Propriétés des schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous introduisons quelques propriétés absolues des schémas. Une référence fondamentale est [EGA].

Ensembles constructibles

Les ensembles constructibles et localement constructibles sont introduits dans Topologie, section 04ZC. On peut caractériser les parties localement constructibles des schémas de la manière suivante.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Une partie \(E\) de \(X\) est localement constructible dans \(X\) si et seulement si \(E \cap U\) est constructible dans \(U\) pour tout ouvert affine \(U\) de \(X\).

Démonstration

Supposons \(E\) localement constructible. Il existe alors un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\) tel que \(E \cap U_i\) soit constructible dans \(U_i\) pour tout \(i\). Soit \(V \subset X\) un ouvert affine quelconque. On peut trouver un recouvrement ouvert affine fini \(V = V_1 \cup \ldots \cup V_m\) tel que, pour tout \(j\), on ait \(V_j \subset U_i\) pour un certain \(i = i(j)\). D’après le Lemme 005J de Topologie, chaque \(E \cap V_j\) est constructible dans \(V_j\). Comme les inclusions \(V_j \to V\) sont quasi-compactes (voir Schémas, Lemme 01K4), on conclut que \(E \cap V\) est constructible dans \(V\) d’après le Lemme 053W de Topologie. L’implication réciproque est immédiate.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(E \subset X\) un sous-ensemble localement constructible. Soit \(\xi \in X\) un point générique d’une composante irréductible de \(X\).

1. Si \(\xi \in E\), alors un voisinage ouvert de \(\xi\) est contenu dans \(E\).

2. Si \(\xi \not \in E\), alors un voisinage ouvert de \(\xi\) est disjoint de \(E\).

Démonstration

Le complémentaire d’un sous-ensemble localement constructible étant localement constructible, il suffit de montrer (2). On peut supposer \(X\) affine, et donc \(E\) constructible (lemme 054C). Dans ce cas, \(X\) est un espace spectral (Algèbre, lemme 090M). Alors \(\xi \not \in E\) entraîne \(\xi \not \in \overline{E}\) d’après Topologie, lemme 0903, car aucun point de \(X\) distinct de \(\xi\) ne se spécialise en \(\xi\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé. L’intersection de deux ouverts quasi-compacts de \(X\) est un ouvert quasi-compact de \(X\). Tout ouvert quasi-compact de \(X\) est rétrocompact dans \(X\).

Démonstration

Si \(U\) et \(V\) sont des ouverts quasi-compacts, alors \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\), où \(\Delta : X \to X \times X\) est la diagonale. Comme \(X\) est quasi-séparé, \(\Delta\) est quasi-compact. Ainsi \(U \cap V\) est quasi-compact, puisque \(U \times V\) l’est (détails omis ; utiliser Schémas, lemme 01JS, pour voir que \(U \times V\) est une réunion finie d’ouverts affines). Les autres assertions résultent de la première et de Topologie, lemme 0069.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Alors l’espace topologique sous-jacent à \(X\) est spectral.

Démonstration

D’après Topologie, définition 08YG, il faut vérifier que \(X\) est sobre, quasi-compact, admet une base d’ouverts quasi-compacts, et que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compacte. Cela résulte de Schémas, lemmes 01IS et 01IT, ainsi que du lemme 054D ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Tout sous-ensemble localement constructible de \(X\) est constructible.

Démonstration

Comme \(X\) est quasi-compact, on peut choisir un recouvrement ouvert affine fini \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_m\). Comme \(X\) est quasi-séparé, chaque \(V_i\) est rétrocompact dans \(X\) d’après le lemme 054D. Ainsi, par Topologie, lemme 053W, un sous-ensemble \(E \subset X\) est constructible dans \(X\) si et seulement si \(E \cap V_j\) est constructible dans \(V_j\). On conclut par le lemme 054C.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Un sous-ensemble \(E\) de \(X\) est rétrocompact dans \(X\) si et seulement si \(E \cap U\) est quasi-compact pour tout ouvert affine \(U\) de \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que tout ouvert quasi-compact de \(X\) est une réunion finie d’ouverts affines.

Lemme

Une partition \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) d’un schéma \(X\) dont les parties sont rétrocompactes est localement finie si et seulement si ses parties sont localement constructibles.

Démonstration

Voir Topologie, définitions 005A, 09XZet 0BDS, pour les définitions de rétrocompact, de partition et de localement fini.

Si la partition est localement finie et si \(U \subset X\) est un ouvert affine, alors \(U = \coprod_{i \in I} U \cap X_i\) est une partition finie (plus précisément, toutes ses parties sauf un nombre fini sont vides). Ainsi \(U \cap X_i\) est quasi-compact et son complémentaire est rétrocompact dans \(U\), étant une réunion finie de parties rétrocompactes. Donc \(U \cap X_i\) est constructible d’après Topologie, lemme 0F2K. Il s’ensuit que \(X_i\) est localement constructible par le lemme 054C.

Supposons les parties localement constructibles. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), on obtient alors un recouvrement \(U = \coprod X_i \cap U\) par des sous-ensembles constructibles. La topologie constructible étant quasi-compacte, voir Topologie, lemme 0901, ce recouvrement admet un raffinement fini ; autrement dit, la partition est localement finie.

Schémas intègres, irréductibles et réduits

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que \(X\) est intègre s’il est non vide et si, pour tout ouvert affine non vide \(\Spec(R) = U \subset X\), l’anneau \(R\) est intègre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. Le schéma \(X\) est réduit, voir Schémas, définition 01J0.

2. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)\) soit réduit.

3. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est réduit.

4. Pour tout ouvert \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est réduit.

Démonstration

Voir Schémas, lemmes 01J1 et 01J2.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. Le schéma \(X\) est irréductible.

2. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que \(I\) soit non vide, que \(U_i\) soit irréductible pour tout \(i \in I\) et que \(U_i \cap U_j \not = \emptyset\) pour tous \(i, j \in I\).

3. Le schéma \(X\) est non vide et tout ouvert affine non vide \(U \subset X\) est irréductible.

Démonstration

Supposons (1). D’après Schémas, lemme 01IS, \(X\) possède un unique point générique \(\eta\). On a alors \(X = \overline{\{\eta\}}\). Par conséquent, \(\eta\) appartient à tout ouvert affine non vide \(U \subset X\). Cela implique que le point \(\eta \in U\) est dense, donc que \(U\) est irréductible. Cela implique aussi que deux ouverts affines non vides se rencontrent. Ainsi (1) entraîne à la fois (2) et (3).

Supposons (2). Soit \(X = Z_1 \cup Z_2\) une réunion de deux sous-ensembles fermés. Pour tout \(i\), on a soit \(U_i \subset Z_1\), soit \(U_i \subset Z_2\). Choisissons un \(i \in I\) et supposons \(U_i \subset Z_1\) (quitte à permuter \(Z_1\), \(Z_2\)). Pour tout \(j \in I\), l’ouvert \(U_i \cap U_j\) est dense dans \(U_j\) et contenu dans le fermé \(Z_1 \cap U_j\). On en déduit que \(U_j \subset Z_1\) également. Donc \(X = Z_1\), comme voulu.

Supposons (3). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\). On peut supposer chaque \(U_i\) non vide. Puisque \(X\) est non vide, \(I\) est non vide. Par hypothèse, chaque \(U_i\) est irréductible. Supposons \(U_i \cap U_j = \emptyset\) pour un couple \(i, j \in I\). Alors l’ouvert \(U_i \amalg U_j = U_i \cup U_j\) est affine, voir Schémas, lemme 01I5. Il est donc irréductible par hypothèse, ce qui est absurde. On en conclut que (3) entraîne (2). Le lemme est démontré.

Lemme

Un schéma \(X\) est intègre si et seulement s’il est réduit et irréductible.

Démonstration

Si \(X\) est irréductible, tout ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) est irréductible. Si \(X\) est réduit, \(R\) est réduit d’après le lemme 01OL ci-dessus. Ainsi \(R\) est réduit et \((0)\) est un idéal premier ; autrement dit, \(R\) est un anneau intègre.

Si \(X\) est intègre, alors, pour tout ouvert affine non vide \(\Spec(R) = U \subset X\), l’anneau \(R\) est réduit, donc \(X\) est réduit par le lemme 01OL. De plus, tout ouvert affine non vide est irréductible. Par conséquent, \(X\) est irréductible, voir le lemme 01OM.

Dans Exemples, section 0568, on construit un schéma affine connexe dont tous les anneaux locaux sont intègres, mais qui n’est pas intègre.

Types de schémas définis par des propriétés d’anneaux

Dans cette section, nous étudions quelles propriétés d’anneaux permettent de définir des propriétés locales des schémas.

Définition

Soit \(P\) une propriété des anneaux. On dit que \(P\) est locale si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. Pour tout anneau \(R\) et tout \(f \in R\), on a \(P(R) \Rightarrow P(R_f)\).

2. Pour tout anneau \(R\) et tous \(f_i \in R\) tels que \((f_1, \ldots, f_n) = R\), on a \(\forall i, P(R_{f_i}) \Rightarrow P(R)\).

Définition

Soient \(P\) une propriété des anneaux et \(X\) un schéma. On dit que \(X\) est localement \(P\) si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(U\) de \(x\) dans \(X\) tel que \(\mathcal{O}_X(U)\) possède la propriété \(P\).

Cette notion n’est satisfaisante que si la propriété est locale. Même lorsque \(P\) est une propriété locale, nous n’utiliserons pas automatiquement cette définition pour dire qu’un schéma est « localement \(P\)», à moins d’énoncer aussi explicitement cette définition ailleurs.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(P\) une propriété locale des anneaux. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est localement \(P\).

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), la propriété \(P(\mathcal{O}_X(U))\) est satisfaite.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) satisfasse \(P\).

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit localement \(P\).

De plus, si \(X\) est localement \(P\), tout sous-schéma ouvert est localement \(P\).

Démonstration

On a évidemment (1) \(\Leftrightarrow\) (3) et (2) \(\Rightarrow\) (1). Si (3) \(\Rightarrow\) (2), alors la dernière assertion du lemme est vraie, et il en résulte aisément que (4) est aussi équivalente à (1). Montrons donc (3) \(\Rightarrow\) (2).

Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine, avec \(U_i = \Spec(R_i)\). Supposons \(P(R_i)\). Soit \(\Spec(R) = U \subset X\) un ouvert affine quelconque. D’après Schémas, lemme 01IX, il existe un recouvrement standard de \(U = \Spec(R)\) par des ouverts principaux \(D(f_j)\) tel que chaque anneau \(R_{f_j}\) soit une localisation principale d’un des anneaux \(R_i\). Par la définition 01OP (1), on obtient \(P(R_{f_j})\). D’où \(P(R)\) par la définition 01OP (2).

Voici un exemple d’application.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Alors \(X\) est réduit si et seulement si \(X\) est « localement réduit » au sens de la définition 01OQ.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 01OL.

Lemme

Les propriétés suivantes d’un anneau \(R\) sont locales.

1. (Cohen-Macaulay.) L’anneau \(R\) est noethérien et de Cohen–Macaulay, voir Algèbre, définition 00NC.

2. (Régulier.) L’anneau \(R\) est noethérien et régulier, voir Algèbre, définition 00OD.

3. (Absolument noethérien.) L’anneau \(R\) est de type fini sur \(Z\).

4. Ajouter ici d’autres propriétés au besoin.¹

Démonstration

Omis.

Schémas noethériens

Rappelons qu’un anneau \(R\) est noethérien s’il satisfait à la condition de chaîne ascendante sur les idéaux. De manière équivalente, tout idéal de \(R\) est de type fini.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

1. On dit que \(X\) est localement noethérien si tout \(x \in X\) possède un voisinage ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que l’anneau \(R\) soit noethérien.

2. On dit que \(X\) est noethérien si \(X\) est localement noethérien et quasi-compact.

Voici la caractérisation usuelle des schémas localement noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est localement noethérien.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est noethérien.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit noethérien.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit localement noethérien.

De plus, si \(X\) est localement noethérien, tout sous-schéma ouvert est localement noethérien.

Démonstration

Il suffit de montrer qu’être noethérien est une propriété locale des anneaux, voir le lemme 01OR. Toute localisation d’un anneau noethérien est noethérienne, voir Algèbre, lemme 00FN. Le lemme 00EO du chapitre Algèbre donne la seconde condition de la définition 01OP.

Lemme

Toute immersion \(Z \to X\), avec \(X\) localement noethérien, est quasi-compacte.

Démonstration

Une immersion fermée est évidemment quasi-compacte. Un composé de morphismes quasi-compacts est quasi-compact, voir Topologie, lemme 005B. Il suffit donc de montrer qu’une immersion ouverte dans un schéma localement noethérien est quasi-compacte. À l’aide de Schémas, lemme 01K4, on se ramène au cas où \(X\) est affine. Tout ouvert du spectre d’un anneau noethérien est quasi-compact (on peut, par exemple, combiner Algèbre, lemme 00FQ, et Topologie, lemmes 0052 et 04ZA).

Lemme

Un schéma localement noethérien est quasi-séparé.

Démonstration

D’après Schémas, lemme 01KO, il faut montrer que l’intersection \(U \cap V\) de deux ouverts affines de \(X\) est quasi-compacte. Cela résulte du lemme 01OX ci-dessus, en considérant, par exemple, l’immersion ouverte \(U \cap V \to U\). (Au fond, cela vient simplement de ce que tout ouvert du spectre d’un anneau noethérien est quasi-compact.)

Lemme

L’espace topologique sous-jacent à un schéma (localement) noethérien est (localement) noethérien, voir Topologie, définition 0051.

Démonstration

Cela résulte du fait qu’un schéma noethérien est une réunion finie de spectres d’anneaux noethériens, ainsi que des résultats suivants : Algèbre, lemme 00FQ, et Topologie, lemme 0053.

Lemme

Tout sous-schéma localement fermé d’un schéma (localement) noethérien est (localement) noethérien.

Démonstration

Omis. Indication : tout quotient et toute localisation d’un anneau noethérien sont noethériens. Dans le cas noethérien, utiliser de nouveau le fait que tout sous-ensemble d’un espace noethérien est noethérien pour la topologie induite.

Lemme

Un schéma noethérien possède un nombre fini de composantes irréductibles.

Démonstration

L’espace topologique sous-jacent à un schéma noethérien est noethérien (lemme 01OZ), et l’on conclut parce qu’un espace topologique noethérien n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles (Topologie, lemme 0052).

Lemme

Tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\), avec \(X\) noethérien, est quasi-compact.

Démonstration

Utiliser le lemme 01OZ et le fait que tout sous-ensemble d’un espace topologique noethérien est quasi-compact (voir Topologie, lemmes 0052 et 04ZA).

Voici un lemme intéressant. Il affirme que tout schéma localement noethérien possède beaucoup de points fermés (au moins un dans tout fermé non vide).

Lemme

Tout schéma localement noethérien non vide possède un point fermé. Tout fermé non vide d’un schéma localement noethérien possède un point fermé. De manière équivalente, tout point d’un schéma localement noethérien se spécialise en un point fermé.

Démonstration

La seconde assertion découle de la première (à l’aide de Schémas, lemme 01J3, et du lemme 02IK). Considérons un ouvert affine non vide \(U \subset X\). Soit \(x \in U\) un point fermé. Si \(x\) est fermé dans \(X\), la démonstration est terminée. Sinon, soit \(X_0 \subset X\) le sous-schéma fermé réduit induit sur \(\overline{\{x\}}\). Alors \(U_0 = U \cap X_0\) est un ouvert affine de \(X_0\) d’après Schémas, lemme 01IN, et \(U_0 = \{x\}\). Soit \(y \in X_0\), \(y \not = x\), une spécialisation de \(x\). Considérons l’anneau local \(R = \mathcal{O}_{X_0, y}\). C’est un anneau local noethérien, puisque \(X_0\) est noethérien d’après le lemme 02IK. Notons \(V \subset \Spec(R)\) l’image inverse de \(U_0\) dans \(\Spec(R)\) par le morphisme canonique \(\Spec(R) \to X_0\) (voir Schémas, section 01J5). Par construction, \(V\) est un singleton dont l’unique point correspond à \(x\) (utiliser Schémas, lemme 01J7). D’après Algèbre, lemme 02IG, on a \(\dim(R) = 1\). Autrement dit, \(y\) est une spécialisation immédiate de \(x\) (voir Topologie, définition 02I9). Ainsi, tout point \(y \not = x\) tel que \(x \leadsto y\) est une spécialisation immédiate de \(x\). Chacun de ces points est évidemment fermé, comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(x' \leadsto x\) une spécialisation de points de \(X\). Alors

1. il existe un anneau de valuation discrète \(R\) et un morphisme \(f : \Spec(R) \to X\) tels que le point générique \(\eta\) de \(\Spec(R)\) ait pour image \(x'\) et le point fermé ait pour image \(x\);

2. si \(x \not = x'\), étant donnée une extension de corps de type fini \(K/\kappa(x')\), on peut faire en sorte que l’extension \(\kappa(\eta)/\kappa(x')\) induite par \(f\) soit isomorphe à l’extension donnée.

Démonstration

Supposons d’abord que \(x' \leadsto x\) soit une spécialisation dans \(X\) avec \(x \not = x'\), et soit \(K/\kappa(x')\) une extension de corps de type fini. D’après Schémas, lemme 01J7, et la discussion qui suit Schémas, lemme 01J9, on obtient des homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x') \to K\). Puisque \(x \not = x'\), l’image de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans \(K\) n’est pas un corps (détails omis). Soit \(R \subset K\) un anneau de valuation discrète dont le corps des fractions est \(K\) et qui domine l’image de \(\mathcal{O}_{X, x} \to K\), voir Algèbre, lemme 00PH. L’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to R\) induit le morphisme \(f : \Spec(R) \to X\), voir Schémas, lemme 01J6. Par construction, ce morphisme possède toutes les propriétés voulues. Si \(x = x'\), on peut poser \(R = \kappa(x)[t]_{(t)}\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma noethérien et \(T \subset S\) un sous-ensemble infini. Il existe alors un sous-ensemble infini \(T' \subset T\) tel qu’il n’y ait aucune spécialisation non triviale entre les points de \(T'\).

Démonstration

Soit \(T_0 \subset T\) l’ensemble des \(t \in T\) qui ne se spécialisent en aucun autre point de \(T\). Si \(T_0\) est infini, \(T' = T_0\) convient. On peut donc supposer \(T_0\) fini. Pour \(i > 0\), considérons, par récurrence, l’ensemble \(T_i \subset T\) des \(t \in T\) tels que

1. \(t \not \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\);

2. il existe une spécialisation non triviale \(t \leadsto t'\) avec \(t' \in T_{i - 1}\);

3. pour toute spécialisation non triviale \(t \leadsto t'\) avec \(t' \in T\), on a \(t' \in T_{i - 1} \cup T_{i - 2} \cup \ldots \cup T_0\).

