Limites des espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous rassemblons des résultats relatifs aux limites des espaces algébriques. Un premier thème est la caractérisation des espaces algébriques \(F\) localement de présentation finie sur la base \(S\) comme foncteurs compatibles aux limites. Nous poursuivons par l’étude des limites de systèmes projectifs indexés par des ensembles ordonnés filtrants (Catégories, définition 00D3) dont les morphismes de transition sont affines. Nous discutons l’approximation noethérienne absolue des espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés, suivant [CLO]. Une autre approche est due à David Rydh (voir [rydh_approx]); ses résultats couvrent également l’approximation noethérienne absolue de certains champs algébriques.

Conventions

L’hypothèse générale est que tous les schémas sont contenus dans un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les anneaux \(A\) considérés ont la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et dans le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Morphismes de présentation finie

Dans cette section, nous généralisons Limites, proposition 01ZC aux morphismes d’espaces algébriques. La définition suivante est motivée par la proposition que nous venons de citer.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

Un foncteur \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) est dit compatible aux limites ou localement de présentation finie si pour tout schéma affine \(T\) sur \(S\) qui est une limite \(T = \lim T_i\) d’un système projectif filtrant de schémas affines \(T_i\) sur \(S\), on a \[F(T) = \colim F(T_i).\] Nous disons parfois que \(F\) est localement de présentation finie sur \(S\).

Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Une transformation de foncteurs \(a : F \to G\) est compatible aux limites ou localement de présentation finie si, pour tout schéma \(T\) sur \(S\) et tout \(y \in G(T)\), le foncteur \[F_y : (\Sch/T)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}, \quad T'/T \longmapsto \{x \in F(T') \mid a(x) = y|_{T'}\}\] est localement de présentation finie sur \(T\)¹. Nous disons parfois que \(F\) est compatible aux limites relativement à \(G\).

Le foncteur \(F_y\) est en un certain sens la fibre de \(a : F \to G\) au-dessus de \(y\), sauf qu’il s’agit d’un préfaisceau sur le grand site fppf de \(T\). Une formule pour ce foncteur est la suivante : [049K]\[\begin{equation} F_y = F|_{(\Sch/T)_{fppf}} {\times}_{G|_{(\Sch/T)_{fppf}}} * \end{equation}\] Ici, \(*\) est l’objet final de la catégorie des (pré)faisceaux sur \((\Sch/T)_{fppf}\) (voir Sites, exemple 00W3) et le morphisme \(* \to G|_{(\Sch/T)_{fppf}}\) est donné par \(y\). Notons que si \(j : (\Sch/T)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est le foncteur de localisation, alors la formule ci-dessus devient \(F_y = j^{-1}F \times_{j^{-1}G} *\) et \(j_!F_y\) est simplement le produit fibré \(F \times_{G, y} T\). (Voir Sites, section 00XZ, pour des informations sur la localisation, et en particulier Sites, remarque 0494 pour des informations sur \(j_!\) pour les préfaisceaux.)

À ce stade, nous disposons temporairement de deux définitions de ce que signifie, pour un morphisme \(X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\), être localement de présentation finie. L’une est donnée par Morphismes d’espaces, définition 03XP et l’autre utilise le fait que \(X \to Y\) est une transformation de foncteurs, de sorte que la définition 049J s’applique (nous emploierons autant que possible la terminologie « compatible aux limites » pour cette notion). Nous montrerons dans la proposition 04AK que ces deux définitions coïncident.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs \((\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(a : F \to G\) est compatible aux limites ;

pour tout schéma affine \(T\) sur \(S\) qui est une limite \(T = \lim T_i\) d’un système projectif filtrant de schémas affines \(T_i\) sur \(S\), le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] & G(T) }\] est cartésien.

Démonstration

Supposons (1). Considérons \(T = \lim_{i \in I} T_i\) comme dans (2). Soit \((y, x_T)\) un élément du produit fibré \(\colim_i G(T_i) \times_{G(T)} F(T)\). Alors \(y\) provient d’un \(y_i \in G(T_i)\) pour un certain \(i\). Considérons le foncteur \(F_{y_i}\) sur \((\Sch/T_i)_{fppf}\) comme dans la définition 049J. On voit que \(x_T \in F_{y_i}(T)\). De plus, \(T = \lim_{i' \geq i} T_{i'}\) est un système projectif filtrant de schémas affines sur \(T_i\). Ainsi (1) implique que \(x_T\) est l’image d’un unique élément \(x\) de \(\colim_{i' \geq i} F_{y_i}(T_{i'})\). Ainsi \(x\) est l’unique élément de \(\colim F(T_i)\) ayant pour image le couple \((y, x_T)\). Ceci prouve (2).

Supposons (2). Soit \(T\) un schéma et \(y_T \in G(T)\). Nous devons montrer que \(F_{y_T}\) est compatible aux limites. Soit \(T' = \lim_{i \in I} T'_i\) un schéma affine sur \(T\), limite d’un système projectif filtrant de schémas affines \(T'_i\) sur \(T\). Soit \(x_{T'} \in F_{y_T}\). Choisissons \(i \in I\), ce qui est possible car \(I\) est un ensemble ordonné filtrant. Notons \(y_i \in F(T'_i)\) l’image de \(y_{T'}\). Alors \((y_i, x_{T'})\) est un élément du produit fibré \(\colim_i G(T'_i) \times_{G(T')} F(T')\). Par (2), il existe donc un unique élément \(x\) de \(\colim_i F(T'_i)\) ayant pour image \((y_i, x_{T'})\). Il est clair que \(x\) définit un élément de \(\colim_i F_y(T'_i)\) ayant pour image \(x_{T'}\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs. Si \(a\) et \(b\) sont compatibles aux limites, alors \[b \circ a : F \longrightarrow H\] est compatible aux limites.

Démonstration

Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) comme dans la caractérisation (2) du lemme 06BC. Considérons le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] \ar[d]_b & G(T) \ar[d]^b \\ \colim_i H(T_i) \ar[r] & H(T) }\] Par hypothèse, les deux carrés sont cartésiens. Le rectangle extérieur est donc lui aussi cartésien, ce qui prouve le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs. Si \(b \circ a\) et \(b\) sont compatibles aux limites, alors \(a\) est compatible aux limites.

Démonstration

Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) comme dans la caractérisation (2) du lemme 06BC. Considérons le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ \colim_i F(T_i) \ar[r] \ar[d]_a & F(T) \ar[d]^a \\ \colim_i G(T_i) \ar[r] \ar[d]_b & G(T) \ar[d]^b \\ \colim_i H(T_i) \ar[r] & H(T) }\] Par hypothèse, le carré inférieur et le rectangle extérieur sont cartésiens. Le carré supérieur est donc lui aussi cartésien, ce qui prouve le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : H \to G\) des transformations de foncteurs. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\] Si \(a\) est compatible aux limites, alors le changement de base \(a'\) l’est aussi.

Démonstration

Preuve omise. Indication : c’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(E, F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : H \to G\) et \(c : G \to E\) des transformations de foncteurs. Si \(c\), \(c \circ a\) et \(c \circ b\) sont compatibles aux limites, alors \(F \times_G H \to E\) l’est aussi.

Démonstration

Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) comme dans la caractérisation (2) du lemme 06BC. Nous avons alors \[\colim (F \times_G H)(T_i) = \colim F(T_i) \times_{\colim G(T_i)} \colim H(T_i)\] car les limites inductives filtrantes commutent aux produits finis. Notre but est donc de montrer que \[\xymatrix{ \colim F(T_i) \times_{\colim G(T_i)} \colim H(T_i) \ar[r] \ar[d] & F(T) \times_{G(T)} H(T) \ar[d] \\ \colim_i E(T_i) \ar[r] & E(T) }\] est cartésien. Cela découle de l’observation que, pour des applications d’ensembles \(E' \to E\), \(F \to G\), \(H \to G\) et \(G \to E\), nous avons \[E' \times_E (F \times_G H) = (E' \times_E F) \times_{(E' \times_E G)} (E' \times_E H)\] Quelques détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) un foncteur. Si \(F\) est compatible aux limites, alors le faisceau associé \(F^\#\) l’est aussi.

Démonstration

Supposons que \(F\) soit compatible aux limites. Il suffit de montrer que \(F^+\) est compatible aux limites, puisque \(F^\# = (F^+)^+\), voir Sites, théorème 00WB. Soit \(T\) un schéma affine sur \(S\), et écrivons \(T = \lim T_i\) comme limite d’un système projectif filtrant de schémas affines sur \(S\). Rappelons que \(F^+(T)\) est la limite inductive des \(\check H^0(\mathcal{V}, F)\) où cette limite inductive porte sur tous les recouvrements de \(T\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Tout recouvrement fppf d’un schéma affine admet un raffinement qui est un recouvrement fppf standard, voir Topologies, lemme 021P. Nous pouvons donc écrire \[F^+(T) = \colim_{\mathcal{V}\text{ recouvrement standard de }T} \check H^0(\mathcal{V}, F).\] Tout recouvrement \(\mathcal{V} = \{T_k \to T\}_{k = 1, \ldots, n}\) intervenant dans cette limite inductive peut s’écrire \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T\) pour un certain \(i\) et un recouvrement fppf standard \(\mathcal{V}_i = \{T_{i, k} \to T_i\}_{k = 1, \ldots, n}\) de \(T_i\). Notons \(\mathcal{V}_{i'} = \{T_{i', k} \to T_{i'}\}_{k = 1, \ldots, n}\) le recouvrement obtenu par changement de base pour \(i' \geq i\). On a alors \[\begin{align*} \colim_{i' \geq i} \check H^0(\mathcal{V}_i, F) & = \colim_{i' \geq i} \text{Noyau du couple} \left( \xymatrix{ \prod F(T_{i', k}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l}) } \right) \\ & = \text{Noyau du couple} \left( \xymatrix{ \colim_{i' \geq i} \prod F(T_{i', k}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim_{k' \geq k} \prod F(T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l}) } \right) \\ & = \text{Noyau du couple} \left( \xymatrix{ \prod F(T_k) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(T_k \times_T T_l) } \right) \\ & = \check H^0(\mathcal{V}, F) \end{align*}\] La deuxième égalité résulte de l’exactitude des limites inductives filtrantes. La troisième résulte de ce que \(F\) est compatible aux limites et de ce que \(\lim_{i' \geq i} T_{i', k} = T_k\) et \(\lim_{i' \geq i} T_{i', k} \times_{T_{i'}} T_{i', l} = T_k \times_T T_l\) d’après Limites, lemme 01YZ. En utilisant ceci simultanément pour tous les recouvrements, nous obtenons \[\begin{align*} F^+(T) & = \colim_{\mathcal{V}\text{ recouvrement standard de }T} \check H^0(\mathcal{V}, F) \\ & = \colim_{i \in I} \colim_{\mathcal{V}_i\text{ recouvrement standard de }T_i} \check H^0(T \times_{T_i}\mathcal{V}_i, F) \\ & = \colim_{i \in I} F^+(T_i) \end{align*}\] On peut permuter l’ordre des limites inductives en vertu de Catégories, lemme 002M.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) un foncteur. Supposons que

\(F\) soit un faisceau, et

il existe un recouvrement fppf \(\{U_j \to S\}_{j \in J}\) tel que \(F|_{(\Sch/U_j)_{fppf}}\) soit compatible aux limites.

Alors \(F\) est compatible aux limites.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma affine sur \(S\). Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant et soit \(T_i\) un système projectif de schémas affines sur \(S\) tel que \(T = \lim T_i\). Il s’agit de montrer que l’application canonique \(\colim F(T_i) \to F(T)\) est bijective.

Choisissons un élément \(0 \in I\) et un recouvrement fppf standard \(\{V_{0, k} \to T_{0}\}_{k = 1, \ldots, m}\) qui raffine le recouvrement \(\{U_j \times_S T_0 \to T_0\}\) obtenu par changement de base à partir du recouvrement donné de \(S\). Pour tout \(i \geq 0\), posons \(V_{i, k} = T_i \times_{T_0} V_{0, k}\), et posons \(V_k = T \times_{T_0} V_{0, k}\). On a \(V_k = \lim_{i \geq 0} V_{i, k}\), voir Limites, lemme 01YZ.

Supposons que \(x, x' \in \colim F(T_i)\) aient la même image dans \(F(T)\). Représentons \(x, x'\) par des éléments \(x_i, x'_i \in F(T_i)\) pour un certain \(i \in I\) (on peut choisir le même \(i\) pour les deux puisque \(I\) est filtrant). L’hypothèse (2) et l’égalité des images de \(x_i, x'_i\) dans \(F(T)\) montrent que \[x_i|_{V_{i', k}} = x'_i|_{V_{i', k}}\] pour un certain \(i' \in I\) suffisamment grand. On peut choisir le même \(i'\) pour tout \(k\), car \(k \in \{1, \ldots, m\}\) parcourt un ensemble fini. Puisque \(\{V_{i', k} \to T_{i'}\}\) est un recouvrement fppf et que \(F\) est un faisceau, il vient \(x_i|_{T_{i'}} = x'_i|_{T_{i'}}\). L’application \(\colim F(T_i) \to F(T)\) est injective.

La surjectivité se démontre de manière analogue. Soit \(x \in F(T)\). Pour chaque \(k\), l’hypothèse (2) permet de choisir un indice \(i\) tel que \(x|_{V_k}\) provienne d’un élément \(x_{i, k} \in F(V_{i, k})\). Comme précédemment, on peut choisir un même \(i\) qui convienne pour tous les \(k\). D’après l’injectivité établie ci-dessus, on a \[x_{i, k}|_{V_{i', k} \times_{T_{i'}} V_{i', l}} = x_{i, l}|_{V_{i', k} \times_{T_{i'}} V_{i', l}}\] pour un \(i'\) suffisamment grand. La condition de faisceau pour \(F\) implique alors que les éléments \(x_{i, k}|_{V_{i', k}}\) se recollent en un élément \(x_{i'} \in F(T_{i'})\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) des foncteurs. Si la transformation \(a : F \to G\) est compatible aux limites, il en est de même de la transformation induite entre les faisceaux associés \(F^\# \to G^\#\).

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(y \in G^\#(T)\). Il s’agit de montrer que le foncteur \(F^\#_y : (\Sch/T)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) construit à partir de \(F^\# \to G^\#\) et de \(y\) comme dans la définition 049J est compatible aux limites. D’après l’équation (049K), \(F^\#_y\) est un faisceau. Choisissons un recouvrement fppf \(\{V_j \to T\}_{j \in J}\) tel que \(y|_{V_j}\) provienne d’un élément \(y_j \in F(V_j)\). La restriction de \(F^\#\) à \((\Sch/V_j)_{fppf}\) n’est autre que \(F^\#_{y_j}\). Si nous montrons que \(F^\#_{y_j}\) est compatible aux limites, alors le lemme 049P garantit que \(F^\#_y\) est compatible aux limites, ce qui conclut. On est donc ramené au cas \(y \in G(T)\).

Soit \(y \in G(T)\). Dans ce cas, on a \(F^\#_y = (F_y)^\#\). Cette égalité résulte de l’équation (049K). Le résultat découle donc du lemme 049O.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est localement de présentation finie en tant que morphisme d’espaces algébriques, voir Morphismes d’espaces, définition 03XP.

Le morphisme \(f : X \to Y\) est compatible aux limites en tant que transformation de foncteurs, voir définition 049J.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(T\) un schéma et soit \(y \in Y(T)\). Nous devons montrer que \(T \times_Y X\) est compatible aux limites sur \(T\) au sens de la définition 049J. Nous sommes donc réduits à démontrer que si \(X\) est un espace algébrique qui est localement de présentation finie sur \(S\) en tant qu’espace algébrique, alors il est compatible aux limites en tant que foncteur \(X : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Pour le voir, choisissons une présentation \(X = U/R\), voir Espaces, définition 0263. Il découle de Morphismes d’espaces, définition 03XP que \(U\) et \(R\) sont des schémas localement de présentation finie sur \(S\). Donc, par Limites, proposition 01ZC, nous avons \[U(T) = \colim U(T_i), \quad R(T) = \colim R(T_i)\] chaque fois que \(T = \lim_i T_i\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Il s’ensuit que le préfaisceau \[(\Sch/S)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}, \quad W \longmapsto U(W)/R(W)\] est compatible aux limites. Donc, par le lemme 049O, le faisceau associé \(X = U/R\) est lui aussi compatible aux limites.

Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Ensuite, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Par le lemme 049M, la transformation de foncteurs \(V \times_Y X \to V\) est compatible aux limites. Par Morphismes d’espaces, lemme 0468, le morphisme d’espaces algébriques \(U \to V \times_Y X\) est localement de présentation finie, donc est compatible aux limites en tant que transformation de foncteurs par la première partie de la preuve. Par lemme 049L, la composition \(U \to V \times_Y X \to V\) est compatible aux limites en tant que transformation de foncteurs. Donc le morphisme de schémas \(U \to V\) est localement de présentation finie par Limites, proposition 01ZC (à ceci près d’une remarque ensembliste, voir le dernier paragraphe de la preuve). Cela signifie, par définition, que la condition (1) est satisfaite.

Remarque ensembliste. Soit \(U \to V\) un morphisme de \((\Sch/S)_{fppf}\). Dans l’énoncé de Limites, proposition 01ZC le fait que \(U \to V\) soit localement de présentation finie se caractérise ainsi : pour tout système projectif filtrant \((T_i, f_{ii'})\) de schémas affines sur \(V\), on a \(U(T) = \colim V(T_i)\) ; mais, dans le contexte actuel, nous ne pouvons considérer que des schémas affines \(T_i\) sur \(V\) qui sont (isomorphes à) un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous devons donc nous assurer qu’il y a suffisamment de schémas affines dans \((\Sch/S)_{fppf}\) pour que la preuve fonctionne. En examinant la preuve de (2) \(\Rightarrow\) (1) de Limites, proposition 01ZC nous voyons que la question se réduit au cas où \(U\) et \(V\) sont affines. Écrivons \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\). Par construction de \((\Sch/S)_{fppf}\), le spectre de tout anneau de cardinal \(\leq |B|\) est isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Il suffit donc d’observer que, dans la démonstration du sens nécessaire de Algèbre, lemme 00QO, seules des \(A\)-algèbres de cardinal \(\leq |B|\) sont utilisées.

Remarque

Voici un cas particulier important de proposition 04AK. Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\) si et seulement si \(X\), en tant que foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\), est compatible aux limites. Comparer avec Limites, remarque 05LX. En fait, nous verrons dans le lemme 0CM6 ci-dessous qu’il suffit que l’application \[\colim X(T_i) \longrightarrow X(T)\] soit surjective lorsque \(T = \lim T_i\) est la limite d’un système projectif filtrant de schémas affines sur \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si, pour toute limite \(T = \lim_{i \in I} T_i\) d’un système projectif filtrant de schémas affines sur \(S\), l’application \[\colim X(T_i) \longrightarrow X(T) \times_{Y(T)} \colim Y(T_i)\] est surjective, alors \(f\) est localement de présentation finie. Autrement dit, dans la partie (2) de la proposition 04AK, il suffit de vérifier la surjectivité dans le critère du lemme 06BC.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(g : V \to Y\). Ensuite, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(h : U \to V \times_Y X\). Il suffit de montrer, pour \(T = \lim T_i\) comme dans le lemme, que l’application \[\colim U(T_i) \longrightarrow U(T) \times_{V(T)} \colim V(T_i)\] est surjective, car alors \(U \to V\) sera localement de présentation finie par Limites, lemme 0CM0 (à ceci près d’une remarque ensembliste exactement comme dans la preuve de la proposition 04AK). Ainsi, prenons \(a : T \to U\) et \(b_i : T_i \to V\) qui déterminent le même morphisme \(T \to V\). Voici le diagramme \[\xymatrix{ T \ar[d]_a \ar[rr]_{p_i} & & T_i \ar[d]^{b_i} \ar@{..>}[ld] \\ U \ar[r]^-h & X \times_Y V \ar[d] \ar[r] & V \ar[d]^g \\ & X \ar[r]^f & Y }\] D’après l’hypothèse du lemme, quitte à augmenter \(i\), il existe un morphisme \(c_i : T_i \to X\) tel que \(h \circ a = (b_i, c_i) \circ p_i : T_i \to V \times_Y X\) et tel que \(f \circ c_i = g \circ b_i\). Puisque \(h\) est un morphisme étale d’espaces algébriques (et donc localement de présentation finie), nous avons la surjectivité de \[\colim U(T_i) \longrightarrow U(T) \times_{(X \times_Y V)(T)} \colim (X \times_Y V)(T_i)\] par la proposition 04AK. Par conséquent, quitte à augmenter encore \(i\), il existe un morphisme \(a_i : T_i \to U\) tel que \(a = a_i \circ p_i\) et \(b_i = (U \to V) \circ a_i\).

Limites d’espaces algébriques

Le lemme suivant explique comment nous concevons les limites des espaces algébriques dans ce chapitre. Nous utiliserons (sans autre mention) que le changement de base d’un morphisme affine d’espaces algébriques est affine (voir Morphismes d’espaces, lemme 03WI).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{ii'})\) un système projectif indexé par \(I\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). Si les morphismes \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) sont affines, alors la limite \(X = \lim_i X_i\) (en tant que faisceau fppf) est un espace algébrique. De plus,

chacun des morphismes \(f_i : X \to X_i\) est affine,

pour tout \(i \in I\) et tout morphisme d’espaces algébriques \(T \to X_i\), nous avons \[X \times_{X_i} T = \lim_{i' \geq i} X_{i'} \times_{X_i} T.\] Cette égalité étant entendue dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

La partie (2) est une conséquence formelle de l’existence de la limite \(X = \lim X_i\) en tant qu’espace algébrique sur \(S\). Choisissons un élément \(0 \in I\) (c’est possible puisque tout ensemble filtrant est non vide). Choisissons un schéma \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) de sorte que \(X_0 = U_0/R_0\). Pour \(i \geq 0\), posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) et \(R_i = X_i \times_{X_0} R_0 = U_i \times_{X_i} U_i\). D’après Limites, lemme 01YX on voit que \(U = \lim_{i \geq 0} U_i\) et \(R = \lim_{i \geq 0} R_i\) sont des schémas. De plus, les deux morphismes \(s, t : R \to U\) sont les changements de base des deux projections \(R_0 \to U_0\) par le morphisme \(U \to U_0\), en particulier ils sont étales. Le morphisme \(R \to U \times_S U\) définit une relation d’équivalence, car une limite projective de relations d’équivalence indexée par un ensemble filtrant est une relation d’équivalence. Par conséquent, le morphisme \(R \to U \times_S U\) est une relation d’équivalence étale. Nous affirmons que le morphisme naturel [07SG]\[\begin{equation} U/R \longrightarrow \lim X_i \end{equation}\] est un isomorphisme de faisceaux fppf sur la catégorie des schémas sur \(S\). Cette assertion implique que \(X = \lim X_i\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW.

