Injectifs

Introduction

Dans des chapitres ultérieurs, nous utiliserons l’existence d’injectifs et de complexes K-injectifs pour étudier la cohomologie des faisceaux de modules sur les sites annelés. Dans ce chapitre, nous expliquons comment construire des injectifs et des complexes K-injectifs, d’abord pour les modules sur les sites, puis, plus généralement, pour les catégories abéliennes de Grothendieck.

Observons que nous savons déjà que la catégorie des groupes abéliens et la catégorie des modules sur un anneau possèdent assez d’injectifs ; voir Compléments d’algèbre, sections 01D6 et 01D8

L’argument de Baer pour les modules

Il existe une autre manière, plus ensembliste, de montrer que tout \(R\)-module \(M\) se plonge dans un module injectif. Cette méthode construit le module injectif comme une colimite transfinie de sommes amalgamées. Bien qu’elle soit assez abstraite et plus compliquée que celle de Compléments d’algèbre, section 01D8, elle est aussi plus générale. Cette méthode semble remonter à Baer ; elle a été reprise par Cartan et Eilenberg dans [Cartan-Eilenberg], puis par Grothendieck dans [Tohoku]. Grothendieck y montre que bien d’autres catégories abéliennes possèdent assez d’injectifs. Nous reviendrons plus loin au cas général (section 05AB).

Commençons par quelques remarques ensemblistes. Soit \(\{B_{\beta}\}_{\beta \in \alpha}\) un système inductif d’objets d’une catégorie \(\mathcal{C}\), indexé par un ordinal \(\alpha\). Supposons que \(\colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\) existe dans \(\mathcal{C}\). Si \(A\) est un objet de \(\mathcal{C}\), il existe alors une application naturelle [05NN]\[\begin{equation} \colim_{\beta \in \alpha} \Mor_\mathcal{C}(A, B_\beta) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(A, \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta). \end{equation}\] En effet, un morphisme \(A \to B_\beta\) donné pour un certain \(\beta\) fournit naturellement un morphisme de \(A\) vers la colimite, par composition avec \(B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\alpha\). Notons que la colimite de gauche est une colimite d’ensembles ! En général, (05NN) n’est ni injective ni surjective.

Exemple

Considérons la catégorie des ensembles. Posons \(A = \mathbf{N}\) et prenons pour \(B_n = \{1, \ldots, n\}\) le système inductif indexé par les entiers naturels, où \(B_n \to B_m\), pour \(n \leq m\), est l’application évidente. Alors \(\colim B_n = \mathbf{N}\) ; il existe donc une application \(A \to \colim B_n\) qui ne se factorise par aucune application \(A \to B_m\), pour tout \(m\). Par conséquent, \(\colim \Mor(A, B_n) \to \Mor(A, \colim B_n)\) n’est pas surjective.

Exemple

Donnons ensuite un exemple où l’application n’est pas injective. Posons \(B_n = \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\), c’est-à-dire l’ensemble quotient de \(\mathbf{N}\) dans lequel les \(n\) premiers éléments sont identifiés à un seul. Il existe des applications naturelles \(B_n \to B_m\) pour \(n \leq m\) ; les \(\{B_n\}\) forment donc un système d’ensembles indexé par \(\mathbf{N}\). On voit aisément que \(\colim B_n = \{*\}\) : c’est l’ensemble à un élément. Il s’ensuit que \(\Mor(A, \colim B_n)\) est un ensemble à un élément pour tout ensemble \(A\). Cependant, \(\colim \Mor(A , B_n)\) n’est pas un ensemble à un élément. Considérons la famille d’applications \(A \to B_n\) formée des projections naturelles \(\mathbf{N} \to \mathbf{N}/\{1, 2, \ldots, n\}\), et la famille d’applications \(A \to B_n\) qui envoient tout \(A\) sur la classe de \(1\). Ces deux familles d’applications sont distinctes à chaque étape, donc distinctes dans \(\colim \Mor(A, B_n)\), mais elles induisent la même application \(A \to \colim B_n\).

Néanmoins, si l’ensemble source est fini, (05NN) est toujours un isomorphisme.

Lemme

Supposons que, dans (05NN), \(\mathcal{C}\) soit la catégorie des ensembles et que \(A\) soit un ensemble fini. Alors l’application est une bijection.

Démonstration

Soit \(f : A \to \colim B_\beta\). L’image de \(f\) est finie ; notons ses éléments \(c_1, \ldots, c_r \in \colim B_\beta\). Par définition de la colimite, ils proviennent tous d’éléments d’un même \(B_\beta\), pour \(\beta \in \alpha\) assez grand. On peut donc définir \(\widetilde{f} : A \to B_\beta\) qui relève \(f\) à une étape finie. Cela prouve que (05NN) est surjective. Supposons maintenant que deux applications \(f : A \to B_\gamma, f' : A \to B_{\gamma'}\) définissent la même application \(A \to \colim B_\beta\). Chacun des éléments, en nombre fini, de \(A\) a alors la même image dans la colimite. Par définition de la colimite d’ensembles, il existe \(\beta \geq \gamma, \gamma'\) tel que les éléments de \(A\) aient les mêmes images dans \(B_\beta\) par \(f\) et \(f'\). Cela prouve que (05NN) est injective.

Le cas le plus intéressant du lemme est celui où \(\alpha = \omega\), autrement dit où le système \(\{B_\beta\}\) est un système \(\{B_n\}_{n \in \mathbf{N}}\) indexé par les entiers naturels, comme dans les Exemples 05NP et 05NQ. L’idée essentielle est que \(A\) est « petit » relativement à la longue chaîne de composées \(B_1 \to B_2 \to \ldots\), de sorte que son morphisme doit se factoriser par une étape finie. On trouvera une version plus générale de ce lemme dans Ensembles, lemme 05N2. Généralisons maintenant ce résultat à la catégorie des modules.

Définition

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie, \(I \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\) et \(\alpha\) un ordinal. Un objet \(A\) de \(\mathcal{C}\) est dit \(\alpha\)-petit relativement à \(I\) si, pour tout système \(\{B_\beta\}\) indexé par \(\alpha\) dont les morphismes de transition appartiennent à \(I\), l’application (05NN) est un isomorphisme.

Dans la suite de cette section, nous nous restreindrons à la catégorie des \(R\)-modules, où \(R\) est un anneau commutatif fixé. Nous prendrons aussi pour \(I\) la famille des applications injectives, c’est-à-dire des monomorphismes dans la catégorie des modules sur \(R\). Dans ce cas, pour tout système \(\{B_\beta\}\) comme dans la définition, chacune des applications \[B_\beta \to \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\] est injective. Il s’ensuit que l’application (05NN) est une injection. On peut en fait considérer les \(B_\beta\) comme des sous-modules du module \(B = \colim_{\beta \in \alpha} B_\beta\) ; on a alors \(B = \bigcup_{\beta \in \alpha} B_\beta\). Il n’y a pas abus de notation si l’on identifie \(B_\alpha\) à son image dans la colimite. Nous voulons maintenant montrer que les modules sont toujours petits pour des ordinaux \(\alpha\) « grands ».

Proposition

Soient \(R\) un anneau et \(M\) un \(R\)-module. Soit \(\kappa\) le cardinal de l’ensemble des sous-modules de \(M\). Si \(\alpha\) est un ordinal dont la cofinalité est strictement supérieure à \(\kappa\), alors \(M\) est \(\alpha\)-petit relativement aux injections.

Démonstration

La démonstration est immédiate, mais considérons d’abord un cas particulier. Si \(M\) est fini, l’assertion est que, pour tout système inductif \(\{B_\beta\}\) à morphismes de transition injectifs et indexé par un ordinal limite, toute application \(M \to \colim B_\beta\) se factorise par l’un des \(B_\beta\). C’est précisément ce que nous avons démontré dans le Lemme 05NR.

Passons au cas général. Il suffit de montrer que l’application (05NN) est surjective. Soit \(f : M \to \colim B_\beta\) une application. Considérons les sous-objets \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\) de \(M\), où \(B_\beta\) est vu comme un sous-objet de la colimite \(B = \bigcup_\beta B_\beta\). Si l’un d’eux, disons \(f^{-1}(B_\beta)\), est égal à \(M\), alors l’application se factorise par \(B_\beta\).

Supposons donc, par l’absurde, que tous les \(f^{-1}(B_\beta)\) soient des sous-objets propres de \(M\). Or nous savons que \[\bigcup f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\bigcup B_\beta\right) = M.\] Par hypothèse, il y a au plus \(\kappa\) sous-objets distincts de \(M\) parmi les \(f^{-1}(B_\alpha)\). On peut donc trouver un sous-ensemble \(S \subset \alpha\) de cardinal au plus \(\kappa\) tel que, lorsque \(\beta'\) parcourt \(S\), les \(f^{-1}(B_{\beta'})\) parcourent tous les \(f^{-1}(B_\alpha)\).

Cependant, \(S\) possède un majorant \(\widetilde{\alpha} < \alpha\), puisque \(\alpha\) est de cofinalité strictement supérieure à \(\kappa\). En particulier, tous les \(f^{-1}(B_{\beta'})\), pour \(\beta' \in S\), sont contenus dans \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\). Il en résulte que \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\). Ainsi, l’application \(f\) se factorise par \(B_{\widetilde{\alpha}}\).

Ce lemme nous permettra de déduire l’existence de nombreux injectifs. Rappelons le critère de Baer.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Un \(R\)-module \(Q\) est injectif si et seulement si, dans tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & Q \\ R \ar@{-->}[ru] }\] où \(\mathfrak{a} \subset R\) est un idéal, la flèche pointillée existe.

Démonstration

Il s’agit de l’équivalence entre (1) et (3) dans Compléments d’algèbre, lemme 0AVF; notons que la démonstration qui y est donnée est élémentaire (elle n’utilise ni les groupes \(\text{Ext}\), ni l’existence d’injectifs ou de projectifs dans la catégorie des \(R\)-modules).

Si \(M\) est un \(R\)-module, nous pouvons en général disposer d’un diagramme partiellement complété comme dans le Lemme 05NU. Nous pouvons y former la somme amalgamée \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r] & M \ar[d] \\ R \ar[r] & R \oplus_{\mathfrak{a}} M. }\] Ici, le morphisme vertical est injectif et le diagramme est commutatif. Le point essentiel est que nous pouvons prolonger \(\mathfrak{a} \to M\) à \(R\) si nous remplaçons \(M\) par le module plus grand \(R \oplus_{\mathfrak{a}} M\).

L’idée fondamentale de l’argument de Baer consiste à répéter cette procédure un nombre transfini de fois. Pour cela, étant donné un \(R\)-module \(M\), nous commençons par définir l’immense somme amalgamée suivante [05NV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[r] & \mathbf{M}(M). } } \end{equation}\] La flèche horizontale supérieure envoie l’élément \(a \in \mathfrak a\) du facteur correspondant à \(\varphi\) sur l’élément \(\varphi(a) \in M\). La flèche verticale de gauche envoie simplement \(a \in \mathfrak a\), dans le facteur correspondant à \(\varphi\), sur l’élément \(a \in R\) du facteur correspondant à \(\varphi\). Les propriétés fondamentales de cette construction sont énoncées dans le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. La construction \(M \mapsto (M \to \mathbf{M}(M))\) est fonctorielle en \(M\).

2. L’application \(M \to \mathbf{M}(M)\) est injective.

3. Pour tout idéal \(\mathfrak{a}\) et tout morphisme de \(R\)-modules \(\varphi : \mathfrak a \to M\), il existe un morphisme de \(R\)-modules \(\varphi' : R \to \mathbf{M}(M)\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathfrak{a} \ar[d] \ar[r]_\varphi & M \ar[d] \\ R \ar[r]^{\varphi'} & \mathbf{M}(M) }\] soit commutatif.

Démonstration

Les assertions (2) et (3) résultent immédiatement de la construction. Pour voir (1), soit \(\chi : M \to N\) un morphisme de \(R\)-modules. Nous affirmons qu’il existe un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] \ar[rrd] & M \ar[rrd]^\chi \\ \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\varphi \in \Hom_R(\mathfrak a, M)} R \ar[rrd] & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} \mathfrak{a} \ar[r] \ar[d] & N \\ & & \bigoplus_{\mathfrak a} \bigoplus_{\psi \in \Hom_R(\mathfrak a, N)} R }\] qui induit l’application voulue \(\mathbf{M}(M) \to \mathbf{M}(N)\). La flèche centrale dirigée vers l’est-sud-est envoie le facteur \(\mathfrak a\) correspondant à \(\varphi\), par \(\text{id}_{\mathfrak a}\), sur le facteur \(\mathfrak a\) correspondant à \(\psi = \chi \circ \varphi\). Il en va de même de la flèche inférieure dirigée vers l’est-sud-est. Nous omettons les détails.

Nous allons maintenant appliquer le foncteur \(\mathbf{M}\) un nombre transfini de fois. Pour chaque ordinal \(\alpha\), nous définissons un foncteur \(\mathbf{M}_\alpha\) sur la catégorie des \(R\)-modules, ainsi qu’une injection naturelle \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\), par récurrence transfinie. D’abord, \(\mathbf{M}_1 = \mathbf{M}\) est le foncteur défini ci-dessus. Soit ensuite un ordinal \(\alpha\), et supposons \(\mathbf{M}_{\alpha'}\) défini pour \(\alpha' < \alpha\). Si \(\alpha\) admet un prédécesseur immédiat \(\widetilde{\alpha}\), posons \[\mathbf{M}_\alpha = \mathbf{M} \circ \mathbf{M}_{\widetilde{\alpha}}.\] Sinon, c’est-à-dire si \(\alpha\) est un ordinal limite, posons \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\alpha' < \alpha} \mathbf{M}_{\alpha'}(N).\] Il est clair, par exemple par récurrence, que les \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\) forment un système inductif indexé par les ordinaux ; cette définition a donc bien un sens.

