Critères de représentabilité

Introduction

Le but de ce chapitre est de trouver des critères garantissant qu’un champ en groupoïdes sur la catégorie des schémas munie de la topologie fppf est un champ algébrique. Historiquement, cela consistait souvent à démontrer que certains foncteurs étaient représentables ; voir les exposés de Grothendieck [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V], et [Gr-VI]. Cela explique le titre de ce chapitre. Les travaux d’Artin constituent une autre source importante de ces résultats ; voir [ArtinI], [ArtinII], [Artin-Theorem-Representability], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Algebraic-Approximation], [Artin-Implicit-Function], et [ArtinVersal].

Certaines notations, conventions et certains termes de ce chapitre sont peu commodes et peuvent sembler inversés au lecteur expérimenté. C’est intentionnel. On trouvera une explication dans Quot, section 05X6.

Conventions

Les conventions employées dans ce chapitre sont les mêmes que dans le chapitre consacré aux champs algébriques ; voir Champs algébriques, section 026M.

Ce que nous savons déjà

L’analogue de ce chapitre pour les espaces algébriques est le chapitre intitulé « Amorçage » ; voir Amorçage, section 046B. Ce chapitre contient déjà certains résultats de représentabilité. En outre, nous avons déjà établi dans le chapitre sur les champs algébriques une partie des résultats préliminaires qui y sont traités. En voici la liste :

1. Les morphismes de préfaisceaux représentables par des espaces algébriques sont étudiés dans Amorçage, section 02YP. Dans Champs algébriques, section 04SX nous étudions la notion de \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes représentable par des espaces algébriques.

2. Les propriétés des morphismes de préfaisceaux représentables par des espaces algébriques sont étudiées dans Amorçage, section 046E. Dans Champs algébriques, section 03YJ nous étudions les propriétés des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes représentables par des espaces algébriques.

3. Nous avons démontré que, si \(F\) est un faisceau dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques et qui possède un recouvrement étale par un espace algébrique, alors \(F\) est un espace algébrique ; voir Amorçage, théorème 03Y3. (Il s’agit d’une version faible du résultat de l’alinéa suivant.)

4. Nous avons démontré que, si \(F\) est un faisceau et s’il existe un espace algébrique \(U\) et un morphisme \(U \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie, alors \(F\) est un espace algébrique ; voir Amorçage, théorème 04S6.

5. Nous avons aussi démontré l’analogue « lisse » de (05XI) pour les champs algébriques : si \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et s’il existe un champ en groupoïdes \(\mathcal{U}\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) représentable par un espace algébrique ainsi qu’un \(1\)-morphisme \(u : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse, alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique ; voir Champs algébriques, lemme 05UL.

Notre première tâche consiste maintenant à démontrer l’analogue de (05XI) pour les champs algébriques en général ; c’est le théorème 06DC.

Morphismes de champs en groupoïdes

Cette section est préliminaire et peut être omise en première lecture.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, il en est de même de \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{U}\) une catégorie fibrée en groupoïdes représentable sur \(S\). Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme. Il faut montrer que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{U}\) est représentable par un espace algébrique et étale sur \(\mathcal{U}\). Considérons la composée \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{Z}\). Alors \[\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}\] est un \(1\)-morphisme entre deux catégories fibrées en groupoïdes, toutes deux représentables par des espaces algébriques et étales sur \(\mathcal{U}\). Ainsi, d’après Propriétés des espaces algébriques, lemme 03FV, il est représenté par un morphisme étale d’espaces algébriques. Enfin, on obtient le résultat voulu puisque le morphisme \(f\) induit un morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}\) et que l’on a \[\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{U} = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U}) \times_{(\mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{U})} \mathcal{U}.\]

Lemme

Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) soient des \(1\)-morphismes. Si

1. \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z}\) sont représentables par des espaces algébriques \(Y\) et \(Z\) sur \(S\),

2. le morphisme associé d’espaces algébriques \(Y \to Z\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, et

3. \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes discrets,

alors \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes discrets.

Démonstration

C’est un cas particulier de Champs, lemme 05W9.

Le lemme suivant est l’analogue de Champs algébriques, lemme 05UL et sera supplanté par le théorème 06DC, plus fort.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(u : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si

1. \(\mathcal{U}\) est représentable par un espace algébrique, et

2. \(u\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie,

alors \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Étant donnés deux schémas \(T_1\), \(T_2\) sur \(S\), notons \(\mathcal{T}_i = (\Sch/T_i)_{fppf}\) les catégories fibrées représentables associées. Supposons donnés des \(1\)-morphismes \(f_i : \mathcal{T}_i \to \mathcal{X}\). D’après Champs algébriques, lemme 045G, il suffit de démontrer que le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) est représentable par un espace algébrique. D’après Champs, lemme 05UJ c’est en tout cas un champ en groupoïdes discrets. Ainsi, \(\mathcal{T}_1 \times_\mathcal{X} \mathcal{T}_2\) correspond à un faisceau \(F\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) ; voir Champs, lemme 0432. Soit \(U\) l’espace algébrique qui représente \(\mathcal{U}\). Par hypothèse, \[\mathcal{T}_i' = \mathcal{U} \times_{u, \mathcal{X}, f_i} \mathcal{T}_i\] est représentable par un espace algébrique \(T'_i\) sur \(S\). Par conséquent, \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2'\) est représentable par l’espace algébrique \(T'_1 \times_U T'_2\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[rr]\ar'[d][dd] & & \mathcal{T}_1 \ar[dd] \\ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[ur]\ar[rr]\ar[dd] & & \mathcal{T}_1' \ar[ur]\ar[dd] \\ & \mathcal{T}_2 \ar'[r][rr] & & \mathcal X \\ \mathcal{T}_2' \ar[rr]\ar[ur] & & \mathcal{U} \ar[ur] }\] Dans ce diagramme, les carrés inférieur, droit, arrière et avant sont des \(2\)-produits fibrés. Un argument formel montre alors que \(\mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \to \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2\) est le « changement de base » de \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) ; plus précisément, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{T}_1' \times_\mathcal{U} \mathcal{T}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \mathcal{T}_1 \times_{\mathcal X} \mathcal{T}_2 \ar[r] & \mathcal{X} }\] est un carré \(2\)-cartésien. Ainsi, \(T'_1 \times_U T'_2 \to F\) est représentable par des espaces algébriques, plat, localement de présentation finie et surjectif ; voir Champs algébriques, lemmes 04SY, 0302, 04TC, et 045C. Par conséquent, \(F\) est un espace algébrique d’après Amorçage, théorème 04S6, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\Delta_\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques,

2. pour tout \(1\)-morphisme \(\mathcal{V} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) où \(\mathcal{V}\) est représentable (par un schéma), le produit fibré \(\mathcal{Y} = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{V}\) a une diagonale représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Bien que cela demande un peu de réflexion, l’argument est entièrement formel. Rappelons en effet que \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} \mathcal{X} = \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est l’inertie de \(\mathcal{X}\) et que \(\Delta_\Delta\) est la section unité de \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) ; voir Catégories, section 04Z2. La condition (1) signifie donc ceci : étant donnés un schéma \(V\), un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(V\) et un morphisme \(\alpha : x \to x\) de \(\mathcal{X}_V\), la condition « \(\alpha = \text{id}_x\) » définit un espace algébrique sur \(V\). (Autrement dit, il existe un monomorphisme d’espaces algébriques \(W \to V\) tel qu’un morphisme de schémas \(f : T \to V\) se factorise par \(W\) si et seulement si \(f^*\alpha = \text{id}_{f^*x}\).)

Soient d’autre part \(V\) un schéma et \(x, y\) des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(V\). Alors \((x, y)\) définit un morphisme \(\mathcal{V} = (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\). Soient ensuite \(h : V' \to V\) un morphisme de schémas et \(\alpha : h^*x \to h^*y\) et \(\beta : h^*x \to h^*y\) des morphismes de \(\mathcal{X}_{V'}\). Alors \((\alpha, \beta)\) définit un morphisme \(\mathcal{V}' = (\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\). La condition (2) affirme alors que, quels que soient les choix ci-dessus, la condition « \(\alpha = \beta\) » définit un espace algébrique sur \(V\).

Pour voir l’équivalence, étant donné \((\alpha, \beta)\) comme en (2), on constate que (1) implique que « \(\alpha^{-1} \circ \beta = \text{id}_{h^*x}\) » définit un espace algébrique. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) s’obtient en prenant \(h = \text{id}_V\) et \(\beta = \text{id}_x\).

Commutation aux limites sur les objets

Soit \(S\) un schéma. Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous dirons que \(p\) commute aux limites sur les objets si la condition suivante est satisfaite : pour toute donnée formée de

1. un schéma affine \(U = \lim_{i \in I} U_i\) écrit comme limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\),

2. un objet \(y_i\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_i\) pour un certain \(i\),

3. un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et

4. un isomorphisme \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\),

il existe un \(i' \geq i\), un objet \(x_{i'}\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_{i'}\), un isomorphisme \(\beta : x_{i'}|_U \to x\) et un isomorphisme \(\gamma_{i'} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\) tels que [06CU]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ p(x_{i'}|_U) \ar[d]_{p(\beta)} \ar[rr]_{\gamma_{i'}|_U} & & (y_i|_{U_{i'}})|_U \ar@{=}[d] \\ p(x) \ar[rr]^\gamma & & y_i|_U } } \end{equation}\] soit commutatif. Dans cette situation, on dit que « \((i', x_{i'}, \beta, \gamma_{i'})\) est une solution du problème posé par les données (1), (2), (3), (4) ». La motivation de cette définition vient de Limits of Espaces, lemme 06BC.

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) commute aux limites sur les objets, il en est de même du changement de base \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) de \(p\) par \(q\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\), soit \(z_i\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U_i\) pour un certain \(i\), soit \(w\) un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\delta : p'(w) \to z_i|_U\) un isomorphisme. On peut écrire \(w = (U, x, z, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), \(z\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U\) et \(\alpha : p(x) \to q(z)\) un isomorphisme. Puisque \(p'(w) = z\), on a \(\delta : z \to z_i|_U\). Posons \(y_i = q(z_i)\) et \(\gamma = q(\delta) \circ \alpha : p(x) \to y_i|_U\). Comme \(p\) commute aux limites sur les objets, il existe \(i' \geq i\) et un objet \(x_{i'}\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_{i'}\), ainsi que des isomorphismes \(\beta : x_{i'}|_U \to x\) et \(\gamma_{i'} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\) tels que (06CU) soit commutatif. Considérons alors l’objet \(w_{i'} = (U_{i'}, x_{i'}, z_i|_{U_{i'}}, \gamma_{i'})\) de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(U_{i'}\) et définissons les isomorphismes \[w_{i'}|_U = (U, x_{i'}|_U, z_i|_U, \gamma_{i'}|_U) \xrightarrow{(\beta, \delta^{-1})} (U, x, z, \alpha) = w\] et \[p'(w_{i'}) = z_i|_{U_{i'}} \xrightarrow{\text{id}} z_i|_{U_{i'}}.\] Ceux-ci se combinent en une solution du problème.

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) et \(q\) commutent aux limites sur les objets, il en est de même de la composée \(q \circ p\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\), soit \(z_i\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U_i\) pour un certain \(i\), soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\gamma : q(p(x)) \to z_i|_U\) un isomorphisme. Comme \(q\) commute aux limites sur les objets, il existe \(i' \geq i\), un objet \(y_{i'}\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_{i'}\), un isomorphisme \(\beta : y_{i'}|_U \to p(x)\) et un isomorphisme \(\gamma_{i'} : q(y_{i'}) \to z_i|_{U_{i'}}\) tels que (06CU) soit commutatif. Comme \(p\) commute aux limites sur les objets, il existe \(i'' \geq i'\), un objet \(x_{i''}\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_{i''}\), un isomorphisme \(\beta' : x_{i''}|_U \to x\) et un isomorphisme \(\gamma'_{i''} : p(x_{i''}) \to y_{i'}|_{U_{i''}}\) tels que (06CU) soit commutatif. La solution consiste à prendre \(x_{i''}\) au-dessus de \(U_{i''}\) avec l’isomorphisme \[q(p(x_{i''})) \xrightarrow{q(\gamma'_{i''})} q(y_{i'})|_{U_{i''}} \xrightarrow{\gamma_{i'}|_{U_{i''}}} z_i|_{U_{i''}}\] et l’isomorphisme \(\beta' : x_{i''}|_U \to x\). Nous omettons de vérifier que (06CU) est commutatif.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) est représentable par des espaces algébriques, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(p\) commute aux limites sur les objets, et

2. \(p\) est localement de présentation finie (voir Champs algébriques, définition 03YK).

Démonstration

Supposons (2). Soit \(U = \lim_{i \in I} U_i\) la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\), soit \(y_i\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_i\) pour un certain \(i\), soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\) un isomorphisme. Notons \(X_{y_i}\) un espace algébrique sur \(U_i\) représentant le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] Notons que \(\xi = (U, U \to U_i, x, \gamma^{-1})\) définit un objet de ce \(2\)-produit fibré au-dessus de \(U\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda, \(\xi\) correspond à un morphisme \(f_\xi : U \to X_{y_i}\) sur \(U_i\). D’après Limits of Espaces, proposition 04AK il existe \(i' \geq i\) et un morphisme \(f_{i'} : U_{i'} \to X_{y_i}\) tels que \(f_\xi\) soit la composée de \(f_{i'}\) et du morphisme de projection \(U \to U_{i'}\). En outre, le lemme de \(2\)-Yoneda montre que \(f_{i'}\) correspond à un objet \(\xi_{i'} = (U_{i'}, U_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha)\) du \(2\)-produit fibré affiché au-dessus de \(U_{i'}\), dont la restriction à \(U\) redonne \(\xi\). En particulier, on obtient un isomorphisme \(\gamma : x_{i'}|U \to x\). Notons que \(\alpha : y_i|_{U_{i'}} \to p(x_{i'})\). Ainsi, prendre \(x_{i'}\), l’isomorphisme \(\gamma : x_{i'}|U \to x\) et l’isomorphisme \(\beta = \alpha^{-1} : p(x_{i'}) \to y_i|_{U_{i'}}\) fournit une solution du problème.

