Complexes dualisants

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les complexes dualisants en algèbre commutative. On pourra consulter [RD].

Nous commençons par les surjections et injections essentielles, les couvertures projectives, les enveloppes injectives et la dualité sur les anneaux artiniens, puis étudions les enveloppes injectives des corps résiduels, ce qui conduit rapidement à une démonstration de la dualité de Matlis. Voir les sections 08XI, 08XN, 08XX, 08Y1, 08YW et 08Z1, ainsi que la proposition 08Z9.

Viennent ensuite trois sections consacrées à la cohomologie locale dans une grande généralité ; voir les sections 0BJA, 0952 et 0BJD. Nous en appliquons certains résultats à l’étude de la profondeur dans la section 0AVY. Une autre application montre comment, étant donné un idéal de type fini \(I\) d’un anneau \(A\), les objets « \(I\)-complets » et « de \(I\)-torsion » de la catégorie dérivée de \(A\) se correspondent par une équivalence ; voir la section 0A6V. Pour approfondir la cohomologie locale, notamment le théorème de finitude (qui repose sur la dualité locale – voir ci-dessous), on se reportera à Cohomologie locale, section 0DWP.

L’essentiel de ce chapitre est consacré à la dualité pour un homomorphisme d’anneaux et aux complexes dualisants. Voir les sections 0A6Z, 0E28, 0A7A, 0A7M, 0A7W, 0A81, 0DW3, 0DW4, 0DW6, 0DWB et 0BJM. La définition fondamentale est celle d’un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\) sur un anneau noethérien \(A\) : c’est un objet \(\omega_A^\bullet \in D^{+}(A)\) dont les modules de cohomologie \(H^i(\omega_A^\bullet)\) sont des \(A\)-modules de type fini, qui est de dimension injective finie, et tel que le morphisme \[A \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\] soit un quasi-isomorphisme. Après avoir établi quelques propriétés élémentaires des complexes dualisants, nous montrons qu’un complexe dualisant définit une fonction de dimension. Nous démontrons ensuite le théorème de dualité locale de Grothendieck. Après une brève étude des modules dualisants et des anneaux de Cohen-Macaulay, nous introduisons les anneaux de Gorenstein et montrons que beaucoup d’anneaux noethériens usuels possèdent des complexes dualisants. Dans une dernière section, nous appliquons ces résultats pour établir une bonne théorie des anneaux locaux noethériens dont les fibres formelles sont de Gorenstein ou localement des intersections complètes.

Dans les dernières sections, nous décrivons une construction algébrique des « foncteurs image inverse extraordinaire » utilisés en géométrie algébrique, par exemple dans l’ouvrage [RD]. Ce sujet est poursuivi dans le chapitre sur la dualité pour les schémas. Voir Dualité pour les schémas, section 0DWF.

Surjections et injections essentielles

Nous travaillerons surtout dans des catégories de modules, mais autant donner la définition dans le cas général.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Une injection \(A \subset B\) de \(\mathcal{A}\) est dite essentielle, ou l’on dit que \(B\) est une extension essentielle de \(A\), si tout sous-objet non nul \(B' \subset B\) a une intersection non nulle avec \(A\).

2. Une surjection \(f : A \to B\) de \(\mathcal{A}\) est dite essentielle si, pour tout sous-objet propre \(A' \subset A\), on a \(f(A') \not = B\).

Voici quelques lemmes sur cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Si \(A \subset B\) et \(B \subset C\) sont des extensions essentielles, alors \(A \subset C\) est une extension essentielle.

2. Si \(A \subset B\) est une extension essentielle et \(C \subset B\) un sous-objet, alors \(A \cap C \subset C\) est une extension essentielle.

3. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont des surjections essentielles, alors \(A \to C\) est une surjection essentielle.

4. Étant donné une surjection essentielle \(f : A \to B\) et une surjection \(A \to C\) de noyau \(K\), le morphisme \(C \to B/f(K)\) est une surjection essentielle.

Démonstration

Omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(E = \colim E_i\) une limite inductive filtrante de \(R\)-modules. Supposons donné un système compatible d’injections essentielles \(M \to E_i\) de \(R\)-modules. Alors \(M \to E\) est une injection essentielle.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et de l’exactitude des limites inductives filtrantes (Algèbre, lemme 00DB).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(M \subset N\) des \(R\)-modules. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M \subset N\) est une extension essentielle ;

2. pour tout \(x \in N\) non nul, il existe \(f \in R\) tel que \(fx \in M\) et \(fx \not = 0\).

Démonstration

Supposons (1) et soit \(x \in N\) un élément non nul. D’après (1), on a \(Rx \cap M \not = 0\), ce qui entraîne (2).

Supposons (2). Soit \(N' \subset N\) un sous-module non nul. Choisissons \(x \in N'\) non nul. D’après (2), il existe \(f \in R\) tel que \(fx \in M\) et \(fx \not = 0\). Ainsi \(N' \cap M \not = 0\).

Modules injectifs

Quelques résultats sur les modules injectifs sur des anneaux.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Tout produit de \(R\)-modules injectifs est injectif.

Démonstration

C’est un cas particulier de Homologie, lemme 0137.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme plat d’anneaux. Si \(E\) est un \(S\)-module injectif, alors \(E\) est injectif en tant que \(R\)-module.

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \(\Hom_R(M, E) = \Hom_S(M \otimes_R S, E)\) (Algèbre, lemme 05DQ) et de l’exactitude du produit tensoriel avec \(S\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un épimorphisme d’anneaux. Soit \(E\) un \(S\)-module. Si \(E\) est injectif en tant que \(R\)-module, alors \(E\) est un \(S\)-module injectif.

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \(\Hom_R(N, E) = \Hom_S(N, E)\) pour tout \(S\)-module \(N\) ; voir Algèbre, lemme 08YS.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Si \(E\) est un \(R\)-module injectif, alors \(\Hom_R(S, E)\) est un \(S\)-module injectif.

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \(\Hom_S(N, \Hom_R(S, E)) = \Hom_R(N, E)\) donnée par Algèbre, lemme 08YP.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I\) un \(R\)-module injectif. Soit \(E \subset I\) un sous-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\) est injectif ;

2. pour tout \(E \subset E' \subset I\) tel que \(E \subset E'\) soit essentielle, on a \(E = E'\).

En particulier, un \(R\)-module est injectif si et seulement si toute extension essentielle est triviale.

Démonstration

La dernière assertion résulte de la première et du fait que la catégorie des \(R\)-modules possède suffisamment d’injectifs (Compléments d’algèbre, section 01D8).

Supposons (1). Soit \(E \subset E' \subset I\) comme dans (2). Alors le morphisme \(\text{id}_E : E \to E\) se prolonge en un morphisme \(\alpha : E' \to E\). Le noyau de \(\alpha\) est nécessairement nul, car son intersection avec \(E\) est nulle et \(E'\) est une extension essentielle. Ainsi \(E = E'\).

Supposons (2). Soient \(M \subset N\) des \(R\)-modules et \(\varphi : M \to E\) un homomorphisme de \(R\)-modules. Pour prouver (1), il faut montrer que \(\varphi\) se prolonge en un morphisme \(N \to E\). Considérons l’ensemble \(\mathcal{S}\) des couples \((M', \varphi')\) où \(M \subset M' \subset N\) et où \(\varphi' : M' \to E\) est un homomorphisme de \(R\)-modules coïncidant avec \(\varphi\) sur \(M\). Définissons un ordre sur \(\mathcal{S}\) par la règle \((M', \varphi') \leq (M'', \varphi'')\) si et seulement si \(M' \subset M''\) et \(\varphi''|_{M'} = \varphi'\). Il est clair que l’on peut prendre le maximum d’une partie totalement ordonnée de \(\mathcal{S}\). Le lemme de Zorn permet donc de supposer que \((M, \varphi)\) est un élément maximal.

Choisissons un prolongement \(\psi : N \to I\) de \(\varphi\) composé avec l’inclusion \(E \to I\). C’est possible puisque \(I\) est injectif. Si \(\psi(N) \subset E\), alors \(\psi\) est le prolongement cherché. Si \(\psi(N)\) n’est pas contenu dans \(E\), alors, d’après (2), l’inclusion \(E \subset E + \psi(N)\) n’est pas essentielle. On peut donc trouver un sous-module non nul \(K \subset E + \psi(N)\) dont l’intersection avec \(E\) est \(0\). Cela signifie que \(M' = \psi^{-1}(E + K)\) contient strictement \(M\). On peut donc prolonger \(\varphi\) à \(M'\) au moyen de \[M' \xrightarrow{\psi|_{M'}} E + K \to (E + K)/K = E\] Cela contredit la maximalité de \((M, \varphi)\).

Exemple

Soit \(R\) un anneau réduit. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier minimal ; alors \(K = R_\mathfrak p\) est un corps (Algèbre, lemme 00EU). Le module \(K\) est un \(R\)-module injectif. En effet, on a \(\Hom_R(M, K) = \Hom_K(M_\mathfrak p, K)\) pour tout \(R\)-module \(M\). La localisation étant un foncteur exact, ainsi que le passage au dual sur les \(K\)-espaces vectoriels, on en déduit que \(\Hom_R(-, K)\) est un foncteur exact, c’est-à-dire que \(K\) est un \(R\)-module injectif.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Toute somme directe de modules injectifs est injective.

Démonstration

Soit \(E_i\) une famille de modules injectifs indexée par un ensemble \(I\). Posons \(E = \bigoplus E_i\). Pour montrer que \(E\) est injectif, utilisons Injectifs, lemme 05NU. Soit donc \(\varphi : J \to E\) un homomorphisme de modules d’un idéal de \(R\) dans \(E\). Puisque \(J\) est un \(R\)-module de type fini (car \(R\) est noethérien), il existe un nombre fini d’éléments \(i_1, \ldots, i_r \in I\) tels que \(\varphi\) prenne ses valeurs dans \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} E_{i_j}\). On peut alors prolonger \(\varphi\) à valeurs dans \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, r} E_{i_j}\) en utilisant l’injectivité des modules \(E_{i_j}\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Si \(E\) est un \(R\)-module injectif, alors \(S^{-1}E\) est un \(S^{-1}R\)-module injectif.

Démonstration

Puisque \(R \to S^{-1}R\) est un épimorphisme d’anneaux, il suffit de montrer que \(S^{-1}E\) est injectif en tant que \(R\)-module ; voir le lemme 08YV. Pour cela, utilisons Injectifs, lemme 05NU. Soit donc \(I \subset R\) un idéal et soit \(\varphi : I \to S^{-1} E\) un homomorphisme de \(R\)-modules. Puisque \(I\) est un \(R\)-module de présentation finie (car \(R\) est noethérien), il existe \(f \in S\) et un homomorphisme de \(R\)-modules \(I \to E\) tels que \(f\varphi\) soit le composé \(I \to E \to S^{-1}E\) (Algèbre, lemme 0583). On peut alors prolonger \(I \to E\) en un homomorphisme \(R \to E\). Le composé \[R \to E \to S^{-1}E \xrightarrow{f^{-1}} S^{-1}E\] est le prolongement cherché de \(\varphi\) à \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(I\) un \(R\)-module injectif.

1. Soit \(f \in R\). Alors \(E = \bigcup I[f^n] = I[f^\infty]\) est un sous-module injectif de \(I\).

2. Soit \(J \subset R\) un idéal. Le sous-module de torsion par les puissances de \(J\), noté \(I[J^\infty]\), est un sous-module injectif de \(I\).

Démonstration

Utilisons le lemme 08XS pour prouver (1). Supposons que \(E \subset E' \subset I\) et que \(E'\) soit une extension essentielle de \(E\). Montrons que \(E' = E\). Sinon, il existe \(x \in E'\) tel que \(x \not \in E\). Posons \(J = \{ a \in R \mid ax \in E\}\). Puisque \(R\) est noethérien, on peut écrire \(J = (g_1, \ldots, g_t)\) pour certains \(g_i \in R\). Par définition, \(E\) est l’ensemble des éléments de \(I\) annulés par des puissances de \(f\) ; on peut donc choisir des entiers \(n_i\) tels que \(f^{n_i}g_ix = 0\). Posons \(n = \mathrm{max}\{ n_i \}\). Alors \(x' = f^n x\) est un élément de \(E'\) qui n’appartient pas à \(E\) et qui est annulé par \(J\). Posons \(J' = \{ a \in R \mid ax' \in E \}\), de sorte que \(J \subset J'\). Réciproquement, on a \(a \in J'\) si et seulement si \(ax' \in E\), ou encore si et seulement si \(f^m a x' = 0\) pour un certain \(m \geq 0\). Mais alors \(f^m a x' = f^{m + n} a x\) entraîne \(ax \in E\), c’est-à-dire \(a \in J\). Ainsi \(J = J'\). On a donc \(J = J' = \text{Ann}(x')\), d’où \(Rx' \cap E = 0\). Par conséquent, \(E'\) n’est pas une extension essentielle de \(E\), ce qui est contradictoire.

Pour prouver (2), écrivons \(J = (f_1, \ldots, f_t)\). Alors \(I[J^\infty]\) est égal à \[(\ldots((I[f_1^\infty])[f_2^\infty])\ldots)[f_t^\infty]\] et le résultat découle de (1) par récurrence.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(E\) un \(A\)-module injectif. Alors \(E \otimes_A A[x]\) est d’amplitude injective \([0, 1]\) en tant qu’objet de \(D(A[x])\). En particulier, \(E \otimes_A A[x]\) est de dimension injective finie en tant que \(A[x]\)-module.

Démonstration

Écrivons \(E[x] = E \otimes_A A[x]\). Considérons la suite exacte courte de \(A[x]\)-modules \[0 \to E[x] \to \Hom_A(A[x], E[x]) \to \Hom_A(A[x], E[x]) \to 0\] où le premier morphisme envoie \(p \in E[x]\) sur \(f \mapsto fp\) et le second envoie \(\varphi\) sur \(f \mapsto \varphi(xf) - x\varphi(f)\). Le second morphisme est surjectif, car \(\Hom_A(A[x], E[x]) = \prod_{n \geq 0} E[x]\) en tant que groupe abélien, et le morphisme envoie \((e_n)\) sur \((e_{n + 1} - xe_n)\), ce qui définit une surjection. En tant que \(A\)-module, on a \(E[x] \cong \bigoplus_{n \geq 0} E\), qui est injectif d’après le lemme 08XV. Le \(A[x]\)-module \(\Hom_A(A[x], E[x])\) est donc injectif d’après le lemme 08XR, ce qui achève la démonstration.

Couvertures projectives

Dans cette section, nous étudions brièvement les couvertures projectives.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Une surjection \(P \to M\) de \(R\)-modules est appelée couverture projective, ou parfois enveloppe projective, si \(P\) est un \(R\)-module projectif et si \(P \to M\) est une surjection essentielle.

Les couvertures projectives n’existent pas toujours. Par exemple, si \(k\) est un corps et \(R = k[x]\) l’anneau de polynômes sur \(k\), le module \(M = R/(x)\) n’a pas de couverture projective. En effet, pour toute surjection \(f : P \to M\) avec \(P\) projectif sur \(R\), le sous-module propre \((x - 1)P\) se surjecte sur \(M\). Ainsi \(f\) n’est pas essentielle.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module. Si une couverture projective de \(M\) existe, elle est unique à isomorphisme près.

Démonstration

Soient \(P \to M\) et \(P' \to M\) des couvertures projectives. Puisque \(P\) est un \(R\)-module projectif et que \(P' \to M\) est surjective, il existe un homomorphisme de \(R\)-modules \(\alpha : P \to P'\) compatible avec les morphismes vers \(M\). Puisque \(P' \to M\) est essentielle, \(\alpha\) est surjectif. Comme \(P'\) est un \(R\)-module projectif, on peut choisir une décomposition en somme directe \(P = \Ker(\alpha) \oplus P'\). Puisque \(P' \to M\) est surjective et que \(P \to M\) est essentielle, on en déduit que \(\Ker(\alpha)\) est nul, comme voulu.

Voici un exemple où les couvertures projectives existent.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local. Tout \(R\)-module de type fini possède une couverture projective.

Démonstration

Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Posons \(r = \dim_\kappa(M/\mathfrak m M)\). Choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in M\) dont les images forment une base de \(M/\mathfrak m M\). Considérons le morphisme \(f : R^{\oplus r} \to M\). D’après le lemme de Nakayama, il est surjectif (Algèbre, lemme 00DV). Si \(N \subset R^{\oplus r}\) est un sous-module propre, alors \(N/\mathfrak m N \to \kappa^{\oplus r}\) n’est pas surjectif (encore par le lemme de Nakayama), donc \(N/\mathfrak m N \to M/\mathfrak m M\) n’est pas surjectif. Ainsi \(f\) est une surjection essentielle.

Enveloppes injectives

Dans cette section, nous étudions brièvement les enveloppes injectives.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Une injection \(M \to I\) de \(R\)-modules est appelée enveloppe injective si \(I\) est un \(R\)-module injectif et si \(M \to I\) est une injection essentielle.

Les enveloppes injectives existent toujours.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Tout \(R\)-module possède une enveloppe injective.

Démonstration

Soit \(M\) un \(R\)-module. D’après Compléments d’algèbre, section 01D8, la catégorie des \(R\)-modules possède suffisamment d’injectifs. Choisissons une injection \(M \to I\) où \(I\) est un \(R\)-module injectif. Considérons l’ensemble \(\mathcal{S}\) des sous-modules \(M \subset E \subset I\) tels que \(E\) soit une extension essentielle de \(M\). Ordonnons \(\mathcal{S}\) par inclusion. Si \(\{E_\alpha\}\) est une partie totalement ordonnée de \(\mathcal{S}\), alors \(\bigcup E_\alpha\) est aussi une extension essentielle de \(M\) (lemme 08XL). Le lemme de Zorn fournit donc un élément maximal \(E \in \mathcal{S}\). Affirmons que \(M \subset E\) est une enveloppe injective, c’est-à-dire que \(E\) est un \(R\)-module injectif. Cela résulte du lemme 08XS.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules et soient \(M \to E\) et \(N \to E'\) des enveloppes injectives. Alors :

1. pour tout homomorphisme de \(R\)-modules \(\varphi : M \to N\), il existe un homomorphisme de \(R\)-modules \(\psi : E \to E'\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ M \ar[r] \ar[d]_\varphi & E \ar[d]^\psi \\ N \ar[r] & E' }\] soit commutatif ;

2. si \(\varphi\) est injectif, alors \(\psi\) est injectif ;

3. si \(\varphi\) est une injection essentielle, alors \(\psi\) est un isomorphisme ;

4. si \(\varphi\) est un isomorphisme, alors \(\psi\) est un isomorphisme ;

5. si \(M \to I\) est un plongement de \(M\) dans un \(R\)-module injectif, alors il existe un isomorphisme \(I \cong E \oplus I'\) compatible avec les plongements de \(M\).

En particulier, l’enveloppe injective \(E\) de \(M\) est unique à isomorphisme près.

Démonstration

L’assertion (1) résulte de ce que \(E'\) est un \(R\)-module injectif. L’assertion (2) résulte de ce que \(\Ker(\psi) \cap M = 0\) et que \(E\) est une extension essentielle de \(M\). Supposons que \(\varphi\) soit une injection essentielle. Alors \(E \cong \psi(E) \subset E'\) d’après (2), d’où \(E' = \psi(E) \oplus E''\) puisque \(E\) est injectif. Puisque \(E'\) est une extension essentielle de \(M\) (lemme 08XK), on obtient \(E'' = 0\). L’assertion (4) est un cas particulier de (3). Supposons \(M \to I\) comme dans (5). Choisissons un morphisme \(\alpha : E \to I\) prolongeant le morphisme \(M \to I\). Le même raisonnement montre que \(\alpha\) est injectif. Comme précédemment, \(\alpha(E)\) est donc facteur direct de \(I\). Cela prouve (5).

Exemple

Soit \(R\) un anneau intègre de corps des fractions \(K\). Alors \(R \subset K\) est une enveloppe injective de \(R\). En effet, l’exemple 08XT montre que \(K\) est un \(R\)-module injectif, et le lemme 08XM montre que \(R \subset K\) est une extension essentielle.

Définition

Un objet \(X\) d’une catégorie additive est dit indécomposable s’il est non nul et si \(X = Y \oplus Z\) entraîne que \(Y = 0\) ou \(Z = 0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(E\) un \(R\)-module injectif indécomposable. Alors :

1. \(E\) est l’enveloppe injective de tout sous-module non nul de \(E\) ;

2. l’intersection de deux sous-modules non nuls de \(E\) est non nulle ;

3. \(\text{End}_R(E)\) est un anneau local non commutatif dont l’idéal maximal est formé des \(\varphi : E \to E\) de noyau non nul ;

4. l’ensemble des diviseurs de zéro sur \(E\) est un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), et \(E\) est un \(R_\mathfrak p\)-module injectif.

Démonstration

L’assertion (1) résulte du lemme 08Y4. L’assertion (2) découle de (1) et de la définition des enveloppes injectives.

Preuve de (3). Posons \(A = \text{End}_R(E)\) et \(I = \{\varphi \in A \mid \Ker(\varphi) \not = 0\}\). L’énoncé signifie que \(I\) est un idéal bilatère et que tout \(\varphi \in A\) tel que \(\varphi \not \in I\) est inversible. Supposons que \(\varphi\) et \(\psi\) ne soient pas injectifs. Alors \(\Ker(\varphi) \cap \Ker(\psi)\) est non nul d’après (2). Ainsi \(\varphi + \psi \in I\). Il en résulte que \(I\) est un idéal bilatère. Si \(\varphi \in A\) et \(\varphi \not \in I\), alors \(E \cong \varphi(E) \subset E\) est un sous-module injectif, donc \(E = \varphi(E)\) puisque \(E\) est indécomposable.

Preuve de (4). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) et soit \(\mathfrak p \subset R\) l’image réciproque de l’idéal maximal \(I\). Il est alors clair que \(\mathfrak p\) est un idéal premier et que \(R \to A\) se prolonge en \(R_\mathfrak p \to A\). Ainsi \(E\) est un \(R_\mathfrak p\)-module. Le lemme 08YV montre que \(E\) est injectif en tant que \(R_\mathfrak p\)-module.

Lemme

Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier d’un anneau \(R\). Soit \(E\) l’enveloppe injective de \(R/\mathfrak p\). Alors :

1. \(E\) est indécomposable ;

2. \(E\) est l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\) ;

3. \(E\) est l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\) sur l’anneau \(R_\mathfrak p\).

Démonstration

D’après le lemme 08XM, l’inclusion \(R/\mathfrak p \subset \kappa(\mathfrak p)\) est une extension essentielle. Le lemme 08Y4 donne alors (2). Pour \(f \in R\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\), le morphisme \(f : \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p)\) est un isomorphisme ; le morphisme \(f : E \to E\) est donc un isomorphisme, voir le lemme 08Y4. Ainsi \(E\) est un \(R_\mathfrak p\)-module. Il est injectif en tant que \(R_\mathfrak p\)-module d’après le lemme 08YV. Enfin, soit \(E' \subset E\) un sous-\(R\)-module injectif non nul. Alors \(J = (R/\mathfrak p) \cap E'\) est non nul. Quitte à remplacer \(E'\) par un sous-module, on peut supposer que \(E'\) est l’enveloppe injective de \(J\) (voir par exemple le lemme 08Y4). Observons que \(R/\mathfrak p\) est une extension essentielle de \(J\), par exemple d’après le lemme 08XM. Ainsi \(E' \to E\) est un isomorphisme d’après le lemme 08Y4 (3). Par conséquent, \(E\) est indécomposable.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(E\) un \(R\)-module injectif indécomposable. Il existe alors un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\) tel que \(E\) soit l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak p\) l’idéal premier obtenu dans le lemme 08Y7. Écrivons \(\mathfrak p = (f_1, \ldots, f_r)\). Choisissons un élément non nul \(x \in \bigcap \Ker(f_i : E \to E)\), voir le lemme 08Y7. Alors \((R_\mathfrak p)x\) est un module isomorphe à \(\kappa(\mathfrak p)\) contenu dans \(E\). On conclut par le lemme 08Y7.

Proposition

Soit \(R\) un anneau noethérien. Tout module injectif est somme directe de modules injectifs indécomposables. Tout module injectif indécomposable est l’enveloppe injective du corps résiduel en un idéal premier.

Démonstration

La seconde assertion est le lemme 08Y9. Pour la première, soit \(I\) un \(R\)-module injectif. Construisons par récurrence transfinie des \(I_\alpha \subset I\) pour des ordinaux \(\alpha\), sommes directes de \(R\)-modules injectifs indécomposables \(E_{\beta + 1}\) pour \(\beta < \alpha\). Pour \(\alpha = 0\), posons \(I_0 = 0\). Supposons donné un ordinal \(\alpha\) pour lequel \(I_\alpha\) a été construit. Alors \(I_\alpha\) est un \(R\)-module injectif d’après le lemme 08XV. Ainsi \(I \cong I_\alpha \oplus I'\). Si \(I' = 0\), c’est terminé. Sinon, \(I'\) possède un idéal premier associé d’après Algèbre, lemme 0587. Le module \(I'\) contient donc une copie de \(R/\mathfrak p\) pour un idéal premier \(\mathfrak p\). Ainsi \(I'\) contient un sous-module indécomposable \(E\) d’après les lemmes 08Y4 et 08Y8. Posons \(I_{\alpha + 1} = I_\alpha \oplus E_\alpha\). Si \(\alpha\) est un ordinal limite et si \(I_\beta\) a été construit pour \(\beta < \alpha\), posons \(I_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} I_\beta\). Observons que \(I_\alpha = \bigoplus_{\beta < \alpha} E_{\beta + 1}\). Cela achève la démonstration.

