Morphismes de schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous introduisons certains types de morphismes de schémas. Une référence fondamentale est [EGA].

Immersions fermées

Dans cette section, nous précisons certains des résultats obtenus précédemment sur les immersions fermées de schémas. Rappelons qu’un morphisme de schémas \(i : Z \to X\) est par définition une immersion fermée si (a) \(i\) induit un homéomorphisme sur une partie fermée de \(X\), (b) \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjectif et (c) le noyau de \(i^\sharp\) est engendré localement par des sections, voir Schémas, Définitions 01IO et 01HK. Il s’avère que, puisque \(Z\) et \(X\) sont des schémas, il existe de nombreuses façons de caractériser une immersion fermée.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(i\) est une immersion fermée.

Pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\), il existe un idéal \(I \subset R\) tel que \(i^{-1}(U) = \Spec(R/I)\) en tant que schémas sur \(U = \Spec(R)\).

Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{j \in J} U_j\), \(U_j = \Spec(R_j)\) et, pour tout \(j \in J\), il existe un idéal \(I_j \subset R_j\) tel que \(i^{-1}(U_j) = \Spec(R_j/I_j)\) en tant que schémas sur \(U_j = \Spec(R_j)\).

Le morphisme \(i\) induit un homéomorphisme de \(Z\) sur une partie fermée de \(X\) et \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjectif.

Le morphisme \(i\) induit un homéomorphisme de \(Z\) sur une partie fermée de \(X\), l’application \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective, et le noyau \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux.

Le morphisme \(i\) induit un homéomorphisme de \(Z\) sur une partie fermée de \(X\), l’application \(i^\sharp : \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective, et le noyau \(\Ker(i^\sharp)\subset \mathcal{O}_X\) est un faisceau d’idéaux engendré localement par des sections.

Démonstration

La condition (6) est notre définition d’une immersion fermée, voir Schémas, Définitions 01HK et 01IO. Ainsi (6) \(\Leftrightarrow\) (1). Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2) d’après Schémas, Lemme 01IN. Il est immédiat que (2) \(\Rightarrow\) (3).

Supposons (3). Chacun des morphismes \(\Spec(R_j/I_j) \to \Spec(R_j)\) est une immersion fermée, voir Schémas, Exemple 01IG. Ainsi \(i^{-1}(U_j) \to U_j\) est un homéomorphisme sur son image et \(i^\sharp|_{U_j}\) est surjectif. Ainsi \(i\) est un homéomorphisme sur son image et \(i^\sharp\) est surjectif, puisque cela peut se vérifier localement. Nous concluons que (3) \(\Rightarrow\) (4).

L’implication (4) \(\Rightarrow\) (1) est Schémas, Lemme 01LD. L’implication (5) \(\Rightarrow\) (6) est immédiate. Et l’implication (6) \(\Rightarrow\) (5) découle de Schémas, Lemme 01IN.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(i : Z \to X\) et \(i' : Z' \to X\) des immersions fermées et considérons les faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) et \(\mathcal{I}' = \Ker((i')^\sharp)\) de \(\mathcal{O}_X\).

Le morphisme \(i : Z \to X\) se factorise en \(Z \to Z' \to X\) pour certains \(a : Z \to Z'\) si et seulement si \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\). Si cela se produit, alors \(a\) est une immersion fermée.

Nous avons \(Z \cong Z'\) sur \(X\) si et seulement si \(\mathcal{I} = \mathcal{I}'\).

Démonstration

Cela résulte de notre discussion sur les sous-espaces fermés dans Schémas, section 01HJ en particulier Schémas, Lemmes 01HO et 01HP. Cela découle également de manière simple de la caractérisation (3) dans le lemme 01QO ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\mathcal{I}\) est engendré localement par des sections comme un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules,

\(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent comme un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules, et

existe une immersion fermée \(i : Z \to X\) de schémas dont le faisceau d’idéaux correspondant \(\Ker(i^\sharp)\) est égal à \(\mathcal{I}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) découle immédiatement d’après Schémas, Lemme 01IN. Si (1) est vrai, alors il y a un sous-espace fermé \(i : Z \to X\) avec \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) par Schémas, Définition 01HN et Exemple 01HM. Par Schémas, Lemme 01IN c’est une immersion fermée de schémas et (3) tient. Inversement, si (3) est satisfaite, alors (2) est vrai par Schémas, Lemme 01IN (ce qui s’applique car une immersion fermée de schémas est a fortiori une immersion fermée d’espaces localement annelés).

Lemme

Le changement de base d’une immersion fermée est une immersion fermée.

Démonstration

Voir Schémas, Lemme 01JY.

Lemme

Une composition d’immersions fermées est une immersion fermée.

Démonstration

Nous avons vu cela dans Schémas, Lemme 02V0, mais voici une autre démonstration. En effet, cela découle de la caractérisation (3) des immersions fermées dans le lemme 01QO. En effet, si \(I \subset R\) est un idéal, et \(\overline{J} \subset R/I\) est un idéal, alors \(\overline{J} = J/I\) pour un idéal \(J \subset R\) qui contient \(I\) et \((R/I)/\overline{J} = R/J\).

Lemme

Une immersion fermée est quasi-compacte.

Démonstration

Ce lemme fait double emploi avec Schémas, Lemme 01K7.

Lemme

Une immersion fermée est séparée.

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier d’après Schémas, Lemme 01L7.

Immersions

Dans cette section, nous collectons quelques faits sur les immersions.

Lemme

Soit \(Z \to Y \to X\) des morphismes de schémas.

Si \(Z \to X\) est une immersion, alors \(Z \to Y\) est une immersion.

Si \(Z \to X\) est une immersion quasi-compacte et \(Y \to X\) est quasi-séparé, alors \(Z \to Y\) est une immersion quasi-compacte.

Si \(Z \to X\) est une immersion fermée et que \(Y \to X\) est séparé, alors \(Z \to Y\) est une immersion fermée.

Démonstration

Dans chaque cas, la démonstration consiste à considérer le diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[rd] & Y \times_X Z \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ & Y \ar[r] & X }\] où la composition des flèches horizontales supérieures est l’identité. Démontrons (1). La première flèche horizontale est une coupe de \(Y \times_X Z \to Z\), d’où une immersion d’après Schémas, Lemme 01KT. La flèche \(Y \times_X Z \to Y\) est un changement de base de \(Z \to X\) donc une immersion (Schémas, Lemme 01JY). Enfin, une composition d’immersions est une immersion (Schémas, Lemme 02V0). Cela prouve (1). Les deux autres résultats se prouvent exactement de la même manière.

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) une immersion. Si \(h\) est quasi-compact, alors on peut factoriser \(h = i \circ j\) avec \(j : Z \to \overline{Z}\) une immersion ouverte et \(i : \overline{Z} \to X\) une immersion fermée.

Démonstration

Notons que \(h\) est quasi-compact et quasi-séparé (voir Schémas, Lemme 01L7). Ainsi \(h_*\mathcal{O}_Z\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules d’après Schémas, Lemme 01LC. Cela implique que \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to h_*\mathcal{O}_Z)\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux, voir Schémas, section 01LA. Soit \(\overline{Z} \subset X\) le sous-schéma fermé correspondant à \(\mathcal{I}\), voir Lemme 01QQ. Par Schémas, Lemme 01HP le morphisme \(h\) se factorise en \(h = i \circ j\) où \(i : \overline{Z} \to X\) est le morphisme d’inclusion. Pour voir que \(j\) est une immersion ouverte, choisissez un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(h\) induit une immersion fermée de \(Z\) dans \(U\). Il est alors clair que \(\mathcal{I}|_U\) est le faisceau d’idéaux correspondant à l’immersion fermée \(Z \to U\). Nous voyons donc que \(Z = \overline{Z} \cap U\).

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) une immersion. Si \(Z\) est réduit, alors on peut factoriser \(h = i \circ j\) avec \(j : Z \to \overline{Z}\) une immersion ouverte et \(i : \overline{Z} \to X\) une immersion fermée.

Démonstration

Soit \(\overline{Z} \subset X\) l’adhérence de \(h(Z)\) munie de la structure de sous-schéma fermé induit réduit, voir Schémas, Définition 01J4. Par Schémas, Lemme 0356 le morphisme \(h\) se factorise en \(h = i \circ j\) avec \(i : \overline{Z} \to X\) le morphisme d’inclusion et \(j : Z \to \overline{Z}\). De la définition d’une immersion on voit qu’il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(h\) se factorise par une immersion fermée dans \(U\). Ainsi \(\overline{Z} \cap U\) et \(h(Z)\) sont des sous-schémas fermés réduits de \(U\) avec le même ensemble fermé sous-jacent. Ainsi par l’unicité dans Schémas, Lemme 01J3 on voit que \(h(Z) \cong \overline{Z} \cap U\). Ainsi \(j\) induit un isomorphisme de \(Z\) avec \(\overline{Z} \cap U\). En d’autres termes, \(j\) est une immersion ouverte.

Exemple

Voici un exemple d’immersion qui n’est pas une composition d’une immersion ouverte suivie d’une immersion fermée. Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\). Soit \(U = \bigcup_{n = 1}^{\infty} D(x_n)\). Alors \(U \to X\) est une immersion ouverte. Considérons les idéaux \[I_n = (x_1^n, x_2^n, \ldots, x_{n - 1}^n, x_n - 1, x_{n + 1}, x_{n + 2}, \ldots) \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n].\] Notez que \(I_n k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_nx_m] = (1)\) pour tout \(m \not = n\). D’où les idéaux quasi-cohérents \(\widetilde I_n\) sur \(D(x_n)\) s’accordent sur \(D(x_nx_m)\), à savoir \(\widetilde I_n|_{D(x_nx_m)} = \mathcal{O}_{D(x_n x_m)}\) si \(n \not = m\). Ces idéaux se collent donc à un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\). Soit \(Z \subset U\) le sous-schéma fermé correspondant à \(\mathcal{I}\). Ainsi \(Z \to X\) est une immersion.

Nous affirmons que nous ne pouvons pas factoriser \(Z \to X\) en \(Z \to \overline{Z} \to X\), où \(\overline{Z} \to X\) est une immersion fermée et \(Z \to \overline{Z}\) une immersion ouverte. En effet, \(\overline{Z}\) devrait être défini par un idéal \(I \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) tel que \(I_n = I k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n]\). Mais le seul élément \(f \in k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) qui se retrouve dans tous les \(I_n\) est \(0\) ! Par conséquent, \(I\) n’existe pas.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Si pour tout \(y \in Y\) il existe un sous-schéma ouvert \(f(y) \in U \subset X\) tel que \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) est une immersion, alors \(f\) est une immersion.

Démonstration

Cette affirmation découle facilement de la discussion sur les sous-schémas fermés à la fin de Schémas, section 01IM mais nous donnerons également une démonstration détaillée. Soit \(Z \subset X\) l’adhérence de \(f(Y)\). Puisque la formation de l’adhérence commute à la restriction aux ouverts, l’hypothèse montre que \(f(Y) \subset Z\) est ouvert. Par conséquent, \(Z' = Z \setminus f(Y)\) est fermé. Ainsi \(X' = X \setminus Z'\) est un sous-schéma ouvert de \(X\) et \(f\) se factorise en \(f : Y \to X'\) suivi de l’inclusion. Si \(y \in Y\) et \(U \subset X\) sont comme dans l’énoncé du lemme, alors \(U' = X' \cap U\) est un voisinage ouvert de \(f'(y)\) tel que \((f')^{-1}(U') \to U'\) est une immersion (Lemme 07RK) à image fermée. Il s’agit donc d’une immersion fermée, voir Schémas, Lemme 01IQ. Puisqu’être une immersion fermée est locale sur la cible (par exemple par le lemme 01QO), nous concluons que \(f'\) est une immersion fermée comme voulu.

Immersions fermées et faisceaux quasi-cohérents

Le lemme suivant fait finalement pour les faisceaux quasi-cohérents sur les schémas ce que Modules, Lemme 01AX fait pour les faisceaux abéliens. Voir également la discussion dans Modules, section 01C1.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z\). Le foncteur \[i_* : \QCoh(\mathcal{O}_Z) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] est exact, pleinement fidèle, avec image essentielle des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\).

Démonstration

Une immersion fermée est quasi-compacte et séparée, voir Lemmes 01QT et 01QU. D’où Schémas, Lemme 01LC s’applique et l’image directe d’un faisceau quasi-cohérent sur \(Z\) est bien un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

Par Modules, Lemme 08KS le foncteur \(i_*\) est pleinement fidèle.

Passons maintenant à la description de l’image essentielle du foncteur \(i_*\). On a \(\mathcal{I}(i_*\mathcal{F}) = 0\) pour tout module \(\mathcal{O}_Z\) quasi-cohérent, par exemple par Modules, Lemme 08KS. Supposons ensuite que \(\mathcal{G}\) soit un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent tel que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\). Il suffit de montrer que l’application canonique \[\mathcal{G} \longrightarrow i_* i^*\mathcal{G}\] est un isomorphisme¹. Dans le cas de schémas et modules quasi-cohérents, en travaillant localement sur les affines de \(X\) et en utilisant Lemme 01QO et Schémas, Lemme 01I9 il suffit de prouver l’énoncé algébrique suivant : Étant donné un anneau \(R\), un idéal \(I\) et un \(R\)-module \(N\) tel que \(IN = 0\) l’application canonique \[N \longrightarrow N \otimes_R R/I,\quad n \longmapsto n \otimes 1\] est un isomorphisme de \(R\)-modules. La démonstration de ce fait algébrique simple est omise.

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée. En raison du lemme ci-dessus, nous désignons souvent, par abus de notation, \(\mathcal{F}\) le faisceau \(i_*\mathcal{F}\) sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module. Il existe un unique \(\mathcal{O}_X\)-sous-module \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) quasi-cohérent avec la propriété suivante : Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{H}\) quasi-cohérent l’application \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G}') \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{H}, \mathcal{G})\] est bijective. En particulier, \(\mathcal{G}'\) est le plus grand \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) contenu dans \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}_a\), \(a \in A\) l’ensemble des \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules quasi-cohérents contenus dans \(\mathcal{G}\). Alors l’image \(\mathcal{G}'\) de \[\bigoplus\nolimits_{a \in A} \mathcal{G}_a \longrightarrow \mathcal{F}\] est quasi-cohérente comme l’image d’une application de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) est quasi-cohérente et puisqu’une somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente, voir Schémas, section 01LA. Le module \(\mathcal{G}'\) est contenu dans \(\mathcal{G}\). Il s’agit donc du plus grand module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent contenu dans \(\mathcal{G}\).

Pour prouver la formule, soit \(\mathcal{H}\) un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent et soit \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) une application de module \(\mathcal{O}_X\). L’image de la composition \(\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est quasi-cohérente comme l’image d’une application de faisceaux quasi-cohérents. Il est donc contenu dans \(\mathcal{G}'\). Ainsi, \(\alpha\) se factorise par \(\mathcal{G}'\) comme souhaité.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Il existe un foncteur² \(i^! : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) qui est un adjoint droit de \(i_*\). (Comparer Modules, Lemme 01AZ.)

Démonstration

Étant donné le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) quasi-cohérent, nous considérons le sous-faisceau \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})\) de \(\mathcal{G}\) de sections locales annihilées par \(\mathcal{I}\). Par le Lemme 01QZ il existe un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent canonique le plus grand \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})'\). Par construction, nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{G})') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] pour tout \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Nous pouvons donc définir \(i^!\mathcal{G} = i^*(\mathcal{H}_Z(\mathcal{G})')\). Détails omis.

À l’aide des \(1\)-to-\(1\) correspondant entre faisceaux quasi-cohérents d’idéaux et sous-schémas fermés (voir Lemme 01QQ) on peut définir des intersections schématiques et des unions de sous-schémas fermés.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soient \(Z, Y \subset X\) des sous-schémas fermés correspondant à des faisceaux d’idéaux quasi-cohérents \(\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\). L’intersection schématique de \(Z\) et \(Y\) est le sous-schéma fermé de \(X\) découpé par \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\). La réunion schématique de \(Z\) et \(Y\) est le sous-schéma fermé de \(X\) découpé par \(\mathcal{I} \cap \mathcal{J}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(Z, Y \subset X\) des sous-schémas fermés. Soit \(Z \cap Y\) l’intersection schématique de \(Z\) et \(Y\). Alors \(Z \cap Y \to Z\) et \(Z \cap Y \to Y\) sont des immersions fermées et \[\xymatrix{ Z \cap Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ Y \ar[r] & X }\] est un diagramme cartésien de schémas, c’est-à-dire \(Z \cap Y = Z \times_X Y\).

Démonstration

Les morphismes \(Z \cap Y \to Z\) et \(Z \cap Y \to Y\) sont des immersions fermées par le lemme 01QP. Soit \(U = \Spec(A)\) un ouvert affine de \(X\) et soit \(Z \cap U\) et \(Y \cap U\) correspondre aux idéaux \(I \subset A\) et \(J \subset A\). Alors \(Z \cap Y \cap U\) correspond à \(I + J \subset A\). Puisque \(A/I \otimes_A A/J = A/(I + J)\) nous voyons que le schéma est cartésien par notre description des produits fibrés de schémas dans Schémas, section 01JO.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X, Y \subset S\) des sous-schémas fermés. Soit \(X \cup Y\) la réunion schématique de \(X\) et \(Y\). Soit \(X \cap Y\) l’intersection schématique de \(X\) et \(Y\). Alors \(X \to X \cup Y\) et \(Y \to X \cup Y\) sont des immersions fermées, il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X \times \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y} \to 0\] de \(\mathcal{O}_S\)-modules, et le diagramme \[\xymatrix{ X \cap Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y \ar[r] & X \cup Y }\] est cocartésien dans la catégorie des schémas, c’est-à-dire \(X \cup Y = X \amalg_{X \cap Y} Y\).

Démonstration

Les morphismes \(X \to X \cup Y\) et \(Y \to X \cup Y\) sont des immersions fermées par le lemme 01QP. Dans la suite exacte courte nous utilisons l’équivalence du lemme 01QY pour penser les modules quasi-cohérents sur sous-schémas fermés de \(S\) comme des modules quasi-cohérents sur \(S\). Pour la première application de la séquence on utilise les applications canoniques \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{O}_{X \cup Y} \to \mathcal{O}_Y\) et pour la deuxième application on utilise l’application canonique \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\) et le négatif de l’application canonique \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{X \cap Y}\). Ensuite, pour vérifier l’exactitude, nous pouvons travailler localement sur les affines. Soit \(U = \Spec(A)\) un ouvert affine de \(S\) et soit \(X \cap U\) et \(Y \cap U\) correspondre aux idéaux \(I \subset A\) et \(J \subset A\). Alors \((X \cup Y) \cap U\) correspond à \(I \cap J \subset A\) et \(X \cap Y \cap U\) correspond à \(I + J \subset A\). Ainsi l’exactitude découle de l’exactitude de \[0 \to A/I \cap J \to A/I \times A/J \to A/(I + J) \to 0\] Pour montrer que le diagramme est cocartésien, supposons qu’on nous donne un schéma \(T\) et des morphismes de schémas \(f : X \to T\), \(g : Y \to T\) qui s’accordent comme morphismes \(X \cap Y \to T\). Il s’agit de montrer qu’il existe un morphisme unique \(h : X \cup Y \to T\) en accord avec \(f\) et \(g\). Pour construire \(h\) on peut travailler localement sur les affines de \(X \cup Y\), voir Schémas, section 01JA. Si \(s \in X\), \(s \not \in Y\), alors \(X \to X \cup Y\) est un isomorphisme dans un voisinage de \(s\) et il est clair comment construire \(h\). De même pour \(s \in Y\), \(s \not \in X\). Pour \(s \in X \cap Y\) nous pouvons choisir un \(V = \Spec(B) \subset T\) ouvert affine contenant \(f(s) = g(s)\). On peut alors choisir un \(U = \Spec(A) \subset S\) ouvert affine contenant \(s\) de telle sorte que \(f(X \cap U)\) et \(g(Y \cap U)\) soient contenus dans \(V\). Les morphismes \(f|_{X \cap U}\) et \(g|_{Y \cap V}\) dans \(V\) correspondent à des homomorphismes d’anneaux \[B \to A/I \quad\text{et}\quad B \to A/J\] dont les composés vers \(A/(I + J)\) coïncident. Par la suite exacte courte affichée ci-dessus, il y a un relèvement unique de ces homomorphismes d’anneaux vers un homomorphisme d’anneaux \(B \to A/I \cap J\) comme souhaité.

Supports des modules

Dans cette section nous collectons quelques résultats élémentaires sur les supports de modules quasi-cohérents sur des schémas. Rappelons que le support d’un faisceau de modules a été défini dans Modules, section 01AS. En revanche, le support d’un module a été défini dans Algèbre, section 00KY. Ceux-ci correspondent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine et définissons \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\). Soit \(x \in U\), et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\mathfrak p\) est dans le support de \(M\), et

\(x\) est dans le support de \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\), voir Schémas, Lemme 01HV et les définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Le support de \(\mathcal{F}\) est clôturé sous spécialisation.

Démonstration

Si \(x' \leadsto x\) est une spécialisation et \(\mathcal{F}_x = 0\) alors \(\mathcal{F}_{x'}\) vaut zéro, car \(\mathcal{F}_{x'}\) est une localisation du module \(\mathcal{F}_x\). Le complément de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) est donc fermé sous génération.

Pour les modules de type fini quasi-cohérents le support est fermé, vérifiable sur fibres, et commute avec changement de base.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un module de type fini quasi-cohérent sur un schéma \(X\). Ensuite,

Le support de \(\mathcal{F}\) est fermé.

Pour \(x \in X\) nous avons \[x \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \not = 0 \Leftrightarrow \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) \not = 0.\]

Pour tout morphisme de schémas \(f : Y \to X\) le pullback \(f^*\mathcal{F}\) est également de type fini et nous avons \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F}) = f^{-1}(\text{Supp}(\mathcal{F}))\).

Démonstration

La partie (1) est une reformulation des modules, Lemme 01BA. Vous pouvez également combiner Lemme 056I, Propriétés, Lemme 01PB et Algèbre, Lemme 00L2 pour voir cela. La première équivalence dans (2) est la définition du support, et la deuxième équivalence découle du lemme de Nakayama, voir Algèbre, Lemme 00DV. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Notez que \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini par Modules, Lemme 01B6. Pour l’assertion finale, soit \(y \in Y\) avec l’image \(x \in X\). Rappelons que \[(f^*\mathcal{F})_y = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{Y, y},\] voir Faisceaux, Lemme 0098. Donc \((f^*\mathcal{F})_y \otimes \kappa(y)\) est différent de zéro si et seulement si \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) est différent de zéro. Par (2) cela implique \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) si et seulement si \(y \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\), qui est le contenu de l’assertion (3).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un module de type fini quasi-cohérent sur un schéma \(X\). Il existe un plus petit sous-schéma fermé \(i : Z \to X\) tel qu’il existe un \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{G}\) quasi-cohérent avec \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\). De plus :

Si \(\Spec(A) \subset X\) est un ouvert affine, et \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\) alors \(Z \cap \Spec(A) = \Spec(A/I)\) où \(I = \text{Ann}_A(M)\).

Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) est unique à isomorphisme près unique.

Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) est de type fini.

Le support de \(\mathcal{G}\) et de \(\mathcal{F}\) est \(Z\).

Démonstration

Supposons que \(i' : Z' \to X\) soit un sous-schéma fermé qui satisfait à la description sur ouverts affines du lemme. Puis par le lemme 01QY on voit que \(\mathcal{F} \cong i'_*\mathcal{G}'\) pour un faisceau unique quasi-cohérent \(\mathcal{G}'\) sur \(Z'\). De plus, il est clair que \(Z'\) est le plus petit sous-schéma fermé avec cette propriété (par le même lemme). Enfin, en utilisant Propriétés, Lemme 01PB et Algèbre, Lemme 0560 Il s’ensuit que \(\mathcal{G}'\) est de type fini. Nous avons \(\text{Supp}(\mathcal{G}') = Z\) par Algèbre, Lemme 00L2. Par conséquent, pour prouver le lemme, il suffit de montrer que la caractérisation en (1) définit effectivement un sous-schéma fermé. Et, pour ce faire, il suffit de prouver que la règle donnée produit un faisceau quasi-cohérent d’idéaux, voir Lemme 01QQ. Cela se résume au fait algébrique suivant : si \(A\) est un anneau, \(f \in A\) et \(M\) est un module \(A\) fini, alors \(\text{Ann}_A(M)_f = \text{Ann}_{A_f}(M_f)\). Nous omettons la démonstration.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Le support schématique de \(\mathcal{F}\) est le sous-schéma fermé \(Z \subset X\) construit dans le lemme 05JU.

Dans cette situation on pense souvent à \(\mathcal{F}\) comme un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(Z\) (via l’équivalence des catégories du lemme 01QY).

Image schématique

Attention : Certains éléments de cette section sont ultra-généraux et se comportent différemment de ce à quoi vous pourriez vous attendre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset Y\) tel que \(f\) se factorise par \(Z\) et tel que pour tout autre sous-schéma fermé \(Z' \subset Y\) tel que \(f\) se factorise par \(Z'\) on a \(Z \subset Z'\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\). Si \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent alors on prend simplement \(Z\) comme étant le sous-schéma fermé déterminé par \(\mathcal{I}\), voir Lemme 01QQ. Cela fonctionne par le lemme 01QP. De manière générale, le même lemme nous oblige à montrer qu’il existe un plus grand faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}'\) contenu dans \(\mathcal{I}\). Cela résulte du lemme 01QZ.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. L’image schématique de \(f\) est le plus petit sous-schéma fermé \(Z \subset Y\) à travers lequel \(f\) se factorise par, voir Lemme 01R6 ci-dessus.

Pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas à image schématique \(Z\) on note souvent \(f : X \to Z\) la factorisation de \(f\) à travers son image schématique. Si le morphisme \(f\) n’est pas quasi-compact, alors (en général)

l’inclusion théorique des ensembles \(\overline{f(X)} \subset Z\) n’est pas une égalité, c’est-à-dire que \(f(X) \subset Z\) n’est pas un sous-ensemble dense, et
la construction de l’image schématique ne commute pas avec restriction aux sous-schémas ouverts à \(Y\).

Dans Exemples, section 0GIK, le lecteur trouve un exemple pour les deux phénomènes. Ces phénomènes peuvent survenir même en immersion, voir Exemples, section 078B. Cependant, le lemme suivant montre que les deux désastres sont évités lorsque le morphisme est quasi-compact.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \subset Y\) l’image schématique de \(f\). Si \(f\) est quasi-compact alors

le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X)\) est quasi-cohérent,

l’image schématique \(Z\) est le sous-schéma fermé déterminé par \(\mathcal{I}\),

pour tout ouvert \(U \subset Y\) l’image schématique de \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) est égale à \(Z \cap U\), et

l’image \(f(X) \subset Z\) est un sous-ensemble dense de \(Z\), autrement dit le morphisme \(X \to Z\) est dominant (voir Définition 01RJ).

Démonstration

La partie (4) découle de la partie (3). Pour montrer (3) il suffit de prouver (1) puisque la formation de \(\mathcal{I}\) commute avec restriction aux sous-schémas ouverts de \(Y\). Et si (1) est vérifié alors dans la démonstration du lemme 01R6 nous avons montré (2). Il suffit donc de prouver que \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent. Puisque la propriété d’être quasi-cohérent est locale, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine. Comme \(f\) est quasi-compact, on peut trouver un recouvrement ouvert fini affine \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\). Notons \(f'\) la composition \[X' = \coprod U_i \longrightarrow X \longrightarrow Y.\] Alors \(f_*\mathcal{O}_X\) est un sous-faisceau de \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\), et donc \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to f'_*\mathcal{O}_{X'})\). Par Schémas, Lemme 01LC le faisceau \(f'_*\mathcal{O}_{X'}\) est quasi-cohérent sur \(Y\). On obtient donc le résultat.

Exemple

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux à noyau \(I\), alors l’image schématique de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est le sous-schéma fermé \(\Spec(A/I)\) de \(\Spec(A)\). Cela résulte du lemme 01R8.

Si le morphisme est quasi-compact, alors l’image schématique ajoute uniquement des points qui sont des spécialisations de points dans l’image.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact. Soit \(Z\) l’image schématique de \(f\). Soit \(z \in Z\)³. Il existe un anneau de valorisation \(A\) avec corps des fractions \(K\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \ar[ld] \\ \Spec(A) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] tel que le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur \(z\). En particulier tout point de \(Z\) est la spécialisation d’un point de \(f(X)\).

Démonstration

Soit \(z \in \Spec(R) = V \subset Y\) un voisinage ouvert affine de \(z\). Par le Lemme 01R8 l’intersection \(Z \cap V\) est l’image schématique de \(f^{-1}(V) \to V\). Nous pouvons donc remplacer \(Y\) par \(V\) et supposer que \(Y = \Spec(R)\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact comme \(f\) est quasi-compact. Disons que \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) est un recouvrement ouvert affine fini. Écrivez \(U_i = \Spec(A_i)\). Soit \(I = \Ker(R \to A_1 \times \ldots \times A_n)\). Par le Lemme 01R8 encore on voit que \(Z\) correspond au sous-schéma fermé \(\Spec(R/I)\) sur \(Y\). Si \(\mathfrak p \subset R\) est l’idéal premier correspondant à \(z\), alors on voit que \(I_{\mathfrak p} \subset R_{\mathfrak p}\) n’est pas une égalité. Par conséquent (la localisation étant exacte, voir Algèbre, Proposition 00CS), le morphisme \(R_{\mathfrak p} \to (A_1)_{\mathfrak p} \times \ldots \times (A_n)_{\mathfrak p}\) n’est pas nul. Donc l’un des anneaux \((A_i)_{\mathfrak p}\) n’est pas nul. Il existe donc un \(i\) et un premier \(\mathfrak q_i \subset A_i\) superposés à un premier \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak p\). Par Algèbre, Lemme 00IA on peut choisir un anneau de valorisation \(A \subset K = \kappa(\mathfrak q_i)\) dominant l’anneau local \(R_{\mathfrak p}/\mathfrak p_iR_{\mathfrak p} \subset \kappa(\mathfrak q_i)\). Cela donne le diagramme souhaité. Certains détails omis.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r]^{f_2} & Y_2 }\] un diagramme commutatif de schémas. Soit \(Z_i \subset Y_i\), \(i = 1, 2\) l’image schématique de \(f_i\). Alors le morphisme \(Y_1 \to Y_2\) induit un morphisme \(Z_1 \to Z_2\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[d] \ar[r] & Y_1 \ar[d] \\ X_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & Y_2 }\]

Démonstration

L’image réciproque schématique de \(Z_2\) dans \(Y_1\) est un sous-schéma fermé de \(Y_1\) par lequel \(f_1\) se factorise. Par conséquent, \(Z_1\) est contenu dans ceci. Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(X\) est réduit, alors l’image schématique de \(f\) est la structure schématique induite réduite sur \(\overline{f(X)}\).

Démonstration

Ceci est vrai car la structure schématique induite réduite sur \(\overline{f(X)}\) est clairement le plus petit sous-schéma fermé de \(Y\) à travers lequel \(f\) se factorise par, voir Schémas, Lemme 0356.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé. Soit \(V \subset Y\) un ouvert rétrocompact. Soit \(s : V \to X\) un morphisme tel que \(f \circ s = \text{id}_V\). Soit \(Y'\) l’image schématique de \(s\). Alors \(Y' \to Y\) est un isomorphisme sur \(V\).

Démonstration

L’hypothèse que \(V\) est rétrocompact dans \(Y\) (Topologie, Définition 005A) signifie que \(V \to Y\) est un morphisme quasi-compact. Par Schémas, Lemme 03GI le morphisme \(s : V \to X\) est quasi-compact. D’où la construction de l’image schématique \(Y'\) de \(s\) navette avec restriction aux ouverts par le lemme 01R8. En particulier, on voit que \(Y' \cap f^{-1}(V)\) est l’image schématique d’une section du morphisme séparé \(f^{-1}(V) \to V\). Puisqu’une section d’un morphisme séparé est une immersion fermée (Schémas, Lemme 01KT), Nous concluons que \(Y' \cap f^{-1}(V) \to V\) est un isomorphisme souhaité.

Adhérence schématique et densité

On reprend la définition suivante de [EGA, IV, Définition 11.10.2].

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert.

L’image schématique du morphisme \(U \to X\) est appelée adhérence schématique de \(U\) dans \(X\).

On dit que \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si pour tout \(V \subset X\) ouvert l’adhérence schématique de \(U \cap V\) dans \(V\) est égale à \(V\).

Avec cette définition, il n’est pas que \(U\) soit schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si l’adhérence schématique de \(U\) est \(X\), voir Exemple 01RC. C’est quelque peu inélégant ; mais voir Lemmes 01RD et 056D ci-dessous. En revanche, avec cette définition \(U\) est schématiquement dense en \(X\) si et seulement si pour chaque \(V \subset X\) ouvert l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U \cap V)\) est injectif, voir Lemme 01RE ci-dessous. En particulier on voit que schématiquement dense implique dense ce qui est agréable.

Exemple

Voici un exemple où le fait que l’adhérence schématique soit \(X\) n’implique pas la densité des espaces topologiques sous-jacents. Soit \(k\) un corps. Posons \(A = k[x, z_1, z_2, \ldots]/(x^n z_n)\). Posons \(I = (z_1, z_2, \ldots) \subset A\). Considérons le schéma affine \(X = \Spec(A)\) et le sous-schéma ouvert \(U = X \setminus V(I)\). Comme \(A \to \prod_n A_{z_n}\) est injectif, l’adhérence schématique de \(U\) est \(X\). Considérons le morphisme \(X \to \Spec(k[x])\). Ce morphisme est surjectif (poser tous les \(z_n = 0\) permet de le voir). Mais sa restriction à \(U\) n’est pas surjective, car son image est réduite au point \(x = 0\). Par conséquent, \(U\) ne peut pas être topologiquement dense dans \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Si le morphisme d’inclusion \(U \to X\) est quasi-compact, alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\).

Démonstration

Cela résulte de la partie (3) du Lemme 01R8.

Exemple

Soit \(A\) un anneau et \(X = \Spec(A)\). Soient \(f_1, \ldots, f_n \in A\) et posons \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\). Posons \(I = \Ker(A \to \prod A_{f_i})\). Alors l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est le sous-schéma fermé \(\Spec(A/I)\) de \(X\). Notons que \(U \to X\) est quasi-compact. Ainsi par le lemme 01RD on voit que \(U\) est schématiquement dense en \(X\) si et seulement si \(I = 0\).

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas. Alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) est injectif.

Démonstration

Si \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) est injectif, alors il en va de même lorsqu’il est restreint à n’importe quel \(V\) ouvert de \(X\). D’où l’adhérence schématique de \(U \cap V\) dans \(V\) est égale à \(V\), voir démonstration du lemme 01R6. A l’inverse, supposons que l’adhérence schématique de \(U \cap V\) soit égale à \(V\) pour toutes les ouvertures \(V\). Supposons que \(\mathcal{O}_X \to j_*\mathcal{O}_U\) ne soit pas injectif. Ensuite, nous pouvons trouver un ouvert affine, disons \(\Spec(A) = V \subset X\) et un élément non nul \(f \in A\) tel que l’image de \(f\) soit nulle dans \(\Gamma(V \cap U, \mathcal{O}_X)\). Dans ce cas l’adhérence schématique de \(V \cap U\) dans \(V\) est clairement contenue dans \(\Spec(A/(f))\) une contradiction.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Si \(U\), \(V\) sont schématiquement denses sous-schémas ouverts de \(X\), alors \(U \cap V\).

Démonstration

Soit \(W \subset X\) un ouvert quelconque. Considérons le morphisme \(\mathcal{O}_X(W) \to \mathcal{O}_X(W \cap V) \to \mathcal{O}_X(W \cap V \cap U)\). D’après le Lemme 01RE, les deux applications sont injectives. Le composite est donc injectif. Donc par le lemme 01RE \(U \cap V\) est schématiquement dense en \(X\).

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) une immersion. Supposons que \(h\) soit quasi-compact ou que \(Z\) soit réduit. Soit \(\overline{Z} \subset X\) l’image schématique de \(h\). Alors le morphisme \(Z \to \overline{Z}\) est une immersion ouverte qui identifie \(Z\) à un sous-schéma ouvert schématiquement dense de \(\overline{Z}\). De plus, \(Z\) est topologiquement dense dans \(\overline{Z}\).

Démonstration

Par le Lemme 01QV ou Lemme 03DQ, nous pouvons factoriser \(Z \to X\) comme \(Z \to \overline{Z}_1 \to X\) avec \(Z \to \overline{Z}_1\) ouvert et \(\overline{Z}_1 \to X\) fermé. Par contre, soit \(Z \to \overline{Z} \subset X\) l’image schématique de \(Z \to X\). Nous concluons que \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\). Puisque \(Z\) est un sous-schéma ouvert de \(\overline{Z}_1\) Il s’ensuit que \(Z\) est également un sous-schéma ouvert de \(\overline{Z}\). Dans le cas où \(Z\) est réduit nous savons que \(Z \subset \overline{Z}_1\) est topologiquement dense par la construction de \(\overline{Z}_1\) dans la démonstration du lemme 03DQ. Par conséquent, \(\overline{Z}_1\) et \(\overline{Z}\) ont les mêmes espaces topologiques sous-jacents Ainsi \(\overline{Z} \subset \overline{Z}_1\) est une immersion fermée dans un schéma réduit qui induit une bijection sur les espaces topologiques sous-jacents, et donc un isomorphisme. Dans le cas où \(Z \to X\) est quasi-compact nous argumentons comme suit : L’affirmation selon laquelle \(Z\) est schématiquement dense dans \(\overline{Z}\) découle de la partie (3) du lemme 01R8. La dernière assertion découle de la partie (4) du lemme 01R8.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit et soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Alors Les conditions suivantes sont équivalentes

\(U\) est topologiquement dense dans \(X\),

l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\), et

\(U\) est schématiquement dense en \(X\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01RG et le fait qu’un sous-schéma fermé \(Z\) de \(X\) dont l’espace topologique sous-jacent est égal à \(X\) doit être égal à \(X\) comme schéma.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert réduit. Alors Les conditions suivantes sont équivalentes

l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\), et

\(U\) est schématiquement dense dans \(X\).

Si cela est vrai alors \(X\) est un schéma réduit.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01RG et du fait que l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est réduite par le lemme 056B.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(f, g : X \to Y\) des morphismes de schémas sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert tel que \(f|_U = g|_U\). Si l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X\) est \(X\) et que \(Y \to S\) est séparé, alors \(f = g\).

Démonstration

Dérivé des définitions et Schémas, Lemme 01KM.

Morphismes dominants

La définition d’un morphisme de schémas dominant est un peu différente de ce à quoi on pourrait s’attendre si l’on est habitué à la notion de morphisme dominant des variétés.

Définition

Un morphisme \(f : X \to S\) de schémas est dit dominant si l’image de \(f\) est un sous-ensemble dense de \(S\).

Ainsi, par exemple, si \(k\) est un corps infini et \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots\) est une collection dénombrable d’éléments distincts de \(k\), alors le morphisme \[\coprod\nolimits_{i = 1, 2, \ldots } \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k[x])\] avec le \(i\)ème facteur envoyé au point \(x = \lambda_i\) est dominant.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si chaque point générique de chaque composante irréductible de \(S\) est à l’image de \(f\), alors \(f\) est dominant.

Démonstration

Il s’agit d’un fait topologique qui découle directement du fait que l’espace topologique sous-jacent à un schéma est sobre, voir Schémas, Lemme 01IS, et que tout point de \(S\) est contenu dans une composante irréductible de \(S\), voir Topologie, Lemme 004W.

L’attente selon laquelle les morphismes sont dominants uniquement si des points génériques de la cible sont dans l’image est valable si le morphisme est quasi-compact.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact. Alors \(f\) est dominant si et seulement si pour chaque composante irréductible \(Z \subset S\) le point générique de \(Z\) est à l’image de \(f\).

Démonstration

Soit \(V \subset S\) un ouvert affine. Parce que \(f\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un nombre fini d’ouverts affines \(U_i \subset f^{-1}(V)\), \(i = 1, \ldots, n\) couvrant \(f^{-1}(V)\). Considérons le morphisme des affines \[f' : \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} U_i \longrightarrow V.\] Une union disjointe d’affines est affine, voir Schémas, Lemme 01I5. Les points génériques des composantes irréductibles de \(V\) sont exactement les points génériques des composantes irréductibles de \(S\) qui répondent à \(V\). De plus, \(f\) est dominant si et seulement si \(f'\) est dominant quels que soient les choix de \(V, n, U_i\) que nous faisons ci-dessus. Nous avons ainsi réduit le lemme au cas d’un morphisme de schémas affines. Le cas affine est l’Algèbre, Lemme 00FL.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas dominant quasi-compact. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas, et soit \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\) par \(g\). Si les générisations s’élèvent le long de \(g\), alors \(f'\) est dominant.

Nous verrons que les générisations s’élèvent le long de \(g\) si \(g\) est ouvert (Lemme 040F) ou plat (Lemme 03HV).

Démonstration

Observez que \(f'\) est quasi-compact par Schémas, Lemme 01K5. Soit \(\eta' \in S'\) le point générique d’une composante irréductible de \(S'\). Si les générisations s’élèvent le long de \(g\), alors \(\eta = g(\eta')\) est le point générique d’une composante irréductible de \(S\). Par le Lemme 01RL on voit que \(\eta\) est à l’image de \(f\). Ainsi \(\eta'\) est à l’image de \(f'\) d’après Schémas, Lemme 01JT. Il s’ensuit que \(f'\) est dominant par le lemme 01RL.

Cela vaut en partie pour les morphismes dominants arbitraires (pas nécessairement quasi-compacts).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas dominant. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas ouvert, et soit \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\) par \(g\). Alors \(f'\) est dominant.

Démonstration

Si \(f'\) n’est pas dominant, alors \(f'(X')\) est contenu dans un sous-ensemble fermé \(B\) différent de \(S'\). Ensuite, \(S'-B\) est ouvert dans \(S'\) et non vide. Puisque \(g\) est ouvert, \(g(S'-B)\) n’est pas vide et ouvert dans \(S\). Puisque \(f(X)\) est dense dans \(S\), il existe un point \(x\in X\) avec \(f(x) \in g(S'-B)\). Soit \(W = \Spec(\kappa (f(x)))\), et écrivez \(X_W\), \(S_W\), \(S'_W\) pour les retraits de ces schémas de \(S\) vers \(W\). Alors \(X_W\) et \((S'-B)_W\) ne sont pas vides, et donc \(X_W \times_W (S'-B)_W\) n’est pas vide, car \(W\) est le spectre d’un corps. Cela contredit le fait que \(f'(X \times_S S')\) soit contenu dans \(B \subset S'\). Donc en fait \(f'\) est dominant.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact. Soit \(\eta \in S\) un point générique d’une composante irréductible de \(S\). Si \(\eta \not \in f(X)\) alors il existe un voisinage ouvert \(V \subset S\) de \(\eta\) tel que \(f^{-1}(V) = \emptyset\).

Démonstration

Soit \(Z \subset S\) l’image schématique de \(f\). Nous devons montrer que \(\eta \not \in Z\). Cela résulte du lemme 02JQ mais peut aussi être vu comme suit. Par le Lemme 01R8 le morphisme \(X \to Z\) est dominant, ce qui par le lemme 01RL signifie que tous les points génériques de toutes les composantes irréductibles de \(Z\) sont à l’image de \(X \to Z\). Par hypothèse on voit que \(\eta \not \in Z\) puisque \(\eta\) serait le point générique d’une composante irréductible de \(Z\) s’il était dans \(Z\).

Il existe un autre cas où la dominante revient à avoir tous les points génériques des composantes irréductibles dans l’image.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X\) ait un nombre fini de composantes irréductibles. Alors \(f\) est dominant (si et) seulement si pour toute composante irréductible \(Z \subset S\) le point générique de \(Z\) est à l’image de \(f\). Si tel est le cas, alors \(S\) a également un nombre fini de composantes irréductibles.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit dominant. Disons que \(X = Z_1 \cup Z_2 \cup \ldots \cup Z_n\) est la décomposition de \(X\) en composantes irréductibles. Soit \(\xi_i \in Z_i\) son point générique, donc \(Z_i = \overline{\{\xi_i\}}\). Notez que \(f(Z_i)\) est un sous-ensemble irréductible de \(S\). \[S = \overline{f(X)} = \bigcup \overline{f(Z_i)} = \bigcup \overline{\{f(\xi_i)\}}\] est donc une union finie de sous-ensembles irréductibles dont les points génériques sont à l’image de \(f\). Le lemme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas intègres. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(f\) est dominant,

\(f\) envoie le point générique de \(X\) sur le point générique de \(Y\),

il existe des ouverts affines non vides \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\) et l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est injectif,

pour tous les ouverts affines non vides \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est injectif,

il existe \(x \in X\), d’image \(y = f(x) \in Y\), tel que l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) soit injectif, et

pour tout \(x \in X\), d’image \(y = f(x) \in Y\), l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est injectif.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) découle du lemme 01RM. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) des ouverts affines non vides avec \(f(U) \subset V\). Rappelons que les anneaux \(A = \mathcal{O}_X(U)\) et \(B = \mathcal{O}_Y(V)\) sont des domaines intègres. Le morphisme \(f|_U : U \to V\) correspond à un homomorphisme d’anneaux \(\varphi : B \to A\). Les points génériques de \(X\) et \(Y\) correspondent aux idéaux premiers \((0) \subset A\) et \((0) \subset B\). Ainsi (2) équivaut à la condition \((0) = \varphi^{-1}((0))\), c’est-à-dire à la condition que \(\varphi\) soit injectif. De cette façon, nous voyons que (2), (3) et (4) sont équivalents. De même, étant donné \(x\) et \(y\) comme dans (5), les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) et \(\mathcal{O}_{Y, y}\) sont des domaines et les idéaux premiers \((0) \subset \mathcal{O}_{X, x}\) et \((0) \subset \mathcal{O}_{Y, y}\) correspondent aux points génériques de \(X\) et \(Y\) (via l’identification du spectre de l’anneau local à \(x\) avec l’ensemble des points spécialisés à \(x\), voir Schémas, Lemme 01J7). Nous pouvons donc argumenter exactement de la même manière que ci-dessus pour voir que (2), (5) et (6) sont équivalents.

Morphismes surjectifs

Définition

Un morphisme de schémas est dit surjectif s’il est surjectif sur les espaces topologiques sous-jacents.

Lemme

La composition des morphismes surjectifs est surjectif.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur un schéma de base \(S\). Étant donné les points \(x \in X\) et \(y \in Y\), il y a un point de \(X \times_S Y\) envoyé sur \(x\) et \(y\) sous les projections si et seulement si \(x\) et \(y\) se trouvent au-dessus du même point de \(S\).

Démonstration

La condition est évidemment nécessaire, et la réciproque découle de la démonstration d’après Schémas, Lemme 01JT.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme surjectif est surjectif.

Démonstration

Soit \(f: X \to Y\) un morphisme de schémas sur un schéma de base \(S\). Si \(S' \to S\) est un morphisme de schémas, soit \(p: X_{S'} \to X\) et \(q: Y_{S'} \to Y\) les projections canoniques. Le carré commutatif \[\xymatrix{ X_{S'} \ar[d]_{f_{S'}} \ar[r]_p & X \ar[d]^{f} \\ Y_{S'} \ar[r]^{q} & Y. }\] identifie \(X_{S'}\) comme un produit fibré de \(X \to Y\) et \(Y_{S'} \to Y\). Soit \(Z\) un sous-ensemble de l’espace topologique sous-jacent de \(X\). Puis \(q^{-1}(f(Z)) = f_{S'}(p^{-1}(Z))\), car \(y' \in q^{-1}(f(Z))\) si et seulement si \(q(y') = f(x)\) pour certains \(x \in Z\), si et seulement si, par le lemme 0495, il existe des \(x' \in X_{S'}\) tels que \(f_{S'}(x') = y'\) et \(p(x') = x\). En particulier en prenant \(Z = X\) on voit que si \(f\) est surjectif le changement de base \(f_{S'}: X_{S'} \to Y_{S'}\) l’est aussi.

Exemple

La bijectivité n’est pas stable par changement de base, et l’injectivité ne l’est pas non plus. Par exemple, considérons la bijection \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{R})\). Le changement de base \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{C})\) n’est pas injectif, car il existe un isomorphisme \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C} \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\) (la décomposition provient de l’idempotent \(\frac{1 \otimes 1 + i \otimes i}{2}\)) ; ainsi, \(\Spec(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C})\) a deux points.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & Z }\] être un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Si \(f\) est surjectif et \(p\) est quasi-compact, alors \(q\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(W \subset Z\) un ouvert quasi-compact. Par hypothèse \(p^{-1}(W)\) est quasi-compact. Donc par Topologie, Lemme 04Z9 l’image inverse \(q^{-1}(W) = f(p^{-1}(W))\) est également quasi-compacte. Cela prouve le lemme.

Morphismes radiciels et universellement injectifs

Dans cette section, nous définissons ce que signifie pour un morphisme de schémas d’être radical et ce que signifie pour un morphisme de schémas d’être universellement injectif. Nous montrons ensuite que ces notions concordent. La raison pour laquelle nous introduisons les deux est que dans le cas des espaces algébriques, il existe des notions correspondantes qui ne concordent pas toujours.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme.

On dit que \(f\) est universellement injectif si et seulement si pour tout morphisme de schémas \(S' \to S\) le changement de base \(f' : X_{S'} \to S'\) est injectif (sur les espaces topologiques sous-jacents).

On dit que \(f\) est radical si \(f\) est injectif comme application d’espaces topologiques, et pour tout \(x \in X\) l’extension du corps \(\kappa(x)/\kappa(f(x))\) est purement inséparable.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Pour chaque corps \(K\) l’application induite \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\) est injectif.

Le morphisme \(f\) est universellement injectif.

Le morphisme \(f\) est radical.

Le morphisme diagonal \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\) est surjectif.

Démonstration

Soit \(K\) un corps, et \(s : \Spec(K) \to S\) un morphisme. Donner un morphisme \(x : \Spec(K) \to X\) tel que \(f \circ x = s\) revient à donner une section de la projection \(X_K = \Spec(K) \times_S X \to \Spec(K)\), ce qui revient à donner un point \(x \in X_K\) dont le corps résiduel est \(K\). On voit donc que (2) implique (1).

Inversement, supposons que (1) soit vérifié. Supposons que \(x, x' \in X_{S'}\) s’envoient sur le même point \(s' \in S'\). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ K & \kappa(x) \ar[l] \\ \kappa(x') \ar[u] & \kappa(s') \ar[l] \ar[u] }\] de corps. Par Schémas, Lemme 01J9 on obtient deux morphismes \(a, a' : \Spec(K) \to X_{S'}\). L’un correspondant au point \(x\) et à l’intégration \(\kappa(x) \subset K\) et l’autre correspondant au point \(x'\) et à l’intégration \(\kappa(x') \subset K\). Nous avons également \(f' \circ a = f' \circ a'\). La condition (1) implique désormais que les compositions de \(a\) et \(a'\) avec \(X_{S'} \to X\) sont égales. Puisque \(X_{S'}\) est le produit fibré de \(S'\) et \(X\) sur \(S\) on voit que \(a = a'\). D’où \(x = x'\). Ainsi (1) implique (2).

S’il y a deux points différents \(x, x' \in X\) envoyés au même point de \(s\) alors (2) est violé. Si pour certains \(s = f(x)\), \(x \in X\) l’extension de corps \(\kappa(x)/\kappa(s)\) n’est pas purement inséparable, alors on peut trouver une extension de corps \(K/\kappa(s)\) telle que \(\kappa(x)\) possède deux \(\kappa(s)\)-homomorphismes en \(K\). Par Schémas, Lemme 01J9 cela implique que l’application \(\Mor(\Spec(K), X) \to \Mor(\Spec(K), S)\) n’est pas injectif, et donc (1) est violé. Nous voyons donc que les conditions équivalentes (1) et (2) impliquent que \(f\) est radical, c’est-à-dire qu’elles impliquent (3).

Supposons (3). Par Schémas, Lemme 01J9 un morphisme \(\Spec(K) \to X\) est donné par un couple \((x, \kappa(x) \to K)\). La propriété (3) dit exactement qu’en associant au couple \((x, \kappa(x) \to K)\) le couple \((s, \kappa(s) \to \kappa(x) \to K)\) est injectif. En d’autres termes, (1) est valable. À ce stade, nous savons que (1), (2) et (3) sont tous équivalents.

Enfin, nous prouvons l’équivalence de (4) avec (1), (2) et (3). Un point de \(X \times_S X\) est donné par un quadruple \((x_1, x_2, s, \mathfrak p)\), où \(x_1, x_2 \in X\), \(f(x_1) = f(x_2) = s\) et \(\mathfrak p \subset \kappa(x_1) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x_2)\) est un idéal premier, voir Schémas, Lemme 01JT. Si \(f\) est universellement injectif, alors en prenant \(S'=X\) dans la définition de universellement injectif, \(\Delta_{X/S}\) doit être surjectif puisqu’il s’agit d’une section du morphisme injectif \(X \times_S X \longrightarrow X\). Inversement, si \(\Delta_{X/S}\) est surjectif, alors toujours \(x_1 = x_2 = x\) et il existe exactement un tel idéal premier \(\mathfrak p\), ce qui signifie que \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) est purement inséparable. Donc \(f\) est radical. Alternativement, si \(\Delta_{X/S}\) est surjectif, alors pour tout \(S' \to S\) le changement de base \(\Delta_{X_{S'}/S'}\) est surjectif ce qui implique que \(f\) est universellement injectif. Ceci termine la démonstration du lemme.

Lemme

Un morphisme universellement injectif est séparé.

Démonstration

Combiner Lemme 01S4 avec la remarque que \(X \to S\) est séparé si et seulement si l’image de \(\Delta_{X/S}\) est fermée dans \(X \times_S X\), voir Schémas, Définition 01KK et la discussion qui en suit.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme universellement injectif est universellement injectif.

Démonstration

Ceci est formel.

Lemme

Une composition de morphismes radiciels est radicale, et il en va donc de même pour la condition équivalente d’être universellement injectif.

Démonstration

Omis.

Morphismes affines

Définition

Un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est appelé affine si l’image réciproque de chaque ouvert affine de \(S\) est un ouvert affine de \(X\).

Lemme

Un morphisme affine est séparé et quasi-compact.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) affine. La quasi-compacité est immédiate chez Schémas, Lemme 01K4. Nous allons montrer que \(f\) est séparé à l’aide d’après Schémas, Lemme 01KP. Soient \(x_1, x_2 \in X\) des points de \(X\) qui ont la même image \(s \in S\). Choisissons un ouvert affine quelconque \(W \subset S\) contenant \(s\). Par hypothèse, \(f^{-1}(W)\) est affine. Appliquer le lemme cité avec \(U = V = f^{-1}(W)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est affine.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup W_j\) tel que chaque \(f^{-1}(W_j)\) soit affine.

Il existe un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{A}\) et un isomorphisme \(X \cong \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\) de schémas sur \(S\). Voir Constructions, section 01LQ pour la notation.

De plus, dans ce cas \(X = \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Il est évident que (1) implique (2).

Supposons que \(S = \bigcup_{j \in J} W_j\) soit un recouvrement ouvert affine tel que chaque \(f^{-1}(W_j)\) soit affine. Par Schémas, Lemme 01K4 on voit que \(f\) est quasi-compact. Par Schémas, Lemme 01KO on voit que le morphisme \(f\) est quasi-séparé. Ainsi par Schémas, Lemme 01LC le faisceau \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. On a donc le schéma \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) sur \(S\). L’application d’identité \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\) fournit, via la définition du spectre relatif, un morphisme \(can : X \to Y\) sur \(S\), voir Constructions, Lemme 01LY. Par hypothèse et le lemme qui vient d’être cité la restriction \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\) est un isomorphisme. Ainsi \(can\) est un isomorphisme. Nous avons montré que (2) implique (3).

Supposons (3). Par Constructions, Lemme 01LX nous voyons que l’image inverse de tout ouvert affine est affine, et donc le morphisme est affine par définition.

Remarque

Nous pouvons également affirmer directement que (2) implique (1) dans le lemme 01S8 ci-dessus comme suit. Supposons que \(S = \bigcup W_j\) soit un recouvrement ouvert affine tel que chaque \(f^{-1}(W_j)\) soit affine. Démontrons d’abord que \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) est quasi-cohérent comme dans la démonstration ci-dessus. Soit \(\Spec(R) = V \subset S\) ouvert affine. Il faut montrer que \(f^{-1}(V)\) est affine. Posons \(A = \mathcal{A}(V) = f_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))\). Par Schémas, Lemme 01I1 il existe un morphisme canonique \(\psi : f^{-1}(V) \to \Spec(A)\) sur \(\Spec(R) = V\). Par Schémas, Lemme 01IX il existe un entier \(n \geq 0\), un recouvrement standard ouvert \(V = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(h_i)\), \(h_i \in R\), et une application \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\) telle que chaque \(D(h_i)\) est aussi un ouvert principal du schéma affine \(W_{a(i)}\). L’image réciproque d’un principal ouvert sous un morphisme de schémas affines est principal ouvert, voir Algèbre, Lemme 00E2. On voit donc que \(f^{-1}(D(h_i))\) est un principe ouvert de \(f^{-1}(W_{a(i)})\), en particulier que \(f^{-1}(D(h_i))\) est affine. Parce que \(\mathcal{A}\) est quasi-cohérent, nous avons \(A_{h_i} = \mathcal{A}(D(h_i)) = \mathcal{O}_X(f^{-1}(D(h_i)))\), donc \(f^{-1}(D(h_i))\) est le spectre de \(A_{h_i}\). Il s’ensuit que le morphisme \(\psi\) induit un isomorphisme de l’ouvert \(f^{-1}(D(h_i))\) avec l’ouvert \(\Spec(A_{h_i})\) de \(\Spec(A)\). Puisque \(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(D(h_i))\) et \(\Spec(A) = \bigcup \Spec(A_{h_i})\) on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Il existe une anti-équivalence de catégories \[\begin{matrix} \text{Schémas affines} \\ \text{sur }S \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{faisceaux quasi-cohérents} \\ \text{de }\mathcal{O}_S\text{-algèbres} \end{matrix}\] qui associe à \(f : X \to S\) le faisceau \(f_*\mathcal{O}_X\). De plus, cette équivalence est compatible avec un changement de base arbitraire.

Démonstration

Le foncteur de droite à gauche est donné par \(\underline{\Spec}_S\). Les deux foncteurs sont mutuellement inverses par le lemme 01S8 et Constructions, Lemme 01LX partie (3). L’instruction finale est Constructions, Lemme 01LX partie (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre quasi-cohérente. Un \(\mathcal{A}\)-module est quasi-cohérent comme un \(\mathcal{O}_S\)-module si et seulement si il est quasi-cohérent comme un \(\mathcal{A}\)-module.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{A}\). Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent en tant que module \(\mathcal{A}\), alors pour chaque \(s \in S\) il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) et une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_J\mathcal{A}|_U\to \bigoplus\nolimits_I\mathcal{A}|_U\to \mathcal{F}|_U\] de \(\mathcal{A}|_U\)-modules. Alors c’est aussi une suite exacte de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Ainsi \(\mathcal{F}|_U\) est quasi-cohérent comme le conoyau d’un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents sur un schéma. Il s’ensuit que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module.

Inversement, supposons que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent en tant que module \(\mathcal{O}_X\). Choisissez un \(\Spec(R) = U \subset S\) ouvert affine. Nous avons des isomorphismes de \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{A}|_U \cong \widetilde{A}\) et \(\mathcal{F}|_U \cong \widetilde{M}\), pour certaines \(R\)-algèbre \(A\) et certains \(R\)-module \(M\). La structure de module \(\mathcal{A}\) sur \(\mathcal{F}\) se traduit par une structure de module \(A\) sur \(M\) compatible avec la structure de module \(R\) donnée (détails omis). Choisissez une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_J A \to \bigoplus\nolimits_I A \to M \to 0\] de \(A\)-modules. Puisque le foncteur \(\widetilde{\ }\) est exact, cela produit une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_J \widetilde{A}\to \bigoplus\nolimits_I \widetilde{A}\to \widetilde{M} \to 0\] de \(\widetilde{A}\)-modules. Cela signifie que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent en tant que module \(\mathcal{A}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Soit \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) induit une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des}\\ \mathcal{O}_X\text{-modules quasi-cohérents} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des}\\ \mathcal{A}\text{-modules quasi-cohérents} \end{matrix} \right\}\] De plus, un \(\mathcal{A}\)-module est quasi-cohérent comme un \(\mathcal{O}_S\)-module si et seulement si il est quasi-cohérent comme un \(\mathcal{A}\)-module.

Démonstration

L’instruction finale est Lemme 0H88. Par le Lemme 01S7 et Schémas, Lemme 01LC l’image directe \(f_*\mathcal{F}\) d’un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. D’où un foncteur comme dans l’énoncé du lemme.

Nous allons construire un \(h\) quasi-inverse à ce foncteur. Soit \(\mathcal{G}\) un module \(\mathcal{A}\) quasi-cohérent. Ensuite, nous définissons \[h(\mathcal{G}) = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*\mathcal{A}} \mathcal{O}_X = f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] Élucidation : le retrait \(f^*\mathcal{A} = f^*f_*\mathcal{O}_X\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre, l’application d’adjonction \(f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) est un homomorphisme d’algèbre et le retrait \(f^*\mathcal{G}\) est un \(f^*\mathcal{A}\)-module. Observez que \(h(\mathcal{G})\) est quasi-cohérent car la quasi-cohérence est préservée par les retraits et le changement d’anneaux. Observons qu’il existe un morphisme fonctoriel \[h(f_*\mathcal{F}) = f^*f_*\mathcal{F} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\] provenant du morphisme d’adjonction \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et un morphisme fonctoriel \[\mathcal{G} \to f_*h(\mathcal{G}) \quad\text{adjoint du morphisme}\quad f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{G} \otimes_{f^*f_*\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X\] qui envoie une section locale \(s\) de \(f^*\mathcal{F}\) à \(s \otimes 1\). Pour terminer la démonstration il suffit de montrer que ces applications sont des isomorphismes pour \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme ci-dessus. Ceci peut être vérifié sur les membres d’un revêtement affine, c’est-à-dire lorsque \(X\) et \(S\) sont affines.

L’observation algébrique clé qui fait ce travail est la suivante : Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un module \(A\). Alors \[(N \otimes_R A) \otimes_{(A \otimes_R A)} A = N\] À savoir, le côté gauche de cette égalité est l’effet de l’application de \(h\) au module \(\widetilde{A}\) quasi-cohérent \(\widetilde{N}\) sur \(\Spec(R)\). Nous omettons les détails.

Lemme

La composition des morphismes affines est affine.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes affines. Soit \(U \subset Z\) ouvert affine. Alors \(g^{-1}(U)\) est affine par hypothèse sur \(g\). Sur quoi \(f^{-1}(g^{-1}(U))\) est affine par hypothèse sur \(f\). Donc \((g \circ f)^{-1}(U)\) est affine.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme affine est affine.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine. Soit \(S' \to S\) n’importe quel morphisme. Notons \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) le changement de base de \(f\). Pour chaque \(s' \in S'\) il existe un voisinage ouvert affine \(s' \in V \subset S'\) qui s’envoie dans un certain ouvert affine \(U \subset S\). Par hypothèse, \(f^{-1}(U)\) est affine. D’après le matériel de Schémas, section 01JO, nous voyons que \(f^{-1}(U)_V = V \times_U f^{-1}(U)\) est affine et égal à \((f')^{-1}(V)\). Cela prouve que \(S'\) a un recouvrement ouvert par affines dont l’image réciproque par \(f'\) est affine. Nous concluons par le lemme 01S8 ci-dessus.

Lemme

Une immersion fermée est affine.

Démonstration

La première indication en est Schémas, Lemme 01IH. Voir Schémas, Lemme 01IN pour un énoncé complet.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Le morphisme d’inclusion \(j : X_s \to X\) est affine.

Démonstration

Cela résulte de Propriétés, Lemme 01PV et la définition.

Lemme

Supposons que \(g : X \to Y\) soit un morphisme de schémas sur \(S\).

Si \(X\) est affine sur \(S\) et que \(\Delta : Y \to Y \times_S Y\) est affine, alors \(g\) est affine.

Si \(X\) est affine sur \(S\) et que \(Y\) est séparé sur \(S\), alors \(g\) est affine.

