Cohomologie de de Rham

Introduction

Dans ce chapitre, nous commençons par étudier le complexe de de Rham d’un morphisme de schémas et nous terminons en démontrant que la cohomologie de de Rham définit une théorie cohomologique de Weil lorsque le corps de base est de caractéristique nulle.

Le complexe de de Rham

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Il existe un complexe \[\Omega^\bullet_{X/S} = \mathcal{O}_{X/S} \to \Omega^1_{X/S} \to \Omega^2_{X/S} \to \ldots\] de \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules, où \(\Omega^i_{X/S} = \wedge^i(\Omega_{X/S})\) est placé en degré \(i\) et où la différentielle est déterminée par la règle \(\text{d}(g_0 \text{d}g_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}g_p) = \text{d}g_0 \wedge \text{d}g_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}g_p\) sur les sections locales. Voir Modules, section 0FKL.

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas, on dispose de morphismes canoniques de complexes \(f^{-1}\Omega_{X/S}^\bullet \to \Omega^\bullet_{X'/S'}\) et \(\Omega_{X/S}^\bullet \to f_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\). Voir Modules, section 0FKL. Par linéarisation, on obtient, pour tout \(p\), un morphisme linéaire \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\).

En particulier, si \(f : Y \to X\) est un morphisme de schémas au-dessus d’un schéma de base \(S\), on dispose d’un morphisme de complexes \[\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow f_*\Omega^\bullet_{Y/S}\] Par linéarisation, on voit que, pour tout \(p \geq 0\), on obtient un morphisme canonique \[\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow f_*\Omega^p_{Y/S}\]

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Les morphismes considérés ci-dessus induisent alors des isomorphismes \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\).

Démonstration

Combiner Morphismes, lemme 01V0, avec le fait que la formation des puissances extérieures commute au changement de base.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] Si \(X' \to X\) et \(S' \to S\) sont étales, les morphismes considérés ci-dessus induisent des isomorphismes \(f^*\Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X'/S'}\).

Démonstration

On a \(\Omega_{S'/S} = 0\) et \(\Omega_{X'/X} = 0\) ; voir par exemple Morphismes, lemme 02GU. Les suites exactes courtes de Morphismes, lemmes 01UX et 02K4, montrent alors que \(\Omega_{X'/S'} = \Omega_{X'/S} = f^*\Omega_{X/S}\). On conclut en prenant les puissances extérieures.

Cohomologie de de Rham

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. On appelle cohomologie de de Rham de \(X\) sur \(S\) les groupes de cohomologie \[H^i_{dR}(X/S) = H^i(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}))\] Puisque \(\Omega^\bullet_{X/S}\) est un complexe de \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules, ces groupes de cohomologie sont naturellement des modules sur \(H^0(S, \mathcal{O}_S)\).

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas, les morphismes canoniques de la section 07HX fournissent des morphismes d’image inverse \[f^* : R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow R\Gamma(X', \Omega^\bullet_{X'/S'})\] et \[f^* : H^i_{dR}(X/S) \longrightarrow H^i_{dR}(X'/S')\] Ces images inverses satisfont à une loi de composition évidente. En particulier, si l’on travaille sur un schéma de base fixé \(S\), la cohomologie de de Rham est un foncteur contravariant sur la catégorie des schémas sur \(S\).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas affines défini par le morphisme d’anneaux \(R \to A\). Alors \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) = \Omega^\bullet_{A/R}\) dans \(D(R)\) et \(H^i_{dR}(X/S) = H^i(\Omega^\bullet_{A/R})\).

Démonstration

Cela résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01XB, et du lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E).

Lemme

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(p\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Il existe une suite spectrale de première page \(E_1^{a, b} = R^bp_*\Omega^a_{X/S}\) convergeant vers la cohomologie de \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\) (voir Catégories dérivées, lemme 015J). Ainsi, d’après Homologie, lemme 0132, il suffit de montrer que \(R^bp_*\Omega^a_{X/S}\) est quasi-cohérent. Cela résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01XJ.

Lemme

Soit \(p : X \to S\) un morphisme propre de schémas, où \(S\) est localement noethérien. Alors \(Rp_*\Omega^\bullet_{X/S}\) est un objet de \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Dans ce cas, d’après Morphismes, lemme 01V2, les modules \(\Omega^i_{X/S}\) sont cohérents. On peut donc reprendre exactement l’argument de la démonstration du lemme 0FLX en utilisant Cohomologie des schémas, proposition 02O5.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un schéma propre sur \(S = \Spec(A)\). Alors \(H^i_{dR}(X/S)\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(i\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0FLY.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse de schémas. Alors \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\), pour \(p \geq 0\), et \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\) sont des objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_S)\) dont la formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Puisque \(f\) est lisse, les modules \(\Omega^p_{X/S}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de rang fini ; voir Morphismes, lemme 02G1. Leur formation commute à tout changement de base d’après le lemme 0FL5. Par conséquent, \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) dont la formation commute à tout changement de base ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91. Cela démontre la première assertion du lemme.

Pour démontrer que \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\) est parfait sur \(S\), on peut travailler localement sur \(S\). On peut donc supposer \(S\) quasi-compact. Cela signifie que l’on peut supposer \(\Omega^n_{X/S}\) nul pour \(n\) assez grand. Pour tout \(p \geq 0\), nous affirmons que \(Rf_*\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) dont la formation commute à tout changement de base. D’après ce qui précède, c’est vrai pour \(p \gg 0\). Supposons l’assertion vraie pour \(p\) et considérons le triangle distingué \[\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S} \to \sigma_{\geq p - 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^{p - 1}_{X/S}[-(p - 1)] \to (\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S})[1]\] dans \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\). En appliquant le foncteur exact \(Rf_*\), on obtient un triangle distingué dans \(D(\mathcal{O}_S)\). Comme la propriété d’être parfait satisfait à la propriété des deux sur trois (Cohomologie, lemme 08CR), on en déduit que \(Rf_*\sigma_{\geq p - 1}\Omega^\bullet_{X/S}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\). Il en va de même de la commutation à tout changement de base.

Cup-produit

Considérons les applications \(\Omega^p_{X/S} \times \Omega^q_{X/S} \to \Omega^{p + q}_{X/S}\) définies par \((\omega , \eta) \longmapsto \omega \wedge \eta\). En utilisant la formule pour \(\text{d}\) donnée à la section 07HX et la règle de Leibniz pour \(\text{d} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/S}\), on voit que \(\text{d}(\omega \wedge \eta) = \text{d}(\omega) \wedge \eta + (-1)^{\deg(\omega)} \omega \wedge \text{d}(\eta)\). Cela signifie que \(\wedge\) définit un morphisme [0FM2]\[\begin{equation} \wedge : \text{Tot}( \Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S} \end{equation}\] de complexes de \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules.

En combinant le cup-produit de Cohomologie, section 0FKU, avec (0FM2), on obtient un cup-produit \(H^0(S, \mathcal{O}_S)\)-bilinéaire \[\cup : H^i_{dR}(X/S) \times H^j_{dR}(X/S) \longrightarrow H^{i + j}_{dR}(X/S)\] Par exemple, si \(\omega \in \Gamma(X, \Omega^i_{X/S})\) et \(\eta \in \Gamma(X, \Omega^j_{X/S})\) sont fermées, le cup-produit des classes de cohomologie de de Rham de \(\omega\) et de \(\eta\) est la classe de cohomologie de de Rham de \(\omega \wedge \eta\) ; voir la discussion dans Cohomologie, section 0FKU.

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas, les morphismes d’image inverse \(f^* : R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \to R\Gamma(X', \Omega^\bullet_{X'/S'})\) et \(f^* : H^i_{dR}(X/S) \longrightarrow H^i_{dR}(X'/S')\) sont compatibles avec le cup-produit défini ci-dessus.

Lemme

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Le cup-produit sur \(H^*_{dR}(X/S)\) est associatif et gradué commutatif.

Démonstration

Cela résulte de Cohomologie, lemmes 0FP4 et 0FP5, et du fait que \(\wedge\) est associatif et gradué commutatif.

Remarque

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. On peut considérer \(\Omega^\bullet_{X/S}\) comme un faisceau de \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres différentielles graduées ; voir Faisceaux différentiels gradués, définition 0FRF. En particulier, la discussion de Faisceaux différentiels gradués, section 0FU3, s’applique. Par exemple, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_p \ar[r]_f & Y \ar[d]^q \\ S \ar[r]^h & T }\] de schémas, il existe un cup-produit relatif canonique \[\mu : Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] dans \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_T)\), qui est associatif et qui redonne en cohomologie le cup-produit considéré ci-dessus.

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\xi \in H_{dR}^n(X/S)\). D’après la discussion de Faisceaux différentiels gradués, section 0FU3, il existe un morphisme canonique \[\xi' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[n]\] dans \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\), caractérisé de manière unique par (1) et (2) dans la liste de propriétés suivante :

1. \(\xi'\) se relève en un morphisme dans la catégorie dérivée des \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-modules différentiels gradués à droite, et

2. \(\xi'(1) = \xi\) dans \(H^0(X, \Omega^\bullet_{X/S}[n]) = H^n_{dR}(X/S)\),

3. le morphisme \(\xi'\) envoie \(\eta \in H^m_{dR}(X/S)\) sur \(\xi \cup \eta\) dans \(H^{n + m}_{dR}(X/S)\),

4. la construction de \(\xi'\) commute aux restrictions aux ouverts : pour un ouvert \(U \subset X\), la restriction \(\xi'|_U\) est le morphisme correspondant à l’image \(\xi|_U \in H^n_{dR}(U/S)\),

5. pour tout diagramme comme dans la remarque 0FU6, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]_{\xi' \otimes \text{id}} \ar[r]_-\mu & Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]^{\xi'} \\ Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n] \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \ar[r]^-\mu & Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n] }\] dans \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_T)\).

Cohomologie de Hodge

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. On appelle cohomologie de Hodge de \(X\) sur \(S\) les groupes de cohomologie \[H^n_{Hodge}(X/S) = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} H^q(X, \Omega^p_{X/S})\] considérés comme un \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-module gradué. Le produit extérieur des formes, combiné au cup-produit de Cohomologie, section 0FKU, définit un cup-produit \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-bilinéaire \[\cup : H^i_{Hodge}(X/S) \times H^j_{Hodge}(X/S) \longrightarrow H^{i + j}_{Hodge}(X/S)\] Bien entendu, si \(\xi \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\) et \(\xi' \in H^{q'}(X, \Omega^{p'}_{X/S})\), alors \(\xi \cup \xi' \in H^{q + q'}(X, \Omega^{p + p'}_{X/S})\).

Lemme

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Le cup-produit sur \(H^*_{Hodge}(X/S)\) est associatif et gradué commutatif.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0FM3.

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas, on dispose de morphismes d’image inverse \(f^* : H^i_{Hodge}(X/S) \longrightarrow H^i_{Hodge}(X'/S')\) compatibles avec les graduations et avec le cup-produit défini ci-dessus.

Deux suites spectrales

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Puisque la catégorie des \(p^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules sur \(X\) a suffisamment d’injectifs, il existe une résolution de Cartan–Eilenberg de \(\Omega^\bullet_{X/S}\). Voir Catégories dérivées, lemme 015I. On peut donc appliquer Catégories dérivées, lemme 015J, pour obtenir deux suites spectrales convergeant toutes deux vers la cohomologie de de Rham de \(X\) sur \(S\).

La première est habituellement appelée suite spectrale de Hodge vers de Rham. Sa première page est donnée par \[E_1^{p, q} = H^q(X, \Omega^p_{X/S})\] qui sont les groupes de cohomologie de Hodge de \(X/S\) (d’où son nom). La différentielle \(d_1\) de cette page est donnée par les applications \(d_1^{p, q} : H^q(X, \Omega^p_{X/S}) \to H^q(X, \Omega^{p + 1}_{X/S})\) induites par la différentielle \(\text{d} : \Omega^p_{X/S} \to \Omega^{p + 1}_{X/S}\). Voici une représentation \[\xymatrix{ H^2(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] \ar@{..>}[rrrdd] & H^2(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^2(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^2(X, \Omega^3_{X/S}) \\ H^1(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] \ar@{-->}[rrd] & H^1(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^1(X, \Omega^3_{X/S}) \\ H^0(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] & H^0(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[r] & H^0(X, \Omega^2_{X/S}) \ar[r] & H^0(X, \Omega^3_{X/S}) }\] où les flèches en tirets indiquent la source et le but des différentielles de la page \(E_2\), et la flèche en pointillés une différentielle de la page \(E_3\). En considérant le degré \(0\), on en déduit que \[H^0_{dR}(X/S) = \Ker(\text{d} : H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X, \Omega^1_{X/S}))\] Bien entendu, cela résulte aussi immédiatement du fait que le complexe de de Rham commence en degré \(0\) par \(\mathcal{O}_X \to \Omega^1_{X/S}\).

La seconde suite spectrale est habituellement appelée suite spectrale conjuguée. Sa deuxième page est donnée par \[E_2^{p, q} = H^p(X, H^q(\Omega^\bullet_{X/S})) = H^p(X, \mathcal{H}^q)\] où \(\mathcal{H}^q = H^q(\Omega^\bullet_{X/S})\) est le faisceau de cohomologie de degré \(q\) du complexe de de Rham de \(X/S\). Les différentielles de cette page sont données par \(E_2^{p, q} \to E_2^{p + 2, q - 1}\). Voici une représentation \[\xymatrix{ H^0(X, \mathcal{H}^2) \ar[rrd] \ar@{..>}[rrrdd] & H^1(X, \mathcal{H}^2) \ar[rrd] & H^2(X, \mathcal{H}^2) & H^3(X, \mathcal{H}^2) \\ H^0(X, \mathcal{H}^1) \ar[rrd] & H^1(X, \mathcal{H}^1) \ar[rrd] & H^2(X, \mathcal{H}^1) & H^3(X, \mathcal{H}^1) \\ H^0(X, \mathcal{H}^0) & H^1(X, \mathcal{H}^0) & H^2(X, \mathcal{H}^0) & H^3(X, \mathcal{H}^0) }\] En considérant le degré \(0\), on en déduit que \[H^0_{dR}(X/S) = H^0(X, \mathcal{H}^0)\] ce qui est évident à la réflexion. En degré \(1\), on obtient une suite exacte \[0 \to H^1(X, \mathcal{H}^0) \to H^1_{dR}(X/S) \to H^0(X, \mathcal{H}^1) \to H^2(X, \mathcal{H}^0) \to H^2_{dR}(X/S)\] Il se trouve que, si \(X \to S\) est lisse et si \(S\) est en caractéristique \(p\), les faisceaux \(\mathcal{H}^q\) peuvent être calculés (en termes de certains faisceaux de différentielles), et la suite spectrale conjuguée est un outil précieux (insérer ici une référence ultérieure).

La filtration de Hodge

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. La filtration de Hodge sur \(H^n_{dR}(X/S)\) est la filtration induite par la suite spectrale de Hodge vers de Rham (Homologie, définition 012P). Pour éviter toute ambiguïté, nous la définissons explicitement comme suit.

Définition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. La filtration de Hodge sur \(H^n_{dR}(X/S)\) est la filtration dont les termes sont \[F^pH^n_{dR}(X/S) = \Im\left(H^n(X, \sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow H^n_{dR}(X/S)\right)\] où \(\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\) est défini dans Homologie, section 0118.

Bien entendu, \(\sigma_{\geq p}\Omega^\bullet_{X/S}\) est un sous-complexe du complexe de de Rham relatif, et l’on obtient une filtration \[\Omega^\bullet_{X/S} = \sigma_{\geq 0}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 2}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \sigma_{\geq 3}\Omega^\bullet_{X/S} \supset \ldots\] du complexe de de Rham relatif, avec \(\text{gr}^p(\Omega^\bullet_{X/S}) = \Omega^p_{X/S}[-p]\). La suite spectrale construite dans Cohomologie, lemme 0BKK, pour \(\Omega^\bullet_{X/S}\) considéré comme un complexe filtré de faisceaux coïncide avec la suite spectrale de Hodge vers de Rham construite à la section 0FM6, d’après Cohomologie, exemple 0FLK. De plus, le produit extérieur (0FM2) envoie \(\text{Tot}(\sigma_{\geq i}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq j}\Omega^\bullet_{X/S})\) dans \(\sigma_{\geq i + j}\Omega^\bullet_{X/S}\). On obtient donc des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^n(X, \sigma_{\geq i}\Omega^\bullet_{X/S})) \times H^m(X, \sigma_{\geq j}\Omega^\bullet_{X/S})) \ar[r] \ar[d] & H^{n + m}(X, \sigma_{\geq i + j}\Omega^\bullet_{X/S})) \ar[d] \\ H^n_{dR}(X/S) \times H^m_{dR}(X/S) \ar[r]^\cup & H^{n + m}_{dR}(X/S) }\] En particulier, on trouve que \[F^iH^n_{dR}(X/S) \cup F^jH^m_{dR}(X/S) \subset F^{i + j}H^{n + m}_{dR}(X/S)\]

Formule de Künneth

Une propriété importante de la cohomologie de de Rham est l’existence d’une formule de Künneth.

Soient \(a : X \to S\) et \(b : Y \to S\) des morphismes de schémas de même but. Soient \(p : X \times_S Y \to X\) et \(q : X \times_S Y \to Y\) les projections, et posons \(f = a \circ p = b \circ q\). Voici le diagramme correspondant \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] Dans cette section, pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{G}\), posons \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] Le bifoncteur \((\mathcal{F}, \mathcal{G}) \mapsto \mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G}\) sur les modules quasi-cohérents s’étend en un bifoncteur sur les modules quasi-cohérents et les opérateurs différentiels d’ordre fini sur \(S\) ; voir Morphismes, remarque 0G46. Les différentielles des complexes de de Rham \(\Omega^\bullet_{X/S}\) et \(\Omega^\bullet_{Y/S}\) sont des opérateurs différentiels d’ordre \(1\) sur \(S\), d’après Modules, lemme 0G3Z. Il est donc possible de considérer le complexe \[\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S})\] Voir la discussion dans Catégories dérivées des schémas, section 0G4A.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \[\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] de complexes de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules.

Démonstration

On sait que \(\Omega_{X \times_S Y/S} = p^*\Omega_{X/S} \oplus q^*\Omega_{Y/S}\) d’après Morphismes, lemme 01V1. En prenant les puissances extérieures, on obtient \[\Omega^n_{X \times_S Y/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} p^*\Omega^i_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\Omega^j_{Y/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} \Omega^i_{X/S} \boxtimes \Omega^j_{Y/S}\] par les propriétés élémentaires des puissances extérieures. Ces identifications déterminent des isomorphismes entre les termes des complexes à gauche et à droite de la flèche du lemme. Nous omettons de vérifier que ces morphismes sont compatibles avec les différentielles.

Posons \(A = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). En combinant le résultat du lemme 0FMA avec le morphisme de Catégories dérivées des schémas, équation (0FLR), on obtient un cup-produit \[R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S})\] Au niveau de la cohomologie, en utilisant la discussion de Compléments d’algèbre, section 068G, on obtient une application canonique \[H^i_{dR}(X/S) \otimes_A H^j_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^{i + j}_{dR}(X \times_S Y/S),\quad (\xi, \zeta) \longmapsto p^*\xi \cup q^*\zeta\] Notons que la construction ci-dessus consiste bien à prendre d’abord les images inverses, puis leur cup-produit.

Lemme

Supposons \(X\) et \(Y\) lisses, quasi-compacts et à diagonale affine sur \(S = \Spec(A)\). Alors le morphisme \[R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S}) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S})\] est un isomorphisme dans \(D(A)\).

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 02G1, les faisceaux \(\Omega^n_{X/S}\) et \(\Omega^m_{Y/S}\) sont respectivement des \(\mathcal{O}_X\)-modules et des \(\mathcal{O}_Y\)-modules localement libres de rang fini. D’autre part, \(X\) et \(Y\) sont plats sur \(S\) (Morphismes, lemme 01VF), d’où la platitude de \(\Omega^n_{X/S}\) et de \(\Omega^m_{Y/S}\) sur \(S\). Observons aussi que \(\Omega^\bullet_{X/S}\) est localement borné. Le résultat découle donc du lemme 0FMA et de Catégories dérivées des schémas, lemme 0FLT.

Il existe une version relative du cup-produit, à savoir un morphisme \[Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] dans \(D(\mathcal{O}_S)\). Sa construction combine le lemme 0FMA avec le morphisme de Catégories dérivées des schémas, équation (0G4B). La construction montre que ce morphisme est donné par le diagramme \[\xymatrix{ Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \ar[d]^{\text{units of adjunction}} \\ Rf_*(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S}) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*(q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[r] \ar[d]^{\text{relative cup product}} & Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\text{relative cup product}} \\ Rf_*(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[d]^{\text{from derived to usual}} \ar[r] & Rf_*(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\text{from derived to usual}} \\ Rf_*\text{Tot}(p^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}) \ar[r] \ar[d]^{\text{canonical map}} & Rf_*\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}) \ar[d]^{\eta \otimes \omega \mapsto \eta \wedge \omega} \\ Rf_*\text{Tot}(\Omega^\bullet_{X/S} \boxtimes \Omega^\bullet_{Y/S}) \ar@{=}[r] & Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S} }\] Ici, la première flèche utilise les unités \(\text{id} \to Rp_* p^{-1}\) et \(\text{id} \to Rq_* q^{-1}\) des adjonctions, ainsi que les identifications \(Rf_* p^{-1} = Ra_* Rp_* p^{-1}\) et \(Rf_* q^{-1} = Rb_* Rq_* q^{-1}\). La deuxième flèche est le cup-produit relatif de Cohomologie, remarque 0B68. La troisième flèche est le morphisme du produit tensoriel dérivé de complexes vers le complexe total de leur produit tensoriel. L’égalité finale est le lemme 0FMA. Sur les sections globales, cette construction redonne celle présentée plus haut.

Lemme

Supposons \(X \to S\) et \(Y \to S\) lisses et quasi-compacts, et les morphismes \(X \to X \times_S X\) et \(Y \to Y \times_S Y\) affines. Alors le cup-produit relatif \[Ra_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X \times_S Y/S}\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0FMB.

Première classe de Chern en cohomologie de de Rham

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Il existe un morphisme de complexes \[\text{d}\log : \mathcal{O}_X^*[-1] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] qui envoie la section \(g \in \mathcal{O}_X^*(U)\) sur la section \(\text{d}\log(g) = g^{-1}\text{d}g\) de \(\Omega^1_{X/S}(U)\). On peut donc considérer l’application \[\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*) = H^2(X, \mathcal{O}_X^*[-1]) \longrightarrow H^2_{dR}(X/S)\] où la première égalité est donnée par Cohomologie, lemme 09NU. L’image de la classe d’isomorphisme du module inversible \(\mathcal{L}\) est notée \(c^{dR}_1(\mathcal{L}) \in H^2_{dR}(X/S)\).

On peut également utiliser le morphisme \(\text{d}\log : \mathcal{O}_X^* \to \Omega^1_{X/S}\) pour définir une classe de Chern en cohomologie de Hodge \[c_1^{Hodge} : \Pic(X) \longrightarrow H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \subset H^2_{Hodge}(X/S)\] Ces constructions sont compatibles avec les images inverses.

Lemme

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas, les diagrammes \[\xymatrix{ \Pic(X') \ar[d]_{c_1^{dR}} & \Pic(X) \ar[d]^{c_1^{dR}} \ar[l]^{f^*} \\ H^2_{dR}(X'/S') & H^2_{dR}(X/S) \ar[l]_{f^*} } \quad \xymatrix{ \Pic(X') \ar[d]_{c_1^{Hodge}} & \Pic(X) \ar[d]^{c_1^{Hodge}} \ar[l]^{f^*} \\ H^1(X', \Omega^1_{X'/S'}) & H^1(X, \Omega^1_{X/S}) \ar[l]_{f^*} }\] sont commutatifs.

Démonstration

Démonstration omise.

« Calculons » l’élément \(c^{dR}_1(\mathcal{L})\) en cohomologie de Čech (avec les conventions de signe pour les différentielles de Čech de Cohomologie, section 01FP). Choisissons un recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que l’on dispose d’une section trivialisante \(s_i\) de \(\mathcal{L}|_{U_i}\) pour tout \(i\). Sur les intersections \(U_{i_0i_1} = U_{i_0} \cap U_{i_1}\), on dispose d’une fonction inversible \(f_{i_0i_1}\) telle que \(f_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\)¹. Bien entendu, on a \[f_{i_1i_2}|_{U_{i_0i_1i_2}} f_{i_0i_2}^{-1}|_{U_{i_0i_1i_2}} f_{i_0i_1}|_{U_{i_0i_1i_2}} = 1\] La classe de cohomologie de \(\mathcal{L}\) dans \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) est l’image de la classe de cohomologie de Čech du cocycle \(\{f_{i_0i_1}\}\) dans \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{O}_X^*)\). On voit donc que \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\) est l’image de la classe de cohomologie associée au cocycle de Čech \(\{\alpha_{i_0 \ldots i_p}\}\) dans \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^\bullet))\), de degré \(2\), donné par

1. \(\alpha_{i_0} = 0\) dans \(\Omega^2_{X/S}(U_{i_0})\),

2. \(\alpha_{i_0i_1} = f_{i_0i_1}^{-1}\text{d}f_{i_0i_1}\) dans \(\Omega^1_{X/S}(U_{i_0i_1})\), et

3. \(\alpha_{i_0i_1i_2} = 0\) dans \(\mathcal{O}_{X/S}(U_{i_0i_1i_2})\).

Supposons donnés des modules inversibles \(\mathcal{L}_k\), \(k = 1, \ldots, a\), chacun trivialisé sur \(U_i\) pour tout \(i \in I\), donnant des cocycles \(f_{k, i_0i_1}\) et \(\alpha_k = \{\alpha_{k, i_0 \ldots i_p}\}\) comme ci-dessus. En utilisant la règle de Cohomologie, section 01FP, on calcule \[\beta = \alpha_1 \cup \alpha_2 \cup \ldots \cup \alpha_a\] comme le cocycle \(\beta = \{\beta_{i_0 \ldots i_p}\}\) décrit comme suit :

1. \(\beta_{i_0 \ldots i_p} = 0\) dans \(\Omega^{2a - p}_{X/S}(U_{i_0 \ldots i_p})\) sauf si \(p = a\), et

2. \(\beta_{i_0 \ldots i_a} = (-1)^{a(a - 1)/2} \alpha_{1, i_0i_1} \wedge \alpha_{2, i_1 i_2} \wedge \ldots \wedge \alpha_{a, i_{a - 1}i_a}\) dans \(\Omega^a_{X/S}(U_{i_0 \ldots i_a})\).

C’est donc un cocycle représentant \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\). Bien entendu, le même calcul montre que le cocycle \(\{\beta_{i_0 \ldots i_a}\}\) dans \(\check{\mathcal{C}}^a(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^a))\) représente la classe de cohomologie \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_a)\)

Remarque

Voici une reformulation des calculs ci-dessus en termes plus abstraits. Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Si l’on considère \(\text{d}\log\) comme un morphisme \[\mathcal{O}_X^*[-1] \to \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S}\], l’identification \(\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) utilisée plus haut fournit une classe de cohomologie \[\gamma_1(\mathcal{L}) \in H^2(X, \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S})\] L’image de \(\gamma_1(\mathcal{L})\) par le morphisme \(\sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\) redonne \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\). En particulier, on voit que \(c_1^{dR}(\mathcal{L}) \in F^1H^2_{dR}(X/S)\) ; voir la section 0FM7. L’image de \(\gamma_1(\mathcal{L})\) par le morphisme \(\sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^1_{X/S}[-1]\) redonne \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})\). En prenant le cup-produit (voir section 0FM7), on obtient \[\xi = \gamma_1(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup \gamma_1(\mathcal{L}_a) \in H^{2a}(X, \sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S})\] Les diagrammes commutatifs de la section 0FM7 montrent que \(\xi\) a pour image \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\) dans \(H^{2a}_{dR}(X/S)\) par le morphisme \(\sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\). Il en résulte aussi que \(c_1^{dR}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{dR}(\mathcal{L}_a)\) appartient à \(F^a H^{2a}_{dR}(X/S)\). De même, le morphisme \(\sigma_{\geq a}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^a_{X/S}[-a]\) envoie \(\xi\) sur \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_1) \cup \ldots \cup c_1^{Hodge}(\mathcal{L}_a)\) dans \(H^a(X, \Omega^a_{X/S})\).