Dualité sur les anneaux locaux artiniens

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local artinien. Rappelons qu’alors \(R\) est noethérien et que \(R\) est de longueur finie en tant que \(R\)-module. De plus, un \(R\)-module est de type fini si et seulement s’il est de longueur finie. Nous utiliserons ces faits sans autre mention dans cette section. Pour plus de détails, voir Algèbre, sections 00IU et 00J4, ainsi que Algèbre, proposition 00KJ.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local artinien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\). Pour tout \(R\)-module de type fini \(M\), on a \[\text{longueur}_R(M) = \text{longueur}_R(\Hom_R(M, E))\] En particulier, l’enveloppe injective \(E\) de \(\kappa\) est un \(R\)-module de type fini.

Démonstration

Puisque \(E\) est une extension essentielle de \(\kappa\), on a \(\kappa = E[\mathfrak m]\), où \(E[\mathfrak m]\) désigne la \(\mathfrak m\)-torsion de \(E\) (avec les notations de Compléments d’algèbre, section 0ALX). Ainsi \(\Hom_R(\kappa, E) \cong \kappa\) et l’égalité des longueurs est vraie pour \(M = \kappa\). Démontrons l’égalité affichée dans le lemme par récurrence sur la longueur de \(M\). Si \(M\) est non nul, il existe une surjection \(M \to \kappa\) de noyau \(M'\). Puisque le foncteur \(M \mapsto \Hom_R(M, E)\) est exact, on obtient une suite exacte courte \[0 \to \Hom_R(\kappa, E) \to \Hom_R(M, E) \to \Hom_R(M', E) \to 0.\] L’additivité de la longueur pour cette suite et pour la suite \(0 \to M' \to M \to \kappa \to 0\), ainsi que l’égalité pour \(M'\) (hypothèse de récurrence) et pour \(\kappa\), donnent l’égalité pour \(M\). La dernière assertion du lemme résulte de l’égalité \(E = \Hom_R(R, E)\).

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local artinien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\). Pour tout \(R\)-module de type fini \(M\), le morphisme d’évaluation \[M \longrightarrow \Hom_R(\Hom_R(M, E), E)\] est un isomorphisme. En particulier, \(R = \Hom_R(E, E)\).

Démonstration

Observons que la flèche affichée est injective. En effet, si \(x \in M\) est un élément non nul, il existe un morphisme non nul \(Rx \to \kappa\) que l’on peut prolonger en un morphisme \(\varphi : M \to E\) ne s’annulant pas sur \(x\). Puisque la source et le but de la flèche ont même longueur d’après le lemme 08YX, c’est un isomorphisme. La dernière assertion s’obtient en prenant \(M = R\).

Pour énoncer le lemme suivant, notons \(\text{Mod}^{fg}_R\) la catégorie des \(R\)-modules de type fini sur un anneau \(R\).

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local artinien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\). Le foncteur \(D(-) = \Hom_R(-, E)\) induit une anti-équivalence exacte \(\text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}^{fg}_R\), et \(D \circ D \cong \text{id}\).

Démonstration

Nous avons vu que \(D \circ D = \text{id}\) sur \(\text{Mod}^{fg}_R\) dans le lemme 08YY. Il en résulte immédiatement que \(D\) est une anti-équivalence.

Lemme

Gardons les hypothèses et les notations du lemme 08YZ. Soient \(I \subset R\) un idéal et \(M\) un \(R\)-module de type fini. Alors \[D(M[I]) = D(M)/ID(M) \quad\text{et}\quad D(M/IM) = D(M)[I]\]

Démonstration

Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_t)\). Considérons le morphisme \[M^{\oplus t} \xrightarrow{f_1, \ldots, f_t} M\] de conoyau \(M/IM\). En appliquant le foncteur exact \(D\), on en déduit que \(D(M/IM)\) est \(D(M)[I]\). L’autre cas se démontre de la même manière.

Enveloppe injective du corps résiduel

Dans cette section, la plupart des résultats concernent les anneaux locaux noethériens.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme surjectif d’anneaux locaux, de noyau \(I\). Soit \(E\) l’enveloppe injective du corps résiduel de \(R\) sur \(R\). Alors \(E[I]\) est l’enveloppe injective du corps résiduel de \(S\) sur \(S\).

Démonstration

Observons que \(E[I] = \Hom_R(S, E)\) puisque \(S = R/I\). Ainsi \(E[I]\) est un \(S\)-module injectif d’après le lemme 08XR. Puisque \(E\) est une extension essentielle de \(\kappa = R/\mathfrak m_R\), il en résulte que \(E[I]\) est aussi une extension essentielle de \(\kappa\). D’où le résultat.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local. Soit \(E\) l’enveloppe injective de \(\kappa\). Soit \(M\) un module de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) sur \(R\), tel que \(n = \dim_\kappa(M[\mathfrak m]) < \infty\). Alors \(M\) est isomorphe à un sous-module de \(E^{\oplus n}\).

Démonstration

Observons que \(E^{\oplus n}\) est l’enveloppe injective de \(\kappa^{\oplus n} = M[\mathfrak m]\). Il existe donc un homomorphisme de \(R\)-modules \(M \to E^{\oplus n}\) qui est injectif sur \(M[\mathfrak m]\). Puisque \(M\) est de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\), l’inclusion \(M[\mathfrak m] \subset M\) est une extension essentielle (par exemple d’après le lemme 08XM). On en déduit que le noyau de \(M \to E^{\oplus n}\) est nul.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Soit \(E_n\) une enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R/\mathfrak m^n\). Alors \(E = \bigcup E_n\) et \(E_n = E[\mathfrak m^n]\).

Démonstration

On a \(E_n = E[\mathfrak m^n]\) d’après le lemme 08Z2. On a \(E = \bigcup E_n\) parce que \(\bigcup E_n = E[\mathfrak m^\infty]\) est un sous-\(R\)-module injectif qui contient \(\kappa\) ; voir le lemme 08XW.

Le lemme suivant montre que l’enveloppe injective du corps résiduel d’un anneau local noethérien ne dépend que du complété.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens tel que \(R/\mathfrak m_R \cong S/\mathfrak m_R S\). Alors l’enveloppe injective du corps résiduel de \(R\) est l’enveloppe injective du corps résiduel de \(S\).

Démonstration

Notons que \(\mathfrak m_RS = \mathfrak m_S\), puisque le quotient par le premier idéal est un corps. Posons \(\kappa = R/\mathfrak m_R = S/\mathfrak m_S\). Soit \(E_R\) l’enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Soit \(E_S\) l’enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(S\). Observons que \(E_S\) est un \(R\)-module injectif d’après le lemme 08XQ. Choisissons un prolongement \(E_R \to E_S\) de l’identification des corps résiduels. Ce morphisme est un isomorphisme d’après le lemme 08Z4, car \(R \to S\) induit un isomorphisme \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\) pour tout \(n\).

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Alors \(\Hom_R(E, E)\) est canoniquement isomorphe au complété de \(R\).

Démonstration

Écrivons \(E = \bigcup E_n\) avec \(E_n = E[\mathfrak m^n]\) comme dans le lemme 08Z4. Tout endomorphisme de \(E\) préserve cette filtration. Ainsi \[\Hom_R(E, E) = \lim \Hom_R(E_n, E_n)\] Le lemme en résulte, puisque \(\Hom_R(E_n, E_n) = \Hom_{R/\mathfrak m^n}(E_n, E_n) = R/\mathfrak m^n\) d’après le lemme 08YY.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Alors \(E\) satisfait à la condition de chaîne descendante.

Démonstration

Si \(E \supset M_1 \supset M_2 \supset \ldots\) est une suite de sous-modules, alors \[\Hom_R(E, E) \to \Hom_R(M_1, E) \to \Hom_R(M_2, E) \to \ldots\] est une suite de surjections. D’après le lemme 08Z6, chacun de ces modules est un module sur le complété \(R^\wedge = \Hom_R(E, E)\). Puisque \(R^\wedge\) est noethérien (Algèbre, lemme 0316), la suite stationne : \(\Hom_R(M_n, E) = \Hom_R(M_{n + 1}, E) = \ldots\). Puisque \(E\) est injectif, cela ne peut se produire que si \(\Hom_R(M_n/M_{n + 1}, E)\) est nul. Or, si \(M_n/M_{n + 1}\) est non nul, il contient un élément non nul annulé par \(\mathfrak m\), car \(E\) est de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) d’après le lemme 08Z4. Dans ce cas, \(M_n/M_{n + 1}\) admet un morphisme non nul vers \(E\), ce qui contredit l’annulation supposée. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\).

1. Pour un \(R\)-module \(M\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M\) satisfait à la condition de chaîne ascendante ;

   2. \(M\) est un \(R\)-module de type fini ;

   3. il existe \(n, m\) et une suite exacte \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M \to 0\).

2. Pour un \(R\)-module \(M\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M\) satisfait à la condition de chaîne descendante ;

   2. \(M\) est de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) et \(\dim_\kappa(M[\mathfrak m]) < \infty\) ;

   3. il existe \(n, m\) et une suite exacte \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\).

Démonstration

Nous omettons la démonstration de (1).

Soit \(M\) un \(R\)-module satisfaisant à la condition de chaîne descendante. Soit \(x \in M\). Alors \(\mathfrak m^n x\) est une chaîne descendante de sous-modules, donc elle stationne. Ainsi \(\mathfrak m^nx = \mathfrak m^{n + 1}x\) pour un certain \(n\). Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) entraîne alors \(\mathfrak m^n x = 0\), c’est-à-dire que \(x\) est de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\). Puisque \(M[\mathfrak m]\) est un espace vectoriel sur \(\kappa\), il doit être de dimension finie pour satisfaire à la condition de chaîne descendante.

Supposons que \(M\) soit de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) et que son sous-module de \(\mathfrak m\)-torsion \(M[\mathfrak m]\) soit de dimension finie. D’après le lemme 08Z3, on voit que \(M\) est un sous-module de \(E^{\oplus n}\) pour un certain \(n\). Considérons le quotient \(N = E^{\oplus n}/M\). D’après le lemme 08Z7, le module \(E\) satisfait à la condition de chaîne descendante, donc il en est de même de \(E^{\oplus n}\) et de \(N\). Ainsi \(N\) satisfait à (2)(a), ce qui entraîne que \(N\) satisfait à (2)(b) d’après le deuxième paragraphe de la démonstration. En appliquant à nouveau le lemme 08Z3, on voit donc que \(N\) est un sous-module de \(E^{\oplus m}\) pour un certain \(m\). On a ainsi une suite exacte courte \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\).

Supposons donnée une suite exacte courte \(0 \to M \to E^{\oplus n} \to E^{\oplus m}\). Puisque \(E\) satisfait à la condition de chaîne descendante d’après le lemme 08Z7, il en est de même de \(M\).

Proposition

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien complet. Soit \(E\) l’enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Le foncteur \(D(-) = \Hom_R(-, E)\) est une anti-équivalence \[\left\{ \begin{matrix} R\text{-modules satisfaisant la} \\ \text{condition de chaîne descendante} \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} R\text{-modules satisfaisant la} \\ \text{condition de chaîne ascendante} \end{matrix} \right\}\] et l’on a \(D \circ D = \text{id}\) de chaque côté de l’équivalence.

Démonstration

D’après le lemme 08Z6, on a \(R = \Hom_R(E, E) = D(E)\). Bien entendu, on a \(E = \Hom_R(R, E) = D(R)\). Puisque \(E\) est injectif, le foncteur \(D\) est exact. Le résultat découle alors immédiatement de la description des catégories donnée dans le lemme 08Z8.

Remarque

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\) sur \(R\). Voici un complément à la dualité de Matlis : si \(N\) est un module de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\) et si \(M = \Hom_R(N, E)\) est un module de type fini sur le complété de \(R\), alors \(N\) satisfait à la condition de chaîne descendante. En effet, pour tous sous-modules \(N'' \subset N' \subset N\) tels que \(N'' \not = N'\), il existe un plongement \(\kappa \subset N''/N'\), donc un morphisme non nul \(N' \to E\) annulant \(N''\), que l’on peut prolonger en un morphisme \(N \to E\) annulant \(N''\). Ainsi \(N \supset N' \mapsto M' = \Hom_R(N/N', E) \subset M\) est une application préservant les inclusions des sous-modules de \(N\) vers les sous-modules de \(M\), d’où la conclusion.

Dérivation du foncteur de torsion

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini (si \(I\) n’est pas de type fini, il faudrait peut-être utiliser une autre définition). Posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). Rappelons que la catégorie \(I^\infty\text{-torsion}\) des modules de torsion par les puissances de \(I\) ne dépend que du fermé \(Z\) et non du choix de l’idéal de type fini \(I\) tel que \(Z = V(I)\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0953. Dans cette section, nous considérerons le foncteur \[H^0_{I} : \text{Mod}_A \longrightarrow I^\infty\text{-torsion},\quad M \longmapsto M[I^\infty] = \bigcup M[I^n]\] qui associe à \(M\) son sous-module de torsion par les puissances de \(I\).

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de type fini. Notons que \(I^\infty\text{-torsion}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck (les sommes directes existent, les limites inductives filtrantes sont exactes et \(\bigoplus A/I^n\) est un générateur d’après Compléments d’algèbre, lemme 05E8). La catégorie dérivée \(D(I^\infty\text{-torsion})\) existe donc ; voir Injectifs, remarque 079Q. Notre foncteur \(H^0_I\) est exact à gauche et possède un prolongement dérivé que nous noterons \[R\Gamma_I : D(A) \longrightarrow D(I^\infty\text{-torsion}).\] Attention : ce foncteur ne mérite le nom de cohomologie locale que si l’anneau \(A\) est noethérien. Les foncteurs \(H^0_I\), \(R\Gamma_I\) et les satellites \(H^p_I\) ne dépendent que du fermé \(Z \subset \Spec(A)\) et non du choix de l’idéal de type fini \(I\) tel que \(V(I) = Z\). Nous tenons cependant à utiliser l’indice \(I\) pour les foncteurs ci-dessus, car la notation \(R\Gamma_Z\) sera réservée à un autre foncteur, voir (0A6Q), qui ne coïncide avec le foncteur \(R\Gamma_I\) (à notre connaissance) que si \(A\) est noethérien (voir le lemme 0955).

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Le foncteur \(R\Gamma_I\) est adjoint à droite du foncteur \(D(I^\infty\text{-torsion}) \to D(A)\).

Démonstration

Cela résulte du fait que le passage au sous-module de torsion par les puissances de \(I\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(I^\infty\text{-torsion} \to \text{Mod}_A\). Voir Catégories dérivées, lemme 09T5.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Pour tout objet \(K\) de \(D(A)\), on a \[R\Gamma_I(K) = \text{hocolim}\ R\Hom_A(A/I^n, K)\] dans \(D(A)\) et \[R^q\Gamma_I(K) = \colim_n \Ext_A^q(A/I^n, K)\] en tant que modules, pour tout \(q \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Soit \(J^\bullet\) un complexe K-injectif représentant \(K\). Alors \[R\Gamma_I(K) = J^\bullet[I^\infty] = \colim J^\bullet[I^n] = \colim \Hom_A(A/I^n, J^\bullet)\] où la première égalité est la définition de \(R\Gamma_I(K)\). Catégories dérivées, lemme 0949, donne la première égalité affichée dans l’énoncé. La seconde en résulte, puisque \(H^q(\Hom_A(A/I^n, J^\bullet)) = \Ext^q_A(A/I^n, K)\) et puisque les limites inductives filtrantes sont exactes dans la catégorie des groupes abéliens.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules tel que \(f : K^\bullet \to K^\bullet\) soit un isomorphisme pour un certain \(f \in I\), c’est-à-dire que \(K^\bullet\) soit un complexe de \(A_f\)-modules. Alors \(R\Gamma_I(K^\bullet) = 0\).

Démonstration

En effet, les modules de cohomologie de \(R\Gamma_I(K^\bullet)\) sont alors de torsion par les puissances de \(f\) et \(f\) y agit par automorphismes. Ces modules de cohomologie sont donc nuls, et l’objet est donc nul.

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6K, la catégorie des modules de torsion par les puissances de \(I\) est une sous-catégorie de Serre de la catégorie de tous les \(A\)-modules. On a donc un foncteur [0A6N]\[\begin{equation} D(I^\infty\text{-torsion}) \longrightarrow D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \end{equation}\] où le membre de droite est la sous-catégorie pleine de \(D(A)\) formée des objets dont les cohomologies sont des modules de torsion par les puissances de \(I\). Le foncteur et la catégorie sont tous deux étudiés dans Catégories dérivées, section 06UP.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de type fini. Soient \(M\) et \(N\) des modules de torsion par les puissances de \(I\).

1. \(\Hom_{D(A)}(M, N) = \Hom_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N)\) ;

2. \(\Ext^1_{D(A)}(M, N) = \Ext^1_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N)\) ;

3. \(\Ext^2_{D({I^\infty\text{-torsion}})}(M, N) \to \Ext^2_{D(A)}(M, N)\) n’est pas surjectif en général ;

4. (0A6N) n’est pas une équivalence en général.

Démonstration

Les assertions (1) et (2) résultent immédiatement de ce que les modules de torsion par les puissances de \(I\) forment une sous-catégorie de Serre de \(\text{Mod}_A\). L’assertion (4) découle de (3).

Pour (3), soit \(A\) un anneau possédant un élément \(f \in A\) tel que \(A[f]\) contienne un élément non nul \(x\) annulé par \(f\) et que \(A\) contienne des éléments \(x_n\) tels que \(f^nx_n = x\). Un tel anneau \(A\) existe, car on peut prendre \[A = \mathbf{Z}[f, x, x_n]/(fx, f^nx_n - x)\] Étant donné \(A\), posons \(I = (f)\). Alors la suite exacte \[0 \to A[f] \to A \xrightarrow{f} A \to A/fA \to 0\] définit un élément de \(\Ext^2_A(A/fA, A[f])\). Affirmons que cet élément ne provient pas d’un élément de \(\Ext^2_{D(f^\infty\text{-torsion})}(A/fA, A[f])\). En effet, sinon, il existerait une suite exacte \[0 \to A[f] \to M \to N \to A/fA \to 0\] où \(M\) et \(N\) sont des modules de torsion par les puissances de \(f\), définissant la même classe de \(2\)-extension. Puisque \(A \to A\) est un complexe de modules libres et que les classes de \(2\)-extensions sont les mêmes, on pourrait trouver un morphisme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A[f] \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d]_\varphi & A \ar[r] \ar[d]_\psi & A/fA \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A[f] \ar[r] & M \ar[r] & N \ar[r] & A/fA \ar[r] & 0 }\] (nous omettons certains détails). On pourrait alors remplacer \(M\) par l’image de \(\varphi\) et \(N\) par l’image de \(\psi\). Alors \(M\) serait un module cyclique, donc \(f^n M = 0\) pour un certain \(n\). En considérant \(\varphi(x_{n + 1})\), on obtient une contradiction avec le fait que \(f^{n + 1}x_n = x\) est non nul dans \(A[f]\).

Cohomologie locale

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). Nous construirons un foncteur [0A6Q]\[\begin{equation} R\Gamma_Z : D(A) \longrightarrow D_{I^\infty\text{-torsion}}(A). \end{equation}\] adjoint à droite du foncteur d’inclusion. Pour les notations, voir la section 0BJA. Les modules de cohomologie de \(R\Gamma_Z(K)\) sont les groupes de cohomologie locale de \(K\) relativement à \(Z\). D’après le lemme 0A6P, ce foncteur ne sera en général pas égal à \(R\Gamma_I( - )\), même en les considérant comme foncteurs à valeurs dans \(D(A)\). Dans la section 0BJD, nous montrerons que, si \(A\) est noethérien, les deux coïncident.

Nous poursuivrons l’étude de la cohomologie locale dans le chapitre qui lui est consacré ; voir Cohomologie locale, section 0DWP. Nous y montrerons notamment que \(R\Gamma_Z\) calcule la cohomologie à support dans \(Z\) du complexe associé de faisceaux quasi-cohérents sur \(\Spec(A)\). Voir Cohomologie locale, lemme 0A6T.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Il existe un adjoint à droite \(R\Gamma_Z\) (0A6Q) du foncteur d’inclusion \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A)\). En fait, si \(I\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_r \in A\), on a \[R\Gamma_Z(K) = (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A^\mathbf{L} K\] fonctoriellement en \(K \in D(A)\).

Démonstration

Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules. Il existe un morphisme canonique de complexes \[(A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \longrightarrow A.\] du complexe de Čech augmenté vers \(A\). En tensorisant par \(K^\bullet\) et en prenant le complexe total associé, on obtient un morphisme \[\text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] dans \(D(A)\). Affirmons que les modules de cohomologie du complexe de gauche sont de torsion par les puissances de \(I\), c’est-à-dire que le membre de gauche est un objet de \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\). En effet, on a \[(A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) = \colim K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 0913. De plus, la multiplication par \(f_i^n\) sur le complexe \(K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) est homotope à zéro d’après Compléments d’algèbre, lemme 0663. Puisque \[H^q\left( LHS \right) = \colim H^q(\text{Tot}(K^\bullet \otimes_A K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)))\] on obtient l’assertion. D’autre part, si \(K^\bullet\) est un objet de \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\), les complexes \(K^\bullet \otimes_A A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\) ont une cohomologie nulle. Dans ce cas, le morphisme \(LHS \to K^\bullet\) est donc un isomorphisme dans \(D(A)\). La construction \[R\Gamma_Z(K^\bullet) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] est fonctorielle en \(K^\bullet\) et définit un foncteur exact \(D(A) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) entre catégories triangulées. L’existence de la transformation naturelle \(R\Gamma_Z \to \text{id}\) donnée ci-dessus, et le fait qu’elle soit un isomorphisme sur les \(K^\bullet\) appartenant à la sous-catégorie, entraînent formellement que \(R\Gamma_Z\) est l’adjoint à droite cherché.

Lemme

Soient \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(J = IB\), puis \(Z = V(I)\) et \(Y = V(J)\). Alors \[R\Gamma_Z(M_A) = R\Gamma_Y(M)_A\] fonctoriellement en \(M \in D(B)\). Ici \((-)_A\) désigne les restrictions \(D(B) \to D(A)\) et \(D_{J^\infty\text{-torsion}}(B) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\).

Démonstration

Cela résulte de l’unicité des adjoints, puisque \(R\Gamma_Z((-)_A)\) et \(R\Gamma_Y(-)_A\) sont tous deux adjoints à droite du foncteur \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(B)\), \(K \mapsto K \otimes_A^\mathbf{L} B\). On peut aussi utiliser la description de \(R\Gamma_Z\) et de \(R\Gamma_Y\) par les complexes alternés de Čech (lemme 0A6R). En effet, si \(I = (f_1, \ldots, f_r)\), alors \(J\) est engendré par les images \(g_1, \ldots, g_r \in B\) de \(f_1, \ldots, f_r\). L’énoncé résulte alors de l’existence d’un isomorphisme canonique \[\begin{align*} & M_A \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \\ & = M \otimes_B (B \to \prod\nolimits_{i_0} B_{g_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} B_{g_{i_0}g_{i_1}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r}) \end{align*}\] pour tout \(B\)-module \(M\).

Lemme

Soient \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(J = IB\). Soient \(Z = V(I)\) et \(Y = V(J)\). Alors \[R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Y(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] fonctoriellement en \(K \in D(A)\).

Démonstration

Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Alors \(J\) est engendré par les images \(g_1, \ldots, g_r \in B\) de \(f_1, \ldots, f_r\). On a donc \[(A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A B = (B \to \prod B_{g_{i_0}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r})\] en tant que complexes de \(B\)-modules. Représentons \(K\) par un complexe K-plat \(K^\bullet\) de \(A\)-modules. Puisque les complexes totaux associés à \[K^\bullet \otimes_A (A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \otimes_A B\] et à \[K^\bullet \otimes_A B \otimes_B (B \to \prod B_{g_{i_0}} \to \ldots \to B_{g_1\ldots g_r})\] représentent les membres de gauche et de droite de la formule affichée dans le lemme (voir le lemme 0A6R), on conclut.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules tel que \(f : K^\bullet \to K^\bullet\) soit un isomorphisme pour un certain \(f \in I\), c’est-à-dire que \(K^\bullet\) soit un complexe de \(A_f\)-modules. Alors \(R\Gamma_Z(K^\bullet) = 0\).

Démonstration

En effet, les modules de cohomologie de \(R\Gamma_Z(K^\bullet)\) sont alors de torsion par les puissances de \(f\) et \(f\) y agit par automorphismes. Ces modules de cohomologie sont donc nuls, et l’objet est donc nul.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Pour \(K, L \in D(A)\), on a \[R\Gamma_Z(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L) = R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_Z(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L)\] Si \(K\) ou \(L\) appartient à \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\), il en est de même de \(K \otimes_A^\mathbf{L} L\).

Démonstration

D’après le lemme 0A6R, on sait que \(R\Gamma_Z\) est donné par \(C \otimes^\mathbf{L} -\) pour un certain \(C \in D(A)\). Ainsi, pour \(K, L \in D(A)\) quelconques, on a \[R\Gamma_Z(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes^\mathbf{L} L \otimes_A^\mathbf{L} C = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_Z(L)\] Les autres égalités en découlent formellement. Cela entraîne aussi la dernière assertion du lemme.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I, J \subset A\) des idéaux de type fini. Posons \(Z = V(I)\) et \(Y = V(J)\). Alors \(Z \cap Y = V(I + J)\) et \(R\Gamma_Y \circ R\Gamma_Z = R\Gamma_{Y \cap Z}\) en tant que foncteurs \(D(A) \to D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A)\). Pour \(K \in D^+(A)\), il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^p_Y(H^q_Z(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{Y \cap Z}(K)\] comme dans Catégories dérivées, lemme 015N.

