Introduction
Les espaces algébriques ont été introduits par Michael Artin, voir [ArtinI], [ArtinII], [Artin-Theorem-Representability], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Algebraic-Approximation], [Artin-Implicit-Function], et [ArtinVersal]. Une partie des fondements a été élaborée conjointement avec Knutson, qui en a tiré l’ouvrage [Kn]. Artin a défini (voir [Artin-Implicit-Function, Définition 1.3]) un espace algébrique comme un faisceau pour la topologie étale qui est localement représentable pour la topologie étale. Dans la plupart des travaux d’Artin, les catégories de schémas considérées sont formées de schémas localement de type fini sur une base noethérienne excellente fixée.
Notre définition diffère légèrement de la définition originelle d’Artin. En effet, nos espaces algébriques sont des faisceaux pour la topologie fppf dont la diagonale est représentable et qui possèdent un « revêtement » étale par un schéma. Travailler avec la topologie fppf plutôt qu’avec la topologie étale n’est qu’un point technique et ne change presque rien; nous montrerons dans Amorçage, section 076L que nous aurions obtenu la même catégorie d’espaces algébriques en travaillant avec la topologie étale. Dans ce même chapitre, nous démontrerons que la condition portant sur la diagonale peut, en un certain sens, être supprimée; voir Amorçage, section 03XV.
Après avoir défini les espaces algébriques, nous formulons quelques observations fondamentales. Le principal résultat de ce chapitre est qu’avec nos définitions, la donnée d’un espace algébrique équivaut à celle d’une relation d’équivalence étale; voir l’exposé de la section 0261 et le Théorème 02WW. L’analogue de ce théorème dans le cadre d’Artin est [Artin-Implicit-Function, Théorème 1.5], ou [Kn, Proposition II.1.7]. Autrement dit, le faisceau défini par une relation d’équivalence étale a une diagonale représentable. Il s’ensuit que notre définition coïncide, au sens large, avec la définition originelle d’Artin. Cela signifie aussi que l’on peut donner des exemples d’espaces algébriques en écrivant simplement une relation d’équivalence étale.
Dans la section 02X3, nous introduisons divers axiomes de séparation pour les espaces algébriques rencontrés dans la littérature. Enfin, dans la section 02Z0, nous donnons des exemples insolites d’espaces algébriques et d’autres qui le sont moins.
Remarques générales
Nous travaillons dans un grand site fppf convenable \(\Sch_{fppf}\) comme dans Topologies, Définition 021R. Ainsi, sauf mention expresse du contraire, tous les schémas seront des objets de \(\Sch_{fppf}\). Dans la section 03FO, nous étudions les modifications entraînées par un changement de grand site fppf.
Nous travaillerons toujours relativement à un schéma de base \(S\) appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Nous travaillerons alors avec le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Topologies, Définition 021S. On retrouve le cas absolu en prenant \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).
Si \(U, T\) sont des schémas sur \(S\), nous désignons par \(U(T)\) l’ensemble des points à valeurs dans \(T\) au-dessus de \(S\). Autrement dit : \(U(T) = \Mor_S(T, U)\).
Notons que tout recouvrement fpqc est un épimorphisme effectif universel, voir Descente, Lemme 023Q. Par conséquent, la topologie sur \(\Sch_{fppf}\) est moins fine que la topologie canonique, et tous les préfaisceaux représentables sont des faisceaux.
Morphismes représentables de préfaisceaux
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs, voir Catégories, Définition 0023. Cela signifie que pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(\xi \in G(U)\), le produit fibré \(h_U \times_{\xi, G} F\) est représentable. Choisissons un objet \(V_\xi\) qui le représente et un isomorphisme \(h_{V_\xi} \to h_U \times_G F\). D’après le lemme de Yoneda, voir Catégories, Lemme 001P, la projection \(h_{V_\xi} \to h_U \times_G F \to h_U\) provient d’un unique morphisme de schémas \(a_\xi : V_\xi \to U\). Le diagramme suivant permet de se représenter la situation : \[\xymatrix{ V_\xi \ar@{~>}[r] \ar[d]_{a_\xi} & h_{V_\xi} \ar[d] \ar[r] & F \ar[d]^a \\ U \ar@{~>}[r] & h_U \ar[r]^\xi & G }\] où les flèches ondulées représentent le plongement de Yoneda. Voici quelques lemmes sur cette notion, valables dans un cadre très général.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\) et soient \(X\), \(Y\) des objets de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Alors \[h_f : h_X \longrightarrow h_Y\] est un morphisme représentable de foncteurs.
Démonstration
Cela est formel et repose seulement sur le fait que la catégorie \((\Sch/S)_{fppf}\) admet des produits fibrés.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des morphismes représentables de foncteurs. Alors \[b \circ a : F \longrightarrow H\] est un morphisme représentable de foncteurs.
Démonstration
Cela est entièrement formel et vaut dans toute catégorie.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Soit \(b : H \to G\) un morphisme de foncteurs quelconque. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] Alors le changement de base \(a'\) est un morphisme représentable de foncteurs.
Démonstration
Cela est entièrement formel et vaut dans toute catégorie.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F_i, G_i : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\), \(i = 1, 2\). Soient \(a_i : F_i \to G_i\), \(i = 1, 2\), des morphismes représentables de foncteurs. Alors \[a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\] est un morphisme représentable de foncteurs.
Démonstration
Écrivons \(a_1 \times a_2\) comme la composée \(F_1 \times F_2 \to G_1 \times F_2 \to G_1 \times G_2\). La première flèche est le changement de base de \(a_1\) par le morphisme \(G_1 \times F_2 \to G_1\), et la seconde flèche est le changement de base de \(a_2\) par le morphisme \(G_1 \times G_2 \to G_2\). Ce lemme est donc une conséquence formelle des Lemmes 02WA et 02WB.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Si \(G\) est un faisceau, alors \(F\) l’est aussi.
Démonstration
Soit \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) une famille couvrante du site \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(s_i \in F(T_i)\) satisfaisant à la condition de recollement. Alors \(\sigma_i = a(s_i) \in G(T_i)\) satisfont elles aussi à la condition de recollement. Il existe donc un unique \(\sigma \in G(T)\) tel que \(\sigma_i = \sigma|_{T_i}\). Par hypothèse, \(F' = h_T \times_{\sigma, G, a} F\) est un préfaisceau représentable et donc (voir les remarques de la section 025T) un faisceau. Notons que \((\varphi_i, s_i) \in F'(T_i)\) satisfont elles aussi à la condition de recollement et proviennent donc d’un unique \((\text{id}_T, s) \in F'(T)\). Manifestement, \(s\) est la section de \(F\) que nous cherchions.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Alors \(\Delta_{F/G} : F \to F \times_G F\) est représentable.
Démonstration
Soit \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Soit \(\xi = (\xi_1, \xi_2) \in (F \times_G F)(U)\). Posons \(\xi' = a(\xi_1) = a(\xi_2) \in G(U)\). Par hypothèse, il existe un schéma \(V\) muni d’un morphisme \(V \to U\) qui représente le produit fibré \(h_U \times_{\xi', G} F\). En particulier, les éléments \(\xi_1, \xi_2\) définissent des morphismes \(f_1, f_2 : U \to V\) au-dessus de \(U\). Puisque \(V\) représente le produit fibré \(h_U \times_{\xi', G} F\) et que \(\xi' = a \circ \xi_1 = a \circ \xi_2\) nous voyons que, si \(g : U' \to U\) est un morphisme, alors \[g^*\xi_1 = g^*\xi_2 \Leftrightarrow f_1 \circ g = f_2 \circ g.\] Autrement dit, nous voyons que \(h_U \times_{\xi, F \times_G F} F\) est représenté par \(V \times_{\Delta, V \times V, (f_1, f_2)} U\) qui est un schéma.
Listes de propriétés utiles des morphismes de schémas
Pour faciliter les renvois, les remarques suivantes énumèrent les propriétés de morphismes qui vérifient certaines des conditions requises dans des résultats ultérieurs.
Remarque
Voici une liste de propriétés/types de morphismes qui sont stables par changement de base quelconque :
immersions fermées, ouvertes et localement fermées, voir Schémas, Lemme 01JY,
quasi-compact, voir Schémas, Lemme 01K5,
universellement fermé, voir Schémas, Définition 01KB,
(quasi-)séparé, voir Schémas, Lemme 01KU,
monomorphisme, voir Schémas, Lemme 02YC
surjectif, voir Morphismes, Lemme 01S1,
radiciel, voir Morphismes, Lemme 01S4,
affine, voir Morphismes, Lemme 01SD,
quasi-affine, voir Morphismes, Lemme 01SO,
(localement) de type fini, voir Morphismes, Lemme 01T4,
(localement) quasi-fini, voir Morphismes, Lemme 01TM,
(localement) de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01TS,
localement de type fini de dimension relative \(d\), voir Morphismes, Lemme 02NK,
universellement ouvert, voir Morphismes, Définition 01U0,
plat, voir Morphismes, Lemme 01U9,
syntomique, voir Morphismes, Lemme 01UI,
lisse, voir Morphismes, Lemme 01VB,
non ramifié (resp. G-non ramifié), voir Morphismes, Lemme 02GA,
étale, voir Morphismes, Lemme 02GO,
propre, voir Morphismes, Lemme 01W4,
H-projectif, voir Morphismes, Lemme 01WF,
(localement) projectif, voir Morphismes, Lemme 02V6,
fini ou entier, voir Morphismes, Lemme 01WL,
fini localement libre, voir Morphismes, Lemme 02KD,
universellement submersif, voir Morphismes, Lemme 0CES,
homéomorphisme universel, voir Morphismes, Lemme 0CEU.
Compléter au besoin.
Remarque
Parmi les propriétés de morphismes qui sont stables par changement de base (telles qu’elles sont énumérées dans la Remarque 02WF), les suivantes sont aussi stables par composition :
immersions fermées, ouvertes et localement fermées, voir Schémas, Lemme 02V0,
quasi-compact, voir Schémas, Lemme 01K6,
universellement fermé, voir Morphismes, Lemme 01W3,
(quasi-)séparé, voir Schémas, Lemme 01KU,
monomorphisme, voir Schémas, Lemme 01L5,
surjectif, voir Morphismes, Lemme 01S0,
radiciel, voir Morphismes, Lemme 02V1,
affine, voir Morphismes, Lemme 01SC,
quasi-affine, voir Morphismes, Lemme 01SN,
(localement) de type fini, voir Morphismes, Lemme 01T3,
(localement) quasi-fini, voir Morphismes, Lemme 01TL,
(localement) de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01TR,
universellement ouvert, voir Morphismes, Lemme 02V2,
plat, voir Morphismes, Lemme 01U7,
syntomique, voir Morphismes, Lemme 01UH,
lisse, voir Morphismes, Lemme 01VA,
non ramifié (resp. G-non ramifié), voir Morphismes, Lemme 02G9,
étale, voir Morphismes, Lemme 02GN,
propre, voir Morphismes, Lemme 01W3,
H-projectif, voir Morphismes, Lemme 01WE,
fini ou entier, voir Morphismes, Lemme 01WK,
fini localement libre, voir Morphismes, Lemme 02KC,
universellement submersif, voir Morphismes, Lemme 0CET,
homéomorphisme universel, voir Morphismes, Lemme 0CEV.
Compléter au besoin.
Remarque
Parmi les propriétés mentionnées qui sont stables par changement de base (énumérées dans la Remarque 02WF), les suivantes sont aussi locales sur la base pour la topologie fpqc (et a fortiori locales sur la base pour la topologie fppf) :
pour les immersions, c’est le cas pour
quasi-compact, voir Descente, Lemme 02KQ,
universellement fermé, voir Descente, Lemme 02KS,
monomorphisme, voir Descente, Lemme 02YK,
surjectif, voir Descente, Lemme 02KV,
radiciel, voir Descente, Lemme 02KW,
affine, voir Descente, Lemme 02L5,
quasi-affine, voir Descente, Lemme 02L7,
(localement) de type fini, voir Descente, Lemmes 02KX, et 02KZ,
(localement) quasi-fini, voir Descente, Lemme 02VI,
(localement) de présentation finie, voir Descente, Lemmes 02KY, et 02L0,
localement de type fini de dimension relative \(d\), voir Descente, Lemme 02VJ,
universellement ouvert, voir Descente, Lemme 02KT,
plat, voir Descente, Lemme 02L2,
syntomique, voir Descente, Lemme 02VK,
lisse, voir Descente, Lemme 02VL,
non ramifié (resp. G-non ramifié), voir Descente, Lemme 02VM,
étale, voir Descente, Lemme 02VN,
propre, voir Descente, Lemme 02L1,
fini ou entier, voir Descente, Lemme 02LA,
fini localement libre, voir Descente, Lemme 02VO,
universellement submersif, voir Descente, Lemme 0CEW,
homéomorphisme universel, voir Descente, Lemme 0CEX.
