Introduction
Dans ce chapitre, nous étudions d’abord les groupes de Chow des espaces algébriques. Après les avoir définis, nous définissons les classes de Chern des fibrés vectoriels comme des opérateurs sur ces groupes de Chow. La stratégie est exactement la même que dans le cas des schémas. Nous invitons donc le lecteur à consulter l’introduction du chapitre correspondant pour les schémas (Homologie de Chow, section 02P4).
Quelques articles sur le sujet : [edidin-graham] et [kresch_cycle].
Cadre
Nous fixons d’abord la catégorie des espaces algébriques que nous considérerons. Il faut garder à l’esprit, tout au long de ce chapitre, que « décent \(+\) localement noethérien » équivaut à « quasi-séparé \(+\) localement noethérien » d’après Espaces décents, lemme 0BB6.
Situation
Ici, \(S\) est un schéma et \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Nous supposons que \(B\) est quasi-séparé, localement noethérien et universellement caténaire (Espaces décents, définition 0ED7). De plus, nous supposons donnée une fonction de dimension \(\delta : |B| \longrightarrow \mathbf{Z}\). On dit que \(X/B\) est bon si \(X\) est un espace algébrique sur \(B\) dont le morphisme de structure \(f : X \to B\) est quasi-séparé et localement de type fini. Dans ce cas, nous définissons \[\delta = \delta_{X/B} : |X| \longrightarrow \mathbf{Z}\] comme l’application qui à \(x\) associe \(\delta(f(x))\) plus le degré de transcendance de \(x/f(x)\) (Morphismes d’espaces, définition 04NM). Il s’agit d’une fonction de dimension d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0EDN.
Un cas particulier est celui où \(S = B\) est un schéma et \((S, \delta)\) vérifie les hypothèses d’Homologie de Chow, situation 02QL. Ainsi, \(B\) peut être le spectre d’un corps (Homologie de Chow, exemple 02QM) ou \(B = \Spec(\mathbf{Z})\) (Homologie de Chow, exemple 02QN).
De nombreux lemmes, propositions, théorèmes et définitions concernant les espaces algébriques sont plus faciles à établir dans le cadre de la situation 0EDT car les espaces algébriques avec lesquels nous travaillons sont quasi-séparés (et donc a fortiori décents) et localement noethériens. Nous le signalerons au fil du chapitre par des remarques comme les suivantes.
Remarque
Dans la situation 0EDT, si \(X/B\) est bon, alors \(|X|\) est un espace topologique sobre. Voir Propriétés des espaces, lemme 06NJ ou Espaces décents, proposition 03K6. Nous l’utiliserons sans autre mention pour choisir des points génériques de sous-ensembles fermés irréductibles de \(|X|\).
Remarque
Dans la situation 0EDT, si \(X/B\) est bon, alors \(X\) est intègre (Espaces sur les corps, définition 0AD4) si et seulement si \(X\) est réduit et \(|X|\) est irréductible. De plus, pour tout point \(\xi \in |X|\), il existe un sous-espace fermé intègre unique \(Z \subset X\) tel que \(\xi\) soit le point générique du sous-ensemble fermé \(|Z| \subset |X|\) ; voir Espaces sur les corps, lemme 0ENF.
Si \(B\) est jacobsonien et que \(\delta\) envoie les points fermés sur zéro, alors \(\delta\) est la fonction qui envoie un point à la dimension de sa fermeture.
Lemme
Dans la situation 0EDT, supposons que \(B\) soit jacobsonien et que \(\delta(b) = 0\) pour chaque point fermé \(b\) de \(|B|\). Soit \(X/B\) bon. Si \(Z \subset X\) est un sous-espace fermé intègre de point générique \(\xi \in |Z|\), alors les entiers suivants sont égaux :
\(\delta(\xi) = \delta_{X/B}(\xi)\),
\(\dim(|Z|)\),
\(\text{codim}(\{z\}, |Z|)\) pour \(z \in |Z|\) fermé,
la dimension de l’anneau local de \(Z\) à \(z\) pour \(z \in |Z|\) fermé, et
\(\dim(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}})\) pour \(z \in |Z|\) fermé.
Démonstration
Soient \(X\), \(Z\), \(\xi\) comme dans le lemme. Puisque \(X\) est localement de type fini sur \(B\), l’espace \(X\) est jacobsonien ; voir Espaces décents, lemme 0BA3. Ainsi \(X_{\text{ft-pts}} \subset |X|\) est l’ensemble des points fermés d’après Espaces décents, lemme 0BA5. Étant donné une chaîne \(T_0 \supset \ldots \supset T_e\) de sous-ensembles fermés irréductibles de \(|Z|\), l’ensemble \(T_e \cap X_{\text{ft-pts}}\) est non vide d’après Morphismes d’espaces, lemme 06EK. Ainsi on peut toujours supposer qu’une telle chaîne se termine par \(T_e = \{z\}\) pour un point fermé \(z \in |Z|\). Il s’ensuit que \(\dim(Z) = \sup_z \text{codim}(\{z\}, |Z|)\), où \(z\) court sur les points fermés de \(|Z|\). Nous avons \(\text{codim}(\{z\}, Z) = \delta(\xi) - \delta(z)\) d’après Topologie, lemme 02IA. Par Morphismes d’espaces, lemme 06EI, l’image de \(z\) est un point de type fini de \(B\), c’est-à-dire un point fermé de \(|B|\). Par Morphismes d’espaces, lemme 0ECY, le degré de transcendance de \(z/b\) est \(0\). Par hypothèse, nous concluons que \(\delta(z) = \delta(b) = 0\). On obtient donc l’égalité \[\dim(|Z|) = \text{codim}(\{z\}, Z) = \delta(\xi)\] pour tout point fermé \(z \in |Z|\). Enfin, \(\text{codim}(\{z\}, Z)\) est égal à la dimension de l’anneau local de \(Z\) en \(z\) d’après Espaces décents, lemme 0ED1, laquelle est à son tour égale à \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}})\) d’après Propriétés des espaces, lemme 04N9.
Dans la situation du lemme précédent, la valeur de \(\delta\) au point générique d’un sous-ensemble fermé irréductible est la dimension de ce sous-ensemble. Cela motive la définition suivante.
Définition
Dans la situation 0EDT, pour tout \(X/B\) bon et tout sous-ensemble fermé irréductible \(T \subset |X|\), on définit \[\dim_\delta(T) = \delta(\xi)\] où \(\xi \in T\) est le point générique de \(T\). Nous appelons ce nombre la \(\delta\)-dimension de \(T\). Si \(T \subset |X|\) est un sous-ensemble fermé, alors nous définissons \(\dim_\delta(T)\) comme la borne supérieure des \(\delta\)-dimensions des composantes irréductibles de \(T\). Si \(Z\) est un sous-espace fermé de \(X\), alors nous définissons \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(|Z|)\).
Bien sûr, cela signifie simplement que \(\dim_\delta(T) = \sup \{\delta(t) \mid t \in T\}\).
Cycles
Cette section est l’analogue d’Homologie de Chow, section 02QQ.
Puisque nous ne supposons pas nos espaces quasi-compacts, il faut être un peu prudent dans la définition des cycles. Nous devons autoriser les sommes infinies, car une fonction rationnelle peut, par exemple, avoir une infinité de pôles. En revanche, si \(X\) est quasi-compact, alors un cycle est une somme finie comme d’habitude.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(k \in \mathbf{Z}\).
Un cycle sur \(X\) est une somme formelle \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] où la somme s’étend sur les sous-espaces fermés intègres \(Z \subset X\), chaque \(n_Z \in \mathbf{Z}\) et \(\{|Z|; n_Z \not = 0\}\) est une famille localement finie de sous-ensembles de \(|X|\) (Topologie, définition 0BDS).
Un \(k\)-cycle sur \(X\) est un cycle \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] où \(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\).
Le groupe abélien de tous les \(k\)-cycles sur \(X\) est noté \(Z_k(X)\).
En d’autres termes, un \(k\)-cycle sur \(X\) est une combinaison formelle \(\mathbf{Z}\)-linéaire localement finie de sous-espaces fermés intègres (remarque 0EDV) de \(\delta\)-dimension \(k\). L’addition des \(k\)-cycles \(\alpha = \sum n_Z[Z]\) et \(\beta = \sum m_Z[Z]\) est donné par \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] c’est-à-dire en additionnant les coefficients.
Multiplicités
Cette section rassemble quelques résultats simples sur les longueurs et les multiplicités.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\). Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
\(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{F}_{\overline{x}} = d\)
il existe un morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) un schéma, et un point \(u \in U\) d’image \(x\), tels que \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)
pour tout morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) un schéma, et tout point \(u \in U\) d’image \(x\), on a \(\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{F}|_U)_u = d\)
Démonstration
Soient \(U \to X\) et \(u \in U\) comme en (2) ou (3). On sait alors que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisation stricte de \(\mathcal{O}_{U, u}\) et que \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (\mathcal{F}|_U)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] Voir Propriétés des espaces, lemmes 04KF et 05VP. Il s’ensuit, par Algèbre, lemme 02M1, par la platitude de \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) et par le fait que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathfrak m_u\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est le corps résiduel de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), que les longueurs sont égales. Ces propriétés des hensélisations strictes se trouvent dans Compléments d’algèbre, lemme 07QM.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\). Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est de longueur \(d\) en \(x\) si les conditions équivalentes du lemme 0EE1 sont satisfaites.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Y \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(y \in |Y|\) d’image \(x \in |X|\). Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
\(\mathcal{G}\) a une longueur \(d\) à \(y\), et
\(i_*\mathcal{G}\) a une longueur \(d\) à \(x\).
Démonstration
Choisissons un morphisme étale \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma, et un point \(u \in U\) d’image \(x\). Posons \(V = Y \times_X U\). Notons \(g : V \to Y\) et \(j : V \to U\) les projections. Alors \(j : V \to U\) est une immersion fermée et il existe un unique point \(v \in V\) d’images \(y \in |Y|\) et \(u \in U\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03H4, et Espaces, lemme 02YW). Nous avons \(j_*(\mathcal{G}|_V) = (i_*\mathcal{G})|_U\) en tant que modules sur le schéma \(V\), et \(j_*\) est l’image directe « usuelle » des modules pour le morphisme de schémas \(j\) ; voir la discussion qui entoure Cohomologie des espaces, équation (071Z). On se ramène ainsi au cas des schémas : si \(i : Y \to X\) est une immersion fermée de schémas, alors \[(i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_y\] en tant que modules sur \(\mathcal{O}_{X, x}\), la structure de module au membre de droite étant donnée par la surjection \(i_y^\sharp : \mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\). L’égalité résulte donc d’Algèbre, lemme 00IX.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(x \in |X|\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
il existe un morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) un schéma, et un point \(u \in U\) d’image \(x\), tel que \(u\) soit un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\),
pour tout morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) un schéma, et tout point \(u \in U\) d’image \(x\), le point \(u\) est générique dans une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\),
la longueur de \(\mathcal{F}\) à \(x\) est finie et non nulle.
Si \(X\) est décent (de manière équivalente, quasi-séparé), ces assertions sont également équivalentes à
\(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).
Démonstration
Supposons que \(f : U \to X\) soit un morphisme étale, avec \(U\) un schéma, et que \(u \in U\) ait pour image \(x\). Alors \(\mathcal{F}|_U = f^*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent sur le schéma localement noethérien \(U\) ; en particulier, \((\mathcal{F}|_U)_u\) est un \(\mathcal{O}_{U, u}\)-module fini ; voir Cohomologie des espaces, lemme 07UB et Cohomologie des schémas, lemme 01XZ. Rappelons que le support de \(\mathcal{F}|_U\) est un sous-ensemble fermé de \(U\) (Morphismes, lemme 056J) et que le support de \((\mathcal{F}|_U)_u\) est l’image réciproque du support de \(\mathcal{F}|_U\) par le morphisme \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u}) \to U\). Ainsi \(u\) est un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F}|_U)\) si et seulement si le support de \((\mathcal{F}|_U)_u\) est égal à l’idéal maximal de \(\mathcal{O}_{U, u}\). L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte alors d’Algèbre, lemme 00L5.
Si \(X\) est décent, choisissons un morphisme étale \(f : U \to X\) et un point \(u \in U\) d’image \(x\). L’image réciproque du support de \(\mathcal{F}\) est le support de \(\mathcal{F}|_U\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 07TZ. De plus, les spécialisations \(x' \leadsto x\) dans \(|X|\) se relèvent en des spécialisations \(u' \leadsto u\) dans \(U\) et toute spécialisation non triviale \(u' \leadsto u\) dans \(U\) correspond à une spécialisation non triviale \(f(u') \leadsto f(u)\) dans \(|X|\), voir Espaces décents, lemmes 03IL et 03K5. En utilisant le fait que \(|X|\) et \(U\) sont des espaces topologiques sobres (Espaces décents, proposition 03K6 et Schémas, lemme 01IS), nous concluons que \(x\) est un point générique du support de \(\mathcal{F}\) si et seulement si \(u\) est un point générique du support de \(\mathcal{F}|_U\). Nous concluons que (4) est équivalent à (1).
L’assertion entre parenthèses résulte d’Espaces décents, lemme 0BB6.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé et \(t \in T\). Si \(\dim_\delta(T) \leq k\) et \(\delta(t) = k\), alors \(t\) est un point générique d’une composante irréductible de \(T\).
Démonstration
Nous savons que \(t\) appartient à une composante irréductible \(T' \subset T\). Soit \(t' \in T'\) le point générique. Alors \(k \geq \delta(t') \geq \delta(t)\). Puisque \(\delta\) est une fonction de dimension, nous voyons que \(t = t'\).
Cycle associé à un sous-espace fermé
Cette section est l’analogue d’Homologie de Chow, section 02QS.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(Y \subset X\) un sous-espace fermé. D’après les remarques 0EDU et 0EDV, il existe des bijections (c’est-à-dire des correspondances \(1\)-à-\(1\)) entre les ensembles suivants :
les composantes irréductibles \(T\) de \(|Y|\),
les points génériques des composantes irréductibles de \(|Y|\), et
les sous-espaces fermés intègres \(Z \subset Y\) tels que \(|Z|\) soit une composante irréductible de \(|Y|\).
Dans ce chapitre, nous appelons tout \(Z\) comme en (3) une composante irréductible de \(Y\), et nous appelons \(\xi \in |Z|\) son point générique.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(Y \subset X\) un sous-espace fermé.
Pour une composante irréductible \(Z \subset Y\) de point générique \(\xi\), la longueur de \(\mathcal{O}_Y\) en \(\xi\) (définition 0EE2) est appelée la multiplicité de \(Z\) dans \(Y\). Par le lemme 0EE4 appliqué à \(\mathcal{O}_Y\) sur \(Y\), c’est un entier positif.
Supposons \(\dim_\delta(Y) \leq k\). Le \(k\)-cycle associé à \(Y\) est \[[Y]_k = \sum m_{Z, Y}[Z]\] où la somme porte sur les composantes irréductibles \(Z\) de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k\) et \(m_{Z, Y}\) est la multiplicité de \(Z\) dans \(Y\). Il s’agit d’un \(k\)-cycle d’après Espaces sur les corps, lemme 0EE5.
Il importe de noter que nous ne définissons \([Y]_k\) que si la \(\delta\)-dimension de \(Y\) ne dépasse pas \(k\). En d’autres termes, par convention, l’écriture \([Y]_k\) implique donc que \(\dim_\delta(Y) \leq k\).
Cycle associé à un faisceau cohérent
Cette section est l’analogue d’Homologie de Chow, section 02QV.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.
Pour un sous-espace fermé intègre \(Z \subset X\) de point générique \(\xi\) tel que \(|Z|\) soit une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\), la longueur de \(\mathcal{F}\) en \(\xi\) (définition 0EE2) est appelée la multiplicité de \(Z\) dans \(\mathcal{F}\). D’après le lemme 0EE4, il s’agit d’un entier positif.
Supposons \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Le \(k\)-cycle associé à \(\mathcal{F}\) est \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z, \mathcal{F}}[Z]\] où la somme porte sur les sous-espaces fermés intègres \(Z \subset X\) correspondant aux composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\delta\)-dimension \(k\), et \(m_{Z, \mathcal{F}}\) est la multiplicité de \(Z\) dans \(\mathcal{F}\). Il s’agit d’un \(k\)-cycle d’après Espaces sur les corps, lemme 0EE5.
Il importe de noter que nous ne définissons \([\mathcal{F}]_k\) que si \(\mathcal{F}\) est cohérent et que la \(\delta\)-dimension de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) ne dépasse pas \(k\). En d’autres termes, par convention, l’écriture \([\mathcal{F}]_k\) implique donc que \(\mathcal{F}\) est cohérent sur \(X\) et \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent avec \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Soit \(Z\) un sous-espace fermé intègre de \(X\) tel que \(\dim_\delta(Z) = k\). Soit \(\xi \in |Z|\) son point générique. Alors le coefficient de \(Z\) dans \([\mathcal{F}]_k\) est la longueur de \(\mathcal{F}\) en \(\xi\).
Démonstration
Observons que \(|Z|\) est une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) si et seulement si \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) ; voir le lemme 0EE6. De plus, la longueur de \(\mathcal{F}\) en \(\xi\) est nulle si \(\xi \not \in \text{Supp}(\mathcal{F})\). Le résultat découle alors de la définition 0EEB.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(Y \subset X\) un sous-espace fermé. Si \(\dim_\delta(Y) \leq k\), alors \([Y]_k = [i_*\mathcal{O}_Y]_k\) où \(i : Y \to X\) est le morphisme d’inclusion.
