Modules adéquats

Introduction

Pour tout schéma \(X\), la catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) des modules quasi-cohérents est abélienne et est une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie abélienne de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il en va de même pour la catégorie des modules quasi-cohérents sur un espace algébrique \(X\), considérée comme sous-catégorie de la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules sur le petit site étale de \(X\). De plus, pour un morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : X \to Y\), l’image directe \(f_*\) et les images directes supérieures préservent la quasi-cohérence.

Soit ensuite \(X\) un schéma et soit \(\mathcal{O}\) le faisceau structural sur l’un des grands sites de \(X\), par exemple le grand site fppf. La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents est abélienne (elle est en fait équivalente à la catégorie usuelle des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents sur le schéma \(X\) mentionnée plus haut), mais son plongement dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) n’est pas exact. Un exemple est l’application de modules quasi-cohérents \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k}\] sur \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\) donnée par la multiplication par \(x\). Dans la catégorie abélienne des faisceaux quasi-cohérents, cette application est injective, tandis que, dans la catégorie abélienne de tous les \(\mathcal{O}\)-modules sur le grand site de \(\mathbf{A}^1_k\), elle possède un noyau non trivial, comme on le voit en l’évaluant sur les sections au-dessus de \(\Spec(k[x]/(x)) = \Spec(k)\). De plus, pour un morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : X \to Y\), le foncteur \(f_{big, *}\) ne préserve pas la quasi-cohérence.

Dans ce chapitre, nous introduisons la catégorie de ce que nous appellerons les modules adéquats, étroitement apparentés aux modules quasi-cohérents, qui « résout » les deux problèmes mentionnés ci-dessus. Une autre solution, que nous mettrons en œuvre lorsque nous traiterons des modules quasi-cohérents sur les champs algébriques, consiste à considérer les \(\mathcal{O}\)-modules qui sont localement quasi-cohérents et satisfont la propriété de changement de base plat. Voir Cohomologie des champs, section 0GQG, Cohomologie des champs, remarque 07B2, et Catégories dérivées des champs, section 07B5.

Conventions

Dans ce chapitre, nous fixons \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\) et un grand \(\tau\)-site \(\Sch_\tau\) comme dans Topologies, section 020M. Tous les schémas seront des objets de \(\Sch_\tau\). En particulier, pour tout schéma \(S\), nous obtenons les sites \((\textit{Aff}/S)_\tau \subset (\Sch/S)_\tau\). Le faisceau structural \(\mathcal{O}\) sur ces sites est défini par la règle \(\mathcal{O}(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\).

Tous les anneaux \(A\) seront tels que \(\Spec(A)\) soit (isomorphe à) un objet de \(\Sch_\tau\). Étant donné un anneau \(A\), nous notons \(\textit{Alg}_A\) la catégorie des \(A\)-algèbres dont les objets sont les \(A\)-algèbres \(B\) de la forme \(B = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\), où \(U\) est un objet affine de \(\Sch_\tau\). Ainsi, pour tout schéma affine \(S = \Spec(A)\), le foncteur \[(\textit{Aff}/S)_\tau \longrightarrow \textit{Alg}_A, \quad U \longmapsto \mathcal{O}(U)\] est une équivalence.

Foncteurs adéquats

Dans cette section, nous étudions un sujet étroitement lié aux images directes des faisceaux quasi-cohérents. La majeure partie de ce qui suit est tirée de l’article [Jaffe].

Définition

Soit \(A\) un anneau. Un foncteur à valeurs dans les modules est un foncteur \(F : \textit{Alg}_A \to \textit{Ab}\) tel que

1. pour tout objet \(B\) de \(\textit{Alg}_A\), le groupe \(F(B)\) soit muni d’une structure de \(B\)-module, et

2. pour tout morphisme \(B \to B'\) de \(\textit{Alg}_A\), l’application \(F(B) \to F(B')\) soit \(B\)-linéaire.

Un morphisme de foncteurs à valeurs dans les modules est une transformation de foncteurs \(\varphi : F \to G\) telle que \(F(B) \to G(B)\) soit \(B\)-linéaire pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\).

Soit \(S = \Spec(A)\) un schéma affine. La catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) est équivalente à la catégorie \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/S)_\tau, \mathcal{O})\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. L’équivalence est donnée par la règle qui associe au foncteur à valeurs dans les modules \(F\) le préfaisceau \(\mathcal{F}\) défini par \(\mathcal{F}(U) = F(\mathcal{O}(U))\). Cela résulte immédiatement de l’équivalence \((\textit{Aff}/S)_\tau \to \textit{Alg}_A\), \(U \mapsto \mathcal{O}(U)\) donnée dans la section 06Z3. Le quasi-inverse pose \(F(B) = \mathcal{F}(\Spec(B))\).

Un cas particulier important de foncteur à valeurs dans les modules s’obtient comme suit. Soit \(M\) un \(A\)-module. Nous noterons alors \(\underline{M}\) le foncteur à valeurs dans les modules \(B \mapsto M \otimes_A B\) (muni de la structure évidente de \(B\)-module). Remarquons que si \(M \to N\) est une application de \(A\)-modules, il lui est associé un morphisme \(\underline{M} \to \underline{N}\) de foncteurs à valeurs dans les modules. Réciproquement, tout morphisme de foncteurs à valeurs dans les modules \(\underline{M} \to \underline{N}\) provient d’une application de \(A\)-modules \(M \to N\), comme on le voit en l’évaluant en \(B = A\). Autrement dit, \(\text{Mod}_A\) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\).

Étant donnée une application de \(A\)-modules \(\varphi : M \to N\), on a \(\Coker(\underline{M} \to \underline{N}) = \underline{Q}\) où \(Q = \Coker(M \to N)\), car \(\otimes\) est exact à droite. Mais il n’en va pas ainsi du noyau en général : par exemple, une application injective de \(A\)-modules ne reste pas nécessairement injective après changement de base. La définition suivante est donc naturelle.

Définition

Soit \(A\) un anneau. Un foncteur à valeurs dans les modules \(F\) sur \(\textit{Alg}_A\) est dit

1. adéquat s’il existe une application de \(A\)-modules \(M \to N\) telle que \(F\) soit isomorphe à \(\Ker(\underline{M} \to \underline{N})\) ;

2. linéairement adéquat si \(F\) est isomorphe au noyau d’une application \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\).

Remarquons que \(F\) est adéquat si et seulement s’il existe une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\), et que \(F\) est linéairement adéquat si et seulement s’il existe une suite exacte \(0 \to F \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\).

Soit \(A\) un anneau. Dans cette section, nous montrerons que la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\) est abélienne (lemmes 06V2 et 06V3) et possède un ensemble de générateurs (lemme 06UX). Nous verrons aussi qu’elle est une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie de tous les foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) (lemme 06V8) et qu’elle admet des limites inductives arbitraires (lemme 06V4).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur adéquat sur \(\textit{Alg}_A\). Si \(B = \colim B_i\) est une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres, alors \(F(B) = \colim F(B_i)\).

Démonstration

Cela tient à ce que, pour tout \(A\)-module \(M\), on a \(M \otimes_A B = \colim M \otimes_A B_i\) (voir Algèbre, lemme 00DD) et à ce que les limites inductives filtrantes commutent aux suites exactes, voir Algèbre, lemme 00DB.

Remarque

Considérons la catégorie \(\textit{Alg}_{fp, A}\) dont les objets sont les \(A\)-algèbres \(B\) de la forme \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) et dont les morphismes sont les applications de \(A\)-algèbres. Toute \(A\)-algèbre \(B\) est limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres de présentation finie, c’est-à-dire limite inductive filtrante d’objets de \(\textit{Alg}_{fp, A}\). D’après le lemme 06UU, nous en concluons que tout foncteur adéquat \(F\) est déterminé par sa restriction à \(\textit{Alg}_{fp, A}\). Pour certaines questions, nous pouvons donc nous restreindre aux foncteurs sur \(\textit{Alg}_{fp, A}\). Par exemple, la catégorie des foncteurs adéquats ne dépend pas du choix du grand \(\tau\)-site fait à la section 06Z3.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur adéquat sur \(\textit{Alg}_A\). Si \(B \to B'\) est plat, alors \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) est un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\). Elle donne le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & F(B) \otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[r] \ar[d] & (N \otimes_A B)\otimes_B B' \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F(B') \ar[r] & M \otimes_A B' \ar[r] & N \otimes_A B' }\] dont les lignes sont exactes (celle du haut parce que \(B \to B'\) est plat). Puisque les deux flèches verticales de droite sont des isomorphismes, celle de gauche en est également un.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur adéquat sur \(\textit{Alg}_A\). Il existe alors une surjection \(L \to F\), où \(L\) est une somme directe de foncteurs linéairement adéquats.

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\), où \(\underline{M} \to \underline{N}\) est donnée par \(\varphi : M \to N\). D’après le lemme 06UU, il suffit de construire \(L \to F\) de sorte que \(L(B) \to F(B)\) soit surjective pour toute \(A\)-algèbre de présentation finie \(B\). Il suffit donc, étant donnés une \(A\)-algèbre de présentation finie \(B\) et un élément \(\xi \in F(B)\), de construire une application \(L \to F\), avec \(L\) linéairement adéquat, telle que \(\xi\) appartienne à l’image de \(L(B) \to F(B)\). (En effet, les classes d’isomorphisme de tels couples \((B, \xi)\) forment un ensemble.)

Pour cela, notons \(\sum_{i = 1, \ldots, n} m_i \otimes b_i\) l’image de \(\xi\) dans \(\underline{M}(B) = M \otimes_A B\). Nous savons que \(\sum \varphi(m_i) \otimes b_i = 0\) dans \(N \otimes_A B\). Comme \(N\) est une limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie, on peut trouver un \(A\)-module de présentation finie \(N'\) et un diagramme commutatif de \(A\)-modules \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]_{m_1, \ldots, m_n} & N' \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] tels que \((b_1, \ldots, b_n)\) ait une image nulle dans \(N' \otimes_A B\). Choisissons une présentation \(A^{\oplus l} \to A^{\oplus k} \to N' \to 0\). Choisissons un relèvement \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus k}\) de l’application \(A^{\oplus n} \to N'\) du diagramme. On voit alors qu’il existe \((c_1, \ldots, c_l) \in B^{\oplus l}\) tel que \((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l)\) ait une image nulle dans \(B^{\oplus k}\) par l’application \(B^{\oplus n} \oplus B^{\oplus l} \to B^{\oplus k}\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ A^{\oplus n} \oplus A^{\oplus l} \ar[r] \ar[d] & A^{\oplus k} \ar[d] \\ M \ar[r] & N }\] où la flèche verticale de gauche est nulle sur le facteur direct \(A^{\oplus l}\). On voit alors que le noyau \(L\) de \(\underline{A^{\oplus n + l}} \to \underline{A^{\oplus k}}\) convient, car l’élément \((b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_l) \in L(B)\) a pour image \(\xi\).

Considérons une \(A\)-algèbre graduée \(B = \bigoplus_{d \geq 0} B_d\). Il existe alors deux homomorphismes de \(A\)-algèbres \(p, a : B \to B[t, t^{-1}]\), à savoir \(p : b \mapsto b\) et \(a : b \mapsto t^{\deg(b)} b\), où \(b\) est homogène. Si \(F\) est un foncteur à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\), posons [06UY]\[\begin{equation} F(B)^{(k)} = \{\xi \in F(B) \mid t^k F(p)(\xi) = F(a)(\xi)\}. \end{equation}\] Pour les foncteurs qui se comportent bien relativement aux extensions plates d’anneaux, cela donne une décomposition en somme directe. Cela revient au fait que les représentations de \(\mathbf{G}_m\) sont complètement réductibles.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\). Supposons que, pour \(B \to B'\) plat, l’application \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) soit un isomorphisme. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre graduée. Alors

1. \(F(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} F(B)^{(k)}\), et

2. l’application \(B \to B_0 \to B\) induit une application \(F(B) \to F(B)\) dont l’image est contenue dans \(F(B)^{(0)}\).

Démonstration

Soit \(x \in F(B)\). L’application \(p : B \to B[t, t^{-1}]\) est libre, donc nous savons que \[F(B[t, t^{-1}]) = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(p)(F(B)) \cdot t^k = \bigoplus\nolimits_{k \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^k\] comme indiqué, nous omettons \(F(p)\) dans la suite de la démonstration. Écrivons \(F(a)(x) = \sum t^k x_k\), avec \(x_k \in F(B)\). Notons \(\epsilon : B[t, t^{-1}] \to B\) l’homomorphisme de \(B\)-algèbres \(t \mapsto 1\). Notons que les composés \(\epsilon \circ p, \epsilon \circ a : B \to B[t, t^{-1}] \to B\) sont l’identité. On a donc \[x = F(\epsilon)(F(a)(x)) = F(\epsilon)(\sum t^k x_k) = \sum x_k.\] D’autre part, nous affirmons que \(x_k \in F(B)^{(k)}\). Considérons en effet le diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r]_a \ar[d]_{a'} & B[t, t^{-1}] \ar[d]^f \\ B[s, s^{-1}] \ar[r]^-g & B[t, s, t^{-1}, s^{-1}] }\] où \(a'(b) = s^{\deg(b)}b\), \(f(b) = b\), \(f(t) = st\), \(g(b) = t^{\deg(b)}b\) et \(g(s) = s\). Alors \[F(g)(F(a'))(x) = F(g)(\sum s^k x_k) = \sum s^k F(a)(x_k)\] et, en suivant l’autre chemin, on obtient \[F(f)(F(a))(x) = F(f)(\sum t^k x_k) = \sum (st)^k x_k.\]

Puisque \(B \to B[s, t, s^{-1}, t^{-1}]\) est libre, on a \(F(B[t, s, t^{-1}, s^{-1}]) = \bigoplus_{k, l \in \mathbf{Z}} F(B) \cdot t^ks^l\) ; en comparant les coefficients dans les expressions ci-dessus, on trouve \(F(a)(x_k) = t^k x_k\), comme voulu.

