Morphismes \'etales de schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les morphismes étales de schémas. Nous illustrons certains des concepts les plus importants en travaillant dans le cas noethérien. Notre objectif principal est de réunir pour le lecteur suffisamment de résultats d’algèbre commutative pour commencer la lecture d’un traité de cohomologie étale. Un objectif auxiliaire est de fournir assez d’éléments pour que le lecteur puisse cesser de qualifier l’expression « la topologie étale des schémas » d’exercice de pur formalisme abstrait, s’il se livre à un tel blasphème.

Nous renverrons aux autres chapitres du projet Champs pour les résultats classiques de géométrie algébrique (sur les schémas et l’algèbre commutative). Nous donnerons des démonstrations détaillées des nouveaux résultats que nous énonçons ici.

Conventions

Dans ce chapitre, les schémas seront souvent supposés localement noethériens et les anneaux seront souvent supposés noethériens. Mais, dans tous les énoncés, nous le répéterons chaque fois que cela sera nécessaire et veillerons à énumérer toutes les hypothèses ! Voici par ailleurs quelques faits généraux que nous utiliserons souvent et qu’il est utile de garder à l’esprit :

1. Un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) de type fini, avec \(A\) noethérien, est de présentation finie. Voir Algèbre, Lemme 00FP.

2. Un morphisme (localement) de type fini entre schémas localement noethériens est automatiquement (localement) de présentation finie. Voir Morphismes, Lemme 01TX.

3. Ajouter ici d’autres faits de ce genre.

Morphismes non ramifiés

Nous définissons d’abord les « homomorphismes non ramifiés d’anneaux locaux » pour les anneaux locaux noethériens. Nous ne pouvons employer simplement le terme « non ramifié », car il existe déjà une notion d’homomorphisme d’anneaux non ramifié (Algèbre, section 00US) et elle est différente. Après avoir quelque peu étudié cette notion, nous la globaliserons pour décrire les morphismes non ramifiés de schémas localement noethériens.

Définition

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Un homomorphisme local \(A \to B\) est appelé un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux si

1. \(\mathfrak m_AB = \mathfrak m_B\),

2. \(\kappa(\mathfrak m_B)\) est une extension finie séparable de \(\kappa(\mathfrak m_A)\), et

3. \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\) (cela signifie que \(B\) est le localisé d’une \(A\)-algèbre de type fini en un idéal premier).

C’est la version locale de la définition donnée dans Algèbre, section 00US. Dans cette section, un homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) est dit non ramifié si et seulement s’il est de type fini et si \(\Omega_{S/R} = 0\). Nous disons que \(R \to S\) est non ramifié en un idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) s’il existe \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(R \to S_g\) soit un homomorphisme d’anneaux non ramifié. Il est démontré dans Algèbre, Lemmes 00UW et 02FM, qu’étant donnés un homomorphisme d’anneaux \(R \to S\) de type fini et un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\), on a \[R \to S\text{ est non ramifié en }\mathfrak q \Leftrightarrow \mathfrak pS_{\mathfrak q} = \mathfrak q S_{\mathfrak q} \text{ et } \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q)\text{ est finie séparable}\] Nous voyons donc que, pour un homomorphisme local d’anneaux locaux, les propriétés de notre définition ci-dessus sont étroitement liées au fait d’être non ramifié. Nous avons en fait démontré le lemme suivant.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme de type fini, avec \(A\) noethérien. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\). Alors \(A \to B\) est non ramifié en \(\mathfrak q\) si et seulement si \(A_{\mathfrak p} \to B_{\mathfrak q}\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux.

Démonstration

Voir la discussion précédente.

Nous allons caractériser la propriété d’être non ramifié au moyen des complétés. Pour un anneau local noethérien \(A\), nous notons \(A^\wedge\) le complété de \(A\) pour l’idéal maximal. C’est encore un anneau local noethérien ; voir Algèbre, Lemme 0316.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local.

1. si \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux, alors \(B^\wedge\) est un \(A^\wedge\)-module de type fini,

2. si \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux et si \(\kappa(\mathfrak m_A) = \kappa(\mathfrak m_B)\), alors \(A^\wedge \to B^\wedge\) est surjectif,

3. si \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux et si \(\kappa(\mathfrak m_A)\) est séparablement clos, alors \(A^\wedge \to B^\wedge\) est surjectif,

4. si \(A\) et \(B\) sont des anneaux de valuation discrète complets, alors \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux si et seulement si une uniformisante de \(A\) s’envoie sur une uniformisante de \(B\), et si l’extension des corps résiduels est finie séparable (et si \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\)).

Démonstration

L’assertion (1) est un cas particulier du résultat Algèbre, Lemme 0394. Pour l’assertion (2), remarquons que l’espace vectoriel sur \(\kappa(\mathfrak m_A)\) \(B^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}B^\wedge\) est engendré par \(1\). Le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV) montre donc que l’application \(A^\wedge \to B^\wedge\) est surjective. L’assertion (3) est un cas particulier de l’assertion (2). L’assertion (4) découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local tel que \(B\) soit essentiellement de type fini sur \(A\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux,

2. \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux, et

3. \(A^\wedge \to B^\wedge\) est non ramifié.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que \(\mathfrak m_AA^\wedge\) est l’idéal maximal de \(A^\wedge\) (et de même pour \(B\)), ainsi que de la fidèle platitude de \(B \to B^\wedge\). Par exemple, si \(A^\wedge \to B^\wedge\) est non ramifié, alors \(\mathfrak m_AB^\wedge = (\mathfrak m_AB)B^\wedge = \mathfrak m_BB^\wedge\) et donc \(\mathfrak m_AB = \mathfrak m_B\).

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (1) et (2). Le Lemme 039H montre que \(A^\wedge \to B^\wedge\) est fini. Ainsi, \(A^\wedge \to B^\wedge\) est de présentation finie et, par Algèbre, Lemme 02FM, nous concluons que \(A^\wedge \to B^\wedge\) est non ramifié en \(\mathfrak m_{B^\wedge}\). Comme \(B^\wedge\) est local, nous concluons que \(A^\wedge \to B^\wedge\) est non ramifié.

Supposons (3). Par Algèbre, Lemme 00UW, nous concluons que \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux, c’est-à-dire que (2) est satisfaite.

Définition

(Voir Morphismes, Définition 02G4, pour la définition dans le cas général.) Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(x \in X\).

1. Nous disons que \(f\) est non ramifié en \(x\) si \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux.

2. Le morphisme \(f : X \to Y\) est dit non ramifié s’il est non ramifié en tout point de \(X\).

Montrons que cette définition coïncide avec celle du chapitre sur les morphismes de schémas. Cela garantit en particulier que l’ensemble des points où un morphisme est non ramifié est ouvert.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(x \in X\). Le morphisme \(f\) est non ramifié en \(x\) au sens de la Définition 024N si et seulement s’il est non ramifié au sens de Morphismes, Définition 02G4.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 039G et des définitions.

Voici quelques résultats sur les morphismes non ramifiés. Sous la forme donnée dans cette liste, ils ne s’appliquent qu’aux morphismes localement de type fini entre schémas localement noethériens. Dans chaque cas, nous renvoyons au résultat général démontré plus tôt dans le projet, même si, dans certains cas, on peut démontrer le résultat plus facilement dans le cas noethérien. En voici la liste :

1. La non-ramification est locale sur la source et sur le but pour la topologie de Zariski.

2. Les morphismes non ramifiés sont stables par changement de base et par composition. Voir Morphismes, Lemmes 02GA et 02G9.

3. Les morphismes non ramifiés de schémas sont localement quasi-finis, et les morphismes non ramifiés quasi-compacts sont quasi-finis. Voir Morphismes, Lemme 02V5.

4. Les morphismes non ramifiés sont de dimension relative \(0\). Voir Morphismes, Définition 02NJ et Morphismes, Lemme 0397.

5. Un morphisme est non ramifié si et seulement si toutes ses fibres sont non ramifiées. Autrement dit, la non-ramification se vérifie sur les fibres schématiques. Voir Morphismes, Lemme 02G8.

6. Soient \(X\) et \(Y\) non ramifiés sur un schéma de base \(S\). Tout \(S\)-morphisme de \(X\) vers \(Y\) est non ramifié. Voir Morphismes, Lemme 02GG.

Trois autres caractérisations des morphismes non ramifiés

Le théorème suivant donne trois notions équivalentes de non-ramification en un point. Voir Morphismes, Lemme 02GF, pour une partie de l’énoncé concernant les schémas généraux.

Théorème

Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(x\) un point de \(X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié en \(x\),

2. le germe \(\Omega_{X/Y, x}\) du module des différentielles relatives en \(x\) est nul,

3. il existe des voisinages ouverts \(U\) de \(x\) et \(V\) de \(f(x)\), ainsi qu’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rr]_i \ar[rd] & & \mathbf{A}^n_V \ar[ld] \\ & V }\] où \(i\) est une immersion fermée définie par un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) tel que les différentielles \(\text{d}g\), pour \(g \in \mathcal{I}_{i(x)}\), engendrent \(\Omega_{\mathbf{A}^n_V/V, i(x)}\), et

4. la diagonale \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) est un isomorphisme local en \(x\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est démontrée dans Morphismes, Lemme 02GF.

Si \(f\) est non ramifié en \(x\), alors \(f\) est non ramifié sur un voisinage ouvert de \(x\) ; cela ne résulte pas immédiatement de la Définition 024N de ce chapitre, mais cela découle de Morphismes, Définition 02G4, dont nous avons démontré l’équivalence au Lemme 039J. Choisissons des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) tels que \(f(U) \subset V\) et \(x \in U\), et tels que \(f\) soit non ramifié sur \(U\), c’est-à-dire que \(f|_U : U \to V\) soit non ramifié. Par Morphismes, Lemme 02GE, le morphisme \(U \to U \times_V U\) est une immersion ouverte. Cela démontre que (1) implique (4).

Si \(\Delta_{X/Y}\) est un isomorphisme local en \(x\), alors \(\Omega_{X/Y, x} = 0\) par Morphismes, Lemme 08S2. Nous voyons donc que (4) implique (2). À ce stade, nous savons que (1), (2) et (4) sont toutes équivalentes.

Supposons (3). L’hypothèse sur le diagramme, combinée au résultat Morphismes, Lemme 01UZ, montre que \(\Omega_{U/V, x} = 0\). Comme \(\Omega_{U/V, x} = \Omega_{X/Y, x}\), nous concluons que (2) est satisfaite.

Supposons enfin que (2) soit satisfaite. Pour démontrer (3), nous pouvons localiser sur \(X\) et \(Y\) et supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\) et \(Y = \Spec(A)\). Le point \(x \in X\) correspond à un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\). Notre hypothèse est que \(\Omega_{B/A, \mathfrak q} = 0\) (voir Morphismes, Lemme 01UT, pour le lien entre les différentielles sur les schémas et les modules de différentielles en algèbre commutative). Comme \(Y\) est localement noethérien et \(f\) localement de type fini, nous voyons que \(A\) est noethérien et que \(B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) ; voir Propriétés, Lemme 01OW, et Morphismes, Lemme 01T2. En particulier, \(\Omega_{B/A}\) est un \(B\)-module de type fini. Nous pouvons donc trouver un seul \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que le localisé principal \((\Omega_{B/A})_g\) soit nul. Ainsi, après avoir remplacé \(B\) par \(B_g\), nous voyons que \(\Omega_{B/A} = 0\) (la formation des modules de différentielles commute à la localisation ; voir Algèbre, Lemme 00RT). Cela signifie que les \(\text{d}(f_j)\) engendrent le noyau de l’application canonique \(\Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_A B \to \Omega_{B/A}\). Ainsi, la surjection \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) de \(A\)-algèbres fournit le diagramme commutatif de (3), et le théorème est démontré.

Comment utiliser ce théorème ? Voici quelques remarques :

1. Supposons que \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) soient deux morphismes localement de type fini entre schémas localement noethériens. Il existe une suite exacte courte canonique \[f^*(\Omega_{Y/Z}) \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] voir Morphismes, Lemme 01UX. Le théorème implique donc que, si \(g \circ f\) est non ramifié, alors \(f\) l’est aussi. C’est Morphismes, Lemme 02GG.

2. Puisque \(\Omega_{X/Y}\) est isomorphe au faisceau conormal du morphisme diagonal (Morphismes, Lemme 08S2), nous voyons que, si \(X \to Y\) est un monomorphisme de schémas localement noethériens et est localement de type fini, alors \(X \to Y\) est non ramifié. En particulier, les immersions ouvertes et fermées de schémas localement noethériens sont non ramifiées. Voir Morphismes, Lemmes 02GB et 02GC.