Théorème

Soit \(\kappa\) le cardinal de l’ensemble des idéaux de \(R\), et soit \(\alpha\) un ordinal de cofinalité strictement supérieure à \(\kappa\). Alors \(\mathbf{M}_\alpha(N)\) est un \(R\)-module injectif, et \(N \to \mathbf{M}_\alpha(N)\) est un plongement fonctoriel dans un injectif.

Démonstration

D’après le critère de Baer, Lemme 05NU, il suffit de montrer que, pour tout idéal \(\mathfrak{a} \subset R\), toute application \(f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_\alpha(N)\) se prolonge en une application \(R \to \mathbf{M}_\alpha(N)\). Or, puisque \(\alpha\) est un ordinal limite, nous savons que \[\mathbf{M}_{\alpha}(N) = \colim_{\beta < \alpha} \mathbf{M}_{\beta}(N),\] donc, par la Proposition 05NT, nous obtenons \[\Hom_R(\mathfrak{a}, \mathbf{M}_{\alpha}(N)) = \colim_{\beta < \alpha} \Hom_R(\mathfrak a, \mathbf{M}_{\beta}(N)).\] Cela signifie en particulier qu’il existe \(\beta' < \alpha\) tel que \(f\) se factorise par le sous-module \(\mathbf{M}_{\beta'}(N)\), sous la forme \[f : \mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N) \to \mathbf{M}_{\alpha}(N).\] Cependant, d’après la propriété fondamentale du foncteur \(\mathbf{M}\), voir le Lemme 05NW, assertion (3), l’application \(\mathfrak{a} \to \mathbf{M}_{\beta'}(N)\) se prolonge en \[R \to \mathbf{M}( \mathbf{M}_{\beta'}(N)) = \mathbf{M}_{\beta' + 1}(N),\] et ce dernier objet se plonge dans \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\), car \(\beta' + 1 < \alpha\) puisque \(\alpha\) est un ordinal limite. Par conséquent, \(f\) se prolonge à \(\mathbf{M}_{\alpha}(N)\).

G-modules

Nous verrons plus loin (Algèbre différentielle graduée, section 04JD) que la catégorie des modules sur une algèbre admet des plongements fonctoriels dans des injectifs. La construction est exactement la même que celle de Compléments d’algèbre, section 01D8.

Lemme

Soient \(G\) un groupe topologique et \(R\) un anneau. La catégorie \(\text{Mod}_{R, G}\) des \(R\text{-}G\)-modules, voir Cohomologie étale, définition 04JP, admet des plongements fonctoriels dans des injectifs. Il en est ainsi, en particulier, de la catégorie des \(G\)-modules discrets.

Démonstration

La remarque qui précède le lemme montre que la catégorie \(\text{Mod}_{R[G]}\) admet des plongements fonctoriels dans des injectifs. Considérons le foncteur d’oubli \(v : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_{R[G]}\). Ce foncteur est pleinement fidèle, transforme les applications injectives en applications injectives et possède un adjoint à droite, à savoir \[u : M \mapsto u(M) = \{x \in M \mid \text{le stabilisateur de }x\text{ est ouvert}\}\] Comme \(v(M) = 0 \Rightarrow M = 0\), on conclut par Homologie, lemme 0161.

Faisceaux abéliens sur un espace

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. La catégorie des faisceaux abéliens sur \(X\) possède assez d’injectifs. Elle admet même des plongements fonctoriels dans des injectifs.

Démonstration

Pour tout groupe abélien \(A\), notons \(j : A \to J(A)\) le plongement fonctoriel dans un injectif construit dans Compléments d’algèbre, section 01D8. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). D’après Faisceaux, exemple 006X, la donnée \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J(\mathcal{F}_x)\] est un faisceau abélien. Il existe une application canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) qui envoie \(s \in \mathcal{F}(U)\) sur \(\prod_{x \in U} j(s_x)\), où \(s_x \in \mathcal{F}_x\) désigne le germe de \(s\) en \(x\). Cette application est injective ; voir, par exemple, Faisceaux, lemme 0079.

Il reste à démontrer l’assertion suivante : si une donnée \(x \mapsto I_x\) associe à chaque point \(x \in X\) un groupe abélien injectif, alors le faisceau \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\) est injectif. Notons que \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] est le produit des faisceaux gratte-ciel \(i_{x, *}I_x\) (pour la notation, voir Faisceaux, section 0099). On a \[\Mor_{\textit{Ab}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] voir Faisceaux, lemme 009C. Il est donc clair que chaque \(i_{x, *}I_x\) est injectif. L’injectivité de \(\mathcal{I}\) résulte alors de Homologie, lemme 0137.

Faisceaux de modules sur un espace annelé

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé ; voir Faisceaux, section 0090. La catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X\) possède assez d’injectifs. Elle admet même des plongements fonctoriels dans des injectifs.

Démonstration

Pour tout anneau \(R\) et tout \(R\)-module \(M\), notons \(j : M \to J_R(M)\) le plongement fonctoriel dans un injectif construit dans Compléments d’algèbre, section 01D8. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X\). D’après Faisceaux, exemples 006X et 007R, la donnée \[\mathcal{I} : U \mapsto \mathcal{I}(U) = \prod\nolimits_{x\in U} J_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x)\] est un faisceau abélien. Il existe une application canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) qui envoie \(s \in \mathcal{F}(U)\) sur \(\prod_{x \in U} j(s_x)\), où \(s_x \in \mathcal{F}_x\) désigne le germe de \(s\) en \(x\). Cette application est injective ; voir, par exemple, Faisceaux, lemme 0079.

Il reste à démontrer l’assertion suivante : si une donnée \(x \mapsto I_x\) associe à chaque point \(x \in X\) un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module injectif, alors le faisceau \(\mathcal{I} : U \mapsto \prod_{x \in U} I_x\) est injectif. Notons que \[\mathcal{I} = \prod\nolimits_{x \in X} i_{x, *}I_x\] est le produit des faisceaux gratte-ciel \(i_{x, *}I_x\) (pour la notation, voir Faisceaux, section 0099). On a \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, I_x) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}I_x).\] voir Faisceaux, lemme 009C. Il est donc clair que chaque \(i_{x, *}I_x\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif (voir Homologie, lemme 015Z, ou raisonner directement). L’injectivité de \(\mathcal{I}\) résulte alors de Homologie, lemme 0137.

Préfaisceaux abéliens sur une catégorie

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Rappelons que cela signifie que \(\Ob(\mathcal{C})\) est un ensemble. Considérons, d’une part, les préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\), voir Sites, section 00V1, et, d’autre part, les familles de groupes abéliens indexées par les éléments de \(\Ob(\mathcal{C})\) ; autrement dit, les préfaisceaux sur la catégorie discrète dont l’ensemble sous-jacent d’objets est \(\Ob(\mathcal{C})\). Notons simplement \(\Ob(\mathcal{C})\) cette catégorie discrète. Il existe un foncteur naturel \[i : \Ob(\mathcal{C}) \longrightarrow \mathcal{C}\] et, par conséquent, un foncteur naturel de restriction, ou foncteur d’oubli, \[v = i^p : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\] à comparer avec Sites, section 00VC. Nous noterons les préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\) par \(B\) et les préfaisceaux sur \(\Ob(\mathcal{C})\) par \(A\).

Il existe aussi deux foncteurs, à savoir \(i_p\) et \({}_pi\), qui associent un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{C}\) à un préfaisceau abélien sur \(\Ob(\mathcal{C})\) ; voir Sites, sections 00VC et 00XF. Nous utiliserons ici \(u = {}_pi\), qui, dans le cas présent, est défini par \[uA(U) = \prod\nolimits_{U' \to U} A(U').\] Ainsi, un élément est une famille \((a_\phi)_\phi\), où \(\phi\) parcourt tous les morphismes de \(\mathcal{C}\) de but \(U\). L’application de restriction de \(uA\) correspondant à \(g : V \to U\) envoie l’élément \((a_\phi)_\phi\) sur \((a_{g \circ \psi})_\psi\).

Il existe une application surjective canonique \(vuA \to A\) et une application injective canonique \(B \to uvB\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que \[\Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(B, uA) = \Mor_{\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))}(vB, A).\] dans ce cas simple ; le cas général est traité dans Sites, section 00VC. Ainsi, le couple \((u, v)\) est un exemple de couple de foncteurs adjoints ; voir Catégories, section 0036.

Nous pouvons maintenant énumérer les faits suivants concernant la situation ci-dessus.

1. Les foncteurs \(u\) et \(v\) sont exacts. Cela résulte de leur description explicite donnée ci-dessus.

2. En particulier, le foncteur \(v\) transforme les applications injectives en applications injectives.

3. La catégorie \(\textit{PAb}(\Ob(\mathcal{C}))\) possède assez d’injectifs.

4. Il existe même un plongement fonctoriel dans un injectif \(A \mapsto \big(A \to J(A)\big)\) comme dans Homologie, définition 0139. On peut en effet prendre pour \(J(A)\) le préfaisceau \(U\mapsto J(A(U))\), où \(J(-)\) est le foncteur construit dans Compléments d’algèbre, section 01D8 pour l’anneau \(\mathbf{Z}\).

En réunissant ces faits, on obtient la procédure suivante pour plonger les objets \(B\) de \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) dans un objet injectif : \(B \to uJ(vB)\). Voir Homologie, lemme 0161.

Proposition

Les préfaisceaux abéliens sur une catégorie admettent un plongement fonctoriel dans un injectif.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Faisceaux abéliens sur un site

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Dans cette section, nous démontrons que la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) a assez d’injectifs.

Notons \(i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C})\) le foncteur d’oubli des faisceaux abéliens vers les préfaisceaux abéliens. Notons \({}^\# : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C})\) le foncteur de faisceautisation. Rappelons que \({}^\#\) est adjoint à gauche de \(i\), que \({}^\#\) est exact et que \(i\mathcal{F}^\# = \mathcal{F}\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\). Enfin, notons \(\mathcal{G} \to J(\mathcal{G})\) le plongement canonique dans un préfaisceau injectif construit à la section 01DJ.

Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) et tout ordinal \(\beta\), nous définissons un faisceau \(J_\beta(\mathcal{F})\) par récurrence transfinie. Posons \(J_0(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\) et \(J_1(\mathcal{F}) = J(i\mathcal{F})^\#\). La faisceautisation de l’application canonique \(i\mathcal{F} \to J(i\mathcal{F})\) donne une application fonctorielle \[\mathcal{F} \longrightarrow J_1(\mathcal{F})\] qui est injective puisque \(\#\) est exact. Posons \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) = J_1(J_\alpha(\mathcal{F}))\). On obtient ainsi des applications injectives canoniques \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\). Pour un ordinal limite \(\beta\), nous posons \[J_\beta(\mathcal{F}) = \colim_{\alpha < \beta} J_\alpha(\mathcal{F}).\] Remarquons qu’il s’agit d’une colimite filtrante. Ainsi, pour tous ordinaux \(\alpha < \beta\), on dispose d’une application injective \(J_\alpha(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\).

Lemme

Avec les notations ci-dessus, supposons que \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) soit une application injective de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\alpha\) un ordinal et soit \(\mathcal{G}_1 \to J_\alpha(\mathcal{F})\) un morphisme de faisceaux. Il existe un morphisme \(\mathcal{G}_2 \to J_{\alpha + 1}(\mathcal{F})\) tel que le diagramme suivant soit commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{G}_1 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[d] \\ J_{\alpha}(\mathcal{F}) \ar[r] & J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) }\]

Démonstration

En effet, l’application \(i\mathcal{G}_1 \to i\mathcal{G}_2\) est injective ; par conséquent, \(i\mathcal{G}_1 \to iJ_\alpha(\mathcal{F})\) se prolonge en \(i\mathcal{G}_2 \to J(iJ_\alpha(\mathcal{F}))\), ce qui donne l’application voulue après application du foncteur de faisceautisation.

Ce lemme affirme qu’en un certain sens le système \(\{J_{\alpha}(\mathcal{F})\}\) est un plongement injectif de \(\mathcal{F}\). Bien entendu, on ne peut pas prendre la limite sur tous les \(\alpha\), car ceux-ci forment une classe et non un ensemble. L’idée est cependant qu’il n’est pas nécessaire de vérifier l’injectivité sur toutes les injections \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\), compte tenu du lemme suivant.

Lemme

Supposons que les \(\mathcal{G}_i\), \(i\in I\), forment un ensemble de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Il existe un ordinal \(\beta\) tel que, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\), tout \(i\in I\) et toute application \(\varphi : \mathcal{G}_i \to J_\beta(\mathcal{F})\), il existe un \(\alpha < \beta\) tel que \(\varphi\) se factorise par \(J_\alpha(\mathcal{F})\).

Démonstration

On se ramène au cas d’un seul faisceau \(\mathcal{G}\) en prenant la somme directe de tous les \(\mathcal{G}_i\).

Considérons les ensembles \[S = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \mathcal{G}(U).\] et \[T_\beta = \coprod\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} J_\beta(\mathcal{F})(U)\] Les applications de transition entre les ensembles \(T_\beta\) sont injectives. Si la cofinalité de \(\beta\) est assez grande, alors \(T_\beta = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\) ; voir Sites, lemme 0GS0. Un morphisme \(\mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\) se factorise par \(J_\alpha(\mathcal{F})\) si et seulement si l’application associée \(S \to T_\beta\) se factorise par \(T_\alpha\). D’après Ensembles, lemme 05N2, si la cofinalité de \(\beta\) est strictement supérieure au cardinal de \(S\), la conclusion du lemme est vraie. Le lemme résulte donc du fait qu’il existe des ordinaux de cofinalité arbitrairement grande ; voir Ensembles, proposition 05N3.