Enfin, l’image de \(F(B_0) \to F(B)\) est contenue dans \(F(B)^{(0)}\) car \(B_0 \to B \xrightarrow{a} B[t, t^{-1}]\) est égal à \(B_0 \to B \xrightarrow{p} B[t, t^{-1}]\).

Comme cas particulier du lemme 06UZ, notons que \[\underline{M}(B)^{(k)} = M \otimes_A B_k\] où \(B_k\) est la composante de degré \(k\) de la \(A\)-algèbre graduée \(B\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Étant donné un diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & L \ar[d]_\varphi \ar[r] & \underline{A^{\oplus n}} \ar[r] \ar@{..>}[ld] & \underline{A^{\oplus m}} \\ & \underline{M} }\] de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) dont la ligne est exacte, il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Supposons que l’application \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\) soit donnée par la matrice de taille \(m \times n\) notée \((a_{ij})\). Considérons l’anneau \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\). L’élément \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\) a une image nulle dans \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\) ; il est donc l’image d’un unique élément \(\xi \in L(B)\). Notons que \(\xi\) possède la propriété universelle suivante : pour toute \(A\)-algèbre \(C\) et tout \(\xi' \in L(C)\), il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to C\) tel que \(\xi\) ait pour image \(\xi'\) par \(L(B) \to L(C)\).

Notons que \(B\) est une \(A\)-algèbre graduée ; les lemmes 06UZ et 06UW permettent donc de décomposer les valeurs de nos foncteurs en \(B\) en composantes graduées. Notons que \(\xi \in L(B)^{(1)}\), puisque \((x_1, \ldots, x_n)\) est un élément de degré un de \(\underline{A^{\oplus n}}(B)\). On voit donc que \(\varphi(\xi) \in \underline{M}(B)^{(1)} = M \otimes_A B_1\). Puisque \(B_1\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_n\) comme \(A\)-module, on peut écrire \(\varphi(\xi) = \sum m_i \otimes x_i\). Considérons l’application \(A^{\oplus n} \to M\) qui envoie le \(i\)-ième vecteur de base sur \(m_i\). Par construction, l’application associée \(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{M}\) envoie l’élément \(\xi\) sur \(\varphi(\xi)\). La propriété universelle mentionnée ci-dessus entraîne que le diagramme commute.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\varphi : F \to \underline{M}\) une application de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\), avec \(F\) adéquat. Alors \(\Coker(\varphi)\) est adéquat.

Démonstration

D’après le lemme 06UX, on peut supposer que \(F = \bigoplus L_i\) est une somme directe de foncteurs linéairement adéquats. Choisissons des suites exactes \(0 \to L_i \to \underline{A^{\oplus n_i}} \to \underline{A^{\oplus m_i}}\). Pour chaque \(i\), choisissons une application \(A^{\oplus n_i} \to M\) comme dans le lemme 06V0. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \bigoplus L_i \ar[r] \ar[d] & \bigoplus \underline{A^{\oplus n_i}} \ar[r] \ar[ld] & \bigoplus \underline{A^{\oplus m_i}} \\ & \underline{M} }\] Considérons les \(A\)-modules \[Q = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to M \oplus \bigoplus A^{\oplus m_i}) \quad\text{et}\quad P = \Coker(\bigoplus A^{\oplus n_i} \to \bigoplus A^{\oplus m_i}).\] On voit alors que \(\Coker(\varphi)\) est isomorphe au noyau de \(\underline{Q} \to \underline{P}\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\varphi : F \to G\) une application de foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Alors \(\Coker(\varphi)\) est adéquat.

Démonstration

Choisissons une injection \(G \to \underline{M}\). On a alors une injection \(G/F \to \underline{M}/F\). D’après le lemme 06V1, \(\underline{M}/F\) est adéquat ; on peut donc trouver une injection \(\underline{M}/F \to \underline{N}\). Par composition, on obtient une injection \(G/F \to \underline{N}\). D’après le lemme 06V1, le conoyau de l’application induite \(G \to \underline{N}\) est adéquat ; on peut donc trouver une injection \(\underline{N}/G \to \underline{K}\). La suite \(0 \to G/F \to \underline{N} \to \underline{K}\) est alors exacte, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\varphi : F \to G\) une application de foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Alors \(\Ker(\varphi)\) est adéquat.

Démonstration

Choisissons une injection \(F \to \underline{M}\) et une injection \(G \to \underline{N}\). Notons \(F \to \underline{M \oplus N}\) l’application diagonale, de sorte que \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \\ \underline{M \oplus N} \ar[r] & \underline{N} }\] commute. D’après le lemme 06V2, on peut trouver une application de modules \(M \oplus N \to K\) telle que \(F\) soit le noyau de \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K}\). Alors \(\Ker(\varphi)\) est le noyau de \(\underline{M \oplus N} \to \underline{K \oplus N}\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Une somme directe arbitraire de foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\) est adéquate. Une limite inductive de foncteurs adéquats est adéquate.

Démonstration

L’assertion relative aux sommes directes est immédiate. Une limite inductive quelconque peut s’écrire comme noyau d’une application entre sommes directes ; voir Catégories, lemme 002P. L’assertion résulte donc du lemme 06V3.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soient \(F, G\) des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\). Soit \(\varphi : F \to G\) une transformation de foncteurs. Supposons que

1. \(\varphi\) soit additive,

2. pour toute \(A\)-algèbre \(B\), tout \(\xi \in F(B)\) et toute unité \(u \in B^*\), on ait \(\varphi(u\xi) = u\varphi(\xi)\) dans \(G(B)\), et

3. pour tout homomorphisme plat d’anneaux \(B \to B'\), on ait \(G(B) \otimes_B B' = G(B')\).

Alors \(\varphi\) est un morphisme de foncteurs à valeurs dans les modules.

Démonstration

Soient \(B\) une \(A\)-algèbre, \(\xi \in F(B)\) et \(b \in B\). Il faut montrer que \(\varphi(b \xi) = b \varphi(\xi)\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[B \to B' = B[x, y, x^{-1}, y^{-1}]/(x + y - b).\] Cet homomorphisme est fidèlement plat, donc \(G(B) \subset G(B')\). D’autre part, \[\varphi(b\xi) = \varphi((x + y)\xi) = \varphi(x\xi) + \varphi(y\xi) = x\varphi(\xi) + y\varphi(\xi) = (x + y)\varphi(\xi) = b\varphi(\xi)\] car \(x, y\) sont des unités de \(B'\). Cela conclut.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\) une suite exacte courte de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\), avec \(L\) linéairement adéquat. Alors \(G\) est adéquat.

Démonstration

Remarquons d’abord que, pour tout homomorphisme plat de \(A\)-algèbres \(B \to B'\), l’application \(G(B) \otimes_B B' \to G(B')\) est un isomorphisme. Cela vaut en effet pour \(\underline{M}\) et \(L\), voir le lemme 06UW, et en résulte pour \(G\) par le lemme des cinq. En particulier, le lemme 06UZ montre que \(G(B) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} G(B)^{(k)}\) pour toute \(A\)-algèbre graduée \(B\).

Choisissons une suite exacte \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{A^{\oplus m}}\). Supposons que l’application \(A^{\oplus n} \to A^{\oplus m}\) soit donnée par la matrice de taille \(m \times n\) notée \((a_{ij})\). Considérons la \(A\)-algèbre graduée \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\). L’élément \((x_1, \ldots, x_n) \in \underline{A^{\oplus n}}(B)\) a une image nulle dans \(\underline{A^{\oplus m}}(B)\) ; il est donc l’image d’un unique élément \(\xi \in L(B)\). Observons que \(\xi \in L(B)^{(1)}\). L’application \[\Hom_A(B, C) \longrightarrow L(C), \quad f \longmapsto L(f)(\xi)\] définit un isomorphisme de foncteurs. En effet, \(f\) est déterminé par les images \(c_i = f(x_i) \in C\), qui doivent satisfaire aux relations \(\sum a_{ij}c_j = 0\). Or \(L(C)\) est l’ensemble des \(n\)-uplets \((c_1, \ldots, c_n)\) satisfaisant aux relations \(\sum a_{ij} c_j = 0\).

Puisque la valeur de chacun des foncteurs \(\underline{M}\), \(G\), \(L\) en \(B\) est la somme directe de ses espaces de poids (d’après le lemme mentionné ci-dessus), l’exactitude de \(0 \to \underline{M} \to G \to L \to 0\) entraîne celle de la suite \(0 \to \underline{M}(B)^{(1)} \to G(B)^{(1)} \to L(B)^{(1)} \to 0\). On peut donc choisir un élément \(\theta \in G(B)^{(1)}\) ayant pour image \(\xi\).

Considérons la \(A\)-algèbre graduée \[C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\] Il existe trois homomorphismes de \(A\)-algèbres graduées \(p_1, p_2, m : B \to C\) définis par les règles \[p_1(x_i) = x_i, \quad p_1(x_i) = y_i, \quad m(x_i) = x_i + y_i.\] Nous montrerons que l’élément \[\tau = G(m)(\theta) - G(p_1)(\theta) - G(p_2)(\theta) \in G(C)\] est nul. Tout d’abord, un calcul direct montre que \(\tau\) a une image nulle dans \(L(C)\). Ainsi, \(\tau\) est un élément de \(\underline{M}(C)\). De plus, puisque \(m\), \(p_1\), \(p_2\) sont des homomorphismes d’algèbres graduées, on voit que \(\tau \in G(C)^{(1)}\) ; comme \(\underline{M} \subset G\), on en conclut que \[\tau \in \underline{M}(C)^{(1)} = M \otimes_A C_1.\] On peut écrire de manière unique \(\tau = \underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)\), avec \(\tau_i \in M \otimes_A B_1 = \underline{M}(B)^{(1)}\), car \(C_1 = p_1(B_1) \oplus p_2(B_1)\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(q_1 : C \to B\) défini par \(x_i \mapsto x_i\) et \(y_i \mapsto 0\). Alors \(\underline{M}(q_1)(\tau) = \underline{M}(q_1)(\underline{M}(p_1)(\tau_1) + \underline{M}(p_2)(\tau_2)) = \tau_1\). D’autre part, puisque \(q_1 \circ m = q_1 \circ p_1\), on voit que \(G(q_1)(\tau) = - G(q_1 \circ p_2)(\tau)\). Comme \(q_1 \circ p_2\) se factorise en \(B \to A \to B\), on voit que \(G(q_1 \circ p_2)(\tau)\) appartient à \(G(B)^{(0)}\) ; voir le lemme 06UZ. Ainsi \(\tau_1 = 0\), car cet élément appartient à \(G(B)^{(0)} \cap \underline{M}(B)^{(1)} \subset G(B)^{(0)} \cap G(B)^{(1)} = 0\). De même \(\tau_2 = 0\), d’où \(\tau = 0\).

Puisque \(\theta \in G(B)\), on obtient une transformation de foncteurs \[\psi : L(-) = \Hom_A(B, - ) \longrightarrow G(-)\] en envoyant \(f : B \to C\) sur \(G(f)(\theta)\). Puisque \(\theta\) est un relèvement de \(\xi\), l’application \(\psi\) est un inverse à droite de \(G \to L\). En termes de \(\psi\), les assertions démontrées ci-dessus signifient ceci : \(\tau = 0\) signifie que \(\psi\) est additive, et \(\theta \in G(B)^{(1)}\) entraîne que, pour toute \(A\)-algèbre \(D\), on a \(\psi(ul) = u\psi(l)\) dans \(G(D)\) pour \(l \in L(D)\) et toute unité \(u \in D^*\). Cela entraîne que \(\psi\) est un morphisme de foncteurs à valeurs dans les modules ; voir le lemme 06V5. Il en résulte clairement que \(G \cong \underline{M} \oplus L\), ce qui conclut.

Remarque

Soit \(A\) un anneau. La démonstration du lemme 06V6 montre que toute extension \(0 \to \underline{M} \to E \to L \to 0\) de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\), avec \(L\) linéairement adéquat, est scindée. Elle n’utilise que les propriétés suivantes du foncteur à valeurs dans les modules \(F = \underline{M}\) :

1. \(F(B) \otimes_B B' \to F(B')\) est un isomorphisme pour un homomorphisme plat d’anneaux \(B \to B'\), et

2. \(F(C)^{(1)} = F(p_1)(F(B)^{(1)}) \oplus F(p_2)(F(B)^{(1)})\), où \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_j)\) et \(C = A[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n]/ (\sum a_{ij}x_j, \sum a_{ij}y_j)\).

Ces deux propriétés valent pour tout foncteur adéquat \(F\) ; nous omettons les détails. On voit donc que \(L\) est un objet projectif de la catégorie abélienne des foncteurs adéquats.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(0 \to F \to G \to H \to 0\) une suite exacte courte de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\). Si \(F\) et \(H\) sont adéquats, \(G\) l’est aussi.

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\). Si l’on peut montrer que \((\underline{M} \oplus G)/F\) est adéquat, alors \(G\) est le noyau de l’application de foncteurs adéquats \((\underline{M} \oplus G)/F \to \underline{N}\), donc est adéquat d’après le lemme 06V3. On peut donc supposer que \(F = \underline{M}\).