Remarque

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Pour \(i > 0\), notons \(\Omega^i_{X/S, log} \subset \Omega^i_{X/S}\) le sous-faisceau abélien engendré par les sections locales de la forme \[\text{d}\log(u_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}\log(u_i)\] où \(u_1, \ldots, u_n\) sont des sections locales inversibles de \(\mathcal{O}_X\). Pour \(i = 0\), le sous-faisceau \(\Omega^0_{X/S, log} \subset \mathcal{O}_X\) est l’image de \(\mathbf{Z} \to \mathcal{O}_X\). Pour tout \(i \geq 0\), on dispose d’un morphisme de complexes \[\Omega^i_{X/S, log}[-i] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] car la différentielle d’une forme logarithmique est nulle. De plus, le produit extérieur de formes logarithmiques est encore logarithmique ; on obtient donc des applications bilinéaires \[\wedge : \Omega^i_{X/S, log} \times \Omega^j_{X/S, log} \longrightarrow \Omega^{i + j}_{X/S, log}\] compatibles avec (0FM2) et avec les morphismes ci-dessus. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. En utilisant le morphisme de faisceaux abéliens \(\text{d}\log : \mathcal{O}_X^* \to \Omega^1_{X/S, log}\) et l’identification \(\Pic(X) = H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\), on obtient une classe de cohomologie canonique \[\tilde \gamma_1(\mathcal{L}) \in H^1(X, \Omega^1_{X/S, log})\] Ces classes possèdent les propriétés suivantes :

1. l’image de \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) par le morphisme canonique \(\Omega^1_{X/S, log}[-1] \to \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S}\) s’obtient en envoyant \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) sur la classe \(\gamma_1(\mathcal{L}) \in H^2(X, \sigma_{\geq 1}\Omega^\bullet_{X/S})\) de la remarque 0FME,

2. l’image de \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) par le morphisme canonique \(\Omega^1_{X/S, log}[-1] \to \Omega^\bullet_{X/S}\) s’obtient en envoyant \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) sur \(c_1^{dR}(\mathcal{L})\) dans \(H^2_{dR}(X/S)\),

3. l’image de \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) par le morphisme canonique \(\Omega^1_{X/S, log} \to \Omega^1_{X/S}\) s’obtient en envoyant \(\tilde \gamma_1(\mathcal{L})\) sur \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})\) dans \(H^1(X, \Omega^1_{X/S})\),

4. la construction de ces classes est compatible avec les images inverses,

5. ajouter d’autres propriétés ici.

Cohomologie de de Rham d’un fibré en droites

Un fibré en droites est un cas particulier de fibré vectoriel, lequel est un cône muni d’une structure supplémentaire. Pour étudier convenablement leur complexe de de Rham, il convient d’examiner le complexe de de Rham d’un anneau gradué.

Remarque

Soit \(G\) un monoïde abélien noté additivement, d’élément neutre \(0\). Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux, et supposons \(A\) muni d’une graduation \(A = \bigoplus_{g \in G} A_g\) par des \(R\)-modules telle que \(R\) s’envoie dans \(A_0\) et que \(A_g \cdot A_{g'} \subset A_{g + g'}\). Le module des différentielles est alors muni d’une graduation \[\Omega_{A/R} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \Omega_{A/R, g}\] où \(\Omega_{A/R, g}\) est le \(R\)-sous-module de \(\Omega_{A/R}\) engendré par les \(a_0 \text{d}a_1\) avec \(a_i \in A_{g_i}\) tels que \(g = g_0 + g_1\). De même, on obtient \[\Omega^p_{A/R} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \Omega^p_{A/R, g}\] où \(\Omega^p_{A/R, g}\) est le \(R\)-sous-module de \(\Omega^p_{A/R}\) engendré par les \(a_0 \text{d}a_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}a_p\) avec \(a_i \in A_{g_i}\) tels que \(g = g_0 + g_1 + \ldots + g_p\). Bien entendu, les différentielles respectent la graduation et le produit extérieur est compatible avec les graduations de manière évidente.

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\pi : C \to X\) un cône ; voir Constructions, définition 062R. Rappelons que cela signifie que \(\pi\) est affine et que l’on dispose d’une graduation \(\pi_*\mathcal{O}_C = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\) avec \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_X\). En utilisant la discussion de la remarque 0FU9 sur les ouverts affines, on trouve que² \[\pi_*(\Omega^\bullet_{C/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Omega^\bullet_{C/S, n}\] est canoniquement une somme directe de sous-complexes. De plus, on dispose d’une factorisation \[\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{C/S, 0} \to \pi_*(\Omega^\bullet_{C/S})\] et l’on sait que \(\omega \wedge \eta \in \Omega^{p + q}_{C/S, n + m}\) si \(\omega \in \Omega^p_{C/S, n}\) et \(\eta \in \Omega^q_{C/S, m}\).

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\pi : L \to X\) le fibré en droites associé au \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Cela signifie que \(\pi\) est l’unique morphisme affine tel que \[\pi_*\mathcal{O}_L = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\] comme \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. Ainsi, \(L\) est un cône sur \(X\). La discussion ci-dessus fournit une décomposition canonique en somme directe \[\pi_*(\Omega^\bullet_{L/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Omega^\bullet_{L/S, n}\] compatible avec le produit extérieur et avec la décomposition de \(\pi_*\mathcal{O}_L\) ci-dessus, et telle que \(\Omega_{X/S}\) s’envoie dans la composante \(\Omega_{L/S, 0}\) de degré \(0\).

Un autre cas nous sera utile. Considérons en effet le complémentaire³ \(L^\star \subset L\) de la section nulle \(o : X \to L\) dans notre fibré en droites \(L\). Un calcul local donne un isomorphisme canonique \[(L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star} = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\] de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. Le membre de droite est une algèbre \(\mathbf{Z}\)-graduée quasi-cohérente sur \(\mathcal{O}_X\). En utilisant la discussion de la remarque 0FU9 sur les ouverts affines, on obtient \[(L^\star \to X)_*(\Omega^\bullet_{L^\star/S}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Omega^\bullet_{L^\star/S, n}\] de manière compatible avec le produit extérieur et avec la décomposition de \((L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star}\) ci-dessus, et telle que \(\Omega_{X/S}\) s’envoie dans la composante \(\Omega_{L^\star/S, 0}\) de degré \(0\). Le complexe \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\) nous intéressera tout particulièrement.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, il existe une suite exacte courte de complexes \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0} \to \Omega^\bullet_{X/S}[-1] \to 0\]

Démonstration

Nous avons construit le morphisme \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\) ci-dessus.

Construction de \(\text{Res} : \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0} \to \Omega^\bullet_{X/S}[-1]\). Soit \(U \subset X\) un ouvert, et soient \(s \in \mathcal{L}(U)\) et \(s' \in \mathcal{L}^{\otimes -1}(U)\) des sections telles que \(s' s = 1\). Alors \(s\) donne une section inversible du faisceau d’algèbres \((L^\star \to X)_*\mathcal{O}_{L^\star}\) sur \(U\), d’inverse \(s' = s^{-1}\). On peut alors considérer la forme de degré \(1\) \(\text{d}\log(s) = s' \text{d}(s)\), qui appartient à \(\Omega^1_{L^\star/S, 0}(U)\) d’après notre construction de la graduation sur \(\Omega^1_{L^\star/S}\). Les calculs sur les ouverts affines effectués ci-dessous montreront que \(1\) et \(\text{d}\log(s)\) engendrent librement \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}|_U\) comme module à droite sur \(\Omega^\bullet_{X/S}|_U\). On peut donc définir \(\text{Res}\) sur \(U\) par la règle \[\text{Res}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \omega\] pour tous \(\omega', \omega \in \Omega^\bullet_{X/S}(U)\). Ce morphisme est indépendant du choix du générateur local \(s\) ; il se recolle donc en un morphisme global. En effet, un autre choix de \(s\) serait de la forme \(gs\) pour un certain élément inversible \(g \in \mathcal{O}_X(U)\), et l’on aurait \(\text{d}\log(gs) = g^{-1}\text{d}(g) + \text{d}\log(s)\), d’où l’indépendance résulte aisément. Enfin, observons que notre règle définissant \(\text{Res}\) est compatible avec les différentielles, puisque \(\text{d}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \text{d}(\omega') - \text{d}\log(s) \wedge \text{d}(\omega)\) et que la différentielle sur \(\Omega^\bullet_{X/S}[-1]\) envoie \(\omega'\) sur \(-\text{d}(\omega')\) selon notre convention de signe dans Homologie, définition 011G.

Calcul local. On peut recouvrir \(X\) par des ouverts affines \(U \subset X\) tels que \(\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_U\), qui s’envoient en outre dans un ouvert affine \(V \subset S\). Écrivons \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(R)\), et choisissons un générateur \(s\) de \(\mathcal{L}\). On obtient \[L^\star \times_X U = \Spec(A[s, s^{-1}])\] Le calcul des différentielles donne \[\Omega^1_{A[s, s^{-1}]/R} = A[s, s^{-1}] \otimes_A \Omega^1_{A/R} \oplus A[s, s^{-1}] \text{d}\log(s)\] et, en prenant les puissances extérieures, on obtient donc \[\Omega^p_{A[s, s^{-1}]/R} = A[s, s^{-1}] \otimes_A \Omega^p_{A/R} \oplus A[s, s^{-1}] \text{d}\log(s) \otimes_A \Omega^{p - 1}_{A/R}\] En prenant les composantes de degré \(0\), on trouve \[\Omega^p_{A[s, s^{-1}]/R, 0} = \Omega^p_{A/R} \oplus \text{d}\log(s) \otimes_A \Omega^{p - 1}_{A/R}\] ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Le morphisme de « bord » \(\delta : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\) dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) provenant de la suite exacte courte du lemme 0FUF est le morphisme de la remarque 0FU7 pour \(\xi = c_1^{dR}(\mathcal{L})\).

Démonstration

Plus précisément, considérons le décalage \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S} \to 0\] de la suite exacte courte du lemme 0FUF. Comme composante de degré zéro d’une graduation sur \((L^\star \to X)_*\Omega^\bullet_{L^\star/S}\), \(\Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre différentielle graduée, et le morphisme \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres différentielles graduées. On peut donc considérer \(\Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1]\) comme un morphisme de \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-modules différentiels gradués à droite sur \(X\). Le morphisme \(\text{Res} : \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S}\) est un morphisme de \(\Omega^\bullet_{X/S}\)-modules différentiels gradués à droite, car il est défini localement par la règle \(\text{Res}(\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega) = \omega\) ; voir la démonstration du lemme 0FUF. Ainsi, d’après la discussion de Faisceaux différentiels gradués, section 0FU3, \(\delta\) provient d’un morphisme \(\delta' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\) dans la catégorie dérivée \(D(\Omega^\bullet_{X/S}, \text{d})\) des modules différentiels gradués à droite sur le complexe de de Rham. L’unicité énoncée dans la remarque 0FU7 montre qu’il suffit de prouver que \(\delta(1) = c_1^{dR}(\mathcal{L})\).

Nous affirmons qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_X^* \ar[r] \ar[d]_{\text{d}\log} & E \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] & 0 }\] dont la ligne supérieure est une suite exacte courte de faisceaux abéliens dont le morphisme de bord envoie \(1\) sur la classe de \(\mathcal{L}\) dans \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\). Il suffit de démontrer cette assertion, par compatibilité des morphismes de bord avec les morphismes de suites exactes courtes. On définit \(E\) comme le faisceau associé à la règle \[U \longmapsto \{(s, n) \mid n \in \mathbf{Z},\ s \in \mathcal{L}^{\otimes n}(U)\text{ generator}\}\], la structure de groupe étant donnée par \((s, n) \cdot (t, m) = (s \otimes t, n + m)\). Le morphisme vertical du milieu envoie \((s, n)\) sur \(\text{d}\log(s)\). On obtient ainsi un morphisme de suites exactes courtes, car le morphisme \(Res : \Omega^1_{L^\star/S, 0} \to \mathcal{O}_X\) construit dans la démonstration du lemme 0FUF envoie \(\text{d}\log(s)\) sur \(1\) si \(s\) est un générateur local de \(\mathcal{L}\). Pour calculer le bord de \(1\) dans la ligne supérieure, choisissons des trivialisations locales \(s_i\) de \(\mathcal{L}\) sur des ouverts \(U_i\) comme à la section 0FLE. Sur les intersections \(U_{i_0i_1} = U_{i_0} \cap U_{i_1}\), on dispose d’une fonction inversible \(f_{i_0i_1}\) telle que \(f_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\), et la classe de cohomologie de \(\mathcal{L}\) est donnée par le cocycle de Čech \(\{f_{i_0i_1}\}\). On a alors, bien entendu, \[(f_{i_0i_1}, 0) = (s_{i_1}, 1)|_{U_{i_0i_1}} \cdot (s_{i_0}, 1)|_{U_{i_0i_1}}^{-1}\] comme sections de \(E\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, on a

1. \(\Omega^p_{L^\star/S, n} = \Omega^p_{L^\star/S, 0} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), comme \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents,

2. \(\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{L/X, 0}\) comme complexes, et

3. pour \(n > 0\) et \(p \geq 0\), on a \(\Omega^p_{L/X, n} = \Omega^p_{L^\star/S, n}\).

Démonstration

Dans chaque cas, il existe un morphisme canonique défini globalement, qui est un isomorphisme par des calculs locaux que nous omettons.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons qu’il existe un morphisme \(S \to \Spec(\mathbf{Q})\). Alors \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \pi_*\Omega^\bullet_{L/S}\) est un quasi-isomorphisme et \(H_{dR}^*(X/S) = H_{dR}^*(L/S)\).

Démonstration

Soit \(R\) une \(\mathbf{Q}\)-algèbre. Soit \(A\) une \(R\)-algèbre. L’énoncé local affine affirme que le morphisme \[\Omega^\bullet_{A/R} \longrightarrow \Omega^\bullet_{A[t]/R}\] est un quasi-isomorphisme de complexes de \(R\)-modules. Il s’agit en fait d’une équivalence d’homotopie dont un inverse à homotopie près est le morphisme envoyant \(g \omega + g' \text{d}t \wedge \omega'\) sur \(g(0)\omega\) pour \(g, g' \in A[t]\) et \(\omega, \omega' \in \Omega^\bullet_{A/R}\). L’homotopie envoie \(g \omega + g' \text{d}t \wedge \omega'\) sur \((\int g') \omega'\), où \(\int g' \in A[t]\) est le polynôme de terme constant nul dont la dérivée par rapport à \(t\) est \(g'\). Bien entendu, on utilise ici le fait que \(R\) contient \(\mathbf{Q}\), puisque \(\int t^n = (1/n)t^{n + 1}\).

Exemple

Le lemme 0FUI est faux en caractéristique positive. Le complexe de de Rham de \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\) sur un corps \(k\) se présente comme une somme directe \[k \oplus \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} (k \cdot t^n \xrightarrow{n} k \cdot t^{n - 1} \text{d}t)\] Ainsi, si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), on voit que \(H^0_{dR}(\mathbf{A}^1_k/k)\) et \(H^1_{dR}(\mathbf{A}^1_k/k)\) sont tous deux de dimension infinie sur \(k\).

Cohomologie de de Rham de l’espace projectif

Soit \(A\) un anneau. Soit \(n \geq 1\). Le morphisme structural \(\mathbf{P}^n_A \to \Spec(A)\) est propre et lisse de dimension relative \(n\). Il est lisse de dimension relative \(n\) et de type fini, car \(\mathbf{P}^n_A\) possède un recouvrement ouvert affine fini par des schémas tous isomorphes à \(\mathbf{A}^n_A\) ; voir Constructions, lemme 01NG. Il est propre, car il est aussi séparé et universellement fermé, d’après Constructions, lemme 01NH. Notons \(\mathcal{O}\) et \(\mathcal{O}(d)\) respectivement le faisceau structural \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}\) et les faisceaux tordus de Serre \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\). Notons \(\Omega = \Omega_{\mathbf{P}^n_A/A}\) le faisceau des différentielles relatives et \(\Omega^p\) ses puissances extérieures.

Lemme

Il existe une suite exacte courte \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\]

Démonstration

Pour l’expliciter, rappelons que \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\), et écrivons symboliquement \[\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} = \bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j\] La première flèche \[\Omega \to \bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j\] de la suite exacte courte ci-dessus est donnée, sur chacun des ouverts standards \(D_+(T_i) = \Spec(A[T_0/T_i, \ldots, T_n/T_i])\) mentionnés plus haut, par la règle \[\sum\nolimits_{j \not = i} g_j \text{d}(T_j/T_i) \longmapsto \sum\nolimits_{j \not = i} g_j/T_i \text{d}T_j - (\sum\nolimits_{j \not = i} g_jT_j/T_i^2) \text{d}T_i\] Cette expression a un sens, puisque \(1/T_i\) est une section de \(\mathcal{O}(-1)\) sur \(D_+(T_i)\). Le morphisme \[\bigoplus\nolimits_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j \to \mathcal{O}\] est défini en envoyant \(\text{d}T_j\) sur \(T_j\) ; plus précisément, sur \(D_+(T_i)\), on envoie la section \(\sum g_j \text{d}T_j\) sur \(\sum T_jg_j\). Nous omettons de vérifier que l’on obtient ainsi une suite exacte courte.

Étant donnés un entier \(k \in \mathbf{Z}\) et un \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), notons comme d’habitude \(\mathcal{F}(k)\) le tordu de Serre d’indice \(k\) de \(\mathcal{F}\). Voir Constructions, définition 01MN.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les groupes de cohomologie vérifient

1. \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p) = 0\) sauf si \(0 \leq p = q \leq n\),

2. pour \(0 \leq p \leq n\), le \(A\)-module \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est libre de rang \(1\).

3. pour \(q > 0\), \(k > 0\) et \(p\) quelconque, on a \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p(k)) = 0\), et

4. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Nous utiliserons les résultats de Cohomologie des schémas, lemme 01XT, sans plus les mentionner. En particulier, les assertions sont vraies pour \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O}(k))\).

Démonstration pour \(p = 1\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\] du lemme 0FMH. Puisque la cohomologie de \(\mathcal{O}(-1)\) est nulle en tout degré, il en résulte que \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega)\) est nul sauf en degré \(1\), où il est librement engendré par le bord de \(1\) dans \(H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\).

Supposons \(p > 1\). Considérons la suite exacte courte ci-dessus comme définissant une filtration à \(2\) crans sur \(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\). La filtration induite sur \(\wedge^p\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\) se présente comme suit : \[0 \to \Omega^p \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right) \to \Omega^{p - 1} \to 0\] Observons que \(\wedge^p\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\) est isomorphe à une somme directe comptant autant de facteurs qu’il existe de façons de choisir, parmi \(n + 1\) éléments, \(p\) éléments, chaque facteur étant isomorphe à \(\mathcal{O}(-p)\), et que sa cohomologie est donc nulle en tout degré. Par l’hypothèse de récurrence, cela montre que \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est nul sauf si \(q = p\), et que \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est libre de rang \(1\), engendré par le bord du générateur de \(H^{p - 1}(\mathbf{P}^n_A, \Omega^{p - 1})\).

Soit \(k > 0\). Observons que \(\Omega^n = \mathcal{O}(-n - 1)\), par exemple en utilisant la suite exacte courte ci-dessus pour \(p = n + 1\). La cohomologie de \(\Omega^n(k)\) est donc nulle en degrés strictement positifs. En utilisant les suites exactes courtes \[0 \to \Omega^p(k) \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right)(k) \to \Omega^{p - 1}(k) \to 0\] et une récurrence descendante sur \(p\), on obtient l’annulation de la cohomologie de \(\Omega^p(k)\) en degrés strictement positifs pour tout \(p\).

Lemme

On a \(H^q(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p) = 0\) sauf si \(0 \leq p = q \leq n\). Pour \(0 \leq p \leq n\), le \(A\)-module \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est libre de rang \(1\), de base \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^p\).

Démonstration

L’annulation et la liberté résultent du lemme 0FUK. Pour \(p = 0\), il est bien vrai que \(1 \in H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\) est un générateur.

Démonstration pour \(p = 1\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1} \to \mathcal{O} \to 0\] du lemme 0FMH. Dans la démonstration du lemme 0FUK, nous avons vu que le générateur de \(H^1(\mathbf{P}^n_A, \Omega)\) est le bord \(\xi\) de \(1 \in H^0(\mathbf{P}^n_A, \mathcal{O})\). Comme dans la démonstration du lemme 0FMH, identifions \(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\) à \(\bigoplus_{j = 0, \ldots, n} \mathcal{O}(-1)\text{d}T_j\). Considérons le recouvrement ouvert \[\mathcal{U} : \mathbf{P}^n_A = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D_{+}(T_i)\] La restriction de la section globale \(1\) de \(\mathcal{O}\) à \(U_i = D_+(T_i)\) se relève en la section \(T_i^{-1} \text{d}T_i\) de \(\bigoplus \mathcal{O}(-1)\text{d}T_j\) sur \(U_i\). Ainsi, le cocycle représentant \(\xi\) est donné par \[T_{i_1}^{-1} \text{d}T_{i_1} - T_{i_0}^{-1} \text{d}T_{i_0} = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \in \Omega(U_{i_0i_1})\] D’autre part, pour tout \(i\), la section \(T_i\) trivialise \(\mathcal{O}(1)\) sur \(U_i\). On voit donc que \(f_{i_0i_1} = T_{i_1}/T_{i_0} \in \mathcal{O}^*(U_{i_0i_1})\) est le cocycle représentant \(\mathcal{O}(1)\) dans \(\Pic(\mathbf{P}^n_A)\) ; voir la section 0FLE. Par conséquent, \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))\) est donné par le cocycle \(\text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0})\), qui coïncide avec celui obtenu pour \(\xi\) ci-dessus.

Démonstration par récurrence pour \(p\) quelconque. Les cas initiaux \(p = 0, 1\) ont été traités ci-dessus. Supposons \(p > 1\). Dans la démonstration du lemme 0FUK, nous avons vu que le générateur de \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est le bord de \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^{p - 1}\) dans la suite exacte longue de cohomologie associée à \[0 \to \Omega^p \to \wedge^p\left(\mathcal{O}(-1)^{\oplus n + 1}\right) \to \Omega^{p - 1} \to 0\] D’après le calcul de la section 0FLE, la classe de cohomologie \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^{p - 1}\) est représentée, au signe près, par le cocycle de composantes \[\beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}} = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \wedge \text{d}\log(T_{i_2}/T_{i_1}) \wedge \ldots \wedge \text{d}\log(T_{i_{p - 1}}/T_{i_{p - 2}})\] dans \(\Omega^{p - 1}(U_{i_0 \ldots i_{p - 1}})\). Ces \(\beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\) se relèvent en les sections \(\tilde \beta_{i_0 \ldots i_{p -1}} = T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \beta_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\) de \(\wedge^p(\bigoplus \mathcal{O}(-1) \text{d}T_j)\) sur \(U_{i_0 \ldots i_{p - 1}}\). On en déduit que le générateur de \(H^p(\mathbf{P}^n_A, \Omega^p)\) est donné par le cocycle dont les composantes sont \[\begin{align*} \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^a \tilde \beta_{i_0 \ldots \hat{i_a} \ldots i_p} & = T_{i_1}^{-1}\text{d}T_{i_1} \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{a = 1}^p (-1)^a T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \beta_{i_0 \ldots \hat{i_a} \ldots i_p} \\ & = (T_{i_1}^{-1}\text{d}T_{i_1} - T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0}) \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} + T_{i_0}^{-1}\text{d}T_{i_0} \wedge \text{d}(\beta)_{i_0 \ldots i_p} \\ & = \text{d}\log(T_{i_1}/T_{i_0}) \wedge \beta_{i_1 \ldots i_p} \end{align*}\] considérées comme sections de \(\Omega^p\) sur \(U_{i_0 \ldots i_p}\). C’est, au signe près, le cocycle représentant \(c_1^{Hodge}(\mathcal{O}(1))^p\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Pour \(0 \leq i \leq n\), le groupe de cohomologie de de Rham \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\) est un \(A\)-module libre de rang \(1\), de base \(c_1^{dR}(\mathcal{O}(1))^i\). En tout autre degré, la cohomologie de de Rham de \(\mathbf{P}^n_A\) sur \(A\) est nulle.

Démonstration

Considérons la suite spectrale de Hodge vers de Rham de la section 0FM6. Le calcul de la cohomologie de Hodge de \(\mathbf{P}^n_A\) sur \(A\) effectué dans le lemme 0FMI montre que cette suite spectrale dégénère à la page \(E_1\). On voit ainsi que \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\) est un \(A\)-module libre de rang \(1\) pour \(0 \leq i \leq n\), et qu’il est nul sinon. Observons que \(c_1^{dR}(\mathcal{O}(1))^i \in H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\) pour \(i = 0, \ldots, n\) et que, pour \(i = n\), cet élément est l’image de \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})^n\) par le morphisme de complexes \[\Omega^n_{\mathbf{P}^n_A/A}[-n] \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathbf{P}^n_A/A}\] Cela résulte, par exemple, de la discussion de la remarque 0FME ou de la description explicite des cocycles représentant ces classes à la section 0FLE. La suite spectrale montre que le morphisme induit \[H^n(\mathbf{P}^n_A, \Omega^n_{\mathbf{P}^n_A/A}) \longrightarrow H^{2n}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\] est un isomorphisme et, puisque \(c_1^{Hodge}(\mathcal{L})^n\) engendre la source (lemme 0FMI), on en déduit que \(c_1^{dR}(\mathcal{L})^n\) engendre le but. La \(A\)-bilinéarité des cup-produits entraîne que \(c_1^{dR}(\mathcal{L})^i\) engendre également \(H^{2i}_{dR}(\mathbf{P}^n_A/A)\) pour \(0 \leq i \leq n\).

La suite spectrale d’un morphisme lisse

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[ld]^q \\ & S }\] où \(f\) est un morphisme lisse. On obtient alors une suite exacte courte localement scindée \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] d’après Morphismes, lemme 02K4. Considérons-la comme une filtration décroissante \(F\) sur \(\Omega_{X/S}\), avec \(F^0\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S}\), \(F^1\Omega_{X/S} = f^*\Omega_{Y/S}\) et \(F^2\Omega_{X/S} = 0\). En appliquant le foncteur \(\wedge^p\), on obtient, pour tout \(p\), une filtration induite \[\Omega^p_{X/S} = F^0\Omega^p_{X/S} \supset F^1\Omega^p_{X/S} \supset F^2\Omega^p_{X/S} \supset \ldots \supset F^{p + 1}\Omega^p_{X/S} = 0\] dont les quotients successifs sont \[\text{gr}^k\Omega^p_{X/S} = F^k\Omega^p_{X/S}/F^{k + 1}\Omega^p_{X/S} = f^*\Omega^k_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^{p - k}_{X/Y} = f^{-1}\Omega^k_{Y/S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \Omega^{p - k}_{X/Y}\] pour \(k = 0, \ldots, p\). En fait, le lecteur peut vérifier, à l’aide de la règle de Leibniz, que \(F^k\Omega^\bullet_{X/S}\) est un sous-complexe de \(\Omega^\bullet_{X/S}\). On munit ainsi \(\Omega^\bullet_{X/S}\) d’une structure de complexe filtré. On peut aussi le voir en observant que \[F^k\Omega^\bullet_{X/S} = \Im\left(\wedge : \text{Tot}( f^{-1}\sigma_{\geq k}\Omega^\bullet_{Y/S} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet_{X/S}) \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\right)\] est l’image d’un morphisme de complexes sur \(X\). Le complexe filtré \[\Omega^\bullet_{X/S} = F^0\Omega^\bullet_{X/S} \supset F^1\Omega^\bullet_{X/S} \supset F^2\Omega^\bullet_{X/S} \supset \ldots\] a pour composantes graduées associées \[\text{gr}^k\Omega^\bullet_{X/S} = f^{-1}\Omega^k_{Y/S}[-k] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \Omega^\bullet_{X/Y}\] d’après ce qui précède.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact, quasi-séparé et lisse de schémas sur un schéma de base \(S\). Il existe une suite spectrale bornée de première page \[E_1^{p, q} = H^q(\Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y})\] convergeant vers \(R^{p + q}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\).

Démonstration

Considérons \(\Omega^\bullet_{X/S}\) comme un complexe filtré muni de la filtration introduite ci-dessus. La suite spectrale est celle de Cohomologie, lemme 0FLL. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FML, on a \[Rf_*\text{gr}^k\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^k_{Y/S}[-k] \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\], d’où la conclusion.

Remarque

Dans le lemme 0FMM, considérons les faisceaux de cohomologie \[\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) = H^q(Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y})\] Si \(f\) est propre en plus d’être lisse et si \(S\) est un schéma sur \(\mathbf{Q}\), alors \(\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\) est localement libre de rang fini (insérer ici une référence ultérieure). Si l’on suppose seulement que les \(\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules plats, on obtient (nous omettons le bref argument) \[E_1^{p, q} = \Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\], et les différentielles de la suite spectrale sont des morphismes \[d_1^{p, q} : \Omega^p_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \longrightarrow \Omega^{p + 1}_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\] En particulier, pour \(p = 0\), on obtient un morphisme \(d_1^{0, q} : \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^1_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y)\) qui est une connexion intégrable \(\nabla\) (insérer ici une référence ultérieure), et le complexe \[\mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^1_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \Omega^2_{Y/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{H}^q_{dR}(X/Y) \to \ldots\] dont les différentielles sont données par \(d_1^{\bullet, q}\) est le complexe de de Rham de \(\nabla\). La connexion \(\nabla\) est appelée connexion de Gauss–Manin.