Rappelons que, pour un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), on note \(\mathbf{Z}_X\) le préfaisceau de groupes abéliens \(\Gamma(U, \mathbf{Z}_X) = \oplus_{U \to X} \mathbf{Z}\) ; voir Modules sur les sites, section 03CP. Le faisceau associé à ce préfaisceau est noté \(\mathbf{Z}_X^\#\) ; voir Modules sur les sites, section 03CQ. Il se caractérise par la propriété [05NY]\[\begin{equation} \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_X^\#, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(X) \end{equation}\] où l’élément \(\varphi\) du membre de gauche est envoyé sur \(\varphi(1 \cdot \text{id}_X)\) dans celui de droite. Ces faisceaux permettent de caractériser les faisceaux abéliens injectifs.

Lemme

Soit \(\mathcal{J}\) un faisceau de groupes abéliens ayant la propriété suivante : pour tout \(X\in \Ob(\mathcal{C})\), tout sous-faisceau abélien \(\mathcal{S} \subset \mathbf{Z}_X^\#\) et tout morphisme \(\varphi : \mathcal{S} \to \mathcal{J}\), il existe un morphisme \(\mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\) prolongeant \(\varphi\). Alors \(\mathcal{J}\) est un faisceau injectif de groupes abéliens.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application injective de faisceaux abéliens et soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\) un morphisme. En raisonnant comme dans la preuve de Compléments d’algèbre, lemme 01D7, on voit qu’il suffit de démontrer que, si \(\mathcal{F} \not = \mathcal{G}\), on peut trouver un faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) tel que \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \subset \mathcal{G}\), l’inclusion \(\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'\) étant stricte, et tel que \(\varphi\) se prolonge à \(\mathcal{F}'\). Pour trouver \(\mathcal{F}'\), choisissons un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) pour lequel l’inclusion \(\mathcal{F}(X) \subset \mathcal{G}(X)\) est stricte, puis \(s \in \mathcal{G}(X)\), \(s \not \in \mathcal{F}(X)\). Soit \(\psi : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{G}\) le morphisme correspondant à la section \(s\) par (05NY). Posons \(\mathcal{S} = \psi^{-1}(\mathcal{F})\). Par hypothèse, le morphisme \[\mathcal{S} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{J}\] se prolonge en un morphisme \(\varphi' : \mathbf{Z}_X^\# \to \mathcal{J}\). Remarquons que \(\varphi'\) annule le noyau de \(\psi\) (puisque c’est le cas de \(\varphi\)). Ainsi, \(\varphi'\) induit un morphisme \(\varphi'' : \Im(\psi) \to \mathcal{J}\) qui coïncide par construction avec \(\varphi\) sur l’intersection \(\mathcal{F} \cap \Im(\psi)\). Les morphismes \(\varphi\) et \(\varphi''\) se recollent donc en un prolongement de \(\varphi\) au sous-faisceau strictement plus grand \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} + \Im(\psi)\).

Théorème

La catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un site a assez d’injectifs. Plus précisément, il existe un plongement injectif fonctoriel ; voir Homology, définition 0139.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}_i\), \(i \in I\), un ensemble de faisceaux abéliens tel que tout sous-faisceau de tout \(\mathbf{Z}_X^\#\) soit l’un des \(\mathcal{G}_i\). Appliquons le lemme 01DN à cette famille et obtenons ainsi un ordinal \(\beta\). Nous affirmons que, pour tout faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\), l’application \(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\) plonge \(\mathcal{F}\) dans un injectif. Remarquons que, par construction, l’association \(\mathcal{F} \mapsto \big(\mathcal{F} \to J_\beta(\mathcal{F})\big)\) est bien fonctorielle.

D’après le lemme 01DO, il suffit, pour prouver cette affirmation, de prolonger tout morphisme \(\gamma : \mathcal{G} \to J_\beta(\mathcal{F})\) défini sur un sous-faisceau \(\mathcal{G}\) d’un \(\mathbf{Z}_X^\#\) à tout \(\mathbf{Z}_X^\#\). Or, d’après le lemme 01DN, l’application \(\gamma\) se relève dans \(J_\alpha(\mathcal{F})\) pour un certain \(\alpha < \beta\). Enfin, le lemme 01DM fournit le prolongement voulu de \(\gamma\) en un morphisme à valeurs dans \(J_{\alpha + 1}(\mathcal{F}) \to J_\beta(\mathcal{F})\).

Modules sur un site annelé

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Par analogie avec Compléments d’algèbre, section 01D8, cherchons à démontrer qu’il existe assez de \(\mathcal{O}\)-modules injectifs. Choisissons tout d’abord un plongement injectif \[\bigoplus\nolimits_{U, \mathcal{I}} j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{J}\] où \(\mathcal{J}\) est un faisceau abélien injectif, dont l’existence résulte de la section précédente. La somme directe porte ici sur tous les objets \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tous les sous-\(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{I} \subset j_{U!}\mathcal{O}_U\). Pour les foncteurs de restriction et de prolongement par \(0\) associés au foncteur de localisation \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\), voir Modules sur les sites, section 03DH.

Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), notons \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}, \mathcal{J})\] muni de sa structure naturelle de \(\mathcal{O}\)-module. Insérer ici une future référence au Hom interne. Nous aurons également besoin d’une résolution plate canonique d’un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Nous la construisons comme suit : pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), notons \[F(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C}), s \in \mathcal{F}(U)} j_{U!}\mathcal{O}_U.\] C’est un faisceau plat de \(\mathcal{O}\)-modules, muni d’une surjection canonique \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) ; voir Modules sur les sites, lemme 03EW. En outre, la construction \(\mathcal{F} \mapsto F(\mathcal{F})\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Lemme

Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\vee\) est exact.

Démonstration

Cela résulte de ce que \(\mathcal{J}\) est un faisceau abélien injectif.

Il existe une application canonique d’évaluation \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\) : étant donné \(x \in \mathcal{F}(U)\), on définit \(ev(x) \in (\mathcal{F}^\vee)^\vee = \SheafHom(\mathcal{F}^\vee, \mathcal{J})\) comme l’application \(\varphi \mapsto \varphi(x)\).

Lemme

Pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), l’application d’évaluation \(ev : \mathcal{F} \to (\mathcal{F}^\vee)^\vee\) est injective.

Démonstration

On le vérifie à l’aide de la définition de \(\mathcal{J}\). En effet, si \(s \in \mathcal{F}(U)\) est non nul, soit \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) l’application de \(\mathcal{O}\)-modules qui lui correspond par adjonction, et soit \(\mathcal{I}\) son noyau. Il existe une application non nulle \(\mathcal{F} \supset j_{U!}\mathcal{O}_U/\mathcal{I} \to \mathcal{J}\) qui n’annule pas \(s\). Comme \(\mathcal{J}\) est un faisceau abélien injectif, cette application sous-jacente de \(\mathcal{O}\)-modules se prolonge en une application \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{J}\). Alors \(ev(s)(\varphi) = \varphi(s) \not = 0\), ce qu’il fallait démontrer.

La surjection canonique \(F(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules donne, d’après ce qui précède, une injection canonique de \(\mathcal{O}\)-modules \[(\mathcal{F}^\vee)^\vee \longrightarrow (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee.\] Posons \(J(\mathcal{F}) = (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee\). La composée de \(ev\) avec l’application affichée donne \(\mathcal{F} \to J(\mathcal{F})\), fonctoriellement en \(\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), le \(\mathcal{O}\)-module \(J(\mathcal{F})\) est injectif.

Démonstration

Il faut montrer que le foncteur \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F}))\) est exact. Remarquons que \[\begin{eqnarray*} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, J(\mathcal{F})) & = & \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, (F(\mathcal{F}^\vee))^\vee) \\ & = & \Hom_\mathcal{O} (\mathcal{G}, \SheafHom(F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J})) \\ & = & \Hom(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} F(\mathcal{F}^\vee), \mathcal{J}) \end{eqnarray*}\] La conclusion résulte donc de ce que \(F(\mathcal{F}^\vee)\) est plat et \(\mathcal{J}\) injectif.

Théorème

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). La catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur ce site a assez d’injectifs. Plus précisément, il existe un plongement injectif fonctoriel ; voir Homology, définition 0139.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de cette section.

Proposition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). La catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules possède des plongements injectifs fonctoriels.

Démonstration

On pourrait procéder comme dans la discussion de la section 01DJ. Nous utiliserons plutôt le théorème précédent. Munissons \(\mathcal{C}\) de la structure de site pour laquelle les recouvrements d’un objet \(U\) sont tous les singletons \(\{f : V \to U\}\) où \(f\) est un isomorphisme. Nous omettons la vérification qu’il s’agit bien d’un site. Pour cette topologie, un faisceau est la même chose qu’un préfaisceau (preuve omise). Le théorème s’applique donc.

Plongement des catégories abéliennes

Dans cette section, nous montrons qu’une catégorie abélienne se plonge dans la catégorie des faisceaux abéliens sur un site ayant assez de points. Le site sera celui décrit dans le lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Posons \[\text{Cov} = \{\{f : V \to U\} \mid f\text{ est surjectif}\}.\] Alors \((\mathcal{A}, \text{Cov})\) est un site ; voir Sites, définition 00VH.

Démonstration

Selon nos conventions sur les catégories, \(\Ob(\mathcal{A})\) est un ensemble. Un isomorphisme est un morphisme surjectif, la composée de morphismes surjectifs est surjective, et le changement de base d’un morphisme surjectif dans \(\mathcal{A}\) est surjectif ; voir Homology, lemme 05PK.

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie préadditive. Dans ce cas, le plongement de Yoneda \(\mathcal{A} \to \textit{PSh}(\mathcal{A})\), \(X \mapsto h_X\), se factorise par un foncteur \(\mathcal{A} \to \textit{PAb}(\mathcal{A})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\) le site défini au lemme 05PM. Alors \(X \mapsto h_X\) définit un foncteur exact et pleinement fidèle \[\mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}).\] De plus, le site \(\mathcal{C}\) a assez de points.

Démonstration

Supposons que \(f : V \to U\) soit un morphisme surjectif de \(\mathcal{A}\) et posons \(K = \Ker(f)\). Rappelons que \(V \times_U V = \Ker((f, -f) : V \oplus V \to U)\) ; voir Homology, exemple 05PJ. Il existe en particulier une injection \(K \oplus K \to V \times_U V\). Soient \(p, q : V \times_U V \to V\) les deux projections. Le morphisme \(p - q : V \times_U V \to V\) vérifie \(f \circ (p - q) = 0\) ; ainsi, \(p - q\) se factorise par \(K \to V\). Notons \(c : V \times_U V \to K\) le morphisme ainsi obtenu. Comme la composée \(K \oplus K \to V \times_U V \to K\) est surjective, \(c\) est surjectif. Par conséquent, \[V \times_U V \xrightarrow{p - q} V \to U \to 0\] est une suite exacte de \(\mathcal{A}\). Ainsi, pour un objet \(X\) de \(\mathcal{A}\), la suite \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(U, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V, X) \to \Hom_\mathcal{A}(V \times_U V, X)\] est une suite exacte de groupes abéliens ; voir Homology, lemme 05AA. Cela signifie que \(h_X\) satisfait à la condition de faisceau sur \(\mathcal{C}\).

Le foncteur est pleinement fidèle d’après Catégories, lemme 001P. Il est exact à gauche entre catégories abéliennes d’après Homology, lemme 05AA. Pour montrer qu’il est exact à droite, soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif de \(\mathcal{A}\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(s \in h_Y(U) = \Mor_\mathcal{A}(U, Y)\) une section de \(h_Y\) au-dessus de \(U\). D’après Homology, lemme 05PK, la projection \(U \times_Y X \to U\) est surjective. Ainsi, \(\{V = U \times_Y X \to U\}\) est un recouvrement de \(U\) tel que \(s|_V\) se relève en une section de \(h_X\). Ceci montre que \(h_X \to h_Y\) est une surjection de faisceaux abéliens ; voir Sites, lemme 00WN.

Le site \(\mathcal{C}\) a assez de points d’après Sites, proposition 00YQ.

Remarque

Le théorème de plongement de Freyd–Mitchell affirme qu’il existe, de toute catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) vers la catégorie des modules sur un anneau, un foncteur exact et pleinement fidèle. Le lemme 05PN n’est pas tout à fait aussi fort. Son résultat convient toutefois au Champs Project, puisque nous devons de toute façon étudier en détail les faisceaux de groupes abéliens sur des sites. En outre, la « chasse au diagramme » fonctionne dans la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\), par exemple en travaillant avec des sections au-dessus des objets, ou au niveau des germes en utilisant le fait que \(\mathcal{C}\) a assez de points. Pour déduire le théorème de plongement de Freyd–Mitchell du lemme 05PN, voir la remarque 05PR.

