Introduction
Dans ce chapitre, nous étudions les propriétés « locales » des espaces algébriques généraux, c’est-à-dire de ceux qui ne sont pas quasi-séparés. Les espaces algébriques quasi-séparés sont étudiés dans [Kn]. Il apparaît que des phénomènes essentiellement nouveaux se produisent, notamment en ce qui concerne les points et leurs spécialisations, pour les espaces algébriques plus généraux. D’autre part, dans la plupart des résultats fondamentaux sur les espaces algébriques, il n’est pas nécessaire de se préoccuper de ces phénomènes. C’est pourquoi nous avons choisi de réunir cette matière dans un chapitre séparé, après l’exposé habituel de la théorie.
Conventions
Nous supposons une fois pour toutes que tous les schémas sont contenus dans un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tout anneau \(A\) considéré est tel que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).
Fibres universellement bornées
Nous examinons brièvement ce que signifie, pour un morphisme d’un schéma vers un espace algébrique, le fait d’avoir des fibres universellement bornées. Voir Morphismes, section 03J3 pour les définitions et résultats analogues concernant les morphismes de schémas.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), et soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(f : U \to X\) un morphisme sur \(S\). Nous dirons que les fibres de \(f\) sont universellement bornées1 s’il existe un entier \(n\) tel que, pour tout corps \(k\) et tout morphisme \(\Spec(k) \to X\), le produit fibré \(\Spec(k) \times_X U\) soit un schéma fini sur \(k\), dont le degré sur \(k\) est \(\leq n\).
Cette définition a un sens, car le produit fibré \(\Spec(k) \times_X U\) est un schéma. De plus, si \(X\) est un schéma, on retrouve la notion de Morphismes, définition 03J4 en vertu de Morphismes, lemme 03J5.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(V \to U\) un morphisme de schémas sur \(S\), et soit \(U \to X\) un morphisme de \(U\) vers \(X\). Si les fibres de \(V \to U\) et de \(U \to X\) sont universellement bornées, alors celles de \(V \to X\) le sont aussi.
Démonstration
Soit \(n\) un entier qui convient à \(V \to U\), et soit \(m\) un entier qui convient à \(U \to X\) dans la Définition 03JL. Soit \(\Spec(k) \to X\) un morphisme, où \(k\) est un corps. Considérons les morphismes \[\Spec(k) \times_X V \longrightarrow \Spec(k) \times_X U \longrightarrow \Spec(k).\] Par hypothèse, le schéma \(\Spec(k) \times_X U\) est fini de degré au plus \(m\) sur \(k\), et \(n\) borne le degré des fibres du premier morphisme. Par Morphismes, lemme 03J6, nous en déduisons que \(\Spec(k) \times_X V\) est fini sur \(k\) de degré au plus \(nm\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \to X\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme d’un schéma vers \(X\). Si les fibres de \(U \to X\) sont universellement bornées, alors celles de \(U \times_X Y \to Y\) le sont aussi.
Démonstration
Cela résulte immédiatement de la définition et des propriétés des produits fibrés. (Notons que \(U \times_X Y\) est un schéma puisque nous avons supposé \(Y \to X\) représentable, si bien que la définition s’applique.)
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(g : Y \to X\) un morphisme représentable d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : U \to X\) un morphisme d’un schéma vers \(X\). Soit \(f' : U \times_X Y \to Y\) le changement de base de \(f\). Si \[\Im(|f| : |U| \to |X|) \subset \Im(|g| : |Y| \to |X|)\] et si \(f'\) a des fibres universellement bornées, alors \(f\) a des fibres universellement bornées.
Démonstration
Soit \(n \geq 0\) un entier qui borne les degrés des produits fibrés \(\Spec(k) \times_Y (U \times_X Y)\) au sens de la Définition 03JL appliquée au morphisme \(f'\). Nous affirmons que \(n\) convient aussi à \(f\). En effet, supposons que \(x : \Spec(k) \to X\) soit un morphisme depuis le spectre d’un corps. Alors, soit \(\Spec(k) \times_X U\) est vide (et il n’y a rien à démontrer), soit \(x\) appartient à l’image de \(|f|\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4 et l’hypothèse du lemme, cela signifie qu’il existe une extension de corps \(k'/k\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & X }\] On obtient alors \[\Spec(k') \times_Y (U \times_X Y) = \Spec(k') \times_{\Spec(k)} (\Spec(k) \times_X U)\] Comme le schéma \(\Spec(k') \times_Y (U \times_X Y)\) est supposé fini de degré \(\leq n\) sur \(k'\), il en résulte que \(\Spec(k) \times_X U\) est lui aussi fini de degré \(\leq n\) sur \(k\), comme voulu. (Nous omettons quelques détails.)
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rd]_g \ar[rr]_f & & V \ar[ld]^h \\ & X & }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas. Si \(g\) a des fibres universellement bornées et si \(f\) est surjectif et plat, alors \(h\) a lui aussi des fibres universellement bornées.
Démonstration
Supposons que \(g\) ait des fibres universellement bornées et que \(f\) soit surjectif et plat. Soit \(n \geq 0\) un entier qui borne les degrés des schémas \(\Spec(k) \times_X U\) au sens de la Définition 03JL. Nous affirmons que \(n\) convient aussi à \(h\). Soit \(\Spec(k) \to X\) un morphisme du spectre d’un corps vers \(X\). Considérons le morphisme de schémas \[\Spec(k) \times_X U \longrightarrow \Spec(k) \times_X V\] Il est plat et surjectif. Par hypothèse, le schéma de gauche est fini de degré \(\leq n\) sur \(\Spec(k)\). Il résulte de Morphismes, lemme 03JB que le degré du schéma de droite est lui aussi majoré par \(n\), comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), et soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme sur \(S\). Si les fibres de \(\varphi\) sont universellement bornées, il existe un entier \(n\) tel que chaque fibre de \(|U| \to |X|\) compte au plus \(n\) éléments.
Démonstration
L’entier \(n\) de la Définition 03JL convient. En effet, choisissons \(x \in |X|\). Représentons \(x\) par un morphisme \(x : \Spec(k) \to X\). Nous obtenons alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k) \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r]^x & X }\] qui montre (au moyen de Propriétés des espaces, lemme 03H4) que l’image réciproque de \(x\) dans \(|U|\) est l’image de la flèche horizontale supérieure. Puisque \(\Spec(k) \times_X U\) est fini de degré \(\leq n\) sur \(k\), il possède au plus \(n\) points.
Conditions de finitude et points
Dans cette section, nous approfondissons la question de savoir quand des points peuvent être représentés par des monomorphismes de spectres de corps dans l’espace.
Remarque
Avant de démontrer le lemme suivant, rappelons quelques faits sur les morphismes étales de schémas :
Un morphisme étale est plat; les générisations se relèvent donc le long d’un morphisme étale (Morphismes, lemmes 02GS et 03HV).
Un morphisme étale est non ramifié; un morphisme non ramifié est localement quasi-fini; ses fibres sont donc discrètes (Morphismes, lemmes 02GV, 02V5, et 01TH).
Un morphisme étale quasi-compact est quasi-fini et possède en particulier des fibres finies (Morphismes, lemmes 01TJ et 02NH).
Un schéma étale sur un corps \(k\) est une réunion disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) (Morphismes, lemme 02GL).
Pour une étude générale des morphismes étales, voir Ḿorphismes étales, section 0257.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe une famille de schémas \(U_i\) et de morphismes étales \(\varphi_i : U_i \to X\) telle que \(\coprod \varphi_i : \coprod U_i \to X\) soit surjectif, et telle que, pour tout \(i\), la fibre de \(|U_i| \to |X|\) au-dessus de \(x\) soit finie, et
pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est finie.
Démonstration
L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Soit \(\varphi_i : U_i \to X\) une famille de morphismes étales comme en (1). Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale d’un schéma affine vers \(X\). Considérons les diagrammes de produits fibrés \[\xymatrix{ U \times_X U_i \ar[r]_-{p_i} \ar[d]_{q_i} & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ U \ar[r]^\varphi & X } \quad \quad \xymatrix{ \coprod U \times_X U_i \ar[r]_-{\coprod p_i} \ar[d]_{\coprod q_i} & \coprod U_i \ar[d]^{\coprod \varphi_i} \\ U \ar[r]^\varphi & X }\] Comme \(q_i\) est étale, il est ouvert (voir la Remarque 03II). De plus, le morphisme \(\coprod q_i\) est surjectif. Il existe donc un nombre fini d’indices \(i_1, \ldots, i_n\) et des ouverts quasi-compacts \(W_{i_j} \subset U \times_X U_{i_j}\) dont les images recouvrent \(U\). Le morphisme \(p_i\) est étale, donc localement quasi-fini (voir la remarque sur les morphismes étales ci-dessus). Nous pouvons donc appliquer Morphismes, lemme 03JA pour voir que les fibres de \(p_{i_j}|_{W_{i_j}} : W_{i_j} \to U_{i_j}\) sont finies. D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4 et l’hypothèse sur \(\varphi_i\), nous en concluons que la fibre de \(\varphi\) au-dessus de \(x\) est finie. Autrement dit, (2) est vérifiée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe un schéma \(U\), un morphisme étale \(\varphi : U \to X\), et des points \(u, u' \in U\) dont l’image est \(x\) tels que, si l’on pose \(R = U \times_X U\), la fibre de \[|R| \to |U| \times_{|X|} |U|\] au-dessus de \((u, u')\) soit finie,
pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\) et tous points \(u, u' \in U\) dont l’image est \(x\), si l’on pose \(R = U \times_X U\), la fibre de \[|R| \to |U| \times_{|X|} |U|\] au-dessus de \((u, u')\) est finie,
il existe un morphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\), tel que les projections \(\Spec(k) \times_X \Spec(k) \to \Spec(k)\) soient étales et quasi-compactes, et
il existe un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\).
Démonstration
Supposons (1), c’est-à-dire soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale d’un schéma vers \(X\), et soient \(u, u'\) des points de \(U\) situés au-dessus de \(x\) tels que la fibre de \(|R| \to |U| \times_{|X|} |U|\) au-dessus de \((u, u')\) soit un ensemble fini. Dans cette démonstration, nous considérons un point \(u = \Spec(\kappa(u))\) comme un schéma. Notons que \(u \to U\), \(u' \to U\) sont des monomorphismes (voir Schémas, lemme 01L6); ainsi, \(u \times_X u' \to R = U \times_X U\) est un monomorphisme. Dans ce langage, l’hypothèse signifie exactement que \(u \times_X u'\) est un schéma dont l’espace topologique sous-jacent possède un nombre fini de points. Soit \(\psi : W \to X\) un morphisme étale d’un schéma vers \(X\). Soient \(w, w' \in W\) des points de \(W\) dont l’image est \(x\). Nous devons montrer que \(w \times_X w'\) est un schéma dont l’espace topologique sous-jacent possède un nombre fini de points. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ W \times_X U \ar[r]_p \ar[d]_q & U \ar[d]^\varphi \\ W \ar[r]^\psi & X }\] Comme \(x\) est l’image de \(u\) et de \(u'\), nous pouvons choisir des points \(\tilde w, \tilde w'\) de \(W \times_X U\) tels que \(q(\tilde w) = w\), \(q(\tilde w') = w'\), \(u = p(\tilde w)\) et \(u' = p(\tilde w')\); voir Propriétés des espaces, lemme 03H4. Comme \(p\) et \(q\) sont étales, les extensions de corps \(\kappa(w) \subset \kappa(\tilde w) \supset \kappa(u)\) et \(\kappa(w') \subset \kappa(\tilde w') \supset \kappa(u')\) sont finies séparables; voir la Remarque 03II. Nous obtenons alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ w \times_X w' \ar[d] & \tilde w \times_X \tilde w' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & u \times_X u' \ar[d] \\ w \times_X w' & \tilde w \times_S \tilde w' \ar[l] \ar[r] & u \times_S u' }\] où les carrés sont des carrés de produits fibrés. Les morphismes horizontaux inférieurs sont étales et quasi-compacts, car tout schéma de la forme \(\Spec(k) \times_S \Spec(k')\) est affine, et d’après nos observations ci-dessus sur les extensions de corps. Nous voyons donc que les flèches horizontales supérieures sont étales et quasi-compactes, et qu’elles ont par conséquent des fibres finies. Nous avons vu plus haut que \(|u \times_X u'|\) est fini; nous en concluons que \(|w \times_X w'|\) est fini. Autrement dit, (2) est vérifiée.
Supposons (2). Soit \(U \to X\) un morphisme étale d’un schéma \(U\) tel que \(x\) appartienne à l’image de \(|U| \to |X|\). Soit \(u \in U\) un point dont l’image est \(x\). Nous avons alors vu au paragraphe précédent que \(u = \Spec(\kappa(u)) \to X\) a la propriété que \(u \times_X u\) possède un espace topologique sous-jacent fini. D’autre part, les projections \(u \times_X u \to u\) sont les composés \[u \times_X u \longrightarrow u \times_X U \longrightarrow u \times_X X = u,\] c’est-à-dire les composés d’un monomorphisme (le changement de base du monomorphisme \(u \to U\)) et d’un morphisme étale (le changement de base du morphisme étale \(U \to X\)). Ainsi, \(u \times_X U\) est une réunion disjointe de spectres de corps qui sont des extensions finies séparables de \(\kappa(u)\) (voir la Remarque 03II). Puisque \(u \times_X u\) est fini, son image dans \(u \times_X U\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps qui sont des extensions finies séparables de \(\kappa(u)\). Par Schémas, lemme 03DP, nous en concluons que \(u \times_X u\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps qui sont des extensions finies séparables de \(\kappa(u)\). Autrement dit, nous voyons que \(u \times_X u \to u\) est quasi-compact et étale. Cela signifie que (3) est vérifiée.
Démontrons que (3) implique (4). Soit \(\Spec(k) \to X\) un morphisme du spectre d’un corps vers \(X\), dans la classe d’équivalence de \(x\), tel que les deux projections \(t, s : R = \Spec(k) \times_X \Spec(k) \to \Spec(k)\) soient quasi-compactes et étales. Cela signifie en particulier que \(R\) est une relation d’équivalence étale sur \(\Spec(k)\). Par Espaces, théorème 02WW, nous savons que le faisceau quotient \(X' = \Spec(k)/R\) est un espace algébrique. Par Groupoïdes, lemme 02VH, le morphisme \(X' \to X\) est un monomorphisme. Comme \(s, t\) sont quasi-compacts, nous voyons que \(R\) est quasi-compact; Propriétés des espaces, lemme 03DZ s’applique donc à \(X'\), et nous voyons que \(X' = \Spec(k')\) pour un certain corps \(k'\). Nous obtenons ainsi une factorisation \[\Spec(k) \longrightarrow \Spec(k') \longrightarrow X\] qui montre que \(\Spec(k') \to X\) est un monomorphisme dont l’image est \(x \in |X|\). Autrement dit, (4) est vérifiée.
Enfin, démontrons que (4) implique (1). Soit \(\Spec(k) \to X\) un monomorphisme, où \(k\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’un schéma \(U\) vers \(X\). Soit \(u \in U\) un point au-dessus de \(x\). Puisque \(\Spec(k) \times_X u\) est non vide et que \(\Spec(k) \times_X u \to u\) est un monomorphisme, nous en concluons que \(\Spec(k) \times_X u = u\) (voir Schémas, lemme 03DP). Le morphisme \(u \to U \to X\) se factorise donc par \(\Spec(k) \to X\); voici le diagramme \[\xymatrix{ u \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & X }\] Comme la flèche verticale de droite est étale, il en résulte que \(\kappa(u)/k\) est une extension finie séparable. Par conséquent, \[u \times_X u = u \times_{\Spec(k)} u\] est un schéma fini, et le résultat découle de l’analyse de la propriété (1) faite au premier paragraphe de cette démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Soit \(U\) un schéma et soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(x\) appartient à l’image de \(|U| \to |X|\) et, si l’on pose \(R = U \times_X U\), les fibres des deux applications \[|U| \longrightarrow |X| \quad\text{et}\quad |R| \longrightarrow |X|\] au-dessus de \(x\) sont finies,
il existe un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\), et le produit fibré \(\Spec(k) \times_X U\) est un schéma fini non vide sur \(k\).
Démonstration
Supposons (1). Cette condition implique clairement la première condition du Lemme 03JU; nous obtenons donc un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\) dans la classe de \(x\). En prenant le produit fibré, nous voyons que \(\Spec(k) \times_X U \to \Spec(k)\) est un schéma étale sur \(\Spec(k)\) ayant un nombre fini de points, donc un schéma fini non vide sur \(k\), c’est-à-dire que (2) est vérifiée.
Supposons (2). Par hypothèse, \(x\) appartient à l’image de \(|U| \to |X|\). La finitude de la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est claire, puisque cette fibre est égale à \(|\Spec(k) \times_X U|\) d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. La finitude de la fibre de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est également claire, puisqu’elle est égale à l’ensemble sous-jacent au schéma \[(\Spec(k) \times_X U) \times_{\Spec(k)} (\Spec(k) \times_X U)\] qui est fini sur \(k\). Ainsi, (1) est vérifiée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), si l’on pose \(R = U \times_X U\), les fibres des deux applications \[|U| \longrightarrow |X| \quad\text{et}\quad |R| \longrightarrow |X|\] au-dessus de \(x\) sont finies,
il existe des schémas \(U_i\) et des morphismes étales \(U_i \to X\) tels que \(\coprod U_i \to X\) soit surjectif et que, pour tout \(i\), si l’on pose \(R_i = U_i \times_X U_i\), les fibres des deux applications \[|U_i| \longrightarrow |X| \quad\text{et}\quad |R_i| \longrightarrow |X|\] au-dessus de \(x\) soient finies,
il existe un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\), et, pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), le produit fibré \(\Spec(k) \times_X U\) est un schéma fini sur \(k\),
il existe un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps dans la classe d’équivalence de \(x\),
il existe un morphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps dans la classe d’équivalence de \(x\), et
tout morphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps dans la classe d’équivalence de \(x\), est quasi-compact.
Démonstration
L’équivalence de (1) et (3) résulte de l’application du Lemme 040U à tout morphisme étale \(U \to X\) avec \(U\) affine. Il est clair que (3) implique (2). Supposons que \(U_i \to X\) et \(R_i\) soient comme en (2). Le Lemme 03JS nous permet de conclure que, pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est finie. Écrivons cette fibre \(\{u_1, \ldots, u_n\}\). Comme la condition (1) du Lemme 03JU s’applique à \(U_i \to X\) pour un certain \(i\) tel que \(x\) appartienne à l’image de \(|U_i| \to |X|\), nous voyons que la fibre de \(|R = U \times_X U| \to |U| \times_{|X|} |U|\) est finie au-dessus de \((u_a, u_b)\), où \(a, b \in \{1, \ldots, n\}\). La fibre de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est donc finie. Nous voyons ainsi que (1) est vérifiée. À ce stade, nous savons que (1), (2) et (3) sont équivalentes.
Si (4) est vérifiée, alors, pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), le schéma \(\Spec(k) \times_X U\) est d’une part étale sur \(k\) (donc une réunion disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\), d’après la Remarque 03II) et d’autre part quasi-compact sur \(U\) (donc quasi-compact). Nous voyons ainsi que (3) est vérifiée. Réciproquement, si \(U_i \to X\) est comme en (2) et si \(\Spec(k) \to X\) est un monomorphisme comme en (3), alors \[\coprod \Spec(k) \times_X U_i \longrightarrow \coprod U_i\] est quasi-compact (car, au-dessus de chaque \(U_i\), nous voyons que \(\Spec(k) \times_X U_i\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps). Ainsi, \(\Spec(k) \to X\) est quasi-compact d’après Morphismes d’espaces, lemme 03KG.
Il est immédiat que (4) implique (5). Réciproquement, soit \(\Spec(k) \to X\) un morphisme quasi-compact dans la classe d’équivalence de \(x\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale avec \(U\) affine. Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & X }\] Alors \(F \to U\) est quasi-compact, donc \(F\) est quasi-compact. D’autre part, \(F \to \Spec(k)\) est étale; ainsi, \(F\) est une réunion disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) (Remarque 03II). Comme l’image de \(|F| \to |U|\) est la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) (Propriétés des espaces, lemme 03H4), nous en concluons que la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est finie. Le schéma \(F \times_{\Spec(k)} F\) est aussi une réunion finie de spectres de corps, car il est lui aussi quasi-compact et étale sur \(\Spec(k)\). Il existe un monomorphisme \(F \times_X F \to F \times_{\Spec(k)} F\); par conséquent, \(F \times_X F\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps (Schémas, lemme 03DP). L’image de \(F \times_X F \to U \times_X U = R\) est donc finie. Comme cette image est la fibre de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, nous en concluons que (1) est vérifiée. À ce stade, nous savons que (1) – (5) sont équivalentes.
Il est clair que (6) implique (5). Réciproquement, supposons que \(\Spec(k) \to X\) soit comme en (4) et soit \(\Spec(k') \to X\) un autre morphisme, où \(k'\) est un corps dans la classe d’équivalence de \(x\). Par Propriétés des espaces, lemme 0H2X, nous avons une factorisation \(\Spec(k') \to \Spec(k) \to X\) du morphisme donné. C’est un composé de morphismes quasi-compacts, donc un morphisme quasi-compact (Morphismes d’espaces, lemme 03HG), comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe des schémas \(U_i\) et des morphismes étales \(U_i \to X\) tels que \(\coprod U_i \to X\) soit surjectif et que chaque \(U_i \to X\) ait des fibres universellement bornées, et
pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), les fibres de \(U \to X\) sont universellement bornées.
Démonstration
L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Supposons (1). Soit \((\varphi_i : U_i \to X)_{i \in I}\) une famille de morphismes étales de schémas vers \(X\), qui recouvre \(X\), telle que chaque \(\varphi_i\) ait des fibres universellement bornées. Soit \(\psi : U \to X\) un morphisme étale d’un schéma affine vers \(X\). Pour tout \(i\), considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ U \times_X U_i \ar[r]_{p_i} \ar[d]_{q_i} & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ U \ar[r]^\psi & X }\] Comme \(q_i\) est étale, il est ouvert (voir la Remarque 03II). De plus, nous avons \(U = \bigcup \Im(q_i)\), puisque la famille \((\varphi_i)_{i \in I}\) est surjective. Comme \(U\) est affine, donc quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini d’indices \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des ouverts quasi-compacts \(W_j \subset U \times_X U_{i_j}\) tels que \(U = \bigcup q_{i_j}(W_j)\). Le morphisme \(p_{i_j}\) est étale, donc localement quasi-fini (voir la remarque sur les morphismes étales ci-dessus). Nous pouvons donc appliquer Morphismes, lemme 03JA pour voir que les fibres de \(p_{i_j}|_{W_j} : W_j \to U_{i_j}\) sont universellement bornées. Par le Lemme 03JM, nous voyons donc que les fibres de \(W_j \to X\) sont universellement bornées. Ainsi, \(\coprod_{j = 1, \ldots, n} W_j \to X\) a lui aussi des fibres universellement bornées. Comme \(\coprod_{j = 1, \ldots, n} W_j \to X\) se factorise par le morphisme étale surjectif \(\coprod q_{i_j}|_{W_j} : \coprod_{j = 1, \ldots, n} W_j \to U\), nous voyons que les fibres de \(U \to X\) sont universellement bornées d’après le Lemme 03JP. Autrement dit, (2) est vérifiée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe un recouvrement de Zariski \(X = \bigcup X_i\) et, pour chaque \(i\), un schéma \(U_i\) ainsi qu’un morphisme étale surjectif quasi-compact \(U_i \to X_i\), et
il existe des schémas \(U_i\) et des morphismes étales \(U_i \to X\) tels que les projections \(U_i \times_X U_i \to U_i\) soient quasi-compactes et que \(\coprod U_i \to X\) soit surjectif.
Démonstration
Si (1) est vérifiée, alors les morphismes \(U_i \to X_i \to X\) sont étales (combiner Morphismes, lemme 02GN et Espaces, lemmes 02WK et 02WJ ). De plus, puisque \(U_i \times_X U_i = U_i \times_{X_i} U_i\), les deux projections \(U_i \times_X U_i \to U_i\) sont quasi-compactes.
Si (2) est vérifiée, soit \(X_i \subset X\) le sous-espace ouvert correspondant à l’image de l’application ouverte \(|U_i| \to |X|\); voir Propriétés des espaces, lemme 06NF. Les morphismes \(U_i \to X_i\) sont surjectifs. Ainsi, \(U_i \to X_i\) est étale surjectif, et les projections \(U_i \times_{X_i} U_i \to U_i\) sont quasi-compactes, car \(U_i \times_{X_i} U_i = U_i \times_X U_i\). Par conséquent, d’après Espaces, lemme 02WZ, les morphismes \(U_i \to X_i\) sont quasi-compacts.
Conditions sur les espaces algébriques
Dans cette section, nous étudions les relations entre diverses conditions naturelles sur les espaces algébriques rencontrées plus haut. Veuillez lire la section 03I7 pour vous faire une idée du sens de ces conditions.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Considérons les conditions suivantes sur \(X\) :
\((\alpha)\) Pour tout \(x \in |X|\), les conditions équivalentes du Lemme 03JS sont vérifiées.
\((\beta)\) Pour tout \(x \in |X|\), les conditions équivalentes du Lemme 03JU sont vérifiées.
\((\gamma)\) Pour tout \(x \in |X|\), les conditions équivalentes du Lemme 03JV sont vérifiées.
\((\delta)\) Les conditions équivalentes du Lemme 03JT sont vérifiées.
\((\epsilon)\) Les conditions équivalentes du Lemme 03IH sont vérifiées.
\((\zeta)\) L’espace \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski.
\((\eta)\) L’espace \(X\) est quasi-séparé.
\((\theta)\) L’espace \(X\) est représentable, c’est-à-dire que \(X\) est un schéma.
\((\iota)\) L’espace \(X\) est un schéma quasi-séparé.