Théorèmes de type Leray–Hirsch

Dans cette section, nous montrons que, pour un morphisme lisse et propre, on peut parfois exprimer la cohomologie de de Rham de la source en fonction de celle du but.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse et propre de schémas. Soient \(N\) et \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\) des entiers, et soient \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/Y)\), \(1 \leq i \leq N\). Supposons que, pour tout point \(y \in Y\), les images de \(\xi_1, \ldots, \xi_N\) dans \(H^*_{dR}(X_y/y)\) forment une base sur \(\kappa(y)\). Alors le morphisme \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N \mathcal{O}_Y[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\] associé à \(\xi_1, \ldots, \xi_N\) est un isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 0FM0, \(Rf_*\Omega^\bullet_{X/Y}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) dont la formation commute à tout changement de base. Le morphisme du lemme est donc un morphisme \(a : K \to L\) entre objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_Y)\) dont la restriction dérivée à tout point est un isomorphisme, d’après notre hypothèse sur les fibres. Le cône \(C\) de \(a\) est alors un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) (Cohomologie, lemme 08CR) dont la restriction dérivée à tout point est nulle. Il en résulte que \(C\) est nul, d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BCD, et que \(a\) est un isomorphisme. (On utilise aussi Catégories dérivées des schémas, lemmes 06Z0 et 08EB, pour la traduction en termes algébriques.)

Nous démontrons d’abord le résultat principal de cette section dans le cas particulier suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse et propre de schémas sur une base \(S\). Supposons que

1. \(Y\) et \(S\) sont affines, et

2. il existe des entiers \(N\) et \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\) et des classes \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/S)\), \(1 \leq i \leq N\), tels que, pour tout point \(y \in Y\), les images de \(\xi_1, \ldots, \xi_N\) dans \(H^*_{dR}(X_y/y)\) forment une base sur \(\kappa(y)\).

Alors l’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i \cup f^*a_i\] est un isomorphisme.

Démonstration

Écrivons \(Y = \Spec(A)\) et \(S = \Spec(R)\). Dans ce cas, \(\Omega^\bullet_{A/R}\) calcule \(R\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{Y/S})\) d’après le lemme 0FLW. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\). Considérons le complexe \[K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/S}^\bullet))\] comme dans Cohomologie, section 01FP. Rassemblons quelques propriétés de ce complexe, dont la plupart figurent dans la référence que nous venons de donner :

1. \(K^\bullet\) est un complexe de \(R\)-modules dont les termes sont des \(A\)-modules,

2. \(K^\bullet\) représente \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S})\) dans \(D(R)\) (Cohomologie des schémas, lemme 01XB et Cohomologie, lemme 0FLH),

3. il existe un morphisme naturel \(\Omega^\bullet_{A/R} \to K^\bullet\) de complexes de \(R\)-modules, \(A\)-linéaire sur les termes, qui induit le morphisme d’image inverse \(H^*_{dR}(Y/S) \to H^*_{dR}(X/S)\) en cohomologie,

4. \(K^\bullet\) possède une multiplication notée \(\wedge\) qui en fait une \(R\)-algèbre différentielle graduée,

5. la multiplication sur \(K^\bullet\) induit le cup-produit sur \(H^*_{dR}(X/S)\) (Cohomologie, section 0FKU),

6. la filtration \(F\) sur \(\Omega^*_{X/S}\) induit une filtration \[K^\bullet = F^0K^\bullet \supset F^1K^\bullet \supset F^2K^\bullet \supset \ldots\] par des sous-complexes de \(K^\bullet\) telle que

   1. \(F^kK^n \subset K^n\) est un \(A\)-sous-module,

   2. \(F^kK^\bullet \wedge F^lK^\bullet \subset F^{k + l}K^\bullet\),

   3. \(\text{gr}^kK^\bullet\) est un complexe de \(A\)-modules,

   4. \(\text{gr}^0K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/Y}^\bullet))\) et représente \(R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/Y})\) dans \(D(A)\),

   5. la multiplication induit un isomorphisme \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0K^\bullet \to \text{gr}^kK^\bullet\)

Nous omettons les démonstrations détaillées de ces assertions ; voir la discussion qui précède la construction de la suite spectrale du lemme 0FMM.

Pour tout \(i = 1, \ldots, N\), choisissons un cocycle \(x_i \in K^{n_i}\) représentant \(\xi_i\). Considérons ensuite le morphisme de complexes \[\tilde x : M^\bullet = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, N} \Omega^\bullet_{A/R}[-n_i] \longrightarrow K^\bullet\] qui envoie \(\omega\) dans le facteur d’indice \(i\) sur \(x_i \wedge \omega\). Il reste seulement à montrer que ce morphisme est un quasi-isomorphisme. Munissons \(M^\bullet\) d’une structure de complexe filtré par la règle \[F^kM^\bullet = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, N} (\sigma_{\geq k}\Omega^\bullet_{A/R})[-n_i]\] Avec ce choix, \(\tilde x\) est un morphisme de complexes filtrés. Observons que \(\text{gr}^0M^\bullet = \bigoplus A[-n_i]\) et que la multiplication induit un isomorphisme \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0M^\bullet \to \text{gr}^kM^\bullet\). Par construction et d’après le lemme 0FMP, \[\text{gr}^0\tilde x : \text{gr}^0M^\bullet \longrightarrow \text{gr}^0K^\bullet\] est un isomorphisme dans \(D(A)\). Il en résulte que, pour tout \(k \geq 0\), on obtient des isomorphismes \[\text{gr}^k \tilde x : \text{gr}^kM^\bullet = \Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0M^\bullet \longrightarrow \Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A \text{gr}^0K^\bullet = \text{gr}^kK^\bullet\] dans \(D(A)\). En effet, le complexe \(\text{gr}^0K^\bullet = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \Omega_{X/Y}^\bullet))\) est K-plat comme complexe de \(A\)-modules, d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0FMQ. Le produit tensoriel du membre de droite est donc le produit tensoriel dérivé, ce qui est aussi vrai par inspection pour le membre de gauche. Enfin, le produit tensoriel dérivé \(\Omega^k_{A/R}[-k] \otimes_A^\mathbf{L} -\) est un foncteur sur \(D(A)\) et envoie donc les isomorphismes sur des isomorphismes. Par récurrence sur \(k\), on en déduit que \[\tilde x : M^\bullet/F^kM^\bullet \to K^\bullet/F^kK^\bullet\] est un isomorphisme dans \(D(R)\), puisqu’on dispose des suites exactes courtes \[0 \to F^kM^\bullet/F^{k + 1}M^\bullet \to M^\bullet/F^{k + 1}M^\bullet \to \text{gr}^kM^\bullet \to 0\] et de même pour \(K^\bullet\). Cela prouve que \(\tilde x\) est un quasi-isomorphisme, les filtrations étant finies en chaque degré.

Proposition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse et propre de schémas sur une base \(S\). Soient \(N\) et \(n_1, \ldots, n_N \geq 0\) des entiers, et soient \(\xi_i \in H^{n_i}_{dR}(X/S)\), \(1 \leq i \leq N\). Supposons que, pour tout point \(y \in Y\), les images de \(\xi_1, \ldots, \xi_N\) dans \(H^*_{dR}(X_y/y)\) forment une base sur \(\kappa(y)\). Le morphisme \[\tilde \xi = \bigoplus \tilde \xi_i[-n_i] : \bigoplus \Omega^\bullet_{Y/S}[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] (voir la démonstration) est un isomorphisme dans \(D(Y, (Y \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\), et l’application correspondante \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i \cup f^*a_i\] est un isomorphisme.

Démonstration

Notons \(p : X \to S\) et \(q : Y \to S\) les morphismes structuraux. Soit \(\xi'_i : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[n_i]\) le morphisme de la remarque 0FU7 correspondant à \(\xi_i\). Notons \[\tilde \xi_i : \Omega^\bullet_{Y/S} \to Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[n_i]\] la composée de \(\xi'_i\) avec le morphisme canonique \(\Omega^\bullet_{Y/S} \to Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\). En utilisant \[R\Gamma(Y, Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}) = R\Gamma(X, \Omega^\bullet_{X/S})\], le morphisme \(\tilde \xi_i\) induit en cohomologie l’application \(\eta \mapsto \xi_i \cup f^*\eta\) de \(H^m_{dR}(Y/S)\) dans \(H^{m + n}_{dR}(X/S)\). De plus, puisque la formation de \(\xi'_i\) commute aux restrictions aux ouverts, il en va de même de celle de \(\tilde \xi_i\).

On peut donc considérer le morphisme \[\tilde \xi = \bigoplus \tilde \xi_i[-n_i] : \bigoplus \Omega^\bullet_{Y/S}[-n_i] \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\] Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que c’est un isomorphisme dans \(D(Y, q^{-1}\mathcal{O}_S)\). Si l’on pouvait montrer que \(\tilde \xi\) provient d’un morphisme de complexes filtrés (pour des filtrations convenables), on pourrait appliquer la suite spectrale du lemme 0FMM pour conclure. Cela demanderait plus de travail qu’il n’est nécessaire ; notre méthode consistera plutôt à nous ramener au cas affine (dont la démonstration utilise, en un certain sens, la suite spectrale).

En effet, si \(Y' \subset Y\) est un ouvert quelconque d’image inverse \(X' \subset X\), alors \(\tilde \xi|_{X'}\) induit l’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 1}^N H^*_{dR}(Y'/S) \longrightarrow H^*_{dR}(X'/S), \quad (a_1, \ldots, a_N) \longmapsto \sum \xi_i|_{X'} \cup f^*a_i\] en cohomologie sur \(Y'\) ; voir la discussion ci-dessus. Il suffit donc de trouver une base de la topologie de \(Y\) telle que la proposition soit vraie pour les ouverts de cette base (en particulier, on peut alors oublier le morphisme \(\tilde \xi\)). On se ramène ainsi au cas où \(Y\) et \(S\) sont affines, traité par le lemme 0FUM, ce qui achève la démonstration.

Formule du fibré projectif

Le titre dit tout.

Proposition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang constant \(r\). Considérons le morphisme \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\). Alors l’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} H^*_{dR}(X/S) \longrightarrow H^*_{dR}(P/S)\] définie par la règle \[(a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] est un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un ouvert affine \(\Spec(A) \subset X\) sur lequel \(\mathcal{E}\) se restreint au module localement libre trivial \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}^{\oplus r}\). Alors \(P \times_X \Spec(A) = \mathbf{P}^{r - 1}_A\). On voit ainsi que \(p\) est propre et lisse ; voir la section 0FMG. De plus, les classes \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^i\), \(i = 0, 1, \ldots, r - 1\), restreintes à une fibre \(X_y = \mathbf{P}^{r - 1}_y\), engendrent librement la cohomologie de de Rham \(H^*_{dR}(X_y/y)\) sur \(\kappa(y)\) ; voir le lemme 0FMJ. Nous avons donc vérifié les hypothèses de la proposition 0FMR, d’où le résultat.

Remarque

Dans la situation de la proposition 0FMT, on obtient en outre que le morphisme \[\tilde \xi : \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, r - 1} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t] \longrightarrow Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\] est un isomorphisme dans \(D(X, (X \to S)^{-1}\mathcal{O}_X)\), ce qui résulte immédiatement de l’application de la proposition 0FMR. Notons que la flèche pour \(t = 0\) est simplement le morphisme canonique \(c_{P/X} : \Omega^\bullet_{X/S} \to Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\) de la section 07HX. On peut en fait préciser davantage ce morphisme dans ce cas particulier. Considérons le morphisme canonique \[\xi' : \Omega^\bullet_{P/S} \to \Omega^\bullet_{P/S}[2]\] de la remarque 0FU7 correspondant à \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))\). Alors \[\xi'[2(t - 1)] \circ \ldots \circ \xi'[2] \circ \xi' : \Omega^\bullet_{P/S} \to \Omega^\bullet_{P/S}[2t]\] est le morphisme de la remarque 0FU7 correspondant à \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_P(1))^t\). En suivant les choix effectués dans la démonstration de la proposition 0FMR, on obtient la valeur \[\tilde \xi|_{\Omega^\bullet_{X/S}[-2t]} = Rp_*\xi'[-2] \circ \ldots \circ Rp_*\xi'[-2(t - 1)] \circ Rp_*\xi'[-2t] \circ c_{P/X}[-2t]\] pour la restriction de notre isomorphisme au facteur direct \(\Omega^\bullet_{X/S}[-2t]\). Cela a la conséquence simple suivante, que nous utiliserons plus bas : posons \[M = \bigoplus\nolimits_{t = 1, \ldots, r - 1} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t] \quad\text{et}\quad K = \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, r - 2} \Omega^\bullet_{X/S}[-2t]\], considérés comme des sous-complexes de la source de la flèche \(\tilde \xi\). Il résulte formellement de la discussion ci-dessus que \[c_{P/X} \oplus \tilde \xi|_M : \Omega^\bullet_{X/S} \oplus M \longrightarrow Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}\] est un isomorphisme et que le diagramme \[\xymatrix{ K \ar[d]_{\tilde \xi|_K} \ar[r]_{\text{id}} & M[2] \ar[d]^{(\tilde \xi|_M)[2]} \\ Rp_*\Omega^\bullet_{P/S} \ar[r]^{Rp_*\xi'} & Rp_*\Omega^\bullet_{P/S}[2] }\] est commutatif, où \(\text{id} : K \to M[2]\) identifie le facteur correspondant à \(t\) dans la décomposition de \(K\) au facteur correspondant à \(t + 1\) dans la décomposition de \(M\).

Pôles logarithmiques le long d’un diviseur

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si \(X\) est, étale-localement le long de \(Y\), de la forme \(Y \times \mathbf{A}^1\), il existe une suite exacte courte canonique de complexes \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \to 0\] possédant de nombreuses propriétés utiles, que nous étudierons dans cette section. Il existe une variante de cette construction dans laquelle on part d’un diviseur à croisements normaux (Morphismes étales, définition 0BI9), que nous étudierons ailleurs (insérer ici une référence ultérieure).

Définition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. On dit que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques est défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\) si, pour tout \(y \in Y\) et toute équation locale \(f \in \mathcal{O}_{X, y}\) de \(Y\), on a

1. \(\mathcal{O}_{X, y} \to \Omega_{X/S, y}\), \(g \mapsto g \text{d}f\), est une injection scindée, et

2. \(\Omega^p_{X/S, y}\) est sans \(f\)-torsion pour tout \(p\).

Un calcul local facile montre qu’il suffit, pour tout \(y \in Y\), de trouver une équation locale \(f\) pour laquelle les conditions (1) et (2) sont satisfaites.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). Il existe une suite exacte courte canonique de complexes \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \to 0\]

Démonstration

Notre hypothèse est que, pour tout \(y \in Y\) et toute équation locale \(f \in \mathcal{O}_{X, y}\) de \(Y\), on a \[\Omega_{X/S, y} = \mathcal{O}_{X, y}\text{d}f \oplus M \quad\text{et}\quad \Omega^p_{X/S, y} = \wedge^{p - 1}(M)\text{d}f \oplus \wedge^p(M)\] pour un certain module \(M\) dont les puissances extérieures sont sans \(f\)-torsion, à savoir \(\wedge^p(M)\). Il en résulte que \[\Omega^p_{Y/S, y} = \wedge^p(M/fM) = \wedge^p(M)/f\wedge^p(M)\] Nous utiliserons tacitement ces faits dans la suite. En particulier, les faisceaux \(\Omega^p_{X/S}\) n’ont pas de sections locales non nulles à support dans \(Y\), et l’on dispose d’une inclusion canonique \[\Omega^p_{X/S} \subset \Omega^p_{X/S}(Y)\] ; voir Compléments de platitude, section 0F8L. Soit \(U = \Spec(A)\) un sous-schéma ouvert affine tel que \(Y \cap U = V(f)\) pour un certain élément non diviseur de zéro \(f \in A\). Considérons le \(\mathcal{O}_U\)-sous-module de \(\Omega^p_{X/S}(Y)|_U\) engendré par \(\Omega^p_{X/S}|_U\) et \(\text{d}\log(f) \wedge \Omega^{p - 1}_{X/S}\), où \(\text{d}\log(f) = f^{-1}\text{d}(f)\). Il est indépendant du choix de \(f\), car un autre générateur de l’idéal de \(Y\) sur \(U\) est égal à \(uf\) pour une unité \(u \in A\), et l’on obtient \[\text{d}\log(uf) - \text{d}\log(f) = \text{d}\log(u) = u^{-1}\text{d}u\], qui est une section de \(\Omega_{X/S}\) sur \(U\). Ces faisceaux locaux se recollent en un sous-module quasi-cohérent \[\Omega^p_{X/S} \subset \Omega^p_{X/S}(\log Y) \subset \Omega^p_{X/S}(Y)\] Convenons de considérer \(\Omega^p_{Y/S}\) comme un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Il existe un unique morphisme surjectif \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \[\text{Res} : \Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p - 1}_{Y/S}\] défini par la règle \[\text{Res}(\eta' + \text{d}\log(f) \wedge \eta) = \eta|_{Y \cap U}\] pour tout ouvert \(U\) comme ci-dessus et tous \(\eta' \in \Omega^p_{X/S}(U)\) et \(\eta \in \Omega^{p - 1}_{X/S}(U)\). Si une forme \(\eta\) sur \(U\) se restreint à zéro sur \(Y \cap U\), alors \(\eta = \text{d}f \wedge \eta' + f\eta''\) pour certaines formes \(\eta'\) et \(\eta''\) sur \(U\). On en déduit une suite exacte courte \[0 \to \Omega^p_{X/S} \to \Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p - 1}_{Y/S} \to 0\] pour tout \(p\). Il reste à définir les différentielles \(\Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p + 1}_{X/S}(\log Y)\). Sur le sous-faisceau \(\Omega^p_{X/S}\), on utilise la différentielle du complexe de de Rham de \(X\) sur \(S\). Enfin, on pose \(\text{d}(\text{d}\log(f) \wedge \eta) = -\text{d}\log(f) \wedge \text{d}\eta\). Le signe est imposé par la règle de Leibniz (sur \(\Omega^\bullet_{X/S}\)) et est compatible avec la différentielle sur \(\Omega^\bullet_{Y/S}[-1]\), qui est bien \(-\text{d}_{Y/S}\) selon notre convention de signe dans Homologie, définition 011G. On obtient ainsi une suite exacte courte de complexes comme dans l’énoncé du lemme.

Définition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). Alors le complexe \[\Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)\] construit dans le lemme 0FMW est le complexe de de Rham à pôles logarithmiques pour \(Y \subset X\) sur \(S\).

Ce complexe possède de nombreuses propriétés utiles.

Lemme

Soit \(p : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\).

1. Les applications \(\wedge : \Omega^p_{X/S} \times \Omega^q_{X/S} \to \Omega^{p + q}_{X/S}\) s’étendent de manière unique en des applications \(\mathcal{O}_X\)-bilinéaires \[\wedge : \Omega^p_{X/S}(\log Y) \times \Omega^q_{X/S}(\log Y) \to \Omega^{p + q}_{X/S}(\log Y)\] satisfaisant à la règle de Leibniz \(\text{d}(\omega \wedge \eta) = \text{d}(\omega) \wedge \eta + (-1)^{\deg(\omega)} \omega \wedge \text{d}(\eta)\),

2. pour la multiplication de (1), le morphisme \(\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log(Y)\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres différentielles graduées,

3. via les applications de (1), on a \(\Omega^p_{X/S}(\log Y) = \wedge^p(\Omega^1_{X/S}(\log Y))\), et

4. le morphisme \(\text{Res} : \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \to \Omega^\bullet_{Y/S}[-1]\) vérifie \[\text{Res}(\omega \wedge \eta) = \text{Res}(\omega) \wedge \eta|_Y\] pour toute section locale \(\omega\) de \(\Omega^p_{X/S}(\log Y)\) et toute section locale \(\eta\) de \(\Omega^q_{X/S}\).

Démonstration

Cela résulte par un calcul direct de la construction locale du complexe dans la démonstration du lemme 0FMW. Nous omettons les détails.

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif dont l’image inverse \(Y' = f^*Y\) est définie (Diviseurs, définition 01WV). Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\) et que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y' \subset X'\) sur \(S'\). On obtient alors un morphisme de suites exactes courtes de complexes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] \ar[d] & f^{-1}\Omega^\bullet_{X/S}(\log Y) \ar[r] \ar[d] & f^{-1}\Omega^\bullet_{Y/S}[-1] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X'/S'} \ar[r] & \Omega^\bullet_{X'/S'}(\log Y') \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y'/S'}[-1] \ar[r] & 0 }\] Par linéarisation, on obtient, pour tout \(p\), un morphisme linéaire \(f^*\Omega^p_{X/S}(\log Y) \to \Omega^p_{X'/S'}(\log Y')\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). Notons \[\delta : \Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\] dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) le morphisme de « bord » provenant de la suite exacte courte du lemme 0FMW. Notons \[\xi' : \Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}[2]\] dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\) le morphisme de la remarque 0FU7 correspondant à \(\xi = c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y))\). Notons \[\zeta' : \Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{Y/S}[2]\] dans \(D(Y, f|_Y^{-1}\mathcal{O}_S)\) le morphisme de la remarque 0FU7 correspondant à \(\zeta = c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y)|_Y)\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ \Omega^\bullet_{X/S} \ar[d]_{\xi'} \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[d]^{\zeta'} \ar[ld]_\delta \\ \Omega^\bullet_{X/S}[2] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S}[2] }\] est commutatif dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Plus précisément, on définit \(\delta\) comme le morphisme de bord correspondant à la suite exacte courte décalée \[0 \to \Omega^\bullet_{X/S}[1] \to \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \to \Omega^\bullet_{Y/S} \to 0\] Il suffit de démontrer la commutativité de chaque triangle. Posons \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(-Y)\). Notons \(\pi : L \to X\) le fibré en droites tel que \(\pi_*\mathcal{O}_L = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\).

Commutativité du triangle supérieur gauche. D’après le lemme 0FUG, le morphisme \(\xi'\) est le morphisme de bord du triangle donné dans le lemme 0FUF. Par fonctorialité, il suffit de prouver qu’il existe un morphisme de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{L^\star/S, 0}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{X/S} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] & 0 }\] où les flèches verticales de gauche et de droite sont les flèches évidentes. On peut définir la flèche verticale du milieu par la règle \[\omega' + \text{d}\log(s) \wedge \omega \longmapsto \omega' + \text{d}\log(f) \wedge \omega\] où \(\omega', \omega\) sont des sections locales de \(\Omega^\bullet_{X/S}\), où \(s\) est un générateur local de \(\mathcal{L}\) et où \(f \in \mathcal{O}_X(-Y)\) est la section correspondante du faisceau d’idéaux de \(Y\) dans \(X\). Puisque les constructions des morphismes dans les lemmes 0FUF et 0FMW se correspondent exactement, cela convient.

Commutativité du triangle inférieur droit. Notons \(\overline{L}\) la restriction de \(L\) à \(Y\). D’après le lemme 0FUG, le morphisme \(\zeta'\) est le morphisme de bord du triangle donné dans le lemme 0FUF, appliqué au fibré en droites \(\overline{L}\) sur \(Y\). Par fonctorialité, il suffit de prouver qu’il existe un morphisme de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{X/S}[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{X/S}(\log Y)[1] \ar[r] \ar[d] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{\overline{L}^\star/S, 0}[1] \ar[r] & \Omega^\bullet_{Y/S} \ar[r] & 0 \\ }\] où les flèches verticales de gauche et de droite sont les flèches évidentes. On peut définir la flèche verticale du milieu par la règle \[\omega' + \text{d}\log(f) \wedge \omega \longmapsto \omega'|_Y + \text{d}\log(\overline{s}) \wedge \omega|_Y\] où \(\omega', \omega\) sont des sections locales de \(\Omega^\bullet_{X/S}\), où \(f\) est un générateur local de \(\mathcal{O}_X(-Y)\) considéré comme une fonction sur \(X\), et où \(\overline{s}\) désigne \(f|_Y\) considéré comme une section de \(\mathcal{L}|_Y = \mathcal{O}_X(-Y)|_Y\). Puisque les constructions des morphismes dans les lemmes 0FUF et 0FMW se correspondent exactement, cela convient.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons que le complexe de de Rham à pôles logarithmiques soit défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). Soit \(b \in H^m_{dR}(X/S)\) une classe de cohomologie de de Rham dont la restriction à \(Y\) est nulle. Alors \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) \cup b = 0\) dans \(H^{m + 2}_{dR}(X/S)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0FUQ. En effet, on a \[c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) \cup b = -c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(-Y)) \cup b = -\xi'(b) = -\delta(b|_Y) = 0\] comme voulu. Pour la deuxième égalité, voir la remarque 0FU7.

Lemme

Soient \(X \to T \to S\) des morphismes de schémas. Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si \(X \to T\) et \(Y \to T\) sont tous deux lisses, alors le complexe de de Rham à pôles logarithmiques est défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\).

Démonstration

Soit \(y \in Y\) un point. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0FUE, il existe un entier \(0 \geq m\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_T \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + 1}_T }\] où \(U \subset X\) est ouvert, \(V = Y \cap U\), \(\pi\) est étale, \(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_T)\) et \(y \in V\). Notons \(z \in \mathbf{A}^m_T\) l’image de \(y\). On a alors \[\Omega^p_{X/S, y} = \Omega^p_{\mathbf{A}^{m + 1}_T/S, z} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + 1}_T, z}} \mathcal{O}_{X, x}\] d’après le lemme 0FLV. Notons \(x_1, \ldots, x_{m + 1}\) les fonctions coordonnées sur \(\mathbf{A}^{m + 1}_T\). Puisque les conditions (1) et (2) de la définition 0FMV ne dépendent pas du choix de la coordonnée locale, il suffit de les vérifier lorsque \(f\) est l’image de \(x_{m + 1}\) par l’homomorphisme local plat d’anneaux \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + 1}_T, z} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Il suffit donc de vérifier les conditions (1) et (2) pour \(\mathbf{A}^m_T \subset \mathbf{A}^{m + 1}_T\) et le point \(z\). Pour traiter ce cas, on peut supposer \(S = \Spec(A)\) et \(T = \Spec(B)\) affines. Soit \(A \to B\) le morphisme d’anneaux correspondant au morphisme \(T \to S\), et posons \(P = B[x_1, \ldots, x_{m + 1}]\), de sorte que \(\mathbf{A}^{m + 1}_T = \Spec(P)\). On a \[\Omega_{P/A} = \Omega_{B/A} \otimes_B P \oplus \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} P \text{d}x_j \oplus P \text{d}x_{m + 1}\] Ainsi, l’application \(P \to \Omega_{P/A}\), \(g \mapsto g \text{d}x_{m + 1}\), est une injection scindée, et \(x_{m + 1}\) est non diviseur de zéro sur \(\Omega^p_{P/A}\) pour tout \(p \geq 0\). La localisation en l’idéal premier correspondant à \(z\) achève la démonstration.

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si le morphisme \[\mathcal{O}_{X, y}^\wedge \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] admet une section pour tout \(y \in Y\), alors le complexe de de Rham à pôles logarithmiques est défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). Si nous avons besoin de ce résultat, nous en formulerons un énoncé précis et en ajouterons ici une démonstration.

Remarque

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Y \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si, pour tout \(y \in Y\), on peut trouver un diagramme de schémas sur \(S\) \[X \xleftarrow{\varphi} U \xrightarrow{\psi} V\] où \(\varphi\) est étale et \(\psi|_{\varphi^{-1}(Y)} : \varphi^{-1}(Y) \to V\) est étale, alors le complexe de de Rham à pôles logarithmiques est défini pour \(Y \subset X\) sur \(S\). C’est notamment le cas lorsque le couple \((X, Y)\) est, étale-localement, de la forme \((V \times \mathbf{A}^1, V \times \{0\})\). Si nous avons besoin de ce résultat, nous en formulerons un énoncé précis et en ajouterons ici une démonstration.

Calculs

Dans cette section, nous calculons certains groupes de cohomologie de Hodge et de de Rham pour un éclatement standard.

Fixons un anneau \(R\) et posons \(S = \Spec(R)\). Fixons des entiers \(0 \leq m\) et \(1 \leq n\). Considérons l’immersion fermée \[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] Nous allons considérer l’éclatement \(L\) de \(X\) le long du sous-schéma fermé \(Z\). Écrivons \[X = \mathbf{A}^{m + n}_S = \Spec(A) \quad\text{avec}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] Nous considérerons \(A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\) comme une \(R\)-algèbre graduée en posant \(\deg(x_i) = 0\) et \(\deg(y_j) = 1\). Pour cette graduation, on a \[P = \text{Proj}(A) = \mathbf{A}^m_S \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\] Observons que l’idéal définissant \(Z\) dans \(X\) est \(A_+\). Ainsi, \(L\) est le Proj de l’algèbre de Rees \[A \oplus A_+ \oplus (A_+)^2 \oplus \ldots = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} A_{\geq d}\] Par conséquent, \(L\) est un exemple du phénomène étudié plus généralement dans Compléments sur les morphismes, section 0EKF ; nous utiliserons les observations qui y ont été faites sans plus les mentionner. En particulier, on dispose d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ P \ar[r]_0 \ar[d]_p & L \ar[r]_-\pi \ar[d]^b & P \ar[d]^p \\ Z \ar[r]^i & X \ar[r] & Z }\] tel que \(\pi : L \to P\) soit un fibré en droites sur \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\), de section nulle \(0\), dont l’image \(E = 0(P) \subset L\) est le diviseur exceptionnel de l’éclatement \(b\).

