Théorie des déformations formelles

Introduction

Ce chapitre développe la théorie des déformations formelles sous une forme applicable plus loin dans le projet Champs, en suivant de près Rim [SGA7-I, Exposee VI] et Schlessinger [Sch]. Nous recommandons vivement au lecteur qui découvre ce sujet de lire d’abord l’article de Schlessinger : il est suffisamment général pour la plupart des applications, et les résultats de Schlessinger sont effectivement utilisés dans la plupart des articles qui font appel à ce type de théorie des déformations formelles.

Soit \(\Lambda\) un anneau local noethérien complet de corps résiduel \(k\), et notons \(\mathcal{C}_\Lambda\) la catégorie des \(\Lambda\)-algèbres artiniennes locales de corps résiduel \(k\). Étant donné un foncteur \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) tel que \(F(k)\) soit un ensemble à un élément, l’article de Schlessinger introduit des conditions (H1)–(H4) telles que :

1. \(F\) admet une « enveloppe » si et seulement si (H1)–(H3) sont satisfaites.

2. \(F\) est pro-représentable si et seulement si (H1)–(H4) sont satisfaites.

Le but de ce chapitre est de généraliser ces résultats de deux manières, exactement comme dans l’article de Rim :

1. Le foncteur \(F\) est remplacé par une catégorie \(\mathcal{F}\) cofibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir la section 06GB.

2. On prend pour \(\Lambda\) un anneau noethérien et pour \(\Lambda \to k\) un homomorphisme fini d’anneaux à valeurs dans un corps. La catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) est celle des \(\Lambda\)-algèbres artiniennes locales \(A\) munies d’une identification donnée \(A/\mathfrak m_A = k\).

L’analogue de la condition selon laquelle \(F(k)\) est un ensemble à un élément est que \(\mathcal{F}(k)\) soit le groupoïde trivial. Si \(\mathcal{F}\) satisfait cette condition, on dit que c’est une catégorie de prédéformation, mais on ne fait pas cette hypothèse en général. L’article de Rim [SGA7-I, Exposee VI] est la source originale des résultats de ce document. Mentionnons aussi l’utile article [Talpo-Vistoli], qui traite de la théorie des déformations avec des groupoïdes, mais dans un cadre moins général qu’ici.

Le « complété » \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) de la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) joue un rôle important. Un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est une \(\Lambda\)-algèbre locale noethérienne complète \(R\) dont le corps résiduel est identifié à \(k\) ; voir la section 06GV. D’une part, \(\mathcal{C}_\Lambda \subset \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est une sous-catégorie strictement pleine et, d’autre part, \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des pro-objets de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Un foncteur \(\mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est pro-représentable s’il est isomorphe à la restriction d’un foncteur représentable \(\underline{R} = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, -)\) à \(\mathcal{C}_\Lambda\), où \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\).

Les catégories cofibrées en groupoïdes sont duales des catégories fibrées en groupoïdes ; nous les introduisons à la section 06GA. Un morphisme lisse de catégories cofibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) est un morphisme qui satisfait le critère infinitésimal de relèvement pour les objets ; voir la section 06HF. Cette définition est analogue à celle d’un homomorphisme d’anneaux formellement lisse ; voir Algèbre, définition 00TI. Elle est exactement duale de la notion de Critères de représentabilité, section 06CZ. Cette notion est importante, car nous voulons finalement démontrer que certaines catégories cofibrées en groupoïdes admettent une présentation lisse pro-représentable, à l’instar de la caractérisation des champs algébriques dans Champs algébriques, sections 04T3 et 04TJ. Un objet formel versel d’une catégorie \(\mathcal{F}\) cofibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) est un objet \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(R)\) du complété tel que le morphisme associé \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) soit lisse.

Dans la section 06HV, nous définissons sur \(\mathcal{F}\) les conditions (S1) et (S2), qui généralisent les conditions (H1) et (H2) de Schlessinger. L’analogue de la condition (H3) de Schlessinger—à savoir que l’espace tangent de \(\mathcal{F}\) est de dimension finie—ne reçoit pas de nom. Une étape essentielle du développement de la théorie consiste à établir l’existence d’objets formels versels pour les catégories de prédéformation qui satisfont (S1), (S2) et (H3) ; voir le lemme 06IW. La notion d’enveloppe d’un foncteur, au sens de Schlessinger, \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est, dans notre terminologie, un objet formel versel \(\xi \in \widehat{F}(R)\) tel que l’application induite sur les espaces tangents \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) soit un isomorphisme. Dans la littérature, une enveloppe est souvent appelée objet « miniversel ». Nous n’employons pas ce terme, pour la raison suivante. Il peut arriver qu’un foncteur possède un objet formel versel sans posséder d’enveloppe. De plus, nous montrons à la section 06T0 que, si une catégorie de prédéformation possède un objet formel versel, elle en possède toujours un qui est minimal (au sens de la définition 06T4) et qui est unique à isomorphisme près ; voir le lemme 06T5. Il peut cependant arriver que l’objet formel versel minimal n’induise pas un isomorphisme sur les espaces tangents ! (Voir les exemples 06T7 et 06T9.)

Compte tenu des différences signalées ci-dessus, le théorème 06IX est la généralisation directe de (1) : il redonne le résultat de Schlessinger lorsque \(\mathcal{F}\) est un foncteur et, sous les conditions (S1) et (S2), il caractérise les objets formels versels minimaux au moyen de l’application \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) entre espaces tangents.

À la section 06J1, nous définissons sur \(\mathcal{F}\) la condition (RS) de Rim, qui généralise la condition (H4) de Schlessinger. Une catégorie de déformation est, par définition, une catégorie de prédéformation satisfaisant (RS). Les analogues des foncteurs pro-représentables sont les catégories cofibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui admettent une présentation par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir les définitions 06K3, 06KD, et 06KI. Cette notion de présentation tient compte de la structure de groupoïde des fibres de \(\mathcal{F}\). Dans le théorème 06L8, nous démontrons que \(\mathcal{F}\) admet une présentation par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable si et seulement si \(\mathcal{F}\) possède un espace tangent et un espace d’automorphismes infinitésimaux sont de dimension finie. C’est la généralisation de (2) ci-dessus : elle se réduit au résultat de Schlessinger lorsque \(\mathcal{F}\) est un foncteur. Enfin, la section 06TD explique comment utiliser les objets formels versels minimaux pour construire une présentation minimale (unique à isomorphisme près) par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable.

Nous obtenons également l’explication conceptuelle suivante des conditions de Schlessinger. Si une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\) satisfait (RS), alors le foncteur associé des classes d’isomorphie \(\overline{\mathcal{F}}: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) satisfait (H1) et (H2) (lemmes 06J7 et 06I0). Réciproquement, si un foncteur \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) se présente naturellement comme le foncteur des classes d’isomorphie d’une catégorie \(\mathcal{F}\) cofibrée en groupoïdes, on constate en pratique qu’un argument établissant que \(F\) satisfait (H1) et (H2) établit également que \(\mathcal{F}\) satisfait (RS). Des exemples sont étudiés dans Problèmes de déformation, section 0DVL. De plus, si \(\mathcal{F}\) satisfait (RS), la condition (H4) pour \(\overline{\mathcal{F}}\) admet une interprétation simple en termes de prolongement des automorphismes des objets de \(\mathcal{F}\) (lemme 06J8). Ces observations suggèrent de considérer (RS) comme la condition fondamentale de recollement de la théorie des déformations.

Notations et conventions

Les anneaux sont commutatifs et possèdent un élément unité \(1\). L’idéal maximal d’un anneau local \(A\) est noté \(\mathfrak{m}_A\). L’ensemble des entiers strictement positifs est noté \(\mathbf{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\). Si \(U\) est un objet d’une catégorie \(\mathcal{C}\), nous notons \(\underline{U}\) le foncteur \(\Mor_\mathcal{C}(U, -): \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) ; voir les remarques 06GK (06GQ). Attention : cette convention peut entrer en conflit avec la notation d’autres chapitres, où nous employons parfois \(\underline{U}\) pour désigner \(h_U(-) = \Mor_\mathcal{C}(-, U)\).

Dans tout ce chapitre, \(\Lambda\) est un anneau noethérien et \(\Lambda \to k\) est un homomorphisme fini de \(\Lambda\) vers un corps. Le noyau de cet homomorphisme est noté \(\mathfrak m_\Lambda\) et son image \(k' \subset k\). On verra que \(\mathfrak m_\Lambda\) est un idéal maximal, que \(k' = \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\) est un corps et que l’extension \(k/k'\) est finie. Voir la discussion autour de (06S2).

La catégorie de base

Motivation. Une application importante de la théorie des déformations formelles concerne les critères de représentabilité par des espaces algébriques. Supposons donnés une base localement noethérienne \(S\) et un foncteur \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\), c’est-à-dire que l’on se donne un morphisme de type fini \(\Spec(k) \to S\). L’un des critères d’Artin exige que, pour tout élément \(x \in F(\Spec(k))\), le foncteur de prédéformation associé au triplet \((S, k, x)\) soit pro-représentable. D’après Morphismes, lemme 01TA, dire que \(k\) est de type fini sur \(S\) signifie qu’il existe un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\) tel que \(k\) soit une \(\Lambda\)-algèbre finie. Cela explique le choix, dans tout ce chapitre, de la catégorie de base suivante.

Définition

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(\Lambda \to k\) un homomorphisme fini d’anneaux, où \(k\) est un corps. On définit \(\mathcal{C}_\Lambda\) comme la catégorie dont

1. les objets sont les couples \((A, \varphi)\), où \(A\) est une \(\Lambda\)-algèbre artinienne locale et où \(\varphi : A/\mathfrak m_A \to k\) est un isomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres ;

2. les morphismes \(f : (B, \psi) \to (A, \varphi)\) sont les homomorphismes locaux de \(\Lambda\)-algèbres tels que \(\varphi \circ (f \bmod \mathfrak m) = \psi\).

On dit que l’on est dans le cas classique si \(\Lambda\) est un anneau local noethérien complet et si \(k\) est son corps résiduel.

Remarquons que, si \(\Lambda \to k\) est surjectif et si \(A\) est une \(\Lambda\)-algèbre artinienne locale, l’identification \(\varphi\), lorsqu’elle existe, est unique. De plus, dans ce cas, tout homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(A \to B\) est compatible avec les identifications. Ainsi, \(\mathcal{C}_\Lambda\) n’est alors que la catégorie des \(\Lambda\)-algèbres artiniennes locales dont le corps résiduel « est » \(k\). Par abus de notation, dans le cas général, les objets de \(\mathcal{C}_\Lambda\) seront aussi désignés simplement par \(A\). Nous écrirons en outre souvent \(A/\mathfrak m = k\), autrement dit nous feindrons que tous les anneaux de \(\mathcal{C}_\Lambda\) ont pour corps résiduel \(k\) (comme tous les homomorphismes d’anneaux de \(\mathcal{C}_\Lambda\) sont compatibles avec les identifications données, cela ne devrait jamais poser de difficulté). Dans toute la suite du chapitre, l’anneau de base \(\Lambda\) et le corps \(k\) sont fixés. La catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) sera la catégorie de base des catégories cofibrées considérées ci-dessous.

Définition

Soit \(f: B \to A\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). On dit que \(f\) est une petite extension s’il est surjectif et si \(\Ker(f)\) est un idéal principal non nul, annulé par \(\mathfrak{m}_B\).

Le lemme suivant permet souvent de ramener les arguments portant sur des homomorphismes d’anneaux surjectifs dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) au cas des petites extensions.

Lemme

Soit \(f: B \to A\) un homomorphisme d’anneaux surjectif dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors \(f\) se décompose en un composé de petites extensions.

Démonstration

Soit \(I\) le noyau de \(f\). L’idéal maximal \(\mathfrak{m}_B\) est nilpotent, car \(B\) est artinien ; écrivons \(\mathfrak{m}_B^n = 0\). On obtient donc une décomposition \[B = B/I\mathfrak{m}_B^{n-1} \to B/I\mathfrak{m}_B^{n-2} \to \ldots \to B/I \cong A\] de \(f\) en un composé d’homomorphismes surjectifs dont les noyaux sont annulés par l’idéal maximal. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(f\) est lui-même un tel homomorphisme, c’est-à-dire lorsque \(I\) est annulé par \(\mathfrak{m}_B\). Dans ce cas, \(I\) est un espace vectoriel sur \(k\), de dimension finie ; voir Algèbre, lemme 00JB. En choisissant une base \(x_1, \ldots, x_n\) de l’espace vectoriel \(I\) sur \(k\), on obtient une décomposition \[B \to B/(x_1) \to \ldots \to B/(x_1, \ldots, x_n) \cong A\] de \(f\) en un composé de petites extensions.

Le lemme suivant affirme que l’on peut calculer la longueur d’un module sur une \(\Lambda\)-algèbre locale de corps résiduel \(k\) en fonction de sa longueur sur \(\Lambda\). Pour expliquer la notation de l’énoncé, soit \(k' \subset k\) l’image de l’homomorphisme fini fixé \(\Lambda \to k\). Remarquons que \(k' \subset k\) est une extension finie d’anneaux. Par conséquent, \(k'\) est un corps et \(k/k'\) une extension finie de corps ; voir Algèbre, lemme 00GR. De plus, puisque \(\Lambda \to k'\) est surjectif, son noyau est un idéal maximal \(\mathfrak m_\Lambda\). Ainsi [06S2]\[\begin{equation} [k : k'] = [k : \Lambda/\mathfrak m_\Lambda] < \infty \end{equation}\] et, dans le cas classique, on a \(k = k'\). La notation \(k' = \Lambda/\mathfrak m_\Lambda\) sera fixée dans tout ce chapitre.

Lemme

Soit \(A\) une \(\Lambda\)-algèbre locale de corps résiduel \(k\). Soit \(M\) un \(A\)-module. Alors \([k : k'] \text{length}_A(M) = \text{length}_\Lambda(M)\). Dans le cas classique, on a \(\text{length}_A(M) = \text{length}_\Lambda(M)\).

Démonstration

Si \(M\) est un \(A\)-module simple, alors \(M \cong k\) comme \(A\)-module ; voir Algèbre, lemme 00J2. Dans ce cas, \(\text{length}_A(M) = 1\) et \(\text{length}_\Lambda(M) = [k' : k]\) ; voir Algèbre, lemme 00IY. Si \(\text{length}_A(M)\) est finie, le résultat s’obtient en choisissant une filtration de \(M\) par des sous-\(A\)-modules à quotients simples, puis en utilisant l’additivité ; voir Algèbre, lemme 00IV. Si \(\text{length}_A(M)\) est infinie, le résultat découle de l’inégalité évidente \(\text{length}_A(M) \leq \text{length}_\Lambda(M)\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est surjectif ;

2. \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) est surjectif ;

3. \(\mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \to \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) est surjectif.

Démonstration

Pour tout homomorphisme d’anneaux \(f : A \to B\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), on a \(f(\mathfrak m_A) \subset \mathfrak m_B\) ; cela résulte par exemple du fait que \(\mathfrak m_A\) et \(\mathfrak m_B\) sont les ensembles des éléments nilpotents de \(A\) et de \(B\). Supposons \(f\) surjectif. Soit \(y \in \mathfrak m_B\). Choisissons \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\). Comme \(f\) induit un isomorphisme \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_B\), on a \(x \in \mathfrak m_A\). L’homomorphisme induit \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) est donc surjectif. Ainsi, (1) implique (2).

Il est clair que (2) implique (3). L’homomorphisme \(A \to B\) donne le diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k \ar[r] & \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \ar[r] & \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \ar[r] & 0 }\] dont les lignes sont exactes. Ainsi, si (3) est satisfaite, (2) l’est aussi.

Supposons (2). Pour montrer que \(A \to B\) est surjectif, il suffit, d’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), de montrer que \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\) est surjectif. (Remarquons que \(\mathfrak m_A\) est un idéal nilpotent.) Comme \(k = A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\), il suffit de montrer que \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) est surjectif. En appliquant une nouvelle fois le lemme de Nakayama, on voit qu’il suffit que \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) soit surjectif, ce qui est précisément l’hypothèse.

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), alors l’homomorphisme \(\mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2) \to \mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) est l’homomorphisme induit sur les espaces cotangents relatifs. En voici la définition formelle.

Définition

Soit \(R \to S\) un homomorphisme local d’anneaux locaux. L’espace cotangent relatif¹ de \(R\) sur \(S\) est l’espace vectoriel sur \(S/\mathfrak m_S\) \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\).

Si \(f_1: A_1 \to A\) et \(f_2: A_2 \to A\) sont deux homomorphismes d’anneaux, le produit fibré \(A_1 \times_A A_2\) est le sous-anneau de \(A_1 \times A_2\) formé des éléments dont les deux projections dans \(A\) sont égales. Dans tout ce chapitre, nous considérerons des conditions faisant intervenir un tel produit fibré lorsque \(f_1\) et \(f_2\) appartiennent à \(\mathcal{C}_\Lambda\). Le produit fibré n’est pas toujours un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Exemple

Soient \(p\) un nombre premier et \(n \in \mathbf{N}\). Posons \(\Lambda = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, \ldots, t_n)\) et \(k = \mathbf{F}_p(x_1, \ldots, x_n)\), l’homomorphisme \(\Lambda \to k\) étant donné par \(t_i \mapsto x_i^p\). Posons \(A = k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\). Alors \(A\) est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(D : k \to k\) soit une dérivation de \(k\) sur \(\Lambda\), par exemple \(D = \partial/\partial x_i\). Alors l’homomorphisme \[f_D : k \longrightarrow k[\epsilon], \quad a \mapsto a + D(a)\epsilon\] est un morphisme de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Posons \(A_1 = A_2 = k\), puis \(f_1 = f_{\partial/\partial x_1}\) et \(f_2(a) = a\). Alors \(A_1 \times_A A_2 = \{a \in k \mid \partial/\partial x_1(a) = 0\}\) n’a pas pour image tout \(k\). Le produit fibré n’est donc pas un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

On verra que ce problème ne peut se produire que si l’extension de corps résiduels \(k/k'\) (06S2) est inséparable et si ni \(f_1\) ni \(f_2\) n’est surjectif.

Lemme

Soient \(f_1 : A_1 \to A\) et \(f_2 : A_2 \to A\) des homomorphismes d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors :

1. Si \(f_1\) ou \(f_2\) est surjectif, alors \(A_1 \times_A A_2\) appartient à \(\mathcal{C}_\Lambda\).

2. Si \(f_2\) est une petite extension, il en est de même de \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\).

3. Si l’extension de corps \(k/k'\) est séparable, alors \(A_1 \times_A A_2\) appartient à \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Démonstration

L’anneau \(A_1 \times_A A_2\) est une \(\Lambda\)-algèbre par l’homomorphisme \(\Lambda \to A_1 \times_A A_2\) induit par les homomorphismes \(\Lambda \to A_1\) et \(\Lambda \to A_2\). C’est un anneau local dont l’unique idéal maximal est \[\mathfrak m_{A_1} \times_{\mathfrak m_A} \mathfrak m_{A_2} = \Ker(A_1 \times_A A_2 \longrightarrow k)\] Un anneau est artinien si et seulement s’il est de longueur finie comme module sur lui-même ; voir Algèbre, lemme 00JB. Puisque \(A_1\) et \(A_2\) sont artiniens, le lemme 06GG montre que \(\text{length}_\Lambda(A_1)\) et \(\text{length}_\Lambda(A_2)\), donc aussi \(\text{length}_\Lambda(A_1 \times A_2)\), sont toutes finies. Comme \(A_1 \times_A A_2 \subset A_1 \times A_2\) est un sous-\(\Lambda\)-module, il vient que \(\text{length}_{A_1 \times_A A_2}(A_1 \times_A A_2) \leq \text{length}_\Lambda(A_1 \times_A A_2)\) est finie. Ainsi, \(A_1 \times_A A_2\) est artinien. Le seul obstacle à ce que \(A_1 \times_A A_2\) soit un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\) est donc la possibilité que son corps résiduel s’envoie dans un sous-corps propre de \(k\) par l’homomorphisme ci-dessus \(A_1 \times_A A_2 \to A \to A/\mathfrak m_A = k\).

Démonstration de (1). Si \(f_2\) est surjectif, la projection \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) est surjective. Par suite, le composé \(A_1 \times_A A_2 \to A_1 \to A_1/\mathfrak m_{A_1} = k\) est surjectif, et l’on conclut que \(A_1 \times_A A_2\) est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Démonstration de (2). Si \(f_2\) est une petite extension, alors \(A_2 \to A\) et \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) sont tous deux surjectifs et ont le même noyau. Le noyau de \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) est donc un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(k\), et l’on voit que \(A_1 \times_A A_2 \to A_1\) est une petite extension.

Démonstration de (3). Choisissons \(\overline{x} \in k\) tel que \(k = k'(\overline{x})\) (voir Corps, lemme 030N). Soit \(P'(T) \in k'[T]\) le polynôme minimal de \(\overline{x}\) sur \(k'\). Puisque \(k/k'\) est séparable, on a \(\text{d}P/\text{d}T(\overline{x}) \not = 0\). Choisissons un polynôme unitaire \(P \in \Lambda[T]\) dont l’image est \(P'\) par l’homomorphisme surjectif \(\Lambda[T] \to k'[T]\). Comme \(A, A_1, A_2\) sont henséliens, voir Algèbre, lemme 06RS, il existe \(x, x_1, x_2 \in A, A_1, A_2\) tels que \(P(x) = 0, P(x_1) = 0, P(x_2) = 0\) et tels que les images de \(x, x_1, x_2\) dans \(k\) soient toutes \(\overline{x}\). Alors \((x_1, x_2) \in A_1 \times_A A_2\), car \(x_1, x_2\) s’envoient sur \(x \in A\) par unicité ; voir Algèbre, lemme 06RR. Ainsi, le corps résiduel de \(A_1 \times_A A_2\) contient un générateur de \(k\) sur \(k'\), ce qui conclut.

Définissons maintenant les surjections essentielles dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une surjection de \(\mathcal{C}_\Lambda\) soit essentielle est donnée au lemme 06H0.

Définition

Soit \(f: B \to A\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). On dit que \(f\) est une surjection essentielle s’il possède les propriétés suivantes :

1. \(f\) est surjectif.

2. Si \(g: C \to B\) est un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) tel que \(f \circ g\) soit surjectif, alors \(g\) est surjectif.

À l’aide du lemme 06S3, on peut caractériser comme suit les surjections essentielles dans \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Lemme

Soit \(f: B \to A\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une surjection essentielle ;

2. l’homomorphisme \(B/\mathfrak m_B^2 \to A/\mathfrak m_A^2\) est une surjection essentielle ;

3. l’homomorphisme \(B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) est une surjection essentielle.

Démonstration

Supposons (3). Soit \(C \to B\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) tel que \(C \to A\) soit surjectif. Alors \(C \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) est également surjectif. L’hypothèse entraîne que \(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) est surjectif. Par deux applications du lemme 06S3, \(C \to B\) est donc surjectif.

Supposons (1). Soit \(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) un morphisme de \(\mathcal{C}_\Lambda\) tel que \(C \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) soit surjectif. Posons \(C' = C \times_{B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)} B\) qui est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\) d’après le lemme 06GH. Remarquons que \(C' \to A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) est encore surjectif ; le lemme 06S3 montre donc que \(C' \to A\) est surjectif. Notre hypothèse implique alors que \(C' \to B\) est surjectif. Il en résulte que \(C' \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) est surjectif, ce qui, par construction de \(C'\), implique que \(C \to B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2)\) est surjectif.

Dans le premier paragraphe, nous avons démontré (3) \(\Rightarrow\) (1), et dans le second, (1) \(\Rightarrow\) (3). L’équivalence de (2) et (3) est un cas particulier de l’équivalence de (1) et (3), ce qui conclut.

Pour analyser plus avant les surjections essentielles dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), introduisons quelques notations. Supposons que \(A\) soit un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\), ou plus généralement une \(\Lambda\)-algèbre quelconque munie d’une surjection de \(\Lambda\)-algèbres \(A \to k\). On dispose d’une suite exacte canonique [06S6]\[\begin{equation} \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \xrightarrow{\text{d}_A} \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0 \end{equation}\] voir Algèbre, lemme 00RU. Remarquons que \(\Omega_{k/\Lambda} = \Omega_{k/k'}\), avec \(k'\) comme dans (06S2). Soit \(H_1(L_{k/\Lambda})\) le premier module d’homologie du complexe cotangent naïf de \(k\) sur \(\Lambda\) ; voir Algèbre, définition 07BN. On peut alors prolonger (06S6) en la suite exacte [06S7]\[\begin{equation} H_1(L_{k/\Lambda}) \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \xrightarrow{\text{d}_A} \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0, \end{equation}\] voir Algèbre, lemme 00S2. Si \(B \to A\) est un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), ou, plus généralement, un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres munies de surjections de \(\Lambda\)-algèbres sur \(k\), on obtient un diagramme commutatif [06S8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ H_1(L_{k/\Lambda}) \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \ar[r]_{\text{d}_B} \ar[d] & \Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \ar[r] \ar[d] & \Omega_{k/\Lambda} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ H_1(L_{k/\Lambda}) \ar[r] & \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \ar[r]^{\text{d}_A} & \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \ar[r] & \Omega_{k/\Lambda} \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] dont les lignes sont exactes.

Lemme

Il existe un homomorphisme canonique \[\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \longrightarrow H_1(L_{k/\Lambda}).\] Si \(k' \subset k\) est séparable (par exemple si la caractéristique de \(k\) est nulle), cet homomorphisme induit un isomorphisme \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k = H_1(L_{k/\Lambda})\). Si \(k = k'\) (par exemple dans le cas classique), alors \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 = H_1(L_{k/\Lambda})\). Le composé \[\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \longrightarrow H_1(L_{k/\Lambda}) \longrightarrow \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\] provient de l’homomorphisme canonique \(\mathfrak m_\Lambda \to \mathfrak m_A\).

Démonstration

On a \(H_1(L_{k'/\Lambda}) = \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2\), car \(\Lambda \to k'\) est surjectif de noyau \(\mathfrak m_\Lambda\). L’homomorphisme provient de la fonctorialité du complexe cotangent naïf. Si \(k' \subset k\) est séparable, alors \(k' \to k\) est un homomorphisme d’anneaux étale ; voir Algèbre, lemme 00U3. Son complexe cotangent naïf a donc des groupes d’homologie triviaux ; voir Algèbre, définition 00U1. Appliqué aux homomorphismes d’anneaux \(\Lambda \to k' \to k\), le lemme 00S2 d’Algèbre entraîne alors que \(\mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k = H_1(L_{k/\Lambda})\). Nous omettons la démonstration de la dernière assertion.

Lemme

Soit \(f: B \to A\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). On conserve les notations de (06S8).

1. Les conditions équivalentes du lemme 06S3 qui caractérisent la surjectivité de \(f\) sont aussi équivalentes aux suivantes :

   1. \(\Im(\text{d}_B) \to \Im(\text{d}_A)\) est surjectif ;

   2. l’homomorphisme \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) est surjectif.

2. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) est une surjection essentielle (voir le lemme 06S5) ;

   2. l’homomorphisme \(\Im(\text{d}_B) \to \Im(\text{d}_A)\) est un isomorphisme ;

   3. l’homomorphisme \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) est un isomorphisme.

3. Si \(k/k'\) est séparable, alors \(f\) est une surjection essentielle si et seulement si l’homomorphisme \(\mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) est un isomorphisme.

4. Si \(f\) est une petite extension, alors \(f\) n’est pas essentielle si et seulement si \(f\) admet une section \(s: A \to B\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) telle que \(f \circ s = \text{id}_A\).

Démonstration

Démonstration de (1). Il résulte de (06S8) que (1)(a) et (1)(b) sont équivalentes. En outre, si \(A \to B\) est surjectif, alors (1)(a) et (1)(b) sont satisfaites. Supposons (1)(a). Puisque le noyau de \(\text{d}_A\) est l’image de \(H_1(L_{k/\Lambda})\), lequel s’envoie aussi dans \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\), on en déduit que \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) est surjectif. Ainsi, \(B \to A\) est surjectif d’après le lemme 06S3, ce qui achève la démonstration de (1).

Démonstration de (2). L’équivalence de (2)(b) et (2)(c) résulte immédiatement de (06S8).

Supposons (2)(b). Soit \(g : C \to B\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) tel que \(f \circ g\) soit surjectif. On en déduit que \(\mathfrak m_C/\mathfrak m_C^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) est surjectif d’après le lemme 06S3. Par conséquent, \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_A)\) est surjectif et, par hypothèse, \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_B)\) l’est aussi. Il résulte de (1) que \(C \to B\) est surjectif.

Supposons (2)(a). Alors \(f\) est surjectif et l’on voit que \(\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k \to \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k\) est surjectif. Soit \(K\) son noyau. Remarquons que \(K = \text{d}_B(\Ker(\mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \to \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2))\) d’après (06S8). Choisissons une décomposition \[\Omega_{B/\Lambda} \otimes_B k = \Omega_{A/\Lambda} \otimes_A k \oplus K\] d’espaces vectoriels sur \(k\). L’homomorphisme \(\text{d} : B \to \Omega_{B/\Lambda}\) induit, par projection sur \(K\), un homomorphisme \(D : B \to K\). Posons \(C = \{b \in B \mid D(b) = 0\}\). La règle de Leibniz montre que c’est une sous-\(\Lambda\)-algèbre de \(B\). Soit \(\overline{x} \in k\). Choisissons \(x \in B\) d’image \(\overline{x}\). Si \(D(x) \not = 0\), il existe un élément \(y \in \mathfrak m_B\) tel que \(D(y) = D(x)\). Ainsi, \(x - y \in C\) est un élément d’image \(\overline{x}\). Par conséquent, \(C \to k\) est surjectif et \(C\) est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\). De même, choisissons \(\omega \in \Im(\text{d}_A)\). D’après (1), il existe \(x \in \mathfrak m_B\) tel que \(\text{d}_B(x)\) s’envoie sur \(\omega\). Si \(D(x) \not = 0\), il existe un élément \(y \in \mathfrak m_B\) dont l’image dans \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\) est nulle et tel que \(D(y) = D(x)\). Alors \(z = x - y\) est un élément de \(\mathfrak m_C\) dont l’image \(\text{d}_C(z) \in \Omega_{C/k} \otimes_C k\) s’envoie sur \(\omega\). Ainsi, \(\Im(\text{d}_C) \to \Im(\text{d}_A)\) est surjectif. On déduit de (1) que \(C \to A\) est surjectif, puis de l’hypothèse que \(C \to B\) est surjectif. Par suite, \(D = 0\), c’est-à-dire \(K = 0\), c’est-à-dire que (2)(c) est satisfaite. Cela achève la démonstration de (2).

Démonstration de (3). Si \(k'/k\) est séparable, alors \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_\Lambda/\mathfrak m_\Lambda^2 \otimes_{k'} k\) ; voir le lemme 06S9. Par conséquent, \(\Im(\text{d}_A) = \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\) et il en va de même pour \(B\). Ainsi, (3) résulte de (2).

Démonstration de (4). Une section \(s\) de \(f\) n’est pas surjective (par définition, une petite extension a un noyau non trivial) ; ainsi, \(f\) n’est pas une surjection essentielle. Réciproquement, supposons que \(f\) soit une petite extension, mais non une surjection essentielle. Choisissons un homomorphisme d’anneaux \(C \to B\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), non surjectif, tel que \(C \to A\) soit surjectif. Soit \(C' \subset B\) l’image de \(C \to B\). Alors \(C' \not = B\), mais l’application de \(C'\) vers \(A\) est surjective. Puisque \(f : B \to A\) est une petite extension, \(\text{length}_C(B) = \text{length}_C(A) + 1\). Ainsi, \(\text{length}_C(C') \leq \text{length}_C(A)\), car \(C'\) est un sous-anneau propre de \(B\). Or \(C' \to A\) est surjectif ; on a donc nécessairement \(\text{length}_C(C') = \text{length}_C(A)\), et \(C' \to A\) est un isomorphisme qui fournit la section cherchée.

Exemple

Soit \(\Lambda = k[[x]]\) l’anneau des séries formelles en \(1\) variable sur \(k\). Posons \(A = k\) et \(B = \Lambda/(x^2)\). Alors \(B \to A\) est une surjection essentielle d’après le lemme 06H0, car c’est une petite extension et l’homomorphisme \(B \to A\) n’admet pas d’inverse à droite (dans la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\)). Mais l’homomorphisme \[k \cong \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2 \longrightarrow \mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 = 0\] n’est pas un isomorphisme. Ainsi, dans le lemme 06H0 (3), il est nécessaire de considérer l’homomorphisme entre espaces cotangents relatifs \(\mathfrak m_B/(\mathfrak m_\Lambda B + \mathfrak m_B^2) \to \mathfrak m_A/(\mathfrak m_\Lambda A + \mathfrak m_A^2)\).

La catégorie de base complétée

Le « complété » suivant de la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) servira de catégorie de base au complété d’une catégorie cofibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) (section 06H2).

Définition

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(\Lambda \to k\) un homomorphisme fini d’anneaux, où \(k\) est un corps. On définit \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) comme la catégorie dont

1. les objets sont les couples \((R, \varphi)\), où \(R\) est une \(\Lambda\)-algèbre locale noethérienne complète et où \(\varphi : R/\mathfrak m_R \to k\) est un isomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres ;

2. les morphismes \(f : (S, \psi) \to (R, \varphi)\) sont les homomorphismes locaux de \(\Lambda\)-algèbres tels que \(\varphi \circ (f \bmod \mathfrak m) = \psi\).

Comme dans la discussion qui suit la définition 06GC, nous désignerons en général un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) simplement par \(R\), l’identification \(R/\mathfrak m_R = k\) étant sous-entendue. Nous étudions dans cette section quelques propriétés élémentaires des objets et des morphismes de la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), parallèlement à l’étude de la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) menée dans la section précédente.

