Lissage des morphismes d'anneaux

Introduction

Le résultat principal de ce chapitre est le suivant : \[\fbox{Un morphisme d'anneaux régulier entre anneaux noethériens est une colimite filtrante de morphismes lisses.}\] Ce théorème est dû à Popescu, voir [popescu-letter]. Richard Swan a donné une présentation accessible de la démonstration de Popescu, voir [swan] ; il s’est appuyé sur des notes d’André et sur un article d’Ogoma, voir [Ogoma].

Notre présentation suit celle de Swan, mais nous démontrons d’abord un résultat intermédiaire qui permet de nous placer dans une situation un peu plus simple. En voici un aperçu. Nous résolvons d’abord le “problème de relèvement” suivant : une déformation infinitésimale plate d’une colimite filtrante d’algèbres lisses est une colimite filtrante d’algèbres lisses. Ce résultat dit essentiellement qu’il suffit de démontrer le théorème principal pour les morphismes entre anneaux noethériens réduits. Nous démontrons ensuite deux lemmes très ingénieux, appelés le “lemme de relèvement” et le “lemme de désingularisation”. Nous montrons que, combinés, ces lemmes ramènent le théorème principal à prouver qu’une algèbre noethérienne \(\Lambda\), géométriquement régulière sur un corps \(k\), est une colimite filtrante de \(k\)-algèbres lisses. Nous examinons ensuite les arguments locaux nécessaires à la démonstration de Popescu-Ogoma-Swan-André. Enfin, nous donnons la démonstration dans les trois dernières sections.

Nous terminons cette introduction par quelques indications bibliographiques. Soit \(A\) un anneau local noethérien hensélien. Nous disons que \(A\) possède la propriété d’approximation si, quels que soient \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\), le système d’équations \(f_1 = 0, \ldots, f_m = 0\) admet une solution dans le complété de \(A\) si et seulement s’il admet une solution dans \(A\). Cette définition est due à Artin. Artin a d’abord démontré la propriété d’approximation pour les systèmes d’équations analytiques, voir [Artin-Analytic-Approximation]. Dans [Artin-Algebraic-Approximation], Artin a démontré la propriété d’approximation pour les anneaux locaux essentiellement de type fini sur un anneau de valuation discrète excellent. Artin a conjecturé (page 26 de [Artin-Algebraic-Approximation]) que tout anneau local hensélien excellent devait posséder la propriété d’approximation.

À un certain moment, on a conjecturé que tout morphisme d’anneaux régulier entre anneaux noethériens est une colimite filtrante d’algèbres lisses (voir par exemple [Raynaud-Rennes], [popescu-global], [Artin-power-series], [Artin-Denef]). Nous ne savons pas à qui cette conjecture¹ est due. Le lien avec la propriété d’approximation est le suivant : si \(A \to A^\wedge\) est une colimite d’algèbres lisses, avec \(A\) comme ci-dessus, alors la propriété d’approximation est satisfaite (insérer ici une référence ultérieure). En outre, le théorème principal s’applique au morphisme \(A \to A^\wedge\) si \(A\) est un anneau local excellent, car l’une des conditions définissant un anneau local excellent est que ses fibres formelles soient géométriquement régulières. Notons que les anneaux locaux excellents ont été définis par Grothendieck et que leur définition a été publiée en 1965.

Dans [Artin-power-series], il a été démontré que \(R \to R^\wedge\) est une colimite filtrante d’algèbres lisses pour tout anneau local \(R\) essentiellement de type fini sur un corps. Dans [Rotthaus-Artin], il a été démontré que \(R \to R^\wedge\) est une colimite filtrante d’algèbres lisses pour tout anneau local \(R\) essentiellement de type fini sur un anneau de valuation discrète excellent. Enfin, le théorème principal a été démontré dans [popescu-GND], [popescu-GNDA], [popescu-letter], [Ogoma] et [swan], comme indiqué ci-dessus.

Réciproquement, à l’aide de certains des résultats précédents, il a été démontré dans [Rotthaus-excellent] que tout anneau local noethérien possédant la propriété d’approximation est excellent.

L’article [Spivakovsky] propose une autre approche du théorème principal, mais il semble difficile à lire (par exemple, [Spivakovsky, lemme 5.2] semble être une reformulation incorrecte de [Elkik, lemme 3]). Il existe également un exposé Bourbaki sur ce sujet, voir [Teissier].

Idéaux singuliers

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux. L’idéal singulier de \(A\) sur \(R\) est l’idéal radical de \(A\) qui définit le lieu singulier du morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(R)\). En voici une définition précise.

Définition

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux. L’idéal singulier de \(A\) sur \(R\), noté \(H_{A/R}\), est l’unique idéal radical \(H_{A/R} \subset A\) tel que \[V(H_{A/R}) = \{\mathfrak q \in \Spec(A) \mid R \to A \text{ non lisse en }\mathfrak q\}\]

Cette définition a un sens car l’ensemble des idéaux premiers où \(R \to A\) est lisse est ouvert, voir Algèbre, Définition 00TB. Afin de trouver un ensemble explicite de générateurs de l’idéal singulier, nous démontrons d’abord le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Soit \(\mathfrak q \subset A\) un idéal premier. Supposons que \(R \to A\) soit lisse en l’idéal premier \(\mathfrak q\). Il existe alors un \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak q\), un entier \(c\), \(0 \leq c \leq \min(n, m)\), et des sous-ensembles \(U \subset \{1, \ldots, n\}\), \(V \subset \{1, \ldots, m\}\) de cardinal \(c\) tels que \[a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j \in V, i \in U}\] pour un certain \(a' \in A\), et \[a f_\ell \in (f_j, j \in V) + (f_1, \ldots, f_m)^2\] pour tout \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\).

Démonstration

Posons \(I = (f_1, \ldots, f_m)\), de sorte que le complexe cotangent naïf de \(A\) sur \(R\) soit homotopiquement équivalent à \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\), voir Algèbre, Lemme 00S1. Nous utiliserons le fait que la formation du complexe cotangent naïf commute à la localisation, voir Algèbre, section 00S0, et en particulier Algèbre, Lemme 00S7. D’après Algèbre, Définitions 00T2 et 00TB nous voyons que \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\) est une injection scindée pour un certain \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak q\). Après avoir renuméroté \(x_1, \ldots, x_n\) et \(f_1, \ldots, f_m\), nous pouvons supposer que \(f_1, \ldots, f_c\) forment une base de l’espace vectoriel \(I/I^2 \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\) et que les images de \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\) forment une base de \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak q)\). Ainsi, après avoir remplacé \(a\) par \(aa'\) pour un certain \(a' \in A\), \(a' \not \in \mathfrak q\), nous pouvons supposer que \(f_1, \ldots, f_c\) forment une base de \((I/I^2)_a\) et que les images de \(\text{d}x_{c + 1}, \ldots, \text{d}x_n\) forment une base de \((\Omega_{A/R})_a\). Dans cette situation, \(a^N\) satisfait les conditions du lemme pour un entier \(N\) suffisamment grand (avec \(U = V = \{1, \ldots, c\}\)).

Nous utiliserons la notion d’élément strictement standard de \(A\) sur \(R\). Notre notion est légèrement plus faible que celle de l’article de Swan [swan]. Nous définissons aussi un élément standard élémentaire comme étant du type obtenu dans le lemme précédent. Nous comparons les différents types d’éléments dans le lemme 07EZ.

Définition

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. Nous disons qu’un élément \(a \in A\) est standard élémentaire dans \(A\) sur \(R\) s’il existe une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) et un entier \(0 \leq c \leq \min(n, m)\) tels que [07C8]\[\begin{equation} a = a' \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} \end{equation}\] pour un certain \(a' \in A\), et [07C9]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] pour \(j = 1, \ldots, m - c\). Nous disons que \(a \in A\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\) s’il existe une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) et un entier \(0 \leq c \leq \min(n, m)\) tels que [07ER]\[\begin{equation} a = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} a_I \det(\partial f_j/\partial x_i)_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \end{equation}\] pour certains \(a_I \in A\), et [07ES]\[\begin{equation} a f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] pour \(j = 1, \ldots, m - c\).

Le lemme suivant est utile pour dégager des conséquences de (07ER).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) et posons \(I = (f_1, \ldots, f_m)\). Soit \(a \in A\). Alors (07ER) implique qu’il existe un morphisme \(A\)-linéaire \(\psi : \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \to A^{\oplus c}\) tel que la composée \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} I/I^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi} A^{\oplus c}\] soit la multiplication par \(a\). Réciproquement, si un tel \(\psi\) existe, alors \(a^c\) satisfait (07ER).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier de Algèbre, Lemme 07DQ.

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. L’idéal singulier \(H_{A/R}\) est le radical de l’idéal engendré par les éléments strictement standard de \(A\) sur \(R\), et aussi le radical de l’idéal engendré par les éléments standard élémentaires de \(A\) sur \(R\).

Démonstration

Supposons que \(a\) soit strictement standard dans \(A\) sur \(R\). Nous affirmons que \(A_a\) est lisse sur \(R\), ce qui prouve que \(a \in H_{A/R}\). En effet, soient \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\), \(c\) et \(a' \in A\) comme dans la définition 07C7. Posons \(I = (f_1, \ldots, f_m)\), de sorte que le complexe cotangent naïf de \(A\) sur \(R\) soit donné par \(I/I^2 \to \bigoplus A\text{d}x_i\). L’hypothèse (07ES) implique que \((I/I^2)_a\) est engendré par les classes de \(f_1, \ldots, f_c\). L’hypothèse (07ER) implique que la différentielle \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a\text{d}x_i\) admet un inverse à gauche, voir le lemme 07ET. Ainsi, \(R \to A_a\) est lisse par définition et d’après Algèbre, Lemme 00S7.

Soient \(H_e, H_s \subset A\) les radicaux des idéaux engendrés par les éléments standard élémentaires, resp. strictement standard, de \(A\) sur \(R\). Par définition et d’après ce que nous venons de démontrer, nous avons \(H_e \subset H_s \subset H_{A/R}\). L’inclusion \(H_{A/R} \subset H_e\) résulte du lemme 07C6.

Exemple

L’ensemble des points où un morphisme d’anneaux de présentation finie est lisse n’est pas nécessairement un ouvert quasi-compact. Par exemple, soient \(R = k[x, y_1, y_2, y_3, \ldots]/(xy_i)\) et \(A = R/(x)\). Alors le lieu de lissité de \(R \to A\) est \(\bigcup D(y_i)\), qui n’est pas quasi-compact.

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux. Si \(a \in A\) est standard élémentaire, resp. strictement standard, dans \(A\) sur \(R\), alors \(a \otimes 1\) est standard élémentaire, resp. strictement standard, dans \(A \otimes_R R'\) sur \(R'\).

Démonstration

Si \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) est une présentation de \(A\) sur \(R\), alors \(A \otimes_R R' = R'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_m)\) est une présentation de \(A \otimes_R R'\) sur \(R'\). Ici, \(f'_j\) est l’image de \(f_j\) dans \(R'[x_1, \ldots, x_n]\). Le résultat découle donc des définitions.

Lemme

Soient \(R \to A \to \Lambda\) des morphismes d’anneaux, avec \(A\) de présentation finie sur \(R\). Supposons que \(H_{A/R} \Lambda = \Lambda\). Il existe alors une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) telle que \(B\) soit lisse sur \(R\).

Démonstration

Choisissons \(f_1, \ldots, f_r \in H_{A/R}\) et \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \Lambda\) tels que \(\sum f_i\lambda_i = 1\) dans \(\Lambda\). Posons \(B = A[x_1, \ldots, x_r]/(f_1x_1 + \ldots + f_rx_r - 1)\) et définissons \(B \to \Lambda\) en envoyant \(x_i\) sur \(\lambda_i\). Pour vérifier que \(B\) est lisse sur \(R\), utilisons le fait que \(A_{f_i}\) est lisse sur \(R\) par définition de \(H_{A/R}\) et que \(B_{f_i}\) est lisse sur \(A_{f_i}\). Détails omis.

Présentations d’algèbres

Certains des résultats de cette section sont dus à Elkik. Notons que l’algèbre \(C\) du lemme suivant est une algèbre symétrique sur \(A\). De plus, si \(R\) est noethérien, alors \(C\) est de présentation finie sur \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(A\) une \(R\)-algèbre de présentation finie. Il existe un morphisme de \(R\)-algèbres de type fini \(A \to C\) qui admet une rétraction et possède les deux propriétés suivantes :

1. pour tout \(a \in A\) tel que \(R \to A_a\) soit une intersection complète locale (Compléments d’algèbre, Définition 07D0), l’anneau \(C_a\) est lisse sur \(A_a\) et admet une présentation \(C_a = R[y_1, \ldots, y_m]/J\) telle que \(J/J^2\) soit libre sur \(C_a\), et

2. pour tout \(a \in A\) tel que \(A_a\) soit lisse sur \(R\), le module \(\Omega_{C_a/R}\) est libre sur \(C_a\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\) et écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_m)\). Définissons le \(A\)-module \(K\) par la suite exacte courte \[0 \to K \to A^{\oplus m} \to I/I^2 \to 0\] où le \(j\)-ième vecteur de base \(e_j\) du terme central est envoyé sur la classe de \(f_j\) dans le terme de droite. Posons \[C = \text{Sym}^*_A(I/I^2).\] La rétraction est simplement la projection sur la composante de degré \(0\) de \(C\). Nous avons une surjection \(R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] \to C\) qui envoie \(y_j\) sur la classe de \(f_j\) dans \(I/I^2\). Le noyau \(J\) de ce morphisme est engendré par les éléments \(f_1, \ldots, f_m\) et par les éléments \(\sum h_j y_j\), où \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\), tels que \(\sum h_j e_j\) définisse un élément de \(K\). D’après Algèbre, Lemme 00S2 appliqué à \(R \to A \to C\) et aux présentations ci-dessus, ainsi que Compléments d’algèbre, Lemme 07EV il existe une suite exacte [07EW]\[\begin{equation} I/I^2 \otimes_A C \to J/J^2 \to K \otimes_A C \to 0 \end{equation}\] de \(C\)-modules. Soit \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\) un élément d’image \(a \in A\). Nous utiliserons, pour les anneaux localisés, les présentations \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/I' \quad\text{et}\quad C_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/J'\] où \(I' = (hx_0 - 1, I)\) et \(J' = (hx_0 - 1, J)\). Ainsi, \(I'/(I')^2 = A_a \oplus (I/I^2)_a\) comme \(A_a\)-modules et \(J'/(J')^2 = C_a \oplus (J/J^2)_a\) comme \(C_a\)-modules. Nous obtenons donc [07EX]\[\begin{equation} C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \to C_a \oplus (J/J^2)_a \to K \otimes_A C_a \to 0 \end{equation}\] qui est la suite fournie par Algèbre, lemme 00S2, pour \(R \to A_a \to C_a\) et les présentations ci-dessus.

Supposons maintenant que \(a \in A\) soit tel que \(A_a\) soit une intersection complète locale sur \(R\). Alors \((I/I^2)_a\) est projectif de type fini sur \(A_a\), voir Compléments d’algèbre, Lemme 08RK. Nous voyons donc que \(K_a \oplus (I/I^2)_a \cong A_a^{\oplus m}\) est libre. En particulier, \(K_a\) est lui aussi projectif de type fini. D’après Compléments d’algèbre, Lemme 07D4, la suite (07EX) est exacte à gauche. Ainsi, \[J'/(J')^2 \cong C_a \oplus I/I^2 \otimes_A C_a \oplus K \otimes_A C_a \cong C_a^{\oplus m + 1}\] Cela démontre (1). Supposons enfin que, de plus, \(A_a\) soit lisse sur \(R\). La même présentation montre alors que le module des différentielles de Kähler \(\Omega_{C_a/R}\) est le conoyau du morphisme \[J'/(J')^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i C_a\text{d}x_i \oplus \bigoplus\nolimits_j C_a\text{d}y_j\] Dans la décomposition ci-dessus, le facteur direct \(C_a\) de \(J'/(J')^2\) correspond à \(hx_0 - 1\) et s’envoie donc isomorphiquement sur le facteur direct \(C_a\text{d}x_0\). Le facteur direct \(I/I^2 \otimes_A C_a\) de \(J'/(J')^2\) s’injecte dans \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} C_a\text{d}x_i\), avec pour quotient \(\Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\). Le facteur direct \(K \otimes_A C_a\) s’injecte dans \(\bigoplus_{j \geq 1} C_a\text{d}y_j\), avec un quotient isomorphe à \(I/I^2 \otimes_A C_a\). Ainsi, le conoyau du dernier morphisme affiché est le module \(I/I^2 \otimes_A C_a \oplus \Omega_{A_a/R} \otimes_{A_a} C_a\). Puisque \((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\) est libre (d’après la définition des morphismes d’anneaux lisses), nous voyons que (2) est satisfaite.

La proposition suivante a été démontrée par Elkik dans [Elkik] pour les morphismes d’anneaux lisses sur des couples henséliens. Pour les morphismes d’anneaux lisses, on la trouve dans [Arabia], où il est également démontré que les morphismes d’anneaux entre algèbres lisses peuvent être relevés.

Proposition

Soit \(R \to R_0\) un morphisme d’anneaux surjectif de noyau \(I\).

1. Si \(R_0 \to A_0\) est un morphisme d’anneaux syntomique, alors il existe un morphisme d’anneaux syntomique \(R \to A\) tel que \(A/IA \cong A_0\).

2. Si \(R_0 \to A_0\) est un morphisme d’anneaux lisse, alors il existe un morphisme d’anneaux lisse \(R \to A\) tel que \(A/IA \cong A_0\).