Là encore, si \(T_i\) est infini, \(T' = T_i\) convient. Soit \(d\) le maximum des dimensions des anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S, t}\) pour \(t \in T_0\); alors \(d\) est un entier, car \(T_0\) est fini et les dimensions des anneaux locaux sont finies d’après Algèbre, proposition 00KQ. On a \(T_i = \emptyset\) pour \(i > d\). En effet, si \(t \in T_i\), on peut trouver une suite de spécialisations non triviales \(t = t_i \leadsto t_{i - 1} \leadsto \ldots \leadsto t_0\) avec \(t_0 \in T_0\). Comme les points \(t = t_i, t_{i - 1}, \ldots, t_0\) appartiennent à \(\Spec(\mathcal{O}_{S, t_0})\) (Schémas, lemme 01J7), on obtient \(i \leq d\). Ainsi \(\bigcup T_i = T_d \cup \ldots \cup T_0\) est un sous-ensemble fini de \(T\).

Supposons qu’un \(t \in T\) n’appartienne pas à \(\bigcup T_i\). Il doit alors exister une spécialisation \(t \leadsto t'\) avec \(t' \in T\) et \(t' \not \in \bigcup T_i\). (En effet, si toutes les spécialisations de \(t\) appartiennent à l’ensemble fini \(T_d \cup \ldots \cup T_0\), il existe un plus grand \(i\) tel qu’il y ait une spécialisation \(t \leadsto t'\) avec \(t' \in T_i\), et alors \(t \in T_{i + 1}\) par construction.) On obtient donc une suite infinie \[t \leadsto t' \leadsto t'' \leadsto \ldots\] de spécialisations non triviales entre points de \(T \setminus \bigcup T_i\). C’est impossible, car l’espace topologique sous-jacent à \(S\) est noethérien d’après le lemme 01OY.

Lemme

Soient \(S\) un schéma noethérien et \(T \subset S\) un sous-ensemble. Soit \(T_0 \subset T\) l’ensemble des \(t \in T\) tels qu’il n’existe aucune spécialisation non triviale \(t' \leadsto t\) avec \(t' \in T'\). Alors (a) il n’y a aucune spécialisation entre les points de \(T_0\), (b) tout point de \(T\) est une spécialisation d’un point de \(T_0\), et (c) les adhérences de \(T\) et de \(T_0\) sont égales.

Démonstration

Rappelons que \(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) < \infty\) pour tout \(s \in S\), voir Algèbre, proposition 00KQ. Soit \(t \in T\). Si \(t' \leadsto t\), la théorie de la dimension donne \(\dim(\mathcal{O}_{S, t'}) \leq \dim(\mathcal{O}_{S, t})\), avec égalité si et seulement si \(t' = t\). Ainsi, si l’on choisit \(t' \leadsto t\) avec \(\dim(\mathcal{O}_{T, t'})\) minimal, alors \(t' \in T_0\). Autrement dit, tout \(t \in T\) est une spécialisation d’un élément de \(T_0\).

Lemme

Soient \(S\) un schéma noethérien et \(T \subset S\) un sous-ensemble infini dense. Il existe alors un sous-ensemble dénombrable \(E \subset T\) dense dans \(S\).

Démonstration

Soit \(T'\) l’ensemble des points \(s \in S\) tels que \(\overline{\{s\}} \cap T\) contienne un sous-ensemble dénombrable d’adhérence \(\overline{\{s\}}\). Tout ensemble fini étant dénombrable, on a \(T \subset T'\). Pour \(s \in T'\), choisissons un tel sous-ensemble dénombrable \(E_s \subset \overline{\{s\}} \cap T\). Soit \(E' = \{s_1, s_2, s_3, \ldots\} \subset T'\) un sous-ensemble dénombrable. Alors l’adhérence de \(E'\) dans \(S\) est l’adhérence du sous-ensemble dénombrable \(\bigcup_n E_{s_n}\) de \(T\). Il s’ensuit que, si \(Z\) est une composante irréductible de l’adhérence de \(E'\), le point générique de \(Z\) appartient à \(T'\).

Notons \(T'_0 \subset T'\) le sous-ensemble des \(t \in T'\) tels qu’il n’existe aucune spécialisation non triviale \(t' \leadsto t\) avec \(t' \in T'\), comme dans le lemme 0G2R, dont nous utiliserons les résultats sans le mentionner à nouveau. Si \(T'_0\) est infini, choisissons un sous-ensemble dénombrable \(E' \subset T'_0\). D’après l’argument du premier paragraphe, les points génériques des composantes irréductibles de l’adhérence de \(E'\) appartiennent à \(T'\). Mais l’un de ces points se spécialise en une infinité d’éléments distincts de \(E' \subset T'_0\), ce qui est contradictoire. Ainsi \(T'_0\) est fini ; écrivons \(T'_0 = \{s_1, \ldots, s_m\}\). Il en résulte que \(S\), qui est l’adhérence de \(T\), est contenu dans l’adhérence de \(\{s_1, \ldots, s_m\}\), elle-même contenue dans l’adhérence du sous-ensemble dénombrable \(E_{s_1} \cup \ldots \cup E_{s_m} \subset T\), comme voulu.

Schémas de Jacobson

Rappelons qu’un espace est dit de Jacobson si ses points fermés sont denses dans tout sous-ensemble fermé, voir Topologie, section 005T.

Définition

Un schéma \(S\) est dit de Jacobson si son espace topologique sous-jacent est de Jacobson.

Rappelons qu’un anneau \(R\) est de Jacobson si tout idéal radical de \(R\) est une intersection d’idéaux maximaux, voir Algèbre, définition 00G0.

Lemme

Un schéma affine \(\Spec(R)\) est de Jacobson si et seulement si l’anneau \(R\) est de Jacobson.

Démonstration

C’est le lemme 00G3du chapitre Algèbre.

Voici la caractérisation usuelle des schémas de Jacobson. Intuitivement, elle affirme : de Jacobson \(\Leftrightarrow\) localement de Jacobson.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est de Jacobson.

2. Le schéma \(X\) est « localement de Jacobson » au sens de la définition 01OQ.

3. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est de Jacobson.

4. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit de Jacobson.

5. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit de Jacobson.

De plus, si \(X\) est de Jacobson, tout sous-schéma ouvert est de Jacobson.

Démonstration

La dernière assertion du lemme résulte de Topologie, lemme 005X. L’équivalence de (5) et de (1) est donnée par Topologie, lemme 005W. Ainsi, à l’aide du lemme 01P3, on voit que (1) \(\Leftrightarrow\) (2). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer qu’être de Jacobson est une propriété locale des anneaux, voir le lemme 01OR. Toute localisation d’un anneau de Jacobson en un élément est de Jacobson, voir Algèbre, lemme 00G6. Soit \(R\) un anneau ; supposons que \(f_1, \ldots, f_n \in R\) engendrent l’idéal unité et que chaque \(R_{f_i}\) soit de Jacobson. Alors \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\) est une réunion d’ouverts tous de Jacobson ; donc \(\Spec(R)\) est de Jacobson, de nouveau par Topologie, lemme 005W. Cela démontre la seconde condition de la définition 01OP.

Beaucoup de schémas couramment utilisés en géométrie algébrique sont de Jacobson, voir Morphismes, lemme 02J6. Mentionnons ici le cas intéressant suivant.

Lemme

Exemples de schémas noethériens de Jacobson.

1. Si \((R, \mathfrak m)\) est un anneau local noethérien, alors le spectre épointé \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) est un schéma de Jacobson.

2. Si \(R\) est un anneau noethérien de radical de Jacobson \(\text{rad}(R)\), alors \(\Spec(R) \setminus V(\text{rad}(R))\) est un schéma de Jacobson.

3. Si \((R, I)\) est un couple de Zariski (Compléments sur l’algèbre, définition 0ELY), avec \(R\) noethérien, alors \(\Spec(R) \setminus V(I)\) est un schéma de Jacobson.

Démonstration

Démonstration de (3). Remarquons que \(\Spec(R) - V(I)\) est recouvert par les ouverts affines \(\Spec(R_f)\) pour \(f \in I\). Les anneaux \(R_f\) sont de Jacobson d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0GED. Donc \(\Spec(R) \setminus V(I)\) est de Jacobson par le lemme 01P4. Les assertions (1) et (2) sont des cas particuliers de (3).

Démonstration directe de (1). Puisque \(\Spec(R)\) est un schéma noethérien, \(S\) est un schéma noethérien (lemme 02IK). Ainsi \(S\) est un espace topologique sobre et noethérien (utiliser Schémas, lemme 01IS). Supposons que \(S\) ne soit pas de Jacobson et cherchons une contradiction. D’après Topologie, lemme 02I7, il existe un point non fermé \(\xi \in S\) tel que \(\{\xi\}\) soit localement fermé. Il correspond à un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) tel que (1) il existe un idéal premier \(\mathfrak q\), \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m\), les deux inclusions étant strictes, et (2) \(\{\mathfrak p\}\) soit ouvert dans \(\Spec(R/\mathfrak p)\). C’est impossible d’après Algèbre, lemme 02IG.

Schémas normaux

Rappelons qu’un anneau \(R\) est dit normal si tous ses anneaux locaux sont des anneaux intègres normaux, voir Algèbre, définition 00GV. Un anneau intègre normal est un anneau intègre intégralement clos dans son corps des fractions, voir Algèbre, définition 0309. Il est donc naturel de définir un schéma normal comme suit.

Définition

Un schéma \(X\) est normal si et seulement si, pour tout \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau intègre normal.

Cela semble être la définition utilisée dans EGA, voir [EGA, 0, 4.1.4]. Supposons \(X = \Spec(A)\), avec \(A\) réduit. Dire que \(X\) est normal n’équivaut pas à dire que \(A\) est intégralement clos dans son anneau total des fractions. Cette équivalence est toutefois vraie si \(A\) est noethérien (voir Algèbre, lemme 030C).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est normal.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est normal.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit normal.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit normal.

De plus, si \(X\) est normal, tout sous-schéma ouvert est normal.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Un schéma normal est réduit.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Alors \(X\) est normal si et seulement si, pour tout ouvert affine non vide \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est un anneau intègre normal.

Démonstration

Cela résulte de Algèbre, lemme 030B.

Lemme

Soit \(X\) un schéma dont tout ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est normal ;

2. \(X\) est une réunion disjointe de schémas intègres normaux.

Démonstration

Il résulte immédiatement des définitions que (2) entraîne (1). Soit \(X\) un schéma normal dont tout ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(X\) est affine, \(X\) satisfait (2) d’après Algèbre, lemme 030C. Pour \(X\) quelconque, soit \(X = \bigcup X_i\) un recouvrement ouvert affine. Remarquons que chaque \(X_i\) n’a lui aussi qu’un nombre fini de composantes irréductibles et que le lemme s’applique à chaque \(X_i\). Soit \(T \subset X\) une composante irréductible. D’après le cas affine, chaque intersection \(T \cap X_i\) est ouverte dans \(X_i\) et est un schéma intègre normal. Ainsi \(T \subset X\) est ouvert et est un schéma intègre normal. Cela prouve que \(X\) est la réunion disjointe de ses composantes irréductibles, qui sont des schémas intègres normaux.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est normal ;

2. \(X\) est une réunion disjointe finie de schémas intègres normaux.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0357, car l’espace topologique sous-jacent à un schéma noethérien est noethérien (lemme 01OZ et Topologie, lemme 0052).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est normal ;

2. \(X\) est une réunion disjointe de schémas intègres normaux.

Démonstration

Omis. Indication : cela se déduit du lemme 033Mpar un raisonnement purement topologique.

Remarque

Soit \(X\) un schéma normal. Si \(X\) est localement noethérien, \(X\) est intègre si et seulement si \(X\) est connexe, voir le lemme 033N. Mais il existe un schéma affine connexe \(X\) tel que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit intègre pour tout \(x \in X\), sans que \(X\) soit irréductible, voir Exemples, section 0568. Cet exemple est même un schéma normal (démonstration omise) ; il faut donc y prendre garde !

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre normal. Alors \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau intègre normal.

Démonstration

Posons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Il est clair que \(R\) est un anneau intègre. Supposons que \(f = a/b\) soit un élément de son corps des fractions entier sur \(R\). Écrivons \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i f^i = 0\), avec \(a_i \in R\). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine non vide. Puisque \(b \in R\) est non nul et que \(X\) est intègre, \(b|_U \in \mathcal{O}_X(U)\) est également non nul. Ainsi \(a/b\) est un élément du corps des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\) entier sur \(\mathcal{O}_X(U)\) (car on peut utiliser la même équation polynomiale \(f^d + \sum_{i = 0, \ldots, d - 1} a_i|_U f^i = 0\) sur \(U\)). Comme \(\mathcal{O}_X(U)\) est un anneau intègre normal (lemme 033L), on obtient \(f_U = (a|_U)/(b|_U) \in \mathcal{O}_X(U)\). Il est clair que \(f_U|_V = f_V\) dès que \(V \subset U \subset X\) sont des ouverts affines non vides. Les sections locales \(f_U\) se recollent donc en un élément \(g \in R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors \(bg\) et \(a\) se restreignent au même élément de \(\mathcal{O}_X(U)\) pour tout \(U\) comme ci-dessus ; donc \(bg = a\). Autrement dit, \(g\) a pour image \(f\) dans le corps des fractions de \(R\).

Schémas de Cohen–Macaulay

Rappelons, voir Algèbre, définition 00N8, qu’un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m)\) est dit de Cohen–Macaulay si \(\text{depth}_{\mathfrak m}(R) = \dim(R)\). Rappelons qu’un anneau noethérien \(R\) est dit de Cohen–Macaulay si tout anneau local \(R_{\mathfrak p}\) de \(R\) est de Cohen–Macaulay, voir Algèbre, définition 00NC.

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que \(X\) est de Cohen–Macaulay si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit noethérien et de Cohen–Macaulay.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est de Cohen–Macaulay ;

2. \(X\) est localement noethérien et tous ses anneaux locaux sont de Cohen–Macaulay ;

3. \(X\) est localement noethérien et, pour tout point fermé \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de Cohen–Macaulay.

Démonstration

Algèbre, lemme 00NB, affirme que toute localisation d’un anneau local de Cohen–Macaulay est de Cohen–Macaulay. Le lemme s’en déduit en combinant ce résultat avec le lemme 01OW, l’existence de points fermés sur les schémas localement noethériens (lemme 02IL) et les définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est de Cohen–Macaulay.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est noethérien et de Cohen–Macaulay.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit noethérien et de Cohen–Macaulay.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit de Cohen–Macaulay.

De plus, si \(X\) est de Cohen–Macaulay, tout sous-schéma ouvert est de Cohen–Macaulay.

Démonstration

Combiner les lemmes 01OW et 02IP.

On trouvera davantage de résultats sur les schémas de Cohen–Macaulay et la profondeur dans Cohomologie des schémas, section 0340.

Schémas réguliers

Rappelons, voir Algèbre, définition 00KU, qu’un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m)\) est dit régulier si \(\mathfrak m\) peut être engendré par \(\dim(R)\) éléments. Rappelons qu’un anneau noethérien \(R\) est dit régulier si tout anneau local \(R_{\mathfrak p}\) de \(R\) est régulier, voir Algèbre, définition 00OD.

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que \(X\) est régulier, ou non singulier, si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit noethérien et régulier.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est régulier ;

2. \(X\) est localement noethérien et tous ses anneaux locaux sont réguliers ;

3. \(X\) est localement noethérien et, pour tout point fermé \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier.

Démonstration

D’après la discussion précédant, dans le chapitre Algèbre, la définition 00OD, toute localisation d’un anneau local régulier est régulière. Le lemme s’en déduit en combinant ce résultat avec le lemme 01OW, l’existence de points fermés sur les schémas localement noethériens (lemme 02IL) et les définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est régulier.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est noethérien et régulier.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit noethérien et régulier.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit régulier.

De plus, si \(X\) est régulier, tout sous-schéma ouvert est régulier.

Démonstration

Combiner les lemmes 01OW et 02IT.

Lemme

Un schéma régulier est normal.

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 0567.

Dimension

La dimension d’un schéma est simplement la dimension de son espace topologique sous-jacent.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

1. La dimension de \(X\) est la dimension de \(X\) en tant qu’espace topologique, voir Topologie, définition 0055.

2. Pour \(x \in X\), on note \(\dim_x(X)\) la dimension de l’espace topologique sous-jacent à \(X\) en \(x\), au sens de Topologie, définition 0055. On appelle \(\dim_x(X)\) la dimension de \(X\) en \(x\).

L’espace topologique sous-jacent à un schéma étant sobre (Schémas, lemme 01IS), on peut calculer la dimension de \(X\) comme la borne supérieure des longueurs \(n\) des chaînes \[T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n\] de fermés irréductibles de \(X\), ou comme la borne supérieure des longueurs \(n\) des chaînes de spécialisations \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] de points de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les quantités suivantes sont égales :

1. la dimension de \(X\);

2. la borne supérieure des dimensions des anneaux locaux de \(X\);

3. la borne supérieure des \(\dim_x(X)\) pour \(x \in X\).

Démonstration

Remarquons qu’étant donnée une chaîne de spécialisations \[\xi_n \leadsto \xi_{n - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] de points de \(X\), tous les points \(\xi_i\) correspondent à des idéaux premiers de l’anneau local de \(X\) en \(\xi_0\), d’après Schémas, lemme 01J7. On voit donc que la dimension de \(X\) est la borne supérieure des dimensions de ses anneaux locaux. En particulier, \(\dim_x(X) \geq \dim(\mathcal{O}_{X, x})\), puisque \(\dim_x(X)\) est le minimum des dimensions des voisinages ouverts de \(x\). Ainsi \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \geq \dim(X)\). D’autre part, il est clair que \(\sup_{x \in X} \dim_x(X) \leq \dim(X)\), car \(\dim(U) \leq \dim(X)\) pour tout ouvert de \(X\).

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(Y \subset X\) un sous-ensemble fermé irréductible. Soit \(\xi \in Y\) son point générique. Alors \[\text{codim}(Y, X) = \dim(\mathcal{O}_{X, \xi})\] où la codimension est celle de Topologie, définition 02I3.

Démonstration

D’après Topologie, lemme 02I4, on peut remplacer \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(\xi\). Dans ce cas, le résultat découle aisément de Algèbre, lemme 00ET.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\). Alors \(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\) si et seulement si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\).

Démonstration

Cela résulte, par exemple, du lemme 02IZ.

Lemme

Un schéma localement noethérien de dimension \(0\) est une réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens.

Démonstration

Un anneau noethérien de dimension \(0\) est un produit fini d’anneaux locaux artiniens, voir Algèbre, proposition 00KJ. L’espace topologique sous-jacent à un ouvert affine d’un schéma localement noethérien \(X\) de dimension \(0\) est donc discret. Il en résulte que la topologie de \(X\) est discrète. Le lemme se déduit aisément de ces remarques.

Lemme

Soit \(X\) un schéma de dimension zéro. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est quasi-séparé ;

2. \(X\) est séparé ;

3. \(X\) est un espace topologique séparé ;

4. tout ouvert affine est fermé.