Observons d’abord que tout objet \(A \in \mathcal{C}_\Lambda\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), puisqu’un anneau local artinien est toujours noethérien et complet pour la topologie définie par son idéal maximal (qui est un idéal nilpotent). De plus, il résulte clairement des définitions que \(\mathcal{C}_\Lambda \subset \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est la sous-catégorie strictement pleine formée de tous les anneaux artiniens. Réciproquement, tout objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est en fait une limite d’objets de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Supposons que \(R\) soit un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Considérons les anneaux \(R_n = R/\mathfrak m_R^n\), pour \(n \in \mathbf{N}\). Ce sont des anneaux locaux noethériens qui possèdent un unique idéal premier, lequel est nilpotent ; ils sont donc artiniens, voir Algèbre, proposition 00KJ. Les homomorphismes d’anneaux \[\ldots \to R_{n + 1} \to R_n \to \ldots \to R_2 \to R_1 = k\] sont tous surjectifs. Par définition, la complétude de \(R\) signifie que \(R = \lim R_n\). Si \(f : R \to S\) est un homomorphisme d’anneaux dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), on obtient un système d’homomorphismes \(f_n : R_n \to S_n\) dont la limite est l’homomorphisme donné.

Lemme

Soit \(f: R \to S\) un homomorphisme d’anneaux dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est surjectif ;

2. l’homomorphisme \(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 \to \mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2\) est surjectif ;

3. l’homomorphisme \(\mathfrak m_R/(\mathfrak m_\Lambda R + \mathfrak m_R^2) \to \mathfrak m_S/(\mathfrak m_\Lambda S + \mathfrak m_S^2)\) est surjectif.

Démonstration

Remarquons que, pour \(n \geq 2\), on a l’égalité d’espaces cotangents relatifs \[\mathfrak m_R/(\mathfrak m_\Lambda R + \mathfrak m_R^2) = \mathfrak m_{R_n}/(\mathfrak m_\Lambda R_n + \mathfrak m_{R_n}^2)\] et de même pour \(S\). Le lemme 06S3 montre donc que \(R_n \to S_n\) est surjectif pour tout \(n\). Soit maintenant \(K_n\) le noyau de \(R_n \to S_n\). Les suites \[0 \to K_n \to R_n \to S_n \to 0\] forment une suite exacte de systèmes projectifs dirigés. Le système \((K_n)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler, puisque chaque \(K_n\) est artinien. D’après Algèbre, lemme 0598, le passage à la limite préserve donc l’exactitude. Ainsi, \(\lim R_n \to \lim S_n\) est surjectif, c’est-à-dire que \(f\) est surjectif.

Lemme

La catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) admet des sommes amalgamées.

Démonstration

Soient \(R \to S_1\) et \(R \to S_2\) des morphismes de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Considérons l’anneau \(C = S_1 \otimes_R S_2\). Cet anneau possède l’idéal maximal de type fini \(\mathfrak m = \mathfrak m_{S_1} \otimes S_2 + S_1 \otimes \mathfrak m_{S_2}\), de corps résiduel \(k\). Soit \(C^\wedge\) le complété de \(C\) pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique. Alors \(C^\wedge\) est un anneau noethérien complet pour la topologie définie par l’idéal maximal \(\mathfrak m^\wedge = \mathfrak mC^\wedge\), dont le corps résiduel est identifié à \(k\) ; voir Algèbre, lemme 05GH. Ainsi, \(C^\wedge\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Les homomorphismes \(S_1 \to C^\wedge\) et \(S_2 \to C^\wedge\) font alors de \(C^\wedge\) une somme amalgamée au-dessus de \(R\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) (détails omis).

Nous n’aurons pas besoin du lemme suivant.

Lemme

La catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) admet les coproduits de deux objets.

Démonstration

Soient \(R\) et \(S\) des objets de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Considérons l’anneau \(C = R \otimes_\Lambda S\). Il existe un homomorphisme surjectif canonique \(C \to R \otimes_\Lambda S \to k \otimes_\Lambda k \to k\), le dernier homomorphisme étant celui de multiplication. Le noyau de \(C \to k\) est un idéal maximal \(\mathfrak m\). Remarquons que \(\mathfrak m\) est engendré par \(\mathfrak m_R C\), \(\mathfrak m_S C\) et par un nombre fini d’éléments de \(C\) dont les images engendrent le noyau de \(k \otimes_\Lambda k \to k\). Ainsi, \(\mathfrak m\) est un idéal de type fini. Soit \(C^\wedge\) le complété de \(C\) pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique. Alors \(C^\wedge\) est un anneau noethérien complet pour la topologie définie par l’idéal maximal \(\mathfrak m^\wedge = \mathfrak mC^\wedge\), de corps résiduel \(k\) ; voir Algèbre, lemme 05GH. Ainsi, \(C^\wedge\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Les homomorphismes \(R \to C^\wedge\) et \(S \to C^\wedge\) font alors de \(C^\wedge\) un coproduit dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) (détails omis).

Dans une catégorie, un coproduit vide est un objet initial. Dans le cas classique, \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) possède un objet initial, à savoir \(\Lambda\) lui-même. Plus généralement, si \(k' = k\), alors le complété \(\Lambda^\wedge\) de \(\Lambda\) pour la topologie \(\mathfrak m_\Lambda\)-adique est un objet initial. Plus généralement encore, si \(k' \subset k\) est séparable, alors \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) possède aussi un objet initial. En effet, choisissons un polynôme unitaire \(P \in \Lambda[T]\) tel que \(k \cong k'[T]/(P')\), où \(p' \in k'[T]\) est l’image de \(P\). Alors \(R = \Lambda^\wedge[T]/(P)\) est un objet initial ; voir la démonstration du lemme 06GH.

Si \(R\) est un objet initial comme ci-dessus, alors on a \(\mathcal{C}_\Lambda = \mathcal{C}_R\) et \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda = \widehat{\mathcal{C}}_R\), ce qui ramène en fait toute la discussion de ce chapitre au cas classique. En revanche, si \(k' \subset k\) est inséparable, il n’existe pas d’objet initial.

Lemme

Soit \(S\) un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Alors \(\dim_k \text{Der}_\Lambda(S, k) < \infty\).

Démonstration

Choisissons \(x_1, \ldots, x_n \in \mathfrak m_S\) dont les images forment une base sur \(k\) de l’espace cotangent relatif \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_\Lambda S + \mathfrak m_S^2)\). Choisissons \(y_1, \ldots, y_m \in S\) dont les images dans \(k\) engendrent \(k\) sur \(k'\). Nous affirmons que \(\dim_k \text{Der}_\Lambda(S, k) \leq n + m\). Pour le voir, il suffit de démontrer que, si \(D(x_i) = 0\) et \(D(y_j) = 0\), alors \(D = 0\). Soit \(a \in S\). Il existe un polynôme \(P = \sum \lambda_J y^J\), avec \(\lambda_J \in \Lambda\), dont l’image dans \(k\) est égale à celle de \(a\) dans \(k\). On voit alors que \(D(a - P) = D(a) - D(P) = D(a)\) grâce à l’hypothèse \(D(y_j) = 0\) pour tout \(j\). On peut donc supposer \(a \in \mathfrak m_S\). Écrivons \(a = \sum a_i x_i\), avec \(a_i \in S\). La règle de Leibniz donne \[D(a) = \sum x_iD(a_i) + \sum a_iD(x_i) = \sum x_iD(a_i)\] car nous avons supposé \(D(x_i) = 0\). On a \(\sum x_iD(a_i) = 0\), puisque la multiplication par \(x_i\) est nulle sur \(k\).

Lemme

Soit \(f : R \to S\) un morphisme de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Si \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) est injectif, alors \(f\) est surjectif.

Démonstration

Si \(f\) n’est pas surjectif, alors \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) est non nul d’après le lemme 06GZ. Par conséquent, \(Q = S/(f(R) + \mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) est lui aussi non nul. Remarquons que \(Q\) est un espace vectoriel sur \(k = R/\mathfrak m_R\) par \(f\). Munissons \(Q\) d’une structure de \(S\)-module par \(S \to k\). L’application quotient \(D : S \to Q\) est une \(R\)-dérivation : si \(a_1, a_2 \in S\), on peut écrire \(a_1 = f(b_1) + a_1'\) et \(a_2 = f(b_2) + a_2'\), avec \(b_1, b_2 \in R\) et \(a_1', a_2' \in \mathfrak m_S\). Alors Les éléments \(b_i\) et \(a_i\) ont la même image dans \(k\) pour \(i = 1, 2\), et \[\begin{align*} a_1a_2 & = (f(b_1) + a_1')(f(b_2) + a_2') \\ & = f(b_1)a_2' + f(b_2)a_1' \\ & = f(b_1)(f(b_2) + a_2') + f(b_2)(f(b_1) + a_1') \\ & = f(b_1)a_2 + f(b_2)a_1 \end{align*}\] dans \(Q\), ce qui démontre la règle de Leibniz. Ainsi, \(D : S \to Q\) est une \(\Lambda\)-dérivation dont le composé avec \(R \to S\) est nul. Puisque \(Q \not = 0\), il existe aussi des dérivations \(D : S \to k\) dont le composé avec \(R \to S\) est nul, c’est-à-dire que \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) n’est pas injectif.

Lemme

Soit \(R\) un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Soit \((J_n)\) une suite décroissante d’idéaux telle que \(\mathfrak m_R^n \subset J_n\). Posons \(J = \bigcap J_n\). Alors la suite \((J_n/J)\) définit la topologie \(\mathfrak m_{R/J}\)-adique sur \(R/J\).

Démonstration

Il est clair que \(\mathfrak m_{R/J}^n \subset J_n/J\). Il suffit donc de montrer que, pour tout \(n\), il existe un \(N\) tel que \(J_N/J \subset \mathfrak m_{R/J}^n\). Cela équivaut à \(J_N \subset \mathfrak m_R^n + J\). Pour tout \(n\), l’anneau \(R/\mathfrak m_R^n\) est artinien ; il existe donc un \(N_n\) tel que \[J_{N_n} + \mathfrak m_R^n = J_{N_n + 1} + \mathfrak m_R^n = \ldots\] Posons \(E_n = (J_{N_n} + \mathfrak m_R^n)/\mathfrak m_R^n\). Posons \(E = \lim E_n \subset \lim R/\mathfrak m_R^n = R\). Remarquons que \(E \subset J\) : en effet, pour tout \(f \in E\) et tout \(m\), on a \(f \in J_m + \mathfrak m_R^n\) pour tout \(n \gg 0\), donc \(f \in J_m\) par le théorème d’intersection de Krull ; voir Algèbre, lemme 00IP. Comme les homomorphismes de transition \(E_n \to E_{n - 1}\) sont tous surjectifs, on voit que \(J\) se surjecte sur \(E_n\). Ainsi, \(N = N_n\) convient.

Lemme

Soit \(\ldots \to A_3 \to A_2 \to A_1\) une suite d’homomorphismes d’anneaux surjectifs dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\dim_k (\mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2)\) est bornée, alors \(S = \lim A_n\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), et les idéaux \(I_n = \Ker(S \to A_n)\) définissent la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique sur \(S\).

Démonstration

Nous utiliserons librement le fait que les homomorphismes \(S \to A_n\) sont surjectifs pour tout \(n\). Remarquons que les homomorphismes \(\mathfrak m_{A_{n + 1}}/\mathfrak m_{A_{n + 1}}^2 \to \mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2\) sont surjectifs ; voir le lemme 06GZ. Par conséquent, pour \(n\) assez grand, la dimension \(\dim_k (\mathfrak m_{A_n}/\mathfrak m_{A_n}^2)\) se stabilise à un entier, disons \(r\). Il existe donc \(x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak m_S\) dont les images dans \(A_n\) engendrent \(\mathfrak m_{A_n}\). Choisissons en outre \(y_1, \ldots, y_t \in S\) dont les images dans \(k\) engendrent \(k\) sur \(\Lambda\). On obtient alors un homomorphisme d’anneaux \(P = \Lambda[z_1, \ldots, z_{r + t}] \to S\), \(z_i \mapsto x_i\) et \(z_{r + j} \mapsto y_j\) tel que le composé \(P \to S \to A_n\) soit surjectif pour tout \(n\). Soit \(\mathfrak m \subset P\) le noyau de \(P \to k\). Soit \(R = P^\wedge\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(P\) ; c’est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Comme on dispose encore du système compatible d’homomorphismes surjectifs \(R \to A_n\), on obtient un homomorphisme \(R \to S\). Posons \(J_n = \Ker(R \to A_n)\). Posons \(J = \bigcap J_n\). Le lemme 06SE montre que \(R/J = \lim R/J_n = \lim A_n = S\) et que les idéaux \(J_n/J = I_n\) définissent la topologie \(\mathfrak m\)-adique. (Remarquons que, pour tout \(n\), on a \(\mathfrak m_R^{N_n} \subset J_n\) pour un certain \(N_n\), sans avoir nécessairement \(N_n = n\) ; il peut donc être nécessaire de renuméroter les idéaux \(J_n\) avant d’appliquer le lemme.)

Lemme

Soient \(R', R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Supposons que \(R = R' \oplus I\) pour un idéal \(I\) de \(R\). Soient \(x_1, \ldots, x_r \in I\) des éléments dont les images forment une base de \(I/\mathfrak m_R I\). Posons \(S = R'[[X_1, \ldots, X_r]]\) et considérons l’homomorphisme de \(R'\)-algèbres \(S \to R\) qui envoie \(X_i\) sur \(x_i\). Supposons que, pour tout \(n \gg 0\), l’homomorphisme \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) admette un inverse à gauche dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors \(S \to R\) est un isomorphisme.

Démonstration

Puisque \(R = R' \oplus I\), on a \[\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_{R'}^2 \oplus I/\mathfrak m_RI\] et, de même, \[\mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_{R'}^2 \oplus \bigoplus kX_i\] Par conséquent, pour \(n > 1\), l’homomorphisme \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) induit un isomorphisme sur les espaces cotangents. Ainsi, un inverse à gauche \(h_n : R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\) est surjectif d’après le lemme 06GZ. Comme \(h_n\) est injectif en tant qu’inverse à gauche, c’est un isomorphisme. Les surjections canoniques \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) sont donc toutes des isomorphismes, ce qui conclut.

Catégories cofibrées en groupoïdes

Pour développer la théorie, nous travaillons avec des catégories cofibrées en groupoïdes. Nous supposons connues la définition et les propriétés fondamentales des catégories fibrées en groupoïdes, voir Catégories, section 003S.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) est une catégorie \(\mathcal{F}\) munie d’un foncteur \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}^{opp}\) soit une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}^{opp}\) au moyen de \(p^{opp}: \mathcal{F}^{opp} \to \mathcal{C}^{opp}\).

Plus explicitement, le foncteur \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) est cofibré en groupoïdes si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. Pour tout morphisme \(f: U \to V\) de \(\mathcal{C}\) et tout objet \(x\) situé au-dessus de \(U\), il existe un morphisme \(x \to y\) de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(f\).

2. Pour toute paire de morphismes \(a: x \to y\) et \(b: x \to z\) de \(\mathcal{F}\) et tout morphisme \(f: p(y) \to p(z)\) tel que \(p(b) = f \circ p(a)\), il existe un unique morphisme \(c: y \to z\) de \(\mathcal F\) situé au-dessus de \(f\) tel que \(b = c \circ a\).

Remarques

Tout ce qui concerne les catégories fibrées en groupoïdes se transpose directement au cadre cofibré. Les remarques suivantes ont pour objet de fixer les notations. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Nous omettons souvent le foncteur \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) des notations.

2. La catégorie fibre au-dessus d’un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) est notée \(\mathcal{F}(U)\). Ses objets sont ceux de \(\mathcal{F}\) situés au-dessus de \(U\) et ses morphismes sont ceux de \(\mathcal{F}\) situés au-dessus de \(\text{id}_U\). Si \(x, y\) sont des objets de \(\mathcal{F}(U)\), nous écrivons parfois \(\Mor_U(x, y)\) pour \(\Mor_{\mathcal{F}(U)}(x, y)\).

3. Les catégories fibres \(\mathcal{F}(U)\) sont des groupoïdes, voir Catégories, lemme 003V. Ainsi, tous les morphismes de \(\mathcal{F}(U)\) sont des isomorphismes. Nous écrivons parfois \(\text{Aut}_U(x)\) pour \(\Mor_{\mathcal{F}(U)}(x, x)\).

4. Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), soit \(f: U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) et soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(U))\). Une image directe de \(x\) par \(f\) est un morphisme \(x \to y\) de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(f\). Une image directe est déterminée à un isomorphisme unique près (voir la discussion qui suit Catégories, définition 02XK). Nous écrivons parfois \(x \to f_*x\) pour désigner « l’image directe » de \(x\) par \(f\).

5. Un choix d’images directes pour \(\mathcal{F}\) consiste à choisir une image directe de \(x\) par \(f\) pour toute paire \((x, f)\) comme ci-dessus. Nous pouvons effectuer un tel choix pour \(\mathcal{F}\) à l’aide de l’axiome du choix.

6. Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Étant donné un choix d’images directes pour \(\mathcal{F}\), il existe un pseudo-foncteur associé \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\). Nous n’utiliserons jamais cette construction et n’en donnons donc pas les détails.

7. Un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) est un foncteur commutant aux projections sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) sont des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\), nous notons les morphismes de \(\mathcal{F}\) vers \(\mathcal{F}'\) par \(\Mor_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \mathcal{F}')\).

8. Les catégories cofibrées en groupoïdes forment une \((2, 1)\)-catégorie \(\text{Cof}(\mathcal{C})\). Ses 1-morphismes sont ceux décrits en (06GL). Si \(p : \mathcal{F} \to C\) et \(p': \mathcal{F}' \to \mathcal{C}\) sont les projections de catégories cofibrées en groupoïdes et si \(\varphi, \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) sont des \(1\)-morphismes, un 2-morphisme \(t : \varphi \to \psi\) est un morphisme de foncteurs tel que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{F})\).

9. Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\) un foncteur. Il existe une catégorie cofibrée en groupoïdes \(\mathcal{F} \to \mathcal{C}\) associée à \(F\) de la façon suivante. Un objet de \(\mathcal{F}\) est une paire \((U, x)\) où \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x \in \Ob(F(U))\). Un morphisme \((U, x) \to (V, y)\) est une paire \((f, a)\) où \(f \in \Mor_\mathcal{C}(U, V)\) et \(a \in \Mor_{F(V)}(F(f)(x), y)\). Le foncteur \(\mathcal{F} \to \mathcal{C}\) envoie \((U, x)\) sur \(U\). Voir Catégories, section 0048.

10. Soit \(\mathcal{F}\) cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), posons \(\overline{\mathcal{F}}(U)\) égal à l’ensemble des classes d’isomorphie des objets de la catégorie \(\mathcal{F}(U)\). Si \(f : U \to V\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), nous obtenons alors une application d’ensembles \(\overline{\mathcal{F}}(U) \to \overline{\mathcal{F}}(V)\) en envoyant la classe d’isomorphie de \(x\) sur celle d’une image directe \(f_*x\) de \(x\) ; voir (06SH). Alors \(\overline{\mathcal{F}} : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur. De même, si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de catégories cofibrées, nous notons \(\overline{\varphi}: \overline{\mathcal{F}} \to \overline{\mathcal{G}}\) le morphisme de foncteurs associé.

11. Soit \(F: \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Nous pouvons regarder un ensemble comme une catégorie discrète, c’est-à-dire comme un groupoïde dont les seuls morphismes sont les identités. La construction (06GN) associe alors à \(F\) une catégorie cofibrée en ensembles. On obtient ainsi un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des foncteurs \(\mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) vers la catégorie des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous identifions la catégorie des foncteurs à son image par ce foncteur. Ainsi, si \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur, nous notons aussi par \(F\) la catégorie cofibrée en ensembles associée ; et si \(\varphi : F \to G\) est un morphisme de foncteurs, nous notons encore \(\varphi\) le morphisme correspondant de catégories cofibrées en ensembles, et réciproquement. Voir Catégories, section 0042.

12. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous notons \(\underline{U}\) le foncteur \(\Mor_\mathcal{C}(U, -): \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Cela définit un foncteur pleinement fidèle de \(\mathcal C^{opp}\) vers la catégorie des foncteurs \(\mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Ainsi, si \(f : U \to V\) est un morphisme, nous pouvons encore noter \(f\) le morphisme induit \(\underline{V} \to \underline{U}\), et réciproquement.

13. Produits fibrés de catégories cofibrées en groupoïdes : si \(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) et \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) sont des morphismes de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), une construction de leur 2-produit fibré est donnée par celle de leur 2-produit fibré comme catégories au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), décrite dans Catégories, lemme 0040.

14. Produits de catégories cofibrées en groupoïdes : si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), leur produit est défini comme le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{F} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \mathcal{G}\) décrit dans Catégories, lemme 0040.

15. Restriction de la catégorie de base : soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes, et soit \(\mathcal{C}'\) une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{C}\). La restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}'}\) est la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{F}\) dont les objets sont situés au-dessus des objets de \(\mathcal{C}'\). C’est une catégorie cofibrée en groupoïdes au moyen du foncteur \(p|_{\mathcal{C}'}: \mathcal{F}|_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{C}'\).

Foncteurs pro-représentables et catégories de prédéformation

Notre objectif fondamental est de comprendre les catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Comme \(\mathcal{C}_\Lambda\) est une sous-catégorie pleine de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), nous pouvons restreindre les catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) à \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir les remarques 06GK (06GR). Nous pouvons en particulier le faire pour les foncteurs, et notamment pour les foncteurs représentables. Les foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ainsi obtenus sont appelés foncteurs pro-représentables.

Définition

Soit \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. On dit que \(F\) est pro-représentable s’il existe un isomorphisme de foncteurs \(F \cong \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) pour un certain \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\).

Remarquons que si \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est pro-représentable par \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\), alors \[F(k) = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, k) = \{*\}\] est réduit à un élément. Les catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui interviennent en théorie des déformations satisferont souvent une condition analogue.

Définition

Une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\) est une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) telle que \(\mathcal{F}(k)\) soit équivalente à une catégorie possédant un seul objet et un seul morphisme, c’est-à-dire que \(\mathcal{F}(k)\) contient au moins un objet et qu’il existe un unique morphisme entre deux objets quelconques. Un morphisme de catégories de prédéformation est un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Une catégorie de prédéformation possède la propriété suivante. Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Tout objet de \(\mathcal{F}\) est alors muni d’un unique morphisme vers \(x_0\). En effet, si \(x\) est un objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A\), nous pouvons choisir une image directe \(x \to q_*x\), où \(q : A \to k\) est le morphisme quotient. Il existe un unique isomorphisme \(q_*x \to x_0\), et la composée \(x \to q_*x \to x_0\) est le morphisme recherché.

Remarque

On dit qu’un foncteur \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur de prédéformation si l’ensemble cofibré associé est une catégorie de prédéformation, c’est-à-dire si \(F(k)\) est un ensemble à un seul élément. Ainsi, si \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation, alors \(\overline{\mathcal{F}}\) est un foncteur de prédéformation.

Remarque

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes, et soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). On note \(\mathcal{F}_x\) la catégorie des objets au-dessus de \(x\). Un objet de \(\mathcal{F}_x\) est une flèche \(y \to x\). Un morphisme \((y \to x) \to (z \to x)\) dans \(\mathcal{F}_x\) est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ y \ar[rr] \ar[dr] & & z \ar[dl] \\ & x & }\] Il existe un foncteur d’oubli \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}\). On définit le foncteur \(p_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{C}_\Lambda\) comme la composée \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F} \xrightarrow{p} \mathcal{C}_\Lambda\). Alors \(p_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{C}_\Lambda\) est une catégorie de prédéformation (démonstration omise). On peut ainsi passer d’une catégorie cofibrée en groupoïdes arbitraire au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) à une catégorie de prédéformation en tout \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\).

Objets formels et catégories complétées

Dans cette section, nous expliquons comment passer des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) aux catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), et réciproquement.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). La catégorie \(\widehat{\mathcal{F}}\) des objets formels de \(\mathcal{F}\) est la catégorie dont les objets et les morphismes sont les suivants.

1. Un objet formel \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\mathcal{F}\) est constitué d’un objet \(R\) de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), d’une famille, indexée par \(n \in \mathbf{N}\), d’objets \(\xi_n\) de \(\mathcal{F}(R/\mathfrak m_R^n)\), et de morphismes \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) situés au-dessus de la projection \(R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\).

2. Soient \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) et \(\eta = (S, \eta_n, g_n)\) des objets formels de \(\mathcal{F}\). Un morphisme d’objets formels \(a : \xi \to \eta\) est constitué d’un morphisme \(a_0 : R \to S\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) et d’une famille de morphismes \(a_n : \xi_n \to \eta_n\) de \(\mathcal{F}\) situés au-dessus de \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\), de telle sorte que, pour tout \(n\), le diagramme \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[r]_{f_n} \ar[d]_{a_{n + 1}} & \xi_n \ar[d]^{a_n} \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] soit commutatif.

La catégorie des objets formels est munie d’un foncteur \(\widehat{p}: \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) qui envoie un objet \((R, \xi_n, f_n)\) sur \(R\) et un morphisme \((R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\) sur le morphisme \(R \to S\).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. Alors \(\widehat{p} : \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est une catégorie cofibrée en groupoïdes.

Démonstration

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Soit \((R, \xi_n, f_n)\) un objet de \(\widehat{\mathcal{F}}\). Pour tout \(n\), choisissons une image directe \(\xi_n \to \eta_n\) de \(\xi_n\) le long de \(R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\). Pour tout \(n\), il existe un unique morphisme \(g_n : \eta_{n + 1} \to \eta_n\) dans \(\mathcal{F}\), situé au-dessus de \(S/\mathfrak m_S^{n + 1} \to S/\mathfrak m_S^n\), tel que \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[d] \ar[r]_{f_n} & \xi_n \ar[d] \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] soit commutatif (par le premier axiome d’une catégorie cofibrée en groupoïdes). Nous obtenons donc un morphisme \((R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\) situé au-dessus de \(R \to S\) ; le premier axiome d’une catégorie cofibrée en groupoïdes est ainsi vérifié pour \(\widehat{\mathcal{F}}\). Pour vérifier le second axiome, supposons donnés des morphismes \(a : (R, \xi_n, f_n) \to (S, \eta_n, g_n)\) et \(b : (R, \xi_n, f_n) \to (T, \theta_n, h_n)\) dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) et un morphisme \(c_0 : S \to T\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) tel que \(c_0 \circ a_0 = b_0\). Le second axiome d’une catégorie cofibrée en groupoïdes appliqué à \(\mathcal{F}\) fournit d’uniques morphismes \(c_n : \eta_n \to \theta_n\), situées au-dessus de \(S/\mathfrak m_S^n \to T/\mathfrak m_T^n\), telles que \(c_n \circ a_n = b_n\). En posant \(c = (c_n)_{n \geq 0}\), on obtient le morphisme recherché \(c : (S, \eta_n, g_n) \to (T, \theta_n, h_n)\) dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) (nous omettons la vérification de l’égalité \(h_n \circ c_{n + 1} = c_n \circ g_n\)).

Définition

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. La catégorie cofibrée en groupoïdes \(\widehat{p} : \widehat{\mathcal F} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) est appelée le complété de \(\mathcal{F}\).

Si \(\mathcal{F}\) est une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\), nous avons défini \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\), pour \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\), à l’aide de la filtration de \(R\) par les puissances de son idéal maximal. Supposons maintenant que \(\mathcal{I} = (I_n)\) soit une filtration de \(R\) par des idéaux qui induit la topologie \(\mathfrak{m}_R\)-adique. On définit \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) comme la catégorie ayant les objets et les morphismes suivants :

1. Un objet est une famille \((\xi_n, f_n)_{n \in \mathbf{N}}\) d’objets \(\xi_n\) de \(\mathcal{F}(R/I_n)\) et de morphismes \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) situés au-dessus des projections \(R/I_{n + 1} \to R/I_n\).

2. Un morphisme \(a : (\xi_n, f_n) \to (\eta_n, g_n)\) est une famille de morphismes \(a_n : \xi_n \to \eta_n\) dans \(\mathcal{F}(R/I_n)\) telle que, pour tout \(n\), le diagramme \[\xymatrix{ \xi_{n + 1} \ar[r]^{f_n} \ar[d]_{a_{n + 1}} & \xi_n \ar[d]^{a_n} \\ \eta_{n + 1} \ar[r]^{g_n} & \eta_n }\] soit commutatif.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) est équivalente à la catégorie \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\).

Démonstration

On peut définir une équivalence \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R) \to \widehat{\mathcal{F}}(R)\) de la manière suivante. Pour tout \(n\), soit \(m(n)\) le plus petit \(m\) tel que \(I_m \subset \mathfrak m_R^n\). Étant donné un objet \((\xi_n, f_n)\) de \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\), soit \(\eta_n\) l’image directe de \(\xi_{m(n)}\) le long de \(R/I_{m(n)} \to R/\mathfrak m_R^n\). Soit \(g_n : \eta_{n + 1} \to \eta_n\) l’unique morphisme de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\) tel que \[\xymatrix{ \xi_{m(n + 1)} \ar[rrr]_{f_{m(n)} \circ \ldots \circ f_{m(n + 1) - 1}} \ar[d] & & & \xi_{m(n)} \ar[d] \\ \eta_{n + 1} \ar[rrr]^{g_n} & & & \eta_n }\] soit commutatif (l’existence et l’unicité sont assurées par les axiomes d’une catégorie cofibrée). Le foncteur \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R) \to \widehat{\mathcal{F}}(R)\) envoie \((\xi_n, f_n)\) sur \((R, \eta_n, g_n)\). Nous omettons la vérification qu’il s’agit bien d’une équivalence de catégories.

Remarque

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. Supposons que, pour tout \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\), on se soit donné une filtration \(\mathcal{I}_R\) de \(R\) par des idéaux. Si \(\mathcal{I}_R\) induit la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique sur \(R\) pour tout \(R\), on peut définir une catégorie \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}\) en calquant la définition de \(\widehat{\mathcal{F}}\). Cette catégorie est munie d’un morphisme \(\widehat{p}_\mathcal{I} : \widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I} \to \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) qui en fait une catégorie cofibrée en groupoïdes et tel que \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(R)\) soit isomorphe à \(\widehat{\mathcal{F}}_{\mathcal{I}_R}(R)\), telle qu’elle a été définie ci-dessus. Les catégories cofibrées en groupoïdes \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}\) et \(\widehat{\mathcal{F}}\) sont équivalentes : au-dessus d’un objet \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\), on utilise l’équivalence du lemme 06H6.

Remarque

Soit \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. En identifiant les foncteurs aux ensembles cofibrés, le complété de \(F\) est le foncteur \(\widehat{F} : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) donné par \(\widehat{F}(S) = \lim F(S/\mathfrak{m}_S^{n})\). Cela concorde avec la définition de l’article de Schlessinger [Sch].

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Nous affirmons qu’il existe une équivalence canonique \[can : \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \mathcal{F}.\] En effet, soient \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\) et \((A, \xi_n, f_n)\) un objet de \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda}(A)\). Comme \(A\) est artinien, il existe un plus petit \(m \in \mathbf{N}\) tel que \(\mathfrak m_A^m = 0\). Alors \(can\) envoie \((A, \xi_n, f_n)\) sur \(\xi_m\). Ce foncteur est une équivalence de catégories cofibrées en groupoïdes en vertu de Catégories, lemme 003Z, car il induit une équivalence sur toutes les catégories fibres d’après le lemme 06H6 et parce que la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique d’un anneau local artinien \(A\) provient de l’idéal nul. Nous identifierons fréquemment \(\mathcal{F}\) à une sous-catégorie pleine de \(\widehat{\mathcal{F}}\) au moyen d’un quasi-inverse du foncteur \(can\).

Remarque

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Il en résulte un morphisme \(\widehat{\varphi}: \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{G}}\) de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Il envoie un objet \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\widehat{\mathcal{F}}\) sur \((R, \varphi(\xi_n), \varphi(f_n))\), et un morphisme \((a_0 : R \to S, a_n : \xi_n \to \eta_n)\) entre des objets \(\xi\) et \(\eta\) de \(\widehat{\mathcal{F}}\) sur \((a_0 : R \to S, \varphi(a_n) : \varphi(\xi_n) \to \varphi(\eta_n))\). Enfin, si \(t : \varphi \to \varphi'\) est un \(2\)-morphisme entre des \(1\)-morphismes \(\varphi, \varphi': \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de catégories cofibrées en groupoïdes, on obtient un \(2\)-morphisme \(\widehat{t} : \widehat{\varphi} \to \widehat{\varphi}'\). Plus précisément, pour \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) comme ci-dessus, on pose \(\widehat{t}_\xi = (t_{\varphi(\xi_n)})\). La complétion définit donc un foncteur entre \(2\)-catégories \[\widehat{~} : \text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda) \longrightarrow \text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\] de la \(2\)-catégorie des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) vers la \(2\)-catégorie des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\).

Remarque

Nous affirmons que le foncteur de complétion de la remarque 06H9 et le foncteur de restriction \(|_{\mathcal{C}_\Lambda} : \text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda) \to \text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda)\) des remarques 06GK (06GR) ont une relation de « 2-adjonction » au sens précis suivant. Soient \(\mathcal{F} \in \Ob(\text{Cof}(\mathcal{C}_\Lambda))\) et \(\mathcal{G} \in \Ob(\text{Cof}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\). Il existe alors une équivalence de catégories \[\Phi : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(\mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}})\] Pour décrire cette équivalence, définissons des morphismes canoniques \(\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) et \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) comme suit :

1. Soient \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\) et \(\xi\) un objet de la catégorie fibre \(\mathcal{G}(R)\). Choisissons une image directe \(\xi \to \xi_n\) de \(\xi\) vers \(R/\mathfrak m_R^n\) pour chaque \(n \in \mathbf{N}\), et soit \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) le morphisme induit. Alors \(\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) envoie \(\xi\) sur \((R, \xi_n, f_n)\).

2. Il s’agit de l’équivalence \(can : \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) de la remarque 06SJ.

Cela étant, l’équivalence \(\Phi : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \to \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(\mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}})\) envoie un morphisme \(\varphi : \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) sur \[\mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}} \xrightarrow{\widehat{\varphi}} \widehat{\mathcal{F}}\] Il existe un quasi-inverse \(\Psi : \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \mathcal{G}, \widehat{\mathcal{F}}) \to \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F})\) de \(\Phi\) qui envoie \(\psi : \mathcal{G} \to \widehat{\mathcal{F}}\) sur \[\mathcal{G}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\psi|_{\mathcal{C}_\Lambda}} \widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}.\] Nous omettons de vérifier que \(\Phi\) et \(\Psi\) sont quasi-inverses. Nous n’abordons pas non plus la fonctorialité de \(\Phi\) (car elle nous conduirait sur le terrain des 3-catégories, que nous voulons éviter à tout prix).