On peut choisir une surjection \(L \to H\), où \(L\) est une somme directe de foncteurs linéairement adéquats ; voir le lemme 06UX. Si l’on peut montrer que le produit fibré \(G \times_H L\) est adéquat, alors \(G\) est le conoyau de l’application \(\Ker(L \to H) \to G \times_H L\), donc est adéquat d’après le lemme 06V2. On peut donc supposer que \(H = \bigoplus L_i\) est une somme directe de foncteurs linéairement adéquats. D’après le lemme 06V6, chacun des produits fibrés \(G \times_H L_i\) est adéquat. D’après le lemme 06V4, on voit que \(\bigoplus G \times_H L_i\) est adéquat. Alors \(G\) est le conoyau de \[\bigoplus\nolimits_{i \not = i'} F \longrightarrow \bigoplus G \times_H L_i\] où \(\xi\), dans le facteur direct \((i, i')\), a pour image \((0, \ldots, 0, \xi, 0, \ldots, 0, -\xi, 0, \ldots, 0)\), avec des composantes non nulles dans les facteurs directs \(i\) et \(i'\). Ainsi \(G\) est adéquat d’après le lemme 06V2.

Lemme

Soit \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux. Si \(F\) est un foncteur adéquat sur \(\textit{Alg}_A\), sa restriction \(F'\) à \(\textit{Alg}_{A'}\) est également adéquate.

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\). Alors \(F'(B') = F(B') = \Ker(M \otimes_A B' \to N \otimes_A B')\). Puisque \(M \otimes_A B' = M \otimes_A A' \otimes_{A'} B'\), et de même pour \(N\), on voit que \(F'\) est le noyau de \(\underline{M \otimes_A A'} \to \underline{N \otimes_A A'}\).

Lemme

Soit \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux. Si \(F'\) est un foncteur adéquat sur \(\textit{Alg}_{A'}\), le foncteur à valeurs dans les modules \(F : B \mapsto F'(A' \otimes_A B)\) sur \(\textit{Alg}_A\) est également adéquat.

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F' \to \underline{M'} \to \underline{N'}\). Alors \[\begin{align*} F(B) & = F'(A' \otimes_A B) \\ & = \Ker(M' \otimes_{A'} ( A' \otimes_A B) \to N' \otimes_{A'} (A' \otimes_A B)) \\ & = \Ker(M' \otimes_A B \to N' \otimes_A B) \end{align*}\] Ainsi \(F\) est le noyau de \(\underline{M} \to \underline{N}\), où \(M = M'\) et \(N = N'\) sont considérés comme \(A\)-modules.

Lemme

Soit \(A = A_1 \times \ldots \times A_n\) un produit d’anneaux. Se donner un foncteur adéquat sur \(A\) revient à se donner une suite \(F_1, \ldots, F_n\) de foncteurs adéquats \(F_i\) sur \(A_i\).

Démonstration

Cela résulte de ce qu’une \(A\)-algèbre \(B\) est canoniquement un produit \(B_1 \times \ldots \times B_n\), et qu’il en va de même des \(A\)-modules. La correspondance est donnée par \(F(B) = \coprod F_i(B_i)\). Nous omettons les détails.

Lemme

Soient \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux et \(F\) un foncteur à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) tel que

1. la restriction \(F'\) de \(F\) à la catégorie des \(A'\)-algèbres soit adéquate, et

2. pour toute \(A\)-algèbre \(B\), la suite \[0 \to F(B) \to F(B \otimes_A A') \to F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\] soit exacte.

Alors \(F\) est adéquat.

Démonstration

Les foncteurs \(B \to F(B \otimes_A A')\) et \(B \mapsto F(B \otimes_A A' \otimes_A A')\) sont adéquats ; voir les lemmes 06VA et 06V9. Ainsi \(F\), noyau d’une application de foncteurs adéquats, est adéquat ; voir le lemme 06V3.

Groupes Ext supérieurs des foncteurs adéquats

Soit \(A\) un anneau. Dans le lemme 06V8, nous avons vu que toute extension de foncteurs adéquats dans la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) est adéquate. Dans cette section, nous montrons que la même propriété vaut pour les groupes Ext supérieurs.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Pour tout foncteur à valeurs dans les modules \(F\) sur \(\textit{Alg}_A\), il existe un morphisme \(Q(F) \to F\) de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) tel que (1) \(Q(F)\) soit adéquat et (2) pour tout foncteur adéquat \(G\), l’application \(\Hom(G, Q(F)) \to \Hom(G, F)\) soit bijective.

Démonstration

Choisissons un ensemble \(\{L_i\}_{i \in I}\) de foncteurs linéairement adéquats tel que tout foncteur linéairement adéquat soit isomorphe à l’un des \(L_i\). C’est possible. Supposons que l’on puisse trouver \(Q(F) \to F\) satisfaisant à (1) et à la condition (2)’ pour tout \(i \in I\), l’application \(\Hom(L_i, Q(F)) \to \Hom(L_i, F)\) est bijective. Alors (2) est vérifiée. En effet, en combinant les lemmes 06UX et 06V3, on voit que tout foncteur adéquat \(G\) s’insère dans une suite exacte \[K \to L \to G \to 0\] où \(K\) et \(L\) sont des sommes directes de foncteurs linéairement adéquats. Ainsi (2)’ entraîne que \(\Hom(L, Q(F)) \to \Hom(L, F)\) et \(\Hom(K, Q(F)) \to \Hom(K, F)\) sont bijectives, d’où la même assertion pour \(G\).

Considérons la catégorie \(\mathcal{I}\) dont les objets sont les couples \((i, \varphi)\), où \(i \in I\) et où \(\varphi : L_i \to F\) est un morphisme. Un morphisme \((i, \varphi) \to (i', \varphi')\) est une application \(\psi : L_i \to L_{i'}\) telle que \(\varphi' \circ \psi = \varphi\). Posons \[Q(F) = \colim_{(i, \varphi) \in \Ob(\mathcal{I})} L_i\] Il existe une application naturelle \(Q(F) \to F\) ; d’après le lemme 06V4, ce foncteur est adéquat et, par construction, il possède la propriété (2)’.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Notons \(\mathcal{P}\) la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) et \(\mathcal{A}\) la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Notons \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\) le foncteur d’inclusion. Notons \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\) la construction du lemme 06Z6. Alors

1. \(i\) est pleinement fidèle, exact, et son image est une sous-catégorie de Serre faible,

2. \(\mathcal{P}\) possède suffisamment d’injectifs,

3. le foncteur \(Q\) est adjoint à droite de \(i\), donc exact à gauche,

4. \(Q\) transforme les objets injectifs en objets injectifs,

5. \(\mathcal{A}\) possède suffisamment d’injectifs.

Démonstration

Ce lemme rassemble simplement des faits déjà établis. L’assertion (1) résulte des définitions, de la caractérisation des sous-catégories de Serre faibles (voir Homologie, lemme 0754) et des lemmes 06V2, 06V3 et 06V8. Rappelons que \(\mathcal{P}\) est équivalente à la catégorie \(\textit{PMod}((\textit{Aff}/\Spec(A))_\tau, \mathcal{O})\). D’où (2), d’après Injectifs, proposition 01DV. L’assertion (3) résulte du lemme 06Z6 et de Catégories, lemme 0038. Les assertions (4) et (5) résultent de Homologie, lemmes 015Z et 0160.

Soit \(A\) un anneau. Comme dans Théorie des déformations formelles, section 06I2, étant donnés une \(A\)-algèbre \(B\) et un \(B\)-module \(N\), nous notons \(B[N]\) la \(R\)-algèbre dont le \(B\)-module sous-jacent est \(B \oplus N\) et dont la multiplication est donnée par \((b, m)(b', m ') = (bb', bm' + b'm)\). Notons que cette construction est fonctorielle par rapport au couple \((B, N)\), un morphisme \((B, N) \to (B', N')\) étant donné par un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to B'\) et une application de \(B\)-modules \(N \to N'\). En un certain sens, le foncteur \(TF\) sur les couples, défini dans le lemme suivant, est l’espace tangent de \(F\). Ci-dessous, nous ne considérerons que des couples \((B, N)\) tels que \(B[N]\) soit un objet de \(\textit{Alg}_A\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur à valeurs dans les modules. Pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) et tout \(B\)-module \(N\), il existe une décomposition canonique \[F(B[N]) = F(B) \oplus TF(B, N)\] caractérisée par les propriétés suivantes

1. \(TF(B, N) = \Ker(F(B[N]) \to F(B))\),

2. il existe une structure de \(B\)-module sur \(TF(B, N)\) compatible avec la structure de \(B[N]\)-module sur \(F(B[N])\),

3. \(TF\) est un foncteur défini sur la catégorie des couples \((B, N)\),

4. il existe des applications canoniques \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) induisant une transformation entre foncteurs définis sur la catégorie des couples \((B, N)\),

5. \(TF(B, 0) = 0\), et l’application \(TF(B, N) \to TF(B, N')\) est nulle lorsque \(N \to N'\) est l’application nulle.

Démonstration

Puisque \(B \to B[N] \to B\) est l’identité, on voit que \(F(B) \to F(B[N])\) est un facteur direct dont le supplémentaire est \(TF(N, B)\), défini en (1). Cette construction est fonctorielle par rapport au couple \((B, N)\), simplement parce que, étant donné un morphisme de couples \((B, N) \to (B', N')\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B' \ar[r] & B'[N'] \ar[r] & B' \\ B \ar[r] \ar[u] & B[N] \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] dans \(\textit{Alg}_A\). La structure de \(B\)-module provient de la structure de \(B[N]\)-module et de l’homomorphisme d’anneaux \(B \to B[N]\). L’application de (4) est le composé \[N \otimes_B F(B) \longrightarrow B[N] \otimes_{B[N]} F(B[N]) \longrightarrow F(B[N])\] dont l’image est contenue dans \(TF(B, N)\). (La première flèche utilise les inclusions \(N \to B[N]\) et \(F(B) \to F(B[N])\), et la seconde est l’application de multiplication.) Si \(N = 0\), alors \(B = B[N]\), donc \(TF(B, 0) = 0\). Si \(N \to N'\) est nulle, elle se factorise en \(N \to 0 \to N'\) ; l’application induite est donc nulle puisque \(TF(B, 0) = 0\).

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module. Le foncteur à valeurs dans les modules \(\underline{M}\) a pour espace tangent \(T\underline{M}\), défini par la règle \(T\underline{M}(B, N) = N \otimes_A M\). En particulier, pour \(B\) donné, le foncteur \(N \mapsto T\underline{M}(B, N)\) est additif et exact à droite. Il se trouve que cela vaut également pour les foncteurs injectifs à valeurs dans les modules.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I\) un objet injectif de la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules. Alors, pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) et toute suite exacte courte \(0 \to N_1 \to N \to N_2 \to 0\) de \(B\)-modules, la suite \[TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\] est exacte.

Démonstration

Nous utiliserons les résultats du lemme 06Z8 sans le mentionner à nouveau. Notons \(h : \textit{Alg}_A \to \textit{Ensembles}\) le foncteur donné par \(h(C) = \Mor_A(B[N], C)\). De même pour \(h_1\) et \(h_2\). L’application \(B[N] \to B[N_2]\) correspondant à la surjection \(N \to N_2\) est surjective. Il lui correspond une application \(h_2 \to h\) telle que \(h_2(C) \to h(C)\) soit injective pour toutes les \(A\)-algèbres \(C\). D’autre part, il existe deux applications \(p, q : h \to h_1\), correspondant à l’application nulle \(N_1 \to N\) et à l’injection \(N_1 \to N\). Notons que \[\xymatrix{ h_2 \ar[r] & h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_1 }\] est un diagramme de noyau de la double flèche. Notons \(\mathcal{O}_h\) le foncteur à valeurs dans les modules \(C \mapsto \bigoplus_{h(C)} C\). De même pour \(\mathcal{O}_{h_1}\) et \(\mathcal{O}_{h_2}\). Notons que \[\Hom_\mathcal{P}(\mathcal{O}_h, F) = F(B[N])\] où \(\mathcal{P}\) est la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\). Nous affirmons qu’il existe un diagramme de noyau de la double flèche \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{h_2} \ar[r] & \mathcal{O}_h \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{O}_{h_1} }\] dans \(\mathcal{P}\). En effet, supposons que \(C \in \Ob(\textit{Alg}_A)\) et que \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} c_i \cdot f_i\), où \(c_i \in C\) et \(f_i : B[N] \to C\), soit un élément de \(\mathcal{O}_h(C)\). Si \(p(\xi) = q(\xi)\), alors on voit que \[\sum c_i \cdot f_i \circ z = \sum c_i \cdot f_i \circ y\] où \(z, y : B[N_1] \to B[N]\) sont les applications \(z : (b, m_1) \mapsto (b, 0)\) et \(y : (b, m_1) \mapsto (b, m_1)\). Cela signifie que, pour tout \(i\), il existe un \(j\) tel que \(f_j \circ z = f_i \circ y\). Il en résulte clairement que \(f_i(N_1) = 0\), c’est-à-dire que \(f_i\) se factorise par une unique application \(\overline{f}_i : B[N_2] \to C\). Ainsi \(\xi\) est l’image de \(\overline{\xi} = \sum c_i \cdot \overline{f}_i\). Puisque \(I\) est injectif, il transforme ce diagramme de noyau de la double flèche en un diagramme de conoyau de la double flèche \[\xymatrix{ I(B[N_1]) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & I(B[N]) \ar[r] & I(B[N_2]) }\] Ce diagramme est compatible avec les décompositions en somme directe \(I(B[N]) = I(B) \oplus TI(B, N)\) et \(I(B[N_i]) = I(B) \oplus TI(B, N_i)\). L’application nulle \(N \to N_1\) induit l’application nulle \(TI(B, N) \to TI(B, N_1)\). On voit ainsi que la propriété de conoyau de la double flèche ci-dessus signifie que l’on a une suite exacte \(TI(B, N_1) \to TI(B, N) \to TI(B, N_2) \to 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(F\) un foncteur à valeurs dans les modules tel que, pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\), le foncteur \(TF(B, -)\) sur les \(B\)-modules transforme une suite exacte courte de \(B\)-modules en une suite exacte à droite. Alors

1. \(TF(B, N_1 \oplus N_2) = TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2)\),

2. il existe une seconde structure fonctorielle de \(B\)-module sur \(TF(B, N)\), définie en posant \(x \cdot b = TF(B, b\cdot 1_N)(x)\) pour \(x \in TF(B, N)\) et \(b \in B\),

3. l’application canonique \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) du lemme 06Z8 est \(B\)-linéaire également pour la seconde structure de \(B\)-module,

4. étant donné un \(B\)-module de présentation finie \(N\), il existe un isomorphisme canonique \(TF(B, B) \otimes_B N \to TF(B, N)\), où le produit tensoriel utilise la seconde structure de \(B\)-module sur \(TF(B, B)\).