3. Le théorème implique aussi que l’ensemble des points où un morphisme \(f : X \to Y\) (localement de type fini entre schémas localement noethériens) n’est pas non ramifié est le support du faisceau cohérent \(\Omega_{X/Y}\). Cela permet de donner une définition schématique du « lieu de ramification ».

La caractérisation fonctorielle des morphismes non ramifiés

En géométrie algébrique élémentaire, on apprend que certaines classes de morphismes peuvent être caractérisées fonctoriellement et que de telles descriptions sont fort utiles. Les morphismes non ramifiés admettent eux aussi une telle caractérisation.

Théorème

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié,

2. le morphisme \(f\) est formellement non ramifié : pour tout \(S\)-schéma affine \(T\) et tout sous-schéma \(T_0\) de \(T\) défini par un idéal de carré nul, l’application naturelle \[\Hom_S(T, X) \longrightarrow \Hom_S(T_0, X)\] est injective.

Démonstration

Voir Compléments sur les morphismes, Lemme 02HE, pour un énoncé et une démonstration plus généraux. Voici une esquisse de la démonstration dans le cas présent.

On vérifie d’abord que les deux propriétés sont locales sur la source et sur le but. Nous pouvons donc supposer que \(S\) et \(X\) sont affines. Écrivons \(X = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(R)\). Écrivons \(T = \Spec(C)\). Soit \(J\) l’idéal de carré nul de \(C\) tel que \(T_0 = \Spec(C/J)\). Supposons donné le diagramme \[\xymatrix{ & B \ar[d]^\phi \ar[rd]^{\bar{\phi}} & \\ R \ar[r] \ar[ur] & C \ar[r] & C/J }\] On vérifie ensuite que l’association \(\phi' \mapsto \phi' - \phi\) définit une bijection entre l’ensemble des relèvements de \(\bar{\phi}\) et le module \(\text{Der}_R(B, J)\). Ainsi, nous obtenons l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) par la description des morphismes non ramifiés dont le module de différentielles est nul ; voir le Théorème 024P.

Pour obtenir l’implication réciproque, considérons la surjection \(q : C = (B \otimes_R B)/I^2 \to B = C/J\) définie par l’idéal de carré nul \(J = I/I^2\), où \(I\) est le noyau de l’application de multiplication \(B \otimes_R B \to B\). Nous disposons déjà d’un relèvement \(B \to C\) défini, par exemple, par \(b \mapsto b \otimes 1\). Ainsi, par le même raisonnement que ci-dessus, nous obtenons une correspondance bijective entre les relèvements de \(\text{id} : B \to C/J\) et \(\text{Der}_R(B, J)\). L’hypothèse implique donc que ce dernier module est nul. Or nous savons que \(J \cong \Omega_{B/R}\). Ainsi, \(B/R\) est non ramifié.

Propriétés topologiques des morphismes non ramifiés

Le premier résultat topologique qui nous sera utile affirme que les morphismes non ramifiés et séparés ont de « bonnes » sections. Les résultats de cette section ne nécessitent aucune hypothèse noethérienne.

Proposition

sections des morphismes non ramifiés.

1. Toute section d’un morphisme non ramifié est une immersion ouverte.

2. Toute section d’un morphisme séparé est une immersion fermée.

3. Toute section d’un morphisme non ramifié et séparé est ouverte et fermée.

Démonstration

Fixons un schéma de base \(S\). Si \(f : X' \to X\) est un \(S\)-morphisme quelconque, alors le graphe \(\Gamma_f : X' \to X' \times_S X\) s’obtient par changement de base de la diagonale \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) le long de la projection \(X' \times_S X \to X \times_S X\). Si \(g : X \to S\) est séparé (resp. non ramifié), alors la diagonale est une immersion fermée (resp. une immersion ouverte) par Schémas, Définition 01KK (resp. Morphismes, Lemme 02GE). Il en va donc de même du graphe par changement de base (voir Schémas, Lemme 01JY). Dans le cas particulier \(X' = S\), nous obtenons (1), resp. (2). L’assertion (3) résulte de la combinaison de (1) et (2).

Nous pouvons maintenant décrire explicitement les sections des morphismes non ramifiés.

Théorème

Soit \(Y\) un schéma connexe. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme non ramifié et séparé. Toute section de \(f\) est un isomorphisme sur une composante connexe. Il existe une correspondance bijective \[\text{sections de }f \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{composantes connexes }X'\text{ de }X\text{ telles que}\\ \text{l'application induite }X' \to Y\text{ soit un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] En particulier, pour \(x \in X\), il existe au plus une section passant par \(x\).

Démonstration

Cela découle directement de la Proposition 024T, assertion (3).

Le théorème précédent donne une idée de la « rigidité » des morphismes non ramifiés. La proposition suivante en donne une autre manifestation ; outre son intérêt propre, elle est également utile dans la théorie du groupe fondamental algébrique (voir [SGA1, Exposé V]). Voir aussi le résultat plus général Morphismes, Lemme 04HB.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\pi : X \to S\) un morphisme non ramifié et séparé. Soit \(Y\) un \(S\)-schéma et soit \(y \in Y\) un point. Soient \(f, g : Y \to X\) deux \(S\)-morphismes. Supposons que

1. \(Y\) soit connexe,

2. \(x = f(y) = g(y)\), et

3. les applications induites \(f^\sharp, g^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(y)\) sur les corps résiduels soient égales.

Alors \(f = g\).

Démonstration

Les applications \(f, g : Y \to X\) définissent des applications \(f', g' : Y \to X_Y = Y \times_S X\) qui sont des sections du morphisme structural \(X_Y \to Y\). Remarquons que \(f = g\) si et seulement si \(f' = g'\). Le morphisme structural \(X_Y \to Y\) est le changement de base de \(\pi\) et est donc lui aussi non ramifié et séparé (voir Morphismes, Lemmes 02GA et Schémas, Lemme 01KU). Ainsi, d’après le Théorème 024U, il suffit de démontrer que \(f'\) et \(g'\) passent par le même point de \(X_Y\). C’est précisément ce que les hypothèses (2) et (3) garantissent, à savoir \(f'(y) = g'(y) \in X_Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(X \to S\) un morphisme non ramifié quasi-compact. Soit \(Y \to S\) un morphisme, où \(Y\) est noethérien. Alors \(\Mor_S(Y, X)\) est un ensemble fini.

Démonstration

Supposons d’abord que \(X \to S\) soit séparé (ce qui est souvent le cas en pratique). Puisque \(Y\) est noethérien, il possède un nombre fini de composantes connexes. Nous pouvons donc supposer \(Y\) connexe. Choisissons un point \(y \in Y\), d’image \(s \in S\). Comme \(X \to S\) est non ramifié et quasi-compact, la fibre \(X_s\) est finie, disons \(X_s = \{x_1, \ldots, x_n\}\), et \(\kappa(x_i)/\kappa(s)\) est une extension finie de corps. Voir Morphismes, Lemmes 02V5, 01TG et 02NH. Pour chaque \(i\), il n’existe qu’un nombre fini d’homomorphismes de \(\kappa(s)\)-algèbres \(\kappa(x_i) \to \kappa(y)\) (par la théorie élémentaire des corps). Ainsi, \(\Mor_S(Y, X)\) est fini par la Proposition 024V.

Cas général. Il existe un ouvert non vide \(U \subset S\) tel que \(X_U \to U\) soit fini (donc, en particulier, séparé) ; voir Morphismes, Lemme 02NW (ce lemme s’applique puisque nous avons déjà vu ci-dessus qu’un morphisme non ramifié quasi-compact est quasi-fini et puisque \(X \to S\) est quasi-séparé par Morphismes, Lemme 01T7). Soit \(Z \subset S\) le sous-schéma fermé réduit dont le support est le complément de \(U\). Par récurrence noethérienne, nous voyons que \(\Mor_Z(Y_Z, X_Z)\) est fini (détails omis). D’après le résultat du premier paragraphe, l’ensemble \(\Mor_U(Y_U, X_U)\) est fini. Il suffit donc de montrer que \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_Z(Y_Z, X_Z) \times \Mor_U(Y_U, X_U)\] est injective. Cela résulte du fait que le lieu où deux morphismes \(a, b : Y \to X\) coïncident est ouvert dans \(Y\), puisque la diagonale \(\Delta : X \to X \times_S X\) est ouverte ; voir Morphismes, Lemme 02GE.

Morphismes universellement injectifs et non ramifiés

Rappelons qu’un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) est universellement injectif si tout changement de base de \(f\) est injectif (sur les espaces topologiques sous-jacents) ; voir Morphismes, Définition 01S3. Les morphismes universellement injectifs et non ramifiés peuvent être caractérisés comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié et est un monomorphisme,

2. \(f\) est non ramifié et universellement injectif,

3. \(f\) est localement de type fini et est un monomorphisme,

4. \(f\) est universellement injectif, localement de type fini et formellement non ramifié,

5. \(f\) est localement de type fini et \(X_s\) est vide ou bien \(X_s \to s\) est un isomorphisme, pour tout \(s \in S\).

Démonstration

Nous avons vu dans Compléments sur les morphismes, Lemme 02HE, qu’être formellement non ramifié et localement de type fini équivaut à être non ramifié. Ainsi, (4) équivaut à (2). Un monomorphisme est certainement universellement injectif et formellement non ramifié ; (3) implique donc (4). Il est clair que (1) implique (3). Enfin, si (2) est satisfaite, alors \(\Delta : X \to X \times_S X\) est à la fois une immersion ouverte (Morphismes, Lemme 02GE) et surjective (Morphismes, Lemme 01S4) ; c’est donc un isomorphisme, autrement dit \(f\) est un monomorphisme. Ainsi, (2) implique (1).

La condition (3) implique (5), car les monomorphismes sont préservés par changement de base (Schémas, Lemme 02YC) et en vertu de la description des monomorphismes à valeurs dans les spectres de corps donnée dans Schémas, Lemme 03DP. La condition (5) implique (4) par Morphismes, Lemmes 01S4 et 02G8.

On en déduit la caractérisation utile suivante des immersions fermées.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une immersion fermée,

2. \(f\) est un monomorphisme propre,

3. \(f\) est propre, non ramifié et universellement injectif,

4. \(f\) est universellement fermé, non ramifié et est un monomorphisme,

5. \(f\) est universellement fermé, non ramifié et universellement injectif,

6. \(f\) est universellement fermé, localement de type fini et est un monomorphisme,

7. \(f\) est universellement fermé, universellement injectif, localement de type fini et formellement non ramifié.

Démonstration

L’équivalence des conditions (4) à (7) résulte immédiatement du Lemme 05VH.

Soit \(f : X \to S\) un morphisme qui satisfait à (6). Alors \(f\) est séparé ; voir Schémas, Lemme 01L4, et ses fibres sont finies. Ainsi, Compléments sur les morphismes, Lemme 02LS, montre que \(f\) est fini. Puis Morphismes, Lemme 03BB, implique que \(f\) est une immersion fermée, c’est-à-dire que (1) est satisfaite.

Remarquons que (1) \(\Rightarrow\) (2), car une immersion fermée est propre et est un monomorphisme (Morphismes, Lemme 01W5, et Schémas, Lemme 01L7). Par le Lemme 05VH, nous voyons que (2) implique (3). Il est clair que (3) implique (5).

Voici un autre résultat du même genre.

Lemme

Soit \(\pi : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(\pi\) soit fini,

2. \(\pi\) soit non ramifié,

3. \(\pi^{-1}(\{s\}) = \{x\}\), et

4. \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) soit purement inséparable¹.

Alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) tel que \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) soit une immersion fermée.

Démonstration

La question est locale sur \(S\). Nous pouvons donc supposer que \(S = \Spec(A)\). Par définition d’un morphisme fini, cela implique que \(X = \Spec(B)\). Notons que l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) définissant \(\pi\) est un homomorphisme d’anneaux fini non ramifié. Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Les conditions (2), (3) et (4) impliquent que \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak pB_{\mathfrak q} = \kappa(\mathfrak p)\). D’après Algèbre, Lemme 00EA, nous avons \(B_{\mathfrak q} = B_{\mathfrak p}\) (notons qu’un homomorphisme d’anneaux fini vérifie la propriété de montée, voir Algèbre, section 00HU.) Nous voyons donc que \(B_{\mathfrak p}/\mathfrak pB_{\mathfrak p} = \kappa(\mathfrak p)\). Comme \(B\) est un \(A\)-module fini, le lemme de Nakayama (voir Algèbre, Lemme 00DV) montre que \(B_{\mathfrak p} = \varphi(A_{\mathfrak p})\). Ainsi (en utilisant de nouveau la finitude de \(B\) comme \(A\)-module), il existe \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\) tel que \(B_f = \varphi(A_f)\), ce qui est le résultat voulu.