Remarque

Pour une catégorie \(\mathcal{C}\), on note \(\text{CofSet}(\mathcal{C})\) la catégorie des ensembles cofibrés au-dessus de \(\mathcal{C}\). C’est une \(1\)-catégorie isomorphe à la catégorie des foncteurs \(\mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\). Voir les remarques 06GK (06GP). Les foncteurs de complétion et de restriction induisent des foncteurs \(\widehat{~} : \text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda) \to \text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) et \(|_{\mathcal{C}_\Lambda} : \text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda) \to \text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda)\), que l’on désigne par les mêmes symboles. Considérées comme foncteurs entre catégories d’ensembles cofibrés, la complétion et la restriction sont adjointes au sens 1-catégorique usuel : la même construction que dans la remarque 06HA définit une bijection fonctorielle \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(G|_{\mathcal{C}_\Lambda}, F) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(G, \widehat{F})\] pour \(F \in \Ob(\text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda))\) et \(G \in \Ob(\text{CofSet}(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda))\). Le morphisme \(\widehat{F}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to F\) est, là encore, un isomorphisme.

Remarque

Soit \(G : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur qui commute aux limites. Alors le morphisme \(G \to \widehat{G|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) décrite dans la remarque 06HA est un isomorphisme. En effet, si \(S\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), on dispose de bijections canoniques \[\widehat{G|_{\mathcal{C}_\Lambda}}(S) = \lim_n G(S/\mathfrak{m}_S^n) = G(\lim_n S/\mathfrak{m}_S^n) = G(S).\] En particulier, si \(R\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), alors \(\underline{R} = \widehat{\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\), car le foncteur représentable \(\underline{R}\) commute aux limites par définition des limites.

Remarque

Soit \(R\) un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Il définit un foncteur \(\underline{R}: \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) comme décrit dans les remarques 06GK (06GQ). Comme d’habitude, on identifie ce foncteur à l’ensemble cofibré associé. Si \(\mathcal{F}\) est une catégorie cofibrée au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), il existe une équivalence de catégories [06SK]\[\begin{equation} \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \longrightarrow \widehat{\mathcal{F}}(R). \end{equation}\] Elle est donnée par la composée \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F}) \xrightarrow{\Phi} \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}}) \xrightarrow{\sim} \widehat{\mathcal{F}}(R)\] où \(\Phi\) est celle de la remarque 06HA, et où la seconde équivalence provient du lemme de 2-Yoneda (l’analogue cofibré de Catégories, lemme 004B). Explicitement, l’équivalence envoie un morphisme \(\varphi : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) sur l’objet formel \((R, \varphi(R \to R/\mathfrak{m}_R^n), \varphi(f_n))\) dans \(\widehat{\mathcal{F}}(R)\), où \(f_n : R/\mathfrak m_R^{n + 1} \to R/\mathfrak m_R^n\) est la projection.

Supposons qu’un choix d’images directes ait été fait pour \(\mathcal{F}\). Pour tout \(\xi \in \Ob(\widehat{\mathcal{F}}(R))\), nous construisons explicitement un morphisme \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) qui s’envoie sur \(\xi\) par (06SK). Écrivons \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\). Se donner un objet \(\alpha\) de \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) revient à se donner un morphisme \(\alpha : R \to A\) de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), avec \(A\) artinien. Soit \(m \in \mathbf{N}\) le plus petit entier tel que \(\mathfrak m_A^m = 0\). Alors \(\alpha\) se factorise par un unique \(\alpha_m : R/\mathfrak m_R^m \to A\), et l’on peut poser \(\underline{\xi}(\alpha) = \alpha_{m, *}\xi_m\). Nous omettons la description de \(\underline{\xi}\) sur les morphismes, ainsi que la démonstration du fait que \(\underline{\xi}\) s’envoie sur \(\xi\) par (06SK).

Supposons qu’un choix d’images directes ait été fait pour \(\widehat{\mathcal{F}}\). Dans ce cas, la démonstration de Catégories, lemme 004B, fournit un quasi-inverse explicite \[\iota : \widehat{\mathcal{F}}(R) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}})\] de l’équivalence de 2-Yoneda, qui envoie \(\xi\) sur le morphisme \(\iota(\xi) : \underline{R} \to \widehat{\mathcal{F}}\) envoyant \(f \in \underline{R}(S) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(R, S)\) sur \(f_*\xi\). Un quasi-inverse de (06SK) est donc \[\widehat{\mathcal{F}}(R) \xrightarrow{\iota} \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}( \underline{R}, \widehat{\mathcal{F}}) \xrightarrow{\Psi} \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}( \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}, \mathcal{F})\] où \(\Psi\) est celle de la remarque 06HA. Pour \(\xi \in \Ob(\widehat{\mathcal{F}}(R))\), on a \(\Psi(\iota(\xi)) \cong \underline{\xi}\), où \(\underline{\xi}\) est comme au paragraphe précédent, puisque tous deux s’envoient sur \(\xi\) par l’équivalence de catégories (06SK). En utilisant \(\underline{R} = \widehat{\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) (voir la remarque 06HE) et en développant les définitions de \(\Phi\) et \(\Psi\), on conclut que \(\iota(\xi)\) est isomorphe au complété de \(\underline{\xi}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soient \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) et \(\eta = (S, \eta_n, g_n)\) des objets formels de \(\mathcal{F}\). Soit \(a = (a_n) : \xi \to \eta\) un morphisme d’objets formels, c’est-à-dire un morphisme de \(\widehat{\mathcal{F}}\). Soit \(f = \widehat{p}(a) = a_0 : R \to S\) la projection de \(a\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). On obtient alors un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[rd]_{\underline{\xi}} & & \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[ll]^f \ar[ld]^{\underline{\eta}} \\ & \mathcal{F} }\] où \(\underline{\xi}\) et \(\underline{\eta}\) sont les morphismes construits dans la remarque 06HC. Pour le voir, soit \(\alpha : S \to A\) un objet de \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) (voir loc. cit.). Soit \(m \in \mathbf{N}\) le plus petit entier tel que \(\mathfrak m_A^m = 0\). On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R \ar[d]^f \ar[r] & R/\mathfrak m_R^m \ar[d]_{f_m} \ar[rd]^{\beta_m} \\ S \ar[r] & S/\mathfrak m_S^m \ar[r]^{\alpha_m} & A }\] tel que la composée des flèches du bas soit \(\alpha\). Alors \(\underline{\eta}(\alpha) = \alpha_{m, *}\eta_m\) et \(\underline{\xi}(\alpha \circ f) = \beta_{m, *}\xi_m\). Comme le morphisme \(a_m : \xi_m \to \eta_m\) est situé au-dessus de \(f_m\), on obtient un morphisme canonique \[\underline{\xi}(\alpha \circ f) = \beta_{m, *}\xi_m \longrightarrow \underline{\eta}(\alpha) = \alpha_{m, *}\eta_m\] situé au-dessus de \(\text{id}_A\) et tel que \[\xymatrix{ \xi_m \ar[r] \ar[d]^{a_m} & \beta_{m, *}\xi_m \ar[d] \\ \eta_m \ar[r] & \alpha_{m, *}\eta_m }\] soit commutatif en vertu des axiomes d’une catégorie cofibrée en groupoïdes. Ceci définit une transformation de foncteurs \(\underline{\xi} \circ f \to \underline{\eta}\) qui témoigne de la 2-commutativité du premier diagramme de cette remarque.

Remarque

Selon la remarque 06HC, se donner un objet formel \(\xi\) de \(\mathcal{F}\) équivaut à se donner un foncteur pro-représentable \(U : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) et un morphisme \(U \to \mathcal{F}\).

Morphismes lisses

Dans cette section, nous étudions les morphismes lisses de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Définition

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). On dit que \(\varphi\) est lisse s’il satisfait la condition suivante. Soient \(B \to A\) un morphisme surjectif d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), \(y \in \Ob(\mathcal{G}(B)), x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\), et \(y \to \varphi(x)\) un morphisme situé au-dessus de \(B \to A\). Alors il existe \(x' \in \Ob(\mathcal{F}(B))\), un morphisme \(x' \to x\) situé au-dessus de \(B \to A\), et un morphisme \(\varphi(x') \to y\) situé au-dessus de \(\text{id}: B \to B\), tels que le diagramme \[\xymatrix{ \varphi(x') \ar[r] \ar[dr] & y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] soit commutatif.

Lemme

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors \(\varphi\) est lisse dès que la condition de la définition 06HG est supposée satisfaite seulement pour les petites extensions \(B \to A\).

Démonstration

Soient \(B \to A\) un morphisme surjectif d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), \(y \in \Ob(\mathcal{G}(B))\), \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\), et \(y \to \varphi(x)\) un morphisme situé au-dessus de \(B \to A\). D’après le lemme 06GE, on peut factoriser \(B \to A\) en petites extensions \(B = B_n \to B_{n-1} \to \ldots \to B_0 = A\). Raisonnons par récurrence sur \(n\). Si \(n = 1\), le résultat découle de l’hypothèse. Si \(n > 1\), notons \(f : B = B_n \to B_{n - 1}\) et \(g : B_{n - 1} \to B_0 = A\). Choisissons une image directe \(y \to f_* y\) de \(y\) le long de \(f\), de sorte que le morphisme \(y \to \varphi(x)\) se factorise en \(y \to f_* y \to \varphi(x)\). Par l’hypothèse de récurrence, on peut trouver \(x_{n - 1} \to x\) situé au-dessus de \(g : B_{n - 1} \to A\) et \(a : \varphi(x_{n - 1}) \to f_*y\) situé au-dessus de \(\text{id} : B_{n - 1} \to B_{n - 1}\) tels que \[\xymatrix{ \varphi(x_{n - 1}) \ar[r]_-a \ar[dr] & f_*y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] soit commutatif. On peut appliquer l’hypothèse à la composée \(y \to \varphi(x_{n - 1})\) de \(y \to f_*y\) et de \(a^{-1} : f_*y \to \varphi(x_{n - 1})\). On obtient \(x_n \to x_{n - 1}\) situé au-dessus de \(B_n \to B_{n - 1}\) et \(\varphi(x_n) \to y\) situé au-dessus de \(\text{id} : B_n \to B_n\), de sorte que le diagramme \[\xymatrix{ \varphi(x_n) \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ \varphi(x_{n - 1}) \ar[r]^-a \ar[dr] & f_*y \ar[d] \\ & \varphi(x) }\] soit commutatif. La composée \(x_n \to x_{n - 1} \to x\) et le morphisme \(\varphi(x_n) \to y\) sont alors les morphismes exigés par la définition de la lissité.

Remarque

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(B \to A\) un morphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Des choix d’images directes le long de \(B \to A\) pour les objets des catégories fibres \(\mathcal{F}(B)\) et \(\mathcal{G}(B)\) déterminent des foncteurs \(\mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A)\) et \(\mathcal{G}(B) \to \mathcal{G}(A)\) qui s’insèrent dans un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}(B) \ar[r]^{\varphi} \ar[d] & \mathcal{G}(B) \ar[d] \\ \mathcal{F}(A) \ar[r]^{\varphi} & \mathcal{G}(A) . }\] Il en résulte un foncteur induit \(\mathcal{F}(B) \to \mathcal{F}(A) \times_{\mathcal{G}(A)} \mathcal{G}(B)\). En développant les définitions, on voit que \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est lisse si et seulement si ce foncteur induit est essentiellement surjectif chaque fois que \(B \to A\) est surjectif (ou, de manière équivalente d’après le lemme 06HH, chaque fois que \(B \to A\) est une petite extension).

Remarque

La caractérisation des morphismes lisses donnée dans la remarque 06HI est analogue à la notion de morphisme lisse de foncteurs due à Schlessinger ; cf. [Sch, définition 2.2.]. En fait, lorsque \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont cofibrées en ensembles, notre notion équivaut à celle de Schlessinger. Soient en effet, dans ce cas, \(F, G : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) les foncteurs correspondants ; voir les remarques 06GK (06GP). Alors \(F \to G\) est lisse si et seulement si, pour toute surjection d’anneaux \(B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), l’application \(F(B) \to F(A) \times_{G(A)} G(B)\) est surjective.

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors le morphisme \(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) est lisse. Supposons en effet que \(f : B \to A\) soit un morphisme d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soient \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\) et \(\overline{y} \in \overline{\mathcal{F}}(B)\) la classe d’isomorphie de \(y \in \Ob(\mathcal{F}(B))\), telle que \(\overline{f_*y} = \overline{x}\). Il suffit alors de prendre \(x' = y\), le morphisme induit \(x' = y \to x\) au-dessus de \(B \to A\), et l’égalité \(\overline{x'} = \overline{y}\) pour résoudre le problème posé dans la définition 06HG.

Si \(R \to S\) est un morphisme d’anneaux de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), il induit un morphisme \(\underline{S} \to \underline{R}\) entre les foncteurs \(\underline{S}, \underline{R}: \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\). Dans cette situation, la lissité de la restriction \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est une notion familière :

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Alors le morphisme induit \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est lisse si et seulement si \(S\) est un anneau de séries formelles sur \(R\).

Démonstration

Supposons que \(S\) soit un anneau de séries formelles sur \(R\), disons \(S = R[[x_1, \ldots, x_n]]\). La lissité de \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) signifie ce qui suit (voir la remarque 06HJ). Étant donnés un morphisme surjectif d’anneaux \(B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), un morphisme d’anneaux \(R \to B\) et un morphisme d’anneaux \(S \to A\) tels que le diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ S \ar[r] \ar@{..>}[rd] & A \\ R \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] soit commutatif, il existe une flèche en pointillés qui rend le diagramme commutatif. (Remarquer la similitude avec Algèbre, définition 00TI.) Pour construire la flèche en pointillés, choisissons des éléments \(b_i \in B\) dont les images dans \(A\) sont égales aux images de \(x_i\) dans \(A\). Remarquons que \(b_i \in \mathfrak m_B\), puisque \(x_i\) s’envoie sur un élément de \(\mathfrak m_A\). Il existe donc un unique morphisme de \(R\)-algèbres \(R[[x_1, \ldots, x_n]] \to B\) qui envoie \(x_i\) sur \(b_i\) et qui peut servir de flèche en pointillés.

Réciproquement, supposons que \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) soit lisse. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in S\) des éléments dont les images forment une base de l’espace cotangent relatif \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2)\) de \(S\) sur \(R\). Posons \(T = R[[X_1, \ldots, X_n]]\). Remarquons que l’on a à la fois \[S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \cong R/\mathfrak m_R[x_1, \ldots, x_n]/(x_ix_j)\] et \[T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2) \cong R/\mathfrak m_R[X_1, \ldots, X_n]/(X_iX_j).\] Soit \(S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\) l’isomorphisme de \(R\)-algèbres locales qui envoie la classe de \(x_i\) sur la classe de \(X_i\). Soit \(f_1 : S \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\) la composée \(S \to S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\). L’hypothèse selon laquelle \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est lisse signifie que l’on peut relever \(f_1\) en un morphisme \(f_2 : S \to T/\mathfrak{m}_T^2\), puis en un morphisme \(f_3 : S \to T/\mathfrak{m}_T^3\), et ainsi de suite pour tout \(n \geq 1\). On obtient donc un morphisme induit \(f : S \to T = \lim T/\mathfrak m_T^n\) de \(R\)-algèbres locales. Par notre choix de \(f_1\), le morphisme \(f\) induit un isomorphisme \(\mathfrak m_S/(\mathfrak m_R S + \mathfrak m_S^2) \to \mathfrak m_T/(\mathfrak m_R T + \mathfrak m_T^2)\) d’espaces cotangents relatifs. Le lemme 06GZ montre donc que \(f\) est surjective (où l’on considère \(f\) comme un morphisme dans \(\widehat{\mathcal{C}}_R\)). Choisissons des antécédents \(y_i \in S\) des \(X_i \in T\) par \(f\). Comme \(T\) est un anneau de séries formelles sur \(R\), il existe un homomorphisme de \(R\)-algèbres locales \(s : T \to S\) envoyant \(X_i\) sur \(y_i\). Par construction, \(f \circ s = \text{id}\) ; donc \(s\) est injectif. Mais \(s\) induit un isomorphisme sur les espaces cotangents relatifs, puisque \(f\) en induit un ; il est donc également surjectif, de nouveau par le lemme 06GZ. Ainsi \(s\) et \(f\) sont des isomorphismes.

Les morphismes lisses possèdent les propriétés fonctorielles suivantes.

Lemme

Soient \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) des morphismes de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

1. Si \(\varphi\) et \(\psi\) sont lisses, alors \(\psi \circ \varphi\) est lisse.

2. Si \(\varphi\) est essentiellement surjectif et si \(\psi \circ \varphi\) est lisse, alors \(\psi\) est lisse.

3. Si \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes et si \(\varphi\) est lisse, alors \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}' \to \mathcal{G}'\) est lisse.

Démonstration

Les assertions (1) et (2) résultent immédiatement des définitions. Nous omettons la démonstration de (3). Indications : utiliser la formulation de la lissité donnée dans la remarque 06HI ainsi que le fait que \(\mathcal{F} \times_\mathcal{G} \mathcal{G}'\) est le \(2\)-produit fibré ; voir les remarques 06GK (06SI).

Lemme

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme lisse de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\) soit essentiellement surjectif. Alors \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\widehat{\varphi} : \widehat{\mathcal{F}} \to \widehat{\mathcal{G}}\) sont essentiellement surjectifs.

Démonstration

Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{G}\) situé au-dessus de \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\). Soit \(y \to y_0\) une image directe de \(y\) le long de \(A \to k\). L’hypothèse de surjectivité essentielle de \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\) donne un objet \(x_0\) de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(k\) et un isomorphisme \(y_0 \to \varphi(x_0)\). La lissité de \(\varphi\) implique qu’il existe un objet \(x\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A\) dont l’image \(\varphi(x)\) est isomorphe à \(y\). Ainsi, \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est essentiellement surjectif.

Soit \(\eta = (R, \eta_n, g_n)\) un objet de \(\widehat{\mathcal{G}}\). Construisons un objet \(\xi\) de \(\widehat{\mathcal{F}}\) muni d’un isomorphisme \(\eta \to \varphi(\xi)\). Par l’hypothèse de surjectivité essentielle de \(\varphi : \mathcal{F}(k) \to \mathcal{G}(k)\), il existe un morphisme \(\eta_1 \to \varphi(\xi_1)\) dans \(\mathcal{G}(k)\) pour un certain \(\xi_1 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Le morphisme \(\eta_2 \xrightarrow{g_1} \eta_1 \to \varphi(\xi_1)\) est situé au-dessus du morphisme surjectif d’anneaux \(R/\mathfrak m_R^2 \to k\) ; la lissité de \(\varphi\) donne donc un objet \(\xi_2 \in \Ob(\mathcal{F}(R/\mathfrak m_R^2))\), un morphisme \(f_1: \xi_2 \to \xi_1\) situé au-dessus de \(R/\mathfrak m_R^2 \to k\), et un morphisme \(\eta_2 \to \varphi(\xi_2)\) tels que \[\xymatrix{ \varphi(\xi_2) \ar[r]^{\varphi(f_1)} & \varphi(\xi_{1}) \\ \eta_2 \ar[u] \ar[r]^{g_1} & \eta_1 \ar[u] \\ }\] soit commutatif. En poursuivant ainsi, on construit un objet \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\) de \(\widehat{\mathcal{F}}\) et un morphisme \(\eta \to \varphi(\xi) = (R, \varphi(\xi_n), \varphi(f_n))\) dans \(\widehat{\mathcal{G}}(R)\).

Nous chercherons plus loin à construire des morphismes lisses de foncteurs pro-représentables vers des catégories de prédéformation \(\mathcal{F}\). D’après la discussion de la remarque 06HC, ces morphismes correspondent à certains objets formels de \(\mathcal{F}\) : ce sont, plus précisément, les objets formels dits versels de \(\mathcal{F}\).

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. Soit \(\xi\) un objet formel de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). On dit que \(\xi\) est versel si le morphisme correspondant \(\underline{\xi}: \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) de la remarque 06HC est lisse.

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\), et soit \(\xi\) un objet formel de \(\mathcal{F}\). Il résulte de la définition de la lissité que la versalité de \(\xi\) équivaut à la condition suivante. Si \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x }\] est un diagramme dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) tel que \(y \to x\) soit situé au-dessus d’un morphisme surjectif \(B \to A\) d’anneaux artiniens (on peut supposer qu’il s’agit d’une petite extension), alors il existe un morphisme \(\xi \to y\) tel que \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] \ar[ur] & x }\] soit commutatif. En particulier, la condition pour \(\xi\) d’être versel ne dépend pas des choix d’images directes effectués lors de la construction de \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) dans la remarque 06HC.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\). Pour tout objet formel \(\eta\) de \(\widehat{\mathcal{F}}\), il existe un morphisme \(\xi \to \eta\).

Démonstration

Par hypothèse, le morphisme \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) est lisse. Alors \(\iota(\xi) : \underline{R} \to \widehat{\mathcal{F}}\) est le complété de \(\underline{\xi}\) ; voir la remarque 06HC. D’après le lemme 06HN, il existe un objet \(f\) de \(\underline{R}\) tel que \(\iota(\xi)(f) = \eta\). Ainsi, \(f\) est un morphisme d’anneaux \(f : R \to S\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). L’égalité \(\iota(\xi)(f) = \eta\) signifie que \(f_*\xi \cong \eta\), ce qui signifie exactement qu’il existe un morphisme \(\xi \to \eta\) situé au-dessus de \(f\).

Catégories lisses ou non obstruées

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. On peut considérer \(\mathcal{C}_\Lambda\) comme une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) au moyen du foncteur identité. De cette manière, \(p : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{C}_\Lambda\) devient un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Définition

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. On dit que \(\mathcal{F}\) est lisse ou non obstruée si son morphisme structural \(p\) est lisse au sens de la définition 06HG.

C’est la notion « absolue » de lissité pour une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), bien qu’il soit plus correct de dire que \(\mathcal{F}\) est lisse sur \(\Lambda\). Il faut manier avec prudence l’expression « \(\mathcal{F}\) est non obstruée » : il peut arriver que \(\mathcal{F}\) possède une théorie de l’obstruction dont les espaces d’obstructions ne sont pas nuls, alors même que \(\mathcal{F}\) est lisse.

Remarque

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit une catégorie de prédéformation admettant un morphisme lisse \(\varphi : \mathcal U \to \mathcal{F}\) depuis une catégorie de prédéformation \(\mathcal{U}\). D’après le lemme 06HN, \(\varphi\) est essentiellement surjectif ; le lemme 06HM montre donc que \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) est lisse si et seulement si la composée \(\mathcal U \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F} \xrightarrow{p} \mathcal{C}_\Lambda\) est lisse, c’est-à-dire que \(\mathcal{F}\) est lisse si et seulement si \(\mathcal{U}\) est lisse.

Lemme

Soit \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est lisse ;

2. \(\Lambda \to R\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique ;

3. \(\Lambda \to R\) est plat et \(R \otimes_\Lambda k'\) est géométriquement régulier sur \(k'\) ;

4. \(\Lambda \to R\) est plat et \(k' \to R \otimes_\Lambda k'\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique.

Dans le cas classique, elles équivalent également à :

1. \(R\) est isomorphe à \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\) pour un certain \(n\).

Démonstration

La lissité de \(p : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{C}_\Lambda\) signifie qu’étant donnés \(B \to A\) surjectif dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et \(R \to A\), on peut trouver la flèche en pointillés dans le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar@{-->}[rd] & A \\ \Lambda \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] Cela est certainement vrai si \(\Lambda \to R\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique ; voir Compléments d’algèbre, définitions 07NI et 07EB. Réciproquement, si cela est vrai, Compléments d’algèbre, lemme 0DYG, montre que \(\Lambda \to R\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique. Ainsi, (1) et (2) sont équivalentes.

L’équivalence de (2), (3) et (4) est Compléments d’algèbre, proposition 07NQ. L’équivalence avec (5) résulte, par exemple, du lemme 06HL et du fait que, dans le cas classique, \(\mathcal{C}_\Lambda\) s’identifie à \(\underline{\Lambda}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est non obstruée ;

2. \(\Lambda \to R\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_R\)-adique.

Dans le cas classique, elles équivalent également à :

1. \(R \cong \Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\) pour un certain \(n\). 

Démonstration

Si (1) est vérifiée, c’est-à-dire si \(\mathcal{F}\) est non obstruée, alors la composée \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\underline{\xi}} \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\] est lisse ; voir le lemme 06HM. Le lemme 0DYL donne donc (2). Réciproquement, si (2) est vérifiée, la composée est lisse ; de plus, la première flèche est essentiellement surjective d’après le lemme 06HT. Le lemme 06HM montre donc que la seconde flèche est lisse, ce qui signifie par définition que \(\mathcal{F}\) est non obstruée. Dans le cas classique, l’équivalence avec (3) résulte du lemme 0DYL.

Lemme

Il existe \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) tel que les conditions équivalentes du lemme 0DYL soient satisfaites et que, de plus, \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) et \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\).

Démonstration

Dans le cas classique, on choisit \(R = \Lambda\). Plus généralement, si l’extension de corps résiduels \(k/k'\) est séparable, il existe une unique extension finie étale \(\Lambda^\wedge \to R\) (Algèbre, lemmes 04GM et 04GK) du complété \(\Lambda^\wedge\) de \(\Lambda\) qui induit l’extension \(k/k'\) sur les corps résiduels.

Dans le cas général, procédons comme suit. Choisissons une \(\Lambda\)-algèbre lisse \(P\) et une surjection de \(\Lambda\)-algèbres \(P \to k\). (On peut, par exemple, prendre pour \(P\) une algèbre de polynômes.) Notons \(\mathfrak m_P\) le noyau de \(P \to k\). La suite de Jacobi–Zariski, voir (06S7) et Algèbre, lemme 00S2, est une suite exacte \[0 \to H_1(\NL_{k/\Lambda}) \to \mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 \to \Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k \to \Omega_{k/\Lambda} \to 0\] Le \(0\) de gauche provient de ce que \(P/k\) est lisse : \(\NL_{P/\Lambda}\) est alors quasi-isomorphe à un module projectif de type fini placé en degré \(0\), et donc \(H_1(\NL_{P/\Lambda} \otimes_P k) = 0\). Supposons que \(f \in \mathfrak m_P\) s’envoie sur un élément non nul de \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\). En posant \(P' = P/(f)\), on dispose d’une surjection de \(\Lambda\)-algèbres \(P' \to k\). Remarquons que \(P'\) est lisse en \(\mathfrak m_{P'}\) ; cela résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 057C. Après avoir remplacé \(P\) par une localisation principale de \(P'\), on voit donc que \(\dim(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2)\) diminue. En répétant l’opération un nombre fini de fois, on peut supposer que l’application \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 \to \Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\) est nulle, de sorte que la suite exacte se décompose en les deux isomorphismes \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2\) et \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k = \Omega_{k/\Lambda}\).

Soit \(R\) le complété \(\mathfrak m_P\)-adique de \(P\). Alors \(R\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) : c’est un anneau local noethérien complet (voir Algèbre, lemme 0316) dont le corps résiduel s’identifie à \(k\). Nous affirmons que \(R\) convient.

Remarquons d’abord que le morphisme \(P \to R\) induit les isomorphismes \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2 = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) et \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k = \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k\). En effet, \(\mathfrak m_P/\mathfrak m_P^2\) et \(\Omega_{P/\Lambda} \otimes_P k\) ne dépendent que de la \(\Lambda\)-algèbre \(P/\mathfrak m_P^2\) ; voir Algèbre, lemme 02HQ. Il en va de même pour \(R\), et l’on a \(P/\mathfrak m_P^2 = R/\mathfrak m_R^2\). La fonctorialité de la suite de Jacobi–Zariski (06S8) permet d’en déduire \(H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) et \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\), puisque ces égalités sont vraies pour \(P\).

Enfin, puisque \(\Lambda \to P\) est lisse, Algèbre, proposition 00TN, montre que \(\Lambda \to P\) est formellement lisse. Alors \(\Lambda \to P\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_P\)-adique d’après Compléments d’algèbre, lemme 07EC. Le complété \(R\) hérite de cette propriété par Compléments d’algèbre, lemme 07ED, ce qui achève la démonstration. En fait, on peut montrer que, chaque fois que \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est lisse, \(R\) est isomorphe au complété d’une algèbre lisse sur \(\Lambda\), mais nous n’utiliserons pas ce fait.

Exemple

Voici un exemple plus explicite d’un \(R\) comme dans le lemme 06SM. Soient \(p\) un nombre premier et \(n \in \mathbf{N}\). Posons \(\Lambda = \mathbf{F}_p(t_1, t_2, \ldots, t_n)\) et \(k = \mathbf{F}_p(x_1, \ldots, x_n)\), l’application \(\Lambda \to k\) étant donnée par \(t_i \mapsto x_i^p\). On peut alors prendre \[R = \Lambda[x_1, \ldots, x_n]^\wedge_{(x_1^p - t_1, \ldots, x_n^p - t_n)}\] On ne peut pas faire « mieux » dans cet exemple, c’est-à-dire que l’on ne peut pas approcher \(\mathcal{C}_\Lambda\) par un objet lisse plus petit de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) (on peut montrer que la dimension de \(R\) doit être au moins \(n\), puisque l’application \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k \to \Omega_{k/\Lambda}\) est surjective). Nous reviendrons plus loin sur ce phénomène de manière plus détaillée.

Conditions de Schlessinger

Dans la suite, nous considérerons souvent des produits fibrés \(A_1 \times_A A_2\) d’anneaux de la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\). Nous avons vu dans l’exemple 06S4 qu’un tel produit fibré n’est pas nécessairement un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Toutefois, dans presque tous les cas ci-dessous, l’un des deux morphismes \(A_i \to A\) est surjectif, et \(A_1 \times_A A_2\) est alors un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\) d’après le lemme 06GH. Nous utiliserons ce résultat sans autre mention.

On note \(k[\epsilon]\) l’algèbre des nombres duaux sur \(k\). Plus généralement, pour un \(k\)-espace vectoriel \(V\), on note \(k[V]\) la \(k\)-algèbre dont l’espace vectoriel sous-jacent est \(k \oplus V\) et dont la multiplication est donnée par \((a, v) \cdot (a', v') = (aa', av' + a'v)\). Lorsque \(V = k\), \(k[V]\) est l’algèbre des nombres duaux sur \(k\). Pour tout \(k\)-espace vectoriel \(V\) de dimension finie, l’anneau \(k[V]\) appartient à \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). On définit les conditions (S1) et (S2) pour \(\mathcal{F}\) comme suit :

1. Tout diagramme de \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(A_2 \to A\) surjectif, peut être complété en un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\]

2. La condition (S1) est satisfaite pour les diagrammes de \(\mathcal{F}\) situés au-dessus d’un diagramme de \(\mathcal{C}_\Lambda\) de la forme \[\xymatrix{ & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k. }\] De plus, si l’on a deux diagrammes commutatifs dans \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] alors il existe un morphisme \(b : y \to y'\) dans \(\mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\) tel que \(a = a' \circ b\).

On peut expliquer en partie le sens des conditions (S1) et (S2) à l’aide des catégories fibres. Supposons que \(f_1 : A_1 \to A\) et \(f_2 : A_2 \to A\) soient des morphismes d’anneaux dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(f_2\) surjectif. Notons \(p_i : A_1 \times_A A_2 \to A_i\) les projections. Supposons fixé un choix d’images directes pour \(\mathcal{F}\). Le diagramme commutatif d’anneaux se traduit alors par un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \ar[r]_-{p_{2, *}} \ar[d]_{p_{1, *}} & \mathcal{F}(A_2) \ar[d]^{f_{2, *}} \\ \mathcal{F}(A_1) \ar[r]^{f_{1, *}} & \mathcal{F}(A) }\] de catégories fibres, d’où un foncteur [06SP]\[\begin{equation} \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2) \end{equation}\] à valeurs dans le \(2\)-produit fibré des catégories. La condition (S1) exige que ce foncteur soit essentiellement surjectif. La première partie de la condition (S2) exige que ce foncteur soit essentiellement surjectif lorsque \(f_2\) est le morphisme \(k[\epsilon] \to k\). En outre, dans ce cas, la seconde partie de (S2) implique que deux objets qui deviennent isomorphes dans la cible sont isomorphes dans la source (mais elle n’est pas équivalente à cette assertion). L’avantage de formuler les conditions comme dans la définition est qu’aucun choix n’est nécessaire.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). Alors \(\mathcal{F}\) satisfait (S1) dès que la condition (S1) est supposée satisfaite seulement lorsque \(A_2 \to A\) est une petite extension.

Démonstration

Démonstration omise. Indications : appliquer le lemme 06GE et procéder par récurrence comme dans la démonstration du lemme 06HH.

Remarque

Lorsque \(\mathcal{F}\) est cofibrée en ensembles, les conditions (S1) et (S2) sont exactement les conditions (H1) et (H2) de l’article de Schlessinger [Sch]. En effet, pour un foncteur \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\), les conditions (S1) et (S2) s’énoncent ainsi :

1. Si \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) sont des morphismes dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(A_2 \to A\) surjectif, alors l’application induite \(F(A_1 \times_A A_2) \to F(A_1) \times_{F(A)} F(A_2)\) est surjective.

2. Si \(A \to k\) est un morphisme dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), alors l’application induite \(F(A \times_k k[\epsilon]) \to F(A) \times_{F(k)} F(k[\epsilon])\) est bijective.

L’injectivité de l’application \(F(A \times_k k[\epsilon]) \to F(A) \times_{F(k)} F(k[\epsilon])\) résulte de la seconde partie de la condition (S2) et du fait que les morphismes sont des identités.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\mathcal{F}\) satisfait (S2), alors la condition (S2) reste valable lorsque \(k[\epsilon]\) est remplacé par \(k[V]\), pour tout \(k\)-espace vectoriel \(V\) de dimension finie.