Soit \(Z\) un schéma et soit \(a : Z \to \lim X_i\) un morphisme. Alors \(a = (a_i)\), où \(a_i : Z \to X_i\). Posons \(W_0 = Z \times_{a_0, X_0} U_0\). Remarquons que \(W_0 = Z \times_{a_i, X_i} U_i\) pour tout \(i \geq 0\), par notre choix de \(U_i \to X_i\) ci-dessus. Nous obtenons donc un morphisme \(W_0 \to \lim_{i \geq 0} U_i = U\). Comme \(W_0 \to Z\) est surjectif et étale, nous concluons que (07SG) est un morphisme surjectif de faisceaux. Enfin, soit \(Z\) un schéma et soient \(a, b : Z \to U/R\) deux morphismes dont les images par (07SG) sont égales. Il s’agit de montrer que \(a = b\). Après avoir remplacé \(Z\) par les objets d’un recouvrement fppf, on peut supposer qu’il existe des morphismes \(a', b' : Z \to U\) qui donnent \(a\) et \(b\). Le fait que les images de \(a, b\) par (07SG) soient égales signifie que pour chaque \(i \geq 0\) les compositions \(a_i', b_i' : Z \to U \to U_i\) sont égales comme morphismes à valeurs dans \(U_i/R_i = X_i\). Par conséquent, \((a_i', b_i') : Z \to U_i \times_S U_i\) se factorise par \(R_i\) au moyen d’un morphisme \(c_i : Z \to R_i\). Comme \(R = \lim_{i \geq 0} R_i\), on voit que \(c = \lim c_i : Z \to R\) est un morphisme qui montre que \(a, b\) sont égaux comme morphismes de \(Z\) vers \(U/R\).

La partie (1) découle du fait que nous avons vu ci-dessus \(U_i \times_{X_i} X = U\) et que \(U \to U_i\) est affine par construction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{ii'})\) un système projectif indexé par \(I\) d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines. Soit \(X = \lim_i X_i\). Soit \(0 \in I\). Supposons que \(T \to X_0\) soit un morphisme d’espaces algébriques. Alors \[T \times_{X_0} X = \lim_{i \geq 0} T \times_{X_0} X_i\] en tant qu’espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

La limite \(X\) est un espace algébrique d’après le lemme 07SF. L’égalité est formelle, voir Catégories, lemme 002M.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{i'i}) \to (Y_i, g_{i'i})\) un morphisme de systèmes projectifs indexés par \(I\) d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

les morphismes \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) soient affines,

les morphismes \(g_{i'i} : Y_{i'} \to Y_i\) soient affines,

les morphismes \(X_i \to Y_i\) soient des immersions fermées.

Alors \(\lim X_i \to \lim Y_i\) est une immersion fermée.

Démonstration

Observons que \(\lim X_i\) et \(\lim Y_i\) existent d’après le lemme 07SF. Choisissons \(0 \in I\) et un schéma affine \(V_0\) ainsi qu’un morphisme étale \(V_0 \to Y_0\). Alors les morphismes \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0 \to U_i = X_i \times_{Y_0} V_0\) sont des immersions fermées de schémas affines. Par conséquent, le morphisme \(V = Y \times_{Y_0} V_0 \to U = X \times_{Y_0} V_0\) est une immersion fermée, car \(V = \lim V_i\), \(U = \lim U_i\) et parce qu’une limite projective d’immersions fermées de schémas affines est une immersion fermée : une limite inductive filtrante d’homomorphismes d’anneaux surjectifs est surjective. Comme les morphismes étales \(V \to Y\) forment un recouvrement étale de \(Y\) lorsque nous faisons varier notre choix de \(V_0 \to Y_0\) le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{i'i})\) un système projectif indexé par \(I\) d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X_i\) est réduit pour tout \(i\), alors \(X\) est réduit.

Démonstration

Observons que \(\lim X_i\) existe d’après le lemme 07SF. Choisissons \(0 \in I\) et un schéma affine \(V_0\) ainsi qu’un morphisme étale \(U_0 \to X_0\). Alors les schémas affines \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) sont réduits. Par conséquent, \(U = X \times_{X_0} U_0\) est un schéma affine réduit, comme limite projective de schémas affines réduits : une limite inductive filtrante d’anneaux réduits est réduite. Comme les morphismes étales \(U \to X\) forment un recouvrement étale de \(X\) lorsque nous faisons varier notre choix de \(U_0 \to X_0\) le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions équivalentes (1) et (2) de la proposition 04AK sont également équivalentes à

pour toute limite \(T = \lim T_i\) d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés \(T_i\) sur \(S\) à morphismes de transition affines, le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ \colim_i \Mor(T_i, X) \ar[r] \ar[d] & \Mor(T, X) \ar[d] \\ \colim_i \Mor(T_i, Y) \ar[r] & \Mor(T, Y) }\] est un diagramme cartésien.

Démonstration

Il est clair que (3) implique (2). Nous supposerons (2) et démontrerons (3). La démonstration est assez formelle et nous laissons au lecteur le soin d’en trouver une.

Commençons par démontrer que (3) est valable lorsque \(T_i\) est en outre supposé séparé pour tout \(i\). Choisissons \(i \in I\) et un morphisme étale surjectif \(U_i \to T_i\) où \(U_i\) est affine. En utilisant le lemme 07SH, on voit qu’en posant \(U = U_i \times_{T_i} T\) et \(U_{i'} = U_i \times_{T_i} T_{i'}\), on a \(U = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\). Bien sûr, \(U\) et \(U_{i'}\) sont affines (voir le lemme 07SF). Comme \(T_i\) est séparé, le produit fibré \(V_i = U_i \times_{T_i} U_i\) est également un schéma affine et nous obtenons des schémas affines \(V = V_i \times_{T_i} T\) et \(V_{i'} = V_i \times_{T_i} T_{i'}\) tels que \(V = \lim_{i' \geq i} V_{i'}\). Observons que \(U \to T\) et \(U_i \to T_i\) sont surjectifs et étales et que \(V = U \times_T U\) et \(V_{i'} = U_{i'} \times_{T_{i'}} U_{i'}\). Remarquons que \(\Mor(T, X)\) est le noyau du couple formé par les deux applications \(\Mor(U, X) \to \Mor(V, X)\) ; cela résulte par exemple du fait que \(X\), comme faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\), est le conoyau du couple formé par les deux applications \(h_V \to h_u\). De même, \(\Mor(T_{i'}, X)\) est le noyau du couple formé par les deux applications \(\Mor(U_{i'}, X) \to \Mor(V_{i'}, X)\). Et bien sûr, la même chose vaut en remplaçant \(X\) par \(Y\). La condition (2) dit que les diagrammes de (3) sont cartésiens dans le cas de \(U = \lim U_i\) et \(V = \lim V_i\). Il s’ensuit formellement que la même chose vaut pour \(T = \lim T_i\).

Dans le cas général, choisissons un schéma affine \(U\), un \(i \in I\), et un morphisme étale surjectif \(U \to T_i\). En répétant l’argument du paragraphe précédent, on conclut encore : les schémas \(V_{i'}\), \(V\) ne sont plus affines, mais ils sont toujours quasi-compacts et séparés, et le résultat du paragraphe précédent s’applique.

Descente des propriétés

Cette section est l’analogue de Limites, section 081A.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines (lemme 07SF). Si chaque \(X_i\) est décent (par exemple quasi-séparé ou localement séparé), alors \(|X| = \lim_i |X_i|\) en tant qu’ensembles.

Démonstration

Il existe une application canonique \(|X| \to \lim |X_i|\). Choisissons \(0 \in I\). Si \(W_0 \subset X_0\) est un sous-espace ouvert, alors \(f_0^{-1}W_0 = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}W_0\), voir le lemme 07SF. Ainsi, le cas général se ramène à celui des systèmes projectifs pour lesquels \(X_0\) est quasi-compact. On peut donc supposer désormais que \(X_0\) est quasi-compact.

Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) et \(U = X \times_{X_0} U_0\). Posons \(R_i = U_i \times_{X_i} U_i\) et \(R = U \times_X U\). Rappelons que \(U = \lim U_i\) et \(R = \lim R_i\), voir la démonstration du lemme 07SF. Rappelons que \(|X| = |U|/|R|\) et \(|X_i| = |U_i|/|R_i|\). D’après Limites, lemme 01YY, nous avons \(|U| = \lim |U_i|\) et \(|R| = \lim |R_i|\).

Surjectivité de \(|X| \to \lim |X_i|\). Soit \((x_i) \in \lim |X_i|\). Notons \(S_i \subset |U_i|\) l’image réciproque de \(x_i\). Il s’agit d’un ensemble fini non vide par définition des espaces décents (Espaces décents, définition 03I8). Donc \(\lim S_i\) est non vide, voir Catégories, lemme 086J. Soit \((u_i) \in \lim S_i \subset \lim |U_i|\). D’après ce qui précède, cela détermine un point \(u \in |U|\) ayant pour image un point \(x \in |X|\) dont l’image est l’élément donné \((x_i)\) de \(\lim |X_i|\).

Injectivité de \(|X| \to \lim |X_i|\). Supposons que \(x, x' \in |X|\) aient la même image dans \(\lim |X_i|\). Choisissons des relèvements \(u, u' \in |U|\) et notons \(u_i, u'_i \in |U_i|\) leurs images. Pour chaque \(i\), soit \(T_i \subset |R_i|\) l’ensemble des points ayant pour image sur \((u_i, u'_i) \in |U_i| \times |U_i|\). Il s’agit d’un ensemble fini par définition des espaces décents (Espaces décents, définition 03I8). De plus, \(T_i\) est non vide puisque nous avons supposé que \(x\) et \(x'\) avaient le même point de \(X_i\). Donc \(\lim T_i\) est non vide, voir Catégories, lemme 086J. Comme précédemment, soit \(r \in |R| = \lim |R_i|\) un point correspondant à un élément de \(\lim T_i\). Alors \(r\) a pour image \((u, u')\) dans \(|U| \times |U|\) par construction et nous voyons que \(x = x'\) dans \(|X|\), comme voulu.

Pour justifier l’assertion entre parenthèses, un espace algébrique quasi-séparé est décent, voir Espaces décents, section 03I7 (l’observation clé à cet égard est le lemme de Propriétés des espaces, 03IJ). Un espace algébrique localement séparé est décent d’après Espaces décents, lemme 088J.

Lemme

Avec les mêmes notations et hypothèses que dans le lemme 0CUJ, nous avons \(|X| = \lim_i |X_i|\) en tant qu’espaces topologiques.

Démonstration

Nous utiliserons le critère de Topologie, lemme 0A2Q. Nous avons vu que \(|X| = \lim_i |X_i|\) en tant qu’ensembles dans le lemme 0CUJ. Les \(f_i : X \to X_i\) sont des morphismes d’espaces algébriques et induisent donc des applications continues \(|X| \to |X_i|\). Ainsi \(f_i^{-1}(U_i)\) est ouvert pour tout ouvert \(U_i \subset |X_i|\). Enfin, soit \(x \in |X|\) et soit \(x \in V \subset |X|\) un voisinage ouvert. Nous devons trouver un \(i\) et un voisinage ouvert \(W_i \subset |X_i|\) de l’image de \(x\) tel que \(f_i^{-1}(W_i) \subset V\). Choisissons \(0 \in I\). Choisissons un schéma \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U = X \times_{X_0} U_0\) et \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) pour \(i \geq 0\). Alors \(U = \lim_{i \geq 0} U_i\) dans la catégorie des schémas d’après le lemme 07SF. Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). D’après le résultat pour les schémas (Limites, lemme 0CUF) nous pouvons trouver un \(i \geq 0\) et un voisinage ouvert \(E_i \subset U_i\) de l’image de \(u\) dont l’image réciproque dans \(U\) est contenue dans l’image réciproque de \(V\) dans \(U\). Nous pouvons alors poser \(W_i \subset |X_i|\) égal à l’image de \(E_i\). Cela fonctionne car \(|U_i| \to |X_i|\) est ouvert.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines (lemme 07SF). Si chaque \(X_i\) est quasi-compact et non vide, alors \(|X|\) est non vide.

Démonstration

Choisissons \(0 \in I\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) et \(U = X \times_{X_0} U_0\). Alors chaque \(U_i\) est un schéma affine non vide. Donc \(U = \lim U_i\) est non vide (Limites, lemme 01Z2) et ainsi \(X\) est non vide.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines (lemme 07SF). Soit \(x \in |X|\) d’images \(x_i \in |X_i|\). Si chaque \(X_i\) est décent, alors \(\overline{\{x\}} = \lim_i \overline{\{x_i\}}\) en tant qu’ensembles et comme espaces algébriques lorsqu’ils sont munis de leur structure induite réduite.

Démonstration

Posons \(Z = \overline{\{x\}} \subset |X|\) et \(Z_i = \overline{\{x_i\}} \subset |X_i|\). Comme l’application \(|X| \to |X_i|\) est continue, l’image de \(Z\) est contenue dans \(Z_i\) pour tout \(i\). On obtient donc une application injective \(Z \to \lim Z_i\) car \(|X| = \lim |X_i|\) en tant qu’ensembles (lemme 0CUJ). Supposons que \(x' \in |X|\) n’appartienne pas à \(Z\). Il existe alors un ouvert \(U \subset |X|\) tel que \(x' \in U\) et \(x \not \in U\). Comme \(|X| = \lim |X_i|\) en tant qu’espaces topologiques (lemme 086V), on peut écrire \(U = \bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\) pour une partie \(J \subset I\) et des ouverts \(U_j \subset |X_j|\), voir Topologie, lemme 0A2P. Il existe donc \(j \in J\) tel que \(f_j(x') \in U_j\) et \(f_j(x) \not \in U_j\). Autrement dit, \(f_j(x') \not \in Z_j\). Ainsi \(Z = \lim Z_i\) en tant qu’ensembles.

Munissons ensuite \(Z\) et \(Z_i\) de leur structure induite réduite, voir Propriétés des espaces, définition 047X. Les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) induisent des morphismes affines \(Z_{i'} \to Z_i\), et les projections \(X \to X_i\) induisent des morphismes compatibles \(Z \to Z_i\). On obtient donc des morphismes \(Z \to \lim Z_i \to X\) d’espaces algébriques. D’après le lemme 0CUH, le morphisme \(\lim Z_i \to X\) est une immersion fermée. D’après le lemme 0CUI, l’espace algébrique \(\lim Z_i\) est réduit. D’après ce qui précède, \(Z \to \lim Z_i\) est bijectif sur les points. Par unicité de la structure induite réduite de sous-espace fermé, ce morphisme est un isomorphisme d’espaces algébriques.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines (lemme 07SF). On suppose que \(X_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). On choisit aussi un élément \(0 \in I\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Supposons que \(\mathcal{F}_0\) soit un faisceau quasi-cohérent sur \(X_0\). Posons \(\mathcal{F}_i = f_{0i}^*\mathcal{F}_0\) pour \(i \geq 0\) et posons \(\mathcal{F} = f_0^*\mathcal{F}_0\). Alors \[\Gamma(X, \mathcal{F}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(X_i, \mathcal{F}_i)\]

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\), où \(U_0\) est un schéma affine (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\). Posons \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) et \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\). Dans la démonstration du lemme 07SF, nous avons vu qu’il existe une présentation \(X = U/R\) avec \(U = \lim U_i\) et \(R = \lim R_i\). Notons que \(U_i\) et \(U\) sont affines, et que \(R_i\) et \(R\) sont quasi-compacts et séparés (puisque \(X_i\) est quasi-séparé). Par conséquent, Limites, lemme 01Z0 donne \[\mathcal{F}(U) = \colim \mathcal{F}_i(U_i) \quad\text{et}\quad \mathcal{F}(R) = \colim \mathcal{F}_i(R_i).\] Le lemme en résulte car \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Ker(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(R))\) et, de même, \(\Gamma(X_i, \mathcal{F}_i) = \Ker(\mathcal{F}_i(U_i) \to \mathcal{F}_i(R_i))\)

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Pour tout sous-espace ouvert quasi-compact \(U \subset X\), il existe un \(i\) et un ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\) dont l’image inverse dans \(X\) est \(U\).

Démonstration

Cela résulte formellement de la construction des limites dans le lemme 07SF et du résultat correspondant pour les schémas : Limites, lemme 01Z4.

Le lemme suivant sera supplanté par le lemme plus fort 0852.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Soit \(f_0 : Y_0 \to Z_0\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(X_0\). Supposons (a) que \(Y_0 \to X_0\) et \(Z_0 \to X_0\) soient représentables, (b) que \(Y_0\) et \(Z_0\) soient quasi-compacts et quasi-séparés, (c) que \(f_0\) soit localement de présentation finie, et (d) que \(Y_0 \times_{X_0} X \to Z_0 \times_{X_0} X\) soit un isomorphisme. Il existe alors un \(i \geq 0\) tel que \(Y_0 \times_{X_0} X_i \to Z_0 \times_{X_0} X_i\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\) et \(U = U_0 \times_{X_0} X\). Appliquons Limites, lemme 081E : on obtient que \(Y_0 \times_{X_0} U_i \to Z_0 \times_{X_0} U_i\) est un isomorphisme de schémas pour un certain \(i \geq 0\) (détails omis). Comme \(U_i \to X_i\) est étale surjectif, il s’ensuit que \(Y_0 \times_{X_0} X_i \to Z_0 \times_{X_0} X_i\) est un isomorphisme (détails omis).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Si \(X\) est séparé, alors \(X_i\) est séparé pour un certain \(i \in I\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Pour \(i \geq 0\), posons \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\), et posons \(U = U_0 \times_{X_0} X\). Notons que \(U_i\) et \(U\) sont des schémas affines munis de morphismes étales surjectifs \(U_i \to X_i\) et \(U \to X\). Posons \(R_i = U_i \times_{X_i} U_i\) et \(R = U \times_X U\), de projections \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) et \(s, t : R \to U\). Notons que \(R_i\) et \(R\) sont des schémas quasi-compacts et séparés (puisque les espaces algébriques \(X_i\) et \(X\) sont quasi-séparés). Les morphismes \(s_i : R_i \to U_i\) et \(s : R \to U\) sont de type fini. Par définition, \(X_i\) est séparé si et seulement si \((t_i, s_i) : R_i \to U_i \times U_i\) est une immersion fermée; comme \(X\) est séparé par hypothèse, le morphisme \((t, s) : R \to U \times U\) est une immersion fermée. Comme \(R \to U\) est de type fini, il existe un \(i\) tel que le morphisme \(R \to U_i \times U\) soit une immersion fermée (Limites, lemme 081B). Fixons un tel \(i \in I\). Appliquons Limites, lemme 01ZP au système de morphismes \(R_{i'} \to U_i \times U_{i'}\) pour \(i' \geq i\) (ce qui est permis puisque \(R_{i'} = R_i \times_{U_i \times U_i} U_i \times U_{i'}\)). On voit ainsi que \(R_{i'} \to U_i \times U_{i'}\) est une immersion fermée pour \(i'\) assez grand. Il s’ensuit immédiatement que \(R_{i'} \to U_{i'} \times U_{i'}\) est une immersion fermée, ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Si \(X\) est affine, il existe un \(i\) tel que \(X_i\) soit affine.

Démonstration

Choisissons \(0 \in I\), puis un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U = U_0 \times_{X_0} X\) et \(U_i = U_0 \times_{X_0} X_i\) pour \(i \geq 0\). Comme les morphismes de transition sont affines, les espaces algébriques \(U_i\) et \(U\) sont affines. Ainsi, \(U \to X\) est un morphisme étale de schémas affines. On peut donc écrire \(X = \Spec(A)\), \(U = \Spec(B)\) et \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_n)\] où \(\Delta = \det(\partial g_\lambda/\partial x_\mu)\) est inversible dans \(B\); voir Algèbre, lemme 00U9. Posons \(A_i = \mathcal{O}_{X_i}(X_i)\). On a \(A = \colim A_i\) d’après le lemme 07SI. Quitte à augmenter \(0\), on peut supposer donnés \(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i} \in A_i[x_1, \ldots, x_n]\) dont les images sont \(g_1, \ldots, g_n\). Posons \[B_i = A_i[x_1, \ldots, x_n]/(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i})\] pour tout \(i \geq 0\). Quitte à augmenter \(0\) si nécessaire, on peut supposer que \(\Delta_i = \det(\partial g_{\lambda, i}/\partial x_\mu)\) est inversible dans \(B_i\) pour tout \(i \geq 0\). Ainsi, \(A_i \to B_i\) est un homomorphisme étale. Quitte à augmenter \(0\), on peut aussi supposer que \(\Spec(B_i) \to \Spec(A_i)\) est surjectif; voir Limites, lemme 07RR. Quitte à augmenter encore \(0\), choisissons des éléments \(h_{1, i}, \ldots, h_{n, i} \in \mathcal{O}_{U_i}(U_i)\) dont les images sont les classes de \(x_1, \ldots, x_n\) dans \(B = \mathcal{O}_U(U)\) et tels que \(g_{\lambda, i}(h_{\nu, i}) = 0\) dans \(\mathcal{O}_{U_i}(U_i)\). Ainsi, on obtient un diagramme commutatif [084U]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X_i \ar[d] & U_i \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(A_i) & \Spec(B_i) \ar[l] } } \end{equation}\] Par construction, \(B_i = B_0 \otimes_{A_0} A_i\) et \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\). Considérons le morphisme \[f_0 : U_0 \longrightarrow X_0 \times_{\Spec(A_0)} \Spec(B_0)\] C’est un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés, représentable, séparé et étale sur \(X_0\). Par nos choix, le changement de base de \(f_0\) à \(X\) est un isomorphisme. Le lemme 084S assure donc qu’il existe un \(i\) tel que le changement de base de \(f_0\) à \(X_i\) soit un isomorphisme; autrement dit, le diagramme (084U) est cartésien. Par conséquent, Descente, lemme 02W5, appliqué au recouvrement fppf \(\{\Spec(B_i) \to \Spec(A_i)\}\) et combiné avec Descente, lemme 0245, montre que \(X_i \to \Spec(A_i)\) est représentable par un schéma affine sur \(\Spec(A_i)\), comme voulu. (Il s’ensuit bien sûr également que \(X_i = \Spec(A_i)\), mais nous n’en avons pas besoin.)