Notons que la propriété d’être une “immersion” n’est pas nécessairement locale sur la base pour la topologie fpqc, mais que dans Descente, Lemme 02YM, nous avons démontré qu’elle est locale sur la base pour la topologie fppf.
Propriétés des morphismes représentables de préfaisceaux
Voici la définition qui permet de procéder.
Définition
On se donne \(S\) et \(a : F \to G\) représentable comme ci-dessus. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui
est stable par tout changement de base, voir Schémas, Définition 01JZ, et
est locale sur la base pour la topologie fppf, voir Descente, Définition 02KO.
Dans ce cas, nous disons que \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si, pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(\xi \in G(U)\), le morphisme de schémas qui en résulte \(V_\xi \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Il importe de noter que nous n’utiliserons cette définition que pour des propriétés de morphismes stables par changement de base et locales sur la base pour la topologie fppf. Ce choix ne vient pas de ce que la définition n’aurait autrement aucun sens ; il vient plutôt de ce que nous pouvons vouloir donner une autre définition mieux adaptée à la propriété envisagée.
Remarque
Considérons la propriété \(\mathcal{P}=\)“surjectif”. Dans ce cas, dire “soit \(F \to G\) un morphisme surjectif” pourrait être ambigu. En effet, nous pourrions entendre la notion définie dans la Définition 025V ci-dessus, ou bien un morphisme surjectif de préfaisceaux, voir Sites, Définition 00V6, ou encore, si \(F\) et \(G\) sont tous deux des faisceaux, un morphisme surjectif de faisceaux, voir Sites, Définition 00WM. Sauf mention expresse du contraire, lorsque nous parlerons de morphismes d’espaces algébriques, nous entendrons toujours la première notion. Voir le Lemme 05VM pour un cas où cette propriété entraîne la surjectivité du morphisme de faisceaux sous-jacent.
Voici une vérification de cohérence.
Lemme
Soient \(S\), \(X\), \(Y\) des objets de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{P}\) comme dans la Définition 025V. Alors \(h_X \longrightarrow h_Y\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Notons que le lemme a un sens en vertu du Lemme 02W9. Démonstration omise.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 025V qui est stable par composition. Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des morphismes représentables de foncteurs. Si \(a\) et \(b\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même de \(b \circ a : F \longrightarrow H\).
Démonstration
Notons que le lemme a un sens en vertu du Lemme 02WA. Démonstration omise.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 025V. Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Soit \(b : H \to G\) un morphisme quelconque de foncteurs. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] Si \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors son changement de base \(a'\) possède également la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Notons que le lemme a un sens en vertu du Lemme 02WB. Démonstration omise.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 025V. Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Soit \(b : H \to G\) un morphisme quelconque de foncteurs. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] Supposons que \(b\) induise un morphisme surjectif de faisceaux pour la topologie fppf \(H^\# \to G^\#\). Dans ce cas, si \(a'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(a\) possède également la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Remarquons d’abord que, d’après le Lemme 02WB, le morphisme \(a'\) est représentable. Soient \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \(\xi \in G(U)\). Par hypothèse, il existe un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) et des éléments \(\xi_i \in H(U_i)\) qui sont envoyés sur \(\xi|_{U_i}\) par \(b\). Il résulte de la théorie générale des catégories que, pour chaque \(i\), on a un diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ U_i \times_{\xi_i, H, a'} (H \times_{b, G, a} F) \ar[r] \ar[d] & U \times_{\xi, G, a} F \ar[d] \\ U_i \ar[r] & U }\] Par hypothèse, la flèche verticale de gauche est un morphisme de schémas qui possède la propriété \(\mathcal{P}\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale sur la base pour la topologie fppf, il en résulte que la flèche verticale de droite possède aussi la propriété \(\mathcal{P}\), comme souhaité.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F_i, G_i : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\), \(i = 1, 2\). Soient \(a_i : F_i \to G_i\), \(i = 1, 2\), des morphismes représentables de foncteurs. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 025V qui est stable par composition. Si \(a_1\) et \(a_2\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même de \(a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\).
Démonstration
Notons que le lemme a un sens en vertu du Lemme 02WC. Démonstration omise.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme représentable de foncteurs. Soient \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{P}'\) des propriétés comme dans la Définition 025V. Supposons que, pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\), on ait \(\mathcal{P}(f) \Rightarrow \mathcal{P}'(f)\). Si \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}'\).
Démonstration
Formel.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) des faisceaux. Soit \(a : F \to G\) représentable, plat, localement de présentation finie et surjectif. Alors \(a : F \to G\) est surjectif en tant que morphisme de faisceaux.
Démonstration
Soient \(T\) un schéma au-dessus de \(S\) et \(g : T \to G\) un point à valeurs dans \(T\) du foncteur \(G\). Par hypothèse, \(T' = F \times_G T\) est (représenté par) un schéma et le morphisme \(T' \to T\) est plat, localement de présentation finie et surjectif. Ainsi, \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement fppf tel que \(g|_{T'} \in G(T')\) provient d’un élément de \(F(T')\), à savoir le morphisme \(T' \to F\). Cela prouve que le morphisme est surjectif en tant que morphisme de faisceaux, voir Sites, Définition 00WM.
Voici une caractérisation des foncteurs dont la diagonale est représentable.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un préfaisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
la diagonale \(F \to F \times F\) est représentable,
pour \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(a \in F(U)\), le morphisme \(a : h_U \to F\) est représentable,
pour toute paire \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tous \(a \in F(U)\) et \(b \in F(V)\), le produit fibré \(h_U \times_{a, F, b} h_V\) est représentable.
Démonstration
C’est purement formel, voir Catégories, Lemme 0024. Cela ne dépend que du fait que la catégorie \((\Sch/S)_{fppf}\) possède les produits de deux objets et les produits fibrés, voir Topologies, Lemme 021U.
Dans la situation du lemme, pour tout morphisme \(\xi : h_U \to F\) comme dans son énoncé, il est légitime de dire que \(\xi\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), pour toute propriété comme dans la Définition 025V. C’est notamment le cas pour \(\mathcal{P} =\) “surjectif” et \(\mathcal{P} =\) “étale”, voir la Remarque 02WH ci-dessus. Nous utiliserons cette remarque dans la définition des espaces algébriques ci-dessous.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un préfaisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la Définition 025V. Supposons que, pour tous \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), \(a \in F(U)\) et \(b \in F(V)\), on ait
\(h_U \times_{a, F, b} h_V\) est représentable, disons par le schéma \(W\), et
le morphisme \(W \to U \times_S V\) correspondant au morphisme \(h_U \times_{a, F, b} h_V \to h_U \times h_V\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),
alors \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable et possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Observons que \(\Delta\) est représentable d’après le Lemme 025W. Nous pouvons reformuler la condition (2) en disant que le morphisme \(h_U \times_{a, F, b} h_V \to h_{U \times_S V}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), voir le Lemme 02WJ. Considérons \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \((a, b) \in (F \times F)(T)\). Observons que nous avons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ F \times_{\Delta, F \times F, (a, b)} h_T \ar[d] \ar[r] & h_T \ar[d]^{\Delta_{T/S}} \\ h_T \times_{a, F, b} h_T \ar[r] \ar[d] & h_{T \times_S T} \ar[d]^{(a, b)} \\ F \ar[r]^\Delta & F \times F }\] dont les deux carrés sont cartésiens. Nous voyons ainsi que le morphisme \(F \times_{F \times F} h_T \to h_T\) est obtenu par changement de base d’un morphisme qui possède la propriété \(\mathcal{P}\) au moyen de \(\Delta_{T/S}\). Comme \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base, cela achève la démonstration.
Espaces algébriques
Voici la définition.
Définition
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Un espace algébrique au-dessus de \(S\) est un préfaisceau \[F : (\Sch/S)^{opp}_{fppf} \longrightarrow \textit{Ens}\] qui possède les propriétés suivantes :
Le préfaisceau \(F\) est un faisceau.
Le morphisme diagonal \(F \to F \times F\) est représentable.
Il existe un schéma \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme \(h_U \to F\) qui est surjectif et étale1.
Notre définition diffère en deux points de la définition “usuelle”, par exemple de la définition donnée dans l’ouvrage de Knutson [Kn].
La première est que nous exigeons que \(F\) soit un faisceau pour la topologie fppf. L’une des raisons de ce choix est que de nombreux exemples naturels d’espaces algébriques vérifient la condition de faisceau pour les recouvrements fppf (et même pour les recouvrements fpqc). En outre, l’utilité des espaces algébriques tient notamment aux résultats de Michael Artin à leur sujet. Sa méthode comporte une condition qui garantit que le résultat est localement de présentation finie au-dessus de \(S\). Tout bien considéré, il nous semble que la topologie fppf est la topologie naturelle à employer. Finalement, on obtient la même catégorie d’espaces algébriques. Voir Amorçage, section 076L.
La seconde est que nous exigeons seulement que le morphisme diagonal de \(F\) soit représentable, tandis que [Kn] exige qu’il soit également quasi-compact. Si \(F = h_U\) pour un schéma \(U\) au-dessus de \(S\), cela revient à demander que \(U\) soit quasi-séparé. Nous cherchons à démontrer un certain nombre des résultats qui suivent en supposant seulement que la diagonale de \(F\) soit représentable, et à ajouter simplement une hypothèse supplémentaire chaque fois que cela est nécessaire. Cette convention a en tout cas pour conséquence agréable que le lemme suivant est vrai.
Lemme
Tout schéma est un espace algébrique. Plus précisément, pour tout schéma \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), le foncteur représentable \(h_T\) est un espace algébrique.
Démonstration
Le foncteur \(h_T\) est un faisceau d’après nos remarques de la section 025T. La diagonale \(h_T \to h_T \times h_T = h_{T \times T}\) est représentable parce que \((\Sch/S)_{fppf}\) possède les produits fibrés. Le morphisme identité \(h_T \to h_T\) est surjectif et étale.
Définition
Soient \(F\), \(F'\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Un morphisme \(f : F \to F'\) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est un morphisme de foncteurs de \(F\) vers \(F'\).
La catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\) contient la catégorie \((\Sch/S)_{fppf}\) comme sous-catégorie pleine par l’intermédiaire du plongement de Yoneda \(T/S \mapsto h_T\). Désormais, nous ne distinguerons plus un schéma \(T/S\) de l’espace algébrique qu’il représente. Ainsi, lorsque nous disons “Soit \(f : T \to F\) un morphisme du schéma \(T\) vers l’espace algébrique \(F\)”, nous voulons dire que \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), que \(F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\) et que \(f : h_T \to F\) est un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).
Produits fibrés d’espaces algébriques
La catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\) possède à la fois des produits et des produits fibrés.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors \(F \times G\) est un espace algébrique et c’est un produit dans la catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\).
Démonstration
Il est immédiat que \(H = F \times G\) est un faisceau. La diagonale de \(H\) est simplement le produit des diagonales de \(F\) et de \(G\). Elle est donc représentable d’après le Lemme 02WC. Enfin, si \(U \to F\) et \(V \to G\) sont des morphismes étales surjectifs, où \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \(U \times V \to F \times G\) est étale surjectif d’après le Lemme 02WM.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(H\) un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\) dont la diagonale est représentable. Soient \(F, G\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soient \(F \to H\), \(G \to H\) des morphismes de faisceaux. Alors \(F \times_H G\) est un espace algébrique.
Démonstration
Vérifions les trois conditions de la Définition 025Y. Un produit fibré de faisceaux est un faisceau; ainsi, \(F \times_H G\) est un faisceau. La diagonale de \(F \times_H G\) est la flèche verticale de gauche dans le diagramme \[\xymatrix{ F \times_H G \ar[r] \ar[d]_\Delta & F \times G \ar[d]^{\Delta_F \times \Delta_G} \\ (F \times F) \times_{(H \times H)} (G \times G) \ar[r] & (F \times F) \times (G \times G) }\] qui est cartésien. Ainsi, \(\Delta\) est représentable, puisqu’elle s’obtient par changement de base à partir du morphisme de droite, qui est représentable; voir les Lemmes 02WC et 02WB. Enfin, soient \(U, V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et soient \(a : U \to F\), \(b : V \to G\) des morphismes étales surjectifs. Comme \(\Delta_H\) est représentable, on voit que \(U \times_H V\) est un schéma. Le morphisme \[U \times_H V \longrightarrow F \times_H G\] est étale surjectif, car il est le composé des morphismes \(U \times_H V \to U \times_H G\) et \(U \times_H G \to F \times_H G\), obtenus par changement de base à partir des morphismes étales surjectifs \(U \to F\) et \(V \to G\); voir les Lemmes 02WA et 02WB. Cela montre que la dernière condition de la Définition 025Y est satisfaite, et l’on conclut que \(F \times_H G\) est un espace algébrique.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F \to H\), \(G \to H\) des morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors \(F \times_H G\) est un espace algébrique et c’est un produit fibré dans la catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\).
