Guide bibliographique

Courts articles d’introduction

• Barbara Fantechi: Stacks for Everybody [fantechi_stacks]

• Dan Edidin: What is a stack? [edidin_whatis]

• Dan Edidin: Notes on the construction of the moduli space of curves [edidin_notes]

• Angelo Vistoli: Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces, et surtout l’appendice. [vistoli_intersection]

Références classiques

• Mumford: Picard groups of moduli problems [mumford_picard]

  Mumford n’emploie jamais ici le terme « champ », mais la notion est implicite dans l’article ; il calcule le groupe de Picard du champ de modules des courbes elliptiques.

• Deligne, Mumford: The irreducibility of the space of curves of given genus [DM]

  Cet article influent introduit les « champs algébriques » au sens de ce que l’on appelle aujourd’hui universellement des champs de Deligne–Mumford (champs à diagonale représentable qui admettent des présentations étales par des schémas). Il contient de nombreux résultats fondateurs sans démonstration. L’article utilise les champs pour donner deux démonstrations de l’irréductibilité de l’espace de modules des courbes de genre \(g\).

• Artin: Versal deformations and algebraic stacks [ArtinVersal]

  Cet article introduit les « champs algébriques » qui généralisent les champs de Deligne–Mumford et que l’on appelle aujourd’hui couramment champs d’Artin : ce sont les champs à diagonale représentable qui admettent des présentations lisses par des schémas. L’article donne un critère fondé sur la théorie des déformations, connu sous le nom de critère d’Artin, qui permet de démontrer qu’un champ de modules donné est un champ d’Artin sans exhiber explicitement de présentation.

Livres et notes en ligne

• Laumon, Moret-Bailly: Champs Algébriques [LM-B]

  Ce livre constitue actuellement la référence la plus exhaustive sur les champs et contient de nombreux résultats fondateurs. Il suppose que le lecteur connaît les espaces algébriques et renvoie fréquemment au livre de Knutson [Kn]. Le chapitre 12 contient une erreur concernant la fonctorialité du site lisse-étale d’un champ algébrique. Cette erreur ne prête plus à conséquence, car Martin Olsson l’a corrigée (voir [olsson_sheaves]) et les résultats des chapitres suivants sont justes, moyennant éventuellement de légères modifications.

• The Stacks Project Authors: Stacks Project [stacks-project].

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• Anton Geraschenko: Lecture notes for Martin Olsson’s class on stacks [olsson_stacks]

  Ce cours développe systématiquement la théorie des espaces algébriques avant d’introduire les champs algébriques (définis pour la première fois au cours 27 !). Outre les propriétés fondamentales, il traite de l’équivalence entre être de Deligne–Mumford et avoir une diagonale non ramifiée, du site lisse-étale d’un champ d’Artin, de la théorie des faisceaux quasi-cohérents, du théorème de Keel–Mori, de la descente cohomologique et des gerbes (ainsi que de leur relation avec le groupe de Brauer). Il propose également des exercices.

• Behrend, Conrad, Edidin, Fantechi, Fulton, Göttsche et Kresch : Algebraic stacks, notes en ligne pour un livre en cours de rédaction [stacks_book]

  Ce livre vise à offrir une introduction accessible aux champs, sans exiger de prérequis approfondis, en privilégiant les exemples et les applications. Contrairement à [LM-B], il ne suppose pas que le lecteur maîtrise la théorie des espaces algébriques. Les champs de Deligne–Mumford y sont plutôt introduits, les espaces algébriques constituant un cas particulier ; l’un des objectifs est de développer une théorie suffisante pour démontrer les assertions de [DM]. La théorie générale des champs d’Artin doit être développée dans la seconde partie. Seule une partie du livre est actuellement disponible sur le site de Kresch.

• Olsson, Martin: Algebraic spaces and stacks, [olsson_book]

  Introduction vivement recommandée à la théorie des espaces algébriques et des champs algébriques, accessible à un lecteur qui maîtrise le livre de Hartshorne sur la géométrie algébrique.

Références connexes sur les fondements de la théorie des champs

• Vistoli: Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory [vistoli_fga]

  Contient des résultats utiles sur les catégories fibrées, les champs et la théorie de la descente pour la topologie fpqc, ainsi que des démonstrations rigoureuses.

• Knutson: Algebraic Spaces [Kn]

  Ce livre, issu de sa thèse de doctorat dirigée par Michael Artin, contient les fondements de la théorie des espaces algébriques. Le livre [LM-B] y renvoie fréquemment. Voir aussi les articles d’Artin sur les espaces algébriques : [Artin-Algebraic-Approximation], [ArtinI], [Artin-Implicit-Function], [ArtinII], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Theorem-Representability] et [ArtinVersal]

• Grothendieck et al., Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas I, II, III, également connu sous le nom de SGA 4 [SGA4]

  Le volume 1 contient de nombreux résultats généraux sur les univers, les sites et les catégories fibrées. Le mot « champ » (terme français correspondant à « stack ») apparaît dans l’exposé XVIII de Deligne.

• Jean Giraud: Cohomologie non abélienne [giraud]

  Le livre étudie les catégories fibrées, les champs, les torseurs et les gerbes sur des sites généraux, mais non les champs algébriques. Par exemple, si \(G\) est un faisceau de groupes abéliens sur \(X\), de même que \(H^1(X, G)\) s’identifie aux \(G\)-torseurs, \(H^2(X, G)\) s’identifie à un ensemble convenablement défini de \(G\)-gerbes. Lorsque \(G\) n’est pas abélien, \(H^2(X, G)\) est défini comme l’ensemble des \(G\)-gerbes.

• Kelly and Street: Review of the elements of 2-categories [kelly-street]

  La catégorie des champs forme une 2-catégorie, certes d’un type simple où les 2-morphismes sont inversibles. Il s’agit d’une référence sur les 2-catégories générales. Je ne l’ai jamais utilisée et ne puis donc en apprécier l’utilité. Notons également que [stacks-project] contient quelques notions de base sur les 2-catégories.

