Exemples

Introduction

Ce chapitre contiendra des exemples qui éclairent la théorie.

Une limite vide

Cet exemple est dû à Waterhouse, voir [Waterhouse]. Soit \(S\) un ensemble non dénombrable. Pour toute partie finie \(T \subset S\), considérons l’ensemble \(M_T\) des applications injectives \(T \to \mathbf{N}\). Si \(T \subset T' \subset S\) sont finies, la restriction \(M_{T'} \to M_T\) est surjective. Nous obtenons ainsi un système projectif indexé par l’ensemble ordonné filtrant des parties finies de \(S\), dont les applications de transition sont surjectives. Mais \(\lim M_T = \emptyset\), car un élément de la limite définirait une application injective \(S \to \mathbf{N}\).

Une limite nulle

Soit \((S_i)_{i \in I}\) un système projectif d’ensembles non vides indexé par un ensemble ordonné filtrant, à applications de transition surjectives, et tel que \(\lim S_i = \emptyset\), voir la section 0AKK. Soit \(K\) un corps et posons \[V_i = \bigoplus\nolimits_{s \in S_i} K\] Alors les applications de transition \(V_i \to V_j\) sont surjectives pour \(i \geq j\). Cependant, \(\lim V_i = 0\). En effet, si \(v = (v_i)\) est un élément de la limite, le support de \(v_i\) serait une partie finie \(T_i \subset S_i\) telle que \(\lim T_i \not = \emptyset\), voir Catégories, lemme 086J.

Pour tout \(i\), considérons l’unique application \(K\)-linéaire \(V_i \to K\) qui envoie chaque vecteur de base \(s \in S_i\) sur \(1\). Soit \(W_i \subset V_i\) son noyau. Alors \[0 \to (W_i) \to (V_i) \to (K) \to 0\] est une suite exacte courte non scindée de systèmes projectifs d’espaces vectoriels sur l’ensemble ordonné filtrant \(I\). Ainsi, \(W_i\) forme un système projectif de \(K\)-espaces vectoriels à applications de transition surjectives, de limite nulle et dont \(R^1\lim\) ne s’annule pas.

Une limite projective non quasi-compacte d’espaces quasi-compacts

Désignons par \(\mathbf{N}\) l’ensemble des entiers naturels. Pour tout entier \(n\), désignons par \(I_n\) l’ensemble des entiers naturels \(> n\). Définissons \(T_n\) comme l’unique topologie sur \(\mathbf{N}\) ayant pour base \(\{1\}, \ldots , \{n\}, I_n\). Notons \(X_n\) l’espace topologique \((\mathbf{N}, T_n)\). Pour tous \(m < n\), l’application identité \[f_{n, m} : X_n \longrightarrow X_m\] est continue. Il est clair que, pour \(m < n < p\), la composée \(f_{p, n} \circ f_{n, m}\) est égale à \(f_{p, m}\). Ainsi, \(((X_n), (f_{n,m}))\) est un système projectif d’espaces topologiques quasi-compacts.

Soit \(T\) la topologie discrète sur \(\mathbf{N}\), et soit \(X\) l’espace \((\mathbf{N}, T)\). Pour tout entier \(n\), l’application identité \[f_n : X \longrightarrow X_n\] est continue. Nous affirmons qu’il s’agit de la limite projective du système ci-dessus. Soit \((Y, S)\) un espace topologique quelconque. Pour tout entier \(n\), soit \[g_n : (Y, S) \longrightarrow (\mathbf{N}, T_n)\] une application continue. Supposons que, pour tous \(m < n\), nous ayons \(f_{n,m} \circ g_n = g_m\), c’est-à-dire que le système \((g_n)\) soit compatible avec le système projectif ci-dessus. En particulier, toutes les applications ensemblistes \(g_n\) sont égales à une même application ensembliste \[g : Y \longrightarrow \mathbf{N}.\] De plus, pour tout entier \(n\), puisque \(\{n\}\) est ouvert dans \(X_n\), \(g^{-1}(\{n\}) = g_n^{-1}(\{n\})\) est également ouvert dans \(Y\). Par conséquent, l’application ensembliste \(g\) est continue pour la topologie \(S\) sur \(Y\) et la topologie \(T\) sur \(\mathbf{N}\). Ainsi, \((X, (f_n))\) est la limite projective du système projectif ci-dessus.

Cependant, \(X\) n’est manifestement pas quasi-compact, puisque le recouvrement ouvert infini par les parties réduites à un point n’admet aucun sous-recouvrement fini.

Lemme

Il existe un système projectif d’espaces topologiques quasi-compacts indexé par \(\mathbf{N}\) dont la limite projective n’est pas quasi-compacte.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Le faisceau structural sur le produit fibré

Soient \(X, Y, S, a, b, p, q, f\) comme dans l’introduction de Catégories dérivées de schémas, section 0FLN. Diagramme : \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] Nous disposons alors d’un homomorphisme canonique \[can : p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S Y}\] qui n’est pas un isomorphisme en général.

Par exemple, soient \(S = \Spec(\mathbf{R})\), \(X = \Spec(\mathbf{C})\) et \(Y = \Spec(\mathbf{C})\). Alors \(X \times_S Y = \Spec(\mathbf{C}) \amalg \Spec(\mathbf{C})\) est un espace discret à deux points, et les faisceaux \(p^{-1}\mathcal{O}_X\), \(q^{-1}\mathcal{O}_Y\) et \(f^{-1}\mathcal{O}_S\) sont les faisceaux constants de valeurs \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{R}\). Ainsi, la source de \(can\) est le faisceau constant de valeur \(\mathbf{C} \otimes_\mathbf{R} \mathbf{C}\) sur l’espace discret à deux points. Ses sections globales sont donc de dimension \(8\) comme \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel, tandis que les sections globales du but de \(can\) forment \(\mathbf{C} \times \mathbf{C}\), qui est de dimension \(4\) comme \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel.

Un autre exemple est le suivant. Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Considérons \(S = \Spec(k)\), \(X = \mathbf{A}^1_k\) et \(Y = \mathbf{A}^1_k\). Alors, pour tout ouvert non vide \(U \subset X \times_S Y = \mathbf{A}^2_k\), les images \(p(U) \subset X = \mathbf{A}^1_k\) et \(q(U) \subset \mathbf{A}^1_k\) sont ouvertes, et le lecteur vérifiera que \[\left( p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \right)(U) = \mathcal{O}_X(p(U)) \otimes_k \mathcal{O}_Y(q(U))\] Ce dernier n’est pas égal à \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}(U)\) si \(U\) est le complémentaire d’une courbe irréductible \(C\) dans \(X \times_S Y = \mathbf{A}^2_k\) telle que \(p|_C\) et \(q|_C\) soient toutes deux non constantes.

Revenons au cas général et soit \(z = (x, y, s, \mathfrak p)\) un point de \(X \times_S Y\) comme dans Schémas, lemme 01JT. Alors, sur les fibres en \(z\), l’application \(can\) donne l’application \[can_z : \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X \times_S Y, z}\] Cet homomorphisme d’anneaux est plat, car le but est un anneau localisé de la source (détails omis; indication : se ramener au cas où \(X\), \(Y\) et \(S\) sont affines). Notons que la source n’est pas en général un anneau local, ce qui fournit une autre manière de voir que \(can\) n’est pas un isomorphisme en général.

Plus généralement, supposons donnés un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{G}\). Il existe alors un homomorphisme canonique \[\begin{align*} & p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^{-1}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}(\mathcal{O}_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}) \\ & = p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{p^{-1}\mathcal{O}_X} p^{-1}\mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{O}_Y \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & \xrightarrow{can} p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^{-1}\mathcal{F} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \mathcal{O}_{X \times_S Y} \otimes_{q^{-1}\mathcal{O}_Y} q^{-1}\mathcal{G} \\ & = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G} \end{align*}\] qui est rarement un isomorphisme.

Un schéma connexe non intègre dont les anneaux locaux sont intègres

Nous donnons un exemple de schéma affine \(X = \Spec(A)\) qui est connexe, dont tous les anneaux locaux sont intègres, mais qui n’est pas intègre. La connexité de \(X\) signifie que \(A\) ne possède aucun idempotent non trivial, voir Algèbre, lemme 00EE. Les anneaux locaux de \(X\) sont intègres si, lorsque \(fg = 0\) dans \(A\), tout point de \(X\) possède un voisinage sur lequel \(f\) ou \(g\) s’annule. Si \(A\) n’est pas un anneau intègre, alors \(X\) n’est pas intègre (Propriétés, définition 01OK).

En termes imagés, la construction est la suivante : soit \(X_0\) la croix (la réunion des axes de coordonnées) dans le plan affine. Soit ensuite \(X_1\) l’image inverse totale (réduite) de \(X_0\) dans l’éclatement du plan (\(X_1\) a trois composantes rationnelles formant une chaîne). Éclatons ensuite la surface obtenue aux deux points singuliers de \(X_1\), et soit \(X_2\) l’image inverse réduite de \(X_1\) (qui a cinq composantes rationnelles), etc. Prenons pour \(X\) la limite projective. Le seul problème de cette construction est que les éclatements ajoutent une droite projective, de sorte que \(X_1\) n’est pas affine. Corrigeons cela en recollant plutôt une droite affine (notre schéma sera donc une partie ouverte de celui décrit ci-dessus).

Voici une construction entièrement algébrique : pour tout \(k \ge 0\), soit \(A_k\) l’anneau suivant : ses éléments sont les familles de polynômes \(p_i \in \mathbf{C}[x]\), où \(i = 0, \ldots, 2^k\), telles que \(p_i(1) = p_{i + 1}(0)\). Posons \(X_k = \Spec(A_k)\). Remarquons que \(X_k\) est la réunion de \(2^k + 1\) droites affines qui se coupent transversalement en chaîne. Définissons un homomorphisme d’anneaux \(A_k \to A_{k + 1}\) par \[(p_0, \ldots, p_{2^k}) \longmapsto (p_0, p_0(1), p_1, p_1(1), \ldots, p_{2^k}),\] autrement dit, un polynôme sur deux est constant. Ceci identifie \(A_k\) à un sous-anneau de \(A_{k + 1}\). Soit \(A\) la limite inductive des \(A_k\) (essentiellement, leur réunion). Posons \(X = \Spec(A)\). Pour tout \(k\), nous avons une injection canonique \(A_k \to A\), c’est-à-dire une application \(X\to X_k\). Chaque \(A_k\) est connexe mais non intègre; il s’ensuit que \(A\) est connexe mais non intègre. Il reste à montrer que les anneaux locaux de \(A\) sont intègres.

Soient \(f, g \in A\) tels que \(fg = 0\) et \(x \in X\). Construisons un voisinage de \(x\) sur lequel l’un de \(f\) et \(g\) s’annule. Choisissons \(k\) tel que \(f, g \in A_{k - 1}\) (noter l’indice \(k - 1\)). Soit \(y\) l’image de \(x\) dans \(X_k\). Il suffit de montrer que \(y\) possède un voisinage sur lequel \(f\) ou \(g\) s’annule en tant que section de \(\mathcal{O}_{X_k}\). Si \(y\) est un point lisse de \(X_k\), c’est-à-dire s’il n’appartient qu’à l’une des \(2^k + 1\) droites, c’est clair. Nous pouvons donc supposer que \(y\) est l’un des \(2^k\) points singuliers; deux composantes de \(X_k\) passent donc par \(y\). Cependant, sur l’une de ces deux composantes (celle d’indice impair), \(f\) et \(g\) sont tous deux constants, puisque ce sont des images inverses de fonctions sur \(X_{k - 1}\). Puisque \(fg = 0\) partout, \(f\) ou \(g\) (disons \(f\)) s’annule sur l’autre composante. Il s’ensuit que \(f\) s’annule sur les deux composantes, comme voulu.

Un complété non complet

Soit \(R\) un anneau et soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal. Considérons le complété \[R^\wedge = \lim R/\mathfrak m^n.\] Remarquons que \(R^\wedge\) est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m' = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m)\). En effet, si \(x = (x_n) \in R^\wedge\) n’appartient pas à \(\mathfrak m'\), alors \(y = (x_n^{-1}) \in R^\wedge\) vérifie \(xy = 1\); ainsi, \(R^\wedge\) est local d’après Algèbre, lemme 00E9. Or il est toujours vrai que \(R^\wedge\) est complet pour sa topologie de limite projective (voir la discussion dans Compléments d’algèbre, section 07E7). Mais au-delà se posent les questions suivantes :

1. A-t-on \(\mathfrak m R^\wedge = \mathfrak m'\) ?

2. \(R^\wedge\), considéré comme un \(R^\wedge\)-module, est-il complet pour la topologie \(\mathfrak m'\)-adique ?

3. \(R^\wedge\), considéré comme un \(R\)-module, est-il complet pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique ?

Il se trouve que toutes ces questions ont une réponse négative. L’exemple ci-dessous est tiré d’une note non publiée de Bart de Smit et Hendrik Lenstra. Voir aussi [Bourbaki-CA, Exercise III.2.12] et [Yekutieli, exemple 1.8]

Soient \(k\) un corps, \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) et \(\mathfrak m = (x_1, x_2, x_3, \ldots)\). Nous considérerons un élément \(f\) de \(R^\wedge\) comme une somme éventuellement infinie \[f = \sum a_I x^I\] (en notation multi-indice) telle que, pour tout \(d \geq 0\), il n’y ait qu’un nombre fini de coefficients \(a_I\) non nuls pour \(|I| = d\). L’idéal maximal \(\mathfrak m' \subset R^\wedge\) est l’ensemble des \(f\) dont le terme constant est nul. En particulier, l’élément \[f = x_1 + x_2^2 + x_3^3 + \ldots\] appartient à \(\mathfrak m'\) mais non à \(\mathfrak m R^\wedge\), ce qui montre que (1) est fausse dans cet exemple. Cependant, si (1) est fausse, alors (3) l’est nécessairement car \(\mathfrak m' = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m)\) et nous pouvons appliquer Algèbre, lemme 0318 avec \(n = 1\).

Pour terminer, démontrons que \(R^\wedge\) n’est pas complet pour la topologie \(\mathfrak m'\)-adique. Pour \(n \geq 1\), posons \(K_n = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m^n)\). Alors nous avons des suites exactes courtes \[0 \to K_n/(\mathfrak m')^n \to R^\wedge/(\mathfrak m')^n \to R/\mathfrak m^n \to 0\] L’application de projection \(R^\wedge \to R/\mathfrak m^{n + 1}\) envoie \((\mathfrak m')^n\) sur \(\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\). Il s’ensuit que \(K_{n + 1} \to K_n/(\mathfrak m')^n\) est surjective. Par conséquent, le système projectif \(\left(K_n/(\mathfrak m')^n\right)\) a des applications de transition surjectives et, en passant aux limites projectives, nous obtenons une suite exacte \[0 \to \lim K_n/(\mathfrak m')^n \to \lim R^\wedge/(\mathfrak m')^n \to \lim R/\mathfrak m^n \to 0\] d’après Algèbre, lemme 03CA. Nous voyons ainsi que \(R^\wedge\) est complet pour la topologie \(\mathfrak m'\)-adique si et seulement si \(K_n = (\mathfrak m')^n\) pour tout \(n \geq 1\).

Pour montrer que \(R^\wedge\) n’est pas complet pour la topologie \(\mathfrak m'\)-adique dans notre exemple, montrons que \(K_2 = \Ker(R^\wedge \to R/\mathfrak m^2)\) n’est pas égal à \((\mathfrak m')^2\). Remarquons qu’un élément de \((\mathfrak m')^2\) peut s’écrire comme une somme finie [05JB]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} f_i g_i \end{equation}\] où \(f_i, g_i \in R^\wedge\) ont un terme constant nul. Pour obtenir un exemple, nous allons choisir un \(z \in K_2\) de la forme \[z = z_1 + z_2 + z_3 + \ldots\] ayant les propriétés suivantes

1. il existe des suites \(1 < d_1 < d_2 < d_3 < \ldots\) et \(0 < n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\) telles que \(z_i \in k[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]\) soit homogène de degré \(d_i\), et

2. dans l’anneau \(k[[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]]\), l’élément \(z_i\) ne peut s’écrire comme une somme (05JB) avec \(t \leq i\).

Cela implique manifestement que \(z\) n’appartient pas à \((\mathfrak m')^2\), car l’image de la relation (05JB) dans l’anneau \(k[[x_{n_i}, x_{n_i + 1}, \ldots, x_{n_{i + 1} - 1}]]\) pour \(i\) assez grand conduirait à une contradiction. Il suffit donc de montrer que, pour tout \(t > 0\), il existe un \(d \gg 0\) et un entier \(n\) tels que nous puissions trouver un élément homogène \(z \in k[x_1, \ldots, x_n]\) de degré \(d\) qui ne puisse s’écrire comme une somme (05JB) pour ce \(t\) dans \(k[[x_1, \ldots, x_n]]\). Prenons \(n > 2t\) et un \(d > 1\) quelconque, premier à la caractéristique de \(k\), et posons \(z = \sum_{i = 1, \ldots, n} x_i^d\). Alors l’ensemble des zéros de l’idéal \[(\frac{\partial z}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_n}) = (dx_1^{d - 1}, \ldots, dx_n^{d - 1})\] se réduit à un point. D’autre part, \[\frac{\partial ( \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} f_i g_i ) }{\partial x_j} \in (f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t)\] par la règle de Leibniz; par conséquent, l’ensemble des zéros de ces dérivées contient au moins \[V(f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t) \subset \Spec(k[[x_1, \ldots, x_n]]).\] On obtient ainsi une contradiction, puisque la dimension de \(V(f_1, \ldots, f_t, g_1, \ldots, g_t)\) est au moins \(n - 2t \geq 1\).

Lemme

Il existe un anneau local \(R\) et un idéal maximal \(\mathfrak m\) tels que le complété \(R^\wedge\) de \(R\) pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique ait les propriétés suivantes :

1. \(R^\wedge\) est local, mais son idéal maximal n’est pas égal à \(\mathfrak m R^\wedge\),

2. \(R^\wedge\) n’est pas un anneau local complet, et

3. \(R^\wedge\) n’est pas complet pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique comme \(R\)-module.

Démonstration

Cela résulte de la discussion qui précède, puisque (avec \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\)) le complété du localisé \(R_{\mathfrak m}\) est égal au complété de \(R\).

Un quotient non complet

Soit \(k\) un corps. Posons \[R = k[t, z_1, z_2, z_3, \ldots, w_1, w_2, w_3, \ldots, x]/ (z_it - x^iw_i, z_i w_j)\] Remarquons qu’en particulier \(z_iz_jt = 0\) dans cet anneau. Tout élément \(f\) de \(R\) s’écrit de manière unique comme une somme finie \[f = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, d} f_i x^i\] où chaque \(f_i \in k[t, z_i, w_j]\) ne comporte aucun terme contenant les produits \(z_it\) ou \(z_iw_j\). De plus, si \(f\) s’écrit de cette manière, alors \(f \in (x^n)\) si et seulement si \(f_i = 0\) pour \(i < n\). Ainsi, \(x\) est un non-diviseur de zéro et \(\bigcap (x^n) = 0\). Soit \(R^\wedge\) le complété de \(R\) pour la topologie définie par l’idéal \((x)\). Remarquons que \(R^\wedge\) est complet pour la topologie \((x)\)-adique; voir Algèbre, lemme 05GG. D’après ce qui précède, un élément de \(R^\wedge\) s’écrit de manière unique comme une somme infinie \[f = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty f_i x^i\] où chaque \(f_i \in k[t, z_i, w_j]\) ne comporte aucun terme contenant les produits \(z_it\) ou \(z_iw_j\). Considérons l’élément \[f = \sum\nolimits_{i = 1}^\infty x^i w_i = xw_1 + x^2w_2 + x^3w_3 + \ldots\] c’est-à-dire que \(f_n = w_n\). Remarquons que \(f \in (t , x^n)\) pour tout \(n\) car \(x^mw_m \in (t)\) pour tout \(m\). Nous affirmons que \(f \not \in (t)\). Pour le montrer, supposons que \(tg = f\), où \(g = \sum g_lx^l\) est sous la forme canonique ci-dessus. Comme \(tz_iz_j = 0\), nous pouvons supposer que les \(g_l\) ne comportent aucun terme contenant les produits \(z_iz_j\). En examinant comment \(tg\) est mis sous forme canonique, nous obtenons les règles suivantes : Considérons un terme \(c m\) quelconque de \(g_l\), où \(c \in k\) et où \(m\) est un monôme en \(t, z_i, w_j\); effectuons la distinction suivante :

1. si le monôme \(m\) ne fait intervenir aucun \(z_i\), alors \(ctm\) est un terme de \(f_l\), et

2. si le monôme \(m\) fait intervenir un \(z_i\), alors il est égal à \(m = z_i\) et nous voyons que \(cw_i\) est un terme de \(f_{l + i}\).

Comme \(g_0\) est un polynôme, les variables \(z_i\) qui y apparaissent sont en nombre fini. Choisissons \(n\) tel que \(z_n\) n’apparaisse pas dans \(g_0\). Alors les règles ci-dessus montrent que \(w_n\) n’apparaît pas dans \(f_n\), ce qui est une contradiction. Il s’ensuit que \(R^\wedge/(t)\) n’est pas complet; voir Algèbre, lemme 031A.

Lemme

Il existe un anneau \(R\) complet pour la topologie définie par un idéal principal \(I\) et un idéal principal \(J\) tels que \(R/J\) ne soit pas complet pour la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

La complétion n’est pas exacte

Voici un exemple simple. Supposons que \(R = k[t]\). Notons \(M^\wedge\) le complété d’un \(R\)-module pour la topologie définie par \(I = (t)\). Posons \(P = K = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} R\) et \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} R/(t^n)\). Il existe alors une suite exacte courte \(0 \to K \to P \to M \to 0\) dont la première application est donnée par la multiplication par \(t^n\) sur le \(n\)-ième facteur direct. Nous affirmons que \(0 \to K^\wedge \to P^\wedge \to M^\wedge \to 0\) n’est pas exacte au terme médian. En effet, \(\xi = (t^2, t^3, t^4, \ldots) \in P^\wedge\) a une image nulle dans \(M^\wedge\), mais n’appartient pas à l’image de \(K^\wedge \to P^\wedge\), car il devrait être l’image de \((t, t, t, \ldots)\), qui n’est pas un élément de \(K^\wedge\).

Voici un exemple « plus petit ». Dans la situation du lemme 05JE, la suite exacte courte \(0 \to J \to R \to R/J \to 0\) ne reste pas exacte après complétion pour la topologie \(I\)-adique. En effet, si \(f \in J\) est un générateur, alors \(f : R \to J\) est surjective, donc \(R \to J^\wedge\) est surjective, et donc l’image de \(J^\wedge \to R\) est \((f) = J\); mais le fait que \(R/J\) ne soit pas complet signifie que le noyau de la surjection \(R \to (R/J)^\wedge\) contient strictement \(J\); voir Algèbre, lemmes 0315 et 031A. De même, la suite \(R \to R \to R/(f) \to 0\) ne reste pas exacte après complétion.

Lemme

En général, la complétion n’est pas un foncteur exact; elle n’est même pas exacte à droite. Cela vaut encore lorsque \(I\) est de type fini, sur la catégorie des modules de présentation finie.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

La catégorie des modules complets n’est pas abélienne

Soient \(R\) un anneau et \(I \subset R\) un idéal de type fini. Considérons la catégorie \(\mathcal{A}\) des modules complets pour la topologie \(I\)-adique qui sont des \(R\)-modules; voir Algèbre, définition 0317. Soit \(\varphi : M \to N\) un morphisme de \(\mathcal{A}\). Le conoyau de \(\varphi\) dans \(\mathcal{A}\) est le complété \(I\)-adique \((\Coker(\varphi))^\wedge\) du conoyau usuel (comme \(I\) est de type fini, ce complété est complet; voir Algèbre, lemme 05GG). Posons \(K = \Ker(\varphi)\); comme \(\varphi\) est continue, c’est un sous-module fermé de \(M\). Le lemme 0HB3 ci-dessous montre que \(K\) est complet pour la topologie \(I\)-adique et est donc le noyau de \(\varphi\) dans \(\mathcal{A}\).

Lemme

Soit \(I \subset R\) un idéal d’un anneau. Soit \(M\) un module complet pour la topologie \(I\)-adique sur \(R\) et soit \(N \subset M\) un sous-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(N\) est fermé dans \(M\),

2. \(N = \bigcap_{n \geq 1} (N + I^n M)\),

3. \(M/N\) est complet pour la topologie \(I\)-adique.

Si \(I\) est de type fini, ces conditions impliquent que \(N\) est complet pour la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte de Espaces formels, lemme 0AMS. L’équivalence de (2) et (3) est le lemme 031A d’Algèbre. Supposons \(I\) de type fini et (1) satisfaite. Notons \(N^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(N\). Comme \(M\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, l’application d’inclusion se factorise en \[N \to N^\wedge \to M\] Comme \(N^\wedge \to M\) est continue, que \(N\) est dense dans \(N^\wedge\) et que \(N\) est fermé dans \(M\), nous voyons que \(N^\wedge \to M\) se factorise par \(N\). Ainsi \(N^\wedge = N \oplus C\) pour un certain \(R\)-module \(C\). Ainsi \(N\) est un facteur direct du module complet pour la topologie \(I\)-adique qu’est \(N^\wedge\); voir Algèbre, lemme 05GG (c’est ici que nous utilisons le fait que \(I\) est de type fini), et donc \(N\) est complet pour la topologie \(I\)-adique.

Nous allons donner un exemple montrant qu’en général \(\Im \not = \Coim\) dans la catégorie \(\mathcal{A}\). Prenons \(R = \mathbf{Z}_p = \lim_n \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\) pour l’anneau des entiers \(p\)-adiques et prenons \(I = (p)\). Considérons l’application \[\text{diag}(1, p, p^2, \ldots) : \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p\right)^\wedge \longrightarrow \prod\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{Z}_p\] où le membre de gauche est le complété \(p\)-adique de la somme directe. Un élément du membre de gauche est donc un vecteur \((x_1, x_2, x_3, \ldots)\) tel que \(x_i \in \mathbf{Z}_p\) et que sa valuation \(p\)-adique vérifie \(v_p(x_i) \to \infty\) lorsque \(i \to \infty\). Son image est \((x_1, px_2, p^2x_3, \ldots)\). Nous voyons donc que \((1, p, p^2, \ldots)\) appartient à l’adhérence de l’image, mais pas à l’image. D’après la description des noyaux et conoyaux donnée ci-dessus, il est clair que \(\Im \not = \Coim\) pour cette application.

Lemme

Soient \(R\) un anneau et \(I \subset R\) un idéal de type fini. La catégorie des modules complets pour la topologie \(I\)-adique qui sont des \(R\)-modules possède des noyaux et des conoyaux, mais elle n’est pas abélienne en général, même lorsque \(R\) est noethérien.

Démonstration

Voir ci-dessus.

La catégorie des modules complets au sens dérivé

Lire d’abord Compléments d’algèbre, section 0GLN avant d’aborder la présente section.

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de \(A\), et notons \(\mathcal{C}\) la catégorie des modules complets au sens dérivé définie dans Compléments d’algèbre, définition 091S.

Soient \(T\) un ensemble et \(M_t\), \(t \in T\), une famille de modules complets au sens dérivé. Nous affirmons qu’en général \(\bigoplus M_t\) n’est pas un module complet au sens dérivé. Pour un exemple précis, prenons \(A = \mathbf{Z}_p\) et \(I = (p)\) et considérons \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\). L’application de \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\) dans son complété \(p\)-adique n’est pas surjective. Cela signifie que \(\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{Z}_p\) ne peut pas être complet au sens dérivé, car le contraire entraînerait sa surjectivité; voir Compléments d’algèbre, lemme 091R. Par conséquent, le foncteur d’inclusion \(\mathcal{C} \to \text{Mod}_A\) ne commute ni aux sommes directes ni aux limites inductives (filtrantes).

Supposons \(I\) de type fini. D’après la discussion de Compléments d’algèbre, section 0GLN, la catégorie \(\mathcal{C}\) possède des limites inductives quelconques. Cependant, nous affirmons que les limites inductives filtrantes ne sont pas exactes dans la catégorie \(\mathcal{C}\). En effet, supposons que \(A = \mathbf{Z}_p\) et \(I = (p)\). On a des inclusions \(f_n : \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \to \mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}_p\) de modules complets pour la topologie \(p\)-adique sur \(A\), données par la multiplication par \(p^{n - 1}\). On a des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \ar[r]_{f_n} \ar[d]^1 & \mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}_p \ar[d]_p \\ \mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \ar[r]^{f_{n + 1}} & \mathbf{Z}_p/p^{n + 1}\mathbf{Z}_p }\] Nous affirmons que la limite inductive de ces inclusions dans la catégorie \(\mathcal{C}\) donne l’application \(\mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p \to 0\). En effet, la limite inductive dans \(\text{Mod}_A\) du système de droite est \(\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p\). La limite inductive dans \(\mathcal{C}\) est donc \[H^0((\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^\wedge) = H^0(\mathbf{Z}_p[1]) = 0\] d’après Compléments d’algèbre, section 0GLN où \({}^\wedge\) désigne la complétion dérivée. Cela démontre notre affirmation.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal. La catégorie \(\mathcal{C}\) des modules complets au sens dérivé est abélienne, et le foncteur d’inclusion \(F : \mathcal{C} \to \text{Mod}_A\) est exact et commute aux limites projectives quelconques. Si \(I\) est de type fini, alors \(\mathcal{C}\) possède des sommes directes quelconques et des limites inductives quelconques, mais \(F\) ne commute pas à celles-ci en général. Enfin, les limites inductives filtrantes ne sont pas exactes dans \(\mathcal{C}\) en général; ainsi, \(\mathcal{C}\) n’est pas une catégorie abélienne de Grothendieck.

Démonstration

Voir Compléments d’algèbre, lemme 0GLP, et la discussion qui précède.

Des complétés non plats

Le complété d’un anneau pour un idéal n’est pas toujours plat, contrairement au cas noethérien. Nous avons vu deux exemples de ce phénomène dans Compléments d’algèbre, exemple 0BNU. Nous donnons dans cette section deux exemples supplémentaires.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module dénombrable. Alors \(M\) est un \(R\)-module de type fini si et seulement si \(M \otimes_R R^\mathbf{N} \to M^\mathbf{N}\) est surjective.

Démonstration

Si \(M\) est un module de type fini, l’application est surjective d’après Algèbre, proposition 059J. Réciproquement, supposons l’application surjective. Soit \(m_1, m_2, m_3, \ldots\) une énumération des éléments de \(M\). Soit \(\sum_{j = 1, \ldots, m} x_j \otimes a_j\) un élément du produit tensoriel dont l’image est \((m_n) \in M^\mathbf{N}\). Alors nous voyons que \(x_1, \ldots, x_m\) engendrent \(M\) sur \(R\), comme dans la démonstration de Algèbre, proposition 059J.

Lemme

Soit \(R\) un anneau dénombrable. Soit \(M\) un \(R\)-module dénombrable. Alors \(M\) est de présentation finie si et seulement si l’homomorphisme canonique \(M \otimes_R R^\mathbf{N} \to M^\mathbf{N}\) est un isomorphisme.

Démonstration

Si \(M\) est un module de présentation finie, l’application est un isomorphisme d’après Algèbre, proposition 059K. Réciproquement, supposons que l’application soit un isomorphisme. Le lemme 0AL9 montre que le module \(M\) est de type fini. Choisissons une surjection \(R^{\oplus m} \to M\) de noyau \(K\). Alors \(K\) est dénombrable comme sous-module de \(R^{\oplus m}\). En raisonnant comme dans la démonstration d’Algèbre, proposition 059K, nous voyons que \(K \otimes_R R^\mathbf{N} \to K^\mathbf{N}\) est surjective. Nous concluons donc que \(K\) est un \(R\)-module de type fini par le lemme 0AL9. Ainsi \(M\) est de présentation finie.

Lemme

Soit \(R\) un anneau dénombrable. Alors \(R\) est cohérent si et seulement si \(R^\mathbf{N}\) est un \(R\)-module plat.

Démonstration

Si \(R\) est cohérent, alors \(R^\mathbf{N}\) est un module plat d’après Algèbre, proposition 05CZ. Supposons \(R^\mathbf{N}\) plat. Soit \(I \subset R\) un idéal de type fini. Pour démontrer le lemme, nous montrons que \(I\) est de présentation finie comme \(R\)-module. En effet, l’application \(I \otimes_R R^\mathbf{N} \to R^\mathbf{N}\) est injective puisque \(R^\mathbf{N}\) est plat et que son image est \(I^\mathbf{N}\) d’après le lemme 0AL9. Nous concluons donc par le lemme 0ALA.

Soit \(R\) un anneau dénombrable. Remarquons que \(R[[x]]\) est isomorphe à \(R^\mathbf{N}\) comme \(R\)-module. Le lemme 0ALB montre que \(R \to R[[x]]\) est plat si et seulement si \(R\) est cohérent. Il existe de nombreux anneaux dénombrables non cohérents, par exemple \[R = k[y, z, a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots]/ (a_1 y + b_1 z, a_2 y + b_2 z, a_3 y + b_3 z, \ldots)\] où \(k\) est un corps dénombrable. Cet anneau n’est pas cohérent, car l’idéal \((y, z)\) de \(R\) n’est pas un \(R\)-module de présentation finie. Notons que \(R[[x]]\) est le complété de \(R[x]\) pour l’idéal principal \((x)\).

Lemme

Il existe un anneau tel que le complété \(R[[x]]\) de \(R[x]\) en \((x)\) ne soit pas plat sur \(R\) et, a fortiori, pas plat sur \(R[x]\).

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Il existe en fait un anneau \(R\) tel que \(R[[x]]\) soit plat sur \(R\), mais que \(R[[x]]\) ne soit pas plat sur \(R[x]\). Voir ce billet de Badam Baplan. En effet, soit \(R\) un anneau de valuation. Alors \(R\) est cohérent (Algèbre, exemple 0EWV) et donc \(R[[x]]\) est plat sur \(R\) d’après Algèbre, proposition 05CZ. En revanche, nous avons le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre de corps des fractions \(K\). Si \(R[[x]]\) est plat sur \(R[x]\), alors \(R\) est normal si et seulement si \(R\) est complètement intégralement clos (Algèbre, définition 00GW).

Démonstration

Supposons donnés \(\alpha \in K\) et un élément non nul \(r \in R\) tels que \(r \alpha^n \in R\) pour tout \(n \geq 1\). Considérons alors \(f = \sum r \alpha^n x^n\) dans \(R[[x]]\). Écrivons \(\alpha = a/b\) avec \(a, b \in R\) et \(b\) non nul. Nous voyons alors que \((a x - b)f = -rb\). Il s’ensuit que \(rb\) appartient à l’idéal \((ax - b)R[[x]]\). Soit \(S = \{h \in R[x] : h(0) = 1\}\). C’est une partie multiplicativement stable, et la platitude de \(R[x] \to R[[x]]\) implique que \(S^{-1}R[x] \to R[[x]]\) est fidèlement plat (détails omis; indication : utiliser Algèbre, lemme 00HQ). Par conséquent, \[S^{-1}R[x]/(ax - b)S^{-1}R[x] \to R[[x]]/(ax - b)R[[x]]\] est injective. Nous en concluons que \(h rb = (ax - b) g\) pour certains \(h \in S\) et \(g \in R[x]\). En écrivant \(h = 1 + h_1 x + \ldots + h_d x^d\), nous obtenons \[1 + h_1 x + \ldots + h_d x^d = (1/r)(\alpha x - 1)g\] Cette factorisation dans \(K[x]\) donne une factorisation correspondante dans \(K[x^{-1}]\), qui montre que \(\alpha\) est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans \(R\), comme voulu.

Lemme

Si \(R\) est un anneau de valuation de dimension \(> 1\), alors \(R[[x]]\) est plat sur \(R\), mais pas sur \(R[x]\).

Démonstration

Les arguments ci-dessus montrent que, pour cela, il suffit d’établir que \(R\) n’est pas complètement intégralement clos (les anneaux de valuation sont normaux; voir Algèbre, lemme 00IC). Soit \(\mathfrak p \subset \mathfrak m \subset R\) une chaîne d’idéaux premiers. Choisissons \(x \in \mathfrak p\) non nul et \(y \in \mathfrak m \setminus \mathfrak p\). Alors \(x y^{-n} \in R\) pour tout \(n \geq 1\) (sinon \(y^n/x \in R\), ce qui est absurde puisque \(y \not \in \mathfrak p\)). Ainsi \(1/y\) est presque entier sur \(R\), mais n’appartient pas à \(R\).

Construisons maintenant un exemple où le complété d’un localisé n’est pas plat. Pour cela, considérons l’anneau \[R = k[y, z, a_1, a_2, a_3, \ldots]/(ya_i, a_i a_j)\] Notons \(f \in R\) la classe de \(z\). Nous affirmons que l’homomorphisme d’anneaux [0ALD]\[\begin{equation} R[[x]] \longrightarrow R_f[[x]] \end{equation}\] n’est pas plat. Soit \(I\) le noyau de \(y : R[[x]] \to R[[x]]\). Un élément \(g\) de \(I\) est typiquement de la forme \(g = \sum g_{n, m} a_mx^n\) où \(g_{n, m} \in k[z]\) et, pour \(n\) donné, seul un nombre fini de coefficients \(g_{n, m}\) sont non nuls. Soit \(J\) le noyau de \(y : R_f[[x]] \to R_f[[x]]\). Nous affirmons que \(J \not = I R_f[[x]]\). En effet, si c’était le cas, nous aurions \[\sum z^{-n} a_n x^n = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, m} h_i g_i\] pour un certain \(m \geq 1\), avec \(g_i \in I\) et \(h_i \in R_f[[x]]\). Écrivons \(h_i = \bar h_i \bmod (y, a_1, a_2, a_3, \ldots)\) avec \(\bar h_i \in k[z, 1/z][[x]]\). En considérant le coefficient de \(a_n\) et en utilisant la description ci-dessus des éléments \(g_i\), nous obtiendrions \[z^{-n} x^n = \sum \bar h_i \bar g_{i, n}\] pour certains \(\bar g_{i, n} \in k[z][[x]]\). Cela signifierait que tous les \(z^{-n}x^n\) appartiennent au \(k[z][[x]]\)-module de type fini engendré par les éléments \(\bar h_i\). Puisque \(k[z][[x]]\) est noethérien, il en résulterait que le sous-\(k[z][[x]]\)-module de \(k[z, 1/z][[x]]\) engendré par \(1, z^{-1}x, z^{-2}x^2, \ldots\) est de type fini. D’après Algèbre, lemme 052I, nous conclurions que \(z^{-1}x\) est entier sur \(k[z][[x]]\), ce qui est absurde. En revanche, si (0ALD) était plat, alors nous aurions \(J = IR_f[[x]]\) en tensorisant la suite exacte \(0 \to I \to R[[x]] \xrightarrow{y} R[[x]]\) par \(R_f[[x]]\).

