Introduction aux champs algébriques

Pourquoi lire ce chapitre ?

Nous donnons une introduction informelle aux champs algébriques. Le but est d’introduire rapidement un langage simple qui permette de penser les propriétés locales et globales de votre problème de modules favori. Une fois cela fait, vous devriez pouvoir formuler des questions bien posées sur les problèmes de modules et commencer à les résoudre, en admettant l’existence d’une théorie générale. Si vous aboutissez à un résultat intéressant, vous pourrez revenir à la théorie générale développée dans les autres parties du projet Champs et combler les lacunes selon les besoins.

Le point de vue adopté ici est proche de celui de [KatzMazur] et [mumford_picard].

Préliminaires

Soit \(S\) un schéma. Une courbe elliptique sur \(S\) est un triplet \((E, f, 0)\), où \(E\) est un schéma et où \(f : E \to S\) et \(0 : S \to E\) sont des morphismes de schémas tels que

1. \(f : E \to S\) soit propre et lisse de dimension relative \(1\) ;

2. pour tout \(s \in S\), la fibre \(E_s\) soit une courbe connexe de genre \(1\), c’est-à-dire que \(H^0(E_s, \mathcal{O})\) et \(H^1(E_s, \mathcal{O})\) soient tous deux des espaces vectoriels de dimension \(1\) sur \(\kappa(s)\) ;

3. \(0\) soit une section de \(f\).

Étant données des courbes elliptiques \((E, f, 0)/S\) et \((E', f', 0')/S'\), un morphisme de courbes elliptiques au-dessus de \(a : S \to S'\) est un morphisme \(\alpha : E \to E'\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[rr]_\alpha \ar[d]^f & & E' \ar[d]_{f'} \\ S \ar@/^5ex/[u]^0 \ar[rr]^a & & S' \ar@/_5ex/[u]_{0'} }\] soit commutatif et que le carré intérieur soit cartésien ; autrement dit, le morphisme \(\alpha\) induit un isomorphisme \(E \to S \times_{S'} E'\). Nous allons définir le champ des courbes elliptiques \(\mathcal{M}_{1, 1}\). Dans le reste du projet Champs, nous développons la méthode introduite dans l’article de Deligne et Mumford [DM], qui consiste à présenter \(\mathcal{M}_{1, 1}\) comme une catégorie munie d’un foncteur \[p : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \Sch, \quad (E, f, 0)/S \longmapsto S\] Cela conduit à travailler avec les catégories fibrées sur la catégorie des schémas, les topologies, les champs fibrés en groupoïdes, les recouvrements, etc. Dans ce chapitre, nous laissons tout cet appareil de côté et envisageons les choses un peu autrement, probablement d’une manière plus proche de celle dont les fondateurs de la théorie ont commencé à les concevoir.

Le champ de modules des courbes elliptiques

Voici la démarche que nous allons suivre :

1. Partons de votre catégorie de schémas favorite \(\Sch\).

2. Ajoutons un nouveau symbole \(\mathcal{M}_{1, 1}\).

3. Un morphisme \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) est une courbe elliptique \((E, f, 0)\) sur \(S\).

4. Un diagramme \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] est commutatif si et seulement s’il existe un morphisme \(\alpha : E \to E'\) de courbes elliptiques au-dessus de \(a : S \to S'\). Nous disons que \(\alpha\) atteste la commutativité du diagramme.

5. Remarquons que les diagrammes commutatifs se composent comme suit : \[\xymatrix{ S \ar[rrr]_a \ar[rrrd]_{(E, f, 0)} & & & S' \ar[d]_{(E', F', 0')} \ar[rrr]_{a'} & & & S'' \ar[llld]^{(E'', F'', 0'')} \\ & & & \mathcal{M}_{1, 1} }\] en effet, \(\alpha' \circ \alpha\) atteste la commutativité du triangle extérieur si \(\alpha\) et \(\alpha'\) attestent respectivement la commutativité des triangles de gauche et de droite.

6. La composée \[S \xrightarrow{a} S' \xrightarrow{(E', f', 0')} \mathcal{M}_{1, 1}\] est donnée par \((E' \times_{S'} S, f' \times_{S'} S, 0' \times_{S'} S)\).