Démonstration

Supposons que \(R_0 \to A_0\) soit syntomique, donc en particulier une intersection complète locale (Compléments d’algèbre, Lemme 07D3). Choisissons une présentation \(A_0 = R_0[x_1, \ldots, x_n]/J_0\). Posons \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(J_0/J_0^2)\). Notons que \(J_0/J_0^2\) est un \(A_0\)-module projectif de type fini (Algèbre, Lemme 07BT). D’après le lemme 07CE, le morphisme d’anneaux \(A_0 \to C_0\) est lisse et nous pouvons trouver une présentation \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/K_0\) dans laquelle \(K_0/K_0^2\) est libre sur \(C_0\). D’après Algèbre, Lemme 07CF, nous pouvons supposer \(C_0 = R_0[y_1, \ldots, y_m]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\) où les images de \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\) forment une base de \(K_0/K_0^2\) sur \(C_0\). Choisissons des relèvements \(f_1, \ldots, f_c \in R[y_1, \ldots, y_m]\) de \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c\) et posons \[C = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_c)\] Par construction, \(C_0 = C/IC\). D’après Algèbre, Lemme 00ST, quitte à remplacer \(C\) par \(C_g\), nous pouvons supposer que \(C\) est une intersection complète globale relative sur \(R\). Nous en concluons qu’il existe un \(A_0\)-module projectif de type fini \(P_0\) tel que \(C_0 = \text{Sym}^*_{A_0}(P_0)\) soit isomorphe à \(C/IC\) pour une certaine \(R\)-algèbre syntomique \(C\).

Choisissons un entier \(n\) et une décomposition en somme directe \(A_0^{\oplus n} = P_0 \oplus Q_0\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 07M5, nous pouvons trouver un morphisme d’anneaux étale \(C \to C'\) qui induit un isomorphisme \(C/IC \to C'/IC'\) et un \(C'\)-module projectif de type fini \(Q\) tel que \(Q/IQ\) soit isomorphe à \(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC\). Alors \(D = \text{Sym}_{C'}^*(Q)\) est une \(C'\)-algèbre lisse (voir Compléments d’algèbre, Lemme 07M6). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[d] \ar[rr] & & C \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & D \ar[d] \\ R/I \ar[r] & A_0 \ar[r] & C/IC \ar[r]^{\cong} & C'/IC' \ar[r] & D/ID }\] Observons que notre choix de \(Q\) donne \[\begin{align*} D/ID & = \text{Sym}_{C/IC}^*(Q_0 \otimes_{A_0} C/IC) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} C/IC \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0) \otimes_{A_0} \text{Sym}_{A_0}^*(P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(Q_0 \oplus P_0) \\ & = \text{Sym}_{A_0}^*(A_0^{\oplus n}) \\ & = A_0[x_1, \ldots, x_n] \end{align*}\] Choisissons \(f_1, \ldots, f_n \in D\) dont les images sont \(x_1, \ldots, x_n\) dans \(D/ID = A_0[x_1, \ldots, x_n]\). Posons \(A = D/(f_1, \ldots, f_n)\). Notons que \(A_0 = A/IA\). Nous affirmons que \(R \to A\) est syntomique dans un voisinage de \(V(IA)\). Si cette affirmation est vraie, nous pouvons trouver un \(f \in A\) d’image \(1 \in A_0\) tel que \(A_f\) soit syntomique sur \(R\), ce qui achève la démonstration de (1).

Démonstration de l’affirmation. Observons que \(R \to D\) est syntomique en tant que composée du morphisme d’anneaux syntomique \(R \to C\), du morphisme d’anneaux étale \(C \to C'\) et du morphisme d’anneaux lisse \(C' \to D\) (Algèbre, Lemmes 00SZ et 00TA). La question est locale sur \(\Spec(D)\) ; nous pouvons donc supposer que \(D\) est une intersection complète globale relative (Algèbre, Lemme 00SY). Écrivons \(D = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_s)\). Soient \(f'_1, \ldots, f'_n \in R[y_1, \ldots, y_m]\) des relèvements de \(f_1, \ldots, f_n\). Nous pouvons alors appliquer Algèbre, Lemme 00ST pour obtenir l’affirmation.

Démonstration de (2). Comme tout morphisme d’anneaux lisse est syntomique, nous pouvons trouver un morphisme d’anneaux syntomique \(R \to A\) tel que \(A_0 = A/IA\). Par hypothèse, les fibres de \(R \to A\) sont lisses au-dessus des idéaux premiers de \(V(I)\) ; ainsi, \(R \to A\) est lisse dans un voisinage ouvert de \(V(IA)\) (Algèbre, Lemme 00TF). Nous pouvons donc remplacer \(A\) par une localisation pour obtenir le résultat voulu.

Nous savons que tout morphisme d’anneaux syntomique \(R \to A\) est localement une intersection complète globale relative, voir Algèbre, Lemme 00SY. Le lemme suivant affirme qu’un fibré vectoriel sur \(\Spec(A)\) est une intersection complète globale relative.

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux syntomique. Il existe alors un morphisme lisse de \(R\)-algèbres \(A \to C\) admettant une rétraction tel que \(C\) soit une intersection complète globale relative sur \(R\), c’est-à-dire \[C \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] plate sur \(R\) et dont toutes les fibres sont de dimension \(n - c\).

Démonstration

Appliquons le lemme 07CE pour obtenir \(A \to C\). D’après Algèbre, Lemme 07CF, nous pouvons écrire \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) de sorte que les images des \(f_i\) forment une base de \(J/J^2\). Le morphisme d’anneaux \(R \to C\) est syntomique (donc plat), car il est la composée d’un morphisme d’anneaux syntomique et d’un morphisme d’anneaux lisse. La dimension des fibres est \(n - c\) d’après Algèbre, Lemme 00SC (les fibres sont des intersections complètes locales, le lemme s’applique donc).

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux lisse. Il existe alors un morphisme lisse de \(R\)-algèbres \(A \to B\) admettant une rétraction tel que \(B\) soit standard lisse sur \(R\), c’est-à-dire \[B \cong R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] et \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) est inversible dans \(B\).

Démonstration

Appliquons le lemme 07CG pour obtenir un morphisme lisse de \(R\)-algèbres \(A \to C\) admettant une rétraction, tel que \(C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) soit une intersection complète globale relative sur \(R\). Comme \(C\) est lisse sur \(R\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, c} C f_j \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} C\text{d}x_i \to \Omega_{C/R} \to 0\] Puisque \(\Omega_{C/R}\) est un \(C\)-module projectif, cette suite est scindée. Choisissons un inverse à gauche \(t\) du premier morphisme. Écrivons \(t(\text{d}x_i) = \sum c_{ij} f_j\) de sorte que \(\sum_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} = \delta_{j\ell}\) (symbole de Kronecker). Soit \[B' = C[y_1, \ldots, y_c] = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_c]/(f_1, \ldots, f_c)\] Le morphisme de \(R\)-algèbres \(C \to B'\) admet la rétraction qui envoie \(y_j\) sur zéro. Nous affirmons que le morphisme \[R[z_1, \ldots, z_n] \longrightarrow B',\quad z_i \longmapsto x_i - \sum\nolimits_j c_{ij} y_j\] est étale en tout point de l’image de \(\Spec(C) \to \Spec(B')\). Dans \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\), nous avons \[0 = \text{d}f_j - \sum\nolimits_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \text{d}z_i \equiv \sum\nolimits_{i, \ell} \frac{\partial f_j}{\partial x_i} c_{i\ell} \text{d}y_\ell \equiv \text{d}y_j \bmod (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\] Puisque \(0 = \text{d}z_i = \text{d}x_i\) modulo \(\sum B'\text{d}y_j + (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\), nous en concluons que \[\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}/ (y_1, \ldots, y_c)\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]} = 0.\] Comme \(\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]}\) est un \(B'\)-module de type fini, le lemme de Nakayama montre qu’il existe un \(g \in 1 + (y_1, \ldots, y_c)\) tel que \((\Omega_{B'/R[z_1, \ldots, z_n]})_g = 0\). Cela démontre que \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) est non ramifié, voir Algèbre, Définition 00UT. Pour tout morphisme d’anneaux \(R \to k\), où \(k\) est un corps, nous obtenons un morphisme d’anneaux non ramifié \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\) entre \(k\)-algèbres lisses de dimension \(n\). Il en résulte que \(k[z_1, \ldots, z_n] \to (B'_g) \otimes_R k\) est plat d’après Algèbre, Lemmes 00R4 et 00TS. Par le critère de platitude par fibre (Algèbre, Lemme 00R7), nous concluons que \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) est plat. Enfin, Algèbre, Lemme 00U6 implique que \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B'_g\) est étale. Posons \(B = B'_g\). Notons que \(C \to B\) est lisse et admet une rétraction ; il en est donc de même de \(A \to B\). De plus, \(R[z_1, \ldots, z_n] \to B\) est étale. D’après Algèbre, Lemme 00U9, nous pouvons écrire \[B = R[z_1, \ldots, z_n, w_1, \ldots, w_m]/(g_1, \ldots, g_m)\] avec \(\det(\partial g_j/\partial w_i)\) inversible dans \(B\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(R \to \Lambda\) un morphisme d’anneaux. Si \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(R\)-algèbres lisses, alors \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(R\)-algèbres standard lisses.

Démonstration

Soit \(A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, avec \(A\) de présentation finie sur \(R\). D’après Algèbre, Lemme 07C3 nous devons factoriser ce morphisme par une algèbre standard lisse, et nous savons que nous pouvons le factoriser sous la forme \(A \to B \to \Lambda\), où \(B\) est lisse sur \(R\). Choisissons un morphisme de \(R\)-algèbres \(B \to C\) admettant une rétraction \(C \to B\), tel que \(C\) soit standard lisse sur \(R\), voir Lemme 07CH. La factorisation cherchée est alors \(A \to B \to C \to B \to \Lambda\).

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux standard lisse. Soit \(E \subset A\) un sous-ensemble fini de cardinal \(|E| = n\). Il existe alors une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) avec \(c \geq n\), dans laquelle \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) est inversible dans \(A\) et telle que \(E\) soit l’ensemble des classes, dans ce quotient, de \(x_1, \ldots, x_n\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(A = R[y_1, \ldots, y_m]/(g_1, \ldots, g_d)\) telle que l’image de \(\det(\partial g_j/\partial y_i)_{i, j = 1, \ldots, d}\) soit inversible dans \(A\). Choisissons une énumération \(E = \{a_1, \ldots, a_n\}\) et des éléments \(h_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\) dont l’image dans \(A\) est \(a_i\). Considérons la présentation \[A = R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]/ (x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n, g_1, \ldots, g_d)\] et posons \(c = n + d\).

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. Soit \(a \in A\). Considérons les conditions suivantes sur \(a\) :

1. \(A_a\) est lisse sur \(R\),

2. \(A_a\) est lisse sur \(R\) et \(\Omega_{A_a/R}\) est stablement libre,

3. \(A_a\) est lisse sur \(R\) et \(\Omega_{A_a/R}\) est libre,

4. \(A_a\) est standard lisse sur \(R\),

5. \(a\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\),

6. \(a\) est standard élémentaire dans \(A\) sur \(R\).

Alors :

1. (4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1),

2. (6) \(\Rightarrow\) (5),

3. (6) \(\Rightarrow\) (4),

4. (5) \(\Rightarrow\) (2),

5. (2) \(\Rightarrow\) les éléments \(a^e\), \(e \geq e_0\), sont strictement standard dans \(A\) sur \(R\),

6. (4) \(\Rightarrow\) les éléments \(a^e\), \(e \geq e_0\), sont standard élémentaires dans \(A\) sur \(R\).

Démonstration

D’après les définitions et Algèbre, Lemme 00T7, la partie (a) est claire. La partie (b) résulte immédiatement de la définition 07C7.

Démonstration de (c). Choisissons une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) telle que (07C8) et (07C9) soient satisfaites. Choisissons \(h \in R[x_1, \ldots, x_n]\) d’image \(a\). Alors \[A_a = R[x_0, x_1, \ldots, x_n]/(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m).\] Écrivons \(J = (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_m)\). D’après (07C9), nous voyons que le \(A_a\)-module \(J/J^2\) est engendré par \(x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c\) sur \(A_a\). Ainsi, comme dans la démonstration de Algèbre, Lemme 07CF, nous pouvons choisir un \(g \in 1 + J\) tel que \[A_a = R[x_0, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (x_0h - 1, f_1, \ldots, f_c, gx_{n + 1} - 1).\] À ce stade, (07C8) implique que \(R \to A_a\) est standard lisse (utiliser les coordonnées \(x_0, x_1, \ldots, x_c, x_{n + 1}\) pour calculer les dérivées).

Démonstration de (d). Choisissons une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) telle que (07ER) et (07ES) soient satisfaites. Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_m)\). Nous savons déjà que \(A_a\) est lisse sur \(R\), voir Lemme 07CA. D’après le lemme 07ET, nous voyons que \((I/I^2)_a\) est libre de base \(f_1, \ldots, f_c\) et s’envoie isomorphiquement sur un facteur direct de \(\bigoplus A_a \text{d}x_i\). Puisque \(\Omega_{A_a/R} = (\Omega_{A/R})_a\) est le conoyau du morphisme \((I/I^2)_a \to \bigoplus A_a \text{d}x_i\), nous concluons qu’il est stablement libre.

Démonstration de (e). Choisissons une présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\) avec \(I\) de type fini. Par hypothèse, nous avons une suite exacte courte \[0 \to (I/I^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A_a\text{d}x_i \to \Omega_{A_a/R} \to 0\] qui est exacte scindée. Nous voyons donc que \((I/I^2)_a \oplus \Omega_{A_a/R}\) est un \(A_a\)-module libre. Puisque \(\Omega_{A_a/R}\) est stablement libre, nous voyons que \((I/I^2)_a\) l’est également. Ainsi, en remplaçant la présentation choisie ci-dessus par \(A = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r}]/J\), avec \(J = (I, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + r})\) pour un certain \(r\), nous obtenons que \((J/J^2)_a\) est libre de type fini. Choisissons \(f_1, \ldots, f_c \in J\) dont les images forment une base de \((J/J^2)_a\). Complétons cette famille en une famille de générateurs \(f_1, \ldots, f_m \in J\). Considérons la présentation \(A = R[x_1, \ldots, x_{n + r}]/(f_1, \ldots, f_m)\). Alors, par construction, (07ES) est satisfaite pour \(a^e\) dès que \(e\) est suffisamment grand. De plus, puisque \((J/J^2)_a \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A_a\text{d}x_i\) est une injection scindée, nous pouvons trouver un inverse à gauche \(A_a\)-linéaire. En exprimant cet inverse à gauche dans la base \(f_1, \ldots, f_c\) et en chassant les dénominateurs, nous trouvons un morphisme linéaire \(\psi_0 : A^{\oplus n + r} \to A^{\oplus c}\) tel que \[A^{\oplus c} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_c)} J/J^2 \xrightarrow{f \mapsto \text{d}f} \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n + r} A \text{d}x_i \xrightarrow{\psi_0} A^{\oplus c}\] soit la multiplication par \(a^{e_0}\) pour un certain \(e_0 \geq 1\). D’après Lemme 07ET, nous voyons que (07ER) est satisfaite pour \(a^{ce_0}\), et donc pour \(a^e\) pour tout \(e\) tel que \(e \geq ce_0\).

Démonstration de (f). Choisissons une présentation \(A_a = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) telle que \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) soit inversible dans \(A_a\). Nous pouvons supposer que, pour un certain \(m < n\), les classes des éléments \(x_1, \ldots, x_m\) correspondent aux \(a_i/1\), où \(a_1, \ldots, a_m \in A\) sont des générateurs de \(A\) sur \(R\), voir Lemme 07EY. Après avoir remplacé \(x_i\) par \(a^Nx_i\) pour \(m < i \leq n\), nous pouvons supposer que la classe de \(x_i\) est \(a_i/1 \in A_a\) pour un certain \(a_i \in A\). Considérons le morphisme d’anneaux \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A,\quad x_i \longmapsto a_i.\] Il s’agit d’un morphisme d’anneaux surjectif. En remplaçant \(f_j\) par \(a^Nf_j\), nous pouvons supposer que \(f_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\) et que \(\Psi(f_j) = 0\) (car, après tout, \(f_j(a_1/1, \ldots, a_n/1) = 0\) dans \(A_a\)). Soit \(J = \Ker(\Psi)\). Alors \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/J\) est une présentation, et \(f_1, \ldots, f_c \in J\) sont des éléments tels que \((J/J^2)_a\) soit libre de base \(f_1, \ldots, f_c\) et que \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) s’envoie sur un élément inversible de \(A_a\). Il en résulte que (07C8) et (07C9) sont satisfaites pour \(a^e\) et tout \(e\) suffisamment grand, comme souhaité.

Intermède : désingularisation de Néron

Nous interrompons l’étude du cas général du théorème de Popescu pour examiner un cas plus facile mais déjà très intéressant, à savoir celui où \(R \to \Lambda\) est un homomorphisme d’anneaux de valuation discrète. Ce cas est étudié dans [Artin-Algebraic-Approximation, section 4].

Situation

Ici, \(R \subset \Lambda\) est une extension d’anneaux de valuation discrète d’indice de ramification \(1\) (Compléments d’algèbre, définition 09E4). Nous nous donnons une factorisation \[R \to A \xrightarrow{\varphi} \Lambda\] où \(R \to A\) est plat et de type fini. Posons \(\mathfrak q = \Ker(\varphi)\) et \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak m_\Lambda)\).

Dans la situation 0BJ2, soit \(\pi \in R\) une uniformisante. Rappelons que la platitude de \(A\) sur \(R\) signifie que \(\pi\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\) (Compléments d’algèbre, lemme 0539). Notre hypothèse sur \(R \subset \Lambda\) montre que l’image de \(\pi\) est une uniformisante de \(\Lambda\). Comme \(\pi \in \mathfrak p\), nous pouvons considérer l’algèbre d’éclatement affine de Néron (voir Algèbre, section 052P) \[\varphi' : A' = A[\textstyle{\frac{\mathfrak p}{\pi}}] \longrightarrow \Lambda\] munie du morphisme induit vers \(\Lambda\) qui envoie \(a/\pi^n\), \(a \in \mathfrak p^n\), sur \(\pi^{-n}\varphi(a)\) dans \(\Lambda\). Nous noterons \(\mathfrak q' \subset \mathfrak p' \subset A'\) les idéaux premiers correspondants de \(A'\). Remarquons que la classe d’isomorphisme de \(A'\) ne dépend pas du choix de l’uniformisante. En répétant cette construction, nous obtenons une suite \[A \to A' \to A'' \to \ldots \to \Lambda\]

Lemme

Dans la situation 0BJ2, l’éclatement de Néron est fonctoriel au sens suivant :

1. si \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\), alors l’éclatement de Néron de \(A_a\) est \(A'_a\), et

2. si \(B \to A\) est une surjection de \(R\)-algèbres plates de type fini de noyau \(I\), alors \(A'\) est le quotient de \(B'/IB'\) par sa torsion annulée par une puissance de \(\pi\).