Dans ce cas, les composantes connexes de \(X\) sont des points et tout ouvert quasi-compact de \(X\) est affine. En particulier, si \(X\) est quasi-compact, \(X\) est affine.

Démonstration

Comme \(X\) est de dimension zéro, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’espace \(U\) est profini et possède diverses autres propriétés que nous utiliserons librement ci-dessous, voir Algèbre, lemme 04MG. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\).

Si (4) est satisfaite, \(U_i \cap U_j\) est un fermé de \(U_i\), donc est quasi-compact. Par conséquent, \(X\) est quasi-séparé, d’après Schémas, lemme 01KO, et (1) est satisfaite.

Si (1) est satisfaite, \(U_i \cap U_j\) est un ouvert quasi-compact de \(U_i\), donc est fermé dans \(U_i\). Alors \(U_i \cap U_j \to U_i\) est une immersion ouverte d’image fermée, et donc une immersion fermée. En particulier, \(U_i \cap U_j\) est affine et \(\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)\) est surjectif. Ainsi \(X\) est séparé d’après Schémas, lemme 01KP, et (2) est satisfaite.

Supposons (2) et soient \(x, y \in X\). Supposons \(x \in U_i\). Si \(y \in U_i\) également, on peut trouver des voisinages ouverts disjoints de \(x\) et de \(y\), car \(U_i\) est un espace topologique séparé. Supposons \(y \not \in U_i\) et \(y \in U_j\). Alors \(y \not \in U_i \cap U_j\), qui est un ouvert affine de \(U_j\), donc fermé dans \(U_j\). On peut ainsi trouver un voisinage ouvert de \(y\) ne rencontrant pas \(U_i\), et l’on en déduit que \(X\) est un espace topologique séparé ; donc (3) est satisfaite.

Supposons (3). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Alors \(U\) est fermé dans \(X\) d’après Topologie, lemme 08YB. Cela démontre (4).

Supposons que \(X\) satisfasse les conditions équivalentes (1) – (4). Démontrons les dernières assertions du lemme. Soient \(x, y \in X\) avec \(x \not = y\). Puisque \(y\) ne se spécialise pas en \(x\), on peut choisir un ouvert affine \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(y \not \in U\). Alors \(X = U \amalg (X \setminus U)\) est une décomposition en parties ouvertes et fermées, ce qui montre que \(x\) et \(y\) n’appartiennent pas à la même composante connexe de \(X\). Supposons maintenant que \(U \subset X\) soit un ouvert quasi-compact. Écrivons \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) comme réunion d’ouverts affines. Montrons par récurrence sur \(n\) que \(U\) est affine. On se ramène immédiatement au cas \(n = 2\). Dans ce cas, on a \(U = (U_1 \setminus U_2) \amalg (U_1 \cap U_2) \amalg (U_2 \setminus U_1)\), et les arguments précédents montrent que chacune de ces parties est affine.

Lemme

Soit \(x\) un point d’un schéma localement noethérien \(X\). Alors \(\dim_x(X) = 0\) si et seulement si \(x\) est un point isolé de \(X\).

Démonstration

Si \(x\) est un point isolé, \(\{x\}\) est un ouvert de \(X\) (Topologie, définition 06RM), et donc \(\dim_x(X) = \dim(\{x\}) = 0\) par définition. Réciproquement, si \(\dim_x(X) = 0\), il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\dim(U) = 0\) (Topologie, définition 0055). D’après le lemme 0AAX, la topologie de \(U\) est discrète, et donc \(x\) est un point isolé.

Schémas caténaires

Rappelons qu’un espace topologique \(X\) est dit caténaire si, pour tout couple de fermés irréductibles \(T \subset T'\), il existe une chaîne maximale de fermés irréductibles \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] et si toutes ces chaînes ont la même longueur. Voir Topologie, définition 02I1.

Définition

Soit \(S\) un schéma. On dit que \(S\) est caténaire si l’espace topologique sous-jacent à \(S\) est caténaire.

Rappelons qu’un anneau \(A\) est dit caténaire si, pour tout couple d’idéaux premiers \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\), il existe une chaîne maximale d’idéaux premiers \[\mathfrak p = \mathfrak p_0 \subset \ldots \subset \mathfrak p_e = \mathfrak q\] et si toutes ces chaînes ont la même longueur. Voir Algèbre, définition 00NI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(S\) est caténaire ;

2. il existe un recouvrement ouvert de \(S\) dont tous les membres sont des schémas caténaires ;

3. pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset S\), l’anneau \(R\) est caténaire ;

4. il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) soit le spectre d’un anneau caténaire.

De plus, dans ce cas, tout sous-schéma localement fermé de \(S\) est lui aussi caténaire.

Démonstration

Combiner Topologie, lemme 02I2, et Algèbre, lemme 02IH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(S\) est caténaire ;

2. il existe, localement pour la topologie de Zariski, une fonction de dimension sur \(S\) (voir Topologie, définition 02I9).

Démonstration

Cela résulte des résultats suivants : Topologie, lemmes 02I2, 02IAet 02IC, Schémas, lemme 01IS, et enfin le lemme 01OZ.

Un schéma est caténaire si et seulement si ses anneaux locaux sont caténaires.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est caténaire ;

2. pour tout \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est caténaire.

Démonstration

Supposons \(X\) caténaire. Soit \(x \in X\). D’après le lemme 02IX, on peut remplacer \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x\); alors \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau caténaire. D’après Algèbre, lemme 00NJ, toute localisation d’un anneau caténaire est caténaire. Donc \(\mathcal{O}_{X, x}\) est caténaire.

Réciproquement, supposons tous les anneaux locaux de \(X\) caténaires. Soit \(Y \subset Y'\) une inclusion de fermés irréductibles de \(X\). Soit \(\xi \in Y\) le point générique. Soit \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\) l’idéal premier correspondant au point générique de \(Y'\), voir Schémas, lemme 01J7. D’après ce même lemme, les fermés irréductibles de \(X\) compris entre \(Y\) et \(Y'\) correspondent aux idéaux premiers \(\mathfrak q \subset \mathcal{O}_{X, \xi}\) tels que \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset \mathfrak m_{\xi}\). Toutes leurs chaînes maximales sont donc finies et de même longueur, puisque \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est un anneau caténaire.

Conditions de Serre

Voici deux notions techniques souvent utiles. Voir aussi Cohomologie des schémas, section 0340.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(k \geq 0\).

1. On dit que \(X\) est régulier en codimension \(k\), ou que \(X\) possède la propriété \((R_k)\), si, pour tout \(x \in X\), on a \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq k \Rightarrow \mathcal{O}_{X, x}\text{ est régulier}\]

2. On dit que \(X\) possède la propriété \((S_k)\) si, pour tout \(x \in X\), on a \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(k, \dim(\mathcal{O}_{X, x}))\).

L’expression « régulier en codimension \(k\)» a un sens, car nous avons vu, dans la section 02IV, que, si \(Y \subset X\) est un fermé irréductible de point générique \(x\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \text{codim}(Y, X)\). Par exemple, la condition \((R_0)\) signifie que, pour tout point générique \(\eta \in X\) d’une composante irréductible de \(X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) est un corps. Mais, pour un schéma noethérien quelconque, le lieu régulier de \(X\) peut mal se comporter ; il faut donc être prudent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Alors \(X\) est régulier si et seulement si \(X\) satisfait \((R_k)\) pour tout \(k \geq 0\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 02IT et des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Alors \(X\) est de Cohen–Macaulay si et seulement si \(X\) satisfait \((S_k)\) pour tout \(k \geq 0\).

Démonstration

Le lemme 02IP permet de se ramener aux anneaux locaux. Le résultat vient donc de ce qu’un anneau local noethérien est de Cohen–Macaulay si et seulement si sa profondeur est égale à sa dimension.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Alors \(X\) est réduit si et seulement si \(X\) possède les propriétés \((S_1)\) et \((R_0)\).

Démonstration

C’est le lemme 031Rdu chapitre Algèbre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Alors \(X\) est normal si et seulement si \(X\) possède les propriétés \((S_2)\) et \((R_1)\).

Démonstration

C’est le lemme 031Sdu chapitre Algèbre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien, normal et de dimension \(\leq 1\). Alors \(X\) est régulier.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0345 et des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien, normal et de dimension \(\leq 2\). Alors \(X\) est de Cohen–Macaulay.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0345 et des définitions.

Schémas japonais et schémas de Nagata

Les notions considérées dans cette section ne font pas l’objet de définitions explicites bien mises en évidence dans EGA. Un « schéma universellement japonais » est mentionné et défini dans [EGA, IV Corollary 5.11.4]. Un « schéma japonais » est mentionné dans [EGA, IV remarque 10.4.14 (ii)], mais sans définition. La notion de schéma de Nagata (définie ci-dessous) apparaît à quelques endroits dans la littérature (voir, par exemple, [Liu, définition 8.2.30] et [Greco, Page 142]).

Rappelons brièvement qu’un anneau intègre \(R\) est dit japonais si la fermeture intégrale de \(R\) dans toute extension finie de son corps des fractions est finie sur \(R\). Un anneau \(R\) est dit universellement japonais si, pour tout homomorphisme d’anneaux de type fini \(R \to S\) avec \(S\) intègre, \(S\) est japonais. Un anneau \(R\) est dit de Nagata s’il est noethérien et si \(R/\mathfrak p\) est japonais pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\).

Définition

Soit \(X\) un schéma.

1. Supposons \(X\) intègre. On dit que \(X\) est japonais si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit japonais (voir Algèbre, définition 032F).

2. On dit que \(X\) est universellement japonais si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit universellement japonais (voir Algèbre, définition 032R).

3. On dit que \(X\) est de Nagata si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit de Nagata (voir Algèbre, définition 032R).

Être de Nagata équivaut à être localement noethérien et universellement japonais, voir le lemme 033Z.

Remarque

Dans [Hoobler-finite], un schéma (localement noethérien) \(X\) est dit japonais si, pour tout \(x \in X\) et tout idéal premier associé \(\mathfrak p\) de \(\mathcal{O}_{X, x}\), l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p\) est japonais. Nous n’utilisons pas cette définition, car il existe un anneau intègre noethérien de dimension un dont les anneaux locaux sont excellents (en particulier japonais), mais dont la normalisation n’est pas finie. Voir [Hochster-loci, exemple 1], [Heinzer-Levy] ou [Traveaux, Exposé XIX]. On pourrait toutefois contourner ce problème en disant qu’un schéma \(X\) est japonais si, pour tout ouvert affine \(\Spec(A) \subset X\), l’anneau \(A/\mathfrak p\) est japonais pour tout idéal premier associé \(\mathfrak p\) de \(A\).

Lemme

Un schéma de Nagata est localement noethérien.

Démonstration

En effet, un anneau de Nagata est noethérien par définition.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est japonais.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau intègre \(\mathcal{O}_X(U)\) est japonais.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit japonais.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit japonais.

De plus, si \(X\) est japonais, tout sous-schéma ouvert est japonais.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01OR et des lemmes suivants du chapitre Algèbre : 032G et 032H.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est universellement japonais.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est universellement japonais.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit universellement japonais.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit universellement japonais.

De plus, si \(X\) est universellement japonais, tout sous-schéma ouvert est universellement japonais.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01OR et des lemmes suivants du chapitre Algèbre : 032S et 032V.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est de Nagata.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est de Nagata.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit de Nagata.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit de Nagata.

De plus, si \(X\) est de Nagata, tout sous-schéma ouvert est de Nagata.

Démonstration

Cela résulte du lemme 01OR et des lemmes suivants du chapitre Algèbre : 032U et 032V.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Alors \(X\) est de Nagata si et seulement si tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) est japonais.

Démonstration

Supposons \(X\) de Nagata. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre. Soit \(z \in Z\). Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine contenant \(z\) tel que \(A\) soit de Nagata. Alors \(Z \cap U \cong \Spec(A/\mathfrak p)\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak p\), voir Schémas, lemme 01IN (et la définition 01OK). D’après Algèbre, définition 032R, \(A/\mathfrak p\) est japonais. Donc \(Z\) est japonais par définition.

Supposons tout sous-schéma fermé intègre de \(X\) japonais. Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine quelconque. Comme \(X\) est localement noethérien, \(A\) est noethérien (lemme 01OW). Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Il faut montrer que \(A/\mathfrak p\) est japonais. Soit \(T \subset U\) le fermé \(V(\mathfrak p) \subset \Spec(A)\). Soit \(\overline{T} \subset X\) son adhérence. Alors \(\overline{T}\) est irréductible, étant l’adhérence d’un sous-ensemble irréductible. Le sous-schéma fermé réduit défini par \(\overline{T}\) est donc un sous-schéma fermé intègre (encore noté \(\overline{T}\) ), voir Schémas, lemme 01J3. Autrement dit, \(\Spec(A/\mathfrak p)\) est un ouvert affine d’un sous-schéma fermé intègre de \(X\). Ce sous-schéma est japonais par hypothèse ; le lemme 033V montre donc que \(A/\mathfrak p\) est japonais.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est de Nagata ;

2. \(X\) est localement noethérien et universellement japonais.

Démonstration

C’est Algèbre, proposition 0334.

Cette discussion sera poursuivie dans Morphismes, section 0359.

G-schémas

Rappelons qu’un anneau \(R\) est un G-anneau si \(R\) est noethérien et si, pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’homomorphisme d’anneaux \(R_\mathfrak p \to (R_\mathfrak p)^\wedge\) est régulier.

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que \(X\) est un G-schéma² si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert affine \(x \in U \subset X\) tel que l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) soit un G-anneau (voir Compléments sur l’algèbre, définition 07GH).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un G-schéma ;

2. \(X\) est localement noethérien et, pour tout \(x \in X\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est régulier ;

3. \(X\) est localement noethérien et, pour tout point fermé \(x \in X\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est régulier.

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2) et que (2) entraîne (3). Supposons (3). Soit \(x \in X\) un point quelconque. D’après le lemme 02IL, il existe une spécialisation \(x \leadsto x'\) avec \(x'\) fermé dans \(X\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x'}\) est un G-anneau d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 07PT. Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est la localisation de \(\mathcal{O}_{X, x'}\) en un idéal premier (Schémas, lemme 01J7), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) est régulier. Le point \(x \in X\) étant quelconque, on en déduit que, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau noethérien (lemme 01OW) \(\mathcal{O}_X(U)\) est un G-anneau. Cela démontre (1).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le schéma \(X\) est un G-schéma.

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est un G-anneau.

3. Il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) soit un G-anneau.

4. Il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup X_j\) tel que chaque sous-schéma ouvert \(X_j\) soit un G-schéma.

De plus, si \(X\) est un G-schéma, tout sous-schéma ouvert est un G-schéma.

Démonstration

Combiner les lemmes 01OW et 0HA4.

Le lieu singulier

Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Le lieu régulier \(\text{Reg}(X)\) de \(X\) est l’ensemble des \(x \in X\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau local régulier. Le lieu singulier \(\text{Sing}(X)\) est le complémentaire \(X \setminus \text{Reg}(X)\), c’est-à-dire l’ensemble des points \(x \in X\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x}\) ne soit pas un anneau local régulier.

Le lieu régulier d’un schéma localement noethérien est stable par générisation, voir la discussion précédant Algèbre, définition 00OD. Toutefois, pour un schéma localement noethérien quelconque, le lieu régulier n’est pas nécessairement ouvert. Dans Compléments sur l’algèbre, section 07P6, on trouvera quelques critères assurant qu’il l’est. Nous reviendrons sur cette question dans Morphismes, section 07R2.

Irréductibilité locale

Rappelons que, dans Compléments sur l’algèbre, section 06DT, nous avons introduit la notion d’anneau local (géométriquement) unibranche.

Définition

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\). On dit que \(X\) est unibranche en \(x\) si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est unibranche. On dit que \(X\) est géométriquement unibranche en \(x\) si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement unibranche. On dit que \(X\) est unibranche si \(X\) est unibranche en chacun de ses points. On dit que \(X\) est géométriquement unibranche si \(X\) est géométriquement unibranche en chacun de ses points.

Il peut effectivement arriver qu’un anneau local \(A\) soit géométriquement unibranche (au sens de Compléments sur l’algèbre, définition 0BPZ), sans que le schéma \(\Spec(A)\) soit géométriquement unibranche au sens de la définition 0BQ2. C’est le cas, par exemple, si \(A\) est l’anneau local au sommet du cône sur une courbe plane irréductible ayant un point double ordinaire (un nœud).

Lemme

Un schéma normal est géométriquement unibranche.

Démonstration

Cela résulte des définitions. En effet, un schéma est normal si ses anneaux locaux sont des anneaux intègres normaux. Il résulte immédiatement de Compléments sur l’algèbre, définition 0BPZ, qu’un anneau local intègre normal est géométriquement unibranche.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement unibranche (définition 0BQ2) ;

2. pour tout point \(x \in X\) qui n’est pas le point générique d’une composante irréductible de \(X\), le spectre épointé de l’hensélisé strict \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) est connexe.

Démonstration

Compléments sur l’algèbre, lemme 06DM, montre que (1) entraîne que les spectres épointés de (2) sont irréductibles, donc connexes.

Supposons (2). Soit \(x \in X\). Il faut montrer que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement unibranche. Par récurrence sur \(\dim(\mathcal{O}_{X, x})\), on peut supposer le résultat vrai pour toute générisation non triviale de \(x\). On peut remplacer \(X\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). Autrement dit, on peut supposer que \(X = \Spec(A)\), avec \(A\) local, et que \(A_\mathfrak p\) est géométriquement unibranche pour tout idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset A\).

Soit \(A^{sh}\) l’hensélisé strict de \(A\). Si \(\mathfrak q \subset A^{sh}\) est un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), alors \(A_\mathfrak p \to A^{sh}_\mathfrak q\) est une colimite filtrante d’algèbres étales. Les hensélisés stricts de \(A_\mathfrak p\) et de \(A^{sh}_\mathfrak q\) sont donc isomorphes. Ainsi, d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 06DM, \(A^{sh}_\mathfrak q\) possède un unique idéal premier minimal pour tout idéal premier non maximal \(\mathfrak q\) de \(A^{sh}\).

Soient \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) les idéaux premiers minimaux de \(A^{sh}\). Il faut montrer que \(r = 1\). D’après ce qui précède, on a \(V(\mathfrak q_1) \cap V(\mathfrak q_j) = \{\mathfrak m^{sh}\}\) pour \(j = 2, \ldots, r\). Ainsi \(V(\mathfrak q_1) \setminus \{\mathfrak m^{sh}\}\) est un ouvert fermé du spectre épointé de \(A^{sh}\), ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle ce spectre épointé est connexe, à moins que \(r = 1\).

Définition

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\). Le nombre de branches de \(X\) en \(x\) est le nombre de branches de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) au sens de Compléments sur l’algèbre, définition 0C26. Le nombre de branches géométriques de \(X\) en \(x\) est le nombre de branches géométriques de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) au sens de Compléments sur l’algèbre, définition 0C26.