Au terme de cette procédure, nous avons agrandi la catégorie \(\Sch\) des schémas en lui adjoignant exactement un objet...

À ceci près que nous n’avons pas défini ce qu’est un morphisme de \(\mathcal{M}_{1, 1}\) vers un schéma \(T\). La réponse consiste à retenir la notion la plus faible possible pour laquelle les compositions aient un sens. Ainsi, un morphisme \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to T\) est une règle qui associe à toute courbe elliptique \((E, f, 0)/S\) un morphisme \(F(E, f, 0) : S \to T\), de telle sorte que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] le diagramme \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{F(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{F(E', F', 0')} \\ & T }\] soit lui aussi commutatif. Le \(j\)-invariant, dont vous avez peut-être entendu parler, en fournit un exemple : \[j : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\] Bien, nous avons donc terminé...

Eh bien non ! Il nous faut encore définir une notion de morphisme \(\mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\). Nous procédons exactement comme précédemment : un morphisme \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\) est une règle qui associe à toute courbe elliptique \((E, f, 0)/S\) une autre courbe elliptique \(F(E, f, 0)\), tout en préservant la commutativité des diagrammes précédents. Toutefois, comme je ne connais aucun exemple non trivial d’un tel foncteur, je définirai pour l’instant l’ensemble des morphismes de \(\mathcal{M}_{1, 1}\) vers lui-même comme réduit à l’identité.

J’espère que vous voyez comment ajouter d’autres objets à cette catégorie agrandie. Il semble intuitivement clair que, pour tout problème de modules « bien sage », nous pouvons effectuer la construction précédente et ajouter un objet à notre catégorie. En fait, une grande partie de la géométrie algébrique contemporaine se déroule dans un tel univers, où \(\Sch\) est agrandie par une infinité dénombrable de champs de modules construits explicitement.

Vous pourriez objecter que la structure obtenue n’est pas une catégorie, car il subsiste un certain « flou » quant aux diagrammes qui commutent et aux combinaisons de diagrammes qui continuent de commuter : il faut en effet produire une attestation de la commutativité. Or il se trouve que cette idée, qui consiste à munir la commutativité d’attestations, constitue une approche valable des \(2\)-catégories ! Nous nous y tiendrons donc.

Produits fibrés

La question posée ici est de déterminer ce que doit être le produit fibré \[\xymatrix{ & ? \ar@{..>}[rd] \ar@{..>}[ld] \\ S \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', f', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] La réponse est la suivante : un morphisme d’un schéma \(T\) vers \(?\) doit être un triplet \((a, a', \alpha)\), où \(a : T \to S\) et \(a' : T \to S'\) sont des morphismes de schémas et où \(\alpha : E \times_{S, a} T \to E' \times_{S', a'} T\) est un isomorphisme de courbes elliptiques sur \(T\). Cela a un sens en vertu de notre définition antérieure de la composition et des diagrammes commutatifs.

Lemme

Le foncteur \(\Sch^{opp} \to \textit{Ensembles}\), \(T \mapsto \{(a, a', \alpha)\text{ comme ci-dessus}\}\) est représentable par un schéma \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S'\).

Démonstration

Idée de la démonstration. Relier ce foncteur à \[\mathit{Isom}_{S \times S'}(E \times S', S \times E')\] et utiliser la théorie de Grothendieck des schémas de Hilbert.

Remarque

Nous avons la formule \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' = (S \times S') \times_{\mathcal{M}_{1, 1} \times \mathcal{M}_{1, 1}} \mathcal{M}_{1, 1}\). Le fait clé est donc une propriété de la diagonale \(\Delta_{\mathcal{M}_{1, 1}}\) de \(\mathcal{M}_{1, 1}\).

Quoi qu’il en soit, le fait clé nous permet de poser la définition suivante.

Définition

Nous disons qu’un morphisme \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) est lisse si, pour tout morphisme \(S' \to \mathcal{M}_{1, 1}\), le morphisme de projection \[S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' \longrightarrow S'\] est lisse.

Remarquons que cette définition est compatible avec la notion de morphisme lisse de schémas, puisque tout changement de base d’un morphisme lisse est lisse. Il est en outre clair comment étendre cette définition à d’autres propriétés des morphismes vers \(\mathcal{M}_{1, 1}\) (ou vers votre champ de modules favori). Nous l’utiliserons notamment ci-dessous pour les morphismes surjectifs.