Supposons (1). Choisissons un schéma \(T\) et un \(1\)-morphisme \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Soit \(X_y\) un espace algébrique sur \(T\) représentant le \(2\)-produit fibré \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). Il faut montrer que \(X_y \to T\) est localement de présentation finie. Pour cela, nous utiliserons le critère de Limits of Espaces, remarque 05N0. Considérons un schéma affine \(U = \lim_{i \in I} U_i\) écrit comme limite projective filtrante de schémas affines sur \(T\). Choisissons \(i \in I\) et posons \(y_i = y|_{U_i}\). Notons aussi \(i'\) un élément de \(I\) supérieur ou égal à \(i\). D’après le lemme de \(2\)-Yoneda, les morphismes \(U \to X_y\) sur \(T\) correspondent bijectivement aux classes d’isomorphisme de couples \((x, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) et \(\alpha : y|_U \to p(x)\) un isomorphisme. Bien entendu, donner \(\alpha\) revient, à inversion près, à donner un isomorphisme \(\gamma : p(x) \to y_i|_U\). Il en va de même pour les morphismes \(U_{i'} \to X_y\) sur \(T\). Ainsi, (1) garantit que l’application canonique \[\colim_{i' \geq i} X_y(U_{i'}) \longrightarrow X_y(U)\] est surjective dans cette situation. Il résulte de Limits of Espaces, lemme 0CM6, que \(X_y \to T\) est localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons \(p\) représentable par des espaces algébriques et une immersion ouverte. Alors \(p\) commute aux limites sur les objets.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06CX et, par le principe général de Champs algébriques, lemme 045F) du fait qu’une immersion ouverte d’espaces algébriques est localement de présentation finie ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 06CN.

Soit \(S\) un schéma. Dans le lemme suivant, nous aurons besoin de la notion de taille d’un espace algébrique \(X\) sur \(S\). Étant donné un cardinal \(\kappa\), nous dirons que \(X\) vérifie \(\text{size}(X) \leq \kappa\) si et seulement s’il existe un schéma \(U\) tel que \(\text{size}(U) \leq \kappa\) (voir Ensembles, section 000H) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\kappa = \text{size}(T)\) pour un certain \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) tel que

1. \(\mathcal{Y} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets,

2. pour tout schéma affine \(V\) localement de présentation finie sur \(S\) et tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_V)\), le produit fibré \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique de taille \(\leq \kappa\)¹,

3. \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont des champs pour la topologie de Zariski.

Alors \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soient \(V\) un schéma sur \(S\) et \(y \in \mathcal{Y}_V\). Il faut démontrer que \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique.

Cas I : \(V\) est affine et s’envoie dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\). On peut alors écrire \(V = \lim V_i\), chaque \(V_i\) étant affine et de présentation finie sur \(\Spec(\Lambda)\) ; voir Algèbre, lemme 00QN. L’hypothèse (1) montre alors que \(y\) provient d’un objet \(y_i\) au-dessus de \(V_i\) pour un certain \(i\). Par l’hypothèse (3), le produit fibré \((\Sch/V_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique \(Z_i\). Alors \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable par \(Z \times_{V_i} V\).

Cas II : \(V\) est quelconque. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(V = \bigcup_{i \in I} V_i\) tel que chaque \(V_i\) s’envoie dans un ouvert affine de \(S\). Nous affirmons d’abord que \(\mathcal{Z} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes discrets pour la topologie de Zariski. En effet, c’est un champ en groupoïdes pour la topologie de Zariski d’après Champs, lemme 02ZL. Supposons ensuite que \(z\) soit un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus d’un schéma \(T\). Notons \(g : T \to V\) le morphisme correspondant à la projection de \(z\) dans \((\Sch/V)_{fppf}\). Considérons le faisceau de Zariski \(\mathit{I} = \mathit{Isom}_{\mathcal{Z}}(z, z)\). Le cas I montre que \(\mathit{I}|_{g^{-1}(V_i)} = *\) (le faisceau réduit à un élément). Ainsi, \(\mathcal{I} = *\). Par conséquent, \(\mathcal{Z}\) est fibrée en groupoïdes discrets. Pour achever la démonstration, il faut montrer que le faisceau de Zariski \(Z : T \mapsto \Ob(\mathcal{Z}_T)/\cong\) est un espace algébrique ; voir Champs algébriques, lemme 02ZX. Il existe une application \(p : Z \to V\) (une transformation de foncteurs) et le cas I montre que \(Z_i = p^{-1}(V_i)\) est un espace algébrique. Les morphismes \(Z_i \to Z\) sont représentables par des immersions ouvertes et \(\coprod Z_i \to Z\) est surjectif (pour la topologie de Zariski). Ainsi, \(Z\) est un faisceau pour la topologie fppf d’après Amorçage, lemme 07WE. Le lemme de Espaces, 02WR, s’applique donc et montre que \(Z\) est un espace algébrique².

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques comme dans Champs algébriques, définition 03YK. Si

1. \(f\) est représentable par des espaces algébriques,

2. \(\mathcal{Y} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites sur les objets,

3. pour tout schéma affine \(V\) localement de présentation finie sur \(S\) et tout \(y \in \mathcal{Y}_V\), le morphisme d’espaces algébriques qui en résulte \(f_y : F_y \to V\), voir Champs algébriques, équation (0402), a la propriété \(\mathcal{P}\).

Alors \(f\) a la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Soient \(V\) un schéma sur \(S\) et \(y \in \mathcal{Y}_V\). Il faut montrer que \(F_y \to V\) a la propriété \(\mathcal{P}\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie fppf sur la base, on peut supposer que \(V\) est un schéma affine qui s’envoie dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\). On peut donc écrire \(V = \lim V_i\), chaque \(V_i\) étant affine et de présentation finie sur \(\Spec(\Lambda)\) ; voir Algèbre, lemme 00QN. L’hypothèse (2) montre alors que \(y\) provient d’un objet \(y_i\) au-dessus de \(V_i\) pour un certain \(i\). Par l’hypothèse (3), le morphisme \(F_{y_i} \to V_i\) a la propriété \(\mathcal{P}\). Comme \(\mathcal{P}\) est stable par tout changement de base et que \(F_y = F_{y_i} \times_{V_i} V\), on conclut que \(F_y \to V\) a la propriété \(\mathcal{P}\), comme voulu.

Formellement lisse sur les objets

Soit \(S\) un schéma. Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous dirons que \(p\) est formellement lisse sur les objets si la condition suivante est satisfaite : pour toute donnée formée de

1. un épaississement du premier ordre \(U \subset U'\) de schémas affines sur \(S\),

2. un objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U'\),

3. un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et

4. un isomorphisme \(\gamma : p(x) \to y'|_U\),

il existe un objet \(x'\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U'\), muni d’un isomorphisme \(\beta : x'|_U \to x\) et d’un isomorphisme \(\gamma' : p(x') \to y'\) tels que [06D0]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ p(x'|_U) \ar[d]_{p(\beta)} \ar[rr]_{\gamma'|_U} & & y'|_U \ar@{=}[d] \\ p(x) \ar[rr]^\gamma & & y'|_U } } \end{equation}\] soit commutatif. Dans cette situation, on dit que « \((x', \beta, \gamma')\) est une solution du problème posé par les données (1), (2), (3), (4) ».

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est formellement lisse sur les objets, il en est de même du changement de base \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) de \(p\) par \(q\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(U \subset U'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), soit \(z'\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U'\), soit \(w\) un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\delta : p'(w) \to z'|_U\) un isomorphisme. On peut écrire \(w = (U, x, z, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), \(z\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U\) et \(\alpha : p(x) \to q(z)\) un isomorphisme. Puisque \(p'(w) = z\), on a \(\delta : z \to z|_U\). Posons \(y' = q(z')\) et \(\gamma = q(\delta) \circ \alpha : p(x) \to y'|_U\). Comme \(p\) est formellement lisse sur les objets, il existe un objet \(x'\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U'\), ainsi que des isomorphismes \(\beta : x'|_U \to x\) et \(\gamma' : p(x') \to y'\) tels que (06D0) soit commutatif. Considérons alors l’objet \(w = (U', x', z', \gamma')\) de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(U'\) et définissons les isomorphismes \[w'|_U = (U, x'|_U, z'|_U, \gamma'|_U) \xrightarrow{(\beta, \delta^{-1})} (U, x, z, \alpha) = w\] et \[p'(w') = z' \xrightarrow{\text{id}} z'.\] Ceux-ci se combinent en une solution du problème.

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) et \(q\) sont formellement lisses sur les objets, il en est de même de la composée \(q \circ p\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(U \subset U'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), soit \(z'\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(U'\), soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\gamma : q(p(x)) \to z'|_U\) un isomorphisme. Comme \(q\) est formellement lisse sur les objets, il existe un objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U'\), un isomorphisme \(\beta : y'|_U \to p(x)\) et un isomorphisme \(\gamma' : q(y') \to z'\) tels que (06D0) soit commutatif. Comme \(p\) est formellement lisse sur les objets, il existe un objet \(x'\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U'\), un isomorphisme \(\beta' : x'|_U \to x\) et un isomorphisme \(\gamma'' : p(x') \to y'\) tels que (06D0) soit commutatif. La solution consiste à prendre \(x'\) au-dessus de \(U'\) avec l’isomorphisme \[q(p(x')) \xrightarrow{q(\gamma'')} q(y') \xrightarrow{\gamma'} z'\] et l’isomorphisme \(\beta' : x'|_U \to x\). Nous omettons de vérifier que (06D0) est commutatif.

Notons que la classe des morphismes formellement lisses d’espaces algébriques est stable par tout changement de base et locale sur le but pour la topologie fpqc ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemmes 061F et 06CS. La condition (2) du lemme ci-dessous a donc un sens.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) est représentable par des espaces algébriques, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(p\) est formellement lisse sur les objets, et

2. \(p\) est formellement lisse (voir Champs algébriques, définition 03YK).

Démonstration

Supposons (2). Soit \(U \subset U'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), soit \(y'\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U'\), soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(\gamma : p(x) \to y'|_U\) un isomorphisme. Notons \(X_{y'}\) un espace algébrique sur \(U'\) représentant le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] Notons que \(\xi = (U, U \to U', x, \gamma^{-1})\) définit un objet de ce \(2\)-produit fibré au-dessus de \(U\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda, \(\xi\) correspond à un morphisme \(f_\xi : U \to X_{y'}\) sur \(U'\). Comme \(X_{y'} \to U'\) est formellement lisse par hypothèse, il existe un morphisme \(f' : U' \to X_{y'}\) tel que \(f_\xi\) soit la composée de \(f'\) et du morphisme \(U \to U'\). En outre, le lemme de \(2\)-Yoneda montre que \(f'\) correspond à un objet \(\xi' = (U', U' \to U', x', \alpha)\) du \(2\)-produit fibré affiché au-dessus de \(U'\), dont la restriction à \(U\) redonne \(\xi\). En particulier, on obtient un isomorphisme \(\gamma : x'|U \to x\). Notons que \(\alpha : y' \to p(x')\). Ainsi, prendre \(x'\), l’isomorphisme \(\gamma : x'|U \to x\) et l’isomorphisme \(\beta = \alpha^{-1} : p(x') \to y'\) fournit une solution du problème.

Supposons (1). Choisissons un schéma \(T\) et un \(1\)-morphisme \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Soit \(X_y\) un espace algébrique sur \(T\) représentant le \(2\)-produit fibré \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). Il faut montrer que \(X_y \to T\) est formellement lisse. Il suffit donc de montrer que, pour tout épaississement du premier ordre \(U \subset U'\) de schémas affines sur \(T\), \(X_y(U') \to X_y(U')\) est surjective (il s’agit de morphismes dans la catégorie des espaces algébriques sur \(T\)). Posons \(y' = y|_{U'}\). D’après le lemme de \(2\)-Yoneda, les morphismes \(U \to X_y\) sur \(T\) correspondent bijectivement aux classes d’isomorphisme de couples \((x, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) et \(\alpha : y|_U \to p(x)\) un isomorphisme. Bien entendu, donner \(\alpha\) revient, à inversion près, à donner un isomorphisme \(\gamma : p(x) \to y'|_U\). Il en va de même pour les morphismes \(U' \to X_y\) sur \(T\). Ainsi, (1) garantit la surjectivité de \(X_y(U') \to X_y(U')\) dans cette situation, ce qui conclut.

Surjectif sur les objets

Soit \(S\) un schéma. Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous dirons que \(p\) est surjectif sur les objets si la condition suivante est satisfaite : pour toute donnée formée de

1. un corps \(k\) sur \(S\), et

2. un objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(k)\),

il existe une extension de corps \(K/k\) sur \(S\) et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(K)\) tel que \(p(x) \cong y|_{\Spec(K)}\).

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif sur les objets, il en est de même du changement de base \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) de \(p\) par \(q\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(z\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus d’un corps \(k\). Comme \(p\) est surjectif sur les objets, il existe une extension \(K/k\), un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(K\) et un isomorphisme \(\alpha : p(x) \to q(z)|_{\Spec(K)}\). Alors \(w = (\Spec(K), x, z|_{\Spec(K)}, \alpha)\) est un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(K\) tel que \(p'(w) = z|_{\Spec(K)}\).

Lemme

Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) et \(q\) sont surjectifs sur les objets, il en est de même de la composée \(q \circ p\).