Démonstration

Nous utiliserons les résultats du lemme 06Z8 sans le mentionner à nouveau. Les applications \(N_1 \to N_1 \oplus N_2\) et \(N_2 \to N_1 \oplus N_2\) donnent une application \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\), qui est injective puisque les applications \(N_1 \oplus N_2 \to N_1\) et \(N_1 \oplus N_2 \to N_2\) induisent un inverse. Puisque \(TF\) est exact à droite, on voit que \(TF(B, N_1) \to TF(B, N_1 \oplus N_2) \to TF(B, N_2) \to 0\) est exacte. Ainsi \(TF(B, N_1) \oplus TF(B, N_2) \to TF(B, N_1 \oplus N_2)\) est un isomorphisme. Cela démontre (1).

Pour (2), il suffit de montrer que \(x \cdot (b_1 + b_2) = x \cdot b_1 + x \cdot b_2\). (L’associativité et l’additivité sont claires.) Pour cela, considérons \[N \xrightarrow{(b_1, b_2)} N \oplus N \xrightarrow{+} N\] et appliquons \(TF(B, -)\).

L’assertion (3) résulte immédiatement de ce que \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) est fonctorielle par rapport au couple \((B, N)\).

Supposons que \(N\) soit un \(B\)-module de présentation finie. Choisissons une présentation \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n} \to N \to 0\). Elle donne une suite exacte \[TF(B, B^{\oplus m}) \to TF(B, B^{\oplus n}) \to TF(B, N) \to 0\] par exactitude à droite de \(TF(B, -)\). D’après (1), on peut écrire \(TF(B, B^{\oplus m}) = TF(B, B)^{\oplus m}\) et \(TF(B, B^{\oplus n}) = TF(B, B)^{\oplus n}\). Supposons ensuite que \(B^{\oplus m} \to B^{\oplus n}\) soit donnée par la matrice \(T = (b_{ij})\). Alors l’application induite \(TF(B, B)^{\oplus m} \to TF(B, B)^{\oplus n}\) est donnée par la matrice de coefficients \(TF(B, b_{ij} \cdot 1_B)\). Ce fait, joint à l’exactitude à droite de \(\otimes\), démontre (4).

Exemple

Soit \(F\) un foncteur à valeurs dans les modules comme dans le lemme 06ZB. Les deux structures de module sur \(TF(B, N)\) ne coïncident pas toujours. En voici un exemple. Supposons que \(A = \mathbf{F}_p\), où \(p\) est un nombre premier. Posons \(F(B) = B\), mais avec la structure de \(B\)-module donnée par \(b \cdot x = b^px\). Alors \(TF(B, N) = N\), avec la structure de \(B\)-module donnée par \(b \cdot x = b^px\) pour \(x \in N\). Cependant, la seconde structure de \(B\)-module est donnée par \(x \cdot b = bx\). Notons que, dans ce cas, l’application canonique \(N \otimes_B F(B) \to TF(B, N)\) est nulle, car élever un élément \(n \in B[N]\) à la puissance \(p\) donne zéro.

Dans le lemme suivant, nous utiliserons fréquemment l’observation suivante : si \(0 \to F \to G \to H \to 0\) est une suite exacte de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\), alors, pour tout couple \((B, N)\), la suite \(0 \to TF(B, N) \to TG(B, N) \to TH(B, N) \to 0\) est exacte. Cela résulte de ce que \(0 \to F(B[N]) \to G(B[N]) \to H(B[N]) \to 0\) est exacte.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Pour un foncteur à valeurs dans les modules \(F\) sur \(\textit{Alg}_A\), disons que \((*)\) est vérifiée si, pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\), le foncteur \(TF(B, -)\) sur les \(B\)-modules transforme une suite exacte courte de \(B\)-modules en une suite exacte à droite. Soit \(0 \to F \to G \to H \to 0\) une suite exacte courte de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\).

1. Si \((*)\) est vérifiée pour \(F, G\), alors \((*)\) est vérifiée pour \(H\).

2. Si \((*)\) est vérifiée pour \(F, H\), alors \((*)\) est vérifiée pour \(G\).

3. Si \(H' \to H\) est un morphisme de foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) et si \((*)\) est vérifiée pour \(F\), \(G\), \(H\) et \(H'\), alors \((*)\) est vérifiée pour \(G \times_H H'\).

Démonstration

Soit \(B\) donné. Soit \(0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(B\)-modules. L’assertion (1) résulte d’une chasse dans le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_3) \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 }\] dont les lignes horizontales et les colonnes faisant intervenir \(TF\) et \(TG\) sont exactes. Pour démontrer (2), on effectue une chasse dans le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & TF(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_1) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & TH(B, N_2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & TF(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & TG(B, N_3) \ar[r] & TH(B, N_3) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & & 0 }\] dont les lignes horizontales et les colonnes faisant intervenir \(TF\) et \(TH\) sont exactes. L’assertion (3) résulte de (2), puisque \(G \times_H H'\) s’insère dans la suite exacte \(0 \to F \to G \times_H H' \to H' \to 0\).

L’essentiel du travail de cette section a été accompli pour démontrer le résultat d’annulation fondamental suivant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soient \(M\), \(P\) des \(A\)-modules, avec \(P\) de présentation finie. Alors \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M}) = 0\) pour \(i > 0\), où \(\mathcal{P}\) est la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\underline{M} \to I^\bullet\) dans \(\mathcal{P}\) ; voir le lemme 06Z7. D’après Catégories dérivées, lemme 06XR, tout élément de \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\) provient d’un morphisme \(\varphi : \underline{P} \to I^i\) tel que \(d^i \circ \varphi = 0\). Nous montrerons que l’extension de Yoneda \[E : 0 \to \underline{M} \to I^0 \to \ldots \to I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P} \to \underline{P} \to 0\] de \(\underline{P}\) par \(\underline{M}\) associée à \(\varphi\) est triviale, ce qui démontrera le lemme d’après Catégories dérivées, lemme 06XU.

Pour un foncteur à valeurs dans les modules \(F\) sur \(\textit{Alg}_A\), disons que \((*)\) est vérifiée si, pour tout \(B \in \Ob(\textit{Alg}_A)\), le foncteur \(TF(B, -)\) sur les \(B\)-modules transforme une suite exacte courte de \(B\)-modules en une suite exacte à droite. Rappelons que les foncteurs à valeurs dans les modules \(\underline{M}, I^n, \underline{P}\) possèdent chacun la propriété \((*)\) ; voir le lemme 06ZA et les remarques qui le précèdent. En décomposant \(0 \to \underline{M} \to I^\bullet\) en suites exactes courtes, on trouve que chacun des foncteurs \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n) \subset I^n\) possède la propriété \((*)\) d’après le lemme 06ZF, et que \(I^{i - 1} \times_{\Ker(d^i)} \underline{P}\) possède également la propriété \((*)\).

On peut donc supposer que l’extension de Yoneda est donnée sous la forme \[E : 0 \to \underline{M} \to F_{i - 1} \to \ldots \to F_0 \to \underline{P} \to 0\] où chacun des foncteurs à valeurs dans les modules \(F_j\) possède la propriété \((*)\). Posons \(G_j(B) = TF_j(B, B)\), considéré comme \(B\)-module au moyen de la seconde structure de \(B\)-module définie dans le lemme 06ZB. Puisque \(TF_j\) est un foncteur sur les couples, on voit que \(G_j\) est un foncteur à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\). De plus, puisque \(E\) est une suite exacte, la suite \(G_{j + 1} \to G_j \to G_{j - 1}\) est exacte (voir la remarque précédant le lemme 06ZF). Observons que \(T\underline{M}(B, B) = M \otimes_A B = \underline{M}(B)\) et que les deux structures de \(B\)-module y coïncident. On obtient ainsi une extension de Yoneda \[E' : 0 \to \underline{M} \to G_{i - 1} \to \ldots \to G_0 \to \underline{P} \to 0\] De plus, les applications canoniques \[F_j(B) = B \otimes_B F_j(B) \longrightarrow TF_j(B, B) = G_j(B)\] du lemme 06Z8 (06Z9) sont \(B\)-linéaires d’après le lemme 06ZB (06ZC) et fonctorielles en \(B\). On a donc une application \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] \ar[d]^1 & F_{i - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & F_0 \ar[r] \ar[d] & \underline{P} \ar[r] \ar[d]^1 & 0 \\ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] & G_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & G_0 \ar[r] & \underline{P} \ar[r] & 0 }\] d’extensions de Yoneda. En particulier, on voit que \(E\) et \(E'\) ont la même classe dans \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\), d’après le lemme sur les Ext de Yoneda mentionné ci-dessus. Enfin, soit \(N\) un \(A\)-module de présentation finie. On voit alors que \[0 \to T\underline{M}(A, N) \to TF_{i - 1}(A, N) \to \ldots \to TF_0(A, N) \to T\underline{P}(A, N) \to 0\] est exacte. D’après le lemme 06ZB (06ZD), avec \(B = A\), cela se traduit par l’exactitude de la suite de \(A\)-modules \[0 \to M \otimes_A N \to G_{i - 1}(A) \otimes_A N \to \ldots \to G_0(A) \otimes_A N \to P \otimes_A N \to 0\] Ainsi la suite de \(A\)-modules \(0 \to M \to G_{i - 1}(A) \to \ldots \to G_0(A) \to P \to 0\) est universellement exacte, au sens où elle reste exacte après tensorisation par tout \(A\)-module de présentation finie \(N\). Posons \(K = \Ker(G_0(A) \to P)\), de sorte que l’on a des suites exactes \[0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0 \quad\text{et}\quad G_2(A) \to G_1(A) \to K \to 0\] En tensorisant la seconde suite par \(N\), on obtient \(K \otimes_A N = \Coker(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N)\). L’exactitude de \(G_2(A) \otimes_A N \to G_1(A) \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\) entraîne alors que \(K \otimes_A N \to G_0(A) \otimes_A N\) est injective. D’après Algèbre, théorème 058K, cela signifie que l’extension de \(A\)-modules \(0 \to K \to G_0(A) \to P \to 0\) est exacte ; puisque \(P\) est supposé de présentation finie, cela signifie que la suite est scindée ; voir Algèbre, lemme 058L. Tout scindage \(P \to G_0(A)\) définit une application \(\underline{P} \to G_0\) qui scinde la surjection \(G_0 \to \underline{P}\). Ainsi l’extension de Yoneda \(E'\) est équivalente à l’extension de Yoneda triviale, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(L\) un foncteur linéairement adéquat sur \(\textit{Alg}_A\). Alors \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M}) = 0\) pour \(i > 0\), où \(\mathcal{P}\) est la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\).

Démonstration

Puisque \(L\) est linéairement adéquat, il existe une suite exacte \[0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\] Ici \(P = \Coker(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n})\) est le conoyau de l’application de \(A\)-modules libres de rang fini donnée par la définition des foncteurs linéairement adéquats. D’après le lemme 06ZG, on a l’annulation de \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{P}, \underline{M})\) et de \(\Ext^i_\mathcal{P}(\underline{A}, \underline{M})\) pour \(i > 0\). Posons \(K = \Ker(\underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P})\). La suite exacte longue des groupes Ext associée à la suite exacte \(0 \to K \to \underline{A^{\oplus n}} \to \underline{P} \to 0\) permet de conclure que \(\Ext^i_\mathcal{P}(K, \underline{M}) = 0\) pour \(i > 0\). En répétant l’argument avec la suite \(0 \to L \to \underline{A^{\oplus m}} \to K \to 0\), on conclut.

Lemme

Avec les notations du lemme 06Z7, on a \(R^pQ(F) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout foncteur adéquat \(F\).

Démonstration

Choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1}\). Posons \(M^2 = \Coker(M^0 \to M^1)\), de sorte que \(0 \to F \to \underline{M^0} \to \underline{M^1} \to \underline{M^2} \to 0\) est une résolution. D’après Catégories dérivées, lemme 015J, on obtient une suite spectrale \[R^pQ(\underline{M^q}) \Rightarrow R^{p + q}Q(F)\] Puisque \(Q(\underline{M^q}) = \underline{M^q}\), il suffit de démontrer \(R^pQ(\underline{M}) = 0\), \(p > 0\), pour tout \(A\)-module \(M\).