Démonstration
Il résulte du Lemme plus général 04T9 que \(F \times_H G\) est un espace algébrique. Il est clair que \(F \times_H G\) est un produit fibré dans la catégorie des espaces algébriques au-dessus de \(S\), puisque celle-ci est une sous-catégorie pleine de la catégorie des (pré)faisceaux d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\).
Recollement d’espaces algébriques
Dans cette section, nous commençons véritablement à abuser des notations et à ne plus distinguer les schémas des espaces qu’ils représentent.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soient \(F\) et \(G\) des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}^{opp}\) et notons \(F \amalg G\) leur somme dans la catégorie des faisceaux. Le morphisme \(F \to F \amalg G\) est représentable par des immersions à la fois ouvertes et fermées.
Démonstration
Soient \(U\) un schéma et \(\xi \in (F \amalg G)(U)\). Rappelons que la somme dans la catégorie des faisceaux est le faisceau associé au préfaisceau somme (Sites, Lemme 00WI). Il existe donc un recouvrement fppf \(\{g_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) et une décomposition en somme disjointe \(I = I' \amalg I''\) telle que \(U_i \to U \to F \amalg G\) se factorise par \(F\), resp. par \(G\), si et seulement si \(i \in I'\), resp. \(i \in I''\). Puisque l’intersection de \(F\) et de \(G\) dans \(F \amalg G\) est vide, on en déduit que \(U_i \times_U U_j\) est vide si \(i \in I'\) et \(j \in I''\). Par conséquent, \(U' = \bigcup_{i \in I'} g_i(U_i)\) et \(U'' = \bigcup_{i \in I''} g_i(U_i)\) sont des sous-schémas ouverts disjoints de \(U\) (Morphismes, Lemme 01UA) tels que \(U = U' \amalg U''\). Nous omettons la vérification de l’égalité \(U' = U \times_{F \amalg G} F\).
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soit \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Étant donnés un ensemble \(I\) et des faisceaux \(F_i\) sur \(\Ob((\Sch/S)_{fppf})\), si \(U \cong \coprod_{i\in I} F_i\) comme faisceaux, chaque \(F_i\) est représentable par un sous-schéma \(U_i\) à la fois ouvert et fermé, et \(U \cong \coprod U_i\) comme schémas.
Démonstration
D’après le Lemme 0F15, le morphisme \(F_i \to U\) est représentable par des immersions à la fois ouvertes et fermées. Ainsi, \(F_i\) est représentable par un sous-schéma \(U_i\) à la fois ouvert et fermé de \(U\). On a \(U = \coprod U_i\), puisque \(U \cong \coprod F_i\) comme faisceaux et que l’égalité peut être vérifiée sur les points.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Étant donnés un ensemble \(I\) et des faisceaux \(F_i\) sur \(\Ob((\Sch/S)_{fppf})\), si \(F \cong \coprod_{i\in I} F_i\) comme faisceaux, chaque \(F_i\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\).
Démonstration
La représentabilité de \(F \to F \times F\) implique que chacun des morphismes diagonaux \(F_i \to F_i \times F_i\) est représentable (cela résulte immédiatement des définitions et de l’égalité \(F \times_{(F \times F)} (F_i \times F_i) = F_i\)). Choisissons un schéma \(U\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\) et un morphisme étale surjectif \(U \to F\) (dont l’existence résulte de l’hypothèse). Le morphisme \(U \times_F F_i \to F_i\) obtenu par changement de base est étale surjectif d’après le Lemme 02WL. D’autre part, \(U \times_F F_i\) est un schéma d’après le Lemme 0F15. Nous avons donc vérifié toutes les conditions de la Définition 025Y, et \(F_i\) est un espace algébrique.
La condition portant sur la taille de \(I\) et des \(F_i\) dans le lemme suivant peut être ignorée par ceux que ne préoccupent pas les questions de théorie des ensembles.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Supposons donnés un ensemble \(I\) et des espaces algébriques \(F_i\), \(i \in I\). Alors \(F = \coprod_{i \in I} F_i\) est un espace algébrique, pourvu que \(I\) et les \(F_i\) ne soient pas trop « grands » : par exemple, si nous pouvons choisir des morphismes étales surjectifs \(U_i \to F_i\) tels que \(\coprod_{i \in I} U_i\) soit isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\), alors \(F\) est un espace algébrique.
Démonstration
Par construction, \(F\) est un faisceau. Nous omettons de vérifier que le morphisme diagonal de \(F\) est représentable. Enfin, si \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) isomorphe à \(\coprod_{i \in I} U_i\), alors il est immédiat de vérifier que le morphisme qui en résulte \(U \to \coprod F_i\) est étale surjectif.
Voici l’analogue de Schémas, Lemme 01JJ.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soit \(F\) un préfaisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que
\(F\) est un faisceau,
il existe un ensemble d’indices \(I\) et des sous-foncteurs \(F_i \subset F\) tels que
chaque \(F_i\) est un espace algébrique,
chaque \(F_i \to F\) est représentable,
chaque \(F_i \to F\) est une immersion ouverte (voir la Définition 025V),
le morphisme \(\coprod F_i \to F\) est surjectif comme morphisme de faisceaux, et
\(\coprod F_i\) est un espace algébrique (condition ensembliste, voir le Lemme 02WQ).
Alors \(F\) est un espace algébrique.
Démonstration
Soit \(T\) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(T \to F\) un morphisme. D’après les hypothèses (2)(b) et (2)(c), le produit fibré \(F_i \times_F T\) est représentable par un sous-schéma ouvert \(V_i \subset T\). Il s’ensuit que \((\coprod F_i) \times_F T\) est représenté par le schéma \(\coprod V_i\) au-dessus de \(T\). D’après l’hypothèse (2)(d), il existe un recouvrement fppf \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\) tel que \(T_j \to T \to F\) se factorise par \(F_i\), où \(i = i(j)\). Ainsi, \(T_j \to T\) se factorise par le sous-schéma ouvert \(V_{i(j)} \subset T\). Puisque la famille \(\{T_j \to T\}\) est surjective, il s’ensuit que \(T = \bigcup V_i\) est un recouvrement ouvert. En particulier, le morphisme de foncteurs \(\coprod F_i \to F\) est représentable et surjectif au sens de la Définition 025V (voir la Remarque 02YN pour une discussion).
Ensuite, soit \(T' \to F\) un second morphisme ayant pour source un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Écrivons comme ci-dessus \(T' = \bigcup V'_i\), où \(V'_i = T' \times_F F_i\). Pour montrer que la diagonale \(F \to F \times F\) est représentable, il faut montrer que \(G = T \times_F T'\) est représentable; voir le Lemme 025W. Considérons les sous-foncteurs \(G_i = G \times_F F_i\). Notons que \(G_i = V_i \times_{F_i} V'_i\); il est donc représentable, car \(F_i\) est un espace algébrique. D’après ce qui précède, les \(G_i\) forment un recouvrement de Zariski de \(G\). Ainsi, d’après Schémas, Lemme 01JJ, on voit que \(G\) est représentable.
Choisissons un schéma \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \coprod F_i\) (dont l’existence résulte de l’hypothèse). Nous pouvons écrire \(U = \coprod U_i\), où \(U_i\) est l’image réciproque de \(F_i\); voir le Lemme 02WO. Nous affirmons que \(U \to F\) est étale surjectif. La surjectivité découle de celle de \(\coprod F_i \to F\) (voir le premier paragraphe de la démonstration), en appliquant le Lemme 02WK. Considérons le produit fibré \(U \times_F T\), où \(T \to F\) est comme ci-dessus. Il faut montrer que \(U \times_F T \to T\) est étale. Puisque \(U \times_F T = \coprod U_i \times_F T\), il suffit de montrer que chacun des morphismes \(U_i \times_F T \to T\) est étale. Comme \(U_i \times_F T = U_i \times_{F_i} V_i\), cela résulte du fait que \(U_i \to F_i\) est étale et que \(V_i \to T\) est une immersion ouverte (voir aussi Morphismes, Lemmes 02GP et 02GN).
Présentations d’espaces algébriques
Étant donné un espace algébrique, on peut en trouver une « présentation ».
Lemme
Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(f : U \to F\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(F\). Posons \(R = U \times_F U\). Alors
\(j : R \to U \times_S U\) définit sur \(U\) une relation d’équivalence au-dessus de \(S\) (voir Groupoïdes, Définition 022P).
les morphismes \(s, t : R \to U\) sont étales, et
le diagramme \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & F }\] est un diagramme de conoyau dans \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\).
Démonstration
Soit \(T/S\) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors \(R(T) = \{(a, b) \in U(T) \times U(T) \mid f \circ a = f \circ b\}\), ce qui définit une relation d’équivalence sur \(U(T)\). Les morphismes \(s, t : R \to U\) sont étales parce que le morphisme \(U \to F\) est étale.
Pour démontrer (3), montrons d’abord que \(U \to F\) est un morphisme surjectif de faisceaux; voir Sites, Définition 00WM. Soit \(\xi \in F(T)\), où \(T\) est comme ci-dessus. Posons \(V = T \times_{\xi, F, f}U\). Par hypothèse, \(V\) est un schéma et \(V \to T\) est un morphisme étale surjectif. Ainsi, \(\{V \to T\}\) est un recouvrement pour la topologie fppf. Puisque, par construction, \(\xi|_V\) se factorise par \(U\), on en déduit que \(U \to F\) est surjectif. La surjectivité implique que \(F\) est le conoyau du diagramme d’après Sites, Lemme 086K.
Ce lemme conduit aux définitions suivantes.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\) est une relation d’équivalence \(j : R \to U \times_S U\) telle que \(s, t : R \to U\) soient des morphismes étales de schémas.
Définition
Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Une présentation de \(F\) est la donnée d’un schéma \(U\) au-dessus de \(S\), d’une relation d’équivalence étale \(R\) sur \(U\) au-dessus de \(S\), et d’un morphisme étale surjectif \(U \to F\) tel que \(R = U \times_F U\).
De manière équivalente, on pourrait demander l’existence d’un isomorphisme \[U/R \cong F\] où le quotient \(U/R\) est défini comme dans Groupoïdes, section 02VE. Pour construire des espaces algébriques, nous étudierons la question réciproque, à savoir pour quelles relations d’équivalence le faisceau quotient \(U/R\) est un espace algébrique. On verra finalement qu’il en est toujours ainsi si \(R\) est une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\); voir le Théorème 02WW.
Espaces algébriques et relations d’équivalence
Supposons donnés un schéma \(U\) au-dessus de \(S\) et une relation d’équivalence étale \(R\) sur \(U\) au-dessus de \(S\). Nous voudrions montrer que ces données définissent un espace algébrique. Nous allons établir une suite de lemmes montrant que le faisceau quotient \(U/R\) (voir Groupoïdes, Définition 02VG) possède toutes les propriétés que lui impose la Définition 025Y.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Soit \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\). Soit \(U' \to U\) un morphisme étale. Soit \(R'\) la restriction de \(R\) à \(U'\); voir Groupoïdes, Définition 02V9. Alors \(j' : R' \to U' \times_S U'\) est également une relation d’équivalence étale.
Démonstration
Il résulte de la description de \(s', t'\) dans Groupoïdes, Lemme 02VB que \(s' , t' : R' \to U'\) sont étales, car ce sont des composés de changements de base de morphismes étales (voir Morphismes, Lemme 02GO et 02GN).
Nous utiliserons souvent le lemme suivant pour trouver des sous-espaces ouverts des espaces algébriques. Une légère amélioration de ce lemme (sous des hypothèses plus générales) est Amorçage, Lemme 046M.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Soit \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) une pré-relation. Soit \(g : U' \to U\) un morphisme. Supposons que
\(j\) est une relation d’équivalence,
\(s, t : R \to U\) sont surjectifs, plats et localement de présentation finie,
\(g\) est plat et localement de présentation finie.
Soit \(R' = R|_{U'}\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Alors \(U'/R' \to U/R\) est représentable et est une immersion ouverte.
Démonstration
D’après Groupoïdes, Lemme 02V8, le morphisme \(j' = (s', t') : R' \to U' \times_S U'\) définit une relation d’équivalence. Puisque \(g\) est plat et localement de présentation finie, \(g\) est aussi universellement ouvert (Morphismes, Lemme 01UA). Pour la même raison, \(s, t\) sont également universellement ouverts. Posons \(W^1 = g(U') \subset U\) et \(W = t(s^{-1}(W^1))\). Alors \(W^1\) et \(W\) sont ouverts dans \(U\). De plus, puisque \(j\) est une relation d’équivalence, on a \(t(s^{-1}(W)) = W\) (voir Groupoïdes, Lemme 03LO, par exemple).