Démonstration
Soit \(Z\) un sous-espace fermé intègre de \(X\) tel que \(\dim_\delta(Z) = k\). Si \(Z \not \subset Y\), le coefficient de \(Z\) est nul dans \([Y]_k\) comme dans \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\). Si \(Z \subset Y\), alors le point générique de \(Z\) peut être considéré comme un point \(y \in |Y|\) d’image \(x \in |X|\). Alors le coefficient de \(Z\) dans \([Y]_k\) est la longueur de \(\mathcal{O}_Y\) en \(y\) et le coefficient de \(Z\) dans \([i_*\mathcal{O}_Y]_k\) est la longueur de \(i_*\mathcal{O}_Y\) en \(x\). L’égalité des coefficients résulte donc du lemme 0EE3.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Supposons que la \(\delta\)-dimension de chacun des supports de \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) soit \(\leq k\). Alors \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\).
Démonstration
Soit \(Z\) un sous-espace fermé intègre de \(X\) tel que \(\dim_\delta(Z) = k\). Il suffit de montrer que les coefficients de \(Z\) dans \([\mathcal{G}]_k\), \([\mathcal{F}]_k\) et \([\mathcal{H}]_k\) satisfont l’additivité correspondante. Par le lemme 0EEC, il suffit de montrer \[\text{the length of }\mathcal{G}\text{ at }x = \text{the length of }\mathcal{F}\text{ at }x + \text{the length of }\mathcal{H}\text{ at }x\] pour tout \(x \in |X|\). D’après la définition 0EE2, cela résulte immédiatement de l’additivité des longueurs ; voir Algèbre, lemme 00IV.
Préliminaires à l’image directe propre
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02R0.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X,Y/B\) bons et soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Si \(Z \subset X\) est un sous-espace fermé intègre, alors il existe un unique sous-espace fermé intègre \(Z' \subset Y\) tel qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r] & Y }\] avec \(Z \to Z'\) dominant. Si \(f\) est propre, alors \(Z \to Z'\) est propre et surjectif.
Démonstration
Soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Soit \(Z' \subset Y\) le sous-espace fermé intègre dont le point générique est \(\xi' = f(\xi)\) ; voir la remarque 0EDV. Puisque \(\xi \in |f^{-1}(Z')| = |f|^{-1}(|Z'|)\) d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4, et puisque \(Z\) est le sous-espace réduit tel que \(|Z| = \overline{\{\xi\}}\), nous voyons que \(Z \subset f^{-1}(Z')\) en tant que sous-espaces fermés de \(X\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03JJ). On obtient ainsi notre morphisme \(Z \to Z'\). Ce morphisme est dominant puisque le point générique de \(Z\) s’envoie sur le point générique de \(Z'\). L’unicité de \(Z'\) est claire. Si \(f\) est propre, alors \(Z \to Y\) est propre en tant que composition de morphismes propres (Morphismes d’espaces, lemmes 04WP et 04XZ). Il en résulte que \(Z \to Z'\) est propre d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NX. La surjectivité en résulte, puisque l’image d’un morphisme propre est fermée.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Tout \(x \in |X|\) peut être représenté par un monomorphisme (unique) \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps ; voir Espaces décents, lemme 03K4. Alors \(k\) est le corps résiduel de \(x\) et se note \(\kappa(x)\). Rappelons que \(X\) possède un sous-schéma ouvert dense \(U \subset X\) (Propriétés des espaces, proposition 06NH). Si \(x \in U\), alors \(\kappa(x)\) coïncide avec le corps résiduel de \(x\) dans le schéma \(U\). Voir Espaces décents, section 0EMV.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(X\) soit intègre. Dans ce cas, le corps des fonctions \(R(X)\) de \(X\) est défini et est égal au corps résiduel de \(X\) en son point générique. Voir Espaces sur les corps, définition 0ENE. En combinant cela avec la remarque 0EDV, nous voyons que, pour tout \(x \in X\), le corps résiduel \(\kappa(x)\) est le corps des fonctions de l’unique sous-espace fermé intègre unique \(Z \subset X\) dont le point générique est \(x\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons et soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Supposons \(X\) et \(Y\) intègres et \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Alors, ou bien \(f\) se factorise par un sous-espace fermé strict de \(Y\), ou bien \(f\) est dominant et l’extension de corps de fonctions \(R(X) / R(Y)\) est finie.
Démonstration
Par le lemme 0EEG, il existe un sous-espace fermé intègre unique \(Z \subset Y\) tel que \(f\) se factorise par un morphisme dominant \(X \to Z\). Alors \(Z = Y\) si et seulement si \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(Y)\). D’autre part, par notre construction des fonctions de dimension (voir la situation 0EDT), nous avons \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Z) + r\), où \(r\) est le degré de transcendance de l’extension \(R(X)/R(Z)\). Le lemme résulte alors d’Espaces sur les corps, lemme 0AD5.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme sur \(B\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et que \(\{T_i\}_{i \in I}\) soit une famille localement finie de parties fermées de \(|X|\). Alors \(\{\overline{|f|(T_i)}\}_{i \in I}\) est une famille localement finie de parties fermées de \(|Y|\).
Démonstration
Soit \(V \subset |Y|\) une partie ouverte quasi-compacte. Alors \(|f|^{-1}(V) \subset |X|\) est quasi-compact par Morphismes d’espaces, Lemme 0EMK. L’ensemble \(\{i \in I : T_i \cap |f|^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) est donc fini par un simple argument topologique que nous omettons. Or cet ensemble est aussi égal à \[\{i \in I : |f|(T_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I : \overline{|f|(T_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] ce qui démontre le lemme.
Image directe propre
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02R3.
Définition
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Supposons \(f\) propre.
Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé intègre avec \(\dim_\delta(Z) = k\). Soit \(Z' \subset Y\) l’image de \(Z\) comme dans le lemme 0EEG. Nous définissons \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & \dim_\delta(Z')< k, \\ \deg(Z/Z') [Z'] & \text{if} & \dim_\delta(Z') = k. \end{matrix} \right.\] Le degré de \(Z\) sur \(Z'\) est défini et fini si \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z)\) d’après le lemme 0ENY et Espaces sur les corps, définition 0AD6.
Soit \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) un \(k\)-cycle sur \(X\). L’image directe de \(\alpha\) est la somme \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] où chaque \(f_*[Z]\) est défini comme ci-dessus. Cette somme est localement finie d’après le lemme 0ENZ ci-dessus.
Par définition, l’image directe propre des cycles \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] est un homomorphisme de groupes abéliens. Elle fait de \(X \mapsto Z_k(X)\) un foncteur covariant sur la catégorie dont les objets sont les espaces algébriques bons au-dessus de \(B\) et dont les morphismes sont les morphismes propres au-dessus de \(B\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y, Z/B\) bons. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes propres au-dessus de \(B\). Alors \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\) comme applications \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\).
Démonstration
Soit \(W \subset X\) un sous-espace fermé intègre de dimension \(k\). Considérons les sous-espaces fermés intègres \(W' \subset Y\) et \(W'' \subset Z\) obtenus en appliquant le lemme 0EEG à \(f\) et \(W\), puis à \(g\) et \(W'\). Alors \(W \to W'\) et \(W' \to W''\) sont surjectifs et propres. Il faut montrer que \(g_*(f_*[W]) = (f \circ g)_*[W]\). Si \(\dim_\delta(W'') < k\), alors les deux côtés sont nuls. Si \(\dim_\delta(W'') = k\), alors nous voyons que \(W \to W'\) et \(W' \to W''\) satisfont tous deux aux hypothèses du lemme 0ENY. Ainsi \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (f \circ g)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] La conclusion résulte alors d’Espaces sur les corps, lemme 0ENH.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques bons au-dessus de \(B\).
Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé avec \(\dim_\delta(Z) \leq k\). Alors \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]
Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\) tel que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Alors \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]
Remarquons que l’énoncé a un sens puisque \(f_*\mathcal{F}\) et \(f_*\mathcal{O}_Z\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules cohérents d’après Cohomologie des espaces, lemme 08AR.
Démonstration
La partie (1) découle de (2) et du lemme 0EED. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 07UG, il existe une immersion fermée \(i : Z \to X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) tel que \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) et tel que le support de \(\mathcal{F}\) soit \(Z\). Soit \(Z' \subset Y\) l’image schématique de \(f|_Z : Z \to Y\) ; voir Morphismes d’espaces, définition 082Y. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] d’espaces algébriques au-dessus de \(B\). Remarquons que \(f|_Z\) est surjectif (cela résulte de Morphismes d’espaces, lemme 082Z, et du fait que \(|f|\) est fermé) et propre (cela résulte de Morphismes d’espaces, lemmes 04WP, 04XZ, et 04NX). En parcourant le diagramme par les deux chemins, nous obtenons \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\). Supposons le résultat établi pour les immersions fermées et pour \(f|_Z\). Alors \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] comme voulu. Le cas d’une immersion fermée découle du lemme 0EE3 et des définitions. Nous nous sommes donc réduits au cas où \(\dim_\delta(X) \leq k\) et \(f : X \to Y\) est propre et surjectif.
Supposons que \(\dim_\delta(X) \leq k\) et que \(f : X \to Y\) soit propre et surjectif. Pour toute composante irréductible \(Z \subset Y\) de point générique \(\eta\), il existe un point \(\xi \in X\) tel que \(f(\xi) = \eta\). Ainsi \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\). On voit donc que dans les expressions \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{et} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] dès que \(n_Z \not = 0\), ou que \(m_Z \not = 0\), le sous-espace fermé intègre \(Z\) est en fait une composante irréductible de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k\) (voir le lemme 0EE6). Choisissons un tel sous-espace fermé intègre \(Z \subset Y\) et notons \(\eta\) son point générique. Remarquons que, pour tout \(\xi \in X\) tel que \(f(\xi) = \eta\), nous avons \(\delta(\xi) \geq k\) et donc \(\xi\) est également un point générique d’une composante irréductible de \(X\) de \(\delta\)-dimension \(k\) (voir le lemme 0EE6). D’après Espaces sur les corps, lemme 0AD2, il existe un sous-espace ouvert \(\eta \in V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini. Puisque \(\eta\) est un point générique d’une composante irréductible de \(|Y|\), nous pouvons supposer que \(V\) est un schéma affine ; voir Propriétés des espaces, proposition 06NH. En remplaçant \(Y\) par \(V\) et \(X\) par \(f^{-1}(V)\), nous nous réduisons au cas où \(Y\) est affine et où \(f\) est fini. En particulier, \(X\) et \(Y\) sont des schémas, et nous sommes ramenés au résultat correspondant pour les schémas ; voir Homologie de Chow, lemme 02R6 (appliqué avec \(S = Y\)).
Préliminaires à l’image réciproque plate
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02R7.
Rappelons qu’un morphisme d’espaces algébriques est dit de dimension relative \(r\) si, localement pour la topologie étale sur la source et sur le but, on obtient un morphisme de schémas de dimension relative \(r\). La définition précise est équivalente, quoique légèrement différente en réalité ; voir Morphismes d’espaces, définition 06LR.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Supposons que \(f\) soit plat de dimension relative \(r\). Pour toute partie fermée \(T \subset |Y|\), nous avons \[\dim_\delta(|f|^{-1}(T)) = \dim_\delta(T) + r.\] pourvu que \(|f|^{-1}(T)\) ne soit pas vide. Si \(Z \subset Y\) est un sous-schéma fermé intègre et que \(Z' \subset f^{-1}(Z)\) est une composante irréductible, alors \(Z'\) domine \(Z\) et \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\).
Démonstration
Puisque la \(\delta\)-dimension d’une partie fermée est la borne supérieure des \(\delta\)-dimensions de ses composantes irréductibles, il suffit de démontrer la dernière assertion. Nous pouvons remplacer \(Y\) par le sous-schéma fermé intègre \(Z\) et \(X\) par \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\). Nous pouvons donc supposer que \(Z = Y\) est intègre et que \(f\) est un morphisme plat de dimension relative \(r\). Puisque \(Y\) est localement noethérien, le morphisme \(f\), qui est localement de type fini, est en fait localement de présentation finie. Le lemme 042S de Morphismes d’espaces s’applique donc, et \(f\) est ouvert. Soit \(\xi \in X\) un point générique d’une composante irréductible de \(X\). Comme \(f\) est ouvert, \(f(\xi)\) est le point générique \(\eta\) de \(Z = Y\). Ainsi \(Z'\) domine \(Z = Y\). Enfin, la proposition 06NH de Propriétés des espaces montre que \(\xi\) et \(\eta\) appartiennent aux lieux schématiques de \(X\) et de \(Y\). Puisque \(\xi\) est un point générique de \(X\), nous voyons que \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\) n’a qu’un seul idéal premier et a donc la dimension \(0\) (on peut utiliser les anneaux locaux usuels, car \(\xi\) et \(\eta\) appartiennent aux lieux schématiques de \(X\) et de \(Y\)). Le lemme 04NQ de Morphismes d’espaces (et la définition des morphismes d’une dimension relative donnée) montre alors que le degré de transcendance de \(\kappa(\xi)\) sur \(\kappa(\eta)\) est \(r\). En d’autres termes, \(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\), comme voulu.
Voici le lemme que nous utiliserons pour montrer que l’image réciproque plate d’une famille localement finie de sous-schémas fermés est localement finie.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Supposons que \(\{T_i\}_{i \in I}\) soit une famille localement finie de parties fermées de \(|Y|\). Alors \(\{|f|^{-1}(T_i)\}_{i \in I}\) est une famille localement finie de parties fermées de \(X\).
Démonstration
Soit \(U \subset |X|\) une partie ouverte quasi-compacte. Puisque l’image \(|f|(U) \subset |Y|\) est une partie quasi-compacte, il existe une partie \(V \subset |Y|\) ouverte quasi-compacte telle que \(|f|(U) \subset V\). Remarquons que \[\{i \in I : |f|^{-1}(T_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I : T_i \cap V \not = \emptyset \}.\] Le membre de droite étant fini par hypothèse, on conclut.
Image réciproque plate
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RA.
Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé. Dans ce chapitre, nous utiliserons parfois la terminologie image réciproque schématique pour l’image réciproque \(f^{-1}(Z)\) de \(Z\) construite dans Morphismes des espaces, définition 083Q. L’image réciproque schématique est le produit fibré \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] Si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à \(Z\) dans \(Y\), alors \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à \(f^{-1}(Z)\) dans \(X\).
Définition
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme au-dessus de \(B\). Supposons que \(f\) soit plat de dimension relative \(r\).
Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Nous définissons \(f^*[Z]\) comme le \((k+r)\)-cycle sur \(X\) associé à l’image réciproque schématique \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] Cela a du sens puisque \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\) par le lemme 0EP5.
Soit \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). L’image réciproque plate de \(\alpha\) par \(f\) est la somme \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] où chaque \(f^*[Z_i]\) est défini comme ci-dessus. La somme est localement finie par le lemme 0EP6.
On note \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\) l’homomorphisme de groupes abéliens ainsi obtenu.
Une immersion ouverte est plate. C’est un cas particulier important, quoique trivial, de morphisme plat. Si \(U \subset X\) est ouvert, l’image réciproque par \(j : U \to X\) d’un cycle est parfois appelée la restriction du cycle à \(U\). Remarquons que, dans ce cas, les applications \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] sont toutes surjectives. En effet, étant donné un sous-espace fermé intègre \(Z' \subset U\), nous pouvons prendre pour \(Z\) l’adhérence de \(Z'\) dans \(X\) et la considérer comme un sous-espace fermé réduit de \(X\) (voir Propriétés des espaces, définition 047X). On a alors clairement \(Z \cap U = Z'\), autrement dit \(j^*[Z] = [Z']\), d’où la surjectivité. En fait, on a un peu mieux.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Soit \(Y\) le sous-espace fermé réduit de \(X\) avec \(|Y| = |X| \setminus |U|\) et notons \(i : Y \to X\) le morphisme d’inclusion. Pour chaque \(k \in \mathbf{Z}\), la séquence \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] est une suite exacte de groupes abéliens.
Démonstration
Nous avons vu ci-dessus que \(j^*\) est surjectif. Supposons d’abord que \(X\) soit quasi-compact. Alors \(Z_k(X)\) est un \(\mathbf{Z}\)-module libre de base donnée par les éléments \([Z]\) où \(Z \subset X\) est fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Un tel élément de base s’envoie soit sur l’élément de base \([Z \cap U]\) de \(Z_k(U)\), soit sur zéro si \(Z \subset Y\). Le lemme est donc clair dans ce cas. Le cas général est similaire et la preuve est omise.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Si \(Z \subset Y\) est un sous-espace fermé intègre, alors \(f^*[Z] = \sum [Z']\) où la somme est sur les composantes irréductibles (remarque 0EE8) de \(f^{-1}(Z)\).
Démonstration
La signification du lemme est que le coefficient de \([Z']\) est \(1\). Cela découle du fait que \(f^{-1}(Z)\) est un espace algébrique réduit car il est étale sur l’espace algébrique intègre \(Z\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y, Z/B\) bons. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes plats de dimensions relatives \(r\) et \(s\) au-dessus de \(B\). Alors \(g \circ f\) est plat de dimension relative \(r + s\) et \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] comme applications \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\).
Démonstration
La composition est plate de dimension relative \(r + s\) d’après Morphismes d’espaces, lemmes 04NR et 03MN. Supposons que
\(A \subset Z\) est un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\),
\(A' \subset Y\) est un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + s\) tel que \(A' \subset g^{-1}(A)\), et
\(A'' \subset Y\) est un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + s + r\) tel que \(A'' \subset f^{-1}(W')\).
Nous devons montrer que le coefficient \(n\) de \([A'']\) dans \((g \circ f)^*[A]\) est égal au coefficient \(m\) de \([A'']\) dans \(f^*(g^*[A])\). On peut choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z }\] où \(U, V, W\) sont des schémas, les flèches verticales sont étales, et il existe des points \(u \in U\), \(v \in V\), \(w \in W\) tels que \(u \mapsto v \mapsto w\) et tels que \(u, v, w\) s’envoient sur les points génériques de \(A'', A', A\). (Détails omis.) Nous avons alors des homomorphismes plats d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{W, w} \to \mathcal{O}_{V, v}\), \(\mathcal{O}_{V, v} \to \mathcal{O}_{U, u}\), et en utilisant à plusieurs reprises le lemme 0EE1, nous trouvons \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u})\] et \[m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}) \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v\mathcal{O}_{U, u})\] L’égalité découle donc du lemme d’Algèbre 02M2.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\).
Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé avec \(\dim_\delta(Z) \leq k\). Alors \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\) et \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\) dans \(Z_{k + r}(X)\).
Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(Y\) avec \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Nous avons alors \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\) et \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] dans \(Z_{k + r}(X)\).
Démonstration
La partie (1) découle de la partie (2) par le lemme 0EED et le fait que \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\).
Preuve de (2). Comme \(X\), \(Y\) sont localement noethériens, nous pouvons appliquer le lemme 07UB de Cohomologie des espaces : \(\mathcal{F}\) est de type fini, donc \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini (Modules sur les sites, lemme 03DO), et par suite \(f^*\mathcal{F}\) est cohérent (de nouveau Cohomologie des espaces, lemme 07UB). Le lemme a donc un sens. Soit \(W \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\), et soit \(W' \subset X\) un sous-espace fermé intègre de dimension \(k + r\) s’envoyant dans \(W\) par \(f\). Nous devons montrer que le coefficient \(n\) de \([W']\) dans \(f^*[{\mathcal F}]_k\) est égal au coefficient \(m\) de \([W']\) dans \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\). On peut choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U, V\) sont des schémas, les flèches verticales sont étales, et il existe des points \(u \in U\), \(v \in V\) tels que \(u \mapsto v\) et tels que \(u, v\) s’envoient sur les points génériques de \(W', W\). (Détails omis.) Considérons le germe \(M = (\mathcal{F}|_V)_v\) comme un \(\mathcal{O}_{V, v}\)-module. (Remarquons que \(M\) est de longueur finie d’après nos hypothèses de dimension, mais nous n’avons en fait pas besoin de le vérifier ; voir le lemme 0EE4.) Nous avons \((f^*\mathcal{F}|_U)_u = \mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M\). Ainsi on voit que \[n = \text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}} (\mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} M) \quad \text{et} \quad m = \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}(M) \text{length}_{\mathcal{O}_{V, v}}( \mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})\] Ainsi, l’égalité découle du lemme d’Algèbre 02M1.
Image directe et image réciproque
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RF.
Dans cette section, nous vérifions que l’image directe propre et l’image réciproque plate sont compatibles lorsque cela a un sens. D’après le travail que nous avons effectué ci-dessus, cela est une conséquence de la cohomologie et du changement de base.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Supposons \(f : X \to Y\) propre et \(g : Y' \to Y\) plat de dimension relative \(r\). Alors également \(f'\) est propre et \(g'\) est plat de dimension relative \(r\). Pour tout \(k\)-cycle \(\alpha\) sur \(X\), nous avons \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] dans \(Z_{k + r}(Y')\).
Démonstration
L’assertion selon laquelle \(f'\) est propre découle de Morphismes d’espaces, lemme 04WP. Celle selon laquelle \(g'\) est plat de dimension relative \(r\) découle de Morphismes d’espaces, lemmes 04NS et 03MO. Il suffit de prouver l’égalité des cycles lorsque \(\alpha = [W]\) pour un sous-espace fermé intègre \(W \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k\). Remarquons que, dans ce cas, \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\) ; voir le lemme 0EED. D’après les lemmes 0EP3 et 0EPB il suffit donc de montrer que \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\) est isomorphe à \(g^*f_*\mathcal{O}_W\). Cela découle de la cohomologie et du changement de base ; voir Cohomologie des espaces, lemme 073K.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de degré \(d\) (voir Morphismes des espaces, définition 03ZV). Alors \(f\) est à la fois propre et plat de dimension relative \(0\), et \[f_*f^*\alpha = d\alpha\] pour tout \(\alpha \in Z_k(Y)\).
Démonstration
Un morphisme fini localement libre est plat et fini d’après Morphismes d’espaces, lemme 0416, et un morphisme fini est propre d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NZ. Nous omettons de vérifier qu’un morphisme fini est de dimension relative \(0\). La formule a donc un sens. Pour la démontrer, soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Il suffit de démontrer la formule pour \(\alpha = [Z]\). Puisque le changement de base d’un morphisme fini localement libre est fini localement libre (Morphismes des espaces, lemme 03ZY), on voit que \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) est un faisceau localement libre de rang fini \(d\) sur \(Z\). Il est donc clair que \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) est de longueur \(d\) au point générique de \(Z\). Par conséquent, \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] où nous avons utilisé les lemmes 0EPB et 0EP3.
Préliminaires aux diviseurs principaux
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RI. Certains éléments de cette section recoupent en partie la discussion d’Espaces sur les corps, section 0ENI.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(X\) soit intègre.
Si \(Z \subset X\) est un sous-espace fermé intègre, alors les assertions suivantes sont équivalentes :
\(Z\) est un diviseur premier,
\(|Z|\) est de codimension \(1\) dans \(|X|\), et
\(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\).
Si \(Z\) est une composante irréductible d’un diviseur de Cartier effectif sur \(X\), alors \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\).
Démonstration
La partie (1) découle de la définition d’un diviseur premier (Espaces sur les corps, définition 0ENJ), d’Espaces décents, lemme 0ED1, et de la définition d’une fonction de dimension (Topologie, définition 02I9).
Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(Z \subset D\) une composante irréductible et soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Choisissons un voisinage étale \((U, u) \to (X, \xi)\) où \(U = \Spec(A)\) et où \(D \times_X U\) est défini par un non-diviseur de zéro \(f \in A\) ; voir Diviseurs sur les espaces, lemme 083C. Alors \(u\) est le point générique de \(V(f)\) d’après Espaces décents, lemme 0ABV. Par conséquent, \(\mathcal{O}_{U, u}\) est de dimension \(1\) d’après le théorème de l’idéal principal de Krull (Algèbre, lemme 00KV). Ainsi, \(\xi\) est un point de codimension \(1\) sur \(X\) et \(Z\) est un diviseur premier, comme voulu.
Diviseurs principaux
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RN. La définition suivante est l’analogue d’Espaces sur les corps, définition 0ENP, dans notre cadre.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(X\) soit intègre et que \(\dim_\delta(X) = n\). Soit \(f \in R(X)^*\). Le diviseur principal associé à \(f\) est le \((n - 1)\)-cycle \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] défini dans Espaces sur les corps, définition 0ENP. Cela a un sens car les diviseurs premiers sont de \(\delta\)-dimension \(n - 1\) par le lemme 0EPZ.
Dans la situation de la définition, pour \(f, g \in R(X)^*\), nous avons \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] dans \(Z_{n - 1}(X)\). Voir Espaces sur les corps, lemme 0ENQ. Le lemme suivant nous permettra de ramener les assertions sur les diviseurs principaux au cas des schémas.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Supposons que \(Y\) soit intègre. Soit \(g \in R(Y)^*\). Comme cycles sur \(X\) nous avons \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \sum\nolimits_{X'} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] où la somme s’étend sur les composantes irréductibles de \(X\) (remarque 0EE8).
Démonstration
L’application \(|X| \to |Y|\) est ouverte. L’ensemble des composantes irréductibles de \(|X|\) est localement fini dans \(|X|\). Nous concluons que \(f|_{X'} : X' \to Y\) est dominant pour toute composante irréductible \(X' \subset X\). Ainsi \(g \circ f|_{X'}\) est défini (Morphismes des espaces, section 0EML), donc \(\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\) est défini. De plus, la somme est localement finie et on trouve que le membre de droite est bien un cycle sur \(X\). Le membre de gauche est défini par la définition 0EP8 et le fait qu’un morphisme étale est plat de dimension relative \(0\).
Puisque \(f\) est étale, nous voyons que \(\delta_X(x) = \delta_y(f(x))\) pour tout \(x \in |X|\). Ainsi, si \(\dim_\delta(Y) = n\), alors \(\dim_\delta(X') = n\) pour toute composante irréductible \(X'\) de \(X\) (puisque les points génériques de \(X\) s’envoient sur le point générique de \(Y\) ; voir ci-dessus). Les deux membres sont donc des \((n - 1)\)-cycles.
Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé intègre avec \(\dim_\delta(Z) = n - 1\). Pour démontrer l’égalité, il faut montrer que les coefficients de \(Z\) dans les deux membres sont égaux. Soit \(Z' \subset Y\) le sous-espace fermé intègre construit dans le lemme 0EEG. Alors \(\dim_\delta(Z') = n - 1\) aussi. Soit \(\xi \in |Z|\) le point générique. Alors \(\xi' = f(\xi) \in |Z'|\) est le point générique. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) \ar[r] & Y }\] d’Espaces décents, remarque 0EPL. Nous devons être légèrement prudents car les anneaux locaux noéthériens réduits \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) et \(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h\) ne sont pas nécessairement intègres. Nous travaillons donc avec des anneaux totaux de fractions \(Q(-)\) plutôt que des corps des fractions. Par définition, pour obtenir le coefficient de \(Z'\) dans \(\text{div}_Y(g)\) nous écrivons l’image de \(g\) dans \(Q(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h)\) comme \(a/b\) avec \(a, b \in \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h\) non-diviseurs de zéro et nous prenons \[\text{ord}_{Z'}(g) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h)\] Remarquons que le coefficient de \(Z\) dans \(f^*\text{div}_Y(G)\) est ce même entier ; voir le lemme 0EPY. Supposons que \(\xi \in X'\). On peut alors considérer les applications \[\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{X', \xi}^h\] La première flèche est plate et la seconde est un homomorphisme surjectif d’anneaux locaux noethériens réduits de dimension \(1\). Par conséquent, ces deux homomorphismes envoient les non-diviseurs de zéro sur des non-diviseurs de zéro, et le coefficient de \(Z'\) dans \(\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\) est \[\text{ord}_Z(g \circ f|_{X'}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/b \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\] par la même prescription que ci-dessus. Il suffit donc de montrer \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \sum\nolimits_{\xi \in |X'|} \text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h)\] Tout d’abord, puisque l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est plate et non ramifiée, nous avons \[\text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h} (\mathcal{O}_{Y, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{Y, \xi'}^h) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] par Algèbre, lemme 02M1. Soient \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) les idéaux premiers non maximaux de \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\), et posons \(R_j = \mathcal{O}_{X, \xi}^h/\mathfrak q_j\). Pour \(X'\) comme ci-dessus, notons \(J(X') \subset \{1, \ldots, t\}\) l’ensemble des indices tels que \(\mathfrak q_j\) corresponde à un point de \(X'\), c’est-à-dire tels que, par l’homomorphisme surjectif \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{X', \xi}\), l’idéal premier \(\mathfrak q_j\) corresponde à un idéal premier de \(\mathcal{O}_{X', \xi}\). D’après Homologie de Chow, lemme 02QG, on obtient \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \sum\nolimits_j \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] et \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X', \xi}^h} (\mathcal{O}_{X', \xi}^h/a \mathcal{O}_{X', \xi}^h) = \sum\nolimits_{j \in J(X')} \text{length}_{R_j}(R_j/a R_j)\] Le résultat du lemme en découle, car \(\{1, \ldots, t\}\) est l’union disjointe des ensembles \(J(X')\) : chaque point de codimension \(0\) sur \(X\) appartient à un unique \(X'\).
Diviseurs principaux et image directe
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RS.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Supposons que \(X\), \(Y\) soient intègres et que \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre dominant. Soit \(f \in R(X)^*\). Posons \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] Nous avons alors \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\).
Démonstration
Nous allons le déduire du cas des schémas par localisation étale. Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Nous voulons montrer que les coefficients de \([Z]\) dans \(p_*\text{div}(f)\) et \(\text{div}(g)\) sont égaux. Appliquons le lemme 0AD2 d’Espaces sur les corps au morphisme \(p : X \to Y\) et au point générique \(\xi \in |Z|\). Nous pouvons alors remplacer \(Y\) par un sous-espace ouvert contenant \(\xi\) et supposer que \(p : X \to Y\) est fini. Choisissons un voisinage étale \((V, v) \to (Y, \xi)\) où \(V\) est un schéma affine. D’après le lemme 0EPY, il suffit de démontrer l’égalité des cycles après image réciproque sur \(V\). Posons \(U = V \times_Y X\) et considérez le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ V \ar[r]^b & Y }\] Soient \(V_j \subset V\), \(j = 1, \ldots, m\), les composantes irréductibles de \(V\). Pour chaque \(i\), soient \(U_{j, i}\), \(i = 1, \ldots, n_j\), les composantes irréductibles de \(U\) dominant \(V_j\). Notons \(p'_{j, i} : U_{j, i} \to V_j\) la restriction de \(p' : U \to V\). D’après le cas des schémas (Homologie de Chow, lemme 02RT), on a \[p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) = \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\] où \(f_{j, i}\) est la restriction de \(f\) à \(U_{j, i}\) et \(g_{j, i}\) est la norme de \(f_{j, i}\) pour l’extension finie \(R(U_{j, i})/R(V_j)\). Nous avons \[\begin{align*} b^* p_*\text{div}_X(f) & = p'_* a^* \text{div}_X(f) \\ & = p'_*\left(\sum\nolimits_{j, i} (U_{j, i} \to U)_*\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{j, i} (V_j \to V)_*p'_{j, i, *}\text{div}_{U_{j, i}}(f_{j, i}) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\left(\sum\nolimits_i \text{div}_{V_j}(g_{j, i})\right) \\ & = \sum\nolimits_j (V_j \to V)_*\text{div}_{V_j}(\prod\nolimits_i g_{j, i}) \end{align*}\] par les lemmes 0EPD, 0EQ2 et 0EP2. Pour terminer la preuve, en utilisant à nouveau le lemme 0EQ2, il suffit de montrer que \[g \circ b|_{V_j} = \prod\nolimits_i g_{j, i}\] comme éléments du corps des fonctions de \(V_j\). En termes de corps, il s’agit de l’énoncé suivant : soit \(L/K\) une extension finie. Soit \(M/K\) une extension finie séparable. Écrivons \(M \otimes_K L = \prod M_i\). Alors, pour \(t \in L\) dont les images sont \(t_i \in M_i\), l’image de \(\text{Norm}_{L/K}(t)\) dans \(M\) est \(\prod \text{Norm}_{M_i/M}(t_i)\). Nous omettons la preuve.
Équivalence rationnelle
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02RV. Dans cette section, nous définissons l’équivalence rationnelle sur les \(k\)-cycles. Nous autoriserons des sommes localement finies d’images de diviseurs principaux (par immersions fermées). Cela conduit à des phénomènes assez étranges (voir les exemples du chapitre sur les schémas). Toutefois, sans les autoriser, nous ne savons pas montrer que l’intersection avec les classes de Chern de fibrés en droites passe au quotient par l’équivalence rationnelle.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(k \in \mathbf{Z}\).
Étant donné une famille localement finie \(\{W_j \subset X\}\) de sous-espaces fermés intègres telle que \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\), et un élément \(f_j \in R(W_j)^*\) quelconque, nous pouvons considérer \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] où \(i_j : W_j \to X\) est le morphisme d’inclusion. Cela a du sens puisque le morphisme \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\) est propre.
On dit que \(\alpha \in Z_k(X)\) est rationnellement équivalent à zéro si \(\alpha\) est un cycle de la forme affichée ci-dessus.
On dit que \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) sont rationnellement équivalents et on écrit \(\alpha \sim_{rat} \beta\) si \(\alpha - \beta\) est rationnellement équivalent à zéro.
Nous définissons \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] comme le groupe de Chow des \(k\)-cycles sur \(X\). On l’appelle parfois le groupe de Chow des \(k\)-cycles modulo l’équivalence rationnelle sur \(X\).
Il existe de nombreuses autres relations d’équivalence intéressantes. L’équivalence rationnelle est la plus grossière de toutes. Un lemme très simple mais important est le suivant.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Soit \(Y\) le sous-espace fermé réduit de \(X\) avec \(|Y| = |X| \setminus |U|\) et notons \(i : Y \to X\) le morphisme d’inclusion. Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Supposons que \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\). Si \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\) alors il existe un cycle \(\gamma \in Z_k(Y)\) tel que \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] Autrement dit, la séquence \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] est une suite exacte de groupes abéliens.
Démonstration
Soit \(\{W_j\}_{j \in J}\) une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres de \(U\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), et soient \(f_j \in R(W_j)^*\) des éléments tels que \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) comme dans la définition. Soit \(W_j' \subset X\) le sous-espace fermé intègre correspondant de \(X\), c’est-à-dire ayant le même point générique que \(W_j\). Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert quasi-compact. Alors \(V \cap U\) est également un ouvert quasi-compact de \(U\), car \(V\) est noethérien. Ainsi, l’ensemble \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\) est fini puisque \(\{W_j\}\) est localement finie. Autrement dit, \(\{W'_j\}\) est également localement finie. Puisque \(R(W_j) = R(W'_j)\), on voit que \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] est un cycle sur \(X\) dont la restriction à \(U\) est nulle. Le lemme découle alors du lemme 0EP9.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que soient données des familles infinies \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\), \(i \in I\), de \(k\)-cycles sur \(X\). Supposons que les supports de \(\alpha_i\) et \(\beta_i\) forment des familles localement finies de parties fermées de \(X\), de sorte que \(\sum \alpha_i\) et \(\sum \beta_i\) soient définies comme cycles. De plus, supposons que \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\) pour tout \(i\). Il n’est alors pas clair que \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\). En effet, le problème est que les équivalences rationnelles peuvent être données par des familles localement finies \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) mais que l’union \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) peut ne pas être localement finie.
En pratique, dans de nombreux cas, on dispose d’une famille localement finie de parties fermées \(\{T_i\}_{i \in I}\) de \(|X|\) telle que \(\alpha_i, \beta_i\) soient supportés sur \(T_i\) et que \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\) « sur » \(T_i\). Plus précisément, les familles \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) sont constituées de sous-espaces fermés intègres \(W_{i, j}\) tels que \(|W_{i, j}| \subset T_i\). Dans ce cas, on a bien \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\) sur \(X\), simplement parce que la famille \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) est alors automatiquement localement finie.