On souhaite souvent comparer ce nombre à celui des branches de l’anneau local complété, mais cette comparaison n’est généralement pas immédiate ; on trouvera quelques résultats à ce sujet dans Compléments sur l’algèbre, section 0C27.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\). Soient \(X_i\), \(i \in I\), les composantes irréductibles de \(X\) passant par \(x\). Alors le nombre de branches (géométriques) de \(X\) en \(x\) est la somme, sur \(i \in I\), des nombres de branches (géométriques) de \(X_i\) en \(x\).

Démonstration

On considère les \(X_i\) comme des sous-schémas fermés intègres de \(X\), voir Schémas, définition 01J4, et le lemme 01ON. Remarquons que le nombre de branches (géométriques) de \(X_i\) en \(x\) est au moins \(1\) pour tout \(i\) (essentiellement par définition). Rappelons que les \(X_i\) correspondent \(1\)-à-\(1\) aux idéaux premiers minimaux \(\mathfrak p_i \subset \mathcal{O}_{X, x}\), voir Algèbre, lemme 00ET. Ainsi, si \(I\) est infini, \(\mathcal{O}_{X, x}\) possède une infinité d’idéaux premiers minimaux, et donc \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) et \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) possèdent tous deux une infinité d’idéaux premiers minimaux (combiner Algèbre, lemmes 00FK et 0CAN, avec l’injectivité des homomorphismes \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X, x}^h \to \mathcal{O}_{X, x}^{sh}\)). Dans ce cas, le nombre de branches (géométriques) de \(X\) en \(x\) est, par définition, \(\infty\), tout comme la somme considérée. On peut donc supposer \(I\) fini. Soit \(A'\) la fermeture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans l’anneau total des fractions \(Q\) de \((\mathcal{O}_{X, x})_{red}\). Soit \(A'_i\) la fermeture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\) dans l’anneau total des fractions \(Q_i\) de \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak p_i\). D’après Algèbre, lemme 02LX, on a \(Q = \prod_{i \in I} Q_i\). Ainsi \(A' = \prod A'_i\). L’égalité du lemme résulte alors de Compléments sur l’algèbre, lemme 0C37, qui exprime le nombre de branches (géométriques) en fonction des idéaux maximaux de \(A'\).

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\).

1. Le nombre de branches de \(X\) en \(x\) est \(1\) si et seulement si \(X\) est unibranche en \(x\).

2. Le nombre de branches géométriques de \(X\) en \(x\) est \(1\) si et seulement si \(X\) est géométriquement unibranche en \(x\).

Démonstration

Ce lemme résulte immédiatement des définitions et du résultat correspondant pour les anneaux, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0C37.

Caractérisation des modules de type fini et de présentation finie

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le lemme suivant entraîne que \(\mathcal{F}\) est de type fini (voir Modules, définition 01B5) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est, sur tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\), de la forme \(\widetilde M\) pour un \(A\)-module de type fini \(M\). De même, \(\mathcal{F}\) est de présentation finie (voir Modules, définition 01BN) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est, sur tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\), de la forme \(\widetilde M\) pour un \(A\)-module de présentation finie \(M\).

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\widetilde M\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini si et seulement si \(M\) est un \(R\)-module de type fini.

Démonstration

Supposons que \(\widetilde M\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini. Cela signifie qu’il existe un recouvrement ouvert de \(X\) tel que la restriction de \(\widetilde M\) à chacun des membres de ce recouvrement soit engendrée par un nombre fini de sections globales. Il existe donc aussi un recouvrement ouvert standard \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\) tel que \(\widetilde M|_{D(f_i)}\) soit engendré par un nombre fini de sections. Ainsi \(M_{f_i}\) est de type fini pour tout \(i\). On conclut par Algèbre, lemme 00EO.

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\widetilde M\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie si et seulement si \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie.

Démonstration

Supposons que \(\widetilde M\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Le lemme 01PB montre que \(M\) est un \(R\)-module de type fini. Choisissons une surjection \(R^n \to M\) de noyau \(K\). D’après Schémas, lemme 01HV, on a une suite exacte courte \[0 \to \widetilde{K} \to \bigoplus \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \widetilde{M} \to 0\] D’après Modules, lemme 01BP, \(\widetilde{K}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini. Donc, de nouveau par le lemme 01PB, \(K\) est un \(R\)-module de type fini. Ainsi \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie.

sections sur les ouverts principaux

Voici un résultat typique de cette nature. Dans les lemmes suivants, nous utiliserons une démonstration plus élémentaire, mais plus directe.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Notons \(X_f \subset X\) l’ouvert où \(f\) est inversible, voir Schémas, lemme 01HZ. Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, l’homomorphisme canonique \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{O}_X)\] est un isomorphisme. De plus, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules, l’homomorphisme \[\Gamma(X, \mathcal{F})_f \longrightarrow \Gamma(X_f, \mathcal{F})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Écrivons \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Considérons le morphisme canonique \[\varphi : X \longrightarrow \Spec(R)\] de schémas, voir Schémas, lemme 01I1. L’image inverse de l’ouvert principal \(D(f)\) du membre de droite est alors l’ouvert \(X_f\) du membre de gauche. De plus, comme \(X\) est supposé quasi-compact et quasi-séparé, le morphisme \(\varphi\) est quasi-compact et quasi-séparé, voir Schémas, lemmes 01K4 et 01KV. Ainsi, d’après Schémas, lemme 01LC, \(\varphi_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. On a donc \(\varphi_*\mathcal{F} = \widetilde M\), où \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\), considéré comme \(R\)-module. Il en résulte que \[\Gamma(X_f, \mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \varphi_*\mathcal{F}) = \Gamma(D(f), \widetilde M) = M_f\] ce qui est précisément l’assertion du lemme. Le premier isomorphisme affiché s’obtient en prenant \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\).

Rappelons qu’étant donnés un schéma \(X\), un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X\) et un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), on obtient un anneau gradué \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) et un \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\), voir Modules, définition 01CV. Si l’on se donne de plus une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), on obtient une application [0B5L]\[\begin{equation} \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s}) \end{equation}\] qui envoie \(t/s^n\), où \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\), sur \(t|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\). Cela a un sens, car \(X_s \subset X\) est, par définition, l’ouvert sur lequel \(s\) possède un inverse, voir Modules, lemme 01CY.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

1. Si \(X\) est quasi-compact, l’application (0B5L) est injective ;

2. si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, l’application (0B5L) est un isomorphisme.

En particulier, l’homomorphisme canonique \[\Gamma_*(X, \mathcal{L})_{(s)} \longrightarrow \Gamma(X_s, \mathcal{O}_X),\quad a/s^n \longmapsto a \otimes s^{-n}\] est un isomorphisme si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Supposons \(X\) quasi-compact. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\), avec \(U_j\) affine et \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\). Par cet isomorphisme, la section \(s|_{U_j}\) correspond à un élément \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\). Alors \(X_s \cap U_j = D(f_j)\).

Démonstration de (1). Soit \(t/s^n\) un élément du noyau de (0B5L). Alors \(t|_{X_s} = 0\). Donc \((t|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\). Par le lemme 01P7, on obtient \(f_j^{e_j} t|_{U_j} = 0\) pour un certain \(e_j \geq 0\). Soit \(e = \max(e_j)\). Alors \(t \otimes s^e\) se restreint à zéro sur \(U_j\) pour tout \(j\), et est donc nul. Comme \(t/s^n\) est égal à \(t \otimes s^e/s^{n + e}\) dans \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)}\), on en déduit que \(t/s^n = 0\), comme voulu.

Démonstration de (2). Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(U_j \cap U_{j'}\) est quasi-compact pour tout couple \(j, j'\), voir Schémas, lemme 01KO. D’après (1), on sait que (0B5L) est injective. Soit \(t' \in \Gamma(X_s, \mathcal{F}|_{X_s})\). Pour tout \(j\), il existe un entier \(e_j \geq 0\) et une section \(t'_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{F}|_{U_j})\) tels que \(t'|_{D(f_j)}\) corresponde à \(t'_j/f_j^{e_j}\) par l’isomorphisme du lemme 01P7. Posons \(e = \max(e_j)\) et \[t_j = f_j^{e - e_j} t'_j \otimes q_j^e \in \Gamma(U_j, (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes e})|_{U_j})\] où \(q_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{L}|_{U_j})\) est la section trivialisante provenant de l’isomorphisme \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\). En particulier, on a \(s|_{U_j} = f_j q_j\). Un calcul utilisant cette égalité montre que \(t_j|_{U_j \cap U_{j'}}\) et \(t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}}\) ont pour image la même section de \(\mathcal{F}\) sur \(U_j \cap U_{j'} \cap X_s\). Par quasi-compacité de \(U_j \cap U_{j'}\) et d’après (1), il existe un entier \(e' \geq 0\) tel que \[t_j|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}} = t_{j'}|_{U_j \cap U_{j'}} \otimes s^{e'}|_{U_j \cap U_{j'}}\] comme sections de \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'}\) sur \(U_j \cap U_{j'}\). On peut choisir un même \(e'\) convenant à tous les couples \(j, j'\). La condition de faisceau fournit alors une section \(t \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes e + e'})\) dont la restriction à \(U_j\) est \(t_j \otimes s^{e'}|_{U_j}\). Un calcul immédiat montre que \(t/s^{e + e'}\) a pour image \(t'\), comme voulu.

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Considérons le \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué \[M = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] Soit maintenant \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section. On dispose d’une application canonique [0B5M]\[\begin{equation} M_{(s)} \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X_s}}(\mathcal{F}|_{X_s}, \mathcal{G}|_{X_s}) \end{equation}\] qui envoie \(\alpha/s^n\) sur le morphisme \(\alpha|_{X_s} \otimes s|_{X_s}^{-n}\). Le lemme suivant, combiné au lemme 01PI, affirme en substance que, si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, la catégorie des \(\mathcal{O}_{X_s}\)-modules de présentation finie s’obtient à partir de la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie en inversant le système multiplicatif de morphismes \(s^n: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents.

1. Si \(X\) est quasi-compact et si \(\mathcal{F}\) est de type fini, l’application (0B5M) est injective ;

2. si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, l’application (0B5M) est bijective.

Démonstration

Démontrons d’abord le lemme lorsque \(X = \Spec(A)\) est affine et \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\). Dans ce cas, \(s\) correspond à un élément \(f \in A\). Écrivons \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) et \(\mathcal{G} = \widetilde{N}\) pour des \(A\)-modules \(M\) et \(N\). Le lemme se traduit alors, à l’aide des lemmes 01PB et 01PC, par les assertions algébriques suivantes :

1. Si \(M\) est un \(A\)-module de type fini et si \(\varphi : M \to N\) est un morphisme de \(A\)-modules tel que le morphisme induit \(M_f \to N_f\) soit nul, alors \(f^n\varphi = 0\) pour un certain \(n\).

2. Si \(M\) est un \(A\)-module de présentation finie, alors \(\Hom_A(M, N)_f = \Hom_{A_f}(M_f, N_f)\).

La seconde assertion est Algèbre, lemme 0583 ; nous omettons la démonstration de la première.

Démontrons maintenant (1) pour \(X\) quelconque. Supposons \(X\) quasi-compact et choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\), avec \(U_j\) affine et \(\mathcal{L}|_{U_j} \cong \mathcal{O}_{U_j}\). Par cet isomorphisme, la section \(s|_{U_j}\) correspond à un élément \(f_j \in \Gamma(U_j, \mathcal{O}_{U_j})\). Alors \(X_s \cap U_j = D(f_j)\). Soit \(\alpha/s^n\) un élément du noyau de (0B5M). Alors \(\alpha|_{X_s} = 0\). Donc \((\alpha|_{U_j})|_{D(f_j)} = 0\). D’après le cas affine traité ci-dessus, on obtient \(f_j^{e_j} \alpha|_{U_j} = 0\) pour un certain \(e_j \geq 0\). Soit \(e = \max(e_j)\). Alors \(\alpha \otimes s^e\) se restreint à zéro sur \(U_j\) pour tout \(j\), et est donc nul. Comme \(\alpha/s^n\) est égal à \(\alpha \otimes s^e/s^{n + e}\) dans \(M_{(s)}\), on en déduit que \(\alpha/s^n = 0\), comme voulu.

Démonstration de (2). Comme \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent, voir Schémas, section 01LA. De plus, il est clair que \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\] pour tout \(n\). Dans ce cas, l’assertion résulte donc du lemme 01PW appliqué à \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\).

Schémas quasi-affines

Définition

Un schéma \(X\) est dit quasi-affine s’il est quasi-compact et isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(U \subset \Spec(A)\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(U\), le morphisme canonique \[\widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}|_U \to \mathcal{F}\] est un isomorphisme.

Démonstration

Notons \(j : U \to \Spec(A)\) le morphisme d’inclusion. Alors \(H^0(U, \mathcal{F}) = H^0(\Spec(A), j_*\mathcal{F})\), et \(j_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent d’après Schémas, lemme 01LC. Ainsi \(j_*\mathcal{F} = \widetilde{H^0(U, \mathcal{F})}\) par Schémas, lemme 01IB. En restreignant à \(U\), on obtient le lemme.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé, et supposons que \(X_f\) soit affine. Alors le morphisme canonique \[j : X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] de Schémas, lemme 01I1, induit un isomorphisme de \(X_f = j^{-1}(D(f))\) sur l’ouvert affine principal \(D(f) \subset \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\).

Démonstration

C’est immédiat, puisque \(j\) induit un isomorphisme d’anneaux \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)_f \to \mathcal{O}_X(X_f)\) d’après le lemme 01P7 ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Alors \(X\) est quasi-affine si et seulement si le morphisme canonique \[X \longrightarrow \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] de Schémas, lemme 01I1, est une immersion ouverte quasi-compacte.

Démonstration

Si le morphisme affiché est une immersion ouverte quasi-compacte, \(X\) est isomorphe à un sous-schéma ouvert quasi-compact de \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\), et \(X\) est évidemment quasi-affine.

Supposons \(X\) quasi-affine ; écrivons \(X \subset \Spec(R)\) comme un ouvert quasi-compact. Cela entraîne en particulier que \(X\) est séparé, voir Schémas, lemme 01L8. Soit \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) provenant de \(R = \Gamma(\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) et de l’application de restriction du faisceau \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\). D’après Schémas, lemme 01I1, on obtient une factorisation \[X \longrightarrow \Spec(A) \longrightarrow \Spec(R)\] du morphisme d’inclusion. Soit \(x \in X\). Choisissons \(r \in R\) tel que \(x \in D(r)\) et \(D(r) \subset X\). Notons \(f \in A\) l’image de \(r\) dans \(A\). L’ouvert \(X_f\) du lemme 01P7 ci-dessus est égal à \(D(r) \subset X\) ; donc \(A_f \cong R_r\) d’après ce lemme. Ainsi \(D(r) \to \Spec(A)\) est un isomorphisme sur l’ouvert affine principal \(D(f)\) de \(\Spec(A)\). Comme \(X\) peut être recouvert par de tels ouverts affines \(D(f)\), on conclut.

Lemme

Soit \(U \to V\) une immersion ouverte de schémas quasi-affines. Alors \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr]_-j & & \Spec(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)) \ar[d] \\ U \ar[r] & V \ar[r]^-{j'} & \Spec(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)) }\] est cartésien.

Démonstration

Le diagramme est commutatif d’après Schémas, lemme 01I1. Écrivons \(A = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) et \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). Soit \(g \in B\) tel que \(V_g\) soit affine et contenu dans \(U\). Cela signifie que, si \(f\) est l’image de \(g\) dans \(A\), alors \(U_f = V_g\). D’après le lemme 01P8, \(j'\) induit un isomorphisme de \(V_g\) sur l’ouvert principal \(D(g)\) de \(\Spec(B)\). Ainsi \(V_g \times_{\Spec(B)} \Spec(A) \to \Spec(A)\) est un isomorphisme sur \(D(f) \subset \Spec(A)\). De nouveau par le lemme 01P8, \(j\) envoie \(U_f\) isomorphiquement sur \(D(f)\). On obtient donc \(U_f = U_f \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\). Puisque le lemme 01P9 permet de recouvrir \(U\) par des \(V_g = U_f\) comme ci-dessus, on voit que \(U \to U \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-affine. Il existe un entier \(n \geq 0\), un schéma affine \(T\) et un morphisme \(T \to X\) tels que, pour tout morphisme \(X' \to X\) avec \(X'\) affine, le produit fibré \(X' \times_X T\) soit isomorphe à \(\mathbf{A}^n_{X'}\) au-dessus de \(X'\).

Démonstration

Par définition, il existe un anneau \(A\) tel que \(X\) soit isomorphe à un sous-schéma ouvert quasi-compact \(U \subset \Spec(A)\). Rappelons que les ouverts principaux \(D(f) \subset \Spec(A)\) forment une base de la topologie, voir Algèbre, section 00DY. Comme \(U\) est quasi-compact, on peut choisir \(f_1, \ldots, f_n \in A\) tels que \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\). On peut donc supposer \(X = \Spec(A) \setminus V(I)\), où \(I = (f_1, \ldots, f_n)\). Posons \[T = \Spec(A[t, x_1, \ldots, x_n]/(f_1 x_1 + \ldots + f_n x_n - 1))\] Le morphisme structural \(T \to \Spec(A)\) se factorise par l’ouvert \(X\) et fournit le morphisme \(T \to X\). Si \(X' = \Spec(A')\) et si le morphisme \(X' \to X\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(A \to A'\), les images \(f'_1, \ldots, f'_n \in A'\) de \(f_1, \ldots, f_n\) engendrent l’idéal unité de \(A'\). Écrivons \(1 = f'_1 a'_1 + \ldots + f'_n a'_n\). Le changement de base \(X' \times_X T\) est le spectre de \(A'[t, x_1, \ldots, x_n]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\). Nous affirmons que l’homomorphisme de \(A'\)-algèbres \[\varphi : A'[y_1, \ldots, y_n] \longrightarrow A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1)\] envoyant \(y_i\) sur \(a'_i t + x_i\) est un isomorphisme. Cette assertion achève la démonstration du lemme. L’inverse de \(\varphi\) est l’homomorphisme de \(A'\)-algèbres donné ci-dessous \[\psi : A'[t, x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}]/(f'_1 x_1 + \ldots + f'_n x_n - 1) \longrightarrow A'[y_1, \ldots, y_n]\] envoyant \(t\) sur \(-1 + f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n\) et \(x_i\) sur \(y_i + a'_i - a'_i(f'_1 y_1 + \ldots + f'_n y_n)\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Cela a un sens, puisque \(\sum f'_ix_i\) est envoyé sur \[\begin{matrix} \sum f'_i(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = (\sum f'_iy_i) + 1 - (\sum f'_j y_j) = 1 \end{matrix}\] Pour vérifier que ces homomorphismes sont inverses l’un de l’autre, on calcule : \[\begin{matrix} \varphi(\psi(t) = \varphi(-1 + \sum f'_i y_i) = -1 + \sum f'_i (a'_i t + x_i) = t \\ \varphi(\psi(x_i)) = \varphi(y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j)) = a'_i t + x_i + a'_i - a'_i(\sum f'_ja'_jt + f'_jx_j) = x_i \\ \psi(\varphi(y_i)) = \psi(a'_i t + x_i) = a'_i(-1 + \sum f'_j y_j) + y_i + a'_i - a'_i(\sum f'_j y_j) = y_i \end{matrix}\] Cela achève la démonstration.