Démonstration

L’assertion est formelle. Soit \(z\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus d’un corps \(k\). Comme \(q\) est surjectif sur les objets, il existe une extension de corps \(K/k\) et un objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(K\) tels que \(q(y) \cong x|_{\Spec(K)}\). Comme \(p\) est surjectif sur les objets, il existe une extension de corps \(L/K\) et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(L\) tel que \(p(x) \cong y|_{\Spec(L)}\). Alors l’extension de corps \(L/k\) et l’objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(L\) vérifient \(q(p(x)) \cong z|_{\Spec(L)}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(p\) est représentable par des espaces algébriques, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(p\) est surjectif sur les objets, et

2. \(p\) est surjectif (voir Champs algébriques, définition 03YK).

Démonstration

Supposons (2). Soit \(k\) un corps et soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(k\). Notons \(X_y\) un espace algébrique sur \(k\) représentant le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/\Spec(k))_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}.\] Puisque \(p\) est supposé surjectif, \(X_y\) n’est pas vide. Il existe donc une extension de corps \(K/k\) et, à valeurs dans \(K\), un point \(x\) de \(X_y\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda, cela correspond à un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(K\), muni d’un isomorphisme \(p(x) \cong y|_{\Spec(K)}\) ; ainsi, (1) est satisfaite.

Supposons (1). Choisissons un schéma \(T\) et un \(1\)-morphisme \(y : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Soit \(X_y\) un espace algébrique sur \(T\) représentant le \(2\)-produit fibré \((\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, p} \mathcal{X}\). Il faut montrer que \(X_y \to T\) est surjectif. D’après Morphismes d’espaces algébriques, définition 03ME, il faut montrer que \(|X_y| \to |T|\) est surjectif. Cela signifie exactement que, pour tout corps \(k\) sur \(T\) et tout morphisme \(t : \Spec(k) \to T\), il existe une extension de corps \(K/k\) et un morphisme \(x : \Spec(K) \to X_y\) tels que \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r]_x & X_y \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r]^t & T }\] soit commutatif. D’après le lemme de \(2\)-Yoneda, cela signifie exactement qu’il faut trouver \(k \subset K\) et un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(K\) tels que \(p(x) \cong t^*y|_{\Spec(K)}\). Ainsi, (1) garantit bien cette existence, ce qui conclut.

Morphismes algébriques

La notion suivante est parfois utile.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). On dit que \(F\) est algébrique si, pour tout schéma \(T\) et tout objet \(\xi\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\), le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] est un champ algébrique sur \(S\).

Avec cette terminologie, on obtient le résultat suivant, qui généralise Champs algébriques, lemme 05UM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si

1. \(\mathcal{Y}\) est un champ algébrique, et

2. \(F\) est algébrique (au sens ci-dessus),

alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Démonstration

D’après l’hypothèse (1), il existe un schéma \(T\) et un objet \(\xi\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\) tels que le \(1\)-morphisme correspondant \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\) soit lisse et surjectif. Alors \(\mathcal{U} = (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est un champ algébrique par l’hypothèse (2). Choisissons un schéma \(U\) et un \(1\)-morphisme lisse surjectif \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{U}\). La projection \(\mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\), qui est le changement de base du morphisme \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \mathcal{Y}\), est surjective et lisse ; voir Champs algébriques, lemme 045C. La composée \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est alors surjective et lisse comme composée de morphismes surjectifs et lisses ; voir Champs algébriques, lemme 045B. Ainsi, \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique d’après Champs algébriques, lemme 05UL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique et si \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(F\) est algébrique.

Démonstration

Choisissons un champ en groupoïdes représentable \(\mathcal{U}\) et un \(1\)-morphisme lisse surjectif \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\). Soit \(T\) un schéma et soit \(\xi\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\). Le morphisme de \(2\)-produits fibrés \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{U} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] est représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse comme changement de base de \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) ; voir Champs algébriques, lemmes 0302 et 045C. La condition imposée à la diagonale de \(\mathcal{Y}\) montre que la source de ce morphisme est représentable par un espace algébrique ; voir Champs algébriques, lemme 045G. La cible est donc un champ algébrique d’après Champs algébriques, lemme 05UL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(F\) est algébrique et si \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Supposons \(F\) algébrique et \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) représentable par des espaces algébriques. Prenons un schéma \(U\) sur \(S\) et deux objets \(x_1, x_2\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Il faut montrer que \(\mathit{Isom}(x_1, x_2)\) est un espace algébrique sur \(U\) ; voir Champs algébriques, lemme 045G. Posons \(y_i = F(x_i)\). On dispose d’un morphisme de faisceaux d’ensembles \[f : \mathit{Isom}(x_1, x_2) \to \mathit{Isom}(y_1, y_2)\] dont la cible est un espace algébrique par hypothèse. Il suffit donc de montrer que \(f\) est représentable par des espaces algébriques ; voir Amorçage, lemme 02YS. On peut donc choisir un schéma \(V\) sur \(U\) et un isomorphisme \(\beta : y_{1, V} \to y_{2, V}\) ; il faut montrer que le foncteur \[(\Sch/V)_{fppf} \to \textit{Ensembles},\quad T/V \mapsto \{\alpha : x_{1, T} \to x_{2, T} \text{ dans }\mathcal{X}_T \mid F(\alpha) = \beta|_T\}\] est un espace algébrique. Considérons les objets \(z_1 = (V, x_{1, V}, \text{id})\) et \(z_2 = (V, x_{2, V}, \beta)\) de \[\mathcal{Z} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y_{1, V}, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\] On vérifie immédiatement que le foncteur ci-dessus est égal à \(\mathit{Isom}(z_1, z_2)\) sur \((\Sch/V)_{fppf}\). C’est donc un espace algébrique par l’hypothèse que \(F\) est algébrique (et par la définition des champs algébriques).

Espaces de sections

Étant donnés des morphismes \(W \to Z \to U\), on peut considérer le foncteur qui associe à un schéma \(U'\) sur \(U\) l’ensemble des sections \(\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\) du changement de base \(W_{U'} \to Z_{U'}\) du morphisme \(W \to Z\). Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes préliminaires sur ce foncteur.

Lemme

Soit \(Z \to U\) un morphisme fini de schémas. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif. Il existe alors un morphisme étale surjectif \(U' \to U\) et une section \[\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\] du morphisme \(W_{U'} \to Z_{U'}\).

Démonstration

On peut choisir un schéma séparé \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to W\). Après avoir remplacé \(W\) par \(W'\), on peut donc supposer que \(W\) est un schéma séparé. Écrivons \(f : W \to Z\) et \(\pi : Z \to U\). Notons que \(f \circ \pi : W \to U\) est séparé puisque \(W\) est séparé (voir Schémas, lemme 01KV). Soit \(u \in U\) un point. Il suffit évidemment de trouver un voisinage étale \((U', u')\) de \((U, u)\) tel qu’une section \(\sigma\) existe sur \(U'\). Soient \(z_1, \ldots, z_r\) les points de \(Z\) situés au-dessus de \(u\). Pour chaque \(i\), choisissons un point \(w_i \in W\) d’image \(z_i\). On peut choisir un voisinage étale \((U', u') \to (U, u)\) tel que les conclusions de Compléments sur les morphismes, lemme 02LO soient satisfaites à la fois pour \(Z \to U\) et les points \(z_1, \ldots, z_r\), et pour \(W \to U\) et les points \(w_1, \ldots, w_r\). Après avoir remplacé \((U, u)\) par \((U', u')\) et renommé les objets, on peut donc supposer que toutes les extensions de corps \(\kappa(z_i)/\kappa(u)\) et \(\kappa(w_i)/\kappa(u)\) sont radicielles et, de plus, qu’il existe des décompositions en sommes disjointes \[Z = V_1 \amalg \ldots \amalg V_r \amalg A, \quad W = W_1 \amalg \ldots \amalg W_r \amalg B\] en sous-schémas ouverts et fermés, avec \(z_i \in V_i\), \(w_i \in W_i\), et \(V_i \to U\), \(W_i \to U\) finis. Après avoir remplacé \(U\) par \(U \setminus \pi(A)\), on peut supposer que \(A = \emptyset\), c’est-à-dire \(Z = V_1 \amalg \ldots \amalg V_r\). Après avoir remplacé \(W_i\) par \(W_i \cap f^{-1}(V_i)\) et \(B\) par \(B \cup \bigcup W_i \cap f^{-1}(Z \setminus V_i)\), on peut supposer que \(f\) envoie \(W_i\) dans \(V_i\). Alors \(f_i = f|_{W_i} : W_i \to V_i\) est un morphisme entre schémas finis sur \(U\), donc il est fini (voir Morphismes, lemme 035D). Il est aussi étale (par hypothèse), \(f_i^{-1}(\{z_i\}) = w_i\), et induit un isomorphisme des corps résiduels \(\kappa(z_i) = \kappa(w_i)\) (car les deux sont des extensions radicielles de \(\kappa(u)\), tandis que \(\kappa(w_i)/\kappa(z_i)\) est séparable puisque \(f\) est étale). D’après Morphismes étales, lemme 04DH le morphisme \(f_i\) est donc un isomorphisme dans un voisinage \(V_i'\) de \(z_i\). Comme \(\pi : Z \to U\) est fermé, quitte à rétrécir \(U\), on peut supposer que \(W_i \to V_i\) est un isomorphisme. Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(Z \to U\) un morphisme fini localement libre de schémas. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to Z\) un morphisme étale. Alors le foncteur \[F : (\Sch/U)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\] défini par la règle \[U' \longmapsto F(U') = \{\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\text{ section de }W_{U'} \to Z_{U'}\}\] est un espace algébrique et le morphisme \(F \to U\) est étale.

Démonstration

Supposons d’abord que \(W \to Z\) soit aussi séparé. Soit \(U'\) un schéma sur \(U\) et soit \(\sigma \in F(U')\). D’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03KP, le morphisme \(\sigma\) est une immersion fermée. De plus, \(\sigma\) est étale d’après Propriétés des espaces algébriques, lemme 03FV. Ainsi, \(\sigma\) est aussi une immersion ouverte ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 05W5. Autrement dit, \(Z_\sigma = \sigma(Z_{U'}) \subset W_{U'}\) est un sous-espace ouvert tel que le morphisme \(Z_\sigma \to Z_{U'}\) soit un isomorphisme. En particulier, le morphisme \(Z_\sigma \to U'\) est fini. On obtient donc une transformation de foncteurs \[F \longrightarrow (W/U)_{fin}, \quad \sigma \longmapsto (U' \to U, Z_\sigma)\] où \((W/U)_{fin}\) est la partie finie du morphisme \(W \to U\) introduite dans Compléments sur les groupoïdes en espaces algébriques, section 04PB. Il est clair que cette transformation de foncteurs est injective (puisqu’on peut retrouver \(\sigma\) à partir de \(Z_\sigma\) comme inverse de l’isomorphisme \(Z_\sigma \to Z_{U'}\)). D’après Compléments sur les groupoïdes en espaces algébriques, proposition 04QH nous savons que \((W/U)_{fin}\) est un espace algébrique étale sur \(U\). Pour achever la preuve dans ce cas, il suffit donc de montrer que \(F \to (W/U)_{fin}\) est représentable et est une immersion ouverte. Pour cela, supposons donnés un morphisme de schémas \(U' \to U\) et un sous-espace ouvert \(Z' \subset W_{U'}\) tels que \(Z' \to U'\) soit fini. Il suffit alors de montrer qu’il existe un sous-schéma ouvert \(U'' \subset U'\) tel qu’un morphisme \(T \to U'\) se factorise par \(U''\) si et seulement si \(Z' \times_{U'} T\) s’envoie isomorphiquement sur \(Z \times_{U'} T\). Cela résulte de Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 05XD (on utilise ici que \(Z \to B\) est plat et localement de présentation finie, ainsi que fini). Le lemme est donc démontré lorsque \(W \to Z\) est séparé et étale.

Dans le cas général, choisissons un schéma séparé \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to W\). Notons que les morphismes \(W' \to W\) et \(W \to Z\) sont séparés puisque leur source est séparée. Notons \(F'\) le foncteur associé à \(W' \to Z \to U\) comme dans le lemme. Dans le premier paragraphe de la preuve, nous avons montré que \(F'\) est représentable par un espace algébrique étale sur \(U\). D’après le lemme 05XQ, l’application de foncteurs \(F' \to F\) est surjective pour la topologie étale sur \(\Sch/U\). De plus, si \(U'\) et \(\sigma : Z_{U'} \to W_{U'}\) définissent un élément \(\xi \in F(U')\), alors le produit fibré \[F'' = F' \times_{F, \xi} U'\] est le foncteur sur \(\Sch/U'\) associé aux morphismes \[W'_{U'} \times_{W_{U'}, \sigma} Z_{U'} \to Z_{U'} \to U'.\] Comme le premier morphisme est séparé, étant le changement de base d’un morphisme séparé, le résultat du premier paragraphe montre que \(F''\) est un espace algébrique étale sur \(U'\). Il s’ensuit que \(F' \to F\) est une transformation de foncteurs étale surjective, représentable par des espaces algébriques. Ainsi, \(F\) est un espace algébrique d’après Amorçage, théorème 04S6. Puisque \(F' \to F\) est un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques, \(F \to U\) est étale puisque \(F' \to U\) l’est.

Morphismes relatifs

Nous poursuivons la discussion commencée dans Compléments sur les morphismes, section 0BL0.

