Algèbre différentielle graduée

Introduction

Dans ce chapitre, nous traitons des algèbres différentielles graduées, des modules, des catégories, etc. Une référence de base est [Keller-Deriving]. Un article de synthèse est [Keller-survey].

Comme la longueur des développements ne nous préoccupe pas dans le projet Champs, nous développons d’abord la matière dans le cadre des catégories de modules différentiels gradués. Nous reprenons ensuite les constructions dans le cadre des modules différentiels gradués sur des catégories différentielles graduées.

Conventions

Dans ce chapitre, nous conservons la convention selon laquelle anneau signifie anneau commutatif avec unité \(1\). Si \(R\) est un anneau, une \(R\)-algèbre \(A\) sera un \(R\)-module \(A\) muni d’une application \(R\)-bilinéaire \(A \times A \to A\) (la multiplication), telle que celle-ci soit associative et possède une unité. Autrement dit, ce sont des \(R\)-algèbres associatives avec unité dont le morphisme structural \(R \to A\) prend ses valeurs dans le centre de \(A\).

Règles de signe. Dans ce chapitre, nous travaillerons avec des algèbres graduées et des modules gradués, souvent munis de différentielles. Les règles de signe des complexes sous-jacents seront toujours celles introduites dans Compléments d’algèbre, section 0FNG (ou des règles compatibles avec celles-ci). Il en résultera parfois que la structure multiplicative se trouve tordue d’une manière inattendue, surtout lorsque l’on considère des modules à gauche ou le lien entre modules à gauche et modules à droite.

Algèbres différentielles graduées

Nous donnons seulement les définitions.

Définition

Soit \(R\) un anneau commutatif. Une algèbre différentielle graduée sur \(R\) est l’une ou l’autre des données suivantes :

1. un complexe de chaînes \(A_\bullet\) de \(R\)-modules muni d’applications \(R\)-bilinéaires \(A_n \times A_m \to A_{n + m}\), \((a, b) \mapsto ab\) telles que \[\text{d}_{n + m}(ab) = \text{d}_n(a)b + (-1)^n a\text{d}_m(b)\] et tel que \(\bigoplus A_n\) soit une \(R\)-algèbre associative avec unité, ou

2. un complexe de cochaînes \(A^\bullet\) de \(R\)-modules muni d’applications \(R\)-bilinéaires \(A^n \times A^m \to A^{n + m}\), \((a, b) \mapsto ab\) telles que \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\] et tel que \(\bigoplus A^n\) soit une \(R\)-algèbre associative avec unité.

Nous écrivons souvent simplement \(A = \bigoplus A_n\) ou \(A = \bigoplus A^n\) et voyons cette somme comme une \(R\)-algèbre associative avec unité, munie d’une graduation par \(\mathbf{Z}\) et d’un opérateur \(R\)-linéaire \(\text{d}\) dont le carré est nul et qui satisfait la règle de Leibniz décrite ci-dessus. Dans ce cas, nous disons souvent : « Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. »

La règle de Leibniz reliant les différentielles et la multiplication dans une \(R\)-algèbre différentielle graduée \(A\) signifie exactement que l’application de multiplication définit un morphisme de complexes de cochaînes \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to A^\bullet\] Ici, \(A^\bullet\) désigne le complexe de cochaînes sous-jacent à \(A\).

Définition

Un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées \(f : (A, \text{d}) \to (B, \text{d})\) est un homomorphisme d’algèbres \(f : A \to B\) compatible avec les graduations et avec \(\text{d}\).

Définition

Une algèbre différentielle graduée \((A, \text{d})\) est commutative si \(ab = (-1)^{nm}ba\) pour \(a\) de degré \(n\) et \(b\) de degré \(m\). Nous disons que \(A\) est strictement commutative si, en outre, \(a^2 = 0\) lorsque \(\deg(a)\) est impair.

La définition suivante a un sens en général, mais n’est peut-être « correcte » que pour le produit tensoriel d’algèbres différentielles graduées commutatives.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Le produit tensoriel de \(A\) et \(B\) comme algèbres différentielles graduées est l’algèbre \(A \otimes_R B\) dont la multiplication est définie par \[(a \otimes b)(a' \otimes b') = (-1)^{\deg(a')\deg(b)} aa' \otimes bb'\] munie de la différentielle \(\text{d}\) définie par la règle \(\text{d}(a \otimes b) = \text{d}(a) \otimes b + (-1)^m a \otimes \text{d}(b)\) où \(m = \deg(a)\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Désignons par \(A^\bullet\), \(B^\bullet\) les complexes de cochaînes sous-jacents. En tant que complexes de cochaînes de \(R\)-modules, nous avons \[(A \otimes_R B)^\bullet = \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R B^\bullet).\]

Démonstration

Rappelons que la différentielle du complexe total est donnée par \(\text{d}_1^{p, q} + (-1)^p \text{d}_2^{p, q}\) sur \(A^p \otimes_R B^q\). Or c’est exactement la règle qui définit la différentielle sur \(A \otimes_R B\) dans la définition 065W.

Modules différentiels gradués

Par défaut dans ce chapitre, nous considérons les modules à droite ; nous discutons des modules à gauche dans la section 0FPZ.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée sur \(R\). Un module différentiel gradué \(M\) à droite sur \(A\) est un \(A\)-module à droite \(M\) qui possède une graduation \(M = \bigoplus M^n\) et une différentielle \(\text{d}\) tels que \(M^n A^m \subset M^{n + m}\), tels que \(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\), et tels que \[\text{d}(ma) = \text{d}(m)a + (-1)^n m\text{d}(a)\] pour \(a \in A\) et \(m \in M^n\). Un homomorphisme de modules différentiels gradués \(f : M \to N\) est une application de \(A\)-modules compatible avec les graduations et les différentielles. La catégorie des \(A\)-modules différentiels gradués (droits) est notée \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\).

Notons que nous pouvons considérer \(M\) comme un complexe de cochaînes \(M^\bullet\) de \(R\)-modules (droits). À savoir, pour \(r \in R\) nous avons \(\text{d}(r) = 0\) et \(r\) s’envoie sur un élément de degré \(0\) de \(A\), donc \(\text{d}(mr) = \text{d}(m)r\).

La règle de Leibniz reliant les différentielles et la multiplication sur un \(R\)-module différentiel gradué \(M\) sur une \(R\)-algèbre différentielle graduée \(A\) signifie exactement que l’application de multiplication définit un morphisme de complexes de cochaînes \[\text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \to M^\bullet\] Ici \(A^\bullet\) et \(M^\bullet\) désignent les complexes de cochaînes sous-jacents de \(A\) et \(M\).

Lemme

Soit \((A, d)\) une algèbre différentielle graduée. La catégorie \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) est abélienne et possède des limites et colimites arbitraires.

Démonstration

Les noyaux et conoyaux commutent avec la prise des \(A\)-modules sous-jacents. Il en va de même pour les sommes directes et les colimites. En d’autres termes, ces opérations dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) commutent avec le foncteur d’oubli vers la catégorie des \(A\)-modules. Ce n’est pas le cas pour les produits et limites. À savoir, si \(N_i\), \(i \in I\) est une famille de \(A\)-modules différentiels gradués, alors le produit \(\prod N_i\) dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) est donné en posant \((\prod N_i)^n = \prod N_i^n\) et \(\prod N_i = \bigoplus_n (\prod N_i)^n\). Ainsi, nous voyons que le produit commute avec le foncteur d’oubli vers la catégorie des \(A\)-modules gradués. Une catégorie avec produits et égalisateurs possède des limites, voir Catégories, lemme 002N.

Ainsi, si \((A, \text{d})\) est une algèbre différentielle graduée sur \(R\), alors il existe un foncteur exact \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}(R)\] de catégories abéliennes. Pour un module différentiel gradué \(M\), les groupes de cohomologie \(H^n(M)\) sont définis comme la cohomologie du complexe correspondant de \(R\)-modules. Par conséquent, une suite exacte courte \(0 \to K \to L \to M \to 0\) de modules différentiels gradués donne lieu à une longue suite exacte [09JK]\[\begin{equation} H^n(K) \to H^n(L) \to H^n(M) \to H^{n + 1}(K) \end{equation}\] de modules de cohomologie, voir Homologie, lemme 0117.

De plus, à partir de maintenant, nous empruntons toute la terminologie utilisée pour les complexes de modules. Par exemple, nous disons qu’un \(A\)-module différentiel gradué \(M\) est acyclique si \(H^k(M) = 0\) pour tout \(k \in \mathbf{Z}\). Nous disons qu’un homomorphisme \(M \to N\) de modules différentiels gradués sur \(A\) est un quasi-isomorphisme s’il induit des isomorphismes \(H^k(M) \to H^k(N)\) pour tout \(k \in \mathbf{Z}\). Et ainsi de suite.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un module différentiel gradué dont le complexe sous-jacent de \(R\)-modules est \(M^\bullet\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), nous définissons le module décalé de \(k\) \(M[k]\) comme suit

1. le complexe de \(R\)-modules sous-jacent à \(M[k]\) est \(M^\bullet[k]\), c’est-à-dire que nous avons \(M[k]^n = M^{n + k}\) et \(\text{d}_{M[k]} = (-1)^k\text{d}_M\) et

2. la structure de \(A\)-module est donnée par la multiplication \[(M[k])^n \times A^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] est égale à la multiplication donnée \(M^{n + k} \times A^m \to M^{n + k + m}\).

Pour un morphisme \(f : M \to N\) de \(A\)-modules différentiels gradués, nous notons \(f[k] : M[k] \to N[k]\) l’application égale à \(f\) sur les \(A\)-modules sous-jacents. Cela définit un foncteur \([k] : \text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})}\).

Vérifions qu’avec ce choix la règle de Leibniz est satisfaite. Soient \(x \in M[k]^n = M^{n + k}\) et \(a \in A^m\). En notant \(\cdot_{M[k]}\) le produit dans \(M[k]\), on obtient \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(x \cdot_{M[k]} a) & = (-1)^k \text{d}_M(xa) \\ & = (-1)^k \text{d}_M(x) a + (-1)^{k + n + k} x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) a + (-1)^n x \text{d}(a) \\ & = \text{d}_{M[k]}(x) \cdot_{M[k]} a + (-1)^n x \cdot_{M[k]} \text{d}(a) \end{align*}\] C’est ce que nous voulons puisque \(x\) a un degré \(n\) en tant qu’élément homogène de \(M[k]\). Nous observons également qu’avec ces choix, nous pouvons considérer l’application de multiplication comme un morphisme de complexes \[\text{Tot}(M^\bullet[k] \otimes _R A^\bullet) \to \text{Tot}(M^\bullet \otimes _R A^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] où la première flèche est celle de Compléments d’algèbre, section 0FNG (0FNH) qui dans ce cas n’implique pas de signe. (En fait, nous aurions pu déduire que la règle de Leibniz vaut à partir de cette observation.)

Les remarques dans Homologie, section 0119 s’appliquent. En particulier, nous identifierons les groupes de cohomologie de tous les décalages \(M[k]\) sans l’intervention de signes.

À ce stade, nous avons suffisamment de structure pour parler des triangles, voir Catégories dérivées, définition 0144. En fait, notre prochain objectif est de développer suffisamment de théorie pour pouvoir énoncer et prouver que la catégorie homotopique des modules différentiels gradués est une catégorie triangulée. Tout d’abord, nous définissons la catégorie homotopique.

La catégorie homotopique

Nos homotopies tiennent compte de la structure de module \(A\) et de la graduation, mais pas de la différentielle (bien sûr).

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(f, g : M \to N\) des homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués. Une homotopie entre \(f\) et \(g\) est une application de \(A\)-modules \(h : M \to N\) telle que

1. \(h(M^n) \subset N^{n - 1}\) pour tout \(n\), et

2. \(f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\) pour tout \(x \in M\).

Si une homotopie existe, alors nous disons que \(f\) et \(g\) sont homotopes.

Ainsi, \(h\) est compatible avec la structure de \(A\)-module et la graduation mais pas avec la différentielle. Si \(f = g\) et si \(h\) est une homotopie au sens de la définition, alors \(h\) définit un morphisme \(h : M \to N[-1]\) dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(f, g : L \to M\) des homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués. Supposons donnés en outre des homomorphismes \(a : K \to L\) et \(c : M \to N\). Si \(h : L \to M\) est une application de \(A\)-modules qui définit une homotopie entre \(f\) et \(g\), alors \(c \circ h \circ a\) définit une homotopie entre \(c \circ f \circ a\) et \(c \circ g \circ a\).

Démonstration

Résulte immédiatement d’Homologie, lemme 0112.

Ce lemme nous permet de définir la catégorie homotopique comme suit.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. La catégorie homotopique, notée \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\), est la catégorie dont les objets sont les objets de \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) et dont les morphismes sont les classes d’homotopie des homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués.

La notation \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) n’est pas standard mais elle est au moins cohérente avec l’utilisation de \(K(-)\) dans d’autres parties du projet Champs.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. La catégorie homotopique \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) possède des sommes directes et des produits.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser les sommes directes et les produits comme dans le lemme 09JJ. Cela fonctionne parce que nous avons vu que ces foncteurs commutent avec le foncteur d’oubli vers la catégorie des \(A\)-modules gradués et parce que \(\prod\) est un foncteur exact sur la catégorie des familles de groupes abéliens.

Cônes

Nous introduisons les cônes pour la catégorie des modules différentiels gradués.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(f : K \to L\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués. Le cône de \(f\) est le \(A\)-module différentiel gradué \(C(f)\) donné par \(C(f) = L \oplus K\) avec la graduation \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\) et la différentielle \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_L & f \\ 0 & -\text{d}_K \end{matrix} \right)\] Il est muni de morphismes canoniques de complexes \(i : L \to C(f)\) et \(p : C(f) \to K[1]\) induits par les applications évidentes \(L \to C(f)\) et \(C(f) \to K\).

La formation du triangle du cône est fonctorielle dans le sens suivant.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Supposons que \[\xymatrix{ K_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1 \ar[d]^b \\ K_2 \ar[r]^{f_2} & L_2 }\] soit un diagramme d’homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués qui est commutatif à homotopie près. Alors il existe un morphisme \(c : C(f_1) \to C(f_2)\) qui induit un morphisme de triangles \[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

Démonstration

Soit \(h : K_1 \to L_2\) une homotopie entre \(f_2 \circ a\) et \(b \circ f_1\). Définissons \(c\) par la matrice \[c = \left( \begin{matrix} b & h \\ 0 & a \end{matrix} \right) : L_1 \oplus K_1 \to L_2 \oplus K_2\] Un calcul matriciel montre que \(c\) est un morphisme de modules différentiels gradués. Il est trivial que \(c \circ i_1 = i_2 \circ b\), et il est également trivial de vérifier que \(p_2 \circ c = a \circ p_1\).

Suites exactes courtes admissibles

Une suite exacte courte admissible est l’analogue des suites exactes scindées terme à terme dans le cadre des modules différentiels gradués.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée.

1. Un homomorphisme \(K \to L\) de modules différentiels gradués sur \(A\) est un monomorphisme admissible s’il existe un morphisme de \(A\)-modules gradués \(L \to K\) qui soit inverse à gauche de \(K \to L\).

2. Un homomorphisme \(L \to M\) de \(A\)-modules différentiels gradués est un épimorphisme admissible s’il existe un morphisme de \(A\)-modules gradués \(M \to L\) qui soit un inverse à droite de \(L \to M\).

3. Une suite exacte courte \(0 \to K \to L \to M \to 0\) de \(A\)-modules différentiels gradués est une suite exacte courte admissible si elle se scinde en tant que suite de \(A\)-modules gradués.

Ainsi, les scindages sont compatibles avec toutes les données sauf les différentielles. Étant donnée une suite exacte courte admissible, nous obtenons un triangle ; c’est la raison pour laquelle nous exigeons que nos scindages soient compatibles avec la structure de \(A\)-module.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(0 \to K \to L \to M \to 0\) une suite exacte courte admissible de \(A\)-modules différentiels gradués. Soient \(s : M \to L\) et \(\pi : L \to K\) des scindages tels que \(\Ker(\pi) = \Im(s)\). Alors nous obtenons un morphisme \[\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s : M \to K[1]\] de \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) qui induit les homomorphismes de liaison dans la suite exacte longue de cohomologie (09JK).

Démonstration

L’application \(\pi \circ \text{d}_L \circ s\) est compatible par construction avec la structure de \(A\)-module et les graduations. Elle est compatible avec les différentielles d’après Homologie, lemme 011J. Soit \(R\) l’anneau sur lequel \(A\) est une algèbre différentielle graduée. L’égalité des applications est une assertion sur les \(R\)-modules. Elle découle donc d’Homologie, lemmes 011J et 011K.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \[\xymatrix{ K \ar[r]_f \ar[d]_a & L \ar[d]^b \\ M \ar[r]^g & N }\] un diagramme d’homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués qui commute à homotopie près.

1. Si \(f\) est un monomorphisme admissible, alors \(b\) est homotope à un homomorphisme qui rend le diagramme commutatif.

2. Si \(g\) est un épimorphisme admissible, alors \(a\) est homotope à un morphisme qui fait commuter le diagramme.

Démonstration

Soit \(h : K \to N\) une homotopie entre \(bf\) et \(ga\), c’est-à-dire \(bf - ga = \text{d}h + h\text{d}\). Supposons que \(\pi : L \to K\) soit une application de \(A\)-modules gradués, inverse à gauche de \(f\). Prenons \(b' = b - \text{d}h\pi - h\pi \text{d}\). Supposons que \(s : N \to M\) soit une application de \(A\)-modules gradués, inverse à droite de \(g\). Prenons \(a' = a + \text{d}sh + sh\text{d}\). Calculs omis.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(\alpha : K \to L\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués. Il existe une factorisation \[\xymatrix{ K \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L \ar[r]^\pi & L }\] dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) telle que

1. \(\tilde \alpha\) soit un monomorphisme admissible (voir la définition 09JT),

2. il existe un morphisme \(s : L \to \tilde L\) tel que \(\pi \circ s = \text{id}_L\) et tel que \(s \circ \pi\) soit homotope à \(\text{id}_{\tilde L}\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle de Catégories dérivées, lemme 013N. En effet, nous posons \(\tilde L = L \oplus C(1_K)\) et nous utilisons des propriétés élémentaires de la construction du cône.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(L_1 \to L_2 \to \ldots \to L_n\) une suite d’homomorphismes composables de \(A\)-modules différentiels gradués. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ L_1 \ar[r] & L_2 \ar[r] & \ldots \ar[r] & L_n \\ M_1 \ar[r] \ar[u] & M_2 \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & M_n \ar[u] }\] dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) tel que chaque \(M_i \to M_{i + 1}\) soit un monomorphisme admissible et que chaque \(M_i \to L_i\) soit une équivalence d’homotopie.

Démonstration

Le cas \(n = 1\) est immédiat. Le lemme 09JW traite le cas \(n = 2\). Supposons le diagramme construit à l’exception de \(M_n\). Appliquons le lemme 09JW à la composition \(M_{n - 1} \to L_{n - 1} \to L_n\). Le résultat est une factorisation \(M_{n - 1} \to M_n \to L_n\) comme souhaité.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(0 \to K_i \to L_i \to M_i \to 0\), \(i = 1, 2, 3\) des suites exactes courtes admissibles de \(A\)-modules différentiels gradués. Soient \(b : L_1 \to L_2\) et \(b' : L_2 \to L_3\) des homomorphismes de modules différentiels gradués tels que \[\vcenter{ \xymatrix{ K_1 \ar[d]_0 \ar[r] & L_1 \ar[r] \ar[d]_b & M_1 \ar[d]_0 \\ K_2 \ar[r] & L_2 \ar[r] & M_2 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ K_2 \ar[d]^0 \ar[r] & L_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & M_2 \ar[d]^0 \\ K_3 \ar[r] & L_3 \ar[r] & M_3 } }\] commutent à homotopie près. Alors \(b' \circ b\) est homotope à \(0\).

Démonstration

Par le lemme 09JV, nous pouvons remplacer \(b\) et \(b'\) par des applications homotopes telles que le carré droit du diagramme de gauche commute et le carré gauche du diagramme de droite commute. En d’autres termes, nous avons \(\Im(b) \subset \Im(K_2 \to L_2)\) et \(\Ker(b') \supset \Im(K_2 \to L_2)\). Ensuite, \(b' \circ b = 0\) en tant qu’homomorphisme de modules.

Triangles distingués

Le lemme suivant produit nos triangles distingués.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(0 \to K \to L \to M \to 0\) une suite exacte courte admissible de \(A\)-modules différentiels gradués. Le triangle [09K7]\[\begin{equation} K \to L \to M \xrightarrow{\delta} K[1] \end{equation}\] avec \(\delta\) comme dans le lemme 09JU est, à isomorphisme canonique près dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\), indépendant des choix effectués dans le lemme 09JU.

Démonstration

En effet, soit \((s', \pi')\) un second choix de scindages comme dans le lemme 09JU. Alors nous affirmons que \(\delta\) et \(\delta'\) sont homotopes. Écrivons \(s' = s + \alpha \circ h\) et \(\pi' = \pi + g \circ \beta\) pour certains homomorphismes uniques de \(A\)-modules \(h : M \to K\) et \(g : M \to K\) de degré \(-1\). Alors \(g = -h\) et \(g\) est une homotopie entre \(\delta\) et \(\delta'\). Les calculs sont effectués dans la démonstration d’Homologie, lemme 011L.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée.

1. Si \(0 \to K \to L \to M \to 0\) est une suite exacte courte admissible de \(A\)-modules différentiels gradués, alors le triangle associé à \(0 \to K \to L \to M \to 0\) est le triangle (09K7) de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

2. Un triangle de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) est appelé triangle distingué s’il est isomorphe à un triangle associé à une suite exacte courte admissible de \(A\)-modules différentiels gradués.

Cônes et triangles distingués

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(f : K \to L\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués. Alors \((K, L, C(f), f, i, p)\) forme un triangle : \[K \to L \to C(f) \to K[1]\] dans \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) et donc dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Les cônes ne sont pas des triangles distingués en général, mais la différence tient à un signe ou à une rotation, au choix. Voici deux énoncés précis.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(f : K \to L\) un homomorphisme de modules différentiels gradués. Le triangle \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\) est le triangle associé à la suite exacte courte admissible \[0 \to L \to C(f) \to K[1] \to 0\] provenant de la définition du cône de \(f\).

Démonstration

Immédiat d’après les définitions.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(\alpha : K \to L\) et \(\beta : L \to M\) définissant une suite exacte courte admissible \[0 \to K \to L \to M \to 0\] de modules différentiels gradués sur \(A\). Soit \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\) le triangle associé. Alors les triangles \[(M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{et}\quad (M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] sont isomorphes.

Démonstration

En utilisant un choix de scindages, nous écrivons \(L = K \oplus M\) et nous identifions \(\alpha\) et \(\beta\) avec les applications d’inclusion et de projection naturelles. Par construction de \(\delta\), nous avons \[d_B = \left( \begin{matrix} d_K & \delta \\ 0 & d_M \end{matrix} \right)\] D’autre part, le cône de \(\delta[-1] : M[-1] \to K\) est donné par \(C(\delta[-1]) = K \oplus M\) avec une différentielle identique à la matrice ci-dessus ! D’où le lemme.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(f_1 : K_1 \to L_1\) et \(f_2 : K_2 \to L_2\) des homomorphismes de modules différentiels gradués sur \(A\). Soit \[(a, b, c) : (K_1, L_1, C(f_1), f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_1, L_1, C(f_1), f_2, i_2, p_2)\] un morphisme quelconque de triangles de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Si \(a\) et \(b\) sont des équivalences par homotopie, alors il en est de même pour \(c\).

Démonstration

Soit \(a^{-1} : K_2 \to K_1\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués qui est l’inverse de \(a\) dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Soit \(b^{-1} : L_2 \to L_1\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués qui est l’inverse de \(b\) dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Soit \(c' : C(f_2) \to C(f_1)\) le morphisme issu du lemme 09KD appliqué à \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\). Si nous pouvons montrer que \(c \circ c'\) et \(c' \circ c\) sont des isomorphismes dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\), la démonstration sera achevée. Il suffit donc de prouver ce qui suit : étant donné un morphisme de triangles \((1, 1, c) : (K, L, C(f), f, i, p)\) dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\), le morphisme \(c\) est un isomorphisme dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Par hypothèse, les deux carrés du diagramme \[\xymatrix{ L \ar[r] \ar[d]_1 & C(f) \ar[r] \ar[d]_c & K[1] \ar[d]_1 \\ L \ar[r] & C(f) \ar[r] & K[1] }\] commutent à homotopie près. Par construction de \(C(f)\), les lignes forment des suites exactes courtes admissibles. Ainsi, nous voyons que \((c - 1)^2 = 0\) dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) par le lemme 09JY. Par conséquent, \(c\) est un isomorphisme dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) avec inverse \(2 - c\).

Le lemme suivant montre que les triangles de la catégorie homotopique donnés par les cônes et les triangles distingués coïncident à isomorphisme près, du moins à un signe près !

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée.

1. Étant donnée une suite exacte courte admissible \(0 \to K \xrightarrow{\alpha} L \to M \to 0\) de \(A\)-modules différentiels gradués, il existe une équivalence d’homotopie \(C(\alpha) \to M\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & L \ar[d] \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]_{-p} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r]^\alpha & L \ar[r]^\beta & M \ar[r]^\delta & K[1] }\] définisse un isomorphisme de triangles dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

2. Étant donné un morphisme de complexes \(f : K \to L\), il existe un isomorphisme de triangles \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar[d] & \tilde L \ar[d] \ar[r] & M \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K[1] \ar[d] \\ K \ar[r] & L \ar[r] & C(f) \ar[r]^{-p} & K[1] }\] où le triangle supérieur est le triangle associé à une suite exacte courte admissible \(K \to \tilde L \to M\).

Démonstration

Démonstration de (1). Nous avons \(C(\alpha) = L \oplus K\) et nous définissons simplement \(C(\alpha) \to M\) via la projection sur \(L\) suivie de \(\beta\). Cela définit un morphisme de modules différentiels gradués car les compositions \(K^{n + 1} \to L^{n + 1} \to M^{n + 1}\) sont nulles. Choisissons des scindages \(s : M \to L\) et \(\pi : L \to K\) avec \(\Ker(\pi) = \Im(s)\) et posons \(\delta = \pi \circ \text{d}_L \circ s\) comme d’habitude. Pour obtenir un inverse par homotopie, nous prenons \(M \to C(\alpha)\) donné par \((s , -\delta)\). Cela est compatible avec les différentielles car \(\delta^n\) peut être caractérisé comme l’application unique \(M^n \to K^{n + 1}\) telle que \(\text{d} \circ s^n - s^{n + 1} \circ \text{d} = \alpha \circ \delta^n\), voir la démonstration de Homologie, lemme 011J. La composition \(M \to C(f) \to M\) est l’identité. La composition \(C(f) \to M \to C(f)\) est égale au morphisme \[\left( \begin{matrix} s \circ \beta & 0 \\ -\delta \circ \beta & 0 \end{matrix} \right)\] Pour voir que cela est homotope à l’application identité, utilisons l’homotopie \(h : C(\alpha) \to C(\alpha)\) donnée par la matrice \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha) = L \oplus K \to L \oplus K = C(\alpha)\] Il est trivial de vérifier que \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s \\ -\delta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d} & \alpha \\ 0 & -\text{d} \end{matrix} \right)\] Pour terminer la démonstration de (1), nous devons montrer que les morphismes \(-p : C(\alpha) \to K[1]\) (voir définition 09KA) et \(C(\alpha) \to M \to K[1]\) concordent à homotopie près. Cela est clair d’après ce qui précède. En effet, nous pouvons utiliser l’inverse d’homotopie \((s, -\delta) : M \to C(\alpha)\) et vérifier à la place que les deux applications \(M \to K[1]\) concordent. Notons en outre que \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\) comme souhaité.

Démonstration de (2). Nous notons \(\tilde f : K \to \tilde L\), \(s : L \to \tilde L\) et \(\pi : L \to L\) comme dans le lemme 09JW. D’après les lemmes 09KD et 09KE, les triangles \((K, L, C(f), i, p)\) et \((K, \tilde L, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\) sont isomorphes. Notons que nous pouvons composer les isomorphismes de triangles. Ainsi, nous pouvons remplacer \(L\) par \(\tilde L\) et \(f\) par \(\tilde f\). En d’autres termes, nous pouvons supposer que \(f\) est un monomorphisme admissible. Dans ce cas, le résultat découle de la partie (1).

La catégorie homotopique est triangulée

Montrons d’abord qu’elle est prétriangulée.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. La catégorie homotopique \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) avec ses foncteurs de translation naturels et ses triangles distingués est une catégorie pré-triangulée.

Démonstration

Démonstration de TR1. Par définition, tout triangle isomorphe à un triangle distingué est distingué. De plus, tout triangle \((K, K, 0, 1, 0, 0)\) est distingué puisque \(0 \to K \to K \to 0 \to 0\) est une suite exacte courte admissible. Enfin, étant donné tout homomorphisme \(f : K \to L\) de \(A\)-modules différentiels gradués, le triangle \((K, L, C(f), f, i, -p)\) est distingué d’après le lemme 09KF.

Démonstration de TR2. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle. Supposons que \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) soit distingué. Alors il existe une suite exacte courte admissible \(0 \to K \to L \to M \to 0\) telle que le triangle associé \((K, L, M, \alpha, \beta, \delta)\) soit isomorphe à \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\). En effectuant une rotation inverse, nous voyons que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est isomorphe à \((M[-1], K, L, -\delta[-1], \alpha, \beta)\). Il découle du lemme 09KC que le triangle \((M[-1], K, L, \delta[-1], \alpha, \beta)\) est isomorphe à \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\). En précomposant l’isomorphisme précédent des triangles avec \(-1\) sur \(Y\), il s’ensuit que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est isomorphe à \((M[-1], K, C(\delta[-1]), \delta[-1], i, -p)\). Par conséquent, il est distingué par le lemme 09KF. D’autre part, supposons que \((X, Y, Z, f, g, h)\) soit distingué. Par le lemme 09KF, cela signifie qu’il est isomorphe à un triangle de la forme \((K, L, C(f), f, i, -p)\) pour un certain morphisme \(f\) de \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\). Alors, le triangle obtenu par rotation \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) est isomorphe à \((L, C(f), K[1], i, -p, -f[1])\), qui est isomorphe au triangle \((L, C(f), K[1], i, p, f[1])\). Par le lemme 09KB, ce triangle est distingué. Par conséquent, \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) est distingué comme souhaité.

Démonstration de TR3. Soient \((X, Y, Z, f, g, h)\) et \((X', Y', Z', f', g', h')\) des triangles distingués de \(K(\mathcal{A})\) et soient \(a : X \to X'\) et \(b : Y \to Y'\) des morphismes tels que \(f' \circ a = b \circ f\). D’après le lemme 09KF, nous pouvons supposer que \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\) et \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\). À ce stade, nous appliquons simplement le lemme 09KD au diagramme commutatif donné par \(f, f', a, b\).

Avant de prouver TR4 en général, nous le prouvons dans un cas particulier.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Supposons que \(\alpha : K \to L\) et \(\beta : L \to M\) soient des monomorphismes admissibles de modules différentiels gradués sur \(A\). Alors il existe des triangles distingués \((K, L, Q_1, \alpha, p_1, d_1)\), \((K, M, Q_2, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\) et \((L, M, Q_3, \beta, p_3, d_3)\) pour lesquels TR4 est vérifié.