D’après Groupoïdes, Lemme 045Z, le morphisme de faisceaux \(F' = U'/R' \to F = U/R\) est injectif. Soit \(a : T \to F\) un morphisme d’un schéma vers \(U/R\). Il faut montrer que \(T \times_F F'\) est représentable par un sous-schéma ouvert de \(T\).
Le morphisme \(a\) est donné par les données suivantes : un recouvrement fppf \(\{\varphi_j : T_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) et des morphismes \(a_j : T_j \to U\) tels que les morphismes \[a_j \times a_{j'} : T_j \times_T T_{j'} \longrightarrow U \times_S U\] se factorisent par \(j : R \to U \times_S U\) au moyen de morphismes (uniques) \(r_{jj'} : T_j \times_T T_{j'} \to R\). Le système \((a_j)\) correspond à \(a\) en ce sens que les diagrammes \[\xymatrix{ T_j \ar[r]_{a_j} \ar[d] & U \ar[d] \\ T \ar[r]^a & F }\] commutent.
Considérons les ouverts \(W_j = a_j^{-1}(W) \subset T_j\). Puisque \(t(s^{-1}(W)) = W\), on voit que \[W_j \times_T T_{j'} = r_{jj'}^{-1}(t^{-1}(W)) = r_{jj'}^{-1}(s^{-1}(W)) = T_j \times_T W_{j'}.\] D’après Descente, Lemme 03N0, cela signifie qu’il existe un ouvert \(W_T \subset T\) tel que \(\varphi_j^{-1}(W_T) = W_j\) pour tout \(j \in J\). Nous affirmons que \(W_T \to T\) représente \(T \times_F F' \to T\).
Montrons d’abord que \(W_T \to T \to F\) définit un élément de \(F'(W_T)\). Puisque \(\{W_j \to W_T\}_{j \in J}\) est un recouvrement fppf de \(W_T\), il suffit de montrer que chaque \(W_j \to U \to F\) définit un élément de \(F'(W_j)\) (car \(F'\) est un faisceau pour la topologie fppf). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ W'_j \ar[rr] \ar[dd] \ar[rd] & & U' \ar[d]^g \\ & s^{-1}(W^1) \ar[r]_s \ar[d]^t & W^1 \ar[d] \\ W_j \ar[r]^{a_j|_{W_j}} & W \ar[r] & F }\] où \(W'_j = W_j \times_W s^{-1}(W^1) \times_{W^1} U'\). Puisque \(t\) et \(g\) sont surjectifs, plats et localement de présentation finie, il en est de même de \(W'_j \to W_j\). Par conséquent, la restriction de l’élément \(W_j \to U \to F\) à \(W'_j\) est un élément de \(F'\), comme voulu.
Supposons que \(f : T' \to T\) soit un morphisme de schémas tel que \(a|_{T'} \in F'(T')\). Il faut montrer que \(f\) se factorise par l’ouvert \(W_T\). Puisque \(\{T' \times_T T_j \to T'\}\) est un recouvrement fppf de \(T'\), il suffit de montrer que chaque \(T' \times_T T_j \to T\) se factorise par \(W_T\). Nous pouvons donc supposer que \(f\) se factorise sous la forme \(\varphi_j \circ f_j : T' \to T_j \to T\) pour un certain \(j\). Dans ce cas, la condition \(a|_{T'} \in F'(T')\) signifie qu’il existe un recouvrement fppf \(\{\psi_i : T'_i \to T'\}_{i \in I}\) et des morphismes \(b_i : T'_i \to U'\) tels que \[\xymatrix{ T'_i \ar[r]_{b_i} \ar[d]_{f_j \circ \psi_i} & U' \ar[r]_g & U \ar[d] \\ T_j \ar[r]^{a_j} & U \ar[r] & F }\] soit commutatif. Cette commutativité signifie qu’il existe un morphisme \(r'_i : T'_i \to R\) tel que \(t \circ r'_i = a_j \circ f_j \circ \psi_i\) et \(s \circ r'_i = g \circ b_i\). Il en résulte que \(\Im(f_j \circ \psi_i) \subset W_j\), ce qui conclut.
Le lemme suivant n’est pas tout à fait trivial, bien qu’il semble devoir l’être.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Soit \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\). Si le quotient \(U/R\) est un espace algébrique, alors \(U \to U/R\) est étale et surjectif. Par conséquent, \((U, R, U \to U/R)\) est une présentation de l’espace algébrique \(U/R\).
Démonstration
Notons \(c : U \to U/R\) le morphisme en question. Soit \(T\) un schéma et soit \(a : T \to U/R\) un morphisme. Il faut montrer que le morphisme (de schémas) \(\pi : T \times_{a, U/R, c} U \to T\) est étale et surjectif. Le morphisme \(a\) correspond à un recouvrement fppf \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) et à des morphismes \(a_i : T_i \to U\) tels que \(a_i \times a_{i'} : T_i \times_T T_{i'} \to U \times_S U\) se factorise par \(R\), et tels que \(c \circ a_i = a \circ \varphi_i\). Ainsi, \[T_i \times_{\varphi_i, T} T \times_{a, U/R, c} U = T_i \times_{c \circ a_i, U/R, c} U = T_i \times_{a_i, U} U \times_{c, U/R, c} U = T_i \times_{a_i, U, t} R.\] Puisque \(t\) est étale et surjectif, on en déduit que le changement de base de \(\pi\) à \(T_i\) est surjectif et étale. Comme la propriété d’être surjectif et étale est locale sur la base pour la topologie fpqc (voir la Remarque 02WH), cela conclut.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Soit \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\). Supposons \(U\) affine. Alors le quotient \(F = U/R\) est un espace algébrique, et \(U \to F\) est étale et surjectif.
Démonstration
Puisque \(j : R \to U \times_S U\) est un monomorphisme, \(j\) est séparé (voir Schémas, Lemme 01L4). Comme \(U\) est affine, on voit que \(U \times_S U\) (qui est muni d’un monomorphisme vers le schéma affine \(U \times U\)) est séparé. Il s’ensuit que \(R\) est séparé. En particulier, les morphismes \(s, t\) sont séparés et étales.
Puisque le composé \(R \to U \times_S U \to U\) est localement de type fini, on en déduit que \(j\) est localement de type fini (voir Morphismes, Lemme 01T8). Comme \(j\) est aussi un monomorphisme, ses fibres sont finies, et l’on voit que \(j\) est localement quasi-fini d’après Morphismes, Lemme 02NG. En définitive, \(j\) est séparé et localement quasi-fini.
La première étape consiste à montrer que le morphisme de passage au quotient \(c : U \to F\) est représentable. Considérons un schéma \(T\) et un morphisme \(a : T \to F\). Il faut montrer que le faisceau \(G = T \times_{a, F, c} U\) est représentable. Comme on l’a vu dans les démonstrations des Lemmes 02WU et 02WV, il existe un recouvrement fppf \(\{\varphi_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) et des morphismes \(a_i : T_i \to U\) tels que \(a_i \times a_{i'} : T_i \times_T T_{i'} \to U \times_S U\) se factorise par \(R\), et tels que \(c \circ a_i = a \circ \varphi_i\). Comme dans la démonstration du Lemme 02WV, on voit que \[\begin{eqnarray*} T_i \times_{\varphi_i, T} G & = & T_i \times_{\varphi_i, T} T \times_{a, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{c \circ a_i, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{a_i, U} U \times_{c, U/R, c} U \\ & = & T_i \times_{a_i, U, t} R \end{eqnarray*}\] Puisque \(t\) est séparé et étale, donc en particulier séparé et localement quasi-fini (d’après Morphismes, Lemmes 02V5 et 02GV), on voit que la restriction de \(G\) à chaque \(T_i\) est représentable par un morphisme de schémas \(X_i \to T_i\) séparé et localement quasi-fini. D’après Descente, Lemme 02W5, on obtient une donnée de descente \((X_i, \varphi_{ii'})\) relativement au recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\). Comme chaque \(X_i \to T_i\) est séparé et localement quasi-fini, il résulte de Compléments sur les morphismes, Lemme 02W8 que cette donnée de descente est effective. Ainsi, d’après Descente, Lemme 02W5 (2), on en déduit que \(G\) est représentable, comme voulu.
La deuxième étape de la démonstration consiste à montrer que \(U \to F\) est surjectif et étale. Cela résulte de ce qui précède : dans la première étape, nous avons vu que \(G = T \times_{a, F, c} U\) est un schéma au-dessus de \(T\) dont les changements de base sont les schémas \(X_i \to T_i\), qui sont surjectifs et étales. Ainsi, \(G \to T\) est surjectif et étale (voir la Remarque 02WH). On peut également reprendre la démonstration du Lemme 02WV dans la présente situation.
La troisième et dernière étape consiste à montrer que le morphisme diagonal \(F \to F \times F\) est représentable. Observons d’abord que le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d]_j & F \ar[d]^\Delta \\ U \times_S U \ar[r] & F \times F }\] est un carré cartésien. D’après le Lemme 02WC, le morphisme \(U \times_S U \to F \times F\) est représentable (notons que \(h_U \times h_U = h_{U \times_S U}\)). De plus, d’après le Lemme 02WM, le morphisme \(U \times_S U \to F \times F\) est surjectif et étale (notons aussi que étale et surjectif figurent dans les listes des Remarques 02WH et 02WG). Il résulte soit du Lemme 02WB et du diagramme ci-dessus, soit de l’écriture de \(R \to F\) comme \(R \to U \to F\) et des Lemmes 02W9 et 02WA, que \(R \to F\) est également représentable. Soient \(T\) un schéma et \(a : T \to F \times F\) un morphisme. Il faut montrer que \(G = T \times_{a, F \times F, \Delta} F\) est représentable. D’après ce qui précède, le morphisme (de schémas) \[T' = (U \times_S U) \times_{F \times F, a} T \longrightarrow T\] est surjectif et étale. Ainsi, \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement étale de \(T\). Notons également que \[T' \times_T G = T' \times_{U \times_S U, j} R\] comme on le voit en examinant le cube suivant \[\xymatrix{ & R \ar[rr] \ar[dd] & & F \ar[dd] \\ T' \times_T G \ar[rr] \ar[dd] \ar[ru] & & G \ar[dd] \ar[ru] & \\ & U \times_S U \ar'[r][rr] & & F \times F \\ T' \ar[rr] \ar[ru] & & T \ar[ru] }\] On voit ainsi que la restriction de \(G\) à \(T'\) est représentable par un schéma \(X\), et de plus que le morphisme \(X \to T'\) est un changement de base du morphisme \(j\). Par conséquent, \(X \to T'\) est séparé et localement quasi-fini (voir le deuxième paragraphe de la démonstration). D’après Descente, Lemme 02W5, on obtient une donnée de descente \((X, \varphi)\) relativement au recouvrement fppf \(\{T' \to T\}\). Puisque \(X \to T'\) est séparé et localement quasi-fini, il résulte de Compléments sur les morphismes, Lemme 02W8 que cette donnée de descente est effective. Ainsi, d’après Descente, Lemme 02W5 (2), on en déduit que \(G\) est représentable, comme voulu.
Théorème
Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma au-dessus de \(S\). Soit \(j = (s, t) : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\). Alors le quotient \(U/R\) est un espace algébrique, et \(U \to U/R\) est étale et surjectif; autrement dit, \((U, R, U \to U/R)\) est une présentation de \(U/R\).
Démonstration
D’après le Lemme 02WV, il suffit de prouver que \(U/R\) est un espace algébrique. Soit \(U' \to U\) un morphisme surjectif et étale. Alors \(\{U' \to U\}\) est en particulier un recouvrement fppf. Soit \(R'\) la restriction de \(R\) à \(U'\); voir Groupoïdes, Définition 02V9. D’après Groupoïdes, Lemme 02VH, on a \(U/R \cong U'/R'\). D’après le Lemme 02WT, \(R'\) est une relation d’équivalence étale sur \(U'\). Nous pouvons donc remplacer \(U\) par \(U'\).
Appliquons la remarque précédente à \(U' = \coprod U_i\), où \(U = \bigcup U_i\) est un recouvrement ouvert affine de \(U\). Nous pouvons donc supposer, et nous le ferons, que \(U = \coprod U_i\), où chaque \(U_i\) est un schéma affine.
Considérons la restriction \(R_i\) de \(R\) à \(U_i\). D’après le Lemme 02WT, c’est une relation d’équivalence étale. Posons \(F_i = U_i/R_i\) et \(F = U/R\). Il est clair que \(\coprod F_i \to F\) est surjectif. D’après le Lemme 02WU, chaque \(F_i \to F\) est représentable et est une immersion ouverte. En appliquant le Lemme 0265 à \((U_i, R_i)\), on voit que \(F_i\) est un espace algébrique. Puis, d’après le Lemme 02WV, \(U_i \to F_i\) est étale et surjectif. Il résulte du Lemme 02WQ que \(\coprod F_i\) est un espace algébrique. Enfin, nous avons vérifié toutes les hypothèses du Lemme 02WR, et il s’ensuit que \(F = U/R\) est un espace algébrique.