Les résultats topologiques présentés ci-dessus serviront à donner une caractérisation fonctorielle des morphismes étales analogue au Théorème 024R.

Exemples de morphismes non ramifiés

Voici quelques exemples.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Les morphismes quasi-compacts non ramifiés \(X \to \Spec(k)\) sont affines. En effet, \(X\) est de dimension \(0\) et noethérien, donc c’est un ensemble discret fini, et chaque point fournit un ouvert affine ; ainsi \(X\) est une réunion disjointe finie de schémas affines, donc est affine. Le lemme de normalisation de Noether entraîne que \(X\) est le spectre d’une \(k\)-algèbre finie \(A\). Cette algèbre est un produit d’extensions finies séparables de \(k\). Ainsi, un morphisme quasi-compact non ramifié vers \(\Spec(k)\) correspond à un nombre fini d’extensions finies séparables de \(k\). En particulier, un morphisme non ramifié dont la source est connexe et la cible réduite à un point correspond nécessairement à une extension finie séparable de corps. Comme nous le verrons plus loin, \(X \to \Spec(k)\) est étale si et seulement s’il est non ramifié. Ainsi, dans ce cas au moins, nous obtenons une description très simple de la topologie étale d’un schéma. Bien entendu, la cohomologie de cette topologie est une autre affaire.

Exemple

La propriété (3) du Théorème 024P nous fournit une source canonique d’exemples de morphismes non ramifiés. Fixons un anneau \(R\) et un entier \(n\). Soit \(I = (g_1, \ldots, g_m)\) un idéal de \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Soit \(\mathfrak q \subset R[x_1, \ldots, x_n]\) un idéal premier. Supposons \(I \subset \mathfrak q\) et que la matrice \[\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right) \bmod \mathfrak q \quad\in\quad \text{Mat}(n \times m, \kappa(\mathfrak q))\] soit de rang \(n\). Alors le morphisme \(f : Z = \Spec(R[x_1, \ldots, x_n]/I) \to \Spec(R)\) est non ramifié au point \(x \in Z \subset \mathbf{A}^n_R\) correspondant à \(\mathfrak q\). Il est clair que nous devons avoir \(m \geq n\). Dans le cas extrême \(m = n\), c’est-à-dire lorsque la différentielle de l’application \(\mathbf{A}^n_R \to \mathbf{A}^n_R\) définie par les \(g_i\) est un isomorphisme des espaces tangents, alors \(f\) est aussi plat en \(x\) et est, par conséquent, un morphisme étale (voir Algèbre, Définition 00T6, Lemme 00T7 et Exemple 00T8).

Exemple

Fixons une extension de corps de nombres \(L/K\), dont les anneaux d’entiers sont \(\mathcal{O}_L\) et \(\mathcal{O}_K\). L’injection \(K \to L\) définit un morphisme \(f : \Spec(\mathcal{O}_L) \to \Spec(\mathcal{O}_K)\). Comme expliqué ci-dessus, les points où \(f\) est non ramifié au sens adopté ici sont exactement ceux où \(f\) est non ramifié au sens usuel. Au sens usuel, le lieu de ramification dans \(\Spec(\mathcal{O}_L)\) est le lieu des zéros de la différente, qui est un idéal de \(\mathcal{O}_L\). En fait, la différente n’est autre que l’annulateur du module \(\Omega_{\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K}\). De même, le discriminant est un idéal de \(\mathcal{O}_K\), à savoir la norme de la différente. Le lieu des zéros du discriminant est précisément l’ensemble des points de \(K\) qui se ramifient dans \(L\). Ainsi, en désignant par \(X\) le complémentaire du sous-ensemble fermé défini par la différente dans \(\Spec(\mathcal{O}_L)\), nous obtenons un morphisme \(X \to \Spec(\mathcal{O}_K)\) qui est non ramifié. De plus, ce morphisme est aussi plat, puisque tout homomorphisme local d’anneaux de valuation discrète est plat, et ce morphisme est donc en fait étale. Si \(L/K\) est une extension galoisienne finie, en désignant par \(Y\) le complémentaire du sous-ensemble fermé défini par le discriminant dans \(\Spec(\mathcal{O}_K)\), nous voyons que nous obtenons même un morphisme fini étale \(X \to Y\). C’est donc un exemple de revêtement étale fini.

Morphismes plats

Cette section a simplement pour objet de résumer les propriétés de la platitude qui nous seront utiles. Nous nous contenterons donc d’énoncer précisément les théorèmes et de donner des références pour leurs démonstrations.

Après avoir brièvement rappelé les faits nécessaires concernant les modules plats sur les anneaux noethériens, nous énonçons un théorème de Grothendieck qui donne des conditions suffisantes pour que les « sections hyperplanes » de certains modules soient plates.

Définition

Platitude des modules et des anneaux.

1. Un module \(N\) sur un anneau \(A\) est dit plat si le foncteur \(M \mapsto M \otimes_A N\) est exact.

2. Si ce foncteur est également fidèle, nous disons que \(N\) est fidèlement plat sur \(A\).

3. Un morphisme d’anneaux \(f : A \to B\) est dit plat (resp. fidèlement plat) si le foncteur \(M \mapsto M \otimes_A B\) est exact (resp. fidèle et exact).

Voici une liste de faits, accompagnés de références au chapitre d’algèbre.

1. Les modules libres et projectifs sont plats. Cela est clair pour les modules libres et s’en déduit pour les modules projectifs, car ceux-ci sont facteurs directs de modules libres et \(\otimes\) commute aux sommes directes.

2. La platitude est une propriété locale, c’est-à-dire que \(M\) est plat sur \(A\) si et seulement si \(M_{\mathfrak p}\) est plat sur \(A_{\mathfrak p}\) pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(A)\). Voir Algèbre, Lemme 00HT.

3. Si \(M\) est un \(A\)-module plat et \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux, alors \(M \otimes_A B\) est un \(B\)-module plat. Voir Algèbre, Lemme 00HI.

4. Les modules finis et plats sur les anneaux locaux sont libres. Voir Algèbre, Lemme 00NZ.

5. Si \(f : A \to B\) est un morphisme d’anneaux quelconques, \(f\) est plat si et seulement si les homomorphismes induits \(A_{f^{-1}(\mathfrak q)} \to B_{\mathfrak q}\) sont plats pour tout \(\mathfrak q \in \Spec(B)\). Voir Algèbre, Lemme 00HT.

6. Si \(f : A \to B\) est un homomorphisme local d’anneaux locaux, \(f\) est plat si et seulement s’il est fidèlement plat. Voir Algèbre, Lemme 00HR.

7. Un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est fidèlement plat si et seulement s’il est plat et si l’application induite sur les spectres est surjective. Voir Algèbre, Lemme 00HQ.

8. Si \(A\) est un anneau local noethérien, le complété \(A^\wedge\) est fidèlement plat sur \(A\). Voir Algèbre, Lemme 00MC.

9. Soient \(A\) un anneau local noethérien et \(M\) un \(A\)-module. Alors \(M\) est plat sur \(A\) si et seulement si \(M \otimes_A A^\wedge\) est plat sur \(A^\wedge\). (Combiner l’assertion précédente avec Algèbre, Lemme 00HJ.)

Avant de passer à la catégorie géométrique, nous présentons le théorème de Grothendieck, qui fournit un procédé commode pour construire des modules plats.

Théorème

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local. Si \(M\) est un \(B\)-module fini qui est plat comme \(A\)-module, et si \(t \in \mathfrak m_B\) est un élément tel que la multiplication par \(t\) soit injective sur \(M/\mathfrak m_AM\), alors \(M/tM\) est également plat sur \(A\).

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 00ME. Voir aussi [MatCA, section 20].

Définition

(Voir Morphismes, Définition 01U3.) Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

1. Soit \(x \in X\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x \in X\) si \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-module plat. On utilise l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) pour considérer \(\mathcal{F}_x\) comme un \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-module.

2. Soit \(x \in X\). Nous disons que \(f\) est plat en \(x \in X\) si \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est plat.

3. Nous disons que \(f\) est plat s’il est plat en tout point de \(X\).

4. Un morphisme \(f : X \to Y\) plat et surjectif est parfois dit fidèlement plat.

Voici, une fois encore, une liste de résultats :

1. La propriété (pour un morphisme) d’être plat est, par définition, locale pour la topologie de Zariski sur la source et la cible.

2. Les immersions ouvertes sont plates. (C’est clair, puisqu’elles induisent des isomorphismes sur les anneaux locaux.)

3. Les morphismes plats sont stables par changement de base et par composition. Morphismes, Lemmes 01U9 et 01U7.

4. Si \(f : X \to Y\) est plat, alors le foncteur image inverse \(\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est exact. Cela résulte immédiatement de l’examen des germes.

5. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas, et supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Dans ce cas, si le foncteur \(f^*\) est exact, alors \(f\) est plat. (Démonstration omise. Indication : utiliser Propriétés, Lemme 01PE pour voir que \(Y\) possède « assez » de faisceaux d’idéaux et utiliser la caractérisation de la platitude dans Algèbre, Lemme 00HD.)

Propriétés topologiques des morphismes plats

Nous « rappelons » ci-dessous quelques propriétés d’ouverture dont jouissent les morphismes plats.

Théorème

Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. L’ensemble des points de \(X\) où \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) est ouvert. En particulier, l’ensemble des points où \(f\) est plat est ouvert dans \(X\).

Démonstration

Voir Compléments sur les morphismes, Théorème 0399.

Théorème

Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat et localement de type fini. Alors \(f\) est (universellement) ouvert.

Démonstration

Voir Morphismes, Lemme 01UA.

Théorème

Un morphisme fidèlement plat quasi-compact est une application quotient pour la topologie de Zariski.

Démonstration

Voir Morphismes, Lemme 02JY.

Une raison importante d’étudier les morphismes plats est qu’ils fournissent le cadre adéquat pour saisir la notion de famille de schémas paramétrée par les points d’un autre schéma. Naïvement, on pourrait penser que tout morphisme \(f : X \to S\) doit être considéré comme une famille paramétrée par les points de \(S\). Cependant, sans hypothèse de platitude sur \(f\), des phénomènes véritablement bizarres peuvent se produire dans cette prétendue famille. Par exemple, rien ne garantit que la dimension relative (la dimension des fibres) soit constante dans une famille. D’autres invariants numériques, comme le polynôme de Hilbert, peuvent eux aussi varier d’une fibre à l’autre. La platitude empêche de tels phénomènes et confère donc une certaine « continuité » aux fibres.

Morphismes étales

Dans cette section, nous allons définir les morphismes étales et démontrer plusieurs propriétés importantes à leur sujet. La plus importante est sans aucun doute la caractérisation fonctorielle présentée dans le Théorème 025K. Ensuite, nous examinerons aussi quelques propriétés des anneaux qui sont insensibles à une extension étale (propriétés qui valent pour un anneau si et seulement si elles valent pour toutes ses extensions étales), afin de motiver le principe fondamental de la cohomologie étale — les morphismes étales sont l’analogue algébrique des isomorphismes locaux.

Comme le titre le suggère, nous allons définir la classe des morphismes étales — la classe des morphismes (dont nous considérerons les familles surjectives comme des recouvrements) dans la catégorie des schémas au-dessus d’un schéma de base \(S\), afin de définir le site étale \(S_\etale\). Intuitivement, un morphisme étale est censé exprimer l’idée d’un espace de revêtement et devrait donc être proche d’un isomorphisme local. Si nous travaillons avec des variétés sur des corps algébriquement clos, cette dernière assertion peut servir de définition, à condition de remplacer « isomorphisme local » par « isomorphisme local formel » (isomorphisme après complétion). On peut alors donner une définition sur un corps de base quelconque en demandant que le changement de base à la clôture algébrique soit étale (au sens précité). Mais, plutôt que de procéder par de telles constructions peu esthétiques, nous adopterons une approche algébrique plus nette, quoique légèrement plus abstraite.

Nous définissons d’abord les « homomorphismes étales d’anneaux locaux » pour les anneaux locaux noethériens. Nous ne pouvons pas employer simplement le terme « étale », puisqu’il existe déjà une notion d’homomorphisme d’anneaux étale (Algèbre, section 00U0) et qu’elle est différente.

Définition

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Un homomorphisme local \(f : A \to B\) est appelé homomorphisme étale d’anneaux locaux s’il est plat et non ramifié en tant qu’homomorphisme d’anneaux locaux (voir Définition 024M).