Modules plats

Sur tout espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\), on sait ce que signifie, pour un \(\mathcal{O}_X\)-module, être plat (en un point), voir Modules, définition 05ND (définition 05NF). Pour les faisceaux quasi-cohérents sur un schéma affine, cette notion coïncide avec celle définie dans le chapitre d’algèbre.

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Soit \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un \(R\)-module \(M\). Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat si et seulement si \(M\) est un \(R\)-module plat.

Démonstration

La platitude de \(\mathcal{F}\) se vérifie sur les germes, voir Modules, lemme 05NE. Il en va de même pour les modules sur un anneau, voir Algèbre, lemme 00HT. Puisque \(\mathcal{F}_x = M_{\mathfrak p}\) lorsque \(x\) correspond à \(\mathfrak p\), le lemme en résulte.

Modules localement libres

Sur tout espace annelé, on sait ce que signifie, pour un \(\mathcal{O}_X\)-module, être localement libre (de rang fini). Sur un schéma affine, cette notion coïncide avec celle définie dans le chapitre d’algèbre.

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Soit \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un \(R\)-module \(M\). Le faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre (de rang fini) si et seulement si \(M\) est un \(R\)-module localement libre (de rang fini).

Démonstration

Cela résulte des définitions : voir Modules, définition 01C6, ainsi que Algèbre, définition 00NW.

On peut caractériser les modules localement libres de rang fini de plusieurs façons.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat de présentation finie ;

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie et, pour tout \(x \in X\), le germe \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre ;

3. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre et de type fini ;

4. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini ;

5. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, pour tout \(x \in X\), le germe \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre, et la fonction \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] est localement constante pour la topologie de Zariski de \(X\).

Démonstration

On se ramène immédiatement au cas affine. Dans ce cas, le lemme est une reformulation de Algèbre, lemme 00NX. Le passage d’une formulation à l’autre utilise les lemmes 01PB, 01PC, 05P0et 05JM.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les conditions équivalentes du lemme 05P2 sont alors aussi équivalentes à la suivante :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et la fonction \[\rho_\mathcal{F} : X \to \mathbf{Z}, \quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] est localement constante pour la topologie de Zariski de \(X\).

Démonstration

On se ramène immédiatement au cas affine. Dans ce cas, le lemme est une reformulation de Algèbre, lemme 0FWG.

Modules localement projectifs

Les résultats établis dans le chapitre d’algèbre permettent de définir les modules localement projectifs comme suit.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement projectif si, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), le \(\mathcal{O}_X(U)\)-module \(\mathcal{F}(U)\) est projectif.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est localement projectif ;

2. il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que le \(\mathcal{O}_X(U_i)\)-module \(\mathcal{F}(U_i)\) soit projectif pour tout \(i\).

En particulier, si \(X = \Spec(A)\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\), alors \(\mathcal{F}\) est localement projectif si et seulement si \(M\) est un \(A\)-module projectif.

Démonstration

Remarquons d’abord que, si \(M\) est un \(A\)-module projectif et si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux, alors \(M \otimes_A B\) est un \(B\)-module projectif, voir Algèbre, lemme 05A3. Ainsi, si \(U\) est un ouvert affine tel que \(\mathcal{F}(U)\) soit un \(\mathcal{O}_X(U)\)-module projectif, l’ouvert principal \(D(f)\) est un ouvert affine tel que \(\mathcal{F}(D(f))\) soit un \(\mathcal{O}_X(D(f))\)-module projectif, pour tout \(f \in \mathcal{O}_X(U)\). Supposons (2). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine quelconque. On peut trouver un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(f_j)\) par un nombre fini d’ouverts principaux \(D(f_j)\) tels que, pour tout \(j\), l’ouvert \(D(f_j)\) soit un ouvert principal d’un certain \(U_i\), voir Schémas, lemme 01IW. Ainsi, si l’on pose \(A = \mathcal{O}_X(U)\) et si \(M\) est un \(A\)-module tel que \(\mathcal{F}|_U\) corresponde à \(M\), alors \(M_{f_j}\) est un \(A_{f_j}\)-module projectif. Il en résulte que \(A \to B = \prod A_{f_j}\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat tel que \(M \otimes_A B\) soit un \(B\)-module projectif. Donc \(M\) est projectif d’après Algèbre, théorème 05A9.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathcal{G}\) est localement projectif sur \(Y\), alors \(f^*\mathcal{G}\) est localement projectif sur \(X\).

Démonstration

Cela résulte de Algèbre, lemme 05A3, et du lemme 05JQ.

Prolongement des faisceaux quasi-cohérents

Il est parfois utile de montrer qu’un faisceau quasi-cohérent donné sur un sous-schéma ouvert se prolonge au schéma tout entier.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte quasi-compacte de schémas.

1. Tout faisceau quasi-cohérent sur \(U\) se prolonge en un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) un sous-faisceau quasi-cohérent. Il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) de \(\mathcal{F}\) tel que \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\) comme sous-faisceaux de \(\mathcal{F}|_U\).

3. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(U\). Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\) un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il existe un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules et un morphisme \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\) et que \(\psi|_U = \varphi\).

Démonstration

Une immersion est séparée (voir Schémas, lemme 01L7), et \(j\) est quasi-compact par hypothèse. Ainsi, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(U\), le faisceau \(j_*\mathcal{G}\) est un prolongement à \(X\). Voir Schémas, lemme 01LC, et Faisceaux, section 009Z.

Supposons \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme dans (2). Alors \(j_*\mathcal{G}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(X\) (voir ci-dessus). C’est un sous-faisceau de \(j_*j^*\mathcal{F}\). Le noyau \[\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \longrightarrow j_*j^*\mathcal{F})\] est donc lui aussi quasi-cohérent, voir Schémas, section 01LA. On vérifie formellement que \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) et que \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\) (en utilisant de nouveau les résultats de Faisceaux, section 009Z ).

L’assertion (3) se démontre de la même manière que (2). Il suffit de prendre \(\mathcal{H} = \Ker(\mathcal{F} \oplus j_* \mathcal{G} \to j_*j^*\mathcal{F})\), muni de son morphisme évident vers \(\mathcal{F}\) et de son identification évidente avec \(\mathcal{G}\) sur \(U\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) un \(\mathcal{O}_U\)-sous-module quasi-cohérent de type fini. Alors il existe un sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\) de type fini tel que \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(n\) le nombre minimal d’ouverts affines \(U_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que \(X = U \cup \bigcup U_i\). (On utilise ici la quasi-compacité de \(X\).) Supposons que l’on sache démontrer le lemme dans le cas \(n = 1\). On peut alors prolonger successivement \(\mathcal{G}\) en un faisceau \(\mathcal{G}_1\) sur \(U \cup U_1\), puis en un faisceau \(\mathcal{G}_2\) sur \(U \cup U_1 \cup U_2\), puis en un faisceau \(\mathcal{G}_3\) sur \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\), et ainsi de suite. On se ramène donc au cas \(n = 1\).

On peut ainsi supposer que \(X = U \cup V\), avec \(V\) affine. Comme \(X\) est quasi-séparé et que \(U\), \(V\) sont des ouverts quasi-compacts, \(U \cap V\) est un ouvert quasi-compact. Il suffit de démontrer le lemme pour le système \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V})\), car on peut recoller le faisceau \(\mathcal{G}'\) ainsi obtenu sur \(V\) au faisceau donné \(\mathcal{G}\) sur \(U\), le long de leur restriction commune à \(U \cap V\). On se ramène donc au cas où \(X\) est affine.

Supposons \(X = \Spec(R)\). Écrivons \(\mathcal{F} = \widetilde M\) pour un \(R\)-module \(M\). Le lemme 01PE ci-dessus permet de trouver un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) qui se restreigne à \(\mathcal{G}\) sur \(U\). Écrivons \(\mathcal{H} = \widetilde N\) pour un \(R\)-module \(N\). Pour tout \(u \in U\), il existe un \(f \in R\) tel que \(u \in D(f) \subset U\) et que \(N_f\) soit de type fini, voir le lemme 01PB. Comme \(U\) est quasi-compact, on peut le recouvrir par un nombre fini d’ouverts \(D(f_i)\) tels que \(N_{f_i}\) soit engendré par un nombre fini d’éléments, notés \(x_{i, 1}/f_i^N, \ldots, x_{i, r_i}/f_i^N\). Soit \(N' \subset N\) le sous-module engendré par les éléments \(x_{i, j}\). Le sous-faisceau \(\mathcal{G}' = \widetilde{N'} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) convient.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Tout faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules est la colimite filtrante de ses \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules quasi-cohérents de type fini.

Démonstration

La colimite est filtrante, car, si \(\mathcal{G}_1\) et \(\mathcal{G}_2\) sont des sous-faisceaux quasi-cohérents de type fini, l’image de \(\mathcal{G}_1 \oplus \mathcal{G}_2 \to \mathcal{F}\) est un sous-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine quelconque, et soit \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\) une section quelconque. Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}|_U\) le sous-faisceau engendré par \(s\). Alors \(\mathcal{G}\) est évidemment quasi-cohérent et de type fini comme \(\mathcal{O}_U\)-module. Le lemme 01PF montre que \(\mathcal{G}\) est la restriction d’un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{F}\) de type fini. Comme \(X\) possède une base de la topologie formée d’ouverts affines, on en déduit que toute section locale de \(\mathcal{F}\) appartient localement à un sous-module quasi-cohérent de type fini. Cela conclut la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module de présentation finie. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\) un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il existe alors un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}'\) de présentation finie et un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi' : \mathcal{G}' \to \mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\) et que \(\varphi'|_U = \varphi\).

Démonstration

Le début de la démonstration reprend celui de la démonstration du lemme 01PF. Nous le détaillons néanmoins.

Soit \(n\) le nombre minimal d’ouverts affines \(U_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que \(X = U \cup \bigcup U_i\). (On utilise ici la quasi-compacité de \(X\).) Supposons que l’on sache démontrer le lemme dans le cas \(n = 1\). On peut alors prolonger successivement le couple \((\mathcal{G}, \varphi)\) en un couple \((\mathcal{G}_1, \varphi_1)\) sur \(U \cup U_1\), puis en un couple \((\mathcal{G}_2, \varphi_2)\) sur \(U \cup U_1 \cup U_2\), puis en un couple \((\mathcal{G}_3, \varphi_3)\) sur \(U \cup U_1 \cup U_2 \cup U_3\), et ainsi de suite. On se ramène donc au cas \(n = 1\).

On peut ainsi supposer que \(X = U \cup V\), avec \(V\) affine. Comme \(X\) est quasi-séparé et que \(U\) est quasi-compact, \(U \cap V \subset V\) est quasi-compact. Supposons que l’on démontre le lemme pour le système \((V, U \cap V, \mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_{U \cap V}, \varphi|_{U \cap V})\), en obtenant un couple \((\mathcal{G}', \varphi')\) sur \(V\). On peut alors recoller \(\mathcal{G}'\) sur \(V\) au faisceau donné \(\mathcal{G}\) sur \(U\), le long de leur restriction commune à \(U \cap V\); de même, on peut recoller le morphisme \(\varphi'\) au morphisme \(\varphi\) le long de leur restriction commune à \(U \cap V\). On se ramène donc au cas où \(X\) est affine.

Supposons \(X = \Spec(R)\). Le lemme 01PE ci-dessus permet de trouver un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) muni d’un morphisme \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) sur \(X\), qui se restreignent à \(\mathcal{G}\) et à \(\varphi\) sur \(U\). Le lemme 01PF permet de trouver un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}\) tel que \(\mathcal{H}'|_U = \mathcal{G}\). Ainsi, en remplaçant \(\mathcal{H}\) par \(\mathcal{H}'\) et \(\psi\) par la restriction de \(\psi\) à \(\mathcal{H}'\), on peut supposer \(\mathcal{H}\) de type fini. D’après le lemme 01PC, on a \(\mathcal{H} = \widetilde{N}\), avec \(N\) un \(R\)-module de type fini. Il existe donc une surjection figurant dans la suite exacte courte suivante de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents : \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_X^{\oplus n} \to \mathcal{H} \to 0\] où \(\mathcal{K}\) est défini comme le noyau. Comme \(\mathcal{G}\) est de présentation finie et que \(\mathcal{H}|_U = \mathcal{G}\), d’après Modules, lemme 01BP, la restriction \(\mathcal{K}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module de type fini. Ainsi, de nouveau par le lemme 01PF, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\) tel que \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\). Pour résoudre le problème posé dans le lemme, on prend \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}'\] qui est évidemment de présentation finie et dont la restriction est \(\mathcal{G}\) sur \(U\), avec \(\varphi'\) égal au composé \[\mathcal{G}' = \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K}' \to \mathcal{O}_X^{\oplus n}/\mathcal{K} = \mathcal{H} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}.\] Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module.

1. Si \(\mathcal{G}\) est quasi-cohérent et de type fini, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}'\) de type fini tel que \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\).

2. Si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}'\) de présentation finie tel que \(\mathcal{G}'|_U = \mathcal{G}\).

Démonstration

L’assertion (2) est le cas particulier du lemme 01PI où \(\mathcal{F} = 0\). Pour (1), on écrit d’abord \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\) pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, d’après le lemme 01PE, puis on applique le lemme 01PF avec \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_U\).

Le lemme suivant affirme que tout faisceau quasi-cohérent sur un schéma quasi-compact et quasi-séparé est une colimite filtrante de \(\mathcal{O}\)-modules de présentation finie. Dans le lemme qui suit, nous reformulerons ce résultat en termes de colimites indexées par des ensembles ordonnés filtrants, formulation peut-être plus familière.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Il existe

1. une catégorie d’indices filtrante \(\mathcal{I}\) (voir Catégories, définition 002V) ;

2. un diagramme \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (voir Catégories, section 002D), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\);

3. des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)

tels que chaque \(\mathcal{F}_i\) soit de présentation finie et que les morphismes \(\varphi_i\) induisent un isomorphisme \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\]

Démonstration

Choisissons un ensemble \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie muni d’un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\), de façon à satisfaire la propriété suivante : pour tout \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) avec \(\mathcal{G}\) de présentation finie, il existe un \(i \in I\) et un isomorphisme \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}\) tels que \(\varphi_i = \psi \circ \alpha\). Il résulte clairement de Modules, lemme 01BC, qu’un tel ensemble existe (voir aussi sa démonstration). Notons \(\mathcal{I}\) la catégorie dont \(\Ob(\mathcal{I}) = I\) et dont, pour \(i, i' \in I\), les ensembles de morphismes sont définis par \[\Mor_\mathcal{I}(i, i') = \{\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'} \mid \alpha \circ \varphi_{i'} = \varphi_i \}.\] Nous affirmons que \(\mathcal{I}\) est une catégorie filtrante et que \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\).

Soient \(i, i' \in I\). Considérons le morphisme \[\mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \longrightarrow \mathcal{F}\] qui est la somme directe de \(\varphi_i\) et de \(\varphi_{i'}\). Comme une somme directe de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie est de présentation finie, il existe un \(i'' \in I\) tel que \(\varphi_{i''} : \mathcal{F}_{i''} \to \mathcal{F}\) soit isomorphe à la flèche affichée ci-dessus vers \(\mathcal{F}\). Puisque l’on dispose des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} } \quad \text{et} \quad \xymatrix{ \mathcal{F}_{i'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ \mathcal{F}_i \oplus \mathcal{F}_{i'} \ar[r] & \mathcal{F} }\] il existe des morphismes \(i \to i''\) et \(i' \to i''\) dans \(\mathcal{I}\). Supposons maintenant donnés \(i, i' \in I\) et des morphismes \(\alpha, \beta : i \to i'\) (correspondant à des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\alpha, \beta : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\)). Considérons leur coégalisateur \[\mathcal{G} = \Coker( \mathcal{F}_i \xrightarrow{\alpha - \beta} \mathcal{F}_{i'} )\] Remarquons que \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Puisque, par définition des morphismes de la catégorie \(\mathcal{I}\), on a \(\varphi_{i'} \circ \alpha = \varphi_{i'} \circ \beta\), on obtient un morphisme induit \(\psi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\). Le couple \((\mathcal{G}, \psi)\) est donc encore isomorphe à un couple \((\mathcal{F}_{i''}, \varphi_{i''})\) pour un certain \(i''\). Il existe donc un morphisme \(i' \to i''\) dans \(\mathcal{I}\) qui égalise \(\alpha\) et \(\beta\). Nous avons ainsi montré que la catégorie \(\mathcal{I}\) est filtrante.