Espaces algébriques, reformulation
Nous commençons à constituer notre arsenal de lemmes sur les espaces algébriques. Le premier résultat affirme que, dans la Définition 025Y, on peut affaiblir comme suit la condition portant sur la diagonale.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\) tel qu’il existe \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme \(U \to F\) représentable, surjectif et étale. Alors \(F\) est un espace algébrique.
Démonstration
Posons \(R = U \times_F U\). C’est un schéma, car \(U \to F\) est supposé représentable. Les projections \(s, t : R \to U\) sont étales, car \(U \to F\) est supposé étale. Le morphisme \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) est un monomorphisme et définit une relation d’équivalence, puisque \(R = U \times_F U\). D’après le Théorème 02WW, le faisceau quotient \(F' = U/R\) est un espace algébrique et \(U \to F'\) est surjectif et étale. À nouveau, comme \(R = U \times_F U\), on obtient une factorisation canonique \(U \to F' \to F\), et \(F' \to F\) est un morphisme injectif de faisceaux. D’autre part, \(U \to F\) est surjectif comme morphisme de faisceaux d’après le Lemme 05VM. Ainsi, \(F' \to F\) est également surjectif, et l’on conclut que \(F' = F\) est un espace algébrique.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(G\) un espace algébrique au-dessus de \(S\), soit \(F\) un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\), et soit \(G \to F\) un morphisme représentable de foncteurs qui est surjectif et étale. Alors \(F\) est un espace algébrique.
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme surjectif étale \(U \to G\). Puisque \(G\) est un espace algébrique, \(U \to G\) est représentable. Le composé \(U \to G \to F\) est donc représentable, surjectif et étale. Voir les Lemmes 02WA et 02WK. Ainsi, \(F\) est un espace algébrique d’après le Lemme 0BGQ.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(G \to F\) un morphisme représentable de foncteurs. Alors \(G\) est un espace algébrique.
Démonstration
D’après le Lemme 02WD, on voit que \(G\) est un faisceau. Le diagramme \[\xymatrix{ G \times_F G \ar[r] \ar[d] & F \ar[d]^{\Delta_F} \\ G \times G \ar[r] & F \times F }\] est cartésien. On voit donc que \(G \times_F G \to G \times G\) est représentable d’après le Lemme 02WB. D’après le Lemme 05L9, on voit que \(G \to G \times_F G\) est représentable. Ainsi, \(\Delta_G : G \to G \times G\) est représentable comme composé de morphismes représentables de foncteurs; voir le Lemme 02WA. Enfin, soit \(U\) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et soit \(U \to F\) surjectif et étale. Par hypothèse, \(U \times_F G\) est représentable par un schéma \(U'\). D’après le Lemme 02WL, le morphisme \(U' \to G\) est surjectif et étale. Cela vérifie la dernière condition de la Définition 025Y, ce qui conclut.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F\), \(G\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(G \to F\) un morphisme représentable. Soient \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \(q : U \to F\) surjectif et étale. Posons \(V = G \times_F U\). Enfin, soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas comme dans la Définition 025V. Alors \(G \to F\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(V \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
(Ce lemme résulte des Lemmes 02WL et 03KD, mais nous en donnons aussi ici une démonstration directe.) Il résulte immédiatement des définitions que, si \(G \to F\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(V \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Réciproquement, supposons que \(V \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Soit \(T \to F\) un morphisme d’un schéma vers \(F\). Soit \(T' = T \times_F G\), qui est un schéma puisque \(G \to F\) est représentable. Il faut montrer que \(T' \to T\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Considérons le diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ V \ar[d] & T \times_F V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & T \times_F G \ar[d] \ar@{=}[r] & T' \\ U & T \times_F U \ar[l] \ar[r] & T }\] où les deux carrés sont cartésiens. On en déduit que la flèche médiane possède la propriété \(\mathcal{P}\) en tant que changement de base de \(V \to U\). Enfin, \(\{T \times_F U \to T\}\) est un recouvrement fppf, car il est surjectif étale; on en déduit donc que \(T' \to T\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), puisque celle-ci est locale sur la base pour la topologie fppf.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(G \to F\) un morphisme de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas. Supposons que
\(\mathcal{P}\) soit stable par tout changement de base, locale sur la base pour la topologie fppf, et que les morphismes de type \(\mathcal{P}\) satisfassent à la descente pour les recouvrements fppf; voir Descente, Définition 02W2,
\(G\) soit un faisceau,
\(F\) soit un espace algébrique,
il existe \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme surjectif étale \(U \to F\) tels que \(V = G \times_F U\) soit représentable, et
\(V \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Alors \(G\) est un espace algébrique, \(G \to F\) est représentable et possède la propriété \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to F\) un morphisme. Alors \(U \times_F T \to T\) est surjectif étale; ainsi, \(\{U \times_F T \to T\}\) est un recouvrement pour la topologie étale. Considérons \[W = G \times_F (U \times_F T) = V \times_F T = V \times_U (U \times_F T).\] C’est un schéma puisque \(F\) est un espace algébrique. Le morphisme \(W \to U \times_F T\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), car c’est un changement de base de \(V \to U\). Il existe un isomorphisme \[\begin{align*} W \times_T (U \times_F T) & = (G \times_F (U \times_F T)) \times_T (U \times_F T) \\ & = (U \times_F T) \times_T (G \times_F (U \times_F T)) \\ & = (U \times_F T) \times_T W \end{align*}\] au-dessus de \((U \times_F T) \times_T (U \times_F T)\). L’égalité médiane envoie \(((g, (u_1, t)), (u_2, t))\) sur \(((u_1, t), (g, (u_2, t)))\). Cela définit une donnée de descente pour \(W/U \times_F T/T\); voir Descente, Définition 023V. Cela résulte du Lemme 02W5 de Descente. Plus précisément, on dispose du faisceau \(G \times_F T\), dont le changement de base à \(U \times_F T\) est représenté par \(W\), et l’isomorphisme ci-dessus est celui de la démonstration du Lemme 02W5 de Descente. Par hypothèse sur \(\mathcal{P}\), la donnée de descente ci-dessus est représentable. La dernière assertion du Lemme 02W5 de Descente montre donc que \(G \times_F T\) est représentable. Cela prouve que \(G \to F\) est un morphisme représentable de foncteurs.
Comme \(G \to F\) est représentable, on voit que \(G\) est un espace algébrique d’après le Lemme 02WY. Le fait que \(G \to F\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) résulte maintenant du Lemme 02WZ.
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(a : F \to G\) un morphisme. Étant donnés \(V \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme surjectif étale \(q : V \to G\), il existe \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ F \ar[r]^a & G }\] où \(p\) est surjectif et étale.
Démonstration
Choisissons d’abord \(W \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme surjectif étale \(W \to F\). Posons ensuite \(U = W \times_G V\). Puisque \(G\) est un espace algébrique, on voit que \(U\) est isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Comme \(q\) est surjectif étale, on voit que \(U \to W\) est surjectif étale (voir le Lemme 02WL). Ainsi, \(U \to F\) est surjectif étale comme composé de morphismes surjectifs étales (voir le Lemme 02WK).
Immersions et recouvrements de Zariski des espaces algébriques
À ce stade, un phénomène intéressant se produit. Nous avons déjà défini la notion d’immersion ouverte d’espaces algébriques (au moyen de la Définition 025V), mais il nous reste à définir la notion de point2. Ainsi, la topologie de Zariski d’un espace algébrique a déjà été définie, alors qu’il n’y a encore aucun espace !
Peut-être de façon superflue, nous introduisons formellement les immersions comme suit.
Définition
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\).
Un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est appelé immersion ouverte s’il est représentable et si c’est une immersion ouverte au sens de la Définition 025V.
Un sous-espace ouvert de \(F\) est un sous-foncteur \(F' \subset F\) tel que \(F'\) soit un espace algébrique et que \(F' \to F\) soit une immersion ouverte.
Un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est appelé immersion fermée s’il est représentable et si c’est une immersion fermée au sens de la Définition 025V.
Un sous-espace fermé de \(F\) est un sous-foncteur \(F' \subset F\) tel que \(F'\) soit un espace algébrique et que \(F' \to F\) soit une immersion fermée.
Un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est appelé immersion s’il est représentable et si c’est une immersion au sens de la Définition 025V.
Un sous-espace localement fermé de \(F\) est un sous-foncteur \(F' \subset F\) tel que \(F'\) soit un espace algébrique et que \(F' \to F\) soit une immersion.
Notons que ces définitions ont un sens, puisqu’une immersion est en particulier un monomorphisme (voir Schémas, Lemme 01L7 et Lemme 02YO), et que, par conséquent, l’image d’une immersion \(G \to F\) d’espaces algébriques est un sous-foncteur \(F' \subset F\) qui est (canoniquement) isomorphe à \(G\). Ainsi, une partie de la discussion de Schémas, section 01IM, se transpose au cadre des espaces algébriques.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Un composé d’immersions (fermées, resp. ouvertes) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est une immersion (fermée, resp. ouverte) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).
Démonstration
Voir le Lemme 02WK et les Remarques 02WH (voir la toute dernière ligne de cette remarque) et 02WG.
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Un changement de base d’une immersion (fermée, resp. ouverte) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) est une immersion (fermée, resp. ouverte) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).
Démonstration
Voir le Lemme 02WL et la Remarque 02WH (voir la toute dernière ligne de cette remarque).
Lemme
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soient \(F_1\), \(F_2\) des sous-espaces localement fermés de \(F\). Si \(F_1 \subset F_2\) comme sous-foncteurs de \(F\), alors \(F_1\) est un sous-espace localement fermé de \(F_2\). Il en va de même pour les sous-espaces fermés et ouverts.
Démonstration
Soit \(T \to F_2\) un morphisme, où \(T\) est un schéma. Puisque \(F_2 \to F\) est un monomorphisme, on voit que \(T \times_{F_2} F_1 = T \times_F F_1\). Le lemme en résulte formellement.
Définissons formellement la notion de recouvrement ouvert de Zariski d’espaces algébriques. Notons que, dans le Lemme 02WR, nous avons déjà rencontré de tels recouvrements ouverts comme méthode pour construire des espaces algébriques.
Définition
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Un recouvrement de Zariski \(\{F_i \subset F\}_{i \in I}\) de \(F\) est constitué d’un ensemble \(I\) et d’une famille de sous-espaces ouverts \(F_i \subset F\) telle que \(\coprod F_i \to F\) soit un morphisme surjectif de faisceaux.
Notons que, si \(T\) est un schéma et si \(a : T \to F\) est un morphisme, chacun des produits fibrés \(T \times_F F_i\) s’identifie à un sous-schéma ouvert \(T_i \subset T\). La dernière condition de la définition signifie exactement que \(T = \bigcup_{i \in I} T_i\).
Il est clair que la collection \(F_{Zar}\) des sous-espaces ouverts de \(F\) est un ensemble (puisque \((\Sch/S)_{fppf}\) est un site, donc un ensemble). De plus, on peut faire de \(F_{Zar}\) une catégorie en prenant pour morphismes les inclusions de sous-foncteurs (qui sont automatiquement des immersions ouvertes d’après le Lemme 02YX). Enfin, la Définition 02YY fournit la notion de recouvrement de Zariski \(\{F_i \to F'\}_{i \in I}\) dans la catégorie \(F_{Zar}\). Ainsi, comme dans le cas d’un espace topologique (voir Sites, Exemple 00VJ), en choisissant convenablement un ensemble de recouvrements, on peut obtenir un site de Zariski de l’espace algébrique \(F\).
Définition
Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\) un schéma. Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Un petit site de Zariski \(F_{Zar}\) d’un espace algébrique \(F\) est l’un des sites décrits ci-dessus.
Cela donne donc un sens à l’expression : une propriété est vraie localement pour la topologie de Zariski sur un espace algébrique; c’est ainsi que nous utiliserons cette notion. En général, la topologie de Zariski n’est pas assez fine pour nos besoins. Par exemple, on peut considérer la catégorie des faisceaux de Zariski sur un espace algébrique. Il s’avérera que ce n’est pas la bonne notion à considérer, même pour les faisceaux quasi-cohérents. On n’obtient le résultat recherché qu’en utilisant le site étale ou fppf de \(F\) pour définir les faisceaux quasi-cohérents.
Conditions de séparation des espaces algébriques
Une condition de séparation pour un espace algébrique \(F\) est une condition portant sur le morphisme diagonal \(F \to F \times F\). Commençons par énumérer les propriétés que la diagonale possède automatiquement. Comme la diagonale est représentable par définition, l’énoncé du lemme suivant a un sens (grâce à la Définition 025V).