Démonstration

Soient \(\pi_1 : L \to K\) et \(\pi_3 : M \to L\) des homomorphismes de \(A\)-modules gradués qui sont des inverses à gauche de \(\alpha\) et \(\beta\). Alors \(K \to M\) est également un monomorphisme admissible avec un inverse à gauche \(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\). Notons \(Q_1\), \(Q_2\) et \(Q_3\) pour les conoyaux de \(K \to L\), \(K \to M\) et \(L \to M\). Alors nous obtenons les identifications (en tant que \(A\)-modules gradués) \(Q_1 = \Ker(\pi_1)\), \(Q_3 = \Ker(\pi_3)\) et \(Q_2 = \Ker(\pi_2)\). Alors \(L = K \oplus Q_1\) et \(M = L \oplus Q_3\) en tant que \(A\)-modules gradués. Cela implique \(M = K \oplus Q_1 \oplus Q_3\). Notons que \(\pi_2 = \pi_1 \circ \pi_3\) est nul à la fois sur \(Q_1\) et \(Q_3\). Par conséquent \(Q_2 = Q_1 \oplus Q_3\). Considérons le diagramme commutatif \[\begin{matrix} 0 & \to & K & \to & L & \to & Q_1 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & K & \to & M & \to & Q_2 & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & L & \to & M & \to & Q_3 & \to & 0 \end{matrix}\] Les lignes de ce diagramme sont des suites exactes courtes admissibles, et déterminent donc par définition des triangles distingués. De plus, les flèches descendantes dans le diagramme ci-dessus sont compatibles avec les scindages choisis et définissent donc des morphismes de triangles \[(K \to L \to Q_1 \to K[1]) \longrightarrow (K \to M \to Q_2 \to K[1])\] et \[(K \to M \to Q_2 \to K[1]) \longrightarrow (L \to M \to Q_3 \to L[1]).\] Notons que les scindages \(Q_3 \to M\) de la suite inférieure dans le diagramme fournissent un scindage pour la suite scindée \(0 \to Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to 0\) lorsqu’on les compose avec \(M \to Q_2\). Il en découle facilement que le morphisme \(\delta : Q_3 \to Q_1[1]\) dans le triangle distingué correspondant \[(Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to Q_1[1])\] est égal à la composition \(Q_3 \to L[1] \to Q_1[1]\). Ainsi, nous obtenons une structure comme dans la conclusion de l’axiome TR4.

Voici le résultat final.

Proposition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. La catégorie homotopique \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) des \(A\)-modules différentiels gradués avec ses foncteurs de translation naturels et ses triangles distingués est une catégorie triangulée.

Démonstration

Nous savons que \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) est une catégorie pré-triangulée. Par conséquent, il suffit de prouver TR4 et pour le prouver, nous pouvons utiliser Catégories dérivées, lemme 014C. Soient \(K \to L\) et \(L \to M\) des morphismes composables de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). D’après le lemme 09JX, nous pouvons supposer que \(K \to L\) et \(L \to M\) sont des monomorphismes admissibles. Dans ce cas, le résultat découle du lemme 09KI.

Modules à gauche

Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent a un analogue dans le cadre des modules différentiels gradués à gauche, sauf qu’il faut faire attention à certaines règles de signe.

Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Par analogie avec les modules à droite, nous définissons un module différentiel gradué à gauche sur \(A\) \(M\) comme un \(A\)-module à gauche \(M\) muni d’une graduation \(M = \bigoplus M^n\) et d’une différentielle \(\text{d}\) telles que \(A^n M^m \subset M^{n + m}\), que \(\text{d}(M^n) \subset M^{n + 1}\), et que \[\text{d}(am) = \text{d}(a) m + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(m)\] pour les éléments homogènes \(a \in A\) et \(m \in M\). Comme auparavant, cette règle de Leibniz signifie exactement que la multiplication définit un morphisme de complexes \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] Ici, \(A^\bullet\) et \(M^\bullet\) désignent les complexes de \(R\)-modules sous-jacents à \(A\) et \(M\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée sur \(R\). L’algèbre différentielle graduée opposée est l’algèbre différentielle graduée \((A^{opp}, \text{d})\) sur \(R\) où \(A^{opp} = A\) en tant que \(R\)-module gradué, \(\text{d} = \text{d}\), et la multiplication est donnée par \[a \cdot_{opp} b = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} b a\] pour les éléments homogènes \(a, b \in A\).

Cela a du sens parce que \[\begin{align*} \text{d}(a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b a) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} \text{d}(b) a + (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(b)}b\text{d}(a) \\ & = (-1)^{\deg(a)}a \cdot_{opp} \text{d}(b) + \text{d}(a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] comme souhaité. En termes de complexes sous-jacents de \(R\)-modules, cela signifie que le diagramme \[\xymatrix{ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{\text{multiplication de }A^{opp}} \ar[d]_{\text{contrainte de commutativité}} & & & A^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]^-{\text{multiplication de }A} & & & A^\bullet }\] commute. Ici, la contrainte de commutativité sur la catégorie monoïdale symétrique des complexes de \(R\)-modules est donnée dans Compléments d’algèbre, section 0FNG.

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée sur \(R\). Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à gauche. Nous noterons \(M^{opp}\) le module \(M\) considéré comme un \(A^{opp}\)-module à droite avec multiplication \(\cdot_{opp}\) définie par la règle \[m \cdot_{opp} a = (-1)^{\deg(a)\deg(m)} a m\] pour \(a\) et \(m\) homogènes. Cela est compatible avec les différentielles car nous aurions pu utiliser le diagramme \[\xymatrix{ \text{Tot}(M^\bullet \otimes_R A^\bullet) \ar[rrr]_-{\text{multiplication sur }M^{opp}} \ar[d]_{\text{contrainte de commutativité}} & & & M^\bullet \ar[d]^{\text{id}} \\ \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \ar[rrr]^-{\text{multiplication sur }M} & & & M^\bullet }\] pour définir la multiplication \(\cdot_{opp}\) sur \(M^{opp}\). Pour voir qu’il s’agit d’une multiplication associative, nous calculons pour les éléments homogènes \(a, b \in A\) et \(m \in M\) que \[\begin{align*} m \cdot_{opp} (a \cdot_{opp} b) & = (-1)^{\deg(a)\deg(b)} m \cdot_{opp} (ba) \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m)} bam \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am)} (am) \cdot_{opp} b \\ & = (-1)^{\deg(a)\deg(b) + \deg(ab)\deg(m) + \deg(b)\deg(am) + \deg(a)\deg(m)} (m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \\ & = (m \cdot_{opp} a) \cdot_{opp} b \end{align*}\] Bien sûr, nous aurions pu le montrer en utilisant la compatibilité entre les contraintes d’associativité et de commutativité dans la catégorie monoïdale symétrique des complexes de \(R\)-modules également.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Le foncteur \(M \mapsto M^{opp}\) de la catégorie des \(A\)-modules différentiels gradués à gauche vers la catégorie des \(A^{opp}\)-modules différentiels gradués à droite est une équivalence.

Démonstration

Démonstration omise.

Passons maintenant aux décalages. Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à gauche dont le complexe sous-jacent de \(R\)-modules est noté \(M^\bullet\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\) nous définissons le module décalé de \(k\) \(M[k]\) comme suit

1. le complexe de \(R\)-modules sous-jacent à \(M[k]\) est \(M^\bullet[k]\)

2. la structure de \(A\)-module est donnée par la multiplication \[A^n \times (M[k])^m \longrightarrow (M[k])^{n + m}\] est égale à \((-1)^{nk}\) multiplié par la multiplication donnée \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\).

Vérifions qu’avec ce choix la règle de Leibniz est satisfaite. Soient \(a \in A^n\) et \(x \in M[k]^m = M^{m + k}\). En notant \(\cdot_{M[k]}\) le produit dans \(M[k]\), on obtient \[\begin{align*} \text{d}_{M[k]}(a \cdot_{M[k]} x) & = (-1)^{k + nk} \text{d}_M(ax) \\ & = (-1)^{k + nk} \text{d}(a) x + (-1)^{k + nk + n} a \text{d}_M(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^{nk + n} a \text{d}_{M[k]}(x) \\ & = \text{d}(a) \cdot_{M[k]} x + (-1)^n a \cdot_{M[k]} \text{d}_{M[k]}(x) \end{align*}\] C’est ce que nous voulons puisque \(a\) a un degré \(n\) en tant qu’élément homogène de \(A\). Nous observons également qu’avec ces choix, nous pouvons considérer l’application de multiplication comme un morphisme de complexes \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet[k]) \to \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet)[k] \to M^\bullet[k]\] où la première flèche est celle de Compléments d’algèbre, section 0FNG (0FNH), ce qui dans ce cas implique exactement le signe que nous avons choisi ci-dessus. (En fait, nous aurions pu déduire que la règle de Leibniz est respectée à partir de cette observation.)

Avec la règle ci-dessus, nous avons des identifications canoniques \[(M[k])^{opp} = M^{opp}[k]\] de modules différentiels gradués à droite sur \(A^{opp}\) définis sans l’intervention de signes, en d’autres termes, l’équivalence du lemme 0FQ0 est compatible avec les foncteurs de décalage.

Notre choix ci-dessus nécessite la définition suivante.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une algèbre graduée par \(\mathbf{Z}\) sur \(R\).

1. Étant donné un \(A\)-module gradué à droite \(M\), nous définissons le décalé d’ordre \(k\), en tant que \(A\)-module, \(M[k]\) comme étant identique en tant que \(A\)-module à droite mais avec la graduation \((M[k])^n = M^{n + k}\).

2. Étant donné un \(A\)-module gradué à gauche \(M\), nous définissons le module décalé d’ordre \(k\) sur \(A\) \(M[k]\) comme le module de graduation \((M[k])^n = M^{n + k}\), dont la multiplication \(A^n \times (M[k])^m \to (M[k])^{n + m}\) est égale à \((-1)^{nk}\) fois la multiplication donnée \(A^n \times M^{m + k} \to M^{n + m + k}\).

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(f, g : M \to N\) des homomorphismes de \(A\)-modules différentiels gradués à gauche. Une homotopie entre \(f\) et \(g\) est une application de \(A\)-modules gradués \(h : M \to N[-1]\) (observez le décalage !) telle que \[f(x) - g(x) = \text{d}_N(h(x)) + h(\text{d}_M(x))\] pour tout \(x \in M\). S’il existe une homotopie, nous disons alors que \(f\) et \(g\) sont homotopes. Ainsi, \(h\) est compatible avec la structure de \(A\)-module (avec celle décalée sur \(N\)) et la graduation (avec la graduation décalée sur \(N\)) mais pas avec la différentielle. Si \(f = g\) et \(h\) est une homotopie, alors \(h\) définit un morphisme \(h : M \to N[-1]\) de \(A\)-modules différentiels gradués à gauche.

Avec la règle ci-dessus, nous constatons que \(f, g : M \to N\) sont homotopes si et seulement si les morphismes induits \(f^{opp}, g^{opp} : M^{opp} \to N^{opp}\) sont homotopes en tant qu’homomorphismes de modules différentiels gradués à droite sur \(A^{opp}\) (avec la même homotopie).

La catégorie homotopique, les cônes, les suites exactes courtes admissibles, les triangles distingués sont tous définis exactement de la même manière que pour les modules différentiels gradués à droite (et tout concorde sur les complexes sous-jacents de \(R\)-modules avec les constructions pour les complexes de \(R\)-modules). De cette manière, nous obtenons l’analogue de la proposition 09KJ pour les modules à gauche également, ou nous pouvons la déduire en travaillant avec des modules à droite sur l’algèbre opposée.

Produit tensoriel

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une \(R\)-algèbre (voir la section 09JF). Étant donné un \(A\)-module à droite \(M\) et un \(A\)-module à gauche \(N\), il existe un produit tensoriel \[M \otimes_A N\] Ce produit tensoriel est un module sur \(R\). Comme \(R\)-module, \(M \otimes_A N\) est engendré par des symboles \(x \otimes y\) avec \(x \in M\) et \(y \in N\) soumis aux relations \[\begin{matrix} (x_1 + x_2) \otimes y - x_1 \otimes y - x_2 \otimes y, \\ x \otimes (y_1 + y_2) - x \otimes y_1 - x \otimes y_2, \\ xa \otimes y - x \otimes ay \end{matrix}\] pour \(a \in A\), \(x, x_1, x_2 \in M\) et \(y, y_1, y_2 \in N\). Nous énumérons certaines propriétés du produit tensoriel

Dans chaque variable, le produit tensoriel est exact à droite, en fait il commute avec les sommes directes et les colimites arbitraires.

Le produit tensoriel \(M \otimes_A N\) est le réceptacle de l’application \(A\)-bilinéaire universelle \(M \times N \to M \otimes_A N\), \((x, y) \mapsto x \otimes y\). Autrement dit, \[\text{Bilinear}_A(M \times N, Q) = \Hom_R(M \otimes_A N, Q)\] pour tout \(R\)-module \(Q\).

Si \(A\) est une algèbre graduée par \(\mathbf{Z}\) et si \(M\), \(N\) sont des \(A\)-modules gradués, alors \(M \otimes_A N\) est un \(R\)-module gradué. La composante de degré \(n\), notée \((M \otimes_A N)^n\), de \(M \otimes_A N\) est égale à \[\Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + t + s = n} M^r \otimes_R A^t \otimes_R N^s \to \bigoplus\nolimits_{p + q = n} M^p \otimes_R N^q \right)\] où l’application envoie \(x \otimes a \otimes y\) vers \(x \otimes ay - xa \otimes y\) pour \(x \in M^r\), \(y \in N^s\) et \(a \in A^t\) avec \(r + s + t = n\). Dans ce cas, l’application \(M \times N \to M \otimes_A N\) est \(A\)-bilinéaire et compatible avec les graduations et universelle dans le sens que \[\text{GradedBilinear}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{}R\text{-modules gradués}}(M \otimes_A N, Q)\] pour tout \(R\)-module gradué \(Q\) avec une notion évidente d’application bilinéaire graduée.

Si \((A, \text{d})\) est une algèbre différentielle graduée et \(M\) et \(N\) sont des \(A\)-modules différentiels gradués à gauche et à droite, alors \(M \otimes_A N\) est un \(R\)-module différentiel gradué avec une différentielle \[\text{d}(x \otimes y) = \text{d}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}(y)\] pour \(x \in M\) et \(y \in N\) homogènes. Dans ce cas, l’application \(M \times N \to M \otimes_A N\) est \(A\)-bilinéaire, compatible avec les graduations, et compatible avec les différentielles et universelle dans le sens que \[\text{DifferentialGradedBilinear}_A(M \times N, Q) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A N, Q)\] pour tout \(R\)-module différentiel gradué \(Q\) avec une notion évidente d’application bilinéaire différentielle graduée.

Complexes de Hom et modules différentiels gradués

Nous encourageons le lecteur à sauter cette section.

Soit \(R\) un anneau et soit \(M^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules. Considérons le complexe de \(R\)-modules \[E^\bullet = \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] introduit dans Compléments d’algèbre, section 0A8H. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A8I il existe une loi de composition canonique \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R E^\bullet) \to E^\bullet\] qui est un morphisme de complexes. Ainsi, nous voyons que \(E^\bullet\) avec cette multiplication est une \(R\)-algèbre différentielle graduée que nous noterons \((E, \text{d})\). De plus, en considérant \(M^\bullet\) comme \(\Hom^\bullet(R, M^\bullet)\), nous voyons que la composition définit une multiplication \[\text{Tot}(E^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] qui munit \(M^\bullet\) d’une structure de \(E\)-module différentiel gradué à gauche, que nous noterons \(M\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(A\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Donner une structure de \(A\)-module à gauche sur \(M\) revient au même que donner un homomorphisme \(A \to E\) d’algèbres différentielles graduées sur \(R\).

Démonstration

Démonstration omise. Observez qu’aucun signe n’intervient dans cette correspondance.

Nous poursuivons avec la discussion ci-dessus et nous supposons donné un autre complexe \(N^\bullet\) de \(R\)-modules. Considérons le complexe de \(R\)-modules \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) introduit dans Compléments d’algèbre, section 0A8H. Comme ci-dessus, nous voyons que la composition \[\text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R E^\bullet) \to \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\] définit une multiplication qui transforme \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) en un \(E\)-module différentiel gradué à droite. En utilisant le lemme 0FQ3, nous concluons que, pour tout \(A\)-module différentiel gradué à gauche \(M\) et tout complexe de \(R\)-modules \(N^\bullet\), il existe un \(A\)-module différentiel gradué canonique à droite dont le complexe sous-jacent de \(R\)-modules est \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) et où la multiplication \[\Hom^n(M^\bullet, N^\bullet) \times A^m \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] envoie \(f = (f_{p, q})_{p + q = n}\) avec \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\) et \(a \in A^m\) vers l’élément \(f \cdot a = (f_{p, q} \circ a)\) où \(f_{p, q} \circ a\) est l’application \[M^{-q - m} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p, \quad x \longmapsto f_{p, q}(ax)\] sans l’intervention des signes. Utilisons la notation \(\Hom(M, N^\bullet)\) pour désigner ce \(A\)-module différentiel gradué à droite.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(M'\) un \(A\)-module différentiel gradué à droite et soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à gauche. Soit \(N^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules. Alors nous avons \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, d)}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M' \otimes_A M, N^\bullet)\] où \(M \otimes_A M\) est considéré comme un complexe de \(R\)-modules comme dans la section 09LL.

Démonstration

Montrons que les deux côtés correspondent à des applications \(A\)-bilinéaires graduées \[M' \times M \longrightarrow N^\bullet\] compatibles avec les différentielles. Nous l’avons établi pour le membre de droite dans la section 09LL. Étant donné un élément \(g\) du membre de gauche, l’égalité de Compléments d’algèbre, lemme 0A5Y, détermine un morphisme de complexes de \(R\)-modules \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\). En d’autres termes, nous obtenons un morphisme \(R\)-bilinéaire gradué \(g'' : M' \times M \to N^\bullet\) compatible avec les différentielles. La \(A\)-linéarité de \(g\) se traduit immédiatement par la \(A\)-bilinéarité de \(g''\).

Soient \(R\), \(M^\bullet\), \(E^\bullet\), \(E\) et \(M\) comme ci-dessus. Cependant, supposons maintenant données une \(R\)-algèbre différentielle graduée \(A\) et une structure à droite de \(A\)-module différentiel gradué sur \(M\). Alors nous pouvons considérer le morphisme \[\text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R M^\bullet) \to M^\bullet\] où la première flèche est la contrainte de commutativité sur la catégorie différentielle graduée des complexes de \(R\)-modules. Cela correspond à une application \[\tau : A^\bullet \longrightarrow E^\bullet\] de complexes de \(R\)-modules. Rappelons que \(E^n = \prod_{p + q = n} \Hom_R(M^{-q}, M^p)\) et écrivons \(\tau(a) = (\tau_{p, q}(a))_{p + q = n}\) pour \(a \in A^n\). Alors nous voyons \[\tau_{p, q}(a) : M^{-q} \longrightarrow M^p,\quad x \longmapsto (-1)^{\deg(a)\deg(x)}x a = (-1)^{-nq}xa\] Cela n’est pas compatible avec le produit sur \(A\) comme le lecteur devrait s’y attendre d’après la discussion de la section 0FPZ. À savoir, nous avons \[\tau(a a') = (-1)^{\deg(a)\deg(a')}\tau(a') \tau(a)\] Nous concluons que le lemme suivant est vrai

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(A\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Donner une structure de \(A\)-module à droite sur \(M\) revient au même que donner un homomorphisme \(\tau : A \to E^{opp}\) d’algèbres différentielles graduées sur \(R\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus et noter que la construction de \(\tau\) à partir de l’application de multiplication \(M^n \times A^m \to M^{n + m}\) utilise des signes.

Soient \(R\), \(M^\bullet\), \(E^\bullet\), \(E\), \(A\) et \(M\) comme ci-dessus et soit une structure de \(A\)-module différentiel gradué à droite sur \(M\) donnée comme dans le lemme. Dans ce cas, il existe un \(A\)-module différentiel gradué à gauche canonique dont le complexe sous-jacent de \(R\)-modules est \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\). À savoir, pour la multiplication, nous pouvons utiliser \[\begin{align*} \text{Tot}(A^\bullet \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)) & \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R A^\bullet) \\ & \xrightarrow{\tau} \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \otimes_R \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)) \\ & \to \text{Tot}(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet) \end{align*}\] La première flèche utilise la contrainte de commutativité sur la catégorie des complexes de \(R\)-modules, la deuxième flèche est décrite ci-dessus, et la troisième flèche est la loi de composition pour le complexe Hom. Chacune de ces applications est un morphisme de complexes ; leur composé est donc un morphisme de complexes. En fait, cette construction transforme \(\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)\) en un \(A\)-module différentiel gradué à gauche (l’associativité de la multiplication peut être démontrée en utilisant la structure monoïdale symétrique ou par un calcul direct en utilisant les formules ci-dessous). Explicitons la multiplication \[A^n \times \Hom^m(M^\bullet, N^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(M^\bullet, N^\bullet)\] Elle envoie \(a \in A^n\) et \(f = (f_{p, q})_{p + q = m}\) avec \(f_{p, q} \in \Hom(M^{-q}, N^p)\) sur l’élément \(a \cdot f\) dont les composantes sont \[(-1)^{nm}f_{p, q} \circ \tau_{-q, q + n}(a) = (-1)^{nm - n(q + n)}f_{p, q} \circ a = (-1)^{np + n} f_{p, q} \circ a\] dans \(\Hom_R(M^{-q - n}, N^p)\) où \(f_{p, q} \circ a\) est l’application \[M^{-q - n} \xrightarrow{a} M^{-q} \xrightarrow{f_{p, q}} N^p,\quad x \longmapsto f_{p, q}(xa)\] Ici intervient un signe \((-1)^{np + n}\). Utilisons la notation \(\Hom(M, N^\bullet)\) pour désigner ce \(A\)-module différentiel gradué à gauche.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à droite et soit \(M'\) un \(A\)-module différentiel gradué à gauche. Soit \(N^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules. Alors nous avons \[\Hom_{\text{}A\text{-modules différentiels gradués à gauche}}(M', \Hom(M, N^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}(R)}(M \otimes_A M', N^\bullet)\] où \(M \otimes_A M'\) est vu comme un complexe de \(R\)-modules comme dans la section 09LL.

Démonstration

Montrons que les deux membres correspondent à des applications bilinéaires graduées sur \(A\) \[M \times M' \longrightarrow N^\bullet\] compatibles avec les différentielles. Nous avons vu que cela est vrai pour le membre de droite dans la section 09LL. Étant donné un élément \(g\) du membre de gauche, l’égalité de Compléments d’algèbre, lemme 0A5Y, détermine un morphisme de complexes \(g' : \text{Tot}(M' \otimes_R M) \to N^\bullet\). Nous précomposons avec la contrainte de commutativité pour obtenir \[\text{Tot}(M \otimes_R M') \xrightarrow{\psi} \text{Tot}(M' \otimes_R M) \xrightarrow{g'} N^\bullet\] Ce composé correspond à une application \(R\)-bilinéaire graduée \(g'' : M \times M' \to N^\bullet\) compatible avec les différentielles. La \(A\)-linéarité de \(g\) se traduit immédiatement par la \(A\)-bilinéarité de \(g''\). En effet, soient \(x \in M^e\) et \(x' \in (M')^{e'}\) et \(a \in A^n\). Alors d’une part nous avons \[\begin{align*} g''(x, ax') & = (-1)^{e(n + e')} g'(ax' \otimes x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} g(ax')(x) \\ & = (-1)^{e(n + e')} (a \cdot g(x'))(x) \\ & = (-1)^{e(n + e') + n(n + e + e') + n} g(x')(xa) \end{align*}\] et d’autre part nous avons \[g''(xa, x') = (-1)^{(e + n)e'} g'(x' \otimes xa) = (-1)^{(e + n)e'} g(x')(xa)\] Ces deux expressions sont égales, comme le montre un calcul élémentaire modulo \(2\) sur les exposants.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à gauche. Soit \(N^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules. Les constructions ci-dessus produisent un \(A\)-module différentiel gradué à droite \(\Hom(M, N^\bullet)\), puis un \(A\)-module différentiel gradué à gauche \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\). Nous affirmons qu’il existe une application d’évaluation \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] dans la catégorie des \(A\)-modules différentiels gradués à gauche. Pour la définir, d’après le lemme 0FQ4, il suffit de construire un couplage \(A\)-bilinéaire \[\Hom(M, N^\bullet) \times M \longrightarrow N^\bullet\] compatible avec la graduation et les différentielles. Pour cela nous prenons \[(f, x) \longmapsto f(x)\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ceci est compatible avec la graduation, les différentielles, et bilinéaire sur \(A\). L’application \(ev\) sur les complexes de \(R\)-modules sous-jacents est celle de Compléments d’algèbre, point (0FNM).

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué à droite. Soit \(N^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules. Les constructions ci-dessus produisent un \(A\)-module différentiel gradué à gauche \(\Hom(M, N^\bullet)\), puis un \(A\)-module différentiel gradué à droite \(\Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\). Nous affirmons qu’il existe une application d’évaluation \[ev : M \longrightarrow \Hom(\Hom(M, N^\bullet), N^\bullet)\] dans la catégorie des \(A\)-modules différentiels gradués à droite. Pour la définir, d’après le lemme 0FQ4, il suffit de construire un couplage \(A\)-bilinéaire \[M \times \Hom(M, N^\bullet) \longrightarrow N^\bullet\] compatible avec la graduation et les différentielles. Pour cela, nous prenons \[(x, f) \longmapsto (-1)^{\deg(x)\deg(f)}f(x)\] Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cela est compatible avec la graduation, les différentielles et bilinéaire sur \(A\). L’application \(ev\) sur les complexes de \(R\)-modules sous-jacents est celle de Compléments d’algèbre, point (0FNM).

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une algèbre différentielle graduée sur \(R\). Soient \(M^\bullet\) et \(N^\bullet\) des complexes de \(R\)-modules. Soit \(k \in \mathbf{Z}\) et considérons l’isomorphisme \[\Hom^\bullet(M^\bullet, N^\bullet)[-k] \longrightarrow \Hom^\bullet(M^\bullet[k], N^\bullet)\] de complexes de \(R\)-modules défini dans Compléments d’algèbre, point (0FNN). Si \(M^\bullet\) a la structure d’un module différentiel gradué à gauche, resp. à droite, sur \(A\), alors il s’agit d’un homomorphisme de modules différentiels gradués à droite, resp. à gauche, sur \(A\) (avec les structures de module telles que définies dans cette section). Nous omettons la vérification ; nous avertissons le lecteur que la structure de \(A\)-module sur le décalage d’un \(A\)-module gradué à gauche est définie en utilisant un signe, voir définition 0FQ1.

Modules projectifs sur les algèbres

Dans cette section, nous étudions les modules projectifs sur des algèbres, par analogie avec Algèbre, section 05CD. Cette section devrait probablement être déplacée ailleurs.

Soit \(R\) un anneau et soit \(A\) une \(R\)-algèbre, voir la section 09JF pour nos conventions. Il est clair que \(A\) est un \(A\)-module à droite projectif puisque \(\Hom_A(A, M) = M\) pour tout \(A\)-module à droite \(M\) (et donc \(\Hom_A(A, -)\) est exact). Inversement, soit \(P\) un \(A\)-module à droite projectif. Alors nous pouvons choisir une surjection \(\bigoplus_{i \in I} A \to P\) en choisissant un ensemble \(\{p_i\}_{i \in I}\) de générateurs de \(P\) sur \(A\). Puisque \(P\) est projectif, il existe un inverse à gauche de la surjection, et nous trouvons que \(P\) est isomorphe à un facteur direct d’un module libre, exactement comme dans le cas commutatif (Algèbre, lemme 05CF).

Nous concluons

1. la catégorie des \(A\)-modules a suffisamment de projectifs,

2. \(A\) est un \(A\)-module projectif.

3. chaque \(A\)-module est un quotient d’une somme directe de copies de \(A\),

4. chaque \(A\)-module projectif est un facteur direct d’une somme directe de copies de \(A\).

Modules projectifs sur les algèbres graduées

Dans cette section, nous étudions les modules gradués projectifs sur des algèbres graduées, par analogie avec Algèbre, section 05CD.

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une algèbre \(\mathbf{Z}\)-graduée sur \(R\). Voir la section 09JF pour nos conventions. Soit \(\text{Mod}_A\) la catégorie des \(A\)-modules gradués à droite. Pour un entier \(k\), soit \(A[k]\) le décalage de \(A\). Pour un \(A\)-module gradué à droite, nous avons \[\Hom_{\text{Mod}_A}(A[k], M) = M^{-k}\] Comme le foncteur \(M \mapsto M^{-k}\) est exact sur \(\text{Mod}_A\), nous en concluons que \(A[k]\) est un objet projectif de \(\text{Mod}_A\). Inversement, supposons que \(P\) soit un objet projectif de \(\text{Mod}_A\). En choisissant un ensemble de générateurs homogènes de \(P\) comme \(A\)-module, nous pouvons trouver une surjection \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \longrightarrow P\] Ainsi, nous concluons qu’un objet projectif de \(\text{Mod}_A\) est un facteur direct d’une somme directe des décalages \(A[k]\).

Nous concluons

1. la catégorie des \(A\)-modules gradués a suffisamment d’objets projectifs,

2. \(A[k]\) est un \(A\)-module projectif pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\),

3. chaque \(A\)-module gradué est un quotient d’une somme directe de copies des modules \(A[k]\) pour différents \(k\).

4. tout \(A\)-module projectif est un facteur direct d’une somme directe de copies des modules \(A[k]\) pour des \(k\) variables.

Modules projectifs et algèbres différentielles graduées

Si \((A, \text{d})\) est une algèbre différentielle graduée et \(P\) est un objet de \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) alors nous disons \(P\) est projectif en tant que \(A\)-module gradué ou parfois \(P\) est projectif gradué pour signifier que \(P\) est un objet projectif de la catégorie abélienne \(\text{Mod}_A\) des \(A\)-modules gradués comme dans la section 0FQA.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M \to P\) un homomorphisme surjectif de \(A\)-modules différentiels gradués. Si \(P\) est projectif en tant que \(A\)-module gradué, alors \(M \to P\) est un épimorphisme admissible.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \((A, d)\) une algèbre différentielle graduée. Alors nous avons \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(A[k], M) = \Ker(\text{d} : M^{-k} \to M^{-k + 1})\] et \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], M) = H^{-k}(M)\] pour tout \(A\)-module différentiel gradué \(M\).

Démonstration

Immédiat d’après les définitions.

Modules injectifs sur les algèbres

Dans cette section, nous étudions les modules injectifs sur des algèbres, par analogie avec Compléments d’algèbre, section 01D8. Cette section devrait probablement être déplacée ailleurs.

Soit \(R\) un anneau et soit \(A\) une \(R\)-algèbre, voir la section 09JF pour nos conventions. Pour un \(A\)-module à droite \(M\), nous posons \[M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] que nous considérons comme un \(A\)-module à gauche par la multiplication \((a f)(x) = f(xa)\). À savoir, \(((ab)f)(x) = f(xab) = (bf)(xa) = (a(bf))(x)\). Inversement, si \(M\) est un \(A\)-module à gauche, alors \(M^\vee\) est un \(A\)-module à droite. Puisque \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) est un groupe abélien injectif (Compléments d’algèbre, lemme 01D7), le foncteur \(M \mapsto M^\vee\) est exact (Compléments d’algèbre, lemme 01DA). De plus, l’application d’évaluation \(M \to (M^\vee)^\vee\) est injective pour tous les modules \(M\) (Compléments d’algèbre, lemme 01DB).