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084R. Si \(X\) est un schéma, il existe un \(i\) tel que \(X_i\) soit un schéma.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup W_j\). D’après le lemme 0827, il existe un \(i \in I\) et des sous-espaces ouverts \(W_{j, i} \subset X_i\) dont le changement de base à \(X\) est \(W_j \to X\). D’après le lemme 07SQ, on peut supposer que chaque \(W_{j, i}\) est un schéma affine. Il en résulte que \(X_i\) est un schéma (voir, par exemple, Propriétés des espaces, section 03JG).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(B\) à morphismes de transition affines. Soit \(Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\).

Si \(Y \to X\) est une immersion fermée, si \(X_i\) est quasi-compact et si \(Y \to B\) est localement de type fini, alors \(Y \to X_i\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand.

Si \(Y \to X\) est une immersion, si \(X_i\) est quasi-séparé, si \(Y \to B\) est localement de type fini et si \(Y\) est quasi-compact, alors \(Y \to X_i\) est une immersion pour \(i\) assez grand.

Si \(Y \to X\) est un isomorphisme, si \(X_i\) est quasi-compact, si \(X_i \to B\) est localement de type fini, si les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) sont des immersions fermées et si \(Y \to B\) est localement de présentation finie, alors \(Y \to X_i\) est un isomorphisme pour \(i\) assez grand.

Si \(Y \to X\) est un monomorphisme, si \(X_i\) est quasi-séparé, si \(Y \to B\) est localement de type fini et si \(Y\) est quasi-compact, alors \(Y \to X_i\) est un monomorphisme pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Démonstration de (1). Choisissons \(0 \in I\). Comme \(X_0\) est quasi-compact, on peut choisir un schéma affine \(W\) et un morphisme étale \(W \to B\) tels que l’image de \(|X_0| \to |B|\) soit contenue dans celle de \(|W| \to |B|\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale \(U_0 \to X_0 \times_B W\) tels que \(U_0 \to X_0\) soit surjectif. (Cela est possible par le choix de \(W\) et la quasi-compacité de \(X_0\); les détails sont omis.) Notons \(V \to Y\), resp. \(U \to X\), resp. \(U_i \to X_i\), les changements de base de \(U_0 \to X_0\) (pour \(i \geq 0\)). Il suffit de prouver que \(V \to U_i\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand. On est donc ramené à démontrer le résultat pour \(V \to U = \lim U_i\) sur \(W\). Le résultat découle alors du cas des schémas, traité dans Limites, lemme 081B.

Démonstration de (2). Choisissons \(0 \in I\). Choisissons un sous-espace ouvert quasi-compact \(X'_0 \subset X_0\) tel que \(Y \to X_0\) se factorise par \(X'_0\). Après avoir remplacé \(X_i\) par l’image inverse de \(X'_0\) pour \(i \geq 0\), on peut supposer que tous les \(X_i'\) sont quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact tel que \(Y \to X\) se factorise par une immersion fermée \(Y \to U\) (un tel \(U\) existe puisque \(Y\) est quasi-compact). D’après le lemme 0827, on peut supposer que \(U = \lim U_i\), où \(U_i \subset X_i\) est un ouvert quasi-compact. D’après (1), \(Y \to U_i\) est une immersion fermée pour un certain \(i\). Ainsi, (2) est établi.

Démonstration de (3). Choisissons \(0 \in I\), puis un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\) et \(U = X \times_{X_0} U_0 = Y \times_{X_0} U_0\). Alors \(U = \lim U_i\) est une limite de schémas affines, les morphismes de transition du système sont des immersions fermées, et \(U \to U_0\) est de présentation finie (car \(U \to B\) est localement de présentation finie, \(U_0 \to B\) est localement de type fini, et d’après Morphismes d’espaces, lemme 05WT). On est ainsi ramené au fait algébrique suivant : si \(A = \lim A_i\) est une limite inductive filtrante de \(R\)-algèbres à morphismes de transition surjectifs et si \(A\) est de présentation finie sur \(A_0\), alors \(A = A_i\) pour un certain \(i\). En effet, écrivons \(A = A_0/(f_1, \ldots, f_n)\). Choisissons \(i\) tel que \(f_1, \ldots, f_n\) aient une image nulle par le morphisme surjectif \(A_0 \to A_i\).

Démonstration de (4). Posons \(Z_i = Y \times_{X_i} Y\). Comme les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) sont affines, donc séparés, les morphismes de transition \(Z_{i'} \to Z_i\) sont des immersions fermées; voir Morphismes d’espaces, lemme 03KN. On a \(\lim Z_i = Y \times_X Y = Y\), puisque \(Y \to X\) est un monomorphisme. Choisissons \(0 \in I\). Comme \(Y \to X_0\) est localement de type fini (Morphismes d’espaces, lemme 0462) le morphisme \(Y \to Z_0\) est localement de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 084P). Les morphismes \(Z_i \to Z_0\) sont localement de type fini (ce sont des immersions fermées). Enfin, \(Z_i = Y \times_{X_i} Y\) est quasi-compact puisque \(X_i\) est quasi-séparé et \(Y\) est quasi-compact. La partie (3) s’applique donc à \(Y = \lim_{i \geq 0} Z_i\) sur \(Z_0\), et l’on conclut que \(Y = Z_i\) pour un certain \(i\). Cela démontre (4) et le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(Y\) à morphismes de transition affines. Supposons que

\(Y\) soit quasi-séparé,

\(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

le morphisme \(X \to Y\) soit séparé.

Alors \(X_i \to Y\) est séparé pour tout \(i\) assez grand.

Démonstration

Soit \(0 \in I\). Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale \(W \to Y\) tels que l’image de \(|W| \to |Y|\) contienne celle de \(|X_0| \to |Y|\). Cela est possible puisque \(X_0\) est quasi-compact. Il suffit de vérifier que \(W \times_Y X_i \to W\) est séparé pour un certain \(i \geq 0\), car la diagonale de \(W \times_Y X_i\) sur \(W\) est le changement de base de \(X_i \to X_i \times_Y X_i\) par le morphisme étale surjectif \((X_i \times_Y X_i) \times_Y W \to X_i \times_Y X_i\). Comme \(Y\) est quasi-séparé, les espaces algébriques \(W \times_Y X_i\) sont quasi-compacts (et aussi quasi-séparés). On peut donc effectuer le changement de base à \(W\) et supposer que \(Y\) est un schéma affine. Lorsque \(Y\) est un schéma affine, il faut montrer que \(X_i\) est un espace algébrique séparé pour \(i\) assez grand, sachant que \(X\) est un espace algébrique séparé. Ce cas résulte donc du lemme 084T.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(Y\) à morphismes de transition affines. Supposons que

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

\(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

\(X \to Y\) soit affine.

Alors \(X_i \to Y\) est affine pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Y\). Alors \(X \times_Y W\) est affine, et il suffit de vérifier que \(X_i \times_Y W\) est affine pour un certain \(i\) (Morphismes d’espaces, lemme 03WG). Cela résulte du lemme 07SQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(Y\) à morphismes de transition affines. Supposons que

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

\(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) soient finis,

\(X_i \to Y\) soit localement de type fini,

\(X \to Y\) soit intégral.

Alors \(X_i \to Y\) est fini pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Y\). Alors \(X \times_Y W\) est fini sur \(W\), et il suffit de vérifier que \(X_i \times_Y W\) est fini sur \(W\) pour un certain \(i\) (Morphismes d’espaces, lemme 03ZQ). D’après le lemme 07SR, on est ramené au cas des schémas. Dans ce cas, le résultat découle de Limites, lemme 09ZN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(Y\) à morphismes de transition affines. Supposons que

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

\(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) soient des immersions fermées,

\(X_i \to Y\) soit localement de type fini,

\(X \to Y\) soit une immersion fermée.

Alors \(X_i \to Y\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Y\). Alors \(X \times_Y W\) est un sous-espace fermé de \(W\), et il suffit de vérifier que \(X_i \times_Y W\) est un sous-espace fermé de \(W\) pour un certain \(i\) (Morphismes d’espaces, lemme 03M4). D’après le lemme 07SR, on est ramené au cas des schémas. Dans ce cas, le résultat découle de Limites, lemme 0A0N.

Descente de propriétés des morphismes

Cette section est l’analogue de la section 0826 pour les propriétés des morphismes. Nous nous placerons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B = \lim B_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques sur \(S\) à morphismes de transition affines (lemme 07SF). Soit \(0 \in I\) et soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B_0\). Supposons \(B_0\), \(X_0\), \(Y_0\) quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f_0\) à \(B_i\) et soit \(f : X \to Y\) le changement de base de \(f_0\) à \(B\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est étale,

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est étale pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\). On a le diagramme \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] Les flèches verticales sont étales et surjectives par construction. Après changement de base de ce diagramme à \(B_i\) ou à \(B\), on obtient \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] Remarquons que \(U_i, V_i, U, V\) sont des schémas affines, que les morphismes verticaux sont étales et surjectifs, et que la limite des morphismes \(U_i \to V_i\) est \(U \to V\). Rappelons que \(X_i \to Y_i\) est étale si et seulement si \(U_i \to V_i\) est étale et, de même, que \(X \to Y\) est étale si et seulement si \(U \to V\) est étale (Morphismes des espaces, lemme 03XT). Comme \(f_0\) est localement de présentation finie, le morphisme \(U_0 \to V_0\) l’est aussi. Le lemme résulte donc de Limites, lemme 07RP.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est lisse,

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est lisse pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\). On a le diagramme \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] Les flèches verticales sont étales et surjectives par construction. Après changement de base de ce diagramme à \(B_i\) ou à \(B\), on obtient \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] Remarquons que \(U_i, V_i, U, V\) sont des schémas affines, que les morphismes verticaux sont étales et surjectifs, et que la limite des morphismes \(U_i \to V_i\) est \(U \to V\). Rappelons que \(X_i \to Y_i\) est lisse si et seulement si \(U_i \to V_i\) est lisse et, de même, \(X \to Y\) est lisse si et seulement si \(U \to V\) est lisse (Morphismes des espaces, définition 03ZC). Comme \(f_0\) est localement de présentation finie, le morphisme \(U_0 \to V_0\) l’est aussi. Le lemme résulte donc de Limites, lemme 0C0C.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est surjectif,

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est surjectif pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\). On a le diagramme \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] Les flèches verticales sont étales et surjectives par construction. Après changement de base de ce diagramme à \(B_i\) ou à \(B\), on obtient \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] Remarquons que \(U_i, V_i, U, V\) sont des schémas affines, que les morphismes verticaux sont étales et surjectifs, que la limite des morphismes \(U_i \to V_i\) est \(U \to V\), et que les morphismes \(U_i \to X_i \times_{Y_i} V_i\) et \(U \to X \times_Y V\) sont surjectifs (car ce sont les changements de base de \(U_0 \to X_0 \times_{Y_0} V_0\)). En particulier, on voit que \(X_i \to Y_i\) est surjectif si et seulement si \(U_i \to V_i\) est surjectif et, de même, que \(X \to Y\) est surjectif si et seulement si \(U \to V\) est surjectif. Comme \(f_0\) est localement de présentation finie, le morphisme \(U_0 \to V_0\) l’est aussi. Le lemme résulte donc du cas des schémas (Limites, lemme 07RR).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est universellement injectif,

\(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est universellement injectif pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Rappelons qu’un morphisme \(X \to Y\) est universellement injectif si et seulement si la diagonale \(X \to X \times_Y X\) est surjective (Morphismes des espaces, définition 03MV et lemme 040X). Remarquons que \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\) est localement de présentation finie (Morphismes des espaces, lemme 084P). Le lemme résulte donc du lemme 07SN appliqué au morphisme \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si \(f\) est affine, alors \(f_i\) est affine pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Posons \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) et \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\). Comme \(f\) est affine, on voit que \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\) est affine. D’après le lemme 07SQ, \(V_i \times_{Y_i} X_i\) est affine pour un certain \(i \geq 0\). Pour cet \(i\), le morphisme \(f_i\) est affine (Morphismes des espaces, lemme 03WG).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est fini,

\(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est fini pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Posons \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) et \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\). Comme \(f\) est fini, on voit que \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\) est un schéma fini sur \(V\). D’après le lemme 07SQ, \(V_i \times_{Y_i} X_i\) est affine pour un certain \(i \geq 0\). Quitte à augmenter \(i\) si nécessaire, on trouve que \(V_i \times_{Y_i} X_i \to V_i\) est fini d’après Limites, lemme 01ZO. Pour cet \(i\), le morphisme \(f_i\) est fini (Morphismes des espaces, lemme 03ZQ).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est une immersion fermée,

\(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est une immersion fermée pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Posons \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) et \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\). Comme \(f\) est une immersion fermée, on voit que \(V \times_Y X = \lim V_i \times_{Y_i} X_i\) est un sous-schéma fermé du schéma affine \(V\). D’après le lemme 07SQ, \(V_i \times_{Y_i} X_i\) est affine pour un certain \(i \geq 0\). Quitte à augmenter \(i\) si nécessaire, on trouve que \(V_i \times_{Y_i} X_i \to V_i\) est une immersion fermée d’après Limites, lemme 01ZP. Pour cet \(i\), le morphisme \(f_i\) est une immersion fermée (Morphismes des espaces, lemme 03ZQ).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si \(f\) est séparé, alors \(f_i\) est séparé pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Appliquons le lemme 0850 au morphisme diagonal \(\Delta_{X_0/Y_0} : X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\). (Les morphismes diagonaux sont localement de type fini et le produit fibré \(X_0 \times_{Y_0} X_0\) est quasi-compact et quasi-séparé. Certains détails sont omis.)

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est un isomorphisme,

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est un isomorphisme pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Être un isomorphisme équivaut à être étale, universellement injectif et surjectif, voir Morphismes des espaces, lemme 05W5. Le lemme résulte donc des lemmes 07SL, 07SN et 084X.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est un monomorphisme,

\(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est un monomorphisme pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Rappelons qu’un morphisme est un monomorphisme si et seulement si sa diagonale est un isomorphisme. Le morphisme \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\) est localement de présentation finie d’après Morphismes des espaces, lemme 084P. Comme \(X_0 \times_{Y_0} X_0\) est quasi-compact et quasi-séparé, on déduit du lemme 0852 que \(\Delta_i : X_i \to X_i \times_{Y_i} X_i\) est un isomorphisme pour un certain \(i \geq 0\). Pour cet \(i\), le morphisme \(f_i\) est un monomorphisme.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 084W. Soit \(\mathcal{F}_0\) un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module quasi-cohérent; notons \(\mathcal{F}_i\) son image inverse sur \(X_i\) et \(\mathcal{F}\) son image inverse sur \(X\). Si

\(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\),

\(\mathcal{F}_0\) est de présentation finie, et

\(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(\mathcal{F}_i\) est plat sur \(Y_i\) pour un certain \(i \geq 0\). En particulier, si \(f_0\) est localement de présentation finie et si \(f\) est plat, alors \(f_i\) est plat pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\). On a le diagramme \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] Les flèches verticales sont étales et surjectives par construction. Après changement de base de ce diagramme à \(B_i\) ou à \(B\), on obtient \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] Remarquons que \(U_i, V_i, U, V\) sont des schémas affines, que les morphismes verticaux sont étales et surjectifs, et que la limite des morphismes \(U_i \to V_i\) est \(U \to V\). Rappelons que \(\mathcal{F}_i\) est plat sur \(Y_i\) si et seulement si \(\mathcal{F}_i|_{U_i}\) est plat sur \(V_i\) et, de même, que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) si et seulement si \(\mathcal{F}|_U\) est plat sur \(V\) (Morphismes des espaces, définition 03ML). Comme \(f_0\) est localement de présentation finie, le morphisme \(U_0 \to V_0\) l’est aussi. Le lemme résulte donc de Limites, lemme 05LY.

Lemme

Hypothèses et notations comme dans la situation 084W. Si

\(f\) est propre, et

\(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe un \(i\) tel que \(f_i\) soit propre.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Posons \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0\) et \(V = Y \times_{Y_0} V_0\). Il suffit de montrer que le changement de base de \(f_i\) à \(V_i\) est propre, voir Morphismes des espaces, lemme 083R. On peut donc supposer \(Y_0\) affine.

D’après le lemme 0851, on voit que \(f_i\) est séparé pour un certain \(i \geq 0\). En remplaçant \(0\) par \(i\), on peut supposer que \(f_0\) est séparé. Remarquons que \(f_0\) est quasi-compact. Ainsi, \(f_0\) est séparé et de type fini. D’après Cohomologie des espaces, lemme 089J, on peut choisir un diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] & X_0' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{Y_0} \ar[dl] \\ & Y_0 & }\] où \(X_0' \to \mathbf{P}^n_{Y_0}\) est une immersion, et \(\pi : X_0' \to X_0\) est propre et surjectif. Introduisons \(X' = X_0' \times_{Y_0} Y\) et \(X_i' = X_0' \times_{Y_0} Y_i\). D’après Morphismes des espaces, lemmes 04XY et 04WP on voit que \(X' \to Y\) est propre. Ainsi, \(X' \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion fermée (Morphismes des espaces, lemme 04NX). D’après Morphismes des espaces, lemme 08AJ, il suffit de montrer que \(X'_i \to Y_i\) est propre pour un certain \(i\). D’après le lemme 0850, on trouve que \(X'_i \to \mathbf{P}^n_{Y_i}\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand. Alors \(X'_i \to Y_i\) est propre, ce qui conclut la démonstration.

Lemme

Hypothèses et notations comme dans la situation 084W. Soit \(d \geq 0\). Si

\(f\) est de dimension relative \(\leq d\) (Morphismes des espaces, définition 06LR), et

\(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe un \(i\) tel que \(f_i\) soit de dimension relative \(\leq d\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V_0\) et un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to V_0 \times_{Y_0} X_0\). On a le diagramme \[\xymatrix{ U_0 \ar[d] \ar[r] & V_0 \ar[d] \\ X_0 \ar[r] & Y_0 }\] Les flèches verticales sont étales et surjectives par construction. Après changement de base de ce diagramme à \(B_i\) ou à \(B\), on obtient \[\vcenter{ \xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r] & V_i \ar[d] \\ X_i \ar[r] & Y_i } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y } }\] Remarquons que \(U_i, V_i, U, V\) sont des schémas affines, que les morphismes verticaux sont étales et surjectifs, et que la limite des morphismes \(U_i \to V_i\) est \(U \to V\). Dans cette situation, \(X_i \to Y_i\) est de dimension relative \(\leq d\) si et seulement si \(U_i \to V_i\) est de dimension relative \(\leq d\) (au sens de Morphismes, définition 02NJ). Pour voir l’équivalence, utilisons le fait que la définition pour les morphismes d’espaces algébriques fait intervenir Morphismes des espaces, définition 04NM qui utilise la localisation étale. Il en va de même pour \(X \to Y\) et \(U \to V\). Comme \(f_0\) est localement de type fini, le morphisme \(U_0 \to V_0\) l’est aussi. Le lemme résulte donc du résultat plus général Limites, lemme 05M5.

Descente des objets relatifs

Le lemme suivant est représentatif du type de résultats de cette section.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble préordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{ii'})\) un système projectif indexé par \(I\) d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

les morphismes \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) soient affines,

les espaces \(X_i\) soient quasi-compacts et quasi-séparés.

Soit \(X = \lim_i X_i\). Alors la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(X\) est la limite inductive sur \(I\) des catégories des espaces algébriques de présentation finie sur \(X_i\).

Démonstration

Fixons \(0 \in I\). Choisissons un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\), où \(U_0\) est un schéma affine (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\). Posons \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) et \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\). Notons \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) et \(s, t : R \to U\) les deux projections. Dans la démonstration du lemme 07SF, on a vu qu’il existe une présentation \(X = U/R\) avec \(U = \lim U_i\) et \(R = \lim R_i\). Remarquons que \(U_i\) et \(U\) sont affines et que \(R_i\) et \(R\) sont quasi-compacts et séparés (puisque \(X_i\) est quasi-séparé). Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(Y \to X\) un morphisme de présentation finie. Posons \(V = U \times_X Y\). C’est un espace algébrique de présentation finie sur \(U\). Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to V\). Alors \(W \to Y\) est également étale et surjectif. Posons \(R' = W \times_Y W\), de sorte que \(Y = W/R'\) (voir Espaces, section 0261). Remarquons que \(W\) est un schéma de présentation finie sur \(U\) et que \(R'\) est un schéma de présentation finie sur \(R\) (détails omis). D’après Limites, lemme 01ZM, on peut trouver un indice \(i\) et un morphisme de schémas \(W_i \to U_i\) de présentation finie dont le changement de base à \(U\) donne \(W \to U\). De même, on peut trouver, quitte à augmenter \(i\), un schéma \(R'_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(R'\). Les morphismes de projection \(s', t' : R' \to W\) sont des morphismes au-dessus des morphismes de projection \(s, t : R \to U\). On peut donc considérer \(s'\), resp. \(t'\), comme un morphisme entre schémas de présentation finie sur \(U\) (le morphisme structural \(R' \to U\) étant donné par \(R' \to R\) suivi de \(s\), resp. \(t\)). On peut donc appliquer de nouveau le lemme 01ZM de Limites, pour voir que, quitte à augmenter \(i\), il existe des morphismes \(s'_i, t'_i : R'_i \to W_i\) qui, après changement de base à \(U\), sont \(S', t'\). D’après Limites, lemmes 07RP et 07RQ, on peut supposer que \(s'_i, t'_i\) sont étales et que \(j'_i : R'_i \to W_i \times_{X_i} W_i\) est un monomorphisme (ici, on considère \(j'_i\) comme un morphisme de schémas de présentation finie sur \(U_i\) via l’une des projections – peu importe laquelle). En posant \(Y_i = W_i/R'_i\) (voir Espaces, théorème 02WW), on obtient un espace algébrique de présentation finie sur \(X_i\) dont le changement de base à \(X\) est isomorphe à \(Y\).