Articles de recherche

On trouvera ci-dessous une liste d’articles de recherche contenant des résultats fondamentaux sur les champs et les espaces algébriques. Les résumés visent seulement à signaler les résultats qui contribuent à la théorie des champs ; dans bien des cas, ces résultats sont secondaires par rapport aux objectifs principaux de l’article. Nous répartissons les articles en catégories, certains relevant de plusieurs d’entre elles.

Théorie des déformations et champs algébriques

Les trois premiers articles d’Artin ne traitent pas des champs, mais ils contiennent des résultats puissants, les deux premiers étant essentiels à [ArtinVersal].

• Artin: Algebraic approximation of structures over complete local rings [Artin-Algebraic-Approximation]

  On démontre que, sous des hypothèses peu restrictives, toute déformation formelle effective peut être approchée : si \(F: (\Sch/S) \to (\textit{Sets})\) est un foncteur contravariant localement de présentation finie, si \(S\) est de type fini sur un corps ou sur un anneau de valuation discrète excellent, si \(s \in S\), et si \(\hat{\xi} \in F(\hat{\mathcal{O}}_{S, s})\) est une déformation formelle effective, alors, pour tout \(n > 0\), il existe un voisinage étale \((S', s') \to (S, s)\) induisant un isomorphisme sur les corps résiduels, et un élément \(\xi' \in F(S')\), tels que \(\xi'\) et \(\hat{\xi}\) coïncident à l’ordre \(n\) (c’est-à-dire aient la même restriction dans \(F(\mathcal{O}_{S, s} / \mathfrak m^n)\)).

• Artin: Algebraization of formal moduli I [ArtinI]

  On démontre que, sous des hypothèses peu restrictives, toute déformation formelle verselle effective est algébrisable. Soit \(F: (\Sch/S) \to (\textit{Sets})\) un foncteur contravariant localement de présentation finie, où \(S\) est de type fini sur un corps ou sur un anneau de valuation discrète excellent ; soit \(s \in S\) un point localement fermé, soit \(\hat A\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre locale noethérienne complète, de corps résiduel \(k'\), extension finie de \(k(s)\), et soit \(\hat{\xi} \in F(\hat A)\) une déformation formelle verselle effective d’un élément \(\xi_0 \in F(k')\). Il existe alors un schéma \(X\) de type fini sur \(S\), un point fermé \(x \in X\) de corps résiduel \(k(x) = k'\), et un élément \(\xi \in F(X)\), ainsi qu’un isomorphisme \(\hat{\mathcal{O}}_{X, x} \cong \hat{A}\) qui identifie les restrictions de \(\xi\) et de \(\hat{\xi}\) dans chaque \(F(\hat A / \mathfrak m^n)\). L’algébrisation est unique si \(\hat{\xi}\) est une déformation universelle. On en donne des applications à la représentabilité des schémas de Hilbert et de Picard.

• Artin: Algebraization of formal moduli. II [ArtinII]

  En termes imprécis, il est démontré que, si l’on peut contracter formellement un sous-ensemble fermé \(Y' \subset X'\) au voisinage de \(Y'\), alors il existe un morphisme global \(X' \to X\) qui contracte \(Y\), où \(X\) est un espace algébrique.

• Artin: Versal deformations and algebraic stacks [ArtinVersal]

  Cet article décisif s’appuie sur les travaux d’Artin dans [Artin-Algebraic-Approximation] et [ArtinI]. Il introduit le critère d’Artin, qui permet d’établir l’algébricité d’un champ en vérifiant des propriétés relevant de la théorie des déformations. Plus précisément (mais sans prétendre à une précision parfaite), Artin construit une présentation d’un champ \(\mathcal{X}\) qui commute aux limites inductives, au voisinage d’un point \(x \in \mathcal{X}(k)\), de la manière suivante : si le champ \(\mathcal{X}\) satisfait au critère de Schlessinger ([Sch]), il existe une déformation formelle verselle \(\hat{\xi} \in \lim \mathcal{X}(\hat A / \mathfrak m^n)\) de \(x\). Si l’on suppose que les déformations formelles sont effectives (c’est-à-dire que \(\mathcal{X}(\hat{A}) \to \lim \mathcal{X}(\hat A / \mathfrak m^n)\) est bijective), on obtient une déformation formelle verselle effective \(\xi \in \mathcal{X}(\hat A)\). Les résultats de [ArtinI] fournissent alors un schéma \(U\) de type fini et un élément \(\xi_U: U \to \mathcal{X}\) qui est formellement versel en un point \(u \in U\) situé au-dessus de \(x\). Si l’on suppose en outre que \(\mathcal{X}\) admet une théorie des déformations et des obstructions qui satisfait certaines conditions (compatibilité avec la localisation étale et avec la complétion, ainsi qu’une condition de constructibilité), Artin montre à la section 4 que la versalité formelle est une condition ouverte ; quitte à restreindre \(U\), le morphisme \(U \to \mathcal{X}\) est donc lisse. Artin démontre également que tout champ admettant une présentation fppf par un schéma admet une présentation lisse par un schéma ; on peut donc, en particulier, former des champs quotients par des schémas en groupes plats, séparés et de présentation finie.

• Conrad, de Jong: Approximation of Versal Deformations [conrad-dejong]

  Cet article propose une approche du théorème d’algébrisation d’Artin fondée sur le puissant théorème de Popescu : si \(A\) est un anneau noethérien et \(B\) une \(A\)-algèbre noethérienne, l’homomorphisme \(A \to B\) est régulier si et seulement si \(B\) est une limite inductive d’\(A\)-algèbres lisses. On voit aisément que le théorème de Popescu entraîne le théorème d’approximation d’Artin sur tout schéma excellent (l’hypothèse d’excellence implique que, pour un anneau local \(A\), l’homomorphisme \(A^{\text{h}} \to \hat A\) de l’hensélisé vers le complété est régulier). L’article utilise le théorème de Popescu pour donner une généralisation « aux groupoïdes » du théorème principal de [ArtinI], valable sur tout schéma de base excellent et en tout point \(s \in S\). En particulier, les résultats de [ArtinVersal] valent sur une base excellente arbitraire. Les auteurs étudient l’unicité locale pour la topologie étale de l’algébrisation, ainsi que la question de savoir si le groupe des automorphismes de l’objet agit naturellement sur l’hensélisé de l’algébrisation.