Démonstration

Le lemme comporte un léger abus de notation, car, à proprement parler, on ne peut pas composer \(R\Gamma_Y\) et \(R\Gamma_Z\). L’énoncé signifie simplement que l’on compose \(R\Gamma_Z\) avec l’inclusion \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A)\), puis avec \(R\Gamma_Y\). L’égalité \(R\Gamma_Y \circ R\Gamma_Z = R\Gamma_{Y \cap Z}\) résulte alors de ce que \[D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \to D(A) \xrightarrow{R\Gamma_Y} D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A)\] est adjoint à droite de l’inclusion \(D_{(I + J)^\infty\text{-torsion}}(A) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\). On peut aussi démontrer la formule à l’aide du lemme 0A6R et du fait que le produit tensoriel des complexes de Čech augmentés sur \(f_1, \ldots, f_r\) et sur \(g_1, \ldots, g_m\) est le complexe de Čech augmenté sur \(f_1, \ldots, f_n. g_1, \ldots, g_m\). La dernière assertion en résulte, avec le lemme cité.

Le lemme suivant est l’analogue de Compléments d’algèbre, lemme 0925, pour les complexes dont les cohomologies sont de torsion.

Lemme

Soient \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux et \(I \subset A\) un idéal de type fini tel que \(A/I = B/IB\). Le changement de base et la restriction induisent alors des équivalences quasi-inverses \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) = D_{(IB)^\infty\text{-torsion}}(B)\).

Démonstration

Plus précisément, les foncteurs sont \(K \mapsto K \otimes_A^\mathbf{L} B\) pour \(K\) dans \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) et \(M \mapsto M_A\) pour \(M\) dans \(D_{(IB)^\infty\text{-torsion}}(B)\). Cela fonctionne parce que \(H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = H^i(K) \otimes_A B = H^i(K)\). La première égalité résulte de la platitude de \(A \to B\) et la seconde de Compléments d’algèbre, lemme 05E9.

Le lemme suivant a été démontré pour les \(\Hom\) et les \(\Ext^1\) de modules dans Compléments d’algèbre, lemmes 05EC et 05EG.

Lemme

Soient \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux et \(I \subset A\) un idéal de type fini tel que \(A/I \to B/IB\) soit un isomorphisme. Pour \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) et \(L \in D(A)\), le morphisme \[R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\] est un quasi-isomorphisme. En particulier, si \(M\), \(N\) sont des \(A\)-modules et si \(M\) est de torsion par les puissances de \(I\), le morphisme canonique \[\Ext^i_A(M, N) \longrightarrow \Ext^i_B(M \otimes_A B, N \otimes_A B)\] est un isomorphisme pour tout \(i\).

Démonstration

Soient \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\) et \(Y = V(IB) \subset \Spec(B)\). Puisque les modules de cohomologie de \(K\) sont de torsion par les puissances de \(I\), le morphisme canonique \(R\Gamma_Z(L) \to L\) induit un isomorphisme \[R\Hom_A(K, R\Gamma_Z(L)) \to R\Hom_A(K, L)\] dans \(D(A)\). De même, les modules de cohomologie de \(K \otimes_A B\) sont de torsion par les puissances de \(IB\) et l’on a un isomorphisme \[R\Hom_B(K \otimes_A B, R\Gamma_Y(L \otimes_A B)) \to R\Hom_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\] dans \(D(B)\). D’après le lemme 0ALZ, on a \(R\Gamma_Z(L) \otimes_A B = R\Gamma_Y(L \otimes_A B)\). Il suffit donc de montrer que le morphisme \[R\Hom_A(K, R\Gamma_Z(L)) \to R\Hom_B(K \otimes_A B, R\Gamma_Z(L) \otimes_A B)\] est un quasi-isomorphisme, ce qui résulte du lemme 0AM0.

Cohomologie locale pour les anneaux noethériens

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). Rappelons que (0A6N) est le foncteur \[D(I^\infty\text{-torsion}) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\] En fait, il existe une transformation naturelle de foncteurs [0A6U]\[\begin{equation} (\href{dualizing.html#dualizing-equation-compare-torsion}{0A6N}) \circ R\Gamma_I(-) \longrightarrow R\Gamma_Z(-) \end{equation}\] En effet, étant donné un complexe de \(A\)-modules \(K^\bullet\), le morphisme canonique \(R\Gamma_I(K^\bullet) \to K^\bullet\) dans \(D(A)\) se factorise (de manière unique) par \(R\Gamma_Z(K^\bullet)\), puisque \(R\Gamma_I(K^\bullet)\) a des modules de cohomologie de torsion par les puissances de \(I\) (voir le lemme 0A6L). En général, ce morphisme n’est pas un isomorphisme (nous l’avons vu dans le lemme 0A6P).

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal.

1. Le morphisme d’adjonction \(R\Gamma_I(K) \to K\) est un isomorphisme pour \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) ;

2. le foncteur (0A6N) \(D(I^\infty\text{-torsion}) \to D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) est une équivalence ;

3. la transformation de foncteurs (0A6U) est un isomorphisme, autrement dit \(R\Gamma_I(K) = R\Gamma_Z(K)\) pour \(K \in D(A)\).

Démonstration

Un argument formel, que nous omettons, montre qu’il suffit de prouver (1).

Soit \(M\) un module de torsion par les puissances de \(I\) sur \(A\). Choisissons un plongement \(M \to J\) dans un \(A\)-module injectif. Alors \(J[I^\infty]\) est un \(A\)-module injectif, voir le lemme 08XW, et l’on obtient un plongement \(M \to J[I^\infty]\). Ainsi tout module de torsion par les puissances de \(I\) possède une résolution injective \(M \to J^\bullet\) dont les \(J^n\) sont aussi de torsion par les puissances de \(I\). Il en résulte que \(R\Gamma_I(M) = M\) (ce n’est pas une trivialité, et ce n’est pas vrai en général si \(A\) n’est pas noethérien). Supposons ensuite que \(K \in D_{I^\infty\text{-torsion}}^+(A)\). La suite spectrale \[R^q\Gamma_I(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}\Gamma_I(K)\] (Catégories dérivées, lemme 015J) converge, et nous avons vu ci-dessus que seuls les termes avec \(q = 0\) peuvent être non nuls. Ainsi \(R\Gamma_I(K) \to K\) est un isomorphisme.

Supposons que \(K\) soit un objet quelconque de \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\). On a \[R^q\Gamma_I(K) = \colim \Ext^q_A(A/I^n, K)\] par le lemme 0954. Prenons \(f_1, \ldots, f_r \in A\) engendrant \(I\). Soit \(K_n^\bullet = K(A, f_1^n, \ldots, f_r^n)\) le complexe de Koszul placé en degrés \(-r, \ldots, 0\). Puisque les pro-objets \(\{A/I^n\}\) et \(\{K_n^\bullet\}\) dans \(D(A)\) sont les mêmes d’après Compléments d’algèbre, lemme 0921, on voit que \[R^q\Gamma_I(K) = \colim \Ext^q_A(K_n^\bullet, K)\] Choisissons un complexe quelconque \(K^\bullet\) de \(A\)-modules représentant \(K\). Puisque \(K_n^\bullet\) est un complexe fini de modules libres de type fini, on voit que \[\Ext^q_A(K_n, K) = H^q(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A K^\bullet))\] où \((K_n^\bullet)^\vee\) est le dual du complexe \(K_n^\bullet\). Voir Compléments d’algèbre, lemme 0A66. Puisque \((K_n^\bullet)^\vee\) est un complexe de \(A\)-modules libres de type fini placés en degrés \(0, \ldots, r\), les termes du complexe \(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A K^\bullet)\) sont les mêmes que ceux du complexe \(\text{Tot}((K_n^\bullet)^\vee \otimes_A \tau_{\geq q - r - 2} K^\bullet)\) en degrés \(q - 1\) et supérieurs. On voit donc que \[\Ext^q_A(K_n, K) = \text{Ext}^q_A(K_n, \tau_{\geq q - r - 2}K)\] pour tout \(n\). Il en résulte que \[R^q\Gamma_I(K) = R^q\Gamma_I(\tau_{\geq q - r - 2}K) = H^q(\tau_{\geq q - r - 2}K) = H^q(K)\] Ainsi le morphisme \(R\Gamma_I(K) \to K\) est un isomorphisme.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal de \(A\). Posons \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\). On a des isomorphismes canoniques \[R\Gamma_I(A) \to (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}) \to R\Gamma_Z(A)\] dans \(D(A)\). Si \(M\) est un \(A\)-module, on a de même \[R\Gamma_I(M) \cong (M \to \prod\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to M_{f_1\ldots f_r}) \cong R\Gamma_Z(M)\] dans \(D(A)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0955 et du calcul du foncteur \(R\Gamma_Z\) donné dans le lemme 0A6R.

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux noethériens et \(I \subset A\) un idéal, alors on a dans \(D(B)\) \[R\Gamma_I(A) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Z(A) \otimes_A^\mathbf{L} B = R\Gamma_Y(B) = R\Gamma_{IB}(B)\] où \(Y = V(IB) \subset \Spec(B)\).

Démonstration

Il suffit de combiner les lemmes 0956 et 0ALZ.

Profondeur

Dans cette section, nous revenons sur la notion de profondeur introduite dans Algèbre, section 00LE.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien, \(I \subset A\) un idéal et \(M\) un \(A\)-module de type fini tel que \(IM \not = M\). Alors les entiers suivants sont égaux :

1. \(\text{profondeur}_I(M)\) ;

2. le plus petit entier \(i\) tel que \(\Ext_A^i(A/I, M)\) soit non nul ;

3. le plus petit entier \(i\) tel que \(H^i_I(M)\) soit non nul.

De plus, on a \(\Ext^i_A(N, M) = 0\) pour \(i < \text{profondeur}_I(M)\) et pour tout \(A\)-module de type fini \(N\) annulé par une puissance de \(I\).

Démonstration

Montrons par récurrence sur \(\text{profondeur}_I(M)\) que (1) et (2) sont égaux, ce qui est permis par Algèbre, lemme 0AUJ.

Cas initial. Si \(\text{profondeur}_I(M) = 0\), alors \(I\) est contenu dans la réunion des idéaux premiers associés de \(M\) (Algèbre, lemme 00LD). Par évitement des idéaux premiers (Algèbre, lemme 00DS), on voit que \(I \subset \mathfrak p\) pour un idéal premier associé \(\mathfrak p\). Ainsi \(\Hom_A(A/I, M)\) est non nul. L’égalité est donc vraie dans ce cas.

Supposons que \(\text{profondeur}_I(M) > 0\). Soit \(f \in I\) un non-diviseur de zéro sur \(M\) tel que \(\text{profondeur}_I(M/fM) = \text{profondeur}_I(M) - 1\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] et la suite exacte longue associée pour \(\Ext^*_A(A/I, -)\). Notons que \(\Ext^i_A(A/I, M)\) est un \(A/I\)-module de type fini (Algèbre, lemmes 08YR et 00LV). On obtient donc \[\Hom_A(A/I, M/fM) = \Ext^1_A(A/I, M)\] et des suites exactes courtes \[0 \to \Ext^i_A(A/I, M) \to \text{Ext}^i_A(A/I, M/fM) \to \Ext^{i + 1}_A(A/I, M) \to 0\] D’où l’égalité de (1) et (2) par récurrence.

Observons que \(\text{profondeur}_I(M) = \text{profondeur}_{I^n}(M)\) pour tout \(n \geq 1\), par exemple d’après Algèbre, lemme 07DV. L’égalité de (1) et (2) donne donc \(\Ext^i_A(A/I^n, M) = 0\) pour tous \(n\) et \(i < \text{profondeur}_I(M)\). Soit \(N\) un \(A\)-module de type fini annulé par une puissance de \(I\). On peut alors choisir une suite exacte courte \[0 \to N' \to (A/I^n)^{\oplus m} \to N \to 0\] pour certains \(n, m \geq 0\). Alors \(\Hom_A(N, M) \subset \Hom_A((A/I^n)^{\oplus m}, M)\) et \(\Ext^i_A(N, M) \subset \text{Ext}^{i - 1}_A(N', M)\) pour \(i < \text{profondeur}_I(M)\). Un simple raisonnement par récurrence établit donc la dernière assertion du lemme.

Enfin, prouvons que (3) est égal à (1) et (2). On a \(H^p_I(M) = \colim \Ext^p_A(A/I^n, M)\) d’après le lemme 0954. On voit donc que \(H^i_I(M) = 0\) pour \(i < \text{profondeur}_I(M)\). Pour \(i = \text{profondeur}_I(M)\), l’annulation de \(\Ext_A^{i - 1}(I/I^n, M)\) montre que le morphisme \(\Ext_A^i(A/I, M) \to H_I^i(M)\) est injectif, ce qui prouve la non-annulation au degré voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(0 \to N' \to N \to N'' \to 0\) une suite exacte courte de \(A\)-modules de type fini. Soit \(I \subset A\) un idéal.

1. \(\text{profondeur}_I(N) \geq \min\{\text{profondeur}_I(N'), \text{profondeur}_I(N'')\}\)

2. \(\text{profondeur}_I(N'') \geq \min\{\text{profondeur}_I(N), \text{profondeur}_I(N') - 1\}\)

3. \(\text{profondeur}_I(N') \geq \min\{\text{profondeur}_I(N), \text{profondeur}_I(N'') + 1\}\)

Démonstration

Supposons \(IN \not = N\), \(IN' \not = N'\) et \(IN'' \not = N''\). On peut alors utiliser la caractérisation de la profondeur par les groupes Ext \(\Ext^i(A/I, N)\), voir le lemme 0AVZ, ainsi que la suite exacte longue de cohomologie \[\begin{matrix} 0 \to \Hom_A(A/I, N') \to \Hom_A(A/I, N) \to \Hom_A(A/I, N'') \\ \phantom{0\ } \to \Ext^1_A(A/I, N') \to \Ext^1_A(A/I, N) \to \Ext^1_A(A/I, N'') \to \ldots \end{matrix}\] donnée par Algèbre, lemme 00LU. Cet argument fonctionne aussi si \(IN = N\), car alors \(\Ext^i_A(A/I, N) = 0\) pour tout \(i\). De même dans le cas où \(IN' \not = N'\) et/ou \(IN'' \not = N''\).

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien, \(I \subset A\) un idéal et \(M\) un \(A\)-module de type fini tel que \(IM \not = M\).

1. Si \(x \in I\) est un non-diviseur de zéro sur \(M\), alors \(\text{profondeur}_I(M/xM) = \text{profondeur}_I(M) - 1\).

2. Toute suite \(M\)-régulière \(x_1, \ldots, x_r\) dans \(I\) peut être prolongée en une suite \(M\)-régulière dans \(I\) de longueur \(\text{profondeur}_I(M)\).

Démonstration

L’assertion (2) est une conséquence formelle de (1). Soit \(x \in I\) comme dans (1). La suite exacte courte \(0 \to M \to M \to M/xM \to 0\) et le lemme 0BUV donnent \(\text{profondeur}_I(M/xM) \geq \text{profondeur}_I(M) - 1\). D’autre part, si \(x_1, \ldots, x_r \in I\) est une suite régulière pour \(M/xM\), alors \(x, x_1, \ldots, x_r\) est une suite régulière pour \(M\). D’où (1).

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Si \(M\) est un \(R\)-module de Cohen-Macaulay de type fini et \(I \subset R\) un idéal non trivial, alors \[\text{profondeur}_I(M) = \dim(\text{Supp}(M)) - \dim(\text{Supp}(M/IM)).\]

Démonstration

Nous allons le démontrer par récurrence sur \(\text{profondeur}_I(M)\).

Si \(\text{profondeur}_I(M) = 0\), alors \(I\) est contenu dans l’un des idéaux premiers associés \(\mathfrak p\) de \(M\) (Algèbre, lemme 00LL). Alors \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M/IM)\), d’où \(\dim(\text{Supp}(M/IM)) \geq \dim(R/\mathfrak p) = \dim(\text{Supp}(M))\) où l’égalité résulte d’Algèbre, lemme 0BUS. Le lemme est donc vrai dans ce cas.

Si \(\text{profondeur}_I(M) > 0\), choisissons \(x \in I\) qui soit un non-diviseur de zéro sur \(M\). Notons que \((M/xM)/I(M/xM) = M/IM\). D’autre part, on a \(\text{profondeur}_I(M/xM) = \text{profondeur}_I(M) - 1\) d’après le lemme 0BUW, et \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = \dim(\text{Supp}(M)) - 1\) d’après Algèbre, lemme 0B52. Le résultat découle donc de l’hypothèse de récurrence.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Notons \(\mathfrak m \subset R\) l’idéal maximal. Soit \(I \subset S\) un idéal. Si \(S/\mathfrak mS\) est de Cohen-Macaulay, alors \[\text{profondeur}_I(S) \geq \dim(S/\mathfrak mS) - \dim(S/\mathfrak mS + I)\]

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 00MG, toute suite dans \(S\) dont l’image est une suite régulière dans \(S/\mathfrak mS\) est une suite régulière dans \(S\). Il suffit donc de prouver le lemme lorsque \(R\) est un corps. C’est un cas particulier du lemme 0BUX.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(Z = V(I)\). Alors \(H^0_I(M) = H^0_Z(M)\). Notons \(N\) cette valeur commune et posons \(M' = M/N\). Alors :

1. \(H^0_I(M') = 0\), \(H^p_I(M) = H^p_I(M')\) et \(H^p_I(N) = 0\) pour tout \(p > 0\) ;

2. \(H^0_Z(M') = 0\), \(H^p_Z(M) = H^p_Z(M')\) et \(H^p_Z(N) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Par définition, \(H^0_I(M) = M[I^\infty]\) est de torsion par les puissances de \(I\). D’après le lemme 0A6R, on voit que \[H^0_Z(M) = \Ker(M \longrightarrow M_{f_1} \times \ldots \times M_{f_r})\] si \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Ainsi \(H^0_I(M) \subset H^0_Z(M)\) et, réciproquement, si \(x \in H^0_Z(M)\), cet élément est annulé par un \(f_i^{e_i}\) pour un certain \(e_i \geq 1\), donc par une puissance de \(I\). Cela prouve la première égalité ; de plus, \(N\) est de torsion par les puissances de \(I\). D’après le lemme 0A6L, on voit que \(R\Gamma_I(N) = N\). D’après le lemme 0A6R, on voit que \(R\Gamma_Z(N) = N\). Cela prouve l’annulation de \(H^p_I(N)\) et de \(H^p_Z(N)\) en degrés strictement positifs dans (1) et (2). L’annulation de \(H^0_I(M')\) et de \(H^0_Z(M')\) résulte des remarques précédentes et du fait que \(M'\) est sans torsion par les puissances de \(I\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 05EB. L’égalité des cohomologies supérieures de \(M\) et de \(M'\) découle immédiatement de la suite exacte longue de cohomologie.

Modules de torsion et modules complets

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de type fini. On peut alors considérer la catégorie dérivée \(D_{I^\infty\text{-torsion}}(A)\) des complexes dont les modules de cohomologie sont de torsion par les puissances de \(I\) (section 0952) et la catégorie dérivée \(D_{comp}(A, I)\) des complexes complets au sens dérivé (Compléments d’algèbre, section 091N). Dans cette section, nous montrons que ces catégories sont équivalentes. On trouvera un énoncé plus général dans [Dwyer-Greenlees].

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un idéal de type fini. Soit \(R\Gamma_Z\) comme dans le lemme 0A6R. Notons \({\ }^\wedge\) la complétion dérivée, comme dans Compléments d’algèbre, lemme 091V. Pour un objet \(K\) de \(D(A)\), on a \[R\Gamma_Z(K^\wedge) = R\Gamma_Z(K) \quad\text{et}\quad (R\Gamma_Z(K))^\wedge = K^\wedge\] dans \(D(A)\).

Démonstration

Choisissons \(f_1, \ldots, f_r \in A\) engendrant \(I\). Rappelons que \[K^\wedge = R\Hom_A\left((A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r}), K\right)\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 091V. Le cône \(C = \text{Cone}(K \to K^\wedge)\) est donc donné par \[R\Hom_A\left((\prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r}), K\right)\] qui peut être représenté par un complexe muni d’une filtration finie dont les quotients successifs sont isomorphes aux \[R\Hom_A(A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}, K), \quad p > 0\] Ces complexes s’annulent lorsqu’on leur applique \(R\Gamma_Z\), voir le lemme 0A6S. En appliquant \(R\Gamma_Z\) au triangle distingué \(K \to K^\wedge \to C \to K[1]\), on voit que la première formule du lemme est correcte.

Rappelons que \[R\Gamma_Z(K) = K \otimes^\mathbf{L} (A \to \prod A_{f_{i_0}} \to \prod A_{f_{i_0i_1}} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r})\] d’après le lemme 0A6R. Le cône \(C = \text{Cone}(R\Gamma_Z(K) \to K)\) peut donc être représenté par un complexe muni d’une filtration finie dont les quotients successifs sont isomorphes aux \[K \otimes_A A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}, \quad p > 0\] Ces complexes s’annulent lorsqu’on leur applique \({\ }^\wedge\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0A6D. En appliquant la complétion dérivée au triangle distingué \(R\Gamma_Z(K) \to K \to C \to R\Gamma_Z(K)[1]\) on voit que la seconde formule du lemme est correcte.

Le résultat suivant est un cas particulier d’un phénomène très général concernant les sous-catégories admissibles d’une catégorie triangulée.

Proposition

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal de type fini. Les foncteurs \(R\Gamma_Z\) et \({\ }^\wedge\) définissent des équivalences quasi-inverses de catégories \[D_{I^\infty\text{-torsion}}(A) \leftrightarrow D_{comp}(A, I)\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0A6W.

Le complément suivant à la proposition précédente précise la correspondance sur les morphismes.

Lemme

Gardons les notations du lemme 0A6W. Pour des objets \(K, L\) de \(D(A)\), il existe un isomorphisme canonique \[R\Hom_A(K^\wedge, L^\wedge) \longrightarrow R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(L))\] dans \(D(A)\).

Démonstration

Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Notons \(C = (A \to \prod A_{f_i} \to \ldots \to A_{f_1 \ldots f_r})\) le complexe alterné de Čech. La complétion dérivée est alors donnée par \(R\Hom_A(C, -)\) (Compléments d’algèbre, lemme 091V) et la cohomologie locale par \(C \otimes^\mathbf{L} -\) (lemme 0A6R). En combinant l’isomorphisme \[R\Hom_A(K \otimes^\mathbf{L} C, L \otimes^\mathbf{L} C) = R\Hom_A(K, R\Hom_A(C, L \otimes^\mathbf{L} C))\] (Compléments d’algèbre, lemme 0A65) et le morphisme \[L \to R\Hom_A(C, L \otimes^\mathbf{L} C)\] (Compléments d’algèbre, lemme 0A6B), on obtient un morphisme \[\gamma : R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_A(K \otimes^\mathbf{L} C, L \otimes^\mathbf{L} C)\] D’autre part, le membre de droite est complet au sens dérivé, car il est égal à \[R\Hom_A(C, R\Hom_A(K, L \otimes^\mathbf{L} C)).\] Ainsi \(\gamma\) se factorise par le complété dérivé de \(R\Hom_A(K, L)\) en vertu de la propriété universelle de la complétion dérivée. Or, la complétion dérivée passe à l’intérieur du \(R\Hom_A\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6E, ce qui donne le morphisme cherché.

Pour montrer que le morphisme du lemme est un isomorphisme, on peut supposer que \(K\) et \(L\) sont complets au sens dérivé, c’est-à-dire que \(K = K^\wedge\) et \(L = L^\wedge\). Il s’agit alors du morphisme \[\gamma : R\Hom_A(K, L) \longrightarrow R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(L))\] D’après la proposition 0A6X, les groupes de cohomologie des membres de gauche et de droite coïncident. Autrement dit, il faut vérifier que le morphisme \(\gamma\) envoie un morphisme \(\alpha : K \to L\) dans \(D(A)\) sur le morphisme \(R\Gamma_Z(\alpha) : R\Gamma_Z(K) \to R\Gamma_Z(L)\). Nous omettons cette vérification (indication : noter que \(R\Gamma_Z(\alpha)\) est simplement le morphisme \(\alpha \otimes \text{id}_C : K \otimes^\mathbf{L} C \to L \otimes^\mathbf{L} C\), ce qui est presque identique à la construction du morphisme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A6B).

Lemme

Soient \(I\) et \(J\) des idéaux d’un anneau noethérien \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Posons \(Z =V(J)\). Considérons le complété \(I\)-adique dérivé \(R\Gamma_Z(M)^\wedge\) de la cohomologie locale. Alors :

1. on a \(R\Gamma_Z(M)^\wedge = R\lim R\Gamma_Z(M/I^nM)\) ;

2. on a des suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}_Z(M/I^nM) \to H^i(R\Gamma_Z(M)^\wedge) \to \lim H^i_Z(M/I^nM) \to 0\]

En particulier, \(R\Gamma_Z(M)^\wedge\) a une cohomologie nulle en degrés négatifs.

Démonstration

Supposons que \(J = (g_1, \ldots, g_m)\). Alors \(R\Gamma_Z(M)\) est calculé par le complexe \[M \to \prod M_{g_{j_0}} \to \prod M_{g_{j_0}g_{j_1}} \to \ldots \to M_{g_1g_2\ldots g_m}\] d’après le lemme 0A6R. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0EEU, le complété \(I\)-adique dérivé de ce complexe est donné par le complexe \[\lim M/I^nM \to \prod \lim (M/I^nM)_{g_{j_0}} \to \ldots \to \lim (M/I^nM)_{g_1g_2\ldots g_m}\] des complétés usuels. Puisque \(R\Gamma_Z(M/I^nM)\) est calculé par le complexe \(M/I^nM \to \prod (M/I^nM)_{g_{j_0}} \to \ldots \to (M/I^nM)_{g_1g_2\ldots g_m}\) et que les morphismes de transition entre ces complexes sont surjectifs, on en déduit (1) par Compléments d’algèbre, lemme 091D. L’assertion (2) découle alors de Compléments d’algèbre, lemme 0CQE.