Équivalence rationnelle, image directe et image réciproque
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02S0. Dans cette section, nous montrons que l’image réciproque plate et l’image directe propre sont compatibles avec l’équivalence rationnelle.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Supposons que \(Y\) soit intègre et que \(\dim_\delta(Y) = k\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Alors pour \(g \in R(Y)^*\) nous avons \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] comme \((k + r - 1)\)-cycles sur \(X\), où la somme est indexée par les composantes irréductibles \(X'\) de \(X\), et où \(m_{X', X}\) est la multiplicité de \(X'\) dans \(X\).
Démonstration
Remarquons que toute composante irréductible de \(X\) domine \(Y\) (lemme 0EP5) et donc la composition \(g \circ f|_{X'}\) est définie (Morphismes des espaces, section 0EML). Nous réduirons cela au cas des schémas. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r]_a \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ V \ar[r]^b & Y }\] Puisque \(a\) est surjectif et étale, il découle du lemme 0EPY qu’il suffit de prouver l’égalité des cycles après image réciproque par \(a\). On peut utiliser le lemme 0EQ2 pour écrire \[b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \to V)_*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] où la somme est indexée par les composantes irréductibles \(V'\) de \(V\). En utilisant le lemme 0EPD, on trouve \[h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum (V' \times_V U \to U)_*(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'})\] où \(h' : V' \times_V U \to V'\) est la projection. On peut appliquer le lemme dans le cas des schémas (Homologie de Chow, lemme 0EPH) au morphisme \(h' : V' \times_V U \to V'\) pour voir que l’on a \[(h')^*\text{div}_{V'}(g \circ b|_{V'}) = \sum m_{U', V' \times_V U} (U' \to V' \times_V U)_*\text{div}_{U'}(g \circ b|_{V'} \circ h'|_{U'})\] où la somme est indexée par les composantes irréductibles \(U'\) de \(V' \times_V U\). Chaque \(U'\) apparaissant dans cette somme est une composante irréductible de \(U\) et inversement chaque composante irréductible \(U'\) de \(U\) est une composante irréductible de \(V' \times_V U\) pour une composante irréductible unique \(V' \subset V\). Étant donné une composante irréductible \(U' \subset U\), notons \(\overline{a(U')} \subset X\) l’« image » dans \(X\) (lemme 0EEG) ; c’est une composante irréductible de \(X\) par exemple d’après le lemme 0EP5. La multiplicité \(m_{U', V' \times_V U}\) est égale à la multiplicité \(m_{\overline{a(U')}, X}\). Cela découle de l’égalité \(h^*a^*[Y] = b^*f^*[Y]\) (lemme 0EPA), des définitions et du lemme 0EPY. En combinant tout ce que nous venons de dire, nous obtenons \[a^*f^*\text{div}_Y(g) = h^*b^*\text{div}_Y(g) = \sum m_{\overline{a(U')}, X} (U' \to U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] À présent, analysons ce que devient le membre de droite de la formule de l’énoncé après image réciproque par \(a\). Tout d’abord, le lemme 0EPD donne \[a^*\sum m_{X', X} (X' \to X)_*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum m_{X', X} (X' \times_X U \to U)_*(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'})\] où \(a' : X' \times_X U \to X'\) est la projection. Par le lemme 0EQ2, on obtient \[(a')^*\text{div}_{X'}(g \circ f|_{X'}) = \sum (U' \to X' \times_X U)_*\text{div}_{U'}(g \circ (f \circ a)|_{U'})\] où la somme est indexée par les composantes irréductibles \(U'\) de \(X' \times_X U\). Ces \(U'\) sont des composantes irréductibles de \(U\) et sont en fait exactement les composantes irréductibles de \(U\) telles que \(\overline{a(U')} = X'\). La comparaison avec ce qui précède permet de conclure.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit donnée une équivalence rationnelle \(\alpha \sim_{rat} \beta\) entre deux \(k\)-cycles sur \(Y\). Alors \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\) comme \((k + r)\)-cycles sur \(X\).
Démonstration
Que faut-il montrer ? Supposons que l’on se donne une famille \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] d’immersions fermées, chaque \(W_j\) étant intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), ainsi que des fonctions rationnelles \(g_j \in R(W_j)^*\). Supposons en outre que la famille \(\{|i_j|(|W_j|)\}_{j \in J}\) soit localement finie dans \(|Y|\). Il faut alors montrer que \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] est rationnellement équivalent à zéro sur \(X\). La somme de droite a un sens d’après le lemme 0EP6.
Considérons les produits fibrés \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] et notons \(f_j : W'_j \to W_j\) la première projection. Par le lemme 0EPD, nous pouvons écrire la somme ci-dessus sous la forme \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] Par le lemme 0EQA, on voit que chaque \(f_j^*\text{div}(g_j)\) est rationnellement équivalent à zéro sur \(W'_j\). Par conséquent, chaque \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\) est rationnellement équivalent à zéro. Il en va de même pour la somme affichée par la discussion dans la remarque 0EQ8.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre. Supposons que \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) soient rationnellement équivalents. Alors \(p_*\alpha\) est rationnellement équivalent à \(p_*\beta\).
Démonstration
Que faut-il montrer ? Supposons que l’on se donne une famille \[i_j : W_j \longrightarrow X\] d’immersions fermées, chaque \(W_j\) étant intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), ainsi que des fonctions rationnelles \(f_j \in R(W_j)^*\). Supposons en outre que la famille \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) soit localement finie dans \(X\). Il faut alors montrer que \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] est rationnellement équivalent à zéro sur \(X\).
Remarquons que la somme est égale à \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] Soit \(W'_j \subset Y\) le sous-espace fermé intègre qui est l’image de \(p \circ i_j\) ; voir le lemme 0EEG. La famille \(\{W'_j\}\) est localement finie dans \(Y\) par le lemme 0ENZ. Il suffit donc de montrer, pour un \(j\) donné, soit que \(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\), soit que ce cycle soit égal à \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\) pour un certain \(g_j \in R(W'_j)^*\).
Les arguments ci-dessus nous ramènent donc au cas d’un seul sous-espace fermé intègre \(W \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Soit \(f \in R(W)^*\). Soit \(W' = p(W)\) comme ci-dessus. On obtient un diagramme commutatif de morphismes \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] Remarquons que \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\) d’après le lemme 0EP2. Comme expliqué ci-dessus, nous devons montrer que \((p')_*\text{div}(f)\) est le diviseur d’une fonction rationnelle sur \(W'\) ou zéro. Il y a trois cas à distinguer.
Le cas \(\dim_\delta(W') < k\). Dans ce cas automatiquement \((p')_*\text{div}(f) = 0\) et il n’y a rien à prouver.
Le cas \(\dim_\delta(W') = k\). Montrons que \((p')_*\text{div}(f) = 0\) dans ce cas. Puisque \((p')_*\text{div}(f)\) est un \(k\)-cycle, nous voyons que \((p')_*\text{div}(f) = n[W']\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). Afin de prouver que \(n = 0\), on peut remplacer \(W'\) par un sous-espace ouvert non vide. En particulier, nous pouvons supposer, et supposons, que \(W'\) est un schéma. Soit \(\eta \in W'\) le point générique. Soit \(K = \kappa(\eta) = R(W')\) le corps des fonctions. Considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r]^\eta & W' }\] Remarquons que \(c\) est propre. De plus, \(|W_\eta|\) est de dimension \(1\) : le lemme 0AC8 d’Espaces décents identifie \(|W_\eta|\) à la partie de \(|W|\) formée des points s’envoyant sur \(\eta\) ; or, puisque \(\dim_\delta(W) = k + 1\) et \(\delta(\eta) = k\), les points de \(W_\eta\) ont nécessairement une valeur \(\delta\) égale à \(k\) ou à \(k + 1\). Ainsi, les anneaux locaux sont de dimension \(\leq 1\) d’après Espaces décents, lemme 0ED1. Par Espaces sur les corps, lemme 0ADD, on voit que \(W_\eta\) est un schéma. Puisque \(\Spec(K)\) est la limite des sous-schémas ouverts affines non vides de \(W'\), nous concluons que nous pouvons supposer que \(W\) est un schéma d’après Limites d’espaces, lemme 07SR. Enfin, le cas des schémas (Homologie de Chow, lemme 02S2) donne \(n = 0\).
Le cas \(\dim_\delta(W') = k + 1\). Dans ce cas, le lemme 0EQ4 s’applique, et on voit qu’en effet \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\) pour un certain \(g \in R(W')^*\), comme voulu.
Le diviseur associé à un faisceau inversible
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02SI. La définition suivante est l’analogue d’Espaces sur les corps, définition 0EPU, dans notre cadre.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(X\) soit intègre et que \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.
Pour toute section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\), nous définissons le diviseur de Weil associé à \(s\) comme le \((n - 1)\)-cycle \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] défini dans Espaces sur les corps, définition 0EPU. Cela a un sens car les diviseurs de Weil sont de \(\delta\)-dimension \(n - 1\) par le lemme 0EPZ.
Nous définissons le diviseur de Weil associé à \(\mathcal{L}\) comme \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{class of }\text{div}_\mathcal{L}(s) \in \CH_{n - 1}(X)\] où \(s\) est une section méromorphe non nulle quelconque de \(\mathcal{L}\) sur \(X\). Cette définition ne dépend pas du choix, d’après Espaces sur les corps, lemme 0EPT.
Le schéma des zéros d’une section non nulle est un diviseur de Cartier effectif dont la classe de Weil donne le diviseur de Weil associé au module inversible.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(X\) soit intègre et que \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section globale non nulle. Alors \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] dans \(Z_{n - 1}(X)\) et \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] dans \(\CH_{n - 1}(X)\).
Démonstration
Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Soit \(\xi \in |Z|\) son point générique. Pour prouver la première égalité, comparons les coefficients de \(Z\) dans les deux membres. Choisissons un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, \xi)\) ; voir Espaces décents, section 0EMV, et rappelons que \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h = \mathcal{O}_{U, u}^h\) dans ce cas. Après avoir remplacé \(U\) par un voisinage ouvert de \(u\), nous pouvons supposer qu’il existe une section banalisante \(s_U\) de \(\mathcal{L}|_U\). Écrivons \(s|_U = f s_U\) pour un certain \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). Alors \(Z \times_X U\) est égal à \(V(f)\) comme sous-schéma fermé de \(U\) ; voir Diviseurs sur les espaces, définition 0845. Comme dans Espaces sur les corps, section 0ENV, notons \(\mathcal{L}_\xi\) l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) par le morphisme canonique \(c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \to X\). Notons \(s_\xi\) l’image réciproque de \(s_U\) ; c’est une banalisation de \(\mathcal{L}_\xi\). Alors \(c_\xi^*(s) = fs_\xi\). Le coefficient de \(Z\) dans \([Z(s)]_{n - 1}\) est par définition \[\text{length}_{\mathcal{O}_{U, u}}(\mathcal{O}_{U, u}/f\mathcal{O}_{U, u})\] Puisque \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \xi}^h\) est plat et identifie les corps résiduels, cela est égal à \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h} (\mathcal{O}_{X, \xi}^h/f\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\] par Algèbre, lemme 02M1. Cette dernière quantité est égale à \(\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)\) par Espaces sur les corps, définition 0EPR, c’est-à-dire au coefficient de \(Z\) dans \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) comme voulu.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Le morphisme \[q : T = \underline{\Spec}\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \longrightarrow X\] a les propriétés suivantes :
\(q\) est surjectif, lisse, affine, de dimension relative \(1\),
il existe un isomorphisme \(\alpha : q^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\),
la formation de \((q : T \to X, \alpha)\) commute aux changements de base,
\(q^* : Z_k(X) \to Z_{k + 1}(T)\) est injectif,
si \(Z \subset X\) est un sous-espace fermé intègre, alors \(q^{-1}(Z) \subset T\) est un sous-espace fermé intègre,
si \(Z \subset X\) est un sous-espace fermé de \(X\) de \(\delta\)-dimension \(\leq k\), alors \(q^{-1}(Z)\) est un sous-espace fermé de \(T\) de \(\delta\)-dimension \(\leq k + 1\) et \(q^*[Z]_k = [q^{-1}(Z)]_{k + 1}\),
si \(\xi' \in |T|\) est le point générique de la fibre de \(|T| \to |X|\) sur \(\xi\), alors l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{T, \xi'}^h\) est plat, nous avons \(\mathfrak m_{\xi'}^h = \mathfrak m_\xi^h \mathcal{O}_{T, \xi'}^h\), et l’extension de corps résiduels est purement transcendante, de degré de transcendance \(1\), et
ajouter ici d’autres propriétés au besoin.
Démonstration
Soit \(U \to X\) un morphisme étale tel que \(\mathcal{L}|_U\) soit trivial. Alors \(T \times_X U \to U\) est isomorphe au morphisme de projection \(\mathbf{G}_m \times U \to U\), où \(\mathbf{G}_m\) est le schéma en groupes multiplicatif ; voir Groupoïdes, exemple 022U. Ainsi (1) est clair.
Pour (2), remarquons que \(q_*q^*\mathcal{L} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n + 1}\). Il existe donc un isomorphisme évident \(q_*q^*\mathcal{L} \to q_*\mathcal{O}_T\) de \(q_*\mathcal{O}_T\)-modules. D’après Morphismes d’espaces, lemme 08AI, cela détermine un isomorphisme \(q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\).
La partie (3) résulte du fait que la formation du spectre relatif commute à tout changement de base ; il en va clairement de même pour l’isomorphisme \(\alpha\).
La partie (4) découle immédiatement de (1) et des définitions.
La partie (5) découle du fait que si \(Z\) est un espace algébrique intègre, alors \(\mathbf{G}_m \times Z\) est un espace algébrique intègre.
La partie (6) découle de la conservation des longueurs : si \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local, si \(B = A[x]_{\mathfrak m A[x]}\) et si \(M\) est un \(A\)-module, alors \(\text{length}_A(M) = \text{length}_B(M \otimes_A B)\). Cela implique que, si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, si \(\xi \in |X|\) et si \(\xi' \in |T|\) est le point générique de la fibre au-dessus de \(\xi\), alors la longueur de \(\mathcal{F}\) en \(\xi\) est égale à celle de \(q^*\mathcal{F}\) en \(\xi'\). En remontant les définitions, on obtient (6), et même davantage.
L’homomorphisme de la partie (7) provient d’Espaces décents, remarque 0EPL. Cependant, dans notre cas, nous avons \[\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \times_X T = \mathbf{G}_m \times \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) = \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h[t, t^{-1}])\] et \(\xi'\) correspond au point générique de la fibre spéciale de ce morphisme au-dessus de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h)\). Ainsi \(\mathcal{O}_{T, \xi'}^h\) est l’hensélisation de la localisation de \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h[t, t^{-1}]\) en l’idéal premier correspondant. La partie (7) en découle par quelques résultats d’algèbre commutative ; détails omis.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que \(X\) soit intègre. Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\). Soit \(q : T \to X\) le morphisme du lemme 0EQG. Alors \[q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_T(q^*(s))\] où nous considérons l’image réciproque \(q^*(s)\) comme une fonction méromorphe non nulle sur \(T\) au moyen de l’isomorphisme \(q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\).
Démonstration
Remarquons que \(\text{div}_T(q^*(s)) = \text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\) par la compatibilité entre les constructions données dans Espaces sur les corps, sections 0ENI et 0ENV. Dans cette preuve, nous établirons l’égalité avec \(\text{div}_{\mathcal{O}_T}(q^*(s))\). Nous utiliserons toutes les propriétés de \(q : T \to X\) indiquées dans le lemme 0EQG sans autre mention. Soit \(Z \subset T\) un diviseur premier. Ou bien \(Z \to X\) est dominant, ou bien \(Z = q^{-1}(Z')\) pour un diviseur premier \(Z' \subset X\). Si \(Z \to X\) est dominant, alors le coefficient de \(Z\) dans chacun des deux membres de l’égalité du lemme est nul. On peut donc supposer \(Z = q^{-1}(Z')\) où \(Z' \subset X\) est un diviseur premier. Soit \(\xi' \in |Z'|\) et \(\xi \in |Z|\) les points génériques. On obtient alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{T, \xi}^h) \ar[r]_-{c_\xi} \ar[d]_h & T \ar[d]^q \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi'}^h) \ar[r]^-{c_{\xi'}} & X }\] voir Espaces décents, remarque 0EPL. Choisissons une banalisation \(s_{\xi'}\) de \(\mathcal{L}_{\xi'} = c_{\xi'}^*\mathcal{L}\). Nous pouvons alors utiliser l’image réciproque \(s_\xi\) de \(s_{\xi'}\) par \(h\) comme banalisation de \(\mathcal{L}_\xi = c_\xi^* q^*\mathcal{L}\). Écrivons \(s/s_{\xi'} = a/b\) avec \(a, b \in \mathcal{O}_{X, \xi'}\) non-diviseurs de zéro. Par définition, le coefficient de \(Z'\) dans \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) est \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/a \mathcal{O}_{X, \xi'}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi'}^h}( \mathcal{O}_{X, \xi'}^h/b \mathcal{O}_{X, \xi'}^h)\] Puisque \(Z = q^{-1}(Z')\), c’est aussi le coefficient de \(Z\) dans \(q^*\text{div}_\mathcal{L}(s)\). Étant donné que \(\mathcal{O}_{X, \xi'}^h \to \mathcal{O}_{T, \xi}^h\) est plat, les éléments \(a, b\) sont envoyés sur des non-diviseurs de zéro dans \(\mathcal{O}_{T, \xi}^h\). Ainsi \(q^*(s)/s_\xi = a/b\) dans l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{T, \xi}^h\). Par définition, le coefficient de \(Z\) dans \(\text{div}_T(q^*(s))\) est \[\text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/a \mathcal{O}_{T, \xi}^h) - \text{length}_{\mathcal{O}_{T, \xi}^h}( \mathcal{O}_{T, \xi}^h/b \mathcal{O}_{T, \xi}^h)\] La preuve est achevée, car ces longueurs sont les mêmes que précédemment d’après Algèbre, lemme 02M1, et l’égalité \(\mathfrak m_\xi^h = \mathfrak m_{\xi'}^h\mathcal{O}_{T, \xi}^h\) établie dans le lemme 0EQG.