Choisissons une résolution injective \(\underline{M} \to I^\bullet\) dans la catégorie \(\mathcal{P}\). Supposons que \(R^iQ(\underline{M})\) soit non nul. Alors \(\Ker(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1}))\) contient strictement l’image de \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\). Ainsi, d’après le lemme 06UX, il existe un foncteur linéairement adéquat \(L\) et une application \(\varphi : L \to Q(I^i)\) à valeurs dans le noyau de \(Q(I^i) \to Q(I^{i + 1})\) qui ne se factorise pas par l’image de \(Q(I^{i - 1}) \to Q(I^i)\). Puisque \(Q\) est adjoint à gauche du foncteur d’inclusion, l’application \(\varphi\) correspond à une application \(\varphi' : L \to I^i\) ayant les mêmes propriétés. Ainsi \(\varphi'\) donne un élément non nul de \(\Ext^i_\mathcal{P}(L, \underline{M})\), en contradiction avec le lemme 06ZH.

Modules adéquats

Dans Descente, section 03DR, nous avons vu que les modules quasi-cohérents sur un schéma \(S\) s’identifient aux modules quasi-cohérents sur n’importe lequel des grands sites \((\Sch/S)_\tau\) associés à \(S\). Nous avons vu que cette identification présente deux difficultés :

1. \(\QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) n’est pas exact en général (Descente, lemme 06VE), et

2. étant donné un morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : X \to S\), le foncteur \(f_*\) ne préserve pas en général les faisceaux quasi-cohérents sur les grands sites (Descente, proposition 03LC).

L’assertion (1) signifie que l’on ne peut pas définir une sous-catégorie triangulée de \(D(\mathcal{O})\) constituée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents. L’assertion (2) signifie que \(Rf_*\mathcal{F}\) n’est pas un complexe à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents, même lorsque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent et que \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé. De plus, les exemples donnés dans les démonstrations de Descente, lemme 06VE, et de Descente, proposition 03LC, ne sont pas de nature pathologique.

Dans cette section, nous étudions une catégorie légèrement plus grande de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\), qui contient les modules quasi-cohérents, est abélienne et est préservée par \(f_*\) lorsque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé. Pour cela, supposons que \(S\) soit un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\). Pour tout objet affine \(U = \Spec(A)\) de \((\Sch/S)_\tau\), on peut restreindre \(\mathcal{F}\) à \((\textit{Aff}/U)_\tau\) pour obtenir un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur ce site. Le foncteur correspondant à valeurs dans les modules, voir la section 06US, sera noté \[F = F_{\mathcal{F}, A} : \textit{Alg}_A \longrightarrow \textit{Ab}, \quad B \longmapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\] La correspondance \(\mathcal{F} \mapsto F_{\mathcal{F}, A}\) est un foncteur exact de catégories abéliennes.

Définition

Un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/S)_\tau\) est adéquat s’il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\) tel que \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) soit adéquat pour tout \(i \in I\).

Nous verrons ci-dessous que la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules adéquats est indépendante de la topologie \(\tau\) choisie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module adéquat sur \((\Sch/S)_\tau\). Pour tout schéma affine \(\Spec(A)\) au-dessus de \(S\), le foncteur \(F_{\mathcal{F}, A}\) est adéquat.

Démonstration

Soit \(\{\Spec(A_i) \to S\}_{i \in I}\) un \(\tau\)-recouvrement tel que \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) soit adéquat pour tout \(i \in I\). On peut trouver un \(\tau\)-recouvrement affine standard \(\{\Spec(A'_j) \to \Spec(A)\}_{j = 1, \ldots, m}\) tel que \(\Spec(A'_j) \to \Spec(A) \to S\) se factorise par \(\Spec(A_{i(j)})\) pour un certain \(i(j) \in I\). On voit alors que \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) est la restriction de \(F_{\mathcal{F}, A_{i(j)}}\) à la catégorie des \(A'_j\)-algèbres. Ainsi \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) est adéquat d’après le lemme 06V9. D’après le lemme 06VB, la suite \(F_{\mathcal{F}, A'_j}\) correspond à un foncteur « produit » adéquat \(F'\) sur \(A' = A'_1 \times \ldots \times A'_m\). Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau (pour la topologie de Zariski), ce foncteur produit \(F'\) est égal à \(F_{\mathcal{F}, A'}\), c’est-à-dire à la restriction de \(F\) aux \(A'\)-algèbres. Enfin, \(\{\Spec(A') \to \Spec(A)\}\) est un \(\tau\)-recouvrement. Il résulte du lemme 06VH que \(F_{\mathcal{F}, A}\) est adéquat.

Lemme

Soit \(S = \Spec(A)\) un schéma affine. La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules adéquats sur \((\Sch/S)_\tau\) est équivalente à la catégorie des foncteurs adéquats à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\).

Démonstration

Étant donné un module adéquat \(\mathcal{F}\), le foncteur \(F_{\mathcal{F}, A}\) est adéquat d’après le lemme 06VI. Étant donné un foncteur adéquat \(F\), choisissons une suite exacte \(0 \to F \to \underline{M} \to \underline{N}\) et considérons le \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F} = \Ker(M^a \to N^a)\), où \(M^a\) désigne le \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \((\Sch/S)_\tau\) associé au faisceau quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) sur \(S\). Notons que \(F = F_{\mathcal{F}, A}\) ; en particulier, le module \(\mathcal{F}\) est adéquat par définition. Nous omettons la démonstration du fait que ces constructions définissent des équivalences de catégories inverses l’une de l’autre.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. L’image inverse \(f^*\mathcal{F}\) d’un \(\mathcal{O}\)-module adéquat \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/S)_\tau\) est un \(\mathcal{O}\)-module adéquat sur \((\Sch/T)_\tau\).

Démonstration

Le foncteur d’image inverse \(f^* : \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/T)_\tau, \mathcal{O})\) est donné par restriction, c’est-à-dire que \(f^*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\) pour tout schéma \(V\) au-dessus de \(T\). Ce lemme résulte donc immédiatement du lemme 06VI et de la définition.

Voici une caractérisation de la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules adéquats. Pour en comprendre la portée, considérons une application \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents sur un schéma \(S\). Le conoyau de l’application associée \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) de \(\mathcal{O}\)-modules est quasi-cohérent, car il est égal à \((\mathcal{H}/\mathcal{G})^a\). Mais le noyau de \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) n’est pas quasi-cohérent en général. Il est toutefois adéquat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module sur \((\Sch/S)_\tau\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(\mathcal{F}\) est adéquat,

2. il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup S_i\) et des applications de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\) telles que \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) soit le noyau de \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\)

3. il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) et des applications de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i\) telles que \(\mathcal{F}|_{(\Sch/S_i)_\tau}\) soit le noyau de \(\mathcal{G}_i^a \to \mathcal{H}_i^a\),

4. il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{f_i : S_i \to S\}_{i \in I}\) tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit adéquat,

5. pour tout schéma affine \(U\) au-dessus de \(S\), la restriction \(\mathcal{F}|_{(\Sch/U)_\tau}\) est le noyau d’une application \(\mathcal{G}^a \to \mathcal{H}^a\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine au-dessus de \(S\). Posons \(F = F_{\mathcal{F}, A}\). Par définition, le foncteur \(F\) est adéquat si et seulement s’il existe une application de \(A\)-modules \(M \to N\) telle que \(F = \Ker(\underline{M} \to \underline{N})\). En combinant cela avec les lemmes 06VI et 06ZJ, on voit que (1) et (5) sont équivalentes.

Il est clair que (5) entraîne (2) et que (2) entraîne (3). Si (3) est vérifiée, on peut raffiner le recouvrement \(\{S_i \to S\}\) de sorte que chaque \(S_i = \Spec(A_i)\) soit affine. Les remarques préliminaires de la démonstration montrent alors que \(F_{\mathcal{F}, A_i}\) est adéquat. Ainsi \(\mathcal{F}\) est adéquat par définition. Donc (3) entraîne (1).

Enfin, (4) est équivalente à (1) : on utilise le lemme 06VJ dans un sens, et le fait qu’un composé de \(\tau\)-recouvrements est un \(\tau\)-recouvrement dans l’autre.

Tout comme pour les faisceaux quasi-cohérents, la catégorie des modules adéquats est indépendante de la topologie.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module adéquat sur \((\Sch/S)_\tau\). Pour tout morphisme plat surjectif \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) de schémas affines au-dessus de \(S\), le complexe de Čech augmenté \[0 \to \mathcal{F}(\Spec(A)) \to \mathcal{F}(\Spec(B)) \to \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) \to \ldots\] est exact. En particulier, \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc, et c’est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Avec \(A \to B\) comme dans le lemme, posons \(F = F_{\mathcal{F}, A}\). Ce foncteur est adéquat d’après le lemme 06VI. D’après le lemme 06UW, puisque \(A \to B\), \(A \to B \otimes_A B\), etc., sont plats, on voit que \(F(B) = F(A) \otimes_A B\), \(F(B \otimes_A B) = F(A) \otimes_A B \otimes_A B\), etc. L’exactitude résulte de Descente, lemme 023M.

Ainsi \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour les \(\tau\)-recouvrements (en particulier les recouvrements de Zariski) et pour tout recouvrement fidèlement plat d’un schéma affine par un schéma affine. En raisonnant comme dans les démonstrations de Descente, lemme 023S, et de Descente, proposition 023T, on conclut que \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour tous les recouvrements fpqc (constitués d’objets de \((\Sch/S)_\tau\)). Nous omettons les détails.

Le lemme 06VL montre en particulier que, pour tout couple de topologies \(\tau, \tau'\), les collections des modules adéquats pour la topologie \(\tau\) et pour la topologie \(\tau'\) sont identiques (comme préfaisceaux de modules sur la catégorie sous-jacente \(\Sch/S\)).

Définition

Soit \(S\) un schéma. La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules adéquats sur \((\Sch/S)_\tau\) est notée \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) ou \(\textit{Adeq}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Si l’on veut considérer la catégorie abélienne des modules adéquats sans choisir de topologie, on écrit simplement \(\textit{Adeq}(S)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module adéquat sur \((\Sch/S)_\tau\).

1. La restriction \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent sur le schéma \(S\).

2. La restriction \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) est le module quasi-cohérent associé à \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\).

3. Pour tout schéma affine \(U\) au-dessus de \(S\), on a \(H^q(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q > 0\).

4. Il existe un isomorphisme canonique \[H^q(S, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) = H^q((\Sch/S)_\tau, \mathcal{F}).\]

Démonstration

D’après le lemme 06UW et le lemme 06VI, pour tout morphisme plat de schémas affines \(U \to V\) au-dessus de \(S\), on a \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\). Cela vaut en particulier si \(U \subset V \subset S\) sont des ouverts affines de \(S\) ; ainsi \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) est quasi-cohérent. On obtient donc (1).

Soit \(S' \to S\) un morphisme étale de schémas. Pour un ouvert affine \(U \subset S'\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(V \subset S\), on voit alors que \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)\), car \(U \to V\) est étale, donc plat. Par conséquent, \(\mathcal{F}|_{S'_{Zar}}\) est l’image inverse de \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\). Cela démontre (2).

Nous allons appliquer Cohomologie sur les sites, lemme 03F9, au site \((\Sch/S)_\tau\), avec \(\mathcal{B}\) l’ensemble des schémas affines au-dessus de \(S\) et \(\text{Cov}\) l’ensemble des \(\tau\)-recouvrements affines standard. L’hypothèse (3) du lemme est satisfaite d’après Descente, lemme 03FI, et le lemme 06VL pour le cas d’un recouvrement par un seul schéma affine. On en conclut que \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout schéma affine \(U\) au-dessus de \(S\). Cela démontre (3). Exactement comme dans la démonstration de Descente, proposition 03DW, cela entraîne l’égalité des cohomologies (4).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. On dispose de foncteurs \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) et \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Le foncteur \(u : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) consiste à prendre le \(\mathcal{O}\)-module associé, qui est adéquat d’après le lemme 06VK. Réciproquement, le foncteur \(v\) est donné par restriction, \(v : \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}|_{S_{Zar}}\) ; voir le lemme 06VM. Puisque \(\mathcal{F}^a\) peut être décrit comme l’image inverse de \(\mathcal{F}\) par un morphisme de topos annelés \(((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \to (S_{Zar}, \mathcal{O}_S)\), voir Descente, remarque 03FH, et puisque la restriction est l’image directe, on voit que \(u\) et \(v\) sont adjoints comme suit \[\SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_\mathcal{O}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] où \(\mathcal{O}\) désigne le faisceau structural sur le grand site. La description montre immédiatement que le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout faisceau quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/S)_\tau\). Si, pour tout schéma affine \(\Spec(A)\) au-dessus de \(S\), le foncteur \(F_{\mathcal{F}, A}\) est adéquat, alors le faisceau associé à \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module adéquat.

Démonstration

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine au-dessus de \(S\). Posons \(F = F_{\mathcal{F}, A}\). Le faisceau associé est \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) ; voir Sites, section 00W1. Par construction, \[(\mathcal{F})^+(U) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] où la limite inductive porte sur les recouvrements dans le site \((\Sch/S)_\tau\). Puisque \(U\) est affine, il suffit de prendre la limite inductive sur les \(\tau\)-recouvrements affines standard \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} = \{\Spec(A_i) \to \Spec(A)\}_{i \in I}\) de \(U\). Puisque chaque \(A \to A_i\) et chaque \(A \to A_i \otimes_A A_j\) est plat, on voit que \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \Ker(\prod F(A) \otimes_A A_i \to \prod F(A) \otimes_A A_i \otimes_A A_j)\] d’après le lemme 06UW. Puisque \(A \to \prod A_i\) est fidèlement plat, ce module est toujours canoniquement isomorphe à \(F(A)\) d’après Descente, lemme 023M. Ainsi le préfaisceau \((\mathcal{F})^+\) a la même valeur que \(\mathcal{F}\) sur tous les schémas affines au-dessus de \(S\). En répétant une fois l’argument, on en déduit la même assertion pour \(\mathcal{F}^\# = ((\mathcal{F})^+)^+\). Ainsi \(F_{\mathcal{F}, A} = F_{\mathcal{F}^\#, A}\), et l’on conclut que \(\mathcal{F}^\#\) est adéquat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma.

