U\) soit surjective.

Démonstration

Choisissons un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}\) soit engendré par \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)\) sur \(U\). Par l’hypothèse de surjectivité de \(\varphi_x\), après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(s_i = \varphi(t_i)\) pour certains \(t_i \in \mathcal{G}(U)\). Alors \(U\) convient.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module et soit \(x \in X\). Supposons \(\mathcal{F}\) de type fini et \(\mathcal{F}_x = 0\). Il existe alors un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit nul.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 01B8, appliqué au morphisme \(0 \to \mathcal{F}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, le support de \(\mathcal{F}\) est fermé.

Démonstration

C’est une reformulation du Lemme 01B9.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(I\) un ensemble préordonné et soit \((\mathcal{F}_i, f_{ii'})\) un système indexé par \(I\) et formé de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules (voir Catégories, section 002Z). Soit \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) sa limite inductive. Supposons que (a) \(I\) est filtrant, (b) \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, et (c) \(X\) est quasi-compact. Il existe alors un \(i\) tel que \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) soit surjective. Si les applications de transition \(f_{ii'}\) sont injectives, nous en déduisons que \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_i\) pour un certain \(i \in I\).

Démonstration

Soit \(x \in X\). Il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et un nombre fini de sections \(s_j \in \mathcal{F}(U)\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que \(s_1, \ldots, s_m\) engendrent \(\mathcal{F}\) comme \(\mathcal{O}_U\)-module. Après avoir éventuellement rétréci \(U\) en un voisinage ouvert plus petit de \(x\), nous pouvons supposer que chaque \(s_j\) provient d’une section de \(\mathcal{F}_i\) pour un certain \(i \in I\). Puisque \(X\) est quasi-compact, nous pouvons donc trouver un recouvrement ouvert fini \(X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) et, pour chaque \(j\), un indice \(i_j\) ainsi qu’un nombre fini de sections \(s_{jl} \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\) dont les images engendrent la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_j\). Le lemme vaut manifestement pour tout indice \(i \in I\) qui est \(\geq\) à tous les \(i_j\).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Il existe un ensemble de \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini \(\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini sur \(X\) soit isomorphe à exactement un des \(\mathcal{F}_i\).

Démonstration

Pour chaque recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_j\), considérons les faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) tels que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{U_j}\) soit un quotient de \(\mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r_j}\) pour un certain \(r_j \geq 0\). Ils sont paramétrés par des sous-faisceaux \(\mathcal{K}_j \subset \mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r_j}\) et des données de recollement \[\varphi_{jj'} : \mathcal{O}_{U_j \cap U_{j'}}^{\oplus r_j}/ (\mathcal{K}_j|_{U_j \cap U_{j'}}) \longrightarrow \mathcal{O}_{U_j \cap U_{j'}}^{\oplus r_{j'}}/ (\mathcal{K}_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}})\] voir Faisceaux, section 00AK. Remarquons que la collection de toutes les données de recollement forme un ensemble. La collection de tous les recouvrements \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j \in J} U_i\) pour lesquels \(J \to \mathcal{P}(X)\), \(j \mapsto U_j\), est injective forme également un ensemble. Par conséquent, la collection de tous les faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules obtenus par recollement de quotients comme ci-dessus forme un ensemble \(\mathcal{I}\). Par définition, tout \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini est isomorphe à un élément de \(\mathcal{I}\). En choisissant un élément dans chaque classe d’isomorphisme de \(\mathcal{I}\), on obtient l’ensemble de faisceaux voulu (ce qui utilise l’axiome du choix).

Modules quasi-cohérents

Dans cette section, nous introduisons une notion abstraite de \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Cette notion est très utile en géométrie algébrique, puisque les modules quasi-cohérents sur un schéma admettent une bonne description sur tout ouvert affine. Nous avertissons toutefois le lecteur que, dans le cadre général des espaces (localement) annelés, cette notion se comporte très mal. La catégorie des faisceaux quasi-cohérents n’est pas abélienne en général, les sommes directes infinies de faisceaux quasi-cohérents ne sont pas quasi-cohérentes, etc.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules si, pour tout point \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(x\in U \subset X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe au conoyau d’une application \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U\] La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents est notée \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

La définition signifie que \(X\) est recouvert par des ouverts \(U\) tels que \(\mathcal{F}|_U\) admette une présentation de la forme \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}|_U \longrightarrow 0.\] Ici, « présentation » signifie que la suite affichée est exacte. Autrement dit,

1. pour tout point \(x\) de \(X\), il existe un voisinage ouvert tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit engendré par ses sections globales, et

2. pour un choix convenable de ces sections, le noyau de la surjection associée est lui aussi engendré par ses sections globales.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. La somme directe de deux \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

Démonstration

Omis.

Remarque

Attention : il n’est pas vrai, en général, qu’une somme directe infinie de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents soit quasi-cohérente. Pour des comportements plus exotiques des modules quasi-cohérents, voir l’Exemple 01BL.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) d’un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent est quasi-cohérente.

Démonstration

En raisonnant comme dans la démonstration du Lemme 01B3, nous pouvons supposer que \(\mathcal{G}\) admet une présentation globale par des sommes directes de copies de \(\mathcal{O}_Y\). Nous avons vu que \(f^*\) commute à toutes les limites inductives et est exact à droite, voir le Lemme 01AJ. Ainsi, si nous avons une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_Y \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{G} \longrightarrow 0\] alors, en appliquant \(f^*\), nous obtenons la suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \longrightarrow f^*\mathcal{G} \longrightarrow 0.\] Cela démontre le lemme.

Cela fournit de nombreux exemples de faisceaux quasi-cohérents.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\alpha : R \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) un homomorphisme d’un anneau \(R\) vers l’anneau des sections globales sur \(X\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Les trois constructions suivantes donnent des faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules canoniquement isomorphes :

1. Soit \(\pi : (X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\{*\}, R)\) le morphisme d’espaces annelés dont \(\pi : X \to \{*\}\) est l’unique application et dont l’application associée à \(\pi\) est \(\pi^\sharp\), l’application donnée \(\alpha : R \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Posons \(\mathcal{F}_1 = \pi^*M\).

2. Choisissons une présentation \(\bigoplus_{j \in J} R \to \bigoplus_{i \in I} R \to M \to 0\). Posons \[\mathcal{F}_2 = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \right).\] Ici, l’application sur le facteur \(\mathcal{O}_X\) correspondant à \(j \in J\) est donnée par la section \(\sum_i \alpha(r_{ij})\), où les \(r_{ij}\) sont les coefficients matriciels de l’application dans la présentation de \(M\).

3. Posons \(\mathcal{F}_3\) égal au faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{O}_X(U) \otimes_R M\), où l’application \(R \to \mathcal{O}_X(U)\) est la composée de \(\alpha\) et de l’application de restriction \(\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(U)\).

Cette construction possède les propriétés suivantes :

1. Le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules ainsi obtenu \(\mathcal{F}_M = \mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_3\) est quasi-cohérent.

2. La construction définit un foncteur de la catégorie des \(R\)-modules vers la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(X\), qui commute aux limites inductives arbitraires.

3. Pour tout \(x \in X\), nous avons \(\mathcal{F}_{M, x} = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_R M\) fonctoriellement en \(M\).

4. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\), nous avons \[\Mor_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_M, \mathcal{G}) = \Hom_R(M, \Gamma(X, \mathcal{G}))\] où la structure de \(R\)-module sur \(\Gamma(X, \mathcal{G})\) provient de la structure de \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-module via \(\alpha\).

Démonstration

L’isomorphisme entre \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) provient du fait que \(\pi^*\) est défini comme la faisceautisation du préfaisceau de (3), voir Faisceaux, section 0094. L’isomorphisme entre les constructions (2) et (1) provient du fait que le foncteur \(\pi^*\) est exact à droite, de sorte que \(\pi^*(\bigoplus_{j \in J} R) \to \pi^*(\bigoplus_{i \in I} R) \to \pi^*M \to 0\) est exacte, que \(\pi^*\) commute aux sommes directes arbitraires, voir le Lemme 01AJ, et enfin du fait que \(\pi^*(R) = \mathcal{O}_X\).

L’assertion (1) est claire d’après la construction (2). L’assertion (2) est claire puisque \(\pi^*\) possède ces propriétés. L’assertion (3) résulte de la description des germes des faisceaux images inverses, voir Faisceaux, Lemme 0098. L’assertion (4) résulte de l’adjonction entre \(\pi_*\) et \(\pi^*\).

Définition

Dans la situation du Lemme 01BH, nous disons que \(\mathcal{F}_M\) est le faisceau associé au module \(M\) et à l’homomorphisme d’anneaux \(\alpha\). Si \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\alpha = \text{id}_R\), nous disons simplement que \(\mathcal{F}_M\) est le faisceau associé au module \(M\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Posons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(\mathcal{F}_M\) le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules associé à \(M\). Si \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est un morphisme d’espaces annelés, alors \(g^*\mathcal{F}_M\) est le faisceau associé au \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)-module \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes_R M\).

Démonstration

L’assertion résulte de la première description de \(\mathcal{F}_M\) dans le Lemme 01BH comme \(\pi^*M\), ainsi que du diagramme commutatif suivant d’espaces annelés \[\xymatrix{ (Y, \mathcal{O}_Y) \ar[r]_-\pi \ar[d]_g & (\{*\}, \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)) \ar[d]^{\text{induite par }g^\sharp} \\ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]^-\pi & (\{*\}, \Gamma(X, \mathcal{O}_X)) }\] (On utilise aussi Faisceaux, Lemme 0097.)

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(x \in X\) un point. Supposons que \(x\) possède un système fondamental de voisinages quasi-compacts. Considérons un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent quelconque \(\mathcal{F}\). Il existe alors un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe au faisceau de modules \(\mathcal{F}_M\) sur \((U, \mathcal{O}_U)\) associé à un certain \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-module \(M\).

Démonstration

Nous pouvons d’abord remplacer \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\) et supposer que \(\mathcal{F}\) est isomorphe au conoyau d’une application \[\Psi : \bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X.\] Le problème est que cette application n’est pas nécessairement donnée par une « matrice », car le module des sections globales d’une somme directe diffère en général de la somme directe des modules de sections globales.

Soit \(x \in E \subset X\) un voisinage quasi-compact de \(x\) (remarquons que \(E\) n’est pas nécessairement ouvert). Soit \(x \in U \subset E\) un voisinage ouvert de \(x\) contenu dans \(E\). Nous procédons ensuite comme dans la démonstration du Lemme 01AI. Pour chaque \(j \in J\), notons \(s_j \in \Gamma(X, \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X)\) l’image de la section \(1\) dans le facteur \(\mathcal{O}_X\) correspondant à \(j\). Il existe une famille finie d’ouverts \(U_{jk}\), \(k \in K_j\), telle que \(E \subset \bigcup_{k \in K_j} U_{jk}\) et telle que chaque restriction \(s_j|_{U_{jk}}\) soit une somme finie \(\sum_{i \in I_{jk}} f_{jki}\) avec \(I_{jk} \subset I\), et \(f_{jki}\) dans le facteur \(\mathcal{O}_X\) correspondant à \(i \in I\). Posons \(I_j = \bigcup_{k \in K_j} I_{jk}\). C’est un ensemble fini. Puisque \(U \subset E \subset \bigcup_{k \in K_j} U_{jk}\), la section \(s_j|_U\) est une section de la somme directe finie \(\bigoplus_{i \in I_j} \mathcal{O}_X\). D’après le Lemme 01AH, nous voyons qu’en fait \(s_j|_U\) est une somme \(\sum_{i \in I_j} f_{ij}\) et que \(f_{ij} \in \mathcal{O}_X(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\).

Nous pouvons alors définir un module \(M\) comme le conoyau de l’application \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \Gamma(U, \mathcal{O}_U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] dont la matrice est \((f_{ij})\). D’après la construction (2) du Lemme 01BH, nous voyons que \(\mathcal{F}_M\) possède la même présentation que \(\mathcal{F}|_U\) et donc que \(\mathcal{F}_M \cong \mathcal{F}|_U\).

Exemple

Soit \(X\) l’espace formé d’une infinité dénombrable de copies \(L_1, L_2, L_3, \ldots\) de la droite réelle, toutes recollées en \(0\) ; un système fondamental de voisinages de \(0\) est la famille \(\{U_n\}_{n \in \mathbf{N}}\), où \(U_n \cap L_i = (-1/n, 1/n)\). Soit \(\mathcal{O}_X\) le faisceau des fonctions continues à valeurs réelles. Soit \(f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}\) une fonction continue identiquement nulle sur \((-1, 1)\) et identiquement égale à \(1\) sur \((-\infty, -2) \cup (2, \infty)\). Notons \(f_n\) la fonction continue sur \(X\) qui vaut \(x \mapsto f(nx)\) sur chaque \(L_j = \mathbf{R}\). Soit \(1_{L_j}\) la fonction caractéristique de \(L_j\). Considérons l’application \[\bigoplus\nolimits_{j \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j, i \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X, \quad e_j \longmapsto \sum\nolimits_{i \in \mathbf{N}} f_j 1_{L_i} e_{ij}\] avec les notations évidentes. Cela a un sens, car cette somme est localement finie puisque \(f_j\) est nulle dans un voisinage de \(0\). Sur \(U_n\), l’image de \(e_j\), pour \(j > 2n\), n’est pas une combinaison linéaire finie \(\sum g_{ij} e_{ij}\) avec les \(g_{ij}\) continues. Il n’existe donc aucun voisinage de \(0 \in X\) sur lequel l’application affichée soit donnée par une « matrice » comme dans la démonstration du Lemme 01BK ci-dessus.

Remarquons que \(\bigoplus\nolimits_{j \in \mathbf{N}} \mathcal{O}_X\) est le faisceau associé au module libre de base \(e_j\), et de même pour l’autre somme directe. Nous voyons donc qu’en général, même localement sur \(X\), un morphisme entre faisceaux associés à des modules ne provient pas d’un morphisme de modules. Il devrait de même exister un exemple d’espace annelé \(X\) et de \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\mathcal{F}\) ne soit pas localement de la forme \(\mathcal{F}_M\). (Merci de nous écrire si vous en trouvez un.) En outre, il devrait exister des exemples d’espaces localement compacts \(X\) et d’applications \(\mathcal{F}_M \to \mathcal{F}_N\) qui, elles non plus, ne proviennent pas localement d’applications de modules (la démonstration du Lemme 01BK montre que cela ne peut se produire si \(N\) est libre).

Modules de présentation finie

Voici la définition.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie si, pour tout point \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(x\in U \subset X\) et des entiers \(n, m \in \mathbf{N}\) tels que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe au conoyau d’une application \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U\]

Cela signifie que \(X\) est recouvert par des ouverts \(U\) tels que \(\mathcal{F}|_U\) possède une présentation de la forme \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U \to 0.\] Ici, « présentation » signifie que la suite affichée est exacte. Autrement dit,

1. pour tout point \(x\) de \(X\), il existe un voisinage ouvert tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit engendré par un nombre fini de sections globales, et

2. pour un choix convenable de ces sections, le noyau de la surjection associée est lui aussi engendré par un nombre fini de sections globales.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie est quasi-cohérent.

Démonstration

Cela découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \((X,\mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{G}\) est de type fini, alors \(\Coker(\varphi)\) est de présentation finie.

Démonstration

Localement sur \(X\), nous pouvons écrire \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X^{\oplus n} / \mathcal{M}\), où \(\mathcal{M} \subset \mathcal{O}_X^{\oplus n}\) est un sous-module de \(\mathcal{O}_X\) de type fini. Par conséquent, \(\Im(\varphi) = \mathcal{N} / \mathcal{M}\), où \(\mathcal{N} \subset \mathcal{O}_X^{\oplus n}\) est un sous-module de \(\mathcal{O}_X\) contenant \(\mathcal{M}\). Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\Im(\varphi)\) est de type fini parce que \(\mathcal{G} \to \Im(\varphi)\) est surjective et que \(\mathcal{G}\) est de type fini. D’après le Lemme 01B7, \(\mathcal{N}\) est de type fini. Ainsi, \(\Coker(\varphi) = \mathcal{O}_X^{\oplus n} / \mathcal{N}\) est de présentation finie.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

1. Si \(\psi : \mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{F}\) est surjective, alors \(\Ker(\psi)\) est de type fini.