Remarque

Si \(\mathcal{A}\) est une « grande » catégorie abélienne, c’est-à-dire si \(\mathcal{A}\) possède une classe d’objets, le lemme 05PN ne s’applique pas. Dans ce cas, pour tout ensemble d’objets \(E \subset \Ob(\mathcal{A})\), il existe une sous-catégorie abélienne pleine \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) telle que \(\Ob(\mathcal{A}')\) soit un ensemble et \(E \subset \Ob(\mathcal{A}')\). On peut alors appliquer le lemme 05PN à \(\mathcal{A}'\). Cela permet de prouver que les résultats fondés sur une chasse au diagramme restent valables dans \(\mathcal{A}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La catégorie \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) a assez d’injectifs ; voir le théorème 01DP. Lorsque \(\mathcal{C}\) a assez de points, cela est immédiat, car \(p_*I\) est un faisceau injectif si \(I\) est un \(\mathbf{Z}\)-module injectif et \(p\) un point. De plus, \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) possède un cogénérateur (détails omis). Le lemme 05PN donne donc un plongement exact et pleinement fidèle \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\), où \(\mathcal{B}\) possède un cogénérateur et assez d’injectifs. En l’appliquant à \(\mathcal{A}^{opp}\), on obtient un foncteur exact et pleinement fidèle \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{D} = \mathcal{B}^{opp}\), où \(\mathcal{D}\) a assez de projectifs et possède un générateur. Ainsi, \(\mathcal{D}\) possède un générateur projectif \(P\). Posons \(R = \Mor_\mathcal{D}(P, P)\). Alors \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad X \longmapsto \Hom_\mathcal{D}(P, X).\] On vérifie que ce foncteur est exact et pleinement fidèle. Autrement dit, on retrouve le théorème de Freyd–Mitchell mentionné dans la remarque 05PP.

Remarque

Les arguments qui démontrent les lemmes 05PM et 05PN valent aussi pour les catégories exactes ; voir [Buhler, Appendix A] et [BBD, 1.1.4]. Nous les rappelons brièvement ici et ajouterons des détails si le Champs Project en a besoin.

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Une paire noyau-conoyau est une paire \((i, p)\) de morphismes de \(\mathcal{A}\), \(i : A \to B\), \(p : B \to C\), telle que \(i\) soit le noyau de \(p\) et \(p\) le conoyau de \(i\). Étant donné un ensemble \(\mathcal{E}\) de paires noyau-conoyau, on dit que \(i : A \to B\) est un monomorphisme admissible si \((i, p) \in \mathcal{E}\) pour un certain morphisme \(p\). De même, on dit qu’un morphisme \(p : B \to C\) est un épimorphisme admissible si \((i, p) \in \mathcal{E}\) pour un certain morphisme \(i\). La paire \((\mathcal{A}, \mathcal{E})\) est appelée catégorie exacte si les axiomes suivants sont satisfaits

1. \(\mathcal{E}\) est stable par isomorphismes de paires noyau-conoyau ;

2. pour tout objet \(A\), le morphisme \(1_A\) est à la fois un épimorphisme admissible et un monomorphisme admissible ;

3. les monomorphismes admissibles sont stables par composition ;

4. les épimorphismes admissibles sont stables par composition ;

5. la somme amalgamée d’un monomorphisme admissible \(i : A \to B\) par tout morphisme \(A \to A'\) existe et le morphisme induit \(i' : A' \to B'\) est un monomorphisme admissible ;

6. le changement de base d’un épimorphisme admissible \(p : B \to C\) par tout morphisme \(C' \to C\) existe et le morphisme induit \(p' : B' \to C'\) est un épimorphisme admissible.

Étant donnée une telle structure, posons \(\mathcal{C} = (\mathcal{A}, \text{Cov})\), où les recouvrements, c’est-à-dire les éléments de \(\text{Cov}\), sont les épimorphismes admissibles. Les axiomes ci-dessus entraînent immédiatement qu’il s’agit d’un site. Considérons le foncteur \[F : \mathcal{A} \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}), \quad X \longmapsto h_X\] exactement comme au lemme 05PN. Ce foncteur est pleinement fidèle, exact, et reflète l’exactitude. En outre, toute extension d’objets de l’image essentielle de \(F\) appartient à l’image essentielle de \(F\).

Conditions AB de Grothendieck

Cette section et les quelques suivantes concernent surtout les « grandes » catégories abéliennes, c’est-à-dire les catégories énumérées dans Catégories, remarque 0015. L’exemple à garder à l’esprit est la catégorie des faisceaux de modules sur un site annelé.

Grothendieck a démontré l’existence d’injectifs dans une grande généralité dans l’article [Tohoku]. Il a utilisé les conditions suivantes pour distinguer les catégories abéliennes dotées de propriétés particulières.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous nommons quelques conditions :

1. \(\mathcal{A}\) possède des sommes directes ;

2. \(\mathcal{A}\) satisfait AB3 et les sommes directes sont exactes ;

3. \(\mathcal{A}\) satisfait AB3 et les colimites filtrantes sont exactes.

Voici les notions duales :

1. \(\mathcal{A}\) possède des produits ;

2. \(\mathcal{A}\) satisfait AB3* et les produits sont exacts ;

3. \(\mathcal{A}\) satisfait AB3* et les limites cofiltrantes sont exactes.

On dit qu’un objet \(U\) de \(\mathcal{A}\) est un générateur si, pour tous \(N \subset M\), \(N \not = M\), dans \(\mathcal{A}\), il existe un morphisme \(U \to M\) qui ne se factorise pas par \(N\). On dit que \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck si elle satisfait AB5 et possède un générateur.

Discussion : une somme directe dans une catégorie abélienne est un coproduit. Si une catégorie abélienne possède des sommes directes, c’est-à-dire satisfait AB3, alors elle possède des colimites ; voir Catégories, lemme 002P. De même, si \(\mathcal{A}\) satisfait AB3*, alors elle possède des limites ; voir Catégories, lemme 002N. L’exactitude des sommes directes signifie ceci : étant donnés un ensemble d’indices \(I\) et des suites exactes courtes \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0,\quad i \in I\] dans \(\mathcal{A}\), la suite \[0 \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} B_i \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} C_i \to 0\] est elle aussi exacte. Sans supposer AB4, on peut seulement affirmer en général que cette suite est exacte à droite, c’est-à-dire que la prise des sommes directes est un foncteur exact à droite lorsqu’elles existent. De même, l’exactitude des colimites filtrantes signifie ceci : étant donnés un ensemble filtrant \(I\) et un système de suites exactes courtes \[0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0\] indexé par \(I\) dans \(\mathcal{A}\), la suite \[0 \to \colim_{i \in I} A_i \to \colim_{i \in I} B_i \to \colim_{i \in I} C_i \to 0\] est elle aussi exacte. Sans supposer AB5, on peut seulement affirmer en général que cette suite est exacte à droite, c’est-à-dire que la prise des colimites est un foncteur exact à droite lorsqu’elles existent. Une explication analogue vaut pour AB4* et AB5*.

Objets injectifs dans les catégories de Grothendieck

L’existence d’un générateur implique que, pour tout objet \(M\) d’une catégorie abélienne de Grothendieck \(\mathcal{A}\), ses sous-objets forment un ensemble. (Cela peut être faux pour une catégorie abélienne “grande” quelconque.)

Lemme

Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne munie d’un générateur \(U\) et \(X\) un objet de \(\mathcal{A}\). Si \(\kappa\) est le cardinal de \(\Mor(U, X)\), alors

1. Il n’existe aucune chaîne strictement croissante (ni strictement décroissante) de sous-objets de \(X\) indexée par un cardinal strictement supérieur à \(\kappa\).

2. Si \(\alpha\) est un ordinal de cofinalité \(> \kappa\), toute suite croissante (ou décroissante) de sous-objets de \(X\) indexée par \(\alpha\) est stationnaire à partir d’un certain rang.

3. Le cardinal de l’ensemble des sous-objets de \(X\) est \(\leq 2^\kappa\).

Démonstration

Pour (1), soit \(\kappa' > \kappa\) un cardinal et supposons que la famille \(X_i\), \(i \in \kappa'\), soit strictement croissante. Pour tout \(i\), choisissons alors \(\phi_i \in \Mor(U, X)\) tel que \(\phi_i\) se factorise par \(X_{i + 1}\), mais non par \(X_i\). Les morphismes \(\phi_i\) sont donc deux à deux distincts, ce qui contredit la définition de \(\kappa\).

L’assertion (2) résulte de la définition de la cofinalité et de (1).

Démonstration de (3). Pour tout sous-objet \(Y \subset X\), définissons \(S_Y \in \mathcal{P}(\Mor(U, X))\) (l’ensemble des parties) par \(S_Y = \{\phi \in \Mor(U,X) : \phi\text{ se factorise par }Y\}\). Alors \(Y = Y'\) si et seulement si \(S_Y = S_{Y'}\). Le cardinal de l’ensemble des sous-objets est donc au plus celui de cet ensemble des parties.

D’après le lemme 0E8N, la définition suivante a un sens.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(M\) un objet de \(\mathcal{A}\). La taille \(|M|\) de \(M\) est le cardinal de l’ensemble des sous-objets de \(M\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Si \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) est une suite exacte courte dans \(\mathcal{A}\), alors \(|M'|, |M''| \leq |M|\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck munie d’un générateur \(U\).

1. Si \(|M| \leq \kappa\), alors \(M\) est un quotient d’une somme directe d’au plus \(\kappa\) copies de \(U\).

2. Pour tout cardinal \(\kappa\), les classes d’isomorphisme des objets \(M\) tels que \(|M| \leq \kappa\) forment un ensemble.

Démonstration

Pour (1), choisissons, pour tout sous-objet propre \(M' \subset M\), un morphisme \(\varphi_{M'} : U \to M\) dont l’image n’est pas contenue dans \(M'\). Alors \(\bigoplus_{M' \subset M} \varphi_{M'} : \bigoplus_{M' \subset M} U \to M\) est surjectif. Il est clair que (1) implique (2).

Proposition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(M\) un objet de \(\mathcal{A}\). Posons \(\kappa = |M|\). Si \(\alpha\) est un ordinal dont la cofinalité est strictement supérieure à \(\kappa\), alors \(M\) est \(\alpha\)-petit relativement aux monomorphismes.

Démonstration

Comparons avec la proposition 05NT. Il suffit de montrer que l’application (05NN) est surjective. Soit \(f : M \to \colim B_\beta\) une application. Considérons les sous-objets \(\{f^{-1}(B_\beta)\}\) de \(M\), où \(B_\beta\) est vu comme un sous-objet de la colimite \(B = \bigcup_\beta B_\beta\). Si l’un d’eux, disons \(f^{-1}(B_\beta)\), est égal à \(M\), alors l’application se factorise par \(B_\beta\).

Puisque \(\mathcal{A}\) vérifie AB5, on a \[\colim f^{-1}(B_\beta) = f^{-1}\left(\colim B_\beta\right) = M.\] Par hypothèse, il y a au plus \(\kappa\) sous-objets distincts de \(M\) parmi les \(f^{-1}(B_\alpha)\). On peut donc trouver une partie \(S \subset \alpha\) de cardinal au plus \(\kappa\) telle que, lorsque \(\beta'\) parcourt \(S\), les \(f^{-1}(B_{\beta'})\) parcourent tous les \(f^{-1}(B_\alpha)\).

Toutefois, \(S\) admet un majorant \(\widetilde{\alpha} < \alpha\), puisque \(\alpha\) est de cofinalité strictement supérieure à \(\kappa\). En particulier, tous les \(f^{-1}(B_{\beta'})\), \(\beta' \in S\), sont contenus dans \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}})\). Il s’ensuit que \(f^{-1}(B_{\widetilde{\alpha}}) = M\). L’application \(f\) se factorise donc par \(B_{\widetilde{\alpha}}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck munie d’un générateur \(U\). Un objet \(I\) de \(\mathcal{A}\) est injectif si et seulement si, dans tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ M \ar[d] \ar[r] & I \\ U \ar@{-->}[ru] }\] où \(M \subset U\) est un sous-objet, la flèche pointillée existe.

Démonstration

Voir le lemme 05NU pour le cas des modules. Soient un monomorphisme \(A \subset B\) et un morphisme \(\varphi : A \to I\). Considérons l’ensemble \(S\) des couples \((A', \varphi')\) formés de sous-objets \(A \subset A' \subset B\) et d’un morphisme \(\varphi' : A' \to I\) prolongeant \(\varphi\). Munissons cet ensemble de l’ordre partiel évident. Soit \(T \subset S\) une partie totalement ordonnée. Alors \[A' = \colim_{t \in T} A_t \xrightarrow{\colim_{t \in T} \varphi_t} I\] est un majorant. Le lemme de Zorn assure donc que \(S\) possède un élément maximal \((A', \varphi')\). Nous affirmons que \(A' = B\). Sinon, choisissons un morphisme \(\psi : U \to B\) qui ne se factorise pas par \(A'\). Posons \(N = A' \cap \psi(U)\) et \(M = \psi^{-1}(N)\). L’application \[M \to N \to A' \xrightarrow{\varphi'} I\] se prolonge en un morphisme \(\chi : U \to I\). Comme \(\chi|_{\Ker(\psi)} = 0\), le morphisme \(\chi\) se factorise sous la forme \[U \to \Im(\psi) \xrightarrow{\varphi''} I\] Puisque \(\varphi'\) et \(\varphi''\) coïncident sur \(N = A' \cap \Im(\psi)\), ils définissent ensemble un morphisme \(A' + \Im(\psi) \to I\), ce qui contredit la maximalité supposée de \(A'\).

Théorème

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Alors \(\mathcal{A}\) admet des plongements injectifs fonctoriels.