Lemme
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\Delta : F \to F \times F\) le morphisme diagonal. Alors
\(\Delta\) est localement de type fini,
\(\Delta\) est un monomorphisme,
\(\Delta\) est séparé, et
\(\Delta\) est localement quasi-fini.
Démonstration
Soit \(F = U/R\) une présentation de \(F\). Comme dans la démonstration du Lemme 0265, le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d]_j & F \ar[d]^\Delta \\ U \times_S U \ar[r] & F \times F }\] est cartésien. Par conséquent, d’après le Lemme 02WZ, il suffit de montrer que \(j\) possède les propriétés énumérées dans le lemme. (Notons que chacune des propriétés (1) – (4) figure dans les listes des Remarques 02WF et 02WH.) Comme \(j\) définit une relation d’équivalence, c’est un monomorphisme. Il est donc séparé d’après Schémas, Lemme 01L4. Comme \(R\) est une relation d’équivalence étale, on voit que \(s, t : R \to U\) sont étales. Ainsi, \(s, t\) sont localement de type fini. Il résulte alors de Morphismes, Lemme 01T8, que \(j\) est localement de type fini. Enfin, comme c’est un monomorphisme, ses fibres sont finies. On en conclut qu’il est localement quasi-fini d’après Morphismes, Lemme 02NG.
Voici quelques types usuels de conditions de séparation, relativement au schéma de base \(S\). Il existe aussi une notion absolue de ces conditions, dont nous discuterons dans Propriétés des espaces algébriques, section 03BR. En outre, nous étudierons les conditions de séparation d’un morphisme d’espaces algébriques dans Morphismes d’espaces algébriques, section 03HJ.
Définition
Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\Delta : F \to F \times F\) le morphisme diagonal.
On dit que \(F\) est séparé sur \(S\) si \(\Delta\) est une immersion fermée.
On dit que \(F\) est localement séparé sur \(S\)3 si \(\Delta\) est une immersion.
On dit que \(F\) est quasi-séparé sur \(S\) si \(\Delta\) est quasi-compact.
On dit que \(F\) est localement quasi-séparé sur \(S\) pour la topologie de Zariski4 s’il existe un recouvrement de Zariski \(F = \bigcup_{i \in I} F_i\) tel que chacun des \(F_i\) soit quasi-séparé.
Notons que, si la diagonale est quasi-compacte (lorsque \(F\) est séparé ou quasi-séparé), elle est en fait quasi-finie et séparée, donc quasi-affine (d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02LR).
Exemples d’espaces algébriques
Dans cette section, nous construisons quelques exemples d’espaces algébriques. Certains de ces exemples ont été suggérés par B. Conrad. Comme nous ne disposons pas encore de beaucoup de théorie, l’exposé est quelque peu malaisé par endroits.
Exemple
Soit \(k\) un corps de caractéristique \(\not = 2\). Soit \(U = \mathbf{A}^1_k\). Posons \[j : R = \Delta \amalg \Gamma \longrightarrow U \times_k U\] où \(\Delta = \{(x, x) \mid x \in \mathbf{A}^1_k\}\) et \(\Gamma = \{(x, -x) \mid x \in \mathbf{A}^1_k, x \not = 0\}\). Il est clair que \(s, t : R \to U\) sont étales, et donc que \(j\) est une relation d’équivalence étale. Le quotient \(X = U/R\) est un espace algébrique d’après le Théorème 02WW. Comme \(R\) est quasi-compact, on voit que \(X\) est quasi-séparé. En revanche, \(X\) n’est pas localement séparé, car le morphisme \(j\) n’est pas une immersion.
Exemple
Soit \(k\) un corps. Soit \(k'/k\) une extension galoisienne de degré \(2\) avec \(\text{Gal}(k'/k) = \{1, \sigma\}\). Soient \(S = \Spec(k[x])\) et \(U = \Spec(k'[x])\). Notons que \[U \times_S U = \Spec((k' \otimes_k k')[x]) = \Delta(U) \amalg \Delta'(U)\] où \(\Delta' = (1, \sigma) : U \to U \times_S U\). Prenons \[R = \Delta(U) \amalg \Delta'(U \setminus \{0_U\})\] où \(0_U \in U\) désigne le point \(k'\)-rationnel dont la coordonnée \(x\) est nulle. Il est facile de voir que \(R\) est une relation d’équivalence étale sur \(U\) au-dessus de \(S\) et donc que \(X = U/R\) est un espace algébrique d’après le Théorème 02WW. Voici quelques propriétés de \(X\) (dont certaines n’auront de sens que plus tard) :
\(X \to S\) est un isomorphisme au-dessus de \(S \setminus \{0_S\}\),
le morphisme \(X \to S\) est étale (voir Propriétés des espaces algébriques, Définition 03FR),
la fibre \(0_X\) de \(X \to S\) au-dessus de \(0_S\) est isomorphe à \(\Spec(k') = 0_U\),
\(X\) n’est pas un schéma, car, s’il l’était, \(\mathcal{O}_{X, 0_X}\) serait un anneau local intègre \((\mathcal{O}, \mathfrak m, \kappa)\) de corps des fractions \(k(x)\), avec \(x \in \mathfrak m\), et de corps résiduel \(\kappa = k'\), ce qui est impossible,
\(X\) n’est pas séparé, mais il est localement séparé et quasi-séparé,
il existe un morphisme surjectif, fini et étale \(S' \to S\) tel que le changement de base \(X' = S' \times_S X\) soit un schéma (en effet, si l’on effectue le changement de base vers \(S' = \Spec(k'[x])\), alors \(U\) se scinde en deux copies de \(S'\) et \(X'\) devient isomorphe à la droite affine dont le point \(0\) est dédoublé, voir Schémas, Exemple 01JD), et
si l’on considère \(X\) comme un espace algébrique de type fini sur \(\Spec(k)\), alors, de même, le changement de base \(X_{k'}\) est un schéma, mais \(X\) n’est pas un schéma.
En particulier, on obtient ainsi un exemple de donnée de descente pour des schémas, relativement au recouvrement \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\), qui n’est pas effective.
Voir aussi Exemples, Lemme 08KF, qui montre que les données de descente ne sont pas nécessairement effectives, même pour un morphisme projectif de schémas. Cet exemple fournit un espace algébrique lisse et séparé de dimension 3 sur \({\mathbf C}\) qui n’est pas un schéma.
Nous utiliserons le lemme suivant comme moyen commode de construire des espaces algébriques comme quotients de schémas par des actions libres de groupes.
Lemme
Soit \(U \to S\) un morphisme de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(G\) un groupe abstrait. Soit \(G \to \text{Aut}_S(U)\) un homomorphisme de groupes. Supposons que
si \(u \in U\) est un point et si \(g(u) = u\) pour un élément non neutre \(g \in G\), alors \(g\) induit un automorphisme non trivial de \(\kappa(u)\).
Alors \[j : R = \coprod\nolimits_{g \in G} U \longrightarrow U \times_S U, \quad (g, x) \longmapsto (g(x), x)\] est une relation d’équivalence étale et, par conséquent, \[F = U/R\] est un espace algébrique d’après le Théorème 02WW.
Démonstration
Dans l’énoncé du lemme, le symbole \(\text{Aut}_S(U)\) désigne le groupe des automorphismes de \(U\) au-dessus de \(S\). Supposons \((*)\) vérifiée. Montrons que \[j : R = \coprod\nolimits_{g \in G} U \longrightarrow U \times_S U, \quad (g, x) \longmapsto (g(x), x)\] est un monomorphisme. Cela signifie que, si \(T\) est un schéma non vide et si \(h : T \to U\) est un point à valeurs dans \(T\) tel que \(g \circ h = g' \circ h\), alors \(g = g'\). Supposons \(T \not = \emptyset\), \(h : T \to U\) et \(g \circ h = g' \circ h\). Soit \(t \in T\). Considérons le composé \(\Spec(\kappa(t)) \to \Spec(\kappa(h(t))) \to U\). On en conclut que \(g^{-1} \circ g'\) fixe \(u = h(t)\) et agit comme l’identité sur son corps résiduel. On a donc \(g = g'\) par \((*)\).
Ainsi, si \((*)\) est vérifiée, on voit que \(j\) est une relation (voir Schémas en groupoïdes, Définition 022P). De plus, c’est une relation d’équivalence puisque, sur les points à valeurs dans \(T\) pour un schéma connexe \(T\), on a \(R(T) = G \times U(T) \to U(T) \times U(T)\) (rappelons que nous travaillons toujours au-dessus de \(S\)). En outre, les morphismes \(s, t : R \to U\) sont étales, puisque \(R\) est une somme disjointe de copies de \(U\). Cela prouve que \(j : R \to U \times_S U\) est une relation d’équivalence étale.
Étant donnés un schéma \(U\) et une action d’un groupe \(G\) sur \(U\), on dit que l’action de \(G\) sur \(U\) est libre si la condition \((*)\) du Lemme 02Z2 est vérifiée. Cela équivaut à la notion d’action libre du schéma en groupes constant \(G_S\) sur \(U\), telle qu’elle est définie dans Schémas en groupoïdes, Définition 07S1. On peut interpréter le lemme comme affirmant que les quotients de schémas par des actions libres de groupes existent dans la catégorie des espaces algébriques.
Définition
Reprenons les notations \(U \to S\), \(G\), \(R\) du Lemme 02Z2. Si l’action de \(G\) sur \(U\) satisfait \((*)\), on dit que \(G\) agit librement sur le schéma \(U\). Dans ce cas, l’espace algébrique \(U/R\) est noté \(U/G\) et appelé le quotient de \(U\) par \(G\).
Cette notation est compatible avec la notation \(U/G\) introduite dans Schémas en groupoïdes, Définition 02VG. Nous donnerons plus tard un sens au quotient comme champ algébrique sans aucune hypothèse sur l’action; nous utiliserons alors la notation \([U/G]\). Avant d’aborder les exemples, démontrons encore quelques lemmes afin de faciliter la discussion. Le lemme suivant traite des diverses conditions de séparation de ce quotient lorsque \(G\) est fini.
Lemme
Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 02Z2. Supposons \(G\) fini. Alors
si \(U \to S\) est quasi-séparé, alors \(U/G\) est quasi-séparé sur \(S\), et
si \(U \to S\) est séparé, alors \(U/G\) est séparé sur \(S\).
Démonstration
Dans la démonstration du Lemme 02X4, nous avons vu qu’il suffit d’établir les propriétés correspondantes pour le morphisme \(j : R \to U \times_S U\). Si \(U \to S\) est quasi-séparé, alors, pour tout ouvert affine \(V \subset U\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(S\), les ouverts \(g(V) \cap V\) sont quasi-compacts. Il s’ensuit que \(j\) est quasi-compact. Si \(U \to S\) est séparé, la diagonale \(\Delta_{U/S}\) est une immersion fermée. Ainsi, \(j : R \to U \times_S U\) est une somme finie d’immersions fermées aux images disjointes. Ainsi, \(j\) est une immersion fermée.
Lemme
Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 02Z2. Si \(\Spec(k) \to U/G\) est un morphisme, alors il existe
une extension galoisienne finie \(k'/k\),
un sous-groupe fini \(H \subset G\),
un isomorphisme \(H \to \text{Gal}(k'/k)\), et
un morphisme \(H\)-équivariant \(\Spec(k') \to U\).
Réciproquement, de telles données déterminent un morphisme \(\Spec(k) \to U/G\).
Démonstration
Considérons le produit fibré \(V = \Spec(k) \times_{U/G} U\). Voici un diagramme \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & U/G }\] Alors \(V\) est un schéma non vide étale sur \(\Spec(k)\) et est donc une réunion disjointe \(V = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) de spectres de corps \(k_i\), extensions finies séparables de \(k\) (Morphismes de schémas, Lemme 02GL). On a \[\begin{align*} V \times_{\Spec(k)} V & = (\Spec(k) \times_{U/G} U) \times_{\Spec(k)}(\Spec(k) \times_{U/G} U) \\ & = \Spec(k) \times_{U/G} U \times_{U/G} U \\ & = \Spec(k) \times_{U/G} U \times G \\ & = V \times G \end{align*}\] L’action de \(G\) sur \(U\) induit une action \(a : G \times V \to V\). L’égalité affichée signifie que \(G \times V \to V \times_{\Spec(k)} V\), \((g, v) \mapsto (a(g, v), v)\) est un isomorphisme. En particulier, on voit que, pour tout \(i\), on a un isomorphisme \(H_i \times \Spec(k_i) \to \Spec(k_i \otimes_k k_i)\), où \(H_i \subset G\) est le sous-groupe des éléments qui fixent \(i \in I\). Ainsi, \(H_i\) est fini et est le groupe de Galois de \(k_i/k\). Nous omettons la construction réciproque.