Cela montre que tout espace algébrique de présentation finie sur \(X\) provient d’un espace algébrique de présentation finie sur un certain \(X_i\), c’est-à-dire que le foncteur du lemme est essentiellement surjectif. Pour montrer qu’il est pleinement fidèle, considérons un indice \(0 \in I\) et deux espaces algébriques \(Y_0, Z_0\) de présentation finie sur \(X_0\). Posons \(Y_i = X_i \times_{X_0} Y_0\), \(Y = X \times_{X_0} Y_0\), \(Z_i = X_i \times_{X_0} Z_0\) et \(Z = X \times_{X_0} Z_0\). Soit \(\alpha : Y \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(X\). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V_0 \to Y_0\), où \(V_0\) est un schéma affine. Posons \(V_i = V_0 \times_{Y_0} Y_i\) et \(V = V_0 \times_{Y_0} Y\), qui sont des schémas affines munis de morphismes étales surjectifs vers \(Y_i\) et \(Y\). Le composé \(V \to Y \to Z \to Z_0\) provient d’un morphisme (essentiellement unique) \(V_i \to Z_0\) pour un certain \(i \geq 0\) d’après la proposition 04AK (appliquée à \(Z_0 \to X_0\), qui est de présentation finie par hypothèse). Quitte à augmenter \(i\), les deux composés \[V_i \times_{Y_i} V_i \to V_i \to Z_0\] sont égaux, puisque c’est vrai à la limite. On obtient donc un morphisme (essentiellement unique) \(Y_i \to Z_0\). Comme c’est un morphisme sur \(X_0\), il induit un morphisme vers \(Z_i = Z_0 \times_{X_0} X_i\), comme souhaité.

Lemme

Avec les notations et hypothèses du lemme 07SK. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie est la limite inductive sur \(I\) des catégories des \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Choisissons \(0 \in I\). Choisissons un schéma affine \(U_0\) et un morphisme étale surjectif \(U_0 \to X_0\). Posons \(U_i = X_i \times_{X_0} U_0\). Posons \(R_0 = U_0 \times_{X_0} U_0\) et \(R_i = R_0 \times_{X_0} X_i\). Notons \(s_i, t_i : R_i \to U_i\) et \(s, t : R \to U\) les deux projections. Dans la démonstration du lemme 07SF, on a vu qu’il existe une présentation \(X = U/R\) avec \(U = \lim U_i\) et \(R = \lim R_i\). Remarquons que \(U_i\) et \(U\) sont affines et que \(R_i\) et \(R\) sont quasi-compacts et séparés (puisque \(X_i\) est quasi-séparé). En outre, on a également \(R \times_{s, U, t} R = \colim R_i \times_{s_i, U_i, t_i} R_i\). On sait donc que \(\QCoh(\mathcal{O}_U) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{U_i})\), \(\QCoh(\mathcal{O}_R) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{R_i})\), et \(\QCoh(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}) = \colim \QCoh(\mathcal{O}_{R_i \times_{s_i, U_i, t_i} R_i})\) d’après Limites, lemme 01ZR. On a \(\QCoh(\mathcal{O}_X) = \QCoh(U, R, s, t, c)\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_i}) = \QCoh(U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\), voir Propriétés des espaces, proposition 03M3. Le résultat en découle donc formellement.

Lemme

Avec les notations et hypothèses du lemme 07SK. Alors

tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini est l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre de type fini pour un certain \(i\),

tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module inversible pour un certain \(i\).

Démonstration

Démonstration de (2). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Comme les modules inversibles sont de présentation finie, on peut trouver un \(i\) et des modules \(\mathcal{L}_i\) et \(\mathcal{N}_i\) de présentation finie sur \(X_i\) tels que \(f_i^*\mathcal{L}_i \cong \mathcal{L}\) et \(f_i^*\mathcal{N}_i \cong \mathcal{L}^{\otimes -1}\), voir le lemme 07V7. Comme l’image inverse commute au produit tensoriel, on voit que \(f_i^*(\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_i}} \mathcal{N}_i)\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_X\). Comme le produit tensoriel de modules de présentation finie est de présentation finie, le même lemme montre que \(f_{i'i}^*\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{X_{i'}}} f_{i'i}^*\mathcal{N}_i\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{X_{i'}}\) pour un certain \(i' \geq i\). Il s’ensuit que \(f_{i'i}^*\mathcal{L}_i\) est inversible (Modules sur les sites, lemme 0B8N) et la démonstration est terminée.

Démonstration de (1). Omise. Indication : raisonner comme dans la démonstration de (2) en utilisant qu’un module (sur un site localement annelé) est localement libre de type fini si et seulement s’il admet un dual, voir Modules sur les sites, section 0FNX. On peut aussi raisonner comme dans la démonstration pour les schémas, voir Limites, lemme 0B8W.

Approximation noethérienne absolue

Le résultat suivant est [CLO, théorème 1.2.2]. Un ingrédient essentiel de la démonstration est Espaces décents, lemme 07ST.

Proposition

Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Il existe un ensemble préordonné filtrant \(I\) et un système projectif d’espaces algébriques \((X_i, f_{ii'})\) indexé par \(I\) tels que

les morphismes de transition \(f_{ii'}\) soient affines,

chaque \(X_i\) soit quasi-séparé et de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et

\(X = \lim X_i\).

Démonstration

Appliquons Espaces décents, lemme 07ST pour obtenir des sous-espaces ouverts \(U_p \subset X\), des schémas \(V_p\) et des morphismes \(f_p : V_p \to U_p\) possédant les propriétés énoncées. Remarquons que \(f_n : V_n \to U_n\) est un morphisme étale d’espaces algébriques dont la restriction à l’image inverse de \(T_n = (V_n)_{red}\) est un isomorphisme. Ainsi \(f_n\) est un isomorphisme, par exemple d’après Morphismes des espaces, lemme 05W5. En particulier, \(U_n\) est un schéma quasi-compact et séparé. On peut donc écrire \(U_n = \lim U_{n, i}\) comme limite projective filtrante de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\) dont les morphismes de transition sont affines, voir Limites, proposition 01ZA. En procédant par récurrence descendante sur \(p\), on voit donc qu’on a ramené la question au problème posé dans le paragraphe suivant.

On dispose ici de \(U \subset X\), \(U = \lim U_i\), \(Z \subset X\) et \(f : V \to X\) vérifiant les propriétés suivantes

\(X\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé,

\(V\) est un schéma quasi-compact et séparé,

\(U \subset X\) est un sous-espace ouvert quasi-compact,

\((U_i, g_{ii'})\) est un système projectif filtrant d’espaces algébriques quasi-séparés de type fini sur \(\mathbf{Z}\), à morphismes de transition affines, dont la limite est \(U\),

\(Z \subset X\) est un sous-espace fermé tel que \(|X| = |U| \amalg |Z|\),

\(f : V \to X\) est un morphisme étale surjectif tel que \(f^{-1}(Z) \to Z\) soit un isomorphisme.

Problème : montrer que la conclusion de la proposition vaut pour \(X\).

Remarquons que \(W = f^{-1}(U) \subset V\) est un sous-schéma ouvert quasi-compact étale sur \(U\). On peut donc appliquer les lemmes 07SK et 07SL pour trouver un indice \(0 \in I\) et un morphisme étale \(W_0 \to U_0\) de présentation finie dont le changement de base à \(U\) donne \(W\). En posant \(W_i = W_0 \times_{U_0} U_i\), on voit que \(W = \lim_{i \geq 0} W_i\). Quitte à augmenter \(0\), on peut supposer que les \(W_i\) sont des schémas, voir le lemme 07SR. En outre, \(W_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Appliquons Limites, lemme 07RN, à \(W = \lim_{i \geq 0} W_i\) et à l’inclusion \(W \subset V\). Remplaçons \(I\) par l’ensemble préordonné filtrant \(J\) fourni par ce lemme. Cela permet d’écrire \(V\) comme limite projective filtrante \(V = \lim V_i\) de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\) à morphismes de transition affines, tels que chaque \(V_i\) contienne \(W_i\) comme sous-schéma ouvert (de façon compatible avec les morphismes de transition). Pour chaque \(i\), on peut former la somme amalgamée \[\xymatrix{ W_i \ar[r] \ar[d]_\Delta & V_i \ar[d] \\ W_i \times_{U_i} W_i \ar[r] & R_i }\] dans la catégorie des schémas. En effet, la flèche verticale de gauche et la flèche horizontale supérieure sont des immersions ouvertes de schémas. Autrement dit, on peut construire \(R_i\) par recollement de \(V_i\) et de \(W_i \times_{U_i} W_i\) le long de l’ouvert commun \(W_i\) (voir Schémas, section 01JA). Remarquons que les projections étales \(W_i \times_{U_i} W_i \to W_i\) se prolongent en morphismes étales \(s_i, t_i : R_i \to V_i\). Il est clair que le morphisme \(j_i = (t_i, s_i) : R_i \to V_i \times V_i\) est une relation d’équivalence étale sur \(V_i\). Remarquons que \(W_i \times_{U_i} W_i\) est quasi-compact (puisque \(U_i\) est quasi-séparé et \(W_i\) quasi-compact) et que \(V_i\) est quasi-compact; ainsi \(R_i\) est quasi-compact. Pour \(i \geq i'\), le diagramme [07SV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R_i \ar[r] \ar[d]_{s_i} & R_{i'} \ar[d]^{s_{i'}} \\ V_i \ar[r] & V_{i'} } } \end{equation}\] est cartésien car \[(W_{i'} \times_{U_{i'}} W_{i'}) \times_{U_{i'}} U_i = W_{i'} \times_{U_{i'}} U_i \times_{U_i} U_i \times_{U_{i'}} W_{i'} = W_i \times_{U_i} W_i.\] Considérons l’espace algébrique \(X_i = V_i/R_i\) (voir Espaces, théorème 02WW). Comme \(V_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et que \(R_i\) est quasi-compact, on voit que \(X_i\) est quasi-séparé et de type fini sur \(\mathbf{Z}\) (voir Propriétés des espaces, lemme 07S4 et Morphismes des espaces, lemmes 040W et 040Y). Comme la construction de \(R_i\) ci-dessus est compatible avec les morphismes de transition, on obtient des morphismes d’espaces algébriques \(X_i \to X_{i'}\) pour \(i \geq i'\). Les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ V_i \ar[r] \ar[d] & V_{i'} \ar[d] \\ X_i \ar[r] & X_{i'} }\] sont cartésiens puisque (07SV) l’est, voir Groupoïdes, lemme 07S3. Comme \(V_i \to V_{i'}\) est affine, cela implique que \(X_i \to X_{i'}\) est affine, voir Morphismes des espaces, lemme 03WG. On peut donc former la limite \(X' = \lim X_i\) d’après le lemme 07SF. Nous affirmons que \(X \cong X'\), ce qui achève la démonstration de la proposition.

Démonstration de l’affirmation. Posons \(R = \lim R_i\). Par construction, l’espace algébrique \(X'\) est muni d’un morphisme étale surjectif \(V \to X'\) tel que \[V \times_{X'} V \cong R\] (utiliser le lemme 07SF). Par construction, \(\lim W_i \times_{U_i} W_i = W \times_U W\) et \(V = \lim V_i\), de sorte que \(R\) est la réunion de \(W \times_U W\) et de \(V\), recollés le long de \(W\). La propriété (6) implique que les projections \(V \times_X V \to V\) sont des isomorphismes au-dessus de \(f^{-1}(Z) \subset V\). Ainsi, le schéma \(V \times_X V\) est la réunion des ouverts \(\Delta_{V/X}(V)\) et \(W \times_U W\), dont l’intersection est \(\Delta_{W/X}(W)\). On conclut qu’il existe un unique isomorphisme \(R \cong V \times_X V\) compatible avec les projections vers \(V\). Comme \(V \to X\) et \(V \to X'\) sont étales et surjectifs, on voit que \[X = V/ V \times_X V = V/R = V/V \times_{X'} V = X'\] d’après Espaces, lemme 0262, ce qui conclut.

Applications

Le lemme suivant se déduit aussi directement de Espaces décents, lemme 07ST sans passer par l’approximation noethérienne absolue.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie.

Démonstration

On peut considérer \(X\) comme un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir Espaces, définition 03I5, et Propriétés des espaces, définition 03BS. On peut donc appliquer la proposition 07SU et écrire \(X = \lim X_i\), où \(X_i\) est de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). Ainsi, \(X_i\) est un espace algébrique noethérien, voir Morphismes des espaces, lemme 04ZL. Le morphisme \(X \to X_i\) est affine, voir le lemme 07SF. On conclut par Cohomologie des espaces, lemme 07UW.

Le reste de cette section consiste en des applications immédiates du lemme 07V9.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est la limite inductive filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini.

Démonstration

Si \(\mathcal{G}, \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules quasi-cohérents de type fini, alors l’image de \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) est encore un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent de type fini qui les contient tous deux. On voit ainsi que le système est filtrant. Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est la limite inductive de ce système, écrivons \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\) comme limite inductive filtrante de modules quasi-cohérents de présentation finie, comme dans le lemme 07V9. Alors les images \(\mathcal{G}_i = \Im(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F})\) sont des sous-modules quasi-cohérents de type fini de \(\mathcal{F}\). Comme \(\mathcal{F}\) est leur limite inductive, le résultat en découle.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. On peut alors écrire \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}_i\), où chaque \(\mathcal{F}_i\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie et tous les morphismes de transition \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) sont surjectifs.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie (lemme 07V9). Nous affirmons que \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif pour un certain \(i\). En effet, choisissons une surjection étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine. Choisissons un nombre fini de sections \(s_k \in \mathcal{F}(U)\) qui engendrent \(\mathcal{F}|_U\). Comme \(U\) est affine, on voit que chaque \(s_k\) appartient à l’image de \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) pour \(i\) assez grand. Ainsi, \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif pour \(i\) assez grand. Fixons un tel \(i\) et soit \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}_i\) le noyau de l’application \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\). Écrivons \(\mathcal{K} = \colim \mathcal{K}_a\) comme limite inductive filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini (lemme 0829). Alors \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i/\mathcal{K}_a\) répond à la question posée par le lemme.

Soit \(X\) un espace algébrique. Dans le lemme suivant, on utilise la notion d’une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente de présentation finie \(\mathcal{A}\). Cela signifie que, pour tout schéma affine \(U = \Spec(R)\) étale sur \(X\), on a \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) de présentation finie comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente. Alors \(\mathcal{A}\) est une limite inductive filtrante d’\(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes de présentation finie.

Démonstration

Écrivons d’abord \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\) comme limite inductive filtrante de modules quasi-cohérents de présentation finie, comme dans le lemme 07V9. Pour chaque \(i\), soit \(\mathcal{B}_i = \text{Sym}(\mathcal{F}_i)\) l’algèbre symétrique de \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathcal{O}_X\). Écrivons \(\mathcal{I}_i = \Ker(\mathcal{B}_i \to \mathcal{A})\). Écrivons \(\mathcal{I}_i = \colim_j \mathcal{F}_{i, j}\), où \(\mathcal{F}_{i, j}\) est un sous-module quasi-cohérent de type fini de \(\mathcal{I}_i\), voir le lemme 0829. Posons \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{I}_i\) égal à l’idéal de \(\mathcal{B}_i\) engendré par \(\mathcal{F}_{i, j}\). Posons \(\mathcal{A}_{i, j} = \mathcal{B}_i/\mathcal{I}_{i, j}\). Alors \(\mathcal{A}_{i, j}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente de présentation finie. Définissons \((i, j) \leq (i', j')\) si \(i \leq i'\) et si l’application \(\mathcal{B}_i \to \mathcal{B}_{i'}\) envoie l’idéal \(\mathcal{I}_{i, j}\) dans l’idéal \(\mathcal{I}_{i', j'}\). Alors il est clair que \(\mathcal{A} = \colim_{i, j} \mathcal{A}_{i, j}\).

Soit \(X\) un espace algébrique. Dans le lemme suivant, on utilise la notion d’une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}\) de type fini. Cela signifie que, pour tout schéma affine \(U = \Spec(R)\) étale sur \(X\), on a \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) de type fini comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente. Alors \(\mathcal{A}\) est la limite inductive filtrante de ses \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini.

Démonstration

Omise. Indication : comparer avec la démonstration du lemme 0829.

Soit \(X\) un espace algébrique. Dans le lemme suivant, on utilise la notion d’une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente finie (resp. entière) \(\mathcal{A}\). Cela signifie que, pour tout schéma affine \(U = \Spec(R)\) étale sur \(X\), on a \(\mathcal{A}|_U = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) finie (resp. entière) comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente finie. Alors \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) est une limite inductive filtrante d’\(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes finies et de présentation finie, à morphismes de transition surjectifs.

Démonstration

D’après le lemme 086Y, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie \(\mathcal{F}\) et une surjection \(\mathcal{F} \to \mathcal{A}\). La structure d’algèbre fournit une surjection \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}\] Notons \(\mathcal{J}\) le noyau. Écrivons \(\mathcal{J} = \colim \mathcal{E}_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules de type fini \(\mathcal{E}_i\) (lemme 0829). Posons \[\mathcal{A}_i = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})/(\mathcal{E}_i)\] où \((\mathcal{E}_i)\) désigne le faisceau d’idéaux engendré par l’image de \(\mathcal{E}_i \to \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\). Alors chaque \(\mathcal{A}_i\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre de présentation finie, les morphismes de transition sont surjectifs et \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\). Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(\mathcal{A}_i\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre finie pour \(i\) assez grand. Pour cela, choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine. Prenons des générateurs \(f_1, \ldots, f_m \in \Gamma(U, \mathcal{F})\). Comme \(\mathcal{A}(U)\) est une \(\mathcal{O}_X(U)\)-algèbre finie, on voit que, pour chaque \(j\), il existe un polynôme unitaire \(P_j \in \mathcal{O}(U)[T]\) tel que \(P_j(f_j)\) soit nul dans \(\mathcal{A}(U)\). Comme \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) par construction, on a \(P_j(f_j) = 0\) dans \(\mathcal{A}_i(U)\) pour tout \(i\) assez grand. Pour un tel \(i\), les algèbres \(\mathcal{A}_i\) sont finies.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente entière. Alors

\(\mathcal{A}\) est la limite inductive filtrante de ses \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes finies, et

\(\mathcal{A}\) est une limite inductive filtrante d’\(\mathcal{O}_X\)-algèbres finies et de présentation finie.

Démonstration

D’après le lemme 082B, on a \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\), où \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\) parcourt les \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini. Toute \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbre quasi-cohérente de type fini de \(\mathcal{A}\) est finie (utiliser Algèbre, lemme 02JJ, sur les schémas affines étales sur \(X\)). Cela prouve (1).

Pour prouver (2), écrivons \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\) comme limite inductive de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie au moyen du lemme 07V9. Pour chaque \(i\), soit \(\mathcal{J}_i\) le noyau de l’application \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] Pour \(i' \geq i\), il existe une application induite \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\), et l’on a \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\). En outre, les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\) sont finies (voir ci-dessus). Écrivons \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\) comme limite inductive de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie. Étant donnés \(i' \geq i\) et \(k\), il existe un \(k'\) tel qu’on dispose d’une application \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\) rendant \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] le diagramme commutatif. Cela résulte de Cohomologie des espaces, lemme 07U7. Cela induit une application \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] où \((\mathcal{E}_{ik})\) désigne l’idéal engendré par \(\mathcal{E}_{ik}\). Les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\mathcal{A}_{ki}\) sont de présentation finie et finies pour \(k\) assez grand (voir la démonstration du lemme 086Z). Enfin, on a \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] En effet, la première égalité a été démontrée dans la démonstration du lemme 086Z, et la seconde parce que \(\mathcal{A}\) est la limite inductive des modules \(\mathcal{F}_i\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) un \(\mathcal{O}_U\)-sous-module quasi-cohérent de type fini. Alors il existe un sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\) de type fini tel que \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\).

Démonstration

Notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Comme \(X\) est quasi-séparé et \(U\) quasi-compact, le morphisme \(j\) est quasi-compact. Ainsi, \(j_*\mathcal{G} \subset j_*\mathcal{F}|_U\) sont des modules quasi-cohérents sur \(X\) (Morphismes des espaces, lemme 03M9). Posons \(\mathcal{H} = \Ker(j_*\mathcal{G} \oplus \mathcal{F} \to j_*\mathcal{F}|_U)\). Alors \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\). D’après le lemme 0829, on peut trouver un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}\) tel que \(\mathcal{H}'|_U = \mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\). Posons \(\mathcal{G}' = \Im(\mathcal{H}' \to \mathcal{F})\) pour conclure.

Approximation relative

On examine des variantes de la proposition 07SU sur une base.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(\mathbf{Z}\). Il existe un ensemble préordonné filtrant \(I\) et un système projectif \((f_i : X_i \to Y_i)\) de morphismes d’espaces algébriques indexé par \(I\), tel que les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et \(Y_i \to Y_{i'}\) soient affines, que \(X_i\) et \(Y_i\) soient quasi-séparés et de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et que \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\).

Démonstration

Écrivons \(X = \lim_{a \in A} X_a\) et \(Y = \lim_{b \in B} Y_b\) comme dans la proposition 07SU, c’est-à-dire avec \(X_a\) et \(Y_b\) quasi-séparés et de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et des morphismes de transition affines.

Fixons \(b \in B\). D’après le lemme 0CP4 appliqué à \(Y_b\) et à \(X = \lim X_a\) sur \(\mathbf{Z}\), il existe un \(a \in A\) et un morphisme \(f_{a, b} : X_a \to Y_b\) rendant le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ X_a \ar[r] & Y_b }\] commutatif. Soit \(I\) l’ensemble des triplets \((a, b, f_{a, b})\) qu’on obtient ainsi.

Soient \((a, b, f_{a, b})\) et \((a', b', f_{a', b'})\) dans \(I\). Soit \(b'' \leq \min(b, b')\). D’après le lemme 0CP4, il existe encore un \(a'' \geq \max(a, a')\) tel que les composés \(X_{a''} \to X_a \to Y_b \to Y_{b''}\) et \(X_{a''} \to X_{a'} \to Y_{b'} \to Y_{b''}\) soient égaux. Munissons \(I\) du préordre \[(a, b, f_{a, b}) \geq (a', b', f_{a', b'}) \Leftrightarrow a \geq a',\ b \geq b',\text{ et } g_{b, b'} \circ f_{a, b} = f_{a', b'} \circ h_{a, a'}\] où \(h_{a, a'} : X_a \to X_{a'}\) et \(g_{b, b'} : Y_b \to Y_{b'}\) sont les morphismes de transition. Les remarques précédentes montrent que \(I\) est filtrant et que les applications \(I \to A\), \((a, b, f_{a, b}) \mapsto a\), et \(I \to B\), \((a, b, f_{a, b})\), sont cofinales. Si, pour \(i = (a, b, f_{a, b})\), on pose \(X_i = X_a\), \(Y_i = Y_b\) et \(f_i = f_{a, b}\), on obtient un système projectif de morphismes indexé par \(I\) et l’on a \[\lim_{i \in I} X_i = \lim_{a \in A} X_a = X \quad\text{et}\quad \lim_{i \in I} S_i = \lim_{b \in B} Y_b = Y\] d’après Catégories, lemme 002R (rappelons que les limites sur \(I\) sont en réalité les limites sur la catégorie opposée associée à \(I\), de sorte que cofinal devient initial). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

\(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et

\(Y\) soit quasi-séparé.