La définition

Nous allons la formuler comme une définition plutôt que comme un résultat, car nous attendons du lecteur qu’il essaie d’autres cas, et pas seulement le champ \(\mathcal{M}_{1, 1}\) ni la seule catégorie \(\Sch\) de tous les schémas.

Définition

Nous disons que \(\mathcal{M}_{1, 1}\) est un champ algébrique si et seulement si

1. les objets vérifient la descente pour la topologie étale sur \(\Sch\) ;

2. le fait clé est vérifié ;

3. il existe un morphisme surjectif et lisse \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\).

La première condition est une « propriété de faisceau ». Nous allons l’expliciter, car elle recèle un point technique. Supposons donnés un schéma \(S\), un recouvrement étale \(\{S_i \to S\}\) et des morphismes \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\) tels que les diagrammes \[\xymatrix{ S_i \times_S S_j \ar[rd]_{e_i \circ \text{pr}_1} \ar[rr]_{\text{id}} & & S_i \times_S S_j \ar[ld]^{e_j \circ \text{pr}_2} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] soient commutatifs. La condition de faisceau ne garantit pas, à elle seule, l’existence d’un morphisme \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\) dans cette situation. En effet, il faut choisir des attestations \(\alpha_{ij}\) pour les diagrammes précédents et imposer que \[\text{pr}_{02}^*\alpha_{ik} = \text{pr}_{12}^*\alpha_{jk} \circ \text{pr}_{01}^*\alpha_{ij}\] comme attestations sur \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\). Le sens de cette condition devrait être clair... Sinon, je crains qu’il ne vous faille lire une partie des développements sur les catégories fibrées en groupoïdes, etc. Quoi qu’il en soit, l’égalité affichée est souvent appelée la condition de cocycle. Voici une formulation plus précise de la « propriété de faisceau » : étant donnés \(\{S_i \to S\}\), \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\) et des attestations \(\alpha_{ij}\) satisfaisant la condition de cocycle, il existe un unique morphisme \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\), à isomorphisme unique près, tel que \(e_i \cong e|_{S_i}\) et qui redonne les \(\alpha_{ij}\).

Comme vous le voyez, la formulation même d’un énoncé précis demande déjà un peu de travail. La démonstration de cette « propriété de faisceau » repose sur une technique fondamentale de la géométrie algébrique : la théorie de la descente. Je suggère, dans un premier temps, d’admettre simplement cette « propriété de faisceau » et d’examiner ce qu’elle implique en pratique. Une certaine agilité d’esprit est en effet nécessaire pour condenser cette « propriété de faisceau » en un énoncé maniable tenant sur un coin de table. La variante la plus simple qui présente déjà quelque intérêt est peut-être la suivante. Supposons donnée une extension galoisienne finie \(L/K\) de corps, de groupe de Galois \(G = \text{Gal}(L/K)\). Posons \(T = \Spec(L)\) et \(S = \Spec(K)\). Alors \(\{T \to S\}\) est un recouvrement étale. Soit \((E, f, 0)\) une courbe elliptique sur \(L\). (Cela signifie simplement que \(E \subset \mathbf{P}^2_L\) est donnée par une équation de Weierstrass et que \(0\) est le point à l’infini usuel.) Notons \(E_\sigma = E \times_{T, \Spec(\sigma)} T\) le changement de base. (Cela revient à appliquer \(\sigma\) aux coefficients de l’équation de Weierstrass, à moins que ce ne soit \(\sigma^{-1}\).) Supposons en outre que, pour tout \(\sigma \in G\), nous soit donné un isomorphisme \[\alpha_\sigma : E \longrightarrow E_\sigma\] sur \(T\). Dans cette situation, la condition de cocycle signifie que \[(\alpha_\tau)^\sigma \circ \alpha_\sigma = \alpha_{\tau\sigma}\] pour \(\sigma, \tau \in G\). Si vous avez déjà pratiqué la cohomologie des groupes, cette formule vous sera familière. La condition de « recollement » sur \(\mathcal{M}_{1, 1}\) affirme donc que, si ce système d’équations admet une solution, il existe une courbe elliptique \(E'\) sur \(S\) telle que \(E \cong E' \times_S T\) (elle en dit un peu plus, puisqu’elle indique aussi comment retrouver les \(\alpha_\sigma\)).