Nous avons \[\xymatrix{ & (\theta) \ar@{=>}[rd] & & & & \\ (\iota) \ar@{=>}[ru] \ar@{=>}[rd] & & (\zeta) \ar@{=>}[r] & (\epsilon) \ar@{=>}[r] & (\delta) \ar@{=>}[r] & (\gamma) \ar@{<=>}[r] & (\alpha) + (\beta) \\ & (\eta) \ar@{=>}[ru] & & & & }\]
Démonstration
L’implication \((\gamma) \Leftrightarrow (\alpha) + (\beta)\) est immédiate. Les implications du losange de gauche résultent clairement des définitions.
Supposons \((\zeta)\), c’est-à-dire que \(X\) soit localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski. Alors \((\epsilon)\) est vérifiée d’après Propriétés des espaces, lemme 03W7.
Supposons \((\epsilon)\). D’après le Lemme 03IH, il existe un recouvrement ouvert de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que, pour chaque \(i\), il existe un schéma \(U_i\) et un morphisme étale surjectif quasi-compact \(U_i \to X_i\). Fixons un \(i\) et un sous-schéma ouvert affine \(W \subset U_i\). Il suffit de montrer que \(W \to X\) a des fibres universellement bornées, puisque la famille de tous ces morphismes \(W \to X\) recouvre alors \(X\). Pour cela, considérons le diagramme \[\xymatrix{ W \times_X U_i \ar[r]_-p \ar[d]_q & U_i \ar[d] \\ W \ar[r] & X }\] Puisque \(W \to X\) se factorise par \(X_i\), nous voyons que \(W \times_X U_i = W \times_{X_i} U_i\); par conséquent, \(q\) est quasi-compact. Comme \(W\) est affine, il en résulte que le schéma \(W \times_X U_i\) est quasi-compact. Nous pouvons donc appliquer Morphismes, lemme 03JA, et nous concluons que \(p\) a des fibres universellement bornées. Du Lemme 03JO, nous concluons que \(W \to X\) a lui aussi des fibres universellement bornées.
Supposons \((\delta)\). Soit \(U\) un schéma affine, et soit \(U \to X\) un morphisme étale. Par hypothèse, les fibres du morphisme \(U \to X\) sont universellement bornées. Il en va donc de même des fibres des deux projections \(R = U \times_X U \to U\); voir le Lemme 03JN. Et, d’après le Lemme 03JM, les fibres de \(R \to X\) sont elles aussi universellement bornées. Par conséquent, pour tout \(x \in X\), les fibres de \(|U| \to |X|\) et de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) sont finies; voir le Lemme 03JQ. Autrement dit, les conditions équivalentes du Lemme 03JV sont vérifiées. Cela prouve \((\delta) \Rightarrow (\gamma)\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) l’une des propriétés \((\alpha)\), \((\beta)\), \((\gamma)\), \((\delta)\), \((\epsilon)\), \((\zeta)\) ou \((\theta)\) des espaces algébriques énumérées dans le Lemme 03JX. Alors, si \(X\) est un espace algébrique sur \(S\) et si \(X = \bigcup X_i\) est un recouvrement ouvert de Zariski tel que chaque \(X_i\) possède \(\mathcal{P}\), alors \(X\) possède \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), et soit \(X = \bigcup X_i\) un recouvrement ouvert de Zariski tel que chaque \(X_i\) possède \(\mathcal{P}\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\alpha)\). La condition \((\alpha)\) pour \(X_i\) signifie que, pour tout \(x \in |X_i|\), tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(\varphi : U \to X_i\), la fibre de \(\varphi : |U| \to |X_i|\) au-dessus de \(x\) est finie. Considérons \(x \in X\), un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\). Puisque \(X = \bigcup X_i\) est un recouvrement ouvert de Zariski, il existe un recouvrement ouvert affine fini \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) tel que chaque \(U_j \to X\) se factorise par un certain \(X_{i_j}\). Par hypothèse, les fibres de \(|U_j | \to |X_{i_j}|\) au-dessus de \(x\) sont finies pour \(j = 1, \ldots, n\). Cela signifie clairement que la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est finie. Ceci prouve le résultat pour \((\alpha)\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\beta)\). La condition \((\beta)\) pour \(X_i\) signifie que tout \(x \in |X_i|\) est représenté par un monomorphisme du spectre d’un corps vers \(X_i\). Il en va donc de même pour \(X\), puisque \(X_i \to X\) est un monomorphisme et que \(X = \bigcup X_i\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\gamma)\). Notons que \((\gamma) = (\alpha) + (\beta)\) d’après le Lemme 03JX; le lemme pour \((\gamma)\) résulte donc des cas traités ci-dessus.
Le cas \(\mathcal{P} = (\delta)\). La condition \((\delta)\) pour \(X_i\) signifie qu’il existe des schémas \(U_{ij}\) et des morphismes étales \(U_{ij} \to X_i\) à fibres universellement bornées qui recouvrent \(X_i\). Ces schémas fournissent aussi un morphisme étale surjectif \(\coprod U_{ij} \to X\), et \(U_{ij} \to X\) a encore des fibres universellement bornées.
Le cas \(\mathcal{P} = (\epsilon)\). La condition \((\epsilon)\) pour \(X_i\) signifie que l’on peut trouver un ensemble \(J_i\) et des morphismes \(\varphi_{ij} : U_{ij} \to X_i\) tels que chaque \(\varphi_{ij}\) soit étale, que les deux projections \(U_{ij} \times_{X_i} U_{ij} \to U_{ij}\) soient quasi-compactes et que \(\coprod_{j \in J_i} U_{ij} \to X_i\) soit surjectif. Dans ce cas, les composés \(U_{ij} \to X_i \to X\) sont étales (combiner Morphismes, lemmes 02GN et 02GP et Espaces, lemmes 02WK et 02WJ ). Comme \(X_i \subset X\) est un sous-espace, nous voyons que \(U_{ij} \times_{X_i} U_{ij} = U_{ij} \times_X U_{ij}\); la condition sur les produits fibrés est donc préservée. Et il est clair que \(\coprod_{i, j} U_{ij} \to X\) est surjectif. Ainsi, \(X\) satisfait \((\epsilon)\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\zeta)\). La condition \((\zeta)\) pour \(X_i\) signifie que \(X_i\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski. Il est immédiat que \(X\) est alors localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski.
Pour \((\theta)\), voir Propriétés des espaces, lemme 03JH.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) l’une des propriétés \((\beta)\), \((\gamma)\), \((\delta)\), \((\epsilon)\) ou \((\theta)\) des espaces algébriques énumérées dans le Lemme 03JX. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(X \to Y\) un morphisme représentable. Si \(Y\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), il en est de même de \(X\).
Démonstration
Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme représentable d’espaces algébriques et que \(Y\) possède \(\mathcal{P}\). Soit \(x \in |X|\), et posons \(y = f(x) \in |Y|\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\beta)\). La condition \((\beta)\) pour \(Y\) signifie qu’il existe un monomorphisme \(\Spec(k) \to Y\) représentant \(y\). Le produit fibré \(X_y = \Spec(k) \times_Y X\) est un schéma, et \(x\) correspond à un point de \(X_y\), c’est-à-dire à un monomorphisme \(\Spec(k') \to X_y\). Comme \(X_y \to X\) est lui aussi un monomorphisme, nous voyons que \(x\) est représenté par le monomorphisme \(\Spec(k') \to X_y \to X\). Autrement dit, \((\beta)\) est vérifiée pour \(X\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\gamma)\). Puisque \((\gamma) \Rightarrow (\beta)\), nous avons vu au paragraphe précédent que \(y\) et \(x\) peuvent être représentés par des monomorphismes comme dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r]_-x \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r]^-y & Y }\] De plus, par définition de la propriété \((\gamma)\) au moyen du Lemme 03JV (2), il existe des schémas \(V_i\) et des morphismes étales \(V_i \to Y\) tels que \(\coprod V_i \to Y\) soit surjectif et que, pour chaque \(i\), en posant \(R_i = V_i \times_Y V_i\), les fibres des deux applications \[|V_i| \longrightarrow |Y| \quad\text{et}\quad |R_i| \longrightarrow |Y|\] au-dessus de \(y\) soient finies. Cela signifie que les schémas \((V_i)_y\) et \((R_i)_y\) sont des schémas finis sur \(y = \Spec(k)\). Comme \(X \to Y\) est représentable, les produits fibrés \(U_i = V_i \times_Y X\) sont des schémas. Les morphismes \(U_i \to X\) sont étales, et \(\coprod U_i \to X\) est surjectif. Enfin, pour chaque \(i\), nous avons \[(U_i)_x = (V_i \times_Y X)_x = (V_i)_y \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\] et \[(U_i \times_X U_i)_x = \left((V_i \times_Y X) \times_X (V_i \times_Y X)\right)_x = (R_i)_y \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\] de sorte que ces schémas sont finis sur \(k'\), comme changements de base des schémas finis \((V_i)_y\) et \((R_i)_y\). Il s’ensuit que \((\gamma)\) est vérifiée pour \(X\), de nouveau par la seconde condition du Lemme 03JV.
Le cas \(\mathcal{P} = (\delta)\). Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, où \(V\) est un schéma affine. Puisque \(Y\) possède la propriété \((\delta)\), ce morphisme a des fibres universellement bornées. D’après le Lemme 03JN, le changement de base \(V \times_Y X \to X\) a lui aussi des fibres universellement bornées. La première partie du Lemme 03JT s’applique donc, et nous voyons que \(X\) possède lui aussi la propriété \((\delta)\).
Le cas \(\mathcal{P} = (\epsilon)\). Nous utiliserons à plusieurs reprises Espaces, lemme 02WL. Soient \(V_i \to Y\) comme dans le Lemme 03IH (2). Posons \(U_i = X \times_Y V_i\). Les morphismes \(U_i \to X\) sont étales, et \(\coprod U_i \to X\) est surjectif. Puisque \(U_i \times_X U_i = X \times_Y (V_i \times_Y V_i)\), nous voyons que les projections \(U_i \times_X U_i \to U_i\) sont les changements de base des projections \(V_i \times_Y V_i \to V_i\), et sont donc elles aussi quasi-compactes. Ainsi, \(X\) satisfait la condition (2) du Lemme 03IH.
Le cas \(\mathcal{P} = (\theta)\). Dans ce cas, le résultat est Catégories, lemme 03KC.
Espaces algébriques raisonnables et décents
Dans le Lemme 03JX, nous avons rencontré plusieurs conditions sur les espaces algébriques liées au comportement des morphismes étales de schémas affines vers \(X\) et à l’existence de recouvrements étales particuliers de \(X\) par des schémas. Nous récapitulons ici les différents types de conditions : \[\boxed{ \begin{matrix} (\alpha) & \text{les fibres des morphismes étales issus d'affines sont finies} \\ (\beta) & \text{les points proviennent de monomorphismes de spectres de corps} \\ (\gamma) & \text{les points proviennent de monomorphismes quasi-compacts de spectres de corps} \\ (\delta) & \text{les fibres des morphismes étales issus d'affines sont universellement bornées} \\ (\epsilon) & \text{recouvrement par des morphismes étales issus de schémas, quasi-compacts sur leur image} \end{matrix} }\]
Les conditions de la définition suivante ne sont pas exactement des conditions sur la diagonale de \(X\), mais ce sont, en un certain sens, des conditions de séparation sur \(X\).
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Nous disons que \(X\) est décent si, pour tout point \(x \in X\), les conditions équivalentes du Lemme 03JV sont vérifiées, autrement dit si la propriété \((\gamma)\) du Lemme 03JX est vérifiée.
Nous disons que \(X\) est raisonnable si les conditions équivalentes du Lemme 03JT sont vérifiées, autrement dit si la propriété \((\delta)\) du Lemme 03JX est vérifiée.
Nous disons que \(X\) est très raisonnable si les conditions équivalentes du Lemme 03IH sont vérifiées, c’est-à-dire si la propriété \((\epsilon)\) du Lemme 03JX est vérifiée.
Nous avons les implications suivantes entre ces conditions sur les espaces algébriques : \[\xymatrix{ \text{représentable} \ar@{=>}[rd] & & & \\ & \text{très raisonnable} \ar@{=>}[r] & \text{raisonnable} \ar@{=>}[r] & \text{décent} \\ \text{quasi-séparé} \ar@{=>}[ru] & & & }\] La notion d’espace algébrique très raisonnable est obsolète. Elle a été introduite parce que cette hypothèse était nécessaire pour démontrer certains résultats qui le sont maintenant pour la classe des espaces décents. La classe des espaces décents est la plus grande classe d’espaces \(X\) pour lesquels on dispose d’une bonne relation entre la topologie de \(|X|\) et les propriétés de \(X\) lui-même.
Exemple
L’espace algébrique \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z}\) construit dans Espaces, exemple 02Z7 n’est pas décent, car son “point générique” ne peut pas être représenté par un monomorphisme du spectre d’un corps.
Remarque
Les espaces algébriques raisonnables sont techniquement plus faciles à manier que les espaces algébriques très raisonnables. Par exemple, si \(X \to Y\) est un morphisme quasi-compact, étale et surjectif d’espaces algébriques et si \(X\) est raisonnable, alors \(Y\) l’est aussi; voir le Lemme 03L2. Mais nous ne savons pas si cela reste vrai pour la propriété “très raisonnable”. Nous donnons plus bas une autre propriété technique que possèdent les espaces algébriques raisonnables.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable quasi-compact sur \(S\). Il existe alors un système inductif filtrant d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés \(X_i\) tel que \(X = \colim_i X_i\) (la colimite étant prise dans la catégorie des faisceaux). De plus, on peut faire en sorte que
pour tout schéma quasi-compact \(T\) sur \(S\), on ait \(\colim X_i(T) = X(T)\),
les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) du système et les coprojections \(X_i \to X\) soient surjectifs et étales, et
si \(X\) est un schéma, les espaces algébriques \(X_i\) soient des schémas, et les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et les coprojections \(X_i \to X\) soient des isomorphismes locaux.
Démonstration
Esquissons la démonstration. D’après Propriétés des espaces, lemme 03H6, nous avons \(X = U/R\), avec \(U\) affine. Dans ce cas, être raisonnable signifie que \(U \to X\) est universellement borné. Il existe donc un entier \(N\) tel que les “fibres” de \(U \to X\) soient de degré au plus \(N\); voir la Définition 03JL. Désignons par \(s, t : R \to U\) et \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) les applications structurales du groupoïde.
Affirmation : pour tout ouvert quasi-compact \(A \subset R\), il existe un ouvert \(R' \subset R\) tel que
\(A \subset R'\),
\(R'\) soit quasi-compact, et
\((U, R', s|_{R'}, t|_{R'}, c|_{R' \times_{s, U, t} R'})\) soit un groupoïde en schémas.
Notons que le morphisme \(e : U \to R\) est ouvert, puisqu’il est une section du morphisme étale \(s : R \to U\); voir Ḿorphismes étales, Proposition 024T. De plus, \(U\) est affine, donc quasi-compact. Nous pouvons ainsi remplacer \(A\) par \(A \cup e(U) \subset R\) et supposer que \(A\) contient \(e(U)\). Définissons ensuite par récurrence \(A^1 = A\) et \[A^n = c(A^{n - 1} \times_{s, U, t} A) \subset R\] pour \(n \geq 2\). Un raisonnement par récurrence montre que \(A^n\) est quasi-compact pour tout \(n \geq 2\), comme image du produit fibré quasi-compact \(A^{n - 1} \times_{s, U, t} A\). Si \(k\) est un corps algébriquement clos sur \(S\) et si nous considérons les points à valeurs dans \(k\), alors \[A^n(k) = \left\{(u, u') \in U(k) \times U(k) : \begin{matrix} \text{il existe } u = u_1, u_2, \ldots, u_{n + 1} = u' \in U(k) \text{ tels que} \\ (u_i , u_{i + 1}) \in A \text{ pour tout }i = 1, \ldots, n. \end{matrix} \right\}\] Mais, comme les fibres de \(U(k) \to X(k)\) sont de cardinal au plus \(N\), dès que \(n > N\), un terme se répète dans la suite ci-dessus et nous pouvons la raccourcir. Cela prouve que \(A^N = A^n\) pour tout \(n \geq N\). Il en résulte que \(R' = A^N\) fournit le groupoïde en schémas \((U, R', s|_{R'}, t|_{R'}, c|_{R' \times_{s, U, t} R'})\), ce qui démontre l’affirmation.
Considérons le morphisme de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) \[\colim_{R' \subset R} U/R' \longrightarrow U/R\] où \(R' \subset R\) parcourt les sous-schémas ouverts quasi-compacts de \(R\) qui définissent des relations d’équivalence étales comme ci-dessus. Chacun des quotients \(U/R'\) est un espace algébrique (voir Espaces, théorème 02WW). Comme \(R'\) est quasi-compact et \(U\) affine, le morphisme \(R' \to U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U\) est quasi-compact; par conséquent, \(U/R'\) est quasi-séparé. Enfin, si \(T\) est un schéma quasi-compact, alors \[\colim_{R' \subset R} U(T)/R'(T) \longrightarrow U(T)/R(T)\] est une bijection, car tout morphisme de \(T\) dans \(R\) se factorise par l’une des sous-relations ouvertes \(R'\) grâce à l’affirmation ci-dessus. Cela implique clairement que la colimite des faisceaux \(U/R'\) est \(U/R\). Autrement dit, l’espace algébrique \(X = U/R\) est la colimite des espaces algébriques quasi-séparés \(U/R'\).
Les propriétés (1) et (2) résultent de la discussion précédente. Si \(X\) est un schéma, choisir pour \(U\) une réunion disjointe finie d’ouverts affines de \(X\) donne (3). Nous omettons les détails.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(X \to Y\) un morphisme représentable. Si \(Y\) est décent (resp. raisonnable), alors \(X\) l’est aussi.
Démonstration
C’est une reformulation du Lemme 03KF.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Y\) est décent, resp. raisonnable, alors \(X\) l’est aussi.
Démonstration
Soit \(U\) un schéma affine et \(U \to X\) un morphisme étale. Posons \(R = U \times_X U\) et \(R' = U \times_Y U\). Notons que \(R \to R'\) est un monomorphisme.
Soit \(x \in |X|\). Pour montrer que \(X\) est décent, nous devons montrer que les fibres de \(|U| \to |X|\) et de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) sont finies. Mais si \(Y\) est décent, les fibres de \(|U| \to |Y|\) et de \(|R'| \to |Y|\) sont finies. D’où le résultat pour “décent”.
Pour montrer que \(X\) est raisonnable, nous devons montrer que les fibres de \(U \to X\) sont universellement bornées. Or, si \(Y\) est raisonnable, les fibres de \(U \to Y\) sont universellement bornées, ce qui implique immédiatement la même propriété pour les fibres de \(U \to X\). D’où le résultat pour “raisonnable”.
Points et spécialisations
Il existe un morphisme étale d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) et une spécialisation non triviale entre des points d’une fibre de \(|f| : |X| \to |Y|\); voir Exemples, lemme 06UK. Si la source du morphisme est un schéma, on peut exclure ce phénomène en imposant la condition (\(\alpha\)) à \(Y\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale d’un schéma vers \(X\). Supposons que \(u, u' \in |U|\) aient pour image le même point \(x\) de \(|X|\) et que \(u' \leadsto u\). Si le couple \((X, x)\) satisfait les conditions équivalentes du Lemme 03JS, alors \(u = u'\).
Démonstration
Supposons que le couple \((X, x)\) satisfasse les conditions équivalentes du Lemme 03JS. Soit \(U\) un schéma, soit \(U \to X\) un morphisme étale, et supposons que \(u, u' \in |U|\) aient pour image \(x\) dans \(|X|\) et que \(u' \leadsto u\). Nous pouvons remplacer, et remplaçons, \(U\) par un voisinage affine de \(u\). Soient \(t, s : R = U \times_X U \to U\) les projections étales.
Choisissons un point \(r \in R\) tel que \(t(r) = u\) et \(s(r) = u'\). C’est possible d’après Propriétés des espaces, lemme 03BW. Comme les générisations se relèvent le long du morphisme étale \(t\) (Remarque 03II), nous pouvons trouver une spécialisation \(r' \leadsto r\) telle que \(t(r') = u'\). Posons \(u'' = s(r')\). Alors \(u'' \leadsto u'\). Nous pouvons donc recommencer et trouver \(r'' \leadsto r'\) tel que \(t(r'') = u''\). Posons \(u''' = s(r'')\), et ainsi de suite. Voici le diagramme : \[\xymatrix{ & r'' \ar[rd]^s \ar[ld]_t \ar@{~>}[d] & \\ u'' \ar@{~>}[d] & r' \ar[rd]^s \ar[ld]_t \ar@{~>}[d] & u''' \ar@{~>}[d] \\ u' \ar@{~>}[d] & r \ar[rd]^s \ar[ld]_t & u'' \ar@{~>}[d] \\ u & & u' }\] Dans la Remarque 03II, nous avons vu qu’il n’y a pas de spécialisations entre les points des fibres du morphisme étale \(s\). Ainsi, si \(u^{(n + 1)} = u^{(n)}\) pour un certain \(n\), alors aussi \(r^{(n)} = r^{(n - 1)}\), puis, en appliquant \(t\), \(u^{(n)} = u^{(n - 1)}\). Toute la tour est alors constante; en particulier, \(u = u'\). Nous voyons donc que, si \(u \not = u'\), toutes les spécialisations sont strictes et que \(\{u, u', u'', \ldots\}\) est un ensemble infini de points de \(U\) dont l’image est le point \(x\) de \(|X|\). Comme nous avons choisi \(U\) affine, cela contredit la seconde partie du Lemme 03JS, comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale d’un schéma vers \(X\). Supposons que \(u, u' \in |U|\) aient pour image le même point \(x\) de \(|X|\) et que \(u' \leadsto u\). Si \(X\) est localement noethérien, alors \(u = u'\).
Démonstration
La discussion de Schémas, section 01J5 montre que \(\mathcal{O}_{U, u'}\) est un localisé de l’anneau local noethérien \(\mathcal{O}_{U, u}\). D’après Propriétés des espaces, lemme 0BAM, nous avons \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = \dim(\mathcal{O}_{U, u'})\). La théorie de la dimension des anneaux locaux noethériens permet de conclure que \(u = u'\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(x, x' \in |X|\) et supposons que \(x' \leadsto x\), c’est-à-dire que \(x\) est une spécialisation de \(x'\). Supposons que le couple \((X, x')\) satisfasse les conditions équivalentes du Lemme 03JV. Alors, pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\) d’un schéma \(U\) et tout \(u \in U\) tel que \(\varphi(u) = x\), il existe un point \(u'\in U\) tel que \(u' \leadsto u\) et \(\varphi(u') = x'\).
Démonstration
Nous pouvons remplacer \(U\) par un voisinage ouvert affine de \(u\). Nous pouvons donc supposer que \(U\) est affine. Comme \(x\) appartient à l’image du morphisme ouvert \(|U| \to |X|\), il en est de même de \(x'\). Nous pouvons ainsi remplacer \(X\) par le sous-espace ouvert de Zariski correspondant à l’image de \(|U| \to |X|\); voir Propriétés des espaces, lemme 06NF. Autrement dit, nous pouvons supposer que \(U \to X\) est surjectif et étale. Soient \(s, t : R = U \times_X U \to U\) les projections. Comme \((X, x')\) satisfait par hypothèse les conditions équivalentes du Lemme 03JV, les fibres de \(|U| \to |X|\) et de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x'\) sont finies. Écrivons \(\{u'_1, \ldots, u'_n\} \subset U\) et \(\{r'_1, \ldots, r'_m\} \subset R\) pour les images inverses respectives de \(\{x'\}\). Considérons les fermés \[T = \overline{\{u'_1\}} \cup \ldots \cup \overline{\{u'_n\}} \subset |U|, \quad T' = \overline{\{r'_1\}} \cup \ldots \cup \overline{\{r'_m\}} \subset |R|.\] Il est clair que \(s(T') \subset T\). Comme \(R\) est une relation d’équivalence, nous avons aussi \(t(T') = s(T')\), puisque l’ensemble \(\{r_j'\}\) est invariant par la symétrie de \(R\), par construction. Soit \(w \in T\) un point quelconque. Alors \(u'_i \leadsto w\) pour un certain \(i\). Choisissons \(r \in R\) tel que \(s(r) = w\). Comme les générisations se relèvent le long de \(s : R \to U\) (voir la Remarque 03II), nous pouvons trouver \(r' \leadsto r\) tel que \(s(r') = u_i'\). Alors \(r' = r'_j\) pour un certain \(j\), et nous en déduisons que \(w \in s(T')\). Ainsi, \(T = s(T') = t(T')\) est une partie saturée pour la relation d’équivalence \(|R|\), fermée dans \(|U|\). Cela signifie que \(T\) est l’image inverse d’une partie fermée (!) \(T'' = \varphi(T)\) de \(|X|\); voir Propriétés des espaces, lemmes 03BW et 03BX. Par conséquent, \(T'' = \overline{\{x'\}}\). Ainsi, \(T\) contient un point \(u_1\) d’image \(x\), puisque \(x \in T''\). Autrement dit, pour un certain \(i\), il existe une spécialisation \(u'_i \leadsto u_1\) dont l’image est la spécialisation donnée \(x' \leadsto x\).
Pour achever la preuve, choisissons un point \(r \in R\) tel que \(s(r) = u\) et \(t(r) = u_1\) (à l’aide de Propriétés des espaces, lemme 03H4). Comme les générisations se relèvent le long de \(t\) et que \(u'_i \leadsto u_1\), nous pouvons trouver une spécialisation \(r' \leadsto r\) telle que \(t(r') = u'_i\). Posons \(u' = s(r')\). Alors \(u' \leadsto u\) et \(\varphi(u') = x'\), comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(S\). Soient \(x, x' \in |X|\) et supposons que \(x' \leadsto x\), c’est-à-dire que \(x\) est une spécialisation de \(x'\). Supposons que le couple \((X, x')\) satisfasse les conditions équivalentes du Lemme 03JV (par exemple si \(X\) est décent, \(X\) est quasi-séparé ou \(X\) est représentable). Alors, pour tout \(y \in |Y|\) tel que \(f(y) = x\), il existe un point \(y' \in |Y|\) tel que \(y' \leadsto y\) et \(f(y') = x'\).