Intersection avec un faisceau inversible
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02SN. Dans cette section, nous étudions la construction suivante.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. On définit, pour tout entier \(k\), une opération \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] appelée intersection avec la première classe de Chern de \(\mathcal{L}\).
Étant donné un sous-espace fermé intègre \(i : W \to X\) avec \(\dim_\delta(W) = k + 1\), nous définissons \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] où le membre de droite est défini dans la définition 0EQE.
Pour un \((k + 1)\)-cycle général \(\alpha = \sum n_i [W_i]\), nous définissons \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\]
Écrivons chaque \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\), où \(\{Z_{i, j}\}_j\) est une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres de \(W_i\). Puisque \(\{W_i\}\) est une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres de \(X\), il s’ensuit facilement que \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\) est une famille localement finie de sous-espaces fermés de \(X\). \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\) est donc un cycle. Une autre interprétation, souvent plus commode, consiste à observer que le morphisme \(\coprod W_i \to X\) est propre. Par conséquent, \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) peut être considéré comme l’image directe d’une classe dans \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\). Cela explique aussi pourquoi le résultat est bien défini modulo l’équivalence rationnelle sur \(X\).
L’objectif principal des prochaines sections est de montrer que l’intersection par \(c_1(\mathcal{L})\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle. Cela n’est pas immédiat.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Alors \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] dans \(\CH_k(X)\) pour tout \(\alpha \in Z_{k - 1}(X)\). De plus, \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\) pour tout \(\alpha\).
Démonstration
L’additivité découle directement d’Espaces sur les corps, lemme 0EPV et des définitions. Pour voir que \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\), considérons la section \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Celle-ci se restreint en une section partout non nulle sur tout sous-espace fermé intègre \(W \subset X\). D’où \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\), comme voulu.
Rappelons que \(Z(s) \subset X\) désigne le schéma des zéros d’une section globale \(s\) d’un faisceau inversible sur un espace algébrique \(X\), voir Diviseurs sur les espaces, définition 0845.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(Y/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) une section régulière et supposons \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\). Écrivons \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\) où \(Y_i \subset Y\) sont les composantes irréductibles de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Posons \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\). Alors [0EQM]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] comme \(k\)-cycles sur \(Y\).
Démonstration
Soit \(\varphi : V \to Y\) un morphisme étale surjectif, où \(V\) est un schéma. Il suffit de démontrer l’égalité après image réciproque par \(\varphi\) ; voir le lemme 0EPY. Ce même lemme nous dit que \(\varphi^*[Y_i] = [\varphi^{-1}(Y_i)] = \sum [V_{i, j}]\) où \(V_{i, j}\) sont les composantes irréductibles de \(V\) situées au-dessus de \(Y_i\). Par conséquent, si nous appliquons d’abord le cas des schémas (Homologie de Chow, lemme 0EPI) à \(\varphi^*s_i\) sur \(Y_i \times_Y V\), nous trouvons que \(\varphi^*[Z(s_i)]_k = [Z(\varphi^*s_i)] = \sum [Z(s_{i, j})]_k\) où \(s_{i, j}\) est l’image réciproque de \(s\) sur \(V_{i, j}\). En appliquant le cas des schémas à \(\varphi^*s\), on obtient \[\varphi^*[Z(s)]_k = [Z(\varphi^*s)]_k = \sum n_i[Z(s_{i, j})]_k\] par notre remarque sur les multiplicités ci-dessus. En combinant tout ce qui précède, la preuve est complète.
Le lemme suivant permet de calculer le produit d’intersection de la classe \(c_1\) d’un faisceau inversible avec le cycle associé à un sous-schéma fermé. Rappelons que \(Z(s) \subset X\) désigne le schéma des zéros d’une section globale \(s\) d’un faisceau inversible sur un schéma \(X\) ; voir Diviseurs, définition 02OQ.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé avec \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\), et soit \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\) une section régulière. Alors \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] dans \(\CH_k(X)\).
Démonstration
Écrivons \[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] où \(Y_i \subset Y\) sont les composantes irréductibles de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) et \(n_i > 0\). Par hypothèse, la restriction \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\) n’est pas nulle et constitue donc une section régulière. D’après le lemme 0EQF, \([Z(s_i)]_k\) représente \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\). Par définition, \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] Le résultat découle donc du lemme 0EQL.
Intersection avec un faisceau inversible, image directe et image réciproque
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 0AYA. Dans cette section, nous prouvons que l’opération \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) commute avec l’image réciproque plate et l’image directe propre.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Supposons \(Y\) intègre et posons \(n = \dim_\delta(Y)\). Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\). Alors \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] dans \(Z_{n + r - 1}(X)\). Ici, la somme porte sur les composantes irréductibles \(X_i \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(n + r\), la section \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\) est l’image réciproque de \(s\) et \(n_i = m_{X_i, X}\) est la multiplicité de \(X_i\) dans \(X\).
Démonstration
Par une astuce, nous allons déduire cet énoncé du lemme 0EQA. (Une alternative est de refaire la preuve de ce lemme dans le cadre de sections méromorphes de modules inversibles.) Plus précisément, soit \(q : T \to Y\) le morphisme du lemme 0EQG construit en utilisant \(\mathcal{L}\) sur \(Y\). Nous utiliserons toutes les propriétés de \(T\) énoncées dans ce lemme. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] Alors \(q' : T' \to X\) est le morphisme construit en utilisant \(f^*\mathcal{L}\) sur \(X\). Il suffit alors de démontrer \[(q')^*f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i (q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] Remarquons que \(T'_i = q^{-1}(X_i)\) sont les composantes irréductibles de \(T'\) et que \(n_i\) est la multiplicité de \(T'_i\) dans \(T'\). Le membre de gauche est égal à \[h^*q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = h^*\text{div}_T(q^*(s))\] par le lemme 0EQH (et le lemme 0EPA). D’autre part, si \(q'_i : T'_i \to X_i\) désigne la restriction de \(q'\), nous constatons que le lemme 0EQH nous dit également que le membre de droite est égal à \[\sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\] Dans ces deux formules, les expressions \(q^*(s)\) et \((q'_i)^*(s_i)\) représentent les fonctions rationnelles correspondant aux sections méromorphes de \(q^*\mathcal{L}\) et de \((q'_i)^*f^*\mathcal{L}|_{X_i}\) obtenues par image réciproque ; l’identification se fait au moyen de l’isomorphisme \(\alpha : q^*\mathcal{L} \to \mathcal{O}_T\) et de ses images réciproques sur les espaces au-dessus de \(T\). Avec cette convention, il est clair que \((q'_i)^*(s_i)\) est la composition de la fonction rationnelle \(q^*(s)\) sur \(T\) et du morphisme \(h|_{T'_i} : T'_i \to T\). Ainsi le lemme 0EQA dit exactement que \[h^*\text{div}_T(q^*(s)) = \sum n_i \text{div}_{T_i}((q'_i)^*(s_i))\] comme voulu.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Soit \(\alpha\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). Alors \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\).
Démonstration
Écrivons \(\alpha = \sum n_i[W_i]\). Nous allons montrer que \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\) en produisant une équivalence rationnelle sur le sous-espace fermé \(f^{-1}(W_i)\) de \(X\). D’après la discussion de la remarque 0EQ8, cela prouvera que l’égalité du lemme est vraie.
Soit \(W \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Considérons le sous-espace fermé \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\), ce qui donne le diagramme cartésien \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] Nous devons montrer que \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\). Choisissons une section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}|_W\). Soient \(W'_i \subset W'\) les composantes irréductibles de \(\delta\)-dimension \(k + r\). Écrivons \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\) avec \(n_i\) la multiplicité de \(W'_i\) dans \(W'\) selon la définition. Donc \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\) dans \(Z_{k + r}(X)\). Puisque chaque \(W'_i \to W\) est dominant, nous voyons que \(s_i = s|_{W'_i}\) est une section méromorphe non nulle pour tout \(i\). Par le lemme 0EQQ, nous avons l’égalité de cycles suivante \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] dans \(Z_{k + r - 1}(W')\). Ceci achève la preuve, puisque le membre de gauche est un cycle sur \(W'\) dont l’image directe est \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\) dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\) et le membre de droite est un cycle sur \(W'\) dont l’image directe est \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\) dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Supposons \(X\), \(Y\) intègres, \(f\) dominant et \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Soit \(s\) une section méromorphe non nulle, la notation \(s\) désignant une section de \(\mathcal{L}\) sur \(Y\). Alors \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] Il s’agit d’une égalité de cycles sur \(Y\). En particulier, \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[Y].\]
Démonstration
La dernière égalité découle de la première puisque \(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\) par définition. Démontrons la première égalité. Soit \(q : T \to Y\) le morphisme du lemme 0EQG construit en utilisant \(\mathcal{L}\) sur \(Y\). Nous utiliserons toutes les propriétés de \(T\) énoncées dans ce lemme. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{q'} \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^q & Y }\] Alors \(q' : T' \to X\) est le morphisme construit en utilisant \(f^*\mathcal{L}\) sur \(X\). Il suffit de démontrer l’égalité après image réciproque sur \(T'\). L’image réciproque du membre de gauche vaut \[\begin{align*} q^*f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) & = h_*(q')^*\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{(q')^*f^*\mathcal{L}}((q')^*f^*s) \\ & = h_*\text{div}_{h^*q^*\mathcal{L}}(h^*q^*s) \end{align*}\] La première égalité découle du lemme 0EPD. La deuxième découle du lemme 0EQQ, puisque \(T'\) est intègre. La troisième résulte de la commutativité du diagramme affiché. L’image réciproque du membre de droite est \[[R(X) : R(Y)]q^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = [R(T') : R(T)]\text{div}_{q^*\mathcal{L}}(q^*s)\] Cela découle du lemme 0EQQ, du fait que \(T\) est intègre, et de l’égalité \([R(T') : R(T)] = [R(X) : R(Y)]\) dont nous omettons la preuve (cela découle du lemme 0EPD, mais ce serait une manière inutilement détournée de démontrer l’égalité). Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(h : T' \to T\), le module inversible \(q^\mathcal{L}\) et la section \(q^*s\). Puisque \(q^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_T\), nous nous ramenons au cas où \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}\) discuté dans le paragraphe suivant.
Supposons que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\). Dans ce cas \(s\) correspond à une fonction rationnelle \(g \in R(Y)\). En utilisant le plongement \(R(Y) \subset R(X)\), nous pouvons considérer \(g\) comme une fonction rationnelle sur \(X\) et il s’agit simplement de démontrer \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] En comparant avec le résultat du lemme 0EQ4, nous voyons que cela est vrai puisque \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\) pour \(g \in R(Y)^*\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Alors \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] dans \(\CH_k(Y)\).
Démonstration
Supposons que \(p\) ait la propriété que, pour tout sous-espace fermé intègre \(W \subset X\), l’application \(p|_W : W \to Y\) est une immersion fermée. Alors, par définition de l’intersection avec \(c_1(\mathcal{L})\), le lemme est valable.
Nous allons utiliser cette remarque pour nous ramener à un cas particulier. Plus précisément, écrivons \(\alpha = \sum n_i[W_i]\) avec \(n_i \not = 0\) et \(W_i\) distincts deux à deux. Soit \(W'_i \subset Y\) l’« image » de \(W_i\) comme dans le lemme 0EEG. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] Puisque \(\{W_i\}\) est localement fini sur \(X\) et que \(p\) est propre, on voit que \(\{W'_i\}\) est localement fini sur \(Y\) et que \(q, q', p'\) sont eux aussi des morphismes propres. Nous pouvons également considérer \(\sum n_i[W_i]\) comme un \(k\)-cycle \(\alpha' \in Z_k(X')\). Clairement, \(q_*\alpha' = \alpha\). Nous avons \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\) et \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\) par la remarque initiale de la preuve. Il suffit donc de démontrer le lemme pour le morphisme \(p'\) et le cycle \(\sum n_i[W_i]\). Cela signifie que nous pouvons supposer \(X\), \(Y\) intègres, \(f : X \to Y\) dominant et \(\alpha = [X]\). Dans ce cas, le résultat découle du lemme 0EQS.
La formule clé
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 0AYB. Nous recommandons vivement au lecteur de lire d’abord la preuve dans ce cas.
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\) et soit \(t\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}\). Soit \(Z \subset X\) un diviseur premier ayant pour point générique \(\xi \in |Z|\). Considérons le morphisme \[c_\xi : \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}^h) \longrightarrow X\] utilisé dans Espaces sur les corps, section 0ENV. Nous notons \(\mathcal{L}_\xi\) et \(\mathcal{N}_\xi\) les images réciproques de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) par \(c_\xi\) ; nous considérons souvent \(\mathcal{L}_\xi\) et \(\mathcal{N}_\xi\) comme les modules libres de rang \(1\) sur \(\mathcal{O}_{X, \xi}^h\) qu’ils définissent. Notons que l’image réciproque de \(s\), resp. \(t\), est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}_\xi\), resp. \(\mathcal{N}_\xi\).
Soit \(Z_i \subset X\), \(i \in I\), une famille localement finie de diviseurs premiers ayant la propriété suivante : si \(Z \not \in \{Z_i\}\), alors \(s\) est un générateur de \(\mathcal{L}_\xi\) et \(t\) est un générateur de \(\mathcal{N}_\xi\). Une telle famille existe d’après le lemme d’Espaces sur les corps 0EPS. Alors \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] et de même \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] En explicitant davantage les définitions, choisissons pour tout \(i\) des générateurs \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) et \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\), où \(\xi_i\) est le point générique de \(Z_i\). Nous pouvons alors écrire \[s = f_i s_i \quad\text{et}\quad t = g_i t_i\] où \(f_i, g_i\) sont des éléments inversibles de l’anneau total des fractions \(Q(\mathcal{O}_{X, \xi_i}^h)\). Posons, pour abréger, \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}^h\). Notons \[\text{ord}_{B_i} : Q(B_i)^* \longrightarrow \mathbf{Z},\quad a/b \longmapsto \text{length}_{B_i}(B_i/aB_i) - \text{length}_{B_i}(B_i/bB_i)\] Autrement dit, nous étendons provisoirement la définition 02MD d’Algèbre à ces anneaux locaux noethériens réduits de dimension \(1\). Alors, par définition, \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{et}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] Puisque \(\xi_i\) est le point générique de \(Z_i\), nous voyons que le corps résiduel \(\kappa(\xi_i)\) est le corps des fonctions de \(Z_i\). De plus, \(\kappa(\xi_i)\) est le corps résiduel de \(B_i\) ; voir le lemme d’Espaces décents 0EN0. Puisque \(t_i\) est un générateur de \(\mathcal{N}_{\xi_i}\), on voit que son image dans la fibre \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes_{B_i} \kappa(\xi_i)\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}|_{Z_i}\). Nous noterons cette image \(t_i|_{Z_i}\). Il résulte de nos définitions que \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] et de même \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\). Nous allons construire une équivalence rationnelle entre ces deux cycles. Pour cela, considérons le symbole modéré \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^* = R(Z_i)^*\] voir la section 0EAH de l’Homologie de Chow.
Lemme
Dans la situation ci-dessus, le cycle \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] est égal au cycle \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\]
Démonstration
Voici la stratégie de la preuve : nous nous ramenons d’abord au cas où \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sont des modules inversibles triviaux, puis nous modifions nos choix de banalisations locales et, enfin, nous utilisons la localisation étale pour nous ramener au cas des schémas1.
Première étape. Soit \(q : T \to X\) le morphisme construit dans le lemme 0EQG. Nous utiliserons toutes les propriétés énoncées dans ce lemme sans plus ample mention. En particulier, il suffit de montrer que les cycles deviennent égaux après passage aux images réciproques par \(q\). Désignons par \(s'\) et \(t'\) les images réciproques de \(s\) et \(t\), vues comme sections méromorphes de \(q^*\mathcal{L}\) et \(q^*\mathcal{N}\). Notons \(Z'_i = q^{-1}(Z_i)\), notons \(\xi'_i \in |Z'_i|\) le point générique, notons \(B'_i = \mathcal{O}_{T, \xi'_i}^h\), notons \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\) et \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\) les images réciproques de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sur \(\Spec(B'_i)\). Rappelons que nous avons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \Spec(B'_i) \ar[r]_-{c_{\xi'_i}} \ar[d] & T \ar[d]^q \\ \Spec(B_i) \ar[r]^-{c_{\xi_i}} & X }\] voir la remarque d’Espaces décents 0EPL. Notons \(s'_i\) et \(t'_i\) les images réciproques de \(s_i\) et \(t_i\) ; ce sont des générateurs de \(\mathcal{L}_{\xi'_i}\) et \(\mathcal{N}_{\xi'_i}\). Alors \[s' = f'_i s'_i \quad\text{et}\quad t' = g'_i t'_i\] où \(f'_i\) et \(g'_i\) sont les images de \(f_i, g_i\) par l’application \(Q(B_i) \to Q(B'_i)\) induite par \(B_i \to B'_i\). D’après le lemme d’Algèbre 02M1, nous avons \[\text{ord}_{B_i}(f_i) = \text{ord}_{B'_i}(f'_i) \quad\text{et}\quad \text{ord}_{B_i}(g_i) = \text{ord}_{B'_i}(g'_i)\] Par le lemme 0EQQ appliqué au morphisme \(q : Z'_i \to Z_i\), nous avons \[q^*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{N}|_{Z'_i}}(t'_i|_{Z'_i}) \quad\text{et}\quad q^*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = \text{div}_{q^*\mathcal{L}|_{Z'_i}}(s'_i|_{Z'_i})\] Cela montre déjà que l’image réciproque du premier cycle de l’énoncé du lemme est le cycle correspondant aux données \(s', t', Z'_i, s'_i, t'_i\). Pour établir la même assertion pour le second, remarquons que le lemme de l’Homologie de Chow 0EPG donne \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \mapsto \partial_{B'_i}(f'_i, g'_i) \quad\text{via}\quad \kappa(\xi_i) \to \kappa(\xi'_i)\] Le même lemme qu’auparavant montre donc que \[q^*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = \text{div}(\partial_{B'_i}(f'_i, g'_i))\] Puisque \(q^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\), nous constatons qu’il suffit de démontrer l’égalité dans le cas où \(\mathcal{L}\) est trivial. En échangeant les rôles de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\), nous voyons que nous pouvons de même supposer que \(\mathcal{N}\) est trivial. Ceci achève la preuve de la première étape.
