Cohomologie locale

Introduction

Ce chapitre poursuit l’étude de la cohomologie locale. Une référence est [SGA2]. La définition de la cohomologie locale se trouve dans Complexes dualisants, section 0952. Pour les anneaux noethériens, prendre la cohomologie locale revient à dériver un foncteur de torsion convenable, comme le montre Complexes dualisants, section 0BJD. La relation avec la profondeur se trouve dans Complexes dualisants, section 0AVY.

Nous étudions des propriétés de finitude de la cohomologie locale qui conduisent à la démonstration d’une version assez générale du théorème de finitude de Grothendieck; voir Théorème 0BJV et Lemme 0BJY (images directes supérieures de modules cohérents par des immersions ouvertes). Nos méthodes incorporent quelques arguments particulièrement élégants que le lecteur trouvera dans des articles de Faltings; voir [Faltings-annulators] et [Faltings-finiteness].

Comme applications, nous étudions le théorème d’annulation de Hartshorne–Lichtenbaum. Nous étudions également l’action de Frobenius et celle des opérateurs différentiels sur la cohomologie locale.

Généralités

Le lemme suivant montre que le foncteur \(R\Gamma_Z\) est lié à la cohomologie à supports.

Lemme

Soit \(A\) un anneau et soit \(I\) un idéal de type fini. Posons \(Z = V(I) \subset X = \Spec(A)\). Pour \(K \in D(A)\) correspondant à \(\widetilde{K} \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) par Catégories dérivées de schémas, Lemme 06Z0, il existe un isomorphisme fonctoriel \[R\Gamma_Z(K) = R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})\] où le membre de gauche est celui de Complexes dualisants, Équation (0A6Q), et celui de droite est le foncteur de Cohomologie, section 0G6Y.

Démonstration

Par Cohomologie, Lemme 0G71, il existe un triangle distingué \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})[1]\] où \(U = X \setminus Z\). Nous savons que \(R\Gamma(X, \widetilde{K}) = K\) par Catégories dérivées de schémas, Lemme 06Z0. Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Nous obtenons alors un recouvrement ouvert affine fini \(\mathcal{U} : U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\). Par Catégories dérivées de schémas, Lemme 08D2 le complexe alterné de Čech \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \widetilde{K^\bullet}))\) calcule \(R\Gamma(U, \widetilde{K})\), où \(K^\bullet\) est un complexe quelconque de \(A\)-modules représentant \(K\). En déroulant les définitions, nous obtenons \[R\Gamma(U, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (\prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] Il est clair que \(K^\bullet = R\Gamma(X, \widetilde{K^\bullet}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}^\bullet)\) est induit par l’application diagonale de \(A\) dans \(\prod A_{f_i}\). Nous en concluons que \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] Par Complexes dualisants, Lemme 0A6R, le complexe du membre de droite calcule \(R\Gamma_Z(K)\), ce qui démontre le lemme pour \(K\) fixé.

Terminons en montrant que l’isomorphisme peut être rendu fonctoriel en \(K\). Considérons l’application de complexes de \(A\)-modules \[M^\bullet = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] Les arguments précédents montrent que cette flèche devient un isomorphisme après application du foncteur \(R\Gamma_Z(X, \widetilde{\ })\) et que \(R\Gamma(U, \widetilde{M}^\bullet) = 0\) (détails omis). Nous avons alors \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}^\bullet) \leftarrow R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}^\bullet) \rightarrow R\Gamma(X, \widetilde{M}^\bullet) = M^\bullet = R\Gamma_Z(K^\bullet)\] et toutes les applications sont des isomorphismes dans \(D(A)\), fonctoriels en \(K^\bullet\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(A\) un anneau et soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(X = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\), \(U = X \setminus Z\), et soit \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. Alors

1. il existe un \(A\)-module \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction de \(\widetilde{M}\) à \(U\),

2. pour un tel \(M\), il existe une suite exacte \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] et des isomorphismes \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) pour \(p \geq 1\),

3. on peut prendre \(M = H^0(U, \mathcal{F})\), auquel cas \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\).

Démonstration

L’existence de \(M\) résulte de Propriétés, Lemme 01PE, et du fait que les faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) correspondent aux \(A\)-modules (Schémas, Lemme 01IB). Considérons ensuite le triangle distingué \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(U, \widetilde{M}|_U) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{M})[1]\] de Cohomologie, Lemme 0G71. Comme \(X\) est affine, nous avons \(R\Gamma(X, \widetilde{M}) = M\) par Cohomologie des schémas, Lemme 01XB. Par notre choix de \(M\), nous avons \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\), d’où une suite exacte \[0 \to H^0_Z(X, \widetilde{M}) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(X, \widetilde{M}) \to 0\] et des isomorphismes \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(X, \widetilde{M})\) pour \(p \geq 1\). Par Lemme 0A6T, nous avons \(H^i_Z(M) = H^i_Z(X, \widetilde{M})\) pour tout \(i\). Les assertions (1) et (2) sont donc démontrées. Enfin, en posant \(M' = H^0(U, \mathcal{F})\), nous voyons que le noyau et le conoyau de \(M \to M'\) sont de torsion par rapport aux puissances de \(I\). Par conséquent, \(\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M'}|_U\) est un isomorphisme et nous pouvons bien utiliser \(M'\) comme annoncé en (3). Il va sans dire que \(H^0_Z(M')\) et \(H^0_Z(M')\) sont tous deux nuls.

Lemme

Soient \(I, J \subset A\) des idéaux de type fini d’un anneau \(A\). Si \(M\) est un module de torsion par rapport aux puissances de \(I\), alors l’application canonique \[H^i_{V(I) \cap V(J)}(M) \to H^i_{V(J)}(M)\] est un isomorphisme pour tout \(i\).

Démonstration

La suite spectrale de Complexes dualisants, Lemme 0BJC, ramène l’assertion à \(R\Gamma_I(M) = M\), qui résulte immédiatement de la construction de la cohomologie locale dans Complexes dualisants, section 0952.

Lemme

Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative d’un anneau \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module tel que \(S^{-1}M = 0\). Alors \(\colim_{f \in S} H^0_{V(f)}(M) = M\) et \(\colim_{f \in S} H^1_{V(f)}(M) = 0\).

Démonstration

L’assertion sur \(H^0\) résulte directement des définitions. Pour celle sur \(H^1\), remarquons que \(R\Gamma_{V(f)}\) et \(H^1_{V(f)}\) commutent aux limites inductives. Nous pouvons donc supposer que \(M\) est annulé par un certain \(f \in S\). Alors \(H^1_{V(ff')}(M) = 0\) pour tout \(f' \in S\) (par exemple par Lemme 0DWS).

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(i \geq 0\) un entier et considérons l’application \[\Psi : \colim_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} H^i_{V((I, f))}(M) \longrightarrow H^i_{V(I)}(M)\] Alors

1. \(\Im(\Psi)\) est l’ensemble des éléments dont l’image est nulle dans \(H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p\),

2. si \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\), alors \(\Psi\) est injective,

3. si \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\), alors \(\Psi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Pour \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), la suite spectrale de Complexes dualisants, Lemme 0BJC, dégénère et fournit des suites exactes courtes \[0 \to H^1_{V(f)}(H^{i - 1}_{V(I)}(M)) \to H^i_{V((I, f))}(M) \to H^0_{V(f)}(H^i_{V(I)}(M)) \to 0\] Ceci démontre (1), et (2) en résulte avec Lemme 0DWT. L’assertion (3) en est une conséquence formelle.

Lemme

Soient \(I \subset I' \subset A\) des idéaux de type fini d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(i \geq 0\) un entier. Considérons l’application \[\Psi : H^i_{V(I')}(M) \to H^i_{V(I)}(M)\] Les assertions suivantes sont vraies :

1. si \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) pour tout \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\), alors \(\Psi\) est surjective,

2. si \(H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) pour tout \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\), alors \(\Psi\) est injective,

3. si \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) pour tout \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\), alors \(\Psi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(\xi \in H^i_{V(I)}(M)\). Comme \(A\) est noethérien, il existe un plus grand idéal \(I \subset I'' \subset I'\) tel que \(\xi\) soit l’image d’un certain \(\xi'' \in H^i_{V(I'')}(M)\). Si \(V(I'') = V(I')\), nous avons terminé. Sinon, choisissons un point générique \(\mathfrak p \in V(I'')\) hors de \(V(I')\). Nous avons alors \(H^i_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) par hypothèse. Par Lemme 0DWU, nous pouvons agrandir \(I''\), ce qui contredit sa maximalité.

Démonstration de (2). Soit \(\xi' \in H^i_{V(I')}(M)\) dans le noyau de \(\Psi\). Comme \(A\) est noethérien, il existe un plus grand idéal \(I \subset I'' \subset I'\) tel que l’image de \(\xi'\) soit nulle dans \(H^i_{V(I'')}(M)\). Si \(V(I'') = V(I')\), nous avons terminé. Sinon, choisissons un point générique \(\mathfrak p \in V(I'')\) hors de \(V(I')\). Nous avons alors \(H^{i - 1}_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) par hypothèse. Par Lemme 0DWU, nous pouvons agrandir \(I''\), ce qui contredit sa maximalité.

L’assertion (3) résulte formellement de (1) et (2).

Lemme de connexité de Hartshorne

Le titre de cette section renvoie au résultat suivant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien de profondeur \(\geq 2\). Alors les spectres épointés de \(A\), \(A^h\) et \(A^{sh}\) sont connexes.

Démonstration

Soit \(U\) le spectre épointé de \(A\). Si \(U\) n’est pas connexe, alors \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) possède un idempotent non trivial. Mais \(A\), étant local, ne possède pas d’idempotent non trivial. Ainsi \(A \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) n’est pas un isomorphisme. Par Lemme 0DWR, nous en concluons que \(H^0_\mathfrak m(A)\) ou \(H^1_\mathfrak m(A)\) est non nul. Par conséquent, \(\text{depth}(A) \leq 1\) par Complexes dualisants, Lemme 0AVZ. Pour obtenir le résultat pour \(A^h\) et \(A^{sh}\), utiliser Compléments d’algèbre, Lemme 06LL.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien, caténaire et \((S_2)\). Alors \(\Spec(A)\) est équidimensionnel.

Démonstration

Posons \(X = \Spec(A)\) et \(d = \dim(A) = \dim(X)\). Dans \(X\), considérons la réunion \(X_1\) des composantes irréductibles de dimension \(d\) et la réunion \(X_2\) des composantes irréductibles de dimension \(< d\). Bien entendu, \(X = X_1 \cup X_2\). Si \(X_2 = \emptyset\), le lemme est démontré. Sinon, \(Z = X_1 \cap X_2\) est un fermé non vide de \(X\), car il contient au moins le point fermé de \(X\). Nous pouvons donc choisir un point générique \(z \in Z\) d’une composante irréductible de \(Z\). Rappelons que le spectre de \(\mathcal{O}_{Z, z}\) est l’ensemble des points de \(X\) qui se spécialisent en \(z\). Puisque \(z\) appartient à la fois à une composante irréductible de dimension \(d\) et à une composante irréductible de dimension \(< d\), nous obtenons des spécialisations non triviales \(x_1 \leadsto z\) et \(x_2 \leadsto z\) telles que les adhérences de \(x_1\) et \(x_2\) aient des dimensions différentes. Comme \(X\) est caténaire, cela n’est possible que si au moins l’une des spécialisations \(x_1 \leadsto z\) et \(x_2 \leadsto z\) n’est pas immédiate. Ainsi \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\). Par conséquent, \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\), puisque \(A\) est \((S_2)\). Cependant, le spectre épointé \(U\) de \(\mathcal{O}_{Z, z}\) n’est pas connexe, car les fermés \(U \cap X_1\) et \(U \cap X_2\) sont disjoints (par notre choix de \(z\)) et recouvrent \(U\). Cela contredit Lemme 0BLR, et la démonstration est achevée.

Dimension cohomologique

Une brève section sur la dimension cohomologique.

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Posons \(Y = V(I) \subset X = \Spec(A)\). Soit \(d \geq -1\) un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i_Y(A) = 0\) pour \(i > d\),

2. \(H^i_Y(M) = 0\) pour \(i > d\) et tout \(A\)-module \(M\), et

3. si \(d = -1\), alors \(Y = \emptyset\); si \(d = 0\), alors \(Y\) est ouvert et fermé dans \(X\); et si \(d > 0\), alors \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \geq d\) pour tout \(\mathcal{O}_{X \setminus Y}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Remarquons que \(R\Gamma_Y(-)\) est de dimension cohomologique finie, par exemple par Complexes dualisants, Lemme 0A6R. Il existe donc un entier \(i_0\) tel que \(H^i_Y(M) = 0\) pour tout \(A\)-module \(M\) et tout \(i \geq i_0\).

Montrons que (1) et (2) sont équivalentes. Il est immédiat que (2) implique (1). Supposons (1). Par récurrence descendante sur \(i > d\), nous allons montrer que \(H^i_Y(M) = 0\) pour tout \(A\)-module \(M\). Nous l’avons vu ci-dessus pour \(i \geq i_0\). Pour l’étape de récurrence, soit \(i_0 > i > d\). Choisissons un \(A\)-module \(M\) quelconque et insérons-le dans une suite exacte courte \(0 \to N \to F \to M \to 0\), où \(F\) est un \(A\)-module libre. Comme \(R\Gamma_Y\) est un adjoint à droite, \(H^i_Y(-)\) commute aux sommes directes. Ainsi \(H^i_Y(F) = 0\) puisque \(i > d\), par l’hypothèse (1). Il s’ensuit que \(H^i_Y(M) = H^{i + 1}_Y(N) = 0\), comme voulu.

Supposons \(d = -1\) et (2) satisfaite. Alors \(0 = H^0_Y(A/I) = A/I \Rightarrow A = I \Rightarrow Y = \emptyset\). Ainsi (3) est satisfaite. Nous omettons la réciproque.

Supposons \(d = 0\) et (2) satisfaite. Posons \(J = H^0_I(A) = \{x \in A \mid I^nx = 0 \text{ pour un certain }n > 0\}\). Alors \[H^1_Y(A) = \Coker(A \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y})) \quad\text{et}\quad H^1_Y(I) = \Coker(I \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y}))\] et le noyau de la première application est égal à \(J\). Voir Lemme 0DWR. Nous déduisons de (2) que \(I(A/J) = A/J\). Nous pouvons donc choisir \(f \in I\) d’image \(1\) dans \(A/J\). Alors \(1 - f \in J\), donc \(I^n(1 - f) = 0\) pour un certain \(n > 0\). Ainsi \(f^n = f^{n + 1}\). Donc \(e = f^n \in I\) est un idempotent. Considérons l’idempotent complémentaire \(e' = 1 - f^n \in J\). Pour tout élément \(g \in I\), nous avons \(g^m e' = 0\) pour un certain \(m > 0\). Ainsi \(I\) est contenu dans le radical de l’idéal \((e) \subset I\). Cela signifie que \(Y = V(I) = V(e)\) est ouvert et fermé dans \(X\), comme en (3). Réciproquement, si \(Y = V(I)\) est ouvert et fermé, le foncteur \(H^0_Y(-)\) est exact et ses foncteurs dérivés supérieurs sont nuls.

Si \(d > 0\), Lemme 0DWR montre immédiatement que (2) est équivalente à (3).

Définition

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Le plus petit entier \(d \geq -1\) satisfaisant les conditions équivalentes de Lemme 0DX7 est appelé la dimension cohomologique de \(I\) dans \(A\) et est noté \(\text{cd}(A, I)\).

Ainsi \(\text{cd}(A, I) = -1\) si \(I = A\), et \(\text{cd}(A, I) = 0\) si \(I\) est localement nilpotent ou engendré par un idempotent. Le lemme suivant montre que \(\text{cd}(A, I)\) existe.

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Alors

1. \(\text{cd}(A, I)\) est au plus égal au nombre de générateurs de \(I\),

2. \(\text{cd}(A, I) \leq r\) s’il existe \(f_1, \ldots, f_r \in A\) tels que \(V(f_1, \ldots, f_r) = V(I)\),

3. \(\text{cd}(A, I) \leq c\) si \(\Spec(A) \setminus V(I)\) peut être recouvert par \(c\) ouverts affines.

Démonstration

La description explicite de \(R\Gamma_Y(-)\) donnée dans Complexes dualisants, Lemme 0A6R, montre (1). Nous pouvons déduire (2) de (1) en utilisant le fait que \(R\Gamma_Z\) ne dépend que du fermé \(Z\), et non du choix de l’idéal de type fini \(I \subset A\) tel que \(V(I) = Z\). Cela résulte soit de la construction de la cohomologie locale dans Complexes dualisants, section 0952, combinée avec Compléments d’algèbre, Lemme 0953, soit de Lemme 0A6T. Pour (3), nous utilisons Lemme 0DX7 et le résultat d’annulation de Cohomologie des schémas, Lemme 01XI.

Lemme

Soient \(I, J \subset A\) des idéaux de type fini d’un anneau \(A\). Alors \(\text{cd}(A, I + J) \leq \text{cd}(A, I) + \text{cd}(A, J)\).

Démonstration

Utiliser la définition et Complexes dualisants, Lemme 0BJC.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Alors \(\text{cd}(B, IB) \leq \text{cd}(A, I)\). Si \(A \to B\) est fidèlement plat, l’égalité est satisfaite.

Démonstration

Utiliser la définition et Complexes dualisants, Lemme 0ALZ.

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Alors \(\text{cd}(A, I) = \max \text{cd}(A_\mathfrak p, I_\mathfrak p)\).

Démonstration

Posons \(Y = V(I)\) et \(Y' = V(I_\mathfrak p) \subset \Spec(A_\mathfrak p)\). Rappelons que \(R\Gamma_Y(A) \otimes_A A_\mathfrak p = R\Gamma_{Y'}(A_\mathfrak p)\) par Complexes dualisants, Lemme 0ALZ. Nous concluons donc par Algèbre, Lemme 00HN.

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Si \(M\) est un \(A\)-module de type fini, alors \(H^i_{V(I)}(M) = 0\) pour \(i > \dim(\text{Supp}(M))\). En particulier, \(\text{cd}(A, I) \leq \dim(A)\).

Démonstration

Nous démontrons d’abord la seconde assertion. Rappelons que \(\dim(A)\) désigne la dimension de Krull. Par Lemme 0DXB, nous pouvons supposer \(A\) local. Si \(V(I) = \emptyset\), le résultat est vrai. Si \(V(I) \not = \emptyset\), alors \(\dim(\Spec(A) \setminus V(I)) < \dim(A)\), car le point fermé manque. Remarquons que \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) est un ouvert quasi-compact de l’espace spectral \(\Spec(A)\), donc lui-même un espace spectral. Voir Algèbre, Lemme 090M, et Topologie, Lemme 0902. Ainsi Cohomologie, Proposition 0A3G implique \(H^i(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \geq \dim(A)\), ce qui donne le résultat par Lemme 0DX7. Dans le cas noethérien, le lecteur peut utiliser Cohomologie de Grothendieck, Proposition 02UZ.

Nous allons déduire la première assertion de la seconde. Soit \(\mathfrak a\) l’annulateur du \(A\)-module de type fini \(M\). Posons \(B = A/\mathfrak a\). Rappelons que \(\Spec(B) = \text{Supp}(M)\); voir Algèbre, Lemme 00L2. Posons \(J = IB\). Alors \(M\) est un \(B\)-module et \(H^i_{V(I)}(M) = H^i_{V(J)}(M)\); voir Complexes dualisants, Lemme 0BJB. Comme \(\text{cd}(B, J) \leq \dim(B) = \dim(\text{Supp}(M))\) par la première partie, nous concluons.

Lemme

Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Si \(\text{cd}(A, I) = 1\), alors \(\Spec(A) \setminus V(I)\) est affine non vide.

Démonstration

Cela résulte de Lemme 0DX7 et de Cohomologie des schémas, Lemme 01XF.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(d\). Alors \(H^d_\mathfrak m(A)\) est non nul et \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\).

Démonstration

Par l’une des caractérisations de la dimension, il existe un idéal de définition de \(A\) engendré par \(d\) éléments; voir Algèbre, Proposition 00KQ. Ainsi \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \leq d\) par Lemme 0DX9. Donc \(H^d_\mathfrak m(A)\) est non nul si et seulement si \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\), si et seulement si \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \geq d\).

Soit \(A \to A^\wedge\) l’application de \(A\) dans son complété. Remarquons que \(A^\wedge\) est un anneau local noethérien de même dimension que \(A\), d’idéal maximal \(\mathfrak m A^\wedge\). Voir Algèbre, Lemmes 0316, 031C, 00MC et Compléments d’algèbre, Lemme 07NV. Par Lemme 0DXA, il suffit de démontrer le lemme pour \(A^\wedge\).

Par le paragraphe précédent, nous pouvons supposer que \(A\) est un anneau local complet. Alors \(A\) possède un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\) (Complexes dualisants, Lemme 0BFR). Le théorème de dualité locale (sous la forme de Complexes dualisants, Lemme 0AAK) nous dit que \(H^d_\mathfrak m(A)\) est le dual de Matlis de \(\text{Ext}^{-d}(A, \omega_A^\bullet) = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\) qui est non nul, par exemple par Complexes dualisants, Lemme 0A7V.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal propre. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier tel que \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\). Alors \(\dim(A/\mathfrak p) \leq \text{cd}(A, I)\).

Démonstration

Par Lemme 0DXA, nous avons \(\text{cd}(A, I) \geq \text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p))\). Comme \(V(I) \cap V(\mathfrak p) = \{\mathfrak m\}\), nous avons \(\text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p)) = \text{cd}(A/\mathfrak p, \mathfrak m/\mathfrak p)\). Par Lemme 0DXE, ceci est égal à \(\dim(A/\mathfrak p)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(b : X' \to X = \Spec(A)\) l’éclatement de \(I\). Si les fibres de \(b\) sont de dimension \(\leq d - 1\), alors \(\text{cd}(A, I) \leq d\).

Démonstration

Posons \(U = X \setminus V(I)\). Notons \(j : U \to X'\) l’immersion ouverte canonique; voir Diviseurs, section 01OF. Comme le diviseur exceptionnel est un diviseur de Cartier effectif (Diviseurs, Lemme 02OS) nous voyons que \(j\) est affine; voir Diviseurs, Lemme 07ZT. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. Alors \(R^pj_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\); voir Cohomologie des schémas, Lemme 01XC. Par ailleurs, \(R^qb_*(j_*\mathcal{F}) = 0\) pour \(q \geq d\) par Limites, Lemme 0E7D. Ainsi, par la suite spectrale de Leray (Cohomologie, Lemme 01F6), nous concluons que \(R^n(b \circ j)_*\mathcal{F} = 0\) pour \(n \geq d\). Donc \(H^n(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(n \geq d\) (par Cohomologie, Lemme 01F4). Par définition, cela signifie que \(\text{cd}(A, I) \leq d\).

Supports plus généraux

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation (Topologie, Définition 0061). Définissons \[H^0_T(M) = \colim_{Z \subset T} H^0_Z(M)\] où la limite inductive est prise sur l’ensemble ordonné filtrant des fermés \(Z\) de \(\Spec(A)\) contenus dans \(T\)¹. Autrement dit, un élément \(m\) de \(M\) appartient à \(H^0_T(M) \subset M\) si et seulement si le support \(V(\text{Ann}_R(m))\) de \(m\) est contenu dans \(T\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Pour un \(A\)-module \(M\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^0_T(M) = M\), et

2. \(\text{Supp}(M) \subset T\).