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\) et \(X \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout schéma \(T\), on peut considérer les couples \((a, b)\), où \(a : T \to B\) est un morphisme et \(b : T \times_{a, B} Z \to T \times_{a, B} X\) un morphisme sur \(T\). On a le diagramme [05Y1]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ T \times_{a, B} Z \ar[rd] \ar[rr]_b & & T \times_{a, B} X \ar[ld] & Z \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & T \ar[rrr]^a & & & B } } \end{equation}\] Bien entendu, on peut aussi voir \(b\) comme un morphisme \(b : T \times_{a, B} Z \to X\) tel que \[\xymatrix{ T \times_{a, B} Z \ar[r] \ar[d] \ar@/^1pc/[rrr]_-b & Z \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ T \ar[rr]^a & & B }\] soit commutatif. Dans cette situation, on peut définir un foncteur [05Y2]\[\begin{equation} \mathit{Mor}_B(Z, X) : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \{(a, b)\text{ comme ci-dessus}\} \end{equation}\] Parfois, on le considère comme un foncteur défini sur la catégorie des schémas sur \(B\) ; dans ce cas, on omet \(a\) de la notation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\) et \(X \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Alors

1. \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

2. Si \(T\) est un espace algébrique sur \(S\), il existe une bijection canonique \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Mor}_B(Z, X)) = \{(a, b)\text{ comme dans }(\href{criteria.html#criteria-equation-hom}{05Y1})\}\]

Démonstration

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf de \(T\) (comme dans Topologies on Espaces, section 03Y7). Supposons que \((a_i, b_i) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(T_i)\) et que \((a_i, b_i)|_{T_i \times_T T_j} = (a_j, b_j)|_{T_i \times_T T_j}\) pour tous \(i, j\). D’après Descente et espaces algébriques, lemme 04P2, il existe un unique morphisme \(a : T \to B\) tel que \(a_i\) soit la composée de \(T_i \to T\) et de \(a\). Alors \(\{T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\}\) est aussi un recouvrement fppf, et le même lemme implique qu’il existe un unique morphisme \(b : T \times_{a, B} Z \to T \times_{a, B} X\) tel que \(b_i\) soit la composée de \(T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\) et de \(b\). Ainsi, \((a, b) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(T)\) se restreint à \((a_i, b_i)\) sur \(T_i\) pour tout \(i\).

Notons que le résultat du paragraphe précédent implique en particulier (1).

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Pour démontrer (2), nous allons construire des applications réciproques entre les ensembles affichés. Dans la suite, le mot « couple » désigne un couple \((a, b)\) s’insérant dans (05Y1).

Soit \(v : T \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) une transformation naturelle. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Alors \(v(p) \in \mathit{Mor}_B(Z, X)(U)\) correspond à un couple \((a_U, b_U)\) sur \(U\). Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(t, s : R \to U\). Comme \(v\) est une transformation de foncteurs, les images inverses de \((a_U, b_U)\) par \(s\) et \(t\) coïncident. Puisque \(\{U \to T\}\) est un recouvrement fppf, le résultat du premier paragraphe permet donc de déduire qu’il existe un unique couple \((a, b)\) sur \(T\).

Réciproquement, soit \((a, b)\) un couple sur \(T\). Soient \(U \to T\), \(R = U \times_T U\) et \(t, s : R \to U\) comme ci-dessus. La restriction \((a, b)|_U\) donne alors naissance à une transformation de foncteurs \(v : h_U \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). Comme les deux images inverses \(s^*(a, b)|_U\) et \(t^*(a, b)|_U\) sont égales, \(v\) coégalise les deux applications \(h_t, h_s : h_R \to h_U\). Puisque \(T = U/R\) est le faisceau quotient fppf d’après Espaces, lemme 0262, et puisque \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un faisceau fppf d’après (1), on conclut que \(v\) se factorise par une application \(T \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\).

Nous omettons de vérifier que les deux constructions ci-dessus sont réciproques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\), \(X \to B\) et \(B' \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(Z' = B' \times_B Z\) et \(X' = B' \times_B X\). Alors \[\mathit{Mor}_{B'}(Z', X') = B' \times_B \mathit{Mor}_B(Z, X)\] dans \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\).

Démonstration

L’égalité des foncteurs résulte immédiatement des définitions. L’égalité des faisceaux s’en déduit, car les deux membres sont des faisceaux d’après le lemme 05Y3, et parce qu’un produit fibré de faisceaux est égal au produit fibré correspondant des préfaisceaux (c’est-à-dire des foncteurs).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\) et \(X' \to X \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X' \to X\) soit étale, et

2. \(Z \to B\) soit fini localement libre.

Alors \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Si \(X' \to X\) est aussi surjectif, alors \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) est surjectif.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(\xi = (a, b)\) un élément de \(\mathit{Mor}_B(Z, X)(U)\). Il faut montrer que le foncteur \[h_U \times_{\xi, \mathit{Mor}_B(Z, X)} \mathit{Mor}_B(Z, X')\] est représentable par un espace algébrique étale sur \(U\). Posons \(Z_U = U \times_{a, B} Z\) et \(W = Z_U \times_{b, X} X'\). Alors \(W \to Z_U \to U\) est comme dans le lemme 05XR, et le faisceau \(F\) qui y est défini s’identifie au produit fibré affiché ci-dessus. D’où la première assertion du lemme. La seconde assertion résulte de celle-ci et du lemme 05XQ, qui garantit que \(F \to U\) est surjectif dans la situation ci-dessus.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\) et \(X \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Z \to B\) est fini localement libre, alors \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un espace algébrique.

Démonstration

Choisissons un schéma \(B' = \coprod B'_i\), somme disjointe de schémas affines \(B'_i\), et un morphisme étale surjectif \(B' \to B\). On peut aussi supposer que \(B'_i \times_B Z\) est le spectre d’un anneau qui est un \(\Gamma(B'_i, \mathcal{O}_{B'_i})\)-module libre de type fini. D’après le lemme 05Y4 et Espaces, lemme 02WL le morphisme \(\mathit{Mor}_{B'}(Z', X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) est étale surjectif. D’après Amorçage, théorème 04S6, il suffit donc de démontrer la proposition lorsque \(B = B'\) est une somme disjointe de schémas affines \(B'_i\) telle que chaque \(B'_i \times_B Z\) soit fini et libre sur \(B'_i\). Il suffit alors de démontrer le résultat après restriction à chaque \(B'_i\). On peut donc supposer que \(B\) est affine et que \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) est un \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-module libre de type fini.

Choisissons un schéma \(X'\) qui soit une somme disjointe de schémas affines et un morphisme étale surjectif \(X' \to X\). D’après le lemme 05Y5, le morphisme \(\mathit{Mor}_B(Z, X') \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) est représentable par des espaces algébriques, étale et surjectif. D’après Amorçage, théorème 04S6, il suffit donc de démontrer la proposition lorsque \(X\) est une somme disjointe de schémas affines. On se ramène ainsi au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) soit une somme disjointe de schémas affines, que \(B\) soit affine et que \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) soit un \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-module libre de type fini. Pour toute partie finie \(E \subset I\), posons \[F_E = \mathit{Mor}_B(Z, \coprod\nolimits_{i \in E} X_i).\] D’après Compléments sur les morphismes, lemme 05Y6, \(F_E\) est un espace algébrique. Considérons le morphisme \[\coprod\nolimits_{E \subset I\text{ fini}} F_E \longrightarrow \mathit{Mor}_B(Z, X)\] Chacun des morphismes \(F_E \to \mathit{Mor}_B(Z, X)\) est une immersion ouverte, car son image est simplement le lieu paramétrant les couples \((a, b)\) pour lesquels \(b\) se factorise par le sous-schéma ouvert \(\coprod\nolimits_{i \in E} X_i\) de \(X\). De plus, si \(T\) est quasi-compact, alors, pour tout couple \((a, b)\), l’image de \(b\) est contenue dans \(\coprod\nolimits_{i \in E} X_i\) pour une certaine partie finie \(E \subset I\). La flèche affichée est donc en fait un recouvrement ouvert, ce qui conclut³, d’après Espaces, lemme 02WR.

Restriction des scalaires

Supposons que \(X \to Z \to B\) soient des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout schéma \(T\), on peut considérer les couples \((a, b)\), où \(a : T \to B\) est un morphisme et \(b : T \times_{a, B} Z \to X\) un morphisme sur \(Z\). On a le diagramme [05Y9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & X \ar[d] \\ T \times_{a, B} Z \ar[d] \ar[ru]^b \ar[r] & Z \ar[d] \\ T \ar[r]^a & B } } \end{equation}\] Dans cette situation, on peut définir un foncteur [05YA]\[\begin{equation} \text{Res}_{Z/B}(X) : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \{(a, b)\text{ comme ci-dessus}\} \end{equation}\] Parfois, on le considère comme un foncteur défini sur la catégorie des schémas sur \(B\) ; dans ce cas, on omet \(a\) de la notation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Alors

1. \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) est un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

2. Si \(T\) est un espace algébrique sur \(S\), il existe une bijection canonique \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Res}_{Z/B}(X)) = \{(a, b)\text{ comme dans }(\href{criteria.html#criteria-equation-pairs}{05Y9})\}\]

Démonstration

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf de \(T\) (comme dans Topologies on Espaces, section 03Y7). Supposons que \((a_i, b_i) \in \text{Res}_{Z/B}(X)(T_i)\) et que \((a_i, b_i)|_{T_i \times_T T_j} = (a_j, b_j)|_{T_i \times_T T_j}\) pour tous \(i, j\). D’après Descente et espaces algébriques, lemme 04P2, il existe un unique morphisme \(a : T \to B\) tel que \(a_i\) soit la composée de \(T_i \to T\) et de \(a\). Alors \(\{T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\}\) est aussi un recouvrement fppf, et le même lemme implique qu’il existe un unique morphisme \(b : T \times_{a, B} Z \to X\) tel que \(b_i\) soit la composée de \(T_i \times_{a_i, B} Z \to T \times_{a, B} Z\) et de \(b\). Ainsi, \((a, b) \in \text{Res}_{Z/B}(X)(T)\) se restreint à \((a_i, b_i)\) sur \(T_i\) pour tout \(i\).

Notons que le résultat du paragraphe précédent implique en particulier (1).

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Pour démontrer (2), nous allons construire des applications réciproques entre les ensembles affichés. Dans la suite, le mot « couple » désigne un couple \((a, b)\) s’insérant dans (05Y9).

Soit \(v : T \to \text{Res}_{Z/B}(X)\) une transformation naturelle. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Alors \(v(p) \in \text{Res}_{Z/B}(X)(U)\) correspond à un couple \((a_U, b_U)\) sur \(U\). Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(t, s : R \to U\). Comme \(v\) est une transformation de foncteurs, les images inverses de \((a_U, b_U)\) par \(s\) et \(t\) coïncident. Puisque \(\{U \to T\}\) est un recouvrement fppf, le résultat du premier paragraphe permet donc de déduire qu’il existe un unique couple \((a, b)\) sur \(T\).

Réciproquement, soit \((a, b)\) un couple sur \(T\). Soient \(U \to T\), \(R = U \times_T U\) et \(t, s : R \to U\) comme ci-dessus. La restriction \((a, b)|_U\) donne alors naissance à une transformation de foncteurs \(v : h_U \to \text{Res}_{Z/B}(X)\) par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). Comme les deux images inverses \(s^*(a, b)|_U\) et \(t^*(a, b)|_U\) sont égales, \(v\) coégalise les deux applications \(h_t, h_s : h_R \to h_U\). Puisque \(T = U/R\) est le faisceau quotient fppf d’après Espaces, lemme 0262, et puisque \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) est un faisceau fppf d’après (1), on conclut que \(v\) se factorise par une application \(T \to \text{Res}_{Z/B}(X)\).

Nous omettons de vérifier que les deux constructions ci-dessus sont réciproques.

Bien entendu, le faisceau \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) est muni d’une transformation naturelle de foncteurs \(\text{Res}_{Z/B}(X) \to B\). Nous l’utiliserons sans autre mention dans la suite.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z \to B\) et \(B' \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(Z' = B' \times_B Z\) et \(X' = B' \times_B X\). Alors \[\text{Res}_{Z'/B'}(X') = B' \times_B \text{Res}_{Z/B}(X)\] dans \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\).

Démonstration

L’égalité des foncteurs résulte immédiatement des définitions. L’égalité des faisceaux s’en déduit, car les deux membres sont des faisceaux d’après le lemme 05YB, et parce qu’un produit fibré de faisceaux est égal au produit fibré correspondant des préfaisceaux (c’est-à-dire des foncteurs).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X' \to X \to Z \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X' \to X\) soit étale, et

2. \(Z \to B\) soit fini localement libre.

Alors \(\text{Res}_{Z/B}(X') \to \text{Res}_{Z/B}(X)\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Si \(X' \to X\) est aussi surjectif, alors \(\text{Res}_{Z/B}(X') \to \text{Res}_{Z/B}(X)\) est surjectif.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(\xi = (a, b)\) un élément de \(\text{Res}_{Z/B}(X)(U)\). Il faut montrer que le foncteur \[h_U \times_{\xi, \text{Res}_{Z/B}(X)} \text{Res}_{Z/B}(X')\] est représentable par un espace algébrique étale sur \(U\). Posons \(Z_U = U \times_{a, B} Z\) et \(W = Z_U \times_{b, X} X'\). Alors \(W \to Z_U \to U\) est comme dans le lemme 05XR, et le faisceau \(F\) qui y est défini s’identifie au produit fibré affiché ci-dessus. D’où la première assertion du lemme. La seconde assertion résulte de celle-ci et du lemme 05XQ, qui garantit que \(F \to U\) est surjectif dans la situation ci-dessus.

On peut maintenant utiliser les lemmes ci-dessus pour montrer que \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) est un espace algébrique dès que \(Z \to B\) est fini localement libre, d’une manière presque identique à la preuve que \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un espace algébrique ; voir la proposition 05Y7. Nous déduirons plutôt directement ce résultat du lemme suivant et du fait que \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un espace algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Le diagramme suivant \[\xymatrix{ \mathit{Mor}_B(Z, X) \ar[r] & \mathit{Mor}_B(Z, Z) \\ \text{Res}_{Z/B}(X) \ar[r] \ar[u] & B \ar[u]_{\text{id}_Z} }\] est un diagramme cartésien de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

La preuve est omise. Indication : exercice sur le point de vue fonctoriel en géométrie algébrique.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Z \to B\) est fini localement libre, alors \(\text{Res}_{Z/B}(X)\) est un espace algébrique.