Démonstration
(L’assertion entre parenthèses résulte de la définition des espaces décents et des implications entre les différentes conditions de séparation mentionnées dans la section 03I7.) Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons \(v \in V\) d’image \(y\). Il suffit alors de démontrer le lemme pour \(V \to X\). Nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Choisissons \(u \in U\) d’image \(x\). D’après le Lemme 03K2, nous pouvons choisir \(u' \leadsto u\) d’image \(x'\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, nous pouvons choisir \(z \in U \times_X Y\) d’image \(y\) et \(u\). Nous nous ramenons ainsi au cas du morphisme plat de schémas \(U \times_X Y \to U\). La conclusion résulte alors de Morphismes, lemme 03HV.
Stratification des espaces algébriques par des schémas
Dans cette section, nous montrons qu’un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé admet une stratification finie par des sous-espaces localement fermés dont chacun est un schéma, et telle que le recollement des strates s’effectue par des carrés distingués élémentaires. Nous établissons d’abord un résultat un peu plus faible pour les espaces algébriques raisonnables.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(W \to X\) un morphisme d’un schéma \(W\) vers un espace algébrique \(X\), plat, localement de présentation finie, séparé, localement quasi-fini et à fibres universellement bornées. Il existe des sous-espaces fermés réduits \[\emptyset = Z_{-1} \subset Z_0 \subset Z_1 \subset Z_2 \subset \ldots \subset Z_n = X\] tels que, si \(X_r = Z_r \setminus Z_{r - 1}\), la stratification \(X = \coprod_{r = 0, \ldots, n} X_r\) est caractérisée par la propriété universelle suivante : étant donné \(g : T \to X\), la projection \(W \times_X T \to T\) est finie localement libre de degré \(r\) si et seulement si \(g(|T|) \subset |X_r|\).
Démonstration
Soit \(n\) un entier qui majore les degrés des fibres de \(W \to X\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Appliquons Compléments sur les morphismes, lemme 07RY à \(W \times_X U \to U\). Nous obtenons des parties fermées \[\emptyset = Y_{-1} \subset Y_0 \subset Y_1 \subset Y_2 \subset \ldots \subset Y_n = U\] caractérisées par la propriété de l’énoncé pour le morphisme \(W \times_X U \to U\). Manifestement, la formation de ces parties fermées commute au changement de base. Posant \(R = U \times_X U\), et notant \(s, t : R \to U\) les projections, nous concluons que \[s^{-1}(Y_r) = t^{-1}(Y_r)\] en tant que parties fermées de \(R\). Autrement dit, les parties fermées \(Y_r \subset U\) sont saturées pour la relation \(R\). Cela signifie que \(|Y_r|\) est l’image inverse d’une partie fermée \(Z_r \subset |X|\). Notons encore \(Z_r \subset X\) le sous-espace algébrique muni de la structure réduite induite; voir Propriétés des espaces, définition 047X.
Soit \(g : T \to X\) un morphisme d’espaces algébriques. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to T\). Pour démontrer la dernière assertion du lemme, il suffit de la démontrer pour la composée \(V \to X\) (d’après notre définition des morphismes finis localement libres; voir Morphismes d’espaces, section 03ZT). De même, le morphisme de schémas \(W \times_X V \to V\) est fini localement libre de degré \(r\) si et seulement si le morphisme de schémas \[W \times_X (U \times_X V) \longrightarrow U \times_X V\] est fini localement libre de degré \(r\) (voir Descente, lemme 02VO). Par construction, cela se produit si et seulement si \(|U \times_X V| \to |U|\) a son image contenue dans \(|Y_r|\), ce qui équivaut à ce que \(|V| \to |X|\) ait son image contenue dans \(|Z_r|\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(W \to X\) un morphisme d’un schéma \(W\) vers un espace algébrique \(X\), plat, localement de présentation finie, séparé et localement quasi-fini. Il existe alors des sous-espaces ouverts \[X = X_0 \supset X_1 \supset X_2 \supset \ldots\] tels qu’un morphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, se factorise par \(X_d\) si et seulement si \(W \times_X \Spec(k)\) est de degré \(\geq d\) sur \(k\).
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Appliquons Compléments sur les morphismes, lemme 086R à \(W \times_X U \to U\). Nous obtenons des sous-schémas ouverts \[U = U_0 \supset U_1 \supset U_2 \supset \ldots\] caractérisés par la propriété de l’énoncé pour le morphisme \(W \times_X U \to U\). Manifestement, la formation de ces sous-schémas ouverts commute au changement de base. Posons \(R = U \times_X U\) et notons \(s, t : R \to U\) les projections. Nous concluons que \[s^{-1}(U_d) = t^{-1}(U_d)\] en tant que sous-schémas ouverts de \(R\). Autrement dit, les sous-schémas ouverts \(U_d \subset U\) sont saturés pour la relation \(R\). Cela signifie que \(U_d\) est l’image inverse d’un sous-espace ouvert \(X_d \subset X\) (Propriétés des espaces, lemme 07TW).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact sur \(S\). Il existe des sous-espaces ouverts \[\ldots \subset U_4 \subset U_3 \subset U_2 \subset U_1 = X\] ayant les propriétés suivantes :
si l’on pose \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\) (muni de la structure réduite induite), il existe un schéma séparé \(V_p\) et un morphisme étale surjectif \(f_p : V_p \to U_p\) tels que \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p\) soit un isomorphisme,
si \(x \in |X|\) peut être représenté par un morphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to X\) dont la source est le spectre d’un corps, alors \(x \in T_p\) pour un certain \(p\).
Démonstration
D’après Propriétés des espaces, lemme 03H6, nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Pour \(p \geq 0\), posons \[W_p = U \times_X \ldots \times_X U \setminus \text{toutes les diagonales}\] où le produit fibré comporte \(p\) facteurs. Puisque \(U\) est séparé, le morphisme \(U \to X\) est séparé et tous les produits fibrés \(U \times_X \ldots \times_X U\) sont des schémas séparés. Comme \(U \to X\) est séparé, la diagonale \(U \to U \times_X U\) est une immersion fermée. Comme \(U \to X\) est étale, la diagonale \(U \to U \times_X U\) est une immersion ouverte; voir Morphismes d’espaces, lemmes 06CR et 05W1. De même, tous les morphismes diagonaux sont des immersions ouvertes et fermées, et \(W_p\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(U \times_X \ldots \times_X U\). De plus, le morphisme \[U \times_X \ldots \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \ldots \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U\] est localement quasi-fini et séparé (Morphismes d’espaces, lemme 03KN), et son but est un schéma affine. Toute partie finie de \(U \times_X \ldots \times_X U\) est donc contenue dans un ouvert affine; voir Compléments sur les morphismes, lemme 07S0. Il en va donc de même pour \(W_p\). Le groupe symétrique \(S_p\) opère librement sur \(W_p\) au-dessus de \(X\) (puisque nous avons retranché le lieu des points fixes de \(U \times_X \ldots \times_X U\)). D’après ce qui précède et Propriétés des espaces, Proposition 07S6, le quotient \(V_p = W_p/S_p\) est un schéma. Comme l’action de \(S_p\) sur \(W_p\) est au-dessus de \(X\), il existe un morphisme \(V_p \to X\). Puisque \(W_p \to X\) est étale et que \(W_p \to V_p\) est étale surjectif, il s’ensuit que \(V_p \to X\) est lui aussi étale; voir Propriétés des espaces, lemme 03FS. Notons que \(V_p\) est un schéma séparé d’après Propriétés des espaces, lemme 0BBM.
Soit \(U_p \subset X\) le sous-espace ouvert image de \(V_p \to X\). Par construction, un morphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est algébriquement clos, se factorise par \(U_p\) si et seulement si \(U \times_X \Spec(k)\) possède \(\geq p\) points; comme d’habitude, notons que \(U \times_X \Spec(k)\) est, en tant que schéma, une réunion disjointe (éventuellement infinie) de copies de \(\Spec(k)\); voir remarque 03II. Il s’ensuit que les \(U_p\) forment une filtration de \(X\) comme dans l’énoncé du lemme. De plus, notre morphisme \(\Spec(k) \to X\) se factorise par \(T_p\) si et seulement si \(U \times_X \Spec(k)\) possède exactement \(p\) points. Dans ce cas, nous voyons que \(V_p \times_X \Spec(k)\) possède exactement un point. Posons \(Z_p = f_p^{-1}(T_p) \subset V_p\). C’est un sous-schéma fermé de \(V_p\). Alors \(Z_p \to T_p\) est un morphisme étale d’espaces algébriques qui induit une bijection sur les points à valeurs dans \(k\) pour tout corps algébriquement clos \(k\). Précisément, cela implique que \(Z_p \to T_p\) est universellement injectif, donc une immersion ouverte d’après Morphismes d’espaces, lemme 05W5, et par conséquent un isomorphisme. Cela démontre (1).
Soit \(x : \Spec(k) \to X\) un morphisme quasi-compact, où \(k\) est un corps. Alors la composée \(\Spec(\overline{k}) \to \Spec(k) \to X\) est elle aussi quasi-compacte (Morphismes d’espaces, lemme 03HG). Dans ce cas, le schéma \(U \times_X \Spec(\overline{k})\) est quasi-compact. Comme nous avons vu ci-dessus qu’il est une réunion disjointe de copies de \(\Spec(\overline{k})\), nous constatons qu’il a un nombre fini de points. Si ce nombre est \(p\), alors \(x \in T_p\), comme voulu, ce qui achève la preuve.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et raisonnable sur \(S\). Il existe un entier \(n\) et des sous-espaces ouverts \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] ayant la propriété suivante : si l’on pose \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\) (muni de la structure réduite induite), il existe un schéma séparé \(V_p\) et un morphisme étale surjectif \(f_p : V_p \to U_p\) tels que \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p\) soit un isomorphisme.
Démonstration
La démonstration de ce lemme est identique à celle du Lemme 0BBN. Soit \(n\) un entier qui majore les degrés des fibres de \(U \to X\); un tel entier existe puisque \(X\) est raisonnable, voir définition 03I8. Nous constatons alors que \(U_{n + 1} = \emptyset\), ce qui achève la preuve.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et raisonnable sur \(S\). Il existe un entier \(n\) et des sous-espaces ouverts \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] tels que chaque \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\) (muni de la structure réduite induite) soit un schéma.
Démonstration
Conséquence immédiate du Lemme 07S9.
Le résultat suivant est presque identique à [GruRay, Proposition 5.7.8].
Lemme
Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Il existe un entier \(n\) et des sous-espaces ouverts \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] ayant la propriété suivante : si l’on pose \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\) (muni de la structure réduite induite), il existe un schéma \(V_p\) quasi-compact et séparé et un morphisme étale surjectif \(f_p : V_p \to U_p\) tels que \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p\) soit un isomorphisme.
Démonstration
La démonstration de ce lemme est identique à celle du Lemme 0BBN. Remarquons qu’un espace quasi-séparé est raisonnable; voir lemme 03JX et définition 03I8. Nous obtenons donc \(U_{n + 1} = \emptyset\), comme dans le Lemme 07S9. À la fin de l’argument, ajoutons que, puisque \(X\) est quasi-séparé, les schémas \(U \times_X \ldots \times_X U\) sont tous quasi-compacts. Les schémas \(W_p\) sont donc quasi-compacts. Par conséquent, les quotients \(V_p = W_p/S_p\) par le groupe symétrique \(S_p\) sont des schémas quasi-compacts.
Le lemme suivant devrait probablement se trouver ailleurs.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-séparé sur \(S\). Soit \(E \subset |X|\) une partie. Alors \(E\) est étale-localement constructible (Propriétés des espaces, définition 0ECU) si et seulement si \(E\) est une partie localement constructible de l’espace topologique \(|X|\) (Topologie, définition 005G).
Démonstration
Supposons que \(E \subset |X|\) soit une partie localement constructible de l’espace topologique \(|X|\). Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma. Nous devons montrer que \(f^{-1}(E)\) est localement constructible dans \(U\). La question est locale sur \(U\) et \(X\); nous pouvons donc supposer que \(X\) est quasi-compact, que \(E \subset |X|\) est constructible et que \(U\) est affine. Dans ce cas, \(U \to X\) est quasi-compact, donc \(f : |U| \to |X|\) est quasi-compact. Remarquons que les ouverts rétrocompacts de \(|X|\), resp. \(U\), ne sont autres que les ouverts quasi-compacts de \(|X|\), resp. \(U\); voir Topologie, lemme 0069. Ainsi, \(f^{-1}(E)\) est constructible d’après Topologie, lemme 005I.
Réciproquement, supposons que \(E\) soit étale-localement constructible. Nous voulons montrer que \(E\) est localement constructible dans l’espace topologique \(|X|\). La question est locale sur \(X\); nous pouvons donc supposer que \(X\) est à la fois quasi-compact et quasi-séparé. Montrons que, dans ce cas, \(E\) est constructible dans \(|X|\). Choisissons des sous-espaces ouverts \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et des morphismes étales surjectifs \(f_p : V_p \to U_p\) induisant des isomorphismes \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\), où \(V_p\) est un schéma quasi-compact et séparé, comme dans le Lemme 07ST. Par définition, l’image inverse \(E_p \subset V_p\) de \(E\) est localement constructible dans \(V_p\). Alors \(E_p\) est constructible dans \(V_p\) d’après Propriétés, lemme 054E. Ainsi, \(E_p \cap |f_p^{-1}(T_p)| = E \cap |T_p|\) est constructible dans \(|T_p|\) d’après Topologie, lemme 09YE (remarquons que \(V_p \setminus f_p^{-1}(T_p)\) est quasi-compact, car c’est l’image inverse de l’espace quasi-compact \(U_{p + 1}\) par le morphisme quasi-compact \(f_p\)). Par conséquent, \[E = (|T_n| \cap E) \cup (|T_{n - 1}| \cap E) \cup \ldots \cup (|T_1| \cap E)\] est constructible d’après Topologie, lemme 09YK. Nous utilisons ici le fait que \(|T_p|\) est constructible dans \(|X|\), ce qui résulte clairement de ce qui précède.
Recouvrement entier par un schéma
Nous démontrons ici que, pour tout espace algébrique \(X\) quasi-compact et quasi-séparé, il existe un schéma \(Y\) et un morphisme entier surjectif \(Y \to X\). Après avoir développé une théorie des limites d’espaces algébriques, nous démontrerons qu’on peut obtenir un morphisme fini; voir Limites d’espaces, section 0ACX.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : V \to Y\) une immersion ouverte quasi-compacte d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\pi : Z \to V\) un morphisme entier. Il existe alors un morphisme entier \(\nu : Y' \to Y\) tel que \(Z\) soit \(V\)-isomorphe à l’image inverse de \(V\) dans \(Y'\).
Démonstration
Puisque \(j\) et \(\pi\) sont tous deux quasi-compacts et séparés, il en va de même de \(j \circ \pi\). Soit \(\nu : Y' \to Y\) la normalisation de \(Y\) dans \(Z\); voir Morphismes d’espaces, section 0BAZ. Bien entendu, \(\nu\) est entier; voir Morphismes d’espaces, lemme 0823. La dernière assertion résulte formellement de Morphismes d’espaces, lemmes 0ABP et 0825.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\).
Il existe un morphisme entier surjectif \(Y \to X\), où \(Y\) est un schéma,
étant donné un morphisme étale surjectif \(U \to X\), on peut choisir \(Y \to X\) de telle sorte que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) tel que \(V \to X\) se factorise par \(U\).
Démonstration
La partie (1) est le cas particulier de la partie (2) où \(U = X\). Choisissons un morphisme étale surjectif \(U' \to U\), où \(U'\) est un schéma. Il est clair que nous pouvons remplacer \(U\) par \(U'\) et donc supposer que \(U\) est un schéma. Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un nombre fini d’ouverts affines \(U_i \subset U\) tels que \(U' = \coprod U_i \to X\) soit surjectif. En remplaçant encore \(U\) par \(U'\), nous voyons que nous pouvons supposer \(U\) affine. Puisque \(X\) est quasi-séparé, donc raisonnable, il existe un entier \(d\) qui majore le degré des fibres géométriques de \(U \to X\) (voir Lemme 03JX). Nous démontrerons le lemme par récurrence sur \(d\) pour tout schéma \(U\) quasi-compact et séparé muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X\). Si \(d = 1\), alors \(U = X\) et le résultat vaut avec \(Y = U\). Supposons \(d > 1\).
Nous appliquons Morphismes d’espaces, lemme 0ABS et obtenons une factorisation \[\xymatrix{ U \ar[rr]_j \ar[rd] & & Y \ar[ld]^\pi \\ & X }\] où \(\pi\) est entier et \(j\) une immersion ouverte quasi-compacte. Nous pouvons supposer, et nous le faisons, que \(j(U)\) est schématiquement dense dans \(Y\). Alors \(U \times_X Y\) est un schéma quasi-compact et séparé (puisqu’il est entier sur \(U\)), et nous avons \[U \times_X Y = U \amalg W\] Ici, le premier terme est l’image de \(U \to U \times_X Y\) (qui est fermée d’après Morphismes d’espaces, lemme 03KO, et ouverte parce que le morphisme en question est étale entre des espaces algébriques étales sur \(Y\)), et le second terme est le complémentaire (ouvert et fermé). L’image \(V \subset Y\) de \(W\) est un sous-espace ouvert contenant \(Y \setminus U\).
Le morphisme étale \(W \to Y\) a des fibres géométriques de cardinalité \(< d\). En effet, c’est clair par inspection pour les points géométriques de \(U \subset Y\). Puisque \(|U| \subset |Y|\) est dense, cela vaut pour tous les points géométriques de \(Y\) d’après le Lemme 07S8 (le degré des fibres d’un morphisme étale quasi-compact n’augmente pas par spécialisation). Nous pouvons donc appliquer l’hypothèse de récurrence à \(W \to V\) et trouver un morphisme entier surjectif \(Z \to V\), où \(Z\) est un schéma, qui, localement pour la topologie de Zariski, se factorise par \(W\). Choisissons une factorisation \(Z \to Z' \to Y\) dans laquelle \(Z' \to Y\) est entier et \(Z \to Z'\) une immersion ouverte (Lemme 0G2D). Après avoir remplacé \(Z'\) par l’adhérence schématique de \(Z\) dans \(Z'\), nous pouvons supposer que \(Z\) est schématiquement dense dans \(Z'\). Après ce remplacement, nous avons \(Z' \times_Y V = Z\). Enfin, soit \(T \subset Y\) le complémentaire \(Y \setminus V\), muni de la structure de sous-espace fermé induite. Considérons le morphisme \[Z' \amalg T \longrightarrow X\] Par construction, c’est un morphisme entier surjectif. Puisque \(T \subset U\), il est clair que le morphisme \(T \to X\) se factorise par \(U\). Par ailleurs, soit \(z \in Z'\) un point. Si \(z \not \in Z\), alors \(z\) s’envoie sur un point de \(Y \setminus V \subset U\), et nous trouvons un voisinage ouvert de \(z\) sur lequel le morphisme se factorise par \(U\). Si \(z \in Z\), nous disposons d’un voisinage ouvert de \(z\) dans \(Z\) (qui est aussi un voisinage ouvert de \(z\) dans \(Z'\)) sur lequel le morphisme se factorise par \(W \subset U \times_X Y\), donc par \(U\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\) tel que \(|X|\) ait un nombre fini de composantes irréductibles.
Il existe un morphisme entier surjectif \(f : Y \to X\), où \(Y\) est un schéma, tel que \(f\) soit fini étale au-dessus d’un ouvert dense quasi-compact \(U \subset X\),
étant donné un morphisme étale surjectif \(V \to X\), on peut choisir \(Y \to X\) de telle sorte que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(W \subset Y\) tel que \(W \to X\) se factorise par \(V\).
Démonstration
La démonstration est, à peu de chose près, la même que celle du Lemme 09YB, avec des précisions techniques supplémentaires pour obtenir l’ouvert dense quasi-compact \(U\) (et, malheureusement, des changements de notation pour suivre \(U\)).
La partie (1) est le cas particulier de la partie (2) où \(V = X\).
Démonstration de (2). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to V\), où \(V'\) est un schéma. Il est clair que nous pouvons remplacer \(V\) par \(V'\) et donc supposer que \(V\) est un schéma. Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un nombre fini d’ouverts affines \(V_i \subset V\) tels que \(V' = \coprod V_i \to X\) soit surjectif. En remplaçant encore \(V\) par \(V'\), nous voyons que nous pouvons supposer \(V\) affine. Puisque \(X\) est quasi-séparé, donc raisonnable, il existe un entier \(d\) qui majore le degré des fibres géométriques de \(V \to X\) (voir Lemme 03JX).
Par récurrence sur \(d \geq 1\), nous allons établir l’hypothèse de récurrence \((H_d)\) suivante :
pour tout espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé \(X\) ayant un nombre fini de composantes irréductibles, pour tout \(m \geq 0\), pour tous schémas quasi-compacts et séparés \(V_j\), \(j = 1, \ldots, m\), et pour tous morphismes étales \(\varphi_j : V_j \to X\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que \(d\) majore le degré des fibres géométriques de \(\varphi_j : V_j\to X\) et que \(\varphi = \coprod \varphi_j : V = \coprod V_j \to X\) soit surjectif, l’énoncé du lemme vaut pour \(\varphi : V \to X\).
Si \(d = 1\), alors chaque \(\varphi_j\) est une immersion ouverte. Ainsi, \(X\) est un schéma et le résultat vaut avec \(Y = V\). Supposons \(d > 1\), supposons \((H_{d - 1})\), et soient \(m\), \(\varphi_j : V_j \to X\), \(j = 1, \ldots, m\) comme dans \((H_d)\).
Soient \(\eta_1, \ldots, \eta_n \in |X|\) les points génériques des composantes irréductibles de \(|X|\). D’après Propriétés des espaces, Proposition 06NH, il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(\eta_1, \ldots, \eta_n \in U\). En remplaçant \(U\) par un ouvert plus petit, nous pouvons supposer \(U\) affine et, d’après Morphismes, lemme 02NW, nous pouvons supposer que chaque \(\varphi_j : V_j \to X\) est fini étale au-dessus de \(U\). Bien entendu, \(U\) est quasi-compact et dense dans \(X\), et \(\varphi_j^{-1}(U)\) est dense dans \(V_j\). En particulier, chaque \(V_j\) a un nombre fini de composantes irréductibles.
Fixons \(j \in \{1, \ldots, m\}\). Comme dans Morphismes d’espaces, lemme 0ABS, notons \(Y_j\) la normalisation de \(X\) dans \(V_j\). Nous obtenons une factorisation \[\xymatrix{ V_j \ar[rr] \ar[rd]_{\varphi_j} & & Y_j \ar[ld]^{\pi_j} \\ & X }\] où \(\pi_j\) est entier et \(V_j \to Y_j\) une immersion ouverte quasi-compacte. Puisque \(Y_j\) est la normalisation de \(X\) dans \(V_j\), les Morphismes d’espaces, lemmes 0ABP et 0825 montrent que \(\varphi_j^{-1}(U) \to \pi_j^{-1}(U)\) est un isomorphisme. Ainsi, \(\pi_j\) est fini étale au-dessus de \(U\). Remarquons que \(V_j\) est schématiquement dense dans \(Y_j\), puisque \(Y_j\) est la normalisation de \(X\) dans \(V_j\) (cela résulte de la caractérisation de la normalisation relative dans Morphismes d’espaces, lemme 0823). Puisque \(V_j\) est quasi-compact, nous voyons que \(|V_j| \subset |Y_j|\) est dense; voir Morphismes d’espaces, section 0831 (et en particulier Morphismes d’espaces, lemme 088G). Il s’ensuit que \(|Y_j|\) a un nombre fini de composantes irréductibles. Alors \(V_j \times_X Y_j\) est un schéma quasi-compact et séparé (puisqu’il est fini sur \(V_j\)), et \[V_j \times_X Y_j = V_j \amalg W_j\] Ici, le premier terme est l’image de \(V_j \to V_j \times_X Y_j\) (qui est fermée d’après Morphismes d’espaces, lemme 03KO, et ouverte parce que le morphisme en question est étale entre des espaces algébriques étales sur \(Y_j\)), et le second terme est le complémentaire (ouvert et fermé).
Le morphisme étale \(W_j \to Y_j\) a des fibres géométriques de cardinalité \(< d\). En effet, c’est clair par inspection pour les points géométriques de \(V_j \subset Y_j\). Puisque \(|V_j| \subset |Y_j|\) est dense, cela vaut pour tous les points géométriques de \(Y_j\) d’après le Lemme 07S8 (le degré des fibres d’un morphisme étale quasi-compact n’augmente pas par spécialisation). En appliquant \((H_{d - 1})\) à \(V_j \amalg W_j \to Y_j\), nous trouvons un morphisme entier surjectif \(Y_j' \to Y_j\), avec \(Y_j'\) un schéma, qui se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(V_j \amalg W_j\) et qui est fini étale au-dessus d’un ouvert dense quasi-compact \(U_j \subset Y_j\). En remplaçant \(U\) par un ouvert plus petit, nous pouvons supposer, et nous le faisons, que \(\pi_j^{-1}(U) \subset U_j\) (nous pouvons choisir, et nous choisissons, le même \(U\) pour tout \(j\); nous omettons certains détails).
Nous affirmons que \[Y = \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m} Y'_j \longrightarrow X\] est la solution de notre problème. Premièrement, ce morphisme est entier, car, sur chaque composante, nous avons la composition \(Y'_j \to Y_j \to X\) de morphismes entiers (Morphismes d’espaces, lemme 03ZR). Deuxièmement, ce morphisme se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(V = \coprod V_j\), car nous avons vu plus haut que chaque \(Y'_j \to Y_j\) se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(V_j \amalg W_j = V_j \times_X Y_j\). Enfin, puisque \(Y'_j \to Y_j\) et \(Y_j \to X\) sont tous deux finis étales au-dessus de \(U\), leur composition l’est aussi. Ceci achève la démonstration.
Lieu schématique
Dans cette section, nous démontrons qu’un espace algébrique décent possède un sous-espace ouvert dense qui est un schéma. Nous le démontrons d’abord pour les espaces algébriques raisonnables.