• Jason Starr: Artin’s axioms, composition, and moduli spaces [starr_artin]

  L’article établit que les axiomes d’Artin pour l’algébrisation sont compatibles avec la composition des 1-morphismes.

• Martin Olsson: Deformation theory of representable morphism of algebraic stacks [olsson_deformation]

  Cet article étend aux morphismes représentables de champs algébriques, en termes du complexe cotangent, les résultats usuels de la théorie des déformations des morphismes de schémas. Ces résultats ne peuvent être considérés comme des conséquences de la théorie générale d’Illusie, car le complexe cotangent d’un morphisme représentable \(X \to \mathcal{X}\) n’est pas défini au moyen du complexe cotangent d’un morphisme de topos annelés (le site lisse-étale n’étant pas fonctoriel).

Espaces de modules grossiers

Articles consacrés aux espaces de modules grossiers.

• Keel, Mori: Quotients in Groupoids [K-M]

  Il semble que l’on ait longtemps tenu pour « bien connu » que les champs de Deligne–Mumford séparés admettaient des espaces de modules grossiers. On trouve ici une démonstration rigoureuse, quoique concise, du théorème suivant : si \(\mathcal{X}\) est un champ d’Artin localement de type fini sur un schéma de base noethérien et si le morphisme d’inertie \(I_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini, alors il existe un espace de modules grossier \(\phi : \mathcal{X} \to Y\) tel que \(\phi\) soit séparé et que \(Y\) soit un espace algébrique localement de type fini sur \(S\). La finitude de l’inertie est précisément la bonne condition : il existe un espace de modules grossier \(\phi : \mathcal{X} \to Y\) tel que \(\phi\) soit séparé si et seulement si l’inertie est finie.

• Conrad: The Keel-Mori Theorem via Stacks [conrad]

  L’article de Keel et Mori [K-M] est rédigé dans le langage des groupoïdes, que certains trouvent difficile à maîtriser. Brian Conrad en donne une version formulée dans le langage des champs, dont la démonstration est fort transparente bien qu’elle emploie un formalisme élaboré. Conrad supprime également l’hypothèse noethérienne.

• Rydh: Existence of quotients by finite groups and coarse moduli spaces [rydh_quotients]

  Rydh supprime l’hypothèse, imposée dans [K-M] et [conrad], selon laquelle \(\mathcal{X}\) doit être de présentation finie sur une base.

• Abramovich, Olsson, Vistoli: Tame stacks in positive characteristic [tame]

  Les auteurs définissent un champ d’Artin modéré comme un champ d’Artin à inertie finie tel que, si \(\phi : \mathcal{X} \to Y\) est son espace de modules grossier, le foncteur \(\phi_*\) soit exact sur les faisceaux quasi-cohérents. Ils démontrent que, pour un champ d’Artin à inertie finie, les conditions suivantes sont équivalentes : \(\mathcal{X}\) est modéré ; les stabilisateurs de \(\mathcal{X}\) sont linéairement réductifs ; localement pour la topologie étale sur l’espace de modules grossier, \(\mathcal{X}\) est le quotient d’un schéma affine par un schéma en groupes linéairement réductif. L’espace de modules grossier d’un champ d’Artin modéré possède des propriétés particulièrement favorables. Ainsi, sa formation commute à tout changement de base, tandis que la formation de l’espace de modules grossier d’un champ d’Artin à inertie finie ne commute en général qu’aux changements de base plats.

• Alper: Good moduli spaces for Artin stacks [alper_good]

  Pour les champs d’Artin généraux dont les groupes de stabilisateurs affines sont infinis (ces champs étant nécessairement non séparés), les espaces de modules grossiers n’existent souvent pas. L’exemple le plus simple est \([\mathbf{A}^1 / \mathbf{G}_m]\). On dit ici qu’un morphisme quasi-compact \(\phi : \mathcal{X} \to Y\) définit un bon espace de modules si \(\mathcal{O}_Y \to \phi_* \mathcal{O}_\mathcal{X}\) est un isomorphisme et si \(\phi_*\) est exact sur les faisceaux quasi-cohérents. Cette notion généralise celle de champ d’Artin modéré de [tame] et englobe la théorie géométrique des invariants de Mumford : si \(G\) est un groupe réductif agissant linéairement sur \(X \subset \mathbf{P}^n\), alors le morphisme du champ quotient du lieu semi-stable vers le quotient GIT, \([X^{ss}/G] \to X//G\), définit un bon espace de modules. La notion de bon espace de modules possède de nombreuses propriétés géométriques remarquables : (1) \(\phi\) est surjectif, universellement fermé et universellement submersif ; (2) \(\phi\) identifie les points de \(Y\) aux classes d’équivalence par adhérence des points de \(\mathcal{X}\) ; (3) \(\phi\) est universel parmi les morphismes vers des espaces algébriques ; (4) les bons espaces de modules sont stables par tout changement de base ; et (5) un fibré vectoriel sur un champ d’Artin descend au bon espace de modules si et seulement si les représentations correspondantes sont triviales aux points fermés.

Théorie de l’intersection

Articles consacrés à la théorie de l’intersection sur les champs algébriques.

• Vistoli: Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces [vistoli_intersection]

  Cet article établit les fondements d’une théorie de l’intersection à coefficients rationnels pour les champs de Deligne–Mumford. Si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford séparé, le groupe de Chow \(\CH_*(\mathcal{X})\) à coefficients rationnels est défini comme le quotient du groupe abélien libre engendré par les sous-champs fermés intègres de dimension \(k\) par l’équivalence rationnelle. On dispose d’une image réciproque plate, d’une image directe propre et d’un homomorphisme de Gysin généralisé pour les immersions locales régulières. Si \(\phi : \mathcal{X} \to Y\) est un espace de modules (c’est-à-dire un morphisme propre bijectif sur les points géométriques), il existe une image directe induite \(\CH_*(\mathcal{X}) \to \CH_k(Y)\) qui est un isomorphisme.