Démonstration

Les assertions (1) et (2) sont des cas particuliers de Algèbre, lemme 0BIP. En effet, dès que nous avons \(A_1 \to A_2 \to \Lambda\) avec \(\mathfrak p_1 A_2 = \mathfrak p_2\), l’algèbre \(A_2'\) est le quotient de \(A_1' \otimes_{A_1} A_2\) par sa torsion annulée par une puissance de \(\pi\).

Lemme

Dans la situation 0BJ2, supposons que \(R \to A\) soit lisse en \(\mathfrak p\) et que \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\) soit une extension séparable de corps. Alors \(R \to A'\) est lisse en \(\mathfrak p'\) et il existe une suite exacte courte \[0 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A'_{\mathfrak p'} \to \Omega_{A'/R, \mathfrak p'} \to (A'/\pi A')_{\mathfrak p'}^{\oplus c} \to 0\] où \(c = \dim((A/\pi A)_\mathfrak p)\).

Démonstration

D’après le lemme 0BJ3, nous pouvons remplacer \(A\) par un localisé en un élément qui n’appartient pas à \(\mathfrak p\) ; nous le ferons désormais sans autre mention. Posons \(\kappa = R/\pi R\). Comme la lissité est stable par changement de base (Algèbre, lemme 00T4), nous voyons que \(A/\pi A\) est lisse sur \(\kappa\) en \(\mathfrak p\). Par conséquent, \((A/\pi A)_\mathfrak p\) est un anneau local régulier (Algèbre, lemme 00TT). Choisissons \(g_1, \ldots, g_c \in \mathfrak p\) dont les images forment un système régulier de paramètres de \((A/\pi A)_\mathfrak p\). Nous voyons alors que \(\mathfrak p = (\pi, g_1, \ldots, g_c)\), quitte à remplacer \(A\) par un localisé. Remarquons que \(\pi, g_1, \ldots, g_c\) est une suite régulière dans \(A_\mathfrak p\) (d’abord \(\pi\) est un non-diviseur de zéro, puis on applique Algèbre, lemme 00NQ au reste de la suite). Après avoir remplacé \(A\) par un localisé, nous pouvons supposer que \(\pi, g_1, \ldots, g_c\) est une suite régulière dans \(A\) (Algèbre, lemme 061L). Il s’ensuit que \[A' = A[y_1, \ldots, y_c]/(\pi y_1 - g_1, \ldots, \pi y_c - g_c) = A[y_1, \ldots, y_c]/I\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BIQ. Dans la suite, nous utiliserons sans autre mention la définition de la lissité au moyen du complexe cotangent naïf (Algèbre, définition 00T2) et le critère d’Algèbre, lemme 07BU. La suite exacte d’Algèbre, lemme 00S2, pour \(R \to A[y_1, \ldots, y_c] \to A'\), s’écrit \[0 \to H_1(\NL_{A'/R}) \to I/I^2 \to \Omega_{A/R} \otimes_A A' \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, c} A' \text{d}y_i \to \Omega_{A'/R} \to 0\] où la classe de \(\pi y_i - g_i\) dans \(I/I^2\) est envoyée sur \(- \text{d}g_i + \pi \text{d}y_i\) dans le terme suivant. Ici, nous avons utilisé Algèbre, lemme 07BP, pour calculer \(\NL_{A'/A[y_1, \ldots, y_c]}\), ainsi que le fait que \(R \to A[y_1, \ldots, y_c]\) est lisse, de sorte que \(H_1(\NL_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}) = 0\) et \(\Omega_{A[y_1, \ldots, y_c]/R}\) est un \(A[y_1, \ldots, y_c]\)-module projectif fini (donc, a fortiori, plat), qui est en fait la somme directe de \(\Omega_{A/R} \otimes_A A[y_1, \ldots, y_c]\) et d’un module libre de base les \(\text{d}y_i\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(\text{d}g_1, \ldots, \text{d}g_c\) font partie d’une base du module libre fini \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}\). En effet, cela montrera que \((I/I^2)_{\mathfrak p'}\) est libre sur les \(\pi y_i - g_i\), que le localisé en \(\mathfrak p'\) du morphisme central de la suite est injectif, donc que \(H_1(\NL_{A'/R})_{\mathfrak p'} = 0\), et que le conoyau \(\Omega_{A'/R, \mathfrak p'}\) est libre fini. Pour cela, il suffit de montrer que les images des \(\text{d}g_i\) sont linéairement indépendantes sur \(\kappa(\mathfrak p)\) dans \(\Omega_{A/R, \mathfrak p}/\pi = \Omega_{(A/\pi A)/\kappa, \mathfrak p}\) (l’égalité résulte d’Algèbre, lemme 00RV). Comme \(\kappa \subset \kappa(\mathfrak p) \subset \Lambda/\pi \Lambda\), nous voyons que \(\kappa(\mathfrak p)\) est séparable sur \(\kappa\) (Algèbre, définition 030O). L’indépendance linéaire recherchée résulte alors d’Algèbre, lemme 00TU.

Lemme

Dans la situation 0BJ2, supposons que \(R \to A\) soit lisse en \(\mathfrak q\) et que nous ayons une surjection de \(R\)-algèbres \(B \to A\) de noyau \(I\). Supposons \(R \to B\) lisse en \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}\mathfrak p\). Si le conoyau de \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \to \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] est un \(\Lambda\)-module libre, alors \(R \to A\) est lisse en \(\mathfrak p\).

Démonstration

Le conoyau du morphisme \(I/I^2 \to \Omega_{B/R} \otimes_B A\) est \(\Omega_{A/R}\), voir Algèbre, lemme 00RU. Soit \(d = \dim_\mathfrak q(A/R)\) la dimension relative de \(R \to A\) en \(\mathfrak q\), c’est-à-dire la dimension de \(\Spec(A[1/\pi])\) en \(\mathfrak q\). Voir Algèbre, définition 00QD. Alors \(\Omega_{A/R, \mathfrak q}\) est libre sur \(A_\mathfrak q\) et de rang \(d\) (Algèbre, lemme 00TT). Ainsi, si l’hypothèse du lemme est satisfaite, \(\Omega_{A/R} \otimes_A \Lambda\) est libre de rang \(d\). Il s’ensuit que \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est de dimension \(d\) (car c’est le cas après tensorisation par \(\Lambda/\pi \Lambda\)). Comme \(R \to A\) est plat et que \(\mathfrak p\) est une spécialisation de \(\mathfrak q\), nous voyons que \(\dim_\mathfrak p(A/R) \geq d\) d’après Algèbre, lemme 00QH. Il en résulte que \(R \to A\) est lisse en \(\mathfrak p\) d’après Algèbre, lemmes 00TF et 00TT.

Lemme

Dans la situation 0BJ2, supposons que \(R \to A\) soit lisse en \(\mathfrak q\) et que \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\) soit une extension séparable de corps. Après un nombre fini d’éclatements affines de Néron, l’algèbre \(A\) devient alors lisse sur \(R\) en \(\mathfrak p\).

Démonstration

Choisissons une \(R\)-algèbre \(B\) et une surjection \(B \to A\). Posons \(\mathfrak p_B = (B \to A)^{-1}(\mathfrak p)\) et notons \(r\) la dimension relative de \(R \to B\) en \(\mathfrak p_B\). Nous choisissons \(B\) de sorte que \(R \to B\) soit lisse en \(\mathfrak p_B\). Par exemple, nous pouvons prendre pour \(B\) une algèbre de polynômes en \(r\) variables sur \(R\). Considérons le complexe \[I/I^2 \otimes_A \Lambda \longrightarrow \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda\] du lemme 0BJ5. La structure des modules finis sur \(\Lambda\) (Compléments d’algèbre, lemme 0ASV) montre que le conoyau est de la forme \[\Lambda^{\oplus d} \oplus \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Lambda/\pi^{e_i} \Lambda\] pour certains \(d \geq 0\), \(n \geq 0\) et \(e_i \geq 1\). Remarquons que \(d\) est la dimension relative de \(A/R\) en \(\mathfrak q\) (Algèbre, lemme 00TT). Si le défaut \(e = \sum_{i = 1, \ldots, n} e_i\) est nul, la conclusion résulte du lemme 0BJ5.

Examinons maintenant ce qui se passe lorsque nous effectuons l’éclatement de Néron. Rappelons que \(A'\) est le quotient de \(B'/IB'\) par sa torsion annulée par une puissance de \(\pi\) (lemme 0BJ3) et que \(R \to B'\) est lisse en \(\mathfrak p_{B'}\) (lemme 0BJ4). Après éclatement, nous nous retrouvons donc exactement dans la même situation. Représentons-la par \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I' \ar[r] & B' \ar[r] & A' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Comme \(I \subset \mathfrak p_B\), nous voyons que \(I \to I'\) se factorise par \(\pi I'\). En considérant le morphisme induit de complexes, nous obtenons \[\xymatrix{ I'/(I')^2 \otimes_{A'} \Lambda \ar[r] & \Omega_{B'/R} \otimes_{B'} \Lambda \ar@{=}[r] & M' \\ I/I^2 \otimes_A \Lambda \ar[r] \ar[u] & \Omega_{B/R} \otimes_B \Lambda \ar[u] \ar@{=}[r] & M }\] Alors \(M \subset M'\) sont des \(\Lambda\)-modules libres finis, et le quotient \(M'/M\) est annulé par \(\pi\), voir le lemme 0BJ4. Soient \(N \subset M\) et \(N' \subset M'\) les images des morphismes horizontaux, et posons \(Q = M/N\) et \(Q' = M'/N'\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & M' \ar[r] & Q' \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & M \ar[r] \ar[u] & Q \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Alors \(N \subset N'\) sont des \(\Lambda\)-modules libres de rang \(r - d\). Comme \(I\) s’envoie dans \(\pi I'\), nous voyons que \(N \subset \pi N'\).

Soit \(K = \Lambda_\pi\) le corps des fractions de \(\Lambda\). Nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N' \ar[r] & N'_K \cap M' \ar[r] & Q'_{tor} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[u] & N_K \cap M \ar[r] \ar[u] & Q_{tor} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] dont les lignes sont des suites exactes courtes. Cela montre que la variation du défaut est donnée par \[e - e' = \text{longueur}(Q_{tor}) - \text{longueur}(Q'_{tor}) = \text{longueur}(N'/N) - \text{longueur}(N'_K \cap M' / N_K \cap M)\] Comme \(M'/M\) est annulé par \(\pi\), il en va de même de \(N'_K \cap M' / N_K \cap M\), et sa longueur est au plus \(\dim_K(N_K)\). Comme \(N \subset \pi N'\), nous obtenons \(\text{longueur}(N'/N) \ge \dim_K(N_K)\), avec égalité si et seulement si \(N = \pi N'\).

Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(N\) est strictement contenu dans \(\pi N'\) lorsque \(A\) n’est pas lisse en \(\mathfrak p\) ; c’est le calcul clé de l’argument de Néron. Pour cela, considérons la suite exacte \[I/I^2 \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B) \to \Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p) \to 0\] (qui résulte d’Algèbre, lemme 00RU). Comme \(R \to A\) n’est pas lisse en \(\mathfrak p\), nous voyons que la dimension \(s\) de \(\Omega_{A/R} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est strictement supérieure à \(d\). D’autre part, la première flèche se factorise par le morphisme injectif \[\mathfrak p_B B_{\mathfrak p_B}/\mathfrak p_B^2 B_{\mathfrak p_B} \to \Omega_{B/R} \otimes_B \kappa(\mathfrak p_B)\] d’Algèbre, lemme 00TU ; remarquons que \(\kappa(\mathfrak p)\) est séparable sur \(\kappa\) d’après notre hypothèse sur \(R/\pi R \subset \Lambda/\pi \Lambda\). Nous en concluons qu’il existe des générateurs \(g_1, \ldots, g_t \in I\) tels que \(g_j \in \mathfrak p^2\) pour \(j > r - s\). Les images des \(g_j\) dans \(A'\) appartiennent alors à \(\pi^2 I'\) pour \(j > r - s\). Comme \(r - s < r - d\), au moins un des générateurs minimaux de \(N\) devient divisible par \(\pi^2\) dans \(N'\). Ainsi, \(e\) diminue d’au moins \(1\), ce qui conclut la démonstration.

Si \(R \to \Lambda\) est une extension d’anneaux de valuation discrète, alors \(R \to \Lambda\) est régulier si et seulement si (a) l’indice de ramification vaut \(1\), (b) l’extension des corps de fractions est séparable, et (c) \(R/\mathfrak m_R \subset \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\) est séparable. Le résultat suivant est donc un cas particulier de la désingularisation générale de Néron donnée dans le théorème 07GC.

Lemme

Soit \(R \subset \Lambda\) une extension d’anneaux de valuation discrète d’indice de ramification \(1\) qui induit une extension séparable des corps résiduels et des corps de fractions. Alors \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(R\)-algèbres lisses.

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 07C3, il suffit de montrer que tout \(R \to A \to \Lambda\) comme dans la situation 0BJ2 se factorise sous la forme \(A \to B \to \Lambda\), où \(B\) est une \(R\)-algèbre lisse. Après avoir remplacé \(A\) par son image dans \(\Lambda\), nous pouvons supposer que \(A\) est un domaine dont le corps des fractions \(K\) est un sous-corps du corps des fractions de \(\Lambda\). En particulier, \(K\) est séparable sur le corps des fractions de \(R\) d’après nos hypothèses. Alors \(R \to A\) est lisse en \(\mathfrak q = (0)\) d’après Algèbre, lemme 07ND. Après un nombre fini d’éclatements de Néron, nous pouvons supposer que \(R \to A\) est lisse en \(\mathfrak p\), voir le lemme 0BJ6. Enfin, après avoir remplacé \(A\) par son localisé en un élément \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\), elle devient lisse sur \(R\), ce qui démontre le lemme.

Le problème de relèvement

Le but de cette section est de démontrer (proposition 07CM) que la classe des algèbres qui sont des colimites filtrantes d’algèbres lisses est stable par déformations infinitésimales plates. La démonstration est élémentaire et n’utilise que les résultats sur les présentations d’algèbres lisses de la section 07CD.

Lemme

Soit \(R \to \Lambda\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que

1. \(I^2 = 0\), et

2. \(\Lambda/I\Lambda\) soit une colimite filtrante de \(R/I\)-algèbres lisses.

Soit \(\varphi : A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, où \(A\) est de présentation finie sur \(R\). Il existe alors une factorisation \[A \to B/J \to \Lambda\] où \(B\) est une \(R\)-algèbre lisse et \(J \subset IB\) un idéal de type fini.

Démonstration

Choisissons une factorisation \[A/IA \to \bar B \to \Lambda/I\Lambda\] où \(\bar B\) est standard lisse sur \(R/I\) ; cela est possible d’après l’hypothèse et le lemme 07CI. Écrivons \[\bar B = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)\] et supposons que \(\bar B \to \Lambda/I\Lambda\) envoie \(t_i\) sur la classe de \(\lambda_i\) modulo \(I\Lambda\). Choisissons \(g_1, \ldots, g_s \in A[t_1, \ldots, t_r]\) relevant \(\bar g_1, \ldots, \bar g_s\). Écrivons \(\varphi(g_i)(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) = \sum \epsilon_{ij} \mu_{ij}\) pour certains \(\epsilon_{ij} \in I\) et \(\mu_{ij} \in \Lambda\). Définissons \[A' = A[t_1, \ldots, t_r, \delta_{i, j}]/ (g_i - \sum \epsilon_{ij} \delta_{ij})\] et considérons le morphisme \[A' \longrightarrow \Lambda,\quad a \longmapsto \varphi(a),\quad t_i \longmapsto \lambda_i,\quad \delta_{ij} \longmapsto \mu_{ij}\] Nous avons \[A'/IA' = A/IA[t_1, \ldots, t_r]/(\bar g_1, \ldots, \bar g_s)[\delta_{ij}] \cong \bar B[\delta_{ij}]\] C’est une algèbre standard lisse sur \(R/I\), puisque \(\bar B\) est standard lisse. Choisissons une présentation \(A'/IA' = R/I[x_1, \ldots, x_n]/(\bar f_1, \ldots, \bar f_c)\) telle que \(\det(\partial \bar f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) soit inversible dans \(A'/IA'\). Choisissons des relèvements \(f_1, \ldots, f_c \in R[x_1, \ldots, x_n]\) de \(\bar f_1, \ldots, \bar f_c\). Alors \[B = R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c, x_{n + 1}\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} - 1)\] est lisse sur \(R\). Comme les morphismes d’anneaux lisses sont formellement lisses (Algèbre, proposition 00TN), il existe un morphisme de \(R\)-algèbres \(B \to A'\) qui est un isomorphisme modulo \(I\). Le morphisme \(B \to A'\) est alors surjectif par le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV). Ainsi \(A' = B/J\), où \(J \subset IB\) est de type fini (voir Algèbre, lemme 00R2).

Lemme

Soit \(R \to \Lambda\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que

1. \(I^2 = 0\),

2. \(\Lambda/I\Lambda\) soit une colimite filtrante de \(R/I\)-algèbres lisses, et

3. \(R \to \Lambda\) soit plat.

Soit \(\varphi : B \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, où \(B\) est lisse sur \(R\). Soit \(J \subset IB\) un idéal de type fini tel que \(\varphi(J) = 0\). Il existe alors des morphismes de \(R\)-algèbres \[B \xrightarrow{\alpha} B' \xrightarrow{\beta} \Lambda\] tels que \(B'\) soit lisse sur \(R\), que \(\alpha(J) = 0\) et que \(\beta \circ \alpha = \varphi\).

Démonstration

Si nous savons démontrer le lemme dans le cas \(J = (h)\), nous pouvons le démontrer par récurrence sur le nombre de générateurs de \(J\). Supposons en effet que \(J\) puisse être engendré par \(n\) éléments \(h_1, \ldots, h_n\) et que le lemme soit vrai dans tous les cas où \(J\) est engendré par \(n - 1\) éléments. Nous appliquons d’abord le cas \(n = 1\) pour construire \(B \to B' \to \Lambda\) tel que le premier morphisme annule \(h_n\). Soit ensuite \(J'\) l’idéal de \(B'\) engendré par les images de \(h_1, \ldots, h_{n - 1}\) ; nous appliquons le cas \(n - 1\) pour construire \(B' \to B'' \to \Lambda\). Il est immédiat de vérifier que \(B \to B'' \to \Lambda\) convient.