Alors \(X = \lim X_i\) est la limite d’un système projectif filtrant d’espaces algébriques \(X_i\) de présentation finie sur \(Y\), à morphismes de transition affines sur \(Y\).

Démonstration

Comme \(|f|(|X|)\) est quasi-compact, on peut remplacer \(Y\) par un sous-espace ouvert quasi-compact dont l’ensemble des points contient \(|f|(|X|)\). On peut donc supposer \(Y\) également quasi-compact. D’après le lemme 0GS3, on peut écrire \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\) pour un certain système projectif filtrant de morphismes d’espaces algébriques de type fini sur \(\mathbf{Z}\), à morphismes de transition affines. Comme les limites commutent aux limites (Catégories, lemme 002M), on a \(X = \lim X_i \times_{Y_i} Y\). Pour \(i \geq i'\), le morphisme de transition \(X_i \times_{Y_i} Y \to X_{i'} \times_{Y_{i'}} Y\) est affine, car c’est le composé \[X_i \times_{Y_i} Y \to X_i \times_{Y_{i'}} Y \to X_{i'} \times_{Y_{i'}} Y\] où le premier morphisme est une immersion fermée (d’après Morphismes des espaces, lemme 03KN) et le second est un changement de base d’un morphisme affine (Morphismes des espaces, lemme 03WI), et où le composé de morphismes affines est affine (Morphismes des espaces, lemme 03WH). Les morphismes \(f_i\) sont de présentation finie (Morphismes des espaces, lemmes 06G4 et 05WT) et leurs changements de base \(X_i \times_{f_i, Y_i} Y \to Y\) sont donc de présentation finie (Morphismes des espaces, lemme 03XR).

Réalisation d’un morphisme de type fini comme fermé dans un morphisme de présentation finie

Cette section est l’analogue de la section 01ZD de Limites.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(X\) est une limite projective filtrante \(X = \lim X_i\), où chaque \(X_i\) est affine et de présentation finie sur \(Y\).

Démonstration

Considérons le \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). D’après le lemme 082A, on peut écrire \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) comme une limite inductive filtrante d’algèbres de présentation finie sur \(\mathcal{O}_Y\), notées \(\mathcal{A}_i\). Posons \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\), voir Morphismes des espaces, définition 081W. Par construction, \(X_i \to Y\) est affine et de présentation finie et \(X = \lim X_i\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme entier d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X\) s’écrit comme une limite projective filtrante \(X = \lim X_i\), où les \(X_i\) sont finis et de présentation finie sur \(Y\).

Démonstration

Considérons le \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). D’après le lemme 082C, on peut écrire \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) comme une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres \(\mathcal{A}_i\) finies et de présentation finie. Posons \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\), voir Morphismes des espaces, définition 081W. Par construction, \(X_i \to Y\) est fini et de présentation finie et \(X = \lim X_i\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme fini d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X\) s’écrit comme une limite projective filtrante \(X = \lim X_i\), où les morphismes de transition sont des immersions fermées et les objets \(X_i\) sont finis et de présentation finie sur \(Y\).

Démonstration

Considérons le \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). D’après le lemme 086Z, on peut écrire \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) comme une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres \(\mathcal{A}_i\) finies et de présentation finie, à morphismes de transition surjectifs. Posons \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\), voir Morphismes des espaces, définition 081W. Par construction, \(X_i \to Y\) est fini et de présentation finie, les morphismes de transition sont des immersions fermées et \(X = \lim X_i\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X\) s’écrit comme une limite projective filtrante \(X = \lim X_i\), où les morphismes de transition sont des immersions fermées et les morphismes \(X_i \to Y\) sont des immersions fermées de présentation finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(X\) comme sous-espace fermé de \(Y\). D’après le lemme 0829, on peut écrire \(\mathcal{I} = \colim \mathcal{I}_i\) comme la limite inductive filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini. Soit \(X_i\) le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(\mathcal{I}_i\). Alors \(X_i \to Y\) est une immersion fermée de présentation finie et \(X = \lim X_i\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

\(f\) soit localement de type fini et quasi-affine, et

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme de présentation finie \(f' : X' \to Y\) et une immersion fermée \(X \to X'\) sur \(Y\).

Démonstration

D’après Morphismes des espaces, lemme 086S, il existe une factorisation \(X \to Z \to Y\) où \(X \to Z\) est une immersion ouverte quasi-compacte et \(Z \to Y\) est affine. Écrivons \(Z = \lim Z_i\), où \(Z_i\) est affine et de présentation finie sur \(Y\) (lemme 0870). Pour un certain \(0 \in I\), il existe un ouvert quasi-compact \(U_0 \subset Z_0\) tel que \(X\) soit isomorphe à l’image réciproque de \(U_0\) dans \(Z\) (lemme 0827). Soit \(U_i\) l’image réciproque de \(U_0\) dans \(Z_i\), de sorte que \(U = \lim U_i\). D’après le lemme 0828, le morphisme \(X \to U_i\) est une immersion fermée pour un certain \(i\) assez grand. En posant \(X' = U_i\), on conclut.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons :

\(f\) soit localement de type fini,

\(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme de présentation finie \(f' : X' \to Y\) et une immersion fermée \(X \to X'\) d’espaces algébriques sur \(Y\).

Démonstration

D’après la proposition 07SU, on peut écrire \(X = \lim_i X_i\), où \(X_i\) est quasi-séparé et de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et les morphismes de transition \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) sont affines. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[rd] & X_{i, Y} \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ & Y \ar[r] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] Notons que \(X_i\) est de présentation finie sur \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir Morphismes des espaces, lemme 06G4. Le changement de base \(X_{i, Y} \to Y\) est donc de présentation finie d’après Morphismes des espaces, lemme 03XR. Observons que \(\lim X_{i, Y} = X \times Y\) et que \(X \to X \times Y\) est un monomorphisme. D’après le lemme 0828, le morphisme \(X \to X_{i, Y}\) est un monomorphisme pour \(i\) assez grand. Fixons un tel \(i\). Notons que \(X \to X_{i, Y}\) est localement de type fini (Morphismes des espaces, lemme 0462) et est un monomorphisme, donc est séparé et localement quasi-fini (Morphismes des espaces, lemme 0463). Le morphisme \(X \to X_{i, Y}\) est donc représentable. Le morphisme \(X \to X_{i, Y}\) est alors quasi-affine, car on peut appliquer le principe énoncé dans Espaces, lemme 02YO, et le résultat pour les morphismes de schémas de Compléments sur les morphismes, lemme 02LR. Ainsi, le lemme 0871 fournit une factorisation \(X \to X' \to X_{i, Y}\), où \(X \to X'\) est une immersion fermée et \(X' \to X_{i, Y}\) est de présentation finie. Enfin, \(X' \to Y\) est de présentation finie comme composé de morphismes de présentation finie (Morphismes des espaces, lemme 03XQ).

Proposition

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

\(f\) soit de type fini et séparé, et

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme séparé de présentation finie \(f' : X' \to Y\) et une immersion fermée \(X \to X'\) sur \(Y\).

Démonstration

D’après le lemme 0872, il existe une immersion fermée \(X \to Z\), où \(Z/Y\) est de présentation finie. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(X\) comme sous-espace fermé de \(Y\). D’après le lemme 0829, on peut écrire \(\mathcal{I}\) comme une limite inductive filtrante \(\mathcal{I} = \colim_{a \in A} \mathcal{I}_a\) de ses faisceaux quasi-cohérents d’idéaux de type fini. Soit \(X_a \subset Z\) le sous-espace fermé défini par \(\mathcal{I}_a\). Ceux-ci forment un système projectif indexé par \(A\). Les morphismes de transition \(X_a \to X_{a'}\) sont affines, car ce sont des immersions fermées. Chaque \(X_a\) est quasi-compact et quasi-séparé, puisqu’il est un sous-espace fermé de \(Z\) et que \(Z\) est quasi-compact et quasi-séparé d’après nos hypothèses. On a \(X = \lim_a X_a\), comme il résulte directement de l’égalité \(\mathcal{I} = \colim_{a \in A} \mathcal{I}_a\). Chacun des morphismes \(X_a \to Z\) est de présentation finie, voir Morphismes, lemme 01TV. Par conséquent, les morphismes \(X_a \to Y\) sont de présentation finie. Il suffit donc de montrer que \(X_a \to Y\) est séparé pour un certain \(a \in A\). Cela résulte du lemme 086X, car on a supposé que \(X \to Y\) était séparé.

Approximation des morphismes propres

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X = \lim X_i\) est une limite projective filtrante d’espaces algébriques \(X_i\) propres et de présentation finie sur \(Y\), dont les morphismes de transition et les morphismes \(X \to X_i\) sont des immersions fermées.

Démonstration

D’après la proposition 0873, il existe une immersion fermée \(X \to X'\), où \(X'\) est séparé et de présentation finie sur \(Y\). D’après le lemme 0A0U, on peut écrire \(X = \lim X_i\), où \(X_i \to X'\) est une immersion fermée de présentation finie. Nous affirmons que, pour tout \(i\) assez grand, le morphisme \(X_i \to Y\) est propre, ce qui achèvera la démonstration.

Pour le montrer, on peut supposer que \(Y\) est un schéma affine, voir Morphismes des espaces, lemme 083R. Ensuite, on applique la version faible du lemme de Chow, voir Cohomologie des espaces, lemme 089J, pour obtenir un diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[rd] & X'' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[dl] \\ & Y & }\] où \(X'' \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion et \(\pi : X'' \to X'\) est propre et surjectif. Notons \(X'_i \subset X''\), resp. \(\pi^{-1}(X)\), l’image réciproque schématique de \(X_i \subset X'\), resp. \(X \subset X'\). Alors \(\lim X'_i = \pi^{-1}(X)\). Comme \(\pi^{-1}(X) \to Y\) est propre (Morphismes des espaces, lemme 04XY), on voit que \(\pi^{-1}(X) \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion fermée (Morphismes des espaces, lemmes 04NX et 04CD). Ainsi, pour \(i\) assez grand, \(X'_i \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion fermée d’après le lemme 0A0T. Par conséquent, \(X'_i\) est propre sur \(Y\). Pour un tel \(i\), le morphisme \(X_i \to Y\) est propre d’après Morphismes des espaces, lemme 08AJ.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(\mathbf{Z}\), avec \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Il existe alors un ensemble préordonné filtrant \(I\), un système projectif \((f_i : X_i \to Y_i)\) de morphismes d’espaces algébriques indexé par \(I\), tel que les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et \(Y_i \to Y_{i'}\) soient affines, que \(f_i\) soit propre et de présentation finie, que \(Y_i\) soit de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\) et que \((X \to Y) = \lim (X_i \to Y_i)\).

Démonstration

D’après le lemme 0A0W, on peut écrire \(X = \lim_{k \in K} X_k\), avec \(X_k \to Y\) propre et de présentation finie. Ensuite, par approximation noethérienne absolue (proposition 07SU), on peut écrire \(Y = \lim_{j \in J} Y_j\), avec \(Y_j\) de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). Pour chaque \(k\), il existe un \(j\) et un morphisme \(X_{k, j} \to Y_j\) de présentation finie tels que \(X_k \cong Y \times_{Y_j} X_{k, j}\) comme espaces algébriques sur \(Y\), voir le lemme 07SK. Quitte à augmenter \(j\), on peut supposer \(X_{k, j} \to Y_j\) propre, voir le lemme 08K1. L’ensemble \(I\) sera constitué de ces couples \((k, j)\) et le morphisme correspondant sera \(X_{k, j} \to Y_j\). Pour tout \(k' \geq k\), on peut trouver un \(j' \geq j\) et un morphisme \(X_{j', k'} \to X_{j, k}\) sur \(Y_{j'} \to Y_j\) dont le changement de base à \(Y\) donne le morphisme \(X_{k'} \to X_k\) (cela résulte encore du lemme 07SK). Ces morphismes constituent les morphismes de transition du système. Certains détails sont omis.

Rappelons le support schématique d’un module quasi-cohérent de type fini, voir Morphismes des espaces, définition 07U1.

Lemme

Hypothèses et notation comme dans la situation 084W. Soit \(\mathcal{F}_0\) un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module quasi-cohérent. Notons \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_i\) les images réciproques de \(\mathcal{F}_0\) sur \(X\) et \(X_i\). Supposons que

\(f_0\) soit localement de type fini,

\(\mathcal{F}_0\) soit de type fini,

le support schématique de \(\mathcal{F}\) soit propre sur \(Y\).

Alors le support schématique de \(\mathcal{F}_i\) est propre sur \(Y_i\) pour un certain \(i\).

Démonstration

On peut remplacer \(X_0\) par le support schématique de \(\mathcal{F}_0\). D’après Morphismes des espaces, lemme 07TZ, cela garantit que \(X_i\) est le support de \(\mathcal{F}_i\) et que \(X\) est le support de \(\mathcal{F}\). Si \(Z \subset X\) désigne alors le support schématique de \(\mathcal{F}\), on voit que \(Z \to X\) est un homéomorphisme universel. On en conclut que \(X \to Y\) est propre, puisque c’est le cas de \(Z \to Y\) par hypothèse, voir Morphismes, lemme 03GN. D’après le lemme 08K1, le morphisme \(X_i \to Y\) est propre pour un certain \(i\). Il s’ensuit que le support schématique \(Z_i\) de \(\mathcal{F}_i\) est propre sur \(Y\) d’après Morphismes des espaces, lemmes 04XZ et 04XY.

Immersion dans un espace affine

Quelques lemmes techniques qui serviront plus loin à démontrer le lemme de Chow.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : U \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(U\) soit un schéma affine, que \(f\) soit localement de type fini, et que \(X\) soit quasi-séparé et localement séparé. Alors il existe une immersion \(U \to \mathbf{A}^n_X\) sur \(X\).

Démonstration

Écrivons \(U = \Spec(A)\). Écrivons \(A = \colim A_i\) comme limite inductive filtrante de sous-algèbres de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour tout \(i\), le morphisme \(U \to U_i = \Spec(A_i)\) induit un morphisme \[U \longrightarrow X \times U_i\] sur \(X\). À la limite, le morphisme \(U \to X \times U\) est une immersion puisque \(X\) est localement séparé, voir Morphismes des espaces, lemme 03KO. D’après le lemme 0828, le morphisme \(U \to X \times U_i\) est une immersion pour un certain \(i\). Comme \(U_i\) est isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\), le lemme en résulte.

Remarque

Nous avons vu dans Exemples, section 088V, que le lemme 088L est faux si l’on omet l’hypothèse que \(X\) soit localement séparé. Cela soulève la question suivante : le lemme 088L reste-t-il vrai si l’on omet l’hypothèse que \(X\) soit quasi-séparé ? Si vous connaissez la réponse, merci d’écrire à stacks.project@gmail.com.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) soit noethérien et que \(f\) soit de présentation finie. Alors il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) et une immersion \(V \to \mathbf{A}^n_X\).

Démonstration

Les hypothèses impliquent que \(Y\) est noethérien (Morphismes des espaces, lemme 04ZL). Alors \(Y\) est quasi-séparé et possède donc un sous-schéma ouvert dense (Propriétés des espaces, proposition 06NH). On peut donc supposer que \(Y\) est un schéma noethérien. En retirant les intersections des composantes irréductibles de \(Y\) (utiliser Topologie, lemme 0052 et Propriétés, lemme 01OZ), on peut supposer que \(Y\) est une réunion disjointe de schémas noethériens irréductibles. Comme il existe une immersion \[\mathbf{A}^n_X \amalg \mathbf{A}^m_X \longrightarrow \mathbf{A}^{\max(n, m) + 1}_X\] (détails omis), il suffit de démontrer le résultat lorsque \(Y\) est irréductible.

Supposons que \(Y\) soit un schéma irréductible. Soit \(T \subset |X|\) l’adhérence de l’image de \(f : Y \to X\). Comme \(|Y|\) et \(|X|\) sont des espaces topologiques sobres (Propriétés des espaces, lemme 06NJ) \(T\) est irréductible et possède un unique point générique \(\xi\), lequel est l’image du point générique \(\eta\) de \(Y\). Soit \(\mathcal{I} \subset X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant sur \(T\) la structure d’espace réduit induite (Propriétés des espaces, définition 047X). Comme \(\mathcal{O}_{Y, \eta}\) est un anneau local artinien, il existe \(n > 0\) tel que \(f^{-1}\mathcal{I}^n \mathcal{O}_{Y, \eta} = 0\). Comme \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y\) est un idéal quasi-cohérent de type fini, on en conclut que \(f^{-1}\mathcal{I}^n\mathcal{O}_V = 0\) pour un ouvert non vide \(V \subset Y\). Soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé défini par \(\mathcal{I}^n\). Par construction, \(V \to Y \to X\) se factorise par \(Z\). Comme \(\mathbf{A}^n_Z \to \mathbf{A}^n_X\) est une immersion, on peut remplacer \(X\) par \(Z\) et \(Y\) par \(V\). Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(Y\) et \(X\) sont irréductibles et où \(Y \to X\) envoie le point générique de \(Y\) sur le point générique de \(X\).

Supposons que \(Y\) et \(X\) soient irréductibles, que \(Y\) soit un schéma, et que \(Y \to X\) envoie le point générique de \(Y\) sur le point générique de \(X\). D’après Propriétés des espaces, proposition 06NH \(X\) possède un sous-schéma ouvert dense \(U \subset X\). Choisissons un ouvert affine non vide \(V \subset Y\) dont l’image dans \(X\) est contenue dans \(U\). D’après Morphismes, lemme 04II, le morphisme \(V \to U\) se factorise en \(V \to \mathbf{A}^n_U \to U\). En composant avec \(\mathbf{A}^n_U \to \mathbf{A}^n_X\), on obtient l’immersion voulue.

sections à support dans une partie fermée

Cette section est l’analogue de Propriétés, section 07ZM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(U \to X\) est quasi-compact,

\(U\) est quasi-compact, et

il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(|X| \setminus |U| = |V(\mathcal{I})|\).

Démonstration

Soient \(W\) un schéma affine et \(\varphi : W \to X\) un morphisme étale surjectif, voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Si (1) est vérifiée, alors \(\varphi^{-1}(U) \to W\) est quasi-compact, donc \(\varphi^{-1}(U)\) est quasi-compact, et par conséquent \(U\) est quasi-compact (car \(|\varphi^{-1}(U)| \to |U|\) est surjectif). Si (2) est vérifiée, alors \(\varphi^{-1}(U)\) est quasi-compact, car \(\varphi\) est quasi-compact puisque \(X\) est quasi-séparé (Morphismes des espaces, lemme 073B). Ainsi, \(\varphi^{-1}(U) \to W\) est un morphisme quasi-compact de schémas d’après Propriétés, lemme 01PH. Il en résulte que \(U \to X\) est quasi-compact d’après Morphismes des espaces, lemme 03KG. Les conditions (1) et (2) sont donc équivalentes.

Supposons (1) et (2). D’après Propriétés des espaces, lemme 03IQ, il existe un unique faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J}\) définissant la structure de sous-espace fermé réduit induite sur \(|X| \setminus |U|\). Remarquons que \(\mathcal{J}|_U = \mathcal{O}_U\), qui est un \(\mathcal{O}_U\)-module de type fini. Comme \(U\) est quasi-compact, il résulte du lemme 0829 qu’il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{I} \subset \mathcal{J}\) qui est de type fini et tel que \(\mathcal{I}|_U = \mathcal{J}|_U\). Alors \(|X| \setminus |U| = |V(\mathcal{I})|\), ce qui donne (3). Inversement, si \(\mathcal{I}\) est comme en (3), alors \(\varphi^{-1}(U) \subset W\) est un ouvert quasi-compact d’après le lemme pour les schémas (Propriétés, lemme 01PH) appliqué à \(\varphi^{-1}\mathcal{I}\) sur \(W\). La condition (2) est donc vérifiée.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}'\) qui associe à tout objet \(U\) de \(X_\etale\) le module \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}s = 0\}\] Supposons que \(\mathcal{I}\) soit de type fini. Alors

\(\mathcal{F}'\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules,

pour tout \(U\) affine dans \(X_\etale\), on a \(\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}(U)s = 0\}\), et

\(\mathcal{F}'_x = \{s \in \mathcal{F}_x \mid \mathcal{I}_x s = 0\}\).

Démonstration

Il est clair que la règle définissant \(\mathcal{F}'\) donne un sous-faisceau de \(\mathcal{F}\). On peut donc travailler localement pour la topologie étale sur \(X\) afin de vérifier les autres assertions. Le lemme se ramène ainsi au cas des schémas, qui est donné par Propriétés, lemme 01PO.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le sous-faisceau \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) défini au lemme 0856 ci-dessus est appelé le sous-faisceau des sections annulées par \(\mathcal{I}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections annulées par \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_X\). Alors \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) est le sous-faisceau des sections annulées par \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : l’hypothèse que \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé implique que \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent (Morphismes des espaces, lemme 03M9), de sorte que le lemme 0856 s’applique à \(\mathcal{I}\) et à \(f_*\mathcal{F}\).

Passons maintenant au faisceau des sections à support dans une partie fermée. Là encore, ce n’est pas toujours un faisceau quasi-cohérent ; mais si le complémentaire de la partie fermée est « rétrocompact » dans l’espace algébrique donné, alors il l’est.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(T \subset |X|\) une partie fermée et \(U \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(T \amalg |U| = |X|\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}'\) qui associe à tout objet \(\varphi : W \to X\) de \(X_\etale\) le module \[\mathcal{F}'(W) = \{s \in \mathcal{F}(W) \mid \text{le support de }s\text{ est contenu dans }|\varphi|^{-1}(T)\}\] Si \(U \to X\) est quasi-compact, alors

pour \(W\) affine, il existe un idéal de type fini \(I \subset \mathcal{O}_X(W)\) tel que \(|\varphi|^{-1}(T) = V(I)\),

pour \(W\) et \(I\) comme en (1), on a \(\mathcal{F}'(W) = \{x \in \mathcal{F}(W) \mid I^nx = 0 \text{ pour un certain } n\}\),

\(\mathcal{F}'\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Il est clair que la règle définissant \(\mathcal{F}'\) donne un sous-faisceau de \(\mathcal{F}\). On peut donc travailler localement pour la topologie étale sur \(X\) afin de vérifier les autres assertions. Le lemme se ramène ainsi au cas des schémas, qui est donné par Propriétés, lemme 07ZP.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée dont le complémentaire correspond à un sous-espace ouvert \(U \subset X\) dont le morphisme d’inclusion \(U \to X\) est quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) défini au lemme 0859 ci-dessus est appelé le sous-faisceau des sections à support dans \(T\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(T \subset |Y|\) une partie fermée. Supposons que \(|Y| \setminus T\) corresponde à un sous-espace ouvert \(V \subset Y\) tel que \(V \to Y\) soit quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections à support dans \(|f|^{-1}T\). Alors \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) est le sous-faisceau des sections à support dans \(T\).