• Edidin, Graham: Equivariant Intersection Theory [edidin-graham]

  Le but de cet article est de développer une théorie de l’intersection à coefficients entiers pour le champ quotient \([X/G]\) associé à l’action d’un groupe algébrique \(G\) sur un espace algébrique \(X\), autrement dit une théorie de l’intersection \(G\)-équivariante de \(X\). Définir les groupes de Chow équivariants à l’aide des seuls cycles invariants ne donne pas une théorie possédant de bonnes propriétés. Les auteurs généralisent plutôt la définition de Totaro dans le cas de \(BG\) et s’appuient sur le fait que, si \(V \to X\) est un fibré vectoriel, alors \(\CH_i(X) \cong \CH_i(V)\) canoniquement. Ils définissent \(\CH_i^G(X)\) comme suit : posons \(\dim(X) = n\) et \(\dim(G) = g\). Pour chaque \(i\), choisissons une représentation de dimension \(l\) du groupe \(G\) sur un espace \(V\), où \(G\) agit librement dans un ouvert \(U \subset V\) dont le complémentaire est de codimension \(d > n - i\). Alors \(X_G = [X \times U / G]\) est un espace algébrique (on peut même choisir les données de sorte que ce soit un schéma). On pose \(\CH_i^G(X) = \CH_{i + l - g}(X_G)\). Pour le champ quotient, on définit \(\CH_i( [X/G]) = \CH_{i + g}^G(X) = \CH_{i + l}(X_G)\). En particulier, \(\CH_i([X/G]) = 0\) pour \(i > \dim [X/G] = n - g\), mais ce groupe peut être non nul pour \(i \ll 0\). Par exemple, \(\CH_i(B \mathbf{G}_m) = \mathbf{Z}\) pour \(i \le 0\). Les auteurs établissent que ces groupes de Chow équivariants possèdent les mêmes propriétés fonctorielles que les groupes de Chow ordinaires. Ils montrent en outre qu’un isomorphisme \([X / G] \cong [Y / H]\) entraîne \(\CH_i([X/G]) = \CH_i([Y/H])\) ; la définition ne dépend donc pas de la présentation du champ comme champ quotient.

• Kresch: Cycle Groups for Artin Stacks [kresch_cycle]

  Kresch définit les groupes de Chow des champs d’Artin arbitraires ; dans le cas d’un champ quotient, sa définition coïncide avec celle d’Edidin et Graham dans [edidin-graham]. Pour les champs algébriques dont les groupes de stabilisateurs sont affines, la théorie possède les propriétés usuelles.

• Behrend et Fantechi: The intrinsic normal cone [behrend-fantechi]

  Généralisant une construction due à Li et Tian, Behrend et Fantechi construisent une classe fondamentale virtuelle pour tout champ de Deligne–Mumford.

Champs quotients

Les champs quotients¹ forment une sous-classe très importante des champs d’Artin, qui comprend presque tous les champs de modules étudiés par les géomètres algébristes. La géométrie du champ quotient \([X/G]\) est la géométrie \(G\)-équivariante de \(X\). Il est souvent plus facile d’établir des propriétés pour les champs quotients, et certains résultats ne sont connus que pour eux. Les articles suivants abordent ces questions : quand un champ algébrique est-il un champ quotient global ? Un champ algébrique est-il « localement » un champ quotient ?

• Laumon, Moret-Bailly: [LM-B, chapitre 6]

  Le chapitre 6 contient plusieurs résultats sur la structure locale et globale des champs algébriques. Il y est démontré qu’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) sur \(S\) est un champ quotient \([Y/G]\), où \(Y\) est un espace algébrique (resp. un schéma, resp. un schéma affine) et \(G\) un groupe fini, si et seulement s’il existe un espace algébrique (resp. un schéma, resp. un schéma affine) \(Y'\) et un morphisme fini étale \(Y' \to \mathcal{X}\). On montre que, pour tout champ de Deligne–Mumford sur \(S\) et tout \(x : \Spec(K) \to \mathcal{X}\), il existe un morphisme représentable, étale et séparé \(\phi : [X/G] \to \mathcal{X}\), où \(G\) est un groupe fini agissant sur un schéma affine sur \(S\), tel que \(\Spec(K) = [X/G] \times_\mathcal{X} \Spec(K)\). L’existence de présentations à fibres géométriquement connexes est également étudiée en détail.

• Edidin, Hassett, Kresch, Vistoli: Brauer Groups and Quotient stacks [ehkv]

  Ils établissent d’abord quelques faits fondamentaux (quoique peu difficiles) concernant les conditions sous lesquelles un champ algébrique donné (toujours supposé de type fini sur un schéma noethérien dans cet article) est un champ quotient. Pour un champ algébrique \(\mathcal{X}\) : \(\mathcal{X}\) est un champ quotient si et seulement s’il existe un fibré vectoriel \(V \to \mathcal{X}\) tel que, pour tout point géométrique, le stabilisateur agisse fidèlement sur la fibre, si et seulement s’il existe un fibré vectoriel \(V \to \mathcal{X}\) et un sous-champ localement fermé \(V^0 \subset V\) tel que \(V^0\) soit représentable et se projette surjectivement sur \(\mathcal{X}\). Ils établissent qu’un champ algébrique est un champ quotient s’il existe un revêtement fini et plat par un espace algébrique. Tout champ de Deligne–Mumford lisse à stabilisateur génériquement trivial est un champ quotient. Ils montrent qu’une gerbe en \(\mathbf{G}_m\) sur un schéma noethérien \(X\) correspondant à \(\beta \in H^2(X, \mathbf{G}_m)\) est un champ quotient si et seulement si \(\beta\) appartient à l’image de l’application de Brauer \(\text{Br}(X) \to \text{Br}'(X)\). Ils en déduisent un exemple de champ de Deligne–Mumford non séparé qui n’est pas un champ quotient.