Il s’agit de la version locale de la définition d’un homomorphisme d’anneaux étale dans Algèbre, section 00U0. La définition précise donnée dans cette section est celle d’un homomorphisme d’anneaux lisse de dimension relative \(0\). Il est démontré (dans Algèbre, Lemme 00U9) qu’une \(R\)-algèbre étale \(S\) possède toujours une présentation \[S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] telle que \[g = \det \left( \begin{matrix} \partial f_1/\partial x_1 & \partial f_2/\partial x_1 & \ldots & \partial f_n/\partial x_1 \\ \partial f_1/\partial x_2 & \partial f_2/\partial x_2 & \ldots & \partial f_n/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial f_1/\partial x_n & \partial f_2/\partial x_n & \ldots & \partial f_n/\partial x_n \end{matrix} \right)\] ait pour image un élément inversible de \(S\). Les deux lemmes suivants relient les deux notions.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme de type fini, où \(A\) est un anneau noethérien. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\). Alors \(A \to B\) est étale en \(\mathfrak q\) si et seulement si \(A_{\mathfrak p} \to B_{\mathfrak q}\) est un homomorphisme étale d’anneaux locaux.

Démonstration

Voir Algèbre, Lemmes 00U2 (platitude des homomorphismes étales), 00U4 (les homomorphismes étales sont non ramifiés) et 00U6 (les homomorphismes plats et non ramifiés sont étales).

Lemme

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local tel que \(B\) soit essentiellement de type fini sur \(A\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(A \to B\) est un homomorphisme étale d’anneaux locaux

2. \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un homomorphisme étale d’anneaux locaux, et

3. \(A^\wedge \to B^\wedge\) est étale.

De plus, dans ce cas \(B^\wedge \cong (A^\wedge)^{\oplus n}\) comme \(A^\wedge\)-modules pour un certain \(n \geq 1\).

Démonstration

Pour établir les équivalences de (1), (2) et (3), puisque nous disposons des résultats correspondants pour les homomorphismes d’anneaux non ramifiés (Lemme 039I), il suffit de démontrer que \(A \to B\) est plat si et seulement si \(A^\wedge \to B^\wedge\) est plat. Cela ressort de nos listes de propriétés des homomorphismes plats, puisque les homomorphismes d’anneaux \(A \to A^\wedge\) et \(B \to B^\wedge\) sont fidèlement plats. Pour la dernière assertion, Lemme 039H montre que \(B^\wedge\) est un \(A^\wedge\)-module fini et plat. Il est donc fini et libre d’après notre liste des propriétés des modules plats de la section 0250.

L’entier \(n\) qui intervient dans le lemme ci-dessus n’est autre que le degré \([\kappa(\mathfrak m_B) : \kappa(\mathfrak m_A)]\) de l’extension des corps résiduels. En particulier, si \(\kappa(\mathfrak m_A)\) est séparablement clos, nous voyons que \(A^\wedge \to B^\wedge\) est un isomorphisme, ce qui confirme nos assertions précédentes.

Définition

(Voir Morphismes, Définition 02GI.) Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini.

1. Soit \(x \in X\). Nous disons que \(f\) est étale en \(x \in X\) si \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est un homomorphisme étale d’anneaux locaux.

2. Le morphisme est dit étale s’il est étale en chacun de ses points.

Démontrons que cette définition coïncide avec celle du chapitre sur les morphismes de schémas. Cela garantit en particulier que l’ensemble des points où un morphisme est étale est ouvert.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to Y\) localement de type fini. Soit \(x \in X\). Le morphisme \(f\) est étale en \(x\) au sens de la Définition 0259 si et seulement s’il est étale en \(x\) au sens de Morphismes, Définition 02GI.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 039L et des définitions.

Voici quelques résultats sur les morphismes étales. Les formulations données dans cette liste ne s’appliquent qu’aux morphismes localement de type fini entre schémas localement noethériens. Dans chaque cas, nous donnons une référence au résultat général tel qu’il a été démontré plus tôt dans le projet, mais on peut, dans certains cas, démontrer plus facilement le résultat dans le cas noethérien. Voici la liste :

1. Un morphisme étale est non ramifié. (Cela ressort de nos définitions.)

2. La propriété d’être étale est locale sur la source et la cible pour la topologie de Zariski.

3. Les morphismes étales sont stables par changement de base et par composition. Voir Morphismes, Lemmes 02GO et 02GN.

4. Les morphismes étales de schémas sont localement quasi-finis, et les morphismes étales quasi-compacts sont quasi-finis. (Cela est vrai parce que c’est le cas pour les morphismes non ramifiés, comme vu précédemment.)

5. Les morphismes étales sont de dimension relative \(0\). Voir Morphismes, Définition 02NJ et Morphismes, Lemme 0397.

6. Un morphisme est étale si et seulement s’il est plat et si toutes ses fibres sont étales. Voir Morphismes, Lemme 02GM.

7. Les morphismes étales sont ouverts. C’est vrai parce qu’un morphisme étale est plat, d’après le Théorème 039K.

8. Soient \(X\) et \(Y\) étales sur un schéma de base \(S\). Tout \(S\)-morphisme de \(X\) vers \(Y\) est étale. Voir Morphismes, Lemme 02GW.

Le théorème de structure

Nous présentons un théorème qui décrit la structure locale des morphismes étales et non ramifiés. Outre son importance propre évidente, ce théorème nous permet aussi de passer à une autre définition des morphismes étales qui rend mieux compte de l’intuition géométrique que celle que nous avons employée jusqu’ici.

Pour l’énoncer, nous avons besoin de la notion d’homomorphisme d’anneaux étale standard, voir Algèbre, Définition 00UB. Plus précisément, supposons que \(R\) soit un anneau et que \(f, g \in R[t]\) soient des polynômes tels que

1. \(f\) soit un polynôme unitaire, et

2. \(f' = \text{d}f/\text{d}t\) soit inversible dans le localisé \(R[t]_g/(f)\).

Alors l’application \[R \longrightarrow R[t]_g/(f) = R[t, 1/g]/(f)\] est une algèbre étale standard, et toute algèbre étale standard est isomorphe à l’une d’elles. C’est un exercice agréable de démontrer qu’un tel homomorphisme d’anneaux est plat et non ramifié, donc étale (comme prévu, bien entendu). Un cas particulier d’homomorphisme d’anneaux étale standard est tout homomorphisme d’anneaux \[R \longrightarrow R[t]_{f'}/(f) = R[t, 1/f']/(f)\] où \(f\) est un polynôme unitaire, et toute algèbre étale standard est (isomorphe à) un localisé principal de l’une d’elles.

Théorème

Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme étale d’anneaux locaux. Alors il existe \(f, g \in A[t]\) tels que

1. \(B' = A[t]_g/(f)\) soit une algèbre étale standard — voir (a) et (b) ci-dessus, et

2. \(B\) soit isomorphe au localisé de \(B'\) en un idéal premier.

Démonstration

Écrivons \(B = B'_{\mathfrak q}\) pour une certaine \(A\)-algèbre de type fini \(B'\) (ce qui est possible puisque \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\)). D’après le Lemme 039L, nous voyons que \(A \to B'\) est étale en \(\mathfrak q\). Nous pouvons donc appliquer Algèbre, Proposition 00UE pour voir qu’un localisé principal de \(B'\) est étale standard.

Voici la version pour les homomorphismes non ramifiés d’anneaux locaux.

Théorème

Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme non ramifié d’anneaux locaux. Alors il existe \(f, g \in A[t]\) tels que

1. \(B' = A[t]_g/(f)\) soit une algèbre étale standard — voir (a) et (b) ci-dessus, et

2. \(B\) soit isomorphe à un quotient d’un localisé de \(B'\) en un idéal premier.

Démonstration

Écrivons \(B = B'_{\mathfrak q}\) pour une certaine \(A\)-algèbre de type fini \(B'\) (ce qui est possible puisque \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\)). D’après le Lemme 039G, nous voyons que \(A \to B'\) est non ramifié en \(\mathfrak q\). Nous pouvons donc appliquer Algèbre, Proposition 0395 pour voir qu’un localisé principal de \(B'\) est un quotient d’une \(A\)-algèbre étale standard.

Des arguments usuels de relèvement donnent alors l’énoncé géométrique suivant, qui nous sera d’une utilité essentielle.

Théorème

Soit \(\varphi : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Soit \(V \subset Y\) un voisinage ouvert affine de \(\varphi(x)\). Si \(\varphi\) est étale en \(x\), alors il existe un ouvert affine \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(\varphi(U) \subset V\) tel que l’on ait le diagramme suivant : \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-j & \Spec(R[t]_{f'}/(f)) \ar[d] \\ Y & V \ar[l] \ar@{=}[r] & \Spec(R) }\] où \(j\) est une immersion ouverte et \(f \in R[t]\) est un polynôme unitaire.

Démonstration

Cet énoncé équivaut à celui de Morphismes, Lemme 02GT, bien que les énoncés diffèrent légèrement. Voir aussi Variétés, Lemme 0CBJ pour une variante relative aux morphismes non ramifiés.

Morphismes étales et lisses

Un morphisme étale est lisse de dimension relative zéro. La projection \(\mathbf{A}^n_S \to S\) est un exemple standard de morphisme lisse de dimension relative \(n\). Il se trouve que, localement pour la topologie étale, tout morphisme lisse est de cette forme. Voici l’énoncé précis.

Théorème

Soit \(\varphi : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Si \(\varphi\) est lisse en \(x\), alors il existe un entier \(n \geq 0\) et des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(\varphi(U) \subset V\) de sorte qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_-\pi & \mathbf{A}^n_R \ar[d] \ar@{=}[r] & \Spec(R[x_1, \ldots, x_n]) \ar[dl] \\ Y & V \ar[l] \ar@{=}[r] & \Spec(R) }\] où \(\pi\) est étale.

Démonstration

Voir Morphismes, Lemme 054L.

Propriétés topologiques des morphismes étales

Nous présentons quelques propriétés topologiques des morphismes étales et non ramifiés. Tout d’abord, nous donnons ce que Grothendieck appelle la propriété fondamentale des morphismes étales, voir [SGA1, Exposé I.5].

Théorème

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une immersion ouverte,

2. \(f\) est universellement injectif et étale, et

3. \(f\) est un monomorphisme plat, localement de présentation finie.

Démonstration

Une immersion ouverte est universellement injective, car tout changement de base d’une immersion ouverte est une immersion ouverte. De plus, elle est étale d’après Morphismes, Lemme 02GP. Ainsi (1) implique (2).

Supposons que \(f\) soit universellement injectif et étale. Comme \(f\) est étale, il est plat et localement de présentation finie, voir Morphismes, Lemmes 02GS et 02GR. D’après Lemme 05VH, nous voyons que \(f\) est un monomorphisme. Ainsi (2) implique (3).

Supposons que \(f\) soit plat, localement de présentation finie et un monomorphisme. Alors \(f\) est ouvert, voir Morphismes, Lemme 01UA. Nous pouvons donc remplacer \(Y\) par \(f(X)\) et supposer que \(f\) est surjectif. Alors \(f\) est ouvert et bijectif, donc c’est un homéomorphisme. Par conséquent, \(f\) est quasi-compact. Dès lors, Descente, lemme 06NC montre que \(f\) est un isomorphisme, ce qui conclut.

Voici un autre résultat de même nature.

Lemme

Soit \(\pi : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\). Supposons que

1. \(\pi\) soit fini ;

2. \(\pi\) soit étale ;

3. \(\pi^{-1}(\{s\}) = \{x\}\) ; et

4. \(\kappa(s) \subset \kappa(x)\) soit purement inséparable².

Alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) tel que \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 04DG, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) tel que \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) soit une immersion fermée. Mais un morphisme qui est à la fois étale et une immersion fermée est une immersion ouverte (par exemple d’après le théorème 025G). En rétrécissant \(U\), on obtient donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \(U \to X\) un morphisme étale de schémas où \(X\) est un schéma de caractéristique \(p\). Alors le Frobenius relatif \(F_{U/X} : U \to U \times_{X, F_X} X\) est un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme \(F_{U/X}\) est un homéomorphisme universel d’après Variétés, lemme 0CCB. Le morphisme \(F_{U/X}\) est étale en tant que morphisme entre des schémas étales sur \(X\) (Morphismes, lemme 02GW). Par conséquent, \(F_{U/X}\) est un isomorphisme d’après le théorème 025G.

Invariance topologique de la topologie étale

Nous présentons maintenant un théorème absolument crucial qui affirme, en gros, que le caractère étale est une propriété topologique.

Théorème

Soient \(X\) et \(Y\) deux schémas sur un schéma de base \(S\). Soit \(S_0\) un sous-schéma fermé de \(S\) ayant le même espace topologique sous-jacent (par exemple si le faisceau d’idéaux de \(S_0\) dans \(S\) est de carré nul). Notons \(X_0\) (resp. \(Y_0\)) le changement de base \(S_0 \times_S X\) (resp. \(S_0 \times_S Y\)). Si \(X\) est étale sur \(S\), alors l’application \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_{S_0}(Y_0, X_0)\] est bijective.