2. Si \(\theta : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est surjective et si \(\mathcal{G}\) est de type fini, alors \(\Ker(\theta)\) est de type fini.

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(x \in X\). Choisissons un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) sur lequel il existe une présentation \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \xrightarrow{\chi} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F}|_U \to 0.\] Soit \(e_k\) la section qui engendre le \(k\)-ième facteur de \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\). Pour tout \(k = 1, \ldots, r\), nous pouvons, après avoir rétréci \(U\) en un petit voisinage de \(x\), relever \(\psi(e_k)\) en une section \(\tilde e_k\) de \(\mathcal{O}_U^{\oplus n}\) sur \(U\). Cela définit un morphisme de faisceaux \(\alpha : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n}\) tel que \(\varphi \circ \alpha = \psi\). De même, après avoir rétréci \(U\), nous pouvons trouver un morphisme \(\beta : \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{O}_U^{\oplus r}\) tel que \(\psi \circ \beta = \varphi\). Alors l’application \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \oplus \mathcal{O}_U^{\oplus r} \xrightarrow{\beta \circ \chi, 1 - \beta \circ \alpha} \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] est une surjection sur le noyau de \(\psi\).

Pour démontrer (2), nous pouvons choisir localement une surjection \(\eta : \mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{G}\). D’après (1), \(\Ker(\theta \circ \eta)\) est de type fini. Comme \(\Ker(\theta) = \eta(\Ker(\theta \circ \eta))\), le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) d’un module de présentation finie est de présentation finie.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 01BG, mais avec des ensembles d’indices finis.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Posons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}_M\) associé à \(M\) est une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 01BH et du fait que tout module est une limite inductive filtrante de modules de présentation finie, voir Algèbre, Lemme 00HA.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(x \in X\) tel que \(\mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\). Il existe alors un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}\).

Démonstration

Choisissons \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}_x\) qui correspondent, par l’isomorphisme, à une base de \(\mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\). Choisissons un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(s_i\) se relève en \(s_i \in \mathcal{F}(U)\). Après avoir rétréci \(U\), nous voyons que l’application induite \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\) est surjective (Lemme 01B8). D’après le Lemme 01BP, \(\Ker(\psi)\) est de type fini. Alors \(\Ker(\psi)_x = 0\) implique que \(\Ker(\psi)\) devient nul après avoir encore rétréci \(U\) (Lemme 01B9).

Modules cohérents

Une référence pour cette section est [FAC].

La catégorie des faisceaux cohérents sur un espace annelé \(X\) est un objet plus raisonnable que la catégorie des faisceaux quasi-cohérents, en ce sens qu’elle est au moins une sous-catégorie abélienne de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) quel que soit \(X\). En revanche, l’image réciproque d’un module cohérent n’est « presque jamais » cohérente dans le cadre général des espaces annelés.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. On dit que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\mathcal{F}\) est de type fini, et

2. pour tout ouvert \(U \subset X\) et toute famille finie \(s_i \in \mathcal{F}(U)\), \(i = 1, \ldots, n\), le noyau de l’application associée \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\) est de type fini.

La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents est notée \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent est de présentation finie et, par conséquent, quasi-cohérent.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Choisissons un point \(x \in X\). D’après (1) de la définition de la cohérence, il existe un voisinage ouvert \(U\) et des sections \(s_i\), \(i = 1, \ldots, n\), de \(\mathcal{F}\) sur \(U\) tels que \(\Psi : \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) soit surjective. D’après (2) de la définition de la cohérence, il existe un voisinage ouvert \(V\), \(x \in V \subset U\), et des sections \(t_1, \ldots, t_m\) de \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V\) qui engendrent le noyau de \(\Psi|_V\). On obtient alors sur \(V\) la présentation \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_V \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V \to \mathcal{F}|_V \to 0\] voulue.

Exemple

Supposons que \(X\) soit un point. Dans ce cas, la définition ci-dessus donne une notion pour les modules sur les anneaux. Que signifie la définition de la cohérence ? Elle est étroitement liée à la notion de noethérianité, mais ne lui est pas identique : en effet, l’anneau \(R = \mathbf{C}[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) est cohérent comme module sur lui-même, mais n’est pas noethérien comme module sur lui-même. Voir Algèbre, section 05CU, pour une discussion plus approfondie.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé.

1. Tout sous-faisceau de type fini d’un faisceau cohérent est cohérent.

2. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme d’un faisceau de type fini \(\mathcal{F}\) vers un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\). Alors \(\Ker(\varphi)\) est de type fini.

3. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Alors \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) sont cohérents.

4. Étant donnée une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) si deux des trois termes sont cohérents, le troisième l’est aussi.

5. La catégorie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). En particulier, la catégorie des modules cohérents est abélienne et le foncteur d’inclusion \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact.

Démonstration

La condition (2) de la définition 01BV est satisfaite par tout sous-faisceau d’un faisceau cohérent. On obtient donc (1).

Supposons vérifiées les hypothèses de (2). Montrons que \(\Ker(\varphi)\) est de type fini. Choisissons \(x \in X\). Choisissons un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) dans \(X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit engendré par \(s_1, \ldots, s_n\). D’après la définition 01BV, le noyau \(\mathcal{K}\) de l’application induite \(\bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{G}\), \(e_i \mapsto \varphi(s_i)\) est de type fini. Par conséquent, \(\Ker(\varphi)\), qui est l’image de la composée \(\mathcal{K} \to \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) est de type fini.

Supposons vérifiées les hypothèses de (3). D’après (2), le noyau de \(\varphi\) est de type fini et il est donc cohérent d’après (1).

Sous les mêmes hypothèses, montrons que \(\Coker(\varphi)\) est cohérent. Puisque \(\mathcal{G}\) est de type fini, \(\Coker(\varphi)\) l’est aussi. Soit \(U \subset X\) un ouvert et soient \(\overline{s}_i \in \Coker(\varphi)(U)\), \(i = 1, \ldots, n\), des sections. Nous devons montrer que le noyau du morphisme associé \(\overline{\Psi} : \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \Coker(\varphi)\) est de type fini. Il existe un recouvrement ouvert de \(U\) tel que, sur chaque ouvert, toutes les sections \(\overline{s}_i\) se relèvent en des sections \(s_i\) de \(\mathcal{G}\). Nous pouvons donc supposer que tel est le cas sur \(U\). Nous pouvons en outre supposer qu’il existe des sections \(t_j\), \(j = 1, \ldots, m\), de \(\Im(\varphi)\) sur \(U\) qui engendrent \(\Im(\varphi)\) sur \(U\). Soit \(\Phi : \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \to \Im(\varphi)\) définie à l’aide des \(t_j\), et \(\Psi : \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \oplus \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \to \mathcal{G}\) définie à l’aide des \(t_j\) et des \(s_i\). Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \ar[d]_\Phi \ar[r] & \bigoplus_{j = 1}^m \mathcal{O}_U \oplus \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \ar[d]_\Psi \ar[r] & \bigoplus_{i = 1}^n \mathcal{O}_U \ar[d]_{\overline{\Psi}} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Im(\varphi) \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \Coker(\varphi) \ar[r] & 0 }\] Le lemme du serpent donne une suite exacte \(\Ker(\Psi) \to \Ker(\overline{\Psi}) \to 0\). Puisque \(\Ker(\Psi)\) est un module de type fini, on voit que \(\Ker(\overline{\Psi})\) est de type fini.

Démonstration de la partie (4). Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules. D’après la partie (3), il suffit de prouver que, si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont cohérents, \(\mathcal{F}_2\) l’est aussi. Le lemme 01B7 montre que \(\mathcal{F}_2\) est de type fini. Soient \(s_1, \ldots, s_n\) un nombre fini de sections locales de \(\mathcal{F}_2\) définies sur un même ouvert \(U\) de \(X\). Nous devons montrer que le module des relations \(\mathcal{K}\) entre celles-ci est de type fini. Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d] & \bigoplus_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_1 \ar[r] & \mathcal{F}_2 \ar[r] & \mathcal{F}_3 \ar[r] & 0 }\] avec les notations évidentes. Le lemme du serpent donne une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}_1\) où \(\mathcal{K}_3\) est le module des relations entre les images des sections \(s_i\) dans \(\mathcal{F}_3\). Puisque \(\mathcal{F}_1\) est cohérent, on voit que \(\mathcal{K}\) est le noyau d’une application d’un module de type fini vers un module cohérent, et est donc de type fini d’après (2).

Démonstration de (5). Cela résulte de (3) et (4), qui montrent que le lemme 0754 d’Homologie s’applique.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons que \(\mathcal{O}_X\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est cohérent si et seulement s’il est de présentation finie.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(x \in X\). Supposons \(\mathcal{G}\) de type fini, \(\mathcal{F}\) cohérent et l’application sur les germes \(\varphi_x : \mathcal{G}_x \to \mathcal{F}_x\) injective. Alors il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(\varphi|_U\) soit injective.

Démonstration

Notons \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}\) le noyau de \(\varphi\). Le lemme 01BY montre que \(\mathcal{K}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini. Notre hypothèse est que \(\mathcal{K}_x = 0\). D’après le lemme 01B9, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{K}|_U = 0\). Cet ouvert \(U\) convient.

Immersions fermées d’espaces annelés

Quand déclarons-nous qu’un morphisme d’espaces annelés \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est une immersion fermée ?

Motivés par l’exemple d’une immersion fermée d’espaces topologiques normaux (annelés par le faisceau des fonctions continues), ou de variétés différentielles (annelées par le faisceau des fonctions différentiables), il semble naturel de supposer au moins que :

1. L’application \(i\) est une immersion fermée d’espaces topologiques.

2. L’application associée \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective. Notons son noyau \(\mathcal{I}\).

Ces conditions impliquent déjà plusieurs résultats agréables : par exemple, nous démontrons que la catégorie des \(\mathcal{O}_Z\)-modules est équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules annulés par \(\mathcal{I}\), ce qui généralise le résultat sur les faisceaux abéliens de la section 01AW.

Cependant, dans le projet Champs nous choisissons la définition qui garantit que, si \(i\) est une immersion fermée et \((X, \mathcal{O}_X)\) un schéma, alors \((Z, \mathcal{O}_Z)\) est également un schéma. De plus, dans cette situation, nous voulons que \(i_*\) et \(i^*\) induisent une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_Z\)-modules quasi-cohérents et la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents annulés par \(\mathcal{I}\). Une condition minimale est que \(i_*\mathcal{O}_Z\) soit un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Une bonne manière de garantir que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent consiste à supposer que \(\mathcal{I}\) est localement engendré par des sections. On peut interpréter cette condition en disant que « \((Z, \mathcal{O}_Z)\) est localement défini sur \((X, \mathcal{O}_X)\) en annulant certaines fonctions régulières \(f_i\), c’est-à-dire des sections locales de \(\mathcal{O}_X\) ». Ceci conduit à la définition suivante.

Définition

Une immersion fermée d’espaces annelés¹ est un morphisme \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) ayant les propriétés suivantes :

1. L’application \(i\) est une immersion fermée d’espaces topologiques.

2. L’application associée \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective. Notons son noyau \(\mathcal{I}\).

3. Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{I}\) est localement engendré par des sections.

En fait, cette définition ne garantit toujours pas que l’image directe par \(i_*\) d’un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent soit un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le problème est que l’on ne voit pas clairement comment transformer une présentation locale d’un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent en une présentation locale de son image directe. Toutefois, l’énoncé suivant est immédiat.

Lemme

Soit \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) une immersion fermée d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent. Alors \(i_*\mathcal{F}\) est localement sur \(X\) le conoyau d’une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

Ceci est vrai parce que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est quasi-cohérent par définition. Et, localement sur \(Z\), le faisceau \(\mathcal{F}\) est le conoyau d’une application entre sommes directes de copies de \(\mathcal{O}_Z\). De plus, toute somme directe de copies d’un même faisceau quasi-cohérent est quasi-cohérente. Enfin, \(i_*\) commute aux colimites arbitraires, voir le lemme 01AZ. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) un morphisme d’espaces annelés. Supposons que \(i\) soit un homéomorphisme sur un fermé de \(X\) et que \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) soit surjective. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module. Alors \(i_*\mathcal{F}\) est de type fini si et seulement si \(\mathcal{F}\) est de type fini.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit de type fini. Choisissons \(x \in X\). Si \(x \not \in Z\), alors \(i_*\mathcal{F}\) est nul dans un voisinage de \(x\), et donc engendré par un nombre fini d’éléments dans un voisinage de \(x\). Si \(x = i(z)\), choisissons un voisinage ouvert \(z \in V \subset Z\) et des sections \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(V)\) qui engendrent \(\mathcal{F}\) sur \(V\). Écrivons \(V = Z \cap U\) pour un ouvert \(U \subset X\). Remarquons que \(U\) est un voisinage de \(x\). Les sections \(s_i\) donnent clairement des sections \(s_i\) de \(i_*\mathcal{F}\) sur \(U\). L’application qui en résulte \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \longrightarrow i_*\mathcal{F}|_U\] est surjective, comme on le voit sur les germes (on utilise ici la surjectivité de \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\)). Par conséquent, \(i_*\mathcal{F}\) est de type fini.

Réciproquement, supposons que \(i_*\mathcal{F}\) soit de type fini. Choisissons \(z \in Z\). Posons \(x = i(z)\). Par hypothèse, il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\), et des sections \(s_1, \ldots, s_n \in (i_*\mathcal{F})(U)\) qui engendrent \(i_*\mathcal{F}\) sur \(U\). Posons \(V = Z \cap U\). Par définition de \(i_*\), les sections \(s_i\) correspondent à des sections \(s_i\) de \(\mathcal{F}\) sur \(V\). L’application qui en résulte \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V \longrightarrow \mathcal{F}|_V\] est surjective, comme on le voit sur les germes. Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est de type fini.

Lemme

Soit \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) un morphisme d’espaces annelés. Supposons que \(i\) soit un homéomorphisme sur un fermé de \(X\) et que \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) soit surjective. Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le noyau de \(i^\sharp\). Le foncteur \[i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\] est exact, pleinement fidèle, et a pour image essentielle les \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\).

Démonstration

Nous affirmons que, pour un \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{F}\), l’application canonique \[i^*i_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] est un isomorphisme. Vérifions-le sur les germes. Soient \(z \in Z\) et \(x = i(z)\). Nous avons \[(i^*i_*\mathcal{F})_z = (i_*\mathcal{F})_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{F}_z \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{F}_z\] d’après le lemme 0098 de Faisceaux, le fait que \(\mathcal{O}_{Z, z}\) est un quotient de \(\mathcal{O}_{X, x}\), et le lemme 00AE de Faisceaux. Il s’ensuit que \(i_*\) est pleinement fidèle.