Démonstration

Lorsque \(\mathcal{F}\) est cofibrée en ensembles, c’est-à-dire correspond à un foncteur \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\), cela résulte de la description de (S2) pour \(F\) donnée dans la remarque 06HY et du fait que \(k[V] \cong k[\epsilon] \times_k \ldots \times_k k[\epsilon]\) avec \(\dim_k V\) facteurs. C’est le cas des foncteurs que nous utiliserons dans la suite du chapitre.

Démontrons le cas général par récurrence sur \(\dim(V)\). Si \(\dim(V) = 1\), alors \(k[V] \cong k[\epsilon]\) et le résultat est vrai par hypothèse. Si \(\dim(V) > 1\), écrivons \(V = V' \oplus k\epsilon\). Choisissons un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] Choisissons un morphisme \(x_V \to x_{V'}\) situé au-dessus de \(k[V] \to k[V']\) et un morphisme \(x_V \to x_\epsilon\) situé au-dessus de \(k[V] \to k[\epsilon]\). Remarquons que le morphisme \(x_V \to x_0\) se factorise à la fois en \(x_V \to x_{V'} \to x_0\) et en \(x_V \to x_\epsilon \to x_0\). Par l’hypothèse de récurrence, on peut trouver un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V'] \ar[d] \ar[r] & k[V'] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] Cela nous donne un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_\epsilon \ar[d] \\ y' \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \times_k k[V'] \ar[r] & k } }\] La condition (S2) fournit donc un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[d] \ar[r] & x_\epsilon \ar[d] \\ y' \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ (A \times_k k[V']) \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \times_k k[V'] \ar[r] & k } }\] Remarquons que \((A \times_k k[V']) \times_k k[\epsilon] = A \times_k k[V' \oplus k\epsilon] = A \times_k k[V]\). Nous affirmons que \(y\) s’insère dans le diagramme commutatif voulu. Pour le voir, soit \(y \to y_V\) un morphisme situé au-dessus de \(A \times_k k[V] \to k[V]\). Les morphismes \(y \to y' \to x_{V'}\) et \(y \to x_\epsilon\) se factorisent par le morphisme \(y \to y_V\) (d’après les axiomes des catégories cofibrées en groupoïdes). Ainsi, \(y_V\) et \(x_V\) s’insèrent tous deux dans des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ y_V \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ x_V \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x_{V'} \ar[r] & x_0 } }\] La seconde partie de (S2) donne donc un isomorphisme \(y_V \to x_V\) compatible avec \(y_V \to x_{V'}\) et \(x_V \to x_{V'}\), et en particulier avec les morphismes vers \(x_0\). La composée \(y \to y_V \to x_V\) s’insère alors dans le diagramme commutatif requis \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V] \ar[d] \ar[r] & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] On voit ainsi que la première partie de \((S2)\) reste vraie lorsque \(k[\epsilon]\) est remplacé par \(k[V]\).

Pour démontrer la seconde partie, supposons donnés deux diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r] \ar[d] & x_V \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V] \ar[d] \ar[r] & k[V] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] Nous utiliserons les morphismes \(x_V \to x_{V'} \to x_0\) et \(x_V \to x_\epsilon \to x_0\) introduits au premier paragraphe de la démonstration. Choisissons des morphismes \(y \to y_{V'}\) et \(y' \to y'_{V'}\) situés au-dessus de \(A \times_k k[V] \to A \times_k k[V']\). Les axiomes d’une catégorie cofibrée impliquent que l’on peut trouver des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ y_{V'} \ar[r] \ar[d] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y'_{V'} \ar[r] \ar[d] & x_{V'} \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[V'] \ar[d] \ar[r] & k[V'] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] Par l’hypothèse de récurrence, on obtient un isomorphisme \(b : y_{V'} \to y'_{V'}\) compatible avec les morphismes \(y_{V'} \to x\) et \(y'_{V'} \to x\), donc en particulier avec les morphismes vers \(x_0\). On a alors des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ y'_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ y'_{V'} \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] où le morphisme \(y \to y'_{V'}\) est la composée \(y \to y_{V'} \xrightarrow{b} y'_{V'}\), et où les morphismes \(y \to x_\epsilon\) et \(y' \to x_\epsilon\) sont les composées des morphismes \(y \to x_V\) et \(y' \to x_V\) avec le morphisme \(x_V \to x_\epsilon\). La seconde partie de (S2) assure alors l’existence d’un isomorphisme \(y \to y'\) compatible avec les morphismes vers \(y'_{V'}\), donc en particulier avec les morphismes vers \(x\) (puisque \(b\) était compatible avec les morphismes vers \(x\)).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

1. Si \(\mathcal{F}\) satisfait (S1), alors \(\overline{\mathcal{F}}\) la satisfait aussi.

2. Si \(\mathcal{F}\) satisfait (S2), alors \(\overline{\mathcal{F}}\) la satisfait aussi, pourvu que l’une au moins des conditions suivantes soit vérifiée :

   1. \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation ;

   2. la catégorie \(\mathcal{F}(k)\) est un ensemble ou un ensoïde ;

   3. pour tout morphisme \(x_\epsilon \to x_0\) de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(k[\epsilon] \to k\), l’application d’image directe \(\text{Aut}_{k[\epsilon]}(x_\epsilon) \to \text{Aut}_k(x_0)\) est surjective.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse (S1). Soient des morphismes d’anneaux \(f_i : A_i \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(f_2\) surjectif, et des \(x_i \in \mathcal{F}(A_i)\) tels que les images directes \(f_{1, *}(x_1)\) et \(f_{2, *}(x_2)\) soient isomorphes. On peut alors choisir un objet \(x\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A\) isomorphe à chacune de ces images, et l’on obtient un diagramme comme dans (S1). On trouve donc un objet \(y\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A_1 \times_A A_2\) dont l’image directe vers \(A_1\), respectivement \(A_2\), est isomorphe à \(x_1\), respectivement \(x_2\). Ainsi, (S1) est vérifiée pour \(\overline{\mathcal{F}}\).

Supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse (S2). La première partie de (S2) pour \(\overline{\mathcal{F}}\) résulte de l’argument précédent. La seconde partie de (S2) pour \(\overline{\mathcal{F}}\) signifie que l’application \[\overline{\mathcal{F}}(A \times_k k[\epsilon]) \to \overline{\mathcal{F}}(A) \times_{\overline{\mathcal{F}}(k)} \overline{\mathcal{F}}(k[\epsilon])\] est injective pour tout anneau \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(y, y' \in \mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\). En utilisant les axiomes des catégories cofibrées, on peut choisir des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x'_\epsilon \ar[d]^{e'} \\ x' \ar[r]^{d'} & x'_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[d] \ar[r] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] Supposons qu’il existe des isomorphismes \(\alpha : x \to x'\) dans \(\mathcal{F}(A)\) et \(\beta : x_\epsilon \to x'_\epsilon\) dans \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\). Cela signifie également qu’il existe un isomorphisme \(\gamma : x_0 \to x'_0\) compatible avec \(\alpha\). Pour démontrer (S2) pour \(\overline{\mathcal{F}}\), il faut montrer qu’il existe un isomorphisme \(y \to y'\) dans \(\mathcal{F}(A \times_k k[\epsilon])\). D’après (S2) pour \(\mathcal{F}\), un tel morphisme existera si l’on peut choisir les isomorphismes \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) de telle sorte que \[\xymatrix{ x \ar[d]^\alpha \ar[r] & x_0 \ar[d]^\gamma & x_\epsilon \ar[d]^\beta \ar[l]^e \\ x' \ar[r] & x'_0 & x'_\epsilon \ar[l]_{e'} }\] soit commutatif (on peut alors remplacer \(x\) par \(x'\) et \(x_\epsilon\) par \(x'_\epsilon\) dans le diagramme affiché précédent). Le carré de gauche est commutatif par notre choix de \(\gamma\). On peut factoriser \(e' \circ \beta\) en \(\gamma' \circ e\) pour un second morphisme \(\gamma' : x_0 \to x'_0\). Il reste à savoir si l’on peut faire en sorte que \(\gamma = \gamma'\). C’est clair si \(\mathcal{F}(k)\) est un ensemble ou un ensoïde. De plus, si \(\text{Aut}_{k[\epsilon]}(x_\epsilon) \to \text{Aut}_k(x_0)\) est surjective, on peut modifier le choix de \(\beta\) en le précomposant avec un automorphisme de \(x_\epsilon\) dont l’image est \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\), ce qui donne le résultat.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Soit \(\mathcal{F}_{x_0}\) la catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) construite dans la remarque 06GU.

1. Si \(\mathcal{F}\) satisfait (S1), alors \(\mathcal{F}_{x_0}\) la satisfait aussi.

2. Si \(\mathcal{F}\) satisfait (S2), alors \(\mathcal{F}_{x_0}\) la satisfait aussi.

Démonstration

Tout diagramme de \(\mathcal{F}_{x_0}\) comme dans la définition 06HW donne un diagramme dans \(\mathcal{F}\), et le résultat fourni par la condition (S1) ou (S2) pour ce diagramme dans \(\mathcal{F}\) peut également être considéré comme un résultat dans \(\mathcal{F}_{x_0}\).

Lemme

Soit \(p: \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. Considérons un diagramme de \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]_e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k. } }\] dans \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse (S2). Alors il existe un morphisme \(s : x \to y\) tel que \(a \circ s = \text{id}_x\) si et seulement s’il existe un morphisme \(s_\epsilon : x \to x_\epsilon\) tel que \(e \circ s_\epsilon = d\).

Démonstration

Le sens direct est clair. Réciproquement, supposons qu’il existe un morphisme \(s_\epsilon : x \to x_\epsilon\) tel que \(e \circ s_\epsilon = d\). Remarquons que \(p(s_\epsilon) : A \to k[\epsilon]\) est un morphisme d’anneaux compatible avec le morphisme \(A \to k\). On obtient donc \[\sigma = (\text{id}_A, p(s_\epsilon)) : A \to A \times_k k[\epsilon].\] Choisissons une image directe \(x \to \sigma_*x\). Par construction, on peut factoriser \(s_\epsilon\) en \(x \to \sigma_*x \to x_\epsilon\). De plus, comme \(\sigma\) est une section de \(A \times_k k[\epsilon] \to A\), on obtient un morphisme \(\sigma_*x \to x\) tel que \(x \to \sigma_*x \to x\) soit \(\text{id}_x\). L’égalité \(e \circ s_\epsilon = d\) montre que le diagramme \[\xymatrix{ \sigma_*x \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d]_e \\ x \ar[r]^d & x_0 }\] est commutatif. La condition (S2) fournit donc un morphisme \(\sigma_*x \to y\) tel que \(\sigma_*x \to y \to x\) soit le morphisme donné \(\sigma_*x \to x\). Il suffit maintenant de prendre pour solution la composée \(a : x \to y\) égale à \(x \to \sigma_*x \to y\).

Lemme

Considérons un diagramme commutatif dans une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d]^{a_2} \\ x_1 \ar[r]^{a_1} & x } } \quad\text{au-dessus de} \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d]^{f_2} \\ A_1 \ar[r]^{f_1} & A } }\] dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), où \(f_2 : A_2 \to A\) est une petite extension. Supposons qu’il existe un morphisme \(h : A_1 \to A_2\) tel que \(f_2 = f_1 \circ h\). Soit \(I = \Ker(f_2)\). Considérons le morphisme d’anneaux \[g : A_1 \times_A A_2 \longrightarrow k[I] = k \oplus I, \quad (u, v) \longmapsto \overline{u} \oplus (v - h(u))\] Choisissons une image directe \(y \to g_*y\). Supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse (S2). S’il existe un morphisme \(x_1 \to g_*y\), alors il existe un morphisme \(b: x_1 \to x_2\) tel que \(a_1 = a_2 \circ b\).

Démonstration

Remarquons que \(\text{id}_{A_1} \times g : A_1 \times_A A_2 \to A_1 \times_k k[I]\) est un isomorphisme et que \(k[I] \cong k[\epsilon]\). On a donc un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & g_*y \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & k. } }\] où \(x_0\) est un objet de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(k\) (tout objet de \(\mathcal{F}\) possède un unique morphisme vers \(x_0\) ; voir la discussion qui suit la définition 06GS). Si l’on dispose d’un morphisme \(x_1 \to g_*y\), le lemme 06IS fournit une section \(s : x_1 \to y\) du morphisme \(y \to x_1\). En la composant avec le morphisme \(y \to x_2\), on obtient \(b : x_1 \to x_2\), qui vérifie \(a_1 = a_2 \circ b\) puisque le diagramme du lemme est commutatif et que \(s\) est une section.

Espaces tangents des foncteurs

Soit \(R\) un anneau. On note \(\text{Mod}_R\) la catégorie des \(R\)-modules et \(\text{Mod}^{fg}_R\) la catégorie des \(R\)-modules de type fini.

Définition

Soit \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\), respectivement \(L: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\), un foncteur. On dit que \(L\) est \(R\)-linéaire si, pour toute paire d’objets \(M, N\) de \(\text{Mod}^{fg}_R\), respectivement de \(\text{Mod}_R\), l’application \[L : \Hom_R(M, N) \longrightarrow \Hom_R(L(M), L(N))\] est un morphisme de \(R\)-modules.

Remarque

On peut définir la notion de \(R\)-linéarité pour tout foncteur entre catégories enrichies sur \(\text{Mod}_R\). Nous avons formulé la définition spécifiquement pour les foncteurs \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\) et \(L: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\), car ce sont les cas dont nous avons eu besoin jusqu’ici.

Remarque

Si \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\) est un foncteur \(R\)-linéaire, alors \(L\) préserve les produits finis et envoie le module nul sur le module nul ; voir Homologie, lemme 0105. Réciproquement, si un foncteur \(\text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Ensembles}\) préserve les produits finis et envoie le module nul sur un ensemble à un seul élément, il admet un unique relèvement en un foncteur \(R\)-linéaire ; voir le lemme 06I6.

Lemme

Soit \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Ensembles}\), respectivement \(L: \text{Mod}_R \to \textit{Ensembles}\), un foncteur. Supposons que \(L(0)\) soit un ensemble à un seul élément et que \(L\) préserve les produits finis. Il existe alors un unique foncteur \(R\)-linéaire \(\widetilde{L} : \text{Mod}^{fg}_R \to \text{Mod}_R\), respectivement \(\widetilde{L} : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\), tel que \[\vcenter{ \xymatrix{ & \text{Mod}_R \ar[dr]^{\text{forget}} & \\ \text{Mod}^{fg}_R \ar[ur]^{\widetilde{L}} \ar[rr]^{L} & & \textit{Ensembles} } } \quad\text{resp.}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \text{Mod}_R \ar[dr]^{\text{forget}} & \\ \text{Mod}_R \ar[ur]^{\widetilde{L}} \ar[rr]^{L} & & \textit{Ensembles} } }\] soit commutatif.

Démonstration

Nous ne le démontrons que dans le cas \(L: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Ensembles}\). Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. On définit \(\widetilde{L}(M)\) comme l’ensemble \(L(M)\) muni de la structure de \(R\)-module suivante.

Multiplication : si \(r \in R\), la multiplication par \(r\) sur \(L(M)\) est, par définition, l’application \(L(M) \to L(M)\) induite par l’homothétie \(r \cdot : M \to M\).

Addition : l’application somme \(M \times M \to M: (m_1, m_2) \mapsto m_1 + m_2\) induit une application \(L(M \times M) \to L(M)\). Par hypothèse, \(L(M \times M)\) est canoniquement isomorphe à \(L(M) \times L(M)\). L’addition sur \(L(M)\) est définie par l’application \(L(M) \times L(M) \cong L(M \times M) \to L(M)\).

Zéro : il existe un unique morphisme \(0 \to M\). L’élément nul de \(L(M)\) est l’image de \(L(0) \to L(M)\).

Nous omettons de vérifier que cela définit un \(R\)-module \(\widetilde{L}(M)\), et que cette structure est l’unique pour laquelle la construction soit \(R\)-linéaire et fonctorielle en \(M\).

Lemme

Soient \(L_1, L_2: \text{Mod}^{fg}_R \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs qui envoient \(0\) sur un ensemble à un seul élément et préservent les produits finis. Soit \(t : L_1 \to L_2\) un morphisme de foncteurs. Alors \(t\) induit un morphisme \(\widetilde{t} : \widetilde{L}_1 \to \widetilde{L}_2\) entre les foncteurs fournis par le lemme 06I6, donné simplement par \(\widetilde{t}_M = t_M: \widetilde{L}_1(M) \to \widetilde{L}_2(M)\) pour tout \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\). Autrement dit, \(t_M: \widetilde{L}_1(M) \to \widetilde{L}_2(M)\) est un morphisme de \(R\)-modules.

Démonstration

Omis.

Dans le cas où \(R = K\) est un corps, un foncteur \(K\)-linéaire \(L : \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\) est déterminé par sa valeur \(L(K)\).

Lemme

Soit \(K\) un corps. Soit \(L: \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\) un foncteur \(K\)-linéaire. Alors \(L\) est isomorphe au foncteur \(L(K) \otimes_K - : \text{Mod}^{fg}_K \to \text{Mod}_K\).

Démonstration

Pour \(V \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_K)\), l’isomorphisme \(L(K) \otimes_K V \to L(V)\) est donné sur les tenseurs purs par \(x \otimes v \mapsto L(f_v)(x)\), où \(f_v: K \to V\) est l’application \(K\)-linéaire envoyant \(1 \mapsto v\). Lorsque \(V = K\), c’est l’isomorphisme \(L(K) \otimes_K K \to L(K)\) donné par la multiplication, c’est-à-dire par l’action de \(K\). Pour \(V\) quelconque, c’est un isomorphisme en vertu du cas \(V = K\) et du fait que \(L\) commute aux produits finis (remarque 06I5).

Pour un anneau \(R\) et un \(R\)-module \(M\), soit \(R[M]\) la \(R\)-algèbre dont le \(R\)-module sous-jacent est \(R \oplus M\) et dont la multiplication est donnée par \((r, m) \cdot (r', m') = (rr', rm' + r'm)\). Lorsque \(M = R\), c’est l’algèbre des nombres duaux sur \(R\), que l’on note \(R[\epsilon]\).

Soit maintenant \(S\) un anneau, et supposons que \(R\) soit une \(S\)-algèbre. L’affectation \(M \mapsto R[M]\) détermine alors un foncteur \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\), où \(S\text{-Alg}/R\) désigne la catégorie des \(S\)-algèbres au-dessus de \(R\). Remarquons que \(S\text{-Alg}/R\) admet les produits finis : si \(A_1 \to R\) et \(A_2 \to R\) sont deux objets, alors \(A_1 \times_R A_2\) est un produit.

Lemme

Soit \(R\) une \(S\)-algèbre. Alors le foncteur \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\) décrit ci-dessus préserve les produits finis.

Démonstration

Il s’agit simplement de l’assertion suivante : si \(M\) et \(N\) sont des \(R\)-modules, le morphisme \(R[M \times N] \to R[M] \times_R R[N]\) est un isomorphisme dans \(S\text{-Alg}/R\).

Lemme

Soit \(R\) une \(S\)-algèbre, et soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie strictement pleine de \(S\text{-Alg}/R\) contenant \(R[M]\) pour tout \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\). Soit \(F: \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que \(F(R)\) soit un ensemble à un seul élément et que, pour tous \(M, N \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\), l’application induite \[F(R[M] \times_R R[N]) \to F(R[M]) \times F(R[N])\] soit une bijection. Alors \(F(R[M])\) possède une structure naturelle de \(R\)-module pour tout \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\).

Démonstration

Remarquons que \(R \cong R[0]\) et \(R[M] \times_R R[N] \cong R[M \times N]\) ; ainsi, \(R\) et \(R[M] \times_R R[N]\) sont des objets de \(\mathcal{C}\) par nos hypothèses sur \(\mathcal{C}\). Les conditions imposées à \(F\) ont donc un sens. Le foncteur \(\text{Mod}_R \to S\text{-Alg}/R\) du lemme 06I9 se restreint à un foncteur \(\text{Mod}^{fg}_R \to \mathcal{C}\) par l’hypothèse sur \(\mathcal{C}\). Soit \(L\) la composée \(\text{Mod}^{fg}_R \to \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\), c’est-à-dire \(L(M) = F(R[M])\). Alors \(L\) préserve les produits finis d’après le lemme 06I9 et l’hypothèse sur \(F\). Le lemme 06I6 montre donc que \(L(M) = F(R[M])\) possède une structure naturelle de \(R\)-module pour tout \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie comme dans le lemme 06IA. Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur tel que \(F(R)\) soit un ensemble à un seul élément. L’espace tangent \(TF\) de \(F\) est \(F(R[\epsilon])\).

Lorsque \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) satisfait les hypothèses du lemme 06IA, l’espace tangent \(TF\) possède une structure naturelle de \(R\)-module.

Exemple

Puisque \(\mathcal{C}_\Lambda\) contient tous les \(k[V]\) pour les espaces vectoriels \(V\) de dimension finie, la définition 06IB s’applique avec \(S = \Lambda\), \(R = k\), \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_\Lambda\) et \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur de prédéformation. L’espace tangent est \(TF = F(k[\epsilon])\).

Exemple

Calculons l’espace tangent de l’exemple 06SR lorsque \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur pro-représentable, disons \(F = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) pour \(S \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Alors \(F\) commute aux limites arbitraires et satisfait donc les hypothèses du lemme 06IA. On calcule \[TF = F(k[\epsilon]) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S, k[\epsilon]) = \text{Der}_\Lambda(S, k)\] et, plus généralement, pour un \(k\)-espace vectoriel \(V\) de dimension finie, on a \[F(k[V]) = \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S, k[V]) = \text{Der}_\Lambda(S, V).\] Explicitement, un morphisme de \(\Lambda\)-algèbres \(f : S \to k[V]\) compatible avec les augmentations \(q : S \to k\) et \(k[V] \to k\) correspond à la dérivation \(D\) définie par \(s \mapsto f(s) - q(s)\). Réciproquement, une \(\Lambda\)-dérivation \(D : S \to V\) correspond au morphisme \(f : S \to k[V]\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) défini par \(f(s) = q(s) + D(s)\). Ces identifications étant fonctorielles, les structures de \(k\)-espace vectoriel de \(TF\) et de \(\text{Der}_\Lambda(S, k)\) se correspondent (voir le lemme 06I7). Il résulte du lemme 06SC que \(\dim_k TF\) est finie.

Exemple

Le calcul de l’exemple 06IC se simplifie dans le cas classique. Dans ce cas, l’espace tangent du foncteur \(F = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est simplement l’espace cotangent relatif de \(S\) sur \(\Lambda\), soit \(TF = T_{S/\Lambda}\). Cela reste en fait valable, plus généralement, lorsque l’extension de corps \(k/k'\) est séparable. Voir Exercices, exercice 029E.

Lemme

Soient \(F, G: \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs satisfaisant les hypothèses du lemme 06IA. Soit \(t : F \to G\) un morphisme de foncteurs. Pour tout \(M \in \Ob(\text{Mod}^{fg}_R)\), l’application \(t_{R[M]}: F(R[M]) \to G(R[M])\) est un morphisme de \(R\)-modules, où \(F(R[M])\) et \(G(R[M])\) sont munis des structures de \(R\)-modules du lemme 06IA. En particulier, \(t_{R[\epsilon]} : TF \to TG\) est un morphisme de \(R\)-modules.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06I7.

Exemple

Supposons que \(f : R \to S\) soit un morphisme d’anneaux dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Posons \(F = \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) et \(G = \underline{S}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\). Le morphisme d’anneaux \(f\) induit une transformation de foncteurs \(G \to F\). Le lemme 06ID donne une application \(k\)-linéaire \(TG \to TF\). Il s’agit de l’application \[TG = \text{Der}_\Lambda(S, k) \longrightarrow \text{Der}_\Lambda(R, k) = TF\] comme il résulte des identifications canoniques \(F(k[V]) = \text{Der}_\Lambda(R, V)\) et \(G(k[V]) = \text{Der}_\Lambda(S, V)\) de l’exemple 06IC, ainsi que de la règle de calcul de l’application sur les espaces tangents.

Lemme

Soit \(F: \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur satisfaisant les hypothèses du lemme 06IA. Supposons que \(R = K\) soit un corps. Alors \(F(K[V]) \cong TF \otimes_K V\) pour tout \(K\)-espace vectoriel \(V\) de dimension finie.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06I8.

Espaces tangents des catégories de prédéformation

Nous définirons les espaces tangents des foncteurs de prédéformation à l’aide de la définition générale 06IB. Nous l’avons explicitée dans l’exemple 06SR. Elle s’applique aux catégories de prédéformation en considérant le foncteur associé des classes d’isomorphie.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. L’espace tangent \(T \mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) est l’ensemble \(\overline{\mathcal{F}}(k[\epsilon])\) des classes d’isomorphie d’objets de la catégorie fibre \(\mathcal F(k[\epsilon])\).

Ainsi, \(T \mathcal{F}\) n’est autre que l’espace tangent du foncteur associé \(\overline{\mathcal{F}}: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\). Il possède une structure naturelle d’espace vectoriel lorsque \(\mathcal{F}\) satisfait (S2), ou plus généralement dès que \(\overline{\mathcal{F}}\) la satisfait.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation telle que \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfasse (S2)². Alors \(T \mathcal{F}\) possède une structure naturelle de \(k\)-espace vectoriel. Pour tout espace vectoriel \(V\) de dimension finie, on a \(\overline{\mathcal{F}}(k[V]) = T\mathcal{F} \otimes_k V\) fonctoriellement en \(V\).

Démonstration

Posons \(F = \overline{\mathcal{F}} : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\). C’est un foncteur de prédéformation et \(F\) satisfait (S2). D’après le lemme 06HZ (et la traduction de la remarque 06HY), on voit que \[F(A \times_k k[V]) \longrightarrow F(A) \times F(k[V])\] est une bijection pour tout espace vectoriel \(V\) de dimension finie et tout \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\). En particulier, si \(A = k[W]\), on voit que \(F(k[W] \times_k k[V]) = F(k[W]) \times F(k[V])\). Autrement dit, les hypothèses du lemme 06IA sont satisfaites, et \(TF = T \mathcal{F}\) possède une structure naturelle de \(k\)-espace vectoriel. La dernière assertion résulte du lemme 06IE.

Un morphisme de catégories de prédéformation induit une application sur les espaces tangents.

Définition

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories de prédéformation. La différentielle \(d \varphi : T \mathcal{F} \to T \mathcal{G}\) de \(\varphi\) est l’application obtenue en évaluant le morphisme de foncteurs \(\overline{\varphi}: \overline{\mathcal{F}} \to \overline{\mathcal{G}}\) en \(A = k[\epsilon]\).

Lemme

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories de prédéformation. Supposons que \(\overline{\mathcal{F}}\) et \(\overline{\mathcal{G}}\) satisfassent toutes deux (S2). Alors \(d \varphi : T \mathcal{F} \to T \mathcal{G}\) est \(k\)-linéaire.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 06IH, nous avons vu que \(\overline{\mathcal{F}}\) et \(\overline{\mathcal{G}}\) satisfont les hypothèses du lemme 06IA. Le résultat découle donc du lemme 06ID.

Remarque

On peut étendre les notions d’espace tangent et de différentielle aux catégories cofibrées en groupoïdes arbitraires comme suit. Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), et soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Comme dans la remarque 06GU, on obtient une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}_x\). On définit \[T_x\mathcal{F} = T\mathcal{F}_x\] comme l’espace tangent de \(\mathcal{F}\) en \(x\). Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et si \(x \in \Ob(\mathcal{F}(k))\), il existe un morphisme induit \(\varphi_x: \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_{\varphi(x)}\). On définit la différentielle \(d_x \varphi : T_x \mathcal{F} \to T_{\varphi(x)} \mathcal{G}\) de \(\varphi\) en \(x\) comme l’application \(d \varphi_x: T \mathcal{F}_x \to T \mathcal{G}_{\varphi(x)}\). Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) satisfont toutes deux (S2), alors tous ces espaces tangents possèdent une structure naturelle de \(k\)-espace vectoriel et toutes les différentielles \(d_x \varphi : T_x \mathcal{F} \to T_{\varphi(x)} \mathcal{G}\) sont \(k\)-linéaires (utiliser les lemmes 06SQ et 06IJ).

Les observations suivantes sont sans intérêt dans le cas classique ou lorsque \(k/k'\) est une extension de corps séparable, car \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) et \(\text{Der}_\Lambda(k, V)\) sont alors nuls. Il existe une identification canonique \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k, k[\epsilon]) = \text{Der}_\Lambda(k, k).\] En effet, pour \(D \in \text{Der}_\Lambda(k, k)\), soit \(f_D : k \to k[\epsilon]\) le morphisme \(a \mapsto a + D(a)\epsilon\). Plus généralement, pour un espace vectoriel \(V\) de dimension finie sur \(k\), on a \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k, k[V]) = \text{Der}_\Lambda(k, V)\] et nous utiliserons la même notation \(f_D\) pour le morphisme associé à la dérivation \(D\). On a également \[\Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(k[W], k[V]) = \Hom_k(V, W) \oplus \text{Der}_\Lambda(k, V)\] où \((\varphi, D)\) correspond au morphisme \(f_{\varphi, D} : a + w \mapsto a + \varphi(w) + D(a)\). Nous noterons parfois \(f_{1, D} : a + v \to a + v + D(a)\) l’automorphisme de \(k[V]\) déterminé par la dérivation \(D : k \to V\). Remarquons que \(f_{1, D} \circ f_{1, D'} = f_{1, D + D'}\).

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). D’après ce qui précède, il existe une application canonique \[\gamma_V : \text{Der}_\Lambda(k, V) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(k[V])\] définie par \(D \mapsto f_{D, *}(x_0)\). Il existe en outre une action \[a_V : \text{Der}_\Lambda(k, V) \times \overline{\mathcal{F}}(k[V]) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(k[V])\] définie par \((D, x) \mapsto f_{1, D, *}(x)\). Ces deux applications sont compatibles, c’est-à-dire que \(f_{1, D, *}f_{D', *}x_0 = f_{D + D', *}x_0\), comme le montre le calcul de leurs composées. Remarquons que les applications \(\gamma_V\) et \(a_V\) ne dépendent pas du choix de \(x_0\), puisque \(x_0\) est unique à isomorphisme près.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait (S2), alors les applications \(\gamma_V\) sont \(k\)-linéaires et l’on a \(a_V(D, x) = x + \gamma_V(D)\).

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 06IH, nous avons vu que le foncteur \(V \mapsto \overline{\mathcal{F}}(k[V])\) envoie \(0\) sur un ensemble à un seul élément et les produits sur des produits. Il en va de même du foncteur \(V \mapsto \text{Der}_\Lambda(k, V)\). Le lemme 06I7 montre donc que \(\gamma_V\) est linéaire. Soit \(D : k \to V\) une \(\Lambda\)-dérivation. Posons \(D_1 : k \to V^{\oplus 2}\) égal à \(a \mapsto (D(a), 0)\). Alors \[\xymatrix{ k[V \times V] \ar[r]_{+} \ar[d]^{f_{1, D_1}} & k[V] \ar[d]^{f_{1, D}} \\ k[V \times V] \ar[r]^{+} & k[V] }\] est commutatif. En développant les définitions et en utilisant \(\overline{F}(V \times V) = \overline{F}(V) \times \overline{F}(V)\), cela signifie que \(a_D(x_1) + x_2 = a_D(x_1 + x_2)\) pour tous \(x_1, x_2 \in \overline{F}(V)\). Il suffit donc de montrer que \(a_V(D, 0) = 0 + \gamma_V(D)\), où \(0 \in \overline{F}(V)\) est le vecteur nul. Par définition, celui-ci est l’élément \(f_{0, *}(x_0)\). Comme \(f_D = f_{1, D} \circ f_0\), le résultat voulu s’ensuit.

Deux cas particuliers des constructions précédentes sont l’application [06SV]\[\begin{equation} \gamma : \text{Der}_\Lambda(k, k) \longrightarrow T\mathcal{F} \end{equation}\] ainsi que l’action [06SW]\[\begin{equation} a : \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{F} \longrightarrow T\mathcal{F} \end{equation}\] définies pour toute catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\). Remarquons que, si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de catégories de prédéformation, on obtient les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[r]_-\gamma \ar[rd]_\gamma & T\mathcal{F} \ar[d]_{d\varphi} \\ & T\mathcal{G} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{F} \ar[r]_-a \ar[d]_{1 \times d\varphi} & T\mathcal{F} \ar[d]^{d\varphi} \\ \text{Der}_\Lambda(k, k) \times T\mathcal{G} \ar[r]^-a & T\mathcal{G} } }\]

Objets formels versels

L’existence d’un objet formel versel impose à \(\mathcal{F}\) de posséder la propriété (S1).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Supposons que \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel. Alors \(\mathcal{F}\) satisfait (S1).

Démonstration

Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\). Soit \[\xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x }\] un diagramme dans \(\mathcal{F}\) tel que \(x_2 \to x\) soit situé au-dessus d’un morphisme surjectif d’anneaux. Comme le morphisme naturel \(\widehat{\mathcal{F}}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}\) est une équivalence (voir la remarque 06SJ), on peut aussi considérer ce diagramme comme un diagramme dans \(\widehat{\mathcal{F}}\). D’après le lemme 06HT, il existe un morphisme \(\xi \to x_1\) ; la remarque 06HS fournit donc également un morphisme \(\xi \to x_2\) qui rend le diagramme \[\xymatrix{ \xi \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x }\] commutatif. Si \(x_1 \to x\) et \(x_2 \to x\) sont situés au-dessus des morphismes d’anneaux \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\), l’image directe de \(\xi\) vers \(A_1 \times_A A_2\) fournit un objet \(y\) comme l’exige (S1).

Lorsque notre catégorie cofibrée satisfait (S1) et (S2), on peut caractériser les objets formels versels de la manière suivante.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation satisfaisant (S1) et (S2). Soit \(\xi\) un objet formel de \(\mathcal{F}\) correspondant à \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) ; voir la remarque 06HC. Alors \(\xi\) est versel si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. l’application \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to T\mathcal{F}\) sur les espaces tangents est surjective ;

2. étant donné un diagramme dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ R \ar[r] & A } }\] au-dessus d’un diagramme de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) où \(B \to A\) est une petite extension d’anneaux artiniens, il existe un morphisme d’anneaux \(R \to B\) tel que \[\xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ R \ar[ur] \ar[r] & A }\] soit commutatif.