Démonstration

Après le changement de base par \(Y \to S\), nous pouvons supposer que \(Y = S\). Dans ce cas, le théorème affirme que tout \(S\)-morphisme \(\sigma_0 : S_0 \to X\) se factorise en fait de manière unique par une section \(S \to X\) du morphisme structural étale \(f : X \to S\).

Unicité. Supposons que nous ayons deux sections \(\sigma, \sigma'\) par lesquelles \(\sigma_0\) se factorise. Comme \(X \to S\) est étale, nous voyons que \(\Delta : X \to X \times_S X\) est une immersion ouverte (Morphismes, lemme 02GE). Le morphisme \((\sigma, \sigma') : S \to X \times_S X\) se factorise par cet ouvert, car, pour tout \(s \in S\), nous avons \((\sigma, \sigma')(s) = (\sigma_0(s), \sigma_0(s))\). Ainsi, \(\sigma = \sigma'\).

Pour démontrer l’existence, nous nous ramenons d’abord au cas affine (nous suggérons au lecteur de sauter cette étape). Soit \(X = \bigcup X_i\) un recouvrement par des ouverts affines tel que chaque \(X_i\) s’envoie dans un ouvert affine \(S_i\) de \(S\). Pour tout \(s \in S\), nous pouvons choisir \(i\) tel que \(\sigma_0(s) \in X_i\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(U \subset S_i\) de \(s\) tel que \(\sigma_0(U_0) \subset X_{i, 0}\). Remarquons que \(X' = X_i \times_S U = X_i \times_{S_i} U\) est affine. Si l’on peut relever \(\sigma_0|_{U_0} : U_0 \to X'_0\) en un morphisme \(U \to X'\), alors, par unicité, ces relèvements locaux se recollent en un morphisme global \(S \to X\). Nous pouvons donc supposer \(S\) et \(X\) affines.

Existence lorsque \(S\) et \(X\) sont affines. Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(B)\). Alors \(A \to B\) est étale et, en particulier, lisse (de dimension relative \(0\)). Puisque \(|S_0| = |S|\), nous voyons que \(S_0 = \Spec(A/I)\), où \(I \subset A\) est localement nilpotent. L’existence résulte donc de Algèbre, lemme 07K4.

La démonstration du théorème précédent nous donne aussi une implication de la caractérisation fonctorielle promise des morphismes étales. Le théorème suivant sera renforcé dans Cohomologie étale, théorème 04DZ.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(S_0 \subset S\) un sous-schéma fermé ayant le même espace topologique sous-jacent (par exemple si le faisceau d’idéaux de \(S_0\) dans \(S\) est de carré nul). Le foncteur \[X \longmapsto X_0 = S_0 \times_S X\] définit une équivalence de catégories \[\{ \text{schémas }X\text{ \'etales sur }S \} \leftrightarrow \{ \text{schémas }X_0\text{ \'etales sur }S_0 \}\]

Démonstration

Le théorème 025H montre que ce foncteur est pleinement fidèle. Il reste à démontrer qu’il est essentiellement surjectif. Soit \(Y \to S_0\) un morphisme étale de schémas.

Supposons le résultat vrai lorsque \(S\) et \(Y\) sont affines. Dans ce cas, choisissons un recouvrement par des ouverts affines \(Y = \bigcup V_j\) tel que chaque \(V_j\) s’envoie dans un ouvert affine de \(S\). Par hypothèse (cas affine), nous pouvons trouver des morphismes étales \(W_j \to S\) tels que \(W_{j, 0} \cong V_j\) (comme schémas sur \(S_0\)). Soit \(W_{j, j'} \subset W_j\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent correspond à \(V_j \cap V_{j'}\). Puisque nous avons des isomorphismes \[W_{j, j', 0} \cong V_j \cap V_{j'} \cong W_{j', j, 0}\] de schémas sur \(S_0\), la pleine fidélité montre que nous obtenons des isomorphismes \(\theta_{j, j'} : W_{j, j'} \to W_{j', j}\) de schémas sur \(S\). Nous omettons de vérifier que ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle de Schémas, section 01JA. En appliquant Schémas, lemme 01JC nous obtenons un schéma \(X \to S\) en recollant les schémas \(W_j\) au moyen des identifications \(\theta_{j, j'}\). Il est clair, par construction, que \(X \to S\) est étale et que \(X_0 \cong Y\).

Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(S\) et \(Y\) sont affines. Écrivons \(S = \Spec(R)\) et \(S_0 = \Spec(R/I)\), où \(I\) est localement nilpotent. D’après Algèbre, lemme 00U9, nous savons que \(Y\) est le spectre d’un anneau \(\overline{A}\) avec \[\overline{A} = (R/I)[x_1, \ldots, x_n]/(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_n)\] tel que \[\overline{g} = \det \left( \begin{matrix} \partial \overline{f}_1/\partial x_1 & \partial \overline{f}_2/\partial x_1 & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_1 \\ \partial \overline{f}_1/\partial x_2 & \partial \overline{f}_2/\partial x_2 & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \partial \overline{f}_1/\partial x_n & \partial \overline{f}_2/\partial x_n & \ldots & \partial \overline{f}_n/\partial x_n \end{matrix} \right)\] a pour image un élément inversible dans \(\overline{A}\). Choisissons des relèvements quelconques \(f_i \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Posons \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] Puisque \(I\) est localement nilpotent, l’idéal \(IA\) est localement nilpotent (Algèbre, lemme 0544). Remarquons que \(\overline{A} = A/IA\). Il s’ensuit que le déterminant de la matrice des dérivées partielles des \(f_i\) est inversible dans l’algèbre \(A\), d’après Algèbre, lemme 0AMG. Par conséquent, \(R \to A\) est étale, ce qui achève la démonstration.

La caractérisation fonctorielle

Nous présentons enfin la caractérisation fonctorielle annoncée. Il y a donc quatre façons d’envisager les morphismes étales de schémas :

1. comme des morphismes lisses de dimension relative \(0\),

2. comme des morphismes localement de présentation finie, plats et non ramifiés,

3. au moyen du théorème de structure, et

4. au moyen de la caractérisation fonctorielle.

Théorème

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de présentation finie. Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(f\) est étale,

2. pour tout \(S\)-schéma affine \(Y\) et tout sous-schéma fermé \(Y_0 \subset Y\) défini par un idéal de carré nul, l’application naturelle \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_S(Y_0, X)\] est bijective.

Démonstration

C’est Compléments sur les morphismes, lemme 02HM.

Cette caractérisation affirme que les solutions des équations définissant \(X\) se relèvent de façon unique à travers les épaississements nilpotents.

Structure locale étale des morphismes non ramifiés

Au chapitre Compléments sur les morphismes, section 04HF, le lecteur trouvera quelques résultats sur la structure locale étale des morphismes quasi-finis. Dans cette section, nous voulons les combiner avec les propriétés topologiques des morphismes non ramifiés rencontrées dans ce chapitre. La configuration générale à garder à l’esprit est \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[dr] & X_U \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]^f \\ & U \ar[r] & S }\] voir Compléments sur les morphismes, équation (02LJ). Commençons par un cas très général.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) des points ayant même image \(s\) dans \(S\). Supposons que \(f\) soit non ramifié en chacun des \(x_i\). Il existe alors un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et des ouverts \(V_{i, j} \subset X_U\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m_i\), tels que

1. \(V_{i, j} \to U\) est une immersion fermée dont l’image contient \(u\),

2. \(u\) n’appartient pas à l’image de \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\), sauf si \(i = i'\) et \(j = j'\), et

3. tout point de \((X_U)_u\) s’envoyant sur \(x_i\) appartient à l’un des \(V_{i, j}\).

Démonstration

D’après Morphismes, définition 02G4, il existe, pour chaque \(x_i\), un voisinage ouvert qui est localement de type fini sur \(S\). En remplaçant \(X\) par un voisinage ouvert de \(\{x_1, \ldots, x_n\}\), nous pouvons supposer que \(f\) est localement de type fini. Appliquons Compléments sur les morphismes, lemme 02LM pour obtenir le voisinage étale \((U, u)\) et les ouverts \(V_{i, j}\) finis sur \(U\). D’après le lemme 04DG, quitte à rétrécir \(U\), le morphisme \(V_{i, j} \to U\) est une immersion fermée.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) des points ayant même image \(s\) dans \(S\). Supposons que \(f\) soit séparé et que \(f\) soit non ramifié en chacun des \(x_i\). Il existe alors un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et une décomposition en somme disjointe \[X_U = W \amalg \coprod\nolimits_{i, j} V_{i, j}\] telle que

1. \(V_{i, j} \to U\) est une immersion fermée dont l’image contient \(u\),

2. la fibre \(W_u\) ne contient aucun point s’envoyant sur l’un des \(x_i\).

En particulier, si \(f^{-1}(\{s\}) = \{x_1, \ldots, x_n\}\), alors la fibre \(W_u\) est vide.

Démonstration

Appliquons le lemme 04HH. Nous pouvons supposer que \(U\) est affine, de sorte que \(X_U\) est séparé. Alors \(V_{i, j} \to X_U\) est une application fermée ; voir Morphismes, lemme 01W6. Supposons que \((i, j) \not = (i', j')\). Alors \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\) est fermé dans \(V_{i, j}\) et son image dans \(U\) ne contient pas \(u\). Par conséquent, quitte à rétrécir \(U\), nous pouvons supposer que \(V_{i, j} \cap V_{i', j'} = \emptyset\). De plus, \(\bigcup V_{i, j}\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(X_U\) et admet donc un complémentaire ouvert et fermé \(W\). Cela achève la démonstration.

Le lemme suivant est en un certain sens beaucoup plus faible que le précédent, mais il peut être utile de l’énoncer explicitement ici. Il affirme qu’un morphisme fini non ramifié est, localement pour la topologie étale sur la base, une immersion fermée.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme fini non ramifié de schémas. Soit \(s \in S\). Il existe un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et une décomposition en somme disjointe finie \[X_U = \coprod\nolimits_j V_j\] telle que chaque \(V_j \to U\) soit une immersion fermée.

Démonstration

Puisque \(X \to S\) est fini, la fibre au-dessus de \(s\) est un ensemble fini \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) de points de \(X\). Appliquons le lemme 04HI à cet ensemble (un morphisme fini est séparé ; voir Morphismes, section 01WG). L’image de \(W\) dans \(U\) est un sous-ensemble fermé (car \(X_U \to U\) est fini, donc propre) qui ne contient pas \(u\). Après l’avoir retiré de \(U\), nous voyons que \(W = \emptyset\) ce qui est le résultat voulu.

Structure locale étale des morphismes étales

C’est un peu artificiel, mais peut-être utile pour se forger une intuition des morphismes étales. Nous recopions simplement les résultats de la section 04HG et remplaçons « immersion fermée » par « isomorphisme ».

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) des points ayant la même image \(s\) dans \(S\). Supposons que \(f\) soit étale en chacun des \(x_i\). Alors il existe un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et des ouverts \(V_{i, j} \subset X_U\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m_i\) tels que

1. \(V_{i, j} \to U\) soit un isomorphisme ;

2. \(u\) n’appartienne pas à l’image de \(V_{i, j} \cap V_{i', j'}\), sauf si \(i = i'\) et \(j = j'\) ; et

3. tout point de \((X_U)_u\) qui s’envoie sur \(x_i\) appartienne à un certain \(V_{i, j}\).

Démonstration

Un morphisme étale est non ramifié ; nous pouvons donc appliquer le lemme 04HH. Or \(V_{i, j} \to U\) est une immersion fermée et est étale. C’est donc une immersion ouverte, par exemple d’après le théorème 025G. Remplaçons \(U\) par l’intersection des images des morphismes \(V_{i, j} \to U\) pour obtenir le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) des points ayant la même image \(s\) dans \(S\). Supposons \(f\) séparé et \(f\) étale en chacun des \(x_i\). Alors il existe un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et une décomposition en somme disjointe finie \[X_U = W \amalg \coprod\nolimits_{i, j} V_{i, j}\] de schémas tels que

1. \(V_{i, j} \to U\) soit un isomorphisme ;

2. la fibre \(W_u\) ne contienne aucun point s’envoyant sur l’un des \(x_i\).

En particulier, si \(f^{-1}(\{s\}) = \{x_1, \ldots, x_n\}\), alors la fibre \(W_u\) est vide.

Démonstration

Un morphisme étale est non ramifié ; nous pouvons donc appliquer le lemme 04HI. Comme dans la démonstration du lemme 04HL, les morphismes \(V_{i, j} \to U\) sont des immersions ouvertes et l’on conclut en remplaçant \(U\) par l’intersection de leurs images.