Démonstration

Démonstration omise. Indications : \(|X| \setminus |f|^{-1}T\) est le support du sous-espace ouvert \(U = f^{-1}V \subset X\). Comme \(V \to Y\) est quasi-compact, il en est de même de \(U \to X\) (par changement de base). L’hypothèse que \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé implique que \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Le lemme 0859 s’applique donc à \(T\) et à \(f_*\mathcal{F}\), ainsi qu’à \(|f|^{-1}T\) et à \(\mathcal{F}\). L’égalité des modules quasi-cohérents considérés résulte immédiatement des définitions.

Caractérisation des espaces affines

Cette section est l’analogue de Limites, section 01ZS.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit surjectif et fini, et que \(X\) soit affine. Alors \(Y\) est affine.

Démonstration

Nous pouvons, et allons, considérer \(f : X \to Y\) comme un morphisme d’espaces algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) (voir Espaces, définition 03I5). Remarquons qu’un morphisme fini est affine et universellement fermé, voir Morphismes des espaces, lemme 0415. D’après Morphismes des espaces, lemme 05Z2 on voit que \(Y\) est un espace algébrique séparé. Comme \(f\) est surjectif et \(X\) quasi-compact, on voit que \(Y\) est quasi-compact.

D’après le lemme 07VR, on peut écrire \(X = \lim X_a\), où chaque \(X_a \to Y\) est fini et de présentation finie. D’après le lemme 07SQ, on voit que \(X_a\) est affine pour \(a\) assez grand. On peut donc supposer, et l’on suppose, que \(f : X \to Y\) est fini, surjectif et de présentation finie.

D’après la proposition 07SU, on peut écrire \(Y = \lim Y_i\) comme limite projective filtrante d’espaces algébriques de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). D’après le lemme 07SK, on peut trouver \(0 \in I\) et un morphisme \(X_0 \to Y_0\) de présentation finie tels que \(X_i = X_0 \times_{Y_0} Y_i\) pour \(i \geq 0\) et que \(X = \lim_i X_i\). D’après le lemme 084Z, on voit que \(X_i \to Y_i\) est fini pour \(i\) assez grand. D’après le lemme 07SN, on voit que \(X_i \to Y_i\) est surjectif pour \(i\) assez grand. D’après le lemme 07SQ, on voit que \(X_i\) est affine pour \(i\) assez grand. Ainsi, pour \(i\) assez grand, on peut appliquer Cohomologie des espaces, lemme 07VP pour conclure que \(Y_i\) est affine. Il s’ensuit que \(Y\) est affine, ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) soit affine et que \(f\) soit surjectif et universellement fermé². Alors \(Y\) est affine.

Démonstration

Nous pouvons, et allons, considérer \(f : X \to Y\) comme un morphisme d’espaces algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) (voir Espaces, définition 03I5). D’après Morphismes des espaces, lemme 05Z2 on voit que \(Y\) est un espace algébrique séparé. Puis, d’après Morphismes des espaces, lemme 08GB, on obtient que \(f\) est affine. Dès lors, d’après Morphismes des espaces, lemme 0415 on voit que \(f\) est entier.

D’après le paragraphe précédent, on peut supposer que \(f : X \to Y\) est surjectif et entier, que \(X\) est affine et que \(Y\) est séparé. Comme \(f\) est surjectif et \(X\) quasi-compact, on en déduit aussi que \(Y\) est quasi-compact.

Considérons le faisceau \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). C’est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres, voir Morphismes des espaces, lemme 03M9. D’après le lemme 07V9, on peut écrire \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_Y\)-modules de type fini. Soit \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\) la sous-\(\mathcal{O}_Y\)-algèbre engendrée par \(\mathcal{F}_i\). Comme le morphisme d’algèbres \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{A}\) est entier, on voit que chaque \(\mathcal{A}_i\) est une \(\mathcal{O}_Y\)-algèbre quasi-cohérente finie. Ainsi, \[X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i) \longrightarrow Y\] est un morphisme fini d’espaces algébriques. Ici, \(\underline{\Spec}\) est la construction de Morphismes des espaces, lemme 081V. Il est clair que \(X = \lim_i X_i\). Par conséquent, d’après le lemme 07SQ, on voit que, pour \(i\) assez grand, le schéma \(X_i\) est affine. De plus, puisque \(X \to Y\) se factorise par chaque \(X_i\), on voit que \(X_i \to Y\) est surjectif. On conclut donc que \(Y\) est affine d’après le lemme 07VS.

Le corollaire suivant du résultat précédent se trouve dans [CLO].

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X_{red}\) est un schéma, alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Soit \(U' \subset X_{red}\) un sous-schéma ouvert affine. Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert correspondant à l’ouvert \(|U'| \subset |X_{red}| = |X|\). Alors \(U' \to U\) est surjectif et entier. Par conséquent, \(U\) est affine d’après la proposition 07VT. Ainsi, tout point est contenu dans un sous-schéma ouvert de \(X\), c’est-à-dire que \(X\) est un schéma.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit entier et induise une bijection \(|X| \to |Y|\). Alors \(X\) est un schéma si et seulement si \(Y\) est un schéma.

Démonstration

Un morphisme entier est représentable par définition ; si \(Y\) est un schéma, il en est donc de même de \(X\). Inversement, supposons que \(X\) soit un schéma. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Un morphisme entier est fermé et \(|f|\) est bijectif ; ainsi \(|f|(|U|) \subset |Y|\) est ouvert comme complémentaire de \(|f|(|X| \setminus |U|)\). Soit \(V \subset Y\) le sous-espace ouvert tel que \(|V| = |f|(|U|)\), voir Propriétés des espaces, lemme 03BZ. Alors \(U \to V\) est entier et surjectif ; par conséquent, \(V\) est un schéma affine d’après la proposition 07VT. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to B\) et \(B' \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

\(B' \to B\) soit une immersion fermée,

\(|B'| \to |B|\) soit bijectif,

\(X \times_B B' \to B'\) soit une immersion fermée, et

\(X \to B\) soit de type fini ou \(B' \to B\) de présentation finie.

Alors \(f : X \to B\) est une immersion fermée.

Démonstration

Les hypothèses (1) et (2) impliquent que \(B_{red} = B'_{red}\). Posons \(X' = X \times_B B'\). Alors \(X' \to X\) est une immersion fermée et \(X'_{red} = X_{red}\). Soit \(U \to B\) un morphisme étale, avec \(U\) affine. Alors \(X' \times_B U \to X \times_B U\) est une immersion fermée d’espaces algébriques induisant un isomorphisme sur les espaces réduits sous-jacents. Comme \(X' \times_B U\) est un schéma (puisque \(B' \to B\) et \(X' \to B'\) sont représentables), il en est de même de \(X \times_B U\) d’après le lemme 07VU. Ainsi, \(X \to B\) est également représentable. On se ramène donc au cas des schémas, voir Morphismes, lemme 0896.

Revêtement fini par un schéma

Comme application des résultats de ce chapitre sur les limites, nous démontrons que, pour tout espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé \(X\), il existe un schéma \(Y\) et un morphisme fini surjectif \(Y \to X\). Nous utiliserons le résultat déjà démontré selon lequel on peut trouver un revêtement entier par un schéma, établi dans Espaces décents, section 0D2T.

Proposition

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\).

Il existe un morphisme fini surjectif \(Y \to X\) de présentation finie, où \(Y\) est un schéma,

étant donné un morphisme étale surjectif \(U \to X\), on peut choisir \(Y \to X\) de telle sorte que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) tel que \(V \to X\) se factorise par \(U\).

Démonstration

La partie (1) est le cas particulier de (2) où \(U = X\). Soit \(Y \to X\) comme dans Espaces décents, lemme 09YB. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(Y = \bigcup V_j\) tel que \(V_j \to X\) se factorise par \(U\). On peut écrire \(Y = \lim Y_i\), où \(Y_i \to X\) est fini et de présentation finie, voir le lemme 09YA. Pour \(i\) assez grand, l’espace algébrique \(Y_i\) est un schéma, voir le lemme 07SR. Pour \(i\) assez grand, on peut trouver des ouverts affines \(V_{i, j} \subset Y_i\) dont l’image réciproque dans \(Y\) redonne \(V_j\), voir le lemme 0827. Pour \(i\) encore plus grand, les morphismes \(V_j \to U\) sur \(X\) proviennent de morphismes \(V_{i, j} \to U\) sur \(X\), voir la proposition 04AK. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme entier d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert quasi-compact tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini et de présentation finie. Alors \(X\) peut s’écrire comme limite projective filtrante \(X = \lim X_i\), où les \(f_i : X_i \to Y\) sont finis et de présentation finie, et \(f^{-1}(V) \to f_i^{-1}(V)\) est un isomorphisme pour tout \(i\).

Démonstration

Ce lemme est un léger raffinement de la proposition 09YC. Considérons la \(\mathcal{O}_Y\)-algèbre quasi-cohérente entière \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). Au paragraphe suivant, nous allons écrire \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres finies de présentation finie \(\mathcal{A}_i\) telles que \(\mathcal{A}_i|_V = \mathcal{A}|_V\). Cela fait, posons \(X_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i)\), voir Morphismes des espaces, définition 081W. Par construction, \(X_i \to Y\) est fini et de présentation finie, \(X = \lim X_i\) et \(f_i^{-1}(V) = f^{-1}(V)\).

La démonstration de l’assertion sur les algèbres est analogue à celle de la partie (2) du lemme 082C. Écrivons d’abord \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\) comme limite inductive de \(\mathcal{O}_Y\)-modules de présentation finie, à l’aide du lemme 07V9. Comme \(\mathcal{A}|_V\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module de type fini, on peut supposer, et l’on suppose, que \(\mathcal{F}_i|_V \to \mathcal{A}|_V\) est surjectif pour tout \(i\). Pour tout \(i\), soit \(\mathcal{J}_i\) le noyau du morphisme \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] Pour \(i' \geq i\), on obtient un morphisme \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\). On a \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\). De plus, les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\) sont finies (comme sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini de la \(\mathcal{O}_Y\)-algèbre quasi-cohérente entière \(\mathcal{A}\) sur \(\mathcal{O}_X\)). La restriction de \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\) à \(V\) est \(\mathcal{A}|_V\) par la surjectivité ci-dessus. Ainsi, \(\mathcal{J}_i|_V\) est de type fini comme faisceau d’idéaux de \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)|_V\), du fait que \(\mathcal{A}|_V\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_Y\)-algèbre. Écrivons \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\) comme limite inductive de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie. On peut supposer, et l’on suppose, que \(\mathcal{E}_{ik}|_V\) engendre \(\mathcal{J}_i|_V\) comme faisceau d’idéaux de \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)|_V\), d’après l’assertion de type fini ci-dessus. Étant donnés \(i' \geq i\) et \(k\), il existe \(k'\) tel que l’on dispose d’un morphisme \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\) rendant le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] commutatif. Cela résulte de Cohomologie des espaces, lemme 07U7. On en déduit un morphisme \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] où \((\mathcal{E}_{ik})\) désigne l’idéal engendré par \(\mathcal{E}_{ik}\). Les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\mathcal{A}_{ki}\) sont de présentation finie et finies pour \(k\) assez grand (voir la démonstration du lemme 086Z). De plus, on a \(\mathcal{A}_{ik}|_V = \mathcal{A}|_V\) par construction. Enfin, on a \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] En effet, la première égalité a été démontrée dans la démonstration du lemme 086Z, et la seconde vaut parce que \(\mathcal{A}\) est la limite inductive des modules \(\mathcal{F}_i\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\), tel que \(|X|\) ait un nombre fini de composantes irréductibles.

Il existe un morphisme fini surjectif \(f : Y \to X\) de présentation finie, où \(Y\) est un schéma, tel que \(f\) soit fini étale au-dessus d’un ouvert dense quasi-compact \(U \subset X\),

étant donné un morphisme étale surjectif \(V \to X\), on peut choisir \(Y \to X\) de telle sorte que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(W \subset Y\) tel que \(W \to X\) se factorise par \(V\).

Démonstration

La partie (1) est le cas particulier de (2) où \(V = X\).

Preuve de (2). Soit \(\pi : Y \to X\) comme dans Espaces décents, lemme 0GUL et soit \(U \subset X\) un ouvert dense quasi-compact tel que \(\pi^{-1}(U) \to U\) soit fini étale. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(Y = \bigcup W_j\) tel que \(W_j \to X\) se factorise par \(V\). On peut écrire \(Y = \lim Y_i\), où \(\pi_i : Y_i \to X\) est fini et de présentation finie et où \(\pi^{-1}(U) \to \pi_i^{-1}(U)\) est un isomorphisme, voir le lemme 0GUM. Pour \(i\) assez grand, l’espace algébrique \(Y_i\) est un schéma, voir le lemme 07SR. Pour \(i\) assez grand, on peut trouver des ouverts affines \(W_{i, j} \subset Y_i\) dont l’image réciproque dans \(Y\) redonne \(W_j\), voir le lemme 0827. Pour \(i\) encore plus grand, les morphismes \(W_j \to V\) sur \(X\) proviennent de morphismes \(W_{i, j} \to U\) sur \(X\), voir la proposition 04AK. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Il existe un entier \(t \geq 0\) et des sous-espaces fermés \[X \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] tels que \(Z_i \to X\) soit de présentation finie, que \(Z_0 \subset X\) soit un épaississement et que, pour tout \(i = 0, \ldots t - 1\), il existe un schéma \(Y_i\) et un morphisme fini surjectif de présentation finie \(Y_i \to Z_i\), qui soit fini étale au-dessus de \(Z_i \setminus Z_{i + 1}\).

Démonstration

On peut considérer \(X\) comme un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir Espaces, définition 03I5, et Propriétés des espaces, définition 03BS. On peut donc appliquer la proposition 07SU. Il en résulte que l’on peut trouver un morphisme affine \(X \to X_0\), où \(X_0\) est de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). Si l’on peut démontrer le lemme pour \(X_0\), on peut alors ramener par changement de base la stratification et les morphismes à \(X\) et obtenir le résultat pour \(X\) ; certains détails sont omis. On se ramène ainsi au cas examiné au paragraphe suivant.

Supposons \(X\) de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). Alors \(X\) est noethérien et \(|X|\) est un espace topologique noethérien (ayant un nombre fini de composantes irréductibles), de dimension finie. On peut donc raisonner par récurrence sur \(\dim(|X|)\). Tout morphisme fini vers \(X\) est de présentation finie ; on peut donc négliger cette condition dans la suite de la démonstration. D’après le lemme 0GUN, il existe un morphisme fini surjectif \(Y \to X\) qui est fini étale au-dessus d’un ouvert dense \(U \subset X\). Posons \(Z_0 = X\) et soit \(Z_1 \subset X\) le sous-espace fermé réduit tel que \(|Z_1| = |X| \setminus |U|\). Par récurrence, on trouve un entier \(t \geq 0\) et une filtration \[Z_1 \supset Z_{1, 0} \supset Z_{1, 1} \supset \ldots \supset Z_{1, t} = \emptyset\] par sous-espaces fermés, où \(Z_{1, 0} \to Z_1\) est un épaississement et où il existe des morphismes finis surjectifs \(Y_{1, i} \to Z_{1, i}\) qui sont finis étales au-dessus de \(Z_{1, i} \setminus Z_{1, i + 1}\). Comme \(Z_1\) est réduit, on a \(Z_1 = Z_{1, 0}\). On peut donc poser \(Z_i = Z_{1, i - 1}\) et \(Y_i = Y_{1, i - 1}\) pour \(i \geq 1\), ce qui démontre le lemme.

Obtention de schémas

Voici quelques techniques supplémentaires pour montrer qu’un espace algébrique est un schéma. La première consiste à montrer qu’il existe un sous-espace fermé minimal qui n’est pas un schéma.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Si \(X\) n’est pas un schéma, alors il existe un sous-espace fermé \(Z \subset X\) tel que \(Z\) ne soit pas un schéma, mais que tout sous-espace fermé propre \(Z' \subset Z\) soit un schéma.

Démonstration

Nous démontrons cela par le lemme de Zorn. Soit \(\mathcal{Z}\) l’ensemble des sous-espaces fermés \(Z\) qui ne sont pas des schémas, ordonné par inclusion. Par hypothèse, \(\mathcal{Z}\) contient \(X\) et n’est donc pas vide. Si les \(Z_\alpha\) forment une partie totalement ordonnée de \(\mathcal{Z}\), alors \(Z = \bigcap Z_\alpha\) appartient à \(\mathcal{Z}\). En effet, \[Z = \lim Z_\alpha\] et les morphismes de transition sont affines. On peut donc appliquer le lemme 07SR : si \(Z\) était un schéma, l’un des \(Z_\alpha\) le serait aussi. (Cela fonctionne même si \(Z = \emptyset\), mais remarquons que, d’après le lemme 086W, ce cas ne peut pas se produire.) Ainsi, \(\mathcal{Z}\) possède des éléments minimaux d’après le lemme de Zorn.

Nous pouvons maintenant établir quelques propriétés de ces non-schémas minimaux.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Supposons que tout sous-espace fermé propre \(Z \subset X\) soit un schéma, mais que \(X\) ne soit pas un schéma. Alors \(X\) est réduit et irréductible.

Démonstration

On voit que \(X\) est réduit d’après le lemme 07VU. Choisissons des parties fermées \(T_1 \subset |X|\) et \(T_2 \subset |X|\) telles que \(|X| = T_1 \cup T_2\). Si \(T_1\) et \(T_2\) sont des parties fermées propres, alors les sous-espaces fermés réduits induits correspondants \(Z_1, Z_2 \subset X\) (Propriétés des espaces, définition 047X) sont des schémas, de même que \(Z = Z_1 \times_X Z_2 = Z_1 \cap Z_2\), comme sous-schéma fermé de \(Z_1\) ou de \(Z_2\). Remarquons que la somme amalgamée \(Z_1 \amalg_Z Z_2\) existe dans la catégorie des schémas, voir Compléments sur les morphismes, lemme 0B7M. Une manière de procéder consiste à montrer que \(Z_1 \amalg_Z Z_2\) est isomorphe à \(X\), mais nous ne pouvons pas l’utiliser ici, car les sommes amalgamées d’espaces algébriques ne sont étudiées que plus loin. Nous utiliserons plutôt le lemme 07VS pour trouver un voisinage affine de tout point. Soit en effet \(x \in |X|\). Si \(x \not \in Z_1\), alors \(x\) possède un voisinage qui est un schéma, à savoir \(X \setminus Z_1\). De même si \(x \not \in Z_2\). Si \(x \in Z = Z_1 \cap Z_2\), choisissons un ouvert affine \(U \subset Z_1 \amalg_Z Z_2\) contenant \(z\). Alors \(U_1 = Z_1 \cap U\) et \(U_2 = Z_2 \cap U\) sont des ouverts affines dont les intersections avec \(Z\) coïncident. Comme \(|Z_1| = T_1\) et \(|Z_2| = T_2\) sont des parties fermées de \(|X|\) dont l’intersection est \(|Z|\), on trouve un ouvert \(W \subset |X|\) tel que \(W \cap T_1 = |U_1|\) et \(W \cap T_2 = |U_2|\). Notons encore \(W\) le sous-espace ouvert correspondant de \(X\). Alors \(x \in |W|\) et le morphisme \(U_1 \amalg U_2 \to W\) est un morphisme fini surjectif dont la source est un schéma affine. Ainsi, \(W\) est un schéma affine d’après le lemme 07VS.

Un point essentiel du lemme suivant est qu’il suffit de vérifier la condition aux images des points de \(X\).

Lemme

Soit \(f: X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’un espace algébrique vers un schéma \(S\). Si, pour tout \(x \in |X|\) d’image \(s = f(x) \in S\), l’espace algébrique \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S,s})\) est un schéma, alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Soit \(x \in |X|\). Il suffit de trouver un voisinage ouvert \(U\) de \(s = f(x)\) tel que \(X \times_S U\) soit un schéma. Comme \(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est un schéma et que \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_S(U)\), où la limite inductive porte sur les voisinages ouverts affines de \(s\) dans \(S\), on voit que \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim X \times_S U\] D’après le lemme 07SR, on voit que \(X \times_S U\) est un schéma pour un certain \(U\).

Au lieu de se restreindre aux anneaux locaux comme dans le lemme 0B80, on peut se restreindre aux sous-schémas fermés de la base.

Lemme

Soit \(\varphi : X \to \Spec(A)\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’un espace algébrique vers un schéma affine. Si \(X\) n’est pas un schéma, alors il existe un idéal \(I \subset A\) tel que le changement de base \(X_{A/I}\) ne soit pas un schéma, mais que, pour tout \(I \subset I'\) avec \(I \not = I'\), le changement de base \(X_{A/I'}\) soit un schéma.

Démonstration

Nous démontrons cela par le lemme de Zorn. Soit \(\mathcal{I}\) l’ensemble des idéaux \(I\) tels que \(X_{A/I}\) ne soit pas un schéma. Par hypothèse, \(\mathcal{I}\) contient \((0)\). Si les \(I_\alpha\) forment une chaîne d’idéaux de \(\mathcal{I}\), alors \(I = \bigcup I_\alpha\) appartient à \(\mathcal{I}\). En effet, \(A/I = \colim A/I_\alpha\), d’où \[X_{A/I} = \lim X_{A/I_\alpha}\] On peut donc appliquer le lemme 07SR : si \(X_{A/I}\) était un schéma, l’un des \(X_{A/I_\alpha}\) le serait aussi. Ainsi, \(\mathcal{I}\) possède des éléments maximaux d’après le lemme de Zorn.

Recollement dans les fibres fermées

En appliquant la théorie précédente au spectre d’un anneau local, on obtient quelques agréables résultats de recollement pour les espaces algébriques relatifs. Nous démontrons d’abord un lemme auxiliaire (qui sera considérablement généralisé dans Amorçage, section 04SJ).