Proposition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est raisonnable, alors il existe un sous-espace ouvert dense de \(X\) qui est un schéma.
Démonstration
D’après Propriétés des espaces, lemme 03JH, la question est locale sur \(X\). Nous pouvons donc supposer qu’il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (Propriétés des espaces, lemme 03FX). Soit \(n\) un entier qui majore les degrés des fibres de \(U \to X\); un tel entier existe puisque \(X\) est raisonnable, voir la Définition 03I8. Nous allons montrer par récurrence sur \(n\) que, dès que
\(U \to X\) est un morphisme étale surjectif dont les fibres sont de degré \(\leq n\), et
\(U\) est isomorphe à un sous-schéma localement fermé d’un schéma affine,
le lieu schématique est dense dans \(X\).
Soit \(X_n \subset X\) le sous-espace ouvert complémentaire du sous-espace fermé \(Z_{n - 1} \subset X\) construit dans le Lemme 07S8 à l’aide du morphisme \(U \to X\). Soit \(U_n \subset U\) l’image inverse de \(X_n\). Alors \(U_n \to X_n\) est fini localement libre de degré \(n\). Par conséquent, \(X_n\) est un schéma d’après Propriétés des espaces, Proposition 07S6 (et le fait que tout ensemble fini de points de \(U_n\) est contenu dans un ouvert affine de \(U_n\); voir Propriétés, lemme 01ZY).
Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(|X'|\) soit l’intérieur de \(|Z_{n - 1}|\) dans \(|X|\) (voir Topologie, définition 03HN). Soit \(U' \subset U\) son image inverse. Alors \(U' \to X'\) est étale surjectif et le degré de ses fibres est majoré par \(n - 1\). Par récurrence, nous voyons que le lieu schématique de \(X'\) est un ouvert dense \(X'' \subset X'\). La topologie élémentaire montre alors que \(X'' \cup X_n \subset X\) est ouvert et dense, ce qui conclut la preuve.
Théorème
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est décent, alors il existe un sous-espace ouvert dense de \(X\) qui est un schéma.
Démonstration
Supposons que \(X\) soit un espace algébrique décent pour lequel le théorème est faux. D’après Propriétés des espaces, lemme 03JH, il existe un plus grand sous-espace ouvert \(X' \subset X\) qui est un schéma. Puisque \(X'\) n’est pas dense dans \(X\), il existe un sous-espace ouvert \(X'' \subset X\) tel que \(|X''| \cap |X'| = \emptyset\). En remplaçant \(X\) par \(X''\), nous obtenons un espace algébrique décent non vide \(X\) qui ne contient aucun sous-espace ouvert qui soit un schéma.
Choisissons un schéma affine non vide \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\). Nous pouvons remplacer, et remplaçons, \(X\) par le sous-espace ouvert correspondant à l’image de \(|U| \to |X|\). Considérons la suite décroissante de sous-espaces ouverts \[X = X_0 \supset X_1 \supset X_2 \ldots\] construite dans le Lemme 086T pour le morphisme \(U \to X\). Remarquons que \(X_0 = X_1\), puisque \(U \to X\) est surjectif. Soit \(U = U_0 = U_1 \supset U_2 \ldots\) la suite induite de sous-schémas ouverts de \(U\).
Choisissons un ouvert affine non vide \(V_1 \subset U_1\) (par exemple \(V_1 = U_1\)). Par récurrence, nous allons construire une suite d’ouverts affines non vides \(V_1 \supset V_2 \supset \ldots\) tels que \(V_n \subset U_n\). En effet, une fois \(V_1, \ldots, V_{n - 1}\) construits, nous pouvons toujours choisir \(V_n\), sauf si \(V_{n - 1} \cap U_n = \emptyset\). Mais si \(V_{n - 1} \cap U_n = \emptyset\), alors le sous-espace ouvert \(X' \subset X\) tel que \(|X'| = \Im(|V_{n - 1}| \to |X|)\) est contenu dans \(|X| \setminus |X_n|\). Par conséquent, \(V_{n - 1} \to X'\) est un morphisme étale dont les fibres ont un degré majoré par \(n - 1\). Autrement dit, \(X'\) est raisonnable (par définition); ainsi, \(X'\) contient un sous-schéma ouvert non vide d’après la Proposition 03JI. C’est une contradiction, qui montre que nous pouvons choisir \(V_n\).
D’après Limites, lemme 01Z2, la limite \(V_\infty = \lim V_n\) est un schéma non vide. Choisissons un morphisme \(\Spec(k) \to V_\infty\). La composée \(\Spec(k) \to V_\infty \to U \to X\) a, par construction, son image contenue dans tous les \(X_d\). Autrement dit, la fibre \(U \times_X \Spec(k)\) est de degré infini, ce qui contredit la définition d’un espace décent. Cette contradiction achève la démonstration du théorème.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif, fini et localement libre d’espaces algébriques sur \(S\). Pour \(y \in |Y|\), les conditions suivantes sont équivalentes :
\(y\) appartient au lieu schématique de \(Y\) ;
il existe un ouvert affine \(U \subset X\) contenant l’image inverse de \(y\).
Démonstration
Si \(y \in Y\) appartient au lieu schématique, il possède un voisinage ouvert affine \(V \subset Y\), et l’image inverse \(U\) de \(V\) dans \(X\) est ouverte et finie sur \(V\), donc affine. Ainsi, (1) implique (2).
Réciproquement, supposons donné \(U \subset X\) comme en (2). Posons \(R = X \times_Y X\) et notons \(s, t : R \to X\) les projections. Considérons \(Z = R \setminus (s^{-1}(U) \cap t^{-1}(U))\). C’est une partie fermée de \(R\). L’image \(t(Z)\) est une partie fermée de \(X\) que l’on peut décrire informellement comme l’ensemble des points de \(X\) qui sont \(R\)-équivalents à un point de \(X \setminus U\). Ainsi, \(U' = X \setminus t(Z)\) est stable par \(R\) et constitue un sous-espace ouvert de \(X\) contenu dans \(U\) et contenant la fibre de \(X \to Y\) au-dessus de \(y\). Comme \(X \to Y\) est ouvert (Morphismes d’espaces, lemme 042S), l’image de \(U'\) est un sous-espace ouvert \(V' \subset Y\). Puisque \(U'\) est stable par \(R\) et que \(R = X \times_Y X\), on voit que \(U'\) est l’image inverse de \(V'\) (utiliser Propriétés des espaces, lemme 03H4). En remplaçant \(Y\) par \(V'\) et \(X\) par \(U'\), on voit que l’on peut supposer que \(X\) est un schéma isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine.
Supposons que \(X\) soit un schéma isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine. Dans ce cas, le faisceau quotient fppf \(X/R\) est un schéma, voir Propriétés des espaces, Proposition 07S6. Puisque \(Y\) est un faisceau pour la topologie fppf, on obtient un morphisme canonique \(X/R \to Y\) par lequel se factorise \(X \to Y\). Comme \(X \to Y\) est surjectif, fini et localement libre, il est surjectif comme morphisme de faisceaux (Espaces, lemme 05VM). On en conclut que \(X/R \to Y\) est surjectif comme morphisme de faisceaux. D’autre part, puisque \(R = X \times_Y X\) comme faisceaux, on en conclut que \(X/R \to Y\) est injectif comme morphisme de faisceaux. Ainsi, \(X/R \to Y\) est un isomorphisme, et l’on voit que \(Y\) est représentable.
À ce stade, nous disposons de plusieurs méthodes différentes pour démontrer le lemme suivant.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). S’il existe un morphisme fini, étale et surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, alors il existe un sous-espace ouvert dense de \(X\) qui est un schéma.
Démonstration
Le morphisme \(U \to X\) est fini localement libre. Il existe donc une décomposition de \(X\) en sous-espaces ouverts et fermés \(X_d \subset X\) telle que \(U \times_X X_d \to X_d\) soit fini localement libre de degré \(d\). On peut donc supposer que \(U \to X\) est fini localement libre de degré \(d\). Dans ce cas, soient \(U_i \subset U\), \(i \in I\), les ouverts affines. Pour tout \(i\), le morphisme \(U_i \to X\) est étale et ses fibres sont universellement bornées (à savoir, majorées par \(d\)). Autrement dit, \(X\) est raisonnable, et le résultat découle de la Proposition 03JI.
Démonstration
La question est locale sur \(X\) (Propriétés des espaces, lemme 03JH) ; on peut donc supposer \(X\) quasi-compact. Alors \(U\) est quasi-compact. Il existe alors un sous-schéma ouvert dense \(W \subset U\) qui est séparé (Propriétés, lemme 03J1). Posons \(Z = U \setminus W\). Soit \(R = U \times_X U\), et soient \(s, t : R \to U\) les projections. Alors \(t^{-1}(Z)\) est une partie rare de \(R\) (Topologie, lemme 03HR) et donc \(\Delta = s(t^{-1}(Z))\) est une partie stable par \(R\), fermée et rare dans \(U\) (Morphismes, lemme 03HX). Soit \(u \in U \setminus \Delta\) un point générique d’une composante irréductible. Puisque ces points sont denses dans \(U \setminus \Delta\) et que \(\Delta\) est rare, il suffit de montrer que l’image \(x \in X\) de \(u\) appartient au lieu schématique de \(X\). Remarquons que \(t(s^{-1}(\{u\})) \subset W\) est un ensemble fini de points génériques de composantes irréductibles de \(W\) (comparer avec Propriétés des espaces, lemme 0BAQ). D’après Propriétés, lemme 01ZV, on peut trouver un ouvert affine \(V \subset W\) tel que \(t(s^{-1}(\{u\})) \subset V\). Puisque \(t(s^{-1}(\{u\}))\) est la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\), on conclut par le Lemme 0BA1.
Démonstration
(Cette démonstration est essentiellement identique à la deuxième, mais utilise moins de renvois.) Supposons que \(X\) soit un espace algébrique, que \(U\) soit un schéma et que \(U \to X\) soit un morphisme fini, étale et surjectif. Écrivons \(R = U \times_X U\) et notons, comme d’habitude, \(s, t : R \to U\) les projections. Remarquons que \(s, t\) sont surjectifs, finis et étales. Assertion : la réunion des ouverts affines stables par \(R\) et contenus dans \(U\) est topologiquement dense dans \(U\).
Démonstration de l’assertion. Soit \(W \subset U\) un ouvert affine. Posons \(W' = t(s^{-1}(W)) \subset U\). Comme \(s^{-1}(W)\) est affine (donc quasi-compact), on voit que \(W' \subset U\) est un ouvert quasi-compact. D’après Propriétés, lemme 03J1, il existe un ouvert dense \(W'' \subset W'\) qui est un schéma séparé. Posons \(\Delta' = W' \setminus W''\). C’est une partie fermée rare de \(W'\). Comme \(t|_{s^{-1}(W)} : s^{-1}(W) \to W'\) est ouvert (car il est étale), on voit que l’image inverse \((t|_{s^{-1}(W)})^{-1}(\Delta') \subset s^{-1}(W)\) est une partie fermée rare (voir Topologie, lemme 03HR). Il résulte alors de Morphismes, lemme 03HX, que \[\Delta = s\left((t|_{s^{-1}(W)})^{-1}(\Delta')\right)\] est une partie fermée rare de \(W\). Choisissons un point \(\eta \in W\), \(\eta \not \in \Delta\), qui soit un point générique d’une composante irréductible de \(W\) (et donc de \(U\)). Par les choix effectués ci-dessus, l’ensemble fini \(t(s^{-1}(\{\eta\})) = \{\eta_1, \ldots, \eta_n\}\) est contenu dans le schéma séparé \(W''\). Notons que les fibres de \(s\) sont des espaces discrets finis et que les générisations se relèvent le long du morphisme étale \(t\), voir Morphismes, lemmes 02GS et 03HV. On voit ainsi que chaque \(\eta_i\) est un point générique d’une composante irréductible de \(W''\). Par conséquent, d’après Propriétés, lemme 01ZV, on peut trouver un ouvert affine \(V \subset W''\) tel que \(\{\eta_1, \ldots, \eta_n\} \subset V\). D’après Groupoïdes, lemme 03JE, cela implique que \(\eta\) appartient à un sous-schéma ouvert affine stable par \(R\) de \(U\). L’assertion en résulte, puisque \(W\) a été choisi comme un ouvert affine arbitraire de \(U\) et que l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(W \setminus \Delta\) est dense dans \(W\).
L’assertion permet d’achever la démonstration. En effet, si \(W \subset U\) est un ouvert affine stable par \(R\), alors la restriction \(R_W\) de \(R\) à \(W\) vérifie \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\) (voir Groupoïdes, définition 03BC et la discussion qui suit). En particulier, les morphismes \(R_W \to W\) sont eux aussi finis et étales. Il s’ensuit notamment que \(R_W\) est affine. Ainsi, \(W/R_W\) est un schéma, d’après Groupoïdes, Proposition 03BM. D’autre part, \(W/R_W\) est un sous-espace ouvert de \(X\), d’après Espaces, lemme 02WU. Par conséquent, l’existence d’un ensemble dense de points contenus dans des ouverts affines stables par \(R\) de \(U\) implique bien que le lieu schématique de \(X\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03JH) est un ouvert dense dans \(X\).
Corps résiduels et anneaux locaux henséliens
Pour un espace algébrique décent, nous pouvons définir le corps résiduel et l’anneau local hensélien en un point. Par exemple, le lemme suivant montre que le corps résiduel d’un point d’un espace décent est bien défini.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Considérons l’application \[\{\Spec(k) \to X \text{ monomorphisme où }k\text{ est un corps}\} \longrightarrow |X|\] Cette application est toujours injective. Si \(X\) est décent, elle est bijective.
Démonstration
Nous avons vu dans Propriétés des espaces, lemme 03E1 que cette application est injective en général. D’après le Lemme 03JX, elle est surjective lorsque \(X\) est décent (on peut même dire que cela fait partie de la définition d’un espace décent).
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si un point \(x \in |X|\) peut être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), alors le corps \(k\) est unique à isomorphisme unique près. Pour un espace algébrique décent, un tel monomorphisme existe pour tout point d’après le Lemme 03K4 ; la définition suivante a donc un sens.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Le corps résiduel de \(X\) au point \(x\) est l’unique corps \(\kappa(x)\) muni d’un monomorphisme \(\Spec(\kappa(x)) \to X\) représentant \(x\).
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques décents sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Posons \(y = f(x) \in |Y|\). Alors la composée \(\Spec(\kappa(x)) \to Y\) appartient à la classe d’équivalence qui définit \(y\) et se factorise donc par \(\Spec(\kappa(y)) \to Y\). Autrement dit, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r]_-x \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(\kappa(y)) \ar[r]^-y & Y }\] Le morphisme vertical de gauche correspond à un homomorphisme de corps \(\kappa(y) \to \kappa(x)\). Nous l’appellerons souvent simplement l’homomorphisme induit par \(f\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques décents sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point d’image \(y = f(x) \in |Y|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) induit un isomorphisme \(\kappa(y) \to \kappa(x)\) ;
le morphisme induit \(\Spec(\kappa(x)) \to Y\) est un monomorphisme.
Démonstration
Cela résulte immédiatement de la discussion précédente.
Le lemme suivant montre que l’anneau local hensélien d’un point d’un espace algébrique décent est bien défini.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Pour tout point \(x \in |X|\), il existe un morphisme étale \[(U, u) \longrightarrow (X, x)\] où \(U\) est un schéma affine, \(u\) est l’unique point de \(U\) au-dessus de \(x\), et l’homomorphisme induit \(\kappa(x) \to \kappa(u)\) est un isomorphisme.
Démonstration
On peut supposer que \(X\) est quasi-compact en remplaçant \(X\) par un ouvert quasi-compact contenant \(x\). Rappelons que \(x\) peut être représenté par un (mono)morphisme quasi-compact provenant du spectre d’un corps (par définition des espaces décents). Le lemme résulte donc du Lemme 0BBN.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in X\) un point. Un voisinage étale élémentaire est un morphisme étale \((U, u) \to (X, x)\) où \(U\) est un schéma, \(u \in U\) est un point au-dessus de \(x\), et le morphisme \(u = \Spec(\kappa(u)) \to X\) est un monomorphisme. Un morphisme de voisinages étales élémentaires \((U, u) \to (U', u')\) est, par définition, un morphisme \(U \to U'\) au-dessus de \(X\) qui envoie \(u\) sur \(u'\).
Si \(X\) n’est pas décent, la catégorie des voisinages étales élémentaires peut être vide.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x\) un point de \(X\). La catégorie des voisinages étales élémentaires de \((X, x)\) est cofiltrante (voir Catégories, définition 04AZ).
Démonstration
La catégorie est non vide d’après le Lemme 0BBP. Supposons donnés deux voisinages étales élémentaires \((U_i, u_i) \to (X, x)\). Considérons alors \(U = U_1 \times_X U_2\). Puisque \(\Spec(\kappa(u_i)) \to X\), \(i = 1, 2\), sont tous deux des monomorphismes dans la classe de \(x\) (Lemme 0EMX), on voit que \[u = \Spec(\kappa(u_1)) \times_X \Spec(\kappa(u_2))\] est le spectre d’un corps \(\kappa(u)\) tel que les homomorphismes induits \(\kappa(u_i) \to \kappa(u)\) sont des isomorphismes. Alors \(u \to U\) est un point de \(U\), et l’on voit que \((U, u) \to (X, x)\) est un voisinage étale élémentaire qui domine \((U_i, u_i)\). Si \(a, b : (U_1, u_1) \to (U_2, u_2)\) sont deux morphismes entre nos voisinages étales élémentaires, considérons le schéma \[U = U_1 \times_{(a, b), (U_2 \times_X U_2), \Delta} U_2\] D’après Propriétés des espaces, lemme 03FV, \(U \to X\) est étale. De plus, exactement de la même manière que précédemment, on voit que \(U\) possède un point \(u\) tel que \((U, u) \to (X, x)\) est un voisinage étale élémentaire. Enfin, \(U \to U_1\) égalise \(a\) et \(b\), ce qui achève la démonstration.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). L’anneau local hensélien de \(X\) en \(x\) est \[\mathcal{O}_{X, x}^h = \colim \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] où la limite inductive est prise sur les voisinages étales élémentaires \((U, u) \to (X, x)\).
Voici l’analogue du Propriétés des espaces, lemme 04KF.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Soit \((U, u) \to (X, x)\) un voisinage étale élémentaire. Alors \[\mathcal{O}_{X, x}^h = \mathcal{O}_{U, u}^h\] Autrement dit : l’anneau local hensélien de \(X\) en \(x\) est égal au hensélisé \(\mathcal{O}_{U, u}^h\) de l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) de \(U\) en \(u\).
Démonstration
Puisque la catégorie des voisinages étales élémentaires de \((X, x)\) est cofiltrante (Lemme 0BGV), on voit que la catégorie des voisinages étales élémentaires de \((U, u)\) est initiale dans la catégorie des voisinages étales élémentaires de \((X, x)\). L’égalité résulte alors du Compléments sur les morphismes, lemme 05KS et du Catégories, lemme 04E7 (initiale devient cofinale, car la limite inductive qui définit les anneaux locaux henséliens est prise sur la catégorie opposée de la catégorie des voisinages étales élémentaires).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) au-dessus de \(x \in |X|\). L’anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) de \(X\) en \(\overline{x}\) (Propriétés des espaces, définition 04KG) est le hensélisé strict de l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) de \(X\) en \(x\).
Démonstration
Cela résulte du Lemme 0EMY, de Propriétés des espaces, lemme 04KF et du fait que \((R^h)^{sh} = R^{sh}\) pour un anneau local \((R, \mathfrak m, \kappa)\) et une clôture séparable donnée \(\kappa^{sep}\) de \(\kappa\). Cette égalité résulte du Algèbre, lemme 08HT.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Le corps résiduel de l’anneau local hensélien de \(X\) en \(x\) (Définition 0BGW) est le corps résiduel de \(X\) en \(x\) (Définition 0EMW).
Démonstration
Choisissons un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\). Alors \(\kappa(u) = \kappa(x)\) et \(\mathcal{O}_{X, x}^h = \mathcal{O}_{U, u}^h\) (Lemme 0EMY). Le corps résiduel de \(\mathcal{O}_{U, u}^h\) est \(\kappa(u)\) d’après Algèbre, lemme 04GN (le résultat de ce lemme est la construction/définition du hensélisé d’un anneau local, voir Algèbre, définition 04GQ).
Remarque
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques décents sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\). Choisissons des points géométriques compatibles \((\overline{x} \to X, \overline{y} = f(\overline{x}) \to Y)\) au-dessus de \((x, y)\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((V, v) \to (Y, y)\) (ce qui est possible d’après le Lemme 0BBP). Alors \(V \times_Y X\) est un espace algébrique étale sur \(X\) qui possède un unique point \(x'\) dont les images sont \(x\) dans \(X\) et \(v\) dans \(V\). (Les détails sont omis; on utilise le fait que tous les points peuvent être représentés par des monomorphismes provenant de spectres de corps.) Choisissons un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (V \times_Y X, x')\). Nous obtenons alors le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}_{U, u}) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}^h) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{V, v}) \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] Cela provient des identifications \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\), \(\mathcal{O}_{X, x}^h = \mathcal{O}_{U, u}^h\), \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}\), \(\mathcal{O}_{Y, y}^h = \mathcal{O}_{V, v}^h\) données par le Lemme 0EMY et par Propriétés des espaces, lemme 04KF, ainsi que de la fonctorialité de l’hensélisation (stricte) étudiée dans Algèbre, sections 0BSG et 0BSK.
Points des espaces décents
Dans cette section, nous démontrons quelques propriétés des points des espaces algébriques décents. Le lemme suivant montre que la spécialisation des points se comporte bien dans les espaces algébriques décents. Espaces, exemple 02Z8 montre que ceci n’est pas vrai en général.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale d’un schéma vers \(X\). Si \(u, u' \in |U|\) ont même image dans \(|X|\) et si \(u' \leadsto u\), alors \(u = u'\).
Démonstration
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soient \(x, x' \in |X|\) et supposons que \(x' \leadsto x\), c’est-à-dire que \(x\) est une spécialisation de \(x'\). Alors, pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\) d’un schéma \(U\) vers X et tout \(u \in U\) tel que \(\varphi(u) = x\), il existe un point \(u'\in U\) tel que \(u' \leadsto u\) et \(\varphi(u') = x'\).
Démonstration
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Alors \(|X|\) est un espace de Kolmogorov (voir Topologie, définition 004X).
Démonstration
Soient \(x_1, x_2 \in |X|\) tels que \(x_1 \leadsto x_2\) et \(x_2 \leadsto x_1\). Nous devons montrer que \(x_1 = x_2\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tels que \(x_1, x_2\) appartiennent tous deux à l’image de \(|U| \to |X|\). D’après le Lemme 03IL, nous pouvons trouver une spécialisation \(u_1 \leadsto u_2\) dans \(U\) qui s’envoie sur \(x_1 \leadsto x_2\). D’après le Lemme 03IL, il existe \(u_2' \leadsto u_1\) qui s’envoie sur \(x_2 \leadsto x_1\). Ainsi, \(u_2' \leadsto u_2\) est une spécialisation entre des points de \(U\) qui s’envoient sur le même point de \(X\), à savoir \(x_2\). Cela n’est possible que si \(u_2' = u_2\), voir le Lemme 03K5. Par conséquent, \(u_1 = u_2\) également, comme voulu.
Proposition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Alors l’espace topologique \(|X|\) est sobre (voir Topologie, définition 004X).
Démonstration
Nous avons vu au Lemme 03K3 que \(|X|\) est un espace de Kolmogorov. Il reste donc à montrer que toute partie fermée irréductible \(T \subset |X|\) possède un point générique. D’après Propriétés des espaces, lemme 03IQ, il existe un sous-espace fermé \(Z \subset X\) tel que \(|Z| = T\). Par définition, cela signifie que \(Z \to X\) est un morphisme représentable d’espaces algébriques. Ainsi, \(Z\) est un espace algébrique décent d’après le Lemme 03KF. Le Théorème 086U montre qu’il existe un sous-espace ouvert dense \(Z' \subset Z\) qui est un schéma. Cela signifie que \(|Z'| \subset T\) est ouvert dense. L’espace topologique \(|Z'|\) est donc irréductible, ce qui signifie que \(Z'\) est un schéma irréductible. D’après Schémas, lemme 01IS, on conclut que \(|Z'|\) est l’adhérence d’un seul point \(\eta \in T\), et donc aussi que \(T = \overline{\{\eta\}}\), ce qui achève la preuve.
Pour les espaces algébriques décents, la dimension se comporte comme prévu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. La dimension telle qu’elle est définie dans Propriétés des espaces, section 04N3 se comporte bien sur les espaces algébriques décents \(X\) au-dessus de \(S\).
Si \(x \in |X|\), alors \(\dim_x(|X|) = \dim_x(X)\), et
\(\dim(|X|) = \dim(X)\).
Démonstration
Démonstration de (1). Choisissons un schéma \(U\) muni d’un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(h : U \to X\) qui envoie \(u\) sur \(x\). Par définition, la dimension de \(X\) en \(x\) est \(\dim_u(|U|)\). Nous pouvons donc choisir \(U\) tel que \(\dim_x(X) = \dim(|U|)\). Soit \(d\) un entier. Si \(\dim(U) \geq d\), il existe alors une suite de spécialisations non triviales \(u_d \leadsto \ldots \leadsto u_0\) dans \(U\). En prenant l’image, nous trouvons une suite correspondante \(h(u_d) \leadsto \ldots \leadsto h(u_0)\) dont chacune des spécialisations est non triviale d’après le Lemme 03K5. Ainsi, l’image de \(|U|\) dans \(|X|\) est de dimension au moins \(d\). Réciproquement, supposons que \(x_d \leadsto \ldots \leadsto x_0\) soit une suite de spécialisations dans \(|X|\) telle que \(x_0\) appartienne à l’image de \(|U| \to |X|\). Nous pouvons alors la relever en une suite de spécialisations dans \(U\) d’après le Lemme 03IL.