Un morphisme d’un schéma affine vers un schéma à diagonale affine est affine.

Un morphisme d’un schéma affine vers un schéma séparé est affine.

Démonstration

Démonstration de (1). Le changement de base \(X \times_S Y \to Y\) est affine par le lemme 01SD. Le morphisme \((1, g) : X \to X \times_S Y\) est le changement de base de \(Y \to Y \times_S Y\) par le morphisme \(X \times_S Y \to Y \times_S Y\). Il est donc affine par le lemme 01SD. La composition des morphismes affines est affine (voir Lemme 01SC) et (1) s’ensuit. La partie (2) découle de (1) car une immersion fermée est affine (voir Lemme 01SE) et \(Y/S\) séparé signifie \(\Delta\) est une immersion fermée. Les parties (3) et (4) sont des cas particuliers de (1) et (2).

Lemme

Un morphisme entre schémas affines est affine.

Démonstration

Immédiat du lemme 01SG avec \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Cela découle également directement de l’équivalence de (1) et (2) dans le lemme 01S8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) un anneau artinien. Tout morphisme \(\Spec(A) \to S\) est affine.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(j : Y \to X\) une immersion de schémas. Supposons qu’il existe un \(U \subset X\) ouvert avec un complément \(Z = X \setminus U\) tel que

\(U \to X\) est affine,

\(j^{-1}(U) \to U\) est affine et

\(j(Y) \cap Z\) est fermé.

Alors \(j\) est affine. En particulier, si \(X\) est affine, \(Y\) l’est également.

Démonstration

Par Schémas, Définition 01IO il existe un sous-schéma ouvert \(W \subset X\) tel que \(j\) se factorise en une immersion fermée \(i : Y \to W\) suivi du morphisme d’inclusion \(W \to X\). Puisqu’une immersion fermée est affine (Lemme 01SE), on voit que pour tout \(x \in W\) il existe un voisinage ouvert affine de \(x\) dans \(X\) dont l’image réciproque par \(j\) est affine. Si \(x \in U\), alors la même chose est vraie par l’hypothèse (2). Enfin, supposons \(x \in Z\) et \(x \not \in W\). Puis \(x \not \in j(Y) \cap Z\). Par l’hypothèse (3) on peut trouver un voisinage affine ouvert \(V \subset X\) de \(x\) qui ne satisfait pas à \(j(Y) \cap Z\). Puis \(j^{-1}(V) = j^{-1}(V \cap U)\) qui est affine par les hypothèses (1) et (2). Il s’ensuit que \(j\) est affine par le lemme 01S8.

Familles de modules inversibles amples

Une courte section sur la notion de famille de modules amples inversibles.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) une famille de \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Nous disons que \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) est une grande famille de modules inversibles sur \(X\) si

\(X\) est quasi-compact, et

pour chaque \(x \in X\) il existe un \(i \in I\), un \(n \geq 1\) et \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}_i^{\otimes n})\) de telle sorte que \(x \in X_s\) et \(X_s\) soient affines.

Si \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) est une ample famille de modules inversibles sur un schéma \(X\), alors il existe un sous-ensemble fini \(I' \subset I\) tel que \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I'}\) est une ample famille de modules inversibles sur \(X\) (découle immédiatement de la quasi-compacité). Un schéma ayant une ample famille de modules inversibles a une diagonale affine par le lemme suivant et est donc a fortiori quasi-séparé.

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que pour tout point \(x \in X\) il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{L}\) inversible et une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) telle que \(x \in X_s\) et \(X_s\) sont affines. Alors la diagonale de \(X\) est un morphisme affine.

Démonstration

Étant donné les \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{M}\) et les sections globales \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M})\) tels que \(X_s\) et \(X_t\) sont affines, nous devons prouver que \(X_s \cap X_t\) est affine. À savoir, alors Lemme 01S8 s’applique à \(\Delta : X \to X \times X\) et le fait que \(\Delta^{-1}(X_s \times X_t) = X_s \cap X_t\) montre que \(\Delta\) est affine. Le fait que \(X_s \cap X_t\) soit affine découle de Propriétés, Lemme 01PV.

Remarque

Dans Propriétés, Lemme 01PY, on voit qu’un schéma qui possède un module inversible ample est séparé. Ceci est faux pour les schémas possédant une famille ample de modules inversibles. En effet, soit \(X\) comme dans Schémas, Exemple 01JD, avec \(n = 1\), c’est-à-dire la droite affine à zéro doublée. Nous utilisons la notation de cet exemple sauf que nous écrivons \(x\) pour \(x_1\) et \(y\) pour \(y_1\). Il existe, pour tout entier \(n\), un faisceau inversible \(\mathcal{L}_n\) sur \(X\) qui est trivial sur \(X_1\) et \(X_2\) et dont la fonction de transition \(U_{12} \to U_{21}\) est \(f(x) \mapsto y^n f(y)\). Les sections globales de \(\mathcal{L}_n\) sont des couples \((f(x), g(y)) \in k[x] \oplus k[y]\) tels que \(y^n f(y) = g(y)\). Les sections \(s = (1, y)\) de \(\mathcal{L}_1\) et \(t = (x, 1)\) de \(\mathcal{L}_{-1}\) déterminent un recouvrement par des ouverts affines, car \(X_s = X_1\) et \(X_t = X_2\). Ainsi, \(X\) possède une famille ample de modules inversibles, mais il n’est pas séparé.

Morphismes quasi-affines

Rappelons qu’un schéma \(X\) est dit quasi-affine s’il est quasi-compact et isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine, voir Propriétés, Définition 01P6.

Définition

Un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est appelé quasi-affine si l’image réciproque de chaque ouvert affine de \(S\) est un schéma quasi-affine.

Lemme

Un morphisme quasi-affine est séparé et quasi-compact.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) quasi-affine. La quasi-compacité est immédiate chez Schémas, Lemme 01K4. Soit \(U \subset S\) un ouvert affine. Si l’on peut montrer que \(f^{-1}(U)\) est un schéma séparé, alors \(f\) est séparé (Schémas, Lemme 01KP montre que la séparation est locale sur la base). Par hypothèse \(f^{-1}(U)\) est isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine. Un schéma affine est séparé et donc chaque sous-schéma ouvert d’un schéma affine est séparé à volonté.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est quasi-affine.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup W_j\) tel que chaque \(f^{-1}(W_j)\) soit quasi-affine.

Il existe un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{A}\) et une immersion ouverte quasi-compacte \[\xymatrix{ X \ar[rr] \ar[rd] & & \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \ar[dl] \\ & S & }\] sur \(S\).

Idem qu’en (3) mais avec \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) et la flèche horizontale le morphisme canonique des Constructions, Lemme 01LY.

Démonstration

Il est évident que (1) implique (2) et que (4) implique (3).

Supposons que \(S = \bigcup_{j \in J} W_j\) soit un recouvrement ouvert affine tel que chaque \(f^{-1}(W_j)\) soit quasi-affine. Par Schémas, Lemme 01K4 on voit que \(f\) est quasi-compact. Par Schémas, Lemme 01KO on voit que le morphisme \(f\) est quasi-séparé. Ainsi par Schémas, Lemme 01LC le faisceau \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. On a donc le schéma \(g : Y = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) sur \(S\). L’application d’identité \(\text{id} : \mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\) fournit, via la définition du spectre relatif, un morphisme \(can : X \to Y\) sur \(S\), voir Constructions, Lemme 01LY. Par hypothèse, le lemme qui vient d’être cité, et Propriétés, Lemme 01P9 la restriction \(can|_{f^{-1}(W_j)} : f^{-1}(W_j) \to g^{-1}(W_j)\) est une immersion ouverte quasi-compacte. Ainsi \(can\) est une immersion ouverte quasi-compacte. Nous avons montré que (2) implique (4).

Supposons (3). Choisissez n’importe quel \(U \subset S\) ouvert affine. Par Constructions, Lemme 01LX on voit que l’image inverse de \(U\) dans le spectre relatif est affine. Nous concluons donc que \(f^{-1}(U)\) est quasi-affine (notez que la quasi-compacité est également codée dans (3)). Ainsi (3) implique (1).

Lemme

La composition des morphismes quasi-affines est quasi-affine.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes quasi-affines. Soit \(U \subset Z\) ouvert affine. Alors \(g^{-1}(U)\) est quasi-affine par hypothèse sur \(g\). Soit \(j : g^{-1}(U) \to V\) une immersion ouverte quasi-compacte dans un schéma affine \(V\). Par le Lemme 01SM ci-dessus on voit que \(f^{-1}(g^{-1}(U))\) est un sous-schéma ouvert quasi-compact du spectre relatif \(\underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A})\) pour un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_{g^{-1}(U)}\)-algèbres \(\mathcal{A}\). Par Schémas, Lemme 01LC le faisceau \(\mathcal{A}' = j_*\mathcal{A}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_V\)-algèbres avec la propriété que \(j^*\mathcal{A}' = \mathcal{A}\). On obtient donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ f^{-1}(g^{-1}(U)) \ar[r] & \underline{\Spec}_{g^{-1}(U)}(\mathcal{A}) \ar[r] \ar[d] & \underline{\Spec}_V(\mathcal{A}') \ar[d] \\ & g^{-1}(U) \ar[r]^j & V }\] avec le carré étant un carré de fibre, voir Constructions, Lemme 01LX. Notez que le coin supérieur droit est un schéma affine. Donc \((g \circ f)^{-1}(U)\) est quasi-affine.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme quasi-affine est quasi-affine.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-affine. Par le Lemme 01SM ci-dessus on trouve un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{A}\) et une immersion ouverte quasi-compacte \(X \to \underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\) sur \(S\). Soit \(g : S' \to S\) n’importe quel morphisme. Notons \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) le changement de base de \(f\). Puisque le changement de base d’une immersion ouverte quasi-compacte est une immersion ouverte quasi-compacte on voit que \(X_{S'} \to \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\) est une immersion ouverte quasi-compacte (nous avons utilisé Schémas, Lemmes 01K5 et 01JY et Constructions, Lemme 01LX). Par le Lemme 01SM encore Nous concluons que \(X_{S'} \to S'\) est quasi-affine.

Lemme

Une immersion quasi-compacte est quasi-affine.

Démonstration

Soit \(X \to S\) une immersion quasi-compacte. Il faut montrer que l’image l’image réciproque de tout ouvert affine est quasi-affine. Ainsi, en supposant que \(S\) est un schéma affine, il faut montrer que \(X\) est quasi-affine. Par le Lemme 01RG le morphisme \(X \to S\) se factorise en \(X \to Z \to S\) où \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(S\) et \(X \subset Z\) est un ouvert quasi-compact. Puisque \(S\) est affine, le Lemme 01QO implique que \(Z\) est affine, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un schéma affine. Un morphisme \(f : X \to S\) est quasi-affine si et seulement si il est quasi-compact. En particulier, tout morphisme d’un schéma affine à un schéma quasi-séparé est quasi-affine.

Démonstration

Soit \(V \subset S\) un ouvert affine. Alors \(f^{-1}(V)\) est un sous-schéma ouvert du schéma affine \(X\), donc quasi-affine si et seulement si il est quasi-compact. Cela prouve la première affirmation. La quasi-compacité de tout \(f : X \to S\) où \(X\) est affine et \(S\) quasi-séparé découle d’après Schémas, Lemme 03GI appliqué à \(X \to S \to \Spec(\mathbf{Z})\).

Lemme

Supposons que \(g : X \to Y\) soit un morphisme de schémas sur \(S\). Si \(X\) est quasi-affine sur \(S\) et \(Y\) est quasi-séparé sur \(S\), alors \(g\) est quasi-affine. En particulier, tout morphisme d’un schéma quasi-affine à un schéma quasi-séparé est quasi-affine.

Démonstration

Le changement de base \(X \times_S Y \to Y\) est quasi-affine par le lemme 01SO. Le morphisme \(X \to X \times_S Y\) est une immersion quasi-compacte comme \(Y \to S\) est quasi-séparé, voir Schémas, Lemme 01KT. Une immersion quasi-compacte est quasi-affine par le lemme 02JR et la composition des morphismes quasi-affines est quasi-affine (voir Lemme 01SN). Ainsi on obtient le résultat.

Types de morphismes définis par des propriétés d’homomorphismes d’anneaux

Dans cette section nous étudions quelles propriétés des homomorphismes d’anneaux permettent de définir des propriétés locales des morphismes de schémas.

Définition

Soit \(P\) une propriété d’homomorphismes d’anneaux.

On dit que \(P\) est local si ce qui suit est valable :

Pour tout homomorphisme d’anneaux \(R \to A\), et tout \(f \in R\) on a \(P(R \to A) \Rightarrow P(R_f \to A_f)\).

Pour tous les anneaux \(R\), \(A\), tout \(f \in R\), \(a\in A\) et tout homomorphisme d’anneaux \(R_f \to A\) nous avons \(P(R_f \to A) \Rightarrow P(R \to A_a)\).

Pour tout homomorphisme d’anneaux \(R \to A\), et \(a_i \in A\) tel que \((a_1, \ldots, a_n) = A\) puis \(\forall i, P(R \to A_{a_i}) \Rightarrow P(R \to A)\).

On dit que \(P\) est stable sous changement de base si pour tout homomorphismes d’anneaux \(R \to A\), \(R \to R'\) on a \(P(R \to A) \Rightarrow P(R' \to R' \otimes_R A)\).

On dit que \(P\) est stable sous composition si pour tout homomorphismes d’anneaux \(A \to B\), \(B \to C\) on a \(P(A \to B) \wedge P(B \to C) \Rightarrow P(A \to C)\).

Définition

Soit \(P\) une propriété d’homomorphismes d’anneaux. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est localement de type \(P\) si pour tout \(x \in X\) il existe un voisinage ouvert affine \(U\) de \(x\) dans \(X\) qui s’envoie dans un voisinage ouvert affine \(V \subset S\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) possède la propriété \(P\).

Il ne s’agit pas d’une “bonne définition” sauf si la propriété \(P\) est une propriété locale. Même si \(P\) est une propriété locale, nous n’utiliserons pas automatiquement cette définition pour dire qu’un morphisme est “localement de type \(P\)” à moins que nous n’indiquions également explicitement la définition ailleurs.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(P\) une propriété des homomorphismes d’anneaux. Soit \(U\) un ouvert affine de \(X\), et \(V\) un ouvert affine de \(S\) telle que \(f(U) \subset V\). Si \(f\) est localement de type \(P\) et que \(P\) est local, alors \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\) est valable.

Démonstration

Comme \(f\) est localement de type \(P\) pour chaque \(u \in U\), il existe un mappage \(U_u \subset X\) ouvert affine dans un \(V_u \subset S\) ouvert affine tel que \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U_u))\) est valable. Choisissez un voisinage ouvert \(U'_u \subset U \cap U_u\) de \(u\) qui est ouvert affine standard dans \(U\) et \(U_u\), voir Schémas, Lemme 01IW. Par Définition 01SR (1)(b) nous voyons que \(P(\mathcal{O}_S(V_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\) est vrai. Nous pouvons donc supposer que \(U_u \subset U\) est un ouvert affine standard. Choisissez un voisinage ouvert \(V'_u \subset V \cap V_u\) de \(f(u)\) qui est ouvert affine standard dans \(V\) et \(V_u\), voir Schémas, Lemme 01IW. Alors \(U'_u = f^{-1}(V'_u) \cap U_u\) est un ouvert affine standard de \(U_u\) (donc de \(U\)) et on a \(P(\mathcal{O}_S(V'_u) \to \mathcal{O}_X(U'_u))\) par définition 01SR (1)(a). Par conséquent, nous pouvons supposer que \(U_u \subset U\) et \(V_u \subset V\) sont tous deux affines ouverts standard. En appliquant la Définition 01SR (1)(b) une fois de plus Nous concluons que \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_u))\) est valable. Parce que \(U\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un nombre fini de points \(u_1, \ldots, u_n \in U\) tel que \[U = U_{u_1} \cup \ldots \cup U_{u_n}.\] Par Définition 01SR (1)(c) Nous concluons que \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\) est vrai.

Lemme

Soit \(P\) une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est localement de type \(P\).

Pour chaque ouverture affine \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) nous avons \(P(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U))\).

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est localement de type \(P\).

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que \(P(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i))\) est valable, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est localement de type \(P\) alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est localement de type \(P\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST ci-dessus.

Lemme

Soit \(P\) une propriété d’homomorphismes d’anneaux. Supposons que \(P\) soit local et stable en termes de composition. La composition des morphismes localement de type \(P\) est localement de type \(P\).

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes localement de type \(P\). Soit \(x \in X\). Choisir un voisinage affine ouvert \(W \subset Z\) de \(g(f(x))\). Choisir un voisinage affine ouvert \(V \subset g^{-1}(W)\) de \(f(x)\). Choisir un voisinage affine ouvert \(U \subset f^{-1}(V)\) de \(x\). Par le Lemme 01SU les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_Y(V)\) et \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) satisfont \(P\). Par conséquent, \(\mathcal{O}_Z(W) \to \mathcal{O}_X(U)\) satisfait à \(P\) car \(P\) est supposé stable sous composition.

Lemme

Soit \(P\) une propriété d’homomorphismes d’anneaux. Supposons que \(P\) soit local et stable sous changement de base. Le changement de base d’un morphisme localement de type \(P\) est localement de type \(P\).

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type \(P\). Soit \(S' \to S\) n’importe quel morphisme. Notons \(f' : X_{S'} = S' \times_S X \to S'\) le changement de base de \(f\). Pour chaque \(s' \in S'\) il existe un voisinage affine ouvert \(s' \in V' \subset S'\) qui s’envoie dans un ouvert affine \(V \subset S\). D’après le lemme 01SU, l’ouvert \(f^{-1}(V)\) est une réunion d’ouverts affines \(U_i\) telle que les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) vérifient tous \(P\). D’après Schémas, section 01JO, \(f^{-1}(U)_{V'} = V' \times_V f^{-1}(V)\) est la réunion des ouverts affines \(V' \times_V U_i\). Comme \(\mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i) = \mathcal{O}_{S'}(V') \otimes_{\mathcal{O}_S(V)} \mathcal{O}_X(U_i)\), nous voyons que les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_{S'}(V') \to \mathcal{O}_{X_{S'}}(V' \times_V U_i)\) vérifient \(P\), puisque \(P\) est supposée stable par changement de base.

Lemme

Les propriétés suivantes d’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) sont locales.

(Isomorphisme sur anneaux locaux.) Pour tout premier \(\mathfrak q\) de \(A\) couché sur \(\mathfrak p \subset R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) induit un isomorphisme \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\).

(Immersion ouverte.) Pour tout \(\mathfrak q\) premier de \(A\) il existe un \(f \in R\), \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : R \to A\) induit un isomorphisme \(R_f \to A_f\).

(Fibres réduites.) Pour chaque nombre premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’anneau de fibres \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) est réduit.

(Fibres de dimension au plus \(n\).) Pour chaque nombre premier \(\mathfrak p\) de \(R\) l’anneau de fibres \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) a une dimension de Krull au plus \(n\).

(Localement noéthérien sur la cible.) L’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) a la propriété que \(A\) est noéthérien.

Ajoutez-en davantage ici si nécessaire⁴.

Démonstration

Omis.

Lemme

Les propriétés suivantes des homomorphismes d’anneaux sont stables sous changement de base.

(Isomorphisme sur anneaux locaux.) Pour tout premier \(\mathfrak q\) de \(A\) couché sur \(\mathfrak p \subset R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) induit un isomorphisme \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\).

(Immersion ouverte.) Pour tout \(\mathfrak q\) premier de \(A\) il existe un \(f \in R\), \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : R \to A\) induit un isomorphisme \(R_f \to A_f\).

Ajoutez-en davantage ici si nécessaire⁵.

Démonstration

Omis.

Lemme

Les propriétés suivantes des homomorphismes d’anneaux sont stables sous composition.

(Isomorphisme sur anneaux locaux.) Pour tout premier \(\mathfrak q\) de \(A\) couché sur \(\mathfrak p \subset R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) induit un isomorphisme \(R_{\mathfrak p} \to A_{\mathfrak q}\).

(Immersion ouverte.) Pour tout \(\mathfrak q\) premier de \(A\) il existe un \(f \in R\), \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : R \to A\) induit un isomorphisme \(R_f \to A_f\).

(Localement noethérien sur la cible.) L’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) a la propriété que \(A\) est noéthérien.

Ajoutez-en davantage ici si nécessaire⁶.

Démonstration

Omis.

Morphismes de type fini

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit de type fini si \(A\) est isomorphe à un quotient de \(R[x_1, \ldots, x_n]\) comme une \(R\)-algèbre, voir Algèbre, Définition 00F3.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est de type fini à \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et un ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) à \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) est de type fini.

On dit que \(f\) est localement de type fini s’il est de type fini en tout point de \(X\).

On dit que \(f\) est de type fini s’il est localement de type fini et quasi-compact.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est localement de type fini.

Pour tous les ouverts affines \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est de type fini.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est localement de type fini.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit de type fini, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est localement de type fini alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est localement de type fini.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est de type fini” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Par Algèbre, Lemme 05G5, la propriété d’être de type fini est stable par changement de base ; on en déduit la condition (a). Par Algèbre, Lemme 00F4, elle est stable par composition, et pour tout anneau \(R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R_f\) est de type fini. On en déduit la condition (b). Enfin, la condition (c) résulte d’Algèbre, Lemme 00EP.

Lemme

La composition de deux morphismes qui sont localement de type fini est localement de type fini. Il en va de même pour les morphismes de type fini.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01T2 nous avons vu qu’être de type fini est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où la première affirmation du lemme découle du lemme 01SV combinée au fait qu’être de type fini est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00F4. Par ce qui précède et le fait que les compositions de morphismes quasi-compacts sont quasi-compacts, voir Schémas, Lemme 01K6 on voit que la composition de morphismes de type fini est de type fini.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme qui est localement de type fini est localement de type fini. Il en va de même pour les morphismes de type fini.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01T2 nous avons vu qu’être de type fini est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le premier énoncé du lemme découle du lemme 01SW combiné au fait qu’être de type fini est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable par changement de base, voir Algèbre, Lemme 05G5. Par ce qui précède et le fait qu’un changement de base d’un morphisme quasi-compact est quasi-compact, voir Schémas, Lemme 01K5 on voit que le changement de base d’un morphisme de type fini est un morphisme de type fini.

Lemme

Une immersion fermée est de type fini. Une immersion est localement de type fini.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local, et une immersion fermée est évidemment de type fini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Si \(S\) est (localement) noéthérien et \(f\) (localement) de type fini alors \(X\) est (localement) noéthérien.

Démonstration

Cela découle immédiatement du fait qu’un anneau de type fini sur un anneau noéthérien est noéthérien, voir Algèbre, Lemme 00FN. (Aussi : utiliser le fait que la source d’un morphisme quasi-compact à cible quasi-compacte est quasi-compacte.)

Lemme

Soit \(f : X \to S\) localement de type fini avec \(S\) localement noethérien. Alors \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration

En fait, il est vrai que \(X\) est quasi-séparé, voir Propriétés, Lemme 01OY et Lemme 01T6 ci-dessus. Appliquez ensuite Schémas, Lemme 01KV pour conclure que \(f\) est quasi-séparé.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas sur un schéma de base \(S\). Si \(X\) est localement de type fini sur \(S\), alors \(X \to Y\) est localement de type fini.

Démonstration

Via Lemme 01T2 cela se traduit par le fait algébrique suivant : Étant donné les homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) tels que \(A \to C\) est de type fini, alors \(B \to C\) est de type fini. (Voir Algèbre, Lemme 00F4).

Points de type fini et schémas de Jacobson

Soit \(S\) un schéma. Un point de type fini \(s\) de \(S\) est un point tel que le morphisme \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) est de type fini. La raison de cette étude est que les points de type fini peuvent remplacer les points fermés dans un certain sens et dans certaines situations. Il y en a toujours assez par exemple. De plus, un schéma est Jacobson si et seulement si tous les points de type fini sont des points fermés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(k\) un corps. Soit \(f : \Spec(k) \to S\) un morphisme. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est de type fini.

Le morphisme \(f\) est localement de type fini.

Il existe un \(U = \Spec(R)\) ouvert affine de \(S\) tel que \(f\) correspond à un homomorphisme d’anneaux fini \(R \to k\).

Il existe un \(U = \Spec(R)\) ouvert affine de \(S\) tel que l’image de \(f\) est constitué d’un point fermé \(u\) dans \(U\) et l’extension du corps \(k/\kappa(u)\) est finie.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est évidente car \(\Spec(k)\) est un singleton et donc tout morphisme qui en découle est quasi-compact.

Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Choisissez n’importe quel \(\Spec(R) = U \subset S\) affine ouvert tel que l’image de \(f\) soit contenue dans \(U\), et l’homomorphisme d’anneaux \(R \to k\) soit de type fini. Soit \(\mathfrak p \subset R\) le noyau. Alors \(R/\mathfrak p \subset k\) est de type fini. En algèbre, Lemme 00FY il existe un \(\overline{f} \in R/\mathfrak p\) tel que \((R/\mathfrak p)_{\overline{f}}\) est un corps et \((R/\mathfrak p)_{\overline{f}} \to k\) est une extension de corps fini. Si \(f \in R\) est un lift de \(\overline{f}\), alors nous voyons que \(k\) est un \(R_f\)-module fini. Ainsi (2) \(\Rightarrow\) (3).

Supposons que \(\Spec(R) = U \subset S\) soit un ouvert affine tel que \(f\) correspond à un homomorphisme d’anneaux fini \(R \to k\). Alors \(f\) est localement de type fini par le lemme 01T2. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (2).

Supposons que \(R \to k\) soit fini. L’image de \(R \to k\) est un corps sur lequel \(k\) est fini par l’Algèbre, Lemme 00GR. Le noyau de \(R \to k\) est donc un idéal maximal. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (4).

L’implication (4) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) un anneau local artinien à corps résiduel \(\kappa\). Soit \(f : \Spec(A) \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est de type fini si et seulement si la composition \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A) \to S\) est de type fini.

Démonstration

Puisque le morphisme \(\Spec(\kappa) \to \Spec(A)\) est de type fini, il est clair que si \(f\) est de type fini la composition \(\Spec(\kappa) \to S\) l’est également (voir Lemme 01T3). A l’inverse, notons que les applications \(\Spec(A) \to S\) dans certains affines ouverts \(U = \Spec(B)\) de \(S\) comme \(\Spec(A)\) n’ont qu’un seul point. Pour finir, appliquez l’algèbre, Lemme 07DT à \(B \to A\).

Rappelons que étant donné un point \(s\) d’un schéma \(S\) il existe un morphisme canonique \(\Spec(\kappa(s)) \to S\), voir Schémas, section 01J5.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Disons qu’un point \(s\) de \(S\) est un point de type fini si le morphisme canonique \(\Spec(\kappa(s)) \to S\) est de type fini. On note \(S_{\text{ft-pts}}\) l’ensemble des points de type fini \(S\).

Nous pouvons décrire l’ensemble de points de type fini comme suit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. On a \[S_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{U \subset S\text{ ouvert}} U_0\] où \(U_0\) est l’ensemble des points fermés de \(U\). Ici, nous pouvons faire parcourir à \(U\) tous les ouverts, ou seulement tous les ouverts affines de \(S\).

Démonstration

Immédiat du lemme 01TA.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de type fini, alors \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

Si \(T\) est le spectre d’un corps, c’est Lemme 01TA. En général, cela s’ensuit puisque la composition des morphismes localement de type fini est localement de type fini (Lemme 01T3).

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de type fini et surjectif, alors \(f(T_{\text{ft-pts}}) = S_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

Nous avons \(f(T_{\text{ft-pts}}) \subset S_{\text{ft-pts}}\) par le lemme 02J3. Soit \(s \in S\) un point de type fini. Comme \(f\) est surjectif le schéma \(T_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S T\) est non vide, donc a un point de type fini \(t \in T_s\) par le lemme 02J2. Or \(T_s \to T\) est un morphisme de type fini comme changement de base de \(s \to S\) (Lemme 01T4). Ainsi l’image de \(t\) dans \(T\) est un point de type fini par le lemme 02J3 qui s’applique à \(s\) par construction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Pour tout sous-ensemble localement fermé \(T \subset S\) on a \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap S_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] En particulier, pour tout sous-ensemble fermé \(T \subset S\) on voit que \(T \cap S_{\text{ft-pts}}\) est dense dans \(T\).

Démonstration

Notons que \(T\) porte une structure schématique (voir Schémas, Lemme 01J3) telle que \(T \to S\) est une immersion localement fermée. Toute immersion localement fermée est localement de type fini, voir Lemme 01T5. Ainsi par le lemme 02J3 nous voyons \(T_{\text{ft-pts}} \subset S_{\text{ft-pts}}\). Enfin, tout ouvert affine non vide de \(T\) possède au moins un point fermé qui est un point de type fini de \(T\) par le lemme 02J2.

Il s’ensuit que la plupart du matériel de Topologie, section 005T passe en revue avec l’ensemble des points fermés remplacé par l’ensemble des points de type fini. En fait, si \(S\) est Jacobson alors on récupère les points fermés comme points de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes :

le schéma \(S\) est Jacobson,

\(S_{\text{ft-pts}}\) est l’ensemble des points fermés de \(S\),

pour tout morphisme \(T \to S\) localement de type fini, les points fermés s’envoient sur des points fermés, et

pour tout morphisme \(T \to S\) localement de type fini, les points fermés \(t \in T\) s’envoient sur des points fermés \(s \in S\) tels que l’extension \(\kappa(s) \subset \kappa(t)\) soit finie.

Démonstration

On a trivialement (4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (2). Lemme 02J4 montre que (2) implique (1). Il suffit donc de montrer que (1) implique (4). Supposons que \(T \to S\) soit localement de type fini. Choisissons un point fermé \(t \in T\) et notons \(s \in S\) son image. Choisissons des voisinages ouverts affines \(\Spec(R) = U \subset S\) de \(s\) et \(\Spec(A) = V \subset T\) de \(t\), tels que \(V\) s’envoie dans \(U\). L’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) est de type fini (voir Lemme 01T2) et \(R\) est Jacobson par Propriétés, Lemme 01P4. Ainsi le résultat découle de l’Algèbre, Proposition 00GB.

Lemme

Soit \(S\) un Schéma de Jacobson. Tout schéma localisé de type fini sur \(S\) est Jacobson.

Démonstration

Cela ressort clairement de l’algèbre, proposition 00GB (et des propriétés, Lemme 01P4 et Lemme 01T2).

Lemme

Les types de schémas suivants sont de Jacobson.

Tout schéma local de type fini sur un corps.

Tout schéma localisé de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Tout schéma local de type fini sur un domaine noéthérien \(1\)-dimensionnel avec une infinité de nombres premiers.

Un schéma de la forme \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) où \((R, \mathfrak m)\) est un anneau noéthérien local. Également tout schéma local de type fini dessus.

Démonstration

Nous utiliserons Lemme 02J5 sans mention. Le spectre d’un corps est clairement Jacobson. Le spectre de \(\mathbf{Z}\) est Jacobson, voir Algèbre, Lemme 00G4. Pour (3) voir Algèbre, Lemme 00KX. Pour (4) voir Propriétés, Lemme 02IM.

Schémas universellement caténaires

Rappelons qu’un espace topologique \(X\) est appelé caténaire si pour chaque paire de sous-ensembles fermés irréductibles \(T \subset T'\) il existe une chaîne maximale de sous-ensembles fermés irréductibles \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] et que chaque chaîne a la même longueur. Voir Topologie, Définition 02I1. Rappelons qu’un schéma est caténaire si son espace topologique sous-jacent est caténaire. Voir Propriétés, Définition 02IW.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Supposons que \(S\) soit localement noethérien. On dit que \(S\) est universellement caténaire si pour tout morphisme \(X \to S\) localement de type fini le schéma \(X\) est caténaire.

C’est une “meilleure” notion que la caténaire car il existe des schémas noéthériens qui sont caténaires mais pas universellement caténaires. Voir Exemples, section 02JE. De nombreux schémas sont universellement caténaire, voir Lemme 02JB ci-dessous.

Rappelons qu’un anneau \(A\) est appelé caténaire si pour toute paire d’idéaux premiers \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) il existe une chaîne maximale de nombres premiers \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] et tous ont la même longueur. Voir Algèbre, Définition 00NI. Nous avons vu la relation entre les schémas caténaires et les anneaux caténaires dans Propriétés, section 02IV. Rappelons qu’un anneau \(A\) est appelé universellement caténaire si \(A\) est noéthérien et pour tout type fini homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) l’anneau \(B\) est caténaire. Voir Algèbre, Définition 00NL. De nombreux anneaux intéressants rencontrés en géométrie algébrique satisfont à cette propriété.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(S\) est universellement caténaire,

il existe un recouvrement ouvert de \(S\) dont tous les membres sont des schémas universellement caténaires,

pour chaque ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset S\) l’anneau \(R\) est universellement caténaire, et

il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) soit le spectre d’un anneau universellement caténaire.

De plus, dans ce cas tout schéma localisé de type fini sur \(S\) est également universellement caténaire.

Démonstration

Par le Lemme 01T5 une immersion ouverte est localement de type fini. Une composition de morphismes localement de type fini est localement de type fini (Lemme 01T3). Il est donc clair que si \(S\) est universellement caténaire alors tout ouvert et tout schéma localisé de type fini sur \(S\) est également universellement caténaire. Cela prouve l’énoncé final du lemme et que (1) implique (2).

Si \(\Spec(R)\) est un schéma universellement caténaire, alors tout schéma \(\Spec(A)\) avec \(A\) un type fini \(R\)-algèbre est caténaire. Donc tous ces anneaux \(A\) sont caténaires par Algèbre, Lemme 02IH. Ainsi \(R\) est universellement caténaire. Combiné avec les remarques ci-dessus Nous concluons que (1) implique (3), et (2) implique (4). Bien sûr, (3) implique (4) de manière triviale.

Pour terminer la démonstration nous montrons que (4) implique (1). Supposons (4) et soit \(X \to S\) un morphisme localement de type fini. On peut trouver un recouvrement recouvrement par des ouverts affines \(X = \bigcup V_j\) tel que chaque \(V_j \to S\) ait son image dans l’un des \(U_i\). Par le Lemme 01T2 l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\) est de type fini. Donc \(\mathcal{O}(V_j)\) est une caténaire. Par conséquent, \(X\) est caténaire par Propriétés, Lemme 02IX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(S\) est universellement caténaire, et

tous les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s}\) de \(S\) sont universellement caténaire.

Démonstration

Supposons que tous les anneaux locaux de \(S\) soient universellement caténaires. Soit \(f : X \to S\) localement de type fini. On sait que \(X\) est caténaire si et seulement si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est caténaire pour tous \(x \in X\). Si \(f(x) = s\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est essentiellement de type fini sur \(\mathcal{O}_{S, s}\). Donc \(\mathcal{O}_{X, x}\) est caténaire en supposant que \(\mathcal{O}_{S, s}\) est universellement caténaire.

A l’inverse, supposons que \(S\) soit universellement caténaire. Soit \(s \in S\). On peut remplacer \(S\) par un voisinage affine ouvert de \(s\) par le lemme 02J9. Disons que \(S = \Spec(R)\) et \(s\) correspond à l’idéal premier \(\mathfrak p\). Tout type fini \(R_{\mathfrak p}\)-algèbre \(A'\) est de la forme \(A_{\mathfrak p}\) pour certains types fini \(R\)-algèbre \(A\). Par hypothèse (et Lemme 02J9 si vous préférez) l’anneau \(A\) est caténaire, et donc \(A'\) (une localisation de \(A\)) est caténaire. Ainsi \(R_{\mathfrak p}\) est universellement caténaire.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Alors \(S\) est universellement caténaire si et seulement si les composantes irréductibles de \(S\) sont universellement caténaire.

Démonstration

Omis. Pour le cas affine, veuillez consulter Algèbre, Lemme 0AUP.

Lemme

Les types de schémas suivants sont universellement caténaire.

Tout schéma local de type fini sur un corps.

Tout schéma localisé de type fini sur un schéma De Cohen–Macaulay.

Tout schéma localisé de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Tout schéma localisé de type fini sur un domaine noéthérien \(1\)-dimensionnel.

Et ainsi de suite.

Démonstration

Tout cela découle du fait qu’un anneau de De Cohen–Macaulay est universellement caténaire, voir Algèbre, Lemme 00NM. Utilisez également la dernière assertion du lemme 02J9. Certains détails omis.

Schémas de Nagata, reprise

Voir Propriétés, section 033R pour les définitions et propriétés de base des schémas Nagata et universellement japonais.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Si \(S\) est Nagata et \(f\) localement de type fini alors \(X\) est Nagata. Si \(S\) est universellement japonais et \(f\) localement de type fini alors \(X\) est universellement japonais.

Démonstration

Pour “universellement japonais” Cela résulte de Algèbre, Lemme 032S. Pour “Nagata” Cela résulte de Algèbre, Proposition 0334.

Lemme

Les types de schémas suivants sont des Nagata.

Tout schéma local de type fini sur un corps.

Tout schéma local de type fini sur un anneau local complet noéthérien.

Tout schéma localisé de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Tout schéma localement de type fini sur un anneau de Dedekind de caractéristique zéro.

Et ainsi de suite.

Démonstration

Par le Lemme 035A il suffit de montrer que les anneaux mentionnés ci-dessus sont des anneaux Nagata. Pour cela, voir Algèbre, Proposition 0335.

Le lieu singulier, reprise

Nous recherchons un critère qui implique l’ouverture du lieu régulier pour tout schéma local de type fini sur la base. Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. On dit que \(X\) est J-2 si pour tout morphisme \(Y \to X\) qui est localement de type fini le locus régulier \(\text{Reg}(Y)\) est ouvert dans \(Y\).

C’est l’analogue de la notion correspondante pour les anneaux noéthériens, voir Compléments d’algèbre, Définition 07P7.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) est J-2,

il existe un recouvrement ouvert de \(X\) dont tous les membres sont des schémas J-2,

pour chaque ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) l’anneau \(R\) est J-2, et

il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}(U_i)\) soit J-2 pour tous les \(i\).

De plus, dans ce cas, tout schéma localisé de type fini sur \(X\) est également J-2.

Démonstration

Par le Lemme 01T5 une immersion ouverte est localement de type fini. Une composition de morphismes localement de type fini est localement de type fini (Lemme 01T3). Il est donc clair que si \(X\) est J-2 alors tout ouvert et tout schéma localisé de type fini sur \(X\) est également J-2. Cela prouve l’énoncé final du lemme.

Si \(\Spec(R)\) est J-2, alors pour tout type fini \(R\)-algèbre \(A\) le lieu régulier du schéma \(\Spec(A)\) est ouvert. Donc \(R\) est J-2, par définition (voir Compléments d’algèbre, Définition 07P7). Combiné avec les remarques ci-dessus Nous concluons que (1) implique (3), et (2) implique (4). Bien sûr (1) \(\Rightarrow\) (2) et (3) \(\Rightarrow\) (4) trivialement.

Pour terminer la démonstration nous montrons que (4) implique (1). Supposons (4) et soit \(Y \to X\) un morphisme localement de type fini. On peut trouver un recouvrement par des ouverts affines \(Y = \bigcup V_j\) tel que chaque \(V_j \to X\) ait son image dans l’un des \(U_i\). Par le Lemme 01T2, l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j)\) est de type fini. Le lieu régulier de \(V_j = \Spec(\mathcal{O}(V_j))\) est donc ouvert. Puisque \(\text{Reg}(Y) \cap V_j = \text{Reg}(V_j)\) Nous concluons que \(\text{Reg}(Y)\) est ouvert comme souhaité.

Lemme

Les types de schémas suivants sont J-2.

Tout schéma local de type fini sur un corps.

Tout schéma local de type fini sur un anneau local complet noéthérien.

Tout schéma localisé de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Tout schéma local de type fini sur un anneau noéthérien local de dimension \(1\).

Tout schéma local de type fini sur un anneau Nagata de dimension \(1\).

Tout schéma localisé de type fini sur un anneau de Dedekind de caractéristique zéro.

Et ainsi de suite.

Démonstration

Par le Lemme 07R4 il suffit de montrer que les anneaux mentionnés ci-dessus sont J-2. Pour cela, voir Compléments d’algèbre, Proposition 07PJ.

Schémas excellents

On rappelle qu’un anneau est quasi-excellent s’il est un G-anneau et J-2. Un anneau est excellent s’il est quasi-excellent et universellement caténaire.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

On dit que \(X\) est quasi-excellent si pour tout \(x \in X\) il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est quasi-excellent (voir Compléments d’algèbre, Définition 07QT).

On dit que \(X\) est excellent si pour tout \(x \in X\) il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est excellent (voir Compléments d’algèbre, Définition 07QT).

Les schémas quasi-excellents sont localement noethériens (les anneaux G sont noethériens).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) est quasi-excellent, et

\(X\) est un G-schéma et J-2.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de la combinaison de la définition des quasi-schémas excellents (Définition 0HA7), de la définition des anneaux quasi-excellents (Compléments d’algèbre, Définition 07QT), de la définition des G-schémas (Propriétés, Définition 0HA3) et du lemme 07R4. Inversement, si \(X\) est un G-schéma et J-2, alors pour tout \(x \in X\) on peut trouver un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que \(\mathcal{O}_X(U)\) soit un G-anneau. Par le lemme 07R4, l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est également J-2, donc quasi-excellent.

Lemme

Un quasi-schéma excellent est Nagata.

Démonstration

Compléments d’algèbre, Lemme 07QV.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) est excellent, et

\(X\) est quasi-excellent et universellement caténaire.

Démonstration

Supposons (1). Puisque les anneaux excellents sont quasi-excellents, il est clair que \(X\) est quasi-excellent. Puisque les anneaux excellents sont universellement caténaire, il s’ensuit également que \(X\) est universellement caténaire par le lemme 02J9. Supposons (2). Soit \(x \in X\). Puisque \(X\) est quasi-excellent il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que \(\mathcal{O}_X(U)\) est quasi-excellent. Puisque \(X\) est universellement caténaire, l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est aussi universellement caténaire d’après le lemme 02J9, donc excellent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le schéma \(X\) est (quasi-)excellent.

Pour chaque \(U \subset X\) ouvert affine, l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est (quasi-)excellent.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit (quasi-)excellent.

Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) est (quasi-)excellent.

De plus, si \(X\) est (quasi-)excellent alors tout sous-schéma ouvert est (quasi-)excellent.

Démonstration

Par le Lemme 0HA8 être quasi-excellent équivaut à être un G-schéma et J-2. Ainsi pour le cas quasi-excellent, le lemme découle du lemme 07R4 et Propriétés, Lemme 0HA5. Pour le cas excellent, utilisez Lemme 0HAA, le cas quasi-excellent, et Lemme 02J9.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Si \(S\) est (quasi-)excellent et \(f\) localement de type fini alors \(X\) est (quasi-)excellent.

Démonstration

Compléments d’algèbre, Lemme 07QU.

Lemme

Les types de schémas suivants sont excellents.

Tout schéma local de type fini sur un corps.

Tout schéma local de type fini sur un anneau local complet noéthérien.

Tout schéma localisé de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Tout schéma localement de type fini sur un anneau de Dedekind de caractéristique zéro.

Démonstration

Par les Lemmes 0HAB et 0HAC il suffit de montrer que les anneaux mentionnés ci-dessus sont excellents. Pour cela, voir Compléments d’algèbre, Proposition 07QW.

Morphismes quasi-finis

Un traitement solide des morphismes quasi-finis est à la base de nombreux développements ultérieurs. Cela conduira à différentes versions du Théorème principal de Zariski, comportement des dimensions des fibres, descente pour morphismes étales, etc, etc. Avant de lire cette section, il peut être judicieux de jeter un œil aux résultats d’algèbre dans Algèbre, section 02MK.

Rappelons qu’un type fini homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est quasi-fini en un nombre premier \(\mathfrak q\) si \(\mathfrak q\) définit un point isolé de sa fibre, voir Algèbre, Définition 00PL.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est quasi-fini en un point \(x \in X\) s’il existe un voisinage affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et un ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) tel que \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est de type fini, et \(R \to A\) est quasi-fini au premier de \(A\) correspondant à \(x\) (voir ci-dessus).

On dit que \(f\) est localement quasi-fini si \(f\) est quasi-fini en tout point \(x\) de \(X\).

On dit que \(f\) est quasi-fini si \(f\) est de type fini et chaque point \(x\) est un point isolé de sa fibre.

Trivialement, un morphisme quasi-fini localement est localement de type fini. Nous verrons plus loin qu’un morphisme \(f\) qui est localement de type fini est quasi-fini à \(x\) si et seulement si \(x\) est isolé dans sa fibre. De plus, l’ensemble des points auxquels un morphisme est quasi-fini est ouvert ; nous le verrons dans la section 03GS sur le Théorème principal de Zariski.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Posons \(s = f(x)\). Si \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est une extension de corps algébrique, alors

\(x\) est un point fermé de sa fibre, et

si en plus \(s\) est un point fermé de \(S\), alors \(x\) est un point fermé de \(X\).

Démonstration

La deuxième instruction découle de la première par topologie élémentaire. D’après Schémas, Lemme 01K1 pour prouver la première affirmation on peut remplacer \(X\) par \(X_s\) et \(S\) par \(\Spec(\kappa(s))\). On peut donc supposer que \(S = \Spec(k)\) est le spectre d’un corps. Dans ce cas, soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine quelconque contenant \(x\). Le point \(x\) correspond à un idéal premier \(\mathfrak q \subset A\) tel que \(\kappa(\mathfrak q)/k\) est une extension algébrique de corps. D’après Algèbre, Lemme 00GA, \(\mathfrak q\) est un idéal maximal, c’est-à-dire que \(x \in U\) est un point fermé. Puisque les ouverts affines forment une base de la topologie de \(X\), nous concluons que \(\{x\}\) est fermé.

Le lemme suivant est une version du Hilbert Nullstellensatz.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Posons \(s = f(x)\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors \(x\) est un point fermé de sa fibre si et seulement si \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est une extension finie de corps.

Démonstration

Si l’extension est finie, alors \(x\) est un point fermé de la fibre par le lemme 01TE ci-dessus. À l’inverse, supposons que \(x\) soit un point fermé de sa fibre. Choisissons des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\). Par le Lemme 01T2 l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset A\), resp. \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant à \(x\), resp. \(s\). Considérez l’anneau de fibre \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Soit \(\overline{\mathfrak q}\) le premier de \(\overline{A}\) correspondant à \(\mathfrak q\). L’hypothèse selon laquelle \(x\) est un point fermé de sa fibre implique que \(\overline{\mathfrak q}\) est un idéal maximal de \(\overline{A}\). Puisque \(\overline{A}\) est une algèbre de type fini sur le corps \(\kappa(\mathfrak p)\) nous voyons par le Hilbert Nullstellensatz, voir Algèbre, Théorème 00FV, que \(\kappa(\overline{\mathfrak q})\) est une extension finie de \(\kappa(\mathfrak p)\). Puisque \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\) et \(\kappa(x) = \kappa(\mathfrak q) = \kappa(\overline{\mathfrak q})\) nous gagnons.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme quelconque. Notons \(f' : X' \to S'\) le changement de base. Si \(x' \in X'\) s’envoie sur un point \(x \in X\) qui est fermé dans \(X_{f(x)}\), alors \(x'\) est fermé dans \(X'_{f'(x')}\).

Démonstration

Le corps résiduel \(\kappa(x')\) est un quotient de \(\kappa(f'(x')) \otimes_{\kappa(f(x))} \kappa(x)\), voir Schémas, Lemme 01JT. Il s’agit donc d’une extension finie de \(\kappa(f'(x'))\) comme \(\kappa(x)\) est une extension finie de \(\kappa(f(x))\) par le lemme 01TF. On voit donc que \(x'\) est fermé dans sa fibre en appliquant une nouvelle fois ce lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Posons \(s = f(x)\). Si \(f\) est quasi-fini en \(x\), alors l’extension du corps résiduel \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est finie.

Démonstration

Cela ressort clairement de l’algèbre, Définition 00PL.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Posons \(s = f(x)\). Soit \(X_s\) la fibre de \(f\) en \(s\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est quasi-fini en \(x\).

Le point \(x\) est isolé dans \(X_s\).

Le point \(x\) est fermé dans \(X_s\) et il n’y a aucun point \(x' \in X_s\), \(x' \not = x\) qui se spécialise dans \(x\).

Pour toute paire d’affines ouvertes \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) et \(x \in U\) correspondant à \(\mathfrak q \subset A\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est quasi-fini en \(\mathfrak q\).

Démonstration

Supposons que \(f\) soit quasi-fini à \(x\). Par hypothèse il existe des ouvertures \(U \subset X\), \(V \subset S\) telles que \(f(U) \subset V\), \(x \in U\) et \(x\) un point isolé de \(U_s\). Par conséquent, \(\{x\} \subset U_s\) est un sous-ensemble ouvert. Puisque \(U_s = U \cap X_s \subset X_s\) est également ouvert, nous concluons que \(\{x\} \subset X_s\) est également un sous-ensemble ouvert. Ainsi Nous concluons que \(x\) est un point isolé de \(X_s\).

Notez que \(X_s\) est un Schéma de Jacobson du lemme 02J6 (et Lemme 01T4). Si \(x\) est isolé dans \(X_s\), c’est-à-dire que \(\{x\} \subset X_s\) est ouvert, alors \(\{x\}\) contient un point fermé (par la propriété Jacobson), donc \(x\) est fermé dans \(X_s\). Il est clair qu’il n’y a aucun intérêt pour \(x' \in X_s\), distinct de \(x\), de se spécialiser dans \(x\).

Supposons que \(x\) est fermé dans \(X_s\) et qu’il n’y a aucun point \(x' \in X_s\), distinct de \(x\), spécialisé dans \(x\). Considérons une paire d’ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) et \(x \in U\). Soit \(\mathfrak q \subset A\) correspond à \(x\) et \(\mathfrak p \subset R\) correspond à \(s\). Par le Lemme 01T2 l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est de type fini. Considérez l’anneau de fibre \(\overline{A} = A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Soit \(\overline{\mathfrak q}\) le premier de \(\overline{A}\) correspondant à \(\mathfrak q\). Puisque \(\Spec(\overline{A})\) est un sous-schéma ouvert de la fibre \(X_s\) on voit que \(\overline{q}\) est un idéal maximal de \(\overline{A}\) et qu’il ne sert à rien de spécialiser \(\Spec(\overline{A})\) sur \(\overline{\mathfrak q}\). Cela implique que \(\dim(\overline{A}_{\overline{q}}) = 0\). Ainsi par Algèbre, Définition 00PL nous voyons que \(R \to A\) est quasi-fini à \(\mathfrak q\), c’est-à-dire que \(X \to S\) est quasi-fini à \(x\) par définition.

À ce stade, nous avons montré que les conditions (1) à (3) sont toutes équivalentes. Il est clair que (4) implique (1). Et il est clair aussi que (2) implique (4) puisque si \(x\) est un point isolé de \(X_s\) alors c’est aussi un point isolé de \(U_s\) pour tout \(U\) ouvert qui le contient.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\). Supposons que

\(f\) est localement de type fini et que

\(f^{-1}(\{s\})\) est un ensemble fini.

Alors \(X_s\) est un espace topologique fini discret, et \(f\) est quasi-fini en chaque point de \(X\) recouvrant \(s\).

Démonstration

Supposons que \(T\) soit un schéma qui (a) est localement de type fini sur un corps \(k\), et (b) comporte un nombre fini de points. Alors Lemme 02J6 montre que \(T\) est un Schéma de Jacobson. Un espace de Jacobson fini est discret, voir Topologie, Lemme 07JU. Appliquez cette remarque à la fibre \(X_s\) qui est localement de type fini sur \(\Spec(\kappa(s))\) pour voir la première instruction. Enfin, appliquez Lemme 01TH pour voir la seconde.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Alors Les conditions suivantes sont équivalentes

\(f\) est localement quasi-fini,

pour tout \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est un espace topologique discret, et

pour tout morphisme \(\Spec(k) \to S\) où \(k\) est un corps le changement de base \(X_k\) a un espace topologique discret sous-jacent.

Démonstration

Il est immédiat que (3) implique (2). Lemme 01TH montre que (2) est équivalent à (1). Supposons (2) et soit \(\Spec(k) \to S\) comme dans (3). Notons \(s \in S\) l’image de \(\Spec(k) \to S\). Alors \(X_k\) est le changement de base de \(X_s\) via \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(s))\). Ainsi chaque point de \(X_k\) est fermé par le lemme 053M. Comme \(X_k \to \Spec(k)\) est localement de type fini (par le lemme 01T4), nous pouvons appliquer Lemme 01TH pour conclure que chaque point de \(X_k\) est isolé, c’est-à-dire que \(X_k\) a un espace topologique discret sous-jacent.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est quasi-fini si et seulement si \(f\) est localement quasi-fini et quasi-compact.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit quasi-fini. Il est quasi-compact par Définition 01T1. Soit \(x \in X\). On voit que \(f\) est quasi-fini en \(x\) par le lemme 01TH. Donc \(f\) est quasi-compact et localement quasi-fini.

Supposons que \(f\) soit quasi-compact et localement quasi-fini. Alors \(f\) est de type fini. Soit \(x \in X\) un point. Par le Lemme 01TH on voit que \(x\) est un point isolé de sa fibre. Le lemme est prouvé.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est quasi-fini, et

\(f\) est localement de type fini, quasi-compact, et possède des fibres finies.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit quasi-fini. En particulier \(f\) est localement de type fini et quasi-compact (puisqu’il est de type fini). Soit \(s \in S\). Puisque chaque \(x \in X_s\) est isolé dans \(X_s\) on voit que \(X_s = \bigcup_{x \in X_s} \{x\}\) est un recouvrement ouvert. Comme \(f\) est quasi-compact, la fibre \(X_s\) est quasi-compacte. On voit donc que \(X_s\) est fini.

À l’inverse, supposons que \(f\) est localement de type fini, quasi-compact et possède des fibres finies. Alors il est localement quasi-fini par le lemme 02NG. Il est donc quasi-fini par le lemme 01TJ.

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est quasi-fini s’il est de type fini et quasi-fini à tous les premiers de \(A\), voir Algèbre, Définition 00PL.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est localement quasi-fini.

Pour toute paire d’ouverts affines \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est quasi-fini.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est localement quasi-fini.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) est quasi-fini, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est localement quasi-fini alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est localement quasi-finie.

Démonstration

Pour un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) définissons \(P(R \to A)\) comme signifiant que “\(R \to A\) est quasi-fini” (voir remarque ci-dessus lemme). Nous affirmons que \(P\) est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Dans la démonstration du lemme 01T2 nous avons vu que (a), (b) et (c) sont valables pour la propriété d’être “de type fini”. A noter que, pour un homomorphisme d’anneaux de type fini \(R \to A\), la propriété \(R \to A\) est quasi-fini en \(\mathfrak q\) ne dépend que de l’anneau local \(A_{\mathfrak q}\) comme une algèbre sur \(R_{\mathfrak p}\) où \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\) (abus de notation habituel). À l’aide de ces remarques (a), (b) et (c) de la Définition 01SR suivent immédiatement. Par exemple, supposons que \(R \to A\) soit un homomorphisme d’anneaux tel que tous les homomorphismes d’anneaux \(R \to A_{a_i}\) soient quasi-finis pour \(a_1, \ldots, a_n \in A\) générant l’idéal unitaire. Nous concluons que \(R \to A\) est de type fini. De plus, pour tout \(\mathfrak q \subset A\) premier, l’anneau local \(A_{\mathfrak q}\) est isomorphe en tant qu’algèbre \(R\) à l’anneau local \((A_{a_i})_{\mathfrak q_i}\) pour certains \(i\) et certains \(\mathfrak q_i \subset A_{a_i}\). D’où Nous concluons que \(R \to A\) est quasi-fini en \(\mathfrak q\).

Nous concluons que Lemme 01ST s’applique à \(P\) comme dans le paragraphe précédent. Il suffit donc de prouver que \(f\) est localement quasi-fini équivaut à \(f\) est localement de type \(P\). Puisque \(P(R \to A)\) est “\(R \to A\) est quasi-fini” ce qui signifie que \(R \to A\) est quasi-fini à chaque nombre premier de \(A\), cela résulte du lemme 01TH.

Lemme

La composition de deux morphismes localement quasi-finis est localement quasi-finie. Il en va de même pour les morphismes quasi-finis.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01TK nous avons vu que \(P =\)“quasi-fini” est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux, et qu’un morphisme de schémas est localement quasi-fini si et seulement si il est localement de type \(P\) comme dans Définition 01SS. D’où le premier énoncé du lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être quasi-fini est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00PO. Par ce qui précède, Lemme 01TJ et le fait que les compositions de morphismes quasi-compacts sont quasi-compacts, voir Schémas, Lemme 01K6 on voit que la composition de morphismes quasi-finis est quasi-fini.

Nous verrons plus loin (Lemme 01TI) que l’ensemble \(U\) du lemme suivant est ouvert.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Notons \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\) par \(g\) et notons \(g' : X' \to X\) la projection. Supposons que \(X\) soit localement de type fini sur \(S\).

Soit \(U \subset X\) (resp. \(U' \subset X'\)) l’ensemble des points où \(f\) (resp. \(f'\)) est quasi-fini. Puis \(U' = U \times_S S' = (g')^{-1}(U)\).

Le changement de base d’un morphisme localement quasi-fini est localement quasi-fini.

Le changement de base d’un morphisme quasi-fini est quasi-fini.

Démonstration

La première et la deuxième assertion découlent du résultat algébrique correspondant, voir Algèbre, Lemme 00PP (combiné au fait que \(f'\) est également localement de type fini par le lemme 01T4). Par ce qui précède, Lemme 01TJ et le fait qu’un changement de base d’un morphisme quasi-compact est quasi-compact, voir Schémas, Lemme 01K5 on voit que le changement de base d’un morphisme quasi-fini est quasi-fini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini. Soit \(s \in S\). Il y a au plus un nombre fini de points de \(X\) situés sur \(s\) auxquels \(f\) est quasi-fini.

Démonstration

La fibre \(X_s\) est un schéma de type fini sur un corps, donc noéthérien (Lemme 01T6). Ainsi la topologie sur \(X_s\) est noéthérienne (Propriétés, Lemme 01OZ) et peut avoir au plus un nombre fini de points isolés (par topologie élémentaire). Ainsi notre lemme découle du lemme 01TH.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de type fini et un monomorphisme, alors \(f\) est séparé et localement quasi-fini.

Démonstration

Un monomorphisme est séparé par Schémas, Lemme 01L4. Un monomorphisme est injectif, on obtient donc que \(f\) est quasi-fini à chaque \(x \in X\) par exemple par le lemme 01TH.

Lemme

Toute immersion est localement quasi-finie.

Démonstration

Cela est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local et une immersion fermée est clairement quasi-finie.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas sur un schéma de base \(S\). Soit \(x \in X\). Si \(X \to S\) est quasi-fini à \(x\), alors \(X \to Y\) est quasi-fini à \(x\). Si \(X\) est localement quasi-fini sur \(S\), alors \(X \to Y\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Via Lemme 01TK cela se traduit par le fait algébrique suivant : Étant donné des homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) tels que \(A \to C\) est quasi-fini, alors \(B \to C\) est quasi-fini. Cela résulte de Algèbre, Lemme 00PN avec \(R = A\), \(S = S' = C\) et \(R' = B\).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Si \(f\) est surjectif, \(g \circ f\) localement quasi-fini, et \(g\) localement de type fini, alors \(g : Y \to S\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Soit \(x \in X\) avec les images \(y \in Y\) et \(s \in S\). Puisque \(g \circ f\) est localement quasi-fini par le lemme 01TG l’extension \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est finie. Donc \(\kappa(y)/\kappa(s)\) est fini. Donc \(y\) est un point fermé de \(Y_s\) par le lemme 01TE. Puisque \(f\) est surjectif, on voit que chaque point de \(Y\) est fermé dans sa fibre sur \(S\). Ainsi par le lemme 01TH Nous concluons que \(g\) est quasi-fini en tout point.

Morphismes de présentation finie

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est de présentation finie si \(A\) est isomorphe à \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) comme une \(R\)-algèbre pour certains \(n, m\) et certains polynômes \(f_j\), voir Algèbre, Définition 00F3.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est de présentation finie à \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) est de présentation finie.

On dit que \(f\) est localement de présentation finie s’il est de présentation finie en tout point de \(X\).

On dit que \(f\) est de présentation finie s’il est localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé.

Notez qu’un morphisme de présentation finie n’est pas simplement un morphisme quasi-compact qui est localement de présentation finie. Plus tard, nous caractériserons les morphismes qui sont localement de présentation finie comme les morphismes tels que \[\colim \Mor_S(T_i, X) = \Mor_S(\lim T_i, X)\] pour tout système orienté de schémas affines \(T_i\) sur \(S\). Voir Limites, Proposition 01ZC. Dans Limites, section 01ZL nous montrons que, si \(S = \lim_i S_i\) est une limite de schémas affines, tout schéma \(X\) de présentation finie sur \(S\) descend à un schéma \(X_i\) sur \(S_i\) pour certains \(i\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est localement de présentation finie.

Pour chaque ouvert affines \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est de présentation finie.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est localement de présentation finie.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit de présentation finie, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est localement de présentation finie alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est localement de présentation finie.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01SU si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est de présentation finie” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Par Algèbre, Lemme 05G5, la propriété d’être de présentation finie est stable par changement de base ; on en déduit la condition (a). Par Algèbre, Lemme 00F4, elle est stable par composition, et pour tout anneau \(R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R_f\) est de présentation finie. On en déduit la condition (b). Enfin, la condition (c) résulte d’Algèbre, Lemme 00EP.

Lemme

La composition de deux morphismes qui sont localement de présentation finie est localement de présentation finie. Il en va de même pour les morphismes de présentation finie.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01TQ nous avons vu qu’être de présentation finie est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où la première affirmation du lemme découle du lemme 01SV combinée au fait qu’être de présentation finie est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00F4. Par ce qui précède et le fait que les compositions de quasi-compacts, quasi-morphismes séparés sont quasi-compacts et quasi-séparés, voir Schémas, Lemmes 01K6 et 01KU on voit que la composition de morphismes de présentation finie est de présentation finie.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme qui est localement de présentation finie est localement de présentation finie. Il en va de même pour les morphismes de présentation finie.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01TQ nous avons vu qu’être de présentation finie est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le premier énoncé du lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être de présentation finie est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous changement de base, voir Algèbre, Lemme 05G5. Par ce qui précède et le fait qu’un changement de base d’un quasi-compact, quasi-morphisme séparé est quasi-compact et quasi-séparé, voir Schémas, Lemmes 01K5 et 01KU on voit que le changement de base d’un morphisme de présentation finie est un morphisme de présentation finie.

Lemme

Toute immersion ouverte est localement de présentation finie.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local.

Lemme

Toute immersion ouverte est de présentation finie si et seulement si elle est quasi-compacte.

Démonstration

Nous avons vu (Lemme 01TT) qu’une immersion ouverte est localement de présentation finie. Nous avons vu (Schémas, Lemme 01L7) qu’une immersion est séparée et donc quasi-séparée. De ceci et de la Définition 01TP découle le lemme.

Lemme

Une immersion fermée \(i : Z \to X\) est de présentation finie si et seulement si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux associé \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) est de type fini (en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module).

Démonstration

Sur tout \(\Spec(R) \subset X\) ouvert affine, nous avons \(i^{-1}(\Spec(R)) = \Spec(R/I)\) et \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\). De plus, \(\mathcal{I}\) est de type fini si et seulement si \(I\) est un \(R\)-module fini pour chaque ouvert affine de ce type (voir Propriétés, Lemme 01PB). Et \(R/I\) est de présentation finie sur \(R\) si et seulement si \(I\) est un \(R\)-module fini. On obtient donc le résultat.

Lemme

Un morphisme qui est localement de présentation finie est localement de type fini. Un morphisme de présentation finie est de type fini.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme.

Si \(S\) est localement noethérien et \(f\) localement de type fini alors \(f\) est localement de présentation finie.

Si \(S\) est localement noethérien et \(f\) de type fini alors \(f\) est de présentation finie.

Démonstration

La première affirmation découle du fait qu’un anneau de type fini sur un anneau noéthérien est de présentation finie, voir Algèbre, Lemme 00FP. Supposons que \(f\) soit de type fini et que \(S\) soit localement noethérien. Alors \(f\) est quasi-compact et localement de fini présenté par (1). Il suffit donc de prouver que \(f\) est quasi-séparé. Cela résulte du lemme 01T7 (et Lemme 01TW).