La catégorie de ces \(A\)-modules est une sous-catégorie de Serre de la catégorie des \(A\)-modules, stable par sommes directes.

Démonstration

L’équivalence vient de ce que le support d’un élément de \(M\) est contenu dans le support de \(M\) et, réciproquement, le support de \(M\) est la réunion des supports de ses éléments. La catégorie de ces modules est une sous-catégorie de Serre (Homologie, Définition 02MO) de \(\text{Mod}_A\) par Algèbre, Lemme 00L3. Nous omettons la démonstration de l’assertion sur les sommes directes.

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Notons \(\text{Mod}_{A, T} \subset \text{Mod}_A\) la sous-catégorie de Serre décrite dans Lemme 0EEZ. Notons \(D_T(A) \subset D(A)\) la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(A)\) (Catégories dérivées, Lemme 06UQ) formée des complexes de \(A\)-modules dont les modules de cohomologie appartiennent à \(\text{Mod}_{A, T}\). Nous obtenons des foncteurs \[D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A) \to D(A)\] Voir la discussion dans Catégories dérivées, section 06UP. Notons \(RH^0_T : D(A) \to D(\text{Mod}_{A, T})\) le foncteur dérivé droit de \(H^0_T\). Nous noterons \[R\Gamma_T : D^+(A) \to D^+_T(A),\] la composée de \(RH^0_T : D^+(A) \to D^+(\text{Mod}_{A, T})\) et de \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\). Si la dimension de \(A\) est finie², nous noterons \[R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\] la composée de \(RH^0_T\) et de \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Le foncteur \(RH^0_T\) est l’adjoint à droite du foncteur \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D(A)\).

Démonstration

Cela résulte du fait que le foncteur \(H^0_T(-)\) est l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(\text{Mod}_{A, T} \to \text{Mod}_A\); voir Catégories dérivées, Lemme 09T5.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Pour tout objet \(K\) de \(D(A)\), nous avons \[H^i(RH^0_T(K)) = \colim_{Z \subset T\text{ fermé}} H^i_Z(K)\]

Démonstration

Soit \(J^\bullet\) un complexe K-injectif représentant \(K\). Par définition, \(RH^0_T\) est représenté par le complexe \[H^0_T(J^\bullet) = \colim H^0_Z(J^\bullet)\] où l’égalité résulte de notre définition de \(H^0_T\). Comme les limites inductives filtrantes sont exactes, la cohomologie de ce complexe en degré \(i\) est \(\colim H^i(H^0_Z(J^\bullet)) = \colim H^i_Z(K)\) comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Le foncteur \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) est une équivalence.

Démonstration

Soit \(M\) un objet de \(\text{Mod}_{A, T}\). Choisissons un plongement \(M \to J\) dans un \(A\)-module injectif. Par Complexes dualisants, Proposition 08YA le module \(J\) est une somme directe d’enveloppes injectives de corps résiduels. Soit \(E\) une enveloppe injective du corps résiduel de \(\mathfrak p\). Comme \(E\) est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak p\), nous voyons que \(H^0_T(E) = 0\) si \(\mathfrak p \not \in T\) et \(H^0_T(E) = E\) si \(\mathfrak p \in T\). Ainsi \(H^0_T(J)\) est injectif, comme somme directe d’enveloppes injectives (par la proposition), et nous avons un plongement \(M \to H^0_T(J)\). Ainsi tout objet \(M\) de \(\text{Mod}_{A, T}\) possède une résolution injective \(M \to J^\bullet\) avec \(J^n\) également dans \(\text{Mod}_{A, T}\). Il s’ensuit que \(RH^0_T(M) = M\).

Supposons ensuite que \(K \in D_T^+(A)\). Alors la suite spectrale \[R^qH^0_T(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}H^0_T(K)\] (Catégories dérivées, Lemme 015J) converge, et nous avons vu ci-dessus que seuls les termes avec \(q = 0\) sont non nuls. Ainsi \(RH^0_T(K) \to K\) est un isomorphisme. Le foncteur \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) est donc une équivalence, de quasi-inverse \(RH^0_T\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Si \(\dim(A) < \infty\), alors le foncteur \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) est une équivalence.

Démonstration

Écrivons \(\dim(A) = d\). Alors \(H^i_Z(M) = 0\) pour \(i > d\) pour tout fermé \(Z\) de \(\Spec(A)\); voir Lemme 0DXC. Par Lemme 0EF1, nous obtenons que \(H^0_T\) est de dimension cohomologique bornée.

Soit \(K \in D_T(A)\). Nous affirmons que \(RH^0_T(K) \to K\) est un isomorphisme. Nous savons que c’est vrai lorsque \(K\) est borné inférieurement; voir Lemme 0EF2. Cependant, comme \(H^0_T\) est de dimension cohomologique bornée, la \(i\)-ième cohomologie de \(RH_T^0(K)\) ne dépend que de \(\tau_{\geq -d + i}K\), et nous concluons. Ainsi \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) est une équivalence, de quasi-inverse \(RH^0_T\).

Remarque

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. La conclusion de la discussion précédente est que \(R\Gamma_T : D^+(A) \to D_T^+(A)\) est l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_T^+(A) \to D^+(A)\). Si \(\dim(A) < \infty\), alors \(R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\) est l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_T(A) \to D(A)\). Dans les deux cas, nous avons \[H^i_T(K) = H^i(R\Gamma_T(K)) = R^iH^0_T(K) = \colim_{Z \subset T\text{ fermé}} H^i_Z(K)\] Cela résulte de la combinaison des Lemmes 0EF0, 0EF1, 0EF2 et 0EF3.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux noethériens. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(T' \subset \Spec(B)\) l’image inverse de \(T\). Alors l’application canonique \[R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \longrightarrow R\Gamma_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] est un isomorphisme pour \(K \in D^+(A)\). Si \(A\) et \(B\) sont de dimension finie, c’est vrai pour \(K \in D(A)\).

Démonstration

De l’application \(R\Gamma_T(K) \to K\), nous tirons une application \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K \otimes_A^\mathbf{L} B\). Les modules de cohomologie de \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B\) sont supportés sur \(T'\), d’où la flèche du lemme. Cette flèche est un isomorphisme si \(T\) est un fermé de \(\Spec(A)\), par Complexes dualisants, Lemme 0ALZ. Rappelons que \(H^i_T(K)\) est la limite inductive des \(H^i_Z(K)\), où \(Z\) parcourt l’ensemble filtrant des fermés de \(T\); voir Lemme 0EF1. De même, \(H^i_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = \colim H^i_{Z'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\), où \(Z'\) est l’image inverse de \(Z\). Le résultat s’ensuit, car \(\otimes_A B\) commute aux limites inductives filtrantes et il n’y a pas de Tor supérieurs.

Lemme

Soit \(A\) un anneau et soient \(T, T' \subset \Spec(A)\) des parties stables par spécialisation. Pour \(K \in D^+(A)\), il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^p_T(H^p_{T'}(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{T \cap T'}(K)\] comme dans Catégories dérivées, Lemme 015N.

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D_{T \cap T'}(A)\). Alors nous avons \[\Hom(E, R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))) = \Hom(E, R\Gamma_{T'}(K)) = \Hom(E, K)\] La première égalité vient de la propriété d’adjonction de \(R\Gamma_T\), et la seconde de celle de \(R\Gamma_{T'}\). Par ailleurs, si \(J^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’injectifs représentant \(K\), alors \(H^0_{T'}(J^\bullet)\) est un complexe de \(A\)-modules injectifs représentant \(R\Gamma_{T'}(K)\), et donc \(H^0_T(H^0_{T'}(J^\bullet))\) est un complexe représentant \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\). Ainsi \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\) est un objet de \(D^+_{T \cap T'}(A)\). En combinant ces deux faits, nous obtenons \(R\Gamma_{T \cap T'} = R\Gamma_T \circ R\Gamma_{T'}\). Le lemme cité dans l’énoncé fournit alors la suite spectrale.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Supposons \(A\) de dimension finie. Alors \[R\Gamma_T(K) = R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\] pour \(K \in D(A)\). Pour \(K, L \in D(A)\), nous avons \[R\Gamma_T(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L) = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L)\] Si \(K\) ou \(L\) appartient à \(D_T(A)\), alors \(K \otimes_A^\mathbf{L} L\) aussi.

Démonstration

Par construction, nous pouvons représenter \(R\Gamma_T(A)\) par un complexe \(J^\bullet\) de \(\text{Mod}_{A, T}\). Si nous représentons \(K\) par un complexe K-plat \(K^\bullet\), alors \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\) est représenté par le complexe \(\text{Tot}(J^\bullet \otimes_A K^\bullet)\) dans \(\text{Mod}_{A, T}\). L’application \(R\Gamma_T(A) \to A\) fournit une application \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\to K\). Par la propriété d’adjonction de \(R\Gamma_T\), nous obtenons donc une application canonique \[R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Gamma_T(K)\] qui factorise l’application que nous venons de construire. Remarquons que \(R\Gamma_T\) commute aux sommes directes dans \(D(A)\), par exemple par Lemme 0EF1, le fait que les limites inductives filtrantes commutent aux sommes directes et le fait que la cohomologie locale usuelle commute aux sommes directes (par exemple par Complexes dualisants, Lemme 0A6R). Ainsi, par Compléments d’algèbre, Remarque 09PB, il suffit de vérifier que l’application est un isomorphisme pour \(K = A[k]\), où \(k \in \mathbf{Z}\). C’est clair.

Les dernières assertions résultent de ce que nous venons de démontrer par transitivité des produits tensoriels dérivés.

Filtrations de la cohomologie locale

Quelques procédés liés à la suite spectrale de Lemme 0EF6.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(T' \subset T\) l’ensemble des idéaux premiers non minimaux de \(T\). Alors \(T'\) est une partie de \(\Spec(A)\) stable par spécialisation, et, pour tout \(A\)-module \(M\), il existe une suite exacte \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] où la limite inductive porte sur les fermés \(Z \subset T\) et les \(f \in A\) tels que \(V(f) \cap Z \subset T'\).

Démonstration

Pour tous \(Z\) et \(f\), la suite spectrale de Complexes dualisants, Lemme 0BJC, dégénère et donne des suites exactes courtes \[0 \to H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{Z \cap V(f)}(M) \to H^0_f(H^i_Z(M)) \to 0\] Nous l’utiliserons ci-dessous sans autre mention.

Soit \(\xi \in H^i_T(M)\) dont l’image dans la somme directe est nulle. Écrivons d’abord \(\xi\) comme l’image d’un certain \(\xi' \in H^i_Z(M)\) pour un fermé \(Z \subset T\); voir Lemme 0EF1. Alors l’image de \(\xi'\) est nulle dans \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) pour tout \(\mathfrak p \in Z\), \(\mathfrak p \not \in T'\). Comme ces idéaux premiers sont en nombre fini, nous pouvons choisir \(f \in A\) n’appartenant à aucun d’eux et tel que \(f\) annule \(\xi'\). Alors \(\xi'\) est l’image d’un certain \(\xi'' \in H^i_{Z'}(M)\), où \(Z' = Z \cap V(f)\). Par notre choix de \(f\), nous avons \(Z' \subset T'\), ce qui donne l’exactitude à l’avant-dernière place.

Soit \(\xi \in H^i_{T'}(M)\) dont l’image dans \(H^i_T(M)\) est nulle. Choisissons des fermés \(Z' \subset Z\), avec \(Z' \subset T'\) et \(Z \subset T\), tels que \(\xi\) provienne de \(\xi' \in H^i_{Z'}(M)\) et que son image dans \(H^i_Z(M)\) soit nulle. Nous pouvons alors trouver \(f \in A\) tel que \(V(f) \cap Z = Z'\), et nous concluons.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien de dimension finie. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) un système projectif de \(A\)-modules. Soit \(i \geq 0\) un entier. Supposons que, pour tout \(m\), il existe un entier \(m'(m) \geq m\) tel que, pour tout \(\mathfrak p \in T\), l’application induite \[H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \longrightarrow H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\] soit nulle pour \(k \geq m'(m)\). Soit \(m'' : \mathbf{N} \to \mathbf{N}\) la composée itérée \(2^{\dim(T)}\) fois de \(m'\) avec elle-même. Alors l’application \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) est nulle pour tout \(k \geq m''(m)\).

Démonstration

Commençons par une remarque générale : supposons donnée une suite exacte \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n)\] de systèmes projectifs de groupes abéliens. Supposons que, pour tout \(m\), il existe un entier \(m'(m) \geq m\) tel que \[A_k \to A_m \quad\text{et}\quad C_k \to C_m\] soient nulles pour \(k \geq m'(m)\). Alors, pour \(k \geq m'(m'(m))\), l’application \(B_k \to B_m\) est nulle.

Nous démontrons le lemme par récurrence sur \(\dim(T)\), qui est finie puisque \(\dim(A)\) l’est. Soit \(T' \subset T\) l’ensemble des idéaux premiers non minimaux de \(T\). Alors \(T'\) est une partie de \(\Spec(A)\) stable par spécialisation, et les hypothèses du lemme s’appliquent à \(T'\). Comme \(\dim(T') < \dim(T)\), le lemme vaut pour \(T'\). Pour tout \(A\)-module \(M\), il existe une suite exacte \[H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] par Lemme 0EF8. Nous concluons donc par la remarque initiale de la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) un système projectif de \(A\)-modules. Soit \(i \geq 0\) un entier. Supposons la dimension de \(A\) finie et que, pour tout \(m\), il existe un entier \(m'(m) \geq m\) tel que, pour tout \(\mathfrak p \in T\), nous ayons :

1. \(H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) est nulle pour \(k \geq m'(m)\), et

2. \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) est d’image \(G(\mathfrak p, m)\) indépendante de \(k \geq m'(m)\) et, de plus, \(G(\mathfrak p, m)\) s’injecte dans \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p})\).

Alors il existe un entier \(m_0\) tel que, pour tout \(m \geq m_0\), il existe un entier \(m''(m) \geq m\) tel que, pour \(k \geq m''(m)\), l’image de \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) s’injecte dans \(H^i_T(M_{m_0})\).

Démonstration

Commençons par une remarque générale : supposons donnée une suite exacte \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n) \to (D_n)\] de systèmes projectifs de groupes abéliens. Supposons qu’il existe un entier \(m_0\) tel que, pour tout \(m \geq m_0\), il existe un entier \(m'(m) \geq m\) tel que les applications \[\Im(B_k \to B_m) \longrightarrow B_{m_0} \quad\text{et}\quad \Im(D_k \to D_m) \longrightarrow D_{m_0}\] soient injectives pour \(k \geq m'(m)\) et que \(A_k \to A_m\) soit nulle pour \(k \geq m'(m)\). Alors, pour \(m \geq m'(m_0)\) et \(k \geq m'(m'(m))\), l’application \[\Im(C_k \to C_m) \to C_{m'(m_0)}\] est injective. En effet, soit \(c_0 \in C_m\) l’image de \(c_3 \in C_k\), et supposons que l’image de \(c_0\) dans \(C_{m'(m_0)}\) soit nulle. Représentons la situation par \[C_k \to C_{m'(m'(m))} \to C_{m'(m)} \to C_m \to C_{m'(m_0)},\quad c_3 \mapsto c_2 \mapsto c_1 \mapsto c_0 \mapsto 0\] Il faut montrer que \(c_0 = 0\). L’image \(d_3\) de \(c_3\) s’envoie sur zéro dans \(C_{m_0}\), et donc l’image \(d_1 \in D_{m'(m)}\) est nulle. Nous pouvons ainsi choisir \(b_1 \in B_{m'(m)}\) dont l’image est \(c_1\). Comme \(c_3\) s’envoie sur zéro dans \(C_{m'(m_0)}\), nous trouvons un élément \(a_{-1} \in A_{m'(m_0)}\) dont l’image est l’image \(b_{-1} \in B_{m'(m_0)}\) de \(b_1\). Comme \(a_{-1}\) s’envoie sur zéro dans \(A_{m_0}\), nous en concluons que \(b_1\) s’envoie sur zéro dans \(B_{m_0}\). Ainsi l’image \(b_0 \in B_m\) est nulle, ce qui implique bien entendu \(c_0 = 0\), comme voulu.

Nous démontrons le lemme par récurrence sur \(\dim(T)\), qui est finie puisque \(\dim(A)\) l’est. Soit \(T' \subset T\) l’ensemble des idéaux premiers non minimaux de \(T\). Alors \(T'\) est une partie de \(\Spec(A)\) stable par spécialisation et les hypothèses du lemme s’appliquent à \(T'\). Comme \(\dim(T') < \dim(T)\), nous savons que le lemme vaut pour \(T'\). Pour tout \(A\)-module \(M\), il existe une suite exacte \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] par Lemme 0EF8. Nous concluons donc par la remarque initiale de la démonstration et par le fait que le système de groupes \[\left\{\colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M_n))\right\}_{n \geq 0}\] est pro-nul par Lemme 0EF9; on utilise ici que la fonction \(m''(m)\) de ce lemme, pour \(H^{i - 1}_Z(M)\), est indépendante de \(Z\).

Finitude de la cohomologie locale, I

Nous suivrons l’approche de Faltings concernant la finitude des modules de cohomologie locale; voir [Faltings-annulators] et [Faltings-finiteness]. Voici un lemme qui montre qu’il suffit d’établir que les modules de cohomologie locale ont un annulateur pour démontrer qu’ils sont des modules de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(n \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i_T(M)\) est de type fini pour \(i \leq n\),

2. il existe un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T\) et que \(J\) annule \(H^i_T(M)\) pour \(i \leq n\).

Si \(T = V(I) = Z\) pour un idéal \(I \subset A\), ces conditions sont aussi équivalentes à :

1. il existe \(e \geq 0\) tel que \(I^e\) annule \(H^i_Z(M)\) pour \(i \leq n\).

Démonstration

Nous démontrons l’équivalence de (1) et (2) par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 0\), le module \(H^0_T(M) \subset M\) est de type fini. Ainsi (1) est vraie. Comme \(H^0_T(M) = \colim H^0_{V(J)}(M)\), avec \(J\) comme en (2), nous voyons que (2) est vraie. Supposons désormais \(n > 0\).

Supposons (1) vraie. Rappelons que \(H^i_J(M) = H^i_{V(J)}(M)\); voir Complexes dualisants, Lemme 0955. Ainsi \(H^i_T(M) = \colim H^i_J(M)\), où la limite inductive porte sur les idéaux \(J \subset A\) tels que \(V(J) \subset T\); voir Lemme 0EF1. Comme \(H^i_T(M)\) est de type fini pour \(i \leq n\), nous pouvons trouver \(J \subset A\) comme en (2) tel que \(H^i_J(M) \to H^i_T(M)\) soit surjectif pour \(i \leq n\). La liste finie de générateurs est donc formée d’éléments annulés par des puissances de \(J\), et (2) est satisfaite après remplacement de \(J\) par une puissance.

Supposons donné \(J\) comme en (2). Posons \(N = H^0_T(M)\) et \(M' = M/N\). Par construction de \(R\Gamma_T\), nous obtenons \(H^i_T(N) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H^0_T(N) = N\); voir Remarque 0EF4. Il en résulte que \(H^0_T(M') = 0\) et \(H^i_T(M') = H^i_T(M)\) pour \(i > 0\). Nous pouvons donc remplacer \(M\) par \(M'\). Nous pouvons ainsi supposer que \(H^0_T(M) = 0\). Cela signifie que l’ensemble fini des idéaux premiers associés à \(M\) ne rencontre pas \(T\). Par évitement des idéaux premiers (Algèbre, Lemme 00DS), nous pouvons trouver \(f \in J\) qui n’appartient à aucun des idéaux premiers associés à \(M\). La suite exacte longue de cohomologie locale associée à la suite exacte courte \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] se transforme alors en suites exactes courtes \[0 \to H^i_T(M) \to H^i_T(M/fM) \to H^{i + 1}_T(M) \to 0\] pour \(i < n\). Nous en concluons que \(J^2\) annule \(H^i_T(M/fM)\) pour \(i < n\). Par l’hypothèse de récurrence, \(H^i_T(M/fM)\) est de type fini pour \(i < n\). En utilisant encore une fois la suite exacte courte, nous voyons que \(H^{i + 1}_T(M)\) est de type fini pour \(i < n\), comme voulu.

Nous omettons la démonstration de l’équivalence de (2) et (3) dans le cas \(T = V(I)\).

Le résultat suivant de Faltings permet d’établir la finitude de la cohomologie locale au niveau des anneaux locaux.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien, \(I \subset A\) un idéal, \(M\) un \(A\)-module de type fini et \(n \geq 0\) un entier. Posons \(Z = V(I)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. les modules \(H^i_Z(M)\) sont de type fini pour \(i \leq n\), et

2. pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(A)\), les modules \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\), \(i \leq n\), sont des \(A_\mathfrak p\)-modules de type fini.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Démontrons la réciproque par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 0\) est clair, car (1) et (2) sont toujours vraies dans ce cas.

Supposons \(n > 0\) et (2) vraie. Posons \(N = H^0_Z(M)\) et \(M' = M/N\). Par Complexes dualisants, Lemme 0AW0, nous pouvons remplacer \(M\) par \(M'\). Nous pouvons donc supposer que \(H^0_Z(M) = 0\). Cela signifie que \(\text{depth}_I(M) > 0\) (Complexes dualisants, Lemme 0AVZ). Choisissons \(f \in I\) qui soit un non-diviseur de zéro dans \(M\) et considérons la suite exacte courte \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] qui produit une suite exacte longue \[0 \to H^0_Z(M/fM) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M/fM) \to H^2_Z(M) \to \ldots\] et de même après localisation. Ainsi l’hypothèse (2) implique que les modules \(H^i_Z(M/fM)_\mathfrak p\) sont de type fini pour \(i < n\). Par conséquent, par l’hypothèse de récurrence, les \(H^i_Z(M/fM)\) sont de type fini pour \(i < n\).

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(A\) associé à \(H^i_Z(M)\) pour un certain \(i \leq n\). Supposons que \(\mathfrak p\) soit l’annulateur de l’élément \(x \in H^i_Z(M)\). Alors \(\mathfrak p \in Z\), donc \(f \in \mathfrak p\). Ainsi \(fx = 0\), et \(x\) provient donc d’un élément de \(H^{i - 1}_Z(M/fM)\) par l’application de bord \(\delta\) de la suite exacte longue précédente. Il s’ensuit que \(\mathfrak p\) est un idéal premier associé au module de type fini \(\Im(\delta)\). Nous en concluons que \(\text{Ass}(H^i_Z(M))\) est fini pour \(i \leq n\); voir Algèbre, Lemme 00LC.