Lemme

Il existe un anneau \(A\) complet pour la topologie définie par un idéal principal \(I\) et un élément \(f \in A\) tels que le complété \(I\)-adique \(A_f^\wedge\) de \(A_f\) ne soit pas plat sur \(A\).

Démonstration

Posons \(A = R[[x]]\) et \(I = (x)\), et remarquons que \(R_f[[x]]\) est le complété de \(R[[x]]_f\).

Catégorie non abélienne des modules quasi-cohérents

Dans Faisceaux sur les champs, section 06WF, nous avons défini la catégorie des modules quasi-cohérents sur une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\Sch\). Bien que nous montrions dans Faisceaux sur les champs, section 06WU que cette catégorie est abélienne pour les champs algébriques, nous montrons dans cette section que ce n’est pas le cas pour les espaces algébriques formels.

Plus précisément, considérons \(\mathbf{Z}_p\) comme un anneau topologique, muni de la topologie \(p\)-adique. Posons \(X = \text{Spf}(\mathbf{Z}_p)\) ; voir Espaces formels, définition 0AIF. Alors \(X\) est un faisceau d’ensembles sur \((\Sch/\mathbf{Z})_{fppf}\) et donne lieu à un champ en catégories discrètes \(\mathcal{X}\) ; voir Champs, lemme 0430. La discussion de Faisceaux sur les champs, section 06WU s’applique donc.

Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\). Puisque \(X = \colim \Spec(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})\), il résulte aussitôt de Faisceaux sur les champs, lemme 06WK, que \(\mathcal{F}\) est déterminé par une suite \((\mathcal{F}_n)\) vérifiant :

1. \(\mathcal{F}_n\) est un module quasi-cohérent sur \(\Spec(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})\), et

2. les applications de transition induisent des isomorphismes \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/p^n\mathcal{F}_{n + 1}\).

En passant aux modules, nous voyons que \(\mathcal{F}\) correspond à un système \((M_n)\) où chaque \(M_n\) est un groupe abélien annulé par \(p^n\) et où les applications de transition induisent des isomorphismes \(M_n = M_{n + 1}/p^n M_{n + 1}\). Dans cette situation, le module \(M = \lim M_n\) est complet pour la topologie \(p\)-adique et \(M_n = M/p^n M\) ; voir Algèbre, lemme 09B8. Nous en déduisons que la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(X\) est équivalente à la catégorie des groupes abéliens complets pour la topologie \(p\)-adique. Cette catégorie n’est pas abélienne ; voir la section 07JQ.

Lemme

La catégorie des modules quasi-cohérents¹ sur un espace algébrique formel \(X\) n’est pas abélienne en général, même lorsque \(X\) est un espace algébrique formel affine noethérien.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Suite non scindée, mais localement scindée

Considérons la suite exacte courte \[0 \to M \to \bigoplus\nolimits_{p\text{ premier}} \mathbf{Z}_{(p)} \to \mathbf{Q} \to 0\] où \(M\) est le noyau de l’homomorphisme de droite, défini par l’inclusion \(\mathbf{Z}_{(p)} \to \mathbf{Q}\) sur chaque facteur. Cette suite de \(\mathbf{Z}\)-modules n’est pas scindée, car il n’existe aucun homomorphisme non nul \(\mathbf{Q} \to \mathbf{Z}_{(p)}\). En revanche, si nous localisons en un idéal premier quelconque \(p\), la suite devient scindée.

Lemme

Il existe un anneau \(R\) et une suite non scindée de modules qui devient scindée localement pour la topologie de Zariski.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Suites régulières et changement de base

Nous allons construire un anneau \(R\) muni d’une suite régulière \((x, y, z)\) telle qu’il existe un élément non nul \(\delta \in R/zR\) vérifiant \(x\delta = y\delta = 0\).

Pour construire notre exemple, nous commençons par construire un module particulier \(E\) sur l’anneau \(k[x, y, z]\), où \(k\) est un corps quelconque. Plus précisément, \(E\) sera une somme amalgamée, comme dans le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \frac{xk[x, y, z, y^{-1}]}{xyk[x, y, z]} \ar[r] \ar[d]^{z/x} & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}]} \ar[r] \ar[d] & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}] + xk[x, y, z, y^{-1}]} \ar[d] \\ \frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{yzk[x, y, z]} \ar[r] & E \ar[r] & \frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}] + xk[x, y, z, y^{-1}]} }\] dont les lignes sont des suites exactes courtes (nous avons omis les zéros extérieurs pour des raisons typographiques). On peut aussi décrire \(E\) par \[E = \{(f, g) \mid f \in k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}], g \in k[x, y, z, y^{-1}] \}/\sim\] où \((f, g) \sim (f', g')\) si et seulement s’il existe un \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\) tel que \[f = f' + xh \bmod yk[x, y, z, x^{-1}], \quad g = g' - zh \bmod yzk[x, y, z]\] Nous affirmons que : (a) \(x : E \to E\) est injective, (b) \(y : E/xE \to E/xE\) est injective, (c) \(E/(x, y)E = 0\), (d) il existe un élément non nul \(\delta \in E/zE\) tel que \(x\delta = y\delta = 0\).

Pour prouver (a), supposons que \((f, g)\) soit un couple qui représente un élément de \(E\) et que \((xf, xg) \sim 0\). Il existe alors un \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\) tel que \(xf + xh \in yk[x, y, z, x^{-1}]\) et \(xg - zh \in yzk[x, y, z]\). Nous pouvons supposer que \(h = \sum a_{i, j, k}x^iy^jz^k\) est une somme de monômes dans laquelle seuls les \(j \leq 0\) interviennent. Alors \(xg - zh \in yzk[x, y, z]\) entraîne que seuls les \(i > 0\) interviennent, c’est-à-dire que \(h = xh'\) pour un certain \(h' \in k[x, y, z, y^{-1}]\). Alors \((f, g) \sim (f + xh', g - zh')\) et nous voyons que nous pouvons supposer que \(g = 0\) et \(h = 0\). Dans ce cas, \(xf \in yk[x, y, z, x^{-1}]\) entraîne \(f \in yk[x, y, z, x^{-1}]\) et nous voyons que \((f, g) \sim 0\). Par conséquent, \(x : E \to E\) est injective.

Puisque la multiplication par \(x\) est un isomorphisme de \(\frac{k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]}{yk[x, y, z, x^{-1}]}\), nous voyons que \(E/xE\) est isomorphe à \[\frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{ yzk[x, y, z] + xk[x, y, z, y^{-1}] + zk[x, y, z, y^{-1}]} = \frac{k[x, y, z, y^{-1}]}{xk[x, y, z, y^{-1}] + zk[x, y, z, y^{-1}]}\] et la multiplication par \(y\) est donc un isomorphisme de \(E/xE\). Cela entraîne manifestement (b) et (c).

Soit \(e \in E\) la classe d’équivalence de \((1, 0)\). Supposons que \(e \in zE\). Il existe alors \(f \in k[x, y, z, x^{-1}, y^{-1}]\), \(g \in k[x, y, z, y^{-1}]\) et \(h \in k[x, y, z, y^{-1}]\) tels que \[1 + zf + xh \in yk[x, y, z, x^{-1}], \quad 0 + zg - zh \in yzk[x, y, z].\] C’est impossible : le monôme \(1\) ne peut apparaître dans \(zf\), ni dans \(xh\). En revanche, nous avons \(ye = 0\) et \(xe = (x, 0) \sim (0, z) = z(0, 1)\). Par conséquent, en prenant pour \(\delta\) la classe de \(e\) dans \(E/zE\), nous obtenons (d).

Lemme

Il existe un anneau local \(R\) et une suite régulière \(x, y, z\) (dans l’idéal maximal) tels qu’il existe un élément non nul \(\delta \in R/zR\) vérifiant \(x\delta = y\delta = 0\).

Démonstration

Soit \(R = k[x, y, z] \oplus E\), où \(E\) est le module ci-dessus, considéré comme un idéal de carré nul. Il est alors clair que \(x, y, z\) est une suite régulière dans \(R\) et que l’élément \(\delta \in E/zE \subset R/zR\) a les propriétés voulues. Pour obtenir un exemple local, nous pouvons localiser \(R\) en l’idéal maximal \(\mathfrak m = (x, y, z, E)\). La suite \(x, y, z\) reste régulière (car la localisation est exacte), et l’élément \(\delta\) reste non nul puisque son support est réduit à \(\mathfrak m\).

Lemme

Il existe un homomorphisme local d’anneaux locaux \(A \to B\) et une suite régulière \(x, y\) dans l’idéal maximal de \(B\) tels que \(B/(x, y)\) soit plat sur \(A\), mais que les images \(\overline{x}, \overline{y}\) de \(x, y\) dans \(B/\mathfrak m_AB\) ne forment pas une suite régulière, ni même une suite régulière au sens de Koszul.

Démonstration

Posons \(A = k[z]_{(z)}\) et \(B = (k[x, y, z] \oplus E)_{(x, y, z, E)}\). Puisque \(x, y, z\) est une suite régulière dans \(B\) (voir la démonstration du lemme 0640), nous voyons que \(x, y\) est une suite régulière dans \(B\) et que \(B/(x, y)\) est un \(A\)-module sans torsion, donc plat. En revanche, il existe un élément non nul \(\delta \in B/\mathfrak m_AB = B/zB\) qui est annulé par \(\overline{x}, \overline{y}\). Par conséquent, \(H_2(K_\bullet(B/\mathfrak m_AB, \overline{x}, \overline{y})) \not = 0\). Ainsi, la suite \(\overline{x}, \overline{y}\) n’est pas régulière au sens de Koszul ; en particulier, elle n’est pas une suite régulière ; voir Compléments d’algèbre, lemme 062F.

Un anneau noethérien de dimension infinie

Un anneau local noethérien est de dimension finie, comme nous l’avons vu dans Algèbre, proposition 00KQ. Il existe cependant des anneaux noethériens de dimension infinie. Voir [Nagata, Appendix, exemple 1].

Plus précisément, soit \(k\) un corps, et considérons l’anneau \[R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots ].\] Soit \(\mathfrak p_i = (x_{2^{i - 1}}, x_{2^{i - 1} + 1}, \ldots, x_{2^i - 1})\) pour \(i = 1, 2, \ldots\) ; ce sont des idéaux premiers de \(R\). Soit \(S\) la partie multiplicativement stable \[S = \bigcap\nolimits_{i \geq 1} (R \setminus \mathfrak p_i).\] Considérons l’anneau \(A = S^{-1}R\). Nous affirmons que

1. Les idéaux maximaux de l’anneau \(A\) sont les idéaux \(\mathfrak m_i = \mathfrak p_iA\).

2. Nous avons \(A_{\mathfrak m_i} = R_{\mathfrak p_i}\), qui est un anneau local noethérien de dimension \(2^{i - 1}\).

3. L’anneau \(A\) est noethérien.

Il est donc clair qu’il s’agit de l’exemple recherché. Nous omettons les détails.

Anneaux locaux dont le complété n’est pas réduit

Dans Algèbre, exemple 00PB, nous avons donné l’exemple d’un anneau local noethérien intègre de caractéristique \(p\), noté \(R\), et de dimension \(1\), dont le complété n’est pas réduit. Nous présentons ici l’exemple de [Ferrand-Raynaud, Proposition 3.1], qui fournit un anneau semblable en caractéristique zéro.

Soit \(\mathbf{C}\{x\}\) l’anneau des séries entières convergentes sur le corps \(\mathbf{C}\) des nombres complexes. L’anneau de toutes les séries entières \(\mathbf{C}[[x]]\) est son complété. Soit \(K = \mathbf{C}\{x\}[1/x]\) le corps des séries de Laurent convergentes. Le \(K\)-module \(\Omega_{K/\mathbf{C}}\) des différentielles algébriques de \(K\) sur \(\mathbf{C}\) est un \(K\)-espace vectoriel de dimension infinie (démonstration omise). Nous pouvons choisir \(f_n \in x\mathbf{C}\{x\}\), \(n \geq 1\), de telle sorte que \(\text{d}x, \text{d}f_1, \text{d}f_2, \ldots\) fassent partie d’une base de \(\Omega_{K/\mathbf{C}}\). Nous pouvons donc trouver une \(\mathbf{C}\)-dérivation \[D : \mathbf{C}\{x\} \longrightarrow \mathbf{C}((x))\] telle que \(D(x) = 0\) et \(D(f_n) = x^{-n}\). Posons \[A = \{f \in \mathbf{C}\{x\} \mid D(f) \in \mathbf{C}[[x]]\}\] Nous affirmons que

1. \(\mathbf{C}\{x\}\) est entier sur \(A\),

2. \(A\) est un anneau local intègre,

3. \(\dim(A) = 1\),

4. l’idéal maximal de \(A\) est engendré par \(x\) et \(xf_1\),

5. \(A\) est noethérien, et

6. le complété de \(A\) est égal à l’algèbre des nombres duaux sur \(\mathbf{C}[[x]]\).

Puisque l’algèbre des nombres duaux n’est pas réduite, l’anneau \(A\) fournit l’exemple recherché.

Remarquons que, si \(0 \not = f \in x\mathbf{C}\{x\}\), alors nous pouvons écrire \(D(f) = h/f^n\) pour un certain \(n \geq 0\) et \(h \in \mathbf{C}[[x]]\). Par conséquent, \(D(f^{n + 1}/(n + 1)) \in \mathbf{C}[[x]]\) et \(D(f^{n + 2}/(n + 2)) \in \mathbf{C}[[x]]\). Nous voyons donc que \(f^{n + 1}, f^{n + 2} \in A\) ! En particulier, l’assertion (1) est vérifiée. Nous en déduisons aussi que le corps des fractions de \(A\) est égal au corps des fractions de \(\mathbf{C}\{x\}\). Il en résulte aussi immédiatement que \(A \cap x\mathbf{C}\{x\}\) est l’ensemble des éléments non inversibles de \(A\) ; ainsi, \(A\) est un anneau local intègre de dimension \(1\). Si nous pouvons prouver (4), il s’ensuivra que \(A\) est noethérien (démonstration omise). Supposons que \(f \in A \cap x\mathbf{C}\{x\}\). Écrivons \(D(f) = h\), avec \(h \in \mathbf{C}[[x]]\). Écrivons \(h = c + xh'\) avec \(c \in \mathbf{C}\) et \(h' \in \mathbf{C}[[x]]\). Alors \(D(f - cxf_1) = c + xh' - c = xh'\). D’autre part, \(f - cxf_1 = xg\) avec \(g \in \mathbf{C}\{x\}\), mais le calcul ci-dessus donne \(D(g) = h' \in \mathbf{C}[[x]]\) et donc \(g \in A\). Ainsi, \(f = cxf_1 + xg \in (x, xf_1)\), comme voulu.

Enfin, pourquoi le complété de \(A\) n’est-il pas réduit ? Notons \(\hat A\) le complété de \(A\). Celui-ci admet évidemment un homomorphisme surjectif vers le complété \(\mathbf{C}[[x]]\) de \(\mathbf{C}\{x\}\), puisque \(x \in A\). Notons cet homomorphisme \(\psi : \hat A \to \mathbf{C}[[x]]\). Nous avons vu ci-dessus que \(\mathfrak m_A = (x, xf_1)\), et donc \(D(\mathfrak m_A^n) \subset (x^{n - 1})\) par un calcul facile. Ainsi, \(D : A \to \mathbf{C}[[x]]\) est continue et donne lieu à une dérivation continue \(\hat D : \hat A \to \mathbf{C}[[x]]\) au-dessus de \(\psi\). Nous obtenons donc un homomorphisme d’anneaux \[\psi + \epsilon \hat D : \hat A \longrightarrow \mathbf{C}[[x]][\epsilon].\] Comme \(\hat A\) est un anneau local noethérien complet de dimension un, si nous montrons que cette flèche est surjective, il s’ensuivra que \(\hat A\) n’est pas réduit. En fait, cet homomorphisme est un isomorphisme, mais nous en omettons la vérification. Le sous-anneau \(\mathbf{C}[x]_{(x)} \subset A\) donne lieu, par complétion, à un homomorphisme \(i : \mathbf{C}[[x]] \to \hat A\) tel que \(\psi \circ i = \text{id}\) et que \(\hat D \circ i = 0\) (puisque \(D(x) = 0\) par construction). Considérons les éléments \(x^nf_n \in A\). Nous avons \[(\psi + \epsilon D)(x^nf_n) = x^n f_n + \epsilon\] pour tout \(n \geq 1\). La surjectivité résulte aussitôt de ces remarques.

Un autre anneau local dont le complété n’est pas réduit

Dans cette section, nous construisons un exemple d’anneau local noethérien intègre de dimension \(2\), complet pour la topologie définie par un idéal principal, tel que le complété d’un localisé ne soit pas réduit.

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p\) tel que \(k\) soit de degré infini sur son sous-corps \(k^p\) des puissances \(p\)-ièmes. Par exemple, \(k = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, t_3, \ldots)\). Considérons l’anneau \[A = \left\{ \begin{matrix} \sum a_{i, j} x^iy^j \in k[[x, y]] \text{ tel que, pour tout }n \geq 0 \text{ on ait } \\ [k^p(a_{n, n}, a_{n, n + 1}, a_{n + 1, n}, a_{n, n + 2}, a_{n + 2, n}, \ldots) : k^p] < \infty \end{matrix} \right\}\] Ensemblistement, on a \[k^p[[x, y]] \subset A \subset k[[x, y]]\] Tout élément \(f\) de \(A\) s’écrit de manière unique sous la forme d’une série \[f = f_0 + f_1 xy + f_2 (xy)^2 + f_3 (xy)^3 + \ldots\] où \[f_n = a_{n, n} + a_{n, n + 1} y + a_{n + 1, n} x + a_{n, n + 2} y^2 + a_{n + 2, n} x^2 + \ldots\] et la condition de la formule qui définit \(A\) signifie que les coefficients de \(f_n\) engendrent une extension finie de \(k^p\). Cette présentation montre clairement que \(A\) est une sous-\(k^p[[x, y]]\)-algèbre de \(k[[x, y]]\), complète pour la topologie définie par l’idéal \(xy\). De plus, nous avons manifestement \[A/xy A = C \times_k D\] où \(k^p[[x]] \subset C \subset k[[x]]\) et \(k^p[[y]] \subset D \subset k[[y]]\) sont les sous-anneaux de séries formelles de Algèbre, exemple 00PB. Ainsi, \(C\) et \(D\) sont des anneaux de valuation discrète, et nous voyons que \(A/ xy A\) est noethérien. D’après Algèbre, lemme 05GH, nous concluons que \(A\) est noethérien. Puisque \(\dim(k[[x, y]]) = 2\), le lemme 00OK d’Algèbre donne \(\dim(A) = 2\).

Soit \(f = \sum a_i x^i\) une série formelle telle que \(k^p(a_0, a_1, a_2, \ldots)\) soit de degré infini sur \(k^p\). Alors \(f \not \in A\), mais \(f^p \in A\). Posons \[B = A[f] \subset k[[x, y]]\] Comme \(B\) est une \(A\)-algèbre finie, \(B\) est noethérien. De plus, \(B\) est complet pour la topologie définie par l’idéal engendré par \(xy\); voir Algèbre, lemme 00MA. En fait, \(B\) est libre sur \(A\), de base \(1, f, f^2, \ldots, f^{p - 1}\); nous omettons la démonstration.

Nous affirmons que l’anneau \[(B_y)^\wedge = (B[1/y])^\wedge = \lim B[1/y]/(xy)^n B[1/y] = \lim B[1/y] / x^n B[1/y]\] n’est pas réduit. En effet, cet anneau est libre sur \[(A_y)^\wedge = (A[1/y])^\wedge = \lim A[1/y]/(xy)^n A[1/y] = \lim A[1/y] / x^n A[1/y]\] de base \(1, f, \ldots, f^{p - 1}\). Cependant, il existe un élément \(g \in (A_y)^\wedge\) tel que \(f^p = g^p\). En effet, il suffit de prendre \(g = \sum a_i x^i\) (la même expression que celle utilisée pour \(f\)), qui a un sens dans \((A_y)^\wedge\). Nous voyons donc que \[(B_y)^\wedge = (A_y)^\wedge[f]/(f^p - g^p) \cong (A_y)^\wedge[\tau]/(\tau^p)\] n’est pas réduit. En fait, cet exemple montre un peu plus. En effet, remarquons que \((A_y)^\wedge\) est un anneau de valuation discrète d’uniformisante \(x\) et dont le corps résiduel est le corps des fractions de l’anneau de valuation discrète \(D\) défini ci-dessus. Nous voyons donc que même \[(B_y)^\wedge[1/(xy)] = ((B_y)^\wedge)_{xy}\] n’est pas réduit. Cela fournit un exemple du type suivant.

Lemme

Il existe un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\), noté \((B, \mathfrak m)\), complet pour la topologie définie par un idéal principal \(I = (b)\), et un élément \(f \in \mathfrak m\), \(f \not \in I\) tels que le complété \(I\)-adique \(C = (B_f)^\wedge\) du localisé principal \(B_f\) ne soit pas réduit et que, de plus, \(C_b = C[1/b] = (B_f)^\wedge[1/b]\) ne soit pas réduit.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Un anneau local noethérien non caténaire

Bien qu’il existe une théorie satisfaisante de la dimension des anneaux locaux noethériens, il existe des anneaux locaux noethériens non caténaires. On en trouve un exemple dans [Nagata, Appendix, exemple 2]. Nous allons en fait présenter cet exemple dans le cas le plus simple. Plus précisément, nous allons construire un anneau local noethérien intègre \(A\) de dimension \(2\) qui n’est pas universellement caténaire. (Remarquons que \(A\) est automatiquement caténaire; voir Exercices, exercice 02DS.) L’existence d’un anneau local noethérien qui n’est pas universellement caténaire entraîne celle d’un anneau local noethérien qui n’est pas caténaire; nous l’expliciterons à la fin de cette section dans l’exemple particulier considéré.

Soit \(k\) un corps, et considérons l’anneau de séries formelles \(k[[x]]\) en une indéterminée sur \(k\). Soit \[z = \sum\nolimits_{i = 1}^\infty a_i x^i\] une série formelle. Nous supposons que \(z\), considéré comme élément du corps de séries de Laurent \(k((x)) = k[[x]][1/x]\), est transcendant sur \(k(x)\). Posons \[z_j = x^{-j}(z - \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, j - 1} a_i x^i) = \sum\nolimits_{i = j}^\infty a_i x^{i - j} \in k[[x]].\] Remarquons que \(z = xz_1\). Soit \(R\) le sous-anneau de \(k[[x]]\) engendré par \(x\), \(z\) et tous les \(z_j\); autrement dit, \[R = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots ] \subset k[[x]].\] Considérons les idéaux \(\mathfrak m = (x)\) et \(\mathfrak n = (x - 1, z_1, z_2 + a_1, z_3 + a_1 + a_2, \ldots)\) de \(R\).

Nous avons \(xz_{j + 1} + a_j = z_j\). Ainsi, \(R/\mathfrak m = k\) et \(\mathfrak m\) est un idéal maximal. De plus, tout élément de \(R\) qui n’appartient pas à \(\mathfrak m\) a pour image un élément inversible de \(k[[x]]\), et donc \(R_{\mathfrak m} \subset k[[x]]\). En fait, on en déduit facilement que \(R_{\mathfrak m}\) est un anneau de valuation discrète de corps résiduel \(k\).

Nous affirmons que \[R/(x - 1) = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots ]/(x - 1) \cong k[z].\] En effet, la relation ci-dessus implique que \(z_{j + 1} = z_j - a_j - (x - 1)z_{j + 1}\), et nous pouvons donc exprimer la classe de \(z_{j + 1}\) en fonction de \(z_j\) dans le quotient \(R/(x - 1)\). Puisque le corps des fractions de \(R\) est de degré de transcendance \(2\) sur \(k\) par construction, nous voyons que \(z\) est transcendant sur \(k\) dans \(R/(x - 1)\), d’où l’isomorphisme voulu. Ainsi, \(\mathfrak n = (x - 1, z)\) est un idéal maximal. En fait, l’homomorphisme \[k[x, x^{-1}, z]_{(x - 1, z)} \longrightarrow R_{\mathfrak n}\] est un isomorphisme (puisque \(x^{-1}\) est inversible dans \(R_{\mathfrak n}\) et que \(z_{j + 1} = x^{-1}z_j - a_j = \ldots = f_j(x, x^{-1}, z)\)). Cela montre que \(R_{\mathfrak n}\) est un anneau local régulier de dimension \(2\) et de corps résiduel \(k\).

Soit \(S\) la partie multiplicativement stable \[S = (R \setminus \mathfrak m) \cap (R \setminus \mathfrak n) = R \setminus (\mathfrak m \cup \mathfrak n)\] et posons \(B = S^{-1}R\). Nous affirmons que

1. L’anneau \(B\) est une \(k\)-algèbre.

2. Les idéaux maximaux de l’anneau \(B\) sont les deux idéaux \(\mathfrak mB\) et \(\mathfrak nB\).

3. Le corps résiduel en chacun de ces idéaux maximaux est \(k\).

4. Nous avons \(B_{\mathfrak mB} = R_{\mathfrak m}\) et \(B_{\mathfrak nB} = R_{\mathfrak n}\), qui sont des anneaux locaux noethériens réguliers de dimensions \(1\) et \(2\).

5. L’anneau \(B\) est noethérien.

Nous omettons les détails des vérifications.

Étant donnée une \(k\)-algèbre \(B\) possédant les propriétés ci-dessus, nous obtenons un exemple comme suit. Posons \(A = k + \text{rad}(B) \subset B\), où \(\text{rad}(B) = \mathfrak mB \cap \mathfrak nB\) est le radical de Jacobson. On voit facilement que \(B\) est une \(A\)-algèbre finie, et donc que \(A\) est noethérien par le théorème d’Eakin (voir [Eakin], ou [Nagata, Appendix A1], ou insérer ici une référence ultérieure). De plus, \(A\) est un anneau local intègre ayant le même corps des fractions que \(B\) et pour corps résiduel \(k\). Puisque la dimension de \(B\) est \(2\), nous voyons que \(A\) est également de dimension \(2\), d’après Algèbre, lemme 00OK.

Si \(A\) était universellement caténaire, la formule de dimension, Algèbre, lemme 02IJ, donnerait \(\dim(B_{\mathfrak mB}) = 2\), ce qui est contradictoire.

Remarquons que \(B\) est une \(A\)-algèbre engendrée par un élément. Ainsi, \(B = A[x]/\mathfrak p\) pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A[x]\). Soit \(\mathfrak m' \subset A[x]\) l’idéal maximal correspondant à \(\mathfrak mB\). Alors, d’une part, \(\dim(A[x]_{\mathfrak m'}) = 3\) et, d’autre part, \[(0) \subset \mathfrak pA[x]_{\mathfrak m'} \subset \mathfrak m'A[x]_{\mathfrak m'}\] est une chaîne maximale d’idéaux premiers. Ainsi, \(A[x]_{\mathfrak m'}\) est un exemple d’anneau local noethérien non caténaire.

Existence d’anneaux locaux noethériens pathologiques

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien complet. Dans [Lech], il est démontré que \(A\) est le complété d’un anneau local noethérien intègre si \(\text{profondeur}(A) \geq 1\) et si \(A\) contient soit \(\mathbf{Q}\), soit \(\mathbf{F}_p\) comme sous-anneau, ou bien contient \(\mathbf{Z}\) comme sous-anneau et \(A\) est sans torsion comme \(\mathbf{Z}\)-module. Cela fournit de nombreux exemples d’anneaux locaux noethériens intègres aux propriétés « bizarres ».

En appliquant ceci, par exemple, à \(A = \mathbf{C}[[x, y]]/(y^2)\), nous obtenons un anneau local noethérien intègre dont le complété n’est pas réduit. Comparer avec la section 02JD.

Dans [LLPY], on a trouvé des conditions qui caractérisent les cas où \(A\) est le complété d’un anneau local noethérien réduit.

Dans [Heitmann-completion-UFD], il est démontré que \(A\) est le complété d’un anneau local noethérien factoriel \(R\) si \(\text{profondeur}(A) \geq 2\) et si \(A\) contient soit \(\mathbf{Q}\), soit \(\mathbf{F}_p\) comme sous-anneau, ou bien contient \(\mathbf{Z}\) comme sous-anneau et \(A\) est sans torsion comme \(\mathbf{Z}\)-module. En particulier, \(R\) est normal (Algèbre, lemme 0AFV); le hensélisé de \(R\) est donc lui aussi un anneau normal intègre (Compléments d’algèbre, lemme 06DI). Ainsi, \(A\) comme ci-dessus est le complété d’un anneau local noethérien hensélien, normal et intègre (puisque les complétés de \(R\) et de son hensélisé coïncident; voir Compléments d’algèbre, lemme 06LJ).

Appliquons ce résultat pour obtenir un anneau local noethérien factoriel \(R\) tel que \(R^\wedge \cong \mathbf{C}[[x, y, z, w]]/(wx, wy)\). Remarquons que \(\Spec(R^\wedge)\) est la réunion d’une composante régulière de dimension \(2\) et d’une composante régulière de dimension \(3\). L’anneau \(R\) ne peut pas être universellement caténaire. Soit \[X \longrightarrow \Spec(R)\] l’éclatement de l’idéal maximal. Alors \(X\) est un schéma intègre. Il existe un point fermé \(x \in X\) tel que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\); plus précisément, au niveau de l’anneau local complet, nous choisissons \(x\) sur la transformée stricte de la composante de dimension \(2\), mais non sur la transformée stricte de la composante de dimension \(3\). D’après Morphismes, lemme 02JU, nous voyons que \(R\) n’est pas universellement caténaire. Comparer avec la section 02JE.

L’anneau ci-dessus est caténaire (car c’est un anneau local noethérien factoriel de dimension \(3\)). Cependant, dans [Ogoma-example], l’auteur construit un anneau local noethérien normal intègre \(R\) tel que \(R^\wedge \cong \mathbf{C}[[x, y, z, w]]/(wx, wy)\) et que \(R\) ne soit pas caténaire. Voir aussi [Heitmann-Ogoma] et [Lech-YAPO].

Dans [Heitmann-isolated], il est démontré que \(A\) est le complété d’un anneau local noethérien \(R\) à singularité isolée, pourvu que \(A\) contienne soit \(\mathbf{Q}\), soit \(\mathbf{F}_p\) comme sous-anneau, ou que \(A\) soit de caractéristique résiduelle \(p > 0\) et que \(p\) ne puisse devenir un diviseur de zéro non nul dans aucun localisé propre de \(A\). Nous disons ici qu’un anneau local noethérien \(R\) est à singularité isolée si \(R_\mathfrak p\) est un anneau local régulier pour tout idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset R\).

Les articles [Nishimura-few] et [Nishimura-few-II] contiennent de longues listes d’anneaux locaux noethériens « pathologiques » dont le complété est prescrit. En particulier, ils construisent un exemple d’anneau local de Nagata, normal et intègre, de dimension \(2\), dont le complété est \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(yz)\), et un autre dont le complété est \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(y^2 - z^3)\).

À titre de digression, il est démontré dans [Loepp] que \(A\) est le complété d’un anneau local noethérien excellent et intègre si \(A\) est réduit, équidimensionnel, et si aucun entier de \(A\) n’est un diviseur de zéro. Cela ne conduit toutefois pas à des anneaux locaux noethériens « pathologiques », puisque ceux obtenus sont excellents !

Dimension dans les anneaux noethériens de Jacobson

Soit \(k\) la clôture algébrique d’un corps fini. Soient \(A = k[x, y]\) et \(X = \Spec(A)\). Soit \(C = V(x)\) l’axe des \(y\) (on pourrait choisir tout autre sous-schéma fermé intègre de dimension \(1\) de \(X\)). Soit \(C_1, C_2, C_3, \ldots\) une énumération des autres sous-schémas fermés intègres de \(X\) de dimension \(1\). Soit \(p_1, p_2, p_3, \ldots\) une énumération des points fermés de \(C\).

Affirmation : pour tout \(n\), il existe un fermé irréductible \(Z_n \subset X\) de dimension \(1\) tel que \[\{p_n\} = Z_n \cap (C \cup C_1 \cup \ldots \cup C_n)\] ensemblistement. Pour cela, posons \(Y = C \cup C_1 \cup C_2 \cup \ldots \cup C_n\). C’est un schéma algébrique affine réduit de dimension \(1\) sur \(k\). Il suffit de trouver \(f \in k[x, y]\) tel que \(V(f) \cap Y = \{p_n\}\) ensemblistement, car nous pouvons alors prendre pour \(Z_n\) une composante irréductible convenable de \(V(f)\). Puisque l’application de restriction \[k[x, y] \longrightarrow \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\] est surjective, il suffit de trouver une fonction régulière \(g\) sur \(Y\) dont l’ensemble des zéros est \(\{p_n\}\) ensemblistement. Pour voir que cela est possible, choisissons un diviseur de Cartier effectif \(D \subset Y\) dont le support est \(p_n\) (cela est possible d’après Variétés, lemme 09NA). Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{O}_Y(ND) \cong \mathcal{O}_Y\) pour un certain \(N > 0\). Or le groupe de Picard d’un schéma algébrique affine de dimension \(1\) sur la clôture algébrique d’un corps fini est de torsion (insérer ici une référence ultérieure), ce qui démontre l’affirmation.

Choisissons \(Z_n\) comme ci-dessus pour tout \(n\). Puisque \(k[x, y]\) est un anneau factoriel, nous pouvons écrire \(Z_n = V(f_n)\) pour un élément irréductible \(f_n \in A\). Soit \(S \subset k[x, y]\) la partie multiplicative engendrée par \(f_1, f_2, f_3, \ldots\). Considérons l’anneau noethérien \(B = S^{-1}A\).

Il est clair que l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) identifie les anneaux locaux correspondants et induit une injection \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). De plus, en considérant la courbe \(C_1\), nous voyons que seuls les points de \(C \cap C_1\) sont supprimés lors du passage de \(\Spec(A)\) à \(\Spec(B)\). En particulier, \(\Spec(B)\) possède une infinité d’idéaux maximaux correspondant à des idéaux maximaux de \(A\). En revanche, \(xB\) est un idéal maximal, car le spectre de \(B/xB\) est constitué d’un unique idéal premier, puisque nous avons supprimé tous les points fermés de \(C = V(x)\) (mais non le point générique). Enfin, pour \(i \geq 1\), considérons la courbe \(C_i\). Écrivons \(C_i = V(g_i)\), où \(g_i \in A\) est irréductible. Si \(C_i = Z_n\) pour un certain \(n\), alors \(g_iB\) est l’idéal unité. Sinon, tous les points fermés de \(C_i\) sauf un nombre fini subsistent lors du passage de \(A\) à \(B\) : plus précisément, seuls les points de \((Z_1 \cup \ldots \cup Z_{i - 1} \cup C) \cap C_i\) sont supprimés de \(C_i\).

La structure du spectre de \(B\) décrite ci-dessus montre que \(B\) est un anneau de Jacobson d’après Algèbre, lemme 00KX. Les idéaux maximaux sont ceux de \(A\) qui appartiennent à \(\Spec(B)\) (et ils sont en nombre infini), ainsi que l’idéal maximal \(xB\). Nous constatons donc que nous avons des anneaux locaux de dimensions \(1\) et \(2\).

Lemme

Il existe un anneau de Jacobson noethérien intègre et universellement caténaire \(B\) possédant des idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \mathfrak m_2\) tels que \(\dim(B_{\mathfrak m_1}) = 1\) et \(\dim(B_{\mathfrak m_2}) = 2\).

Démonstration

La construction de \(B\) est donnée ci-dessus. Signalons simplement que \(B\) est universellement caténaire d’après Algèbre, lemme 00NJ et Morphismes, lemme 02JB.

Espace sous-jacent noethérien, schéma non noethérien

Nous donnons deux exemples montrant qu’un schéma dont l’espace topologique sous-jacent est noethérien peut ne pas être un schéma noethérien.

Exemple

Soit \(k\) un corps, et soit \(A = k[x_1, x_2, x_3, \dots] / (x_1^2, x_2^2, x_3^2, \dots)\). Tout idéal premier de \(A\) contient les éléments nilpotents \(x_1, x_2, x_3, \dots\); ainsi \(\mathfrak p = (x_1, x_2, x_3, \dots)\) est l’unique idéal premier de \(A\). Par conséquent, l’espace topologique sous-jacent à \(\operatorname{Spec} A\) est réduit à un seul point et est en particulier noethérien. Toutefois, l’idéal \(\mathfrak p\) n’est manifestement pas de type fini.