Démonstration

D’après la proposition 05Y7, les foncteurs \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) et \(\mathit{Mor}_B(Z, Z)\) sont des espaces algébriques. L’assertion résulte donc du diagramme cartésien du lemme 05YE et du fait que les produits fibrés d’espaces algébriques existent et sont donnés par le produit fibré dans la catégorie sous-jacente des faisceaux d’ensembles (voir Espaces, lemme 04T9).

Champs de Hilbert finis

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats sur les champs de Hilbert finis \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) introduits dans Exemples de champs, section 05WA.

Lemme

Considérons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_G \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^H & \mathcal{Y} }\] de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), muni d’un \(2\)-isomorphisme \(\gamma : H \circ F' \to F \circ G\). Dans cette situation, on obtient un \(1\)-morphisme canonique \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). Ce morphisme est compatible avec les \(1\)-morphismes d’oubli de Exemples de champs, équation (05WD).

Démonstration

On envoie l’objet \((U, Z, y', x', \alpha')\) sur l’objet \((U, Z, H(y'), G(x'), \gamma \star \text{id}_H \star \alpha')\), où \(\star\) désigne la composition horizontale des \(2\)-morphismes ; voir Catégories, définition 003E. Au morphisme \((f, g, b, a) : (U_1, Z_1, y_1', x_1', \alpha_1') \to (U_2, Z_2, y_2', x_2', \alpha_2')\) on associe \((f, g, H(b), G(a))\). Nous omettons de vérifier que cela définit un foncteur entre catégories sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Lemme

Dans la situation du lemme 05XN, supposons que le carré donné soit \(2\)-cartésien. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] est \(2\)-cartésien.

Démonstration

Le lemme 05XN fournit un diagramme \(2\)-commutatif et, par conséquent, un \(1\)-morphisme (c’est-à-dire un foncteur) \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \longrightarrow \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] Indiquons pourquoi ce foncteur est essentiellement surjectif. Un objet de la catégorie du membre de droite consiste en un schéma \(U\) sur \(S\), un objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}'_U\), un objet \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\) et un isomorphisme \(H(y') \to y\) dans \(\mathcal{Y}_U\). L’hypothèse signifie exactement qu’il existe un objet \(x'\) de \(\mathcal{X}'_Z\) muni d’isomorphismes \(G(x') \cong x\) et \(\alpha' : y'|_Z \to F'(x')\) compatibles avec \(\alpha\). Alors \((U, Z, y', x', \alpha')\) est un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}')\) au-dessus de \(U\). Nous omettons les détails.

Lemme

Dans la situation du lemme 05XN, supposons que

1. \(\mathcal{Y}' = \mathcal{Y}\) et \(H = \text{id}_\mathcal{Y}\),

2. \(G\) soit représentable par des espaces algébriques et étale.

Alors \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Si \(G\) est en outre surjectif, alors \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est surjectif.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(\xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\). Il faut montrer que le \(2\)-produit fibré [05XT]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \end{equation}\] est représentable par un espace algébrique étale sur \(U\). Un objet de celui-ci au-dessus de \(U'\) correspond à un objet \(x'\) de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(Z_{U'}\) tel que \(G(x') \cong x|_{Z_{U'}}\). Par hypothèse, le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/Z)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{X}'\] est représentable par un espace algébrique \(W\) tel que la projection \(W \to Z\) soit étale. Alors (05XT) est représenté par l’espace algébrique \(F\) qui paramètre les sections de \(W \to Z\) sur \(U\), introduit dans le lemme 05XR. Comme \(F \to U\) est étale, on conclut que \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Enfin, si \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est aussi surjectif, alors \(W \to Z\) est surjectif, et donc \(F \to U\) l’est d’après le lemme 05XQ. Ainsi, dans ce cas, \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est aussi surjectif.

Lemme

Dans la situation du lemme 05XN, supposons que \(G\) et \(H\) soient représentables par des espaces algébriques et étales. Alors \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Si, de plus, \(H\) est surjectif et le foncteur induit \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est surjectif, alors \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est surjectif.

Démonstration

Posons \(\mathcal{X}'' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). D’après le lemme 05XK, le \(1\)-morphisme \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}''\) est représentable par des espaces algébriques et étale (en particulier, la condition de la seconde assertion du lemme selon laquelle \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}''\) est surjectif a un sens). On obtient un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] Il résulte du lemme 05XP que \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}''/\mathcal{Y}')\) est le changement de base de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) par \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\). En particulier, \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}''/\mathcal{Y}') \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques et étale ; voir Champs algébriques, lemme 045C. De plus, il est aussi surjectif si \(H\) l’est. Par conséquent, il suffit de montrer que le résultat vaut pour le carré de gauche du diagramme. On se ramène ainsi au cas où \(\mathcal{Y}' = \mathcal{Y}\), qui fait l’objet du lemme 05YG.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\Delta : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times \mathcal{Y}\) soit représentable par des espaces algébriques. Alors \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}\] qui figure dans Exemples de champs, équation (05WD), est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(\xi = (U, Z, p, x, 1)\) un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/S)\) au-dessus de \(U\). Ici, \(p\) est simplement le morphisme structural de \(U\). La cinquième composante \(1\) existe et est unique puisque tout est au-dessus de \(S\). Soit aussi \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U\). Il faut montrer que le \(2\)-produit fibré [05YI]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi \times y, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \end{equation}\] est représentable par un espace algébrique. Pour l’expliquer, introduisons \[I = \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y|_Z, F(x))\] qui est un espace algébrique sur \(Z\) par hypothèse. Soit \(a : U' \to U\) un schéma sur \(U\). Que signifie se donner un objet de la catégorie fibre de (05YI) au-dessus de \(U'\) ? Cela signifie que l’on dispose d’un objet \(\xi' = (U', Z', y', x', \alpha')\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U'\) et d’isomorphismes \((U', Z', p', x', 1) \cong (U, Z, p, x, 1)|_{U'}\) et \(y' \cong y|_{U'}\). Ainsi, \(\xi'\) est isomorphe à \((U', U' \times_{a, U} Z, a^*y, x|_{U' \times_{a, U} Z}, \alpha)\) pour un certain morphisme \[\alpha : a^*y|_{U' \times_{a, U} Z} \longrightarrow F(x|_{U' \times_{a, U} Z})\] dans la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U' \times_{a, U} Z\). Ainsi, on peut voir \(\alpha\) comme un morphisme \(b : U' \times_{a, U} Z \to I\). On voit de cette manière que (05YI) est représenté par \(\text{Res}_{Z/U}(I)\), qui est un espace algébrique d’après la proposition 05YF.

Le lemme suivant est une généralisation (partielle) du lemme 05YG.

Lemme

Soient \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(G : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) des \(1\)-morphismes de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(G\) est représentable par des espaces algébriques, alors le \(1\)-morphisme \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(\xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\). Il faut montrer que le \(2\)-produit fibré [05YK]\[\begin{equation} (\Sch/U)_{fppf} \times_{\xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}'/\mathcal{Y}) \end{equation}\] est représentable par un espace algébrique sur \(U\). Un objet de celui-ci au-dessus de \(a : U' \to U\) correspond à un objet \(x'\) de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(U' \times_{a, U} Z\) tel que \(G(x') \cong x|_{U' \times_{a, U} Z}\). Par hypothèse, le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/Z)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{X}'\] est représentable par un espace algébrique \(W\) sur \(Z\). Il s’ensuit que (05YK) est représenté par \(\text{Res}_{Z/U}(W)\), qui est un espace algébrique d’après la proposition 05YF.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(F\) soit représentable par des espaces algébriques et localement de présentation finie. Alors \[p : \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\] commute aux limites sur les objets.

Démonstration

Cela signifie qu’il faut montrer ceci : étant donnés

1. un schéma affine \(U = \lim_i U_i\) écrit comme la limite projective filtrante de schémas affines \(U_i\) sur \(S\),

2. un objet \(y_i\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_i\) pour un certain \(i\), et

3. un objet \(\Xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\) tel que \(y = y_i|_U\),

il existe \(i' \geq i\) et un objet \(\Xi_{i'} = (U_{i'}, Z_{i'}, y_{i'}, x_{i'}, \alpha_{i'})\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U_{i'}\) tel que \(\Xi_{i'}|_U = \Xi\) et \(y_{i'} = y_i|_{U_{i'}}\). En effet, ces deux dernières égalités assurent la commutativité de (06CU).

Soit \(X_{y_i} \to U_i\) un espace algébrique représentant le \(2\)-produit fibré \[(\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}.\] Notons que \(X_{y_i} \to U_i\) est localement de présentation finie par notre hypothèse sur \(F\). Écrivons \(\Xi\). Il est clair que \(\xi = (Z, Z \to U_i, x, \alpha)\) est un objet du \(2\)-produit fibré affiché ci-dessus ; ainsi, \(\xi\) donne naissance à un morphisme \(f_\xi : Z \to X_{y_i}\) d’espaces algébriques sur \(U_i\) (puisque \(X_{y_i}\) est le foncteur des classes d’isomorphisme d’objets de \((\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) ; voir Champs algébriques, lemme 02ZX). D’après Limits, lemmes 01ZM et 06AC il existe \(i' \geq i\) et un morphisme fini localement libre \(Z_{i'} \to U_{i'}\) de degré \(d\) dont le changement de base à \(U\) est \(Z\). D’après Limits of Espaces, proposition 04AK on peut, après avoir remplacé \(i'\) par un indice plus grand, supposer qu’il existe un morphisme \(f_{i'} : Z_{i'} \to X_{y_i}\) tel que \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] \ar@/^3ex/[rr]^{f_\xi} & Z_{i'} \ar[d] \ar[r]_{f_{i'}} & X_{y_i} \ar[d] \\ U \ar[r] & U_{i'} \ar[r] & U_i }\] soit commutatif. Posons \(\Xi_{i'} = (U_{i'}, Z_{i'}, y_{i'}, x_{i'}, \alpha_{i'})\) où

1. \(y_{i'}\) est l’objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_{i'}\) qui est l’image inverse de \(y_i\) sur \(U_{i'}\),

2. \(x_{i'}\) est l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(Z_{i'}\) qui correspond, par le lemme de \(2\)-Yoneda, au \(1\)-morphisme \[(\Sch/Z_{i'})_{fppf} \to \mathcal{S}_{X_{y_i}} \to (\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\] où la flèche du milieu est l’équivalence qui définit \(X_{y_i}\) (notations comme dans Champs algébriques, sections 02ZV et 04SU).

3. \(\alpha_{i'} : y_{i'}|_{Z_{i'}} \to F(x_{i'})\) est l’isomorphisme provenant de la \(2\)-commutativité du diagramme \[\xymatrix{ (\Sch/Z_{i'})_{fppf} \ar[r] \ar[rd] & (\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ & (\Sch/U_{i'})_{fppf} \ar[r] & \mathcal{Y} }\]

Rappelons que \(f_\xi : Z \to X_{y_i}\) était le morphisme correspondant à l’objet \(\xi = (Z, Z \to U_i, x, \alpha)\) de \((\Sch/U_i)_{fppf} \times_{y_i, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) au-dessus de \(Z\). Par construction, \(f_{i'}\) est le morphisme correspondant à l’objet \(\xi_{i'} = (Z_{i'}, Z_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha_{i'})\). Comme \(f_\xi = f_{i'} \circ (Z \to Z_{i'})\), on voit que l’objet \(\xi_{i'} = (Z_{i'}, Z_{i'} \to U_i, x_{i'}, \alpha_{i'})\) a pour image inverse \(\xi\) sur \(Z\). Ainsi, \(x_{i'}\) a pour image inverse \(x\) et \(\alpha_{i'}\) a pour image inverse \(\alpha\). Cela signifie que \(\Xi_{i'}\) a pour image inverse \(\Xi\) sur \(U\), ce qui conclut.

Le champ de Hilbert fini d’un point

Soit \(d \geq 1\) un entier. Dans Exemples de champs, définition 05WC, nous avons défini un champ en groupoïdes \(\mathcal{H}_d\). Dans cette section, nous montrons que \(\mathcal{H}_d\) est un champ algébrique. Nous supposerons partout que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Le cas général s’en déduira par changement de base. Rappelons que la catégorie fibre de \(\mathcal{H}_d\) au-dessus d’un schéma \(T\) est la catégorie des morphismes finis localement libres \(\pi : Z \to T\) de degré \(d\). Au lieu de les classifier directement, nous étudions d’abord les faisceaux quasi-cohérents d’algèbres \(\pi_*\mathcal{O}_Z\).