Démonstration

Comparons avec la démonstration du théorème 05NX. Choisissons un générateur \(U\) de \(\mathcal{A}\). Pour un objet \(M\), on définit \(\mathbf{M}(M)\) par le diagramme cocartésien suivant : \[\xymatrix{ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} N \ar[r] \ar[d] & M \ar[d] \\ \bigoplus_{N \subset U} \bigoplus_{\varphi \in \Hom(N, M)} U \ar[r] & \mathbf{M}(M). }\] Notons que \(M \mapsto \mathbf{M}(M)\) est un foncteur et qu’il existe des applications injectives fonctorielles \(M \to \mathbf{M}(M)\). On définit par récurrence transfinie des foncteurs \(\mathbf{M}_\alpha(M)\) pour tout ordinal \(\alpha\). On pose \(\mathbf{M}_0(M) = M\). Une fois \(\mathbf{M}_\alpha(M)\) défini, on pose \(\mathbf{M}_{\alpha + 1}(M) = \mathbf{M}(\mathbf{M}_\alpha(M))\). Pour un ordinal limite \(\beta\), on pose \[\mathbf{M}_\beta(M) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{M}_\alpha(M).\] Enfin, choisissons un ordinal \(\alpha\) dont la cofinalité est strictement supérieure à \(|U|\). Un tel ordinal existe d’après Ensembles, proposition 05N3. Nous affirmons que \(M \to \mathbf{M}_\alpha(M)\) est le plongement injectif fonctoriel recherché. En effet, si \(N \subset U\) est un sous-objet et si \(\varphi : N \to \mathbf{M}_\alpha(M)\) est un morphisme, alors \(\varphi\) se factorise par \(\mathbf{M}_{\alpha'}(M)\) pour un certain \(\alpha' < \alpha\), d’après la proposition 079F. Par construction de \(\mathbf{M}(-)\), le morphisme \(\varphi\) se prolonge en un morphisme de \(U\) dans \(\mathbf{M}_{\alpha' + 1}(M)\), donc dans \(\mathbf{M}_\alpha(M)\). Le lemme 079G montre alors que \(\mathbf{M}_\alpha(M)\) est injectif.

Complexes K-injectifs dans les catégories de Grothendieck

Le contenu de cette section provient de l’article [serpe] de Serpé. Cet article généralise certains résultats de Spaltenstein [Spaltenstein] à des catégories abéliennes de Grothendieck quelconques. Notre lemme 079L n’apparaît qu’implicitement dans l’article de Serpé. Notre démarche consiste à imiter la démonstration de Grothendieck du théorème 079H.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck munie d’un générateur \(U\). Soit \(c\) la fonction sur les cardinaux définie par \(c(\kappa) = |\bigoplus_{\alpha \in \kappa} U|\). Si \(\pi : M \to N\) est surjectif, il existe un sous-objet \(M' \subset M\) qui se surjecte sur \(N\) et tel que \(|M'| \leq c(|N|)\).

Démonstration

Pour tout sous-objet propre \(N' \subset N\), choisissons un morphisme \(\varphi_{N'} : U \to M\) tel que \(U \to M \to N\) ne se factorise pas par \(N'\). Posons \[M' = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} \varphi_{N'} : \bigoplus\nolimits_{N' \subset N} U \longrightarrow M\right)\] Alors \(M'\) convient.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Il existe un cardinal \(\kappa\) tel que, pour tout complexe acyclique \(M^\bullet\), on ait :

1. si \(M^\bullet\) est non nul, il existe un sous-complexe non nul \(N^\bullet\), borné supérieurement et acyclique, tel que \(|N^n| \leq \kappa\) ;

2. il existe une surjection de complexes \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} M_i^\bullet \longrightarrow M^\bullet\] où \(M_i^\bullet\) est borné supérieurement, acyclique, et \(|M_i^n| \leq \kappa\).

Démonstration

Choisissons un générateur \(U\) de \(\mathcal{A}\). Notons \(c\) la fonction du lemme 079J. Posons \(\kappa = \sup \{c^n(|U|), n = 1, 2, 3, \ldots\}\). Soient \(n \in \mathbf{Z}\) et un morphisme \(\psi : U \to M^n\). Pour démontrer (1) et (2), il suffit d’établir qu’il existe un sous-complexe \(N^\bullet \subset M^\bullet\), borné supérieurement et acyclique, tel que \(|N^m| \leq \kappa\) et que \(\psi\) se factorise par \(N^n\). À cette fin, posons \(N^n = \Im(\psi)\), \(N^{n + 1} = \Im(U \to M^n \to M^{n + 1})\), et \(N^m = 0\) pour \(m \geq n + 2\). Supposons que, pour un certain \(k \leq n\), on ait construit \(N^m \subset M^m\) pour tout \(n > m \geq k\), de telle sorte que

1. \(\text{d}(N^m) \subset N^{m + 1}\) pour tout \(m \geq k\) ;

2. \(\Im(N^{m - 1} \to N^m) = \Ker(N^m \to N^{m + 1})\) pour tout \(m \geq k + 1\) ;

3. \(|N^m| \leq c^{\max\{n - m, 0\}}(|U|)\) pour tout \(m \geq k\).

Comme \(M^\bullet\) est acyclique, le sous-objet \(\text{d}^{-1}(\Ker(N^k \to N^{k + 1})) \subset M^{k - 1}\) se surjecte sur \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\). Le lemme 079J permet donc de choisir \(N^{k - 1} \subset M^{k - 1}\) se surjectant sur \(\Ker(N^k \to N^{k + 1})\) et vérifiant \(|N^{k - 1}| \leq c^{n - k + 1}(|U|)\). On conclut par récurrence sur \(k\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(\kappa\) un cardinal comme dans le lemme 079K. Supposons que \(I^\bullet\) soit un complexe tel que

1. chaque \(I^j\) soit injectif ;

2. pour tout complexe acyclique \(M^\bullet\), borné supérieurement, tel que \(|M^n| \leq \kappa\), on ait \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\).

Alors \(I^\bullet\) est un complexe \(K\)-injectif.

Démonstration

Soit \(M^\bullet\) un complexe acyclique. Nous allons construire, par récurrence sur l’ordinal \(\alpha\), un sous-complexe acyclique \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\) de la manière suivante. Pour \(\alpha = 0\), posons \(K_0^\bullet = 0\). Pour \(\alpha > 0\), procédons comme suit :

1. Si \(\alpha = \beta + 1\) et \(K_\beta^\bullet = M^\bullet\), on choisit \(K_\alpha^\bullet = K_\beta^\bullet\).

2. Si \(\alpha = \beta + 1\) et \(K_\beta^\bullet \not = M^\bullet\), alors \(M^\bullet/K_\beta^\bullet\) est un complexe acyclique non nul. On choisit un sous-complexe \(N_\alpha^\bullet \subset M^\bullet/K_\beta^\bullet\) comme dans le lemme 079K. Enfin, on prend pour \(K_\alpha^\bullet \subset M^\bullet\) l’image inverse de \(N_\alpha^\bullet\).

3. Si \(\alpha\) est un ordinal limite, on pose \(K_\alpha^\bullet = \colim_{\beta < \alpha} K_\beta^\bullet\).

Il est clair que \(M^\bullet = K_\alpha^\bullet\) pour un ordinal \(\alpha\) assez grand. Nous allons démontrer que \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] est nul par récurrence transfinie sur \(\alpha\). C’est vrai pour \(\alpha = 0\), car \(K_0^\bullet\) est nul. Supposons le résultat vrai pour \(\beta\) et \(\alpha = \beta + 1\). Dans le cas (1) de la liste ci-dessus, le résultat est clair. Dans le cas (2), on dispose d’une suite exacte courte de complexes \[0 \to K_\beta^\bullet \to K_\alpha^\bullet \to N_\alpha^\bullet \to 0\] Puisque chaque composante de \(I^\bullet\) est injective, on obtient une suite exacte \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\beta^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) \leftarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(N_\alpha^\bullet, I^\bullet)\] Par récurrence, le terme de gauche est nul et, par hypothèse sur \(I^\bullet\), celui de droite est nul. Le groupe du milieu est donc lui aussi nul. Supposons enfin que \(\alpha\) soit un ordinal limite. Alors \[\Hom^\bullet(K_\alpha^\bullet, I^\bullet) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom^\bullet(K_\beta^\bullet, I^\bullet)\] avec les notations de Compléments d’algèbre, section 0A8H. Ces complexes calculent les morphismes dans \(K(\mathcal{A})\) d’après Compléments d’algèbre, équation (0A5X). Les applications de transition du système sont surjectives, puisque \(I^j\) est injectif pour tout \(j\). En outre, pour un ordinal limite \(\alpha\), la limite est égale à la valeur (voir la formule affichée ci-dessus). On peut donc conclure à l’aide de Homologie, lemme 0AAT.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \((K_i^\bullet)_{i \in I}\) un ensemble de complexes acycliques. Il existe un foncteur \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) et une transformation naturelle \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) tels que

1. \(j_{M^\bullet}\) soit un quasi-isomorphisme injectif (terme à terme) ;

2. pour tout \(i \in I\) et tout \(w : K_i^\bullet \to M^\bullet\), le morphisme \(j_{M^\bullet} \circ w\) soit homotope à zéro.

Démonstration

Pour tout \(i \in I\), choisissons une application de complexes injective terme à terme \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\), homotope à zéro, où \(L_i^\bullet\) est quasi-isomorphe à zéro. On peut par exemple prendre pour \(L_i^\bullet\) le cône de l’identité de \(K_i^\bullet\). On définit \(\mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) par le diagramme cocartésien suivant : \[\xymatrix{ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} K_i^\bullet \ar[r] \ar[d] & M^\bullet \ar[d] \\ \bigoplus_{i \in I} \bigoplus_{w : K_i^\bullet \to M^\bullet} L_i^\bullet \ar[r] & \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet). }\] Alors \(M^\bullet \mapsto \mathbf{M}^\bullet(M^\bullet)\) est un foncteur. La flèche verticale de droite définit l’application injective fonctorielle \(j_{M^\bullet}\). Le conoyau de \(j_{M^\bullet}\) est isomorphe à la somme directe des conoyaux des applications \(K_i^\bullet \to L_i^\bullet\), et est donc acyclique. Ainsi, \(j_{M^\bullet}\) est un quasi-isomorphisme. L’assertion (2) est vraie par construction.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Il existe un foncteur \(M^\bullet \mapsto \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\) et une transformation naturelle \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\) tels que

1. \(j_{M^\bullet}\) soit un quasi-isomorphisme injectif (terme à terme) ;

2. pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), l’application \(M^n \to \mathbf{N}^n(M^\bullet)\) se factorise par un sous-objet \(I^n \subset \mathbf{N}^n(M^\bullet)\), où \(I^n\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Choisissons des plongements injectifs fonctoriels \(i_M : M \to I(M)\), voir le théorème 079H. Pour tout complexe \(M^\bullet\), notons \(J^\bullet(M^\bullet)\) le complexe dont les termes sont \(J^n(M^\bullet) = I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\) et dont la différentielle est \[d_{J^\bullet(M^\bullet)} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)\] Il existe une application injective canonique de complexes \(u_{M^\bullet} : M^\bullet \to J^\bullet(M^\bullet)\), obtenue en envoyant \(M^n\) dans \(I(M^n) \oplus I(M^{n + 1})\) au moyen des applications \(i_{M^n} : M^n \to I(M^n)\) et \(i_{M^{n + 1}} \circ d : M^n \to M^{n + 1} \to I(M^{n + 1})\). On dispose donc d’une suite exacte courte de complexes \[0 \to M^\bullet \xrightarrow{u_{M^\bullet}} J^\bullet(M^\bullet) \xrightarrow{v_{M^\bullet}} Q^\bullet(M^\bullet) \to 0\] fonctorielle en \(M^\bullet\). Posons \[\mathbf{N}^\bullet(M^\bullet) = C(v_{M^\bullet})^\bullet[-1].\] Remarquons que \[\mathbf{N}^n(M^\bullet) = Q^{n - 1}(M^\bullet) \oplus J^n(M^\bullet)\] dont la différentielle est \[\left( \begin{matrix} - d^{n - 1}_{Q^\bullet(M^\bullet)} & - v^n_{M^\bullet} \\ 0 & d^n_{J^\bullet(M^\bullet)} \end{matrix} \right)\] Il existe donc une application de complexes \(j_{M^\bullet} : M^\bullet \to \mathbf{N}^\bullet(M^\bullet)\) induite par \(u\). Elle est injective et se factorise par un sous-objet injectif par construction. L’application \(j_{M^\bullet}\) est un quasi-isomorphisme, comme le montre la suite exacte longue de cohomologie associée aux suites exactes courtes de complexes ci-dessus.

Théorème

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Pour tout complexe \(M^\bullet\), il existe un quasi-isomorphisme \(M^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(M^n \to I^n\) soit injectif, que \(I^n\) soit un objet injectif de \(\mathcal{A}\) pour tout \(n\), et que \(I^\bullet\) soit un complexe K-injectif. En outre, cette construction est fonctorielle en \(M^\bullet\).

Démonstration

Comparons avec les démonstrations des théorèmes 05NX et 079H. Choisissons un cardinal \(\kappa\) comme dans les lemmes 079K et 079L. Choisissons un ensemble \((K_i^\bullet)_{i \in I}\) de complexes acycliques bornés supérieurement tel que tout complexe acyclique \(K^\bullet\), borné supérieurement et vérifiant \(|K^n| \leq \kappa\), soit isomorphe à \(K_i^\bullet\) pour un certain \(i \in I\). Cela est possible d’après le lemme 079E. Notons \(\mathbf{M}^\bullet(-)\) le foncteur construit dans le lemme 079M, et \(\mathbf{N}^\bullet(-)\) celui construit dans le lemme 079N. Ces deux foncteurs sont munis de transformations injectives \(\text{id} \to \mathbf{M}\) et \(\text{id} \to \mathbf{N}\).