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module tel que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\). Nous allons démontrer que l’application canonique \[\mathcal{G} \longrightarrow i_*i^*\mathcal{G}\] est un isomorphisme. Ceci prouve que \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{F}\) avec \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{G}\), ce qui achève la démonstration. Vérifions que l’application affichée induit un isomorphisme sur les germes. Si \(x \in X\), \(x \not \in i(Z)\), alors \(\mathcal{G}_x = 0\) car \(\mathcal{I}_x = \mathcal{O}_{X, x}\) dans ce cas. Comme ci-dessus, \((i_*i^*\mathcal{G})_x = 0\) d’après le lemme 00AE de Faisceaux. En revanche, si \(x \in Z\), nous obtenons l’application \[\mathcal{G}_x \longrightarrow \mathcal{G}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Z, x}\] d’après les lemmes 0098 et 00AE de Faisceaux. Cette application est un isomorphisme car \(\mathcal{O}_{Z, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{I}_x\) et parce que \(\mathcal{G}_x\) est annulé par \(\mathcal{I}_x\) par hypothèse.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(Z \subset X\) un fermé. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), on peut considérer le sous-module des sections à support dans \(Z\), noté \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), défini par la règle \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\}\] Observons que \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U)\) est un module sur \(\mathcal{O}_X(U)\), c’est-à-dire que \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module. Par construction, \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) est le plus grand \(\mathcal{O}_X\)-sous-module de \(\mathcal{F}\) dont le support est contenu dans \(Z\). En appliquant le lemme 08KS au morphisme d’espaces annelés \((Z, \mathcal{O}_X|_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\), nous pouvons (et nous allons) considérer \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) comme un \(\mathcal{O}_X|_Z\)-module sur \(Z\). Nous obtenons ainsi un foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{ considéré comme }\mathcal{O}_X|_Z\text{-module sur }Z\] Ce foncteur est exact à gauche, mais n’est pas exact en général. Tous les énoncés ci-dessus résultent directement du lemme 01AU. Cette construction est manifestement compatible avec celle de la remarque 01AY.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un fermé. Le foncteur \(\mathcal{H}_Z : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z)\) de la remarque 0G6N est adjoint à droite de \(i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Nous devons montrer que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et tout \(\mathcal{O}_X|_Z\)-module \(\mathcal{G}\), nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X|_Z}(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F})\] C’est clair, car toute section de \(i_*\mathcal{G}\) est après tout à support dans \(Z\). Les détails sont omis.

Faisceaux localement libres

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Nos conventions permettent que (certains) germes \(\mathcal{O}_{X, x}\) soient l’anneau nul. Cela signifie qu’il faut prendre quelques précautions lors de la définition du rang d’un faisceau localement libre.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement libre si, pour tout point \(x \in X\), il existe un ensemble \(I\) et un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tels que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe à \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X|_U\) comme \(\mathcal{O}_X|_U\)-module.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini si l’on peut choisir les ensembles d’indices \(I\) finis.

3. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini et de rang \(r\) si l’on peut choisir les ensembles d’indices \(I\) de cardinal \(r\).

Une somme directe finie de faisceaux localement libres (de type fini) est localement libre (de type fini). Toutefois, une somme directe infinie de faisceaux localement libres peut ne pas être localement libre.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est localement libre, alors il est quasi-cohérent.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre, alors \(f^*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Supposons que le support de \(\mathcal{O}_X\) soit \(X\), c’est-à-dire que tous les germes de \(\mathcal{O}_X\) soient des anneaux non nuls. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau localement libre de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe une fonction localement constante \[\text{rang}_\mathcal{F} : X \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}\cup\{\infty\}\] telle que, pour tout point \(x \in X\), le cardinal de tout ensemble \(I\) tel que \(\mathcal{F}\) soit isomorphe à \(\bigoplus_{i\in I} \mathcal{O}_X\) dans un voisinage de \(x\) soit \(\text{rang}_\mathcal{F}(x)\).

Démonstration

Sous l’hypothèse du lemme, le cardinal de \(I\) se lit sur le rang du module libre \(\mathcal{F}_x\) sur l’anneau non nul \(\mathcal{O}_{X, x}\), et il est constant dans un voisinage de \(x\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(r \geq 0\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini et de rang \(r\). Alors \(\varphi\) est un isomorphisme si et seulement si \(\varphi\) est surjective.

Démonstration

Supposons \(\varphi\) surjective. Choisissons \(x \in X\). Il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) et \(\mathcal{G}|_U\) soient tous deux isomorphes à \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\). Choisissons des relèvements des générateurs libres de \(\mathcal{G}|_U\) pour obtenir une application \(\psi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\) telle que \(\varphi|_U \circ \psi = \text{id}\). Nous en déduisons que l’application \(\Gamma(U, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{G})\) induite par \(\varphi\) est surjective. Puisque \(\Gamma(U, \mathcal{F})\) et \(\Gamma(U, \mathcal{G})\) sont isomorphes à \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)^{\oplus r}\) comme \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-modules, nous pouvons appliquer le lemme 05G8 d’Algèbre pour voir que \(\Gamma(U, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{G})\) est injective. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Si tous les germes \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont des anneaux locaux, alors tout facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini est localement libre de type fini.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un facteur direct du \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{H}\). Soit \(x \in X\) un point. Alors \(\mathcal{H}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre de type fini. Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est local, on voit que \(\mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}^{\oplus r}\) pour un certain \(r\), voir le lemme 00NX d’Algèbre. D’après le lemme 0B8J, \(\mathcal{F}\) est libre de rang \(r\) dans un voisinage ouvert de \(x\). (Remarquons que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie comme facteur direct de \(\mathcal{H}\).)

Applications bilinéaires

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Une application bilinéaire \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules est une application de faisceaux d’ensembles comme indiqué telle que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’application induite \[\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\] soit une application bilinéaire de \(\mathcal{O}_X(U)\)-modules. De manière équivalente, on peut demander que certains diagrammes d’applications de faisceaux d’ensembles commutent, en imitant les axiomes usuels des applications bilinéaires de modules. Par exemple, l’axiome \(f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z)\) est représenté par la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{G} \ar[rrr]_{(f \circ \text{pr}_{13}, f \circ \text{pr}_{23})} \ar[d]_{(+ \circ \text{pr}_{12}, \text{pr}_3)} & & & \mathcal{H} \times \mathcal{H} \ar[d]^{+} \\ \mathcal{F} \times \mathcal{G} \ar[rrr]^f & & & \mathcal{H} }\] Une autre caractérisation est la suivante : si \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est une application de faisceaux d’ensembles et induit une application bilinéaire de modules sur les germes en tout point de \(X\), alors \(f\) est une application bilinéaire de faisceaux de modules. En effet, on peut vérifier l’égalité de sections locales sur les germes.

Notons \(\text{Mor}( - , - )\) les morphismes dans la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(X\). Voici une autre caractérisation d’une application bilinéaire : une application de faisceaux d’ensembles \(f : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est bilinéaire si, pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{S}\), la règle \[\text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{F}) \times \text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{G}) \to \text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{H}),\quad (a, b) \mapsto f \circ (a \times b)\] est une application bilinéaire de modules sur l’anneau \(\text{Mor}(\mathcal{S}, \mathcal{O}_X)\). Nous n’adoptons généralement pas ce point de vue, car il est plus facile de raisonner sur les ensembles de sections locales, et les deux points de vue sont manifestement équivalents.

Enfin, voici encore une autre formulation de la définition : \(\mathcal{O}_X\) est un objet en anneaux dans la catégorie des faisceaux d’ensembles, et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\) sont des objets en modules sur cet anneau. On peut alors définir une application bilinéaire entre objets en modules sur un objet en anneaux dans toute catégorie. Pour formuler ce qu’est un objet en anneaux, ce qu’est un objet en modules sur un objet en anneaux, et ce qu’est une application bilinéaire entre de tels objets dans une catégorie, il est commode (mais pas strictement nécessaire) de supposer que la catégorie possède des produits finis ; c’est le cas de la catégorie des faisceaux d’ensembles.

Produit tensoriel

Nous avons déjà brièvement abordé le produit tensoriel dans le cadre du changement d’anneaux dans Faisceaux, sections 006P et 0088. Généralisons cette discussion aux produits tensoriels de modules.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous définissons d’abord le préfaisceau produit tensoriel \[\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G}\] comme la règle qui associe à tout ouvert \(U \subset X\) le \(\mathcal{O}_X(U)\)-module \(\mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)\). Cela étant défini, nous appelons faisceau produit tensoriel le faisceau associé au préfaisceau précédent : \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G})^\#\] On peut le caractériser comme le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules tel que, pour tout troisième faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{H}\), on ait \[\Hom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \text{Bilin}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F} \times \mathcal{G}, \mathcal{H}).\] Ici, le membre de droite désigne l’ensemble des applications bilinéaires de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules définies dans la section 0GIG.

Le produit tensoriel de modules \(M, N\) sur un anneau \(R\) est symétrique, à savoir \(M \otimes_R N = N \otimes_R M\) ; il en va donc de même pour les produits tensoriels de faisceaux de modules, c’est-à-dire que l’on a \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] fonctoriellement en \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\). Puisque le produit tensoriel de modules est associatif, nous obtenons aussi des isomorphismes canoniques fonctoriels \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H})\] en \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(x \in X\). Il existe un isomorphisme canonique de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{G}_x\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont les faisceaux associés sont \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\). Alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} = (\mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{G}')^\#\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Si \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors la suite induite \[\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] est exacte.

Démonstration

Cela résulte du fait que l’exactitude peut se vérifier sur les germes (lemme 01AG), de la description des germes (lemme 01CB) et du résultat correspondant pour les produits tensoriels de modules (Algèbre, lemme 00DF).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Alors \(f^*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}) = f^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) fonctoriellement en \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\] commute aux colimites quelconques.

Démonstration

Soit \(I\) un ensemble préordonné et soit \(\{\mathcal{G}_i\}\) un système indexé par \(I\). Posons \(\mathcal{G} = \colim_i \mathcal{G}_i\). Rappelons que \(\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(\mathcal{G}' : U \mapsto \colim_i \mathcal{G}_i(U)\) ; voir Faisceaux, section 009E. D’après le lemme 05NA, le produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \colim_i \mathcal{G}_i(U) = \colim_i \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}_i(U)\] où l’égalité est donnée par Algèbre, lemme 00DD. Le lemme résulte donc de la description des colimites dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) ; voir le lemme 01AH.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont localement engendrés par leurs sections, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

2. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont de type fini, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

3. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont quasi-cohérents, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

4. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont de présentation finie, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

5. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et \(\mathcal{G}\) est cohérent, alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) est cohérent.

6. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont cohérents, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

7. Si \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sont localement libres, il en va de même pour \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\).

Démonstration

Montrons d’abord que le produit tensoriel de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres est localement libre. Il suffit de montrer que \((\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) \otimes_{\mathcal{O}_X} (\bigoplus_{j \in J} \mathcal{O}_X) \cong \bigoplus_{(i, j) \in I \times J} \mathcal{O}_X\). Le faisceau \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X(U)\). Par conséquent, le produit tensoriel est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto (\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X(U)) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} (\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_X(U)).\] On en déduit le résultat voulu, puisque pour tout anneau \(R\) on a \((\bigoplus_{i \in I} R) \otimes_R (\bigoplus_{j \in J} R) = \bigoplus_{(i, j) \in I \times J} R\).

Si \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) est exacte, alors, d’après le lemme 01CC, le complexe \(\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\) est exact. Cela permet de démontrer (5). En effet, dans ce cas, il existe localement une telle suite exacte où les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), sont libres de type fini. Les deux termes \(\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) sont donc isomorphes à des sommes directes finies de \(\mathcal{G}\) (par exemple d’après le lemme 05NB). Comme les sommes directes finies sont des faisceaux cohérents, ces termes sont cohérents, ainsi que le conoyau de l’application ; voir le lemme 01BY.

Et si, de plus, \(\mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G} \to 0\) est exacte, alors on voit que \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_1 \oplus \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_2 \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] est exacte. Cela permet, par exemple, de démontrer (3). En effet, l’hypothèse signifie que l’on peut trouver localement des présentations comme ci-dessus où les \(\mathcal{F}_i\) et les \(\mathcal{G}_i\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules libres. La présentation affichée est donc aussi une présentation du produit tensoriel par des faisceaux libres.

La démonstration des autres assertions est omise.

Modules plats

On peut définir les modules plats exactement comme dans le cas des modules sur un anneau.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) est plat si le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] est exact.

On peut caractériser la platitude au moyen des germes.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) est plat si et seulement si le germe \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat pour tout \(x \in X\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}_x\) soit un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat pour tout \(x \in X\). Dans ce cas, si \(\mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathcal{K}\) est exacte, alors \(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) est également exacte, car on peut vérifier l’exactitude sur les germes et le produit tensoriel commute à la prise des germes ; voir le lemme 01CB. Réciproquement, supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat, et soit \(x \in X\). Considérons les faisceaux gratte-ciel \(i_{x, *} M\), où \(M\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module. Remarquons que \[M \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{F}_x = \left(i_{x, *} M \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\right)_x\] de nouveau d’après le lemme 01CB. Puisque \(i_{x, *}\) est exact, la platitude de \(\mathcal{F}\) implique que \(M \mapsto M \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{F}_x\) est exact. Ainsi \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat.

La définition suivante a donc un sens.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(x \in X\). Un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) si \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat.

Ainsi, \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat si et seulement s’il est plat en tout point.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module plat, alors \(f^*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat.

Démonstration

Combiner le lemme 05NE avec Faisceaux, lemme 0098, et Algèbre, lemme 00HI.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules plats est plate. Une somme directe de \(\mathcal{O}_X\)-modules plats est plate.

Démonstration

Cela résulte du lemme 05NB, du lemme 01CB, d’ Algèbre, lemme 00DB, et du fait que l’on peut vérifier l’exactitude sur les germes.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Le faisceau \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) est un faisceau plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Les germes de \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) sont soit nuls, soit égaux à \(\mathcal{O}_{X, x}\). Appliquer le lemme 05NE.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé.

1. Tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules est quotient d’une somme directe \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\).

2. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module plat.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Pour tout ouvert \(U \subset X\) et tout \(s \in \mathcal{F}(U)\), on obtient un morphisme \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\), à savoir l’adjoint du morphisme \(\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\), \(1 \mapsto s\). L’application \[\bigoplus\nolimits_{(U, s)} j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}\] est manifestement surjective, et sa source est plate d’après les lemmes 05NG et 05NH.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \[0 \to \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons \(\mathcal{F}\) plat. Alors, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\), la suite \[0 \to \mathcal{F}'' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to 0\] est exacte.

Démonstration

Comme \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat pour tout \(x \in X\) et que l’exactitude se vérifie sur les germes, le résultat découle d’ Algèbre, lemme 00HL.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \[0 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to 0\] une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}_2\) et \(\mathcal{F}_0\) sont plats, il en va de même pour \(\mathcal{F}_1\).

2. Si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_0\) sont plats, il en va de même pour \(\mathcal{F}_2\).

Démonstration

Comme l’exactitude et la platitude se vérifient sur les germes, cela résulte d’ Algèbre, lemme 00HM.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{Q} \to 0\] un complexe exact de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{Q}\) et tous les \(\mathcal{F}_i\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules plats, alors, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\), le complexe \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to 0\] est également exact.

Démonstration

Cela résulte du lemme 05NJ, en décomposant le complexe en suites exactes courtes et en utilisant le lemme 05NK pour montrer par récurrence que \(\Im(\mathcal{F}_{i + 1} \to \mathcal{F}_i)\) est plat.

Le lemme suivant donne une implication du critère équationnel de platitude (Algèbre, lemme 00HK).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module plat. Soit \(U \subset X\) un ouvert et soit \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_n)} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} \mathcal{F}|_U\] un complexe de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Pour tout \(x \in U\), il existe un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(x\) et une factorisation \[\mathcal{O}_V^{\oplus n} \xrightarrow{A} \mathcal{O}_V^{\oplus m} \xrightarrow{(t_1, \ldots, t_m)} \mathcal{F}|_V\] de \((s_1, \ldots, s_n)|_V\) telle que \(A \circ (f_1, \ldots, f_n)|_V = 0\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_n\). Alors \(\sum f_i \otimes s_i\) est une section de \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) dont l’image dans \(\mathcal{F}|_U\) est nulle. Comme \(\mathcal{F}|_U\) est plat, l’application \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\) est injective. Puisque \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) est le faisceau associé au préfaisceau produit tensoriel, il existe un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(x\) tel que \(\sum f_i|_V \otimes s_i|_V\) soit nul dans \(\mathcal{I}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{F}(V)\). En explicitant les définitions à l’aide d’Algèbre, lemme 04VX, on trouve \(t_1, \ldots, t_m \in \mathcal{F}(V)\) et \(a_{ij} \in \mathcal{O}(V)\) tels que \(\sum a_{ij}f_i|_V = 0\) et \(s_i|_V = \sum a_{ij}t_j\).