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Si \(X\) est de présentation finie sur \(S\), alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\).

Si \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\) et \(Y\) est localement de type fini sur \(S\), alors \(f\) est localement de présentation finie.

Si \(X\) est de présentation finie sur \(S\) et \(Y\) est quasi-séparé et localement de type fini sur \(S\), alors \(f\) est de présentation finie.

Démonstration

Démonstration de (1). Via Lemme 01TQ cela se traduit par le fait algébrique suivant : Étant donné les homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) tels que \(A \to C\) est de présentation finie et \(A \to B\) est de type fini, alors \(B \to C\) est de présentation finie. Voir Algèbre, Lemme 00F4.

La partie (2) découle de (1) et des Schémas, Lemmes 01KV et 03GI.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas de diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Si \(f\) est localement de type fini alors \(\Delta\) est localement de présentation finie. Si \(f\) est quasi-séparé et localement de type fini, alors \(\Delta\) est de présentation finie.

Démonstration

Notez que \(\Delta\) est un morphisme de schémas sur \(X\) (via la deuxième projection \(X \times_Y X \to X\)). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Notez que \(X\) est de présentation finie sur \(X\) et \(X \times_Y X\) est localement de type fini sur \(X\) (par le lemme 01T4). Ainsi, la première affirmation du lemme 02FV est valable. Le deuxième énoncé découle du premier, des définitions, et du fait qu’un morphisme diagonal est un monomorphisme, donc séparé (Schémas, Lemme 01L4).

Ensembles constructibles

Les ensembles constructibles et localement constructibles des schémas ont été discutés dans Propriétés, section 054B. Dans cette section nous prouvons quelques résultats concernant les images et les images inverses d’ensembles (localement) constructibles. Le résultat principal est le théorème de Chevalley qui affirme que l’image d’un ensemble localement constructible sous un morphisme de présentation finie est localement constructible.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(E \subset Y\) un sous-ensemble. Si \(E\) est (localement) constructible dans \(Y\), alors \(f^{-1}(E)\) est (localement) constructible dans \(X\).

Démonstration

Pour montrer que l’image réciproque de chaque sous-ensemble constructible est constructible, il suffit de montrer que l’image réciproque de chaque \(V\) ouvert rétrocompact de \(Y\) est rétrocompacte dans \(X\), voir Topologie, Lemme 005I. L’importance du fait que \(V\) soit rétrocompact dans \(Y\) est simplement que l’immersion ouverte \(V \to Y\) est quasi-compacte. Ainsi le changement de base \(f^{-1}(V) = X \times_Y V \to X\) est également quasi-compact, voir Schémas, Lemme 01K5. Nous voyons donc que \(f^{-1}(V)\) est rétrocompact dans \(X\). Supposons que \(E\) soit localement constructible dans \(Y\). Choisissez \(x \in X\). Choisir un voisinage affine \(V\) de \(f(x)\) et un voisinage affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(f(U) \subset V\). Ainsi nous pensons à \(f|_U : U \to V\) comme un morphisme en \(V\). Par Propriétés, Lemme 054C nous voyons que \(E \cap V\) est constructible dans \(V\). Par le cas constructible nous voyons que \((f|_U)^{-1}(E \cap V)\) est constructible dans \(U\). Puisque \((f|_U)^{-1}(E \cap V) = f^{-1}(E) \cap U\) on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) est quasi-compact et localement de présentation finie, et que

\(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Alors l’image de chaque sous-ensemble constructible de \(X\) est constructible dans \(Y\).

Démonstration

Par Propriétés, Lemme 054E il suffit de prouver ce lemme dans le cas où \(Y\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact. On peut donc écrire \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) avec chaque \(U_i\) ouvert affine dans \(X\). Si \(E \subset X\) est constructible, alors chaque \(E \cap U_i\) est également constructible, voir Topologie, Lemme 005J. Donc, puisque \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\) et que les unions finies d’ensembles constructibles sont constructibles, cela nous ramène au cas où \(X\) est affine. Dans ce cas, le résultat est Algèbre, Théorème 00FE.

Théorème

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit quasi-compact et localement de présentation finie. Alors l’image de chaque sous-ensemble localement constructible est localement constructible.

Démonstration

Soit \(E \subset X\) localement constructible. Il faut montrer que \(f(E)\) est également constructible localement. Nous allons montrer que \(f(E) \cap V\) est constructible pour tout \(V \subset Y\) ouvert affine. On se réduit donc au cas où \(Y\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact. On peut donc écrire \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) avec chaque \(U_i\) ouvert affine dans \(X\). Si \(E \subset X\) est localement constructible, alors chaque \(E \cap U_i\) est constructible, voir Propriétés, Lemme 054C. Donc, puisque \(f(E) = \bigcup f(E \cap U_i)\) et que les unions finies d’ensembles constructibles sont constructibles, cela nous ramène au cas où \(X\) est affine. Dans ce cas, le résultat est Algèbre, Théorème 00FE.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(x \in X\). Soit \(E \subset X\) un sous-ensemble localement constructible. Si \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\), alors \(E\) contient un voisinage ouvert de \(x\).

Démonstration

Supposons \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\). Nous pouvons supposer que \(X\) est affine. Dans ce cas, \(E\) est constructible, voir Propriétés, Lemme 054C. En particulier, le complément \(E^c\) est également constructible. D’après Algèbre, Lemme 00F8, on peut trouver un morphisme de schémas affines \(f : Y \to X\) tel que \(E^c = f(Y)\). Soit \(Z \subset X\) l’image schématique de \(f\). Par le Lemme 02JQ et l’hypothèse \(\{x' \mid x' \leadsto x\} \subset E\) on voit que \(x \not \in Z\). Ainsi \(X \setminus Z \subset E\) est un voisinage ouvert de \(x\) contenu dans \(E\).

Morphismes ouverts

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme.

On dit que \(f\) est ouvert si l’application sur les espaces topologiques sous-jacents est ouverte.

On dit que \(f\) est universellement ouvert si pour tout morphisme de schémas \(S' \to S\) le changement de base \(f' : X_{S'} \to S'\) est ouvert.

Selon la topologie, les générisations du lemme 0066 s’élèvent le long de certains types d’applications ouvertes d’espaces topologiques. En fait, les générisations suivent tout morphisme de schémas ouvert (voir Lemme 040F). Aussi, nous verrons que les générisations s’élèvent le long de morphismes de schémas plats (Lemme 03HV). Cela implique parfois à son tour que le morphisme est ouvert.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme.

Si \(f\) est localement de présentation finie et que les générisations s’élèvent le long de \(f\), alors \(f\) est ouvert.

Si \(f\) est localement de présentation finie et que les générisations s’élèvent à chaque changement de base de \(f\), alors \(f\) est universellement ouvert.

Démonstration

Il suffit de prouver la première assertion. Cela se réduit au cas où \(X\) et \(S\) sont affines. Dans ce cas, le résultat découle de l’algèbre, du Lemme 00HW et de la proposition 00I1.

Voir aussi Lemme 01UA pour le cas d’un morphisme plat de présentation finie.

Lemme

Une composition de morphismes (universellement) ouverts est (universellement) ouverte.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est universellement ouvert.

Démonstration

Soit \(S \to \Spec(k)\) un morphisme. Il faut montrer que le changement de base \(X_S \to S\) est ouvert. La question est locale sur \(S\) et \(X\), on peut donc supposer que \(S\) et \(X\) sont affines. Dans ce cas, le résultat est Algèbre, Lemme 037G.

Lemme

Soit \(\varphi : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(\varphi\) est ouvert, alors \(\varphi\) est en train de générer (c’est-à-dire que les générisations s’élèvent le long de \(\varphi\)). Si \(\varphi\) est universellement ouvert, alors \(\varphi\) est universellement génératrice.

Démonstration

Supposons que \(\varphi\) soit ouvert. Soit \(y' \leadsto y\) une spécialisation de points de \(Y\). Soit \(x \in X\) avec \(\varphi(x) = y\). Choisissons des ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(\varphi(U) \subset V\) et \(x \in U\). Alors \(y' \in V\) aussi. Nous pouvons donc remplacer \(X\) par \(U\) et \(Y\) par \(V\) et supposer que \(X\), \(Y\) sont affines. Le cas affine est l’Algèbre, Lemme 0407 (combiné avec l’Algèbre, Lemme 00HW).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(g : Y' \to Y\) ouvert et surjectif tel que le changement de base \(f' : X' \to Y'\) soit quasi-compact. Alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact. Comme \(g\) est ouvert et surjectif on peut trouver un \(W' \subset W\) ouvert quasi-compact tel que \(g(W') = V\). Par hypothèse \((f')^{-1}(W')\) est quasi-compact. L’image de \((f')^{-1}(W')\) dans \(X\) est égale à \(f^{-1}(V)\), voir Lemme 0495. Ainsi \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact comme l’image d’un espace quasi-compact, voir Topologie, Lemme 04Z9. Ainsi \(f\) est quasi-compact.

Morphismes submersifs

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas.

Nous disons que \(f\) est submersif⁷ si l’application continue des espaces topologiques sous-jacents est submersive, voir Topologie, Définition 0406.

On dit que \(f\) est universellement submersif si pour tout morphisme de schémas \(Y' \to Y\) le changement de base \(Y' \times_Y X \to Y'\) est submersif.

On remarque qu’un morphisme submersif est notamment surjectif.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme de schémas universellement submersif par tout morphisme de schémas est universellement submersif.

Démonstration

Cela découle directement de la définition.

Lemme

La composition d’une paire de morphismes de schémas (universellement) submersifs est (universellement) submersive.

Démonstration

Omis.

Morphismes plats

La planéité est l’un des outils techniques les plus importants en géométrie algébrique. Dans cette section, nous introduisons cette notion. Nous limitons intentionnellement la discussion à des observations simples, en dehors du lemme 01UA. Une classe de résultats très importante, à savoir les critères de planéité, est discutée dans Algèbre, sections 00MD, 051E, 00R3, et plus sur les morphismes, section 039A. Il existe un chapitre consacré au matériel avancé sur les morphismes de schémas plats, à savoir Compléments sur la platitude, section 057N.

Rappelons qu’un module \(M\) sur un anneau \(R\) est plat si le foncteur \(-\otimes_R M : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) est exact. Un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit plat si \(A\) est plat comme \(R\)-module. Voir Algèbre, Définition 00HB.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

On dit que \(f\) est plat en un point \(x \in X\) si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est plat sur l’anneau local \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\).

On dit que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en un point \(x \in X\) si la tige \(\mathcal{F}_x\) est un module \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\) plat.

Nous disons que \(f\) est plat si \(f\) est plat en chaque point de \(X\).

On dit que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en chaque point \(x\) de \(X\).

On voit donc que \(f\) est plat si et seulement si le faisceau structurel \(\mathcal{O}_X\) est plat sur \(S\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le faisceau \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\).

Pour chaque ouverture affine \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) le \(\mathcal{O}_S(V)\)-module \(\mathcal{F}(U)\) est plat.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des revêtements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des modules \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit à plat sur \(V_j\), pour tous les \(j\in J, i\in I_j\).

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que \(\mathcal{F}(U_i)\) soit un \(\mathcal{O}_S(V_j)\)-module plat, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(\mathcal{F}|_U\) est plate sur \(V\).

Démonstration

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un module \(A\). Si \(M\) est \(R\)-plat, alors pour tous les nombres premiers \(\mathfrak q\) le module \(M_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R_{\mathfrak p}\) avec \(\mathfrak p\) le premier de \(R\) se trouvant sous \(\mathfrak q\). Inversement, si \(M_{\mathfrak q}\) est plat sur \(R_{\mathfrak p}\) pour tous les nombres premiers \(\mathfrak q\) de \(A\), alors \(M\) est plat sur \(R\). Voir Algèbre, Lemme 00HT. Cette équivalence implique facilement les énoncés du lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est plat.

Pour chaque ouvert affines \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est plat.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) soit plat.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit plat, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est plat alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est plate.

Démonstration

Ceci est un cas particulier du lemme 01U4 ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine de schémas sur un schéma de base \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) si et seulement si \(f_*\mathcal{F}\) est plat sur \(S\).

Démonstration

Par le Lemme 01U4 et le fait que \(f\) soit un morphisme affine, cela nous ramène au cas affine. Supposons que \(X \to Y \to S\) corresponde aux homomorphismes d’anneaux \(C \leftarrow B \leftarrow A\). Soit \(N\) le module \(C\) correspondant à \(\mathcal{F}\). Rappelons que \(f_*\mathcal{F}\) correspond à \(N\) vu comme un \(B\)-module, voir Schémas, Lemme 01I9. Le résultat est donc clair.

Lemme

Soit \(X \to Y \to Z\) des morphismes de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent. Soit \(x \in X\) avec l’image \(y\) dans \(Y\). Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) à \(x\) et que \(Y\) est plat sur \(Z\) à \(y\), alors \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Z\) à \(x\).

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00HC.

Lemme

La composition des morphismes plats est plate.

Démonstration

Ceci est un cas particulier du lemme 01U6.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Notons \(g' : X' = X_{S'} \to X\) la projection. Soit \(x' \in X'\) un point d’image \(x = g'(x') \in X\). Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) à \(x\), alors \((g')^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S'\) à \(x'\). En particulier, si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\), alors \((g')^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S'\).

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00HI.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme plat est plat.

Démonstration

Ceci est un cas particulier du lemme 01U8.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat. Puis les générisations s’élèvent le long de \(f\), voir Topologie, Définition 0063.

Démonstration

Voir Algèbre, section 00HU.

Lemme

A morphisme plat localement de fini présentation est universellement ouvert.

Démonstration

Cela résulte de Lemmes 03HV et Lemme 01U1 ci-dessus. Nous pouvons également argumenter directement comme suit.

Soit \(f : X \to S\) soit plat et localement de présentation finie. Par les Lemmes 01U9 et 01TS tout changement de base de \(f\) est plat et localement de présentation finie. Il suffit donc de montrer que \(f\) est ouvert. Pour montrer que \(f\) est ouvert, il suffit de montrer que l’on peut couvrir \(X\) par des ouverts affines \(X = \bigcup U_i\) telles que \(U_i \to S\) soit ouvert. On peut recouvrir \(X\) par des ouverts affines \(U_i \subset X\) tels que chaque \(U_i\) ait son image dans un ouvert affine \(V_i \subset S\) et tels que l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}_S(V_i) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit plat et de présentation finie (Lemmes 01U5 et 01TQ). Alors \(U_i \to V_i\) est ouvert par Algèbre, Proposition 00I1 et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent. Supposons que \(f\) localement présentation finie, \(\mathcal{F}\) de type fini, \(X = \text{Supp}(\mathcal{F})\) et \(\mathcal{F}\) plat sur \(Y\). Alors \(f\) est universellement ouvert.

Démonstration

Par les Lemmes 01U8, 01TS, et 056J les hypothèses sont conservées sous changement de base. Par le Lemme 01U1 il suffit de montrer que les générisations s’élèvent le long de \(f\). Cela résulte de Algèbre, Lemme 080T.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) être un quasi-compact, surjectif, morphisme plat. Un sous-ensemble \(T \subset Y\) est ouvert (resp. fermé) si et seulement \(f^{-1}(T)\) est ouvert (resp. fermé). Autrement dit, \(f\) est un morphisme submersif.

Démonstration

La question est locale sur \(Y\), on peut donc supposer que \(Y\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact tout comme \(f\) est quasi-compact. Écrivez \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) comme une union finie d’ouverts affines. Alors \(f' : X' = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n \to Y\) est un morphisme surjectif plat de schémas affines. Notez que pour \(T \subset Y\) nous avons \((f')^{-1}(T) = f^{-1}(T) \cap X_1 \amalg \ldots \amalg f^{-1}(T) \cap X_n\). Par conséquent, \(f^{-1}(T)\) est ouvert si et seulement si \((f')^{-1}(T)\) est ouvert. Ainsi, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines.

Soit \(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\) un morphisme surjectif de schémas affines correspondant à un homomorphisme plat d’anneaux \(A \to B\). Supposons que \(f^{-1}(T)\) soit fermé, disons \(f^{-1}(T) = V(J)\) pour \(J \subset B\) un idéal. Alors \(T = f(f^{-1}(T)) = f(V(J))\) est l’image de \(\Spec(B/J) \to \Spec(A)\) (ici on utilise que \(f\) est surjectif). En revanche, les générisations s’élèvent le long de \(f\) (Lemme 03HV). Ainsi par Topologie, Lemme 0065 on voit que \(Y \setminus T = f(X \setminus f^{-1}(T))\) est stable par générisation. Ainsi \(T\) est stable par spécialisation (Topologie, Lemme 0062). Ainsi \(T\) est fermé par Algèbre, Lemme 00HY.

Lemme

Soit \(h : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Soit \(x \in X\) avec \(y = h(x) \in Y\). Si \(h\) est plat en \(x\), alors \[\mathcal{G}\text{ est plat sur }S\text{ en }y \Leftrightarrow h^*\mathcal{G}\text{ est plat sur }S\text{ en }x.\] En particulier : Si \(h\) est surjectif et plat, alors \(\mathcal{G}\) est plat sur \(S\), si et seulement si \(h^*\mathcal{G}\) est plat sur \(S\). Si \(h\) est surjectif et plat, et que \(X\) est plat sur \(S\), alors \(Y\) est plat sur \(S\).

Démonstration

Vous pouvez le prouver en appliquant l’algèbre, Lemme 0584. Voici une démonstration directe. Soit \(s \in S\) l’image de \(y\). Considérez les applications locales anneau \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Par hypothèse l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est fidèlement plat, voir Algèbre, Lemme 00HR. Soit \(N = \mathcal{G}_y\). A noter que \(h^*\mathcal{G}_x = N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}\), voir Faisceaux, Lemme 0098. Soit \(M' \to M\) une injection de \(\mathcal{O}_{S, s}\)-modules. Par la planéité fidèle mentionnée ci-dessus, nous avons \[\begin{align*} \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N) \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \\ = \Ker( M' \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x} \to M \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} N \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y}} \mathcal{O}_{X, x}) \end{align*}\] Par conséquent, l’équivalence du lemme découle de la deuxième caractérisation de la platitude donnée dans Algèbre, Lemme 00HD.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini avec support schématique \(Z \subset X\). Si \(f\) est plat, alors \(f^{-1}(Z)\) est le support schématique de \(f^*\mathcal{F}\).

Démonstration

En utilisant la caractérisation schématique des supports sur affines telle que donnée dans le lemme 05JU nous réduisons à l’Algèbre, Lemme 07T8.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas plat. Soit \(V \subset Y\) un ouvert rétrocompact qui est schématiquement dense. Alors \(f^{-1}V\) est schématiquement dense en \(X\).

Démonstration

Nous utiliserons la caractérisation du lemme 01RE. Il faut montrer que pour tout \(U \subset X\) ouvert l’application \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_X(U \cap f^{-1}V)\) est injectif. Il suffit de le prouver lorsque \(U\) est un ouvert affine qui s’envoie dans un ouvert affine \(W \subset Y\). Posons \(W = \Spec(A)\) et \(U = \Spec(B)\). Puis \(V \cap W = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) pour certains \(f_i \in A\), voir Algèbre, Lemme 00F6. Il faut donc montrer que \(B \to B_{f_1} \times \ldots \times B_{f_n}\) est injectif. On sait que \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) est injectif et que \(A \to B\) est plat. Puisque \(B_{f_i} = A_{f_i} \otimes_A B\) on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de schémas. Soit \(g : V \to Y\) un morphisme de schémas quasi-compact. Soit \(Z \subset Y\) l’image schématique de \(g\) et soit \(Z' \subset X\) l’image schématique du changement de base \(V \times_Y X \to X\). Puis \(Z' = f^{-1}Z\).

Démonstration

Rappelons que \(Z\) est défini par \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_Y \to g_*\mathcal{O}_V)\), tandis que \(Z'\) est défini par \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_X \to (V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X})\), voir le Lemme 01R8. La question est locale sur \(X\) et \(Y\), et l’on peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines. Nous pouvons remplacer \(V\) par \(\coprod V_i\) où \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) est un recouvrement ouvert affine fini. Nous pouvons donc supposer que \(g\) est affine. Dans ce cas, \((V \times_Y X \to X)_*\mathcal{O}_{V \times_Y X}\) est le retrait de \(g_*\mathcal{O}_V\) par \(f\). Puisque \(f\) est plat, nous concluons que \(f^*\mathcal{I} = \mathcal{I}'\) et le lemme est vrai.

Immersions fermées plates

Les composants connectés des schémas ne sont pas toujours ouverts. Mais ils ont toujours une structure schématique canonique. Nous expliquons cela dans cette section.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. La règle qui associe à un sous-schéma fermé de \(X\) son sous-ensemble fermé sous-jacent définit une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{sous-schémas fermés }Z \subset X \\ \text{tels que }Z \to X\text{ soit plat} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{parties fermées }Z \subset X \\ \text{stables par générisation} \end{matrix} \right\}\] Si \(Z \subset X\) est un tel sous-schéma fermé, tout morphisme de schémas \(g : Y \to X\) tel que \(g(Y) \subset Z\) ensemblistement se factorise (schématiquement) par \(Z\).

Démonstration

Le cas affine de la bijection est l’Algèbre, Lemme 04PU. Pour les schémas généraux \(X\) la bijection s’ensuit en recouvrant \(X\) par affines et collage. Détails omis. Pour l’assertion finale, notons que la projection \(Z \times_{X, g} Y \to Y\) est une immersion fermée plate (Lemme 01U9) qui est bijective sur les espaces topologiques sous-jacents et doit donc être un isomorphisme par la bijection établie dans la première partie de la démonstration.

Lemme

Une immersion fermée plate de présentation finie est l’immersion ouverte d’un ouvert et sous-schéma fermé.

Démonstration

Le cas affine est l’Algèbre, Lemme 05KK. En général, le lemme suit en couvrant \(X\) par des affines. Détails omis.

Notons qu’un composant connexe \(T\) d’un schéma \(X\) est un sous-ensemble fermé stable par génération. La définition suivante est donc logique.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) un composant connexe. La structure de schéma canonique sur \(T\) est la structure de schéma unique sur \(T\) telle que l’immersion fermée \(T \to X\) est plate, voir Lemme 04PW.

Il s’avère que nous pouvons déterminer quand chaque module \(\mathcal{O}_X\) plat fini est fini localement libre en utilisant le lemme précédent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes

tout module \(\mathcal{O}_X\) plat fini quasi-cohérent est fini localement libre, et

tout sous-ensemble fermé \(Z \subset X\) qui est fermé sous générisations est ouvert.

Démonstration

Dans le cas affine, il s’agit de l’algèbre, Lemme 052U. Le cas schéma ne découle pas directement du cas affine, nous répétons donc simplement les arguments.

Supposons (1). Considérons une immersion fermée \(i : Z \to X\) telle que \(i\) soit plate. Alors \(i_*\mathcal{O}_Z\) est quasi-cohérent et plat, donc fini localement libre par (1). Ainsi \(Z = \text{Supp}(i_*\mathcal{O}_Z)\) est également ouvert et on voit que (2) est vrai. D’où l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) découle de la caractérisation des immersions plates fermées dans le lemme 04PW.

À l’inverse, supposons que \(X\) satisfait (2). Soit \(\mathcal{F}\) un module \(\mathcal{O}_X\) plat fini, quasi-cohérent. Le support \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) est fermé, voir Modules, Lemme 01BA. En revanche, si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation, alors par Algèbre, Lemme 00NZ le module \(\mathcal{F}_{x'}\) est libre sur \(\mathcal{O}_{X, x'}\), et \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x'}} \mathcal{O}_{X, x}.\] Donc \(x' \in \text{Supp}(\mathcal{F}) \Rightarrow x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\), autrement dit, le support est fermé sous générisation. Comme \(X\) satisfait (2), nous voyons que le support de \(\mathcal{F}\) est ouvert et fermé. Les modules \(\wedge^i(\mathcal{F})\), \(i = 1, 2, 3, \ldots\) sont également des modules \(\mathcal{O}_X\) plats finis et quasi-cohérents, voir Modules, section 01CF. Notons que \(\text{Supp}(\wedge^{i + 1}(\mathcal{F})) \subset \text{Supp}(\wedge^i(\mathcal{F}))\). On voit donc qu’il existe une décomposition \[X = U_0 \amalg U_1 \amalg U_2 \amalg \ldots\] par sous-ensembles ouverts et fermés telle que le support de \(\wedge^i(\mathcal{F})\) est \(U_i \cup U_{i + 1} \cup \ldots\) pour tout \(i\). Soit \(x\) un point de \(X\) et supposons \(x \in U_r\). Notons que \(\wedge^i(\mathcal{F})_x \otimes \kappa(x) = \wedge^i(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x))\). Par conséquent, \(x \in U_r\) implique que \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) est un espace vectoriel de dimension \(r\). Par le lemme de Nakayama, voir Algèbre, Lemme 00DV, on peut choisir un voisinage ouvert affine \(U \subset U_r \subset X\) de \(x\) et des sections \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\) tels que l’application induite \[\mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F}|_U, \quad (f_1, \ldots, f_r) \longmapsto \sum f_i s_i\] soit surjectif. Cela signifie que \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\) est un module \(\mathcal{O}_U\) plat fini et quasi-cohérent dont le support est entièrement \(U\). Par ce qui précède, il est généré par un seul élément, à savoir \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\). D’où \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U) \cong \mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) pour un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) tel que \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) est plat sur \(\mathcal{O}_U\) et tel que \(V(\mathcal{I}) = U\). Il s’ensuit que \(\mathcal{I} = 0\) en appliquant le Lemme 04PW. Ainsi \(s_1 \wedge \ldots \wedge s_r\) est une base pour \(\wedge^r(\mathcal{F}|_U)\) et Il s’ensuit que l’application affichée est aussi bien injective que surjective. Cela prouve que \(\mathcal{F}\) est fini localement libre comme souhaité.

Platitude générique

Un schéma de type fini sur une base intègre est plat sur un ouvert dense ouverte de la base. En Algèbre, section 051Q nous avons prouvé une version noéthérienne, une version pour les morphismes de présentation finie et une version générale. Nous ne faisons ici qu’énoncer et prouver la version générale. Cependant, il s’avère que cela sera remplacé par la proposition 052B qui montre que le résultat est valable si nous supposons uniquement que la base est réduite.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

\(S\) est intègre,

\(f\) est de type fini et

\(\mathcal{F}\) est un module de type fini \(\mathcal{O}_X\).

Alors il existe un sous-schéma dense ouvert \(U \subset S\) tel que \(X_U \to U\) est plat et de présentation finie et tel que \(\mathcal{F}|_{X_U}\) est plat sur \(U\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X_U}\).

Démonstration

Comme \(S\) est intègre, il est irréductible (voir Propriétés, Lemme 01ON) et tout ouvert non vide est dense. On peut donc remplacer \(S\) par un ouvert affine de \(S\) et supposer que \(S = \Spec(A)\) est affine. Comme \(S\) est intègre, nous voyons que \(A\) est un domaine. Comme \(f\) est de type fini, il est quasi-compact, donc \(X\) est quasi-compact. On peut donc trouver un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\). Écrivons \(X_i = \Spec(B_i)\). Alors \(B_i\) est une algèbre de type fini \(A\), voir Lemme 01T2. De plus, il existe des \(B_i\)-modules \(M_i\) de type fini tels que \(\mathcal{F}|_{X_i}\) est le faisceau quasi-cohérent associé au \(B_i\)-module \(M_i\), voir Propriétés, Lemme 01PB. Ensuite, pour chaque paire d’indices \(i, j\) choisissez un \(I_{ij} \subset B_i\) idéal tel que \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\) à l’intérieur de \(X_i = \Spec(B_i)\). Définissez \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\) et considérez-le comme un module \(B_i\). Alors \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\) et \(M_{ij}\) sont un module \(B_i\) fini.

À ce stade, nous appliquons l’algèbre, Lemme 051T aux paires \((A \to B_i, M_{ij})\) et aux paires \((A \to B_i, M_i)\). Ainsi on obtient un \(f_{ij}, f_i \in A\) non nul tel que (a) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\) est plat et de présentation finie et \(M_{ij, f_{ij}}\) est plat sur \(A_{f_{ij}}\) et de présentation finie sur \(B_{i, f_{ij}}\), et (b) \(B_{i, f_i}\) est plat et de présentation finie sur \(A_f\) et \(M_{i, f_i}\) est plat et de présentation finie sur \(B_{i, f_i}\). Posons \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\). Nous affirmons que prendre \(U = D(f)\) fonctionne.

Pour prouver notre affirmation, nous pouvons remplacer \(A\) par \(A_f\), c’est-à-dire effectuer le changement de base par \(U = \Spec(A_f) \to S\). Après ce changement de base on voit que chacun des \(A \to B_i\) est plat et de présentation finie et que \(M_i\), \(M_{ij}\) sont plats sur \(A\) et de présentation finie sur \(B_i\). Cela prouve déjà que \(X \to S\) est quasi-compact, localement de présentation finie, plate, et que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_X\), voir Lemme 01TQ et Propriétés, Lemme 01PC. Puisque \(M_{ij}\) est de présentation finie sur \(B_i\) on voit que \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\) est un ouvert quasi-compact de \(X_i\), voir Algèbre, Lemme 051B. On voit donc que \(X \to S\) est quasi-séparé par Schémas, Lemme 01KO. Cela prouve la proposition.

Il s’avère effectivement qu’il existe également une version de platitude générique sur une base réduite arbitraire. C’est ici.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

\(S\) est réduit,

\(f\) est de type fini et

\(\mathcal{F}\) est un module de type fini \(\mathcal{O}_X\)-module.

Il existe alors un sous-schéma dense ouvert \(U \subset S\) tel que \(X_U \to U\) est plat et de présentation finie et tel que \(\mathcal{F}|_{X_U}\) est plat sur \(U\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{X_U}\).

Démonstration

Pour le lecteur impatient : cette démonstration est une répétition de la démonstration de la proposition 052A utilisant l’algèbre, Lemme 051Z au lieu de l’algèbre, Lemme 051T.

Puisque le fait d’être plat et d’être de présentation finie est local sur la base, voir Lemmes 01U4 et 01TQ, on peut travailler localement sur les affines de \(S\). Ainsi on peut supposer que \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau réduit (voir Propriétés, Lemme 01OL). Comme \(f\) est de type fini, il est quasi-compact, donc \(X\) est quasi-compact. On peut donc trouver un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\). Écrivons \(X_i = \Spec(B_i)\). Alors \(B_i\) est une algèbre de type fini \(A\), voir Laisse-moi 01T2. De plus il existe des \(B_i\)-modules \(M_i\) de type fini tels que \(\mathcal{F}|_{X_i}\) est le faisceau quasi-cohérent associé au \(B_i\)-module \(M_i\), voir Propriétés, Lemme 01PB. Ensuite, pour chaque paire d’indices \(i, j\) choisissez un idéal \(I_{ij} \subset B_i\) tel que \(X_i \setminus X_i \cap X_j = V(I_{ij})\) à l’intérieur de \(X_i = \Spec(B_i)\). Définissez \(M_{ij} = B_i/I_{ij}\) et considérez-le comme un module \(B_i\). Alors \(V(I_{ij}) = \text{Supp}(M_{ij})\) et \(M_{ij}\) sont un module \(B_i\) fini.

À ce stade, nous appliquons l’algèbre, Lemme 051Z aux paires \((A \to B_i, M_{ij})\) et aux paires \((A \to B_i, M_i)\). On obtient ainsi des ouverts denses \(U(A \to B_i, M_{ij}) \subset S\) et des ouverts denses \(U(A \to B_i, M_i) \subset S\) avec une notation comme en Algèbre, Equation (051V). Puisqu’une intersection finie d’ouverts denses est ouverte dense, on voit que \[U = \bigcap\nolimits_{i, j} U(A \to B_i, M_{ij}) \quad\cap\quad \bigcap\nolimits_i U(A \to B_i, M_i)\] est ouverte et dense dans \(S\). Nous affirmons que \(U\) est l’ouverture souhaitée.

Choisissons \(u \in U\). Par définition des lieux \(U(A \to B_i, M_{ij})\) et \(U(A \to B, M_i)\), il existe \(f_{ij}, f_i \in A\) tels que (a) \(u \in D(f_i)\) et \(u \in D(f_{ij})\), (b) \(A_{f_{ij}} \to B_{i, f_{ij}}\) est plat et de présentation finie et \(M_{ij, f_{ij}}\) est plat sur \(A_{f_{ij}}\) et de présentation finie sur \(B_{i, f_{ij}}\), et (c) \(B_{i, f_i}\) est plat et de présentation finie sur \(A_{f_i}\) et \(M_{i, f_i}\) est de présentation finie sur \(B_{i, f_i}\) et plat sur \(A_{f_i}\). Définissez \(f = (\prod f_i) (\prod f_{ij})\). Il suffit maintenant de prouver que \(X \to S\) est plat et de présentation finie sur \(D(f)\) et que \(\mathcal{F}\) restreint à \(X_{D(f)}\) est plat sur \(D(f)\) et de présentation finie sur le faisceau structural de \(X_{D(f)}\).

On peut donc remplacer \(A\) par \(A_f\), c’est-à-dire effectuer le changement de base par \(\Spec(A_f) \to S\). Après ce changement de base on voit que chacun des \(A \to B_i\) est plat et de présentation finie et que \(M_i\), \(M_{ij}\) sont plats sur \(A\) et de présentation finie sur \(B_i\). Cela prouve déjà que \(X \to S\) est quasi-compact, localement de présentation finie, plate, et que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et de présentation finie sur \(\mathcal{O}_X\), voir Lemme 01TQ et Propriétés, Lemme 01PC. Puisque \(M_{ij}\) est de présentation finie sur \(B_i\) on voit que \(X_i \cap X_j = X_i \setminus \text{Supp}(M_{ij})\) est un ouvert quasi-compact de \(X_i\), voir Algèbre, Lemme 051B. On voit donc que \(X \to S\) est quasi-séparé par Schémas, Lemme 01KO. Cela prouve la proposition.

Remarque

Les résultats ci-dessus sont un premier pas vers des techniques d’aplatissement plus raffinées des morphismes de schémas. L’article [GruRay] de Raynaud et Gruson contient de nombreux résultats merveilleux dans ce sens.

Morphismes et dimensions des fibres

Soit \(X\) un espace topologique, et \(x \in X\). Rappelons que nous avons défini \(\dim_x(X)\) comme le minimum des dimensions des voisinages ouverts de \(x\) dans \(X\). Voir Topologie, Définition 0055.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) et définissez \(s = f(x)\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Puis \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)).\]

Démonstration

Cela se réduit immédiatement au cas \(S = s\), et \(X\) affine. Dans ce cas, le résultat découle de l’algèbre, Lemme 00P1.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Soit \(x \in X\) et définissez \(y = f(x)\), \(s = g(y)\). Supposons que \(f\) et \(g\) localement de type fini. Alors \[\dim_x(X_s) \leq \dim_x(X_y) + \dim_y(Y_s).\] De plus, l’égalité est vraie si \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\), ce qui est vrai par exemple si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y, y}\).

Démonstration

Notons que \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(y)}(\kappa(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(y))\). Ainsi, par le Lemme 02FX, l’instruction est équivalente à \[\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}).\] Pour cela voir Algèbre, Lemme 00OM. Pour le cas plat, voir Algèbre, Lemme 00ON.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme produit fibré de schémas. Supposons que \(f\) localement de type fini. Supposons que \(x' \in X'\), \(x = g'(x')\), \(s' = f'(x')\) et \(s = g(s') = f(x)\). Alors

\(\dim_x(X_s) = \dim_{x'}(X'_{s'})\),

si \(F\) est la fibre du morphisme \(X'_{s'} \to X_s\) sur \(x\), alors \[\dim(\mathcal{O}_{F, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) - \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) - \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\] notamment \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) \geq \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\) et \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) \geq \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\).

étant donné \(s', s, x\), il existe un choix de \(x'\) tel que \(\dim(\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x})\) et \(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) = \text{trdeg}_{\kappa(s')}(\kappa(x'))\).

Démonstration

La partie (1) découle immédiatement de l’algèbre, Lemme 00P4. Parties (2) et (3) d’Algèbre, Lemme 0CWE.

Le lemme suivant découle d’un résultat algébrique non trivial. À savoir la version algébrique du Théorème principal de Zariski.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(n \geq 0\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. L’ensemble \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] est ouvert dans \(X\).

Démonstration

Ceci est immédiat de l’Algèbre, Lemme 00QH

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini avec \(Y\) quasi-compact. Alors la dimension des fibres de \(f\) est bornée.

Démonstration

Par le Lemme 02FZ l’ensemble \(U_n \subset X\) des points où la dimension de la fibre est \(\leq n\) est ouvert. Puisque \(f\) est de type fini, chaque point est contenu dans un \(U_n\) (car la dimension d’une algèbre de type fini sur un corps est finie). Puisque \(Y\) est quasi-compact et \(f\) est de type fini, on voit que \(X\) est quasi-compact. D’où \(X = U_n\) pour certains \(n\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(n \geq 0\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie. Le \[U_n = \{x \in X \mid \dim_x X_{f(x)} \leq n\}\] ouvert du lemme 02FZ est rétrocompact dans \(X\). (Voir Topologie, Définition 005A.)

Démonstration

L’espace topologique \(X\) a une base pour sa topologie constituée d’ouverts affines \(U \subset X\) telles que le morphisme induit \(f|_U : U \to S\) se factorise par un ouvert affine \(V \subset S\). Il suffit donc de montrer que \(U \cap U_n\) est quasi-compact pour un tel \(U\). Notez que \(U_n \cap U\) est identique au \(\{x \in U \mid \dim_x U_{f(x)} \leq n\}\) ouvert. Cela nous ramène au cas où \(X\) et \(S\) sont affines. Dans ce cas, le lemme découle de l’algèbre, Lemme 00QJ (et Lemme 01TQ).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \leadsto x'\) une spécialisation non triviale de points dans \(X\) situés sur le même point \(s \in S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Puis

\(\dim_x(X_s) \leq \dim_{x'}(X_s)\),

\(\dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X_s, x'})\) et

\(\text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)) > \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x'))\).

Démonstration

La partie (1) découle du fait que toute ouverture de \(X_s\) contenant \(x'\) contient également \(x\). La partie (2) suit puisque \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) est une localisation de \(\mathcal{O}_{X_s, x'}\) à un idéal premier, donc toute chaîne d’idéaux premiers dans \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) fait partie d’une chaîne strictement plus longue de nombres premiers dans \(\mathcal{O}_{X_s, x'}\). La dernière inégalité découle de l’algèbre, Lemme 06RP.

Morphismes de dimension relative donnée

Afin de pouvoir parler confortablement de morphismes d’une dimension relative donnée nous introduisons la notion suivante.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit localement de type fini.

Nous disons que \(f\) est de dimension relative \(\leq d\) à \(x\) si \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\).

Nous disons que \(f\) est de dimension relative \(\leq d\) si \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\) pour tout \(x \in X\).

On dit que \(f\) est de dimension relative \(d\) si toutes les fibres non vides \(X_s\) sont équidimensionnelles de dimension \(d\).

Ce n’est pas une notion particulièrement efficace, mais elle fonctionne bien dans un certain nombre de situations.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Si \(f\) a une dimension relative \(d\), tout changement de base de \(f\) aussi. Idem pour la cote relative \(\leq d\).

Démonstration

Ceci est immédiat à partir du lemme 02FY.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) être localement de type fini. Si \(f\) a une dimension relative \(\leq d\) et \(g\) a une dimension relative \(\leq e\) alors \(g \circ f\) a une dimension relative \(\leq d + e\). Si

\(f\) a une dimension relative \(d\),

\(g\) a une dimension relative \(e\) et que

\(f\) est plat,

alors \(g \circ f\) a une dimension relative \(d + e\).

Démonstration

Ceci est immédiat à partir du lemme 02JS.

En général, il n’est pas possible de décomposer un morphisme en morceaux où la dimension relative est donnée. Cependant, c’est possible si le morphisme comporte des fibres de De Cohen–Macaulay et est plat de présentation finie.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) est plat,

\(f\) est localement de présentation finie, et

pour tout \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est De Cohen–Macaulay (Propriétés, Définition 02IO)

Alors il existe des ouverts et sous-schémas fermés \(X_d \subset X\) tels que \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\) et \(f|_{X_d} : X_d \to S\) ont une dimension relative \(d\).

Démonstration

Ceci est immédiat de l’algèbre, Lemme 00RL.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(x \in X\) avec \(s = f(x)\). Alors \(f\) est quasi-fini à \(x\) si et seulement si \(\dim_x(X_s) = 0\). En particulier, \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f\) a une dimension relative \(0\).

Démonstration

Première démonstration. Si \(f\) est quasi-fini en \(x\) alors \(\kappa(x)\) est une extension finie de \(\kappa(s)\) (par le lemme 01TG) et \(x\) est isolé dans \(X_s\) (par le lemme 01TH), donc \(\dim_x(X_s) = 0\) par le lemme 02FX. A l’inverse, si \(\dim_x(X_s) = 0\) alors par le lemme 02FX on voit que \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) est algébrique et il n’y a pas d’autres points de \(X_s\) spécialisés dans \(x\). Ainsi \(x\) est fermé dans sa fibre par le lemme 01TE et par le lemme 01TH (3) Nous concluons que \(f\) est quasi-fini en \(x\).

Deuxième démonstration. La fibre \(X_s\) est un schéma localement de type fini sur un corps, donc localement noethérien (Lemme 01T6). Le résultat découle maintenant du lemme 01TH et de Propriétés, Lemme 0H7C.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement noethériens qui est plat, localement de type fini et de dimension relative \(d\). Pour chaque point \(x\) dans \(X\) avec l’image \(y\) dans \(Y\) nous avons \(\dim_x(X) = \dim_y(Y) + d\).

Démonstration

Après avoir réduit \(X\) et \(Y\) pour ouvrir les voisinages de \(x\) et \(y\), on peut supposer que \(\dim(X) = \dim_x(X)\) et \(\dim(Y) = \dim_y(Y)\), par définition de la dimension d’un schéma en un point (Propriétés, Définition 04MT). Le morphisme \(f\) est ouvert par les Lemmes 01TX et 01UA. On peut donc réduire \(Y\) pour faire en sorte que \(f\) soit surjectif. Reste à montrer que \(\dim(X) = \dim(Y) + d\).

Soit \(a\) un point dans \(X\) avec l’image \(b\) dans \(Y\). Par Algèbre, Lemme 00ON, \[\dim(\mathcal{O}_{X,a}) = \dim(\mathcal{O}_{Y,b}) + \dim(\mathcal{O}_{X_b, a}).\] Prenant la suprématie sur tous les points \(a\) dans \(X\), Il s’ensuit que \(\dim(X) = \dim(Y) + d\), comme on veut, voir Propriétés, Lemme 04MU.

Morphismes syntomiques

Une algèbre \(A\) sur un corps \(k\) est appelée une intersection globale complète sur \(k\) si \(A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) et \(\dim(A) = n - c\). Une algèbre \(A\) sur un corps \(k\) est appelée une intersection complète locale si \(\Spec(A)\) peut être couverte par des ouvertures standard dont chacune est une intersection complète globale sur \(k\). Voir Algèbre, section 00S8. Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est syntomique s’il est de présentation finie, plat avec des anneaux d’intersection complets locaux comme fibres, voir Algèbre, Définition 00SL.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est syntomique à \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) soit syntomique.

On dit que \(f\) est syntomique s’il est syntomique en tout point de \(X\).

Si \(S = \Spec(k)\) et \(f\) sont syntomiques, alors on dit que \(X\) est une intersection locale complète sur \(k\).

Un morphisme de schémas affines \(f : X \to S\) est appelé syntomique standard s’il existe une intersection complète relative globale \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) (voir Algèbre, Définition 00SP) telle que \(X \to S\) est isomorphe à \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\]

Dans la littérature, un morphisme syntomique est parfois appelé morphisme d’intersection complet local plat. Il s’avère qu’il s’agit d’une classe de morphismes pratique. Par exemple, on peut définir une topologie syntomique en utilisant celles-ci, qui est plus fine que les topologies lisses et étales, mais possède bon nombre des mêmes propriétés formelles.

Une intersection complète relative globale (que nous avons utilisée pour définir les homomorphismes syntomiques d’anneaux standards) est particulièrement plate. Dans En savoir plus sur les morphismes, section 068E, nous considérerons les morphismes \(X \to S\) qui sont localement de la forme \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\] pour certaines séquences régulières de Koszul \(f_1, \ldots, f_r\) dans \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Un tel morphisme sera appelé un morphisme d’intersection complet local. Une fois que nous aurons cette définition en place, un morphisme sera syntomique si et seulement si c’est un morphisme d’intersection complet, plat et local.

Notons qu’il n’y a pas d’hypothèse de séparation ou de quasi-compacité dans la définition d’un morphisme syntomique. La question du caractère syntomique est donc de nature locale sur la source. Voici le résultat précis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est syntomique.

Pour toute ouverture affine \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est syntomique.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est syntomique.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et ouvert affine revêtements \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit syntomique, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est syntomique alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est syntomique.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est syntomique” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Par Algèbre, Lemme 00SN, la propriété d’être syntomique est stable par changement de base ; on en déduit la condition (a). Par Algèbre, Lemme 00SZ, elle est stable par composition, et pour tout anneau \(R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R_f\) est syntomique. On en déduit la condition (b). Enfin, la condition (c) résulte d’Algèbre, Lemme 00SO.

Lemme

La composition de deux morphismes syntomiques est syntomique.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01UD nous avons vu qu’être syntomique est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où la première affirmation du lemme découle du lemme 01SV combinée au fait qu’être syntomique est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00SZ.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme qui est syntomique est syntomique.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01UD nous avons vu qu’être syntomique est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être syntomique est une propriété des homomorphismes d’anneaux stable par changement de base, voir Algèbre, Lemme 00SN.

Lemme

Toute immersion ouverte est syntomique.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local.

Lemme

Un morphisme syntomique est localement de présentation finie.

Démonstration

Vrai car un homomorphisme syntomique d’anneaux est de présentation finie par définition.

Lemme

Un morphisme syntomique est plat.

Démonstration

Vrai car un homomorphisme syntomique d’anneaux est plat par définition.

Lemme

Un morphisme syntomique est universellement ouvert.

Démonstration

Combine Lemmes 01UK, 01UL et 01UA.

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une algèbre \(k\) locale essentiellement de type fini sur \(k\). Rappelons que \(A\) est appelé une intersection complète sur \(k\) si l’on peut écrire \(A \cong R/(f_1, \ldots, f_c)\) où \(R\) est un anneau local régulier essentiellement de type fini sur \(k\), et \(f_1, \ldots, f_c\) est un séquence régulière dans \(R\), voir Algèbre, Définition 00SD.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma local de type fini sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est une intersection complète locale sur \(k\),

pour tout \(x \in X\) il existe un voisinage ouvert affine \(U = \Spec(R) \subset X\) de \(x\) tel que \(R \cong k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) est une intersection complète globale sur \(k\), et

pour chaque \(x \in X\) l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est une intersection complète sur \(k\).

Démonstration

Les résultats d’algèbre correspondants peuvent être trouvés dans Algèbre, Lemmes 00SG et 00SH.

Le lemme suivant dit localement que tout morphisme syntomique est standard syntomique. Nous pouvons donc utiliser les morphismes syntomiques standards comme modèle local pour un morphisme syntomique. De plus, il dit qu’un morphisme plat de présentation finie est syntomique si et seulement si les fibres sont des schémas d’intersection complets locaux.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s = f(x)\). Soit \(V \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(s\). Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est syntomique en \(x\).

Il existe un \(U \subset X\) ouvert affine avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\) tel que \(f|_U : U \to V\) soit syntomique standard.

Le morphisme \(f\) est de présentation finie à \(x\), l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x}\) est une intersection complète sur \(\kappa(s)\) (voir Algèbre, Définition 00SD).

Démonstration

Dérivé des définitions et de l’algèbre, Lemme 00SY.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est plat, localement de présentation finie, et que toutes les fibres \(X_s\) sont des intersections locales complètes, alors \(f\) est syntomique.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 01UG et 01UE, ainsi que des isomorphismes d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{X, x} \cong \mathcal{O}_{X_s, x}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. La formation de l’ensemble \[T = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x} \text{ est d'intersection complète sur }\kappa(f(x))\}\] commute à tout changement de base : pour tout morphisme \(g : S' \to S\), considérons le changement de base \(f' : X' \to S'\) de \(f\) et la projection \(g' : X' \to X\). Alors l’ensemble correspondant \(T'\) pour le morphisme \(f'\) est égal à \(T' = (g')^{-1}(T)\). En particulier, si \(f\) est supposé plat, et localement de présentation finie alors il en va de même pour l’ensemble ouvert de points où \(f\) est syntomique.

Démonstration

Soit \(s' \in S'\) un point et soit \(s = g(s')\). On a alors \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] Autrement dit les fibres du changement de base sont les changements de base des fibres. La première partie est donc équivalente à l’Algèbre, Lemme 00SI. La deuxième partie découle de la première car dans ce cas \(T\) est l’ensemble des points où \(f\) est syntomique d’après le Lemme 01UE.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(R \to A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) une intersection complète relative globale. Définissez \(S = \Spec(R)\) et \(X = \Spec(A)\). Considérons le morphisme \(f : X \to S\) associé à l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\). La fonction \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\) est constante de valeur \(n - c\).

Démonstration

En algèbre, la Définition 00SP \(R \to A\) étant une intersection complète globale relative signifie que tous les anneaux de fibres non nuls ont une dimension \(n - c\). Ainsi, pour un \(\mathfrak p\) premier de \(R\) l’anneau de fibres \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_c)\) est soit nul, soit un anneau d’intersection complet global de dimension \(n - c\). D’après la discussion qui suit l’Algèbre, Définition 00S9 cela implique qu’elle est équidimensionnelle de dimension \(n - c\). D’où le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme syntomique. La fonction \(x \mapsto \dim_x(X_{f(x)})\) est localement constante sur \(X\).

Démonstration

Par le Lemme 01UE le morphisme \(f\) ressemble localement à un morphisme syntomique d’affines standard. Le résultat découle donc du lemme 02K0.

Lemme 02K1 dit que la définition suivante a du sens.

Définition

Soit \(d \geq 0\) un nombre entier. On dit qu’un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est syntomique de dimension relative \(d\) si \(f\) est syntomique et la fonction \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\) pour tout \(x \in X\).

Autrement dit, \(f\) est syntomique et les fibres non vides sont équidimensionnelles de dimension \(d\).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

\(f\) est surjectif et syntomique,

\(p\) est syntomique, et

\(q\) est localement de présentation finie⁸.

Alors \(q\) est syntomique.

Démonstration

Par le Lemme 02JZ on voit que \(q\) est plat. Il suffit donc de montrer que les fibres de \(Y \to S\) sont des intersections locales complètes, voir Lemme 01UF. Soit \(s \in S\). Considérons le morphisme \(X_s \to Y_s\). Il s’agit d’un changement de base du morphisme \(X \to Y\) et donc surjectif, et syntomique (Lemme 01UI). Pour la même raison, \(X_s\) est syntomique par rapport à \(\kappa(s)\). De plus, \(Y_s\) est localement de type fini sur \(\kappa(s)\) (Lemme 01T4). On se réduit ainsi au cas où \(S\) est le spectre d’un corps.

Supposons que \(S = \Spec(k)\). Soit \(y \in Y\). Choisissez un voisinage \(\Spec(A) \subset Y\) ouvert affine de \(y\). Soit \(\Spec(B) \subset X\) un ouvert affine telle que \(f(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\), contenant un point \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\). Choisissez une surjection \(k[x_1, \ldots, x_n] \to A\) avec noyau \(I\). Choisissez une surjection \(A[y_1, \ldots, y_m] \to B\), qui donne lieu à son tour à une surjection \(k[x_i, y_j] \to B\) à noyau \(J\). Soit \(\mathfrak q \subset k[x_i, y_j]\) le premier correspondant à \(y \in \Spec(B)\) et soit \(\mathfrak p \subset k[x_i]\) le premier correspondant à \(x \in \Spec(A)\). Puisque \(x\) s’envoie sur \(y\), nous avons \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap k[x_i]\). Considérons le diagramme commutatif d’anneaux locaux suivant : \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X, x} \ar@{=}[r] & B_{\mathfrak q} & k[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]_{\mathfrak q} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y, y} \ar@{=}[r] \ar[u] & A_{\mathfrak p} \ar[u] & k[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak p} \ar[l] \ar[u] }\] Nous affirmons que les hypothèses d’algèbre du lemme 02JP sont satisfaites. Les conditions (1) et (2) sont triviales. La condition (4) s’ensuit car \(X \to Y\) est plat. La condition (3) s’ensuit car les anneaux \(\mathcal{O}_{Y, y}\) et \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) sont des anneaux d’intersection complets d’après nos hypothèses selon lesquelles \(f\) et \(p\) sont syntomiques, voir Lemme 01UE. Le résultat d’Algèbre, Lemme 02JP est exactement que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau d’intersection complet ! Par conséquent, en Lemme 01UE , nous voyons à nouveau que \(Y\) est syntomique sur \(k\) à \(y\) comme souhaité.

Faisceau conormal d’une immersion

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant. Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Le faisceau \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) étant annihilé par \(\mathcal{I}\) cela correspond à un faisceau sur \(Z\) par le lemme 01QY. Ce module \(\mathcal{O}_Z\) quasi-cohérent est appelé le faisceau conormal de \(Z\) dans \(X\) et est souvent simplement noté \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) par l’abus de notation mentionné dans la section 01QX.

Dans le cas où \(i : Z \to X\) est une immersion (localement fermée) nous définissons le faisceau conormal de \(i\) comme le faisceau conormal de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\), où \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\). Il est souvent noté \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) où \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\).

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. Le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) de \(Z\) dans \(X\) ou le faisceau conormal de \(i\) est le faisceau conormal quasi-cohérent \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) décrit ci-dessus.

Dans [EGA, IV Définition 16.1.2] ce faisceau est noté \(\mathcal{N}_{Z/X}\). Nous ne suivrons pas cette convention puisque nous souhaiterions réserver la notation \(\mathcal{N}_{Z/X}\) au faisceau normal de l’immersion. Il est défini comme \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] à condition que le faisceau conormal soit de présentation finie (sinon le faisceau normal pourrait même ne pas être quasi-cohérent). Nous reviendrons plus tard sur le faisceau normal (insérer la référence future ici).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. Le faisceau conormal de \(i\) a les propriétés suivantes :

Soit \(U \subset X\) tout sous-schéma ouvert tel que \(i\) se factorise en \(Z \xrightarrow{i'} U \to X\) où \(i'\) est une immersion fermée. Soit \(\mathcal{I} = \Ker((i')^\sharp) \subset \mathcal{O}_U\). Alors \[\mathcal{C}_{Z/X} = (i')^*\mathcal{I}\quad\text{et}\quad i'_*\mathcal{C}_{Z/X} = \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\]

Pour tout \(\Spec(R) = U \subset X\) affine ouvert tel que \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) il existe un isomorphisme canonique \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X}) = I/I^2\).

Démonstration

Généralement clair d’après les définitions. Notez que étant donné un anneau \(R\) et un \(I\) idéal de \(R\) nous avons \(I/I^2 = I \otimes_R R/I\). Détails omis.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un diagramme commutatif dans la catégorie des schémas. Supposons des immersions \(i\), \(i'\). Il existe une application canonique de \(\mathcal{O}_Z\)-modules \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\] caractérisée par la propriété suivante : Pour toute paire d’ouverts affines \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\) à \(g(U) \subset U'\) telles que \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) et \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\) l’application induite \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X'}) = I'/I'^2 \longrightarrow I/I^2 = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X})\] est celle induite par l’homomorphisme d’anneaux \(g^\sharp : R' \to R\) qui possède la propriété \(g^\sharp(I') \subset I\).

Démonstration

Soient \(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) et \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\). Ce sont des sous-ensembles fermés de \(X'\) et de \(X\). En remplaçant \(X'\) par \(X' \setminus \partial Z'\) et \(X\) par \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\) on voit que l’on peut supposer que \(i\) et \(i'\) sont des immersions fermées.

Le fait que \(g \circ i\) se factorise par \(i'\) implique que les \(g^*\mathcal{I}'\) applications en \(\mathcal{I}\) sous l’application canonique \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\), voir Schémas, Lemmes 01HP et 01HQ. On obtient donc une application induite de faisceaux quasi-cohérents \(g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\). Retirer de \(i\) donne \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\). Notez que \(i^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) = \mathcal{C}_{Z/X}\). D’autre part, \(i^*g^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*(i')^*(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X'}\). Cela donne l’application souhaitée.

Vérifier que l’application est décrite localement comme l’application donnée \(I'/(I')^2 \to I/I^2\) consiste à dérouler les définitions et est omise. Une autre observation est que étant donné tout \(x \in i(Z)\) il existe des voisinages ouverts affines \(U\), \(U'\) avec \(f(U) \subset U'\) et \(Z \cap U\) ainsi que \(U' \cap Z'\) fermés tels que \(x \in U\). Démonstration omise. L’exigence du lemme caractérise donc bien l’application (et aurait pu être utilisée pour la définir).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un diagramme produit fibré dans la catégorie des schémas à immersions \(i\), \(i'\). Alors l’application canonique \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) du lemme 01R4 est surjectif. Si \(g\) est plat, alors c’est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(R' \to R\) un homomorphisme d’anneaux, et \(I' \subset R'\) un idéal. Posons \(I = I'R\). Alors \(I'/(I')^2 \otimes_{R'} R \to I/I^2\) est surjectif. Si \(R' \to R\) est plat, alors \(I = I' \otimes_{R'} R\) et \(I^2 = (I')^2 \otimes_{R'} R\) et on voit que l’application est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(Z \to Y \to X\) des immersions de schémas. Il existe alors une suite exacte canonique \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] dont les applications proviennent du lemme 01R4 et \(i : Z \to Y\) est le premier morphisme.

Démonstration

Via Lemme 01R4 cela se traduit par le fait algébrique suivant. Supposons que \(C \to B \to A\) soient des homomorphismes surjectifs d’anneaux. Soit \(I = \Ker(B \to A)\), \(J = \Ker(C \to A)\) et \(K = \Ker(C \to B)\). Il existe alors une suite exacte \[K/K^2 \otimes_B A \to J/J^2 \to I/I^2 \to 0.\] Cela découle immédiatement de l’observation que \(I = J/K\).

Faisceau des différentielles d’un morphisme

Nous suggérons au lecteur de consulter la section correspondante dans le chapitre sur l’algèbre commutative (Algèbre, section 00RM) et la section correspondante dans le chapitre sur les faisceaux de modules (Modules, section 08RL).

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Le faisceau des différentielles \(\Omega_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\) est le faisceau des différentielles de \(f\) vu comme un morphisme d’espaces annelés (Modules, Définition 08RT) équipé de son dérivation \(S\) universelle \[\text{d}_{X/S} : \mathcal{O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}.\]

Il s’avère que \(\Omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent par exemple car il est isomorphe au faisceau conormal de la diagonale du morphisme \(\Delta : X \to X \times_S X\) (Lemme 08S2). Nous avons défini le module des différentielles de \(X\) sur \(S\) en utilisant une propriété universelle, à savoir comme réceptacle de la dérivation universelle. Si vous avez une autre construction du faisceau de différentielles relatives qui satisfait cette propriété universelle alors, par le lemme de Yoneda, elle sera canoniquement isomorphe à celle définie ci-dessus. Pour plus de commodité, nous reformulons ici la propriété universelle.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. L’application \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}),\quad \alpha \longmapsto \alpha \circ \text{d}_{X/S}\] est un isomorphisme de foncteurs \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ensembles}\).

Démonstration

Il s’agit simplement d’une reformulation de la définition.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(U \subset X\), \(V \subset S\) être des sous-schémas ouverts tels que \(f(U) \subset V\). Il existe alors un unique isomorphisme \(\Omega_{X/S}|_U = \Omega_{U/V}\) des \(\mathcal{O}_U\)-modules tel que \(\text{d}_{X/S}|_U = \text{d}_{U/V}\).

Démonstration

Ceci est un cas particulier de Modules, Lemme 08RQ si l’on utilise l’identification canonique \(f^{-1}\mathcal{O}_S|_U = (f|_U)^{-1}\mathcal{O}_V\).

Désormais nous utiliserons ces identifications canoniques et écrirons simplement \(\Omega_{U/S}\) ou \(\Omega_{U/V}\) pour la restriction de \(\Omega_{X/S}\) à \(U\).

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X = \Spec(A)\). Posons \(S = \Spec(R)\). La règle qui associe à une \(S\)-dérivation sur \(\mathcal{F}\) son action sur les sections globales définit une bijection entre l’ensemble des \(S\)-dérivations de \(\mathcal{F}\) et l’ensemble des \(R\)-dérivations sur \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Soit \(D : A \to M\) une dérivation \(R\). Nous devons montrer qu’il existe une unique dérivation \(S\) sur \(\mathcal{F}\) qui donne naissance à \(D\) sur les sections globales. Soit \(U = D(f) \subset X\) un ouvert affine standard. Tout élément de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) est de la forme \(a/f^n\) pour certains \(a \in A\) et \(n \geq 0\). Par la règle de Leibniz, nous avons \[D(a)|_U = a/f^n D(f^n)|_U + f^n D(a/f^n)\] dans \(\Gamma(U, \mathcal{F})\). Puisque \(f\) agit de manière inversible sur \(\Gamma(U, \mathcal{F})\), cela détermine complètement la valeur de \(D(a/f^n) \in \Gamma(U, \mathcal{F})\). Cela prouve l’unicité. L’existence s’ensuit en définissant simplement \[D(a/f^n) := (1/f^n) D(a)|_U - a/f^{2n} D(f^n)|_U\] et en prouvant qu’il possède toutes les propriétés souhaitées (sur la base des ouvertures standard de \(X\)). Détails omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Pour toute paire d’affines ouvertes \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) il existe un isomorphisme unique \[\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}.\] compatible avec \(\text{d}_{X/S}\) et \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\).

Démonstration

Par le Lemme 01US on peut remplacer \(X\) et \(S\) par \(U\) et \(V\). Ainsi nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\) et \(S = \Spec(R)\) et nous devons montrer le lemme avec \(U = X\) et \(V = S\). Considérons le module \(A\) \(M = \Gamma(X, \Omega_{X/S})\) avec la dérivation \(R\) \(\text{d}_{X/S} : A \to M\). Soit \(N\) un autre \(A\)-module et désignons \(\widetilde{N}\) le module \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérent associé à \(N\), voir Schémas, section 01I6. En précomposant par \(\text{d}_{X/S} : A \to M\) on obtient une flèche \[\alpha : \Hom_A(M, N) \longrightarrow \text{Der}_R(A, N)\] En utilisant les lemmes 01UR et 01UO on obtient les identifications \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) = \text{Der}_S(\mathcal{O}_X, \widetilde{N}) = \text{Der}_R(A, N)\] La prise de sections globales détermine une flèche \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/S}, \widetilde{N}) \to \Hom_R(M, N)\). En combinant cette flèche et les identifications ci-dessus nous obtenons une flèche \[\beta : \text{Der}_R(A, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] En vérifiant ce qui se passe sur les sections globales, nous constatons que \(\alpha\) et \(\beta\) sont l’un l’autre inverses. Nous voyons donc que \(\text{d}_{X/S} : A \to M\) satisfait la même propriété universelle que \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\), voir Algèbre, Lemme 00RO. Ainsi le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P) implique qu’il existe un unique isomorphisme des \(A\)-modules \(M \cong \Omega_{A/R}\) compatible avec les dérivations.

Remarque

Le lemme ci-dessus donne une deuxième façon de construire le module des différentielles. En effet, soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Considérons la famille de tous les ouverts affines \(U \subset X\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(S\). Ceux-ci forment une base de la topologie sur \(X\). Il suffit donc de définir \(\Gamma(U, \Omega_{X/S})\) pour un tel \(U\). Nous définissons simplement \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\) si \(A\), \(R\) sont comme dans le lemme 01UT ci-dessus. Cela fonctionne, mais il faut des préliminaires un peu plus algébriques pour construire les mappages de restriction et vérifier la condition du faisceau avec cet ansatz.

Le lemme suivant donne encore une autre façon de définir le faisceau des différentielles et il montre en particulier que \(\Omega_{X/S}\) est quasi-cohérent si \(X\) et \(S\) sont des schémas.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Il existe un isomorphisme canonique entre \(\Omega_{X/S}\) et le faisceau conormal du morphisme diagonal \(\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X\).