Il reste à montrer que la colimite du diagramme est \(\mathcal{F}\). Par définition de la colimite et par notre définition de la catégorie \(\mathcal{I}\), on dispose d’un morphisme canonique \[\varphi : \colim_i \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}.\] Soit \(x \in X\). Montrons que \(\varphi_x\) est un isomorphisme. Rappelons que \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x},\] voir Faisceaux, section 009E. Montrons d’abord que \(\varphi_x\) est injectif. Soit \(s \in \mathcal{F}_{i, x}\) un élément tel que \(s\) ait une image nulle dans \(\mathcal{F}_x\). Il existe alors un ouvert quasi-compact \(U\) tel que \(s\) provienne d’une section \(s \in \mathcal{F}_i(U)\) et que \(\varphi_i(s) = 0\) dans \(\mathcal{F}(U)\). D’après le lemme 01PF, on peut trouver un sous-faisceau quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{K} \subset \Ker(\varphi_i)\) dont la restriction soit le \(\mathcal{O}_U\)-sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}_i\) engendré par \(s\): \(\mathcal{K}|_U = \mathcal{O}_U\cdot s \subset \mathcal{F}_i|_U\). Il est clair que \(\mathcal{F}_i/\mathcal{K}\) est de présentation finie et que le morphisme \(\varphi_i\) se factorise par le morphisme quotient \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\). On peut donc trouver un \(i' \in I\) et un morphisme \(\alpha : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) dans \(\mathcal{I}\) qui s’identifie au morphisme quotient \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i/\mathcal{K}\). Il en résulte que la section \(s\) a une image nulle dans \(\mathcal{F}_{i'}(U)\) et, en particulier, dans \((\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}\). L’injectivité en découle. Montrons enfin que \(\varphi_x\) est surjectif. Soit \(s \in \mathcal{F}_x\). Choisissons un voisinage ouvert quasi-compact \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(s\) corresponde à une section \(s \in \mathcal{F}(U)\). Considérons le morphisme \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\) (multiplication par \(s\)). D’après le lemme 01PI, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) de présentation finie et un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}|_U\) s’identifie à \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\). De nouveau, par définition de \(\mathcal{I}\), il existe un \(i \in I\) tel que \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) soit isomorphe à \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\). Il existe évidemment une section \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\) d’image \(s \in \mathcal{F}(U)\). Cela prouve la surjectivité et achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Il existe

1. un ensemble ordonné filtrant \(I\) (voir Catégories, définition 00D3) ;

2. un système \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) sur \(I\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (voir Catégories, définition 0030) ;

3. des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\)

tels que chaque \(\mathcal{F}_i\) soit de présentation finie et que les morphismes \(\varphi_i\) induisent un isomorphisme \[\colim_i \mathcal{F}_i = \mathcal{F}.\]

Démonstration

C’est une conséquence directe du lemme 01PJ et de Catégories, lemme 0032, combinés au fait que les colimites existent dans la catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules, voir Faisceaux, section 009E.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. On peut alors écrire \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\), avec \(\mathcal{F}_i\) de présentation finie et tous les morphismes de transition \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) surjectifs.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i\) comme une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie (lemme 01PK). Nous affirmons que \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif pour un certain \(i\). En effet, choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\). Choisissons des sections \(s_{jl} \in \mathcal{F}(U_j)\) engendrant \(\mathcal{F}|_{U_j}\), voir le lemme 01PB. D’après Faisceaux, lemme 009F, \(s_{jl}\) appartient à l’image de \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) pour \(i\) assez grand. Ainsi \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif pour \(i\) assez grand. Choisissons un tel \(i\) et soit \(\mathcal{K} \subset \mathcal{G}_i\) le noyau du morphisme \(\mathcal{G}_i \to \mathcal{F}\). Écrivons \(\mathcal{K} = \colim \mathcal{K}_a\) comme la colimite filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini (lemme 01PG). Alors \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{G}_i/\mathcal{K}_a\) résout le problème posé dans le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit de présentation finie. Il existe alors un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) tel que (a) \(\mathcal{G}\) soit de présentation finie, (b) \(\varphi\) soit surjectif et (c) \(\varphi|_U\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) comme une colimite filtrante, avec chaque \(\mathcal{F}_i\) de présentation finie, voir le lemme 01PK. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup V_j\) et choisissons un nombre fini de sections \(s_{jl} \in \mathcal{F}(V_j)\) engendrant \(\mathcal{F}|_{V_j}\), voir le lemme 01PB. D’après Faisceaux, lemme 009F, \(s_{jl}\) appartient à l’image de \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) pour \(i\) assez grand. Ainsi \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\) est surjectif pour \(i\) assez grand. Choisissons un tel \(i\) et soit \(\mathcal{K} \subset \mathcal{F}_i\) le noyau du morphisme \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\). Comme \(\mathcal{F}_U\) est de présentation finie, \(\mathcal{K}|_U\) est de type fini, voir Modules, lemme 01BP. On peut donc trouver un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}\) avec \(\mathcal{K}'|_U = \mathcal{K}|_U\), voir le lemme 01PF. Alors \(\mathcal{G} = \mathcal{F}_i/\mathcal{K}'\), muni du morphisme donné \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\), convient.

Soit \(X\) un schéma. Dans le lemme suivant, nous utilisons la notion de \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}\) de présentation finie. Cela signifie que, pour tout ouvert affine \(\Spec(R) \subset X\), on a \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) de présentation finie comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente. Il existe

1. un ensemble ordonné filtrant \(I\) (voir Catégories, définition 00D3) ;

2. un système \((\mathcal{A}_i, \varphi_{ii'})\) sur \(I\) dans la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-algèbres ;

3. des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(\varphi_i : \mathcal{A}_i \to \mathcal{A}\)

tels que chaque \(\mathcal{A}_i\) soit une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente de présentation finie et que les morphismes \(\varphi_i\) induisent un isomorphisme \[\colim_i \mathcal{A}_i = \mathcal{A}.\]

Démonstration

Écrivons d’abord \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{F}_i\) comme une colimite filtrante de faisceaux quasi-cohérents de présentation finie, comme dans le lemme 01PK. Pour tout \(i\), soit \(\mathcal{B}_i = \text{Sym}(\mathcal{F}_i)\) l’algèbre symétrique de \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathcal{O}_X\). Écrivons \(\mathcal{I}_i = \Ker(\mathcal{B}_i \to \mathcal{A})\). Écrivons \(\mathcal{I}_i = \colim_j \mathcal{F}_{i, j}\), où \(\mathcal{F}_{i, j}\) est un sous-module quasi-cohérent de type fini de \(\mathcal{I}_i\), voir le lemme 01PG. Définissons \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{I}_i\) comme le \(\mathcal{B}_i\)-idéal engendré par \(\mathcal{F}_{i, j}\). Posons \(\mathcal{A}_{i, j} = \mathcal{B}_i/\mathcal{I}_{i, j}\). Alors \(\mathcal{A}_{i, j}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente de présentation finie. Définissons \((i, j) \leq (i', j')\) par les conditions \(i \leq i'\) et le fait que le morphisme \(\mathcal{B}_i \to \mathcal{B}_{i'}\) envoie l’idéal \(\mathcal{I}_{i, j}\) dans l’idéal \(\mathcal{I}_{i', j'}\). Il est alors clair que \(\mathcal{A} = \colim_{i, j} \mathcal{A}_{i, j}\).

Soit \(X\) un schéma. Dans le lemme suivant, nous utilisons la notion de \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}\) de type fini. Cela signifie que, pour tout ouvert affine \(\Spec(R) \subset X\), on a \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) de type fini comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente. Alors \(\mathcal{A}\) est la colimite filtrante de ses \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini.

Démonstration

Si \(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{A}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini, l’image de \(\mathcal{A}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}\) est encore une \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbre quasi-cohérente de type fini (certains détails sont omis), qui contient à la fois \(\mathcal{A}_1\) et \(\mathcal{A}_2\). Cela montre que le système est filtrant. Pour montrer que \(\mathcal{A}\) en est la colimite, écrivons \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\) comme une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes de présentation finie, comme dans le lemme 05JS. Les images \(\mathcal{A}'_i = \Im(\mathcal{A}_i \to \mathcal{A})\) sont alors des sous-algèbres quasi-cohérentes de type fini de \(\mathcal{A}\). Puisque \(\mathcal{A}\) en est la colimite, le résultat en découle.

Soit \(X\) un schéma. Dans le lemme suivant, nous utilisons la notion d’ algèbre finie (resp. entière) quasi-cohérente sur \(\mathcal{O}_X\), notée \(\mathcal{A}\). Cela signifie que, pour tout ouvert affine \(\Spec(R) \subset X\), on a \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\), où \(A\) est une \(R\)-algèbre (commutative) finie (resp. entière) comme \(R\)-algèbre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente finie. Alors \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) est une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes finies et de présentation finie, telle que tous les morphismes de transition \(\mathcal{A}_{i'} \to \mathcal{A}_i\) soient surjectifs.

Démonstration

D’après le lemme 086M, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie \(\mathcal{F}\) et une surjection \(\mathcal{F} \to \mathcal{A}\). La structure d’algèbre fournit une surjection \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}\] Notons \(\mathcal{J}\) son noyau. Écrivons \(\mathcal{J} = \colim \mathcal{E}_i\) comme une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-sous-modules de type fini \(\mathcal{E}_i\) (lemme 01PG). Posons \[\mathcal{A}_i = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})/(\mathcal{E}_i)\] où \((\mathcal{E}_i)\) désigne le faisceau d’idéaux engendré par l’image de \(\mathcal{E}_i \to \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F})\). Chaque \(\mathcal{A}_i\) est alors une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre de présentation finie, les morphismes de transition sont surjectifs et \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\). Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(\mathcal{A}_i\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre finie pour \(i\) assez grand. Pour cela, choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\). Prenons des générateurs \(f_{j, 1}, \ldots, f_{j, N_j} \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\). Comme \(\mathcal{A}(U_j)\) est une \(\mathcal{O}_X(U_j)\)-algèbre finie, pour tout \(k\), il existe un polynôme unitaire \(P_{j, k} \in \mathcal{O}(U_j)[T]\) tel que \(P_{j, k}(f_{j, k})\) soit nul dans \(\mathcal{A}(U_j)\). Puisque \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) par construction, on a \(P_{j, k}(f_{j, k}) = 0\) dans \(\mathcal{A}_i(U_j)\) pour tout \(i\) assez grand. Pour de tels \(i\), les algèbres \(\mathcal{A}_i\) sont finies.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente entière. Alors

1. \(\mathcal{A}\) est la colimite filtrante de ses \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbres quasi-cohérentes finies ;

2. \(\mathcal{A}\) est une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes finies et de présentation finie.

Démonstration

D’après le lemme 05JT, on a \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\), où \(\mathcal{A}_i \subset \mathcal{A}\) parcourt les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes de type fini. Toute \(\mathcal{O}_X\)-sous-algèbre quasi-cohérente de type fini de \(\mathcal{A}\) est finie (appliquer Algèbre, lemme 02JJ, à \(\mathcal{A}_i(U) \subset \mathcal{A}(U)\) pour les ouverts affines \(U\) de \(X\)). Cela démontre (1).

Pour démontrer (2), écrivons \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{F}_i\) comme une colimite de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie à l’aide du lemme 01PK. Pour tout \(i\), soit \(\mathcal{J}_i\) le noyau du morphisme \[\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i) \longrightarrow \mathcal{A}\] Pour \(i' \geq i\), on a un morphisme induit \(\mathcal{J}_i \to \mathcal{J}_{i'}\), et l’on a \(\mathcal{A} = \colim \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\). De plus, les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/\mathcal{J}_i\) sont finies (voir ci-dessus). Écrivons \(\mathcal{J}_i = \colim \mathcal{E}_{ik}\) comme une colimite de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie. Étant donnés \(i' \geq i\) et \(k\), il existe un \(k'\) tel que l’on dispose d’un morphisme \(\mathcal{E}_{ik} \to \mathcal{E}_{i'k'}\) rendant \[\xymatrix{ \mathcal{J}_i \ar[r] & \mathcal{J}_{i'} \\ \mathcal{E}_{ik} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{E}_{i'k'} \ar[u] }\] commutatif. Cela résulte de Modules, lemme 01BS. On en déduit un morphisme \[\mathcal{A}_{ik} = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_i)/(\mathcal{E}_{ik}) \longrightarrow \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_{i'})/(\mathcal{E}_{i'k'}) = \mathcal{A}_{i'k'}\] où \((\mathcal{E}_{ik})\) désigne l’idéal engendré par \(\mathcal{E}_{ik}\). Les \(\mathcal{O}_X\)-algèbres quasi-cohérentes \(\mathcal{A}_{ki}\) sont de présentation finie et sont finies pour \(k\) assez grand (voir la démonstration du lemme 086N). Enfin, on a \[\colim \mathcal{A}_{ik} = \colim \mathcal{A}_i = \mathcal{A}\] En effet, la première égalité a été montrée dans la démonstration du lemme 086N, et la seconde résulte de ce que \(\mathcal{A}\) est la colimite des modules \(\mathcal{F}_i\).

Le résultat de Gabber

Dans cette section, nous démontrons un résultat de Gabber assurant que, sur tout schéma, il existe un cardinal \(\kappa\) tel que tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) soit la réunion de ses sous-faisceaux quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés. Il en résulte que la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur un schéma est une catégorie abélienne de Grothendieck, qui possède des limites et suffisamment d’injectifs³.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\kappa\) un cardinal infini. On dit qu’un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) est \(\kappa\)-engendré s’il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit engendré par un sous-ensemble \(R_i \subset \mathcal{F}(U_i)\) de cardinal au plus \(\kappa\).

Remarquons qu’une somme directe d’au plus \(\kappa\) modules \(\kappa\)-engendrés est encore \(\kappa\)-engendrée, car \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\), voir Ensembles, section 000D. C’est en particulier le cas de la somme directe de deux modules \(\kappa\)-engendrés. De plus, un quotient d’un faisceau \(\kappa\)-engendré est \(\kappa\)-engendré. (Il n’en va pas nécessairement de même pour les sous-modules.)

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\kappa\) un cardinal. Il existe un ensemble \(T\) et une famille \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\) de modules \(\kappa\)-engendrés sur \(\mathcal{O}_X\) tels que tout module \(\kappa\)-engendré sur \(\mathcal{O}_X\) soit isomorphe à l’un des \(\mathcal{F}_t\).

Démonstration

Les recouvrements de \(X\) forment un ensemble si l’on interdit les répétitions. Supposons que \(X = \bigcup U_i\) soit un recouvrement et que \(\mathcal{F}_i\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module. Les classes d’isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \mathcal{F}_i\) forment alors un ensemble, car les morphismes de recollement forment un ensemble. On se ramène donc à montrer que les classes d’isomorphisme de quotients \(\oplus_{k \in \kappa} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) forment un ensemble pour tout espace annelé \(X\). C’est clair.

Voici le résultat auquel fait référence le titre de cette section.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Il existe un cardinal \(\kappa\) tel que tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) soit la colimite filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\). Pour tout couple \(i, j\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\). Écrivons \(U_i = \Spec(A_i)\) et \(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\). Soit \(\kappa\) un cardinal infini \(\geq\) au cardinal de chacun des ensembles \(I\), \(I_{ij}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent. Posons \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\) et \(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\). Remarquons que \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] Voir Schémas, lemme 01I9. À l’aide de l’axiome du choix, choisissons une application \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] qui associe à tous \(i, j \in I\), \(k \in I_{ij}\) et \(m \in M_i\) un sous-ensemble fini \(S(i, j, k, m) \subset M_j\) tel que l’on ait \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'}\] dans \(M_{ijk}\) pour certains \(a_{m'} \in A_{ijk}\). Convenons de plus que \(S(i, i, k, m) = \{m\}\) pour tous \(i, j = i, k, m\) comme ci-dessus. Fixons une telle application.

Étant donnée une famille \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\) de sous-ensembles \(S_i \subset M_i\) de cardinal au plus \(\kappa\), posons \(\mathcal{S}' = (S'_i)\), où \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, k, m)\text{ tels que }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] On a \(S_i \subset S'_i\). De plus, \(S'_i\) a un cardinal au plus \(\kappa\), car c’est une réunion, indexée par un ensemble de cardinal au plus \(\kappa\), d’ensembles finis. Posons \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\), \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\) et, par récurrence, \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\). Posons ensuite \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\). En écrivant \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\), on voit que, pour tout élément \(m \in S^{(\infty)}_i\), l’image de \(m\) dans \(M_{ijk}\) peut s’écrire comme une somme finie \(\sum m' \otimes a_{m'}\) avec \(m' \in S_j^{(\infty)}\). Ainsi, en posant \[N_i = A_i\text{-sous-module de }M_i\text{ engendré par }S^{(\infty)}_i\] on a \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk}.\] comme sous-modules de \(M_{ijk}\). Il existe donc un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) tel que \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\). De plus, par construction, le faisceau \(\mathcal{G}\) est \(\kappa\)-engendré.

Soit \(\{\mathcal{G}_t\}_{t \in T}\) l’ensemble des sous-faisceaux quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés. Si \(t, t' \in T\), alors \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\) est encore un sous-faisceau quasi-cohérent \(\kappa\)-engendré, étant l’image du morphisme \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\). Le système ordonné par inclusion est donc filtrant. Les arguments précédents montrent que toute section de \(\mathcal{F}\) sur \(U_i\) appartient à l’un des \(\mathcal{G}_t\) (car on peut partir d’une famille \(\mathcal{S}\) telle que la section donnée soit un élément de \(S_i\)). Ainsi \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\) est à la fois injectif et surjectif, comme voulu.

Proposition

Soit \(X\) un schéma.

1. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck. Par conséquent, \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) possède suffisamment d’injectifs et toutes les limites.

2. Le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) possède un adjoint à droite⁴ \[Q : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] tel que, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le morphisme d’adjonction \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme.

Démonstration

L’assertion (1) signifie que \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) (a) possède toutes les colimites, (b) a des colimites filtrantes exactes et (c) possède un générateur, voir Injectifs, section 079A. D’après Schémas, section 01LA, les colimites dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) existent et coïncident avec les colimites dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). D’après Modules, lemme 01AH, les colimites filtrantes sont exactes. Ainsi (a) et (b) sont satisfaites. Pour construire un générateur \(U\), choisissons un cardinal \(\kappa\) comme dans le lemme 077N. Choisissons une famille \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\) de faisceaux quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés comme dans le lemme 077M. Posons \(U = \bigoplus_{t \in T} \mathcal{F}_t\). Comme tout objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une colimite filtrante de modules quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés, c’est-à-dire d’objets isomorphes aux \(\mathcal{F}_t\), il est clair que \(U\) est un générateur. Les assertions relatives aux limites et aux injectifs sont vraies dans toute catégorie abélienne de Grothendieck, voir Injectifs, théorème 079H et lemme 07D8.

Démonstration de (2). Pour construire \(Q\), on utilise le procédé général suivant. Étant donné un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), considérons le foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_X)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad \mathcal{G} \longmapsto \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] Ce foncteur transforme les colimites en limites ; il est donc représentable, voir Injectifs, lemme 07D7. Il existe ainsi un faisceau quasi-cohérent \(Q(\mathcal{F})\) et un isomorphisme fonctoriel \(\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_X(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F}))\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P), la construction \(\mathcal{F} \leadsto Q(\mathcal{F})\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Par construction, \(Q\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion. Le fait que \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme lorsque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent découle formellement du fait que le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est pleinement fidèle.

sections à support dans un fermé

Étant donnés un espace topologique \(X\), un fermé \(Z \subset X\) et un faisceau abélien \(\mathcal{F}\), on peut considérer le sous-faisceau des sections dont le support est contenu dans \(Z\). Si \(X\) est un schéma, \(Z\) un sous-schéma fermé et \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent, il existe une variante où l’on considère les sections dont le support est schématiquement contenu dans \(Z\). Il faut toutefois être prudent dans le cadre des schémas, car le \(\mathcal{O}_X\)-module obtenu n’est pas nécessairement quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(U\) est rétrocompact dans \(X\);

2. \(U\) est quasi-compact ;

3. \(U\) est une réunion finie d’ouverts affines ;

4. il existe un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\) ensemblistement.

Démonstration

L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte du lemme 054D. Supposons (1), (2), (3). Soit \(T = X \setminus U\). D’après Schémas, lemme 01J3, il existe un unique faisceau d’idéaux quasi-cohérent \(\mathcal{J}\) définissant la structure de sous-schéma fermé réduit induite sur \(T\). Remarquons que \(\mathcal{J}|_U = \mathcal{O}_U\), qui est un \(\mathcal{O}_U\)-module de type fini. Par le lemme 01PF, il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{I} \subset \mathcal{J}\) de type fini tel que \(\mathcal{I}|_U = \mathcal{J}|_U\). Alors \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\), ce qui donne (4). Réciproquement, si \(\mathcal{I}\) est comme dans (4) et si \(W = \Spec(R) \subset X\) est un ouvert affine, alors \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\) pour un idéal de type fini \(I \subset R\), voir le lemme 01PB. Il en résulte que \(U \cap W = \Spec(R) \setminus V(I)\) est quasi-compact, voir Algèbre, lemme 00F6. Ainsi \(U \subset X\) est rétrocompact par le lemme 07ZL.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}'\) qui associe à tout ouvert \(U \subset X\) l’ensemble \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}s = 0\}\] Supposons \(\mathcal{I}\) de type fini. Alors

1. \(\mathcal{F}'\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules ;

2. sur tout ouvert affine \(U \subset X\), on a \(\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \mathcal{I}(U)s = 0\}\);

3. \(\mathcal{F}'_x = \{s \in \mathcal{F}_x \mid \mathcal{I}_x s = 0\}\).