Duaux

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules, munie du produit tensoriel construit dans la section 01CA, est une catégorie monoïdale symétrique. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) admet un dual à gauche dans la catégorie monoïdale des \(\mathcal{O}_X\)-modules ;

2. \(\mathcal{F}\) est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini ;

3. \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et plat comme \(\mathcal{O}_X\)-module.

Cela est démontré dans l’exemple 0FNV et les lemmes 0FNW et 08BL de cette section.

Exemple

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module qui est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini. Alors l’application \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\] est un isomorphisme. En effet, la question est locale, l’assertion est vraie si \(\mathcal{F}\) est libre de type fini, et elle vaut pour tout facteur direct d’un module pour lequel elle est vraie. Notons \[\eta : \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\] l’application qui envoie \(1\) sur la section correspondant à \(\text{id}_\mathcal{F}\) par l’isomorphisme ci-dessus. Notons \[\epsilon : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] l’application d’évaluation. Alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \eta, \epsilon\) est un dual à gauche de \(\mathcal{F}\) au sens de Catégories, définition 0FFP. Nous omettons la vérification des égalités \((1 \otimes \epsilon) \circ (\eta \otimes 1) = \text{id}_\mathcal{F}\) et \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) = \text{id}_{\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(\mathcal{G}, \eta, \epsilon\) un dual à gauche de \(\mathcal{F}\) dans la catégorie monoïdale des \(\mathcal{O}_X\)-modules ; voir Catégories, définition 0FFP. Alors :

1. \(\mathcal{F}\) est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini ;

2. l’application \(e : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{G}\) qui envoie une section locale \(\lambda\) sur \((\lambda \otimes 1)(\eta)\) est un isomorphisme ;

3. on a \(\epsilon(f, g) = e^{-1}(g)(f)\) pour des sections locales \(f\) et \(g\) de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Les hypothèses signifient que \[\mathcal{F} \xrightarrow{\eta \otimes 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \xrightarrow{1 \otimes \epsilon} \mathcal{F} \quad\text{et}\quad \mathcal{G} \xrightarrow{1 \otimes \eta} \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \xrightarrow{\epsilon \otimes 1} \mathcal{G}\] sont les applications identiques. Soit \(x \in X\). On peut trouver un voisinage ouvert \(U\) de \(x\), un nombre fini de sections \(f_1, \ldots, f_n\) et \(g_1, \ldots, g_n\) de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur \(U\) telles que \(\eta(1) = \sum f_i g_i\). Notons \[\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U\] l’application qui envoie le \(i\)-ième vecteur de base sur \(f_i\). On peut alors factoriser l’application \(\eta|_U\) par une application \(\tilde \eta : \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}|_U\). On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_U \ar[rr]_-{\eta \otimes 1} \ar[rrd]_-{\tilde \eta \otimes 1} & & \mathcal{F}|_U \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[r]_-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{F}|_U \\ & & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[u] \ar[r]^-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \ar[u] }\] Cela montre que l’identité de \(\mathcal{F}\), localement sur \(X\), se factorise par un module libre de type fini. Ceci démontre (1). L’assertion (2) résulte de Catégories, lemme 0FFQ, et de sa démonstration. L’assertion (3) résulte de la première égalité de la démonstration. On peut aussi déduire (2) et (3) de l’unicité des duaux à gauche (Catégories, remarque 0FFR) et de la construction du dual à gauche dans l’exemple 0FNV.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module plat de présentation finie. Alors \(\mathcal{F}\) est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini.

Démonstration

Après avoir remplacé \(X\) par les membres d’un recouvrement ouvert, on peut supposer qu’il existe une présentation \[\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{F} \to 0\] Soit \(x \in X\). D’après le lemme 08BK, on peut, après avoir restreint \(X\) à un voisinage ouvert de \(x\), supposer qu’il existe une factorisation \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_1} \to \mathcal{F}\] telle que la composée \(\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_1}\) annule le premier facteur de \(\mathcal{O}_X^{\oplus r}\). En répétant cet argument encore \(r - 1\) fois, on obtient une factorisation \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_r} \to \mathcal{F}\] telle que la composée \(\mathcal{O}_X^{\oplus r} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n_r}\) est nulle. Cela signifie que la surjection \(\mathcal{O}_X^{\oplus n_r} \to \mathcal{F}\) admet une section, ce qui conclut.

Faisceaux constructibles d’ensembles

Soit \(X\) un espace topologique. Étant donné un ensemble \(S\), rappelons que \(\underline{S}\) ou \(\underline{S}_X\) désigne le faisceau constant de valeur \(S\) ; voir Faisceaux, définition 006W. Soit \(U \subset X\) un ouvert d’un espace topologique \(X\). Nous noterons \(j_U\) le morphisme d’inclusion et \(j_{U!} : \Sh(U) \to \Sh(X)\) le prolongement par l’ensemble vide décrit dans Faisceaux, section 009Z.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\). Il existe un ensemble \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un élément \(U_i \in \mathcal{B}\) et un ensemble fini \(S_i\) tels qu’il existe une surjection \(\coprod_{i \in I} j_{U_i!}\underline{S_i} \to \mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(S\) un singleton. Nous démontrerons le résultat avec \(S_i = S\). Pour tout \(x \in X\) et tout élément \(s \in \mathcal{F}_x\), on peut choisir \(U(x, s) \in \mathcal{B}\) et \(s(x, s) \in \mathcal{F}(U(x, s))\) dont l’image est \(s\) dans \(\mathcal{F}_x\). D’après Faisceaux, lemme 00A3, la section \(s(x, s)\) correspond à une application de faisceaux \(j_{U(x, s)!}\underline{S} \to \mathcal{F}\). Alors \[\coprod\nolimits_{(x, s)} j_{U(x, s)!}\underline{S} \to \mathcal{F}\] est surjective sur les germes, donc surjective.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\), et supposons que tout \(U \in \mathcal{B}\) soit quasi-compact. Alors tout faisceau d’ensembles sur \(X\) est une colimite filtrante de faisceaux de la forme [0CAJ]\[\begin{equation} \text{Coégalisateur}\left( \xymatrix{ \coprod\nolimits_{b = 1, \ldots, m} j_{V_b!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a = 1, \ldots, n} j_{U_a!}\underline{S_a} } \right) \end{equation}\] où \(U_a\) et \(V_b\) appartiennent à \(\mathcal{B}\), et où \(S_a\) et \(S_b\) sont des ensembles finis.

Démonstration

Par le lemme 0CAH, tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) est le but d’une surjection dont la source \(\mathcal{F}_0\) est un coproduit de faisceaux de la forme \(j_{U!}\underline{S}\), avec \(U \in \mathcal{B}\) et \(S\) fini. En appliquant ceci à \(\mathcal{F}_0 \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_0\) on trouve que \(\mathcal{F}\) est le coégalisateur d’une paire d’applications \[\xymatrix{ \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_b!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a} }\] pour certains ensembles d’indices \(A\), \(B\), avec \(V_b\) et \(U_a\) dans \(\mathcal{B}\) et \(S_a\) et \(S_b\) finis. Pour toute partie finie \(B' \subset B\), il existe une partie finie \(A' \subset A\) telle que, par les deux applications, le coproduit indexé par \(b \in B'\) s’envoie dans le coproduit indexé par \(a \in A'\). En effet, on peut voir le membre de droite comme une colimite filtrante dont les applications de transition sont injectives. Par conséquent, la prise des sections sur les ouverts quasi-compacts \(V_b\), \(b \in B'\), commute à ce coproduit ; voir Faisceaux, lemme 009F. Ainsi notre faisceau est la colimite des conoyaux de ces applications entre coproduits finis.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique spectral. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts quasi-compacts de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles comme dans l’équation (0CAJ). Alors il existe une application spectrale continue \(f : X \to Y\) vers un espace topologique sobre fini \(Y\) et un faisceau d’ensembles \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), à germes finis, tels que \(f^{-1}\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\).

Démonstration

On peut écrire \(X = \lim X_i\) comme une limite projective d’espaces sobres finis ; voir Topologie, lemme 09XX. Bien sûr, les applications de transition \(X_{i'} \to X_i\) sont spectrales ; par conséquent, d’après Topologie, lemme 0A2Z, les applications \(p_i : X \to X_i\) sont spectrales. Pour un certain \(i\), on peut trouver des ouverts \(U_{a, i}\) et \(V_{b, i}\) de \(X_i\) dont les images inverses sont \(U_a\) et \(V_b\) ; voir Topologie, lemme 0A30. Les deux applications \[\beta, \gamma : \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_b!}\underline{S_b} \longrightarrow \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a}\] dont le coégalisateur est \(\mathcal{F}\) correspondent par adjonction à deux familles \[\beta_b, \gamma_b : S_b \longrightarrow \Gamma(V_b, \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_a!}\underline{S_a}), \quad b \in B\] d’applications d’ensembles. Observons que \(p_i^{-1}(j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) = j_{U_a!}\underline{S_a}\) et \((X_{i'} \to X_i)^{-1}(j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) = j_{U_{a, i'}!}\underline{S_a}\). Il résulte de Faisceaux, lemme 0A32 (en utilisant aussi que \(S_b\) et \(B\) sont des ensembles finis) que, après avoir augmenté \(i\), on trouve des applications \[\beta_{b, i}, \gamma_{b, i} : S_b \longrightarrow \Gamma(V_{b, i}, \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}) , \quad b \in B\] qui donnent les applications \(\beta_b\) et \(\gamma_b\) après image inverse par \(p_i\). Ces applications correspondent à leur tour à des applications de faisceaux \[\beta_i, \gamma_i : \coprod\nolimits_{b \in B} j_{V_{b, i}!}\underline{S_b} \longrightarrow \coprod\nolimits_{a \in A} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a}\] sur \(X_i\). On peut alors prendre \(Y = X_i\) et \[\mathcal{G} = \text{Coégalisateur}\left( \xymatrix{ \coprod\nolimits_{b = 1, \ldots, m} j_{V_{b, i}!}\underline{S_b} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{a = 1, \ldots, n} j_{U_{a, i}!}\underline{S_a} } \right)\] Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique spectral. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts quasi-compacts de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles comme dans l’équation (0CAJ). Alors il existe un nombre fini de fermés constructibles \(Z_1, \ldots, Z_n \subset X\) et d’ensembles finis \(S_i\) tels que \(\mathcal{F}\) soit isomorphe à un sous-faisceau de \(\prod (Z_i \to X)_*\underline{S_i}\).

Démonstration

Par le lemme 0CAK, on se ramène au cas d’un espace topologique sobre fini et d’un faisceau à germes finis. Dans ce cas, \(\mathcal{F} \subset \prod_{x \in X} i_{x, *}\mathcal{F}_x\), où \(i_x : \{x\} \to X\) est l’inclusion. Nous omettons la démonstration du fait que \(i_{x, *}\mathcal{F}_x\) est un faisceau constant sur \(\overline{\{x\}}\).

Morphismes plats d’espaces annelés

La définition ponctuelle est motivée par le Lemme 05NE et la Définition 05NF ci-dessus.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(x \in X\). Nous disons que \(f\) est plat en \(x\) si le morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat. Nous disons que \(f\) est plat si \(f\) est plat en tout \(x \in X\).

Considérons le morphisme de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\). Nous voyons que son germe en \(x\) est le morphisme d’anneaux \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi, \(f\) est plat en \(x\) si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est plat en \(x\) comme \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module. De plus, \(f\) est plat si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est plat comme \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module. Les immersions ouvertes fournissent un cas particulier de morphismes plats.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces annelés. Alors le foncteur image inverse \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact.

Démonstration

Le foncteur \(f^*\) est la composée du foncteur exact \(f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y)\) et du foncteur de changement d’anneaux \[\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X.\] Le résultat découle donc de la discussion qui suit la Définition 02N3.

Définition

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en un point \(x \in X\) si le germe \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-module plat.

2. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en tout point \(x\) de \(X\).

Avec cette définition, nous voyons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) comme \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module, car \((f^{-1}\mathcal{O}_Y)_x = \mathcal{O}_{Y, f(x)}\) d’après Faisceaux, lemme 008H.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module plat sur \(Y\). Alors le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\quad \mathcal{G} \longmapsto f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] est exact.

Démonstration

Cela est vrai parce que \(f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{F}\), le foncteur \(f^{-1}\) est exact et \(\mathcal{F}\) est un \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module plat.

Puissances symétriques et extérieures

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Nous définissons l’algèbre tensorielle de \(\mathcal{F}\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres non commutatives \[\text{T}(\mathcal{F}) = \text{T}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(\mathcal{F}).\] Ici, \(\text{T}^0(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\), \(\text{T}^1(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\) et, pour \(n \geq 2\), nous avons \[\text{T}^n(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ \ (n\text{ facteurs})\] Nous définissons \(\wedge(\mathcal{F})\) comme le quotient de \(\text{T}(\mathcal{F})\) par l’idéal bilatère engendré par les sections locales \(s \otimes s\) de \(\text{T}^2(\mathcal{F})\), où \(s\) est une section locale de \(\mathcal{F}\). On l’appelle l’algèbre extérieure de \(\mathcal{F}\). De même, nous définissons \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) comme le quotient de \(\text{T}(\mathcal{F})\) par l’idéal bilatère engendré par les sections locales de la forme \(s \otimes t - t \otimes s\) de \(\text{T}^2(\mathcal{F})\).

Les algèbres \(\text{T}(\mathcal{F})\), \(\wedge(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-algèbres graduées au sens de Faisceaux différentiels gradués, définition 0FQW. De plus, \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) est commutative et \(\wedge(\mathcal{F})\) est commutative au sens gradué.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, le faisceau \(\wedge^n\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \wedge^n_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U)).\] Voir Algèbre, section 00DM. De même, le faisceau \(\text{Sym}^n\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U)).\]

Démonstration

Omis. Il peut être plus efficace de définir \(\text{Sym}(\mathcal{F})\) et \(\wedge(\mathcal{F})\) de cette manière plutôt que par la méthode donnée ci-dessus.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, soit \(x \in X\). Il existe des isomorphismes canoniques de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules \(\text{T}(\mathcal{F})_x = \text{T}(\mathcal{F}_x)\), \(\text{Sym}(\mathcal{F})_x = \text{Sym}(\mathcal{F}_x)\) et \(\wedge(\mathcal{F})_x = \wedge(\mathcal{F}_x)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 01CG ci-dessus et de Algèbre, lemme 00DQ.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Alors \(f^*\text{T}(\mathcal{F}) = \text{T}(f^*\mathcal{F})\), et il en va de même des algèbres extérieure et symétrique associées à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) une suite exacte de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour tout \(n \geq 1\), il existe une suite exacte \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \text{Sym}^{n - 1}(\mathcal{F}_1) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}_1) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}) \to 0\] et, de même, une suite exacte \[\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \wedge^{n - 1}(\mathcal{F}_1) \to \wedge^n(\mathcal{F}_1) \to \wedge^n(\mathcal{F}) \to 0\]

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 00DO.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections, il en va de même de chaque \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\).

2. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, il en va de même de chaque \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\).

3. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, il en va de même de chaque \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\).

4. Si \(\mathcal{F}\) est cohérent, alors, pour \(n > 0\), chacun de \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) est cohérent.

5. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, il en va de même de chaque \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\).

6. Si \(\mathcal{F}\) est localement libre, il en va de même de chaque \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\).

Démonstration

Ces assertions pour \(\text{T}^n(\mathcal{F})\) résultent du Lemme 01CE.

Les assertions (1) et (2) résultent du fait que \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) sont des quotients de \(\text{T}^n(\mathcal{F})\).

L’assertion (6) résulte de Algèbre, lemme 00DN.