Exemple

Soit \(k\) un corps, et soit \(A \subseteq k[x, y]\) le sous-anneau engendré par \(k\) et les monômes \(\{xy^i\}_{i \ge 0}\). Les idéaux premiers de \(A\) qui ne contiennent pas \(x\) sont en correspondance biunivoque avec les idéaux premiers de \(A_x \cong k[x, x^{-1}, y]\). Si \(\mathfrak p\) est un idéal premier qui contient \(x\), alors il contient tout \(xy^i\), \(i \ge 0\), car \((xy^i)^2 = x(xy^{2i}) \in \mathfrak p\) et \(\mathfrak p\) est radical. Par conséquent, \(\mathfrak p = (\{xy^i\}_{i \ge 0})\). Ainsi, l’espace topologique sous-jacent à \(\operatorname{Spec} A\) est noethérien, puisqu’il est constitué des points du schéma noethérien \(\Spec(A[x, x^{-1}, y])\) et de l’idéal premier \(\mathfrak p\). Mais l’anneau \(A\) n’est pas noethérien, car \(\mathfrak p\) n’est pas de type fini. Notons que, dans cet exemple, \(A\) est également intègre.

Variété non quasi-affine dont la normalisation est quasi-affine

L’existence d’un exemple de ce type est mentionnée dans [EGA, II remarque 6.6.13], qui renvoie au cinquième volume des EGA pour un tel exemple; or ce cinquième volume n’a pas paru.

Soit \(k\) un corps. Soit \(Y = \mathbf{A}^2_k \setminus \{(0, 0)\}\). Nous allons construire un morphisme fini, surjectif et birationnel \(\pi : Y \longrightarrow X\) où \(X\) est une variété sur \(k\) telle que \(X\) n’est pas quasi-affine. Plus précisément, considérons les courbes suivantes dans \(Y\) : \[\begin{matrix} C_1 & : & x = 0 \\ C_2 & : & y = 0 \end{matrix}\] Remarquons que \(C_1 \cap C_2 = \emptyset\). Choisissons l’isomorphisme \(\varphi : C_1 \to C_2\), \((0, y) \mapsto (y^{-1}, 0)\). Nous affirmons qu’il existe un unique morphisme \(\pi : Y \to X\) comme ci-dessus tel que \[\xymatrix{ C_1 \ar@<1ex>[rr]^{\text{id}} \ar@<-1ex>[rr]_{\varphi} & & Y \ar[r]^\pi & X }\] soit un diagramme coégalisateur dans la catégorie des variétés (et même dans la catégorie des schémas). Admettons-le provisoirement et montrons qu’un tel \(X\) ne peut être quasi-affine. En effet, il est clair que nous aurions \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \{ f \in k[x, y] \mid f(0, y) = f(y^{-1}, 0)\} = k \oplus (xy) \subset k[x, y].\] En particulier, ces fonctions ne séparent pas les points \((1, 0)\) et \((-1, 0)\), dont les images dans \(X\) (comme nous le verrons plus bas) sont distinctes (si la caractéristique de \(k\) n’est pas \(2\)).

Pour montrer que \(X\) existe, considérons l’ouvert de Zariski \(D(x + y) \subset Y\) de \(Y\). C’est le spectre de l’anneau \(k[x, y, 1/(x + y)]\) et les courbes \(C_1\), \(C_2\) sont entièrement contenues dans \(D(x + y)\). De plus, le morphisme \[C_1 \amalg C_2 \longrightarrow D(x + y) \cap Y = \Spec(k[x, y, 1/(x + y)])\] est une immersion fermée. Il résulte de Compléments d’algèbre, lemme 00IT, que l’anneau \[A = \{f \in k[x, y, 1/(x + y)] \mid f(0, y) = f(y^{-1}, 0)\}\] est une \(k\)-algèbre de type fini. D’autre part, nous avons l’ouvert \(D(xy) \subset Y\) de \(Y\), qui est disjoint des courbes \(C_1\) et \(C_2\). C’est le spectre de l’anneau \[B = k[x, y, 1/xy].\] Remarquons que \(A_{xy} \cong B_{x + y}\) (car \(A\) contient manifestement les éléments \(xyP(x, y)\) pour tout polynôme \(P\), ainsi que l’élément \(xy/(x + y)\)). Le schéma \(X\) est obtenu par recollement des schémas affines \(\Spec(A)\) et \(\Spec(B)\) au moyen de l’isomorphisme \(A_{xy} \cong B_{x + y}\); il est donc manifestement de type fini sur \(k\). Pour voir qu’il est séparé, il faut montrer que l’homomorphisme d’anneaux \(A \otimes_k B \to B_{x + y}\) est surjectif. Pour cela, utilisons le fait que \(A \otimes_k B\) contient l’élément \(xy/(x + y) \otimes 1/xy\), dont l’image est \(1/(x + y)\). Le morphisme \(Y \to X\) est donné par les morphismes naturels \(D(x + y) \to \Spec(A)\) et \(D(xy) \to \Spec(B)\). Comme ils sont tous deux finis, il en résulte que \(Y \to X\) est fini, comme souhaité. Nous omettons la vérification que \(X\) est bien le coégalisateur du diagramme affiché ci-dessus; voir toutefois (insérer ici une référence ultérieure sur les sommes amalgamées dans la catégorie des schémas ). Remarquons que le morphisme \(\pi : Y \to X\) envoie bien les points \((1, 0)\) et \((-1, 0)\) sur des points distincts de \(X\), puisque la fonction \((x + y^3)/(x + y)^2 \in A\) prend les valeurs \(1/1\) et, respectivement, \(-1/(-1)^2 = -1\), qui sont toujours distinctes (sauf en caractéristique \(2\) – au lecteur de choisir d’autres points en caractéristique \(2\)). Résumons cette discussion sous la forme d’un lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Il existe une variété \(X\) dont la normalisation est quasi-affine, mais qui n’est pas elle-même quasi-affine.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus et (insérer ici une référence ultérieure sur la normalisation).

Prise d’images schématiques

Soit \(k\) un corps. Soit \(t\) une indéterminée. Soient \(Y = \Spec(k[t])\) et \(X = \coprod_{n \geq 1} \Spec(k[t]/(t^n))\). Notons \(f : X \to Y\) le morphisme défini au moyen de l’immersion fermée \(\Spec(k[t]/(t^n)) \to \Spec(k[t])\) pour tout \(n \geq 1\). Dans ce cas, nous avons

1. L’image schématique (Morphismes, définition 01R7) de \(f\) est \(Y\). En revanche, l’image de \(f\) est le point fermé \(t = 0\) de \(Y\). Ainsi, la partie fermée sous-jacente à l’image schématique de \(f\) n’est pas égale à l’adhérence de l’image de \(f\).

2. La formation de l’image schématique ne commute pas à la restriction au sous-schéma ouvert \(V = \Spec(k[t, 1/t]) \subset Y\). En effet, l’image réciproque de \(V\) dans \(X\) est vide; l’image schématique de \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) est donc le schéma vide. Celui-ci n’est pas égal à \(Y \cap V\).

Images de parties localement fermées

Le théorème de Chevalley affirme que l’image d’une partie constructible par un morphisme de présentation finie entre schémas affines est constructible; voir Algèbre, théorème 00FE, et Morphismes, section 054H. Nous allons voir que l’énoncé analogue n’est pas vrai pour les images de parties localement fermées.

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(0\). Considérons le morphisme de projection \[f : X = \Spec(k[t, x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]) \longrightarrow \Spec(k[x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]) = Y\] C’est un morphisme de présentation finie. Soit \(Z\) la partie fermée de \(X\) définie par \[x_1(t - 1) = 0,\quad x_2(t - 1)(t - 2) = 0,\quad x_3(t - 1)(t - 2)(t - 3) = 0,\quad \ldots\] Soit \(U = \bigcup_{j \geq 1} U_j\) l’ouvert de \(X\) défini par \[U_j = \text{points où }y_j(t - 1)(t - 2) ... (t - j)\text{ est non nul}\] Alors nous avons \[f(Z \cap U_j) = \text{points où }x_1, \ldots, x_j\text{ sont nuls et }y_j\text{ est non nul}\] Nous affirmons que \(B = f(Z \cap U) = \bigcup_{j \geq 1} f(Z \cap U_j)\) n’est pas une réunion finie de parties localement fermées de \(Y\).

Démonstration de l’affirmation. Supposons que \(B = A_1 \cup \cdots \cup A_m\) soit un recouvrement fini de \(B\) par des parties localement fermées de \(Y\). Nous allons montrer par récurrence sur \(n\) que \(m \geq n\). Le cas initial \(n = 1\) est immédiat, puisque \(B\) est non vide. Supposons \(n > 1\) et l’hypothèse de récurrence vraie pour \(n - 1\). Comme l’adhérence de \(B\) est \((x_1 = 0)\), l’un des \(A_i\) doit contenir une partie ouverte non vide de \((x_1 = 0)\). Alors \(A_i\) doit être ouvert dans \((x_1 = 0)\). Mais une telle partie ouverte ne peut contenir aucun point où \(y_1 = 0\); en effet, pour les points de \(B\), \(y_1 = 0\) entraîne \(x_2 = 0\), ce qui montre que \(B\) ne contient aucun voisinage de \((x, y)\) dans \((x_1 = 0)\). Par conséquent, les \(m - 1\) parties restantes induisent un recouvrement constructible de \(B \cap (y_1 = 0)\). Or l’application de décalage à droite \(x_i \mapsto x_{i + 1}\), \(y_i \mapsto y_{i + 1}\) identifie \(B\) à \(B \cap (y_1 = 0)\)! L’hypothèse de récurrence donne donc \(m - 1 \geq n - 1\), d’où \(m \geq n\). Ceci achève la démonstration de l’étape de récurrence et établit l’affirmation.

Lemme

Il existe un morphisme \(f : X \to Y\) de présentation finie entre schémas affines et une partie localement fermée \(T\) de \(X\) tels que \(f(T)\) ne soit pas une réunion finie de parties localement fermées de \(Y\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un sous-schéma localement fermé qui n’est pas ouvert dans un fermé

Ceci est une copie de Morphismes, exemple 01QW. Voici un exemple d’immersion qui ne se compose pas d’une immersion ouverte suivie d’une immersion fermée. Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\). Soit \(U = \bigcup_{n = 1}^{\infty} D(x_n)\). Alors \(U \to X\) est une immersion ouverte. Considérons les idéaux \[I_n = (x_1^n, x_2^n, \ldots, x_{n - 1}^n, x_n - 1, x_{n + 1}, x_{n + 2}, \ldots) \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n].\] Remarquons que \(I_n k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_nx_m] = (1)\) pour tout \(m \not = n\). Par conséquent, les idéaux quasi-cohérents \(\widetilde I_n\) sur \(D(x_n)\) coïncident sur \(D(x_nx_m)\); plus précisément, \(\widetilde I_n|_{D(x_nx_m)} = \mathcal{O}_{D(x_n x_m)}\) si \(n \not = m\). Ces idéaux se recollent donc en un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\). Soit \(Z \subset U\) le sous-schéma fermé correspondant à \(\mathcal{I}\). Ainsi, \(Z \to X\) est une immersion.

Nous affirmons qu’il est impossible de factoriser \(Z \to X\) sous la forme \(Z \to \overline{Z} \to X\), où \(\overline{Z} \to X\) est une immersion fermée et \(Z \to \overline{Z}\) est une immersion ouverte. En effet, \(\overline{Z}\) devrait être défini par un idéal \(I \subset k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) tel que \(I_n = I k[x_1, x_2, x_3, \ldots][1/x_n]\). Mais le seul élément \(f \in k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) qui appartienne à tous les \(I_n\) est \(0\)! Un tel \(I\) n’existe donc pas.

Le morphisme \(Z \to X\) fournit aussi un exemple de comportement pathologique des images schématiques d’immersions. En effet, les arguments ci-dessus montrent que l’image schématique de l’immersion \(Z \to X\) est \(X\). En revanche, nous constatons que

1. \(Z\) n’est pas topologiquement dense dans \(X\), et

2. l’image schématique de \(Z = Z \cap U \to U\) est simplement \(Z\). Elle n’est pas égale à \(U \cap X = U\); la formation de l’image schématique, dans ce cas, ne commute donc pas aux restrictions aux ouverts.

Non-existence d’ouverts convenables

Cette section complète les résultats de Propriétés, section 01ZU.

Soit \(k\) un corps et soit \(A = k[z_1, z_2, z_3, \ldots]/I\), où \(I\) est l’idéal engendré par tous les produits deux à deux \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\). Posons \(S = \Spec(A)\). Soit \(s \in S\) le point fermé correspondant à l’idéal maximal \((z_i)\). Nous affirmons qu’il n’existe aucun ouvert quasi-compact \(V \subset S \setminus \{s\}\) qui soit dense dans \(S \setminus \{s\}\). Remarquons que \(S \setminus \{s\} = \bigcup D(z_i)\). Chaque \(D(z_i)\) est ouvert et irréductible, de point générique \(\eta_i\). Nous en déduisons que \(\eta_i \in V\) pour tout \(i\). Cependant, tout ouvert affine principal de \(S \setminus \{s\}\) est de la forme \(D(f)\), où \(f \in (z_1, z_2, \ldots)\). Alors \(f \in (z_1, \ldots, z_n)\) pour un certain \(n\), et \(D(f)\) ne contient qu’un nombre fini des points \(\eta_i\). Ainsi, \(V\) ne peut être quasi-compact.

Soit \(k\) un corps et soit \(B = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots]/J\), où \(J\) est l’idéal engendré par les produits \(xz_i\), \(i \in \mathbf{N}\), et par tous les produits deux à deux \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\). Posons \(T = \Spec(B)\). Considérons l’ouvert principal \(U = D(x)\). Nous affirmons qu’il n’existe aucun ouvert quasi-compact \(V \subset T\) tel que \(V \cap U = \emptyset\) et que \(V \cup U\) soit dense dans \(T\). Soit \(t \in T\) le point fermé correspondant à l’idéal maximal \((x, z_i)\). L’adhérence de \(U\) dans \(T\) est \(\overline{U} = U \cup \{t\}\). Ainsi, \(V \subset \bigcup_i D(z_i)\) est un ouvert quasi-compact. Les arguments du paragraphe précédent montrent que \(V\) ne peut être dense dans \(\bigcup D(z_i)\).

Lemme

Non-existence d’ouverts quasi-compacts dans des schémas affines :

1. Il existe un schéma affine \(S\) et un ouvert affine \(U \subset S\) tels qu’il n’existe aucun ouvert quasi-compact \(V \subset S\) pour lequel \(U \cap V = \emptyset\) et \(U \cup V\) est dense dans \(S\).

2. Il existe un schéma affine \(S\) et un point fermé \(s \in S\) tels que \(S \setminus \{s\}\) ne contienne aucun ouvert quasi-compact dense.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Soit \(X\) le recollement de deux copies du schéma affine \(T\) (voir ci-dessus) le long de l’ouvert affine \(U\). Il existe donc un morphisme \(\pi : X \to T\) et \(X = U_1 \cup U_2\) tels que \(\pi\) envoie isomorphiquement \(U_i\) sur \(T\) et \(U_1 \cap U_2\) sur \(U\). Remarquons que \(X\) est quasi-séparé (d’après Schémas, lemme 01KO) et quasi-compact. Nous affirmons qu’il n’existe aucun ouvert séparé, dense et quasi-compact \(W \subset X\). Considérons en effet les deux points fermés \(x_1 \in U_1\), \(x_2 \in U_2\) qui s’envoient sur le point fermé \(t \in T\) introduit ci-dessus. Soit \(\tilde \eta \in U_1 \cap U_2\) le point générique qui s’envoie sur l’unique point générique \(\eta\) de \(U\). Remarquons que \(\tilde\eta \leadsto x_1\) et \(\tilde\eta \leadsto x_2\) se trouvent au-dessus de la spécialisation \(\eta \leadsto t\). Comme \(\pi|_W : W \to T\) est séparé, nous en concluons qu’on ne peut avoir simultanément \(x_1\) et \(x_2 \in W\) (par le critère valuatif de séparation, Schémas, lemme 01L0). Supposons \(x_1 \not \in W\). Alors \(W \cap U_1\) est un ouvert quasi-compact (car \(X\) est quasi-séparé), dense dans \(U_1\), qui ne contient pas \(x_1\). Observons maintenant qu’il existe un isomorphisme \((T, t) \cong (S, s)\) de schémas (envoyant \(x\) sur \(z_1\) et \(z_i\) sur \(z_{i + 1}\)). Le premier paragraphe de cette section fournit alors une contradiction.

Lemme

Il existe un schéma quasi-compact et quasi-séparé \(X\) qui ne contient aucun ouvert séparé, quasi-compact et dense.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Non-existence d’un sous-schéma ouvert quasi-compact dense

Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur un corps \(k\). Nous savons que le lieu schématique \(X' \subset X\) est un sous-espace ouvert dense; voir Propriétés des espaces, proposition 06NH. En fait, ce résultat vaut lorsque \(X\) est raisonnable; voir Espaces décents, proposition 03JI. Il est naturel de demander si l’on peut trouver un sous-schéma ouvert quasi-compact dense de \(X\). Ce n’est en général pas possible.

Supposons que la caractéristique de \(k\) ne soit pas 2. Soit \(B = k[x, z_1, z_2, z_3, \ldots]/J\), où \(J\) est l’idéal engendré par les produits \(xz_i\), \(i \in \mathbf{N}\), et par tous les produits deux à deux \(z_iz_j\), \(i \not = j\), \(i, j \in \mathbf{N}\). Posons \(U = \Spec(B)\). Notons \(0 \in U\) le point fermé dont toutes les coordonnées sont nulles. Posons \[j : R = \Delta \amalg \Gamma \longrightarrow U \times_k U\] où \(\Delta\) est l’image du morphisme diagonal de \(U\) sur \(k\) et \[\Gamma = \{((x, 0, 0, 0, \ldots), (-x, 0, 0, 0, \ldots)) \mid x \in \mathbf{A}^1_k, x \not = 0\}.\] Il est clair que \(s, t : R \to U\) sont étales; ainsi, \(j\) est une relation d’équivalence étale. Le quotient \(X = U/R\) est un espace algébrique (Espaces, théorème 02WW). Remarquons que \(j\) n’est pas une immersion, car \((0, 0) \in \Delta\) appartient à l’adhérence de \(\Gamma\). Ainsi, \(X\) n’est pas un schéma. En revanche, \(X\) est quasi-séparé, car \(R\) est quasi-compact. Notons \(0_X\) l’image du point \(0 \in U\). Nous affirmons que \(X \setminus \{0_X\}\) est un schéma; plus précisément, \[X \setminus \{0_X\} = \Spec\left(k[x^2, x^{-2}]\right) \amalg \Spec\left(k[z_1, z_2, z_3, \ldots]/(z_iz_j)\right) \setminus \{0\}\] (détails omis). D’autre part, nous avons vu dans la section 086G que le schéma figurant au membre de droite ne contient aucun ouvert quasi-compact dense.

Lemme

Il existe un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé qui ne contient aucun sous-schéma ouvert quasi-compact dense.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

En utilisant la construction de Espaces, exemple 03FN, de la même manière que nous avons employé ci-dessus celle de Espaces, exemple 02Z1, on obtient un espace algébrique quasi-compact, quasi-séparé et localement séparé qui ne contient aucun sous-schéma ouvert quasi-compact dense.

Schémas affines au-dessus d’espaces algébriques

Supposons que \(f : Y \to X\) soit un morphisme de schémas, que \(f\) soit localement de type fini et que \(Y\) soit affine. Il existe alors une immersion \(Y \to \mathbf{A}^n_X\) de \(Y\) dans l’espace affine de dimension \(n\) sur \(X\). Voir l’énoncé légèrement plus général de Morphismes, lemme 04II.

Supposons maintenant que \(f : Y \to X\) soit un morphisme d’espaces algébriques, \(f\) étant localement de type fini et \(Y\) un schéma affine. En général, il n’existe pas nécessairement d’immersion de \(Y\) dans l’espace affine de dimension \(n\) sur \(X\).

Un premier contre-exemple (peu élégant) est donné par \(Y = \Spec(k)\) et \(X = [\mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}]\), où \(k\) est un corps de caractéristique nulle et \(\mathbf{Z}\) agit sur \(\mathbf{A}^1_k\) par la translation \((n, t) \mapsto t + n\). En effet, pour tout morphisme \(Y \to \mathbf{A}^n_X\) au-dessus de \(X\), le changement de base au revêtement \(\mathbf{A}^1_k\) de \(X\) donne une réunion disjointe infinie de copies de \(\mathbf{A}^1_k\) s’envoyant dans \(\mathbf{A}^{n + 1}_k\), morphisme qui n’est pas une immersion.

Un second contre-exemple est \(Y = \mathbf{A}^1_k \to X = \mathbf{A}^1_k/R\), où \(R = \{(t, t)\} \amalg \{(t, -t), t \not = 0\}\). En effet, dans ce cas, le morphisme \(Y \to \mathbf{A}^n_X\) serait donné par des fonctions régulières \(f_1, \ldots, f_n\) sur \(Y\); le produit fibré de \(Y\) avec le revêtement \(\mathbf{A}^{n + 1}_k \to \mathbf{A}^n_X\) serait donc le schéma \[\{(f_1(t), \ldots, f_n(t), t)\} \amalg \{(f_1(t), \ldots, f_n(t), -t), t \not = 0\}\] muni du morphisme évident vers \(\mathbf{A}^{n + 1}_k\), qui n’est pas une immersion. Remarquons que ce contre-exemple a \(X\) quasi-séparé.

Lemme

Il existe un morphisme de type fini d’espaces algébriques \(Y \to X\) tel que \(Y\) soit affine et \(X\) quasi-séparé, pour lequel il n’existe aucune immersion \(Y \to \mathbf{A}^n_X\) au-dessus de \(X\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Image directe de modules quasi-cohérents

Dans Schémas, lemme 01LC, nous avons montré que \(f_*\) envoie les modules quasi-cohérents sur des modules quasi-cohérents lorsque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé. Voici des exemples montrant que ces deux conditions sont nécessaires.

Supposons que \(Y = \Spec(A)\) soit un schéma affine et que \(X = \coprod_{n \in \mathbf{N}} Y\). Nous affirmons que \(f_*\mathcal{O}_X\) n’est pas quasi-cohérent, où \(f : X \to Y\) est le morphisme évident. En effet, pour \(a \in A\), nous avons \[f_*\mathcal{O}_X(D(a)) = \prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A_a\] Pour que \(f_*\mathcal{O}_X\) soit quasi-cohérent, il faudrait donc avoir \[\prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A_a = \left(\prod\nolimits_{n \in \mathbf{N}} A\right)_a\] pour tout \(a \in A\). Ce n’est pas vrai en général : si, par exemple, \(A = \mathbf{Z}\) et \(a = 2\), alors \((1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots)\) est un élément du membre de gauche qui n’appartient pas à celui de droite. Remarquons que \(f\) est un morphisme séparé non quasi-compact.

Soit \(k\) un corps. Posons \[A = k[t, z, x_1, x_2, x_3, \ldots]/(tx_1z, t^2x_2^2z, t^3x_3^3z, \ldots)\] Soit \(Y = \Spec(A)\). Soit \(V \subset Y\) le sous-schéma ouvert \(V = D(x_1) \cup D(x_2) \cup \ldots\). Soit \(X\) le recollement de deux copies de \(Y\) le long de \(V\). Soit \(f : X \to Y\) le morphisme évident. Nous avons alors une suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{O}_Y \xrightarrow{(1, -1)} j_*\mathcal{O}_V\] où \(j : V \to Y\) est le morphisme d’inclusion. Comme \[A \longrightarrow \prod A_{x_n}\] est injectif (détails omis), nous obtenons \(\Gamma(Y, f_*\mathcal{O}_X) = A\). En revanche, le noyau de l’application \[A_t \longrightarrow \prod A_{tx_n}\] est non nul, car il contient l’élément \(z\). Par conséquent, \(\Gamma(D(t), f_*\mathcal{O}_X)\) est strictement plus grand que \(A_t\), puisqu’il contient \((z, 0)\). Ainsi, \(f_*\mathcal{O}_X\) n’est pas quasi-cohérent. Remarquons que \(f\) est quasi-compact mais non quasi-séparé.

Lemme

Schémas, lemme 01LC, est optimal au sens où l’on ne peut supprimer ni l’hypothèse de quasi-compacité ni celle de quasi-séparation.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un module non de type fini dont les germes sont libres de rang 1

Soit \(R = \mathbf{Q}[x]\). Posons \(M = \sum_{n \in \mathbf{N}} \frac{1}{x - n}R\), considéré comme sous-module du corps des fractions de \(R\). Alors \(M\) n’est pas de type fini, mais, pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), nous avons \(M_{\mathfrak p} \cong R_{\mathfrak p}\) comme \(R_{\mathfrak p}\)-modules.

Un exemple du même genre est donné par \(R = \mathbf{Z}\) et \(M = \sum_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}\), qui est l’ensemble des fractions \(\frac{a}{b}\) où \(b\) est non nul et sans facteur carré.

Un idéal non inversible mais inversible dans les germes

Soit \(A\) un anneau intègre et soit \(I \subset A\) un idéal non nul. Rappelons que, lorsque nous disons que \(I\) est inversible, nous entendons que \(I\) est inversible comme \(A\)-module. Nous allons construire un exemple de cette situation où \(I\) n’est pas inversible, bien que \(I_\mathfrak q = (f) \subset A_\mathfrak q\) soit un idéal principal non nul pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset A\). Dans la littérature, la propriété que \(I_\mathfrak q\) soit principal pour tout idéal premier \(\mathfrak q\) s’exprime parfois en disant que « \(I\) est un idéal localement principal ». Nous ne pouvons employer cette terminologie, car « local » signifie toujours ici « local pour la topologie de Zariski » (ou pour toute autre topologie dans laquelle nous travaillons).

Soient \(R = \mathbf{Q}[x]\) et \(M = \sum \frac{1}{x - n}R\) le module construit dans la section 065J. Considérons l’anneau² \[A = \text{Sym}^*_R(M)\] et l’idéal \(I = M A = \bigoplus_{d \geq 1} \text{Sym}^d_R(M)\). Comme \(M\) n’est pas de type fini comme \(R\)-module, \(I\) ne peut être engendré par un nombre fini d’éléments comme idéal de \(A\). Puisqu’un module inversible est de type fini, il s’ensuit que \(I\) n’est pas inversible. D’autre part, soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Par construction, \(M_\mathfrak p \cong R_\mathfrak p\). Ainsi, \[A_\mathfrak p = \text{Sym}^*_{R_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) \cong \text{Sym}^*_{R_\mathfrak p}(R_\mathfrak p) = R_\mathfrak p[T]\] comme \(R_\mathfrak p\)-algèbre graduée. Il s’ensuit que \(I_\mathfrak p \subset A_\mathfrak p\) est engendré par le non-diviseur de zéro \(T\). Ainsi, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset A\), \(I_\mathfrak q\) est certainement engendré par un seul élément.

Lemme

Il existe un anneau intègre \(A\) et un idéal non nul \(I \subset A\) tels que \(I_\mathfrak q \subset A_\mathfrak q\) soit un idéal principal pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset A\), mais que \(I\) ne soit pas un \(A\)-module inversible.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un module plat de type fini qui n’est pas projectif

Il s’agit d’une copie de Algèbre, remarque 00NY. Il est faux qu’un \(R\)-module de type fini plat sur \(R\) soit automatiquement projectif. Un contre-exemple s’obtient en prenant pour \(R = \mathcal{C}^\infty(\mathbf{R})\) l’anneau des fonctions indéfiniment différentiables sur \(\mathbf{R}\), et \(M = R_{\mathfrak m} = R/I\), où \(\mathfrak m = \{f \in R \mid f(0) = 0\}\) et \(I = \{f \in R \mid \exists \epsilon, \epsilon > 0 : f(x) = 0\ \forall x, |x| < \epsilon\}\).

Le morphisme \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) est également un exemple d’immersion fermée plate qui n’est pas ouverte.

Lemme

Modules plats pathologiques.

1. Il existe un anneau \(R\) et un \(R\)-module plat de type fini \(M\) qui n’est pas projectif.

2. Il existe une immersion fermée plate qui n’est pas ouverte.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un module projectif qui n’est pas localement libre

Nous donnons deux exemples : l’un où le rang est compris entre \(0\) et \(1\), l’autre où le rang est \(\aleph_0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal engendré par une famille dénombrable d’idempotents. Alors \(I\) est projectif comme \(R\)-module.

Démonstration

Écrivons \(I = (e_1, e_2, e_3, \ldots)\), où \(e_n\) est un idempotent de \(R\). En remplaçant par récurrence \(e_{n + 1}\) par \(e_n + (1 - e_n)e_{n + 1}\), nous pouvons supposer que \((e_1) \subset (e_2) \subset (e_3) \subset \ldots\), et donc que \(I = \bigcup_{n \geq 1} (e_n) = \colim_n e_nR\). Dans ce cas, \[\Hom_R(I, M) = \Hom_R(\colim_n e_nR, M) = \lim_n \Hom_R(e_nR, M) = \lim_n e_nM\] Remarquons que les applications de transition \(e_{n + 1}M \to e_nM\) sont données par la multiplication par \(e_n\) et sont surjectives. Par conséquent, d’après Algèbre, lemme 0598, le foncteur \(\Hom_R(I, M)\) est exact, c’est-à-dire que \(I\) est un \(R\)-module projectif.

Supposons que \(P \subset Q\) soit une inclusion de \(R\)-modules, avec \(Q\) est un \(R\)-module de type fini et \(P\) est localement libre; voir Algèbre, définition 00NW. Supposons que \(Q\) puisse être engendré par \(N\) éléments comme \(R\)-module. Il résulte alors de Algèbre, lemme 05WI que \(P\) est localement libre de type fini (ses parties libres étant de rang au plus \(N\)). Dans ce cas, \(P\) est un \(R\)-module de type fini; voir Algèbre, lemme 00NX.

En combinant ceci avec ce qui précède, nous voyons qu’un idéal qui n’est pas de type fini mais qui est engendré par une famille dénombrable d’idempotents est projectif sans être localement libre. Un exemple explicite est \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\), avec \(I\) l’idéal engendré par les idempotents \[e_n = (1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots )\] où la suite de \(1\) est de longueur \(n\).

Lemme

Il existe un anneau \(R\) et un idéal \(I\) tels que \(I\) soit projectif comme \(R\)-module, mais ne soit pas localement libre comme \(R\)-module.

Démonstration

Voir ci-dessus.

Remarque

L’exemple ci-dessus où \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\) et \(I\) est l’idéal engendré par les idempotents \(e_n = (1, 1, \ldots, 1, 0, \ldots )\) fournit aussi un exemple \(M = I\) de module projectif qui n’est pas de type fini, mais dont le dual est de type fini et même libre de type fini. En reprenant la méthode de la démonstration du lemme 05WH, le lecteur montre en effet que \(\Hom_R(I, R) \cong R\).

Lemme

Soit \(K\) un corps. Soient \(C_i\), \(i = 1, \ldots, n\), des courbes lisses, projectives et géométriquement irréductibles sur \(K\). Soit \(P_i \in C_i(K)\) un point rationnel et soit \(Q_i \in C_i\) un point tel que \([\kappa(Q_i) : K] = 2\). Alors \([P_1 \times \ldots \times P_n]\) est non nul dans \(\CH_0(U_1 \times_K \ldots \times_K U_n)\), où \(U_i = C_i \setminus \{Q_i\}\).

Démonstration

Il existe une application degré \(\deg : \CH_0(C_1 \times_K \ldots \times_K C_n) \to \mathbf{Z}\) Comme chaque \(Q_i\) est de degré \(2\) sur \(K\), nous voyons que tout cycle de dimension zéro dont le support est contenu dans le « bord » \[C_1 \times_K \ldots \times_K C_n \setminus U_1 \times_K \ldots \times_K U_n\] a un degré divisible par \(2\).

Nous pouvons construire, à l’aide du lemme précédent, un autre exemple de module projectif non localement libre. Soient \(C_n\), \(n = 1, 2, 3, \ldots\), des courbes lisses, projectives et géométriquement irréductibles sur \(\mathbf{Q}\), chacune munie d’une paire de points \(P_n, Q_n \in C_n\) tels que \(\kappa(P_n) = \mathbf{Q}\) et que \(\kappa(Q_n)\) soit une extension quadratique de \(\mathbf{Q}\). Posons \(U_n = C_n \setminus \{Q_n\}\); c’est une courbe affine. Soit \(\mathcal{L}_n\) l’inverse du faisceau d’idéaux de \(P_n\) sur \(U_n\). Remarquons que \(c_1(\mathcal{L}_n) = [P_n]\) dans le groupe des cycles de dimension zéro \(\CH_0(U_n)\). Posons \(A_n = \Gamma(U_n, \mathcal{O}_{U_n})\). Soit \(L_n = \Gamma(U_n, \mathcal{L}_n)\), qui est un module localement libre de rang \(1\) sur \(A_n\). Posons \[B_n = A_1 \otimes_{\mathbf{Q}} A_2 \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} A_n\] de sorte que \(\Spec(B_n) = U_1 \times \ldots \times U_n\), tous les produits étant pris sur \(\Spec(\mathbf{Q})\). Pour \(i \leq n\), posons \[L_{n, i} = A_1 \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} L_i \otimes_{\mathbf{Q}} \ldots \otimes_{\mathbf{Q}} A_n\] qui est un \(B_n\)-module localement libre de rang \(1\). Remarquons qu’il s’agit aussi des sections globales de \(\text{pr}_i^*\mathcal{L}_i\). Posons \[B_\infty = \colim_n B_n \quad\text{et}\quad L_{\infty, i} = \colim_n L_{n, i}\] Enfin, posons \[M = \bigoplus\nolimits_{i \geq 1} L_{\infty, i}.\] C’est une somme directe de modules localement libres de type fini, donc un module projectif. Nous affirmons que \(M\) n’est pas localement libre. Supposons en effet que \(f \in B_\infty\) soit une fonction non nulle telle que \(M_f\) soit libre sur \((B_\infty)_f\). Soit \(e_1, e_2, \ldots\) une base. Choisissons \(n \geq 1\) tel que \(f \in B_n\). Choisissons \(m \geq n + 1\) tel que \(e_1, \ldots, e_{n + 1}\) appartiennent à \[\bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq m} L_{m, i}.\] Comme les éléments \(e_1, \ldots, e_{n + 1}\) font partie d’une base après un changement de base fidèlement plat, nous en déduisons que les classes de Chern \[c_i(\text{pr}_1^*\mathcal{L}_1 \oplus \ldots \oplus \text{pr}_m^*\mathcal{L}_m), \quad i = m, m - 1, \ldots, m - n\] sont nulles dans le groupe de Chow de \[D(f) \subset U_1 \times \ldots \times U_m\] Comme \(f\) est l’image réciproque d’une fonction sur \(U_1 \times \ldots \times U_n\), il en résulte en particulier que \[c_{m - n}(\mathcal{O}_W^{\oplus n} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{L}_{n + 1} \oplus \ldots \oplus \text{pr}_{m - n}^*\mathcal{L}_m) = 0.\] sur la variété \[W = (C_{n + 1} \times \ldots \times C_m)_K\] sur le corps \(K = \mathbf{Q}(C_1 \times \ldots \times C_n)\). Autrement dit, le cycle \[[(P_{n + 1} \times \ldots \times P_m)_K]\] est nul dans le groupe de Chow des cycles de dimension zéro sur \(W\). Ceci contredit le lemme 05WK ci-dessus, car les points \(Q_i\), \(n + 1 \leq i \leq m\), induisent des points correspondants \(Q_i'\) sur \((C_i)_K\) et, comme \(K/\mathbf{Q}\) est géométriquement irréductible, nous avons \([\kappa(Q_i') : K] = 2\).

Lemme

Il existe un anneau dénombrable \(R\) et un module projectif \(M\) qui est somme directe d’une famille dénombrable de modules localement libres de rang \(1\), mais tel que \(M\) ne soit pas localement libre.

Démonstration

Voir ci-dessus.

Anneau local de dimension zéro possédant un idéal plat non nul

On trouve dans [Lazard] et [Autour] un exemple d’anneau local de dimension zéro possédant un idéal plat non nul. En voici la construction. Soit \(k\) un corps. Soient \(X_i, Y_i\), \(i \geq 1\), des indéterminées. Prenons \(R = k[X_i, Y_i]/(X_i - Y_i X_{i + 1}, Y_i^2)\). Notons \(x_i\), respectivement, \(y_i\) l’image de \(X_i\), respectivement, \(Y_i\) dans cet anneau. Remarquons que \[x_i = y_i x_{i + 1} = y_i y_{i +1} x_{i + 2} = y_i y_{i + 1} y_{i + 2} x_{i + 3} = \ldots\] dans cet anneau. L’anneau \(R\) ne possède qu’un seul idéal premier, à savoir \(\mathfrak m = (x_i, y_i)\). Nous affirmons que l’idéal \(I = (x_i)\) est plat comme \(R\)-module.

Remarquons que l’annulateur de \(x_i\) dans \(R\) est l’idéal \((x_1, x_2, x_3, \ldots, y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}, \ldots)\). Considérons le \(R\)-module \(M\) engendré par des éléments \(e_i\), \(i \geq 1\), et les relations \(e_i = y_i e_{i + 1}\). Alors \(M\) est plat, car c’est la limite inductive \(\colim_i R\) de copies de \(R\) dont les applications de transition sont \[R \xrightarrow{y_1} R \xrightarrow{y_2} R \xrightarrow{y_3} \ldots\] Remarquons que l’annulateur de \(e_i\) dans \(M\) est l’idéal \((x_1, x_2, x_3, \ldots, y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}, \ldots)\). Puisque tout élément de \(M\), respectivement, de \(I\), peut s’écrire \(f e_i\), respectivement, \(h x_i\), pour certains \(f, h \in R\), l’application \(M \to I\), \(e_i \to x_i\), est un isomorphisme; ainsi, \(I\) est plat.