Par récurrence transfinie, on définit une suite de foncteurs \(\mathbf{T}_\alpha(-)\) et les transformations correspondantes \(\text{id} \to \mathbf{T}_\alpha\). On pose \(\mathbf{T}_0(M^\bullet) = M^\bullet\). Si \(\mathbf{T}_\alpha\) est défini, on pose \[\mathbf{T}_{\alpha + 1}(M^\bullet) = \mathbf{N}^\bullet(\mathbf{M}^\bullet(\mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)))\] Si \(\beta\) est un ordinal limite, on pose \[\mathbf{T}_\beta(M^\bullet) = \colim_{\alpha < \beta} \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\] Les applications de transition du système sont des quasi-isomorphismes injectifs. D’après AB5, la colimite est encore quasi-isomorphe à \(M^\bullet\). Nous affirmons que \(M^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\) convient si la cofinalité de \(\alpha\) est strictement supérieure à \(\max(\kappa, |U|)\), où \(U\) est un générateur de \(\mathcal{A}\). Il suffit en effet de vérifier les conditions (1) et (2) du lemme 079L.

Pour (1), utilisons le critère du lemme 079G. Supposons que \(M \subset U\) et que \(\varphi : M \to \mathbf{T}^n_\alpha(M^\bullet)\) soit un morphisme pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). La proposition 079F montre que \(\varphi\) se factorise par \(\mathbf{T}^n_{\alpha'}(M^\bullet)\) pour un certain \(\alpha' < \alpha\). En particulier, par construction du foncteur \(\mathbf{N}^\bullet(-)\), le morphisme \(\varphi\) se factorise par un objet injectif de \(\mathcal{A}\) ; cela montre que \(\varphi\) se relève en un morphisme défini sur \(U\).

Pour (2), soit \(w : K^\bullet \to \mathbf{T}_\alpha(M^\bullet)\) un morphisme de complexes, où \(K^\bullet\) est un complexe acyclique borné supérieurement tel que \(|K^n| \leq \kappa\). Alors \(K^\bullet \cong K_i^\bullet\) pour un certain \(i \in I\). De nouveau, la proposition 079F montre que \(w\) se factorise par \(\mathbf{T}_{\alpha'}(M^\bullet)\) pour un certain \(\alpha' < \alpha\). Par construction du foncteur \(\mathbf{M}^\bullet(-)\), il s’ensuit que \(w\) est homotope à zéro. Cela achève la démonstration.

Remarques complémentaires sur les catégories abéliennes de Grothendieck

Nous rassemblons dans cette section quelques résultats classiques sur les catégories abéliennes de Grothendieck.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(F : \mathcal{A}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Alors \(F\) est représentable si et seulement si \(F\) transforme les colimites en limites, c’est-à-dire si \[F(\colim_i N_i) = \lim F(N_i)\] pour tout diagramme \(\mathcal{I} \to \mathcal{A}\), \(i \in \mathcal{I}\).

Démonstration

Si \(F\) est représentable, il transforme les colimites en limites par définition des colimites.

Supposons que \(F\) transforme les colimites en limites. Alors \(F(M \oplus N) = F(M) \times F(N)\), ce qui permet de munir \(F(M)\) d’une structure de groupe. On obtient ainsi un foncteur \(F : \mathcal{A}^{opp} \to \textit{Ab}\) additif et exact à droite au sens contravariant, c’est-à-dire qu’il transforme une suite exacte courte \(0 \to K \to L \to M \to 0\) en une suite exacte \(F(K) \leftarrow F(L) \leftarrow F(M) \leftarrow 0\) (comparer avec Homologie, section 010M).

Soit \(U\) un générateur de \(\mathcal{A}\). Posons \(A = \bigoplus_{s \in F(U)} U\) et \(s_{univ} = (s)_{s \in F(U)} \in F(A) = \prod_{s \in F(U)} F(U)\). Soit \(A' \subset A\) le plus grand sous-objet tel que la restriction de \(s_{univ}\) à \(A'\) soit nulle. Il existe parce que \(\mathcal{A}\) est une catégorie de Grothendieck et que \(F\) transforme les colimites en limites. Puisque \(F\) transforme les colimites en limites, il existe aussi un unique élément \(\overline{s}_{univ} \in F(A/A')\) qui s’envoie sur \(s_{univ}\) dans \(F(A)\). Nous affirmons que \(A/A'\) représente \(F\) ; autrement dit, l’application de Yoneda \[\overline{s}_{univ} : h_{A/A'} \longrightarrow F\] est un isomorphisme. Soient \(M \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(s \in F(M)\). Considérons la surjection \[c_M : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow M.\] Elle donne \(F(c_M)(s) = (s_\varphi) \in \prod_\varphi F(U)\). Considérons l’application \[\psi : A_M = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Hom_\mathcal{A}(U, M)} U \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{s \in F(U)} U = A\] qui envoie le facteur correspondant à \(\varphi\) sur celui correspondant à \(s_\varphi\) par l’application identique de \(U\). Par construction, \(s_{univ}\) a pour image \((s_\varphi)_\varphi\). Autrement dit, le carré de droite du diagramme \[\xymatrix{ A' \ar[r] & A \ar@{..>}[r]_{s_{univ}} & F \\ K \ar[r] \ar[u]^{?} & A_M \ar[u]^\psi \ar[r] & M \ar@{..>}[u]_s }\] est commutatif. Posons \(K = \Ker(A_M \to M)\). Comme la restriction de \(s\) à \(K\) est nulle, on a \(\psi(K) \subset A'\) par définition de \(A'\). Il existe donc un morphisme induit \(M \to A/A'\). Cette construction fournit un inverse de l’application \(h_{A/A'}(M) \to F(M)\) (nous omettons les détails).

Lemme

Toute catégorie abélienne de Grothendieck vérifie Ab3*.

Démonstration

Soit \(M_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(\mathcal{A}\) indexée par un ensemble \(I\). Le foncteur \(F = \prod_{i \in I} h_{M_i}\) transforme les colimites en limites. Le lemme 07D7 s’applique donc.

Remarque

Dans le chapitre consacré aux catégories dérivées, nous travaillons systématiquement avec des catégories abéliennes “petites” (conformément à la convention du Champs project). Pour une catégorie abélienne “grande” \(\mathcal{A}\), l’existence de la catégorie dérivée \(D(\mathcal{A})\) n’est pas évidente, car il n’est pas clair que les morphismes de la catégorie dérivée forment des ensembles. En général, c’est faux ; voir Exemples, lemme 07JT. En revanche, si \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck et si \(K^\bullet, L^\bullet\) sont dans \(K(\mathcal{A})\), alors le théorème 079P donne un quasi-isomorphisme \(L^\bullet \to I^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(I^\bullet\), et Catégories dérivées, lemme 070I, montre que \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] qui est un ensemble. La catégorie des modules sur un anneau et, plus généralement, celle des faisceaux de modules sur un site annelé sont des exemples de catégories abéliennes de Grothendieck.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Alors :

1. \(D(\mathcal{A})\) admet des sommes directes et des produits ;

2. les sommes directes s’obtiennent en prenant terme à terme les sommes directes de complexes quelconques ;

3. les produits s’obtiennent en prenant terme à terme les produits de complexes K-injectifs.

Démonstration

Soit \(K^\bullet_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(D(\mathcal{A})\) indexée par un ensemble \(I\). Nous affirmons que la somme directe terme à terme \(\bigoplus_{i \in I} K^\bullet_i\) est une somme directe dans \(D(\mathcal{A})\). Soit en effet \(I^\bullet\) un complexe K-injectif. On a \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) & = \Hom_{K(\mathcal{A})}(\bigoplus\nolimits_{i \in I} K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \\ & = \prod\nolimits_{i \in I} \Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet_i, I^\bullet) \end{align*}\] comme souhaité. Cela suffit, puisque tout complexe peut être représenté par un complexe K-injectif d’après le théorème 079P. Pour construire le produit, choisissons une résolution K-injective \(K_i^\bullet \to I_i^\bullet\) pour chaque \(i\). Nous affirmons alors que \(\prod_{i \in I} I_i^\bullet\) est un produit dans \(D(\mathcal{A})\). Cela résulte de Catégories dérivées, lemme 0BK6.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Supposons que \(M_n\), \(n \in \mathbf{Z}\), soient des \(R\)-modules. Notons \(E_n = M_n[-n] \in D(R)\). Nous affirmons que \(E = \bigoplus M_n[-n]\) est à la fois la somme directe et le produit des objets \(E_n\) dans \(D(R)\). Pour la somme directe, il suffit de consulter la démonstration du lemme 07D9. Pour le produit direct, choisissons des résolutions injectives \(M_n \to I_n^\bullet\). La démonstration du lemme 07D9 donne \[\prod E_n = \prod I_n^\bullet[-n]\] dans \(D(R)\). Comme les produits sont exacts dans \(\text{Mod}_R\), \(\prod I_n^\bullet[-n]\) est quasi-isomorphe à \(E\). Le même raisonnement vaut plus généralement dans \(D(\mathcal{A})\), lorsque \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck vérifiant Ab4*.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes. Supposons que

1. \(\mathcal{A}\) soit une catégorie abélienne de Grothendieck ;

2. les produits dénombrables soient exacts dans \(\mathcal{B}\) ;

3. \(F\) commute aux produits dénombrables.

Alors \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) commute aux limites dérivées.

Démonstration

Remarquons que \(RF\) existe, car \(\mathcal{A}\) possède suffisamment de complexes K-injectifs (théorème 079P et Catégories dérivées, lemme 070Y). L’énoncé signifie que, si \(K = R\lim K_n\), alors \(RF(K) = R\lim RF(K_n)\). Pour les notations, voir Catégories dérivées, définition 08TC. Comme \(RF\) est un foncteur exact entre catégories triangulées, il suffit de vérifier que \(RF\) commute aux produits dénombrables d’objets de \(D(\mathcal{A})\). La démonstration du lemme 07D9 montre que les produits dans \(D(\mathcal{A})\) se calculent en prenant les produits de complexes K-injectifs, et qu’un produit de complexes K-injectifs est K-injectif. En outre, Catégories dérivées, lemme 07KC, montre que les produits dans \(D(\mathcal{B})\) se calculent terme à terme. Or \(RF\) se calcule en appliquant \(F\) à un représentant K-injectif, et nous avons supposé que \(F\) commute aux produits dénombrables ; le résultat en découle.

Le lemme suivant constitue une sorte de généralisation de l’existence des résolutions de Cartan–Eilenberg (Catégories dérivées, section 015G).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(K^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\), voir Homologie, définition 012L. Il existe alors un morphisme \(j : K^\bullet \to J^\bullet\) de complexes filtrés de \(\mathcal{A}\) tel que

1. \(J^n\), \(F^pJ^n\), \(J^n/F^pJ^n\) et \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\) sont des objets injectifs de \(\mathcal{A}\),

2. \(J^\bullet\), \(F^pJ^\bullet\), \(J^\bullet/F^pJ^\bullet\) et \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\) sont des complexes K-injectifs,

3. \(j\) induit les quasi-isomorphismes \(K^\bullet \to J^\bullet\), \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\), \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\), et \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\).

Démonstration

D’après le théorème 079P, on obtient des quasi-isomorphismes \(i : K^\bullet \to I^\bullet\) et \(i^p : F^pK^\bullet \to I^{p, \bullet}\) ainsi que les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^p} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ F^{p'}K^\bullet \ar[d]_{i^{p'}} & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^{p', \bullet} & I^{p, \bullet} \ar[l]_{\alpha^{p p'}} } } \quad\text{pour }p' \leq p\] de sorte que \(\alpha^{p'} \circ \alpha^{p p'} = \alpha^p\) et \(\alpha^{p'p''} \circ \alpha^{pp'} = \alpha^{pp''}\). Le problème est que les applications \(\alpha^p : I^{p, \bullet} \to I^\bullet\) ne sont pas nécessairement injectives. Pour chaque \(p\), choisissons une injection \(t^p : I^{p, \bullet} \to J^{p, \bullet}\) dans un complexe K-injectif acyclique \(J^{p, \bullet}\) dont les termes sont des objets injectifs de \(\mathcal{A}\) (on l’envoie d’abord dans le cône de l’identité, puis on applique le théorème). Choisissons un morphisme de complexes \(s^p : I^\bullet \to J^{p, \bullet}\) tel que le diagramme suivant soit commutatif \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[d]_i & F^pK^\bullet \ar[l] \ar[d]_{i^p} \\ I^\bullet \ar[rd]_{s^p} & I^{p, \bullet} \ar[d]^{t^p} \\ & J^{p, \bullet} }\] C’est possible : la composée \(F^pK^\bullet \to J^{p, \bullet}\) est homotope à zéro, car \(J^{p, \bullet}\) est acyclique et K-injectif (Catégories dérivées, lemme 070I). Puisque les objets \(J^{p, n - 1}\) sont injectifs et que \(F^pK^n \to K^n \to I^n\) sont des morphismes injectifs, on peut prolonger les applications \(F^pK^n \to J^{p, n - 1}\) qui définissent l’homotopie en une application \(h^n : I^n \to J^{p, n - 1}\). On pose alors \(s^p\) égal à \(h \circ \text{d} + \text{d} \circ h\). (Attention : on n’aura pas \(t^p = s^p \circ \alpha^p\) ; il faudra donc veiller à ne pas utiliser cette égalité ci-dessous.)