Défi : pouvez-vous le démontrer en n’utilisant que des courbes elliptiques définies par des équations de Weierstrass ?

Un recouvrement lisse

Il nous reste à trouver un recouvrement lisse de \(\mathcal{M}_{1, 1}\). En un certain sens, l’existence d’un recouvrement lisse implique¹ le fait clé ! Dans le cas des courbes elliptiques, nous en construisons un au moyen de l’équation de Weierstrass.

Posons \[W = \Spec(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta])\] où \(\Delta \in \mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]\) est un certain polynôme (voir ci-dessous). Posons \[\mathbf{P}_W^2 \supset E_W : zy^2 + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2x^2z + a_4xz^2 + a_6z^3.\] Notons \(f_W : E_W \to W\) la projection. Enfin, notons \(0_W : W \to E_W\) la section de \(f_W\) donnée par \((0 : 1 : 0)\). Il existe alors un polynôme homogène de degré \(12\), noté \(\Delta\), en les \(a_i\), où \(\deg(a_i) = i\), tel que \(E_W \to W\) soit lisse. On peut l’obtenir explicitement en calculant les dérivées partielles de l’équation de Weierstrass ; on peut bien sûr aussi le chercher dans la littérature. On peut encore demander à pari/gp de le calculer. Le voici : \[\begin{align*} \Delta & = -a_6a_1^6 + a_4a_3a_1^5 + ((-a_3^2 - 12a_6)a_2 + a_4^2)a_1^4 + \\ & (8a_4a_3a_2 + (a_3^3 + 36a_6a_3))a_1^3 + \\ & ((-8a_3^2 - 48a_6)a_2^2 + 8a_4^2a_2 + (-30a_4a_3^2 + 72a_6a_4))a_1^2 + \\ & (16a_4a_3a_2^2 + (36a_3^3 + 144a_6a_3)a_2 - 96a_4^2a_3)a_1 + \\ & (-16a_3^2 - 64a_6)a_2^3 + 16a_4^2a_2^2 + (72a_4a_3^2 + 288a_6a_4)a_2 + \\ & -27a_3^4 - 216a_6a_3^2 -64a_4^3 - 432a_6^2 \end{align*}\] Vous reconnaîtrez peut-être les deux derniers termes du cas \(y^2 = x^3 + Ax + B\), où le discriminant vaut \(-64A^3 - 432B^2 = -16(4A^3 + 27B^2)\).

Lemme

Le morphisme \(W \xrightarrow{(E_W, f_W, 0_W)} \mathcal{M}_{1, 1}\) est lisse et surjectif.

Démonstration

La surjectivité résulte du fait que toute courbe elliptique sur un corps admet une équation de Weierstrass. Esquissons une manière de démontrer la lissité. Considérons le sous-schéma en groupes \[H = \left\{ \left( \begin{matrix} u^2 & s & 0 \\ 0 & u^3 & 0 \\ r & t & 1 \end{matrix} \right) \middle| \begin{matrix} u\text{ inversible} \\ s, r, t\text{ arbitraires} \end{matrix} \right\} \subset \text{GL}_{3, \mathbf{Z}}\] Il existe une action \(H \times W \to W\) de \(H\) sur le schéma de Weierstrass \(W\). Pour en trouver les équations, il suffit d’expliciter l’effet, sur l’équation générale de Weierstrass, d’un changement de coordonnées donné par une matrice de \(H\). On constate alors que les assertions suivantes sont vraies :

1. toute courbe elliptique \((E, f, 0)/S\) admet, localement pour la topologie de Zariski sur \(S\), une équation de Weierstrass ;

2. deux équations de Weierstrass quelconques de \((E, f, 0)\) diffèrent, localement pour la topologie de Zariski, par un élément de \(H\).

En considérant le produit fibré \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = \mathit{Isom}_{S \times W}(E \times W, S \times E_W)\), nous en concluons que le morphisme \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) est un \(H\)-torseur. Puisque \(H \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse et que les torseurs sous des schémas en groupes lisses sont lisses, le résultat s’ensuit.