Lemme

Il existe un anneau local \(R\) possédant un unique idéal premier et un idéal non nul \(I \subset R\) qui est un \(R\)-module plat.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un épimorphisme d’anneaux de dimension zéro qui n’est pas surjectif

On trouve dans [Lazard-deux] et [Autour] l’exemple suivant. Soit \(k\) un corps. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[k[x_1, x_2, \ldots, z_1, z_2, \ldots]/ (x_i^{4^i}, z_i^{4^i}) \longrightarrow k[x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots]/ (x_i^{4^i}, y_i - x_{i + 1}y_{i + 1}^2)\] qui envoie \(x_i\) sur \(x_i\) et \(z_i\) sur \(x_iy_i\). Remarquons que \(y_i^{4^{i + 1}}\) est nul dans le membre de droite, tandis que \(y_1\) ne l’est pas (détails omis). Cette application n’est pas surjective : on peut considérer ce qui précède comme une application d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées en posant \(\deg(x_i) = -1\), \(\deg(z_i) = 0\) et \(\deg(y_i) = 1\); il est alors clair que \(y_1\) n’appartient pas à l’image. Enfin, l’application est un épimorphisme, car \[y_{i - 1} \otimes 1 = x_i y_i^2 \otimes 1 = y_i \otimes x_i y_i = x_i y_i \otimes y_i = 1 \otimes x_i y_i^2.\] par conséquent, le produit tensoriel du but sur la source est isomorphe au but.

Lemme

Il existe un épimorphisme d’anneaux locaux de dimension \(0\) qui n’est pas une surjection.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

De type fini, non de présentation finie, plat en un idéal premier

Soit \(k\) un corps. Considérons l’anneau local \(A_0 = k[x, y]_{(x, y)}\). Notons \(\mathfrak p_{0, n} = (y + x^n + x^{2n + 1})\). C’est un idéal premier. Posons \[A = A_0[z_1, z_2, z_3, \ldots]/(z_n z_m, z_n(y + x^n + x^{2n + 1}))\] Remarquons que \(A \to A_0\) est une surjection dont le noyau est un idéal de carré nul. Ainsi, \(A\) est également un anneau local, et les idéaux premiers de \(A\) sont en correspondance biunivoque avec ceux de \(A_0\). Notons \(\mathfrak p_n\) l’idéal premier de \(A\) correspondant à \(\mathfrak p_{0, n}\). Observons que \(\mathfrak p_n\) est l’annulateur de \(z_n\) dans \(A\). Soit \[C = A[z]/(xz^2 + z + y)[\frac{1}{2zx + 1}]\] Remarquons que \(A \to C\) est un homomorphisme d’anneaux étale; voir Algèbre, exemple 00T8. Soit \(\mathfrak q \subset C\) l’idéal maximal engendré par \(x\), \(y\), \(z\) et tous les \(z_n\). Comme \(A \to C\) est plat, l’annulateur de \(z_n\) dans \(C\) est \(\mathfrak p_nC\). Calculons \[\begin{align*} C/\mathfrak p_n C & = A_0[z]/(xz^2 + z + y, y + x^n + x^{2n + 1})[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)}[z]/(xz^2 + z - x^n - x^{2n + 1})[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)}[z]/(z - x^n) \times k[x]_{(x)}[z]/(xz + x^{n + 1} + 1)[1/(2zx + 1)] \\ & = k[x]_{(x)} \times k(x) \end{align*}\] car \((z - x^n)(xz + x^{n + 1} + 1) = xz^2 + z - x^n - x^{2n + 1}\). Nous obtenons donc \(\mathfrak p_nC = \mathfrak r_n \cap \mathfrak q_n\), où \(\mathfrak r_n = \mathfrak p_nC + (z - x^n)C\) et \(\mathfrak q_n = \mathfrak p_nC + (xz + x^{n + 1} + 1)C\). Comme \(\mathfrak q_n + \mathfrak r_n = C\), nous avons aussi \(\mathfrak p_nC = \mathfrak r_n \mathfrak q_n\). Il s’ensuit que \(\mathfrak q_n\) est l’annulateur de \(\xi_n = (z - x^n)z_n\). Observons que, d’une part, \(\mathfrak r_n \subset \mathfrak q\) et que, d’autre part, \(\mathfrak q_n + \mathfrak q = C\). Cela résulte par exemple du fait que \(\mathfrak q_n\) est un idéal maximal de \(C\) distinct de \(\mathfrak q\). De même, \(\mathfrak q_n + \mathfrak q_m = C\) pour \(n \not = m\). Posons maintenant \[B = \Im(C \longrightarrow C_{\mathfrak q})\] Les éléments \(\xi_n\) s’envoient sur zéro dans \(B\), car \(xz + x^{n + 1} + 1\) n’appartient pas à \(\mathfrak q\). Notons \(\mathfrak q' \subset B\) l’image de \(\mathfrak q\). Par construction, \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini et \(B_{\mathfrak q'} \cong C_{\mathfrak q}\). En particulier, \(B_{\mathfrak q'}\) est plat sur \(A\).

Nous affirmons qu’il n’existe aucun élément \(g' \in B\), \(g' \not \in \mathfrak q'\), tel que \(B_{g'}\) soit de présentation finie sur \(A\). Esquissons la démonstration de cette affirmation. Choisissons un élément \(g \in C\) dont l’image est \(g' \in B\). Considérons l’application \(C_g \to B_{g'}\). D’après Algèbre, lemme 00R2, \(B_{g'}\) est de présentation finie sur \(A\) si et seulement si le noyau de \(C_g \to B_{g'}\) est de type fini. Mais l’élément \(g \in C\) n’appartient pas à \(\mathfrak q\) et s’envoie donc sur un élément non nul de \(A_0[z]/(xz^2 + z + y)\). Par conséquent, \(g\) ne peut appartenir qu’à un nombre fini des idéaux premiers \(\mathfrak q_n\), car les idéaux premiers \((y + x^n + x^{2n + 1}, xz + x^{n + 1} + 1)\) forment une famille infinie de points de codimension 1 de l’espace noethérien irréductible de dimension 2 \(\Spec(k[x, y, z]/(xz^2 + z + y))\). L’application \[\bigoplus\nolimits_{g \not \in \mathfrak q_n} C/\mathfrak q_n \longrightarrow C_g, \quad (c_n) \longrightarrow \sum c_n \xi_n\] est injective et son image est le noyau de \(C_g \to B_{g'}\). Nous omettons la démonstration de cet énoncé. (Indication : écrire \(A = A_0 \oplus I\) comme \(A_0\)-module, où \(I\) est le noyau de \(A \to A_0\). De même, écrire \(C = C_0 \oplus IC\). Écrire \(IC = \bigoplus Cz_n \cong \bigoplus (C/\mathfrak r_n \oplus C/\mathfrak q_n)\) et étudier l’effet de la multiplication par \(g\) sur les facteurs.) Ceci achève l’esquisse de la démonstration de l’affirmation. Cela montre également que \(B_{g'}\) n’est plat sur \(A\) pour aucun \(g'\) comme ci-dessus. En effet, s’il était plat, l’annulateur de l’image de \(z_n\) dans \(B_{g'}\) serait \(\mathfrak p_nB_{g'}\) et ne contiendrait pas \(z - x^n\).

Nous pouvons par conséquent répondre par la négative à une question posée dans [GruRay, Part I, Remarques (3.4.7) (v)]. En voici un énoncé précis.

Lemme

Il existe un anneau local \(A\), un homomorphisme d’anneaux de type fini \(A \to B\) et un idéal premier \(\mathfrak q\) au-dessus de \(\mathfrak m_A\) tels que \(B_{\mathfrak q}\) soit plat sur \(A\) et que, pour tout élément \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), l’anneau \(B_g\) ne soit ni de présentation finie sur \(A\), ni plat sur \(A\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

De type fini et plat, mais non de présentation finie

Dans cette section, nous donnons des exemples d’homomorphismes d’anneaux et de morphismes qui sont de type fini et plats, mais non de présentation finie.

Soit \(R\) un anneau possédant un idéal \(I\) tel que \(R/I\) soit un module plat de type fini mais non projectif; voir la section 052H pour un exemple explicite. Cela signifie que \(I\) n’est pas de type fini; voir Algèbre, lemme 05KK. Remarquons que \(I = I^2\); voir Algèbre, lemme 04PS. Dans nos exemples, l’anneau de base sera \(R\) et, par conséquent, le schéma de base \(S = \Spec(R)\).

Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R \oplus R/I\epsilon\), où \(\epsilon^2 = 0\) par convention. C’est un homomorphisme fini et plat qui n’est pas de présentation finie. Tous les anneaux des fibres sont des intersections complètes et sont géométriquement irréductibles.

Soit \(A = R[x, y]/(xy, ay; a \in I)\). Remarquons que, comme \(R\)-module, nous avons \(A = \bigoplus_{i \geq 0} Ry^i \oplus \bigoplus_{j > 0} R/Ix^j\). Ainsi, \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux plat de type fini qui n’est pas de présentation finie. Chaque anneau de fibre est isomorphe soit à \(\kappa(\mathfrak p)[x, y]/(xy)\), soit à \(\kappa(\mathfrak p)[x]\).

Nous pouvons transformer l’exemple précédent en un morphisme projectif en prenant \(B = R[X_0, X_1, X_2]/(X_1X_2, aX_2; a \in I)\). Dans ce cas, \(X = \text{Proj}(B) \to S\) est un morphisme propre et plat qui n’est pas de présentation finie et tel que, pour tout \(s \in S\), la fibre \(X_s\) soit isomorphe soit à \(\mathbf{P}^1_s\), soit au sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^2_s\) défini par l’annulation de \(X_1X_2\) (c’est une courbe nodale projective de genre arithmétique \(0\)).

Soit \(M = R \oplus R \oplus R/I\). Posons \(B = \text{Sym}_R(M)\), l’algèbre symétrique de \(M\). Posons \(X = \text{Proj}(B)\). Alors \(X \to S\) est un morphisme propre et plat, non de présentation finie, tel que, pour \(s \in S\), la fibre géométrique soit isomorphe soit à \(\mathbf{P}^1_s\), soit à \(\mathbf{P}^2_s\). En particulier, ces fibres sont lisses et géométriquement irréductibles.

Lemme

Il existe des exemples de

1. homomorphisme d’anneaux plat de type fini, non de présentation finie, dont les anneaux des fibres sont des intersections complètes géométriquement irréductibles;

2. homomorphisme d’anneaux plat de type fini, non de présentation finie, dont les anneaux des fibres sont des intersections complètes de dimension 1, géométriquement connexes et géométriquement réduites;

3. morphisme propre et plat de schémas \(X \to S\), non de présentation finie, dont chaque fibre est isomorphe soit à \(\mathbf{P}^1_s\), soit au lieu d’annulation de \(X_1X_2\) dans \(\mathbf{P}^2_s\); et

4. morphisme propre et plat de schémas \(X \to S\) dont chaque fibre est isomorphe soit à \(\mathbf{P}^1_s\), soit à \(\mathbf{P}^2_s\), qui n’est pas de présentation finie.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Topologie d’un homomorphisme d’anneaux de type fini

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux intègres. Si \(A\) est noethérien, si \(A \to B\) est essentiellement de type fini et si \(A/\mathfrak m_A \subset B/\mathfrak m_B\) est fini, alors il existe un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\), \(\mathfrak q \not = \mathfrak m_B\), tel que \(A \to B/\mathfrak q\) soit la localisation d’un homomorphisme d’anneaux quasi-fini. Voir Compléments sur les morphismes, lemme 05GT.

Dans cette section, nous donnons un exemple montrant que ce résultat devient faux si \(A\) n’est plus noethérien. Soit en effet \(k\) un corps et posons \[A = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k, a_i \in k((y)) \text{ pour }i\geq 1\}\] et \[C = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k[y], a_i \in k((y)) \text{ pour }i\geq 1\}.\] L’inclusion \(A \to C\) est de type fini, car \(C\) est engendré par \(y\) sur \(A\). Nous affirmons que \(A\) est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m = \{a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \in A\}\), sans autre idéal premier que \((0)\) et \(\mathfrak m\). En effet, un élément \(f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots\) de \(A\) est inversible dès que \(a_0 \not = 0\). Si \(\mathfrak q \subset A\) est un idéal premier non nul et si \(f = a_i x^i + \ldots \in \mathfrak q\), les propriétés des séries formelles montrent que, pour tout \(g \in k((y))\), l’élément \(g^{i + 1} x^{i + 1} \in \mathfrak q\), c’est-à-dire \(gx \in \mathfrak q\). Cela prouve que \(\mathfrak q = \mathfrak m\).

Quant au spectre de l’anneau \(C\), le même raisonnement montre que tout idéal premier non nul contient l’idéal premier \(\mathfrak p = \{a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \in C\}\), qui se trouve au-dessus de \(\mathfrak m\). Ainsi, le seul idéal premier de \(C\) au-dessus de \((0)\) est \((0)\). Posons \(\mathfrak m_C = yC + \mathfrak p\) et \(B = C_{\mathfrak m_C}\). Alors \(A \to B\) est l’exemple recherché.

Lemme

Il existe un homomorphisme local \(A \to B\) d’anneaux locaux intègres qui est essentiellement de type fini et tel que \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_B\) soit fini, avec la propriété que, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \not = \mathfrak m_B\) de \(B\), l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B/\mathfrak q\) n’est pas la localisation d’un homomorphisme quasi-fini.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Pur mais non universellement pur

Soit \(k\) un corps. Soit \[R = k[[x, xy, xy^2, \ldots]] \subset k[[x, y]].\] Autrement dit, une série formelle \(f \in k[[x, y]]\) appartient à \(R\) si et seulement si \(f(0, y)\) est constante. En particulier, \(R[1/x] = k[[x, y]][1/x]\) et \(R/xR\) est un anneau local dont l’idéal maximal est de carré nul. Notons \(R[y] \subset k[[x, y]]\) l’ensemble des séries formelles \(f \in k[[x, y]]\) telles que \(f(0, y)\) soit un polynôme en \(y\). Alors \(R \to R[y]\) est un homomorphisme d’anneaux de type fini mais non de présentation finie qui induit un isomorphisme après inversion de \(x\). Il existe aussi une surjection \(R[y]/xR[y] \to k[y]\) dont le noyau est de carré nul. Considérons l’homomorphisme d’anneaux de présentation finie \(R \to S = R[t]/(xt - xy)\). De nouveau, \(R[1/x] \to S[1/x]\) est un isomorphisme et, dans ce cas, \(S/xS \cong (R/xR)[t]/(xy)\) se surjecte sur \(k[t]\) avec un noyau nilpotent. Il existe une surjection \(S \to R[y]\), \(t \longmapsto y\), qui induit un isomorphisme après inversion de \(x\) et une surjection de noyau nilpotent modulo \(x\). Le noyau de \(S \to R[y]\) est donc localement nilpotent. En particulier, \(S \to R[y]\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres.

Nous affirmons d’abord que \(S\), considéré comme \(S\)-module, est relativement pur sur \(R\). Comme l’inversion de \(x\) donne un isomorphisme, il suffit de le vérifier en l’idéal maximal \(\mathfrak m \subset R\). Puisque \(R\) est complet pour son idéal maximal, il est hensélien; il suffit donc de vérifier que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\), l’unique idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S\) au-dessus de \(\mathfrak p\) satisfait \(\mathfrak mS + \mathfrak q \not = S\). Comme \(\mathfrak p \not = \mathfrak m\), il correspond à un unique idéal premier de \(k[[x, y]][1/x]\). Ainsi, soit \(\mathfrak p = (0)\), soit \(\mathfrak p = (f)\) pour un certain élément irréductible \(f \in k[[x, y]]\) non associé à \(x\) (nous utilisons ici que \(k[[x, y]]\) est factoriel – insérer ici une référence ultérieure). Dans le premier cas, \(\mathfrak q = (0)\) et le résultat est clair. Dans le second, nous pouvons multiplier \(f\) par une unité afin que \(f \in R[y]\) (préparation de Weierstrass; détails omis). On voit alors facilement que \(R[y]/fR[y] \cong k[[x, y]]/(f)\); ainsi, \(f\) définit un idéal premier de \(R[y]\) et \(\mathfrak mR[y] + fR[y] \not = R[y]\). Comme \(S \to R[y]\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres, nous en déduisons également le résultat voulu pour \(S\).

Nous affirmons ensuite que \(S\) n’est pas universellement relativement pur sur \(R\). Pour le voir, il suffit de trouver un anneau de valuation \(\mathcal{O}\) et un homomorphisme local \(R \to \mathcal{O}\) tels que \(\Spec(R[y] \otimes_R \mathcal{O}) \to \Spec(\mathcal{O})\) n’atteigne pas le point fermé de \(\Spec(\mathcal{O})\). De manière équivalente, il faut trouver \(\varphi : R \to \mathcal{O}\) tel que \(\varphi(x) \not = 0\) et \(v(\varphi(x)) > v(\varphi(xy))\), où \(v\) est la valuation de \(\mathcal{O}\). (En effet, cela signifie que la valuation de \(y\) est négative.) Considérons pour cela l’homomorphisme d’anneaux \[R \longrightarrow \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots \mid a_0 \in k[y^{-1}], a_i \in k((y))\}\] défini de manière évidente. On peut trouver un anneau de valuation \(\mathcal{O}\) dominant le localisé du membre de droite en l’idéal maximal \((y^{-1}, x)\), ce qui conclut.

Lemme

Il existe un morphisme de schémas affines de présentation finie \(X \to S\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) de présentation finie tels que \(\mathcal{F}\) soit pur relativement à \(S\), mais non universellement pur relativement à \(S\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un homomorphisme d’anneaux formellement lisse qui n’est pas plat

Soit \(k\) un corps. Considérons la \(k\)-algèbre \(k[\mathbf{Q}]\). C’est la \(k\)-algèbre ayant pour base les \(x_\alpha, \alpha \in \mathbf{Q}\), dont la multiplication est déterminée par \(x_\alpha x_\beta = x_{\alpha + \beta}\). (En particulier, \(x_0 = 1\).) Considérons l’homomorphisme de \(k\)-algèbres \[k[\mathbf{Q}] \longrightarrow k, \quad x_\alpha \longmapsto 1.\] Il est surjectif, de noyau \(J\) engendré par les éléments \(x_\alpha - 1\). Calculons \(J/J^2\). Remarquons que la multiplication par \(x_\alpha\) sur \(J/J^2\) est l’application identité. Notons \(z_\alpha\) la classe de \(x_\alpha - 1\) modulo \(J^2\). Ces classes engendrent \(J/J^2\). Comme \[(x_\alpha - 1)(x_\beta - 1) = x_{\alpha + \beta} - x_\alpha - x_\beta + 1 = (x_{\alpha + \beta} - 1) - (x_\alpha - 1) - (x_\beta - 1)\] nous avons \(z_{\alpha + \beta} = z_\alpha + z_\beta\) dans \(J/J^2\). Un élément général de \(J/J^2\) est de la forme \(\sum \lambda_\alpha z_\alpha\), où \(\lambda_\alpha \in k\) (un nombre fini seulement étant non nuls). Si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), alors \[0 = pz_{\alpha/p} = z_{\alpha/p} + \ldots + z_{\alpha/p} = z_\alpha\] et nous obtenons \(J/J^2 = 0\). Si la caractéristique de \(k\) est nulle, alors \[J/J^2 = \mathbf{Q} \otimes_{\mathbf{Z}} k \cong k\] (détails omis), qui n’est pas nul.

Nous affirmons que \(k[\mathbf{Q}] \to k\) est un homomorphisme d’anneaux formellement lisse si la caractéristique de \(k\) est positive. Supposons en effet donné un diagramme commutatif formé des flèches pleines \[\xymatrix{ k \ar[r] \ar@{..>}[rd] & A \\ k[\mathbf{Q}] \ar[u] \ar[r]^\varphi & A' \ar[u] }\] où \(A' \to A\) est une surjection dont le noyau \(I\) est de carré nul. Pour montrer que \(k[\mathbf{Q}] \to k\) est formellement lisse, il faut prouver que \(\varphi\) se factorise par \(k\). Comme \(\varphi(x_\alpha - 1)\) s’envoie sur zéro dans \(A\), l’application \(\varphi\) induit une application \(\overline{\varphi} : J/J^2 \to I\) dont l’annulation est l’obstruction à la factorisation voulue. Puisque \(J/J^2 = 0\) lorsque la caractéristique est \(p > 0\), nous obtenons le résultat voulu : \(k[\mathbf{Q}] \to k\) est formellement lisse dans ce cas. Enfin, cet homomorphisme n’est pas plat : par exemple, le non-diviseur de zéro \(x_2 - 1\) s’envoie sur zéro.

Lemme

Il existe un homomorphisme d’anneaux formellement lisse qui n’est pas plat.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un homomorphisme d’anneaux formellement étale qui n’est pas plat

Dans cette section, nous donnons un contre-exemple à la dernière phrase de [EGA, 0, exemple 19.10.3(i)] (ce point ne figurait pas parmi ceux relevés dans leurs listes ultérieures d’errata). Considérons \(A \to A/J\), où \(A\) est un anneau local et \(J\) un idéal propre non nul tel que \(J^2 = J\) (ainsi, \(J\) n’est pas de type fini); l’anneau de valuation d’un corps non archimédien algébriquement clos, avec pour \(J\) son idéal maximal, fournit un tel \((A, J)\). Ces homomorphismes quotients non plats sont formellement étales. Supposons en effet donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A/J \ar[r] & R/I \\ A \ar[u] \ar[r]^\varphi & R \ar[u] }\] où \(I\) est un idéal de l’anneau \(R\) tel que \(I^2 = 0\). Alors \(A \to R\) se factorise de manière unique par \(A/J\), car \[\varphi(J) = \varphi(J^2) \subset (\varphi(J)R)^2 \subset I^2 = 0.\] Cela fournit également un contre-exemple au cas formellement étale du « théorème de structure » pour les morphismes localement de type fini et formellement étales de [EGA, IV, théorème 18.4.6(i)] (mais non à la partie (ii), qui est celle que l’on emploie effectivement en pratique). L’erreur dans la démonstration de ce dernier énoncé consiste, à sa toute dernière étape, à invoquer l’énoncé incorrect [EGA, 0, exemple 19.3.10(i)]; c’est ainsi que le contre-exemple précédent s’y introduit.

Lemme

Il existe des homomorphismes d’anneaux formellement étales non plats.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un homomorphisme d’anneaux formellement étale à complexe cotangent non trivial

Soit \(k\) un corps. Considérons l’anneau \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{y_n\}_{n \geq 1}]/( x_1y_1, x_{nm}^m - x_n, y_{nm}^m - y_n)\] Soit \(A\) le localisé en l’idéal maximal engendré par tous les \(x_n, y_n\), et notons \(J \subset A\) l’idéal maximal. Posons \(B = A/J\). Par construction, \(J^2 = J\); ainsi, \(A \to B\) est formellement étale (voir la section 060H). Nous affirmons que l’élément \(x_1 \otimes y_1\) est un élément non nul du noyau de \[J \otimes_A J \longrightarrow J.\] En effet, \((A, J)\) est la limite inductive des localisés \((A_n, J_n)\) des anneaux \[R_n = k[x_n, y_n]/(x_n^n y_n^n)\] en leurs idéaux maximaux correspondants. Alors \(x_1 \otimes y_1\) correspond à l’élément \(x_n^n \otimes y_n^n \in J_n \otimes_{A_n} J_n\), qui est non nul (par un calcul explicite que nous omettons). Puisque \(\otimes\) commute aux limites inductives, nous concluons. D’après [cotangent, III section 3.3] nous voyons que \(J\) n’est pas faiblement régulier. Par conséquent, d’après [cotangent, III Proposition 3.3.3] nous voyons que le complexe cotangent \(L_{B/A}\) n’est pas nul. En fait, nous pouvons être plus précis. Nous avons \(H_0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}\) et \(H_1(L_{B/A}) = 0\), car \(J/J^2 = 0\). Mais la suite exacte à cinq termes de la suite spectrale fondamentale de Quillen (voir Cotangent, remarque 08RG, ou [Reinhard, Corollary 8.2.6]) et la non-annulation de \(\text{Tor}_2^A(B, B) = \Ker(J \otimes_A J \to J)\) montrent que \(H_2(L_{B/A})\) est non nul.

Lemme

Il existe un homomorphisme d’anneaux surjectif et formellement étale \(A \to B\) tel que \(L_{B/A}\) ne soit pas nul.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Plat et formellement non ramifié n’implique pas formellement étale

Dans Compléments sur les morphismes, lemme 04FF il est montré qu’un morphisme de schémas non ramifié et plat \(X \to S\) est formellement étale. Le but de cette section est de donner deux exemples montrant qu’on ne peut remplacer « non ramifié » par « formellement non ramifié ». Le premier exploite des propriétés particulières des anneaux parfaits, tandis que le second montre que le résultat échoue même pour des homomorphismes d’anneaux réguliers noethériens.

Lemme

Soit \(A = \mathbb{F}_p[T]\) l’anneau de polynômes en une indéterminée sur \(\mathbb{F}_p\). Notons \(A_{perf}\) la clôture parfaite de \(A\). Alors \(A \rightarrow A_{perf}\) est plat et formellement non ramifié, mais non formellement étale.

Démonstration

Remarquons que, pour le Frobenius \(F_A : A \to A\), la copie d’arrivée de \(A\) est un module libre sur la copie de départ, de base \(\{1, T, \dots, T^{p - 1}\}\). Ainsi, \(F_A\) est fidèlement plat et, par conséquent, \(A \to A_{perf}\) l’est aussi, puisqu’il est une limite inductive d’homomorphismes fidèlement plats. Comme \(A_{perf}\) est un anneau parfait, le Frobenius relatif \(F_{A_{perf}/A}\) est surjectif. Autrement dit, \(A_{perf} = A[A_{perf}^p]\), ce qui implique immédiatement \(\Omega_{A_{perf}/A} = 0\). Alors \(A \rightarrow A_{perf}\) est formellement non ramifié d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02H9

Il suffit de montrer que \(A \rightarrow A_{perf}\) n’est pas formellement lisse. Comme \(A\) est une \(\mathbb{F}_p\)-algèbre lisse, le complexe cotangent \(L_{A/\mathbb{F}_p} \simeq \Omega_{A/\mathbb{F}_p}[0]\) est concentré en degré \(0\); voir Cotangent, lemme 08R5. De plus, \(L_{A_{perf}/\mathbb{F}_p} = 0\) dans \(D(A_{perf})\) d’après Cotangent, lemme 0G60. Considérons le triangle distingué de complexes cotangents \[L_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf} \to L_{A_{perf}/\mathbb{F}_p} \to L_{A_{perf}/A} \to (L_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf})[1]\] dans \(D(A_{perf})\); voir Cotangent, section 08QR. Nous obtenons \(L_{A_{perf}/A} = \Omega_{A/\mathbb{F}_p} \otimes_A A_{perf}[1]\), c’est-à-dire que \(L_{A_{perf}/A}\) est égal à un module libre de rang \(1\) sur \(A_{perf}\) placé en degré \(-1\). Ainsi, \(A \rightarrow A_{perf}\) n’est pas formellement lisse d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D0L, et Cotangent, lemme 08RB.

L’exemple suivant porte également sur des anneaux de caractéristique positive, mais il est peut-être un peu plus surprenant. Son inconvénient est qu’il requiert une meilleure connaissance des phénomènes de caractéristique \(p\) que l’exemple précédent. Rappelons qu’un anneau \(A\) de caractéristique positive est dit \(F\)-fini si le Frobenius de \(A\) est fini.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien de caractéristique \(p > 0\) tel que \([\kappa : \kappa^p] < \infty\). Alors l’application canonique \(A \to A^\wedge\) vers le complété de \(A\) est plate et formellement non ramifiée. Cependant, si \(A\) est régulier mais non excellent, cette application n’est pas formellement étale.

Démonstration

La platitude du complété est donnée par Algèbre, lemme 00MB. Pour montrer que l’application est formellement non ramifiée, il suffit de montrer que \(\Omega_{A^\wedge/A} = 0\); voir Algèbre, lemme 00UO.

Esquissons une démonstration. Choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in A\) dont les images forment une \(p\)-base \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_r\) de \(\kappa\), c’est-à-dire telle que \(\kappa\) soit engendré minimalement par les \(\overline{x}_i\) sur \(\kappa^p\). Choisissons un système minimal de générateurs \(y_1, \ldots, y_s\) de \(\mathfrak m\). Pour tout \(n\), les éléments \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\) engendrent \(A/\mathfrak m^n\) sur \((A/\mathfrak m^n)^p\) par Frobenius. Certains détails sont omis. Nous en déduisons que \(F : A^\wedge \to A^\wedge\) est fini. Par conséquent, \(\Omega_{A^\wedge/A}\) est un \(A^\wedge\)-module de type fini. D’autre part, pour tout \(a \in A^\wedge\) et tout \(n\), il existe \(a_0 \in A\) tel que \(a - a_0 \in \mathfrak m^nA^\wedge\). Nous en déduisons que \(\text{d}(a) \in \bigcap \mathfrak m^n \Omega_{A^\wedge/A}\), ce qui implique que \(\text{d}(a)\) est nul d’après Algèbre, lemme 00IP. Ainsi, \(\Omega_{A^\wedge/A} = 0\).

Supposons \(A\) régulier. Alors, par le théorème de structure de Cohen, \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\) est une \(p\)-base de l’anneau \(A^\wedge\), c’est-à-dire que nous avons \[A^\wedge = \bigoplus\nolimits_{I, J} (A^\wedge)^p x_1^{i_1} \ldots x_r^{i_r} y_1^{j_1} \ldots y_s^{j_s}\] où \(I = (i_1, \ldots, i_r)\), \(J = (j_1, \ldots, j_s)\) et \(0 \leq i_a, j_b \leq p - 1\). Détails omis. En particulier, \(\Omega_{A^\wedge}\) est un \(A^\wedge\)-module libre ayant pour base \(\text{d}(x_1), \ldots, \text{d}(x_r), \text{d}(y_1), \ldots, \text{d}(y_s)\).

Si maintenant \(A \to A^\wedge\) est formellement étale, ou même seulement formellement lisse, alors \(\NL_{A^\wedge/A}\) a une cohomologie nulle en degrés \(-1, 0\) d’après Algèbre, proposition 031J. La suite de Jacobi-Zariski (Algèbre, lemme 00S2) appliquée aux homomorphismes d’anneaux \(\mathbf{F}_p \to A \to A^\wedge\) donne alors un isomorphisme \(\Omega_A \otimes_A A^\wedge \cong \Omega_{A^\wedge}\). Nous obtenons donc que \(\Omega_A\) est libre ayant pour base \(\text{d}(x_1), \ldots, \text{d}(x_r), \text{d}(y_1), \ldots, \text{d}(y_s)\). En considérant les corps des fractions et en utilisant la normalité de \(A\), nous concluons que \(a \in A\) est une puissance \(p\)-ième si et seulement si son image dans \(A^\wedge\) est une puissance \(p\)-ième (détails omis; utiliser Algèbre, lemme 031W). Une seconde conséquence est que les opérateurs \(\partial/\partial x_a\) et \(\partial/\partial y_b\) sont définis sur \(A\).

Nous allons montrer que ce qui précède implique que \(A\) est fini sur \(A^p\), avec pour \(p\)-base \(x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s\). Cela contredira la non-excellence de \(A\) par un résultat de Kunz; voir [Kun76, Corollary 2.6]. Soit en effet \(a \in A\) et écrivons \[a = \sum\nolimits_{I, J} (a_{I, J})^p x_1^{i_1} \ldots x_r^{i_r} y_1^{j_1} \ldots y_s^{j_s}\] avec \(a_{I, J} \in A^\wedge\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(a_{I, J} \in A\). En appliquant l’opérateur \[(\partial/\partial x_1)^{p - 1} \ldots (\partial/\partial x_r)^{p - 1} (\partial/\partial y_1)^{p - 1} \ldots (\partial/\partial y_s)^{p - 1}\] aux deux membres, nous concluons que \(a_{I, J}^p \in A\), où \(I = (p - 1, \ldots, p - 1)\) et \(J = (p - 1, \ldots, p - 1)\). D’après la remarque précédente, cela implique aussi \(a_{I, J} \in A\). Après avoir remplacé \(a\) par \(a' = a - a_{I, J}^p x^I y^J\), nous pouvons employer un opérateur différentiel d’ordre abaissé de \(1\) pour obtenir qu’un autre coefficient \(a_{I, J}\) appartient à \(A\), et ainsi de suite.

Remarque

On peut construire des anneaux réguliers non excellents dont le corps résiduel a une \(p\)-base finie, même dans le corps de fonctions de \(\mathbb{P}^2_k\), sur un corps de caractéristique \(p\), \(k = \overline{k}\). Voir [DS18, \(\mathsection 4.1\)].

La démonstration du lemme 0G66 montre en fait un peu plus.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de caractéristique \(p > 0\). Supposons \([\kappa : \kappa^p] < \infty\). Alors \(A\) est excellent si et seulement si \(A \to A^\wedge\) est formellement étale.

Démonstration

L’implication réciproque résulte du lemme 0G66. Pour l’implication directe, le lemme 0G66 montre déjà que \(A \to A^\wedge\) est formellement non ramifié, ou, de manière équivalente, que \(\Omega_{A^\wedge/A}\) est nul. Il suffit donc de montrer que l’application de complétion est formellement lisse lorsque \(A\) est excellent. Par la désingularisation de Néron-Popescu, \(A \to A^\wedge\) s’écrit comme une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres lisses (Lissage d’homomorphismes d’anneaux, théorème 07GC). Par conséquent, \(\NL_{A^\wedge/A}\) a une cohomologie nulle en degré \(-1\). Ainsi, \(A \to A^\wedge\) est formellement lisse d’après Algèbre, proposition 031J.

Idéaux engendrés par des familles d’idempotents et localisation

Soit \(R\) un anneau. Considérons l’anneau \[B(R) = R[x_n; n \in \mathbf{Z}]/(x_n(x_n - 1), x_nx_m; n \not = m)\] On montre facilement que tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B(R)\) est soit de la forme \[\mathfrak q = \mathfrak pB(R) + (x_n; n \in \mathbf{Z})\] soit de la forme \[\mathfrak q = \mathfrak pB(R) + (x_n - 1) + (x_m; n \not = m, m \in \mathbf{Z}).\] Nous voyons donc que \[\Spec(B(R)) = \Spec(R) \amalg \coprod\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Spec(R)\] où la topologie n’est pas simplement celle de la réunion disjointe. Elle possède les propriétés suivantes : chaque copie indexée par \(n \in \mathbf{Z}\) est un sous-schéma ouvert, à savoir l’ouvert standard \(D(x_n)\). La copie « centrale » de \(\Spec(R)\) appartient à l’adhérence de la réunion de toute famille infinie des autres copies de \(\Spec(R)\). Remarquons que cette dernière copie de \(\Spec(R)\) est définie par l’idéal \((x_n, n \in \mathbf{Z})\), qui est engendré par les idempotents \(x_n\). Nous voyons ainsi que, si \(\Spec(R)\) est connexe, la décomposition précédente est exactement la décomposition de \(\Spec(B(R))\) en composantes connexes.

Prenons ensuite \(A = \mathbf{C}[x, y]/((y - x^2 + 1)(y + x^2 - 1))\). Le spectre de \(A\) possède deux composantes irréductibles \(C_1 = \Spec(A_1)\), \(C_2 = \Spec(A_2)\), où \(A_1 = \mathbf{C}[x, y]/(y - x^2 + 1)\) et \(A_2 = \mathbf{C}[x, y]/(y + x^2 - 1)\). Remarquons qu’elles sont paramétrées par \((x, y) = (t, t^2 - 1)\) et \((x, y) = (t, -t^2 + 1)\), et se rencontrent en \(P = (-1, 0)\) et \(Q = (1, 0)\). Construisons une version tordue de \(B(A)\) en recollant \(B(A_1)\) à \(B(A_2)\) de la manière suivante : au-dessus de \(P\), faisons correspondre \(x_n \in B(A_1) \otimes \kappa(P)\) à \(x_n \in B(A_2) \otimes \kappa(P)\), tandis qu’au-dessus de \(Q\), nous faisons correspondre \(x_n \in B(A_1) \otimes \kappa(Q)\) à \(x_{n + 1} \in B(A_2) \otimes \kappa(Q)\). Notons \(B^{twist}(A)\) la \(A\)-algèbre ainsi obtenue. Détails omis. Par construction, \(B^{twist}(A)\) est localement pour Zariski sur \(A\) isomorphe à la version non tordue. C’est le cas au-dessus des deux ouverts principaux \(\Spec(A) \setminus \{P\}\) et \(\Spec(A) \setminus \{Q\}\). Cependant, le recollement choisi produit assez de « monodromie » pour que \(\Spec(B^{twist}(A))\) soit connexe (détails omis). Enfin, il existe une copie centrale \(\Spec(A) \to \Spec(B^{twist}(A))\) qui donne un sous-schéma fermé qui est, localement pour Zariski sur \(B^{twist}(A)\), défini par des idéaux engendrés par des idempotents, mais ne l’est pas globalement (car \(B^{twist}(A)\) ne possède aucun idempotent non trivial).

Lemme

Il existe un schéma affine \(X = \Spec(A)\) et un sous-schéma fermé \(T \subset X\) tel que \(T\) soit, localement pour Zariski sur \(X\), défini par des idéaux engendrés par des idempotents, mais que \(T\) ne soit pas défini par un idéal engendré par des idempotents.

Démonstration

Voir ci-dessus.