Démonstration

Nous établissons d’abord l’existence de quelques “globaux” faisceaux et applications globales de faisceaux, et plus loin nous décrivons les constructions sur certaines ouverts affines.

Rappelons que \(\Delta = \Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) est une immersion, voir Schémas, Lemme 01KJ. Soit \(\mathcal{J}\) le faisceau d’idéaux de l’immersion qui habite un sous-schéma ouvert \(W\) de \(X \times_S X\) tel que \(\Delta(X) \subset W\) soit fermé. Prenons celui que l’on retrouve dans la démonstration d’après Schémas, Lemme 01KJ. Notez que le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\) est supporté sur \(\Delta(X)\). De plus il se situe dans une suite exacte courte de faisceaux \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2 \to \Delta_*\mathcal{O}_X \to 0.\] En utilisant \(\Delta^{-1}\) on peut penser à cela comme une surjection de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres avec noyau le faisceau conormal de \(\Delta\) (voir Définition 01R2 et Lemme 01R3). \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X \to 0\] Cela nous place dans la situation des Modules, Lemme 01UP. Les morphismes de projection \(p_i : X \times_S X \to X\), \(i = 1, 2\) induisent des applications de faisceaux d’anneaux \((p_i)^\sharp : (p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X \times_S X}\). Nous pouvons nous limiter à \(W\) et quotient par \(\mathcal{J}^2\) pour obtenir \((p_i)^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2\). Puisque \(\Delta^{-1}p_i^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X\), nous obtenons des applications \[s_i : \mathcal{O}_X \to \Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2).\] \(s_1\) et \(s_2\) sont des sections de l’application \(\Delta^{-1}(\mathcal{O}_W/\mathcal{J}^2) \to \mathcal{O}_X\), comme dans Modules, Lemme 01UP. Nous obtenons ainsi une dérivation \(S\) \(\text{d} = s_2 - s_1 : \mathcal{O}_X \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\). Par la propriété universelle du module des différentielles nous trouvons une application unique \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \[\Omega_{X/S} \longrightarrow \mathcal{C}_{X/X \times_S X},\quad f\text{d}g \longmapsto fs_2(g) - fs_1(g)\] Pour voir que l’application est un isomorphisme, calculons cela sur des ouverts affines appropriées. On peut couvrir \(X\) par des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\). D’après la démonstration d’après Schémas, Lemme 01KJ \(U \times_V U \subset X \times_S X\) est un ouvert affine contenue dans l’ouvert \(W\) mentionné ci-dessus. Également \(U \times_V U = \Spec(A \otimes_R A)\). Le faisceau \(\mathcal{J}\) correspond à l’idéal \(J = \Ker(A \otimes_R A \to A)\). La suite exacte courte à la suite exacte courte des \(A \otimes_R A\)-modules \[0 \to J/J^2 \to (A \otimes_R A)/J^2 \to A \to 0\] Les sections \(s_i\) correspondent aux homomorphismes d’anneaux \[A \longrightarrow (A \otimes_R A)/J^2,\quad s_1 : a \mapsto a \otimes 1,\quad s_2 : a \mapsto 1 \otimes a.\] Par le Lemme 01R3 nous avons \(\Gamma(U, \mathcal{C}_{X/X \times_S X}) = J/J^2\) et par le lemme 01UT nous avons \(\Gamma(U, \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\). L’application ci-dessus est l’application \(a \text{d}b \mapsto a \otimes b - ab \otimes 1\), dont Algèbre, Lemme 00RW, montre qu’elle est un isomorphisme.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] être un diagramme commutatif de schémas. L’application canonique \(\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\) composée avec l’application \(f_*\text{d}_{X'/S'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/S'}\) est une \(S\)-dérivation. On obtient donc une application canonique des \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\Omega_{X/S} \to f_*\Omega_{X'/S'}\), et par adjointité de \(f_*\) et \(f^*\) un homomorphisme canonique des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \[c_f : f^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{X'/S'}.\] Il est uniquement caractérisé par la propriété que les applications \(f^*\text{d}_{X/S}(h)\) à \(\text{d}_{X'/S'}(f^* h)\) pour toute section locale \(h\) de \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Ceci est un cas particulier de Modules, Lemme 08RU. Dans le cas des schémas, on peut aussi utiliser la fonctorialité des faisceaux conormaux (voir le lemme 01R4) et le lemme 08S2 pour définir \(c_f\). Ou nous pouvons utiliser la caractérisation de la dernière ligne du lemme pour coller des applications définies sur des ouverts affines (voir Algèbre, Equation (00RQ)).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Il existe alors une suite exacte canonique \[f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] où les applications proviennent d’applications du lemme 01UV.

Démonstration

Il s’agit de la version simplifiée de l’algèbre, Lemme 00RS. Alternativement, il existe une version générale pour les morphismes des espaces annelés, voir Modules, Lemme 0H79.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(X' = X_{S'}\) le changement de base de \(X\). Notons \(g' : X' \to X\) la projection. Alors l’application \[(g')^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X'/S'}\] du lemme 01UV est un isomorphisme.

Démonstration

Il s’agit de la version simplifiée de l’algèbre, Lemme 00RV.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas de même cible. Soit \(p : X \times_S Y \to X\) et \(q : X \times_S Y \to Y\) les morphismes de projection. Les applications du lemme 01UV \[p^*\Omega_{X/S} \oplus q^*\Omega_{Y/S} \longrightarrow \Omega_{X \times_S Y/S}\] donnent un isomorphisme.

Démonstration

Par le Lemme 01V0 la composition \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S} \to \Omega_{X \times_S Y/Y}\) est un isomorphisme, et de même pour \(q\). De plus, le conoyau de \(p^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{X \times_S Y/S}\) est \(\Omega_{X \times_S Y/X}\) par le lemme 01UX. Le résultat suit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de type fini, alors \(\Omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Démonstration

Immédiat de l’algèbre, Lemme 00RZ, Lemme 01UT, Lemme 01T2 et Propriétés, Lemme 01PB.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de présentation finie, alors \(\Omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

Immédiat de l’algèbre, Lemme 00RY, Lemme 01UT, Lemme 01TQ et Propriétés, Lemme 01PC.

Lemme

Si \(X \to S\) est une immersion, ou plus généralement un monomorphisme, alors \(\Omega_{X/S}\) est nul.

Démonstration

Ceci est vrai car \(\Delta_{X/S}\) est un isomorphisme dans ce cas et a donc un faisceau conormal trivial. D’où \(\Omega_{X/S} = 0\) par le lemme 08S2. La version algébrique est Algèbre, Lemme 00RP.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas sur \(S\). Il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] où la première flèche est induite par \(\text{d}_{X/S}\) et la deuxième flèche vient du lemme 01UV.

Démonstration

Il s’agit de la version simplifiée de l’algèbre, Lemme 00RU. Cependant, nous devons nous assurer que nous pouvons définir la première flèche de manière globale. Nous expliquons donc ici la signification de “ induit par \(\text{d}_{X/S}\)”. À savoir, on peut supposer que \(i\) est une immersion fermée par rétrécissement \(X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux correspondant à \(Z \subset X\). Puis \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\) applique le sous-faisceau \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\) à \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\). Il induit donc une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) qui est \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-linéaire. Par le Lemme 01QY cela correspond à une application \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\) souhaitée.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas sur \(S\), et supposons que \(i\) (localement) a un inverse gauche. Alors la séquence canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] du lemme 01UZ est (localement) divisée exactement. En particulier, si \(s : S \to X\) est une section du morphisme de structure \(X \to S\) alors l’application \(\mathcal{C}_{S/X} \to s^*\Omega_{X/S}\) induite par \(\text{d}_{X/S}\) est un isomorphisme.

Démonstration

Il résulte de l’algèbre, Lemme 02HP que le résultat est valable lorsque \(X, Z, S\) sont affines. En général, nous concluons que la séquence est exacte localement divisée. Si \(g : X \to Z\) est un inverse gauche de \(i\), alors \(i^*c_g\) est un inverse droit de l’application \(i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S}\) par Modules, Lemme 01UW. Cela implique que la séquence est divisée par homologie, Lemme 010G. Enfin, si \(s\) est une section, alors c’est une immersion \(s : Z = S \to X\) sur \(S\) (voir Schémas, Lemme 01KT) et dans ce cas \(\Omega_{Z/S} = 0\).

Remarque

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. D’après le Lemme 01V1 on a \[\Omega_{X \times_S X/S} = \text{pr}_1^*\Omega_{X/S} \oplus \text{pr}_2^*\Omega_{X/S}\] Par contre, le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_S X\) est une immersion, qui a localement un inverse gauche. Ainsi par le lemme 0474 on obtient une suite canonique exacte courte \[0 \to \mathcal{C}_{X/X \times_S X} \to \Omega_{X/S} \oplus \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/S} \to 0\] Notons que la flèche droite est \((1, 1)\) qui est bien une surjection fractionnée. Par contre, par le lemme 08S2 nous avons une identification \(\Omega_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X \times_S X}\). Comme nous avons choisi \(\text{d}_{X/S}(f) = s_2(f) - s_1(f)\) dans cette identification il apparaît que la flèche de gauche est l’application \((-1, 1)\)⁹.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] un diagramme commutatif de schémas où \(i\) et \(j\) sont des immersions. Il existe alors une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] où la première flèche vient du lemme 01R4 et la seconde du lemme 01UZ.

Démonstration

La version algébrique de ceci est Algèbre, Lemme 065V.

Opérateurs différentiels d’ordre fini

Nous suggérons au lecteur de consulter la section correspondante dans le chapitre sur l’algèbre commutative (Algèbre, section 09CH) et la section correspondante dans le chapitre sur les faisceaux de modules (Modules, section 0G3P).

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Notons \(f : X \to S\) le morphisme correspondant des schémas affines. Soit \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) être des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent alors l’application \[\text{Diff}^k_{X/S}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \text{Diff}^k_{A/R}(\Gamma(X, \mathcal{F}), \Gamma(X, \mathcal{G}))\] envoyant un opérateur différentiel à son action sur les sections globales est bijective.

Démonstration

Écrivez \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour certains \(A\)-module \(M\). Posons \(N = \Gamma(X, \mathcal{G})\). Soit \(D : M \to N\) un opérateur différentiel d’ordre \(k\). Nous devons montrer qu’il existe un unique opérateur différentiel \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) d’ordre \(k\) qui donne naissance à \(D\) sur les sections globales. Soit \(U = D(f) \subset X\) un ouvert affine standard. Alors \(\mathcal{F}(U) = M_f\) est la localisation. Par Algèbre, Lemme 0G36 l’opérateur différentiel \(D\) s’étend à un unique opérateur différentiel \[D_f : \mathcal{F}(U) = \widetilde{M}(U) = M_f \to N_f = \widetilde{N}(U)\] L’unicité montre que ces applications \(D_f\) collent pour donner une application de faisceaux \(\widetilde{M} \to \widetilde{N}\) sur la base de toutes les ouvertures standards de \(X\). Nous obtenons donc une application unique de faisceaux \(\widetilde{D} : \widetilde{M} \to \widetilde{N}\) en accord avec ces applications par le matériel de Faisceaux, section 009H. Puisque \(\widetilde{D}\) est donné par des opérateurs différentiels d’ordre \(k\) sur le standard ouvre, on constate que \(\widetilde{D}\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\) (petit détail omis). Enfin, on peut post-composer avec l’application canonique \(\mathcal{O}_X\)-module \(c : \widetilde{N} \to \mathcal{G}\) (Schémas, Lemme 01I7) pour obtenir \(c \circ \widetilde{D} : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) qui est un opérateur différentiel d’ordre \(k\) par Modules, Lemme 0G3R. Cela prouve l’existence. Nous omettons la démonstration de l’unicité.

Lemme

Soient \(a : X \to S\) et \(b : Y \to S\) des morphismes de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) des modules \(\mathcal{O}_X\) quasi-cohérents. Soit \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) un opérateur différentiel d’ordre \(k\) sur \(X/S\). Soit \(\mathcal{G}\) un module \(\mathcal{O}_Y\) quasi-cohérent. Il existe alors un unique opérateur différentiel \[D' : \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] d’ordre \(k\) sur \(X \times_S Y / Y\) tel que \(D'(s \otimes t) = D(s) \otimes t\) pour les sections locales \(s\) de \(\mathcal{F}\) et \(t\) de \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Dans le cas où \(X\), \(Y\) et \(S\) sont affines, cela découle, via Lemme 0G44, du résultat algébrique correspondant, voir Algèbre, Lemme 0G37. En général, on utilise des revêtements par affines (par exemple comme dans Schémas, Lemme 01JS) pour construire \(D'\) globalement. Détails omis.

Remarque

Soient \(a : X \to S\) et \(b : Y \to S\) des morphismes de schémas. Notons \(p : X \times_S Y \to X\) et \(q : X \times_S Y \to Y\) les projections. Dans cette remarque, étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{G}\) fixons \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] Désignons \(\mathcal{A}_{X/S}\) la catégorie additive dont les objets sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et dont les morphismes sont des opérateurs différentiels d’ordre fini sur \(X/S\). De même pour \(\mathcal{A}_{Y/S}\) et \(\mathcal{A}_{X \times_S Y/S}\). La construction du lemme 0G45 détermine un foncteur \[\boxtimes : \mathcal{A}_{X/S} \times \mathcal{A}_{Y/S} \longrightarrow \mathcal{A}_{X \times_S Y/S}, \quad (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longmapsto \mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G}\] qui est bilinéaire sur les morphismes. Si \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\), et \(S = \Spec(R)\), alors via l’identification de faisceaux quasi-cohérents avec des modules ce foncteur est donné par \((M, N) \mapsto M \otimes_R N\) sur les objets et envoie le morphisme \((D, D') : (M, N) \to (M', N')\) à \(D \otimes D' : M \otimes_R N \to M' \otimes_R N'\).

Morphismes lisses

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Considérons la condition suivante : Pour tout \(x \in X\) il existe des voisinages ouverts \(x \in U \subset X\) et \(f(x) \in V \subset Y\), et un entier \(d\) tel que \(f(U) \subset V\) et tel que l’on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & V \times \mathbf{R}^d \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] }\] où \(\pi\) est un homéomorphisme sur un sous-ensemble ouvert. Les morphismes de schémas lisses sont l’analogue de ces applications dans la catégorie des schémas. Voir Lemme 01V7 et Lemme 054L.

Contrairement aux attentes (peut-être) la notion d’homomorphisme d’anneaux lisse n’est pas définie uniquement en termes de module des différentielles. À savoir, rappelons que \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux lisse si \(A\) est de présentation finie sur \(R\) et si le complexe cotangent naïf de \(A\) sur \(R\) est quasi-isomorphe à un module projectif placé en degré \(0\), voir Algèbre, Définition 00T2.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est lisse à \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) soit lisse.

On dit que \(f\) est lisse s’il est lisse en chaque point de \(X\).

Un morphisme de schémas affines \(f : X \to S\) est appelé standard lisse s’il existe un homomorphisme d’anneaux lisse standard \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) (voir Algèbre, Définition 00T6) tel que \(X \to S\) est isomorphe à \[\Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)) \to \Spec(R).\]

Une caractéristique intéressante de cette définition est que l’ensemble des points où un morphisme est lisse est automatiquement ouvert.

A noter qu’il n’y a pas d’hypothèse de séparation ou de quasi-compacité dans la définition. La question de la fluidité est donc de nature locale sur la source. Voici le résultat précis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est lisse.

Pour chaque ouverture affine \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est lisse.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) soit lisse.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et ouvert affine revêtements \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit lisse, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est lisse alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est lisse.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est lisse” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Par Algèbre, Lemme 00T4, la lissité est stable par changement de base ; on en déduit la condition (a). Par Algèbre, Lemme 00TD, la lissité est stable par composition, et pour tout anneau \(R\) l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R_f\) est (standard) lisse. On en déduit la condition (b). Enfin, la condition (c) résulte d’Algèbre, Lemme 00TC.

Le lemme suivant caractérise un morphisme lisse comme un morphisme plat, de présentation finie, avec des fibres lisses. A noter que les schémas lissant un corps sont abordés plus en détail dans Variétés, section 04QM.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est plat, localement de présentation finie, et que toutes les fibres \(X_s\) sont lisses, alors \(f\) est lisse.

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, Lemme 00TF.

Lemme

La composition de deux morphismes lisses est lisse.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01V6 nous avons vu qu’être lisse est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où la première affirmation du lemme découle du lemme 01SV combinée au fait qu’être lisse est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00TD.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme qui est lisse est lisse.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 01V6 nous avons vu qu’être lisse est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être lisse est une propriété des homomorphismes d’anneaux stables par changement de base, voir Algèbre, Lemme 00T4.

Lemme

Toute immersion ouverte est fluide.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local.

Lemme

Un morphisme lisse est syntomique.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00TA.

Lemme

Un morphisme lisse est localement de présentation finie.

Démonstration

Vrai car un homomorphisme d’anneaux lisse est de présentation finie par définition.

Lemme

Un morphisme lisse est plat.

Démonstration

Cela résulte des lemmes 01UL et 01VD.

Lemme

Un morphisme lisse est universellement ouvert.

Démonstration

Combine Lemmes 01VF, 01VE et 01UA. Ou bien, combinez Lemmes 01VD, 056F.

Le lemme suivant dit localement que tout morphisme lisse est standard lisse. Nous pouvons donc utiliser les morphismes lisses standards comme modèle local pour un morphisme lisse.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Soit \(V \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(f(x)\). Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est lisse en \(x\).

Il existe un \(U \subset X\) ouvert affine, avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\) tel que le morphisme induit \(f|_U : U \to V\) est lisse standard.

Démonstration

Dérivé des définitions et de l’algèbre, Lemmes 00T7 et 00TA.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit fluide. Alors le module des différentielles \(\Omega_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\) est fini localement libre et \[\text{rang}_x(\Omega_{X/S}) = \dim_x(X_{f(x)})\] pour chaque \(x \in X\).

Démonstration

L’instruction est locale sur \(X\) et \(S\). D’après le Lemme 01V7 ci-dessus, nous pouvons supposer que \(f\) est un morphisme lisse standard d’affines. Dans ce cas le résultat découle de l’Algèbre, Lemme 00T7 (et de la définition d’une intersection complète relative globale, voir Algèbre, Définition 00SP).

Lemme 02G1 dit que la définition suivante a du sens.

Définition

Soit \(d \geq 0\) un nombre entier. On dit qu’un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est lisse de dimension relative \(d\) si \(f\) est lisse et \(\Omega_{X/S}\) est fini localement libre de rang constant \(d\).

Autrement dit, \(f\) est lisse et les fibres non vides sont équidimensionnelles de dimension \(d\). Par le Lemme 01V9 ci-dessous cela revient également à exiger : (a) \(f\) est localement de présentation finie, (b) \(f\) est plat, (c) toutes les fibres non vides équidimensionnelles de dimension \(d\), et (d) \(\Omega_{X/S}\) fini localement libre de rang \(d\). Il ne suffit pas de simplement supposer que \(f\) est plat, de présentation finie, et que \(\Omega_{X/S}\) est fini localement libre de rang \(d\). Un contre-exemple est donné par \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]) \to \Spec(\mathbf{F}_p[t^p])\).

Voici un critère différentiel de régularité en un point. Il existe de nombreuses variantes de ce résultat, qui peuvent toutes être utiles à un moment donné. Nous les ajouterons simplement ici si nécessaire.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Posons \(s = f(x)\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est lisse en \(x\).

L’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et \(X_s \to \Spec(\kappa(s))\) est lisse à \(x\).

L’homomorphisme local d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et le \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(\Omega_{X/S, x}\) peut être généré par au plus \(\dim_x(X_{f(x)})\) éléments.

L’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et l’espace vectoriel \(\kappa(x)\)- \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] peut être généré par au plus \(\dim_x(X_{f(x)})\) éléments.

Il existe des ouverts affines \(U \subset X\), et \(V \subset S\) telles que \(x \in U\), \(f(U) \subset V\) et le morphisme induit \(f|_U : U \to V\) est lisse standard.

Il existe des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(x \in U\) correspondant à \(\mathfrak q \subset A\), et \(f(U) \subset V\) telles qu’il existe une présentation \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] avec \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_c/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_c/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_c & \partial f_2/\partial x_c & \ldots & \partial f_c/\partial x_c \end{matrix} \right)\] mappant à un élément de \(A\) pas dans \(\mathfrak q\).

Démonstration

Notez que si \(f\) est lisse à \(x\), alors nous voyons d’après le Lemme 01V7 que (5) est valable et (6) est une version légèrement affaiblie de (5). De plus, si \(f\) est lisse, l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat (voir Lemme 01VF) et que \(\Omega_{X/S}\) est fini localement libre de rang égal à \(\dim_x(X_s)\) (voir Lemme 02G1). Ainsi (1) implique (3) et (4). Par le Lemme 01VB on voit aussi que (1) implique (2).

Par le Lemme 01V0 le module des différentielles \(\Omega_{X_s/s}\) de la fibre \(X_s\) sur \(\kappa(s)\) est le retrait du module des différentielles \(\Omega_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\). D’où l’égalité affichée dans la partie (4) du lemme. Par le Lemme 01V2 ces modules sont de type fini. Par conséquent, le nombre minimal de générateurs des modules \(\Omega_{X/S, x}\) et \(\Omega_{X_s/s, x}\) est le même et égal à la dimension de cet espace vectoriel \(\kappa(x)\) par le Lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV). Cela montre notamment que (3) et (4) sont équivalents.

Algèbre, Lemme 00TF montre que (2) implique (1). Algèbre, Lemme 00TT montre que (3) et (4) impliquent (2). Enfin, (6) implique (5) voir par exemple Algèbre, Exemple 00T8 et (5) implique (1) par Algèbre, Lemme 00T7.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(W \subset X\), resp. \(W' \subset X'\) le sous-schéma ouvert des points où \(f\), resp. \(f'\) est lisse. Alors \(W' = (g')^{-1}(W)\) si

\(f\) est plat et localement de présentation finie, ou

\(f\) est localement de présentation finie et \(g\) est plat.

Démonstration

Supposons d’abord que \(f\) soit localement de type fini. Considérons l’ensemble \[T = \{x \in X \mid X_{f(x)}\text{ est lisse sur }\kappa(f(x))\text{ en }x\}\] et l’ensemble correspondant \(T' \subset X'\) pour \(f'\). Nous affirmons alors que \(T' = (g')^{-1}(T)\). En effet, soit \(s' \in S'\) un point, et posons \(s = g(s')\). On a alors \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] Autrement dit les fibres du changement de base sont les changements de base des fibres. L’affirmation est donc équivalente à l’algèbre, Lemme 02UQ.

Ainsi le cas (1) en résulte, car \(T\) est alors l’ensemble (ouvert) des points où \(f\) est lisse, d’après le lemme 01V9.

Dans le cas (2), soit \(x' \in W'\). Alors \(g'\) est plat en \(x'\) (Lemme 01U8) et \(g \circ f'\) est plat en \(x'\) (Lemme 01U6). Il s’ensuit que \(f\) est plat en \(x = g'(x')\) par le lemme 02JZ. D’autre part, puisque \(x' \in T'\) (Lemme 01VB) on voit que \(x \in T\). Par conséquent, \(f\) est lisse en \(x\) par le lemme 01V9.

Voici un lemme qui utilise en fait la disparition de \(H^{-1}\) du complexe cotangent naïf pour un homomorphisme d’anneaux lisse.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Supposons que \(f\) soit fluide. Alors \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] (voir Lemme 01UX) est court et exact.

Démonstration

La version algébrique de ce lemme est la suivante : Étant donnés les homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) avec \(B \to C\) lisses, alors la séquence \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] d’Algèbre, Lemme 00RS est exacte. C’est de l’algèbre, Lemme 04B2.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas sur \(S\). Supposons que \(Z\) soit lisse sur \(S\). Alors la suite exacte canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] du lemme 01UZ est exacte courte.

Démonstration

La version algébrique de ce lemme est la suivante : Étant donné les homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) avec \(A \to C\) lisse et \(B \to C\) surjectif avec noyau \(J\), alors la séquence \[0 \to J/J^2 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to 0\] d’Algèbre, Lemme 00RU est exacte. C’est de l’algèbre, Lemme 06A8.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] un diagramme commutatif de schémas où \(i\) et \(j\) sont des immersions et \(X \to Y\) est lisse. Alors la séquence canonique exacte \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] de Lemme 067L est exacte.

Démonstration

La version algébrique de ce lemme est la suivante : Étant donnés les homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) avec \(A \to C\) surjectif et \(A \to B\) lisse, alors la séquence \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to 0\] d’Algèbre, Lemme 065V est exacte. C’est de l’algèbre, Lemme 06A9.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

\(f\) est surjectif, et lisse,

\(p\) est lisse, et

\(q\) est localement de présentation finie¹⁰.

Alors \(q\) est lisse.

Démonstration

Par le Lemme 02JZ on voit que \(q\) est plat. Choisissez un point \(y \in Y\). Choisissez un point \(x \in X\) envoyé sur \(y\). Supposons que \(f\) ait une dimension relative \(a\) à \(x\) et que \(p\) ait une dimension relative \(b\) à \(x\). Par le Lemme 02G1 cela signifie que \(\Omega_{X/S, x}\) est libre de rang \(b\) et \(\Omega_{X/Y, x}\) est libre de rang \(a\). Par la suite exacte courte du lemme 02K4 cela signifie que \((f^*\Omega_{Y/S})_x\) est libre de rang \(b - a\). D’après le Lemme de Nakayama, cela implique que \(\Omega_{Y/S, y}\) peut être engendré par \(b - a\) éléments. De plus, le lemme 02JS montre que \(\dim_y(Y_s) = b - a\). Nous concluons donc que \(Y \to S\) est lisse en \(y\) d’après le Lemme 01V9, partie (2).

Dans la situation du lemme suivant l’image de \(\sigma\) est localement sur \(X\) découpée par une séquence régulière, voir Diviseurs, Lemme 067R.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\sigma : S \to X\) une section de \(f\). Soit \(s \in S\) un point tel que \(f\) soit lisse en \(x = \sigma(s)\). Alors il existe des voisinages affines ouverts \(\Spec(A) = U \subset S\) de \(s\) et \(\Spec(B) = V \subset X\) de \(x\) tels que

\(f(V) \subset U\) et \(\sigma(U) \subset V\),

avec \(I = \Ker(\sigma^\# : B \to A)\) le module \(I/I^2\) est un module \(A\) libre, et

\(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\) comme \(A\)-algèbres où \(B^\wedge\) désigne l’achèvement de \(B\) par rapport à \(I\).

Démonstration

Choisissez un ouvert affine \(U \subset S\) contenant \(s\) Choisissez un ouvert affine \(V \subset f^{-1}(U)\) contenant \(x\). Choisissez un \(U' \subset \sigma^{-1}(V)\) ouvert affine contenant \(s\). Notez que \(V' = f^{-1}(U') \cap V\) est affine car il est égal au produit fibré \(V' = U' \times_U V\). Alors \(U'\) et \(V'\) satisfont (1). Écrivez \(U' = \Spec(A')\) et \(V' = \Spec(B')\). Par algèbre, Lemme 05D5 le module \(I'/(I')^2\) est fini localement libre en tant que \(A'\)-module. Ainsi, après avoir remplacé \(U'\) par un ouvert affine plus petit \(U'' \subset U'\) et \(V'\) par \(V'' = V' \cap f^{-1}(U'')\) nous obtenons la situation où \(I''/(I'')^2\) est libre, c’est-à-dire que (2) est valable. Dans ce cas (3) est également valable pour l’algèbre, Lemme 05D5.

La dimension d’un schéma \(X\) en un point \(x\) (Propriétés, Définition 04MT) est juste la dimension de \(X\) en \(x\) comme espace topologique, voir Topologie, Définition 0055. Ce n’est pas la dimension de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X,x}\), en général.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse de schémas localement noethériens. Pour tout point \(x\) de \(X\), d’image \(y\) dans \(Y\), \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y),\] où \(X_y\) désigne la fibre en \(y\).

Démonstration

Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), il existe un nombre naturel \(d\) tel que toutes les fibres de \(X \to Y\) ont la dimension \(d\) en tout point, voir Lemme 02G1. Alors \(f\) est plat (Lemme 01VF), localement de type fini (Lemme 01VE), et de dimension relative \(d\). Le résultat découle donc du lemme 0AFE.

Morphismes non ramifiés

Nous discutons brièvement des morphismes non ramifiés avant la classe (peut-être) plus intéressante des morphismes étales. Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est non ramifié s’il est de type fini et \(\Omega_{A/R} = 0\) (c’est la définition de [Henselian]). Un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est appelé G-unramified s’il est de présentation finie et \(\Omega_{A/R} = 0\) (c’est la définition de [EGA]). Voir Algèbre, Définition 00UT.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est non ramifié en \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) ne soit pas ramifié.

On dit que \(f\) est G-non ramifié en \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) soit G-non ramifié.

On dit que \(f\) est non ramifié s’il est non ramifié en tout point de \(X\).

On dit que \(f\) est G-non ramifié s’il est G-non ramifié en tout point de \(X\).

Notons qu’un G-morphisme non ramifié est non ramifié. Ainsi, tout résultat pour les morphismes non ramifiés implique le résultat correspondant pour les G-morphismes non ramifiés. De plus, si \(S\) est localement noethérien alors il n’y a pas de différence entre G-unramifié et morphismes non ramifiés, voir Lemme 04EV. Une caractéristique intéressante de cette définition est que l’ensemble des points où un morphisme est non ramifié (resp. G-non ramifié) est automatiquement ouvert.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Ensuite,

\(f\) est non ramifié si et seulement si \(f\) est localement de type fini et \(\Omega_{X/S} = 0\), et

\(f\) est G-unramifié si et seulement si \(f\) est localement de présentation finie et \(\Omega_{X/S} = 0\).

Démonstration

Par définition un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est unramifié (resp. G-unramifié) si et seulement si il est de type fini (resp. présentation finie) et \(\Omega_{A/R} = 0\). Le lemme découle donc directement des définitions et du Lemme 01UT.

Notez qu’il n’y a pas d’hypothèse de séparation ou de quasi-compacité dans la définition. La question de la non-ramification est donc de nature locale sur la source. Voici le résultat précis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est non ramifié (resp. G-non ramifié).

Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est non ramifié (resp. G-unramifié).

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) soit non ramifié (resp. G-non ramifié).

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et ouvert affine revêtements \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soit non ramifié (resp. G-unramifié), pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est non ramifié (resp. G-unramifié) alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est non ramifiée (resp. G-non ramifié).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est non ramifié” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Ces propriétés sont prouvées dans Algèbre, Lemme 00UV.

Lemme

La composition de deux morphismes non ramifiés est non ramifiée. Il en va de même pour les G-morphismes non ramifiés.

Démonstration

La démonstration du lemme 02G6 montre qu’être non ramifié (resp. G-non ramifié) est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le premier énoncé du lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être non ramifié (resp. G-non ramifié) est une propriété des homomorphismes d’anneaux stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00UV.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme non ramifié est non ramifié. Il en va de même pour les G-morphismes non ramifiés.

Démonstration

La démonstration du lemme 02G6 montre qu’être non ramifié (resp. G-non ramifié) est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le lemme découle du lemme 01SW combiné au fait qu’être non ramifié (resp. G-non ramifié) est une propriété des homomorphismes d’anneaux stable par changement de base, voir Algèbre, Lemme 00UV.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien. Alors \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f\) est G-non ramifié.

Démonstration

Découle des définitions et du lemme 01TX.

Lemme

Toute immersion ouverte est G-non ramifiée.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local.

Lemme

Une immersion fermée \(i : Z \to X\) n’est pas ramifiée. Il est G-non ramifié si et seulement si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux associé \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z)\) est de type fini (en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 01TV et d’Algèbre, Lemme 00UV.

Lemme

An morphisme non ramifié est localement de type fini. Un G-morphisme non ramifié est localement de présentation finie.

Démonstration

Un homomorphisme d’anneaux non ramifié est de type fini par définition. Un homomorphisme d’anneaux G-non ramifié est de présentation finie par définition.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est non ramifié en \(x\) alors \(f\) est quasi-fini en \(x\). En particulier, un morphisme non ramifié est localement quasi-fini.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 02UR.

Lemme

Fibres de morphismes non ramifiés.

Soit \(X\) un schéma sur un corps \(k\). Le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est non ramifié si et seulement si \(X\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(k\).

Si \(f : X \to S\) est un morphisme non ramifié alors pour tout \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(\kappa(s)\).

Démonstration

La partie (2) découle de la partie (1) et Lemme 02GA. Démontrons la partie (1). Nous utilisons d’abord l’algèbre, Lemme 02FM. Ce lemme implique que si \(X\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(k\) alors \(X \to \Spec(k)\) est non ramifié. À l’inverse, supposons que \(X \to \Spec(k)\) ne soit pas ramifié. Par Algèbre, Lemme 00UW pour tout \(x \in X\) l’extension du corps résiduel \(\kappa(x)/k\) est fini séparable. Puisque \(X \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini (Lemme 02V5), nous voyons que tous les points de \(X\) sont des points fermés isolés, voir Lemme 01TH. Ainsi \(X\) est un espace discret, en particulier l’union disjointe des spectres de ses anneaux locaux. Par algèbre, Lemme 00UW encore une fois, ces anneaux locaux sont des corps, et on obtient le résultat.

Le lemme suivant caractérise les morphismes non ramifiés comme des morphismes localement de type fini à fibres non ramifiées.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

Si \(f\) est non ramifié, alors pour tout \(x \in X\) l’extension du corps \(\kappa(x)/\kappa(f(x))\) est finie séparable.

Si \(f\) est localement de type fini, et pour chaque \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(\kappa(s)\) alors \(f\) est non ramifié.

Si \(f\) est localement de présentation finie, et pour chaque \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(\kappa(s)\) alors \(f\) est G-non ramifié.

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, les Lemmes 00UW et 02FM.

Voici une caractérisation des morphismes non ramifiés en termes de diagonale du morphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme.

Si \(f\) est non ramifié, alors le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_S X\) est une immersion ouverte.

Si \(f\) est localement de type fini et \(\Delta\) est une immersion ouverte, alors \(f\) est non ramifié.

Si \(f\) est localement de présentation finie et \(\Delta\) est une immersion ouverte, alors \(f\) est G-non ramifié.

Démonstration

La première instruction découle de l’algèbre, Lemme 02FL. La deuxième affirmation vient du fait que \(\Omega_{X/S}\) est le faisceau conormal du morphisme diagonal (Lemme 08S2) et donc clairement nul si \(\Delta\) est une immersion ouverte.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Posons \(s = f(x)\). Supposons que \(f\) est localement de type fini (resp. localement de présentation finie). Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est non ramifié (resp. G-non ramifié) en \(x\).

La fibre \(X_s\) est non ramifiée sur \(\kappa(s)\) à \(x\).

Le module \(\mathcal{O}_{X, x}\) \(\Omega_{X/S, x}\) est nul.

Le module \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) \(\Omega_{X_s/s, x}\) est nul.

L’espace vectoriel \(\kappa(x)\) \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] est nul.

Nous avons \(\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x} = \mathfrak m_x\) et l’extension du corps \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est séparable de manière finie.

Démonstration

Notons que si \(f\) est non ramifié en \(x\), alors on voit que \(\Omega_{X/S} = 0\) à proximité de \(x\) par les définitions et les résultats sur modules de différentiels dans la section 01UM. Par conséquent (1) implique (3) et la disparition de l’espace vectoriel de droite dans (5). Cela implique également (2) car par le lemme 01V0 le module des différentielles \(\Omega_{X_s/s}\) de la fibre \(X_s\) sur \(\kappa(s)\) est le retrait du module des différentielles \(\Omega_{X/S}\) de \(X\) sur \(S\). Ce fait sur les modules de différentielles implique également l’égalité affichée des espaces vectoriels dans la partie (4). Par le Lemme 01V2 les modules \(\Omega_{X/S, x}\) et \(\Omega_{X_s/s, x}\) sont de type fini. D’où les modules \(\Omega_{X/S, x}\) et \(\Omega_{X_s/s, x}\) sont nuls si et seulement si l’espace vectoriel \(\kappa(x)\) correspondant dans (4) est nul par le Lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV). Cela montre notamment que (3), (4) et (5) sont équivalents. Le support de \(\Omega_{X/S}\) est terminé dans \(X\), voir Modules, Lemme 01BA. L’hypothèse (3) implique que \(x\) n’est pas dans le support. Donc \(\Omega_{X/S}\) est nul au voisinage de \(x\), ce qui implique (1). L’équivalence de (1) et (3) appliquée à \(X_s \to s\) implique l’équivalence de (2) et (4). À ce stade, nous avons vu que (1) – (5) sont équivalents.

Vous pouvez également utiliser Algèbre, Lemme 00UV pour voir l’équivalence de (1) – (5) plus directement.

L’équivalence de (1) et (6) découle du lemme 02G8. Cela découle aussi plus directement de l’Algèbre, de Lemmes 00UW et 02FM.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit localement de type fini. La formation de l’ouvert \[\begin{align*} T & = \{x \in X \mid X_{f(x)}\text{ est non ramifié sur }\kappa(f(x))\text{ en }x\} \\ & = \{x \in X \mid X\text{ est non ramifié sur }S\text{ en }x\} \end{align*}\] commute à tout changement de base : pour tout morphisme \(g : S' \to S\), considérons le changement de base \(f' : X' \to S'\) de \(f\) et la projection \(g' : X' \to X\). Alors l’ensemble correspondant \(T'\) pour le morphisme \(f'\) est égal à \(T' = (g')^{-1}(T)\). Si \(f\) est supposé localement de présentation finie alors il en va de même pour l’ensemble ouvert de points où \(f\) est G-non ramifié.

Démonstration

Soit \(s' \in S'\) un point et soit \(s = g(s')\). On a alors \[X'_{s'} = \Spec(\kappa(s')) \times_{\Spec(\kappa(s))} X_s\] Autrement dit les fibres du changement de base sont les changements de base des fibres. En particulier \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x') = \Omega_{X'_{s'}/s', x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X'_{s'}, x'}} \kappa(x')\] voir Lemme 01V0. D’où \(x' \in T'\) si et seulement si \(x \in T\) par le lemme 02GF. La deuxième partie découle de la première car dans ce cas \(T\) est l’ensemble (ouvert) de points où \(f\) est G-non ramifié d’après le Lemme 02GF.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\).

Si \(X\) est non ramifié sur \(S\), alors \(f\) est non ramifié.

Si \(X\) est G-non ramifié sur \(S\) et que \(Y\) est localement de type fini sur \(S\), alors \(f\) est G-non ramifié.

Démonstration

Supposons que \(X\) est non ramifié sur \(S\). Par le Lemme 01T8 on voit que \(f\) est localement de type fini. Par hypothèse, nous avons \(\Omega_{X/S} = 0\). D’où \(\Omega_{X/Y} = 0\) du lemme 01UX. Ainsi, \(f\) est non ramifié. Si \(X\) est G-non ramifié sur \(S\) et \(Y\) est localement de type fini sur \(S\), alors par le lemme 02FV on voit que \(f\) est localement de présentation finie et Nous concluons que \(f\) est G-non ramifié.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(f, g : X \to Y\) des morphismes sur \(S\). Soit \(x \in X\). Supposons que

le morphisme de structure \(Y \to S\) est non ramifié,

\(f(x) = g(x)\) dans \(Y\), disons \(y = f(x) = g(x)\), et

les applications induites \(f^\sharp, g^\sharp : \kappa(y) \to \kappa(x)\) sont égales.

Alors il existe un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X\) sur lequel \(f\) et \(g\) sont égaux.

Démonstration

Considérons le morphisme \((f, g) : X \to Y \times_S Y\). Par l’hypothèse (1) et Lemme 02GE l’image réciproque de \(\Delta_{Y/S}(Y)\) est ouverte dans \(X\). Et les hypothèses (2) et (3) impliquent que \(x\) se trouve dans ce sous-ensemble ouvert.

Morphismes étales

La topologie Zariski d’un schéma est une topologie très grossière. Cela est particulièrement clair lorsque l’on examine les variétés supérieures à \(\mathbf{C}\). Il s’avère que déclarer un morphisme étale comme l’analogue d’un isomorphisme local en topologie introduit une topologie beaucoup plus fine. Sur les variétés supérieures à \(\mathbf{C}\), cette topologie donne lieu aux “corrects” nombres de Betti lors du calcul de cohomologie à coefficients finis. Un autre observable est que si \(f : X \to Y\) est un morphisme étale des variétés sur \(\mathbf{C}\), et si \(x\) est un point fermé de \(X\), alors \(f\) induit un isomorphisme \(\mathcal{O}^{\wedge}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}^{\wedge}_{X, x}\) d’anneaux locaux complets.

Dans cette section, nous commençons notre étude de ces questions. En fait, nous limitons délibérément notre discussion au minimum puisque nous discuterons ailleurs de résultats plus intéressants. Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit étale s’il est lisse et \(\Omega_{A/R} = 0\), voir Algèbre, Définition 00U1.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est étale à \(x \in X\) s’il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) de \(x\) et ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) tel que l’homomorphisme d’anneaux induit \(R \to A\) soit étale.

On dit que \(f\) est étale s’il est étale en tout point de \(X\).

Un morphisme de schémas affines \(f : X \to S\) est appelé standard étale si \(X \to S\) est isomorphe à \[\Spec(R[x]_h/(g)) \to \Spec(R)\] où \(R \to R[x]_h/(g)\) est un standard étale homomorphisme d’anneaux, voir Algèbre, Définition 00UB, c’est-à-dire que \(g\) est monique et \(g'\) inversible dans \(R[x]_h/(g)\).

Un morphisme est étale si et seulement si il est lisse de dimension relative \(0\) (voir Définition 02G2). Une caractéristique intéressante de la définition est que l’ensemble des points où un morphisme est étale est automatiquement ouvert.

Notez qu’il n’y a pas d’hypothèse de séparation ou de quasi-compacité dans la définition. La question de l’existence de étale est donc de nature locale sur la source. Voici le résultat précis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est étale.

Pour chaque ouvert affines \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est étale.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\), \(j\in J, i\in I_j\) est étale.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{j \in J} V_j\) et ouvert affine revêtements \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tel que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) est étale, pour tout \(j\in J, i\in I_j\).

De plus, si \(f\) est étale alors pour tout sous-schémas ouverts \(U \subset X\), \(V \subset S\) avec \(f(U) \subset V\) la restriction \(f|_U : U \to V\) est étale.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01ST si l’on montre que la propriété “\(R \to A\) est étale” est locale. On vérifie les conditions (a), (b) et (c) de la Définition 01SR. Tout cela découle de l’algèbre, Lemme 00U2.

Lemme

La composition de deux morphismes qui sont étale est étale.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 02GJ nous avons vu qu’être étale est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où la première affirmation du lemme découle du lemme 01SV combinée au fait qu’être étale est une propriété des homomorphismes d’anneaux qui est stable sous composition, voir Algèbre, Lemme 00U2.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme qui est étale est étale.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 02GJ nous avons vu qu’être étale est une propriété locale des homomorphismes d’anneaux. D’où le lemme découle du lemme 01SV combiné au fait qu’être étale est une propriété des homomorphismes d’anneaux stable par changement de base, voir Algèbre, Lemme 00U2.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Alors \(f\) est étale à \(x\) si et seulement si \(f\) est lisse et non ramifié à \(x\).

Démonstration

Cela découle immédiatement des définitions.

Lemme

Un morphisme étale est localement quasi-fini.

Démonstration

Par le lemme 02GK, un morphisme étale est non ramifié. Par le Lemme 02V5 un morphisme non ramifié est localement quasi-fini.

Lemme

Fibres de morphismes étales.

Soit \(X\) un schéma sur un corps \(k\). Le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est étale si et seulement si \(X\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(k\).

Si \(f : X \to S\) est un morphisme étale, alors pour tout \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(\kappa(s)\).

Démonstration

Vous pouvez le déduire du lemme 02G7 via Lemme 02GK ci-dessus. Voici une démonstration directe.

Nous utiliserons l’algèbre, Lemme 00U3. Il est donc clair que si \(X\) est une union disjointe de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(k\) alors \(X \to \Spec(k)\) est étale. À l’inverse, supposons que \(X \to \Spec(k)\) soit étale. Alors pour tout \(U \subset X\) ouvert affine, nous voyons que \(U\) est une union disjointe finie de spectres d’extensions de corps finis séparables de \(k\). Ainsi tous les points de \(X\) sont des points fermés (voir Lemme 01TE par exemple). Ainsi \(X\) est un espace discret et on obtient le résultat.

Le lemme suivant caractérise un morphisme étale comme un morphisme plat de présentation finie avec des “fibres étales”.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est plat, localement de présentation finie, et pour tout \(s \in S\) la fibre \(X_s\) est une union disjointe de spectres d’extensions finies de corps séparables de \(\kappa(s)\), alors \(f\) est étale.

Démonstration

Vous pouvez le déduire de l’algèbre, Lemme 00U6. Voici une autre démonstration.

Par le Lemme 02GL une fibre \(X_s\) est étale et donc lisse sur \(s\). Par le Lemme 01V8 on voit que \(X \to S\) est lisse. Par le Lemme 02G8 nous voyons que \(f\) est non ramifié. Nous concluons par le lemme 02GK.

Lemme

Toute immersion ouverte est étale.

Démonstration

Ceci est vrai car une immersion ouverte est un isomorphisme local.

Lemme

Un morphisme étale est syntomique.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00TA et utiliser qu’un morphisme étale est le même qu’un morphisme lisse de dimension relative \(0\).

Lemme

Un morphisme étale est localement de présentation finie.

Démonstration

Vrai car un étale homomorphisme d’anneaux est de présentation finie par définition.

Lemme

Un morphisme étale est plat.

Démonstration

Cela résulte des lemmes 01UL et 02GQ.

Lemme

Un morphisme étale est ouvert.

Démonstration

Cela résulte des lemmes 02GS, 02GR et 01UA.

Le lemme suivant dit localement que tout morphisme étale est un étale standard. Il s’agit en fait d’un résultat difficile à prouver en toute généralité. Les parties délicates sont cachées dans le chapitre sur l’algèbre commutative. Ainsi, un morphisme étale standard est un modèle local pour un morphisme étale général.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Soit \(V \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(f(x)\). Les conditions suivantes sont équivalentes

Le morphisme \(f\) est étale à \(x\).

Il existe un \(U \subset X\) ouvert affine avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\) tel que le morphisme induit \(f|_U : U \to V\) est standard étale (voir Définition 02GI).

Démonstration

Dérivé des définitions et de l’algèbre, proposition 00UE.

Voici un critère différentiel de étalité en un point. Il existe de nombreuses variantes de ce résultat, qui peuvent toutes être utiles à un moment donné. Nous les ajouterons simplement ici si nécessaire.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Posons \(s = f(x)\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est étale à \(x\).

L’application anneau local \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plate et \(X_s \to \Spec(\kappa(s))\) est étale à \(x\).

L’homomorphisme local d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plate et \(X_s \to \Spec(\kappa(s))\) est non ramifiée en \(x\).

L’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et le \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(\Omega_{X/S, x}\) est nul.

L’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat et l’espace vectoriel \(\kappa(x)\)- \[\Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] est nul.

L’homomorphisme local d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat, nous avons \(\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x} = \mathfrak m_x\) et l’extension corps \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est fini séparable.

Il existe des ouverts affines \(U \subset X\), et \(V \subset S\) telles que \(x \in U\), \(f(U) \subset V\) et le morphisme induit \(f|_U : U \to V\) est standard lisse de dimension relative \(0\).

Il existe des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(x \in U\) correspondant à \(\mathfrak q \subset A\), et \(f(U) \subset V\) telles qu’il existe une présentation \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] avec \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_n/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_n/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_n & \partial f_2/\partial x_n & \ldots & \partial f_n/\partial x_n \end{matrix} \right)\] mappant à un élément de \(A\) pas dans \(\mathfrak q\).

Il existe des ouverts affines \(U \subset X\), et \(V \subset S\) telles que \(x \in U\), \(f(U) \subset V\) et le morphisme induit \(f|_U : U \to V\) est standard étale.

Il existe des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) avec \(x \in U\) correspondant à \(\mathfrak q \subset A\), et \(f(U) \subset V\) telles qu’il existe une présentation \[A = R[x]_Q/(P) = R[x, 1/Q]/(P)\] avec \(P, Q \in R[x]\), \(P\) monique et \(P' = \text{d}P/\text{d}x\) mappage à un élément de \(A\) pas dans \(\mathfrak q\).

Démonstration

Utilisez Lemme 02GT et les définitions pour voir que (1) implique toutes les autres conditions. Pour chacune des conditions (2) – (10), combinons les Lemmes 01V9 et 02GF pour voir que (1) est valable en montrant que \(f\) est à la fois lisse et non ramifié à \(x\) et en appliquant le Lemme 02GK. Certains détails omis.

Lemme

Un morphisme est étale en un point si et seulement s’il est plat et G-non ramifié en ce point. Un morphisme est étale si et seulement si il est plat et G-non ramifié.

Démonstration

Cela ressort clairement des Lemmes 02GU et 02GF.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(W \subset X\), resp. \(W' \subset X'\) le sous-schéma ouvert des points où \(f\), resp. \(f'\) est étale. Alors \(W' = (g')^{-1}(W)\) si

\(f\) est plat et localement de présentation finie, ou

\(f\) est localement de présentation finie et \(g\) est plat.

Démonstration

Supposons d’abord que \(f\) localement de type fini. Considérons l’ensemble \[T = \{x \in X \mid f\text{ est non ramifié en }x\}\] et l’ensemble correspondant \(T' \subset X'\) pour \(f'\). Puis \(T' = (g')^{-1}(T)\) par le lemme 0475.

Ainsi le cas (1) suit car dans le cas (1) \(T\) est l’ensemble (ouvert) de points où \(f\) est étale par le lemme 02GV.

Dans le cas (2), soit \(x' \in W'\). Alors \(g'\) est plat en \(x'\) (Lemme 01U8) et \(g \circ f'\) est plat en \(x'\) (Lemme 01U6). Il s’ensuit que \(f\) est plat à \(x = g'(x')\) par le lemme 02JZ. D’autre part, puisque \(x' \in T'\) (Lemme 01VB) on voit que \(x \in T\). Ainsi \(f\) est étale à \(x\) par le lemme 02GU.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Si \(X\) est étale sur \(S\) et que \(Y\) est non ramifié sur \(S\), alors \(f\) est étale.

Démonstration

Considérons la factorisation \(X \to X \times_S Y \to Y\), où la première flèche est donnée par \(\text{id}_X\) et \(f\) et la deuxième flèche est la projection. Nous affirmons que les deux flèches sont étale et donc \(f\) est étale du lemme 02GN. À savoir, la projection est étale car c’est le changement de base de \(X \to S\), voir Lemme 02GO. La première flèche est le changement de base du morphisme diagonal \(Y \to Y \times_S Y\) car le carré \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X \times_S Y \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y \times_S Y }\] est cartésien. La diagonale \(Y \to Y \times_S Y\) est une immersion ouverte du lemme 02GE. Le changement de base d’une immersion ouverte est une immersion ouverte (Schémas, Lemme 01JY) et une immersion ouverte est étale (Lemme 02GP).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Si \(X\) et \(Y\) sont étales sur \(S\), alors \(f\) est étale.

Démonstration

Puisque \(Y \to S\) est non ramifié d’après le lemme 02GK, nous pouvons appliquer le Lemme 0HB1. Voir aussi Algèbre, Lemme 00U7.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que

\(f\) est surjectif et étale,

\(p\) est étale, et

\(q\) est localement de présentation finie¹¹.

Alors \(q\) est étale.

Démonstration

Par le Lemme 02K5 nous voyons que \(q\) est lisse. Il suffit donc de voir que \(q\) a une dimension relative \(0\). Cela résulte du lemme 02JS et du fait que \(f\) et \(p\) ont une dimension relative \(0\).

Une dernière caractérisation des morphismes lisses est qu’un morphisme lisse \(f : X \to S\) est localement la composition d’un morphisme étale par une projection \(\mathbf{A}_S^d \to S\).

Lemme

Soit \(\varphi : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Soit \(V \subset Y\) un voisinage ouvert affine de \(\varphi(x)\). Si \(\varphi\) est lisse à \(x\), alors il existe un entier \(d \geq 0\) et un ouvert affine \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(\varphi(U) \subset V\) tel qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & \mathbf{A}^d_V \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] }\] où \(\pi\) est étale.

Démonstration

Par Lemme 01V7 on peut trouver un affine ouvert \(U\) comme dans le lemme tel que \(\varphi|_U : U \to V\) est lisse standard. Écrivez \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(R)\) afin que nous puissions écrire \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\] avec le mappage \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_c/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_c/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_c & \partial f_2/\partial x_c & \ldots & \partial f_c/\partial x_c \end{matrix} \right)\] sur un élément inversible de \(A\). Il est alors clair que \(R[x_{c + 1}, \ldots, x_n] \to A\) est un lissage standard de dimension relative \(0\). Il est donc lisse de dimension relative \(0\). Autrement dit l’homomorphisme d’anneaux \(R[x_{c + 1}, \ldots, x_n] \to A\) est étale. Comme \(\mathbf{A}^{n - c}_V = \Spec(R[x_{c + 1}, \ldots, x_n])\) le lemme avec \(d = n - c\).

Faisceaux relativement amples

Soit \(X\) un schéma et \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Alors \(\mathcal{L}\) est suffisant sur \(X\) si \(X\) est quasi-compact et que chaque point de \(X\) est contenu dans un ouvert affine de la forme \(X_s\), où \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) et \(n \geq 1\), voir Propriétés, Définition 01PS. Nous transformons cela en une notion relative comme suit.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. On dit que \(\mathcal{L}\) est relativement ample, ou \(f\)-relativement ample, ou amplement sur \(X/S\), ou \(f\)-ample si \(f : X \to S\) est quasi-compact, et si pour tout ouvert affine \(V \subset S\) la restriction de \(\mathcal{L}\) au sous-schéma ouvert \(f^{-1}(V)\) de \(X\) est suffisant.

On remarque que l’existence d’un faisceau relativement ample sur \(X\) ne force pas le morphisme \(X \to S\) à être de type fini.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Soit \(n \geq 1\). Alors \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample si et seulement si \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) est \(f\)-ample.

Démonstration

Cela résulte de Propriétés, Lemme 01PT.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. S’il existe un \(f\)-faisceau ample inversible, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Être séparé est local sur la base (voir Schémas, Lemme 01KP par exemple ; cela découle aussi facilement de la définition). Nous pouvons donc supposer que \(S\) est affine et que \(X\) a un faisceau ample inversible. Dans ce cas, le résultat découle de Propriétés, Lemme 09MP.

Il existe de nombreuses façons de caractériser des faisceaux inversibles relativement amples, analogues aux conditions équivalentes dans Propriétés, Proposition 01Q3. Nous les ajouterons ici si nécessaire.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le faisceau inversible \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_i\) tel que chaque \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V_i)}\) soit ample par rapport à \(f^{-1}(V_i) \to V_i\).

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup V_i\) tel que chaque \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V_i)}\) soit ample.

Il existe une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée \(\mathcal{A}\) et une application de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres graduées \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) telle que \(U(\psi) = X\) et \[r_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] est une immersion ouverte (voir Constructions, Lemme 01O9 pour la notation).

Le morphisme \(f\) est quasi-séparé et la partie (4) ci-dessus tient avec \(\mathcal{A} = f_*(\bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d})\) et \(\psi\) le mappage d’adjonction.

Identique à (4) mais exigeant simplement que \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) soit une immersion.

Démonstration

Il ressort immédiatement de la définition que (1) implique (2) et (2) implique (3). Il est clair que (5) implique (4).

Supposons que (3) soit valable pour le recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup V_i\). Nous allons montrer (5) prises. Puisque chaque \(f^{-1}(V_i)\) possède un faisceau ample inversible on voit que \(f^{-1}(V_i)\) est séparé (Propriétés, Lemme 09MP). Par conséquent, \(f\) est séparé. Par Schémas, Lemme 01LC nous voyons que \(\mathcal{A} = f_*(\bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Désignons \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) le mappage d’adjonction. La description du \(U(\psi)\) ouvert dans Constructions, section 01O8 et la définition de l’ampleur de \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V_i)}\) montrent que \(U(\psi) = X\). De plus, Constructions, Lemme 01O9 partie (3) montre que la restriction de \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) à \(f^{-1}(V_i)\) est la même que le morphisme de Propriétés, Lemme 01PZ qui est une immersion ouverte d’après Propriétés, Lemme 01Q1. Donc (5) est valable.

Montrons que (4) implique (1). Supposons (4). Notons \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) le morphisme de structure. Choisissez \(V \subset S\) ouvert affine. Par Constructions, Définition 01O0 on voit que \(\pi^{-1}(V) \subset \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) est égal à \(\text{Proj}(A)\) où \(A = \mathcal{A}(V)\) comme anneau gradué. Ainsi \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) applique \(f^{-1}(V)\) de manière isomorphe sur un ouvert quasi-compact de \(\text{Proj}(A)\). De plus, \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est isomorphe au retrait de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(d)\) pour certains \(d \geq 1\). (Voir la partie (3) de Constructions, Lemme 01O9 et l’énoncé final de Constructions, Lemme 01NK.) Cela implique que \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) est amplement rempli par les Propriétés, Lemmes 01Q2 et 01PT.

Supposons (6). Par l’équivalence de (1) - (5) ci-dessus on voit que la propriété d’être relativement ample sur \(X/S\) est locale sur \(S\). On peut donc supposer que \(S\) est affine, et il faut montrer que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\). Dans ce cas le morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) est identifié au morphisme, également noté \(r_{\mathcal{L}, \psi} : X \to \text{Proj}(A)\) associé à l’application \(\psi : A = \mathcal{A}(V) \to \Gamma_*(X, \mathcal{L})\). (Voir les références ci-dessus.) Comme ci-dessus, nous voyons également que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est le retrait du faisceau \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(d)\) pour certains \(d \geq 1\). De plus, puisque \(X\) est quasi-compact nous voyons que \(X\) s’identifie à un sous-schéma fermé d’un sous-schéma ouvert quasi-compact \(Y \subset \text{Proj}(A)\). Par Constructions, Lemme 01MW (voir aussi Propriétés, Lemme 01Q2) on voit que \(\mathcal{O}_Y(d')\) est un faisceau ample inversible sur \(Y\) pour certains \(d' \geq 1\). Puisque la restriction d’un faisceau suffisant à un sous-schéma fermé est ample, voir Propriétés, Lemme 01PU Nous concluons que le retrait de \(\mathcal{O}_Y(d')\) est ample. En combinant ces résultats avec Propriétés, Lemme 01PT Nous concluons que \(\mathcal{L}\) est suffisant comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Supposons que \(S\) soit affine. Alors \(\mathcal{L}\) est \(f\)-relativement amplement si et seulement si \(\mathcal{L}\) est amplement sur \(X\).

Démonstration

Immédiat du lemme 01VJ et des définitions.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est quasi-affine si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est \(f\)-relativement ample.

Démonstration

Cela résulte de Propriétés, Lemme 01QE et des définitions.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas, \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible, et \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

Si \(\mathcal{L}\) est suffisant pour \(f\) et que \(\mathcal{M}\) est suffisant, alors \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a}\) est suffisant pour \(a \gg 0\).

Si \(\mathcal{M}\) est ample et \(f\) quasi-affine, alors \(f^*\mathcal{M}\) est ample.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample et \(\mathcal{M}\) ample. Par hypothèse \(Y\) et \(f\) sont quasi-compacts (voir Définition 01VH et Propriétés, Définition 01PS). Donc \(X\) est quasi-compact. Par Propriétés, Lemme 09MP le schéma \(Y\) est séparé et par le lemme 01VI le morphisme \(f\) est séparé. Ainsi \(X\) est séparé par Schémas, Lemme 01KU. Choisissez \(x \in X\). On peut choisir \(m \geq 1\) et \(t \in \Gamma(Y, \mathcal{M}^{\otimes m})\) tels que \(Y_t\) soit affine et \(f(x) \in Y_t\). Puisque \(\mathcal{L}\) se limite à un faisceau amplement inversible sur \(f^{-1}(Y_t) = X_{f^*t}\), nous pouvons choisir \(n \geq 1\) et \(s \in \Gamma(X_{f^*t}, \mathcal{L}^{\otimes n})\) avec \(x \in (X_{f^*t})_s\) avec \((X_{f^*t})_s\) affines. Par Propriétés, Lemme 01PW partie (2) dont les hypothèses sont satisfaites par ce qui précède, il existe un entier \(e \geq 1\) et une section \(s' \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes em})\) qui se restreint à \(s(f^*t)^e\) sur \(X_{f^*t}\). Pour tout \(b > 0\), considérez la section \(s'' = s'(f^*t)^b\) de \(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes (e + b)m}\). Alors \(X_{s''} = (X_{f^*t})_s\) est un ouvert affine de \(X\) contenant \(x\). En choisissant \(b\) de telle sorte que \(n\) divise \(e + b\), nous voyons \(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes (e + b)m}\) est la \(n\)ième puissance de \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a}\) pour certains \(a\) et nous pouvons obtenir n’importe quel \(a\) divisible par \(m\) et assez grand. Puisque \(X\) est quasi-compact, un nombre fini de ces ouverts affines couvrent \(X\). Nous concluons que pour certains \(a\) suffisamment divisibles et assez grands le faisceau inversible \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a}\) est amplement suffisant sur \(X\). D’un autre côté, nous savons que \(\mathcal{M}^{\otimes c}\) (et donc son retrait vers \(X\)) est généré globalement pour tous les \(c \gg 0\) par Propriétés, Proposition 01Q3. Ainsi \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a + c}\) est suffisant (Propriétés, Lemme 0890) pour \(c \gg 0\) et (1) est prouvé.

La partie (2) découle du lemme 0891, Propriétés, Lemme 01PT et de la partie (1).

Lemme

Soient \(g : Y \to S\) et \(f : X \to Y\) des morphismes de schémas. Soit \(\mathcal{M}\) un module \(\mathcal{O}_Y\) inversible. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Si \(S\) est quasi-compact, \(\mathcal{M}\) est \(g\)-ample et \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample, alors \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a}\) est \(g \circ f\)-ample pour \(a \gg 0\).

Démonstration

Soit \(S = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} V_i\) un recouvrement ouvert affine fini. Par le Lemme 01VJ il suffit de prouver que \(\mathcal{L} \otimes f^*\mathcal{M}^{\otimes a}\) suffit sur \((g \circ f)^{-1}(V_i)\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Ainsi le lemme découle du lemme 0892.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\) et notons \(\mathcal{L}'\) le retrait de \(\mathcal{L}\) vers \(X'\). Si \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample, alors \(\mathcal{L}'\) est \(f'\)-ample.

Démonstration

Par le Lemme 01VJ il suffit de trouver un recouvrement ouvert affine \(S' = \bigcup U'_i\) tel que \(\mathcal{L}'\) se restreint à un faisceau ample inversible sur \((f')^{-1}(U_i')\) pour tout \(i\). Nous pouvons choisir le mappage \(U'_i\) dans un \(U_i \subset S\) ouvert affine. Dans ce cas le morphisme \((f')^{-1}(U'_i) \to f^{-1}(U_i)\) est affine comme un changement de base du morphisme affine \(U'_i \to U_i\) (Lemme 01SD). Ainsi \(\mathcal{L}'|_{(f')^{-1}(U'_i)}\) est amplement suffisant par le lemme 0892.

Lemme

Soient \(g : Y \to S\) et \(f : X \to Y\) des morphismes de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Si \(\mathcal{L}\) est \(g \circ f\)-ample et \(f\) est quasi-compact¹² alors \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit quasi-compact et que \(\mathcal{L}\) soit \(g \circ f\)-ample. Soit \(U \subset S\) être un ouvert affine et soit \(V \subset Y\) être un ouvert affine avec \(g(V) \subset U\). Alors \(\mathcal{L}|_{(g \circ f)^{-1}(U)}\) est suffisant sur \((g \circ f)^{-1}(U)\) par hypothèse. Puisque \(f^{-1}(V) \subset (g \circ f)^{-1}(U)\) on voit que \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) est suffisant sur \(f^{-1}(V)\) par Propriétés, Lemme 0B3E. À savoir, \(f^{-1}(V) \to (g \circ f)^{-1}(U)\) est une immersion ouverte quasi-compacte par Schémas, Lemme 03GI puisque \((g \circ f)^{-1}(U)\) est séparé (Propriétés, Lemme 09MP) et \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact (car \(f\) est quasi-compact). Ainsi Nous concluons que \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample par le lemme 01VJ.