Lemme

Pour \(a \geq 0\), on a

1. le morphisme \(\Omega^a_{X/S} \to b_*\Omega^a_{L/S}\) est un isomorphisme,

2. le morphisme \(\Omega^a_{Z/S} \to p_*\Omega^a_{P/S}\) est un isomorphisme, et

3. le morphisme \(Rb_*\Omega^a_{L/S} \to i_*Rp_*\Omega^a_{P/S}\) induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq 1\).

Démonstration

Démontrons d’abord (2). Puisque \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\), on voit que \[\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{a = r + s} \text{pr}_1^*\Omega^r_{Z/S} \otimes \text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] En rappelant que \(p = \text{pr}_1\), la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) donne \[p_*\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{a = r + s} \Omega^r_{Z/S} \otimes \text{pr}_{1, *}\text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] D’après les calculs de la section 0FMG, en particulier ceux de la démonstration du lemme 0FMI, on a \(\text{pr}_{1, *}\text{pr}_2^*\Omega^s_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S} = 0\), sauf si \(s = 0\), auquel cas on obtient \(\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_P = \mathcal{O}_Z\). Cela démontre (2).

D’après les résultats de la section 0FU8, en particulier le lemme 0FUH, on a \(\pi_*\Omega^a_{L/S} = \Omega^a_{P/S} \oplus \bigoplus_{k \geq 1} \Omega^a_{L/S, k}\). Puisque la composée \(\pi \circ 0\) dans le diagramme ci-dessus est l’identité de \(P\), il suffit, pour démontrer (3), de montrer que les groupes de cohomologie supérieure de \(\Omega^a_{L/S, k}\) sont nuls pour \(k > 0\). D’après les lemmes 0FUF et 0FUH, on dispose de suites exactes courtes \[0 \to \Omega^a_{P/S} \otimes \mathcal{O}_P(k) \to \Omega^a_{L/S, k} \to \Omega^{a - 1}_{P/S} \otimes \mathcal{O}_P(k) \to 0\], où \(\Omega^{a - 1}_{P/S} = 0\) si \(a = 0\). Puisque \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S\), on a \[\Omega^a_{P/S} = \bigoplus\nolimits_{i + j = a} \Omega^i_{Z/S} \boxtimes \Omega^j_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}\] d’après le lemme 0FMA. Comme \(\Omega^i_{Z/S}\) est libre de rang fini, on voit qu’il suffit de montrer que les groupes de cohomologie supérieure de \(\mathcal{O}_Z \boxtimes \Omega^j_{\mathbf{P}^{n - 1}_S/S}(k)\) sont nuls pour \(k > 0\). Cela résulte du lemme 0FUK appliqué à \(P = Z \times_S \mathbf{P}^{n - 1}_S = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\), ce qui achève la démonstration de (3).

Il reste à démontrer (1). Si \(n = 1\), on éclate un diviseur de Cartier effectif ; \(b\) est donc un isomorphisme, d’où (1). Si \(n > 1\), la composée \[\Gamma(X, \Omega^a_{X/S}) \to \Gamma(L, \Omega^a_{L/S}) \to \Gamma(L \setminus E, \Omega^a_{L/S}) = \Gamma(X \setminus Z, \Omega^a_{X/S})\] est un isomorphisme, puisque \(\Omega^a_{X/S}\) est libre de rang fini (nous omettons ce détail). Ainsi, (1) ne peut être faux que s’il existe des éléments non nuls de \(\Gamma(L, \Omega^a_{L/S})\) qui s’annulent en dehors de \(E = 0(P)\). Puisque \(L\) est un fibré en droites sur \(P\) de section nulle \(0 : P \to L\), il suffit de montrer que, sur un fibré en droites, il n’existe pas de section non nulle d’un faisceau de différentielles qui s’annule identiquement hors de la section nulle. Le lecteur le vérifiera soit, de préférence, par un calcul local, soit en utilisant \(\Omega_{L/S, k} \subset \Omega_{L^\star/S, k}\) (voir les références ci-dessus).

Nous suggérons au lecteur de passer maintenant à la section suivante.

Lemme

Pour \(a \geq 0\), il existe des morphismes canoniques \[b^*\Omega^a_{X/S} \longrightarrow \Omega^a_{L/S} \longrightarrow b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_L} \mathcal{O}_L((n - 1)E)\] dont la composée est induite par l’inclusion \(\mathcal{O}_L \subset \mathcal{O}_L((n - 1)E)\).

Démonstration

La première flèche de la formule affichée est décrite à la section 07HX. Pour obtenir la deuxième flèche, il faut montrer que, si l’on considère une section locale de \(\Omega^a_{L/S}\) comme une « section méromorphe » de \(b^*\Omega^a_{X/S}\), elle a un pôle d’ordre au plus \(n - 1\) le long de \(E\). Pour le voir, travaillons dans des cartes affines locales de \(L\). Rappelons que \(L\) est recouvert par les spectres des algèbres d’éclatement affines \(A[\frac{I}{y_i}]\), où \(I = A_{+}\) est l’idéal engendré par \(y_1, \ldots, y_n\). Voir Algèbre, section 052P et Diviseurs, lemme 0804. Par symétrie, il suffit de travailler dans la carte correspondant à \(i = 1\). Alors \[A[\frac{I}{y_1}] = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, t_2, \ldots, t_n]\] où \(t_i = y_i/y_1\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0BIQ. Ainsi, le module \(\Omega^1_{L/S}\) est librement engendré, sur l’ouvert affine correspondant, par \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_m\), \(\text{d}y_1\) et \(\text{d}t_1, \ldots, \text{d}t_n\). Bien entendu, les \(m + 1\) premiers de ces générateurs proviennent de \(b^*\Omega^1_{X/S}\), et pour les \(n - 1\) restants, on a \[\text{d}t_j = \text{d}\frac{y_j}{y_1} = \frac{1}{y_1}\text{d}y_j - \frac{y_j}{y_1^2}\text{d}y_1 = \frac{\text{d}y_j - t_j \text{d}y_1}{y_1}\], qui a un pôle d’ordre \(1\) le long de \(E\), puisque \(E\) est défini par \(y_1\) sur cette carte. Les produits extérieurs de \(a\) de ces éléments forment une base de \(\Omega^a_{L/S}\) sur cette carte, et au plus \(n - 1\) des \(\text{d}t_j\) interviennent, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(E = 0(P)\) le diviseur exceptionnel de l’éclatement \(b\). Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre \(\mathcal{E}\) et tout \(0 \leq i \leq n - 1\), le morphisme \[\mathcal{E} \longrightarrow Rb_*(b^*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_L} \mathcal{O}_L(iE))\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

D’après la formule de projection, il suffit de le montrer pour \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X\) ; voir Cohomologie, lemme 01E8. Puisque \(X\) est affine, il suffit de montrer que les morphismes \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(L, \mathcal{O}_L) \to H^0(L, \mathcal{O}_L(iE))\] sont des isomorphismes et que \(H^j(X, \mathcal{O}_L(iE)) = 0\) pour \(j > 0\) et \(0 \leq i \leq n - 1\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XK. Puisque \(\pi\) est affine, on peut calculer les sections globales et la cohomologie après application de \(\pi_*\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 089W. Si \(n = 1\), \(L \to X\) est un isomorphisme et \(i = 0\), d’où la première assertion. Si \(n > 1\), considérons la composée \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(L, \mathcal{O}_L) \to H^0(L, \mathcal{O}_L(iE)) \to H^0(L \setminus E, \mathcal{O}_L) = H^0(X \setminus Z, \mathcal{O}_X)\] Puisque \(H^0(X \setminus Z, \mathcal{O}_X) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) dans ce cas, car \(Z\) est de codimension \(n \geq 2\) dans \(X\) (détails omis), on en déduit la première assertion. Pour la seconde, rappelons que \(\mathcal{O}_L(E) = \mathcal{O}_L(-1)\) ; voir Diviseurs, lemme 02OS. On a donc \[\pi_*\mathcal{O}_L(iE) = \pi_*\mathcal{O}_L(-i) = \bigoplus\nolimits_{k \geq -i} \mathcal{O}_P(k)\], comme expliqué dans Compléments sur les morphismes, section 0EKF. On conclut par l’annulation des groupes de cohomologie des faisceaux tordus du faisceau structural sur \(P = \mathbf{P}^{n - 1}_Z\), établie dans Cohomologie des schémas, lemme 01XT.

Éclatements et cohomologie de de Rham

Fixons un schéma de base \(S\), un morphisme lisse \(X \to S\) et un sous-schéma fermé \(Z \subset X\), lui aussi lisse sur \(S\). Notons \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(X\) le long de \(Z\). Notons \(E \subset X'\) le diviseur exceptionnel. Voici le diagramme [0FUS]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_p & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X } } \end{equation}\] Notre but dans cette section est de démontrer que l’application \(b^* : H_{dR}^*(X/S) \longrightarrow H_{dR}^*(X'/S)\) est injective (bien que l’on puisse en dire beaucoup plus).

Lemme

Avec les notations de Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT, pour \(a \geq 0\), on a

1. le morphisme \(\Omega^a_{X/S} \to b_*\Omega^a_{X'/S}\) est un isomorphisme,

2. le morphisme \(\Omega^a_{Z/S} \to p_*\Omega^a_{E/S}\) est un isomorphisme,

3. le morphisme \(Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to i_*Rp_*\Omega^a_{E/S}\) induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq 1\).

Démonstration

Soit \(\epsilon : X_1 \to X\) un morphisme étale surjectif. Notons \(i_1 : Z_1 \to X_1\), \(b_1 : X'_1 \to X_1\), \(E_1 \subset X'_1\) et \(p_1 : E_1 \to Z_1\) les changements de base des objets considérés dans Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT. Observons que \(i_1\) est une immersion fermée de schémas lisses sur \(S\), et que \(b_1\) est l’éclatement de centre \(Z_1\), d’après Diviseurs, lemme 0805. Supposons que l’on puisse démontrer (1), (2) et (3) pour les morphismes \(b_1\), \(p_1\) et \(i_1\). Alors, d’après le lemme 0FLV, les images inverses par \(\epsilon\) des morphismes de (1), (2) et (3) sont des isomorphismes. Puisque \(\epsilon\) est un morphisme plat surjectif, on conclut. Ainsi, en travaillant étale-localement et en utilisant Compléments sur les morphismes, lemme 0FUE, on peut supposer être dans la situation étudiée à la section 0FUB. Le lemme est alors identique au lemme 0FUR.

Lemme

Avec les notations de Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT, et en notant \(f : X \to S\) le morphisme structural, il existe un triangle distingué canonique \[\Omega^\bullet_{X/S} \to Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) \to \Omega^\bullet_{X/S}[1]\] dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\), où les quatre morphismes \[\begin{matrix} \Omega^\bullet_{X/S} & \to & Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}), \\ \Omega^\bullet_{X/S} & \to & i_*\Omega^\bullet_{Z/S}, \\ Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) & \to & i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}), \\ i_*\Omega^\bullet_{Z/S} & \to & i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) \end{matrix}\] sont les morphismes canoniques (section 07HX), au changement de signe près de l’un d’entre eux.

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \[C \to Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} \to C[1]\] dans \(D(X, f^{-1}\mathcal{O}_S)\). Il suffit de montrer que \(\Omega^\bullet_{X/S}\) est isomorphe à \(C\) d’une manière compatible avec les morphismes canoniques. Les axiomes des catégories triangulées fournissent un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ C' \ar[r] \ar[d] & b_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \ar[r] \ar[d] & i_*p_*\Omega^\bullet_{E/S} \ar[r] \ar[d] & C'[1] \ar[d] \\ C \ar[r] & Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \ar[r] & i_*Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} \ar[r] & C[1] }\] D’après le lemme 0FUU, partie (3), et Catégories dérivées, proposition 05R0, on en déduit que \(C' \to C\) est un isomorphisme. D’après le lemme 0FUU, partie (2), le morphisme \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*p_*\Omega^\bullet_{E/S}\) est un isomorphisme. Ainsi, \(C' = b_*\Omega^\bullet_{X'/S}\) dans la catégorie dérivée. Enfin, le lemme 0FUU, partie (1), montre que cet objet est égal à \(\Omega^\bullet_{X/S}\). Nous omettons la vérification de la compatibilité avec les morphismes canoniques.

Proposition

Avec les notations de Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT, le morphisme \(\Omega^\bullet_{X/S} \to Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S}\) admet une rétraction dans \(D(X, (X \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Considérons le triangle construit dans le lemme 0FUV. Nous affirmons que le morphisme \[Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \oplus i_*\Omega^\bullet_{Z/S} \to i_*Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] admet une section dont l’image contient le facteur direct \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S}\). D’après Catégories dérivées, lemme 05QT, cela montrera que la première flèche du triangle admet une rétraction qui s’annule sur le facteur direct \(i_*\Omega^\bullet_{Z/S}\), ce qui démontre le lemme. Pour prouver l’assertion, nous décomposerons \(Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}\) en une somme directe dont le premier facteur correspond à \(\Omega^\bullet_{Z/S}\) et dont le second se relève par \(Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S}\).

Démonstration de l’assertion. On peut décomposer \(X\) en sous-schémas ouverts et fermés de dimension relative constante sur \(S\) ; voir Morphismes, lemme 02G1. Puisque la catégorie dérivée \(D(X, f^{-1}\mathcal{O})_S)\) se décompose alors en un produit de catégories, on peut supposer \(X\) de dimension relative constante \(N\) sur \(S\). On peut décomposer \(Z = \coprod Z_m\) en sous-schémas ouverts et fermés de dimension relative \(m \geq 0\) sur \(S\). La restriction \(i_m : Z_m \to X\) de \(i\) à \(Z_m\) est une immersion régulière de codimension \(N - m\) ; voir Diviseurs, lemme 067U. Soit \(E = \coprod E_m\) la décomposition correspondante, c’est-à-dire que l’on pose \(E_m = p^{-1}(Z_m)\). Si \(p_m : E_m \to Z_m\) désigne la restriction de \(p\) à \(E_m\), on dispose d’un isomorphisme canonique \[\tilde \xi_m : \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t] \longrightarrow Rp_{m, *}\Omega^\bullet_{E_m/S}\] dans \(D(Z_m, (Z_m \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\), où, en degré \(0\), on a le morphisme canonique \(\Omega^\bullet_{Z_m/S} \to Rp_{m, *}\Omega^\bullet_{E_m/S}\). Voir la remarque 0FUN. On dispose donc d’un isomorphisme \[\tilde \xi : \bigoplus\nolimits_m \bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t] \longrightarrow Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] dans \(D(Z, (Z \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) dont la restriction au facteur direct \(\Omega^\bullet_{Z/S} = \bigoplus \Omega^\bullet_{Z_m/S}\) de la source est le morphisme canonique \(\Omega^\bullet_{Z/S} \to Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\). Considérons les sous-complexes \(M_m\) et \(K_m\) du complexe \(\bigoplus\nolimits_{t = 0, \ldots, N - m - 1} \Omega^\bullet_{Z_m/S}[-2t]\) introduits dans la remarque 0FUN. Posons \[M = \bigoplus M_m \quad\text{et}\quad K = \bigoplus K_m\] On a \(M = K[-2]\) et, par construction, le morphisme \[c_{E/Z} \oplus \tilde \xi|_M : \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus M \longrightarrow Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\] est un isomorphisme (voir la remarque citée ci-dessus).

Considérons le morphisme \[\delta : \Omega^\bullet_{E/S}[-2] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X'/S}\] dans \(D(X', (X' \to S)^{-1}\mathcal{O}_S)\) du lemme 0FUQ, qui a la propriété que la composée \[\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \longrightarrow \Omega^\bullet_{X'/S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{E/S}\] est le morphisme \(\theta'\) de la remarque 0FU7 pour \(c_1^{dR}(\mathcal{O}_{X'}(-E))|_E) = c_1^{dR}(\mathcal{O}_E(1))\). La dernière assertion de la remarque 0FUN montre que le diagramme \[\xymatrix{ K[-2] \ar[d]_{(\tilde \xi|_K)[-2]} \ar[r]_{\text{id}} & M \ar[d]^{\tilde x|_M} \\ Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \ar[r]^-{Rp_*\theta'} & Rp_*\Omega^\bullet_{E/S} }\] est commutatif. La section cherchée dans notre assertion est donc le morphisme \[\begin{align*} Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S}) & \xrightarrow{(c_{E/Z} \oplus \tilde \xi|_M)^{-1}} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus M \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus \text{id}^{-1}} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus K[-2] \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus (\tilde \xi|_K)[-2]} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rp_*\Omega^\bullet_{E/S}[-2] \\ & \xrightarrow{\text{id} \oplus Rb_*\delta} \Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rb_*\Omega^\bullet_{X'/S} \end{align*}\] La relation entre \(\theta'\) et \(\delta\) énoncée ci-dessus, ainsi que le diagramme commutatif faisant intervenir \(\theta'\), \(\tilde \xi|_K\) et \(\tilde \xi|_M\) ci-dessus, donnent exactement ce qu’il faut pour montrer qu’il s’agit d’une section du morphisme canonique \(\Omega^\bullet_{Z/S} \oplus Rb_*(\Omega^\bullet_{X'/S}) \to Rp_*(\Omega^\bullet_{E/S})\), ce qui achève la démonstration de l’assertion.

Le lemme 0G5J montre qu’il est nettement plus facile de construire la rétraction en cohomologie de Hodge que d’établir le résultat de la proposition 0FUW. Nous invitons vivement le lecteur à passer à la section suivante.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas, régulière de codimension \(c\). Alors \(\Ext^q_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}) = 0\) pour \(q < c\), lorsque \(\mathcal{E}\) est localement libre sur \(X\) et \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module quelconque.

Démonstration

D’après la suite spectrale du local au global pour \(\Ext\), il suffit de le démontrer localement sur les ouverts affines de \(X\). Voir Cohomologie, section 0BQP. On peut donc supposer \(X = \Spec(A)\) et l’existence d’une suite régulière \(f_1, \ldots, f_c\) dans \(A\) telle que \(Z = \Spec(A/(f_1, \ldots, f_c))\). On peut supposer \(c \geq 1\). On voit alors que \(f_1 : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\) est injectif. Puisque \(i_*\mathcal{F}\) est annulé par \(f_1\), cela montre que le lemme est vrai pour \(i = 0\) et que l’on dispose d’une surjection \[\Ext^{q - 1}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E}) \longrightarrow \Ext^q_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E})\] Il suffit donc de montrer que la source de cette flèche est nulle. Répétons l’argument : si \(c \geq 2\), le morphisme \(f_2 : \mathcal{E}/f_1\mathcal{E} \to \mathcal{E}/f_1\mathcal{E}\) est injectif. Puisque \(i_*\mathcal{F}\) est annulé par \(f_2\), cela montre que le lemme est vrai pour \(q = 1\) et que l’on dispose d’une surjection \[\Ext^{q - 2}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E} + f_2\mathcal{E}) \longrightarrow \Ext^{q - 1}_{\mathcal{O}_X}(i_*\mathcal{F}, \mathcal{E}/f_1\mathcal{E})\] En poursuivant de cette manière, on démontre le lemme.

Lemme

Avec les notations de Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT, pour \(a \geq 0\), il existe une unique flèche \(Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to \Omega^a_{X/S}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la composée avec \(\Omega^a_{X/S} \to Rb_*\Omega^a_{X'/S}\) est l’identité de \(\Omega^a_{X/S}\).

Démonstration

On peut décomposer \(X\) en sous-schémas ouverts et fermés de dimension relative constante sur \(S\) ; voir Morphismes, lemme 02G1. Puisque la catégorie dérivée \(D(X, f^{-1}\mathcal{O})_S)\) se décompose alors en un produit de catégories, on peut supposer \(X\) de dimension relative constante \(N\) sur \(S\). On peut décomposer \(Z = \coprod Z_m\) en sous-schémas ouverts et fermés de dimension relative \(m \geq 0\) sur \(S\). La restriction \(i_m : Z_m \to X\) de \(i\) à \(Z_m\) est une immersion régulière de codimension \(N - m\) ; voir Diviseurs, lemme 067U. Soit \(E = \coprod E_m\) la décomposition correspondante, c’est-à-dire que l’on pose \(E_m = p^{-1}(Z_m)\). Nous affirmons qu’il existe des morphismes naturels \[b^*\Omega^a_{X/S} \to \Omega^a_{X'/S} \to b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\] dont la composée est induite par l’inclusion \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\). Pour le démontrer, il suffit de montrer que le conoyau de la première flèche est, localement sur \(X'\), annulé par une équation locale du diviseur de Cartier effectif \(\sum (N - m - 1)E_m\). Pour cela, on peut travailler étale-localement sur \(X\) comme dans la démonstration du lemme 0FUU, et appliquer le lemme 0G5G. En calculant étale-localement à l’aide du lemme 0G5H, on voit que la composée induite \[\Omega^a_{X/S} \to Rb_*\Omega^a_{X'/S} \to Rb_*\left(b^*\Omega^a_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{O}_{X'}(\sum (N - m - 1)E_m)\right)\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\), d’où l’existence du morphisme du lemme.

Pour l’unicité, il suffit de montrer qu’il n’existe pas de morphisme non nul de \(\tau_{\geq 1}Rb_*\Omega_{X'/S}\) vers \(\Omega^a_{X/S}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Il suffit pour cela de montrer qu’il n’existe pas de morphisme non nul de \(R^qb_*\Omega_{X'/s}[-q]\) vers \(\Omega^a_{X/S}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) pour \(q \geq 1\) (détails omis). D’après le lemme 0FUU, \(R^qb_*\Omega_{X'/s} \cong i_*R^qp_*\Omega^a_{E/S}\) est l’image directe d’un module sur \(Z = \coprod Z_m\). Observons en outre que la restriction de \(R^qp_*\Omega^a_{E/S}\) à \(Z_m\) n’est non nulle que pour \(q < N - m\). En effet, les fibres de \(E_m \to Z_m\) sont de dimension \(N - m - 1\), et l’on peut appliquer Limites, lemme 0E7D. L’annulation voulue résulte donc du lemme 0G5I.

Comparaison de faisceaux de formes différentielles

Le but de cette section est de construire, pour tout morphisme syntomique localement quasi-fini de schémas \(f : Y \to X\), des morphismes \[c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] pour tout \(p \geq 0\), satisfaisant aux propriétés suivantes :

1. \(c_{Y/X}^0(1) = \delta(\NL_{Y/X})\) ; voir Discriminants, section 0FKB,

2. \(c_{Y/X}^{q + p}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge c_{Y/X}^p(\eta)\) pour les sections locales \(\omega\) de \(f^*\Omega^q_{X/\mathbf{Z}}\) et \(\eta\) de \(\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\),

3. la formation de \(c^p_{Y/X}\) est compatible avec la restriction aux ouverts et le changement de base (au sens du lemme 0H9G).

Notons que ces conditions impliquent que les morphismes \(c^p_{Y/X}\) sont \(\mathcal{O}_Y\)-linéaires et que leur composée avec \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\) est la multiplication par \(\delta(\NL_{Y/X})\). Nous montrerons en fait qu’il existe une unique famille d’opérateurs \(c^p_{Y/X}\) possédant les propriétés (1), (2) et (3). Ce résultat sera appliqué à la section 0FK6 pour construire le morphisme trace sur les complexes de de Rham lorsque \(f\) est fini.

Lemme

Soit \(R\) un anneau, et considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K^0 \ar[r] & L^0 \ar[r] & M^0 \ar[r] & 0 \\ & & L^{-1} \ar[u]_\partial \ar@{=}[r] & M^{-1} \ar[u] }\] de \(R\)-modules dont la ligne supérieure est exacte, et où \(M^0\) et \(M^{-1}\) sont libres de même rang fini. Pour \(p \geq 0\), il existe des morphismes canoniques \[c^p : \wedge^p(H^0(L^\bullet)) \longrightarrow \wedge^p(K^0) \otimes_R \det(M^\bullet)\] possédant les propriétés suivantes :

1. \(c^0(1) = \delta(M^\bullet)\), et

2. \(c^{q + p}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge c^p(\eta)\) pour \(\omega \in \wedge^q(K^0)\) et \(\eta \in \wedge^p(H^0(L^\bullet))\).

En particulier, la composée de \(c^p\) avec le morphisme \(\wedge^p(K^0) \to \wedge^p(H^0(L^\bullet))\) est la multiplication par \(\delta(M^\bullet)\).

Démonstration

Supposons \(M^0\) et \(M^{-1}\) libres de rang \(n\). Pour tout \(p \geq 0\), il existe une unique surjection \[\pi_p : \wedge^{p + n}(L^0) \longrightarrow \wedge^p(K^0) \otimes \wedge^n(M^0)\] possédant les deux propriétés suivantes : (i) on a \(\pi_p(k_1 \wedge \ldots \wedge k_p \wedge l_1 \wedge \ldots \wedge l_n) = k_1 \wedge \ldots \wedge k_p \otimes m_1 \wedge \ldots \wedge m_n\) si \(k_1, \ldots, k_p \in K^0\) et si \(l_1, \ldots, l_n \in L^0\) ont pour images \(m_1, \ldots, m_n \in M^0\), et (ii) le noyau de \(\pi_p\) est le sous-module engendré par les produits extérieurs \(l_1 \wedge \ldots \wedge l_{p + n}\) tels qu’un nombre \(> p\) des \(l_j\) appartiennent à \(K^0\). Choisissons une base \(e_1, \ldots, e_n\) de \(L^{-1} = M^{-1}\). On définit alors notre morphisme par la règle \[\eta \mapsto \pi_p(\tilde \eta \wedge \partial(e_1) \wedge \ldots \wedge \partial(e_n)) \otimes (e_1 \wedge \ldots \wedge e_n)^{\otimes -1}\] où \(\eta \in \wedge^p(H^0(L^\bullet))\) et où \(\tilde \eta \in \wedge^p(L^0)\) est un relèvement de \(\eta\). Le membre de droite a un sens, car \(\det(M^\bullet) = \wedge^n(M^0) \otimes \wedge^n(M^{-1})^{\otimes -1}\). Il est indépendant du choix de \(\tilde \eta\) puisque \(\partial(\xi) \wedge \partial(e_1) \wedge \ldots \wedge \partial(e_n) = 0\) pour tout \(\xi \in L^{-1}\). Un calcul direct montre que le morphisme est indépendant du choix de la base de \(L^{-1} = M^{-1}\). Il résulte immédiatement de la définition de \(\delta(M^\bullet)\) dans Compléments d’algèbre, section 0FJI, que \(c^0(1) = \delta(M^\bullet)\). Enfin, la règle de l’assertion (2) se vérifie directement à partir de la définition.

Lemme

Soit \(R_1 \to R_2\) un homomorphisme d’anneaux. Pour \(i = 1, 2\), considérons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K_i^0 \ar[r] & L_i^0 \ar[r] & M_i^0 \ar[r] & 0 \\ & & L_i^{-1} \ar[u]_{\partial_i} \ar@{=}[r] & M_i^{-1} \ar[u] }\] de \(R_i\)-modules comme dans le lemme 0FL8. Supposons donnés des morphismes \(K_1^0 \to K_2^0\), \(L_1^j \to L_2^j\) et \(M_1^j \to M_2^j\) compatibles avec le morphisme d’anneaux \(R_1 \to R_2\) et avec les morphismes des diagrammes affichés. Si les morphismes \(M_1^j \otimes_{R_1} R_2 \to M_2^j\) sont des isomorphismes, alors les diagrammes \[\xymatrix{ \wedge^p(H^0(L_1^\bullet)) \ar[d] \ar[r]_-{c^p} & \wedge^p(K_1^0) \otimes_{R_1} \det(M_1^\bullet) \ar[d] \\ \wedge^p(H^0(L_2^\bullet)) \ar[r]^-{c^p} & \wedge^p(K_2^0) \otimes_{R_2} \det(M_2^\bullet) }\] sont commutatifs.

Démonstration

Cela résulte de la description explicite du morphisme donnée dans la démonstration du lemme 0FL8. Notons que l’hypothèse selon laquelle les \(M_1^j \otimes_{R_1} R_2 \to M_2^j\) sont des isomorphismes est nécessaire pour voir que la base utilisée pour \(M_1^{-1}\) s’envoie sur une base de \(M_2^{-1}\) (et donc que l’on peut utiliser la « même » base dans les deux constructions pour en vérifier la compatibilité).