Un homomorphisme d’anneaux qui induit des isomorphismes sur les anneaux locaux sans être ind-étale

Remarquons que l’homomorphisme d’anneaux \(R \to B(R)\) construit dans la section 04QK est une limite inductive de produits finis de copies de \(R\). Ainsi, \(R \to B(R)\) est ind-Zariski; voir Cohomologie pro-étale, définition 096N. Considérons ensuite l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B^{twist}(A)\) construit dans la section 04QK. Comme cet homomorphisme est, localement pour Zariski sur \(\Spec(A)\), isomorphe à un homomorphisme ind-Zariski \(R \to B(R)\), nous concluons qu’il induit des isomorphismes sur les anneaux locaux (voir Cohomologie pro-étale, lemme 096T). La discussion de la section 04QK montre qu’il existe une section \(B^{twist}(A) \to A\) dont le noyau n’est pas engendré par des idempotents. Or, si \(A \to B^{twist}(A)\) était ind-étale, c’est-à-dire si \(B^{twist}(A) = \colim A_i\) avec \(A \to A_i\) étale, alors le noyau de \(A_i \to A\) serait engendré par un idempotent (Algèbre, lemmes 00U7 et 00U8). Cela contredirait le résultat précédent.

Lemme

Il existe un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) qui induit des isomorphismes sur les anneaux locaux, mais qui n’est pas ind-étale. A fortiori, il n’est pas ind-Zariski.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Faisceau quasi-cohérent non flasque associé à un module injectif

Pour d’autres exemples de ce type, voir [SGA6, Exposé II, Appendix I], où Illusie expose certains exemples dus à Verdier.

Considérons le schéma affine \(X = \Spec(A)\), où \[A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^nz_n)\] est l’anneau de Propriétés, exemple 01PN. Posons \(I = (x) \subset A\). Considérons l’ouvert quasi-compact \(U = D(x)\) de \(X\). Nous avons vu loc. cit. qu’il existe une section \(s \in \mathcal{O}_X(U)\) qui ne provient d’aucun homomorphisme de \(A\)-modules \(I^n \to A\), quel que soit \(n \geq 0\).

Soit \(\alpha : A \to J\) un plongement de \(A\) dans un \(A\)-module injectif. Posons \(Q = J/\alpha(A)\) et notons \(\beta : J \to Q\) l’application quotient. Nous affirmons que l’application \[\Gamma(X, \widetilde{J}) \longrightarrow \Gamma(U, \widetilde{J})\] n’est pas surjective. Plus précisément, nous affirmons que \(\alpha(s)\) n’appartient pas à son image. Pour le voir, raisonnons par l’absurde. Supposons donc qu’il existe un élément \(x \in J\) qui se restreigne à \(\alpha(s)\) sur \(U\). Alors \(\beta(x) \in Q\) se restreint à \(0\) sur \(U\). Nous savons donc que \(I^n\beta(x) = 0\) pour un certain \(n\); voir Propriétés, lemme 01PM. Nous obtenons par conséquent un morphisme \(\varphi : I^n \to A\), \(h \mapsto \alpha^{-1}(hx)\). Il est immédiat que ce morphisme \(\varphi\) donne la section \(s\) par l’application de Propriétés, lemme 01PM, ce qui est absurde.

Lemme

Il existe un schéma affine \(X = \Spec(A)\) et un \(A\)-module injectif \(J\) tels que \(\widetilde{J}\) ne soit pas un faisceau flasque sur \(X\). Même la restriction \(\Gamma(X, \widetilde{J}) \to \Gamma(U, \widetilde{J})\), où \(U\) est un ouvert standard, n’est pas nécessairement surjective.

Démonstration

Voir ci-dessus.

En fait, une construction analogue fournit un exemple de module injectif dont la cohomologie du faisceau quasi-cohérent associé sur un ouvert quasi-compact n’est pas nulle. Plus précisément, partons de l’anneau \[A = k[x, y, w_1, u_1, w_2, u_2, \ldots]/(x^nw_n, y^nu_n, u_n^2, w_n^2)\] où \(k\) est un corps. Choisissons un homomorphisme injectif \(A \to I\), où \(I\) est un \(A\)-module injectif. Nous affirmons que l’élément \(1/xy\) de \(A_{xy} \subset I_{xy}\) n’appartient pas à l’image de \(I_x \oplus I_y \to I_{xy}\). En raisonnant par l’absurde, supposons que \[\frac{1}{xy} = \frac{i}{x^n} + \frac{j}{y^n}\] pour un certain \(n \geq 1\) et des \(i, j \in I\). En chassant les dénominateurs, nous obtenons \[(xy)^{n + m - 1} = x^my^{n + m}i + x^{n + m}y^mj\] pour un certain \(m \geq 0\). En multipliant par \(u_{n + m}w_{n + m}\), nous voyons que \(u_{n + m}w_{n + m}(xy)^{n + m - 1} = 0\) dans \(A\), ce qui donne la contradiction cherchée. Posons \(U = D(x) \cup D(y) \subset X = \Spec(A)\). Pour tout \(A\)-module \(M\), nous avons une suite exacte \[0 \to H^0(U, \widetilde{M}) \to M_x \oplus M_y \to M_{xy} \to H^1(U, \widetilde{M}) \to 0\] par Mayer–Vietoris. Nous en concluons que \(H^1(U, \widetilde{I})\) n’est pas nul.

Lemme

Il existe un schéma affine \(X = \Spec(A)\) dont l’espace topologique sous-jacent est noethérien et un \(A\)-module injectif \(I\) tels que \(\widetilde{I}\) ait un \(H^1\) non nul sur un ouvert quasi-compact \(U\) de \(X\).

Démonstration

Voir ci-dessus. Notons que \(\Spec(A) = \Spec(k[x, y])\) comme espaces topologiques.

Un schéma en groupes plat non séparé

Tout schéma en groupes sur un corps est séparé; voir Groupoïdes, lemme 047L. Ce n’est pas vrai pour les schémas en groupes sur une base.

Soit \(k\) un corps. Posons \(S = \Spec(k[x]) = \mathbf{A}^1_k\). Soit \(G\) la droite affine dont l’origine \(0\) est doublée (voir Schémas, exemple 01JD), considérée comme un schéma sur \(S\). Ainsi, une fibre de \(G \to S\) est soit réduite à un point, soit un ensemble à deux éléments (l’un dans \(U\), l’autre dans \(V\)). Nous pouvons donc munir ces fibres d’une structure de groupe (en prenant l’élément de \(U\) pour zéro de la structure de groupe). Plus précisément, \(G\) possède deux ouverts \(U, V\) qui se projettent isomorphiquement sur \(S\) et tels que \(U \cap V\) se projette isomorphiquement sur \(S \setminus \{0\}\). Alors \[G \times_S G = U \times_S U \cup V \times_S U \cup U \times_S V \cup V \times_S V\] où chaque morceau est isomorphe à \(S\). Nous pouvons donc définir une multiplication \(m : G \times_S G \to G\) comme l’unique \(S\)-morphisme qui envoie le premier et le dernier morceau dans \(U\), et les deux morceaux intermédiaires dans \(V\). Cela concorde avec la description fibre par fibre donnée ci-dessus. Nous omettons la vérification que cela définit une structure de schéma en groupes.

Lemme

Il existe sur la droite affine un schéma en groupes plat et de type fini qui n’est pas séparé.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Il existe sur l’espace affine de dimension infinie un schéma en groupes plat et de type fini qui n’est pas quasi-séparé.

Démonstration

La même construction peut être effectuée avec l’espace affine de dimension infinie \(S = \mathbf{A}^\infty_k = \Spec k[x_1, x_2, \ldots]\) comme base et avec l’origine \(0 \in S\), qui correspond à l’idéal maximal \((x_1, x_2, \ldots)\), comme point fermé doublé dans \(G\). Le schéma en groupes \(G \rightarrow S\) ainsi obtenu n’est pas quasi-séparé, comme l’explique Schémas, exemple 01KL.

Un schéma en groupes non plat à composante neutre plate

Soit \(X \to S\) un monomorphisme de schémas. Posons \(G = S \amalg X\). Soit \(m : G \times_S G \to G\) le \(S\)-morphisme \[G \times_S G = X \times_S X \amalg X \amalg X \amalg S \longrightarrow G = X \amalg S\] qui envoie \(X \times_S X\) et \(S\) dans \(S\), ainsi que chacun des deux exemplaires de \(X\) dans \(X\) par le morphisme identité. Cela définit une loi de groupe. Pour le voir, il faut montrer que \(m \circ (m \times \text{id}_G) = m \circ (\text{id}_G \times m)\) comme applications \(G \times_S G \times_S G \to G\). En décomposant \(G \times_S G \times_S G\) en morceaux comme ci-dessus, nous constatons que l’égalité doit être vérifiée sur chacun des \(8\) morceaux. Chaque morceau est isomorphe à \(S\), à \(X\), à \(X \times_S X\) ou à \(X \times_S X \times_S X\). De plus, les deux applications envoient respectivement ces morceaux dans \(S\), \(X\), \(S\), \(X\). Cela étant, le fait que \(X \to S\) soit un monomorphisme implique que \(X \times_S X \cong X\) et \(X \times_S X \times_S X \cong X\), et qu’il existe dans chaque cas un unique \(S\)-morphisme \(S \to S\) ou \(X \to X\). Nous voyons donc que \(m \circ (m \times \text{id}_G) = m \circ (\text{id}_G \times m)\). Ainsi, en prenant pour \(X \to S\) n’importe quel monomorphisme non plat de schémas (par exemple une immersion fermée), nous obtenons un exemple de schéma en groupes sur une base \(S\) dont la composante neutre est \(S\) (donc plate), mais qui n’est pas plat.

Lemme

Il existe un schéma en groupes \(G\) sur une base \(S\) dont la composante neutre est plate sur \(S\), mais qui n’est pas plat sur \(S\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un espace algébrique en groupes non séparé sur un corps

Tout schéma en groupes sur un corps est séparé; voir Groupoïdes, lemme 047L. Ce n’est pas vrai pour les espaces algébriques en groupes sur un corps (mais voir la fin de cette section pour des résultats positifs).

Soit \(k\) un corps de caractéristique zéro. Considérons l’espace algébrique \(G = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\) de Espaces, exemple 02Z7. Par construction, \(G\) est le faisceau fppf associé au préfaisceau \[T \longmapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T) / \mathbf{Z}\] sur la catégorie des schémas sur \(k\). La loi d’addition évidente du préfaisceau induit une addition \(m : G \times G \to G\) qui fait de \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(\Spec(k)\). Notons que \(G\) n’est pas séparé (ni même quasi-séparé ou localement séparé). En revanche, \(G \to \Spec(k)\) est de type fini !

Lemme

Il existe sur un corps un espace algébrique en groupes de type fini qui n’est pas séparé (ni même quasi-séparé ou localement séparé).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Résultats positifs : si l’espace algébrique en groupes \(G\) est quasi-séparé ou localement séparé, ou plus généralement s’il est un espace algébrique décent, alors \(G\) est en fait séparé; voir Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 08BH. De plus, un espace algébrique en groupes de type fini et séparé sur un corps est en fait un schéma d’après Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 0B8F. L’idée de la preuve est que le lieu schématique est ouvert et dense; voir Propriétés des espaces, proposition 06NH ou Espaces décents, théorème 086U. En prenant les translatés de cet ouvert, nous voyons que tout point de \(G\) possède un voisinage ouvert qui est un schéma.

Spécialisations entre points d’une même fibre d’un morphisme étale

Si \(f : X \to Y\) est un morphisme étale ou, plus généralement, localement quasi-fini de schémas, il n’existe aucune spécialisation entre des points d’une même fibre; voir Morphismes, lemme 06RT. En revanche, cela est faux en général pour les morphismes d’espaces algébriques.

Pour construire un exemple, soit \(k\) un corps. Posons \[P = k[u, u^{-1}, y, \{x_n\}_{n \in \mathbf{Z}}].\] Considérons l’action de \(\mathbf{Z}\) sur \(P\) par des homomorphismes de \(k\)-algèbres, engendrée par l’automorphisme \(\tau\) défini par \(\tau(u) = u\), \(\tau(y) = uy\) et \(\tau(x_n) = x_{n + 1}\). Pour \(d \geq 1\), posons \(I_d = ((1 - u^d)y, x_n - x_{n + d}, n \in \mathbf{Z})\). Alors \(V(I_d) \subset \Spec(P)\) est le lieu des points fixes de \(\tau^d\). Soit \(S \subset P\) la partie multiplicativement stable engendrée par \(y\) et tous les \(1 - u^d\), \(d \in \mathbf{N}\). Nous voyons alors que \(\mathbf{Z}\) agit librement sur \(U = \Spec(S^{-1}P)\). Soit \(X = U/\mathbf{Z}\) l’espace algébrique quotient; voir Espaces, définition 02Z3.

Considérons les idéaux premiers \(\mathfrak p_n = (x_n, x_{n + 1}, \ldots)\) de \(S^{-1}P\). Notons que \(\tau(\mathfrak p_n) = \mathfrak p_{n + 1}\). Chacun d’eux définit donc un point \(\xi_n \in U\) dont l’image dans \(X\) est le même point \(x\) de \(X\). De plus, nous avons les spécialisations \[\ldots \leadsto \xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots\] Nous en concluons que \(U \to X\) est un exemple du type annoncé.

Lemme

Il existe un morphisme étale d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) et une spécialisation non triviale de points \(x \leadsto x'\) dans \(|X|\), telle que \(f(x) = f(x')\) dans \(|Y|\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un torseur qui n’est pas un torseur fppf

Dans Groupoïdes, remarque 049C, nous demandons si tout torseur sous \(G\) est un torseur fppf sous \(G\). Nous montrons dans cette section que ce n’est pas toujours le cas.

Soit \(k\) un corps. Dans la suite, tous les schémas et champs sont sur \(k\). Soit \(G \to \Spec(k)\) le schéma en groupes \[G = (\mu_{2, k})^\infty = \mu_{2, k} \times_k \mu_{2, k} \times_k \mu_{2, k} \times_k \ldots = \lim_n (\mu_{2, k})^n\] où \(\mu_{2, k}\) est le schéma en groupes des racines carrées de l’unité sur \(\Spec(k)\); voir Groupoïdes, exemple 040M. Comme \(G\) est une limite projective de schémas affines, c’est un schéma en groupes affine. C’est en fait le spectre de l’anneau \(k[t_1, t_2, t_3, \ldots]/(t_i^2 - 1)\). L’application de multiplication \(m : G \times_k G \to G\) est donnée au niveau des algèbres par \(t_i \mapsto t_i \otimes t_i\).

Nous affirmons que tout torseur sous \(G\) sur \(k\) est de la forme \[P = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2 - a_i))\] pour certains \(a_i \in k^*\); l’action de \(G\) sur cet espace, \(G \times_k P \to P\), est donnée par \(x_i \to t_i \otimes x_i\) au niveau des algèbres. Nous omettons la démonstration. En fait, pour l’exemple, il nous suffit que \(P\) soit un torseur sous \(G\), ce qui est clair puisque, sur \(k' = k(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \ldots)\), le schéma \(P\) devient isomorphe à \(G\) de manière \(G\)-équivariante. Notons que \(P\) est trivial si et seulement si \(k' = k\) : en effet, si \(P\) possède un point rationnel sur \(k\), tous les \(a_i\) sont des carrés.

Nous affirmons que \(P\) est un torseur fppf si et seulement si l’extension de corps \(k' = k(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \ldots)/k\) est finie. Si \(k'\) est une extension finie de \(k\), alors \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\) est un recouvrement fppf qui trivialise \(P\), et nous voyons que \(P\) est bien un torseur fppf. Réciproquement, supposons que \(P\) soit un torseur fppf sous \(G\). Cela signifie qu’il existe un recouvrement fppf \(\{S_i \to \Spec(k)\}\) tel que chaque \(P_{S_i}\) soit trivial. Choisissons un \(i\) tel que \(S_i\) ne soit pas vide. Soit \(s \in S_i\) un point fermé. D’après Variétés, lemme 0478, l’extension de corps \(\kappa(s)/k\) est finie et, par construction, \(P_{\kappa(s)}\) possède un point rationnel sur \(\kappa(s)\). Nous voyons donc que \(k \subset k' \subset \kappa(s)\) et \(k'\) est une extension finie de \(k\).

Pour obtenir un exemple explicite, prenons \(k = \mathbf{Q}\) et \(a_i = i\), par exemple (ou bien \(a_i\) égal au \(i\)-ième nombre premier, si l’on préfère).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Le champ \(G\textit{-Principal}\) qui classifie les espaces principaux homogènes sous \(G\) (voir Exemples de champs, sous-section 04UN) et le champ \(G\textit{-Torsors}\) qui classifie les torseurs fppf sous \(G\) (voir Exemples de champs, sous-section 04UR) ne sont pas équivalents en général.

Démonstration

La discussion ci-dessus montre que le foncteur \(G\textit{-Torsors} \to G\textit{-Principal}\) n’est pas essentiellement surjectif en général.

Champ non algébrique admettant un recouvrement plat quasi compact

Dans cette section, nous décrivons brièvement un exemple dû à Brian Conrad. On peut trouver cet exemple en ligne à cette adresse. Notre exemple est légèrement différent.

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Dans la suite, tous les schémas et champs sont sur \(k\). Soit \(G \to \Spec(k)\) un schéma en groupes affine. Dans Exemples de champs, lemme 0CQJ, nous avons donné plusieurs manières équivalentes de voir \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/G]\) comme un champ en groupoïdes sur \((\Sch/\Spec(k))_{fppf}\). En particulier, \(\mathcal{X}\) classifie les torseurs fppf sous \(G\). Plus précisément, un \(1\)-morphisme \(T \to \mathcal{X}\) correspond à un torseur fppf sous \(G_T\), noté \(P\), sur \(T\), et les \(2\)-flèches correspondent aux isomorphismes de torseurs. Il s’ensuit que le \(1\)-morphisme diagonal \[\Delta : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{\Spec(k)} \mathcal{X}\] est représentable et affine. En effet, pour toute paire de torseurs fppf sous \(G_T\), notés \(P_1, P_2\), sur un schéma \(T/k\), le schéma \(\mathit{Isom}(P_1, P_2)\) est affine sur \(T\). Le torseur trivial sous \(G\) sur \(\Spec(k)\) définit un \(1\)-morphisme \[f : \Spec(k) \longrightarrow \mathcal{X}.\] Nous affirmons qu’il s’agit d’un \(1\)-morphisme surjectif. En effet, par définition, pour tout \(1\)-morphisme \(T \to \mathcal{X}\), il existe un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\) tel que \(P_{T_i}\) soit isomorphe au torseur trivial sous \(G_{T_i}\). Les composés \(T_i \to T \to \mathcal{X}\) se factorisent donc par \(f\). Il est alors clair que la projection \(T \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to T\) est surjective (c’est ainsi que nous définissons la surjectivité de \(f\); voir Champs algébriques, définition 03YK). On montre de même que \(f\) est quasi compact et plat (nous omettons les détails). Notons également que \[\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \cong G\] comme schémas sur \(k\).

Supposons qu’il existe un morphisme lisse surjectif \(p : U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma. Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \mathcal{X} }\] Alors \(W\) est un schéma lisse non vide sur \(k\) et possède donc un point rationnel sur \(k\). Ainsi, \(f\) se factorise par \(U\). Nous obtenons donc \[G \cong \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \cong (\Spec(k) \times_k \Spec(k)) \times_{(U \times_k U)} (U \times_\mathcal{X} U)\] et, puisque les projections \(U \times_\mathcal{X} U \to U\) sont supposées lisses, nous en concluons que \(U \times_\mathcal{X} U \to U \times_k U\) est localement de type fini; voir Morphismes, lemme 01T8. Il s’ensuit que, dans ce cas, \(G\) est localement de type fini sur \(k\). Nous avons ainsi démontré le lemme suivant (qui admet une généralisation considérable).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un schéma en groupes affine sur \(k\). Si le champ \([\Spec(k)/G]\) possède un recouvrement lisse par un schéma, alors \(G\) est de type fini sur \(k\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Pour obtenir un exemple explicite comme dans le titre de cette section, prenons \(G = (\mu_{2, k})^\infty\), le schéma en groupes de la section 04AF, qui n’est pas localement de type fini sur \(k\). La discussion ci-dessus montre que \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/G]\) possède les propriétés (1) et (2) de Champs algébriques, définition 026O, mais non la propriété (3). Ainsi, \(\mathcal{X}\) n’est pas un champ algébrique. En revanche, il existe bien un schéma \(U\) et un morphisme surjectif, plat et quasi compact \(U \to \mathcal{X}\), à savoir le morphisme \(f : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) étudié ci-dessus.

Commutation aux limites sur les objets, mais non aux limites

Soit \(S\) un schéma non vide. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien injectif sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous obtenons un champ en groupoïdes \[\mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] sur \(S\); voir Exemples de champs, lemme 04UK. Ce champ commute aux limites sur les objets au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) (voir Critères de représentabilité, section 06CT), car tout torseur sous \(\mathcal{G}\) est trivial. En revanche, \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) ne commute en général pas aux limites (voir Axiomes d’Artin, définition 07XL), car le faisceau \(\mathcal{G}\) ne commute pas nécessairement aux limites. Par exemple, prenons un faisceau injectif non nul quelconque \(\mathcal{I}\) et posons \(\mathcal{G} = \prod_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{I}\) pour obtenir un exemple.

Lemme

Soit \(S\) un schéma non vide. Il existe un champ en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) tel que \(p\) commute aux limites sur les objets, mais que \(\mathcal{X}\) ne commute pas aux limites.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un champ classifiant non algébrique

Soit \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\) et notons \(\mu_p\) le schéma en groupes des racines \(p\)-ièmes de l’unité sur \(S\). Dans Groupoïdes dans les espaces, section 044O, nous avons introduit le champ quotient \([S/\mu_p]\) et, dans Exemples de champs, section 04UV, nous avons montré que \([S/\mu_p]\) est le champ classifiant les torseurs fppf sous \(\mu_p\) : pour tout schéma \(T\) sur \(S\), la catégorie \(\Mor_S(T, [S/\mu_p])\) est canoniquement équivalente à la catégorie des torseurs fppf sous \(\mu_p\) sur \(T\). Enfin, dans Critères de représentabilité, théorème 06FI nous avons vu que \([S/\mu_p]\) est un champ algébrique.

Nous pouvons maintenant poser la question : « Qu’en est-il de la catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal{S}\) qui classifie les torseurs étales sous \(\mu_p\) ? » (Autrement dit, \(\mathcal{S}\) est une catégorie au-dessus de \(\Sch/S\) dont la catégorie fibre au-dessus d’un schéma \(T\) est la catégorie des torseurs étales sous \(\mu_p\) sur \(T\).)

La première objection est qu’il ne s’agit pas d’un champ pour la topologie fppf, car la descente des objets n’y est pas satisfaite. Par exemple, le torseur sous \(\mu_p\) donné par \(\Spec(\mathbf{F}_p(t)[x]/(x^p - t))\) sur \(T = \Spec(\mathbf{F}_p(t))\) est localement trivial pour la topologie fppf, mais non pour la topologie étale.

Pour remédier à ce premier problème, travaillons avec la topologie étale : la descente des objets y est satisfaite. En effet, \(\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_\etale\). De plus, la diagonale \(\Delta : \mathcal{S} \to \mathcal{S} \times \mathcal{S}\) est représentable (par des schémas). En effet, étant donnés deux torseurs sous \(\mu_p\) (qu’ils soient ou non localement triviaux pour la topologie étale), le faisceau de leurs isomorphismes est représentable par un schéma.

Nous pouvons donc enfin demander s’il existe un schéma \(U\) et un \(1\)-morphisme lisse et surjectif \(U \to \mathcal{S}\). Nous montrerons de deux manières que cela est impossible : par un argument direct (que nous conseillons au lecteur de passer) et par un argument utilisant un résultat général.

Argument direct (esquisse) : notons que le \(1\)-morphisme \(\mathcal{S} \to \Spec(\mathbf{F}_p)\) satisfait au critère de relèvement infinitésimal de lissité formelle. En effet, pour tout épaississement infinitésimal du premier ordre de schémas \(T \to T'\), le noyau de \(\mu_p(T') \to \mu_p(T)\) est isomorphe aux sections du faisceau d’idéaux de \(T\) dans \(T'\), et ainsi \(H^1_\etale(T, \mu_p) = H^1_\etale(T', \mu_p)\). De plus, le champ \(\mathcal{S}\) commute aux limites. Par conséquent, si \(U \to \mathcal{S}\) est lisse, alors \(U \to \Spec(\mathbf{F}_p)\) commute aux limites et satisfait au critère de relèvement infinitésimal de lissité formelle. Il en résulte que \(U\) est lisse sur \(\mathbf{F}_p\). En particulier, \(U\) est réduit, donc \(H^1_\etale(U, \mu_p) = 0\). Ainsi, \(U \to \mathcal{S}\) se factorise en \(U \to \Spec(\mathbf{F}_p) \to \mathcal{S}\) et la première flèche est lisse. Par descente de la lissité, la lissité de \(U \to \mathcal{S}\) impliquerait celle de \(\Spec(\mathbf{F}_p) \to \mathcal{S}\). Or ce n’est pas le cas, puisque \(\Spec(\mathbf{F}_p) \times_\mathcal{S} \Spec(\mathbf{F}_p)\) est \(\mu_p\), qui n’est pas lisse sur \(\Spec(\mathbf{F}_p)\).

Argument structurel : dans Critères de représentabilité, section 076U, nous avons vu que l’on peut considérer les champs algébriques comme les champs en groupoïdes pour la topologie étale dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques admettant un recouvrement lisse. Ainsi, s’il existe un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{S}\), alors \(\mathcal{S}\) est un champ algébrique et satisfait en particulier à la descente pour la topologie fppf. Mais nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{S}\) ne satisfait pas à la descente pour la topologie fppf.

De manière informelle, les arguments ci-dessus montrent que le champ classifiant, pour la topologie étale, les torseurs localement triviaux pour cette topologie sous un schéma en groupes \(G\) sur une base \(B\) est algébrique si et seulement si \(G\) est lisse sur \(B\). L’un des avantages de travailler avec la topologie fppf est qu’il suffit de supposer que \(G \to B\) est plat et localement de présentation finie. En fait, le champ quotient (pour la topologie fppf) \([B/G]\) est algébrique si et seulement si \(G \to B\) est plat et localement de présentation finie; voir Critères de représentabilité, lemme 06PL.

Faisceau muni d’un recouvrement plat quasi-compact qui n’est pas algébrique

Considérons le foncteur \(F = (\mathbf{P}^1)^\infty\), c’est-à-dire que, pour un schéma \(T\), \(F(T)\) est l’ensemble des \(f = (f_1, f_2, f_3, \ldots)\) où chaque \(f_i : T \to \mathbf{P}^1\) est un morphisme de schémas. Remarquons que \(\mathbf{P}^1\) vérifie la propriété de faisceau pour les recouvrements fpqc; voir Descente, lemme 023Q. Un produit de faisceaux étant un faisceau, \(F\) vérifie aussi la propriété de faisceau pour la topologie fpqc. La diagonale de \(F\) est représentable : si \(f : T \to F\) et \(g : S \to F\) sont des morphismes, alors \(T \times_F S\) est l’intersection schématique des sous-schémas fermés \(T \times_{f_i, \mathbf{P}^1, g_i} S\) dans le schéma \(T \times S\). Considérons le schéma en groupes \(\text{SL}_2\), muni d’un morphisme affine, lisse et surjectif \(\text{SL}_2 \to \mathbf{P}^1\). Considérons ensuite \(U = (\text{SL}_2)^\infty\) et son morphisme canonique (produit) \(U \to F\). Remarquons que \(U\) est un schéma affine. Nous affirmons que le morphisme \(U \to F\) est plat, surjectif et universellement ouvert. En effet, supposons donné un morphisme \(f : T \to F\). Alors \(Z = T \times_F U\) est le produit fibré infini des schémas \(Z_i = T \times_{f_i, \mathbf{P}^1} \text{SL}_2\) sur \(T\). Chacun des morphismes \(Z_i \to T\) est lisse, surjectif et affine, ce qui entraîne que \[Z = Z_1 \times_T Z_2 \times_T Z_3 \times_T \ldots\] est un schéma plat et affine sur \(T\). Un argument élémentaire de limite montre aussi que \(Z \to T\) est ouvert.

En revanche, nous affirmons que \(F\) n’est pas un espace algébrique. En effet, si \(F\) était un espace algébrique, ce serait un espace algébrique quasi-compact et séparé (d’après notre description des produits fibrés sur \(F\)). La cohomologie des faisceaux quasi-cohérents s’annulerait donc au-dessus d’un certain degré (voir Cohomologie des espaces, proposition 072B, et les remarques qui la précèdent). Mais il est clair qu’en prenant l’image réciproque de \(\mathcal{O}(-2, -2, \ldots, -2)\) par la projection \[(\mathbf{P}^1)^\infty \longrightarrow (\mathbf{P}^1)^n\] (qui possède une section), on peut obtenir un faisceau quasi-cohérent dont la cohomologie est non nulle en degré \(n\). Nous obtenons ainsi une réponse à une question posée par Anton Geraschenko sur MathOverflow.

Lemme

Il existe un foncteur \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Ensembles}\) qui satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc, dont la diagonale \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable, et tel qu’il existe un morphisme surjectif, plat, universellement ouvert et quasi-compact \(U \to F\), où \(U\) est un schéma, mais tel que \(F\) ne soit pas un espace algébrique.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

La topologie étale face à celle de Zariski et aux recouvrements finis et étales

Nous donnons dans cette section un exemple trouvé par B. Bhatt en réponse à une question de C. Deninger, qui montre que la topologie étale des variétés algébriques sur \(\mathbf{C}\) est strictement plus fine que la topologie engendrée par les immersions ouvertes et les morphismes finis et étales. De tels exemples sont certainement connus des spécialistes et remontent peut-être à Artin et Grothendieck³. Si vous connaissez un exemple publié, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Soit \(X\) une courbe affine lisse et connexe sur \(\mathbf{C}\). Choisissons un morphisme fini \(g: Y \to X\) de degré \(3\), où \(Y\) est une courbe lisse connexe, et un point \(x \in X\) dont la fibre \(g^{-1}(x) = \{u, y\}\) est formée d’un point non ramifié \(u\) (de degré 1) et d’un point ramifié \(y\) (de degré 2). En remplaçant \(X\) par un voisinage ouvert de Zariski de \(x\), nous pouvons supposer que \(g\) est non ramifié partout sauf en \(y\). Soit \(U = Y \setminus \{y\}\). Alors \(f=g|_U: U \to X\) est un morphisme étale surjectif et \(f^{-1}(x) = \{u\}\).

Lemme

Le recouvrement étale \(U \to X\) n’admet aucun raffinement par une composition finie d’immersions ouvertes et de morphismes finis et étales.

Démonstration

Raisonnons par l’absurde et supposons donnée une tour de morphismes \[W_m \to W_{m-1} \to \dots \to W_1 \to W_0 = X\] où chaque morphisme \(W_i \to W_{i - 1}\) est soit une immersion ouverte, soit un morphisme fini et étale, ainsi qu’un relèvement \(W_m \to U\) de \(W_m \to X\) le long de \(f : U \to X\) et un point \(w \in W_m\) d’image \(u \in U\) (et donc \(x \in X\)). En remplaçant chaque \(W_k\) par la composante connexe qui contient l’image \(w_k \in W_k\) de \(w\), nous pouvons supposer que chaque \(W_k\) est lisse et connexe.

Pour chaque \(0 \le i \le m\), considérons le produit fibré \(Z_i = Y \times_X W_i\). Comme \(W_i \to X\) est étale et \(Y\) est lisse, la courbe \(Z_i\) est une réunion disjointe de courbes lisses connexes, et les morphismes \(Z_i \to W_i\) sont finis de degré \(3\) par changement de base. La fibre de \(Z_i \to W_i\) au-dessus de \(w_i\) est manifestement formée de deux points \(z_i, v_i\) qui s’envoient respectivement sur \(y, u\) dans \(Y\). Le morphisme \(Z_i \to W_i\) est non ramifié en \(v_i\) et ramifié de degré \(2\) en \(z_i\). Posons \(n_i = \#\pi_0(Z_i)\). Comme la fibre de \(Z_i \to W_i\) possède \(2\) points, nous avons \(n_i \in \{1, 2\}\). De plus, \(n_i\) ne peut que croître avec \(i\), car les morphismes de transition \(Z_i \to Z_{i - 1}\) sont dominants. Nous avons clairement \(n_0 = 1\). D’autre part, \(n_m \geq 2\) : il existe un \(X\)-morphisme \(W_m \to U \subset Y\), donc le changement de base \(Z_m \to W_m\) possède une section. Il existe alors un plus petit indice \(i \ge 1\) tel que \(n_{i - 1} = 1\) et \(n_i = 2\). Comme les \(n_j\) sont déterminés par l’irréductibilité de \(Z_j\), le morphisme \(W_i \to W_{i - 1}\) ne peut être une immersion ouverte; il doit donc être fini et étale. Puisque \(n_i = 2\), la courbe lisse \(Z_i\) possède deux composantes connexes; puisque le morphisme vers \(W_i\) est fini, l’une de ces composantes s’envoie nécessairement isomorphiquement sur \(W_i\). Nous pouvons donc écrire \(Z_i = W_i \sqcup Z'_i\), où \(Z'_i \to W_i\) est de degré \(2\). Le morphisme induit \(W_i \subset Z_i \to Z_{i - 1}\) est dominant entre deux courbes connexes, toutes deux finies sur \(W_{i - 1}\). Un tel morphisme est nécessairement surjectif. Nous pouvons donc choisir un point \(t \in W_i\) d’image \(z_{i - 1}\). Nous obtenons des extensions \[\mathcal{O}_{W_{i - 1}, w_{i - 1}} \to \mathcal{O}_{Z_{i - 1}, z_{i - 1}} \to \mathcal{O}_{W_i, t}\] d’anneaux de valuation discrète. La première est ramifiée, tandis que l’extension composée est non ramifiée puisque \(W_i \to W_{i - 1}\) est étale; c’est impossible, d’où la contradiction.

Faisceaux et spécialisations

Dans la suite, nous fixons un grand site étale \(\Sch_\etale\) construit dans Topologies, définition 021A. De plus, par « schéma », nous entendrons un objet de ce site. Rappelons que, si \(x, x'\) sont des points d’un schéma \(X\), on dit que \(x\) est une spécialisation de \(x'\), ou l’on écrit \(x' \leadsto x\), si \(x \in \overline{\{x'\}}\). C’est notamment le cas lorsque \(x = x'\).

Considérons le foncteur \(F : \Sch_\etale \to \textit{Ab}\) défini par les règles suivantes : \[F(X) = \prod\nolimits_{x \in X} \prod\nolimits_{x' \in X, x' \leadsto x, x' \not = x} \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\] Pour tout schéma \(X\), nous notons \(|X|\) son ensemble sous-jacent. Un élément \(a \in F(X)\) sera considéré comme une application ensembliste \(|X| \times |X| \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), \((x, x') \mapsto a(x, x')\), nulle si \(x = x'\) ou si \(x\) n’est pas une spécialisation de \(x'\). Pour un morphisme de schémas \(f : X \to Y\), nous définissons \[F(f) : F(Y) \longrightarrow F(X)\] par la règle suivante : pour \(b \in F(Y)\), nous posons \[F(f)(b)(x, x') = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si }x\text{ n'est pas une spécialisation de }x' \\ b(f(x), f(x')) & \text{sinon.} \end{matrix} \right.\] Remarquons que cela définit bien un élément de \(F(X)\). Nous affirmons que, si \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) sont des morphismes composables, alors \(F(f) \circ F(g) = F(g \circ f)\). En effet, soient \(c \in F(Z)\) et \(x' \leadsto x\) une spécialisation entre deux points de \(X\); alors \[F(g \circ f)(c)(x, x') = c(g(f(x)), g(f(x'))) = F(f)(F(g)(c))(x, x')\] car \(f(x') \leadsto f(x)\). (Cela vaut aussi si \(f(x) = f(x')\).)

Soit \(G\) le faisceau associé à \(F\) pour la topologie étale.

Nous affirmons que, si \(X\) est un schéma et \(x' \leadsto x\) une spécialisation avec \(x' \not = x\), alors \(G(X) \not = 0\). En effet, soit \(a \in F(X)\) un élément tel que \(a\), considéré comme la fonction \(|X| \times |X| \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), est non nul en \((x, x')\). Soit \(\{f_i : U_i \to X\}\) un recouvrement étale de \(X\). Nous pouvons choisir un indice \(i\) et un point \(u_i \in U_i\) tels que \(f_i(u_i) = x\). Comme les générisations se relèvent le long des morphismes plats (voir Morphismes, lemme 03HV), nous pouvons trouver une spécialisation \(u'_i \leadsto u_i\) telle que \(f_i(u'_i) = x'\). Notre construction montre alors que \(F(f_i)(a) \not = 0\). Ainsi, \(a\) détermine un élément non nul de \(G(X)\).

Remarquons que, si \(X = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps (ou, plus généralement, un anneau dont tous les idéaux premiers sont maximaux), alors \(F(X) = 0\); de plus, pour tout morphisme étale \(U \to X\), nous avons \(F(U) = 0\), car il n’existe aucune spécialisation entre des points distincts dans les fibres d’un morphisme étale. Par conséquent, \(G(X) = 0\).

Supposons que \(X \subset X'\) soit un épaississement; voir Compléments sur les morphismes, définition 04EX. Alors la catégorie des schémas étales sur \(X'\) est équivalente à la catégorie des schémas étales sur \(X\) par le foncteur de changement de base \(U' \mapsto U = U' \times_{X'} X\); voir Cohomologie étale, théorème 04DZ. Puisque, dans cette situation, on a toujours \(F(U) = F(U')\), nous avons aussi \(G(X) = G(X')\).

Comme variante, nous pouvons considérer le préfaisceau \(F_n\) qui associe à un schéma \(X\) l’ensemble des applications \(a : |X|^{n + 1} \to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) telles que \(a(x_0, \ldots, x_n)\) ne soit non nul que si \(x_n \leadsto \ldots \leadsto x_0\) est une suite de spécialisations et \(x_n \not = x_{n - 1} \not = \ldots \not = x_0\). Soit \(G_n\) le faisceau associé à \(F_n\). Exactement comme ci-dessus, on montre que \(G_n\) est non nul si \(\dim(X) \geq n\) et nul si \(\dim(X) < n\).