La partie (2) est une conséquence immédiate de la partie (1), de Topologie, lemme 0B7I, et de Propriétés des espaces, section 04N3.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme localement quasi-fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\). Alors la dimension de l’anneau local de \(Y\) en \(y\) est \(\geq\) celle de l’anneau local de \(X\) en \(x\).
Démonstration
La définition de la dimension de l’anneau local d’un point d’un espace algébrique est donnée dans Propriétés des espaces, définition 04NA. Choisissons un morphisme étale \((V, v) \to (Y, y)\) où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale \(U \to V \times_Y X\) et un point \(u \in U\) qui s’envoie sur \(x \in |X|\) et sur \(v \in V\). Alors \(U \to V\) est localement quasi-fini et nous devons démontrer que \[\dim(\mathcal{O}_{V, v}) \geq \dim(\mathcal{O}_{U, u})\] C’est Algèbre, lemme 00QF.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme localement quasi-fini d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(\dim(X) \leq \dim(Y)\).
Démonstration
Cela résulte du Lemme 0ABW et de Propriétés des espaces, lemme 0BAN.
Le lemme suivant est très légèrement plus fort que Propriétés des espaces, lemme 03DZ. Nous améliorerons ce lemme au Lemme 047Z.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et supposons qu’il existe un morphisme étale surjectif \(\Spec(k) \to X\). Si \(X\) est décent, alors \(X \cong \Spec(k')\), où \(k/k'\) est une extension finie séparable.
Démonstration
L’hypothèse implique que \(|X| = \{x\}\) ne possède qu’un point. Comme \(X\) est décent, il existe un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k') \to X\) dont l’image est \(x\). Alors la projection \(U = \Spec(k') \times_X \Spec(k) \to \Spec(k)\) est un monomorphisme, d’où \(U = \Spec(k)\), voir Schémas, lemme 03DP. Par conséquent, la projection \(\Spec(k) = U \to \Spec(k')\) est étale, ce qui achève la preuve.
Espaces réduits à point unique
Un espace à point unique est un espace algébrique \(X\) tel que \(|X|\) est réduit à un point. De tels espaces peuvent en fait être plus intéressants que le seul spectre d’un corps, voir Espaces, exemple 02Z6. Nous développons un peu de formalisme afin de pouvoir en parler.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to Z\) un morphisme surjectif et plat. Alors tout morphisme \(\Spec(k') \to Z\), où \(k'\) est un corps, est surjectif et plat.
Démonstration
Considérons le carré cartésien \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & \Spec(k) \ar[d] \\ \Spec(k') \ar[r] & Z }\] Notons que \(T \to \Spec(k')\) est plat et surjectif, de sorte que \(T\) n’est pas vide. D’autre part, \(T \to \Spec(k)\) est plat puisque \(k\) est un corps. Ainsi, \(T \to Z\) est plat et surjectif. Il résulte de Morphismes d’espaces, lemme 05VY que \(\Spec(k') \to Z\) est plat. Ce morphisme est surjectif puisque l’hypothèse entraîne que \(|Z|\) est réduit à un point.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(Z\) est réduit et \(|Z|\) est réduit à un point,
il existe un morphisme plat surjectif \(\Spec(k) \to Z\) où \(k\) est un corps, et
il existe un morphisme localement de type fini, surjectif et plat \(\Spec(k) \to Z\), où \(k\) est un corps.
Démonstration
Supposons (1). Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif. Alors \(W\) est un schéma réduit. Soit \(\eta \in W\) un point générique d’une composante irréductible de \(W\). Comme \(W\) est réduit, on a \(\mathcal{O}_{W, \eta} = \kappa(\eta)\). Il s’ensuit que le morphisme canonique \(\eta = \Spec(\kappa(\eta)) \to W\) est plat. On voit que le composé \(\eta \to Z\) est plat (voir Morphismes d’espaces, lemme 03MN). Il est aussi surjectif puisque \(|Z|\) est réduit à un point. Autrement dit, (2) est satisfaite.
Supposons (2). Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme plat surjectif \(\Spec(k) \to Z\). Alors \(W \times_Z \Spec(k)\) est un schéma étale sur \(k\). Ainsi, \(W \times_Z \Spec(k)\) est une réunion disjointe de spectres de corps (voir la Remarque 03II), donc est en particulier réduit. Comme \(W \times_Z \Spec(k) \to W\) est plat et surjectif, on conclut que \(W\) est réduit (Descente, lemme 06QM). Autrement dit, (1) est satisfaite.
Il est clair que (3) implique (2). Enfin, supposons (2). Choisissons un schéma affine non vide \(W\) et un morphisme étale \(W \to Z\). Choisissons un point fermé \(w \in W\) et posons \(k = \kappa(w)\). Le composé \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow Z\] est localement de type fini d’après Morphismes d’espaces, lemmes 03XG et 06LT. Il est également plat et surjectif d’après le Lemme 06QV. Ainsi, (3) est satisfaite.
Le lemme suivant isole une classe d’espaces algébriques à point unique légèrement meilleure que celle du lemme précédent.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(Z\) est réduit, localement noethérien, et \(|Z|\) est réduit à un point, et
il existe un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to Z\), où \(k\) est un corps.
Démonstration
Supposons (2) satisfaite. D’après le Lemme 06QW, on voit que \(Z\) est réduit et que \(|Z|\) est réduit à un point. Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to Z\). Alors \(W \times_Z \Spec(k)\) est un schéma étale sur \(k\), donc une réunion disjointe de spectres de corps (voir la Remarque 03II), donc localement noethérien. Comme \(W \times_Z \Spec(k) \to W\) est plat, surjectif et localement de présentation finie, on voit que \(\{W \times_Z \Spec(k) \to W\}\) est un recouvrement fppf, et on conclut que \(W\) est localement noethérien (Descente, lemme 034C). Autrement dit, (1) est satisfaite.
Supposons (1). Choisissons un schéma affine non vide \(W\) et un morphisme étale \(W \to Z\). Choisissons un point fermé \(w \in W\) et posons \(k = \kappa(w)\). Comme \(W\) est localement noethérien, le morphisme \(w : \Spec(k) \to W\) est de présentation finie, voir Morphismes, lemme 01TV. Par conséquent, le composé \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow Z\] est localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, lemmes 03XQ et 0468. Il est aussi plat et surjectif d’après le Lemme 06QV. Ainsi, (2) est satisfaite.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z' \to Z\) un monomorphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons qu’il existe un corps \(k\) et un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to Z\). Alors ou bien \(Z'\) est vide, ou bien \(Z' = Z\).
Démonstration
Nous pouvons supposer que \(Z'\) est non vide. Dans ce cas, le produit fibré \(T = Z' \times_Z \Spec(k)\) est non vide, voir Propriétés des espaces, lemme 03H4. Maintenant, \(T\) est un espace algébrique et la projection \(T \to \Spec(k)\) est un monomorphisme. Ainsi, \(T = \Spec(k)\), voir Morphismes d’espaces, lemme 06MG. On conclut que \(\Spec(k) \to Z\) se factorise par \(Z'\). Mais comme \(\Spec(k) \to Z\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, on voit que \(\Spec(k) \to Z\) est surjectif comme application de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) (voir Espaces, remarque 02YN), et on conclut que \(Z' = Z\).
Le lemme suivant affirme qu’à chaque point d’un espace algébrique on peut associer un espace algébrique canonique, réduit, localement noethérien et à point unique.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Alors il existe un unique monomorphisme \(Z \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\) tel que \(Z\) soit un espace algébrique satisfaisant aux conditions équivalentes du Lemme 06QX et tel que l’image de \(|Z| \to |X|\) soit \(\{x\}\).
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Posons \(R = U \times_X U\) ; alors \(X = U/R\) est une présentation (voir Espaces, section 0261). Posons \[U' = \coprod\nolimits_{u \in U\text{ au-dessus de }x} \Spec(\kappa(u)).\] Le morphisme canonique \(U' \to U\) est un monomorphisme. Posons \[R' = U' \times_X U' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U').\] Comme \(U' \to U\) est un monomorphisme, on voit que les projections \(s', t' : R' \to U'\) se factorisent en un monomorphisme suivi d’un morphisme étale. Ainsi, puisque \(U'\) est une réunion disjointe de spectres de corps, en utilisant la Remarque 03II, et Schémas, lemme 03DP, on conclut que \(R'\) est une réunion disjointe de spectres de corps et que les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont étales. Ainsi, \(Z = U'/R'\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW. Comme \(R'\) est la restriction de \(R\) induite par \(U' \to U\), on voit que \(Z \to X\) est un monomorphisme d’après Groupoïdes, lemme 02VH. Puisque \(Z \to X\) est un monomorphisme, on voit que \(|Z| \to |X|\) est injective, voir Morphismes d’espaces, lemme 06RV. D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, on voit que \[|U'| = |Z \times_X U'| \to |Z| \times_{|X|} |U'|\] est surjective, ce qui implique (par notre choix de \(U'\)) que l’image de \(|Z| \to |X|\) est \(\{x\}\). On conclut que \(|Z|\) est réduit à un point. Enfin, par construction, \(U'\) est localement noethérien et réduit, c’est-à-dire que \(Z\) satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 06QX.
Prouvons l’unicité de \(Z \to X\). Supposons que \(Z' \to X\) soit un second monomorphisme d’espaces algébriques ayant ces propriétés. Alors les projections \[Z' \longleftarrow Z' \times_X Z \longrightarrow Z\] sont des monomorphismes. L’espace algébrique du milieu est non vide d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. Par conséquent, les deux projections sont des isomorphismes d’après le Lemme 06QY, ce qui achève la preuve.
Nous introduisons la terminologie suivante, qui préfigure les gerbes résiduelles que nous introduirons plus tard, voir Propriétés des champs, définition 06MU.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). L’ espace résiduel de \(X\) en \(x\)2 est le monomorphisme \(Z_x \to X\) construit dans le Lemme 06QZ.
En particulier, nous savons que \(Z_x\) est un espace algébrique localement noethérien, réduit et à point unique, et qu’il existe un corps et un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \[\Spec(k) \longrightarrow Z_x.\] L’espace résiduel est souvent donné par un monomorphisme provenant du spectre d’un corps.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). L’espace résiduel \(Z_x\) de \(X\) en \(x\) est isomorphe au spectre d’un corps si et seulement si \(x\) peut être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps. Si \(X\) est décent, cela vaut pour tout \(x \in |X|\).
Démonstration
Puisque \(Z_x \to X\) est un monomorphisme, si \(Z_x = \Spec(k)\) pour un corps \(k\), alors \(x\) est représenté par le monomorphisme \(\Spec(k) = Z_x \to X\). Réciproquement, si \(\Spec(k) \to X\) est un monomorphisme représentant \(x\), alors \(Z_x \times_X \Spec(k) \to \Spec(k)\) est un monomorphisme dont la source est non vide d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. Ainsi, \(Z_x \times_X \Spec(k) = \Spec(k)\) d’après Morphismes d’espaces, lemme 06MG. On obtient donc un monomorphisme \(\Spec(k) \to Z_x\). C’est un isomorphisme d’après le Lemme 06QY. La dernière assertion découle du Lemme 03K4.
L’espace résiduel est un espace algébrique régulier d’après le lemme suivant.
Lemme
Un espace algébrique \(Z\) réduit, localement noethérien et à point unique est régulier.
Démonstration
Soit \(Z\) un espace algébrique réduit, localement noethérien et à point unique sur un schéma \(S\). Soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif, où \(W\) est un schéma. Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to Z\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie (voir le Lemme 06QX). Le schéma \(T = W \times_Z \Spec(k)\) est étale sur \(k\), donc en particulier régulier, voir la Remarque 03II. Comme \(T \to W\) est localement de présentation finie, plat et surjectif, il s’ensuit que \(W\) est régulier, voir Descente, lemme 06QN. Par définition, cela signifie que \(Z\) est régulier.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Supposons que
\(|f|(|Y|)\) soit contenu dans \(\{x\} \subset |X|\),
\(Y\) soit réduit, et
\(X\) soit localement noethérien.
Alors \(f\) se factorise par l’espace résiduel \(Z_x\) de \(X\) en \(x\).
Démonstration
Remarque préliminaire : puisque \(Z_x \to X\) est un monomorphisme, il suffit de trouver un morphisme étale surjectif \(Y' \to Y\) tel que \(Y' \to X\) se factorise par \(Z_x\). Remarquons ici que \(Y'\) est également réduit.
Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme étale tel que \(x\) appartienne à l’image de \(|U| \to |X|\). Comme \(X\) est localement noethérien, \(U\) est un schéma affine noethérien. En vertu de (1), on voit que \(Y' = U \times_X Y \to Y\) est un morphisme étale surjectif. Notons \(E \subset |U|\) l’ensemble des points d’image \(x\). Il n’existe aucune spécialisation non triviale entre les éléments de \(E\), voir le Lemme 0H1Q. Le morphisme \(Y' \to U\) envoie \(|Y'|\) dans \(E\). Par notre construction de \(Z_x\) dans la preuve du Lemme 06QZ, nous savons que \(\coprod_{u \in E} u \to X\) se factorise par \(Z_x\). Il suffit donc de démontrer que \(Y' \to U\) se factorise par \(\coprod_{u \in E} u \to U\). Après avoir remplacé \(Y'\) par un recouvrement étale par un schéma (ce que permet notre remarque préliminaire), cela résulte de Morphismes, lemme 0H1N.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Supposons que
\(|f|(|Y|)\) soit contenu dans \(\{x\} \subset |X|\),
\(Y\) soit réduit, et
\(x\) puisse être représenté par un monomorphisme quasi-compact \(x : \Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps (par exemple si \(X\) est décent).
Alors \(f\) se factorise par l’espace résiduel \(Z_x = \Spec(k)\) de \(X\) en \(x\).
Démonstration
D’après le Lemme 0H1R, on a \(Z_x = \Spec(k)\).
Remarque préliminaire : puisque \(\Spec(k) \to X\) est un monomorphisme, il suffit de trouver un morphisme étale surjectif \(Y' \to Y\) tel que \(Y' \to X\) se factorise par \(Z_x\). Remarquons ici que \(Y'\) est également réduit.
Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert quasi-compact de \(x\), nous pouvons supposer \(X\) quasi-compact. D’après le Lemme 0BBN, \(x\) est un point de \(T \subset U \subset X\), où \(T \to U\) (resp. \(U \to X\)) est une immersion fermée (resp. ouverte), et \(T\) est un schéma. D’après Propriétés des espaces, lemme 03IE, \(f\) se factorise par \(U\) ; nous pouvons donc supposer \(U = X\). Alors \(f\) se factorise par \(T\) puisque \(Y\) est réduit, voir Propriétés des espaces, lemme 03JJ. Nous pouvons donc supposer que \(X = T\) est un schéma. D’après notre remarque préliminaire, nous pouvons aussi supposer que \(Y\) est un schéma. Nous sommes ainsi ramenés à Morphismes, lemme 0H1M.
Exemple
Voici un contre-exemple aux Lemmes 0H1S et 0H1T lorsque \(X\) n’est ni localement noethérien ni décent. Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un groupe profini infini. Soit \(Y\) le groupe \(G\) vu comme un \(k\)-schéma en groupes affine de dimension zéro, c’est-à-dire \(Y = \Spec(\text{applications localement constantes } G \to k)\). Soit \(\Gamma\) le groupe \(G\) vu comme un \(k\)-schéma en groupes discret, opérant sur \(Y\) par translations. Posons \(X = Y/\Gamma\). C’est un espace algébrique réduit à un point, muni de la projection \(q : Y \to X\). Soit \(e \in G\) l’élément neutre (n’importe quel élément conviendrait), et regardons-le comme un \(k\)-point de \(Y\). On obtient un \(k\)-point \(x : \Spec(k) \to X\) qui est un monomorphisme, puisqu’il est une section de \(X \to \Spec(k)\). Nous affirmons que (bien que \(Y\) soit affine et réduit et que \(|X| = \{x\}\)) le morphisme \(q\) ne se factorise par aucun morphisme \(\Spec(K) \to X\), où \(K\) est un corps. Sinon, il se factoriserait par \(x\) d’après Propriétés des espaces, lemme 0H2X. Or, le changement de base de \(q\) par \(x\) est \(\Gamma \to \Spec(k)\), la projection \(\Gamma \to Y\) étant l’application d’orbite \(g \mapsto g \cdot e\). Cette dernière n’a pas de section, d’où l’assertion.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\), et soit \(Z_x \subset X\) son espace résiduel. Supposons que \(X\) soit localement noethérien. Alors \(x\) est un point fermé de \(|X|\) si et seulement si le morphisme \(Z_x \to X\) est une immersion fermée.
Démonstration
Si \(Z_x \to X\) est une immersion fermée, alors \(x\) est un point fermé de \(|X|\), voir Morphismes d’espaces, lemme 04CD. Réciproquement, supposons que \(x\) soit un point fermé de \(|X|\). Soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé réduit tel que \(|Z| = \{x\}\) (Propriétés des espaces, lemme 03IQ). Alors \(Z\) est localement noethérien d’après Morphismes d’espaces, lemmes 06ED et 04ZK. Puisque \(Z\) est également réduit et que \(|Z| = \{x\}\), \(Z = Z_x\) est l’espace résiduel par définition.
Espaces décents
Dans cette section, nous rassemblons quelques faits utiles sur les espaces décents.
Lemme
Tout espace algébrique décent localement noethérien est quasi-séparé.
Démonstration
En effet, soit \(X\) un espace algébrique (sur un schéma de base quelconque, par exemple sur \(\mathbf{Z}\)) qui est décent et localement noethérien. Soient \(U \to X\) et \(V \to X\) des morphismes étales, où \(U\) et \(V\) sont des schémas affines. Nous devons montrer que \(W = U \times_X V\) est quasi-compact (Propriétés des espaces, lemme 0AHR). Puisque \(X\) est localement noethérien, les schémas \(U\), \(V\) sont noethériens et \(W\) est localement noethérien. Puisque \(X\) est décent, les fibres du morphisme \(W \to U\) sont finies. En effet, on peut représenter tout \(x \in |X|\) par un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to X\). Alors \(U_k\) et \(V_k\) sont des réunions disjointes finies de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) (Remarque 03II), et nous voyons que \(W_k = U_k \times_{\Spec(k)} V_k\) est fini. Soit \(n\) le degré maximal d’une fibre de \(W \to U\) en un point générique d’une composante irréductible de \(U\). Considérons la stratification \[U = U_0 \supset U_1 \supset U_2 \supset \ldots\] associée à \(W \to U\) dans Compléments sur les morphismes, lemme 086R. Par le choix de \(n\) ci-dessus, nous concluons que \(U_{n + 1}\) est vide. Nous voyons donc que les fibres de \(W \to U\) sont universellement bornées. Nous pouvons alors appliquer Compléments sur les morphismes, lemme 07RY pour trouver une stratification \[\emptyset = Z_{-1} \subset Z_0 \subset Z_1 \subset Z_2 \subset \ldots \subset Z_n = U\] par des parties fermées telle que, si \(S_r = Z_r \setminus Z_{r - 1}\), le morphisme \(W \times_U S_r \to S_r\) soit fini localement libre. Puisque \(U\) est noethérien, les schémas \(S_r\) sont noethériens, donc les schémas \(W \times_U S_r\) sont noethériens, et par conséquent \(W = \coprod W \times_U S_r\) est quasi-compact, comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\).
Si \(|X|\) est réduit à un point, alors \(X\) est un schéma.
Si \(|X|\) est réduit à un point et que \(X\) est réduit, alors \(X \cong \Spec(k)\) pour un corps \(k\).
Démonstration
Supposons que \(|X|\) soit réduit à un point. Il résulte immédiatement du Théorème 086U que \(X\) est un schéma, mais nous pouvons aussi raisonner directement comme suit. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Posons \(R = U \times_X U\). Alors \(U\) et \(R\) ont un nombre fini de points d’après le Lemme 03JV (et la définition d’un espace décent). Tous ces points sont fermés dans \(U\) et \(R\) d’après le Lemme 03K5. Il s’ensuit que \(U\) et \(R\) sont des schémas affines. Nous pouvons restreindre \(U\) à un espace réduit à un point. Alors \(U\) est le spectre d’un anneau local hensélien, voir Algèbre, lemme 06RS. Les projections \(R \to U\) sont étales, donc finies et étales puisque \(U\) est le spectre d’un anneau local hensélien de dimension \(0\), voir Algèbre, lemme 04GG. Il s’ensuit que \(X\) est un schéma d’après Groupoïdes, Proposition 03BM.
L’assertion (2) découle de (1) et du fait qu’un schéma réduit dont l’espace sous-jacent est réduit à un point est le spectre d’un corps.
Remarque
Nous verrons dans Limites d’espaces, lemme 07VU qu’un espace algébrique dont la réduction est un schéma est un schéma.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[rr] \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & S }\] Supposons que le point image \(s \in S\) de \(\Spec(k) \to S\) soit un point fermé et que \(\kappa(s) \subset k\) soit une extension algébrique. Alors le point image \(x\) de \(\Spec(k) \to X\) est un point fermé de \(|X|\).
Démonstration
Supposons que \(x \leadsto x'\) pour un \(x' \in |X|\). Choisissons un morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, et un point \(u' \in U\) qui s’envoie sur \(x'\). Choisissons une spécialisation \(u \leadsto u'\) dans \(U\), où \(u\) s’envoie sur \(x\) dans \(X\), voir le Lemme 03IL. Alors \(u\) est l’image d’un point \(w\) du schéma \(W = \Spec(k) \times_X U\). Puisque la projection \(W \to \Spec(k)\) est étale, nous voyons que \(\kappa(w) \supset k\) est une extension finie. Ainsi \(\kappa(w) \supset \kappa(s)\) est algébrique. Ainsi \(\kappa(u) \supset \kappa(s)\) est algébrique. Donc \(u\) est un point fermé de \(U\) d’après Morphismes, lemme 01TE. Ainsi \(u = u'\), d’où \(x = x'\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[rr] \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & S }\] Supposons que le point image \(s \in S\) de \(\Spec(k) \to S\) soit un point fermé et que l’extension de corps \(k/\kappa(s)\) soit finie. Alors \(\Spec(k) \to X\) est un morphisme fini. Si \(\kappa(s) = k\), alors \(\Spec(k) \to X\) est une immersion fermée.
Démonstration
D’après le Lemme 07U5, le point image \(x \in |X|\) est fermé. Soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé réduit tel que \(|Z| = \{x\}\) (Propriétés des espaces, lemme 03IQ). Remarquons que \(Z\) est un espace algébrique décent d’après le Lemme 0ABT. D’après le Lemme 047Z, nous voyons que \(Z = \Spec(k')\) pour un corps \(k'\). Bien sûr, \(k \supset k' \supset \kappa(s)\). Alors \(\Spec(k) \to Z\) est un morphisme fini de schémas, et \(Z \to X\) est un morphisme fini puisqu’il s’agit d’une immersion fermée. Par conséquent, \(\Spec(k) \to X\) est fini (Morphismes d’espaces, lemme 03ZR). Si \(k = \kappa(s)\), alors \(\Spec(k) = Z\) et \(\Spec(k) \to X\) est une immersion fermée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Supposons que \(X\) soit un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point fermé. Alors \(x\) peut être représenté par une immersion fermée \(i : \Spec(k) \to X\) provenant du spectre d’un corps.
Démonstration
Nous savons que \(x\) peut être représenté par un monomorphisme quasi-compact \(i : \Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps (Définition 03I8). Soit \(U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma affine. Comme \(x\) est fermé et que \(X\) est décent, la fibre \(F\) de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est formée de points fermés (Lemme 03K5). Puisque \(i\) est un monomorphisme, il en va de même de \(U_k = U \times_X \Spec(k) \to U\). En particulier, l’application \(|U_k| \to F\) est injective. Comme \(U_k\) est quasi-compact et étale sur un corps, nous voyons que \(U_k\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps (Remarque 03II). Écrivons \(U_k = \Spec(k_1) \amalg \ldots \amalg \Spec(k_r)\). Puisque \(\Spec(k_i) \to U\) est un monomorphisme, nous voyons que son image \(u_i\) a pour corps résiduel \(\kappa(u_i) = k_i\). Comme \(u_i \in F\) est un point fermé, nous concluons que le morphisme \(\Spec(k_i) \to U\) est une immersion fermée. Puisque les \(u_i\) sont deux à deux distincts, \(U_k \to U\) est une immersion fermée. Par conséquent, \(i\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, lemme 03M4). Cela achève la preuve.
Espaces localement séparés
Il se trouve qu’un espace algébrique localement séparé est décent.
Lemme
Soit \(A\) un anneau. Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathfrak p_n\), \(n \geq 1\), une suite d’idéaux premiers deux à deux distincts de \(A\). De plus, pour chaque \(n\), soit \(k \to \kappa(\mathfrak p_n)\) un plongement. Alors l’adhérence de l’image de \[\coprod\nolimits_{n \not = m} \Spec(\kappa(\mathfrak p_n) \otimes_k \kappa(\mathfrak p_m)) \longrightarrow \Spec(A \otimes A)\] rencontre la diagonale.
Démonstration
Posons \(k_n = \kappa(\mathfrak p_n)\). Nous pouvons supposer que \(A = \prod k_n\). Notons \(x_n = \Spec(k_n)\) le point ouvert et fermé correspondant à \(A \to k_n\). Alors \(\Spec(A) = Z \amalg \{x_n\}\), où \(Z\) est une partie fermée non vide. En effet, \(Z = V(e_n; n \geq 1)\), où \(e_n\) est l’idempotent de \(A\) correspondant au facteur \(k_n\), et \(Z\) est non vide car l’idéal engendré par les \(e_n\) n’est pas égal à \(A\). Nous allons montrer que l’adhérence de l’image contient \(\Delta(Z)\). Le noyau de l’application \[(\prod k_n) \otimes_k (\prod k_m) \longrightarrow \prod\nolimits_{n \not = m} k_n \otimes_k k_m\] est l’idéal engendré par les \(e_n \otimes e_n\), \(n \geq 1\). Par conséquent, l’adhérence de l’image du morphisme induit sur les spectres est \(V(e_n \otimes e_n; n \geq 1)\), dont l’intersection avec \(\Delta(\Spec(A))\) est \(\Delta(Z)\). Il suffit donc de montrer que \[\coprod\nolimits_{n \not = m} \Spec(k_n \otimes_k k_m) \longrightarrow \Spec(\prod\nolimits_{n \not = m} k_n \otimes_k k_m)\] a une image dense. Cela résulte du fait que la famille d’homomorphismes d’anneaux \(\prod_{n \not = m} k_n \otimes_k k_m \to k_n \otimes_k k_m\) est conjointement injective.