Rappelons que \[H^i_Z(M) \subset \prod\nolimits_{\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))} H^i_Z(M)_\mathfrak p\] par Algèbre, Lemme 0311. Comme, par hypothèse, les modules du membre de droite sont de type fini et de torsion par rapport aux puissances de \(I\), nous pouvons trouver des entiers \(e_{\mathfrak p, i} \geq 0\), \(i \leq n\), \(\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))\), tels que \(I^{e_{\mathfrak p, i}}\) annule \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\). Nous en concluons que \(I^e\), avec \(e = \max\{e_{\mathfrak p, i}\}\), annule \(H^i_Z(M)\) pour \(i \leq n\). Par Lemme 0AW8, nous voyons que \(H^i_Z(M)\) est de type fini pour \(i \leq n\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau et soient \(J \subset I \subset A\) des idéaux de type fini. Soit \(i \geq 0\) un entier. Posons \(Z = V(I)\). Si \(H^i_Z(A)\) est annulé par \(J^n\) pour un certain \(n\), alors \(H^i_Z(M)\) est annulé par \(J^m\) pour un certain \(m = m(M)\), pour tout \(A\)-module \(M\) de présentation finie tel que \(M_f\) soit un \(A_f\)-module libre de rang fini pour tout \(f \in I\).

Démonstration

Considérons l’annulateur \(\mathfrak a\) de \(H^i_Z(M)\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \not \in Z\). Par hypothèse, il existe \(f \in I\), \(f \not \in \mathfrak p\), et un isomorphisme \(\varphi : A_f^{\oplus r} \to M_f\) de \(A_f\)-modules. En chassant les dénominateurs (et en utilisant que \(M\) est de présentation finie), nous trouvons des applications \[a : A^{\oplus r} \longrightarrow M \quad\text{et}\quad b : M \longrightarrow A^{\oplus r}\] telles que \(a_f = f^N \varphi\) et \(b_f = f^N \varphi^{-1}\) pour un certain \(N\). De plus, nous pouvons supposer que \(a \circ b\) et \(b \circ a\) sont égales à la multiplication par \(f^{2N}\). Ainsi \(H^i_Z(M)\) est annulé par \(f^{2N}J^n\), c’est-à-dire \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\).

Comme \(U = \Spec(A) \setminus Z\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini de \(f_1, \ldots, f_t\) et \(N_1, \ldots, N_t\) tels que \(U = \bigcup D(f_j)\) et \(f_j^{2N_j}J^n \subset \mathfrak a\). Alors \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\) et, comme \(I\) est de type fini, nous en concluons que \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) pour un certain \(M\). En définitive, \(J^m \subset \mathfrak a\) pour \(m \gg 0\); par exemple, \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) convient.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Posons \(Z = V(I)\). Soit \(n \geq 0\) un entier. Si \(H^i_Z(A)\) est de type fini pour \(0 \leq i \leq n\), il en est de même de \(H^i_Z(M)\), \(0 \leq i \leq n\), pour tout \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(M_f\) soit un \(A_f\)-module libre de rang fini pour tout \(f \in I\).

Démonstration

L’hypothèse que \(H^i_Z(A)\) est de type fini pour \(0 \leq i \leq n\) implique qu’il existe \(e \geq 0\) tel que \(I^e\) annule \(H^i_Z(A)\) pour \(0 \leq i \leq n\); voir Lemme 0AW8. Puis Lemme 0BPX implique que \(H^i_Z(M)\), \(0 \leq i \leq n\), est annulé par \(I^m\) pour un certain \(m = m(M, i)\). Nous pouvons prendre le même \(m\) pour tout \(0 \leq i \leq n\). Alors Lemme 0AW8 implique que \(H^i_Z(M)\) est de type fini pour \(0 \leq i \leq n\), comme voulu.

Finitude des images directes, I

Dans cette section, nous étudions le cas non trivial le plus simple du théorème de finitude, à savoir la finitude de la cohomologie locale de degré un, ou, de manière équivalente, celle de \(j_*\mathcal{F}\), où \(j : U \to X\) est une immersion ouverte, \(X\) est localement noethérien et \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent sur \(U\). En suivant une méthode de Kollár ([Kollar-variants] et [Kollar-local-global-hulls]), nous obtenons une condition nécessaire et suffisante ; voir la proposition 0BK3. Le lecteur qui s’intéresse aux images directes supérieures ou aux groupes de cohomologie locale de degré supérieur peut passer directement à la section 0BJX ou à la section 0BJQ (développées indépendamment du reste de la présente section).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Pour \(x \in U\), soit \(i_x : W_x \to U\) le sous-schéma fermé intègre de point générique \(x\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), le \(\mathcal{O}_X\)-module \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) est cohérent,

2. \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Montrons d’abord que (1) implique (2). Supposons la condition (1) vérifiée. L’énoncé est local sur \(X\) ; on peut donc supposer \(X\) affine. Alors \(U\) est quasi-compact, donc \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) est fini (Diviseurs, lemme 05AF). On peut ainsi raisonner par récurrence sur le nombre de points associés. Soit \(x \in U\) un point générique d’une composante irréductible du support de \(\mathcal{F}\). D’après Diviseurs, lemme 05AF, on a \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\). Le choix de \(x\) assure que \(\dim(\mathcal{F}_x) = 0\) en tant que \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module. Ainsi \(\mathcal{F}_x\) est de longueur finie comme \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module (Algèbre, lemme 00L5). On peut donc raisonner par récurrence sur cette longueur.

Posons \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\). C’est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent par hypothèse. On a \(\mathcal{G}_x = \kappa(x)\). Choisissons une application non nulle \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \kappa(x) = \mathcal{G}_x\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01Y4, il existe un ouvert \(x \in V \subset U\) et une application \(\varphi_V : \mathcal{F}|_V \to \mathcal{G}|_V\) dont le germe en \(x\) est \(\varphi_x\). Choisissons \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) ne s’annulant pas en \(x\) et tel que \(D(f) \subset V\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB (par exemple), on voit que \(\varphi_V\) se prolonge en \(f^n\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\) pour un certain \(n\). En précomposant avec la multiplication par \(f^n\), on obtient une application \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\) dont le germe en \(x\) est non nul. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) son noyau. Notons que \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\) ; voir Diviseurs, lemme 05AE. Puisque \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) - 1\), l’hypothèse de récurrence permet de conclure que \(j_*\mathcal{F}'\) est cohérent. Puisque \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_U) = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) est cohérent, on peut considérer la suite exacte \[0 \to j_*\mathcal{F}' \to j_*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\] D’après Schémas, lemme 01LC, le faisceau \(j_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. L’image de \(j_*\mathcal{F}\) dans \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) est donc cohérente, d’après Cohomologie des schémas, lemme 01Y1. Enfin, \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent d’après Cohomologie des schémas, lemme 01Y0.

Supposons la condition (2) vérifiée. Exactement comme ci-dessus, on se ramène au cas où \(X\) est affine. Choisissons \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) et posons \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\). Choisissons ensuite une application non nulle \(\varphi_x : \mathcal{G}_x = \kappa(x) \to \mathcal{F}_x\), qui existe précisément parce que \(x\) est un point associé de \(\mathcal{F}\). En raisonnant exactement comme ci-dessus, on peut supposer que \(\varphi_x\) se prolonge en un homomorphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}\). Alors \(\varphi\) est injective (par exemple d’après Diviseurs, lemme 0AVL), et l’on obtient une application injective \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_V) \to j_*\mathcal{F}\). Ainsi la condition (1) est vérifiée.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Posons \(X = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\), \(U = X \setminus Z\), et notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Alors

1. il existe un \(A\)-module de type fini \(M\) tel que \(\mathcal{F}\) soit la restriction de \(\widetilde{M}\) à \(U\),

2. pour un tel \(M\), on a une suite exacte \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] et des isomorphismes \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) pour \(p \geq 1\),

3. pour \(M\) et \(p \geq 0\) donnés, les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(R^pj_*\mathcal{F}\) est cohérent,

   2. \(H^p(U, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini,

   3. \(H^{p + 1}_Z(M)\) est un \(A\)-module de type fini,

4. si les conditions équivalentes de (3) sont vérifiées pour \(p = 0\), on peut prendre \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\), auquel cas on a \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\).

Démonstration

D’après Propriétés, lemme 0G41, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}'\) dont la restriction à \(U\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\). Supposons que \(\mathcal{F}'\) corresponde au \(A\)-module de type fini \(M\) comme en (1). Notons que \(R^pj_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent (Cohomologie des schémas, lemme 01XJ) et correspond au \(A\)-module \(H^p(U, \mathcal{F})\). D’après le lemme 0A6T et la discussion de Cohomologie, sections 0A39 et 0G6Y, on obtient une suite exacte \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] et des isomorphismes \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) pour \(p \geq 1\). On utilise ici le fait que \(H^j(X, \mathcal{F}') = 0\) pour \(j > 0\), puisque \(X\) est affine et \(\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent (Cohomologie des schémas, lemme 01XB). Cela prouve (2). Les points (3) et (4) résultent directement de (2) ; voir aussi le lemme 0DWR.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit de Nagata,

2. \(X\) soit universellement caténaire,

3. pour \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) et \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\), on ait \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\).

Alors \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

D’après le lemme 0BJZ, il suffit de montrer que \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) est cohérent pour \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\). Soit \(\pi : Y \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(\Spec(\kappa(x))\) ; voir Morphismes, section 035E. D’après Morphismes, lemme 0AVK, le morphisme \(\pi\) est fini. Puisque \(\pi\) est fini, \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{O}_Y\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent d’après Cohomologie des schémas, lemme 01Y6. Observons que \(W_x = U \cap \pi(Y)\). Ainsi \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) se factorise par \(i_x : W_x \to U\), et l’on obtient une application canonique \[i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \longrightarrow (\pi|_{\pi^{-1}(U)})_*(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}) = (\pi_*\mathcal{O}_Y)|_U = \mathcal{G}|_U\] Cette application est injective (par exemple d’après Diviseurs, lemme 0AVL). On a donc \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \subset j_*\mathcal{G}|_U\), et il suffit de montrer que \(j_*\mathcal{G}|_U\) est cohérent.

Il reste à montrer que \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) est cohérent. Montrons que Diviseurs, lemme 0E9I, s’applique à \[\mathcal{G} \longrightarrow j_*(\mathcal{G}|_U)\] ce qui achève la démonstration. Il suffit de montrer que \(\text{depth}(\mathcal{G}_z) \geq 2\) pour \(z \in Z\). Soient \(y_1, \ldots, y_n \in Y\) les points s’envoyant sur \(z\). D’après Algèbre, lemme 0AUK, il suffit de montrer que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Sinon, Propriétés, lemme 0345, montre que \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y_i}) = 1\) pour un certain \(i\). C’est impossible d’après la formule des dimensions (Morphismes, lemme 02JU) pour \(\pi : Y \to \overline{\{x\}}\) et l’hypothèse (3).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert non vide de complémentaire \(Z\). Supposons que, pour tout \(z \in Z\) et tout idéal premier associé \(\mathfrak p\) du complété \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\), on ait \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\). Alors \(j_*\mathcal{O}_U\) est cohérent.

Démonstration

On peut supposer \(X\) affine. Les lemmes 0AW9 et 0BK0 permettent de se ramener à \(X = \Spec(A)\), où \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local noethérien intègre et \(\mathfrak m \in Z\). On peut alors raisonner par récurrence sur \(d = \dim(A)\). (Les cas initiaux \(d = 0, 1\) ne se présentent pas en vertu de l’hypothèse sur les anneaux locaux.) Posons \(V = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\). Observons que les anneaux locaux de \(V\) ont une dimension strictement inférieure à \(d\). En reprenant les arguments pour \(j' : U \to V\) et en utilisant la récurrence, on conclut que \(j'_*\mathcal{O}_U\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module cohérent. Choisissons un élément non nul \(f \in A\) qui s’annule sur \(Z\). Puisque \(D(f) \cap V \subset U\), on trouve \(n\) tel que la multiplication par \(f^n\) sur \(U\) se prolonge en une application \(f^n : j'_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_V\) sur \(V\) (par exemple d’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB). Cette application est injective ; on a donc une application injective \[j_*\mathcal{O}_U = j''_* j'_* \mathcal{O}_U \to j''_*\mathcal{O}_V\] sur \(X\), où \(j'' : V \to X\) est le morphisme d’inclusion. Il suffit donc de montrer que \(j''_*\mathcal{O}_V\) est cohérent. Autrement dit, on peut supposer que \(X\) est le spectre d’un anneau local noethérien intègre et que \(Z\) est constitué du point fermé.

Supposons \(X = \Spec(A)\), avec \((A, \mathfrak m)\) local et \(Z = \{\mathfrak m\}\). Soit \(A^\wedge\) le complété de \(A\). Posons \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\), \(Z^\wedge = \{\mathfrak m^\wedge\}\), \(U^\wedge = X^\wedge \setminus Z^\wedge\) et \(\mathcal{F}^\wedge = \mathcal{O}_{U^\wedge}\). L’anneau \(A^\wedge\) est universellement caténaire et de Nagata (Algèbre, remarque 032C et lemme 032W). De plus, la condition (3) du lemme 0AWA pour \(X^\wedge, Z^\wedge, U^\wedge, \mathcal{F}^\wedge\) est vérifiée par hypothèse ! On voit donc que \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\) est cohérent. Puisque le morphisme \(c : X^\wedge \to X\) est plat, l’image réciproque de \(j_*\mathcal{O}_U\) est \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\) (Cohomologie des schémas, lemme 02KH). Enfin, puisque \(c\) est fidèlement plat, on conclut que \(j_*\mathcal{O}_U\) est cohérent d’après Descente, lemme 05AZ.

Remarque

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas localement noethériens. Soit \(x \in U\). Soit \(i_x : W_x \to U\) le sous-schéma fermé intègre de point générique \(x\), et soit \(\overline{\{x\}}\) l’adhérence dans \(X\). On a alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ W_x \ar[d]_{i_x} \ar[r]_{j'} & \overline{\{x\}} \ar[d]^i \\ U \ar[r]^j & X }\] On a \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} = i_*j'_*\mathcal{O}_{W_x}\). Puisque la flèche verticale de gauche est une immersion fermée, \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) est cohérent si et seulement si \(j'_*\mathcal{O}_{W_x}\) est cohérent.

Remarque

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. S’il existe \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) et \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) tels que \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \leq 1\), alors \(j_*\mathcal{F}\) n’est pas cohérent. Pour le montrer, on peut effectuer un changement de base plat vers le spectre de \(\mathcal{O}_{X, z}\). Posons \(X' = \overline{\{x\}}\). L’hypothèse implique \(\mathcal{O}_{X' \cap U} \subset \mathcal{F}\). Il suffit donc de voir que \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) n’est pas cohérent. Cela est clair, car \(X' = \{x, z\}\) ; ainsi \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) correspond à \(\kappa(x)\) en tant que \(\mathcal{O}_{X, z}\)-module, qui ne peut être de type fini puisque \(x\) n’est pas un point fermé.

En fait, la réciproque du lemme 0BK1 est vraie : étant donnée une immersion ouverte \(j : U \to X\) de schémas noethériens intègres, s’il existe \(z \in X \setminus U\) et un idéal premier associé \(\mathfrak p\) du complété \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\) tel que \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) = 1\), alors \(j_*\mathcal{O}_U\) n’est pas cohérent. En effet, on peut passer à l’anneau local, agrandir \(U\) au spectre épointé, passer au complété, puis appliquer l’argument ci-dessus pour obtenir la non-finitude.

Proposition

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas localement noethériens de complémentaire \(Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent,

2. pour \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) et tout idéal premier associé \(\mathfrak p\) du complété \(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\).

Démonstration

Si la condition (2) est vérifiée, on obtient (1) en combinant le lemme 0BJZ, la remarque 0BK2 et le lemme 0BK1. Si la condition (2) n’est pas vérifiée, alors \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) n’est pas de type fini pour un certain \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), d’après la discussion de la remarque 0AWC (et la remarque 0BK2). Ainsi \(j_*\mathcal{F}\) n’est pas cohérent d’après le lemme 0BJZ.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Posons \(Z = V(I)\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^1_Z(M)\) est un \(A\)-module de type fini,

2. pour tous \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\), \(\mathfrak p \not \in Z\) et tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p + I)\), le complété de \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) n’a pas d’idéal premier associé de dimension \(1\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la proposition 0BK3, par l’intermédiaire du lemme 0BK0.

La formulation du lemme suivant a l’avantage que les conditions (1) et (2) se transmettent aux schémas de type fini sur \(X\). De plus, c’est cette forme de finitude que nous généraliserons aux images directes supérieures dans la section 0BJX.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit universellement caténaire,

2. pour tout \(z \in Z\), les fibres formelles de \(\mathcal{O}_{X, z}\) vérifient \((S_1)\).

Dans cette situation, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) et \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\),

2. \(j_*\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Soit \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\). D’après la proposition 0BK3, il suffit de vérifier que \(A = \mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}\) satisfait à la condition de la proposition concernant les idéaux premiers associés de son complété si et seulement si \(\dim(A) \geq 2\). Observons que \(A\) est universellement caténaire (ce qui est clair) et que ses fibres formelles vérifient \((S_1)\), d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BIX et proposition 0BIV. Soit \(\mathfrak p' \subset A^\wedge\) un idéal premier associé. Puisque \(A \to A^\wedge\) est plat, Algèbre, lemme 0312, montre que \(\mathfrak p'\) est au-dessus de \((0) \subset A\). La fibre formelle \(A^\wedge \otimes_A F\) vérifie \((S_1)\), où \(F\) est le corps des fractions de \(A\). On en déduit que \(\mathfrak p'\) est un idéal premier minimal ; voir Algèbre, lemme 031Q. Puisque \(A\) est universellement caténaire, il est formellement caténaire d’après Compléments d’algèbre, proposition 0AW6. Ainsi \(\dim(A^\wedge/\mathfrak p') = \dim(A)\), ce qui prouve l’équivalence.

Profondeur et dimension

Quelques lemmes auxiliaires.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak p \in V(I)\) un idéal premier. Supposons \(e = \text{depth}_{IA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\). Alors il existe un ouvert non vide \(U \subset V(\mathfrak p)\) tel que \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) pour tout \(\mathfrak q \in U\).

Démonstration

Par définition de la profondeur, on a \(IM_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\) et il existe une suite \(M_\mathfrak p\)-régulière \(f_1, \ldots, f_e \in IA_\mathfrak p\). Après avoir remplacé \(A\) par un localisé principal, on peut supposer que \(f_1, \ldots, f_e \in I\) forment une suite \(M\)-régulière ; voir Algèbre, lemme 061L. Considérons le module \(M' = M/IM\). Puisque \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\) et que le support d’un module de type fini est fermé, on trouve \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\). Ainsi, pour \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\), on a \(IM_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\). Par conséquent, l’exactitude de la localisation et la définition de la profondeur donnent \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) pour tout \(\mathfrak q \in V(I)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier. Supposons \(e = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\). Alors il existe un ouvert non vide \(U \subset V(\mathfrak p)\) tel que \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) pour tout \(\mathfrak q \in U\) et tel que, pour tous les \(\mathfrak q \in U\) sauf un nombre fini, on ait \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) > e\).

Démonstration

Par définition de la profondeur, on a \(\mathfrak p M_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\) et il existe une suite \(M_\mathfrak p\)-régulière \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p A_\mathfrak p\). Après avoir remplacé \(A\) par un localisé principal, on peut supposer que \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p\) forment une suite \(M\)-régulière ; voir Algèbre, lemme 061L. Considérons le module \(M' = M/(f_1, \ldots, f_e)M\). Puisque \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\) et que le support d’un module de type fini est fermé, on trouve \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\). Ainsi, pour \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\), on a \(\mathfrak q M_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\). Par conséquent, l’exactitude de la localisation et la définition de la profondeur donnent \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) pour tout \(\mathfrak q \in V(I)\). De plus, dès que \(\mathfrak q\) n’est pas un idéal premier associé au module \(M'\), la profondeur augmente. La dernière assertion résulte donc d’Algèbre, lemme 00LC.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien muni d’un complexe dualisant \(\omega_X^\bullet\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(k \geq 0\) un entier. Supposons que \(\mathcal{F}\) vérifie \((S_k)\). Alors les points \(x \in X\) tels que \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = k \quad\text{et}\quad \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)) > k\] sont en nombre fini.

Démonstration

Démontrons ce lemme par récurrence sur \(k\). Le cas initial \(k = 0\) affirme que \(\mathcal{F}\) possède un nombre fini de points associés immergés, ce qui résulte de Diviseurs, lemme 05AF.

Supposons \(k > 0\) et le résultat établi pour toute valeur plus petite de \(k\). On peut recouvrir \(X\) par un nombre fini d’ouverts affines ; on peut donc supposer \(X = \Spec(A)\) affine. Alors \(\mathcal{F}\) est le \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent associé à un \(A\)-module de type fini \(M\) qui vérifie \((S_k)\). Nous utiliserons Algèbre, lemmes 0B52 et 090R, sans le mentionner à nouveau.

Soit \(f \in A\) un non-diviseur de zéro dans \(M\). Alors \(M/fM\) vérifie \((S_{k - 1})\). Par récurrence, les idéaux premiers \(\mathfrak p \in V(f)\) tels que \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) = k - 1\) et \(\dim(\text{Supp}((M/fM)_\mathfrak p)) > k - 1\) sont en nombre fini. Ce sont exactement les idéaux premiers \(\mathfrak p \in V(f)\) tels que \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = k\) et \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) > k\). On peut donc remplacer \(A\) par \(A_f\) et \(M\) par \(M_f\) pour démontrer l’assertion de finitude.

Puisque \(M\) vérifie \((S_k)\) et que \(k > 0\), le module \(M\) n’a pas d’idéal premier associé immergé (Algèbre, lemme 031Q). Ainsi \(\text{Ass}(M)\) est l’ensemble des points génériques du support de \(M\). Complexes dualisants, lemme 0EHS, montre donc que l’ensemble \(U = \{\mathfrak q \mid M_\mathfrak q\text{ est de Cohen-Macaulay}\}\) est un ouvert contenant \(\text{Ass}(M)\). Par évitement des idéaux premiers (Algèbre, lemme 00DS), on peut choisir \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\) pour \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) et tel que \(D(f) \subset U\). Alors \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(M\) (Algèbre, lemme 00LD). Après avoir remplacé \(A\) par \(A_f\) et \(M\) par \(M_f\) (voir ci-dessus), on obtient que \(M\) est de Cohen-Macaulay. Ainsi, pour tout \(\mathfrak q \subset A\), on a \(\dim(M_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak q)\) ; l’ensemble décrit dans le lemme est donc vide, et a fortiori fini.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Posons \(E^i = \text{Ext}_A^{-i}(M, \omega_A^\bullet)\). Alors

1. \(E^i\) est un \(A\)-module de type fini, non nul seulement pour \(0 \leq i \leq \dim(\text{Supp}(M))\),

2. \(\dim(\text{Supp}(E^i)) \leq i\),

3. \(\text{depth}(M)\) est le plus petit entier \(\delta \geq 0\) tel que \(E^\delta \not = 0\),

4. \(\mathfrak p \in \text{Supp}(E^0 \oplus \ldots \oplus E^i) \Leftrightarrow \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) \leq i\),

5. l’annulateur de \(E^i\) est égal à celui de \(H^i_\mathfrak m(M)\).

Démonstration

Les points (1), (2) et (3) reproduisent les énoncés de Complexes dualisants, lemme 0A7U. Pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\), le complexe \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak p\). Voir Complexes dualisants, lemme 0A7Z. Ainsi

\[E^i_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i + \dim(A/\mathfrak p)}_{A_\mathfrak p} (M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)])\] est nul pour \(i - \dim(A/\mathfrak p) < \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) et non nul pour \(i = \dim(A/\mathfrak p) + \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\), d’après (3) appliqué sur \(A_\mathfrak p\). Cela prouve (4). Si \(E\) est une enveloppe injective du corps résiduel de \(A\), alors on a \[\Hom_A(H^i_\mathfrak m(M), E) = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)^\wedge = (E^i)^\wedge = E^i \otimes_A A^\wedge\] d’après le théorème de dualité locale (sous la forme de Complexes dualisants, lemme 0AAK). Puisque \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat, la dualité de Matlis (Complexes dualisants, proposition 08Z9) prouve (5).