Lemme

Il existe un faisceau de groupes abéliens \(G\) sur \(\Sch_\etale\) qui possède les propriétés suivantes :

1. \(G(X) = 0\) dès que \(\dim(X) < n\),

2. \(G(X)\) n’est pas nul si \(\dim(X) \geq n\), et

3. si \(X \subset X'\) est un épaississement, alors \(G(X) = G(X')\).

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Remarque

Voici quelques remarques :

1. Les préfaisceaux \(F\) et \(F_n\) sont séparés.

2. Il se trouve que \(F\) et \(F_n\) ne sont pas des faisceaux.

3. On peut montrer que \(G\) et \(G_n\) sont en fait des faisceaux pour la topologie fppf.

Nous démontrerons ces résultats si nous en avons besoin.

Faisceaux et fonctions constructibles

Dans la suite, nous fixons un grand site étale \(\Sch_\etale\) construit dans Topologies, définition 021A. De plus, par « schéma », nous entendrons un objet de ce site. Dans cette section, nous appelons partition constructible d’un schéma \(X\) toute décomposition localement finie en réunion disjointe \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) telle que chaque \(X_i \subset X\) soit une partie localement constructible de \(X\). Localement finie signifie que, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), il n’existe qu’un nombre fini d’indices \(i \in I\) tels que \(X_i \cap U\) soit non vide. Remarquons que, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas et \(Y = \coprod Y_j\) une partition constructible, alors \(X = \coprod f^{-1}(Y_j)\) est une partition constructible de \(X\). Étant donnés un ensemble \(S\) et un schéma \(X\), une fonction constructible \(f : |X| \to S\) est une application telle que \(X = \coprod_{s \in S} f^{-1}(s)\) soit une partition constructible de \(X\). Si \(G\) est un groupe abstrait et \(a, b : |X| \to G\) des fonctions constructibles, alors \(ab : |X| \to G, x \mapsto a(x)b(x)\) est encore une fonction constructible. En effet, deux partitions constructibles quelconques admettent une troisième partition qui les raffine toutes deux.

Soit \(A\) un groupe abélien quelconque. Pour tout schéma \(X\), nous définissons \[F(X) = \frac{\{a : |X| \to A \mid a \text{ est une fonction constructible}\}}{\{\text{fonctions localement constantes }|X| \to A\}}\] Nous considérons simplement un élément \(a\) de \(F(X)\) comme une fonction définie à une fonction localement constante près. Étant donnés un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) et un élément \(b \in F(Y)\), nous posons \(F(f)(b) = b \circ f\). Ainsi, \(F\) est un préfaisceau sur \(\Sch_\etale\).

Remarquons que, si \(\{f_i : U_i \to X\}\) est un recouvrement fppf et si \(a \in F(X)\) est tel que \(F(f_i)(a) = 0\) dans \(F(U_i)\), alors \(a \circ f_i\) est une fonction localement constante pour tout \(i\). Il en résulte que \(a\) est elle-même localement constante, puisque les morphismes \(f_i\) sont ouverts. Donc \(a = 0\) dans \(F(X)\). Ainsi, \(F\) est un préfaisceau séparé (pour la topologie fppf, donc a fortiori pour la topologie étale).

Soit \(G\) le faisceau associé à \(F\) pour la topologie étale. Comme \(F\) est séparé et que, par exemple, \(F(X) \not = 0\) lorsque \(X\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète, nous voyons que \(G\) n’est pas nul.

Soit \(X = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Alors tout recouvrement étale de \(X\) admet un raffinement de la forme \(\{\Spec(k') \to \Spec(k)\}\), où \(k'/k\) est une extension finie séparable. Puisque \(F(\Spec(k')) = 0\), nous avons \(G(X) = 0\).

Supposons que \(X \subset X'\) soit un épaississement; voir Compléments sur les morphismes, définition 04EX. Alors la catégorie des schémas étales sur \(X'\) est équivalente à la catégorie des schémas étales sur \(X\) par le foncteur de changement de base \(U' \mapsto U = U' \times_{X'} X\); voir Cohomologie étale, théorème 04DZ. Comme \(F(U) = F(U')\) dans cette situation, nous avons aussi \(G(X) = G(X')\).

Le faisceau \(G\) commute aux limites; voir Limites d’espaces, définition 049J. En effet, soit \(R\) un anneau écrit comme une limite inductive filtrante \(R = \colim_i R_i\) d’anneaux. Posons \(X = \Spec(R)\) et \(X_i = \Spec(R_i)\), de sorte que \(X = \lim_i X_i\). Alors \(G(X) = \colim_i G(X_i)\). Pour le démontrer, on établit d’abord que toute partition constructible de \(\Spec(R)\) provient d’une partition constructible d’un certain \(\Spec(R_i)\). On obtient ainsi le résultat pour \(F\). Pour obtenir le résultat pour le faisceau associé, on utilise que tout homomorphisme étale d’anneaux \(R \to R'\) provient d’un homomorphisme étale \(R_i \to R_i'\) pour un certain \(i\). Nous omettons les détails.

Lemme

Il existe un faisceau de groupes abéliens \(G\) sur \(\Sch_\etale\) qui possède les propriétés suivantes :

1. \(G(\Spec(k)) = 0\) pour tout corps \(k\),

2. \(G\) commute aux limites,

3. si \(X \subset X'\) est un épaississement, alors \(G(X) = G(X')\), et

4. \(G\) n’est pas nul.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Le site lisse-étale n’est pas fonctoriel

Le site lisse-étale \(X_{lisse,\etale}\) de \(X\) est la catégorie des schémas lisses sur \(X\) munie des recouvrements étales (usuels); voir Cohomologie des champs, section 0786. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Il existe un foncteur \[u : Y_{lisse,\etale} \longrightarrow X_{lisse,\etale},\quad V/Y \longmapsto V \times_Y X\] qui est continu. Nous obtenons donc une paire de foncteurs adjoints \[u^s : \Sh(X_{lisse,\etale}) \longrightarrow \Sh(Y_{lisse,\etale}), \quad u_s : \Sh(Y_{lisse,\etale}) \longrightarrow \Sh(X_{lisse,\etale}),\] voir Sites, section 00WU. Nous affirmons qu’en général \(u\) ne définit pas un morphisme de sites; voir Sites, définition 00X1. Autrement dit, nous affirmons que \(u_s\) n’est pas exact à gauche en général. Notons que les préfaisceaux représentables sont des faisceaux sur les sites lisses-étales. Par Sites, lemme 04D3, nous avons donc \(u_sh_V = h_{V \times_Y X}\). Considérons deux morphismes \[\xymatrix{ V_1 \ar[rd] \ar@<1ex>[rr]^a \ar@<-1ex>[rr]_b & & V_2 \ar[ld] \\ & Y }\] de schémas \(V_1, V_2\) lisses sur \(Y\). Si \(u_s\) était exact à gauche, nous aurions alors \[u_s \text{Égaliseur}(h_a, h_b : h_{V_1} \to h_{V_2}) = \text{Égaliseur}(h_{a \times 1}, h_{b \times 1} : h_{V_1 \times_Y X} \to h_{V_2 \times_Y X})\] Nous choisirons les morphismes \(a, b : V_1 \to V_2\) de sorte qu’il n’existe aucun morphisme d’un schéma lisse sur \(Y\) vers \((a = b) \subset V_1\), c’est-à-dire que le membre de gauche soit le faisceau vide, mais qu’après changement de base à \(X\) l’égalisateur soit non vide et lisse sur \(X\). Un exemple rudimentaire consiste à prendre \(X = \Spec(\mathbf{F}_p)\), \(Y = \Spec(\mathbf{Z})\) et \(V_1 = V_2 = \mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\), avec \(a(x) = x\) et \(b(x) = x + p\). Remarquons que l’égalisateur de \(a\) et \(b\) est la fibre de \(\mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\) au-dessus de \((p)\).

Lemme

Le site lisse-étale n’est pas fonctoriel, même pour les morphismes de schémas.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Faisceaux sur la catégorie des schémas noethériens

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Comme dans Axiomes d’Artin, section 0GE1, considérons le foncteur d’inclusion \[u : (\textit{Noetherian}/S)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] du site fppf des schémas localement noethériens sur \(S\) dans un grand site fppf de \(S\). Comme expliqué dans la section citée, ce foncteur est continu. Nous obtenons donc une paire de foncteurs adjoints \[u^s : \Sh((\Sch/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\textit{Noetherian}/S)_{fppf})\] et \[u_s : \Sh((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf})\] voir Sites, section 00WU. Nous affirmons toutefois qu’en général \(u\) ne définit pas un morphisme de sites; voir Sites, définition 00X1. Autrement dit, le foncteur \(u_s\) n’est pas exact à gauche en général.

Soit \(p\) un nombre premier et posons \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\). Considérons le morphisme injectif de faisceaux \[a : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}\] sur \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}\) défini comme suit : pour \(U\) un schéma localement noethérien sur \(S\), nous définissons \[\mathcal{G}(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)^* = \Mor_S(U, \mathbf{G}_{m, S})\] et nous prenons \[\begin{aligned} \mathcal{F}(U) = \{f \in \mathcal{G}(U) \mid {}& \text{localement pour la topologie fppf, }f \text{ admet des racines de degré une puissance de }p\\ &\text{arbitrairement grande}\} \end{aligned}\] Une \(\mathbf{F}_p\)-algèbre noethérienne \(A\) possède un nilradical nilpotent \(I \subset A\); les racines de degré une puissance de \(p\) de \(1\) dans \(A\) sont les éléments de la forme \(1 + a\), \(a \in I\), et aucune racine non triviale de degré une puissance de \(p\) de \(1\) n’admet donc des racines de degré une puissance de \(p\) arbitrairement grande. Nous en déduisons que \(\mathcal{F}(U)\) est un groupe abélien sans \(p\)-torsion pour tout schéma localement noethérien \(U\); nous omettons certains détails. Il s’ensuit que \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est un morphisme injectif de faisceaux abéliens sur \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf}\).

Pour obtenir une contradiction, supposons \(u_s\) exact. Alors \(p : u_s\mathcal{F} \to u_s\mathcal{F}\) est lui aussi injectif, et \((u_s\mathcal{F})(V)\) est un groupe abélien sans \(p\)-torsion pour tout \(V\) sur \(S\). Puisque les préfaisceaux représentables sont des faisceaux sur les sites fppf, il résulte de Sites, lemme 04D3, que \(u_s\mathcal{G}\) est représenté par \(\mathbf{G}_{m, S}\). Comme \(u_s\mathcal{F} \to u_s\mathcal{G}\) est injectif, nous obtenons un sous-groupe sans \(p\)-torsion \[(u_s\mathcal{F})(V) \subset \Gamma(V, \mathcal{O}_V)^*\] pour tout schéma \(V\) sur \(S\), avec la propriété suivante : pour tout morphisme \(V \to U\) de schémas sur \(S\), où \(U\) est localement noethérien, le sous-groupe \[\mathcal{F}(U) \subset \Gamma(U, \mathcal{O}_U)^*\] s’envoie dans le sous-groupe \((u_s\mathcal{F})(V)\) par l’application de restriction \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)^* \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V)^*\).

La contradiction proprement dite s’obtient comme suit : posons \(k = \bigcup_{n \geq 0} \mathbf{F}_p(t^{1/{p^n}})\) et \[B = k \otimes_{\mathbf{F}_p(t)} k\] et soit \(V = \Spec(B)\). Nous avons les deux morphismes de projection \(V \to \Spec(k)\) correspondant aux deux coprojections \(k \to B\); comme \(\Spec(k)\) est noethérien, nous concluons que le sous-groupe \[(u_s\mathcal{F})(V) \subset B^*\] contient \(k^* \otimes 1\) et \(1 \otimes k^*\). C’est une contradiction, car \[(t^{1/p} \otimes 1) \cdot (1 \otimes t^{-1/p}) = t^{1/p} \otimes t^{-1/p}\] est une unité non triviale de \(p\)-torsion dans \(B\).

Lemme

Pour \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\), le foncteur d’inclusion \((\textit{Noetherian}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) ne définit pas un morphisme de sites.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Image directe dérivée des modules quasi-cohérents

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(S = \Spec(k[x])\). Soit \(G = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\), considéré soit comme groupe abstrait, soit comme schéma en groupes constant sur \(S\). Considérons le champ algébrique \(\mathcal{X} = [S/G]\), où \(G\) agit trivialement sur \(S\); voir Exemples de champs, remarque 0371, et Critères de représentabilité, lemme 06PL. Considérons le morphisme structural \[f : \mathcal{X} \longrightarrow S\] Ce morphisme est quasi-compact et quasi-séparé. Nous obtenons donc un foncteur \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_S),\] voir Catégories dérivées des champs, proposition 07BC. Calculons \(Rf_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{X}\). Comme \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) est équivalente à la catégorie dérivée des \(k[x]\)-modules (voir Catégories dérivées des schémas, lemme 06Z0) cela revient à calculer \(R\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Nous pouvons pour cela utiliser le recouvrement \(S \to \mathcal{X}\) et la suite spectrale \[H^q(S \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} S, O) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] voir Cohomologie des champs, proposition 0784. Remarquons que \[S \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} S = S \times G^p\] qui est affine. Le complexe \[k[x] \to \text{Map}(G, k[x]) \to \text{Map}(G^2, k[x]) \to \ldots\] calcule donc \(R\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Ici, pour \(\varphi \in \text{Map}(G^{p - 1}, k[x])\), sa différentielle est l’application qui envoie \((g_1, \ldots, g_p)\) sur \[\varphi(g_2, \ldots, g_p) + \sum\nolimits_{i = 1}^{p - 1} (-1)^i\varphi(g_1, \ldots, g_i + g_{i + 1}, \ldots, g_p) + (-1)^p\varphi(g_1, \ldots, g_{p - 1}).\] C’est précisément le complexe qui calcule la cohomologie du groupe \(G\) agissant trivialement sur \(k[x]\) (insérer ici une référence ultérieure). La cohomologie du groupe cyclique \(G\) à coefficients dans \(k[x]\) est exactement une copie de \(k[x]\) en chaque degré cohomologique \(\geq 0\) (insérer ici une référence ultérieure). Nous en concluons que \[Rf_*\mathcal{O}_\mathcal{X} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_S[-n]\] Considérons maintenant le complexe \[E = \bigoplus\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{O}_\mathcal{X}[m]\] C’est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Interrompons la discussion pour établir un résultat général.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) dont les faisceaux de cohomologie sont localement quasi-cohérents (Faisceaux sur les champs, définition 06WJ) et satisfont à la propriété de changement de base plat (Cohomologie des champs, définition 0762). Alors il existe un triangle distingué \[K \to \prod\nolimits_{n \geq 0} \tau_{\geq -n} K \to \prod\nolimits_{n \geq 0} \tau_{\geq -n} K \to K[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Autrement dit, \(K\) est la limite dérivée de ses troncations canoniques.

Démonstration

Rappelons que nous travaillons sur le « grand site fppf » \(\mathcal{X}_{fppf}\) de \(\mathcal{X}\) (selon nos conventions pour les faisceaux de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules dans les chapitres Faisceaux sur les champs et Cohomologie sur les champs). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des objets \(x\) de \(\mathcal{X}_{fppf}\) qui sont au-dessus d’un schéma affine \(U\). En combinant Faisceaux sur les champs, lemmes 075R, 075F, Descente, lemme 0756, et Cohomologie des schémas, lemme 01XB nous voyons que \(H^p(x, \mathcal{F}) = 0\) si \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent et \(x \in \mathcal{B}\). L’assertion découle alors de Cohomologie sur les sites, lemme 0D6P, avec \(d = 0\).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Si \(\mathcal{F}_n\) est une famille de faisceaux localement quasi-cohérents satisfaisant à la propriété de changement de base plat sur \(\mathcal{X}\), alors \(\oplus_n \mathcal{F}_n[n] \to \prod_n \mathcal{F}_n[n]\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

En effet, le lemme 08IY montre que la somme directe est isomorphe au produit.

Reprenons la discussion. Puisqu’un module quasi-cohérent est localement quasi-cohérent et satisfait à la propriété de changement de base plat (Faisceaux sur les champs, lemme 06WK), nous obtenons \[E = \prod\nolimits_{m \geq 0} \mathcal{O}_\mathcal{X}[m]\] Puisque la cohomologie commute aux limites, nous avons \[Rf_*E = \prod\nolimits_{m \geq 0} \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_S[m - n]\right)\] Remarquons que ce complexe n’est pas un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\), car son faisceau de cohomologie en degré \(0\) est un produit infini de copies de \(\mathcal{O}_S\), qui n’est même pas un \(\mathcal{O}_S\)-module localement quasi-cohérent.

Lemme

Un morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques n’induit pas nécessairement un foncteur \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Une grande catégorie abélienne

Le but de cette section est de donner un exemple d’une « grande » catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) et d’objets \(M, N\) tels que la collection des classes d’isomorphisme d’extensions \(\Ext_\mathcal{A}(M, N)\) ne soit pas un ensemble. Cet exemple est dû à Freyd; voir [Freyd, page 131, Exercise A].

Nous définissons \(\mathcal{A}\) comme suit. Un objet de \(\mathcal{A}\) est un triplet \((M, \alpha, f)\), où \(M\) est un groupe abélien, \(\alpha\) un ordinal et \(f : \alpha \to \text{End}(M)\) une application. Un morphisme \((M, \alpha, f) \to (M', \alpha', f')\) est donné par un homomorphisme de groupes abéliens \(\varphi : M \to M'\) tel que, pour tout ordinal \(\beta\), on ait \[\varphi \circ f(\beta) = f'(\beta) \circ \varphi\] La convention est de poser \(f(\beta) = 0\) si \(\beta\) n’appartient pas à \(\alpha\) et, de même, \(f'(\beta)\) est nul si \(\beta\) n’est pas un élément de \(\alpha'\). Nous omettons la vérification que la catégorie ainsi définie est abélienne.

Considérons l’objet \(Z = (\mathbf{Z}, \emptyset, f)\), c’est-à-dire que tous les opérateurs sont nuls. L’observation est que, calculé dans \(\mathcal{A}\), le groupe \(\Ext^1_\mathcal{A}(Z, Z)\) est une classe propre et non un ensemble. En effet, pour tout ordinal \(\alpha\), nous pouvons construire une extension \((M, \alpha + 1, f)\) de \(Z\) par \(Z\) dont le groupe sous-jacent est \(M = \mathbf{Z} \oplus \mathbf{Z}\) et pour laquelle \(f\) est partout nulle sauf en \[f(\alpha) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right).\] Cela produit manifestement une classe propre de classes d’isomorphisme d’extensions. En particulier, la catégorie dérivée de \(\mathcal{A}\) possède des classes propres pour ses collections de morphismes; voir Catégories dérivées, lemme 06XV. Il faut donc faire preuve de prudence dans la définition des quotients de Verdier de catégories triangulées.

Lemme

Il existe une « grande » catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) dont les groupes \(\Ext\) sont des classes propres.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Points faiblement associés et densité schématique

Soit \(k\) un corps. Soit \(R = k[z, x_i, y_i]/(z^2, zx_iy_i)\), où \(i\) parcourt les éléments de \(\mathbf{N}\). Remarquons que \(R = R_0 \oplus M_0\), où \(R_0 = k[x_i, y_i]\) est un sous-anneau et \(M_0\) un idéal de carré nul, avec \(M_0 \cong R_0/(x_iy_i)\) comme \(R_0\)-module. L’idéal premier \(\mathfrak p = (z, x_i)\) est faiblement associé à \(R\) considéré comme \(R\)-module (Algèbre, définition 0547). En effet, l’élément \(z\) de \(R_\mathfrak p\) est non nul mais annulé par \(\mathfrak pR_\mathfrak p\). Considérons d’autre part le sous-schéma ouvert \[U = \bigcup D(x_i) \subset \Spec(R) = S\] Nous affirmons que \(U \subset S\) est schématiquement dense (Morphismes, définition 01RB). Pour le démontrer, il suffit de voir que \(\mathcal{O}_S \to j_*\mathcal{O}_U\) est injectif, où \(j : U \to S\) est le morphisme d’inclusion; voir Morphismes, lemme 01RE. Traduit en termes algébriques, il faut montrer que, pour tout \(g \in R\), l’application \[R_g \longrightarrow \prod R_{x_ig}\] est injective. Écrivons \(g = g_0 + m_0\), avec \(g_0 \in R_0\) et \(m_0 \in M_0\). Alors \(R_g = R_{g_0}\) (détails omis). Nous pouvons donc supposer \(g \in R_0\). Nous pouvons aussi supposer \(g\) non nul. Alors \(R_g = (R_0)_g \oplus (M_0)_g\). Puisque \(R_0\) est intègre, l’application \((R_0)_g \to \prod (R_0)_{x_ig}\) est injective. Si \(g \in (x_iy_i)\), alors \((M_0)_g = 0\) et il n’y a rien à démontrer. Si \(g \not \in (x_iy_i)\), comme \((x_iy_i)\) est un idéal radical de \(R_0\), il reste à montrer que \(M_0 \to \prod (M_0)_{x_ig}\) est injective. Le noyau de \(R_0 \to M_0 \to (M_0)_{x_n}\) est \((x_iy_i, y_n)\). Comme \((x_iy_i, y_n)\) est un idéal radical, si \(g \not \in (x_iy_i, y_n)\), alors le noyau de \(R_0 \to M_0 \to (M_0)_{x_ng}\) est \((x_iy_i, y_n)\). Puisque \(g \not \in (x_iy_i, y_n)\) pour tout \(n \gg 0\), nous concluons que le noyau est contenu dans \(\bigcap_{n \gg 0} (x_iy_i, y_n) = (x_iy_i)\), comme voulu.

Voici un second exemple, dû à Ofer Gabber. Soit \(k\) un corps, et soient \(R\), resp. \(R'\), l’anneau des fonctions \(\mathbf{N} \to k\), resp. l’anneau des fonctions \(\mathbf{N} \to k\) constantes à partir d’un certain rang. Alors \(\Spec(R)\), resp. \(\Spec(R')\), est le compactifié de Stone-Čech⁴ \(\beta\mathbf{N}\), resp. le compactifié à un point⁵ \(\mathbf{N}^* = \mathbf{N} \cup \{\infty\}\). Tous les points sont faiblement associés, puisque tous les idéaux premiers sont minimaux dans les anneaux \(R\) et \(R'\).

Lemme

Il existe un schéma réduit \(X\) et un ouvert schématiquement dense \(U \subset X\) tel qu’un certain point faiblement associé \(x \in X\) n’appartienne pas à \(U\).

Démonstration

Dans le premier exemple, \(\mathfrak p \not \in U\) par construction. Dans les exemples de Gabber, les schémas \(\Spec(R)\) et \(\Spec(R')\) sont réduits.

Exemple de non-additivité des traces

Soit \(k\) un corps et soit \(R = k[\epsilon]\) l’anneau des nombres duaux sur \(k\). Autrement dit, \(R = k[x]/(x^2)\) et \(\epsilon\) est la classe de \(x\) dans \(R\). Considérons la suite exacte courte de complexes \[\xymatrix{ 0 \ar[d] \ar[r] & R \ar[d]^\epsilon \ar[r]_1 & R \ar[d] \\ R \ar[r]^1 & R \ar[r] & 0 }\] Ici, les colonnes sont les complexes, la première ligne est placée en degré \(0\) et la seconde en degré \(1\). Désignons le premier complexe (c’est-à-dire la colonne de gauche) par \(A^\bullet\), le deuxième par \(B^\bullet\) et le troisième par \(C^\bullet\). Nous affirmons que le diagramme [087K]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A^\bullet \ar[d]_{1 + \epsilon} \ar[r] & B^\bullet \ar[r] \ar[d]_1 & C^\bullet \ar[d]_1 \\ A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet } } \end{equation}\] est commutatif dans \(K(R)\), c’est-à-dire qu’il s’agit d’un diagramme de complexes commutatif à homotopie près. En effet, le carré de droite est commutatif et celui de gauche l’est modulo l’homotopie \(1 : A^1 \to B^0\). En revanche, \[\text{Tr}_{A^\bullet}(1 + \epsilon) + \text{Tr}_{C^\bullet}(1) \not = \text{Tr}_{B^\bullet}(1).\]

Lemme

Il existe un anneau \(R\), un triangle distingué \((K, L, M, \alpha, \beta, \gamma)\) dans la catégorie homotopique \(K(R)\), et un endomorphisme \((a, b, c)\) de ce triangle distingué, tels que \(K\), \(L\), \(M\) soient des complexes parfaits et que \(\text{Tr}_K(a) + \text{Tr}_M(c) \not = \text{Tr}_L(b)\).

Démonstration

Considérons l’exemple ci-dessus. L’application \(\gamma : C^\bullet \to A^\bullet[1]\) est donnée par multiplication par \(\epsilon\) en degré \(0\); voir Catégories dérivées, définition 014Q. Il est donc également vrai que \[\xymatrix{ C^\bullet \ar[d] \ar[r]_\gamma & A^\bullet[1] \ar[d] \\ C^\bullet \ar[r]^\gamma & A^\bullet[1] }\] est commutatif dans \(K(R)\), puisque \(\epsilon(1 + \epsilon) = \epsilon\). Nous avons donc bien un morphisme de triangles distingués.

Cohomologie non finie du faisceau structural d’un schéma projectif

Soient \(R\) un anneau non noethérien quelconque et \(I\) un idéal de \(R\) qui n’est pas de type fini. Soit \(S = R[x, y]/xyI\), considéré comme anneau gradué où \(x\) et \(y\) sont de degré \(1\). Alors \(X = \text{Proj}(S)\) est un schéma projectif sur \(R\). Nous affirmons que \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) n’est pas un \(R\)-module de type fini.

En décomposant les anneaux \(S_x\), \(S_y\) et \(S_{xy}\) suivant le bidegré, nous pouvons écrire \[S_x = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2 \\ b \geq 0}} R'_{a, b}, \quad\quad S_y = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2 \\ a \geq 0}} R''_{a, b}, \quad\quad S_{xy} = \bigoplus_{\substack{(a, b) \in \mathbf{Z}^2}} R/I,\] où les facteurs directs d’indice \((a, b)\) sont en degré \(a + b\) et où \[R'_{a, b} = \left\{ \begin{matrix} R & b = 0, \\ R/I & b \ne 0, \end{matrix} \right. \quad\quad R''_{a, b} = \left\{ \begin{matrix} R & a = 0, \\ R/I & a \ne 0. \end{matrix} \right.\] Le \(R\)-module \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) se calcule comme le noyau de l’application \[(S_x)_0 \times (S_y)_0 \to (S_{xy})_0\] définie par \((F, G) \mapsto F - G\). Ici, la notation \(A_0\) désigne la composante de degré \(0\) d’un anneau \(\mathbf{Z}\)-gradué \(A\). D’après la description explicite ci-dessus de \(S_x, S_y, S_{xy}\), ce noyau est isomorphe au sous-module \(M \subset R^2\) formé des couples \((F, G)\) tels que \(F - G \in I\). Puisque l’application \(M \to I\) de \(R\)-modules donnée par \((F, G) \mapsto F - G\) est surjective, \(M\) n’est pas un \(R\)-module de type fini.

La surjection \(R[x, y] \to S\) correspond à une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^1_R\). Alors \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_R}\)-module quasi-cohérent de type fini dont le \(H^0\) est le module \(M\) non de type fini calculé ci-dessus.

Lemme

\(H^0\) non fini.

1. Il existe un anneau \(R\) et un schéma projectif \(X\) sur \(R\) tels que \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\) ne soit pas un \(R\)-module de type fini.

2. Il existe un anneau \(R\) et un module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{P}^1_R\) tels que \(H^0(\mathbf{P}^1_R, \mathcal{F})\) ne soit pas un \(R\)-module de type fini.

Démonstration

Voir la discussion qui précède.

Être projectif n’est pas local sur la base

Dans le chapitre sur la descente, nous avons vu que de nombreuses propriétés des morphismes sont locales sur la base, même pour la topologie fpqc. Voir Descente, sections 02KN, 02YJ et 02YL. Ce n’est pas le cas de la projectivité des morphismes.

Lemme

Les propriétés

1. \(\mathcal{P}(f) =\) « \(f\) est projectif », et

2. \(\mathcal{P}(f) =\) « \(f\) est quasi-projectif »

ne sont pas locales sur la base pour la topologie de Zariski. A fortiori, elles ne sont pas locales sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Suivant Hironaka [H, exemple B.3.4.1], nous construisons un morphisme propre entre variétés complexes lisses de dimension 3 \(f:V_Y\to Y\) qui est localement projectif pour la topologie de Zariski, mais non projectif. Comme \(f\) est propre et non projectif, il n’est pas non plus quasi-projectif.

Soit \(Y\) l’espace projectif de dimension 3 sur les nombres complexes \({\mathbf C}\). Soient \(C\) et \(D\) des coniques lisses de \(Y\) telles que le sous-schéma fermé \(C\cap D\) soit réduit et consiste en deux points complexes \(P\) et \(Q\). (Par exemple, prenons \(C=\{ [x,y,z,w]: xy=z^2, w=0\}\), \(D=\{ [x,y,z,w]: xy=w^2, z=0\}\), \(P=[1,0,0,0]\), et \(Q=[0,1,0,0]\).) Sur \(Y-Q\), éclatons d’abord la courbe \(C\), puis la transformée stricte de la courbe \(D\) (Diviseurs, définition 080D). Sur \(Y-P\), éclatons d’abord la courbe \(D\), puis la transformée stricte de la courbe \(C\). Au-dessus de \(Y-P-Q\), les deux variétés ainsi construites sont canoniquement isomorphes; nous pouvons donc les recoller au-dessus de \(Y-P-Q\). Le résultat est une variété lisse propre \(V_Y\) de dimension 3 sur \({\mathbf C}\). Le morphisme \(f:V_Y\to Y\) est propre et localement projectif pour la topologie de Zariski (car c’est un éclatement au-dessus de \(Y-P\) et de \(Y-Q\)), d’après Diviseurs, lemme 02NS. Nous allons montrer que \(V_Y\) n’est pas projectif sur \({\mathbf C}\). Il en résultera que \(f\) n’est pas projectif.

Pour cela, soit \(L\) l’image réciproque dans \(V_Y\) d’un point complexe de \(C-P-Q\), et \(M\) celle d’un point complexe de \(D-P-Q\). Alors \(L\) et \(M\) sont isomorphes à la droite projective \({\mathbf P}^1_{{\mathbf C}}\). Soit ensuite \(E\) le sous-schéma de \(V_Y\) donné par l’image réciproque de \(C\cup D\subset Y\) dans \(V_Y\); ainsi, \(E\rightarrow C\cup D\) est un morphisme propre, dont les fibres sont isomorphes à \({\mathbf P}^1\) au-dessus de \((C\cup D)-\{P,Q\}\). L’image réciproque de \(P\) dans \(E\) est la réunion de deux droites \(L_0\) et \(M_0\), et nous avons les équivalences rationnelles de cycles \(L\sim L_0+M_0\) et \(M\sim M_0\) sur \(E\) (puisque \(C\) et \(D\) sont isomorphes à \({\mathbf P}^1\)). Remarquons l’asymétrie qui résulte de l’ordre dans lequel nous avons éclaté les deux courbes. Au voisinage de \(Q\), la situation inverse se produit. L’image réciproque de \(Q\) est donc la réunion de deux droites \(L_0'\) et \(M_0'\), et nous avons les équivalences rationnelles \(L\sim L_0'\) et \(M\sim L_0'+M_0'\) sur \(E\). En combinant ces équivalences, nous obtenons \(L_0+M_0'\sim 0\) sur \(E\), donc sur \(V_Y\). Si \(V_Y\) était projectif sur \({\mathbf C}\), il posséderait un fibré inversible ample \(H\), de degré \(> 0\) sur toute courbe de \(V_Y\). En particulier, \(H\) serait de degré positif sur \(L_0+M_0'\), ce qui contredit le fait que le degré d’un fibré inversible est bien défini sur les 1-cycles modulo équivalence rationnelle d’un schéma propre sur un corps (Homologie de Chow, lemme 02S2 et lemme 02TI). Ainsi, \(V_Y\) n’est pas projectif sur \({\mathbf C}\).

Dans une autre terminologie, la variété de dimension 3 de Hironaka \(V_Y\) est une petite résolution de l’éclatement \(Y'\) de \(Y\) le long du sous-schéma réduit \(C\cup D\); ici, \(Y'\) possède deux singularités nodales. Si l’on définit \(Z\) en éclatant \(Y\) le long de \(C\), puis le long de la transformée stricte de \(D\), alors \(Z\) est une variété projective lisse de dimension 3, et la variété non projective \(V_Y\) diffère de \(Z\) par un « flop » au-dessus de \(Y-P\).

Données de descente non effectives pour les schémas projectifs

Dans le chapitre sur la descente, nous avons vu que les données de descente de schémas relativement à un morphisme fpqc sont effectives pour plusieurs classes de morphismes. En particulier, les morphismes affines et, plus généralement, les morphismes quasi-affines satisfont à la descente pour les recouvrements fpqc (Descente, lemme 0247). Ce n’est pas le cas des morphismes projectifs.

Lemme

Il existe un recouvrement étale de schémas \(X\to S\) et une donnée de descente \((V/X,\varphi)\) relativement à \(X\to S\) telle que \(V\to X\) soit projectif, mais que la donnée de descente ne soit pas effective dans la catégorie des schémas.

Démonstration

Nous imitons l’exemple de Hironaka d’un espace algébrique complexe lisse et séparé de dimension 3 qui n’est pas un schéma [H, exemple B.3.4.2].

Considérons l’action du groupe \(G = \mathbf{Z}/2 = \{1, g\}\) sur l’espace projectif de dimension 3 \(\mathbf{P}^3\) sur les nombres complexes, donnée par \[g[x,y,z,w] = [y,x,w,z].\] L’action est libre en dehors des deux droites disjointes \(L_1=\{ [x,x,z,z]\}\) et \(L_2=\{ [x,-x,z,-z]\}\) de \({\mathbf P}^3\). Soit \(Y={\mathbf P}^3-(L_1\cup L_2)\). Il existe un schéma quasi-projectif lisse \(S=Y/G\) sur \({\mathbf C}\) tel que \(Y\to S\) soit un torseur sous \(G\) (Groupoïdes, définition 049A). Explicitement, nous pouvons définir \(S\) comme l’image de l’ouvert \(Y\) de \({\mathbf P}^3\) par le morphisme \[\begin{align*} {\mathbf P}^3 & \to \text{Proj } {\mathbf C}[x,y,z,w]^G\\ & = \text{Proj } {\mathbf C}[u_0,u_1,v_0,v_1,v_2]/(v_0v_1=v_2^2), \end{align*}\] où \(u_0=x+y\), \(u_1=z+w\), \(v_0=(x-y)^2\), \(v_1=(z-w)^2\) et \(v_2=(x-y)(z-w)\), l’anneau étant gradué avec \(u_0,u_1\) en degré 1 et \(v_0,v_1,v_2\) en degré 2.

Soient \(C=\{ [x,y,z,w]: xy=z^2, w=0\}\) et \(D=\{ [x,y,z,w]: xy=w^2, z=0\}\). Ce sont des coniques lisses de \({\mathbf P}^3\), contenues dans l’ouvert \(G\)-invariant \(Y\), avec \(g(C)=D\). De plus, \(C\cap D\) consiste en deux points \(P:=[1,0,0,0]\) et \(Q:=[0,1,0,0]\), que l’action de \(G\) échange.

Soit \(V_Y\to Y\) le schéma défini au-dessus de \(Y-P\) en éclatant \(D\), puis la transformée stricte de \(C\), et au-dessus de \(Y-Q\) en éclatant \(C\), puis la transformée stricte de \(D\). (C’est la même construction que dans la démonstration du lemme 08J1, à ceci près que \(Y\) désigne ici un ouvert de \({\mathbf P}^3\) et non \({\mathbf P}^3\) tout entier.) Alors l’action de \(G\) sur \(Y\) se relève en une action de \(G\) sur \(V_Y\) qui échange les images réciproques de \(Y-P\) et de \(Y-Q\). Cette action de \(G\) sur \(V_Y\) fournit une donnée de descente \((V_Y/Y,\varphi_Y)\) sur \(V_Y\) relativement au torseur sous \(G\) \(Y\to S\). Le morphisme \(V_Y\to Y\) est propre mais non projectif, comme le montre la démonstration du lemme 08J1.

Soit \(X\) la réunion disjointe des ouverts \(Y-P\) et \(Y-Q\); nous avons alors des morphismes étales surjectifs \(X\to Y\to S\). Soit \(V\) l’image réciproque de \(V_Y\to Y\) sur \(X\); alors le morphisme \(V\to X\) est projectif, puisque \(V_Y\to Y\) est un éclatement au-dessus de chacun des ouverts \(Y-P\) et \(Y-Q\). De plus, la donnée de descente \((V_Y/Y,\varphi_Y)\) induit par image réciproque une donnée de descente \((V/X,\varphi)\) relativement au recouvrement étale \(X\to S\).

Supposons cette donnée de descente effective dans la catégorie des schémas. Il existe alors un schéma \(U\to S\) dont l’image réciproque est le morphisme \(V\to X\), muni de sa donnée de descente. Alors \(U\) serait le quotient de \(V_Y\) par l’action de \(G\). \[\xymatrix{ V \ar[r]\ar[d]& X\ar[d] \\ V_Y \ar[r]\ar[d]& Y\ar[d] \\ U \ar[r]& S }\]

Soit \(E\) l’image réciproque de \(C\cup D\subset Y\) dans \(V_Y\); ainsi, \(E\rightarrow C\cup D\) est un morphisme propre, dont les fibres sont isomorphes à \({\mathbf P}^1\) au-dessus de \((C\cup D)-\{P,Q\}\). L’image réciproque de \(P\) dans \(E\) est la réunion de deux droites \(L_0\) et \(M_0\). Il en résulte que l’image réciproque de \(Q=g(P)\) dans \(E\) est la réunion des deux droites \(L_0'=g(M_0)\) et \(M_0'=g(L_0)\). Comme le montre la démonstration du lemme 08J1, nous avons une équivalence rationnelle \(L_0+M_0'=L_0+g(L_0)\sim 0\) sur \(E\).