Lemme
Un espace algébrique localement séparé est décent.
Démonstration
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique localement séparé sur \(S\). Nous pouvons supposer que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\), voir Propriétés des espaces, Définition 03BS. Les produits fibrés sans indication seront pris au-dessus de \(\mathbf{Z}\). Soit \(x \in |X|\). Choisissons un schéma \(U\), un morphisme étale \(U \to X\) et un point \(u \in U\) qui s’envoie sur \(x\) dans \(|X|\). Comme d’habitude, nous identifions \(u = \Spec(\kappa(u))\). Puisque \(X\) est localement séparé, le morphisme \[u \times_X u \to u \times u\] est une immersion (Morphismes d’espaces, lemme 03KN). Par conséquent, Compléments sur les groupoïdes, lemme 04Q9 nous dit que c’est une immersion fermée (en utilisant Schémas, lemme 01IQ). Puisque \(u \times_X u \to u \times_X U\) est un monomorphisme (changement de base de \(u \to U\)) et que \(u \times_X U \to u\) est étale, nous concluons que \(u \times_X u\) est une réunion disjointe de spectres de corps (voir la Remarque 03II et Schémas, lemme 03DP). Puisqu’elle est aussi fermée dans le schéma affine \(u \times u\), nous concluons que \(u \times_X u\) est une réunion disjointe finie de spectres de corps. Ainsi, \(x\) peut être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps, voir le Lemme 03JU.
Ensuite, soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme étale. Pour terminer la preuve, il suffit de montrer que \(F = U \times_X \Spec(k)\) est fini. Écrivons \(F = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) comme la réunion disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). Nous devons montrer que \(I\) est fini. Posons \(R = U \times_X U\). Puisque \(X\) est localement séparé, le morphisme \(j : R \to U \times U\) est une immersion. Soit \(U' \subset U \times U\) un ouvert tel que \(j\) se factorise par une immersion fermée \(j' : R \to U'\). Soit \(e : U \to R\) l’application diagonale. Comme \(e\) est un morphisme entre schémas étales sur \(U\) tel que \(\Delta = j \circ e\) soit une immersion fermée, nous concluons que \(R = e(U) \amalg W\) pour un sous-schéma ouvert et fermé \(W \subset R\). Puisque \(j'\) est une immersion fermée, nous concluons que \(j'(W) \subset U'\) est fermé et disjoint de \(j'(e(U))\). Par conséquent, \(\overline{j(W)} \cap \Delta(U) = \emptyset\) dans \(U \times U\). Remarquons que \(W\) contient \(\Spec(k_i \otimes_k k_{i'})\) pour tous \(i \not = i'\), \(i, i' \in I\). D’après le Lemme 088I, nous concluons que \(I\) est fini, comme voulu.
Critère valuatif
Pour un morphisme quasi-compact de source un espace décent, le critère valuatif est une condition nécessaire pour que le morphisme soit universellement fermé.
Proposition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et que \(X\) soit décent. Alors \(f\) est universellement fermé si et seulement si la partie d’existence du critère valuatif est satisfaite.
Démonstration
Dans Morphismes d’espaces, lemme 03KA, nous avons vu l’une des implications. Pour démontrer l’autre, supposons \(f\) universellement fermé. Soit \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] un diagramme comme dans Morphismes d’espaces, définition 03IX. Posons \(X_A = \Spec(A) \times_Y X\) ; on a alors \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[rd] & X_A \ar[d] \\ & \Spec(A) }\] D’après Morphismes d’espaces, lemme 03HF, \(X_A \to \Spec(A)\) est quasi-compact. Comme \(X_A \to X\) est représentable, \(X_A\) est lui aussi décent ; voir le Lemme 03KF. De plus, puisque \(f\) est universellement fermé, \(X_A \to \Spec(A)\) est universellement fermé. On peut donc remplacer, et l’on remplace, \(X\) par \(X_A\) et \(Y\) par \(\Spec(A)\).
Soit \(x' \in |X|\) la classe d’équivalence du morphisme \(\Spec(K) \to X\). Soit \(y \in |Y| = |\Spec(A)|\) le point fermé. Posons \(y' = f(x')\) ; c’est le point générique de \(\Spec(A)\). Comme \(f\) est universellement fermé, \(f(\overline{\{x'\}})\) contient \(\overline{\{y'\}}\), donc contient \(y\). Soit \(x \in \overline{\{x'\}}\) un point tel que \(f(x) = y\). Soit \(U\) un schéma, et soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale tel qu’il existe un point \(u \in U\) avec \(\varphi(u) = x\). D’après le Lemme 03K2 et l’hypothèse selon laquelle \(X\) est décent, il existe une spécialisation \(u' \leadsto u\) dans \(U\) telle que \(\varphi(u') = x'\). Cela signifie qu’il existe une extension de corps commune \(K \subset K' \supset \kappa(u')\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d] \\ & \Spec(A) }\] soit commutatif. On obtient le diagramme commutatif d’anneaux suivant : \[\xymatrix{ K' & \mathcal{O}_{U, u} \ar[l] \\ K \ar[u] & \\ & A \ar[lu] \ar[uu] }\] D’après Algèbre, lemme 00IA, on peut trouver un anneau de valuation \(A' \subset K'\) qui domine l’image de \(\mathcal{O}_{U, u}\) dans \(K'\). Comme, par construction, \(\mathcal{O}_{U, u}\) domine \(A\), on voit que \(A'\) domine également \(A\). On obtient donc un diagramme semblable au deuxième diagramme de Morphismes d’espaces, définition 03IX, ce qui démontre la proposition.
Conditions relatives
Il s’agit d’une section technique (encore une) consacrée à des conditions sur les espaces algébriques qui concernent les points. Il est probablement préférable de sauter cette section en première lecture.
Définition
Soit \(S\) un schéma. On dit qu’un espace algébrique \(X\) sur \(S\) possède la propriété \((\beta)\) si \(X\) possède la propriété correspondante du Lemme 03JX. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).
On dit que \(f\) possède la propriété \((\beta)\) si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(T \times_Y X\) possède la propriété \((\beta)\).
On dit que \(f\) est décent si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(T \times_Y X\) est un espace algébrique décent.
On dit que \(f\) est raisonnable si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(T \times_Y X\) est un espace algébrique raisonnable.
On dit que \(f\) est très raisonnable si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(T \times_Y X\) est un espace algébrique très raisonnable.
Nous renvoyons à la Remarque 03L4 pour une discussion informelle. On verra que la classe des morphismes très raisonnables n’est pas très utile, mais que celles des morphismes décents et raisonnables le sont.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). On a les implications suivantes entre les conditions imposées à \(f\) : \[\xymatrix{ \text{représentable} \ar@{=>}[rd] & & & & \\ & \text{très raisonnable} \ar@{=>}[r] & \text{raisonnable} \ar@{=>}[r] & \text{décent} \ar@{=>}[r] & (\beta) \\ \text{quasi-séparé} \ar@{=>}[ru] & & & & }\]
Démonstration
Cela résulte immédiatement des définitions, du Lemme 03JX et de Morphismes d’espaces, Lemme 03KM.
Voici une autre vérification élémentaire.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X\) est décent (resp. raisonnable, resp. possède la propriété \((\beta)\) du Lemme 03JX), alors \(f\) est décent (resp. raisonnable, resp. possède la propriété \((\beta)\)).
Démonstration
Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to Y\) un morphisme. Alors \(T \to Y\) est représentable, donc le changement de base \(T \times_Y X \to X\) est représentable. Par conséquent, si \(X\) est décent (ou raisonnable), il en est de même de \(T \times_Y X\) ; voir le Lemme 0ABT. De même, pour la propriété \((\beta)\), voir le Lemme 03KF.
Lemme
Le fait de posséder la propriété \((\beta)\), d’être décent ou d’être raisonnable est stable par changement de base arbitraire.
Démonstration
Cela découle immédiatement de la définition.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\omega \in \{\beta, \text{décent}, \text{raisonnable}\}\). Supposons que \(Y\) possède la propriété \((\omega)\) et que \(f : X \to Y\) possède \((\omega)\). Alors \(X\) possède \((\omega)\).
Démonstration
Démontrons le lemme dans le cas où \(\omega = \beta\). Il faut alors montrer que tout \(x \in |X|\) est représenté par un monomorphisme du spectre d’un corps vers \(X\). Posons \(y = f(x) \in |Y|\). Par hypothèse, il existe un corps \(k\) et un monomorphisme \(\Spec(k) \to Y\) représentant \(y\). Alors \(x\) correspond à un point \(x'\) de \(\Spec(k) \times_Y X\). Par hypothèse, \(x'\) est représenté par un monomorphisme \(\Spec(k') \to \Spec(k) \times_Y X\). Il est clair que le composé \(\Spec(k') \to X\) est un monomorphisme représentant \(x\).
Démontrons le lemme dans le cas où \(\omega = \text{décent}\). Soient \(x \in |X|\) et \(y = f(x) \in |Y|\). D’après le paragraphe précédent, on peut choisir un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r]_x \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(k) \ar[r]^y & Y }\] dont les flèches horizontales sont des monomorphismes. Puisque \(Y\) est décent, le morphisme \(y\) est quasi-compact. Puisque \(f\) est décent, l’espace algébrique \(\Spec(k) \times_Y X\) est décent. Le monomorphisme \(\Spec(k') \to \Spec(k) \times_Y X\) est donc quasi-compact. Le monomorphisme \(x : \Spec(k') \to X\) est alors quasi-compact en tant que composé de morphismes quasi-compacts (utiliser Morphismes d’espaces, lemmes 03HF et 03HG). Comme le point \(x\) était arbitraire, il s’ensuit que \(X\) est décent.
Démontrons le lemme dans le cas où \(\omega = \text{raisonnable}\). Choisissons \(V \to Y\) étale, avec \(V\) un schéma affine. Choisissons \(U \to V \times_Y X\) étale, avec \(U\) un schéma affine. Par hypothèse, les fibres de \(V \to Y\) sont universellement bornées. D’après le Lemme 03JN, les fibres du morphisme \(V \times_Y X \to X\) sont universellement bornées. L’hypothèse sur \(f\) montre que les fibres de \(U \to V \times_Y X\) sont universellement bornées. D’après le Lemme 03JM, les fibres du composé \(U \to X\) sont universellement bornées. Il existe donc suffisamment de morphismes étales \(U \to X\) provenant de schémas dont les fibres sont universellement bornées, et l’on conclut que \(X\) est raisonnable.
Lemme
Le fait de posséder la propriété \((\beta)\), d’être décent ou d’être raisonnable est stable par composition.
Démonstration
Soit \(\omega \in \{\beta, \text{décent}, \text{raisonnable}\}\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur le schéma \(S\). Supposons que \(f\) et \(g\) possèdent tous deux la propriété \((\omega)\). Il faut alors montrer que, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Z\), l’espace \(T \times_Z X\) possède \((\omega)\). D’après le Lemme 03L0, on se ramène à l’assertion suivante : si \(Y\) est un espace algébrique qui possède la propriété \((\omega)\) et si \(f : X \to Y\) est un morphisme qui possède \((\omega)\), alors \(X\) possède \((\omega)\). C’est le contenu du Lemme 0ABY.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X\) et \(Z\) sont décents (resp. raisonnables, resp. possèdent la propriété \((\beta)\) du Lemme 03JX), il en va de même de \(X \times_Y Z\).
Démonstration
En effet, d’après le Lemme 0ABX, le morphisme \(X \to Y\) possède la propriété considérée. Son changement de base \(X \times_Y Z \to Z\) possède alors cette propriété d’après le Lemme 03L0. Enfin, le Lemme 0ABY implique que \(X \times_Y Z\) possède cette propriété.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{P} \in \{(\beta), \text{décent}, \text{raisonnable}\}\). Supposons que
\(f\) soit quasi-compact,
\(f\) soit étale,
\(|f| : |X| \to |Y|\) soit surjective, et
l’espace algébrique \(X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Alors \(Y\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Démontrons ceci dans le cas où \(\mathcal{P} = (\beta)\). Soit \(y \in |Y|\) un point. Il faut montrer que \(y\) peut être représenté par un monomorphisme provenant d’un corps. Choisissons un point \(x \in |X|\) tel que \(f(x) = y\). Par hypothèse, on peut représenter \(x\) par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps. D’après le Lemme 03JU, il suffit de montrer que les projections \(\Spec(k) \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\) sont étales et quasi-compactes. On peut factoriser la première projection en \[\Spec(k) \times_Y \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k) \times_Y X \longrightarrow \Spec(k)\] Le premier morphisme est un monomorphisme, et le second est étale et quasi-compact. D’après Propriétés des espaces, Lemme 03KX, \(\Spec(k) \times_Y X\) est un schéma. C’est donc une réunion disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). D’après Schémas, lemme 03DP, la première flèche identifie \(\Spec(k) \times_Y \Spec(k)\) à une réunion disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). Le morphisme de projection est donc étale et quasi-compact.
Démontrons ceci dans le cas où \(\mathcal{P} = \text{décent}\). Le premier paragraphe de la preuve montre déjà que tout \(y \in |Y|\) peut être représenté par un monomorphisme \(y : \Spec(k) \to Y\). Fixons un tel \(y\). Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tels que l’image de \(|U| \to |Y|\) contienne \(y\). D’après le Lemme 03JV, il suffit de montrer que \(U_y\) est un schéma fini sur \(k\). Le produit fibré \(X_y = \Spec(k) \times_Y X\) est un espace algébrique quasi-compact et étale sur \(k\). D’après Propriétés des espaces, Lemme 03KX, c’est donc un schéma. C’est une réunion disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). Écrivons \(X_y = \{x_1, \ldots, x_n\}\), où \(x_i\) est donné par \(x_i : \Spec(k_i) \to X\) avec \([k_i : k] < \infty\). Par hypothèse, \(X\) est décent, donc les schémas \(U_{x_i} = \Spec(k_i) \times_X U\) sont finis sur \(k_i\). Enfin, \(U_y = \coprod U_{x_i}\) comme schéma, d’où l’on conclut que \(U_y\) est fini sur \(k\), comme voulu.
Démontrons ceci dans le cas où \(\mathcal{P} = \text{raisonnable}\). Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(V \to Y\). Il faut montrer que les fibres de \(V \to Y\) sont universellement bornées. L’espace algébrique \(V \times_Y X\) est quasi-compact. On peut donc trouver un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to V \times_Y X\) ; voir Propriétés des espaces, Lemme 03H6. Voici un diagramme, dont les flèches pleines sont données : \[\xymatrix{ W \ar[r] \ar[rd] & V \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]_f & \Spec(k) \ar@{..>}[l]^x \ar@{..>}[ld]^y \\ & V \ar[r] & Y }\] Les fibres du morphisme \(W \to X\) sont universellement bornées, puisque l’espace \(X\) est raisonnable. Soit \(n\) un entier qui majore les degrés des fibres de \(W \to X\). Nous affirmons que le même entier majore les fibres de \(V \to Y\). En effet, soit \(y \in |Y|\) un point. Il existe alors un point \(x \in |X|\) tel que \(f(x) = y\) (voir ci-dessus). On peut donc trouver un corps \(k\) et des morphismes \(x, y\) donnés par les flèches pointillées du diagramme ci-dessus. En particulier, on obtient un morphisme étale surjectif \[\Spec(k) \times_{x, X} W \to \Spec(k) \times_{x, X} (V \times_Y X) = \Spec(k) \times_{y, Y} V\] ce qui montre que le degré de \(\Spec(k) \times_{y, Y} V\) sur \(k\) est inférieur ou égal au degré de \(\Spec(k) \times_{x, X} W\) sur \(k\), donc qu’il est \(\leq n\), et cela donne le résultat. (Cette dernière partie de l’argument est la même que dans la preuve du Lemme 03JO. Malheureusement, ce lemme n’est pas assez général, car il ne s’applique qu’aux morphismes représentables.)
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{P} \in \{(\beta), \text{décent}, \text{raisonnable}, \text{très raisonnable}\}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) possède \(\mathcal{P}\),
pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) possède \(\mathcal{P}\),
pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(Z \times_Y X\) possède \(\mathcal{P}\), et
il existe un recouvrement de Zariski \(Y = \bigcup Y_i\) tel que chaque morphisme \(f^{-1}(Y_i) \to Y_i\) possède \(\mathcal{P}\).
Si \(\mathcal{P} \in \{(\beta), \text{décent}, \text{raisonnable}\}\), ces conditions sont aussi équivalentes à la suivante :
il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que le changement de base \(V \times_Y X \to V\) possède \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) sont immédiates. Pour voir que (3) \(\Rightarrow\) (1), procédons comme suit. Soit \(Z \to Y\) un morphisme dont la source est un schéma sur \(S\). Considérons l’espace algébrique \(Z \times_Y X\). Si l’on suppose (3), alors, pour tout ouvert affine \(W \subset Z\), le sous-espace ouvert \(W \times_Y X\) de \(Z \times_Y X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). D’après le Lemme 03KE, l’espace \(Z \times_Y X\) possède donc la propriété \(\mathcal{P}\), ce qui donne (1). Un argument analogue, que nous omettons, montre que (4) implique (1).
L’implication (1) \(\Rightarrow\) (5) est immédiate. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale provenant d’un schéma comme dans (5). Soit \(Z\) un schéma affine et soit \(Z \to Y\) un morphisme. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z \times_Y V \ar[r]_q \ar[d]_p & V \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] Puisque \(p\) est étale, donc ouvert, on peut choisir un nombre fini de sous-schémas ouverts affines \(W_i \subset Z \times_Y V\) tels que \(Z = \bigcup p(W_i)\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \times_Y X \ar[d] & (\coprod W_i) \times_Y X \ar[l] \ar[d] \ar[r] & Z \times_Y X \ar[d] \\ V & \coprod W_i \ar[l] \ar[r] & Z }\] On sait que \(V \times_Y X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). D’après le Lemme 03KF, \((\coprod W_i) \times_Y X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Remarquons que le morphisme \((\coprod W_i) \times_Y X \to Z \times_Y X\) est étale et quasi-compact, puisqu’il est le changement de base de \(\coprod W_i \to Z\). Le Lemme 03L2 montre donc que \(Z \times_Y X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Remarque
Une description informelle des propriétés \((\beta)\), décent, raisonnable et très raisonnable a été donnée dans la section 03I7. Un morphisme possède l’une de ces propriétés si, de manière très approximative, ses fibres possèdent les propriétés correspondantes. La propriété d’être décent est utile pour démontrer des résultats sur les spécialisations de points de \(|X|\). La propriété d’être raisonnable est un peu plus forte et se prête assez facilement aux raisonnements techniques.
Voici un lemme promis plus haut qui utilise les morphismes décents.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) quasi-compact et décent. (C’est par exemple le cas si \(f\) est représentable ou quasi-séparé ; voir le Lemme 03M5.) Alors \(f\) est universellement fermé si et seulement si la partie d’existence du critère valuatif est satisfaite.
Démonstration
Dans Morphismes d’espaces, Lemme 03KA, nous avons démontré que tout morphisme quasi-compact qui satisfait la partie d’existence du critère valuatif est universellement fermé. Pour démontrer la réciproque, supposons que \(f\) soit universellement fermé. Dans la preuve de la Proposition 03KJ, nous avons vu qu’il suffit de montrer, pour tout anneau de valuation \(A\) et tout morphisme \(\Spec(A) \to Y\), que le changement de base \(f_A : X_A \to \Spec(A)\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif. Par définition, l’espace algébrique \(X_A\) possède la propriété \((\gamma)\) ; la Proposition 03KJ s’applique donc au morphisme \(f_A\), ce qui achève la preuve.
Points des fibres
Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien [0AC1]\[\begin{equation} \xymatrix{ W \ar[r]_q \ar[d]_p & Z \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & Y } \end{equation}\] d’espaces algébriques sur \(S\). Soient \(x \in |X|\) et \(z \in |Z|\) des points qui s’envoient sur le même point \(y \in |Y|\). On peut se demander : quand l’ensemble [0AC2]\[\begin{equation} F_{x, z} = \{ w \in |W| \text{ tel que }p(w) = x\text{ et }q(w) = z\} \end{equation}\] est-il fini ?
Exemple
Si \(X, Y, Z\) sont des schémas, alors l’ensemble \(F_{x, z}\) s’identifie à l’ensemble sous-jacent au spectre de \(\kappa(x) \otimes_{\kappa(y)} \kappa(z)\) (Schémas, lemme 01JT). On obtient donc un ensemble fini si l’extension \(\kappa(y) \subset \kappa(x)\) est finie ou si l’extension \(\kappa(y) \subset \kappa(z)\) est finie. C’est en particulier toujours le cas si \(g\) est quasi-fini en \(z\) (Morphismes, lemme 01TG).
Exemple
Soit \(K\) un corps de caractéristique \(0\) muni d’un automorphisme \(\sigma\) d’ordre infini. Posons \(Y = \Spec(K)/\mathbf{Z}\) et \(X = \mathbf{A}^1_K/\mathbf{Z}\), où \(\mathbf{Z}\) agit sur \(K\) par \(\sigma\) et sur \(\mathbf{A}^1_K = \Spec(K[t])\) par \(t \mapsto t + 1\). Soit \(Z = \Spec(K)\). Alors \(W = \mathbf{A}^1_K\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ \mathbf{A}^1_K \ar[r]_q \ar[d]_p & \Spec(K) \ar[d]^g \\ \mathbf{A}^1_K/\mathbf{Z} \ar[r]^f & \Spec(K)/\mathbf{Z} }\] Prenons pour \(x\) le point correspondant à \(t = 0\) et pour \(z\) l’unique point de \(\Spec(K)\). On voit alors que \(F_{x, z} = \mathbf{Z}\) en tant qu’ensemble.
Lemme
Dans la situation de (0AC1), si \(Z' \to Z\) est un morphisme et si \(z' \in |Z'|\) s’envoie sur \(z\), alors l’application induite \(F_{x, z'} \to F_{x, z}\) est surjective.
Démonstration
Posons \(W' = X \times_Y Z' = W \times_Z Z'\). Alors l’application \(|W'| \to |W| \times_{|Z|} |Z'|\) est surjective d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. D’où la surjectivité de \(F_{x, z'} \to F_{x, z}\).
Lemme
Dans le diagramme (0AC1), l’ensemble (0AC2) est fini si \(f\) est de type fini et si \(f\) est quasi-fini en \(x\).
Démonstration
Le morphisme \(q\) est quasi-fini en tout \(w \in F_{x, z}\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 0ABM. Le lemme résulte donc de Morphismes d’espaces, lemme 0ABN.
Lemme
Dans le diagramme (0AC1), l’ensemble (0AC2) est fini si \(y\) peut être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps, et si \(g\) est quasi-fini en \(z\). (Cas particulier : \(Y\) est décent et \(g\) est étale.)
Démonstration
En appliquant deux fois le Lemme 0AC5, on peut remplacer \(Z\) par \(Z_k = \Spec(k) \times_Y Z\) et \(X\) par \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\). On peut aussi remplacer, et l’on remplace, \(Y\) par \(\Spec(k)\). Remarquons que \(Z_k \to \Spec(k)\) est quasi-fini en \(z\) d’après Morphismes d’espaces, lemme 0ABM. Choisissons un schéma \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Z_k\) qui envoie \(v\) sur \(z\). Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(U \to X_k\) qui envoie \(u\) sur \(x\). D’après le Lemme 0AC5, il suffit encore de montrer que \(F_{u, v}\) est fini dans le diagramme \[\xymatrix{ U \times_{\Spec(k)} V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ U \ar[r] & \Spec(k) }\] Le morphisme \(V \to \Spec(k)\) est quasi-fini en \(v\) (cela résulte de la discussion générale de Morphismes d’espaces, section 03MI, et de la définition de la quasi-finitude en un point). La finitude résulte alors de l’Exemple 0AC3. La remarque entre parenthèses de l’énoncé découle du fait que les points des espaces décents sont représentés par des monomorphismes provenant de corps, et du fait qu’un morphisme étale d’espaces algébriques est localement quasi-fini.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\) et supposons que \(y\) soit représenté par un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to Y\). Alors \(|X_k| \to |X|\) est un homéomorphisme sur \(f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\), muni de la topologie induite.
Démonstration
Nous utiliserons Propriétés des espaces, lemme 03IR, ainsi que Morphismes d’espaces, lemme 06RV, sans autre mention. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, avec \(V\) affine, tel qu’il existe un point \(v \in V\) qui s’envoie sur \(y\). Comme \(\Spec(k) \to Y\) est quasi-compact, seul un nombre fini de points de \(V\) s’envoient sur \(y\) (Lemme 03JV). Après avoir rétréci \(V\), on peut supposer que \(v\) est le seul. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] & U_V \ar[l] \ar[d] & U_v \ar[l] \ar[d] \\ X \ar[d] & X_V \ar[l] \ar[d] & X_v \ar[l] \ar[d] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] }\] Comme \(U_v \to U_V\) identifie \(U_v\) à une partie de \(U_V\) munie de la topologie induite (Schémas, lemme 01K1), et comme \(|U_V| \to |X_V|\) et \(|U_v| \to |X_v|\) sont surjectives et ouvertes, on voit que \(|X_v| \to |X_V|\) est un homéomorphisme sur son image, munie de la topologie induite. D’autre part, l’image inverse de \(f^{-1}(\{y\})\) par l’application ouverte \(|X_V| \to |X|\) est égale à \(|X_v|\). On en conclut que \(|X_v| \to f^{-1}(\{y\})\) est ouverte. Le morphisme \(X_v \to X\) se factorise par \(X_k\), et l’application \(|X_k| \to |X|\) est injective, d’image \(f^{-1}(\{y\})\), d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. En utilisant \(|X_v| \to |X_k| \to f^{-1}(\{y\})\), le lemme résulte de la surjectivité de \(X_v \to X_k\).