Supposons \(J = (h)\) et écrivons \(h = \sum \epsilon_i b_i\) pour certains \(\epsilon_i \in I\) et \(b_i \in B\). Remarquons que \(0 = \varphi(h) = \sum \epsilon_i \varphi(b_i)\). Comme \(\Lambda\) est plat sur \(R\), le critère équationnel de platitude (Algèbre, lemme 00HK) implique qu’il existe \(\lambda_j \in \Lambda\), \(j = 1, \ldots, m\), et \(a_{ij} \in R\) tels que \(\varphi(b_i) = \sum_j a_{ij} \lambda_j\) et \(\sum_i \epsilon_i a_{ij} = 0\). Posons \[C = B[x_1, \ldots, x_m]/(b_i - \sum a_{ij} x_j)\] où \(C \to \Lambda\) est défini par \(\varphi\) et \(x_j \mapsto \lambda_j\). Choisissons une factorisation \[C \to B'/J' \to \Lambda\] comme dans le lemme 07CK. Comme \(B\) est lisse sur \(R\), nous pouvons relever le morphisme \(B \to C \to B'/J'\) en un morphisme \(\alpha : B \to B'\). Alors \(\varphi = \beta \circ \alpha\). Pour achever la démonstration, vérifions que \(\alpha(h) = 0\). En effet, le fait que \(\alpha\) relève \(B \to C \to B'/J'\) implique que \[\alpha(b_i) = \sum a_{ij} \xi_j + \theta_i\] pour certains \(\xi_j \in B'\) et \(\theta_i \in J' \subset IB'\). Par conséquent, \[\alpha(h) = \alpha(\sum \epsilon_i b_i) = \sum \epsilon_i a_{ij} \xi_j + \sum \epsilon_i \theta_i = 0\] en vertu des relations ci-dessus et du fait que \(I^2 = 0\).

Proposition

Soit \(R \to \Lambda\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(I \subset R\) un idéal. Supposons que

1. \(I\) soit nilpotent,

2. \(\Lambda/I\Lambda\) soit une colimite filtrante de \(R/I\)-algèbres lisses, et

3. \(R \to \Lambda\) soit plat.

Alors \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(R\)-algèbres lisses.

Démonstration

Comme \(I^n = 0\) pour un certain \(n\), une récurrence sur \(n\) montre qu’il suffit de considérer le cas où \(I^2 = 0\). Soit \(\varphi : A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, où \(A\) est de présentation finie sur \(R\). Nous devons trouver une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) avec \(B\) lisse sur \(R\), voir Algèbre, lemme 07C3. D’après le lemme 07CK, nous pouvons supposer que \(A = B/J\), où \(B\) est lisse sur \(R\) et \(J \subset IB\) est un idéal de type fini. D’après le lemme 07CL, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[rr]_\alpha \ar[rd]_\varphi & & B' \ar[ld]^\beta \\ & \Lambda }\] de \(R\)-algèbres, où \(B'\) est lisse sur \(R\) et \(\alpha(J) = 0\). Ainsi, \(\alpha\) se factorise sous la forme \(B \to A \to B'\), ce qui achève la démonstration.

Le lemme de relèvement

Voici un lemme diaboliquement ingénieux.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien et soit \(\Lambda\) une \(R\)-algèbre. Soit \(\pi \in R\) et supposons que \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) et \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\). Supposons donnés des morphismes de \(R\)-algèbres \(R/\pi^2R \to \bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\) avec \(\bar C\) de présentation finie. Il existe alors un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(D \to \Lambda\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R/\pi^2R \ar[r] \ar[d] & \bar C \ar[r] \ar[d] & \Lambda/\pi^2\Lambda \ar[d] \\ R/\pi R \ar[r] & D/\pi D \ar[r] & \Lambda/\pi \Lambda }\] ayant les propriétés suivantes :

1. \(D\) est de présentation finie,

2. \(R \to D\) est lisse en tout idéal premier \(\mathfrak q\) tel que \(\pi \not \in \mathfrak q\),

3. \(R \to D\) est lisse en tout idéal premier \(\mathfrak q\) tel que \(\pi \in \mathfrak q\) et situé au-dessus d’un idéal premier de \(\bar C\) où \(R/\pi^2 R \to \bar C\) est lisse, et

4. \(\bar C/\pi \bar C \to D/\pi D\) est lisse en tout idéal premier situé au-dessus d’un idéal premier de \(\bar C\) où \(R/\pi^2R \to \bar C\) est lisse.

Démonstration

Choisissons une présentation \[\bar C = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] Notons également \(I = (f_1, \ldots, f_m)\) et \(\bar I\) l’image de \(I\) dans \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\). Puisque \(R\) est noethérien, \(\bar C\) l’est aussi. Le lieu lisse de \(R/\pi^2 R \to \bar C\) est donc quasi-compact, voir Topologie, lemme 0052. En appliquant le lemme 07C6, nous pouvons choisir une famille finie d’éléments \(a_1, \ldots, a_r \in R[x_1, \ldots, x_n]\) telle que

1. la réunion des sous-espaces ouverts \(\Spec(\bar C_{a_k}) \subset \Spec(\bar C)\) recouvre le lieu lisse de \(R/\pi^2 R \to \bar C\), et

2. pour chaque \(k = 1, \ldots, r\), il existe une partie finie \(E_k \subset \{1, \ldots, m\}\) telle que \((\bar I/\bar I^2)_{a_k}\) soit librement engendré par les classes des \(f_j\), \(j \in E_k\).

Posons \(I_k = (f_j, j \in E_k) \subset I\) et notons \(\bar I_k\) l’image de \(I_k\) dans \(R/\pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\). D’après (2) et le lemme de Nakayama, \((\bar I/\bar I_k)_{a_k}\) est annulé par \(1 + b'_k\) pour un certain \(b'_k \in \bar I_{a_k}\). Supposons que \(b'_k\) soit l’image de \(b_k/(a_k)^N\) pour un certain \(b_k \in I\) et un certain entier \(N\). En remplaçant \(a_k\) par \((a_k)^N + b_k\), nous obtenons

1. \((\bar I_k)_{a_k} = (\bar I)_{a_k}\).

Ainsi, quitte à remplacer \(a_k\) par une puissance suffisamment grande, nous pouvons écrire

1. \(a_k f_\ell = \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^jf_j + \pi^2 g_{k, \ell}\)

pour tout \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\) et certains \(h_{k, \ell}^j, g_{k, \ell} \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Si \(\ell \in E_k\), nous choisissons \(h_{k, \ell}^j = a_k\delta_{\ell, j}\) (symbole de Kronecker) et \(g_{k, \ell} = 0\). Posons \[D = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, p_{k, \ell}).\] Ici, \(j \in \{1, \ldots, m\}\), \(k \in \{1, \ldots, r\}\), \(\ell \in \{1, \ldots, m\}\), et \[p_{k, \ell} = a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j - \pi g_{k, \ell}.\] Remarquons que, pour \(\ell \in E_k\), nos choix ci-dessus donnent \(p_{k, \ell} = 0\).

Le morphisme \(R \to D\) est le morphisme structural. Supposons que \(\bar C \to \Lambda/\pi^2\Lambda\) envoie \(x_i\) sur la classe de \(\lambda_i\) modulo \(\pi^2\). Pour un élément \(f \in R[x_1, \ldots, x_n]\), nous notons \(f(\lambda) \in \Lambda\) le résultat de la substitution de \(\lambda_i\) à \(x_i\). Nous savons alors que \(f_j(\lambda) = \pi^2 \mu_j\) pour un certain \(\mu_j \in \Lambda\). Définissons \(D \to \Lambda\) par les règles \(x_i \mapsto \lambda_i\) et \(z_j \mapsto \pi\mu_j\). Ce morphisme est bien défini car \[\begin{align*} p_{k, \ell} & \mapsto a_k(\lambda) \pi \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \pi \mu_j - \pi g_{k, \ell}(\lambda) \\ & = \pi\left(a_k(\lambda) \mu_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(\lambda) \mu_j - g_{k, \ell}(\lambda)\right) \end{align*}\] En substituant \(x_i = \lambda_i\) dans (4), nous voyons que l’expression entre parenthèses est annulée par \(\pi^2\), donc par \(\pi\), puisque nous avons supposé \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\). Le morphisme \(\bar C \to D/\pi D\) est déterminé par \(x_i \mapsto x_i\) (il est manifestement bien défini). Il reste donc à démontrer (b), (c) et (d).

À l’aide de (4), nous obtenons l’égalité clé suivante : \[\begin{align*} \pi p_{k, \ell} & = \pi a_k z_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} \pi h_{k, \ell}^jz_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = - a_k (f_\ell - \pi z_\ell) + a_k f_\ell + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j) - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j - \pi^2 g_{k, \ell} \\ & = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j(f_j - \pi z_j) \end{align*}\] Le résultat est un élément de l’idéal engendré par les \(f_j - \pi z_j\). En particulier, nous voyons que \(D[1/\pi]\) est isomorphe à \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/(f_j - \pi z_j)\) qui est isomorphe à \(R[1/\pi][x_1, \ldots, x_n]\), donc lisse sur \(R\). Cela démontre (b).

Pour \(k \in \{1, \ldots, r\}\) fixé, considérons l’anneau \[D_k = R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j - \pi z_j, j \in E_k, p_{k, \ell})\] Le nombre d’équations est \(m = |E_k| + (m - |E_k|)\), puisque \(p_{k, \ell}\) est nul si \(\ell \in E_k\). Remarquons aussi que \[\begin{align*} (D_k/\pi D_k)_{a_k} & = R/\pi R[x_1, \ldots, x_n, 1/a_k, z_1, \ldots, z_m]/ (f_j, j \in E_k, p_{k, \ell}) \\ & = (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_1, \ldots, z_m]/ (a_kz_\ell - \sum\nolimits_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j z_j) \\ & \cong (\bar C/\pi \bar C)_{a_k}[z_j, j \in E_k] \end{align*}\] En particulier, \((D_k/\pi D_k)_{a_k}\) est lisse sur \((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\). Par notre choix de \(a_k\), l’anneau \((\bar C/\pi \bar C)_{a_k}\) est lisse sur \(R/\pi R\) de dimension relative \(n - |E_k|\), voir (2). Par conséquent, pour un idéal premier \(\mathfrak q_k \subset D_k\) contenant \(\pi\) et situé au-dessus de \(\Spec(\bar C_{a_k})\), l’anneau de la fibre de \(R \to D_k\) est lisse en \(\mathfrak q_k\) de dimension \(n\). Ainsi, \(R \to D_k\) est syntomique en \(\mathfrak q_k\) d’après le décompte ci-dessus du nombre d’équations, voir Algèbre, lemme 00ST. Il s’ensuit que \(R \to D_k\) est lisse en \(\mathfrak q_k\), voir Algèbre, lemme 00TF.

Pour achever la démonstration, soit \(\mathfrak q \subset D\) un idéal premier contenant \(\pi\) et situé au-dessus d’un idéal premier où \(R/\pi^2 R \to \bar C\) est lisse. D’après (1), \(a_k \not \in \mathfrak q\) pour un certain \(k\). Nous allons montrer que la surjection \(D_k \to D\) induit un isomorphisme sur les anneaux locaux en \(\mathfrak q\). Nous savons, par le paragraphe précédent, que les morphismes d’anneaux \(\bar C/\pi \bar C \to D_k/\pi D_k\) et \(R \to D_k\) sont lisses en l’idéal premier correspondant \(\mathfrak q_k\) ; cela démontrera (c) et (d), et achèvera donc la démonstration.

Tout d’abord, pour tout \(\ell\), l’équation démontrée ci-dessus \(\pi p_{k, \ell} = -a_k(f_\ell - \pi z_\ell) + \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j (f_j - \pi z_j)\) montre que \(f_\ell - \pi z_\ell\) a une image nulle dans \((D_k)_{a_k}\), et donc dans \((D_k)_{\mathfrak q_k}\). Les relations (4) impliquent que \(a_k f_\ell = \sum_{j \in E_k} h_{k, \ell}^j f_j\) dans \(I/I^2\). Comme \((\bar I_k/\bar I_k^2)_{a_k}\) est libre sur les \(f_j\), \(j \in E_k\), nous voyons que \[a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j\] est nul dans \(\bar C_{a_k}\) pour tous \(k, k', \ell\) et \(j \in E_k\). Il existe donc un entier \(N\) suffisamment grand tel que \[a_k^N\left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right)\] appartienne à \(I_k + \pi^2R[x_1, \ldots, x_n]\). En calculant modulo \(\pi\), nous obtenons \[\begin{align*} & a_kp_{k', \ell} - a_{k'}p_{k, \ell} + \sum h_{k', \ell}^{j'} p_{k, j'} \\ & = - a_k \sum h_{k', \ell}^{j'} z_{j'} + a_{k'} \sum h_{k, \ell}^j z_j + \sum h_{k', \ell}^{j'} a_k z_{j'} - \sum \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j z_j \\ & = \sum \left( a_{k'} h_{k, \ell}^j - \sum h_{k', \ell}^{j'} h_{k, j'}^j \right) z_j \end{align*}\] avec la convention de sommation d’Einstein. En combinant ce calcul avec ce qui précède, nous voyons que \(a_k^{N + 1} p_{k', \ell}\) appartient à l’idéal engendré par \(I_k\) et \(\pi\) dans \(R[x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_m]\). Ainsi, \(p_{k', \ell}\) s’envoie dans \(\pi (D_k)_{a_k}\). D’autre part, l’équation \[\pi p_{k', \ell} = -a_{k'} (f_\ell - \pi z_\ell) + \sum\nolimits_{j' \in E_{k'}} h_{k', \ell}^{j'}(f_{j'} - \pi z_{j'})\] montre que \(\pi p_{k', \ell}\) est nul dans \((D_k)_{a_k}\). Comme nous avons supposé que \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) et que \((D_k)_{\mathfrak q_k}\) est lisse, donc plat, sur \(R\), nous voyons que \(\text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi) = \text{Ann}_{(D_k)_{\mathfrak q_k}}(\pi^2)\). Nous en concluons que \(p_{k', \ell}\) s’annule également, et donc que \(D_{\mathfrak q} = (D_k)_{\mathfrak q_k}\), ce qui conclut la démonstration.

Le lemme de désingularisation

Voici un autre lemme d’une ingéniosité diabolique.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\Lambda\) une \(R\)-algèbre. Soit \(\pi \in R\) et supposons que \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\). Soit \(A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, avec \(A\) de présentation finie. Supposons que

1. l’image de \(\pi\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\), et

2. il existe une section \(\rho : A/\pi^4 A \to R/\pi^4 R\) compatible avec le morphisme vers \(\Lambda/\pi^4 \Lambda\).

Alors il existe des morphismes de \(R\)-algèbres \(A \to B \to \Lambda\), avec \(B\) de présentation finie, tels que \(\mathfrak a B \subset H_{B/R}\), où \(\mathfrak a = \text{Ann}_R(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi))\).

Démonstration

Choisissons une présentation \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] et un entier \(0 \leq c \leq \min(n, m)\) tels que (07ER) soit satisfaite pour \(\pi\) et que [07CS]\[\begin{equation} \pi f_{c + j} \in (f_1, \ldots, f_c) + (f_1, \ldots, f_m)^2 \end{equation}\] pour \(j = 1, \ldots, m - c\). Disons que \(\rho\) envoie \(x_i\) sur la classe de \(r_i \in R\). Nous pouvons alors remplacer \(x_i\) par \(x_i - r_i\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(\rho(x_i) = 0\) dans \(R/\pi^4 R\). Il s’ensuit que \(f_j(0) \in \pi^4R\) et que \(A \to \Lambda\) envoie \(x_i\) sur \(\pi^4\lambda_i\) pour un certain \(\lambda_i \in \Lambda\). Écrivons \[f_j = f_j(0) + \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji} x_i + \text{termes d'ordre supérieur}\] Il en résulte que le terme constant de \(\partial f_j/\partial x_i\) est \(r_{ji}\). Appliquons \(\rho\) à (07ER) pour \(\pi\) ; nous obtenons \[\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I} \bmod \pi^4R\] pour certains \(r_I \in R\). Nous avons donc \[u\pi = \sum\nolimits_{I \subset \{1, \ldots, n\},\ |I| = c} r_I \det(r_{ji})_{j = 1, \ldots, c,\ i \in I}\] pour un certain \(u \in 1 + \pi^3R\). D’après Algèbre, lemme 07DQ, il existe alors une matrice \(n \times c\) \((s_{ik})\) telle que \[u\pi \delta_{jk} = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} r_{ji}s_{ik}\quad \text{pour tous } j, k = 1, \ldots, c\] (symbole de Kronecker). Introduisons des variables auxiliaires \(v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n\) et posons \[h_i = x_i - \pi^2 \sum\nolimits_{j = 1, \ldots c} s_{ij} v_j - \pi^3 w_i\] Dans la suite, nous utiliserons que \[R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n) = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\] sans autre mention. Dans \(R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\), nous avons \[\begin{align*} f_j & = f_j(x_1 - h_1, \ldots, x_n - h_n) \\ & = \pi^2 \sum\nolimits_{k = 1}^c \left(\sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji} s_{ik}\right) v_k + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \\ & = \pi^3 v_j + \pi^3 \sum\nolimits_{i = 1}^n r_{ji}w_i \bmod \pi^4 \end{align*}\] pour \(1 \leq j \leq c\). Nous pouvons donc choisir des éléments \(g_j \in R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]\) tels que \(g_j = v_j + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\) et que \(f_j = \pi^3 g_j\) dans la \(R\)-algèbre : \[R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (h_1, \ldots, h_n)\] Posons \[B = R[x_1, \ldots, x_n, v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/ (f_1, \ldots, f_m, h_1, \ldots, h_n, g_1, \ldots, g_c).\] Le morphisme \(A \to B\) est évident. Définissons \(B \to \Lambda\) en envoyant \(x_i \to \pi^4\lambda_i\), \(v_i \mapsto 0\), et \(w_i \mapsto \pi \lambda_i\). Il est alors clair que les éléments \(f_j\) et \(h_i\) ont pour image zéro dans \(\Lambda\). De plus, \(g_i\) a manifestement pour image un élément \(t\) de \(\pi\Lambda\) tel que \(\pi^3t = 0\) (car \(f_i = \pi^3 g_i\) modulo l’idéal engendré par les \(h\)). Notre hypothèse \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\) entraîne donc que \(t = 0\). Il reste ainsi à démontrer l’assertion concernant la lissité.