Remarque

Soit \(A\) un anneau. Soit \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\). Soient \(f_1, \ldots, f_n \in P\), et posons \(B = P/(f_1, \ldots, f_n)\). Supposons \(A \to B\) quasi-fini. Alors \(B\) est une intersection complète globale relative sur \(A\) (Algèbre, définition 00SP), et \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\) est libre, engendré par les classes \(\overline{f}_i\), d’après Algèbre, lemme 00SV. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ \Omega_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A B \ar[r] & \Omega_{P/\mathbf{Z}} \otimes_P B \ar[r] & \Omega_{P/A} \otimes_P B \\ & (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \ar[u] \ar@{=}[r] & (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \ar[u] }\] La colonne de droite représente \(\NL_{B/A}\) dans \(D(B)\) ; sa cohomologie est donc \(\Omega_{B/A}\) en degré \(0\). La ligne supérieure est la suite exacte courte scindée \(0 \to \Omega_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A B \to \Omega_{P/\mathbf{Z}} \otimes_P B \to \Omega_{P/A} \otimes_P B \to 0\). La colonne du milieu a pour cohomologie \(\Omega_{B/\mathbf{Z}}\) en degré \(0\), d’après Algèbre, lemme 00RU. Ainsi, le lemme 0FL8 fournit des morphismes canoniques de \(B\)-modules \[\Omega^p_{B/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{A/\mathbf{Z}} \otimes_A \det(\NL_{B/A})\] pour \(p \geq 0\), satisfaisant aux propriétés (1) et (2) et, en particulier, tels que la composée avec \(\Omega^p_{A/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{B/\mathbf{Z}}\) soit la multiplication par \(\delta(\NL_{B/A})\).

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] de schémas qui induit un isomorphisme de \(Y'\) sur un sous-schéma ouvert de \(X' \times_X Y\). Supposons \(f\) localement quasi-fini et syntomique, et supposons donnés des morphismes \(c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\) pour \(p \geq 0\) satisfaisant à (0H9C) et (0H9D). Il existe alors au plus une famille de morphismes \(c^p_{Y'/X'} : \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}} \to (f')^*\Omega^p_{X'/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \det(\NL_{Y'/X'})\) pour \(p \geq 0\) satisfaisant à (0H9C) et (0H9D), telle que les diagrammes \[\xymatrix{ b^*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \ar[rr]_-{b^*c^p_{Y/X}} \ar[d] & & b^*(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})) \ar@{=}[r] & (f')^*a^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} b^*\det(\NL_{Y/X})) \ar[d] \\ \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}} \ar[rrr]^-{c^p_{Y'/X'}} & & & (f')^*\Omega^p_{X'/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \det(\NL_{Y'/X'}) }\] soient commutatifs pour tout \(p \geq 0\). Les flèches verticales utilisent ici les morphismes \(b^*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}}\) et \(a^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{X'/\mathbf{Z}}\) de la section 07HX, ainsi que l’identification \(b^*\det(\NL_{Y/X}) = \det(\NL_{Y'/X'})\) de Discriminants, section 0FKB.

Démonstration

Le morphisme \[(f')^*\Omega_{X'/\mathbf{Z}} \oplus b^*\Omega_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega_{Y'/\mathbf{Z}}\] est surjectif, car \(Y'\) est un sous-schéma ouvert du produit fibré ; l’énoncé algébrique correspondant affirme que \(\Omega_{B \otimes_A C/\mathbf{Z}}\) est engendré, comme module, par les images de \(\Omega_{B/\mathbf{Z}}\) et de \(\Omega_{C/\mathbf{Z}}\). Ainsi, pour tout \(p\), le morphisme \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, p} (f')^*\Omega^i_{X'/\mathbf{Z}} \otimes b^*\Omega^{p - i}_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{Y'/\mathbf{Z}}\] est surjectif. Les conditions (0H9C) et (0H9D), combinées à la commutativité du diagramme du lemme, impliquent que le morphisme \(c^p_{Y'/X'}\) est déterminé (mais son existence n’est pas immédiate).

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] de schémas qui induit un isomorphisme de \(Y'\) sur un sous-schéma ouvert de \(X' \times_X Y\). Supposons \(f\) localement quasi-fini et syntomique. Alors, pour tout \(y' \in Y'\), on peut trouver des ouverts \(V' \subset Y'\), \(V \subset Y\), \(U' \subset X\) et \(U \subset X\) tels que \(y' \in V'\), \(f'(V') \subset U'\), \(b(V') \subset V\), \(a(U') \subset U\), \(f(V) \subset U\), et tels que, pour \(p \geq 0\), il existe des morphismes \(c^p_{V/U}\) et \(c^p_{V'/U'}\) satisfaisant à (0H9C) et (0H9D), compatibles avec le diagramme \[\xymatrix{ V' \ar[d] \ar[r]_b & V \ar[d] \\ U' \ar[r] & U }\] au sens précisé dans le lemme 0H9G.

Démonstration

Il est clair que l’on peut remplacer \(Y'\) par \(X' \times_X Y\) pour le démontrer. Choisissons des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\), où \(V\) contient l’image de \(y'\), comme dans Discriminants, lemme 0BWE, partie (5). Choisissons un ouvert affine \(U' \subset X'\) contenant l’image de \(y'\) et s’envoyant dans \(U\). En remplaçant \(X, Y, X', Y'\) par \(U, V, U', U' \times_U V\), on peut supposer être dans la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons que \(X' = \Spec(A')\), \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\) et \(Y' = \Spec(A' \otimes_A B)\), où \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) est une intersection complète globale relative sur \(A\). Alors \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_n)\) est aussi une intersection complète globale relative sur \(A'\), où \(f'_i\) est l’image de \(f_i\) dans \(A'[x_1, \ldots, x_n]\) ; voir Algèbre, lemme 00SS. La construction de la remarque 0FL9 fournit les morphismes \(c^p_{V/U}\) et \(c^p_{V'/U'}\). Ils sont compatibles d’après le lemme 0H9F et la compatibilité des présentations de \(B\) et de \(B'\) sur \(A\) et \(A'\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Il existe une unique règle qui, à tout morphisme de schémas syntomique localement quasi-fini \(f : Y \to X\), associe des morphismes de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \[c^p_{Y/X} : \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] pour \(p \geq 0\), satisfaisant à (0H9C), (0H9D) et (0H9E). En particulier, la composée de \(c^p_{Y/X}\) avec \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\) est la multiplication par \(\delta(\NL_{Y/X})\).

Démonstration

Cette démonstration est très proche de celle de Discriminants, proposition 0FKD, que nous suggérons au lecteur de consulter d’abord.

Reformulons l’énoncé. Considérons la catégorie \(\mathcal{C}\) dont les objets, notés \(Y/X\), sont les morphismes syntomiques localement quasi-finis \(f : Y \to X\) de schémas, et dont les morphismes \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) sont les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_b & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^a & X }\] qui induisent un isomorphisme de \(Y'\) sur un sous-schéma ouvert de \(X' \times_X Y\). Le lemme signifie que, pour tout objet \(Y/X\) de \(\mathcal{C}\), on dispose de morphismes \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\), possédant les propriétés (0H9C) et (0H9D), et que, pour tout morphisme \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) de \(\mathcal{C}\), \(c^p_{Y/X}\) et \(c^p_{Y'/X'}\) sont compatibles comme dans le lemme 0H9G.

Étant donnés \(Y/X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(y \in Y\), on peut trouver des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) avec \(f(V) \subset U\) tels qu’il existe des morphismes \[\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}|_V \longrightarrow \left( f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X}) \right)|_V\] possédant les propriétés (0H9C) et (0H9D). Il suffit pour cela de choisir des ouverts affines comme dans Discriminants, lemme 0BWE, partie (5), puis d’utiliser la construction de la remarque 0FL9.

Notons que le lieu étale de \(f\) est exactement l’ensemble des points où \(\delta(\NL_{Y/X})\) ne s’annule pas ; voir la discussion dans Discriminants, section 0FKB. En particulier, \(f^*\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\) devient un isomorphisme après inversion de \(\delta(\NL_{Y/X})\). On en déduit que, si \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\) est localement libre de rang fini et si l’annulateur de \(\delta(\NL_{Y/X})\) dans \(\mathcal{O}_Y\) est nul, les morphismes locaux construits au paragraphe précédent sont uniques et se recollent automatiquement !

Notons \(\mathcal{C}_{nice} \subset \mathcal{C}\) la sous-catégorie pleine formée des \(Y/X\) tels que

1. \(\Omega_{X/\mathbf{Z}}\) est localement libre, et

2. l’annulateur de \(\delta(\NL_{Y/X})\) dans \(\mathcal{O}_Y\) est nul.

D’après les observations du paragraphe précédent, pour tout objet \(Y/X\) de \(\mathcal{C}_{nice}\), il existe des morphismes uniques \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\), satisfaisant aux conditions (0H9C) et (0H9D). Si \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}_{nice}\), les morphismes \(c^p_{Y/X}\) et \(c^p_{Y'/X'}\) sont compatibles comme dans le lemme 0H9G : en effet, des morphismes compatibles existent localement d’après le lemme 0H9H, et l’unicité que nous venons de mentionner montre qu’ils coïncident avec \(c^p_{Y/X}\) et \(c^p_{Y'/X'}\). Autrement dit, nous avons résolu le problème sur la sous-catégorie pleine \(\mathcal{C}_{nice}\). Pour \(Y/X\) dans \(\mathcal{C}_{nice}\), nous continuerons à noter \(c^p_{Y/X}\) la solution ainsi obtenue.

Plus généralement, supposons donné un morphisme \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(Y/X\) soit un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\). Le même argument, utilisant cette fois l’unicité du lemme 0H9G, montre qu’il existe des morphismes \(c^p_{Y'/X'}\), \(p \geq 0\), satisfaisant aux conditions (0H9C) et (0H9D), compatibles avec les morphismes déjà construits \(c^p_{Y/X}\). Appelons-les les changements de base \((b/a)^*c^p_{Y/X}\).

Considérons des morphismes \[Y_1/X_1 \xleftarrow{b_1/a_1} Y/X \xrightarrow{b_2/a_2} Y_2/X_2\] dans \(\mathcal{C}\) tels que \(Y_1/X_1\) et \(Y_2/X_2\) soient des objets de \(\mathcal{C}_{nice}\). Assertion. Les deux changements de base \((b_i/a_i)^*c^p_{Y_i/X_i}\), \(i = 1, 2\), sont égaux. Nous montrerons d’abord que cette assertion entraîne le lemme, puis nous la démontrerons.

Soient \(d, n \geq 1\), et considérons le morphisme syntomique localement quasi-fini \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) construit dans Discriminants, exemple 0FK8. Alors \(Y_{n, d}\) et \(Y_{n, d}\) sont des schémas irréductibles, de type fini et lisses sur \(\mathbf{Z}\). En effet, \(X_{n, d}\) est le spectre d’un anneau de polynômes sur \(\mathbf{Z}\), et \(Y_{n, d}\) est un sous-schéma ouvert d’un tel spectre. Le morphisme \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est syntomique localement quasi-fini et étale au-dessus d’un ouvert dense ; voir Discriminants, lemme 0FK9. Ainsi, \(\delta(\NL_{Y_{n, d}/X_{n, d}})\) est non nul : on dispose, par exemple, de la description locale de \(\delta(\NL_{Y/X})\) dans Discriminants, remarque 0FKC, et de la description locale des morphismes étales dans Morphismes, lemme 02GU, partie (8). Or une section non nulle d’un module inversible sur un schéma régulier irréductible a un annulateur nul. Ainsi, \(Y_{n, d}/X_{n, d}\) est un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\).

Soit \(Y/X\) un objet quelconque de \(\mathcal{C}\). Soit \(y \in Y\). D’après Discriminants, lemme 0FKA, on peut trouver \(n, d \geq 1\) et des morphismes \[Y/X \leftarrow V/U \xrightarrow{b/a} Y_{n, d}/X_{n, d}\] de \(\mathcal{C}\) tels que \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) soient ouverts. On dispose alors du changement de base \(c^p_{V/U} = (b/a)^*c^p_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\). L’assertion garantit que ces morphismes construits localement \(c^p_{V/U}\) se recollent ! On obtient donc des morphismes globaux bien définis \(c^p_{Y/X}\) possédant les propriétés (0H9C) et (0H9D). Enfin, soit \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) un morphisme quelconque de \(\mathcal{C}\). On dispose des morphismes \(c^p_{Y'/X'}\), \(p \geq 0\) et \(c^p_{Y/X}\), \(p \geq 0\), construits dans ce paragraphe. Pour vérifier leur compatibilité au sens du lemme 0H9G, on peut travailler localement sur \(Y'/X'\) et \(Y/X\). On peut donc supposer qu’il existe un morphisme \(Y/X \to Y_{n, d}/X_{n, d}\). Par construction, la famille \(c^p_{Y'/X'}\) et la famille \(c^p_{X/Y}\) sont toutes deux compatibles avec le morphisme vers \(Y_{n, d}/X_{n, d}\). Il en résulte aisément (en utilisant l’unicité du lemme 0H9G) que \(c^p_{Y'/X'}\) est compatible avec \(c^p_{Y/X}\). Il reste donc à démontrer l’assertion.

Le reste de la démonstration est consacré à l’assertion. On peut choisir un point \(y \in Y\) et montrer que les morphismes coïncident dans un voisinage ouvert de \(y\). On peut donc remplacer \(Y_1\) et \(Y_2\) par des voisinages ouverts de l’image de \(y\) dans \(Y_1\) et \(Y_2\). On peut ainsi supposer \(Y, X, Y_1, X_1, Y_2, X_2\) affines, et les écrire comme spectres d’anneaux \(B, A, B_1, A_1, B_2, A_2\). Voici le diagramme \[\xymatrix{ B_1 \ar[r] & B & B_2 \ar[l] \\ A_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A_2 \ar[l] \ar[u] }\] Par hypothèse, le spectre de \(B\) est un ouvert affine du spectre de \(A \otimes_{A_1} B_1\) comme de celui de \(A \otimes_{A_2} B_2\). En restreignant encore les ouverts, on peut supposer qu’il existe des éléments \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\) tels que nos morphismes donnent des isomorphismes \((A \otimes_{A_i} B_i)_{g_i} = B\) ; voir Propriétés, lemme 0H9B. Soient \(x_\alpha\) et \(y_\beta\) des familles de variables suffisamment grandes pour que l’on puisse choisir des surjections \[A'_1 = A_1[x_\alpha] \to A \quad\text{et}\quad A'_2 = A_2[y_\beta] \to A\] de \(A_1\)-algèbres et de \(A_2\)-algèbres, respectivement. On peut alors choisir des relèvements \(h_i \in A'_i \otimes_{A_i} B_i\) de \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\), et considérer le diagramme \[\xymatrix{ (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \ar[r] & B & (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2} \ar[l] \\ A'_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A'_2 \ar[l] \ar[u] }\] Par construction, les deux carrés sont cocartésiens. Considérons ensuite le morphisme d’anneaux \[A' = A'_1 \times_A A'_2 \longrightarrow B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \times_B (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2}\] D’après Compléments d’algèbre, lemme 07RU, on a \(A'_1 \otimes_{A'} B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\) et \(A'_2 \otimes_{A'} B' = (A'_2 \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\). En particulier, les fibres du morphisme \(Y' = \Spec(B') \to \Spec(A') = X'\) sont des sous-schémas ouverts de changements de base des fibres des morphismes \(Y_i \to X_i\) ; elles sont donc finies et sont des intersections complètes locales (voir Discriminants, lemme 0BWE). D’après Compléments d’algèbre, lemme 08KQ, le morphisme d’anneaux \(A' \to B'\) est plat et de présentation finie. Ainsi, Discriminants, lemme 0BWE, partie (3), montre que \(Y'/X'\) est un objet de \(\mathcal{C}\). Considérons maintenant le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & Y/X \ar[ld] \ar@/_2pc/[lldd]_{b_1/a_1} \ar[rd] \ar@/^2pc/[rrdd]^{b_2/a_2} \\ & Y'_1/X'_1 \ar[rd] \ar[ld] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \ar[rd] \\ Y_1/X_1 & & Y'/X' & & Y_2/X_2 }\] où \(Y'_i/X'_i\) correspond à \(A'_i \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\). Notons que \(Y'_i/X'_i\) est un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\), car il s’obtient en prenant un sous-schéma ouvert du produit d’un espace affine de dimension infinie avec \(Y_i/X_i\) ; nous omettons ce détail. En particulier, l’image inverse de \(c^p_{Y_i/X_i}\) par \((b_i/a_i)\) coïncide avec celle de \(c^p_{Y'_i/X'_i}\) par \(Y/X \to Y'_i/X'_i\). On pourrait conclure si \(Y'/X'\) était un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\), mais ce n’est presque jamais le cas. En effet, en prenant les images inverses de \(c^p_{Y'/X'}\) le long des deux chemins du carré, on obtiendrait la conclusion voulue. Pour contourner le fait que \(Y'/X'\) n’appartient pas à \(\mathcal{C}_{nice}\), notons que les arguments précédents montrent que, quitte à restreindre tous les schémas \(X, Y, X'_1, Y'_1, X'_2, Y'_2, X', Y'\) à des ouverts, on peut trouver \(n, d \geq 1\) et prolonger le diagramme comme suit : \[\xymatrix{ & Y/X \ar[ld] \ar[rd] \\ Y'_1/X'_1 \ar[rd] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \\ & Y'/X' \ar[d] \\ & Y_{n, d}/X_{n, d} }\] On peut alors reprendre l’argument déjà donné en prenant l’image inverse de \(c^p_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\). Cela achève la démonstration.

Morphismes trace sur les complexes de de Rham

Une référence pour une partie des résultats de cette section est [Garel]. Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini localement libre de schémas sur \(S\). Il existe alors un morphisme trace \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) ; voir Discriminants, section 0BVH. Dans cette situation, un morphisme trace sur les complexes de de Rham est un morphisme de complexes \[\Theta_{Y/X} : f_*\Omega^\bullet_{Y/S} \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/S}\] tel que \(\Theta_{Y/X}\) soit égal à \(\text{Trace}_f\) en degré \(0\) et vérifie \[\Theta_{Y/X}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge \Theta_{Y/X}(\eta)\] pour les sections locales \(\omega\) de \(\Omega^\bullet_{X/S}\) et \(\eta\) de \(f_*\Omega^\bullet_{Y/S}\). Nous ne savons pas si un tel morphisme trace \(\Theta_{Y/X}\) existe pour tout morphisme fini localement libre \(Y \to X\) ; veuillez écrire à stacks.project@gmail.com si vous disposez d’un contre-exemple ou d’une démonstration.

Exemple

Voici un exemple où il n’existe pas de morphisme trace sur les complexes de de Rham. Considérons la \(\mathbf{C}\)-algèbre \(B = \mathbf{C}[x, y]\) munie de l’action de \(G = \{\pm 1\}\) définie par \(x \mapsto -x\) et \(y \mapsto -y\). Les invariants \(A = B^G\) forment un anneau intègre normal de type fini sur \(\mathbf{C}\), engendré par \(x^2, xy, y^2\). Nous affirmons que, pour l’inclusion \(A \subset B\), il n’existe pas de morphisme trace raisonnable \(\Omega_{B/\mathbf{C}} \to \Omega_{A/\mathbf{C}}\) sur les formes de degré \(1\). Considérons en effet l’élément \(\omega = x \text{d} y \in \Omega_{B/\mathbf{C}}\). Puisque \(\omega\) est invariant sous l’action de \(G\), si un morphisme trace « raisonnable » existait, \(2\omega\) devrait appartenir à l’image de \(\Omega_{A/\mathbf{C}} \to \Omega_{B/\mathbf{C}}\). Ce n’est pas le cas : il est impossible d’écrire \(2\omega\) comme combinaison linéaire de \(\text{d}(x^2)\), \(\text{d}(xy)\) et \(\text{d}(y^2)\), même à coefficients dans \(B\). Cet exemple contredit le théorème principal de [Zannier].

Lemme

Il existe une unique règle qui, à tout morphisme syntomique fini de schémas \(f : Y \to X\), associe des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\Theta^p_{Y/X} : f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\] satisfaisant aux propriétés suivantes :

1. la composée avec \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \to f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}\) est égale à \(\text{id} \otimes \text{Trace}_f\), où \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) est le morphisme de Discriminants, section 0BVH,

2. la règle est compatible avec le changement de base.

Démonstration

Supposons d’abord \(X\) localement noethérien. D’après le lemme 0FLA, on dispose d’un morphisme canonique \[c^p_{Y/X} : \Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \det(\NL_{Y/X})\] D’après Discriminants, proposition 0FKD, on dispose d’un isomorphisme canonique \[c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\] envoyant \(\delta(\NL_{Y/X})\) sur \(\tau_{Y/X}\). En combinant ces morphismes, on obtient \[c^p_{Y/X} \otimes c_{Y/X} : \Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}\] D’après Discriminants, section 0FKW, cela équivaut à la donnée d’un morphisme \[\Theta_{Y/X}^p : f_*\Omega_{Y/\mathbf{Z}}^p \longrightarrow \Omega_{X/\mathbf{Z}}^p\] Rappelons que la relation entre \(c^p_{Y/X} \otimes c_{Y/X}\) et \(\Theta_{Y/X}^p\) utilise le morphisme d’évaluation \(f_*\omega_{Y/X} \to \mathcal{O}_X\) qui envoie \(\tau_{Y/X}\) sur \(\text{Trace}_f(1)\) ; voir Discriminants, section 0FKW. La propriété (1) est donc satisfaite. La propriété (2) l’est pour les changements de base par \(X' \to X\) avec \(X'\) localement noethérien, car \(c^p_{Y/X}\) et \(c_{Y/X}\) sont tous deux compatibles avec ces changements de base. Pour \(f : Y \to X\) syntomique fini et \(X\) localement noethérien, nous continuerons à noter \(\Theta^p_{Y/X}\) la solution ainsi obtenue.

Unicité. Supposons donné un morphisme syntomique fini \(f: Y \to X\) tel que \(X\) soit lisse sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) et que \(f\) soit étale au-dessus d’un ouvert dense de \(X\). Nous affirmons que, dans ce cas, \(\Theta^p_{Y/X}\) est déterminé de manière unique par la propriété (1). Considérons en effet les morphismes \[\Omega^p_{X/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_Y \to f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}} \to \Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\] Le faisceau \(\Omega^p_{X/\mathbf{Z}}\) est sans torsion (par l’hypothèse de lissité) ; il suffit donc de vérifier que la restriction de \(\Theta^p_{Y/X}\) est déterminée de manière unique sur l’ouvert dense au-dessus duquel \(f\) est étale, autrement dit, on peut supposer \(f\) étale. Or, si \(f\) est étale, alors \(f^*\Omega_{X/\mathbf{Z}} = \Omega_{Y/\mathbf{Z}}\), de sorte que la première flèche de l’équation affichée est un isomorphisme. Puisque la composée est déterminée, cela garantit l’unicité.

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme syntomique fini de schémas localement noethériens. Soit \(x \in X\). D’après Discriminants, lemme 0FL4, on peut trouver \(d \geq 1\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d }\] tel que \(x \in U \subset X\) soit ouvert, \(V = f^{-1}(U)\) et \(V = U \times_{U_d} V_d\). Ainsi, \(\Theta^p_{Y/X}|_V\) est l’image inverse du morphisme \(\Theta^p_{V_d/U_d}\). Or, d’après la discussion précédente sur l’unicité et Discriminants, lemmes 0FL1 et 0FL2, le morphisme \(\Theta^p_{V_d/U_d}\) est déterminé de manière unique par la condition (1). L’unicité est donc établie.

Nous avons maintenant établi l’existence et l’unicité pour tout morphisme syntomique fini \(Y \to X\) avec \(X\) localement noethérien. On pourrait donner un argument analogue à celui de la démonstration du lemme 0FLA pour passer à \(X\) quelconque. On peut toutefois utiliser directement l’approximation noethérienne absolue pour conclure. En effet, pour construire \(\Theta^p_{Y/X}\), il suffit de le faire Zariski-localement sur \(X\) (à condition de démontrer aussi l’unicité). On peut donc supposer \(X\) affine (nous omettons ce détail). On peut alors écrire \(X = \lim_{i \in I} X_i\) comme limite de schémas affines noethériens indexée par un ensemble ordonné filtrant \(I\). D’après Algèbre, lemme 05N9, on peut trouver \(0 \in I\) et un morphisme de présentation finie entre schémas affines \(f_0 : Y_0 \to X_0\) dont le changement de base à \(X\) est \(Y \to X\). En augmentant \(0\), on peut supposer \(Y_0 \to X_0\) fini et syntomique ; voir Algèbre, lemmes 0C33 et 07RG. Pour \(i \geq 0\), le changement de base \(f_i : Y_i = Y_0 \times_{X_0} X_i \to X_i\) est aussi syntomique fini. Alors \[\Gamma(X, f_*\Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}) = \Gamma(Y, \Omega^p_{Y/\mathbf{Z}}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(Y_i, \Omega^p_{Y_i/\mathbf{Z}}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(X_i, f_{i, *}\Omega^p_{Y_i/\mathbf{Z}})\] On peut donc, et l’on doit, définir \(\Theta^p_{Y/X}\) comme la limite inductive des morphismes \(\Theta^p_{Y_i/X_i}\). Ce morphisme est compatible avec tout diagramme cartésien \[\xymatrix{ Y' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] où \(X'\) est affine, car nous le savons dans le cas des schémas affines noethériens d’après les arguments précédents (nous omettons ce détail ; indication : si l’on écrit aussi \(X' = \lim_{j \in J} X'_j\), alors, pour tout \(i \in I\), il existe \(j \in J\) et un morphisme \(X'_j \to X_i\) compatible avec le morphisme \(X' \to X\)). Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme syntomique fini de schémas. Les morphismes \(\Theta^p_{Y/X}\) du lemme 0FLB définissent un morphisme de complexes \[\Theta_{Y/X} : f_*\Omega^\bullet_{Y/\mathbf{Z}} \longrightarrow \Omega^\bullet_{X/\mathbf{Z}}\] possédant les propriétés suivantes :

1. en degré \(0\), on obtient \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) ; voir Discriminants, section 0BVH,

2. on a \(\Theta_{Y/X}(\omega \wedge \eta) = \omega \wedge \Theta_{Y/X}(\eta)\) pour \(\omega\) dans \(\Omega^\bullet_{X/\mathbf{Z}}\) et \(\eta\) dans \(f_*\Omega^\bullet_{Y/\mathbf{Z}}\),

3. si \(f\) est un morphisme sur un schéma de base \(S\), \(\Theta_{Y/X}\) induit un morphisme de complexes \(f_*\Omega^\bullet_{Y/S} \to \Omega^\bullet_{X/S}\).

Démonstration

D’après Discriminants, lemme 0FL4, pour tout \(x \in X\), on peut trouver \(d \geq 1\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \ar[r] & Y_d = \Spec(B_d) \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d \ar[r] & X_d = \Spec(A_d) }\] tel que \(x \in U \subset X\) soit un ouvert affine, \(V = f^{-1}(U)\) et \(V = U \times_{U_d} V_d\). Écrivons \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\), observons que \(B = A \otimes_{A_d} B_d\), et rappelons que \(B_d = A_d e_1 \oplus \ldots \oplus A_d e_d\). Supposons donnés \(a_1, \ldots, a_r \in A\) et \(b_1, \ldots, b_s \in B\). On peut écrire \(b_j = \sum a_{j, l} e_l\) avec \(a_{j, l} \in A\). Posons \(N = r + sd\) et considérons les factorisations \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d] & V' = \mathbf{A}^N \times V_d \ar[r] \ar[d] & V_d \ar[d] \\ U \ar[r]& U' = \mathbf{A}^N \times U_d \ar[r] & U_d }\] Ici, la flèche horizontale inférieure droite est donnée par le morphisme \(U \to U_d\) (du diagramme précédent) et le morphisme \(U \to \mathbf{A}^N\) défini par \(a_1, \ldots, a_r, a_{1, 1}, \ldots, a_{s, d}\). On voit alors que les fonctions \(a_1, \ldots, a_r\) appartiennent à l’image de \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\), et que les fonctions \(b_1, \ldots, b_s\) appartiennent à l’image de \(\Gamma(V', \mathcal{O}_{V'}) \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). On voit ainsi que, pour toute famille finie d’éléments⁴ des groupes \[\Gamma(V, \Omega^i_{Y/\mathbf{Z}}),\quad i = 0, 1, 2, \ldots \quad\text{et}\quad \Gamma(U, \Omega^j_{X/\mathbf{Z}}),\quad j = 0, 1, 2, \ldots\], on peut trouver des factorisations \(V \to V' \to V_d\) et \(U \to U' \to U_d\) avec \(V' = \mathbf{A}^N \times V_d\) et \(U' = \mathbf{A}^N \times U_d\) comme ci-dessus, telles que ces sections soient les images inverses de sections de \[\Gamma(V', \Omega^i_{V'/\mathbf{Z}}),\quad i = 0, 1, 2, \ldots \quad\text{et}\quad \Gamma(U', \Omega^j_{U'/\mathbf{Z}}),\quad j = 0, 1, 2, \ldots\] Il en résulte que, pour vérifier \(\text{d} \circ \Theta_{Y/X} = \Theta_{Y/X} \circ \text{d}\), il suffit de vérifier cette égalité pour \(\Theta_{V'/U'}\). Il en va de même de la propriété (2) du lemme.