Annulateurs de la cohomologie locale, I

Cette section présente un résultat dû à Faltings ; voir [Faltings-annulators].

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Soient \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) des parties stables par spécialisation. Soit \(s \geq 0\) un entier. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) et tel que \(J\) annule \(H^i_T(M)\) pour \(i \leq s\),

2. pour tous \(\mathfrak p \not \in T'\), \(\mathfrak q \in T\) tels que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

Démonstration

Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Soit \(\delta\) sa fonction de dimension ; voir Complexes dualisants, section 0A7W. Les \(A\)-modules de type fini \[E^i = \Ext_A^i(M, \omega_A^\bullet)\] joueront un rôle important. Pour \(\mathfrak p \subset A\), nous écrirons \(H^i_\mathfrak p\) pour désigner la cohomologie locale d’un \(A_\mathfrak p\)-module relativement à \(\mathfrak pA_\mathfrak p\). On voit alors que le complété \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-adique de \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] est le dual de Matlis de \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] d’après Complexes dualisants, lemme 0AAK. On en déduit en particulier le fait suivant : un idéal \(J \subset A\) annule \((E^i)_\mathfrak p\) si et seulement si \(J\) annule \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\).

Posons \(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\). Puisque \(\delta\) est une fonction bornée, on voit que \(T_a = \emptyset\) pour \(a \ll 0\) et \(T_b = T\) pour \(b \gg 0\).

Supposons (2). Démontrons l’existence de \(J\) comme dans (1). Nous utiliserons une double récurrence. Pour \(i \leq s\), considérons l’hypothèse de récurrence \(IH_i\) : \(H^a_T(M)\) est annulé par un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) pour \(0 \leq a \leq i\). Le cas \(IH_0\) est trivial, car \(H^0_T(M)\) est un sous-module de \(M\), donc de type fini, et est par conséquent annulé par un idéal \(J\) tel que \(V(J) \subset T\).

Étape de récurrence. Supposons \(IH_{i - 1}\) vérifiée pour un certain \(0 < i \leq s\). Choisissons \(J'\) tel que \(V(J') \subset T'\), annulant \(H^a_T(M)\) pour \(0 \leq a \leq i - 1\) (ce que permet l’hypothèse de récurrence). Montrons par récurrence descendante sur \(n\) qu’il existe un idéal \(J\) tel que \(V(J) \subset T'\) et tel que les idéaux premiers associés à \(J H^i_T(M)\) appartiennent à \(T_n\). Pour \(n \ll 0\), cela implique \(JH^i_T(M) = 0\) (Algèbre, lemme 0587), et donc \(IH_i\) sera vérifiée. Le cas initial \(n \gg 0\) est trivial, car \(T = T_n\) dans ce cas, et tous les idéaux premiers associés à \(H^i_T(M)\) appartiennent à \(T\).

Supposons donc donné \(J\) ayant la propriété pour \(n\). Soit \(\mathfrak q \in T_n\). Soit \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) l’image réciproque de \(T\). On a \(H^j_T(M)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\) d’après le lemme 0EF5. Considérons la suite spectrale \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\] du lemme 0EF6. Nous trouverons ci-dessous un idéal \(J'' \subset A\) tel que \(V(J'') \subset T'\) et tel que \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) soit annulé par \(J''\) pour tout \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). Affirmation : \(J (J')^i J''\) convient pour \(n - 1\). En effet, soit \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). La suite spectrale ci-dessus définit une filtration \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q))\] Le module \(E_\infty^{0, i}\) est annulé par \(J''\). Les sous-quotients \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) pour \(i + 1 \geq j \geq 2\) sont annulés par \(J'\), car le but de \(d_j^{0, i}\) est un sous-quotient de \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q)\] et \(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q\) est annulé par \(J'\), par le choix de \(J'\). Enfin, par le choix de \(J\), on a \(J H^i_T(M)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(M)_\mathfrak q)\), puisque les points non fermés de \(\Spec(A_\mathfrak q)\) ont des valeurs de \(\delta\) plus grandes. Ainsi \(\mathfrak q\) ne peut être un idéal premier associé à \(J(J')^iJ'' H^i_T(M)\), comme voulu.

D’après les remarques initiales, \(J''\) doit annuler \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] pour tout \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). Mais si \(J''\) convient pour un \(\mathfrak q\), il convient pour tous les \(\mathfrak q\) d’un voisinage ouvert de \(\mathfrak q\), puisque les modules \(E^{-n - i}\) sont de type fini. Toute partie de \(\Spec(A)\) étant noethérienne pour la topologie induite (Topologie, lemme 0052), il suffit donc de prouver l’existence de \(J''\) pour un seul \(\mathfrak q\).

Les modules Ext étant de type fini, l’existence de \(J''\) équivaut à \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] Cela revient à montrer que le localisé de \(E^{-n - i}\) en tout \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), \(\mathfrak p \not \in T'\) est nul. Par dualité locale sur \(A_\mathfrak p\), il faut donc montrer que \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\] est nul (on utilise ici le fait que \(\delta\) est une fonction de dimension). Cette annulation résulte de l’hypothèse du lemme, de \(i \leq s\) et de Complexes dualisants, lemme 0AVZ.

Pour démontrer l’implication réciproque, supposons que la condition (2) ne soit pas vérifiée et reprenons les arguments précédents en sens inverse. Choisissons d’abord \(\mathfrak q \in T\), \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), avec \(\mathfrak p \not \in T'\), tels que \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] soit minimal. Alors \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\) est non nul d’après la non-annulation de Complexes dualisants, lemme 0AVZ. Posons \(n = \delta(\mathfrak q)\). Il n’existe alors aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) et \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\). Ainsi \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Par minimalité de \(i\), la suite spectrale ci-dessus montre que le module \(H^i_T(M)_\mathfrak q\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Ainsi \(H^i_T(M)\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Cela achève la démonstration de la proposition.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soient \(M\) un \(A\)-module de type fini, \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier et \(s \geq 0\) un entier. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\mathfrak p \not \in V(I)\),

3. pour tous les idéaux premiers \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) et \(\mathfrak q \in V(I)\) tels que \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q\), on ait \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > s\]

Alors il existe \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), qui annule \(H^i_{V(I)}(M)\) pour \(i \leq s\).

Démonstration

Considérons les ensembles \[T = V(I) \quad\text{et}\quad T' = \bigcup\nolimits_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} V(f)\] Ce sont des parties de \(\Spec(A)\) stables par spécialisation. Observons que \(T \subset T'\) et \(\mathfrak p \not \in T'\). L’hypothèse (3) signifie que l’hypothèse (2) de la proposition 0EFC est vérifiée. On peut donc trouver \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) et tel que \(J H^i_{V(I)}(M) = 0\) pour \(i \leq s\). Choisissons \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(V(J) \subset V(f)\). Une puissance de \(f\) annule \(H^i_{V(I)}(M)\) pour \(i \leq s\).

Finitude de la cohomologie locale, II

Nous poursuivons l’étude de la finitude de la cohomologie locale commencée à la section 0AW7. Le théorème des annulateurs de Faltings permet de démontrer aisément le résultat fondamental suivant.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(s \geq 0\) un entier. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i_T(M)\) est un \(A\)-module de type fini pour \(i \leq s\),

2. pour tous \(\mathfrak p \not \in T\), \(\mathfrak q \in T\) tels que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

Démonstration

Conséquence formelle de la proposition 0EFC et du lemme 0AW8.

Outre quelques lemmes destinés à un usage ultérieur, le reste de cette section examine dans quelle mesure on peut affaiblir la condition de la proposition 0EFD selon laquelle \(A\) possède un complexe dualisant. La réponse est, en gros, qu’il faut supposer que les fibres formelles de \(A\) vérifient \((S_n)\) pour \(n\) assez grand.

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = V(I) \subset X\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Définissons [0BJR]\[\begin{equation} s_{A, I}(M) = \min \{ \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \mid \mathfrak p \in X \setminus Z, \mathfrak q \in Z, \mathfrak p \subset \mathfrak q \} \end{equation}\] Notre convention sur la profondeur est que la profondeur de \(0\) vaut \(\infty\) ; il suffit donc de considérer les idéaux premiers \(\mathfrak p\) du support de \(M\). Nous verrons que \(s_{A, I}(M)\) est un invariant important de la situation.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fini d’anneaux noethériens. Soit \(I \subset A\) un idéal et posons \(J = IB\). Soit \(M\) un \(B\)-module de type fini. Si \(A\) est universellement caténaire, alors \(s_{B, J}(M) = s_{A, I}(M)\).

Démonstration

Soient \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) des idéaux premiers tels que \(I \subset \mathfrak q\) et \(I \not \subset \mathfrak p\). Puisque \(A \to B\) est fini, les idéaux premiers \(\mathfrak p_i\) au-dessus de \(\mathfrak p\) sont en nombre fini. D’après Algèbre, lemme 0AUK, on a \[\text{depth}(M_\mathfrak p) = \min \text{depth}(M_{\mathfrak p_i})\] Soient \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak q_{ij}\) des idéaux premiers au-dessus de \(\mathfrak q\). Par le théorème de montée pour \(A \to B\) (Algèbre, lemme 00GU), il existe au moins un \(\mathfrak q_{ij}\) pour chaque \(i\). Alors on a \[\dim((B/\mathfrak p_i)_{\mathfrak q_{ij}}) = \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\] d’après la formule des dimensions ; voir Algèbre, lemme 02IJ. Cela implique que le minimum des quantités utilisées pour définir \(s_{B, J}(M)\) pour les couples \((\mathfrak p_i, \mathfrak q_{ij})\) est égal à la quantité correspondant au couple \((\mathfrak p, \mathfrak q)\). Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(A', M'\) les complétés \(I\)-adiques de \(A, M\). Soient \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\) des idéaux premiers de \(A'\), avec \(\mathfrak q' \in V(IA')\), au-dessus de \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) dans \(A\). Alors \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] et \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\]

Démonstration

On a \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\] par platitude de \(A \to A'\) ; voir Algèbre, lemme 0338. Puisque les fibres de \(A \to A'\) sont de Cohen-Macaulay (Complexes dualisants, lemme 0AWY, et Compléments d’algèbre, section 0BIR), on voit que \(\text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) = \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'})\). On obtient donc \[\begin{align*} \text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \end{align*}\] La deuxième égalité vient du fait que \(A'\) est caténaire et la troisième de Compléments d’algèbre, lemme 07NV, puisque \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) et \((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}\) ont les mêmes complétés \(I\)-adiques.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien universellement caténaire. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors \[s_{A, I}(M) \geq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\] Si les fibres formelles de \(A\) vérifient \((S_n)\), alors \(\min(n + 1, s_{A, I}(M)) \leq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\).

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(A)\), \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\), \(Z = V(I) \subset X\) et \(Z^\wedge = V(I^\wedge)\). Soient \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q' \subset A^\wedge\) des idéaux premiers tels que \(\mathfrak p' \not \in Z^\wedge\) et \(\mathfrak q' \in Z^\wedge\). Soient \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) les idéaux premiers correspondants de \(A\). Alors \(\mathfrak p \not \in Z\) et \(\mathfrak q \in Z\). On a le diagramme \[\xymatrix{ \mathfrak p' \ar[r] & \mathfrak q' \ar[r] & A^\wedge \\ \mathfrak p \ar[r] \ar@{-}[u] & \mathfrak q \ar[r] \ar@{-}[u] & A \ar[u] }\] Écrivons \[\begin{align*} a & = \dim(A/\mathfrak p) = \dim(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge),\\ b & = \dim(A/\mathfrak q) = \dim(A^\wedge/\mathfrak qA^\wedge),\\ a' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak p'),\\ b' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak q') \end{align*}\] Les égalités résultent de Compléments d’algèbre, lemme 07NV. Écrivons aussi \[\begin{align*} p & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak p A^\wedge)_{\mathfrak p'}) \\ q & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak q'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak q'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak q A^\wedge)_{\mathfrak q'}) \end{align*}\] Puisque \(A\) est universellement caténaire, \(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge = (A/\mathfrak p)^\wedge\) est équidimensionnel de dimension \(a\) (Compléments d’algèbre, proposition 0AW6). Ainsi \(a = a' + p\). De même, \(b = b' + q\). D’après Algèbre, lemme 0338, appliqué à l’homomorphisme local plat \(A_\mathfrak p \to A^\wedge_{\mathfrak p'}\), on a \[\text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})\] La quantité dont on prend le minimum pour \(s_{A, I}(M)\) est \[s(\mathfrak p, \mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + a - b\] (la dernière égalité vient du fait que \(A\) est caténaire). La quantité dont on prend le minimum pour \(s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\) est \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + a' - b'\] (la dernière égalité vient du fait que \(A^\wedge\) est caténaire). Nous disposons maintenant des notations nécessaires pour commencer la démonstration.

Soient \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) des idéaux premiers tels que \(\mathfrak p \not \in Z\), \(\mathfrak q \in Z\) et \(s_{A, I}(M) = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\). On peut alors choisir \(\mathfrak q'\) minimal au-dessus de \(\mathfrak q A^\wedge\) et \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\) minimal au-dessus de \(\mathfrak p A^\wedge\) (par le théorème de descente pour \(A \to A^\wedge\)). On dispose alors de quatre idéaux premiers comme ci-dessus, avec \(p = 0\) et \(q = 0\). De plus, on a \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})=0\), là encore parce que \(p = 0\). Cela signifie que \(s(\mathfrak p', \mathfrak q') = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\). On obtient ainsi la première inégalité.

Supposons que les fibres formelles de \(A\) vérifient \((S_n)\). Alors \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) \geq \min(n, p)\). D’où \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') \geq s(\mathfrak p, \mathfrak q) + q + \min(n, p) - p \geq s_{A, I}(M) + q + \min(n, p) - p\] Le seul cas susceptible de poser problème est donc \(p > n\). Dans ce cas, \[\begin{align*} s(\mathfrak p', \mathfrak q') & = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & \geq 0 + n + 1 \end{align*}\] car \((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}\) possède au moins deux idéaux premiers. Cela prouve la seconde inégalité.

La méthode de démonstration du lemme suivant s’applique plus généralement, mais les résultats plus forts ainsi obtenus seront englobés par le théorème 0BJV ci-dessous.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien de Gorenstein. Soit \(I \subset A\) un idéal et posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(s = s_{A, I}(M)\) comme dans (0BJR). Alors \(H^i_Z(M)\) est de type fini pour \(i < s\), mais \(H^s_Z(M)\) n’est pas de type fini.

Démonstration

Puisqu’un anneau local de Gorenstein possède un complexe dualisant, c’est un cas particulier de la proposition 0EFD. Il serait utile de disposer d’une démonstration courte de ce cas particulier, qui interviendra ci-dessous dans la démonstration d’un théorème général de finitude.

Observons que les hypothèses du théorème suivant sont satisfaites par les anneaux noethériens excellents (par définition), par les anneaux noethériens possédant un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0A80, et Complexes dualisants, lemme 0AWY), ainsi que par les quotients d’anneaux noethériens réguliers.

Théorème

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Posons \(s = s_{A, I}(M)\) comme dans (0BJR). Supposons que

1. \(A\) soit universellement caténaire,

2. les fibres formelles des anneaux locaux de \(A\) soient de Cohen-Macaulay.

Alors \(H^i_Z(M)\) est de type fini pour \(0 \leq i < s\) et \(H^s_Z(M)\) n’est pas de type fini.

Démonstration

D’après le lemme 0AW9, on peut supposer que \(A\) est un anneau local.

Si \(A\) est un anneau local noethérien complet, on peut écrire \(A\) comme quotient d’un anneau local régulier complet \(B\) par le théorème de structure de Cohen (Algèbre, théorème 032A). À l’aide du lemme 0BJS et de Complexes dualisants, lemme 0BJB, on se ramène au cas d’un anneau local régulier, qui résulte du lemme 0BJU puisqu’un anneau local régulier est de Gorenstein (Complexes dualisants, lemme 0AWX).

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Soit \(\mathfrak m\) son idéal maximal. On peut supposer \(I \subset \mathfrak m\), sinon le lemme est trivial. Soit \(A^\wedge\) le complété de \(A\), soit \(Z^\wedge = V(IA^\wedge)\), et soit \(M^\wedge = M \otimes_A A^\wedge\) le complété de \(M\) (Algèbre, lemme 00MA). Alors \(H^i_Z(M) \otimes_A A^\wedge = H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\) d’après Complexes dualisants, lemme 0ALZ, et la platitude de \(A \to A^\wedge\) (Algèbre, lemme 00MB). Il suffit donc de montrer que \(H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\) est de type fini pour \(i < s\) et n’est pas de type fini pour \(i = s\) ; voir Algèbre, lemme 03C4. Puisque le résultat est connu pour \(A^\wedge\), il suffit de montrer que \(s_{A, I}(M) = s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\). Cela résulte du lemme 0BJT.

Remarque

Le lecteur attentif aura remarqué qu’une condition légèrement plus faible sur les fibres formelles des anneaux locaux de \(A\) suffit. Plus précisément, dans la situation du théorème 0BJV, supposons \(A\) universellement caténaire, sans faire d’hypothèse sur les fibres formelles. Supposons donné \(n\) et cherchons à montrer que les \(H^i_Z(M)\) sont de type fini pour \(i \leq n\). La même démonstration montre qu’il suffit d’avoir \(s_{A, I}(M) > n\) et que les fibres formelles des anneaux locaux de \(A\) vérifient \((S_n)\). D’autre part, si l’on veut montrer que \(H^s_Z(M)\) n’est pas de type fini, où \(s = s_{A, I}(M)\), nos arguments le prouvent lorsque les fibres formelles vérifient \((S_{s - 1})\).

Finitude des images directes, II

Cette section poursuit la section 0BL8. Nous y recueillons les fruits du travail effectué à la section 0BJQ.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent. Soit \(n \geq 0\) un entier. Supposons que

1. \(X\) soit universellement caténaire,

2. pour tout \(z \in Z\), les fibres formelles de \(\mathcal{O}_{X, z}\) vérifient \((S_n)\).

Dans cette situation, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) et \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\), on a \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > n\),

2. \(R^pj_*\mathcal{F}\) est cohérent pour \(0 \leq p < n\).

Démonstration

L’énoncé est local sur \(X\) ; on peut donc supposer \(X\) affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = V(I)\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini dont le \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent associé se restreint à \(\mathcal{F}\) sur \(U\) ; voir le lemme 0BK0. Ce lemme dit aussi que \(R^pj_*\mathcal{F}\) est cohérent si et seulement si \(H^{p + 1}_Z(M)\) est un \(A\)-module de type fini. Observons que le minimum des expressions \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z})\) est le nombre \(s_{A, I}(M)\) de (0BJR). Cela étant dit, le lemme résulte du théorème 0BJV, avec les précisions apportées par la remarque 0BJW.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-schéma ouvert de complémentaire \(Z\). Soit \(n \geq 0\) un entier. Si \(R^pj_*\mathcal{O}_U\) est cohérent pour \(0 \leq p < n\), il en est de même de \(R^pj_*\mathcal{F}\), \(0 \leq p < n\), pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{F}\).

Démonstration

La question est locale sur \(X\) ; on peut donc supposer \(X\) affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = V(I)\). Par l’intermédiaire du lemme 0BK0, notre lemme résulte du lemme 0BPY.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(J \subset I \subset A\) des idéaux de type fini. Soit \(p \geq 0\) un entier. Posons \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\). Si \(H^p(U, \mathcal{O}_U)\) est annulé par \(J^n\) pour un certain \(n\), alors \(H^p(U, \mathcal{F})\) est annulé par \(J^m\) pour un certain \(m = m(\mathcal{F})\), pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Considérons l’annulateur \(\mathfrak a\) de \(H^p(U, \mathcal{F})\). Soit \(u \in U\). Il existe un voisinage ouvert \(u \in U' \subset U\) et un isomorphisme \(\varphi : \mathcal{O}_{U'}^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_{U'}\). Choisissons \(f \in A\) tel que \(u \in D(f) \subset U'\). Il existe des applications \[a : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \quad\text{et}\quad b : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] dont les restrictions à \(D(f)\) sont égales à \(f^N \varphi\) et \(f^N \varphi^{-1}\) pour un certain \(N\). De plus, on peut supposer que \(a \circ b\) et \(b \circ a\) sont égales à la multiplication par \(f^{2N}\). Cela résulte de Propriétés, lemme 01XQ, puisque \(U\) est quasi-compact (\(I\) est de type fini), séparé, et que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\) sont de présentation finie. On voit donc que \(H^p(U, \mathcal{F})\) est annulé par \(f^{2N}J^n\), c’est-à-dire que \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\).

Puisque \(U\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de \(f_1, \ldots, f_t\) et de \(N_1, \ldots, N_t\) tels que \(U = \bigcup D(f_i)\) et \(f_i^{2N_i}J^n \subset \mathfrak a\). Alors \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\) et, puisque \(I\) est de type fini, on en déduit \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) pour un certain \(M\). Finalement, on voit que \(J^m \subset \mathfrak a\) pour \(m \gg 0\) ; par exemple, \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) convient.

Annulateurs de la cohomologie locale, II

Nous étendons la discussion des annulateurs de la cohomologie locale de la section 0EFB aux complexes bornés inférieurement dont les modules de cohomologie sont de type fini.

Définition

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(K \in D^+_{\textit{Coh}}(A)\). On définit la \(I\)-profondeur de \(K\), notée \(\text{depth}_I(K)\), comme le plus grand \(m \in \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\) tel que \(H^i_I(K) = 0\) pour tout \(i < m\). Si \(A\) est local d’idéal maximal \(\mathfrak m\), on appelle simplement \(\text{depth}_\mathfrak m(K)\) la profondeur de \(K\).

Cette définition est compatible avec Algèbre, définition 00LI, d’après Complexes dualisants, lemme 0AVZ.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Soient \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) des parties stables par spécialisation. Soit \(s \in \mathbf{Z}\). Soit \(K\) un objet de \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) et tel que \(J\) annule \(H^i_T(K)\) pour \(i \leq s\),

2. pour tous \(\mathfrak p \not \in T'\), \(\mathfrak q \in T\) tels que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

Démonstration

Cette proposition est la généralisation naturelle de la proposition 0EFC, dont le lecteur est invité à lire d’abord la démonstration. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Soit \(\delta\) sa fonction de dimension ; voir Complexes dualisants, section 0A7W. Les \(A\)-modules de type fini \[E^i = \Ext_A^i(K, \omega_A^\bullet)\] joueront un rôle important. Pour \(\mathfrak p \subset A\), nous écrirons \(H^i_\mathfrak p\) pour désigner la cohomologie locale d’un objet de \(D(A_\mathfrak p)\) relativement à \(\mathfrak pA_\mathfrak p\). On voit alors que le complété \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-adique de \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] est le dual de Matlis de \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\] d’après Complexes dualisants, lemme 0AAK. On en déduit en particulier le fait suivant : un idéal \(J \subset A\) annule \((E^i)_\mathfrak p\) si et seulement si \(J\) annule \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\).