Démonstration

Si \(\xi\) est versel, (1) découle du lemme 06HN et (2) de la remarque 06HS. Supposons (1) et (2) satisfaites. D’après la remarque 06HS, il faut montrer que, pour un diagramme de \(\widehat{\mathcal{F}}\) comme dans (2), il existe \(\xi \to y\) tel que \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[ur] \ar[r] & x }\] soit commutatif. Soit \(b : R \to B\) le morphisme fourni par (2). Posons \(y' = b_*\xi\) et choisissons une factorisation \(\xi \to y' \to x\), située au-dessus de \(R \to B \to A\), du morphisme donné \(\xi \to x\). La condition (S1) fournit un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ z \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ y' \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B \times_A B \ar[d] \ar[r] & B \ar[d]^{f} \\ B \ar[r]^{f} & A . } }\] Posons \(I = \Ker(f)\). Soit \(\overline{g} : B \times_A B \to k[I]\) le morphisme d’anneaux \((u, v) \mapsto \overline{u} \oplus (v - u)\) ; cf. le lemme 06IT. Par (1), il existe un morphisme \(\xi \to \overline{g}_*z\) situé au-dessus d’un morphisme d’anneaux \(i : R \to k[\epsilon]\). Choisissons un quotient artinien \(b_1 : R \to B_1\) tel que \(b : R \to B\) et \(i : R \to k[\epsilon]\) se factorisent tous deux par \(R \to B_1\), donnant ainsi \(h : B_1 \to B\) et \(i' : B_1 \to k[\epsilon]\). Choisissons une image directe \(y_1 = b_{1, *}\xi\), une factorisation \(\xi \to y_1 \to y'\) située au-dessus de \(R \to B_1 \to B\) de \(\xi \to y'\), et une factorisation \(\xi \to y_1 \to \overline{g}_*z\) située au-dessus de \(R \to B_1 \to k[\epsilon]\) de \(\xi \to \overline{g}_*z\). Une nouvelle application de (S1) donne \[\vcenter{ \xymatrix{ z_1 \ar[r] \ar[d] & z \ar[r] \ar[d] & y \ar[d] \\ y_1 \ar[r] & y' \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B_1 \times_A B \ar[d] \ar[r] & B \times_A B \ar[r] \ar[d] & B \ar[d]^{f} \\ B_1 \ar[r] & B \ar[r] & A . } }\] Remarquons que le morphisme \(g : B_1 \times_A B \to k[I]\) du lemme 06IT (définie à l’aide de \(h\)) est la composée de \(B_1 \times_A B \to B \times_A B\) et du morphisme \(\overline{g}\) ci-dessus. Par construction, il existe un morphisme \(y_1 \to g_*z_1 \cong \overline{g}_*z\) ! Le lemme 06IT s’applique donc (aux rectangles extérieurs des diagrammes précédents) et fournit un morphisme \(y_1 \to y\) ; en le précomposant avec \(\xi \to y_1\), on obtient le morphisme recherché \(\xi \to y\).

Si \(\mathcal{F}\) possède la propriété (S1), alors le « plus grand quotient sur lequel un relèvement existe » existe. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui satisfait (S1). Soit \(B \to A\) une surjection dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), de noyau \(I\) annulé par \(\mathfrak m_B\). Soit \(x \in \mathcal{F}(A)\). L’ensemble des idéaux \[\mathcal{J} = \{ J \subset I \mid \text{il existe un }y \to x\text{ au-dessus de }B/J \to A\}\] possède un plus petit élément.

Démonstration

Remarquons que \(\mathcal{J}\) n’est pas vide, puisque \(I \in \mathcal{J}\). De plus, si \(J \in \mathcal{J}\) et \(J \subset J' \subset I\), alors \(J' \in \mathcal{J}\), car on peut prendre l’image directe de l’objet \(y\) en un objet \(y'\) au-dessus de \(B/J'\). Soient \(J\) et \(K\) des éléments de l’ensemble affiché. Nous affirmons que \(J \cap K \in \mathcal{J}\), ce qui démontrera le lemme. Comme \(I\) est un \(k\)-espace vectoriel, on peut trouver un idéal \(J \subset J' \subset I\) tel que \(J \cap K = J' \cap K\) et \(J' + K = I\). D’après ce qui précède, on peut remplacer \(J\) par \(J'\) et supposer \(J + K = I\). Dans ce cas, \[A/(J \cap K) = A/J \times_{A/I} A/K.\] L’existence d’un élément \(z \in \mathcal{F}(A/(J \cap K))\) qui s’envoie sur \(x\) résulte donc, par (S1), de l’existence supposée des éléments au-dessus de \(A/J\) et de \(A/K\).

Nous améliorerons plus loin le résultat suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons les conditions suivantes satisfaites :

1. \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation.

2. \(\mathcal{F}\) satisfait (S1).

3. \(\mathcal{F}\) satisfait (S2).

4. \(\dim_k T\mathcal{F}\) est finie.

Alors \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel.

Démonstration

Supposons (1), (2), (3) et (4) satisfaites. Choisissons un objet \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) tel que \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) soit lisse. Voir le lemme 06SM. Soit \(r = \dim_k T\mathcal{F}\) et posons \(S = R[[X_1, \ldots, X_r]]\).

Nous allons construire par récurrence, pour \(n \geq 2\), des paires \((J_n, f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1})\), où les \(J_n \subset S\) forment une suite décroissante d’idéaux et où \(f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1}\) est un morphisme de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de la projection \(S/J_n \to S/J_{n - 1}\).

Étape 1. Soit \(J_1 = \mathfrak m_S\). Soit \(\xi_1\) l’unique objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(k = S/J_1 = S/\mathfrak m_S\), à isomorphisme unique près.

Étape 2. Soit \(J_2 = \mathfrak m_S^2 + \mathfrak{m}_R S\). Alors \(S/J_2 = k[V]\), où \(V = kX_1 \oplus \ldots \oplus kX_r\). La condition (S2) pour \(\overline{\mathcal{F}}\) donne une bijection \[\overline{\mathcal{F}}(S/J_2) \longrightarrow T\mathcal{F} \otimes_k V,\] voir les lemmes 06I0 et 06IH. Choisissons une base \(\theta_1, \ldots, \theta_r\) de \(T\mathcal{F}\) et posons \(\xi_2 = \sum \theta_i \otimes X_i \in \Ob(\mathcal{F}(S/J_2))\). Ce choix a pour effet que \[d\xi_2 : \Mor_{\mathcal{C}_\Lambda}(S/J_2, k[\epsilon]) \longrightarrow T\mathcal{F}\] est surjective. Soit \(f_1 : \xi_2 \to \xi_1\) l’unique morphisme.

Étape de récurrence. Supposons construite \((J_n, f_{n - 1} : \xi_n \to \xi_{n - 1})\) pour un certain \(n \geq 2\). Il existe un plus petit élément \(J_{n + 1}\) de l’ensemble des idéaux \(J \subset S\) satisfaisant : (a) \(\mathfrak m_S J_n \subset J \subset J_n\) et (b) il existe un morphisme \(\xi_{n + 1} \to \xi_n\) situé au-dessus de \(S/J \to S/J_n\) ; voir le lemme 06SZ. Soit \(f_n : \xi_{n + 1} \to \xi_n\) un morphisme quelconque de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(S/J_{n + 1} \to S/J_n\).

Posons \(J = \bigcap J_n\), \(\overline{S} = S/J\) et \(\overline{J}_n = J_n/J\). D’après le lemme 06SE, la suite d’idéaux \((\overline{J}_n)\) induit la topologie \(\mathfrak m_{\overline{S}}\)-adique sur \(\overline{S}\). Comme \((\xi_n, f_n)\) est un objet de \(\widehat{\mathcal{F}}_\mathcal{I}(\overline{S})\), où \(\mathcal{I}\) est la filtration \((\overline{J}_n)\) de \(\overline{S}\), on voit que \((\xi_n, f_n)\) induit un objet \(\xi\) de \(\widehat{\mathcal{F}}(\overline{S})\) ; voir le lemme 06H6.

Montrons que \(\xi\) est versel. Pour la versalité, il suffit de vérifier les conditions (1) et (2) du lemme 06IU. La condition (1) résulte de notre choix de \(\xi_2\) à l’étape 2. Considérons un diagramme dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ \overline{S} \ar[r] & A } }\] au-dessus d’un diagramme de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), où \(f: B \to A\) est une petite extension d’anneaux artiniens. Il faut montrer qu’il existe un morphisme \(\overline{S} \to B\) s’insérant dans le diagramme de droite. Choisissons \(n\) tel que \(\overline{S} \to A\) se factorise par \(\overline{S} \to S/J_n\). C’est possible puisque la suite \((\overline{J}_n)\) induit la topologie \(\mathfrak m_{\overline{S}}\)-adique, comme nous l’avons vu. L’image directe de \(\xi\) le long de \(\overline{S} \to S/J_n\) est \(\xi_n\). On peut factoriser \(\xi \to x\) en \(\xi \to \xi_n \to x\) ; on obtient donc un diagramme dans \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi_n \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & B \ar[d]^{f} \\ S/J_n \ar[r] & A . } }\] Pour vérifier la condition (2) du lemme 06IU, il suffit de compléter le diagramme \[\xymatrix{ S/J_{n + 1} \ar[d] \ar@{-->}[r] & B \ar[d]^{f} \\ S/J_n \ar[r] & A }\] ou, de manière équivalente, le diagramme \[\xymatrix{ & S/J_n \times_A B \ar[d]^{p_1} \\ S/J_{n + 1} \ar@{-->}[ur] \ar[r] & S/J_n. }\] Si \(p_1\) admet une section, la conclusion est acquise. Sinon, d’après le lemme 06GH (2), \(p_1\) est une petite extension ; le lemme 06H0 (4) montre donc que \(p_1\) est une surjection essentielle. Rappelons que \(S = R[[X_1, \ldots, X_r]]\) et que nous avons choisi \(R\) de sorte que \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) soit lisse. Il existe donc un morphisme \(h : R \to B\) relevant le morphisme \(R \to S \to S/J_n \to A\). Par la propriété universelle d’un anneau de séries formelles, il existe un morphisme de \(R\)-algèbres \(h : S = R[[X_1, \ldots, X_r]] \to B\) relevant le morphisme donné \(S \to S/J_n \to A\). Celui-ci induit un morphisme \(g: S \to S/J_n \times_A B\) qui rend commutatif le carré en traits pleins du diagramme \[\xymatrix{ S \ar[d] \ar[r]_-g & S/J_n \times_A B \ar[d]^{p_1} \\ S/J_{n + 1} \ar@{-->}[ur] \ar[r] & S/J_n }\] Alors \(g\) est une surjection, puisque \(p_1\) est une surjection essentielle. Nous affirmons que l’idéal \(K = \Ker(g)\) de \(S\) satisfait les conditions (a) et (b) de la construction de \(J_{n + 1}\) à l’étape de récurrence précédente. En effet, \(K \subset J_n\) est clair et \(\mathfrak m_SJ_n \subset K\), puisque \(p_1\) est une petite extension ; cela démontre (a). En appliquant (S1) à \[\xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi_n \ar[r] & x, }\] on obtient un relèvement de \(\xi_n\) à \(S/K \cong S/J_n \times_A B\), donc (b) est satisfaite. Puisque \(J_{n + 1}\) était le plus petit idéal possédant les propriétés (a) et (b), on a \(J_{n + 1} \subset K\). Le morphisme recherché \(S/J_{n+1} \to S/K \cong S/J_n \times_A B\) existe donc.

Remarque

Soit \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur de prédéformation satisfaisant (S1) et (S2). La condition \(\dim_k TF < \infty\) est précisément la condition (H3) de l’article de Schlessinger. Rappelons que (S1) et (S2) correspondent aux conditions (H1) et (H2) ; voir la remarque 06HY. Le lemme 06IW nous dit donc que \[(H1) + (H2) + (H3) \Rightarrow \text{ there exists a versal formal object}\] pour les foncteurs de prédéformation. Nous établirons le lien avec les enveloppes dans la remarque 06IY.

Objets formels versels minimaux

Nous effectuons quelques préparatifs afin de comprendre la (non-)unicité des objets formels versels. Il s’avère que, si une catégorie de prédéformation possède un objet formel versel, elle possède un objet formel versel minimal, et que deux tels objets sont isomorphes. En outre, tous les objets formels versels sont « plus ou moins » les mêmes, quitte à remplacer l’anneau de base par une extension en séries formelles.

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\), considérons la catégorie \(\mathcal{S}_x\) dont les objets sont \[\Ob(\mathcal{S}_x) = \{x' \to x \mid x' \to x\text{ lies over }A' \subset A\}\] et dont les morphismes sont les morphismes au-dessus de \(x\). Pour tout \(y \to x\) dans \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), il existe un foncteur \(f_* : \mathcal{S}_y \to \mathcal{S}_x\) défini comme suit. Étant donné \(y' \to y\) situé au-dessus de \(B' \subset B\), posons \(A' = f(B')\) et soit \(y' \to x'\) au-dessus de \(B' \to f(B')\) l’image directe de \(y'\). Les axiomes d’une catégorie cofibrée en groupoïdes donnent un unique morphisme \(x' \to x\) situé au-dessus de \(f(B') \to A\) tel que \[\xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ y \ar[r] & x }\] soit commutatif. Alors \(x' \to x\) est un objet de \(\mathcal{S}_x\). On dit qu’un objet \(x' \to x\) de \(\mathcal{S}_x\) est minimal si tout morphisme \((x'_1 \to x) \to (x' \to x)\) dans \(\mathcal{S}_x\) est un isomorphisme, c’est-à-dire si \(x'\) et \(x'_1\) sont définis sur le même sous-anneau de \(A\). Comme \(A\) est de longueur finie comme \(\Lambda\)-module, les objets minimaux existent toujours.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui satisfait (S1).

1. Pour \(y \to x\) dans \(\mathcal{F}\), l’image d’un objet minimal de \(\mathcal{S}_y\) est un objet minimal de \(\mathcal{S}_x\).

2. Pour \(y \to x\) dans \(\mathcal{F}\) situé au-dessus d’une surjection \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), tout objet minimal de \(\mathcal{S}_x\) est l’image d’un objet minimal de \(\mathcal{S}_y\).

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons \(y \to x\) situé au-dessus de \(f : B \to A\). Soit \(y' \to y\), situé au-dessus de \(B' \subset B\), un objet minimal de \(\mathcal{S}_y\). Soit \[\vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ y \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B' \ar[d] \ar[r] & f(B') \ar[d] \\ B \ar[r] & A } }\] le diagramme de la construction de \(f_*\) ci-dessus. Supposons que \((x'' \to x) \to (x' \to x)\) soit un morphisme de \(\mathcal{S}_x\), avec \(x'' \to x'\) situé au-dessus de \(A'' \subset f(B')\). Par (S1), il existe \(y'' \to y'\) situé au-dessus de \(B' \times_{f(B')} A'' \to B'\). La minimalité de \(y' \to y\) implique que \(B' \times_{f(B')} A'' \to B'\) est un isomorphisme, donc que \(A'' = f(B')\) ; ainsi, \(x' \to x\) est minimal.

Démonstration de (2). Supposons \(f : B \to A\) surjective et \(y \to x\) situé au-dessus de \(f\). Soit \(x' \to x\) un objet minimal de \(\mathcal{S}_x\) situé au-dessus de \(A' \subset A\). Par (S1), il existe \(y' \to y\) situé au-dessus de \(B' = f^{-1}(A') = B \times_A A' \to B\) dont l’image dans \(\mathcal{S}_x\) est \(x' \to x\). Ainsi, \(f_*(y' \to y) = x' \to x\). Choisissons un morphisme \((y'' \to y) \to (y' \to y)\) dans \(\mathcal{S}_y\) tel que \(y'' \to y\) soit minimal (c’est possible d’après la remarque sur les longueurs qui précède le lemme). Alors \(f_*(y'' \to y)\) est un objet de \(\mathcal{S}_x\) qui s’envoie sur \(x' \to x\) (par fonctorialité de \(f_*\)), donc est isomorphe à \(x' \to x\) par minimalité de \(x' \to x\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui satisfait (S1). Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(R\). Il existe un morphisme \(\xi' \to \xi\) situé au-dessus de \(R' \subset R\) ayant les propriétés de minimalité suivantes :

1. pour tout \(f : R \to A\), avec \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\), les images directes \[\vcenter{ \xymatrix{ \xi' \ar[d] \ar[r] & x' \ar[d] \\ \xi \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] & f(R') \ar[d] \\ R \ar[r] & A } }\] produisent un objet minimal \(x' \to x\) de \(\mathcal{S}_x\) ;

2. pour tout morphisme d’objets formels \(\xi'' \to \xi'\), le morphisme correspondant \(R'' \to R'\) est surjectif.

Démonstration

Écrivons \(\xi = (R, \xi_n, f_n)\). Posons \(R'_1 = k\) et \(\xi'_1 = \xi_1\). Supposons construits des objets minimaux \(\xi'_m \to \xi_m\) de \(\mathcal{S}_{\xi_m}\) situés au-dessus de \(R'_m \subset R/\mathfrak m_R^m\) pour \(m \leq n\), ainsi que des morphismes \(f'_m : \xi'_{m + 1} \to \xi'_m\) compatibles avec \(f_m\) pour \(m \leq n - 1\). D’après le lemme 06T1 (2), il existe un objet minimal \(\xi'_{n + 1} \to \xi_{n + 1}\) situé au-dessus de \(R'_{n + 1} \subset R/\mathfrak m_R^{n + 1}\) dont l’image est \(\xi'_n \to \xi_n\) au-dessus de \(R'_n \subset R/\mathfrak m_R^n\). Cela donne le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \xi'_{n + 1} \ar[r]_{f'_n} \ar[d] & \xi'_n \ar[d] \\ \xi_{n + 1} \ar[r]^{f_n} & \xi_n }\] par construction. De plus, le morphisme d’anneaux \(R'_{n + 1} \to R'_n\) est surjectif. Posons \(R' = \lim_n R'_n\). Alors \(R' \to R\) est injectif.

Toutefois, il n’est pas clair a priori que \(R'\) soit noethérien. Pour le montrer, on utilise la versalité de \(\xi\). Celle-ci implique l’existence d’un morphisme \(\xi \to \xi'_n\) dans \(\widehat{\mathcal{F}}\) ; voir le lemme 06HT. Le morphisme correspondant \(R \to R'_n\) est nécessairement surjective (puisque \(\xi'_n \to \xi_n\) est minimal dans \(\mathcal{S}_{\xi_n}\)). Les dimensions des espaces cotangents sont donc bornées, et le lemme 06SF implique que \(R'\) est noethérien, c’est-à-dire un objet de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). D’après le lemme 06H6 (et le résultat sur les filtrations du lemme 06SF), la suite d’éléments \(\xi'_n\) définit un objet formel \(\xi'\) au-dessus de \(R'\), et l’on dispose d’un morphisme \(\xi' \to \xi\).

Par construction, (1) est vérifiée pour \(R \to R/\mathfrak m_R^n\), pour tout \(n\). Comme tout morphisme \(R \to A\) de (1) se factorise par \(R \to R/\mathfrak m_R^n \to A\), la propriété (1) pour \(x' \to x\) au-dessus de \(f(R) \subset A\) résulte, par le lemme 06T1 (1), de la minimalité de \(\xi'_n \to \xi_n\) au-dessus de \(R'_n \to R/\mathfrak m_R^n\).

Si \(R'' \to R'\) comme dans (2) n’était pas surjectif, alors \(R'' \to R' \to R'_n\) ne serait pas surjectif pour un certain \(n\), et \(\xi'_n \to \xi_n\) ne serait pas minimal, contradiction. Cela démontre (2).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui satisfait (S1). Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus de \(R\). Soit \(\xi' \to \xi\) un morphisme d’objets formels situé au-dessus de \(R' \subset R\), construit comme dans le lemme 06T2. Alors \[R \cong R'[[x_1, \ldots, x_r]]\] est un anneau de séries formelles sur \(R'\). De plus, \(\xi'\) est lui aussi un objet formel versel.

Démonstration

D’après le lemme 06HT, il existe un morphisme \(\xi \to \xi'\). Selon le lemme 06T2, le morphisme correspondant \(f : R \to R'\) induit une surjection \(f|_{R'} : R' \to R'\). C’est un isomorphisme d’après Algèbre, lemme 06RN. Ainsi, \(I = \Ker(f)\) est un idéal de \(R\) tel que \(R = R' \oplus I\). Soient \(x_1, \ldots, x_n \in I\) des éléments qui forment une base de \(I/\mathfrak m_RI\). Considérons le morphisme \(S = R'[[X_1, \ldots, X_r]] \to R\) qui envoie \(X_i\) sur \(x_i\). Pour tout \(n \geq 1\), on obtient une surjection de \(R'\)-algèbres artiniennes \(B = S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n = A\). Notons \(y \in \Ob(\mathcal{F}(B)\), respectivement \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\), l’image directe de \(\xi'\) le long de \(R' \to S \to B\), respectivement de \(R' \to S \to A\). Remarquons que \(x\) est aussi l’image directe de \(\xi\) le long de \(R \to A\), puisque \(\xi\) est l’image directe de \(\xi'\) le long de \(R' \to R\). On dispose donc d’un diagramme en traits pleins \[\vcenter{ \xymatrix{ & y \ar[d] \\ \xi \ar[r] \ar@{..>}[ru] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & S/\mathfrak m_S^n \ar[d] \\ R \ar[r] \ar@{..>}[ru] & R/\mathfrak m_R^n } }\] Comme \(\xi\) est versel, la remarque 06HS fournit les flèches en pointillés qui complètent ces diagrammes. En particulier, les morphismes \(S/\mathfrak m_S^n \to R/\mathfrak m_R^n\) admettent des sections \(h_n : R/\mathfrak m_R^n \to S/\mathfrak m_S^n\). Il résulte du lemme 06SG que \(S \to R\) est un isomorphisme.

Puisque \(\xi\) est une image directe de \(\xi'\) le long de \(R' \to R\), la remarque 06SL fournit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[rr] \ar[rd]_{\underline{\xi}} & & \underline{R'}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \ar[ld]^{\underline{\xi'}} \\ & \mathcal{F} }\] Comme \(R' \to R\) admet un inverse à gauche (à savoir \(R \to R/I = R'\)), \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \underline{R'}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est essentiellement surjectif. Le lemme 06HM montre donc que \(\underline{\xi'}\) est lisse, c’est-à-dire que \(\xi'\) est un objet formel versel.

Les lemmes précédents motivent la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. On dit qu’un objet formel versel \(\xi\) de \(\mathcal{F}\) est minimal³ si, pour tout morphisme d’objets formels \(\xi' \to \xi\), le morphisme sous-jacent sur les anneaux est surjective. Un objet formel versel minimal est parfois appelé miniversel.

Les résultats de cette section montrent que cette définition est raisonnable. Tout d’abord, l’existence d’un objet formel versel implique que \(\mathcal{F}\) satisfait (S1). Les lemmes précédents montrent ensuite qu’il existe un objet formel versel minimal. Enfin, deux objets formels versels minimaux quelconques sont isomorphes. Voici un résumé de nos résultats (avec des démonstrations détaillées).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation qui possède un objet formel versel. Alors :

1. \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel minimal ;

2. les objets versels minimaux sont uniques à isomorphisme près ;

3. tout objet versel est l’image directe d’un objet versel minimal le long d’une extension en séries formelles.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel \(\xi\) au-dessus de \(R\). Elle satisfait alors (S1) ; voir le lemme 06SY. Soit \(\xi' \to \xi\) au-dessus de \(R' \subset R\) l’un des morphismes construits dans le lemme 06T2. D’après le lemme 06T3, \(\xi'\) est versel ; il est donc, par construction, un objet formel versel minimal. Cela démontre (1). De plus, \(R \cong R'[[x_1, \ldots, x_n]]\), ce qui démontre (3).

Supposons que \(\xi_i/R_i\) soient deux objets formels versels minimaux. Le lemme 06HT fournit des morphismes \(\xi_1 \to \xi_2\) et \(\xi_2 \to \xi_1\). Les morphismes d’anneaux correspondants \(f : R_1 \to R_2\) et \(g : R_2 \to R_1\) sont surjectifs par minimalité. Les composées \(g \circ f : R_1 \to R_1\) et \(f \circ g : R_2 \to R_2\) sont donc des isomorphismes d’après Algèbre, lemme 06RN. Ainsi, \(f\) et \(g\) sont des isomorphismes, et par conséquent les morphismes \(\xi_1 \to \xi_2\) et \(\xi_2 \to \xi_1\) sont des isomorphismes (car \(\widehat{\mathcal{F}}\) est cofibrée en groupoïdes d’après le lemme 06H4). Cela démontre (2) et achève la démonstration du lemme.

Objets formels miniversels et espaces tangents

La notion générale de minimalité introduite dans la définition 06T4 peut parfois se déduire du comportement sur les espaces tangents. Soit \(\xi\) un objet formel de la catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\), et soit \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) le morphisme correspondant. On peut alors considérer la condition [06IM]\[\begin{equation} d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F} \text{ is bijective} \end{equation}\] et la condition [06T6]\[\begin{equation} d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F} \text{ is bijective on }\text{Der}_\Lambda(k, k)\text{-orbits.} \end{equation}\] Nous utilisons ici l’identification \(T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} = \text{Der}_\Lambda(R, k)\) de l’exemple 06IC, ainsi que l’action (06SW) des dérivations sur les espaces tangents. Si \(k' \subset k\) est séparable, alors \(\text{Der}_\Lambda(k, k) = 0\) et les deux conditions sont équivalentes. Il s’avère qu’en présence de la condition (S2), un objet formel versel est minimal si et seulement si \(\underline{\xi}\) satisfait (06T6). De plus, si \(\underline{\xi}\) satisfait (06IM), alors \(\mathcal{F}\) satisfait (S2).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) satisfaisant (06T6). Alors \(\xi\) est un objet formel versel minimal. En particulier, de tels \(\xi\) sont uniques à isomorphisme près.

Démonstration

Si \(\xi\) n’est pas minimal, il existe un morphisme \(\xi' \to \xi\) situé au-dessus de \(R' \to R\) tel que \(R = R'[[x_1, \ldots, x_n]]\) avec \(n > 0\) ; voir le lemme 06T5. Ainsi, \(d\underline{\xi}\) se factorise en \[\text{Der}_\Lambda(R, k) \to \text{Der}_\Lambda(R', k) \to T\mathcal{F}\] et l’on voit que (06T6) ne peut être satisfaite, car \(D : f \mapsto \partial/\partial x_1(f) \bmod \mathfrak m_R\) est un élément du noyau de la première flèche qui n’appartient pas à l’image de \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) satisfaisant (06IM). Alors :

1. \(\mathcal{F}\) satisfait (S1).

2. \(\mathcal{F}\) satisfait (S2).

3. \(\dim_k T\mathcal{F}\) est finie.

Démonstration

La condition (S1) résulte du lemme 06SY. La première partie de (S2) est satisfaite puisque (S1) l’est. Soient \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r]_c \ar[d]_a & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ y' \ar[r]_{c'} \ar[d]_{a'} & x_\epsilon \ar[d]^e \\ x \ar[r]^d & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ A \ar[r] & k } }\] des diagrammes comme dans la seconde partie de (S2). Comme ci-dessus, on peut trouver des morphismes \(b : \xi \to y\) et \(b' : \xi \to y'\) tels que \[\xymatrix{ \xi \ar[r]^{b'} \ar[d]_b & y' \ar[d]^{a'} \\ y \ar[r]^{a} & x }\] soit commutatif. Notons \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) le morphisme structural. Écrivons \(\widehat{p}(\xi) = R\), c’est-à-dire que \(\xi\) est situé au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). L’image directe de \(\xi\) par \(p(c) \circ p(b)\) est \(x_\epsilon\), et l’image directe de \(\xi\) par \(p(c') \circ p(b')\) est \(x_\epsilon\). Puisque \(\xi\) satisfait (06IM), on a \(p(c) \circ p(b) = p(c') \circ p(b')\) comme morphismes \(R \to k[\epsilon]\). Par conséquent, \(p(b) = p(b')\) comme morphismes \(R \to A \times_k k[\epsilon]\). Ainsi, \(y\) et \(y'\) sont isomorphes à l’image directe de \(\xi\) le long de ce morphisme, et l’on obtient l’unique morphisme recherché \(y \to y'\) au-dessus de \(A \times_k k[\epsilon]\), compatible avec \(b\) et \(b'\).

Enfin, l’exemple 06IC montre que \(\dim_k T\mathcal{F} = \dim_k T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est finie.

Exemple

Il existe des catégories de prédéformation qui possèdent un objet formel versel satisfaisant (06T6) mais ne satisfont pas (S2). Un exemple immédiat consiste à prendre \(F = \underline{k[\epsilon]}/G\), où \(G \subset \text{Aut}_{\mathcal{C}_\Lambda}(k[\epsilon])\) est un sous-groupe fini non trivial. En effet, le morphisme \(\underline{k[\epsilon]} \to F\) est lisse, mais l’espace tangent de \(F\) ne possède pas de structure naturelle de \(k\)-espace vectoriel (puisqu’il est le quotient d’un \(k\)-espace vectoriel par un groupe fini).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation satisfaisant (S2) et possédant un objet formel versel. Alors son objet formel versel minimal satisfait (06T6).

Démonstration

Soit \(\xi\) un objet formel versel minimal pour \(\mathcal{F}\) ; voir le lemme 06T5. Supposons \(\xi\) situé au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Pour interpréter (06T6), remarquons que \(T\mathcal{F}\) possède une structure naturelle de \(k\)-espace vectoriel (voir le lemme 06IH), que \(d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F}\) est linéaire (voir le lemme 06IJ), et que l’action de \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) est donnée par l’addition (voir le lemme 06SU). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & \Hom_k(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2, k) \\ K \ar[r] & \text{Der}_\Lambda(R, k) \ar[r]^{d\underline{\xi}} \ar[u] & T\mathcal{F} \\ & \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[u] \ar[ru] }\] L’espace vectoriel \(K\) est le noyau de \(d\underline{\xi}\). Remarquons que la colonne médiane est exacte en son milieu, puisqu’elle est duale de la suite (06S6). Si (06T6) n’est pas satisfaite, on peut trouver un élément non nul \(D \in K\) dont l’image dans \(\Hom_k(\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2, k)\) n’est pas nulle. Il existe donc \(t \in \mathfrak m_R\) tel que \(D(t) = 1\). Posons \(R' = \{a \in R \mid D(a) = 0\}\). Comme \(D\) est une dérivation, c’est un sous-anneau de \(R\). Puisque \(D(t) = 1\), le morphisme \(R' \to k\) est surjective (comparer avec la démonstration du lemme 06H0). Remarquons que \(\mathfrak m_{R'} = \Ker(D : \mathfrak m_R \to k)\) est un idéal de \(R\) et que \(\mathfrak m_R^2 \subset \mathfrak m_{R'}\). Ainsi, \[\mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 = \mathfrak m_{R'}/\mathfrak m_R^2 + k\overline{t}\] ce qui implique que le morphisme \[R'/\mathfrak m_R^2 \times_k k[\epsilon] \to R/\mathfrak m_R^2\] qui envoie \(\epsilon\) sur \(\overline{t}\) est un isomorphisme. En particulier, il existe un morphisme \(R/\mathfrak m_R^2 \to R'/\mathfrak m_R^2\).

Soit \(\xi \to y\) un morphisme situé au-dessus de \(R \to R/\mathfrak m_R^2\). Soit \(y \to x\) un morphisme situé au-dessus de \(R/\mathfrak m_R^2 \to R'/\mathfrak m_R^2\). Soit \(y \to x_\epsilon\) un morphisme situé au-dessus de \(R/\mathfrak m_R^2 \to k[\epsilon]\). Soit \(x_0\) l’unique objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(k\), à isomorphisme unique près. Les axiomes d’une catégorie cofibrée en groupoïdes donnent un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_\epsilon \ar[d] \\ x \ar[r] & x_0 } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R'/\mathfrak m_R^2 \times_k k[\epsilon] \ar[r] \ar[d] & k[\epsilon] \ar[d] \\ R'/\mathfrak m_R^2 \ar[r] & k. } }\] Comme \(D \in K\), on voit que \(x_\epsilon\) est isomorphe à \(0 \in \mathcal{F}(k[\epsilon])\), c’est-à-dire que \(x_\epsilon\) est l’image directe de \(x_0\) par \(k \to k[\epsilon], a \mapsto a\). Le lemme 06IS montre donc qu’il existe un morphisme \(x \to y\). Comme \(\text{length}_\Lambda(R'/\mathfrak m_R^2) < \text{length}_\Lambda(R/\mathfrak m_R^2)\) le morphisme d’anneaux correspondant \(R'/\mathfrak m_R^2 \to R/\mathfrak m_R^2\) n’est pas surjectif. Cela contredit la minimalité de \(\xi/R\) ; voir la partie (1) du lemme 06T2. Cette contradiction montre qu’un tel \(D\) ne peut exister, d’où le résultat.

Théorème

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Considérons les conditions suivantes :

1. \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel minimal satisfaisant (06IM) ;

2. \(\mathcal{F}\) possède un objet formel versel minimal satisfaisant (06T6) ;

3. les conditions suivantes sont satisfaites :

   1. \(\mathcal{F}\) satisfait (S1).

   2. \(\mathcal{F}\) satisfait (S2).

   3. \(\dim_k T\mathcal{F}\) est finie.

On a toujours \[(1) \Rightarrow (3) \Rightarrow (2).\] Si \(k' \subset k\) est séparable, les trois conditions sont équivalentes.

Démonstration

Le lemme 06IV montre que (1) \(\Rightarrow\) (3). Les lemmes 06IW et 06T8 montrent que (3) \(\Rightarrow\) (2). Si \(k' \subset k\) est séparable, alors \(\text{Der}_\Lambda(k, k) = 0\), et l’on voit que (06IM) \(=\) (06T6), c’est-à-dire que (1) et (2) sont la même condition.