• Totaro: The resolution property for schemes and stacks [totaro_resolution]

  Un champ possède la propriété de résolution si tout faisceau cohérent est quotient d’un fibré vectoriel. Le premier théorème principal affirme que, si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique normal noethérien dont les groupes stabilisateurs aux points fermés sont affines, alors les conditions suivantes sont équivalentes : (1) \(\mathcal{X}\) possède la propriété de résolution et (2) \(\mathcal{X} = [Y/\text{GL}_n]\), où \(Y\) est quasi-affine. Lorsque \(\mathcal{X}\) est de type fini sur un corps, (1) et (2) équivalent aussi à : (3) \(\mathcal{X} = [\Spec(A)/G]\), où \(G\) est un schéma en groupes affine de type fini sur \(k\). L’implication selon laquelle les champs quotients possèdent la propriété de résolution a été démontrée par Thomason. Le second théorème principal affirme que, si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford lisse sur un corps, dont le groupe stabilisateur \(I_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini et génériquement trivial, et dont l’espace de modules grossier est un schéma à diagonale affine, alors \(\mathcal{X}\) possède la propriété de résolution. Un autre résultat remarquable affirme que, si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique noethérien possédant la propriété de résolution, alors \(\mathcal{X}\) a une diagonale affine si et seulement si les stabilisateurs des points fermés sont affines.

• Kresch: On the Geometry of Deligne-Mumford Stacks [kresch_geometry]

  Cet article résume des résultats généraux sur la structure des champs de Deligne–Mumford (de type fini sur un corps) et contient plusieurs résultats intéressants sur les champs quotients. Il y est démontré que tout champ de Deligne–Mumford lisse, séparé et génériquement modéré, dont l’espace de modules grossier est quasi-projectif, est un champ quotient \([Y/G]\), où \(Y\) est quasi-projectif et \(G\) un groupe algébrique. Si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford dont l’espace de modules grossier est un schéma, alors \(\mathcal{X}\) est localement pour la topologie de Zariski un champ quotient si et seulement s’il admet un recouvrement ouvert de Zariski par des champs quotients de schémas par des groupes finis. Si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford propre sur un corps de caractéristique 0 et d’espace de modules grossier \(Y\), alors les conditions suivantes sont équivalentes : \(Y\) est projectif et \(\mathcal{X}\) est un champ quotient; \(Y\) est projectif et \(\mathcal{X}\) possède un faisceau générateur; enfin, \(\mathcal{X}\) admet une immersion fermée dans un champ de Deligne–Mumford lisse et propre dont l’espace de modules grossier est projectif. Cela conduit à dire qu’un champ de Deligne–Mumford est projectif s’il existe une immersion fermée dans un champ de Deligne–Mumford lisse et propre dont l’espace de modules grossier est projectif.

• Kresch, Vistoli On coverings of Deligne-Mumford stacks and surjectivity of the Brauer map [kresch-vistoli]

  Il est démontré qu’en caractéristique 0 et pour un entier \(n\) fixé, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (1) tout champ de Deligne–Mumford lisse de dimension \(n\) est un champ quotient, et (2) le groupe de Brauer d’Azumaya coïncide avec le groupe de Brauer cohomologique pour les schémas lisses de dimension \(n\).

• Kresch: Cycle Groups for Artin Stacks [kresch_cycle]

  Il est démontré que tout champ d’Artin réduit de type fini sur un corps, dont les groupes stabilisateurs sont affines, admet une stratification par champs quotients.

• Abramovich-Vistoli: Compactifying the space of stable maps [abramovich-vistoli]

  Le lemme 2.2.3 établit que tout champ de Deligne–Mumford séparé est, localement pour la topologie étale sur son espace de modules grossier, un champ quotient \([U/G]\), où \(U\) est affine et \(G\) un groupe fini. Dans cet argument, [olsson_homstacks, théorème 2.12] montre même que \(G\) est le groupe stabilisateur.

• Abramovich, Olsson, Vistoli: Tame stacks in positive characteristic [tame]

  Cet article montre qu’un champ d’Artin modéré est, localement pour la topologie étale sur l’espace de modules grossier, le quotient d’un schéma affine par le groupe stabilisateur.

• Alper: On the local quotient structure of Artin stacks [alper_quotient]

  On conjecture que, pour un champ d’Artin \(\mathcal{X}\) et un point fermé \(x \in \mathcal{X}\) à stabilisateur linéairement réductif, il existe un morphisme étale \([V/G_x] \to \mathcal{X}\), où \(V\) est un espace algébrique. Plusieurs éléments à l’appui de cette conjecture sont donnés. Un argument simple de théorie des déformations (fondé sur les idées de [tame]) montre que l’assertion est vraie dans le voisinage formel. Une démonstration, dans le langage des champs, du théorème de la tranche étale de Luna est présentée; elle établit que, pour les champs \(\mathcal{X} = [\Spec(A)/G]\) avec \(G\) linéairement réductif, \(\mathcal{X}\) est, localement pour la topologie étale sur le quotient GIT \(\Spec(A^G)\), un champ quotient par le stabilisateur.

Cohomologie

Articles consacrés à la cohomologie des faisceaux sur les champs algébriques.

• Olsson: Sheaves on Artin stacks [olsson_sheaves]

  Cet article développe la théorie des faisceaux quasi-cohérents et constructibles et démontre les propriétés cohomologiques fondamentales. Il corrige une erreur de [LM-B] concernant la fonctorialité du site lisse-étale. Le complexe cotangent y est construit. En outre, les théorèmes suivants y sont démontrés : le théorème fondamental de Grothendieck pour les morphismes propres, le théorème d’existence de Grothendieck, le théorème de connexité de Zariski et un théorème de finitude pour les images directes propres de faisceaux cohérents et constructibles.

• Behrend: Derived \(l\)-adic categories for algebraic stacks [behrend_derived]

  Démontre la formule des traces de Lefschetz pour les champs algébriques.

• Behrend: Cohomology of stacks [behrend_cohomology]

  Définit la cohomologie de de Rham des champs différentiables et la cohomologie singulière des champs topologiques.

• Faltings: Finiteness of coherent cohomology for proper fppf stacks [faltings_finiteness]

  Démontre la cohérence des images directes de faisceaux cohérents par des morphismes propres.