Pour (3) et (5), nous utiliserons le Lemme 01CJ ci-dessus. En choisissant localement une présentation \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) où les \(\mathcal{F}_i\) sont libres, ou libres de type fini, puis en appliquant le lemme, nous voyons que \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) et \(\wedge^n(\mathcal{F})\) admettent une présentation analogue ; nous utilisons ici (6) et le Lemme 01CE.

Pour démontrer (4), nous utiliserons Algèbre, lemme 00DP. Nous pouvons localiser sur \(X\) et supposer que \(\mathcal{F}\) est engendré par une famille finie \((s_i)_{i \in I}\) de sections globales. Le lemme mentionné ci-dessus, combiné au Lemme 01CG ci-dessus, implique que, pour \(n \geq 2\), il existe une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \text{T}^{n - 2}(\mathcal{F}) \to \text{T}^n(\mathcal{F}) \to \text{Sym}^n(\mathcal{F}) \to 0\] où l’ensemble d’indices \(J\) est fini. Or nous savons que \(\text{T}^{n - 2}(\mathcal{F})\) est de type fini ; l’image de la première flèche est donc un sous-faisceau cohérent de \(\text{T}^n(\mathcal{F})\) ; voir le Lemme 01BY. Ce même lemme permet de conclure que \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\) est cohérent.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, il en va de même de chacun de \(\text{T}(\mathcal{F})\), \(\wedge(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}(\mathcal{F})\).

2. Si \(\mathcal{F}\) est localement libre, il en va de même de chacun de \(\text{T}(\mathcal{F})\), \(\wedge(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Il n’est pas vrai qu’une somme directe infinie \(\bigoplus \mathcal{G}_i\) de modules localement libres soit localement libre, ni qu’une somme directe infinie de modules quasi-cohérents soit quasi-cohérente. Le problème est que, pour un point \(x \in X\), les voisinages ouverts \(U_i\) de \(x\) sur lesquels \(\mathcal{G}_i\) devient libre (resp. admet une présentation convenable) peuvent avoir une intersection qui n’est pas un voisinage ouvert de \(x\). Cependant, dans la démonstration du Lemme 01CK, nous avons vu que, dès qu’un voisinage ouvert convenable pour \(\mathcal{F}\) est choisi, ce voisinage ouvert convient à chacun des faisceaux \(\text{T}^n(\mathcal{F})\), \(\wedge^n(\mathcal{F})\) et \(\text{Sym}^n(\mathcal{F})\). Le lemme en résulte.

Hom interne

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Considérons la règle \[U \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U).\] Il résulte de la discussion de Faisceaux, section 00AK, qu’il s’agit d’un faisceau de groupes abéliens. De plus, étant donnés un élément \(\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) et une section \(f \in \mathcal{O}_X(U)\), nous pouvons définir \(f\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_X|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) soit en précomposant avec la multiplication par \(f\) sur \(\mathcal{F}|_U\), soit en postcomposant avec la multiplication par \(f\) sur \(\mathcal{G}|_U\) (le résultat est le même). Nous obtenons donc en fait un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous noterons ce faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\). Il existe un morphisme canonique d’“évaluation” \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{G}.\] Pour tout \(x \in X\), il existe aussi un morphisme canonique \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] qui est rarement un isomorphisme.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe un isomorphisme canonique \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}, \mathcal{H}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] qui est fonctoriel en ses trois arguments (il s’agit du Hom de faisceaux aux trois emplacements). En particulier, se donner un morphisme \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) équivaut à se donner un morphisme \(\mathcal{F} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H})\).

Démonstration

C’est l’analogue de Algèbre, lemme 00DE. La démonstration, identique, est omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G})\] est exacte.

2. Si \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_1) \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_2)\] est exacte.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) comme en (1). Pour tout ouvert \(U \subset X\), la suite \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U) \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}_1|_U, \mathcal{G}|_U) \to \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}_2|_U, \mathcal{G}|_U)\] est exacte d’après Homologie, lemme 05AA. Cela signifie que prendre les sections sur \(U\) de la suite de faisceaux de (1) donne une suite exacte de groupes abéliens. La suite de (1) est donc exacte par définition. La démonstration de (2) est exactement la même.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Alors nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{G}))\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\) et \(\mathcal{G} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\).

Démonstration

Omis. C’est l’analogue de Algèbre, lemme 08YP, et la démonstration est exactement la même.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors le morphisme canonique \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] est injectif. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, ce morphisme canonique est un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme envoie la classe d’équivalence de \((U, \varphi)\) dans \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x\), où \(x \in U \subset X\), l’ensemble intermédiaire étant ouvert, et \(\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\), sur le morphisme induit sur les germes en \(x\), à savoir \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\).

Supposons \(\mathcal{F}\) de type fini. Choisissons un représentant \((U, \varphi)\) d’un élément \(\sigma\) du noyau du morphisme, c’est-à-dire tel que \(\varphi_x = 0\). En rétrécissant \(U\) si nécessaire, choisissons des sections \(s^1, \ldots, s^n \in \mathcal{F}(U)\) qui engendrent \(\mathcal{F}|_U\). Comme \(\varphi_x(s^i_x) = 0\) et que nous n’avons qu’un nombre fini de sections, nous pouvons trouver un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(x\) tel que \(\varphi_V(s^i|_V)=0\) pour tout \(i = 1, \ldots, n\). Puisque les \(s^i|_V\), \(i = 1, \ldots, n\), engendrent \(\mathcal{F}|_V\), cela signifie que \(\varphi|_V = 0\). Comme \((U, \varphi)\) est équivalent à \((V, \varphi|_V)\), nous concluons que \(\sigma = 0\), d’où l’injectivité du morphisme.

Supposons maintenant \(\mathcal{F}\) de présentation finie. En localisant sur \(X\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{F}\) admet une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0.\] D’après le Lemme 01CO, cela donne une suite exacte \(0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}.\) En prenant les germes, nous obtenons une suite exacte \(0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_x \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_x\) et le résultat en découle puisque \(\mathcal{F}_x\) s’insère dans une suite exacte \(\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{F}_x \to 0\) qui induit la suite exacte \(0 \to \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_x \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_x\) qui est la même que celle ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et si \(f\) est plat, alors le morphisme canonique \[f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Remarquons que \(f^*\mathcal{F}\) est aussi de présentation finie (Lemme 01BQ). Soit \(x \in X\) d’image \(y \in Y\). En considérant les germes en \(x\), nous obtenons un isomorphisme d’après le Lemme 01CP et Compléments d’algèbre, lemme 087R qui montre que, dans ce cas, \(\Hom\) commute au changement de base par \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Seconde démonstration : utiliser exactement le même argument que dans la démonstration du Lemme 01CP.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est localement le noyau d’un morphisme entre des sommes directes finies de copies de \(\mathcal{G}\). En particulier, si \(\mathcal{G}\) est cohérent, alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est lui aussi cohérent.

Démonstration

Nous avons vu la première assertion dans la démonstration du Lemme 01CP. Le résultat pour les faisceaux cohérents découle alors du Lemme 01BY.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(\mathcal{G} = \colim_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{G}_\lambda\) une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors le morphisme canonique \[\colim_\lambda \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un isomorphisme.

Démonstration

La formation des colimites de faisceaux de modules commute à la restriction aux ouverts ; voir Faisceaux, section 009E. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O}_X \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0\] Le foncteur \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(-, -)\) commute aux sommes directes finies en chacune des variables et \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, -)\) est le foncteur identité. D’après cela et le Lemme 01CO, nous obtenons une suite exacte \[0 \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}\] Puisque les colimites filtrantes sont exactes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), la ligne supérieure du diagramme commutatif suivant est elle aussi exacte \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \colim_\lambda \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_\lambda \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_\lambda \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G} }\] Comme les deux flèches verticales de droite sont des isomorphismes, nous concluons.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(I\) un ensemble préordonné et soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système sur \(I\) formé de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules (voir Catégories, section 002Z). Supposons que

1. \(I\) est filtrant,

2. \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, et

3. \(X\) admet un système cofinal de recouvrements ouverts \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j\in J} U_j\), avec \(J\) fini et \(U_j \cap U_{j'}\) quasi-compact pour tous \(j, j' \in J\).

Alors nous avons \[\colim_i \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Hom_X(\mathcal{G}, \colim_i \mathcal{F}_i).\]

Démonstration

Posons \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \colim \mathcal{F}_i)\) et \(\mathcal{H}_i = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i)\). Rappelons que \[\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{H}) \quad\text{et}\quad \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Gamma(X, \mathcal{H}_i)\] par construction. D’après le Lemme 0GMV, nous avons \(\mathcal{H} = \colim \mathcal{H}_i\). Le lemme résulte donc de Faisceaux, lemme 009F.

Remarque

Dans le lemme ci-dessus, il faut une condition supplémentaire à la quasi-compacité de \(X\). Voir Faisceaux, exemple 009G.

L’annulateur d’un faisceau de modules

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Il existe un morphisme canonique de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\] qui envoie une section locale \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) sur le morphisme \(f : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\) donné par la multiplication par \(f\).

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. L’annulateur de \(\mathcal{F}\), noté \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\), est le noyau du morphisme \(\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) considéré ci-dessus.

Pour tout \(x\in X\), on a une inclusion d’idéaux de \(\mathcal{O}_{X, x}\) : [0H2I]\[\begin{equation} (\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}))_x \subset \text{Ann}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) \end{equation}\] car toute section de \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) annule les germes de \(\mathcal{F}\) en tout point où elle est définie. Voici une situation simple dans laquelle (0H2I) est une égalité.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \((\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}))_x = \text{Ann}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x)\).

Démonstration

D’après le lemme 01CP, le morphisme \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})_x \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{F}_x)\] est injectif. Ainsi, toute section \(f\) de \(\mathcal{O}_X\) sur un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) qui agit par zéro sur \(\mathcal{F}_x\) agit par zéro sur \(\mathcal{F}|_V\) pour un ouvert \(U \supset V \ni x\) convenable. L’inclusion (0H2I) est donc une égalité.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module et soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux. Si \(\mathcal{I} \subset \text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\), alors \(\mathcal{F}\) possède une structure naturelle de \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-module qui, sur les germes, coïncide avec la construction usuelle d’algèbre commutative.

Démonstration

En appliquant la propriété universelle du conoyau de l’inclusion \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{O}_X \ar[r] \ar[d] & \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \\ \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \ar@{-->}[ur] }\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules. D’après le lemme 01CN, le morphisme obtenu \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) correspond à un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\mathcal{O}_X/\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] ce qui nous donne une structure de \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-module sur \(\mathcal{F}\), compatible avec sa structure donnée de \(\mathcal{O}_X\)-module. Nous omettons la vérification de l’assertion sur les germes.

Lemme

Soit \((X,\mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Si \(\mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{F}\) sont cohérents, alors \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) l’est aussi.

Démonstration

Puisque \(\text{Ann}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\) est le noyau de \(\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) et d’après le lemme 01BY, il suffit de montrer que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) est cohérent. Cela résulte du lemme 01CQ et du fait que \(\mathcal{F}\) est cohérent, donc a fortiori de présentation finie (lemme 01BW).

Complexes de Koszul

Nous suggérons de lire d’abord la section consacrée aux complexes de Koszul dans Compléments d’algèbre, section 0621. Nous définissons comme suit le complexe de Koszul dans la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Définition

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\varphi : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Le complexe de Koszul \(K_\bullet(\varphi)\) associé à \(\varphi\) est le faisceau d’algèbres différentielles graduées commutatives défini comme suit :

1. l’algèbre graduée sous-jacente est l’algèbre extérieure \(K_\bullet(\varphi) = \wedge(\mathcal{E})\),

2. la différentielle \(d : K_\bullet(\varphi) \to K_\bullet(\varphi)\) est l’unique dérivation telle que \(d(e) = \varphi(e)\) pour toute section locale \(e\) de \(\mathcal{E} = K_1(\varphi)\).

Explicitement, si \(e_1 \wedge \ldots \wedge e_n\) est un produit extérieur de sections locales de \(\mathcal{E}\), alors \[d(e_1 \wedge \ldots \wedge e_n) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (-1)^{i + 1} \varphi(e_i)e_1 \wedge \ldots \wedge \widehat{e_i} \wedge \ldots \wedge e_n.\] On vérifie immédiatement que cette formule définit une dérivation bien définie sur l’algèbre tensorielle, qui annule \(e \wedge e\) et se factorise donc par l’algèbre extérieure.

Définition

Soit \(X\) un espace annelé et soient \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Le complexe de Koszul associé à \(f_1, \ldots, f_n\) est le complexe de Koszul associé au morphisme \((f_1, \ldots, f_n) : \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{O}_X\). On le note \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_1, \ldots, f_n)\) ou \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet)\).

Bien entendu, étant donné un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\), si \(\mathcal{E}\) est localement libre de type fini, alors \(K_\bullet(\varphi)\) est localement sur \(X\) isomorphe à un complexe de Koszul \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_1, \ldots, f_n)\).

Modules inversibles

Comme dans le cas des modules sur un anneau (Compléments d’algèbre, section 0AFW), nous avons la définition suivante.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{L}\) tel que le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] est une équivalence de catégories. Nous disons que \(\mathcal{L}\) est trivial s’il est isomorphe à \(\mathcal{O}_X\) en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module.

Le lemme 0B8M ci-dessous explique le lien avec les modules localement libres de rang \(1\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est inversible ;

2. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{N}\) tel que \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\).

Dans ce cas, \(\mathcal{L}\) est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini, et le module \(\mathcal{N}\) de (2) est isomorphe à \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Supposons (1). Le foncteur \(- \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) est alors essentiellement surjectif ; il existe donc un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{N}\) comme en (2). Si (2) est vérifiée, le foncteur \(- \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) est un quasi-inverse du foncteur \(- \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) ; on en déduit (1).

Supposons (1) et (2) vérifiées. Notons \(\psi : \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N} \to \mathcal{O}_X\) l’isomorphisme donné. Soit \(x \in X\). Choisissons un voisinage ouvert \(U\) de \(x\), un entier \(n \geq 1\) et des sections \(s_i \in \mathcal{L}(U)\), \(t_i \in \mathcal{N}(U)\) telles que \(\psi(\sum s_i \otimes t_i) = 1\). Considérons les isomorphismes \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}|_U \to \mathcal{L}|_U\] où la première flèche envoie \(s\) sur \(\sum s_i \otimes s \otimes t_i\) et la seconde envoie \(s \otimes s' \otimes t\) sur \(\psi(s' \otimes t)s\). Nous en concluons que \(s \mapsto \sum \psi(s \otimes t_i)s_i\) est un automorphisme de \(\mathcal{L}|_U\). Cet automorphisme se factorise sous la forme \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{L}|_U\] où la première flèche est donnée par \(s \mapsto (\psi(s \otimes t_1), \ldots, \psi(s \otimes t_n))\) et la seconde par \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_i s_i\). Nous en concluons que \(\mathcal{L}|_U\) est facteur direct d’un \(\mathcal{O}_U\)-module libre de type fini.

Supposons (1) et (2) vérifiées. Considérons le morphisme d’évaluation \[\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] Pour achever la démonstration du lemme, montrons que c’est un isomorphisme en vérifiant qu’il induit des isomorphismes sur les germes. Soit \(x \in X\). Comme nous savons, d’après le paragraphe précédent, que \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, le lemme 01CP montre qu’il suffit d’établir que \[\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{L}_x, \mathcal{O}_{X, x}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] est un isomorphisme. Puisque \(\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{N}_x = (\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N})_x = \mathcal{O}_{X, x}\) (lemme 01CB), le résultat voulu découle de Compléments d’algèbre, lemme 0B8I.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{L}\) d’un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible est inversible.

Démonstration

D’après le lemme 0B8K, il existe un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{N}\) tel que \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_Y\). En prenant l’image inverse, nous obtenons \(f^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\) d’après le lemme 01CD. Ainsi \(f^*\mathcal{L}\) est inversible d’après le lemme 0B8K.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(1\) est inversible. Si tous les anneaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont locaux, alors la réciproque est également vraie (ce qui n’est pas le cas en général).