D’après Discriminants, lemmes 0FL1 et 0FL2, le schéma \(U_d\) est lisse et le morphisme \(V_d \to U_d\) est étale au-dessus d’un ouvert dense de \(U_d\). Il en va donc de même du morphisme \(V' \to U'\). Puisque \(\Omega_{U'/\mathbf{Z}}\) est localement libre et donc \(\Omega^p_{U'/\mathbf{Z}}\) sans torsion, il suffit de vérifier les relations voulues après restriction à l’ouvert au-dessus duquel \(V'\) est fini étale. On peut ensuite vérifier ces relations après un changement de base étale surjectif. On peut donc décomposer le revêtement fini étale et supposer que l’on considère un morphisme de la forme \[\coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} W \longrightarrow W\] où \(W\) est lisse sur \(\mathbf{Z}\). Dans ce cas, toutes les propriétés locales de notre construction se vérifient trivialement (pourvu qu’elles soient vraies). Cela achève la démonstration de (1) et (2).

Enfin, (3) résulte de (2), car \(\Omega_{Y/S}\) est le quotient de \(\Omega_{Y/\mathbf{Z}}\) par le sous-module engendré par les images inverses de sections locales de \(\Omega_{S/\mathbf{Z}}\).

Exemple

Soit \(A\) un anneau. Soit \(f = x^d + \sum_{0 \leq i < d} a_{d - i} x^i \in A[x]\). Soit \(B = A[x]/(f)\). D’après la proposition 0FLC, on dispose d’un morphisme de complexes \[\Theta_{B/A} : \Omega^\bullet_B \longrightarrow \Omega^\bullet_A\] En particulier, si \(t \in B\) désigne l’image de \(x \in A[x]\), on peut considérer les éléments \[\Theta_{B/A}(t^i\text{d}t) \in \Omega^1_A,\quad i = 0, \ldots, d - 1\] Quels sont ces éléments ? Par le même principe que dans la démonstration de la proposition 0FLC, il suffit de les calculer dans le cas universel, c’est-à-dire lorsque \(A = \mathbf{Z}[a_1, \ldots, a_d]\), ou même après remplacement de \(A\) par le corps des fractions \(\mathbf{Q}(a_1, \ldots, a_d)\). En écrivant symboliquement \[f = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} (x - \alpha_i)\], on voit que, sur \(\mathbf{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_d)\), l’algèbre \(B\) se décompose : \[\mathbf{Q}(a_0, \ldots, a_{d - 1})[x]/(f) \longrightarrow \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, d} \mathbf{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_d), \quad t \longmapsto (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)\] Ainsi, par exemple, \[\Theta(\text{d}t) = \sum \text{d} \alpha_i = - \text{d}a_1\] On a ensuite \[\Theta(t\text{d}t) = \sum \alpha_i \text{d}\alpha_i = a_1 \text{d} a_1 - \text{d}a_2\] Puis on a \[\Theta(t^2\text{d}t) = \sum \alpha_i^2 \text{d}\alpha_i = - a_1^2 \text{d} a_1 + a_1 \text{d}a_2 + a_2 \text{d}a_1 - \text{d}a_3\] (sauf erreur de calcul), et ainsi de suite. Cela suggère que, si \(f(x) = x^d - a\), alors \[\Theta_{B/A}(t^i\text{d}t) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & i = 0, \ldots, d - 2 \\ \text{d}a & \text{if} & i = d - 1 \end{matrix} \right.\] dans \(\Omega_A\). C’est vrai, car, dans ce cas particulier, on peut effectuer le calcul pour l’extension \(\mathbf{Q}(a)[x]/(x^d - a)\) afin de le vérifier directement.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de dimension relative \(d\) de schémas de caractéristique \(p\). Le Frobenius relatif \(F_{X/S} : X \to X^{(p)}\) de \(X/S\) (Variétés, définition 0CC9) est syntomique fini, et le morphisme correspondant \[\Theta_{X/X^{(p)}} : F_{X/S, *}\Omega^\bullet_{X/S} \to \Omega^\bullet_{X^{(p)}/S}\] est nul en tout degré sauf en degré \(d\), où il définit une surjection.

Démonstration

Observons que \(F_{X/S}\) est un morphisme fini d’après Variétés, lemme 0CCD. Pour montrer que \(F_{X/S}\) est plat, il suffit de montrer que le morphisme \(F_{X/S, s} : X_s \to X^{(p)}_s\) entre fibres est plat pour tout \(s \in S\) ; voir Compléments sur les morphismes, théorème 039C. La platitude de \(X_s \to X^{(p)}_s\) résulte de Algèbre, lemme 00R4 (et de la finitude déjà établie). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 069M, le morphisme \(F_{X/S}\) est localement d’intersection complète. Ainsi, \(F_{X/S}\) est syntomique fini (voir Compléments sur les morphismes, lemme 069K).

Pour tout point \(x \in X\), on peut choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d]_\pi \\ S & \mathbf{A}^d_S \ar[l] }\] où \(\pi\) est étale et où \(x \in U\) est un ouvert de \(X\) ; voir Morphismes, lemme 054L. Observons que \(\mathbf{A}^d_S \to \mathbf{A}^d_S\), \((x_1, \ldots, x_d) \mapsto (x_1^p, \ldots, x_d^p)\), est le Frobenius relatif de \(\mathcal{A}^d_S\) sur \(S\). Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_\pi \ar[r]_{F_{X/S}} & U^{(p)} \ar[d]^{\pi^{(p)}} \\ \mathbf{A}^d_S \ar[r]^{x_i \mapsto x_i^p} & \mathbf{A}^d_S }\] de Variétés, lemme 0CCA, pour \(\pi : U \to \mathbf{A}^d_S\) est cartésien d’après Morphismes étales, lemme 0EBS. Puisque la construction de \(\Theta\) est compatible avec le changement de base et que \(\Omega_{U/S} = \pi^*\Omega_{\mathbf{A}^d_S/S}\) (lemme 0FLV), il suffit de démontrer le lemme pour \(\mathbf{A}^d_S\).

Soit \(A\) un anneau de caractéristique \(p\). Considérons l’unique homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[y_1, \ldots, y_d] \to A[x_1, \ldots, x_d]\) envoyant \(y_i\) sur \(x_i^p\). Les arguments précédents nous ramènent au calcul du morphisme \[\Theta^i : \Omega^i_{A[x_1, \ldots, x_d]/A} \to \Omega^i_{A[y_1, \ldots, y_d]/A}\] Nous invitons vivement le lecteur à effectuer lui-même ce calcul. Comme dans l’exemple 0FLD, on peut se ramener au calcul d’une formule pour \(\Theta^i\) dans le cas universel \[\mathbf{Z}[y_1, \ldots, y_d] \to \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_d],\quad y_i \mapsto x_i^p\] On peut à son tour trouver la formule pour \(\Theta^i\) en calculant dans le cas complexe, c’est-à-dire pour le morphisme de \(\mathbf{C}\)-algèbres \[\mathbf{C}[y_1, \ldots, y_d] \to \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_d],\quad y_i \mapsto x_i^p\] On peut même inverser \(x_1, \ldots, x_d\) et \(y_1, \ldots, y_d\). Dans ce cas, on a \(\text{d}x_i = p^{-1} x_i^{- p + 1}\text{d}y_i\). On voit donc que \[\begin{align*} \Theta^i( x_1^{e_1} \ldots x_d^{e_d} \text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_i) & = p^{-i} \Theta^i( x_1^{e_1 - p + 1} \ldots x_i^{e_i - p + 1} x_{i + 1}^{e_{i + 1}} \ldots x_d^{e_d} \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i ) \\ & = p^{-i} \text{Trace}(x_1^{e_1 - p + 1} \ldots x_i^{e_i - p + 1} x_{i + 1}^{e_{i + 1}} \ldots x_d^{e_d}) \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i \end{align*}\] d’après les propriétés de \(\Theta^i\). Un calcul élémentaire montre que la trace figurant dans cette expression est nulle, sauf si \(e_1, \ldots, e_i\) sont congrus à \(-1\) modulo \(p\) et si \(e_{i + 1}, \ldots, e_d\) sont divisibles par \(p\). De plus, dans ce cas, on obtient \[p^{d - i} y_1^{(e_1 - p + 1)/p} \ldots y_i^{(e_i - p + 1)/p} y_{i + 1}^{e_{i + 1}/p} \ldots y_d^{e_d/p} \text{d}y_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}y_i\] On en déduit que le résultat est nul en caractéristique \(p\), sauf si \(d = i\), auquel cas on obtient toutes les formes de degré \(d\).

Dualité de Poincaré

Dans cette section, nous démontrons la dualité de Poincaré pour la cohomologie de de Rham d’un schéma propre et lisse sur un corps. Expliquons d’abord comment elle se présente pour la cohomologie de Hodge.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma non vide, lisse et propre sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Il existe une application \(k\)-linéaire \[t : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \longrightarrow k\], unique à précomposition près par la multiplication par une unité de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\), possédant la propriété suivante : pour tous \(p, q\), l’accouplement \[H^q(X, \Omega^p_{X/k}) \times H^{d - q}(X, \Omega^{d - p}_{X/k}) \longrightarrow k, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] est parfait.

Démonstration

D’après Dualité pour les schémas, lemme 0FVV, on a \(\omega_X^\bullet = \Omega^d_{X/k}[d]\). Puisque \(\Omega_{X/k}\) est localement libre de rang \(d\) (Morphismes, lemme 02G1), on a \[\Omega^d_{X/k} \otimes_{\mathcal{O}_X} (\Omega^p_{X/k})^\vee \cong \Omega^{d - p}_{X/k}\] On obtient donc une application \(k\)-linéaire \(t : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\) pour laquelle l’énoncé est vrai, d’après Dualité pour les schémas, lemme 0FVY. En particulier, l’accouplement \(H^0(X, \mathcal{O}_X) \times H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\) est parfait, ce qui implique que toute application \(k\)-linéaire \(t' : H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \to k\) est de la forme \(\xi \mapsto t(g\xi)\) pour un certain \(g \in H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Bien entendu, pour que \(t'\) définisse encore une dualité entre \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) et \(H^d(X, \Omega^d_{X/k})\), il faut que \(g\) soit une unité. Notons \(\langle -, - \rangle_{p, q}\) l’accouplement construit à l’aide de \(t\), et \(\langle -, - \rangle'_{p, q}\) celui construit à l’aide de \(t'\). On a clairement \[\langle \xi, \xi' \rangle'_{p, q} = \langle g\xi, \xi' \rangle_{p, q}\] pour \(\xi \in H^q(X, \Omega^p_{X/k})\) et \(\xi' \in H^{d - q}(X, \Omega^{d - p}_{X/k})\). Puisque \(g\) est une unité, donc inversible, on voit qu’en utilisant \(t'\) au lieu de \(t\), on obtient encore des accouplements parfaits pour tous \(p, q\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma lisse et propre sur \(k\). L’application \[\text{d} : H^0(X, \mathcal{O}_X) \to H^0(X, \Omega^1_{X/k})\] est nulle.

Démonstration

Puisque \(X\) est lisse sur \(k\), il est géométriquement réduit sur \(k\) ; voir Variétés, lemme 056T. Ainsi, \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = \prod k_i\) est un produit fini d’extensions de corps finies séparables \(k_i/k\) ; voir Variétés, lemme 0BUG. Il en résulte que \(\Omega_{H^0(X, \mathcal{O}_X)/k} = \prod \Omega_{k_i/k} = 0\) (voir par exemple Algèbre, lemme 090W). Puisque l’application du lemme se factorise sous la forme \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to \Omega_{H^0(X, \mathcal{O}_X)/k} \to H^0(X, \Omega_{X/k})\] par fonctorialité du complexe de de Rham (voir la section 07HX), on conclut.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma lisse et propre sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). L’application \[\text{d} : H^d(X, \Omega^{d - 1}_{X/k}) \to H^d(X, \Omega^d_{X/k})\] est nulle.

Démonstration

Il est tentant de penser que cela résulte de la combinaison des lemmes 0FW5 et 0FW4. Cela ne fonctionne toutefois pas, car les morphismes \(\mathcal{O}_X \to \Omega^1_{X/k}\) et \(\Omega^{d - 1}_{X/k} \to \Omega^d_{X/k}\) ne sont pas \(\mathcal{O}_X\)-linéaires. On ne peut donc utiliser la fonctorialité décrite dans Dualité pour les schémas, remarque 0FVX, pour conclure que l’application du lemme 0FW5 est duale de celle du présent lemme.

On peut remplacer \(X\) par une composante connexe de \(X\). On peut donc supposer \(X\) irréductible. D’après Variétés, lemmes 056T et 0BUG, \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une extension finie séparable \(k'/k\). Puisque \(\Omega_{k'/k} = 0\) (voir par exemple Algèbre, lemme 090W), on voit que \(\Omega_{X/k} = \Omega_{X/k'}\) (voir Morphismes, lemme 01UX). On peut donc remplacer \(k\) par \(k'\) et supposer \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\).

Supposons \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). On en déduit que \(\dim H^d(X, \Omega^d_{X/k}) = 1\) d’après le lemme 0FW4. Supposons d’abord que la caractéristique de \(k\) soit un nombre premier \(p\). Notons \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\) le Frobenius relatif de \(X\) sur \(k\) ; gardons à l’esprit les propriétés de ce morphisme établies dans le lemme 0FW2. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^d(X, \Omega^{d - 1}_{X/k}) \ar[d] \ar[r] & H^d(X^{(p)}, F_{X/k, *}\Omega^{d - 1}_{X/k}) \ar[d] \ar[r]_{\Theta^{d - 1}} & H^d(X^{(p)}, \Omega^{d - 1}_{X^{(p)}/k}) \ar[d] \\ H^d(X, \Omega^d_{X/k}) \ar[r] & H^d(X^{(p)}, F_{X/k, *}\Omega^d_{X/k}) \ar[r]^{\Theta^d} & H^d(X^{(p)}, \Omega^d_{X^{(p)}/k}) }\] Les deux flèches horizontales de gauche sont des isomorphismes, car \(F_{X/k}\) est fini ; voir Cohomologie des schémas, lemme 089W. Le carré de droite est commutatif, car \(\Theta_{X^{(p)}/X}\) est un morphisme de complexes et \(\Theta^{d - 1}\) est nul. Il suffit donc de montrer que \(\Theta^d\) est non nul (car la dimension de la source de \(\Theta^d\) est \(1\) d’après la discussion précédente). Or on sait que \[\Theta^d : F_{X/k, *}\Omega^d_{X/k} \to \Omega^d_{X^{(p)}/k}\] est surjectif, donc encore surjectif après application du foncteur exact à droite \(H^d(X^{(p)}, -)\) (l’exactitude à droite résulte de l’annulation de la cohomologie au-delà de \(d\), conséquence de Cohomologie, proposition 02UZ). Enfin, \(H^d(X^{(d)}, \Omega^d_{X^{(d)}/k})\) est non nul, par exemple parce qu’il est dual de \(H^0(X^{(d)}, \mathcal{O}_{X^{(p)}})\) d’après le lemme 0FW4 appliqué à \(X^{(p)}\) sur \(k\). Cela achève la démonstration dans ce cas.

Supposons enfin que la caractéristique de \(k\) soit \(0\). On peut écrire \(k\) comme limite inductive filtrante de ses \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbres de type fini \(R\). Pour l’une d’elles, on peut trouver un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \Spec(R) }\] tel que \(Y \to \Spec(R)\) soit lisse de dimension relative \(d\) et propre. Voir Limites, lemmes 01ZM, 0C0C, 0EY2 et 081F. Les modules \(M^{i, j} = H^j(Y, \Omega^i_{Y/R})\) sont des \(R\)-modules de type fini ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02O6. Ainsi, en remplaçant \(R\) par un localisé, on peut supposer tous ces modules libres de rang fini. On a \(M^{i, j} \otimes_R k = H^j(X, \Omega^i_{X/k})\) par changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH). Il suffit donc de montrer que \(M^{d - 1, d} \to M^{d, d}\) est nul. C’est un morphisme entre modules libres de rang fini sur un anneau intègre ; il suffit donc de trouver un ensemble dense d’idéaux premiers \(\mathfrak p \subset R\) tel que le morphisme devienne nul après tensorisation par \(\kappa(\mathfrak p)\). Puisque \(R\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), on peut prendre l’ensemble des idéaux premiers \(\mathfrak p\) dont le corps résiduel est de caractéristique positive (détails omis). Observons que \[M^{d - 1, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = H^d(Y_{\kappa(\mathfrak p)}, \Omega^{d - 1}_{Y_{\kappa(\mathfrak p)}/\kappa(\mathfrak p)})\], par exemple d’après Limites, lemme 0E7D. Il en va de même pour \(M^{d, d}\). On voit donc que \(M^{d - 1, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to M^{d, d} \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) est nul d’après le cas de caractéristique positive traité ci-dessus.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma non vide, lisse et propre sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Il existe une application \(k\)-linéaire \[t : H^{2d}_{dR}(X/k) \longrightarrow k\], unique à précomposition près par la multiplication par une unité de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\), possédant la propriété suivante : pour tout \(i\), l’accouplement \[H^i_{dR}(X/k) \times H_{dR}^{2d - i}(X/k) \longrightarrow k, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] est parfait.

Démonstration

La suite spectrale de Hodge vers de Rham (section 0FM6), l’annulation de \(\Omega^i_{X/k}\) pour \(i > d\), le théorème d’annulation de Cohomologie, proposition 02UZ, et les résultats des lemmes 0FW5 et 0FW6 montrent que \(H^0_{dR}(X/k) = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) et \(H^d(X, \Omega^d_{X/k}) = H_{dR}^{2d}(X/k)\). Plus précisément, ces identifications proviennent des morphismes de complexes \[\Omega^\bullet_{X/k} \to \mathcal{O}_X[0] \quad\text{et}\quad \Omega^d_{X/k}[-d] \to \Omega^\bullet_{X/k}\] Choisissons \(t : H_{dR}^{2d}(X/k) \to k\) correspondant, par cette identification, à une application \(t\) comme dans le lemme 0FW4. On voit alors, en tout cas, que l’accouplement affiché dans le lemme est parfait pour \(i = 0\).

Notons \(\underline{k}\) le faisceau constant de valeur \(k\) sur \(X\). Abrégeons \(\Omega^\bullet = \Omega^\bullet_{X/k}\). Considérons le morphisme (0FM2), qui s’écrit ici \[\wedge : \text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] Pour tout entier \(p = 0, 1, \ldots, d\), ce morphisme annule le sous-complexe \(\text{Tot}(\sigma_{> p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet)\) pour des raisons de degré. Ainsi, la restriction de \(\wedge\) au sous-complexe \(\text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\) se factorise par un morphisme de complexes \[\gamma_p : \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] Par le même procédé qu’à la section 0FM1, on obtient des cup-produits \[H^i(X, \sigma_{\leq p} \Omega^\bullet) \times H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \longrightarrow H_{dR}^{2d}(X, \Omega^\bullet)\] Nous montrerons par récurrence sur \(p\) que ces cup-produits, composés avec \(t\), induisent des accouplements parfaits entre \(H^i(X, \sigma_{\leq p} \Omega^\bullet)\) et \(H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\). Pour \(p = d\), c’est l’assertion de la proposition.

Le cas initial est \(p = 0\). On obtient alors simplement l’accouplement entre \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\) et \(H^{d - i}(X, \Omega^d)\) du lemme 0FW4, d’où le résultat.

Étape de récurrence. Supposons le résultat vrai pour \(p\). Considérons alors le triangle distingué \[\Omega^{p + 1}[-p - 1] \to \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \to \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\] et le triangle distingué \[\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet \to \sigma_{\geq d - p - 1}\Omega^\bullet \to \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)[1]\] Observons que tous deux sont des triangles distingués dans la catégorie homotopique des complexes de faisceaux de \(\underline{k}\)-modules ; en particulier, les morphismes \(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\) et \(\Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)[1]\) sont donnés par de véritables morphismes de complexes, à l’aide de la différentielle \(\Omega^p \to \Omega^{p + 1}\) et de la différentielle \(\Omega^{d - p - 1} \to \Omega^{d - p}\). Considérons les suites exactes longues de cohomologie associées à ces triangles distingués \[\xymatrix{ H^{i - 1}(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet) \ar[d]_a \\ H^i(X, \Omega^{p + 1}[-p - 1]) \ar[d]_b \\ H^i(X, \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet) \ar[d]_c \\ H^i(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet) \ar[d]_d \\ H^{i + 1}(X, \Omega^{p + 1}[-p - 1]) } \quad\quad \xymatrix{ H^{2d - i + 1}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \\ H^{2d - i}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1]) \ar[u]_{a'} \\ H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p - 1}\Omega^\bullet) \ar[u]_{b'} \\ H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \ar[u]_{c'} \\ H^{2d - i - 1}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1]) \ar[u]_{d'} }\] Par récurrence et d’après le lemme 0FW4, on sait que les accouplements construits ci-dessus entre les \(k\)-espaces vectoriels des première, deuxième, quatrième et cinquième lignes sont parfaits. D’après le lemme des \(5\), pour montrer que l’accouplement entre les groupes de cohomologie de la ligne du milieu est parfait, il suffit de montrer que les couples \((a, a')\), \((b, b')\), \((c, c')\) et \((d, d')\) sont compatibles avec les accouplements donnés (voir ci-dessous).

Démontrons-le pour le couple \((c, c')\). Il suffit d’observer que l’on dispose d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_p} & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_{p + 1}} }\] Ainsi, si l’on a \(\alpha \in H^i(X, \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet)\) et \(\beta \in H^{2d - i}(X, \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet)\), on obtient \(\gamma_p(\alpha \cup c'(\beta)) = \gamma_{p + 1}(c(\alpha) \cup \beta)\) par fonctorialité du cup-produit.

De même, pour le couple \((b, b')\), on utilise le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_{p + 1}} & \text{Tot}(\Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p + 1] \ar[l]_-\wedge }\] et l’on raisonne de la même manière.

Pour le couple \((d, d')\), on utilise le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Omega^{p + 1}[-p] \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p] \ar[d] & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \Omega^{d - p - 1}[-d + p]) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{\underline{k}} \sigma_{\geq d - p}\Omega^\bullet) \ar[l] }\] et l’on considère les classes de cohomologie dans \(H^i(X, \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet)\) et \(H^{2d - i}(X, \Omega^{d - p - 1}[-d + p])\). En remplaçant \(i\) par \(i - 1\), on obtient le résultat pour le couple \((a, a')\), ce qui achève la démonstration du caractère parfait de nos accouplements.

Nous omettons l’argument établissant l’unicité de \(t\) à précomposition près par la multiplication par une unité de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\).

Classes de Chern

Les résultats établis jusqu’ici suffisent pour appliquer la discussion de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4, afin de construire des classes de Chern en cohomologie de de Rham.

Lemme

Il existe une unique règle qui associe à tout schéma quasi-compact et quasi-séparé \(X\) une classe de Chern totale \[c^{dR} : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}_{dR}(X/\mathbf{Z})\] possédant les propriétés suivantes :

1. on a \(c^{dR}(\alpha + \beta) = c^{dR}(\alpha) c^{dR}(\beta)\) pour \(\alpha, \beta \in K_0(\textit{Vect}(X))\),

2. si \(f : X \to X'\) est un morphisme de schémas quasi-compacts et quasi-séparés, alors \(c^{dR}(f^*\alpha) = f^*c^{dR}(\alpha)\),

3. pour \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\), on a \(c^{dR}([\mathcal{L}]) = 1 + c_1^{dR}(\mathcal{L})\)

La construction s’étend facilement à tous les schémas, mais il faut pour cela généraliser légèrement la discussion de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4.

Démonstration

Nous allons appliquer Théories cohomologiques de Weil, proposition 0FI5, pour obtenir ce résultat.

Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie de tous les schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Elle satisfait assurément aux conditions (1), (2) et (3) (a), (b) et (c) de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4.

Notre foncteur contravariant \(A\) de \(\mathcal{C}\) vers la catégorie des algèbres graduées enverra \(X\) sur \(A(X) = \bigoplus_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Z})\), muni de son cup-produit. La fonctorialité est expliquée à la section 0FL6 et le cup-produit à la section 0FM1. Pour les applications additives \(c_1^A\), on prend \(c_1^{dR}\), construit à la section 0FLE.

On obtient en fait des algèbres commutatives, d’après le lemme 0FM3, ce qui établit l’axiome (1) pour \(A\).

Pour vérifier l’axiome (2) pour \(A\), il suffit de vérifier que \(H^*_{dR}(X \coprod Y/\mathbf{Z}) = H^*_{dR}(X/\mathbf{Z}) \times H^*_{dR}(Y/\mathbf{Z})\). Cela résulte du fait que la cohomologie de de Rham se construit en prenant la cohomologie d’un faisceau d’algèbres différentielles graduées (pour la topologie de Zariski).

L’axiome (3) pour \(A\) affirme simplement que la formation des premières classes de Chern des modules inversibles est compatible avec les images inverses. Cela résulte du lemme plus général 0FMD.

L’axiome (4) pour \(A\) est la formule du fibré projectif, démontrée dans la proposition 0FMT.

Axiome (5). Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé, et soit \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) une surjection de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de rangs \(r + 1\) et \(r\). Notons \(i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\) le morphisme d’inclusion correspondant. C’est un morphisme de schémas projectifs lisses sur \(X\) qui présente \(P'\) comme un diviseur de Cartier effectif sur \(P\). Ainsi, d’après le lemme 0FMY, le complexe à pôles logarithmiques pour \(P' \subset P\) sur \(\mathbf{Z}\) est défini. Par conséquent, pour \(a \in A(P)\) tel que \(i^*a = 0\), on a \(a \cup c_1^A(\mathcal{O}_P(P')) = 0\) d’après le lemme 0FMX. Cela achève la démonstration.

Remarque

Les analogues de Théories cohomologiques de Weil, lemmes 0FI7 (principe de décomposition) et 0FI8 (classes de Chern des produits tensoriels), sont valables pour les classes de Chern de de Rham sur les schémas quasi-compacts et quasi-séparés. C’est clair, puisque nous avons montré dans la démonstration du lemme 0FW9 que tous les axiomes de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4, sont satisfaits.

Pour les schémas sur \(\mathbf{Q}\), on peut construire un caractère de Chern.

Lemme

Il existe une unique règle qui associe à tout schéma quasi-compact et quasi-séparé \(X\) sur \(\mathbf{Q}\) un « caractère de Chern » \[ch^{dR} : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Q})\] possédant les propriétés suivantes :

1. \(ch^{dR}\) est un morphisme d’anneaux pour tout \(X\),

2. si \(f : X' \to X\) est un morphisme de schémas quasi-compacts et quasi-séparés sur \(\mathbf{Q}\), alors \(f^* \circ ch^{dR} = ch^{dR} \circ f^*\), et

3. pour \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\), on a \(ch^{dR}([\mathcal{L}]) = \exp(c_1^{dR}(\mathcal{L}))\).

La construction s’étend facilement à tous les schémas sur \(\mathbf{Q}\), mais il faut pour cela généraliser légèrement la discussion de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4.

Démonstration

Exactement comme dans la démonstration du lemme 0FW9, on montre que la catégorie des schémas quasi-compacts et quasi-séparés sur \(\mathbf{Q}\), munie du foncteur \(A^*(X) = \bigoplus_{i \geq 0} H_{dR}^{2i}(X/\mathbf{Q})\), satisfait aux axiomes de Théories cohomologiques de Weil, section 0FI4. De plus, dans ce cas, \(A(X)\) est une \(\mathbf{Q}\)-algèbre pour tout \(X\). Le lemme résulte donc de Théories cohomologiques de Weil, proposition 0FI9.

Une théorie cohomologique de Weil

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(0\). Dans cette section, nous montrons que le foncteur \[X \longmapsto H^*_{dR}(X/k)\] définit une théorie cohomologique de Weil sur \(k\) à coefficients dans \(k\), au sens de Théories cohomologiques de Weil, définition 0FI2. Nous vérifierons que les constructions précédentes de ce chapitre fournissent des données (D0), (D1) et (D2’) satisfaisant aux axiomes (A1) – (A9) de Théories cohomologiques de Weil, section 0FID.

Dans toute la suite de cette section, fixons le corps \(k\) de caractéristique \(0\) et posons \(F = k\). Prenons ensuite les données suivantes :

1. Pour l’espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(F\), \(F(1)\), prenons \(F(1) = F = k\).

2. Pour le foncteur \(H^*\), prenons celui qui envoie un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) sur \(H^*_{dR}(X/k)\). La fonctorialité est expliquée à la section 0FL6 et le cup-produit à la section 0FM1. On obtient des \(F\)-algèbres graduées commutatives d’après le lemme 0FM3.