Lemme

Soit \(S = U \cup W\) un recouvrement ouvert d’un schéma. Alors le foncteur \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{FP_{U \cap W}} FP_W\] donné par changement de base est une équivalence, où \(FP_T\) est la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur le schéma \(T\).

Démonstration

Tout d’abord, puisque \(S = U \cup W\) est un recouvrement de Zariski, on voit que la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est équivalente à la catégorie des triplets \((\mathcal{F}_U, \mathcal{F}_W, \varphi)\), où \(\mathcal{F}_U\) est un faisceau sur \((\Sch/U)_{fppf}\), \(\mathcal{F}_W\) est un faisceau sur \((\Sch/W)_{fppf}\), et où \[\varphi : \mathcal{F}_U|_{(\Sch/U \cap W)_{fppf}} \longrightarrow \mathcal{F}_W|_{(\Sch/U \cap W)_{fppf}}\] est un isomorphisme. Voir Sites, lemme 04TS (remarquons qu’aucune autre donnée de recollement n’est nécessaire, car \(U \times_S U = U\), \(W \times_S W = W\), et que la condition de cocycle est automatique pour la même raison). Maintenant, si le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) correspond à \((\mathcal{F}_U, \mathcal{F}_W, \varphi)\) par cette équivalence, alors \(\mathcal{F}\) est un espace algébrique si et seulement si \(\mathcal{F}_U\) et \(\mathcal{F}_W\) sont des espaces algébriques. Cela résulte immédiatement de Espaces algébriques, lemme 02WR, car \(\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_W \to \mathcal{F}\) sont représentables par des immersions ouvertes et recouvrent \(\mathcal{F}\). Enfin, dans ce cas, l’espace algébrique \(\mathcal{F}\) est de présentation finie sur \(S\) si et seulement si \(\mathcal{F}_U\) est de présentation finie sur \(U\) et \(\mathcal{F}_W\) de présentation finie sur \(W\), d’après Morphismes des espaces, lemmes 03KG, 03KM, et 0410.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point fermé tel que \(U = S \setminus \{s\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\), on a une équivalence de catégories \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{FP_V} FP_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\] où \(FP_T\) est la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(T\).

Démonstration

Soit \(W \subset S\) un voisinage ouvert de \(s\). Le foncteur \[FP_S \to FP_U \times_{FP_{W \setminus \{s\}}} FP_W\] est une équivalence de catégories d’après le lemme 0E8Z. On a \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Ainsi, \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). La catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est donc la limite des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur \(W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\), voir le lemme 07SK. Pour tout ouvert affine \(s \in W\), on voit que \(U \cap W\) est quasi-compact puisque \(U \to S\) est quasi-compact. Ainsi, \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{s\}\) est une limite de schémas quasi-compacts et quasi-séparés (voir Limites, lemme 01YX). La catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(V\) est donc elle aussi la limite des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur \(W \cap U\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Le lemme résulte formellement de la combinaison de ces résultats.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(U \subset S\) un ouvert rétrocompact. Soit \(s \in S\) un point du complémentaire de \(U\). En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \cap U\), on a une équivalence de catégories \[\colim_{s \in U' \supset U\text{ ouvert}} FP_{U'} \longrightarrow FP_U \times_{FP_V} FP_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\] où \(FP_T\) est la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(T\).

Démonstration

Soit \(W \subset S\) un voisinage ouvert de \(s\). D’après le lemme 0E8Z, le foncteur \[FP_{U \cup W} \longrightarrow FP_U \times_{FP_{U \cap W}} FP_W\] est une équivalence de catégories. On a \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Ainsi, \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). La catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est donc la limite des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur \(W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\), voir le lemme 07SK. Pour tout ouvert affine \(s \in W\), on voit que \(U \cap W\) est quasi-compact puisque \(U \to S\) est quasi-compact. Ainsi, \(V = \lim W \cap U\) est une limite de schémas quasi-compacts et quasi-séparés (voir Limites, lemme 01YX). La catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(V\) est donc elle aussi la limite des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur \(W \cap U\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Le lemme résulte formellement de la combinaison de ces résultats.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s_1, \ldots, s_n \in S\) des points fermés deux à deux distincts tels que \(U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) et \(U_i = S_i \setminus \{s_i\}\), on a une équivalence de catégories \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{(FP_{U_1} \times \ldots \times FP_{U_n})} (FP_{S_1} \times \ldots \times FP_{S_n})\] où \(FP_T\) est la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(T\).

Démonstration

Pour \(n = 1\), c’est le lemme 0E90. Pour \(n > 1\), le lemme se démontre exactement de la même façon ou peut s’en déduire. Par exemple, supposons que \(f_i : X_i \to S_i\) soient des objets de \(FP_{S_i}\) et que \(f : X \to U\) soit un objet de \(FP_U\), et qu’on se soit donné des isomorphismes \(X_i \times_{S_i} U_i = X \times_U U_i\). D’après le lemme 0E90, on peut trouver un morphisme \(f' : X' \to U' = S \setminus \{s_1, \ldots, s_{n - 1}\}\) qui est de présentation finie, qui est isomorphe à \(X_i\) au-dessus de \(S_i\), qui est isomorphe à \(X\) au-dessus de \(U\), et ces isomorphismes sont compatibles avec l’isomorphisme donné \(X_i \times_{S_n} U_n = X \times_U U_n\). On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à \(f_i : X_i \to S_i\), \(i \leq n - 1\), \(f' : X' \to U'\), et aux isomorphismes induits \(X_i \times_{S_i} U_i = X' \times_{U'} U_i\), \(i \leq n - 1\). Cela démontre la surjectivité essentielle. Nous omettons la preuve de la pleine fidélité.

Application aux modifications

À l’aide des limites, on peut décrire la catégorie des modifications d’un espace algébrique décent en un point fermé au moyen de l’anneau local hensélien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un morphisme séparé et étale \(f : V \to W\) d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons qu’il existe un sous-espace fermé \(T \subset W\) tel que \(f^{-1}T \to T\) soit un isomorphisme. Alors, en posant \(W^0 = W \setminus T\) et \(V^0 = f^{-1}W^0\), le foncteur de changement de base \[\left\{ \begin{matrix} g : X \to W\text{ morphisme d'espaces algébriques} \\ g^{-1}(W^0) \to W^0\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} h : Y \to V\text{ morphisme d'espaces algébriques} \\ h^{-1}(V^0) \to V^0\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Comme \(V \to W\) est séparé, on a \(V \times_W V = \Delta(V) \amalg U\) pour un certain sous-espace ouvert et fermé \(U\) de \(V \times_W V\). L’hypothèse que \(f^{-1}T \to T\) est un isomorphisme donne \(U \times_W T = \emptyset\), c’est-à-dire que les deux projections \(U \to V\) prennent leurs valeurs dans \(V^0\).

Étant donné \(h : Y \to V\) dans la catégorie de droite, considérons le foncteur contravariant \(X\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) défini par la règle \[X(T) = \{(w, y) \mid w : T \to W,\ y : T \times_{w, W} V \to Y\text{ morphisme sur }V\}\] Notons \(g : X \to W\) l’application qui envoie \((w, y) \in X(T)\) sur \(w \in W(T)\). Comme \(h^{-1}V^0 \to V^0\) est un isomorphisme, si \(w : T \to W\) prend ses valeurs dans \(W^0\), il n’existe qu’un seul choix pour \(h\). Autrement dit, \(X \times_{g, W} W^0 = W^0\). D’autre part, considérons un point à valeurs dans \(T\), \((w, y, v)\), de \(X \times_{g, W, f} V\). Alors \(w = f \circ v\) et \[y : T \times_{f \circ v, W} V \longrightarrow V\] est un morphisme sur \(V\). Considérons le morphisme \[T \times_{f \circ v, W} V \xrightarrow{(v, \text{id}_V)} V \times_W V = V \amalg U\] L’image réciproque de \(V\) est \(T\), plongé par \((\text{id}_T, v) : T \to T \times_{f \circ v, W} V\). Le composé \(y' = y \circ (\text{id}_T, v) : T \to Y\) est un morphisme tel que \(v = h \circ y'\); il détermine \(y\), car la restriction de \(y\) à l’autre composante est uniquement déterminée puisque \(U\) prend ses valeurs dans \(V^0\) par la seconde projection. Il s’ensuit que \(X \times_{g, W, f} V \to Y\), \((w, y, v) \mapsto y'\) est un isomorphisme.

Ainsi, il suffit de montrer que \(X\) est un espace algébrique. Puisque \(V \to W\) est séparé et étale, il est représentable d’après Morphismes d’espaces, lemme 0418 (et Morphismes d’espaces, lemme 03XU). Il est clair que \(W^0 \to W\) est représentable et étale, puisqu’il s’agit d’une immersion ouverte. Ainsi \[W^0 \amalg Y = X \times_{g, W} W^0 \amalg X \times_{g, W, f} V = X \times_{g, W} (W^0 \amalg V) \longrightarrow X\] est représentable, surjectif et étale d’après Espaces, lemmes 02WB et 02WL. Ainsi, \(X\) est un espace algébrique d’après Espaces, lemme 0BGR.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le lemme 0BGY. Soient \(g : X \to W\) et \(h : Y \to V\) qui se correspondent par l’équivalence. Alors \(g\) est quasi-compact, quasi-séparé, séparé, localement de présentation finie, de présentation finie, localement de type fini, de type fini, propre, entier, fini, et ajouter d’autres propriétés ici si et seulement si \(h\) possède la même propriété.

Démonstration

Si \(g\) est quasi-compact, quasi-séparé, séparé, localement de présentation finie, de présentation finie, localement de type fini, de type fini, propre, fini, il en est de même de \(h\), comme changement de base de \(g\), d’après Morphismes d’espaces, lemmes 03HF, 03KL, 03XR, 03XH, 04WP, 03ZS. Réciproquement, soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie étale sur la base et qui est vérifiée par le morphisme identité de tout espace algébrique. Puisque \(\{W^0 \to W, V \to W\}\) est un recouvrement étale, pour prouver que \(g\) possède \(P\), il suffit de montrer que \(h\) possède \(P\). On conclut donc à l’aide de Morphismes d’espaces, lemmes 03KG, 03KM, 0410, 040Y, 083R, 03ZQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point fermé tel que \(U = X \setminus \{x\} \to X\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \setminus \{\mathfrak m_x^h\}\), le foncteur de changement de base \[\left\{ \begin{matrix} f : Y \to X\text{ de présentation finie} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\text{ de présentation finie} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Soit \(a : (W, w) \to (X, x)\) un voisinage étale élémentaire de \(x\) avec \(W\) affine, comme dans Espaces décents, lemme 0BBP. Comme \(x\) est un point fermé de \(X\) et que \(w\) est l’unique point de \(W\) au-dessus de \(x\), on voit que \(w\) est un point fermé de \(W\). Puisque \(a\) est étale et identifie les corps résiduels en \(x\) et \(w\), il s’ensuit que \(a\) induit un isomorphisme \(a^{-1}x \to x\) (comme sous-espaces fermés de \(X\) et \(W\)). On peut donc appliquer les lemmes 0BGY et 0BGZ pour se ramener au cas où \(X\) est un schéma affine.

Supposons \(X\) affine. Rappelons que \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) est la limite inductive des \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) sur les voisinages étales élémentaires affines \((U, u) \to (X, x)\). Rappelons que la catégorie de ces voisinages est cofiltrante; voir Espaces décents, lemme 0BGV ou Compléments sur les morphismes, lemme 057B. Alors \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) = \lim U\) et \(V = \lim U \setminus \{u\}\) (lemme 07SF), où les limites sont prises sur la même catégorie. Ainsi, d’après le lemme 07SK, la catégorie de droite est la limite inductive des catégories associées aux couples \((U, u)\). D’après le premier paragraphe, chacune de ces catégories est équivalente à la catégorie associée au couple \((X, x)\). Cela achève la démonstration.

Morphismes universellement fermés

Dans cette section, nous étudions à quelle condition un morphisme quasi-compact (mais non nécessairement séparé) est universellement fermé. Nous démontrons d’abord un lemme qui permettra de vérifier cette propriété après un changement de base localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(z \in |Z|\) et soit \(T \subset |X \times_Y Z|\) une partie fermée telle que \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\). Si \(f\) est quasi-compact, il existe un voisinage étale \((V, v) \to (Z, z)\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |X \times_Y Z'|\) tels que

le morphisme \(b : Z' \to Y\) soit localement de présentation finie,

en posant \(z' = a(v)\), on ait \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\), et

l’image réciproque de \(T\) dans \(|X \times_Y V|\) ait son image dans \(T'\) par \(|X \times_Y V| \to |X \times_Y Z'|\).

De plus, on peut supposer que \(V\) et \(Z'\) sont des schémas affines et, si \(Z\) est un schéma, que \(V\) est un voisinage ouvert affine de \(z\).

Démonstration

Nous allons déduire ce résultat du résultat analogue pour les morphismes de schémas. Soit \(y \in |Y|\) l’image de \(z\). Choisissons d’abord un voisinage étale affine \((U, u) \to (Y, y)\), puis un voisinage étale affine \((V, v) \to (Z, z)\) tel que le morphisme \(V \to Y\) se factorise par \(U\). On peut alors remplacer

\(X \to Y\) par \(X \times_Y U \to U\),

\(Z \to Y\) par \(V \to U\),

\(z\) par \(v\), et

\(T\) par son image réciproque dans \(|(X \times_Y U) \times_U V| = |X \times_Y V|\).

En effet, nous montrerons ci-dessous qu’après avoir remplacé \(V\) par un voisinage ouvert affine de \(v\), il existe un morphisme \(a : V \to Z'\) vers un certain \(Z' \to U\) de présentation finie et une partie fermée \(T'\) de \(|(X \times_Y U) \times_U Z'| = |X \times_Y Z'|\) tels que \(T\) ait son image dans \(T'\) et que \(a(v) \not \in \Im(T' \to |Z'|)\). On peut donc supposer, et l’on suppose désormais, que \(Z\) et \(Y\) sont des schémas affines, étant entendu qu’il faut trouver une solution où \(V\) est un voisinage ouvert de \(z\).

Puisque \(f\) est quasi-compact et \(Y\) affine, l’espace algébrique \(X\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Soit \(T_W \subset |W \times_Y Z|\) l’image réciproque de \(T\). Alors \(z\) n’appartient pas à l’image de \(T_W\). D’après le cas des schémas (Limites, lemme 05BD), on peut trouver un voisinage ouvert \(V \subset Z\) de \(z\), un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |W \times_Y Z'|\) tels que

le morphisme \(b : Z' \to Y\) soit localement de présentation finie,

en posant \(z' = a(z)\), on ait \(z' \not \in \Im(T' \to Z')\), et

\(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) ait son image dans \(T'\) par \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\).

Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ X \times_Y Z & X \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & X \times_Y Z' }\] a des carrés cartésiens, et les morphismes verticaux sont surjectifs, étales et, a fortiori, ouverts. En considérant le carré de gauche, on voit que \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) est l’image réciproque de \(T_2 = T \cap |X \times_Y V|\) par \(c\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, on a \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\). D’après Topologie, lemme 02YB, on a \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] Comme \(q\) est surjectif, l’image de \(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\) ne contient pas \(z'\), puisque cela est vrai pour \(T'\). On peut donc prendre le diagramme ci-dessus avec \(Z', V, a, b\) et la partie fermée \(\overline{a_2(T_2)} \subset |X \times_Y Z'|\) comme solution du problème posé par le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est universellement fermé,

pour tout morphisme \(Z \to Y\) localement de présentation finie, l’application \(|X \times_Y Z| \to |Z|\) est fermée, et

il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) de sorte que l’application \(|\mathbf{A}^n \times (X \times_Y V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) soit fermée pour tout \(n \geq 0\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons que \(|X \times_Y Z| \to |Z|\) ne soit pas fermée pour un certain morphisme d’espaces algébriques \(Z \to Y\) sur \(S\). Cela signifie qu’il existe une partie fermée \(T \subset |X \times_Y Z|\) telle que \(\Im(T \to |Z|)\) ne soit pas fermée. Choisissons \(z \in |Z|\) dans l’adhérence de l’image de \(T\), mais non dans cette image. Appliquons le lemme 0CM8. On obtient un voisinage étale \((V, v) \to (Z, z)\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] et une partie fermée \(T' \subset |X \times_Y Z'|\) tels que

le morphisme \(b : Z' \to Y\) soit localement de présentation finie,

en posant \(z' = a(v)\), on ait \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\), et

l’image réciproque de \(T\) dans \(|X \times_Y V|\) ait son image dans \(T'\) par \(|X \times_Y V| \to |X \times_Y Z'|\).

Nous affirmons que \(z'\) appartient à l’adhérence de \(\Im(T' \to |Z'|)\), ce qui implique que \(|X \times_Y Z'| \to |Z'|\) n’est pas fermée. Cette affirmation montre que (2) implique (1). Pour la vérifier, considérons le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ X \times_Y Z \ar[d] & X \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & X \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] Soit \(T_V \subset |X \times_Y V|\) l’image réciproque de \(T\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, l’image de \(T_V\) dans \(|V|\) est l’image réciproque de l’image de \(T\) dans \(|Z|\). Puisque \(z\) appartient à l’adhérence de l’image de \(T \to |Z|\) et que \(|V| \to |Z|\) est ouverte, on voit que \(v\) appartient à l’adhérence de l’image de \(T_V \to |V|\). Comme l’image de \(T_V\) dans \(|X \times_Y Z'|\) est contenue dans \(|T'|\), il s’ensuit immédiatement que \(z' = a(v)\) appartient à l’adhérence de l’image de \(T'\).

Il est clair que (1) implique (3). Soit \(V \to Y\) comme dans (3). Si l’on montre que \(X \times_Y V \to V\) est universellement fermé, alors \(f\) est universellement fermé d’après Morphismes d’espaces, lemme 03IT. Il suffit donc de montrer que \(f : X \to Y\) vérifie (2) si \(f\) est un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques, si \(Y\) est un schéma et si \(|\mathbf{A}^n \times X| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\) est fermée pour tout \(n\). Soit \(Z \to Y\) localement de présentation finie. Il faut montrer que l’application \(|X \times_Y Z| \to |Z|\) est fermée. Cette question est locale pour la topologie étale sur \(Z\); on peut donc supposer \(Z\) affine (certains détails sont omis). Puisque \(Y\) est un schéma, \(Z\) est affine et \(Z \to Y\) est localement de présentation finie, on peut trouver une immersion \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\); voir Morphismes, lemme 04II. Considérons le diagramme cartésien \[\vcenter{ \xymatrix{ X \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{qui induit le} \\ \text{carré cartésien} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |X \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times X| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] d’espaces topologiques, dont les flèches horizontales sont des homéomorphismes sur des parties localement fermées (Propriétés des espaces, lemme 0ABJ). Ainsi, toute partie fermée \(T\) de \(|X \times_Y Z|\) est l’image réciproque d’une partie fermée \(T'\) de \(|\mathbf{A}^n \times Y|\). Comme l’hypothèse affirme que l’image de \(T'\) dans \(|\mathbf{A}^n \times X|\) est fermée, on conclut que l’image de \(T\) dans \(|Z|\) est fermée, comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) séparé et de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est propre.

Pour tout morphisme \(Y \to Z\) localement de présentation finie, l’application \(|X \times_Y Z| \to |Z|\) est fermée, et

il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) de sorte que l’application \(|\mathbf{A}^n \times (X \times_Y V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) soit fermée pour tout \(n \geq 0\).

Démonstration

Puisqu’un morphisme propre est exactement un morphisme séparé, de type fini et universellement fermé, ce lemme est un cas particulier du lemme 0CM9.

Critère valuatif noethérien

Nous avons déjà démontré certains résultats dans Cohomologie des espaces, section 0ARI. La section correspondante pour les schémas est Limites, section 0CM1.

Bon nombre des résultats de cette section peuvent (et devraient peut-être) se démontrer en invoquant le lemme suivant, bien que nous ne l’ayons pas toujours fait.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) de type fini et \(Y\) localement noethérien. Soit \(y \in |Y|\) un point de l’adhérence de l’image de \(|f|\). Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, et où le point fermé de \(\Spec(A)\) a pour image \(y\). En outre, nous pouvons supposer que le point \(x \in |X|\) correspondant à \(\Spec(K) \to X\) est un point de codimension \(0\)³ et que \(K\) est le corps résiduel d’un point d’un schéma étale sur \(X\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) qui envoie \(v\) sur \(y\). L’application \(|V| \to |Y|\) est ouverte et, d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, l’image de \(|X \times_Y V| \to |V|\) est l’image inverse de celle de \(|f|\). Nous en concluons que le point \(v\) appartient à l’adhérence de l’image de \(|X \times_Y V| \to |V|\). Si nous démontrons le lemme pour \(X \times_Y V \to V\) et le point \(v\), alors le lemme en résulte pour \(f\) et \(y\). Nous nous ramenons ainsi à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons donnés \(f : X \to Y\) et \(y \in |Y|\) comme dans le lemme, où \(Y\) est un schéma affine. Comme \(f\) est quasi-compact, nous en déduisons que \(X\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Alors l’image de \(|f|\) est égale à celle de \(W \to Y\). Nous nous ramenons ainsi au cas des schémas, traité dans Limites, lemme 0CM2.

Énonçons d’abord le résultat concernant la séparation. Nous utiliserons souvent des diagrammes commutatifs à flèches pleines de morphismes d’espaces algébriques sur un schéma de base \(S\), de la forme suivante : [0H1V]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y } } \end{equation}\] où \(A\) est un anneau de valuation et \(K\) son corps des fractions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) quasi-séparé et localement de type fini, et \(Y\) localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Le morphisme \(f\) est séparé.

Dans tout diagramme (0H1V), il existe au plus une flèche en tirets.

Dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe au plus une flèche en tirets.

Dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète et où l’image de \(\Spec(K) \to X\) est un point de codimension \(0\) de \(X\), il existe au plus une flèche en tirets.

Démonstration

Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2) d’après Morphismes d’espaces, lemme 03KU. Les implications (2) \(\Rightarrow\) (3) et (3) \(\Rightarrow\) (4) sont immédiates. Il reste à montrer que (4) implique (1).