Démonstration

Il est clair que la règle définissant \(\mathcal{F}'\) donne un sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) (la condition de faisceau se vérifie aisément). On peut donc travailler localement sur \(X\) pour vérifier les autres assertions. Autrement dit, on peut supposer \(X = \Spec(A)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) et \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\). Il est clair que, dans ce cas, \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid Ix = 0\} =: M'\), car \(\widetilde{I}\) est engendré par ses sections globales \(I\) ; cela démontre (2). Pour montrer que \(\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent, il suffit de montrer que, pour tout \(f \in A\), on a \(\{x \in M_f \mid I_f x = 0\} = (M')_f\). Écrivons \(I = (g_1, \ldots, g_t)\), ce qui est possible puisque \(\mathcal{I}\) est de type fini, voir le lemme 01PB. Si \(x = y/f^n\) et \(I_fx = 0\), cela signifie que, pour tout \(i\), il existe un \(m \geq 0\) tel que \(f^mg_ix = 0\). On peut choisir un même \(m\) convenant à tous les \(i\) ; c’est ici que l’on utilise le fait que \(I\) est de type fini. Alors \(f^mx \in M'\) et \(x/f^n = f^mx/f^{n + m}\) dans \((M')_f\), comme voulu. La démonstration de (3) est analogue et omise.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le sous-faisceau \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) défini dans le lemme 01PO ci-dessus est appelé le sous-faisceau des sections annulées par \(\mathcal{I}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections annulées par \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_X\). Alors \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) est le sous-faisceau des sections annulées par \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Démonstration omise. (Indication : l’hypothèse que \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé entraîne que \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, si bien que le lemme 01PO s’applique à \(\mathcal{I}\) et à \(f_*\mathcal{F}\).)

Pour un faisceau abélien sur un espace topologique, nous avons étudié le sous-faisceau des sections à support dans un fermé dans Modules, remarque 01AY. Pour les modules quasi-cohérents, ce sous-module n’est pas toujours quasi-cohérent ; il l’est toutefois si le complémentaire du fermé est rétrocompact.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(Z \subset X\) un fermé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}'\) qui associe à tout ouvert \(U \subset X\) l’ensemble \[\mathcal{F}'(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{le support de }s\text{ est contenu dans }Z \cap U\}\] Si \(X \setminus Z\) est un ouvert rétrocompact de \(X\), alors

1. pour tout ouvert affine \(U \subset X\), il existe un idéal de type fini \(I \subset \mathcal{O}_X(U)\) tel que \(Z \cap U = V(I)\);

2. pour \(U\) et \(I\) comme dans (1), on a \(\mathcal{F}'(U) = \{x \in \mathcal{F}(U) \mid I^nx = 0 \text{ pour un certain } n\}\);

3. \(\mathcal{F}'\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

L’assertion (1) est Algèbre, lemme 00F6. Soient \(U = \Spec(A)\) et \(I\) comme dans (1). Alors \(\mathcal{F}|_U\) est le faisceau quasi-cohérent associé à un \(A\)-module \(M\). On a \[\mathcal{F}'(U) = \{x \in M \mid x = 0\text{ dans }M_\mathfrak p \text{ pour tout }\mathfrak p \not \in Z\}.\] d’après Modules, définition 01AT. Ainsi \(x \in \mathcal{F}'(U)\) si et seulement si \(V(\text{Ann}(x)) \subset V(I)\), voir Algèbre, lemme 07Z5. Comme \(I\) est de type fini, cela équivaut à \(I^n x = 0\) pour un certain \(n\). Cela démontre (2).

Démonstration de (3). Remarquons que, pour tout ouvert \(U \subset X\), on a une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U \setminus Z)\] Si l’on note \(j : X \setminus Z \to X\) le morphisme d’inclusion, \(\mathcal{F}(U \setminus Z)\) est l’ensemble des sections du module \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\) sur \(U\). On a donc une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\] La restriction \(\mathcal{F}|_{X \setminus Z}\) est quasi-cohérente. Donc \(j_*(\mathcal{F}|_{X \setminus Z})\) est quasi-cohérent, d’après Schémas, lemme 01LC, et l’hypothèse que \(j\) est quasi-compact (toute immersion ouverte est séparée). Ainsi \(\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent, étant le noyau d’un morphisme de modules quasi-cohérents, voir Schémas, section 01LA.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) un fermé dont le complémentaire est rétrocompact dans \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) défini dans le lemme 07ZP est appelé le sous-faisceau des sections à support dans \(T\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(Z \subset Y\) un fermé tel que \(Y \setminus Z\) soit rétrocompact dans \(Y\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections à support dans \(f^{-1}Z\). Alors \(f_*\mathcal{F}' \subset f_*\mathcal{F}\) est le sous-faisceau des sections à support dans \(Z\).

Démonstration

Démonstration omise. (Indication : montrer d’abord que \(X \setminus f^{-1}Z\) est rétrocompact dans \(X\), puisque \(Y \setminus Z\) est rétrocompact dans \(Y\). Ainsi, le lemme 07ZP s’applique à \(f^{-1}Z\) et à \(\mathcal{F}\). Comme \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Le lemme 07ZP s’applique donc à \(Z\) et à \(f_*\mathcal{F}\). Enfin, identifier directement les faisceaux.)

sections des faisceaux quasi-cohérents

Voici un calcul des sections d’un faisceau quasi-cohérent sur un ouvert quasi-compact d’un spectre affine.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Soit \(M\) un \(A\)-module. Il existe alors un homomorphisme canonique \[\colim_n \Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\] Cet homomorphisme est toujours injectif. Si, pour tout \(x \in M\), on a \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\), il est un isomorphisme. Dans le cas général, posons \(M_n = \{x \in M \mid I^nx = 0\}\); on a alors un isomorphisme \[\colim_n \Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}).\]

Démonstration

Comme \(I^{n + 1} \subset I^n\) et \(M_n \subset M_{n + 1}\), on peut composer avec ces homomorphismes pour obtenir des homomorphismes canoniques de \(A\)-modules \[\Hom_A(I^n, M) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M)\] et \[\Hom_A(I^n, M/M_n) \longrightarrow \Hom_A(I^{n + 1}, M/M_{n + 1})\] que l’on utilisera comme morphismes de transition des systèmes. Étant donné un morphisme de \(A\)-modules \(\varphi : I^n \to M\), on obtient un morphisme de faisceaux \(\widetilde{\varphi} : \widetilde{I^n} \to \widetilde{M}\) que l’on peut restreindre à l’ouvert \(\Spec(A) \setminus V(I)\). Comme la restriction de \(\widetilde{I^n}\) à cet ouvert est le faisceau structural, on obtient un élément de \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\). Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les morphismes de transition du système \(\Hom_A(I^n, M)\). Cela donne la première flèche. Pour obtenir la seconde, remarquons que \(\widetilde{M}\) et \(\widetilde{M/M_n}\) coïncident sur l’ouvert \(\Spec(A) \setminus V(I)\), puisque le faisceau \(\widetilde{M_n}\) a évidemment son support dans \(V(I)\). On peut donc procéder de la même manière.

Décrivons maintenant cette flèche en termes algébriques. Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_t)\). Alors \(\Spec(A) \setminus V(I) = \bigcup_{i = 1, \ldots, t} D(f_i)\). Ainsi la suite \[0 \to \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M}) \to \bigoplus\nolimits_i M_{f_i} \to \bigoplus\nolimits_{i, j} M_{f_if_j}\] est exacte. Soit \(\varphi : I^n \to M\) un morphisme de \(A\)-modules. Considérons le vecteur dont les composantes sont \(\varphi(f_i^n)/f_i^n \in M_{f_i}\). On voit aisément que son image est nulle dans la seconde somme directe de la suite exacte ci-dessus. Il définit donc un élément de \(\Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\). Nous omettons de vérifier que cette description coïncide avec celle donnée précédemment.

Montrons à l’aide de cette description que la première flèche est injective. Si \(\varphi\) a une image nulle, alors, pour tout \(i\), l’élément \(\varphi(f_i^n)/f_i^n\) est nul dans \(M_{f_i}\). Autrement dit, pour tout \(i\), on a \(f_i^m\varphi(f_i^n) = 0\) pour un certain \(m \geq 0\). On peut choisir un même \(m\) convenant à tous les \(i\). Alors \(\varphi(f_i^{n + m}) = 0\) pour tout \(i\). On voit aisément que cela entraîne \(\varphi|_{I^{t(n + m - 1) + 1}} = 0\) ; autrement dit, \(\varphi\) a une image nulle dans le terme d’indice \(t(n + m - 1) + 1\) de la colimite. L’injectivité en découle.

Remarquons que tous les \(M_n = 0\) si l’on a \(Ix = 0 \Rightarrow x = 0\) pour \(x \in M\). Pour achever la démonstration du lemme, il suffit donc de montrer que la seconde flèche est un isomorphisme.

Cherchons à construire un inverse du second homomorphisme du lemme. Soit \(s \in \Gamma(\Spec(A) \setminus V(I), \widetilde{M})\). Cette section correspond à un vecteur \(x_i/f_i^n\), avec \(x_i \in M\), de la première somme directe de la suite exacte ci-dessus. Ainsi, pour tous \(i, j\), il existe un \(m \geq 0\) tel que \(f_i^m f_j^m (f_j^n x_i - f_i^n x_j) = 0\) dans \(M\). On peut choisir un même \(m\) convenant à tous les couples \(i, j\). En remplaçant \(x_i\) par \(f_i^mx_i\) et \(n\) par \(n + m\), on obtient \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\) dans \(M\) pour tous \(i, j\). Introduisons \[K_n = \{x \in M \mid f_1^nx = \ldots = f_t^nx = 0\}\] Nous affirmons qu’il existe un morphisme de \(A\)-modules \[\varphi : I^{t(n - 1) + 1} \longrightarrow M/K_n\] qui envoie le monôme \(f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}\), avec \(\sum e_i = t(n - 1) + 1\), sur la classe modulo \(K_n\) de l’expression \(f_1^{e_1} \ldots f_i^{e_i - n} \ldots f_t^{e_t}x_i\), où \(i\) est choisi de sorte que \(e_i \geq n\) (il existe au moins un tel \(i\)). Pour le vérifier, supposons que \[\sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t} = 0\] soit une relation entre les monômes à coefficients \(a_E\) dans \(A\). Cette relation serait envoyée sur \[z = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)}\] où, pour chaque multi-indice \(E\), on a choisi un \(i(E)\) tel que \(e_{i(E)} \geq n\). Remarquons qu’en multipliant cette expression par \(f_j^n\), pour un \(j\) quelconque, on obtient zéro : en effet, les relations \(f_j^nx_i = f_i^nx_j\) ci-dessus donnent \[\begin{align*} f_j^nz & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_j^{e_j + n} \ldots f_{i(E)}^{e_{i(E)} - n} \ldots f_t^{e_t}x_{i(E)} \\ & = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_t), |E| = t(n - 1) + 1} a_E f_1^{e_1} \ldots f_t^{e_t}x_j = 0. \end{align*}\] Ainsi \(z \in K_n\), et toute relation est envoyée sur zéro dans \(M/K_n\). L’assertion est démontrée.

Remarquons que \(K_n \subset M_{t(n - 1) + 1}\). Le morphisme \(\varphi\) fournit donc en particulier un morphisme de \(A\)-modules \(I^{t(n - 1) + 1} \to M/M_{t(n - 1) + 1}\). Cela montre que la seconde flèche du lemme est surjective. Nous omettons la démonstration de l’injectivité.

Exemple

Donnons deux exemples où le premier homomorphisme affiché du lemme 01PM n’est pas un isomorphisme.

Soit \(k\) un corps. Considérons l’anneau \[A = k[x, y, z_1, z_2, \ldots]/(x^nz_n).\] Posons \(I = (x)\) et soit \(M = A\). L’élément \(y/x\) définit alors une section du faisceau structural de \(\Spec(A)\) sur \(D(x) = \Spec(A) \setminus V(I)\). Nous affirmons que \(y/x\) n’appartient pas à l’image de l’homomorphisme canonique \(\colim \Hom_A(I^n, A) \to A_x = \mathcal{O}(D(x))\). Sinon, il proviendrait d’un homomorphisme \(\varphi : I^n \to A\) pour un certain \(n\). Posons \(a = \varphi(x^n)\). On aurait alors \(x^m(xa - x^ny) = 0\) pour un certain \(m > 0\), donc \(x^{m + 1}a = x^{m + n}y\), puis \(\varphi(x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y\). Cela conduit à une contradiction, car on aurait \[0 = \varphi(0) = \varphi(z_{n + m + 1} x^{n + m + 1}) = x^{m + n}y z_{n + m + 1}\] ce qui est faux dans l’anneau \(A\).

Soit \(k\) un corps. Considérons l’anneau \[A = k[f, g, x, y, \{a_n, b_n\}_{n \geq 1}]/ (fy - gx, \{a_nf^n + b_ng^n\}_{n \geq 1}).\] Posons \(I = (f, g)\) et soit \(M = A\). Alors \(x/f \in A_f\) et \(y/g \in A_g\) ont la même image dans \(A_{fg}\). Ils définissent donc une section \(s\) du faisceau structural de \(\Spec(A)\) sur \(D(f) \cup D(g) = \Spec(A) \setminus V(I)\). Toutefois, il n’existe aucun \(n \geq 0\) tel que \(s\) provienne d’un morphisme de \(A\)-modules \(\varphi : I^n \to A\) appartenant à la source de la première flèche affichée du lemme 01PM. En effet, étant donné un tel morphisme de modules, posons \(x_n = \varphi(f^n)\) et \(y_n = \varphi(g^n)\). Alors \(f^mx_n = f^{n + m - 1}x\) et \(g^my_n = g^{n + m - 1}y\) pour un certain \(m \geq 0\) (voir la démonstration du lemme). Mais on aurait alors \(0 = \varphi(0) = \varphi(a_{n + m}f^{n + m} + b_{n + m}g^{n + m}) = a_{n + m}f^{n + m - 1}x + b_{n + m}g^{n + m - 1}y\), ce qui est faux dans l’anneau \(A\).

Nous préciserons le lemme suivant dans le cas noethérien, voir Cohomologie des schémas, lemme 01YB.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini. Soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathcal{I}\), et posons \(U = X \setminus Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. L’homomorphisme canonique \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] est injectif. Supposons de plus \(X\) quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau des sections annulées par \(\mathcal{I}^n\). L’homomorphisme canonique \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}/\mathcal{F}_n) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(\Spec(A) = W \subset X\) un ouvert affine. Écrivons \(\mathcal{F}|_W = \widetilde{M}\) pour un \(A\)-module \(M\) et \(\mathcal{I}|_W = \widetilde{I}\) pour un idéal de type fini \(I \subset A\). En restreignant le premier homomorphisme affiché du lemme à \(W\), on obtient le premier homomorphisme affiché du lemme 01PM. Comme on peut recouvrir \(X\) par un nombre fini d’ouverts affines, cela montre que le premier homomorphisme affiché du lemme est injectif.

On a \(\mathcal{F}_n|_W = \widetilde{M_n}\), où \(M_n \subset M\) est défini comme dans le lemme 01PM (détails omis). Ce lemme fournit une bijection \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_W}( \mathcal{I}^n|_W, (\mathcal{F}/\mathcal{F}_n)|_W) \longrightarrow \Gamma(U \cap W, \mathcal{F})\] pour tout ouvert affine \(W\) comme ci-dessus.

Pour montrer que la seconde flèche affichée du lemme est bijective, choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} W_j\). L’injectivité découle immédiatement de ce qui précède et de la finitude du recouvrement. Si \(X\) est quasi-séparé, pour tout couple \(j, j'\), choisissons un recouvrement ouvert affine fini \[W_j \cap W_{j'} = \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_{jj'}} W_{jj'k}.\] Soit \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\). Comme on l’a vu, pour tout \(j\), il existe un \(n_j\) et un morphisme \(\varphi_j : \mathcal{I}^{n_j}|_{W_j} \to (\mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_j})|_{W_j}\) correspondant à \(s|_{U \cap W_j}\). De même, pour tout triplet \((j, j', k)\), il existe un entier \(n_{jj'k}\) tel que les restrictions de \(\varphi_j\) et de \(\varphi_{j'}\), comme morphismes \(\mathcal{I}^{n_{jj'k}} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_{n_{jj'k}}\), coïncident sur \(W_{jj'k}\). Posons \(n = \max\{n_j, n_{jj'k}\}\) ; alors les \(\varphi_j\) se recollent en un morphisme \(\mathcal{I}^n \to \mathcal{F}/\mathcal{F}_n\) sur \(X\). Cela démontre la surjectivité de l’homomorphisme.

Faisceaux inversibles amples

Rappelons d’après Modules, lemme 01CY, qu’étant donnés un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur un espace localement annelé \(X\) et une section globale \(s\) de \(\mathcal{L}\), l’ensemble \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\) est ouvert. On remarque en général que \(X_s \cap X_{s'} = X_{ss'}\), où \(ss'\) désigne la section \(s \otimes s' \in \Gamma(X, \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}')\).

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. On dit que \(\mathcal{L}\) est ample si

1. \(X\) est quasi-compact, et

2. pour tout \(x \in X\), il existe un entier \(n \geq 1\) et \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(x \in X_s\) et que \(X_s\) soit affine.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(n \geq 1\). Alors \(\mathcal{L}\) est ample si et seulement si \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) est ample.

Démonstration

Cela résulte de l’égalité \(X_{s^n} = X_s\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Pour tout sous-schéma fermé \(Z \subset X\), la restriction de \(\mathcal{L}\) à \(Z\) est ample.

Démonstration

C’est clair, car une partie fermée d’un espace quasi-compact est quasi-compacte et un sous-schéma fermé d’un schéma affine est affine (voir Schémas, lemme 01IH).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), l’intersection \(U \cap X_s\) est affine.

Démonstration

Cela se traduit par le problème d’algèbre suivant. Soit \(R\) un anneau. Soit \(N\) un \(R\)-module inversible (c’est-à-dire localement libre de rang 1). Soit \(s \in N\). Alors \(V = \{\mathfrak p \mid s \not \in \mathfrak p N\}\) est un ouvert affine de \(\Spec(R)\).