Deuxième étape. Supposons \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\). Désignons par \(1\) la section qui banalise \(\mathcal{L}\). Alors \(s_i = u \cdot 1\) pour une certaine unité \(u \in B_i\). Examinons ce qui se passe si nous remplaçons \(s_i\) par \(1\). Alors, \(f_i\) est remplacé par \(u f_i\). Ainsi la première partie de la première expression du lemme est inchangée et au second terme nous ajoutons \[\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] où \(u|_{Z_i}\) est l’image de \(u\) dans le corps résiduel, d’après le lemme d’Espaces sur les corps 0EPT, et à la deuxième expression nous ajoutons \[\text{div}(\partial_{B_i}(u, g_i))\] par bilinéarité du symbole modéré. Ces termes sont égaux en vertu de la propriété du symbole modéré donnée par l’équation de l’Homologie de Chow (0EAN).
Soit \(Y \subset X\) un sous-espace fermé intègre avec \(\dim_\delta(Y) = n - 2\). Pour montrer que les coefficients de \(Y\) dans les deux cycles du lemme sont égaux, nous pouvons remplacer \(s_i\) par \(1\) comme au paragraphe précédent. De même, nous pouvons remplacer \(t_i\) par \(1\). Puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de \(Z_i\) tels que \(Y \subset Z_i\), nous pouvons supposer \(s_i = 1\) et \(t_i = 1\) pour tous ces \(Z_i\).
Troisième étape. Nous montrons ici que les coefficients de \(Y\) dans les cycles du lemme coïncident pour un sous-espace fermé intègre \(Y\) avec \(\dim_\delta(Y) = n - 2\), dans la situation où, de plus, \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\), et où \(s_i = 1\) et \(t_i = 1\) pour tous les \(Z_i\) tels que \(Y \subset Z_i\). Quitte à remplacer \(X\) par un sous-espace ouvert plus petit, nous pouvons supposer que \(s_i\) et \(t_i\) sont égaux à \(1\) pour tout \(i\). Dans ce cas, le premier cycle est nul. Il reste à montrer que le coefficient de \(Y\) dans le deuxième cycle est également nul.
Tout d’abord, puisque \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\), nous identifions \(s, t\) à des fonctions rationnelles \(f, g\) sur \(X\). Puisque \(s_i\) et \(t_i\) sont égaux à \(1\), nous voyons que \(f_i\), resp. \(g_i\), est l’image de \(f\), resp. \(g\), dans \(Q(B_i)\) pour tous les \(i\). Soit \(\zeta \in |Y|\) le point générique. Choisissons un voisinage étale \[(U, u) \longrightarrow (X, \zeta)\] et notons \(Y' = \overline{\{u\}} \subset U\). Puisqu’un morphisme étale est plat, nous pouvons prendre les images réciproques de \(f\) et \(g\), qui sont des fonctions méromorphes régulières sur \(U\) que nous noterons encore \(f\) et \(g\). Pour tout diviseur premier \(Y \subset Z \subset X\), le schéma \(Z \times_X U\) est une réunion de diviseurs premiers de \(U\). Réciproquement, étant donné un diviseur premier \(Y' \subset Z' \subset U\), il existe un diviseur premier \(Y \subset Z \subset X\) tel que \(Z'\) soit une composante de \(Z \times_X U\). Pour une telle paire \((Z, Z')\), l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{X, \xi}^h \to \mathcal{O}_{U, \xi'}^h\] est étale (il est même fini étale). On obtient donc \[\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g) \mapsto \partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g) \quad\text{via}\quad \kappa(\xi) \to \kappa(\xi')\] en vertu du lemme de l’Homologie de Chow 0EPG. Ainsi le lemme 0EQ2 s’applique et montre \[(Z \times_X U \to Z)^*\text{div}_Z(\partial_{\mathcal{O}_{X, \xi}^h}(f, g)) = \sum\nolimits_{Z' \subset Z \times_X U} \text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\] Puisque l’image réciproque plate commute à l’image directe par les immersions fermées (lemme 0EPD), nous voyons qu’il suffit de démontrer que le coefficient de \(Y'\) dans \[\sum\nolimits_{Z' \subset U} (Z' \to U)_*\text{div}_{Z'}(\partial_{\mathcal{O}_{U, \xi'}^h}(f, g))\] est nul.
Soit \(A = \mathcal{O}_{U, u}\). Alors \(f, g \in Q(A)^*\). Écrivons \(f = a/b\) et \(g = c/d\), où \(a, b, c, d \in A\) sont des non-diviseurs de zéro. Le coefficient de \(Y'\) dans l’expression ci-dessus est \[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ height }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(f, g))\] Par bilinéarité de \(\partial_A\), il suffit de démontrer que \[\sum\nolimits_{\mathfrak q \subset A\text{ height }1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_\mathfrak q}(a, c))\] est nul. Il en est de même pour les autres paires \((a, d)\), \((b, c)\) et \((b, d)\). Cela résulte du lemme de l’Homologie de Chow 0EAW.
Intersection avec un faisceau inversible et équivalence rationnelle
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02TG. En appliquant le lemme clé, nous obtenons les propriétés fondamentales de l’intersection avec des faisceaux inversibles. En particulier, nous verrons que \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle et que les opérations associées à différents faisceaux inversibles commutent.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Choisissons une section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\) et une section méromorphe non nulle \(t\) de \(\mathcal{N}\). Posons \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) et \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\). Alors \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement du lemme clé 0EQV et de la discussion qui le précède.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). L’opération \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle pour donner une opération \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\]
Démonstration
Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) et \(\alpha \sim_{rat} 0\). Nous devons montrer que \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\), tel qu’il est défini dans la définition 0EQJ, est nul. D’après la définition 0EQ6, il existe une famille localement finie \(\{W_j\}\) de sous-espaces fermés intègres avec \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\) et des fonctions rationnelles \(f_j \in R(W_j)^*\) telles que \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] Notons que \(p : \coprod W_j \to X\) est un morphisme propre, et donc \(\alpha = p_*\alpha'\) où \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\) est la somme des diviseurs principaux \(\text{div}_{W_j}(f_j)\). Par le lemme 0EQT, nous avons \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\). Il suffit donc de montrer que chacun des cycles \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\) est nul. En d’autres termes, nous pouvons supposer que \(X\) est intègre et \(\alpha = \text{div}_X(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\).
Supposons \(X\) intègre et \(\alpha = \text{div}_X(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). Nous pouvons considérer \(f\) comme une section méromorphe régulière du faisceau inversible \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\). Choisissons une section méromorphe \(s\) de \(\mathcal{L}\) et posons \(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\). Par le lemme 0EQX nous concluons que \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] Cependant, le lemme 0EQK montre que le membre de droite est nul dans \(\CH_k(X)\), comme voulu.
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Nous noterons \[c_1(\mathcal{L})^s \cap - : \CH_{k + s}(X) \to \CH_k(X)\] l’opération \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\). Cette notation a un sens d’après le lemme 0EQY. Nous noterons \(c_1(\mathcal{L}^s \cap -\) l’itérée \(s\)-ième de cette opération pour tout \(s \geq 0\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Pour tout \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\), nous avons \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] comme éléments de \(\CH_k(X)\).
Démonstration
Écrivons \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\) pour une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres \(Z_j \subset X\) avec \(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\). Considérons le morphisme propre \(p : \coprod Z_j \to X\). Posons \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\) comme un \((k + 2)\)-cycle sur \(\coprod Z_j\). Après plusieurs applications du lemme 0EQT, nous voyons que \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\) et \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\). Il suffit donc de démontrer la formule dans le cas où \(X\) est intègre et \(\alpha = [X]\). Dans ce cas, le résultat découle du lemme 0EQX et des définitions.
Intersection avec les diviseurs de Cartier effectifs
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02T7. Nous renvoyons à l’introduction de cette section pour les motivations.
Rappelons que les diviseurs de Cartier effectifs correspondent de façon \(1\)-à-\(1\) aux classes d’isomorphisme de couples \((\mathcal{L}, s)\) où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible et \(s\) une section globale ; voir le lemme de Diviseurs sur les espaces 0847. Si \(D\) correspond à \((\mathcal{L}, s)\), alors \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). Gardons ce fait à l’esprit au cours de cette section.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s)\) un couple constitué d’un faisceau inversible et d’une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(D = Z(s)\) le schéma des zéros de \(s\), et notons \(i : D \to X\) l’immersion fermée. Nous définissons, pour tout entier \(k\), un homomorphisme de Gysin raffiné \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] suivant les règles ci-dessous :
Étant donné un sous-espace fermé intègre \(W \subset X\) avec \(\dim_\delta(W) = k + 1\), nous posons
si \(W \not \subset D\), alors \(i^*[W] = [D \cap W]_k\) comme \(k\)-cycle sur \(D\), et
si \(W \subset D\), alors \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\), où \(i' : W \to D\) est l’immersion fermée induite.
Pour un \((k + 1)\)-cycle général \(\alpha = \sum n_j[W_j]\), nous posons \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\]
Si \(D\) est un diviseur de Cartier effectif, nous notons \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\) l’image directe de la classe, considérée comme une classe sur \(X\).
En fait, comme nous le verrons plus tard, cet homomorphisme de Gysin \(i^*\) peut être considéré comme un exemple d’image réciproque non plate. Ainsi, nous appellerons parfois de manière informelle la classe \(i^*\alpha\) l’ image réciproque de la classe \(\alpha\).
Remarque
Soient \(S\), \(B\), \(X\), \(\mathcal{L}\), \(s\), \(i : D \to X\) les données de la définition 0ER1 et supposons que \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\). Dans ce cas, nous pouvons définir une application canonique \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\) au niveau des cycles, en imposant \(i^*[W] = 0\) lorsque \(W \subset D\). Cette possibilité sera utile plus loin.
Remarque
Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) comme dans la situation 0EDT. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 0ER1. Posons \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\), \(s' = f^*s\) et \(D' = X' \times_X D = Z(s')\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] et nous pouvons demander diverses compatibilités entre \(i^*\) et \((i')^*\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 0ER1. Soit \(\alpha\) un \((k + 1)\)-cycle sur \(X\). Alors \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) dans \(\CH_k(X)\). En particulier, si \(D\) est un diviseur de Cartier effectif, alors \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\).
Démonstration
Écrivons \(\alpha = \sum n_j[W_j]\), où \(i_j : W_j \to X\) sont les immersions de sous-espaces fermés intègres avec \(\dim_\delta(W_j) = k\). Puisque \(D\) est le schéma des zéros de \(s\), nous voyons que \(D \cap W_j\) est le schéma des zéros de la restriction \(s|_{W_j}\). Par conséquent, pour tout \(j\) tel que \(W_j \not \subset D\), nous avons \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\) par le lemme 0EQN. Nous avons donc \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] dans \(\CH_k(X)\) d’après la définition 0EQJ. Le membre de droite coïncide, terme à terme, avec l’image directe de la classe \(i^*\alpha\) sur \(D\) définie dans la définition 0ER1. Le résultat en découle.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre entre de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 0ER1. Formons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] comme dans la remarque 0ER3. Pour tout \((k + 1)\)-cycle \(\alpha'\) sur \(X'\), nous avons \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\) dans \(\CH_k(D)\) (ce qui a un sens puisque \(f_*\) est défini au niveau des cycles).
Démonstration
Supposons \(\alpha = [W']\) pour un sous-espace fermé intègre \(W' \subset X'\). Soit \(W \subset X\) l’« image » de \(W'\) comme dans le lemme 0EEG. Si \(W' \not \subset D'\), alors \(W \not \subset D\) et nous voyons que \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{et}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] L’image par \(f_*\) du premier cycle est donc égale au second, d’après le lemme 0EQS. L’égalité vaut ainsi au niveau des cycles. Si \(W' \subset D'\), alors \(W \subset D\) et \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\) est égal à \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\) dans \(\CH_k(W)\) par la deuxième assertion du lemme 0EQS. Par la remarque 0EQ8, le résultat en découle pour \(\alpha'\) quelconque.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X' \to X\) un morphisme plat de dimension relative \(r\) entre de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 0ER1. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] comme dans la remarque 0ER3. Pour tout \((k + 1)\)-cycle \(\alpha\) sur \(X\), nous avons \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha'\) dans \(\CH_{k + r}(D)\) (ce qui a un sens puisque \(f^*\) est défini au niveau des cycles).
Démonstration
Supposons \(\alpha = [W]\) pour un sous-espace fermé intègre \(W \subset X\). Soit \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\). Si \(W \not \subset D\), alors \(W' \not \subset D'\) et nous voyons que \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] comme sous-espaces fermés de \(D'\). L’égalité vaut donc au niveau des cycles ; voir le lemme 0EPB. Si \(W \subset D\), alors \(W' \subset D'\) et \(W' = g^{-1}(W)\), avec \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\), et l’égalité vaut dans \(\CH_{k + r}(D')\) par le lemme 0EQR. Par la remarque 0EQ8, le résultat en découle pour \(\alpha'\) quelconque.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 0ER1. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé tel que \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\) et tel que \(D \cap Z\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(Z\). Alors \(i^*([Z]_{k + 1}) = [D \cap Z]_k\).
Démonstration
L’hypothèse signifie que \(s|_Z\) est une section régulière de \(\mathcal{L}|_Z\). Ainsi, \(D \cap Z = Z(s)\) et nous obtenons \[[D \cap Z]_k = \sum n_i [Z(s_i)]_k\] comme égalité de cycles, où \(s_i = s|_{Z_i}\), les \(Z_i\) sont les composantes irréductibles de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) et \([Z]_{k + 1} = \sum n_i[Z_i]\) ; voir le lemme 0EQL. Nous avons \(D \cap Z_i = Z(s_i)\). La comparaison avec la définition de l’application de Gysin achève la preuve.
Homomorphismes de Gysin
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02TK. Dans cette section, nous utilisons la formule clé pour montrer que l’homomorphisme de Gysin passe au quotient par l’équivalence rationnelle.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(i : D \to X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible et soit \(t\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}\). Alors \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\) dans \(\CH_{n - 2}(D)\).
Démonstration
Écrivons \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\) pour des sous-espaces fermés intègres \(Z_i \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Nous pouvons supposer que la famille \(\{Z_i\}\) est localement finie, que \(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\) est un générateur où \(U = X \setminus \bigcup Z_i\), et que chaque composante irréductible de \(D\) est l’un des \(Z_i\) ; voir les lemmes d’Espaces sur les corps 0EE5, 0ENN et 0EPS.
Posons \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). Notons \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\) la section canonique. Nous appliquerons la discussion de la section 0EQU à notre situation actuelle. Pour tout \(i\), soit \(\xi_i \in |Z_i|\) son point générique. Soit \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}^h\). Pour tout \(i\), choisissons des générateurs \(s_i\) de \(\mathcal{L}_{\xi_i}\) et \(t_i\) de \(\mathcal{N}_{\xi_i}\) sur \(B_i\), en imposant \(s_i = s\) si \(Z_i \not \subset D\). Écrivons \(s = f_i s_i\) et \(t = g_i t_i\) avec \(f_i, g_i \in B_i\). Alors \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\). D’autre part, nous avons \(f_i \in B_i\) et \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] grâce à notre choix des \(s_i\). Nous affirmons que \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] comme égalité de cycles. Plus précisément, le membre de droite est un cycle représentant le membre de gauche. En effet, cela résulte de notre formule pour \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\) et le fait que \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\) lorsque \(Z_i \not \subset D\) car dans ce cas \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\) est une section régulière ; voir le lemme 0EQF. De même, \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] La formule clé (lemme 0EQV) donne l’égalité \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] de cycles. Si \(Z_i \not \subset D\), alors \(f_i = 1\) et donc \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\). Nous obtenons ainsi une équivalence rationnelle entre nos cycles spécifiques représentant \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\) et \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\) sur \(D\). Ceci achève la preuve.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 0ER1. L’homomorphisme de Gysin passe au quotient par l’équivalence rationnelle et donne une application \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\).
Démonstration
Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) et supposons que \(\alpha \sim_{rat} 0\). Cela signifie qu’il existe une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres \(W_j \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 2\) et des fonctions \(f_j \in R(W_j)^*\) telles que \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\). Posons \(X' = \coprod W_i\) et considérons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] de la remarque 0ER3. Puisque \(X' \to X\) est propre, nous voyons que \(i^*p_* = q_*(i')^*\) par le lemme 0ER5. Comme nous savons que \(q_*\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle (lemme 0EQC), il suffit de démontrer le résultat pour \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\) sur \(X'\). Cela nous ramène au cas où \(X\) est intègre et \(\alpha = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\).
Supposons \(X\) intègre et \(\alpha = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). Si \(X = D\), alors nous voyons que \(i^*\alpha\) est égal à \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\). Ceci est rationnellement équivalent à zéro par le lemme 0EQY. Si \(D \not = X\), alors nous voyons que \(i^*\text{div}_X(f)\) est égal à \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\) dans \(\CH_k(D)\) par le lemme 0ER9. Bien entendu, l’intersection avec \(c_1(\mathcal{O}_D)\) est l’application nulle.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 0ER1. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\) dans \(\CH_{k - 2}(D)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(Z)\).