Lemme
Soit \(X\) un espace algébrique localement de type fini sur un corps \(k\). Soit \(x \in |X|\). Considérons les conditions suivantes :
\(\dim_x(|X|) = 0\),
\(x\) est fermé dans \(|X|\) et, si \(x' \leadsto x\) dans \(|X|\), alors \(x' = x\),
\(x\) est un point isolé de \(|X|\),
\(\dim_x(X) = 0\),
\(X \to \Spec(k)\) est quasi-fini en \(x\).
Alors (2), (3), (4) et (5) sont équivalentes. Si \(X\) est décent, (1) est équivalente aux autres.
Démonstration
Les assertions (4) et (5) sont par exemple équivalentes d’après Morphismes d’espaces, lemmes 04NW et 06LS.
Soit \(U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma affine, et soit \(u \in U\) un point qui s’envoie sur \(x\). De plus, si \(x\) est un point fermé, par exemple dans les cas (2) ou (3), on peut supposer, et l’on suppose, que \(u\) est fermé. Remarquons que \(\dim_u(U) = \dim_x(X)\) par définition, et que ce nombre est égal à \(\dim(\mathcal{O}_{U, u})\) si \(u\) est fermé ; voir Algèbre, lemme 00OU.
Si \(\dim_x(X) > 0\) et si \(u\) est fermé, les arguments précédents permettent de choisir une spécialisation non triviale \(u' \leadsto u\) dans \(U\). Alors le degré de transcendance de \(\kappa(u')\) sur \(k\) est strictement supérieur à celui de \(\kappa(u)\) sur \(k\). Il s’ensuit que les images \(x\) et \(x'\) dans \(X\) sont distinctes, car les degrés de transcendance de \(x/k\) et de \(x'/k\) sont bien définis ; voir Morphismes d’espaces, définition 04NM. Cela s’applique notamment dans les cas (2) et (3), et l’on conclut que (2) et (3) impliquent (4).
Réciproquement, si \(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini en \(x\), alors \(U \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini en \(u\), de sorte que \(u\) est un point isolé de \(U\) (Morphismes, lemme 01TH). Comme \(|U| \to |X|\) est continue et ouverte, il s’ensuit que (5) implique (2) et (3).
Supposons que \(X\) soit décent et que (1) soit satisfaite. Alors \(\dim_x(X) = \dim_x(|X|)\) d’après le Lemme 0A4J, ce qui achève la preuve.
Lemme
Soit \(X\) un espace algébrique localement de type fini sur un corps \(k\). Considérons les conditions suivantes :
\(|X|\) est un ensemble fini,
\(|X|\) est un espace discret,
\(\dim(|X|) = 0\),
\(\dim(X) = 0\),
\(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini,
Alors (2), (3), (4) et (5) sont équivalentes. Si \(X\) est décent, (1) implique les autres.
Démonstration
Les assertions (4) et (5) sont par exemple équivalentes d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NW.
Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma.
Si \(\dim(U) > 0\), choisissons une spécialisation non triviale \(u \leadsto u'\) dans \(U\). Le degré de transcendance de \(\kappa(u)\) sur \(k\) est strictement supérieur à celui de \(\kappa(u')\) sur \(k\). Il s’ensuit que les images \(x\) et \(x'\) dans \(X\) sont distinctes, car les degrés de transcendance de \(x/k\) et de \(x'/k\) sont bien définis ; voir Morphismes d’espaces, définition 04NM. On conclut que (2) et (3) impliquent (4).
Réciproquement, si \(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini, alors \(U\) est localement noethérien (Morphismes, lemme 01T6), de dimension \(0\) (Morphismes, lemme 0397), et est donc une réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens (Propriétés, lemme 0AAX). Ainsi, \(U\) est un espace topologique discret et, comme \(|U| \to |X|\) est continue et ouverte, il en va de même de \(|X|\). Autrement dit, (4) implique (2) et (3).
Supposons que \(X\) soit décent et que (1) soit satisfaite. On peut alors choisir \(U\) affine ci-dessus. Les fibres de \(|U| \to |X|\) sont finies (cela fait partie de la propriété qui définit les espaces décents). Ainsi, \(U\) est un schéma de type fini sur \(k\) qui possède un nombre fini de points. Ainsi, \(U\) est quasi-fini sur \(k\) (Morphismes, lemme 02NG), ce qui signifie par définition que \(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), localement de type fini. Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Munissons \(F = f^{-1}(\{y\})\) de la topologie induite par \(|X|\). Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to Y\) un morphisme appartenant à la classe d’équivalence qui définit \(y\). Posons \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\). Soit \(\tilde x \in |X_k|\) un point qui s’envoie sur \(x \in |X|\). Considérons les conditions suivantes :
\(\dim_x(F) = 0\),
\(x\) est isolé dans \(F\),
\(x\) est fermé dans \(F\) et, si \(x' \leadsto x\) dans \(F\), alors \(x = x'\),
\(\dim_{\tilde x}(|X_k|) = 0\),
\(\tilde x\) est isolé dans \(|X_k|\),
\(\tilde x\) est fermé dans \(|X_k|\) et, si \(\tilde x' \leadsto \tilde x\) dans \(|X_k|\), alors \(\tilde x = \tilde x'\),
\(\dim_{\tilde x}(X_k) = 0\),
\(f\) est quasi-fini en \(x\).
On a alors \[\xymatrix{ (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-dimension-top-k-fibre}{0ACF}) \ar@{=>}[r]_{f\text{ décent}} & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-isolated-in-k-fibre}{0ACG}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-no-specializations-in-k-fibre}{0ACH}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-k-fibre-at-x-dim-0}{0ACI}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-quasi-finite-at-x}{0ACJ}) }\] Si \(Y\) est décent, les conditions (0ACD) et (0ACE) sont équivalentes entre elles ainsi qu’aux conditions (0ACG), (0ACH), (0ACI) et (0ACJ). Si \(Y\) et \(X\) sont décents, toutes les conditions sont équivalentes.
Démonstration
D’après le Lemme 0AC9, les conditions (0ACG), (0ACH) et (0ACI) sont équivalentes entre elles, ainsi qu’à la condition que \(X_k \to \Spec(k)\) soit quasi-fini en \(\tilde x\). Par conséquent, d’après Morphismes d’espaces, lemme 0ABM, elles sont aussi équivalentes à (0ACJ). Si \(f\) est décent, alors \(X_k\) est un espace algébrique décent, et le Lemme 0AC9 montre que (0ACF) implique (0ACG).
Si \(Y\) est décent, on peut choisir un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k') \to Y\) appartenant à la classe d’équivalence de \(y\). Dans ce cas, le Lemme 0AC8 nous dit que \(|X_{k'}| \to F\) est un homéomorphisme. Combiné aux arguments précédents, cela entraîne les autres assertions du lemme ; les détails sont omis.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), localement de type fini. Soit \(y \in |Y|\). Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to Y\) un morphisme appartenant à la classe d’équivalence qui définit \(y\). Posons \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) et munissons \(F = f^{-1}(\{y\})\) de la topologie induite par \(|X|\). Considérons les conditions suivantes :
\(F\) est fini,
\(F\) est un espace topologique discret,
\(\dim(F) = 0\),
\(|X_k|\) est un ensemble fini,
\(|X_k|\) est un espace discret,
\(\dim(|X_k|) = 0\),
\(\dim(X_k) = 0\),
\(f\) est quasi-fini en tout point de \(|X|\) situé au-dessus de \(y\).
On a alors \[\xymatrix{ (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-fibre-finite}{0ACL}) & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-k-fibre-finite}{0ACP}) \ar@{=>}[l] \ar@{=>}[r]_{f\text{ décent}} & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-k-fibre-discrete}{0ACQ}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-k-fibre-no-specializations}{0ACR}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-k-fibre-dim-0}{0ACS}) \ar@{<=>}[r] & (\href{decent-spaces.html#decent-spaces-item-quasi-finite-at-points-fibre}{0ACT}) }\] Si \(Y\) est décent, les conditions (0ACM) et (0ACN) sont équivalentes entre elles ainsi qu’aux conditions (0ACQ), (0ACR), (0ACS) et (0ACT). Si \(Y\) et \(X\) sont décents, (0ACL) implique toutes les autres conditions.
Démonstration
D’après le Lemme 0ACA, les conditions (0ACQ), (0ACR) et (0ACS) sont équivalentes entre elles, ainsi qu’à la condition que \(X_k \to \Spec(k)\) soit localement quasi-fini. Par conséquent, d’après Morphismes d’espaces, lemme 0ABM, elles sont aussi équivalentes à (0ACT). Si \(f\) est décent, alors \(X_k\) est un espace algébrique décent, et le Lemme 0ACA montre que (0ACP) implique (0ACQ).
L’application \(|X_k| \to F\) est surjective d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, et l’on obtient (0ACP) \(\Rightarrow\) (0ACL).
Si \(Y\) est décent, on peut choisir un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k') \to Y\) appartenant à la classe d’équivalence de \(y\). Dans ce cas, le Lemme 0AC8 nous dit que \(|X_{k'}| \to F\) est un homéomorphisme. Combiné aux arguments précédents, cela entraîne les autres assertions du lemme ; les détails sont omis.
Monomorphismes
Voici un autre cas où les monomorphismes sont représentables. On trouvera davantage d’informations dans Morphismes d’espaces, compléments, section 0B89.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) une réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux de dimension zéro sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est représentable, c’est-à-dire que \(X\) est un schéma.
Démonstration
On se ramène immédiatement au cas où \(Y = \Spec(A)\) et où \(A\) est un anneau local de dimension zéro, c’est-à-dire où \(\Spec(A) = \{\mathfrak m_A\}\) est réduit à un seul point. Si \(X = \emptyset\), il n’y a rien à démontrer. Sinon, choisissons un schéma affine non vide \(U = \Spec(B)\) et un morphisme étale \(U \to X\). Comme \(|X|\) est réduit à un seul point (en tant que partie de \(|Y|\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 06RV), on voit que \(U \to X\) est surjectif. Remarquons que \(U \times_X U = U \times_Y U = \Spec(B \otimes_A B)\). Les homomorphismes d’anneaux \(B \to B \otimes_A B\) sont donc étales. Puisque \[(B \otimes_A B)/\mathfrak m_A(B \otimes_A B) = (B/\mathfrak m_AB) \otimes_{A/\mathfrak m_A} (B/\mathfrak m_AB)\] on voit que \(B/\mathfrak m_AB \to (B \otimes_A B)/\mathfrak m_A(B \otimes_A B)\) est plat, et même libre de rang égal à la dimension de \(B/\mathfrak m_AB\) comme espace vectoriel sur \(A/\mathfrak m_A\). Comme \(B \to B \otimes_A B\) est étale, cela n’est possible que si cette dimension est finie (voir par exemple Morphismes, lemmes 03WU et 03JA). Tout idéal premier de \(B\) est situé au-dessus de \(\mathfrak m_A\) (l’unique idéal premier de \(A\)). Par conséquent, \(\Spec(B) = \Spec(B/\mathfrak m_A B)\) comme espace topologique, et cet espace est un ensemble discret fini, puisque \(B/\mathfrak m_A B\) est un anneau artinien ; voir Algèbre, lemmes 00J6 et 00JB. Tous les idéaux premiers de \(B\) sont donc maximaux, et \(B = B_1 \times \ldots \times B_n\) est un produit d’un nombre fini d’anneaux locaux de dimension zéro ; voir Algèbre, lemme 00JA. Ainsi, \(B \to B \otimes_A B\) est fini étale, car tous les anneaux locaux \(B_i\) sont henséliens d’après Algèbre, lemme 06RS. Enfin, \(X\) est un schéma affine d’après Groupoïdes, proposition 03BM.
Points génériques
Cette section prolonge Propriétés des espaces, section 0BAP.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(|X|\),
pour tout morphisme étale \((Y, y) \to (X, x)\) d’espaces algébriques pointés, \(y\) est un point générique d’une composante irréductible de \(|Y|\),
pour un certain morphisme étale \((Y, y) \to (X, x)\) d’espaces algébriques pointés, \(y\) est un point générique d’une composante irréductible de \(|Y|\),
l’anneau local de \(X\) en \(x\) est de dimension zéro, et
\(x\) est un point de codimension \(0\) sur \(X\).
Démonstration
Les conditions (4) et (5) sont équivalentes par définition pour tout espace algébrique ; voir Propriétés des espaces, définition 04NA. Remarquons que tout \(Y\) comme en (2) et (3) est décent d’après le Lemme 0ABU. Il suffit donc de démontrer l’équivalence de (1) et (4) : l’équivalence avec (2) et (3) en découle, puisque la dimension de l’anneau local de \(Y\) en \(y\) est égale à celle de l’anneau local de \(X\) en \(x\). Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale provenant d’un schéma affine et soit \(u \in U\) un point qui s’envoie sur \(x\).
Supposons (1). Soit \(u' \leadsto u\) une spécialisation dans \(U\). Alors \(f(u') = f(u) = x\). D’après le Lemme 03K5, on a \(u' = u\). Ainsi, \(u\) est un point générique d’une composante irréductible de \(U\). Par conséquent, \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = 0\), et (4) est satisfaite.
Supposons (4). Le point \(x\) appartient à une composante irréductible \(T \subset |X|\). Puisque \(|X|\) est sobre (Proposition 03K6), \(T\) possède un point générique \(x'\). Bien sûr, \(x' \leadsto x\). On peut relever cette spécialisation en une spécialisation \(u' \leadsto u\) dans \(U\) (Lemme 03IL). Cela contredit l’hypothèse \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = 0\), sauf si \(u' = u\), c’est-à-dire si \(x' = x\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée irréductible. Soit \(\xi \in T\) son point générique (Proposition 03K6). Alors \(\text{codim}(T, |X|)\) (Topologie, définition 02I3) est la dimension de l’anneau local de \(X\) en \(\xi\) (Propriétés des espaces, définition 04NA).
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(U \to X\) qui envoie \(u\) sur \(\xi\). Alors toute suite de spécialisations non triviales \(\xi_e \leadsto \ldots \leadsto \xi_0 = \xi\) peut se relever en une suite \(u_e \leadsto \ldots \leadsto u_0 = u\) dans \(U\) d’après le Lemme 03IL. Réciproquement, toute suite de spécialisations non triviales \(u_e \leadsto \ldots \leadsto u_0 = u\) dans \(U\) s’envoie sur une suite de spécialisations non triviales \(\xi_e \leadsto \ldots \leadsto \xi_0 = \xi\) d’après le Lemme 03K5. Comme \(|X|\) et \(U\) sont des espaces topologiques sobres, on conclut que la codimension de \(T\) dans \(|X|\) est égale à celle de \(\overline{\{u\}}\) dans \(U\). Le lemme se ramène ainsi au cas des schémas, qui est Propriétés, lemme 02IZ.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que
tout schéma quasi-compact et étale sur \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles, et
tout \(x \in |X|\) de codimension \(0\) sur \(X\) puisse être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\).
Alors \(X\) est un espace algébrique raisonnable.
Démonstration
Soit \(U\) un schéma affine et soit \(a : U \to X\) un morphisme étale. Il faut montrer que les fibres de \(a\) sont universellement bornées. D’après l’hypothèse (1), le schéma \(U\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soient \(u_1, \ldots, u_n \in U\) les points génériques de ces composantes irréductibles. Soit \(\{x_1, \ldots, x_m\} \subset |X|\) l’image de \(\{u_1, \ldots, u_n\}\). Chaque \(x_j\) est un point de codimension \(0\). D’après l’hypothèse (2), on peut choisir un monomorphisme \(\Spec(k_j) \to X\) qui représente \(x_j\). D’après Propriétés des espaces, lemme 0BAQ, on a \[U \times_X \Spec(k_j) = \coprod\nolimits_{a(u_i) = x_j} \Spec(\kappa(u_i))\] C’est un schéma fini sur \(\Spec(k_j)\), de degré \(d_j = \sum_{a(u_i) = x_j} [\kappa(u_i) : k_j]\). Posons \(n = \max d_j\).
Remarquons que \(a\) est séparé (Propriétés des espaces, lemme 03FZ). Considérons la stratification \[X = X_0 \supset X_1 \supset X_2 \supset \ldots\] associée à \(U \to X\) dans le Lemme 086T. Le choix de \(n\) ci-dessus montre que \(X_{n + 1}\) est vide. En effet, sinon, \(a^{-1}(X_{n + 1})\) serait un ouvert non vide de \(U\), et contiendrait donc l’un des \(u_i\). Cela signifierait que \(X_{n + 1}\) contient \(x_j = a(u_i)\), ce qui est impossible. On voit donc que les fibres de \(U \to X\) sont universellement bornées (en fait, par l’entier \(n\)).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(X\) est décent et \(|X|\) possède un nombre fini de composantes irréductibles,
tout schéma quasi-compact et étale sur \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles, il existe un nombre fini de \(x \in |X|\) de codimension \(0\) sur \(X\), et chacun d’eux peut être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\),
il existe un ouvert dense \(X' \subset X\) qui est un schéma, tel que \(X'\) possède un nombre fini de composantes irréductibles de points génériques \(\{x'_1, \ldots, x'_m\}\) et que le morphisme \(x'_j \to X\) soit quasi-compact pour \(j = 1, \ldots, m\).
De plus, si ces conditions sont satisfaites, alors \(X\) est raisonnable et les points \(x'_j \in |X|\) sont les points génériques des composantes irréductibles de \(|X|\).
Démonstration
Dans la preuve, nous utiliserons sans autre mention Propriétés des espaces, lemme 0BAQ. Supposons (1). D’après le Théorème 086U, \(X\) possède un sous-schéma ouvert dense \(X'\). Comme l’adhérence d’une composante irréductible de \(|X'|\) est une composante irréductible de \(|X|\), on voit que \(|X'|\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Ainsi, (3) est satisfaite.
Supposons que \(X' \subset X\) soit comme en (3). Soit \(\{x'_1, \ldots, x'_m\}\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X'\). Soit \(a : U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma quasi-compact. Pour démontrer (2), il suffit de montrer que \(U\) possède un nombre fini de composantes irréductibles dont les points génériques sont situés au-dessus de \(\{x'_1, \ldots, x'_m\}\). Il suffit de le démontrer pour les membres d’un recouvrement ouvert affine fini de \(U\) ; on peut donc supposer, et l’on suppose, que \(U\) est affine. Remarquons que \(U' = a^{-1}(X') \subset U\) est un ouvert dense. Puisque \(U' \to X'\) est un morphisme étale de schémas, les points génériques des composantes irréductibles de \(U'\) sont les points situés au-dessus de \(\{x'_1, \ldots, x'_m\}\). Comme \(x'_j \to X\) est quasi-compact, seul un nombre fini de points de \(U\) sont situés au-dessus de \(x'_j\) (Lemme 03JV). Ainsi, \(U'\) possède un nombre fini de composantes irréductibles, ce qui implique que les adhérences de ces composantes irréductibles sont les composantes irréductibles de \(U\). Ainsi, (2) est satisfaite.
Supposons (2). Le Lemme 0BB8 implique alors (1) ainsi que l’assertion finale. (On utilise aussi qu’un espace algébrique raisonnable est décent ; voir la discussion qui suit la Définition 03I8.)
Morphismes génériquement finis
Cette section traite, pour les morphismes d’espaces algébriques, les résultats exposés dans Morphismes, section 02NV, et dans Variétés, section 0AB5, pour les morphismes de schémas.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et de type fini. Soit \(y \in |Y|\) un point de codimension \(0\) sur \(Y\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
l’espace \(|X_k|\) est fini, où \(\Spec(k) \to Y\) représente \(y\),
\(X \to Y\) est quasi-fini en tout point de \(|X|\) situé au-dessus de \(y\),
il existe un sous-espace ouvert \(Y' \subset Y\), avec \(y \in |Y'|\), tel que \(Y' \times_Y X \to Y'\) soit fini.
Si \(Y\) est décent, ces conditions sont aussi équivalentes à
l’ensemble \(f^{-1}(\{y\})\) est fini.
Démonstration
L’équivalence de (1) et (2) résulte du Lemme 0ACK (et du fait qu’un morphisme quasi-séparé est décent, d’après le Lemme 03M5).
Supposons satisfaites les conditions équivalentes (1) et (2). Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) qui envoie un point \(v \in V\) sur \(y\). Alors \(v\) est un point générique d’une composante irréductible de \(V\), d’après Propriétés des espaces, lemme 0BAQ. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Alors \(U \to V\) est de type fini. Le morphisme \(U \to V\) est quasi-fini en tout point situé au-dessus de \(v\), d’après (2). Il s’ensuit que la fibre de \(U \to V\) au-dessus de \(v\) est finie (Morphismes, lemme 0AAY). D’après Morphismes, lemme 02NW, après avoir rétréci \(V\), on peut supposer que \(U \to V\) est fini. Posons \[R = U \times_{V \times_Y X} U.\] Puisque \(f\) est quasi-séparé, \(V \times_Y X\) est quasi-séparé, et \(R\) est donc un schéma quasi-compact. De plus, le morphisme \(R \to V\) est quasi-fini, comme composé du morphisme étale \(R \to U\) et du morphisme fini \(U \to V\). On peut donc appliquer de nouveau Morphismes, lemme 02NW et, après avoir encore rétréci \(V\), supposer que \(R \to V\) est fini. Cela implique bien sûr que les deux projections \(R \to U\) sont finies étales. Il s’ensuit que \(U/R = V \times_Y X\) est un schéma affine ; voir Groupoïdes, proposition 03BM. D’après Morphismes, lemme 03GN, on conclut que \(V \times_Y X \to V\) est propre, puis, d’après Morphismes, lemme 01WN, que \(V \times_Y X \to V\) est fini. Enfin, soit \(Y' \subset Y\) le sous-espace ouvert de \(Y\) correspondant à l’image de \(|V| \to |Y|\). D’après Morphismes d’espaces, lemme 03ZQ, on conclut que \(Y' \times_Y X \to Y'\) est fini, puisque son changement de base à \(V\) est fini et que \(V \to Y'\) est un morphisme étale surjectif.
Si \(Y\) est décent et \(f\) quasi-séparé, alors \(X\) est également décent ; utiliser les Lemmes 03M5 et 0ABY. Le Lemme 0ACK montre donc que (4) implique (1) et (2). Réciproquement, (2) implique (4) d’après Morphismes d’espaces, lemme 0ABN.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et localement de type fini, et que \(Y\) soit quasi-séparé. Soit \(y \in |Y|\) un point de codimension \(0\) sur \(Y\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
l’ensemble \(f^{-1}(\{y\})\) est fini,
l’espace \(|X_k|\) est fini, où \(\Spec(k) \to Y\) représente \(y\),
il existe des sous-espaces ouverts \(X' \subset X\) et \(Y' \subset Y\) tels que \(f(X') \subset Y'\), \(y \in |Y'|\) et \(f^{-1}(\{y\}) \subset |X'|\), et tels que \(f|_{X'} : X' \to Y'\) soit fini.
Démonstration
Les espaces algébriques quasi-séparés étant décents, l’équivalence de (1) et (2) résulte du Lemme 0ACK. Pour montrer que (1) et (2) impliquent (3), on peut, et l’on va, remplacer \(Y\) par un ouvert quasi-compact contenant \(y\). Comme \(f^{-1}(\{y\})\) est fini, on peut trouver un sous-espace ouvert quasi-compact \(X' \subset X\) contenant la fibre. La restriction \(f|_{X'} : X' \to Y\) est quasi-compacte et quasi-séparée d’après Morphismes d’espaces, lemme 073B (c’est ici qu’on utilise que \(Y\) est quasi-séparé). En appliquant le Lemme 0ACZ à \(f|_{X'} : X' \to Y\), on obtient (3). Nous omettons la démonstration de l’implication de (3) vers (2).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Notons \(X^0 \subset |X|\), respectivement \(Y^0 \subset |Y|\), l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\), respectivement de \(Y\). Soit \(y \in Y^0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f^{-1}(\{y\}) \subset X^0\),
\(f\) est quasi-fini en tout point situé au-dessus de \(y\),
\(f\) est quasi-fini en tout \(x \in X^0\) situé au-dessus de \(y\).
Démonstration
Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to V \times_Y X\) un morphisme étale surjectif. Alors \(f\) est quasi-fini en l’image \(x\) d’un point \(u \in U\) si et seulement si \(U \to V\) est quasi-fini en \(u\). De plus, \(x \in X^0\) si et seulement si \(u\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\) (Propriétés des espaces, lemme 0BAQ). Le lemme se ramène donc au cas du morphisme \(U \to V\), c’est-à-dire à Morphismes, lemme 0BAH.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Notons \(X^0 \subset |X|\), respectivement \(Y^0 \subset |Y|\), l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\), respectivement de \(Y\). Supposons que
\(Y\) soit décent,
\(X^0\) et \(Y^0\) soient finis et \(f^{-1}(Y^0) = X^0\),
soit \(f\) soit quasi-compact, soit \(f\) soit séparé.
Alors il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.
Démonstration
D’après les Lemmes 0BB9 et 0ABV, on peut supposer que \(Y\) est un schéma ayant un nombre fini de composantes irréductibles. En rétrécissant encore, on peut supposer que \(Y\) est un schéma affine irréductible de point générique \(y\). La fibre de \(f\) au-dessus de \(y\) est alors finie.