Nous affirmons que \(A^\vee\) est un \(A\)-module à droite injectif. À savoir, étant donné un \(A\)-module à droite \(N\) nous avons \[\Hom_A(N, A^\vee) = \Hom_A(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = N^\vee\] et nous concluons parce que le foncteur \(N \mapsto N^\vee\) est exact. La seconde égalité tient parce que \[\Hom_\mathbf{Z}(N, \Hom_\mathbf{Z}(A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_\mathbf{Z} A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] d’après Algèbre, lemme 00DE. À l’intérieur de ce module, la \(A\)-linéarité sélectionne exactement les applications bilinéaires \(\varphi : N \times A \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) qui ont la même valeur sur \(x \otimes a\) et \(xa \otimes 1\), c’est-à-dire qui proviennent d’éléments de \(N^\vee\).

Enfin, pour tout \(A\)-module à droite \(M\), nous pouvons choisir une surjection \(\bigoplus_{i \in I} A \to M^\vee\) pour obtenir une injection \(M \to (M^\vee)^\vee \to \prod_{i \in I} A^\vee\).

Nous concluons

1. que la catégorie des \(A\)-modules possède suffisamment d’injectifs,

2. \(A^\vee\) est un \(A\)-module injectif, et

3. tout \(A\)-module s’injecte dans un produit de copies de \(A^\vee\).

Modules injectifs sur les algèbres graduées

Dans cette section, nous discutons des modules gradués injectifs sur les algèbres graduées de manière analogue à Compléments d’algèbre, section 01D8.

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A\) une algèbre graduée par \(\mathbf{Z}\) sur \(R\). Voir la section 09JF pour nos conventions. Si \(M\) est un \(R\)-module gradué, nous posons \[M^\vee = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathbf{Z}(M^{-n}, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} (M^{-n})^\vee\] comme un \(R\)-module gradué (aucun signe dans les actions de \(R\) sur les parties homogènes). Si \(M\) a la structure d’un \(A\)-module à gauche gradué, alors nous définissons une structure de \(A\)-module gradué à droite sur \(M^\vee\) en laissant \(a \in A^m\) agir par \[(M^{-n})^\vee \to (M^{-n - m})^\vee, \quad f \mapsto f \circ a\] comme dans la section 0FQ2. Si \(M\) a la structure d’un \(A\)-module à droite gradué, alors nous définissons une structure de \(A\)-module gradué à gauche sur \(M^\vee\) en laissant \(a \in A^n\) agir par \[(M^{-m})^\vee \to (M^{-m - n})^\vee, \quad f \mapsto (-1)^{nm}f \circ a\] comme dans la section 0FQ2 (le signe nous est imposé parce que nous voulons utiliser la même formule pour le cas où l’on travaille avec des modules différentiels gradués — si l’on ne s’intéresse qu’aux modules gradués, on peut omettre le signe ici). Sur la catégorie des \(A\)-modules gradués (à gauche ou à droite), le foncteur \(M \mapsto M^\vee\) est exact (vérifier sur les composantes graduées). De plus, il existe une application d’évaluation injective \[ev : M \longrightarrow (M^\vee)^\vee, \quad ev^n = (-1)^n \text{ l'application d'évaluation }M^n \to ((M^n)^\vee)^\vee\] de modules gradués sur \(R\), voir Compléments d’algèbre, point (0FNM). Cette application d’évaluation est un homomorphisme de \(A\)-modules à gauche, resp. à droite, si \(M\) est un \(A\)-module à gauche, resp. à droite ; voir les remarques 0FQ7 et 0FQ8. Enfin, étant donné \(k \in \mathbf{Z}\), il existe un isomorphisme canonique \[M^\vee[-k] \longrightarrow (M[k])^\vee\] de \(R\)-modules gradués qui utilise un signe et qui, si \(M\) est un \(A\)-module à gauche, resp.  à droite, est un isomorphisme de \(A\)-modules à droite, resp.  à gauche. Voir la remarque 0FQ9.

Nous affirmons que \(A^\vee\) est un objet injectif de la catégorie \(\text{Mod}_A\) des \(A\)-modules gradués à droite. En effet, étant donné un \(A\)-module gradué à droite \(N\) nous avons \[\Hom_{\text{Mod}_A}(N, A^\vee) = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A A, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})) = (N^0)^\vee\] selon le lemme 0FQ4 (appliqué au cas où toutes les différentielles sont nulles). Nous en concluons parce que le foncteur \(N \mapsto (N^0)^\vee = (N^\vee)^0\) est exact.

Enfin, pour chaque \(A\)-module gradué à droite \(M\) nous pouvons choisir une surjection de \(A\)-modules gradués à gauche \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} A[k_i] \to M^\vee\] où \(A[k_i]\) désigne le décalage de \(A\) par \(k_i \in \mathbf{Z}\). Nous faisons cela en choisissant des générateurs homogènes pour \(M^\vee\). De cette manière, nous obtenons une injection \[M \to (M^\vee)^\vee \to \prod A[k_i]^\vee = \prod A^\vee[-k_i]\] Remarquez que les produits dans la formule ci-dessus sont des produits dans la catégorie des modules gradués (autrement dit, prendre les produits degré par degré, puis la somme directe des composantes).

Nous concluons que

1. la catégorie des \(A\)-modules gradués a assez d’injectifs,

2. pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\) le module \(A^\vee[k]\) est injectif, et

3. chaque \(A\)-module s’injecte dans un produit dans la catégorie des modules gradués de copies de décalages \(A^\vee[k]\).

Modules injectifs et algèbres différentielles graduées

Si \((A, \text{d})\) est une algèbre différentielle graduée et \(I\) est un objet de \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) alors nous disons que \(I\) est injectif en tant que \(A\)-module gradué ou parfois \(I\) est injectif gradué pour signifier que \(I\) est un objet injectif de la catégorie abélienne \(\text{Mod}_A\) des \(A\)-modules gradués.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(I \to M\) un homomorphisme injectif de \(A\)-modules différentiels gradués. Si \(I\) est injectif gradué, alors \(I \to M\) est un monomorphisme admissible.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Si \(M\) est un \(A\)-module différentiel gradué à gauche, resp. à droite, alors \[M^\vee = \Hom^\bullet(M^\bullet, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\] avec la structure de \(A\)-module construite dans la section 0FQC est un \(A\)-module différentiel gradué à droite, resp. à gauche, selon la discussion dans la section 0FQ2. Selon les remarques 0FQ7 et 0FQ8, l’application d’évaluation de la section 0FQC \[M \longrightarrow (M^\vee)^\vee\] est un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués à gauche, resp. à droite.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Si \(M\) est un \(A\)-module différentiel gradué à gauche et \(N\) est un \(A\)-module différentiel gradué à droite, alors \[\begin{align*} \Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(N, M^\vee) & = \Hom_{\text{Comp}(\mathbf{Z})}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \\ & = \text{DifferentialGradedBilinear}_A(N \times M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) \end{align*}\]

Démonstration

La première égalité découle du lemme 0FQ4 et la deuxième égalité a été démontrée dans la section 09LL.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Alors nous avons \[\Hom_{\text{Mod}_{(A, \text{d})}}(M, A^\vee[k]) = \Ker(\text{d} : (M^\vee)^k \to (M^\vee)^{k + 1})\] et \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, A^\vee[k]) = H^k(M^\vee)\] comme foncteurs du \(A\)-module différentiel gradué \(M\).

Démonstration

Cela est clair à partir de la discussion ci-dessus.

P-résolutions

Cette section est l’analogue de Catégories dérivées, section 06XW.

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(P\) un \(A\)-module différentiel gradué. Nous disons que \(P\) a la propriété (P) s’il existe une filtration \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] par des sous-modules différentiels gradués, satisfaisant aux conditions suivantes :

1. \(P = \bigcup F_pP\),

2. les inclusions \(F_iP \to F_{i + 1}P\) sont des monomorphismes admissibles,

3. les quotients \(F_{i + 1}P/F_iP\) sont isomorphes en tant que modules différentiels gradués sur \(A\) à une somme directe de \(A[k]\).

En fait, la condition (2) est une conséquence de la condition (3), voir le lemme 09K0. De plus, le lecteur peut vérifier que, en tant que \(A\)-module gradué, \(P\) sera isomorphe à une somme directe de décalages de \(A\).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(P\) un module différentiel gradué sur \(A\). Si \(F_\bullet\) est une filtration comme dans la propriété (P), alors nous obtenons une suite exacte courte admissible \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] de modules différentiels gradués sur \(A\).

Démonstration

La deuxième application est la somme directe des applications d’inclusion. La première application sur le facteur direct \(F_iP\) de la source est la somme de l’identité \(F_iP \to F_iP\) et de l’opposée de l’application d’inclusion \(F_iP \to F_{i + 1}P\). Choisissons des homomorphismes \(s_i : F_{i + 1}P \to F_iP\) de modules gradués sur \(A\) qui sont des inverses à gauche des applications d’inclusion. La composition donne des applications \(s_{j, i} : F_jP \to F_iP\) pour tout \(j > i\). Ensuite, un inverse à gauche de la première flèche envoie \(x \in F_jP\) sur \((s_{j, 0}(x), s_{j, 1}(x), \ldots, s_{j, j - 1}(x), 0, \ldots)\) dans \(\bigoplus F_iP\).

Le lemme suivant montre que les modules différentiels gradués ayant la propriété (P) sont la notion duale des modules K-injectifs (c’est-à-dire qu’ils sont K-projectifs dans un certain sens). Voir Catégories dérivées, définition 070H.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(P\) un \(A\)-module différentiel gradué ayant la propriété (P). Alors \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\).

Démonstration

Nous allons utiliser que \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) est une catégorie triangulée (proposition 09KJ). Soit \(F_\bullet\) une filtration sur \(P\) comme dans la propriété (P). La suite exacte courte du lemme 09KL produit un triangle distingué. Donc, d’après Catégories dérivées, lemme 0149, il suffit de montrer que \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(F_iP, N) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\) et tous les \(i\). Chacun des modules différentiels gradués \(F_iP\) possède une filtration finie par des monomorphismes admissibles, dont les quotients successifs sont des sommes directes de décalages \(A[k]\). Ainsi, il suffit de prouver que \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(A[k], N) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\) et tous les \(k\). Cela découle du lemme 09K1.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(P \to M\) de \(A\)-modules différentiels gradués avec les propriétés suivantes

1. \(P \to M\) est surjectif,

2. \(\Ker(\text{d}_P) \to \Ker(\text{d}_M)\) est surjectif, et

3. \(P\) s’insère dans une suite exacte courte admissible \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) où \(P'\), \(P''\) sont des sommes directes de décalages de \(A\).

Démonstration

Soit \(P_k\) le \(A\)-module libre avec des générateurs \(x, y\) en degrés \(k\) et \(k + 1\). Définissons la structure de \(A\)-module différentiel gradué sur \(P_k\) en posant \(\text{d}(x) = y\) et \(\text{d}(y) = 0\). Pour chaque élément \(m \in M^k\), il existe un homomorphisme \(P_k \to M\) envoyant \(x\) vers \(m\) et \(y\) vers \(\text{d}(m)\). Ainsi, nous voyons qu’il existe une surjection d’une somme directe de copies de \(P_k\) vers \(M\). Cela produit clairement \(P \to M\) ayant les propriétés (1) et (3). Pour obtenir la propriété (2), remarquons que si \(m \in \Ker(\text{d}_M)\) a le degré \(k\), alors il existe une application \(A[k] \to M\) envoyant \(1\) vers \(m\). Par conséquent, nous pouvons atteindre (2) en ajoutant une somme directe de copies de décalages de \(A\).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(P \to M\) de \(A\)-modules différentiels gradués tel que

1. \(P \to M\) soit un quasi-isomorphisme, et

2. \(P\) ait la propriété (P).

Démonstration

Posons \(M = M_0\). Nous choisissons par récurrence des suites exactes courtes \[0 \to M_{i + 1} \to P_i \to M_i \to 0\] où les applications \(P_i \to M_i\) sont choisies comme dans le lemme 09KN. Cela donne une « résolution » \[\ldots \to P_2 \xrightarrow{f_2} P_1 \xrightarrow{f_1} P_0 \to M \to 0\] Ensuite, nous posons \[P = \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i\] comme \(A\)-module, avec une graduation donnée par \(P^n = \bigoplus_{a + b = n} P_{-a}^b\) et une différentielle (comme dans la construction du complexe total associé à un double complexe) par \[\text{d}_P(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{P_{-a}}(x)\] pour \(x \in P_{-a}^b\). Avec ces conventions, \(P\) est en effet un \(A\)-module différentiel gradué. En rappelant que chaque \(P_i\) a une filtration à deux crans \(0 \to P_i' \to P_i \to P_i'' \to 0\), nous posons \[F_{2i}P = \bigoplus\nolimits_{i \geq j \geq 0} P_j \subset \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} P_i = P\] et nous ajoutons \(P'_{i + 1}\) à \(F_{2i}P\) pour obtenir \(F_{2i + 1}\). Ce sont des sous-modules différentiels gradués et les quotients successifs sont des sommes directes de décalages de \(A\). D’après le lemme 09K0, nous voyons que les inclusions \(F_iP \to F_{i + 1}P\) sont des monomorphismes admissibles. Enfin, nous devons montrer que l’application \(P \to M\) (donnée par l’augmentation \(P_0 \to M\)) est un quasi-isomorphisme. Cela découle d’Homologie, lemme 09IZ.

I-résolutions

Cette section est le dual de la section sur les P-résolutions.

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(I\) un \(A\)-module différentiel gradué. Nous disons que \(I\) a la propriété (I) s’il existe une filtration \[I = F_0I \supset F_1I \supset F_2I \supset \ldots \supset 0\] par sous-modules différentiels gradués telle que

1. \(I = \lim I/F_pI\),

2. les applications \(I/F_{i + 1}I \to I/F_iI\) soient des épimorphismes admissibles,

3. les quotients \(F_iI/F_{i + 1}I\) soient isomorphes comme \(A\)-modules différentiels gradués à des produits des modules \(A^\vee[k]\) construits à la section 0FQD.

En fait, la condition (2) est une conséquence de la condition (3), voir le lemme 09K2. Le lecteur peut vérifier qu’en tant que module gradué, \(I\) sera isomorphe à un produit de \(A^\vee[k]\).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(I\) un \(A\)-module différentiel gradué. Si \(F_\bullet\) est une filtration comme dans la propriété (I), alors on obtient une suite exacte courte admissible \[0 \to I \to \prod\nolimits I/F_iI \to \prod\nolimits I/F_iI \to 0\] de \(A\)-modules différentiels gradués.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : c’est le dual du lemme 09KL.

Le lemme suivant montre que les modules différentiels gradués avec la propriété (I) sont l’analogue des modules K-injectifs. Voir Catégories dérivées, définition 070H.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(I\) un \(A\)-module différentiel gradué avec la propriété (I). Alors \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\).

Démonstration

Nous utiliserons que \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) est une catégorie triangulée (proposition 09KJ). Soit \(F_\bullet\) une filtration sur \(I\) comme dans la propriété (I). La suite exacte courte du lemme 09KR produit un triangle distingué. Ainsi, par Catégories dérivées, lemme 0149, il suffit de montrer que \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, I/F_iI) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\) et tous les \(i\). Chacun des modules différentiels gradués \(I/F_iI\) possède une filtration finie par monomorphismes admissibles, dont les quotients successifs sont des produits de \(A^\vee[k]\). Ainsi il suffit de prouver que \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(N, A^\vee[k]) = 0\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués acycliques \(N\) et tous les \(k\). Cela découle du lemme 09K4 et du fait que \((-)^\vee\) est un foncteur exact.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(M \to I\) de \(A\)-modules différentiels gradués avec les propriétés suivantes

1. \(M \to I\) est injectif,

2. \(\Coker(\text{d}_M) \to \Coker(\text{d}_I)\) est injectif, et

3. \(I\) s’insère dans une suite exacte courte admissible \(0 \to I' \to I \to I'' \to 0\) où \(I'\), \(I''\) sont des produits de décalages de \(A^\vee\).

Démonstration

Nous utiliserons les foncteurs \(N \mapsto N^\vee\) (des modules différentiels gradués à gauche vers ceux à droite, et des modules différentiels gradués à droite vers ceux à gauche) construits dans la section 0FQD et toutes leurs propriétés. Pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\), soit \(Q_k\) le \(A\)-module libre à gauche avec des générateurs \(x, y\) dans les degrés \(k\) et \(k + 1\). Définissons la structure de \(A\)-module différentiel gradué à gauche sur \(Q_k\) en posant \(\text{d}(x) = y\) et \(\text{d}(y) = 0\). En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 09KN, nous trouvons une surjection \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i} \longrightarrow M^\vee\] de modules différentiels gradués à gauche sur \(A\). Ensuite, nous pouvons considérer l’injection \[M \to (M^\vee)^\vee \to (\bigoplus\nolimits_{i \in I} Q_{k_i})^\vee = \prod\nolimits_{i \in I} I_{k_i}\] où \(I_k = Q_{-k}^\vee\) est le \(A\)-module différentiel gradué à droite « dual ». De plus, la suite exacte courte \(0 \to A[-k - 1] \to Q_k \to A[-k] \to 0\) produit une suite exacte courte \(0 \to A^\vee[k] \to I_k \to A^\vee[k + 1] \to 0\).

Le résultat du paragraphe précédent produit \(M \to I\) ayant les propriétés (1) et (3). Pour obtenir la propriété (2), supposons que \(\overline{m} \in \Coker(\text{d}_M)\) soit un élément non nul de degré \(k\). Choisissons une application \(\lambda : M^k \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) qui s’annule sur \(\Im(M^{k - 1} \to M^k)\) mais pas sur \(m\). Selon le lemme 09K4, cela correspond à un homomorphisme \(M \to A^\vee[k]\) de \(A\)-modules différentiels gradués qui ne s’annule pas sur \(m\). Par conséquent, nous pouvons obtenir (2) en ajoutant un produit de copies de décalages de \(A^\vee\).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(M \to I\) de \(A\)-modules différentiels gradués tel que

1. \(M \to I\) soit un quasi-isomorphisme, et

2. \(I\) possède la propriété (I).

Démonstration

Posons \(M = M_0\). Nous choisissons par récurrence des suites exactes courtes \[0 \to M_i \to I_i \to M_{i + 1} \to 0\] où les applications \(M_i \to I_i\) sont choisies comme dans le lemme 09KT. Cela donne une « résolution » \[0 \to M \to I_0 \xrightarrow{f_0} I_1 \xrightarrow{f_1} I_1 \to \ldots\] Notons \(I\) le \(A\)-module différentiel gradué dont les composantes graduées sont \[I^n = \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i\] et dont la différentielle est définie par \[\text{d}_I(x) = f_i(x) + (-1)^i \text{d}_{I_i}(x)\] pour \(x \in I_i^{n - i}\). Avec ces conventions, \(I\) est en effet un \(A\)-module différentiel gradué. En rappelant que chaque \(I_i\) possède une filtration à deux crans \(0 \to I_i' \to I_i \to I_i'' \to 0\), nous posons \[F_{2i}I^n = \prod\nolimits_{j \geq i} I^{n - j}_j \subset \prod\nolimits_{i \geq 0} I^{n - i}_i = I^n\] et nous ajoutons un facteur \(I'_{i + 1}\) à \(F_{2i}I\) pour obtenir \(F_{2i + 1}I\). Ce sont des sous-modules différentiels gradués et les quotients successifs sont des produits de décalages de \(A^\vee\). D’après le lemme 09K2, nous voyons que les inclusions \(F_{i + 1}I \to F_iI\) sont des monomorphismes admissibles. Enfin, nous devons montrer que l’application \(M \to I\) (donnée par l’augmentation \(M \to I_0\)) est un quasi-isomorphisme. Cela découle d’Homologie, lemme 09J0.

La catégorie dérivée

Rappelons que les notions de modules différentiels gradués acycliques et de quasi-isomorphisme de modules différentiels gradués ont un sens (voir section 09JH).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. La sous-catégorie pleine \(\text{Ac}\) de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) composée de modules acycliques est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Le système multiplicatif saturé correspondant (voir Catégories dérivées, lemme 05RL) de \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) est la classe \(\text{Qis}\) des quasi-isomorphismes. En particulier, le noyau du foncteur de localisation \[Q : K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] est \(\text{Ac}\). De plus, le foncteur \(H^0\) se factorise par \(Q\).

Démonstration

Nous savons que \(H^0\) est un foncteur homologique par la suite exacte longue d’homologie (09JK). Le noyau de \(H^0\) est la sous-catégorie des objets acycliques et les flèches qui induisent des isomorphismes sur tous les \(H^i\) sont les quasi-isomorphismes. Ainsi, ce lemme est un cas particulier de Catégories dérivées, lemme 05RM.

Remarque de théorie des ensembles. La construction de la localisation donnée dans Catégories dérivées, proposition 05R6, exige que la catégorie triangulée donnée soit « petite », c’est-à-dire que la collection de ses objets forme un ensemble. Soit \(V_\alpha\) un univers partiel (comme dans Ensembles, section 000B) contenant \((A, \text{d})\) et où la cofinalité de \(\alpha\) est supérieure à \(\aleph_0\) (voir Ensembles, proposition 05N3). Alors nous pouvons considérer la catégorie \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\) des \(A\)-modules différentiels gradués contenus dans \(V_\alpha\). Une vérification simple montre que toutes les constructions utilisées dans la démonstration de la proposition 09KJ fonctionnent à l’intérieur de \(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}\) (car au pire nous prenons des sommes directes finies de modules différentiels gradués). Ainsi, nous obtenons une catégorie triangulée \(\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha})\). Nous verrons ci-dessous que si \(\beta > \alpha\), alors les foncteurs de transition \[\text{Qis}_\alpha^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \alpha}) \longrightarrow \text{Qis}_\beta^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d}), \beta})\] sont pleinement fidèles, puisque les ensembles de morphismes dans les catégories quotients se calculent à l’aide de morphismes entre P-résolutions dans les catégories homotopiques (la construction d’une P-résolution dans la démonstration du lemme 09KP prend des sommes directes dénombrables ainsi que des sommes directes indexées sur des sous-ensembles du module donné). Le lecteur doit donc considérer la catégorie du lemme comme l’union de ces sous-catégories.

En tenant compte de la remarque de théorie des ensembles à la fin de la démonstration du lemme précédent, nous définissons la catégorie dérivée comme suit.

Définition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(\text{Ac}\) et \(\text{Qis}\) comme dans le lemme 09KW. La catégorie dérivée de \((A, \text{d})\) est la catégorie triangulée \[D(A, \text{d}) = K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})/\text{Ac} = \text{Qis}^{-1}K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}).\] Nous notons \(H^0 : D(A, \text{d}) \to \text{Mod}_R\) le foncteur unique dont la composition avec le foncteur quotient redonne le foncteur \(H^0\) défini ci-dessus.

Voici le lemme promis calculant les ensembles de morphismes dans la catégorie dérivée.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soient \(M\) et \(N\) des \(A\)-modules différentiels gradués.

1. Soit \(P \to M\) une P-résolution comme dans le lemme 09KP. Alors \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, N)\]

2. Soit \(N \to I\) une I-résolution comme dans le lemme 09KU. Alors \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) = \Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(M, I)\]

Démonstration

Soit \(P \to M\) comme en (1). Puisque \(P \to M\) est un quasi-isomorphisme, nous voyons que \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, N) = \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N)\] par définition de la catégorie dérivée. Un morphisme \(f : P \to N\) dans \(D(A, \text{d})\) est égal à \(s^{-1}f'\) où \(f' : P \to N'\) est un morphisme et où \(s : N \to N'\) est un quasi-isomorphisme. Choisissons un triangle distingué \[N \to N' \to Q \to N[1]\] Comme \(s\) est un quasi-isomorphisme, nous voyons que \(Q\) est acyclique. Ainsi \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, Q[k]) = 0\) pour tout \(k\) par le lemme 09KM. Puisque \(\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(P, -)\) est cohomologique, nous concluons que nous pouvons relever \(f' : P \to N'\) de manière unique en un morphisme \(f : P \to N\). Cela termine la démonstration.

La démonstration de (2) est duale à celle de (1) en utilisant le lemme 09KS au lieu du lemme 09KM.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Alors

1. \(D(A, \text{d})\) a à la fois des sommes directes et des produits,

2. Les sommes directes sont obtenues en prenant des sommes directes de modules différentiels gradués,

3. Les produits sont obtenus en prenant les produits de modules différentiels gradués.

Démonstration

Nous utiliserons que \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) est une catégorie abélienne avec des sommes directes et des produits arbitraires, et qu’ils donnent lieu à des sommes directes et des produits dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Voir les lemmes 09JJ et 09JR.

Soit \(M_j\) une famille de \(A\)-modules différentiels gradués. Considérons la somme directe graduée \(M = \bigoplus M_j\) qui est un \(A\)-module différentiel gradué de manière évidente. Pour un \(A\)-module différentiel gradué \(N\), choisissons un quasi-isomorphisme \(N \to I\) où \(I\) est un \(A\)-module différentiel gradué avec la propriété (I). Voir le lemme 09KU. En utilisant le lemme 09KY, nous avons \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(M, N) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(M, I) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(M_j, I) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(M_j, N) \end{align*}\] d’où l’existence de sommes directes dans \(D(A, \text{d})\) comme indiqué dans la partie (2) du lemme.

Soit \(M_j\) une famille de \(A\)-modules différentiels gradués. Considérons le produit \(M = \prod M_j\) de \(A\)-modules différentiels gradués. Pour un \(A\)-module différentiel gradué \(N\), choisissons un quasi-isomorphisme \(P \to N\) où \(P\) est un \(A\)-module différentiel gradué ayant la propriété (P). Voir le lemme 09KP. En utilisant le lemme 09KY, nous avons \[\begin{align*} \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M) & = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) \\ & = \prod \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M_j) \\ & = \prod \Hom_{D(A, \text{d})}(N, M_j) \end{align*}\] d’où l’existence de sommes directes dans \(D(A, \text{d})\) comme indiqué dans la partie (3) du lemme.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. En utilisant des P-résolutions, nous pouvons parfois réduire les énoncés concernant des objets généraux de \(D(A, \text{d})\) à des énoncés concernant \(A[k]\). À savoir, soit \(T\) une propriété d’objets de \(D(A, \text{d})\) et supposons que

1. si \(K_i\), \(i \in I\) est une famille d’objets de \(D(A, \text{d})\) et \(T(K_i)\) vaut pour tous les \(i \in I\), alors \(T(\bigoplus K_i)\),

2. si \(K \to L \to M \to K[1]\) est un triangle distingué de \(D(A, \text{d})\) et \(T\) vaut pour deux, alors \(T\) vaut pour le troisième objet, et

3. \(T(A[k])\) vaut pour tous les \(k \in \mathbf{Z}\).

Alors \(T\) vaut pour tous les objets de \(D(A, \text{d})\). Cela découle clairement des lemmes 09KL et 09KP.

Le foncteur delta canonique

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Considérons le foncteur \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Ce foncteur n’est pas un \(\delta\)-foncteur en général. Cependant, il s’avère que le foncteur \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\) est un \(\delta\)-foncteur. Pour voir cela, nous devons définir les morphismes \(\delta\) associés à une suite exacte courte \[0 \to K \xrightarrow{a} L \xrightarrow{b} M \to 0\] dans la catégorie abélienne \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\). Considérons le cône \(C(a)\) du morphisme \(a\). Nous avons \(C(a) = L \oplus K\) et nous définissons \(q : C(a) \to M\) via la projection sur \(L\) suivie de \(b\). On obtient donc un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués \[q : C(a) \longrightarrow M.\] Il est clair que \(q \circ i = b\) où \(i\) est comme dans la définition 09KA. Notons que, comme \(a\) est injective, le noyau de \(q\) est identifié avec le cône de \(\text{id}_K\) qui est acyclique. Ainsi, nous voyons que \(q\) est un quasi-isomorphisme. Selon le lemme 09KF, le triangle \[(K, L, C(a), a, i, -p)\] est un triangle distingué dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Comme le foncteur de localisation \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to D(A, \text{d})\) est exact, nous voyons que \((K, L, C(a), a, i, -p)\) est un triangle distingué dans \(D(A, \text{d})\). Puisque \(q\) est un quasi-isomorphisme, nous voyons que \(q\) est un isomorphisme dans \(D(A, \text{d})\). Ainsi, nous déduisons que \[(K, L, M, a, b, -p \circ q^{-1})\] est un triangle distingué de \(D(A, \text{d})\). Cela suggère le lemme suivant.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Le foncteur \(\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to D(A, \text{d})\) défini possède la structure naturelle d’un \(\delta\)-foncteur, avec \[\delta_{K \to L \to M} = - p \circ q^{-1}\] avec \(p\) et \(q\) comme expliqué ci-dessus.

Démonstration

Nous avons déjà vu que ce choix conduit à un triangle distingué chaque fois qu’une suite exacte courte de complexes est donnée. Nous devons montrer la fonctorialité de cette construction, voir Catégories dérivées, définition 0150. Cela découle du lemme 09KD avec un peu de travail. Comparer avec Catégories dérivées, lemme 0152.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(M_n\) un système de modules différentiels gradués. Alors la colimite dérivée \(\text{hocolim} M_n\) dans \(D(A, \text{d})\) est représentée par le module différentiel gradué \(\colim M_n\).

Démonstration

Posons \(M = \colim M_n\). Nous avons une suite exacte de modules différentiels gradués \[0 \to \bigoplus M_n \to \bigoplus M_n \to M \to 0\] par Catégories dérivées, lemme 093W (appliqué aux complexes sous-jacents de groupes abéliens). Les sommes directes sont des sommes directes dans \(D(\mathcal{A})\) par le lemme 09QI. Ainsi, le résultat découle de la définition des colimites dérivées dans Catégories dérivées, définition 090Z et du fait qu’une suite exacte courte de complexes donne un triangle distingué (lemme 09L0).

Catégories linéaires

Juste les définitions.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Une catégorie \(R\)-linéaire \(\mathcal{A}\) est une catégorie où chaque ensemble de morphismes est muni d’une structure de \(R\)-module et où, pour \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\), la loi de composition \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \times \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] est \(R\)-bilinéaire.

Ainsi la composition détermine une application \(R\)-linéaire \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] de \(R\)-modules. Notons que nous ne supposons pas que les catégories \(R\)-linéaires soient additives.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Un foncteur de catégories \(R\)-linéaires, ou un foncteur \(R\)-linéaire est un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) où pour tous objets \(x, y\) de \(\mathcal{A}\) l’application \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{B}(F(x), F(y))\) est un homomorphisme de \(R\)-modules.

Catégories graduées

Juste quelques définitions.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Une catégorie graduée \(\mathcal{A}\) sur \(R\) est une catégorie où chaque ensemble de morphismes est doté de la structure d’un \(R\)-module gradué et où pour \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\) la composition est \(R\)-bilinéaire et induit un homomorphisme \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] de modules gradués sur \(R\) (c’est-à-dire préservant les degrés).

Dans cette situation, nous notons \(\Hom_\mathcal{A}^i(x, y)\) la composante de degré \(i\) de l’objet gradué \(\Hom_\mathcal{A}(x, y)\), de sorte que \[\Hom_\mathcal{A}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{A}^i(x, y)\] est la décomposition en somme directe en parties graduées.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Un foncteur de catégories graduées sur \(R\), ou un foncteur gradué est un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) où, pour tous les objets \(x, y\) de \(\mathcal{A}\), l’application \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) est un homomorphisme de \(R\)-modules gradués.