1. La catégorie \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) est abélienne.

2. Le foncteur \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) est exact.

3. Si \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) est une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules et si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont adéquats, alors \(\mathcal{F}_2\) est adéquat.

4. La catégorie \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) admet des limites inductives, et le foncteur \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) commute à ces limites.

Démonstration

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de \(\mathcal{O}\)-modules adéquats. Pour démontrer (1) et (2), il suffit de montrer que \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\) et \(\mathcal{Q} = \Coker(\varphi)\), calculés dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\), sont adéquats. Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine au-dessus de \(S\). Posons \(F = F_{\mathcal{F}, A}\) et \(G = F_{\mathcal{G}, A}\). D’après les lemmes 06V3 et 06V2, le noyau \(K\) et le conoyau \(Q\) de l’application induite \(F \to G\) sont des foncteurs adéquats. Comme le noyau se calcule au niveau des préfaisceaux, on voit que \(K = F_{\mathcal{K}, A}\), et l’on conclut que \(\mathcal{K}\) est adéquat. Pour démontrer le résultat pour le conoyau, notons \(\mathcal{Q}'\) le conoyau préfaisceautique de \(\varphi\). Alors \(Q = F_{\mathcal{Q}', A}\) et \(\mathcal{Q} = (\mathcal{Q}')^\#\). Ainsi \(\mathcal{Q}\) est adéquat d’après le lemme 06VP.

Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules, avec \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) adéquats. Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine au-dessus de \(S\). Posons \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\). La suite de foncteurs \[0 \to F_1 \to F_2 \to F_3 \to 0\] est exacte, car, pour \(V = \Spec(B)\) affine au-dessus de \(U\), on a \(H^1(V, \mathcal{F}_1) = 0\) d’après le lemme 06VM. Puisque \(F_1\) et \(F_3\) sont des foncteurs adéquats d’après le lemme 06VI, on voit que \(F_2\) est adéquat d’après le lemme 06V8. Ainsi \(\mathcal{F}_2\) est adéquat.

Soit \(\mathcal{I} \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Notons \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\) la limite inductive calculée dans \(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\). Pour démontrer (4), il suffit de montrer que \(\mathcal{F}\) est adéquat. Soit \(\mathcal{F}' = \colim_i \mathcal{F}_i\) la limite inductive calculée dans les préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}')^\#\). Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine au-dessus de \(S\). Posons \(F_i = F_{\mathcal{F}_i, A}\). D’après le lemme 06V4, le foncteur \(\colim_i F_i = F_{\mathcal{F}', A}\) est adéquat. Le lemme 06VP montre que \(\mathcal{F}\) est adéquat.

Le lemme suivant affirme que l’image directe totale \(Rf_*\mathcal{F}\) d’un module adéquat par un morphisme quasi-compact et quasi-séparé est un complexe dont les faisceaux de cohomologie sont adéquats.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Pour tout \(\mathcal{O}_T\)-module adéquat sur \((\Sch/T)_\tau\), l’image directe \(f_*\mathcal{F}\) et les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}_S\)-modules adéquats sur \((\Sch/S)_\tau\).

Démonstration

Expliquons d’abord comment calculer les images directes supérieures. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est le \(i\)-ième faisceau de cohomologie du complexe \(f_*\mathcal{I}^\bullet\). Ainsi \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau qui associe à un objet \(U/S\) de \((\Sch/S)_\tau\) le module \[\begin{align*} \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(U) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(U))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(U) \to f_*\mathcal{I}^i(U))} & = \frac{\Ker(\mathcal{I}^i(U \times_S T) \to \mathcal{I}^{i + 1}(U \times_S T))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(U \times_S T) \to \mathcal{I}^i(U \times_S T))} \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}) \\ & = H^i((\Sch/U \times_S T)_\tau, \mathcal{F}|_{(\Sch/U \times_S T)_\tau}) \\ & = H^i(U \times_S T, \mathcal{F}|_{(U \times_S T)_{Zar}}) \end{align*}\] La première égalité résulte de Topologies, lemme 021W (et de ses analogues pour les autres topologies), la deuxième de la définition de la cohomologie de \(\mathcal{F}\) au-dessus d’un objet de \((\Sch/T)_\tau\), la troisième de Cohomologie sur les sites, lemme 03F3, et la dernière du lemme 06VM. Ainsi, d’après le lemme 06VP, il suffit de démontrer l’assertion énoncée dans le paragraphe suivant.

Soit \(A\) un anneau. Soit \(T\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_T\)-module adéquat sur \((\Sch/T)_\tau\). Pour une \(A\)-algèbre \(B\), posons \(T_B = T \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\) et notons \(\mathcal{F}_B = \mathcal{F}|_{(T_B)_{Zar}}\) la restriction de \(\mathcal{F}\) au petit site de Zariski de \(T_B\). (Rappelons qu’il s’agit d’un faisceau quasi-cohérent « usuel » sur le schéma \(T_B\) ; voir le lemme 06VM.) Assertion : le foncteur \[B \longmapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\] est adéquat. Nous démontrerons le lemme par la méthode usuelle consistant à découper \(T\) en morceaux.

Cas I : \(T\) est affine. Dans ce cas, les schémas \(T_B\) sont tous affines et \(H^q(T_B, \mathcal{F}_B) = 0\) pour tout \(q \geq 1\). Le foncteur \(B \mapsto H^0(T_B, \mathcal{F}_B)\) est adéquat d’après le lemme 06VA.

Cas II : \(T\) est séparé. Soit \(n\) le nombre minimal d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(T\). Raisonnons par récurrence sur \(n\). Le cas initial est le cas I. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\). Posons \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) et \(U = V_n\). Observons que \[U \cap V = (V_1 \cap V_n) \cup \ldots \cup (V_{n - 1} \cap V_n)\] est également une réunion de \(n - 1\) ouverts affines, puisque \(T\) est séparé ; voir Schémas, lemme 01KP. Notons que, pour chaque \(B\), les changements de base \(U_B\), \(V_B\) et \((U \cap V)_B = U_B \cap V_B\) se comportent de la même manière. Ainsi, pour chaque \(B\), on a une suite exacte longue \[0 \to H^0(T_B, \mathcal{F}_B) \to H^0(U_B, \mathcal{F}_B) \oplus H^0(V_B, \mathcal{F}_B) \to H^0((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B) \to H^1(T_B, \mathcal{F}_B) \to \ldots\] fonctorielle en \(B\) ; voir Cohomologie, lemme 01EB. Par l’hypothèse de récurrence, les foncteurs \(B \mapsto H^q(U_B, \mathcal{F}_B)\), \(B \mapsto H^q(V_B, \mathcal{F}_B)\) et \(B \mapsto H^q((U \cap V)_B, \mathcal{F}_B)\) sont adéquats. Les lemmes 06V3 et 06V2 montrent que notre foncteur \(B \mapsto H^q(T_B, \mathcal{F}_B)\) est le terme médian d’une suite exacte courte dont les termes extrêmes sont adéquats. L’assertion résulte donc du lemme 06V8.

Cas III : cas général quasi-compact et quasi-séparé. La démonstration se fait encore par récurrence sur le nombre \(n\) d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(T\). Le cas initial \(n = 1\) est le cas I. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(T = V_1 \cup \ldots \cup V_n\). Posons \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_{n - 1}\) et \(U = V_n\). Notons que, puisque \(T\) est quasi-séparé, \(U \cap V\) est un ouvert quasi-compact d’un schéma affine ; le cas II s’y applique donc. La suite de l’argument se déroule exactement comme dans le paragraphe précédent, et nous l’omettons.

Modules adéquats parasites

Dans cette section, nous commençons à comparer les modules adéquats et les modules quasi-cohérents sur un schéma \(S\). Rappelons qu’il existe des foncteurs \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) et \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) satisfaisant à l’adjonction \[\SheafHom_{\QCoh(\mathcal{O}_S)}(\mathcal{F}, v\mathcal{G}) = \SheafHom_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(u\mathcal{F}, \mathcal{G})\] et tels que \(\mathcal{F} \to vu\mathcal{F}\) soit un isomorphisme pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) ; voir la remarque 06VN. Ainsi \(u\) est un plongement pleinement fidèle, et l’on peut identifier \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\) à une sous-catégorie pleine de \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\). Le foncteur \(v\) est exact, mais \(u\) n’est pas exact à gauche en général. Le noyau de \(v\) est la sous-catégorie des modules adéquats parasites.

Dans Descente, définition 06ZL, nous donnons la définition d’un module parasite. Pour les modules adéquats, cette notion ne dépend pas de la topologie choisie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module adéquat sur \((\Sch/S)_\tau\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(v\mathcal{F} = 0\),

2. \(\mathcal{F}\) est parasite,

3. \(\mathcal{F}\) est parasite pour la topologie \(\tau\),

4. \(\mathcal{F}(U) = 0\) pour tout ouvert \(U \subset S\), et

5. il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que \(\mathcal{F}(U_i) = 0\) pour tout \(i\).

Démonstration

Les implications (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5) résultent immédiatement des définitions. Supposons (5). Supposons que \(S = \bigcup U_i\) soit un recouvrement ouvert affine tel que \(\mathcal{F}(U_i) = 0\) pour tout \(i\). Soit \(V \to S\) un morphisme plat. Il existe un recouvrement ouvert affine \(V = \bigcup V_j\) tel que chaque \(V_j\) ait son image dans un \(U_i\). Puisque le morphisme \(V_j \to S\) est plat, \(V_j \to U_i\) l’est aussi. L’homomorphisme d’anneaux correspondant \(A_i = \mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(V_j) = B_j\) est donc plat. Ainsi, d’après le lemme 06VI et le lemme 06UW, on voit que \(\mathcal{F}(U_i) \otimes_{A_i} B_j \to \mathcal{F}(V_j)\) est un isomorphisme. Ainsi \(\mathcal{F}(V_j) = 0\). Puisque \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie de Zariski, on conclut que \(\mathcal{F}(V) = 0\). On voit de cette manière que (5) entraîne (2).

Cela démontre l’équivalence de (2), (3), (4) et (5). Comme (1) est équivalente à (3) (voir la remarque 06VN), on conclut que les cinq conditions sont équivalentes.

Soit \(S\) un schéma. La sous-catégorie des modules adéquats parasites est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\). Le quotient est la catégorie des modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La sous-catégorie \(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) des modules adéquats parasites est une sous-catégorie de Serre. De plus, le foncteur \(v\) induit une équivalence de catégories \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} = \QCoh(\mathcal{O}_S).\]

Démonstration

La catégorie \(\mathcal{C}\) est le noyau du foncteur exact \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\) ; voir le lemme 06ZM. C’est donc une sous-catégorie de Serre d’après Homologie, lemme 02MQ. D’après Homologie, lemme 02MS, on obtient un foncteur exact induit \(\overline{v} : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) / \mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Puisque \(u\) est un inverse à droite de \(v\), on voit immédiatement que \(\overline{v}\) est essentiellement surjectif. On voit que \(\overline{v}\) est fidèle d’après Homologie, lemme 06XK. Puisque \(u\) est un inverse à droite de \(v\), on conclut enfin que \(\overline{v}\) est pleinement fidèle.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Pour tout \(\mathcal{O}_T\)-module adéquat parasite sur \((\Sch/T)_\tau\), l’image directe \(f_*\mathcal{F}\) et les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}_S\)-modules adéquats parasites sur \((\Sch/S)_\tau\).

Démonstration

Nous avons déjà vu dans le lemme 06VR que ces images directes supérieures sont adéquates. Il suffit donc de montrer que \((R^if_*\mathcal{F})(U_i) = 0\) pour tout \(\tau\)-recouvrement ouvert \(\{U_i \to S\}\). Or \(R^if_*\mathcal{F}\) est parasite d’après Descente, lemme 07AG.

Catégories dérivées de modules adéquats, I

Soit \(S\) un schéma. Nous poursuivons la discussion commencée dans la section 06ZK. Le foncteur exact \(v\) induit un foncteur \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] et de même pour les variantes bornées.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Notons \(\mathcal{C} \subset \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie pleine constituée des modules adéquats parasites. Alors \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))/D_\mathcal{C}(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\] et de même pour les variantes bornées.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Catégories dérivées, lemme 06XM.

Cherchons ensuite une description en sens inverse en considérant les foncteurs \[K^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)) \longrightarrow K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+(\QCoh(\mathcal{O}_S)).\] Dans certains cas, la catégorie dérivée des modules adéquats est une localisation de la catégorie homotopique des complexes de modules quasi-cohérents par rapport aux quasi-isomorphismes universels. Soit \(S\) un schéma. Une application de complexes \(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents est appelée quasi-isomorphisme universel si, pour tout morphisme de schémas \(f : T \to S\), l’image inverse \(f^*\varphi\) est un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. La catégorie dérivée bornée inférieurement \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) est la localisation de \(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) par rapport au système multiplicatif des quasi-isomorphismes universels.