Une autre démonstration de (3) \(\Rightarrow\) (1) dans le cas classique consiste à compléter légèrement la démonstration du lemme 06IW pour voir que l’on peut construire directement, dans ce cas, un objet versel qui satisfait (06IM). Cela évite d’utiliser le lemme 06IW dans le cas classique. Nous omettons les détails.

Remarque

Soit \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur de prédéformation satisfaisant (S1), (S2) et \(\dim_k TF < \infty\). Rappelons que ces conditions correspondent aux conditions (H1), (H2) et (H3) de l’article de Schlessinger ; voir la remarque 0D3G. Dans le cas classique (ou si \(k' \subset k\) est séparable), nous introduisons à la suite de Schlessinger la notion d’enveloppe : une enveloppe est un objet formel versel \(\xi \in \widehat{F}(R)\) tel que \(d\underline{\xi} : T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to TF\) soit un isomorphisme, c’est-à-dire que (06IM) soit satisfaite. Ainsi, le théorème 06IX nous dit que \[(H1) + (H2) + (H3) \Rightarrow \text{ there exists a hull}\] dans le cas classique. Autrement dit, notre théorème retrouve le théorème de Schlessinger sur l’existence des enveloppes.

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de prédéformation. Rappelons que \(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) est lisse ; voir la remarque 06HK. Par conséquent, si \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(R)\) est un objet formel versel, la composée \[\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}\] est lisse (lemme 06HM), et l’on conclut que l’image \(\overline{\xi}\) de \(\xi\) dans \(\overline{\mathcal{F}}\) est un objet formel versel. Si (06IM) est satisfaite, alors \(\overline{\xi}\) induit un isomorphisme \(T\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to T\overline{\mathcal{F}}\) car \(\mathcal{F} \to \overline{\mathcal{F}}\) identifie les espaces tangents. Dans ce cas, \(\overline{\xi}\) est donc une enveloppe de \(\overline{\mathcal{F}}\) ; voir la remarque 06IY. D’après le théorème 06IX, on peut toujours trouver un tel \(\xi\) si \(k' \subset k\) est séparable et si \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation satisfaisant (S1), (S2) et \(\dim_k T\mathcal{F} < \infty\).

Exemple

Dans le lemme 06SM, nous avons construit des objets \(R \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) tels que \(\underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) soit lisse et que \[H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2 \quad\text{et}\quad \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R k = \Omega_{k/\Lambda}\] Réinterprétons ceci à l’aide du théorème précédent. Considérons \(\mathcal{F} = \mathcal{C}_\Lambda\) comme une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus d’elle-même (au moyen du foncteur identité). Alors \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation, satisfait (S1) et (S2), et l’on a \(T\mathcal{F} = 0\). Ainsi, \(\mathcal{F}\) satisfait la condition (3) du théorème 06IX. Le théorème implique que (2) est satisfaite, c’est-à-dire que l’on peut trouver un objet formel versel minimal \(\xi \in \widehat{\mathcal{F}}(S)\), situé au-dessus d’un certain \(S \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), et satisfaisant (06T6). Le lemme 0DYL montre que \(\Lambda \to S\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique (car \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F} = \mathcal{C}_\Lambda\) est lisse). La condition (06T6) dit maintenant que \(\text{Der}_\Lambda(S, k) \to 0\) est bijective sur les orbites de \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\). Cela signifie que l’injection \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(S, k)\) est également surjective. Autrement dit, \(\Omega_{S/\Lambda} \otimes_S k = \Omega_{k/\Lambda}\). Puisque \(\Lambda \to S\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique, on peut appliquer le lemme 0DYH de Compléments d’algèbre ; la suite exacte (06S7) se traduit alors par les deux identifications \[H_1(L_{k/\Lambda}) = \mathfrak m_S/\mathfrak m_S^2 \quad\text{et}\quad \Omega_{S/\Lambda} \otimes_S k = \Omega_{k/\Lambda}\] En remontant l’argument, on voit que le \(R\) construit dans le lemme 06SM porte un objet versel minimal. Par l’unicité des objets versels minimaux (lemme 06T5), on conclut aussi que \(R \cong S\), c’est-à-dire que les deux constructions donnent le même résultat.

Conditions de Rim–Schlessinger et catégories de déformation

Il existe une propriété très naturelle des catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), qui est facile à vérifier en pratique et qui entraîne les propriétés (S1) et (S2) de Schlessinger introduites plus haut.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). On dit que \(\mathcal{F}\) satisfait à la condition (RS) si, pour tout diagramme de \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), où \(A_2 \to A\) est surjectif, il existe un produit fibré \(x_1 \times_x x_2\) dans \(\mathcal{F}\) tel que le diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \times_x x_2 \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{lies over}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\]

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Étant donné un diagramme commutatif de \(\mathcal{F}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ y \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\] où \(A_2 \to A\) est surjectif, ce diagramme est cartésien.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS), il existe un diagramme de produit fibré \[\vcenter{ \xymatrix{ x_1 \times_x x_2 \ar[r] \ar[d] & x_2 \ar[d] \\ x_1 \ar[r] & x } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A. } }\] Le morphisme induit \(y \to x_1 \times_x x_2\) est situé au-dessus de \(\text{id} : A_1 \times_A A_1 \to A_1 \times_A A_1\) ; c’est donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). Alors \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS) s’il suffit de supposer que la condition de la définition 06J2 est vérifiée lorsque \(A_2 \to A\) est une petite extension.

Démonstration

Appliquer le lemme 06GE. La démonstration est analogue à celle du lemme 06HH.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS) ;

2. le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) de (06SP) est une équivalence de catégories dès que \(A_2 \to A\) est surjectif ;

3. il en est de même qu’en (2) dès que \(A_2 \to A\) est une petite extension.

Démonstration

Supposons (1). Le lemme 06J3 montre que tout objet de \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) est de la forme \(x_1 \times_x x_2\). De plus, \[\Mor_{A_1 \times_A A_2}(x_1 \times_x x_2, y_1 \times_y y_2) = \Mor_{A_1}(x_1, y_1) \times_{\Mor_A(x, y)} \Mor_{A_2}(x_2, y_2).\] Ainsi, \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) est un \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{F}(A_1)\) et \(\mathcal{F}(A_2)\) au-dessus de \(\mathcal{F}(A)\) d’après Catégories, remarque 06RL. Autrement dit, (2) est vérifiée.

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate.

Supposons (3). Soient \(q_1 : A_1 \to A\) et \(q_2 : A_2 \to A\), avec \(q_2\) une petite extension. Nous utiliserons la description du \(2\)-produit fibré \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) donnée dans Catégories, remarque 06RL. Soit donc \(y \in \mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\) correspondant à \((x_1, x_2, x, a_1 : x_1 \to x, a_2 : x_2 \to x)\). Soit \(z\) un objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(C\). Alors \[\begin{align*} \Mor_\mathcal{F}(z, y) & = \{(f, \alpha) \mid f : C \to A_1 \times_A A_2, \alpha : f_*z \to y\} \\ & = \{(f_1, f_2, \alpha_1, \alpha_2) \mid f_i : C \to A_i, \ \alpha_i : f_{i, *}z \to x_i, \\ & \quad\quad\quad\quad q_1 \circ f_1 = q_2 \circ f_2, \ q_{1, *} \alpha_1 = q_{2, *}\alpha_2\} \\ & = \Mor_\mathcal{F}(z, x_1) \times_{\Mor_\mathcal{F}(z, x)} \Mor_\mathcal{F}(z, x_2) \end{align*}\] d’où \(y\) est un produit fibré de \(x_1\) et \(x_2\) au-dessus de \(x\). Ainsi, \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS) lorsque \(A_2 \to A\) est une petite extension. Le lemme 06J4 montre donc que (RS) est vérifiée.

Remarque

Lorsque \(\mathcal{F}\) est cofibrée en ensembles, la condition (RS) est exactement la condition (H4) de l’article de Schlessinger [Sch, théorème 2.11]. Plus précisément, pour un foncteur \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\), la condition (RS) affirme ceci : si \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(A_2 \to A\) surjectif, alors l’application induite \(F(A_1 \times_A A_2) \to F(A_1) \times_{F(A)} F(A_2)\) est bijectif.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). La condition (RS) pour \(\mathcal{F}\) entraîne à la fois (S1) et (S2) pour \(\mathcal{F}\).

Démonstration

La reformulation du lemme 06J5 et l’explication de (S1) qui suit la définition 06HW montrent immédiatement que (RS) entraîne (S1). Cela démontre la première partie de (S2). La seconde partie de (S2) résulte du lemme 06J3, qui donne \(y = x_1 \times_{d, x_0, e} x_2 = y'\) lorsque \(y, y'\) sont comme dans la seconde partie de la définition de (S2), dans la définition 06HW. (En fait, le morphisme \(y \to y'\) est compatible à la fois avec \(a, a'\) et avec \(c, c'\) !)

Le lemme suivant est l’analogue du lemme 06I0. Rappelons que, si \(\mathcal{F}\) est une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et si \(x\) est un objet de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A\), on note \(\text{Aut}_A(x) = \Mor_A(x, x) = \Mor_{\mathcal{F}(A)}(x, x)\). Si \(x' \to x\) est un morphisme de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A' \to A\), il existe un homomorphisme de groupes bien défini \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait à (RS).

2. Soient \(f_1: A_1 \to A\) et \(f_2: A_2 \to A\) des morphismes d’anneaux de \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(f_2\) surjectif. L’application induite entre ensembles de classes d’isomorphie \[\overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)} \to \overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\] est injective.

3. Pour tout morphisme \(x' \to x\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus d’un morphisme d’anneaux surjectif \(A' \to A\), l’homomorphisme \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\) est surjective.

4. Pour tout morphisme \(x' \to x\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus d’une petite extension \(A' \to A\), l’homomorphisme \(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x)\) est surjective.

Démonstration

Nous montrons que (1) est équivalente à (2), puis que (2) est équivalente à (3). L’équivalence de (3) et (4) résulte du lemme 06GE.

Soient \(f_1: A_1 \to A\) et \(f_2: A_2 \to A\) des morphismes d’anneaux de \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(f_2\) surjectif. D’après la remarque 06J6, \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait à (RS) si et seulement si l’application \[\overline{\mathcal{F}}(A_1 \times_A A_2) \to \overline{\mathcal F}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\] est bijective pour tous \(f_1, f_2\) de cette sorte. Cette application est au moins surjective, car telle est la condition (S1), et \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfait à (S1) d’après les lemmes 06J7 et 06I0. De plus, elle se factorise sous la forme \[\overline{\mathcal{F}}(A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)} \longrightarrow \overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2),\] où la première flèche est une bijection puisque \[\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\] est une équivalence par (RS) pour \(\mathcal{F}\). Ainsi, (1) est équivalente à (2).

Supposons (2). Soit \(x' \to x\) un morphisme de \(\mathcal{F}\) au-dessus d’un morphisme d’anneaux surjectif \(f: A' \to A\). Soit \(a \in \text{Aut}_A(x)\). Les objets \[(x', x', a : x \to x), \ (x', x', \text{id} : x \to x)\] de \(\mathcal{F}(A') \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A')\) ont la même image dans \(\overline{\mathcal{F}}(A') \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A')\). D’après (2), il existe des morphismes \(b_1, b_2 : x' \to x'\) tels que \[\xymatrix{ x \ar[r]_a \ar[d]_{f_*b_1} & x \ar[d]^{f_*b_2} \\ x \ar[r]^{\text{id}} & x }\] soit commutatif. Ainsi, l’image de \(b_2^{-1} \circ b_1 \in \text{Aut}_{A'}(x')\) est \(a \in \text{Aut}_A(x)\). L’assertion (3) est donc vérifiée.

Supposons (3). Supposons que \[(x_1, x_2, a : (f_1)_*x_1 \to (f_2)_*x_2), \ (x'_1, x'_2, a' : (f_1)_*x'_1 \to (f_2)_*x'_2)\] soient des objets de \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) ayant la même image dans \(\overline{\mathcal{F}}(A_1) \times_{\overline{\mathcal{F}}(A)} \overline{\mathcal{F}}(A_2)\). Il existe alors des morphismes \(b_1: x_1 \to x'_1\) dans \(\mathcal{F}(A_1)\) et \(b_2: x_2 \to x'_2\) dans \(\mathcal F(A_2)\). D’après (3), on peut modifier \(b_2\) par un automorphisme de \(x_2\) au-dessus de \(A_2\) de telle sorte que le diagramme \[\xymatrix{ (f_1)_*x_1 \ar[r]_a \ar[d]_{(f_1)_*b_1} & (f_2)_*x_2 \ar[d]^{(f_2)_*b_2} \\ (f_1)_*x'_1 \ar[r]^{a'} & (f_2)_*x'_2. }\] soit commutatif. Cela démontre \((x_1, x_2, a) \cong (x'_1, x'_2, a')\) dans \(\overline{\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)}\). Ainsi, (2) est vérifiée.

Définissons enfin la notion de catégorie de déformation.

Définition

Une catégorie de déformation est une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\) satisfaisant à (RS). Un morphisme de catégories de déformation est un morphisme de catégories au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Remarque

On dit qu’un foncteur \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) est un foncteur de déformation si l’ensemble cofibré associé est une catégorie de déformation, c’est-à-dire si \(F(k)\) est un ensemble à un seul élément et si \(F\) satisfait à (RS). Si \(\mathcal{F}\) est une catégorie de déformation, alors \(\overline{\mathcal{F}}\) est un foncteur de prédéformation, mais pas nécessairement un foncteur de déformation, comme le montre le lemme 06J8.

Exemple

Un foncteur pro-représentable \(F\) est un foncteur de déformation. En effet, supposons \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\) et \(F(A) = \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda}(R, A)\). Il existe un unique morphisme \(R \to k\), de sorte que \(F(k)\) est un ensemble à un seul élément. Comme \[\Hom_\Lambda(R, A_1 \times_A A_2) = \Hom_\Lambda(R, A_1) \times_{\Hom_\Lambda(R, A)} \Hom_\Lambda(R, A_2)\] il en est de même pour les morphismes de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), et l’on voit que \(F\) satisfait à (RS).

Voici l’une de nos remarques typiques sur le passage d’une catégorie cofibrée en groupoïdes à la catégorie de prédéformation en un point au-dessus de \(k\) : ce passage préserve (RS).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Soit \(\mathcal{F}_{x_0}\) la catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) construite dans la remarque 06GU. Si \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS), alors \(\mathcal{F}_{x_0}\) y satisfait aussi. En particulier, \(\mathcal{F}_{x_0}\) est une catégorie de déformation.

Démonstration

Tout diagramme comme dans la définition 06J2 au sein de \(\mathcal{F}_{x_0}\) donne lieu à un diagramme dans \(\mathcal{F}\), et le résultat de (RS) pour ce diagramme dans \(\mathcal{F}\) peut également être considéré comme un résultat pour \(\mathcal{F}_{x_0}\).

Le lemme suivant est l’analogue du fait que les \(2\)-produits fibrés de champs algébriques sont des champs algébriques.

Lemme

Supposons que \[\xymatrix{ \mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G} \ar[d]^g \\ \mathcal{H} \ar[r]^f & \mathcal{F} }\] soit un \(2\)-produit fibré de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\) satisfont toutes à (RS), alors \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) satisfait à (RS).

Démonstration

Si \(A\) est un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\), un objet de la catégorie fibre de \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) au-dessus de \(A\) est un triplet \((u, v, a)\), où \(u \in \mathcal{H}(A)\), \(v \in \mathcal{G}(A)\) et \(a : f(u) \to g(v)\) est un morphisme de \(\mathcal{F}(A)\). Considérons un diagramme de \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) \[\vcenter{ \xymatrix{ & (u_2, v_2, a_2) \ar[d] \\ (u_1, v_1, a_1) \ar[r] & (u, v, a) } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A } }\] dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), avec \(A_2 \to A\) surjectif. Puisque \(\mathcal{H}\) et \(\mathcal{G}\) satisfont à (RS), il existe des produits fibrés \(u_1 \times_u u_2\) et \(v_1 \times_v v_2\) au-dessus de \(A_1 \times_A A_2\). Puisque \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS), le lemme 06J3 montre que \[\vcenter{ \xymatrix{ f(u_1 \times_u u_2) \ar[r] \ar[d] & f(u_2) \ar[d] \\ f(u_1) \ar[r] & f(u) } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ g(v_1 \times_v v_2) \ar[r] \ar[d] & g(v_2) \ar[d] \\ g(v_1) \ar[r] & g(v) } }\] sont tous deux des carrés cartésiens dans \(\mathcal{F}\). On peut donc voir \(a_1 \times_a a_2\) comme un morphisme de \(f(u_1 \times_u u_2)\) vers \(g(v_1 \times_v v_2)\) au-dessus de \(A_1 \times_A A_2\). Il s’ensuit que \[\xymatrix{ (u_1 \times_u u_2, v_1 \times_v v_2, a_{1} \times_a a_2) \ar[d] \ar[r] & (u_2, v_2, a_2) \ar[d] \\ (u_1, v_1, a_1) \ar[r] & (u, v, a) }\] est un carré cartésien dans \(\mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\), comme voulu.

Relèvements d’objets

Le contenu de cette section est que, pour une catégorie de déformation, l’ensemble des relèvements le long d’une petite extension est un espace principal homogène sous l’espace tangent.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(f: A' \to A\) un morphisme de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x \in \mathcal{F}(A)\). La catégorie \(\textit{Lift}(x, f)\) des relèvements de \(x\) le long de \(f\) est la catégorie dont les objets et les morphismes sont les suivants.

1. Objets : un relèvement de \(x\) le long de \(f\) est un morphisme \(x' \to x\) au-dessus de \(f\).

2. Morphismes : un morphisme de relèvements de \(a_1 : x'_1 \to x\) vers \(a_2 : x'_2 \to x\) est un morphisme \(b : x'_1 \to x'_2\) dans \(\mathcal{F}(A')\) tel que \(a_2 = a_1 \circ b\).

L’ensemble \(\text{Lift}(x, f)\) des relèvements de \(x\) le long de \(f\) est l’ensemble des classes d’isomorphie de \(\textit{Lift}(x, f)\).

Remarque

Lorsque le morphisme \(f: A' \to A\) ressort clairement du contexte, on peut écrire \(\textit{Lift}(x, A')\) et \(\text{Lift}(x, A')\) au lieu de \(\textit{Lift}(x, f)\) et \(\text{Lift}(x, f)\).

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie. Alors \(\text{Lift}(x_0, k[V])\) est l’ensemble des classes d’isomorphie de \(\mathcal{F}_{x_0}(k[V])\), où \(\mathcal{F}_{x_0}\) est la catégorie de prédéformation des objets de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(x_0\) ; voir la remarque 06GU. Par conséquent, si \(\mathcal{F}\) satisfait à (S2), il en est de même de \(\mathcal{F}_{x_0}\) (voir le lemme 06SQ), et le lemme 06IH donne \[\text{Lift}(x_0, k[V]) = T\mathcal{F}_{x_0} \otimes_k V\] comme espaces vectoriels sur \(k\).

Remarque

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \[\xymatrix{ A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1 \ar[r] & A }\] un carré cartésien dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), tel que \(A_1 \to A\) ou \(A_2 \to A\) soit surjectif. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\). Étant donnés des relèvements \(x_1 \to x\) et \(x_2 \to x\) de \(x\) à \(A_1\) et \(A_2\), (RS) fournit un relèvement \(x_1 \times_x x_2 \to x\) de \(x\) à \(A_1 \times_A A_2\). Réciproquement, d’après le lemme 06J3, tout relèvement de \(x\) à \(A_1 \times_A A_2\) est de cette forme. On obtient donc une bijection \[\text{Lift}(x, A_1) \times \text{Lift}(x, A_2) \longrightarrow \text{Lift}(x, A_1 \times_A A_2).\] De même, si \(x_1 \to x\) est un relèvement fixé de \(x\) à \(A_1\), il existe une bijection \[\text{Lift}(x_1, A_1 \times_A A_2) \longrightarrow \text{Lift}(x, A_2).\] Soit maintenant \[\xymatrix{ A_1' \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_1 \times_A A_2 \ar[r] \ar[d] & A_2 \ar[d] \\ A_1' \ar[r] & A_1 \ar[r] & A }\] une composée de carrés cartésiens dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), où \(A'_1 \to A_1\) et \(A_1 \to A\) sont tous deux surjectifs. Soit \(x_1 \to x\) un morphisme au-dessus de \(A_1 \to A\). D’après ce qui précède, on a alors les bijections \[\begin{align*} \text{Lift}(x_1, A_1' \times_A A_2) & = \text{Lift}(x_1, A_1') \times \text{Lift}(x_1, A_1 \times_A A_2) \\ & = \text{Lift}(x_1, A_1') \times \text{Lift}(x, A_2). \end{align*}\]

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de déformation. Soit \(A' \to A\) un morphisme d’anneaux surjectif de \(\mathcal{C}_\Lambda\), dont le noyau \(I\) est annulé par \(\mathfrak m_{A'}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\). Si \(\text{Lift}(x, A')\) est non vide, alors \(T\mathcal{F} \otimes_k I\) agit sur \(\text{Lift}(x, A')\) et en fait un espace principal homogène.

Démonstration

Considérons le morphisme d’anneaux \(g : A' \times_A A' \to k[I]\) défini par la règle \(g(a_1, a_2) = \overline{a_1} \oplus a_2 - a_1\) (comparer au lemme 06IT). Il existe un isomorphisme \[A' \times_A A' \xrightarrow{\sim} A' \times_k k[I]\] donné par \((a_1, a_2) \mapsto (a_1, g(a_1, a_2))\). Cet isomorphisme est compatible avec les projections sur le premier facteur \(A'\), et donc avec celles de \(A' \times_A A'\) et \(A' \times_k k[I]\) vers \(A\). Il existe ainsi une bijection [06TA]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A' \times_A A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A' \times_k k[I]) \end{equation}\] D’après la remarque 06JH, il existe une bijection [06TB]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A' \times_A A') \end{equation}\] On a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A' \times_k k[I] \ar[r] \ar[d] & A \times_k k[I] \ar[r] \ar[d] & k[I] \ar[d] \\ A' \ar[r] & A \ar[r] & k. }\] Ainsi, si l’on choisit une image directe \(x \to x_0\) de \(x\) le long de \(A \to k\), la fin de la remarque 06JH fournit une bijection [06TC]\[\begin{equation} \text{Lift}(x, A' \times_k k[I]) \longrightarrow \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x_0, k[I]) \end{equation}\] En composant (06TB), (06TA) et (06TC), on obtient une bijection \[\Phi : \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A') \longrightarrow \text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x_0, k[I]).\] Cette bijection est compatible avec les projections sur les premiers facteurs. La remarque 06JG donne \(\text{Lift}(x_0, k[I]) = T\mathcal{F} \otimes_k I\). Si \(\text{pr}_2\) est la seconde projection de \(\text{Lift}(x, A') \times \text{Lift}(x, A')\), on obtient une application \[a = \text{pr}_2 \circ \Phi^{-1} : \text{Lift}(x, A') \times (T\mathcal{F} \otimes_k I) \longrightarrow \text{Lift}(x, A').\] En explicitant ce qui précède, on voit que \(a(x' \to x, \theta)\) est l’unique relèvement \(x'' \to x\) tel que \(g_*(x', x'') = \theta\) dans \(\text{Lift}(x_0, k[I]) = T\mathcal{F} \otimes_k I\). Pour voir qu’il s’agit d’une action de \(T\mathcal{F} \otimes_k I\) sur \(\text{Lift}(x, A')\), il faut montrer ceci : si \(x', x'', x'''\) sont des relèvements de \(x\) et si \(g_*(x', x'') = \theta\), \(g_*(x'', x''') = \theta'\), alors \(g_*(x', x''') = \theta + \theta'\). Cela résulte du diagramme commutatif \[\xymatrix{ A' \times_A A' \times_A A' \ar[rrrrr]_-{(a_1, a_2, a_3) \mapsto (g(a_1, a_2), g(a_2, a_3))} \ar[rrrrrd]_{(a_1, a_2, a_3) \mapsto g(a_1, a_3)} & & & & & k[I] \times_k k[I] = k[I \times I] \ar[d]^{+} \\ & & & & & k[I] }\] L’action est libre et transitive puisque \(\Phi\) est bijective.

Remarque

L’action du lemme 06JI est fonctorielle. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories de déformation. Soit \(A' \to A\) un morphisme d’anneaux surjectif dont le noyau \(I\) est annulé par \(\mathfrak m_{A'}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\). Dans cette situation, \(\varphi\) induit les flèches verticales du diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \text{Lift}(x, A') \times (T\mathcal{F} \otimes_k I) \ar[d]_{(\varphi, d\varphi \otimes \text{id}_I)} \ar[r] & \text{Lift}(x, A') \ar[d]^\varphi \\ \text{Lift}(\varphi(x), A') \times (T\mathcal{G} \otimes_k I) \ar[r] & \text{Lift}(\varphi(x), A') }\] La commutativité résulte du fait que chacune des applications (06TB), (06TA) et (06TC) de la démonstration du lemme 06JI donne lieu à un diagramme commutatif analogue.

Théorème de Schlessinger sur les foncteurs pro-représentables

Nous en déduisons le théorème de Schlessinger qui caractérise les foncteurs pro-représentables sur \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Lemme

Soient \(F, G: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) des foncteurs de déformation. Soit \(\varphi : F \to G\) un morphisme lisse qui induit un isomorphisme \(d\varphi : TF \to TG\) d’espaces tangents. Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Nous montrons que \(F(A) \to G(A)\) est une bijection pour tout \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\), par récurrence sur \(\text{length}_A(A)\). Pour \(A = k\), l’assertion résulte de l’hypothèse que \(F\) et \(G\) sont des foncteurs de déformation. Supposons l’assertion vraie pour les anneaux de longueur strictement inférieure à \(n\) et soit \(A'\) un anneau de longueur \(n\). Choisissons une petite extension \(f : A' \to A\). On a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ F(A') \ar[r] \ar[d]_{F(f)} & G(A') \ar[d]^{G(f)} \\ F(A) \ar[r]^{\sim} & G(A) }\] où l’application \(F(A) \to G(A)\) est une bijection. Par la lissité de \(F \to G\), \(F(A') \to G(A')\) est surjective (lemme 06HN). Il suffit donc de vérifier la bijectivité sur les fibres \(F(f)^{-1}(x) \to G(f)^{-1}(\varphi(x))\), pour les \(x \in F(A)\) tels que \(F(f)^{-1}(x)\) soit non vide. Ces fibres sont précisément \(\text{Lift}(x, A')\) et \(\text{Lift}(\varphi(x), A')\), et l’hypothèse fournit un isomorphisme \(d\varphi \otimes \text{id} : TF \otimes_k \Ker(f) \to TG \otimes_k \Ker(f)\). Ainsi, d’après le lemme 06JI et la remarque 06JJ, pour tout \(x \in F(A)\) tel que \(F(f)^{-1}(x)\) soit non vide, l’application \(F(f)^{-1}(x) \to G(f)^{-1}(\varphi(x))\) est équivariante pour les actions libres et transitives de \(TF \otimes_k \Ker(f)\). Elle est donc bijective.

Notons que, lorsque l’extension \(k' \subset k\) est séparable, la condition (c) du théorème ci-dessous est vide.

Théorème

Soit \(F: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Alors \(F\) est pro-représentable si et seulement si (a) \(F\) est un foncteur de déformation, (b) \(\dim_k TF\) est fini, et (c) \(\gamma : \text{Der}_\Lambda(k, k) \to TF\) est injective.

Démonstration

Supposons \(F\) pro-représenté par \(R \in \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). L’exemple 06JB montre que \(F\) est un foncteur de déformation. L’exemple 06IC montre que \(\dim_k TF\) est fini. Enfin, l’exemple 06ST identifie \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to TF\) à \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\), qui est injectif puisque \(R \to k\) est surjectif.

Réciproquement, supposons (a), (b) et (c) vérifiées. Le lemme 06J7 montre que (S1) et (S2) sont vérifiées. Le théorème 06IX fournit donc un objet formel versel minimal \(\xi\) de \(F\) tel que (06T6) soit vérifiée. Disons que \(\xi\) est situé au-dessus de \(R\). L’application \[d\underline{\xi} : \text{Der}_\Lambda(R, k) \to T\mathcal{F}\] est bijective sur les orbites de \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\). Puisque l’action de \(\text{Der}_\Lambda(k, k)\) sur le membre de gauche est libre d’après (c) et le lemme 06SU, cette application est bijective. Le lemme 06JL montre donc que \(\underline{\xi}\) est un isomorphisme.

Automorphismes infinitésimaux

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Étant donné un morphisme \(x' \to x\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A' \to A\), on a un homomorphisme de groupes induit \[\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x).\] Le lemme 06J8 affirme que le conoyau de cet homomorphisme détermine si la condition (RS) sur \(\mathcal{F}\) passe à \(\overline{\mathcal{F}}\). Dans cette section, nous étudions le noyau de cet homomorphisme. Nous verrons qu’il mesure lui aussi l’écart entre \(\mathcal{F}\) et \(\overline{\mathcal{F}}\).

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). Soit \(x' \to x\) un morphisme de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A' \to A\). Le noyau \[\text{Inf}(x'/x) = \Ker(\text{Aut}_{A'}(x') \to \text{Aut}_A(x))\] est le groupe des automorphismes infinitésimaux de \(x'\) au-dessus de \(x\).

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal C_\Lambda\). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Supposons choisie une image directe \(x_0 \to x_0'\) de \(x_0\) le long du morphisme \(k \to k[\epsilon], a \mapsto a\). Il existe alors un unique morphisme \(x'_0 \to x_0\) tel que \(x_0 \to x_0' \to x_0\) soit l’identité de \(x_0\). Alors \[\text{Inf}_{x_0}(\mathcal F) = \text{Inf}(x'_0/x_0)\] est le groupe des automorphismes infinitésimaux de \(x_0\).

Remarque

À isomorphisme canonique près, \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) ne dépend pas du choix de l’image directe \(x_0 \to x_0'\), car deux images directes quelconques sont canoniquement isomorphes. De plus, si \(y_0 \in \mathcal{F}(k)\) et \(x_0 \cong y_0\) dans \(\mathcal{F}(k)\), alors \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \cong \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{F})\), où l’isomorphisme ne dépend que du choix d’un isomorphisme \(x_0 \to y_0\). En particulier, \(\text{Aut}_k(x_0)\) agit sur \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\).

Remarque

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit une catégorie de prédéformation. Alors

1. pour \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\), le groupe d’automorphismes \(\text{Aut}_k(x_0)\) est trivial et, par conséquent, \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Aut}_{k[\epsilon]}(x'_0)\) ;

2. pour \(x_0, y_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\), il existe un unique isomorphisme \(x_0 \to y_0\), et donc une identification canonique \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{F})\).

Puisque \(\mathcal{F}(k)\) est non vide, en choisissant \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\) et en posant \[\text{Inf}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\] on obtient un groupe des automorphismes infinitésimaux de \(\mathcal{F}\) bien défini. Avec cette notation, on a \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{x_0}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\). Comparer à l’égalité \(T\mathcal{F}_{x_0} = T_{x_0}\mathcal{F}\) de la remarque 06IK.

Nous verrons que \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) est muni d’une structure naturelle d’espace vectoriel sur \(k\) lorsque \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS). Nous verrons en même temps que, si \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS), les automorphismes infinitésimaux \(\text{Inf}(x'/x)\) d’un morphisme \(x' \to x\) au-dessus d’une petite extension sont gouvernés par \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\), où \(x_0\) est une image directe de \(x\) dans \(\mathcal{F}(k)\). À cette fin, nous introduisons comme suit le foncteur des automorphismes de tout objet \(x \in \Ob(\mathcal{F})\).

Définition

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus d’une catégorie de base arbitraire \(\mathcal{C}\). Supposons effectué un choix d’images directes. Soient \(x \in \Ob(\mathcal{F})\) et \(U = p(x)\). Notons \(U/\mathcal{C}\) la catégorie des objets sous \(U\). Le foncteur des automorphismes de \(x\) est le foncteur \(\mathit{Aut}(x) : U/\mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) qui envoie un objet \(f : U \to V\) sur \(\text{Aut}_V(f_*x)\) et un morphisme \[\xymatrix{ V' \ar[rr] & & V\\ & U \ar[ul]^{f'} \ar[ur]_f & }\] sur l’homomorphisme de groupes \(\text{Aut}_{V'}(f'_*x) \to \text{Aut}_V(f_*x)\) provenant de l’unique morphisme \(f'_*x \to f_*x\) situé au-dessus de \(V' \to V\) et compatible avec \(x \to f'_*x\) et \(x \to f_*x\).

Nous nous intéresserons aux foncteurs des automorphismes d’objets d’une catégorie cofibrée en groupoïdes \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\), la catégorie \(A/\mathcal{C}_\Lambda\) n’est autre que la catégorie \(\mathcal{C}_A\), c’est-à-dire la catégorie définie dans la section 06GB, où l’on prend \(\Lambda = A\) et \(k = A/\mathfrak m_A\). Par conséquent, le foncteur des automorphismes d’un objet \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\) est un foncteur \(\mathit{Aut}(x) : \mathcal{C}_A \to \textit{Ensembles}\).

Le lemme suivant pourrait se déduire du lemme 06L4 en considérant l’« inertie » d’une catégorie cofibrée en groupoïdes ; voir par exemple Champs, section 036X, et Catégories, section 04Z2. Il est toutefois plus facile de le vérifier directement.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\). Alors \(\mathit{Aut}(x): \mathcal{C}_A \to \textit{Ensembles}\) satisfait à (RS).

Démonstration

Le fait que \(\mathit{Aut}(x)\) satisfait à (RS) résulte de la pleine fidélité du foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) du lemme 06J5.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\). Soit \(x_0\) une image directe de \(x\) dans \(\mathcal{F}(k)\).

1. \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) possède une structure naturelle d’espace vectoriel sur \(k\) telle que l’addition coïncide avec la composition dans \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\). En particulier, la composition dans \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) est commutative.