Remarquons que \(B_\pi \cong A_\pi[v_1, \ldots, v_c]\), car les équations \(g_i = 0\) résultent de \(f_i = 0\). Ainsi, \(B_\pi\) est lisse sur \(R\) puisque \(A_\pi\) est lisse sur \(R\) par l’hypothèse selon laquelle \(\pi\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\) ; voir le Lemme 07CA.

Posons \(B' = R[v_1, \ldots, v_c, w_1, \ldots, w_n]/(g_1, \ldots, g_c)\). Comme \(g_i = v_i + \sum r_{ji}w_i \bmod \pi\), nous voyons que \(B'/\pi B' = R/\pi R[w_1, \ldots, w_n]\). Ainsi, \(R \to B'\) est lisse de dimension relative \(n\) en tout point de \(V(\pi)\) d’après Algèbre, lemmes 00ST et 00TF (le premier lemme montre qu’il est syntomique en ces idéaux premiers, donc en particulier plat, après quoi le second lemme montre qu’il est lisse).

Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier tel que \(\pi \in \mathfrak q\) et tel que, pour un certain \(r \in \mathfrak a\), \(r \not \in \mathfrak q\). Notons \(\mathfrak q' = B' \cap \mathfrak q\). Nous affirmons que la surjection \(B' \to B\) induit un isomorphisme d’anneaux locaux \((B')_{\mathfrak q'} \to B_\mathfrak q\). Cela achèvera la démonstration du lemme. Remarquons que \(B_\mathfrak q\) est le quotient de \((B')_{\mathfrak q'}\) par l’idéal engendré par \(f_{c + j}\), \(j = 1, \ldots, m - c\). Nous observons deux faits : premièrement, l’image de \(f_{c + j}\) dans \((B')_{\mathfrak q'}\) est divisible par \(\pi^2\) ; deuxièmement, l’image de \(\pi f_{c + j}\) dans \((B')_{\mathfrak q'}\) peut s’écrire \(\sum b_{j_1 j_2} f_{c + j_1}f_{c + j_2}\) d’après (07CS). Nous voyons donc que l’image de chaque \(\pi f_{c + j}\) appartient à l’idéal engendré par les éléments \(\pi^2 f_{c + j'}\). Ainsi, \(\pi f_{c + j} = 0\) dans \((B')_{\mathfrak q'}\), puisque celui-ci est un anneau local noethérien ; voir Algèbre, lemme 00IP. Comme \(R \to (B')_{\mathfrak q'}\) est plat, nous avons \[\left(\text{Ann}_R(\pi^2)/\text{Ann}_R(\pi)\right) \otimes_R (B')_{\mathfrak q'} = \text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi^2)/\text{Ann}_{(B')_{\mathfrak q'}}(\pi)\] Puisque \(r \in \mathfrak a\) est inversible dans \((B')_{\mathfrak q'}\), nous voyons que ce module est nul. Il s’ensuit que l’image de \(f_{c + j}\) est nulle dans \((B')_{\mathfrak q'}\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\Lambda\) une \(R\)-algèbre. Soit \(\pi \in R\) et supposons que \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) et \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\). Soient \(A \to \Lambda\) et \(D \to \Lambda\) des morphismes de \(R\)-algèbres, avec \(A\) et \(D\) de présentation finie. Supposons que

1. \(\pi\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\), et

2. il existe un morphisme de \(R\)-algèbres \(A/\pi^4 A \to D/\pi^4 D\) compatible avec les morphismes vers \(\Lambda/\pi^4 \Lambda\).

Alors il existe un morphisme de \(R\)-algèbres \(B \to \Lambda\), avec \(B\) de présentation finie, ainsi que des morphismes de \(R\)-algèbres \(A \to B\) et \(D \to B\) compatibles avec les morphismes vers \(\Lambda\), tels que \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\) et \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 07CR à \[D \longrightarrow A \otimes_R D \longrightarrow \Lambda\] et à l’image de \(\pi\) dans \(D\). D’après le Lemme 07CC, \(\pi\) est strictement standard dans \(A \otimes_R D\) sur \(D\). Comme section \(\rho : (A \otimes_R D)/\pi^4 (A \otimes_R D) \to D/\pi^4 D\), prenons le morphisme induit par celui de (2). Ainsi, le Lemme 07CR s’applique et fournit une factorisation \(A \otimes_R D \to B \to \Lambda\), avec \(B\) de présentation finie, et \(\mathfrak a B \subset H_{B/D}\), où \[\mathfrak a = \text{Ann}_D(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)).\] Pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(D\) tel que \(D_\mathfrak q\) soit plat sur \(R\), nous avons \(\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi^2)/\text{Ann}_{D_\mathfrak q}(\pi) = 0\) car la formation des annulateurs d’éléments commute au changement de base plat et nous avons supposé \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\). Comme \(D\) est noethérien, \(\text{Ann}_D(\pi^2)/\text{Ann}_D(\pi)\) est un \(D\)-module de type fini ; la formation de son annulateur commute donc à la localisation. Nous voyons ainsi que \(\mathfrak a \not \subset \mathfrak q\). Par conséquent, \(D \to B\) est lisse en tout idéal premier de \(B\) situé au-dessus de \(\mathfrak q\). Puisque, en tout idéal premier de \(D\) où \(R \to D\) est lisse, \(D_\mathfrak q\) est plat sur \(R\), nous concluons que \(H_{D/R}B \subset H_{B/D}\). La dernière inclusion \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\) résulte du fait que les composées de morphismes d’anneaux lisses sont lisses (Algèbre, lemme 00TD).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\Lambda\) une \(R\)-algèbre. Soit \(\pi \in R\) et supposons que \(\text{Ann}_R(\pi) = \text{Ann}_R(\pi^2)\) et \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\). Soit \(A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, avec \(A\) de présentation finie, et supposons que \(\pi\) est strictement standard dans \(A\) sur \(R\). Soit \[A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\] une factorisation, avec \(\bar C\) de présentation finie. Alors il existe une factorisation \(A \to B \to \Lambda\), avec \(B\) de présentation finie, telle que \(R_\pi \to B_\pi\) soit lisse et que \[H_{\bar C/(R/\pi^8 R)} \cdot \Lambda/\pi^8\Lambda \subset \sqrt{H_{B/R} \Lambda} \bmod \pi^8\Lambda.\]

Démonstration

Appliquons le Lemme 07CP pour obtenir \(R \to D \to \Lambda\) avec une factorisation \(\bar C/\pi^4\bar C \to D/\pi^4 D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\) telle que \(R \to D\) soit lisse en tout idéal premier ne contenant pas \(\pi\) et en tout idéal premier situé au-dessus d’un idéal premier de \(\bar C/\pi^4\bar C\) où \(R/\pi^8 R \to \bar C\) est lisse. D’après le Lemme 07CT, il existe une \(R\)-algèbre \(B\) de présentation finie et des factorisations \(A \to B \to \Lambda\) et \(D \to B \to \Lambda\) telles que \(H_{D/R}B \subset H_{B/R}\). Nous omettons de vérifier qu’il s’agit bien d’une solution au problème posé par le lemme.

Préliminaire : réduction à un corps de base

Dans cette section, nous appliquons les lemmes des sections précédentes pour montrer qu’il suffit de démontrer le résultat principal lorsque l’anneau de base est un corps ; voir le Lemme 07F5.

Situation

Ici, \(R \to \Lambda\) est un morphisme d’anneaux régulier entre anneaux noethériens.

Soit \(R \to \Lambda\) comme dans la Situation 07F2. Nous disons que PT est vraie pour \(R \to \Lambda\) si \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(R\)-algèbres lisses.

Lemme

Soient \(R_i \to \Lambda_i\), \(i = 1, 2\), comme dans la Situation 07F2. Si PT est vraie pour \(R_i \to \Lambda_i\), \(i = 1, 2\), alors PT est vraie pour \(R_1 \times R_2 \to \Lambda_1 \times \Lambda_2\).

Démonstration

Omis. Indication : un produit de colimites filtrantes est une colimite filtrante.

Lemme

Soient \(R \to A \to \Lambda\) des morphismes d’anneaux, avec \(A\) de présentation finie sur \(R\). Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Soit \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\) une factorisation telle que \(B'\) soit lisse sur \(S^{-1}R\). Alors il existe une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) telle que l’image d’un certain \(s \in S\) soit un élément standard élémentaire (Définition 07C7) dans \(B\) sur \(R\).

Démonstration

Appliquons d’abord le Lemme 07CH à \(S^{-1}R \to B'\). Nous pouvons donc supposer que \(B'\) est standard lisse sur \(S^{-1}R\). Écrivons \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\) et supposons que \(x_i \mapsto \lambda_i\) dans \(\Lambda\). Nous pouvons écrire \(B' = S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) pour un certain \(c \geq n\), où \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) est inversible dans \(B'\) et tel que \(A \to B'\) soit donné par \(x_i \mapsto x_i\) ; voir le Lemme 07EY. Après avoir multiplié \(x_i\), \(i > n\), par un élément de \(S\) et modifié en conséquence les équations \(f_j\), nous pouvons supposer que \(B' \to S^{-1}\Lambda\) envoie \(x_i\) sur \(\lambda_i/1\) pour un certain \(\lambda_i \in \Lambda\), lorsque \(i > n\). Choisissons une relation \[1 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] pour certains \(a_j \in S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\). Puisque tout élément de \(S\) est inversible dans \(B'\), nous pouvons, en chassant les dénominateurs, supposer que \(f_j, a_j \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) et que \[s_0 = a_0 \det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} a_jf_j\] pour un certain \(s_0 \in S\). Puisque \(g_j\) a pour image zéro dans \(S^{-1}R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) il existe des éléments \(s_j \in S\) tels que \(s_j g_j = 0\) dans \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\). Puisque \(f_j\) a pour image zéro dans \(S^{-1}\Lambda\), il existe \(s'_j \in S\) tel que \(s'_j f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m}) = 0\) dans \(\Lambda\). Considérons l’anneau \[B = R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/ (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c, g_1, \ldots, g_t)\] et la factorisation \(A \to B \to \Lambda\), où \(B \to \Lambda\) est donné par \(x_i \mapsto \lambda_i\). Nous affirmons que \(s = s_0s_1 \ldots s_ts'_1 \ldots s'_c\) est standard élémentaire dans \(B\) sur \(R\), ce qui achève la démonstration. En effet, \(s_j g_j \in (f_1, \ldots, f_c)\), et donc \(sg_j \in (s'_1f_1, \ldots, s'_cf_c)\). Enfin, nous avons \[a_0\det(\partial s'_jf_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c} + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, c} (s'_1 \ldots \hat{s'_j} \ldots s'_c) a_j s'_jf_j = s_0s'_1\ldots s'_c\] qui divise \(s\), comme souhaité.

Lemme

Si PT est vraie pour toute Situation 07F2 où \(R\) est un corps, alors PT est vraie en général.

Démonstration

Supposons que PT soit vraie pour toute Situation 07F2 où \(R\) est un corps. Soit \(R \to \Lambda\) une Situation 07F2 arbitraire. Remarquons que \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\) est encore un morphisme d’anneaux régulier entre anneaux noethériens ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07C1. Considérons l’ensemble d’idéaux \[\mathcal{I} = \{I \subset R \mid R/I \to \Lambda/I\Lambda \text{ ne vérifie pas PT}\}\] Nous devons montrer que \(\mathcal{I}\) est vide. Si cet ensemble est non vide, il contient un élément maximal puisque \(R\) est noethérien. En remplaçant \(R\) par \(R/I\) et \(\Lambda\) par \(\Lambda/I\), nous obtenons une situation où PT est vraie pour \(R/I \to \Lambda/I\Lambda\) pour tout idéal non nul de \(R\). En particulier, en appliquant la Proposition 07CM, nous voyons que \(R\) est un anneau réduit.

Soit \(A \to \Lambda\) un morphisme de \(R\)-algèbres, avec \(A\) de présentation finie. Nous devons trouver une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) où \(B\) est lisse sur \(R\) ; voir Algèbre, lemme 07C3.

Soit \(S \subset R\) l’ensemble des non-diviseurs de zéro et considérons l’anneau total des fractions \(Q = S^{-1}R\) de \(R\). Nous savons que \(Q = K_1 \times \ldots \times K_n\) est un produit de corps ; voir Algèbre, lemmes 02LX et 00FR. D’après le Lemme 07F3 et notre hypothèse, PT est vraie pour le morphisme d’anneaux \(S^{-1}R \to S^{-1}\Lambda\). Il existe donc une factorisation \(S^{-1}A \to B' \to S^{-1}\Lambda\) où \(B'\) est lisse sur \(S^{-1}R\).

Appliquons le Lemme 07F4 ; nous obtenons une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) telle qu’un certain \(\pi \in S\) soit standard élémentaire dans \(B\) sur \(R\). Après avoir remplacé \(A\) par \(B\), nous pouvons supposer que \(\pi\) est standard élémentaire, donc strictement standard dans \(A\). Nous savons que \(R/\pi^8R \to \Lambda/\pi^8\Lambda\) vérifie PT. Il existe donc une factorisation \(R/\pi^8 R \to A/\pi^8A \to \bar C \to \Lambda/\pi^8\Lambda\) où \(R/\pi^8 R \to \bar C\) est lisse. D’après le Lemme 07CP, il existe un morphisme de \(R\)-algèbres \(D \to \Lambda\), avec \(D\) lisse sur \(R\), et une factorisation \(R/\pi^4 R \to A/\pi^4A \to D/\pi^4D \to \Lambda/\pi^4\Lambda\). D’après le Lemme 07CT, il existe \(A \to B \to \Lambda\) avec \(B\) lisse sur \(R\), ce qui achève la démonstration.

Arguments locaux

Situation

On se donne un anneau noethérien \(R\), un morphisme de \(R\)-algèbres \(A \to \Lambda\) et un idéal premier \(\mathfrak q \subset \Lambda\). Nous supposons que \(A\) est de présentation finie sur \(R\). Dans cette situation, nous notons \(\mathfrak h_A = \sqrt{H_{A/R} \Lambda}\).

Soit \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7. Nous disons que \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) peut être résolu s’il existe une factorisation \(A \to B \to \Lambda\) avec \(B\) de présentation finie et \(\mathfrak h_A \subset \mathfrak h_B \not \subset \mathfrak q\). Dans ce cas, nous appelons la factorisation \(A \to B \to \Lambda\) une résolution de \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\).

Lemme

Soit \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7. Soit \(r \geq 1\), et supposons que \(\pi_1, \ldots, \pi_r \in R\) ont leurs images dans \(\mathfrak q\). Supposons que

1. pour \(i = 1, \ldots, r\), nous avons \[\text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i) = \text{Ann}_{R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)R}(\pi_i^2)\] et \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_{i - 1}^8)\Lambda}(\pi_i^2)\]

2. pour \(i = 1, \ldots, r\), l’élément \(\pi_i\) a pour image un élément strictement standard dans \(A\) sur \(R\).

Alors, si \[R/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)R \to A/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)A \to \Lambda/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda \supset \mathfrak q/(\pi_1^8, \ldots, \pi_r^8)\Lambda\] peut être résolu, il en va de même de \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\).

Démonstration

Nous allons le démontrer par récurrence sur \(r\).

Le cas \(r = 1\). L’hypothèse affirme ici qu’il existe une factorisation \(A/\pi_1^8 \to \bar C \to \Lambda/\pi_1^8\) qui résout la situation modulo \(\pi_1^8\). Les conditions (1) et (2) sont les hypothèses nécessaires pour appliquer le Lemme 07F0. Nous pouvons donc “relever” la résolution \(\bar C\) en une résolution de \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\).

Le cas \(r > 1\). Dans ce cas, appliquons l’hypothèse de récurrence pour \(r - 1\) à la situation \(R/\pi_1^8 \to A/\pi_1^8 \to \Lambda/\pi_1^8 \supset \mathfrak q/\pi_1^8\Lambda\). Remarquons que la propriété (2) est préservée par le Lemme 07CC.

Lemme

Soit \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7. Soit \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\). Supposons que \(\mathfrak q\) soit minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\) et que \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) puisse être résolu. Alors il existe une factorisation \(A \to C \to \Lambda\), avec \(C\) de présentation finie, telle que \(H_{C/R} \Lambda \not \subset \mathfrak q\).