Supposons (4). Nous devons montrer que la diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est une immersion fermée. Nous savons déjà que \(\Delta\) est représentable, séparé et localement de type fini, et que c’est un monomorphisme ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03HK. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X \times_Y X\). Posons \(V = X \times_{\Delta, X \times_Y X} U\). Il suffit de montrer que \(V \to U\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, lemme 03M4). Comme \(X \times_Y X\) est localement de type fini sur \(Y\), nous voyons que \(U\) est noethérien (utiliser Morphismes d’espaces, lemmes 03XG, 03XH et 04ZK). Notons que \(V\) est un schéma puisque \(\Delta\) est représentable. De plus, \(V\) est quasi-compact parce que \(f\) est quasi-séparé. Ainsi, \(V \to U\) est séparé et de type fini. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] de morphismes de schémas, où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), et où \(K\) est le corps résiduel d’un point générique du schéma noethérien \(V\). Comme \(V \to X\) est étale (en tant que changement de base du morphisme étale \(U \to X \times_Y X\)), nous voyons que l’image de \(\Spec(K) \to V \to X\) est un point de codimension \(0\) ; voir Propriétés des espaces, section 04N7. Nous pouvons interpréter le composé \(\Spec(A) \to U \to X \times_Y X\) comme une paire de morphismes \(a, b : \Spec(A) \to X\) qui coïncident comme morphismes vers \(Y\) et sont égaux après restriction à \(\Spec(K)\), leur restriction commune ayant pour image un point de codimension \(0\). Notre hypothèse (4) garantit donc \(a = b\), et nous obtenons la flèche en tirets du diagramme. D’après Limites, lemme 0208, nous concluons que \(V \to U\) est propre. Autrement dit, \(\Delta\) est propre. Comme \(\Delta\) est un monomorphisme, nous en déduisons que \(\Delta\) est une immersion fermée (Morphismes étales, lemme 04XV), comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) quasi-séparé et de type fini, et \(Y\) localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est propre,

\(f\) satisfait au critère valuatif, voir Morphismes d’espaces, définition 03IX,

dans tout diagramme (0H1V), il existe exactement une flèche en tirets,

dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe exactement une flèche en tirets, et

dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète et où l’image de \(\Spec(K) \to X\) est un point de codimension \(0\) de \(X\), il existe exactement une flèche en tirets⁴.

Démonstration

Nous avons (1) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (3) d’après Morphismes d’espaces, lemme 0A40. Il est clair que (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5). Pour achever la démonstration, montrons que (5) implique (1).

Supposons (5). D’après le lemme 0H1W, nous voyons que \(f\) est séparé. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(f\) est universellement fermé. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, où \(V\) est un schéma affine. Il suffit de montrer que le changement de base \(V \times_Y X \to V\) est universellement fermé ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03IT. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \times_Y X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] \ar@{..>}[rru] & V \ar[r] & Y }\] ci-dessus, formé de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\), qui est commutatif, où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et où \(\Spec(K) \to V \times_Y X\) a pour image un point de codimension \(0\) de l’espace algébrique \(V \times_Y X\). Puisque \(V \times_Y X \to X\) est étale, il s’ensuit que l’image de \(\Spec(K) \to X\) est un point de codimension \(0\) de \(X\). Ainsi, (5) nous donne la plus longue des deux flèches non pleines, qui est pointillée et s’insère dans le diagramme. Nous obtenons alors bien sûr aussi la plus courte, qui est en tirets. Il s’ensuit que nos hypothèses valent pour le morphisme \(V \times_Y X \to V\), et nous sommes ramenés au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine noethérien. Dans ce cas, \(X\) est un espace algébrique noethérien séparé (nous savons déjà que \(f\) est séparé) de type fini sur \(Y\). (En particulier, l’espace algébrique \(X\) possède un sous-espace ouvert dense qui est un schéma d’après Propriétés des espaces, proposition 06NH, bien qu’à strictement parler nous n’en ayons pas besoin.) Choisissons un schéma quasi-projectif \(X'\) sur \(Y\) et un morphisme propre surjectif \(X' \to X\) comme dans la forme faible du lemme de Chow (Cohomologie des espaces, lemme 089J). Nous pouvons remplacer \(X'\) par la réunion disjointe des composantes irréductibles qui dominent une composante irréductible de \(X\) ; nous omettons les détails. En particulier, nous pouvons supposer que les points génériques du schéma \(X'\) ont pour image des points de codimension \(0\) de \(X\) (dans ce cas, ce sont exactement les points génériques de \(X\)). Nous affirmons que \(X' \to Y\) est propre. Cette affirmation implique que \(X\) est propre sur \(Y\) d’après Morphismes d’espaces, lemme 08AJ. Pour la démontrer, d’après Limites, lemme 0208, il suffit de prouver que, dans tout diagramme commutatif à flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[ru]^a \ar@{-->}[rru]_b & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), et où \(K\) est le corps résiduel d’un point générique de \(X'\), nous pouvons trouver la flèche en tirets \(a\) (nous savons déjà qu’elle est unique puisque \(X'\) est séparé). L’hypothèse (5) nous fournit la flèche en tirets \(b\). Alors le morphisme \(X' \times_{X, b} \Spec(A) \to \Spec(A)\) est un morphisme propre de schémas et, par le critère valuatif pour les morphismes de schémas, le relèvement de \(b\) fournit le morphisme \(a\) recherché.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(Y\) localement noethérien et \(f\) de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est universellement fermé,

\(f\) satisfait à la partie d’existence du critère valuatif,

il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que \(|\mathbf{A}^n \times X \times_Y V| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) soit fermée pour tout \(n \geq 0\),

dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe une extension de corps finie séparable \(K'/K\), un anneau de valuation discrète \(A' \subset K'\) qui domine \(A\), et un morphisme \(\Spec(A') \to X\) tel que le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\]

dans tout diagramme (0H1V) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe une extension de corps \(K'/K\), un anneau de valuation \(A' \subset K'\) qui domine \(A\), et un morphisme \(\Spec(A') \to X\) tel que le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\]

Démonstration

Les conditions (1), (2) et (3) sont équivalentes d’après le lemme 0CM9 et Morphismes d’espaces, lemme 03KA. Ces conditions équivalentes impliquent (4), car Morphismes d’espaces, lemme 03KH, nous dit que nous pouvons toujours choisir l’extension \(K'/K\) finie séparable dans la partie d’existence du critère valuatif, ce qui force automatiquement \(A'\) à être un anneau de valuation discrète par le théorème de Krull-Akizuki (Algèbre, lemme 00PG). L’implication (4) \(\Rightarrow\) (5) est immédiate. Dans le reste de la démonstration, nous montrons que (5) implique (1).

Supposons (5). Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(V \to Y\). Il suffit de montrer que le changement de base de \(f\) à \(V\) est universellement fermé ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03IT. Exactement comme dans la démonstration du lemme 0H1X, nous voyons que l’hypothèse (5) se transmet à ce changement de base ; nous omettons les détails. Nous sommes ainsi ramenés au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine noethérien et que (5) soit satisfaite. Pour prouver que \(f\) est universellement fermé, il suffit de montrer que \(|X \times \mathbf{A}^n| \to |Y \times \mathbf{A}^n|\) est fermée pour tout \(n\) (d’après la discussion ci-dessus). Comme l’hypothèse (5) se transmet au morphisme produit \(X \times \mathbf{A}^n \to Y \times \mathbf{A}^n\) (détails omis), nous sommes ramenés à prouver que \(|X| \to |Y|\) est fermée.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine noethérien et que (5) soit satisfaite. Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Nous devons montrer que l’image de \(T\) dans \(|Y|\) est fermée. Nous pouvons remplacer \(X\) par la structure réduite de sous-espace fermé induite sur \(T\) ; nous omettons de vérifier que la propriété (5) est préservée par ce remplacement. Nous sommes ainsi ramenés à prouver que l’image de \(|X| \to |Y|\) est fermée.

Soit \(y \in |Y|\) un point de l’adhérence de l’image de \(|X| \to |Y|\). D’après le lemme 0CMC, nous pouvons choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, et où le point fermé de \(\Spec(A)\) a pour image \(y\). Il résulte immédiatement de la propriété (5) que \(y\) appartient à l’image de \(|X| \to |Y|\), ce qui achève la démonstration.

Critères valuatifs noethériens raffinés

Cette section est l’analogue de Limites, section 0H1P. Pour vérifier les critères valuatifs, il n’est en général pas nécessaire de considérer tous les diagrammes possibles faisant intervenir des anneaux de valuation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(h : U \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien, que \(f\) et \(h\) soient de type fini, que \(f\) soit séparé et que l’image de \(|h| : |U| \to |X|\) soit dense dans \(|X|\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est propre.

Démonstration

Il suffit de montrer que \(f\) est universellement fermé. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale, où \(V\) est un schéma affine. Par Morphismes d’espaces, lemme 03IT il suffit de montrer que le changement de base \(X \times_Y V \to V\) est universellement fermé. Par Propriétés des espaces, lemme 03H4 l’image \(I\) de \(|U \times_Y V| \to |X \times_Y V|\) est l’image réciproque de l’image de \(|h|\). Puisque \(|X \times_Y V| \to |X|\) est ouverte (Propriétés des espaces, lemme 03IR), on en déduit que \(I\) est dense dans \(|X \times_Y V|\). Les hypothèses du lemme sont donc satisfaites pour les morphismes \(U \times_Y V \to X \times_Y V \to V\). On peut ainsi supposer que \(Y\) est un schéma affine.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine. Alors \(U\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine et un morphisme étale surjectif \(W \to U\). On remplace alors \(U\) par \(W\) et l’on suppose que \(U\) est affine. Par la version faible du lemme de Chow (Cohomologie des espaces, lemme 089J) on peut choisir un morphisme propre surjectif \(X' \to X\) où \(X'\) est un schéma. Alors \(U' = X' \times_X U\) est un schéma et \(U' \to X'\) est de type fini. On peut remplacer \(X'\) par l’image schématique de \(h' : U' \to X'\); ainsi \(h'(U')\) est dense dans \(X'\). Nous affirmons que, pour tout diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U' \ar[r]^h & X' \ar[d]^{f'} \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. En effet, l’hypothèse du lemme fournit d’abord une flèche \(\Spec(A) \to X\), que l’on relève ensuite en une flèche \(\Spec(A) \to X'\) au moyen du critère valuatif de propreté (Morphismes d’espaces, lemme 0A40). Le morphisme \(X' \to Y\) est séparé comme composé d’un morphisme propre et d’un morphisme séparé. Le cas des schémas montre donc que le morphisme \(X' \to Y\) est propre (Limites, lemme 0CM3). Par Morphismes d’espaces, lemme 08AJ on en conclut que \(X \to Y\) est propre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(h : U \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien, que \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé, que \(h\) soit de type fini et que l’image de \(|h| : |U| \to |X|\) soit dense dans \(|X|\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Nous appliquerons le Lemme 0CMD aux morphismes \(U \to X\) et \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Vérifions les conditions. Remarquons que \(\Delta\) est quasi-compact puisque \(f\) est quasi-séparé. Bien entendu, \(\Delta\) est localement de type fini et séparé (comme tout morphisme diagonal). Enfin, supposons donné un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, b)} \ar@{-->}[rru] & & X \times_Y X }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Alors \(a\) et \(b\) fournissent deux flèches pointillées dans le diagramme du lemme et doivent être ègales. On peut donc prendre \(a = b\) comme flèche pointillée, ce qui donne l’existence et achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(h : U \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien, que \(f\) et \(h\) soient de type fini, que \(f\) soit quasi-séparé et que \(h(U)\) soit dense dans \(X\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une unique flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est propre.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0CME et 0CMD.

Descente des espaces de type fini

Cette section poursuit le thème de la section 07SP dans l’esprit des résultats examinés dans la section 07SJ. Elle est aussi l’analogue de Limites, section 0CNL, pour les espaces algébriques.

Situation

Soit \(S\) un schéma, par exemple \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(B = \lim_{i \in I} B_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’espaces noethériens sur \(S\) à morphismes de transition affines \(B_{i'} \to B_i\) pour \(i' \geq i\).

Lemme

Dans la Situation 0CP6. Soit \(X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-séparé et de type fini. Alors il existe \(i \in I\) et un diagramme [0CP8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i } } \end{equation}\] tels que \(W \to B_i\) soit de type fini et que le morphisme induit \(X \to B \times_{B_i} W\) soit une immersion fermée.

Démonstration

Par le Lemme 0872, il existe une immersion fermée \(X \to X'\) sur \(B\), où \(X'\) est un espace algébrique de présentation finie sur \(B\). Par le Lemme 07SK, il existe \(i\) et un morphisme de présentation finie \(X'_i \to B_i\) dont le changement de base est \(X'\). Posons \(W = X'_i\).

Lemme

Dans la Situation 0CP6. Soit \(X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-séparé et de type fini. Ètant donnés \(i \in I\) et un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i } }\] comme dans (0CP8), pour \(i' \geq i\), soit \(X_{i'}\) l’image schématique de \(X \to B_{i'} \times_{B_i} W\). Alors \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, la formation de l’image schématique de \(X \to B_{i'} \times_{B_i} W\) commute à la localisation étale (Morphismes d’espaces, lemme 082Z). On peut donc supposer que \(W\) est affine et s’envoie dans un schéma affine \(U_i\) étale sur \(B_i\). Alors \[B_{i'} \times_{B_i} W = B_{i'} \times_{B_i} U_i \times_{U_i} W = U_{i'} \times_{U_i} W\] où \(U_{i'} = B_{i'} \times_{B_i} U_i\) est affine puisque les morphismes de transition sont affines. Le lemme résulte donc du cas des schémas, qui est Limites, lemme 0CNQ.

Lemme

Dans la Situation 0CP6. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-séparés et de type fini sur \(B\). Soient \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_1} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_2} } }\] des diagrammes comme dans (0CP8). Soient \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\) et \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\) les descriptions correspondantes comme limites, données par le Lemme 0CP9. Alors il existe \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) et un morphisme \[(f_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\] de systèmes projectifs sur \((B_i)_{i \geq i_0}\) tel que \(f = \lim_{i \geq i_0} f_i\). Si \((g_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\) est un second morphisme de systèmes projectifs sur \((B_i)_{i \geq i_0}\) tel que \(f = \lim_{i \geq i_0} g_i\), alors \(f_i = g_i\) pour tout \(i \gg i_0\).

Démonstration

Puisque \(V \to B_{i_2}\) est de présentation finie et que \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\), on peut invoquer la Proposition 04AK dans la forme précisée par le Lemme 0CP4 pour trouver \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) et un morphisme \(h : X_{i_0} \to V\) sur \(B_{i_2}\) tel que \(X \to X_{i_0} \to V\) soit ègal à \(X \to Y \to V\). Pour \(i \geq i_0\), on obtient un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X_i \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar@/_2pc/[dd] |!{[d];[ld]}\hole & X_{i_0} \ar[d]^h \\ Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ B \ar[r] & B_i \ar[r] & B_{i_0} }\] Puisque l’image de \(X \to X_i\) est schématiquement dense et que \(Y_i\) est l’image schématique de \(Y \to B_i \times_{B_{i_2}} V\), le morphisme \(X_i \to B_i \times_{B_{i_2}} V\) induit par le diagramme se factorise par \(Y_i\) (Morphismes d’espaces, lemme 0CP2). Ceci prouve l’existence.

Unicité. Soit \(E_i \to X_i\) le noyau du couple \(f_i\), \(g_i\) pour \(i \geq i_0\). On a \(E_i = Y_i \times_{\Delta, Y_i \times_{B_i} Y_i, (f_i, g_i)} X_i\). Ainsi \(E_i \to X_i\) est un monomorphisme de présentation finie, comme changement de base de la diagonale de \(Y_i\) sur \(B_i\); voir Morphismes d’espaces, lemmes 03HK et 084P. Puisque \(X_i\) est un sous-espace fermé de \(B_i \times_{B_{i_0}} X_{i_0}\) et qu’il en va de même pour \(Y_i\), on a \[E_i = X_i \times_{(B_i \times_{B_{i_0}} X_{i_0})} (B_i \times_{B_{i_0}} E_{i_0}) = X_i \times_{X_{i_0}} E_{i_0}\] De même, on a \(X = X \times_{X_{i_0}} E_{i_0}\). Le Lemme 0852 donne donc \(E_i = X_i\) pour \(i\) assez grand.

Remarque

Dans la Situation 0CP6, les Lemmes 0CP7, 0CP9 et 0CPA montrent que la catégorie des espaces algébriques quasi-séparés et de type fini sur \(B\) est èquivalente à certains types de systèmes projectifs d’espaces algébriques sur \((B_i)_{i \in I}\), à savoir ceux obtenus en appliquant le Lemme 0CP9 à un diagramme de la forme (0CP8). Par exemple, soient \(X \to B\) de type fini et quasi-séparé, et deux diagrammes distincts \(X \to V_1 \to B_{i_1}\) et \(X \to V_2 \to B_{i_2}\) comme dans (0CP8). En appliquant le Lemme 0CPA à \(\text{id}_X\) (dans les deux sens), on voit que les descriptions correspondantes de \(X\) comme limite sont canoniquement isomorphes (quitte à restreindre l’ensemble filtrant \(I\)). Et ainsi de suite.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 0CPA. Si \(f\) est plat et de présentation finie, alors il existe \(i_3 > i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), le morphisme \(f_i\) soit plat, \(X_i = Y_i \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\) et \(X = Y \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\).

Démonstration

Par le Lemme 07SK, on peut choisir \(i \geq i_2\) et un morphisme \(U \to Y_i\) de présentation finie tel que \(X = Y \times_{Y_i} U\) (c’est ici que l’on utilise que \(f\) est de présentation finie). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que \(U \to Y_i\) est plat; voir le Lemme 08K0. Comme expliqué dans la Remarque 0CPB, on remplace le diagramme initial ayant servi à définir le système \((X_i)_{i \geq i_1}\) par le système correspondant à \(X \to U \to B_i\). Ainsi, \(X_{i'}\), pour \(i' \geq i\), est défini comme l’image schématique de \(X \to B_{i'} \times_{B_i} U\).

Puisque \(U \to Y_i\) est plat (c’est ici que l’on utilise que \(f\) est plat), que \(X = Y \times_{Y_i} U\) et que l’image schématique de \(Y \to Y_i\) est \(Y_i\), on voit que l’image schématique de \(X \to U\) est \(U\) (Morphismes d’espaces, lemme 089E). Remarquons que \(Y_{i'} \to B_{i'} \times_{B_i} Y_i\) est une immersion fermée pour \(i' \geq i\) par construction du système des \(Y_j\). Le même argument que ci-dessus montre alors que l’image schématique de \(X \to B_{i'} \times_{B_i} U\) est le sous-espace fermé \(Y_{i'} \times_{Y_i} U\). Ainsi \(X_{i'} = Y_{i'} \times_{Y_i} U\) pour tout \(i' \geq i\), et le lemme vaut donc avec \(i_3 = i\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 0CPA. Si \(f\) est lisse, alors il existe \(i_3 > i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), le morphisme \(f_i\) soit lisse.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0CPC et 0CN2.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 0CPA. Si \(f\) est propre, alors il existe \(i_3 \geq i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), le morphisme \(f_i\) soit propre.

Démonstration

Il résulte de la discussion de la Remarque 0CPB que le choix de \(i_1\) et de \(W\) s’inscrivant dans un diagramme comme (0CP8) est sans incidence sur la validité du lemme. On choisit donc \(W\) comme suit. On choisit d’abord une immersion fermée \(X \to X'\) avec \(X' \to Y\) propre et de présentation finie; voir le Lemme 0A0W. On choisit ensuite \(i_3 \geq i_2\) et un morphisme propre \(W \to Y_{i_3}\) tel que \(X' = Y \times_{Y_{i_3}} W\). Cela est possible puisque \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\) et en vertu des Lemmes 09NS et 08K1. Avec ce choix de \(W\), il résulte immédiatement de la construction que, pour \(i \geq i_3\), l’espace algébrique \(X_i\) est un sous-espace fermé de \(Y_i \times_{Y_{i_3}} W \subset B_i \times_{B_{i_3}} W\) et est donc propre sur \(Y_i\).

Lemme

Dans la Situation 0CP6, supposons donné un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X^1 \ar[r]_p \ar[d]_q & X^3 \ar[d]^a \\ X^2 \ar[r]^b & X^4 }\] d’espaces algébriques quasi-séparés et de type fini sur \(B\). Pour chaque \(j = 1, 2, 3, 4\), choisissons \(i_j \in I\) et un diagramme \[\xymatrix{ X^j \ar[r] \ar[d] & W^j \ar[d] \\ B \ar[r] & B_{i_j} }\] comme dans (0CP8). Soient \(X^j = \lim_{i \geq i_j} X^j_i\) les descriptions correspondantes comme limites, comme dans le Lemme 0CPA. Soient \((a_i)_{i \geq i_5}\), \((b_i)_{i \geq i_6}\), \((p_i)_{i \geq i_7}\) et \((q_i)_{i \geq i_8}\) les morphismes correspondants de systèmes projectifs construits dans le Lemme 0CPA. Alors il existe \(i_9 \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8)\) tel que, pour \(i \geq i_9\), on ait \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\) et que \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] soit une immersion fermée. Si \(a\) et \(b\) sont plats et de présentation finie, alors il existe \(i_{10} \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8, i_9)\) tel que, pour \(i \geq i_{10}\), le dernier morphisme affiché soit un isomorphisme.

Démonstration

D’après la discussion de la Remarque 0CPB, le choix de \(W^1\) s’inscrivant dans un diagramme comme (0CP8) est sans incidence sur la validité du lemme. On peut donc choisir \(W^1 = W^2 \times_{W^4} W^3\). Il résulte alors immédiatement de la construction de \(X^1_i\) que \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\) et que \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] est une immersion fermée.

Si \(a\) et \(b\) sont plats et de présentation finie, il en va de même de \(p\) et \(q\), changements de base de \(a\) et \(b\). On peut donc appliquer le Lemme 0CPC à chacun de \(a\), \(b\), \(p\), \(q\) et \(a \circ p = b \circ q\). Il en résulte qu’il existe \(i_9 \in I\) tel que \[(q_i, p_i) : X^1_i \to X^2_i \times_{X^4_i} X^3_i\] soit le changement de base de \((q_{i_9}, p_{i_9})\) par le morphisme \(X^4_i \to X^4_{i_9}\) pour tout \(i \geq i_9\). On conclut que \((q_i, p_i)\) est un isomorphisme pour tout \(i\) suffisamment grand par le Lemme 0852.

La caractérisation (2) du lemme 06BC est peut-être plus facile à lire.↩︎
Un morphisme entier est universellement fermé, voir Morphismes des espaces, lemme 0415.↩︎
Voir la discussion dans Propriétés des espaces, section 0BAP.↩︎
Il existe une formulation plus précise où, pour la partie d’existence, on demande seulement que la flèche en tirets existe après une extension d’anneaux de valuation discrète.↩︎

Traduction française restaurée et lecteur historique