Soit \(R\) un anneau. Adoptons temporairement la définition suivante : une algèbre libre de rang \(d\) sur \(R\) est la donnée d’une structure de \(R\)-algèbre commutative \(m\) sur \(R^{\oplus d}\) dont \(e_1 = (1, 0, \ldots, 0)\) est l’unité⁴. On considère \(m\) comme une application \(R\)-linéaire \[m : R^{\oplus d} \otimes_R R^{\oplus d} \longrightarrow R^{\oplus d}\] telle que \(m(e_1, x) = m(x, e_1) = x\) et que \(m\) définisse une structure d’anneau commutative et associative. Si l’on écrit \(m(e_i, e_j) = \sum a_{ij}^ke_k\), cela revient aux conditions \[\left\{ \begin{matrix} \sum_l a_{ij}^la_{lk}^m = \sum_l a_{il}^ma_{jk}^l & \forall i, j, k, m \\ a_{ij}^k = a_{ji}^k & \forall i, j, k \\ a_{i1}^j = \delta_{ij} & \forall i, j \end{matrix} \right.\] où \(\delta_{ij}\) est le symbole \(\delta\) de Kronecker. Définissons donc \[R_{univ} = \mathbf{Z}[a_{ij}^k]/J\] où \(J\) est l’idéal engendré par les relations affichées ci-dessus. Notons \[m_{univ} : R_{univ}^{\oplus d} \otimes_{R_{univ}} R_{univ}^{\oplus d} \longrightarrow R_{univ}^{\oplus d}\] l’algèbre libre de rang \(d\), notée \(m\), sur \(R_{univ}\) dont les constantes de structure sont les classes des \(a_{ij}^k\) modulo \(J\). Il est alors clair que, pour toute algèbre libre de rang \(d\), notée \(m\), sur un anneau \(R\), il existe un unique homomorphisme de \(\mathbf{Z}\)-algèbres \(\psi : R_{univ} \to R\) tel que \(\psi_*m_{univ} = m\) (cela signifie que \(m\) s’obtient en appliquant le foncteur de changement de base \(- \otimes_{R_{univ}} R\) à \(m_{univ}\)). Autrement dit, en posant \(X = \Spec(R_{univ})\), on obtient une identification canonique \[X(T) = \{\text{algèbres libres de rang }d\text{, de multiplication }m\text{ sur }R\}\] pour \(T = \Spec(R)\) variable. Par localisation de Zariski, on obtient l’identification suivante, apparemment plus générale, [05YM]\[\begin{equation} X(T) = \{\text{algèbres libres de rang }d\text{, de multiplication } m\text{ sur }\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\} \end{equation}\] pour tout schéma \(T\).

Parlons maintenant brièvement des isomorphismes d’algèbres libres de rang \(d\) sur \(R\). Supposons que \(m\) et \(m'\) soient deux algèbres libres de rang \(d\) sur un anneau \(R\). Un isomorphisme de \(m\) vers \(m'\) est la donnée d’une application \(R\)-linéaire inversible \[\varphi : R^{\oplus d} \longrightarrow R^{\oplus d}\] telle que \(\varphi(e_1) = e_1\) et que \[m \circ \varphi \otimes \varphi = \varphi \circ m'.\] Notons que l’on peut composer ces isomorphismes, de sorte que la collection des algèbres libres de rang \(d\) sur \(R\) devienne une catégorie. On obtient ainsi un foncteur [05YN]\[\begin{equation} FA_d : \Sch_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Groupoïdes} \end{equation}\] de la catégorie des schémas vers les groupoïdes : à un schéma \(T\), on associe l’ensemble des algèbres libres de rang \(d\) sur \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\), muni d’une structure de catégorie au moyen de la notion d’isomorphisme qui vient d’être définie.

Ce qui précède suggère de considérer le foncteur en groupes \(G\) qui associe à tout schéma \(T\) le groupe \[G(T) = \{g \in \text{GL}_d(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)) \mid g(e_1) = e_1\}\] Il est clair que \(G \subset \text{GL}_d\) (voir Groupoïdes, exemple 022W) est le sous-schéma en groupes fermé défini par les équations \(x_{11} = 1\) et \(x_{i1} = 0\) pour \(i > 1\). Ainsi, \(G\) est un schéma en groupes affine et lisse sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Considérons l’action \[a : G \times_{\Spec(\mathbf{Z})} X \longrightarrow X\] qui associe à un point à valeurs dans \(T\), noté \((g, m)\), où \(T = \Spec(R)\), du membre de gauche l’algèbre libre de rang \(d\) sur \(R\) donnée par \[a(g, m) = g^{-1} \circ m \circ g \otimes g.\] Notons que cela signifie que \(g\) définit un isomorphisme \(m \to a(g, m)\) d’algèbres libres de rang \(d\) sur \(R\). Nous omettons de vérifier que \(a\) définit bien une action du schéma en groupes \(G\) sur le schéma \(X\).

Lemme

Le foncteur en groupoïdes \(FA_d\) défini dans (05YN) est isomorphe (!) au foncteur en groupoïdes qui associe à un schéma \(T\) la catégorie dont

1. l’ensemble des objets est \(X(T)\),

2. l’ensemble des morphismes est \(G(T) \times X(T)\),

3. \(s : G(T) \times X(T) \to X(T)\) est la projection,

4. \(t : G(T) \times X(T) \to X(T)\) est \(a(T)\), et

5. la composition \(G(T) \times X(T) \times_{s, X(T), t} G(T) \times X(T) \to G(T) \times X(T)\) est donnée par \(((g, m), (g', m')) \mapsto (gg', m')\).

Démonstration

Nous avons vu la règle sur les objets dans (05YM). Nous avons aussi vu ci-dessus que \(g \in G(T)\) peut être considéré comme un morphisme de \(m\) vers \(a(g, m)\) pour toute algèbre libre de rang \(d\), notée \(m\). Réciproquement, tout morphisme \(m \to m'\) est donné par une application linéaire inversible \(\varphi\) qui correspond à un élément \(g \in G(T)\) tel que \(m' = a(g, m)\).

En fait, le groupoïde \((X, G \times X, s, t, c)\) décrit dans le lemme ci-dessus est le groupoïde associé à l’action \(a : G \times X \to X\) tel qu’il est défini dans Groupoïdes, lemme 0234. Comme \(G\) est lisse sur \(\Spec(\mathbf{Z})\), les deux morphismes \(s, t : G \times X \to X\) sont lisses : par symétrie, il suffit de le montrer pour l’un d’eux, et \(s\) est le changement de base de \(G \to \Spec(\mathbf{Z})\). Ainsi, \((G \times X, X, s, t, c)\) est un groupoïde lisse en schémas, et le champ quotient \([X/G]\) est un champ algébrique d’après Champs algébriques, théorème 04TK.

Proposition

Le champ \(\mathcal{H}_d\) est équivalent au champ quotient \([X/G]\) décrit ci-dessus. En particulier, \(\mathcal{H}_d\) est un champ algébrique.

Démonstration

Notons que, d’après Groupoïdes in Espaces, définition 044Q le champ quotient \([X/G]\) est le champ associé à la catégorie fibrée en groupoïdes associée au « préfaisceau en groupoïdes » qui associe à un schéma \(T\) le groupoïde \[(X(T), G(T) \times X(T), s, t, c).\] Comme ce « préfaisceau en groupoïdes » est isomorphe à \(FA_d\) d’après le lemme 05YP, il suffit de montrer que \(\mathcal{H}_d\) est le champ associé à (la catégorie fibrée en groupoïdes associée au « préfaisceau en groupoïdes ») \(FA_d\). Pour cela, définissons d’abord un foncteur \[\Spec : FA_d \longrightarrow \mathcal{H}_d\] Rappelons que la catégorie fibre de \(\mathcal{H}_d\) au-dessus d’un schéma \(T\) est la catégorie des morphismes finis localement libres \(Z \to T\) de degré \(d\). Étant donnés un schéma \(T\) et une algèbre libre de rang \(d\) sur \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\), notée \(m\), on peut lui associer l’objet \[Z = \underline{\Spec}_T(\mathcal{A})\] de \(\mathcal{H}_{d, T}\), où \(\mathcal{A} = \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) est munie d’une structure de \(\mathcal{O}_T\)-algèbre au moyen de \(m\). De plus, si \(m'\) est une seconde algèbre libre de rang \(d\) sur \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) et si \(\varphi : m \to m'\) est un isomorphisme entre elles, alors l’application \(\mathcal{O}_T\)-linéaire induite \(\varphi : \mathcal{O}_T^{\oplus d} \to \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) induit un isomorphisme \[\varphi : \mathcal{A}' \longrightarrow \mathcal{A}\] de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres quasi-cohérentes. Par conséquent, \[\underline{\Spec}_T(\varphi) : \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}')\] est un morphisme dans la catégorie fibre \(\mathcal{H}_{d, T}\). Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible au changement de base ; on obtient donc bien un foncteur \(\Spec : FA_d \to \mathcal{H}_d\), comme annoncé ci-dessus.

Pour montrer que \(\Spec : FA_d \to \mathcal{H}_d\) induit une équivalence entre le champ associé à \(FA_d\) et \(\mathcal{H}_d\), il suffit de vérifier que

1. \(\mathit{Isom}(m, m') = \mathit{Isom}(\Spec(m), \Spec(m'))\) pour tous \(m, m' \in FA_d(T)\).

2. pour tout schéma \(T\) et tout objet \(Z \to T\) de \(\mathcal{H}_{d, T}\), il existe un recouvrement \(\{T_i \to T\}\) tel que \(Z|_{T_i}\) soit isomorphe à \(\Spec(m)\) pour un certain \(m \in FA_d(T_i)\).

Voir Champs, lemme 02ZP. La première assertion résulte de l’observation que tout isomorphisme \[\underline{\Spec}_T(\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\Spec}_T(\mathcal{A}')\] est nécessairement donné par une matrice globale inversible \(g\) lorsque \(\mathcal{A} = \mathcal{A}' = \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) comme modules. Pour démontrer la seconde assertion, soit \(\pi : Z \to T\) un morphisme fini localement libre de degré \(d\). Alors \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_T\)-modules localement libre de rang \(d\). Considérons l’élément \(1 \in \Gamma(T, \mathcal{A})\). Cet élément est non nul dans \(\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t)\) pour tout \(t \in T\), puisque le schéma \(Z_t = \Spec(\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t))\) est non vide, étant de degré \(d > 0\) sur \(\kappa(t)\). Ainsi, \(1 : \mathcal{O}_T \to \mathcal{A}\) peut localement servir de premier élément d’une base (on peut, par exemple, utiliser les parties (1) et (2) du lemme 00O0 de Algèbre pour le voir). Après localisation sur \(T\), on peut donc supposer qu’il existe un isomorphisme \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_T^{\oplus d}\) tel que \(1 \in \Gamma(\mathcal{A})\) corresponde au premier élément de la base. Dans cette situation, l’application de multiplication \(\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) se traduit, par \(\varphi\), en une algèbre libre de rang \(d\), notée \(m\), sur \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\). Cela achève la preuve.

Champs de Hilbert finis d’espaces

Le champ de Hilbert fini d’un espace algébrique est un champ algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(\mathcal{H}_d(X)\) est un champ algébrique.

Démonstration

Le \(1\)-morphisme \[\mathcal{H}_d(X) \longrightarrow \mathcal{H}_d\] est représentable par des espaces algébriques d’après le lemme 05YJ. Le champ \(\mathcal{H}_d\) est algébrique d’après la proposition 05YQ. Par conséquent, \(\mathcal{H}_d(X)\) est un champ algébrique d’après Champs algébriques, lemme 05UM.

Ce lemme permet d’amorcer le raisonnement.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) tel que

1. \(\mathcal{X}\) soit représentable par un espace algébrique, et

2. \(F\) soit représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie.

Alors \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est un champ algébrique.

Démonstration

Choisissons un champ en groupoïdes représentable \(\mathcal{U}\) sur \(S\) et un \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) qui soit représentable par des espaces algébriques, lisse et surjectif. C’est possible car \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) est un champ algébrique d’après le lemme 05YS. Considérons le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{W} = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{\mathcal{H}_d(\mathcal{X}), f} \mathcal{U}.\] Puisque \(\mathcal{U}\) est représentable (c’est en particulier un champ en groupoïdes discrets), il résulte de Exemples de champs, lemme 05XV et de Champs, lemme 05UI que \(\mathcal{W}\) est un champ en groupoïdes discrets. Le \(1\)-morphisme \(\mathcal{W} \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques, lisse et surjectif comme changement de base du morphisme \(f\) (voir Champs algébriques, lemmes 0302 et 045C). Ainsi, si l’on montre que \(\mathcal{W}\) est représentable par un espace algébrique, le lemme résultera de Champs algébriques, lemme 05UL.

La diagonale de \(\mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques d’après le lemme 05XW. On peut appliquer le lemme 05YH pour voir que le \(1\)-morphisme \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}\] est représentable par des espaces algébriques. Considérons le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{V} = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}), f \times F} (\mathcal{U} \times \mathcal{X}).\] Le morphisme de projection \(\mathcal{V} \to \mathcal{U} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques comme changement de base du dernier morphisme affiché. Par conséquent, \(\mathcal{V}\) est un espace algébrique (voir Amorçage, lemme 02YS ou Champs algébriques, lemme 0300). Le \(1\)-morphisme \(\mathcal{V} \to \mathcal{U}\) s’insère dans le diagramme \(2\)-cartésien suivant \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{W} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] car \[\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \times \mathcal{Y}), f \times F} (\mathcal{U} \times \mathcal{X}) = (\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \times_{\mathcal{H}_d(\mathcal{X}), f} \mathcal{U}) \times_{\mathcal{Y}, F} \mathcal{X}.\] Ainsi, \(\mathcal{V} \to \mathcal{W}\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie comme changement de base de \(F\). Il en est donc de même pour le morphisme correspondant entre les faisceaux d’ensembles associés à \(\mathcal{V}\) et à \(\mathcal{W}\), voir Champs algébriques, lemme 04TC. On en conclut que le faisceau associé à \(\mathcal{W}\) est un espace algébrique d’après Amorçage, théorème 04S6.