Supposons que \(f\) soit quasi-compact et \(Y\) affine irréductible. Alors \(X\) est quasi-compact, et l’on peut choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Le morphisme \(U \to Y\) est alors de type fini, et la fibre de \(U \to Y\) au-dessus de \(y\) est l’ensemble \(U^0\) des points génériques des composantes irréductibles de \(U\) (Propriétés des espaces, lemme 0BAQ). Ainsi, \(U^0\) est fini (Morphismes, lemme 0AAY), et, après avoir rétréci \(Y\), on peut supposer que \(U \to Y\) est fini (Morphismes, lemme 02NW). Considérons ensuite \(R = U \times_X U\). Comme la projection \(s : R \to U\) est étale, on a \(R^0 = s^{-1}(U^0)\), qui est situé au-dessus de \(y\). Puisque \(R \to U \times_Y U\) est un monomorphisme, on conclut que \(R^0\) est fini, car \(U \times_Y U \to Y\) est fini. De plus, \(R\) est séparé (Propriétés des espaces, lemme 03FZ). On peut donc rétrécir encore une fois \(Y\) pour se ramener au cas où \(R\) est fini sur \(Y\) (Morphismes, lemme 0BAI). Il s’ensuit que \(X = U/R\) est fini sur \(Y\), par les mêmes arguments que dans la démonstration du Lemme 0ACZ (ou bien on peut simplement appliquer ce lemme, puisqu’il en résulte immédiatement que \(X\) est également quasi-séparé).
Supposons que \(f\) soit séparé et \(Y\) affine irréductible. Choisissons \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) comme dans le Lemme 0AD0. Puisque \(f|_U : U \to V\) est fini, \(U \subset f^{-1}(V)\) est à la fois fermé et ouvert (Morphismes d’espaces, lemmes 04NX et 04NZ). Ainsi, \(f^{-1}(V) = U \amalg W\) pour un certain sous-espace ouvert \(W\) de \(X\). Mais, comme \(U\) contient tous les points de codimension \(0\) de \(X\), on conclut que \(W = \emptyset\) (Propriétés des espaces, lemme 0BAR), comme souhaité.
Morphismes birationnels
La définition suivante d’un morphisme birationnel d’espaces algébriques semble être celle qui se rapproche le plus de notre définition (Morphismes, définition 01RO) d’un morphisme birationnel de schémas.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) et \(Y\) soient décents et que \(|X|\) et \(|Y|\) possèdent un nombre fini de composantes irréductibles. On dit qu’un morphisme \(f : X \to Y\) est birationnel si
\(|f|\) induit une bijection entre l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(|X|\) et l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(|Y|\), et
pour tout point générique \(x \in |X|\) d’une composante irréductible, l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est un isomorphisme (voir la précision ci-dessous).
Précision : puisque \(X\) et \(Y\) sont décents, les espaces topologiques \(|X|\) et \(|Y|\) sont sobres (Proposition 03K6). La condition (1) a donc bien un sens. De plus, puisque nous avons supposé que \(|X|\) et \(|Y|\) ont un nombre fini de composantes irréductibles, les points génériques \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\), respectivement \(y_1, \ldots, y_n \in |Y|\), appartiennent à tout ouvert dense de \(|X|\), respectivement de \(|Y|\). En particulier, ils appartiennent au lieu schématique de \(X\), respectivement de \(Y\), d’après le Théorème 086U. On peut donc définir \(\mathcal{O}_{X, x_i}\), respectivement \(\mathcal{O}_{Y, y_i}\), comme l’anneau local de ce schéma en \(x_i\), respectivement en \(y_i\).
On en conclut que, si le morphisme \(f : X \to Y\) est birationnel, il existe des sous-espaces ouverts denses \(X' \subset X\) et \(Y' \subset Y\) tels que
\(f(X') \subset Y'\),
\(X'\) et \(Y'\) soient représentables, et
\(f|_{X'} : X' \to Y'\) soit birationnel au sens de Morphismes, définition 01RO.
Nous exigeons toutefois que \(X\) et \(Y\) soient décents et possèdent un nombre fini de composantes irréductibles. Le Lemme 0BB9 donne d’autres caractérisations des espaces algébriques décents ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Dans la plupart des cas, les morphismes birationnels sont des isomorphismes au-dessus d’ouverts denses.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(f\) est birationnel, alors \(f\) est dominant.
Démonstration
Cela résulte immédiatement des définitions. Voir Morphismes d’espaces, définition 0ABL.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel d’espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(y \in |Y|\) est le point générique d’une composante irréductible, alors le changement de base \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) est un isomorphisme.
Démonstration
Soient \(X' \subset X\) et \(Y' \subset Y\) les sous-espaces ouverts maximaux qui sont représentables ; voir le Lemme 0BB9. D’après le Lemme 0BBB, la fibre de \(f\) au-dessus de \(y\) est constituée de points de codimension \(0\) de \(X\) et est donc contenue dans \(X'\). Ainsi, \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) = X' \times_{Y'} \Spec(\mathcal{O}_{Y', y})\), et le résultat découle de Morphismes, lemme 0BAB.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel d’espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Supposons satisfaite l’une des conditions suivantes :
\(f\) est localement de type fini et \(Y\) est réduit (par exemple intègre),
\(f\) est localement de présentation finie.
Alors il existe des ouverts denses \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\) et que \(f|_U : U \to V\) soit un isomorphisme.
Démonstration
D’après le Lemme 0BB9, on peut supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas. Dans ce cas, le résultat est Morphismes, lemme 0BAC.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel d’espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Supposons que
soit \(f\) soit quasi-compact, soit \(f\) soit séparé, et
soit \(f\) soit localement de type fini et \(Y\) soit réduit, soit \(f\) soit localement de présentation finie.
Alors il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit un isomorphisme.
Démonstration
D’après le Lemme 0BB9, on peut supposer que \(Y\) est un schéma. D’après le Lemme 0BBC, on peut supposer que \(f\) est fini. Alors \(X\) est aussi un schéma, et le résultat découle de Morphismes, lemme 0BAJ.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(f\) est birationnel et si \(V \to Y\) est un morphisme étale avec \(V\) affine, alors \(X \times_Y V\) est décent, possède un nombre fini de composantes irréductibles et \(X \times_Y V \to V\) est birationnel.
Démonstration
L’espace algébrique \(U = X \times_Y V\) est décent (Lemme 0ABU). Les points génériques de \(V\) et de \(U\) sont les éléments de \(|V|\) et de \(|U|\) qui sont situés au-dessus des points génériques de \(|Y|\) et de \(|X|\) (Lemme 0ABV). Comme \(Y\) est décent, on en conclut que \(V\) ne possède qu’un nombre fini de points génériques. Soit \(\xi \in |X|\) un point générique d’une composante irréductible. D’après la discussion qui suit la Définition 0ACV, on a un carré cartésien \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, f(\xi)}) \ar[r] & Y }\] dont les morphismes horizontaux sont des monomorphismes qui identifient les anneaux locaux, et dont la flèche verticale de gauche est un isomorphisme. Il en résulte que, dans le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \times_X U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, f(\xi)}) \times_Y V \ar[r] & V }\] la flèche verticale de gauche est un isomorphisme. Les flèches horizontales ont leur image contenue dans le lieu schématique de \(U\) et de \(V\) et identifient les anneaux locaux (nous omettons certains détails). Comme les images des flèches horizontales sont les points de \(|U|\), respectivement de \(|V|\), situés au-dessus de \(\xi\), respectivement de \(f(\xi)\), on conclut.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel entre des espaces algébriques sur \(S\), supposés décents et ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Alors les normalisations \(X^\nu \to X\) et \(Y^\nu \to Y\) existent, et il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X^\nu \ar[r] \ar[d] & Y^\nu \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] d’espaces algébriques sur \(S\). Le morphisme \(X^\nu \to Y^\nu\) est birationnel.
Démonstration
D’après le Lemme 0BB9, \(X\) et \(Y\) satisfont aux conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, lemme 0BB1, et les normalisations sont définies. D’après Morphismes d’espaces, lemme 0BB4, l’espace algébrique \(X^\nu\) est normal et envoie les points de codimension \(0\) sur des points de codimension \(0\). Comme \(f\) envoie les points de codimension \(0\) sur des points de codimension \(0\) (ils coïncident avec les points génériques sur les espaces décents d’après le Lemme 0ABV), Morphismes d’espaces, lemme 0BB4, fournit une factorisation du composé \(X^\nu \to X \to Y\) par \(Y^\nu\).
Remarquons que \(X^\nu\) et \(Y^\nu\) sont décents, par exemple d’après le Lemme 0ABT. De plus, les applications \(X^\nu \to X\) et \(Y^\nu \to Y\) induisent des bijections sur les composantes irréductibles (voir les références ci-dessus) ; ainsi, \(X^\nu\) et \(Y^\nu\) possèdent tous deux un nombre fini de composantes irréductibles, et l’application \(X^\nu \to Y^\nu\) induit une bijection entre leurs points génériques. Pour montrer que \(X^\nu \to Y^\nu\) est birationnel, il suffit donc de montrer qu’il induit un isomorphisme sur les anneaux locaux en ces points. Pour cela, on peut remplacer \(X\) et \(Y\) par des voisinages ouverts de leurs points génériques ; on peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas affines irréductibles de points génériques \(x\) et \(y\). Puisque \(f\) est birationnel, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est un isomorphisme. Soient \(x^\nu \in X^\nu\) et \(y^\nu \in Y^\nu\) les points situés au-dessus de \(x\) et de \(y\). Par construction de la normalisation, on a \(\mathcal{O}_{X^\nu, x^\nu} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x\), et de même sur \(Y\). Ainsi, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y^\nu} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x^\nu}\) est lui aussi un isomorphisme.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que
\(X\) et \(Y\) soient décents et aient un nombre fini de composantes irréductibles,
\(f\) soit intégral et birationnel,
\(Y\) soit normal, et
\(X\) soit réduit.
Alors \(f\) est un isomorphisme.
Démonstration
Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, avec \(V\) affine. Il suffit de montrer que \(U = X \times_Y V \to V\) est un isomorphisme. D’après le Lemme 0B4D et sa démonstration, \(U\) et \(V\) sont décents et possèdent un nombre fini de composantes irréductibles, et \(U \to V\) est birationnel. D’après Propriétés, lemme 0357, \(V\) est une réunion disjointe finie de schémas intègres. On peut donc supposer que \(V\) est intègre. Comme \(f\) est birationnel, \(U\) est irréductible et réduit, c’est-à-dire intègre (remarquer que \(U\) est un schéma, puisque \(f\) est intégral, donc représentable). On peut ainsi supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas intègres, et le résultat découle du cas des schémas ; voir Morphismes, lemme 0AB1.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme intégral birationnel d’espaces algébriques décents sur \(S\), ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Il existe alors une factorisation \(Y^\nu \to X \to Y\), et \(Y^\nu \to X\) est la normalisation de \(X\).
Démonstration
Considérons l’application \(X^\nu \to Y^\nu\) du Lemme 0BBG. Cette application est intégrale d’après Morphismes d’espaces, lemme 081Z. Elle est donc un isomorphisme d’après le Lemme 0B4E.
Espaces de Jacobson
Nous avons défini la propriété de Jacobson pour les espaces algébriques dans Propriétés des espaces, remarque 03E7. Pour les espaces algébriques représentables, elle coïncide avec la propriété étudiée dans Propriétés, section 01P1. Le rapport entre la propriété de Jacobson et le comportement de l’espace topologique \(|X|\) n’est pas évident pour un espace algébrique général \(X\). Cependant, un espace algébrique décent \(X\) (par exemple quasi-séparé ou localement séparé) est de Jacobson si et seulement si \(|X|\) est de Jacobson (voir le Lemme 0BA6).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique de Jacobson sur \(S\). Tout espace algébrique localement de type fini sur \(X\) est de Jacobson.
Démonstration
Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Alors \(U\) est de Jacobson (par définition), et, pour tout morphisme de schémas \(V \to U\) localement de type fini, \(V\) est de Jacobson d’après le résultat correspondant pour les schémas (Morphismes, lemme 02J5). Ainsi, si \(Y \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini, en posant \(V = U \times_X Y\), on voit par définition que \(Y\) est de Jacobson.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique de Jacobson sur \(S\). Soient \(x \in X_{\text{ft-pts}}\) et \(g : W \to X\) un morphisme localement de type fini, où \(W\) est un schéma. Si \(x \in \Im(|g|)\), alors il existe un point fermé de \(W\) qui s’envoie sur \(x\).
Démonstration
Soit \(U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma, et soit \(u \in U\) un point fermé qui s’envoie sur \(x\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 06EH. Remarquons que \(W\), \(W \times_X U\) et \(U\) sont des schémas de Jacobson d’après le Lemme 0BA3. Sur ces schémas, les points de type fini sont donc exactement les points fermés, d’après Morphismes, lemme 01TB. L’image inverse \(T \subset W \times_X U\) de \(u\) est une partie fermée non vide (puisque \(x\) appartient à l’image de \(W \to X\)). D’après Morphismes, lemme 02J4, il existe un point fermé \(t\) de \(W \times_X U\) qui s’envoie sur \(u\). Comme \(W \times_X U \to W\) est localement de type fini, l’image de \(t\) dans \(W\) est fermée d’après Morphismes, lemme 01TB.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent de Jacobson sur \(S\). Alors \(X_{\text{ft-pts}} \subset |X|\) est l’ensemble des points fermés.
Démonstration
Si \(x \in |X|\) est fermé, on peut représenter \(x\) par une immersion fermée \(\Spec(k) \to X\) ; voir le Lemme 0AHB. Ainsi, \(x\) est certainement un point de type fini.
Réciproquement, soit \(x \in |X|\) un point de type fini. On sait que \(x\) peut être représenté par un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps (Définition 03I8). D’autre part, par définition, il existe un morphisme \(\Spec(k') \to X\) localement de type fini qui représente \(x\) (Morphismes, définition 02J1). On obtient une factorisation \(\Spec(k') \to \Spec(k) \to X\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale quelconque, avec \(U\) affine, et considérons les morphismes \[\Spec(k') \times_X U \to \Spec(k) \times_X U \to U.\] Le schéma quasi-compact \(\Spec(k) \times_X U\) est étale sur \(\Spec(k)\) ; c’est donc une réunion disjointe finie de spectres de corps (Remarque 03II). De plus, le premier morphisme est surjectif et localement de type fini (Morphismes, lemme 01T8) ; il est donc surjectif sur les points de type fini (Morphismes, lemme 06EB), et le composé (qui est localement de type fini) envoie les points de type fini sur des points fermés, puisque \(U\) est de Jacobson (Morphismes, lemme 01TB). Ainsi, l’image de \(\Spec(k) \times_X U \to U\) est un ensemble fini de points fermés, donc fermé. Comme cela vaut pour tout \(U\) affine et tout morphisme étale \(U \to X\), on conclut que \(x \in |X|\) est fermé.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Alors \(X\) est de Jacobson si et seulement si \(|X|\) est de Jacobson.
Démonstration
Supposons que \(X\) soit de Jacobson et que \(T \subset |X|\) soit une partie fermée. D’après Morphismes d’espaces, lemme 06EK, on voit que \(T \cap X_{\text{ft-pts}}\) est dense dans \(T\). D’après le Lemme 0BA5, \(X_{\text{ft-pts}}\) est l’ensemble des points fermés de \(|X|\). Ainsi, \(|X|\) est bien de Jacobson.
Supposons que \(|X|\) soit de Jacobson. Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma affine. Il faut montrer que \(U\) est de Jacobson. Si \(x \in |X|\) est fermé, la fibre \(F = f^{-1}(\{x\})\) est une partie finie (par définition de décent) et fermée (par construction de la topologie sur \(|X|\)) de \(U\). Comme il n’y a pas de spécialisations entre les points de \(F\) (Lemme 03K5), on conclut que tout point de \(F\) est fermé dans \(U\). Si \(U\) n’est pas de Jacobson, il existe un point non fermé \(u \in U\) tel que \(\{u\}\) soit localement fermé (Topologie, lemme 02I7). Nous allons montrer que \(f(u) \in |X|\) est fermé ; d’après ce qui précède, \(u\) serait alors fermé dans \(U\), contradiction qui achèvera la démonstration. Pour cela, on peut remplacer \(U\) par un voisinage ouvert affine de \(u\). On peut donc supposer que \(\{u\}\) est fermé dans \(U\). Posons \(R = U \times_X U\), avec projections \(s, t : R \to U\). Alors \(s^{-1}(\{u\}) = \{r_1, \ldots, r_m\}\) est fini (par définition des espaces décents). Après avoir remplacé \(U\) par un voisinage ouvert affine plus petit de \(u\), on peut supposer que \(t(r_j) = u\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Il s’ensuit que \(\{u\}\) est une partie fermée \(R\)-invariante de \(U\). Ainsi, \(\{f(u)\}\) est une partie localement fermée de \(X\), puisqu’elle est fermée dans l’ouvert \(|f|(|U|)\) de \(|X|\). Comme \(|X|\) est de Jacobson, on conclut que \(f(u)\) est fermé dans \(|X|\), comme souhaité.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent localement noethérien sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Alors \[W = \{x' \in |X| : x' \leadsto x,\ x' \not = x\}\] est un espace topologique noethérien, spectral, sobre et de Jacobson.
Démonstration
On peut effectuer le remplacement par tout sous-espace ouvert contenant \(x\). On peut donc supposer que \(X\) est quasi-compact. Alors \(|X|\) est un espace topologique noethérien (Propriétés des espaces, lemme 04ZF). Ainsi, \(W\) est un espace topologique noethérien (Topologie, lemme 0052).
En combinant le Lemme 0BB6 et Propriétés des espaces, lemme 0A4G, on voit que \(|X|\) est un espace topologique spectral. D’après Topologie, lemme 0A31, \(W \cup \{x\}\) est un espace topologique spectral. Or \(W\) est un ouvert quasi-compact de \(W \cup \{x\}\) ; \(W\) est donc spectral d’après Topologie, lemme 0902.
Soit \(E \subset W\) une partie fermée irréductible. Si \(Z \subset |X|\) est l’adhérence de \(E\), alors \(x \in Z\). Il existe un unique point générique \(\eta \in Z\) d’après la Proposition 03K6. Bien sûr, \(\eta \in W\), donc \(\eta \in E\). On conclut que \(E\) possède un unique point générique, c’est-à-dire que \(W\) est sobre.
Soit \(x' \in W\) un point tel que \(\{x'\}\) soit localement fermé dans \(W\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que \(x'\) est un point fermé de \(W\). Sinon, il existe une spécialisation non triviale \(x' \leadsto x'_1\) dans \(W\). Soient \(U\) un schéma affine, \(u \in U\) un point et \(U \to X\) un morphisme étale envoyant \(u\) sur \(x\). D’après le Lemme 03IL, on peut choisir des spécialisations \(u' \leadsto u'_1 \leadsto u\) qui s’envoient sur \(x' \leadsto x'_1 \leadsto x\). Soit \(\mathfrak p' \subset \mathcal{O}_{U, u}\) l’idéal premier correspondant à \(u'\). L’existence de ces spécialisations implique que \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak p') \geq 2\). Ainsi, tout ouvert non vide de \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak p')\) est infini d’après Algèbre, lemme 02IG. D’après le Lemme 03K5, on obtient une application continue \[\Spec(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak p') \setminus \{\mathfrak m_u/\mathfrak p'\} \longrightarrow W.\] Comme le point générique du membre de gauche s’envoie sur \(x'\), l’image est contenue dans \(\overline{\{x'\}}\). On en conclut que l’image inverse de \(\{x'\}\) par la flèche affichée est un ouvert non vide, donc infini. Cependant, les fibres de \(U \to X\) sont finies puisque \(X\) est décent ; la fibre au-dessus de \(x'\) serait donc infinie. Cette contradiction achève la démonstration.
Irréductibilité locale
Nous avons déjà défini le nombre géométrique de branches d’un espace algébrique en un point dans Propriétés des espaces, section 06DJ. Le nombre de branches d’un espace algébrique en un point ne peut être défini que pour les espaces algébriques décents.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) possède un unique idéal premier minimal,
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), il existe une unique composante irréductible de \(U\) passant par \(u\),
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) est unibranche,
l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) possède un unique idéal premier minimal.
Démonstration
L’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) sont en correspondance bijective (\(1\)-\(1\)) avec les premiers minimaux de l’anneau local de \(U\) en \(u\). L’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) est l’hensélisé de \(\mathcal{O}_{U, u}\) ; voir la discussion qui suit la Définition 0BGW. En particulier, (3) et (4) sont équivalentes d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BQ0. L’équivalence de (2) et (3) découle de Compléments sur les morphismes, lemme 0CB4.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). On dit que \(X\) est unibranche en \(x\) si les conditions équivalentes du Lemme 0DQ6 sont satisfaites. On dit que \(X\) est unibranche si \(X\) est unibranche en tout \(x \in |X|\).
Cette définition est compatible avec celle donnée pour les schémas (Propriétés, définition 0BQ2).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Soit \(n \in \{1, 2, \ldots\}\) un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes :
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), le nombre d’idéaux premiers minimaux de l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) est \(\leq n\), et, pour au moins un choix de \((U, u)\), il est égal à \(n\),
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), le nombre de composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) est \(\leq n\), et, pour au moins un choix de \((U, u)\), il est égal à \(n\),
pour tout voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, x)\), le nombre de branches de \(U\) en \(u\) est \(\leq n\), et, pour au moins un choix de \((U, u)\), il est égal à \(n\),
le nombre d’idéaux premiers minimaux de \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) est \(n\).
Démonstration
L’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) sont en correspondance bijective (\(1\)-\(1\)) avec les premiers minimaux de l’anneau local de \(U\) en \(u\). L’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) est l’hensélisé de \(\mathcal{O}_{U, u}\) ; voir la discussion qui suit la Définition 0BGW. En particulier, (3) et (4) sont équivalentes d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BQ0. L’équivalence de (2) et (3) découle de Compléments sur les morphismes, lemme 0CB4.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Le nombre de branches de \(X\) en \(x\) est égal soit à \(n \in \mathbf{N}\) si les conditions équivalentes du Lemme 0DQ8 sont satisfaites, soit à \(\infty\).
Espaces algébriques caténaires
Cette section étend aux espaces algébriques les résultats de Propriétés, section 02IV, et de Morphismes, section 02J7.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). On dit que \(X\) est caténaire si \(|X|\) est caténaire (Topologie, définition 02I1).
Si \(X\) est représentable, cette définition équivaut à la notion correspondante pour le schéma qui représente \(X\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma localement noethérien et universellement caténaire. Soit \(\delta : S \to \mathbf{Z}\) une fonction de dimension. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\) tel que le morphisme structural \(X \to S\) soit localement de type fini. Soit \(\delta_X : |X| \to \mathbf{Z}\) l’application qui envoie \(x\) sur \(\delta(f(x))\) augmenté du degré de transcendance de \(x/f(x)\). Alors \(\delta_X\) est une fonction de dimension sur \(|X|\).
Démonstration
Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Alors la fonction \(\delta_U\), définie de manière analogue, est une fonction de dimension sur \(U\) d’après Morphismes, lemme 02JW. D’autre part, par définition du degré de transcendance relatif dans Morphismes d’espaces, définition 04NM, on a \(\delta_U(u) = \delta_X(\varphi(u))\).
Soit \(x \leadsto x'\) une spécialisation de points de \(|X|\). D’après le Lemme 03IL, on peut trouver une spécialisation \(u \leadsto u'\) de points de \(U\) telle que \(\varphi(u) = x\) et \(\varphi(u') = x'\). De plus, \(x = x'\) si et seulement si \(u = u'\) ; voir le Lemme 03K5. Le fait que \(\delta_U\) soit une fonction de dimension implique donc que \(\delta_X\) en est une ; voir Topologie, définition 02I9.
Lemme
Soit \(S\) un schéma localement noethérien et universellement caténaire. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) tel que \(X\) soit décent et que le morphisme structural \(X \to S\) soit localement de type fini. Alors \(X\) est caténaire.
Démonstration
La question est locale sur \(S\) (utiliser Topologie, lemme 02I2). On peut donc supposer que \(S\) possède une fonction de dimension ; voir Topologie, lemme 02IC. D’après le Lemme 0ED5, \(|X|\) possède alors une fonction de dimension. Comme \(|X|\) est sobre (Proposition 03K6), on conclut que \(|X|\) est caténaire d’après Topologie, lemme 02IA.
D’après le Lemme 0ED6, la définition suivante est compatible avec la notion déjà existante pour les espaces algébriques représentables.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent et localement noethérien sur \(S\). On dit que \(X\) est universellement caténaire si, pour tout morphisme \(Y \to X\) d’espaces algébriques qui est localement de type fini, avec \(Y\) décent, l’espace algébrique \(Y\) est caténaire.
Si \(X\) est un espace algébrique, la condition « \(X\) est décent et localement noethérien » équivaut à la condition « \(X\) est quasi-séparé et localement noethérien ». C’est le Lemme 0BB6. Une autre manière de comprendre la définition précédente est donc que \(X\) est universellement caténaire si et seulement si \(Y\) est caténaire pour tout morphisme \(Y \to X\) quasi-séparé et localement de type fini.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent, localement noethérien et universellement caténaire sur \(S\). Alors tout espace algébrique décent localement de type fini sur \(X\) est universellement caténaire.
Démonstration
Cela résulte formellement des définitions et du fait que les composés de morphismes localement de type fini sont localement de type fini (Morphismes d’espaces, lemme 03XG).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini surjectif d’espaces algébriques décents et localement noethériens. Soit \(\delta : |X| \to \mathbf{Z}\) une fonction. Si \(\delta \circ |f|\) est une fonction de dimension, alors \(\delta\) est une fonction de dimension.
Démonstration
Soit \(x \leadsto x'\), avec \(x \not = x'\), une spécialisation dans \(|X|\). Choisissons \(y \in |Y|\) tel que \(|f|(y) = x\). Comme \(|f|\) est fermée (Morphismes d’espaces, lemme 04NZ), il existe une spécialisation \(y \leadsto y'\) telle que \(|f|(y') = x'\). On conclut donc que \(\delta(x) = \delta(|f|(y)) > \delta(|f|(y')) = \delta(x')\) (voir Topologie, définition 02I9). Si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation immédiate, alors \(y \leadsto y'\) en est aussi une : en effet, si \(y \leadsto y'' \leadsto y'\), alors \(|f|(y'')\) est nécessairement égal à \(x\) ou à \(x'\), et il n’existe aucune spécialisation non triviale entre des points d’une même fibre de \(|f|\), d’après le Lemme 0ACK.
La discussion se poursuivra dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0EDL.