Posons \(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\). Puisque \(\delta\) est une fonction bornée, on voit que \(T_a = \emptyset\) pour \(a \ll 0\) et \(T_b = T\) pour \(b \gg 0\).

Supposons (2). Démontrons l’existence de \(J\) comme dans (1). Nous utiliserons une double récurrence. Pour \(i \leq s\), considérons l’hypothèse de récurrence \(IH_i\) : \(H^a_T(K)\) est annulé par un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) pour \(a \leq i\). Le cas \(IH_i\) est trivial pour \(i\) assez petit, puisque \(K\) est borné inférieurement.

Étape de récurrence. Supposons \(IH_{i - 1}\) vérifiée pour un certain \(i \leq s\). Choisissons \(J'\) tel que \(V(J') \subset T'\), annulant \(H^a_T(K)\) pour \(a \leq i - 1\) (ce que permet l’hypothèse de récurrence). Montrons par récurrence descendante sur \(n\) qu’il existe un idéal \(J\) tel que \(V(J) \subset T'\) et tel que les idéaux premiers associés à \(J H^i_T(K)\) appartiennent à \(T_n\). Pour \(n \ll 0\), cela implique \(JH^i_T(K) = 0\) (Algèbre, lemme 0587), et donc \(IH_i\) sera vérifiée. Le cas initial \(n \gg 0\) est trivial, car \(T = T_n\) dans ce cas, et tous les idéaux premiers associés à \(H^i_T(K)\) appartiennent à \(T\).

Supposons donc donné \(J\) ayant la propriété pour \(n\). Soit \(\mathfrak q \in T_n\). Soit \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) l’image réciproque de \(T\). On a \(H^j_T(K)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)\) d’après le lemme 0EF5. Considérons la suite spectrale \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\] du lemme 0EF6. Nous trouverons ci-dessous un idéal \(J'' \subset A\) tel que \(V(J'') \subset T'\) et tel que \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) soit annulé par \(J''\) pour tout \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). Affirmation : \(J (J')^i J''\) convient pour \(n - 1\). En effet, soit \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). La suite spectrale ci-dessus définit une filtration \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q))\] Le module \(E_\infty^{0, i}\) est annulé par \(J''\). Les sous-quotients \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) pour \(i + 1 \geq j \geq 2\) sont annulés par \(J'\), car le but de \(d_j^{0, i}\) est un sous-quotient de \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q)\] et \(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q\) est annulé par \(J'\), par le choix de \(J'\). Enfin, par le choix de \(J\), on a \(J H^i_T(K)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(K)_\mathfrak q)\), puisque les points non fermés de \(\Spec(A_\mathfrak q)\) ont des valeurs de \(\delta\) plus grandes. Ainsi \(\mathfrak q\) ne peut être un idéal premier associé à \(J(J')^iJ'' H^i_T(K)\), comme voulu.

D’après les remarques initiales, \(J''\) doit annuler \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] pour tout \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\). Mais si \(J''\) convient pour un \(\mathfrak q\), il convient pour tous les \(\mathfrak q\) d’un voisinage ouvert de \(\mathfrak q\), puisque les modules \(E^{-n - i}\) sont de type fini. Toute partie de \(\Spec(A)\) étant noethérienne pour la topologie induite (Topologie, lemme 0052), il suffit donc de prouver l’existence de \(J''\) pour un seul \(\mathfrak q\).

Les modules Ext étant de type fini, l’existence de \(J''\) équivaut à \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] Cela revient à montrer que le localisé de \(E^{-n - i}\) en tout \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), \(\mathfrak p \not \in T'\) est nul. Par dualité locale sur \(A_\mathfrak p\), il faut donc montrer que \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\] est nul (on utilise ici le fait que \(\delta\) est une fonction de dimension). Cette annulation résulte de l’hypothèse du lemme, de \(i \leq s\) et de notre définition de la profondeur, définition 0EHY.

Pour démontrer l’implication réciproque, supposons que la condition (2) ne soit pas vérifiée et reprenons les arguments précédents en sens inverse. Choisissons d’abord \(\mathfrak q \in T\), \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), avec \(\mathfrak p \not \in T'\), tels que \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] soit minimal. Alors \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\) est non nul d’après notre définition de la profondeur, définition 0EHY. Posons \(n = \delta(\mathfrak q)\). Il n’existe alors aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\) et \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\). Ainsi \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Par minimalité de \(i\), la suite spectrale ci-dessus montre que le module \(H^i_T(K)_\mathfrak q\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Ainsi \(H^i_T(K)\) n’est annulé par aucun idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T'\). Cela achève la démonstration de la proposition.

Finitude de la cohomologie locale, III

Nous étendons la discussion de la finitude de la cohomologie locale des sections 0AW7 et 0BJQ aux complexes bornés inférieurement dont les modules de cohomologie sont de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(K\) un objet de \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\). Soit \(n \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i_T(K)\) est de type fini pour \(i \leq n\),

2. il existe un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) \subset T\) et tel que \(J\) annule \(H^i_T(K)\) pour \(i \leq n\).

Si \(T = V(I) = Z\) pour un idéal \(I \subset A\), ces conditions sont également équivalentes à

1. il existe \(e \geq 0\) tel que \(I^e\) annule \(H^i_Z(K)\) pour \(i \leq n\).

Démonstration

Ce lemme est la généralisation naturelle du lemme 0AW8, dont le lecteur est invité à lire d’abord la démonstration. Supposons la condition (1) vérifiée. Rappelons que \(H^i_J(K) = H^i_{V(J)}(K)\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0955. Ainsi \(H^i_T(K) = \colim H^i_J(K)\), où la limite inductive porte sur les idéaux \(J \subset A\) tels que \(V(J) \subset T\) ; voir le lemme 0EF1. Puisque \(H^i_T(K)\) est de type fini pour \(i \leq n\), on peut trouver \(J \subset A\) comme dans (2) tel que \(H^i_J(K) \to H^i_T(K)\) soit surjective pour \(i \leq n\). Les éléments de la liste finie de générateurs sont donc de torsion par rapport aux puissances de \(J\), et la condition (2) est vérifiée après remplacement de \(J\) par une puissance convenable.

Soit \(a \in \mathbf{Z}\) un entier tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i < a\). Démontrons (2) \(\Rightarrow\) (1) par récurrence descendante sur \(a\). Si \(a > n\), on a \(H^i_T(K) = 0\) pour \(i \leq n\) ; ainsi (1) et (2) sont tous deux vrais, et il n’y a rien à démontrer.

Supposons donné \(J\) comme dans (2). Observons que \(N = H^a_T(K) = H^0_T(H^a(K))\) est de type fini, comme sous-module du \(A\)-module de type fini \(H^a(K)\). Si \(n = a\), la démonstration est terminée ; supposons donc désormais \(a < n\). Par construction de \(R\Gamma_T\), on a \(H^i_T(N) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H^0_T(N) = N\) ; voir la remarque 0EF4. Choisissons un triangle distingué \[N[-a] \to K \to K' \to N[-a + 1]\] On voit alors que \(H^a_T(K') = 0\) et \(H^i_T(K) = H^i_T(K')\) pour \(i > a\). On peut donc remplacer \(K\) par \(K'\). Ainsi on peut supposer \(H^a_T(K) = 0\). Cela signifie qu’aucun des idéaux premiers associés à \(H^a(K)\), qui sont en nombre fini, n’appartient à \(T\). Par évitement des idéaux premiers (Algèbre, lemme 00DS), on peut trouver \(f \in J\) n’appartenant à aucun des idéaux premiers associés à \(H^a(K)\). Choisissons un triangle distingué \[L \to K \xrightarrow{f} K \to L[1]\] Par construction, on a \(H^i(L) = 0\) pour \(i \leq a\). D’autre part, on a une suite exacte longue de cohomologie \[0 \to H^{a + 1}_T(L) \to H^{a + 1}_T(K) \xrightarrow{f} H^{a + 1}_T(K) \to H^{a + 2}_T(L) \to H^{a + 2}_T(K) \xrightarrow{f} \ldots\] qui se décompose en l’identification \(H^{a + 1}_T(L) = H^{a + 1}_T(K)\) et en suites exactes courtes \[0 \to H^{i - 1}_T(K) \to H^i_T(L) \to H^i_T(K) \to 0\] pour \(i \leq n\), puisque \(f \in J\). On en déduit que \(J^2\) annule \(H^i_T(L)\) pour \(i \leq n\). Par l’hypothèse de récurrence appliquée à \(L\), on voit que \(H^i_T(L)\) est de type fini pour \(i \leq n\). En utilisant une nouvelle fois la suite exacte courte, on voit que \(H^i_T(K)\) est de type fini pour \(i \leq n\), comme voulu.

Nous omettons la démonstration de l’équivalence de (2) et (3) dans le cas \(T = V(I)\).

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Soit \(T \subset \Spec(A)\) une partie stable par spécialisation. Soit \(s \in \mathbf{Z}\). Soit \(K \in D_{\textit{Coh}}^+(A)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(H^i_T(K)\) est un \(A\)-module de type fini pour \(i \leq s\),

2. pour tous \(\mathfrak p \not \in T\), \(\mathfrak q \in T\) tels que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), on a \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

Démonstration

Conséquence formelle de la proposition 0EHZ et du lemme 0EI1.

Amélioration des modules cohérents

Des constructions analogues figurent dans [EGA] et, plus récemment, dans [Kollar-local-global-hulls] et [Kollar-variants].

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(T \subset X\) une partie stable par spécialisation. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors il existe une unique application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que

1. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) soit surjective,

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}'_x\) soit un isomorphisme pour \(x \not \in T\),

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\) pour \(x \in T\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme plat, avec \(Y\) noethérien, alors \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) est le quotient correspondant pour \(f^{-1}(T) \subset Y\) et \(f^*\mathcal{F}\).

Démonstration

La condition (3) signifie simplement que \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \cap T = \emptyset\). Ainsi \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est le quotient de \(\mathcal{F}\) par le sous-faisceau des sections dont le support est contenu dans \(T\). Cela prouve l’unicité. L’assertion concernant les images réciproques résulte de Diviseurs, lemme 05DB, et de l’unicité.

Existence de \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\). Par unicité, il suffit de prouver l’existence et l’unicité localement sur \(X\) ; nous omettons ce petit détail. On peut donc supposer \(X = \Spec(A)\) affine et \(\mathcal{F}\) égal au module cohérent associé au \(A\)-module de type fini \(M\). Posons \(M' = M / H^0_T(M)\), avec \(H^0_T(M)\) comme dans la section 0EEY. Alors \(M_\mathfrak p = M'_\mathfrak p\) pour \(\mathfrak p \not \in T\), ce qui prouve (1). D’autre part, on a \(H^0_T(M) = \colim H^0_Z(M)\), où \(Z\) parcourt les parties fermées de \(X\) contenues dans \(T\). Ainsi, d’après Complexes dualisants, lemme 0AW0, on a \(H^0_T(M') = 0\), c’est-à-dire qu’aucun idéal premier associé à \(M'\) n’appartient à \(T\). Par conséquent, \(\text{depth}(M'_\mathfrak p) \geq 1\) pour \(\mathfrak p \in T\).

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas noethériens. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Supposons \(\mathcal{F}' = j_*(\mathcal{F}|_U)\) cohérent. Alors \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est l’unique application de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que

1. \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}'|_U\) soit un isomorphisme,

2. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) pour \(x \in X\), \(x \not \in U\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme plat, avec \(Y\) noethérien, alors \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) est l’application correspondante pour \(f^{-1}(U) \subset Y\).

Démonstration

On a \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) d’après Diviseurs, lemme 0EY0, point (3). L’unicité de \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) résulte de Diviseurs, lemme 0E9I. La compatibilité aux images réciproques plates résulte du changement de base plat ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Supposons que \(X\) soit universellement caténaire et que les fibres formelles de ses anneaux locaux vérifient \((S_1)\). Alors il existe une unique application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) soit un isomorphisme pour \(x \in X \setminus Z\),

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) soit surjective et \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) = 1\) pour tout \(x \in Z\) tel qu’il existe une spécialisation immédiate \(x' \leadsto x\) avec \(x' \not \in Z\) et \(x' \in \text{Ass}(\mathcal{F})\),

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) pour les autres \(x \in Z\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de Cohen-Macaulay, avec \(Y\) noethérien, alors \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) vérifie les mêmes propriétés relativement à \(f^{-1}(Z) \subset Y\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) l’application construite au lemme 0DX3 pour la partie \(Z\) de \(X\). Rappelons que \(\mathcal{F}'\) est le quotient de \(\mathcal{F}\) par le sous-faisceau des sections à support dans \(Z\).

Démontrons d’abord l’unicité. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) comme dans le lemme. On obtient une factorisation \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\), puisque \(\text{Ass}(\mathcal{F}'') \cap Z = \emptyset\) d’après (2) et (3). Soit \(U \subset X\) le plus grand sous-schéma ouvert tel que \(\mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}''|_U\) soit un isomorphisme. On voit que \(U\) contient tous les points de (2). Alors Diviseurs, lemme 0E9I, permet de conclure que \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_U)\). On obtient ainsi l’unicité (petit détail : si l’on dispose de deux tels \(\mathcal{F}''\), on prend l’intersection des ouverts \(U\) obtenus pour chacun).

Démonstration de l’existence. Rappelons que \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \{x_1, \ldots, x_n\}\) est fini et que \(x_i \not \in Z\). Soit \(Y_i\) l’adhérence de \(\{x_i\}\). Soient \(Z_{i, j}\) les composantes irréductibles de \(Z \cap Y_i\). Observons que \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap Z = \bigcup Z_{i, j}\). Soit \(z_{i, j} \in Z_{i, j}\) le point générique. Posons \[d_{i, j} = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x_i\}}, z_{i, j}})\] Si \(d_{i, j} = 1\), alors \(z_{i, j}\) est l’un des points de (2). Il n’est donc pas nécessaire de modifier \(\mathcal{F}'\) en ces points. De plus, en supposant toujours \(d_{i, j} = 1\), le lemme 0DWY permet de trouver un voisinage ouvert \(z_{i, j} \in V_{i, j} \subset X\) tel que \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, z}}(\mathcal{F}'_z) \geq 2\) pour \(z \in Z_{i, j} \cap V_{i, j}\), \(z \not = z_{i, j}\). Posons \[Z' = X \setminus \left( X \setminus Z \cup \bigcup\nolimits_{d_{i, j} = 1} V_{i, j}) \right)\] Notons \(j' : X \setminus Z' \to X\). Le choix de \(Z'\) assure que les hypothèses du lemme 0AWB sont satisfaites. On conclut en posant \(\mathcal{F}'' = j'_*(\mathcal{F}'|_{X \setminus Z'})\) et en appliquant le lemme 0DX4.

La dernière assertion résulte de la formule de variation de la profondeur par un homomorphisme local plat ; voir Algèbre, lemme 0338, et de l’hypothèse sur les fibres de \(f\) contenue dans le fait que \(f\) est de Cohen-Macaulay. Détails omis.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien possédant localement un complexe dualisant. Soit \(T' \subset X\) une partie stable par spécialisation. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Supposons que, si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation immédiate de points de \(X\) avec \(x' \in T'\) et \(x \not \in T'\), alors \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\). Il existe alors une unique application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) soit un isomorphisme pour \(x \not \in T'\),

2. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) pour \(x \in T'\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de Cohen-Macaulay, avec \(Y\) noethérien, alors \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) vérifie les mêmes propriétés relativement à \(f^{-1}(T') \subset Y\).

Démonstration

Démonstration de l’unicité. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) comme dans le lemme. Soit \(U \subset X\) le plus grand sous-schéma ouvert tel que \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}''|_U\) soit un isomorphisme. D’après (1), \(U\) contient l’ensemble \(X \setminus T'\). D’après (2) et Diviseurs, lemme 0E9I, on conclut que \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}|_U)\), où \(j : U \to X\) est le morphisme d’inclusion. On obtient ainsi l’unicité (petit détail : si l’on dispose de deux tels \(\mathcal{F}''\), on prend l’intersection des ouverts \(U\) obtenus pour chacun).

Démonstration de l’existence. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) le quotient de \(\mathcal{F}\) construit au lemme 0DX3 à l’aide de \(T'\). Rappelons que \(\mathcal{F}'\) est le quotient de \(\mathcal{F}\) par le sous-faisceau des sections à support dans \(T'\). Définissons \[\mathcal{F}'' = \colim j_*(\mathcal{F}'|_V)\] où \(j : V \to X\) parcourt les sous-schémas ouverts tels que \(X \setminus V \subset T'\). Observons que le système inductif est filtrant, puisque \(T'\) est stable par spécialisation. Chacune des applications \(\mathcal{F}' \to j_*(\mathcal{F}'|_V)\) est injective, puisque \(\text{Ass}(\mathcal{F}')\) est disjoint de \(T'\). Ainsi \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) est injective.

Supposons \(X = \Spec(A)\) affine et \(\mathcal{F}\) correspondant au \(A\)-module de type fini \(M\). Alors \(\mathcal{F}'\) correspond à \(M' = M / H^0_{T'}(M)\) ; voir la démonstration du lemme 0DX3. En appliquant les lemmes 0DWR et 0EF1, on voit que \(\mathcal{F}''\) correspond à un \(A\)-module \(M''\) qui s’insère dans la suite exacte courte \[0 \to M' \to M'' \to H^1_{T'}(M') \to 0\] D’après la proposition 0EFD et la condition de l’énoncé sur les spécialisations immédiates, \(M''\) est un \(A\)-module de type fini. On voit ainsi que \(\mathcal{F}''\) est cohérent.

La cohérence de \(\mathcal{F}''\) et l’injectivité des applications de transition dans la limite inductive filtrante ci-dessus impliquent que \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_V)\) pour tout \(V\) assez petit comme ci-dessus. Les conditions (1) et (2) résultent alors du lemme 0DX4.

La dernière assertion résulte de la formule de variation de la profondeur par un homomorphisme local plat ; voir Algèbre, lemme 0338, et de l’hypothèse sur les fibres de \(f\) contenue dans le fait que \(f\) est de Cohen-Macaulay. Détails omis.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien possédant localement un complexe dualisant. Soient \(T' \subset T \subset X\) des parties stables par spécialisation telles que, si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation immédiate de points de \(X\) et \(x' \in T'\), alors \(x \in T\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Il existe alors une unique application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents telle que

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) soit un isomorphisme pour \(x \not \in T\),

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) soit surjective et \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 1\) pour \(x \in T\), \(x \not \in T'\),

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) pour \(x \in T'\).

Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de Cohen-Macaulay, avec \(Y\) noethérien, alors \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) vérifie les mêmes propriétés relativement à \(f^{-1}(T') \subset f^{-1}(T) \subset Y\).

Démonstration

Soit d’abord \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) le quotient de \(\mathcal{F}\) construit au lemme 0DX3 à l’aide de \(T\). Soit ensuite \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) l’unique application de modules cohérents construite au lemme 0EI3 à l’aide de \(T'\). Alors \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) possède les propriétés voulues.

Annulation de Hartshorne-Lichtenbaum

Ce résultat d’annulation est l’analogue local du théorème de Lichtenbaum présenté dans Dualité pour les schémas, section 0G5D. On le trouvera, ainsi que bien d’autres résultats, dans [CD].

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien de dimension \(d\). Soient \(I \subset I' \subset A\) des idéaux. Si \(I'\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) et si \(\text{cd}(A, I') < d\), alors \(\text{cd}(A, I) < d\).

Démonstration

D’après le lemme 0DXC, on sait que \(\text{cd}(A, I) \leq d\). Nous utiliserons le lemme 0DWV pour montrer que \[H^d_{V(I')}(A) \to H^d_{V(I)}(A)\] est surjective, ce qui achèvera la démonstration. Choisissons \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\). L’hypothèse sur \(I'\) montre que \(\mathfrak p\) n’est pas un idéal maximal de \(A\). Ainsi \(\dim(A_\mathfrak p) < d\). Alors \(H^d_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(A_\mathfrak p) = 0\) d’après le lemme 0DXC.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien de dimension \(d\). Soit \(I \subset A\) un idéal. Si \(H^d_{V(I)}(M) = 0\) pour un \(A\)-module de type fini dont le support contient toutes les composantes irréductibles de dimension \(d\), alors \(\text{cd}(A, I) < d\).

Démonstration

D’après le lemme 0DXC, on sait que \(\text{cd}(A, I) \leq d\). Ainsi, pour tout \(A\)-module de type fini \(N\), on a \(H^i_{V(I)}(N) = 0\) pour \(i > d\). Disons que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée pour le \(A\)-module de type fini \(N\) si \(H^d_{V(I)}(N) = 0\). L’une des hypothèses est que \(\mathcal{P}(M)\) est vérifiée. Observons que \(\mathcal{P}(N_1 \oplus N_2) \Leftrightarrow (\mathcal{P}(N_1) \wedge \mathcal{P}(N_2))\). Si \(N \to N'\) est surjective, alors \(\mathcal{P}(N) \Rightarrow \mathcal{P}(N')\), puisque \(H^{d + 1}_{V(I)}\) est nul (voir ci-dessus). Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) les idéaux premiers minimaux de \(A\) tels que \(\dim(A/\mathfrak p_i) = d\). Observons que \(\mathcal{P}(N)\) est vérifiée si le support de \(N\) est disjoint de \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\), pour des raisons de dimension ; voir le lemme 0DXC. Pour chaque \(i\), posons \(M_i = M/\mathfrak p_i M\). C’est un \(A\)-module de type fini annulé par \(\mathfrak p_i\), dont le support est égal à \(V(\mathfrak p_i)\) (on utilise ici l’hypothèse sur le support de \(M\)). Enfin, si \(J \subset A\) est un idéal, alors \(\mathcal{P}(JM_i)\) est vérifiée, car \(JM_i\) est un quotient d’une somme directe de copies de \(M\). Il résulte donc de Cohomologie des schémas, lemme 01YM, que \(\mathcal{P}\) est vérifiée pour tout \(A\)-module de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien de dimension \(d\). Soit \(f \in A\) un élément n’appartenant à aucun idéal premier minimal de dimension \(d\). Alors \(f : H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(M)\) est surjective pour tout \(A\)-module de type fini \(M\) et tout idéal \(I \subset A\).

Démonstration

Le support de \(M/fM\) est de dimension \(< d\), par l’hypothèse sur \(f\). Ainsi \(H^d_{V(I)}(M/fM) = 0\) d’après le lemme 0DXC. Par conséquent, \(H^d_{V(I)}(fM) \to H^d_{V(I)}(M)\) est surjective. Puisque le lemme 0DXC donne \(\text{cd}(A, I) \leq d\), on voit aussi que la surjection \(M \to fM\), \(x \mapsto fx\) induit une surjection \(H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(fM)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(I \subset A\) un idéal. Si \(H^0_{V(I)}(\omega_A^\bullet) = 0\), alors \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\).