Étant donnée une catégorie graduée, nous nous intéressons souvent à la catégorie « usuelle » des applications de degré \(0\). Voici une définition formelle.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie graduée sur \(R\). On considère \(\mathcal{A}^0\) comme la catégorie ayant les mêmes objets que \(\mathcal{A}\) et avec \[\Hom_{\mathcal{A}^0}(x, y) = \Hom^0_\mathcal{A}(x, y)\] la composante de degré \(0\) du module gradué des morphismes de \(\mathcal{A}\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie graduée sur \(R\). Une somme directe \((x, y, z, i, j, p, q)\) dans \(\mathcal{A}\) (notation comme dans Homologie, remarque 0103) est une somme directe graduée si \(i, j, p, q\) sont homogènes de degré \(0\).

Exemple

Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie additive. Rappelons que nous avons défini la catégorie \(\text{Gr}(\mathcal{B})\) des objets gradués de \(\mathcal{B}\) en Homologie, définition 0125. Dans cet exemple, nous allons construire une catégorie graduée \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) sur \(R = \mathbf{Z}\) dont la catégorie associée \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})^0\) redonne \(\text{Gr}(\mathcal{B})\). Comme objets de \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\), nous prenons des objets gradués de \(\mathcal{B}\). Alors, étant donnés les objets gradués \(A = (A^i)\) et \(B = (B^i)\) de \(\mathcal{B}\) nous posons \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A, B) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] où la composante graduée de degré \(n\) est le groupe abélien des applications homogènes de degré \(n\) de \(A\) vers \(B\). Explicitement, nous avons \[\Hom^n(A, B) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] (observez l’inversion des indices et observez que nous avons un produit ici et non une somme directe). En d’autres termes, un morphisme de degré \(n\) \(f\) de \(A\) vers \(B\) peut être vu comme un système \(f = (f_{p, q})\) où \(p, q \in \mathbf{Z}\), \(p + q = n\), et où \(f_{p, q} : A^{-q} \to B^p\) est un morphisme de \(\mathcal{B}\). Étant donnés des objets gradués \(A\), \(B\), \(C\) de \(\mathcal{B}\), la composition des morphismes dans \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) est définie via les applications \[\Hom^m(B, C) \times \Hom^n(A, B) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A, C)\] par simple composition \((g, f) \mapsto g \circ f\) de morphismes homogènes d’objets gradués. En termes de composantes, nous avons \[(g \circ f)_{p, r} = g_{p, q} \circ f_{-q, r}\] où \(q\) est tel que \(p + q = m\) et \(-q + r = n\).

Exemple

Soit \(A\) une algèbre graduée par \(\mathbf{Z}\) sur un anneau \(R\). Nous allons construire une catégorie graduée \(\text{Mod}^{gr}_A\) sur \(R\) dont la catégorie associée \((\text{Mod}^{gr}_A)^0\) est la catégorie des \(A\)-modules gradués. Comme objets de \(\text{Mod}^{gr}_A\), nous prenons des \(A\)-modules droits gradués (voir section 09JZ). Étant donnés des \(A\)-modules gradués \(L\) et \(M\), nous posons \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(L, M)\] où \(\Hom^n(L, M)\) est l’ensemble des applications de \(A\)-modules à droite \(L \to M\) qui sont homogènes de degré \(n\), c’est-à-dire \(f(L^i) \subset M^{i + n}\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). En termes de composantes, nous avons que \[\Hom^n(L, M) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_R(L^{-q}, M^p)\] (observer l’inversion des indices) est le sous-ensemble constitué de ceux \(f = (f_{p, q})\) tels que \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] pour \(a \in A^i\) et \(m \in L^{-q - i}\). Pour les \(A\)-modules gradués \(K\), \(L\), \(M\), nous définissons la composition dans \(\text{Mod}^{gr}_A\) via les applications \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] par simple composition d’applications de modules à droite sur \(A\) : \((g, f) \mapsto g \circ f\).

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie \(R\)-linéaire dotée d’une collection de foncteurs \(R\)-linéaires \([n] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(x \mapsto x[n]\) indexés par \(n \in \mathbf{Z}\) tels que \([n] \circ [m] = [n + m]\) et \([0] = \text{id}_\mathcal{D}\) (égalité comme foncteurs). Cela nous permet de construire une catégorie graduée \(\mathcal{D}^{gr}\) sur \(R\) avec les mêmes objets que \(\mathcal{D}\) en posant \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_\mathcal{D}(x, y[n])\] pour \(x, y\) dans \(\mathcal{D}\). Observez que \((\mathcal{D}^{gr})^0 = \mathcal{D}\) (voir la définition 09ML). De plus, la catégorie graduée \(\mathcal{D}^{gr}\) hérite de foncteurs \(R\)-linéaires gradués \([n]\) satisfaisant \([n] \circ [m] = [n + m]\) et \([0] = \text{id}_{\mathcal{D}^{gr}}\) avec la propriété que \[\Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y[n]) = \Hom_{\mathcal{D}^{gr}}(x, y)[n]\] comme \(R\)-modules gradués, de manière compatible avec la composition des morphismes.

Inversement, supposons donnée une catégorie graduée \(\mathcal{A}\) sur \(R\) dotée d’une collection de foncteurs gradués \(R\)-linéaires \([n]\) satisfaisant \([n] \circ [m] = [n + m]\) et \([0] = \text{id}_\mathcal{A}\), qui sont de plus équipés d’isomorphismes \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] comme \(R\)-modules gradués, de manière compatible avec la composition des morphismes. Ensuite, le lecteur montre facilement que \(\mathcal{A} = (\mathcal{A}^0)^{gr}\).

Voici deux exemples de la relation \(\mathcal{D} \leftrightarrow \mathcal{A}\) que nous avons établie ci-dessus :

1. Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie additive. Si \(\mathcal{D} = \text{Gr}(\mathcal{B})\), alors \(\mathcal{A} = \text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) comme dans l’exemple 09MM.

2. Si \(A\) est un anneau gradué et \(\mathcal{D} = \text{Mod}_A\) est la catégorie des modules gradués à droite sur \(A\), alors \(\mathcal{A} = \text{Mod}^{gr}_A\), voir exemple 09MN.

Catégories différentielles graduées

Notons que si \(R\) est un anneau, alors \(R\) est une algèbre différentielle graduée sur lui-même (avec \(R = R^0\) bien sûr). Dans ce cas, un \(R\)-module différentiel gradué est la même chose qu’un complexe de \(R\)-modules. En particulier, étant donnés deux \(R\)-modules différentiels gradués \(M\) et \(N\), nous notons \(M \otimes_R N\) le \(R\)-module différentiel gradué correspondant au complexe total associé au double complexe obtenu par le produit tensoriel des complexes de \(R\)-modules associés à \(M\) et \(N\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. Une catégorie différentielle graduée \(\mathcal{A}\) sur \(R\) est une catégorie où chaque ensemble de morphismes est doté de la structure d’un \(R\)-module différentiel gradué et où pour \(x, y, z \in \Ob(\mathcal{A})\) la composition est \(R\)-bilinéaire et induit un homomorphisme \[\Hom_\mathcal{A}(y, z) \otimes_R \Hom_\mathcal{A}(x, y) \longrightarrow \Hom_\mathcal{A}(x, z)\] de \(R\)-modules différentiels gradués.

La condition finale de la définition signifie ce qui suit : si \(f \in \Hom_\mathcal{A}^n(x, y)\) et \(g \in \Hom_\mathcal{A}^m(y, z)\) sont homogènes de degrés \(n\) et \(m\), alors \[\text{d}(g \circ f) = \text{d}(g) \circ f + (-1)^mg \circ \text{d}(f)\] dans \(\Hom_\mathcal{A}^{n + m + 1}(x, z)\). Cela découle de la règle du signe pour la différentielle sur le complexe total d’un double complexe, voir Homologie, définition 012Z.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Un foncteur de catégories différentielles graduées sur \(R\) est un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) où pour tous les objets \(x, y\) de \(\mathcal{A}\), l’application \(F : \Hom_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom_\mathcal{A}(F(x), F(y))\) est un homomorphisme de \(R\)-modules différentiels gradués.

Étant donnée une catégorie différentielle graduée, nous nous intéressons souvent aux catégories correspondantes de complexes et à la catégorie homotopique. Voici une définition formelle.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie différentielle graduée sur \(R\). On définit

1. la catégorie des complexes de \(\mathcal{A}\)¹ comme la catégorie \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) dont les objets sont les mêmes que les objets de \(\mathcal{A}\) et avec \[\Hom_{\text{Comp}(\mathcal{A})}(x, y) = \Ker(d : \Hom^0_\mathcal{A}(x, y) \to \Hom^1_\mathcal{A}(x, y))\]

2. la catégorie homotopique de \(\mathcal{A}\) comme la catégorie \(K(\mathcal{A})\) dont les objets sont les mêmes que les objets de \(\mathcal{A}\) et avec \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(x, y) = H^0(\Hom_\mathcal{A}(x, y))\]

Notre utilisation du symbole \(K(\mathcal{A})\) est non standard, mais au moins elle est compatible avec l’utilisation de \(K(-)\) dans d’autres chapitres du projet Champs.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie différentielle graduée sur \(R\). Une somme directe \((x, y, z, i, j, p, q)\) dans \(\mathcal{A}\) (notation comme dans Homologie, remarque 0103) est une somme directe différentielle graduée si \(i, j, p, q\) sont homogènes de degré \(0\) et fermés, c’est-à-dire \(\text{d}(i) = 0\), etc.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) de catégories différentielles graduées sur \(R\) induit des foncteurs \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Comp}(\mathcal{B})\) et \(K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B})\).

Démonstration

Démonstration omise.

Exemple

Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie additive. Nous construirons une catégorie différentielle graduée \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) sur \(R = \mathbf{Z}\) dont la catégorie associée de complexes est \(\text{Comp}(\mathcal{B})\) et dont la catégorie homotopique associée est \(K(\mathcal{B})\). Comme objets de \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\), nous prenons des complexes de \(\mathcal{B}\). Étant donnés les complexes \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) de \(\mathcal{B}\), nous désignons parfois également par \(A^\bullet\) et \(B^\bullet\) les objets gradués correspondants de \(\mathcal{B}\) (c’est-à-dire en oubliant la différentielle). En utilisant cet abus de notation, nous posons \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(A, B)\] comme \(\mathbf{Z}\)-module gradué, avec les notations et définitions de l’exemple 09MM. En d’autres termes, la composante de degré \(n\) est le groupe abélien des morphismes homogènes de degré \(n\) d’objets gradués \[\Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) = \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^p)\] Notons l’inversion des indices et remarquons que nous avons un produit direct et non une somme directe. Pour un élément \(f \in \Hom^n(A^\bullet, B^\bullet)\) de degré \(n\), nous posons \[\text{d}(f) = \text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\] Le signe est exactement comme dans Plus sur l’algèbre, section 0FNG. Pour comprendre cela, nous pensons à \(\text{d}_B\) et \(\text{d}_A\) comme des morphismes d’objets gradués de \(\mathcal{B}\) homogènes de degré \(1\) et nous utilisons la composition dans la catégorie \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\) dans le membre de droite. En termes de composantes, si \(f = (f_{p, q})\) avec \(f_{p, q} : A^{-q} \to B^p\), nous avons [09LA]\[\begin{equation} \text{d}(f_{p, q}) = \text{d}_B \circ f_{p, q} - (-1)^{p + q} f_{p, q} \circ \text{d}_A \end{equation}\] Notons que le premier terme de cette expression se trouve dans \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q}, B^{p + 1})\) et que le deuxième terme se trouve dans \(\Hom_\mathcal{B}(A^{-q - 1}, B^p)\). Le lecteur vérifie que

1. \(\text{d}\) est de carré nul,

2. un élément \(f\) dans \(\Hom^n(A^\bullet, B^\bullet)\) a \(\text{d}(f) = 0\) si et seulement si le morphisme \(f : A^\bullet \to B^\bullet[n]\) d’objets gradués de \(\mathcal{B}\) est en fait un morphisme de complexes,

3. en particulier, la catégorie des complexes de \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) est égale à \(\text{Comp}(\mathcal{B})\),

4. le morphisme de complexes défini par \(f\) comme dans (2) est homotope à zéro si et seulement si \(f = \text{d}(g)\) pour un certain \(g \in \Hom^{n - 1}(A^\bullet, B^\bullet)\).

5. en particulier, nous obtenons un isomorphisme canonique \[\Hom_{K(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet))\] et la catégorie homotopique de \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})\) est égale à \(K(\mathcal{B})\).

Étant donnés les complexes \(A^\bullet\), \(B^\bullet\), \(C^\bullet\), nous définissons la composition \[\Hom^m(B^\bullet, C^\bullet) \times \Hom^n(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom^{n + m}(A^\bullet, C^\bullet)\] par composition \((g, f) \mapsto g \circ f\) dans la catégorie graduée \(\text{Gr}^{gr}(\mathcal{B})\), voir exemple 09MM. Cela définit un homomorphisme de modules différentiels gradués \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(B^\bullet, C^\bullet) \otimes_R \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, B^\bullet) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{B})}(A^\bullet, C^\bullet)\] comme requis dans la définition 09L5 parce que \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_C \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_A \\ & = \left(\text{d}_C \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_B\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_B \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_A\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] comme voulu.

Lemme

Soit \(F : \mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) un foncteur additif entre des catégories additives. Alors \(F\) induit un foncteur de catégories différentielles graduées \[F : \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}) \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{B}')\] de l’exemple 09L9 induisant les foncteurs usuels sur la catégorie des complexes et les catégories d’homotopie.

Démonstration

Démonstration omise.

Exemple

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée sur un anneau \(R\). Nous allons construire une catégorie différentielle graduée \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) sur \(R\) dont la catégorie des complexes est \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\) et dont la catégorie homotopique est \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\). Comme objets de \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\), nous prenons les \(A\)-modules différentiels gradués. Étant donnés des \(A\)-modules différentiels gradués \(L\) et \(M\), nous définissons \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) = \Hom_{\text{Mod}^{gr}_A}(L, M) = \bigoplus \Hom^n(L, M)\] en tant que \(R\)-module gradué où le membre de droite est défini comme dans l’exemple 09MN. En d’autres termes, la composante de degré \(n\) \(\Hom^n(L, M)\) est le \(R\)-module des morphismes de \(A\)-modules à droite homogènes de degré \(n\). Pour un élément \(f \in \Hom^n(L, M)\), nous posons \[\text{d}(f) = \text{d}_M \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_L\] Pour comprendre cela, nous considérons \(\text{d}_M\) et \(\text{d}_L\) comme des morphismes de \(R\)-modules gradués et nous utilisons la composition de morphismes de \(R\)-modules gradués. Il est clair que \(\text{d}(f)\) est homogène de degré \(n + 1\) en tant que morphisme de \(R\)-modules gradués, et il est \(A\)-linéaire parce que \[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_M(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_L(xa)) \\ & = \text{d}_M(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) - (-1)^n f(\text{d}_L(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] comme souhaité (observez que ce calcul ne fonctionnerait pas sans le signe dans la définition de notre différentielle sur \(\Hom\)). Des formules similaires à celles de l’exemple 09L9 valent pour la différentielle de \(f\) en termes de composantes. Le lecteur vérifie (de la même manière que dans l’exemple 09L9) que

1. \(\text{d}\) est de carré nul,

2. un élément \(f\) dans \(\Hom^n(L, M)\) a \(\text{d}(f) = 0\) si et seulement si \(f : L \to M[n]\) est un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués,

3. en particulier, la catégorie des complexes de \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) est \(\text{Mod}_{(A, \text{d})}\),

4. l’homomorphisme défini par \(f\) comme dans (2) est homotope à zéro si et seulement si \(f = \text{d}(g)\) pour un certain \(g \in \Hom^{n - 1}(L, M)\).

5. en particulier, nous obtenons un isomorphisme canonique \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})}(L, M) \longrightarrow H^0(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M))\] et la catégorie homotopique de \(\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\) est \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

Étant donnés des \(A\)-modules différentiels gradués \(K\), \(L\), \(M\), nous définissons la composition \[\Hom^m(L, M) \times \Hom^n(K, L) \longrightarrow \Hom^{n + m}(K, M)\] par composition de morphismes homogènes de \(A\)-modules à droite \((g, f) \mapsto g \circ f\). Cela définit un homomorphisme de modules différentiels gradués \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(L, M) \otimes_R \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, L) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(K, M)\] comme requis dans la définition 09L5 parce que \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_M \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_K \\ & = \left(\text{d}_M \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_L \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_K\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] comme voulu.

Lemme

Soit \(\varphi : (A, \text{d}) \to (E, \text{d})\) un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées. Alors \(\varphi\) induit un foncteur de catégories différentielles graduées \[F : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] de l’exemple 09LC induisant des foncteurs de restriction évidents sur les catégories de modules différentiels gradués et les catégories d’homotopie.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie différentielle graduée sur \(R\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{A}\). Soit \[(E, \text{d}) = \Hom_\mathcal{A}(x, x)\] l’algèbre différentielle graduée sur \(R\) des endomorphismes de \(x\). Nous obtenons un foncteur \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})},\quad y \longmapsto \Hom_\mathcal{A}(x, y)\] de catégories différentielles graduées en laissant \(E\) agir sur \(\Hom_\mathcal{A}(x, y)\) via la composition dans \(\mathcal{A}\). Ce foncteur induit des foncteurs \[\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{et}\quad K(\mathcal{A}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] par une application du lemme 09L8.

Démonstration

La démonstration est immédiate.

Construction de catégories triangulées

Dans cette section, nous examinons le cadre le plus général auquel s’appliquent les démonstrations de Catégories dérivées, proposition 014S et de la proposition 09KJ.

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie différentielle graduée sur \(R\). Pour que notre argument fonctionne, nous imposons quelques axiomes sur \(\mathcal{A}\) :

1. \(\mathcal{A}\) possède un objet nul et des sommes directes différentielles graduées de deux objets (comme dans la définition 09P4).

2. il existe des foncteurs \([n] : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}\) de catégories différentielles graduées tels que \([0] = \text{id}_\mathcal{A}\) et \([n + m] = [n] \circ [m]\) et des isomorphismes donnés \[\Hom_\mathcal{A}(x, y[n]) = \Hom_\mathcal{A}(x, y)[n]\] de \(R\)-modules différentiels gradués compatibles avec la composition.

Étant donnée notre catégorie différentielle graduée \(\mathcal{A}\), nous disons que

1. une suite \(x \to y \to z\) de morphismes de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) est une suite exacte courte admissible s’il existe un isomorphisme \(y \cong x \oplus z\) dans la catégorie graduée sous-jacente tel que \(x \to z\) et \(y \to z\) soient des (co)projections.

2. un morphisme \(x\to y\) de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) est un monomorphisme admissible s’il se prolonge en une suite exacte courte admissible \(x\to y\to z\).

3. un morphisme \(y\to z\) de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) est un épimorphisme admissible s’il se prolonge en une suite exacte courte admissible \(x\to y\to z\).

Le lemme suivant nous indique qu’une suite exacte courte admissible donne un triangle, à condition que nous ayons les axiomes (A) et (B).

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie différentielle graduée satisfaisant aux axiomes (A) et (B). Étant donnée une suite exacte courte admissible \(x \to y \to z\), on obtient (voir la démonstration) un triangle \[x \to y \to z \to x[1]\] dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) avec la propriété que toute composée de deux flèches consécutives de \(z[-1] \to x \to y \to z \to x[1]\) est nulle dans \(K(\mathcal{A})\).

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ x \ar[rr]_1 \ar[rd]_a & & x \\ & y \ar[ru]_\pi \ar[rd]^b & \\ z \ar[rr]^1 \ar[ru]^s & & z }\] donnant l’isomorphisme des objets gradués \(y \cong x \oplus z\) comme dans la définition d’une suite exacte courte admissible. Voici quelques équations qui sont valables dans cette situation

1. \(1 = \pi a\) et donc \(\text{d}(\pi) a = 0\),

2. \(1 = b s\) et donc \(b \text{d}(s) = 0\),

3. \(1 = a \pi + s b\) et donc \(a \text{d}(\pi) + \text{d}(s) b = 0\),

4. \(\pi s = 0\) et donc \(\text{d}(\pi)s + \pi \text{d}(s) = 0\),

5. \(\text{d}(s) = a \pi \text{d}(s)\) parce que \(\text{d}(s) = (a \pi + s b)\text{d}(s)\) et \(b\text{d}(s) = 0\),

6. \(\text{d}(\pi) = \text{d}(\pi) s b\) parce que \(\text{d}(\pi) = \text{d}(\pi)(a \pi + s b)\) et \(\text{d}(\pi)a = 0\),

7. \(\text{d}(\pi \text{d}(s)) = 0\) parce que si nous le postcomposons avec le monomorphisme \(a\) nous obtenons \(\text{d}(a\pi \text{d}(s)) = \text{d}(\text{d}(s)) = 0\), et

8. \(\text{d}(\text{d}(\pi)s) = 0\) car, d’après (4), c’est l’opposé de \(\text{d}(\pi\text{d}(s))\) qui est \(0\) par (7).

Nous avons utilisé à plusieurs reprises que \(\text{d}(a) = 0\), \(\text{d}(b) = 0\), et que \(\text{d}(1) = 0\). Par (7) nous voyons que \[\delta = \pi \text{d}(s) = - \text{d}(\pi) s : z \to x[1]\] est un morphisme dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). D’après (5), nous voyons que la composition \(a \delta = a \pi \text{d}(s) = \text{d}(s)\) est homotope à zéro. D’après (6), nous voyons que la composition \(\delta b = - \text{d}(\pi)sb = \text{d}(-\pi)\) est homotope à zéro.

Outre les axiomes (A) et (B), nous avons besoin d’un axiome concernant l’existence des cônes. Nous formalisons tout comme suit.

Situation

Ici \(R\) est un anneau et \(\mathcal{A}\) est une catégorie différentielle graduée sur \(R\) satisfaisant aux axiomes (A), (B), et

1. étant donnée une flèche \(f : x \to y\) de degré \(0\) avec \(\text{d}(f) = 0\), il existe une suite exacte courte admissible \(y \to c(f) \to x[1]\) dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) telle que l’application \(x[1] \to y[1]\) du lemme 09P6 soit égale à \(f[1]\).

Nous appellerons \(c(f)\) un cône du morphisme \(f\). Si (A), (B) et (C) sont satisfaits, alors les cônes sont fonctoriels dans un sens faible.

Lemme

Dans la situation 09QJ, supposons que \[\xymatrix{ x_1 \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & y_1 \ar[d]^b \\ x_2 \ar[r]^{f_2} & y_2 }\] soit un diagramme de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) commutatif à homotopie près. Alors il existe un morphisme \(c : c(f_1) \to c(f_2)\) qui donne lieu à un morphisme de triangles \[(a, b, c) : (x_1, y_1, c(f_1)) \to (x_1, y_1, c(f_1))\] dans \(K(\mathcal{A})\).

Démonstration

L’hypothèse signifie qu’il existe un morphisme \(h : x_1 \to y_2\) de degré \(-1\) tel que \(\text{d}(h) = b f_1 - f_2 a\). Choisissons des isomorphismes \(c(f_i) = y_i \oplus x_i[1]\) d’objets gradués compatibles avec les morphismes \(y_i \to c(f_i) \to x_i[1]\). Désignons par \(a_i : y_i \to c(f_i)\), \(b_i : c(f_i) \to x_i[1]\), \(s_i : x_i[1] \to c(f_i)\) et \(\pi_i : c(f_i) \to y_i\) les morphismes donnés. Rappelons que \(x_i[1] \to y_i[1]\) est donné par \(\pi_i \text{d}(s_i)\). Selon l’axiome (C), cela signifie que \[f_i = \pi_i \text{d}(s_i) = - \text{d}(\pi_i) s_i\] (nous identifions \(\Hom(x_i, y_i)\) avec \(\Hom(x_i[1], y_i[1])\) en utilisant le foncteur de décalage \([1]\)). Posons \(c = a_2 b \pi_1 + s_2 a b_1 + a_2hb\). Puis, en utilisant les égalités trouvées dans la démonstration du lemme 09P6, nous obtenons \[\begin{align*} \text{d}(c) & = a_2 b \text{d}(\pi_1) + \text{d}(s_2) a b_1 + a_2 \text{d}(h) b_1 \\ & = - a_2 b f_1 b_1 + a_2 f_2 a b_1 + a_2 (b f_1 - f_2 a) b_1 \\ & = 0 \end{align*}\] (où nous avons utilisé en particulier que \(\text{d}(\pi_1) = \text{d}(\pi_1) s_1 b_1 = f_1 b_1\) et \(\text{d}(s_2) = a_2 \pi_2 \text{d}(s_2) = a_2 f_2\)). Ainsi \(c\) est un morphisme de degré \(0\) \(c : c(f_1) \to c(f_2)\) de \(\mathcal{A}\) compatible avec les morphismes donnés \(y_i \to c(f_i) \to x_i[1]\).

Dans la situation 09QJ, nous disons qu’un triangle \((x, y, z, f, g, h)\) dans \(K(\mathcal{A})\) est un triangle distingué s’il existe une suite exacte courte admissible \(x' \to y' \to z'\) telle que \((x, y, z, f, g, h)\) soit isomorphe comme triangle dans \(K(\mathcal{A})\) au triangle \((x', y', z', x' \to y', y' \to z', \delta)\) construit dans le lemme 09P6. Nous montrerons ci-dessous que \[\boxed{ K(\mathcal{A})\text{ est une catégorie triangulée} }\] Ce résultat, bien qu’il ne soit pas aussi général qu’on pourrait le penser, s’applique à un certain nombre de généralisations naturelles des cas couverts jusqu’à présent dans le projet Champs. Voici quelques exemples :

1. Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((A, d)\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \(\mathcal{O}_X\). Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie différentielle graduée des modules différentiels gradués sur \(A\). Alors \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée.

2. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((A, d)\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \(\mathcal{O}\). Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie différentielle graduée des \(A\)-modules différentiels gradués. Alors \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée. Voir Faisceaux Différentiels Gradués, proposition 0FS7.

3. On trouvera deux exemples d’une autre nature dans Exemples, section 09R6.

Le lemme élémentaire suivant joue un rôle essentiel dans la construction.

Lemme

Dans la situation 09QJ, étant donné tout objet \(x\) de \(\mathcal{A}\), et le cône \(C(1_x)\) du morphisme identité \(1_x : x \to x\), le morphisme identité sur \(C(1_x)\) est homotope à zéro.

Démonstration

Considérons la suite exacte courte admissible donnée par l’axiome (C). \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^a & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^b & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^s }\] Alors, d’après le lemme 09P6, en identifiant les ensembles de morphismes par décalage, nous avons \(1_x=\pi d(s)=-d(\pi)s\) où \(s\) est considéré comme un morphisme dans \(\Hom_{\mathcal{A}}^{-1}(x,C(1_x))\). Par conséquent, \(a=a\pi d(s)=d(s)\) en utilisant la formule (5) du lemme 09P6, et \(b=-d(\pi)sb=-d(\pi)\) par la formule (6) du lemme 09P6. Ainsi \[1_{C(1_x)} = a\pi + sb = d(s)\pi - sd(\pi) = d(s\pi)\] puisque \(s\) est de degré \(-1\).

Une version plus générale du lemme ci-dessus apparaîtra dans le lemme 09QU. Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09JV.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soit un diagramme \[\xymatrix{x\ar[r]^f\ar[d]_a & y\ar[d]^b\\ z\ar[r]^g & w}\] dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) commutatif à homotopie près. Alors

1. Si \(f\) est un monomorphisme admissible, alors \(b\) est homotope à un morphisme \(b'\) qui fait commuter le diagramme.

2. Si \(g\) est un épimorphisme admissible, alors \(a\) est homotope à un morphisme \(a'\) qui fait commuter le diagramme.

Démonstration

Pour prouver (1), on observe que l’hypothèse implique qu’il existe un \(h\in\Hom_{\mathcal{A}}(x,w)\) de degré \(-1\) tel que \(bf-ga=d(h)\). Puisque \(f\) est un monomorphisme admissible, il existe un morphisme \(\pi : y \to x\) dans la catégorie \(\mathcal{A}\) de degré \(0\). Soit \(b' = b - d(h\pi)\). Alors \[\begin{align*} b'f = bf - d(h\pi)f = & bf - d(h\pi f) \quad (\text{puisque }d(f) = 0) \\ = & bf-d(h) \\ = & ga \end{align*}\] comme voulu. La démonstration pour (2) est omise.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09JW.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soit \(\alpha : x \to y\) un morphisme dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Alors il existe une factorisation dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) : \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] avec les propriétés suivantes :

1. \(\tilde{\alpha}\) est un monomorphisme admissible, et \(\pi\tilde{\alpha}=\alpha\).

2. Il existe un morphisme \(s:y\to\tilde{y}\) dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) tel que \(\pi s=1_y\) et que \(s\pi\) soit homotope à \(1_{\tilde{y}}\).

Démonstration

D’après l’axiome (A), nous pouvons prendre pour \(\tilde{y}\) la somme directe différentielle graduée de \(y\) et \(C(1_x)\) ; il existe donc un diagramme \[\xymatrix@C=3pc{ y \ar@<0.5ex>[r]^s & y\oplus C(1_x) \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{p} & C(1_x)\ar@<0.5ex>[l]^t }\] où tous les morphismes sont de degré zéro, et dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Soit \(\tilde{y} = y \oplus C(1_x)\). Alors \(1_{\tilde{y}} = s\pi + tp\). Considérons maintenant le diagramme \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar@<0.5ex>[r]^{\pi} & y\ar@<0.5ex>[l]^s }\] où \(\tilde{\alpha}\) est induit par le morphisme \(x\xrightarrow{\alpha}y\) et le morphisme naturel \(x\to C(1_x)\) s’insérant dans la suite exacte courte admissible \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r] & C(1_x) \ar@<0.5ex>[l] \ar@<0.5ex>[r] & x[1]\ar@<0.5ex>[l] }\] Ainsi, le morphisme \(C(1_x)\to x\) de degré 0 dans ce diagramme, ainsi que le morphisme nul \(y\to x\), induisent un morphisme de degré 0 \(\beta : \tilde{y} \to x\). Ensuite, \(\tilde{\alpha}\) est un monomorphisme admissible puisqu’il s’intègre dans la suite exacte courte admissible \[\xymatrix{ x\ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & x[1] }\] De plus, \(\pi\tilde{\alpha} = \alpha\) par la construction de \(\tilde{\alpha}\), et \(\pi s = 1_y\) par le premier diagramme. Il reste à montrer que \(s\pi\) est homotope à \(1_{\tilde{y}}\). Écrivons \(1_x\) sous la forme \(d(h)\) pour un certain morphisme de degré \(-1\). Ensuite, notre dernière affirmation découle de \[\begin{align*} 1_{\tilde{y}} - s\pi = & tp \\ = & t(dh)p\quad\text{(d'après le lemme \href{dga.html#dga-lemma-id-cone-null}{09QK})} \\ = & d(thp) \end{align*}\] puisque \(dt = dp = 0\), et \(t\) est de degré zéro.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09JX.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soit \(x_1 \to x_2 \to \ldots \to x_n\) une suite de morphismes composables dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Alors il existe un diagramme commutatif dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) : \[\xymatrix{x_1\ar[r] & x_2\ar[r] & \ldots\ar[r] & x_n\\ y_1\ar[r]\ar[u] & y_2\ar[r]\ar[u] & \ldots\ar[r] & y_n\ar[u]}\] de telle sorte que chaque \(y_i\to y_{i+1}\) soit un monomorphisme admissible et chaque \(y_i\to x_i\) soit une équivalence d’homotopie.