Considérons \[J^\bullet = I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet}\] Comme les produits dans \(D(\mathcal{A})\) s’obtiennent en prenant les produits de complexes K-injectifs (lemme 07D9) et que \(J^{p, \bullet}\) est isomorphe à \(0\) dans \(D(\mathcal{A})\), le morphisme \(J^\bullet \to I^\bullet\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A})\). Considérons l’application \[j = i \times (s^p \circ i)_{p \in \mathbf{Z}} : K^\bullet \longrightarrow I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} = J^\bullet\] D’après les remarques précédentes, c’est un quasi-isomorphisme. Il est aussi injectif. Pour \(p \in \mathbf{Z}\), on définit \(F^pJ^\bullet \subset J^\bullet\) par \[\Im\left( \alpha^p \times (t^{p'} \circ \alpha^{pp'})_{p' \leq p} : I^{p, \bullet} \to I^\bullet \times \prod\nolimits_{p' \leq p} J^{p', \bullet} \right) \times \prod\nolimits_{p' > p} J^{p', \bullet}\] Ce complexe est isomorphe au complexe \(I^{p, \bullet} \times \prod_{p' > p} J^{p', \bullet}\) car \(\alpha^{pp} = \text{id}\) et \(t^p\) est injective. Par conséquent, \(F^pJ^\bullet\) est quasi-isomorphe à \(I^{p, \bullet}\) (on raisonne comme ci-dessus). La commutativité du diagramme précédent donne \(j(F^pK^\bullet) \subset F^pJ^\bullet\). Le morphisme de complexes correspondant \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\) est donc un quasi-isomorphisme. Enfin, pour voir que \(F^{p + 1}J^\bullet \subset F^pJ^\bullet\) on utilise l’égalité \(\alpha^{pp'} \circ \alpha^{p + 1p} = \alpha^{p + 1p'}\) et la commutativité du premier diagramme affiché au premier paragraphe de la démonstration.

Affirmons que \(j : K^\bullet \to J^\bullet\) résout le problème posé par le lemme. En effet, \(F^pJ^n\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\) puisqu’il est isomorphe à \(I^{p, n} \times \prod_{p' > p} J^{p', n}\) et que les produits d’injectifs sont injectifs. L’application injective \(F^pJ^n \to J^n\) est alors scindée ; le quotient \(J^n/F^pJ^n\) est donc lui aussi injectif, comme facteur direct de l’objet injectif \(J^n\). Il en va de même de \(F^pJ^n/F^{p'}J^n\). En particulier, \(0 \to F^pJ^\bullet \to J^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet \to 0\) est une suite exacte courte de complexes scindée terme à terme ; elle définit donc, par convention, un triangle distingué dans \(K(\mathcal{A})\). Puisque \(J^\bullet\) et \(F^pJ^\bullet\) sont des complexes K-injectifs, il en va de même de \(J^\bullet/F^pJ^\bullet\) d’après Catégories dérivées, lemme 090X. Un raisonnement semblable montre que \(F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\) est K-injectif. Par construction, \(j : K^\bullet \to J^\bullet\) et les applications induites \(F^pK^\bullet \to F^pJ^\bullet\) sont des quasi-isomorphismes. Les longues suites exactes de cohomologie des complexes considérés montrent qu’il en va de même pour \(K^\bullet/F^pK^\bullet \to J^\bullet/F^pJ^\bullet\) et \(F^pK^\bullet/F^{p'}K^\bullet \to F^pJ^\bullet/F^{p'}J^\bullet\).

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(K^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\), voir Homologie, définition 012L. Pour alléger les notations, désignons par \(K\), \(F^pK\), \(\text{gr}^pK\) les objets de \(D(\mathcal{A})\) représentés respectivement par \(K^\bullet\), \(F^pK^\bullet\), \(\text{gr}^pK^\bullet\). Soit \(M \in D(\mathcal{A})\). Le lemme 0BKI permet de construire une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) d’objets bigradués de \(\mathcal{A}\), où \(d_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\) et \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(M, \text{gr}^pK)\] Si, pour tout \(n\), on a \[\Ext^n(M, F^pK) = 0 \text{ pour } p \gg 0 \quad\text{et}\quad \Ext^n(M, F^pK) = \Ext^n(M, K) \text{ pour } p \ll 0\] alors la suite spectrale est bornée et converge vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\). En effet, choisissons un complexe quelconque \(M^\bullet\) représentant \(M\), un morphisme \(j : K^\bullet \to J^\bullet\) comme dans le lemme, et considérons le complexe \[\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet)\] défini exactement comme dans Compléments d’algèbre, section 0A8H. En posant \(F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, J^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet, F^pJ^\bullet)\), on obtient un complexe filtré. La suite spectrale d’Homologie, section 012K, possède les différentielles et les termes décrits ci-dessus ; nous omettons les détails. Le caractère borné et la convergence résultent d’Homologie, lemme 0BK5.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soient \(M, K\) des objets de \(D(\mathcal{A})\). Pour tout choix d’un complexe \(K^\bullet\) représentant \(K\), on peut utiliser la filtration \(F^pK^\bullet = \tau_{\leq -p}K^\bullet\) et la discussion de la remarque 0G1X afin d’obtenir une suite spectrale telle que \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(M, H^{-p}(K))\] Cette suite spectrale ne dépend pas du choix du complexe \(K^\bullet\) représentant \(K\). Après la renumérotation \(p = -j\) et \(q = i + 2j\), on obtient une suite spectrale \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\) où \(d'_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\) et \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(M, H^j(K))\] Si \(M \in D^-(\mathcal{A})\) et \(K \in D^+(\mathcal{A})\), alors \(E_r\) et \(E'_r\) sont toutes deux bornées et convergent vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\). Si l’on utilise la filtration \(F^pK^\bullet = \sigma_{\geq p}K^\bullet\), on obtient \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M, K^p)\] Si \(M \in D^-(\mathcal{A})\) et si \(K^\bullet\) est borné inférieurement, cette suite spectrale est bornée et converge vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\).

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(K \in D(\mathcal{A})\). Soit \(M^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{A}\), voir Homologie, définition 012L. Pour alléger les notations, désignons par \(M\), \(M/F^pM\), \(\text{gr}^pM\) les objets de \(D(\mathcal{A})\) représentés respectivement par \(M^\bullet\), \(M^\bullet/F^pM^\bullet\), \(\text{gr}^pM^\bullet\). Par dualité avec la remarque 0G1X, on peut construire une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 1}\) d’objets bigradués de \(\mathcal{A}\), où \(d_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\) et \[E_1^{p, q} = \Ext^{p + q}(\text{gr}^{-p}M, K)\] Si, pour tout \(n\), on a \[\Ext^n(M/F^pM, K) = 0 \text{ pour } p \ll 0 \quad\text{et}\quad \Ext^n(M/F^pM, K) = \Ext^n(M, K) \text{ pour } p \gg 0\] alors la suite spectrale est bornée et converge vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\). En effet, choisissons un complexe K-injectif \(I^\bullet\) à termes injectifs représentant \(K\), voir le théorème 079P. Considérons le complexe \[\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet)\] défini exactement comme dans Compléments d’algèbre, section 0A8H. En posant \[F^p\Hom^\bullet(M^\bullet, I^\bullet) = \Hom^\bullet(M^\bullet/F^{-p + 1}M^\bullet, I^\bullet)\] on obtient un complexe filtré (remarquer le signe et le décalage de la filtration). La suite spectrale d’Homologie, section 012K, possède les différentielles et les termes décrits ci-dessus ; nous omettons les détails. Le caractère borné et la convergence résultent d’Homologie, lemme 0BK5.

Remarque

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soient \(M, K\) des objets de \(D(\mathcal{A})\). Pour tout choix d’un complexe \(M^\bullet\) représentant \(M\), on peut utiliser la filtration \(F^pM^\bullet = \tau_{\leq -p}M^\bullet\) et la discussion de la remarque 0G1X afin d’obtenir une suite spectrale telle que \[E_1^{p, q} = \Ext^{2p + q}(H^p(M), K)\] Cette suite spectrale ne dépend pas du choix du complexe \(M^\bullet\) représentant \(M\). Après la renumérotation \(p = -j\) et \(q = i + 2j\), on obtient une suite spectrale \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\) où \(d'_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\) et \[(E'_2)^{i, j} = \Ext^i(H^{-j}(M), K)\] Si \(M \in D^-(\mathcal{A})\) et \(K \in D^+(\mathcal{A})\), alors \(E_r\) et \(E'_r\) sont bornées et convergent vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\). Si l’on utilise la filtration \(F^pM^\bullet = \sigma_{\geq p}M^\bullet\), on obtient \[E_1^{p, q} = \Ext^q(M^{-p}, K)\] Si \(K \in D^+(\mathcal{A})\) et si \(M^\bullet\) est borné supérieurement, cette suite spectrale est bornée et converge vers \(\Ext^{p + q}(M, K)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Supposons donnés un objet \(E \in D(\mathcal{A})\), un système projectif \(\{E^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\) d’objets de \(D(\mathcal{A})\) indexé par \(\mathbf{Z}\), ainsi qu’un système compatible de morphismes \(E^i \to E\). On a le diagramme suivant : \[\ldots \to E^{i + 1} \to E^i \to E^{i - 1} \to \ldots \to E\] Il existe alors un complexe filtré \(K^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) (Homologie, définition 012L) tel que \(K^\bullet\) représente \(E\) et que \(F^iK^\bullet\) représente \(E^i\), de façon compatible avec les morphismes donnés.

Démonstration

D’après le théorème 079P, on peut choisir un complexe K-injectif \(I^\bullet\) représentant \(E\), dont tous les termes \(I^n\) sont des objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Choisissons un complexe \(G^{0, \bullet}\) représentant \(E^0\), puis un morphisme de complexes \(\varphi^0 : G^{0, \bullet} \to I^\bullet\) représentant \(E^0 \to E\). Pour \(i > 0\), représentons par récurrence \(E^i \to E^{i - 1}\) par un morphisme de complexes \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\) et posons \(\varphi^i = \varphi^{i - 1} \circ \delta\). Pour \(i < 0\), représentons par récurrence \(E^{i + 1} \to E^i\) par un morphisme de complexes injectif terme à terme \(\delta : G^{i + 1, \bullet} \to G^{i, \bullet}\) (on peut, par exemple, utiliser Catégories dérivées, lemme 013N). Affirmons qu’il existe un morphisme de complexes \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\) représentant le morphisme \(E^i \to E\) et s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{\varphi^{i + 1}} & G^{i, \bullet} \ar[ld]^{\varphi^i} \\ I^\bullet }\] En effet, choisissons d’abord un morphisme de complexes quelconque \(\varphi : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\) représentant le morphisme \(E^i \to E\). Les morphismes \(\varphi \circ \delta\) et \(\varphi^{i + 1}\) sont alors homotopes par une homotopie \(h^p : G^{i + 1, p} \to I^{p - 1}\). Comme les termes de \(I^\bullet\) sont injectifs et que \(\delta\) est injectif terme à terme, on peut prolonger \(h^p\) en \((h')^p : G^{i, p} \to I^{p - 1}\). En posant \(\varphi^i = \varphi + h' \circ d + d \circ h'\), on obtient ce qui était annoncé.

Choisissons ensuite, pour tout \(i\), un morphisme de complexes injectif terme à terme \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{i, \bullet}\), où \(J^{i, \bullet}\) est acyclique et K-injectif et où les \(J^{i, p}\) sont des objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Pour cela, on envoie d’abord \(G^{i, \bullet}\) dans le cône de l’identité, puis on applique le théorème cité ci-dessus. En raisonnant comme précédemment, on trouve des morphismes de complexes \(\delta' : J^{i, \bullet} \to J^{i - 1, \bullet}\) tels que les diagrammes \[\xymatrix{ G^{i, \bullet} \ar[r]_\delta \ar[d]_{a^i} & G^{i - 1, \bullet} \ar[d]^{a^{i - 1}} \\ J^{i, \bullet} \ar[r]^{\delta'} & J^{i - 1, \bullet} }\] soient commutatifs. (On pourrait aussi utiliser la fonctorialité des cônes et celle du théorème.) Considérons alors les morphismes \[\xymatrix{ G^{i + 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i + 1} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[rd] & G^{i, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i} J^{p, \bullet} \ar[r] \ar[d] & G^{i - 1, \bullet} \times \prod\nolimits_{p > i - 1} J^{p, \bullet} \ar[ld] \\ & I^\bullet \times \prod\nolimits_p J^{p, \bullet} }\] Ici, les flèches portant sur \(J^{p, \bullet}\) sont les flèches évidentes (l’identité ou le morphisme nul). Sur le facteur \(G^{i, \bullet}\), on utilise \(\delta : G^{i, \bullet} \to G^{i - 1, \bullet}\), le morphisme \(\varphi^i : G^{i, \bullet} \to I^\bullet\), le morphisme nul \(0 : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\) pour \(p > i\), le morphisme \(a^i : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\) pour \(p = i\), et \((\delta')^{i - p} \circ a^i = a^p \circ \delta^{i - p} : G^{i, \bullet} \to J^{p, \bullet}\) pour \(p < i\). Nous omettons de vérifier que toutes les flèches du diagramme sont injectives terme à terme. On obtient ainsi un complexe filtré. Comme les produits dans \(D(\mathcal{A})\) s’obtiennent en prenant les produits de complexes K-injectifs (lemme 07D9) et que \(J^{p, \bullet}\) est nul dans \(D(\mathcal{A})\), ce diagramme représente le diagramme donné dans la catégorie dérivée. Cela achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation du lemme 0ESJ, supposons donné un second système projectif \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\), ainsi qu’un système compatible de morphismes \((E')^i \to E\). Il existe alors un complexe bifiltré \(K^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(K^\bullet\) représente \(E\), que \(F^iK^\bullet\) représente \(E^i\) et que \((F')^iK^\bullet\) représente \((E')^i\), de façon compatible avec les morphismes donnés.