Lemme

Sous les notations et hypothèses du lemme 0EEW, supposons \(A\) complet pour la topologie \(I\)-adique. Alors \[H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge) = \colim H^0_{V(J')}(M)\] où la limite inductive filtrante porte sur les \(J' \subset J\) tels que \(V(J') \cap V(I) = V(J) \cap V(I)\).

Démonstration

Puisque \(M\) est un \(A\)-module de type fini, \(M\) est complet pour la topologie \(I\)-adique. La démonstration du lemme 0EEW montre que \[H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge) = \Ker(M^\wedge \to \prod M_{g_j}^\wedge) = \Ker(M \to \prod M_{g_j}^\wedge)\] où le membre de droite fait intervenir la complétion \(I\)-adique usuelle. Le noyau \(K_j\) de \(M_{g_j} \to M_{g_j}^\wedge\) est \(\bigcap I^n M_{g_j}\). D’après Algèbre, lemme 00IQ, pour tout \(\mathfrak p \in V(IA_{g_j})\), il existe \(f \in A_{g_j}\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\) et \((K_j)_f = 0\).

Soit \(s \in H^0(R\Gamma_Z(M)^\wedge)\). D’après ce qui précède, on peut considérer \(s\) comme un élément de \(M\). L’intersection du support \(Z'\) de \(s\) avec \(D(g_j)\) est disjointe de \(D(g_j) \cap V(I)\) d’après les arguments ci-dessus. Ainsi \(Z'\) est un fermé de \(\Spec(A)\) tel que \(Z' \cap V(I) \subset V(J)\). On a donc \(Z' \cup V(J) = V(J')\) pour un idéal \(J' \subset J\) tel que \(V(J') \cap V(I) \subset V(J)\), et l’on a \(s \in H^0_{V(J')}(M)\). Réciproquement, tout \(s \in H^0_{V(J')}(M)\) avec \(J' \subset J\) et \(V(J') \cap V(I) \subset V(J)\) a une image nulle dans \(M_{g_j}^\wedge\) pour tout \(j\). Cela prouve le lemme.

Dualité triviale pour un homomorphisme d’anneaux

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Considérons le foncteur \[\Hom_A(B, -) : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto \Hom_A(B, M)\] Ce foncteur est exact à gauche et possède un prolongement dérivé \(R\Hom(B, -) : D(A) \to D(B)\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Le foncteur \(R\Hom(B, -)\) construit ci-dessus est adjoint à droite du foncteur de restriction \(D(B) \to D(A)\).

Démonstration

Cela résulte de ce que la restriction et \(\Hom_A(B, -)\) sont des foncteurs adjoints d’après Algèbre, lemme 08YP. Voir Catégories dérivées, lemme 09T5.

Lemme

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Alors \(R\Hom(C, -) \circ R\Hom(B, -) : D(A) \to D(C)\) est le foncteur \(R\Hom(C, -) : D(A) \to D(C)\).

Démonstration

Cela résulte de l’unicité des adjoints à droite et du lemme 0A70.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Pour \(K\) dans \(D(A)\), on a \[\varphi_*R\Hom(B, K) = R\Hom_A(B, K)\] où \(\varphi_* : D(B) \to D(A)\) est la restriction. En particulier, \(R^q\Hom(B, K) = \Ext_A^q(B, K)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(I^\bullet\) représentant \(K\). Alors \(R\Hom(B, K)\) est représenté par le complexe \(\Hom_A(B, I^\bullet)\) de \(B\)-modules. Puisque ce complexe, considéré comme complexe de \(A\)-modules, représente \(R\Hom_A(B, K)\), le lemme est vrai.

Soit \(A\) un anneau noethérien. Nous noterons \[D_{\textit{Coh}}(A) \subset D(A)\] la sous-catégorie pleine formée des objets \(K\) de \(D(A)\) dont les modules de cohomologie sont tous des \(A\)-modules de type fini. Cela a un sens d’après Catégories dérivées, section 06UP, car, puisque \(A\) est noethérien, la sous-catégorie des \(A\)-modules de type fini est une sous-catégorie de Serre de \(\text{Mod}_A\).

Lemme

Avec les notations ci-dessus, supposons que \(A \to B\) soit un homomorphisme fini d’anneaux noethériens. Alors \(R\Hom(B, -)\) envoie \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\) dans \(D^+_{\textit{Coh}}(B)\).

Démonstration

Il faut montrer que, si \(K \in D^+(A)\) a des modules de cohomologie de type fini, le complexe \(R\Hom(B, K)\) a lui aussi des modules de cohomologie de type fini. Cela résulte par exemple du lemme 0A71, si l’on montre que les modules Ext \(\Ext^i_A(B, K)\) sont des \(A\)-modules de type fini. Puisque \(K\) est borné inférieurement, on a une suite spectrale convergente \[\Ext^p_A(B, H^q(K)) \Rightarrow \text{Ext}^{p + q}_A(B, K)\] Cela achève la démonstration, car les modules \(\Ext^p_A(B, H^q(K))\) sont de type fini d’après Algèbre, lemme 08YR.

Remarque

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal. Posons \(B = A/I\). Dans ce cas, le foncteur \(\Hom_A(B, -)\) est égal au foncteur \[\text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto M[I]\] qui associe à \(M\) son sous-module de \(I\)-torsion.

Situation

Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Donnons une autre construction de \(R\Hom(A, -)\), qui nous sera utile dans la suite de ce chapitre. Supposons donnée une algèbre différentielle graduée \((E, d)\) sur \(R\) et un quasi-isomorphisme \(E \to A\), où l’on considère \(A\) comme une algèbre différentielle graduée sur \(R\) à différentielle nulle. On a alors des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ D(E, \text{d}) \ar[rd] & & D(A) \ar[ll] \ar[ld] \\ & D(R) } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ D(E, \text{d}) \ar[rr]_{- \otimes_E^\mathbf{L} A} & & D(A) \\ & D(R) \ar[lu]^{- \otimes_R^\mathbf{L} E} \ar[ru]_{- \otimes_R^\mathbf{L} A} } }\] où les flèches horizontales sont des équivalences de catégories (Algèbre différentielle graduée, lemme 09S6). La commutativité du premier diagramme est claire. Le second est commutatif parce que le premier l’est et que nos foncteurs en sont les adjoints à gauche (Algèbre différentielle graduée, exemple 0BYX), ou encore parce que l’on a \(E \otimes^\mathbf{L}_E A = E \otimes_E A\) et que l’on peut appliquer Algèbre différentielle graduée, lemme 0BZ3.

Lemme

Dans la situation 0BZB, le foncteur \(R\Hom(A, -)\) est égal au composé de \(R\Hom(E, -) : D(R) \to D(E, \text{d})\) et de l’équivalence \(- \otimes^\mathbf{L}_E A : D(E, \text{d}) \to D(A)\).

Démonstration

Cela résulte de ce que \(R\Hom(E, -)\) est adjoint à droite de \(- \otimes^\mathbf{L}_R E\) ; voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09LT. Ce foncteur joue donc le même rôle que le foncteur \(R\Hom(A, -)\) pour l’homomorphisme \(R \to A\) (lemme 0A70). Ces foncteurs doivent donc se correspondre par l’équivalence \(- \otimes^\mathbf{L}_E A : D(E, \text{d}) \to D(A)\).

Lemme

Dans la situation 0BZB, supposons que

1. \(E\), considéré comme objet de \(D(R)\), soit compact ;

2. \(N = \Hom^\bullet_R(E^\bullet, R)\) calcule \(R\Hom(E, R)\).

Alors \(R\Hom(E, -) : D(R) \to D(E)\) est isomorphe à \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N\).

Démonstration

C’est un cas particulier d’Algèbre différentielle graduée, lemme 0BZ0.

Lemme

Dans la situation 0BZB, supposons que \(A\) soit un \(R\)-module parfait. Alors \[R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\] est donné par \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} M\), où \(M = R\Hom(A, R) \in D(A)\).

Démonstration

Appliquons Algèbre à puissances divisées, lemme 0BZ9, pour choisir une résolution de Tate \((E, \text{d})\) de \(A\) sur \(R\). Notons que \(E^i = 0\) pour \(i > 0\), que \(E^0 = R[x_1, \ldots, x_n]\) est une algèbre de polynômes et que \(E^i\) est un \(E^0\)-module libre de type fini pour \(i < 0\). Il en résulte que \(E\), considéré comme complexe de \(R\)-modules, est un complexe borné supérieurement de \(R\)-modules libres. Vérifions les hypothèses du lemme 0BZD. La première est satisfaite puisque \(A\) est parfait (donc compact d’après Compléments d’algèbre, proposition 07LT), et la seconde d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A66. Le lemme montre que \(K \mapsto R\Hom(E, K)\) est isomorphe à \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N\) pour un certain \(E\)-module différentiel gradué \(N\). Observons que \[(R \otimes_R E) \otimes_E^\mathbf{L} A = R \otimes_E E \otimes_E A\] dans \(D(A)\). D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 0BZ5, on en déduit que le composé de \(- \otimes_R^\mathbf{L} N\) et de \(- \otimes_R^\mathbf{L} A\) est de la forme \(- \otimes_R M\) pour un certain \(M \in D(A)\). Pour achever la démonstration, appliquons le lemme 0BZC.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme surjectif d’anneaux dont le noyau \(I\) est un \(R\)-module inversible. Le foncteur \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\) est isomorphe à \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} N[-1]\), où \(N\) est l’inverse du \(A\)-module inversible \(I \otimes_R A\).

Démonstration

Puisque \(A\) possède la résolution projective finie \[0 \to I \to R \to A \to 0\] on voit que \(A\) est un \(R\)-module parfait. D’après le lemme 0BZE, il suffit de prouver que \(R\Hom(A, R)\) est représenté par \(N[-1]\) dans \(D(A)\). Cela signifie que \(R\Hom(A, R)\) possède un unique module de cohomologie non nul, à savoir \(N\) en degré \(1\). Puisque \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_R\) est pleinement fidèle, il suffit de le prouver après application du foncteur de restriction \(i_* : D(A) \to D(R)\). D’après le lemme 0A71, on a \[i_*R\Hom(A, R) = R\Hom_R(A, R)\] À l’aide de la résolution projective finie ci-dessus, on trouve que ce dernier est représenté par le complexe \(R \to I^{\otimes -1}\) avec \(R\) en degré \(0\). Le morphisme \(R \to I^{\otimes -1}\) est injectif et son conoyau est \(N\).

Changement de base pour la dualité triviale

Dans cette section, considérons un carré cocartésien d’anneaux \[\xymatrix{ A \ar[r]_\alpha & A' \\ R \ar[u]^\varphi \ar[r]^\rho & R' \ar[u]_{\varphi'} }\] Autrement dit, on a \(A' = A \otimes_R R'\). Si \(A\) et \(R'\) sont Tor-indépendants sur \(R\), il existe un morphisme canonique de changement de base [0E29]\[\begin{equation} R\Hom(A, K) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', K \otimes_R^\mathbf{L} R') \end{equation}\] dans \(D(A')\), fonctoriel en \(K\) dans \(D(R)\). En effet, par l’adjonction du lemme 0A70, une telle flèche revient à se donner un morphisme \[\varphi'_*\left(R\Hom(A, K) \otimes_A^\mathbf{L} A'\right) \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} R'\] dans \(D(R')\), où \(\varphi'_* : D(A') \to D(R')\) est le foncteur de restriction. On peut appliquer Compléments d’algèbre, lemme 0661, au membre de gauche pour voir que cela revient à se donner un morphisme \[\varphi_*(R\Hom(A, K)) \otimes_R^\mathbf{L} R' \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} R'\] dans \(D(R')\), où \(\varphi_* : D(A) \to D(R)\) est le foncteur de restriction. On peut choisir pour cela \(can \otimes^\mathbf{L} \text{id}_{R'}\), où \(can : \varphi_*(R\Hom(A, K)) \to K\) est la counité de l’adjonction entre \(R\Hom(A, -)\) et \(\varphi_*\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le morphisme (0E29) est un isomorphisme si et seulement si le morphisme \[R\Hom_R(A, K) \otimes_R^\mathbf{L} R' \longrightarrow R\Hom_R(A, K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] de Compléments d’algèbre, lemme 0BYN, est un isomorphisme.

Démonstration

Pour voir que le morphisme est un isomorphisme, il suffit de le vérifier après application de \(\varphi'_*\). En appliquant le foncteur \(\varphi'_*\) à (0E29) et en utilisant l’égalité \(A' = A \otimes_R^\mathbf{L} R'\), on obtient le morphisme de changement de base \(R\Hom_R(A, K) \otimes_R^\mathbf{L} R' \to R\Hom_{R'}(A \otimes_R^\mathbf{L} R', K \otimes_R^\mathbf{L} R')\) pour le Hom dérivé de Compléments d’algèbre, équation (0E1X). En explicitant les membres de gauche et de droite comme dans la démonstration de Compléments d’algèbre, lemme 0A6A, et en utilisant notamment Compléments d’algèbre, lemme 0E1W, on obtient le résultat voulu.

Lemme

Soient \(R \to A\) et \(R \to R'\) des homomorphismes d’anneaux et \(A' = A \otimes_R R'\). Supposons que

1. \(A\) soit pseudo-cohérent en tant que \(R\)-module ;

2. \(R'\) soit de Tor-dimension finie en tant que \(R\)-module (par exemple, \(R \to R'\) est plat) ;

3. \(A\) et \(R'\) soient Tor-indépendants sur \(R\).

Alors (0E29) est un isomorphisme pour \(K \in D^+(R)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0E2A et de Compléments d’algèbre, lemme 0ATK (4).

Lemme

Soient \(R \to A\) et \(R \to R'\) des homomorphismes d’anneaux et \(A' = A \otimes_R R'\). Supposons que

1. \(A\) soit parfait en tant que \(R\)-module ;

2. \(A\) et \(R'\) soient Tor-indépendants sur \(R\).

Alors (0E29) est un isomorphisme pour tout \(K \in D(R)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0E2A et de Compléments d’algèbre, lemme 0ATK (1).

Complexes dualisants

Dans cette section, nous définissons les complexes dualisants pour les anneaux noethériens.

Définition

Soit \(A\) un anneau noethérien. Un complexe dualisant est un complexe de \(A\)-modules \(\omega_A^\bullet\) tel que

1. \(\omega_A^\bullet\) soit de dimension injective finie ;

2. \(H^i(\omega_A^\bullet)\) soit un \(A\)-module de type fini pour tout \(i\) ;

3. \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\) soit un quasi-isomorphisme.

Il faut un peu de temps pour se familiariser avec cette définition. Il peut être utile de démontrer soi-même certains des lemmes suivants avant d’en lire les démonstrations.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soient \(K, L \in D_{\textit{Coh}}(A)\), et supposons \(L\) de dimension injective finie. Alors \(R\Hom_A(K, L)\) appartient à \(D_{\textit{Coh}}(A)\).

Démonstration

Choisissons un entier \(n\) et considérons le triangle distingué \[\tau_{\leq n}K \to K \to \tau_{\geq n + 1}K \to \tau_{\leq n}K[1]\] voir Catégories dérivées, remarque 08J5. Puisque \(L\) est de dimension injective finie, \(R\Hom_A(\tau_{\geq n + 1}K, L)\) a une cohomologie nulle en degrés \(\geq c - n\) pour une constante \(c\). Ainsi, étant donné \(i\), on voit que \(\Ext^i_A(K, L) \to \Ext^i_A(\tau_{\leq n}K, L)\) est un isomorphisme pour un certain \(n \gg - i\). En appliquant Catégories dérivées de schémas, lemme 0D0C, à \(\tau_{\leq n}K\) et \(L\), on en déduit que \(\Ext^i_A(K, L)\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(i\). Ainsi \(R\Hom_A(K, L)\) est bien un objet de \(D_{\textit{Coh}}(A)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Si \(\omega_A^\bullet\) est un complexe dualisant, le foncteur \[D : K \longmapsto R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\] est une anti-équivalence \(D_{\textit{Coh}}(A) \to D_{\textit{Coh}}(A)\) qui échange \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\) et \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\) et induit une anti-équivalence \(D^b_{\textit{Coh}}(A) \to D^b_{\textit{Coh}}(A)\). De plus, \(D \circ D\) est isomorphe au foncteur identité.

Démonstration

Soit \(K\) un objet de \(D_{\textit{Coh}}(A)\). D’après le lemme 0G4H, on voit que \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\) est un objet de \(D_{\textit{Coh}}(A)\). Compléments d’algèbre, lemme 0A69, et les hypothèses sur le complexe dualisant donnent un isomorphisme canonique \[K = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet)\] Notre foncteur possède donc un quasi-inverse, ce qui achève la démonstration.

Soit \(R\) un anneau. Rappelons qu’un objet \(L\) de \(D(R)\) est inversible s’il est inversible pour la structure monoïdale symétrique sur \(D(R)\) donnée par le produit tensoriel dérivé. Dans Compléments d’algèbre, lemme 0FNT, nous avons vu que cela signifie que \(L\) est parfait, que \(L = \bigoplus H^n(L)[-n]\), cette somme étant finie, que chaque \(H^n(L)\) est projectif de type fini et qu’il existe un recouvrement ouvert \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\) tel que \(L \otimes_R R_{f_i} \cong R_{f_i}[-n_i]\) pour certains entiers \(n_i\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(F : D^b_{\textit{Coh}}(A) \to D^b_{\textit{Coh}}(A)\) une équivalence de catégories \(A\)-linéaire. Alors \(F(A)\) est un objet inversible de \(D(A)\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak m \subset A\) un idéal maximal de corps résiduel \(\kappa\). Considérons l’objet \(F(\kappa)\). Puisque \(\kappa = \Hom_{D(A)}(\kappa, \kappa)\), tous les groupes de cohomologie de \(F(\kappa)\) sont annulés par \(\mathfrak m\). On voit aussi que \[\Ext^i_A(\kappa, \kappa) = \text{Ext}^i_A(F(\kappa), F(\kappa)) = \Hom_{D(A)}(F(\kappa), F(\kappa)[i])\] est nul pour \(i < 0\). Supposons \(H^a(F(\kappa)) \not = 0\) et \(H^b(F(\kappa)) \not = 0\) avec \(a\) minimal et \(b\) maximal (en particulier \(a \leq b\)). Il existe alors un morphisme non nul \[F(\kappa) \to H^b(F(\kappa))[-b] \to H^a(F(\kappa))[-b] \to F(\kappa)[a - b]\] dans \(D(A)\) (non nul parce qu’il induit un morphisme non nul en cohomologie). Cela prouve que \(b = a\). On en déduit que \(F(\kappa) = \kappa[-a]\).

Soit \(G\) un quasi-inverse du foncteur \(F\). En raisonnant comme ci-dessus, on trouve un entier \(b\) tel que \(G(\kappa) = \kappa[-b]\). En composant, on obtient \(a + b = 0\). Soit \(E\) un \(A\)-module de type fini annulé par une puissance de \(\mathfrak m\). Par récurrence sur la longueur de \(E\), on trouve que \(G(E) = E'[-b]\) pour un certain \(A\)-module de type fini \(E'\) annulé par une puissance de \(\mathfrak m\). Alors \(E[-a] = F(E')\). Considérons ensuite les groupes \[\Ext^i_A(A, E') = \text{Ext}^i_A(F(A), F(E')) = \Hom_{D(A)}(F(A), E[-a + i])\] Le membre de gauche est non nul si et seulement si \(i = 0\), auquel cas on obtient \(E'\). En appliquant cela à \(E = E' = \kappa\) et en utilisant le lemme de Nakayama, on voit que \(H^j(F(A))_\mathfrak m\) est nul pour \(j > a\) et engendré par \(1\) élément pour \(j = a\). D’autre part, si \(H^j(F(A))_\mathfrak m\) n’est pas nul pour un certain \(j < a\), il existe un morphisme \(F(A) \to E[-a + i]\) pour un certain \(i < 0\) et un certain \(E\) (Compléments d’algèbre, lemme 0A7D), ce qui est contradictoire. Ainsi \(F(A)_\mathfrak m = M[-a]\) pour un certain \(A_\mathfrak m\)-module \(M\) engendré par \(1\) élément. Cependant, puisque \[A_\mathfrak m = \Hom_{D(A)}(A, A)_\mathfrak m = \Hom_{D(A)}(F(A), F(A))_\mathfrak m = \Hom_{A_\mathfrak m}(M, M)\] on voit que \(M \cong A_\mathfrak m\). On en déduit qu’il existe un élément \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak m\) et tel que \(F(A)_f\) soit isomorphe à \(A_f[-a]\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Si \(\omega_A^\bullet\) et \((\omega'_A)^\bullet\) sont des complexes dualisants, alors \((\omega'_A)^\bullet\) est quasi-isomorphe à \(\omega_A^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} L\) pour un certain objet inversible \(L\) de \(D(A)\).

Démonstration

D’après les lemmes 0A7C et 0A7E, le foncteur \(K \mapsto R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), (\omega_A')^\bullet)\) envoie \(A\) sur un objet inversible \(L\). Autrement dit, il existe un isomorphisme \[L \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet, (\omega_A')^\bullet)\] Puisque \(L\) est de Tor-dimension finie, on peut appliquer Compléments d’algèbre, lemme 0A69, pour voir que \[R\Hom_A(\omega_A^\bullet, (\omega'_A)^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Hom_A(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet), (\omega_A')^\bullet)\] est un isomorphisme pour \(K\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\). En particulier, en posant \(K = \omega_A^\bullet\), on achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(B = S^{-1}A\) un localisé. Si \(\omega_A^\bullet\) est un complexe dualisant, alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est un complexe dualisant pour \(B\).

Démonstration

Soit \(\omega_A^\bullet \to I^\bullet\) un quasi-isomorphisme, où \(I^\bullet\) est un complexe borné d’injectifs. Alors \(S^{-1}I^\bullet\) est un complexe borné de \(B = S^{-1}A\)-modules injectifs (lemme 0A6I) représentant \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\). Ainsi \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est de dimension injective finie. Puisque \(H^i(\omega_A^\bullet \otimes_A B) = H^i(\omega_A^\bullet) \otimes_A B\) par platitude de \(A \to B\), on voit que \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) a des modules de cohomologie de type fini. Enfin, le morphisme \[B \longrightarrow R\Hom_A(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B)\] est un quasi-isomorphisme, car la formation du Hom interne commute au changement de base plat dans ce cas ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0A6A.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soient \(f_1, \ldots, f_n \in A\) engendrant l’idéal unité. Si \(\omega_A^\bullet\) est un complexe de \(A\)-modules tel que \((\omega_A^\bullet)_{f_i}\) soit un complexe dualisant pour \(A_{f_i}\) pour tout \(i\), alors \(\omega_A^\bullet\) est un complexe dualisant pour \(A\).

Démonstration

Considérons le complexe double \[\prod\nolimits_{i_0} (\omega_A^\bullet)_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} (\omega_A^\bullet)_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots\] Le complexe total associé est quasi-isomorphe à \(\omega_A^\bullet\), par exemple d’après Descente, remarque 023O, ou Catégories dérivées de schémas, lemme 08D2. Par hypothèse, les complexes \((\omega_A^\bullet)_{f_i}\) sont de dimension injective finie en tant que complexes de \(A_{f_i}\)-modules. Cela entraîne que chacun des complexes \((\omega_A^\bullet)_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\), \(p > 0\), est de dimension injective finie sur \(A_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\) ; voir le lemme 0A6I. Cela entraîne à son tour que chacun des complexes \((\omega_A^\bullet)_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\), \(p > 0\), est de dimension injective finie sur \(A\) ; voir le lemme 08XQ. Ainsi \(\omega_A^\bullet\) est de dimension injective finie comme complexe de \(A\)-modules (car il peut être représenté par un complexe muni d’une filtration finie dont les gradués sont de dimension injective finie). Puisque \(H^n(\omega_A^\bullet)_{f_i}\) est un \(A_{f_i}\)-module de type fini pour chaque \(i\), on voit que \(H^i(\omega_A^\bullet)\) est un \(A\)-module de type fini ; voir Algèbre, lemme 00EO. Enfin, le changement de base dérivé du morphisme \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\) à \(A_{f_i}\) est le morphisme \(A_{f_i} \to R\Hom_A((\omega_A^\bullet)_{f_i}, (\omega_A^\bullet)_{f_i})\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6A. On en déduit donc que \(A \to R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet)\) est un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fini d’anneaux noethériens. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Alors \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\) est un complexe dualisant pour \(B\).

Démonstration

Soit \(\omega_A^\bullet \to I^\bullet\) un quasi-isomorphisme, où \(I^\bullet\) est un complexe borné d’injectifs. Alors \(\Hom_A(B, I^\bullet)\) est un complexe borné de \(B\)-modules injectifs (lemme 08XR) représentant \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\). Ainsi \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\) est de dimension injective finie. D’après le lemme 0A72, c’est un objet de \(D_{\textit{Coh}}(B)\). Enfin, on calcule \[\Hom_{D(B)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), R\Hom(B, \omega_A^\bullet)) = \Hom_{D(A)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet) = B\] et, pour \(n \not = 0\), on calcule \[\Hom_{D(B)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), R\Hom(B, \omega_A^\bullet)[n]) = \Hom_{D(A)}(R\Hom(B, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet[n]) = 0\] ce qui prouve la dernière propriété d’un complexe dualisant. Dans les égalités affichées, la première égalité résulte du lemme 0A70 et la seconde du lemme 0A7C.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme surjectif d’anneaux noethériens. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Alors \(R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\) est un complexe dualisant pour \(B\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0AX0.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Si \(\omega_A^\bullet\) est un complexe dualisant, alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A A[x]\) est un complexe dualisant pour \(A[x]\).