Démonstration

Le cas de \(n=1\) est trivial : on prend simplement \(y_1 = x_1\) et le morphisme identité sur \(x_1\) est en particulier une équivalence d’homotopie. Le cas \(n = 2\) est donné par le lemme 09QM. Supposons que nous ayons construit le diagramme jusqu’à \(x_{n - 1}\). Nous appliquons le lemme 09QM à la composition \(y_{n - 1} \to x_{n-1} \to x_n\) pour obtenir \(y_n\). Ensuite, \(y_{n - 1} \to y_n\) sera un monomorphisme admissible, et \(y_n \to x_n\) une équivalence d’homotopie.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09JY.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soient \(x_i \to y_i \to z_i\) des morphismes dans \(\mathcal{A}\) (\(i=1,2,3\)) tels que \(x_2 \to y_2\to z_2\) soit une suite exacte courte admissible. Soient \(b : y_1 \to y_2\) et \(b' : y_2\to y_3\) des morphismes dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) tels que \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \ar[d]_0 \ar[r] & y_1 \ar[r] \ar[d]_b & z_1 \ar[d]_0 \\ x_2 \ar[r] & y_2 \ar[r] & z_2 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x_2 \ar[d]^0 \ar[r] & y_2 \ar[r] \ar[d]^{b'} & z_2 \ar[d]^0 \\ x_3 \ar[r] & y_3 \ar[r] & z_3 } }\] commutent à homotopie près. Alors \(b'\circ b\) est homotope à \(0\).

Démonstration

Par le lemme 09QL, nous pouvons remplacer \(b\) et \(b'\) par des morphismes homotopes \(\tilde{b}\) et \(\tilde{b}'\), de telle sorte que le carré de droite du diagramme de gauche commute et que le carré de gauche du diagramme de droite commute. Notons \(b = \tilde{b} + d(h)\) et \(b'=\tilde{b}'+d(h')\) pour des morphismes de degré \(-1\) \(h\) et \(h'\) dans \(\mathcal{A}\). D’où \[b'b = \tilde{b}'\tilde{b} + d(\tilde{b}'h + h'\tilde{b} + h'd(h))\] puisque \(d(\tilde{b})=d(\tilde{b}')=0\), c’est-à-dire que \(b'b\) est homotope à \(\tilde{b}'\tilde{b}\). Nous voulons maintenant montrer que \(\tilde{b}'\tilde{b}=0\). Comme \(x_2\xrightarrow{f} y_2\xrightarrow{g} z_2\) est une suite exacte courte admissible, il existe des morphismes de degré \(0\) \(\pi : y_2 \to x_2\) et \(s : z_2 \to y_2\) tels que \(\text{id}_{y_2} = f\pi + sg\). Par conséquent \[\tilde{b}'\tilde{b} = \tilde{b}'(f\pi + sg)\tilde{b} = 0\] puisque \(g\tilde{b} = 0\) et \(\tilde{b}'f = 0\) d’après les deux carrés commutatifs.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09K6.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soit \(0 \to x \to y \to z \to 0\) une suite exacte courte admissible dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Le triangle \[\xymatrix{x\ar[r] & y\ar[r] & z\ar[r]^{\delta} & x[1]}\] avec \(\delta : z \to x[1]\) tel que défini dans le lemme 09P6 est, à isomorphisme canonique près dans \(K(\mathcal{A})\), indépendant des choix faits dans le lemme 09P6.

Démonstration

Supposons que \(\delta\) soit défini par le scindage \[\xymatrix{ x \ar@<0.5ex>[r]^{a} & y \ar@<0.5ex>[r]^b\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z \ar@<0.5ex>[l]^s }\] et que \(\delta'\) soit défini par le scindage avec \(\pi',s'\) à la place de \(\pi,s\). Ensuite \[s'-s = (a\pi + sb)(s'-s) = a\pi s'\] puisque \(bs' = bs = 1_z\) et \(\pi s = 0\). De même, \[\pi' - \pi = (\pi' - \pi)(a\pi + sb) = \pi'sb\] Puisque \(\delta = \pi d(s)\) et \(\delta' = \pi'd(s')\) d’après la construction du lemme 09P6, nous pouvons calculer \[\delta' = \pi'd(s') = (\pi + \pi'sb)d(s + a\pi s') = \delta + d(\pi s')\] en utilisant \(\pi a = 1_x\), \(ba = 0\) et \(\pi'sbd(s') = \pi'sba\pi d(s') = 0\) selon la formule (5) dans le lemme 09P6.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KB.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soit \(f: x \to y\) un morphisme dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Le triangle \((y, c(f), x[1], i, p, f[1])\) est le triangle associé à la suite exacte courte admissible \[\xymatrix{y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1]}\] où le cône \(c(f)\) est défini comme dans le lemme 09P6.

Démonstration

Cela découle de l’axiome (C).

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KC.

Lemme

Dans la situation 09QJ, supposons que \(\alpha : x \to y\) et \(\beta : y \to z\) définissent une suite exacte courte admissible \[\xymatrix{ x \ar[r] & y\ar[r] & z }\] dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Soit \((x, y, z, \alpha, \beta, \delta)\) le triangle associé dans \(K(\mathcal{A})\). Alors les triangles \[(z[-1], x, y, \delta[-1], \alpha, \beta) \quad\text{et}\quad (z[-1], x, c(\delta[-1]), \delta[-1], i, p)\] sont isomorphes.

Démonstration

Nous avons un diagramme de la forme \[\xymatrix{ z[-1]\ar[r]^{\delta[-1]}\ar[d]^1 & x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha}\ar[d]^1 & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta}\ar@{.>}[d]\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde{\alpha}} & z\ar[d]^1\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde\beta} \\ z[-1] \ar[r]^{\delta[-1]} & x\ar@<0.5ex>[r]^i & c(\delta[-1]) \ar@<0.5ex>[r]^p\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde i} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\tilde p} }\] avec les scindages de \(\alpha, \beta, i\), et \(p\) données par \(\tilde{\alpha}, \tilde{\beta}, \tilde{i},\) et \(\tilde{p}\) respectivement. Définissons un morphisme \(y \to c(\delta[-1])\) par \(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta\) et un morphisme \(c(\delta[-1]) \to y\) par \(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p\). Vérifions d’abord que ceux-ci définissent des morphismes dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Nous remarquons que, d’après les identités du lemme 09P6, nous avons la relation \(\delta[-1] = \tilde{\alpha}d(\tilde{\beta}) = -d(\tilde{\alpha})\tilde{\beta}\) et la relation \(\delta[-1] = \tilde{i}d(\tilde{p})\). Ensuite \[\begin{align*} d(\tilde{\alpha}) & = d(\tilde{\alpha})\tilde{\beta}\beta \\ & = -\delta[-1]\beta \end{align*}\] où nous avons utilisé l’équation (6) du lemme 09P6 pour la première égalité et la remarque précédente pour la seconde. De même, nous obtenons \(d(\tilde{p}) = i\delta[-1]\). Ainsi \[\begin{align*} d(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) & = d(i)\tilde{\alpha} + id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta + \tilde{p}d(\beta) \\ & = id(\tilde{\alpha}) + d(\tilde{p})\beta \\ & = -i\delta[-1]\beta + i\delta[-1]\beta \\ & = 0 \end{align*}\] donc \(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta\) est en effet un morphisme de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Par un calcul similaire, \(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p\) est également un morphisme de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Il est immédiat que ces morphismes s’insèrent dans le diagramme commutatif. Nous calculons : \[\begin{align*} (i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta)(\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p) & = i\tilde{\alpha}\alpha\tilde{i} + i\tilde{\alpha}\tilde{\beta}p + \tilde{p}\beta\alpha\tilde{i} + \tilde{p}\beta\tilde{\beta}p \\ & = i\tilde{i} + \tilde{p}p \\ & = 1_{c(\delta[-1])} \end{align*}\] où nous avons librement utilisé les identités du lemme 09P6. De même, nous calculons \((\alpha \tilde{i} + \tilde{\beta} p)(i\tilde{\alpha} + \tilde{p}\beta) = 1_y\), donc nous concluons \(y \cong c(\delta[-1])\). Par conséquent, les deux triangles en question sont isomorphes.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KE.

Lemme

Dans la situation 09QJ, soient \(f_1 : x_1 \to y_1\) et \(f_2 : x_2 \to y_2\) des morphismes dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Soit \[(a,b,c): (x_1,y_1,c(f_1), f_1, i_1, p_1) \to (x_2,y_2, c(f_2), f_2, i_1, p_1)\] un morphisme quelconque de triangles dans \(K(\mathcal{A})\). Si \(a\) et \(b\) sont des équivalences d’homotopie, alors il en est de même pour \(c\).

Démonstration

Puisque \(a\) et \(b\) sont des équivalences d’homotopie, elles sont inversibles dans \(K(\mathcal{A})\), notons donc \(a^{-1}\) et \(b^{-1}\) leurs inverses dans \(K(\mathcal{A})\), ce qui nous donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ x_2\ar[d]^{a^{-1}}\ar[r]^{f_2} & y_2\ar[d]^{b^{-1}}\ar[r]^{i_2} & c(f_2)\ar[d]^{c'} \\ x_1\ar[r]^{f_1} & y_1 \ar[r]^{i_1} & c(f_1) }\] où l’application \(c'\) est définie via le lemme 09P7 appliqué au carré commutatif de gauche du diagramme ci-dessus. Puisque le diagramme commute dans \(K(\mathcal{A})\), il suffit, d’après le lemme 09QP, de prouver ce qui suit : étant donné un morphisme de triangles \((1,1,c): (x,y,c(f),f,i,p)\to (x,y,c(f),f,i,p)\) dans \(K(\mathcal{A})\), l’application \(c\) est un isomorphisme dans \(K(\mathcal{A})\). Nous avons les diagrammes commutatifs dans \(K(\mathcal{A})\): \[\vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{1}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{1} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } } \quad\Rightarrow\quad \vcenter{ \xymatrix{ y\ar[d]^{0}\ar[r] & c(f)\ar[d]^{c-1}\ar[r] & x[1]\ar[d]^{0} \\ y\ar[r] & c(f) \ar[r] & x[1] } }\] Comme les lignes sont des suites exactes courtes admissibles, nous obtenons l’identité \((c-1)^2 = 0\) par le lemme 09QP, dont nous concluons que \(2-c\) est l’inverse de \(c\) dans \(K(\mathcal{A})\) de sorte que \(c\) est un isomorphisme.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KF.

Lemme

Dans la situation 09QJ.

1. Soit une suite exacte courte admissible \(x\xrightarrow{\alpha} y\xrightarrow{\beta} z\). Il existe alors une équivalence d’homotopie \(e:C(\alpha)\to z\) telle que le diagramme [09QV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar[r]^{-c}\ar@{.>}[d]^{e} & x[1]\ar[d] \\ x\ar[r]^{\alpha} & y\ar[r]^{\beta} & z\ar[r]^{\delta} & x[1] } } \end{equation}\] définit un isomorphisme de triangles dans \(K(\mathcal{A})\). Ici, \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\) est la suite exacte courte admissible donnée comme dans l’axiome (C).

2. Étant donné un morphisme \(\alpha : x \to y\) dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\), soit \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to y\) la factorisation donnée comme dans le lemme 09QM, où le monomorphisme admissible \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} y\) s’étend à la suite exacte courte admissible \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} & \tilde{y} \ar[r] & z }\] Alors il existe un isomorphisme de triangles \[\xymatrix{ x \ar[r]^{\tilde{\alpha}} \ar[d] & \tilde{y} \ar[r] \ar[d] & z \ar[r]^{\delta} \ar@{.>}[d]^{e} & x[1] \ar[d] \\ x \ar[r]^{\alpha} & y \ar[r] & C(\alpha) \ar[r]^{-c} & x[1] }\] où le triangle supérieur est le triangle associé à la suite \(x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to z\).

Démonstration

Pour (1), nous considérons le diagramme plus complet, sans le changement de signe sur \(c\) : \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar[d] & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \ar@<0.5ex>[r]^{b}\ar[d] & C(\alpha)\ar@<0.5ex>[l]^{p} \ar@<0.5ex>[r]^{c}\ar@{.>}@<0.5ex>[d]^{e} & x[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\sigma} \ar[d]\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y[1]\ar@<0.5ex>[l]^{\pi} \\ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi} & z\ar[r]^{\delta}\ar@<0.5ex>[l]^{s} \ar@{.>}@<0.5ex>[u]^{f} & x[1] }\] où la suite exacte courte admissible \(x\xrightarrow{\alpha} y\xrightarrow{\beta} z\) est munie du scindage \(\pi\), \(s\), et la suite exacte courte admissible \(y\xrightarrow{b}C(\alpha)\xrightarrow{c}x[1]\) est munie du scindage \(p\), \(\sigma\). Notons que (en identifiant les ensembles de morphismes par décalage) \[\alpha = pd(\sigma) = -d(p)\sigma,\quad \delta = \pi d(s) = -d(\pi)s\] par la construction dans le lemme 09P6.

Nous définissons \(e=\beta p\) et \(f=bs-\sigma\delta\). Nous vérifions d’abord qu’ils sont des morphismes dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Pour montrer que \(d(e)=\beta d(p)\) s’annule, il suffit de montrer que \(\beta d(p)b\) et \(\beta d(p)\sigma\) s’annulent tous les deux ; or \[\beta d(p)b = \beta d(pb) = \beta d(1_y) = 0,\quad \beta d(p)\sigma = -\beta\alpha = 0\] De même, pour vérifier que \(d(f)=bd(s)-d(\sigma)\delta\) s’annule, il suffit de vérifier que les post-compositions par \(p\) et \(c\) s’annulent toutes deux ; or \[\begin{align*} pbd(s) - pd(\sigma)\delta = & d(s)-\alpha\delta = d(s)-\alpha\pi d(s) = 0 \\ cbd(s)-cd(\sigma)\delta = & -cd(\sigma)\delta = -d(c\sigma)\delta = 0 \end{align*}\] La commutativité des deux carrés de gauche du diagramme 09QV découle directement de la définition. Avant de prouver la commutativité du carré de droite (à homotopie près), nous vérifions d’abord que \(e\) est une équivalence d’homotopie. Clairement, \[ef=\beta p (bs-\sigma\delta)=\beta s=1_z\] Pour vérifier que \(fe\) est homotope à \(1_{C(\alpha)}\), nous observons d’abord \[b\alpha = bpd(\alpha) = d(\sigma),\quad \alpha c = -d(p)\sigma c = -d(p),\quad d(\pi)p = d(\pi)s\beta p = -\delta\beta p\] En utilisant ces identités, nous calculons \[\begin{align*} 1_{C(\alpha)} = & bp + \sigma c \quad (\text{d'après }y \xrightarrow{b} C(\alpha) \xrightarrow{c} x[1]) \\ = & b(\alpha\pi + s\beta)p + \sigma(\pi\alpha)c \quad (\text{d'après }x \xrightarrow{\alpha} y \xrightarrow{\beta} z) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\pi d(p) \quad (\text{d'après les deux premières identités ci-dessus}) \\ = & d(\sigma)\pi p + bs\beta p - \sigma\delta\beta p + \sigma\delta\beta p - \sigma\pi d(p) \\ = & (bs - \sigma\delta)\beta p + d(\sigma)\pi p - \sigma d(\pi)p - \sigma\pi d(p)\quad (\text{d'après la troisième identité ci-dessus}) \\ = & fe + d(\sigma \pi p) \end{align*}\] puisque \(\sigma \in \Hom^{-1}(x, C(\alpha))\) (cf. démonstration du lemme 09QK). Par conséquent, \(e\) et \(f\) sont des inverses homotopiques. Enfin, pour vérifier que le carré droit du diagramme 09QV commute à homotopie près, il suffit de vérifier que \(-cf=\delta\). Ceci découle de \[-cf = -c(bs-\sigma\delta) = c\sigma\delta = \delta\] puisque \(cb=0\).

Pour (2), considérons la factorisation \(x\xrightarrow{\tilde{\alpha}}\tilde{y}\to y\) donnée comme dans le lemme 09QM, donc le deuxième morphisme est une équivalence d’homotopie. D’après les lemmes 09P7 et 09QT, il existe un isomorphisme de triangles entre \[x \xrightarrow{\alpha} y \to C(\alpha) \to x[1] \quad\text{et}\quad x \xrightarrow{\tilde{\alpha}} \tilde{y} \to C(\tilde{\alpha}) \to x[1]\] Puisque nous pouvons composer des isomorphismes de triangles, en remplaçant \(\alpha\) par \(\tilde{\alpha}\), \(y\) par \(\tilde{y}\), et \(C(\alpha)\) par \(C(\tilde{\alpha})\), nous pouvons supposer que \(\alpha\) est un monomorphisme admissible. Dans ce cas, le résultat découle de (1).

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KH.

Lemme

Dans la situation 09QJ, la catégorie homotopique \(K(\mathcal{A})\) avec ses foncteurs de translation naturels et ses triangles distingués est une catégorie pré-triangulée.

Démonstration

Nous allons vérifier les axiomes TR1, TR2 et TR3.

Démonstration de TR1. Par définition, tout triangle isomorphe à un triangle distingué est distingué. Puisque \[\xymatrix{x\ar[r]^{1_x} & x\ar[r] & 0}\] est une suite exacte courte admissible, \((x, x, 0, 1_x, 0, 0)\) est un triangle distingué. De plus, étant donné un morphisme \(\alpha : x \to y\) dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\), le triangle donné par \((x, y, c(\alpha), \alpha, i, -p)\) est distingué d’après le lemme 09QU.

Démonstration de TR2. Soit \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) un triangle et supposons que \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\) soit distingué. Alors il existe une suite exacte courte admissible \(0 \to x' \to y' \to z' \to 0\) telle que le triangle associé \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\) soit isomorphe à \((y,z,x[1],\beta,\gamma,-\alpha[1])\). Après rotation, nous concluons que \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) est isomorphe à \((z'[-1],x',y', \gamma'[-1], \alpha',\beta')\). D’après le lemme 09QS, nous déduisons que \((z'[-1],x',y', \gamma'[-1], \alpha',\beta')\) est isomorphe à \((z'[-1],x',c(\gamma'[-1]), \gamma'[-1], i, p)\). En composant les deux isomorphismes avec les changements de signe indiqués dans le diagramme suivant : \[\xymatrix@C=3pc{ x\ar[r]^{\alpha}\ar[d] & y\ar[r]^{\beta}\ar[d] & z\ar[r]^{\gamma}\ar[d] & x[1]\ar[d] \\ z'[-1]\ar[r]^{-\gamma'[-1]}\ar[d]_{-1_{z'[-1]}} & x \ar[r]^{\alpha'}\ar@{=}[d] & y' \ar[r]^{\beta'} \ar[d] & z'\ar[d]^{-1_{z'}} \\ z'[-1]\ar[r]^{\gamma'[-1]} & x \ar[r]^{\alpha'} & c(\gamma'[-1]) \ar[r]^{-p} & z' }\] Nous concluons que \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) est distingué par le lemme 09QU (2). Inversement, supposons que \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)\) soit distingué, de sorte que selon le lemme 09QU (1), il soit isomorphe à un triangle de la forme \((x',y', c(\alpha'), \alpha', i, -p)\) pour un certain morphisme \(\alpha': x' \to y'\) dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Le triangle obtenu par rotation \((y,z,x[1],\beta,\gamma, -\alpha[1])\) est isomorphe au triangle \((y',c(\alpha'), x'[1], i, -p, -\alpha[1])\) qui est isomorphe à \((y',c(\alpha'), x'[1], i, p, \alpha[1])\). D’après le lemme 09QR, ce triangle est distingué, d’où il suit que \((y,z,x[1], \beta,\gamma, -\alpha[1])\) est distingué.

Démonstration de TR3 : Supposons que \((x,y,z, \alpha,\beta,\gamma)\) et \((x',y',z',\alpha',\beta',\gamma')\) soient des triangles distingués de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) et que \(f: x \to x'\) et \(g: y \to y'\) soient des morphismes tels que \(\alpha' \circ f = g \circ \alpha\). D’après le lemme 09QU, nous pouvons supposer que \((x,y,z,\alpha,\beta,\gamma)= (x,y,c(\alpha),\alpha, i, -p)\) et \((x',y',z', \alpha',\beta',\gamma')= (x',y',c(\alpha'), \alpha',i',-p')\). Appliquons maintenant le lemme 09P7 et nous avons terminé.

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 09KI.

Lemme

Dans la situation 09QJ, étant donnés des monomorphismes admissibles \(x \xrightarrow{\alpha} y\), \(y \xrightarrow{\beta} z\) dans \(\mathcal{A}\), il existe des triangles distingués \((x,y,q_1,\alpha,p_1,\delta_1)\), \((x,z,q_2,\beta\alpha,p_2,\delta_2)\) et \((y,z,q_3,\beta,p_3,\delta_3)\) pour lesquels TR4 est vérifié.

Démonstration

Étant donnés les monomorphismes admissibles \(x\xrightarrow{\alpha} y\) et \(y\xrightarrow{\beta}z\), nous pouvons trouver des triangles distingués, en les prolongeant en suites exactes courtes admissibles, \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} & y\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} & x[1] }\] \[\xymatrix{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\beta\alpha} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_2} & q_2 \ar[r]^{\delta_2} \ar@<0.5ex>[l]^{s_2} & x[1] }\] \[\xymatrix{ y\ar@<0.5ex>[r]^{\beta} & z\ar@<0.5ex>[l]^{\pi_3} \ar@<0.5ex>[r]^{p_3} & q_3 \ar[r]^{\delta_3} \ar@<0.5ex>[l]^{s_3} & x[1] }\] Dans ces diagrammes, les applications \(\delta_i\) sont définies comme \(\delta_i = \pi_i d(s_i)\) de manière analogue aux applications définies dans le lemme 09P6. Elles s’insèrent dans le diagramme commutatif suivant, dont les flèches sont en traits pleins \[\xymatrix@C=5pc@R=3pc{ x\ar@<0.5ex>[r]^{\alpha} \ar@<0.5ex>[dr]^{\beta\alpha} & y\ar@<0.5ex>[d]^{\beta} \ar@<0.5ex>[l]^{\pi_1} \ar@<0.5ex>[r]^{p_1} & q_1 \ar[r]^{\delta_1} \ar@<0.5ex>[l]^{s_1} \ar@{.>}[dd]^{p_2\beta s_1} & x[1] \\ & z \ar@<0.5ex>[u]^{\pi_3}\ar@<0.5ex>[d]^{p_3} \ar@<0.5ex>[dr]^{p_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{\pi_1\pi_3} & & \\ & q_3\ar@<0.5ex>[u]^{s_3} \ar[d]^{\delta_3} & q_2 \ar@{.>}[l]^{p_3s_2} \ar@<0.5ex>[ul]^{s_2} \ar[dr]^{\delta_2} \\ & y[1] & & x[1]}\] où nous avons défini les flèches en pointillés comme indiqué. Clairement, leur composition \(p_3s_2p_2\beta s_1 = 0\) puisque \(s_2p_2 = 0\). Nous affirmons qu’elles sont toutes deux des morphismes de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\). Nous pouvons vérifier cela en utilisant les équations du lemme 09P6 : \[d(p_2\beta s_1) = p_2\beta d(s_1) = p_2\beta\alpha\pi_1 d(s_1) = 0\] puisque \(p_2\beta\alpha = 0\), et \[d(p_3s_2) = p_3d(s_2) = p_3\beta\alpha\pi_1\pi_3 d(s_2) = 0\] puisque \(p_3\beta = 0\). Pour vérifier que \(q_1\to q_2\to q_3\) est une suite exacte courte admissible, il reste à montrer que, dans la catégorie graduée sous-jacente, \(q_2 = q_1\oplus q_3\) avec les deux morphismes ci-dessus comme coprojection et projection. Pour ce faire, observons que dans la catégorie graduée sous-jacente \(\mathcal{C}\), il y a \[y = x\oplus q_1,\quad z = y\oplus q_3 = x\oplus q_1\oplus q_3\] où \(\pi_1\pi_3\) donne le morphisme de projection sur le premier facteur : \(x\oplus q_1\oplus q_3\to z\). Par l’axiome (A) sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{C}\) est une catégorie additive, par conséquent nous pouvons appliquer Homologie, lemme 09QG et conclure que \[\Ker(\pi_1\pi_3) = q_1\oplus q_3\] dans \(\mathcal{C}\). Une autre application d’Homologie, lemme 09QG à \(z = x\oplus q_2\) donne \(\Ker(\pi_1\pi_3) = q_2\). Par conséquent \(q_2\cong q_1\oplus q_3\) dans \(\mathcal{C}\). Il est clair que les morphismes en pointillés définis ci-dessus donnent la coprojection et la projection.

Enfin, nous devons vérifier que le morphisme \(\delta : q_3 \to q_1[1]\) induit par la suite exacte courte admissible \(q_1\to q_2\to q_3\) coïncide avec \(p_1\delta_3\). Selon la construction du lemme 09P6, le morphisme \(\delta\) est donné par \[\begin{align*} p_1\pi_3s_2d(p_2s_3) = & p_1\pi_3s_2p_2d(s_3) \\ = & p_1\pi_3(1-\beta\alpha\pi_1\pi_3)d(s_3) \\ = & p_1\pi_3d(s_3)\quad (\text{puisque }\pi_3\beta = 0) \\ = & p_1\delta_3 \end{align*}\] comme souhaité. La démonstration est complète.

En rassemblant tout, nous obtenons finalement l’analogue de la proposition 09KJ.

Proposition

Dans la situation 09QJ, la catégorie homotopique \(K(\mathcal{A})\) avec ses foncteurs de translation naturels et ses triangles distingués est une catégorie triangulée.

Démonstration

D’après le lemme 09QW, nous savons que \(K(\mathcal{A})\) est pré-triangulée. En combinant les lemmes 09QN et 09QX avec Catégories dérivées, lemme 014C, nous concluons que \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur entre des catégories différentielles graduées sur \(R\) satisfaisant aux axiomes (A), (B) et (C), tel que \(F(x[1]) = F(x)[1]\). Alors \(F\) induit un foncteur exact \(K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B})\) de catégories triangulées.

Démonstration

En effet, si \(x \to y \to z\) est une suite exacte courte admissible dans \(\text{Comp}(\mathcal{A})\), alors \(F(x) \to F(y) \to F(z)\) est une suite exacte courte admissible dans \(\text{Comp}(\mathcal{B})\). De plus, le morphisme de liaison \(\delta = \pi\text{d}(s) : z \to x[1]\) construit dans le lemme 09P6 produit le morphisme \(F(\delta) : F(z) \to F(x[1]) = F(x)[1]\) qui est égal au morphisme de liaison \(F(\pi) \text{d}(F(s))\) pour la suite exacte courte admissible \(F(x) \to F(y) \to F(z)\).

Bimodules

Nous continuons la discussion commencée dans la section 09LL.

Définition

Bimodules. Soit \(R\) un anneau.

1. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Un \((A, B)\)-bimodule est un \(R\)-module \(M\) muni d’applications \(R\)-bilinéaires \[A \times M \to M, (a, x) \mapsto ax \quad\text{et}\quad M \times B \to M, (x, b) \mapsto xb\] vérifiant les propriétés suivantes

   1. \(a'(ax) = (a'a)x\) et \((xb)b' = x(bb')\),

   2. \(a(xb) = (ax)b\), et

   3. \(1 x = x = x 1\).

2. Soient \(A\) et \(B\) des algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(R\). Un \((A, B)\)-bimodule gradué est un \((A, B)\)-bimodule \(M\) qui possède une graduation \(M = \bigoplus M^n\) telle que \(A^n M^m \subset M^{n + m}\) et \(M^n B^m \subset M^{n + m}\).

3. Soient \(A\) et \(B\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué est un \((A, B)\)-bimodule gradué qui est muni d’une différentielle \(\text{d} : M \to M\) homogène de degré \(1\) telle que \(\text{d}(ax) = \text{d}(a)x + (-1)^{\deg(a)}a\text{d}(x)\) et \(\text{d}(xb) = \text{d}(x)b + (-1)^{\deg(x)}x\text{d}(b)\) pour des éléments homogènes \(a \in A\), \(x \in M\), \(b \in B\).

Remarquons qu’un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué \(M\) est la même chose qu’un module différentiel gradué à droite sur \(B\) qui est également un module différentiel gradué à gauche sur \(A\), avec des graduations et des différentielles qui coïncident, et tel que la structure de module sur \(A\) commute avec la structure de module sur \(B\). Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(M\) un \(B\)-module différentiel gradué droit. Il existe une correspondance \(1\) à \(1\) entre les structures de bimodule \((A, B)\) sur \(M\) compatibles avec la structure de \(B\)-module différentiel gradué donnée et les homomorphismes \[A \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M)\] d’algèbres différentielles graduées sur \(R\).

Démonstration

Soit \(\mu : A \times M \to M\) une application définissant une structure de \(A\)-module différentiel gradué à gauche sur le complexe de \(R\)-modules \(M^\bullet\) sous-jacent à \(M\). D’après le lemme 0FQ3, la structure \(\mu\) correspond à une application \(\gamma : A \to \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\) d’algèbres différentielles graduées sur \(R\). L’assertion du lemme est simplement que \(\mu\) commute avec l’action de \(B\) si et seulement si \(\gamma\) est à valeurs dans \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, M) \subset \Hom^\bullet(M^\bullet, M^\bullet)\] Nous omettons le calcul détaillé.

Soit \(M\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Rappelons d’après la section 0FPZ que la structure de module différentiel gradué à gauche sur \(A\) correspond à une structure de module différentiel gradué à droite sur \(A^{opp}\). Comme les structures de module sur \(A\) et sur \(B\) commutent, cela donne à \(M\) la structure d’un module différentiel gradué sur \(A^{opp} \otimes_R B\) : \[x \cdot (a \otimes b) = (-1)^{\deg(a)\deg(x)} axb\] Inversement, si nous avons un \(A^{opp} \otimes_R B\)-module différentiel gradué \(M\), alors nous pouvons utiliser la formule ci-dessus pour obtenir un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). La construction ci-dessus définit une équivalence de catégories \[\begin{matrix} \text{bimodules différentiels gradués sur}\\ (A, B)\text{} \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{modules différentiels gradués à droite sur }\\ A^{opp} \otimes_R B\text{} \end{matrix}\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la discussion ci-dessus.

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(P\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). On dit que \(P\) a la propriété (P) s’il existe une filtration \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] par des \((A, B)\)-bimodules différentiels gradués, telle que

1. \(P = \bigcup F_pP\),

2. les inclusions \(F_iP \to F_{i + 1}P\) sont scindées comme morphismes de \((A, B)\)-bimodules gradués,

3. les quotients \(F_{i + 1}P/F_iP\) sont isomorphes comme \((A, B)\)-bimodules différentiels gradués à une somme directe de \((A \otimes_R B)[k]\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(M\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). Il existe un homomorphisme \(P \to M\) de bimodules différentiels gradués sur \((A, B)\) qui est un quasi-isomorphisme tel que \(P\) possède la propriété (P) comme définie ci-dessus.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0FQJ et 09KP.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(P\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué possédant la propriété (P) avec la filtration correspondante \(F_\bullet\), alors nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iP \to \bigoplus\nolimits F_iP \to P \to 0\] de \((A, B)\)-bimodules différentiels gradués, qui est scindée comme suite de \((A, B)\)-bimodules gradués.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0FQJ et 09KL.