Le lemme suivant est en un certain sens beaucoup plus faible que le précédent, mais il peut être utile de l’énoncer explicitement ici. Il affirme qu’un morphisme fini étale est, localement pour la topologie étale sur la base, un « espace de revêtement topologique », c’est-à-dire un produit fini de copies de la base.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme fini étale de schémas. Soit \(s \in S\). Il existe un voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) et une décomposition en somme disjointe finie \[X_U = \coprod\nolimits_j V_j\] de schémas telle que chaque \(V_j \to U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Un morphisme étale est non ramifié ; nous pouvons donc appliquer le lemme 04HJ. Comme dans la démonstration du lemme 04HL, nous voyons que \(V_{i, j} \to U\) est une immersion ouverte et l’on conclut en remplaçant \(U\) par l’intersection de leurs images.

Propriétés de permanence

Dans ce qui suit, nous présentons quelques propriétés de « permanence » des homomorphismes étales d’anneaux locaux noethériens (au sens de la définition 0258). Voir Compléments d’algèbre, sections 07NU et 07QL pour les résultats analogues concernant la complétion et l’hensélisation d’un anneau local noethérien.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(\dim(A) = \dim(B)\).

Démonstration

Voir par exemple Algèbre, lemme 00ON.

Proposition

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(\text{profondeur}(A) = \text{profondeur}(B)\)

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 0337.

Proposition

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(A\) est de Cohen-Macaulay si et seulement si \(B\) l’est.

Démonstration

Un anneau local \(A\) est de Cohen-Macaulay si et seulement si \(\dim(A) = \text{profondeur}(A)\). Puisque ces deux invariants sont préservés par une extension étale, l’assertion en résulte.

Proposition

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(A\) est régulier si et seulement si \(B\) l’est.

Démonstration

Si \(B\) est régulier, alors \(A\) est régulier d’après Algèbre, lemme 00OF. Supposons \(A\) régulier. Soit \(\mathfrak m\) l’idéal maximal de \(A\). Alors \(\dim_{\kappa(\mathfrak m)} \mathfrak m/\mathfrak m^2 = \dim(A) = \dim(B)\) (voir le lemme 039S). D’autre part, \(\mathfrak mB\) est l’idéal maximal de \(B\) et par conséquent \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B = \mathfrak mB/\mathfrak m^2B\) est engendré par au plus \(\dim(B)\) éléments. Ainsi \(B\) est régulier. (On peut aussi utiliser le résultat légèrement plus général Algèbre, lemme 031E.)

Proposition

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(A\) est réduit si et seulement si \(B\) l’est.

Démonstration

La fidèle platitude de \(A \to B\) montre clairement que, si \(B\) est réduit, \(A\) l’est aussi. Voir également Algèbre, lemme 033F. Réciproquement, supposons \(A\) réduit. Par hypothèse, \(B\) est un localisé d’une \(A\)-algèbre de type fini \(B'\) en un idéal premier \(\mathfrak q\). Quitte à remplacer \(B'\) par un localisé, nous pouvons supposer que \(B'\) est étale sur \(A\), voir le lemme 039L. Alors Algèbre, lemme 033B, s’applique à \(A \to B'\) et \(B'\) est réduit. Par conséquent, \(B\) est réduit.

Remarque

Le résultat sur la « propriété d’être réduit » ne vaut pas avec une définition plus faible des homomorphismes locaux étales \(A \to B\), dans laquelle on supprime l’hypothèse que \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\). En effet, il peut arriver qu’un anneau local noethérien intègre \(A\) ait un complété non réduit \(A^\wedge\), voir Exemples, section 02JD. Mais l’homomorphisme d’anneaux \(A \to A^\wedge\) est plat, et \(\mathfrak m_AA^\wedge\) est l’idéal maximal de \(A^\wedge\) et, bien sûr, \(A\) et \(A^\wedge\) ont le même corps résiduel. C’est pourquoi il importe de ne considérer cette notion que pour des extensions d’anneaux essentiellement de type fini (ou essentiellement de présentation finie si \(A\) n’est pas noethérien).

Proposition

Soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux noethériens. Soit \(f : A \to B\) un homomorphisme local étale. Alors \(A\) est un anneau intègre normal si et seulement si \(B\) l’est.

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 033G, pour la descente de la normalité. Réciproquement, supposons \(A\) normal. Par hypothèse, \(B\) est un localisé d’une \(A\)-algèbre de type fini \(B'\) en un idéal premier \(\mathfrak q\). Après avoir remplacé \(B'\) par un localisé, nous pouvons supposer que \(B'\) est étale sur \(A\), voir le lemme 039L. Alors Algèbre, lemme 033C, s’applique à \(A \to B'\) et nous concluons que \(B'\) est normal. Par conséquent, \(B\) est un anneau intègre normal.

Les propositions précédentes donnent une idée de la raison pour laquelle nous voulons considérer les morphismes étales comme des « isomorphismes locaux ». Une autre propriété qui indique très clairement que nous avons la « bonne » définition est le fait que, pour les \(\mathbf{C}\)-schémas de type fini, un morphisme est étale si et seulement si le morphisme associé entre espaces analytiques (les points à valeurs dans \(\mathbf{C}\) munis de la topologie complexe) est un isomorphisme local au sens analytique (une immersion ouverte localement sur la source). Ce fait peut être démontré à l’aide du théorème de structure et du fait que l’analytification commute à la formation des anneaux locaux complétés – les détails sont laissés au lecteur.

Descente des morphismes étales

Pour comprendre le langage employé dans cette section, nous invitons le lecteur à consulter Descente, section 023U. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Considérons le foncteur de changement de base [0BTI]\[\begin{equation} \text{schémas }U\text{ \'etales sur }S \longrightarrow \begin{matrix} \text{données de descente }(V, \varphi)\text{ relativement à }X/S \\ \text{ avec }V\text{ \'etale sur }X \end{matrix} \end{equation}\] qui envoie \(U\) sur la donnée de descente canonique \((X \times_S U, can)\).

Lemme

Si \(f : X \to S\) est surjectif, alors le foncteur (0BTI) est fidèle.

Démonstration

Soient \(a, b : U_1 \to U_2\) deux morphismes entre des schémas étales sur \(S\). Supposons que les changements de base de \(a\) et \(b\) par \(X\) coïncident. Nous devons montrer que \(a = b\). D’après la proposition 024V, il suffit de montrer que \(a\) et \(b\) coïncident sur les points et les corps résiduels. C’est clair, car, pour tout \(u \in U_1\), nous pouvons trouver un point \(v \in X \times_S U_1\) s’envoyant sur \(u\).

Lemme

Supposons que \(f : X \to S\) soit submersif et que tout changement de base étale de \(f\) soit submersif. Alors le foncteur (0BTI) est pleinement fidèle.

Démonstration

D’après le lemme 0BTJ, le foncteur est fidèle. Soient \(U_1 \to S\) et \(U_2 \to S\) des morphismes étales et soit \(a : X \times_S U_1 \to X \times_S U_2\) un morphisme compatible avec les données de descente canoniques. Nous allons montrer que \(a\) est le changement de base d’un morphisme \(U_1 \to U_2\).

Soit \(U'_2 \subset U_2\) un sous-schéma ouvert. Considérons \(W = a^{-1}(X \times_S U'_2)\). C’est un sous-schéma ouvert de \(X \times_S U_1\) compatible avec la donnée de descente canonique sur \(V_1 = X \times_S U_1\). Cela signifie que les deux images inverses de \(W\) par les projections \(V_1 \times_{U_1} V_1 \to V_1\) coïncident. Puisque \(V_1 \to U_1\) est surjectif (étant le changement de base de \(X \to S\)), nous en déduisons que \(W\) est l’image inverse d’une partie \(U'_1 \subset U_1\). Puisque \(W\) est ouvert, notre hypothèse sur \(f\) implique que \(U'_1 \subset U_1\) est ouvert.

Soit \(U_2 = \bigcup U_{2, i}\) un recouvrement par des ouverts affines. D’après le résultat du paragraphe précédent, nous obtenons un recouvrement ouvert \(U_1 = \bigcup U_{1, i}\) tel que \(X \times_S U_{1, i} = a^{-1}(X \times_S U_{2, i})\). Si nous pouvons montrer qu’il existe un morphisme \(U_{1, i} \to U_{2, i}\) dont le changement de base est le morphisme \(a_i : X \times_S U_{1, i} \to X \times_S U_{2, i}\), alors nous pouvons recoller ces morphismes en un morphisme \(U_1 \to U_2\) (en utilisant la fidélité). Nous nous ramenons ainsi au cas où \(U_2\) est affine. En particulier, \(U_2 \to S\) est séparé (Schémas, lemme 01KV).

Supposons que \(U_2 \to S\) soit séparé. Alors le graphe \(\Gamma_a\) de \(a\) est un sous-schéma fermé de \[V = (X \times_S U_1) \times_X (X \times_S U_2) = X \times_S U_1 \times_S U_2\] d’après Schémas, lemme 01KS. D’autre part, le graphe est ouvert, par exemple parce que c’est une section d’un morphisme étale (proposition 024T). Comme \(a\) est un morphisme de données de descente, les deux images inverses de \(\Gamma_a \subset V\) par les projections \(V \times_{U_1 \times_S U_2} V \to V\) sont les mêmes. Ainsi, en raisonnant comme au deuxième alinéa de la démonstration, nous trouvons un sous-schéma ouvert et fermé \(\Gamma \subset U_1 \times_S U_2\) dont le changement de base à \(X\) donne \(\Gamma_a\). Alors \(\Gamma \to U_1\) est un morphisme étale dont le changement de base à \(X\) est un isomorphisme. Cela signifie que \(\Gamma \to U_1\) est universellement bijectif, donc est un isomorphisme d’après le théorème 025G. Ainsi, \(\Gamma\) est le graphe d’un morphisme \(U_1 \to U_2\) et le changement de base de ce morphisme est \(a\), ce qui est le résultat voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Dans les cas suivants, le foncteur (0BTI) est pleinement fidèle :

1. \(f\) est surjectif et universellement fermé (par exemple fini, entier ou propre),

2. \(f\) est surjectif et universellement ouvert (par exemple localement de présentation finie et plat, lisse ou étale),

3. \(f\) est surjectif, quasi-compact et plat.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0BTK. Par exemple, une application fermée surjective d’espaces topologiques est submersive (Topologie, lemme 0AAU). Les morphismes finis, entiers et propres sont universellement fermés, voir Morphismes, lemmes 01WM et 01WN, et la définition 01W1. D’autre part, une application ouverte surjective d’espaces topologiques est submersive (Topologie, lemme 02YB). Les morphismes plats localement de présentation finie, lisses et étales sont universellement ouverts, voir Morphismes, lemmes 01UA, 056G et 03WT. Le cas des morphismes surjectifs, quasi-compacts et plats résulte de Morphismes, lemme 02JY.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \((V, \varphi)\) une donnée de descente relativement à \(X/S\) avec \(V \to X\) étale. Soit \(S = \bigcup S_i\) un recouvrement ouvert. Supposons que

1. la donnée de descente \((V, \varphi)\) obtenue par changement de base à \(X \times_S S_i/S_i\) soit effective,

2. le foncteur (0BTI) pour \(X \times_S (S_i \cap S_j) \to (S_i \cap S_j)\) soit pleinement fidèle, et

3. le foncteur (0BTI) pour \(X \times_S (S_i \cap S_j \cap S_k) \to (S_i \cap S_j \cap S_k)\) soit fidèle.

Alors \((V, \varphi)\) est effective.

Démonstration

(Rappelons que les changements de base des données de descente sont définis dans Descente, définition 02VR.) Posons \(X_i = X \times_S S_i\). Notons \((V_i, \varphi_i)\) la donnée obtenue par changement de base à partir de \((V, \varphi)\) sur \(X_i/S_i\). D’après l’hypothèse (1), nous pouvons trouver un morphisme étale \(U_i \to S_i\) muni d’un isomorphisme \(X_i \times_{S_i} U_i \to V_i\) compatible avec \(can\) et \(\varphi_i\). D’après l’hypothèse (2), nous obtenons des isomorphismes \(\psi_{ij} : U_i \times_{S_i} (S_i \cap S_j) \to U_j \times_{S_j} (S_i \cap S_j)\). D’après l’hypothèse (3), ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle, de sorte que \((U_i, \psi_{ij})\) est une donnée de descente pour le recouvrement de Zariski \(\{S_i \to S\}\). Alors Descente, lemme 02VY (qui n’est essentiellement qu’une reformulation de Schémas, section 01JA) affirme qu’il existe un morphisme de schémas \(U \to S\) et des isomorphismes \(U \times_S S_i \to U_i\) compatibles avec \(\psi_{ij}\). Les isomorphismes \(U \times_S S_i \to U_i\) déterminent des isomorphismes correspondants \(X_i \times_S U \to V_i\) qui se recollent en un morphisme \(X \times_S U \to V\) compatible avec la donnée de descente canonique et \(\varphi\).