Démonstration

L’assertion entre parenthèses s’obtient en considérant un espace réduit à un point \(X\), muni du faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) défini par un anneau \(R\). Les \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles correspondent alors aux \(R\)-modules inversibles ; dès que \(\Pic(R)\) n’est pas le groupe trivial, nous obtenons donc un exemple.

Supposons \(\mathcal{L}\) localement libre de rang \(1\) et considérons le morphisme d’évaluation \[\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] Sur un recouvrement ouvert qui trivialise \(\mathcal{L}\), nous voyons que ce morphisme est un isomorphisme. Ainsi \(\mathcal{L}\) est inversible d’après le lemme 0B8K.

Supposons que tous les anneaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) soient locaux et que \(\mathcal{L}\) soit inversible. Dans la démonstration du lemme 0B8K, nous avons vu que \(\mathcal{L}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module inversible pour tout \(x \in X\). Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est local, nous voyons que \(\mathcal{L}_x \cong \mathcal{O}_{X, x}\) (Compléments d’algèbre, section 0AFW). Puisque \(\mathcal{L}\) est de présentation finie d’après le lemme 0B8K, nous concluons que \(\mathcal{L}\) est localement libre de rang \(1\) d’après le lemme 0B8J.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé.

1. Si \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles, alors il en va de même de \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\).

2. Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)\) l’est aussi, et le morphisme d’évaluation \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_X\) est un isomorphisme.

Démonstration

L’assertion (1) est immédiate par définition, et (2) résulte du lemme 0B8K et de sa démonstration.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donné un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X\) et \(n \in \mathbf{Z}\), nous définissons la \(n\)-ième puissance tensorielle \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) de \(\mathcal{L}\) comme l’image de \(\mathcal{O}_X\) par l’application de l’équivalence \(\mathcal{F} \mapsto\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) exactement \(n\) fois.

Cette définition a également un sens pour les entiers négatifs \(n\), puisque nous avons défini un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible comme un module pour lequel le produit tensoriel est une équivalence. Plus explicitement, nous avons \[\mathcal{L}^{\otimes n} = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O}_X & \text{si} & n = 0 \\ \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) & \text{si} & n = -1\\ \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L} & \text{si} & n > 0 \\ \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_X} \ldots \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} & \text{si} & n < -1 \end{matrix} \right.\] voir le lemme 01CT. Avec cette définition, nous avons des isomorphismes canoniques \(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \mathcal{L}^{\otimes n + m}\), et ces isomorphismes satisfont à des contraintes de commutativité et d’associativité (formulation omise).

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Nous pouvons définir une structure d’anneau \(\mathbf{Z}\)-gradué sur \(\bigoplus \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) en envoyant \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) et \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\) sur la section correspondant à \(s \otimes t\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n + m})\). Nous omettons de vérifier que cela définit un anneau commutatif et associatif, d’unité \(1\). Toutefois, selon nos conventions dans Algèbre, section 00JL, un anneau gradué ne possède aucun élément non nul de degré négatif. Cela conduit à la définition suivante.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donné un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X\), nous définissons l’anneau gradué associé par \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\] Étant donné un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), nous posons \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] que nous considérons comme un \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué.

Nous écrivons souvent simplement \(\Gamma_*(\mathcal{L})\) et \(\Gamma_*(\mathcal{F})\) (bien que cette notation soit ambiguë si \(\mathcal{F}\) est inversible). La multiplication de \(\Gamma_*(\mathcal{L})\) sur \(\Gamma_*(\mathcal{F})\) est définie au moyen des isomorphismes ci-dessus. Si \(\gamma : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules, nous obtenons un morphisme de \(\Gamma_*(\mathcal{L})\)-modules \(\gamma : \Gamma_*(\mathcal{F}) \to \Gamma_*(\mathcal{G})\). Si \(\alpha : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules entre des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles, nous obtenons un morphisme d’anneaux gradués \(\Gamma_*(\mathcal{L}) \to \Gamma_*(\mathcal{N})\). Si \(f : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est un morphisme d’espaces annelés et si \(\mathcal{L}\) est inversible sur \(X\), nous obtenons un faisceau inversible \(f^*\mathcal{L}\) sur \(Y\) (lemme 0B8L) et un morphisme induit d’anneaux gradués \[f^* : \Gamma_*(X, \mathcal{L}) \longrightarrow \Gamma_*(Y, f^*\mathcal{L})\] Il existe en outre certaines compatibilités entre les constructions ci-dessus, dont nous omettons les énoncés.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Il existe un ensemble de modules inversibles \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) tel que tout module inversible sur \(X\) soit isomorphe à exactement l’un des \(\mathcal{L}_i\).

Démonstration

Rappelons que tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est localement facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini ; voir le lemme 0B8K. Pour tout recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j \in J} U_j\) et toute application \(r : J \to \mathbf{N}\), considérons les faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{F}_j = \mathcal{F}|_{U_j}\) soit facteur direct de \(\mathcal{O}_{U_j}^{\oplus r(j)}\). La collection des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{F}_j\) est un ensemble, car \(\Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U^{\oplus r}, \mathcal{O}_U^{\oplus r})\) est un ensemble. Le faisceau \(\mathcal{F}\) s’obtient par recollement des \(\mathcal{F}_j\) ; voir Faisceaux, section 00AK. Remarquons que la collection de toutes les données de recollement forme un ensemble. La collection de tous les recouvrements \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{j \in J} U_j\) pour lesquels \(J \to \mathcal{P}(X)\), \(j \mapsto U_j\) est injective forme elle aussi un ensemble. Pour chaque recouvrement, il existe un ensemble d’applications \(r : J \to \mathbf{N}\). La collection de tous les \(\mathcal{F}\) forme donc un ensemble.

Ce lemme affirme, en substance, que la collection des classes d’isomorphisme de faisceaux inversibles forme un ensemble. Le lemme 01CT affirme que le produit tensoriel définit sur cet ensemble une structure de groupe abélien.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Le groupe de Picard \(\Pic(X)\) de \(X\) est le groupe abélien dont les éléments sont les classes d’isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles, l’addition correspondant au produit tensoriel.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Supposons que chaque anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m_x\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Pour toute section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), l’ensemble \[X_s = \{x \in X \mid \text{image de }s \not\in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\] est ouvert dans \(X\). Le morphisme \(s : \mathcal{O}_{X_s} \to \mathcal{L}|_{X_s}\) est un isomorphisme, et il existe une section \(s'\) de \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\) sur \(X_s\) telle que \(s' (s|_{X_s}) = 1\).

Démonstration

Supposons \(x \in X_s\). Nous avons un isomorphisme \[\mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} (\mathcal{L}^{\otimes -1})_x \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] d’après le lemme 01CT. Les modules \(\mathcal{L}_x\) et \((\mathcal{L}^{\otimes -1})_x\) sont tous deux des \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules libres de rang \(1\). Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) montre que \(s_x\) est une base de \(\mathcal{L}_x\). Il existe donc un élément de base \(t_x \in (\mathcal{L}^{\otimes -1})_x\) tel que \(s_x \otimes t_x\) s’envoie sur \(1\). Choisissons un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(t_x\) provienne d’une section \(t\) de \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\) sur \(U\) et que \(s \otimes t\) s’envoie sur \(1 \in \mathcal{O}_X(U)\). Il est clair que, pour tout \(x' \in U\), la section \(s\) engendre le module \(\mathcal{L}_{x'}\). Ainsi \(U \subset X_s\). Ceci prouve que \(X_s\) est ouvert. De plus, la section \(t\) construite ci-dessus sur \(U\) est unique ; ces sections se recollent donc en la section \(s'\) du lemme.

Remarque

Étant donné un morphisme d’espaces localement annelés \(f : Y \to X\) (voir Schémas, définition 01HB), l’image inverse \(f^{-1}(X_s)\) est égale à \(Y_{f^*s}\), où \(f^*s \in \Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) est l’image inverse de \(s\).

Rang et déterminant

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Considérons la catégorie \(\textit{Vect}(X)\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. C’est une catégorie exacte (voir Injectifs, remarque 05SF) dont les épimorphismes admissibles sont les surjections et dont les monomorphismes admissibles sont les noyaux de surjections. De plus, les classes d’isomorphisme des objets de \(\textit{Vect}(X)\) forment un ensemble (démonstration omise). Nous pouvons donc former le \(K\)-groupe de Grothendieck d’indice zéro \(K_0(\textit{Vect}(X))\). Explicitement, dans ce cas, \(K_0(\textit{Vect}(X))\) est le groupe abélien engendré par \([\mathcal{E}]\), où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, soumis aux relations \[[\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}'']\] pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini.

Rangs. Supposons que tous les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) soient non nuls. Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), le rang est la fonction localement constante \[\text{rang}_\mathcal{E} : X \longrightarrow \mathbf{Z}_{\geq 0},\quad x \longmapsto \text{rang}_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{E}_x\] Voir le lemme 01C9. Par définition des modules localement libres, la fonction \(\text{rang}_\mathcal{E}\) est localement constante. Si \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) est une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, alors \(\text{rang}_\mathcal{E} = \text{rang}_{\mathcal{E}'} + \text{rang}_{\mathcal{E}''}\). Le rang définit donc un morphisme \[K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \text{Map}_{cont}(X, \mathbf{Z}),\quad [\mathcal{E}] \longmapsto \text{rang}_\mathcal{E}\]

Déterminants. Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), nous obtenons une décomposition en union disjointe \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] où les \(X_i\) sont ouverts et fermés, de telle sorte que \(\mathcal{E}\) soit localement libre de type fini et de rang \(i\) sur \(X_i\) (cela revient exactement à dire que \(\text{rang}_\mathcal{E}\) est localement constante). Dans ce cas, nous définissons \(\det(\mathcal{E})\) comme le faisceau inversible sur \(X\) qui est égal à \(\wedge^i(\mathcal{E}|_{X_i})\) sur \(X_i\) pour tout \(i \geq 0\). La décomposition ci-dessus étant disjointe, il n’y a aucune condition de recollement à vérifier. D’après le lemme 0B38 ci-dessous, ceci définit un morphisme \[\det : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \Pic(X),\quad [\mathcal{E}] \longmapsto \det(\mathcal{E})\] de groupes abéliens. Les éléments de \(\Pic(X)\) ainsi obtenus sont localement libres de rang \(1\) (voir, après le lemme, une généralisation).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Il existe alors un isomorphisme canonique \[\det(\mathcal{E}') \otimes_{\mathcal{O}_X}\det(\mathcal{E}'') \longrightarrow \det(\mathcal{E})\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Nous pouvons décomposer \(X\) en sous-ensembles ouverts et fermés disjoints sur lesquels \(\mathcal{E}'\) et \(\mathcal{E}''\) sont tous deux de rang constant. Nous nous ramenons donc au cas où \(\mathcal{E}'\) et \(\mathcal{E}''\) sont de rang constant, disons \(r'\) et \(r''\). Dans cette situation, nous définissons \[\wedge^{r'}(\mathcal{E}') \otimes_{\mathcal{O}_X} \wedge^{r''}(\mathcal{E}'') \longrightarrow \wedge^{r' + r''}(\mathcal{E})\] comme suit. Étant données des sections locales \(s'_1, \ldots, s'_{r'}\) de \(\mathcal{E}'\) et des sections locales \(s''_1, \ldots, s''_{r''}\) de \(\mathcal{E}''\), nous envoyons \[s'_1 \wedge \ldots \wedge s'_{r'} \otimes s''_1 \wedge \ldots \wedge s''_{r''} \quad\text{sur}\quad s'_1 \wedge \ldots \wedge s'_{r'} \wedge \tilde s''_1 \wedge \ldots \wedge \tilde s''_{r''}\] où \(\tilde s''_i\) est un relèvement local de la section \(s''_i\) en une section de \(\mathcal{E}\). Nous omettons les détails.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Au lieu de considérer les \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, nous pouvons considérer les \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) qui sont localement sur \(X\) facteurs directs d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini. Cela revient à demander que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module plat et de présentation finie ; voir le lemme 08BL. Si tous les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont locaux, alors un tel module \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini ; voir le lemme 0BCI. Ce n’est toutefois pas le cas en général ; par exemple, \(X\) pourrait être un point, \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) pourrait être le produit \(A \times B\) de deux anneaux non nuls et \(\mathcal{F}\) pourrait correspondre à \(A \times 0\). Pour un tel module, la fonction rang n’est donc pas définie. Néanmoins, il est encore possible de définir \(\det(\mathcal{F})\), qui sera un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible au sens de la définition 01CS (sans être nécessairement localement libre de rang \(1\)). Notre construction coïncidera avec celle donnée ci-dessus lorsque \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini. Nous recommandons au lecteur de sauter le reste de cette section.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module plat et de présentation finie. Notons \[\det(\mathcal{F}) \subset \wedge^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\] l’annulateur de \(\mathcal{F} \subset \wedge^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\). Alors \(\det(\mathcal{F})\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

Démonstration

Pour le démontrer, nous pouvons travailler localement sur \(X\). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{F}\) est facteur direct d’un module libre de type fini ; voir le lemme 08BL. Écrivons \(\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{O}_X^{\oplus n}\). Posons \(R = \mathcal{O}_X(X)\). Nous avons alors \(\mathcal{F}(X) \oplus \mathcal{G}(X) = R^{\oplus n}\) et, de même, \(\mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{G}(U) = \mathcal{O}_X(U)^{\oplus n}\) pour tout ouvert \(U \subset X\). Nous en concluons que \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_M\) comme dans le lemme 01BH, où \(M = \mathcal{F}(X)\) est un \(R\)-module projectif de type fini. Autrement dit, nous avons \(\mathcal{F}(U) = M \otimes_R \mathcal{O}_X(U)\). Ceci implique que \(\det(M) \otimes_R \mathcal{O}_X(U) = \det(\mathcal{F}(U))\) pour tout ouvert \(U \subset X\), où \(\det\) est celui de Compléments d’algèbre, section 0FJ9. D’après Compléments d’algèbre, remarque 0FJA, nous voyons que \[\det(M) \otimes_R \mathcal{O}_X(U) = \det(\mathcal{F}(U)) \subset \wedge^*_{\mathcal{O}_X(U)}(\mathcal{F}(U))\] est l’annulateur de \(\mathcal{F}(U)\). Nous en concluons que \(\det(\mathcal{F})\), tel qu’il est défini dans l’énoncé du lemme, est égal à \(\mathcal{F}_{\det(M)}\). Nous omettons certains détails : il faut prendre garde au fait que les annulateurs ne peuvent pas être définis en faisceautisant la prise des annulateurs sur les sections au-dessus des ouverts. Ainsi \(\det(\mathcal{F})\) est l’image inverse d’un module inversible, ce qui conclut la démonstration.

Localisation des faisceaux d’anneaux

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’ensembles contenu dans \(\mathcal{O}_X\). Supposons que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) soit une partie multiplicative; voir Algèbre, définition 00CN. On peut alors considérer le préfaisceau d’anneaux \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U).\] L’application de restriction envoie la section \(f/s\), où \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) et \(s \in \mathcal{S}(U)\), sur \((f|_V)/(s|_V)\) lorsque \(V \subset U\) sont des ouverts de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’ensembles contenu dans \(\mathcal{O}_X\). Supposons que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) soit une partie multiplicative.

1. Il existe un morphisme de préfaisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\) tel que toute section locale de \(\mathcal{S}\) ait pour image une section inversible de \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\).

2. Pour tout homomorphisme de préfaisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\) tel que toute section locale de \(\mathcal{S}\) ait pour image une section inversible de \(\mathcal{A}\), il existe une unique factorisation \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\).