Faisceaux très amples

Rappelons que étant donné un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{E}\) sur un schéma \(S\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) est le morphisme \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\), où \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E}))\), voir Constructions, Définition 01OB.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. On dit que \(\mathcal{L}\) est relativement très ample ou plus précisément \(f\)-relativement très ample, ou encore très ample sur \(X/S\), ou \(f\)-très ample s’il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\) quasi-cohérent et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) sur \(S\) tel que \(\mathcal{L} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\).

Puisqu’il n’y a pas d’hypothèse de quasi-compacité dans cette définition, il n’est pas vrai en général qu’un ample inversible à faisceau relativement très large soit un ample inversible à faisceau relativement important.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Si \(f\) est quasi-compact et \(\mathcal{L}\) est un ample inversible relativement très gros, alors \(\mathcal{L}\) est un ample inversible relativement gros.

Démonstration

Par définition il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\) quasi-cohérent et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) sur \(S\) telle que \(\mathcal{L} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Posons \(\mathcal{A} = \text{Sym}(\mathcal{E})\), donc \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) par définition. L’algèbre \(\mathcal{O}_S\) graduée \(\mathcal{A}\) est munie d’un homomorphisme \[\psi : \mathcal{A} \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n) \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}\] où la deuxième flèche utilise l’identification \(\mathcal{L} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Par adjointité de \(f_*\) et \(f^*\) on obtient un morphisme \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\). Nous omettons de vérifier que le morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) associé à cette application est exactement l’immersion \(i\). Le résultat découle donc de la partie (6) du lemme 01VJ.

Pour formuler une réciproque correcte de ce lemme, demandons-nous si, étant donné un faisceau inversible relativement ample \(\mathcal{L}\), il existe un entier \(n \geq 1\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) soit relativement très ample ? En général, c’est faux. Il y a plusieurs choses qui empêchent que cela soit vrai :

Même si \(S\) est affine, il peut arriver qu’aucun entier fini \(n\) ne fonctionne car \(X \to S\) n’est pas de type fini, voir Exemple 01VO.
Si la base n’est pas quasi-compacte, le résultat peut être faux même lorsque \(f\) est de type fini. En effet, étant donné un corps \(k\) il existe un schéma \(X_d\) de type fini sur \(k\) avec un faisceau inversible ample \(\mathcal{O}_{X_d}(1)\) de sorte que la plus petite puissance tensorielle de \(\mathcal{O}_{X_d}(1)\) qui est très ample soit la \(d\)ième puissance. Voir Exemple 01VP. Prendre pour \(f\) la réunion disjointe des schémas \(X_d\), envoyée sur la réunion disjointe de copies de \(\Spec(k)\), donne un exemple.

Pour voir notre version de l’inverse, jetez un œil dans le lemme 01VU ci-dessous. Nous ferons quelques travaux préliminaires avant de le prouver.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) une algèbre \(\mathcal{O}_S\) graduée quasi-cohérente générée par \(\mathcal{A}_1\) sur \(\mathcal{A}_0\). Posons \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Dans ce cas \(\mathcal{O}_X(1)\) est inversible et très ample sur \(X/S\). À savoir, le morphisme associé à l’homomorphisme d’algèbres graduées \(\mathcal{O}_S\) \[\text{Sym}_{\mathcal{O}_X}^*(\mathcal{A}_1) \longrightarrow \mathcal{A}\] est une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}(\mathcal{A}_1)\) qui ramène \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{A}_1)}(1)\) à \(\mathcal{O}_X(1)\), voir Constructions, Lemme 07ZK.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Considérons l’algèbre \(k\) graduée \[A = k[U, V, Z_1, Z_2, Z_3, \ldots]/I \quad \text{avec} \quad I = (U^2 - Z_1^2, U^4 - Z_2^2, U^6 - Z_3^2, \ldots)\] avec la graduation définie par \(\deg(U) = \deg(V) = \deg(Z_1) = 1\) et \(\deg(Z_d) = d\). Notez que \(X = \text{Proj}(A)\) est couvert par \(D_{+}(U)\) et \(D_{+}(V)\). Ainsi les faisceaux \(\mathcal{O}_X(n)\) sont tous inversibles et isomorphes à \(\mathcal{O}_X(1)^{\otimes n}\). En particulier \(\mathcal{O}_X(1)\) est ample et \(f\)-ample pour le morphisme \(f : X \to \Spec(k)\). Nous affirmons qu’aucune puissance de \(\mathcal{O}_X(1)\) n’est \(f\)-relativement très ample. En effet, il est facile de voir que \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))\) est la composante homogène de degré \(n\) de l’algèbre \(A\). Donc si \(\mathcal{O}_X(n)\) était très ample, alors \(X\) serait un sous-schéma fermé d’un espace projectif sur \(k\) et donc de type fini sur \(k\). Par contre \(D_{+}(V)\) est le spectre de \(k[t, t_1, t_2, \ldots]/(t^2 - t_1^2, t^4 - t_2^2, t^6 - t_3^2, \ldots)\) qui n’est pas de type fini sur \(k\).

Exemple

Soit \(k\) un corps infini. Soit \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \ldots\) des éléments distincts par paires de \(k^*\). (Ce n’est pas strictement nécessaire, et en fait l’exemple fonctionne parfaitement même si tous les \(\lambda_i\) sont égaux à \(1\).) Considérons l’algèbre \(k\) graduée \[A_d = k[U, V, Z]/I_d \quad \text{avec} \quad I_d = (Z^2 - \prod\nolimits_{i = 1}^{2d} (U - \lambda_i V)).\] avec la graduation définie par \(\deg(U) = \deg(V) = 1\) et \(\deg(Z) = d\). Ensuite \(X_d = \text{Proj}(A_d)\) a un faisceau inversible ample \(\mathcal{O}_{X_d}(1)\). Nous affirmons que si \(\mathcal{O}_{X_d}(n)\) est très ample, alors \(n \geq d\). La raison en est que \(Z\) a le diplôme \(d\), et donc \(\Gamma(X_d, \mathcal{O}_{X_d}(n)) = k[U, V]_n\) pour \(n < d\). Détails omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Si \(\mathcal{L}\) est relativement très ample sur \(X/S\) alors \(f\) est séparé.

Démonstration

La séparation est locale sur la base (voir Schémas, section 01KH). Une immersion est séparée (voir Schémas, Lemme 01L7). D’où le lemme s’ensuit puisque localement \(X\) a une immersion dans le spectre homogène d’un anneau gradué qui est séparé, voir Constructions, Lemme 01MC.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\mathcal{L}\) est relativement très ample sur \(X/S\),

il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\) tel que \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V_j)}\) est relativement très ample sur \(f^{-1}(V_j)/V_j\) pour tout \(j\),

il existe un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathcal{O}_S\) graduées \(\mathcal{A}\) générées en degré \(1\) sur \(\mathcal{O}_S\) et une application d’algèbres \(\mathcal{O}_X\) graduées \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) telle que \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\) est surjectif et le morphisme associé \(r_{\mathcal{L}, \psi} : X \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) est une immersion, et

\(f\) est quasi-séparé, l’application canonique \(\psi : f^*f_*\mathcal{L} \to \mathcal{L}\) est surjectif, et l’application associée \(r_{\mathcal{L}, \psi} : X \to \mathbf{P}(f_*\mathcal{L})\) est une immersion.

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Il est également clair que (4) implique (1) ; l’hypothèse de quasi-séparation dans (4) est utilisée pour garantir que \(f_*\mathcal{L}\) est quasi-cohérent via Schémas, Lemme 01LC.

Supposons (2). Nous allons démontrer (4). Soit \(S = \bigcup V_j\) un recouvrement ouvert comme dans (2). Définissez \(X_j = f^{-1}(V_j)\) et \(f_j : X_j \to V_j\) la restriction de \(f\). On voit que \(f\) est séparé par le lemme 01VQ (car la séparation est locale sur la base). Par hypothèse il existe un \(\mathcal{O}_{V_j}\)-module \(\mathcal{E}_j\) quasi-cohérent et une immersion \(i_j : X_j \to \mathbf{P}(\mathcal{E}_j)\) avec \(\mathcal{L}|_{X_j} \cong i_j^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E}_j)}(1)\). Le morphisme \(i_j\) correspond à une surjection \(f_j^*\mathcal{E}_j \to \mathcal{L}|_{X_j}\), voir Constructions , section 01OA. Cette application est adjointe à une application \(\mathcal{E}_j \to f_*\mathcal{L}|_{V_j}\) telle que la composition \[f_j^*\mathcal{E}_j \to (f^*f_*\mathcal{L})|_{X_j} \to \mathcal{L}|_{X_j}\] est surjectif. Nous concluons que \(\psi : f^*f_*\mathcal{L} \to \mathcal{L}\) est surjectif. Soit \(r_{\mathcal{L}, \psi} : X \to \mathbf{P}(f_*\mathcal{L})\) le morphisme associé. Il reste à montrer que \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) est une immersion ; nous invitons le lecteur à le prouver par lui-même. L’application \(\mathcal{O}_{V_j}\)-module \(\mathcal{E}_j \to f_*\mathcal{L}|_{V_j}\) détermine un homomorphisme sur les algèbres symétriques, qui à son tour définit un morphisme \[\mathbf{P}(f_*\mathcal{L}|_{V_j}) \supset U_j \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}_j)\] où \(U_j\) est le sous-schéma ouvert des Constructions, Lemme 07ZG. La compatibilité de \(\psi\) avec \(\mathcal{E}_j \to f_*\mathcal{L}|_{V_j}\) montre que \(r_{\mathcal{L}, \psi}(X_j) \subset U_j\) et qu’il existe une factorisation \[\xymatrix{ X_j \ar[r]^-{r_{\mathcal{L}, \psi}} & U_j \ar[r] & \mathbf{P}(\mathcal{E}_j) }\] Nous omettons la vérification. Cela montre que \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) est une immersion.

À ce stade, nous voyons que (1), (2) et (4) sont équivalents. Clairement (4) implique (3). Supposons (3). Nous allons démontrer (1). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées générées en degré \(1\) sur \(\mathcal{O}_S\). Considérons l’application des \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées \(\text{Sym}(\mathcal{A}_1) \to \mathcal{A}\). Ceci est surjectif par hypothèse et induit donc une immersion fermée \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{A}_1)\] qui ramène \(\mathcal{O}(1)\) à \(\mathcal{O}(1)\), voir Constructions, Lemme 07ZK. Il est donc clair que (3) implique (1).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(f' : X' \to S'\) le changement de base de \(f\) et notons \(\mathcal{L}'\) le retrait de \(\mathcal{L}\) vers \(X'\). Si \(\mathcal{L}\) est \(f\)-très ample, alors \(\mathcal{L}'\) est \(f'\)-très ample.

Démonstration

Par Définition 01VM il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\) quasi-cohérent et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) sur \(S\) telle que \(\mathcal{L} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Le changement de base de \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) vers \(S'\) est le fibré projectif associé à l’image réciproque \(\mathcal{E}'\) de \(\mathcal{E}\), et l’image réciproque de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) est \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E}')}(1)\), voir Constructions, Lemme 01O3. Enfin, le changement de base d’une immersion est une immersion (Schémas, Lemme 01JY).

Faisceaux amples et très amples relativement aux morphismes de type fini

En fait, la majeure partie du contenu de cette section concerne la notion de projet de (quasi-)morphisme que nous n’avons pas encore défini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que

le faisceau inversible \(\mathcal{L}\) est très ample sur \(X/S\),

le morphisme \(X \to S\) est de type fini, et

\(S\) est affine.

Alors il existe un \(n \geq 0\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\) sur \(S\) tel que \(\mathcal{L} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\).

Démonstration

Supposons (1), (2) et (3). La condition (3) signifie \(S = \Spec(R)\) pour certains anneaux \(R\). La condition (1) signifie par définition qu’il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module \(\mathcal{E}\) quasi-cohérent et une immersion \(\alpha : X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) telle que \(\mathcal{L} = \alpha^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Écrivez \(\mathcal{E} = \widetilde{M}\) pour certains \(R\)-module \(M\). On a donc \[\mathbf{P}(\mathcal{E}) = \text{Proj}(\text{Sym}_R(M)).\] Puisque \(\alpha\) est une immersion, et puisque la topologie de \(\text{Proj}(\text{Sym}_R(M))\) est générée par le standard ouvre \(D_{+}(f)\), \(f \in \text{Sym}_R^d(M)\), \(d \geq 1\), on peut trouver pour chaque \(x \in X\) un \(f \in \text{Sym}_R^d(M)\), \(d \geq 1\), avec \(\alpha(x) \in D_{+}(f)\) tel que \[\alpha|_{\alpha^{-1}(D_{+}(f))} : \alpha^{-1}(D_{+}(f)) \to D_{+}(f)\] soit une immersion fermée. La condition (2) implique que \(X\) est quasi-compact. On peut donc trouver une collection finie d’éléments \(f_j \in \text{Sym}_R^{d_j}(M)\), \(d_j \geq 1\) telle que pour chaque \(f = f_j\) l’application affichée ci-dessus est une immersion fermée et telle que \(\alpha(X) \subset \bigcup D_{+}(f_j)\). Écrivez \(U_j = \alpha^{-1}(D_{+}(f_j))\). Notez que \(U_j\) est affine comme sous-schéma fermé du schéma affine \(D_{+}(f_j)\). Écrivez \(U_j = \Spec(A_j)\). La condition (2) implique également que \(A_j\) est de type fini sur \(R\), voir Lemme 01T2. Choisissez un nombre fini de \(x_{j, k} \in A_j\) que génère \(A_j\) en tant qu’algèbre \(R\). Puisque \(\alpha|_{U_j}\) est une immersion fermée on voit que \(x_{j, k}\) est l’image d’un élément \[f_{j, k}/f_j^{e_{j, k}} \in \text{Sym}_R(M)_{(f_j)} = \Gamma(D_{+}(f_j), \mathcal{O}_{\text{Proj}(\text{Sym}_R(M))}).\] Enfin, choisir \(n \geq 1\) et les éléments \(y_0, \ldots, y_n \in M\) tels que chacun des polynômes \(f_j, f_{j, k} \in \text{Sym}_R(M)\) soit un polynôme dans les éléments \(y_t\) à coefficients en \(R\). Considérons l’homomorphisme gradué d’anneaux \[\psi : R[Y_0, \ldots, Y_n] \longrightarrow \text{Sym}_R(M), \quad Y_i \longmapsto y_i.\] Désignons \(F_j\), \(F_{j, k}\) les éléments de \(R[Y_0, \ldots, Y_n]\) tels que \(\psi(F_j) = f_j\) et \(\psi(F_{j, k}) = f_{j, k}\). Par Constructions, Lemme 01MY on obtient un sous-schéma ouvert \[U(\psi) \subset \text{Proj}(\text{Sym}_R(M))\] et un morphisme \(r_\psi : U(\psi) \to \mathbf{P}^n_R\). Ce morphisme satisfait à \(r_\psi^{-1}(D_{+}(F_j)) = D_{+}(f_j)\), et nous voyons donc que \(\alpha(X) \subset U(\psi)\). De plus, il est clair que \[i = r_\psi \circ \alpha : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_R\] est encore une immersion puisque \(i^\sharp(F_{j, k}/F_j^{e_{j, k}}) = x_{j, k} \in A_j = \Gamma(U_j, \mathcal{O}_X)\) par construction. De plus, le morphisme \(r_\psi\) est équipé d’une application \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(1) \to \mathcal{O}_{\text{Proj}(\text{Sym}_R(M))}(1)|_{U(\psi)}\) qui est dans ce cas un isomorphisme (pour la construction \(\theta\) voir le lemme cité ci-dessus ; certains détails omis). Puisque l’application d’origine \(\alpha\) était supposée avoir la propriété que \(\mathcal{L} = \alpha^*\mathcal{O}_{\text{Proj}(\text{Sym}_R(M))}(1)\) on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(\pi : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X\) soit quasi-affine et que \(\pi\) soit localement de type fini. Il existe alors \(n \geq 0\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{A}^n_S\) sur \(S\).

Démonstration

Soit \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Par hypothèse \(X\) est quasi-compact et s’identifie à un sous-schéma ouvert de \(\Spec(A)\), voir Propriétés, Lemme 01P9. De plus, l’ensemble des ouvertures \(X_f\), pour celles \(f \in A\) telles que \(X_f\) est affine, constitue une base pour la topologie de \(X\), voir la démonstration de Propriétés, Lemme 01P9. On peut donc trouver un nombre fini de \(f_j \in A\), \(j = 1, \ldots, m\) tel que \(X = \bigcup X_{f_j}\), et tel que \(\pi(X_{f_j}) \subset V_j\) pour certains \(V_j \subset S\) ouverts affines. Par le Lemme 01T2 les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}(V_j) \to \mathcal{O}(X_{f_j}) = A_{f_j}\) sont de type fini. Ainsi, nous pouvons choisir \(a_1, \ldots, a_N \in A\) tel que les éléments \(a_1, \ldots, a_N, 1/f_j\) génèrent \(A_{f_j}\) sur \(\mathcal{O}(V_j)\) pour chaque \(j\). Prenons \(n = m + N\) et soit \[i : X \longrightarrow \mathbf{A}^n_S\] le morphisme donné par les sections globales \(f_1, \ldots, f_m, a_1, \ldots, a_N\) du faisceau structural de \(X\). Soit \(D(x_j) \subset \mathbf{A}^n_S\) le sous-schéma ouvert où la \(j\)ème fonction de coordonnées est non nulle. Alors pour \(1 \leq j \leq m\) nous avons \(i^{-1}(D(x_j)) = X_{f_j}\) et le morphisme induit \(X_{f_j} \to D(x_j)\) se factorise par l’ouvert affine \(\Spec(\mathcal{O}(V_j)[x_1, \ldots, x_n, 1/x_j])\) de \(D(x_j)\). Puisque l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}(V_j)[x_1, \ldots, x_n, 1/x_j] \to A_{f_j}\) est surjectif par construction Nous concluons que \(i^{-1}(D(x_j)) \to D(x_j)\) est une immersion comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que

le faisceau inversible \(\mathcal{L}\) est suffisant sur \(X\), et que

le morphisme \(X \to S\) est localement de type fini.

Alors il existe un \(d_0 \geq 1\) tel que pour tout \(d \geq d_0\) il existe un \(n \geq 0\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\) sur \(S\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\).

Démonstration

Soit \(A = \Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{d \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\). Par Propriétés, la Proposition 01Q3 l’ensemble des ouvertes affines \(X_a\) avec \(a \in A_{+}\) homogène forme une base pour la topologie de \(X\). Par conséquent, nous pouvons trouver un nombre fini d’éléments de ce type \(a_0, \ldots, a_n \in A_{+}\) tels que

nous avons \(X = \bigcup_{i = 0, \ldots, n} X_{a_i}\),

chaque \(X_{a_i}\) est affine, et

chaque application \(X_{a_i}\) dans un \(V_i \subset S\) ouvert affine.

Par le Lemme 01T2 on voit que les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V_i) \to \mathcal{O}_X(X_{a_i})\) sont de type fini. Nous pouvons donc trouver un nombre fini d’éléments \(f_{ij} \in \mathcal{O}_X(X_{a_i})\), \(j = 1, \ldots, n_i\) qui génèrent \(\mathcal{O}_X(X_{a_i})\) comme une \(\mathcal{O}_S(V_i)\)-algèbre. Par Propriétés, Lemme 01PW, nous pouvons écrire chaque \(f_{ij}\) comme \(a_{ij}/a_i^{e_{ij}}\) pour certains \(a_{ij} \in A_{+}\) homogènes. Soit \(N\) un entier positif qui est un multiple commun de tous les degrés des éléments \(a_i\), \(a_{ij}\). Considérez les éléments \[a_i^{N/\deg(a_i)}, \ a_{ij}a_i^{(N/\deg(a_i)) - e_{ij}} \in A_N.\] Par construction ceux-ci génèrent le faisceau inversible \(\mathcal{L}^{\otimes N}\) sur \(X\). Ils donnent donc lieu à un morphisme \[j : X \longrightarrow \mathbf{P}_S^{m} \quad \text{avec } m = n + \sum n_i\] sur \(S\), voir Constructions, Lemme 01NE et Définition 01NF. De plus, \(j^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}_S}(1) = \mathcal{L}^{\otimes N}\). On nomme les coordonnées homogènes \(T_0, \ldots, T_n, T_{ij}\) au lieu de \(T_0, \ldots, T_m\). Pour \(i = 0, \ldots, n\), nous avons \(j^{-1}(D_{+}(T_i)) = X_{a_i}\). De plus, en retirant l’élément \(T_{ij}/T_i\) via \(j^\sharp\) on obtient l’élément \(f_{ij} \in \mathcal{O}_X(X_{a_i})\). D’où le morphisme \(j\) restreint à \(X_{a_i}\) donne une immersion fermée de \(X_{a_i}\) dans l’ouvert affine \(D_{+}(T_i) \cap \mathbf{P}^m_{V_i}\) de \(\mathbf{P}^N_S\). Nous concluons donc que le morphisme \(j\) est une immersion. Cela implique que le lemme est valable pour certains \(d\) et \(n\), ce qui est suffisant dans pratiquement toutes les applications.

Cela prouve que pour un \(d_2 \geq 1\) (à savoir \(d_2 = N\) ci-dessus), certains \(m \geq 0\) il existe une certaine immersion \(j : X \to \mathbf{P}^m_S\) donnée par les sections globales \(s'_0, \ldots, s'_m \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d_2})\). Par Propriétés, Proposition 01Q3 nous savons qu’il existe un entier \(d_1\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est généré globalement pour tous les \(d \geq d_1\). Posons \(d_0 = d_1 + d_2\). Nous affirmons que le lemme est valable avec cette valeur de \(d_0\). À savoir, étant donné un entier \(d \geq d_0\), nous pouvons choisir \(s''_1, \ldots, s''_t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d - d_2})\) qui génère \(\mathcal{L}^{\otimes d - d_2}\) sur \(X\). Définissez \(k = (m + 1)t\) et désignez \(s_0, \ldots, s_k\) l’ensemble des sections \(s'_\alpha s''_\beta\), \(\alpha = 0, \ldots, m\), \(\beta = 1, \ldots, t\). Ceux-ci génèrent \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) sur \(X\) et définissent donc un morphisme \[i : X \longrightarrow \mathbf{P}^{k - 1}_S\] tel que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1) \cong \mathcal{L}^{\otimes d}\). Pour voir que \(i\) est une immersion, observez que \(i\) est la composition \[X \longrightarrow \mathbf{P}^m_S \times_S \mathbf{P}^{t - 1}_S \longrightarrow \mathbf{P}^{k - 1}_S\] où le premier morphisme est \((j, j')\) avec \(j'\) donné par \(s''_1, \ldots, s''_t\) et le deuxième morphisme est le plongement de Segre (Constructions, Lemme 01WD). Puisque \(j\) est une immersion, \((j, j')\) l’est aussi (appliquez Lemme 07RK à \(X \to \mathbf{P}^m_S \times_S \mathbf{P}^{t - 1}_S \to \mathbf{P}^m_S\)). Ainsi \(i\) est une composition d’immersions et donc une immersion (Schémas, Lemme 02V0).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Supposons que \(S\) affine et \(f\) de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\mathcal{L}\) est suffisant sur \(X\),

\(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample,

\(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est \(f\)-très suffisant pour certains \(d \geq 1\),

\(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est \(f\)-très suffisant pour tous les \(d \gg 1\),

pour certains \(d \geq 1\) il existe \(n \geq 1\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\) telle que \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\), et

pour tout \(d \gg 1\) il existe \(n \geq 1\) et une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\) telle que \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est Lemme 01VK. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (6) est Lemme 01VS. Trivialement (6) implique (5). Comme \(\mathbf{P}^n_S\) est un fibré projectif sur \(S\) (voir Constructions, Lemme 01OE) on voit que (5) implique (3) et (6) implique (4) de la définition d’un faisceau relativement très ample. Trivialement (4) implique (3). Pour finir il faut montrer que (3) implique (2) qui découle du lemme 01VN et Lemme 02NN.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un module \(\mathcal{O}_X\) inversible. Supposons \(S\) quasi-compact et \(f\) de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample,

\(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est \(f\)-très suffisant pour certains \(d \geq 1\),

\(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est \(f\)-très suffisant pour tous les \(d \gg 1\).

Démonstration

Trivialement (3) implique (2). Lemme 01VN garantit que (2) implique (1) puisqu’un morphisme de type fini est quasi-compact par définition. Supposons que \(\mathcal{L}\) soit \(f\)-ample. Choisissons un recouvrement fini par des ouverts affines \(S = V_1 \cup \ldots \cup V_m\). Écrivons \(X_i = f^{-1}(V_i)\). Par le Lemme 01VT ci-dessus on voit qu’il existe un \(d_0\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est relativement très ample sur \(X_i/V_i\) pour tout \(d \geq d_0\). Nous concluons donc que (1) implique (3) par le lemme 01VR.

Les deux lemmes suivants fournissent les caractérisations les plus utilisées et les plus utiles des faisceaux inversibles relativement très amples et relativement amples lorsque le morphisme est de type fini.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que \(f\) soit de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\mathcal{L}\) est \(f\)-relativement très ample, et

il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\), pour chaque \(j\) un entier \(n_j\), et des immersions \[i_j : X_j = f^{-1}(V_j) = V_j \times_S X \longrightarrow \mathbf{P}^{n_j}_{V_j}\] sur \(V_j\) tel que \(\mathcal{L}|_{X_j} \cong i_j^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n_j}_{V_j}}(1)\).

Démonstration

On voit que (1) implique (2) en prenant un recouvrement ouvert affine de \(S\) et en appliquant le Lemme 02NP à chacune des restrictions de \(f\) et \(\mathcal{L}\). On voit que (2) implique (1) par le lemme 01VR.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Supposons que \(f\) soit de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\mathcal{L}\) est \(f\)-relativement ample, et

il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\), pour chaque \(j\) un entier \(d_j \geq 1\), \(n_j \geq 0\), et des immersions \[i_j : X_j = f^{-1}(V_j) = V_j \times_S X \longrightarrow \mathbf{P}^{n_j}_{V_j}\] sur \(V_j\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes d_j}|_{X_j} \cong i_j^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n_j}_{V_j}}(1)\).

Démonstration

On voit que (1) implique (2) en prenant un recouvrement ouvert affine de \(S\) et en appliquant le Lemme 01VT à chacune des restrictions de \(f\) et \(\mathcal{L}\). On voit que (2) implique (1) par le lemme 01VJ.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{N}\), \(\mathcal{L}\) des modules \(\mathcal{O}_X\) inversibles. Supposons que \(S\) est quasi-compact, \(f\) est de type fini et \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample. Alors \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}\) est \(f\)-très suffisant pour tous les \(d \gg 1\).

Démonstration

Par le Lemme 02NQ on se réduit au cas \(S\) est affine. En combinant Lemme 01VT et Propriétés, Proposition 01Q3, nous pouvons trouver un entier \(d_0\) tel que \(\mathcal{N} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d_0}\) est généré globalement. Choisissez les sections globales \(s_0, \ldots, s_n\) de \(\mathcal{N} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d_0}\) qui le génèrent. Ceci détermine un morphisme \(j : X \to \mathbf{P}^n_S\) sur \(S\). Par le Lemme 01VT on peut aussi choisir un entier \(d_1\) tel que pour tout \(d \geq d_1\) il existe des sections \(t_{d, 0}, \ldots, t_{d, n(d)}\) de \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) qui le génèrent et définissent une immersion \[j_d = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, t_{d, 0}, \ldots, t_{d, n(d)}} : X \longrightarrow \mathbf{P}^{n(d)}_S\] sur \(S\). Alors pour \(d \geq d_0 + d_1\) on peut considérer le morphisme \[\varphi_{\mathcal{N} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}, s_j \otimes t_{d - d_0, i}} : X \longrightarrow \mathbf{P}^{(n + 1)(n(d - d_0) + 1) - 1}_S\] Ce morphisme est une immersion car c’est la composition \[X \to \mathbf{P}^n_S \times_S \mathbf{P}^{n(d - d_0)}_S \to \mathbf{P}^{(n + 1)(n(d - d_0) + 1) - 1}_S\] où le premier morphisme est \((j, j_{d - d_0})\) et le second est le plongement de Segre (Constructions, Lemme 01WD). Puisque \(j\) est une immersion, \((j, j_{d - d_0})\) l’est aussi (appliquer le Lemme 07RK). Nous avons une composition d’immersions et donc une immersion (Schémas, Lemme 02V0).

Morphismes quasi-projectifs

La discussion dans la section précédente suggère les définitions suivantes. Nous reprenons notre définition du quasi-projectif de [EGA]. La version avec la lettre “H” est la définition dans [H].

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est quasi-projectif si \(f\) est de type fini et qu’il existe un \(f\)-relativement ample module inversible \(\mathcal{O}_X\).

On dit que \(f\) est H-quasi-projectif s’il existe une immersion quasi-compacte \(X \to \mathbf{P}^n_S\) sur \(S\) pour un certain \(n\).¹³

On dit que \(f\) est localement quasi-projectif s’il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\) tel que chaque \(f^{-1}(V_j) \to V_j\) soit quasi-projectif.

Comme cette définition le suggère, la propriété d’être quasi-projectif n’est pas locale sur \(S\). À un stade ultérieur, nous pourrons en dire plus sur la catégorie des schémas quasi-projectifs, voir Compléments sur les morphismes, section 0B41.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme quasi-projectif est quasi-projectif.

Démonstration

Cela résulte des Lemme 01T4 et 0893.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Si \(S\) est quasi-compact et \(f\) et \(g\) sont quasi-projectifs, alors \(g \circ f\) est quasi-projectif.

Démonstration

Cela résulte des Lemme 01T3 et 0C4K.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est quasi-projectif, ou H-quasi-projectif ou localement quasi-projectif, alors \(f\) est séparé de type fini.

Démonstration

Omis.

Lemme

Un H-morphisme quasi-projectif est quasi-projectif.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est localement quasi-projectif.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\) tel que chaque \(f^{-1}(V_j) \to V_j\) soit H-quasi-projectif.

Démonstration

D’après le Lemme 01VY nous voyons que (2) implique (1). Supposons (1). La question est locale sur \(S\) et par conséquent nous pouvons supposer que \(S\) est affine, \(X\) de type fini sur \(S\) et \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible relativement ample sur \(X/S\). D’après le Lemme 01VT nous pouvons supposer que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\). D’après le Lemme 01VS nous voyons qu’il existe une immersion de \(X\) dans un espace projectif sur \(S\), c’est-à-dire que \(X\) est H-quasi-projectif sur \(S\) comme souhaité.

Lemme

Un morphisme quasi-affine de type fini est quasi-projectif.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0891.

Lemme

Soient \(g : Y \to S\) et \(f : X \to Y\) des morphismes de schémas. Si \(g \circ f\) est quasi-projectif et \(f\) est quasi-compact¹⁴, alors \(f\) est quasi-projectif.

Démonstration

Observez que \(f\) est de type fini d’après le Lemme 01T8. Ainsi, le lemme découle du Lemme 0C4L et des définitions.

Morphismes propres

La notion de morphisme propre joue un rôle important en géométrie algébrique. Un exemple important de morphisme propre sera le morphisme de structure \(\mathbf{P}^n_S \to S\) de l’espace projectif \(n\), et ceci est en fait l’exemple motivant qui a conduit à la définition.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Nous disons que \(f\) est propre si \(f\) est séparé, de type fini et universellement fermé.

Le morphisme de la droite affine avec zéro doublé vers la droite affine est de type fini et universellement fermé, donc la condition de séparation est nécessaire dans la définition ci-dessus. Dans le reste de cette section, nous prouvons certaines des propriétés de base des morphismes propres et des morphismes universellement fermés.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est universellement fermé.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\) tel que \(f^{-1}(V_j) \to V_j\) soit universellement fermé pour tous les indices \(j\).

Démonstration

Ceci est clair d’après la définition.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est propre.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup V_j\) tel que \(f^{-1}(V_j) \to V_j\) soit propre pour tous les indices \(j\).

Démonstration

Omis.

Lemme

La composition de morphismes propres est propre. Il en va de même pour les morphismes universellement fermés.

Démonstration

Une composition de morphismes fermés est fermée. Si \(X \to Y \to Z\) sont des morphismes universellement fermés et \(Z' \to Z\) est un morphisme quelconque, alors nous voyons que \(Z' \times_Z X = (Z' \times_Z Y) \times_Y X \to Z' \times_Z Y\) est fermé et \(Z' \times_Z Y \to Z'\) est fermé. D’où le résultat pour les morphismes universellement fermés. Nous avons vu que “séparé” et “de type fini” sont conservés sous les compositions (Schémas, Lemme 01KU et Lemme 01T3). D’où le résultat pour les morphismes propres.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme propre est propre. Il en est de même pour les morphismes universellement fermés.

Démonstration

Ceci est vrai par définition pour les morphismes universellement fermés. C’est vrai pour les morphismes séparés (Schémas, Lemme 01KU). C’est vrai pour les morphismes de type fini (Lemme 01T4). Par conséquent, c’est vrai pour les morphismes propres.

Lemme

Une immersion fermée est propre, donc a fortiori universellement fermée.

Démonstration

Le changement de base d’une immersion fermée est une immersion fermée (Schémas, Lemme 01JY). Par conséquent, elle est universellement fermée. Une immersion fermée est séparée (Schémas, Lemme 01L7). Une immersion fermée est de type fini (Lemme 01T5). Par conséquent, une immersion fermée est propre.

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[rr] \ar[rd] & & Y \ar[ld] \\ & S & }\] avec \(Y\) séparé sur \(S\).

Si \(X \to S\) est universellement fermé, alors le morphisme \(X \to Y\) est universellement fermé.

Si \(X\) est propre sur \(S\), alors le morphisme \(X \to Y\) est propre.

En particulier, dans les deux cas, l’image de \(X\) dans \(Y\) est fermée.

Démonstration

Supposons que \(X \to S\) soit universellement fermé (resp. propre). Nous factorisons le morphisme comme \(X \to X \times_S Y \to Y\). Le premier morphisme est une immersion fermée, voir Schémas, Lemme 01KS. Par conséquent, le premier morphisme est propre (Lemme 01W5). La projection \(X \times_S Y \to Y\) est le changement de base d’un morphisme universellement fermé (resp. propre) et donc universellement fermé (resp. propre), voir Lemme 01W4. Ainsi \(X \to Y\) est universellement fermé (resp. propre) comme la composition de morphismes universellement fermés (resp. propres) (Lemme 01W3).

La démonstration du lemme suivant est due à Bjorn Poonen ; voir cette page.

Lemme

Un morphisme universellement fermé de schémas est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que \(f\) n’est pas quasi-compact. Notre objectif est de montrer que \(f\) n’est pas universellement fermé. D’après Schémas, Lemme 01K4 il existe un ouvert affine \(V \subset S\) tel que \(f^{-1}(V)\) n’est pas quasi-compact. Pour atteindre notre objectif il suffit de montrer que \(f^{-1}(V) \to V\) n’est pas universellement fermé, donc nous pouvons supposer que \(S = \Spec(A)\) pour un certain anneau \(A\).

Écrivons \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) où les \(X_i\) sont des sous-schémas ouverts affines de \(X\). Soit \(T = \Spec(A[y_i ; i \in I])\). Soit \(T_i = D(y_i) \subset T\). Soit \(Z\) l’ensemble fermé \((X \times_S T) - \bigcup_{i \in I} (X_i \times_S T_i)\). Il suffit de prouver que l’image \(f_T(Z)\) de \(Z\) sous \(f_T : X \times_S T \to T\) n’est pas fermée.

Il existe un point \(s \in S\) tel qu’il n’existe aucun voisinage \(U\) de \(s\) dans \(S\) tel que \(X_U\) soit quasi-compact. Sinon, nous pourrions recouvrir \(S\) avec un nombre fini de tels \(U\) et Schémas, le Lemme 01K4 impliquerait que \(f\) est quasi-compact. Fixons un tel \(s \in S\).

D’abord, nous vérifions que \(f_T(Z_s) \ne T_s\). Soit \(t \in T\) le point situé au-dessus de \(s\) avec \(\kappa(t) = \kappa(s)\) tel que \(y_i = 1\) dans \(\kappa(t)\) pour tous \(i\). Alors \(t \in T_i\) pour tous \(i\), et la fibre de \(Z_s \to T_s\) au-dessus de \(t\) est isomorphe à \((X - \bigcup_{i \in I} X_i)_s\), qui est vide. Ainsi \(t \in T_s - f_T(Z_s)\).

Supposons que \(f_T(Z)\) soit fermé dans \(T\). Alors il existe un élément \(g \in A[y_i; i \in I]\) avec \(f_T(Z) \subset V(g)\) mais \(t \not \in V(g)\). Par conséquent, l’image de \(g\) dans \(\kappa(t)\) est non nulle. En particulier, un certain coefficient de \(g\) a une image non nulle dans \(\kappa(s)\). Par conséquent, ce coefficient est inversible sur un certain voisinage \(U\) de \(s\). Soit \(J\) l’ensemble fini de \(j \in I\) tel que \(y_j\) apparaisse dans \(g\). Puisque \(X_U\) n’est pas quasi-compact, nous pouvons choisir un point \(x \in X - \bigcup_{j \in J} X_j\) situé au-dessus de certain \(u \in U\). Puisque \(g\) a un coefficient qui est inversible sur \(U\), nous pouvons trouver un point \(t' \in T\) situé au-dessus de \(u\) tel que \(t' \not \in V(g)\) et \(t' \in V(y_i)\) pour tous \(i \notin J\). Ceci est vrai parce que \(V(y_i; i \in I, i \not\in J) = \Spec(A[y_j; j\in J])\). et l’ensemble des points de ce schéma situés au-dessus de \(u\) est bijectif avec \(\Spec(\kappa(u)[y_j; j \in J])\). En d’autres termes \(t' \notin T_i\) pour chaque \(i \notin J\). D’après Schémas, Lemme 01JT, nous pouvons trouver un point \(z\) de \(X \times_S T\) se projetant sur \(x \in X\) et sur \(t' \in T\). Puisque \(x \not \in X_j\) pour \(j \in J\) et \(t' \not \in T_i\) pour \(i \in I \setminus J\), nous voyons que \(z \in Z\). D’autre part, \(f_T(z) = t' \not \in V(g)\), ce qui contredit \(f_T(Z) \subset V(g)\). Ainsi, l’hypothèse “\(f_T(Z)\) clôt” est fausse et nous concluons en effet que \(f_T\) n’est pas fermée, comme souhaité.

Le lemme suivant dit que l’image d’un schéma propre (dans un schéma séparé de type fini sur la base) est propre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas au-dessus de \(S\). Si \(X\) est universellement fermé au-dessus de \(S\) et que \(f\) est surjectif, alors \(Y\) est universellement fermé au-dessus de \(S\). En particulier, si également \(Y\) est séparé et localement de type fini sur \(S\), alors \(Y\) est propre sur \(S\).

Démonstration

Supposons que \(X\) soit universellement fermé et que \(f\) soit surjectif. Notons \(p : X \to S\), \(q : Y \to S\) les morphismes de structure. Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Le changement de base \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) est surjectif (Lemme 01S1), et le changement de base \(p' : X_{S'} \to S'\) est fermé. Si \(T \subset Y_{S'}\) est fermé, alors \((f')^{-1}(T) \subset X_{S'}\) est fermé, donc \(p'((f')^{-1}(T)) = q'(T)\) est fermé. Ainsi \(q'\) est fermé. Cela prouve la première affirmation. Donc \(Y \to S\) est quasi-compact par le Lemme 04XU et par conséquent \(Y \to S\) est propre par définition si de plus \(Y \to S\) est localement de type fini et séparé.

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[rr]_h \ar[rd]_f & & Y \ar[ld]^g \\ & S }\] Supposons

\(X \to S\) est un morphisme universellement fermé (par exemple propre), et

\(Y \to S\) est séparé et localement de type fini.

Alors l’image schématique \(Z \subset Y\) de \(h\) est propre sur \(S\) et \(X \to Z\) est surjectif.

Démonstration

L’image schématique de \(h\) est construite dans la section 01R5. Puisque \(f\) est quasi-compact (Lemme 04XU), nous trouvons que \(h\) est quasi-compact (Schémas, Lemme 03GI). Par conséquent, \(h(X) \subset Z\) est dense (Lemme 01R8). D’autre part, \(h(X)\) est fermé dans \(Y\) (Lemme 01W6), donc \(X \to Z\) est surjectif. Ainsi, \(Z \to S\) est un morphisme propre (Lemme 03GN).

Le but d’un schéma séparé sous un morphisme surjectif universellement fermé est séparé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme surjectif universellement fermé de schémas sur \(S\).

Si \(X\) est quasi-séparé, alors \(Y\) est quasi-séparé.

Si \(X\) est séparé, alors \(Y\) est séparé.

Si \(X\) est quasi-séparé sur \(S\), alors \(Y\) est quasi-séparé sur \(S\).

Si \(X\) est séparé sur \(S\), alors \(Y\) est séparé sur \(S\).

Démonstration

Les parties (1) et (2) sont une conséquence de (3) et (4) pour \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) (voir Schémas, Définition 01KK). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[rr]_{\Delta_{X/S}} & & X \times_S X \ar[d] \\ Y \ar[rr]^{\Delta_{Y/S}} & & Y \times_S Y }\] La flèche verticale de gauche est surjective (c’est-à-dire universellement surjective). La flèche verticale de droite est universellement fermée comme composition des morphismes universellement fermés \(X \times_S X \to X \times_S Y \to Y \times_S Y\). Par conséquent, elle est également quasi-compacte, voir Lemme 04XU.

Supposons que \(X\) soit quasi-séparé sur \(S\), c’est-à-dire que \(\Delta_{X/S}\) soit quasi-compact. Si \(V \subset Y \times_S Y\) est un ouvert quasi-compact, alors \(V \times_{Y \times_S Y} X \to \Delta_{Y/S}^{-1}(V)\) est surjectif et \(V \times_{Y \times_S Y} X\) est quasi-compact d’après nos remarques ci-dessus. Nous concluons que \(\Delta_{Y/S}\) est quasi-compact, c’est-à-dire que \(Y\) est quasi-séparé sur \(S\).

Supposons que \(X\) soit séparé sur \(S\), c’est-à-dire que \(\Delta_{X/S}\) soit une immersion fermée. Alors \(X \to Y \times_S Y\) est fermé comme composition de morphismes fermés. Puisque \(X \to Y\) est surjectif, il s’ensuit que \(\Delta_{Y/S}(Y)\) est fermé dans \(Y \times_S Y\). Ainsi \(Y\) est séparé sur \(S\) d’après la discussion suivant Schémas, Définition 01KK.

Critères valuatifs

Nous avons déjà discuté du critère valuatif pour la fermeture universelle et pour la séparabilité dans les schémas, sections 01KA et 01KY. Dans cette section, nous discuterons de quelques conséquences et variantes. Dans Limites, section 0CM1, nous montrerons qu’il suffit de considérer les anneaux de valuation discrète lorsqu’on travaille avec des schémas localement noethériens et des morphismes de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de type fini et quasi-séparé. Alors les conditions suivantes sont équivalentes

\(f\) est propre,

\(f\) satisfait le critère valuatif (Schémas, Définition 01KD),

donné tout diagramme solide commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation avec corps de fractions \(K\), il existe une flèche pointillée unique rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

La partie (3) est une reformulation de (2). Ainsi, le lemme est une conséquence formelle de Schémas, Proposition 01KF et Lemme 01KZ, Lemme 01L0, et des définitions.

On n’a généralement pas besoin de considérer tous les diagrammes possibles lorsqu’on teste le critère valuatif. Nous appellerons un critère valuatif comme dans le lemme suivant un “critère valuatif raffiné”.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(h : U \to X\) des morphismes de schémas. Supposons que \(f\) et \(h\) soient quasi-compacts et que \(h(U)\) soit dense dans \(X\). Si, pour tout diagramme commutatif solide donné \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation avec corps des fractions \(K\), il existe un unique trait pointillé rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est universellement fermé. Si de plus \(f\) est quasi-séparé, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Pour prouver que \(f\) est universellement fermé, nous allons vérifier la partie existence du critère valuatif pour \(f\), ce qui suffit d’après Schémas, Proposition 01KF. Pour ce faire, considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation et \(K\) est le corps des fractions de \(A\). Notez que, puisque les anneaux de valuation et les corps sont réduits, nous pouvons remplacer \(U\), \(X\) et \(S\) par leurs réductions respectives d’après Schémas, Lemme 0356. Dans ce cas, l’hypothèse selon laquelle \(h(U)\) est dense signifie que l’image schématique de \(h : U \to X\) est \(X\), voir Lemme 056B. Nous pouvons aussi remplacer \(S\) par un ouvert affine par lequel le morphisme \(\Spec(A) \to S\) se factorise. Ainsi, nous pouvons supposer que \(S = \Spec(R)\).

Soit \(\Spec(B) \subset X\) un ouvert affine par lequel le morphisme \(\Spec(K) \to X\) se factorise. Choisissons une algèbre polynomiale \(P\) sur \(B\) et une surjection de \(B\)-algèbres \(P \to K\). Alors \(\Spec(P) \to X\) est plat. Par conséquent, l’image schématique du morphisme \(U \times_X \Spec(P) \to \Spec(P)\) est \(\Spec(P)\) par le Lemme 081I. D’après le Lemme 02JQ nous pouvons trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & U \times_X \Spec(P) \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] & \Spec(P) }\] où \(A'\) est un anneau de valuation et \(K'\) est le corps des fractions de \(A'\), tel que le point fermé de \(\Spec(A')\) s’envoie dans \(\Spec(K) \subset \Spec(P)\). En d’autres termes, il existe un homomorphisme de \(B\)-algèbres \(\varphi : K \to A'/\mathfrak m_{A'}\). Choisissons un anneau de valuation \(A'' \subset A'/\mathfrak m_{A'}\) dominant \(\varphi(A)\) et ayant pour corps des fractions \(K'' = A'/\mathfrak m_{A'}\) (Algèbre, Lemme 00IA). On pose \[C = \{\lambda \in A' \mid \lambda \bmod \mathfrak m_{A'} \in A''\}.\] qui est un anneau de valuation par l’Algèbre, Lemme 088Z. Comme \(C\) est une \(R\)-algèbre avec corps des fractions \(K'\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & U \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(C) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] comme dans l’énoncé du lemme. Ainsi, une flèche pointillée s’insérant dans le diagramme comme indiqué. D’après l’hypothèse d’unicité du lemme, la composition \(\Spec(A') \to \Spec(C) \to X\) coïncide avec le morphisme donné \(\Spec(A') \to \Spec(P) \to \Spec(B) \subset X\). Par conséquent, la restriction du morphisme au spectre de \(C/\mathfrak m_{A'} = A''\) induit le morphisme donné \(\Spec(K'') = \Spec(A'/\mathfrak m_{A'}) \to \Spec(K) \to X\). Soit \(x \in X\) l’image du point fermé de \(\Spec(A'') \to X\). L’image de l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}_{X, x} \to A''\) est un sous-anneau local contenu dans \(K \subset K''\). Comme \(A\) est maximal pour la relation de domination dans \(K\) et comme \(A \subset A''\), nous avons \(A = K \cap A''\). Nous concluons que \(\mathcal{O}_{X, x} \to A''\) se factorise par \(A \subset A''\). De cette manière, nous obtenons la flèche désirée \(\Spec(A) \to X\).

Enfin, supposons que \(f\) soit quasi-séparé. Alors \(\Delta : X \to X \times_S X\) est quasi-compact. Étant donné un diagramme solide \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & X \times_S X }\] où \(A\) est un anneau de valuation avec corps de fractions \(K\), il existe un unique flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. À savoir, la flèche horizontale inférieure est la même chose qu’une paire de morphismes \(\Spec(A) \to X\) qui peut servir de flèche pointillée dans le diagramme du lemme. Ainsi, l’unicité requise montre que la flèche horizontale inférieure se factorise par \(\Delta\). Par conséquent, nous pouvons appliquer le résultat que nous venons de démontrer à \(\Delta : X \to X \times_S X\) et \(h : U \to X\) et conclure que \(\Delta\) est universellement fermé. Clairement, cela signifie que \(f\) est séparé.

Remarque

L’hypothèse sur l’unicité des flèches pointillées dans le Lemme 0894 est nécessaire (détails omis). Bien sûr, l’unicité est garantie si \(f\) est séparé (Schémas, Lemme 01KZ).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soient \(s \in S\) et \(x \in X\), \(y \in Y\) des points au-dessus de \(s\).

Soient \(f, g : X \to Y\) des morphismes sur \(S\) tels que \(f(x) = g(x) = y\) et \(f^\sharp_x = g^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Alors il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) contenant \(f|_U = g|_U\) dans les cas suivants

\(Y\) est localement de type fini sur \(S\),

\(X\) est intègre,

\(X\) est localement noethérien, ou

\(X\) est réduit avec un nombre fini de composantes irréductibles.

Soit \(\varphi : \mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) un homomorphisme local de \(\mathcal{O}_{S, s}\)-algèbres. Alors il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et un morphisme \(f : U \to Y\) envoyant \(x\) vers \(y\) avec \(f^\sharp_x = \varphi\) dans les cas suivants

\(Y\) est localement de présentation finie sur \(S\),

\(Y\) est localement de type fini et \(X\) est intègre,

\(Y\) est localement de type fini et \(X\) est localement noethérien, ou

\(Y\) est localement de type fini et \(X\) est réduit avec un nombre fini de composantes irréductibles.

Démonstration

Démonstration de (1). Nous pouvons remplacer \(X\), \(Y\), \(S\) par des voisinages ouverts affines appropriés de \(x\), \(y\), \(s\) et réduire au problème algébrique suivant : étant donné un anneau \(R\), deux applications d’algèbres \(R\) \(\varphi, \psi : B \to A\) telles que

\(R \to B\) est de type fini, ou \(A\) est un domaine, ou \(A\) est noethérien, ou \(A\) est réduit et a un nombre fini d’idéaux premiers minimaux,

les deux applications \(B \to A_\mathfrak p\) sont les mêmes pour un certain premier \(\mathfrak p \subset A\),

montrez que \(\varphi, \psi\) définit la même application \(B \to A_g\) pour un \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) approprié. Si \(R \to B\) est de type fini, soit \(t_1, \ldots, t_m \in B\) des générateurs de \(B\) comme \(R\)-algèbre. Pour chaque \(j\) nous pouvons trouver \(g_j \in A\), \(g_j \not \in \mathfrak p\) tels que \(\varphi(t_j)\) et \(\psi(t_j)\) aient la même image dans \(A_{g_j}\). Alors nous définissons \(g = \prod g_j\). Dans les autres cas (si \(A\) est un domaine, de type de Noether ou réduit avec un nombre fini de premiers minimaux), nous pouvons trouver un \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) tels que \(A_g \subset A_\mathfrak p\). Voir Algèbre, Lemme 0BX1. Ainsi les applications \(B \to A_g\) sont égales comme souhaité.

Démonstration de (2). Pour ce faire, nous pouvons remplacer \(X\), \(Y\) et \(S\) par des ouverts affines appropriés. Disons \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(R)\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(y\). Alors \(\varphi\) est un homomorphisme local de \(R\)-algèbres \(\varphi : B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\). Si \(R \to B\) est un homomorphisme d’anneaux de présentation finie, alors il existe un \(g \in A \setminus \mathfrak p\) et un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(B \to A_g\) tel que \[\xymatrix{ B_\mathfrak q \ar[r]_\varphi & A_\mathfrak p \\ B \ar[u] \ar[r] & A_g \ar[u] }\] commute, voir Algèbre, Lemmes 00QO et 00CR. Le morphisme induit \(\Spec(A_g) \to \Spec(B)\) fonctionne. Si \(B\) est de type fini sur \(R\), soit \(t_1, \ldots, t_m \in B\) des générateurs de \(B\) comme une \(R\)-algèbre. Alors nous pouvons choisir \(g_j \in A\), \(g_j \not \in \mathfrak p\) de telle sorte que \(\varphi(t_j) \in \Im(A_{g_j} \to A_\mathfrak p)\). Ainsi, après avoir remplacé \(A\) par \(A[1/\prod g_j]\), nous pouvons supposer que \(B\) s’envoie dans l’image de \(A \to A_\mathfrak p\). Si nous pouvons trouver un \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) de telle sorte que \(A_g \to A_\mathfrak p\) soit injectif, alors nous obtiendrons l’application de \(R\)-algèbre désirée \(B \to A_g\). Une nouvelle application du Lemme 0BX1 d’Algèbre achève donc la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(x \in X\). Soit \(U \subset X\) un ouvert et soit \(f : U \to Y\) un morphisme sur \(S\). Supposons

\(x\) est dans l’adhérence de \(U\),

\(X\) est réduit avec un nombre fini de composantes irréductibles ou \(X\) est noethérien,

\(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation,

\(Y \to S\) est propre

Alors il existe un ouvert \(U \subset U' \subset X\) contenant \(x\) et un \(S\)-morphisme \(f' : U' \to Y\) prolongeant \(f\).

Démonstration

Il est sans danger de remplacer \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\) dans \(X\) (petit détail omis). Par les Propriétés, Lemme 0BX3, nous pouvons supposer que \(X\) est affine avec \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset \mathcal{O}_{X, x}\). En particulier \(X\) est intègre avec un point générique unique \(\xi\) dont le corps résiduel est le corps des fractions \(K\) de l’anneau de valuation \(\mathcal{O}_{X, x}\). Puisque \(x\) est dans l’adhérence de \(U\), nous voyons que \(U\) n’est pas vide, donc \(U\) contient \(\xi\). Ainsi, par le critère valuatif de propreté (Lemme 0BX5), il existe un morphisme \(t : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\) s’insérant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d]_\xi \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \ar[d]_t \\ U \ar[r]^f & Y }\] de morphismes de schémas sur \(S\). En appliquant le Lemme 0BX6 avec \(y = t(x)\) et \(\varphi = t^\sharp_x\), nous obtenons un voisinage ouvert \(V \subset X\) de \(x\) et un morphisme \(g : V \to Y\) sur \(S\) qui envoie \(x\) vers \(y\) et tel que \(g^\sharp_x = t^\sharp_x\). Comme \(Y \to S\) est séparé, l’égaliseur \(E\) de \(f|_{U \cap V}\) et \(g|_{U \cap V}\) est un sous-schéma fermé de \(U \cap V\), voir Schémas, Lemme 01KM. Puisque \(f\) et \(g\) déterminent le même morphisme \(\Spec(K) \to Y\) par construction, nous voyons que \(E\) contient le point générique du schéma intègre \(U \cap V\). Ainsi \(E = U \cap V\) et Nous concluons que \(f\) et \(g\) se recollent pour donner un morphisme \(U' = U \cup V \to Y\) comme souhaité.

Morphismes projectifs

Nous utiliserons la définition d’un morphisme projectif de [EGA]. La version de la définition avec le “H” est celle de [H]. Les définitions résultantes sont différentes. Les deux sont utiles.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est projectif si \(X\) est isomorphe en tant que \(S\)-schéma à un sous-schéma fermé d’un fibré projectif \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) pour un certain \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{E}\).

On dit que \(f\) est H-projectif s’il existe un entier \(n\) et une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^n_S\) sur \(S\).

On dit que \(f\) est localement projectif s’il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i) \to U_i\) soit projectif.

Comme prévu, un morphisme projectif est quasi-projectif, voir le Lemme 07RL. Inversement, les morphismes quasi-projectifs sont souvent des compositions d’immersions ouvertes et de morphismes projectifs, voir le Lemme 07RM. Pour un aperçu des propriétés des morphismes projectifs sur une base quasi-projective, voir Compléments sur les morphismes, section 0B44.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre quasi-cohérente graduée générée par \(\mathcal{A}_1\) sur \(\mathcal{A}_0\). Supposons de plus que \(\mathcal{A}_1\) soit de type fini sur \(\mathcal{O}_S\). Posons \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Dans ce cas, \(X \to S\) est projectif. À savoir, le morphisme associé à l’application de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées \[\text{Sym}_{\mathcal{O}_X}^*(\mathcal{A}_1) \longrightarrow \mathcal{A}\] est une immersion fermée, voir Constructions, Lemme 07ZK.

Lemme

Un H-morphisme projectif est H-quasi-projectif. Un H-morphisme projectif est projectif.

Démonstration

La première affirmation est immédiate d’après les définitions. La seconde tient car \(\mathbf{P}^n_S\) est un fibré projectif sur \(S\), voir Constructions, Lemme 01OE.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est localement projectif.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i) \to U_i\) soit H-projectif.

Démonstration

D’après le Lemme 01W9, nous voyons que (2) implique (1). Supposons (1). Pour chaque point \(s \in S\) nous pouvons trouver \(\Spec(R) = U \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(s\) tel que \(X_U\) soit isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) pour un certain faisceau quasi-cohérent de type fini de \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{E}\). Écrivons \(\mathcal{E} = \widetilde{M}\) pour un certain module \(R\) de type fini \(M\) (voir Propriétés, Lemme 01PB). Choisissons des générateurs \(x_0, \ldots, x_n \in M\) de \(M\) en tant que \(R\)-module. Considérons l’application surjective de \(R\)-algèbres graduées \[R[X_0, \ldots, X_n] \longrightarrow \text{Sym}_R(M).\] Selon Constructions, Lemme 01N0 le morphisme correspondant \[\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to \mathbf{P}^n_R\] est une immersion fermée. Par conséquent, nous concluons que \(f^{-1}(U)\) est isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^n_U\) (en tant que schéma sur \(U\)). En d’autres termes : (2) est vérifié.

Lemme

Un morphisme localement projectif est propre.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) localement projectif. Pour montrer que \(f\) est propre, nous pouvons travailler localement sur la base, voir le Lemme 01W2. Par conséquent, d’après le Lemme 01WB ci-dessus, nous pouvons supposer qu’il existe une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^n_S\). D’après les Lemmes 01W3 et 01W5, il suffit de prouver que \(\mathbf{P}^n_S \to S\) est propre. Puisque \(\mathbf{P}^n_S \to S\) est le changement de base de \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\), il suffit de montrer que \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est propre, voir le Lemme 01W4. Par Constructions, Lemme 01MC le schéma \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) est séparé. Par Constructions, Lemme 01MD le schéma \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) est quasi-compact. Il est clair que \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de type fini puisque \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) est recouvert par les ouverts affines \(D_{+}(X_i)\), chacun d’eux étant le spectre de l’algèbre de type fini \(\mathbf{Z}\). \[\mathbf{Z}[X_0/X_i, \ldots, X_n/X_i].\] Enfin, nous devons montrer que \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est universellement fermé. Cela résulte de Constructions, Lemme 01MF et du critère valuatif (voir Schémas, Proposition 01KF).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de schémas. S’il existe un \(f\)-faisceau inversible ample sur \(X\), alors \(f\) est localement projectif.

Démonstration

S’il existe un \(f\)-faisceau inversible ample, alors nous pouvons localement sur \(S\) trouver une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\), voir Lemme 01VT. Comme \(X \to S\) est propre, le morphisme \(i\) est une immersion fermée, voir Lemme 01W6.

Lemme

Une composition de H-morphismes projectifs est H-projective.

Démonstration

Supposons que \(X \to Y\) et \(Y \to Z\) soient H-projectifs. Alors il existe des immersions fermées \(X \to \mathbf{P}^n_Y\) sur \(Y\), et \(Y \to \mathbf{P}^m_Z\) sur \(Z\). Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] \ar[dl] & \mathbf{P}^n_{\mathbf{P}^m_Z} \ar[dl] \ar@{=}[r] & \mathbf{P}^n_Z \times_Z \mathbf{P}^m_Z \ar[r] & \mathbf{P}^{nm + n + m}_Z \ar[ddllll] \\ Y \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^m_Z \ar[dl] & \\ Z & & }\] Ici, la flèche horizontale supérieure la plus à droite est l’immersion de Segre, voir Constructions, Lemme 01WD. Le diagramme identifie \(X\) comme un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^{nm + n + m}_Z\) comme souhaité.

Lemme

Un changement de base d’un H-morphisme projectif est H-projectif.

Démonstration

C’est vrai parce que le changement de base d’un espace projectif sur un schéma est un espace projectif, et le fait que le changement de base d’une immersion fermée est une immersion fermée, voir Schémas, Lemme 01JY.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme projectif (localement) est projectif (localement).

Démonstration

Ceci est vrai parce que le changement de base d’un fibré projectif sur un schéma est un fibré projectif, le tiré en arrière d’un \(\mathcal{O}\)-module de type fini est de type fini (Modules, Lemme 01B6) et le fait que le changement de base d’une immersion fermée est une immersion fermée, voir Schémas, Lemme 01JY. Certains détails sont omis.

Lemme

Un morphisme projectif est quasi-projectif.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme projectif. Choisissez une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent et de type fini. Alors \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) est \(f\)-très ample. Puisque \(f\) est propre (Lemme 01WC), il est quasi-compact. Par conséquent, le Lemme 01VN implique que \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample. Puisque \(f\) est propre, il est de type fini. Ainsi, nous avons vérifié que toutes les propriétés définissant un quasi-projectif sont respectées et nous avons gagné.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un H-morphisme quasi-projectif. Alors \(f\) se factorise en \(X \to X' \to S\) où \(X \to X'\) est une immersion ouverte et \(X' \to S\) est H-projectif.

Démonstration

Par définition, nous pouvons factoriser \(f\) comme une immersion quasi-compacte \(i : X \to \mathbf{P}^n_S\) suivie de la projection \(\mathbf{P}^n_S \to S\). D’après le Lemme 01RG, il existe un sous-schéma fermé \(X' \subset \mathbf{P}^n_S\) tel que \(i\) se factorise par une immersion ouverte \(X \to X'\). Le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-projectif avec \(S\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(f\) se factorise en \(X \to X' \to S\) où \(X \to X'\) est une immersion ouverte et \(X' \to S\) est projectif.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) \(f\)-ample. Comme \(f\) est de type fini et \(S\) est quasi-compact, \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) est \(f\)-très ample pour un certain \(n > 0\), voir Lemme 01VU. Remplacez \(\mathcal{L}\) par \(\mathcal{L}^{\otimes n}\). Écrivez \(\mathcal{F} = f_*\mathcal{L}\). C’est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent d’après Schémas, Lemme 01LC (les morphismes quasi-projectifs sont quasi-compacts et séparés, voir Lemme 01VX). D’après Propriétés, Lemme 01PK, nous pouvons trouver un ensemble dirigé \(I\) et un système de modules quasi-cohérents de type fini \(\mathcal{O}_S\) \(\mathcal{E}_i\) sur \(I\) tels que \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{E}_i\). Considérez les compositions \(\psi_i : f^*\mathcal{E}_i \to f^*\mathcal{F} \to \mathcal{L}\). Choisissez un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\). Pour chaque \(j\), nous pouvons choisir des sections \[s_{j, 0}, \ldots, s_{j, n_j} \in \Gamma(f^{-1}(V_j), \mathcal{L}) = f_*\mathcal{L}(V_j) = \mathcal{F}(V_j)\] qui génèrent \(\mathcal{L}\) sur \(f^{-1}V_j\) et définissent une immersion \[f^{-1}V_j \longrightarrow \mathbf{P}^{n_j}_{V_j},\] voir Lemme 02NP. Choisissons \(i\) de sorte qu’il existe des sections \(e_{j, t} \in \mathcal{E}_i(V_j)\) dont les images soient \(s_{j, t}\) dans \(\mathcal{F}\) pour tous \(j = 1, \ldots, m\) et \(t = 1, \ldots, n_j\). Alors l’application \(\psi_i\) est surjective puisque les sections \(f^*e_{j, t}\) ont la même image que les sections \(s_{j, t}\) qui génèrent \(\mathcal{L}|_{f^{-1}V_j}\). D’où nous obtenons un morphisme \[r_{\mathcal{L}, \psi_i} : X \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}_i)\] sur \(S\) tel que sur \(V_j\) nous avons une factorisation \[f^{-1}V_j \to \mathbf{P}(\mathcal{E}_i)|_{V_j} \to \mathbf{P}^{n_j}_{V_j}\] de l’immersion donnée ci-dessus. Il s’ensuit que \(r_{\mathcal{L}, \psi_i}|_{V_j}\) est une immersion, voir Lemme 07RK. Puisque \(S = \bigcup V_j\) Nous concluons que \(r_{\mathcal{L}, \psi_i}\) est une immersion. Notez que \(r_{\mathcal{L}, \psi_i}\) est quasi-compact car \(X \to S\) est quasi-compact et \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_i) \to S\) est séparé (voir Schémas, Lemme 03GI). Par le Lemme 01RG il existe un sous-schéma fermé \(X' \subset \mathbf{P}(\mathcal{E}_i)\) tel que \(i\) se factorise par une immersion ouverte \(X \to X'\). Alors \(X' \to S\) est projectif par définition et on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors

\(f\) est projectif si et seulement si \(f\) est quasi-projectif et propre, et

\(f\) est H-projectif si et seulement si \(f\) est H-quasi-projectif et propre.