Démonstration

Soit \(A_\mathfrak p \to C \to \Lambda_\mathfrak q\) une résolution de \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\). Comme \(\mathfrak q\) est, par hypothèse, minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\), cela signifie que \(H_{C/R_\mathfrak p} \Lambda_\mathfrak q = \Lambda_\mathfrak q\). D’après le Lemme 07EU, nous pouvons supposer que \(C\) est lisse sur \(R_\mathfrak p\). D’après le Lemme 07CH, nous pouvons supposer que \(C\) est standard lisse sur \(R_\mathfrak p\). Écrivons \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_t)\) et supposons que \(A \to \Lambda\) est donné par \(x_i \mapsto \lambda_i\). Écrivons \(C = R_\mathfrak p[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\) pour un certain \(c \geq n\), de sorte que \(A \to C\) envoie \(x_i\) sur \(x_i\) et que \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) soit inversible dans \(C\) ; voir le Lemme 07EY. Après avoir chassé les dénominateurs, nous pouvons supposer que \(f_1, \ldots, f_c\) sont des éléments de \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\). Bien entendu, \(\det(\partial f_j/\partial x_i)_{i, j = 1, \ldots, c}\) n’est pas inversible dans \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\), mais il le devient après inversion d’un certain élément \(s_0 \in R\), \(s_0 \not \in \mathfrak p\). Comme \(g_j\) a pour image zéro par \(R[x_1, \ldots, x_n] \to A \to C\), il existe \(s_j \in R\), \(s_j \not \in \mathfrak p\), tel que \(s_j g_j\) soit nul dans \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]/(f_1, \ldots, f_c)\). Écrivons \(f_j = F_j(x_1, \ldots, x_{n + m}, 1)\) pour un polynôme \(F_j \in R[x_1, \ldots, x_n, X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}]\) homogène en \(X_{n + 1}, \ldots, X_{n + m + 1}\). Choisissons \(\lambda_{n + i} \in \Lambda\), \(i = 1, \ldots, m + 1\), avec \(\lambda_{n + m + 1} \not \in \mathfrak q\), de sorte que \(x_{n + i}\) ait pour image \(\lambda_{n + i}/\lambda_{n + m + 1}\) dans \(\Lambda_\mathfrak q\). Alors \[\begin{align*} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}, 1) \\ & = (\lambda_{n + m + 1})^{\deg(F_j)} f_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \frac{\lambda_{n + 1}}{\lambda_{n + m + 1}}, \ldots, \frac{\lambda_{n + m}}{\lambda_{n + m + 1}}) \\ & = 0 \end{align*}\] dans \(\Lambda_\mathfrak q\). Il existe donc \(\lambda_0 \in \Lambda\), \(\lambda_0 \not \in \mathfrak q\), tel que \(\lambda_0 F_j(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n + m + 1}) = 0\) dans \(\Lambda\). Posons maintenant \(B\) égal à \[R[x_0, \ldots, x_{n + m + 1}]/ (g_1, \ldots, g_t, x_0F_1(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}), \ldots, x_0F_c(x_1, \ldots, x_{n + m + 1}))\] que nous envoyons dans \(\Lambda\) en envoyant \(x_i\) sur \(\lambda_i\). Soit \(b\) l’image de \(x_0 x_{n + m + 1} s_0 s_1 \ldots s_t\) dans \(B\). Alors \(B_b\) est isomorphe à \[R_{s_0s_1 \ldots s_t}[x_0, x_1, \ldots, x_{n + m + 1}, 1/x_0x_{n + m + 1}]/ (f_1, \ldots, f_c)\] qui est lisse sur \(R\) par construction. Puisque l’image de \(b\) n’appartient pas à \(\mathfrak q\), le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7. Soit \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\). Supposons que

1. \(\mathfrak q\) est minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\),

2. \(R_\mathfrak p \to A_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) peut être résolu, et

3. \(\dim(\Lambda_\mathfrak q) = 0\).

Alors \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) peut être résolu.

Démonstration

Par (3), l’anneau \(\Lambda_\mathfrak q\) est local artinien ; ainsi, \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\) est nilpotent. Par conséquent, \((\mathfrak h_A)^N \Lambda_\mathfrak q = 0\) pour un certain \(N > 0\). Il existe donc \(\lambda \in \Lambda\), \(\lambda \not \in \mathfrak q\), tel que \(\lambda (\mathfrak h_A)^N = 0\) dans \(\Lambda\). Écrivons \(H_{A/R} = (a_1, \ldots, a_r)\), de sorte que \(\lambda a_i^N = 0\) dans \(\Lambda\). D’après le Lemme 07F9, il existe une factorisation \(A \to C \to \Lambda\), avec \(C\) de présentation finie, telle que \(\mathfrak h_C \not \subset \mathfrak q\). Écrivons \(C = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Posons \[B = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_r, z, t_{ij}]/ (f_j - \sum y_i t_{ij}, zy_i)\] où les \(t_{ij}\) forment un ensemble de \(rm\) variables. Remarquons qu’il existe un morphisme \(B \to C[y_i, z]/(y_iz)\) obtenu en posant les \(t_{ij}\) égaux à zéro. Le morphisme \(B \to \Lambda\) est la composée \(B \to C[y_i, z]/(y_iz) \to \Lambda\), où \(C[y_i, z]/(y_iz) \to \Lambda\) est le morphisme donné \(C \to \Lambda\), envoie \(z\) sur \(\lambda\) et envoie \(y_i\) sur l’image de \(a_i^N\) dans \(\Lambda\).

Nous affirmons que \(B\) est une solution pour \(R \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\). Remarquons d’abord que \(B_z\) est isomorphe à \(C[z, z^{-1}, t_{ij}]\). Choisissons \(c \in H_{C/R}\) dont l’image dans \(\Lambda\) n’appartient pas à \(\mathfrak q\). Alors \(B_{zc}\) est lisse sur \(R\). D’autre part, \(B_{y_\ell} \cong A[x_i, y_i, y_\ell^{-1}, t_{ij}, i \not = \ell]\) qui est lisse sur \(A\). Nous voyons ainsi que \(zc\) et les \(a_\ell y_\ell\) (les composées de morphismes lisses sont lisses) sont tous des éléments de \(H_{B/R}\). Cela démontre le lemme.

Corps résiduels séparables

Dans cette section, nous expliquons comment résoudre un problème local dans le cas d’une extension séparable de corps résiduels.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative. Si \(\pi \in A\) et \(\Ker(\pi : S^{-1}M \to S^{-1}M) = \Ker(\pi^2 : S^{-1}M \to S^{-1}M)\) alors il existe \(s \in S\) tel que, pour tout \(n > 0\), nous ayons \(\Ker(s^n\pi : M \to M) = \Ker((s^n\pi)^2 : M \to M)\).

Démonstration

Posons \(K = \Ker(\pi : M \to M)\) et \(K' = \{m \in M \mid \pi^2 m = 0\text{ dans }S^{-1}M\}\) et \(Q = K'/K\). Remarquons que \(S^{-1}Q = 0\) par hypothèse. Comme \(A\) est noethérien, \(Q\) est un \(A\)-module de type fini. Il existe donc \(s \in S\) tel que \(s\) annule \(Q\). Alors \(s\) convient.

Lemme

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(I \subset \mathfrak q\), où ce dernier est un idéal premier. Soient \(n, e\) des entiers positifs. Supposons que \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset I\Lambda_\mathfrak q\) et que \(\Lambda_\mathfrak q\) soit un anneau local régulier de dimension \(d\). Alors il existe des éléments \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \Lambda\) tels que

1. \((\pi_1, \ldots, \pi_d)\Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q\),

2. \(\pi_1^n, \ldots, \pi_d^n \in I\), et

3. pour \(i = 1, \ldots, d\), nous avons \[\text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i) = \text{Ann}_{\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)\Lambda}(\pi_i^2).\]

Démonstration

Posons \(S = \Lambda \setminus \mathfrak q\), de sorte que \(\Lambda_\mathfrak q = S^{-1}\Lambda\). Choisissons d’abord \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) satisfaisant (1), ce qui est possible puisque \(\Lambda_\mathfrak q\) est régulier. Par hypothèse, \(\pi_i^n \in I\Lambda_\mathfrak q\). Il existe donc \(s_1, \ldots, s_d \in S\) tels que \(s_i\pi_i^n \in I\). En remplaçant \(\pi_i\) par \(s_i\pi_i\), nous obtenons (2). Remarquons que (1) et (2) sont préservées par toute multiplication ultérieure par des éléments de \(S\). Supposons que (3) soit satisfaite pour \(i = 1, \ldots, t\), pour un certain \(t \in \{0, \ldots, d\}\). Remarquons que \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) est une suite régulière dans \(S^{-1}\Lambda\) ; voir Algèbre, lemme 00NQ. En particulier, \(\pi_1^e, \ldots, \pi_t^e, \pi_{t + 1}\) est une suite régulière dans \(S^{-1}\Lambda = \Lambda_\mathfrak q\) d’après Algèbre, lemme 07DV. Nous obtenons donc \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_{i - 1}^e)}(\pi_i^2).\] Nous obtenons ainsi (3) pour \(i = t + 1\) après avoir remplacé \(\pi_{t + 1}\) par \(s\pi_{t + 1}\) pour un certain \(s \in S\), d’après le Lemme 07FC. Par récurrence sur \(t\), ceci produit une suite satisfaisant (1), (2) et (3).

Lemme

Soit \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7, où

1. \(k\) est un corps,

2. \(\Lambda\) est noethérien,

3. \(\mathfrak q\) est minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\),

4. \(\Lambda_\mathfrak q\) est un anneau local régulier, et

5. l’extension de corps \(\kappa(\mathfrak q)/k\) est séparable.

Alors \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) peut être résolu.

Démonstration

Posons \(d = \dim \Lambda_\mathfrak q\). Posons \(R = k[x_1, \ldots, x_d]\). Choisissons \(n > 0\) tel que \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset \mathfrak h_A\Lambda_\mathfrak q\) ce qui est possible puisque \(\mathfrak q\) est minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\). Choisissons des générateurs \(a_1, \ldots, a_r\) de \(H_{A/k}\). Posons \[B = A[x_1, \ldots, x_d, z_{ij}]/(x_i^n - \sum z_{ij}a_j)\] Chaque \(B_{a_j}\) est lisse sur \(R\) : c’est une algèbre de polynômes sur \(A_{a_j}[x_1, \ldots, x_d]\), et \(A_{a_j}\) est lisse sur \(k\). Par conséquent, \(B_{x_i}\) est lisse sur \(R\). Soit \(B \to C\) le morphisme de \(R\)-algèbres construit dans le Lemme 07CE, qui est muni d’une rétraction de \(R\)-algèbres \(C \to B\). En particulier, nous obtenons un morphisme \(C \to \Lambda\) s’insérant dans le diagramme ci-dessous. Par construction, \(C_{x_i}\) est une \(R\)-algèbre lisse dont \(\Omega_{C_{x_i}/R}\) est libre. Il existe donc \(c > 0\) tel que \(x_i^c\) soit strictement standard dans \(C/R\) ; voir le Lemme 07EZ. Choisissons maintenant \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \Lambda\) comme dans le Lemme 07FD, où \(n = n\), \(e = 8c\), \(\mathfrak q = \mathfrak q\) et \(I = \mathfrak h_A\). Écrivons \(\pi_i^n = \sum \lambda_{ij} a_j\) pour certains \(\lambda_{ij} \in \Lambda\). Il existe un morphisme \(B \to \Lambda\) donné par \(x_i \mapsto \pi_i\) et \(z_{ij} \mapsto \lambda_{ij}\). Posons \(R = k[x_1, \ldots, x_d]\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r] & B \ar[rd] \\ k \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & \Lambda }\] Appliquons maintenant le Lemme 07F8 à \(R \to C \to \Lambda \supset \mathfrak q\) et à la suite d’éléments \(x_1^c, \ldots, x_d^c\) de \(R\). L’hypothèse (2) est claire. L’hypothèse (1) est satisfaite pour \(R\) par inspection et pour \(\Lambda\) grâce à notre choix de \(\pi_1, \ldots, \pi_d\). (Remarquons que si \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^2)\), alors nous avons \(\text{Ann}_\Lambda(\pi) = \text{Ann}_\Lambda(\pi^c)\) pour tout \(c > 0\).) Il suffit donc de résoudre \[R/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to C/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e) \supset \mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] pour \(e = 8c\). D’après le Lemme 07FA, il suffit de résoudre cette situation après localisation en \(\mathfrak q\). Mais puisque \(x_1, \ldots, x_d\) ont pour images une suite régulière dans \(\Lambda_\mathfrak q\), nous voyons que \(R_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\) est plat ; voir Algèbre, lemme 07DY. Par conséquent, \[R_\mathfrak p/(x_1^e, \ldots, x_d^e) \to \Lambda_\mathfrak q/(\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\] est un morphisme d’anneaux plat entre anneaux locaux artiniens. De plus, ce morphisme induit par hypothèse une extension séparable de corps résiduels. Ce morphisme est donc une colimite filtrante d’algèbres lisses d’après Algèbre, lemme 07BV, et la Proposition 07CM. L’existence de la solution souhaitée résulte de Algèbre, lemme 07C3.

Extensions inséparables de corps résiduels

Dans cette section, nous expliquons comment résoudre un problème local dans le cas d’une extension inséparable de corps résiduels.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \((\Lambda, \mathfrak m, K)\) une \(k\)-algèbre locale artinienne. Supposons que \(\dim H_1(L_{K/k}) < \infty\). Alors \(\Lambda\) est une colimite filtrante de \(k\)-algèbres locales artiniennes \(A\) telles que chaque morphisme \(A \to \Lambda\) soit plat, que \(\mathfrak m_A \Lambda = \mathfrak m\) et que \(A\) soit essentiellement de type fini sur \(k\).

Démonstration

Remarquons que la platitude de \(A \to \Lambda\) implique que \(A \to \Lambda\) est injectif ; le lemme affirme donc en réalité que \(\Lambda\) est une réunion filtrante de sous-anneaux \(A \subset \Lambda\) de ce type. Soit \(n\) le plus petit entier tel que \(\mathfrak m^n = 0\). Nous démontrons ce lemme par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) est clair, car une extension de corps est la réunion de ses sous-extensions de type fini.

Choisissons \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d \in \mathfrak m\) qui engendrent \(\mathfrak m\). Comme \(K\) est formellement lisse sur \(\mathbf{F}_p\) (voir Algèbre, lemme 0320), nous pouvons trouver un morphisme d’anneaux \(\sigma : K \to \Lambda\) qui est une section du morphisme quotient \(\Lambda \to K\). En général, \(\sigma\) n’est pas un morphisme de \(k\)-algèbres. Étant donné \(\sigma\), définissons \[\Psi_\sigma : K[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow \Lambda\] en utilisant \(\sigma\) sur les éléments de \(K\) et en envoyant \(x_i\) sur \(\lambda_i\). Assertion : il existe un \(\sigma : K \to \Lambda\) et un sous-corps \(k \subset F \subset K\) de type fini sur \(k\) tels que l’image de \(k\) dans \(\Lambda\) soit contenue dans \(\Psi_\sigma(F[x_1, \ldots, x_d])\).

Nous démontrons l’assertion par récurrence sur le plus petit entier \(n\) tel que \(\mathfrak m^n = 0\). Elle est claire pour \(n = 1\). Si \(n > 1\), posons \(I = \mathfrak m^{n - 1}\) et \(\Lambda' = \Lambda/I\). Par récurrence, nous pouvons supposer donnés \(\sigma' : K \to \Lambda'\) et \(k \subset F' \subset K\), le corps intermédiaire étant de type fini sur le corps de base, tels que l’image de \(k \to \Lambda \to \Lambda'\) soit contenue dans \(A' = \Psi_{\sigma'}(F'[x_1, \ldots, x_d])\). Notons \(\tau' : k \to A'\) le morphisme induit. Choisissons un relèvement \(\sigma : K \to \Lambda\) de \(\sigma'\) (cela est possible par la lissité formelle de \(K/\mathbf{F}_p\) mentionnée ci-dessus). Pour usage ultérieur, remarquons que nous pouvons remplacer \(\sigma\) par \(\sigma + D\) pour une certaine dérivation \(D : K \to I\). Posons \(A = F'[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n\). Alors \(\Psi_\sigma\) induit un morphisme d’anneaux \(\Psi_\sigma : A \to \Lambda\). La composition avec le morphisme quotient \(\Lambda \to \Lambda'\) induit un morphisme surjectif \(A \to A'\) de noyau nilpotent. Choisissons un relèvement \(\tau : k \to A\) de \(\tau'\) (possible puisque \(k/\mathbf{F}_p\) est formellement lisse). Nous obtenons ainsi deux morphismes \(k \to \Lambda\), à savoir \(\Psi_\sigma \circ \tau : k \to \Lambda\) et le morphisme donné \(i : k \to \Lambda\). Ces morphismes coïncident modulo \(I\) ; leur différence est donc une dérivation \(\theta = i - \Psi_\sigma \circ \tau : k \to I\). Remarquons que si nous remplaçons \(\sigma\) par \(\sigma + D\), alors nous remplaçons \(\theta\) par \(\theta - D|_k\).

Choisissons une famille d’éléments \(\{y_j\}_{j \in J}\) de \(k\) dont les différentielles \(\text{d}y_j\) forment une base de \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\). La suite de Jacobi-Zariski pour \(\mathbf{F}_p \subset k \subset K\) est \[0 \to H_1(L_{K/k}) \to \Omega_{k/\mathbf{F}_p} \otimes K \to \Omega_{K/\mathbf{F}_p} \to \Omega_{K/k} \to 0\] Comme \(\dim H_1(L_{K/k}) < \infty\), nous pouvons trouver un sous-ensemble fini \(J_0 \subset J\) tel que l’image du premier morphisme soit contenue dans \(\bigoplus_{j \in J_0} K\text{d}y_j\). Par conséquent, les images des éléments \(\text{d}y_j\), \(j \in J \setminus J_0\), sont \(K\)-linéairement indépendantes dans \(\Omega_{K/\mathbf{F}_p}\). Nous pouvons donc choisir \(D : K \to I\) tel que \(\theta - D|_k = \xi \circ \text{d}\), où \(\xi\) est la composition \[\Omega_{k/\mathbf{F}_p} = \bigoplus\nolimits_{j \in J} k \text{d}y_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J_0} k \text{d}y_j \longrightarrow I\] Posons \(f_j = \xi(\text{d}y_j) \in I\) pour \(j \in J_0\). Remplaçons \(\sigma\) par \(\sigma + D\) comme ci-dessus. Nous voyons alors que \(\theta(a) = \sum_{j \in J_0} a_j f_j\) pour \(a \in k\), où \(\text{d}a = \sum a_j \text{d}y_j\) dans \(\Omega_{k/\mathbf{F}_p}\). Remarquons que \(I\) est engendré par les monômes \(\lambda^E = \lambda_1^{e_1} \ldots \lambda_d^{e_d}\) de degré total \(|E| = \sum e_i = n - 1\) en \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\). Écrivons \(f_j = \sum_E c_{j, E} \lambda^E\) avec \(c_{j, E} \in K\). Remplaçons \(F'\) par \(F = F'(c_{j, E})\). L’assertion est alors démontrée.

Choisissons \(\sigma\) et \(F\) comme dans l’assertion. Le noyau de \(\Psi_\sigma\) est engendré par un nombre fini de polynômes \(g_1, \ldots, g_t \in K[x_1, \ldots, x_d]\) et, après avoir agrandi \(F\) en lui adjoignant un nombre fini d’éléments, nous pouvons supposer que leurs coefficients appartiennent à \(F\). Dans ce cas, il est clair que le morphisme \(A = F[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) \to K[x_1, \ldots, x_d]/(g_1, \ldots, g_t) = \Lambda\) est plat. D’après l’assertion, \(A\) est une sous-\(k\)-algèbre de \(\Lambda\). Il est clair que \(\Lambda\) est la colimite filtrante de ces algèbres, puisque \(K\) est la réunion filtrante des sous-corps \(F\). Enfin, ces algèbres sont essentiellement de type fini sur \(k\) d’après Algèbre, lemme 07DT.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(\Lambda\) une \(k\)-algèbre noethérienne géométriquement régulière. Soit \(\mathfrak q \subset \Lambda\) un idéal premier. Soit \(n \geq 1\) un entier et soit \(E \subset \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) un sous-ensemble fini. Alors nous pouvons trouver \(m \geq 0\) et \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\) ayant les propriétés suivantes :

1. en posant \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\), nous avons \(\mathfrak q\Lambda_\mathfrak q = \mathfrak p \Lambda_\mathfrak q\) et \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\) est plat,

2. il existe une factorisation par des morphismes d’anneaux locaux artiniens \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] où la première flèche est essentiellement lisse et la seconde est plate,

3. \(E\) est contenu dans \(D\) modulo \(\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\).