Lieu LCI dans le champ de Hilbert

On se reportera à Exemples de champs, section 05WA pour les notations. Fixons un \(1\)-morphisme \(F : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Y}\) de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(F\) soit représentable par des espaces algébriques. Fixons \(d \geq 1\). Considérons un objet \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). On en déduit un \(1\)-morphisme \[(\Sch/Z)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\] (d’après la propriété universelle des \(2\)-produits fibrés) qui est représenté par un morphisme d’espaces algébriques sur \(U\). En effet, puisque \(F\) est représentable par des espaces algébriques, on peut choisir un espace algébrique \(X_y\) sur \(U\) qui représente le \(2\)-produit fibré \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). Comme \(\alpha : y|_Z \to F(x)\) est un isomorphisme, on voit que \(\xi = (Z, Z \to U, x, \alpha)\) est un objet du \(2\)-produit fibré \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\) au-dessus de \(Z\). Ainsi, \(\xi\) donne naissance à un morphisme \(x_\alpha : Z \to X_y\) d’espaces algébriques sur \(U\), puisque \(X_y\) est le foncteur des classes d’isomorphisme d’objets de \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\), voir Champs algébriques, lemme 02ZX. Voici un diagramme [06CK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Z \ar[r]_{x_\alpha} \ar[rd] & X_y \ar[d] \\ & U } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ (\Sch/Z)_{fppf} \ar[rd] \ar[r]_-{x, \alpha} & (\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}, F} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ & (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]^y & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] Remarquons que si \((f, g, b, a) : (U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) est un morphisme entre objets de \(\mathcal{H}_d\), alors le morphisme \(x'_{\alpha'} : Z' \to X'_{y'}\) est le changement de base du morphisme \(x_\alpha\) par le morphisme \(g : U' \to U\) (détails omis).

Supposons maintenant, de plus, que \(F\) soit plat et localement de présentation finie. Dans cette situation, définissons une sous-catégorie pleine \[\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \subset \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] formée des objets \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) tels que le morphisme correspondant \(x_\alpha : Z \to X_y\) soit non ramifié et localement d’intersection complète (voir Morphismes d’espaces algébriques, définition 03ZH et Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, définition 06C4 pour les définitions correspondantes).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Fixons un \(1\)-morphisme \(F : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Y}\) de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(F\) soit représentable par des espaces algébriques, plat et localement de présentation finie. Alors \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est un champ en groupoïdes et le foncteur d’inclusion \[\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] est représentable et est une immersion ouverte.

Démonstration

Soit \(\Xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) un objet de \(\mathcal{H}_d\). Il résulte de la remarque qui suit (06CK) que l’image inverse de \(\Xi\) par \(U' \to U\) appartient à \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) si et seulement si le changement de base de \(x_\alpha\) est non ramifié et localement d’intersection complète. Notons que \(Z \to U\) est fini localement libre (donc plat, localement de présentation finie et universellement fermé) et que \(X_y \to U\) est plat et localement de présentation finie par notre hypothèse sur \(F\). Alors Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemmes 05X8 et 06CE entraînent qu’il existe un sous-schéma ouvert \(W \subset U\) tel qu’un morphisme \(U' \to U\) se factorise par \(W\) si et seulement si le changement de base de \(x_\alpha\) par \(U' \to U\) est non ramifié et localement d’intersection complète. Cela implique que \[(\Sch/U)_{fppf} \times_{\Xi, \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] est représentable par \(W\). La dernière assertion du lemme en résulte. La première assertion (à savoir que \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est un champ en groupoïdes) résulte alors de ce qui précède et de Champs algébriques, lemme 05UN.

Les morphismes localement d’intersection complète sont « localement sans obstruction ». Cette assertion vaut dans une bien plus grande généralité que le cas particulier dont nous avons besoin ici.

Lemme

Soit \(U \subset U'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines. Soit \(X'\) un espace algébrique plat sur \(U'\). Posons \(X = U \times_{U'} X'\). Soit \(Z \to U\) fini localement libre de degré \(d\). Enfin, soit \(f : Z \to X\) non ramifié et localement d’intersection complète. Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (Z \subset Z') \ar[rd] \ar[rr]_{(f, f')} & & (X \subset X') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’espaces algébriques sur \(U'\) tel que \(Z' \to U'\) soit fini localement libre de degré \(d\) et que \(Z = U \times_{U'} Z'\).

Démonstration

D’après Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 06CB, le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) du morphisme non ramifié \(Z \to X\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module localement libre de type fini et, d’après Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 06CC, on a une suite exacte \[0 \to i^*\mathcal{C}_{X/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to 0\] de faisceaux conormaux. Comme \(Z\) est affine, cette suite est scindée. Choisissons un scindage \[\mathcal{C}_{Z/X'} = i^*\mathcal{C}_{X/X'} \oplus \mathcal{C}_{Z/X}\] Soit \(Z \subset Z''\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X'\) (voir Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, section 0601). Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{Z''}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à \(Z \subset Z''\). Par définition, \(\mathcal{C}_{Z/X'}\) est \(\mathcal{I}\) considéré comme faisceau sur \(Z\). Le scindage ci-dessus détermine donc un scindage \[\mathcal{I} = i^*\mathcal{C}_{X/X'} \oplus \mathcal{C}_{Z/X}\] Soit \(Z' \subset Z''\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathcal{C}_{Z/X} \subset \mathcal{I}\), considéré comme faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(Z''\). Il est clair que \(Z'\) est un épaississement du premier ordre de \(Z\) et que l’on obtient un diagramme commutatif d’épaississements du premier ordre comme dans l’énoncé du lemme.

Puisque \(X' \to U'\) est plat et que \(X = U \times_{U'} X'\), on voit que \(\mathcal{C}_{X/X'}\) est l’image inverse de \(\mathcal{C}_{U/U'}\) sur \(X\), voir Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 06BH. Notons que, par construction, \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = i^*\mathcal{C}_{X/X'}\) ; on en conclut que \(\mathcal{C}_{Z/Z'}\) est isomorphe à l’image inverse de \(\mathcal{C}_{U/U'}\) sur \(Z\). En appliquant Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 06BH une nouvelle fois (ou son analogue pour les schémas, voir Compléments sur les morphismes, lemme 063Y), on en conclut que \(Z' \to U'\) est plat et que \(Z = U \times_{U'} Z'\). Enfin, Compléments sur les morphismes, lemme 06AG montre que \(Z' \to U'\) est fini localement libre de degré \(d\).

Lemme

Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(F\) soit représentable par des espaces algébriques, plat et localement de présentation finie. Alors \[p : \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\] est formellement lisse sur les objets.

Démonstration

Il s’agit de montrer ceci : étant donnés

1. un objet \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus d’un schéma affine \(U\),

2. un épaississement du premier ordre \(U \subset U'\), et

3. un objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U'\) tel que \(y'|_U = y\),

il existe alors un objet \((U', Z', y', x', \alpha')\) de \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U'\) tel que \(Z = U \times_{U'} Z'\), que \(x = x'|_Z\) et que \(\alpha = \alpha'|_U\). En effet, les deux dernières égalités assureront la commutativité de (06D0).

Considérons le morphisme \(x_\alpha : Z \to X_y\) construit dans l’équation (06CK). Notons de même \(X'_{y'}\) l’espace algébrique sur \(U'\) qui représente le \(2\)-produit fibré \((\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). Par hypothèse, le morphisme \(X'_{y'} \to U'\) est plat (et localement de présentation finie). Comme \(y'|_U = y\), on voit que \(X_y = U \times_{U'} X'_{y'}\). On peut donc appliquer le lemme 06D8 pour trouver \(Z' \to U'\) fini localement libre de degré \(d\) tel que \(Z = U \times_{U'} Z'\) et tel que \(Z' \to X'_{y'}\) prolonge \(x_\alpha\). Par construction, le morphisme \(Z' \to X'_{y'}\) correspond à un couple \((x', \alpha')\). Il est clair que \((U', Z', y', x', \alpha')\) est un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U'\) tel que \(Z = U \times_{U'} Z'\), que \(x = x'|_Z\) et que \(\alpha = \alpha'|_U\). Comme le lemme 06CL montre que \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \subset \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est un « sous-champ ouvert », il s’ensuit que \((U', Z', y', x', \alpha')\) est un objet de \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\), comme voulu.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(F\) soit représentable par des espaces algébriques, plat, surjectif et localement de présentation finie. Alors \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{Y}\] est surjectif sur les objets.

Démonstration

Il suffit de montrer ceci : pour tout corps \(k\) et tout objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(k)\), il existe un entier \(d \geq 1\) et un objet \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) avec \(U = \Spec(k)\). En effet, dans ce cas, on voit que \(p\) est surjectif sur les objets au sens fort où aucune extension du corps n’est nécessaire.

Notons \(X_y\) l’espace algébrique sur \(U = \Spec(k)\) qui représente le \(2\)-produit fibré \((\Sch/U')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}, F} \mathcal{X}\). Par hypothèse, le morphisme \(X_y \to \Spec(k)\) est surjectif et localement de présentation finie (et plat). En particulier, \(X_y\) est non vide. Choisissons un schéma affine non vide \(V\) et un morphisme étale \(V \to X_y\). Notons que \(V \to \Spec(k)\) est plat, surjectif et localement de présentation finie (d’après Morphismes d’espaces algébriques, définition 03XP). Choisissons un point fermé \(v \in V\) où \(V \to \Spec(k)\) est Cohen-Macaulay (c’est-à-dire que \(V\) est Cohen-Macaulay en \(v\)), voir Compléments sur les morphismes, lemme 045U. En appliquant Compléments sur les morphismes, lemme 0570, on trouve une immersion régulière \(Z \to V\) telle que \(Z = \{v\}\). Cela implique que \(Z \to V\) est une immersion fermée. De plus, il s’ensuit que \(Z \to \Spec(k)\) est fini (par exemple d’après Algèbre, lemme 00PJ). Ainsi, \(Z \to \Spec(k)\) est fini localement libre d’un certain degré \(d\). Le morphisme \(Z \to X_y\) est alors non ramifié comme composé d’une immersion fermée et d’un morphisme étale (voir Morphismes d’espaces algébriques, lemmes 03ZI, 06CR et 06CQ). Enfin, \(Z \to X_y\) est localement d’intersection complète comme composé d’une immersion régulière de schémas et d’un morphisme étale d’espaces algébriques (voir Compléments sur les morphismes, lemme 069L et Morphismes d’espaces algébriques, lemmes 04XX et 06CP, ainsi que Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemmes 06C9 et 06C8). Le morphisme \(Z \to X_y\) correspond à un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(Z\), muni d’un isomorphisme \(\alpha : y|_Z \to F(x)\). On obtient un objet \((U, Z, y, x, \alpha)\) de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). D’après ce qui précède au sujet du morphisme \(Z \to X_y\), on voit qu’il s’agit en fait d’un objet de la sous-catégorie \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\), ce qui conclut.

Amorçage des champs algébriques

Le théorème suivant est l’un des principaux résultats de ce chapitre.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si

1. \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique, et

2. \(F\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie,

alors \(\mathcal{Y}\) est un champ algébrique.

Démonstration

D’après le lemme 05XW, on voit que la diagonale de \(\mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques. Il suffit donc de vérifier l’existence d’un \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), avec \(\mathcal{V}\) représentable et \(f\) surjectif et lisse. D’après le lemme 06CI, on sait que \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] est un champ algébrique. Il résulte du lemme 06CL et de Champs algébriques, lemme 05UN que \[\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\] est lui aussi un champ algébrique. Choisissons un champ en groupoïdes représentable \(\mathcal{V}\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) ainsi qu’un \(1\)-morphisme surjectif et lisse \[\mathcal{V} \longrightarrow \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}).\] Nous affirmons que le composé \[\mathcal{V} \longrightarrow \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow \mathcal{Y}\] est lisse et surjectif, ce qui achève la preuve du théorème. En effet, la lissité résultera des lemmes 06CH et 06D9, et la surjectivité du lemme 06DA. Détaillons cela dans le paragraphe suivant.

Par construction, \(\mathcal{V} \to \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse (donc aussi localement de présentation finie et formellement lisse d’après le principe général Champs algébriques, lemme 045F et Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 04AM). En appliquant les lemmes 06CX, 06D3 et 06D7 on voit que \(\mathcal{V} \to \coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) commute aux limites sur les objets, est formellement lisse sur les objets et est surjectif sur les objets. Le \(1\)-morphisme \(\coprod\nolimits_{d \geq 1} \mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\) possède les propriétés suivantes :

1. commute aux limites sur les objets : cela résulte du lemme 06CH pour \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\), que l’on combine aux lemmes 06CL, 06CY et 06CW pour l’obtenir pour \(\mathcal{H}_{d, lci}(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{Y}\) ;

2. est formellement lisse sur les objets d’après le lemme 06D9 ;

3. est surjectif sur les objets d’après le lemme 06DA.

En utilisant les lemmes 06CW, 06D2 et 06D6 on en conclut que le composé \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) commute aux limites sur les objets, est formellement lisse sur les objets et est surjectif sur les objets. En utilisant les lemmes 06CX, 06D3 et 06D7 on voit que \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) est localement de présentation finie, formellement lisse et surjectif. Enfin, en utilisant (par l’intermédiaire du principe général Champs algébriques, lemme 045F) le critère infinitésimal de relèvement (Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 04AM) on voit que \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) est lisse, ce qui conclut.

Applications

Notre première tâche consiste à montrer que le champ quotient \([U/R]\) associé à un « groupoïde plat et localement de présentation finie » est un champ algébrique. Voir Groupoïdes in Espaces, définition 044Q pour la définition du champ quotient. Le lemme préliminaire suivant est l’analogue de Champs algébriques, lemme 04X0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Alors le morphisme \(\mathcal{S}_U \to [U/R]\) est plat, localement de présentation finie et surjectif.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(x : (\Sch/T)_{fppf} \to [U/R]\) un \(1\)-morphisme. Il faut montrer que la projection \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}\] est surjective, plate et localement de présentation finie. On sait déjà que le membre de gauche est représentable par un espace algébrique \(F\), voir Champs algébriques, lemmes 04WZ et 045G. Il faut donc montrer que le morphisme correspondant \(F \to T\) d’espaces algébriques est surjectif, localement de présentation finie et plat. Puisqu’il s’agit de propriétés de morphismes d’espaces algébriques qui sont locales sur le but pour la topologie fppf, on peut les vérifier localement pour la topologie fppf sur \(T\). Par construction, il existe un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\) de \(T\) tel que \(x|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\) provienne d’un morphisme \(x_i : T_i \to U\). (Notons que \(F \times_T T_i\) représente le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T_i)_{fppf}\), de sorte que tout est compatible au changement de base par \(T_i \to T\).) On peut donc supposer que \(x\) provient de \(x : T \to U\). Dans ce cas, on voit que \[\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} (\Sch/T)_{fppf} = (\mathcal{S}_U \times_{[U/R]} \mathcal{S}_U) \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf} = \mathcal{S}_R \times_{\mathcal{S}_U} (\Sch/T)_{fppf}\] La première égalité résulte de Catégories, lemme 02XD, et la seconde de Groupoïdes in Espaces, lemme 04M9. Manifestement, le dernier \(2\)-produit fibré est représenté par l’espace algébrique \(F = R \times_{s, U, x} T\), et la projection \(R \times_{s, U, x} T \to T\) est plate et localement de présentation finie comme changement de base du morphisme d’espaces algébriques plat et localement de présentation finie \(s : R \to U\). Elle est aussi surjective puisque \(s\) admet une section (à savoir la section unité \(e : U \to R\) du groupoïde). Cela démontre le lemme.