Par descente des sous-schémas fermés, il existe une courbe \(L_1\subset U\) (isomorphe à \({\mathbf P}^1\)) dont l’image réciproque dans \(V_Y\) est \(L_0\cup g(L_0)\). (Utiliser Descente, lemme 0245, en remarquant qu’une immersion fermée est un morphisme affine.) Soit \(R\) un point complexe de \(L_1\). Puisque nous avons supposé que \(U\) est un schéma, nous pouvons choisir une fonction \(f\) dans l’anneau local \(O_{U,R}\) qui s’annule en \(R\), mais non sur toute la courbe \(L_1\). Soit \(D_{\text{loc}}\) une composante irréductible du fermé \(\{f = 0\}\) de \(\Spec O_{U,R}\); alors \(D_{\text{loc}}\) est de codimension 1. L’adhérence de \(D_{\text{loc}}\) dans \(U\) est un diviseur irréductible \(D_U\) de \(U\) qui contient le point \(R\), mais non toute la courbe \(L_1\). L’image réciproque de \(D_U\) dans \(V_Y\) est un diviseur effectif \(D\) qui rencontre \(L_0\cup g(L_0)\) mais ne contient aucune des deux courbes \(L_0\) et \(g(L_0)\).

Puisque la variété complexe \(V_Y\) de dimension 3 est lisse, \(O(D)\) est un fibré inversible sur \(V_Y\). Nous utilisons ici le fait qu’un anneau local régulier est à factorisation unique, autrement dit factoriel; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0AG0. La restriction de \(O(D)\) à la surface propre \(E\subset V_Y\) est un fibré inversible de degré positif sur le 1-cycle \(L_0+g(L_0)\), d’après les propriétés de \(D\). Puisque \(L_0+g(L_0)\sim 0\) sur \(E\), cela contredit le fait que le degré d’un fibré inversible est bien défini sur les 1-cycles modulo équivalence rationnelle d’un schéma propre sur un corps (Homologie de Chow, lemme 02S2 et lemme 02TI). La donnée de descente \((V/X,\varphi)\) n’est donc pas effective; autrement dit, \(U\) n’existe pas comme schéma.

Dans cet exemple, la donnée de descente est effective dans la catégorie des espaces algébriques. Plus précisément, \(U\) existe comme espace algébrique lisse et séparé de dimension 3 sur \({\mathbf C}\), par exemple d’après Espaces algébriques, lemme 02Z2. La variété \(U\) de Hironaka, de dimension 3, est une petite résolution de l’éclatement \(S'\) de la variété quasi-projective lisse \(S\) de dimension 3 le long de la courbe nodale irréductible \((C\cup D)/G\); la variété \(S'\) de dimension 3 possède une singularité nodale. L’autre petite résolution de \(S'\) (qui diffère de \(U\) par un « flop ») est encore un espace algébrique qui n’est pas un schéma.

Une famille de courbes dont l’espace total n’est pas un schéma

Dans Quot, section 0D4Y, nous définissons une famille de courbes sur un schéma \(S\) comme un morphisme propre, plat et de présentation finie de dimension relative \(\leq 1\) d’un espace algébrique \(X\) vers \(S\). Si \(S\) est le spectre d’un anneau local noethérien complet, alors \(X\) est un schéma ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0AE7. Dans cette section, nous montrons que ce résultat est faux en général.

Soit \(k\) un corps. Partons d’un morphisme propre et plat \[Y \longrightarrow \mathbf{A}^1_k\] et d’un point \(y \in Y(k)\) situé au-dessus de \(0 \in \mathbf{A}^1_k(k)\) possédant les propriétés suivantes :

1. la fibre \(Y_0\) est une courbe lisse géométriquement irréductible sur \(k\),

2. pour tout sous-schéma fermé propre \(T \subset Y\) dominant \(\mathbf{A}^1_k\), l’intersection \(T \cap Y_0\) contient au moins un point distinct de \(y\).

À partir d’une telle surface, nous construisons notre exemple comme suit. \[\xymatrix{ Y \ar[rd] & Z \ar[d] \ar[l] \ar[r] & X \ar[ld] \\ & \mathbf{A}^1_k }\] Ici, \(Z \to Y\) est l’éclatement de \(Y\) en \(y\). Soit \(E \subset Z\) le diviseur exceptionnel et soit \(C \subset Z\) la transformée stricte de \(Y_0\). On a \(Z_0 = E \cup C\) au sens schématique (pour le voir, utiliser que \(Y\) est lisse en \(y\) et que, de plus, \(Y \to \mathbf{A}^1_k\) est lisse en \(y\)). D’après les résultats d’Artin ([ArtinII] ; utiliser Réduction semi-stable, lemme 0C66 pour voir que le fibré normal de \(C\) est négatif), nous pouvons contracter la courbe \(C\) dans \(Z\) et obtenir un espace algébrique \(X\) comme dans le diagramme. Soit \(x \in X(k)\) l’image de \(C\).

Nous affirmons que \(X\) n’est pas un schéma. En effet, s’il en était un, il existerait un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\). Posons \(T = X \setminus U\). Alors \(T\) domine \(\mathbf{A}^1_k\) (car les fibres de \(X \to \mathbf{A}^1_k\) sont propres de dimension \(1\) alors que les fibres de \(U \to \mathbf{A}^1_k\) sont affines, donc différentes). Soit \(T' \subset Z\) le sous-schéma fermé qui s’envoie isomorphiquement sur \(T\) (car \(x \not \in T\)). Alors l’image de \(T'\) dans \(X\) contredit la condition (2) ci-dessus (car \(T' \cap Z_0\) est contenu dans le diviseur exceptionnel \(E\) de l’éclatement \(Z \to Y\)).

Pour achever la discussion, il nous reste à construire \(Y\). Nous supposerons que la caractéristique de \(k\) n’est pas \(3\). Écrivons \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[t])\) et prenons \[Y \quad : \quad T_0^3 + T_1^3 + T_2^3 - tT_0T_1T_2 = 0\] dans \(\mathbf{P}^2_{k[t]}\). La fibre pour \(t = 0\) est une courbe projective lisse de genre \(1\). Sur l’ouvert affine \(V_+(T_0)\), nous obtenons l’équation affine \[1 + x^3 + y^3 - txy = 0\] qui définit une surface lisse sur \(k\). Par symétrie, il en va de même sur les autres ouverts affines, et nous voyons donc que \(Y\) est une surface lisse. Enfin, l’équation affine montre aussi que le corps des fractions est \(k(x, y)\) ; la surface \(Y\) est donc rationnelle. Or le groupe de Picard d’une surface rationnelle est de type fini (insérer ici une référence future). Ainsi, pour choisir \(y \in Y_0(k)\) possédant la propriété (2), il suffit de choisir \(y\) de telle sorte que [0DYB]\[\begin{equation} \mathcal{O}_{Y_0}(ny) \not \in \Im(\Pic(Y) \to \Pic(Y_0)) \text{ pour tout }n > 0 \end{equation}\] En effet, la somme des composantes irréductibles de dimension \(1\) d’un \(T\) contredisant (2) donnerait un diviseur de Cartier effectif dont l’intersection avec \(Y_0\) serait le diviseur \(ny\) pour un certain \(n \geq 1\), et nous conclurions que \(\mathcal{O}_{Y_0}(ny)\) appartient à l’image de l’application de restriction. Remarquons que, puisque \(Y_0\) est de genre \(\geq 1\), l’application \[Y_0(k) \to \Pic(Y_0),\quad y \mapsto \mathcal{O}_{Y_0}(y)\] est injective. Si maintenant \(k\) est un corps algébriquement clos non dénombrable, la dénombrabilité de \(\Pic(Y)\) et la remarque précédente permettent de trouver un \(y \in Y_0(k)\) satisfaisant (0DYB), et donc (2).

Lemme

Il existe un corps \(k\) et une famille de courbes \(X \to \mathbf{A}^1_k\) telle que \(X\) ne soit pas un schéma.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Changement de base dérivé

Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux. Dans Compléments d’algèbre, section 06Y5, nous construisons un foncteur de changement de base dérivé \(- \otimes_R^\mathbf{L} R' : D(R) \to D(R')\). Soit ensuite \(R \to A\) un second morphisme d’anneaux. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ A \ar[r] & A \otimes_R R' \ar@{=}[r] & A' \\ R \ar[u] \ar[r] & R' \ar[u] \ar[ur] }\] Étant donné un \(A\)-module \(M\), le produit tensoriel \(M \otimes_R R'\) est un \(A \otimes_R R'\)-module, c’est-à-dire un \(A'\)-module. Au morphisme d’anneaux \(A \to A'\) est associé un foncteur dérivé \[- \otimes_A^\mathbf{L} A' : D(A) \longrightarrow D(A')\] mais, en général, ce foncteur ne coïncide pas avec \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\). Plus précisément, pour \(K \in D(A)\), le morphisme canonique \[K \otimes_R^{\mathbf{L}} R' \longrightarrow K \otimes_A^{\mathbf{L}} A'\] dans \(D(R')\), construit dans Compléments d’algèbre, équation (065Z), n’est pas un isomorphisme en général. On peut donc se demander s’il existe un « foncteur de changement de base dérivé » \(T : D(A) \to D(A')\), c’est-à-dire un foncteur tel que l’image de \(T(K)\) soit \(K \otimes_R^\mathbf{L} R'\) dans \(D(R')\). Dans cette section, nous montrons qu’un tel foncteur n’existe pas en général.

Soit \(k\) un corps. Posons \(R = k[x, y]\), \(R' = R/(xy)\) et \(A = R/(x^2)\). L’objet \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\) de \(D(R')\) est représenté par \[x^2 : R' \longrightarrow R'\] et \(H^0(A \otimes_R^\mathbf{L} R') = A \otimes_R R'\). Nous affirmons qu’il n’existe aucun objet \(E\) de \(D(A \otimes_R R')\) dont l’image soit \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\) dans \(D(R')\). En effet, pour un tel \(E\), le module \(H^0(E)\) serait libre ; par conséquent, \(E\) se décomposerait sous la forme \(H^0(E)[0] \oplus H^{-1}(E)[1]\). Or il est facile de voir que \(A \otimes_R^\mathbf{L} R'\) n’est pas isomorphe à la somme de ses groupes de cohomologie dans \(D(R')\).

Lemme

Soient \(R \to R'\) et \(R \to A\) des morphismes d’anneaux. En général, il n’existe pas de foncteur \(T : D(A) \to D(A \otimes_R R')\) entre catégories triangulées tel qu’à tout \(A\)-module \(M\) soit associé un objet \(T(M)\) de \(D(A \otimes_R R')\) qui s’envoie sur \(M \otimes_R^\mathbf{L} R'\) par l’application \(D(A \otimes_R R') \to D(R')\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un objet compact intéressant

Soit \(R\) un anneau et soit \((A, \text{d})\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Si \(A = R\), nous savons que tout objet compact de \(D(A, \text{d}) = D(R)\) est représenté par un complexe fini de modules projectifs de type fini. En d’autres termes, les objets compacts sont parfaits ; voir Compléments d’algèbre, proposition 07LT. Dans le langage des modules différentiels gradués, la question analogue serait : « Tout objet compact de \(D(A, \text{d})\) est-il représenté par un \(A\)-module différentiel gradué \(P\), de type fini et projectif comme module gradué ? »

Pour une algèbre différentielle graduée générale, ce n’est pas vrai. En effet, soit \(k\) un corps de caractéristique \(2\) (de sorte que nous n’ayons pas à nous soucier des signes). Soit \(A = k[x, y]/(y^2)\) avec

1. \(x\) est de degré \(0\),

2. \(y\) est de degré \(-1\),

3. \(\text{d}(x) = 0\), et

4. \(\text{d}(y) = x^2 + x\).

Alors \(x : A \to A\) est un projecteur dans \(K(A, \text{d})\). Par conséquent, on a \[A = \Ker(x) \oplus \Im(1 - x)\] dans \(K(A, \text{d})\) ; voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09JR, et Catégories dérivées, lemme 05QW. Il est clair que \(A\) est un objet compact de \(D(A, \text{d})\). Il s’ensuit que \(\Ker(x)\) est un objet compact de \(D(A, \text{d})\), comme il résulte de Catégories dérivées, lemme 09QH.

Supposons ensuite que \(M\) soit un \(A\)-module différentiel gradué (à droite) représentant \(\Ker(x)\) et que \(M\) soit de type fini et projectif comme \(A\)-module gradué. Tout module gradué projectif de type fini sur \(k[x, y]/(y^2)\) étant gradué libre, nous voyons que \(M\) est libre de type fini comme \(k[x, y]/(y^2)\)-module gradué (autrement dit, lorsque l’on oublie la différentielle). Posons \(N = M/M(x^2 + x)\). Considérons la suite exacte \[0 \to M \xrightarrow{x^2 + x} M \to N \to 0\] Comme \(x^2 + x\) est de degré \(0\), appartient au centre de \(A\) et \(\text{d}(x^2 + x) = 0\), c’est une suite exacte courte de \(A\)-modules différentiels gradués. De plus, puisque \(\text{d}(y) = x^2 + x\), la différentielle de \(N\) est linéaire. Les applications \[H^{-1}(N) \to H^0(M) \quad\text{et}\quad H^0(M) \to H^0(N)\] sont des isomorphismes, car \(H^*(M) = H^0(M) = k\) puisque \(M \cong \Ker(x)\) dans \(D(A, \text{d})\). Un calcul de l’application de connexion montre que \(H^*(N) = k[x, y]/(x, y^2)\) comme module gradué ; nous omettons les détails. Comme \(N\) est un \(k[x, y]/(y^2, x^2 + x)\)-module libre, nous disposons d’une résolution \[\ldots \to N[2] \xrightarrow{y} N[1] \xrightarrow{y} N \to N/Ny \to 0\] compatible aux différentielles. Comme \(N\) est borné et que \(H^0(N) = k[x,y]/(x, y^2)\), il résulte de Homologie, lemme 0132, que \(H^0(N/Ny) = k[x]/(x)\). Mais \(N/Ny\) est un complexe fini de \(k[x]/(x^2 + x) = k \times k\)-modules libres ; sa cohomologie doit donc être de dimension paire, ce qui est une contradiction.

Lemme

Il existe une algèbre différentielle graduée \((A, \text{d})\) et un objet compact \(E\) de \(D(A, \text{d})\) tel que \(E\) ne puisse pas être représenté par un \(A\)-module différentiel gradué de type fini et projectif comme module gradué.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Deux catégories différentielles graduées

Dans cette section, nous construisons deux catégories différentielles graduées satisfaisant aux axiomes (A), (B) et (C) de Algèbre différentielle graduée, situation 09QJ, mais dont les objets ne sont pas munis d’une \(\mathbf{Z}\)-graduation.

Exemple I. Soit \(X\) un espace topologique. Notons \(\underline{\mathbf{Z}}\) le faisceau constant de valeur \(\mathbf{Z}\). Soit \(A\) un \(\underline{\mathbf{Z}}\)-torseur. Dans ce contexte, un faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) est dit \(A\)-gradué si, pour toute section locale \(a \in A(U)\), il existe un projecteur \(p_a : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\) tel que, pour tout isomorphisme local \(\underline{\mathbf{Z}}|_U \to A|_U\), on ait \(\mathcal{F}|_U = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} p_n(\mathcal{F})\). Autrement dit, localement sur \(X\), le faisceau abélien \(\mathcal{F}\) possède une \(\mathbf{Z}\)-graduation, mais, sur les intersections, les différents choix de graduation diffèrent d’un décalage de degré donné par les fonctions de transition du torseur \(A\). Nous disons qu’un couple \((\mathcal{F}, \text{d})\) est un complexe \(A\)-gradué de faisceaux abéliens si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien \(A\)-gradué et si \(\text{d} : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est une différentielle, c’est-à-dire si \(\text{d}^2 = 0\) et si \(p_{a + 1} \circ \text{d} = \text{d} \circ p_a\) pour toute section locale \(a\) de \(A\). Autrement dit, \(\text{d}(p_a(\mathcal{F}))\) est contenu dans \(p_{a + 1}(\mathcal{F})\).

Considérons ensuite la catégorie \(\mathcal{A}\) définie comme suit :

1. ses objets sont les complexes \(A\)-gradués de faisceaux abéliens ;

2. pour deux objets \((\mathcal{F}, \text{d})\), \((\mathcal{G}, \text{d})\), nous posons \[\Hom_\mathcal{A}((\mathcal{F}, \text{d}), (\mathcal{G}, \text{d})) = \bigoplus \Hom^n(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] où \(\Hom^n(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est le groupe des morphismes de faisceaux abéliens \(f\) tels que \(f(p_a(\mathcal{F})) \subset p_{a + n}(\mathcal{G})\) pour toute section locale \(a\) de \(A\). Nous prenons pour différentielle \(\text{d}(f) = \text{d} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}\) ; voir Algèbre différentielle graduée, exemple 09L9.

Nous omettons la vérification qu’il s’agit bien d’une catégorie différentielle graduée satisfaisant à (A), (B) et (C). Toutes ces propriétés se vérifient localement sur \(X\), où l’on retrouve simplement la catégorie différentielle graduée des complexes de faisceaux abéliens. Nous obtenons ainsi une catégorie triangulée \(K(\mathcal{A})\).

Catégorie dérivée tordue de \(X\). Remarquons qu’à tout objet \((\mathcal{F}, \text{d})\) de \(\mathcal{A}\) est associé un faisceau de cohomologie \(A\)-gradué bien défini \(H(\mathcal{F}, \text{d})\). La notion de quasi-isomorphisme dans \(K(\mathcal{A})\) est donc claire. En inversant les quasi-isomorphismes, nous obtenons la catégorie dérivée \(D(\mathcal{A})\) des complexes de faisceaux \(A\)-gradués. Si \(A\) est le torseur trivial, alors \(D(\mathcal{A})\) est égale à \(D(X)\) ; pour un torseur non trivial, on obtient en revanche une sorte de catégorie dérivée tordue de \(X\).

Exemple II. Soit \(C\) une courbe lisse sur un corps parfait \(k\) de caractéristique \(2\). Alors \(\Omega_{C/k}\) possède une racine carrée canonique. Plus précisément, on peut écrire \(\Omega_{C/k} = \mathcal{L}^{\otimes 2}\) de telle sorte que, pour toute fonction locale \(f\) sur \(C\), la section \(\text{d}(f)\) soit égale à \(s^{\otimes 2}\) pour une certaine section locale \(s\) de \(\mathcal{L}\). La « raison » est que \[\text{d}(a_0 + a_1t + \ldots +a_dt^d) = (\sum\nolimits_{i\text{ impair}} a_i^{1/2} t^{(i - 1)/2})^2\text{d}t\] (insérer ici une référence future). Cela détermine en particulier une connexion canonique \[\nabla_{can} : \Omega_{C/k} \longrightarrow \Omega_{C/k} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}\] dont la \(2\)-courbure est nulle (à savoir l’unique connexion pour laquelle les carrés ont une dérivée nulle). Remarquons que la catégorie des fibrés vectoriels munis d’une connexion est une catégorie tensorielle ; nous obtenons donc aussi des connexions canoniques \(\nabla_{can}\) sur les faisceaux inversibles \(\Omega_{C/k}^{\otimes n}\) pour tous \(n \in \mathbf{Z}\).

Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie définie comme suit :

1. ses objets sont les couples \((\mathcal{F}, \nabla)\) formés d’un faisceau localement libre de type fini \(\mathcal{F}\) muni d’une connexion \[\nabla : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}\] dont la \(2\)-courbure est nulle ;

2. les morphismes entre \((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F})\) et \((\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})\) sont donnés par \[\Hom_\mathcal{A}((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})) = \bigoplus \Hom_{\mathcal{O}_C}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_C} \Omega_{C/k}^{\otimes n})\] Pour un élément \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes n}\) de degré \(n\), nous posons \[\text{d}(f) = \nabla_{\mathcal{G} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes n}} \circ f + f \circ \nabla_\mathcal{F}\] moyennant les identifications convenables.

Nous omettons la vérification que ceci définit une catégorie différentielle graduée satisfaisant aux propriétés (A), (B) et (C). Nous obtenons ainsi une catégorie d’homotopie triangulée \(K(\mathcal{A})\).

Si \(C = \mathbf{P}^1_k\), alors \(K(\mathcal{A})\) est la catégorie nulle. En revanche, si \(C\) est une courbe lisse propre de genre \(> 1\), alors \(K(\mathcal{A})\) n’est pas nulle. En effet, supposons que \(\mathcal{N}\) soit un faisceau inversible de degré \(0 \leq d < g - 1\) possédant une section non nulle \(\sigma\). Posons alors \((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}) = (\mathcal{O}_C, \text{d})\) et \((\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G}) = (\mathcal{N}^{\otimes 2}, \nabla_{can})\). On voit que \[\Hom_\mathcal{A}^n((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & n < 0 \\ \Gamma(C, \mathcal{N}^{\otimes 2}) & \text{si} & n = 0 \\ \Gamma(C, \mathcal{N}^{\otimes 2} \otimes \Omega_{C/k}) & \text{si} & n = 1 \end{matrix} \right.\] Le premier \(0\) apparaît parce que le degré de \(\mathcal{N}^{\otimes 2} \otimes \Omega_{C/k}^{\otimes -1}\) est négatif, par l’hypothèse \(d < g - 1\). Or la dérivée de la section \(\sigma^{\otimes 2}\) est nulle ; par conséquent, le groupe d’homomorphismes \[\Hom_{K(\mathcal{A})}((\mathcal{F}, \nabla_\mathcal{F}), (\mathcal{G}, \nabla_\mathcal{G}))\] est non nul.

Le champ des espaces algébriques propres n’est pas algébrique

Dans Quot, section 0D1D, nous avons introduit et étudié le champ en groupoïdes \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] le champ dont la catégorie des sections sur un schéma \(S\) est la catégorie des espaces algébriques plats, propres et de présentation finie sur \(S\). Nous avons démontré qu’il satisfait à de nombreux axiomes d’Artin. Dans cette section, nous montrons que ce champ n’est pas algébrique en établissant que l’effectivité formelle échoue en général.

L’exemple canonique repose sur le fait que l’espace de déformation universelle d’une variété abélienne de dimension \(g\) possède \(g^2\) paramètres formels, alors que toute déformation effective peut être définie sur un anneau local complet de dimension \(\leq g(g + 1)/2\). Nous construirons notre exemple en explicitant une déformation non effective convenable d’une surface K3. Nous nous bornerons à esquisser l’argument, sans en donner tous les détails.

Soit \(k = \mathbf{C}\) le corps des nombres complexes. Soit \(X \subset \mathbf{P}^3_k\) une surface lisse de degré \(4\) sur \(k\). On a \(\omega_X \cong \Omega^2_{X/k} \cong \mathcal{O}_X\). Enfin, \(\dim_k H^0(X, T_{X/k}) = 0\), \(\dim_k H^1(X, T_{X/k}) = 20\) et \(\dim_k H^2(X, T_{X/k}) = 0\). Comme \(L_{X/k} = \Omega_{X/k}\) puisque \(X\) est lisse sur \(k\), comme \(\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = H^i(X, T_{X/k})\), et en vertu de Cotangent, lemme 08V5, nous obtenons une déformation universelle de \(X\) sur \[k[[x_1, \ldots, x_{20}]]\] Supposons que cette déformation universelle soit effective (au sens de Axiomes d’Artin, section 07X3). Nous obtiendrions alors un morphisme plat et propre \[f : Y \longrightarrow \Spec(k[[x_1, \ldots, x_{20}]])\] où \(Y\) est un espace algébrique qui réalise la déformation universelle. Cela est impossible pour la raison suivante. Comme \(Y\) est séparé, nous pouvons trouver un sous-schéma ouvert affine \(V \subset Y\). Puisque la fibre spéciale \(X\) de \(Y\) est lisse, le morphisme \(f\) est lisse. Ainsi \(Y\) est régulier, puisqu’il est lisse sur une base régulière, et il s’ensuit que le complémentaire \(D\) de \(V\) dans \(Y\) est un diviseur de Cartier effectif. Alors \(\mathcal{O}_Y(D)\) est un élément non trivial de \(\Pic(Y)\) (pour le démontrer, on montre que le complémentaire d’un ouvert affine non vide d’un espace algébrique propre et lisse sur un corps donne toujours un élément non trivial du groupe de Picard, puis on applique ce résultat à la fibre générique de \(f\)). Enfin, afin d’obtenir une contradiction, montrons que \(\Pic(Y) = 0\). L’application \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\) est injective, car \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) (toutes les déformations de \(\mathcal{O}_X\) à \(Y \times \Spec(k[[x_i]]/\mathfrak m^n)\) sont donc triviales) et par le théorème d’existence de Grothendieck (selon lequel deux modules cohérents induisant les mêmes faisceaux sur les épaississements sont isomorphes). Si \(X\) est suffisamment générale, alors \(\Pic(X) = \mathbf{Z}\), engendré par \(\mathcal{O}_X(1)\). Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{O}_X(n)\), pour \(n > 0\), ne se déforme pas au voisinage du premier ordre⁶. Considérons le cup-produit \[H^1(X, \Omega_{X/k}) \times H^1(X, T_{X/k}) \longrightarrow H^2(X, \mathcal{O}_X)\] Il s’agit d’un accouplement non dégénéré par dualité cohérente. Un calcul montre que la classe de Chern \(c_1(\mathcal{O}_X(n)) \in H^1(X, \Omega_{X/k})\) est non nulle en cohomologie de Hodge. Il existe donc une déformation du premier ordre dont le cup-produit avec \(c_1(\mathcal{O}_X(n))\) est non nul. Enfin, on montre que ce cup-produit est précisément la classe d’obstruction au relèvement.

Lemme

Le champ en groupoïdes \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] dont la catégorie des sections sur un schéma \(S\) est la catégorie des espaces algébriques plats, propres et de présentation finie sur \(S\) (voir Quot, section 0D1D) n’est pas un champ algébrique.

Démonstration

S’il s’agissait d’un champ algébrique, tout objet formel serait effectif ; voir Axiomes d’Artin, lemme 07X8. La discussion précédente montre que ce n’est pas le cas après changement de base à \(\Spec(\mathbf{C})\). D’où la conclusion.

Un exemple de champ des morphismes non algébrique

Soient \(\mathcal{Y}, \mathcal{Z}\) des champs algébriques sur un schéma \(S\). Le champ des morphismes \(\underline{\Mor}_S(\mathcal{Y}, \mathcal{Z})\) est le champ en groupoïdes sur \(S\) dont la catégorie des sections sur un schéma \(T\) est la catégorie \[\Mor_T(\mathcal{Y} \times_S T, \mathcal{Z} \times_S T)\] dont les objets sont les \(1\)-morphismes et les morphismes, les \(2\)-morphismes. Nous omettons la preuve qu’il s’agit bien d’un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) (insérer ici une référence future). Bien entendu, le champ des morphismes n’est pas algébrique en général. Dans cette section, nous en donnons un exemple où \(\mathcal{Y}\) est représentable par un schéma propre et plat sur \(S\) et où \(\mathcal{Z}\) est lisse et propre sur \(S\).

Soit \(k\) un corps algébriquement clos qui ne soit pas la clôture algébrique d’un corps fini. Posons \(S = \Spec(k[[t]])\) et \(S_n = \Spec(k[t]/(t^n)) \subset S\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme satisfaisant aux conditions suivantes :

1. \(f\) est projectif et plat, et ses fibres sont des courbes géométriquement connexes,

2. la fibre \(X_0 = X \times_S S_0\) est une courbe nodale à composantes irréductibles lisses, dont le graphe dual contient un lacet formé de courbes rationnelles,

3. \(X\) est un schéma régulier.

Pour construire une telle surface \(X\), nous pouvons prendre par exemple \[X\quad :\quad T_0T_1T_2 - t(T_0^3 + T_1^3 + T_2^3) = 0\] dans \(\mathbf{P}^2_{k[[t]]}\). Soit \(A_0\) une variété abélienne non nulle sur \(k\), par exemple une courbe elliptique. Soit \(A = A_0 \times_{\Spec(k)} S\) le schéma abélien constant⁷ sur \(S\) associé à \(A_0\). Nous montrerons que le champ \(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])\) n’est pas algébrique.

Rappelons que \([S/A]\) est, d’une part, le champ quotient de l’action triviale de \(A\) sur \(S\) et, d’autre part, le champ classifiant les \(A\)-torseurs fppf ; voir Exemples de champs, proposition 04WM. Observons que \([S/A] = [\Spec(k)/A_0] \times_{\Spec(k)} S\). Cela nous permet de décrire comme suit la catégorie fibre au-dessus d’un schéma \(T\) : \[\begin{align*} \mathcal{X}_T & = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])_T \\ & = \Mor_T(X \times_S T, [S/A] \times_S T) \\ & = \Mor_S(X \times_S T, [S/A]) \\ & = \Mor_{\Spec(k)}(X \times_S T, [\Spec(k)/A_0]) \end{align*}\] pour tout \(S\)-schéma \(T\). Autrement dit, le groupoïde \(\mathcal{X}_T\) est le groupoïde des \(A_0\)-torseurs fppf sur \(X \times_S T\). Avant d’expliquer pourquoi \(\mathcal{X}\) n’est pas un champ algébrique, il nous faut quelques lemmes.

Lemme

Soit \(W\) un schéma noethérien intègre régulier de dimension deux, de corps des fonctions \(K\). Soit \(G \to W\) un schéma abélien. Alors l’application \(H^1_{fppf}(W, G) \to H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\) est injective.

Démonstration

Soit \(P \to W\) un \(G\)-torseur fppf, trivial au point générique. Nous disposons alors d’un morphisme \(\Spec(K) \to P\) au-dessus de \(W\), et pouvons considérer son image schématique \(Z \subset P\). Comme \(P \to W\) est propre (puisqu’il s’agit d’un torseur sous un espace algébrique en groupes propre sur \(W\)), le morphisme \(Z \to W\) est propre et birationnel. D’après Espaces sur un corps, lemme 0AD2, le morphisme \(Z \to W\) est fini en dehors d’un nombre fini de points fermés de \(W\). D’après (insérer ici une référence future sur la résolution des indéterminations des morphismes de surfaces par transformations quadratiques), les composantes irréductibles des fibres géométriques de \(Z \to W\) sont des courbes rationnelles. Par Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 0AEN il n’existe aucun morphisme non constant d’une courbe rationnelle vers un schéma en groupes, ni vers un torseur sous un tel schéma. Ainsi \(Z \to W\) est fini ; par conséquent, \(Z\) est un schéma et \(Z \to W\) est un isomorphisme d’après Morphismes, lemme 0AB1. Autrement dit, le torseur \(P\) est trivial.

Remarque

On peut supprimer la condition de dimension \(2\) imposée à \(W\) dans le lemme 0AF9. En effet, si \(W\) est noethérien, régulier et intègre, alors (1) \(P(W)\to P(K)\) est bijective pour tout \(G\)-torseur \(P\), et (2) \(H^1(W,G)\to H^1(K,G)\) est injective. Voici une esquisse de la démonstration. D’abord, (2) découle clairement de (1). Pour (1), l’injectivité est immédiate, et la surjectivité revient (comme dans la preuve précédente) à montrer que l’adhérence schématique d’une section rationnelle est une section. Cette question est locale pour la topologie fppf sur \(W\) ; après un changement de base étale, nous pouvons donc supposer \(P=G\) (les recouvrements étales préservent la régularité). Observons ensuite que \(G=\underline{\mathrm{Pic}}^0_{G'/W}\), où \(G'\) est le schéma abélien dual. La conclusion découle du fait que \(G'\) est un schéma régulier : les faisceaux inversibles définis génériquement se prolongent. En fait, on peut remplacer l’hypothèse « \(W\) est régulier » par « les \(W\)-schémas lisses sont localement factoriels ». Laurent Moret-Bailly tient cette astuce de Picard de Raynaud ; il doit exister une référence quelque part dans les travaux de Raynaud.

Lemme

Soit \(G\) un espace algébrique en groupes lisse et commutatif sur un corps \(K\). Alors \(H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\) est de torsion.

Démonstration

Tout \(G\)-torseur \(P\) sur \(\Spec(K)\) est lisse sur \(K\), puisqu’il est une forme de \(G\). Par conséquent, \(P\) possède un point sur une extension finie séparable \(L/K\). Posons \([L : K] = n\). Notons \([n](P)\) le \(G\)-torseur dont la classe est \(n\) fois celle de \(P\) dans \(H^1_{fppf}(\Spec(K), G)\). Il existe un morphisme canonique \[P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P \to [n](P)\] d’espaces algébriques sur \(K\). Ce morphisme est symétrique puisque \(G\) est commutatif. Il se factorise donc par le quotient \[(P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P)/S_n\] D’autre part, le morphisme \(\Spec(L) \to P\) définit un morphisme \[(\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} \Spec(L))/S_n \longrightarrow (P \times_{\Spec(K)} \ldots \times_{\Spec(K)} P)/S_n\] et le lecteur vérifiera que le schéma de gauche possède un point \(K\)-rationnel. Il s’ensuit que \([n](P)\) est le torseur trivial.

Pour montrer que \(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])\) n’est pas un champ algébrique, il suffit, d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X8, d’établir le résultat suivant.

Lemme

L’application canonique \(\mathcal{X}(S) \to \lim \mathcal{X}(S_n)\) n’est pas essentiellement surjective.

Démonstration

En déroulant les définitions, il suffit de vérifier que \(H^1(X, A_0) \to \lim H^1(X_n, A_0)\) n’est pas surjective. Comme \(X\) est régulier et projectif, les lemmes 0AFA et 0AF9 montrent que tout \(A_0\)-torseur sur \(X\) est de torsion. En particulier, le groupe \(H^1(X, A_0)\) est de torsion. Il suffit donc de montrer : (a) le groupe \(H^1(X_0, A_0)\) n’est pas de torsion, et (b) les applications \(H^1(X_{n + 1}, A_0) \to H^1(X_n, A_0)\) sont surjectives pour tout \(n\).

Pour (a), on construit un \(A_0\)-torseur \(P_0\) sur la courbe nodale \(X_0\) qui n’est pas de torsion, en recollant les \(A_0\)-torseurs triviaux sur chaque composante de \(X_0\) au moyen de points d’ordre infini de \(A_0\) comme isomorphismes au-dessus des nœuds. Plus précisément, soit \(x \in X_0\) un nœud appartenant à un lacet formé de courbes rationnelles. Soit \(X'_0 \to X_0\) la normalisation de \(X_0\) dans \(X_0 \setminus \{x\}\). Soient \(x', x'' \in X'_0\) les deux points au-dessus de \(x\). Nous prenons \(A_0 \times_{\Spec(k)} X'_0\) et identifions \(A_0 \times \{x'\}\) à \(A_0 \times \{x''\}\) par la translation \(A_0 \to A_0\) définie par un point d’ordre infini \(a_0 \in A_0(k)\) (un tel point existe puisque \(k\) est algébriquement clos et n’est pas la clôture algébrique d’un corps fini — ce fait n’est pas trivial à démontrer). On peut montrer que le recollement est un espace algébrique (et même un schéma) et qu’il s’agit d’un \(A_0\)-torseur qui n’est pas de torsion sur \(X_0\). En effet, si \([n](P_0)\) possédait une section, celle-ci fournirait un morphisme \(s : X'_0 \to A_0\) tel que \([n](a_0) = s(x') - s(x'')\) pour la loi de groupe de \(A_0(k)\). Or, les composantes irréductibles du lacet étant rationnelles, la section \(s\) y est constante ( Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 0AEN). Ainsi \(s(x') = s(x'')\), ce qui donne une contradiction.

Pour (b), la théorie des déformations montre que l’obstruction à déformer un \(A_0\)-torseur \(P_n \to X_n\) en un \(A_0\)-torseur \(P_{n + 1} \to X_{n + 1}\) appartient à \(H^2(X_0, \omega)\) pour un fibré vectoriel convenable \(\omega\) sur \(X_0\). Ce groupe s’annule puisque \(X_0\) est une courbe, ce qui prouve l’assertion.

Proposition

Le champ \(\mathcal{X} = \underline{\Mor}_S(X, [S/A])\) n’est pas algébrique.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Remarque

La proposition 0AFC contredit [AokiHomStacks, théorème 1.1]. La difficulté vient de la non-effectivité des objets formels de \(\underline{\Mor}_S(X, [S/A])\). Cette même difficulté est mentionnée dans l’erratum [AokiHomStacksErr] à [AokiHomStacks]. Malheureusement, l’erratum affirme ensuite que \(\underline{\Mor}_S(\mathcal{Y}, \mathcal{Z})\) est algébrique lorsque \(\mathcal{Z}\) est séparé, ce qui contredit également la proposition 0AFC, puisque \([S/A]\) est séparé.