Démonstration

Posons \(d = \dim(A)\). Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) les idéaux premiers minimaux de dimension \(d\). Rappelons que le \(A\)-module de type fini \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) est non nul seulement pour \(i \in \{0, \ldots, d\}\) et que le support de \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) est de dimension \(\leq i\) ; voir le lemme 0DWZ. Posons \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\). Par évitement des idéaux premiers (Algèbre, lemme 00DS), on peut trouver \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p_i\), qui annule \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) pour \(i < d\). Considérons le triangle distingué \[\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet \to \tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet \to \omega_A[d + 1]\] Voir Catégories dérivées, remarque 08J5. D’après Catégories dérivées, lemme 08Q2, \(f^d\) induit l’endomorphisme nul de \(\tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet\). Les axiomes des catégories triangulées fournissent une application \[\omega_A^\bullet \to \omega_A[d]\] dont le composé avec \(\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet\) est la multiplication par \(f^d\) sur \(\omega_A[d]\). On en déduit que \(f^d\) annule \(H^d_{V(I)}(\omega_A)\). Le lemme 0EB3 donne alors \(H^d_{V(I)}(\omega_A) = 0\). On conclut par le lemme 0EB2 et le fait que \((\omega_A)_{\mathfrak p_i}\) est non nul (voir par exemple Complexes dualisants, lemme 0A7V).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien complet intègre. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier de dimension \(1\). Pour tout \(n \geq 1\), il existe \(m \geq n\) tel que \(\mathfrak p^{(m)} \subset \mathfrak p^n\).

Démonstration

Rappelons que la puissance symbolique \(\mathfrak p^{(m)}\) est définie comme le noyau de \(A \to A_\mathfrak p/\mathfrak p^mA_\mathfrak p\). Puisque la localisation est exacte, on en déduit que, dans la suite exacte courte \[0 \to \mathfrak a_n \to A/\mathfrak p^n \to A/\mathfrak p^{(n)} \to 0\] le support de \(\mathfrak a_n\) est contenu dans \(\{\mathfrak m\}\). En particulier, le système projectif \((\mathfrak a_n)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler, puisque chaque \(\mathfrak a_n\) est un \(A\)-module artinien. Le lemme équivaut donc à la condition \(\lim \mathfrak a_n = 0\). Soit \(f \in \lim \mathfrak a_n\). Alors \(f\) est un élément de \(A = \lim A/\mathfrak p^n\) (on utilise ici la complétude de \(A\)) dont l’image dans le complété \(A_\mathfrak p^\wedge\) de \(A_\mathfrak p\) est nulle. Puisque \(A_\mathfrak p \to A_\mathfrak p^\wedge\) est fidèlement plat, on voit que \(f\) a une image nulle dans \(A_\mathfrak p\). Puisque \(A\) est intègre, \(f\) est nul, comme voulu.

Proposition

Soit \(A\) un anneau local noethérien de complété \(A^\wedge\). Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \[\dim V(IA^\wedge + \mathfrak p) \geq 1\] pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A^\wedge\) de dimension \(\dim(A)\). Alors \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\).

Démonstration

Puisque \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat, on a \(H^d_{V(I)}(A) \otimes_A A^\wedge = H^d_{V(IA^\wedge)}(A^\wedge)\) d’après Complexes dualisants, lemme 0ALZ. On peut donc supposer \(A\) complet.

Supposons \(A\) complet. Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) les idéaux premiers minimaux de dimension \(d\). Considérons l’anneau local complet \(A_i = A/\mathfrak p_i\). On a \(H^d_{V(I)}(A_i) = H^d_{V(IA_i)}(A_i)\) d’après Complexes dualisants, lemme 0BJB. D’après le lemme 0EB2, il suffit de prouver le lemme pour \((A_i, IA_i)\). On peut donc supposer que \(A\) est un anneau local complet intègre.

Supposons que \(A\) soit un anneau local complet intègre. On peut choisir un idéal premier \(\mathfrak p \supset I\) tel que \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\). D’après le lemme 0EB1, il suffit de prouver le lemme pour \(\mathfrak p\).

D’après le lemme 0EB4, il suffit de montrer que \(H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = 0\). Rappelons que \[H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = \colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^n, \omega_A^\bullet)\] D’après le lemme 0EB5, cette limite inductive est égale à \[\colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^{(n)}, \omega_A^\bullet)\] Puisque \(\text{depth}(A/\mathfrak p^{(n)}) = 1\), ces groupes Ext sont nuls d’après le lemme 0DWZ, comme voulu.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Supposons \(A\) excellent, normal, et \(\dim V(I) \geq 1\). Alors \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\). En particulier, si \(\dim(A) = 2\), alors \(\Spec(A) \setminus V(I)\) est affine.

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, lemme 0C23, le complété \(A^\wedge\) est normal, donc intègre. L’hypothèse de la proposition 0EB6 est donc vérifiée, et l’on conclut. L’assertion d’affinité résulte du lemme 0DXD.

Action de Frobenius

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau tel que \(p = 0\) dans \(A\). L’endomorphisme de Frobenius de \(A\) est l’application \[F : A \longrightarrow A, \quad a \longmapsto a^p\] Dans cette section, nous démontrons des lemmes sur les modules munis d’une action de Frobenius.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien tel que \(p = 0\) dans \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini tel que \(M \otimes_{A, F} A \cong M\). Alors \(M\) est libre de type fini.

Démonstration

Choisissons une présentation \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\) qui induit un isomorphisme \(\kappa^{\oplus n} \to M/\mathfrak m M\). Soit \(T = (a_{ij})\) la matrice de l’application \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\). Observons que \(a_{ij} \in \mathfrak m\). En effectuant le changement de base par \(F\) et en utilisant son exactitude à droite, on obtient une présentation \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\) dont la matrice est \(T = (a_{ij}^p)\). On a donc une présentation avec \(a_{ij} \in \mathfrak m^p\). En répétant cette construction, on trouve, pour chaque \(e \geq 1\), une présentation avec \(a_{ij} \in \mathfrak m^e\). Cela implique que les idéaux de Fitting (Compléments d’algèbre, définition 07Z9) \(\text{Fit}_k(M)\) pour \(k < n\) sont contenus dans \(\bigcap_{e \geq 1} \mathfrak m^e\). Ce dernier étant nul par le théorème d’intersection de Krull (Algèbre, lemme 00IP), on conclut que \(M\) est libre de rang \(n\), d’après Compléments d’algèbre, lemme 07ZD.

Dans cette section, nous dirons que des éléments \(f_1, \ldots, f_r\) d’un anneau \(A\) sont indépendants si \(\sum a_if_i = 0\) implique \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\). Autrement dit, en posant \(I = (f_1, \ldots, f_r)\), le module \(I/I^2\) est libre sur \(A/I\), de base \(f_1, \ldots, f_r\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Si \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) sont indépendants, alors \(f_1, \ldots, f_r\) sont indépendants.

Démonstration

Supposons \(\sum a_if_i = 0\). Alors \(\sum a_ig_rf_i = 0\). Ainsi \(a_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\). Écrivons \(a_r = \sum_{i < r} b_i f_i + b f_rg_r\). Alors \(0 = \sum_{i < r} (a_i + b_if_r)f_i + bf_r^2g_r\). Par conséquent, \(a_i + b_i f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\), ce qui implique \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\), comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Si \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) sont indépendants et si le \(A\)-module \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) est de longueur finie, alors \[\begin{align*} & \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)) \\ & = \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r)) + \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)) \end{align*}\]

Démonstration

Montrons qu’il existe une suite exacte \[0 \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r) \xrightarrow{f_r} A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r) \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r) \to 0\] En effet, si \(a f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\), alors \(\sum_{i < r} a_i f_i + (a + bg_r)f_r = 0\) pour certains \(b, a_i \in A\). Ainsi \(\sum_{i < r} a_i g_r f_i + (a + bg_r)g_rf_r = 0\), ce qui implique \(a + bg_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) et signifie que \(a\) a une image nulle dans \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)\). Cela prouve l’affirmation. Pour conclure, utiliser l’additivité des longueurs (Algèbre, lemme 00IV).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local. Si \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\) et si \(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r}\) sont indépendants pour certains \(e_i > 0\), alors \(\text{length}_A(A/(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r})) = e_1\ldots e_r\).

Démonstration

Utiliser les lemmes 0EBW et 0EBX et une récurrence.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux. Si \(f_1, \ldots, f_r \in A\) sont indépendants, alors \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_r) \in B\) sont indépendants.

Démonstration

Posons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) et \(J = \varphi(I)B\). Par platitude, on a \(I/I^2 \otimes_A B = J/J^2\). La liberté de \(I/I^2\) sur \(A/I\) implique donc celle de \(J/J^2\) sur \(B/J\).

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau noethérien tel que \(p = 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est régulier,

2. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) est plat.

Démonstration

Observons que \(\Spec(F) : \Spec(A) \to \Spec(A)\) est l’application identique. La régularité se définit à l’aide des anneaux locaux et la platitude se vérifie sur les anneaux locaux ; voir Algèbre, lemme 00HT. On peut donc supposer, et l’on suppose, que \(A\) est un anneau local noethérien d’idéal maximal \(\mathfrak m\).

Supposons \(A\) régulier. Soit \(x_1, \ldots, x_d\) un système de paramètres de \(A\). En appliquant \(F\), on obtient \(F(x_1), \ldots, F(x_d) = x_1^p, \ldots, x_d^p\), qui est un système de paramètres de \(A\). Ainsi \(F\) est plat ; voir Algèbre, lemmes 00R4 et 00NQ.

Réciproquement, supposons \(F\) plat. Écrivons \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\) avec \(r\) minimal. Alors \(x_1, \ldots, x_r\) sont indépendants au sens défini ci-dessus. Puisque \(F\) est plat, \(x_1^p, \ldots, x_r^p\) sont indépendants ; voir le lemme 0EBZ. Ainsi \(\text{length}_A(A/(x_1^p, \ldots, x_r^p)) = p^r\) d’après le lemme 0EBY. Posons \(\chi(n) = \text{length}_A(A/\mathfrak m^n)\) et rappelons qu’il s’agit d’un polynôme numérique de degré \(\dim(A)\) ; voir Algèbre, proposition 00KQ. Choisissons \(n \gg 0\). Observons que \[\mathfrak m^{pn + pr} \subset F(\mathfrak m^n)A \subset \mathfrak m^{pn}\] comme on le voit en considérant les monômes en \(x_1, \ldots, x_r\). On a \[A/F(\mathfrak m^n)A = A/\mathfrak m^n \otimes_{A, F} A\] Par platitude de \(F\), ce module est de longueur \(\chi(n) \text{length}_A(A/F(\mathfrak m)A)\) (Algèbre, lemme 02M1), qui vaut \(p^r\chi(n)\) d’après ce qui précède. On en déduit \[\chi(pn + pr) \geq p^r\chi(n) \geq \chi(pn)\] La comparaison des termes dominants donne \(r = \dim(A)\), c’est-à-dire que \(A\) est régulier.

Structure de certains modules

Quelques résultats sur la structure de certains types de modules sur les anneaux locaux réguliers. On trouvera de tels résultats et bien davantage dans [Huneke-Sharp], [Lyubeznik], [Lyubeznik2].

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(0\). Soit \(d \geq 1\). Soit \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\), d’idéal maximal \(\mathfrak m\). Soit \(M\) un module de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m\) sur l’anneau \(A\), muni d’opérateurs additifs \(D_1, \ldots, D_d\) vérifiant la règle de Leibniz

\[D_i(fz) = \partial_i(f) z + f D_i(z)\] pour \(f \in A\) et \(z \in M\). Ici \(\partial_i\) désigne la dérivation par rapport à \(x_i\). Alors \(M\) est isomorphe à une somme directe de copies de l’enveloppe injective \(E\) de \(k\).

Démonstration

Choisissons un ensemble \(J\) et un isomorphisme \(M[\mathfrak m] \to \bigoplus_{j \in J} k\). Puisque \(\bigoplus_{j \in J} E\) est injectif (Complexes dualisants, lemme 08XV), on peut prolonger cet isomorphisme en un homomorphisme de \(A\)-modules \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\). Montrons que \(\varphi\) est un isomorphisme, c’est-à-dire une bijection.

Injectivité. Soit \(z \in M\) non nul. Puisque \(M\) est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m\), on peut choisir un élément \(f \in A\) tel que \(fz \in M[\mathfrak m]\) et \(fz \not = 0\). Alors \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) est non nul, donc \(\varphi(z)\) est non nul.

Surjectivité. Soit \(z \in M\). Alors \(x_1^n z = 0\) pour un certain \(n \geq 0\). Montrons que \(z \in x_1M\) par récurrence sur \(n\). Si \(n = 0\), alors \(z = 0\), et le résultat est vrai. Si \(n > 0\), l’application de \(D_1\) donne \(0 = n x_1^{n - 1} z + x_1^nD_1(z)\). Ainsi \(x_1^{n - 1}(nz + x_1D_1(z)) = 0\). Par récurrence, on obtient \(nz + x_1D_1(z) \in x_1M\). Puisque \(n\) est inversible, on en déduit \(z \in x_1M\). Ainsi \(M\) est \(x_1\)-divisible. Si \(\varphi\) n’est pas surjective, on peut choisir \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\) n’appartenant pas à \(M\). En raisonnant comme ci-dessus, on peut supposer \(\mathfrak m e \subset M\), en particulier \(x_1 e \in M\). Il existe un élément \(z_1 \in M\) tel que \(x_1 z_1 = x_1 e\). D’où \(x_1(z_1 - e) = 0\). En remplaçant \(e\) par \(e - z_1\), on peut supposer \(e\) annulé par \(x_1\). Il suffit donc de montrer que \[\varphi[x_1] : M[x_1] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x_1] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x_1]\] est surjective. Si \(d = 1\), c’est vrai par construction de \(\varphi\). Si \(d > 1\), on observe que \(E[x_1]\) est l’enveloppe injective du corps résiduel de \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\) ; voir Complexes dualisants, lemme 08Z2. Observons que \(M[x_1]\), en tant que module sur \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\), est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m/(x_1)\) et est muni d’opérateurs \(D_2, \ldots, D_d\) vérifiant la règle de Leibniz ci-dessus. Par récurrence sur \(d\), on en déduit que \(\varphi[x_1]\) est surjective, comme voulu.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \((A, \mathfrak m, k)\) un anneau local régulier tel que \(p = 0\). Notons \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) l’endomorphisme de Frobenius. Soit \(M\) un module de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m\) tel que \(M \otimes_{A, F} A \cong M\). Alors \(M\) est isomorphe à une somme directe de copies de l’enveloppe injective \(E\) de \(k\).

Démonstration

Choisissons un ensemble \(J\) et un homomorphisme de \(A\)-modules \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\) qui envoie \(M[\mathfrak m]\) isomorphiquement sur \((\bigoplus_{j \in J} E)[\mathfrak m] = \bigoplus_{j \in J} k\). Montrons que \(\varphi\) est un isomorphisme, c’est-à-dire une bijection.

Injectivité. Soit \(z \in M\) non nul. Puisque \(M\) est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m\), on peut choisir un élément \(f \in A\) tel que \(fz \in M[\mathfrak m]\) et \(fz \not = 0\). Alors \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) est non nul, donc \(\varphi(z)\) est non nul.

Surjectivité. Rappelons que \(F\) est plat ; voir le lemme 0EC0. Soit \(x_1, \ldots, x_d\) un système minimal de générateurs de \(\mathfrak m\). Notons \[M_n = M[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}]\] le sous-module de \(M\) constitué des éléments annulés par \(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}\). Ainsi \(M_0 = M[\mathfrak m]\) est un espace vectoriel sur \(k\). De plus, \(M = \bigcup M_n\), puisque \(M\) est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m\). Puisque \(F^n\) est plat et que \(F^n(x_i) = x_i^{p^n}\), on a \[M_n \cong (M \otimes_{A, F^n} A)[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}] = M[x_1, \ldots, x_d] \otimes_{A, F^n} A = M_0 \otimes_k A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\] Ainsi \(M_n\) est libre sur \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\). Un calcul montre que tout élément de \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) annulé par \(x_1^{p^n - 1}\) est divisible par \(x_1\) ; par exemple, on peut utiliser le fait que \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}) \cong k[x_1, \ldots, x_d]/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) d’après Algèbre, lemme 0C0S. Il en est donc de même pour tout élément de \(M_n\). Puisque tout élément de \(M\) appartient à \(M_n\) pour tout \(n \gg 0\) et que tout élément de \(M\) est annulé par une puissance de \(x_1\), on conclut que \(M\) est \(x_1\)-divisible.

Posons \(x = x_1\). Nous avons vu ci-dessus que \(M\) est \(x\)-divisible. Si \(\varphi\) n’est pas surjective, on peut choisir \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\) n’appartenant pas à \(M\). En raisonnant comme ci-dessus, on peut supposer \(\mathfrak m e \subset M\), en particulier \(x e \in M\). Il existe un élément \(z_1 \in M\) tel que \(x z_1 = x e\). D’où \(x(z_1 - e) = 0\). En remplaçant \(e\) par \(e - z_1\), on peut supposer \(e\) annulé par \(x\). Il suffit donc de montrer que \[\varphi[x] : M[x] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x]\] est surjective. Si \(d = 1\), c’est vrai par construction de \(\varphi\). Si \(d > 1\), on observe que \(E[x]\) est l’enveloppe injective du corps résiduel de l’anneau régulier \(A/xA\) ; voir Complexes dualisants, lemme 08Z2. Observons que \(M[x]\), en tant que module sur \(A/xA\), est de torsion par rapport aux puissances de \(\mathfrak m/(x)\) et que l’on a \[\begin{align*} M[x] \otimes_{A/xA, F} A/xA & = M[x] \otimes_{A, F} A \otimes_A A/xA \\ & = (M \otimes_{A, F} A)[x^p] \otimes_A A/xA \\ & \cong M[x^p] \otimes_A A/xA \end{align*}\] Raisonner à l’aide de la platitude de \(F\), comme précédemment. Montrons que \(M[x^p] \otimes_A A/xA \to M[x]\), \(z \otimes 1 \mapsto x^{p - 1}z\) est un isomorphisme. Il suffit de le prouver pour chacun des modules \(M_n\), \(n > 0\) définis ci-dessus ; cela résulte alors du même résultat pour \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) et \(x = x_1\). Par récurrence sur \(\dim(A)\), on en déduit que \(\varphi[x]\) est surjective, comme voulu.

Structures supplémentaires sur la cohomologie locale

Voici un exemple de résultat.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(Z = V(I)\). Pour toute dérivation \(\theta : A \to A\), il existe un opérateur additif canonique \(D\) sur les modules de cohomologie locale \(H^i_Z(A)\), vérifiant la règle de Leibniz relativement à \(\theta\).

Démonstration

Soient \(f_1, \ldots, f_r\) des éléments engendrant \(I\). Rappelons que \(R\Gamma_Z(A)\) est calculé par le complexe

\[A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}\] Voir Complexes dualisants, lemme 0A6R. Puisque \(\theta\) se prolonge de manière unique en un opérateur additif sur tout localisé de \(A\), vérifiant la règle de Leibniz relativement à \(\theta\), le lemme est clair.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau tel que \(p = 0\). Notons \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) l’endomorphisme de Frobenius. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(Z = V(I)\). Il existe un isomorphisme \(R\Gamma_Z(A) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma_Z(A)\).

Démonstration

Cela résulte de Complexes dualisants, lemme 0ALZ, et du fait que \(Z = V(f_1^p, \ldots, f_r^p)\) si \(I = (f_1, \ldots, f_r)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(V \to \Spec(A)\) quasi-compact, quasi-séparé et étale. Pour toute dérivation \(\theta : A \to A\), il existe un opérateur additif canonique \(D\) sur \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) vérifiant la règle de Leibniz relativement à \(\theta\).

Démonstration

Si \(V\) est séparé, on peut raisonner à l’aide d’un recouvrement ouvert affine \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots m} V_j\). En effet, puisque \(V\) est séparé, on peut écrire \(V_{j_0 \ldots j_p} = \Spec(B_{j_0 \ldots j_p})\). Voir Schémas, lemme 01KP. On trouve alors que le \(A\)-module \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) est le groupe de cohomologie en degré \(i\) du complexe de Čech \[\prod B_{j_0} \to \prod B_{j_0j_1} \to \prod B_{j_0j_1j_2} \to \ldots\] Voir Cohomologie des schémas, lemme 01XD. Chaque \(B = B_{j_0 \ldots j_p}\) est une algèbre étale sur \(A\). Ainsi \(\Omega_B = \Omega_A \otimes_A B\), et l’on en déduit que \(\theta\) se prolonge de manière unique en une dérivation \(\theta_B : B \to B\). Ces applications définissent un endomorphisme du complexe de Čech et les opérateurs voulus sur les groupes de cohomologie.

Dans le cas général, on utilise un hyperrecouvrement de \(V\) par des ouverts affines, exactement comme dans la première partie de la démonstration de Cohomologie des schémas, lemme 01XN. Nous omettons les détails.

Remarque

On peut renforcer les lemmes 0EC5 et 0EC7 pour y inclure les opérateurs différentiels d’ordre supérieur, à l’aide d’Algèbre, lemme 0H94 et remarque 0H95. Si le besoin s’en fait sentir, nous énoncerons et démontrerons ici un lemme précis.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau tel que \(p = 0\). Notons \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) l’endomorphisme de Frobenius. Si \(V \to \Spec(A)\) est quasi-compact, quasi-séparé et étale, alors il existe un isomorphisme \(R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\).

Démonstration

Observons que le morphisme de Frobenius relatif \[V \longrightarrow V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A)\] de \(V\) sur \(A\) est un isomorphisme ; voir Morphismes étales, lemme 0EBS. Le lemme résulte donc du changement de base en cohomologie ; voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08IB. Observons que, puisque \(V\) est étale sur \(A\), il est plat sur \(A\).

Un peu d’uniformité, I

Le principal objectif de cette section est d’énoncer et de démontrer le lemme 0G9V.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M \to M'\) un homomorphisme de \(R\)-modules, avec \(M\) de présentation finie, tel que \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to \text{Tor}_1^R(M', N)\) soit nul pour tous les \(R\)-modules \(N\). Alors \(M \to M'\) se factorise par un \(R\)-module libre.

Démonstration

On peut choisir un morphisme de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] dont la flèche verticale de droite est l’application donnée. Ce morphisme se factorise par la suite exacte courte [0G9U]\[\begin{equation} 0 \to K' \to E \to M \to 0 \end{equation}\] qui est la somme amalgamée de la première suite exacte courte par \(K \to K'\). Une chasse au diagramme montre que l’hypothèse du lemme implique que l’homomorphisme de bord \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to K' \otimes_R N\) induit par (0G9U) est nul, c’est-à-dire que la suite (0G9U) est universellement exacte. Algèbre, lemme 058L, implique alors que (0G9U) est scindée (c’est ici que l’on utilise le fait que \(M\) est de présentation finie). Ainsi l’application \(M \to M'\) se factorise par \(\bigoplus_{i \in I} R\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\alpha : M \to M'\) un homomorphisme de \(R\)-modules. Soient \(P_\bullet \to M\) et \(P'_\bullet \to M'\) des résolutions par des \(R\)-modules projectifs. Soit \(e \geq 0\) un entier. Considérons les conditions suivantes :

1. Il existe un morphisme de complexes \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) induisant \(\alpha\) en cohomologie, avec \(a_i = 0\) pour \(i > e\).

2. Il existe un morphisme de complexes \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) induisant \(\alpha\) en cohomologie, avec \(a_{e + 1} = 0\).