Démonstration

Si \(f\) est projectif, alors \(f\) est quasi-projectif d’après le Lemme 07RL et propre d’après le Lemme 01WC. Réciproquement, si \(X \to S\) est quasi-projectif et propre, alors nous pouvons choisir une immersion ouverte \(X \to X'\) avec \(X' \to S\) projectif d’après le Lemme 07RM. Puisque \(X \to S\) est propre, nous voyons que \(X\) est fermé dans \(X'\) (Lemme 01W6), c’est-à-dire que \(X \to X'\) est une immersion fermée (et ouverte). Comme \(X'\) est isomorphe à un sous-schéma fermé d’un fibré projectif sur \(S\) (Définition 01W8), nous voyons que la même chose est vraie pour \(X\), c’est-à-dire \(X \to S\) est un morphisme projectif. Cela prouve (1). La démonstration de (2) est la même, sauf qu’elle utilise les Lemmes 01W9 et 01WA.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Si \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé et que \(f\) et \(g\) sont projectifs, alors \(g \circ f\) est projectif.

Démonstration

D’après les Lemmes 07RL et 01WC, nous voyons que \(f\) et \(g\) sont quasi-projectifs et propres. D’après les Lemmes 01W3 et 0C4M, nous voyons que \(g \circ f\) est propre et quasi-projectif. Ainsi, \(g \circ f\) est projectif d’après le Lemme 0BCL.

Lemme

Soient \(g : Y \to S\) et \(f : X \to Y\) des morphismes de schémas. Si \(g \circ f\) est projectif et \(g\) est séparé, alors \(f\) est projectif.

Démonstration

Choisissez une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) où \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors nous obtenons un morphisme \(X \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) \times_S Y\). Ce morphisme est une immersion fermée parce qu’il est la composition \[X \to X \times_S Y \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) \times_S Y\] où le premier morphisme est une immersion fermée d’après Schémas, Lemme 01KS (et le fait que \(g\) est séparé) et le second comme le changement de base d’une immersion fermée. Enfin, le produit fibré \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \times_S Y\) est isomorphe à \(\mathbf{P}(g^*\mathcal{E})\) et le tiré en arrière préserve les modules quasi-cohérents de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma qui admet un faisceau inversible ample. Alors

tout morphisme projectif \(X \to S\) est H-projectif, et

tout morphisme quasi-projectif \(X \to S\) est H-quasi-projectif.

Démonstration

Les hypothèses sur \(S\) impliquent que \(S\) est quasi-compact et séparé, voir Propriétés, Définition 01PS et Lemme 01Q1 et Constructions, Lemme 01MC. Ainsi, le Lemme 07RM s’applique et nous voyons que (1) implique (2). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. D’après notre définition de morphismes projectifs, il suffit de montrer que \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) est H-projectif. Si \(\mathcal{E}\) est engendré par un nombre fini de sections globales, alors la surjection correspondante \(\mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{E}\) induit une immersion fermée \[\mathbf{P}(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{O}_S^{\oplus n}) = \mathbf{P}^{n - 1}_S\] comme souhaité. En général, soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(S\). D’après Propriétés, Proposition 01Q3, il existe un entier \(n\) tel que \(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}^{\otimes n}\) soit globalement engendré par un nombre fini de sections. Puisque \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = \mathbf{P}(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}^{\otimes n})\) d’après Constructions, Lemme 02NC, cela termine la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme universellement fermé. Soit \(\mathcal{L}\) un \(f\)-ample faisceau inversible \(\mathcal{O}_X\). Alors le morphisme canonique \[r : X \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S \left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d} \right)\] du Lemme 01VJ est un isomorphisme.

Démonstration

Remarquez que \(f\) est quasi-compact parce que l’existence d’un \(f\)-module inversible ample oblige \(f\) à être quasi-compact. D’après le lemme cité, le morphisme \(r\) est une immersion ouverte. D’autre part, l’image de \(r\) est fermée par le Lemme 01W6 (la cible de \(r\) est séparée au-dessus de \(S\) d’après Constructions, Lemme 01O2). Enfin, l’image de \(r\) est dense par Propriétés, Lemme 01Q1 (ici nous utilisons également qu’il a été montré dans la démonstration du Lemme 01VJ que le morphisme \(r\) sur des ouverts affines de \(S\) est donné par le morphisme canonique de Propriétés, Lemme 01PZ). Ainsi nous concluons que \(r\) est une immersion ouverte surjective, c’est-à-dire un isomorphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme universellement fermé. Soit \(\mathcal{L}\) un \(f\)-ample module inversible \(\mathcal{O}_X\). Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Alors \(X_s \to S\) est un morphisme affine.

Démonstration

La question est locale sur \(S\) (Lemme 01S8) donc nous pouvons supposer que \(S\) est affine. D’après le Lemme 0C6J, nous pouvons écrire \(X = \text{Proj}(A)\) où \(A\) est un anneau gradué et \(s\) correspond à \(f \in A_1\) et \(X_s = D_+(f)\) (Propriétés, Lemme 01PZ) ce qui prouve le lemme par construction de \(\text{Proj}(A)\), voir Constructions, section 01M3.

Morphismes entiers et finis

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit entier si chaque élément de \(A\) satisfait à une équation monique avec des coefficients dans \(R\). Rappelez-vous qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit fini si \(A\) est fini en tant que \(R\)-module. Voir Algèbre, Définition 00GI.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

On dit que \(f\) est entier si \(f\) est affine et si pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec image réciproque \(\Spec(A) = f^{-1}(V) \subset X\), l’homomorphisme d’anneaux associé \(R \to A\) est entier.

On dit que \(f\) est fini si \(f\) est affine et si pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\) avec image réciproque \(\Spec(A) = f^{-1}(V) \subset X\) l’homomorphisme d’anneaux associé \(R \to A\) est fini.

Il est clair que les morphismes entiers/finis sont séparés et quasi-compacts. Il est également clair qu’un morphisme fini est un morphisme de type fini. La plupart des lemmes de cette section sont complètement standards. Mais notez le lemme amusant 01WM à la fin de la section.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est entier.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i)\) soit affine et \(\mathcal{O}_S(U_i) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}(U_i))\) soit entier.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i) \to U_i\) soit entier.

De plus, si \(f\) est entier alors pour tout sous-schéma ouvert \(U \subset S\) le morphisme \(f : f^{-1}(U) \to U\) est entier.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 02JL. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est fini.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i)\) soit affine et \(\mathcal{O}_S(U_i) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}(U_i))\) soit fini.

Il existe un recouvrement ouvert \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f^{-1}(U_i) \to U_i\) soit fini.

De plus, si \(f\) est fini alors pour chaque sous-schéma ouvert \(U \subset S\) le morphisme \(f : f^{-1}(U) \to U\) est fini.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 02JL. Certains détails sont omis.

Lemme

Un morphisme fini est entier. Un morphisme entier qui est localement de type fini est fini.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00GK et Lemme 02JJ.

Lemme

Une composition de morphismes finis est finie. Il en est de même pour les morphismes entiers.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00GL et 00GN.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme fini est fini. Il en est de même pour les morphismes entiers.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 02JK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(f\) est entier, et

\(f\) est affine et universellement fermé.

Démonstration

Supposons (1). Un morphisme entier est affine par définition. Un changement de base d’un morphisme entier est entier, donc pour prouver (2) il suffit de montrer qu’un morphisme entier est fermé. Cela résulte de Algèbre, Lemmes 00GU et 00HZ.

Supposons (2). Nous pouvons supposer \(f\) est le morphisme \(f : \Spec(A) \to \Spec(R)\) provenant d’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\). Soit \(a\) un élément de \(A\). Nous devons montrer que \(a\) est entier sur \(R\), c’est-à-dire que dans le noyau \(I\) de l’application \(R[x] \to A\) envoyant \(x\) à \(a\) il existe un polynôme unitaire. Considérons l’anneau \(B = A[x]/(ax -1)\) et soit \(J\) le noyau de la composition \(R[x]\to A[x] \to B\). Si \(f\in J\) il existe \(q\in A[x]\) tel que \(f = (ax-1)q\) dans \(A[x]\) donc si \(f = \sum_i f_ix^i\) et \(q = \sum_iq_ix^i\), pour tout \(i \geq 0\) nous avons \(f_i = aq_{i-1} - q_i\). Pour \(n \geq \deg q + 1\) le polynôme \[\sum\nolimits_{i \geq 0} f_i x^{n - i} = \sum\nolimits_{i \geq 0} (a q_{i - 1} - q_i) x^{n - i} = (a - x) \sum\nolimits_{i \geq 0} q_i x^{n - i - 1}\] est clairement dans \(I\) ; si \(f_0 = 1\) ce polynôme est aussi unitaire, nous sommes donc réduits à prouver que \(J\) contient un polynôme avec un terme constant \(1\). Nous le faisons en prouvant que \(\Spec(R[x]/(J + (x))\) est vide.

Puisque \(f\) est universellement fermé, le changement de base \(\Spec(A[x]) \to \Spec(R[x])\) est fermé. Par conséquent, l’image du sous-ensemble fermé \(\Spec(B) \subset \Spec(A[x])\) est le sous-ensemble fermé \(\Spec(R[x]/J) \subset \Spec(R[x])\), voir Exemple 056A et Lemme 01R8. En particulier, \(\Spec(B) \to \Spec(R[x]/J)\) est surjectif. Considérons le diagramme suivant où chaque carré est un produit fibré : \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar@{->>}[r]^g & \Spec(R[x]/J) \ar[r] & \Spec(R[x])\\ \emptyset \ar[u] \ar[r] & \Spec(R[x]/(J + (x)))\ar[u] \ar[r] & \Spec(R) \ar[u]^0 }\] Le coin inférieur gauche est vide car il s’agit du spectre de \(R\otimes_{R[x]} B\) où l’application \(R[x]\to B\) envoie \(x\) sur un élément inversible et \(R[x]\to R\) envoie \(x\) sur \(0\). Comme \(g\) est surjectif, cela implique que \(\Spec(R[x]/(J + (x)))\) est vide, comme nous voulions le montrer.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme entier. Alors chaque point de \(X\) est fermé dans sa fibre.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00GT.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier. Alors \(\dim(X) \leq \dim(Y)\). Si \(f\) est surjectif alors \(\dim(X) = \dim(Y)\).

Démonstration

Puisque la dimension de \(X\) et \(Y\) est le supremum des dimensions des éléments d’un recouvrement ouvert affine, nous pouvons supposer que \(Y\) et \(X\) sont affines. L’inégalité découle de l’Algèbre, Lemme 00OJ. L’égalité découle ensuite de l’Algèbre, Lemmes 00OH et 00GU.

Lemme

Un morphisme fini est quasi-fini.

Démonstration

Ceci est impliqué par l’Algèbre, Lemme 00PM et Lemme 01TJ. Alternativement, tous les points des fibres sont des points fermés par le Lemme 02NT (et le fait qu’un morphisme fini est entier) et utiliser le Lemme 01TH (3) pour voir que \(f\) est quasi-fini en \(x\) pour tous \(x \in X\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(f\) est fini, et

\(f\) est affine et propre.

Démonstration

Cela découle formellement du Lemme 01WM, du fait qu’un morphisme fini est entier et séparé, du fait qu’un morphisme propre est la même chose qu’un morphisme de type fini, séparé, universellement fermé, et du fait qu’un morphisme entier de type fini est fini (Lemme 01WJ).

Lemme

Une immersion fermée est finie (et a fortiori entière).

Démonstration

Vrai car une immersion fermée est affine (Lemme 01SE) et un homomorphisme surjectif d’anneaux est fini et entier.

Lemme

Soient \(X_i \to Y\), \(i = 1, \ldots, n\) des morphismes finis de schémas. Alors \(X_1 \amalg \ldots \amalg X_n \to Y\) est fini aussi.

Démonstration

Cela découle du fait algébrique que si \(R \to A_i\), \(i = 1, \ldots, n\) sont des homomorphismes finis d’anneaux, alors \(R \to A_1 \times \ldots \times A_n\) est fini aussi.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes.

Si \(g \circ f\) est fini et \(g\) séparé, alors \(f\) est fini.

Si \(g \circ f\) est entier et \(g\) séparé, alors \(f\) est entier.

Démonstration

Supposons que \(g \circ f\) soit fini (resp. entier) et que \(g\) soit séparé. Le changement de base \(X \times_Z Y \to Y\) est fini (resp. entier) d’après le lemme 01WL. Le morphisme \(X \to X \times_Z Y\) est une immersion fermée car \(Y \to Z\) est séparé, voir Schémas, Lemme 01KT. Une immersion fermée est finie (resp. entière), voir Lemme 035C. La composition de morphismes finis (resp. entiers) est finie (resp. entière), voir Lemme 01WK. Ainsi nous avons gagné.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est fini et un monomorphisme, alors \(f\) est une immersion fermée.

Démonstration

Cela se réduit à Algèbre, Lemme 04VT.

Lemme

Un morphisme fini est projectif.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) un morphisme fini. Alors \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent (Lemme 01SA) de type fini (d’après notre définition des morphismes finis et Propriétés, Lemme 01PB). Nous affirmons qu’il existe une immersion fermée \[\sigma : X \longrightarrow \mathbf{P}(f_*\mathcal{O}_X) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_S}(f_*\mathcal{O}_X))\] sur \(S\), ce qui termine la démonstration. À savoir, nous prenons \(\sigma\) comme étant le morphisme qui correspond (via Constructions, Lemme 01O4) à la surjection \[f^*f_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_X\] provenant de l’application d’adjonction \(f^*f_* \to \text{id}\). Alors \(\sigma\) est une immersion fermée. En effet, localement sur les affines de \(S\), nous pouvons écrire \(X = \Spec(A)\) et \(S = \Spec(R)\). Puisque \(X\) est fini sur \(S\) nous pouvons choisir \(a_1, \ldots, a_n \in A\) générant \(A\) en tant que \(R\)-module. Alors l’homomorphisme de \(R\)-algèbres \(R[T_0, T_1, \ldots, T_n] \to \text{Sym}_R^*(A)\) envoyant \(T_0\) sur \(1\) et \(T_i\) sur \(a_i\) pour \(1 \leq i \leq n\) est surjective. D’où \(\mathbf{P}(f_*\mathcal{O}_X)\) est un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^n_S\) selon Constructions, Lemme 01N0. Ainsi, il suffit de prouver que le morphisme induit \(X \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion fermée (voir par exemple, Lemme 01QP). Le lecteur vérifie que \(X \to \mathbf{P}^n_S\) a une image contenue dans le \(D_+(T_0) \cong \mathbf{A}^n_S\) ouvert et que \(X \to \mathbf{A}^n_S\) correspond à l’application d’algèbre \(R\) surjective \(R[x_1, \ldots, x_n] \to \text{Sym}_R^*(A)\) envoyant \(x_i\) vers \(a_i\). D’où \(X \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion (comme une composition d’une immersion fermée et d’une immersion ouverte). Comme \(X\) est fini sur \(S\), l’image de cette immersion est fermée (cela utilise le Lemme 01WN, le Lemme 01W6 et Constructions, Lemme 01NH). Nous concluons par Schémas, Lemme 01IQ.

Homéomorphismes universels

La définition suivante est vraiment superflue puisque un homéomorphisme universel n’est vraiment qu’un morphisme entier, universellement injectif et surjectif, voir le Lemme 04DF.

Définition

Un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas est appelé un homéomorphisme universel si le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) est un homéomorphisme pour tout morphisme \(Y' \to Y\).

Tout d’abord, nous énonçons les lemmes obligatoires.

Lemme

Le changement de base d’un homéomorphisme universel de schémas par tout morphisme de schémas est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Cela découle immédiatement de la définition.

Lemme

La composition d’une paire d’homéomorphismes universels de schémas est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Omis.

Le lemme simple suivant est la clé pour caractériser les homéomorphismes universels.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est un homéomorphisme sur un sous-ensemble fermé de \(Y\), alors \(f\) est affine.

Démonstration

Soit \(y \in Y\) un point. Si \(y \not \in f(X)\), alors il existe un voisinage affine de \(y\) qui est disjoint de \(f(X)\). Si \(y \in f(X)\), soit \(x \in X\) l’unique point de \(X\) s’envoyant sur \(y\). Soit \(y \in V\) un voisinage ouvert affine. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert affine de \(x\) qui s’envoie dans \(V\). Puisque \(f(U) \subset V \cap f(X)\) est ouvert dans la topologie induite par notre hypothèse sur \(f\), nous pouvons choisir un \(h \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y)\) tel que \(y \in D(h)\) et \(D(h) \cap f(X) \subset f(U)\). Notons \(h' \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) la restriction de \(f^\sharp(h)\) à \(U\). Alors nous voyons que \(D(h') \subset U\) est égal à \(f^{-1}(D(h))\). En d’autres termes, chaque point de \(Y\) a un voisinage ouvert dont l’image réciproque est affine. Ainsi \(f\) est affine, voir Lemme 01S8.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est un homéomorphisme universel, et

\(f\) est entier, universellement injectif et surjectif.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit un homéomorphisme universel. D’après le Lemme 04DE, nous voyons que \(f\) est affine. Puisque \(f\) est clairement universellement fermé, nous voyons que \(f\) est entier d’après le Lemme 01WM. Il est aussi clair que \(f\) est universellement injectif et surjectif.

Supposons que \(f\) soit entier, universellement injectif et surjectif. D’après le Lemme 01WM, \(f\) est universellement fermé. Puisqu’il est aussi universellement bijectif (voir le Lemme 01S1), nous voyons que c’est un homéomorphisme universel.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. L’immersion fermée canonique \(X_{red} \to X\) (voir Schémas, Définition 01J4) est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(S' \to S\) des morphismes de schémas. Supposons

\(S' \to S\) est une immersion fermée,

\(S' \to S\) est bijective sur les points,

\(X \times_S S' \to S'\) est une immersion fermée, et

\(X \to S\) est de type fini ou \(S' \to S\) est de présentation finie.

Alors \(f : X \to S\) est une immersion fermée.

Démonstration

Les hypothèses (1) et (2) impliquent que \(S' \to S\) est un homéomorphisme universel (par exemple parce que \(S_{red} = S'_{red}\) et en utilisant le Lemme 054M). Par conséquent, (3) implique que \(X \to S\) est un homéomorphisme sur un sous-ensemble fermé de \(S\). Ensuite, \(X \to S\) est affine d’après le Lemme 04DE. Soit \(U \subset S\) un ouvert affine, disons \(U = \Spec(A)\). Alors \(S' = \Spec(A/I)\) par (1) pour un idéal nilpotent localement \(I\) par (2). Comme \(f\) est affine, on voit que \(f^{-1}(U) = \Spec(B)\). L’hypothèse (4) nous dit que \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini (Lemme 01T2) ou que \(I\) est de type fini (Lemme 01TV). L’hypothèse (3) est que \(A/I \to B/IB\) est surjectif. D’après l’Algèbre, Lemme 07RD si \(A \to B\) est de type fini ou Algèbre, Lemme 00DV si \(I\) est de type fini et donc nilpotent, nous déduisons que \(A \to B\) est surjectif. Cela signifie que \(f\) est une immersion fermée, voir Lemme 01QO.

Lemme

Soit \(f : X \to Z\) la composition de deux morphismes \(g : X \to Y\) et \(h : Y \to Z\). Si deux des morphismes \(\{f, g, h\}\) sont des homéomorphismes universels, le troisième morphisme l’est aussi.

Démonstration

Si \(g\) et \(h\) sont tous deux des homéomorphismes universels, \(f\) l’est aussi d’après le Lemme 0CEV.

Supposons que \(f\) et \(g\) soient des homéomorphismes universels. Nous voulons montrer que \(h\) l’est aussi. Maintenant, faisons un changement de base du diagramme le long d’un morphisme arbitraire \(\alpha : Z' \to Z\) de schémas, nous obtenons le diagramme suivant avec tous les carrés cartésiens : \[\xymatrix{ X' \ar[r]^{g'} \ar[d] & Y' \ar[r]^{h'} \ar[d] & Z' \ar[d] \\ X \ar[r]^{g} & Y \ar[r]^{h} & Z. }\] Notre hypothèse implique que la composition \(f'= h' \circ g' : X' \to Z'\) et \(g' : X' \to Y'\) est un homéomorphisme, donc \(h'\) l’est également. Cela termine la démonstration que \(h\) est un homéomorphisme universel.

Enfin, supposons que \(f\) et \(h\) soient des homéomorphismes universels. Nous voulons montrer que \(g\) est un homéomorphisme universel. Soit \(\beta : Y' \to Y\) un morphisme de schémas quelconque. Nous obtenons le diagramme suivant avec tous les carrés cartésiens : \[\xymatrix{ X' \ar[r]^{g'} \ar[d] & Y' \ar[d]^{\gamma} & \\ X'' \ar[r]^{g''} \ar[d] & Y'' \ar[r]^{h''} \ar[d] & Y' \ar[d]^{h \circ \beta} \\ X \ar[r]^{g} & Y \ar[r]^{h} & Z. }\] Ici, le morphisme \(\gamma : Y' \to Y''\) est défini par la propriété universelle des produits fibrés et les deux morphismes \(id_{Y'} : Y' \to Y'\) et \(\beta : Y' \to Y\). Nous allons prouver que \(g'\) est un homéomorphisme. Comme la propriété d’être un homéomorphisme a la propriété 2-sur-3, nous voyons que \(g''\) est un homéomorphisme. En regardant le carré du haut, il suffit de prouver que \(\gamma\) est un homéomorphisme universel. Comme \(h''\) est un homéomorphisme, nous voyons que c’est un morphisme affine d’après le Lemme 04DE et a fortiori séparé (Lemme 01S7). Comme \(h'' \circ \gamma\) est l’identité, nous voyons que \(\gamma\) est une immersion fermée par Schémas, Lemme 01KT. Puisque \(h''\) est bijectif, il s’ensuit que \(\gamma\) est une immersion fermée bijective et donc un homéomorphisme universel (par exemple par la caractérisation dans le Lemme 04DF) comme désiré.

Homéomorphismes universels de schémas affines

Dans cette section, nous caractérisons les homéomorphismes universels des schémas affines.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que le morphisme de schémas induit \(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\) soit un homéomorphisme universel, resp. un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels, resp. universellement fermé, resp. universellement fermé et universellement injectif. Alors, pour toute \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\), la même chose est vraie pour \(f' : \Spec(B') \to \Spec(A)\).

Démonstration

Si \(f\) est universellement fermé, alors \(B\) est entier sur \(A\) d’après le Lemme 01WM. Par conséquent, \(B'\) est entier sur \(A\) et \(f'\) est universellement fermé (d’après le même lemme). Cela prouve le cas où \(f\) est universellement fermé.

En continuant, nous voyons que \(B\) est entier sur \(B'\) (Algèbre, Lemme 02JM) ce qui implique que \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est surjectif (Algèbre, Lemme 00GQ). Ainsi, si \(A \to B\) induit des extensions purement inséparables des corps résiduels, alors il en est de même pour \(A \to B'\). Cela prouve le cas où \(f\) est universellement fermé et universellement injectif, voir Lemme 01S4.

Le cas où \(f\) est un homéomorphisme universel découle des remarques ci-dessus, du Lemme 04DF, et de l’observation évidente que si \(f\) est surjectif, alors \(f'\) l’est aussi.

Si \(A \to B\) induit des isomorphismes sur les corps résiduels, alors il en est de même pour \(A \to B'\) (voir l’argument au deuxième paragraphe). De cette façon, nous voyons que le lemme est valable dans le cas restant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B = \colim B_\lambda\) une colimite filtrante d’\(A\)-algèbres. Si chaque \(f_\lambda : \Spec(B_\lambda) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel, respectivement un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels, respectivement universellement fermé, respectivement universellement fermé et universellement injectif, alors il en va de même pour \(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\).

Démonstration

Si \(f_\lambda\) est universellement fermé, alors \(B_\lambda\) est entier sur \(A\) d’après le Lemme 01WM. Par conséquent, \(B\) est entier sur \(A\) et \(f\) est universellement fermé (d’après le même lemme). Cela prouve le cas où chaque \(f_\lambda\) est universellement fermé.

Pour un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), notons \(\mathfrak q_\lambda \subset B_\lambda\) l’image réciproque. Alors \(\kappa(\mathfrak q) = \colim \kappa(\mathfrak q_\lambda)\). Ainsi, si \(A \to B_\lambda\) induit des extensions purement inséparables des corps résiduels, il en est de même pour \(A \to B\). Cela prouve le cas où \(f_\lambda\) est universellement fermé et universellement injectif, voir Lemme 01S4.

Le cas où \(f\) est un homéomorphisme universel découle des remarques ci-dessus et du Lemme 04DF combiné au fait que les idéaux premiers dans \(B\) sont la même chose que les suites compatibles d’idéaux premiers dans tous les \(B_\lambda\).

Si \(A \to B_\lambda\) induit des isomorphismes sur les corps résiduels, alors il en est de même pour \(A \to B\) (voir l’argument dans le deuxième paragraphe). De cette manière, nous voyons que le lemme est valable dans le cas restant.

Lemme

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneaux. Soit \(S \subset A\) un sous-ensemble multiplicatif. Soient \(n \geq 1\) et \(b_i \in B\) pour \(1 \leq i \leq n\). Tout \(x \in S^{-1}B\) tel que \[x \not \in S^{-1}A\text{ et } b_i x^i \in S^{-1}A\text{ pour }i = 1, \ldots, n\] est égal à \(s^{-1}y\) avec \(s \in S\) et \(y \in B\) tels que \[y \not \in A\text{ et } b_i y^i \in A\text{ pour }i = 1, \ldots, n\]

Démonstration

Omis. Astuce : clarifier les dénominateurs.

Lemme

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneaux. S’il existe \(b \in B\), \(b \not \in A\) et un entier \(n \geq 2\) avec \(b^n \in A\) et \(b^{n + 1} \in A\), alors il existe un \(b' \in B\), \(b' \not \in A\) avec \((b')^2 \in A\) et \((b')^3 \in A\).

Démonstration

Soient \(b\) et \(n\) comme dans le lemme. Alors toutes les puissances suffisamment grandes de \(b\) sont dans \(A\). À savoir, \((b^n)^k(b^{n + 1})^i = b^{(k + i)n + i}\) ce qui implique que toute puissance \(b^m\) avec \(m \geq n^2\) est dans \(A\). Ainsi, si \(i \geq 1\) est le plus grand entier tel que \(b^i \not \in A\), alors \((b^i)^2 \in A\) et \((b^i)^3 \in A\).

Lemme

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneau telle que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels. Si \(A \not = B\), alors il existe un \(b \in B\), \(b \not \in A\) avec \(b^2 \in A\) et \(b^3 \in A\).

Démonstration

Rappelons que l’extension \(A \subset B\) est entière (Lemme 01WM). D’après le Lemme 0CN7, nous pouvons supposer que \(B\) est généré par un seul élément sur \(A\). Ainsi \(B\) est fini sur \(A\) (Algèbre, Lemme 02JJ). Par conséquent, le support de \(B/A\) en tant que module \(A\) est fermé et non vide (Algèbre, Lemmes 00L2 et 0585). Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier minimal du support. Après avoir remplacé \(A \subset B\) par \(A_\mathfrak p \subset B_\mathfrak p\) (permis par Lemme 0CN9) nous pouvons supposer que \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local, que \(B\) est fini sur \(A\), et que \(B/A\) a pour support \(\{\mathfrak m\}\) en tant que \(A\)-module. Puisque \(B/A\) est un module fini, nous voyons que \(I = \text{Ann}_A(B/A)\) satisfait \(\mathfrak m = \sqrt{I}\) (Algèbre, Lemme 00L2). Soit \(\mathfrak m' \subset B\) l’idéal premier unique au-dessus de \(\mathfrak m\). Comme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme, nous constatons que \(\mathfrak m' = \sqrt{IB}\). Pour \(f \in \mathfrak m'\) choisissons \(n \geq 1\) de telle sorte que \(f^n \in IB\). Alors aussi \(f^{n + 1} \in IB\). Puisque \(IB \subset A\) par notre choix de \(I\) Nous concluons que \(f^n, f^{n + 1} \in A\). En utilisant le Lemme 0CNA, nous concluons que notre lemme est vrai si \(\mathfrak m' \not \subset A\). Cependant, si \(\mathfrak m' \subset A\), alors \(\mathfrak m' = \mathfrak m\) et nous concluons que \(A = B\) puisque les corps résiduels sont également isomorphes par hypothèse. Cette contradiction termine la démonstration.

Lemme

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneau telle que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit un homéomorphisme universel. Si \(A \not = B\), alors soit il existe un \(b \in B\), \(b \not \in A\) avec \(b^2 \in A\) et \(b^3 \in A\), soit il existe un nombre premier \(p\) et un \(b \in B\), \(b \not \in A\) avec \(pb \in A\) et \(b^p \in A\).

Démonstration

L’argument est presque exactement le même que dans la démonstration du Lemme 0CNB, mais nous écrivons tout pour être sûrs que cela fonctionne.

Rappelons que l’extension \(A \subset B\) est entière (Lemme 01WM). D’après le Lemme 0CN7, nous pouvons supposer que \(B\) est engendré par un seul élément sur \(A\). Par conséquent, \(B\) est fini sur \(A\) (Algèbre, Lemme 02JJ). Ainsi, le support de \(B/A\) en tant que \(A\)-module est fermé et non vide (Algèbre, Lemmes 00L2 et 0585). Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier minimal du support. Après avoir remplacé \(A \subset B\) par \(A_\mathfrak p \subset B_\mathfrak p\) (permis par le Lemme 0CN9) nous pouvons supposer que \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local, que \(B\) est fini sur \(A\), et que \(B/A\) a pour support \(\{\mathfrak m\}\) en tant que \(A\)-module. Puisque \(B/A\) est un module fini, nous voyons que \(I = \text{Ann}_A(B/A)\) satisfait \(\mathfrak m = \sqrt{I}\) (Algèbre, Lemme 00L2). Soit \(\mathfrak m' \subset B\) l’idéal premier unique au-dessus de \(\mathfrak m\). Comme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme, nous trouvons que \(\mathfrak m' = \sqrt{IB}\). Pour \(f \in \mathfrak m'\) choisissez \(n \geq 1\) de telle sorte que \(f^n \in IB\). Alors également \(f^{n + 1} \in IB\). Puisque \(IB \subset A\) par notre choix de \(I\) Nous concluons que \(f^n, f^{n + 1} \in A\). En utilisant le Lemme 0CNA nous concluons que notre lemme est vrai si \(\mathfrak m' \not \subset A\). Si \(\mathfrak m' \subset A\), alors \(\mathfrak m' = \mathfrak m\). Puisque \(A \not = B\) nous concluons que l’application \(\kappa = A/\mathfrak m \to B/\mathfrak m' = \kappa'\) du corps résiduel ne peut pas être un isomorphisme. Par le Lemme 01S4 Nous concluons que la caractéristique de \(\kappa\) est un nombre premier \(p\) et que l’extension \(\kappa'/\kappa\) est purement inséparable. Choisissez \(b \in B\) dont l’image dans \(\kappa'\) est un élément non contenu dans \(\kappa\) mais dont la puissance \(p\) est dans \(\kappa\). Alors \(b \not \in A\), \(b^p \in A\), et \(pb \in A\) (parce que \(pb \in \mathfrak m' = \mathfrak m \subset A\)) comme souhaité.

Proposition

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels, et

chaque sous-ensemble fini \(E \subset B\) est contenu dans une extension \[A[b_1, \ldots, b_n] \subset B\] telle que \(b_i^2, b_i^3 \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\) pour \(i = 1, \ldots, n\).

Démonstration

Supposons (1). En utilisant la récurrence transfinie, nous construisons pour chaque ordinal \(\alpha\) un \(A\)-sous-algèbre \(B_\alpha \subset B\) comme suit. Posons \(B_0 = A\). Si \(\alpha\) est un ordinal limite, alors nous posons \(B_\alpha = \colim_{\beta < \alpha} B_\beta\). Si \(\alpha = \beta + 1\), alors soit \(B_\beta = B\) auquel cas nous posons \(B_\alpha = B_\beta\) ou \(B_\beta \not = B\), auquel cas nous appliquons le Lemme 0CNB pour choisir un \(b_\alpha \in B\), \(b_\alpha \not \in B_\beta\) avec \(b_\alpha^2, b_\alpha^3 \in B_\beta\) et nous posons \(B_\alpha = B_\beta[b_\alpha] \subset B\). Il est clair que \(B = \colim B_\alpha\) (en fait \(B = B_\alpha\) pour un certain ordinal \(\alpha\) comme on le voit en regardant les cardinalités). Nous prouverons, par induction transfinie, que (2) tient pour \(A \to B_\alpha\) pour chaque ordinal \(\alpha\). Cela est clair pour \(\alpha = 0\). Supposons que l’énoncé soit vrai pour chaque \(\beta < \alpha\) et soit \(E \subset B_\alpha\) un sous-ensemble fini. Si \(\alpha\) est un ordinal limite, alors \(B_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} B_\beta\) et nous voyons que \(E \subset B_\beta\) pour un certain \(\beta < \alpha\) ce qui prouve le résultat dans ce cas. Si \(\alpha = \beta + 1\), alors \(B_\alpha = B_\beta[b_\alpha]\). Ainsi tout \(e \in E\) peut être écrit comme un polynôme \(e = \sum d_{e, i}b_\alpha^i\) avec \(d_{e, i} \in B_\beta\). Soit \(D \subset B_\beta\) l’ensemble \(D = \{d_{e, i}\} \cup \{b_\alpha^2, b_\alpha^3\}\). Par hypothèse d’induction il existe une \(A\)-sous-algèbre \(A[b_1, \ldots, b_n] \subset B_\beta\) comme dans l’énoncé du lemme contenant \(D\). Alors \(A[b_1, \ldots, b_n, b_\alpha] \subset B_\alpha\) est une \(A\)-sous-algèbre de \(B_\alpha\) comme dans l’énoncé du lemme contenant \(E\).

Supposons (2). Écrivons \(B = \colim B_\lambda\) comme le colimite de ses \(A\)-sous-algèbres finies. D’après le Lemme 0CN8, il suffit de montrer que \(\Spec(B_\lambda) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels. Les compositions de morphismes universellement fermés sont universellement fermées et il en va de même pour les morphismes qui induisent des isomorphismes sur les corps résiduels. Ainsi, il suffit de montrer que si \(A \subset B\) et \(B\) sont générés par un seul élément \(b\) avec \(b^2, b^3 \in A\), alors (1) tient. Une telle extension est intégrale et donc \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est universellement fermé et surjectif. (Lemme 01WM et Algèbre, Lemme 00GQ). Notez que \((b^2)^3 = (b^3)^2\) dans \(A\). Pour tout homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to K\) vers un corps \(K\), nous voyons qu’il existe un \(\lambda \in K\) avec \(\varphi(b^2) = \lambda^2\) et \(\varphi(b^3) = \lambda^3\). À savoir, \(\lambda = 0\) si \(\varphi(b^2) = 0\) et \(\lambda = \varphi(b^3)/\varphi(b^2)\) sinon. Ainsi, \(B \otimes_A K\) est un quotient de \(K[x]/(x^2 - \lambda^2, x^3 - \lambda^3)\). Cet anneau a exactement un premier avec corps résiduel \(K\). Cela implique que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est bijectif et induit des isomorphismes sur les corps résiduels. Combiné avec la clôture universelle, cela montre que (1) est vrai, voir lemmes 04DF et 01S4.

Proposition

Soit \(A \subset B\) une extension d’anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel, et

chaque sous-ensemble fini \(E \subset B\) est contenu dans une extension \[A[b_1, \ldots, b_n] \subset B\] telle que pour \(i = 1, \ldots, n\) nous avons

\(b_i^2, b_i^3 \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pb_i, b_i^p \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que la démonstration de la Proposition 0CND sauf pour les changements suivants :

Utilisez le Lemme 0CNC au lieu du Lemme 0CNB ce qui signifie que pour chaque ordinal successeur \(\alpha = \beta + 1\) nous avons soit \(b_\alpha^2, b_\alpha^3 \in B_\beta\) ou nous avons un nombre premier \(p\) et \(pb_\alpha, b_\alpha^p \in B_\beta\).

Si \(\alpha\) est un ordinal successeur, alors prenez \(D = \{d_{e, i}\} \cup \{b_\alpha^2, b_\alpha^3\}\) ou prenez \(D = \{d_{e, i}\} \cup \{pb_\alpha, b_\alpha^p\}\) selon le cas dans lequel \(\alpha\) se trouve.

Dans la démonstration de (2) \(\Rightarrow\) (1), nous devons également considérer le cas où \(B\) est généré sur \(A\) par un seul élément \(b\) avec \(pb, b^p \in B\) pour un certain nombre premier \(p\). Ici, \(A \subset B\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres par exemple d’après Algèbre, Lemme 0BRA.

Cela termine la démonstration.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux qui induit un isomorphisme \(A[1/p] \to B[1/p]\) (par exemple si \(p\) est nilpotent dans \(A\)). Les conditions suivantes sont équivalentes

\(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel, et

le noyau de \(A \to B\) est un idéal localement nilpotent et pour tout \(b \in B\) il existe une puissance \(p\)-ième \(q\) avec \(qb\) et \(b^q\) dans l’image de \(A \to B\).

Démonstration

Si (2) est vrai, alors (1) est vrai par Algèbre, Lemme 0BRA. Supposons (1). Alors le noyau de \(A \to B\) consiste en des éléments nilpotents par Algèbre, Lemme 00FL. Ainsi, nous pouvons remplacer \(A\) par l’image de \(A \to B\) et supposer que \(A \subset B\). Par Algèbre, Lemme 0545 l’ensemble \[B' = \{b \in B \mid p^nb, b^{p^n} \in A\text{ pour un certain }n \geq 0\}\] est une \(A\)-sous-algèbre de \(B\) (le fait qu’elle soit fermée sous les produits est trivial). Nous devons montrer \(B' = B\). Sinon, d’après le Lemme 0CNC, il existe un \(b \in B\), \(b \not \in B'\) avec soit \(b^2, b^3 \in B'\), soit il existe un nombre premier \(\ell\) avec \(\ell b, b^\ell \in B'\). Nous allons montrer que les deux cas mènent à une contradiction, prouvant ainsi le lemme.

Puisque \(A[1/p] = B[1/p]\), nous pouvons choisir une \(p\)-puissance \(q\) telle que \(qb \in A\).

Si \(b^2, b^3 \in B'\), alors aussi \(b^q \in B'\). Par définition de \(B'\), nous trouvons que \((b^q)^{q'} \in A\) pour une certaine \(p\)-puissance \(q'\). Alors \(qq'b, b^{qq'} \in A\), d’où \(b \in B'\) ce qui est une contradiction.

Supposons maintenant qu’il existe un nombre premier \(\ell\) avec \(\ell b, b^\ell \in B'\). Si \(\ell \not = p\) alors \(\ell b \in B'\) et \(qb \in A \subset B'\) impliquent \(b \in B'\), une contradiction. Ainsi \(\ell = p\) et \(b^p \in B'\) et nous obtenons une contradiction exactement comme avant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(x, y \in A\).

Si \(x^3 = y^2\) est dans \(A\), alors \(A \to B = A[t]/(t^2 - x, t^3 - y)\) induit des bijections sur les corps résiduels et un homéomorphisme universel sur les spectres.

S’il existe un nombre premier \(p\) tel que \(p^px = y^p\) dans \(A\), alors \(A \to B = A[t]/(t^p - x, pt - y)\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres.

Démonstration

Nous utiliserons le critère du Lemme 04DF pour vérifier cela. Dans les deux cas, l’homomorphisme d’anneaux est entier. Il suffit donc de montrer que, étant donné un corps \(k\) et un homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to k\), l’algèbre \(k\)-\(B \otimes_A k\) possède un idéal premier unique dont le corps résiduel est égal à \(k\) dans le cas (1) et purement inséparable sur \(k\) dans le cas (2). Voir le Lemme 01S4.

Dans le cas (1), posons \(\lambda = 0\) si \(\varphi(x) = 0\) et posons \(\lambda = \varphi(y)/\varphi(x)\) sinon. Alors \(B = k[t]/(t^2 - \lambda^2, t^3 - \lambda^2)\). Ainsi le résultat est clair.

Dans le cas (2), si la caractéristique de \(k\) est \(p\), alors nous obtenons \(\varphi(y) = 0\) et \(B = k[t]/(t^p - \varphi(x))\) qui est une algèbre locale artinienne \(k\) dont le corps résiduel est soit \(k\), soit une extension purement inséparable de degré \(p\) de \(k\). Si la caractéristique de \(k\) n’est pas \(p\), alors en posant \(\lambda = \varphi(y)/p\) nous voyons \(B = k[t]/(t - \lambda) = k\) et nous concluons également.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux.

Si \(A \to B\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres, alors \(B = \colim B_i\) est une colimite filtrante d’algèbres \(A\) de présentation finie \(B_i\) telle que \(A \to B_i\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres.

Si \(A \to B\) induit des isomorphismes sur les corps résiduels et un homéomorphisme universel sur les spectres, alors \(B = \colim B_i\) est une colimite filtrante d’algèbres \(A\) de présentation finie \(B_i\) telles que \(A \to B_i\) induit des isomorphismes sur les corps résiduels et un homéomorphisme universel sur les spectres.

Démonstration

Démonstration de (1). Nous utiliserons le critère de Algèbre, Lemme 07C3. Soit \(A \to C\) de présentation finie et soit \(\varphi : C \to B\) un homomorphisme d’\(A\)-algèbres. Soit \(B' = \varphi(C) \subset B\) l’image. Alors \(A \to B'\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres par le Lemme 0CN7. Par Algèbre, Lemme 00QN nous pouvons écrire \(B' = \colim_{i \in I} B_i\) avec \(A \to B_i\) de présentation finie et des homomorphismes de transition surjectives. Par Algèbre, Lemme 00QO nous pouvons choisir un indice \(0 \in I\) et une factorisation \(C \to B_0 \to B'\) de l’application \(C \to B'\). Nous affirmons que \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel pour \(i\) suffisamment grand. Cette affirmation termine la démonstration de (1).

Démonstration de l’affirmation. D’après le Lemme 054M l’homomorphisme d’anneaux \(A_{red} \to B'_{red}\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres. Ainsi \(A_{red} \subset B'_{red}\) par l’Algèbre, Lemme 00FL. En posant \(A' = \Im(A \to B')\) nous avons des surjections \(A \to A' \to A_{red}\) induisant des bijections \(\Spec(A_{red}) = \Spec(A') = \Spec(A)\). Ainsi \(A' \subset B'\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres. D’après la Proposition 0CNE et le fait que \(B'\) est de type fini sur \(A'\), nous pouvons trouver \(n\) et \(b'_1, \ldots, b'_n \in B'\) tels que \(B' = A'[b'_1, \ldots, b'_n]\) et tel que pour \(j = 1, \ldots, n\) nous avons

\((b'_j)^2, (b'_j)^3 \in A'[b'_1, \ldots, b'_{j - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pb'_j, (b'_j)^p \in A'[b'_1, \ldots, b'_{j - 1}]\).

Choisissez \(b_1, \ldots, b_n \in B_0\) en relevant \(b'_1, \ldots, b'_n\). Pour \(i \geq 0\) notez \(b_{j, i}\) l’image de \(b_j\) dans \(B_i\). Pour un \(i\) suffisamment grand nous aurons pour \(j = 1, \ldots, n\)

\(b_{j, i}^2, b_{j, i}^3 \in A_i[b_{1, i}, \ldots, b_{j - 1, i}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pb_{j, i}, b_{j, i}^p \in A_i[b_{1, i}, \ldots, b_{j - 1, i}]\).

Voici \(A_i \subset B_i\), l’image de \(A \to B_i\). Observez que \(A \to A_i\) est un homomorphisme surjectif d’anneaux dont le noyau est un idéal localement nilpotent. En augmentant encore \(i\) si nécessaire, nous pouvons supposer que \(B_i\) est engendré par \(b_1, \ldots, b_n\) sur \(A_i\), en d’autres termes \(B_i = A_i[b_1, \ldots, b_n]\). D’après l’Algèbre, les Lemmes 0BRA et 0EUH Nous concluons que \(A \to A_i \to A_i[b_1] \to \ldots \to A_i[b_1, \ldots, b_n] = B_i\) induit des homéomorphismes universels sur les spectres. Cela termine la démonstration de l’assertion.

La démonstration de (2) est exactement la même.

Normalisation faible absolue et semi-normalisation

Motivés par les résultats prouvés dans la section précédente, nous donnons la définition suivante.

Définition

Soit \(A\) un anneau.

On dit que \(A\) est semi-normal si pour tout \(x, y \in A\) avec \(x^3 = y^2\) il existe un unique \(a \in A\) avec \(x = a^2\) et \(y = a^3\).

On dit que \(A\) est absolument faiblement normal si (a) \(A\) est semi-normal et (b) pour tout nombre premier \(p\) et \(x, y \in A\) avec \(p^px = y^p\) il existe un unique \(a \in A\) avec \(x = a^p\) et \(y = pa\).

Une observation amusante, voir [Costa], est que dans la définition des anneaux semi-normaux, il suffit¹⁵ d’assumer l’existence de \(a\). Les schémas absolument faiblement normaux ont été définis dans [rydh_descent, Appendix B].

Lemme

Être semi-normal ou être absolument faiblement normal est une propriété locale des anneaux, voir Propriétés, Définition 01OP.

Démonstration

Supposons que \(A\) soit semi-normal et \(f \in A\). Soit \(x', y' \in A_f\) avec \((x')^3 = (y')^2\). Écrivons \(x' = x/f^{2n}\) et \(y' = y/f^{3n}\) pour certains \(n \geq 0\) et \(x, y \in A\). Après avoir remplacé \(x, y\) par \(f^{2m}x, f^{3m}y\) et \(n\) par \(n + m\), nous voyons que \(x^3 = y^2\) dans \(A\). Puis nous trouvons un unique \(a \in A\) avec \(x = a^2\) et \(y = a^3\). En posant \(a' = a/f^n\), nous obtenons \(x' = (a')^2\) et \(y' = (a')^3\) comme souhaité. L’unicité de \(a'\) découle de l’unicité de \(a\). De la même manière exactement, le lecteur montre que si \(A\) est absolument faiblement normal, alors \(A_f\) est absolument faiblement normal.

Supposons que \(A\) soit un anneau et que \(f_1, \ldots, f_n \in A\) génère l’idéal unité. Supposons que \(A_{f_i}\) soit semi-normal pour chaque \(i\). Soit \(x, y \in A\) avec \(x^3 = y^2\). Pour chaque \(i\) nous trouvons un unique \(a_i \in A_{f_i}\) avec \(x = a_i^2\) et \(y = a_i^3\) dans \(A_{f_i}\). Par unicité et le résultat du premier paragraphe (qui nous dit que \(A_{f_if_j}\) est semi-normal) nous voyons que \(a_i\) et \(a_j\) s’envoient sur le même élément de \(A_{f_if_j}\). Par l’algèbre, Lemme 00EJ nous trouvons un unique \(a \in A\) se projetant sur \(a_i\) dans \(A_{f_i}\) pour tous les \(i\). Ensuite \(x = a^2\) et \(y = a^3\) par le même principe. Clairement, ce \(a\) est unique. Ainsi \(A\) est semi-normal. Si nous supposons que \(A_{f_i}\) est absolument faiblement normal, alors le même argument exact montre que \(A\) est absolument faiblement normal.

Ensuite, nous définissons les schémas semi-normaux et les schémas absolument faiblement normaux.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

Nous disons que \(X\) est semi-normal si chaque \(x \in X\) possède un voisinage ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que l’anneau \(R\) soit semi-normal.

Nous disons que \(X\) est absolument faiblement normal si chaque \(x \in X\) possède un voisinage ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que l’anneau \(R\) soit absolument faiblement normal.

Voici le lemme obligatoire.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le schéma \(X\) est semi-normal.

Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est semi-normal.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit semi-normal.

Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit semi-normal.

De plus, si \(X\) est semi-normal, alors tout sous-schéma ouvert est semi-normal. Les mêmes affirmations sont vraies lorsque “semi-normal” est remplacé par “absolument faiblement normal”.

Démonstration

Combiner les Propriétés, Lemme 01OR et Lemme 0EUM.

Lemme

Un schéma ou anneau semi-normal est réduit. A fortiori, il en est de même pour les schémas ou anneaux absolument faiblement normaux.

Démonstration

Soit \(A\) un anneau. Si \(a \in A\) est non nul mais \(a^2 = 0\), alors \(a^2 = 0^2\) et \(a^3 = 0^3\) et donc \(A\) ne sont pas semi-normaux.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

La catégorie des homomorphismes d’anneaux \(A \to B\) induisant un homéomorphisme universel sur les spectres a un objet final \(A \to A^{awn}\).

Étant donné \(A \to B\) dans la catégorie de (1) l’application résultante \(B \to A^{awn}\) est un isomorphisme si et seulement si \(B\) est absolument faiblement normal.

La catégorie des homomorphismes d’anneaux \(A \to B\) induisant des isomorphismes sur les corps résiduels et un homéomorphisme universel sur les spectres a un objet final \(A \to A^{sn}\).

Étant donné \(A \to B\) dans la catégorie de (3) l’application résultante \(B \to A^{sn}\) est un isomorphisme si et seulement si \(B\) est semi-normal.

Pour tout homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to A'\) il existe des applications uniques \(\varphi^{awn} : A^{awn} \to (A')^{awn}\) et \(\varphi^{sn} : A^{sn} \to (A')^{sn}\) compatibles avec \(\varphi\).

Démonstration

Nous prouvons (1) et (2) et nous omettons la démonstration de (3) et (4) ainsi que l’énoncé final. Considérons la catégorie des \(A\)-algèbres de la forme \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/J\] où \(J\) est un idéal de type fini tel que \(A \to B\) définit un homéomorphisme universel sur les spectres. Nous affirmons que cette catégorie est dirigée (Catégories, Définition 002V). À savoir, étant donné \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/J \quad\text{et}\quad B' = A[x_1, \ldots, x_{n'}]/J'\] alors nous pouvons considérer \[B'' = A[x_1, \ldots, x_{n + n'}]/J''\] où \(J''\) est généré par les éléments de \(J\) et les éléments \(f(x_{n + 1}, \ldots, x_{n + n'})\) où \(f \in J'\). Ensuite, nous avons des homomorphismes d’algèbre \(A\) \(B \to B''\) et \(B' \to B''\) qui induisent un isomorphisme \(B \otimes_A B' \to B''\). Il découle des Lemme 0CEU et 0CEV que \(\Spec(B'') \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel et donc \(A \to B''\) est dans notre catégorie. Enfin, étant donné \(\varphi, \varphi' : B \to B'\) dans notre catégorie avec \(B\) comme affiché ci-dessus, nous considérons alors le quotient \(B''\) de \(B'\) par l’idéal engendré par \(\varphi(x_i) - \varphi'(x_i)\), \(i = 1, \ldots, n\). Puisque \(\Spec(B') = \Spec(B)\) nous voyons que \(\Spec(B'') \to \Spec(B')\) est une immersion bijective fermée, donc un homéomorphisme universel. Ainsi \(B''\) est dans notre catégorie et \(\varphi, \varphi'\) sont égalisés par \(B' \to B''\). Ceci complète la démonstration de notre affirmation. Nous posons \[A^{awn} = \colim B\] où la colimite est sur la catégorie précédemment décrite. Observez que \(A \to A^{awn}\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres selon le Lemme 0CN8 (c’est ici que nous utilisons que la catégorie est dirigée).

Étant donné un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) de présentation finie induisant un homéomorphisme universel sur les spectres, nous obtenons une application canonique \(B \to A^{awn}\) par la construction même de \(A^{awn}\). Puisque chaque \(A \to B\) comme dans (1) est une colimite filtrante de \(A \to B\) comme dans (1) de présentation finie (Lemme 0EUJ), nous voyons que \(A \to A^{awn}\) est final dans la catégorie (1).

Soient \(x, y \in A^{awn}\) des éléments tels que \(x^3 = y^2\). Alors \(A^{awn} \to A^{awn}[t]/(t^2 - x, t^3 - y)\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres par le Lemme 0EUI. Ainsi \(A \to A^{awn}[t]/(t^2 - x, t^3 - y)\) est dans la catégorie (1) et nous obtenons une unique application d’\(A\)-algèbre \(A^{awn}[t]/(t^2 - x, t^3 - y) \to A^{awn}\). L’image \(a \in A^{awn}\) de \(t\) est donc l’élément unique tel que \(a^2 = x\) et \(a^3 = y\) dans \(A^{awn}\). De la même manière, donné un premier \(p\) et \(x, y \in A^{awn}\) avec \(p^px = y^p\), nous trouvons un unique \(a \in A^{awn}\) avec \(a^p = x\) et \(pq = y\). Ainsi, \(A^{awn}\) est absolument faiblement normal par définition.

Enfin, soit \(A \to B\) dans la catégorie (1) avec \(B\) absolument faiblement normal. Puisque \(A^{awn} \to B^{awn}\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres et puisque \(A^{awn}\) est réduit (Lemme 0EUQ), nous trouvons \(A^{awn} \subset B^{awn}\) (voir Algèbre, Lemme 00FL). Si cette inclusion n’est pas une égalité, alors le Lemme 0CNC implique qu’il existe un élément \(b \in B^{awn}\), \(b \not \in A^{awn}\) tel que soit \(b^2, b^3 \in A^{awn}\) soit \(pb, b^p \in A^{awn}\) pour un certain nombre premier \(p\). Cependant, par l’existence et l’unicité dans la Définition 0EUL, cela force \(b \in A^{awn}\) et donc nous obtenons la contradiction qui termine la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

La catégorie des homéomorphismes universels \(Y \to X\) a un objet initial \(X^{awn} \to X\).

Étant donné \(Y \to X\) dans la catégorie de (1) le morphisme résultant \(X^{awn} \to Y\) est un isomorphisme si et seulement si \(Y\) est absolument faiblement normal.

La catégorie des homéomorphismes universels \(Y \to X\) qui induisent des isomorphismes sur les corps résiduels a un objet initial \(X^{sn} \to X\).

Étant donné \(Y \to X\) dans la catégorie de (3) le morphisme résultant \(X^{sn} \to Y\) est un isomorphisme si et seulement si \(Y\) est semi-normal.

Pour tout morphisme \(h : X' \to X\) de schémas, il existe des morphismes uniques \(h^{awn} : (X')^{awn} \to X^{awn}\) et \(h^{sn} : (X')^{sn} \to X^{sn}\) compatibles avec \(h\).

Démonstration

Nous allons prouver (1) et (2) et omettre la démonstration de (3) et (4). Soit \(h : X' \to X\) un morphisme de schémas. Si (1) vaut pour \(X\) et \(X'\), alors \(X' \times_X X^{awn} \to X'\) est un homéomorphisme universel et nous obtenons donc un morphisme unique \((X')^{awn} \to X' \times_X X^{awn}\) au-dessus de \(X'\) par la propriété universelle de \((X')^{awn} \to X'\). Composé avec la projection \(X' \times_X X^{awn} \to X^{awn}\), nous obtenons \(h^{awn}\). Si de plus (2) vaut pour \(X\) et \(X'\) et que \(h\) est une immersion ouverte, alors \(X' \times_X X^{awn}\) est absolument faiblement normal (Lemme 0EUP) et nous en déduisons que \((X')^{awn} \to X' \times_X X^{awn}\) est un isomorphisme.

Rappelez-vous que tout homéomorphisme universel est affine, voir Lemme 04DE. Ainsi, si \(X\) est affine, alors (1) et (2) en découlent immédiatement d’après le Lemme 0EUR. Soit \(X\) un schéma et soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). Pour chaque \(U \in \mathcal{B}\) nous obtenons \(U^{awn} \to U\) et pour \(V \subset U\), \(V, U \in \mathcal{B}\) nous obtenons un isomorphisme canonique \(\rho_{V, U} : V^{awn} \to V \times_U U^{awn}\) selon la discussion du paragraphe précédent. Ainsi, par recollement relatif (Constructions, Lemme 01LH), nous obtenons un morphisme \(X^{awn} \to X\) qui se restreint à \(U^{awn}\) sur \(U\) de manière compatible avec le \(\rho_{V, U}\). Ensuite, soit \(Y \to X\) un homéomorphisme universel. Alors \(U \times_X Y \to U\) est un homéomorphisme universel pour \(U \in \mathcal{B}\) et nous obtenons un morphisme unique \(g_U : U^{awn} \to U \times_X Y\) sur \(U\). Ces \(g_U\) sont compatibles avec les morphismes \(\rho_{V, U}\) ; détails omis. Par conséquent, il existe un morphisme unique \(g : X^{awn} \to Y\) sur \(X\) concordant avec \(g_U\) sur \(U\), voir Constructions, Remarque 01LK. Cela prouve (1) pour \(X\). La partie (2) s’ensuit car elle tient localement sur les affines.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

Le morphisme \(X^{sn} \to X\) construit dans le Lemme 0EUS est la semi-normalisation de \(X\).

Le morphisme \(X^{awn} \to X\) construit dans le Lemme 0EUS est la normalisation faible absolue de \(X\).

Pour être sûr, la semi-normalisation \(X^{sn}\) de \(X\) est un schéma semi-normal et la normalisation faible absolue \(X^{awn}\) est un schéma absolument faiblement normal. De plus, pour tout morphisme \(h : Y \to X\) de schémas, nous obtenons un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ Y^{awn} \ar[d]^{h^{awn}} \ar[r] & Y^{sn} \ar[d]^{h^{sn}} \ar[r] & Y \ar[d]^h \\ X^{awn} \ar[r] & X^{sn} \ar[r] & X }\] de schémas ; les flèches \(h^{sn}\) et \(h^{awn}\) sont les uniques compatibles avec \(h\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) est semi-normal,

\(X\) est égal à sa propre semi-normalisation, c’est-à-dire que le morphisme \(X^{sn} \to X\) est un isomorphisme,

si \(\pi : Y \to X\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels avec \(Y\) réduit, alors \(\pi\) est un isomorphisme.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est claire d’après le Lemme 0EUS. Si (3) est vrai, alors \(X^{sn} \to X\) est un isomorphisme et nous voyons que (2) est vrai.

Supposons que (2) vaut et soit \(\pi : Y \to X\) un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels avec \(Y\) réduit. Alors il existe une factorisation \(X \to Y \to X\) de \(\text{id}_X\) par le Lemme 0EUS. Alors \(X \to Y\) est une immersion fermée (par Schémas, Lemme 01KT et le fait que \(\pi\) est séparé, par exemple par le Lemme 05VE). Puisque \(X \to Y\) est également une bijection sur les points, la caractéristique d’être réduit de \(Y\) montre qu’il doit s’agir d’un isomorphisme. Cela termine la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) est faiblement normal absolu,

\(X\) est égal à sa propre normalisation faible absolue, c’est-à-dire que le morphisme \(X^{awn} \to X\) est un isomorphisme,

si \(\pi : Y \to X\) est un homéomorphisme universel avec \(Y\) réduit, alors \(\pi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Cela se démontre exactement de la même manière que le Lemme 0H3G.

Morphismes finis localement libres

Dans de nombreux articles, les auteurs utilisent des morphismes finis plats alors qu’ils veulent réellement dire des morphismes finis localement libres. La raison en est que si la base est localement noethérienne alors c’est la même chose. Mais en général ce n’est pas le cas, voir Exercices, Exercice 02CS.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est fini localement libre si \(f\) est affine et que \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module fini localement libre. Dans ce cas, on dit que \(f\) a rang ou degré \(d\) si le faisceau \(f_*\mathcal{O}_X\) est fini localement libre de degré \(d\).

Remarquez que si \(f : X \to S\) est fini localement libre alors \(S\) est l’union disjointe de ouverts et de sous-schémas fermés \(S_d\) tels que \(f^{-1}(S_d) \to S_d\) soit fini localement libre de degré \(d\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est fini localement libre,

\(f\) est fini, plat et localement de présentation finie.

Si \(S\) est localement noethérien, cela équivaut également à

\(f\) est fini et plat.

Démonstration

Soit \(V \subset S\) ouvert affine. Dans les trois cas, le morphisme est affine, donc \(f^{-1}(V)\) est affine. Ainsi, nous pouvons écrire \(V = \Spec(R)\) et \(f^{-1}(V) = \Spec(A)\) pour une certaine \(R\)-algèbre \(A\). Supposons (1). Cela signifie que nous pouvons couvrir \(S\) par des ouverts affines \(V = \Spec(R)\) tels que \(A\) est libre de type fini en tant que \(R\)-module. Alors \(R \to A\) est de présentation finie par l’Algèbre, Lemme 0D46. Ainsi (2) est vérifié. Réciproquement, supposons (2). Pour chaque ouvert affine \(V = \Spec(R)\) de \(S\), le homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est fini et de présentation finie et \(A\) est plat en tant que \(R\)-module. Par Algèbre, Lemme 0564 nous voyons que \(A\) est de présentation finie en tant que \(R\)-module. Ainsi Algèbre, Lemme 00NX implique que \(A\) est fini localement libre. Ainsi (1) est vrai. Le cas noethérien découle du fait qu’un module fini sur un anneau noethérien est un module de présentation finie, voir Algèbre, Lemme 00FP.

Lemme

Une composition de morphismes finis localement libres est finie localement libre.

Démonstration

Omis.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme fini localement libre est fini localement libre.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme fini localement libre de schémas. Il existe une décomposition en union disjointe \(S = \coprod_{d \geq 0} S_d\) par des ouverts et sous-schémas fermés telle qu’en posant \(X_d = f^{-1}(S_d)\), les restrictions \(f|_{X_d}\) soient des morphismes finis localement libres \(X_d \to S_d\) de degré \(d\).

Démonstration

Cela est vrai car un faisceau fini localement libre a localement un rang bien défini. Détails omis.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini avec \(X\) affine. Il existe un diagramme \[\xymatrix{ Z' \ar[rd] & Y' \ar[l]^i \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ & X' \ar[r] & X }\] où

\(Y' \to Y\) et \(X' \to X\) sont surjectifs, finis et localement libres,

\(Y' = X' \times_X Y\),

\(i : Y' \to Z'\) est une immersion fermée,

\(Z' \to X'\) est fini localement libre, et

\(Z' = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Z'_j\) est une union finie (au sens des ensembles) de sous-schémas fermés, chacun desquels se projette isomorphiquement sur \(X'\).

Démonstration

Écrivez \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). Voir aussi Plus sur l’Algèbre, section 052Y. Soit \(x_1, \ldots, x_n \in B\) des générateurs de \(B\) sur \(A\). Pour chaque \(i\), nous pouvons choisir un polynôme unitaire \(P_i(T) \in A[T]\) tel que \(P(x_i) = 0\) soit dans \(B\). D’après l’Algèbre, Lemme 03HS (appliqué \(n\) fois) il existe une extension d’anneaux fini localement libre \(A \subset A'\) telle que chaque \(P_i\) se décompose complètement : \[P_i(T) = \prod\nolimits_{k = 1, \ldots, d_i} (T - \alpha_{ik})\] pour certains \(\alpha_{ik} \in A'\). Posons \[C = A'[T_1, \ldots, T_n]/(P_1(T_1), \ldots, P_n(T_n))\] et \(B' = A' \otimes_A B\). L’application \(C \to B'\), \(T_i \mapsto 1 \otimes x_i\) est une surjection d’\(A'\)-algèbres. En posant \(X' = \Spec(A')\), \(Y' = \Spec(B')\) et \(Z' = \Spec(C)\), nous voyons que (1) – (4) sont vérifiées. La partie (5) est vérifiée parce que, du point de vue des ensembles, \(\Spec(C)\) est l’union des sous-schémas fermés coupés par les idéaux \[(T_1 - \alpha_{1k_1}, T_2 - \alpha_{2k_2}, \ldots, T_n - \alpha_{nk_n})\] pour tout \(1 \leq k_i \leq d_i\).

Le lemme suivant est énoncé dans la généralité correcte dans le Lemme 03J2 ci-dessous.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini de schémas. Soit \(T \subset Y\) une partie fermée nulle part dense de \(Y\). Alors \(f(T) \subset X\) est une partie fermée nulle part dense de \(X\).