Bimodules et produit tensoriel

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Soit \(M\) un module à droite sur \(A\). Soit \(N\) un bimodule sur \((A, B)\). Alors \(M \otimes_A N\) est un module à droite sur \(B\).

Si, dans la situation du paragraphe précédent, \(A\) et \(B\) sont des algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\), \(M\) est un module gradué sur \(A\), et \(N\) est un \((A, B)\)-bimodule gradué, alors \(M \otimes_A N\) est un module gradué à droite sur \(B\). La construction est fonctorielle en \(M\) et définit un foncteur \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{gr}_A \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_B\] de catégories graduées comme dans l’exemple 09MN. En effet, si \(M\) et \(M'\) sont des \(A\)-modules gradués et que \(f : M \to M'\) est un homomorphisme de \(A\)-modules homogène de degré \(n\), alors \(f \otimes \text{id}_N : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N\) est un homomorphisme de \(B\)-modules homogène de degré \(n\).

Si dans la situation du paragraphe précédent \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) sont des algèbres différentielles graduées, \(M\) est un module différentiel gradué sur \(A\), et \(N\) est un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\), alors \(M \otimes_A N\) est un module différentiel gradué à droite sur \(B\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Alors \(M \mapsto M \otimes_A N\) définit un foncteur \[- \otimes_A N : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] de catégories différentielles graduées. Ce foncteur induit des foncteurs \[\text{Mod}_{(A, \text{d})} \to \text{Mod}_{(B, \text{d})} \quad\text{et}\quad K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\] par une application du lemme 09L8.

Démonstration

Ci-dessus, nous avons vu comment la construction définit un foncteur des catégories graduées sous-jacentes. Ainsi, il suffit de montrer que la construction est compatible avec les différentielles. Soient \(M\) et \(M'\) des \(A\)-modules différentiels gradués et soit \(f : M \to M'\) un homomorphisme de \(A\)-modules homogène de degré \(n\). Alors nous avons \[\text{d}(f) = \text{d}_{M'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_M\] D’un autre côté, nous avons \[\text{d}(f \otimes \text{id}_N) = \text{d}_{M' \otimes_A N} \circ (f \otimes \text{id}_N) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_N) \circ \text{d}_{M \otimes_A N}\] En appliquant ceci à un élément \(x \otimes y\) avec \(x \in M\) et \(y \in N\) homogènes, nous obtenons \[\begin{align*} \text{d}(f \otimes \text{id}_N)(x \otimes y) = & \text{d}_{M'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ & - (-1)^n f(\text{d}_M(x)) \otimes y - (-1)^{n + \deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_N(y) \\ = & \text{d}(f) (x \otimes y) \end{align*}\] Ainsi, nous voyons que \(\text{d}(f) \otimes \text{id}_N = \text{d}(f \otimes \text{id}_N)\) et la démonstration est complète.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). Soit \(M\) un module différentiel gradué à droite sur \(A\). Alors pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\) il existe un isomorphisme \[(M \otimes_A N)[k] \longrightarrow M[k] \otimes_A N\] de modules différentiels gradués à droite sur \(B\), défini sans intervention de signes, voir Compléments d’algèbre, section 0FNG.

Si nous avons un anneau \(R\) et des \(R\)-algèbres \(A\), \(B\), et \(C\), un \(A\)-module à droite \(M\), un \((A, B)\)-bimodule \(N\), et un \((B, C)\)-bimodule \(N'\), alors \(N \otimes_B N'\) est un \((A, C)\)-bimodule et nous avons \[(M \otimes_A N) \otimes_B N' = M \otimes_A (N \otimes_B N')\] Cette égalité reste valable dans le cas gradué et dans le cas différentiel gradué. Voir Compléments d’algèbre, section 0FNG pour les règles des signes.

Bimodules et Hom interne

Soit \(R\) un anneau. Si \(A\) est une \(R\)-algèbre (voir nos conventions à la section 09JF) et que \(M\), \(M'\) sont des \(A\)-modules à droite, alors nous définissons \[\Hom_A(M, M') = \{f : M \to M' \mid f \text{ est }A\text{-linéaire}\}\] comme d’habitude.

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule. Soit \(N'\) un module à droite sur \(B\). Dans cette situation, nous considérerons \[\Hom_B(N, N')\] comme \(A\)-module à droite, par précomposition.

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule gradué. Soit \(N'\) un module gradué à droite sur \(B\). Dans cette situation, nous considérerons le \(R\)-module gradué \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')\] défini dans l’exemple 09MN comme un \(A\)-module gradué à droite en utilisant la précomposition. La construction est fonctorielle en \(N'\) et définit un foncteur \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, -) : \text{Mod}^{gr}_B \longrightarrow \text{Mod}^{gr}_A\] de catégories graduées comme dans l’exemple 09MN. En effet, si \(N_1\) et \(N_2\) sont des \(B\)-modules gradués et que \(f : N_1 \to N_2\) est un homomorphisme de \(B\)-modules homogène de degré \(n\), alors l’application induite \(\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N_1) \to \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N_2)\) est un homomorphisme de \(A\)-modules homogène de degré \(n\).

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des algèbres différentielles graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(R\). Soit \(N\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). Soit \(N'\) un module différentiel gradué à droite sur \(B\). Dans cette situation, nous considérerons le \(R\)-module différentiel gradué \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N')\] défini dans l’exemple 09LC comme un \(A\)-module différentiel gradué à droite en utilisant la précomposition comme dans le cas gradué. Ceci est compatible avec les différentielles car la multiplication est la composition \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R A \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N') \otimes_R \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N) \to \Hom_{\text{Mod}^{dg}_B}(N, N')\] La première flèche utilise l’application du lemme 0FQI et la deuxième flèche est la composition dans la catégorie différentielle graduée \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. La construction ci-dessus définit un foncteur \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}\] de catégories différentielles graduées. Ce foncteur induit des foncteurs \[\text{Mod}_{(B, \text{d})} \to \text{Mod}_{(A, \text{d})} \quad\text{et}\quad K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] par une application du lemme 09L8.

Démonstration

Ci-dessus, nous avons vu comment la construction définit un foncteur des catégories graduées sous-jacentes. Il suffit donc de montrer que la construction est compatible avec les différentielles. Soient \(N_1\) et \(N_2\) des \(B\)-modules différentiels gradués. Écrivons \[H_{12} = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N_1, N_2),\quad H_1 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_1),\quad H_2 = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N_2)\] Considérons la composition \[c : H_{12} \otimes_R H_1 \longrightarrow H_2\] dans la catégorie différentielle graduée \(\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\). Soit \(f : N_1 \to N_2\) un homomorphisme de \(B\)-modules qui est homogène de degré \(n\), en d’autres termes, \(f \in H_{12}^n\). Le foncteur dans le lemme envoie \(f\) sur \(c_f : H_1 \to H_2\), \(g \mapsto c(f, g)\). De même pour \(\text{d}(f)\). D’autre part, la différentielle sur \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(H_1, H_2)\] envoie \(c_f\) sur \(\text{d}_{H_2} \circ c_f - (-1)^n c_f \circ \text{d}_{H_1}\). Comme \(c\) est un morphisme de complexes de \(R\)-modules, nous avons \(\text{d} c(f, g) = c(\text{d}f, g) + (-1)^n c(f, \text{d}g)\). Par conséquent, nous voyons que \[\begin{align*} (\text{d}c_f)(g) & = \text{d}c(f,g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) + (-1)^n c(f, \text{d}g) - (-1)^n c(f, \text{d}g) \\ & = c(\text{d}f, g) = c_{\text{d}f}(g) \end{align*}\] et la démonstration est complète.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). Soit \(N'\) un module différentiel gradué à droite sur \(B\). Alors pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\) il existe un isomorphisme \[\Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N')[k] \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{gr}_B}(N, N'[k])\] de modules différentiels gradués à droite sur \(A\), défini sans intervention de signes, voir Compléments d’algèbre, section 0FNG.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Soit \(M\) un module à droite sur \(A\), \(N\) un bimodule sur \((A, B)\), et \(N'\) un module à droite sur \(B\). Alors nous avons un isomorphisme canonique \[\Hom_B(M \otimes_A N, N') = \Hom_A(M, \Hom_B(N, N'))\] de \(R\)-modules. Si \(A\), \(B\), \(M\), \(N\), \(N'\) sont compatiblement gradués, alors nous avons un isomorphisme canonique \[\Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}_A^{gr}}(M, \Hom_{\text{Mod}_B^{gr}}(N, N'))\] de \(R\)-modules gradués. Si \(A\), \(B\), \(M\), \(N\), \(N'\) sont munis de structures différentielles graduées compatibles, alors nous avons un isomorphisme canonique \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M \otimes_A N, N') = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})}}(M, \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N'))\] de complexes de \(R\)-modules.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : dans le cas non gradué, interpréter les deux membres comme des applications \(A\)-bilinéaires \(\psi : M \times N \to N'\) qui sont \(B\)-linéaires à droite. Dans le cas (différentiel) gradué, utiliser l’isomorphisme de Compléments d’algèbre, lemme 0A5Y et vérifier qu’il est compatible avec les structures de modules. On peut aussi utiliser l’isomorphisme du lemme 0FQ4 et montrer qu’il est compatible avec les structures de \(B\)-modules.

Hom dérivé

Cette section est analogue à Compléments d’algèbre, section 0A5W.

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un bimodule différentiel gradué \((A, B)\). Considérons le foncteur [09LG]\[\begin{equation} \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : \text{Mod}_{(B, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(A, \text{d})} \end{equation}\] de la section 0FQP.

Lemme

Le foncteur (09LG) définit un foncteur exact \(K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\) de catégories triangulées.

Démonstration

Via le lemme 0FQQ et la remarque 0FQR, cela découle du principe général du lemme 0FQF.

Rappelons que nous avons un foncteur exact de catégories triangulées \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -) : K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\] voir le lemme 09LH. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{\text{voir ci-dessus}} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \\ D(B, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(A, \text{d}) }\] Nous aimerions construire une flèche pointillée en tant que foncteur dérivé à droite de la composition \(F\). (Avertissement : dans la plupart des cas intéressants, le diagramme ne commutera pas.) Plus précisément, dans le cadre général de Catégories dérivées, section 05S7, nous voulons calculer le foncteur dérivé à droite de \(F\) par rapport au système multiplicatif des quasi-isomorphismes dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le foncteur dérivé à droite de \(F\) existe. Nous le notons \(R\Hom(N, -) : D(B, \text{d}) \to D(A, \text{d})\).

Démonstration

Nous utiliserons Catégories dérivées, lemme 06XN pour le prouver. Comme collection \(\mathcal{I}\) d’objets, nous prendrons les objets ayant la propriété (I). La propriété (1) a été démontrée dans le lemme 09KU. La propriété (2) est vraie parce que si \(s : I \to I'\) est un quasi-isomorphisme de modules avec la propriété (I), alors \(s\) est une équivalence d’homotopie selon le lemme 09KY.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(f : N \to N'\) un homomorphisme de \((A, B)\)-bimodules différentiels gradués. Alors \(f\) induit un morphisme de foncteurs \[- \circ f : R\Hom(N', -) \longrightarrow R\Hom(N, -)\] Si \(f\) est un quasi-isomorphisme, alors \(f \circ -\) est un isomorphisme de foncteurs.

Démonstration

Notons \(\mathcal{B} = \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\) la catégorie différentielle graduée des \(B\)-modules différentiels gradués, voir l’exemple 09LC. Soit \(I\) un \(B\)-module différentiel gradué avec la propriété (I). Alors \(f \circ - : \Hom_\mathcal{B}(N', I) \to \Hom_\mathcal{B}(N, I)\) est une application de \(A\)-modules différentiels gradués. De plus, ceci est fonctoriel par rapport à \(I\). Puisque les foncteurs \(R\Hom(N', -)\) et \(R\Hom(N, -)\) sont calculés en prenant pour deuxième argument de \(\Hom_\mathcal{B}\) des objets possédant la propriété (I) (lemme 09LI), nous obtenons une transformation de foncteurs comme indiqué.

Supposons que \(f\) soit un quasi-isomorphisme. Soit \(F_\bullet\) la filtration donnée sur \(I\). Puisque \(I = \lim I/F_pI\), nous voyons que \(\Hom_\mathcal{B}(N', I) = \lim \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\) et \(\Hom_\mathcal{B}(N, I) = \lim \Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\). Puisque les applications de transition dans le système \(I/F_pI\) sont scindées comme morphismes de modules gradués, nous voyons que les applications de transition dans les systèmes \(\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\) et \(\Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\) sont surjectives. Ainsi, \(\Hom_\mathcal{B}(N', I)\), resp. \(\Hom_\mathcal{B}(N, I)\) vu comme un complexe de groupes abéliens calcule \(R\lim\) du système de complexes \(\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI)\), resp. \(\Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\). Voir plus sur l’algèbre, lemme 07KW. Ainsi, il suffit de prouver que chaque morphisme \[\Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to \Hom_\mathcal{B}(N, I/F_pI)\] est un quasi-isomorphisme. Puisque les surjections \(I/F_{p + 1}I \to I/F_pI\) sont scindées en tant que morphismes de \(B\)-modules gradués, nous voyons que \[0 \to \Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N', I/F_pI) \to 0\] est une suite exacte courte de \(A\)-modules différentiels gradués. Il existe une suite analogue pour \(N\) et \(f\) induit un morphisme de suites exactes courtes. Ainsi, par récurrence sur \(p\) (en commençant par \(p = 0\) lorsque \(I/F_0I = 0\)), nous concluons qu’il suffit de montrer que l’application \(\Hom_\mathcal{B}(N', F_pI/F_{p + 1}I) \to \Hom_\mathcal{B}(N, F_pI/F_{p + 1}I)\) est un quasi-isomorphisme. Puisque \(F_pI/F_{p + 1}I\) est un produit de décalages de \(A^\vee\), il suffit de prouver que \(\Hom_\mathcal{B}(N', B^\vee[k]) \to \Hom_\mathcal{B}(N, B^\vee[k])\) est un quasi-isomorphisme. D’après le lemme 09K4, il suffit de montrer que \((N')^\vee \to N^\vee\) est un quasi-isomorphisme. Ceci est vrai parce que \(f\) est un quasi-isomorphisme et \((\ )^\vee\) est un foncteur exact.

Lemme

Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur un anneau \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Alors, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), il existe des isomorphismes \[H^n(R\Hom(N, M)) = \Ext^n_{D(B, \text{d})}(N, M)\] de \(R\)-modules, fonctoriels en \(M\). Ils sont également fonctoriels en \(N\) par rapport à l’opération décrite dans le lemme 0BYV.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 09LI, nous avons vu \[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] comme \(A\)-module différentiel gradué où \(M \to I\) est un quasi-isomorphisme de \(M\) vers un \(B\)-module différentiel gradué ayant la propriété (I). Par conséquent, ce complexe a les bons modules de cohomologie selon le lemme 09KY. Nous omettons une discussion de la nature fonctorielle de ces identifications.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Si \(\Hom_{D(B, \text{d})}(N, N') = \Hom_{K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})}(N, N')\) pour tout \(N' \in K(B, \text{d})\), par exemple si \(N\) a la propriété (P) en tant que \(B\)-module différentiel gradué, alors \[R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M)\] de manière fonctorielle en \(M\) dans \(D(B, \text{d})\).

Démonstration

Par construction (lemme 09LI) pour trouver \(R\Hom(N, M)\) nous choisissons un quasi-isomorphisme \(M \to I\) où \(I\) est un \(B\)-module différentiel gradué avec la propriété (I) et nous posons \(R\Hom(N, M) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\). Par hypothèse, l’application \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, M) \longrightarrow \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, I)\] induite par \(M \to I\) est un quasi-isomorphisme, voir discussion dans l’exemple 09LC. Cela prouve le lemme. Si \(N\) a la propriété (P) en tant que \(B\)-module, alors nous voyons que l’hypothèse est satisfaite par le lemme 09KY.

Variante du Hom dérivé

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons la catégorie différentielle graduée \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})\) des complexes de \(\mathcal{A}\), voir l’exemple 09L9. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\). Posons \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\] et considérons le foncteur de catégories différentielles graduées \[\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}, \quad X^\bullet \longmapsto \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, X^\bullet)\] du lemme 09LE.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si le foncteur dérivé à droite \(R\Hom(K^\bullet, -)\) de \(\Hom(K^\bullet, -) : K(\mathcal{A}) \to D(\textit{Ab})\) est défini partout sur \(D(\mathcal{A})\), alors nous obtenons un foncteur exact canonique \[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{A}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] de catégories triangulées qui se réduit au foncteur usuel lorsqu’on prend les complexes associés de groupes abéliens.

Démonstration

Notons que nous avons un foncteur associé \(K(\mathcal{A}) \to K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\) d’après le lemme 09LE. Nous affirmons que ce foncteur est un foncteur exact de catégories triangulées. En effet, soit \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{A}\). Alors un calcul montre que \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, C(f)^\bullet) = C\left( \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, A^\bullet) \to \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{A})}(K^\bullet, B^\bullet) \right)\] où le membre de droite est le cône dans \(\text{Mod}_{(E, \text{d})}\) défini plus tôt dans ce chapitre. Cela montre que notre foncteur est compatible avec les cônes, donc avec les triangles distingués. Soit \(X^\bullet\) un objet de \(K(\mathcal{A})\). Considérons la catégorie des quasi-isomorphismes \(s : X^\bullet \to Y^\bullet\). Par hypothèse, le foncteur \((s : X^\bullet \to Y^\bullet) \mapsto \Hom_\mathcal{A}(K^\bullet, Y^\bullet)\) est essentiellement constant lorsqu’il est vu dans \(D(\textit{Ab})\). Mais puisque le foncteur d’oubli \(D(E, \text{d}) \to D(\textit{Ab})\) est compatible avec la prise de cohomologie, la même chose est vraie dans \(D(E, \text{d})\). Cela prouve le lemme.

Avertissement : Bien que le lemme soit vrai et puisse être utile sous cette forme, l’algèbre différentielle \(E\) n’est la « bonne » que si \(H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, K^\bullet)\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Produit tensoriel dérivé

Cette section est analogue à Compléments d’algèbre, section 06Y5.

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Considérons le foncteur [09LQ]\[\begin{equation} \text{Mod}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}_{(B, \text{d})},\quad M \longmapsto M \otimes_A N \end{equation}\] défini dans la section 0FQM.

Lemme

Le foncteur (09LQ) définit un foncteur exact de catégories triangulées \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \to K(\text{Mod}_{(B, \text{d})})\).

Démonstration

Via le lemme 09LM et la remarque 0FQN, cela découle du principe général du lemme 0FQF.

À ce stade, nous pouvons considérer le diagramme \[\xymatrix{ K(\text{Mod}_{(A, \text{d})}) \ar[d] \ar[rr]_{- \otimes_A N} \ar[rrd]_F & & K(\text{Mod}_{(B, \text{d})}) \ar[d] \\ D(A, \text{d}) \ar@{..>}[rr] & & D(B, \text{d}) }\] La flèche en pointillés que nous allons construire ci-dessous sera le foncteur dérivé à gauche de la composition \(F\). (Attention : le diagramme ne commute pas.) Plus précisément, dans le cadre général de Catégories dérivées, section 05S7, nous voulons calculer le foncteur dérivé à gauche de \(F\) par rapport au système multiplicatif de quasi-isomorphismes dans \(K(\text{Mod}_{(A, \text{d})})\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le foncteur dérivé à gauche de \(F\) existe. Nous le notons \(- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\).

Démonstration

Nous utiliserons Catégories dérivées, lemme 06XN pour le prouver. Comme collection \(\mathcal{P}\) d’objets, nous prendrons les objets ayant la propriété (P). La propriété (1) a été démontrée dans le lemme 09KP. La propriété (2) est vraie parce que si \(s : P \to P'\) est un quasi-isomorphisme de modules avec la propriété (P), alors \(s\) est une équivalence d’homotopie selon le lemme 09KY.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(f : N \to N'\) un homomorphisme de bimodules différentiels gradués sur \((A, B)\). Alors \(f\) induit un morphisme de foncteurs \[1\otimes f : - \otimes_A^\mathbf{L} N \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N'\] Si \(f\) est un quasi-isomorphisme, alors \(1 \otimes f\) est un isomorphisme de foncteurs.

Démonstration

Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué avec la propriété (P). Alors \(1 \otimes f : M \otimes_A N \to M \otimes_A N'\) est une application de \(B\)-modules différentiels gradués. De plus, cela est fonctoriel par rapport à \(M\). Étant donné que les foncteurs \(- \otimes_A^\mathbf{L} N\) et \(- \otimes_A^\mathbf{L} N'\) sont calculés par le produit tensoriel des objets avec la propriété (P) (lemme 09LS), nous obtenons une transformation de foncteurs comme indiqué.

Supposons que \(f\) soit un quasi-isomorphisme. Soit \(F_\bullet\) la filtration donnée sur \(M\). Observons que \(M \otimes_A N = \colim F_i(M) \otimes_A N\) et \(M \otimes_A N' = \colim F_i(M) \otimes_A N'\). Par conséquent, il suffit de montrer que \(F_n(M) \otimes_A N \to F_n(M) \otimes_A N'\) est un quasi-isomorphisme (les limites inductives filtrantes sont exactes, voir Algèbre, lemme 00DB). Comme les inclusions \(F_n(M) \to F_{n + 1}(M)\) sont scindées en tant que morphismes de \(A\)-modules gradués, nous voyons que \[0 \to F_n(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N \to 0\] est une suite exacte courte de \(B\)-modules différentiels gradués. Il existe une suite analogue pour \(N'\) et \(f\) induit un morphisme de suites exactes courtes. Ainsi, par récurrence sur \(n\) (en commençant par \(n = -1\) lorsque \(F_{-1}(M) = 0\)), nous concluons qu’il suffit de montrer que l’application \(F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N \to F_{n + 1}(M)/F_n(M) \otimes_A N'\) est un quasi-isomorphisme. C’est vrai parce que \(F_{n + 1}(M)/F_n(M)\) est une somme directe de décalages de \(A\) et le résultat est vrai pour \(A[k]\) puisque \(f : N \to N'\) est un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué qui possède la propriété (P) en tant que \(A\)-module différentiel gradué à gauche. Alors \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\) est calculé par \(M \otimes_A N\) pour tout \(A\)-module différentiel gradué \(M\).

Démonstration

Soit \(f : M \to M'\) un homomorphisme de \(A\)-modules différentiels gradués qui est un quasi-isomorphisme. Nous affirmons que \(f \otimes \text{id} : M \otimes_A N \to M' \otimes_A N\) est un quasi-isomorphisme. Si cela est vrai, alors par la construction du produit tensoriel dérivé dans la démonstration du lemme 09LS, nous obtenons le résultat souhaité. La construction de l’application \(f \otimes \text{id}\) ne dépend que de la structure de \(A\)-module différentiel gradué à gauche de \(N\). De plus, nous avons \(M \otimes_A N = N \otimes_{A^{opp}} M = N \otimes_{A^{opp}}^\mathbf{L} M\) parce que \(N\) possède la propriété (P) comme \(A^{opp}\)-module différentiel gradué. Par conséquent, l’énoncé découle du lemme 09S3.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Alors le foncteur \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] du lemme 09LS est un adjoint à gauche du foncteur \[R\Hom(N, -) : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] du lemme 09LI.

Démonstration

Cela découle de Catégories dérivées, lemme 0FND et du fait que \(- \otimes_A N\) et \(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, -)\) sont adjoints d’après le lemme 09LN.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\) un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées sur \(R\). Alors nous pouvons considérer \(B\) comme un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué et nous obtenons un foncteur \[- \otimes_A B : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] D’après le lemme 09LT, le foncteur adjoint à gauche de celui-ci est le foncteur \(R\Hom(B, -)\). Pour un \(B\)-module différentiel gradué, notons \(N_A\) le \(A\)-module différentiel gradué obtenu à partir de \(N\) par restriction via \(A \to B\). Alors nous avons clairement un isomorphisme canonique \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(B, N) \longrightarrow N_A,\quad f \longmapsto f(1)\] fonctoriel par rapport au \(B\)-module \(N\). Ainsi, nous voyons que \(R\Hom(B, -)\) est le foncteur de restriction et nous obtenons \[\Hom_{D(A, \text{d})}(M, N_A) = \Hom_{D(B, \text{d})}(M \otimes^\mathbf{L}_A B, N)\] bifonctoriellement en \(M\) et \(N\) exactement comme dans le cas des anneaux commutatifs. Enfin, observons que la restriction est également un foncteur tensoriel, puisque \(N_A = N \otimes_B {}_BB_A = N \otimes_B^\mathbf{L} {}_BB_A\) où \({}_BB_A\) est \(B\) vu comme un \((B, A)\)-bimodule différentiel gradué.

Lemme

Avec les notations et sous les hypothèses du lemme 09LT, faisons les hypothèses suivantes :

1. \(N\) définit un objet compact de \(D(B, \text{d})\), et

2. l’application \(H^k(A) \to \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\) est un isomorphisme pour tout \(k \in \mathbf{Z}\).

Alors le foncteur \(-\otimes_A^\mathbf{L} N\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Notre foncteur a un adjoint à gauche donné par \(R\Hom(N, -)\) d’après le lemme 09LT. D’après Catégories, lemme 07RB, il suffit de montrer que pour un \(A\)-module différentiel gradué \(M\), l’application \[M \longrightarrow R\Hom(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] est un isomorphisme dans \(D(A, \text{d})\). Pour cela, il suffit de montrer que \[H^n(M) \longrightarrow \text{Ext}^n_{D(B, \text{d})}(N, M \otimes_A^\mathbf{L} N)\] est un isomorphisme, voir le lemme 0CS5. Puisque \(N\) est un objet compact, le membre de droite commute avec les sommes directes. Ainsi, d’après la remarque 0FQE, il suffit de prouver que cette application est un isomorphisme pour \(M = A[k]\). Puisque \((A[k] \otimes_A^\mathbf{L} N) = N[k]\) d’après la remarque 0FQN, l’hypothèse (2) sur \(N\) affirme précisément le résultat dans ces cas.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \((A', \text{d})\) le changement de base, c’est-à-dire \(A' = A \otimes_R R'\). Si \(A\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules, alors

1. \(- \otimes_A^\mathbf{L} A' : D(A, \text{d}) \to D(A', \text{d})\) est égal au foncteur dérivé à droite de \[K(A, \text{d}) \longrightarrow K(A', \text{d}),\quad M \longmapsto M \otimes_R R'\]

2. le diagramme \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[r]_{- \otimes_A^\mathbf{L} A'} \ar[d]_{restriction} & D(A', \text{d}) \ar[d]^{restriction} \\ D(R) \ar[r]^{- \otimes_R^\mathbf{L} R'} & D(R') }\] commute, et

3. si \(M\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules, alors le \(A'\)-module différentiel gradué \(M \otimes_R R'\) représente \(M \otimes_A^\mathbf{L} A'\).

Démonstration

Pour tout \(A\)-module différentiel gradué \(M\), il existe une application canonique \[c_M : M \otimes_R R' \longrightarrow M \otimes_A A'\] Soit \(P\) un \(A\)-module différentiel gradué avec la propriété (P). Nous affirmons que \(c_P\) est un isomorphisme et que \(P\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules. Cela prouvera tous les résultats énoncés dans le lemme par des arguments formels utilisant la définition du produit tensoriel dérivé dans le lemme 09LS et Compléments d’algèbre, section 06XY.

Soit \(F_\bullet\) la filtration sur \(P\) montrant que \(P\) a la propriété (P). Notons que \(c_A\) est un isomorphisme et que \(A\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules par hypothèse. Par conséquent, il en va de même pour les sommes directes de décalages de \(A\) (vous pouvez utiliser Compléments d’algèbre, lemme 06Y3 pour traiter les sommes directes si vous le souhaitez). Par conséquent, cela vaut pour les complexes \(F_{p + 1}P/F_pP\). Comme les suites exactes courtes \[0 \to F_pP \to F_{p + 1}P \to F_{p + 1}P/F_pP \to 0\] sont scindées comme suites de modules gradués, nous pouvons montrer par récurrence que \(c_{F_pP}\) est un isomorphisme pour tout \(p\) et que \(F_pP\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules (voir Compléments d’algèbre, lemme 06Y2). Enfin, en utilisant que \(P = \colim F_pP\), nous concluons que \(c_P\) est un isomorphisme et que \(P\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules (voir Compléments d’algèbre, lemme 06Y3).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(T\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(T\) définit un objet compact de \(D(B, \text{d})\), et

2. \(S = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(T, B)\) représente \(R\Hom(T, B)\) dans \(D(A, \text{d})\).

Alors \(S\) a une structure de \((B, A)\)-bimodule différentiel gradué et il existe un isomorphisme \[N \otimes_B^\mathbf{L} S \longrightarrow R\Hom(T, N)\] fonctorielle en \(N\) dans \(D(B, \text{d})\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{B} = \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\). La structure de \(A\)-module à droite de \(S\) provient de l’application \(A \to \Hom_\mathcal{B}(T, T)\) et de la composition \(\Hom_\mathcal{B}(T, B) \otimes \Hom_\mathcal{B}(T, T) \to \Hom_\mathcal{B}(T, B)\) définie dans l’exemple 09LC. En utilisant cette multiplication une seconde fois, on obtient une application \[c_N : N \otimes_B S = \Hom_\mathcal{B}(B, N) \otimes_B \Hom_\mathcal{B}(T, B) \longrightarrow \Hom_\mathcal{B}(T, N)\] fonctoriel en \(N\). Étant donné \(N\), nous pouvons choisir des quasi-isomorphismes \(P \to N \to I\) où \(P\), resp. \(I\) est un \(B\)-module différentiel gradué avec la propriété (P), resp. (I). Ensuite, en utilisant \(c_N\), nous obtenons une application \(P \otimes_B S \to \Hom_\mathcal{B}(T, I)\) entre les objets représentant \(S \otimes_B^\mathbf{L} N\) et \(R\Hom(T, N)\). De toute évidence, cela définit une transformation de foncteurs \(c\) comme dans le lemme.

Pour prouver que \(c\) est un isomorphisme de foncteurs, nous pouvons supposer que \(N\) est un \(B\)-module différentiel gradué qui possède la propriété (P). Puisque \(T\) définit un objet compact dans \(D(B, \text{d})\) et puisque les deux côtés de la flèche définissent des foncteurs exacts de catégories triangulées, nous nous ramenons, à l’aide du lemme 09KL, au cas où \(N\) possède une filtration finie dont les quotients successifs sont des sommes directes de \(B[k]\). En utilisant à nouveau que les deux côtés de la flèche sont des foncteurs exacts de catégories triangulées et la compacité de \(T\), nous nous ramenons au cas \(N = B[k]\). L’hypothèse (2) est exactement l’hypothèse que \(c\) est un isomorphisme dans ce cas.

Composition des produits tensoriels dérivés

Nous encourageons le lecteur à passer cette section.

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\), et \((C, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Soit \(N'\) un \((B, C)\)-module différentiel gradué. Nous notons \(N_B\) le bimodule \(N\) considéré comme un \(B\)-module différentiel gradué (en oubliant la structure de module sur \(A\)). Il existe une application canonique [0BZ2]\[\begin{equation} N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C \end{equation}\] dans \(D(C, \text{d})\). Ici, \((N \otimes_B N')_C\) désigne le \((A, C)\)-bimodule \(N \otimes_B N'\) considéré comme un \(C\)-module différentiel gradué. En effet, cette application découle du fait qu’il existe toujours un morphisme du produit tensoriel dérivé vers le produit tensoriel ordinaire (comme il s’agit d’un foncteur dérivé à gauche).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) et \((C, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Soit \(N'\) un module différentiel gradué \((B, C)\). Supposons que (0BZ2) soit un isomorphisme. Alors la composition \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] est isomorphe à \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\) avec \(N'' = N \otimes_B N'\) considéré comme \((A, C)\)-bimodule.