Démonstration

Si \(\varphi : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un morphisme de complexes de \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents, alors \(u\varphi : u\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme si et seulement si \(\varphi\) est un quasi-isomorphisme universel. Ainsi la collection \(S\) des quasi-isomorphismes universels est un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée d’après Catégories dérivées, lemme 05R4. Ainsi \(S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) existe et est une catégorie triangulée ; voir Catégories dérivées, proposition 05R6. On obtient un foncteur canonique \(can : S^{-1}K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D^{+}(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) d’après Catégories dérivées, lemme 05R7.

Notons que, presque par définition, tout module adéquat sur \(U\) se plonge dans un faisceau quasi-cohérent ; voir le lemme 06VK. Ainsi, d’après Catégories dérivées, lemme 05T6, étant donné \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})))\), il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to u\mathcal{G}^\bullet\), où \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(K^+(\QCoh(\mathcal{O}_U)))\). Cela démontre que \(can\) est essentiellement surjectif.

De même, supposons que \(\mathcal{F}^\bullet\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) soient des complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents. Un morphisme dans \(D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\) entre ces complexes est constitué d’un couple \(f : u\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) et \(s : u\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\), où \(s\) est un quasi-isomorphisme. Choisissons un quasi-isomorphisme \(s' : \mathcal{H}^\bullet \to u\mathcal{E}^\bullet\). On voit alors que \(s' \circ f : \mathcal{F} \to \mathcal{E}^\bullet\) et le quasi-isomorphisme universel \(s' \circ s : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) donnent un morphisme dans \(S^{-1}K^{+}(\QCoh(\mathcal{O}_U))\) ayant pour image le morphisme donné. Cela démontre la plénitude. La fidélité se démontre de manière analogue.

Lemme

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Le foncteur d’inclusion \[\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/U)_\tau, \mathcal{O})\] admet un adjoint à droite \(A\)¹. De plus, le morphisme d’adjonction \(A(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout module adéquat \(\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après Topologies, lemme 021V (et de même pour les autres topologies), on peut travailler avec les \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\textit{Aff}/U)_\tau\). Notons \(\mathcal{P}\) la catégorie des foncteurs à valeurs dans les modules sur \(\textit{Alg}_A\) et \(\mathcal{A}\) la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Notons \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{P}\) le foncteur d’inclusion. Notons \(Q : \mathcal{P} \to \mathcal{A}\) la construction du lemme 06Z6. On a le diagramme commutatif [06ZT]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \ar[r]_-k \ar@{=}[d] & \textit{Mod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar[r]_-j & \textit{PMod}((\textit{Aff}/U)_\tau, \mathcal{O}) \ar@{=}[d] \\ \mathcal{A} \ar[rr]^-i & & \mathcal{P} } } \end{equation}\] L’égalité verticale de gauche est le lemme 06ZJ, et l’égalité verticale de droite a été expliquée dans la section 06US. Définissons \(A(\mathcal{F}) = Q(j(\mathcal{F}))\). Puisque \(j\) est pleinement fidèle, il en résulte immédiatement que \(A\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(k\). De plus, puisque \(k\) est lui aussi pleinement fidèle, la dernière assertion en résulte formellement.

Le foncteur \(A\) est un adjoint à droite, donc est exact à gauche. Puisque le foncteur d’inclusion est exact, voir le lemme 06VQ, on conclut que \(A\) transforme les objets injectifs en objets injectifs et que la catégorie \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) possède suffisamment d’injectifs ; voir Homologie, lemme 0160, et Injectifs, théorème 01DU. Cela résulte également de l’équivalence dans (06ZT) et du lemme 06Z7.

Lemme

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Pour tout objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\), on a \(R^pA(\mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\), où \(A\) est comme dans le lemme 06ZS.

Démonstration

Avec les notations de la démonstration du lemme 06ZS, choisissons une résolution injective \(k(\mathcal{F}) \to \mathcal{I}^\bullet\) dans la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\textit{Aff}/U)_\tau\). D’après Cohomologie sur les sites, lemme 06YK, et le lemme 06VM, le complexe \(j(\mathcal{I}^\bullet)\) est exact. D’autre part, chaque \(j(\mathcal{I}^n)\) est un objet injectif de la catégorie des préfaisceaux de modules d’après Cohomologie sur les sites, lemme 03FB. Il en résulte que \(R^pA(\mathcal{F}) = R^pQ(j(k(\mathcal{F})))\). Le résultat découle donc du lemme 06ZI.

Soit \(S\) un schéma. D’après la discussion de la section 06VF, le plongement \(\textit{Adeq}(\mathcal{O}) \subset \textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O})\) présente \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) comme une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie de tous les \(\mathcal{O}\)-modules. Notons \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \subset D(\mathcal{O}) = D(\textit{Mod}((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}))\] la sous-catégorie triangulée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont adéquats ; voir Catégories dérivées, section 06UP. On obtient un foncteur canonique \[D(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\] voir Catégories dérivées, équation (06UR).

Lemme

Si \(U = \Spec(A)\) est un schéma affine, alors la variante bornée inférieurement [06VV]\[\begin{equation} D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O})) \longrightarrow D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \end{equation}\] du foncteur ci-dessus est une équivalence.

Démonstration

Soit \(A : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion construit dans le lemme 06ZS. Puisque \(A\) est exact à gauche et que \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) possède suffisamment d’injectifs, \(A\) admet un foncteur dérivé à droite \(RA : D^+_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\). Nous affirmons que \(RA\) est un quasi-inverse de (06VV). Le fait essentiel est que, si \(\mathcal{F}\) est un module adéquat, le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to RA(\mathcal{F})\) est un quasi-isomorphisme d’après le lemme 06ZU.

Pour démontrer complètement le lemme, il suffit en effet de montrer que :

1. étant donné \(\mathcal{F}^\bullet \in K^+(\textit{Adeq}(\mathcal{O}))\), l’application canonique \(\mathcal{F}^\bullet \to RA(\mathcal{F}^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme, et

2. étant donné \(\mathcal{G}^\bullet \in K^+(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\), l’application canonique \(RA(\mathcal{G}^\bullet) \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Les assertions (1) et (2) résultent toutes deux du fait essentiel par un argument de suite spectrale utilisant l’une des suites spectrales de Catégories dérivées, lemme 015J. Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}\)-modules adéquats. Pour tout \(i \geq 0\), l’application naturelle \[\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Par définition, ces groupes Ext se calculent comme ensembles de morphismes dans la catégorie dérivée. Cela résulte donc immédiatement du lemme 06ZV.

Extensions pures

Nous voulons caractériser en termes algébriques les extensions de faisceaux quasi-cohérents sur le grand site d’un schéma affine. Pour cela, nous introduisons la notion suivante.

Définition

Soit \(A\) un anneau.

1. Un \(A\)-module \(P\) est dit projectif pur si, pour toute suite universellement exacte \(0 \to K \to M \to N \to 0\) de \(A\)-modules, la suite \(0 \to \Hom_A(P, K) \to \Hom_A(P, M) \to \Hom_A(P, N) \to 0\) est exacte.

2. Un \(A\)-module \(I\) est dit injectif pur si, pour toute suite universellement exacte \(0 \to K \to M \to N \to 0\) de \(A\)-modules, la suite \(0 \to \Hom_A(N, I) \to \Hom_A(M, I) \to \Hom_A(K, I) \to 0\) est exacte.

Caractérisons les modules projectifs purs.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

1. Un module est projectif pur si et seulement s’il est facteur direct d’une somme directe de \(A\)-modules de présentation finie.

2. Pour tout module \(M\), il existe une suite universellement exacte \(0 \to N \to P \to M \to 0\), avec \(P\) projectif pur.

Démonstration

Notons d’abord qu’un \(A\)-module de présentation finie est projectif pur d’après Algèbre, théorème 058K. Ainsi un facteur direct d’une somme directe de \(A\)-modules de présentation finie est bien projectif pur. Soit \(M\) un \(A\)-module quelconque. Écrivons \(M = \colim_{i \in I} P_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie. Considérons la suite \[0 \to N \to \bigoplus P_i \to M \to 0.\] Pour tout \(A\)-module de présentation finie \(P\), l’application \(\Hom_A(P, \bigoplus P_i) \to \Hom_A(P, M)\) est surjective, car toute application \(P \to M\) se factorise par un certain \(P_i\). Ainsi, d’après Algèbre, théorème 058K, cette suite est universellement exacte. Cela démontre (2). Si maintenant \(M\) est projectif pur, alors la suite est scindée et l’on voit que \(M\) est facteur direct de \(\bigoplus P_i\).

Caractérisons les modules injectifs purs.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Pour tout \(A\)-module \(M\), posons \(M^\vee = \Hom_\mathbf{Z}(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\).

1. Pour tout \(A\)-module \(M\), le \(A\)-module \(M^\vee\) est injectif pur.

2. Un \(A\)-module \(I\) est injectif pur si et seulement si l’application \(I \to (I^\vee)^\vee\) est scindée.

3. Pour tout module \(M\), il existe une suite universellement exacte \(0 \to M \to I \to N \to 0\), avec \(I\) injectif pur.

Démonstration

Nous utiliserons les propriétés du foncteur \(M \mapsto M^\vee\) données dans Compléments d’algèbre, section 01D8, sans le mentionner à nouveau. L’assertion (1) résulte de ce que \(\Hom_A(N, M^\vee) = \Hom_\mathbf{Z}(N \otimes_A M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\) et de ce que \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) est injectif dans la catégorie des groupes abéliens. Ainsi, si \(I \to (I^\vee)^\vee\) est scindée, \(I\) est injectif pur. Nous affirmons que, pour tout \(A\)-module \(M\), l’application d’évaluation \(ev : M \to (M^\vee)^\vee\) est universellement injective. Pour le voir, notons que \(ev^\vee : ((M^\vee)^\vee)^\vee \to M^\vee\) admet un inverse à droite, à savoir \(ev' : M^\vee \to ((M^\vee)^\vee)^\vee\). Alors, pour tout \(A\)-module \(N\), l’application du foncteur exact et fidèle \({}^\vee\) au morphisme \(N \otimes_A M \to N \otimes_A (M^\vee)^\vee\) fournit \[\Hom_A(N, ((M^\vee)^\vee)^\vee) = \Big(N \otimes_A (M^\vee)^\vee\Big)^\vee \to \Big(N \otimes_A M\Big)^\vee = \Hom_A(N, M^\vee)\] qui est surjective en raison de l’existence de l’inverse à droite. D’où l’assertion. Celle-ci entraîne (3) et la nécessité de la condition de (2).

Avant de poursuivre, faisons l’observation suivante, que nous utiliserons fréquemment dans la suite de cette section.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

1. Soit \(L \to M \to N\) une suite universellement exacte de \(A\)-modules. Posons \(K = \Im(M \to N)\). Alors \(K \to N\) est universellement injective.

2. Tout complexe universellement exact peut être décomposé en suites exactes courtes universellement exactes.

Démonstration

Démonstration de (1). Pour tout \(A\)-module \(T\), la suite \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to K \otimes_A T \to 0\) est exacte par exactitude à droite de \(\otimes\). Par hypothèse, la suite \(L \otimes_A T \to M \otimes_A T \to N \otimes_A T\) est exacte. Ces deux faits montrent que \(K \otimes_A T \to N \otimes_A T\) est injective.

L’assertion (2) signifie ceci : supposons que \(M^\bullet\) soit un complexe universellement exact de \(A\)-modules. Posons \(K^i = \Ker(d^i) \subset M^i\). Alors les suites exactes courtes \(0 \to K^i \to M^i \to K^{i + 1} \to 0\) sont universellement exactes. Cela résulte immédiatement de (1).

Définition

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module.

1. Une résolution par des projectifs purs \(P_\bullet \to M\) est une suite universellement exacte \[\ldots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\] où chaque \(P_i\) est projectif pur.

2. Une résolution par des injectifs purs \(M \to I^\bullet\) est une suite universellement exacte \[0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] où chaque \(I^i\) est injectif pur.

Ces résolutions satisfont aux propriétés d’unicité usuelles parmi la classe de toutes les résolutions à gauche ou à droite universellement exactes.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

1. Tout \(A\)-module admet une résolution par des projectifs purs.

Soit \(M \to N\) une application de \(A\)-modules. Soit \(P_\bullet \to M\) une résolution par des projectifs purs et soit \(N_\bullet \to N\) une résolution universellement exacte.

1. Il existe une application de complexes \(P_\bullet \to N_\bullet\) induisant l’application donnée \[M = \Coker(P_1 \to P_0) \to \Coker(N_1 \to N_0) = N\]

2. deux applications \(\alpha, \beta : P_\bullet \to N_\bullet\) induisant la même application \(M \to N\) sont homotopes.

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement du lemme 06ZZ. Avant de démontrer (2) et (3), notons que, d’après le lemme 0701, on peut décomposer le complexe universellement exact \(N_\bullet \to N \to 0\) en suites exactes courtes universellement exactes \(0 \to K_0 \to N_0 \to N \to 0\) et \(0 \to K_i \to N_i \to K_{i - 1} \to 0\).

Démonstration de (2). Puisque \(P_0\) est projectif pur, on peut trouver une application \(P_0 \to N_0\) relevant l’application \(P_0 \to M \to N\). On obtient une application induite \(P_1 \to F_0 \to N_0\) dont l’image est contenue dans \(K_0\). Puisque \(P_1\) est projectif pur, on peut la relever en une application \(P_1 \to N_1\). Celle-ci induit à son tour une application \(P_2 \to P_1 \to N_1\) dont l’image dans \(N_0\) est nulle, c’est-à-dire dont l’image est contenue dans \(K_1\). On peut donc la relever en une application \(P_2 \to N_2\). On répète le procédé.