Démonstration

D’après le Lemme 01WN nous savons que \(f(T) \subset X\) est fermé. Soit \(X = \bigcup X_i\) un recouvrement affine. Comme \(T\) est nulle part dense dans \(Y\), nous voyons que \(T \cap f^{-1}(X_i)\) est également nulle part dense dans \(f^{-1}(X_i)\). Ainsi, si nous pouvons prouver le théorème dans le cas affine, alors nous voyons que \(f(T) \cap X_i\) est nulle part dense. Cela implique alors que \(T\) est nulle part dense dans \(X\) selon la Topologie, Lemme 03HP.

Supposons que \(X\) soit affine. Choisissez un diagramme \[\xymatrix{ Z' \ar[rd] & Y' \ar[l]^i \ar[d]^{f'} \ar[r]_a & Y \ar[d]^f \\ & X' \ar[r]^b & X }\] comme dans le Lemme 03HW. Les morphismes \(a\), \(b\) sont ouverts puisqu’ils sont finis localement libres (Lemmes 02KB et 01UA). Par conséquent, \(T' = a^{-1}(T)\) est nulle part dense, voir Topologie, Lemme 03HR. Le morphisme \(b\) est surjectif et ouvert. Par conséquent, si nous pouvons prouver que \(f'(T') = b^{-1}(f(T))\) est nulle part dense, alors \(f(T)\) est nulle part dense, voir Topologie, Lemme 03HR. Comme \(i\) est une immersion fermée, d’après Topologie, Lemme 03HQ nous voyons que \(i(T') \subset Z'\) est fermée et nulle part dense. Ainsi, nous avons réduit le problème au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(Y = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} Y_i\) soit une union finie de parties fermées, chacune s’envoyant isomorphiquement sur \(X\). Considérons \(T_i = Y_i \cap T\). Si chacun des \(T_i\) est nulle part dense dans \(Y_i\), alors chacun des \(f(T_i)\) est nulle part dense dans \(X\) car \(Y_i \to X\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(f(T) = f(T_i)\) est une union finie de sous-ensembles fermés nulle part denses de \(X\) et nous avons gagné, voir Topologie, Lemme 03HO. Supposons que ce ne soit pas le cas, disons que \(T_1\) contient un \(V \subset Y_1\) ouvert non vide. Nous allons montrer que cela conduit à une contradiction. Considérons \(Y_2 \cap V \subset V\). Ceci est soit un sous-ensemble fermé propre, soit égal à \(V\). Dans le premier cas, nous remplaçons \(V\) par \(V \setminus V \cap Y_2\), donc \(V \subset T_1\) est ouvert dans \(Y_1\) et ne rencontre pas \(Y_2\). Dans le second cas, nous avons \(V \subset Y_1 \cap Y_2\) est ouvert à la fois dans \(Y_1\) et \(Y_2\). Répétez séquentiellement avec \(i = 3, \ldots, n\). Le résultat est une décomposition en union disjointe \[\{1, \ldots, n\} = I_1 \amalg I_2, \quad 1 \in I_1\] et un \(V\) ouvert de \(Y_1\) contenu dans \(T_1\) tel que \(V \subset Y_i\) pour \(i \in I_1\) et \(V \cap Y_i = \emptyset\) pour \(i \in I_2\). Posons \(U = f(V)\). C’est un ouvert de \(X\) puisque \(f|_{Y_1} : Y_1 \to X\) est un isomorphisme. Alors \[f^{-1}(U) = V\ \amalg\ \bigcup\nolimits_{i \in I_2} (Y_i \cap f^{-1}(U))\] Comme \(\bigcup_{i \in I_2} Y_i\) est fermé, cela implique que \(V \subset f^{-1}(U)\) est ouvert, donc \(V \subset Y\) est ouvert. Cela contredit l’hypothèse que \(T\) est quelque part dense dans \(Y\), comme souhaité.

Applications rationnelles

Soit \(X\) un schéma. Remarquez que si \(U\), \(V\) sont des ouverts denses dans \(X\), alors il en est de même de \(U \cap V\).

Définition

Soit \(X\), \(Y\) des schémas.

Soit \(f : U \to Y\), \(g : V \to Y\) des morphismes de schémas définis sur des ouverts denses \(U\), \(V\) de \(X\). On dit que \(f\) est équivalent à \(g\) si \(f|_W = g|_W\) pour un certain \(W \subset U \cap V\) ouvert dense dans \(X\).

Une application rationnelle de \(X\) vers \(Y\) est une classe d’équivalence pour la relation d’équivalence définie en (1).

Si \(X\), \(Y\) sont des schémas sur un schéma de base \(S\), nous disons qu’une application rationnelle de \(X\) vers \(Y\) est une \(S\)-application rationnelle de \(X\) vers \(Y\) s’il existe un représentant \(f : U \to Y\) de la classe d’équivalence qui est un \(S\)-morphisme.

Nous disons que deux morphismes \(f\), \(g\) comme dans (1) de la définition définissent la même application rationnelle au lieu de dire qu’ils sont équivalents. Dans certains cas, les applications rationnelles sont déterminées par des applications sur les anneaux locaux aux points génériques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Supposons que \(X\) ait un nombre fini de composantes irréductibles avec des points génériques \(x_1, \ldots, x_n\). Soit \(s_i \in S\) l’image de \(x_i\). Considérons l’application \[\left\{ \begin{matrix} S\text{-applications rationnelles} \\ \text{de }X\text{ vers }Y \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y_1, \varphi_1, \ldots, y_n, \varphi_n)\text{ où } y_i \in Y\text{ est au-dessus de }s_i\text{ et}\\ \varphi_i : \mathcal{O}_{Y, y_i} \to \mathcal{O}_{X, x_i} \text{ est un homomorphisme local de }\mathcal{O}_{S, s_i}\text{-algèbres} \end{matrix} \right\}\] qui envoie \(f : U \to Y\) sur le \(2n\)-uplet avec \(y_i = f(x_i)\) et \(\varphi_i = f^\sharp_{x_i}\). Alors

Si \(Y \to S\) est localement de type fini, alors l’application est injective.

Si \(Y \to S\) est localement de présentation finie, alors l’application est bijective.

Si \(Y \to S\) est localement de type fini et que \(X\) est réduit, alors l’application est bijective.

Démonstration

Remarquez que tout ouvert dense de \(X\) contient les points \(x_i\), donc la construction a du sens. Pour prouver (1) ou (2), nous pouvons remplacer \(X\) par tout ouvert dense. Ainsi, si \(Z_1, \ldots, Z_n\) sont les composantes irréductibles de \(X\), alors nous pouvons remplacer \(X\) par \(X \setminus \bigcup_{i \not = j} Z_i \cap Z_j\). Après avoir fait cela, \(X\) est l’union disjointe de ses composantes irréductibles (considérées comme ouvertes et sous-schémas fermés). Ensuite, à la fois le côté droit et le côté gauche de la flèche sont des produits sur les composantes irréductibles et nous réduisons au cas où \(X\) est irréductible.

Supposons que \(X\) est irréductible avec le point générique \(x\) situé au-dessus de \(s \in S\). La partie (1) découle de la partie (1) du Lemme 0BX6. Les parties (2) et (3) découlent de la partie (2 du même lemme.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Une fonction rationnelle sur \(X\) est une application rationnelle de \(X\) vers \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\).

Voir Constructions, Définition 01M0 pour la définition de la droite affine \(\mathbf{A}^1\). Soit \(X\) un schéma sur \(S\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), un morphisme \(U \to \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\) est le même qu’un morphisme \(U \to \mathbf{A}^1_S\) sur \(S\). Par conséquent, une fonction rationnelle est également la même qu’une \(S\)-application rationnelle de \(X\) vers \(\mathbf{A}^1_S\).

Rappelons que nous avons l’identification canonique \(\Mor(T, \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) pour tout schéma \(T\), voir Schémas, Exemple 01JH. Ainsi \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\) est un objet anneau dans la catégorie des schémas. Plus précisément, les morphismes \[\begin{eqnarray*} + : \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} \times \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} & \longrightarrow & \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} \\ (f, g) & \longmapsto & f + g \\ * : \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} \times \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} & \longrightarrow & \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}} \\ (f, g) & \longmapsto & fg \end{eqnarray*}\] satisfaire tous les axiomes de l’addition et de la multiplication dans un anneau (commutatif avec \(1\) comme toujours). Par conséquent, l’ensemble des applications rationnelles dans \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\) possède également une structure d’anneau naturelle.

Définition

Soit \(X\) un schéma. L’anneau des fonctions rationnelles sur \(X\) est l’anneau \(R(X)\) dont les éléments sont des fonctions rationnelles avec l’addition et la multiplication telles que décrites ci-dessus.

Pour les schémas avec un nombre fini de composantes irréductibles, nous pouvons le calculer.

Lemme

Soit \(X\) un schéma avec un nombre fini de composantes irréductibles \(X_1, \ldots, X_n\). Si \(\eta_i \in X_i\) est le point générique, alors \[R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta_1} \times \ldots \times \mathcal{O}_{X, \eta_n}\] Si \(X\) est réduit, cela équivaut à \(\prod \kappa(\eta_i)\). Si \(X\) est intègre, alors \(R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta} = \kappa(\eta)\) est un corps.

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert dense. Alors \(U_i = (U \cap X_i) \setminus (\bigcup_{j \not = i} X_j)\) est non vide et ouvert car il contient \(\eta_i\), contenu dans \(X_i\), et \(\bigcup U_i \subset U \subset X\) est dense. Ainsi, l’identification dans le lemme provient de la chaîne d’égalités \[\begin{align*} R(X) & = \colim_{U \subset X\text{ ouvert dense}} \Mor(U, \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}) \\ & = \colim_{U \subset X\text{ ouvert dense}} \mathcal{O}_X(U) \\ & = \colim_{\eta_i \in U_i \subset X\text{ ouvert}} \prod \mathcal{O}_X(U_i) \\ & = \prod \colim_{\eta_i \in U_i \subset X\text{ ouvert}} \mathcal{O}_X(U_i) \\ & = \prod \mathcal{O}_{X, \eta_i} \end{align*}\] où la deuxième égalité est Schémas, Exemple 01JH. L’énoncé final découle d’Algèbre, Lemme 00EU.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre. La fonction corps, ou le corps des fonctions rationnelles de \(X\) est le corps \(R(X)\).

Nous pouvons occasionnellement indiquer ce corps \(k(X)\) au lieu de \(R(X)\). Nous pouvons utiliser la notion de corps de fonctions pour élucider la condition de séparation sur un schéma intègre. Notez que d’après le Lemme 01RV sur un schéma intègre, chaque anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) peut être considéré comme un sous-anneau local de \(R(X)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre séparé. Soient \(Z_1\) et \(Z_2\) des sous-ensembles fermés irréductibles distincts de \(X\). Soit \(\eta_i\) le point générique de \(Z_i\). Si \(Z_1 \not\subset Z_2\), alors \(\mathcal{O}_{X, \eta_1} \not \subset \mathcal{O}_{X, \eta_2}\) comme sous-anneaux de \(R(X)\). En particulier, si \(Z_1 = \{x\}\) consiste en un point fermé \(x\), il existe une fonction régulière dans un voisinage de \(x\) qui n’est pas dans \(\mathcal{O}_{X, \eta_{2}}\).

Démonstration

Observez d’abord que sous l’hypothèse que \(X\) est séparé, il existe une application unique de schémas \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2}) \to X\) sur \(X\) telle que la composition \[\Spec(R(X)) \longrightarrow \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2}) \longrightarrow X\] soit l’application canonique \(\Spec(R(X)) \to X\). À savoir, il existe l’application canonique \(can : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2}) \to X\), voir Schémas, Équation (02NA). Étant donné un second morphisme \(a\) vers \(X\), nous avons que \(a\) coïncide avec \(can\) sur le point générique de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2})\) par hypothèse. Maintenant, le fait que \(X\) soit séparé garantit que le sous-ensemble dans \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2})\) où ces deux applications coïncident est fermé, voir Schémas, Lemme 01KM. Ainsi \(a = can\) sur tout \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_2})\).

Supposons \(Z_1 \not \subset Z_2\) et supposons au contraire que \(\mathcal{O}_{X, \eta_{1}} \subset \mathcal{O}_{X, \eta_{2}}\) comme sous-anneaux de \(R(X)\). Alors nous obtiendrions un second morphisme \[\Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_{2}}) \longrightarrow \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta_{1}}) \longrightarrow X.\] D’après ce qui précède, cette composition devrait être égale à \(can\). Cela implique que \(\eta_2\) se spécialise en \(\eta_1\) (voir Schémas, Lemme 01J7). Mais cela contredit notre hypothèse \(Z_1 \not \subset Z_2\).

Définition

Soit \(\varphi\) une application rationnelle entre deux schémas \(X\) et \(Y\). Nous disons que \(\varphi\) est défini en un point \(x \in X\) s’il existe un représentant \((U, f)\) de \(\varphi\) avec \(x \in U\). Le domaine de définition de \(\varphi\) est l’ensemble de tous les points où \(\varphi\) est défini.

Avec cette définition, il n’est pas vrai en général que \(\varphi\) possède un représentant défini sur tout le domaine de définition.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas. Supposons \(X\) réduit et \(Y\) séparé. Soit \(\varphi\) une application rationnelle de \(X\) vers \(Y\) avec domaine de définition \(U \subset X\). Alors il existe un unique morphisme \(f : U \to Y\) représentant \(\varphi\). Si \(X\) et \(Y\) sont des schémas sur un schéma séparé \(S\) et si \(\varphi\) est une application rationnelle \(S\), alors \(f\) est un morphisme sur \(S\).

Démonstration

Soient \((V, g)\) et \((V', g')\) des représentants de \(\varphi\). Alors \(g, g'\) coïncident sur un sous-schéma ouvert dense \(W \subset V \cap V'\). D’un autre côté, l’égaliseur \(E\) de \(g|_{V \cap V'}\) et \(g'|_{V \cap V'}\) est un sous-schéma fermé de \(V \cap V'\) (Schémas, Lemme 01KM). Maintenant \(W \subset E\) implique que \(E = V \cap V'\) d’un point de vue des ensembles. Comme \(V \cap V'\) est réduit, nous concluons \(E = V \cap V'\) d’un point de vue schématique, c’est-à-dire, \(g|_{V \cap V'} = g'|_{V \cap V'}\). Il s’ensuit que nous pouvons recoller les représentants \(g : V \to Y\) de \(\varphi\) en un morphisme \(f : U \to Y\), voir Schémas, Lemme 01JB. Nous omettons la démonstrations de l’énoncé final.

En général, il n’est pas logique de composer des applications rationnelles. La raison est que l’image d’un représentant de la première application rationnelle peut avoir une intersection vide avec le domaine de définition de la seconde. Cependant, si nous supposons que nos schémas sont irréductibles et que nous considérons des applications rationnelles dominantes, alors nous pouvons composer des applications rationnelles.

Définition

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas irréductibles. Une application rationnelle de \(X\) vers \(Y\) est appelée dominante si tout représentant \(f : U \to Y\) est un morphisme de schémas dominant.

D’après le Lemme 01RM, il est équivalent d’exiger que le point générique \(\eta \in X\) s’envoie sur le point générique \(\xi\) de \(Y\), c’est-à-dire \(f(\eta) = \xi\) pour tout représentant \(f : U \to Y\). Nous pouvons composer une application rationnelle dominante \(\varphi\) entre des schémas irréductibles \(X\) et \(Y\) avec une application rationnelle arbitraire \(\psi\) de \(Y\) vers \(Z\). À savoir, choisir des représentants \(f : U \to Y\) avec \(U \subset X\) ouvert dense et \(g : V \to Z\) avec \(V \subset Y\) ouvert dense. Alors \(W = f^{-1}(V) \subset X\) est ouvert non vide (car il contient le point générique de \(X\)) et nous laissons \(\psi \circ \varphi\) être la classe d’équivalence de \(g \circ f|_W : W \to Z\). Nous omettons la vérification que cela est bien défini.

De cette manière, nous obtenons une catégorie dont les objets sont des schémas irréductibles et dont les morphismes sont des applications rationnelles dominantes. Étant donné un schéma de base \(S\), nous pouvons de manière similaire définir une catégorie dont les objets sont des schémas irréductibles au-dessus de \(S\) et dont les morphismes sont des \(S\)-applications rationnelles dominantes.

Définition

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas irréductibles.

Nous disons que \(X\) et \(Y\) sont birationnels si \(X\) et \(Y\) sont isomorphes dans la catégorie des schémas irréductibles et des applications rationnelles dominantes.

Supposons que \(X\) et \(Y\) sont des schémas sur un schéma de base \(S\). On dit que \(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels si \(X\) et \(Y\) sont isomorphes dans la catégorie des schémas irréductibles sur \(S\) et des applications rationnelles dominantes \(S\).

Si \(X\) et \(Y\) sont des schémas irréductibles birationnels, alors l’ensemble des applications rationnelles de \(X\) vers \(Z\) est bijectif avec l’ensemble des applications rationnelles de \(Y\) vers \(Z\) pour tous les schémas \(Z\) (fonctoriellement en \(Z\)). Pour des schémas irréductibles “généraux”, ceci n’est qu’une définition possible. Une autre serait de demander que \(X\) et \(Y\) aient des anneaux de fonctions rationnelles isomorphes. Pour les variétés, ces conditions sont équivalentes, voir Lemme 0BAD.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas irréductibles.

Les schémas \(X\) et \(Y\) sont birationnels si et seulement si ils ont des ouverts non vides isomorphes.

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des schémas sur un schéma de base \(S\). Alors \(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels si et seulement s’il existe des ouverts non vides \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) qui sont \(S\)-isomorphes.

Démonstration

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient birationnels. Soient \(f : U \to Y\) et \(g : V \to X\) définissant des applications rationnelles dominantes inverses de \(X\) vers \(Y\) et de \(Y\) vers \(X\). Nous pouvons supposer \(V\) affine. Nous pouvons remplacer \(U\) par un ouvert affine de \(f^{-1}(V)\). Comme \(g \circ f\) est l’identité en tant qu’application rationnelle dominante, nous voyons que la composition \(U \to V \to X\) est l’identité sur un ouvert dense de \(U\). Ainsi, après avoir remplacé \(U\) par un ouvert affine plus petit, nous pouvons supposer que \(U \to V \to X\) est l’inclusion de \(U\) dans \(X\). Il s’ensuit que \(U \to V\) est une immersion (appliquer Schémas, Lemme 01KT à \(U \to g^{-1}(U) \to U\)). Cependant, en inversant les rôles de \(U\) et \(V\) et en refaisant l’argument ci-dessus, nous voyons qu’il existe un ouvert affine non vide \(V' \subset V\) tel que l’inclusion se factorise en \(V' \to U \to V\). Alors \(V' \to U\) est nécessairement une immersion ouverte. En effet, \(V' \to f^{-1}(V') \to V'\) sont des monomorphismes (Schémas, Lemme 01L7) se composant pour donner l’identité, donc des isomorphismes. Ainsi \(V'\) est isomorphe à un ouvert à la fois de \(X\) et \(Y\). Dans le cas des \(S\)-applications rationnelles, le même argument exact fonctionne.

Remarque

Voici une généralisation de la catégorie des schémas irréductibles et des applications rationnelles dominantes. Pour un schéma \(X\), notons \(X^0\) l’ensemble des points \(x \in X\) avec \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\), en d’autres termes, \(X^0\) est l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Ensuite, nous pouvons considérer la catégorie avec

objets étant les schémas \(X\) tels que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles, et

morphismes de \(X\) vers \(Y\) étant des applications rationnelles \(f : U \to Y\) de \(X\) vers \(Y\) telles que \(f(U^0) = Y^0\).

Si \(U \subset X\) est un ouvert dense d’un schéma, alors \(U^0 \subset X^0\) n’a pas besoin d’être une égalité, mais si \(X\) est un objet de notre catégorie, alors c’est le cas. Ainsi, étant donnés deux morphismes dans notre catégorie, la composition est bien définie et un morphisme dans notre catégorie.

Remarque

Il existe une variante de la Définition 01RS où nous considérons uniquement les morphismes \(U \to Y\) définis sur des sous-schémas ouverts schématiquement denses \(U \subset X\). Nous utilisons le Lemme 01RF pour voir que nous obtenons une relation d’équivalence. Une classe d’équivalence de ceux-ci est appelée un pseudo-morphisme de \(X\) à \(Y\). Si \(X\) est réduit, les deux notions coïncident.

Morphismes birationnels

Vous êtes peut-être habitué à la notion d’application birationnelle de variétés ayant la propriété d’être un isomorphisme sur un ouvert de la cible. Cependant, en général, un morphisme birationnel peut ne pas être un isomorphisme sur un ouvert non vide, voir Exemple 01RQ. Voici la définition formelle.

Définition

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Supposons que \(X\) et \(Y\) aient un nombre fini de composantes irréductibles. On dit qu’un morphisme \(f : X \to Y\) est birationnel si

\(f\) induit une bijection entre l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\) et l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(Y\), et

pour chaque point générique \(\eta \in X\) d’une composante irréductible de \(X\), l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, f(\eta)} \to \mathcal{O}_{X, \eta}\) est un isomorphisme.

Nous verrons ci-dessous que les fibres d’un morphisme birationnel au-dessus des points génériques sont des singletons. De plus, nous verrons que dans la plupart des cas rencontrés en pratique, l’existence d’un morphisme birationnel entre des schémas irréductibles \(X\) et \(Y\) implique que \(X\) et \(Y\) sont des schémas birationnels.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(f\) est birationnel alors \(f\) est dominant.

Démonstration

Cela découle du Lemme 01RK et de la définition.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel de schémas ayant un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(y \in Y\) est le point générique d’une composante irréductible, alors le changement de base \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) est un isomorphisme.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(Y = \Spec(B)\) est affine et irréductible. Alors \(X\) est irréductible aussi. Si nous prouvons le résultat pour tout ouvert affine non vide \(U \subset X\), alors le résultat vaut pour \(X\) (petit argument omis). Par conséquent, nous pouvons supposer que \(X\) est affine aussi, disons \(X = \Spec(A)\). Soit \(y \in Y\) correspondant au premier idéal minimal \(\mathfrak q \subset B\). D’après l’hypothèse, \(A\) a un unique premier idéal minimal \(\mathfrak p\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et \(B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\) est un isomorphisme. Il s’ensuit que \(A_\mathfrak q \to \kappa(\mathfrak p)\) est surjectif, donc \(\mathfrak p A_\mathfrak q\) est un idéal maximal. D’autre part, \(\mathfrak p A_\mathfrak q\) est le seul premier idéal minimal de \(A_\mathfrak q\). Nous concluons que \(\mathfrak p A_\mathfrak q\) est le seul idéal premier de \(A_\mathfrak q\) et que \(A_\mathfrak q = A_\mathfrak p\). Puisque \(A_\mathfrak q = A \otimes_B B_\mathfrak q\), le lemme s’ensuit.

Exemple

Voici deux exemples de morphismes birationnels qui ne sont pas des isomorphismes sur aucun ouvert de la cible.

Premier exemple. Soit \(k\) un corps infini. Soit \(A = k[x]\). Soit \(B = k[x, \{y_{\alpha}\}_{\alpha \in k}]/ ((x-\alpha)y_\alpha, y_\alpha y_\beta)\). Il existe une inclusion \(A \subset B\) et une rétraction \(B \to A\) définissant tous les \(y_\alpha\) égaux à zéro. Le morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(B)\) ainsi que le morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) sont birationnels mais ne sont pas des isomorphismes sur aucun ouvert.

Second exemple. Soit \(A\) un domaine. Soit \(S \subset A\) un sous-ensemble multiplicatif ne contenant pas \(0\). Avec \(B = S^{-1}A\), le morphisme \(f : \Spec(B) \to \Spec(A)\) est birationnel. S’il existe un ouvert \(U\) de \(\Spec(A)\) tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme, alors il existe un \(a \in A\) tel que chaque élément de \(S\) devienne inversible dans la localisation principale \(A_a\). En prenant \(A = \mathbf{Z}\) et \(S\), l’ensemble des entiers impairs donne un contre-exemple.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel de schémas ayant un nombre fini de composantes irréductibles sur un schéma de base \(S\). Supposons que l’une des conditions suivantes soit remplie

\(f\) est localement de type fini et \(Y\) réduit,

\(f\) est localement de présentation finie.

Alors il existe des ouverts denses \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\) et \(f|_U : U \to V\) est un isomorphisme. En particulier, si \(X\) et \(Y\) sont irréductibles, alors \(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels.

Démonstration

Il y a une réduction immédiate au cas où \(X\) et \(Y\) sont irréductibles que nous omettons. De plus, après avoir encore restreint, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines, disons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). Par hypothèse, \(A\), resp. \(B\) a un unique idéal premier minimal \(\mathfrak p\), resp. \(\mathfrak q\), le premier \(\mathfrak p\) est au-dessus de \(\mathfrak q\), et \(B_\mathfrak q = A_\mathfrak p\). Par le Lemme 0BAB nous avons \(B_\mathfrak q = A_\mathfrak q = A_\mathfrak p\).

Supposons que \(B \to A\) soit de type fini, disons \(A = B[x_1, \ldots, x_n]\). Il existe un \(b_i \in B\) et \(g_i \in B \setminus \mathfrak q\) tels que \(b_i/g_i\) s’envoie à l’image de \(x_i\) dans \(A_\mathfrak q\). Par conséquent, \(b_i - g_ix_i\) s’envoie sur zéro dans \(A_{g_i'}\) pour un certain \(g_i' \in B \setminus \mathfrak q\). En posant \(g = \prod g_i g'_i\) nous voyons que \(B_g \to A_g\) est surjectif. Si de plus \(Y\) est réduit, alors l’application \(B_g \to B_\mathfrak q\) est injective et donc \(B_g \to A_g\) est également injective. Cela prouve le cas (1).

Démonstration de (2). Par l’argument donné dans le paragraphe précédent, nous pouvons supposer que \(B \to A\) est surjectif. Comme \(f\) est localement de présentation finie, le noyau \(J \subset B\) est un idéal de type fini. Disons \(J = (b_1, \ldots, b_r)\). Puisque \(B_\mathfrak q = A_\mathfrak q\), il existe \(g_i \in B \setminus \mathfrak q\) tels que \(g_i b_i = 0\). En posant \(g = \prod g_i\), nous voyons que \(B_g \to A_g\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas irréductibles localement de présentation finie sur \(S\). Soient \(x \in X\) et \(y \in Y\) les points génériques. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels,

il existe des ouverts non vides de \(X\) et \(Y\) qui sont \(S\)-isomorphes, et

\(x\) et \(y\) s’envoient sur le même point \(s\) de \(S\) et \(\mathcal{O}_{X, x}\) et \(\mathcal{O}_{Y, y}\) sont isomorphes en tant qu’algèbres \(\mathcal{O}_{S, s}\).

Démonstration

Nous avons vu l’équivalence de (1) et (2) dans le Lemme 0BAA. Il est immédiat que (2) implique (3). Pour finir, nous supposons que (3) est vrai et nous prouvons (1). Par le Lemme 0BX8, il existe une application rationnelle \(f : U \to Y\) qui envoie \(x \in U\) sur \(y\) et induit l’isomorphisme donné \(\mathcal{O}_{Y, y} \cong \mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi \(f\) est un morphisme birationnel et induit donc un isomorphisme sur des ouverts non vides par le Lemme 0BAC. Cela termine la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas intègres localement de type fini sur \(S\). Soient \(x \in X\) et \(y \in Y\) les points génériques. Les conditions suivantes sont équivalentes

\(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels,

il existe des ouverts non vides de \(X\) et \(Y\) qui sont \(S\)-isomorphes, et

\(x\) et \(y\) ont la même image \(s \in S\) et \(\kappa(x) \cong \kappa(y)\) en tant qu’extensions \(\kappa(s)\).

Démonstration

Nous avons vu l’équivalence de (1) et (2) dans le Lemme 0BAA. Il est immédiat que (2) implique (3). Pour finir, nous supposons que (3) est vrai et nous prouvons (1). Observez que \(\mathcal{O}_{X, x} = \kappa(x)\) et \(\mathcal{O}_{Y, y} = \kappa(y)\) par l’Algèbre, Lemme 00EU. Par le Lemme 0BX8 il existe une application rationnelle \(f : U \to Y\) qui envoie \(x \in U\) sur \(y\) et induit l’isomorphisme donné \(\mathcal{O}_{Y, y} \cong \mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi \(f\) est un morphisme birationnel et induit donc un isomorphisme sur des ouverts non vides par le Lemme 0BAC. Cela termine la démonstration.

Morphismes génériquement finis

Dans cette section, nous caractérisons les applications entre schémas qui sont localement de type fini et qui sont “génériquement fini” d’une certaine manière.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. Soit \(\eta \in Y\) un point générique d’une composante irréductible de \(Y\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

l’ensemble \(f^{-1}(\{\eta\})\) est fini,

il existe des ouverts affines \(U_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\) et \(V \subset Y\) avec \(f(U_i) \subset V\), \(\eta \in V\) et \(f^{-1}(\{\eta\}) \subset \bigcup U_i\) tels que chaque \(f|_{U_i} : U_i \to V\) soit fini.

Si \(f\) est quasi-séparé, alors ceci est également équivalent à

il existe des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) avec \(f(U) \subset V\), \(\eta \in V\) et \(f^{-1}(\{\eta\}) \subset U\) tels que \(f|_U : U \to V\) soit fini.

Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors ceux-ci sont également équivalents à

il existe un ouvert affine \(V \subset Y\), \(\eta \in V\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

La question est locale sur la base. Par conséquent, nous pouvons remplacer \(Y\) par un voisinage affine de \(\eta\), et nous pouvons et faisons l’hypothèse tout au long de la démonstration ci-dessous que \(Y\) est affine, disons \(Y = \Spec(R)\).

Il est clair que (2) implique (1). Supposons que \(f^{-1}(\{\eta\}) = \{\xi_1, \ldots, \xi_n\}\) soit fini. Choisissez des ouverts affines \(U_i \subset X\) avec \(\xi_i \in U_i\). Par Algèbre, Lemme 02ML nous voyons qu’après avoir remplacé \(Y\) par un ouvert principal dans \(Y\), chacun des morphismes \(U_i \to Y\) est fini. En d’autres termes, (2) est vrai.

Il est clair que (3) implique (1). Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et (1). Écrivons \(f^{-1}(\{\eta\}) = \{\xi_1, \ldots, \xi_n\}\). Il n’y a pas de spécialisations parmi les \(\xi_i\) d’après le Lemme 02NG. Puisque chaque \(\xi_i\) s’envoie sur le point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(Y\), il ne peut y avoir de spécialisation non triviale \(\xi \leadsto \xi_i\) dans \(X\) (puisque \(\xi\) s’enverrait également sur \(\eta\)). Nous concluons que chaque \(\xi_i\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\). Puisque \(Y\) est affine et \(f\) quasi-séparé, nous voyons que \(X\) est quasi-séparé. D’après les Propriétés, Lemme 01ZV. nous pouvons trouver un ouvert affine \(U \subset X\) contenant chaque \(\xi_i\). Par l’Algèbre, Lemme 02ML nous voyons qu’après avoir remplacé \(Y\) par un ouvert principal dans \(Y\) les morphismes \(U \to Y\) sont finis. En autres termes (3) est vrai.

Il est clair que (4) implique toutes les conditions (1) – (3) sans autre hypothèse sur \(f\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Nous devons montrer que les conditions équivalentes (1) – (3) impliquent (4). Soient \(U\), \(V\) comme dans (3). Remplacez \(Y\) par \(V\). Puisque \(f\) est quasi-compact et \(Y\) est quasi-compact (étant affine), nous voyons que \(X\) est quasi-compact. Par conséquent, \(Z = X \setminus U\) est quasi-compact, donc le morphisme \(f|_Z : Z \to Y\) est quasi-compact. Par la construction de \(Z\), nous voyons que \(\eta \not \in f(Z)\). Par conséquent, d’après le Lemme 02NE, nous voyons qu’il existe un ouvert affine voisinage \(V'\) de \(\eta\) dans \(Y\) tel que \(f^{-1}(V') \cap Z = \emptyset\). Alors nous avons \(f^{-1}(V') \subset U\) et cela signifie que \(f^{-1}(V') \to V'\) est fini.

Exemple

Soit \(A = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\). Chaque élément de \(A\) est idempotent. Ainsi, tout idéal premier est maximal avec corps résiduel \(\mathbf{F}_2\). Ainsi, la topologie sur \(X = \Spec(A)\) est totalement déconnectée et quasi-compacte. Les applications de projection \(A \to \mathbf{F}_2\) définissent des points ouverts de \(\Spec(A)\). Il ne peut pas être le cas que tous les points de \(X\) soient ouverts puisque \(X\) est quasi-compact. Soit \(x \in X\) un point fermé qui n’est pas ouvert. Alors nous pouvons former un schéma \(Y\) constitué de deux copies de \(X\) collées le long de \(X \setminus \{x\}\). En d’autres termes, il s’agit de \(X\) avec \(x\) doublé, comparer Schémas, Exemple 01JD. Le morphisme \(f : Y \to X\) est quasi-compact, de type fini et a des fibres finies mais n’est pas quasi-séparé. Le point \(x \in X\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\) (puisque \(X\) est totalement déconnecté). Mais les propriétés (3) et (4) du Lemme 02NW ne sont pas vérifiées. La raison est que pour tout voisinage ouvert \(x \in U \subset X\), l’image réciproque \(f^{-1}(U)\) n’est pas affine parce que les fonctions sur \(f^{-1}(U)\) ne peuvent pas séparer les deux points situés au-dessus de \(x\) (démonstration omise ; c’est un bel exercice). Ainsi, la condition que \(f\) soit quasi-séparé est nécessaire dans les parties (3) et (4) du lemme.

Remarque

Une alternative au Lemme 02NW est l’énoncé qu’un morphisme quasi-fini est fini sur un ouvert dense de la cible. Cela sera démontré dans Compléments sur les morphismes, Lemme 03I1.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. Soient \(X^0\), resp. \(Y^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\), resp. \(Y\). Soit \(\eta \in Y^0\). Les conditions suivantes sont équivalentes

\(f^{-1}(\{\eta\}) \subset X^0\),

\(f\) est quasi-fini en tous les points au-dessus de \(\eta\),

\(f\) est quasi-fini en tous \(\xi \in X^0\) au-dessus de \(\eta\).

Démonstration

La condition (1) implique qu’il n’y a pas de spécialisations parmi les points de la fibre \(X_\eta\). Par conséquent, (2) est vrai par le Lemme 01TH. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Puisque \(\eta\) est un point générique de \(Y\), les points génériques de \(X_\eta\) sont des points génériques de \(X\). Par conséquent, (3) et le Lemme 01TH impliquent que les points génériques de \(X_\eta\) sont également fermés. Ainsi, tous les points de \(X_\eta\) sont génériques et nous voyons que (1) est vrai.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. Soient \(X^0\), resp. \(Y^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\), resp. \(Y\). Supposons

\(X^0\) et \(Y^0\) sont finis et \(f^{-1}(Y^0) = X^0\),

soit \(f\) est quasi-compact, soit \(f\) est séparé.

Alors il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Puisque \(Y\) a un nombre fini de composantes irréductibles, nous pouvons trouver un ouvert dense qui est une union disjointe de ses composantes irréductibles. Ainsi, nous pouvons supposer que \(Y\) est un affine irréductible avec un point générique \(\eta\). Alors la fibre au-dessus de \(\eta\) est finie car \(X^0\) est fini.

Supposons que \(f\) soit séparé et \(Y\) affine irréductible. Choisissez \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) comme dans le Lemme 02NW partie (3). Puisque \(f|_U : U \to V\) est fini, nous voyons que \(U \subset f^{-1}(V)\) est fermé ainsi qu’ouvert (Lemmes 01W6 et 01WN). Ainsi \(f^{-1}(V) = U \amalg W\) pour un certain sous-schéma ouvert \(W\) de \(X\). Cependant, puisque \(U\) contient tous les points génériques de \(X\), nous concluons que \(W = \emptyset\) comme souhaité.

Supposons que \(f\) soit quasi-compact et \(Y\) affine irréductible. Alors \(X\) est quasi-compact, donc il existe un sous-schéma ouvert dense \(U \subset X\) qui est séparé (Propriétés, Lemme 03J1). Comme l’ensemble des points génériques \(X^0\) est fini, nous voyons que \(X^0 \subset U\). Ainsi \(\eta \not \in f(X \setminus U)\). Comme \(X \setminus U \to Y\) est quasi-compact, nous concluons qu’il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \subset U\), voir Lemme 01RL. Après avoir remplacé \(X\) par \(f^{-1}(V)\) et \(Y\) par \(V\), nous nous réduisons au cas séparé que nous avons traité dans le paragraphe précédent.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme birationnel entre des schémas qui ont un nombre fini de composantes irréductibles. Supposons

soit \(f\) est quasi-compact, soit \(f\) est séparé, et

soit \(f\) est localement de type fini et \(Y\) est réduit, soit \(f\) est localement de présentation finie.

Alors, il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Par le Lemme 0BAI nous pouvons supposer que \(f\) est fini. Comme \(Y\) a un nombre fini de composantes irréductibles, nous pouvons trouver un ouvert dense qui est une union disjointe de ses composantes irréductibles. Ainsi nous pouvons supposer que \(Y\) est irréductible. Par le Lemme 0BAC nous trouvons un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f|_U : U \to Y\) est une immersion ouverte. Après avoir retiré le sous-ensemble fermé (comme \(f\) est fini) \(f(X \setminus U)\) de \(Y\) nous voyons que \(f\) est un isomorphisme.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas intègres. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. Supposons que \(f\) est dominant. Les conditions suivantes sont équivalentes :

l’extension \(R(Y) \subset R(X)\) a un degré de transcendance \(0\),

l’extension \(R(Y) \subset R(X)\) est finie,

il existe des ouverts affines non vides \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\) et \(f|_U : U \to V\) soit fini, et

le point générique de \(X\) est le seul point de \(X\) qui s’envoie sur le point générique de \(Y\).

Si \(f\) est séparé ou si \(f\) est quasi-compact, alors cela équivaut également à

il existe un ouvert affine non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Choisissez des ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\). Alors \(R\) et \(A\) sont des anneaux intègres par définition. L’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est de type fini (Lemme 01T2). D’après le Lemme 01RM, le point générique de \(X\) s’envoie sur le point générique de \(Y\), donc \(R \to A\) est injectif. Soit \(K = R(Y)\) le corps des fractions de \(R\) et \(L = R(X)\) le corps des fractions de \(A\). Alors \(L/K\) est une extension de corps de type fini. Ainsi, nous voyons que (1) est équivalent à (2).

Supposons que (2) soit vrai. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in A\) des générateurs de \(A\) sur \(R\). D’après l’hypothèse, il existe des polynômes non nuls \(P_i(X) \in R[X]\) tels que \(P_i(x_i) = 0\). Soit \(f_i \in R\) le coefficient principal de \(P_i\). Nous concluons alors que \(R_{f_1 \ldots f_n} \to A_{f_1 \ldots f_n}\) est fini, c’est-à-dire que (3) est vrai. Notez que (3) implique (2). Nous voyons donc maintenant que (1), (2) et (3) sont tous équivalents.

Soit \(\eta\) le point générique de \(X\), et soit \(\eta' \in Y\) le point générique de \(Y\). Supposons (4). Alors \(\dim_\eta(X_{\eta'}) = 0\) et nous voyons que \(R(X) = \kappa(\eta)\) a un degré de transcendance \(0\) sur \(R(Y) = \kappa(\eta')\) par le Lemme 02FX. En d’autres termes, (1) est vrai. Supposons les conditions équivalentes (1), (2) et (3). Supposons que \(x \in X\) soit un point se mappant sur \(\eta'\). Comme \(x\) est une spécialisation de \(\eta\), cela donne des inclusions \(R(Y) \subset \mathcal{O}_{X, x} \subset R(X)\), ce qui implique que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un corps, voir Algèbre, Lemme 00GS. Ainsi \(x = \eta\). Nous voyons donc que (1) – (4) sont tous équivalents.

Il est clair que (5) implique (3) sans hypothèses supplémentaires sur \(f\). Il reste à prouver que si \(f\) est soit séparé soit quasi-compact, alors les conditions équivalentes (1) – (4) impliquent (5). Cela résulte du lemme 0BAI.

Définition

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas intègres. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini et dominant. Supposons \([R(X) : R(Y)] < \infty\), ou toute autre des conditions équivalentes (1) – (4) du Lemme 02NX. Alors l’entier positif \[\deg(X/Y) = [R(X) : R(Y)]\] est appelé le degré de \(X\) sur \(Y\).

Il est possible d’étendre cette notion à un morphisme \(f : X \to Y\) si (a) \(Y\) est intègre avec point générique \(\eta\), (b) \(f\) est localement de type fini, et (c) \(f^{-1}(\{\eta\})\) est fini. Dans ce cas, nous pouvons définir \[\deg(X/Y) = \sum\nolimits_{\xi \in X, \ f(\xi) = \eta} \dim_{R(Y)} (\mathcal{O}_{X, \xi}).\] À savoir, étant donné que \(R(Y) = \kappa(\eta) = \mathcal{O}_{Y, \eta}\) (Lemme 01RV) les dimensions ci-dessus sont finies par le Lemme 02NW ci-dessus. Cependant, pour la plupart des applications, la définition donnée ci-dessus est la bonne.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\), \(Z\) des schémas intègres. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes dominants localement de type fini. Supposons que \([R(X) : R(Y)] < \infty\) et \([R(Y) : R(Z)] < \infty\). Alors \[\deg(X/Z) = \deg(X/Y) \deg(Y/Z).\]

Démonstration

Cela provient de la multiplicativité des degrés dans les tours d’extensions finies de corps, voir Corps, Lemme 09G9.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Il y a (au moins) deux propriétés que nous pourrions utiliser pour définir les morphismes génériquement finis. Celles-ci correspondent à la question de savoir si vous voulez que la propriété soit locale sur la source ou locale sur le but :

(Locale sur le but ; suggéré par Ravi Vakil.) Supposons que tout ouvert quasi-compact de \(Y\) ait un nombre fini de composantes irréductibles (par exemple si \(Y\) est localement noethérien). L’exigence est que l’image réciproque de chaque point générique soit finie, voir Lemme 02NW.

(Local sur la source.) L’exigence est qu’il existe un ouvert dense \(U \subset X\) tel que \(U \to Y\) soit localement quasi-fini.

Dans le cas (1), l’exigence peut être formulée sans la condition auxiliaire sur \(Y\), mais ne donne probablement pas la bonne notion pour les schémas en général. La propriété (2) telle que formulée n’implique pas que les fibres au-dessus des points génériques soient finies ; cependant, si \(f\) est quasi-compact et que \(Y\) est comme dans (1), alors c’est le cas.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre. Une modification de \(X\) est un morphisme birationnel propre \(f : X' \to X\) avec \(X'\) intègre.

Soit \(f : X' \to X\) une modification comme dans la définition. D’après le Lemme 02NX il existe un \(U \subset X\) non vide tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit fini. Par platitude générique (Proposition 052A) nous pouvons supposer que \(f^{-1}(U) \to U\) est plat et de présentation finie. Ainsi \(f^{-1}(U) \to U\) est fini localement libre (Lemme 02KB). Puisque \(f\) est birationnel, le degré de \(X'\) sur \(X\) est \(1\). Par conséquent, \(f^{-1}(U) \to U\) est fini localement libre de degré \(1\), autrement dit c’est un isomorphisme. Ainsi nous pouvons redéfinir une modification pour être un morphisme propre \(f : X' \to X\) de schémas intègres tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme pour un ouvert non vide \(U \subset X\).

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre. Une altération de \(X\) est un morphisme propre dominant \(f : Y \to X\) avec \(Y\) intègre tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit fini pour un certain ouvert non vide \(U \subset X\).

Ceci est la définition donnée dans [alterations], sauf que ici nous ne supposons pas que \(X\) et \(Y\) soient noethériens. En argumentant comme ci-dessus, nous voyons qu’une altération est un morphisme propre dominant \(f : Y \to X\) de schémas intègres qui induit une extension finie de corps de fonctions, c’est-à-dire, telle que les conditions équivalentes du Lemme 02NX soient vérifiées.

La formule de dimension

Pour les morphismes entre schémas noethériens, nous pouvons dire un peu plus sur les dimensions des anneaux locaux. Voici un résultat important (et pas si difficile à prouver). Rappelons que \(R(X)\) désigne le corps des fonctions d’un schéma intègre \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\), et posons \(s = f(x)\). Supposons

\(S\) localement noethérien,

\(f\) localement de type fini,

\(X\) et \(S\) intègres, et

\(f\) dominant.

Nous avons [02JV]\[\begin{equation} \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{S, s}) + \text{trdeg}_{R(S)}R(X) - \text{trdeg}_{\kappa(s)} \kappa(x). \end{equation}\] De plus, l’égalité est vérifiée si \(S\) est universellement caténaire.

Démonstration

L’énoncé algébrique correspondant est Algèbre, Lemme 02IJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\), et posons \(s = f(x)\). Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Nous avons [0BAF]\[\begin{equation} \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{S, s}) + E - \text{trdeg}_{\kappa(s)} \kappa(x). \end{equation}\] où \(E\) est le maximum de \(\text{trdeg}_{\kappa(f(\xi))}(\kappa(\xi))\) lorsque \(\xi\) parcourt les points génériques des composantes irréductibles de \(X\) contenant \(x\).

Démonstration

Soient \(X_1, \ldots, X_n\) les composantes irréductibles de \(X\) contenant \(x\) munies de leur structure de schéma induite réduite. Celles-ci correspondent aux idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_i\) de \(\mathcal{O}_{X, x}\) et il y en a donc un nombre fini (Schémas, Lemme 01J7 et Algèbre, Lemme 00FR). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \max \dim(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak q_i) = \max \dim(\mathcal{O}_{X_i, x})\). Les \(\xi\) apparaissant dans la définition de \(E\) sont exactement les points génériques \(\xi_i \in X_i\). Soit \(Z_i = \overline{\{f(\xi_i)\}} \subset S\) muni de la structure de schéma induite réduite. La composition \(X_i \to X \to S\) se factorise par \(Z_i\) (Schémas, Lemme 0356). Ainsi nous pouvons appliquer la formule de dimension (Lemme 02JU) pour voir que \(\dim(\mathcal{O}_{X_i, x}) \leq \dim(\mathcal{O}_{Z_i, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(f(\xi))}(\kappa(\xi)) - \text{trdeg}_{\kappa(s)} \kappa(x)\). En combinant le tout, nous obtenons le lemme.

Une application est la construction d’une fonction de dimension sur tout schéma de type fini sur un schéma universellement caténaire doté d’une fonction de dimension. Pour la définition des fonctions de dimension, voir Topologie, Définition 02I9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien et universellement caténaire. Soit \(\delta : S \to \mathbf{Z}\) une fonction de dimension. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) localement de type fini. Alors l’application \[\begin{align*} \delta = \delta_{X/S} : X & \longrightarrow \mathbf{Z} \\ x & \longmapsto \delta(f(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(f(x))} \kappa(x) \end{align*}\] est une fonction de dimension sur \(X\).

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) localement de type fini. Soient \(x \leadsto y\), \(x \not = y\) une spécialisation dans \(X\). Nous devons montrer que \(\delta_{X/S}(x) > \delta_{X/S}(y)\) et que \(\delta_{X/S}(x) = \delta_{X/S}(y) + 1\) si \(y\) est une spécialisation immédiate de \(x\).

Choisissez un ouvert affine \(V \subset S\) contenant l’image de \(y\) et choisissons un ouvert affine \(U \subset X\) dont l’image est contenue dans \(V\) et contenant \(y\). Nous pouvons clairement remplacer \(X\) par \(U\) et \(S\) par \(V\). Ainsi nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) et \(S = \Spec(R)\) et que \(f\) est donné par un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\). L’anneau \(R\) est universellement caténaire (Lemme 02J9) et l’application \(R \to A\) est de type fini (Lemme 01T2).

Soit \(\mathfrak q \subset A\) l’idéal premier correspondant au point \(x\) et soit \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant à \(f(x)\). La restriction \(\delta'\) de \(\delta\) à \(S' = \Spec(R/\mathfrak p) \subset S\) est une fonction de dimension. L’anneau \(R/\mathfrak p\) est universellement caténaire. La restriction de \(\delta_{X/S}\) à \(X' = \Spec(A/\mathfrak q)\) est clairement égale à la fonction \(\delta_{X'/S'}\) construite à l’aide de la fonction de dimension \(\delta'\). Par conséquent, on peut supposer, en plus de ce qui précède, que \(R \subset A\) sont des domaines, en d’autres termes que \(X\) et \(S\) sont des schémas intègres, et que \(x\) est le point générique de \(X\) et \(f(x)\) est le point générique de \(S\).

Notez que \(\mathcal{O}_{X, x} = R(X)\) et que puisque \(x \leadsto y\), \(x \not = y\), le spectre de \(\mathcal{O}_{X, y}\) a au moins deux points (Schémas, Lemme 01J7) donc \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}) > 0\). Si \(y\) est une spécialisation immédiate de \(x\), alors \(\Spec(\mathcal{O}_{X, y}) = \{x, y\}\) et \(\dim(\mathcal{O}_{X, y}) = 1\).

Écrivez \(s = f(x)\) et \(t = f(y)\). Nous calculons \[\begin{align*} \delta_{X/S}(x) - \delta_{X/S}(y) & = \delta(s) + \text{trdeg}_{\kappa(s)} \kappa(x) - \delta(t) - \text{trdeg}_{\kappa(t)} \kappa(y) \\ & = \delta(s) - \delta(t) + \text{trdeg}_{R(S)} R(X) - \text{trdeg}_{\kappa(t)} \kappa(y) \\ & = \delta(s) - \delta(t) + \dim(\mathcal{O}_{X, y}) - \dim(\mathcal{O}_{S, t}) \end{align*}\] où nous utilisons l’égalité dans (02JV) à la dernière étape. Puisque \(\delta\) est une fonction de dimension sur le schéma \(S\) et \(s \in S\) est le point générique, la différence \(\delta(s) - \delta(t)\) est égale à \(\text{codim}(\overline{\{t\}}, S)\) par Topologie, Lemme 02IA. C’est égal à \(\dim(\mathcal{O}_{S, t})\) par Propriétés, Lemme 02IZ. Ainsi Nous concluons que \[\delta_{X/S}(x) - \delta_{X/S}(y) = \dim(\mathcal{O}_{X, y})\] et le lemme découle de ce que nous avons dit ci-dessus à propos de \(\dim(\mathcal{O}_{X, y})\).

Une autre application de la formule de la dimension est que la dimension ne change pas sous “altérations” (à définir plus tard).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(Y\) soit localement noethérien,

\(X\) et \(Y\) soient des schémas intègres,

\(f\) soit dominant, et

\(f\) soit localement de type fini.

Alors nous avons \[\dim(X) \leq \dim(Y) + \text{trdeg}_{R(Y)} R(X).\] Si \(f\) est fermé¹⁶ alors l’égalité est vérifiée.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) comme dans le lemme. Soit \(\xi_0 \leadsto \xi_1 \leadsto \ldots \leadsto \xi_e\) une suite de spécialisations dans \(X\). Posons \(x = \xi_e\) et \(y = f(x)\). Remarquons que \(e \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x})\) tel que les spécialisations données apparaissent dans le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\), voir Schémas, Lemme 01J7. Par la formule de dimension, Lemme 02JU, nous voyons que \[\begin{align*} e & \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \\ & \leq \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) + \text{trdeg}_{R(Y)} R(X) - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \\ & \leq \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) + \text{trdeg}_{R(Y)} R(X) \end{align*}\] Par conséquent, nous concluons que \(e \leq \dim(Y) + \text{trdeg}_{R(Y)} R(X)\) comme souhaité.

Ensuite, supposons que \(f\) soit également fermé. Supposons que \(\overline{\xi}_0 \leadsto \overline{\xi}_1 \leadsto \ldots \leadsto \overline{\xi}_d\) soit une suite de spécialisations dans \(Y\). Nous voulons montrer que \(\dim(X) \geq d + r\). Nous pouvons supposer que \(\overline{\xi}_0 = \eta\) est le point générique de \(Y\). La fibre générique \(X_\eta\) est un schéma localement de type fini sur \(\kappa(\eta) = R(Y)\). Elle est non vide puisque \(f\) est dominant. Ainsi, d’après le Lemme 02J6, c’est un Schéma de Jacobson. Donc, d’après le Lemme 01TB, nous pouvons trouver un point fermé \(\xi_0 \in X_\eta\) et l’extension \(\kappa(\eta) \subset \kappa(\xi_0)\) est une extension finie. Notez que \(\mathcal{O}_{X, \xi_0} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi_0}\) parce que \(\eta\) est le point générique de \(Y\). Ainsi, nous voyons que \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi_0}) = r\) par le Lemme 02JU appliqué au schéma \(X_\eta\) sur le schéma universellement caténaire \(\Spec(\kappa(\eta))\) (voir Lemme 02JB) et le point \(\xi_0\). Cela signifie que nous pouvons trouver \(\xi_{-r} \leadsto \ldots \leadsto \xi_{-1} \leadsto \xi_0\) dans \(X\). D’autre part, comme \(f\) est des spécialisations fermées, on peut relever le long de \(f\), voir Topologie, Lemme 0066. Ainsi, comme \(\xi_0\) se situe au-dessus de \(\eta = \overline{\xi}_0\), nous pouvons trouver des spécialisations \(\xi_0 \leadsto \xi_1 \leadsto \ldots \leadsto \xi_d\) au-dessus de \(\overline{\xi}_0 \leadsto \overline{\xi}_1 \leadsto \ldots \leadsto \overline{\xi}_d\). En d’autres termes, nous avons \[\xi_{-r} \leadsto \ldots \leadsto \xi_{-1} \leadsto \xi_0 \leadsto \xi_1 \leadsto \ldots \leadsto \xi_d\] ce qui signifie que \(\dim(X) \geq d + r\) comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Alors \[\dim(X) \leq \dim(Y) + E\] où \(E\) est le supremum de \(\text{trdeg}_{\kappa(f(\xi))}(\kappa(\xi))\) lorsque \(\xi\) parcourt les points génériques des composantes irréductibles de \(X\).

Démonstration

Conséquence immédiate du Lemme 0BAE et des Propriétés, Lemme 04MU.

Normalisation relative

Dans cette section, nous construisons la normalisation d’un schéma dans un autre .

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. Le sous-faisceau \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) défini par la règle \[U \longmapsto \{f \in \mathcal{A}(U) \mid f_x \in \mathcal{A}_x \text{ entier sur } \mathcal{O}_{X, x} \text{ pour tout }x \in U\}\] est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente, le germe \(\mathcal{A}'_x\) est la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans \(\mathcal{A}_x\), et pour tout ouvert affine \(U \subset X\) l’anneau \(\mathcal{A}'(U) \subset \mathcal{A}(U)\) est la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X(U)\) dans \(\mathcal{A}(U)\).

Démonstration

Il s’agit d’un sous-faisceau par la nature locale des conditions. C’est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre d’après Algèbre, Lemme 00GO. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Soit \(U = \Spec(R)\) et supposons que \(\mathcal{A}\) soit le faisceau quasi-cohérent associé à la \(R\)-algèbre \(A\). Alors, d’après Algèbre, Lemme 034K, la valeur de \(\mathcal{A}'\) sur \(U\) est donnée par la clôture intégrale \(A'\) de \(R\) dans \(A\). Cela prouve la dernière assertion du lemme. Pour prouver que \(\mathcal{A}'\) est quasi-cohérent, il suffit de montrer que \(\mathcal{A}'(D(f)) = A'_f\). Cela résulte du fait que la clôture intégrale et la localisation commutent, voir Algèbre, Lemme 0307. Le même fait montre que les fibres sont comme annoncé.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent d’\(\mathcal{O}_X\)-algèbres. La clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans \(\mathcal{A}\) est la \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) construite dans le Lemme 035F ci-dessus.

Dans le cadre de la définition ci-dessus, nous pouvons considérer le morphisme des spectres relatifs \[\xymatrix{ Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A}) \ar[rr] \ar[rd] & & X' = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A}') \ar[ld] \\ & X & }\] voir Lemme 01SA. Le schéma \(X' \to X\) sera la normalisation de \(X\) dans le schéma \(Y\). Voici un contexte légèrement plus général. Supposons que nous ayons un quasi-compact et un quasi-morphisme séparé \(f : Y \to X\) de schémas. Dans ce cas, le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(f_*\mathcal{O}_Y\) est quasi-cohérent, voir Schémas, Lemme 01LC. En prenant la clôture intégrale \(\mathcal{O}' \subset f_*\mathcal{O}_Y\) nous obtenons un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres dont le spectre relatif est la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Voici la définition formelle.

Définition

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{O}'\) la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans \(f_*\mathcal{O}_Y\). La normalisation de \(X\) dans \(Y\) est le schéma¹⁷ \[\nu : X' = \underline{\Spec}_X(\mathcal{O}') \to X\] au-dessus de \(X\). Il est muni d’une factorisation naturelle \[Y \xrightarrow{f'} X' \xrightarrow{\nu} X\] du morphisme initial \(f\).

La factorisation est la composition du morphisme canonique \(Y \to \underline{\Spec}_X(f_*\mathcal{O}_Y)\) (voir Constructions, Lemme 01LY) et du morphisme des spectres relatifs provenant de l’application d’inclusion \(\mathcal{O}' \to f_*\mathcal{O}_Y\). Nous pouvons caractériser la normalisation comme suit.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. La factorisation \(f = \nu \circ f'\), où \(\nu : X' \to X\) est la normalisation de \(X\) dans \(Y\), est caractérisée par les deux propriétés suivantes :

le morphisme \(\nu\) est entier, et

pour toute factorisation \(f = \pi \circ g\), avec \(\pi : Z \to X\) entier, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{f'} \ar[r]_g & Z \ar[d]^\pi \\ X' \ar[ru]^h \ar[r]^\nu & X }\] pour un morphisme unique \(h : X' \to Z\).

De plus, le morphisme \(f' : Y \to X'\) est dominant et dans (2) le morphisme \(h : X' \to Z\) est la normalisation de \(Z\) dans \(Y\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{O}' \subset f_*\mathcal{O}_Y\) la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) comme dans la définition 035H. Le morphisme \(\nu\) est entier par construction, ce qui prouve (1). Supposons donnée une factorisation \(f = \pi \circ g\) avec \(\pi : Z \to X\) entier comme dans (2). Par la Définition 01WH \(\pi\) est affine, et donc \(Z\) est le spectre relatif d’un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathcal{O}_X\) \(\mathcal{B}\). Le morphisme \(g : Y \to Z\) correspond à un homomorphisme d’\(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(\chi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{O}_Y\). Comme l’algèbre \(\mathcal{B}(U)\) est entière sur \(\mathcal{O}_X(U)\) pour chaque ouvert affine \(U \subset X\) (par la Définition 01WH), nous voyons à partir du Lemme 035F cela \(\chi(\mathcal{B}) \subset \mathcal{O}'\). Par la fonctorialité du spectre relatif Lemme 01SA, cela nous fournit un morphisme unique \(h : X' \to Z\). Nous omettons la vérification que le diagramme commute.

Il est clair que (1) et (2) caractérisent la factorisation \(f = \nu \circ f'\) puisqu’elle la caractérise comme un objet initial dans une catégorie.

D’après la propriété universelle en (2), nous voyons que \(f'\) ne se factorise pas par un sous-schéma fermé propre de \(X'\). Ainsi, l’image schématique de \(f'\) est \(X'\). Puisque \(f'\) est quasi-compact (d’après Schémas, Lemme 03GI et le fait que \(\nu\) est séparé en tant que morphisme affine), nous voyons que \(f'(Y)\) est dense dans \(X'\). Par conséquent, \(f'\) est dominant.

Observez que \(g\) est quasi-compact et quasi-séparé d’après Schémas, Lemme 01KV et 03GI. Ainsi, la dernière affirmation du lemme a du sens. Le morphisme \(h\) dans (2) est entier d’après le Lemme 035D. Étant donné une factorisation \(g = \pi' \circ g'\) avec \(\pi' : Z' \to Z\) entier, nous obtenons une factorisation \(f = (\pi \circ \pi') \circ g'\) et nous obtenons un morphisme \(h' : X' \to Z'\). L’unicité implique que \(\pi' \circ h' = h\). Par conséquent, la caractérisation (1), (2) s’applique au morphisme \(h : X' \to Z\) ce qui donne l’affirmation finale du lemme.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y_2 \ar[d]_{f_2} \ar[r] & Y_1 \ar[d]^{f_1} \\ X_2 \ar[r] & X_1 }\] soit un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons \(f_1\), \(f_2\) quasi-compacts et quasi-séparés. Soient \(f_i = \nu_i \circ f_i'\), \(i = 1, 2\) les factorisations canoniques, où \(\nu_i : X_i' \to X_i\) est la normalisation de \(X_i\) dans \(Y_i\). Alors il existe un unique flèche \(X'_2 \to X'_1\) s’insérant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y_2 \ar[d]_{f_2'} \ar[r] & Y_1 \ar[d]^{f_1'} \\ X_2' \ar[d]_{\nu_2} \ar[r] & X_1' \ar[d]^{\nu_1} \\ X_2 \ar[r] & X_1 }\]

Démonstration

D’après les Lemme 035I (1) et 01WL, le changement de base \(X_2 \times_{X_1} X'_1 \to X_2\) est entier. Notons que \(f_2\) se factorise par ce morphisme. Ainsi on obtient un morphisme unique \(X'_2 \to X_2 \times_{X_1} X'_1\) d’après le Lemme 035I (2). Cela donne la flèche \(X'_2 \to X'_1\) s’insérant dans le diagramme commutatif et l’unicité s’ensuit également.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert et posons \(V = f^{-1}(U)\). Alors la normalisation de \(U\) dans \(V\) est l’image réciproque de \(U\) dans la normalisation de \(X\) dans \(Y\).

Démonstration

Clair d’après la construction.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(X'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Alors la normalisation de \(X'\) dans \(Y\) est \(X'\).

Démonstration

Si \(Y \to X'' \to X'\) est la normalisation de \(X'\) dans \(Y\), alors nous pouvons appliquer le Lemme 035I à la composition \(X'' \to X\) pour obtenir un morphisme canonique \(h : X' \to X''\) sur \(X\). Nous omettons la vérification que les morphismes \(h\) et \(X'' \to X'\) sont mutuellement inverses (en utilisant l’unicité de la factorisation dans le lemme).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(X' \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Si \(Y\) est réduit, alors \(X'\) l’est également.

Démonstration

Cela résulte du fait qu’un sous-anneau d’un anneau réduit est réduit. Quelques détails sont omis.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(X' \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Chaque point générique d’une composante irréductible de \(X'\) est l’image d’un point générique d’une composante irréductible de \(Y\).

Démonstration

D’après le Lemme 035K, on peut supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine. Choisissons un recouvrement fini par des ouverts affines \(Y = \bigcup \Spec(B_i)\). Ensuite \(X' = \Spec(A')\) et les morphismes \(\Spec(B_i) \to Y \to X'\) définissent conjointement une application \(A\)-algèbre injective \(A' \to \prod B_i\). Ainsi, le lemme découle de l’Algèbre, Lemme 00FK.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Supposons que \(Y = Y_1 \amalg Y_2\) soit une réunion disjointe de deux schémas. Écrivons \(f_i = f|_{Y_i}\). Soit \(X_i'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y_i\). Alors \(X_1' \amalg X_2'\) est la normalisation de \(X\) dans \(Y\).

Démonstration

En termes de clôtures intégrales, cela correspond au fait suivant : Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que \(B = B_1 \times B_2\). Soit \(A_i'\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(B_i\). Alors \(A_1' \times A_2'\) est la clôture intégrale de \(A\) dans \(B\). La raison pour laquelle cela fonctionne est que les éléments \((1, 0)\) et \((0, 1)\) de \(B\) sont idempotents et donc entiers sur \(A\). Ainsi, la clôture intégrale \(A'\) de \(A\) dans \(B\) est un produit et il n’est pas difficile de voir que les se factorise par sont les clôtures intégrales \(A'_i\) comme décrit ci-dessus (certains détails omis).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact, quasi-séparé et universellement fermé. Alors \(f_*\mathcal{O}_X\) est entier sur \(\mathcal{O}_S\). En d’autres termes, la normalisation de \(S\) dans \(X\) est égale à la factorisation \[X \longrightarrow \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X) \longrightarrow S\] de Constructions, Lemme 01LY.