Démonstration

Posons \(B = A[x]\) et \(\omega_B^\bullet = \omega_A^\bullet \otimes_A B\). Le lemme 0A6J et Compléments d’algèbre, lemme 0A5V, montrent que \(\omega_B^\bullet\) est de dimension injective finie. Puisque \(H^i(\omega_B^\bullet) = H^i(\omega_A^\bullet) \otimes_A B\) par platitude de \(A \to B\), on voit que \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) a des modules de cohomologie de type fini. Enfin, le morphisme \[B \longrightarrow R\Hom_B(\omega_B^\bullet, \omega_B^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme, car la formation du Hom interne commute au changement de base plat dans ce cas ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0A6A.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Alors toute \(A\)-algèbre essentiellement de type fini sur \(A\) possède un complexe dualisant.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des lemmes 0A7G, 0A7I et 0A7J.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Soit \(\mathfrak m \subset A\) un idéal maximal et posons \(\kappa = A/\mathfrak m\). Alors \(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet) \cong \kappa[n]\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Cela résulte de ce que \(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet)\) est un complexe dualisant sur \(\kappa\) (lemme 0A7I), de ce que les complexes dualisants sur \(\kappa\) sont uniques à décalage près (lemme 0A7F) et de ce que \(\kappa\) est un complexe dualisant sur \(\kappa\).

Complexes dualisants sur les anneaux locaux

Dans cette section, \((A, \mathfrak m, \kappa)\) sera un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\) tel que l’entier \(n\) du lemme 0A7L soit nul. Plus précisément, supposons \(R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet) = \kappa[0]\). Nous dirons alors que le complexe dualisant est normalisé. Observons qu’un complexe dualisant normalisé est unique à isomorphisme près et que tout autre complexe dualisant pour \(A\) est isomorphe à un décalé d’un complexe normalisé (lemme 0A7F).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa) \to (B, \mathfrak m', \kappa')\) un homomorphisme local fini d’anneaux locaux noethériens. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Alors \(\omega_B^\bullet = R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\) est un complexe dualisant normalisé pour \(B\).

Démonstration

D’après le lemme 0AX0, le complexe \(\omega_B^\bullet\) est dualisant pour \(B\). On a \[R\Hom_B(\kappa', \omega_B^\bullet) = R\Hom_B(\kappa', R\Hom(B, \omega_A^\bullet)) = R\Hom_A(\kappa', \omega_A^\bullet)\] d’après le lemme 0A70. Puisque \(\kappa'\) est isomorphe à une somme directe finie de copies de \(\kappa\) comme \(A\)-module, et que \(\omega_A^\bullet\) est normalisé, ce complexe n’a de cohomologie qu’en degré \(0\). Ainsi \(\omega_B^\bullet\) est lui aussi un complexe dualisant normalisé.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(A \to B\) surjectif. Alors \(\omega_B^\bullet = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet)\) est un complexe dualisant normalisé pour \(B\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0AX1.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(F\) une auto-équivalence \(A\)-linéaire de la catégorie des \(A\)-modules de longueur finie. Alors \(F\) est isomorphe au foncteur identité.

Démonstration

Puisque \(\kappa\) est l’unique objet simple de la catégorie, on a \(F(\kappa) \cong \kappa\). Notre catégorie étant abélienne, \(F\) est exact. Ainsi \(F(E)\) a la même longueur que \(E\) pour tout module de longueur finie \(E\). Puisque \(\Hom(E, \kappa) = \Hom(F(E), F(\kappa)) \cong \Hom(F(E), \kappa)\), le lemme de Nakayama montre que \(E\) et \(F(E)\) ont le même nombre de générateurs. Ainsi \(F(A/\mathfrak m^n)\) est un \(A\)-module cyclique. Choisissons un générateur \(e \in F(A/\mathfrak m^n)\). Puisque \(F\) est \(A\)-linéaire, on a \(\mathfrak m^n e = 0\). Le morphisme \(A/\mathfrak m^n \to F(A/\mathfrak m^n)\) est nécessairement un isomorphisme, les longueurs étant égales. Choisissons un élément \[e \in \lim F(A/\mathfrak m^n)\] dont l’image soit un générateur pour tout \(n\) (nous omettons un petit argument). On obtient alors un système d’isomorphismes \(A/\mathfrak m^n \to F(A/\mathfrak m^n)\) compatible avec tous les homomorphismes de \(A\)-modules \(A/\mathfrak m^n \to A/\mathfrak m^{n'}\) (encore par \(A\)-linéarité de \(F\)). Puisque tout module de longueur finie est conoyau d’un morphisme entre sommes directes de modules cycliques, on obtient l’isomorphisme du lemme.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(E\) une enveloppe injective de \(\kappa\). Il existe alors un isomorphisme fonctoriel \[R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet) = \Hom_A(N, E)[0]\] pour \(N\) parcourant les \(A\)-modules de longueur finie.

Démonstration

Par récurrence sur la longueur de \(N\), on voit que \(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet)\) est un module de longueur finie placé en degré \(0\). Ainsi \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\) induit une anti-équivalence de la catégorie des modules de longueur finie. Il en est de même de \(\Hom_A(-, E)\) d’après la proposition 08Z9 ; par conséquent, \[N \longmapsto \Hom_A(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet), E)\] est une équivalence comme dans le lemme 0A7P. Elle est donc isomorphe au foncteur identité. Puisque \(\Hom_A(-, E)\) appliqué deux fois est l’identité (proposition 08Z9), on obtient l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini et soit \(d = \dim(\text{Supp}(M))\). Alors :

1. si \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\) est non nul, alors \(i \in \{-d, \ldots, 0\}\) ;

2. la dimension du support de \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\) est au plus \(-i\) ;

3. \(\text{profondeur}(M)\) est le plus petit entier \(\delta \geq 0\) tel que \(\Ext^{-\delta}_A(M, \omega_A^\bullet) \not = 0\).

Démonstration

Démontrons cela par récurrence sur \(d\). Si \(d = 0\), cela résulte du lemme 0A7Q et de la dualité de Matlis (proposition 08Z9), qui assure que \(\Hom_A(M, E)\) est non nul si \(M\) est non nul.

Supposons le résultat vrai pour les modules dont le support est de dimension \(< d\), et supposons \(M\) de profondeur \(> 0\). Choisissons \(f \in \mathfrak m\) qui soit un non-diviseur de zéro sur \(M\) et considérons la suite exacte courte \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] Puisque \(\dim(\text{Supp}(M/fM)) = d - 1\) (Algèbre, lemme 0B52), on peut appliquer l’hypothèse de récurrence. En écrivant \(E^i = \Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\) et \(F^i = \Ext^i_A(M/fM, \omega_A^\bullet)\), on obtient une suite exacte longue \[\ldots \to F^i \to E^i \xrightarrow{f} E^i \to F^{i + 1} \to \ldots\] Par récurrence, \(E^i/fE^i = 0\) pour \(i + 1 \not \in \{-\dim(\text{Supp}(M/fM)), \ldots, -\text{profondeur}(M/fM)\}\). Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) et Algèbre, lemme 090R, donnent \(E^i = 0\) pour \(i \not \in \{-\dim(\text{Supp}(M)), \ldots, -\text{profondeur}(M)\}\). De plus, dans le cas limite \(i = - \text{profondeur}(M)\), on en déduit que \(E^i\) est non nul puisque \(F^{i + 1}\) est non nul par récurrence. Puisque \(E^i/fE^i \subset F^{i + 1}\), on obtient \[\dim(\text{Supp}(F^{i + 1})) \geq \dim(\text{Supp}(E^i/fE^i)) \geq \dim(\text{Supp}(E^i)) - 1\] (voir le lemme utilisé ci-dessus), ce qui donne aussi la majoration de la dimension dans (2).

Si \(M\) est de profondeur \(0\) et si \(d > 0\), posons \(N = M[\mathfrak m^\infty]\) et \(M' = M/N\) (comparer au lemme 0AW0). Alors \(M'\) est de profondeur \(> 0\) et \(\dim(\text{Supp}(M')) = d\). On connaît donc le résultat pour \(M'\) et, puisque \(R\Hom_A(N, \omega_A^\bullet) = \Hom_A(N, E)\) (lemme 0A7Q), la suite exacte longue de cohomologie des \(\Ext\) donne le résultat pour \(M\).

Remarque

Soient \((A, \mathfrak m)\) et \(\omega_A^\bullet\) comme dans le lemme 0A7U. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A5T, on voit que \(\omega_A^\bullet\) a son amplitude injective dans \([-d, 0]\), car l’assertion (3) de ce lemme s’applique. En particulier, pour tout \(A\)-module \(M\) (pas nécessairement de type fini), on a \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet) = 0\) pour \(i \not \in \{-d, \ldots, 0\}\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) est de Cohen-Macaulay ;

2. \(\Ext^i_A(M, \omega_A^\bullet)\) est non nul pour au plus un \(i\) ;

3. \(\Ext^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\) est nul pour \(i \not = \dim(\text{Supp}(M))\).

Notons \(CM_d\) la catégorie des \(A\)-modules de Cohen-Macaulay de type fini et de profondeur \(d\). Alors \(M \mapsto \Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\) définit une anti-auto-équivalence de \(CM_d\).

Démonstration

Nous utiliserons les résultats du lemme 0A7U sans autre mention. Fixons un module de type fini \(M\). Si \(M\) est de Cohen-Macaulay, seul \(\Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\) peut être non nul, d’où (1) \(\Rightarrow\) (3). L’implication (3) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2) et notons \(N = \Ext^{-\delta}_A(M, \omega_A^\bullet)\) le groupe \(\Ext\) non nul, où \(\delta = \text{profondeur}(M)\). Alors, puisque \[M[0] = R\Hom_A(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet), \omega_A^\bullet) = R\Hom_A(N[\delta], \omega_A^\bullet)\] (lemme 0A7C), on en déduit que \(M = \Ext_A^{-\delta}(N, \omega_A^\bullet)\). Ainsi \(\delta \geq \dim(\text{Supp}(M))\). Cependant, sachant aussi que \(\delta \leq \dim(\text{Supp}(M))\) (Algèbre, lemme 00LK), on en déduit que \(M\) est de Cohen-Macaulay.

Pour prouver la dernière assertion, il suffit de montrer que \(N = \Ext^{-d}_A(M, \omega_A^\bullet)\) appartient à \(CM_d\) pour \(M\) dans \(CM_d\). Nous avons vu ci-dessus que \(M[0] = R\Hom_A(N[d], \omega_A^\bullet)\), ce qui prouve le résultat voulu par l’équivalence de (1) et (3).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Si \(\dim(A) = 0\), alors \(\omega_A^\bullet \cong E[0]\), où \(E\) est une enveloppe injective du corps résiduel.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0A7Q.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé. Soit \(I \subset \mathfrak m\) un idéal de longueur finie. Posons \(B = A/I\). Il existe alors un triangle distingué \[\omega_B^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \Hom_A(I, E)[0] \to \omega_B^\bullet[1]\] dans \(D(A)\), où \(E\) est une enveloppe injective de \(\kappa\) et \(\omega_B^\bullet\) un complexe dualisant normalisé pour \(B\).

Démonstration

Utiliser la suite exacte courte \(0 \to I \to A \to B \to 0\) et les lemmes 0A7Q et 0A7N.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(f \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro. Posons \(B = A/(f)\). Il existe alors un triangle distingué \[\omega_B^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \omega_A^\bullet \to \omega_B^\bullet[1]\] dans \(D(A)\), où \(\omega_B^\bullet\) est un complexe dualisant normalisé pour \(B\).

Démonstration

Utiliser la suite exacte courte \(0 \to A \to A \to B \to 0\) et le lemme 0A7N.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal de \(A\) tel que \(\dim(A/\mathfrak p) = e\). Alors \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) est non nul si et seulement si \(i = -e\).

Démonstration

Puisque \(A_\mathfrak p\) est de dimension zéro, il existe un entier \(n > 0\) tel que \(\mathfrak p^nA_\mathfrak p\) soit nul. Posons \(B = A/\mathfrak p^n\) et \(\omega_B^\bullet = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet)\). Puisque \(B_\mathfrak p = A_\mathfrak p\), on voit que \[(\omega_B^\bullet)_\mathfrak p = R\Hom_A(B, \omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} A_\mathfrak p = R\Hom_{A_\mathfrak p}(B_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p) = (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\] La deuxième égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0A6A. D’après le lemme 0A7N, on peut remplacer \(A\) par \(B\). On a alors \(\dim(A) = e\). Ainsi \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) ne peut être non nul que si \(i = -e\) d’après le lemme 0A7U (1) et (2). D’autre part, puisque \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) est un complexe dualisant pour l’anneau non nul \(A_\mathfrak p\) (lemme 0A7G), le module restant doit être non nul.

Complexes dualisants et fonctions de dimension

Nos résultats dans le cas local ont la conséquence suivante : un anneau noethérien possédant un complexe dualisant est universellement caténaire et de dimension finie.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal de \(A\). Alors \(H^i(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) est non nul pour exactement un \(i\).

Démonstration

Le complexe \(\omega_A^\bullet \otimes_A A_\mathfrak p\) est un complexe dualisant pour \(A_\mathfrak p\) (lemme 0A7G). La dimension de \(A_\mathfrak p\) est zéro puisque \(\mathfrak p\) est minimal. Le résultat découle donc du lemme 0A7R.

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Le lemme 0A7L permet de définir une fonction \[\delta = \delta_{\omega_A^\bullet} : \Spec(A) \longrightarrow \mathbf{Z}\] en associant à \(\mathfrak p\) l’entier du lemme 0A7L pour le complexe dualisant \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) sur \(A_\mathfrak p\) (lemme 0A7G) et le corps résiduel \(\kappa(\mathfrak p)\). Plus précisément, \(\delta(\mathfrak p)\) est l’unique entier tel que \[(\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)]\] soit un complexe dualisant normalisé sur l’anneau local noethérien \(A_\mathfrak p\).

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Soit \(A \to B\) un homomorphisme surjectif d’anneaux et soit \(\omega_B^\bullet = R\Hom(B, \omega_A^\bullet)\) le complexe dualisant pour \(B\) du lemme 0A7I. Alors on a \[\delta_{\omega_B^\bullet} = \delta_{\omega_A^\bullet}|_{\Spec(B)}\]

Démonstration

Cela résulte de la définition des fonctions et du lemme 0A7N.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. La fonction \(\delta = \delta_{\omega_A^\bullet}\) définie ci-dessus est une fonction de dimension (Topologie, définition 02I9).

Démonstration

Soit \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) une spécialisation immédiate. Il faut montrer que \(\delta(\mathfrak p) = \delta(\mathfrak q) + 1\). On peut remplacer \(A\) par \(A/\mathfrak p\), le complexe \(\omega_A^\bullet\) par \(\omega_{A/\mathfrak p}^\bullet = R\Hom(A/\mathfrak p, \omega_A^\bullet)\), l’idéal premier \(\mathfrak p\) par \((0)\) et l’idéal premier \(\mathfrak q\) par \(\mathfrak q/\mathfrak p\) ; voir le lemme 0A7Y. On peut donc supposer que \(A\) est intègre, que \(\mathfrak p = (0)\) et que \(\mathfrak q\) est un idéal premier de hauteur \(1\).

Alors \(H^i(\omega_A^\bullet)_{(0)}\) est non nul pour exactement un \(i\), disons \(i_0\), d’après le lemme 0A7X. En fait, \(i_0 = -\delta((0))\) parce que \((\omega_A^\bullet)_{(0)}[-\delta((0))]\) est un complexe dualisant normalisé sur le corps \(A_{(0)}\).

D’autre part, \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak q\). D’après le lemme 0A7V, on voit que \[H^e((\omega_A^\bullet)_\mathfrak q[-\delta(\mathfrak q)])_{(0)} = H^{e - \delta(\mathfrak q)}(\omega_A^\bullet)_{(0)}\] n’est non nul que pour \(e = -\dim(A_\mathfrak q) = -1\). On en déduit \[-\delta((0)) = -1 - \delta(\mathfrak q)\] comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien possédant un complexe dualisant. Alors \(A\) est universellement caténaire et de dimension finie.

Démonstration

Puisque \(\Spec(A)\) possède une fonction de dimension d’après le lemme 0A7Z, il est caténaire ; voir Topologie, lemme 02IA. Ainsi \(A\) est caténaire ; voir Algèbre, lemme 02IH. La proposition 0A7K entraîne alors que \(A\) est universellement caténaire.

Puisque tout complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\), les valeurs de la fonction \(\delta_{\omega_A^\bullet}\) aux idéaux premiers minimaux sont bornées d’après le lemme 0A7X. D’autre part, pour un idéal maximal \(\mathfrak m\) de corps résiduel \(\kappa\), l’entier \(i = -\delta(\mathfrak m)\) est l’unique entier tel que \(\Ext_A^i(\kappa, \omega_A^\bullet)\) soit non nul (lemme 0A7L). Puisque \(\omega_A^\bullet\) est de dimension injective finie, ces valeurs sont aussi bornées. La dimension de \(A\) étant la valeur maximale de \(\delta(\mathfrak p) - \delta(\mathfrak m)\), où \(\mathfrak p \subset \mathfrak m\) parcourt les couples formés d’un idéal premier minimal et d’un idéal maximal, on voit que la dimension de \(\Spec(A)\) est bornée.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Soient \(d = \dim(A)\) et \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\). Alors :

1. le support de \(\omega_A\) est la réunion des composantes irréductibles de \(\Spec(A)\) de dimension \(d\) ;

2. \(\omega_A\) satisfait à \((S_2)\), voir Algèbre, définition 031P.

Démonstration

Nous utiliserons le lemme 0A7U sans autre mention. D’après le lemme 0A7V, le support de \(\omega_A\) contient les composantes irréductibles de dimension \(d\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. D’après le lemme 0A7Z, le complexe \((\omega_A^\bullet)_{\mathfrak p}[-\dim(A/\mathfrak p)]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak p\). Ainsi, si \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) < d\), alors \((\omega_A)_\mathfrak p = 0\). Cela prouve que le support de \(\omega_A\) est la réunion des composantes irréductibles de dimension \(d\), car le complémentaire de cette réunion est exactement formé des idéaux premiers \(\mathfrak p\) de \(A\) pour lesquels \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) < d\), puisque \(A\) est caténaire (lemme 0A80). D’autre part, si \(\dim(A/\mathfrak p) + \dim(A_\mathfrak p) = d\), alors \[(\omega_A)_\mathfrak p = H^{-\dim(A_\mathfrak p)}\left( (\omega_A^\bullet)_{\mathfrak p}[-\dim(A/\mathfrak p)] \right)\] Pour prouver que \(\omega_A\) satisfait à \((S_2)\), il suffit donc de montrer que la profondeur de \(\omega_A\) est au moins \(\min(\dim(A), 2)\). Procédons par récurrence sur \(\dim(A)\). Le cas \(\dim(A) = 0\) est trivial.

Supposons \(\text{profondeur}(A) > 0\). Choisissons un non-diviseur de zéro \(f \in \mathfrak m\) et posons \(B = A/fA\). Alors \(\dim(B) = \dim(A) - 1\) et l’on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à \(B\). D’après le lemme 0A7T, la multiplication par \(f\) est injective sur \(\omega_A\) et l’on obtient \(\omega_A/f\omega_A \subset \omega_B\). La profondeur de \(\omega_A\) est donc au moins \(1\). Si \(\dim(A) > 1\), alors \(\dim(B) > 0\) et \(\omega_B\) est de profondeur \(> 0\). Ainsi \(\omega_A\) est de profondeur \(> 1\), ce qui conclut dans ce cas.

Supposons \(\dim(A) > 0\) et \(\text{profondeur}(A) = 0\). Soit \(I = A[\mathfrak m^\infty]\) et posons \(B = A/I\). Alors \(B\) est de profondeur \(\geq 1\) et \(\omega_A = \omega_B\) d’après le lemme 0A7S. Puisque le résultat a été démontré ci-dessus pour \(\omega_B\), la démonstration est achevée.

Le théorème de dualité locale

Le résultat principal de cette section est dû à Grothendieck.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Soit \(Z = V(\mathfrak m) \subset \Spec(A)\). Alors \(E = R^0\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\) est une enveloppe injective de \(\kappa\) et \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet) = E[0]\).

Démonstration

D’après le lemme 0955, on a \(R\Gamma_{\mathfrak m} = R\Gamma_Z\). Ainsi \[R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet) = R\Gamma_{\mathfrak m}(\omega_A^\bullet) = \text{hocolim}\ R\Hom_A(A/\mathfrak m^n, \omega_A^\bullet)\] d’après le lemme 0954. Soit \(E'\) une enveloppe injective du corps résiduel. D’après le lemme 0A7Q, on peut trouver des isomorphismes \[R\Hom_A(A/\mathfrak m^n, \omega_A^\bullet) \cong \Hom_A(A/\mathfrak m^n, E')[0]\] compatibles avec les morphismes de transition. Puisque \(E' = \bigcup E'[\mathfrak m^n] = \colim \Hom_A(A/\mathfrak m^n, E')\) d’après le lemme 08Z4, on en déduit que \(E \cong E'\) et que tous les autres groupes de cohomologie du complexe \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\) sont nuls.

Remarque

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). D’après le lemme 0A82 ci-dessus, \(R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\) est une enveloppe injective du corps résiduel placée en degré \(0\). Cela donne en fait une « construction » ou une « réalisation » de l’enveloppe injective un peu plus canonique que le choix d’une enveloppe injective quelconque. En effet, un complexe dualisant normalisé est unique à isomorphisme près, et son groupe d’automorphismes est le groupe des unités de \(A\), tandis qu’une enveloppe injective de \(\kappa\) est unique à isomorphisme près, avec pour groupe d’automorphismes le groupe des unités du complété \(A^\wedge\) de \(A\) relativement à \(\mathfrak m\).

Voici le résultat principal de cette section.

Théorème

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Soit \(E\) une enveloppe injective du corps résiduel. Soit \(Z = V(\mathfrak m) \subset \Spec(A)\). Notons \({}^\wedge\) la complétion dérivée relativement à \(\mathfrak m\). Alors \[R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge \cong R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), E[0])\] pour \(K\) dans \(D(A)\).

Démonstration

Observons que \(E[0] \cong R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet)\) d’après le lemme 0A82. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6E, la complétion dans le membre de gauche passe à l’intérieur. Il faut donc prouver \[R\Hom_A(K^\wedge, (\omega_A^\bullet)^\wedge) = R\Hom_A(R\Gamma_Z(K), R\Gamma_Z(\omega_A^\bullet))\] Cela résulte de l’équivalence entre \(D_{comp}(A, \mathfrak m)\) et \(D_{\mathfrak m^\infty\text{-torsion}}(A)\) donnée dans la proposition 0A6X. Plus précisément, c’est un cas particulier du lemme 0A6Y.

Voici un cas particulier du théorème précédent.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Soit \(E\) une enveloppe injective du corps résiduel. Soit \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\). Alors \[\Ext^{-i}_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge = \Hom_A(H^i_{\mathfrak m}(K), E)\] où \({}^\wedge\) désigne la complétion \(\mathfrak m\)-adique.

Démonstration

D’après le lemme 0A7C, on voit que \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\) est un objet de \(D_{\textit{Coh}}(A)\). Il en résulte que les modules de cohomologie du complété dérivé de \(R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\) sont les complétés usuels \(\Ext^i_A(K, \omega_A^\bullet)^\wedge\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A06. D’autre part, on a \(R\Gamma_{\mathfrak m} = R\Gamma_Z\) pour \(Z = V(\mathfrak m)\) d’après le lemme 0955. De plus, le foncteur \(\Hom_A(-, E)\) est exact, donc se factorise par la cohomologie. Le lemme est ainsi une conséquence du théorème 0A84.

Modules dualisants

Si \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local noethérien et \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé, on dit que le module \(\omega_A = H^{-\dim(A)}(\omega_A^\bullet)\), décrit dans le lemme 0AWE, est un module dualisant pour \(A\). Ce module est un module canonique de \(A\). Il semble généralement admis de définir un module canonique pour un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m, \kappa)\) comme un \(A\)-module de type fini \(K\) tel que \[\Hom_A(K, E) \cong H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A)\] où \(E\) est une enveloppe injective du corps résiduel. Un module dualisant est canonique parce que \[\Hom_A(H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A), E) = (\omega_A)^\wedge\] d’après le lemme 0AAK ; en appliquant \(\Hom_A(-, E)\), on obtient donc \[\begin{align*} \Hom_A(\omega_A, E) & = \Hom_A((\omega_A)^\wedge, E) \\ & = \Hom_A(\Hom_A(H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A), E), E) \\ & = H^{\dim(A)}_\mathfrak m(A) \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(E\) est de torsion par les puissances de \(\mathfrak m\), la deuxième de ce qui précède et la troisième de la dualité de Matlis (proposition 08Z9). L’intérêt de la définition du module canonique donnée ci-dessus est qu’elle a un sens même si \(A\) ne possède pas de complexe dualisant.

Anneaux de Cohen-Macaulay

Les modules et anneaux de Cohen-Macaulay ont été étudiés dans Algèbre, sections 00N2 et 00N7.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\). Alors \(\text{profondeur}(A)\) est égale au plus petit entier \(\delta \geq 0\) tel que \(H^{-\delta}(\omega_A^\bullet) \not = 0\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0A7U. Voici deux autres façons de le voir.

Première variante. Le lemme de Nakayama montre que \(\delta\) est le plus petit entier tel que \(\Hom_A(H^{-\delta}(\omega_A^\bullet), \kappa) \not = 0\). Autrement dit, c’est le plus petit entier tel que \(\Ext_A^{-\delta}(\omega_A^\bullet, \kappa)\) soit non nul. Le lemme 0A7C et le fait que \(\omega_A^\bullet\) soit normalisé montrent qu’il s’agit du plus petit entier tel que \(\Ext_A^\delta(\kappa, A)\) soit non nul. C’est la profondeur de \(A\) d’après Algèbre, lemme 00LW.