Démonstration de (3). Pour montrer que \(\alpha, \beta\) sont homotopes, il suffit de montrer que la différence \(\gamma = \alpha - \beta\) est homotope à zéro. Notons que l’image de \(\gamma_0 : P_0 \to N_0\) est contenue dans \(K_0\). On peut donc relever \(\gamma_0\) en une application \(h_0 : P_0 \to N_1\). Considérons l’application \(\gamma_1' = \gamma_1 - h_0 \circ d_{P, 1} : P_1 \to N_1\). D’après le choix de \(h_0\), on voit que l’image de \(\gamma_1'\) est contenue dans \(K_1\). Puisque \(P_1\) est projectif pur, on peut relever \(\gamma_1'\) en une application \(h_1 : P_1 \to N_2\). À ce stade, on a \(\gamma_1 = h_0 \circ d_{F, 1} + d_{N, 2} \circ h_1\). On répète le procédé.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

1. Tout \(A\)-module admet une résolution par des injectifs purs.

Soit \(M \to N\) une application de \(A\)-modules. Soit \(M \to M^\bullet\) une résolution universellement exacte et soit \(N \to I^\bullet\) une résolution par des injectifs purs.

1. Il existe une application de complexes \(M^\bullet \to I^\bullet\) induisant l’application donnée \[M = \Ker(M^0 \to M^1) \to \Ker(I^0 \to I^1) = N\]

2. deux applications \(\alpha, \beta : M^\bullet \to I^\bullet\) induisant la même application \(M \to N\) sont homotopes.

Démonstration

Ce lemme est dual du lemme 0703. La démonstration est identique, sauf qu’il faut renverser toutes les flèches.

Les résultats précédents permettent de définir les groupes d’extensions pures comme suit. Soient \(A\) un anneau et \(M\), \(N\) des \(A\)-modules. Choisissons une résolution par des injectifs purs \(N \to I^\bullet\). D’après le lemme 0704, le complexe \[\Hom_A(M, I^\bullet)\] est bien défini à homotopie près. Son \(i\)-ième module de cohomologie est donc un invariant bien défini de \(M\) et \(N\).

Définition

Soient \(A\) un anneau et \(M\), \(N\) des \(A\)-modules. Le \(i\)-ième module d’extensions pures \(\text{Pext}^i_A(M, N)\) est le \(i\)-ième module de cohomologie du complexe \(\Hom_A(M, I^\bullet)\), où \(I^\bullet\) est une résolution par des injectifs purs de \(N\).

Attention : il n’est pas vrai qu’une suite exacte de \(A\)-modules donne lieu à une suite exacte longue de groupes d’extensions pures. (Il faut pour cela une suite universellement exacte.) Rassemblons quelques faits qui résultent immédiatement de ce qui précède.

Lemme

Soit \(A\) un anneau.

1. \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\) pour \(i > 0\) dès que \(N\) est injectif pur,

2. \(\text{Pext}^i_A(M, N) = 0\) pour \(i > 0\) dès que \(M\) est projectif pur, en particulier si \(M\) est un \(A\)-module de présentation finie,

3. \(\text{Pext}^i_A(M, N)\) est aussi le \(i\)-ième module de cohomologie du complexe \(\Hom_A(P_\bullet, N)\), où \(P_\bullet\) est une résolution par des projectifs purs de \(M\).

Démonstration

Pour (3), considérons le complexe double \[A^{\bullet, \bullet} = \Hom_A(P_\bullet, I^\bullet)\]

Chacune de ses lignes est exacte sauf en degré \(0\), où sa cohomologie est \(\Hom_A(M, I^q)\). Chacune de ses colonnes est exacte sauf en degré \(0\), où sa cohomologie est \(\Hom_A(P_p, N)\). Ainsi les deux suites spectrales associées à ce complexe dans Homologie, section 012X, dégénèrent, ce qui donne l’égalité.

Groupes Ext supérieurs des faisceaux quasi-cohérents sur le grand site

Il se trouve que le foncteur à valeurs dans les modules \(\underline{I}\) associé à un module injectif pur \(I\) donne un objet injectif dans la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Attention : il n’est pas vrai qu’un module projectif pur donne un objet projectif dans la catégorie des foncteurs adéquats. Nous disposons néanmoins de nombreux objets projectifs, à savoir les foncteurs linéairement adéquats.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Les objets injectifs de \(\mathcal{A}\) sont exactement les foncteurs \(\underline{I}\), où \(I\) est un \(A\)-module injectif pur.

Démonstration

Soit \(I\) un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Choisissons un plongement \(I \to \underline{M}\) pour un certain \(A\)-module \(M\). Comme \(I\) est injectif, on voit que \(\underline{M} = I \oplus F\) pour un certain foncteur à valeurs dans les modules \(F\). Alors \(M = I(A) \oplus F(A)\), et il en résulte que \(I = \underline{I(A)}\). On voit donc que tout objet injectif est de la forme \(\underline{I}\) pour un certain \(A\)-module \(I\). Il est clair que le module \(I\) doit être injectif pur, puisque toute suite universellement exacte \(0 \to M \to N \to L \to 0\) donne lieu à une suite exacte \(0 \to \underline{M} \to \underline{N} \to \underline{L} \to 0\) de \(\mathcal{A}\).

Enfin, supposons que \(I\) soit un \(A\)-module injectif pur. Choisissons un plongement \(\underline{I} \to J\) dans un objet injectif de \(\mathcal{A}\) (voir le lemme 06Z7). Nous avons vu ci-dessus que \(J = \underline{I'}\) pour un certain \(A\)-module \(I'\) injectif pur. Puisque \(\underline{I} \to \underline{I'}\) est injective, l’application \(I \to I'\) est universellement injective. Par l’hypothèse sur \(I\), elle est scindée. Ainsi \(\underline{I}\) est facteur direct de \(J = \underline{I'}\), donc est un objet injectif de la catégorie \(\mathcal{A}\).

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Soit \(M\) un \(A\)-module. Nous utiliserons la notation \(M^a\) pour désigner le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}\)-modules sur \((\Sch/U)_\tau\) associé au faisceau quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) sur \(U\). Nous disposons maintenant de toutes les notations nécessaires pour formuler le lemme suivant.

Lemme

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Soient \(M\), \(N\) des \(A\)-modules. Pour tout \(i\), on a un isomorphisme canonique \[\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] fonctoriel en \(M\) et \(N\).

Démonstration

Construisons une flèche canonique de droite à gauche. Si \(N \to I^\bullet\) est une résolution par des injectifs purs, alors \(M^a \to (I^\bullet)^a\) est un complexe exact de \(\mathcal{O}\)-modules (adéquats). Ainsi tout élément de \(\text{Pext}^i_A(M, N)\) donne lieu à une application \(N^a \to M^a[i]\) dans \(D(\mathcal{O})\), c’est-à-dire à un élément du groupe de gauche.

Pour démontrer que cette application est un isomorphisme, notons que l’on peut remplacer \(\Ext^i_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\) par \(\Ext^i_{\textit{Adeq}(\mathcal{O})}(M^a, N^a)\) ; voir le lemme 06ZW. Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des foncteurs adéquats sur \(\textit{Alg}_A\). Nous avons vu que \(\mathcal{A}\) est équivalente à \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})\) ; voir le lemme 06ZJ, ainsi que la démonstration du lemme 06ZS. Il suffit donc maintenant de démontrer que \[\Ext^i_\mathcal{A}(\underline{M}, \underline{N}) = \text{Pext}^i_A(M, N)\] Or cela résulte du lemme 0708, puisqu’une résolution par des injectifs purs \(N \to I^\bullet\) correspond exactement à une résolution injective de \(\underline{N}\) dans \(\mathcal{A}\).

Catégories dérivées de modules adéquats, II

Soit \(S\) un schéma. Notons \(\mathcal{O}_S\) le faisceau structural de \(S\) et \(\mathcal{O}\) le faisceau structural du grand site \((\Sch/S)_\tau\). Dans Descente, remarque 070R, nous avons construit un morphisme de sites annelés [070U]\[\begin{equation} f : ((\Sch/S)_\tau, \mathcal{O}) \longrightarrow (S_{Zar}, \mathcal{O}_S). \end{equation}\] Dans les sections précédentes, nous avons vu que le foncteur \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_S)\) transforme les faisceaux adéquats en faisceaux quasi-cohérents, induit un foncteur exact \(v : \textit{Adeq}(\mathcal{O}) \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\), et qu’en fait \(f_* = v\) induit une équivalence \(\textit{Adeq}(\mathcal{O})/\mathcal{C} \to \QCoh(\mathcal{O}_S)\), où \(\mathcal{C}\) est la sous-catégorie des modules adéquats parasites. De plus, le foncteur \(f^*\) transforme les modules quasi-cohérents en modules adéquats et induit un foncteur \(u : \QCoh(\mathcal{O}_S) \to \textit{Adeq}(\mathcal{O})\) qui est adjoint à gauche de \(v\).

Il existe une relation très analogue entre \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) et \(D_\QCoh(S)\). Expliquons d’abord pourquoi la catégorie \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\) est indépendante de la topologie choisie.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soient \(\tau, \tau' \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Notons \(\mathcal{O}_\tau\), resp. \(\mathcal{O}_{\tau'}\), le faisceau structural \(\mathcal{O}\) considéré comme faisceau sur \((\Sch/S)_\tau\), resp. \((\Sch/S)_{\tau'}\). Alors \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_\tau)\) et \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}_{\tau'})\) sont canoniquement isomorphes. Cela résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 07A8. Supposons en effet que \(\tau\) soit plus fine que la topologie \(\tau'\), posons \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_{fppf}\) et notons \(\mathcal{B}\) la collection des schémas affines au-dessus de \(S\). Nous avons vérifié ci-dessus les hypothèses (1) et (2). L’hypothèse (3) est claire, et l’hypothèse (4) résulte du lemme 06VM.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Le morphisme \(f\), voir (070U), induit des foncteurs adjoints \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\) et \(Lf^* : D_\QCoh(S) \to D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\). De plus, \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\).

Esquissons la démonstration. D’après la remarque 070V, on peut supposer que la topologie \(\tau\) est la topologie de Zariski. Nous utiliserons l’existence des foncteurs dérivés totaux non bornés \(Lf^*\) et \(Rf_*\) sur les \(\mathcal{O}\)-modules et leur adjonction ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 07A6. Dans ce cas, \(f_*\) est simplement la restriction à la sous-catégorie \(S_{Zar}\) de \((\Sch/S)_{Zar}\). Il est donc clair que \(Rf_* = f_*\) induit \(Rf_* : D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O}) \to D_\QCoh(S)\). Supposons que \(\mathcal{G}^\bullet\) soit un objet de \(D_\QCoh(S)\). On peut choisir un système \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\) de complexes bornés supérieurement de \(\mathcal{O}_S\)-modules plats dont les applications de transition sont des injections scindées terme à terme, et un diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] ayant les propriétés (1), (2), (3) énumérées dans Catégories dérivées, lemme 06XX, où \(\mathcal{P}\) est la collection des \(\mathcal{O}_S\)-modules plats. Alors \(Lf^*\mathcal{G}^\bullet\) se calcule par \(\colim f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemmes 0G7E et 06YY (notons que nos sites ont suffisamment de points d’après Cohomologie étale, lemme 06VX). Il faut voir que \(H^i(Lf^*\mathcal{G}^\bullet) = \colim H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) est adéquat pour chaque \(i\). D’après le lemme 06VQ, on conclut qu’il suffit de montrer que chaque \(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) est adéquat.

Le caractère adéquat de \(H^i(f^*\mathcal{K}_n^\bullet)\) est local sur \(S\) ; on peut donc supposer que \(S = \Spec(A)\) est affine. Puisque \(S\) est affine, \(D_\QCoh(S) = D(\QCoh(\mathcal{O}_S))\) ; voir la discussion dans Catégories dérivées de schémas, section 06YZ. Il existe donc un quasi-isomorphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet\), où \(\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de modules quasi-cohérents plats. Alors \(f^*\mathcal{F}^\bullet \to f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, et les faisceaux de cohomologie de \(f^*\mathcal{F}^\bullet\) sont adéquats.

La dernière assertion, \(Rf_* Lf^* \cong \text{id}_{D_\QCoh(S)}\), résulte de la description explicite des foncteurs ci-dessus. (En termes simples : si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent et si \(p > 0\), alors \(L_pf^*\mathcal{F}\) est un module adéquat parasite.)

Remarque

La remarque 070W ci-dessus entraîne que l’on a une équivalence de catégories dérivées \[D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O}) \longrightarrow D_\QCoh(S)\] où \(\mathcal{C}\) est la catégorie des modules adéquats parasites. Il est en effet clair que \(D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\) est le noyau de \(Rf_*\), d’où un foncteur comme indiqué. Pour tout objet \(X\) de \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\), l’application \(Lf^*Rf_*X \to X\) a pour image un quasi-isomorphisme dans \(D_\QCoh(S)\) ; ainsi \(Lf^*Rf_*X \to X\) est un isomorphisme dans \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})\). Enfin, pour des objets \(X, Y\) de \(D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})\), l’application \[Rf_* : \Hom_{D_{\textit{Adeq}}(\mathcal{O})/D_\mathcal{C}(\mathcal{O})}(X, Y) \to \Hom_{D_\QCoh(S)}(Rf_*X, Rf_*Y)\] est bijective, puisque \(Lf^*\) en donne un inverse (d’après les remarques ci-dessus).