Démonstration

La question est locale sur \(S\), donc nous pouvons supposer que \(S = \Spec(R)\) est affine. Soit \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Nous devons montrer que \(h\) satisfait une équation unitaire sur \(R\). Considérons \(h\) comme un morphisme comme dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ X \ar[rr]_h \ar[rd]_f & & \mathbf{A}^1_S \ar[ld] \\ & S & }\] Soit \(Z \subset \mathbf{A}^1_S\) l’image schématique de \(h\), voir Définition 01R7. Le morphisme \(h\) est quasi-compact car \(f\) est quasi-compact et \(\mathbf{A}^1_S \to S\) est séparé, voir Schémas, Lemme 03GI. D’après le Lemme 01R8, le morphisme \(X \to Z\) est dominant. D’après le Lemme 01W6, le morphisme \(X \to Z\) est fermé. Donc \(h(X) = Z\) (au sens des ensembles). Ainsi nous pouvons utiliser le Lemme 03GN pour conclure que \(Z \to S\) est universellement fermé (et même propre). Puisque \(Z \subset \mathbf{A}^1_S\), nous voyons que \(Z \to S\) est affine et propre, donc entier d’après le Lemme 01WM. En écrivant \(\mathbf{A}^1_S = \Spec(R[T])\) Nous concluons que l’idéal \(I \subset R[T]\) de \(Z\) contient un polynôme unitaire \(P(T) \in R[T]\). Donc \(P(h) = 0\) et nous avons terminé.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme entier. Alors la normalisation de \(X\) dans \(Y\) est égale à \(Y\).

Démonstration

D’après le Lemme 01WM ceci est un cas particulier du Lemme 03GQ.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(X'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Supposons

\(Y\) est un schéma normal,

les ouverts quasi-compacts de \(Y\) ont un nombre fini de composantes irréductibles.

Alors \(X'\) est une réunion disjointe de schémas normaux intègres. De plus, le morphisme \(Y \to X'\) est dominant et induit une bijection entre les composantes irréductibles.

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Considérons l’image réciproque \(U'\) de \(U\) dans \(X'\). Posons \(V = f^{-1}(U)\). D’après le Lemme 035K, le diagramme \(V \to U' \to U\) est la normalisation de \(U\) dans \(V\). Disons \(U = \Spec(A)\). Alors \(V\) est quasi-compact, et possède donc un nombre fini de composantes irréductibles par hypothèse. Ainsi \(V = \coprod_{i = 1, \ldots n} V_i\) est une union finie disjointe de schémas intègres normaux d’après les Propriétés, Lemme 0357. D’après le Lemme 03GO, nous voyons que \(U' = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i'\), où \(U'_i\) est la normalisation de \(U\) dans \(V_i\). Par les propriétés, Lemme 0358 nous voyons que \(B_i = \Gamma(V_i, \mathcal{O}_{V_i})\) est un domaine normal. Notez que \(U_i' = \Spec(A_i')\), où \(A_i' \subset B_i\) est la clôture intégrale de \(A\) dans \(B_i\), voir Lemme 035F. Par l’algèbre, Lemme 034L nous voyons que \(A_i' \subset B_i\) est un domaine normal. Ainsi \(U' = \coprod U_i'\) est une union finie de schémas intègres normaux et est donc normal.

Comme \(X'\) a un recouvrement ouvert par les schémas \(U'\), nous concluons d’après Propriétés, Lemme 033J que \(X'\) est normal. D’autre part, chaque \(U'\) est une réunion finie disjointe de schémas irréductibles, donc chaque ouvert quasi-compact de \(X'\) a un nombre fini de composantes irréductibles (par un argument topologique que nous omettons). Ainsi \(X'\) est une réunion disjointe de schémas intègres normaux d’après Propriétés, Lemme 0357. Il est clair d’après la description de \(X'\) ci-dessus que \(Y \to X'\) est dominant et induit une bijection sur les composantes irréductibles \(V \to U'\) pour chaque ouvert affine \(U \subset X\). La bijection des composantes irréductibles pour le morphisme \(Y \to X'\) résulte de cela par un argument topologique (omis).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que

\(S\) soit un schéma de Nagata,

\(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

les ouverts quasi-compacts de \(X\) ont un nombre fini de composantes irréductibles,

si \(x \in X\) est un point générique d’une composante irréductible, alors l’extension de corps \(\kappa(x)/\kappa(f(x))\) est de type fini, et

\(X\) est réduit.

Alors la normalisation \(\nu : S' \to S\) de \(S\) dans \(X\) est finie.

Démonstration

Il y a une réduction immédiate au cas \(S = \Spec(R)\) où \(R\) est un anneau de Nagata par l’hypothèse (1). Nous devons montrer que la clôture intégrale \(A\) de \(R\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est finie sur \(R\). Étant donné que \(f\) est quasi-compact par l’hypothèse (2), nous pouvons écrire \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) avec chaque \(U_i\) affine. Disons \(U_i = \Spec(B_i)\). Chaque \(B_i\) est réduit par l’hypothèse (5) et possède un nombre fini de premiers minimaux \(\mathfrak q_{i1}, \ldots, \mathfrak q_{im_i}\) par l’hypothèse (3) et l’Algèbre, Lemme 00ES. Nous avons \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset B_1 \times \ldots \times B_n \subset \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_i} (B_i)_{\mathfrak q_{ij}}\] la deuxième inclusion par l’algèbre, Lemme 00EW. Nous avons \(\kappa(\mathfrak q_{ij}) = (B_i)_{\mathfrak q_{ij}}\) par l’algèbre, Lemme 00EU. Par conséquent, la clôture intégrale \(A\) de \(R\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est contenue dans le produit des clôtures intégrales \(A_{ij}\) de \(R\) dans \(\kappa(\mathfrak q_{ij})\). Comme \(R\) est noethérien, il suffit de montrer que \(A_{ij}\) est un \(R\)-module fini pour chaque \(i, j\). Soit \(\mathfrak p_{ij} \subset R\) l’image de \(\mathfrak q_{ij}\). Comme \(\kappa(\mathfrak q_{ij})/\kappa(\mathfrak p_{ij})\) est une extension de corps de type fini par l’hypothèse (4), nous voyons que \(R \to \kappa(\mathfrak q_{ij})\) est essentiellement de type fini. Ainsi \(R \to A_{ij}\) est fini par l’algèbre, Lemme 03GH.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que

\(S\) est un schéma de Nagata,

\(f\) est de type fini,

\(X\) est réduit.

Alors la normalisation \(\nu : S' \to S\) de \(S\) dans \(X\) est finie.

Démonstration

Ceci est un cas particulier du Lemme 0AVK. À savoir, (2) est vérifié car le morphisme de type fini \(f\) est quasi-compact par définition et quasi-séparé par le Lemme 01T7. La condition (3) est vérifiée parce que \(X\) est localement noethérien par le Lemme 01T6. Enfin, la condition (4) est vérifiée car un morphisme de type fini induit des extensions de corps résiduels de type fini.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas de type fini avec \(Y\) réduit et \(X\) Nagata. Soit \(X'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Soit \(x' \in X'\) un point tel que

\(\dim(\mathcal{O}_{X', x'}) = 1\), et

la fibre de \(Y \to X'\) au-dessus de \(x'\) est vide.

Alors \(\mathcal{O}_{X', x'}\) est un anneau de valuation discret.

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage affine de l’image de \(x'\). Ainsi, nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\) avec \(A\) Nagata. Par le Lemme 03GR le morphisme \(X' \to X\) est fini. Ainsi, nous pouvons écrire \(X' = \Spec(A')\) pour une \(A\)-algèbre finie \(A'\). Par le Lemme 0BXA après avoir remplacé \(X\) par \(X'\) nous revenons au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Le cas \(X = X' = \Spec(A)\) avec \(A\) noethérien. Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à notre point \(x'\). Choisissez \(g \in \mathfrak p\) qui n’est contenu dans aucun idéal premier minimal de \(A\) (utilisez l’évitement des idéaux premiers et le fait que \(A\) possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux, voir Algèbre, Lemmes 00DS et 00FR). Posons \(Z = f^{-1}V(g) \subset Y\) ; c’est un sous-schéma fermé de \(Y\). Alors \(f(Z)\) ne contient aucun point générique par choix de \(g\) et ne contient pas \(x'\) car \(x'\) n’est pas dans l’image de \(f\). L’adhérence de \(f(Z)\) est l’ensemble des spécialisations des points de \(f(Z)\) par le lemme 02JQ. Ainsi, l’adhérence de \(f(Z)\) ne contient pas \(x'\) car la condition \(\dim(\mathcal{O}_{X', x'}) = 1\) implique seulement que les points génériques de \(X = X'\) se spécialisent en \(x'\). En d’autres termes, après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x'\), nous pouvons supposer que \(f^{-1}V(g) = \emptyset\). Ainsi \(g\) s’envoie sur une fonction globale inversible sur \(Y\) et nous obtenons une factorisation \[A \to A_g \to \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\] Puisque \(X = X'\), cela implique que \(A\) est égal à la clôture intégrale de \(A\) dans \(A_g\). Par l’algèbre, Lemme 0307 Nous concluons que \(A_\mathfrak p\) est la clôture intégrale de \(A_\mathfrak p\) dans \(A_\mathfrak p[1/g]\). Par notre choix de \(g\), puisque \(\dim(A_\mathfrak p) = 1\) et puisque \(A\) est réduit, nous voyons que \(A_\mathfrak p[1/g]\) est un produit fini de corps (le produit des corps résiduels des idéaux premiers minimaux contenus dans \(\mathfrak p\)). Par conséquent \(A_\mathfrak p\) est normal (Algèbre, Lemme 030C) et la démonstration est terminée. Certains détails sont omis.

Normalisation

Ensuite, nous arrivons à la normalisation d’un schéma \(X\). Nous ne le définissons/construisons que lorsque \(X\) a localement un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(X\) un schéma tel que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(X^{(0)} \subset X\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Soit [035M]\[\begin{equation} f : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^{(0)}} \Spec(\kappa(\eta)) \longrightarrow X \end{equation}\] l’inclusion des points génériques dans \(X\) à l’aide des applications canoniques de Schémas, section 01J5. Notez que ce morphisme est quasi-compact par hypothèse et quasi-séparé car \(Y\) est séparé (voir Schémas, section 01KH).

Définition

Soit \(X\) un schéma tel que tout ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Nous définissons la normalisation de \(X\) comme le morphisme \[\nu : X^\nu \longrightarrow X\] qui est la normalisation de \(X\) dans le morphisme \(f : Y \to X\) (035M) construit ci-dessus.

Tout schéma localement noethérien possède un ensemble localement fini de composantes irréductibles et la définition s’y applique. Habituellement, la normalisation est définie uniquement pour les schémas réduits. Avec la définition ci-dessus, la normalisation de \(X\) est la même que la normalisation de la réduction \(X_{red}\) de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que tout ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Le morphisme de normalisation \(\nu\) se factorise par la réduction \(X_{red}\) et \(X^\nu \to X_{red}\) est la normalisation de \(X_{red}\).

Démonstration

Soit \(f : Y \to X\) le morphisme (035M). Nous obtenons une factorisation \(Y \to X_{red} \to X\) de \(f\) provenant des Schémas, Lemme 0356. D’après le Lemme 035I, nous obtenons un morphisme canonique \(X^\nu \to X_{red}\) et que \(X^\nu\) est la normalisation de \(X_{red}\) dans \(Y\). Le lemme s’ensuit puisque \(Y \to X_{red}\) est identique au morphisme (035M) construit pour \(X_{red}\).

Si \(X\) est réduit, alors la normalisation de \(X\) est la même que le spectre relatif de l’adhérence intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans le faisceau de fonctions méromorphes \(\mathcal{K}_X\) (voir Diviseurs, section 01X1). À savoir, \(\mathcal{K}_X = f_*\mathcal{O}_Y\) dans ce cas, voir Diviseurs, Lemme 02OW et sa démonstration. Nous décrivons cela ici explicitement.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit tel que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine. Alors

\(A\) possède un nombre fini de premiers minimaux \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\),

l’anneau total des fractions \(Q(A)\) de \(A\) est \(Q(A/\mathfrak q_1) \times \ldots \times Q(A/\mathfrak q_t)\),

la clôture intégrale \(A'\) de \(A\) dans \(Q(A)\) est le produit des clôtures intégrales des domaines \(A/\mathfrak q_i\) dans le corps \(Q(A/\mathfrak q_i)\), et

\(\nu^{-1}(U)\) est identifié au spectre de \(A'\) où \(\nu : X^\nu \to X\) est le morphisme de normalisation.

Démonstration

Les idéaux premiers minimaux correspondent aux composantes irréductibles (Algèbre, Lemme 00ES), donc nous avons (1) par hypothèse. Ensuite \((0) = \mathfrak q_1 \cap \ldots \cap \mathfrak q_t\) parce que \(A\) est réduit (Algèbre, Lemme 00E0). Ensuite nous avons \(Q(A) = \prod A_{\mathfrak q_i} = \prod \kappa(\mathfrak q_i)\) par Algèbre, Lemmes 02LX et 00EU. Cela prouve (2). La partie (3) découle de Algèbre, Lemme 030C, ou Lemme 03GO. La partie (4) est vraie parce qu’il est clair que \(f^{-1}(U) \to U\) est le morphisme \[\Spec\left(\prod \kappa(\mathfrak q_i)\right) \longrightarrow \Spec(A)\] où \(f : Y \to X\) est le morphisme (035M).

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que tout ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation de \(X\). Soit \(x \in X\). Alors les suivants sont canoniquement isomorphes en tant que \(\mathcal{O}_{X, x}\)-algèbres

le germe \((\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\),

la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans l’anneau total des fractions de \((\mathcal{O}_{X, x})_{red}\),

la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans le produit des corps résiduels des idéaux premiers minimaux de \(\mathcal{O}_{X, x}\) (et il y en a un nombre fini).

Démonstration

Après avoir remplacé \(X\) par un ouvert affine voisinage de \(x\), nous pouvons supposer que \(X\) a un nombre fini de composantes irréductibles et que \(x\) est contenu dans chacune d’elles. Alors le germe \((\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\) est l’adhérence entière de \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) dans le produit \(L\) des corps résiduels des idéaux premiers minimaux de \(A\). Cela résulte de la construction de la normalisation et du Lemme 035F. Alternativement, vous pouvez utiliser le Lemme 035P et le fait que la normalisation commute avec la localisation (Algèbre, Lemme 0307). Puisque \(A_{red}\) a un nombre fini de premiers minimaux (parce qu’ils correspondent exactement aux points génériques des composantes irréductibles de \(X\) passant par \(x\)), nous voyons que \(L\) est l’anneau total des fractions de \(A_{red}\) (Algèbre, Lemme 02LX). Ainsi, notre anneau est également la clôture intégrale de \(A\) dans l’anneau total des fractions de \(A_{red}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que tout ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles.

La normalisation \(X^\nu\) est une union disjointe de schémas intègres normaux.

Le morphisme \(\nu : X^\nu \to X\) est entier, surjectif, et induit une bijection sur les composantes irréductibles.

Pour tout morphisme entier \(\alpha : X' \to X\) tel que pour \(U \subset X\) ouvert quasi-compact l’image réciproque \(\alpha^{-1}(U)\) ait un nombre fini de composantes irréductibles et \(\alpha|_{\alpha^{-1}(U)} : \alpha^{-1}(U) \to U\) soit birationnel¹⁸ il existe une factorisation \(X^\nu \to X' \to X\) et \(X^\nu \to X'\) est la normalisation de \(X'\).

Pour tout morphisme \(Z \to X\) avec \(Z\) un schéma normal tel que chaque composante irréductible de \(Z\) domine une composante irréductible de \(X\) il existe une unique factorisation \(Z \to X^\nu \to X\).

Démonstration

Soit \(f : Y \to X\) comme dans (035M). Le schéma \(X^\nu\) est une réunion disjointe de schémas intègres normaux car \(Y\) est normal et tout ouvert affine de \(Y\) possède un nombre fini de composantes irréductibles, voir le Lemme 035L. Cela prouve (1). Alternativement, on peut déduire (1) des Lemmes 035O et 035P.

Le morphisme \(\nu\) est entier d’après le Lemme 035I. D’après le Lemme 035L, le morphisme \(Y \to X^\nu\) induit une bijection sur les composantes irréductibles, et par construction de \(Y\) cela implique que \(X^\nu \to X\) induit une bijection sur les composantes irréductibles. Par construction \(f : Y \to X\) est dominant, donc également \(\nu\) est dominant. Puisqu’un morphisme entier est fermé (Lemme 01WM), cela implique que \(\nu\) est surjectif. Cela prouve (2).

Supposons que \(\alpha : X' \to X\) soit comme dans (3). Il est clair que \(X'\) satisfait les hypothèses sous lesquelles la normalisation est définie. Soit \(f' : Y' \to X'\) le morphisme (035M) construit à partir de \(X'\). Comme \(\alpha\) est localement birationnel, il est clair que \(Y' = Y\) et \(f = \alpha \circ f'\). Par conséquent, la factorisation \(X^\nu \to X' \to X\) existe et \(X^\nu \to X'\) est la normalisation de \(X'\) d’après le Lemme 035I. Cela prouve (3).

Soit \(g : Z \to X\) un morphisme dont le domaine est un schéma normal et tel que chaque composante irréductible domine une composante irréductible de \(X\). D’après le Lemme 035O nous avons \(X^\nu = X_{red}^\nu\) et d’après Schémas, Lemme 0356 \(Z \to X\) se factorise par \(X_{red}\). Par conséquent, nous pouvons remplacer \(X\) par \(X_{red}\) et supposer que \(X\) est réduit. De plus, comme la factorisation est unique, il suffit de la construire localement sur \(Z\). Soient \(W \subset Z\) et \(U \subset X\) des ouverts affines tels que \(g(W) \subset U\). Écrivons \(U = \Spec(A)\) et \(W = \Spec(B)\), avec \(g|_W\) donné par \(\varphi : A \to B\). Nous utiliserons librement les résultats du Lemme 035P. Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_t\) les premiers minimaux de \(A\). Comme \(Z\) est normal, nous voyons que \(B\) est un anneau normal, en particulier réduit. De plus, d’après l’hypothèse, pour tout premier minimal \(\mathfrak q \subset B\), nous avons que \(\varphi^{-1}(\mathfrak q)\) est un premier minimal de \(A\). Ainsi, si \(x \in A\) est un non-diviseur de zéro, c’est-à-dire \(x \not \in \bigcup \mathfrak p_i\), alors \(\varphi(x)\) est un non-diviseur de zéro dans \(B\). Ainsi, nous obtenons un homomorphisme canonique d’anneaux \(Q(A) \to Q(B)\). Comme \(B\) est normal, il est égal à sa clôture intégrale dans \(Q(B)\) (voir Algèbre, Lemme 034M). Ainsi, nous voyons que la clôture intégrale \(A' \subset Q(A)\) de \(A\) s’envoie dans \(B\) par l’homomorphisme canonique \(Q(A) \to Q(B)\). Puisque \(\nu^{-1}(U) = \Spec(A')\), cela donne la factorisation canonique \(W \to \nu^{-1}(U) \to U\) de \(\nu|_W\). Nous omettons la vérification qu’elle est unique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que chaque ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Soient \(Z_i \subset X\), \(i \in I\) les composantes irréductibles de \(X\) munies de la structure réduite induite. Soit \(Z_i^\nu \to Z_i\) la normalisation. Alors \(\coprod_{i \in I} Z_i^\nu \to X\) est la normalisation de \(X\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X\) est réduit, voir Lemme 035O. Ensuite, le lemme découle soit de la description locale dans le lemme 035P soit du Lemme 035Q partie (3) car \(\coprod Z_i \to X\) est entier et localement birationnel (puisque \(X\) est réduit et a localement un nombre fini de composantes irréductibles).

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit avec un nombre fini de composantes irréductibles. Alors le morphisme de normalisation \(X^\nu \to X\) est birationnel.

Démonstration

La normalisation induit une bijection des composantes irréductibles par le Lemme 035Q. Soit \(\eta \in X\) un point générique d’une composante irréductible de \(X\) et soit \(\eta^\nu \in X^\nu\) le point générique de la composante irréductible correspondante de \(X^\nu\). Alors \(\eta^\nu \mapsto \eta\) et pour terminer la démonstration, nous devons montrer que \(\mathcal{O}_{X, \eta} \to \mathcal{O}_{X^\nu, \eta^\nu}\) est un isomorphisme, voir la Définition 01RO. Comme \(X\) et \(X^\nu\) sont réduits, nous voyons que les deux anneaux locaux sont égaux à leur corps résiduel (Algèbre, Lemme 00EU). D’autre part, par la construction de la normalisation comme la normalisation de \(X\) dans \(Y = \coprod \Spec(\kappa(\eta))\) nous voyons que nous avons \(\kappa(\eta) \subset \kappa(\eta^\nu) \subset \kappa(\eta)\) et la démonstration est complète.

Lemme

Un morphisme fini (ou même entier) birationnel \(f : X \to Y\) de schémas intègres avec \(Y\) normal est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine avec image réciproque \(U \subset X\) qui est également un ouvert affine. Comme \(f\) est un morphisme birationnel de schémas intègres, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est un homomorphisme injectif de domaines intègres qui induit un isomorphisme de corps de fractions. Comme \(Y\) est normal, l’anneau \(\mathcal{O}_Y(V)\) est intégralement clos dans le corps des fractions. Comme \(f\) est fini (ou entier), chaque élément de \(\mathcal{O}_X(U)\) est entier sur \(\mathcal{O}_Y(V)\). Nous concluons que \(\mathcal{O}_Y(V) = \mathcal{O}_X(U)\). Cela prouve que \(f\) est un isomorphisme comme souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma avec localement un nombre fini de composantes irréductibles. Le morphisme de normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est un isomorphisme si et seulement si \(X\) est normal.

Démonstration

Si \(\nu\) est un isomorphisme, alors \(X\) est normal d’après le Lemme 035Q. Réciproquement, supposons que \(X\) soit normal. D’après le Lemme 035K et Propriétés, Lemme 0357, nous pouvons supposer que \(X\) est intègre. D’après le Lemme 035Q, le morphisme \(\nu\) est intègre et \(X^\nu\) a une unique composante irréductible (donc c’est un schéma intègre). Nous concluons d’après les Lemme 0BXC et 0AB1.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre, japonais. La normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est un morphisme fini.

Démonstration

Cela découle de la définition (Propriétés, Définition 033S) et du Lemme 035P. À savoir, dans ce cas, le lemme dit que \(\nu^{-1}(\Spec(A))\) est le spectre de la clôture intégrale de \(A\) dans son corps de fractions.

Lemme

Soit \(X\) un Schéma de Nagata. La normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est un morphisme fini.

Démonstration

Notez qu’un schéma de Nagata est localement noethérien, ainsi la Définition 035N s’applique. Le lemme est maintenant un cas particulier du Lemme 0AVK mais nous pouvons également le prouver directement comme suit. Écrivons \(X^\nu \to X\) comme la composition \(X^\nu \to X_{red} \to X\). Comme \(X_{red} \to X\) est une immersion fermée, elle est finie. Par conséquent, il suffit de prouver le lemme pour un schéma de Nagata réduit (d’après le Lemme 01WK). Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine. D’après le Lemme 035P nous avons \(\nu^{-1}(U) = \Spec(\prod A_i')\) où \(A_i'\) est la clôture intégrale de \(A/\mathfrak q_i\) dans son corps des fractions. Comme \(A\) est un anneau de Nagata (voir Propriétés, Lemme 033X) chacune des extensions d’anneaux \(A/\mathfrak q_i \subset A'_i\) sont finies. Donc \(A \to \prod A'_i\) est un homomorphisme d’anneaux fini et on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un schéma irréductible, géométriquement unibranche. Le morphisme de normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Nous devons montrer que \(\nu\) est intègre, universellement injectif et surjectif, voir Lemme 04DF. D’après le Lemme 035Q, le morphisme \(\nu\) est intègre. Soit \(x \in X\) et posons \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Puisque \(X\) est irréductible, nous voyons que \(A\) possède un seul idéal premier minimal \(\mathfrak p\) et \(A_{red} = A/\mathfrak p\). Par le Lemme 0C3B, le germe \(A' = (\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\) est la clôture intégrale de \(A\) dans le corps des fractions de \(A_{red}\). D’après Compléments d’algèbre, Définition 0BPZ, nous voyons que \(A'\) possède un seul idéal premier \(\mathfrak m'\) au-dessus de \(\mathfrak m_x \subset A\) et \(\kappa(\mathfrak m')/\kappa(x)\). est purement inséparable. Ainsi \(\nu\) est bijectif (donc surjectif) et universellement injectif par le Lemme 01S4.

Normalisation faible

Nous définirons seulement la normalisation faible d’un schéma lorsque celui-ci a localement un nombre fini de composantes irréductibles ; similaire au cas de la normalisation.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux induisant un morphisme dominant \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) de spectres. Il existe une \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\) telle que

\(\Spec(B') \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel,

étant donnée une factorisation \(A \to C \to B\) telle que \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel, l’image de \(C \to B\) est contenue dans \(B'\).

Démonstration

Nous utiliserons Lemme 054M sans autre mention. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & B_{red} \\ A \ar[u] \ar[r] & A_{red} \ar[u] }\] Pour toute factorisation \(A \to C \to B\) de \(A \to B\) comme dans (2), nous voyons que \(A_{red} \to C_{red} \to B_{red}\) est une factorisation de \(A_{red} \to B_{red}\) comme dans (2). Il s’ensuit que si le lemme est vrai pour \(A_{red} \to B_{red}\) et produit la \(A_{red}\)-sous-algèbre \(B'_{red} \subset B_{red}\), alors en posant \(B' \subset B\) égal à l’image réciproque de \(B'_{red}\) résout le lemme pour \(A \to B\). Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(A\) et \(B\) sont réduits. Dans ce cas \(A \subset B\) par Algèbre, Lemme 00FL. Soit \(A \to C \to B\) une factorisation comme dans (2). Alors nous pouvons appliquer la Proposition 0CNE à \(A \subset C\) pour voir que chaque élément de \(C\) est contenu dans une extension \(A[c_1, \ldots, c_n] \subset C\) telle que pour \(i = 1, \ldots, n\) nous avons

\(c_i^2, c_i^3 \in A[c_1, \ldots, c_{i - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pc_i, c_i^p \in A[c_1, \ldots, c_{i - 1}]\).

Ainsi, la propriété (2) est vérifiée si nous définissons \(B' \subset B\) comme le sous-ensemble des éléments \(b \in B\) qui sont contenus dans une extension \(A[b_1, \ldots, b_n] \subset B\) telle que (*) est vérifiée : pour \(i = 1, \ldots, n\) nous avons

\(b_i^2, b_i^3 \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pb_i, b_i^p \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\).

Il n’y a que deux choses à vérifier : (a) \(B'\) est une \(A\)-sous-algèbre, et (b) \(\Spec(B') \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel. La partie (a) découle du fait que étant donné \(n \geq 0\) et \(b_1, \ldots, b_n \in B\) satisfaisant (*), et \(m \geq 0\) et \(b'_1, \ldots, b'_m \in B\) satisfaisant (*), l’entier \(n + m\) et \(b_1, \ldots, b_n, b'_1, \ldots, b'_m \in B\) satisfait également (*). Enfin, la partie (b) tient par la Proposition 0CNE et notre construction de \(B'\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux induisant un morphisme dominant \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) des spectres. La formation de la \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\) dans le Lemme 0H3J commute avec la localisation (voir la démonstration pour explication).

Démonstration

Soit \(S \subset A\) un sous-ensemble multiplicatif. Alors \(S^{-1}A \to S^{-1}B\) est un homomorphisme d’anneaux qui induit également un morphisme dominant \(\Spec(S^{-1}B) \to \Spec(S^{-1}A)\) (voir Lemmes 0H3F et 03HV). Par conséquent, le Lemme 0H3J produit une \(S^{-1}A\)-sous-algèbre \((S^{-1}B)' \subset S^{-1}B\). L’énoncé signifie que \(S^{-1}B' = (S^{-1}B)'\) en tant que \(S^{-1}A\)-sous-algèbres de \(S^{-1}B\).

Pour voir que cela est vrai, nous utiliserons la construction de \(B'\) et \((S^{-1}B)'\) dans la démonstration du Lemme 0H3J. Dans la première étape, nous voyons que \(B'\) est l’image réciproque de la \(A_{red}\)-sous-algèbre \(B'_{red} \subset B_{red}\) construite pour l’homomorphisme d’anneaux \(A_{red} \to B_{red}\) et de même pour \((S^{-1}B)'\). En notant que \(S^{-1}B_{red} = (S^{-1}B)_{red}\), cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Si \(A\) et \(B\) sont réduits, nous avons construit \(B'\) comme l’union des sous-algèbres \(A[b_1, \ldots, b_n]\) telles que pour \(i = 1, \ldots, n\) nous avons

\(b_i^2, b_i^3 \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pb_i, b_i^p \in A[b_1, \ldots, b_{i - 1}]\).

De même pour \((S^{-1}B)' \subset S^{-1}B\). Ainsi il est clair que l’image de \(B' \to B \to S^{-1}B\) est contenue dans \((S^{-1}B)'\). Pour montrer que l’application correspondante \(S^{-1}B' \to (S^{-1}B)'\) est surjective, on utilise le Lemme 0CN9 pour éliminer les dénominateurs successivement ; nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux induisant un morphisme dominant \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) des spectres. Il existe un \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\) tel que

\(\Spec(B') \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels,

donnée une factorisation \(A \to C \to B\) telle que \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels, l’image de \(C \to B\) est contenue dans \(B'\).

Démonstration

Cette démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0H3J sauf que nous utilisons la Proposition 0CND au lieu de la Proposition 0CNE

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux induisant un morphisme dominant \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) de spectres. La formation de la \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\) dans le Lemme 0H3L commute avec la localisation (voir la démonstration pour explication).

Démonstration

La démonstration est la même que la démonstration du Lemme 0H3K.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact, quasi-séparé et dominant.

La catégorie des factorisations \(Y \to X' \to X\) où \(X' \to X\) est un homéomorphisme universel a un objet initial \(Y \to X^{Y/wn} \to X\).

La catégorie des factorisations \(Y \to X' \to X\) où \(X' \to X\) est un homéomorphisme universel induisant des isomorphismes sur les corps résiduels a un objet initial \(Y \to X^{Y/sn} \to X\).

De plus, la formation de la factorisation \(Y \to X^{Y/wn} \to X\) et \(Y \to X^{Y/sn} \to X\) commute avec le changement de base vers des sous-schémas ouverts de \(X\).

Démonstration

Nous allons prouver (1) et omettre la démonstration de (2) ; de plus, l’assertion finale découlera de la construction de la factorisation. Nous utiliserons le Lemme 04DF sans mention supplémentaire. Tout d’abord, soit \(Y \to X^{Y/n} \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\), voir Définition 035H. Pour \(Y \to X' \to X\) comme en (1), nous obtenons un morphisme unique \(X^{Y/n} \to X'\) compatible avec les morphismes donnés, voir Lemme 035I. Ainsi, il suffit de prouver le lemme avec \(f\) remplacé par \(X^{Y/n} \to X\). Cela nous ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(f\) soit entier (le reste de la démonstration fonctionne plus généralement si \(f\) est affine). Soit \(U = \Spec(A)\) un ouvert affine de \(X\) et soit \(V = f^{-1}(U) = \Spec(B)\) l’image réciproque dans \(Y\). Alors \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux qui induit un morphisme dominant sur les spectres. Par le Lemme 0H3J, nous obtenons une \(A\)-sous-algèbre \(B' \subset B\) telle qu’en posant \(U^{V/wn} = \Spec(B')\), la factorisation \(V \to U^{V/wn} \to U\) est initiale dans la catégorie des factorisations \(V \to U' \to U\) où \(U' \to U\) est un homéomorphisme universel.

Si \(U_1 \subset U_2 \subset X\) sont des ouverts affines, alors en posant \(V_i = f^{-1}(U_i)\) nous obtenons un morphisme canonique \[\rho_{U_1}^{U_2} : U_1^{V_1/wn} \to U_1 \times_{U_2} U_2^{V_2/wn}\] sur \(U_1\) par la propriété universelle de \(U_1^{V_1/wn}\). Ces morphismes satisfont une fonctorialité naturelle que nous laissons au lecteur de formuler et de démontrer. De plus, le morphisme \(\rho_{U_1}^{U_2}\) est un isomorphisme ; cela résulte du Lemme 0H3K à condition que \(U_1 \subset U_2\) soit un ouvert principal et, dans le cas général, peut être réduit à ce cas par la nature fonctorielle de ces applications et Schémas, Lemme 01IW (détails omis). Ainsi, par recollement relatif (Constructions, Lemme 01LH), nous obtenons un morphisme \(X^{Y/wn} \to X\) qui se restreint à \(U^{V/wn} \to U\) sur \(U\) de manière compatible avec le \(\rho_{U_1}^{U_2}\). Bien sûr, les morphismes \(V \to U^{V/wn}\) se recollent pour former un morphisme \(Y \to X^{Y/wn}\) (voir Constructions, Remarque 01LK) et nous obtenons notre factorisation \(Y \to X^{Y/wn} \to X\) où le deuxième morphisme est un homéomorphisme universel.

Enfin, soit \(Y \to X' \to X\) une factorisation comme en (1). Avec \(V \to U^{V/wn} \to U \subset X\) comme ci-dessus, nous obtenons une factorisation \(V \to U \times_X X' \to U\) où la deuxième flèche est un homéomorphisme universel et nous obtenons un morphisme unique \(g_U : U^{V/wn} \to U \times_X X'\) au-dessus de \(U\) par la propriété universelle de \(U^{V/wn}\). Ces \(g_U\) sont compatibles avec les morphismes \(\rho_{U_1}^{U_2}\) ; détails omis. Ainsi il existe un morphisme unique \(g : X^{Y/wn} \to X'\) au-dessus de \(X\) concordant avec \(g_U\) au-dessus de \(U\), voir Constructions, Remarque 01LK. Cela prouve que \(Y \to X^{Y/wn} \to X\) est initial dans notre catégorie et la démonstration est terminée.

Définition

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas quasi-compact, quasi-séparé et dominant.

La factorisation \(Y \to X^{Y/sn} \to X\) construite dans le Lemme 0H3N partie (2) est la semi-normalisation de \(X\) dans \(Y\).

La factorisation \(Y \to X^{Y/wn} \to X\) construite dans le Lemme 0H3N partie (1) est la normalisation faible de \(X\) dans \(Y\).

Voici une façon de réinterpréter la semi-normalisation d’un schéma qui localement a un nombre fini de composantes irréductibles.

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation de \(X\). Alors la semi-normalisation de \(X\) dans \(X^\nu\) est la semi-normalisation de \(X\). En formule : \(X^{sn} = X^{X^\nu/sn}\).

Démonstration

Soit \(f : Y \to X\) comme dans (035M) de sorte que \(X^\nu\) soit la normalisation de \(X\) dans \(Y\). La semi-normalisation \(X^{sn} \to X\) de \(X\) est l’objet initial dans la catégorie des homéomorphismes universels \(X' \to X\) induisant des isomorphismes sur les corps résiduels. Puisque \(Y\) est l’union disjointe des spectres des corps résiduels aux points génériques des composantes irréductibles de \(X\), nous voyons que pour tout \(X' \to X\) dans cette catégorie, nous obtenons un relèvement canonique \(f' : Y \to X'\) de \(f\). Alors, par le Lemme 035I, nous obtenons un morphisme canonique \(X^\nu \to X'\). D’où, à son tour, un morphisme canonique \(X^{X^\nu/sn} \to X'\) par la propriété universelle de \(X^{X^\nu/sn}\). De cette façon, nous voyons que \(X^{X^\nu/sn}\) satisfait la même propriété universelle que \(X^{sn}\) possède et nous concluons.

Le lemme 0H3Q motive la définition suivante. Puisque nous n’avons construit la normalisation que dans le cas où \(X\) a localement un nombre fini de composantes irréductibles, nous nous limiterons également à ce cas pour la normalisation faible.

Définition

Soit \(X\) un schéma tel que tout ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Nous définissons la normalisation faible de \(X\) comme la normalisation faible \[X^\nu \longrightarrow X^{wn} \longrightarrow X\] de \(X\) dans la normalisation \(X^\nu\) de \(X\) (Définition 035N). En formule : \(X^{wn} = X^{X^\nu/wn}\).

Combiné avec Lemme 0H3Q, nous voyons que pour un schéma \(X\) qui a localement un nombre fini de composantes irréductibles, il existe des morphismes canoniques \[X^\nu \to X^{wn} \to X^{sn} \to X\] Ayant fait cette définition, nous pouvons dire ce que cela signifie pour un schéma d’être faiblement normal (à condition qu’il ait localement un nombre fini de composantes irréductibles).

Définition

Soit \(X\) un schéma tel que chaque ouvert quasi-compact ait un nombre fini de composantes irréductibles. Nous disons que \(X\) est faiblement normal si la normalisation faible \(X^{wn} \to X\) est un isomorphisme (Définition 0H3R).

Il découle immédiatement des définitions que pour un schéma \(X\) tel que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles, nous avons \[X\text{ normal} \Rightarrow X\text{ faiblement normal} \Rightarrow X\text{ semi-normal}\] Nous pouvons déterminer le sens de la normalité faible dans le cas affine comme suit.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine qui a un nombre fini de composantes irréductibles. Alors \(X\) est faiblement normal si et seulement si

\(A\) est semi-normal (Définition 0EUL),

pour un nombre premier \(p\) et \(z, w \in A\) tels que (a) \(z\) est un non-diviseur de zéro, (b) \(w^p\) est divisible par \(z^p\) et (c) \(pw\) est divisible par \(z\), alors \(w\) est divisible par \(z\).

Démonstration

Supposons que \(X\) soit faiblement normal. Puisqu’un schéma faiblement normal est semi-normal, on voit que (1) est vérifiée (par définition des schémas faiblement normaux). En particulier, \(A\) est réduit. Soit \(p, z, w\) comme dans (2). Choisissez \(x, y \in A\) de sorte que \(z^p x = w^p\) et \(zy = pw\). Alors \(p^p x = y^p\). L’homomorphisme d’anneaux \(A \to C = A[t]/(t^p - x, pt - y)\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres. La normalisation \(X^\nu\) de \(X\) est le spectre de la clôture intégrale \(A'\) de \(A\) dans l’anneau total des fractions de \(A\), voir Lemme 035P. Notons que \(a = w/z \in A'\) puisque \(a^p = x\). Ainsi, nous avons un homomorphisme d’\(A\)-algèbres \(A \to C \to A'\) envoyant \(t\) sur \(a\). À ce stade, la propriété définissante \(X = X^{wn} = X^{X^\nu/wn}\) d’être faiblement normal nous dit que l’image de \(C \to A'\) est contenue dans \(A\). Ainsi, nous trouvons \(a \in A\) comme désiré.

Inversement, supposons (1) et (2). Soit \(A'\) comme dans le paragraphe précédent. Nous devons montrer que \(X^{X^\nu/wn} = X\). Par construction dans la démonstration du Lemme 0H3J, le schéma \(X^{X^\nu/wn}\) est le spectre du sous-anneau de \(A'\) qui est l’union des sous-anneaux \(A[a_1, \ldots, a_n] \subset A'\) tels que pour \(i = 1, \ldots, n\) nous avons

\(a_i^2, a_i^3 \in A[a_1, \ldots, a_{i - 1}]\), ou

il existe un nombre premier \(p\) avec \(pa_i, a_i^p \in A[a_1, \ldots, a_{i - 1}]\).

Nous pouvons alors utiliser (1) et (2) pour voir de manière inductive que \(a_1, \ldots, a_n \in A\) ; nous omettons les détails. Par conséquent, nous avons \(X = X^{X^\nu/wn}\) et donc \(X\) est faiblement normal.

Voici le lemme obligatoire.

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que chaque ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le schéma \(X\) est faiblement normal.

Pour chaque ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) satisfait les conditions (1) et (2 du Lemme 0H3T.

Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque anneau \(\mathcal{O}_X(U_i)\) satisfasse aux conditions (1) et (2) du Lemme 0H3T.

Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit faiblement normal.

De plus, si \(X\) est faiblement normal, alors tout sous-schéma ouvert est faiblement normal.

Démonstration

La condition pour que \(X\) soit faiblement normal est que le morphisme \(X^{wn} = X^{X^\nu/wn} \to X\) soit un isomorphisme. Puisque la construction de \(X^\nu \to X\) commute avec le changement de base vers les sous-schémas ouverts et que la construction de \(X^{X^\nu/wn}\) commute avec le changement de base vers les sous-schémas ouverts de \(X\) (Lemme 0H3N), le lemme est clair.

Théorème principal de Zariski (version algébrique)

Ceci est la version que vous pouvez prouver en utilisant uniquement des méthodes algébriques. Avant de pouvoir prouver des versions plus puissantes (pour les morphismes non affines), nous devons développer plus d’outils. Voir Cohomologie des schémas, section 02OF et Compléments sur les morphismes, section 02LQ.

Théorème

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme affine de schémas. Supposons que \(f\) soit de type fini. Soit \(X'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Illustration : \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & X' \ar[ld]^\nu \\ & X & }\] Alors il existe un sous-schéma ouvert \(U' \subset X'\) tel que

\((f')^{-1}(U') \to U'\) soit un isomorphisme, et

\((f')^{-1}(U') \subset Y\) est l’ensemble des points en lesquels \(f\) est quasi-fini.

Démonstration

Il y a une réduction immédiate au cas où \(X\) et donc \(Y\) sont affines. Disons \(X = \Spec(R)\) et \(Y = \Spec(A)\). Alors \(X' = \Spec(A')\), où \(A'\) est la clôture intégrale de \(R\) dans \(A\), voir Définitions 035G et 035H. Par Algèbre, Théorème 00Q9 pour tout \(y \in Y\) en lequel \(f\) est quasi-fini, il existe un ouvert \(U'_y \subset X'\) tel que \((f')^{-1}(U'_y) \to U'_y\) soit un isomorphisme. Posons \(U' = \bigcup U'_y\) où \(y \in Y\) parcourt tous les points où \(f\) est quasi-fini. Il reste à montrer que \(f\) est quasi-fini en tous les points de \((f')^{-1}(U')\). Si \(y \in (f')^{-1}(U')\) avec image \(x \in X\), alors nous voyons que \(Y_x \to X'_x\) est un isomorphisme dans un voisinage de \(y\). Par conséquent, il n’existe aucun point de \(Y_x\) qui se spécialise en \(y\), puisque cela est vrai pour \(f'(y)\) dans \(X'_x\), voir Lemme 02NT. D’après le Lemme 01TH partie (3), cela implique que \(f\) est quasi-fini en \(y\).

Nous pouvons utiliser la version algébrique du Théorème principal de Zariski pour montrer que l’ensemble des points où un morphisme est quasi-fini est ouvert.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. L’ensemble des points de \(X\) où \(f\) est quasi-fini est un \(U \subset X\) ouvert. Le morphisme induit \(U \to S\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit quasi-fini en \(x\). Soient \(x \in U = \Spec(A) \subset X\), \(V = \Spec(R) \subset S\) des ouverts affines comme dans la Définition 01TD. D’après le Théorème 03GT ci-dessus ou Algèbre, Lemme 00QA, l’ensemble des idéaux premiers \(\mathfrak q\) en lesquels \(R \to A\) est quasi-fini est ouvert dans \(\Spec(A)\). Puisque tous correspondent à des points de \(X\) où \(f\) est quasi-fini, on obtient la première affirmation. La seconde affirmation est évidente.

Nous améliorerons le lemme suivant aux morphismes quasi-finis séparés plus tard, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 05K0.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Supposons

\(X\) et \(Y\) soient affines, et

\(f\) est quasi-fini.

Alors il existe un diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & Z \ar[ld]^\pi \\ & X & }\] avec \(Z\) affine, \(\pi\) fini et \(j\) une immersion ouverte.

Démonstration

Ceci est l’Algèbre, Lemme 00QB reformulé dans le langage des schémas.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini de schémas. Soit \(T \subset Y\) une partie fermée nulle part dense de \(Y\). Alors \(f(T) \subset X\) est une partie nulle part dense de \(X\).

Démonstration

Comme dans la démonstration du Lemme 03HX, cela se réduit immédiatement au cas où la base \(X\) est affine. Dans ce cas, \(Y = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} Y_i\) est une union finie d’ouverts affines (puisque \(f\) est quasi-compact). Comme chaque \(T \cap Y_i\) est nulle part dense, et qu’une union finie de parties nulle part denses est elle-même nulle part dense (voir Topologie, Lemme 03HO), il suffit de prouver que l’image \(f(T \cap Y_i)\) est nulle part dense dans \(X\). Cela nous ramène au cas où \(X\) et \(Y\) sont tous deux affines. À ce stade, nous appliquons le Lemme 03GU ci-dessus pour obtenir un diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & Z \ar[ld]^\pi \\ & X & }\] avec \(Z\) affine, \(\pi\) fini et \(j\) une immersion ouverte. Posons \(\overline{T} = \overline{j(T)} \subset Z\). Par la Topologie, Lemme 03J0 nous voyons que \(\overline{T}\) est nulle part dense dans \(Z\). Puisque \(f(T) \subset \pi(\overline{T})\) le lemme découle du résultat correspondant dans le cas fini, voir Lemme 03HX.

Fibres universellement bornées

Soit \(X\) un schéma sur un corps \(k\). Si \(X\) est fini sur \(k\), alors \(X = \Spec(A)\) où \(A\) est une \(k\)-algèbre finie. Une autre façon de dire cela est que \(X\) est fini localement libre sur \(\Spec(k)\), voir Définition 02KA. Par conséquent \(X \to \Spec(k)\) a un degré qui est un entier \(d \geq 0\), à savoir \(d = \dim_k(A)\). Nous appelons parfois cela le degré du schéma (fini) \(X\) sur \(k\).

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas.

On dit que l’entier \(n\) bornes les degrés des fibres de \(f\) si pour tout \(y \in Y\) la fibre \(X_y\) est un schéma fini sur \(\kappa(y)\) dont le degré sur \(\kappa(y)\) est \(\leq n\).

On dit que les fibres de \(f\) sont universellement borné¹⁹ s’il existe un entier \(n\) qui bornes les degrés des fibres de \(f\).

Notez qu’en particulier le nombre de points dans une fibre est lui aussi borné par \(n\). (La réciproque n’est pas vraie, même si toutes les fibres sont des schémas réduits finis.)

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(n \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

l’entier \(n\) borne les degrés des fibres de \(f\), et

pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps, le produit fibré \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) est fini sur \(k\) de degré \(\leq n\).

Dans ce cas, les fibres de \(f\) sont universellement bornées et les schémas \(X_k\) ont au plus \(n\) points. Plus précisément, si \(X_k = \{x_1, \ldots, x_t\}\), alors nous avons \[n \geq \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} [\kappa(x_i) : k]\]

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est triviale. L’autre implication tient parce que si l’image de \(\Spec(k) \to Y\) est \(y\), alors \(X_k = \Spec(k) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y\). Par définition, les fibres de \(f\) étant universellement bornées signifie qu’il existe un(e) \(n\). Enfin, supposons que \(X_k = \Spec(A)\). Alors \(\dim_k A = n\). Par conséquent, \(A\) est artinien, tous les idéaux premiers sont des idéaux maximaux \(\mathfrak m_i\), et \(A\) est le produit des localisations en ces idéaux maximaux. Voir Algèbre, Lemme 00J6 et 00JB. Alors \(\mathfrak m_i\) correspond à \(x_i\), nous avons \(A_{\mathfrak m_i} = \mathcal{O}_{X_k, x_i}\) et donc il existe une surjection \(A \to \bigoplus \kappa(\mathfrak m_i) = \bigoplus \kappa(x_i)\) ce qui implique l’inégalité dans l’énoncé du lemme par algèbre linéaire.

Lemme

Si \(f\) est un morphisme fini localement libre de degré \(d\), alors \(d\) borne le degré des fibres de \(f\).

Démonstration

C’est vrai car tout changement de base de \(f\) est fini localement libre de degré \(d\) (Lemme 02KD) et donc les fibres de \(f\) ont toutes le degré \(d\).

Lemme

Une composition de morphismes avec des fibres universellement bornées est un morphisme avec des fibres universellement bornées. Plus précisément, supposons que \(n\) borne les degrés des fibres de \(f : X \to Y\) et que \(m\) borne les degrés de \(g : Y \to Z\). Alors \(nm\) borne les degrés des fibres de \(g \circ f : X \to Z\).

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des fibres universellement bornées. Disons que \(\deg(X_y/\kappa(y)) \leq n\) pour tout \(y \in Y\), et que \(\deg(Y_z/\kappa(z)) \leq m\) pour tout \(z \in Z\). Soit \(z \in Z\) un point. Par hypothèse, le schéma \(Y_z\) est fini sur \(\Spec(\kappa(z))\). En particulier, l’espace topologique sous-jacent de \(Y_z\) est un ensemble fini discret. Les fibres du morphisme \(f_z : X_z \to Y_z\) sont les fibres de \(f\) aux points correspondants de \(Y\), qui sont des ensembles finis discrets d’après le raisonnement ci-dessus. Par conséquent, nous concluons que l’espace topologique sous-jacent de \(X_z\) est également un ensemble fini discret. Ainsi, \(X_z\) est un schéma affine (c’est un bel exercice ; cela découle également par exemple de Propriétés, Lemme 01ZV appliqué à l’ensemble de tous les points de \(X_z\)). Écrire \(X_z = \Spec(A)\), \(Y_z = \Spec(B)\), et \(k = \kappa(z)\). Ensuite \(k \to B \to A\) et nous savons que (a) \(\dim_k(B) \leq m\), et (b) pour chaque idéal maximal \(\mathfrak m \subset B\) nous avons \(\dim_{\kappa(\mathfrak m)}(A/\mathfrak mA) \leq n\). Nous affirmons que cela implique que \(\dim_k(A) \leq nm\). Notez que \(B\) est le produit de ses localisations \(B_{\mathfrak m}\), par exemple parce que \(Y_z\) est une union disjointe de schémas à points \(1\), ou par l’Algèbre, Lemmes 00J6 et 00JB. Ainsi, nous voyons que \(\dim_k(B) = \sum_{\mathfrak m} \dim_k(B_{\mathfrak m})\) et \(\dim_k(A) = \sum_{\mathfrak m} \dim_k(A_{\mathfrak m})\), où dans les deux cas \(\mathfrak m\) parcourt les idéaux maximaux de \(B\) (et non de \(A\)). D’après ce qui précède, et le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV), nous voyons que chaque \(A_{\mathfrak m}\) est un quotient de \(B_{\mathfrak m}^{\oplus n}\) en tant que \(B_{\mathfrak m}\)-module. Par conséquent \(\dim_k(A_{\mathfrak m}) \leq n \dim_k(B_{\mathfrak m})\). En rassemblant le tout, nous voyons que \[\dim_k(A) = \sum\nolimits_{\mathfrak m} \dim_ta (A_{\mathfrak m}) \leq \sum\nolimits_{\mathfrak m} n \dim_k(B_{\mathfrak m}) = n \dim_k(B) \leq nm\] comme souhaité.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme à fibres universellement bornées est un morphisme à fibres universellement bornées. Plus précisément, si \(n\) borne les degrés des fibres de \(f : X \to Y\) et que \(Y' \to Y\) est un morphisme quelconque, alors les degrés des fibres du changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) sont également bornés par \(n\).

Démonstration

Ceci est clair d’après le résultat du Lemme 03J5.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme de schémas, et soit \(f' : X' = X_{Y'} \to Y'\) le changement de base de \(f\). Si \(Y' \to Y\) est surjectif et \(f'\) a des fibres universellement bornées, alors \(f\) a des fibres universellement bornées. Plus précisément, si \(n\) borne le degré des fibres de \(f'\), alors \(n\) borne également les degrés des fibres de \(f\).

Démonstration

Soit \(n \geq 0\) un entier bornant les degrés des fibres de \(f'\). Nous affirmons que \(n\) convient également pour \(f\). C’est-à-dire, si \(y \in Y\) est un point, choisissez un point \(y' \in Y'\) situé au-dessus de \(y\) et observez que \[X'_{y'} = \Spec(\kappa(y')) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] Puisque \(X'_{y'}\) est supposé fini de degré \(\leq n\) sur \(\kappa(y')\), il s’ensuit que également \(X_y\) est fini de degré \(\leq n\) sur \(\kappa(y)\). (Certains détails sont omis.)

Lemme

Une immersion a des fibres universellement bornées.

Démonstration

L’entier \(n = 1\) fonctionne dans la définition.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale de schémas. Soit \(n \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes

l’entier \(n\) borne les degrés des fibres,

pour tout corps \(k\) et morphisme \(\Spec(k) \to Y\) le changement de base \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) a au plus \(n\) points, et

pour chaque \(y \in Y\) et chaque clôture algébrique séparable \(\kappa(y) \subset \kappa(y)^{sep}\), le schéma \(X_{\kappa(y)^{sep}}\) a au plus \(n\) points.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 03J5 et du fait que les fibres \(X_y\) sont des unions disjointes de spectres d’extensions de corps finies et séparables de \(\kappa(y)\), voir Lemme 02GL.

Avoir des fibres universellement bornées est une notion absolue et non une notion relative. C’est pourquoi la condition dans le lemme suivant est que \(X\) est quasi-compact, et non que \(f\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) est localement quasi-fini, et

\(X\) est quasi-compact.

Alors \(f\) a des fibres universellement bornées.

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) et des ouverts affines \(V_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\) tels que \(f(U_i) \subset V_i\). En raison de la nature locale de “quasi-finitude locale” (voir le Lemme 01TH partie (4)), nous voyons que les morphismes \(f|_{U_i} : U_i \to V_i\) sont localement des morphismes quasi-finis d’affines, donc quasi-finis, voir le Lemme 01TJ. Pour \(y \in Y\), il est clair que \(X_y = \bigcup_{y \in V_i} (U_i)_y\) est un recouvrement ouvert. Il suffit donc de prouver le lemme pour un morphisme quasi-fini d’affines (à savoir, si \(n_i\) fonctionne pour le morphisme \(f|_{U_i} : U_i \to V_i\), alors \(\sum n_i\)) fonctionne pour \(f\)).

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme quasi-fini de schémas affines. D’après le Lemme 03GU, nous pouvons trouver un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & Z \ar[ld]^\pi \\ & Y & }\] avec \(Z\) affine, \(\pi\) fini et \(j\) une immersion ouverte. Puisque \(j\) a des fibres universellement bornées (Lemme 03J9), cela nous ramène à montrer que \(\pi\) a des fibres universellement bornées (Lemme 03J6).

Cela nous ramène à un morphisme de la forme \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) où \(A \to B\) est fini. Supposons que \(B\) soit engendré par \(x_1, \ldots, x_n\) comme \(A\)-module, de sorte que \[A^{\oplus n} \longrightarrow B, \quad (a_1, \ldots, a_n) \longmapsto \sum a_i x_i\] est une application de module \(A\) surjective. Pour tout premier \(\mathfrak p \subset A\), cela induit une application surjective entre les espaces vectoriels \(\kappa(\mathfrak p)\) \[\kappa(\mathfrak p)^{\oplus n} \longrightarrow B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\] En d’autres termes, l’entier \(n\) intervient dans la définition d’un morphisme à fibres universellement bornées.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de morphismes de schémas \[\xymatrix{ X \ar[rd]_g \ar[rr]_f & & Y \ar[ld]^h \\ & Z & }\] Si \(g\) a des fibres universellement bornées, et que \(f\) est surjectif et plat, alors \(h\) a également des fibres universellement bornées. Plus précisément, si \(n\) borne le degré des fibres de \(g\), alors \(n\) borne également le degré des fibres de \(h\).

Démonstration

Supposons que \(g\) a des fibres universellement bornées, et que \(f\) est surjectif et plat. Disons que le degré des fibres de \(g\) est borné par \(n \in \mathbf{N}\). Nous affirmons que \(n\) fonctionne également pour \(h\). Soit \(z \in Z\). Considérons le morphisme de schémas \(X_z \to Y_z\). Il est plat et surjectif. Par hypothèse \(X_z\) est un schéma fini sur \(\kappa(z)\), en particulier il est le spectre d’un anneau artinien (par Algèbre, Lemme 00J6). Par le Lemme 01SI le morphisme \(X_z \to Y_z\) est affine, en particulier quasi-compact. Il en découle du Lemme 02JY que \(Y_z\) est un discret fini car cela vaut pour \(X_z\). Par conséquent, \(Y_z\) est un schéma affine (c’est un bel exercice ; cela découle également, par exemple, de Propriétés, Lemme 01ZV appliqué à l’ensemble de tous les points de \(Y_z\)). Écrivez \(Y_z = \Spec(B)\) et \(X_z = \Spec(A)\). Alors \(A\) est fidèlement plat sur \(B\), donc \(B \subset A\). Par conséquent, \(\dim_k(B) \leq \dim_k(A) \leq n\) comme souhaité.

Divers

Résultats qui ne trouvent pas leur place ailleurs.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point. Supposons que \(Y\) soit réduit et que \(f(Y)\) soit contenu au sens d’ensemble dans \(\{x\}\). Alors \(f\) se factorise par le morphisme canonique \(x = \Spec(\kappa(x)) \to X\).

Démonstration

Omis. Indices : en travaillant localement sur les schémas affines, on se ramène à un lemme d’algèbre commutative. Étant donné un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) avec \(B\) réduit tel qu’il existe un unique idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) dans l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\), alors \(A \to B\) se factorise par \(\kappa(\mathfrak p)\). C’est un bel exercice.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Soit \(E \subset X\). On suppose que \(X\) est localement noethérien, qu’il n’y a pas de spécialisations non triviales parmi les éléments de \(E\), que \(Y\) est réduit, et \(f(Y) \subset E\). Alors \(f\) se factorise par \(\coprod_{x \in E} x \to X\).

Démonstration

Lorsque \(E\) est un singleton, cela résulte du Lemme 0H1M. Si \(E\) est fini, alors \(E\) (avec la topologie induite de \(X\)) est un espace discret fini selon notre hypothèse sur les spécialisations. Ainsi, ce cas se réduit au cas du singleton. En général, il y a une réduction au cas où \(X\) et \(Y\) sont des schémas affines. Disons que \(f : Y \to X\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\). On note \(A' \subset B\) l’image de \(\varphi\). Soit \(E' \subset \Spec(A') \subset \Spec(A)\) l’ensemble des idéaux premiers minimaux de \(A'\). Par l’Algèbre, Lemme 00FK, l’ensemble \(E'\) est contenu dans l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A') \subset \Spec(A)\). Nous concluons que \(E' \subset E\). Comme \(A'\) est noethérien, nous avons que \(E'\) est fini par l’Algèbre, Lemme 00FR. Puisque tout autre point de l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est une spécialisation d’un élément de \(E'\) et dans \(E\), nous concluons que l’image est contenue dans \(E'\) (par notre hypothèse sur les spécialisations entre les points de \(E\)). Ainsi, nous réduisons au cas où \(E\) est fini, ce que nous avons traité ci-dessus.

Cela a été prouvé dans une situation plus générale dans la démonstration de Modules, Lemme 08KS.↩︎
Il s’agit probablement d’une notation non standard.↩︎
Par Lemme 01R8, au sens ensembliste \(Z\) coïncide avec l’adhérence de \(f(X)\) dans \(Y\).↩︎
Mais uniquement les propriétés qui ne sont pas déjà traitées séparément ailleurs.↩︎
Mais uniquement les propriétés qui ne sont pas déjà traitées séparément ailleurs.↩︎
Mais uniquement les propriétés qui ne sont pas déjà traitées séparément ailleurs.↩︎
Ceci est très différent de la notion de submersion de variétés différentielles.↩︎
En fait, si \(f\) est surjectif, plat et localement de présentation finie et \(p\) est syntomique, alors \(q\) et \(f\) sont syntomiques, voir Descente, Lemme 05B7.↩︎
Plus précisément, la section locale \(\text{d}_{X/S}(f) = 1 \otimes f - f \otimes 1\) du faisceau d’idéaux de \(\Delta\) s’envoie par \(\text{d}_{X \times_S X/X}\) sur la section locale \(1 \otimes 1 \otimes 1 \otimes f - 1 \otimes f \otimes 1 \otimes 1 -1 \otimes 1 \otimes f \otimes 1 + f \otimes 1 \otimes 1 \otimes 1 = \text{pr}_2^*\text{d}_{X/S}(f) - \text{pr}_1^*\text{d}_{X/S}(f)\).↩︎
En fait, cela est impliqué par (1) et (2), voir Descente, Lemme 02KL. De plus, il suffit de supposer que \(f\) est surjectif, plat et localement de fini présentation, voir Descente, Lemme 05B5.↩︎
En fait cela est impliqué par (1) et (2), voir Descente, Lemme 02KL. De plus, il suffit de supposer que \(f\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, voir Descente, Lemme 05B5.↩︎
Cela s’ensuit si \(g\) est quasi-séparé par Schémas, Lemme 03GI.↩︎
Ce n’est pas exactement la même définition que celle dans Hartshorne. À savoir, la définition dans Hartshorne (8e impression corrigée, 1997) est que \(f\) devrait être la composition d’une immersion ouverte suivie d’un H-morphisme projectif (voir Définition 01W8), ce qui n’implique pas que \(f\) soit quasi-compact. Voir le Lemme 01WA pour l’implication dans l’autre sens.↩︎
Cela découle si \(g\) est quasi-séparé d’après Schémas, Lemme 03GI.↩︎
Soit \(A\) un anneau tel que pour tout \(x, y \in A\) avec \(x^3 = y^2\), il existe un \(a \in A\) avec \(x = a^2\) et \(y = a^3\). Alors \(A\) est réduit : si \(x^2 = 0\), alors \(x^2 = x^3\) et donc il existe un \(a\) tel que \(x = a^3\) et \(x = a^2\). Puis \(x = a^3 = ax = a^4 = x^2 = 0\). Enfin, si \(a_1^2 = a_2^2\) et \(a_1^3 = a_2^3\) pour \(a_1, a_2\) dans un anneau réduit, alors \((a_1 - a_2)^3 = a_1^3 - 3a_1^2a_2 +3a_1a_2^2 - a_2^3 = (1 - 3 + 3 - 1)a_1^3 = 0\) et donc \(a_1 = a_2\).↩︎
Par exemple si \(f\) est propre, voir Définition 01W1.↩︎
Le schéma \(X'\) n’a pas besoin d’être normal, par exemple si \(Y = X\) et \(f = \text{id}_X\), alors \(X' = X\).↩︎
Cette formulation maladroite est nécessaire car nous n’avons défini ce que signifie qu’un morphisme soit birationnel que si la source et la cible ont un nombre fini de composantes irréductibles. Il suffit que \(X'_{red} \to X_{red}\) satisfasse la condition.↩︎
Ceci est probablement une notation non standard.↩︎

Traduction française restaurée et lecteur historique

Morphismes de schémas

Introduction

Immersions fermées

Immersions

Immersions fermées et faisceaux quasi-cohérents

Supports des modules

Image schématique

Adhérence schématique et densité

Morphismes dominants

Morphismes surjectifs

Morphismes radiciels et universellement injectifs

Morphismes affines

Familles de modules inversibles amples

Morphismes quasi-affines

Types de morphismes définis par des propriétés d’homomorphismes d’anneaux

Morphismes de type fini

Points de type fini et schémas de Jacobson

Schémas universellement caténaires

Schémas de Nagata, reprise

Le lieu singulier, reprise

Schémas excellents

Morphismes quasi-finis

Morphismes de présentation finie

Ensembles constructibles

Morphismes ouverts

Morphismes submersifs

Morphismes plats

Immersions fermées plates

Platitude générique

Morphismes et dimensions des fibres

Morphismes de dimension relative donnée

Morphismes syntomiques

Faisceau conormal d’une immersion

Faisceau des différentielles d’un morphisme

Opérateurs différentiels d’ordre fini

Morphismes lisses

Morphismes non ramifiés

Morphismes étales

Faisceaux relativement amples

Faisceaux très amples

Faisceaux amples et très amples relativement aux morphismes de type fini

Morphismes quasi-projectifs

Morphismes propres

Critères valuatifs

Morphismes projectifs

Morphismes entiers et finis

Homéomorphismes universels

Homéomorphismes universels de schémas affines

Normalisation faible absolue et semi-normalisation

Morphismes finis localement libres

Applications rationnelles

Morphismes birationnels

Morphismes génériquement finis

La formule de dimension

Normalisation relative

Normalisation

Normalisation faible

Théorème principal de Zariski (version algébrique)

Fibres universellement bornées

Divers