• Abramovich, Corti, Vistoli: Twisted bundles and admissible covers [acv]

  L’appendice contient le théorème de changement de base propre pour la cohomologie étale des champs de Deligne–Mumford modérés.

Existence de revêtements finis par des schémas

L’existence de revêtements finis de champs de Deligne–Mumford par des schémas est un résultat important. Dans la théorie de l’intersection sur les champs de Deligne–Mumford, c’est un ingrédient essentiel de la définition de l’image directe propre pour les morphismes non représentables. Plusieurs résultats sur \(\overline{\mathcal{M}}_g\) reposent sur l’existence d’un revêtement fini par un schéma lisse, démontrée par Looijenga. Le premier résultat dans cette direction est peut-être [seshadri_quotients, théorème 6.1], qui traite le cadre équivariant.

• Vistoli: Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces [vistoli_intersection]

  Si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford muni d’un espace de modules (c’est-à-dire d’un morphisme propre bijectif sur les points géométriques), alors il existe un morphisme fini \(X \to \mathcal{X}\) provenant d’un schéma \(X\).

• Laumon, Moret-Bailly: [LM-B, chapitre 16]

  Comme application du théorème principal de Zariski, le théorème 16.6 établit que, si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford de type fini sur un schéma noethérien, alors il existe un morphisme fini, surjectif et génériquement étale \(Z \to \mathcal{X}\), où \(Z\) est un schéma. Le corollaire 16.6.2 montre également que tout espace algébrique normal noethérien est isomorphe à l’espace algébrique quotient \(X'/G\) d’un schéma normal \(X'\) par l’action d’un groupe fini \(G\).

• Edidin, Hassett, Kresch, Vistoli: Brauer Groups and Quotient stacks [ehkv]

  Le théorème 2.7 affirme que, si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique de type fini sur un schéma de base noethérien \(S\), alors la diagonale \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}\) est quasi-finie si et seulement s’il existe un morphisme fini surjectif \(X \to \mathcal{X}\) provenant d’un schéma \(X\).

• Kresch, Vistoli: On coverings of Deligne-Mumford stacks and surjectivity of the Brauer map [kresch-vistoli]

  Il est démontré que tout champ de Deligne–Mumford lisse et séparé, de type fini sur un corps et dont l’espace de modules grossier est quasi-projectif, admet un revêtement fini et plat par un schéma lisse quasi-projectif.

• Olsson: On proper coverings of Artin stacks [olsson_proper]

  Il est démontré que, si \(\mathcal{X}\) est un champ d’Artin séparé et de type fini sur \(S\), alors il existe un morphisme propre surjectif \(X \to \mathcal{X}\) provenant d’un schéma \(X\) quasi-projectif sur \(S\). Comme application, Olsson démontre la cohérence et la constructibilité des faisceaux images directes par les morphismes propres. Il en déduit également le théorème d’existence de Grothendieck pour les champs d’Artin propres.

• Rydh: Noetherian approximation of algebraic spaces and stacks [rydh_approx]

  Le théorème B de cet article s’énonce comme suit. Soit \(X\) un champ algébrique quasi-compact à diagonale quasi-finie et séparée (resp. un champ de Deligne–Mumford quasi-compact à diagonale quasi-compacte et séparée). Il existe alors un schéma \(Z\) et un morphisme \(Z \to X\) fini, de présentation finie et surjectif, qui est plat (resp. étale) au-dessus d’un sous-champ ouvert dense quasi-compact \(U \subset X\).

Rigidification

La rigidification est un procédé qui retire un sous-groupe plat de l’inertie. Par exemple, si \(X\) est une variété projective, le morphisme du champ de Picard vers le schéma de Picard est la rigidification par le groupe d’automorphismes \(\mathbf{G}_m\).

• Abramovich, Corti, Vistoli : Twisted bundles and admissible covers [acv]

  Soient \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\) et \(H\) un schéma en groupes plat, séparé et de présentation finie sur \(S\). Supposons que, pour tout objet \(\xi \in \mathcal{X}(T)\), il existe un plongement \(H(T) \hookrightarrow \text{Aut}_{\mathcal{X}(T)}(\xi)\) compatible aux changements de base, au sens où, pour toute flèche \(\phi : \xi \rightarrow \xi'\) au-dessus de \(f: T \rightarrow T'\) et tout \(g \in H(T')\), on a \(g \circ \phi = \phi \circ f^*g\). Il existe alors un champ algébrique \(\mathcal{X}/H\) et un morphisme \(\rho : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}/H\) qui est une gerbe fppf et tel que, pour tout \(\xi \in \mathcal{X}(T)\), le morphisme \(\text{Aut}_{\mathcal{X}(T)} (\xi) \rightarrow \text{Aut}_{\mathcal{X}/H (T)} (\xi)\) est surjectif de noyau \(H(T)\).

• Romagny : Group actions on stacks and applications [romagny_actions]

  Étudie le comportement des actions de groupes vis-à-vis des rigidifications.

• Abramovich, Graber, Vistoli : Gromov-Witten theory for Deligne-Mumford stacks [agv]

  L’appendice donne une synthèse de la rigidification au sens de [acv], ainsi que deux interprétations alternatives. Cet article contient aussi des constructions permettant de recoller des champs algébriques le long de sous-champs fermés et de prendre des racines de fibrés en droites.

• Abramovich, Olsson, Vistoli : Tame stacks in positive characteristic ([tame])

  L’appendice traite la situation plus complexe où le sous-champ en groupes plat de l’inertie \(H \subset I_\mathcal{X}\) est normal, mais pas nécessairement central.

Courbes stacky

Articles consacrés aux courbes stacky.

• Abramovich, Vistoli : Compactifying the space of stable maps [abramovich-vistoli]

  Cet article introduit les courbes tordues. L’espace de modules des applications stables de courbes stables dans un champ algébrique n’est en général pas compact. En utilisant des applications définies sur des courbes tordues, les auteurs construisent un champ de modules qui est propre lorsque le but est un champ de Deligne–Mumford modéré dont l’espace de modules grossier est projectif.