3. Pour les applications \(c_1^H : \Pic(X) \to H^2(X)(1)\), on utilise la première classe de Chern de de Rham introduite à la section 0FLE.

Nous allons montrer que les axiomes (A1) – (A9) sont satisfaits.

Dans ce paragraphe, nous allons ramener la vérification des axiomes au cas où \(k\) est algébriquement clos, en utilisant Théories cohomologiques de Weil, lemme 0FVT. Notons \(k'\) une clôture algébrique de \(k\). Posons \(F' = k'\). On obtient des données (D0), (D1), (D2’) sur \(k'\) à corps de coefficients \(F'\), exactement comme ci-dessus. D’après le lemme 0FM0, il existe des isomorphismes fonctoriels \[H_{dR}^{2d}(X/k) \otimes_k k' \longrightarrow H_{dR}^{2d}(X_{k'}/k')\] pour \(X\) lisse et projectif sur \(k\). De plus, les diagrammes \[\xymatrix{ \Pic(X) \ar[r]_{c^{dR}_1} \ar[d] & H_{dR}^2(X/k) \ar[d] \\ \Pic(X_{k'}) \ar[r]^{c^{dR}_1} & H_{dR}^2(X_{k'}/k') }\] sont commutatifs d’après le lemme 0FMD. Cela achève la réduction.

Supposons \(k\) algébriquement clos de caractéristique nulle. Nous allons établir les axiomes (A1) – (A9) pour les données (D0), (D1) et (D2’) ci-dessus.

Axiome (A1). Il faut vérifier que \(H^*_{dR}(X \coprod Y/k) = H^*_{dR}(X/k) \times H^*_{dR}(Y/k)\). Cela résulte du fait que la cohomologie de de Rham se construit en prenant la cohomologie d’un faisceau d’algèbres différentielles graduées (pour la topologie de Zariski).

Axiome (A2). Il affirme simplement que la formation des premières classes de Chern des modules inversibles est compatible avec les images inverses. Cela résulte du lemme plus général 0FMD.

Axiome (A3). Il résulte de la proposition plus générale 0FMT.

Axiome (A4). Il résulte du lemme plus général 0FMX.

Dès à présent, en utilisant Théories cohomologiques de Weil, lemmes 0FIE et 0FIF, on obtient un caractère de Chern et des applications de classe de cycle \[\gamma : \CH^*(X) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}_{dR}(X/k)\] pour \(X\) projectif lisse sur \(k\), qui sont des homomorphismes d’anneaux gradués compatibles avec les images inverses par les morphismes \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses sur \(k\).

Axiome (A5). On a \(H_{dR}^*(\Spec(k)/k) = k = F\) en degré \(0\). On dispose de la formule de Künneth pour le produit de deux \(k\)-schémas projectifs lisses d’après le lemme 0FMB (observons que les produits tensoriels dérivés de l’énoncé ne posent pas de difficulté, puisque la tensorisation s’effectue sur le corps \(k\)).

Axiome (A7). Il résulte de la proposition 0FUW.

Axiome (A8). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Le texte explicatif accompagnant cet axiome dans Théories cohomologiques de Weil, section 0FID, montre que \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre finie séparable. Il en résulte que \(H_{dR}^*(\Spec(k')/k) = k'\), concentré en degré \(0\), puisque \(\Omega_{k'/k} = 0\). D’après le lemme 0FW5, on a aussi \(H_{dR}^0(X, \mathcal{O}_X) = k'\), ce qui donne l’axiome.

Axiome (A6). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Notons \(\Delta : X \to X \times_{\Spec(k)} X\) le morphisme diagonal de \(X\) sur \(k\). Il faut montrer qu’il existe une application \(k\)-linéaire \[\lambda : H_{dR}^{2d}(X/k) \longrightarrow k\] telle que \((1 \otimes \lambda)\gamma([\Delta]) = 1\) dans \(H^0_{dR}(X/k)\). Écrivons \[\gamma = \gamma([\Delta]) = \gamma_0 + \ldots + \gamma_{2d}\], où \(\gamma_i \in H_{dR}^i(X/k) \otimes_k H_{dR}^{2d - i}(X/k)\) sont les composantes de Künneth. Il s’agit de montrer qu’il existe une application linéaire \(\lambda : H_{dR}^{2d}(X/k) \to k\) telle que \((1 \otimes \lambda)\gamma_0 = 1\) dans \(H^0_{dR}(X/k)\).

Soit \(X = \coprod X_i\) la décomposition de \(X\) en composantes connexes, donc irréductibles. On a alors la décomposition correspondante \(\Delta = \coprod \Delta_i\) avec \(\Delta_i \subset X_i \times X_i\). Il en résulte que \[\gamma([\Delta]) = \sum \gamma([\Delta_i])\], et, de plus, \(\gamma([\Delta_i])\) correspond à la classe de \(\Delta_i \subset X_i \times X_i\) par la décomposition \[H^*_{dR}(X \times X) = \prod\nolimits_{i, j} H^*_{dR}(X_i \times X_j)\] Nous omettons les détails ; une façon de le montrer consiste à utiliser, dans \(\CH^0(X \times X)\), les idempotents \(e_{i, j}\) correspondant aux sous-schémas ouverts et fermés \(X_i \times X_j\), ainsi que le fait que \(\gamma\) est un morphisme d’anneaux envoyant \(e_{i, j}\) sur l’idempotent correspondant dans la décomposition en produit de la cohomologie affichée ci-dessus. Si l’on peut trouver \(\lambda_i : H_{dR}^{2d}(X_i/k) \to k\) tel que \((1 \otimes \lambda_i)\gamma([\Delta_i]) = 1\) dans \(H^0_{dR}(X_i/k)\), alors \(\lambda = \sum \lambda_i\) résoudra le problème pour \(X\). On peut donc supposer, et l’on suppose désormais, \(X\) irréductible.

Démonstration de l’axiome (A6) pour \(X\) irréductible. Puisque \(k\) est algébriquement clos, on a \(H^0_{dR}(X/k) = k\), car \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), \(X\) étant une variété projective sur un corps algébriquement clos (voir par exemple Variétés, lemme 0BUG). Soit \(x \in X\) un point fermé quelconque. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^\Delta \\ X \ar[r]^-{x \times \text{id}} & X \times_{\Spec(k)} X }\] La compatibilité de \(\gamma\) avec les images inverses implique que \(\gamma([\Delta])\) s’envoie sur \(\gamma([x])\) dans \(H_{dR}^{2d}(X/k)\) ; autrement dit, \(\gamma_0 = 1 \otimes \gamma([x])\). On en déduit deux faits : (a) la classe \(\gamma([x])\) est indépendante de \(x\), (b) il suffit de montrer que \(\gamma([x])\) est non nulle, et donc (c) il suffit de trouver un cycle de dimension zéro \(\alpha\) sur \(X\) tel que \(\gamma(\alpha) \not = 0\). Pour cela, choisissons un morphisme fini \[f : X \longrightarrow \mathbf{P}^d_k\] Pour l’existence d’un tel morphisme, voir Théorie de l’intersection, section 0B1N, en particulier le lemme 0B1P. Observons que \(f\) est syntomique fini (localement d’intersection complète d’après Compléments sur les morphismes, lemme 069M, et plat d’après Algèbre, lemme 00R4). D’après la proposition 0FLC, on dispose d’un morphisme trace \[\Theta_f : f_*\Omega^\bullet_{X/k} \longrightarrow \Omega^\bullet_{\mathbf{P}^d_k/k}\] dont la composée avec le morphisme canonique \[\Omega^\bullet_{\mathbf{P}^d_k/k} \longrightarrow f_*\Omega^\bullet_{X/k}\] est la multiplication par le degré de \(f\). On obtient donc une application \[\Theta : H_{dR}^{2d}(X/k) \to H_{dR}^{2d}(\mathbf{P}^d_k/k)\] telle que \(\Theta \circ f^*\) soit la multiplication par un entier strictement positif. Ainsi, si l’on peut trouver sur \(\mathbf{P}^d_k\) un cycle de dimension zéro dont la classe est non nulle, on conclut par la compatibilité de \(\gamma\) avec les images inverses. Cela résulte du lemme 0FMJ et achève la démonstration de l’axiome (A6).

Nous utiliserons les faits suivants sans plus les mentionner. Premièrement, d’après Théories cohomologiques de Weil, remarque 0FIK, l’application \(\lambda_X : H^{2d}_{dR}(X/k) \to k\) est unique. Deuxièmement, dans la démonstration de l’axiome (A6), nous avons vu que \(\lambda_X(\gamma([x])) = 1\) lorsque \(X\) est irréductible ; autrement dit, la composée de l’application de classe de cycle \(\gamma : \CH^d(X) \to H_{dR}^{2d}(X/k)\) avec \(\lambda_X\) est l’application degré.

Axiome (A9). Soit \(Y \subset X\) un diviseur lisse non vide sur un schéma projectif lisse équidimensionnel non vide \(X\) sur \(k\), de dimension \(d\). Il faut montrer que le diagramme \[\xymatrix{ H_{dR}^{2d - 2}(X/k) \ar[rrr]_{c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap -} \ar[d]_{restriction} & & & H_{dR}^{2d}(X) \ar[d]^{\lambda_X} \\ H_{dR}^{2d - 2}(Y/k) \ar[rrr]^-{\lambda_Y} & & & k }\] est commutatif, où \(\lambda_X\) et \(\lambda_Y\) sont comme dans l’axiome (A6). Nous avons vu ci-dessus que, si l’on décompose \(X = \coprod X_i\) en composantes connexes (ou, de manière équivalente, irréductibles), on a la décomposition correspondante \(\lambda_X = \sum \lambda_{X_i}\). De même, si l’on décompose \(Y = \coprod Y_j\) en composantes connexes (ou, de manière équivalente, irréductibles), on a \(\lambda_Y = \sum \lambda_{Y_j}\). De plus, dans ce cas, \(\mathcal{O}_X(Y) = \otimes_j \mathcal{O}_X(Y_j)\), d’où \[c_1^{dR}(\mathcal{O}_X(Y)) = \sum\nolimits_j c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y_j))\] dans \(H_{dR}^2(X/k)\). Une chasse au diagramme directe montre qu’il suffit de prouver la commutativité lorsque \(X\) et \(Y\) sont tous deux irréductibles. Alors \(H_{dR}^{2d - 2}(Y/k)\) est de dimension \(1\), car on dispose de la dualité de Poincaré pour \(Y\) d’après Théories cohomologiques de Weil, lemme 0FIJ. D’après l’axiome (A4), le noyau de la restriction (flèche verticale de gauche) est contenu dans le noyau du cup-produit avec \(c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y))\). Il suffit donc de trouver une classe de cohomologie \(a \in H_{dR}^{2d - 2}(X)\) dont la restriction à \(Y\) soit non nulle et pour laquelle le diagramme soit commutatif, à savoir pour \(a\). Prenons un module inversible ample quelconque \(\mathcal{L}\) et posons \[a = c^{dR}_1(\mathcal{L})^{d - 1}\] On sait alors que \(a|_Y = c^{dR}_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1}\), d’où \[\lambda_Y(a|_Y) = \deg(c_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1} \cap [Y])\] d’après la description de \(\lambda_Y\) ci-dessus. C’est un entier strictement positif, d’après Homologie de Chow, lemme 0BFI, combiné avec Variétés, lemme 0BEV. De même, on obtient \[\lambda_X(c^{dR}_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap a) = \deg(c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap c_1(\mathcal{L})^{d - 1} \cap [X])\] Puisque l’on sait que \(c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap [X] = [Y]\), presque par définition, on dispose d’une égalité de cycles de dimension zéro \[(Y \to X)_*\left(c_1(\mathcal{L}|_Y)^{d - 1} \cap [Y]\right) = c_1(\mathcal{O}_X(Y)) \cap c_1(\mathcal{L})^{d - 1} \cap [X]\] sur \(X\). Ces cycles ont donc le même degré, ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soit \(k\) un corps de caractéristique nulle. Le foncteur qui envoie un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) sur \(H_{dR}^*(X/k)\) est une théorie cohomologique de Weil au sens de Théories cohomologiques de Weil, définition 0FI2.

Démonstration

Dans la discussion ci-dessus, nous avons montré que nos données (D0), (D1), (D2’) satisfont aux axiomes (A1) – (A9) de Théories cohomologiques de Weil, section 0FID. On conclut donc par Théories cohomologiques de Weil, proposition 0FIU.

Ne lisez pas ce qui suit. Dans la démonstration des assertions, nous avons aussi utilisé les lemmes 0FM0, 0FMD, 0FMX, 0FMB, 0FW5 et 0FMJ, les propositions 0FMT, 0FUW et 0FLC, Théories cohomologiques de Weil, lemmes 0FVT, 0FIE, 0FIF et 0FIJ, Théories cohomologiques de Weil, remarque 0FIK, Variétés, lemmes 0BUG et 0BEV, Théorie de l’intersection, section 0B1N et lemme 0B1P, Compléments sur les morphismes, lemme 069M, Algèbre, lemme 00R4, et Homologie de Chow, lemme 0BFI.

Remarque

Exactement de la même manière que ci-dessus, on peut montrer que la cohomologie de Hodge \(X \mapsto H_{Hodge}^*(X/k)\), munie de \(c_1^{Hodge}\), définit une théorie cohomologique de Weil. Si nous en avons besoin, nous en donnerons ici un énoncé précis et une démonstration. Il en résulte la conséquence amusante suivante : si les nombres de Betti d’une théorie cohomologique de Weil sont indépendants de la théorie cohomologique de Weil choisie (sur notre corps \(k\) de caractéristique \(0\)), alors la suite spectrale de Hodge vers de Rham dégénère en \(E_1\) ! Bien entendu, la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham est connue (voir par exemple [Deligne-Illusie] pour une remarquable démonstration algébrique), mais ce résultat n’est nullement facile ! Cela suggère que l’indépendance des nombres de Betti est également difficile à démontrer et, à notre connaissance, reste un problème ouvert. Voir Théories cohomologiques de Weil, remarque 0FI3 pour une question apparentée.

Morphismes de Gysin pour les immersions fermées

Dans cette section, nous définissons le morphisme de Gysin pour les immersions fermées.

Remarque

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé défini par \(f_1, \ldots, f_c\). Nous étudierons ci-dessous le morphisme de Gysin [0G84]\[\begin{equation} \gamma^p_{f_1, \ldots, f_c} : \Omega^p_{Z/S} \longrightarrow \mathcal{H}_Z^c(\Omega^{p + c}_{X/S}) \end{equation}\] défini comme suit. Étant donnée une section locale \(\omega\) de \(\Omega^p_{Z/S}\) qui est la restriction d’une section \(\tilde \omega\) de \(\Omega^p_{X/S}\), nous posons \[\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}(\omega) = c_{f_1, \ldots, f_c}(\tilde \omega|_Z) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\] où \(c_{f_1, \ldots, f_c} : \Omega^p_{X/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \mathcal{H}_Z^c(\Omega^p_{X/S})\) est le morphisme construit dans Catégories dérivées des schémas, remarque 0G7Q. Cette définition est indépendante des choix : pour \(\omega\) donné, nous pouvons modifier le choix de \(\tilde \omega\) par des éléments de la forme \(\sum f_i \omega'_i + \sum \text{d}(f_i) \wedge \omega''_i\), que la construction envoie sur zéro.

Lemme

Le morphisme de Gysin (0G84) est compatible avec les différentielles de de Rham sur \(\Omega^\bullet_{X/S}\) et \(\Omega^\bullet_{Z/S}\).

Démonstration

Ceci résulte d’un calcul presque immédiat, une fois l’énoncé correctement interprété. Rappelons d’abord que le foncteur \(\mathcal{H}^c_Z\) calculé dans la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules coïncide avec le foncteur défini de manière analogue dans la catégorie des faisceaux abéliens sur \(X\) ; voir Cohomologie, lemme 0G74. La différentielle \(\text{d} : \Omega^p_{X/S} \to \Omega^{p + 1}_{X/S}\) induit donc un morphisme \(\mathcal{H}^c_Z(\Omega^p_{X/S}) \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + 1}_{X/S})\). De plus, la construction du complexe de Čech alterné augmenté dans Catégories dérivées des schémas, remarque 0G7I, s’applique à la catégorie des faisceaux abéliens. Le morphisme \[\Coker\left(\bigoplus \mathcal{F}_{1 \ldots \hat i \ldots c} \to \mathcal{F}_{1 \ldots c}\right) \longrightarrow i_*\mathcal{H}^c_Z(\mathcal{F})\] utilisé pour construire \(c_{f_1, \ldots, f_c}\) dans Catégories dérivées des schémas, remarque 0G7Q, est bien défini et fonctoriel dans la catégorie de tous les faisceaux abéliens sur \(X\). Le lemme résulte donc de l’égalité \[\text{d}\left( \frac{\tilde \omega \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\right) = \frac{\text{d}(\tilde \omega) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\], qui est claire.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de présentation finie dont le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) est localement libre de rang \(c\). Il existe alors un morphisme canonique \[\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] donné localement par les morphismes \(\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}\) de la remarque 0G83.

Démonstration

Les hypothèses impliquent que, pour tout \(x \in Z \subset X\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) sur lequel \(Z\) est défini par \(c\) éléments \(f_1, \ldots, f_c \in \mathcal{O}_X(U)\). Il suffit donc de montrer que, si \(f_1, \ldots, f_c\) et \(g_1, \ldots, g_c\) sont des éléments de \(\mathcal{O}_X(U)\) définissant \(Z \cap U\), les morphismes \(\gamma^p_{f_1, \ldots, f_c}\) et \(\gamma^p_{g_1, \ldots, g_c}\) coïncident. Pour cela, quitte à restreindre \(U\), nous pouvons supposer que \(g_j = \sum a_{ji} f_i\) pour certains \(a_{ji} \in \mathcal{O}_X(U)\). Nous avons alors \(c_{f_1, \ldots, f_c} = \det(a_{ji}) c_{g_1, \ldots, g_c}\) d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7S. D’autre part, nous avons \[\text{d}(g_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}(g_c) \equiv \det(a_{ji}) \text{d}(f_1) \wedge \ldots \wedge \text{d}(f_c) \bmod (f_1, \ldots, f_c)\Omega^c_{X/S}\] En combinant ces relations, un calcul direct donne l’égalité voulue.

Lemme

Soient \(X \to S\) et \(i : Z \to X\) comme dans le lemme 0G86. Le morphisme de Gysin \(\gamma^p\) est compatible avec les différentielles de de Rham sur \(\Omega^\bullet_{X/S}\) et \(\Omega^\bullet_{Z/S}\).

Démonstration

La vérification est locale, et l’assertion résulte alors du lemme 0G85.

Lemme

Soient \(X \to S\) et \(i : Z \to X\) comme dans le lemme 0G86. Pour \(\alpha \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\), nous avons \(\gamma^p(\alpha|_Z) = i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\) dans \(H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}))\). Les notations sont expliquées dans la démonstration.

Démonstration

La restriction \(\alpha|_Z\) est l’élément de \(H^q(Z, \Omega^p_{Z/S})\) donné par la fonctorialité de la cohomologie de Hodge. En appliquant la fonctorialité de la cohomologie au morphisme \(\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\), nous obtenons \(\gamma^p(\alpha|_Z)\) dans \(H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}))\). Cela explique le membre de gauche de la formule.

Pour expliquer le membre de droite, nous prenons d’abord l’image inverse par le morphisme d’espaces annelés \(i : (Z, i^{-1}\mathcal{O}_X) \to (X, \mathcal{O}_X)\), ce qui donne l’élément \(i^{-1}\alpha \in H^q(Z, i^{-1}\Omega^p_{X/S})\). Soit \(\gamma^0(1) \in H^0(Z, \mathcal{H}_Z^c(\Omega^c_{X/S}))\) l’image de \(1 \in H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = H^0(Z, \Omega^0_{Z/S})\) par \(\gamma^0\). Le cup-produit fournit un élément \[i^{-1}\alpha \cup \gamma^0(1) \in H^{q + c}(Z, i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_{X/S}))\] En utilisant Cohomologie, remarque 0G75, et le produit extérieur, nous obtenons des morphismes canoniques \[i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(\Omega^c_{X/S}) \to R\mathcal{H}_Z(\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \Omega^c_{X/S}) \to R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7N, les faisceaux de cohomologie des objets \(R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S})\) sont nuls en degrés \(> c\). Ainsi, en prenant les faisceaux de cohomologie en degré \(c\), nous obtenons un morphisme \[i^{-1}\Omega^p_{X/S} \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_{X/S}) \longrightarrow \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\] L’expression \(i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\) est l’image du cup-produit \(i^{-1}\alpha \cup \gamma^0(1)\) par la fonctorialité de la cohomologie.

Le sens de la formule étant ainsi précisé, les propriétés générales des cup-produits (Cohomologie, section 0FKU) montrent qu’il suffit de prouver que le diagramme \[\xymatrix{ i^{-1}\Omega^p_X \otimes \Omega^0_Z \ar[rr]_{\text{id} \otimes \gamma^0} \ar[d] & & i^{-1}\Omega^p_X \otimes \mathcal{H}^c_Z(\Omega^c_X) \ar[d]^\wedge \\ \Omega^p_Z \otimes \Omega^0_Z \ar[r]^\wedge & \Omega^p_Z \ar[r]^{\gamma^p} & \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_X) }\] est commutatif dans la catégorie des faisceaux sur \(Z\) (avec un abus de notation évident). Cela se ramène à un calcul simple pour les morphismes \(\gamma^j_{f_1, \ldots, f_c}\), que nous omettons ; ces morphismes sont en fait choisis précisément pour assurer cette commutativité et pour que \(1\) ait pour image \(\frac{\text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c}{f_1 \ldots f_c}\).

Lemme

Soit \(c \geq 0\) un entier. Soit \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_h \ar[r] & X' \ar[d]_g \ar[r] & S' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X \ar[r] & S }\] un diagramme commutatif de schémas. Supposons que

1. \(Z \to X\) et \(Z' \to X'\) vérifient les hypothèses du lemme 0G86 ;

2. le carré de gauche du diagramme soit cartésien ;

3. \(h^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z'/X'}\) (Morphismes, lemme 01R4) soit un isomorphisme.

Alors le diagramme \[\xymatrix{ h^*\Omega^p_{Z/S} \ar[rr]_-{h^{-1}\gamma^p} \ar[d] & & \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z} h^{-1}\mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) \ar[d] \\ \Omega^p_{Z'/S'} \ar[rr]^{\gamma^p} & & \mathcal{H}^c_{Z'}(\Omega^{p + c}_{X'/S'}) }\] est commutatif. La flèche verticale de gauche est donnée par la fonctorialité des modules de différentielles et celle de droite fait intervenir Cohomologie, remarque 0G78.

Démonstration

Plus précisément, considérons le composé \[\begin{align*} \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} h^{-1}R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) & \to R\mathcal{H}_{Z'}(Lg^*\Omega^{p + c}_{X/S}) \\ & \to R\mathcal{H}_{Z'}(g^*\Omega^{p + c}_{X/S}) \\ & \to R\mathcal{H}_{Z'}(\Omega^{p + c}_{X'/S'}) \end{align*}\] dont la première flèche est donnée par Cohomologie, remarque 0G78, et la dernière par la fonctorialité des différentielles. L’annulation des faisceaux de cohomologie en degrés \(> c\), d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7N, fournit la flèche verticale de droite. Nous pouvons vérifier la commutativité localement. Nous pouvons donc supposer que \(Z\) est défini par \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors \(Z'\) est défini par \(f'_i = g^\sharp(f_i)\). Les morphismes \(c_{f_1, \ldots, f_c}\) et \(c_{f'_1, \ldots, f'_c}\) s’insèrent dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ h^*i^*\Omega^p_{X/S} \ar[rr]_-{h^{-1}c_{f_1, \ldots, f_c}} \ar[d] & & \mathcal{O}_{X'}|_{Z'} \otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_X|_Z} h^{-1}\mathcal{H}^c_Z(\Omega^p_{X/S}) \ar[d] \\ (i')^*\Omega^p_{X'/S'} \ar[rr]^{c_{f'_1, \ldots, f'_c}} & & \mathcal{H}^c_{Z'}(\Omega^p_{X'/S'}) }\] Voir Catégories dérivées des schémas, remarque 0G7U. Rappelons que, pour une \(p\)-forme \(\omega\) sur \(Z\), nous définissons \(\gamma^p(\omega)\) en choisissant (localement sur \(X\) et \(Z\)) une \(p\)-forme \(\tilde \omega\) sur \(X\) relevant \(\omega\), puis en posant \(\gamma^p(\omega) = c_{f_1, \ldots, f_c}(\tilde \omega) \wedge \text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\). Puisque l’image inverse de la forme \(\text{d}f_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f_c\) est \(\text{d}f'_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}f'_c\), nous concluons.

Remarque

Soient \(X \to S\), \(i : Z \to X\) et \(c \geq 0\) comme dans le lemme 0G86. Soit \(p \geq 0\) ; supposons que \(\mathcal{H}^i_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) = 0\) pour \(i = 0, \ldots, c - 1\). Cette annulation a lieu si \(X \to S\) est lisse et si \(Z \to X\) est une immersion régulière au sens de Koszul ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7P. Nous obtenons alors un morphisme \[\gamma^{p, q} : H^q(Z, \Omega^p_{Z/S}) \longrightarrow H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S})\] en utilisant d’abord \(\gamma^p : \Omega^p_{Z/S} \to \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})\) pour atteindre \[H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})) = H^q(Z, R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})[c]) = H^q(X, i_*R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S})[c])\], puis le morphisme d’adjonction \(i_*R\mathcal{H}_Z(\Omega^{p + c}_{X/S}) \to \Omega^{p + c}_{X/S}\) pour passer au module de cohomologie de Hodge voulu.

Lemme

Soient \(X \to S\) et \(i : Z \to X\) comme dans le lemme 0G86. Supposons que \(X \to S\) soit lisse et que \(Z \to X\) soit régulière au sens de Koszul. Les morphismes de Gysin \(\gamma^{p, q}\) sont compatibles avec les différentielles de de Rham sur \(\Omega^\bullet_{X/S}\) et \(\Omega^\bullet_{Z/S}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0G87.

Lemme

Soient \(X \to S\), \(i : Z \to X\) et \(c \geq 0\) comme dans le lemme 0G86. Supposons que \(X \to S\) soit lisse et que \(Z \to X\) soit régulière au sens de Koszul. Pour \(\alpha \in H^q(X, \Omega^p_{X/S})\), nous avons \(\gamma^{p, q}(\alpha|_Z) = \alpha \cup \gamma^{0, 0}(1)\) dans \(H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S})\), où \(\gamma^{a, b}\) est défini dans la remarque 0G8A.

Démonstration

Ce lemme résulte du lemme 0G88 et de Cohomologie, lemme 0G77. Le lecteur peut omettre la discussion plus détaillée qui suit.

Nous utiliserons sans le rappeler l’égalité \(R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S}) = \mathcal{H}^c_Z(\Omega^j_{X/S})[-c]\) pour tout \(j\), signalée dans la remarque 0G8A. Nous utiliserons également sans les mentionner les identifications \(H^{q + c}_Z(X, \Omega^j_{X/S}) = H^{q + c}(Z, R\mathcal{H}_Z(\Omega^j_{X/S}) = H^q(Z, \mathcal{H}^c_Z(\Omega^j_{X/S}))\) ; voir Cohomologie, lemme 0G70, pour la première. Avec ces identifications :

1. \(\gamma^0(1) \in H^c_Z(X, \Omega^c_{X/S})\) a pour image \(\gamma^{0, 0}(1)\) dans \(H^c(X, \Omega^c_{X/S})\) ;

2. le membre de droite \(i^{-1}\alpha \wedge \gamma^0(1)\) de l’égalité du lemme 0G88 est l’image par le produit extérieur du cup-produit de Cohomologie, remarque 0G76, des éléments \(\alpha\) et \(\gamma^0(1)\) ; autrement dit, les constructions de la démonstration du lemme 0G88 et de Cohomologie, remarque 0G76, coïncident ;

3. d’après Cohomologie, lemme 0G77, cet élément a pour image \(\alpha \cup \gamma^{0, 0}(1)\) dans \(H^{q + c}(X, \Omega^p_{X/S} \otimes \Omega^c_{X/S})\) ;

4. le membre de gauche \(\gamma^p(\alpha|_Z)\) de l’égalité du lemme 0G88 a pour image \(\gamma^{p, q}(\alpha|_Z)\).

Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(c \geq 0\) et \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_h \ar[r] & X' \ar[d]_g \ar[r] & S' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X \ar[r] & S }\] vérifiant les hypothèses du lemme 0G89. Supposons de plus que \(X \to S\) et \(X' \to S'\) soient lisses, et que \(Z \to X\) et \(Z' \to X'\) soient des immersions régulières au sens de Koszul. Alors le diagramme \[\xymatrix{ H^q(Z, \Omega^p_{Z/S}) \ar[rr]_-{\gamma^{p, q}} \ar[d] & & H^{q + c}(X, \Omega^{p + c}_{X/S}) \ar[d] \\ H^q(Z', \Omega^p_{Z'/S'}) \ar[rr]^{\gamma^{p, q}} & & H^{q + c}(X', \Omega^{p + c}_{X'/S'}) }\] est commutatif, où \(\gamma^{p, q}\) est défini dans la remarque 0G8A.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison du lemme 0G89 et de Cohomologie, lemme 0G79.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma irréductible, lisse et propre sur \(k\), de dimension \(d\). Soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé réduit constitué d’un unique point \(k\)-rationnel \(x\). Alors l’image de \(1 \in k = H^0(Z, \mathcal{O}_Z) = H^0(Z, \Omega^0_{Z/k})\) par le morphisme \(H^0(Z, \Omega^0_{Z/k}) \to H^d(X, \Omega^d_{X/k})\) de la remarque 0G8A est non nulle.

Démonstration

Le morphisme \(\gamma^0 : \mathcal{O}_Z \to \mathcal{H}^d_Z(\Omega^d_{X/k}) = R\mathcal{H}_Z(\Omega^d_{X/k})[d]\) a pour adjoint un morphisme \[g^0 : i_*\mathcal{O}_Z \longrightarrow \Omega^d_{X/k}[d]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Rappelons que \(\Omega^d_{X/k} = \omega_X\) est un faisceau dualisant pour \(X/k\) ; voir Dualité pour les schémas, lemme 0FVV. Le dual \(k\)-linéaire du morphisme de l’énoncé est donc le morphisme \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \to \Ext^d_X(i_*\mathcal{O}_Z, \omega_X)\] qui envoie \(1\) sur \(g^0\). Il suffit ainsi de montrer que \(g^0\) est non nul. Nous pouvons le vérifier dans un voisinage quelconque \(U\) du point \(x\). Choisissons \(U\) de sorte qu’il existe \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_X(U)\) s’annulant seulement en \(x\) et engendrant l’idéal maximal \(\mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\). Nous pouvons supposer que \(U = \Spec(R)\) est affine. En reprenant la construction de \(\gamma^0\), nous voyons que notre extension est donnée par \[k \to (R \to \bigoplus\nolimits_{i_0} R_{f_{i_0}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} R_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to R_{f_1\ldots f_r})[d] \to R[d]\], où \(1\) a pour image \(1/f_1 \ldots f_c\) par le premier morphisme. Cette extension est non nulle, car \(1/f_1 \ldots f_c\) est, dans ce cas, un élément non nul du groupe de cohomologie locale \(H^d_{(f_1, \ldots, f_d)}(R)\).

Dualité de Poincaré relative

Dans cette section, nous démontrons la dualité de Poincaré pour la cohomologie de de Rham relative d’un schéma propre et lisse sur une base. Nous recommandons vivement au lecteur de consulter d’abord la section 0FW3.

Situation

Ici, \(S\) est un schéma quasi-compact et quasi-séparé, et \(f : X \to S\) est un morphisme propre et lisse de schémas dont toutes les fibres sont non vides et équidimensionnelles de dimension \(n\).

Lemme

Dans la situation 0G8G, l’image directe \(f_*\mathcal{O}_X\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre finie étale et, localement sur \(S\), nous avons \(Rf_*\mathcal{O}_X = f_*\mathcal{O}_X \oplus P\) dans \(D(\mathcal{O}_S)\), où \(P\) est parfait d’amplitude de Tor dans \([1, \infty)\). Le morphisme \(\text{d} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\Omega_{X/S}\) est nul.

Démonstration

La première partie de l’énoncé résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7Y. En posant \(S' = \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\), nous obtenons une factorisation \(X \to S' \to S\) (c’est la factorisation de Stein ; voir Compléments sur les morphismes, section 03GX, bien que nous n’en ayons pas besoin ici), et nous voyons que \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S'}\), par exemple d’après Morphismes, lemmes 01UX et 02GU. Cela implique évidemment que \(\text{d} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\Omega_{X/S}\) est nul.

Lemme

Dans la situation 0G8G, il existe un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-modules \[t : Rf_*\Omega^n_{X/S}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_S\], unique à précomposition près par la multiplication par un élément inversible de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\), ayant la propriété suivante : pour tout \(p\), l’accouplement \[Rf_*\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^{n - p}_{X/S}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_S\] donné par le cup-produit relatif composé avec \(t\) est un accouplement parfait de complexes parfaits sur \(S\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(S\) soit un schéma noethérien. Soit \(\omega^\bullet_{X/S}\) le complexe dualisant relatif de \(X\) sur \(S\), comme dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S, et soit \(Rf_*\omega_{X/S}^\bullet \to \mathcal{O}_S\) son morphisme trace. D’après Dualité pour les schémas, lemme 0BRT (c’est ici que nous utilisons que \(S\) est noethérien), il existe un isomorphisme \(\omega^\bullet_{X/S} \cong \Omega^n_{X/S}[n]\), qui nous permet d’obtenir \(t\). Les complexes \(Rf_*\Omega^p_{X/S}\) sont parfaits d’après le lemme 0FM0. Puisque \(\Omega^p_{X/S}\) est localement libre et que \(\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^{n - p}_{X/S} \to \Omega^n_{X/S}\) définit un isomorphisme \(\Omega^p_{X/S} \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega^{n - p}_{X/S}, \Omega^n_{X/S})\), l’accouplement induit par le cup-produit relatif est parfait d’après Dualité pour les schémas, remarque 0G81.

Démonstration de l’existence dans le cas général. Par approximation noethérienne absolue, nous pouvons trouver un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r]^g & S_0 }\] avec \(S_0\) noethérien et \(f_0\) propre et lisse, dont toutes les fibres sont non vides et équidimensionnelles de dimension \(n\). Voir Limites, lemmes 01ZM, 0C0C, 0EY2, 07RR et 081F. Choisissons un morphisme \[t_0 : Rf_{0, *}\Omega^n_{X_0/S_0}[n] \longrightarrow \mathcal{O}_{S_0}\] comme dans l’énoncé. Par cohomologie et changement de base, les complexes \(Rf_*(\Omega^p_{X/S})\) s’identifient à \(Lg^*(Rf_{0, *}\Omega^p_{X_0/S_0})\) pour tout \(p \geq 0\) ; voir le lemme 0FM0. En particulier, l’image inverse de \(t_0\) par \(g\) nous fournit un morphisme \(t\) comme dans l’énoncé. En effet, d’après Cohomologie, lemme 0H99, le morphisme de cup-produit \[Rf_*\Omega^p_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^{n - p}_{X/S}[n] \longrightarrow Rf_*\Omega^n_{X/S}\] est l’image inverse par \(g\) du morphisme de cup-produit correspondant pour \(f_0\). La propriété selon laquelle \(t_0\) donne des accouplements parfaits se transporte donc par image inverse en la même propriété pour \(t\) sur \(S\).

Unicité de \(t\). Choisissons un triangle distingué \(f_*\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_X \to P \to f_*\mathcal{O}_X[1]\). D’après le lemme 0G8H, l’objet \(P\) est parfait d’amplitude de Tor dans \([1, \infty)\), et le triangle est scindé localement sur \(S\). Ainsi, \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{O}_X)\) est parfait d’amplitude de Tor dans \((-\infty, -1]\). La dualité ci-dessus montre donc que, localement sur \(S\), nous avons \[Rf_*\Omega^n_{X/S}[n] \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_S) \oplus R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{O}_X)\] Il en résulte que \(R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) est localement libre de rang fini et que nous obtenons un accouplement \(\mathcal{O}_S\)-bilinéaire parfait \[f_*\mathcal{O}_X \times R^nf_*\Omega^n_{X/S} \longrightarrow \mathcal{O}_S\] au moyen de \(t\). Cela implique que tout morphisme \(\mathcal{O}_S\)-linéaire \(t' : R^nf_*\Omega^n_{X/S} \to \mathcal{O}_S\) est de la forme \(t' = t \circ g\) pour un certain \(g \in \Gamma(S, f_*\mathcal{O}_X) = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Pour que \(t'\) définisse encore un accouplement parfait, \(g\) doit être inversible. Cela achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0G8G, le morphisme \(\text{d} : R^nf_*\Omega^{n - 1}_{X/S} \to R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) est nul.

Comme nous l’avons signalé dans la démonstration du lemme 0FW6, ce lemme n’est pas une conséquence immédiate des lemmes 0G8I et 0G8H.

Démonstration

Supposons \(S\) réduit. Observons que \(\text{d} : R^nf_*\Omega^{n - 1}_{X/S} \to R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) est un morphisme \(\mathcal{O}_S\)-linéaire de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents. Le \(\mathcal{O}_S\)-module \(R^nf_*\Omega^n_{X/S}\) est localement libre de rang fini (car il est dual du \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini \(f_*\mathcal{O}_X\), d’après les lemmes 0G8I et 0G8H). Puisque \(S\) est réduit, il suffit de montrer que le germe de \(\text{d}\) en chaque point générique \(\eta \in S\) est nul ; on le voit en considérant les sections sur les ouverts affines, en utilisant que le but de \(\text{d}\) est localement libre et en appliquant Algèbre, lemme 00EW (2). Puisque \(S\) est réduit, nous avons \(\mathcal{O}_{S, \eta} = \kappa(\eta)\) ; voir Algèbre, lemme 00EU. Ainsi, \(\text{d}_\eta\) s’identifie au morphisme \[\text{d} : H^n(X_\eta, \Omega^{n - 1}_{X_\eta/\kappa(\eta)}) \longrightarrow H^n(X_\eta, \Omega^n_{X_\eta/\kappa(\eta)})\], qui est nul d’après le lemme 0FW6.

Démonstration

La question est locale sur \(S\) pour la topologie plate : si \(S' \to S\) est un morphisme plat surjectif de schémas et si le morphisme considéré est nul après image inverse sur \(S'\), alors il est nul. De plus, sa formation commute aux changements de base plats par le théorème de changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH).

Considérons la factorisation de Stein \(X \to S' \to S\) de Compléments sur les morphismes, théorème 03H2. D’après le lemme 0G8H, le morphisme \(\pi : S' \to S\) est fini étale. Le morphisme \(f : X \to S'\) est propre (d’après le théorème), lisse (d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0G80) et à fibres géométriquement connexes d’après le théorème de factorisation de Stein. Dans la démonstration du lemme 0G8H, nous avons vu que \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/S'}\) puisque \(S' \to S\) est étale. Ainsi, \(\Omega^\bullet_{X/S} = \Omega^\bullet_{X/S'}\). Nous avons \[R^qf_*\Omega^p_{X/S} = \pi_*R^qf'_*\Omega^p_{X/S'}\] pour tous \(p, q\), d’après la suite spectrale de Leray (Cohomologie, lemme 01F6), le fait que \(\pi\) soit fini, donc affine, et Cohomologie des schémas, lemme 01XC (nous utilisons aussi, bien entendu, que \(R^qf'_*\Omega^p_{X'/S}\) est quasi-cohérent). Le morphisme du lemme s’obtient donc en appliquant \(\pi_*\) à \(\text{d} : R^nf'_*\Omega^{n - 1}_{X/S'} \to R^nf'_*\Omega^n_{X/S'}\). Autrement dit, pour démontrer le lemme, nous pouvons remplacer \(f : X \to S\) par \(f' : X \to S'\) et nous ramener au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(f\) ait des fibres géométriquement connexes et que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\). Pour chaque \(s \in S\), nous pouvons choisir un voisinage étale \((S', s') \to (S, s)\) tel que le changement de base \(X' \to S'\) de \(S\) admette une section. Voir Compléments sur les morphismes, lemme 055U. D’après les remarques initiales de la démonstration, cela nous ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(f\) ait des fibres géométriquement connexes, que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) et que nous disposions d’une section \(s : S \to X\) de \(f\). Nous pouvons supposer, et nous supposons, que \(S = \Spec(A)\) est affine. Le morphisme \(s^* : R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to R\Gamma(S, \mathcal{O}_S) = A\) est une rétraction du morphisme \(A \to R\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Nous pouvons donc écrire \[R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A \oplus P\], où \(P\) est le « noyau » de \(s^*\). D’après le lemme 0G8H, l’objet \(P\) de \(D(A)\) est parfait d’amplitude de Tor dans \([1, n]\). Comme dans la démonstration du lemme 0G8I, nous voyons que \(H^n(X, \Omega^n_{X/S})\) est un \(A\)-module localement libre de rang \(1\) (et même le dual de \(A\), donc libre de rang \(1\) ; nous allons bientôt choisir un générateur, mais nous ne souhaitons pas vérifier qu’il s’agit du même, et cela ne sera d’ailleurs pas nécessaire).

Notons \(Z \subset X\) l’image de \(s\), qui est un sous-schéma fermé de \(X\) d’après Schémas, lemme 01KT. Observons que \(Z \to X\) est une immersion fermée régulière (et, a fortiori, régulière au sens de Koszul d’après Diviseurs, lemme 063K), en vertu de Diviseurs, lemme 067R. Bien entendu, \(Z \to X\) est de codimension \(n\). D’après la remarque 0G8A, nous pouvons donc considérer le morphisme \[\gamma^{0, 0} : H^0(Z, \Omega^0_{Z/S}) \longrightarrow H^n(X, \Omega^n_{X/S})\], et nous posons \(\xi = \gamma^{0, 0}(1) \in H^n(X, \Omega^n_{X/S})\).

Nous affirmons que \(\xi\) est un élément d’une base. En effet, puisque le changement de base est valable en degré maximal (voir, par exemple, Limites, lemme 0E7D), nous avons \(H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A k = H^n(X_k, \Omega^n_{X_k/k})\) pour tout morphisme d’anneaux \(A \to k\). La compatibilité de la construction de \(\xi\) au changement de base, voir le lemme 0G8D, montre que l’image de \(\xi\) dans \(H^n(X_k, \Omega^n_{X_k/k})\) est non nulle d’après le lemme 0G8E lorsque \(k\) est un corps. Ainsi, \(\xi\) est une section partout non nulle d’un module inversible, donc un générateur.

Soit \(\theta \in H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\). Nous devons montrer que \(\text{d}(\theta)\) est nul dans \(H^n(X, \Omega^n_{X/S})\). Nous pouvons écrire \(\text{d}(\theta) = a \xi\) pour un certain \(a \in A\), puisque \(\xi\) est un élément d’une base. Il s’agit alors de montrer que \(a = 0\).

Considérons l’immersion fermée \[\Delta : X \to X \times_S X\] C’est aussi une section d’un morphisme lisse (à savoir l’une ou l’autre des projections), donc une immersion à la fois régulière et régulière au sens de Koszul, de codimension \(n\). Nous pouvons ainsi considérer les morphismes \[\gamma^{p, q} : H^q(X, \Omega^p_{X/S}) \longrightarrow H^{q + n}(X \times_S X, \Omega^{p + n}_{X \times_S X/S})\] de la remarque 0G8A. Considérons l’image \[\gamma^{n - 1, n}(\theta) \in H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{2n - 1}_{X \times_S X})\] D’après le lemme 0FMA, nous avons \[\Omega^{2n - 1}_{X \times_S X} = \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S} \oplus \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S}\] La formule de Künneth (Catégories dérivées des schémas, lemme 0FLQ, ou Catégories dérivées des schémas, lemme 0FU4) donne \[H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}) = H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\] et \[H^{2n}(X \times_S X, \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S}) = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\] En effet, puisque nous nous plaçons en degré maximal, aucun groupe Tor supérieur n’intervient. Comme \(\xi\) est un générateur, cela signifie que nous pouvons écrire \[\gamma^{n - 1, n}(\theta) = \theta_1 \otimes \xi + \xi \otimes \theta_2\] avec \(\theta_1, \theta_2 \in H^n(X, \Omega^{n - 1}_{X/S})\). En raisonnant exactement de la même manière, nous pouvons écrire \[\gamma^{n, n}(\xi) = b \xi \otimes \xi\] dans \(H^{2n}(X \times_S X, \Omega^{2n}_{X \times_S X/S}) = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\) pour un certain \(b \in H^0(S, \mathcal{O}_S)\).

Affirmation : \(\theta_1 = \theta\), \(\theta_2 = \theta\) et \(b = 1\). Montrons que cette affirmation implique le résultat voulu, \(a = 0\). En effet, d’après le lemme 0G8B, nous avons \[\gamma^{n, n}(\text{d}(\theta)) = \text{d}(\gamma^{n - 1, n}(\theta))\] Nos choix précédents donnent alors \[a \xi \otimes \xi = \gamma^{n, n}(a\xi) = \text{d}(\theta \otimes \xi + \xi \otimes \theta) = a \xi \otimes \xi + (-1)^n a \xi \otimes \xi\] La dernière égalité provient du fait que le morphisme \(\text{d} : \Omega^{2n - 1}_{X \otimes_S X/S} \to \Omega^{2n}_{X \times_S X/S}\) est, d’après le lemme 0FMA, la somme de la différentielle \(\text{d} \boxtimes 1 : \Omega^{n - 1}_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S} \to \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}\) et de la différentielle \((-1)^n 1 \boxtimes \text{d} : \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - 1}_{X/S} \to \Omega^n_{X/S} \boxtimes \Omega^n_{X/S}\). Pour plus de détails, voir la discussion dans la section 0FM9 et dans Catégories dérivées des schémas, section 0G4A. Puisque \(\xi \otimes \xi\) est une base du module libre de rang \(1\) sur \(A\) \(H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S})\), nous concluons que \[a = a + (-1)^n a \Rightarrow a = 0\], comme voulu.

Dans la suite de la démonstration, nous établissons l’affirmation ci-dessus. Notons \(\eta = \gamma^{0, 0}(1) \in H^n(X \times_S X, \Omega^n_{X \times_S X/S})\). Puisque \(\Omega^n_{X \times_S X/S} = \bigoplus_{p + p' = n} \Omega^p_{X/S} \boxtimes \Omega^{p'}_{X/S}\), nous pouvons écrire \[\eta = \eta_0 + \eta_1 + \ldots + \eta_n\], où \(\eta_p\) appartient à \(H^n(X \times_S X, \Omega^p_{X/S} \boxtimes \Omega^{n - p}_{X/S})\). Pour \(p = 0\), nous pouvons écrire \[\begin{align*} H^n(X \times_S X, \mathcal{O}_X \boxtimes \Omega^n_{X/S}) & = H^n(R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})) \\ & = A \otimes_A H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \oplus H^n(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})) \end{align*}\] grâce à la décomposition \(R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A \oplus P\) obtenue plus haut. Considérons le morphisme \((s, \text{id}) : X \to X \times_S X\). Alors \((s, \text{id})^{-1}(\Delta) = Z\) au sens schématique. Ainsi, \((s, \text{id})^*\eta = \xi\) d’après le lemme 0G8D. Cela signifie que \[\xi = (s, \text{id})^*\eta = (s^* \otimes \text{id})(\eta_0)\] Autrement dit, la première composante de \(\eta_0\) dans la décomposition en somme directe ci-dessus est \(\xi\). Nous pouvons donc écrire \[\eta_0 = 1 \otimes \xi + \eta'_0\] avec \(\eta'_0 \in H^n(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}))\). Exactement de la même manière, pour \(p = n\), nous pouvons écrire \[\begin{align*} H^n(X \times_S X, \Omega^n_{X/S} \boxtimes \mathcal{O}_X) & = H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{O}_X)) \\ & = H^n(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A A \oplus H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} P) \end{align*}\], puis \[\eta_n = \xi \otimes 1 + \eta'_n\] avec \(\eta'_n \in H^n(R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} P)\).

Observons que \(\text{pr}_1^*\theta = \theta \otimes 1\) et \(\text{pr}_2^*\theta = 1 \otimes \theta\) sont des classes de cohomologie de Hodge sur \(X \times_S X\) dont l’image inverse par la diagonale est \(\theta\), cette diagonale étant notée \(\Delta\). D’après le lemme 0G8C, nous avons donc \[\theta_1 \otimes \xi + \xi \otimes \theta_2 = \gamma^{n - 1, n}(\theta) = (\theta \otimes 1) \cup \eta = (1 \otimes \theta) \cup \eta\] dans l’anneau de cohomologie de Hodge de \(X \times_S X\) sur \(S\). En termes de la décomposition en somme directe des modules de différentielles de \(X \times_S X/S\), nous obtenons \[\theta_1 \otimes \xi = (\theta \otimes 1) \cup \eta_0 \quad\text{et}\quad \xi \otimes \theta_2 = (1 \otimes \theta) \cup \eta_n\] La formule \(\eta_0 = 1 \otimes \xi + \eta'_0\) obtenue plus haut montre que, pour établir \(\theta_1 = \theta\), il suffit de prouver \[(\theta \otimes 1) \cup \eta'_0 = 0\] Pour cela, observons que le cup-produit avec \(\theta \otimes 1\) est donné par l’action en cohomologie du morphisme \[(P \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}))[-n] \xrightarrow{\theta \otimes 1} R\Gamma(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})\] dans la catégorie dérivée ; voir Cohomologie, remarque 0G6W. Ce morphisme est le produit tensoriel dérivé des deux morphismes \[\theta : P[-n] \to R\Gamma(X, \Omega^{n - 1}_{X/S}) \quad\text{et}\quad 1 : R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S}) \to R\Gamma(X, \Omega^n_{X/S})\] d’après Catégories dérivées des schémas, remarque 0G7W. Or le premier est nul dans \(D(A)\), car il va d’un complexe parfait d’amplitude de Tor dans \([n + 1, 2n]\) vers un complexe dont la cohomologie n’est éventuellement non nulle qu’en degrés \(0, 1, \ldots, n\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0BCG. Un raisonnement analogue établit l’annulation de \((1 \otimes \theta) \cup \eta'_n\). Enfin, exactement de la même manière, nous obtenons \[b \xi \otimes \xi = \gamma^{n, n}(\xi) = (\xi \otimes 1) \cup \eta_0\], et nous concluons comme précédemment en montrant que \((\xi \otimes 1) \cup \eta'_0 = 0\) par le même raisonnement que ci-dessus. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse de schémas dont toutes les fibres sont non vides et équidimensionnelles de dimension \(n\). Il existe un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-modules \[t : R^{2n}f_*\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow \mathcal{O}_S\], unique à précomposition près par la multiplication par un élément inversible de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\), ayant la propriété suivante : l’accouplement \[Rf_*\Omega^\bullet_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}[2n] \longrightarrow \mathcal{O}_S, \quad (\xi, \xi') \longmapsto t(\xi \cup \xi')\] est un accouplement parfait de complexes parfaits sur \(S\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle de la proposition 0FW7.

La suite spectrale relative de Hodge vers de Rham \[E_1^{p, q} = R^qf_*\Omega^p_{X/S} \Rightarrow R^{p + q}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\] (section 0FM6), l’annulation de \(\Omega^i_{X/S}\) pour \(i > n\), l’annulation donnée, par exemple, dans Limites, lemme 0E7D, et les résultats des lemmes 0G8H et 0G8J montrent que \(R^0f_*\Omega_{X/S} = R^0f_*\mathcal{O}_X\) et \(R^nf_*\Omega^n_{X/S} = R^{2n}f_*\Omega^\bullet_{X/S}\). Plus précisément, ces identifications proviennent des morphismes de complexes \[\Omega^\bullet_{X/S} \to \mathcal{O}_X[0] \quad\text{et}\quad \Omega^n_{X/S}[-n] \to \Omega^\bullet_{X/S}\] Choisissons \(t : R^{2n}f_*\Omega_{X/S} \to \mathcal{O}_S\) qui corresponde, via cette identification, à un morphisme \(t\) comme dans le lemme 0G8I.

Abrégeons les notations en posant \(\Omega^\bullet = \Omega^\bullet_{X/S}\). Considérons le morphisme (0FM2), qui s’écrit ici \[\wedge : \text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] Pour chaque entier \(p = 0, 1, \ldots, n\), ce morphisme s’annule sur le sous-complexe \(\text{Tot}(\sigma_{> p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet)\) pour des raisons de degré. La restriction de \(\wedge\) au sous-complexe \(\text{Tot}(\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \geq_{n - p}\Omega^\bullet)\) se factorise donc par un morphisme de complexes \[\gamma_p : \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \longrightarrow \Omega^\bullet\] En procédant comme dans la section 0FM1, nous obtenons des cup-produits relatifs \[Rf_*\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \longrightarrow Rf_*\Omega^\bullet\] Nous montrerons par récurrence sur \(p\) que ces cup-produits, composés avec \(t\), induisent des accouplements parfaits entre \(Rf_*\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet\) et \(Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet[2n]\). Pour \(p = n\), il s’agit de l’assertion de la proposition.

Le cas initial est \(p = 0\). Nous avons alors \[Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet = Rf_*\mathcal{O}_X \quad\text{et}\quad Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet[2n] = Rf_*(\Omega^n[-n])[2n] = Rf_*\Omega^n[n]\] Nous obtenons simplement l’accouplement entre \(Rf_*\mathcal{O}_X\) et \(Rf_*\Omega^n[n]\) du lemme 0G8I, et le résultat est donc vrai.

Étape de récurrence. Supposons le résultat vrai pour \(p\). Considérons alors le triangle distingué \[\Omega^{p + 1}[-p - 1] \to \sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \to \sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\] et le triangle distingué \[\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \to \sigma_{\geq n - p - 1}\Omega^\bullet \to \Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \to (\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet)[1]\] Observons que ce sont deux triangles distingués dans la catégorie homotopique des complexes de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules ; en particulier, les morphismes \(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \to \Omega^{p + 1}[-p]\) et \(\Omega^{n - p - 1}[-d + p + 1] \to (\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet)[1]\) sont donnés par de véritables morphismes de complexes, à savoir à l’aide de la différentielle \(\Omega^p \to \Omega^{p + 1}\) et de la différentielle \(\Omega^{n - p - 1} \to \Omega^{n - p}\). Considérons les triangles distingués obtenus à partir de ceux-ci en appliquant \(Rf_*\) : \[\xymatrix{ Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \ar[d]_a \\ Rf_*\Omega^{p + 1}[-p - 1] \ar[d]_b \\ Rf_*\sigma_{\leq p + 1}\Omega^\bullet \ar[d]_c \\ Rf_*\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \ar[d]_d \\ Rf_*\Omega^{p + 1}[-p - 1] } \quad\quad \xymatrix{ Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \\ Rf_*\Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[u]_{a'} \\ Rf_*\sigma_{\geq n - p - 1}\Omega^\bullet \ar[u]_{b'} \\ Rf_*\sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet \ar[u]_{c'} \\ Rf_*\Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[u]_{d'} }\] Nous montrerons ci-dessous que les couples \((a, a')\), \((b, b')\), \((c, c')\) et \((d, d')\) sont compatibles avec les accouplements donnés. Nous obtenons donc un morphisme du triangle distingué de gauche vers le triangle distingué obtenu en appliquant \(R\SheafHom(-, \mathcal{O}_S)\) au triangle distingué de droite. Par récurrence et d’après le lemme 0FW4, les accouplements construits ci-dessus entre les complexes des première, deuxième, quatrième et cinquième lignes sont parfaits, c’est-à-dire qu’ils définissent des isomorphismes après dualisation. D’après Catégories dérivées, lemme 014A, nous en concluons que l’accouplement entre les complexes de la ligne médiane est parfait, comme voulu.

Soient \(e : K \to K'\) et \(e' : M' \to M\) des morphismes d’objets de \(D(\mathcal{O}_S)\), et soient \(K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M \to \mathcal{O}_S\) et \(K' \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \to \mathcal{O}_S\) des accouplements. Nous disons qu’ils sont compatibles si le diagramme \[\xymatrix{ K' \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \ar[d] & K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M' \ar[l]^{e \otimes 1} \ar[d]^{1 \otimes e'} \\ \mathcal{O}_S & K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} M \ar[l] }\] est commutatif. Cela signifie en effet que le diagramme \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d]_e & R\SheafHom(M, \mathcal{O}_S) \ar[d]^{R\SheafHom(e', -)} \\ K' \ar[r] & R\SheafHom(M', \mathcal{O}_S) }\] est commutatif, ce qui suffit pour nos besoins.

Démontrons cette compatibilité pour le couple \((c, c')\). Il suffit d’observer que nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_p} & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_{p + 1}} }\] La fonctorialité du cup-produit donne alors la commutativité du diagramme voulu.

De même, pour le couple \((b, b')\), nous utilisons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\sigma_{\leq p + 1} \Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[d]_{\gamma_{p + 1}} & \text{Tot}(\Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p - 1} \Omega^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \Omega^{p + 1}[-p - 1] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p + 1] \ar[l]_-\wedge }\]

Pour les couples \((d, d')\) et \((a, a')\), nous utilisons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Omega^{p + 1}[-p] \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p] \ar[d] & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \Omega^{n - p - 1}[-n + p]) \ar[l] \ar[d] \\ \Omega^\bullet & \text{Tot}(\sigma_{\leq p}\Omega^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} \sigma_{\geq n - p}\Omega^\bullet) \ar[l] }\]

Nous omettons la démonstration de l’unicité de \(t\) à précomposition près par la multiplication par un élément inversible de \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\).