Remarque

L’argument esquissé ci-dessus montre en fait que \(\mathcal{M}_{1, 1} = [W/H]\) est un champ quotient global. Dans environ 50% des cas, un argument établissant qu’un champ de modules est algébrique montre aussi qu’il s’agit d’un champ quotient global.

Propriétés des champs algébriques

Nous savons maintenant que \(\mathcal{M}_{1, 1}\) est un champ algébrique. Que pouvons-nous en faire ? Ce n’est pas tant le fait qu’il soit algébrique qui nous aide ici que le point de vue selon lequel les propriétés de \(\mathcal{M}_{1, 1}\) doivent être encodées dans celles des morphismes \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\), c’est-à-dire dans les familles de courbes elliptiques. En voici quelques exemples.

Propriétés locales : \[\mathcal{M}_{1, 1} \to \Spec(\mathbf{Z})\text{ est lisse} \Leftrightarrow W \to \Spec(\mathbf{Z})\text{ est lisse}\] Idée. Les propriétés locales d’un champ algébrique sont encodées dans les propriétés locales de son recouvrement lisse.

Propriétés globales : \[\begin{matrix} \mathcal{M}_{1, 1}\text{ est quasi-compact} \Leftarrow W\text{ est quasi-compact} \\ \mathcal{M}_{1, 1}\text{ est irréductible} \Leftarrow W\text{ est irréductible} \end{matrix}\] Idée. Certaines propriétés globales d’un champ algébrique se lisent sur la propriété correspondante d’un recouvrement lisse convenable².

Faisceaux quasi-cohérents : \[\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{M}_{1, 1}}) = H\text{-modules quasi-cohérents équivariants sur }W\] Idée. D’une part, un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{M}_{1, 1}\) devrait correspondre à un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_{S, e}\) sur \(S\) pour chaque morphisme \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\). Cela vaut en particulier pour le morphisme \((E_W, f_W, 0_W) : W \to \mathcal{M}_{1, 1}\). Comme ce morphisme est \(H\)-équivariant, le module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_W\) ainsi obtenu est \(H\)-équivariant. Réciproquement, à partir d’un module \(H\)-équivariant, on peut retrouver les faisceaux \(\mathcal{F}_{S, e}\) par la théorie de la descente, en partant de l’observation que \(S \times_{e, \mathcal{M}_{1, 1}} W\) est un \(H\)-torseur.

Groupe de Picard : \[\Pic(\mathcal{M}_{1, 1}) = \Pic_H(W) = \mathbf{Z}/12\mathbf{Z}\] Idée. Nous avons vu ci-dessus la première égalité. Remarquons que \(\Pic(W) = 0\), car l’anneau \(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta]\) a un groupe des classes trivial. Il existe une suite exacte \[\mathbf{Z}\Delta \to \Pic_H(\mathbf{A}^5_{\mathbf{Z}}) \to \Pic_H(W) \to 0\] Le groupe du milieu est égal à \(\Hom(H, \mathbf{G}_m) = \mathbf{Z}\). L’image de \(\Delta\) est \(12\), car \(\Delta\) est de degré \(12\). Cet argument est essentiellement correct ; voir [PicM11].

Cohomologie étale : soit \(\Lambda\) un anneau. Il existe une suite spectrale du premier quadrant convergeant vers \(H^{p + q}_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda)\), dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = H_\etale^q(W \times H \times \ldots \times H, \Lambda) \quad(p\text{ facteurs }H)\] Idée. Remarquons que \[W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} \ldots \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = W \times H \times \ldots \times H\] parce que \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) est un \(H\)-torseur. Cette suite spectrale est la suite spectrale de Čech vers la cohomologie associée au recouvrement lisse \(\{W \to \mathcal{M}_{1, 1}\}\). Par exemple, \(H^0_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = \Lambda\) parce que \(W\) est connexe, et \(H^1_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = 0\) parce que \(H^1_\etale(W, \Lambda) = 0\) (cela exige évidemment une démonstration). Bien entendu, le recouvrement lisse \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\) n’est peut-être pas « optimal » pour calculer la cohomologie étale.