Un champ algébrique ne satisfaisant pas à l’effectivité formelle forte

Il s’agit de [Bhatt-Algebraize, exemple 4.12]. Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Supposons que \(A(k)\) ne soit pas de torsion (c’est toujours le cas si \(k\) n’est pas la clôture algébrique d’un corps fini). Soit \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/A]\). Nous affirmons qu’il existe un idéal \(I \subset k[x, y]\) tel que \[\mathcal{X}_{\Spec(k[x, y]^\wedge)} \longrightarrow \lim \mathcal{X}_{\Spec(k[x, y]/I^n)}\] ne soit pas essentiellement surjectif. En effet, soit \(I\) l’idéal engendré par \(xy(x + y - 1)\). Alors \(X_0 = V(I)\) est formé de trois copies de \(\mathbf{A}^1_k\) recollées en triangle en trois points. Nous pouvons donc construire un torseur \(P_0\) sous \(A\) sur \(X_0\), d’ordre infini, en prenant le torseur trivial sur les composantes irréductibles de \(X_0\) et en les recollant par des translations définies par des points d’ordre infini. Exactement comme dans la preuve du lemme 0AFB, nous pouvons relever \(P_0\) en un torseur \(P_n\) sur \(X_n = \Spec(k[x, y]/I^n)\). Comme \(k[x, y]^\wedge\) est un domaine régulier de dimension deux, tout torseur \(P\) sous \(A\) sur \(\Spec(k[x, y]^\wedge)\) est de torsion (lemmes 0AF9 et 0AFA). Le système de torseurs n’appartient donc pas à l’image du foncteur affiché.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos qui ne soit pas la clôture algébrique d’un corps fini. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Soit \(\mathcal{X} = [\Spec(k)/A]\). Il existe un système projectif de \(k\)-algèbres \(R_n\), à morphismes de transition surjectifs dont les noyaux sont localement nilpotents, et un système \((\xi_n)\) d’objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus du système \((\Spec(R_n))\), tel que ce système ne soit pas effectif au sens de Axiomes d’Artin, remarque 0CXT.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Un contre-exemple au théorème d’existence de Grothendieck

Soit \(k\) un corps et soit \(A = k[[t]]\). Soit \(X\) le recollement de \(U = \Spec(A[x])\) et \(V = \Spec(A[y])\) au moyen de l’identification \[U \setminus \{0_U\} \longrightarrow V \setminus \{0_V\}\] qui envoie \(x\) sur \(y\), où \(0_U \in U\) et \(0_V \in V\) sont les points correspondant aux idéaux maximaux \((x, t)\) et \((y, t)\). Posons \(A_n = A/(t^n)\) et \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\). Soit \(\mathcal{F}_n\) le faisceau cohérent sur \(X_n\) correspondant au \(A_n[x]\)-module \(A_n[x]/(x) \cong A_n\) et au \(A_n[y]\)-module \(0\), avec le recollement évident. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux engendré par \(t\). Alors \((\mathcal{F}_n)\) est un objet de la catégorie \(\textit{Coh}_{\text{support propre sur } A}(X, \mathcal{I})\) définie dans Cohomologie des schémas, section 0CYW. D’autre part, cet objet n’appartient pas à l’image du foncteur de Cohomologie des schémas, équation (088D). En effet, s’il y appartenait, il existerait un \(A[x]\)-module \(M\) de type fini, un \(A[y]\)-module \(N\) de type fini et un isomorphisme \(M[1/t] \cong N[1/t]\) tels que \(M/t^nM \cong A_n[x]/(x)\) et \(N/t^nN = 0\) pour tout \(n\). Il est facile de voir que c’est impossible.

Lemme

Contre-exemples à l’algébrisation des faisceaux cohérents.

1. Le théorème d’existence de Grothendieck, tel qu’il est énoncé dans Cohomologie des schémas, théorème 088E, est faux si l’on omet l’hypothèse que \(X \to \Spec(A)\) est séparé.

2. Le champ des faisceaux cohérents \(\Cohstack_{X/B}\) des théorèmes 09DS et 08WC de Quot n’est, en général, pas algébrique si l’on omet l’hypothèse que \(X \to S\) est séparé.

3. Le foncteur \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) de Quot, proposition 09TU, n’est pas un espace algébrique en général si l’on omet l’hypothèse que \(X \to B\) est séparé.

Démonstration

Nous avons vu (1) ci-dessus. Cela montre que \(\textit{Coh}_{X/A}\) ne satisfait pas à l’axiome [4] de Axiomes d’Artin, section 07XJ. Il ne peut donc pas être un champ algébrique, d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X8. On obtient ainsi (2). Pour (3), remarquons qu’il existe des surjections compatibles \(\mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{F}_n\) pour tout \(n\). Ainsi \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/A}\) ne satisfait pas à l’axiome [4], et (3) se démontre comme précédemment.

Espaces algébriques formels affines

Soit \(K\) un corps et soit \((V_i)_{i \in I}\) un système projectif filtrant d’espaces vectoriels non nuls sur \(K\), à morphismes de transition surjectifs, tel que \(\lim V_i = 0\) ; voir la section 0ANX. Munissons \(R_i = K \oplus V_i\) de la structure de \(K\)-algèbre pour laquelle \(V_i\) est un idéal de carré nul. Alors les \(R_i\) forment un système projectif de \(K\)-algèbres, à morphismes de transition surjectifs de noyaux nilpotents, et \(\lim R_i = K\). L’espace algébrique formel affine \(X = \colim \Spec(R_i)\) est donc un exemple d’espace algébrique formel affine qui n’est pas McQuillan.

Lemme

Il existe un espace algébrique formel affine qui n’est pas McQuillan.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Soit \(0 \to W_i \to V_i \to K \to 0\) un système de suites exactes comme dans la section 0ANX. Posons \(A_i = K[V_i]/(ww'; w, w' \in W_i)\). Il existe alors un système compatible de surjections \(A_i \to K[t]\) à noyaux nilpotents, et les morphismes de transition \(A_i \to A_j\) sont eux aussi surjectifs à noyaux nilpotents. Rappelons que \(V_i\) est libre sur \(K\), de base les éléments \(s \in S_i\). Si la caractéristique de \(K\) est nulle, la composante de degré \(d\) de \(A_i\) est libre sur \(K\), de base les \(s^d\), \(s \in S_i\), qui s’envoient tous sur \(t^d\). Le système projectif des composantes de degré \(d\) des \(A_i\) est donc isomorphe au système projectif des espaces vectoriels \(V_i\). Comme \(\lim V_i = 0\), nous concluons que \(\lim A_i = K\), au moins lorsque la caractéristique de \(K\) est nulle. Cela donne un exemple d’espace algébrique formel affine dont les fonctions régulières ne séparent pas les points.

Lemme

Il existe un espace algébrique formel affine \(X\) dont les fonctions régulières ne séparent pas les points, au sens suivant : si l’on écrit \(X = \colim X_\lambda\) comme dans Espaces formels, définition 0AI7, alors \(\lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\) est un corps, tandis que \(X_{red}\) possède une infinité de points.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Soient \(K\), \(I\) et \((V_i)\) comme ci-dessus. Considérons les systèmes \[\Phi = (\Lambda, J_i \subset \Lambda, (M_i) \to (V_i))\] où \(\Lambda\) est une \(K\)-algèbre augmentée, \(J_i \subset \Lambda\) est, pour \(i \in I\), un idéal de carré nul, \((M_i) \to (V_i)\) est un morphisme de systèmes projectifs de \(K\)-espaces vectoriels tel que \(M_i \to V_i\) soit surjectif pour tout \(i\), chaque \(M_i\) possède une structure de \(\Lambda\)-module, les morphismes de transition \(M_i \to M_j\), pour \(i > j\), sont \(\Lambda\)-linéaires, et \(J_j M_i \subset \Ker(M_i \to M_j)\) pour \(i > j\). Affirmation : il existe un système comme ci-dessus tel que \(M_j = M_i/J_j M_i\) pour tout \(i > j\).

Si l’affirmation est vraie, nous obtenons un morphisme représentable \[\colim_{i \in I} \Spec(\Lambda/J_i \oplus M_i) \longrightarrow \text{Spf}(\lim \Lambda/J_i)\] d’espaces algébriques formels affines dont la source n’est pas McQuillan, mais dont le but l’est. Ici, \(\Lambda/J_i \oplus M_i\) est muni de sa structure usuelle de \(\Lambda/J_i\)-algèbre, où \(M_i\) est un idéal de carré nul. La représentabilité équivaut exactement à la condition \(M_i/J_jM_i = M_j\) pour \(i > j\). La source du morphisme n’est pas McQuillan, car les projections \(\lim_{i \in I} M_i \to M_i\) ne sont pas surjectives. Cela résulte du fait que les applications \(\lim V_i \to V_i\) ne sont pas surjectives et que nous disposons de la surjection \(M_i \to V_i\). Nous omettons certains détails.

Démonstration de l’affirmation. Remarquons d’abord qu’il existe au moins un système, à savoir \[\Phi_0 = (K, J_i = (0), (V_i) \xrightarrow{\text{id}} (V_i))\] Étant donné un système \(\Phi\), nous montrerons qu’il existe un morphisme de systèmes \(\Phi \to \Phi'\) (les morphismes de systèmes étant définis de manière évidente) tel que \(\Ker(M_i/J_j M_i \to M_j)\) s’envoie sur zéro dans \(M'_i/J'_j M'_i\). Cela fait, nous pouvons appliquer le procédé usuel : poser par récurrence \(\Phi_n = (\Phi_{n - 1})'\) pour \(n \geq 1\), puis prendre \(\Phi = \colim \Phi_n\) afin d’obtenir un système possédant les propriétés voulues. Nous omettons les détails.

Construction de \(\Phi'\) à partir de \(\Phi\). Considérons l’ensemble \(U\) des triplets \(u = (i, j, \xi)\) tels que \(i > j\) et \(\xi \in \Ker(M_i \to M_j)\). Notons \(s, t : U \to I\) les applications \(s(i, j, \xi) = i\) et \(t(i, j, \xi) = j\). Posons ensuite \(\xi_u \in M_{s(u)}\) égal à la troisième composante de \(u\). Prenons \[\Lambda' = \Lambda[x_u; u \in U]/(x_u x_{u'}; u, u' \in U)\] munie de l’augmentation \(\Lambda' \to K\) induite par celle de \(\Lambda\) et envoyant les \(x_u\) sur zéro. Posons \(J'_k = J_k \Lambda' + (x_{u,\ t(u) \geq k})\), puis \[M'_i = M_i \oplus \bigoplus\nolimits_{s(u) \geq i} K\epsilon_{i, u}\] Comme morphismes de transition \(M'_i \to M'_j\) pour \(i > j\), nous prenons le morphisme donné \(M_i \to M_j\) et envoyons \(\epsilon_{i, u}\) sur \(\epsilon_{j, u}\). Le morphisme \(M'_i \to V_i\) induit le morphisme donné \(M_i \to V_i\) et envoie \(\epsilon_{i, u}\) sur zéro. Enfin, faisons agir \(\Lambda'\) sur \(M'_i\) comme suit : un élément \(\lambda \in \Lambda\) agit par la structure de \(\Lambda\)-module sur \(M_i\) et, par l’augmentation \(\Lambda \to K\), sur les \(\epsilon_{i, u}\). L’élément \(x_u\) agit par \(0\) sur \(M_i\) pour tout \(i\). Enfin, nous posons \[x_u \epsilon_{i, u} = \text{image de }\xi_u\text{ dans }M_i\] et tous les autres produits \(x_{u'} \epsilon_{i, u}\) égaux à zéro. La formule affichée a un sens puisque \(s(u) \geq i\) et \(\xi_u \in M_{s(u)}\). Les principaux points à vérifier sont que \(J'_j M'_i \subset M'_i\) s’envoie sur zéro dans \(M'_j\) pour \(i > j\), et que \(\Ker(M_i \to M_j)\) s’envoie sur zéro dans \(M'_i/J_j M'_i\). Ce dernier fait vient de ce que \(\xi = x_{(i, j, \xi)} \epsilon_{i, (i, j, \xi)} \in J'_j M'_i\) pour tout \(\xi \in \Ker(M_i \to M_j)\). Nous omettons les détails.

Lemme

Il existe un morphisme représentable \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques formels affines tel que \(Y\) soit McQuillan, mais que \(X\) ne le soit pas.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Les morphismes plats ne sont pas des colimites filtrantes de morphismes plats de présentation finie

Le but de cette section est de donner un exemple de morphisme plat d’anneaux qui ne soit pas une colimite filtrante de morphismes plats d’anneaux de présentation finie. Dans [gabber-nonexcellent], il est montré que si \(A\) est un anneau local non excellent, de dimension \(1\) et de caractéristique résiduelle nulle, alors le morphisme plat \(A \to A^\wedge\) vers son complété n’est pas une colimite filtrante de morphismes plats d’anneaux de type fini. Dans notre exemple, l’anneau source sera excellent. Nous invitons le lecteur à proposer d’autres exemples ; si vous en connaissez un, écrivez à stacks.project@gmail.com.

Pour la construction, fixons un nombre premier \(p\) et posons \(A = \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n]\). Choisissons une clôture intégrale absolue \(A^+\) de \(A\), c’est-à-dire que \(A^+\) est la clôture intégrale de \(A\) dans une clôture algébrique de son corps des fractions. Il est montré dans [HHBigCM, §6.7] que \(A \to A^+\) est plat.

Nous affirmons que la \(A\)-algèbre \(A^+\) n’est pas une colimite filtrante de \(A\)-algèbres plates de présentation finie lorsque \(n \geq 3\).

Nous esquissons l’argument pour \(n = 3\) et laissons au lecteur la généralisation aux valeurs supérieures de \(n\). Il suffit de prouver l’énoncé analogue pour le morphisme \(R \to R^+\), où \(R\) est l’hensélisé strict de \(A\) à l’origine et \(R^+\) sa clôture intégrale absolue. Remarquons que \(R\) est un anneau local régulier hensélien dont le corps résiduel \(k\) est une clôture algébrique de \(\mathbf{F}_p\).

Choisissons une surface abélienne ordinaire \(X\) sur \(k\) et un fibré inversible très ample \(L\) sur \(X\). L’anneau des sections \(\Gamma_*(X, L) = \bigoplus_n H^0(X,L^n)\) est l’anneau de coordonnées du cône affine sur \(X\) relativement à \(L\). Il est normal dès que \(L\) est suffisamment positif. Notons \(S\) l’hensélisé de \(\Gamma_*(X, L)\) au sommet du cône. Alors \(S\) est un domaine local hensélien noethérien normal de dimension \(3\). Nous obtenons un morphisme fini injectif \(R \to S\) en hensélisant une normalisation de Noether de la \(k\)-algèbre de type fini \(\Gamma_*(X, L)\). Puisque \(R^+\) est une clôture intégrale absolue de \(R\), nous pouvons aussi fixer un plongement \(S \to R^+\). Ainsi \(R^+\) est également la clôture intégrale absolue de \(S\). Pour montrer que \(R^+\) n’est pas une colimite filtrante de \(R\)-algèbres plates, il suffit d’établir les deux assertions suivantes :

1. Si \(S \to P\) est un morphisme d’anneaux et si \(P\) est plate et de type fini sur \(R\), il existe un morphisme d’anneaux \(S \to T\) avec \(T\) finie et plate sur \(R\).

2. Pour tout morphisme fini d’anneaux \(S \to T\), l’anneau \(T\) n’est pas plat sur \(R\).

En effet, comme \(S\) est de présentation finie sur \(R\), si l’on pouvait écrire \(R^+ = \colim_i P_i\) comme une colimite filtrante de \(R\)-algèbres plates de présentation finie \(P_i\), le morphisme \(S \to R^+\) se factoriserait par \(S \to P_i \to R^+\) pour \(i \gg 0\), contrairement aux deux assertions précédentes. L’assertion (1) découle de l’hensélianité de \(R\) et d’un argument de sectionnement ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0571. L’assertion (2) a été démontrée dans [BhattSmallCMMod] ; pour la commodité du lecteur, nous rappelons l’argument.

Soit \(U \subset \Spec(S)\) le spectre épointé ; nous avons des morphismes naturels \(X \leftarrow U \subset \Spec(S)\). Le premier fournit une identification \(H^1(U, \mathcal{O}_U) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X)\). En passant aux vecteurs de Witt du perfectionné et en utilisant la suite d’Artin–Schreier⁸, on obtient une identification \(H^1_\etale(U, \mathbf{Z}_p) \simeq H^1_\etale(X, \mathbf{Z}_p)\). En particulier, ce groupe est un \(\mathbf{Z}_p\)-module libre de type fini de rang \(2\) (puisque \(X\) est ordinaire). Pour obtenir une contradiction, supposons qu’il existe une \(R\)-algèbre plate \(T\) comme dans (2). Notons \(V \subset \Spec(T)\) l’image réciproque de \(U\), et \(f : V \to U\) le morphisme fini surjectif induit. Comme \(U\) est normal, il existe une application trace \(f_*\mathbf{Z}_p \to \mathbf{Z}_p\) sur \(U_\etale\), dont la composée avec l’image inverse \(\mathbf{Z}_p \to f_*\mathbf{Z}_p\) est la multiplication par \(d = \deg(f)\). En passant à la cohomologie et en utilisant que \(H^1_\etale(U, \mathbf{Z}_p)\) n’est pas de torsion, on en déduit que \(H^1_\etale(V, \mathbf{Z}_p)\) est non nul. Comme \(H^1_\etale(V, \mathbf{Z}_p) \simeq \lim H^1_\etale(V, \mathbf{Z}/p^n)\) et qu’aucun terme \(R^1\lim\) n’intervient, le groupe \(H^1(V_\etale,\mathbf{Z}/p)\) est nécessairement non nul. Puisque \(T\) est plate sur \(R\), on a \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) = T\) ; cet anneau est strictement hensélien, et la suite d’Artin–Schreier montre que \(H^1(V, \mathcal{O}_V) \neq 0\). Cela équivaut à \(H^2_\mathfrak m(T) \neq 0\), où \(\mathfrak m \subset R\) est l’idéal maximal. On obtient donc une contradiction, car \(T\) est finie et plate (c’est-à-dire libre de rang fini) comme \(R\)-module, et \(H^2_\mathfrak m(R) = 0\). Cette contradiction prouve (2).

Lemme

Il existe un anneau commutatif \(A\) et une \(A\)-algèbre plate \(B\) qui ne peut s’écrire comme colimite filtrante de \(A\)-algèbres plates de présentation finie. En fait, on peut choisir \(A\) soit comme \(\mathbf{F}_p\)-algèbre de type fini, soit comme anneau local noethérien de dimension \(1\), à corps résiduel de caractéristique \(0\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

La catégorie des modules modulo les modules de torsion

La catégorie des groupes de torsion est une sous-catégorie de Serre (Homologie, définition 02MO) de la catégorie de tous les groupes abéliens. Plus généralement, pour tout anneau \(A\), la catégorie des \(A\)-modules de torsion est une sous-catégorie de Serre de la catégorie de tous les \(A\)-modules ; voir Compléments d’algèbre, section 0AZ5. Si \(A\) est un domaine intègre, la catégorie quotient (Homologie, lemme 02MS) est équivalente à la catégorie des espaces vectoriels sur le corps des fractions. Ce fait découle de la proposition plus générale suivante.

Proposition

Soit \(A\) un anneau et soit \(S\) une partie multiplicative de \(A\). Notons \(\text{Mod}_A\) la catégorie des \(A\)-modules et \(\mathcal{T}\) sa sous-catégorie de Serre formée des modules dont tout élément est annulé par un certain élément de \(S\). Il existe alors une équivalence canonique \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \rightarrow \text{Mod}_{S^{-1}A}\).

Démonstration

Le foncteur \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\) défini par \(M \mapsto M \otimes_A S^{-1}A\) est exact (Algèbre, proposition 00CS) et envoie les modules de \(\mathcal{T}\) sur zéro. La propriété universelle donnée par Homologie, lemme 02MS, permet donc de le factoriser en un foncteur \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\).

Réciproquement, tout \(A\)-module \(M\) tel que \(M \otimes_A S^{-1}A = 0\) appartient à \(\mathcal{T}\), puisque \(M \otimes_A S^{-1}A \cong S^{-1} M\) (Algèbre, lemme 00DK). Homologie, lemme 06XK, montre donc que le foncteur \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \to \text{Mod}_{S^{-1}A}\) est fidèle.

De plus, ce plongement est essentiellement surjectif : un antécédent d’un \(S^{-1}A\)-module \(N\) est \(N_A\), c’est-à-dire \(N\) considéré comme \(A\)-module, car l’application canonique \(N_A \otimes_A S^{-1}A \to N\), qui envoie \(x \otimes a/s\) sur \((a/s) \cdot x\), est un isomorphisme de \(S^{-1}A\)-modules.

Proposition

Soit \(A\) un anneau. Notons \(Q(A)\) son anneau total des fractions (comme dans Algèbre, exemple 02C5). Notons \(\text{Mod}_A\) la catégorie des \(A\)-modules et \(\mathcal{T}\) sa sous-catégorie de Serre des modules de torsion. Notons \(\text{Mod}_{Q(A)}\) la catégorie des \(Q(A)\)-modules. Il existe alors une équivalence canonique \(\text{Mod}_A/\mathcal{T} \rightarrow \text{Mod}_{Q(A)}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la proposition 0EA5, appliquée à la partie multiplicative \(S = \{f \in A \mid f \text{ n'est pas un diviseur de zéro dans }A\}\), puisqu’un module est de torsion si et seulement si chacun de ses éléments est annulé par un certain élément de \(S\).

Proposition

Soit \(A\) un domaine intègre noethérien et soit \(K\) son corps des fractions. Notons \(\text{Mod}_A^{fg}\) la catégorie des \(A\)-modules de type fini et \(\mathcal{T}^{fg}\) sa sous-catégorie de Serre des modules de torsion de type fini. Alors \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg}\) est canoniquement équivalente à la catégorie des \(K\)-espaces vectoriels de dimension finie.

Démonstration

L’équivalence de la proposition 0B0K se restreint, le long du plongement \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Mod}_A/\mathcal{T}\), en une équivalence \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Vect}_K^{fd}\). L’hypothèse noethérienne garantit que \(\text{Mod}_A^{fg}\) est une catégorie abélienne (voir Compléments d’algèbre, section 0AZ5) et que le foncteur canonique \(\text{Mod}_A^{fg}/\mathcal{T}^{fg} \to \text{Mod}_A/\mathcal{T}\) est plein (sinon, les sous-modules de torsion des modules de type fini pourraient ne pas être des objets de \(\mathcal{T}^{fg}\)).

Proposition

Le quotient de la catégorie des groupes abéliens par sa sous-catégorie de Serre des groupes de torsion est la catégorie des \(\mathbf{Q}\)-espaces vectoriels.

Démonstration

L’assertion découle directement de la proposition 0B0K.

Différentes topologies de colimite

Cet exemple est [TSH, exemple 1.2, page 553]. Soit \(G_n = \mathbf{Q} \times \mathbf{R}^n\), \(n \geq 1\), considéré comme groupe topologique additif muni de la topologie usuelle (euclidienne). Considérons les plongements fermés \(G_n \to G_{n + 1}\) qui envoient \((x_0, \ldots, x_n)\) sur \((x_0, \ldots, x_n, 0)\). Nous affirmons que \(G = \colim G_n\) muni de la topologie \[U \subset G\text{ ouvert} \Leftrightarrow G_n \cap U\text{ ouvert }\forall n\] ne définit pas un groupe topologique.

Pour le voir, considérons l’ensemble \[U = \{(x_0, x_1, x_2, \ldots)\text{ tels que } |x_j| < |\cos(jx_0)| \text{ pour } j > 0\}\] Comme \(jx_0\) n’est jamais un multiple entier de \(\pi/2\), puisque \(\pi\) n’est pas rationnel, il est facile de montrer que \(U \cap G_n\) est ouvert. Puisque \(0 \in U\), si la topologie ci-dessus faisait de \(G\) un groupe topologique, il existerait un voisinage ouvert \(V \subset G\) de \(0\) tel que \(V + V \subset U\). Pour tout \(j \geq 0\), il existerait alors \(\epsilon_j > 0\) tel que \((0, \ldots, 0, x_j, 0, \ldots) \in V\) dès que \(|x_j| < \epsilon_j\). Puisque \(V + V \subset U\), on aurait \[(x_0, 0, \ldots, 0, x_j, 0, \ldots) \in U\] pour \(|x_0| < \epsilon_0\) et \(|x_j| < \epsilon_j\). Or, si l’on choisit \(j\) assez grand pour que \(j \epsilon_0 > \pi/2\), on peut choisir \(x_0 \in \mathbf{Q}\) de telle sorte que \(|\cos(jx_0)|\) soit inférieur à \(\epsilon_j\) ; il existe alors un \(x_j\) tel que \(|\cos(jx_0)| < |x_j| < \epsilon_j\). Cette contradiction prouve l’affirmation.

Lemme

Il existe un système \(G_1 \to G_2 \to G_3 \to \ldots\) de groupes topologiques (abéliens) tel que \(\colim G_n\), pris dans la catégorie des espaces topologiques, diffère de \(\colim G_n\), pris dans la catégorie des groupes topologiques.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Universellement submersif sans être un recouvrement V

Soit \(A\) un anneau de valuation. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier qui n’est ni l’idéal premier minimal ni l’idéal maximal. (Un cas utile à garder à l’esprit est celui où \(A\) possède trois idéaux premiers et où \(\mathfrak p\) est celui « du milieu ».) Considérons le morphisme de schémas affines \[\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p) \longrightarrow \Spec(A)\] Nous affirmons que ce morphisme est universellement submersif. Pour le prouver, soit \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) un morphisme de schémas affines défini par le morphisme d’anneaux \(A \to B\). Il faut montrer que \[\Spec(B_\mathfrak p) \amalg \Spec(B/\mathfrak pB) \to \Spec(B)\] soit submersif. Il est tout d’abord surjectif. Supposons ensuite que \(T \subset \Spec(B)\) soit une partie telle que \(T_1 = \Spec(B_\mathfrak p) \cap T\) et \(T_2 = \Spec(B/\mathfrak p B) \cap T\) soient fermées. Alors \(T\) est l’image du spectre d’une \(B\)-algèbre, car \(T_1\) et \(T_2\) sont tous deux des spectres de \(B\)-algèbres. Pour montrer que \(T\) est fermé, il suffit donc d’établir que \(T\) est stable par spécialisation ; voir Algèbre, lemme 00HY. Supposons que \(p \leadsto q\) soit une spécialisation de points de \(\Spec(B)\), avec \(p \in T\). Soit \(A'\) un anneau de valuation et soit \(\Spec(A') \to \Spec(B)\) un morphisme tel que le point générique \(\eta\) de \(\Spec(A')\) s’envoie sur \(p\) et le point fermé \(s\) de \(\Spec(A')\) sur \(q\) ; voir Schémas, lemme 01J8. Observons que l’image du composé \(\gamma : \Spec(A') \to \Spec(A)\) est exactement l’ensemble des points \(\xi \in \Spec(A)\) avec \(\gamma(\eta) \leadsto \xi \leadsto \gamma(s)\) (les détails sont omis). Si \(\mathfrak p \not \in \Im(\gamma)\), alors soit \(p, q \in \Spec(B_\mathfrak p)\), soit \(p, q \in \Spec(B/\mathfrak pB)\). Dans ce cas, puisque \(T_1\), resp. \(T_2\), est fermée, on a \(q \in T_1\), resp. \(q \in T_2\), et donc \(q \in T\). Supposons enfin que \(\mathfrak p \in \Im(\gamma)\), disons \(\mathfrak p = \gamma(r)\). Nous avons alors les spécialisations \(p \leadsto r\) et \(r \leadsto q\). Dans ce cas, \(p, r \in \Spec(B_\mathfrak p)\) et \(r, q \in \Spec(B/\mathfrak pB)\). On conclut d’abord que \(r \in T_1 \subset T\), puis que \(r \in T_2\) puisque \(r\) s’envoie sur \(\mathfrak p\), et enfin que \(q \in T_2 \subset T\), comme voulu.

D’autre part, nous affirmons que la famille réduite à un seul morphisme \[\{\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p) \longrightarrow \Spec(A)\}\] n’est pas un recouvrement V. Voir Topologies, définition 0ETH. En effet, si elle était un recouvrement V, il existerait une extension d’anneaux de valuation \(A \subset B\) telle que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) se factorise par \(\Spec(A_\mathfrak p) \amalg \Spec(A/\mathfrak p)\). Cela impliquerait que \(\Spec(B)\) est non connexe, ce qui est absurde.

Lemme

Il existe un morphisme \(X \to Y\) de schémas affines, universellement submersif, tel que \(\{X \to Y\}\) ne soit pas un recouvrement V.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Le spectre des entiers n’est pas quasi-compact

Bien entendu, le titre de cette section ne concerne pas le spectre des entiers considéré comme espace topologique, car tout spectre est quasi-compact en tant qu’espace topologique (Algèbre, lemme 00E8). Il concerne plutôt le spectre des entiers pour la topologie canonique sur la catégorie des schémas et la définition d’un objet quasi-compact dans un site (Sites, définition 090H).

Soit \(U\) un ultrafiltre non principal sur l’ensemble \(P\) des nombres premiers. Pour une partie \(T \subset P\), notons \(T^c = P \setminus T\) son complément. Pour \(A \in U\), soit \(S_A \subset \mathbf{Z}\) la partie multiplicative engendrée par les \(p \in A\). Posons \[\mathbf{Z}_A = S_A^{-1}\mathbf{Z}\] Observons que \(\Spec(\mathbf{Z}_A) = \{(0)\} \cup A^c \subset \Spec(\mathbf{Z})\) si l’on identifie \(P\) à l’ensemble des points fermés de \(\Spec(\mathbf{Z})\). Si \(A, B \in U\), alors \(A \cap B \in U\) et \(A \cup B \in U\) et nous avons \[\mathbf{Z}_{A \cap B} = \mathbf{Z}_A \times_{\mathbf{Z}_{A \cup B}} \mathbf{Z}_B\] (produit fibré d’anneaux). En particulier, pour tout entier \(n\) et tous \(A_1, \ldots, A_n \in U\), le morphisme \[\Spec(\mathbf{Z}_{A_1}) \amalg \ldots \amalg \Spec(\mathbf{Z}_{A_n}) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] se factorise par \(\Spec(\mathbf{Z}[1/p])\) pour un certain \(p\) (en fait, pour tout \(p \in A_1 \cap \ldots \cap A_n\)). Nous concluons que la famille de morphismes plats \(\{\Spec(\mathbf{Z}_A) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{A \in U}\) est conjointement surjective, mais qu’aucune sous-famille finie ne l’est.

Pour un \(\mathbf{Z}\)-module \(M\), posons \[M_A = S_A^{-1}M = M \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}_A\] Affirmation I : pour tout \(\mathbf{Z}\)-module \(M\), on a \[M = \text{Égaliseur}\left( \xymatrix{ \prod\nolimits_{A \in U} M_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{A \cup B} } \right)\] Supposons d’abord \(M\) sans torsion. Alors \(M_A \subset M_P\) pour tout \(A \in U\). Il suffit donc de montrer que \[M = \bigcap\nolimits_{A \in U} M_A\text{ dans }M_P = M \otimes \mathbf{Q}\] En effet, comme \(U\) n’est pas principal, pour tout nombre premier \(p\), on a \(\{p\}^c \in U\). De plus, \(M_{\{p\}^c} = M_{(p)}\) est la localisation en l’idéal premier \((p)\). L’égalité ci-dessus est donc claire, puisque \(M = \bigcap_{p \in P} M_{(p)}\). Supposons ensuite que \(M\) soit de torsion. Alors \[M = \bigoplus\nolimits_{p \in P} M[p^\infty]\] et, par conséquent, \[M_A = \bigoplus\nolimits_{p \not \in A} M[p^\infty]\] puisque nous localisons aux nombres premiers appartenant à \(A\). Supposons que \((x_A) \in \prod M_A\) appartienne à l’égalisateur. Notons \(x_p = x_{\{p\}^c} \in M[p^{\infty}]\). La propriété d’égalisation donne \[x_A = (x_p)_{p \not \in A}\] et implique en particulier que \(x_p\) est nul sauf pour un nombre fini de \(p \not \in A\). Pour achever la preuve dans le cas de torsion, il suffit de montrer que \(x_p\) est nul pour presque tout nombre premier \(p\). Sinon, écrivons \(\{p \in P \mid x_p \not = 0\} = T \amalg T'\) comme réunion disjointe de deux ensembles infinis. Alors \(T \not \in U\) ou \(T' \not \in U\), puisque \(U\) est un ultrafiltre (si \(T, T'\) appartenaient à \(U\), alors \(U\) contiendrait \(T \cap T' = \emptyset\), ce qui est impossible). Supposons \(T \not \in U\). Alors \(T = A^c\), ce qui contredit la finitude établie ci-dessus. Enfin, soit \(M\) un module arbitraire. Considérons la suite exacte courte \[0 \to M_{tors} \to M \to M/M_{tors} \to 0\] et le grand diagramme suivant : \[\xymatrix{ M_{tors} \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A \in U} M_{tors, A} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{tors, A \cup B} \ar[d] \\ M \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A \in U} M_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{A, B \in U} M_{A \cup B} \ar[d] \\ M/M_{tors} \ar[r] & \prod\nolimits_{A \in U} (M/M_{tors})_A \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{A, B \in U} (M/M_{tors})_{A \cup B} \\ }\] Une chasse au diagramme, utilisant l’exactitude des colonnes ainsi que le résultat pour le module de torsion \(M_{tors}\) et pour le module sans torsion \(M/M_{tors}\), démontre l’affirmation I pour \(M\). On obtient ainsi un exemple du phénomène décrit dans le lemme suivant.

Lemme

Il existe un anneau \(A\) et une famille infinie de morphismes plats d’anneaux \(\{A \to A_i\}_{i \in I}\) telle que, pour tout \(A\)-module \(M\), \[M = \text{Égaliseur}\left( \xymatrix{ \prod\nolimits_{i \in I} M \otimes_A A_i \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{i, j \in I} M \otimes_A A_i \otimes_A A_j } \right)\] mais qu’aucune sous-famille finie ne possède cette propriété.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Nous continuons avec notre ultrafiltre non principal \(U\) sur l’ensemble \(P\) des nombres premiers. Soit \(R\) un anneau. Notons \(R_A = S_A^{-1}R = R \otimes \mathbf{Z}_A\) pour \(A \in U\). Affirmation II : étant données des parties fermées \(T_A \subset \Spec(R_A)\), \(A \in U\), telles que \[(\Spec(R_{A \cup B}) \to \Spec(R_A))^{-1}T_A = (\Spec(R_{A \cup B}) \to \Spec(R_B))^{-1}T_B\] pour tous \(A, B \in U\), il existe une partie fermée \(T \subset \Spec(R)\) telle que \(T_A = (\Spec(R_A) \to \Spec(R))^{-1}(T)\) pour tout \(A \in U\). Soit \(I_A \subset R_A\), pour \(A \in U\), l’idéal radical définissant \(T_A\). La condition de recollement implique alors \(S_{A \cup B}^{-1}I_A = S_{A \cup B}^{-1}I_B\) dans \(R_{A \cup B}\) pour tous \(A, B \in U\) (car la localisation préserve le caractère radical d’un idéal). Soit \(I' \subset R\) l’ensemble des éléments dont l’image appartient à \(I_P \subset R_P = R \otimes \mathbf{Q}\). Pour \(A \in U\), on a alors :

1. \(I_A \subset I'_A = S_A^{-1}I'\), et

2. \(M_A = I'_A/I_A\) est un module de torsion.

On obtient bien sûr des identifications canoniques \(S_{A \cup B}^{-1}M_A = S_{A \cup B}^{-1}M_B\) pour \(A, B \in U\). En décomposant les modules de torsion \(M_A\) en leurs composantes \(p\)-primaires, le lecteur vérifie aisément qu’il existe, pour chaque \(p\), des \(R\)-modules \(M_p\) tels que \[M_A = \bigoplus\nolimits_{p \not \in A} M_p\] de manière compatible avec les identifications canoniques ci-dessus. En posant \(M = \bigoplus_{p \in P} M_p\), on obtient des isomorphismes canoniques \(M_A = S_A^{-1}M\), compatibles avec ces identifications. On obtient alors une application canonique \[I' \longrightarrow M\] de \(R\)-modules qui redonne l’application \(I'_A \to M_A\) pour tout \(A \in U\). Cela résulte de toutes les compatibilités mentionnées ci-dessus et de l’affirmation démontrée précédemment, selon laquelle \(M\) est l’égalisateur des deux applications de \(\prod_{A \in U} M_A\) vers \(\prod_{A, B \in U} M_{A \cup B}\). Soit \(I = \Ker(I' \to M)\). Alors \(I\) est un idéal, et \(T = V(I)\) est une partie fermée qui redonne les parties fermées \(T_A\) pour tout \(A \in U\). Cela démontre l’affirmation II.

Lemme

Le schéma \(\Spec(\mathbf{Z})\) n’est pas quasi-compact pour la topologie canonique sur la catégorie des schémas.

Démonstration

Avec les notations précédentes, considérons la famille de morphismes \[\mathcal{W} = \{\Spec(\mathbf{Z}_A) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{A \in U}\] D’après Descente, lemme 0EUD, et les deux affirmations démontrées ci-dessus, c’est un épimorphisme effectif universel. Dans toute catégorie \(\mathcal{C}\) possédant des produits fibrés, les épimorphismes effectifs universels y définissent une structure de site (à quelques difficultés ensemblistes près, faciles à résoudre) qui définit la topologie canonique. Ainsi, \(\mathcal{W}\) est un recouvrement pour la topologie canonique. D’autre part, nous avons vu ci-dessus que toute sous-famille finie \[\{\Spec(\mathbf{Z}_{A_i}) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{i = 1, \ldots, n},\quad n \in \mathbf{N}, A_1, \ldots, A_n \in U\] se factorise par \(\Spec(\mathbf{Z}[1/p])\) pour un certain \(p\). Cette famille finie ne peut donc pas être un épimorphisme effectif universel et, plus généralement, aucun épimorphisme effectif universel \(\{g_j : T_j \to \Spec(\mathbf{Z})\}\) ne peut raffiner \(\{\Spec(\mathbf{Z}_{A_i}) \to \Spec(\mathbf{Z})\}_{i = 1, \ldots, n}\). D’après Sites, définition 090H, cela signifie que \(\Spec(\mathbf{Z})\) n’est pas quasi-compact pour la topologie canonique. Pour voir que notre notion de quasi-compacité concorde avec la définition usuelle en théorie des topos, voir Sites, lemme 0D06.