3. L’application \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\) et tout \(i > e\).

4. L’application \(\Ext^{e + 1}_R(M', N) \to \Ext^{e + 1}_R(M, N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\).

5. Soit \(N = \Im(P'_{e + 1} \to P'_e)\), et notons \(\xi \in \Ext^{e + 1}_R(M', N)\) l’élément canonique (voir la démonstration). Alors \(\xi\) a une image nulle dans \(\Ext^{e + 1}_R(M, N)\).

6. L’application \(\text{Tor}_i^R(M, N) \to \text{Tor}_i^R(M', N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\) et tout \(i > e\).

7. L’application \(\text{Tor}_{e + 1}^R(M, N) \to \text{Tor}_{e + 1}^R(M', N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\).

On a toujours les implications \[(1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4) \Leftrightarrow (5) \Rightarrow (6) \Leftrightarrow (7)\] Si \(M\) est \((-e - 1)\)-pseudo-cohérent (par exemple si \(R\) est noethérien et \(M\) est un \(R\)-module de type fini), alors toutes les conditions sont équivalentes.

Démonstration

Il est clair que (2) implique (1). Si \(a_\bullet\) est comme dans (1), on peut considérer le morphisme de complexes \(a'_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) défini par \(a'_i = a_i\) pour \(i \leq e + 1\) et \(a'_i = 0\) pour \(i \geq e + 1\), afin d’obtenir un morphisme de complexes comme dans (2). Ainsi (1) équivaut à (2).

La construction des foncteurs \(\Ext\) et \(\text{Tor}\) à l’aide de résolutions (Algèbre, sections 00LO et 00LY) montre que (1) et (2) impliquent toutes les autres conditions.

Il est clair que (3) implique (4), qui implique (5). Soit \(N\) comme dans (5). L’application canonique \(\tilde \xi : P'_{e + 1} \to N\) précomposée avec \(P'_{e + 2} \to P'_{e + 1}\) est nulle. On peut donc considérer la classe \(\xi\) de \(\tilde \xi\) dans \[\Ext^{e + 1}_R(M', N) = \frac{\Ker(\Hom(P'_{e + 1}, N \to \Hom(P'_{e + 2}, N)}{ \Im(\Hom(P'_e, N \to \Hom(P'_{e + 1}, N)}\] Choisissons un morphisme de complexes \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) relevant \(\alpha\) ; voir Catégories dérivées, lemme 0649. Si \(\xi\) a une image nulle dans \(\Ext^{e + 1}_R(M', N)\), on trouve alors une application \(\varphi : P_e \to N\) telle que \(\tilde \xi \circ a_{e + 1} = \varphi \circ d\). On obtient ainsi un morphisme de complexes \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & P_{e + 1} \ar[r] \ar[d]^0 & P_e \ar[r] \ar[d]^{a_e - \varphi} & P_{e - 1} \ar[r] \ar[d]^{a_{e - 1}} & \ldots \\ \ldots \ar[r] & P'_{e + 1} \ar[r] & P'_e \ar[r] & P'_{e - 1} \ar[r] & \ldots }\] comme dans (2). Ainsi (1) – (5) sont équivalentes.

L’équivalence de (6) et (7) résulte du décalage de dimension ; nous omettons les détails.

Supposons que \(M\) soit \((-e - 1)\)-pseudo-cohérent. (L’assertion entre parenthèses du lemme résulte de Compléments d’algèbre, lemme 066E.) Montrons que (7) implique (4), ce qui achèvera la démonstration. Nous raisonnons par récurrence sur \(e\). Le cas initial est \(e = 0\). Alors \(M\) est de présentation finie d’après Compléments d’algèbre, lemme 064T, et le lemme 0G9T montre que \(M \to M'\) se factorise par un module libre. Bien entendu, si \(M \to M'\) se factorise par un module libre, alors \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) est nulle pour tout \(i > 0\), comme voulu. Supposons \(e > 0\). On peut choisir un morphisme de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] dont la flèche verticale de droite est l’application donnée. On obtient \(\text{Tor}_{i + 1}^R(M, N) = \text{Tor}^R_i(K, N)\) et \(\Ext^{i + 1}_R(M, N) = \Ext^i_R(K, N)\) pour \(i \geq 1\) et pour tous les \(R\)-modules \(N\), et de même pour \(M', K'\). Ainsi \(\text{Tor}_e^R(K, N) \to \text{Tor}_e^R(K', N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 064R, \(K\) est \((-e)\)-pseudo-cohérent. Par récurrence, on conclut que \(\Ext^e(K', N) \to \Ext^e(K, N)\) est nulle pour tous les \(R\)-modules \(N\), ce qui donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Pour tout \(n \geq 1\), il existe \(m > n\) tel que l’application \(A/I^m \to A/I^n\) vérifie les conditions équivalentes du lemme 0G9V avec \(e = \text{cd}(A, I)\).

Démonstration

Soit \(\xi \in \Ext^{e + 1}_A(A/I^n, N)\) l’élément construit au lemme 0G9V, point (5). Puisque \(e = \text{cd}(A, I)\), on a \(0 = H^{e + 1}_Z(N) = H^{e + 1}_I(N) = \colim \Ext^{e + 1}(A/I^m, N)\) d’après Complexes dualisants, lemmes 0955 et 0954. On peut donc choisir \(m \geq n\) tel que \(\xi\) ait une image nulle dans \(\Ext^{e + 1}_A(A/I^m, N)\), comme voulu.

Un peu d’uniformité, II

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(i > 0\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0911, il existe \(c = c(A, I, M, i)\) tel que \(\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\) soit nulle pour tout \(n \geq c\). Dans cette section, nous présentons des résultats montrant que l’on peut parfois choisir une constante \(c\) convenant simultanément à tous les \(A\)-modules \(M\) (et à une plage d’indices \(i\)). Ce sujet est lié au théorème d’Artin-Rees uniforme, étudié dans [Huneke-uniform] et [AHS].

Dans la remarque 0GA5, nous l’appliquerons pour montrer que divers systèmes projectifs liés à la complétion dérivée sont (ou ne sont pas) strictement pro-isomorphes.

Le lemme suivant peut être sensiblement renforcé.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Pour tous \(m \geq 0\) et \(i > 0\), il existe \(c = c(A, I, m, i) \geq 0\) tel que, pour tout \(A\)-module \(M\) annulé par \(I^m\), l’application \[\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\] soit nulle pour tout \(n \geq c\).

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur \(i\). Cas initial \(i = 1\). La suite exacte courte \(0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0\) définit une injection \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) \subset I^n \otimes_A M\) ; voir Algèbre, remarque 00M6. Puisque \(M\) est annulé par \(I^m\), l’application \(I^n \otimes_A M \to I^{n - m} \otimes_A M\) est nulle pour \(n \geq m\). Le résultat est donc vrai avec \(c = m\).

Étape de récurrence. Soit \(i > 1\) et supposons que \(c\) convienne pour \(i - 1\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0911, appliqué à \(M = A/I^m\), on peut choisir \(c' \geq 0\) tel que \(\text{Tor}_i(A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i(A/I^m, A/I^{n - c'})\) soit nulle pour \(n \geq c'\). Soit \(M\) annulé par \(I^m\). Choisissons une suite exacte courte \[0 \to S \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m \to M \to 0\] La suite exacte longue de Tor correspondante fournit une suite exacte \[\text{Tor}_i^A(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n)\] pour tous les entiers \(n \geq 0\). Si \(n \geq c + c'\), alors l’application \(\text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^{n - c})\) est nulle et l’application \(\text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c}) \to \text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c - c'})\) est nulle. En combinant cela avec les suites exactes courtes, on voit que le résultat est vrai pour \(i\) avec la constante \(c + c'\).

Lemme

Soit \(I = (a_1, \ldots, a_t)\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Posons \(a = a_1\) et notons \(B = A[\frac{I}{a}]\) l’algèbre d’éclatement affine. Il existe \(c > 0\) tel que \(\text{Tor}_i^A(B, M)\) soit annulé par \(I^c\) pour tous les \(A\)-modules \(M\) et tout \(i \geq t\).

Démonstration

Rappelons que \(B\) est le quotient de \(A[x_2, \ldots, x_t]/(a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t)\) par son idéal de torsion par rapport aux puissances de \(a_1\) ; voir Algèbre, lemme 0G8S. Soit

\[B_\bullet = \text{complexe de Koszul sur }a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t \text{ sur }A[x_2, \ldots, x_t]\] considéré comme complexe de chaînes concentré en degrés \((t - 1), \ldots, 0\). Le complexe \(B_\bullet[1/a_1]\) est isomorphe au complexe de Koszul sur \(x_2 - a_2/a_1, \ldots, x_t - a_t/a_1\), qui est une suite régulière dans \(A[1/a_1][x_2, \ldots, x_t]\). Puisque les suites régulières sont Koszul-régulières, on en déduit que l’augmentation \[\epsilon : B_\bullet \longrightarrow B\] est un quasi-isomorphisme après inversion de \(a_1\). Puisque les modules d’homologie du cône \(C_\bullet\) de \(\epsilon\) sont des \(A[x_2, \ldots, x_n]\)-modules de type fini et que \(C_\bullet\) est borné, il existe \(c \geq 0\) tel que \(a_1^c\) les annule tous. D’après Catégories dérivées, lemme 08Q2, cela implique, après remplacement éventuel de \(c\) par un entier plus grand, que \(a_1^c\) est nul sur \(C_\bullet\) dans \(D(A)\). La démonstration s’achève en considérant le triangle distingué \[B_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M \to B \otimes_A^\mathbf{L} M \to C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\] En effet, le premier terme est représenté par \(B_\bullet \otimes_A M\), concentré en degrés homologiques \((t - 1), \ldots, 0\), puisque les termes du complexe de Koszul \(B_\bullet\) sont des \(A\)-modules libres (donc plats). Ainsi \(\text{Tor}_i^A(B, M) = H_i(C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M)\) pour \(i > t - 1\), et ce module est annulé par \(a_1^c\). Puisque \(a_1^cB = I^cB\) et que le module Tor est un module sur \(B\), on conclut.

Pour le reste de cette section, fixons un anneau noethérien \(A\) et un idéal \(I \subset A\). Notons \[p : X \to \Spec(A)\] l’éclatement de \(\Spec(A)\) en l’idéal \(I\). Autrement dit, \(X\) est le \(\text{Proj}\) de l’algèbre de Rees \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\). D’après Cohomologie des schémas, lemmes 0AG6 et 0AG7, on peut choisir un entier \(q(A, I) \geq 0\) tel que, pour tout \(q \geq q(A, I)\), on ait \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, pour \(q \geq q(A, I)\) et tout \(A\)-module \(M\), on a \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) \cong M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] dans \(D(A)\).

Démonstration

Choisissons une résolution libre \(F_\bullet \to M\). Alors \(\widetilde{F}_\bullet\) est une résolution plate de \(\widetilde{M}\). Ainsi \(Lp^*\widetilde{M}\) est donné par le complexe \(p^*\widetilde{F}_\bullet\). Donc \(Lp^*\widetilde{M}(q)\) est donné par le complexe \(p^*\widetilde{F}_\bullet(q)\). Puisque les \(p^*\widetilde{F}_i(q)\) sont acycliques à droite pour \(\Gamma(X, -)\), par le choix de \(q \geq q(A, I)\), et que l’on a \(\Gamma(X, p^*\widetilde{F}_i(q)) = I^qF_i\), par le choix de \(q \geq q(A, I)\), on obtient que \(R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q))\) est donné par le complexe de termes \(I^qF_i\), d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0G9P. Le résultat s’ensuit, car le complexe \(I^qF_\bullet\) calcule \(M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\) par définition.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(t\) une borne supérieure du nombre de générateurs de \(I\). Il existe un entier \(c = c(A, I) \geq 0\) tel que, pour tout \(A\)-module \(M\), les faisceaux de cohomologie \(H^j(Lp^*\widetilde{M})\) soient annulés par \(I^c\) pour \(j \leq -t\).

Démonstration

Écrivons \(I = (a_1, \ldots, a_t)\). La question est locale sur les ouverts affines de \(X\). Pour \(1 \leq i \leq t\), soit \(B_i = A[\frac{I}{a_i}]\) l’algèbre d’éclatement affine. Alors \(X\) possède un recouvrement ouvert affine par les spectres des anneaux \(B_i\) ; voir Diviseurs, lemme 0804. D’après la description de l’image réciproque dérivée donnée dans Catégories dérivées des schémas, lemme 08DW, il suffit de montrer que, pour chaque \(i\), il existe \(c \geq 0\) tel que \[\text{Tor}_j^A(B_i, M)\] soit annulé par \(I^c\) pour \(j \geq t\). C’est le lemme 0G9Y.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(t\) une borne supérieure du nombre de générateurs de \(I\). Il existe un entier \(c = c(A, I) \geq 0\) tel que, pour tout \(A\)-module \(M\), les modules Tor \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\) soient annulés par \(I^c\) pour \(i > t\) et tout \(q \geq 0\).

Démonstration

Soit \(q(A, I)\) comme ci-dessus. Pour \(q \geq q(A, I)\), on a \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] d’après le lemme 0G9Z. On dispose d’une suite spectrale bornée et convergente \[H^a(X, H^b(Lp^*\widetilde{M}(q))) \Rightarrow \text{Tor}_{-a - b}^A(M, I^q)\] d’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0G9Q. Soit \(d\) un entier comme dans Cohomologie des schémas, lemme 071L (on peut en fait prendre \(d = t\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XI). On voit alors que \(H^{-i}(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = \text{Tor}_i^A(M, I^q)\) possède une filtration finie d’au plus \(d\) étapes, dont les gradués sont des sous-quotients des modules \[H^a(X, H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})(q)),\quad a = 0, 1, \ldots, d - 1\] Si \(i \geq t\), tous ces modules sont annulés par \(I^c\), où \(c = c(A, I)\) est comme dans le lemme 0GA0, car les faisceaux de cohomologie \(H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})\) sont tous annulés par \(I^c\) d’après ce lemme. Ainsi \(\text{Tor}_i^A(M, I^q)\) est annulé par \(I^{dc}\) pour \(q \geq q(A, I)\) et \(i \geq t\). La suite exacte courte \(0 \to I^q \to A \to A/I^q \to 0\) montre alors que \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) est annulé par \(I^{dc}\) pour \(q \geq q(A, I)\) et \(i > t\). On conclut que \(I^m\), avec \(m = \max(dc, q(A, I) - 1)\), annule \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\) pour tout \(q \geq 0\) et tout \(i > t\), comme voulu.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(t \geq 0\) une borne supérieure du nombre de générateurs de \(I\). Il existe \(N, c \geq 0\) tels que les applications \[\text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^{n - c})\] soient nulles pour tout \(A\)-module \(M\) et tout \(n \geq N\).

Démonstration

Soit \(c_1\) la constante obtenue au lemme 0GA1. Rappelons que cette constante \(c_1\) convient simultanément pour \(\text{Tor}_i\) pour tous les \(i > t\).

Écrivons \(I = (a_1, \ldots, a_t)\). Pour un \(A\)-module \(M\), posons \[\ell(M) = \#\{i \mid 1 \leq i \leq t,\ a_i^{c_1}\text{ est nul sur }M\}\] C’est un élément de \(\{0, 1, \ldots, t\}\). Démontrons par récurrence descendante sur \(0 \leq s \leq t\) l’assertion suivante \(H_s\) : il existe \(N, c \geq 0\) tels que, pour tout module \(M\) avec \(\ell(M) \geq s\), les applications \[\text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^{n - c})\] soient nulles pour \(i = 0, \ldots, s\) et tout \(n \geq N\).

Cas initial : \(s = t\). Si \(\ell(M) = t\), alors \(M\) est annulé par \((a_1^{c_1}, \ldots, a_t^{c_1}\}\) et donc par \(I^{t(c_1 - 1) + 1}\). Le lemme 0G9X montre que \(H_t\) est vérifiée en prenant pour \(c = N\) le maximum des entiers \(c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, t + 1), \ldots, c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, 2t + 1)\) obtenus dans ce lemme.

Étape de récurrence. Soit \(0 \leq s < t\) et supposons donnés \(N, c\) comme dans \(H_{s + 1}\). Considérons un module \(M\) tel que \(\ell(M) = s\). On peut alors choisir \(i\) tel que \(a_i^{c_1}\) soit non nul sur \(M\). Il s’ensuit que \(\ell(M[a_i^c]) \geq s + 1\) et \(\ell(M/a_i^{c_1}M) \geq s + 1\), et l’hypothèse de récurrence s’applique à ces modules. Considérons la suite exacte \[0 \to M[a_i^{c_1}] \to M \xrightarrow{a_i^{c_1}} M \to M/a_i^{c_1}M \to 0\] Notons \(E \subset M\) l’image de la flèche centrale. Considérons le diagramme de modules Tor correspondant \[\xymatrix{ & & \text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q) \ar[d] \\ \text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q) \ar[r] & \text{Tor}_i(M, A/I^q) \ar[r] \ar[rd]^0 & \text{Tor}_i(E, A/I^q) \ar[d] \\ & & \text{Tor}_i(M, A/I^q) }\] à lignes et colonnes exactes (pour tout \(q\)). La flèche dirigée vers le sud-est est nulle par le choix de \(c_1\). On en déduit que le module \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) s’insère dans une suite exacte entre un quotient de \(\text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q)\) et un sous-module de \(\text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q)\) dans le diagramme. On conclut donc que \(H_s\) est vérifiée en remplaçant \(N\) par \(N + c\) et \(c\) par \(2c\). Nous omettons certains détails.

Proposition

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(t \geq 0\) une borne supérieure du nombre de générateurs de \(I\). Il existe \(N, c \geq 0\) tels que, pour \(n \geq N\), les applications \[A/I^n \to A/I^{n - c}\] vérifient les conditions équivalentes du lemme 0G9V avec \(e = t\).

Démonstration

Conséquence immédiate des lemmes 0GA2 et 0G9V.

Remarque

L’article [AHS] montre, parmi bien d’autres résultats, que si \(A\) est local, la proposition 0GA3 reste vraie en remplaçant \(e = t\) par \(e = \dim(A)\). Le lemme 0EH1 conduit naturellement à se demander si la proposition 0GA3 reste vraie en remplaçant \(e = t\) par \(e = \text{cd}(A, I)\). Nous ne le savons pas.

Remarque

Soit \(I\) un idéal d’un anneau noethérien \(A\). Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Notons \(K_n^\bullet\) le complexe de Koszul sur \(f_1^n, \ldots, f_r^n\), comme dans Compléments d’algèbre, situation 0BKC, et notons \(K_n \in D(A)\) l’objet correspondant. Soit \(M^\bullet\) un complexe borné de \(A\)-modules de type fini et notons \(M \in D(A)\) l’objet correspondant. Considérons les systèmes projectifs suivants dans \(D(A)\) :

1. \(M^\bullet/I^nM^\bullet\), c’est-à-dire le complexe de termes \(M^i/I^nM^i\),

2. \(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\),

3. \(M \otimes_A^\mathbf{L} K_n\),

4. \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) (voir ci-dessous).

Tous ces systèmes projectifs sont isomorphes en tant que pro-objets : l’isomorphisme entre (2) et (3) résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0921. L’isomorphisme entre (1) et (2) est donné dans Compléments d’algèbre, lemme 0G9M. Pour le dernier, voir ci-dessous.

On peut toutefois se demander si ces isomorphismes de systèmes projectifs sont « stricts » ; cette terminologie et cette question se rattachent à la discussion de [quillenhomology, pages 61, 62]. Plus précisément, étant donnée une catégorie \(\mathcal{C}\), on peut définir une « pro-catégorie stricte » dont les objets sont les systèmes projectifs \((X_n)\) et dont les morphismes \((X_n) \to (Y_n)\) sont donnés par des familles \((c, \varphi_n)\) constituées de \(c \geq 0\) et de morphismes \(\varphi_n : X_n \to Y_{n - c}\) pour tout \(n \geq c\), satisfaisant à une condition évidente de compatibilité, à une certaine équivalence près (donnée essentiellement par l’augmentation de \(c\)). On demande alors si les systèmes projectifs ci-dessus sont isomorphes dans cette pro-catégorie stricte.

Cela ne peut manifestement pas être le cas pour (1) et (3), même lorsque \(M = A[0]\). En effet, le système \(H^0(K_n) = A/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\) n’est en général pas strictement pro-isomorphe, dans la catégorie des modules, au système \(A/I^n\). Par exemple, si l’on prend \(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\) et \(f_i = x_i\), alors \(H^0(K_n)\) n’est pas annulé par \(I^{r(n - 1)}\).³

Il se trouve que les résultats précédents montrent que l’application naturelle de (2) vers (1), étudiée dans Compléments d’algèbre, lemme 0G9M, est un pro-isomorphisme strict. Esquissons la démonstration. Des arguments usuels faisant intervenir les troncations bêtes permettent d’abord de se ramener au cas où \(M^\bullet\) est donné par un seul \(A\)-module de type fini \(M\) placé en degré \(0\). Choisissons \(N, c \geq 0\) comme dans la proposition 0GA3. La proposition implique que, pour \(n \geq N\), on obtient des factorisations

\[M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n) \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] des applications de transition du système (2). D’autre part, d’après Compléments d’algèbre, lemme 0911, on peut trouver une autre constante \(c' = c'(M) \geq 0\) telle que les applications \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^{n'}) \to \text{Tor}_i(M, A/I^{n' - c'})\) soient nulles pour \(i = 1, 2, \ldots, t\) et \(n' \geq c'\). Il résulte alors de Catégories dérivées, lemme 08Q2, que l’application \[\tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n + tc'}) \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n)\] se factorise par \(M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M\). En combinant cela avec le résultat précédent, on obtient une factorisation \[M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] qui donne ce que l’on cherche. Si nous avons besoin de ce résultat, nous l’énoncerons soigneusement et en donnerons une démonstration détaillée.

Pour (4), supposons donnés un anneau noethérien \(P\), un homomorphisme d’anneaux \(P \to A\) et un idéal \(J \subset P\) tels que \(I = JA\). D’après Compléments d’algèbre, section 06Y5, on obtient un foncteur \(M \otimes_P^\mathbf{L} - : D(P) \to D(A)\) et un système projectif \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) dans \(D(A)\), comme dans (4). Si \(P\) est noethérien, le système (4) est pro-isomorphe au système (1), par comparaison avec les complexes de Koszul. Si \(P \to A\) est fini, le système (4) est strictement pro-isomorphe au système (2), car le système projectif \(A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) est strictement pro-isomorphe au système projectif \(A/I^n\) (d’après la discussion précédente) et l’on a \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n)\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 06Y6.

Un exemple usuel dans (4) consiste à prendre \(P = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\), l’application \(P \to A\) envoyant \(x_i\) sur \(f_i\), et \(J = (x_1, \ldots, x_r)\). Dans ce cas, on montre que \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\] et l’on se ramène à l’un des cas étudiés ci-dessus (ce cas est toutefois strictement plus simple, car \(A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\) est de dimension Tor au plus \(r\) pour tout \(n\) ; on peut donc éviter l’étape utilisant la proposition 0GA3). Ce cas est étudié dans la démonstration de [BS, Proposition 3.5.1].

Un peu d’uniformité, III

Dans cette section, fixons un anneau noethérien \(A\) et un idéal \(I \subset A\). Notre objectif est de démontrer le lemme 0GAD, que nous utiliserons dans un chapitre ultérieur pour résoudre un problème de relèvement ; voir Algébrisation des espaces formels, lemme 0GAQ.