3. Pour tout \(x \in X\), on a \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)_x = \mathcal{S}_x^{-1} \mathcal{O}_{X, x}.\]

4. Le faisceau associé \((\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#\) est un faisceau d’anneaux muni d’un morphisme de faisceaux d’anneaux \((\mathcal{O}_X)^\# \to (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#\) qui est universel parmi les morphismes de \((\mathcal{O}_X)^\#\) vers des faisceaux d’anneaux envoyant toute section locale de \(\mathcal{S}\) sur une section inversible.

5. Pour tout \(x \in X\), on a \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\#_x = \mathcal{S}_x^{-1} \mathcal{O}_{X, x}.\]

Démonstration

Démonstration omise.

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’ensembles contenu dans \(\mathcal{O}_X\). Supposons que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) soit une partie multiplicative. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. On peut alors considérer le préfaisceau de \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\)-modules \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F} : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U).\] L’application de restriction envoie la section \(t/s\), où \(t \in \mathcal{F}(U)\) et \(s \in \mathcal{S}(U)\), sur \((t|_V)/(s|_V)\) lorsque \(V \subset U\) sont des ouverts de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’ensembles contenu dans \(\mathcal{O}_X\). Supposons que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) soit une partie multiplicative. Pour tout préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), on a \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{p, \mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] (voir Faisceaux, section 006P pour la notation) et, si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{O}_X\) sont des faisceaux, alors \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F})^\# = (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X)^\# \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] (voir Faisceaux, section 0088 pour la notation).

Démonstration

Démonstration omise.

Modules de différentielles

Dans cette section, nous expliquons brièvement comment définir le module des différentielles relatives d’un morphisme d’espaces annelés. Nous conseillons au lecteur de consulter la section correspondante du chapitre d’algèbre commutative (Algèbre, section 00RM).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_2\)-module. Une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation, ou plus précisément une \(\varphi\)-dérivation, à valeurs dans \(\mathcal{F}\) est une application \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) additive, nulle sur l’image de \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\), et satisfaisant la règle de Leibniz \[D(ab) = aD(b) + D(a)b\] pour toutes sections locales \(a, b\) de \(\mathcal{O}_2\) (sur tout ouvert où elles sont toutes deux définies). On note \(\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\) l’ensemble des \(\varphi\)-dérivations à valeurs dans \(\mathcal{F}\).

C’est l’analogue faisceautique d’Algèbre, définition 00RN. Étant donnée une dérivation \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) comme dans la définition, l’application induite sur les sections globales \[D : \Gamma(X, \mathcal{O}_2) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{F})\] est une \(\Gamma(X, \mathcal{O}_1)\)-dérivation au sens de la définition algébrique. Remarquons que, si \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_2\)-modules, il existe une application induite \[\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{G})\] donnée par \(D \mapsto \alpha \circ D\). Autrement dit, on obtient un foncteur.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Ab}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\] est représentable.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle de l’énoncé analogue en algèbre. Au cours de cette démonstration, pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\), notons \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{F}(U)]\), où cette dernière expression désigne le \(\mathcal{O}_2(U)\)-module libre de base l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\). Pour \(s \in \mathcal{F}(U)\), on note \([s]\) la section correspondante de \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) sur \(U\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, il existe un morphisme canonique \[c : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \longrightarrow \mathcal{F}\] qui, au niveau des préfaisceaux, est donné par la règle \(\sum f_s[s] \mapsto \sum f_s s\). Nous emploierons l’abréviation \([s] \mapsto s\) pour décrire ce morphisme, et des abréviations analogues pour les morphismes ci-dessous. Considérons le morphisme de \(\mathcal{O}_2\)-modules [08RN]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1] & \longrightarrow & \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2] \\ [(a, b)] \oplus [(f, g)] \oplus [h] & \longmapsto & [a + b] - [a] - [b] + \\ & & [fg] - g[f] - f[g] + \\ & & [\varphi(h)] \end{matrix} \end{equation}\] avec la notation abrégée ci-dessus. Posons \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) égal au conoyau de ce morphisme. Il est alors clair qu’il existe un morphisme de faisceaux d’ensembles \[\text{d} : \mathcal{O}_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\] qui envoie une section locale \(f\) sur l’image de \([f]\) dans \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\). Par construction, \(\text{d}\) est une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. Soit ensuite \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules et soit \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. On peut considérer le morphisme \(\mathcal{O}_2\)-linéaire \(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2] \to \mathcal{F}\) qui envoie \([g]\) sur \(D(g)\). La définition d’une dérivation montre que ce morphisme annule les sections appartenant à l’image du morphisme (08RN); il définit donc un morphisme \[\alpha_D : \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow \mathcal{F}\] Comme \(D = \alpha_D \circ \text{d}\), le lemme est démontré.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Le module des différentielles de \(\varphi\) est l’objet représentant le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\) dont l’existence résulte du lemme 08RM. On le note \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\), et la \(\varphi\)-dérivation universelle se note \(\text{d} : \mathcal{O}_2 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\).

Remarquons que \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le conoyau du morphisme de \(\mathcal{O}_2\)-modules (08RN). De plus, le morphisme \(\text{d}\) est caractérisé par le fait que \(\text{d}f\) est l’image de la section locale \([f]\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Alors \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\).

Démonstration

Considérons le morphisme (08RN). Il existe un morphisme analogue de préfaisceaux dont la valeur sur l’ouvert \(U\) est \[\mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_1(U)] \longrightarrow \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U)]\] Par la construction du module des différentielles dans Algèbre, définition 07BK, le conoyau de ce morphisme a pour valeur \(\Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\) sur \(U\). D’autre part, les faisceaux figurant dans (08RN) sont les faisceaux associés aux préfaisceaux ci-dessus. Le résultat découle donc de l’exactitude de la faisceautisation.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Pour tout ouvert \(U \subset X\), il existe un isomorphisme canonique \[\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}|_U = \Omega_{(\mathcal{O}_2|_U)/(\mathcal{O}_1|_U)}\] compatible aux dérivations universelles.

Démonstration

Cela résulte du fait que \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le conoyau du morphisme (08RN).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Il existe alors une identification canonique \(f^{-1}\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} = \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\) compatible aux dérivations universelles.

Démonstration

Cela résulte du fait que le faisceau \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le conoyau du morphisme (08RN) et qu’un énoncé analogue vaut pour \(\Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\), puisque le foncteur \(f^{-1}\) est exact et que \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2]\), \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2 \times f^{-1}\mathcal{O}_2]\), et \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_1]\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Pour \(x \in X\), on a \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1, x} = \Omega_{\mathcal{O}_{2, x}/\mathcal{O}_{1, x}}\).

Démonstration

C’est le cas particulier du lemme 08RR correspondant à l’inclusion \(\{x\} \to X\). On peut aussi utiliser le lemme 08TD, Faisceaux, lemme 007Z, et Algèbre, lemme 031G.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{O}_2 \ar[r]_\varphi & \mathcal{O}_2' \\ \mathcal{O}_1 \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}'_1 \ar[u] }\] un diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux sur \(X\). La composée de \(\mathcal{O}_2 \to \mathcal{O}'_2\) avec le morphisme \(\text{d} : \mathcal{O}'_2 \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\) est une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. On obtient donc un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\). Il est uniquement caractérisé par la propriété \(\text{d}(f) \mapsto \text{d}(\varphi(f))\) pour toute section locale \(f\) de \(\mathcal{O}_2\). Ainsi, \(\Omega_{-/-}\) devient un foncteur sur la catégorie des flèches de faisceaux d’anneaux.

Démonstration

L’énoncé découle immédiatement des définitions.

Lemme

Dans le lemme 08RS, supposons que \(\mathcal{O}_2 \to \mathcal{O}'_2\) soit surjectif, de noyau \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_2\), et que \(\mathcal{O}_1 = \mathcal{O}'_1\). Il existe alors une suite exacte canonique de \(\mathcal{O}'_2\)-modules \[\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow 0\] Le morphisme de gauche est caractérisé par le fait qu’une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) est envoyée sur \(\text{d}f \otimes 1\).

Démonstration

Pour une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\), notons \(\overline{f}\) l’image de \(f\) dans \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\). Pour montrer que l’application \(\overline{f} \mapsto \text{d}f \otimes 1\) est bien définie, il suffit de vérifier que \(\text{d} f_1f_2 \otimes 1 = 0\) lorsque \(f_1, f_2\) sont des sections locales de \(\mathcal{I}\). Cela découle de la règle de Leibniz : \(\text{d} f_1f_2 \otimes 1 = (f_1 \text{d}f_2 + f_2 \text{d} f_1 )\otimes 1 = \text{d}f_2 \otimes f_1 + \text{d}f_1 \otimes f_2 = 0\). Un calcul analogue montre que cette application est \(\mathcal{O}'_2 = \mathcal{O}_2/\mathcal{I}\)-linéaire. Le morphisme de droite est celui du lemme 08RS. Pour vérifier l’exactitude de la suite, on peut raisonner sur les fibres (lemme 01AG). Le lemme 08TE ramène alors l’assertion à Algèbre, lemme 00RU.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Une \(S\)-dérivation à valeurs dans \(\mathcal{F}\) est une \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-dérivation, ou plus précisément une \(f^\sharp\)-dérivation au sens de la définition 01UN. On note \(\text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \mathcal{F})\) l’ensemble des \(S\)-dérivations à valeurs dans \(\mathcal{F}\).

2. Le faisceau des différentielles \(\Omega_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\) est le module des différentielles \(\Omega_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S}\) muni de sa \(S\)-dérivation universelle \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/S}\).

Voici une situation particulière dans laquelle les dérivations apparaissent naturellement.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] Ici, \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, \(\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) est un morphisme surjectif de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, et \(\mathcal{I} = \Ker(\pi)\) est son noyau. Supposons que \(\mathcal{I}\) soit un faisceau d’idéaux de carré nul dans \(\mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{I}\) possède une structure naturelle de \(\mathcal{O}_X\)-module. Une section \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\) de \(\pi\) est un morphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres tel que \(\pi \circ s = \text{id}\). Étant données une section \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\) de \(\pi\) et une \(S\)-dérivation \(D : \mathcal{O}_X \to \mathcal{I}\), l’application \[s + D : \mathcal{O}_X \to \mathcal{A}\] est une section de \(\pi\), et toute section \(s'\) est de la forme \(s + D\) pour une unique \(S\)-dérivation \(D\).

Démonstration

Rappelons que la structure de \(\mathcal{O}_X\)-module sur \(\mathcal{I}\) est donnée par \(h \tau = \tilde h \tau\) (produit dans \(\mathcal{A}\)), où \(h\) est une section locale de \(\mathcal{O}_X\), où \(\tilde h\) est un relevé local de \(h\) à \(\mathcal{A}\), et où \(\tau\) est une section locale de \(\mathcal{I}\). En particulier, une fois \(s\) fixée, on peut prendre \(\tilde h = s(h)\). Pour vérifier que \(s + D\) est un homomorphisme de faisceaux d’anneaux, calculons \[\begin{eqnarray*} (s + D)(ab) & = & s(ab) + D(ab) \\ & = & s(a)s(b) + aD(b) + D(a)b \\ & = & s(a) s(b) + s(a)D(b) + D(a)s(b) \\ & = & (s(a) + D(a))(s(b) + D(b)) \end{eqnarray*}\] par la règle de Leibniz. De même, on montre que \(s + D\) est un morphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, puisque \(D\) est une \(S\)-dérivation. Réciproquement, étant donnée \(s'\), on pose \(D = s' - s\). Les détails sont omis.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{h'} \ar[r]_f & X \ar[d]^h \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme commutatif d’espaces annelés.

1. La composée du morphisme canonique \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) avec \(f_*\text{d}_{X'/S'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/S'}\) est une \(S\)-dérivation; on obtient donc un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\Omega_{X/S} \to f_*\Omega_{X'/S'}\).

2. Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \\ f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & (h')^{-1}\mathcal{O}_{S'} \ar[u] }\] induit, par les lemmes 08RR et 08RS, un morphisme canonique \(f^{-1}\Omega_{X/S} \to \Omega_{X'/S'}\).

Ces deux morphismes correspondent (par adjonction entre \(f_*\) et \(f^*\), et en utilisant \(f^*\Omega_{X/S} = f^{-1}\Omega_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\) et Faisceaux, lemme 008A) au même homomorphisme de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \[c_f : f^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{X'/S'}\] uniquement caractérisé par la propriété que \(f^*\text{d}_{X/S}(a)\) soit envoyé sur \(\text{d}_{X'/S'}(f^*a)\) pour toute section locale \(a\) de \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S'' \ar[r] & S' \ar[r] & S }\] un diagramme commutatif d’espaces annelés. Avec les notations du lemme 08RU, on a \[c_{f \circ g} = c_g \circ g^* c_f\] comme morphismes \((f \circ g)^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X''/S''}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes d’espaces annelés. Il existe alors une suite exacte canonique \[f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] dont les flèches proviennent d’applications du lemme 08RU.

Démonstration

En prenant les morphismes induits sur les fibres en \(x \in X\) et en utilisant le lemme 08TE, on obtient la suite \[\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \Omega_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}/\mathcal{O}_{S, g(f(x))}} \to \Omega_{\mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{O}_{S, g(f(x))}} \to \Omega_{\mathcal{O}_{X, x}/\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \to 0\] Il suffit de vérifier que les flèches de cette suite sont celles d’Algèbre, lemme 00RS. Cela résulte de la caractérisation des flèches dans le lemme 08RU et du fait que, via l’isomorphisme de Faisceaux, lemme 0098, on a \((f^*s)_x = s_x \otimes 1\) pour toute section locale \(s\) d’un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules.

Opérateurs différentiels d’ordre fini

Dans cette section, nous introduisons les opérateurs différentiels d’ordre fini. Nous conseillons au lecteur de consulter la section correspondante du chapitre d’algèbre commutative (Algèbre, section 09CH).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(k \geq 0\) un entier. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Un opérateur différentiel \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) d’ordre \(k\) est une application \(\mathcal{O}_1\)-linéaire telle que, pour toute section locale \(g\) de \(\mathcal{O}_2\), l’application \(s \mapsto D(gs) - gD(s)\) soit un opérateur différentiel d’ordre \(k - 1\). Dans le cas initial \(k = 0\), on définit un opérateur différentiel d’ordre \(0\) comme une application \(\mathcal{O}_2\)-linéaire.

Si \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\), alors, pour toute section locale \(g\) de \(\mathcal{O}_2\), l’application \(gD\) est encore un opérateur différentiel d’ordre \(k\). La somme de deux opérateurs différentiels d’ordre \(k\) en est encore un. Par conséquent, l’ensemble de tous ces opérateurs \[\text{Diff}^k(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un \(\Gamma(X, \mathcal{O}_2)\)-module. On a \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] La règle qui, à tout ouvert \(U \subset X\), associe le module des opérateurs différentiels \(D : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U\) d’ordre \(k\) définit un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules sur \(X\). On obtient ainsi un faisceau d’opérateurs différentiels (si nous en avons besoin, nous ajouterons ici une définition).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soient \(\mathcal{E}, \mathcal{F}, \mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Si \(D : \mathcal{E} \to \mathcal{F}\) et \(D' : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sont des opérateurs différentiels d’ordres respectifs \(k\) et \(k'\), alors \(D' \circ D\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k + k'\).

Démonstration

Soit \(g\) une section locale de \(\mathcal{O}_2\). L’application qui envoie une section locale \(x\) de \(\mathcal{E}\) sur \[D'(D(gx)) - gD'(D(x)) = D'(D(gx)) - D'(gD(x)) + D'(gD(x)) - gD'(D(x))\] est la somme de deux composées d’opérateurs différentiels d’ordre inférieur. Le lemme en résulte par récurrence sur \(k + k'\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules et soit \(k \geq 0\). Il existe un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) et un isomorphisme canonique \[\text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] fonctoriel par rapport au \(\mathcal{O}_2\)-module \(\mathcal{G}\).