Il résulte par exemple de ce lemme que, si \(k'/k\) est une extension galoisienne finie, alors \(\Spec(k')/\text{Gal}(k'/k) \cong \Spec(k)\). Que se passe-t-il si l’extension est infinie ? Voici un exemple.
Exemple
Soit \(S = \Spec(\mathbf{Q})\). Soit \(U = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\). Soit \(G = \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\), muni de son action évidente sur \(U\). Alors, par construction, la propriété \((*)\) du Lemme 02Z2 est vérifiée, et l’on obtient un espace algébrique \[X = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})/G \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{Q}).\] Bien entendu, c’est une approximation tout à fait ridicule de \(S\) ! En effet, d’après le théorème d’Artin-Schreier, voir [JacobsonIII, Théorème 17, page 316], les seuls sous-groupes finis de \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) sont \(\{1\}\) et les conjugués du groupe d’ordre deux \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\overline{\mathbf{Q}} \cap \mathbf{R})\). Par conséquent, si \(\Spec(k) \to X\) est un morphisme avec \(k\) algébrique sur \(\mathbf{Q}\), il résulte du Lemme 02Z5 et du théorème que nous venons de mentionner que \(k\) est soit \(\overline{\mathbf{Q}}\), soit isomorphe à \(\overline{\mathbf{Q}} \cap \mathbf{R}\).
Ce qui ne va pas dans l’exemple ci-dessus, c’est que le groupe de Galois est muni d’une topologie, et que celle-ci devrait intervenir d’une manière ou d’une autre dans toute construction d’un quotient de \(\Spec(\overline{\mathbf{Q}})\). L’exemple suivant est, à mon avis, beaucoup plus raisonnable et peut effectivement apparaître dans « la nature ».
Exemple
Soit \(k\) un corps de caractéristique zéro. Soit \(U = \mathbf{A}^1_k\) et soit \(G = \mathbf{Z}\). Nous prenons pour action \(n(x) = x + n\), c’est-à-dire l’action de \(\mathbf{Z}\) sur la droite affine par translation. Le seul point fixe est le point générique, et il est clair que \(\mathbf{Z}\) s’injecte dans le groupe des automorphismes du corps \(k(x)\). (C’est ici que nous utilisons l’hypothèse de caractéristique zéro.) Considérons le morphisme \[\gamma : \Spec(k(x)) \longrightarrow X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\] du point générique de la droite affine vers le quotient. Nous affirmons que ce morphisme ne se factorise par aucun monomorphisme \(\Spec(L) \to X\) du spectre d’un corps vers \(X\). (À la différence de ce qui se passe pour les schémas, voir Schémas, section 01J5.) En effet, comme \(\mathbf{Z}\) ne possède aucun sous-groupe fini non trivial, il résulte du Lemme 02Z5 que, pour toute telle factorisation, \(k(x) = L\). Enfin, \(\gamma\) n’est pas un monomorphisme, puisque \[\Spec(k(x)) \times_{\gamma, X, \gamma} \Spec(k(x)) \cong \Spec(k(x)) \times \mathbf{Z}.\]
Cet exemple suggère que, pour définir les points d’un espace algébrique \(X\), il faut considérer les classes d’équivalence de morphismes de spectres de corps vers \(X\), et non l’ensemble des monomorphismes de spectres de corps.
Nous terminons par un exemple véritablement affreux.
Exemple
Soit \(k\) un corps. Soit \(A = \prod_{n \in \mathbf{N}} k\) le produit infini. Posons \(U = \Spec(A)\), considéré comme un schéma sur \(S = \Spec(k)\). Notons que les projections \(\text{pr}_n : A \to k\) définissent des immersions ouvertes et fermées \(f_n : S \to U\). Posons \[R = U \amalg \coprod\nolimits_{(n, m) \in \mathbf{N}^2, \ n \not = m} S\] où le morphisme \(j\) est égal à \(\Delta_{U/S}\) sur la composante \(U\) et à \(j = (f_n, f_m)\) sur la composante \(S\) correspondant à \((n, m)\). La remarque ci-dessus montre clairement que \(s, t\) sont étales. Il est également clair que \(j\) est une relation d’équivalence. Nous obtenons donc un espace algébrique \[X = U/R.\] Pour comprendre ce que cela signifie, plaçons-nous dans le cas où le corps \(k\) est fini et possède \(q\) éléments. Commençons par examiner quelque peu l’espace topologique \(|U|\) associé au schéma \(U\). Tout élément de \(A\) vérifie \(x^q = x\). Par conséquent, tout corps résiduel de \(A\) est isomorphe à \(k\), et tous les points de \(U\) sont fermés. Mais la topologie de \(U\) n’est pas la topologie discrète. Soit \(u_n \in |U|\) le point correspondant à \(f_n\). Comme indiqué ci-dessus, les points \(u_n\) sont les points ouverts (et sont donc isolés). Il doit donc exister d’autres points, puisque nous savons que \(U\) est quasi-compact, voir Algèbre commutative, Lemme 00E8 (et n’est donc pas égal à un ensemble discret infini). Une autre façon de le voir consiste à remarquer que l’idéal (propre) \[I = \{x = (x_n) \in A \mid \text{tous les }x_n\text{ sauf un nombre fini d'entre eux sont nuls}\}\] est contenu dans un idéal maximal. Notons aussi que tout élément \(x\) de \(A\) s’écrit \(x = ue\), où \(u\) est une unité et \(e\) un idempotent. Une base de la topologie de \(A\) est donc formée de parties ouvertes et fermées (voir Algèbre commutative, Lemme 00EC.) Ainsi, \(|U|\) est totalement discontinu, mais non trivial. Enfin, notons que \(\{u_n\}\) est dense dans \(|U|\).
Nous définirons plus tard un espace topologique \(|X|\) associé à \(X\), voir Propriétés des espaces algébriques, section 03BT. Que peut-on dire de \(|X|\) ? Il s’avère que l’application \(|U| \to |X|\) est surjective et continue. Tous les points \(u_n\) ont pour image le même point \(x_0\) de \(|X|\), et aucun des autres points n’est identifié à un autre. Comme \(\{u_n\}\) est dense dans \(|U|\), on conclut que l’adhérence de \(x_0\) dans \(|X|\) est \(|X|\). Autrement dit, \(|X|\) est irréductible et \(x_0\) est un point générique de \(|X|\). Cela paraît bizarre, puisque \(x_0\) est aussi l’image d’une section \(S \to X\) du morphisme structural \(X \to S\) (et, dans le cas des schémas, cela impliquerait qu’il s’agit d’un point fermé, voir Morphismes de schémas, Lemme 01TE).
Quoi que l’on pense de ce qui se passe réellement dans cet exemple, il montre assurément qu’il faut faire preuve d’une certaine prudence lorsque l’on définit les composantes irréductibles, la connexité, etc., des espaces algébriques.
Changement de grands sites
Dans cette section, nous examinons brièvement ce qui se passe lorsque l’on change de grand site. En substance, on peut toujours agrandir à volonté le grand site; on peut donc supposer que tout ensemble de schémas que l’on souhaite considérer est contenu dans le grand site fppf sur lequel on considère notre espace algébrique. Voici un énoncé précis du résultat.
Lemme
Supposons donnés de grands sites \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch'_{fppf}\). Supposons que \(\Sch_{fppf}\) soit contenu dans \(\Sch'_{fppf}\), voir Topologies sur les schémas, section 022I. Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Soient \[\begin{align*} g : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch'/S)_{fppf}), \\ f : \Sh((\Sch'/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \end{align*}\] les morphismes de topos de Topologies sur les schémas, Lemme 022K. Soit \(F\) un faisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors
si \(F\) est représentable par un schéma \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) sur \(S\), alors \(f^{-1}F\) est lui aussi représentable; en fait, il est représentable par le même schéma \(X\), considéré maintenant comme objet de \((\Sch'/S)_{fppf}\), et
si \(F\) est un espace algébrique sur \(S\), alors \(f^{-1}F\) est lui aussi un espace algébrique sur \(S\).
Démonstration
Soit \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Notons \(h_X\) le faisceau représentable sur \((\Sch/S)_{fppf}\) associé à \(X\), et \(h'_X\) le faisceau représentable sur \((\Sch'/S)_{fppf}\) associé à \(X\). D’après la description de \(f^{-1}\) dans Topologies sur les schémas, section 022I, on a \(f^{-1}h_X = h'_X\). Cela prouve (1).
Supposons ensuite que \(F\) soit un espace algébrique sur \(S\). D’après le Lemme 0262, cela signifie que \(F = h_U/h_R\) pour une relation d’équivalence étale \(R \to U \times_S U\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Comme \(f^{-1}\) est un foncteur exact, on en conclut que \(f^{-1}F = h'_U/h'_R\). Par conséquent, \(f^{-1}F\) est un espace algébrique sur \(S\) d’après le Théorème 02WW.
Notons que ce lemme est purement ensembliste et n’a pratiquement aucun contenu. De plus, il n’est pas vrai en général que la restriction d’un espace algébrique sur le site plus grand soit un espace algébrique sur le site plus petit (pour de simples raisons de cardinalité). On ne peut donc utiliser un lemme de ce genre que pour agrandir la catégorie de base, et jamais pour la rétrécir.
Lemme
Supposons que \(\Sch_{fppf}\) soit contenu dans \(\Sch'_{fppf}\). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_{fppf}\). Notons \(\textit{Espaces}/S\) la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) définie à l’aide de \(\Sch_{fppf}\). De même, notons \(\textit{Espaces}'/S\) la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) définie à l’aide de \(\Sch'_{fppf}\). La construction du Lemme 03FP définit un foncteur pleinement fidèle \[\textit{Espaces}/S \longrightarrow \textit{Espaces}'/S\] dont l’image essentielle est formée des \(X' \in \Ob(\textit{Espaces}'/S)\) pour lesquels il existe \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)5 et des morphismes \[U \longrightarrow X' \quad\text{et}\quad R \longrightarrow U \times_{X'} U\] dans \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) qui sont surjectifs comme morphismes de faisceaux (par exemple, si les morphismes affichés sont surjectifs et étales).
Démonstration
Dans Sites et faisceaux, Lemme 00XU, nous avons vu que le foncteur \(f^{-1} : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \to \Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) est pleinement fidèle (voir la discussion dans Topologies sur les schémas, section 022I). Le foncteur affiché dans le lemme est donc pleinement fidèle.
Supposons que \(X' \in \Ob(\textit{Espaces}'/S)\) soit tel qu’il existe \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme \(U \to X'\) dans \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\) qui soit surjectif comme morphisme de faisceaux. Soit \(U' \to X'\) un morphisme étale surjectif avec \(U' \in \Ob((\Sch'/S)_{fppf})\). Posons \(\kappa = \text{size}(U)\), voir Théorie des ensembles, section 000H. Alors \(U\) possède un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) avec \(|I| \leq \kappa\). Remarquons que \(U' \times_{X'} U \to U\) est étale et surjectif. Pour chaque \(i\), on peut choisir un ouvert quasi-compact \(U'_i \subset U'\) tel que \(U'_i \times_{X'} U_i \to U_i\) soit surjectif (car le schéma \(U' \times_{X'} U_i\) est la réunion des ouverts de Zariski \(W \times_{X'} U_i\) pour \(W \subset U'\) affine et parce que \(U' \times_{X'} U_i \to U_i\) est étale, donc ouvert). Alors \(\coprod_{i \in I} U'_i \to X'\) est étale et surjectif en vertu de notre hypothèse selon laquelle \(U \to X'\) et donc \(\coprod U_i \to X'\) est un morphisme surjectif de faisceaux (détails omis). Comme \(U'_i \times_{X'} U \to U'_i\) est un morphisme surjectif de faisceaux et que \(U'_i\) est quasi-compact, on peut trouver un ouvert quasi-compact \(W_i \subset U'_i \times_{X'} U\) tel que \(W_i \to U'_i\) soit surjectif comme morphisme de faisceaux (détails omis). Alors \(W_i \to U\) est étale et l’on en conclut que \(\text{size}(W_i) \leq \text{size}(U)\), voir Théorie des ensembles, Lemme 04T7. D’après Théorie des ensembles, Lemme 0AHK, on en conclut que \(\text{size}(U'_i) \leq \text{size}(U)\). Ainsi, \(\coprod_{i \in I} U'_i\) est isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) d’après Théorie des ensembles, Lemme 000Q.