Démonstration

Définissons une transformation de foncteurs \[(- \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow - \otimes_A^\mathbf{L} N''\] Pour ce faire, soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué avec la propriété (P). Selon la construction du foncteur \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\) de la démonstration du lemme 09LS, le produit tensoriel ordinaire \(M \otimes_A N''\) représente \(M \otimes_A^\mathbf{L} N''\) dans \(D(C, \text{d})\). Ensuite, nous écrivons \[M \otimes_A N'' = M \otimes_A (N \otimes_B N') = (M \otimes_A N) \otimes_B N'\] Le module \(M \otimes_A N\) représente \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\) dans \(D(B, \text{d})\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(Q \to M \otimes_A N\) où \(Q\) est un \(B\)-module différentiel gradué avec la propriété (P). Alors \(Q \otimes_B N'\) représente \((M \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N'\) dans \(D(C, \text{d})\). Ainsi, nous pouvons définir notre application via \[(M \otimes_A^\mathbf{L} N) \otimes_B^\mathbf{L} N' = Q \otimes_B N' \to M \otimes_A N \otimes_B N' = M \otimes_A^\mathbf{L} N''\] La construction de cette application est fonctorielle en \(M\) et compatible avec les triangles distingués et les sommes directes ; nous omettons les détails. Considérons la propriété \(T\) des objets \(M\) de \(D(A, \text{d})\) exprimant que cette application est un isomorphisme. Alors

1. si \(T\) est vraie pour \(M_i\), alors \(T\) est vraie pour \(\bigoplus M_i\),

2. si \(T\) est vraie pour \(2\) des \(3\) objets d’un triangle distingué, alors elle est vraie pour le troisième, et

3. \(T\) vaut pour \(A[k]\) car ici nous obtenons un décalage de l’application (0BZ2) que nous avons supposée être un isomorphisme.

Ainsi, d’après la remarque 0FQE, la propriété \(T\) est toujours vraie et la démonstration est complète.

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) et \((C, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Nous notons temporairement \((A \otimes_R B)_B\) l’algèbre différentielle graduée \(A \otimes_R B\) vue comme un module différentiel gradué à droite sur \(B\), et \({}_B(B \otimes_R C)_C\) l’algèbre différentielle graduée \(B \otimes_R C\) vue comme un bimodule différentiel gradué sur \((B, C)\). Alors il existe une application canonique [0BZ4]\[\begin{equation} (A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} {}_B(B \otimes_R C)_C \longrightarrow (A \otimes_R B \otimes_R C)_C \end{equation}\] dans \(D(C, \text{d})\) où \((A \otimes_R B \otimes_R C)_C\) désigne la \(R\)-algèbre différentielle graduée \(A \otimes_R B \otimes_R C\) considérée comme un \(C\)-module différentiel gradué (à droite). En effet, cette application provient de l’identification \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C = (A \otimes_R B \otimes_R C)_C\] et du fait que le produit tensoriel dérivé s’envoie toujours dans le produit tensoriel ordinaire (puisque c’est un foncteur dérivé à gauche).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) et \((C, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Supposons que (0BZ4) soit un isomorphisme. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Soit \(N'\) un \((B, C)\)-bimodule différentiel gradué. Alors la composition \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] est isomorphe à \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\) pour un \((A, C)\)-bimodule différentiel gradué \(N''\) décrit dans la démonstration.

Démonstration

Selon le lemme 09S3, nous pouvons remplacer \(N\) et \(N'\) par des bimodules quasi-isomorphes. Ainsi, nous pouvons supposer que \(N\), resp. \(N'\), possède la propriété (P) en tant que bimodule différentiel gradué \((A, B)\), resp. \((B, C)\), voir le lemme 0FQK. Nous affirmons que le lemme est valable avec le \((A, C)\)-bimodule \(N'' = N \otimes_B N'\). Pour le prouver, il suffit de montrer que \[N_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (N \otimes_B N')_C\] est un isomorphisme dans \(D(C, \text{d})\), voir le lemme 0BZ3.

Soit \(F_\bullet\) la filtration sur \(N\) comme dans la propriété (P) pour les bimodules. D’après le lemme 0FQL, il existe une suite exacte courte \[0 \to \bigoplus\nolimits F_iN \to \bigoplus\nolimits F_iN \to N \to 0\] de \((A, B)\)-bimodules différentiels gradués, qui est scindée comme suite de \((A, B)\)-bimodules gradués. A fortiori, il s’agit d’une suite exacte courte admissible de \(B\)-modules différentiels gradués et cela produit un triangle distingué \[\bigoplus\nolimits F_iN_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B \to N_B \to \bigoplus\nolimits F_iN_B[1]\] dans \(D(B, \text{d})\). En utilisant que \(- \otimes_B^\mathbf{L} N'\) est un foncteur exact de catégories triangulées et commute avec les sommes directes et en utilisant que \(- \otimes_B N'\) transforme les suites exactes admissibles en suites exactes admissibles et commute avec les sommes directes, nous nous ramenons à prouver que \[(F_pN)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (F_pN)_B \otimes_B N'\] est un quasi-isomorphisme pour tout \(p\). En répétant l’argument avec les suites exactes courtes de \((A, B)\)-bimodules \[0 \to F_pN \to F_{p + 1}N \to F_{p + 1}N/F_pN \to 0\] qui sont scindées comme suites de \((A, B)\)-bimodules gradués, nous nous ramenons à montrer la même assertion pour \(F_{p + 1}N/F_pN\). Comme ces modules sont des sommes directes de décalages de \((A \otimes_R B)_B\), nous nous ramenons à montrer que \[(A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} N' \longrightarrow (A \otimes_R B)_B \otimes_B N'\] est un quasi-isomorphisme.

Choisissons une filtration \(F_\bullet\) sur \(N'\) comme dans la propriété (P) pour les bimodules. Choisissons un quasi-isomorphisme \(P \to (A \otimes_R B)_B\) de \(B\)-modules différentiels gradués où \(P\) a la propriété (P). Nous devons montrer que \(P \otimes_B N' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B N'\) est un quasi-isomorphisme parce que \(P \otimes_B N'\) représente \((A \otimes_R B)_B \otimes_B^\mathbf{L} N'\) dans \(D(C, \text{d})\) par la construction dans le lemme 09LS. Puisque \(N' = \colim F_pN'\), nous constatons qu’il suffit de montrer que \(P \otimes_B F_pN' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B F_pN'\) est un quasi-isomorphisme. En utilisant les suites exactes courtes \(0 \to F_pN' \to F_{p + 1}N' \to F_{p + 1}N'/F_pN' \to 0\) qui sont scindées comme suites de \((B, C)\)-bimodules gradués, nous nous ramenons à montrer que \(P \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN' \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B F_{p + 1}N'/F_pN'\) est un quasi-isomorphisme pour tout \(p\). Ensuite, en utilisant enfin que \(F_{p + 1}N'/F_pN'\) est une somme directe de décalages de \({}_B(B \otimes_R C)_C\), nous concluons qu’il suffit de montrer que \[P \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C \to (A \otimes_R B)_B \otimes_B {}_B(B \otimes_R C)_C\] est un quasi-isomorphisme. Puisque \(P \to (A \otimes_R B)_B\) est une résolution par un module satisfaisant à la propriété (P), cette application de \(C\)-modules différentiels gradués représente le morphisme (0BZ4) dans \(D(C, \text{d})\) et la démonstration est terminée.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\) et \((C, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Si \(C\) est K-plat comme complexe de \(R\)-modules, alors (0BZ4) est un isomorphisme et la conclusion du lemme 0BZ5 est valable.

Démonstration

Choisissons un quasi-isomorphisme \(P \to (A \otimes_R B)_B\) de \(B\)-modules différentiels gradués, où \(P\) a la propriété (P). Ensuite, nous devons montrer que \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] est un quasi-isomorphisme. De manière équivalente, il s’agit du morphisme \[P \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] C’est un quasi-isomorphisme si \(C\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules selon Compléments d’algèbre, lemme 06Y0.

Variante du produit tensoriel dérivé

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Alors nous avons les foncteurs \[\text{Comp}(\mathcal{O}) \to K(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\] et comme nous l’avons vu ci-dessus, nous avons un enrichissement différentiel gradué \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\). Plus précisément, il s’agit de la catégorie différentielle graduée de l’exemple 09L9 associée à la catégorie abélienne \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules, en d’autres termes, un objet de \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\). Posons \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\] Ceci est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre différentielle graduée. Nous affirmons qu’il existe un analogue du changement de base dérivé dans cette situation.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il y a un foncteur \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] de catégories différentielles graduées. Ce foncteur envoie \(E\) sur \(K^\bullet\) et commute avec les sommes directes.

Démonstration

Soit \(M\) un \(E\)-module différentiel gradué. Pour chaque objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), le complexe \(K^\bullet(U)\) est un module différentiel gradué à gauche sur \(E\), ainsi qu’un module à droite sur \(\mathcal{O}(U)\). Les actions commutent, donc nous avons un bimodule. Ainsi, d’après les constructions des sections 09LL et 0FQG, nous pouvons former le produit tensoriel \[M \otimes_E K^\bullet(U)\] qui est un \(\mathcal{O}(U)\)-module différentiel gradué, c’est-à-dire un complexe de \(\mathcal{O}(U)\)-modules. Cette construction est fonctorielle par rapport à \(U\), nous pouvons donc faisceautiser pour obtenir un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules que nous notons \[M \otimes_E K^\bullet\] De plus, pour chaque \(U\), la construction détermine un foncteur \(\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \to \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}(U))\) de catégories différentielles graduées selon le lemme 09LM. Il est donc clair que nous obtenons un foncteur tel qu’énoncé dans le lemme.

Lemme

Le foncteur du lemme 09LV définit un foncteur exact de catégories triangulées \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})}) \to K(\mathcal{O})\).

Démonstration

Le foncteur induit un foncteur entre les catégories d’homotopie selon le lemme 09L8. Nous devons montrer que \(- \otimes_E K^\bullet\) transforme les triangles distingués en triangles distingués. Supposons que \(0 \to K \to L \to M \to 0\) soit une suite exacte courte admissible de \(E\)-modules différentiels gradués. Soit \(s : M \to L\) un homomorphisme de \(E\)-modules gradués qui est l’inverse à gauche de \(L \to M\). Alors \(s\) définit une application \(M \otimes_E K^\bullet \to L \otimes_E K^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules gradués (c’est-à-dire respectant la structure de \(\mathcal{O}\)-module et la graduation, mais pas les différentielles) qui est l’inverse à gauche de \(L \otimes_E K^\bullet \to M \otimes_E K^\bullet\). Ainsi nous voyons que \[0 \to K \otimes_E K^\bullet \to L \otimes_E K^\bullet \to M \otimes_E K^\bullet \to 0\] est une suite exacte courte scindée terme à terme de complexes, c’est-à-dire qu’elle définit un triangle distingué dans \(K(\mathcal{O})\).

Lemme

Le foncteur \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})}) \to K(\mathcal{O})\) du lemme 09LW a une version dérivée à gauche définie sur l’ensemble de \(D(E, \text{d})\). Nous la notons \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \to D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Nous utiliserons Catégories dérivées, lemme 06XN pour le prouver. Comme collection \(\mathcal{P}\) d’objets, nous prendrons les objets avec la propriété (P). La propriété (1) a été démontrée dans le lemme 09KP. La propriété (2) est vraie parce que si \(s : P \to P'\) est un quasi-isomorphisme de modules avec la propriété (P), alors \(s\) est une équivalence d’homotopie selon le lemme 09KY.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau de \(R\)-algèbres commutatives. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Le foncteur du lemme 09LX possède la propriété suivante : Pour chaque \(M\), \(N\) dans \(D(E, \text{d})\), il existe une flèche canonique \[R\Hom(M, N) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] dans \(D(R)\) qui sur les modules de cohomologie donne les flèches \[\Ext^n_{D(E, \text{d})}(M, N) \to \Ext^n_{D(\mathcal{O})} (M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet, N \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] induites par le foncteur \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet\).

Démonstration

Le membre de droite est le Hom dérivé global introduit dans Cohomologie sur les sites, section 0B6E qui a les bons modules de cohomologie. Pour le membre de gauche, nous considérons \(M\) comme un \((R, A)\)-bimodule et nous avons le \(\Hom\) dérivé introduit dans la section 09LF, qui possède également les modules de cohomologie corrects. Pour prouver le lemme, nous pouvons supposer que \(M\) et \(N\) sont des \(E\)-modules différentiels gradués avec la propriété (P) ; cela ne change pas le membre de gauche selon le lemme 0BYV. D’après le lemme 0BYW, cela signifie que le membre de gauche devient \(\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N)\). Dans les lemmes 09LV, 09LW, et 09LX nous avons construit un foncteur \[- \otimes_E K^\bullet : \text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})} \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] de catégories différentielles graduées et nous avons montré que \(- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet\) est calculé en évaluant ce foncteur sur des \(E\)-modules différentiels gradués ayant la propriété (P). Par conséquent, nous obtenons un morphisme de complexes de \(R\)-modules \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(M, N) \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (M \otimes_E K^\bullet, N \otimes_E K^\bullet)\] Pour tous les complexes de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}^\bullet\) et \(\mathcal{G}^\bullet\), il existe une application canonique \[\Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})} (\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet)) \longrightarrow R\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet).\] En combinant ces applications, nous obtenons l’application désirée du lemme.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] du lemme 09LX est un adjoint à gauche du foncteur \[R\Hom(K^\bullet, -) : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(E, \text{d})\] du lemme 09LK.

Démonstration

L’énoncé signifie que nous avons \[\Hom_{D(E, \text{d})}(M, R\Hom(K^\bullet, L^\bullet)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(M \otimes^\mathbf{L}_E K^\bullet, L^\bullet)\] bifonctoriellement en \(M\) et \(L^\bullet\). Pour voir cela, nous pouvons remplacer \(M\) par un \(E\)-module différentiel gradué \(P\) ayant la propriété (P). Nous pouvons également remplacer \(L^\bullet\) par un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules \(I^\bullet\). Le calcul des foncteurs dérivés donné dans les lemmes mentionnés dans l’énoncé, combiné avec le lemme 09KY, traduit ce qui précède en \[\Hom_{K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] où \(\mathcal{B} = \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\). Il existe une application d’évaluation de droite à gauche fonctorielle en \(P\) et \(I^\bullet\) (détails omis). Choisissons une filtration \(F_\bullet\) sur \(P\) comme dans la définition de la propriété (P). D’après le lemme 09KL et le fait que les deux membres de l’égalité sont des foncteurs homologiques en \(P\) sur \(K(\text{Mod}_{(E, \text{d})})\), nous nous ramenons au cas où \(P\) est remplacé par le \(E\)-module différentiel gradué \(\bigoplus F_iP\). Puisque les deux membres transforment les sommes directes dans la variable \(P\) en produits directs, nous nous ramenons au cas où \(P\) est l’un des \(E\)-modules différentiels gradués \(F_iP\). Puisque chaque \(F_iP\) possède une filtration finie (donnée par des monomorphismes admissibles) dont les quotients successifs sont des \(E\)-modules projectifs gradués, nous nous ramenons au cas où \(P\) est un \(E\)-module projectif gradué. Dans ce cas, nous avons clairement \[\Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(E, \text{d})}} (P, \Hom_\mathcal{B}(K^\bullet, I^\bullet)) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(P \otimes_E K^\bullet, I^\bullet)\] comme \(\mathbf{Z}\)-modules gradués (car cette affirmation se réduit au cas \(P = E[k]\) où c’est évident). Comme l’isomorphisme est compatible avec les différentielles, nous obtenons la conclusion.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(K^\bullet\) représente un objet compact de \(D(\mathcal{O})\), et

2. \(E = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}(K^\bullet, K^\bullet)\) calcule les groupes Ext de \(K^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Alors le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] du lemme 09LX est pleinement fidèle.

Démonstration

Comme notre foncteur a un adjoint à gauche donné par \(R\Hom(K^\bullet, -)\) selon le lemme 09LY, il suffit de montrer pour un \(E\)-module différentiel gradué \(M\) que l’application \[H^0(M) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(K^\bullet, M \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet)\] est un isomorphisme. Nous pouvons supposer que \(M = P\) est un \(E\)-module différentiel gradué qui a la propriété (P). Puisque \(K^\bullet\) définit un objet compact, nous nous ramenons, à l’aide du lemme 09KL, au cas où \(P\) a une filtration finie dont les quotients successifs sont des sommes directes de \(E[k]\). Encore une fois, en utilisant la compacité, nous nous ramenons au cas \(P = E[k]\). L’hypothèse sur \(K^\bullet\) est que le résultat est vrai dans ces cas.

Caractérisation des objets compacts

Les objets compacts des catégories additives sont définis dans Catégories dérivées, définition 07LS. Dans cette section, nous caractérisons les objets compacts de la catégorie dérivée d’une algèbre différentielle graduée.

Remarque

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Existe-t-il une caractérisation des \(A\)-modules différentiels gradués \(P\) pour lesquels nous avons \[\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\] pour tous les \(A\)-modules différentiels gradués \(M\) ? Soit \(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\) la sous-catégorie pleine dont les objets sont les objets \(P\) satisfaisant ce qui précède. Alors \(\mathcal{D}\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(K(A, \text{d})\). Si \(P\) est projectif en tant que \(A\)-module gradué, alors pour voir si \(P\) est un objet de \(\mathcal{D}\), il suffit de vérifier que \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = 0\) chaque fois que \(M\) est acyclique. Cependant, en général, il ne suffit pas de supposer que \(P\) est projectif en tant que \(A\)-module gradué. Exemple : prenons \(A = R = k[\epsilon]\) où \(k\) est un corps et \(k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\) est l’anneau des nombres duaux. Soit \(P\) l’objet avec \(P^n = R\) pour tous les \(n \in \mathbf{Z}\) et de différentielle donnée par multiplication par \(\epsilon\). Alors \(\text{id}_P \in \Hom_{K(A, \text{d})}(P, P)\) est un élément non nul mais \(P\) est acyclique.

Remarque

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Disons qu’un \(A\)-module différentiel gradué \(M\) est de type fini si \(M\) est engendré, en tant que module à droite sur \(A\), par un nombre fini d’éléments. Si \(P\) est un \(A\)-module différentiel gradué qui est projectif gradué de type fini, alors nous pouvons nous demander : Est-ce que \(P\) donne un objet compact de \(D(A, \text{d})\) ? Nous nous attendons à ce que ce ne soit pas vrai en général, mais nous ne connaissons pas de contre-exemple. Cependant, si \(P\) est également un objet de la catégorie \(\mathcal{D}\) de la remarque 09R0, alors c’est le cas (cela découle du fait que les sommes directes dans \(D(A, \text{d})\) sont données par des sommes directes de modules ; les détails sont omis).

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(E\) un objet compact de \(D(A, \text{d})\). Soit \(P\) un \(A\)-module différentiel gradué qui possède une filtration finie \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset F_nP = P\] par des sous-modules différentiels gradués, telle que \[F_{i + 1}P/F_iP \cong \bigoplus\nolimits_{j \in J_i} A[k_{i, j}]\] comme \(A\)-modules différentiels gradués pour certains ensembles \(J_i\) et entiers \(k_{i, j}\). Soit \(E \to P\) un morphisme de \(D(A, \text{d})\). Alors il existe un sous-module différentiel gradué \(P' \subset P\) tel que \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\) soit égal à \(\bigoplus_{j \in J'_i} A[k_{i, j}]\) pour certains sous-ensembles finis \(J'_i \subset J_i\) et tel que \(E \to P\) se factorise par \(P'\).

Démonstration

Nous allons démontrer par récurrence sur \(-1 \leq m \leq n\) qu’il existe un sous-module différentiel gradué \(P' \subset P\) tel que

1. \(F_mP \subset P'\),

2. pour \(i \geq m\) le quotient \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\) est isomorphe à \(\bigoplus_{j \in J'_i} A[k_{i, j}]\) pour certains sous-ensembles finis \(J'_i \subset J_i\), et

3. \(E \to P\) se factorise par \(P'\).

Le cas de base est \(m = n\) où nous pouvons prendre \(P' = P\).

Étape de récurrence. Supposons que \(P'\) convienne pour \(m\). Pour \(i \geq m\) et \(j \in J'_i\), soit \(x_{i, j} \in F_{i + 1}P \cap P'\) un élément homogène de degré \(k_{i, j}\) dont l’image dans \(F_{i + 1}P \cap P'/(F_iP \cap P')\) est le générateur du facteur correspondant à \(j \in J_i\). Les \(x_{i, j}\) engendrent \(P'/F_mP\) en tant que \(A\)-module. Écrivons \[\text{d}(x_{i, j}) = \sum x_{i', j'} a_{i, j}^{i', j'} + y_{i, j}\] avec \(y_{i, j} \in F_mP\) et \(a_{i, j}^{i', j'} \in A\). Il existe un sous-ensemble fini \(J'_{m - 1} \subset J_{m - 1}\) tel que l’image de chaque \(y_{i, j}\) appartienne au sous-module \(\bigoplus_{j \in J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\) de \(F_mP/F_{m - 1}P\). Soit \(P'' \subset F_mP\) l’image inverse de \(\bigoplus_{j \in J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\) sous l’application \(F_mP \to F_mP/F_{m - 1}P\). Alors nous voyons que le \(A\)-sous-module \[P'' + \sum x_{i, j}A\] est un sous-module différentiel gradué du type que nous recherchons. De plus \[P'/(P'' + \sum x_{i, j}A) = \bigoplus\nolimits_{j \in J_{m - 1} \setminus J'_{m - 1}} A[k_{m - 1, j}]\] Puisque \(E\) est compact, la composition de l’application donnée \(E \to P'\) avec l’application quotient se factorise par la somme directe d’un nombre fini des facteurs du module ci-dessus. Par conséquent, après avoir agrandi \(J'_{m - 1}\), nous pouvons supposer que \(E \to P'\) se factorise par \(P'' + \sum x_{i, j}A\) comme souhaité.

Il n’est pas vrai que tout objet compact de \(D(A, \text{d})\) provienne d’un \(A\)-module différentiel gradué qui soit projectif gradué de type fini, voir Exemples, section 09R4.

Proposition

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Soit \(E\) un objet de \(D(A, \text{d})\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(E\) est un objet compact,

2. \(E\) est un facteur direct d’un objet de \(D(A, \text{d})\) qui est représenté par un module différentiel gradué \(P\) qui possède une filtration finie \(F_\bullet\) par des sous-modules différentiels gradués, telle que les \(F_iP/F_{i - 1}P\) soient des sommes directes finies de décalages de \(A\).

Démonstration

Supposons que \(E\) soit compact. D’après le lemme 09KP, nous pouvons supposer que \(E\) est représenté par un \(A\)-module différentiel gradué \(P\) avec la propriété (P). Considérons le triangle distingué \[\bigoplus F_iP \to \bigoplus F_iP \to P \xrightarrow{\delta} \bigoplus F_iP[1]\] provenant de la suite exacte courte admissible du lemme 09KL. Puisque \(E\) est compact, nous avons \(\delta = \sum_{i = 1, \ldots, n} \delta_i\) pour certains \(\delta_i : P \to F_iP[1]\). Puisque la composition de \(\delta\) avec l’application \(\bigoplus F_iP[1] \to \bigoplus F_iP[1]\) est nulle (Catégories dérivées, lemme 0146), il s’ensuit que \(\delta = 0\) (car \(\bigoplus F_iP \to \bigoplus F_iP\) envoie le facteur direct \(F_iP\) via la différence de \(\text{id}\) et de l’application d’inclusion dans \(F_{i - 1}P\)). Ainsi, nous voyons que l’identité sur \(E\) se factorise à travers \(\bigoplus F_iP\) dans \(D(A, \text{d})\) (d’après Catégories dérivées, lemme 05QT). Ensuite, nous utilisons à nouveau la compacité de \(P\) pour voir que l’application \(E \to \bigoplus F_iP\) se factorise par \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} F_iP\) pour un certain \(n\). En d’autres termes, l’identité sur \(E\) se factorise par \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} F_iP\). Par le lemme 09R2, nous voyons que l’identité de \(E\) se factorise comme \(E \to P \to E\) où \(P\) est comme dans la partie (2) de l’énoncé du lemme. En d’autres termes, nous avons prouvé que (1) implique (2).

Supposons (2). D’après Catégories dérivées, lemme 09QH, il suffit de montrer que \(P\) donne un objet compact. Remarquons que \(P\) a la propriété (P), donc nous avons \[\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\] pour tout module différentiel gradué \(M\) d’après le lemme 09KY. Comme les sommes directes dans \(D(A, \text{d})\) sont données par des sommes directes de modules gradués (lemme 09QI), nous nous ramenons à montrer que \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\) commute avec les sommes directes. En utilisant le fait que \(K(A, \text{d})\) est une catégorie triangulée, que \(\Hom\) est un foncteur cohomologique dans la première variable, et la filtration sur \(P\), nous nous ramenons au cas où \(P\) est une somme directe finie de décalages de \(A\). Ainsi, nous nous ramenons au cas \(P = A[k]\), ce qui est clair.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Pour tout objet compact \(E\) de \(D(A, \text{d})\), il existe des entiers \(a \leq b\) tels que \(\Hom_{D(A, \text{d})}(E, M) = 0\) si \(H^i(M) = 0\) pour \(i \in [a, b]\).

Démonstration

Observons que la collection d’objets de \(D(A, \text{d})\) pour lesquels un tel couple d’entiers existe est une sous-catégorie triangulée saturée et strictement pleine de \(D(A, \text{d})\). Ainsi, d’après la proposition 09R3, il suffit de prouver cela lorsque \(E\) est représenté par un module différentiel gradué \(P\) qui possède une filtration finie \(F_\bullet\) par des sous-modules différentiels gradués tels que \(F_iP/F_{i - 1}P\) soient des sommes directes finies de décalages de \(A\). En utilisant la compatibilité avec les triangles, nous voyons qu’il suffit de le prouver pour \(P = A\). Dans ce cas, \(\Hom_{D(A, \text{d})}(A, M) = H^0(M)\) et le résultat vaut pour \(a = b = 0\).

Si \((A, \text{d})\) est simplement une algèbre placée en degré \(0\) avec une différentielle nulle ou, plus généralement, est concentrée en un nombre fini de degrés, alors nous obtenons la description plus précise des objets compacts.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée. Supposons que \(A^n = 0\) pour \(|n| \gg 0\). Soit \(E\) un objet de \(D(A, \text{d})\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(E\) est un objet compact, et

2. \(E\) peut être représenté par un \(A\)-module différentiel gradué \(P\) qui est projectif de type fini en tant que \(A\)-module gradué et satisfait \(\Hom_{K(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{D(A, \text{d})}(P, M)\) pour tout \(A\)-module différentiel gradué \(M\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\) la sous-catégorie triangulée discutée dans la remarque 09R0. Soit \(P\) un objet de \(\mathcal{D}\) qui est projectif de type fini comme \(A\)-module gradué. Alors \(P\) représente un objet compact de \(D(A, \text{d})\) d’après la remarque 09R1.

Pour prouver la réciproque, soit \(E\) un objet compact de \(D(A, \text{d})\). Fixons \(a \leq b\) comme dans le lemme 09RA. Après avoir diminué \(a\) et augmenté \(b\) si nécessaire, nous pouvons également supposer que \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) (cela découle de la proposition 09R3 et de notre hypothèse sur \(A\)). De plus, fixons un entier \(c > 0\) tel que \(A^n = 0\) si \(|n| \geq c\).

Par la proposition 09R3 nous voyons que \(E\) est un facteur direct, dans \(D(A, \text{d})\), d’un \(A\)-module différentiel gradué \(P\) qui possède une filtration finie \(F_\bullet\) par des sous-modules différentiels gradués telle que les \(F_iP/F_{i - 1}P\) soient des sommes directes finies de décalages de \(A\). En particulier, \(P\) a la propriété (P) et nous avons \(\Hom_{D(A, \text{d})}(P, M) = \Hom_{K(A, \text{d})}(P, M)\) pour tout module différentiel gradué \(M\) selon le lemme 09KY. En d’autres termes, \(P\) est un objet de la sous-catégorie triangulée \(\mathcal{D} \subset K(A, \text{d})\) discutée dans la remarque 09R0. Notons que \(P\) est libre de type fini comme \(A\)-module gradué.

Choisissons \(n > 0\) tel que \(b + 4c - n < a\). Représentons le projecteur sur \(E\) par un endomorphisme \(\varphi : P \to P\) de \(A\)-modules différentiels gradués. Considérons le triangle distingué \[P \xrightarrow{1 - \varphi} P \to C \to P[1]\] dans \(K(A, \text{d})\) où \(C\) est le cône de la première flèche. Ensuite, \(C\) est un objet de \(\mathcal{D}\), nous avons \(C \cong E \oplus E[1]\) dans \(D(A, \text{d})\), et \(C\) est un \(A\)-module gradué libre de type fini. Ensuite, considérons un triangle distingué \[C[1] \to C \to C' \to C[2]\] dans \(K(A, \text{d})\) où \(C'\) est le cône sur un morphisme \(C[1] \to C\) représentant la composition \[C[1] \cong E[1] \oplus E[2] \to E[1] \to E \oplus E[1] \cong C\] dans \(D(A, \text{d})\). Ensuite, nous voyons que \(C'\) représente \(E \oplus E[2]\). En continuant de cette manière, nous voyons que nous pouvons trouver un \(A\)-module différentiel gradué \(P\) qui est un objet de \(\mathcal{D}\), est libre de type fini en tant que \(A\)-module gradué, et représente \(E \oplus E[n]\).

Choisissons une base \(x_i\), \(i \in I\) d’éléments homogènes pour \(P\) en tant que \(A\)-module. Posons \(d_i = \deg(x_i)\). Soit \(P_1\) le \(A\)-sous-module de \(P\) engendré par \(x_i\) et \(\text{d}(x_i)\) pour \(d_i \leq a - c - 1\). Soit \(P_2\) le \(A\)-sous-module de \(P\) engendré par \(x_i\) et \(\text{d}(x_i)\) pour \(d_i \geq b - n + c\). Nous observons

1. \(P_1\) et \(P_2\) sont des sous-modules différentiels gradués de \(P\),

2. \(P_1^t = 0\) pour \(t \geq a\),

3. \(P_1^t = P^t\) pour \(t \leq a - 2c\),

4. \(P_2^t = 0\) pour \(t \leq b - n\),

5. \(P_2^t = P^t\) pour \(t \geq b - n + 2c\).