Lemme

Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Soit \(U \to \Spec(A)\) un morphisme quasi-compact, séparé et étale tel que \(U \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I) \to \Spec(A/I)\) soit fini. Alors \[U = U_{fin} \amalg U_{away}\] où \(U_{fin} \to \Spec(A)\) est fini et \(U_{away}\) ne possède aucun point au-dessus de \(Z\).

Démonstration

D’après le théorème principal de Zariski, le schéma \(U\) est quasi-affine. En fait, nous pouvons trouver une immersion ouverte \(U \to T\), avec \(T\) affine et \(T \to \Spec(A)\) fini, voir Compléments sur les morphismes, lemme 05K0. Écrivons \(Z = \Spec(A/I)\) et notons \(U_Z \to T_Z\) le changement de base. Comme \(U_Z \to Z\) est fini, nous voyons que \(U_Z \to T_Z\) est fermé aussi bien qu’ouvert. Par conséquent, d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09XI, nous obtenons une unique décomposition \(T = T' \amalg T''\) telle que \(T'_Z = U_Z\). Posons \(U_{fin} = U \cap T'\) et \(U_{away} = U \cap T''\). Puisque \(T'_Z \subset U_Z\), nous voyons que tous les points fermés de \(T'\) sont dans \(U\), donc que \(T' \subset U\), puis que \(U_{fin} = T'\), et donc que \(U_{fin} \to \Spec(A)\) est fini. Nous omettons la démonstration de l’unicité de la décomposition.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme entier surjectif. Le foncteur (0BTI) induit une équivalence \[\begin{matrix} \text{schémas quasi-compacts,}\\ \text{séparés et \'etales sur }S \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{données de descente }(V, \varphi)\text{ relativement à }X/S\text{ avec}\\ V\text{ quasi-compact, séparé et \'etale sur }X \end{matrix}\]

Démonstration

D’après le lemme 0BTL, le foncteur (0BTI) est pleinement fidèle, et cela reste vrai après tout changement de base \(S \to S'\). Soit \((V, \varphi)\) une donnée de descente relativement à \(X/S\), avec \(V \to X\) quasi-compact, séparé et étale. Nous pouvons utiliser le lemme 0BTM pour voir qu’il suffit de prouver l’effectivité localement pour la topologie de Zariski sur \(S\). En particulier, nous pouvons et allons supposer que \(S\) est affine.

Si \(S\) est affine, nous pouvons trouver un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\) et un système projectif \(X_\lambda \to S_\lambda\) de morphismes finis de schémas affines de type fini sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) tel que \((X \to S) = \lim (X_\lambda \to S_\lambda)\). Voir Algèbre, lemme 0BTG. Puisque les limites commutent entre elles, nous en déduisons que \(X \times_S X = \lim X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda\) et que \(X \times_S X \times_S X = \lim X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda \times_{S_\lambda} X_\lambda\). Remarquons que \(V \to X\) est un morphisme de présentation finie. En utilisant Limites, lemme 01ZM, nous pouvons trouver un \(\lambda\) et une donnée de descente \((V_\lambda, \varphi_\lambda)\) relativement à \(X_\lambda/S_\lambda\) dont le changement de base à \(X/S\) est \((V, \varphi)\). Il suffit bien sûr de montrer que \((V_\lambda, \varphi_\lambda)\) est effective. Notons que \(V_\lambda\) est quasi-compact par construction. Quitte à augmenter \(\lambda\), nous pouvons supposer que \(V_\lambda \to X_\lambda\) est séparé et étale, voir Limites, lemme 01ZQ et 07RP. Ainsi, nous pouvons supposer que \(f\) est fini surjectif et que \(S\) est affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Considérons un ouvert \(S' \subset S\) tel que la donnée \((V', \varphi')\) obtenue par changement de base à partir de \((V, \varphi)\) sur \(X' = X \times_S S'\) soit effective. Nous prouverons ci-dessous que \(S' \not = S\) implique l’existence d’un ouvert strictement plus grand sur lequel la donnée de descente est effective. Comme \(S\) est noethérien (et que son espace topologique sous-jacent est donc noethérien), cela achèvera la démonstration. Soit \(\xi \in S\) un point générique d’une composante irréductible du fermé \(Z = S \setminus S'\). Si \(\xi \in S'' \subset S\) est un ouvert sur lequel la donnée de descente est effective, alors celle-ci est effective sur \(S' \cup S''\) par l’argument de recollement du premier alinéa. Ainsi, dans la suite de la démonstration, nous pouvons remplacer \(S\) par un voisinage ouvert affine de \(\xi\).

Après un premier remplacement de ce type, nous pouvons supposer que \(Z\) est irréductible de point générique \(Z\). Munissons \(Z\) de la structure réduite induite de sous-schéma fermé. Après une nouvelle restriction, nous pouvons supposer que \(X_Z = X \times_S Z = f^{-1}(Z) \to Z\) est plat, voir Morphismes, proposition 052A. Soit \((V_Z, \varphi_Z)\) la donnée de descente obtenue par changement de base à \(X_Z/Z\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 02W8, cette donnée de descente est effective, et nous obtenons un morphisme étale \(U_Z \to Z\) dont le changement de base est isomorphe à \(V_Z\) d’une manière compatible avec les données de descente. Bien sûr, \(U_Z \to Z\) est quasi-compact et séparé (Descente, lemmes 02KQ et 02KU). Ainsi, après une nouvelle restriction, nous pouvons supposer que \(U_Z \to Z\) est fini, voir Morphismes, lemme 02NW.

Soit \(S = \Spec(A)\) et soit \(I \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(Z \subset S\). Soit \((A^h, IA^h)\) l’hensélisation du couple \((A, I)\). Notons \(S^h = \Spec(A^h)\) et \(Z^h = V(IA^h) \cong Z\). Nous affirmons qu’il suffit de montrer l’effectivité après changement de base à \(S^h\). En effet, \(\{S^h \to S, S' \to S\}\) est un recouvrement fpqc (\(A \to A^h\) est plat d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0AGU) et, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02W8, nous disposons de la descente fpqc pour les morphismes étales séparés. En effet, si \(U^h \to S^h\) et \(U' \to S'\) sont les objets correspondant aux données \((V^h, \varphi^h)\) et \((V', \varphi')\), alors les isomorphismes requis \[U^h \times_S S^h \to S^h \times_S V^h \quad\text{et}\quad U^h \times_S S' \to S^h \times_S U'\] sont obtenus grâce à la pleine fidélité signalée au premier alinéa. Nous nous ramenons ainsi à la situation décrite dans l’alinéa suivant.

Ici, \(S = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\), \(S' = S \setminus Z\), où \((A, I)\) est un couple hensélien ; nous avons \(U' \to S'\) correspondant à la donnée de descente \((V', \varphi')\) et un morphisme étale fini \(U_Z \to Z\) correspondant à la donnée de descente \((V_Z, \varphi_Z)\). Nous ne disposons plus de l’hypothèse que \(A\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), mais le reste de l’argument n’utilisera même pas que \(A\) est noethérien. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09ZL, nous pouvons trouver un morphisme étale fini \(U_{fin} \to S\) dont la restriction à \(Z\) est isomorphe à \(U_Z \to Z\). Écrivons \(X = \Spec(B)\) et \(Y = V(IB)\). Comme \((B, IB)\) est un couple hensélien (Compléments sur l’algèbre, lemme 09XK) et comme la restriction de \(V \to X\) à \(Y\) est finie (car elle est le changement de base de \(U_Z \to Z\)), nous voyons qu’il existe une décomposition canonique en union disjointe \[V = V_{fin} \amalg V_{away}\] où \(V_{fin} \to X\) est fini et où \(V_{away}\) ne possède aucun point au-dessus de \(Y\). Voir le lemme 0BTN. En utilisant l’unicité de cette décomposition sur \(X \times_S X\), nous voyons que \(\varphi\) la respecte, et nous obtenons \[(V, \varphi) = (V_{fin}, \varphi_{fin}) \amalg (V_{away}, \varphi_{away})\] dans la catégorie des données de descente. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09ZL, il existe un unique isomorphisme \[X \times_S U_{fin} \longrightarrow V_{fin}\] compatible avec l’isomorphisme donné \(Y \times_Z U_Z \to V \times_X Y\) sur \(Y\). Par unicité, nous voyons que cet isomorphisme est compatible avec les données de descente, c’est-à-dire que \((X \times_S U_{fin}, can) \cong (V_{fin}, \varphi_{fin})\). Notons \(U'_{fin} = U_{fin} \times_S S'\). Par pleine fidélité, nous obtenons un morphisme \(U'_{fin} \to U'\) qui est l’inclusion d’un sous-schéma ouvert (et fermé). Posons alors \(U = U_{fin} \amalg_{U'_{fin}} U'\) (recollement de schémas comme dans Schémas, section 01JA). Les morphismes \(X \times_S U_{fin} \to V\) et \(X \times_S U' \to V\) se recollent en un morphisme \(X \times_S U \to V\) qui est l’isomorphisme recherché.

Diviseurs à croisements normaux

Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Un diviseur strictement à croisements normaux sur \(X\) est un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que, pour tout \(p \in D\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, p}\) soit régulier et qu’il existe un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) et \(1 \leq r \leq d\) tel que \(D\) soit défini par \(x_1 \ldots x_r\) dans \(\mathcal{O}_{X, p}\).

Nous rencontrons souvent des diviseurs de Cartier effectifs \(E\) sur des schémas localement noethériens \(X\) tels qu’il existe un diviseur strictement à croisements normaux \(D\) avec \(E \subset D\) ensemblistement. Dans ce cas, nous avons \(E = \sum a_i D_i\), avec \(a_i \geq 0\), où \(D = \bigcup_{i \in I} D_i\) est la décomposition de \(D\) en ses composantes irréductibles. Remarquons que \(D' = \bigcup_{a_i > 0} D_i\) est un diviseur à croisements normaux stricts tel que \(E = D'\) ensemblistement. Lorsque ce qui précède se produit, nous dirons que \(E\) est à support contenu dans un diviseur strictement à croisements normaux.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Soient \(D_i \subset D\), \(i \in I\), ses composantes irréductibles considérées comme des sous-schémas fermés réduits de \(X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(D\) est un diviseur strictement à croisements normaux, et

2. \(D\) est réduit, chaque \(D_i\) est un diviseur de Cartier effectif, et pour \(J \subset I\) fini, l’intersection schématique \(D_J = \bigcap_{j \in J} D_j\) est un schéma régulier dont chaque composante irréductible est de codimension \(|J|\) dans \(X\).

Démonstration

Supposons que \(D\) soit un diviseur strictement à croisements normaux. Choisissons \(p \in D\) et un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) ainsi que \(1 \leq r \leq d\) comme dans la définition 0BI9. Comme \(\mathcal{O}_{X, p}/(x_i)\) est un anneau local régulier (et en particulier un anneau intègre), nous voyons que les composantes irréductibles \(D_1, \ldots, D_r\) de \(D\) passant par \(p\) sont en correspondance bijective (\(1\) à \(1\)) aux idéaux premiers de hauteur un \((x_1), \ldots, (x_r)\) de \(\mathcal{O}_{X, p}\). D’après Algèbre, lemme 00NQ, nous trouvons que l’intersection \(D_{i_1} \cap \ldots \cap D_{i_s}\) est de codimension \(s\) dans un voisinage ouvert de \(p\) et que son anneau local en \(p\) est régulier. Comme cela vaut pour tout \(p \in D\), nous concluons que (2) est satisfaite.