Démonstration
Avec exactement la même preuve que dans le lemme 0ERA, cela découle des lemmes 0EQT, 0EQZ et 0ER9.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) et \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\) deux triplets comme dans la définition 0ER1. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d] \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r] & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] est commutatif, chaque flèche étant un homomorphisme de Gysin.
Démonstration
Désignons par \(j : D \cap D' \to D\) et \(j' : D \cap D' \to D'\) les immersions fermées correspondant à \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\) et \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\). Nous devons montrer que \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\). Soit \(W \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(k\). Nous établirons l’égalité dans le cas \(\alpha = [W]\). Le cas général découlera alors de l’observation de la remarque 0EQ8 (et de la forme particulière de notre équivalence rationnelle produite ci-dessous). Nous déduirons l’égalité pour \(\alpha = [W]\) de la formule clé.
Prenons pour \(\sigma\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}|_W\), égale à \(s|_W\) si \(W \not \subset D\). Prenons pour \(\sigma'\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}'|_W\), égale à \(s'|_W\) si \(W \not \subset D'\). Écrivons \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] et de même \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] comme dans la discussion de la section 0EQU. Nous voyons alors que \(Z_i \subset D\) si \(n_i \not = 0\) et \(Z'_i \subset D'\) si \(n'_i \not = 0\). Pour tout \(i\), soit \(\xi_i \in |Z_i|\) le point générique. Comme dans la section 0EQU, choisissons pour tout \(i\) un élément \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\), resp. \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\), qui soit un générateur sur \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}^h\) et qui soit égal à l’image de \(s\), resp. \(s'\), si \(Z_i \not \subset D\), resp. \(Z_i \not \subset D'\). Écrivons \(\sigma = f_i \sigma_i\) et \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\) de sorte que \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\) et \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\). Il résulte de nos définitions que \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] comme égalité de cycles, et \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] La formule clé (lemme 0EQV) donne alors l’égalité \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] de cycles. Notons que \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\) si \(Z_i \not \subset D \cap D'\), car dans ce cas soit \(f_i = 1\), soit \(f'_i = 1\). Nous obtenons ainsi une équivalence rationnelle entre nos cycles spécifiques représentant \((j')^*i^*[W]\) et \(j^*(i')^*[W]\) sur \(D \cap D' \cap W\).
Diviseurs de Cartier effectifs relatifs
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02TP. Les diviseurs de Cartier effectifs relatifs sont définis dans la section de Diviseurs sur les espaces 0EPM. Pour développer les résultats de base sur les classes de Chern de fibrés vectoriels, nous n’avons besoin que du cas où le schéma ambiant et le diviseur de Cartier effectif sont plats sur la base.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(p : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(i : D \to X\) un diviseur de Cartier effectif relatif (Diviseurs sur les espaces, définition 0EPP). Soit \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). Pour tout \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\), nous avons \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] dans \(\CH_{k + r}(D)\) et \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\] dans \(\CH_{k + r}(X)\).
Démonstration
Soit \(W \subset Y\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Le lemme de Diviseurs sur les espaces 0EPN montre que \(D \cap p^{-1}W\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(p^{-1}W\). Par le lemme 0ER7, nous obtenons la première égalité dans \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] et la seconde vient de ce que \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\) comme espaces algébriques. Puisque, par définition, \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\), nous voyons que \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\) comme égalité de cycles. Si \(\alpha = \sum m_j[W_j]\) est un \(k + 1\)-cycle général, alors nous obtenons \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\) comme égalité de cycles. Cela démontre la première égalité. Pour déduire la seconde de la première, appliquons le lemme 0ER4.
Fibrés affines
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 02TS. Pour un fibré affine, l’application d’image réciproque est surjective sur les groupes de Chow.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(X, Y/B\) bons. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat quasi-compact au-dessus de \(B\), de dimension relative \(r\). Supposons que, pour tout \(y \in Y\), nous ayons \(X_y \cong \mathbf{A}^r_{\kappa(y)}\). Alors \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) est surjectif pour tout \(k \in \mathbf{Z}\).
Démonstration
Soit \(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\). Écrivons \(\alpha = \sum m_j[W_j]\) avec \(m_j \not = 0\) et \(W_j\) des sous-espaces fermés intègres distincts deux à deux de \(\delta\)-dimension \(k + r\). Alors la famille \(\{W_j\}\) est localement finie sur \(X\). Soit \(Z_j \subset Y\) le sous-espace fermé intègre tel que le morphisme obtenu \(W_j \to Z_j\) soit dominant, comme dans le lemme 0EEG. Pour tout \(V \subset Y\) ouvert quasi-compact, nous voyons que \(f^{-1}(V) \cap W_j\) n’est non vide que pour un nombre fini de \(j\). Par conséquent, les \(Z_j\), fermetures des images, forment une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres de \(Y\).
Considérons les diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] Supposons que \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\) soit rationnellement équivalent à \(f_j^*\beta_j\) pour un \(k\)-cycle \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\). Alors \(\beta = \sum m_j \beta_j\) sera un \(k\)-cycle sur \(Y\) et \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\) sera rationnellement équivalent à \(\alpha\) (voir la remarque 0EQ8). Cela nous ramène au cas où \(Y\) est intègre et où \(\alpha = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre de \(X\) dominant \(Y\). En particulier, nous pouvons supposer que \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\).
Nous pouvons donc raisonner par récurrence sur \(d = \dim_\delta(Y)\). Si \(d < k\), alors \(\CH_{k + r}(X) = 0\) et le lemme est valable ; c’est le cas initial de la récurrence. Soit \(V \subset Y\) un ouvert non vide. Supposons que nous puissions montrer que \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\) pour un certain \(\beta \in Z_k(V)\). Le lemme 0EP9 montre que \(\beta = \beta'|_V\) pour un certain \(\beta' \in Z_k(Y)\). La suite exacte \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\) du lemme 0EQ7 montre que \(\alpha - f^*\beta'\) provient d’un cycle \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\). Puisque \(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\), nous concluons par récurrence sur \(d\).
En particulier, quitte à remplacer \(Y\) par un ouvert convenable, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma ayant pour point générique \(\eta\). L’isomorphisme \(Y_\eta \cong \mathbf{A}^r_\eta\) s’étend à un isomorphisme sur un \(V \subset Y\) ouvert non vide ; voir le lemme de Limites d’espaces 07SK. Cela nous ramène au cas des schémas, traité dans le lemme de l’Homologie de Chow 02TT.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] le fibré vectoriel associé au-dessus de \(X\). Alors \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\) est un isomorphisme pour tout \(k\).
Démonstration
Pour la surjectivité, voir le lemme 0ERG. Soit \(o : X \to L\) la section nulle de \(L \to X\), c’est-à-dire le morphisme correspondant à la surjection \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\) qui envoie \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) sur zéro pour tout \(n > 0\). Alors \(p \circ o = \text{id}_X\) et \(o(X)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(L\). Ainsi, d’après le lemme 0ERE, nous avons \(o^* \circ p^* = \text{id}\) et nous concluons que \(p^*\) est également injectif.
Théorie bivariante de l’intersection
Cette section est l’analogue de l’Homologie de Chow, section 0B75. Afin de traiter convenablement les classes de Chern supérieures des fibrés vectoriels, nous introduisons la notion suivante, à la suite de [FM]. Il résulte de [F, théorème 17.1] que notre définition coïncide avec celle de [F], sous réserve de la différence entre les contextes considérés.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Une classe bivariante \(c\) de degré \(p\) pour \(f\) est la donnée d’une règle qui associe à tout morphisme \(Y' \to Y\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) et à tout \(k\) une application \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] où \(X' = Y' \times_Y X\), et qui satisfait aux conditions suivantes :
si \(Y'' \to Y'\) est un morphisme propre, alors \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\) pour tout \(\alpha''\) sur \(Y''\),
si \(Y'' \to Y'\) est un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) qui est plat de dimension relative \(r\), alors \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\) pour tout \(\alpha'\) sur \(Y'\),
si \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) est comme dans la définition 0ER1, dont l’image réciproque est \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\) sur \(X'\), alors nous avons \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\) pour tout \(\alpha'\) sur \(Y'\).
L’ensemble de toutes les classes bivariantes de degré \(p\) pour \(f\) est noté \(A^p(X \to Y)\).
Dans la situation 0EDT, soient \(X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Il est clair que \(A^p(X \to Y)\) est un groupe abélien. De plus, il est clair que nous avons une composition bilinéaire \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] qui est associative. Nous nous intéresserons surtout à \(A^p(X) = A^p(X \to X)\), notation qui désignera toujours les classes de cohomologie bivariantes pour \(\text{id}_X\). C’est en effet là que vivront les classes de Chern.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. La cohomologie de Chow de \(X\) est la \(\mathbf{Z}\)-algèbre graduée \(A^*(X)\) dont la composante de degré \(p\) est \(A^p(X \to X)\).
Attention : il n’est pas clair que la structure de \(\mathbf{Z}\)-algèbre sur \(A^*(X)\) soit commutative, mais nous verrons que les classes de Chern vivent en son centre.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Il existe alors un homomorphisme canonique de \(\mathbf{Z}\)-algèbres \(A^*(Y) \to A^*(X)\). Plus précisément, étant donné \(c \in A^p(Y)\) et \(X' \to X\), nous pouvons définir \(f^*c\) par l’application \(c \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\) qui est donnée en considérant \(X'\) comme un espace algébrique au-dessus de \(Y\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors la règle qui associe à \(f : X' \to X\) \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\) est une classe bivariante de degré \(1\).
Démonstration
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(f : X \to Y\) un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) qui est plat de dimension relative \(r\). Alors la règle qui associe à \(Y' \to Y\) \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) où \(X' = X \times_Y Y'\) est une classe bivariante de degré \(-r\).
Démonstration
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 0ER1. Alors la règle qui associe à \(f : X' \to X\) \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\) où \(D' = D \times_X X'\) est une classe bivariante de degré \(1\).
Démonstration
Lemme
Dans la situation 0EDT, soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(c \in A^p(X \to Z)\) et supposons \(f\) propre. Alors la règle qui associe à \(X' \to X\) \(\alpha \longmapsto f_*(c \cap \alpha)\) est une classe bivariante de degré \(p\).
Démonstration
Ici, nous voyons que \(c_1(\mathcal{L})\) est au centre de \(A^*(X)\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) commute avec tout élément \(c \in A^p(X)\).
Démonstration
Soit \(p : L \to X\) comme dans le lemme 0ERH et soit \(o : X \to L\) la section nulle. Remarquons que \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\) possède une section canonique dont le schéma des zéros est exactement le diviseur de Cartier effectif \(o(X)\). Soit \(\alpha \in \CH_k(X)\). Nous avons alors \[p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) = c_1(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap p^*\alpha = o_* o^* p^*\alpha\] par les lemmes 0EQR et 0ERE. Puisque \(c\) est une classe bivariante, nous avons \[\begin{align*} p^*(c \cap c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap \alpha) \\ & = c \cap o_* o^* p^*\alpha \\ & = o_* o^* p^*(c \cap \alpha) \\ & = p^*(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] (la dernière égalité résulte de ce qui précède, appliqué à \(c \cap \alpha\)). Puisque \(p^*\) est injectif d’après un lemme cité plus haut, nous obtenons que \(c_1(\mathcal{L}^{\otimes -1})\) est au centre de \(A^*(X)\). Cela prouve le lemme.
Voici un critère pour savoir quand une classe bivariante est nulle.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(c \in A^p(X)\). Alors \(c\) est nul si et seulement si \(c \cap [Y] = 0\) dans \(\CH_*(Y)\) pour tout espace algébrique intègre \(Y\) localement de type fini sur \(X\).
Démonstration
Le sens direct est clair. Réciproquement, supposons que \(c \cap [Y] = 0\) dans \(\CH_*(Y)\) pour tout espace algébrique intègre \(Y\) localement de type fini sur \(X\). Soit \(X' \to X\) localement de type fini. Soit \(\alpha \in \CH_k(X')\). Écrivons \(\alpha = \sum n_i [Y_i]\), les \(Y_i \subset X'\) formant une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(\delta\)-dimension \(k\). Alors \(\alpha\) est l’image directe du cycle \(\alpha' = \sum n_i[Y_i]\) sur \(X'' = \coprod Y_i\) par le morphisme propre \(X'' \to X'\). Par les propriétés des classes bivariantes, il suffit de prouver que \(c \cap \alpha' = 0\) dans \(\CH_{k - p}(X'')\). Nous avons \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(Y_i)\), comme il résulte immédiatement des définitions. Les applications de projection \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(Y_i)\) sont données par image réciproque plate. Puisque l’intersection avec \(c\) commute avec l’image réciproque plate, nous voyons qu’il suffit de montrer que \(c \cap [Y_i]\) est nul dans \(\CH_{k - p}(Y_i)\), ce qui est vrai par hypothèse.
Formule du fibré projectif
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Considérons un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), de rang \(r\). Par convention, le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) est le morphisme \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] au-dessus de \(X\), muni de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) normalisé par l’égalité \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\). En particulier, il existe une surjection \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Nous dirons informellement « soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) » pour désigner la situation où \(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\) et \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini ; ce module \(\mathcal{E}\) est de rang \(r\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). Pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\), l’élément \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] est \(0\) si \(s < r - 1\) et égal à \(\alpha\) si \(s = r - 1\).
Démonstration
Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Nous démontrerons le lemme pour \(\alpha = [Z]\). Nous omettons l’argument qui déduit le cas général de ce cas particulier ; indication : procéder comme dans la remarque 0EQ8.
Soit \(P_Z = P \times_X Z\) le changement de base ; bien entendu, \(\pi_Z : P_Z \to Z\) est le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}|_Z\), et l’image réciproque de \(\mathcal{O}_P(1)\) est le module inversible correspondant sur \(P_Z\). Puisque \(c_1(\mathcal{O}_P(1) \cap -\) et \(\pi^*\) sont des classes bivariantes par les lemmes 0ERM et 0ERN, il vient \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z] \right) = (Z \to X)_*\pi_{Z, *}\left( c_1(\mathcal{O}_{P_Z}(1))^s \cap \pi_Z^*[Z] \right)\] Il suffit donc de prouver le lemme dans le cas où \(X\) est intègre et \(\alpha = [X]\).
Supposons \(X\) intègre, \(\dim_\delta(X) = k\) et \(\alpha = [X]\). Remarquons que \(\pi^*[X] = [P]\), puisque \(P\) est intègre de \(\delta\)-dimension \(r - 1\). Si \(s < r - 1\), alors, par construction, \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap [P]\) est un \((k + r - 1 - s)\)-cycle. Son image directe est donc nulle pour des raisons de dimension.
Soit \(s = r - 1\). L’argument précédent donne \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap [P]) = n [X]\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). Nous voulons montrer que \(n = 1\). Pour les mêmes raisons de dimension, il suffit de le faire après remplacement de \(X\) par un ouvert dense. Nous pouvons donc supposer que \(X\) est un schéma, et le résultat découle alors du lemme 02TW de l’Homologie de Chow.
Lemme
Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 0EDT. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini ; ce module \(\mathcal{E}\) est de rang \(r\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). L’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] est un isomorphisme.
Démonstration
Fixons \(k \in \mathbf{Z}\). Montrons d’abord que l’application est injective. Supposons que \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\) soit un élément du membre de gauche dont l’image est nulle. Le lemme 0ERU donne \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] Ensuite, \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] et ainsi de suite. L’application est donc injective.
Pour démontrer la surjectivité, nous raisonnerons exactement comme dans la preuve du lemme 0ERG, afin de nous ramener au cas des schémas. Le lecteur est invité à omettre cette preuve.
Soit \(\beta \in \CH_{k + r - 1}(P)\). Écrivons \(\beta = \sum m_j[W_j]\) avec \(m_j \not = 0\) et \(W_j\) des sous-espaces fermés intègres distincts par paires et de \(\delta\)-dimension \(k + r\). La famille \(\{W_j\}\) est alors localement finie dans \(P\). Soit \(Z_j \subset X\) l’« image » de \(W_j\) comme dans le lemme 0EEG. Pour toute partie ouverte quasi-compacte \(U \subset X\), l’intersection \(\pi^{-1}(U) \cap W_j\) n’est non vide que pour un nombre fini de \(j\). Par conséquent, les images \(Z_j\) forment une famille localement finie de sous-espaces fermés intègres de \(X\).
Considérons les diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ P_j \ar[r] \ar[d]_{\pi_j} & P \ar[d]^\pi \\ Z_j \ar[r] & X }\] Supposons que \([W_j] \in Z_{k + r - 1}(P_j)\) soit rationnellement équivalent à \[\pi_j^*\alpha_{j, 0} + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi_j^*\alpha_{j, 1} + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi_j^*\alpha_{j, r - 1}\] pour certains \((k + i)\)-cycles \(\alpha_{j, i} \in \CH_{k + i}(Z_j)\). Alors \(\alpha_i = \sum m_j \beta_{j, i}\) sera un \((k + i)\)-cycle sur \(X\), et \[\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] sera rationnellement équivalent à \(\beta\) (voir la remarque 0EQ8). Cela nous réduit au cas \(X\) intègre et \(\alpha = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre de \(P\) dominant \(X\). En particulier, nous pouvons supposer que \(d = \dim_\delta(X) < \infty\).
Nous pouvons donc raisonner par récurrence sur \(d = \dim_\delta(X)\). Si \(d < k\), alors \(\CH_{k + r - 1}(X) = 0\) et le lemme est établi ; c’est le cas initial de la récurrence. Considérons une partie ouverte non vide \(U \subset X\). Supposons que l’on puisse montrer que \[\beta|_{\pi^{-1}(U)} = \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}\] pour certains \(\alpha_i \in Z_{k + i}(U)\). Le lemme 0EP9 donne \(\alpha_i = \alpha'_i|_U\) pour certains \(\alpha'_i \in Z_{k + i}(X)\). Par les suites exactes \(\CH_{k + i}(\pi^{-1}(X \setminus U)) \to \CH_{k + i}(P) \to \CH_{k + i}(\pi^{-1}(U))\) du lemme 0EQ7, il vient que \[\beta - \left(\pi^*\alpha'_0 + c_1(\mathcal{O}(1)) \cap \pi^*\alpha'_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha'_{r - 1}\right)\] provient d’un cycle \(\beta' \in \CH_{k + r}(\pi^{-1}(X \setminus U))\). Puisque \(\dim_\delta(X \setminus U) < d\), on conclut par récurrence sur \(d\).