Comme \(b - n + 2c \geq a - 2c\) par notre choix de \(n\) nous obtenons une suite exacte courte de \(A\)-modules différentiels gradués \[0 \to P_1 \cap P_2 \to P_1 \oplus P_2 \xrightarrow{\pi} P \to 0\] Puisque \(P\) est projectif en tant que \(A\)-module gradué, il s’agit d’une suite exacte courte admissible (lemme 09K0). Ainsi, nous obtenons un morphisme de liaison \(\delta : P \to (P_1 \cap P_2)[1]\) dans \(K(A, \text{d})\), voir le lemme 09JU. Puisque \(P = E \oplus E[n]\) et puisque \(P_1 \cap P_2\) est concentré en degrés \((b - n, a)\), nous constatons que \(\Hom_{D(A, \text{d})}(E \oplus E[n], (P_1 \cap P_2)[1])\) est nul. Par conséquent, \(\delta = 0\) en tant que morphisme dans \(K(A, \text{d})\) puisque \(P\) est un objet de \(\mathcal{D}\). Par Catégories dérivées, le lemme 05QT nous permet de trouver une application \(s : P \to P_1 \oplus P_2\) telle que \(\pi \circ s = \text{id}_P + \text{d}h + h\text{d}\) pour un certain \(h : P \to P\) de degré \(-1\). Puisque \(P_1 \oplus P_2 \to P\) est surjectif et que \(P\) est projectif comme \(A\)-module gradué, nous pouvons choisir un relèvement homogène \(\tilde h : P \to P_1 \oplus P_2\) de \(h\). Puis nous changeons \(s\) en \(s + \text{d} \tilde h + \tilde h \text{d}\) pour obtenir \(\pi \circ s = \text{id}_P\). Cela signifie que nous obtenons une décomposition en somme directe \(P = s^{-1}(P_1) \oplus s^{-1}(P_2)\). Puisque \(s^{-1}(P_2)\) est égal à \(P\) en degrés \(\geq b - n + 2c\), nous voyons que \(s^{-1}(P_2) \to P \to E\) est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire un isomorphisme dans \(D(A, \text{d})\). Cela termine la démonstration.

Équivalences de catégories dérivées

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Une question naturelle est de savoir ce que signifie l’équivalence de \(D(A, \text{d})\) avec \(D(B, \text{d})\) en tant que catégorie triangulée linéaire sur \(R\). C’est une question plutôt subtile et il s’avérera qu’elle n’est pas toujours la bonne question à poser. Néanmoins, dans cette section nous recueillons certaines conditions qui garantissent que c’est le cas.

Nous recommandons vivement au lecteur de consulter l’article fondateur [Rickard] sur ce sujet.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\) un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées sur \(R\), qui induit un isomorphisme sur les algèbres de cohomologie. Alors \[- \otimes_A^\mathbf{L} B : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] donne une équivalence \(R\)-linéaire de catégories triangulées avec quasi-inverse le foncteur de restriction \(N \mapsto N_A\).

Démonstration

D’après le lemme 09R9, le foncteur \(M \longmapsto M \otimes_A^\mathbf{L} B\) est pleinement fidèle. D’après le lemme 09LT, le foncteur \(N \longmapsto R\Hom(B, N) = N_A\) est un adjoint à droite, voir l’exemple 0BYX. Il est clair que le noyau de \(R\Hom(B, -)\) est nul. Par conséquent, le résultat découle de Catégories dérivées, lemme 09J1.

Lorsque nous analysons la démonstration ci-dessus, nous voyons que nous obtenons sans travail supplémentaire la généralisation suivante.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées sur \(R\). Soit \(N\) un bimodule différentiel gradué sur \((A, B)\). Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(N\) définit un objet compact de \(D(B, \text{d})\),

2. si \(N' \in D(B, \text{d})\) et \(\Hom_{D(B, \text{d})}(N, N'[n]) = 0\) pour \(n \in \mathbf{Z}\), alors \(N' = 0\), et

3. l’application \(H^k(A) \to \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\) est un isomorphisme pour tout \(k \in \mathbf{Z}\).

Alors \[- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] donne une équivalence \(R\)-linéaire de catégories triangulées.

Démonstration

D’après le lemme 09R9 le foncteur \(M \longmapsto M \otimes_A^\mathbf{L} N\) est pleinement fidèle. D’après le lemme 09LT le foncteur \(N' \longmapsto R\Hom(N, N')\) est un adjoint à droite. D’après l’hypothèse (3) le noyau de \(R\Hom(N, -)\) est nul. Par conséquent, le résultat découle de Catégories dérivées, lemme 09J1.

Remarque

Dans le lemme 09S7, nous pouvons remplacer la condition (2) par la condition selon laquelle \(N\) est un générateur classique pour \(D_{compact}(B, d)\), voir Catégories dérivées, proposition 09SR. De plus, si nous savions que \(R\Hom(N, B)\) est un objet compact de \(D(A, \text{d})\), alors il suffirait de vérifier que \(N\) est un générateur faible pour \(D_{compact}(B, \text{d})\). Nous omettons la démonstration ; nous l’ajouterons ici si nous en avons besoin un jour dans le projet Champs.

Le \(B\)-module \(P\) du lemme ci-dessous est parfois appelé « complexe \((A, B)\)-basculant ».

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Supposons que \(A = H^0(A)\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(D(A, \text{d})\) et \(D(B, \text{d})\) sont équivalentes en tant que catégories triangulées \(R\)-linéaires, et

2. il existe un objet \(P\) de \(D(B, \text{d})\) tel que

   1. \(P\) est un objet compact de \(D(B, \text{d})\),

   2. si \(N \in D(B, \text{d})\) avec \(\Hom_{D(B, \text{d})}(P, N[i]) = 0\) pour \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(N = 0\),

   3. \(\Hom_{D(B, \text{d})}(P, P[i]) = 0\) pour \(i \not = 0\) et est égal à \(A\) pour \(i = 0\).

L’équivalence \(D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\) construite dans (2) envoie \(A\) sur \(P\).

Démonstration

Soit \(F : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\) une équivalence. Alors \(F\) envoie les objets compacts vers des objets compacts. Par conséquent, \(P = F(A)\) est compact, c’est-à-dire que (2)(a) est vérifié. Les conditions (2)(b) et (2)(c) découlent immédiatement du fait que \(F\) est une équivalence.

Soit \(P\) un objet comme en (2). Représentons \(P\) par un module différentiel gradué avec la propriété (P). Posons \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(P, P)\] Alors \(H^0(E) = A\) et \(H^k(E) = 0\) pour \(k \not = 0\) par le lemme 09KY et l’hypothèse (2)(c). En considérant \(P\) comme un \((E, B)\)-bimodule et en utilisant le lemme 09S7 et l’hypothèse (2)(b), nous obtenons une équivalence \[D(E, \text{d}) \to D(B, \text{d})\] envoyant \(E\) sur \(P\). Soit \(E' \subset E\) la sous-algèbre différentielle graduée sur \(R\) avec \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{si }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{si }i = 0 \\ 0 & \text{si }i > 0 \end{matrix} \right.\] Il y a alors des quasi-isomorphismes d’algèbres différentielles graduées \((A, \text{d}) \leftarrow (E', \text{d}) \rightarrow (E, \text{d})\). Ainsi, nous obtenons des équivalences \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] par le lemme 09S6.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Supposons donnée une équivalence \(R\)-linéaire \[F : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] de catégories triangulées. Posons \(N = F(A)\). Alors \(N\) est un \(B\)-module différentiel gradué. Puisque \(F\) est une équivalence et que \(A\) est un objet compact de \(D(A, \text{d})\), nous concluons que \(N\) est un objet compact de \(D(B, \text{d})\). Puisque \(A\) engendre \(D(A, \text{d})\) et que \(F\) est une équivalence, nous voyons que \(N\) engendre \(D(B, \text{d})\). Enfin, \(H^k(A) = \Hom_{D(A, \text{d})}(A, A[k])\) et comme \(F\) est une équivalence, nous voyons que \(F\) induit un isomorphisme \(H^k(A) = \Hom_{D(B, \text{d})}(N, N[k])\) pour tous les \(k\). Afin de conclure qu’il existe une équivalence \(D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\) qui découle de la construction dans le lemme 09S7 tout ce dont nous avons besoin est une structure de \(A\)-module à gauche sur \(N\) compatible avec la différentielle et commutant avec la structure de \(B\)-module à droite donnée. En fait, il suffit de le faire après avoir remplacé \(N\) par un \(B\)-module différentiel gradué quasi-isomorphe. La structure du module peut être construite dans certains cas. Par exemple, si nous supposons que \(F\) peut être relevé à un foncteur différentiel gradué \[F^{dg} : \text{Mod}^{dg}_{(A, \text{d})} \longrightarrow \text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}\] (pour la notation voir exemple 09LC) entre les catégories différentielles graduées associées, alors cela est vrai. Un autre cas est discuté dans la proposition ci-dessous.

Proposition

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(F : D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\) une équivalence \(R\)-linéaire de catégories triangulées. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(A = H^0(A)\), et

2. \(B\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules.

Alors il existe un \((A, B)\)-bimodule \(N\) comme dans le lemme 09S7.

Démonstration

Comme dans la remarque 09S9 ci-dessus, nous posons \(N = F(A)\) dans \(D(B, \text{d})\). Nous pouvons supposer que \(N\) est un \(B\)-module différentiel gradué avec la propriété (P). Posons \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Mod}^{dg}_{(B, \text{d})}}(N, N)\] Puis \(H^0(E) = A\) et \(H^k(E) = 0\) pour \(k \not = 0\) par le lemme 09KY. De plus, d’après la discussion dans la remarque 09S9 et par le lemme 09S7, nous voyons que \(N\) en tant que \((E, B)\)-bimodule induit une équivalence \(- \otimes_E^\mathbf{L} N : D(E, \text{d}) \to D(B, \text{d})\). Soit \(E' \subset E\) la sous-algèbre différentielle graduée sur \(R\) avec \[(E')^i = \left\{ \begin{matrix} E^i & \text{si }i < 0 \\ \Ker(E^0 \to E^1) & \text{si }i = 0 \\ 0 & \text{si }i > 0 \end{matrix} \right.\] Ensuite, il y a des quasi-isomorphismes d’algèbres différentielles graduées \((A, \text{d}) \leftarrow (E', \text{d}) \rightarrow (E, \text{d})\). Ainsi, nous obtenons des équivalences \[D(A, \text{d}) \leftarrow D(E', \text{d}) \rightarrow D(E, \text{d}) \rightarrow D(B, \text{d})\] d’après le lemme 09S6. Notons que le quasi-inverse \(D(A, \text{d}) \to D(E', \text{d})\) de la flèche verticale gauche est donné par \(M \mapsto M \otimes_A^\mathbf{L} A\) où \(A\) est considéré comme un bimodule \((A, E')\), voir l’exemple 0BYX. D’autre part, le foncteur \(D(E', \text{d}) \to D(B, \text{d})\) est donné par \(M \mapsto M \otimes_{E'}^\mathbf{L} N\) où \(N\) est comme ci-dessus. Nous concluons par le lemme 09S4.

Remarque

Soient \(A, B, F, N\) comme dans la proposition 09SA. Il n’est pas clair que \(F\) et le foncteur \(G(-) = - \otimes_A^\mathbf{L} N\) soient isomorphes. Par construction, il existe un isomorphisme \(N = G(A) \to F(A)\) dans \(D(B, \text{d})\). Il est simple d’étendre cela à un isomorphisme fonctoriel \(G(M) \to F(M)\) lorsque \(M\) est un \(A\)-module différentiel gradué qui est projectif gradué (par exemple, une somme de décalages de \(A\)). On peut alors conclure que \(G(M) \cong F(M)\) lorsque \(M\) est un cône d’une application entre de tels modules. Nous ne savons pas si l’on peut en dire davantage en général.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Les assertions suivantes sont équivalentes

1. il existe une équivalence \(R\)-linéaire \(D(A) \to D(B)\) de catégories triangulées,

2. il existe un objet \(P\) de \(D(B)\) tel que

   1. \(P\) peut être représenté par un complexe borné de \(B\)-modules projectifs de type fini,

   2. si \(K \in D(B)\) avec \(\Ext^i_B(P, K) = 0\) pour \(i \in \mathbf{Z}\), alors \(K = 0\), et

   3. \(\Ext^i_B(P, P) = 0\) pour \(i \not = 0\) et est égal à \(A\) pour \(i= 0\).

De plus, si \(B\) est plat en tant que \(R\)-module, alors cela équivaut également à

1. il existe un \((A, B)\)-bimodule \(N\) tel que \(- \otimes_A^\mathbf{L} N : D(A) \to D(B)\) soit une équivalence.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est un cas particulier du lemme 09S8 combiné avec le résultat du lemme 09RB caractérisant les objets compacts de \(D(B)\) (petit détail omis). L’équivalence avec (3) si \(B\) est \(R\)-plat découle de la proposition 09SA.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Si \(D(A)\) et \(D(B)\) sont équivalentes comme catégories triangulées \(R\)-linéaires, alors les centres de \(A\) et \(B\) sont isomorphes comme \(R\)-algèbres. En particulier, si \(A\) et \(B\) sont commutatifs, alors \(A \cong B\). La démonstration plutôt délicate peut être trouvée dans [Rickard, Proposition 9.2] ou [KZ, Proposition 6.3.2]. Une autre approche pourrait être d’utiliser la cohomologie de Hochschild (voir remarque ci-dessous).

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées dont les catégories dérivées sont équivalentes, c’est-à-dire telles qu’il existe une équivalence \(R\)-linéaire \(D(A, \text{d}) \to D(B, \text{d})\) de catégories triangulées. Nous souhaitons montrer que certains invariants de \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) coïncident. Dans de nombreuses situations, on a un meilleur contrôle de la situation. Par exemple, il peut arriver qu’il existe une équivalence de la forme \[- \otimes_A \Omega : D(A, \text{d}) \longrightarrow D(B, \text{d})\] pour un certain \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué \(\Omega\) (cela se produit dans la situation de la proposition 09SA et est souvent vrai si l’équivalence provient d’une construction géométrique). Supposons de plus que le quasi-inverse de notre foncteur soit donné par \[- \otimes_B^\mathbf{L} \Omega' : D(B, \text{d}) \longrightarrow D(A, \text{d})\] pour un \((B, A)\)-bimodule différentiel gradué \(\Omega'\) (et comme précédemment un tel module \(\Omega'\) existe souvent en pratique). Dans ce cas, nous pouvons considérer le foncteur \[D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d}) \longrightarrow D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d}),\quad M \longmapsto \Omega' \otimes^\mathbf{L}_A M \otimes_A^\mathbf{L} \Omega\] sur les catégories dérivées de bimodules (utilisez le lemme 0FQJ pour transformer les bimodules en modules à droite). Observons que ce foncteur envoie le \((A, A)\)-bimodule \(A\) sur le \((B, B)\)-bimodule \(B\). Sous des conditions adéquates (par exemple, la platitude de \(A\), \(B\), \(\Omega\) sur \(R\), etc.) ce foncteur sera également une équivalence. Si tel est le cas, il s’ensuit que nous avons des isomorphismes de groupes de cohomologie de Hochschild \[HH^i(A, \text{d}) = \Hom_{D(A^{opp} \otimes_R A, \text{d})}(A, A[i]) \longrightarrow \Hom_{D(B^{opp} \otimes_R B, \text{d})}(B, B[i]) = HH^i(B, \text{d}).\] Par exemple, si \(A = H^0(A)\), alors \(HH^0(A, \text{d})\) est égal au centre de \(A\), et cela donne une démonstration conceptuelle du résultat mentionné dans la remarque 09SD. Si jamais nous avons besoin de cette remarque, nous fournirons ici un énoncé précis avec une démonstration détaillée.

Résolutions d’algèbres différentielles graduées

Soit \(R\) un anneau. Sous nos hypothèses, la \(R\)-algèbre libre \(R\langle S \rangle\) sur un ensemble \(S\) est l’algèbre ayant pour \(R\)-base les expressions \[s_1 s_2 \ldots s_n\] où \(n \geq 0\) et où \(s_1, \ldots, s_n \in S\) forment une suite d’éléments de \(S\). La multiplication est donnée par concaténation \[(s_1 s_2 \ldots s_n) \cdot (s'_1 s'_2 \ldots s'_m) = s_1 \ldots s_n s'_1 \ldots s'_m\] Cette algèbre est caractérisée par le fait que l’application \[\Mor_{R\text{-alg}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] est une bijection pour chaque \(R\)-algèbre \(A\).

Dans la catégorie des \(R\)-algèbres graduées, notre ensemble \(S\) devrait être muni d’une graduation, que nous considérons comme une application \(\deg : S \to \mathbf{Z}\). Alors \(R\langle S\rangle\) possède une graduation telle que les monômes aient un degré \[\deg(s_1 s_2 \ldots s_n) = \deg(s_1) + \ldots + \deg(s_n)\] Dans ce contexte, l’application \[\Mor_{\text{}R\text{-alg graduées}}(R\langle S \rangle, A) \to \text{Map}_{\text{ensembles gradués}}(S, A),\quad \varphi \longmapsto (s \mapsto \varphi(s))\] est une bijection pour chaque \(R\)-algèbre graduée \(A\).

Si \(A\) est une \(R\)-algèbre graduée et que \(S\) est un ensemble gradué, alors nous pouvons de manière similaire former \(A\langle S \rangle\). Les éléments de \(A\langle S \rangle\) sont des sommes d’éléments de la forme \[a_0 s_1 a_1 s_2 \ldots a_{n - 1} s_n a_n\] avec \(a_i \in A\) modulo les relations selon lesquelles ces expressions sont \(R\)-multilinéaires en \((a_0, \ldots, a_n)\). Ainsi, pour chaque suite \(s_1, \ldots, s_n\) d’éléments de \(S\), il y a une inclusion \[A \otimes_R \ldots \otimes_R A \subset A\langle S \rangle\] et l’algèbre est la somme directe de celles-ci. Avec cette définition, on vérifie que l’application \[\Mor_{\text{}R\text{-alg graduées}}(A\langle S \rangle, B) \to \Mor_{\text{}R\text{-alg graduées}}(A, B) \times \text{Map}_{\text{ensembles gradués}}(S, B),\] qui envoie \(\varphi\) sur \((\varphi|_A, (s \mapsto \varphi(s)))\) est une bijection pour chaque \(R\)-algèbre graduée \(B\). Nous observons que si \(A\) était une \(R\)-algèbre graduée libre, alors \(A\langle S \rangle\) l’est aussi.

Supposons que \(A\) soit une \(R\)-algèbre différentielle graduée et que \(S\) soit un ensemble gradué. Supposons de plus que pour chaque \(s \in S\), on nous donne un élément homogène \(f_s \in A\) avec \(\deg(f_s) = \deg(s) + 1\) et \(\text{d}f_s = 0\). Alors il existe une structure unique d’algèbre différentielle graduée sur \(A\langle S \rangle\) avec \(\text{d}(s) = f_s\). Par exemple, étant donnés \(a, b, c \in A\) et \(s, t \in S\), on définirait \[\begin{align*} \text{d}(asbtc) & = \text{d}(a)sbtc + (-1)^{\deg(a)}a f_s b t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s)} as\text{d}(b)tc \\ & + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b)} asb f_t c + (-1)^{\deg(a) + \deg(s) + \deg(b) + \deg(t)} asbt\text{d}(c) \end{align*}\] Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \((B, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Il existe un quasi-isomorphisme \((A, \text{d}) \to (B, \text{d})\) de \(R\)-algèbres différentielles graduées avec les propriétés suivantes

1. \(A\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules,

2. \(A\) est une \(R\)-algèbre graduée libre.

Démonstration

Tout d’abord, nous affirmons que nous pouvons trouver \((A_0, \text{d}) \to (B, \text{d})\) vérifiant (1) et (2) et induisant une surjection en cohomologie. En effet, prenons un ensemble gradué \(S\) et pour chaque \(s \in S\) un élément homogène \(b_s \in \Ker(d : B \to B)\) de degré \(\deg(s)\) tel que les classes \(\overline{b}_s\) dans \(H^*(B)\) engendrent \(H^*(B)\) en tant que \(R\)-module. Ensuite, nous pouvons définir \(A_0 = R\langle S \rangle\) avec une différentielle nulle et \(A_0 \to B\) défini en envoyant \(s\) sur \(b_s\).

Étant donné \(A_0 \to B\) induisant une surjection en cohomologie, nous construisons une suite \[A_0 \to A_1 \to A_2 \to \ldots B\] par récurrence. Étant donné \(A_n \to B\), prenons un ensemble gradué \(S_n\) et, pour chaque \(s \in S_n\), soit \(a_s \in \Ker(\text{d} : A_n \to A_n)\) un élément homogène de degré \(\deg(s) + 1\) dont l’image est une classe \(\overline{a}_s\) dans \(H^*(A_n)\) qui s’envoie sur zéro dans \(H^*(B)\). Nous choisissons \(S_n\) assez grand pour que les éléments \(\overline{a}_s\) engendrent \(\Ker(H^*(A_n) \to H^*(B))\) comme \(R\)-module. Ensuite, nous posons \[A_{n + 1} = A_n\langle S_n \rangle\] avec la différentielle donnée par \(\text{d}(s) = a_s\) ; voir la discussion ci-dessus. Alors chaque \((A_n, \text{d})\) satisfait (1) et (2), nous omettons les détails. L’application \(H^*(A_n) \to H^*(B)\) est surjective comme c’était le cas pour \(n = 0\).

Il est clair que \(A = \colim A_n\) est une \(R\)-algèbre graduée libre. Elle est K-plate d’après Compléments d’algèbre, lemme 06Y3. L’application \(H^*(A) \to H^*(B)\) est un isomorphisme car elle est surjective et injective : tout élément de \(H^*(A)\) provient d’un élément de \(H^*(A_n)\) pour un certain \(n\) et s’il devient nul dans \(H^*(B)\), alors il devient nul dans \(H^*(A_{n + 1})\), donc dans \(H^*(A)\).

Comme application, nous prouvons la version « correcte » du lemme 0BZ5.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \((A, \text{d})\), \((B, \text{d})\), et \((C, \text{d})\) des \(R\)-algèbres différentielles graduées. Supposons que \(A \otimes_R C\) représente \(A \otimes^\mathbf{L}_R C\) dans \(D(R)\). Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué. Soit \(N'\) un \((B, C)\)-bimodule différentiel gradué. Alors la composition \[\xymatrix{ D(A, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_A^\mathbf{L} N} & & D(B, \text{d}) \ar[rr]^{- \otimes_B^\mathbf{L} N'} & & D(C, \text{d}) }\] est isomorphe à \(- \otimes_A^\mathbf{L} N''\) pour un certain \((A, C)\)-bimodule différentiel gradué \(N''\).

Démonstration

En utilisant le lemme 0BZ7, nous choisissons un quasi-isomorphisme \((B', \text{d}) \to (B, \text{d})\) avec \(B'\) K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules. D’après le lemme 09S6, le foncteur \(-\otimes^\mathbf{L}_{B'} B : D(B', \text{d}) \to D(B, \text{d})\) est une équivalence dont le quasi-inverse est donné par la restriction. Notons que la restriction est canoniquement isomorphe au foncteur \(- \otimes^\mathbf{L}_B B : D(B, \text{d}) \to D(B', \text{d})\) où \(B\) est considéré comme un bimodule sur \((B, B')\). Il suffit donc de prouver le lemme pour les compositions \[D(A) \to D(B) \to D(B'),\quad D(B') \to D(B) \to D(C),\quad D(A) \to D(B') \to D(C).\] Le premier cas résulte du lemme 09S4 parce que \(B'\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules. Le second cas est vrai parce que \(B \otimes_B^\mathbf{L} N' = N' = B \otimes_B N'\) et donc le lemme 0BZ3 s’applique. Ainsi, nous nous ramenons au cas où \(B\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules.

Supposons que \(B\) soit K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules. Il suffit de montrer que (0BZ4) est un isomorphisme, voir le lemme 0BZ5. Choisissons un quasi-isomorphisme \(L \to A\) où \(L\) est un \(R\)-module différentiel gradué qui a la propriété (P). Alors il est clair que \(P = L \otimes_R B\) a la propriété (P) en tant que \(B\)-module différentiel gradué. Par conséquent, nous devons montrer que \(P \to A \otimes_R B\) induit un quasi-isomorphisme \[P \otimes_B (B \otimes_R C) \longrightarrow (A \otimes_R B) \otimes_B (B \otimes_R C)\] Nous pouvons réécrire ceci comme \[P \otimes_R B \otimes_R C \longrightarrow A \otimes_R B \otimes_R C\] Puisque \(B\) est K-plat en tant que complexe de \(R\)-modules, il découle de Compléments d’algèbre, lemme 06Y0 qu’il suffit de montrer que \[P \otimes_R C \to A \otimes_R C\] est un quasi-isomorphisme, ce qui est exactement notre hypothèse.

Le lemme suivant n’appartient pas vraiment à cette section, mais il ne semble pas y avoir de place naturelle appropriée pour lui.

Lemme

Soit \((A, \text{d})\) une algèbre différentielle graduée avec \(H^i(A)\) dénombrable pour chaque \(i\). Soit \(M\) un objet de \(D(A, \text{d})\). Alors les énoncés suivants sont équivalents

1. \(M = \text{hocolim} E_n\) avec \(E_n\) compact dans \(D(A, \text{d})\), et

2. \(H^i(M)\) est dénombrable pour chaque \(i\).

Démonstration

Supposons que (1) soit vrai. Ensuite, nous avons \(H^i(M) = \colim H^i(E_n)\) par Catégories dérivées, lemme 0CRK. Ainsi, il suffit de prouver que \(H^i(E_n)\) est dénombrable pour chaque \(n\). Par la proposition 09R3, nous voyons que \(E_n\) est isomorphe dans \(D(A, \text{d})\) à un facteur direct d’un module différentiel gradué \(P\) qui possède une filtration finie \(F_\bullet\) par des sous-modules différentiels gradués telle que les \(F_jP/F_{j - 1}P\) soient des sommes directes finies de décalages de \(A\). Par hypothèse, les groupes \(H^i(F_jP/F_{j - 1}P)\) sont dénombrables. En raisonnant par récurrence sur la longueur de la filtration et en utilisant la suite exacte longue de cohomologie, nous concluons que (2) est vrai. L’implication intéressante est l’autre.

Nous affirmons qu’il existe une sous-algèbre différentielle graduée dénombrable \(A' \subset A\) telle que l’application d’inclusion \(A' \to A\) définisse un isomorphisme sur la cohomologie. Pour construire \(A'\), nous choisissons des sous-algèbres différentielles graduées dénombrables \[A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots\] de telle sorte que (a) \(H^i(A_1) \to H^i(A)\) soit surjectif, et (b) pour \(n > 1\) le noyau de l’application \(H^i(A_{n - 1}) \to H^i(A_n)\) soit le même que le noyau de l’application \(H^i(A_{n - 1}) \to H^i(A)\). Pour construire \(A_1\), prenons une collection dénombrable de cochaînes \(S \subset A\) engendrant la cohomologie de \(A\) (comme anneau ou comme groupe abélien gradué) et soit \(A_1\) la sous-algèbre différentielle graduée de \(A\) engendrée par \(S\). Pour construire \(A_n\) à partir de \(A_{n - 1}\) pour chaque cochaîne \(a \in A_{n - 1}^i\) qui s’envoie sur zéro dans \(H^i(A)\), choisissons \(s_a \in A^{i - 1}\) avec \(\text{d}(s_a) = a\) et soit \(A_n\) la sous-algèbre différentielle graduée de \(A\) engendrée par \(A_{n - 1}\) et les éléments \(s_a\). Enfin, prenons \(A' = \bigcup A_n\).

D’après le lemme 09S6, l’application de restriction \(D(A, \text{d}) \to D(A', \text{d})\), \(M \mapsto M_{A'}\) est une équivalence. Puisque les groupes de cohomologie de \(M\) et \(M_{A'}\) sont les mêmes, nous voyons qu’il suffit de prouver l’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) pour \((A', \text{d})\).

Supposons que \(A\) soit dénombrable. Par le même type d’argument que celui donné ci-dessus, nous voyons que pour \(M\) dans \(D(A, \text{d})\), les énoncés suivants sont équivalents : \(H^i(M)\) est dénombrable pour chaque \(i\) et \(M\) peut être représenté par un module différentiel gradué dénombrable. Par conséquent, afin de prouver l’implication (2) \(\Rightarrow\) (1), nous nous ramenons à la situation décrite dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(A\) soit dénombrable et que \(M\) soit un module différentiel gradué dénombrable sur \(A\). Nous affirmons qu’il existe un homomorphisme \(P \to M\) de \(A\)-modules différentiels gradués vérifiant les propriétés suivantes :

1. \(P \to M\) est un quasi-isomorphisme,

2. \(P\) possède la propriété (P), et

3. \(P\) est dénombrable.

En regardant la démonstration de la construction des P-résolutions dans le lemme 09KP, nous voyons qu’il suffit de montrer que nous pouvons prouver le lemme 09KN dans le cadre des modules différentiels gradués dénombrables. Cela découle immédiatement de la démonstration.

Supposons que \(A\) soit dénombrable et que \(M\) soit un module différentiel gradué dénombrable avec la propriété (P). Choisissons une filtration \[0 = F_{-1}P \subset F_0P \subset F_1P \subset \ldots \subset P\] par des sous-modules différentiels gradués, telle que l’on ait

1. \(P = \bigcup F_pP\),

2. \(F_iP \to F_{i + 1}P\) est un monomorphisme admissible,

3. des isomorphismes de modules différentiels gradués \(F_iP/F_{i - 1}P \to \bigoplus_{j \in J_i} A[k_j]\) pour certains ensembles \(J_i\) et entiers \(k_j\).

Bien sûr, \(J_i\) est dénombrable pour chaque \(i\). Pour chaque \(i\) et \(j \in J_i\), choisissons \(x_{i, j} \in F_iP\) de degré \(k_j\) dont l’image dans \(F_iP/F_{i - 1}P\) engendre le facteur direct correspondant à \(j\).

Affirmation : Étant donné \(n\) et des sous-ensembles finis \(S_i \subset J_i\), \(i = 1, \ldots, n\), il existe des sous-ensembles finis \(S_i \subset T_i \subset J_i\), \(i = 1, \ldots, n\) tels que \(P' = \bigoplus_{i \leq n} \bigoplus_{j \in T_i} Ax_{i, j}\) soit un sous-module différentiel gradué de \(P\). Cela a été montré dans la démonstration du lemme 09R2 mais cela se montre aussi facilement directement : les éléments \(x_{i, j}\) engendrent librement \(P\) en tant que module à droite sur \(A\). La structure de \(P\) montre que \[\text{d}(x_{i, j}) = \sum\nolimits_{i' < i} x_{i', j'}a_{i', j'}\] où bien sûr la somme est finie. Ainsi, étant donnés \(S_0, \ldots, S_n\), nous pouvons d’abord choisir \(S_0 \subset S'_0, \ldots, S_{n - 1} \subset S'_{n - 1}\) avec \(\text{d}(x_{n, j}) \in \bigoplus_{i' < n, j' \in S'_{i'}} x_{i', j'}A\) pour tous \(j \in S_n\). Ensuite, par récurrence sur \(n\), nous pouvons choisir \(S'_0 \subset T_0, \ldots, S'_{n - 1} \subset T_{n - 1}\) pour s’assurer que \(\bigoplus_{i' < n, j' \in T_{i'}} x_{i', j'}A\) soit un \(A\)-sous-module différentiel gradué. En définissant \(T_n = S_n\), nous trouvons que \(P' = \bigoplus_{i \leq n, j \in T_i} x_{i, j}A\) convient.

D’après l’assertion, il est clair que \(P = \bigcup P'_n\) est une union croissante dénombrable de \(P'_n\) comme indiqué ci-dessus. Par construction, chaque \(P'_n\) est un module différentiel gradué avec la propriété (P) tel que la filtration soit finie et que les quotients successifs sont des sommes directes finies de décalages de \(A\). Ainsi, \(P'_n\) définit un objet compact de \(D(A, \text{d})\), voir par exemple la proposition 09R3. Puisque \(P = \text{hocolim} P'_n\) dans \(D(A, \text{d})\) par le lemme 0CRL, la démonstration de l’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est complète.