Démonstration

L’existence résulte d’arguments généraux de théorie des catégories (insérer ici une référence ultérieure), mais nous donnerons aussi une construction directe, qui sera utile dans les démonstrations à venir. Nous emploierons librement les notations introduites dans la démonstration du lemme 08RM. À tout opérateur différentiel \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est associé un morphisme \(\mathcal{O}_2\)-linéaire \(L_D : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \to \mathcal{G}\) envoyant \([m]\) sur \(D(m)\). Si \(D\) est d’ordre \(0\), alors \(L_D\) annule les sections locales \[[m + m'] - [m] - [m'],\quad g_0[m] - [g_0m]\] où \(g_0\) est une section locale de \(\mathcal{O}_2\) et \(m, m'\) sont des sections locales de \(\mathcal{F}\). Si \(D\) est d’ordre \(1\), alors \(L_D\) annule les sections locales \[[m + m'] - [m] - [m'],\quad f[m] - [fm], \quad g_0g_1[m] - g_0[g_1m] - g_1[g_0m] + [g_1g_0m]\] où \(f\) est une section locale de \(\mathcal{O}_1\), où \(g_0, g_1\) sont des sections locales de \(\mathcal{O}_2\), et où \(m, m'\) sont des sections locales de \(\mathcal{F}\). Si \(D\) est d’ordre \(k\), alors \(L_D\) annule les sections locales \([m + m'] - [m] - [m']\), \(f[m] - [fm]\), ainsi que les sections locales \[g_0g_1\ldots g_k[m] - \sum g_0 \ldots \hat g_i \ldots g_k[g_im] + \ldots +(-1)^{k + 1}[g_0\ldots g_km]\] Réciproquement, si \(L : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \to \mathcal{G}\) est un morphisme \(\mathcal{O}_2\)-linéaire annulant toutes les sections locales énumérées dans la phrase précédente, alors \(m \mapsto L([m])\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\). Ainsi, \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) est le quotient de \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) par le \(\mathcal{O}_2\)-sous-module engendré par ces sections locales.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Le module \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) construit dans le lemme 0G3S est appelé le module des parties principales d’ordre \(k\) de \(\mathcal{F}\).

Remarquons que les inclusions \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] correspondent, par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P), aux surjections \[\ldots \to \mathcal{P}^2_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^0_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\]

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de préfaisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Alors \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2^\#/\mathcal{O}_1^\#}(\mathcal{F}^\#)\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto P^k_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}(\mathcal{F}(U))\).

Démonstration

On peut le démontrer exactement comme pour le faisceau des différentielles dans le lemme 08TD. Une méthode peut-être plus satisfaisante consiste à utiliser directement la propriété universelle du lemme 0G3S. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Il existe une suite exacte courte canonique \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0\] fonctorielle en \(\mathcal{F}\), appelée la suite des parties principales.

Démonstration

Cela résulte de la version en algèbre commutative (Algèbre, lemme 09CN) et des lemmes 08TD et 0G3U.

Remarque

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons donné un diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] }\] sur \(X\), ainsi qu’un \(\mathcal{B}\)-module \(\mathcal{F}\), un \(\mathcal{B}'\)-module \(\mathcal{F}'\) et un morphisme \(\mathcal{B}\)-linéaire \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\). On obtient alors un système compatible de morphismes de modules \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[u] }\] Ces morphismes sont compatibles à toute composition ultérieure de morphismes de ce type. Le moyen le plus simple de le voir consiste à utiliser la description des modules \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{M})\) par générateurs (locaux) et relations donnée dans la démonstration du lemme 0G3S; on peut aussi le déduire directement de leur propriété universelle. De plus, ces morphismes sont compatibles aux suites exactes courtes du lemme 0G3V.

Étendons maintenant notre définition aux morphismes d’espaces annelés.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules et soit \(k \geq 0\) un entier. Un opérateur différentiel d’ordre \(k\) sur \(X/S\) est un opérateur différentiel \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) relativement à \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_X\). On note \(\text{Diff}^k_{X/S}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) l’ensemble de ces opérateurs différentiels.

Le complexe de de Rham

Cette section est l’analogue d’Algèbre, section 0FKF, pour les morphismes d’espaces annelés. Nous recommandons vivement au lecteur de commencer par cette section.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Notons \(\text{d} : \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) le module des différentielles muni de sa \(\mathcal{A}\)-dérivation universelle, construit dans la section 08RL. Posons \[\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^i = \wedge^i_\mathcal{B}(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})\] pour \(i \geq 0\); c’est la \(i\)-ième puissance extérieure définie dans la section 01CF.

Définition

Dans la situation ci-dessus, le complexe de de Rham de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\) est l’unique complexe \[\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^0 \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^1 \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^2 \to \ldots\] de faisceaux de \(\mathcal{A}\)-modules dont la différentielle en degré \(0\) est \(\text{d} : \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) et dont les différentielles en degrés supérieurs satisfont la propriété suivante : [0FKN]\[\begin{equation} \text{d}\left(b_0\text{d}b_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}b_p\right) = \text{d}b_0 \wedge \text{d}b_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}b_p \end{equation}\] où \(b_0, \ldots, b_p \in \mathcal{B}(U)\) sont des sections définies sur un même ouvert \(U \subset X\).

On pourrait construire ce complexe en reprenant les arguments assez lourds d’Algèbre, section 0FKF. Rappelons plutôt que \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \Omega_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\); voir le lemme 08TD. Ainsi, \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^i\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \Omega^i_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\); voir le lemme 01CG. On peut donc définir le complexe de de Rham en faisceautisant la règle \[U \longmapsto \Omega^\bullet_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\]

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Il existe alors une identification canonique \(f^{-1}\Omega^\bullet_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \Omega^\bullet_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\) de complexes de de Rham.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : comparer avec le lemme 08RR.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Les différentielles \(\text{d} : \Omega^i_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \Omega^{i + 1}_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) sont des opérateurs différentiels d’ordre \(1\).

Démonstration

Compte tenu de la construction ci-dessus du complexe de de Rham comme faisceau associé à la règle \(U \mapsto \Omega^\bullet_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\), cela résulte d’Algèbre, lemme 0G34.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{A}' \ar[u] }\] un diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Il existe un morphisme naturel de complexes de de Rham \[\Omega^\bullet_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] En effet, en degré \(0\), c’est le morphisme \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\); en degré \(1\), c’est le morphisme \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \Omega_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\) construit dans la section 08RL; pour \(p \geq 2\), c’est le morphisme induit \(\Omega^p_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \wedge^p_\mathcal{B}(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}) \to \wedge^p_{\mathcal{B}'}(\Omega_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}) = \Omega^p_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\). La compatibilité aux différentielles résulte de leur caractérisation par la formule (0FKN).

Définition

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Le complexe de de Rham de \(f\), ou de \(X\) sur \(Y\), est le complexe \[\Omega^\bullet_{X/Y} = \Omega^\bullet_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_Y}\]

Considérons un diagramme commutatif d’espaces annelés \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{h'} \ar[r]_f & X \ar[d]^h \\ S' \ar[r]^g & S }\] On obtient alors un morphisme canonique \[\Omega^\bullet_{X/S} \to f_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\] de complexes de de Rham. En effet, le diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \\ f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & (h')^{-1}\mathcal{O}_{S'} \ar[u] }\] sur \(X'\) fournit un morphisme de complexes (voir ci-dessus) \[f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{f^{-1}\mathcal{O}_X/f^{-1}h^{-1}\mathcal{O}_S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathcal{O}_{X'}/(h')^{-1}\mathcal{O}_{S'}} = \Omega^\bullet_{X'/S'}\] (en utilisant le lemme 0FKP pour la première égalité), puis on applique l’adjonction.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Les différentielles \(\text{d} : \Omega^i_{X/Y} \to \Omega^{i + 1}_{X/Y}\) sont des opérateurs différentiels d’ordre \(1\) sur \(X/Y\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0G3Y et de la définition.

Le complexe cotangent naïf

Cette section est l’analogue d’Algèbre, section 00S0, pour les morphismes d’espaces annelés. Nous recommandons vivement au lecteur de commencer par cette section.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Dans cette section, pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) sur \(X\), on note \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\) le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\). Ici, \(\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) désigne l’algèbre de polynômes sur \(\mathcal{A}(U)\) dont les variables correspondent aux éléments de \(\mathcal{E}(U)\). On note \([e] \in \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) la variable correspondant à \(e \in \mathcal{E}(U)\). Il existe une surjection canonique de \(\mathcal{A}\)-algèbres [08TH]\[\begin{equation} \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{B},\quad [b] \longmapsto b \end{equation}\] dont on note le noyau \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}[\mathcal{B}]\). On observe immédiatement que \(\mathcal{I}\) est engendré par les sections locales \([b][b'] - [bb']\) et \([a] - a\). D’après le lemme 08TF, il existe un morphisme canonique [08TI]\[\begin{equation} \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B} \end{equation}\] dont le conoyau est canoniquement isomorphe à \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Le complexe cotangent naïf \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) est le complexe de chaînes (08TI) \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \left(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\right)\] où \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) est placé en degré \(-1\) et où \(\Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\) est placé en degré \(0\).

Cette construction possède une fonctorialité analogue à celle étudiée dans le lemme 08RS pour les modules de différentielles. Plus précisément, étant donné un diagramme commutatif [08TK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] de faisceaux d’anneaux sur \(X\), il existe un morphisme canonique \(\mathcal{B}\)-linéaire de complexes \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] En effet, les morphismes du diagramme commutatif donnent un morphisme canonique \(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{A}'[\mathcal{B}']\) qui envoie \(\mathcal{I}\) dans \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}'[\mathcal{B}'] \to \mathcal{B}')\). On obtient donc un morphisme \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2\) et un morphisme entre les modules de différentielles; ensemble, ils donnent le morphisme voulu entre les complexes cotangents naïfs. Ce morphisme est compatible aux compositions au sens suivant : étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \ar[r] & \mathcal{B}'' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}'' \ar[u] }\] de faisceaux d’anneaux, la composée \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}''/\mathcal{A}''}\] est le morphisme associé au rectangle extérieur.

On peut choisir une autre présentation de \(\mathcal{B}\) comme quotient d’une algèbre de polynômes sur \(\mathcal{A}\) et obtenir néanmoins le même objet de \(D(\mathcal{B})\). Pour l’expliquer, soit \(\mathcal{E}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\) et soit \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) un morphisme de faisceaux d’ensembles. On obtient alors un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-algèbres \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\). Si ce morphisme est surjectif, c’est-à-dire si \(\alpha(\mathcal{E})\) engendre \(\mathcal{B}\) comme \(\mathcal{A}\)-algèbre, on pose \[\NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\right)\] où \(\mathcal{J} \subset \mathcal{A}[\mathcal{E}]\) est le noyau de la surjection \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\). Voici le résultat.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \(\NL(\alpha) = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) in \(D(\mathcal{B})\).

Démonstration

Remarquons que \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL(\text{id}_\mathcal{B})\). Il suffit donc de montrer que, pour deux morphismes \(\alpha_i : \mathcal{E}_i \to \mathcal{B}\) comme ci-dessus, il existe un quasi-isomorphisme canonique \(\NL(\alpha_1) = \NL(\alpha_2)\) dans \(D(\mathcal{B})\). Pour cela, posons \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_1 \amalg \mathcal{E}_2\) et \(\alpha = \alpha_1 \amalg \alpha_2 : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\). Posons \(\mathcal{J}_i = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{B})\) et \(\mathcal{J} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B})\). On obtient des morphismes \(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{A}[\mathcal{E}]\) qui envoient \(\mathcal{J}_i\) dans \(\mathcal{J}\). On obtient donc des morphismes canoniques de complexes \[\NL(\alpha_i) \longrightarrow \NL(\alpha)\] et il suffit de montrer que ce sont des quasi-isomorphismes. Il suffit pour cela de le vérifier sur les fibres (lemme 01AG). Si \(x \in X\), la fibre de \(\NL(\alpha)\) est le complexe \(\NL(\alpha_x)\) d’Algèbre, section 00S0, associé à la présentation \(\mathcal{A}_x[\mathcal{E}_x] \to \mathcal{B}_x\) provenant du morphisme \(\alpha_x : \mathcal{E}_x \to \mathcal{B}_x\). (Certains détails sont omis; utiliser le lemme 08TE pour vérifier la compatibilité entre la formation des différentielles et le passage aux fibres.) Le résultat découle d’Algèbre, lemme 00S1.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(Y\). Alors \(f^{-1}\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser le lemme 08RR.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Pour \(x \in X\), on a \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}, x} = \NL_{\mathcal{B}_x/\mathcal{A}_x}\).

Démonstration

C’est le cas particulier du lemme 08TM correspondant à l’inclusion \(\{x\} \to X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des morphismes de faisceaux d’anneaux. Soit \(C\) le cône (Catégories dérivées, définition 014E) du morphisme de complexes \(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\). Il existe un morphisme canonique \[c : \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \longrightarrow C[-1]\] de complexes de \(\mathcal{C}\)-modules qui fournit une suite exacte canonique à six termes \[\xymatrix{ H^0(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C}) \ar[r] & H^0(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}) \ar[r] & H^0(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}) \ar[llu] }\] de faisceaux de cohomologie.

Démonstration

Pour définir le morphisme \(c\), il faut définir un morphisme \(c_1 : \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}}\) ainsi qu’une homotopie explicite entre la composée \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\] et le morphisme nul; voir Catégories dérivées, lemme 08RI. Pour \(c_1\), on utilise la fonctorialité décrite ci-dessus appliquée au diagramme évident. Pour l’homotopie, on utilise le morphisme \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}^0 \otimes_\mathcal{B} \mathcal{C} \longrightarrow \NL_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}^{-1},\quad \text{d}[b] \otimes 1 \longmapsto [\varphi(b)] - b[1]\] où \(\varphi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est le morphisme donné. Comparer avec Algèbre, remarque 07VC. Pour en déduire l’assertion sur les faisceaux de cohomologie, il suffit de montrer que \(H^0(c)\) est un isomorphisme et que \(H^{-1}(c)\) est surjectif. On peut le vérifier sur les fibres, en utilisant le lemme 0D09, puis appliquer le résultat correspondant d’algèbre commutative; voir Algèbre, lemme 00S2. Certains détails sont omis.

Le complexe cotangent naïf d’un morphisme d’espaces annelés se définit au moyen du complexe construit ci-dessus.

Définition

Le complexe cotangent naïf \(\NL_f = \NL_{X/Y}\) d’un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) est \(\NL_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_Y}\).

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^h & Y }\] d’espaces annelés, il existe un morphisme canonique \(c : g^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\). C’est le morphisme \[g^*\NL_{X/Y} = \mathcal{O}_{X'} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X} \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_Y} \longrightarrow \NL_{\mathcal{O}_{X'}/(f')^{-1}\mathcal{O}_{Y'}} = \NL_{X'/Y'}\] où la flèche provient du diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux \[\xymatrix{ g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r]_{g^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \\ g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{g^{-1}h^\sharp} \ar[u]^{g^{-1}f^\sharp} & (f')^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u]_{(f')^\sharp} }\] comme dans (08TK) ci-dessus. Étant donné un second diagramme de ce type \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y'' \ar[r] & Y' }\] la composée de \((g')^*c\) et du morphisme \(c' : (g')^*\NL_{X'/Y'} \to \NL_{X''/Y''}\) est le morphisme \((g \circ g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X''/Y''}\).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Soit \(C\) le cône du morphisme \(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y}\) de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe un morphisme canonique \[f^*\NL_{Y/Z} \to C[-1]\] qui fournit une suite exacte canonique à six termes \[\xymatrix{ H^0(f^*\NL_{Y/Z}) \ar[r] & H^0(\NL_{X/Z}) \ar[r] & H^0(\NL_{X/Y}) \ar[r] & 0 \\ H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{X/Z}) \ar[r] & H^{-1}(\NL_{X/Y}) \ar[llu] }\] de faisceaux de cohomologie.

Démonstration

Considérons les morphismes de faisceaux d’anneaux \[(g \circ f)^{-1}\mathcal{O}_Z \to f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\] et appliquons le lemme 0E1Y.