Supposons (2). Soit \(p \in D\). Comme \(\mathcal{O}_{X, p}\) est de dimension finie, nous voyons que \(p\) peut appartenir à au plus \(\dim(\mathcal{O}_{X, p})\) des composantes \(D_i\). Disons que \(p \in D_1, \ldots, D_r\) pour un certain \(r \geq 1\). Soient \(x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak m_p\) des équations locales de \(D_1, \ldots, D_r\). Alors \(x_1\) est un non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_{X, p}\) et \(\mathcal{O}_{X, p}/(x_1) = \mathcal{O}_{D_1, p}\) est régulier. Ainsi, \(\mathcal{O}_{X, p}\) est régulier, voir Algèbre, lemme 00NU. Comme \(D_1 \cap \ldots \cap D_r\) est un schéma régulier (donc normal), c’est une union disjointe de ses composantes irréductibles (Propriétés, lemme 033M). Soit \(Z \subset D_1 \cap \ldots \cap D_r\) la composante irréductible contenant \(p\). Alors \(\mathcal{O}_{Z, p} = \mathcal{O}_{X, p}/(x_1, \ldots, x_r)\) est régulier de codimension \(r\) (notons que, puisque nous savons déjà que \(\mathcal{O}_{X, p}\) est régulier et donc de Cohen-Macaulay, il n’y a aucune ambiguïté sur la codimension, car l’anneau est caténaire, voir Algèbre, lemmes 00NQ et 00NA). Ainsi, \(\dim(\mathcal{O}_{Z, p}) = \dim(\mathcal{O}_{X, p}) - r\). Choisissons des éléments supplémentaires \(x_{r + 1}, \ldots, x_n \in \mathfrak m_p\) dont les images forment un système minimal de générateurs de \(\mathfrak m_{Z, p}\). Alors \(\mathfrak m_p = (x_1, \ldots, x_n)\) d’après le lemme de Nakayama, et nous voyons que \(D\) est un diviseur à croisements normaux.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur strictement à croisements normaux. Si \(f : Y \to X\) est un morphisme lisse de schémas, alors l’image inverse \(f^*D\) est un diviseur strictement à croisements normaux sur \(Y\).

Démonstration

Comme \(f\) est plat, l’image inverse est définie par Diviseurs, lemme 02OO, donc l’énoncé a un sens. Soit \(q \in f^*D\) d’image \(p \in D\). Choisissons un système régulier de paramètres \(x_1, \ldots, x_d \in \mathfrak m_p\) et \(1 \leq r \leq d\) comme dans la définition 0BI9. Comme \(f\) est lisse, l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, q}\) est plat et l’anneau de la fibre \[\mathcal{O}_{Y, q}/\mathfrak m_p \mathcal{O}_{Y, q} = \mathcal{O}_{Y_p, q}\] est un anneau local régulier (voir par exemple Algèbre, lemme 00TT). Choisissons \(y_1, \ldots, y_n \in \mathfrak m_q\) dont les images forment un système régulier de paramètres dans \(\mathcal{O}_{Y_p, q}\). Alors \(x_1, \ldots, x_d, y_1, \ldots, y_n\) engendrent l’idéal maximal \(\mathfrak m_q\). Ainsi, \(\mathcal{O}_{Y, q}\) est un anneau local régulier de dimension \(d + n\) d’après Algèbre, lemme 00ON, et \(x_1, \ldots, x_d, y_1, \ldots, y_n\) est un système régulier de paramètres. Comme \(f^*D\) est défini par \(x_1 \ldots x_r\) dans \(\mathcal{O}_{Y, q}\), nous concluons que le lemme est démontré.

Voici la définition d’un diviseur à croisements normaux.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Un diviseur à croisements normaux sur \(X\) est un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que, pour tout \(p \in D\), il existe un morphisme étale \(U \to X\) dont l’image contient \(p\) et tel que \(D \times_X U\) soit un diviseur strictement à croisements normaux sur \(U\).

Par exemple, \(D = V(x^2 + y^2)\) est un diviseur à croisements normaux (mais non strict) sur \(\Spec(\mathbf{R}[x, y])\), car, après changement de base au recouvrement étale \(\Spec(\mathbf{C}[x, y])\), nous obtenons \((x - iy)(x + iy) = 0\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur à croisements normaux. Si \(f : Y \to X\) est un morphisme lisse de schémas, alors l’image inverse \(f^*D\) est un diviseur à croisements normaux sur \(Y\).

Démonstration

Comme \(f\) est plat, l’image inverse est définie par Diviseurs, lemme 02OO, donc l’énoncé a un sens. Soit \(q \in f^*D\) d’image \(p \in D\). Choisissons un morphisme étale \(U \to X\) dont l’image contient \(p\) tel que \(D \times_X U \subset U\) soit un diviseur à croisements normaux stricts, comme dans la définition 0BSF. Posons \(V = Y \times_X U\). Alors \(V \to Y\) est étale comme changement de base de \(U \to X\) (Morphismes, lemme 02GO), et l’image inverse \(D \times_X V\) est un diviseur strictement à croisements normaux sur \(V\) d’après le lemme 0CBP. Nous avons donc vérifié la condition de la définition 0BSF pour \(q \in f^*D\), ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(D\) est un diviseur à croisements normaux dans \(X\),

2. \(D\) est réduit, la normalisation \(\nu : D^\nu \to D\) est non ramifiée, et, pour tout \(n \geq 1\), le schéma \[Z_n = D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu \setminus \{(p_1, \ldots, p_n) \mid p_i = p_j\text{ pour certains }i\not = j\}\] est régulier ; le morphisme \(Z_n \to X\) est localement d’intersection complète et son faisceau conormal est localement libre de rang \(n\).

Démonstration

Expliquons d’abord comment interpréter la condition (2). La diagonale d’un morphisme non ramifié est ouverte (Morphismes, lemme 02GE). D’autre part, \(D^\nu \to D\) est séparé, donc la diagonale \(D^\nu \to D^\nu \times_D D^\nu\) est fermée. Ainsi, \(Z_n\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu\). D’autre part, \(Z_n \to X\) est non ramifié, car c’est la composée \[Z_n \to D^\nu \times_D \ldots \times_D D^\nu \to \ldots \to D^\nu \times_D D^\nu \to D^\nu \to D \to X\] et chacune des flèches est non ramifiée. Comme un morphisme non ramifié est formellement non ramifié (Compléments sur les morphismes, lemme 02HE), nous avons un faisceau conormal \(\mathcal{C}_n = \mathcal{C}_{Z_n/X}\) du morphisme \(Z_n \to X\), voir Compléments sur les morphismes, définition 04F4.

La formation de la normalisation commute à la localisation étale d’après Compléments sur les morphismes, lemme 07TD. La régularité des anneaux locaux, le fait qu’un morphisme soit non ramifié ou localement d’intersection complète, ou le fait qu’un morphisme soit non ramifié et possède un faisceau conormal qui soit localement libre d’un rang donné, se vérifient localement pour la topologie étale (voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0AH0, Descente, lemme 02VM, Compléments sur les morphismes, lemme 069N et Descente, lemme 05B2).

D’après la remarque de l’alinéa précédent et la définition des diviseurs à croisements normaux, il suffit de prouver qu’un diviseur strictement à croisements normaux \(D = \bigcup_{i \in I} D_i\) satisfait à (2). Dans ce cas, \(D^\nu = \coprod D_i\) et \(D^\nu \to D\) est non ramifié (la propriété d’être non ramifié est locale sur la source, et \(D_i \to D\) est une immersion fermée qui est non ramifiée). De même, \(Z_1 = D^\nu \to X\) est un morphisme localement d’intersection complète, car nous pouvons le vérifier localement sur la source et chaque morphisme \(D_i \to X\) est une immersion régulière, puisque c’est l’inclusion d’un diviseur de Cartier (voir le lemme 0BIA et Compléments sur les morphismes, lemme 069L). Comme un diviseur de Cartier effectif possède un faisceau conormal inversible, nous concluons que la condition portant sur le faisceau conormal est satisfaite. De même, le schéma \(Z_n\), pour \(n \geq 2\), est l’union disjointe des schémas \(D_J = \bigcap_{j \in J} D_j\), où \(J \subset I\) parcourt les sous-ensembles de cardinal \(n\). Comme \(D_J \to X\) est une immersion régulière de codimension \(n\) (par la définition des diviseurs strictement à croisements normaux et le fait que nous pouvons le vérifier sur les germes d’après Diviseurs, lemme 063I), il s’ensuit de la même manière que \(Z_n \to X\) possède les propriétés requises. Nous omettons quelques détails.

Supposons (2). Soit \(p \in D\). Comme \(D^\nu \to D\) est non ramifié, il est fini (d’après Morphismes, lemme 01WJ). Ainsi, \(D^\nu \to X\) est fini non ramifié. D’après le lemme 04HJ et par localisation étale (permise par la discussion du deuxième alinéa et par la définition des diviseurs à croisements normaux), nous nous ramenons au cas où \(D^\nu = \coprod_{i \in I} D_i\), avec \(I\) fini et \(D_i \to U\) une immersion fermée. Quitte à restreindre \(X\), nous pouvons supposer que \(p \in D_i\) pour tout \(i \in I\). La condition selon laquelle \(Z_1 = D^\nu \to X\) est un morphisme non ramifié localement d’intersection complète dont le faisceau conormal est localement libre de rang \(1\) implique que \(D_i \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif, voir Compléments sur les morphismes, lemme 069G et Diviseurs, lemme 063L. Pour achever la démonstration, nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine et que \(D_i = V(f_i)\), avec \(f_i \in A\) un non diviseur de zéro. Si \(I = \{1, \ldots, r\}\), alors \(p \in Z_r = V(f_1, \ldots, f_r)\). La même référence que ci-dessus implique que \((f_1, \ldots, f_r)\) est un idéal Koszul-régulier dans \(A\). Comme le faisceau conormal est de rang \(r\), nous voyons que \(f_1, \ldots, f_r\) est un système minimal de générateurs de l’idéal définissant \(Z_r\) dans \(\mathcal{O}_{X, p}\). Cela implique que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{X, p}\) telle que \(\mathcal{O}_{X, p}/(f_1, \ldots, f_r)\) soit régulier. Nous concluons ainsi du lemme 00NU d’Algèbre que la suite \(f_1, \ldots, f_r\) peut être complétée en un système régulier de paramètres dans \(\mathcal{O}_{X, p}\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé. Si \(X\) est J-2 ou de Nagata, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(D\) est un diviseur à croisements normaux dans \(X\),

2. pour tout \(p \in D\), l’image inverse de \(D\) sur le spectre de l’hensélisé strict \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}\) est un diviseur strictement à croisements normaux.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate et ne nécessite pas l’hypothèse que \(X\) est J-2 ou de Nagata. En effet, soit \(p \in D\) et choisissons un voisinage étale \((U, u) \to (X, p)\) tel que l’image inverse de \(D\) soit un diviseur strictement à croisements normaux sur \(U\). Alors \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\), et nous voyons que la trace de \(D\) sur \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}^{sh})\) est définie par une partie d’un système régulier de paramètres, puisque c’est déjà le cas dans \(\mathcal{O}_{U, u}\).

Pour prouver l’implication dans l’autre sens, nous utiliserons le critère du lemme 0CBR. Remarquons que la formation de la normalisation \(D^\nu \to D\) commute à l’hensélisation stricte, voir Compléments sur les morphismes, lemme 0CBM. Si nous pouvons montrer que \(D^\nu \to D\) est fini, alors nous voyons que \(D^\nu \to D\) et les schémas \(Z_n\) satisfont à toutes les propriétés voulues, car celles-ci peuvent toutes se vérifier au niveau des anneaux locaux (mais la finitude du morphisme \(D^\nu \to D\) ne peut pas se vérifier sur les anneaux locaux). Nous omettons les vérifications détaillées.

Si \(X\) est de Nagata, alors \(D^\nu \to D\) est fini d’après Morphismes, lemme 035S.

Supposons que \(X\) soit J-2. Choisissons un point \(p \in D\). Nous montrerons que \(D^\nu \to D\) est fini au-dessus d’un voisinage de \(p\). Par hypothèse, il existe un système régulier de paramètres \(f_1, \ldots, f_d\) de \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}\) et \(1 \leq r \leq d\) tels que la trace de \(D\) sur \(\Spec(\mathcal{O}_{X, p}^{sh})\) soit définie par \(f_1 \ldots f_r\). Alors \[D^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} V(f_i)\] Choisissons un voisinage étale affine \((U, u) \to (X, p)\) tel que \(f_i\) provienne d’un élément \(f_i \in \mathcal{O}_U(U)\). Posons \(D_i = V(f_i) \subset U\). L’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{D_i, u}\) est \(\mathcal{O}_{X, p}^{sh}/(f_i)\), qui est régulier. Ainsi, \(\mathcal{O}_{D_i, u}\) est régulier (par exemple d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 06LN). Comme \(X\) est J-2, le lieu régulier est ouvert dans \(D_i\). Ainsi, quitte à remplacer \(U\) par un ouvert de Zariski, nous pouvons supposer que \(D_i\) est régulier pour tout \(i\). Il s’ensuit que \[\coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} D_i = D^\nu \times_X U \longrightarrow D \times_X U\] est le morphisme de normalisation, et il est clairement fini. Autrement dit, nous avons trouvé un voisinage étale \((U, u)\) de \((X, p)\) tel que le changement de base de \(D^\nu \to D\) à ce voisinage soit fini. Cela implique que \(D^\nu \to D\) est fini par descente (Descente, lemme 02LA), et la démonstration est achevée.