• Behrend, Noohi : Uniformization of Deligne-Mumford curves [behrend-noohi]

  Démontre un théorème d’uniformisation des courbes analytiques de Deligne–Mumford.

Champs de Hilbert, de Quot, de Hom et de variétés branchées

Articles consacrés aux schémas de Hilbert et aux constructions analogues.

• Vistoli : The Hilbert stack and the theory of moduli of families [vistoli_hilbert]

  Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique séparé et localement de type fini sur un espace algébrique \(S\) localement noethérien et localement séparé, Vistoli définit le champ de Hilbert \(\mathcal{H}\text{ilb}(\mathcal{X} / S)\) qui paramètre les morphismes finis et non ramifiés provenant de schémas propres. Il est affirmé sans démonstration que \(\mathcal{H}\text{ilb}(\mathcal{X} / S)\) est un champ algébrique. On en déduit que, pour \(\mathcal{X}\) comme ci-dessus, le champ de Hom \(\mathcal{H} \text{om}_S(T, \mathcal{X})\) est un champ algébrique si \(T\) est propre et plat sur \(S\).

• Olsson, Starr : Quot functors for Deligne-Mumford stacks [olsson-starr]

  Si \(\mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford séparé et localement de présentation finie sur un espace algébrique \(S\), et si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module localement de présentation finie, le foncteur Quot \(\text{Quot}(\mathcal{F} / \mathcal{X} / S)\) est représenté par un espace algébrique séparé et localement de présentation finie sur \(S\). Cet article définit aussi les faisceaux générateurs et démontre l’existence d’un tel faisceau pour les champs de Deligne–Mumford modérés et séparés qui sont des champs quotients globaux d’un schéma par un groupe fini.

• Olsson : Hom-stacks and Restrictions of Scalars [olsson_homstacks]

  Supposons que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient des champs d’Artin localement de présentation finie sur un espace algébrique \(S\), à diagonale finie, que \(\mathcal{X}\) soit propre et plat sur \(S\), et que, localement pour la topologie fppf sur \(S\), \(\mathcal{X}\) admette un revêtement fini, plat et de présentation finie par un espace algébrique (par exemple si \(\mathcal{X}\) est de Deligne–Mumford ou est un champ d’Artin modéré). Alors \(\Hom_S(\mathcal{X}, \mathcal{Y})\) est un champ d’Artin localement de présentation finie sur \(S\).

• Alexeev et Knutson : Complete moduli spaces of branchvarieties ([alexeev-knutson])

  Ils définissent une variété branchée de \(\mathbf{P}^n\) comme un morphisme fini \(X \rightarrow \mathbf{P}^n\) provenant d’un schéma réduit \(X\). Ils démontrent que le champ de modules des variétés branchées de polynôme de Hilbert fixé et de degrés totaux fixés pour les composantes de dimension \(i\) est un champ d’Artin propre à stabilisateur fini. Ils comparent le champ des variétés branchées au schéma de Hilbert, au schéma de Chow et à l’espace de modules des applications stables.

• Lieblich : Remarks on the stack of coherent algebras [lieblich_remarks]

  Cet article construit une généralisation du champ des variétés branchées d’Alexeev et Knutson au-dessus d’un schéma \(Y\), en le réalisant comme un champ d’algèbres sur le faisceau structural de \(Y\). Il donne des démonstrations de l’existence des espaces \(\text{Quot}\) et \(\Hom\).

• Starr : Artin’s axioms, composition, and moduli spaces [starr_artin]

  Comme application du résultat principal, l’article fournit une généralisation commune du champ de Hilbert de Vistoli [vistoli_hilbert] et du champ des variétés branchées d’Alexeev et Knutson [alexeev-knutson]. Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique localement de type fini sur un schéma excellent \(S\), à diagonale finie, alors le champ \(\mathcal{H}\) qui paramètre les morphismes \(g: T \rightarrow \mathcal{X}\) provenant d’un espace algébrique propre \(T\) muni d’un fibré en droites \(g\)-ample \(L\) est un champ d’Artin localement de type fini sur \(S\).

• Lundkvist et Skjelnes : Non-effective deformations of Grothendieck’s Hilbert functor [lundkvist-skjelnes]

  Montre que le foncteur de Hilbert d’un schéma non séparé n’est pas représenté, car il existe des déformations non effectives.

• Halpern-Leistner et Preygel : Mapping stacks and categorical notions of properness [HL-P]

  Cet article démontre que le champ de Hom est algébrique sous des hypothèses sur la source et le but qui sont plus générales que celles de l’article d’Olsson, ou du moins différentes.

Champs toriques

Les champs toriques fournissent une vaste classe d’exemples et un banc d’essai naturel pour les conjectures, grâce au dictionnaire entre la géométrie d’un champ torique et la combinatoire de son éventail stacky, tout comme les variétés toriques fournissent des exemples et des contre-exemples en théorie des schémas.

• Borisov, Chen et Smith : The orbifold Chow ring of toric Deligne-Mumford stacks [bcs]

  Inspiré par la construction de Cox pour les variétés toriques, cet article définit les champs toriques de Deligne–Mumford lisses comme des champs quotients explicites associés à un objet combinatoire appelé éventail stacky.

• Iwanari : The category of toric stacks [iwanari_toric]

  Cet article définit un triplet torique comme un champ de Deligne–Mumford lisse \(\mathcal{X}\) muni d’une immersion ouverte \(\mathbf{G}_m \hookrightarrow \mathcal{X}\) d’image dense (de sorte que \(\mathcal{X}\) est un orbifold) et d’une action \(\mathcal{X} \times \mathbf{G}_m \rightarrow \mathcal{X}\). Il est démontré qu’il existe une équivalence entre la 2-catégorie des triplets toriques et la 1-catégorie des éventails stacky. L’article étudie la relation entre les triplets toriques et la définition des champs toriques de Deligne–Mumford lisses donnée dans [bcs].

• Iwanari : Integral Chow rings for toric stacks [iwanari_chow]

  Généralise les \(\Delta\)-collections de Cox pour les variétés toriques aux orbifolds toriques.