Voici le premier résultat principal de cette section.

Théorème

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Alors le champ quotient \([U/R]\) est un champ algébrique sur \(S\).

Démonstration

Vérifions les deux conditions du théorème 06DC pour le morphisme \[(\Sch/U)_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] La première est immédiate (car \(U\) est un espace algébrique). La seconde est le lemme 06FH.

Quand un champ quotient est-il algébrique ?

Dans Groupoïdes in Espaces, section 044O, nous avons défini le champ quotient \([U/R]\) associé à un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques. Notons que \([U/R]\) est un champ en groupoïdes dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques (voir Amorçage, lemme 04TB et Champs algébriques, lemme 045G) et qu’il existe un espace algébrique \(U\) et un \(1\)-morphisme \((\Sch/U)_{fppf} \to [U/R]\) qui est une « surjection fppf » au sens où il induit un morphisme entre les préfaisceaux des classes d’isomorphisme d’objets qui devient surjectif après passage aux faisceaux associés. Cependant, \([U/R]\) n’est pas en général un champ algébrique. Cela ne contredit pas le théorème 06DC, car le \(1\)-morphisme \((\Sch/U)_{fppf} \to [U/R]\) peut ne pas être plat et localement de présentation finie.

La manière la plus simple de construire des exemples de champs quotients non algébriques consiste à considérer des quotients de la forme \([S/G]\), où \(S\) est un schéma et \(G\) un schéma en groupes sur \(S\) qui agit trivialement sur \(S\). En effet, nous verrons ci-dessous (lemme 06PL) que, si \([S/G]\) est algébrique, alors \(G \to S\) doit être plat et localement de présentation finie. On trouvera un exemple explicite dans Exemples, section 04AG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(B\). Le champ quotient \([U/R]\) est un champ algébrique si et seulement s’il existe un morphisme d’espaces algébriques \(g : U' \to U\) tel que

1. le composé \(U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) est un morphisme surjectif de faisceaux, et

2. les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont plats et localement de présentation finie, où \((U', R', s', t', c')\) est la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(g\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(g : U' \to U\) satisfasse à (1) et (2). La propriété (1) implique que \([U'/R'] \to [U/R]\) est une équivalence, voir Groupoïdes in Espaces, lemme 046T. D’après le théorème 06FI, le champ quotient \([U'/R']\) est un champ algébrique. Par conséquent, \([U/R]\) est lui aussi un champ algébrique, voir Champs algébriques, lemme 03YQ.

Réciproquement, supposons que \([U/R]\) soit un champ algébrique. On peut choisir un schéma \(W\) et un \(1\)-morphisme lisse et surjectif \[f : (\Sch/W)_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] D’après le lemme de \(2\)-Yoneda (Champs algébriques, section 04SS), cela correspond à un objet \(\xi\) de \([U/R]\) au-dessus de \(W\). D’après la description de \([U/R]\) dans Groupoïdes in Espaces, lemme 044X, on peut trouver un morphisme de schémas surjectif, plat et localement de présentation finie \(b : U' \to W\) tel que \(\xi' = b^*\xi\) corresponde à un morphisme \(g : U' \to U\). Notons que le \(1\)-morphisme \[f' : (\Sch/U')_{fppf} \longrightarrow [U/R].\] correspondant à \(\xi'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, voir Champs algébriques, lemme 045B. Par conséquent, \((\Sch/U')_{fppf} \times_{[U/R]} (\Sch/U')_{fppf}\) qui est représenté par l’espace algébrique \[\mathit{Isom}_{[U/R]}(\text{pr}_0^*\xi', \text{pr}_1^*\xi') = (U' \times_S U') \times_{(g \circ \text{pr}_0, g \circ \text{pr}_1), U \times_S U} R = R'\] (voir Groupoïdes in Espaces, lemme 044V pour la première égalité ; la seconde est la définition de la restriction) est plat et localement de présentation finie sur \(U'\) à la fois par \(s'\) et par \(t'\) (par changement de base, voir Champs algébriques, lemme 045C). D’après cette description de \(R'\) et Champs algébriques, lemme 04T4, on obtient un \(1\)-morphisme canonique pleinement fidèle \([U'/R'] \to [U/R]\). Ce \(1\)-morphisme est essentiellement surjectif parce que \(f'\) est plat, localement de présentation finie et surjectif (voir Champs, lemme 046N) ; une autre manière de le démontrer consiste à utiliser Champs algébriques, remarque 04WY. Enfin, on peut utiliser Groupoïdes in Espaces, lemme 046T pour conclure que le composé \(U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) est un morphisme surjectif de faisceaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(B\) et soit \(a : G \times_B X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(B\). Le champ quotient \([X/G]\) est un champ algébrique si et seulement s’il existe un morphisme d’espaces algébriques \(\varphi : X' \to X\) tel que

1. \(G \times_B X' \to X\), \((g, x') \mapsto a(g, \varphi(x'))\), soit un morphisme surjectif de faisceaux, et

2. les deux projections \(X'' \to X'\) de l’espace algébrique \(X''\) défini par la règle \[T \longmapsto \{(x'_1, g, x'_2) \in (X' \times_B G \times_B X')(T) \mid \varphi(x'_1) = a(g, \varphi(x'_2))\}\] soient plates et localement de présentation finie.

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du lemme 06PJ. En effet, le champ quotient \([X/G]\) est, d’après Groupoïdes in Espaces, définition 044Q, égal au champ quotient \([X/G \times_B X]\) du groupoïde en espaces algébriques \((X, G \times_B X, s, t, c)\) associé à l’action du groupe dans Groupoïdes in Espaces, lemme 0444. Une petite observation est nécessaire pour obtenir la condition (1). En effet, le morphisme \(s : G \times_B X \to X\) est la seconde projection et le morphisme \(t : G \times_B X \to X\) est le morphisme d’action \(a\). Ainsi, le morphisme \(h : U' \times_{g, U, t} R \to R \xrightarrow{s} U\) du lemme 06PJ correspond au morphisme \[X' \times_{\varphi, X, a} (G \times_B X) \xrightarrow{\text{pr}_1} X\] dans la situation présente. Toutefois, grâce à la symétrie fournie par le passage à l’inverse dans \(G\), ce morphisme est isomorphe au morphisme \[(G \times_B X) \times_{\text{pr}_1, X, \varphi} X' \xrightarrow{a} X\] de l’énoncé du lemme. Les détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Munissons \(B\) de l’action triviale de \(G\). Alors le champ quotient \([B/G]\) est un champ algébrique si et seulement si \(G\) est plat et localement de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Si \(G\) est plat et localement de présentation finie sur \(B\), alors \([B/G]\) est un champ algébrique d’après le théorème 06FI.

Réciproquement, supposons que \([B/G]\) soit un champ algébrique. D’après le lemme 06PK et puisque l’action est triviale, on voit qu’il existe un espace algébrique \(B'\) et un morphisme \(B' \to B\) tels que (1) \(B' \to B\) soit un morphisme surjectif de faisceaux et (2) que les projections \[B' \times_B G \times_B B' \to B'\] soient plates et localement de présentation finie. Notons que le changement de base \(B' \times_B G \times_B B' \to G \times_B B'\) de \(B' \to B\) est lui aussi un morphisme surjectif de faisceaux. Il résulte donc de Descente et espaces algébriques, lemme 06NR, que la projection \(G \times_B B' \to B'\) est plate et localement de présentation finie. D’après (1), on peut trouver un recouvrement fppf \(\{B_i \to B\}\) tel que \(B_i \to B\) se factorise par \(B' \to B\). Ainsi, \(G \times_B B_i \to B_i\) est plat et localement de présentation finie par changement de base. D’après Descente et espaces algébriques, lemmes 041W et 041T on en conclut que \(G \to B\) est plat et localement de présentation finie.

Nous verrons plus loin que le champ quotient d’un \(S\)-espace lisse par un espace algébrique en groupes \(G\) est lisse, même lorsque \(G\) ne l’est pas (Morphismes of Champs, lemme 0DLS).

Champs algébriques pour la topologie étale

Soit \(S\) un schéma. Au lieu de travailler avec des champs en groupoïdes sur le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\), on pourrait travailler avec des champs en groupoïdes sur le grand site étale \((\Sch/S)_\etale\). Tout le contenu de Champs algébriques, sections 02ZQ, 04SS, 04ST, 04SU, 02ZV, 04SX, 03YJ et 0304 s’applique aux catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_\etale\). On obtient ainsi une seconde notion de champ algébrique en travaillant pour la topologie étale. Cette notion est a priori plus faible que celle introduite dans Champs algébriques, définition 026O, puisqu’un champ pour la topologie fppf est certainement un champ pour la topologie étale. Toutefois, les deux notions sont équivalentes, comme le montre le lemme suivant.

Lemme

La catégorie sous-jacente commune à \(\Sch_{fppf}\) et à \(\Sch_\etale\) sera notée \(\Sch_\alpha\) (voir Faisceaux on Champs, section 06TN et Topologies, remarque 03FF). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_\alpha\). Soit \[p : \mathcal{X} \to \Sch_\alpha/S\] une catégorie fibrée en groupoïdes ayant les propriétés suivantes :

1. \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_\etale\),

2. la diagonale \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques⁵, et

3. il existe \(U \in \Ob(\Sch_\alpha/S)\) et un \(1\)-morphisme \((\Sch/U)_\etale \to \mathcal{X}\) qui est surjectif et lisse.

Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique au sens de Champs algébriques, définition 026O.

Démonstration

Notons que les propriétés (2) et (3) du lemme et les propriétés (2) et (3) correspondantes de Champs algébriques, définition 026O, sont indépendantes de la topologie. En effet, ces propriétés ne font intervenir que la notion de \(2\)-produit fibré de catégories fibrées en groupoïdes, les \(1\)- et \(2\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes, la notion de \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes représentable par des espaces algébriques et ce que signifie, pour un tel \(1\)-morphisme, être surjectif et lisse. Il suffit donc de montrer que tout champ en groupoïdes pour la topologie étale, noté \(\mathcal{X}\), qui possède les propriétés (2) et (3), est aussi un champ en groupoïdes pour la topologie fppf.

D’après (2), soit \(R\) un espace algébrique représentant \[(\Sch_\alpha/U) \times_\mathcal{X} (\Sch_\alpha/U)\] D’après (3), les projections \(s, t : R \to U\) sont lisses. Exactement comme dans la preuve de Champs algébriques, lemme 04T4, il existe un groupoïde en espaces \((U, R, s, t, c)\) et, canoniquement, un \(1\)-morphisme pleinement fidèle \([U/R]_\etale \to \mathcal{X}\), où \([U/R]_\etale\) est le champ associé pour la topologie étale au préfaisceau en groupoïdes \[T \longmapsto (U(T), R(T), s(T), t(T), c(T))\] Affirmation : si \(V \to T\) est un morphisme lisse et surjectif d’un espace algébrique \(V\) vers un schéma \(T\), alors il existe un recouvrement étale \(\{T_i \to T\}\) plus fin que le recouvrement \(\{V \to T\}\). Cela résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 055V ou du résultat plus général Faisceaux on Champs, lemme 06XH. En utilisant l’affirmation et en raisonnant exactement comme dans Champs algébriques, lemme 04T5, on voit que \([U/R]_\etale \to \mathcal{X}\) est une équivalence.

Notons ensuite \([U/R]\) le champ quotient pour la topologie fppf, qui est un champ algébrique d’après Champs algébriques, théorème 04TK. On a donc des \(1\)-morphismes \[U \to [U/R]_\etale \to [U/R].\] Les morphismes \(U \to [U/R]_\etale \cong \mathcal{X}\) et \(U \to [U/R]\) sont tous deux surjectifs et lisses (le premier par hypothèse et le second d’après le théorème) et, dans les deux cas, les produits fibrés \(U \times_\mathcal{X} U\) et \(U \times_{[U/R]} U\) sont représentés par \(R\). Par conséquent, le \(1\)-morphisme \([U/R]_\etale \to [U/R]\) est pleinement fidèle (puisque les morphismes dans les champs quotients sont donnés par des morphismes vers \(R\), voir Groupoïdes in Espaces, section 04MB).

Enfin, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(t : T \to [U/R]\), le produit fibré \(V = T \times_{U/R} U\) est un espace algébrique surjectif et lisse sur \(T\). D’après l’affirmation ci-dessus, il existe un recouvrement étale \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et des morphismes \(T_i \to V\) au-dessus de \(T\). Cela prouve que l’objet \(t\) de \([U/R]\) au-dessus de \(T\) provient de \(U\) localement pour la topologie étale. On en conclut que \([U/R]_\etale \to [U/R]\) est une équivalence de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_\etale\) d’après Champs, lemme 046N. Cela achève la preuve.