Démonstration

Le lemme permet d’abord de choisir \(K^\bullet\) et \(F\). On choisit ensuite \((K')^\bullet\) et \(F'\) convenant à \(\{(E')^i\}_{i \in \mathbf{Z}}\) et aux morphismes \((E')^i \to E\). D’après le lemme 0BKI, on peut supposer que \(K^\bullet\) est un complexe K-injectif. On choisit alors un morphisme de complexes \((K')^\bullet \to K^\bullet\) correspondant aux identifications données \((K')^\bullet \cong E \cong K^\bullet\). On peut en outre choisir un morphisme \((K')^\bullet \to J^\bullet\) injectif terme à terme, où \(J^\bullet\) est acyclique et K-injectif. (Pour cela, on envoie d’abord \((K')^\bullet\) dans le cône de l’identité, puis on applique le théorème 079P.) Les morphismes \((K')^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\) et \(K^\bullet \to K^\bullet \times J^\bullet\) sont alors tous deux injectifs terme à terme et sont des quasi-isomorphismes (car le produit représente \(E\) d’après le lemme 07D9). Il suffit enfin de prendre les images des filtrations de \(K^\bullet\) et \((K')^\bullet\) par ces morphismes.

Le théorème de Gabriel–Popescu

Dans cette section, nous étudions le théorème principal de [GP]. La méthode de démonstration suit des notes de Jacob Lurie et d’Akhil Mathew, qui suivent à leur tour la présentation de Kuhn dans [Kuhn]. Voir aussi [Takeuchi].

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck et soit \(U\) un générateur de \(\mathcal{A}\), voir la définition 079B. Posons \(R = \Hom_\mathcal{A}(U, U)\). Considérons le foncteur \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) défini par \[G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\] muni de sa structure canonique de \(R\)-module à droite.

Lemme

Le foncteur \(G\) ci-dessus possède un adjoint à gauche \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\).

Démonstration

Nous donnons deux démonstrations de ce lemme.

La première utilise le théorème du foncteur adjoint, voir Catégories, théorème 0AHQ. Remarquons que \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) est exact à gauche et envoie les produits sur les produits. Le foncteur \(G\) commute donc aux limites. Pour vérifier la condition ensembliste du théorème, soit \(M\) un objet de \(\text{Mod}_R\). Choisissons un cardinal \(\kappa\) suffisamment grand et désignons par \(E\) un ensemble d’objets de \(\mathcal{A}\) tel que tout objet \(A\) vérifiant \(|A| \leq \kappa\) soit isomorphe à un élément de \(E\). C’est possible d’après le lemme 079E. Posons \(I = \coprod_{A \in E} \Hom_R(M, G(A))\). Un élément \(i \in I\) sera considéré comme un couple \((A_i, f_i)\). Enfin, soient \(A\) un objet quelconque de \(\mathcal{A}\) et \(f : M \to G(A)\) un morphisme quelconque. Interprétons les éléments de \(\Im(f) \subset G(A) = \Hom_\mathcal{A}(U, A)\) comme des morphismes \(u : U \to A\). Posons \[A' = \Im(\bigoplus\nolimits_{u \in \Im(f)} U \xrightarrow{u} A)\] Puisque \(G\) est exact à gauche, \(G(A') \subset G(A)\) contient \(\Im(f)\) ; on obtient donc \(f' : M \to G(A')\) par lequel \(f\) se factorise. D’autre part, l’objet \(A'\) est quotient d’une somme directe d’au plus \(|M|\) copies de \(U\). Ainsi, si \(\kappa = |\bigoplus_{|M|} U|\), le couple \((A', f')\) est isomorphe à un élément \((A_i, f_i)\) de \(I\), et \(f\) se factorise, comme souhaité, sous la forme \(M \xrightarrow{f_i} G(A_i) \to G(A)\).

La seconde démonstration construit \(F\) et montre, en un certain sens, que “\(F(M) = M \otimes_R U\)”. En effet, pour tout \(R\)-module \(M\), on peut choisir une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} R \to M \to 0\] On définit alors \(F(M)\) par la suite exacte correspondante \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} U \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \to F(M) \to 0\] Cette construction ne dépend pas du choix de la présentation et elle est fonctorielle ; nous omettons les détails. Pour tout \(A\) dans \(\mathcal{A}\), on obtient une suite exacte \[0 \to \Hom_\mathcal{A}(F(M), A) \to \prod\nolimits_{i \in I} G(A) \to \prod\nolimits_{j \in J} G(A)\] qui est isomorphe à la suite \[0 \to \Hom_R(M, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{i \in I} R, G(A)) \to \Hom_R(\bigoplus\nolimits_{j \in J} R, G(A))\] ce qui montre que \(F\) est l’adjoint à gauche de \(G\).

Lemme

Soit \(f : M \to G(A)\) un morphisme injectif dans \(\text{Mod}_R\). Alors le morphisme adjoint \(f' : F(M) \to A\) est lui aussi injectif.

Démonstration

Choisissons un morphisme \(R^{\oplus n} \to M\) et considérons le morphisme correspondant \(U^{\oplus n} \to F(M)\). Soit \(v : U \to U^{\oplus n}\) un morphisme tel que la composée \(U \to U^{\oplus n} \to F(M) \to A\) soit \(0\). La flèche \(v : U \to U^{\oplus n}\) est alors un élément \(v\) de \(R^{\oplus n}\) dont l’image dans \(G(A)\) est nulle. Puisque \(f\) est injectif, l’image de \(v\) dans \(M\) est nulle ; cela signifie que \(U \to U^{\oplus n} \to F(M)\) est nul, par la construction de \(F(M)\) donnée dans la démonstration du lemme 0F5S. Comme \(U\) est un générateur, on en déduit que \[\Ker(U^{\oplus n} \to F(M) \to A) = \Ker(U^{\oplus n} \to F(M))\] Pour achever la démonstration, choisissons une surjection \(\bigoplus_{i \in I} R \to M\) et considérons la surjection correspondante \[\pi : \bigoplus\nolimits_{i \in I} U \longrightarrow F(M)\] Pour montrer que \(f'\) est injectif, il suffit d’établir l’égalité \(\Ker(\pi) = \Ker(f' \circ \pi)\) entre sous-objets de \(\bigoplus_{i \in I} U\). Or on peut écrire \(\bigoplus_{i \in I} U\) comme la colimite filtrante de ses sous-objets \(\bigoplus_{i \in I'} U\), où \(I' \subset I\) parcourt les sous-ensembles finis. Comme les colimites filtrantes sont exactes dans \(\mathcal{A}\) par AB5, on a \[\Ker(\pi) = \colim_{I' \subset I\text{ fini}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(\pi)\] et \[\Ker(f' \circ \pi) = \colim_{I' \subset I\text{ fini}} \left(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} U\right) \bigcap \Ker(f' \circ \pi)\] et l’on obtient l’égalité, car la première égalité affichée ci-dessus l’établit pour chaque \(I'\).

Théorème

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Il existe alors un anneau (non commutatif) \(R\) et des foncteurs \(G : \mathcal{A} \to \text{Mod}_R\) et \(F : \text{Mod}_R \to \mathcal{A}\) tels que

1. \(F\) est l’adjoint à gauche de \(G\),

2. \(G\) est pleinement fidèle, et

3. \(F\) est exact.

Ces foncteurs sont en outre ceux construits ci-dessus.

Démonstration

Montrons d’abord que \(G\) est pleinement fidèle, ou, ce qui revient au même, que \(F \circ G \to \text{id}\) est un isomorphisme, voir Catégories, lemme 07RB. Pour tout objet \(A\), le morphisme \(F(G(A)) \to A\) est surjectif, car, par construction, tout morphisme \(U \to A\) se factorise par \(F(G(A))\). D’autre part, le morphisme \(F(G(A)) \to A\) est l’adjoint du morphisme \(\text{id} : G(A) \to G(A)\) ; il est donc injectif d’après le lemme 0F5T.

Le foncteur \(F\) est exact à droite puisqu’il est adjoint à gauche. Comme \(\text{Mod}_R\) possède assez de projectifs, pour montrer que \(F\) est exact, il suffit de montrer que son premier foncteur dérivé gauche \(L_1F\) est nul. Pour établir \(L_1F(M) = 0\) pour un \(R\)-module \(M\), choisissons une suite exacte \(0 \to K \to P \to M \to 0\) de \(R\)-modules où \(P\) est libre. Il suffit de montrer que \(F(K) \to F(P)\) est injectif. Écrivons cette suite comme colimite filtrante de suites \(0 \to K_i \to P_i \to M_i \to 0\) où \(P_i\) est un \(R\)-module libre de type fini : il suffit d’écrire ainsi \(P\), puis de poser \(K_i = K \cap P_i\) et \(M_i = \Im(P_i \to M)\). Puisque \(F\) est adjoint à gauche, il commute aux colimites ; et puisque \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck, \(F(K) \to F(P)\) est injectif dès que chaque \(F(K_i) \to F(P_i)\) l’est. Il suffit donc de vérifier que \(F(K) \to F(P)\) est injectif lorsque \(K \subset P = R^{\oplus n}\). Le lemme 0F5T montre précisément que \(F(K) \to U^{\oplus n}\) est injectif.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soient \(R\), \(F\), \(G\) comme dans le théorème de Gabriel–Popescu (théorème 0F5U). On obtient alors les foncteurs dérivés \[RG : D(\mathcal{A}) \to D(\text{Mod}_R) \quad\text{et}\quad F : D(\text{Mod}_R) \to D(\mathcal{A})\] tels que \(F\) est adjoint à gauche de \(RG\), que \(RG\) est pleinement fidèle et que \(F \circ RG = \text{id}\).

Démonstration

L’existence et l’adjonction de ces foncteurs résultent des théorèmes 0F5U et 079P et des lemmes de Catégories dérivées 070Y, 015F, et 09T5. L’égalité \(F \circ RG = \text{id}\) vient du fait qu’on peut calculer \(RG\) sur un objet de \(D(\mathcal{A})\) en appliquant \(G\) à un complexe représentant convenable \(I^\bullet\) (par exemple un complexe K-injectif) ; on a alors \(F(G(I^\bullet)) = I^\bullet\) puisque \(F \circ G = \text{id}\). La pleine fidélité de \(RG\) en résulte d’après Catégories, lemme 07RB.

Représentabilité de Brown et catégories abéliennes de Grothendieck

Dans cette section, nous démontrons rapidement un théorème de représentabilité pour les catégories dérivées de catégories abéliennes de Grothendieck. Le lecteur devrait d’abord étudier le cas des catégories triangulées compactement engendrées dans Catégories dérivées, section 0A8E. Il est ensuite tout indiqué de consulter, plutôt que cette section, la littérature pour des résultats plus généraux de ce type ; voir par exemple [Franke], [Neeman], [Krause], ou Catégories dérivées, section 0GYF.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(H : D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab}\) un foncteur cohomologique contravariant qui transforme les sommes directes en produits. Alors \(H\) est représentable.

Démonstration

Soient \(R, F, G, RG\) comme dans le lemme 0F5V, et considérons le foncteur \(H \circ F : D(\text{Mod}_R) \to \textit{Ab}\). Comme \(F\) est adjoint à gauche, il envoie les sommes directes sur les sommes directes ; \(H \circ F\) transforme donc les sommes directes en produits. D’autre part, la catégorie dérivée \(D(\text{Mod}_R)\) est engendrée par un unique objet compact, à savoir \(R\). D’après Catégories dérivées, lemme 0A8F, le foncteur \(H \circ F\) est représentable, disons par \(L \in D(\text{Mod}_R)\). Choisissons un triangle distingué \[M \to L \to RG(F(L)) \to M[1]\] dans \(D(\text{Mod}_R)\). Alors \(F(M) = 0\) puisque \(F \circ RG = \text{id}\). Par conséquent \(H(F(M)) = 0\), puis \(\Hom(M, L) = 0\). Il s’ensuit que \(L \to RG(F(L))\) est l’inclusion d’un facteur direct, voir Catégories dérivées, lemme 05QT. Pour \(A\) dans \(D(\mathcal{A})\), on obtient \[\begin{align*} H(A) & = H(F(RG(A))) \\ & = \Hom(RG(A), L) \\ & \to \Hom(RG(A), RG(F(L))) \\ & = \Hom(F(RG(A)), F(L)) \\ & = \Hom(A, F(L)) \end{align*}\] où la flèche possède un inverse à gauche fonctoriel en \(A\). Autrement dit, \(H\) est facteur direct d’un foncteur représentable. Comme \(D(\mathcal{A})\) est karoubienne (Catégories dérivées, lemme 05QW), on conclut.

Proposition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(F : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) un foncteur exact de catégories triangulées qui transforme les sommes directes en sommes directes. Alors \(F\) possède un adjoint à droite exact.

Démonstration

Pour un objet \(Y\) de \(\mathcal{D}\), considérons le foncteur contravariant \[D(\mathcal{A}) \to \textit{Ab},\quad W \mapsto \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\] C’est un foncteur cohomologique puisque \(F\) est exact, et il transforme les sommes directes en produits puisque \(F\) transforme les sommes directes en sommes directes. Le lemme 0F5X fournit donc un objet \(X\) de \(D(\mathcal{A})\) tel que \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(W, X) = \Hom_\mathcal{D}(F(W), Y)\). L’existence de l’adjoint résulte de Catégories, lemme 0A8B. Son exactitude résulte de Catégories dérivées, lemme 0A8D.