Introduction

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Vue d’ensemble

Outre le livre de Laumon et Moret-Bailly (voir [LM-B]) et les travaux (en cours) de Fulton et al., nous pensons qu’un manuel libre consacré aux champs algébriques et à la géométrie algébrique nécessaire à leur définition a sa place. Le projet Champs tente d’y parvenir en construisant les fondements à partir de l’algèbre commutative, puis en passant par la théorie des schémas et des espaces algébriques pour aboutir à des fondements complets de la théorie des champs algébriques.

Nous prévoyons que ce contenu sera lu en ligne, car l’une de ses caractéristiques essentielles est la présence d’hyperliens donnant un accès rapide aux références internes réparties sur de nombreuses pages. Si vous utilisez dans votre navigateur une visionneuse PDF ou DVI intégrée, les liens entre fichiers devraient fonctionner.

Ce projet est le fruit d’un travail collaboratif et nous vous encourageons à y contribuer. Veuillez signaler par courriel toute coquille ou erreur que vous relevez au cours de votre lecture, ainsi que toute suggestion, tout contenu supplémentaire ou tout exemple, à l’adresse stacks.project@gmail.com. Vous pouvez télécharger une archive tar contenant tous les fichiers sources, l’extraire, exécuter la commande make et utiliser localement une visionneuse DVI ou PDF. N’hésitez pas à modifier les fichiers LaTeX et à envoyer vos améliorations par courriel.

Attribution

Vu l’ampleur de cet ouvrage, rendre justice, de façon à la fois exacte et succincte, à tous les mathématiciens dont les travaux ont conduit au développement de la théorie que nous tentons d’exposer ici est une tâche redoutable. Nous espérons susciter à terme suffisamment d’intérêt au sein de la communauté pour trouver des contributeurs disposés à rédiger, pour chacun des chapitres, des sections contenant des remarques historiques.

Les personnes ayant contribué à cet ouvrage sont mentionnées sur la page de titre de sa version sous forme de livre ainsi que sur cette page en ligne. Nous souhaitons ici signaler une sélection de contributions majeures :

1. Jarod Alper a rédigé un chapitre consacré à la bibliographie relative aux champs algébriques, voir Guide bibliographique, section 03B1.

2. Bhargav Bhatt a rédigé la première version d’un chapitre sur les morphismes étales de schémas, voir Morphismes étales, section 024K.

3. Bhargav Bhatt a rédigé la première version de Compléments d’algèbre, section 05E5.

4. Kiran Kedlaya a fourni la première rédaction de Descente, section 08WE.

5. Les premières versions de

   1. Algèbre, section 05K7,

   2. Objets injectifs, section 05NM, et

   3. le chapitre sur les corps, voir Corps, section 09FB,

   proviennent du The CRing Project, avec l’aimable concours d’Akhil Mathew et al.

6. Alex Perry a rédigé le contenu consacré aux modules projectifs et aux modules de Mittag-Leffler, y compris la preuve de Algèbre, théorème 05A9.

7. Alex Perry a rédigé le chapitre sur la théorie des déformations selon l’approche de Schlessinger et Rim, voir Théorie formelle des déformations, section 06G8.

8. Thibaut Pugin, Zachary Maddock et Min Lee ont pris des notes pour un cours qui a servi de base à un chapitre sur la cohomologie étale et à un chapitre sur la formule des traces. Voir Cohomologie étale, section 03N2 et La formule des traces, section 0F5Q.

9. David Rydh a apporté de nombreux commentaires utiles, signalé plusieurs erreurs, apporté une aide essentielle au contenu consacré aux gerbes résiduelles et est à l’origine du contenu de Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, sections 04PB et 04RJ.

10. Burt Totaro a apporté les contributions suivantes : Exemples, sections 08J0, 08KE, ainsi que Propriétés des champs algébriques, section 0AFL.

11. Le chapitre sur la cohomologie pro-étale, voir Cohomologie pro-étale, section 0966, est tiré d’un article de Bhargav Bhatt et Peter Scholze.

12. Bhargav Bhatt a apporté les contributions suivantes : Exemples, sections 0AF8 et 0ATE.

13. Ofer Gabber a relevé des erreurs et apporté des corrections ; il a également apporté les contributions suivantes : Variétés, lemme 04PZ, Espaces algébriques formels, lemme 0APW, le contenu de Compléments sur les schémas en groupoïdes, section 0APG, le résultat principal de Propriétés des espaces algébriques, section 03W8, ainsi que la preuve de Compléments sur la platitude, proposition 05U9.

14. János Kollár a apporté les contributions suivantes : Algèbre, lemme 0BHZ, et Cohomologie locale, proposition 0BK3.

15. Kiran Kedlaya a rédigé la première version de Compléments d’algèbre, section 0BNI.

16. Matthew Emerton, Toby Gee et Brandon Levin ont apporté certains résultats sur les épaississements, en particulier Compléments sur les morphismes de champs, lemmes 0BPU, 0BPV, et 0BPW.

17. Lena Min Ji a rédigé la première version de Compléments d’algèbre, section 0BWR.

18. Matthew Emerton et Toby Gee ont rédigé les premières versions de Géométrie des champs, sections 0DR4 et 0DRE.