Deuxième variante. Le théorème de dualité locale (sous la forme du lemme 0AAK) montre que \(\delta\) est le plus petit entier tel que \(H^\delta_\mathfrak m(A)\) soit non nul. C’est la profondeur de \(A\) d’après le lemme 0AVZ.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien muni d’un complexe dualisant normalisé \(\omega_A^\bullet\) et d’un module dualisant \(\omega_A = H^{-\dim(A)}(\omega_A^\bullet)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est de Cohen-Macaulay ;

2. \(\omega_A^\bullet\) est concentré en un seul degré ;

3. \(\omega_A^\bullet = \omega_A[\dim(A)]\).

Dans ce cas, \(\omega_A\) est un module de Cohen-Macaulay maximal.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0B5A.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. S’il existe un \(A\)-module de type fini \(\omega_A\) tel que \(\omega_A[0]\) soit un complexe dualisant, alors \(A\) est de Cohen-Macaulay.

Démonstration

On peut remplacer \(A\) par son localisé en un idéal premier (lemme 0A7G et Algèbre, définition 00NC). Dans ce cas, le résultat découle immédiatement du lemme 0AWS.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien muni d’un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\). Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors \[U = \{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid M_\mathfrak p\text{ est de Cohen-Macaulay}\}\] est un ouvert de \(\Spec(A)\) dont l’intersection avec \(\text{Supp}(M)\) est dense.

Démonstration

Si \(\mathfrak p\) est un point générique de \(\text{Supp}(M)\), alors \(\text{profondeur}(M_\mathfrak p) = \dim(M_\mathfrak p) = 0\), donc \(\mathfrak p \in U\). Cela prouve la densité. Si \(\mathfrak p \in U\), on voit que \[R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = R\Hom_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p)\] a un unique module de cohomologie non nul, disons en degré \(i_0\), d’après le lemme 0B5A. Puisque \(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)\) n’a qu’un nombre fini de modules de cohomologie non nuls \(H^i\), et que chacun est un \(A\)-module de type fini, il existe \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\) et \((H^i)_f = 0\) pour \(i \not = i_0\). Alors \(R\Hom_A(M, \omega_A^\bullet)_f\) a un unique module de cohomologie non nul ; en reprenant les arguments précédents en sens inverse, on trouve \(D(f) \subset U\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Si \(A\) possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\), alors \(\{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid A_\mathfrak p\text{ est de Cohen-Macaulay}\}\) est un ouvert dense de \(\Spec(A)\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0EHS et des définitions.

Anneaux de Gorenstein

Jusqu’ici, le seul complexe dualisant explicite que nous ayons rencontré est \(\kappa\) sur \(\kappa\) pour un corps \(\kappa\) ; voir la démonstration du lemme 0A7L. D’après la proposition 0A7K, cela signifie que toute algèbre de type fini sur un corps possède un complexe dualisant. Cependant, il existe des anneaux noethériens (locaux) sans complexe dualisant. En effet, nous avons vu qu’un anneau possédant un complexe dualisant est universellement caténaire (lemme 0A80), mais il existe des exemples d’anneaux locaux noethériens non caténaires ; voir Exemples, section 02JE.

Néanmoins, beaucoup d’anneaux de la géométrie algébrique possèdent des complexes dualisants simplement parce qu’ils sont quotients d’anneaux de Gorenstein. Cette condition est en fait nécessaire et suffisante : un anneau noethérien possède un complexe dualisant si et seulement s’il est quotient d’un anneau de Gorenstein de dimension finie. C’est la conjecture de Sharp ([Sharp]), que l’on trouve dans la littérature sous la forme [Kawasaki, corollaire 1.4]. Revenons à notre sujet et définissons les anneaux de Gorenstein.

Définition

Anneaux de Gorenstein.

1. Soit \(A\) un anneau local noethérien. On dit que \(A\) est de Gorenstein si \(A[0]\) est un complexe dualisant pour \(A\).

2. Soit \(A\) un anneau noethérien. On dit que \(A\) est de Gorenstein si \(A_\mathfrak p\) est de Gorenstein pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\).

Cette définition a un sens, car, si \(A[0]\) est un complexe dualisant pour \(A\), alors \(S^{-1}A[0]\) est un complexe dualisant pour \(S^{-1}A\) d’après le lemme 0A7G. Un anneau noethérien de dimension finie est de Gorenstein s’il est de dimension injective finie comme module sur lui-même ; voir le lemme 0HB2.

Lemme

Un anneau de Gorenstein est de Cohen-Macaulay.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0AWS.

Un anneau régulier est un exemple d’anneau de Gorenstein.

Lemme

Un anneau local régulier est de Gorenstein. Un anneau régulier est de Gorenstein.

Démonstration

Soit \(A\) un anneau régulier de dimension finie \(d\). Alors \(A\) est de dimension globale finie \(d\) ; voir Algèbre, lemme 00OE. Ainsi \(\Ext^{d + 1}_A(M, A) = 0\) pour tout \(A\)-module \(M\) ; voir Algèbre, lemme 065R. Par conséquent, \(A\) est de dimension injective finie comme \(A\)-module d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A5T. Il en résulte que \(A[0]\) est un complexe dualisant, donc \(A\) est de Gorenstein d’après la remarque qui suit la définition.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien.

1. Si \(A\) possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\), alors

   1. \(A\) est de Gorenstein \(\Leftrightarrow\) \(\omega_A^\bullet\) est un objet inversible de \(D(A)\) ;

   2. \(A_\mathfrak p\) est de Gorenstein \(\Leftrightarrow\) \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) est un objet inversible de \(D(A_\mathfrak p)\) ;

   3. \(\{\mathfrak p \in \Spec(A) \mid A_\mathfrak p\text{ est de Gorenstein}\}\) est un ouvert.

2. Si \(A\) est de Gorenstein, alors \(A\) possède un complexe dualisant si et seulement si \(A[0]\) est un complexe dualisant.

Démonstration

Pour les objets inversibles de \(D(A)\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0FNT et la discussion de la section 0A7A.

D’après le lemme 0A7G, pour tout \(\mathfrak p\), le complexe \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p\) est un complexe dualisant sur \(A_\mathfrak p\). La définition et l’unicité des complexes dualisants (lemme 0A7F) donnent (1)(b).

Pour voir (1)(c), supposons \(A_\mathfrak p\) de Gorenstein. Soit \(n_x\) l’unique entier tel que \(H^{n_{x}}((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p)\) soit non nul et isomorphe à \(A_\mathfrak p\). Puisque \(\omega_A^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\), il n’y a qu’un nombre fini de \(A\)-modules de type fini non nuls \(H^i(\omega_A^\bullet)\). Il existe donc \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\) et tel que seul \(H^{n_x}((\omega_A^\bullet)_f)\) soit non nul et engendré par \(1\) élément sur \(A_f\). Les complexes dualisants étant fidèles par définition, on en déduit que \(A_f \cong H^{n_x}((\omega_A^\bullet)_f)\). Ainsi \(A_\mathfrak q\) est de Gorenstein pour tout \(\mathfrak q \in D(f)\). Cela prouve que l’ensemble de (1)(c) est ouvert.

Preuve de (1)(a). L’implication \(\Leftarrow\) résulte de (1)(b). L’implication \(\Rightarrow\) découle du paragraphe précédent, où l’on a montré que, si \(A_\mathfrak p\) est de Gorenstein, il existe \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\) et tel que le complexe \((\omega_A^\bullet)_f\) n’ait qu’un module de cohomologie non nul, qui est inversible.

Si \(A[0]\) est un complexe dualisant, alors \(A\) est de Gorenstein d’après (1). Réciproquement, (1) montre que \(\omega_A^\bullet\) est localement isomorphe à un décalé de \(A\). Puisque la propriété d’être un complexe dualisant est locale (lemme 0A7H), le résultat est clair.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Alors \(A\) est de Gorenstein si et seulement si \(\Ext^i_A(\kappa, A)\) est nul pour \(i \gg 0\).

Démonstration

Observons que \(A[0]\) est un complexe dualisant pour \(A\) si et seulement si \(A\) est de dimension injective finie comme \(A\)-module (cela résulte immédiatement de la définition 0A7B). Le lemme découle donc de Compléments d’algèbre, lemme 0AVJ.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est de dimension injective finie comme module sur lui-même ;

2. \(A\) est de Gorenstein et de dimension finie.

Dans ce cas, \(A[0]\) est un complexe dualisant.

Démonstration

Si \(A\) est de dimension injective finie comme module sur \(A\), alors \(A[0]\) est un complexe dualisant sur \(A\) (voir la définition 0A7B). On en déduit que \(A\) est de dimension finie d’après le lemme 0A80 et de Gorenstein d’après le lemme 0DW9. Supposons \(A\) de Gorenstein et \(\dim(A) \leq d < \infty\). Soit \(I \subset A\) un idéal quelconque. Affirmons que \(\Ext^i_A(A/I, A) = 0\) pour \(i > d\) ; cela prouve que \(A\) est de dimension injective finie comme module sur lui-même d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A5T. La formation des groupes \(\Ext\) commute à la localisation (voir par exemple Compléments d’algèbre, lemme 0A6A). Pour prouver l’annulation, on peut donc supposer \(A\) local de dimension \(e < d\). Puisque \(A\) est de Gorenstein, \(\omega_A^\bullet = A[e]\) est un complexe dualisant normalisé. L’annulation annoncée découle alors, par exemple, du lemme 0A7U.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro. Posons \(B = A/(f)\). Alors \(A\) est de Gorenstein si et seulement si \(B\) l’est.

Démonstration

Si \(A\) est de Gorenstein, alors \(B\) l’est d’après le lemme 0A7T. Réciproquement, supposons \(B\) de Gorenstein. Alors \(\Ext^i_B(\kappa, B)\) est nul pour \(i \gg 0\) (lemme 0BJI). Rappelons que \(R\Hom(B, -) : D(A) \to D(B)\) est adjoint à droite de la restriction (lemme 0A70). Ainsi \[R\Hom_A(\kappa, A) = R\Hom_B(\kappa, R\Hom(B, A)) = R\Hom_B(\kappa, B[1])\] La dernière égalité s’obtient par calcul direct ou par le lemme 0BZH. On voit donc que \(\Ext^i_A(\kappa, A)\) est nul pour \(i \gg 0\), et \(A\) est de Gorenstein (lemme 0BJI).

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux localement d’intersection complète et si \(A\) est un anneau noethérien de Gorenstein, alors \(B\) est un anneau de Gorenstein.

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, définition 07D0, on peut écrire \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\), où \(I\) est un idéal Koszul-régulier. Observons qu’un anneau de polynômes sur un anneau de Gorenstein \(A\) est de Gorenstein : se ramener au cas où \(A\) est local, puis utiliser les lemmes 0A7J et 0DW9. Un idéal Koszul-régulier est, par définition, localement engendré par une suite Koszul-régulière ; voir Compléments d’algèbre, section 07CU. En examinant les anneaux locaux de \(A[x_1, \ldots, x_n]\), on voit qu’il suffit de montrer ceci : si \(R\) est un anneau local noethérien de Gorenstein et si \(f_1, \ldots, f_c \in \mathfrak m_R\) est une suite Koszul-régulière, alors \(R/(f_1, \ldots, f_c)\) est de Gorenstein. Cela résulte du lemme 0BJJ et du fait qu’une suite Koszul-régulière dans \(R\) est simplement une suite régulière (Compléments d’algèbre, lemme 09CC).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(B\) est de Gorenstein ;

2. \(A\) et \(B/\mathfrak m_A B\) sont de Gorenstein.

Démonstration

Nous utiliserons ci-dessous sans autre mention le fait qu’un anneau local de Gorenstein est de dimension injective finie, ainsi que le lemme 0BJI. D’après Compléments d’algèbre, lemme 087R, on a \[\Ext^i_A(\kappa_A, A) \otimes_A B = \Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\] pour tout \(i\).

Supposons (2). Puisque \(R\Hom(B/\mathfrak m_A B, -) : D(B) \to D(B/\mathfrak m_A B)\) est adjoint à droite de la restriction (lemme 0A70), on obtient \[R\Hom_B(\kappa_B, B) = R\Hom_{B/\mathfrak m_A B}(\kappa_B, R\Hom(B/\mathfrak m_A B, B))\] Les modules de cohomologie de \(R\Hom(B/\mathfrak m_A B, B)\) sont les modules \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B) = \Ext^i_A(\kappa_A, A) \otimes_A B\). Puisque \(A\) est de Gorenstein, seul un nombre fini d’entre eux est non nul et chacun est isomorphe à une somme directe de copies de \(B/\mathfrak m_A B\). Puisque \(B/\mathfrak m_A B\) est de Gorenstein, on en déduit que \(R\Hom_B(B/\mathfrak m_B, B)\) n’a qu’un nombre fini de modules de cohomologie non nuls. Ainsi \(B\) est de Gorenstein.

Supposons (1). Puisque \(B\) est de dimension injective finie, \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\) est \(0\) pour \(i \gg 0\). Puisque \(A \to B\) est fidèlement plat, on en déduit que \(\Ext^i_A(\kappa_A, A)\) est \(0\) pour \(i \gg 0\). Ainsi \(A\) est de Gorenstein. Cela entraîne que \(\Ext^i_A(\kappa_A, A)\) est non nul pour exactement un \(i\), à savoir \(i = \dim(A)\), et que \(\Ext^{\dim(A)}_A(\kappa_A, A) \cong \kappa_A\) (voir les lemmes 0AX1, 0AWS et 0DW8). On voit donc que \(\Ext^i_B(B/\mathfrak m_A B, B)\) est nul sauf pour un \(i\), à savoir \(i = \dim(A)\), et que \(\Ext^{\dim(A)}_B(B/\mathfrak m_A B, B) \cong B/\mathfrak m_A B\). Ainsi \(B/\mathfrak m_A B\) est de Gorenstein d’après le lemme 0AX1.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien de Gorenstein de dimension \(d\). Soit \(E\) l’enveloppe injective de \(\kappa\). Alors \(\text{Tor}_i^A(E, \kappa)\) est nul pour \(i \not = d\) et \(\text{Tor}_d^A(E, \kappa) = \kappa\).

Démonstration

Puisque \(A\) est de Gorenstein, \(\omega_A^\bullet = A[d]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A\). De plus, \(E\) est l’unique module de cohomologie non nul de \(R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet)\), placé en degré \(0\) ; voir le lemme 0A82. D’après le lemme 0ALY, on a \[E \otimes_A^\mathbf{L} \kappa = R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \kappa = R\Gamma_\mathfrak m(\omega_A^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \kappa) = R\Gamma_\mathfrak m(\kappa[d]) = \kappa[d]\] d’où le lemme.

L’abondance des complexes dualisants

Beaucoup d’anneaux noethériens possèdent des complexes dualisants.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant normalisé. Si \(A \to B\) est plat et si \(\mathfrak m_A B = \mathfrak m_B\), alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est un complexe dualisant normalisé pour \(B\).

Démonstration

Il est clair que \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\). Soient \(\kappa_A\) et \(\kappa_B\) les corps résiduels de \(A\) et de \(B\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6A, on voit que \[R\Hom_B(\kappa_B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\kappa_A, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = \kappa_A[0] \otimes_A B = \kappa_B[0]\] Ainsi \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est de dimension injective finie d’après Compléments d’algèbre, lemme 0AVJ. Enfin, les mêmes arguments donnent \[R\Hom_B(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = A \otimes_A B = B\] comme voulu.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux noethériens. Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \(A/I = B/IB\) et tel que \(IB\) soit contenu dans le radical de Jacobson de \(B\). Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant. Alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est un complexe dualisant pour \(B\).

Démonstration

Il est clair que \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6A, on voit que \[R\Hom_B(K \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet) \otimes_A B\] pour tout \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(A)\). Pour tout idéal \(IB \subset J \subset B\), il existe un unique idéal \(I \subset J' \subset A\) tel que \(A/J' \otimes_A B = B/J\). Ainsi \(\omega_A^\bullet \otimes_A B\) est de dimension injective finie d’après Compléments d’algèbre, lemme 0DW2. Enfin, on a aussi \[R\Hom_B(\omega_A^\bullet \otimes_A B, \omega_A^\bullet \otimes_A B) = R\Hom_A(\omega_A^\bullet, \omega_A^\bullet) \otimes_A B = A \otimes_A B = B\] comme voulu.

Lemme

Soient \(A\) un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant.

1. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^h\) est un complexe dualisant sur l’hensélisé \((A^h, I^h)\) du couple \((A, I)\) ;

2. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge\) est un complexe dualisant sur le complété \(I\)-adique \(A^\wedge\) ;

3. si \(A\) est local, alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^h\), resp. \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^{sh}\), est un complexe dualisant sur l’hensélisé, resp. l’hensélisé strict de \(A\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0AWD et 0DWC. Voir Compléments d’algèbre, sections 09XD, 07NU et 07QL, ainsi que Algèbre, sections 00M9 et 0BNH, pour les complétions et les hensélisations.

Lemme

Les anneaux des types suivants possèdent un complexe dualisant :

1. les corps ;

2. les anneaux locaux noethériens complets ;

3. \(\mathbf{Z}\) ;

4. les anneaux de Dedekind ;

5. tout anneau obtenu à partir d’un des anneaux précédents en prenant une algèbre essentiellement de type fini, un complété pour la topologie définie par un idéal, un hensélisé ou un hensélisé strict.

Démonstration

L’assertion (5) résulte de la proposition 0A7K et du lemme 0DWD. D’après le lemme 0AWX, un anneau local régulier possède un complexe dualisant. Un anneau local noethérien complet est quotient d’un anneau local régulier par le théorème de structure de Cohen (Algèbre, théorème 032A). Soit \(A\) un anneau de Dedekind. Tout idéal \(I\) est alors un \(A\)-module projectif de type fini (cela résulte d’Algèbre, lemme 00NX, et du fait que les anneaux locaux de \(A\) sont des anneaux de valuation discrète, donc principaux). Ainsi tout \(A\)-module est de dimension injective finie au plus \(1\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A5T. Il en résulte aisément que \(A[0]\) est un complexe dualisant.

Fibres formelles

Cette section poursuit Compléments d’algèbre, section 0BIR. Nous y avons établi une théorie assez satisfaisante des anneaux noethériens \(A\) dont les anneaux locaux ont des fibres formelles de Cohen-Macaulay. Plus précisément, nous avons prouvé que (1) il suffit de vérifier que les fibres formelles des localisés aux idéaux maximaux sont de Cohen-Macaulay, (2) la propriété se transmet aux anneaux de type fini sur \(A\), (3) les fibres de \(A \to A^\wedge\) sont de Cohen-Macaulay pour tout complété \(A^\wedge\) de \(A\), et (4) la propriété se transmet aux hensélisés de \(A\). Voir Compléments d’algèbre, lemme 0BIU, proposition 0BIV, lemme 0BK9 et lemme 0BKA. Il en va de même pour les anneaux noethériens dont les anneaux locaux ont des fibres formelles géométriquement réduites, géométriquement normales, \((S_n)\) ou géométriquement \((R_n)\). Nous verrons ici que les mêmes résultats valent pour les anneaux noethériens dont les anneaux locaux ont des fibres formelles de Gorenstein ou localement d’intersection complète. Cela concerne ce chapitre, car un anneau noethérien possédant un complexe dualisant en est un exemple.

Lemme

Les propriétés (A), (B), (C), (D) et (E) de Compléments d’algèbre, section 0BIR, sont satisfaites pour \(P(k \to R) =\)« \(R\) est un anneau de Gorenstein ».

Démonstration

Puisque le résultat est déjà connu avec « Cohen-Macaulay » à la place de « Gorenstein », on peut à chaque étape supposer l’anneau de Cohen-Macaulay. Cela n’aide guère à la démonstration, mais peut être utile psychologiquement.

Assertion (A). Soit \(K/k\) une extension de corps de type fini. Soit \(R\) une \(k\)-algèbre de Gorenstein. On peut trouver une intersection complète globale \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) sur \(k\) telle que \(K\) soit isomorphe au corps des fractions de \(A\) ; voir Algèbre, lemme 07BV. Alors \(R \to R \otimes_k A\) est une intersection complète globale relative. Ainsi \(R \otimes_k A\) est de Gorenstein d’après le lemme 0DWA. Il en est de même de \(R \otimes_k K\), qui en est un localisé.

Preuve de (B). C’est clair, car un anneau est de Gorenstein si et seulement si tous ses anneaux locaux le sont.

Assertion (C). Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes plats d’anneaux noethériens. Supposons que les fibres de \(A \to B\) soient de Gorenstein et que \(B \to C\) soit régulier. Il faut montrer que les fibres de \(A \to C\) sont de Gorenstein. On peut clairement supposer que \(A = k\) est un corps, puis que \(B \to C\) est un homomorphisme local régulier d’anneaux locaux noethériens. Alors \(B\) est de Gorenstein et \(C/\mathfrak m_B C\) est régulier, donc en particulier de Gorenstein (lemme 0AWX). Ainsi \(C\) est de Gorenstein d’après le lemme 0BJL.

Assertion (D). Cela résulte du lemme 0BJL. L’assertion (E) est immédiate, car la condition ne fait pas intervenir le corps de base.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Si \(A\) possède un complexe dualisant, les fibres formelles de \(A\) sont de Gorenstein.

Démonstration

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(A\). La fibre formelle de \(A\) en \(\mathfrak p\) est isomorphe à la fibre formelle de \(A/\mathfrak p\) en \((0)\). Le quotient \(A/\mathfrak p\) possède un complexe dualisant (lemme 0A7I). Il suffit donc de vérifier l’énoncé lorsque \(A\) est un anneau local intègre et \(\mathfrak p = (0)\). Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant pour \(A\). Alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge\) est un complexe dualisant pour le complété \(A^\wedge\) (lemme 0AWD). De plus, \(\omega_A^\bullet \otimes_A K\) est un complexe dualisant pour le corps des fractions \(K\) de \(A\) (lemme 0A7G). Ainsi \(\omega_A^\bullet \otimes_A K\) est isomorphe à \(K[n]\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). De même, on obtient pour la fibre formelle \(A^\wedge \otimes_A K\) le complexe dualisant \[\omega_A^\bullet \otimes_A A^\wedge \otimes_{A^\wedge} (A^\wedge \otimes_A K) = (\omega_A^\bullet \otimes_A K) \otimes_K (A^\wedge \otimes_A K) \cong (A^\wedge \otimes_A K)[n]\] comme voulu.

Voici la vérification annoncée dans Algèbre à puissances divisées, remarque 09QC.

Lemme

Les propriétés (A), (B), (C), (D) et (E) de Compléments d’algèbre, section 0BIR, sont satisfaites pour \(P(k \to R) =\)« \(R\) est localement une intersection complète ». Voir Algèbre à puissances divisées, définition 09Q3.

Démonstration

Assertion (A). Soit \(K/k\) une extension de corps de type fini. Soit \(R\) une \(k\)-algèbre localement d’intersection complète. On peut trouver une intersection complète globale \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) sur \(k\) telle que \(K\) soit isomorphe au corps des fractions de \(A\) ; voir Algèbre, lemme 07BV. Alors \(R \to R \otimes_k A\) est une intersection complète globale relative. Il en résulte que \(R \otimes_k A\) est localement d’intersection complète d’après Algèbre à puissances divisées, lemme 09Q7.

Preuve de (B). C’est clair, car un anneau est localement d’intersection complète si et seulement si tous ses anneaux locaux sont des intersections complètes.

Assertion (C). Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes plats d’anneaux noethériens. Supposons que les fibres de \(A \to B\) soient localement d’intersection complète et que \(B \to C\) soit régulier. Il faut montrer que les fibres de \(A \to C\) sont localement d’intersection complète. On peut clairement supposer que \(A = k\) est un corps, puis que \(B \to C\) est un homomorphisme local régulier d’anneaux locaux noethériens. Alors \(B\) est une intersection complète et \(C/\mathfrak m_B C\) est régulier, donc en particulier une intersection complète par définition. Ainsi \(C\) est une intersection complète d’après Algèbre à puissances divisées, lemme 09Q7.

Assertion (D). Les mêmes arguments que pour (C) s’appliquent, en utilisant l’autre implication d’Algèbre à puissances divisées, lemme 09Q7. L’assertion (E) est immédiate, car la condition ne fait pas intervenir le corps de base.

Construction algébrique de l’image inverse extraordinaire

Pour un homomorphisme de type fini \(R \to A\) d’anneaux noethériens, nous construirons un foncteur \(\varphi^! : D(R) \to D(A)\) bien défini à isomorphisme non unique près. Comme nous le verrons dans Dualité pour les schémas, remarque 0BV2, il coïncide à isomorphisme près avec les foncteurs image inverse extraordinaire de la théorie de la dualité pour les schémas. Pour motiver cette construction, signalons deux propriétés supplémentaires :

1. \(\varphi^!\) envoie un complexe dualisant pour \(R\), s’il en existe, sur un complexe dualisant pour \(A\) ;

2. \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\) est une sorte de complexe dualisant relatif : il appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\) et sa restriction aux fibres est un complexe dualisant si \(R \to A\) est plat.

Ces énoncés sont les lemmes 0BZL et 0BZW.

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Définissons un foncteur \(\varphi^! : D(R) \to D(A)\) de la manière suivante :

1. si \(\varphi : R \to A\) est surjectif, posons \(\varphi^!(K) = R\Hom(A, K)\). Nous utilisons ici le foncteur \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\) de la section 0A6Z ;

2. en général, choisissons une surjection \(\psi : P \to A\) avec \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) et posons \(\varphi^!(K) = \psi^!(K \otimes_R^\mathbf{L} P)[n]\). Nous utilisons ici le foncteur \(- \otimes_R^\mathbf{L} P : D(R) \to D(P)\) de Compléments d’algèbre, section 06Y5.

Noter le décalage \([n]\) par le nombre de variables de l’anneau de polynômes. Cette construction n’est pas canonique, et le foncteur \(\varphi^!\) ne sera bien défini qu’à isomorphisme de foncteurs non unique près¹.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Le foncteur \(\varphi^!\) est bien défini à isomorphisme près.