2. Il existe un isomorphisme canonique \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x) \to T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\) d’espaces vectoriels sur \(k\).

Démonstration

Appliquons la remarque 06GU au foncteur \(\mathit{Aut}(x) : \mathcal{C}_A \to \textit{Ensembles}\) et à l’élément \(\text{id}_{x_0} \in \mathit{Aut}(x)(k)\). On obtient un foncteur de prédéformation \(F = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}\). D’après les lemmes 06JU et 06JC, \(F\) est un foncteur de déformation. Par définition, \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x) = TF = F(k[\epsilon])\) possède la structure naturelle d’espace vectoriel sur \(k\) décrite dans le lemme 06IA.

L’addition est définie comme la composée \[F(k[\epsilon]) \times F(k[\epsilon]) \longrightarrow F(k[\epsilon] \times_k k[\epsilon]) \longrightarrow F(k[\epsilon])\] où la première application est l’inverse de la bijection garantie par (RS) et la seconde est induite par le morphisme de \(k\)-algèbres \(k[\epsilon] \times_k k[\epsilon] \to k[\epsilon]\) qui envoie \((\epsilon, 0)\) et \((0, \epsilon)\) sur \(\epsilon\). Si \(A \to B\) est un morphisme d’anneaux de \(\mathcal{C}_\Lambda\), alors \(F(A) \to F(B)\) est un homomorphisme de groupes, où \(F(A) = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}(A)\) et \(F(B) = \mathit{Aut}(x)_{\text{id}_{x_0}}(B)\) sont des groupes pour la composition. On en déduit que \(+ : F(k[\epsilon]) \times F(k[\epsilon])\to F(k[\epsilon])\) est un homomorphisme de groupes, \(F(k[\epsilon])\) étant considéré comme groupe pour la composition. En prenant \(\text{id} \in F(k[\epsilon])\) pour élément neutre, on voit que \(+(v, \text{id}) = +(\text{id}, v) = v\) pour tout \(v \in F(k[\epsilon])\), car \((\text{id}, v)\) est l’image directe de \(v\) le long du morphisme d’anneaux \(k[\epsilon] \to k[\epsilon] \times_k k[\epsilon]\) défini par \(\epsilon \mapsto (\epsilon, 0)\). En général, si \(G\) est un groupe de loi \(\circ\) et si \(+ : G \times G \to G\) est un homomorphisme de groupes tel que \(+(g, 1) = +(1, g) = g\), où \(1\) est l’élément neutre de \(G\), alors \(+ = \circ\). Cela montre que l’addition de la structure d’espace vectoriel sur \(k\) de \(F(k[\epsilon])\) coïncide avec la composition.

Enfin, (2) s’obtient en explicitant les définitions. En effet, \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x)\) est l’ensemble des automorphismes \(\alpha\) de l’image directe de \(x\) le long de \(A \to k \to k[\epsilon]\) qui sont triviaux modulo \(\epsilon\). D’autre part, \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\) est l’ensemble des automorphismes de l’image directe de \(x_0\) le long de \(k \to k[\epsilon]\) qui sont triviaux modulo \(\epsilon\). Puisque \(x_0\) est l’image directe de \(x\) le long de \(A \to k\), le résultat est clair.

Remarque

Signalons quelques relations élémentaires entre les groupes d’automorphismes infinitésimaux, les relèvements et les espaces tangents aux foncteurs des automorphismes. Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(x' \to x\) un morphisme situé au-dessus d’un morphisme d’anneaux \(A' \to A\). Les définitions donnent alors l’égalité \[\text{Inf}(x'/x) = \text{Lift}(\text{id}_x, A')\] où il s’agit des relèvements de \(\text{id}_x\) comme objet de \(\mathit{Aut}(x')\). Si \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\) et si \(x'_0\) est son image directe dans \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\), alors, en appliquant ce qui précède à \(x'_0 \to x_0\), on obtient \[\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Lift}(\text{id}_{x_0}, k[\epsilon]) = T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0),\] la dernière égalité résultant directement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Alors, comme ensemble, \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) est égal à \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x_0)\) ; il possède donc une structure naturelle d’espace vectoriel sur \(k\) telle que l’addition coïncide avec la composition des automorphismes.

Démonstration

L’égalité d’ensembles est celle obtenue à la fin de la remarque 06JW, et l’assertion sur la structure d’espace vectoriel résulte du lemme 06JV.

Lemme

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Alors \(\varphi\) induit une application \(k\)-linéaire \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \to \text{Inf}_{\varphi(x_0)}(\mathcal{G})\).

Démonstration

Il est clair que \(\varphi\) induit un morphisme de foncteurs \(\mathit{Aut}(x_0) \to \mathit{Aut}(\varphi(x_0))\) qui envoie l’identité sur l’identité. Le résultat découle donc de celui sur les espaces tangents ; voir le lemme 06IJ.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x' \to x\) un morphisme situé au-dessus d’un morphisme d’anneaux surjectif \(A' \to A\), de noyau \(I\) annulé par \(\mathfrak m_{A'}\). Soit \(x_0\) une image directe de \(x\) dans \(\mathcal{F}(k)\). Alors \(\text{Inf}(x'/x)\) est un espace principal homogène sous \(T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x') \otimes_k I = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \otimes_k I\).

Démonstration

C’est simplement l’analogue du lemme 06JI dans le cadre des faisceaux d’automorphismes. Plus précisément, appliquons la remarque 06GU au foncteur \(\mathit{Aut}(x') : \mathcal{C}_{A'} \to \textit{Ensembles}\) et à l’élément \(\text{id}_{x_0} \in \mathit{Aut}(x)(k)\). On obtient un foncteur de prédéformation \(F = \mathit{Aut}(x')_{\text{id}_{x_0}}\). D’après les lemmes 06JU et 06JC, \(F\) est un foncteur de déformation. Le lemme 06JI donne donc une action libre et transitive de \(TF \otimes_k I\) sur \(\text{Lift}(\text{id}_x, A')\). Comme \(\text{Lift}(\text{id}_x, A')\) est un groupe, cet ensemble est toujours non vide. Notons que l’on a les égalités d’espaces vectoriels \[TF = T_{\text{id}_{x_0}} \mathit{Aut}(x') \otimes_k I = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \otimes_k I\] d’après le lemme 06JV. L’égalité \(\text{Inf}(x'/x) = \text{Lift}(\text{id}_x, A')\) de la remarque 06JW achève la démonstration.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x' \to x\) un morphisme de \(\mathcal{F}\) situé au-dessus d’un morphisme d’anneaux surjectif. Soit \(x_0\) une image directe de \(x\) dans \(\mathcal{F}(k)\). Si \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\), alors \(\text{Inf}(x'/x) = 0\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 06GE et 06JY.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) satisfaisant à (RS). Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Alors \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\) si et seulement si le morphisme naturel \(\mathcal{F}_{x_0} \to \overline{\mathcal{F}_{x_0}}\) de catégories cofibrées en groupoïdes est une équivalence.

Démonstration

Le morphisme \(\mathcal{F}_{x_0} \to \overline{\mathcal{F}_{x_0}}\) est une équivalence si et seulement si \(\mathcal{F}_{x_0}\) est fibrée en ensoïdes ; cf. Catégories, section 04S9 (un ensoïde est, par définition, un groupoïde dans lequel l’identité est le seul automorphisme de chaque objet). Montrons que \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\) si et seulement si cette condition est vérifiée pour \(\mathcal{F}_{x_0}\). Il est évident que, si \(\mathcal{F}_{x_0}\) est fibrée en ensoïdes, alors \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\). Réciproquement, supposons \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = 0\). Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{C}_\Lambda\). D’après le lemme 06JZ, \(\text{Inf}(x/x_0) = 0\) pour tout objet \(x \to x_0\) de \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\). Puisque, par définition, \(\text{Inf}(x/x_0)\) est le groupe des automorphismes de \(x \to x_0\) dans \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\), cela montre que \(\mathcal{F}_{x_0}(A)\) est un ensoïde.

Applications

Rassemblons quelques résultats sur les catégories de déformation dont nous nous servirons plus loin.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) et \(g : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) des \(1\)-morphismes entre catégories de déformation. Alors

1. \(\mathcal{W} = \mathcal{H} \times_\mathcal{F} \mathcal{G}\) est une catégorie de déformation ;

2. on a une suite exacte à \(6\) termes d’espaces vectoriels \[0 \to \text{Inf}(\mathcal{W}) \to \text{Inf}(\mathcal{H}) \oplus \text{Inf}(\mathcal{G}) \to \text{Inf}(\mathcal{F}) \to T\mathcal{W} \to T\mathcal{H} \oplus T\mathcal{G} \to T\mathcal{F}\]

Démonstration

La partie (1) résulte du lemme 06L4 et du fait que \(\mathcal{W}(k)\) est le produit fibré de deux ensoïdes ayant une unique classe d’isomorphie au-dessus d’un ensoïde ayant une unique classe d’isomorphie.

Partie (2). Soit \(w_0 \in \Ob(\mathcal{W}(k))\), et soient \(x_0, y_0, z_0\) l’image de \(w_0\) dans \(\mathcal{F}, \mathcal{H}, \mathcal{G}\). Alors \(\text{Inf}(\mathcal{W}) = \text{Inf}_{w_0}(\mathcal{W})\), et de même pour \(\mathcal{H}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) ; voir la remarque 06JS. Les lemmes 06IJ et 07W6 fournissent toutes les applications linéaires, sauf le « morphisme bord » \(\delta : \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) \to T\mathcal{W}\). Nous insérerons plus tard les signes convenables.

Construction de \(\delta\). Choisissons une image directe \(w_0 \to w'_0\) le long de \(k \to k[\epsilon]\). Notons \(x'_0, y'_0, z'_0\) les images de \(w'_0\) dans \(\mathcal{F}, \mathcal{H}, \mathcal{G}\). On obtient notamment des isomorphismes \(b' : f(y'_0) \to x'_0\) et \(c' : x'_0 \to g(z'_0)\). Notons \(b : f(y_0) \to x_0\) et \(c : x_0 \to g(z_0)\) les images directes le long de \(k[\epsilon] \to k\). Cela signifie que \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b')\) et \(w_0 = (k, y_0, z_0, c \circ b)\), eu égard à la forme explicite du produit fibré de catégories ; voir les remarques 06GK (06SI). Étant donné \(\alpha : x'_0 \to x'_0\), posons \(\delta(\alpha) = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\) qui est bien un objet de \(\mathcal{W}\) au-dessus de \(k[\epsilon]\) et qui est muni d’un morphisme \((k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b') \to w_0\) au-dessus de \(k[\epsilon] \to k\), puisque l’image directe de \(\alpha\) est l’identité au-dessus de \(k\). Plus généralement, pour tout espace vectoriel sur \(k\), disons \(V\), on peut définir une application \[\text{Lift}(\text{id}_{x_0}, k[V]) \longrightarrow \text{Lift}(w_0, k[V])\] au moyen d’exactement les mêmes formules. Cette construction est fonctorielle en l’espace vectoriel \(V\) (nous omettons les détails). Le lemme 06I7 montre donc que \(\delta\) est \(k\)-linéaire.

Ces applications étant construites, il est immédiat de montrer que la suite est exacte. L’injectivité de la première application résulte du fait que \(f \times g : \mathcal{W} \to \mathcal{H} \times \mathcal{G}\) est fidèle. Si \((\beta, \gamma) \in \text{Inf}_{y_0}(\mathcal{H}) \oplus \text{Inf}_{z_0}(\mathcal{G})\) ont la même image dans \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\), alors \((\beta, \gamma)\) définit un automorphisme de \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b')\), d’où l’exactitude au deuxième terme. Si \(\alpha\) ci-dessus donne la déformation triviale \((k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\) de \(w_0\), alors l’isomorphisme \(w'_0 = (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ b') \to (k[\epsilon], y'_0, z'_0, c' \circ \alpha \circ b')\) produit une paire \((\beta, \gamma)\) qui est un antécédent de \(\alpha\). Si \(w = (k[\epsilon], y, z, \phi)\) est une déformation de \(w_0\) telle que \(y'_0 \cong y\) et \(z \cong z'_0\), alors le morphisme \[f(y'_0) \to f(y) \xrightarrow{\phi} g(z) \to g(z'_0)\] définit un automorphisme \(\alpha\) qui a pour image \(w\) par \(\delta\). Enfin, si \(y\) et \(z\) sont des déformations de \(y_0\) et \(z_0\) et s’il existe un isomorphisme \(\phi : f(y) \to g(z)\) de déformations de \(f(y_0) = x_0 = g(z_0)\), on obtient un antécédent \(w = (k[\epsilon], y, z, \phi)\) de \((x, y)\) dans \(T\mathcal{W}\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(\mathcal{H}_1 \to \mathcal{G}\), \(\mathcal{H}_2 \to \mathcal{G}\) et \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) des morphismes de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient des catégories de déformation ;

2. \(T\mathcal{G} \to T\mathcal{F}\) soit injectif ;

3. \(\text{Inf}(\mathcal{G}) \to \text{Inf}(\mathcal{F})\) soit surjectif.

Alors \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{G} \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}_1 \times_\mathcal{F} \mathcal{H}_2\) est lisse.

Démonstration

Notons \(p_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{G}\) et \(q : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) les morphismes donnés. Soit \(A' \to A\) une petite extension de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Un objet de \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{F} \mathcal{H}_2\) au-dessus de \(A'\) est un triplet \((x'_1, x'_2, a')\), où \(x'_i\) est un objet de \(\mathcal{H}_i\) au-dessus de \(A'\) et où \(a' : q(p_1(x'_1)) \to q(p_2(x'_2))\) est un morphisme de la catégorie fibre de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(A'\). L’image directe le long de \(A' \to A\) donne \((x_1, x_2, a)\). Un relèvement fixé de cet objet en \(\mathcal{H}_1 \times_\mathcal{G} \mathcal{H}_2\) au-dessus de \(A\) consiste en la donnée d’un morphisme \(b : p_1(x_1) \to p_2(x_2)\) situé au-dessus de \(A\) tel que \(q(b) = a\). Il faut donc montrer que l’on peut relever \(b\) en un morphisme \(b' : p_1(x'_1) \to p_2(x'_2)\) dont l’image par \(q\) est \(a'\).

Observons que l’on peut considérer \[p_1(x'_1) \to p_1(x_1) \xrightarrow{b} p_2(x_2) \quad\text{et}\quad p_2(x'_2) \to p_2(x_2)\] comme deux objets de \(\textit{Lift}(p_2(x_2), A' \to A)\). Le foncteur \(q\) envoie ces objets sur les deux objets \[q(p_1(x'_1)) \to q(p_1(x_1)) \xrightarrow{b} q(p_2(x_2)) \quad\text{et}\quad q(p_2(x'_2)) \to q(p_2(x_2))\] de \(\textit{Lift}(q(p_2(x_2)), A' \to A)\), lesquels sont isomorphes au moyen du morphisme \(a' : q(p_1(x'_1)) \to q(p_2(x'_2))\). D’autre part, le foncteur \[q : \textit{Lift}(p_2(x_2), A' \to A) \to \textit{Lift}(q(p_2(x_2)), A' \to A)\] induit une injection sur les classes d’isomorphie d’après le lemme 06JI et notre hypothèse sur les espaces tangents. Il existe donc un morphisme \(b' : p_1(x_1') \to p_2(x'_2)\) dont l’image directe sur \(A\) est \(b\). Il peut toutefois être nécessaire d’ajuster le choix de \(b'\) afin d’obtenir \(q(b') = a'\). Il suffit pour cela de voir que \(q : \text{Inf}(p_2(x'_2)/p_2(x_2)) \to \text{Inf}(q(p_2(x'_2))/q(p_2(x_2)))\) est surjectif. Cela résulte de notre hypothèse sur les automorphismes infinitésimaux et du lemme 06JY.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de catégories de déformation. Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\), d’image \(y_0 \in \Ob(\mathcal{G}(k))\). Si

1. l’application \(T\mathcal{F} \to T\mathcal{G}\) est surjective ;

2. pour toute petite extension \(A' \to A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et tout \(x \in \mathcal{F}(A)\) d’image \(y \in \mathcal{G}(A)\), s’il existe un relèvement de \(y\) à \(A'\), alors il existe un relèvement de \(x\) à \(A'\),

alors \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est lisse (et réciproquement).

Démonstration

Soit \(A' \to A\) une petite extension. Soit \(x \in \mathcal{F}(A)\). Soit \(y' \to f(x)\) un morphisme de \(\mathcal{G}\) au-dessus de \(A' \to A\). Considérons le foncteur \(\text{Lift}(A', x) \to \text{Lift}(A', f(x))\) induit par \(f\). Il faut montrer qu’il existe un objet \(x' \to x\) de \(\text{Lift}(A', x)\) dont l’image est \(y' \to f(x)\) ; voir le lemme 06HH. La condition (2) montre que \(\text{Lift}(A', x)\) n’est pas la catégorie vide. La condition (1) et le lemme 06JI montrent alors que l’application sur les classes d’isomorphie est surjective, comme voulu.

Lemme

Soient \(\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) des morphismes de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si

1. \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des catégories de déformation ;

2. l’application \(T\mathcal{F} \to T\mathcal{G}\) est surjective ;

3. \(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) est lisse.

Alors \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est lisse.

Démonstration

Soit \(A' \to A\) une petite extension de \(\mathcal{C}_\Lambda\), et soit \(x \in \mathcal{F}(A)\) d’image \(y \in \mathcal{G}(A)\). Supposons qu’il existe un relèvement \(y' \in \mathcal{G}(A')\). D’après le lemme 0DYP, il suffit de vérifier que \(x\) possède aussi un relèvement. Prenons l’image \(z' \in \mathcal{H}(A')\) de \(y'\). Puisque \(\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) est lisse, il existe \(x' \in \mathcal{F}(A')\) ayant pour images à la fois \(x \in \mathcal{F}(A)\) et \(z' \in \mathcal{H}(A')\) ; voir la définition 06HG. Cela achève la démonstration.

Groupoïdes en foncteurs sur une catégorie arbitraire

Commençons par des généralités sur les groupoïdes en foncteurs sur une catégorie arbitraire. Dans la section suivante, nous passerons à la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\). Par souci de clarté, nous appellerons parfois « catégorie groupoïde » un groupoïde ordinaire, c’est-à-dire une catégorie dont tous les morphismes sont des isomorphismes.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La catégorie des groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) est la catégorie dont les objets et les morphismes sont les suivants.

1. Objets : un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) est un quintuplet \((U, R, s, t, c)\), où \(U, R : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) sont des foncteurs, et \(s, t : R \to U\) et \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) sont des morphismes ayant la propriété suivante : pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{C}\), le quintuplet \[(U(T), R(T), s, t, c)\] est une catégorie groupoïde.

2. Morphismes : un morphisme \((U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) de groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) consiste en des morphismes \(U \to U'\) et \(R \to R'\) ayant la propriété suivante : pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{C}\), les applications induites \(U(T) \to U'(T)\) et \(R(T) \to R'(T)\) définissent un foncteur entre catégories groupoïdes \[(U(T), R(T), s, t, c) \to (U'(T), R'(T), s', t', c').\]

Remarque

Un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) équivaut à la donnée d’un foncteur \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\), et un morphisme de groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) équivaut à un morphisme des foncteurs correspondants \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\) (où l’on considère \(\textit{Groupoïdes}\) comme une 1-catégorie). Pour nos besoins, il est toutefois plus commode d’employer la terminologie des groupoïdes en foncteurs. En effet, considérer un groupoïde en foncteurs comme le foncteur correspondant \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\), ou, de manière équivalente, comme la catégorie cofibrée en groupoïdes associée à ce foncteur, peut prêter à confusion (remarque 06KJ).

Remarque

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur une catégorie \(\mathcal{C}\). Il existe d’uniques morphismes \(e : U \to R\) et \(i : R \to R\) tels que, pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{C}\), \(e: U(T) \to R(T)\) envoie \(x \in U(T)\) sur la flèche identique de \(x\), et \(i: R(T) \to R(T)\) envoie \(a \in U(T)\) sur l’inverse de \(a\) dans la catégorie groupoïde \((U(T), R(T), s, t, c)\). Nous appellerons parfois \(s\), \(t\), \(c\), \(e\) et \(i\) la « source », le « but », la « composition », l’« identité » et l’« inverse ».

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) est représentable s’il est isomorphe à un groupoïde de la forme \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\), où \(U\) et \(R\) sont des objets de \(\mathcal{C}\) et où la somme amalgamée \(R \amalg_{s, U, t} R\) existe.

Remarque

Ainsi, un groupoïde représentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) est donné par des objets \(U\) et \(R\) de \(\mathcal{C}\), ainsi que par des morphismes \(s, t : U \to R\) et \(c : R \to R \amalg_{s, U, t} R\), tels que \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) satisfasse à la condition de la définition 06K3. On exige l’existence de la somme amalgamée \(R \amalg_{s, U, t} R\) afin que le morphisme de composition \(c\) soit défini au niveau des morphismes de \(\mathcal{C}\). Cette exigence sera toujours satisfaite plus bas lorsque nous considérerons des groupoïdes représentables en foncteurs sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), car, d’après le lemme 06SB, la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) admet des sommes amalgamées.

Remarque

Nous dirons « soit \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) » pour signifier que nous disposons d’un groupoïde représentable en foncteurs. Cela signifie donc que \(U\) et \(R\) sont des objets de \(\mathcal{C}\), qu’il existe des morphismes \(s, t : U \to R\), que la somme amalgamée \(R \amalg_{s, U, t} R\) existe, qu’il existe un morphisme \(c : R \to R \amalg_{s, U, t} R\), et que \((\underline{U}, \underline{R}, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\).

Introduisons une notation pour la restriction des groupoïdes en foncteurs. Elle sera utile plus bas lorsque nous restreindrons de \(\widehat{\mathcal C}_\Lambda\) à \(\mathcal{C}_\Lambda\).

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur une catégorie \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{C}'\) une sous-catégorie de \(\mathcal{C}\). La restriction \((U, R, s, t, c)|_{\mathcal{C}'}\) de \((U, R, s, t, c)\) à \(\mathcal{C}'\) est le groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}'\) donné par \((U|_{\mathcal{C}'}, R|_{\mathcal C'}, s|_{\mathcal{C}'}, t|_{\mathcal{C}'}, c|_{\mathcal{C}'})\).

Remarque

Dans la situation de la définition 06K9, nous notons souvent \(s|_{\mathcal{C}'}, t|_{\mathcal{C}'}, c|_{\mathcal{C}'}\) simplement \(s, t, c\).

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur une catégorie \(\mathcal{C}\).

1. La correspondance \(T \mapsto (U(T), R(T), s, t, c)\) définit un foncteur \(\mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\). La catégorie quotient cofibrée en groupoïdes \([U/R] \to \mathcal{C}\) est la catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) associée à ce foncteur (comme dans les remarques 06GK (06GN)).

2. Le morphisme quotient \(U \to [U/R]\) est le morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) défini par les règles suivantes :

   1. \(x \in U(T)\) est envoyé sur l’objet \((T, x) \in \Ob([U/R](T))\) ;

   2. \(x \in U(T)\) et \(f : T \to T'\) donnent lieu au morphisme \((f, \text{id}_{U(f)(x)}): (T, x) \to (T, U(f)(x))\) au-dessus de \(f : T \to T'\).

Groupoïdes en foncteurs sur la catégorie de base

Dans cette section, nous étudions les groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Notre but ultime est de montrer que les groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui sont pro-représentables fournissent des « présentations » de catégories de déformation qui se comportent bien, de la même manière que les groupoïdes lisses en espaces algébriques fournissent des présentations de champs algébriques ; cf. Champs algébriques, section 04T3.

Définition

Un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) est pro-représentable s’il est isomorphe à \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) pour un certain groupoïde en foncteurs représentable \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)\) sur la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\).

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). En passant aux complétés, on obtient un quintuplet \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\). D’après la remarque 06HB, la complétion, vue comme foncteur sur \(\text{CofSet}(\mathcal{C}_\Lambda)\), est un adjoint à droite ; elle commute donc aux limites. En particulier, il existe un isomorphisme canonique \[\widehat{R \times_{s, U, t} R} \longrightarrow \widehat{R} \times_{\widehat{s}, \widehat{U}, \widehat{t}} \widehat{R},\] de sorte que \(\widehat{c}\) peut être considéré comme un foncteur \(\widehat{R} \times_{\widehat{s}, \widehat{U}, \widehat{t}} \widehat{R} \to \widehat{R}\). Alors \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) est un groupoïde en foncteurs sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), dont les morphismes identité et inverse sont les complétés de ceux de \((U, R, s, t, c)\).

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Le complété \((U, R, s, t, c)^{\wedge}\) de \((U, R, s, t, c)\) est le groupoïde en foncteurs \((\widehat{U}, \widehat{R}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) décrit ci-dessus.

Remarque

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Il existe alors un isomorphisme canonique \((U, R, s, t, c)^{\wedge}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \cong (U, R, s, t, c)\) ; voir la remarque 06SJ. D’autre part, soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) tel que \(U, R : \widehat{\mathcal{C}}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) commutent tous deux aux limites, par exemple si \(U, R\) sont représentables. Il existe alors un isomorphisme canonique \(((U, R, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda})^{\wedge} \cong (U, R, s, t, c)\). Cela résulte de la remarque 06HE.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\).

1. \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable si et seulement si son complété est représentable comme groupoïde en foncteurs sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\).

2. \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable si et seulement si \(U\) et \(R\) sont pro-représentables.

Démonstration

La partie (1) résulte de la remarque 06KF. Pour (2), l’implication directe découle immédiatement de la définition d’un groupoïde en foncteurs pro-représentable. Réciproquement, supposons \(U\) et \(R\) pro-représentables, et écrivons \(U \cong \underline{R_0}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) et \(R \cong \underline{R_1}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) pour des objets \(R_0\) et \(R_1\) de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Puisque \(\underline{R_0} \cong \widehat{\underline{R_0}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) et \(\underline{R_1} \cong \widehat{\underline{R_1}|_{\mathcal{C}_\Lambda}}\) d’après la remarque 06HE, on voit que le complété \((U, R, s, t, c)^\wedge\) est un groupoïde en foncteurs de la forme \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\). Par le lemme 06SB, la somme amalgamée \(\underline{R_1} \times_{\widehat{s}, \underline{R_1}, \widehat{t}} \underline{R_1}\) existe. Ainsi, \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, \widehat{s}, \widehat{t}, \widehat{c})\) est un groupoïde représentable en foncteurs sur \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\). Enfin, la restriction \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) redonne \((U, R, s, t, c)\) d’après la remarque 06KF ; ainsi, \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable par définition.

Groupoïdes en foncteurs lisses sur la catégorie de base

La notion de lissité des groupoïdes en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) est définie comme suit.

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). On dit que \((U, R, s, t, c)\) est lisse si \(s, t: R \to U\) sont lisses.

Remarque

Notons que cette terminologie peut prêter à confusion : si \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs lisse, alors le quotient \([U/R]\) n’est pas nécessairement une catégorie cofibrée en groupoïdes lisse au sens de la définition 06HP. Cependant, la lissité de \((U, R, s, t, c)\) entraîne la lissité du morphisme quotient \(U \to [U/R]\) (et lui est en fait équivalente), comme nous le verrons dans le lemme 06KL.

Remarque

Soit \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) un groupoïde en foncteurs pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors \((\underline{R_0}, \underline{R_1}, s, t, c)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) est lisse si et seulement si \(R_1\) est un anneau de séries formelles sur \(R_0\) pour chacune des structures définies par \(s\) et par \(t\). Cela résulte du lemme 06HL.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le groupoïde en foncteurs \((U, R, s, t, c)\) est lisse.

2. Le morphisme \(s : R \to U\) est lisse.

3. Le morphisme \(t : R \to U\) est lisse.

4. Le morphisme quotient \(U \to [U/R]\) est lisse.

Démonstration

L’assertion (2) est équivalente à (3), puisque l’inverse \(i: R \to R\) de \((U, R, s, t, c)\) est un isomorphisme et que \(t = s \circ i\). Par définition, (1) équivaut à la conjonction de (2) et (3), donc à chacune d’elles séparément.

Montrons enfin que (2) est équivalente à (4). En explicitant les définitions :

1. La lissité de \(s: R \to U\) équivaut à la condition suivante : si \(f: B \to A\) est un morphisme d’anneaux surjectif dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), si \(a \in R(A)\) et si \(y \in U(B)\) vérifie \(s(a) = U(f)(y)\), alors il existe \(a' \in R(B)\) tel que \(R(f)(a') = a\) et \(s(a') = y\).

2. La lissité de \(U \to [U/R]\) équivaut à la condition suivante : si \(f: B \to A\) est un morphisme d’anneaux surjectif dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et si \((f, a) : (B, y) \to (A, x)\) est un morphisme de \([U/R]\), alors il existe \(x' \in U(B)\) et \(b \in R(B)\), avec \(s(b) = x'\), \(t(b) = y\), tels que \(c(a, R(f)(b)) = e(x)\). Ici, \(e : U \to R\) désigne l’identité, et la notation \((f, a)\) est celle des remarques 06GK (06GN) ; en particulier, \(a \in R(A)\), avec \(s(a) = U(f)(y)\) et \(t(a) = x\).

Supposons (4) vérifiée et soient \(f, a, y\) comme en (2). Posons \(x = t(a)\), de sorte que l’on ait un morphisme \((f, a): (B, y) \to (A, x)\). Alors (4) fournit \(x'\) et \(b\), et \(a' = i(b)\) satisfait aux exigences de (2). Réciproquement, supposons (2) vérifiée et soit \((f, a): (B, y) \to (A, x)\) comme en (4). Alors (2) fournit \(a' \in R(B)\), et \(x' = t(a')\) et \(b = i(a')\) satisfont aux exigences de (4).

Catégories de déformation comme quotients de groupoïdes en foncteurs

Nous étudions des conditions sur un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui garantissent que son quotient est une catégorie de déformation, et nous calculons l’espace tangent et l’espace des automorphismes infinitésimaux d’un tel quotient.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs lisse sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(U\) et \(R\) satisfassent à (RS). Alors \([U/R]\) satisfait à (RS).

Démonstration

Soit \[\xymatrix{ & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[r]^{(f_1, a_1)} & (A, x) }\] un diagramme de \([U/R]\) tel que \(f_2: A_2 \to A\) soit surjectif. La notation est celle des remarques 06GK (06GN). Ainsi, \(f_1: A_1 \to A, f_2: A_2 \to A\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\), \(x \in U(A)\), \(x_1 \in U(A_1)\), \(x_2 \in U(A_2)\), et \(a_1, a_2 \in R(A)\), avec \(s(a_1) = U(f_1)(x_1)\), \(t(a_1) = x\) et \(s(a_2) = U(f_2)(x_2)\), \(t(a_2) = x\). Construisons comme suit un produit fibré au-dessus de \(A_1 \times_A A_2\) pour ce diagramme de \([U/R]\).

Soit \(a = c(i(a_1), a_2)\), où \(i: R \to R\) est le morphisme inverse. Alors \(a \in R(A)\), \(x_2 \in U(A_2)\) et \(s(a) = U(f_2)(x_2)\). On a donc un élément \((a, x_2) \in R(A) \times_{s, U(A), U(f_2)} U(A_2)\). Par la lissité de \(s : R \to U\), il existe un élément \(\widetilde{a} \in R(A_2)\) tel que \(R(f_2)(\widetilde{a}) = a\) et \(s(\widetilde{a}) = x_2\). En particulier, \(U(f_2)(t(\widetilde{a})) = t(a) = U(f_1)(x_1)\). Ainsi, \(x_1\) et \(t(\widetilde{a})\) définissent un élément \[(x_1, t(\widetilde{a})) \in U(A_1) \times_{U(A)} U(A_2).\] Puisque \(U\) satisfait à (RS), on a une identification \(U(A_1) \times_{U(A)} U(A_2) = U(A_1 \times_A A_2)\). Notons \(x_1 \times t(\widetilde{a}) \in U(A_1 \times_A A_2)\) l’élément correspondant à \((x_1, t(\widetilde{a})) \in U(A_1) \times_{U(A)} U(A_2)\). Soient \(p_1, p_2\) les projections de \(A_1 \times_A A_2\). Nous affirmons que \[\xymatrix{ (A_1 \times_A A_2, x_1 \times t(\widetilde{a})) \ar[d]_{(p_1, e(x_1))} \ar[rr]_-{(p_2, i(\widetilde{a}))} & & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[rr]^{(f_1, a_1)} & & (A, x) }\] est un carré cartésien dans \([U/R]\). (Notons que \(e: U \to R\) désigne l’identité.)

Le diagramme est commutatif parce que \(c(a_2, R(f_2)(i(\widetilde{a}))) = c(a_2, i(a)) = a_1\). Pour vérifier qu’il est cartésien, soit \[\xymatrix{ (B, z) \ar[d]_{(g_1, b_1)} \ar[rr]_{(g_2, b_2)} & & (A_2, x_2) \ar[d]^{(f_2, a_2)} \\ (A_1, x_1) \ar[rr]^{(f_1, a_1)} & & (A, x) }\] un diagramme commutatif de \([U/R]\). Nous allons montrer qu’il existe un unique morphisme \((g, b) : (B, z) \to (A_1 \times_A A_2, x_1 \times t(\widetilde{a}))\) compatible aux morphismes vers \((A_1, x_1)\) et \((A_2, x_2)\). Nécessairement, \(g = (g_1, g_2) : B \to A_1 \times_A A_2\). Puisque, par hypothèse, \(R\) satisfait à (RS), on a une identification \(R(A_1 \times_A A_2) = R(A_1) \times_{R(A)} R(A_2)\). On peut donc écrire \(b = (b'_1, b'_2)\) pour certains \(b'_1 \in R(A_1)\), \(b'_2 \in R(A_2)\) ayant la même image dans \(R(A)\). Alors \(((g_1, g_2), (b'_1, b'_2)) : (B, z) \to (A_1 \times_A A_2, x_1 \times t(\widetilde{a}))\) est compatible avec les projections si et seulement si \(b'_1 = b_1\) et \(b'_2 = c(\widetilde{a}, b_2)\), ce qui démontre l’existence et l’unicité.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs lisse sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons que \(U\) et \(R\) soient des foncteurs de déformation. Alors :

1. Le quotient \([U/R]\) est une catégorie de déformation.

2. L’espace tangent de \([U/R]\) est \[T[U/R] = \Coker(ds-dt: TR \to TU).\]

3. L’espace des automorphismes infinitésimaux de \([U/R]\) est \[\text{Inf}([U/R]) = \Ker(ds \oplus dt : TR \to TU \oplus TU).\]

Démonstration

Puisque \(U\) et \(R\) sont des foncteurs de déformation, \([U/R]\) est une catégorie de prédéformation. Comme (RS) est vérifiée par définition pour les foncteurs de déformation, le lemme 06KT montre que (RS) est vérifiée pour [U/R]. Ainsi, \([U/R]\) est une catégorie de déformation. Les assertions (2) et (3) résultent directement des définitions.