• Perroni : A note on toric Deligne-Mumford stacks [perroni]

  Généralise les \(\Delta\)-collections de Cox et l’article d’Iwanari [iwanari_chow] aux champs toriques de Deligne–Mumford lisses généraux.

• Fantechi, Mann et Nironi : Smooth toric DM stacks [fmn]

  Cet article définit un champ torique de Deligne–Mumford lisse comme un champ de Deligne–Mumford lisse \(\mathcal{X}\) muni de l’action d’un tore de Deligne–Mumford \(\mathcal{T}\) (c’est-à-dire d’un champ de Picard isomorphe à \(T \times BG\), où \(G\) est fini) qui possède une orbite ouverte dense isomorphe à \(\mathcal{T}\). Les auteurs en donnent une « description ascendante » et démontrent une équivalence entre les champs toriques de Deligne–Mumford lisses et les éventails stacky.

• Geraschenko et Satriano : Toric Stacks I and II [gs_toric1] et [gs_toric2]

  Ces articles définissent un champ torique comme le champ quotient d’une variété torique par un sous-groupe de son tore. Un champ torique génériquement stacky est défini comme un sous-champ invariant par le tore d’un champ torique. Cette définition englobe et étend les définitions antérieures des champs toriques. Le premier article établit un dictionnaire entre la combinatoire des éventails stacky et la géométrie des champs correspondants. Il donne aussi une interprétation modulaire des champs toriques lisses, généralisant celle de [perroni]. Le second article démontre une caractérisation intrinsèque des champs toriques.

Théorème des fonctions formelles et théorème d’existence de Grothendieck

Ces articles donnent des généralisations du théorème des fonctions formelles [EGA, III.4.1.5] (parfois appelé théorème fondamental de Grothendieck pour les morphismes propres) et du théorème d’existence de Grothendieck [EGA, III.5.1.4].

• Knutson : Algebraic spaces [Kn, chapitre V]

  Généralise ces théorèmes aux espaces algébriques.

• Abramovich–Vistoli : Compactifying the space of stable maps [abramovich-vistoli, A.1.1]

  Généralise ces théorèmes aux champs de Deligne–Mumford modérés.

• Olsson et Starr : Quot functors for Deligne-Mumford stacks [olsson-starr]

  Généralise ces théorèmes aux champs de Deligne–Mumford séparés.

• Olsson : On proper coverings of Artin stacks [olsson_proper]

  En fournit une généralisation aux champs d’Artin propres.

• Conrad : Formal GAGA on Artin stacks [conrad_gaga]

  En fournit une généralisation aux champs d’Artin propres et démontre un théorème de GAGA formel.

• Olsson : Sheaves on Artin stacks [olsson_sheaves]

  Donne une autre démonstration de la généralisation aux champs d’Artin propres.

Actions de groupes sur les champs

Les actions de groupes sur les champs algébriques apparaissent naturellement. Par exemple, le groupe symétrique \(S_n\) agit sur \(\overline{\mathcal{M}}_{g, n}\) et, lorsqu’un groupe \(G\) agit sur un schéma \(X\), le normalisateur de \(G\) dans \(\text{Aut}(X)\) agit sur \([X/G]\). En outre, les actions de tores sur les champs apparaissent souvent en théorie de Gromov–Witten.

• Romagny : Group actions on stacks and applications [romagny_actions]

  Cet article précise ce que signifie l’action d’un groupe sur un champ algébrique et démontre l’existence de points fixes ainsi que celle de quotients pour les actions de schémas en groupes sur les champs algébriques. Voir aussi la note antérieure de Romagny [romagny_notes].

Prise de racines de fibrés en droites

Cette construction utile a été découverte indépendamment par Cadman et par Abramovich, Graber et Vistoli. Étant donné un schéma \(X\) muni d’un diviseur de Cartier effectif \(D\), le champ des racines \(r\)-ièmes est un champ d’Artin ramifié au-dessus de \(X\) le long de \(D\), avec un stabilisateur \(\mu_r\) au-dessus de \(D\), et il est schématique hors de \(D\).

• Charles Cadman Using Stacks to Impose Tangency Conditions on Curves [cadman]

• Abramovich, Graber, Vistoli : Gromov-Witten theory for Deligne-Mumford stacks [agv]

Autres articles

Un assortiment d’autres articles.

• Lieblich : Moduli of twisted sheaves [lieblich_twisted]

  Cet article contient une synthèse sur les gerbes et les faisceaux tordus. Si \(\mathcal{X} \rightarrow X\) est une \(\mu_n\)-gerbe, où \(X\) est une surface relative projective à fibres géométriques lisses et connexes, il est démontré que le champ des faisceaux \(\mathcal{X}\)-tordus semi-stables est un champ d’Artin localement de présentation finie sur \(S\). L’article développe aussi la théorie des points associés et de la pureté des faisceaux sur les champs d’Artin.

• Lieblich, Osserman : Functorial reconstruction theorem for stacks [lieblich-osserman]

  Démontre plusieurs résultats surprenants et intéressants sur les conditions permettant de reconstruire un champ algébrique à partir du foncteur qui lui est associé.

• David Rydh : Noetherian approximation of algebraic spaces and stacks [rydh_approx]

  Cet article montre que tout champ algébrique quasi-compact à diagonale quasi-finie peut être obtenu par approximation par un champ noethérien. Cela permet notamment de supprimer l’hypothèse noethérienne dans des résultats de Chevalley, Serre, Zariski et Chow.

Les champs dans d’autres domaines

• Behrend et Noohi : Uniformization of Deligne-Mumford curves [behrend-noohi]

  Donne une vue d’ensemble et une comparaison des champs topologiques, analytiques et algébriques.

• Behrang Noohi : Foundations of topological stacks I [noohi]

• David Metzler : Topological and smooth stacks [metzler]

Champs supérieurs

• Lurie : Higher topos theory [lurie_topos]

• Lurie : Derived Algebraic Geometry I - V [dag1], [dag2], [dag3], [dag4], [dag5]

• Toën : Higher and derived stacks: a global overview [toen_higher]

• Toën et Vezzosi : Homotopical algebraic geometry I, II [hag1], [hag2]