Dans toute cette section, nous notons \[p : X \to \Spec(A)\] l’éclatement de \(\Spec(A)\) en l’idéal \(I\). Autrement dit, \(X\) est le \(\text{Proj}\) de l’algèbre de Rees \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\). Nous considérons aussi le produit fibré \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^p \\ \Spec(A/I) \ar[r] & \Spec(A) }\] Alors \(Y\) est le diviseur exceptionnel de l’éclatement, donc un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) tel que \(\mathcal{O}_X(-1) = \mathcal{O}_X(Y)\). Puisque la formation de \(\text{Proj}\) commute au changement de base, on a \[Y = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}) = \text{Proj}(S)\] où \(S = \text{Gr}_I(A) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\).

Nous notons \(d = d(S) = d(\text{Gr}_I(A)) = d(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) le maximum des dimensions des fibres de \(p\) (et nous lui attribuons la valeur \(0\) si \(X = \emptyset\)). Cette définition a bien un sens. En effet, on a

1. \(d \leq t - 1\) si \(I = (a_1, \ldots, a_t)\), puisqu’alors \(X \subset \mathbf{P}^{t - 1}_A\),

2. \(d\) est aussi la dimension maximale des fibres de \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) lorsque \(Y\) est non vide, et \(d = 0\) si \(Y = \emptyset\) (ou, de manière équivalente, \(S = 0\), ou encore \(I = A\)).

Ainsi \(d\) ne dépend que de la classe d’isomorphisme de \(S = \text{Gr}_I(A)\). Observons que \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) et tout \(i > d\), d’après Cohomologie des schémas, lemmes 02V7 et 01XK. Bien entendu, il en est de même pour les modules cohérents sur \(Y\).

Nous notons \(q = q(S) = q(\text{Gr}_I(A)) = q(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) l’entier défini comme suit. Notons que l’algèbre \(S = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) est un anneau gradué noethérien engendré en degré \(1\) sur le degré \(0\). Ainsi, d’après Cohomologie des schémas, lemmes 0AG6 et 0AG7, on peut définir \(q(S)\) comme le plus petit entier \(q(S) \geq 0\) tel que, pour tout \(q \geq q(S)\), on ait \(H^i(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = 0\) pour \(1 \leq i \leq d\) et \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = I^q/I^{q + 1}\). (Si \(S = 0\), alors \(q(S) = 0\).)

Pour \(n \geq 1\), on peut considérer le diviseur de Cartier effectif \(nY\), que nous noterons \(Y_n\).

Lemme

Avec \(q_0 = q(S)\) et \(d = d(S)\) comme ci-dessus, on a

1. pour \(n \geq 1\), \(q \geq q_0\) et \(i > 0\), on a \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\),

2. pour \(n \geq 1\) et \(q \geq q_0\), on a \(H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = I^q/I^{q + n}\),

3. pour \(q \geq q_0\) et \(i > 0\), on a \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\),

4. pour \(q \geq q_0\), on a \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\).

Démonstration

Si \(I = A\), alors \(X\) est affine et les assertions sont triviales. On peut donc supposer, et l’on suppose, \(I \not = A\). Ainsi \(Y\) et \(X\) sont des schémas non vides.

Démontrons (1) et (2) par récurrence sur \(n\). Le cas initial \(n = 1\) est la définition de \(q_0\), puisque \(Y_1 = Y\). Rappelons que \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{O}_X(-Y)\). On a donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(1) \to \mathcal{O}_{Y_{n + 1}} \to \mathcal{O}_Y \to 0\] Ainsi, pour \(i > 0\), on trouve \[H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y}(q))\] et l’annulation donnée des termes extrêmes entraîne l’annulation voulue du terme central. Pour \(i = 0\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^{q + 1}/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \ar[r] & H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes pour \(q \geq q_0\) (pour la ligne du bas, observer que le terme suivant de la suite exacte longue de cohomologie est nul pour \(q \geq q_0\)). Puisque \(q \geq q_0\), les flèches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes ; celle du milieu l’est donc aussi.

Nous omettons les démonstrations de (3) et (4), qui sont analogues. On peut en fait déduire (3) et (4) de (1) et (2) à l’aide du théorème des fonctions formelles, mais ce serait un outil disproportionné.

Introduisons une notation : étant donnés \(n \geq c \geq 0\), un \((A, n, c)\)-module est un \(A\)-module de type fini \(M\) annulé par \(I^n\) et qui, en tant que \(A/I^n\)-module, est \(I^c/I^n\)-projectif ; voir Compléments d’algèbre, section 0G8Z.

Nous ferons l’abus de notation suivant : étant donné un \(A\)-module \(M\), nous noterons \(p^*M\) le module quasi-cohérent obtenu par image réciproque par \(p\) du module quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) sur \(\Spec(A)\) associé à \(M\). On a par exemple \(\mathcal{O}_{Y_n} = p^*(A/I^n)\). Pour une suite exacte courte \(0 \to K \to L \to M \to 0\) de \(A\)-modules, on obtient une suite exacte \[p^*K \to p^*L \to p^*M \to 0\] puisque \(\widetilde{\ }\) est un foncteur exact et \(p^*\) un foncteur exact à droite.

Lemme

Soit \(0 \to K \to L \to M \to 0\) une suite exacte courte de \(A\)-modules telle que \(K\) et \(L\) soient annulés par \(I^n\) et que \(M\) soit un \((A, n, c)\)-module. Alors le noyau de \(p^*K \to p^*L\) est à support schématique dans \(Y_c\).

Démonstration

Soit \(\Spec(B) \subset X\) un ouvert affine. La restriction de la suite exacte à \(\Spec(B)\) correspond à la suite de \(B\)-modules \[K \otimes_A B \to L \otimes_A B \to M \otimes_A B \to 0\] qui est isomorphe à la suite \[K \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to L \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to M \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to 0\] Le noyau de la première application est donc l’image du module \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\). Rappelons que le diviseur exceptionnel \(Y\) est défini par \(I\mathcal{O}_X\). Il suffit donc de montrer que \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\) est annulé par \(I^c\). Puisque la multiplication par \(a \in I^c\) sur \(M\) se factorise par un \(A/I^n\)-module libre de type fini, cela est clair.

On dispose de l’application canonique \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\), qui s’annule exactement le long de \(Y\). Ainsi, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), on a toujours des applications canoniques \(\mathcal{F}(q) \to \mathcal{F}(q + n)\) pour tous \(q \in \mathbf{Z}\) et \(n \geq 0\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est à support schématique dans \(Y_c\) si et seulement si l’application canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}(c)\) est nulle.

Démonstration

Cela vient du fait que \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\) s’annule exactement le long de \(Y\).

Lemme

Avec \(q_0 = q(S)\) et \(d = d(S)\) comme ci-dessus, supposons donnés des entiers \(n \geq c \geq 0\), un \((A, n, c)\)-module \(M\), un indice \(i \in \{0, 1, \ldots, d\}\) et un entier \(q\). Distinguons les cas suivants :

1. Dans le cas \(i = d \geq 1\) et \(q \geq q_0\), on a \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\).

2. Dans le cas \(i = d - 1 \geq 1\) et \(q \geq q_0\), on a \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\).

3. Dans le cas \(d - 1 > i > 0\) et \(q \geq q_0 + (d - 1 - i)c\), l’application \(H^i(X, p^*M(q)) \to H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c))\) est nulle.

4. Dans le cas \(i = 0\), \(d \in \{0, 1\}\) et \(q \geq q_0\), il existe une surjection \[I^qM \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\]

5. Dans le cas \(i = 0\), \(d > 1\) et \(q \geq q_0 + (d - 1)c\), l’application \[H^0(X, p^*M(q)) \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] a son image contenue dans celle de l’application canonique \(I^{q - (d - 1)c}M \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\).

Démonstration

Soit \(M\) un \((A, n, c)\)-module. Choisissons une suite exacte courte \[0 \to K \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\] Nous utiliserons ci-dessous le fait que \(K\) est un \((A, n, c)\)-module ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0G95. Considérons la suite exacte correspondante \[p^*K \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] Décomposons-la en suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F} \to p^*K \to \mathcal{G} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{G} \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] D’après le lemme 0GA8, le module cohérent \(\mathcal{F}\) est à support schématique dans \(Y_c\).

Démonstration de (1). Supposons \(d > 0\). Il faut prouver que \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\) pour \(q \geq q_0\). Par l’annulation de la cohomologie des tordus de \(\mathcal{G}\) en degrés \(> d\) et la suite exacte longue de cohomologie associée à la seconde suite exacte courte ci-dessus, il suffit de prouver que \(H^d(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\). Cela résulte du lemme 0GA7.

Démonstration de (2). Supposons \(d > 1\). Il faut prouver que \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\) pour \(q \geq q_0\). En raisonnant comme au paragraphe précédent, il suffit de montrer que \(H^d(X, \mathcal{G}(q)) = 0\). À l’aide de la première suite exacte courte et de l’annulation de la cohomologie des tordus de \(\mathcal{F}\) en degrés \(> d\), on voit qu’il suffit de montrer que \(H^d(X, p^*K(q))\) est nul, ce qui résulte de (1) et du fait que \(K\) est un \((A, n, c)\)-module (voir ci-dessus).

Démonstration de (3). Soit \(0 < i < d - 1\), et supposons l’assertion établie pour \(i + 1\), sauf dans le cas \(i = d - 2\), où l’on dispose de (2). La suite exacte longue de cohomologie associée à la seconde suite exacte courte ci-dessus fournit une injection \[H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c)) \subset H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\] puisque \(q - (d - 1 - i)c \geq q_0\) entraîne l’annulation de \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q - (d - 1 - i)c))\) (voir ci-dessus). Il suffit donc de montrer que l’application \(H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \to H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\) est nulle. Pour l’étudier, considérons les morphismes de suites exactes \[\xymatrix{ H^{i + 1}(X, p^*K(q)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \ar[r] \ar[d] \ar@{..>}[ld] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q)) \ar[d] \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q - c)) \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c)) \ar[r] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c)) }\] Puisque \(\mathcal{F}\) est à support schématique dans \(Y_c\), l’application canonique \(\mathcal{G}(q) \to \mathcal{G}(q - c)\) se factorise par \(p^*K(q - c)\) d’après le lemme 0GA9. Cela donne la flèche pointillée du diagramme. (En fait, pour la démonstration, il suffit de remarquer que la flèche verticale à l’extrême droite est nulle pour obtenir la flèche pointillée comme application d’ensembles.) Il suffit donc de montrer que \(H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \to H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c))\) est nulle. Si \(i = d - 2\), la source de cette flèche est nulle d’après (2), puisque \(q - c \geq q_0\) et que \(K\) est un \((A, n, c)\)-module. Si \(i < d - 2\), alors, puisque \(K\) est un \((A, n, c)\)-module, l’hypothèse de récurrence montre que l’application est bien nulle, car \(q - c - (q - (d - 1 - i)c) = (d - 2 - i)c = (d - 1 - (i + 1))c\) et \(q - c \geq q_0 + (d - 1 - (i + 1))c\). Cela achève la démonstration de (3).

Démonstration de (4). Supposons \(d \in \{0, 1\}\) et \(q \geq q_0\). La première suite exacte courte donne alors une surjection \(H^1(X, p^*K(q)) \to H^1(X, \mathcal{G}(q))\), dont la source est nulle d’après le cas (1). Ainsi, pour tout \(q \in \mathbf{Z}\), l’application \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] est surjective. Pour \(q \geq q_0\), sa source est égale à \((I^q/I^{q + n})^{\oplus r}\) d’après le lemme 0GA7, ce qui prouve aisément l’assertion.

Démonstration de (5). Supposons \(d > 1\). En raisonnant comme dans la démonstration de (4), il suffit de montrer que l’image de \[H^0(X, p^*M(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] est contenue dans l’image de \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q - (d - 1)c)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] Pour montrer cette inclusion, il suffit de montrer que, pour \(\sigma \in H^0(X, p^*M(q))\) de bord \(\xi \in H^1(X, \mathcal{G}(q))\), l’image de \(\xi\) dans \(H^1(X, \mathcal{G}(q - (d - 1)c))\) est nulle. Cela résulte des mêmes arguments que dans la démonstration de (3).

Remarque

Étant donné un couple \((M, n)\) constitué d’un entier \(n \geq 0\) et d’un \(A/I^n\)-module de type fini \(M\), posons \(M^\vee = \Hom_{A/I^n}(M, A/I^n)\). Étant donné un couple \((\mathcal{F}, n)\) constitué d’un entier \(n\) et d’un \(\mathcal{O}_{Y_n}\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), posons \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_{Y_n}}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_{Y_n})\] Pour \((M, n)\) comme ci-dessus, il existe une application canonique \[can : p^*(M^\vee) \longrightarrow (p^*M)^\vee\] En effet, si l’on choisit une présentation \((A/I^n)^{\oplus s} \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\), on obtient une présentation \(\mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to p^*M \to 0\). En passant aux duaux, on obtient des suites exactes \[0 \to M^\vee \to (A/I^n)^{\oplus r} \to (A/I^n)^{\oplus s}\] et \[0 \to (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s}\] En prenant l’image réciproque de la première suite par \(p\), on trouve l’application voulue \(can\). La construction de cette application est fonctorielle par rapport au \(A/I^n\)-module de type fini \(M\). Le noyau et le conoyau de \(can\) sont à support schématique dans \(Y_c\) si \(M\) est un \((A, n, c)\)-module. En effet, dans ce cas, pour \(a \in I^c\), l’application \(a : M \to M\) se factorise par un \(A/I^n\)-module libre de type fini, pour lequel \(can\) est un isomorphisme. Ainsi \(a\) annule le noyau et le conoyau de \(can\).

Lemme

Avec \(q_0 = q(S)\) et \(d = d(S)\) comme ci-dessus, soient \(M\) un \((A, n, c)\)-module et \(\varphi : M \to I^n/I^{2n}\) une application \(A\)-linéaire. Supposons \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\) et, si \(d = 0\), supposons \(n \geq q_0 + 2c\). Alors le composé \[M \xrightarrow{\varphi} I^n/I^{2n} \to I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\] est de la forme \(\sum a_i \psi_i\), avec \(a_i \in I^c\) et \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\).

Démonstration

Cas \(d > 1\). Puisque l’on dispose d’un système compatible d’applications \(p^*(I^q) \to \mathcal{O}_X(q)\) pour \(q \geq 0\), il existe des applications canoniques \(p^*(I^q/I^{q + \nu}) \to \mathcal{O}_{Y_\nu}(q)\) pour \(\nu \geq 0\). En utilisant cela et en prenant l’image réciproque de \(\varphi\), on obtient une application \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n)\] telle que le composé \(M \to H^0(X, p^*M) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) soit l’homomorphisme donné \(\varphi\) suivi de l’application \(I^n/I^{2n} \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\). Puisque \(\mathcal{O}_{Y_n}(n)\) est inversible sur \(Y_n\), l’application linéaire \(\chi\) détermine une section \[\sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n))\] avec les notations de la remarque 0GAB. La discussion de la remarque 0GAB montre que le conoyau et le noyau de \(can : p^*(M^\vee) \to (p^*M)^\vee\) sont à support schématique dans \(Y_c\). D’après le lemme 0GA9, l’application \((p^*M)^\vee(n) \to (p^*M)^\vee(n - 2c)\) se factorise par \(p^*(M^\vee)(n - 2c)\) ; nous omettons un petit détail. L’image de \(\sigma\) dans \(\Gamma(X, (p^*M)^\vee(n - 2c))\) provient donc d’un élément \[\sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c))\] D’après le lemme 0GAA, point (5), le fait que \(M^\vee\) soit un \((A, n, c)\)-module en vertu de Compléments d’algèbre, lemme 0G96, et le fait que \(n \geq q_0 + (1 + d)c\), donc \(n - 2c \geq q_0 + (d - 1)c\), on voit que l’image de \(\sigma'\) dans \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) est l’image d’un élément \(\tau\) de \(I^{n - (1 + d)c}M^\vee\). Écrivons \(\tau = \sum a_i \tau_i\) avec \(\tau_i \in I^{n - (2 + d)c}M^\vee\) ; cela a un sens puisque \(n - (2 + d)c \geq 0\). Alors \(\tau_i\) détermine un homomorphisme de modules \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\) à l’aide de l’application d’évaluation \(M \otimes M^\vee \to A/I^n\).

Montrons que cela convient⁴. Choisissons \(z \in M\) et montrons que \(\varphi(z)\) et \(\sum a_i \psi_i(z)\) ont la même image dans \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\). D’abord, l’élément \(z\) détermine une application \(p^*z : \mathcal{O}_{Y_n} \to p^*M\) dont le composé avec \(\chi\) est l’application \(\mathcal{O}_{Y_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\) correspondant à \(\varphi(z)\) par l’application \(I^n/I^{2n} \to \Gamma(\mathcal{O}_{Y_n}(n))\). Ensuite, \(z\) et \(p^*z\) déterminent les applications d’évaluation \(e_z : M^\vee \to A/I^n\) et \(e_{p^*z} : (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}\). Puisque \(\chi(p^*z)\) est la section correspondant à \(\varphi(z)\), on voit que \(e_{p^*z}(\sigma)\) est la section correspondant à \(\varphi(z)\). Ici et dans la suite, nous faisons un abus de notation : pour une application \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de modules sur \(X\), nous notons aussi \(a : \mathcal{F}(t) \to \mathcal{F}(t)\) l’application correspondante entre les modules tordus. Le diagramme \[\xymatrix{ p^*(M^\vee) \ar[d]_{can} \ar[r]_{p^*e_z} & \mathcal{O}_{Y_n} \ar@{=}[d] \\ (p^*M)^\vee \ar[r]^{e_{p^*z}} & \mathcal{O}_{Y_n} }\] est commutatif par fonctorialité de la construction \(can\). Ainsi \((p^*e_z)(\sigma')\), dans \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - 2c))\), est la section correspondant à l’image de \(\varphi(z)\) dans \(I^{n - 2c}/I^{2n - 2c}\). L’étape suivante est que \(\sigma'\) s’envoie sur l’image de \(\sum a_i \tau_i\) dans \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\). Cela implique que \((p^*e_z)(\sum a_i \tau_i) = \sum a_i p^*e_z(\tau_i)\), dans \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\), est la section correspondant à l’image de \(\varphi(z)\) dans \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\). Rappelons que \(\psi_i\) est défini à partir de \(\tau_i\) par une application d’évaluation. Si l’on note

\[\chi_i : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n - (2 + d)c)\] l’application obtenue à partir de \(\psi_i\), le même raisonnement que ci-dessus montre que la section correspondant à \(\psi_i(z)\) est \(\chi_i(p^*z) = e_{p^*z}(\chi_i) = p^*e_z(\tau_i)\). On en déduit que l’image de \(\varphi(z)\) dans \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) est égale à celle de \(\sum a_i\psi_i(z)\). Puisque \(n - (1 + d)c \geq q_0\), on a \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c)) = I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) d’après le lemme 0GA7, ce qui prouve la compatibilité voulue.

Cas \(d = 1\). On raisonne comme ci-dessus pour obtenir \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n),\quad \sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n)),\quad \sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c)),\] puis on utilise le lemme 0GAA, point (4), pour voir que \(\sigma'\) est l’image d’un élément \(\tau \in I^{n - 2c}M^\vee\). Le reste de l’argument est identique.

Cas \(d = 0\). L’argument est exactement le même que dans le cas \(d = 1\).

Lemme

Avec \(d = d(S)\) et \(q_0 = q(S)\) comme ci-dessus,

1. pour des entiers \(n \geq c \geq 0\) tels que \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\),

2. pour \(K\) dans \(D(A/I^n)\) tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i \not = -1, 0\) et \(H^i(K)\) de type fini pour \(i = -1, 0\), et tel que \(\Ext^1_{A/I^c}(K, N)\) soit annulé par \(I^c\) pour tous les \(A/I^n\)-modules de type fini \(N\),

l’application \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) \longrightarrow \Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\] est nulle.

Démonstration

Cas \(d > 0\). Soit \(K^{-1} \to K^0\) un complexe représentant \(K\) comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0G9F, point (5), relativement à l’idéal \(I^c/I^n\) de l’anneau \(A/I^n\). En particulier, \(K^{-1}\) est \(I^c/I^n\)-projectif, puisque la multiplication par les éléments de \(I^c/I^n\) se factorise même par \(K^0\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0ALN, point (1), on a \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) = \Coker(\Hom_{A/I^n}(K^0, I^n/I^{2n}) \to \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n}))\] et de même pour les autres groupes Ext. Toute classe \(\xi\) dans \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n})\) provient donc d’un élément \(\varphi \in \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n})\). Notons \(\varphi'\) l’image de \(\varphi\) dans \(\Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\). D’après le lemme 0GAC, on peut écrire \(\varphi' = \sum a_i \psi_i\) avec \(a_i \in I^c\) et \(\psi_i \in \Hom_{A/I^n}(M, I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c})\). Choisissons \(h_i : K^0 \to K^{-1}\) tel que \(a_i \text{id}_{K^{-1}} = h_i \circ d_K^{-1}\). Posons \(\psi = \sum \psi_i \circ h_i : K^0 \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\). Alors \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\), et l’on en déduit que \(\xi\) a déjà une image nulle dans \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\), et a fortiori dans \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\).

Cas \(d = 0\)⁵. Soient \(\xi\) et \(\varphi\) comme ci-dessus. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ K^0 \\ K^{-1} \ar[u] \ar[r]^\varphi & I^n/I^{2n} \ar[r] & I^{n - c}/I^{2n - c} }\] En prenant l’image réciproque sur \(X\) et en utilisant l’application \(p^*(I^n/I^{2n}) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\), on obtient un diagramme à flèches pleines \[\xymatrix{ p^*K^0 \ar@{..>}[rrd] \\ p^*K^{-1} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n - c) }\] On peut recouvrir \(X\) par des ouverts affines \(U = \Spec(B)\) tels qu’il existe \(a \in I\) vérifiant la propriété suivante : \(IB = aB\) et \(a\) est un non-diviseur de zéro dans \(B\). En effet, on peut recouvrir \(X\) par les spectres d’algèbres d’éclatement affines ; voir Diviseurs, lemme 0804. La restriction de \(\mathcal{O}_{Y_n}(n) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) à \(U\) est isomorphe à l’application de \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents correspondant à l’homomorphisme de \(B\)-modules \(a^c : B/a^nB \to B/a^nB\). Puisque \(a^c : K^{-1} \to K^{-1}\) se factorise par \(K^0\), la flèche pointillée existe sur \(U\). Autrement dit, on peut trouver la flèche pointillée localement sur \(X\) ! Or le faisceau des flèches pointillées complétant le diagramme est un espace principal homogène sous \[\mathcal{F} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \Coker(p^*K^{-1} \to p^*K^0), \mathcal{O}_{Y_n}(n - c))\] qui est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. L’obstruction à l’existence de la flèche pointillée est donc un élément de \(H^1(X, \mathcal{F})\). Ce groupe de cohomologie est nul puisque \(1 > d = 0\) ; voir la discussion qui suit la définition de \(d = d(S)\). On peut donc trouver une flèche pointillée \(\psi : p^*K^0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) complétant le diagramme. Puisque \(n - c \geq q_0\), on voit que \(\psi\) induit une application \(K^0 \to I^{n - c}/I^{2n - c}\). Une chasse au diagramme donne \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\), et la démonstration s’achève comme précédemment.