Démonstration

Posons \(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\). Remarquons que \(\dim H_1(L_{\kappa(\mathfrak q)/k}) < \infty\) d’après Compléments d’algèbre, proposition 07E5. Choisissons \(A \subset \bar \Lambda\) contenant \(E\), telle que \(A\) soit locale artinienne, essentiellement de type fini sur \(k\), que le morphisme \(A \to \bar \Lambda\) soit plat et que \(\mathfrak m_A\) engendre l’idéal maximal de \(\bar \Lambda\) ; voir le Lemme 07FG. Notons \(F = A/\mathfrak m_A\) le corps résiduel, de sorte que \(k \subset F \subset K\). Choisissons \(\lambda_1, \ldots, \lambda_t \in \Lambda\) dont les images appartiennent à \(A\) dans \(\bar \Lambda\) et tels que, de plus, les images de \(\text{d}\lambda_1, \ldots, \text{d}\lambda_t\) forment une base de \(\Omega_{F/k}\). Considérons le morphisme \(\varphi' : k[y_1, \ldots, y_t] \to \Lambda\) qui envoie \(y_j\) sur \(\lambda_j\). Posons \(\mathfrak p' = (\varphi')^{-1}(\mathfrak q)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07E6 le morphisme d’anneaux \(k[y_1, \ldots, y_t]_{\mathfrak p'} \to \Lambda_\mathfrak q\) est plat et \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p' \Lambda_\mathfrak q\) est régulier. Nous pouvons donc choisir d’autres éléments \(\lambda_{t + 1}, \ldots, \lambda_m \in \Lambda\) dont les images appartiennent à \(A \subset \bar \Lambda\) et dont les images forment un système régulier de paramètres de \(\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak p' \Lambda_\mathfrak q\). Nous obtenons \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\) ayant la propriété (1), tel que \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \bar\Lambda\) se factorise par \(A\). Ainsi, \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\) est plat d’après Algèbre, lemme 0584. Par construction, l’extension de corps résiduels \(F/\kappa(\mathfrak p)\) est de type fini et \(\Omega_{F/\kappa(\mathfrak p)} = 0\). Cette extension est donc finie séparable d’après Compléments d’algèbre, lemme 07E1. Ainsi, \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to A\) est fini d’après Algèbre, lemme 07DT. Enfin, nous concluons qu’il est étale d’après Algèbre, lemme 00U6. Comme un morphisme d’anneaux étale est certainement essentiellement lisse, la démonstration est achevée.

Lemme

Soient \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\), \(n\), \(\mathfrak q\), \(\mathfrak p\) et \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] comme dans le Lemme 07FH. Alors, pour tout \(\lambda \in \Lambda \setminus \mathfrak q\) il existe un entier \(q > 0\) et une factorisation \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n \to D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\] tels que \(D \to D'\) soit un morphisme essentiellement lisse d’anneaux locaux artiniens, que la dernière flèche soit plate et que \(\lambda^q\) appartienne à \(D'\).

Démonstration

Posons \(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\). Soit \(\bar \lambda\) l’image de \(\lambda\) dans \(\bar \Lambda\). Soit \(\alpha \in \kappa(\mathfrak q)\) l’image de \(\lambda\) dans le corps résiduel. Soit \(k \subset F \subset \kappa(\mathfrak q)\) le corps résiduel de \(D\). Si \(\alpha\) appartient à \(F\), nous pouvons trouver \(x \in D\) tel que \(x \bar\lambda = 1 \bmod \mathfrak q\). Par conséquent, \((x \bar \lambda)^q = 1 \bmod (\mathfrak q)^q\) si \(q\) est divisible par \(p\). Ainsi, \(\bar\lambda^q\) appartient à \(D\). Si \(\alpha\) est transcendant sur \(F\), nous pouvons prendre \(D' = (D[\bar \lambda])_\mathfrak m\) égal au sous-anneau engendré par \(D\) et \(\bar \lambda\), localisé en \(\mathfrak m = D[\bar \lambda] \cap \mathfrak q \bar \Lambda\). Cela convient car, dans ce cas, \(D[\bar \lambda]\) est en fait une algèbre de polynômes sur \(D\). Enfin, si \(\lambda \bmod \mathfrak q\) est algébrique sur \(F\), nous pouvons trouver une puissance de \(p\), notée \(q\), telle que \(\alpha^q\) soit séparable algébrique sur \(F\) ; voir Corps, section 037H. Remarquons que \(D\) et \(\bar\Lambda\) sont des anneaux locaux henséliens ; voir Algèbre, lemme 06RS. Soit \(D \to D'\) une extension étale finie dont l’extension de corps résiduels est \(F(\alpha^q)/F\) ; voir Algèbre, lemme 04GK. Comme \(\bar\Lambda\) est hensélien et que \(F(\alpha^q)\) est contenu dans son corps résiduel, nous pouvons trouver une factorisation \(D' \to \bar \Lambda\). La première partie de l’argument montre que \(\bar\lambda^{qq'} \in D'\) pour un certain \(q' > 0\).

Lemme

Soit \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) comme dans la Situation 07F7, où

1. \(k\) est un corps de caractéristique \(p > 0\),

2. \(\Lambda\) est noethérien et géométriquement régulier sur \(k\),

3. \(\mathfrak q\) est minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\).

Alors \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) peut être résolu.

Démonstration

Le lemme se démontre par les étapes suivantes, dans l’ordre indiqué. Nous justifierons chacune de ces étapes ci-dessous.

1. Choisissons un entier \(N > 0\) tel que \(\mathfrak q^N\Lambda_\mathfrak q \subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\).

2. Choisissons des générateurs \(a_1, \ldots, a_t \in A\) de l’idéal \(H_{A/k}\).

3. Posons \(d = \dim(\Lambda_\mathfrak q)\).

4. Posons \(B = A[x_1, \ldots, x_d, z_{ij}]/(x_i^{2N} - \sum z_{ij}a_j)\).

5. Considérons \(B\) comme une \(k[x_1, \ldots, x_d]\)-algèbre et soit \(B \to C\) comme dans le Lemme 07CE. Nous obtenons aussi une section \(C \to B\).

6. Choisissons \(c > 0\) tel que chaque \(x_i^c\) soit strictement standard dans \(C\) sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\).

7. Posons \(n = N + dc\) et \(e = 8c\).

8. Soit \(E \subset \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) l’ensemble des images de générateurs de \(A\) comme \(k\)-algèbre.

9. Choisissons un entier \(m\), un morphisme de \(k\)-algèbres \(\varphi : k[y_1, \ldots, y_m] \to \Lambda\) et une factorisation par des anneaux locaux artiniens \[k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] telle que la première flèche soit essentiellement lisse, la seconde plate, que \(E\) soit contenu dans \(D\), et, avec \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\), que le morphisme \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\) soit plat et que \(\mathfrak p \Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q \Lambda_\mathfrak q\).

10. Choisissons \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \mathfrak p\) dont les images forment un système régulier de paramètres de \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\).

11. Soit \(R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\) et \(\gamma_i = \pi_i t_i\).

12. Si nécessaire, modifions le choix des \(\pi_i\) de sorte que, pour \(i = 1, \ldots, d\), nous ayons \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\]

13. Il existe \(\delta_1, \ldots, \delta_d \in \Lambda\), \(\delta_i \not \in \mathfrak q\), et une factorisation \(D \to D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) avec \(D'\) local artinien, \(D \to D'\) essentiellement lisse, la dernière flèche \(D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) étant plate, et tels que, si l’on pose \(\pi_i' = \delta_i \pi_i\), on ait pour \(i = 1, \ldots, d\) :

    1. \((\pi_i')^{2N} = \sum a_j\lambda_{ij}\) dans \(\Lambda\), où \(\lambda_{ij} \bmod \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) est un élément de \(D'\),

    2. \(\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_{i - 1}^e)}({\pi'}_i^2)\),

    3. \(\delta_i \bmod \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) est un élément de \(D'\).

14. Définissons \(B \to \Lambda\) en envoyant \(x_i\) sur \(\pi'_i\) et \(z_{ij}\) sur le \(\lambda_{ij}\) trouvé ci-dessus. Définissons \(C \to \Lambda\) en composant le morphisme \(B \to \Lambda\) avec la rétraction \(C \to B\).

15. Définissons \(R \to \Lambda\) par \(\varphi\) sur \(k[y_1, \ldots, y_m]\) et en envoyant \(t_i\) sur \(\delta_i\). Introduisons en outre un morphisme \[k[x_1, \ldots, x_d] \longrightarrow R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\] en envoyant \(x_i\) sur \(\gamma_i = \pi_i t_i\).

16. Il suffit de résoudre \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\]

17. Posons \(I = (\gamma_1^e, \ldots, \gamma_d^e) \subset R\).

18. Il suffit de résoudre \[R/I \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R/I \to \Lambda/I\Lambda \supset \mathfrak q/I\Lambda\]

19. Notons \(\mathfrak r \subset R = k[y_1, \ldots, y_m, t_1, \ldots, t_d]\) l’image inverse de \(\mathfrak q\).

20. Il suffit de résoudre \[(R/I)_\mathfrak r \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/I)_\mathfrak r \to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\]

21. Posons \(J = (\pi_1^e, \ldots, \pi_d^e)\) dans \(k[y_1, \ldots, y_m]\).

22. Il suffit de résoudre \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\]

23. Il suffit de résoudre \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

24. Il suffit de résoudre \[(R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\]

25. On munit l’anneau \(D'[t_1, \ldots, t_d]\) d’une structure de \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-algèbre au moyen du morphisme donné \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to D'\) et en envoyant \(t_i\) sur \(t_i\). Il suffit de trouver une factorisation \[B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\] où la seconde flèche envoie \(t_i\) sur \(\delta_i\) et induit le morphisme donné \(D' \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\).

26. Une telle factorisation existe grâce au choix de \(D'\) fait ci-dessus.

Nous donnons maintenant la justification de chacune des étapes, en omettant celles qui ne font qu’introduire des notations.

Pour (07FK). Cela est possible puisque \(\mathfrak q\) est minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A = \sqrt{H_{A/k}\Lambda}\).

Pour (07FQ). Remarquons que \(A_{a_j}\) est lisse sur \(k\). Ainsi \(B_{a_j}\), qui est isomorphe à une algèbre de polynômes sur \(A_{a_j}[x_1, \ldots, x_d]\), est lisse sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\). Par conséquent, \(B_{x_i}\) est lisse sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\). D’après le Lemme 07CE, nous voyons que \(C_{x_i}\) est lisse sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\) et que son module des différentielles de Kähler est libre de type fini. Une certaine puissance de \(x_i\) est donc strictement standard dans \(C\) sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\) d’après le Lemme 07EZ.

Pour (07FT). Cela résulte de l’application du Lemme 07FH.

Pour (07FU). Puisque \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q\) est plat et que \(\mathfrak p \Lambda_\mathfrak q = \mathfrak q \Lambda_\mathfrak q\) par construction, nous avons \(\dim(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p) = d\) d’après Algèbre, lemme 00ON. Nous pouvons donc trouver \(\pi_1, \ldots, \pi_d \in \mathfrak p\) formant un système régulier de paramètres de \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\).

Pour (07FW). D’après Algèbre, lemme 00NQ, toute permutation de la suite \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) est une suite régulière dans \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\). Par conséquent, \(\gamma_1 = \pi_1 t_1, \ldots, \gamma_d = \pi_d t_d\) est une suite régulière dans \(R_\mathfrak p = k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p[t_1, \ldots, t_d]\) ; voir Algèbre, lemme 07DW. Soit \(S = k[y_1, \ldots, y_m] \setminus \mathfrak p\), de sorte que \(R_\mathfrak p = S^{-1}R\). Remarquons que \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) et \(\gamma_1, \ldots, \gamma_d\) restent des suites régulières si nous multiplions nos \(\pi_i\) par des éléments de \(S\). Supposons que \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)R}(\gamma_i^2)\] soit satisfaite pour \(i = 1, \ldots, t\), pour un certain \(t \in \{0, \ldots, d\}\). Remarquons que \(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e, \gamma_{t + 1}\) est une suite régulière dans \(S^{-1}R\) d’après Algèbre, lemme 07DV. Nous voyons donc que \[\text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i) = \text{Ann}_{S^{-1}R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_{i - 1}^e)}(\gamma_i^2).\] Nous obtenons ainsi \[\text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}) = \text{Ann}_{R/(\gamma_1^e, \ldots, \gamma_t^e)R}(\gamma_{t + 1}^2)\] après avoir remplacé \(\pi_{t + 1}\) par \(s\pi_{t + 1}\) pour un certain \(s \in S\), d’après le Lemme 07FC. Par récurrence sur \(t\), ceci produit la suite souhaitée.

Pour (07FX). Posons \(S = \Lambda \setminus \mathfrak q\), de sorte que \(\Lambda_\mathfrak q = S^{-1}\Lambda\). Posons \(\bar \Lambda = \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q\). Supposons que nous ayons un \(t \in \{0, \ldots, d\}\), des éléments \(\delta_1, \ldots, \delta_t \in S\) et une factorisation \(D \to D' \to \bar \Lambda\) comme dans (07FX), tels que (a), (b), (c) soient satisfaites pour \(i = 1, \ldots, t\). Nous avons \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\) car \(\mathfrak q^N \Lambda_\mathfrak q \subset H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\) d’après (07FK). Par conséquent, \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k} \bar\Lambda\), puis \(\pi_{t + 1}^N \in H_{A/k}D'\), puisque \(D' \to \bar \Lambda\) est fidèlement plat ; voir Algèbre, lemme 05CK. Rappelons que \(H_{A/k} = (a_1, \ldots, a_t)\). Écrivons \(\pi_{t + 1}^N = \sum a_j d_j\) dans \(D'\) et choisissons \(c_j \in \Lambda_\mathfrak q\) relevant \(d_j \in D'\). Alors \(\pi_{t + 1}^N = \sum c_j a_j + \epsilon\), avec \(\epsilon \in \mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q \subset \mathfrak q^{n - N}H_{A/k}\Lambda_\mathfrak q\). Écrivons \(\epsilon = \sum a_j c'_j\) pour certains \(c'_j \in \mathfrak q^{n - N}\Lambda_\mathfrak q\). Ainsi, \(\pi_{t + 1}^{2N} = \sum (\pi_{t + 1}^N c_j + \pi_{t + 1}^N c'_j) a_j\). Remarquons que \(\pi_{t + 1}^Nc'_j\) a pour image zéro dans \(\bar \Lambda\) ; cette observation élémentaire mais essentielle garantira plus loin que (a) est satisfaite. Choisissons maintenant \(s \in S\) tel qu’il existe des \(\mu_{t + 1j} \in \Lambda\) vérifiant, d’une part, \(\pi_{t + 1}^N c_j + \pi_{t + 1}^N c'_j = \mu_{t + 1j}/s^{2N}\) dans \(S^{-1}\Lambda\) et, d’autre part, \((s \pi_{t + 1})^{2N} = \sum \mu_{t + 1j}a_j\) dans \(\Lambda\) (détail mineur omis). Nous pouvons en outre remplacer \(s\) par une puissance et agrandir \(D'\) de sorte que \(s\) ait pour image un élément de \(D'\). Avec ces choix, \(\mu_{t + 1j}\) a pour image \(s^{2N}d_j\), qui est un élément de \(D'\). Remarquons que \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) forment un système régulier de paramètres dans \(S^{-1}\Lambda\) par notre choix de \(\varphi\). Ainsi, \(\pi_1, \ldots, \pi_d\) forment une suite régulière dans \(\Lambda_\mathfrak q\) d’après Algèbre, lemme 00NQ. Il s’ensuit que \({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e, s\pi_{t + 1}\) est une suite régulière dans \(S^{-1}\Lambda\) d’après Algèbre, lemme 07DV. Nous obtenons donc \[\text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(s\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{S^{-1}\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s\pi_{t + 1})^2).\] Nous pouvons donc appliquer le Lemme 07FC afin de trouver \(s' \in S\) tel que \[\text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}((s')^qs\pi_{t + 1}) = \text{Ann}_{\Lambda/({\pi'}_1^e, \ldots, {\pi'}_t^e)}(((s')^qs\pi_{t + 1})^2).\] pour tout \(q > 0\). D’après le Lemme 07FI, nous pouvons choisir \(q\) et agrandir \(D'\) de sorte que \((s')^q\) ait pour image un élément de \(D'\). En posant \(\delta_{t + 1} = (s')^qs\), nous concluons que (a), (b), (c) sont satisfaites pour \(i = 1, \ldots, t + 1\). Pour (a), remarquons que \(\lambda_{t + 1j} = (s')^{2Nq}\mu_{t + 1j}\) convient. Une récurrence sur \(t\) achève la démonstration.

Pour (07G0). Par construction, le radical de \(H_{(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R)/R} \Lambda\) contient \(\mathfrak h_A\). En effet, les éléments \(a_j \in H_{A/k}\) ont pour images des éléments de \(H_{B/k[x_1, \ldots, x_d]}\), puis des éléments de \(H_{C/k[x_1, \ldots, x_d]}\) ; par conséquent, les \(a_j \otimes 1\) ont pour images des éléments de \(H_{C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R/R}\). De plus, si nous avons une solution \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to T \to \Lambda\) de \[R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\] alors \(H_{T/R} \subset H_{T/k}\), puisque \(R\) est lisse sur \(k\). Ainsi, \(T\) sera aussi une solution de la situation initiale \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\).