En particulier, après remplacement de \(X\) par un ouvert convenable, nous pouvons supposer que \(X\) est un schéma ; le problème est alors ramené au lemme 02TX de l’Homologie de Chow.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini et de rang \(r\) sur \(X\). Soit \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] le fibré vectoriel associé au-dessus de \(X\). Alors \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\) est un isomorphisme pour tout \(k\).
Démonstration
(Pour le cas des fibrés en droites, voir le lemme 0ERH.) La surjectivité résulte du lemme 0ERG. Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré en espaces projectifs associé au faisceau localement libre de type fini \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\). Soit \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) la section globale correspondant à \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\). Soit \(D = Z(s) \subset P\). Remarquons que \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\) est le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}\). Posons \(\pi_D = \pi|_D\) et \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\). De plus, \(D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(P\). Ainsi, \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\) (voir Diviseurs sur les espaces, lemme 0847). Il existe aussi un isomorphisme \(E \cong P \setminus D\). Notons \(j : E \to P\) l’immersion ouverte correspondante. Pour l’injectivité, utilisons le fait que les éléments du noyau de \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] sont les cycles à support dans le diviseur de Cartier effectif \(D\) ; voir le lemme 0EQ7. Ainsi, si \(p^*\alpha = 0\), alors \(\pi^*\alpha = i_*\beta\) pour un certain \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\). Le lemme 0ERV permet d’écrire \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] pour certains \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\). Les lemmes 0ERE et 0EQT donnent alors \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] Puisque le rang de \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) est \(r + 1\), cela contredit le lemme 0EQT, à moins que tous les \(\alpha\) et tous les \(\beta_i\) ne soient nuls.
Les classes de Chern d’un fibré vectoriel
Cette section est l’analogue des sections 02TZ et 02U4 de l’Homologie de Chow. Cependant, contrairement à ce qui y est fait, nous définissons directement les classes de Chern d’un fibré vectoriel comme des classes bivariantes. Cela économise un travail considérable.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini et de rang \(r\) sur \(X\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}\). Pour tout morphisme \(X' \to X\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\), il existe des applications uniques \[c_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad i = 0, \ldots, r\] telles que, pour \(\alpha \in \CH_k(X')\), nous ayons \(c_0(\mathcal{E}) \cap \alpha = \alpha\) et \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*\left(c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap \alpha\right) = 0\] où \(\pi' : P' \to X'\) est le changement de base de \(\pi\). De plus, ces applications définissent une classe bivariante \(c_i(\mathcal{E})\) de degré \(i\) sur \(X\).
Démonstration
L’existence et l’unicité des applications \(c_i(\mathcal{E}) \cap -\) résultent immédiatement du lemme 0ERV et de la description donnée de \(c_0(\mathcal{E})\). Pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), la règle qui associe à tout morphisme \(X' \to X\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) l’application \[t_i(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \longrightarrow \CH_{k - i}(X'),\quad \alpha \longmapsto \pi'_*(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^{r - 1 + i} \cap (\pi')^*\alpha)\] est une classe bivariante2, par les lemmes 0ERM, 0ERN et 0ERQ. Par le lemme 0ERU, nous avons \(t_i(\mathcal{E}) = 0\) pour \(i < 0\) et \(t_0(\mathcal{E}) = 1\). En appliquant l’image directe à l’équation de l’énoncé du lemme, le lemme 0ERU donne \[(-1)^r t_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1}c_1(\mathcal{E}) = 0\] En particulier, \(c_1(\mathcal{E})\) est une classe bivariante. Si nous multiplions l’équation de l’énoncé du lemme par \(c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))\) et prenons l’image directe du résultat sur \(X'\), il vient \[(-1)^r t_2(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 1} t_1(\mathcal{E}) \cap c_1(\mathcal{E}) + (-1)^{r - 2} c_2(\mathcal{E}) = 0\] Comme précédemment, nous concluons que \(c_2(\mathcal{E})\) est une classe bivariante. Et ainsi de suite.
Définition
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini et de rang \(r\) sur \(X\). Pour \(i = 0, \ldots, r\), la \(i\)-ième classe de Chern de \(\mathcal{E}\) est la classe bivariante \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\) de degré \(i\) construite dans le lemme 0ERY. La classe totale de Chern de \(\mathcal{E}\) est la somme formelle \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] qui est considérée comme une classe bivariante non homogène sur \(X\).
Par commodité, nous posons souvent \(c_i(\mathcal{E}) = 0\) pour \(i > r\) et \(i < 0\). Par définition, nous avons \(c_0(\mathcal{E}) = 1 \in A^0(X)\). Voici une vérification élémentaire.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. La première classe de Chern de \(\mathcal{L}\) sur \(X\), définie dans la définition 0ERZ, est égale à la classe bivariante du lemme 0ERM.
Démonstration
En effet, dans ce cas \(P = \mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\) et \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{L}\) par notre normalisation du fibré projectif ; voir la section 0ERT. L’équation du lemme 0ERY s’écrit donc \[(-1)^0 c_1(\mathcal{L})^0 \cap c^{new}_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + (-1)^1 c_1(\mathcal{L})^1 \cap c^{new}_0(\mathcal{L}) \cap \alpha = 0\] où \(c_i^{new}(\mathcal{L})\) est défini comme dans la définition 0ERZ. Puisque \(c_0^{new}(\mathcal{L}) = 1\) et \(c_1(\mathcal{L})^0 = 1\), la conclusion suit.
Nous voyons ensuite que les classes de Chern appartiennent au centre de l’anneau de cohomologie de Chow bivariante \(A^*(X)\).
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r\). Alors \(c_j(\mathcal{L}) \in A^j(X)\) commute avec tout élément \(c \in A^p(X)\). En particulier, si \(\mathcal{F}\) est un second \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre sur \(X\), de rang \(s\), alors \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] comme éléments de \(\CH_{k - i - j}(X)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\).
Démonstration
Soit \(X' \to X\) un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(\alpha \in \CH_k(X')\). Écrivons \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), de sorte que \(\alpha_0 = \alpha\). Le lemme 0ERY donne \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow du fibré projectif \((\pi' : P' \to X', \mathcal{O}_{P'}(1))\) associé à \((X' \to X)^*\mathcal{E}\). En appliquant \(c \cap -\), puis en utilisant le lemme 0ERR et les propriétés des classes bivariantes, nous obtenons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap \pi^*(c \cap \alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P'\). L’unicité affirmée dans le lemme 0ERY montre donc que \(c \cap \alpha_j\) est égal à \(c_j(\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\). Cela prouve le lemme.
Remarque
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Si le rang de \(\mathcal{E}\) n’est pas constant, nous pouvons encore définir les classes de Chern de \(\mathcal{E}\). En effet, dans ce cas, on peut écrire \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] où \(X_r \subset X\) est le sous-espace ouvert et fermé sur lequel le rang de \(\mathcal{E}\) est \(r\). Si \(X' \to X\) est un morphisme de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\), l’image réciproque fournit une décomposition correspondante de \(X'\), et les définitions donnent \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] Nous définissons alors \(c_i(\mathcal{E})\) comme la classe bivariante qui préserve ces décompositions en produits directs et agit sur les facteurs par les opérations déjà définies \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\). Remarquons que, dans ce cadre, \(c_i(\mathcal{E})\) peut être non nul pour une infinité de \(i\).
Relations polynomiales entre les classes de Chern
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{E}_i\) les membres d’une famille finie de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Le lemme 0ES1 montre que les classes de Chern \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] engendrent une sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbre commutative, et même centrale, de la cohomologie de Chow \(A^*(X)\). Il est donc bien défini qu’un polynôme en ces classes de Chern soit nul, ou que deux tels polynômes soient égaux. À titre d’exemple, dire que \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\) signifie que les opérations \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] sont nulles pour tout morphisme \(f : Y \to X\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\). Par le lemme 0ERS, cette condition équivaut à demander que, pour tout morphisme \(f : Y \to X\), où \(Y\) est un espace algébrique intègre localement de type fini sur \(X\), le cycle \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] est nul dans \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\).
Un exemple concret est la relation \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] établie dans le lemme 0EQK. Plus généralement, voici ce qui se passe lorsqu’on tensorise un faisceau localement libre quelconque par un faisceau inversible.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini et de rang \(r\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Alors [0ES5]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\] dans \(A^*(X)\).
Démonstration
La preuve est identique à celle du lemme 02UD de l’Homologie de Chow, les lemmes 0ERS et 0ERY remplaçant ceux qui y sont utilisés.
Additivité des classes de Chern
Cette section est l’analogue de la section 02UF de l’Homologie de Chow.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) des faisceaux localement libres de type fini sur \(X\), de rangs respectifs \(r\), \(r - 1\), qui s’insèrent dans une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] Alors \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\] dans \(A^*(X)\).
Démonstration
La preuve est identique à celle du lemme 02UG de l’Homologie de Chow, les lemmes 0ERS, 0ERE, 0EQT et 0ERY remplaçant ceux qui y sont utilisés.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) des faisceaux localement libres de type fini sur \(X\), de rangs respectifs \(r\), \(r - 1\), qui s’insèrent dans une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible. Alors \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\] dans \(A^*(X)\).
Démonstration
La preuve est identique à celle du lemme 02UH de l’Homologie de Chow, les lemmes 0ES7 et 0ES4 remplaçant ceux qui y sont utilisés.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Supposons que \(\mathcal{E}\) s’insère dans une suite exacte \[0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}_2 \to 0\] de faisceaux localement libres de type fini \(\mathcal{E}_i\), de rang \(r_i\). Les classes totales de Chern vérifient \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}_1) c(\mathcal{E}_2)\] dans \(A^*(X)\).
Démonstration
La preuve est identique à celle du lemme 02UI de l’Homologie de Chow, les lemmes 0ERS, 0ES8 et 0ERY remplaçant ceux qui y sont utilisés.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\), des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre, muni d’une filtration \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] tel que \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\). Posons \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\). Alors \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\] dans \(A^*(X)\).
Démonstration
Appliquons le lemme 0ES8 et raisonnons par récurrence.
Le principe de scindage
Cette section est l’analogue de la section 02UF de l’Homologie de Chow.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{E}_i\) les membres d’une famille finie de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres, de rang \(r_i\). Il existe un morphisme projectif et plat \(\pi : P \to X\), de dimension relative \(d\), tel que
pour tout morphisme \(f : Y \to X\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\), l’application \(\pi_Y^* : \CH_*(Y) \to \CH_{* + d}(Y \times_X P)\) est injective, et
chaque \(\pi^*\mathcal{E}_i\) possède une filtration dont les quotients successifs \(\mathcal{L}_{i, 1}, \ldots, \mathcal{L}_{i, r_i}\) sont des \({\mathcal O}_P\)-modules inversibles.
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur l’entier \(r = \sum r_i\). Si \(r = 0\), nous pouvons prendre \(\pi = \text{id}_X\). Si \(r_i = 1\) pour tout \(i\), nous pouvons encore prendre \(\pi = \text{id}_X\). Supposons que \(r_{i_0} > 1\) pour un certain \(i_0\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}_{i_0}\). L’homomorphisme canonique \(\pi^*\mathcal{E}_{i_0} \to \mathcal{O}_P(1)\) est surjectif ; son noyau \(\mathcal{E}'_{i_0}\) est donc localement libre de type fini et de rang \(r_{i_0} - 1\). Remarquons que \(\pi_Y^*\) est injectif pour tout morphisme \(f : Y \to X\) de bons espaces algébriques au-dessus de \(B\) ; voir le lemme 0ERV. Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(P\) et les faisceaux localement libres \(\pi^*\mathcal{E}_i\). Cependant, puisque nous disposons du sous-fibré \(\mathcal{E}_{i_0} \subset \pi^*\mathcal{E}_{i_0}\) à quotient inversible, il suffit maintenant de traiter la famille \(\{\mathcal{E}_i\}_{i \not = i_0} \cup \{\mathcal{E}'_{i_0}\}\). Cela diminue \(r\) de \(1\), et l’hypothèse de récurrence permet de conclure.
Plutôt que d’expliquer ce qu’affirme le principe de scindage, utilisons-le dans la preuve de quelques lemmes.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, dont le dual est \(\mathcal{E}^\vee\). Alors \[c_i(\mathcal{E}^\vee) = (-1)^i c_i(\mathcal{E})\] dans \(A^i(X)\).
Démonstration
Choisissons un morphisme \(\pi : P \to X\) comme dans le lemme 0ESC. Puisque \(\pi^*\) est injectif après tout changement de base, il suffit d’établir la relation entre les classes de Chern de \(\mathcal{E}\) et de \(\mathcal{E}^\vee\) après image réciproque sur \(P\). Nous pouvons donc supposer qu’il existe des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\), et une filtration \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] telle que \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\). On obtient alors la filtration duale \[0 = \mathcal{E}_r^\perp \subset \mathcal{E}_1^\perp \subset \mathcal{E}_2^\perp \subset \ldots \subset \mathcal{E}_0^\perp = \mathcal{E}^\vee\] telle que \(\mathcal{E}_{i - 1}^\perp/\mathcal{E}_i^\perp \cong \mathcal{L}_i^{\otimes -1}\). Posons \(x_i = c_1(\mathcal{L}_i)\). Alors \(c_1(\mathcal{L}_i^{\otimes -1}) = - x_i\) par le lemme 0EQK. Par le lemme 0ESA, nous avons \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i) \quad\text{et}\quad c(\mathcal{E}^\vee) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 - x_i)\] dans \(A^*(X)\). Le résultat découle d’un calcul formel que nous omettons.
Lemme
Dans la situation 0EDT, soit \(X/B\) bon. Soient \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, de rangs respectifs \(r\) et \(s\). Alors \[c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r c_1(\mathcal{F}) + s c_1(\mathcal{E})\] \[c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}) = r^2 c_2(\mathcal{F}) + rs c_1(\mathcal{F})c_1(\mathcal{E}) + s^2 c_2(\mathcal{E})\] et ainsi de suite (voir preuve).
Démonstration
En raisonnant exactement comme dans la preuve du lemme 0ESD, nous pouvons supposer donnés des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\), des \({\mathcal N}_i\), \(i = 1, \ldots, s\), et des filtrations \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E} \quad\text{et}\quad 0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_s = \mathcal{F}\] telles que \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\) et que \(\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong \mathcal{N}_j\). En ordonnant lexicographiquement les couples \((i, j)\), on obtient une filtration \[0 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_i \otimes \mathcal{F}_j + \mathcal{E}_{i - 1} \otimes \mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{E} \otimes \mathcal{F}\] dont les quotients successifs sont \[\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_1, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_2, \ldots, \mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{N}_s, \mathcal{L}_2 \otimes \mathcal{N}_1, \ldots, \mathcal{L}_r \otimes \mathcal{N}_s\] Par le lemme 0ESA, nous avons \[c(\mathcal{E}) = \prod (1 + x_i), \quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + y_j), \quad\text{et}\quad c(\mathcal{F}) = \prod (1 + x_i + y_j),\] dans \(A^*(X)\). Le résultat découle d’un calcul formel que nous omettons.
Degrés des zéro-cycles
Cette section est l’analogue de la section 0AZ0 de l’Homologie de Chow. Commençons par définir le degré d’un zéro-cycle sur un espace algébrique propre au-dessus d’un corps.
Définition
Soit \(k\) un corps. Soit \(p : X \to \Spec(k)\) un morphisme propre d’espaces algébriques. Le degré d’un zéro-cycle sur \(X\) est donné par l’image directe propre \[p_* : \CH_0(X) \longrightarrow \CH_0(\Spec(k)) \longrightarrow \mathbf{Z}\] (lemme 0EQC), composée avec l’isomorphisme naturel \(\CH_0(\Spec(k)) \to \mathbf{Z}\) qui envoie \([\Spec(k)]\) à \(1\). Notation : \(\deg(\alpha)\).
Expliquons cela plus en détail.
Lemme
Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\) dans \(Z_0(X)\). Alors \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] où \(\deg(Z_i)\) est le degré de \(Z_i \to \Spec(k)\), c’est-à-dire \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\).
Démonstration
C’est la définition de l’image directe propre (définition 0EP1).
Lemme
Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé de dimension \(d\). Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Alors \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_1) \cap [Z]_d)\] où le membre de gauche est défini dans Espaces sur les corps, définition 0EDF.
Démonstration
Soient \(Z_i \subset Z\), \(i = 1, \ldots, t\), les composantes irréductibles de dimension \(d\). Soit \(m_i\) la multiplicité de \(Z_i\) dans \(Z\). Alors \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\), et \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\) est la somme des cycles \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\). Comme on dispose d’une décomposition analogue pour \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) d’après le lemme 0EDE d’Espaces sur les corps, il suffit de démontrer le lemme lorsque \(Z = X\) est un espace algébrique intègre propre sur \(k\).
D’après le lemme de Chow, il existe un morphisme propre \(f : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus d’une partie ouverte dense \(U \subset X\) et tel que \(X'\) soit un schéma ; voir le lemme 088U de Compléments sur les morphismes d’espaces. Alors \(X'\) est un schéma propre sur \(k\). Après avoir remplacé \(X'\) par l’adhérence schématique de \(f^{-1}(U)\), nous pouvons supposer que \(X'\) est intègre. Alors \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot X') = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] par le lemme 0EDJ d’Espaces sur les corps, et nous avons \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] par le lemme 0EQT. Nous pouvons donc remplacer \(X\) par \(X'\) et supposer que \(X\) est un schéma propre sur \(k\). Ce cas est établi dans le lemme 0BFI de l’Homologie de Chow.