Démonstration

Supposons que \(\psi_1 : P_1 = R[x_1, \ldots, x_n] \to A\) et \(\psi_2 : P_2 = R[y_1, \ldots, y_m] \to A\) soient deux surjections d’anneaux de polynômes sur \(A\). On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m] \ar[d]^{x_i \mapsto g_i} \ar[rr]_-{y_j \mapsto f_j} & & R[x_1, \ldots, x_n] \ar[d] \\ R[y_1, \ldots, y_m] \ar[rr] & & A }\] où \(f_j\) et \(g_i\) sont choisis de façon que \(\psi_1(f_j) = \psi_2(y_j)\) et \(\psi_2(g_i) = \psi_1(x_i)\). Par symétrie, il suffit de prouver que les foncteurs définis à l’aide de \(P \to A\) et de \(P[y_1, \ldots, y_m] \to A\) sont isomorphes. Par récurrence, on peut supposer \(m = 1\). On se ramène ainsi au cas traité dans le paragraphe suivant.

Ici \(\psi : P \to A\) est donné et \(\chi : P[y] \to A\) induit \(\psi\) sur \(P\). Écrivons \(Q = P[y]\). Choisissons \(g \in P\) tel que \(\psi(g) = \chi(y)\). Notons \(\pi : Q \to P\) l’homomorphisme de \(P\)-algèbres tel que \(\pi(y) = g\). Alors \(\chi = \psi \circ \pi\), donc \(\chi^! = \psi^! \circ \pi^!\), puisque les deux sont adjoints au foncteur de restriction \(D(A) \to D(Q)\) d’après la section 0A6Z. Ainsi \[\chi^!\left(K \otimes_R^\mathbf{L} Q\right)[n + 1] = \psi^!\left(\pi^!\left(K \otimes_R^\mathbf{L} Q\right)[1]\right)[n]\] Il suffit donc de montrer que \(\pi^!(K \otimes_R^\mathbf{L} Q[1]) = K \otimes_R^\mathbf{L} P\). Il suffit par conséquent de montrer que le foncteur \(\pi^!(-) : D(Q) \to D(P)\) est isomorphe à \(K \mapsto K \otimes_Q^\mathbf{L} P[-1]\), ce qui résulte du lemme 0BZH.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens.

1. \(\varphi^!\) envoie \(D^+(R)\) dans \(D^+(A)\) et \(D^+_{\textit{Coh}}(R)\) dans \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\).

2. Si \(\varphi\) est parfait, alors \(\varphi^!\) envoie \(D^-(R)\) dans \(D^-(A)\), \(D^-_{\textit{Coh}}(R)\) dans \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\) et \(D^b_{\textit{Coh}}(R)\) dans \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(R \to P \to A\) comme dans la définition de \(\varphi^!\). Le foncteur \(- \otimes_R^\mathbf{L} : D(R) \to D(P)\) préserve les sous-catégories \(D^+, D^+_{\textit{Coh}}, D^-, D^-_{\textit{Coh}}, D^b_{\textit{Coh}}\). Le foncteur \(R\Hom(A, -) : D(P) \to D(A)\) préserve \(D^+\) et \(D^+_{\textit{Coh}}\) d’après le lemme 0A72. Si \(R \to A\) est parfait, alors \(A\) est parfait comme \(P\)-module ; voir Compléments d’algèbre, lemme 068Y. Rappelons que la restriction de \(R\Hom(A, K)\) à \(D(P)\) est \(R\Hom_P(A, K)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07VI, on a \(R\Hom_P(A, K) = E \otimes_P^\mathbf{L} K\) pour un certain objet parfait \(E \in D(P)\). Puisque \(E\) peut être représenté par un complexe fini de \(P\)-modules projectifs de type fini, il est clair que \(R\Hom_P(A, K)\) appartient à \(D^-(P), D^-_{\textit{Coh}}(P), D^b_{\textit{Coh}}(P)\) dès que \(K\) y appartient. Puisque le foncteur de restriction \(D(A) \to D(P)\) reflète l’appartenance à ces sous-catégories, la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \(\varphi\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Si \(\omega_R^\bullet\) est un complexe dualisant pour \(R\), alors \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)\) est un complexe dualisant pour \(A\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0A7J et 0A7I.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme plat d’anneaux noethériens. Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini. Soit \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\) l’homomorphisme induit par \(\varphi\). On a alors des morphismes fonctoriels \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] pour \(K\) dans \(D(R)\), qui sont des isomorphismes pour \(K \in D^+(R)\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(R \to P \to A\) où \(P\) est un anneau de polynômes sur \(R\). Elle donne par changement de base une factorisation correspondante \(R' \to P' \to A'\). Puisque l’on a \((K \otimes_R^\mathbf{L} P) \otimes_P^\mathbf{L} P' = (K \otimes_R^\mathbf{L} R') \otimes_{R'}^\mathbf{L} P'\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 08YU, il suffit de construire des morphismes \[R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', (K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_P^\mathbf{L} P')\] fonctoriels en \(K\). Pour cela, utilisons le morphisme (0E29) construit dans la section 0E28 pour \(P, A, P', A'\). Ce morphisme est un isomorphisme pour \(K \in D^+(R)\) d’après le lemme 0BZM.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme parfait (Compléments d’algèbre, définition 067H) tel que \(R'\) et \(A\) soient Tor-indépendants sur \(R\). Soit \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\) l’homomorphisme induit par \(\varphi\). On a alors un isomorphisme fonctoriel \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' = (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] pour \(K\) dans \(D(R)\).

Démonstration

On peut choisir une factorisation \(R \to P \to A\) où \(P\) est un anneau de polynômes sur \(R\) tel que \(A\) soit un \(P\)-module parfait ; voir Compléments d’algèbre, lemme 068Y. Elle donne par changement de base une factorisation correspondante \(R' \to P' \to A'\). Puisque l’on a \((K \otimes_R^\mathbf{L} P) \otimes_P^\mathbf{L} P' = (K \otimes_R^\mathbf{L} R') \otimes_{R'}^\mathbf{L} P'\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 08YU, il suffit de construire des morphismes \[R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_A^\mathbf{L} A' \longrightarrow R\Hom(A', (K \otimes_R^\mathbf{L} P[n]) \otimes_P^\mathbf{L} P')\] fonctoriels en \(K\). On a \[A \otimes_P^\mathbf{L} P' = A \otimes_R^\mathbf{L} R' = A'\] La première égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0661, appliqué à \(R, R', P, P'\). La seconde vient de ce que \(A\) et \(R'\) sont Tor-indépendants sur \(R\). Ainsi \(A\) et \(P'\) sont Tor-indépendants sur \(P\), et l’on peut utiliser le morphisme (0E29) construit dans la section 0E28 pour \(P, A, P', A'\) afin d’obtenir la flèche cherchée. D’après le lemme 0BZP, il suffit pour conclure de prouver que \(A\) est un \(P\)-module parfait, ce qui a été vu ci-dessus.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Soit \(\varphi : R \to A\) plat et de type fini. Soit \(\varphi' : R' \to A' = A \otimes_R R'\) l’homomorphisme induit par \(\varphi\). On a alors un isomorphisme fonctoriel \[\varphi^!(K) \otimes_A^\mathbf{L} A' = (\varphi')^!(K \otimes_R^\mathbf{L} R')\] pour \(K\) dans \(D(R)\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0BZR d’après Compléments d’algèbre, lemme 067J.

Lemme

Soient \(A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C\) des homomorphismes de type fini d’anneaux noethériens. Il existe alors une transformation de foncteurs \(b^! \circ a^! \to (b \circ a)^!\) qui est un isomorphisme sur \(D^+(A)\).

Démonstration

Choisissons un anneau de polynômes \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) sur \(A\) et une surjection \(P \to B\). Choisissons des éléments \(c_1, \ldots, c_m \in C\) engendrant \(C\) sur \(B\). Posons \(Q = P[y_1, \ldots, y_m]\) et notons \(Q' = Q \otimes_P B = B[y_1, \ldots, y_m]\). Soit \(\chi : Q' \to C\) la surjection envoyant \(y_j\) sur \(c_j\). On a le diagramme \[\xymatrix{ & Q \ar[r]_{\psi'} & Q' \ar[r]_\chi & C \\ A \ar[r] & P \ar[r]^\psi \ar[u] & B \ar[u] }\] D’après le lemme 0BZM, pour \(M \in D(P)\), on a une flèche \(\psi^!(M) \otimes_B^\mathbf{L} Q' \to (\psi')^!(M \otimes_P^\mathbf{L} Q)\) qui est un isomorphisme dès que \(M\) est borné inférieurement. De plus, \(\chi^! \circ (\psi')^! = (\chi \circ \psi')^!\) puisque les deux foncteurs sont adjoints au foncteur de restriction \(D(C) \to D(Q)\) d’après la section 0A6Z. On obtient alors \[\begin{align*} b^!(a^!(K)) & = \chi^!(\psi^!(K \otimes_A^\mathbf{L} P)[n] \otimes_B^\mathbf{L} Q)[m] \\ & \to \chi^!((\psi')^!(K \otimes_A^\mathbf{L} P \otimes_P^\mathbf{L} Q))[n + m] \\ & = (\chi \circ \psi')^!(K\otimes_A^\mathbf{L} Q)[n + m] \\ & = (b \circ a)^!(K) \end{align*}\] en utilisant, outre ce qui précède, Compléments d’algèbre, lemme 08YU.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme fini d’anneaux noethériens. Alors \(\varphi^!\) est isomorphe au foncteur \(R\Hom(A, -) : D(R) \to D(A)\) de la section 0A6Z.

Démonstration

Supposons \(A\) engendré par \(n > 1\) éléments sur \(R\). On peut factoriser \(R \to A\) en deux homomorphismes finis d’anneaux, avec à chaque étape un nombre de générateurs \(< n\). Les lemmes 0BZT et 0C0F montrent donc qu’il suffit de prouver le lemme lorsque \(A\) est engendré par un seul élément sur \(R\). Puisque \(A\) est fini sur \(R\), \(A\) est quotient de \(B = R[x]/(f)\), où \(f\) est un polynôme unitaire en \(x\) (Algèbre, lemme 00GK). En utilisant encore les lemmes de composition et l’accord des foncteurs pour les surjections par définition, on se ramène à \(R \to B = R[x]/(f)\). Dans ce cas, le foncteur \(\varphi^!\) est isomorphe à \(K \mapsto K \otimes_R^\mathbf{L} B\) : cela se prouve en utilisant le lemme 0BZH pour l’homomorphisme \(R[x] \to B\) (noter que les décalages dans la définition de \(\varphi^!\) et dans le lemme ont somme nulle). Pour le foncteur \(R\Hom(B, -) : D(R) \to D(B)\), le lemme 0BZE permet de se ramener à montrer que \(\Hom_R(B, R) \cong B\) comme \(B\)-modules. Supposons \(f\) de degré \(d\). Alors une \(R\)-base de \(B\) est donnée par \(1, x, \ldots, x^{d - 1}\). Soit \(\delta_i : B \to R\), pour \(i = 0, \ldots, d - 1\), l’application \(R\)-linéaire qui extrait le coefficient de \(x^i\) dans cette base. Alors \(\delta_0, \ldots, \delta_{d - 1}\) est une base de \(\Hom_R(B, R)\). Enfin, pour \(0 \leq i \leq d - 1\), un calcul donne \[x^i \delta_{d - 1} = \delta_{d - 1 - i} + b_1 \delta_{d - i} + \ldots + b_i \delta_{d - 1}\] pour certains \(c_1, \ldots, c_d \in R\)². Ainsi \(\Hom_R(B, R)\) est un \(B\)-module monogène de générateur \(\delta_{d - 1}\). En examinant les rangs, on en déduit que c’est un module libre de rang \(1\) sur \(B\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien et soit \(f \in R\). Si \(\varphi\) désigne l’homomorphisme \(R \to R_f\), alors \(\varphi^!\) est isomorphe à \(- \otimes_R^\mathbf{L} R_f\). Plus généralement, si \(\varphi : R \to R'\) est un homomorphisme tel que \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) soit une immersion ouverte, alors \(\varphi^!\) est isomorphe à \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\).

Démonstration

Choisissons la présentation \(R \to R[x] \to R[x]/(fx - 1) = R_f\) et observons que \(fx - 1\) est un non-diviseur de zéro dans \(R[x]\). On peut donc appliquer le lemme 0BZH pour calculer le foncteur \(\varphi^!\). Nous omettons les détails ; noter que les décalages dans la définition de \(\varphi^!\) et dans le lemme ont somme nulle.

Dans le cas général, noter que \(R' \otimes_R R' = R'\). Le résultat découle donc des résultats de changement de base ci-dessus : on peut utiliser soit le lemme 0BZN, soit le lemme 0BZR.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme parfait d’anneaux noethériens (par exemple, \(\varphi\) est plat de type fini). Alors \(\varphi^!(K) = K \otimes_R^\mathbf{L} \varphi^!(R)\) pour \(K \in D(R)\).

Démonstration

(L’assertion entre parenthèses résulte de Compléments d’algèbre, lemme 067J.) On peut choisir une factorisation \(R \to P \to A\) où \(P\) est un anneau de polynômes en \(n\) variables sur \(R\) ; alors \(A\) est un \(P\)-module parfait, voir Compléments d’algèbre, lemme 068Y. Rappelons que \(\varphi^!(K) = R\Hom(A, K \otimes_R^\mathbf{L} P[n])\). Le résultat découle donc du lemme 0BZE et de Compléments d’algèbre, lemme 08YU.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant pour \(A\). Posons \(\omega_B^\bullet = \varphi^!(\omega_A^\bullet)\). Notons \(D_A(K) = R\Hom_A(K, \omega_A^\bullet)\) pour \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\) et \(D_B(L) = R\Hom_B(L, \omega_B^\bullet)\) pour \(L \in D_{\textit{Coh}}(B)\). Il existe alors un isomorphisme fonctoriel \[\varphi^!(K) = D_B(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B)\] pour \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\).

Démonstration

Observons que \(\omega_B^\bullet\) est un complexe dualisant pour \(B\) d’après le lemme 0BZL. Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes de type fini d’anneaux noethériens. Si le lemme vaut pour \(A \to B\) et \(B \to C\), il vaut pour \(A \to C\). Cela résulte du lemme 0BZT et du fait que \(D_B \circ D_B \cong \text{id}\) d’après le lemme 0A7C. Il suffit donc de prouver le lemme lorsque \(A \to B\) est une surjection et lorsque \(B\) est un anneau de polynômes sur \(A\).

Supposons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]\). Puisque \(D_A \circ D_A \cong \text{id}\), il suffit de prouver \(D_B(K \otimes_A B) \cong D_A(K) \otimes_A B[n]\) pour \(K\) dans \(D_{\textit{Coh}}(A)\). Choisissons un complexe borné \(I^\bullet\) d’injectifs représentant \(\omega_A^\bullet\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(I^\bullet \otimes_A B \to J^\bullet\) où \(J^\bullet\) est un complexe borné de \(B\)-modules. Étant donné un complexe \(K^\bullet\) de \(A\)-modules, considérons le morphisme évident de complexes \[\Hom^\bullet(K^\bullet, I^\bullet) \otimes_A B[n] \longrightarrow \Hom^\bullet(K^\bullet \otimes_A B, J^\bullet[n])\] Le membre de gauche représente \(D_A(K) \otimes_A B[n]\) et celui de droite représente \(D_B(K \otimes_A B)\). Il suffit donc de prouver que ce morphisme est un quasi-isomorphisme si les modules de cohomologie de \(K^\bullet\) sont des \(A\)-modules de type fini. Observons que la cohomologie du complexe en degré \(r\), de chaque côté, ne dépend que d’un nombre fini des \(K^i\). On peut donc remplacer \(K^\bullet\) par une troncature, c’est-à-dire supposer que \(K^\bullet\) représente un objet de \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\). Alors \(K^\bullet\) est quasi-isomorphe à un complexe borné supérieurement de \(A\)-modules libres de type fini. On peut donc supposer que \(K^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(A\)-modules libres de type fini. Il est alors facile de voir que le morphisme affiché est un isomorphisme de complexes, ce qui conclut dans ce cas.

Supposons \(A \to B\) surjectif. Notons \(i_* : D(B) \to D(A)\) le foncteur de restriction et rappelons que \(\varphi^!(-) = R\Hom(A, -)\) est adjoint à droite de \(i_*\) (lemme 0A70). Pour \(F \in D(B)\), on a \[\begin{align*} \Hom_B(F, D_B(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B)) & = \Hom_B((D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B) \otimes_B^\mathbf{L} F, \omega_B^\bullet) \\ & = \Hom_A(D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} i_*F, \omega_A^\bullet) \\ & = \Hom_A(i_*F, D_A(D_A(K))) \\ & = \Hom_A(i_*F, K) \\ & = \Hom_B(F, \varphi^!(K)) \end{align*}\] La première égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0A65, et de la définition de \(D_B\). La deuxième résulte de l’adjonction mentionnée ci-dessus et de l’égalité \(i_*((D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} B) \otimes_B^\mathbf{L} F) = D_A(K) \otimes_A^\mathbf{L} i_*F\) (Compléments d’algèbre, lemme 06Y6). La troisième résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0A65. La quatrième vient de ce que \(D_A \circ D_A = \text{id}\), et la dernière à nouveau de l’adjonction. Le résultat découle donc du lemme de Yoneda.

Complexes dualisants relatifs dans le cas noethérien

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. On définit le complexe dualisant relatif de \(A\) sur \(R\) comme l’objet \[\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\] de \(D(A)\). Ici \(\varphi^!\) est celui de la section 0BZI. Les résultats de cette section montrent que \(\omega_{A/R}^\bullet\) est bien défini à isomorphisme non unique près.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Soit \(R \to A\) de type fini. Posons \(A' = A \otimes_R R'\). Si

1. \(R \to R'\) est plat, ou

2. \(R \to A\) est plat, ou

3. \(R \to A\) est parfait et \(R'\) et \(A\) sont Tor-indépendants sur \(R\),

alors il existe un isomorphisme \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A' \to \omega^\bullet_{A'/R'}\) dans \(D(A')\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0BZN, 0BZS et 0BZR et des définitions.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens.

1. Si \(\varphi\) est parfait, alors

   1. \(\omega_{A/R}^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\) ;

   2. \(\omega_{A/R}^\bullet\) est de Tor-dimension finie sur \(R\) ;

   3. \(A \to R\Hom_A(\omega_{A/R}^\bullet, \omega_{A/R}^\bullet)\) est un isomorphisme.

2. Si \(\varphi\) est plat, alors (1)(a), (1)(b) et (1)(c) sont satisfaites, et

   1. \(\omega_{A/R}^\bullet\) est \(R\)-parfait (Compléments d’algèbre, définition 0DHS) ;

   2. pour tout homomorphisme \(R \to k\) vers un corps, le changement de base \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R k)\) est un complexe dualisant pour \(A \otimes_R k\).

Démonstration

Supposons \(R \to A\) parfait. Choisissons \(R \to P \to A\) comme dans la définition de \(\varphi^!\). Alors \(A\) est parfait comme \(P\)-module (Compléments d’algèbre, lemme 068Y). Cela montre que \(\omega_{A/R}^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\) d’après le lemme 0BZK, d’où (1)(a). Pour montrer que \(\omega_{A/R}^\bullet\) est de Tor-dimension finie comme complexe de \(R\)-modules, observons que \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R) = R\Hom(A, P)[n]\) a pour image \(R\Hom_P(A, P)[n]\) dans \(D(P)\). Cet objet est parfait dans \(D(P)\) (Compléments d’algèbre, lemme 07VI), donc de Tor-dimension finie dans \(D(R)\) puisque \(R \to P\) est plat. Cela prouve (1)(b). L’objet \(R\Hom_A(\omega_{A/R}^\bullet, \omega_{A/R}^\bullet)\) de \(D(A)\) a pour image dans \(D(P)\) \[\begin{align*} R\Hom_P(\omega_{A/R}^\bullet, R\Hom(A, P)[n]) & = R\Hom_P(R\Hom_P(A, P)[n], P)[n] \\ & = R\Hom_P(R\Hom_P(A, P), P) \end{align*}\] Cet objet est égal à \(A\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 07VI, déjà utilisé. Cela prouve (1)(c).

Supposons \(\varphi\) plat. Alors \(R \to A\) est un homomorphisme parfait (Compléments d’algèbre, lemme 067J), et (1)(a), (1)(b) et (1)(c) sont satisfaites. Bien entendu, \(\omega_{A/R}^\bullet\) est alors \(R\)-parfait d’après (1)(a), (1)(b) et les définitions. Soit \(R \to k\) comme dans (2)(b). D’après le lemme 0BZV, il existe un isomorphisme \[\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R k) \cong \omega^\bullet_{A \otimes_R k/k}\] et le membre de droite est un complexe dualisant d’après le lemme 0BZL. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(A\) une \(k\)-algèbre de type fini. Soit \(A_K = A \otimes_k K\). Si \(\omega_A^\bullet\) est un complexe dualisant pour \(A\), alors \(\omega_A^\bullet \otimes_A A_K\) est un complexe dualisant pour \(A_K\).

Démonstration

Par unicité des complexes dualisants, peu importe celui que l’on choisit pour \(A\) ; nous omettons la preuve détaillée. Notons \(\varphi : k \to A\) la structure d’algèbre. On peut prendre \(\omega_A^\bullet = \varphi^!(k[0])\) d’après le lemme 0BZL. On conclut par le lemme 0BZW.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme d’anneaux noethériens localement d’intersection complète. Alors \(\omega_{A/R}^\bullet\) est un objet inversible de \(D(A)\) et \(\varphi^!(K) = K \otimes_R^\mathbf{L} \omega_{A/R}^\bullet\) pour tout \(K \in D(R)\).

Démonstration

Rappelons qu’un homomorphisme localement d’intersection complète est parfait d’après Compléments d’algèbre, lemme 07EN. La dernière assertion résulte donc du lemme 0BZU. D’après Compléments d’algèbre, définition 07D0, on peut écrire \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\), où \(I\) est un idéal Koszul-régulier. La construction de \(\varphi^!\) dans la section 0BZI montre qu’il suffit de prouver le lemme lorsque \(A = R/I\), où \(I \subset R\) est un idéal Koszul-régulier. Vérifier que \(\omega_{A/R}^\bullet\) est inversible dans \(D(A)\) est local sur \(\Spec(A)\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0FNT. De plus, la formation de \(\omega_{A/R}^\bullet\) commute à la localisation sur \(R\) d’après le lemme 0BZN. En combinant Compléments d’algèbre, définition 07CV et lemme 09CC, avec Algèbre, lemme 061L, on trouve \(g_1, \ldots, g_r \in R\) engendrant l’idéal unité dans \(A\) tels que \(I_{g_j} \subset R_{g_j}\) soit engendré par une suite régulière. On peut donc supposer \(A = R/(f_1, \ldots, f_c)\), où \(f_1, \ldots, f_c\) est une suite régulière dans \(R\). Considérons alors les homomorphismes d’anneaux \[R \to R/(f_1) \to R/(f_1, f_2) \to \ldots \to R/(f_1, \ldots, f_c) = A\] et utilisons le lemme 0BZT (ainsi que la dernière assertion déjà prouvée) pour nous ramener à chaque étape. Enfin, lorsque \(A = R/(f)\) pour un non-diviseur de zéro \(f\), le lemme est vrai puisque \(\varphi^!(R) = R\Hom(A, R)\) est inversible d’après le lemme 0BZH.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme plat de type fini d’anneaux noethériens. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. les fibres \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) sont de Gorenstein pour tous les idéaux premiers \(\mathfrak p \subset R\) ;

2. \(\omega_{A/R}^\bullet\) est un objet inversible de \(D(A)\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0FNT.

Démonstration

Si (2) est satisfaite, les anneaux des fibres \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) ont des complexes dualisants inversibles, donc sont de Gorenstein. Voir les lemmes 0BZW et 0DW9.

Réciproquement, supposons (1). Observons que \(\omega_{A/R}^\bullet\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(A)\) d’après le lemme 0BZK (puisque les homomorphismes plats de type fini d’anneaux noethériens sont parfaits, voir Compléments d’algèbre, lemme 067J). Prenons un idéal premier \(\mathfrak q \subset A\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Alors \[\omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} \kappa(\mathfrak q) = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)) \otimes_{(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p))}^\mathbf{L} \kappa(\mathfrak q)\] Les lemmes 0BZW et 0DW9 et l’hypothèse (1) montrent que ce complexe a \(1\) groupe de cohomologie non nul, qui est un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(\kappa(\mathfrak q)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0BYP, on en déduit que \((\omega_{A/R}^\bullet)_f\) est un objet inversible de \(D(A_f)\) pour un certain \(f \in A\) tel que \(f \not \in \mathfrak q\). Cela prouve (2).

Le lemme suivant permet de comprendre comment les fonctions de dimension se transforment lorsqu’on passe à une algèbre de type fini sur un anneau noethérien.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Supposons \(R\) local et soit \(\mathfrak m \subset A\) un idéal maximal au-dessus de l’idéal maximal de \(R\). Si \(\omega_R^\bullet\) est un complexe dualisant normalisé pour \(R\), alors \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)_\mathfrak m\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak m\).