Pour (07G2). Cela résulte de l’application du Lemme 07F8 à \(R \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R \to \Lambda \supset \mathfrak q\) et à la suite d’éléments \(\gamma_1^c, \ldots, \gamma_d^c\). Remarquons que, puisque les \(x_i^c\) sont strictement standard dans \(C\) sur \(k[x_1, \ldots, x_d]\), les éléments \(\gamma_i^c\) sont strictement standard dans \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} R\) sur \(R\) d’après le Lemme 07CC. L’autre hypothèse du Lemme 07F8 est satisfaite grâce aux étapes (07FW) et (07FX).

Pour (07G4). Appliquons le Lemme 07FA à la situation de (07G2). Dans la suite des arguments, l’anneau d’arrivée est local artinien ; nous cherchons donc une factorisation par une algèbre \(T\) lisse sur l’anneau de départ.

Pour (07G6). Supposons que \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to T \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\) soit une solution de \[(R/JR)_\mathfrak p \to C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/JR)_\mathfrak p \to \Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q \supset \mathfrak q\Lambda_\mathfrak q/J\Lambda_\mathfrak q\] Alors \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/I)_\mathfrak r \to T_\mathfrak r \to \Lambda_\mathfrak q/I\Lambda_\mathfrak q\) est une solution de la situation de (07G4).

Pour (07G7). Notre entier \(n = N + dc\) est assez grand pour que \(\mathfrak p^nk[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p \subset J_\mathfrak p\) et \(\mathfrak q^n \Lambda_\mathfrak q \subset J\Lambda_\mathfrak q\). Par conséquent, si nous avons une solution \(C \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R/\mathfrak p^nR)_\mathfrak p \to T \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) de (07G6, nous pouvons prendre \(T/JT\) comme solution de (07G7).

Pour (07G8). Cela est vrai parce que nous avons une section \(C \to B\) dans la catégorie des \(R\)-algèbres.

Pour (07G9). Cela est vrai parce que \(D'\) est essentiellement lisse sur l’anneau local artinien \(k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/\mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p\) et que \[R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p = k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p/ \mathfrak p^n k[y_1, \ldots, y_m]_\mathfrak p[t_1, \ldots, t_d].\] Ainsi, \(D'[t_1, \ldots, t_d]\) est une colimite filtrante de \(R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p\)-algèbres lisses et \(B \otimes_{k[x_1, \ldots, x_d]} (R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p)\) se factorise par l’une d’elles.

Pour (07GA). La dernière subtilité de la démonstration est que nous ne pouvons pas simplement utiliser le morphisme \(B \to D'\) qui envoie \(x_i\) sur l’image de \(\pi_i'\) dans \(D'\) et \(z_{ij}\) sur l’image de \(\lambda_{ij}\) dans \(D'\), car nous avons besoin que le diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r] & D'[t_1, \ldots, t_d] \\ k[x_1, \ldots, x_d] \ar[r] \ar[u] & R_\mathfrak p/\mathfrak p^nR_\mathfrak p \ar[u] }\] soit commutatif et que la composée \(B \to D'[t_1, \ldots, t_d] \to \Lambda_\mathfrak q/\mathfrak q^n\Lambda_\mathfrak q\) soit le morphisme de (07FY). Cela nous impose d’envoyer \(x_i\) sur l’image de \(\pi_i t_i\) dans \(D'[t_1, \ldots, t_d]\). Nous envoyons donc \(z_{ij}\) sur l’image de \(\lambda_{ij} t_i^{2N} / \delta_i^{2N}\) dans \(D'[t_1, \ldots, t_d]\) et tout est clair.

Le théorème principal

Dans cette section, nous concluons la discussion.

Théorème

Tout morphisme régulier entre anneaux noethériens est une colimite filtrante de morphismes d’anneaux lisses.

Démonstration

D’après le lemme 07F5, il suffit de démontrer l’énoncé pour \(k \to \Lambda\), où \(\Lambda\) est noethérien et géométriquement régulier sur \(k\). Soit \(k \to A \to \Lambda\) une factorisation, avec \(A\) une \(k\)-algèbre de type fini. Il suffit de construire une factorisation \(A \to B \to \Lambda\), avec \(B\) de type fini, telle que \(\mathfrak h_B = \Lambda\) ; voir le lemme 07EU. Nous pouvons donc procéder par récurrence noethérienne sur l’idéal \(\mathfrak h_A\). Choisissons un idéal premier \(\mathfrak q \supset \mathfrak h_A\) tel que \(\mathfrak q\) soit minimal au-dessus de \(\mathfrak h_A\). Il suffit alors de résoudre \(k \to A \to \Lambda \supset \mathfrak q\) (au sens défini dans le texte qui suit la situation 07F7). Si la caractéristique de \(k\) est nulle, cela résulte du lemme 07FE. Si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), cela résulte du lemme 07FJ.

La propriété d’approximation pour les G-anneaux

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Alors \(R\) est un G-anneau si et seulement si le morphisme d’anneaux \(R \to R^\wedge\) est régulier ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07PT. Dans ce cas, l’hensélisation \(R^h\) et l’hensélisation stricte \(R^{sh}\) de \(R\) sont des G-anneaux ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07QR. En outre, toute algèbre essentiellement de type fini sur un corps, sur un anneau local complet, sur \(\mathbf{Z}\) ou sur un anneau de Dedekind de caractéristique nulle est un G-anneau ; voir Compléments d’algèbre, proposition 07PX. Nous disposons ainsi d’un vaste choix d’anneaux auxquels s’applique le résultat ci-dessous.

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Soit \(S\) une \(R\)-algèbre. Dans cette situation, nous disons qu’un vecteur \((a_1, \ldots, a_n) \in S^n\) est une solution dans \(S\) si et seulement si \[f_j(a_1, \ldots, a_n) = 0 \text{ dans } S, \text{ pour } j = 1, \ldots, m\] L’une des questions importantes de la géométrie algébrique consiste naturellement à déterminer quand des systèmes d’équations polynomiales ont des solutions. Le théorème suivant affirme que l’existence de solutions dans le complété d’un anneau local noethérien suffit souvent à montrer qu’il en existe dans l’hensélisation de cet anneau.

Théorème

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soient \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Supposons que \((a_1, \ldots, a_n) \in (R^\wedge)^n\) soit une solution dans \(R^\wedge\). Si \(R\) est un G-anneau hensélien, alors, pour tout entier \(N\), il existe une solution \((b_1, \ldots, b_n) \in R^n\) dans \(R\) telle que \(a_i - b_i \in \mathfrak m^NR^\wedge\).

Démonstration

Choisissons \(c_i \in R\) tel que \(a_i - c_i \in \mathfrak m^N\). Choisissons des générateurs \(\mathfrak m^N = (d_1, \ldots, d_M)\). Écrivons \(a_i = c_i + \sum a_{i, l} d_l\). Considérons l’anneau de polynômes \(R[x_{i, l}]\) et les éléments \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_l) \in R[x_{i, l}]\] Le système d’équations \(g_j = 0\) admet la solution \((a_{i, l})\). Supposons que nous puissions montrer que \(g_j\) admet une solution \((b_{i, l})\) dans \(R\). Il s’ensuit que \(b_i = c_i + \sum b_{i, l}d_l\) est une solution de \(f_j = 0\) congrue à \(a_i\) modulo \(\mathfrak m^N\). Il suffit donc de montrer que l’existence d’une solution sur \(R^\wedge\) entraîne l’existence d’une solution sur \(R\).

Soit \(A \subset R^\wedge\) la sous-\(R\)-algèbre engendrée par \(a_1, \ldots, a_n\). Puisque nous avons supposé que \(R\) est un G-anneau, c’est-à-dire que \(R \to R^\wedge\) est régulier, il existe une factorisation \[A \to B \to R^\wedge\] où \(B\) est lisse sur \(R\) ; voir le théorème 07GC. Notons \(\kappa = R/\mathfrak m\) le corps résiduel. C’est aussi le corps résiduel de \(R^\wedge\), si bien que nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] Comme la flèche verticale est lisse, Compléments d’algèbre, lemme 07M7, il existe un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\) qui induit un isomorphisme \(R/\mathfrak m \to R'/\mathfrak mR'\) et un morphisme de \(R\)-algèbres \(B \to R'\) rendant commutatif le diagramme ci-dessus. Puisque \(R\) est hensélien, le morphisme \(R \to R'\) possède une section ; voir Algèbre, lemme 04GG. Soit \(b_i \in R\) l’image de \(a_i\) par les morphismes d’anneaux \(A \to B \to R' \to R\). Puisque tous ces morphismes sont des morphismes de \(R\)-algèbres, \((b_1, \ldots, b_n)\) est une solution dans \(R\).

Étant donnés un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m)\), un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\) et un idéal maximal \(\mathfrak m' \subset R'\) au-dessus de \(\mathfrak m\), tels que \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\). Nous avons alors les inclusions \[R \subset R_{\mathfrak m'} \subset R^h \subset R^\wedge,\] d’après Algèbre, lemme 04GR, et Compléments d’algèbre, lemme 06LJ.

Théorème

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soient \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Supposons que \((a_1, \ldots, a_n) \in (R^\wedge)^n\) soit une solution. Si \(R\) est un G-anneau, alors, pour tout entier \(N\), il existe

1. un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\),

2. un idéal maximal \(\mathfrak m' \subset R'\) au-dessus de \(\mathfrak m\),

3. une solution \((b_1, \ldots, b_n) \in (R')^n\) dans \(R'\),

tels que \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\) et \(a_i - b_i \in (\mathfrak m')^NR^\wedge\).

Démonstration

Nous pourrions déduire ce théorème du théorème 07QY, en utilisant le fait que l’hensélisation \(R^h\) est un G-anneau d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QR, et en écrivant \(R^h\) comme une colimite filtrante d’extensions étales \(R'\). Nous préférons en donner une démonstration en reprenant, dans ce cas, celle du théorème précédent.

Choisissons \(c_i \in R\) tel que \(a_i - c_i \in \mathfrak m^N\). Choisissons des générateurs \(\mathfrak m^N = (d_1, \ldots, d_M)\). Écrivons \(a_i = c_i + \sum a_{i, l} d_l\). Considérons l’anneau de polynômes \(R[x_{i, l}]\) et les éléments \[g_j = f_j(c_1 + \sum x_{1, l} d_l , \ldots, c_n + \sum x_{n, l} d_l) \in R[x_{i, l}]\] Le système d’équations \(g_j = 0\) admet la solution \((a_{i, l})\). Supposons que nous puissions montrer que \(g_j\) admet une solution \((b_{i, l})\) dans \(R'\), pour un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\) muni d’un idéal maximal \(\mathfrak m'\) tel que \(\kappa(\mathfrak m) = \kappa(\mathfrak m')\). Il s’ensuit que \(b_i = c_i + \sum b_{i, l}d_l\) est une solution de \(f_j = 0\) congrue à \(a_i\) modulo \((\mathfrak m')^N\). Il suffit donc de montrer que l’existence d’une solution sur \(R^\wedge\) entraîne l’existence d’une solution sur une extension d’anneaux étale qui induit une extension triviale des corps résiduels en un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak m\).

Soit \(A \subset R^\wedge\) la sous-\(R\)-algèbre engendrée par \(a_1, \ldots, a_n\). Puisque nous avons supposé que \(R\) est un G-anneau, c’est-à-dire que \(R \to R^\wedge\) est régulier, il existe une factorisation \[A \to B \to R^\wedge\] où \(B\) est lisse sur \(R\) ; voir le théorème 07GC. Notons \(\kappa = R/\mathfrak m\) le corps résiduel. C’est aussi le corps résiduel de \(R^\wedge\), si bien que nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[rd] \ar@{..>}[r] & R' \ar@{..>}[d] \\ R \ar[r] \ar[u] & \kappa }\] Comme la flèche verticale est lisse, Compléments d’algèbre, lemme 07M7, il existe un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\) qui induit un isomorphisme \(R/\mathfrak m \to R'/\mathfrak mR'\) et un morphisme de \(R\)-algèbres \(B \to R'\) rendant commutatif le diagramme ci-dessus. Soit \(b_i \in R'\) l’image de \(a_i\) par les morphismes d’anneaux \(A \to B \to R'\). Puisque tous ces morphismes sont des morphismes de \(R\)-algèbres, \((b_1, \ldots, b_n)\) est une solution dans \(R'\).

Exemple

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien d’hensélisation \(R^h\). Le morphisme entre les complétés \(R^\wedge \to (R^h)^\wedge\) est un isomorphisme ; voir Compléments d’algèbre, lemme 06LJ. Comme \(R^h\) est lui aussi noethérien (ibid.), nous pouvons considérer \(R^h\) comme un sous-anneau de son complété (car la complétion est fidèlement plate). Nous pouvons ainsi identifier \(R^h\) à un sous-anneau de \(R^\wedge\).

Cherchons à comprendre quels sont les éléments de \(R^\wedge\) qui appartiennent à \(R^h\). Pour simplifier, supposons que \(R\) soit un domaine ayant \(K\) pour corps des fractions. Il est clair que tout élément \(f\) de \(R^h\) est algébrique sur \(R\), au sens où il existe une équation de la forme \(a_n f^n + \ldots + a_1 f + a_0 = 0\), pour certains \(a_i \in R\) tels que \(n > 0\) et \(a_n \not = 0\).

Réciproquement, soient \(f \in R^\wedge\), \(n \in \mathbf{N}\) et \(a_0, \ldots, a_n \in R\), avec \(a_n \not = 0\), tels que \(a_n f^n + \ldots + a_1 f + a_0 = 0\). Si \(R\) est un G-anneau, alors, pour tout \(N > 0\), il existe un élément \(g \in R^h\) tel que \(a_n g^n + \ldots + a_1 g + a_0 = 0\) et \(f - g \in \mathfrak m^N R^\wedge\), voir le théorème 07QZ. Nous voudrions en déduire que \(f = g\) lorsque \(N \gg 0\). Si ce n’est pas le cas, nous obtenons une infinité de racines \(g\) de \(P(T)\) dans \(R^h\). C’est impossible, car (1) \(R^h \subset R^h \otimes_R K\) et (2) \(R^h \otimes_R K\) est un produit fini d’extensions de corps de \(K\). En effet, \(R \to K\) est injectif et \(R \to R^h\) est plat ; par conséquent, \(R^h \to R^h \otimes_R K\) est injectif, et (2) résulte de Compléments d’algèbre, lemme 07QQ.

Conclusion : si \(R\) est un domaine local noethérien ayant \(K\) pour corps des fractions et un G-anneau, alors \(R^h \subset R^\wedge\) est l’ensemble des éléments algébriques sur \(K\).

Voici une autre variante du théorème principal de cette section.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Soient \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Supposons que \((a_1, \ldots, a_n) \in ((R_\mathfrak p)^\wedge)^n\) soit une solution. Si \(R_\mathfrak p\) est un G-anneau, alors, pour tout entier \(N\), il existe

1. un morphisme d’anneaux étale \(R \to R'\),

2. un idéal premier \(\mathfrak p' \subset R'\) au-dessus de \(\mathfrak p\),

3. une solution \((b_1, \ldots, b_n) \in (R')^n\) dans \(R'\),

tels que \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\) et \(a_i - b_i \in (\mathfrak p')^N(R'_{\mathfrak p'})^\wedge\).

Démonstration

D’après le théorème 07QZ, nous pouvons trouver une solution \((b'_1, \ldots, b'_n)\) dans un anneau \(R''\) étale sur \(R_\mathfrak p\), muni d’un idéal premier \(\mathfrak p''\) au-dessus de \(\mathfrak p\), tel que \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p'')\) et \(a_i - b'_i \in (\mathfrak p'')^N(R''_{\mathfrak p''})^\wedge\). Nous pouvons écrire \(R'' = R' \otimes_R R_\mathfrak p\) pour une \(R\)-algèbre étale \(R'\) (voir Algèbre, lemme 00U2). Après avoir remplacé \(R'\) par une localisation principale si nécessaire, nous pouvons supposer que \((b'_1, \ldots, b'_n)\) provient d’une solution \((b_1, \ldots, b_n)\) dans \(R'\). Posons \(\mathfrak p' = R' \cap \mathfrak p''\) ; alors \(R''_{\mathfrak p''} = R'_{\mathfrak p'}\), ce qui achève la démonstration.

Approximation pour les couples henséliens

Nous pouvons généraliser la discussion de la section 07QX au cas des couples henséliens. Les couples henséliens ont été définis dans Compléments d’algèbre, section 09XD.

Lemme

Soit \((A, I)\) un couple hensélien, avec \(A\) noethérien. Soit \(A^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(A\). Supposons que l’une au moins des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(A \to A^\wedge\) est un morphisme d’anneaux régulier ;

2. \(A\) est un G-anneau noethérien ;

3. \((A, I)\) est l’hensélisation (Compléments d’algèbre, lemme 0A02) d’un couple \((B, J)\), où \(B\) est un G-anneau noethérien.

Soient \(f_1, \ldots, f_m \in A[x_1, \ldots, x_n]\) et \(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n \in A^\wedge\) tels que \(f_j(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n) = 0\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Alors, pour tout \(N \geq 1\), il existe \(a_1, \ldots, a_n \in A\) tels que \(\hat{a}_i - a_i \in I^N\) et \(f_j(a_1, \ldots, a_n) = 0\) pour \(j = 1, \ldots, m\).

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, lemme 0AH3 nous voyons que (3) implique (2). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0AH2 nous voyons que (2) implique (1). Il suffit donc de démontrer le lemme dans le cas où \(A \to A^\wedge\) est un morphisme d’anneaux régulier.

Soient \(\hat{a}_1, \ldots, \hat{a}_n\) comme dans l’énoncé du lemme. D’après le théorème 07GC, nous pouvons trouver une factorisation \(A \to B \to A^\wedge\) telle que \(A \to B\) soit lisse, ainsi que des éléments \(b_1, \ldots, b_n \in B\) tels que \(f_j(b_1, \ldots, b_n) = 0\) dans \(B\). Notons \(\sigma : B \to A^\wedge \to A/I^N\) la composée. D’après Compléments d’algèbre, lemme 07M7, il existe un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) qui induit un isomorphisme \(A/I^N \to A'/I^NA'\) et un morphisme de \(A\)-algèbres \(\tilde \sigma : B \to A'\) relevant \(\sigma\). Comme \((A, I)\) est hensélien, il existe un morphisme de \(A\)-algèbres \(\chi : A' \to A\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 09XI. En posant alors \(a_i = \chi(\tilde \sigma(b_i))\), nous obtenons une solution.