Présentations des catégories cofibrées en groupoïdes

Une présentation se définit comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\). Une présentation de \(\mathcal{F}\) par \((U, R, s, t, c)\) est une équivalence \(\varphi : [U/R] \to \mathcal{F}\) de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Les deux lemmes généraux suivants serviront à construire des présentations.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Soit \(U : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(f : U \to \mathcal{F}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Définissons \(R, s, t, c\) comme suit :

1. \(R : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) est le foncteur \(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U\).

2. \(t, s : R \to U\) sont respectivement la première et la seconde projection.

3. \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) est le morphisme donné par la projection sur le premier et le dernier facteur de \(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U \times_{f, \mathcal{F}, f} U\) sous l’isomorphisme canonique \(R \times_{s, U, t} R \to U \times_{f, \mathcal{F}, f} U \times_{f, \mathcal{F}, f} U\).

Alors \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus d’une catégorie \(\mathcal{C}\). Soit \(U : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(f : U \to \mathcal{F}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}\) construit à partir de \(f : U \to \mathcal{F}\) dans le lemme 06KY. Il existe alors un morphisme naturel \([f] : [U/R] \to \mathcal{F}\) tel que :

1. \([f]: [U/R] \to \mathcal{F}\) est pleinement fidèle.

2. \([f]: [U/R] \to \mathcal{F}\) est une équivalence si et seulement si \(f : U \to \mathcal{F}\) est essentiellement surjectif.

Démonstration

La démonstration est omise.

Présentations des catégories de déformation

D’après le lemme suivant, un morphisme lisse d’un foncteur de prédéformation vers une catégorie de prédéformation \(\mathcal{F}\) donne lieu à une présentation de \(\mathcal{F}\) par un groupoïde en foncteurs lisse.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Soit \(U : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(f : U \to \mathcal{F}\) un morphisme lisse de catégories cofibrées en groupoïdes. Alors :

1. Si \((U, R, s, t, c)\) est le groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) construit à partir de \(f : U \to \mathcal{F}\) dans le lemme 06KY, alors \((U, R, s, t, c)\) est lisse.

2. Si \(f : U(k) \to \mathcal{F}(k)\) est essentiellement surjectif, alors le morphisme \([f] : [U/R] \to \mathcal{F}\) du lemme 06KZ est une équivalence.

Démonstration

La construction du lemme 06KY donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R = U \times_{f, \mathcal{F}, f} U \ar[r]_-s \ar[d]_t & U \ar[d]^f \\ U \ar[r]^f & \mathcal{F} }\] où \(t, s\) sont respectivement la première et la seconde projection. Les morphismes \(t, s\) sont donc lisses d’après le lemme 06HM. Ainsi, (1) est vérifiée.

Si l’hypothèse de (2) est vérifiée, le lemme 06HN montre que le morphisme \(f : U \to \mathcal{F}\) est essentiellement surjectif. Le lemme 06KZ montre donc que le morphisme \([f] : [U/R] \to \mathcal{F}\) est une équivalence.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de déformation. Soit \(U : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur de déformation. Soit \(f: U \to \mathcal{F}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes. Alors \(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U\) est un foncteur de déformation dont l’espace tangent s’insère dans une suite exacte d’espaces vectoriels sur \(k\) \[0 \to \text{Inf}(\mathcal{F}) \to T(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U) \to TU \oplus TU\]

Démonstration

Cela résulte du lemme 06L5 et du fait que \(\text{Inf}(U) = (0)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de déformation. Soit \(U : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur pro-représentable. Soit \(f : U \to \mathcal{F}\) un morphisme de catégories cofibrées en groupoïdes. Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) construit à partir de \(f : U \to \mathcal{F}\) dans le lemme 06KY. Si \(\dim_k \text{Inf}(\mathcal{F}) < \infty\), alors \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable.

Démonstration

Notons que \(U\) est un foncteur de déformation d’après l’exemple 06JB. Le lemme 06L6 montre que \(R = U \times_{f, \mathcal{F}, f} U\) est un foncteur de déformation dont l’espace tangent \(TR = T(U \times_{f, \mathcal{F}, f} U)\) s’insère dans une suite exacte \(0 \to \text{Inf}(\mathcal{F}) \to TR \to TU \oplus TU\). Le premier espace est de dimension finie par hypothèse, et \(TU\) est de dimension finie d’après l’exemple 06IC ; ainsi, \(\dim TR < \infty\). L’application \(\gamma : \text{Der}_\Lambda(k, k) \to TR\) (voir (06SV)) est injective, car son composé avec \(TR \to TU\) est injectif, d’après le théorème 06JM appliqué au foncteur pro-représentable \(U\). Le théorème 06JM montre donc que \(R\) est pro-représentable. Il résulte alors du lemme 06KG que \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable.

Théorème

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Alors \(\mathcal{F}\) admet une présentation par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

1. \(\mathcal{F}\) est une catégorie de déformation.

2. \(\dim_k T\mathcal{F}\) est finie.

3. \(\dim_k \text{Inf}(\mathcal{F})\) est finie.

Démonstration

Rappelons qu’un foncteur pro-représentable est un foncteur de déformation ; voir l’exemple 06JB. Ainsi, si \(\mathcal{F}\) est équivalente à un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable, les conditions (1), (2) et (3) résultent des assertions (1), (2) et (3) du lemme 06KU.

Réciproquement, supposons les conditions (1), (2) et (3) vérifiées. La condition (1) entraîne que (S1) et (S2) sont vérifiées ; voir le lemme 06J7. D’après le lemme 06IW, il existe un objet formel versel \(\xi\). En posant \(U = \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\), le morphisme associé \(\underline{\xi} : U \to \mathcal{F}\) est lisse (c’est la définition d’un objet formel versel). Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en foncteurs construit dans le lemme 06KY à partir du morphisme \(\underline{\xi}\). Le lemme 06L1 montre que \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs lisse et que \([U/R] \to \mathcal{F}\) est une équivalence. Le lemme 06L7 montre que \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable. Ainsi, \([U/R] \to \mathcal{F}\) est la présentation cherchée de \(\mathcal{F}\).

Remarques sur la minimalité

Le théorème principal de ce chapitre est le théorème 06L8 ci-dessus. Il décrit complètement les catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) qui admettent une présentation par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable. Dans cette section, nous expliquons brièvement comment la minimalité étudiée dans les sections 06T0 et 06IL permet d’obtenir une présentation lisse et pro-représentable « minimale ».

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\).

1. On dit que \((U, R, s, t, c)\) est normalisé si le groupoïde \((U(k[\epsilon]), R(k[\epsilon]), s, t, c)\) est totalement discontinu, c’est-à-dire s’il n’existe aucun morphisme entre deux objets distincts.

2. On dit que \((U, R, s, t, c)\) est minimal si \(U \to [U/R]\) est donné par un objet formel versel minimal de \([U/R]\).

La différence entre les deux notions est liée à celle entre les conditions (06IM) et (06T6), et elle disparaît lorsque \(k' \subset k\) est séparable. En outre, un groupoïde en foncteurs lisse, pro-représentable et normalisé est minimal, comme le montre le lemme suivant. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\).

1. \((U, R, s, t, c)\) est normalisé si et seulement si le morphisme \(U \to [U/R]\) induit un isomorphisme sur les espaces tangents ;

2. \((U, R, s, t, c)\) est minimal si et seulement si le noyau de \(TU \to T[U/R]\) est contenu dans l’image de \(\text{Der}_\Lambda(k, k) \to TU\).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement des définitions. Pour voir (2), posons \(\mathcal{F} = [U/R]\). Puisque \(\mathcal{F}\) possède une présentation, c’est une catégorie de déformation ; voir le théorème 06L8. Elle satisfait en particulier à (RS), (S1) et (S2) ; voir le lemme 06J7. Rappelons que les objets formels versels minimaux sont uniques à isomorphisme près ; voir le lemme 06T5. D’après le théorème 06IX, un objet versel minimal induit un morphisme \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \to \mathcal{F}\) qui satisfait à (06T6). Puisque \(U \cong \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) au-dessus de \(\mathcal{F}\), on voit que \(TU \to T\mathcal{F} = T[U/R]\) satisfait à la propriété énoncée dans le lemme.

Le quotient d’un groupoïde en foncteurs minimal et pro-représentable sur \(\mathcal C_\Lambda\) n’admet pas d’autoéquivalence qui ne soit un automorphisme. Pour le démontrer, commençons par le lemme suivant.

Lemme

Soit \(U: \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\) un foncteur pro-représentable. Soit \(\varphi : U \to U\) un morphisme tel que \(d\varphi : TU \to TU\) soit un isomorphisme. Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Si \(U \cong \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\) pour un certain \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\), la complétion de \(\varphi\) donne un morphisme \(\underline{R} \to \underline{R}\). Si \(f: R \to R\) est le morphisme correspondant dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), alors \(f\) induit un isomorphisme \(\text{Der}_\Lambda(R, k) \to \text{Der}_\Lambda(R, k)\) ; voir l’exemple 06ST. En particulier, \(f\) est surjectif d’après le lemme 06SD. Or un endomorphisme surjectif d’un anneau noethérien est un isomorphisme (voir Algèbre, lemme 06RN) ; on conclut que \(f\), puis \(\underline{R} \to \underline{R}\), puis \(\varphi : U \to U\) sont des isomorphismes.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en foncteurs minimal, lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\varphi : [U/R] \to [U/R]\) est une équivalence de catégories cofibrées en groupoïdes, alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Un morphisme \(\varphi : [U/R] \to [U/R]\) équivaut à un morphisme \(\varphi : (U, R, s, t, c) \to (U, R, s, t, c)\) de groupoïdes en foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\), au sens de la définition 06K3. Notons \(\phi : U \to U\) et \(\psi : R \to R\) les morphismes correspondants. Puisque le diagramme \[\xymatrix{ & \text{Der}_\Lambda(k, k) \ar[dr]_\gamma \ar[dl]^\gamma \\ TU \ar[rr]_{d\phi} \ar[d] & & TU \ar[d] \\ T[U/R] \ar[rr]^{d\varphi} & & T[U/R] }\] est commutatif, que \(d\varphi\) est bijectif, et que nous disposons de la caractérisation de la minimalité du lemme 06KN, on conclut que \(d\phi\) est injectif (et donc bijectif pour des raisons de dimension). Par le lemme 06KP, \(\phi : U \to U\) est donc un isomorphisme. Un argument analogue, faisant intervenir la suite exacte \[0 \to \text{Inf}([U/R]) \to TR \to TU \oplus TU\] du lemme 06L6, montre que \(\psi : R \to R\) est un isomorphisme. Cela résulte aussi du fait que \(R = U \times_{[U/R]} U\) et que \(\varphi\) et \(\phi\) sont des isomorphismes.

Lemme

Soient \((U, R, s, t, c)\) et \((U', R', s', t', c')\) des groupoïdes en foncteurs minimaux, lisses et pro-représentables sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Si \(\varphi : [U/R] \to [U'/R']\) est une équivalence de catégories cofibrées en groupoïdes, alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(\psi : [U'/R'] \to [U/R]\) un quasi-inverse de \(\varphi\). Alors \(\psi \circ \varphi\) et \(\varphi \circ \psi\) sont des isomorphismes d’après le lemme 06KQ ; ainsi, \(\varphi\) et \(\psi\) sont des isomorphismes.

Le lemme suivant résume une partie de ce que nous avons vu plus haut dans ce chapitre.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de déformation telle que \(\dim_k T\mathcal{F} <\infty\) et \(\dim_k \text{Inf}(\mathcal{F}) < \infty\). Il existe alors un objet formel versel minimal \(\xi\) de \(\mathcal{F}\). Supposons \(\xi\) au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda)\). Soit \(U = \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\). Soit \(f = \underline{\xi} : U \to \mathcal{F}\) le morphisme associé. Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) construit à partir de \(f : U \to \mathcal{F}\) dans le lemme 06KY. Alors \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs minimal, lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\), et il existe une équivalence \([U/R] \to \mathcal{F}\).

Démonstration

Comme \(\mathcal{F}\) est une catégorie de déformation, elle satisfait à (S1) et (S2) ; voir le lemme 06J7. D’après le lemme 06IW, il existe un objet formel versel. D’après le lemme 06T5, il existe un objet formel versel minimal \(\xi/R\) comme dans l’énoncé. En posant \(U = \underline{R}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\), le morphisme associé \(\underline{\xi} : U \to \mathcal{F}\) est lisse (c’est la définition d’un objet formel versel). Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en foncteurs construit dans le lemme 06KY à partir du morphisme \(\underline{\xi}\). D’après le lemme 06L1, \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en foncteurs lisse et \([U/R] \to \mathcal{F}\) est une équivalence. D’après le lemme 06L7, \((U, R, s, t, c)\) est pro-représentable. Enfin, \((U, R, s, t, c)\) est minimal, car \(U \to [U/R] = \mathcal{F}\) correspond à l’objet formel versel minimal \(\xi\).

Les présentations par des groupoïdes en foncteurs minimaux et pro-représentables satisfont à la propriété d’unicité suivante.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons qu’il existe des présentations de \(\mathcal{F}\) par des groupoïdes en foncteurs minimaux, lisses et pro-représentables \((U, R, s, t, c)\) et \((U', R', s', t', c')\). Alors \((U, R, s, t, c)\) et \((U', R', s', t', c')\) sont isomorphes.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06KR et de l’observation qu’un morphisme \([U/R] \to [U'/R']\) équivaut à un morphisme de groupoïdes en foncteurs (par notre construction explicite de \([U/R]\) dans la définition 06KB).

En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.

Théorème

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie cofibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Considérons les conditions suivantes :

1. \(\mathcal{F}\) admet une présentation par un groupoïde en foncteurs normalisé, lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ;

2. \(\mathcal{F}\) admet une présentation par un groupoïde en foncteurs lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ;

3. \(\mathcal{F}\) admet une présentation par un groupoïde en foncteurs minimal, lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ;

4. \(\mathcal{F}\) satisfait aux conditions suivantes :

   1. \(\mathcal{F}\) est une catégorie de déformation.

   2. \(\dim_k T\mathcal{F}\) est finie.

   3. \(\dim_k \text{Inf}(\mathcal{F})\) est finie.

Alors (2), (3) et (4) sont équivalentes et sont entraînées par (1). Si \(k' \subset k\) est séparable, (1), (2), (3) et (4) sont toutes équivalentes. De plus, les groupoïdes en foncteurs minimaux, lisses et pro-représentables qui fournissent une présentation de \(\mathcal{F}\) sont uniques à isomorphisme près.

Démonstration

Le lemme 06KN montre que (1) entraîne (3), et qu’elle lui est équivalente si \(k' \subset k\) est séparable. Il est clair que (3) entraîne (2). Le théorème 06L8 montre que (2) entraîne (4). Le lemme 06L2 montre que (4) entraîne (3). Cela démontre toutes les implications. La dernière assertion d’unicité résulte du lemme 06L3.

Unicité des anneaux versels

Étant donnés \(R, S\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), on dit que des morphismes \(f, g : R \to S\) sont formellement homotopes s’il existe un \(r \geq 0\) et des morphismes \(h : R \to R[[t_1, \ldots, t_r]]\) et \(k : R[[t_1, \ldots, t_r]] \to S\) dans \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) tels que, pour tout \(a \in R\), on ait

1. \(h(a) \bmod (t_1, \ldots, t_r) = a\),

2. \(f(a) = k(a)\),

3. \(g(a) = k(h(a))\).

On dit que \((r, h, k)\) est une homotopie formelle entre \(f\) et \(g\).

Lemme

La relation « être formellement homotopes » est une relation d’équivalence sur les ensembles de morphismes de \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\).

Démonstration

Supposons donnés \(r \geq 1\) et deux morphismes \(h_1, h_2 : R \to R[[t_1, \ldots, t_r]]\) tels que \(h_1(a) \bmod (t_1, \ldots, t_r) = h_2(a) \bmod (t_1, \ldots, t_r) = a\) pour tout \(a \in R\), ainsi qu’un morphisme \(k : R[[t_1, \ldots, t_r]] \to S\). Nous affirmons que \(k \circ h_1\) est formellement homotope à \(k \circ h_2\). La symétrie inhérente à cette assertion montrera que notre notion est symétrique. En effet, le morphisme \[\Psi : R[[t_1, \ldots, t_r]] \longrightarrow R[[t_1, \ldots, t_r]],\quad \sum a_I t^I \longmapsto \sum h_1(a_I)t^I\] est un isomorphisme. Posons \(h(a) = \Psi^{-1}(h_2(a))\) pour \(a \in R\) et \(k' = k \circ \Psi\) ; alors \((r, h, k')\) est une homotopie formelle entre \(k \circ h_1\) et \(k \circ h_2\), ce qui démontre l’assertion.

Supposons donnés trois morphismes \(f_1, f_2, f_3 : R \to S\) comme ci-dessus, une homotopie formelle \((r_1, h_1, k_1)\) entre \(f_1\) et \(f_2\), et une homotopie formelle \((r_2, h_2, k_2)\) entre \(f_3\) et \(f_2\) (!). Après renumérotation des coordonnées, on peut supposer \(h_2 : R \to R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]]\) et \(k_2 : R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \to S\). En choisissant un isomorphisme convenable \[R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \longrightarrow R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \widehat{\otimes}_{h_2, R, h_1} R[[t_1, \ldots, t_{r_1}]]\] on peut insérer ces morphismes dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R \ar[r]_{h_1} \ar[d]^{h_2} & R[[t_1, \ldots, t_{r_1}]] \ar[d]^{h_2'} \\ R[[t_{r_1 + 1}, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \ar[r]^{h_1'} & R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] }\] avec \(h_2'(t_i) = t_i\) pour \(1 \leq i \leq r_1\) et \(h_1'(t_i) = t_i\) pour \(r_1 + 1 \leq i \leq r_2\). Nous omettons certains détails. Puisque ce diagramme présente une somme amalgamée dans la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) (voir la démonstration du lemme 06SB) et que \(k_1 \circ h_1 = f_2 = k_2 \circ h_2\), on conclut qu’il existe un morphisme \[k : R[[t_1, \ldots, t_{r_1 + r_2}]] \to S\] avec \(k_1 = k \circ h_2'\) et \(k_2 = k \circ h_1'\). Notons \(h = h_1' \circ h_2 = h_2' \circ h_1\). Alors

1. \(k(h_1'(a)) = k_2(a) = f_3(a)\) ;

2. \(k(h_2'(a)) = k_1(a) = f_1(a)\).

L’assertion du premier paragraphe de la démonstration montre donc que \(f_1\) et \(f_3\) sont formellement homotopes.

Lemme

Dans la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), si \(f_1, f_2 : R \to S\) sont formellement homotopes et si \(g : S \to S'\) est un morphisme, alors \(g \circ f_1\) et \(g \circ f_2\) sont formellement homotopes.

Démonstration

En effet, si \((r, h, k)\) est une homotopie formelle entre \(f_1\) et \(f_2\), alors \((r, h, g \circ k)\) est une homotopie formelle entre \(g \circ f_1\) et \(g \circ f_2\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) une catégorie de déformation au-dessus de \(\mathcal{C}_\Lambda\) telle que \(\dim_k T\mathcal{F} < \infty\) et \(\dim_k \text{Inf}(\mathcal{F}) < \infty\). Soit \(\xi\) un objet formel versel au-dessus de \(R\). Soit \(\eta\) un objet formel au-dessus de \(S\). Alors deux morphismes quelconques \[f, g : R \to S\] tels que \(f_*\xi \cong \eta \cong g_*\xi\) sont formellement homotopes.

Démonstration

D’après le théorème 06L8 et sa démonstration, \(\mathcal{F}\) admet une présentation par le groupoïde en foncteurs suivant : \[(\underline{R}, \underline{R_1}, s, t, c, e, i)|_{\mathcal{C}_\Lambda}\] Il est lisse et pro-représentable sur \(\mathcal{C}_\lambda\) et présente \(\mathcal{F}\). Alors les morphismes \(s : R \to R_1\) et \(t : R \to R_1\) sont des homomorphismes d’anneaux formellement lisses, et \(e : R_1 \to R\) est une section. En particulier, on peut choisir un isomorphisme \(R_1 = R[[t_1, \ldots, t_r]]\) pour un certain \(r \geq 0\), tel que \(s\) soit l’inclusion \(R \subset R[[t_1, \ldots, t_r]]\) et que \(t\) corresponde à un morphisme \(h : R \to R[[t_1, \ldots, t_r]]\) vérifiant \(h(a) \bmod (t_1, \ldots, t_r) = a\) pour tout \(a \in R\). L’existence de l’isomorphisme \(\alpha : f_*\xi \to g_*\xi\) signifie exactement qu’il existe un morphisme \(k : R_1 \to S\) tel que \(f = k \circ s\) et \(g = k \circ t\). Cela signifie exactement que \((r, h, k)\) est une homotopie formelle entre \(f\) et \(g\).

Lemme

Dans la catégorie \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\), si \(f_1, f_2 : R \to S\) sont formellement homotopes et si \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier minimal, alors \(f_1(\mathfrak p)S = f_2(\mathfrak p)S\) comme idéaux.

Démonstration

Supposons que \((r, h, k)\) soit une homotopie formelle entre \(f_1\) et \(f_2\). Nous affirmons que \(\mathfrak pR[[t_1, \ldots, t_r]] = h(\mathfrak p)R[[t_1, \ldots, t_r]]\). L’assertion implique le lemme en composant encore avec \(k\). Pour démontrer l’assertion, observons que l’application \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak pR[[t_1, \ldots, t_r]]\) est une bijection de l’ensemble des idéaux premiers minimaux de \(R\) sur celui des idéaux premiers minimaux de \(R[[t_1, \ldots, t_r]]\). Enfin, \(h(\mathfrak p)R[[t_1, \ldots, t_r]]\) est un idéal premier minimal puisque \(h\) est plat ; il est donc de la forme \(\mathfrak q R[[t_1, \ldots, t_r]]\) pour un certain idéal premier minimal \(\mathfrak q \subset R\), d’après ce qui précède. Mais, puisque \(h \bmod (t_1, \ldots, t_r) = \text{id}_R\) par définition d’une homotopie formelle, on conclut que \(\mathfrak q = \mathfrak p\), comme voulu.

Changement du corps résiduel

Dans cette section, nous examinons rapidement ce qui se passe lorsque l’on remplace le corps résiduel \(k\) par une extension finie. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(\Lambda \to k\) un homomorphisme fini, où \(k\) est un corps. Dans tout ce chapitre, nous avons noté \(\mathcal{C}_\Lambda\) la catégorie des \(\Lambda\)-algèbres locales artiniennes dont le corps résiduel est identifié à \(k\) ; voir la définition 06GC. Cependant, puisque nous étudierons dans cette section ce qui arrive lorsque l’on change \(k\), nous utiliserons plutôt la notation \(\mathcal{C}_{\Lambda, k}\) afin de faire apparaître la dépendance en \(k\).

Situation

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien, et soient \(\Lambda \to k \to l\) des homomorphismes d’anneaux finis, où \(k\) et \(l\) sont des corps. Ainsi, \(l/k\) est une extension finie de corps. Un objet typique de \(\mathcal{C}_{\Lambda, l}\) sera noté \(B\), et un objet typique de \(\mathcal{C}_{\Lambda, k}\) sera noté \(A\). Définissons [07W9]\[\begin{equation} \mathcal{C}_{\Lambda, l} \longrightarrow \mathcal{C}_{\Lambda, k}, \quad B \longmapsto B \times_l k \end{equation}\] Étant donnée une catégorie cofibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_{\Lambda, k}\), on obtient une catégorie cofibrée en groupoïdes associée \[p_{l/k} : \mathcal{F}_{l/k} \longrightarrow \mathcal{C}_{\Lambda, l}\] en posant \(\mathcal{F}_{l/k}(B) = \mathcal{F}(B \times_l k)\).

Le foncteur (07W9) est bien défini : puisque \(B \times_l k \subset B\), on a \[\begin{align*} [k : k']\ \text{length}_{B \times_l k}(B \times_l k) & = \text{length}_\Lambda(B \times_l k) \\ & \leq \text{length}_\Lambda(B) \\ & = [l : k']\ \text{length}_B(B) < \infty \end{align*}\] (voir le lemme 06GG) ; par conséquent, \(B \times_l k\) est artinien (voir Algèbre, lemme 00JB). Ainsi, \(B \times_l k\) est un anneau local artinien de corps résiduel \(k\). Notons que (07W9) commute aux produits fibrés \[(B_1 \times_B B_2) \times_l k = (B_1 \times_l k) \times_{(B \times_l k)} (B_2 \times_l k)\] et transforme les homomorphismes d’anneaux surjectifs en homomorphismes d’anneaux surjectifs. Nous employons la notation « lourde » \(\mathcal{F}_{l/k}\) afin d’éviter toute confusion avec la construction de la remarque 06GU. Voici quelques observations élémentaires.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la situation 07W8.

1. On a \(\overline{\mathcal{F}_{l/k}} = (\overline{\mathcal{F}})_{l/k}\).

2. Si \(\mathcal{F}\) est une catégorie de prédéformation, alors \(\mathcal{F}_{l/k}\) est une catégorie de prédéformation.

3. Si \(\mathcal{F}\) satisfait à (S1), alors \(\mathcal{F}_{l/k}\) satisfait à (S1).

4. Si \(\mathcal{F}\) satisfait à (S2), alors \(\mathcal{F}_{l/k}\) satisfait à (S2).

5. Si \(\mathcal{F}\) satisfait à (RS), alors \(\mathcal{F}_{l/k}\) satisfait à (RS).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement des définitions.

Puisque \(\mathcal{F}_{l/k}(l) = \mathcal{F}(k)\), la partie (2) résulte de la définition ; voir la définition 06GS.

La partie (3) résulte du fait que le foncteur (07W9) commute aux produits fibrés et transforme les morphismes surjectifs en morphismes surjectifs ; voir la définition 06HW.

Partie (4). Pour le voir, considérons un diagramme \[\xymatrix{ & l[\epsilon] \ar[d] \\ B \ar[r] & l }\] de \(\mathcal{C}_{\Lambda, l}\) comme dans la définition 06HW. En appliquant le foncteur (07W9), on obtient \[\xymatrix{ & k[l\epsilon] \ar[d] \\ B \times_l k \ar[r] & k }\] où \(l\epsilon\) désigne l’espace vectoriel de dimension finie sur \(k\) \(l\epsilon \subset l[\epsilon]\). D’après le lemme 06HZ, la condition (S2) est aussi satisfaite par \(\mathcal{F}\) pour ce diagramme. Ainsi, (S2) est satisfaite par \(\mathcal{F}_{l/k}\).

La partie (5) résulte de la caractérisation de (RS) donnée dans le lemme 06J5, partie (2), et du fait que (07W9) commute aux produits fibrés.

Le lemme suivant s’applique notamment lorsque \(\mathcal{F}\) satisfait à (S2) et est une catégorie de prédéformation ; voir le lemme 06I0.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la situation 07W8. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit une catégorie de prédéformation et que \(\overline{\mathcal{F}}\) satisfasse à (S2). Il existe alors un isomorphisme canonique \(l\)-linéaire \[T\mathcal{F} \otimes_k l \longrightarrow T\mathcal{F}_{l/k}\] entre les espaces tangents.

Démonstration

D’après le lemme 07WA, on peut remplacer \(\mathcal{F}\) par \(\overline{\mathcal{F}}\). De plus, \(T\mathcal{F}\) et \(T\mathcal{F}_{l/k}\) possèdent respectivement une structure canonique d’espace vectoriel sur \(k\) et sur \(l\) ; voir le lemme 06IH. Alors \[T\mathcal{F}_{l/k} = \mathcal{F}_{l/k}(l[\epsilon]) = \mathcal{F}(k[l\epsilon]) = T\mathcal{F} \otimes_k l\] où la dernière égalité résulte du lemme 06IH. Plus généralement, étant donné un espace vectoriel de dimension finie sur \(l\), noté \(V\), on a \[\mathcal{F}_{l/k}(l[V]) = \mathcal{F}(k[V_k]) = T\mathcal{F} \otimes_k V_k\] où \(V_k\) désigne \(V\) considéré comme espace vectoriel sur \(k\). On en déduit que les foncteurs \(V \mapsto \mathcal{F}_{l/k}(l[V])\) et \(V \mapsto T\mathcal{F} \otimes_k V_k\) sont canoniquement identifiés comme foncteurs à valeurs dans la catégorie des ensembles. Le lemme 06I6 montre qu’il existe au plus une façon de rendre l’un ou l’autre foncteur \(l\)-linéaire. Les isomorphismes sont donc compatibles avec les structures d’espaces vectoriels sur \(l\), ce qui conclut.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la situation 07W8. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit une catégorie de déformation. Il existe alors un isomorphisme canonique \(l\)-linéaire \[\text{Inf}(\mathcal{F}) \otimes_k l \longrightarrow \text{Inf}(\mathcal{F}_{l/k})\] entre les espaces d’automorphismes infinitésimaux.

Démonstration

Soit \(x_0 \in \Ob(\mathcal{F}(k))\), et notons \(x_{l, 0}\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}_{l/k}\) au-dessus de \(l\). Rappelons que \(\text{Inf}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{l/k}) = \text{Inf}_{x_{l, 0}}(\mathcal{F}_{l/k})\) ; voir la remarque 06JS. Rappelons que la structure d’espace vectoriel sur \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) provient de son identification à l’espace tangent du foncteur \(\mathit{Aut}(x_0)\) défini sur la catégorie \(\mathcal{C}_{k, k}\) des \(k\)-algèbres locales artiniennes de corps résiduel \(k\). De même, \(\text{Inf}_{x_{l, 0}}(\mathcal{F}_{l/k})\) est l’espace tangent de \(\mathit{Aut}(x_{l, 0})\), défini sur la catégorie \(\mathcal{C}_{l, l}\) des \(l\)-algèbres locales artiniennes de corps résiduel \(l\). En explicitant les définitions, on voit que \(\mathit{Aut}(x_{l, 0})\) est la restriction de \(\mathit{Aut}(x_0)_{l/k}\) (qui est défini sur \(\mathcal{C}_{k, l}\)) à \(\mathcal{C}_{l, l}\). Puisqu’il n’y a aucune différence entre l’espace tangent de \(\mathit{Aut}(x_0)_{l/k}\) considéré comme foncteur sur \(\mathcal{C}_{k, l}\) ou sur \(\mathcal{C}_{l, l}\), le lemme résulte du lemme 07WB et du fait que \(\mathit{Aut}(x_0)\) satisfait à (RS) d’après le lemme 06JU (d’où (S2) par le lemme 06J7).

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la situation 07W8. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme lisse de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_{\Lambda, k}\), alors \(\mathcal{F}_{l/k} \to \mathcal{G}_{l/k}\) est un morphisme lisse de catégories cofibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}_{\Lambda, l}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du fait que (07W9) préserve les surjections.

On pourrait dire bien davantage sur la relation entre \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_{l/k}\) (notamment sur la relation entre les déformations verselles), et nous ajouterons ici ces compléments au besoin.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la situation 07W8. Soit \(\xi\) un objet formel versel de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(R \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, k})\). Il existe alors

1. un \(S \in \Ob(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, l})\) et un homomorphisme local de \(\Lambda\)-algèbres \(R \to S\), formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique et induisant sur les corps résiduels l’extension donnée \(l/k\) ;

2. un objet formel versel de \(\mathcal{F}_{l/k}\) au-dessus de \(S\).

Démonstration

Construction de \(S\). Choisissons une surjection \(R[x_1, \ldots, x_n] \to l\) de \(R\)-algèbres. Son noyau est un idéal maximal \(\mathfrak m\). Prenons pour \(S\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de l’anneau noethérien \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Alors \(S\) appartient à \(\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, l}\) d’après Algèbre, lemme 0316. Le morphisme \(R \to S\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique d’après Compléments d’algèbre, lemmes 07EC et 07ED, et parce que \(R \to R[x_1, \ldots, x_n]\) est formellement lisse. (Comparer avec la démonstration du lemme 06SM.)

Puisque \(\xi\) est versel, la transformation \(\underline{\xi} : \underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda, k}} \to \mathcal{F}\) est lisse. D’après le lemme 07WD, le morphisme induit \[(\underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda, k}})_{l/k} \longrightarrow \mathcal{F}_{l/k}\] est lisse. Il suffit donc de construire un morphisme lisse \(\underline{S}|_{\mathcal{C}_{\Lambda, l}} \to (\underline{R}|_{\mathcal{C}_{\Lambda, k}})_{l/k}\). Donner un tel morphisme revient à donner, pour tout objet \(B\) de \(\mathcal{C}_{\Lambda, l}\), une application d’ensembles \[\Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, l}}(S, B) \longrightarrow \Mor_{\widehat{\mathcal{C}}_{\Lambda, k}}(R, B \times_l k)\] fonctorielle en \(B\). Un élément \(\varphi : S \to B\) du membre de gauche est envoyé sur le composé \(R \to S \to B\), dont l’image est contenue dans la sous-\(\Lambda\)-algèbre \(B \times_l k\). La lissité du morphisme signifie qu’étant donnés une surjection \(B' \to B\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \ar@{=}[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & B' \times_l k \ar[u] \ar[r] & B' \ar[u] }\] il faut trouver un homomorphisme d’anneaux \(S \to B'\) s’insérant dans le rectangle extérieur. L’existence de ce morphisme est garantie par le fait que nous avons choisi \(R \to S\) formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_S\)-adique ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07NJ.