Soient maintenant \(X'\), \(U \to X'\) et \(R \to U \times_{X'} U\) comme dans l’énoncé du lemme. Au paragraphe précédent, nous avons vu que l’on peut trouver \(U' \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to X'\) dans \(\Sh((\Sch'/S)_{fppf})\). Alors \(U' \times_{X'} U \to U'\) est un morphisme surjectif de faisceaux, c’est-à-dire qu’il existe un recouvrement fppf \(\{U'_i \to U'\}\) tel que \(U'_i \to U'\) se factorise par \(U' \times_{X'} U \to U'\). D’après Théorie des ensembles, Lemme 0AHL, on peut trouver \(\tilde U \to U'\) qui soit surjectif, plat et localement de présentation finie, avec \(\text{size}(\tilde U) \leq \text{size}(U')\), tel que \(\tilde U \to U'\) se factorise par \(U' \times_{X'} U \to U'\). Considérons alors \[\xymatrix{ U' \times_{X'} U' \ar[d] & \tilde U \times_{X'} \tilde U \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U \times_{X'} U \ar[d] \\ U' \times_S U' & \tilde U \times_S \tilde U \ar[l] \ar[r] & U \times_S U }\] Les carrés sont cartésiens. On sait que les objets de la ligne inférieure sont représentés par des objets de \((\Sch/S)_{fppf}\). D’après le résultat de l’argument du paragraphe précédent, il en va de même pour \(U \times_{X'} U\) (puisque, par hypothèse, on dispose du morphisme surjectif de faisceaux \(R \to U \times_{X'} U\)). Comme \((\Sch/S)_{fppf}\) est stable par produits fibrés (par construction), on voit que \(\tilde U \times_{X'} \tilde U\) est représenté par un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Enfin, le morphisme \(\tilde U \times_{X'} \tilde U \to U' \times_{X'} U'\) est un morphisme surjectif de faisceaux fppf, puisque \(\tilde U \to U'\) l’est. On peut donc appliquer une fois encore le résultat du paragraphe précédent pour conclure que \(R' = U' \times_{X'} U'\) est représenté par un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). À ce stade, le Lemme 0262 et le Théorème 02WW impliquent que \(X = h_{U'}/h_{R'}\) est un objet de \(\textit{Espaces}/S\) tel que \(f^{-1}X \cong X'\), comme souhaité.
Changement de schéma de base
Dans cette section, nous examinons brièvement ce qui se passe lorsque l’on change de schéma de base. Le point essentiel est que, étant donné un morphisme \(S \to S'\) de schémas de base, tout espace algébrique au-dessus de \(S\) peut être considéré comme un espace algébrique au-dessus de \(S'\). De plus, étant donné un espace algébrique \(F'\) au-dessus de \(S'\), il existe un changement de base \(F'_S\), qui est un espace algébrique au-dessus de \(S\). Nous expliquons seulement le cas où \(S \to S'\) est un morphisme du grand site fppf considéré. Si seul l’un des schémas \(S\) et \(S'\) appartient au grand site, on commence par agrandir celui-ci comme dans la section 03FO.
Lemme
Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site. Soit \(g : S \to S'\) un morphisme de \(\Sch_{fppf}\). Soit \(j : (\Sch/S)_{fppf} \to (\Sch/S')_{fppf}\) le foncteur de localisation correspondant. Soit \(F\) un faisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors
pour un schéma \(T'\) au-dessus de \(S'\), on a \(j_!F(T'/S') = \coprod\nolimits_{\varphi : T' \to S} F(T' \xrightarrow{\varphi} S),\)
si \(F\) est représentable par un schéma \(X \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \(j_!F\) est représentable par \(j(X)\), c’est-à-dire par \(X\) considéré comme un schéma au-dessus de \(S'\), et
si \(F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), alors \(j_!F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S'\) et, si \(F = U/R\) est une présentation, alors \(j_!F = j(U)/j(R)\) est une présentation.
Soit \(F'\) un faisceau d’ensembles sur \((\Sch/S')_{fppf}\). Alors
pour un schéma \(T\) au-dessus de \(S\), on a \(j^{-1}F'(T/S) = F'(T/S')\),
si \(F'\) est représentable par un schéma \(X' \in \Ob((\Sch/S')_{fppf})\), alors \(j^{-1}F'\) est représentable, à savoir par \(X'_S = S \times_{S'} X'\), et
si \(F'\) est un espace algébrique, alors \(j^{-1}F'\) est un espace algébrique et, si \(F' = U'/R'\) est une présentation, alors \(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\) est une présentation.
Démonstration
Les foncteurs \(j_!\), \(j_*\) et \(j^{-1}\) sont définis dans Sites et faisceaux, Lemme 03EH, où l’on montre également que \(j = j_{S/S'}\) est la localisation de \((\Sch/S')_{fppf}\) en l’objet \(S/S'\). Tout ce qui concerne les foncteurs de localisation s’applique donc à \(j\). La formule de (1) est celle de Sites et faisceaux, Lemme 03HT. Par définition, \(j_!\) est adjoint à gauche du foncteur de restriction \(j^{-1}\) ; \(j_!\) est donc exact à droite. D’après Sites et faisceaux, Lemme 04BB, il commute en outre aux produits fibrés et aux égalisateurs. D’après Sites et faisceaux, Lemme 03HU, on a \(j_!h_X = h_{j(X)}\), d’où (2). Si \(F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), écrivons \(F = U/R\) (Lemme 0262) ; on obtient \[j_!F = j(U)/j(R)\] puisque \(j_!\), étant exact à droite, commute aux conoyaux ; de plus, \(j(R) = j(U) \times_{j_!F} j(U)\) puisque \(j_!\) commute aux produits fibrés. Comme les morphismes \(j(s), j(t) : j(R) \to j(U)\) ne sont autres que les morphismes \(s, t : R \to U\) (considérés comme des morphismes de schémas au-dessus de \(S'\)), ils sont encore étales. Ainsi, \((j(U), j(R), s, t)\) est une relation d’équivalence étale. Le Théorème 02WW permet donc de conclure que \(j_!F\) est un espace algébrique.
Démonstration de (4), (5) et (6). La description de \(j^{-1}\) se trouve dans Sites et faisceaux, section 00XZ. La restriction du faisceau représentable associé à \(X'/S'\) est le faisceau représentable associé à \(X'_S = S \times_{S'} X'\) d’après Sites et faisceaux, Lemme 03CE. Le foncteur de restriction \(j^{-1}\) est exact, donc \(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\). Par exactitude encore, le faisceau \(R'_S\) demeure une relation d’équivalence sur \(U'_S\). Enfin, les deux morphismes \(R'_S \to U'_S\) sont étales, car ils se déduisent par changement de base des morphismes étales \(R' \to U'\). Ainsi, \(j^{-1}F' = U'_S/R'_S\) est un espace algébrique d’après le Théorème 02WW, ce qui achève la démonstration.
Notons que la présentation \(j_!F = j(U)/j(R)\) n’est autre que la présentation de \(F\), considérée comme une présentation par des schémas au-dessus de \(S'\). La définition suivante a donc un sens.
Définition
Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site.
Si \(F'\) est un espace algébrique au-dessus de \(S'\), alors le changement de base de \(F'\) à \(S\) est l’espace algébrique \(j^{-1}F'\) décrit dans le Lemme 03I4. Nous le notons \(F'_S\).
Si \(F\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), alors \(F\), considéré comme un espace algébrique au-dessus de \(S'\), est l’espace algébrique \(j_!F\) au-dessus de \(S'\) décrit dans le Lemme 03I4. Nous le notons souvent simplement \(F\) ; sinon, nous écrivons \(j_!F\).
L’espace algébrique \(j_!F\) est muni d’un morphisme canonique \(j_!F \to S\) d’espaces algébriques au-dessus de \(S'\). Cela vient simplement de ce que le faisceau \(j_!F\) admet un morphisme vers \(h_S\) (voir, par exemple, la description explicite du Lemme 03I4). En effet, dans Sites et faisceaux, Lemme 00Y1, nous avons vu que la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est équivalente à la catégorie des couples \((\mathcal{F}', \mathcal{F}' \to h_S)\) formés d’un faisceau sur \((\Sch/S')_{fppf}\) et d’un morphisme de faisceaux \(\mathcal{F}' \to h_S\). L’équivalence associe au faisceau \(\mathcal{F}\) le couple \((j_!\mathcal{F}, j_!\mathcal{F} \to h_S)\). Ceci, joint à ce qui précède, conduit au résultat suivant pour les catégories d’espaces algébriques.
Lemme
Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. La construction ci-dessus donne une équivalence de catégories \[\begin{gathered} \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des espaces}\\ \text{algébriques sur }S \end{matrix} \right\}\\[4pt] \leftrightarrow\\[4pt] \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des couples }(F', F' \to S)\text{ formés}\\ \text{d'un espace algébrique }F'\text{ sur }S'\\ \text{et d'un morphisme }F' \to S\text{ d'espaces algébriques}\\ \text{sur }S' \end{matrix} \right\} \end{gathered}\]
Démonstration
Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Le foncteur de gauche à droite associe le couple \((j_!F, j_!F \to S)\) à \(F\), et ce couple appartient au membre de droite d’après le Lemme 03I4. Puisque ceci définit une équivalence de catégories de faisceaux d’après Sites et faisceaux, Lemme 00Y1, il suffit, pour achever la démonstration, de montrer ceci : si \(F\) est un faisceau et \(j_!F\) un espace algébrique, alors \(F\) est un espace algébrique. Pour cela, écrivons \(j_!F = U'/R'\) comme dans le Lemme 0262, avec \(U', R' \in \Ob((\Sch/S')_{fppf})\). Les composés \(U' \to j_!F \to S\) et \(R' \to j_!F \to S\) sont alors des morphismes de schémas au-dessus de \(S'\). Notons \(U, R\) les objets correspondants de \((\Sch/S)_{fppf}\). Les deux morphismes \(R' \to U'\) sont des morphismes au-dessus de \(S\) et correspondent donc à des morphismes \(R \to U\). Comme ce sont les mêmes morphismes (considérés au-dessus de \(S\)), nous obtenons une relation d’équivalence étale au-dessus de \(S\). Puisque \(j_!\) définit une équivalence de catégories de faisceaux (voir la référence ci-dessus), on a \(F = U/R\) ; le Théorème 02WW montre alors que \(F\) est un espace algébrique.
Le lemme suivant est une légère reformulation de ce qui précède.
Lemme
Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. Soit \(F'\) un faisceau sur \((\Sch/S')_{fppf}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
la restriction \(F'|_{(\Sch/S)_{fppf}}\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), et
le faisceau \(h_S \times F'\) est un espace algébrique au-dessus de \(S'\).
Démonstration
La restriction et le produit se correspondent par l’équivalence de catégories de Sites et faisceaux, Lemme 00Y1, de sorte que le Lemme 04SG ci-dessus donne le résultat.
Nous terminons cette section par un lemme de compatibilité.
Lemme
Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf. Soit \(S \to S'\) un morphisme de ce site. Soit \(F\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(T\) un schéma au-dessus de \(S\) et soit \(f : T \to F\) un morphisme au-dessus de \(S\). Soit \(f' : T' \to F'\) le morphisme au-dessus de \(S'\) obtenu à partir de \(f\) en appliquant l’équivalence de catégories décrite dans le Lemme 04SG. Pour toute propriété \(\mathcal{P}\) comme dans la Définition 025V, on a \(\mathcal{P}(f') \Leftrightarrow \mathcal{P}(f)\).
Démonstration
Supposons que \(U\) soit un schéma au-dessus de \(S\) et que \(U \to F\) soit un morphisme étale surjectif. Notons \(U'\) le schéma \(U\) considéré comme un schéma au-dessus de \(S'\). Dans le Lemme 03I4, nous avons vu que \(U' \to F'\) est étale surjectif. Puisque \[j(T \times_{f, F} U) = T' \times_{f', F'} U'\] le morphisme de schémas \(T \times_{f, F} U \to U\) s’identifie au morphisme de schémas \(T' \times_{f', F'} U' \to U'\). Il s’agit du même morphisme, considéré au-dessus de schémas de base différents. Le lemme résulte donc du Lemme 02WZ.
Voir le Lemme 025W, la Définition 025V et la Remarque 02YN.↩︎
Nous associerons un espace topologique à un espace algébrique dans Propriétés des espaces algébriques, section 03BT, et ses ouverts correspondront exactement aux sous-espaces ouverts définis ci-dessous.↩︎
Dans la littérature, cela désigne souvent des espaces algébriques quasi-séparés et localement séparés.↩︎
Cette définition a été proposée par B. Conrad.↩︎
Exiger l’existence de \(R\) est nécessaire à cause de notre choix de la fonction \(Bound\) dans Théorie des ensembles, Équation (046U). La taille du produit fibré \(U \times_{X'} U\) peut croître plus vite que \(Bound\) en fonction de la taille de \(U\). On peut l’illustrer en posant \(S = \Spec(A)\), \(U = \Spec(A[x_i, i \in I])\) et \(R = \coprod_{(\lambda_i) \in A^I} \Spec(A[x_i, y_i]/(x_i - \lambda_i y_i))\). Dans ce cas, la taille de \(R\) croît comme \(\kappa^\kappa\), où \(\kappa\) est la taille de \(U\).↩︎