Démonstration

Nous savons déjà que \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)\) est un complexe dualisant pour \(A\) ; voir le lemme 0BZL. Choisissons une factorisation \(R \to P \to A\) avec \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) comme dans la construction de \(\varphi^!\). Si l’on prouve le lemme pour \(R \to P\) et l’idéal maximal \(\mathfrak m'\) de \(P\) correspondant à \(\mathfrak m\), on obtient le résultat pour \(R \to A\) en appliquant le lemme 0A7N à \(P_{\mathfrak m'} \to A_\mathfrak m\), ou le lemme 0A7Y à \(P \to A\). Dans le cas \(A = R[x_1, \ldots, x_n]\), on a \(\dim(A_\mathfrak m) = \dim(R) + n\), par exemple d’après Algèbre, lemme 00ON (combiné avec Algèbre, lemme 00OP pour calculer la dimension de la fibre). La normalisation de \(\omega_R^\bullet\) signifie que \(i = -\dim(R)\) est le plus petit indice tel que \(H^i(\omega_R^\bullet)\) soit non nul (cela résulte des lemmes 0A7U et 0A7V). Alors \(\varphi^!(\omega_R^\bullet)_\mathfrak m = \omega_R^\bullet \otimes_R A_\mathfrak m[n]\) a son premier module de cohomologie non nul en degré \(-\dim(R) - n\) et est donc le complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak m\).

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Soit \(\mathfrak q \subset A\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Alors \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak q \not = 0 \Rightarrow - d \leq i\] où \(d\) est la dimension de la fibre de \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) au-dessus de \(\mathfrak p\) au point \(\mathfrak q\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(R \to P \to A\) avec \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) comme dans la section 0BZI, de sorte que \(\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom(A, P)[n]\). Il faut montrer que \(R\Hom(A, P)_\mathfrak q\) a une cohomologie nulle en degrés \(< n - d\). D’après le lemme 0A71, cela revient à montrer que \(\Ext_P^i(P/I, P)_{\mathfrak r} = 0\) pour \(i < n - d\), où \(\mathfrak r \subset P\) est l’idéal premier correspondant à \(\mathfrak q\) et \(I\) le noyau de \(P \to A\). On peut récrire le groupe considéré sous la forme \(\Ext_{P_\mathfrak r}^i(P_\mathfrak r/IP_\mathfrak r, P_\mathfrak r)\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 087R. Il faut donc montrer \[\text{profondeur}_{IP_\mathfrak r}(P_\mathfrak r) \geq n - d\] d’après le lemme 0AVZ. Le lemme 0BUY donne \[\text{profondeur}_{IP_\mathfrak r}(P_\mathfrak r) \geq \dim((P \otimes_R \kappa(\mathfrak p))_\mathfrak r) - \dim((P/I \otimes_R \kappa(\mathfrak p))_\mathfrak r)\] Les membres de droite des deux inégalités coïncident d’après Algèbre, lemme 00P2.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme plat de type fini d’anneaux noethériens. Soit \(\mathfrak q \subset A\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Alors \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak q \not = 0 \Rightarrow - d \leq i \leq 0\] où \(d\) est la dimension de la fibre de \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) au-dessus de \(\mathfrak p\) au point \(\mathfrak q\). Si toutes les fibres de \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) sont de dimension \(\leq d\), alors \(\omega_{A/R}^\bullet\) a son amplitude de Tor dans \([-d, 0]\) en tant que complexe de \(R\)-modules.

Démonstration

La borne inférieure a été établie dans le lemme 0E9P. Choisissons une factorisation \(R \to P \to A\) avec \(P = R[x_1, \ldots, x_n]\) comme dans la section 0BZI, de sorte que \(\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom(A, P)[n]\). La borne supérieure signifie que \(\Ext^i_P(A, P)\) est nul pour \(i > n\). Cela résulte de Compléments d’algèbre, lemme 068X, qui montre que \(A\) est un \(P\)-module parfait d’amplitude de Tor dans \([-n, 0]\).

Preuve de la dernière assertion. Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Posons \(A' = A \otimes_R R'\). Alors \[\omega_{A'/R'}^\bullet = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A' = \omega_{A/R}^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R'\] Le premier isomorphisme résulte du lemme 0BZV et le second, dans \(D(R')\), de Compléments d’algèbre, lemme 0661. D’après la première partie de la démonstration (noter que les fibres de \(\Spec(A') \to \Spec(R')\) sont de dimension \(\leq d\)), on en déduit que \(\omega_{A/R}^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R'\) n’a de cohomologie qu’en degrés \([-d, 0]\). En prenant pour \(R' = R \oplus M\) l’épaississement de carré nul de \(R\) par un \(R\)-module de type fini \(M\), on voit que \(R\Hom(A, P) \otimes_R^\mathbf{L} M\) n’a de cohomologie que dans l’intervalle \([-d, 0]\) pour tout \(R\)-module de type fini \(M\). Puisque tout \(R\)-module est limite inductive filtrante de \(R\)-modules de type fini et que les produits tensoriels commutent aux limites inductives, on conclut.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme de type fini d’anneaux noethériens. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Supposons que

1. \(R_\mathfrak p\) soit de Cohen-Macaulay ;

2. pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak q \subset A\), on ait \(\text{trdeg}_{\kappa(R \cap \mathfrak q)} \kappa(\mathfrak q) \leq r\).

Alors \[H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak p \not = 0 \Rightarrow - r \leq i\] et \(H^{-r}(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak p\) satisfait à \((S_2)\) en tant que \(A_\mathfrak p\)-module.

Démonstration

On peut remplacer \(R\) par \(R_\mathfrak p\) d’après le lemme 0BZV. On peut donc supposer que \(R\) est un anneau local de Cohen-Macaulay, et il faut établir les assertions du lemme pour les \(A\)-modules \(H^i(\omega_{A/R}^\bullet)\).

Soit \(R^\wedge\) le complété de \(R\). L’homomorphisme \(R \to R^\wedge\) est plat et \(R^\wedge\) est de Cohen-Macaulay (Compléments d’algèbre, lemme 07NX). Observons que les idéaux premiers minimaux de \(A \otimes_R R^\wedge\) sont au-dessus d’idéaux premiers minimaux de \(A\) par platitude de \(A \to A \otimes_R R^\wedge\) (et par le théorème de descente pour les morphismes plats, voir Algèbre, lemme 00HS). La condition (2) vaut donc pour l’homomorphisme de type fini \(R^\wedge \to A \otimes_R R^\wedge\) d’après Morphismes, lemme 02FY. En appliquant encore le lemme 0BZV, il suffit de prouver le lemme pour \(R^\wedge \to A \otimes_R R^\wedge\). De cette manière, en utilisant le lemme 0BFR, on peut supposer que \(R\) est un anneau local noethérien de Cohen-Macaulay possédant un complexe dualisant \(\omega_R^\bullet\).

Soit \(\mathfrak m \subset A\) un idéal maximal. Il suffit de montrer les assertions du lemme pour \(H^i(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak m\). Si \(\mathfrak m\) n’est pas au-dessus de l’idéal maximal de \(R\), on remplace \(R\) par un localisé pour se ramener à ce cas (nous omettons un petit détail).

On peut supposer \(\omega_R^\bullet\) normalisé. En posant \(d = \dim(R)\), on voit que \(\omega_R^\bullet = \omega_R[d]\) pour un certain \(R\)-module \(\omega_R\) ; voir le lemme 0AWS. Posons \(\omega_A^\bullet = \varphi^!(\omega_R^\bullet)\). D’après le lemme 0E9L, on a \[\omega_{A/R}^\bullet = R\Hom_A(\omega_R[d] \otimes_R^\mathbf{L} A, \omega_A^\bullet)\] La formule de dimension donne \(\dim(A_\mathfrak m) \leq d + r\) ; voir Morphismes, lemme 0BAE, et utiliser le fait que \(\kappa(\mathfrak m)\) est fini sur le corps résiduel de \(R\) par le Nullstellensatz de Hilbert. D’après le lemme 0E9N, \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak m\) est un complexe dualisant normalisé pour \(A_\mathfrak m\). Ainsi \(H^i((\omega_A^\bullet)_\mathfrak m)\) n’est non nul que pour \(-d - r \leq i \leq 0\) ; voir le lemme 0A7U. Puisque \(\omega_R[d] \otimes_R^\mathbf{L} A\) est placé en degrés \(\leq -d\), on obtient l’annulation voulue. Enfin, on voit aussi que \[H^{-r}(\omega_{A/R}^\bullet)_\mathfrak m = \Hom_A(\omega_R \otimes_R A, H^{-d - r}(\omega_A^\bullet))_\mathfrak m\] Puisque \(H^{-d - r}(\omega_A^\bullet)_\mathfrak m\) satisfait à \((S_2)\) d’après le lemme 0AWE, la dernière assertion résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0AV6.

Compléments sur les complexes dualisants

Quelques lemmes qui ne trouvent pas naturellement leur place ailleurs.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fidèlement plat d’anneaux noethériens. Si \(K \in D(A)\) et si \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) est un complexe dualisant pour \(B\), alors \(K\) est un complexe dualisant pour \(A\).

Démonstration

Puisque \(A \to B\) est plat, on a \(H^i(K) \otimes_A B = H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\). Puisque \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(B)\), on trouve d’abord que \(K\) appartient à \(D^b(A)\), puis que \(H^i(K)\) est un \(A\)-module de type fini d’après Algèbre, lemme 03C4. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors \[R\Hom_A(M, K) \otimes_A B = R\Hom_B(M \otimes_A B, K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A6A. Puisque \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) est de dimension injective finie, disons d’amplitude injective dans \([a, b]\), le membre de droite a une cohomologie nulle en degrés \(> b\). Puisque \(A \to B\) est fidèlement plat, \(R\Hom_A(M, K)\) a une cohomologie nulle en degrés \(> b\). Ainsi \(K\) est de dimension injective finie d’après Compléments d’algèbre, lemme 0A5T. Pour conclure, il faut montrer que le morphisme \(A \to R\Hom_A(K, K)\) est un isomorphisme. Utilisons encore Compléments d’algèbre, lemme 0A6A, et le fait que \(B \to R\Hom_B(K \otimes_A^\mathbf{L} B, K \otimes_A^\mathbf{L} B)\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Supposons que

1. \(A \to B\) soit syntomique et induise une application surjective sur les spectres, ou

2. \(A \to B\) soit fidèlement plat et localement d’intersection complète, ou

3. \(A \to B\) soit fidèlement plat de type fini, à fibres de Gorenstein.

Alors \(K \in D(A)\) est un complexe dualisant pour \(A\) si et seulement si \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) est un complexe dualisant pour \(B\).

Démonstration

Observons que \(A \to B\) satisfait à (1) si et seulement si \(A \to B\) satisfait à (2) d’après Compléments d’algèbre, lemme 07D3. Dans les cas (2) et (3), le complexe dualisant relatif \(\varphi^!(A) = \omega_{B/A}^\bullet\) est un objet inversible de \(D(B)\) ; voir les lemmes 0E4B et 0E4C. De plus, on a \(\varphi^!(K) = K \otimes_A^\mathbf{L} \omega_{B/A}^\bullet\) dans les deux cas ; voir le lemme 0BZU pour le cas (3). Ainsi \(\varphi^!(K)\) est identique à \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) à tensorisation près par un objet inversible de \(D(B)\). Par conséquent, \(\varphi^!(K)\) est un complexe dualisant pour \(B\) si et seulement si \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) l’est (la propriété d’être dualisant étant locale et invariante par décalage). Si \(K\) est dualisant pour \(A\), alors \(K \otimes_A^\mathbf{L} B\) est donc dualisant pour \(B\) d’après le lemme 0BZL. Pour la descente de cette propriété, voir le lemme 0E4A.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa) \to (B, \mathfrak n, l)\) un homomorphisme local plat d’anneaux noethériens tel que \(\mathfrak n = \mathfrak m B\). Si \(E\) est l’enveloppe injective de \(\kappa\), alors \(E \otimes_A B\) est l’enveloppe injective de \(l\).

Démonstration

Écrivons \(E = \bigcup E_n\) comme dans le lemme 08Z4. Il suffit de montrer que \(E_n \otimes_{A/\mathfrak m^n} B/\mathfrak n^n\) est l’enveloppe injective de \(l\) sur \(B/\mathfrak n\). On se ramène ainsi au cas où \(A\) et \(B\) sont locaux artiniens. Observons que \(\text{longueur}_A(A) = \text{longueur}_B(B)\) et \(\text{longueur}_A(E) = \text{longueur}_B(E \otimes_A B)\) d’après Algèbre, lemme 02M1. D’après le lemme 08YX, on a \(\text{longueur}_A(E) = \text{longueur}_A(A)\) et \(\text{longueur}_B(E') = \text{longueur}_B(B)\), où \(E'\) est l’enveloppe injective de \(l\) sur \(B\). On en déduit que \(\text{longueur}_B(E') = \text{longueur}_B(E \otimes_A B)\). Observons que \[\dim_l((E \otimes_A B)[\mathfrak n]) = \dim_l(E[\mathfrak m] \otimes_A B) = \dim_\kappa(E[\mathfrak m]) = 1\] où l’on a utilisé la platitude de \(A \to B\) et l’égalité \(\mathfrak n = \mathfrak mB\). Il existe donc un homomorphisme injectif de \(B\)-modules \(E \otimes_A B \to E'\) d’après le lemme 08Z3. C’est un isomorphisme par l’égalité des longueurs établie ci-dessus.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme plat d’anneaux noethériens tel que, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\), on ait \(\mathfrak p B_\mathfrak q = \mathfrak qB_\mathfrak q\), où \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\), par exemple si \(\varphi\) est étale. Si \(I\) est un \(A\)-module injectif, alors \(I \otimes_A B\) est un \(B\)-module injectif.

Démonstration

Les morphismes étales satisfont à l’hypothèse d’après Algèbre, lemme 00U4. Le lemme 08XV et la proposition 08YA permettent de supposer que \(I\) est l’enveloppe injective de \(\kappa(\mathfrak p)\) pour un idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). Alors \(I\) est un module sur \(A_\mathfrak p\). Il suffit de prouver que \(I \otimes_A B = I \otimes_{A_\mathfrak p} B_\mathfrak p\) est injectif comme \(B_\mathfrak p\)-module ; voir le lemme 08XQ. On peut donc supposer \((A, \mathfrak m, \kappa)\) local noethérien et \(I = E\) égal à l’enveloppe injective du corps résiduel \(\kappa\). Notre hypothèse entraîne que l’anneau noethérien \(B/\mathfrak m B\) est produit de corps (nous omettons les détails). Il n’y a donc qu’un nombre fini d’idéaux premiers \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\) dans \(B\) au-dessus de \(\mathfrak m\), et ils sont tous maximaux. Écrivons \(E = \bigcup E_n\) comme dans le lemme 08Z4. Alors \(E \otimes_A B = \bigcup E_n \otimes_A B\), et \(E_n \otimes_A B\) est un \(B\)-module de type fini de support \(\{\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\}\), donc se décompose en produit des localisés en les \(\mathfrak m_i\). Ainsi \(E \otimes_A B = \prod (E \otimes_A B)_{\mathfrak m_i}\). Puisque \((E \otimes_A B)_{\mathfrak m_i} = E \otimes_A B_{\mathfrak m_i}\) est l’enveloppe injective du corps résiduel de \(\mathfrak m_i\) d’après le lemme 0E4E, on conclut.

Complexes dualisants relatifs

Pour un homomorphisme de type fini \(\varphi : R \to A\) d’anneaux noethériens, on dispose du complexe dualisant relatif \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\) étudié dans la section 0E9M. Si \(R\) n’est pas noethérien, un complexe construit de la même manière n’aura généralement pas de bonnes propriétés. Nous donnons ici une définition du complexe dualisant relatif pour les homomorphismes plats de présentation finie \(R \to A\) d’anneaux non noethériens. Cette définition est choisie pour se globaliser aux morphismes plats de présentation finie de schémas ; voir Dualité pour les schémas, section 0E2S. Nous montrerons que les complexes dualisants relatifs existent dans le cadre de la définition, sont uniques à isomorphisme non canonique près, et que l’on retrouve dans le cas noethérien le complexe de la section 0E9M.

Le lecteur qui s’en tient au cas noethérien peut sans risque sauter cette section !

Définition

Soit \(R \to A\) un homomorphisme plat de présentation finie. Un complexe dualisant relatif est un objet \(K \in D(A)\) tel que

1. \(K\) soit \(R\)-parfait (Compléments d’algèbre, définition 0DHS) ;

2. \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\) soit isomorphe à \(A\).

Pour comprendre cette définition, il peut être nécessaire de lire et de comprendre certains des lemmes suivants. Les lemmes 0E2E et 0E2D montrent qu’elle est compatible avec la définition de la section 0E9M.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme plat de présentation finie. Deux complexes dualisants relatifs pour \(R \to A\) sont isomorphes.

Démonstration

Soient \(K\) et \(L\) deux complexes dualisants relatifs pour \(R \to A\). Notons \(K_1 = K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A)\) et \(L_2 = (A \otimes_R A) \otimes_A^\mathbf{L} L\) les changements de base dérivés par les première et seconde coprojections \(A \to A \otimes_R A\). Par symétrie, l’hypothèse sur \(L_2\) entraîne que \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, L_2)\) est isomorphe à \(A\). En appliquant deux fois Compléments d’algèbre, lemme 0ATK (3), on a \[A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} L_2 \cong R\Hom_{A \otimes_R A}(A, K_1 \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} L_2) \cong A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} K_1\] L’application du foncteur de restriction \(D(A \otimes_R A) \to D(A)\) pour l’une ou l’autre coprojection donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to A\) un homomorphisme plat de type fini d’anneaux noethériens. Alors le complexe dualisant relatif \(\omega_{A/R}^\bullet = \varphi^!(R)\) de la section 0E9M est un complexe dualisant relatif au sens de la définition 0E2C.

Démonstration

Le lemme 0BZW montre que \(\varphi^!(R)\) est \(R\)-parfait. Notons \(\delta : A \otimes_R A \to A\) l’homomorphisme de multiplication et \(p_1, p_2 : A \to A \otimes_R A\) les coprojections. Alors \[\varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A) = \varphi^!(R) \otimes_{A, p_1}^\mathbf{L} (A \otimes_R A) = p_2^!(A)\] d’après le lemme 0BZN. Rappelons que \(R\Hom_{A \otimes_R A}(A, \varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\) est l’image de \(\delta^!(\varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\) par le foncteur de restriction \(\delta_* : D(A) \to D(A \otimes_R A)\). Utiliser la définition de \(\delta^!\) dans la section 0BZI et le lemme 0A71. Puisque \(\delta^!(p_2^!(A)) \cong A\) d’après le lemme 0BZT, on conclut.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme plat de présentation finie. Alors :

1. il existe un complexe dualisant relatif \(K\) dans \(D(A)\) ;

2. pour tout homomorphisme \(R \to R'\), si l’on pose \(A' = A \otimes_R R'\) et \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\), alors \(K'\) est un complexe dualisant relatif pour \(R' \to A'\).

De plus, si \[\xi : A \longrightarrow K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A)\] est un générateur du module cyclique \(\Hom_{D(A \otimes_R A)}(A, K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A))\) alors, dans (2), le changement de base dérivé de \(\xi\) par \(A \otimes_R A \to A' \otimes_{R'} A'\) est un générateur du module cyclique \(\Hom_{D(A' \otimes_{R'} A')}(A', K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A'))\)

Démonstration

Ramenons-nous d’abord au cas noethérien. D’après Algèbre, lemme 02JO, il existe une sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini \(R_0 \subset R\) et un homomorphisme plat de type fini \(R_0 \to A_0\) tels que \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\). D’après le lemme 0E2E, il existe un complexe dualisant relatif \(K_0 \in D(A_0)\). Si l’on montre (2) pour \(K_0\), alors \(K_0 \otimes_{A_0}^\mathbf{L} A\) est un complexe dualisant pour \(R \to A\) et satisfait lui aussi à (2) par transitivité du changement de base dérivé. L’unicité des complexes dualisants relatifs (lemme 0E2D) montre alors que cela vaut pour tout complexe dualisant relatif.

Supposons \(R\) noethérien et soit \(K\) un complexe dualisant relatif pour \(R \to A\). Étant donné un homomorphisme \(R \to R'\), posons \(A' = A \otimes_R R'\) et \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\). Pour conclure, il faut montrer que \(K'\) est un complexe dualisant relatif pour \(R' \to A'\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0DHW, on voit que \(K'\) est \(R'\)-parfait dans tous les cas. D’après les lemmes 0BZV et 0E2E, si \(R'\) est noethérien, alors \(K'\) est un complexe dualisant relatif pour \(R' \to A'\) dans les deux sens. La transitivité du produit tensoriel dérivé donne \(K \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R A) \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A') = K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A')\). La platitude de \(R \to A\) assure que \(A \otimes_{A \otimes_R A}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A') = A'\) ; en effet, \(A \otimes_R A\) et \(R'\) sont Tor-indépendants sur \(R\), ce qui permet d’appliquer Compléments d’algèbre, lemme 0661. Enfin, \(A\) est pseudo-cohérent comme \(A \otimes_R A\)-module d’après Compléments d’algèbre, lemme 0E1T. Toutes les hypothèses de Compléments d’algèbre, lemme 0E1U, sont donc vérifiées. On obtient un complexe borné inférieurement \(E^\bullet\) de modules plats sur \(R\) et de présentation finie sur \(A \otimes_R A\) tel que \(E^\bullet \otimes_R R'\) représente \(R\Hom_{A' \otimes_{R'} A'}(A', K' \otimes_{A'}^\mathbf{L} (A' \otimes_{R'} A'))\), ces identifications étant compatibles au changement de base dérivé. Soit \(n \in \mathbf{Z}\) tel que \(n \not = 0\). Définissons \(Q^n\) par la suite \[E^{n - 1} \to E^n \to Q^n \to 0\] Puisque \(\kappa(\mathfrak p)\) est un anneau noethérien, on sait que \(H^n(E^\bullet \otimes_R \kappa(\mathfrak p)) = 0\), voir les remarques ci-dessus. Une chasse au diagramme montre alors que \[Q^n \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to E^{n + 1} \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\] est injectif. Ainsi, pour un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(A \otimes_R A\) au-dessus de \(\mathfrak p\), le module \(Q^n_\mathfrak q\) est \(R_\mathfrak p\)-plat et \(Q^n_\mathfrak p \to E^{n + 1}_\mathfrak q\) est \(R_\mathfrak p\)-universellement injectif ; voir Algèbre, lemme 00ME. Puisque cela vaut pour tous les idéaux premiers, \(Q^n\) est \(R\)-plat et \(Q^n \to E^{n + 1}\) est \(R\)-universellement injectif. En particulier, \(H^n(E^\bullet \otimes_R R') = 0\) pour tout homomorphisme \(R \to R'\). Soit \(Z^0 = \Ker(E^0 \to E^1)\). La suite exacte \(0 \to Z^0 \to E^0 \to E^1 \to Q^1 \to 0\) montre que \(Z^0\) est \(R\)-plat et que \(Z^0 \otimes_R R' = \Ker(E^0 \otimes_R R' \to E^1 \otimes_R R')\) pour tout \(R \to R'\). La suite exacte courte \(0 \to Q^{-1} \to Z^0 \to H^0(E^\bullet) \to 0\) donne alors \[H^0(E^\bullet \otimes_R R') = H^0(E^\bullet) \otimes_R R' = A \otimes_R R' = A'\] comme voulu. Cette égalité donne aussi la dernière assertion du lemme.

Lemme

Soit \(R \to A\) un homomorphisme plat de présentation finie. Soit \(K\) un complexe dualisant relatif. Alors \(A \to R\Hom_A(K, K)\) est un isomorphisme.

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 02JO, il existe une sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini \(R_0 \subset R\) et un homomorphisme plat de type fini \(R_0 \to A_0\) tels que \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\). D’après les lemmes 0E2D, 0E2E et 0E2F, il existe un complexe dualisant relatif \(K_0 \in D(A_0)\) dont le changement de base dérivé est \(K\). On se ramène ainsi à la situation du paragraphe suivant.

Supposons \(R\) noethérien et soit \(K\) un complexe dualisant relatif pour \(R \to A\). Étant donné un homomorphisme \(R \to R'\), posons \(A' = A \otimes_R R'\) et \(K' = K \otimes_A^\mathbf{L} A'\). Pour conclure, montrons que \(R\Hom_{A'}(K', K') = A'\). D’après le lemme 0BZW, c’est vrai dès que \(R'\) est noethérien. Puisqu’un \(R'\) quelconque est limite inductive filtrante de \(R\)-algèbres noethériennes, le résultat découle de Compléments d’algèbre, lemme 0DHX.

Lemme

Soient \(R \to A \to B\) des homomorphismes plats de présentation finie. Soient \(K_{A/R}\) et \(K_{B/A}\) des complexes dualisants relatifs pour \(R \to A\) et \(A \to B\). Alors \(K = K_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} K_{B/A}\) est un complexe dualisant relatif pour \(R \to B\).

Démonstration

Utilisons la réduction au cas noethérien. D’après Algèbre, lemme 02JO, il existe une sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini \(R_0 \subset R\) et un homomorphisme plat de type fini \(R_0 \to A_0\) tels que \(A = A_0 \otimes_{R_0} R\). Quitte à agrandir \(R_0\) et à remplacer \(A_0\) en conséquence, on peut supposer qu’il existe un homomorphisme plat de type fini \(A_0 \to B_0\) tel que \(B = B_0 \otimes_{R_0} R\) (utiliser le même lemme). Si l’on prouve le lemme pour \(R_0 \to A_0 \to B_0\), il en résulte par les lemmes 0E2D, 0E2E et 0E2F. On se ramène ainsi à la situation du paragraphe suivant.

Supposons \(R\) noethérien et notons \(\varphi : R \to A\) et \(\psi : A \to B\) les homomorphismes donnés. Alors \(K_{A/R} \cong \varphi^!(R)\) et \(K_{B/A} \cong \psi^!(A)\), voir les références ci-dessus. On a alors \[K = K_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} K_{B/A} \cong \varphi^!(R) \otimes_A^\mathbf{L} \psi^!(A) \cong \psi^!(\varphi^!(R)) \cong (\psi \circ \varphi)^!(R)\] d’après les lemmes 0BZU et 0BZT. Ainsi \(K\) est un complexe dualisant relatif pour \(R \to B\).