Soit \(A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n\) l’algèbre symétrique de \(N\) (qui est commutative) et considérons \(s\) comme un élément de \(A_1\). Posons \(B = A/(s - 1)A\). C’est une \(R\)-algèbre dont la construction commute à tout changement de base \(R \to R'\). Ainsi \(B' = B \otimes_R R'\) est l’anneau nul si \(s\) a pour image zéro dans \(N' = N \otimes_R R'\). Il s’ensuit que, si \(x \in \Spec(R) \setminus V\), alors \(B \otimes_R \kappa(x) = 0\). On en conclut que \(\Spec(B) \to \Spec(R)\) se factorise par \(V\), car les fibres aux points \(x \not \in V\) sont vides. D’autre part, si \(\Spec(R') \subset V\) est un ouvert affine, alors \(s\) a pour image un élément de base de \(N'\) et l’on voit que \(B' = R'[s]/(s - 1) \cong R'\). Il en résulte que \(\Spec(B) \to V\) est un isomorphisme et que \(V\) est bien affine.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Si

1. \(\mathcal{L}\) est ample, et

2. les ouverts \(X_t\), où \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\) pour \(m > 0\), recouvrent \(X\),

alors \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\) est ample.

Démonstration

Vérifions les conditions de la définition 01PS. Comme \(\mathcal{L}\) est ample, \(X\) est quasi-compact. Soit \(x \in X\). Choisissons \(n \geq 1\), \(m \geq 1\), \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) et \(t \in \Gamma(X, \mathcal{M}^{\otimes m})\) tels que \(x \in X_s\), \(x \in X_t\) et que \(X_s\) soit affine. Alors \(s^mt^n \in \Gamma(X, (\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})^{\otimes nm})\), \(x \in X_{s^mt^n}\), et \(X_{s^mt^n}\) est affine d’après le lemme 01PV.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que les ouverts \(X_s\), où \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) et \(n \geq 1\), forment une base de la topologie de \(X\). Alors, parmi ces ouverts, ceux des \(X_s\) qui sont affines forment une base de la topologie de \(X\).

Démonstration

Soit \(x \in X\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) de \(x\). Par hypothèse, il existe un entier \(n \geq 1\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(X_s \subset U\). D’après le lemme 01PV ci-dessus, l’intersection \(X_s = U \cap X_s\) est affine. Comme on peut choisir \(U\) arbitrairement petit, cela donne la conclusion.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que, pour tout point \(x\) de \(X\), il existe \(n \geq 1\) et \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(x \in X_s\) et que \(X_s\) soit affine. Alors \(X\) est séparé.

Démonstration

Montrons d’abord que \(X\) est quasi-séparé. Par hypothèse, on peut trouver un recouvrement de \(X\) par des ouverts affines de la forme \(X_s\). D’après le lemme 01PV, l’intersection de deux tels ouverts est affine ; Schémas, lemme 01KO, entraîne donc que \(X\) est quasi-séparé.

Pour montrer que \(X\) est séparé, on peut utiliser le critère valuatif, Schémas, lemme 01L0. Soit donc \(A\) un anneau de valuation de corps des fractions \(K\), et considérons deux morphismes \(f, g : \Spec(A) \to X\) tels que les deux composés \(\Spec(K) \to \Spec(A) \to X\) coïncident. Comme \(A\) est local, il existe \(p, q \ge 1\), \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes p})\)et \(t \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes q})\) tels que \(X_s\) et \(X_t\) soient affines, \(f(\Spec A) \subseteq X_s\)et \(g(\Spec A) \subseteq X_t\). Remplaçons maintenant \(s\) par \(s^q\), \(t\) par \(t^p\)et \(\mathcal{L}\) par \(\mathcal{L}^{\otimes pq}\). Cela ne change rien, puisque \(X_s = X_{s^q}\) et \(X_t = X_{t^p}\), et désormais \(s\) et \(t\) sont des sections du même faisceau \(\mathcal{L}\).

Le module quasi-cohérent \(f^*\mathcal{L}\) correspond à un \(A\)-module \(M\) et \(g^*\mathcal{L}\) correspond à un \(A\)-module \(N\), d’après notre classification des modules quasi-cohérents sur les schémas affines (Schémas, lemme 01IA). Les \(A\)-modules \(M\) et \(N\) sont localement libres de rang \(1\) (lemme 05JM) et, puisque \(A\) est local, ils sont libres (Algèbre, lemme 00JJ). On peut donc identifier \(M\) et \(N\) à des \(A\)-sous-modules de \(M \otimes_A K\) et \(N \otimes_A K\). L’égalité \(f|_{\Spec(K)} = g|_{\Spec(K)}\) détermine un isomorphisme \(\phi \colon M \otimes_A K \to N \otimes_A K\).

Soient \(x \in M\) et \(y \in N\) les éléments correspondant aux images réciproques de \(s\) par \(f\) et \(g\), respectivement. Ils vérifient \(\phi(x \otimes 1) = y \otimes 1\). L’image de \(f\) est contenue dans \(X_s\), donc \(x \not\in \mathfrak{m}_A M\), autrement dit \(x\) engendre \(M\). Ainsi \(\phi\) détermine un isomorphisme de \(M\) sur le sous-module de \(N\) engendré par \(y\). En raisonnant symétriquement à l’aide de \(t\), on voit que \(\phi^{-1}\) détermine un isomorphisme de \(N\) sur un sous-module de \(M\). Par conséquent, \(\phi\) se restreint à un isomorphisme de \(M\) sur \(N\). Puisque \(x\) engendre \(M\), son image \(y\) engendre \(N\), d’où \(y \not\in \mathfrak{m}_A N\). On a donc \(g(\Spec(A)) \subseteq X_s\). Comme \(X_s\) est affine, il est séparé d’après Schémas, lemme 01KN, et l’on en conclut que \(f = g\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. S’il existe un faisceau inversible ample sur \(X\), alors \(X\) est séparé.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 01PY et de la définition 01PS.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Posons \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\), considéré comme anneau gradué. Si tout point de \(X\) appartient à l’un des ouverts \(X_s\), pour un élément homogène \(s \in S_{+}\), alors il existe un morphisme canonique de schémas \[f : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S),\] à valeurs dans le spectre homogène de \(S\) (voir Constructions, section 01M3). Ce morphisme possède les propriétés suivantes :

1. \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\) pour tout élément homogène \(s \in S_{+}\),

2. il existe des homomorphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) compatibles aux applications de multiplication, voir Constructions, équation (01MO),

3. le composé \(S_n \to \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(n)) \to \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) est l’application identique, et

4. pour tout \(x \in X\), il existe un entier \(d \geq 1\) et un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tels que \(f^*\mathcal{O}_Y(dn)|_U \to \mathcal{L}^{\otimes dn}|_U\) soit un isomorphisme pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Notons \(\psi : S \to \Gamma_*(X, \mathcal{L})\) l’application identique. Nous allons utiliser le triplet \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\) de Constructions, lemme 01NK. Par hypothèse, le sous-schéma ouvert \(U(\psi)\) est égal à \(X\). Ainsi \(r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to Y\) est défini sur tout \(X\). Posons \(f = r_{\mathcal{L}, \psi}\). Les applications de (2) sont les composantes de \(\theta\). L’assertion (3) résulte de la condition (2) du lemme cité ci-dessus. L’assertion (1) résulte de (3), combiné à la condition (1) du lemme cité ci-dessus. L’assertion (4) résulte de la dernière assertion de Constructions, lemme 01NK, puisque l’application \(\alpha\) qui y figure est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Posons \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\). Supposons (a) que tout point de \(X\) appartienne à l’un des ouverts \(X_s\), pour un élément homogène \(s \in S_{+}\), et (b) que \(X\) soit quasi-compact. Alors le morphisme canonique de schémas \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\) du lemme 01PZ ci-dessus est quasi-compact et d’image dense.

Démonstration

Pour montrer que \(f\) est quasi-compact, il suffit de montrer que \(f^{-1}(D_{+}(s))\) est quasi-compact pour tout élément homogène \(s \in S_{+}\). Écrivons \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) comme réunion finie d’ouverts affines. D’après le lemme 01PV, chaque intersection \(X_s \cap X_i\) est affine. Ainsi \(X_s = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_s \cap X_i\) est quasi-compact. Supposons que l’image de \(f\) ne soit pas dense et cherchons une contradiction. Puisque les ouverts \(D_+(s)\), avec \(s \in S_+\) homogène, forment une base de la topologie de \(\text{Proj}(S)\), on peut trouver un tel \(s\) avec \(D_+(s) \not = \emptyset\) et \(f(X) \cap D_+(s) = \emptyset\). D’après le lemme 01PZ, cela signifie que \(X_s = \emptyset\). D’après le lemme 01PW, une puissance \(s^n\) est alors la section nulle de \(\mathcal{L}^{\otimes n\deg(s)}\). Cela entraîne à son tour que \(D_+(s) = \emptyset\), contradiction cherchée.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Posons \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\). Supposons \(\mathcal{L}\) ample. Alors le morphisme canonique de schémas \(f : X \longrightarrow \text{Proj}(S)\) du lemme 01PZ est une immersion ouverte d’image dense.

Démonstration

D’après le lemme 01PY, \(X\) est quasi-séparé. Choisissons un nombre fini d’éléments homogènes \(s_1, \ldots, s_n \in S_{+}\) tels que les \(X_{s_i}\) soient affines et que \(X = \bigcup X_{s_i}\). Supposons \(s_i\) de degré \(d_i\). L’image réciproque de \(D_{+}(s_i)\) par \(f\) est \(X_{s_i}\), voir le lemme 01PZ. D’après le lemme 01PW, l’homomorphisme d’anneaux \[(S^{(d_i)})_{(s_i)} = \Gamma(D_{+}(s_i), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) \longrightarrow \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{O}_X)\] est un isomorphisme. Ainsi \(f\) induit un isomorphisme \(X_{s_i} \to D_{+}(s_i)\). Donc \(f\) est un isomorphisme de \(X\) sur le sous-schéma ouvert \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D_{+}(s_i)\) de \(\text{Proj}(S)\). Son image est dense d’après le lemme 01Q0.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(S\) un anneau gradué. Supposons \(X\) quasi-compact et supposons qu’il existe une immersion ouverte \[j : X \longrightarrow Y = \text{Proj}(S).\] Alors \(j^*\mathcal{O}_Y(d)\) est un faisceau inversible ample pour un entier \(d > 0\).

Démonstration

C’est Constructions, lemme 01MW.

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Posons \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample,

2. les ouverts \(X_s\), avec \(s \in S_{+}\) homogène, recouvrent \(X\) et le morphisme associé \(X \to \text{Proj}(S)\) est une immersion ouverte,

3. les ouverts \(X_s\), avec \(s \in S_{+}\) homogène, forment une base de la topologie de \(X\),

4. les ouverts \(X_s\), avec \(s \in S_{+}\) homogène, qui sont affines forment une base de la topologie de \(X\),

5. pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), la somme des images des applications canoniques \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] pour \(n \geq 1\) est égale à \(\mathcal{F}\),

6. même propriété qu’en (01Q8), où \(\mathcal{F}\) parcourt tous les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux,

7. \(X\) est quasi-séparé et, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini sur \(X\), il existe un entier \(n_0\) tel que \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) soit engendré par ses sections globales pour tout \(n \geq n_0\),

8. \(X\) est quasi-séparé et, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini sur \(X\), il existe des entiers \(n > 0\), \(k \geq 0\) tels que \(\mathcal{F}\) soit quotient d’une somme directe de \(k\) exemplaires de \(\mathcal{L}^{\otimes - n}\), et

9. même propriété qu’en (01QB), où \(\mathcal{F}\) parcourt tous les faisceaux d’idéaux de type fini sur \(X\).

Démonstration

Le lemme 01Q1 donne (01Q4) \(\Rightarrow\) (01Q5). Les lemmes 01PT et 01Q2 donnent l’implication (01Q4) \(\Leftarrow\) (01Q5). Les implications (01Q5) \(\Rightarrow\) (01Q7) \(\Rightarrow\) (01Q6) résultent clairement de Constructions, section 01M3. Le lemme 01PX donne (01Q6) \(\Rightarrow\) (01Q4). Les quatre premières conditions sont donc équivalentes.

Supposons vérifiées les conditions équivalentes (1) – (4). Notons qu’en particulier \(X\) est séparé (comme sous-schéma ouvert du schéma séparé \(\text{Proj}(S)\)). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Choisissons \(s \in S_{+}\) homogène tel que \(X_s\) soit affine. Nous affirmons que toute section \(m \in \Gamma(X_s, \mathcal{F})\) appartient à l’image de l’une des applications figurant dans (01Q8) ci-dessus. Cela entraînera (01Q8), puisque ces ouverts affines \(X_s\) recouvrent \(X\). En effet, d’après le lemme 01PW, on peut écrire \(m\) comme image de \(m' \otimes s^{-n}\) pour un certain \(n \geq 1\) et un certain \(m' \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\). Cela prouve l’affirmation.

Clairement, (01Q8) \(\Rightarrow\) (01Q9). Supposons (01Q9) et montrons que \(\mathcal{L}\) est ample. Choisissons \(x \in X\). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine contenant \(x\). Posons \(Z = X \setminus U\). On peut considérer \(Z\) comme un sous-schéma fermé réduit, voir Schémas, section 01IZ. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant au sous-schéma fermé \(Z\). D’après l’hypothèse (01Q9), il existe un entier \(n \geq 1\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{I} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(s\) ne s’annule pas en \(x\) (plus précisément, tels que \(s \not \in \mathfrak m_x \mathcal{I}_x \otimes \mathcal{L}_x^{\otimes n}\)). On peut considérer \(s\) comme une section de \(\mathcal{L}^{\otimes n}\). Puisqu’elle s’annule clairement le long de \(Z\), on a \(X_s \subset U\). Ainsi \(X_s\) est affine, voir le lemme 01PV. Cela prouve que \(\mathcal{L}\) est ample. Nous avons donc montré à ce stade que (1) – (6) sont équivalentes.

Supposons vérifiées les conditions équivalentes (1) – (6). Dans la suite, nous utiliserons sans autre mention le fait que le produit tensoriel de deux faisceaux de modules engendrés par leurs sections globales est lui-même engendré par ses sections globales (voir Modules, lemme 01AO). D’après (1), on peut trouver des éléments \(s_i \in S_{d_i}\) avec \(d_i \geq 1\) tels que \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_{s_i}\). Posons \(d = d_1\ldots d_n\). Il en résulte que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est engendré par les sections globales \[s_1^{d/d_1}, \ldots, s_n^{d/d_n}.\] Ainsi, si \(\mathcal{L}^{\otimes j}\) est engendré par ses sections globales, il en est de même de \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\) pour tout \(n \geq 0\). Fixons \(j \in \{0, \ldots, d - 1\}\). Pour tout point \(x \in X\), il existe un entier \(n \geq 1\) et une section globale \(s\) de \(\mathcal{L}^{j + dn}\) qui ne s’annule pas en \(x\), comme il résulte de (01Q8) appliqué à \(\mathcal{F} = \mathcal{L}^{\otimes j}\) et au faisceau inversible ample \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). Comme \(X\) est quasi-compact, on peut trouver une famille finie d’entiers \(n_i\) et de sections globales \(s_i\) de \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn_i}\) qui n’ont aucun zéro commun sur \(X\). Puisque \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est engendré par ses sections globales, \(\mathcal{L}^{\otimes j + dn}\) est engendré par ses sections globales pour \(n = \max\{n_i\}\). Cela étant établi pour chaque classe de congruence modulo \(d\), on en conclut qu’il existe un entier \(n_0 = n_0(\mathcal{L})\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) soit engendré par ses sections globales pour tout \(n \geq n_0\). On voit dès lors que, si \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales, il en est de même de \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) pour tout \(n \geq n_0\).

Supposons toujours vérifiées les conditions équivalentes (1) – (6). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini. Notons \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}\) l’image de l’application canonique de (01Q8). Par construction, \(\mathcal{F}_n \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) est engendré par ses sections globales. D’après (01Q8), \(\mathcal{F}\) est la somme des sous-faisceaux \(\mathcal{F}_n\), \(n \geq 1\). D’après Modules, lemme 01BB, on a \(\mathcal{F} = \sum_{n = 1, \ldots, N} \mathcal{F}_n\) pour un entier \(N \geq 1\). Il en résulte que \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) est engendré par ses sections globales dès que \(n \geq N + n_0(\mathcal{L})\), où \(n_0(\mathcal{L})\) est défini ci-dessus. Ainsi (1) – (6) entraînent (01QA).

Supposons (01QA). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini. D’après (01QA), il existe un entier \(n \geq 1\) tel que l’application canonique \[\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] soit surjective. Soit \(I\) l’ensemble des parties finies de \(\Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\), ordonné par inclusion. Alors \(I\) est un ensemble ordonné filtrant. Pour \(i = \{s_1, \ldots, s_{r(i)}\}\), soit \(\mathcal{F}_i \subset \mathcal{F}\) l’image de l’application \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, r(i)} \mathcal{L}^{\otimes -n} \longrightarrow \mathcal{F}\] qui est la multiplication par \(s_j\) sur le \(j\)-ième facteur. La surjectivité ci-dessus entraîne que \(\mathcal{F} = \colim_{i \in I} \mathcal{F}_i\). On peut donc appliquer Modules, lemme 01BB, et l’on en conclut que \(\mathcal{F} = \mathcal{F}_i\) pour un certain \(i\). Nous avons donc établi (01QB). Autrement dit, (01QA) \(\Rightarrow\) (01QB).

L’implication (01QB) \(\Rightarrow\) (01QC) est immédiate.

Supposons enfin (01QC). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. D’après le lemme 01PG (c’est ici qu’intervient l’hypothèse que \(X\) est quasi-séparé), on a \(\mathcal{I} = \colim_\alpha I_\alpha\), où chaque \(I_\alpha\) est quasi-cohérent de type fini. Puisque, par hypothèse, chaque \(I_\alpha\) est quotient d’une somme de puissances tensorielles négatives de \(\mathcal{L}\), il en est de même de \(\mathcal{I}\) (mais, bien entendu, sans finitude ni borne sur les puissances). On en conclut donc que (01QC) entraîne (01Q9). Cela achève la démonstration de la proposition.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Soit \(i : X' \to X\) un morphisme de schémas. Supposons vérifiée au moins l’une des conditions suivantes :

1. \(i\) est une immersion quasi-compacte,

2. \(X'\) est quasi-compact et \(i\) est une immersion,

3. \(i\) est quasi-compact et induit un homéomorphisme entre \(X'\) et \(i(X')\),

4. \(X'\) est quasi-compact et \(i\) induit un homéomorphisme entre \(X'\) et \(i(X')\).

Alors \(i^*\mathcal{L}\) est ample sur \(X'\).

Démonstration

Observons que, dans les cas (1) et (3), le schéma \(X'\) est quasi-compact, puisque \(X\) est quasi-compact d’après la définition 01PS. Il suffit donc de traiter les cas (2) et (4). Comme (2) est un cas particulier de (4), il suffit de traiter (4).

Supposons vérifiée la condition (4). Pour \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\), notons \(s' = i^*s\) l’image réciproque de \(s\) sur \(X'\). Alors \(s'\) est une section de \((i^*\mathcal{L})^{\otimes d}\). D’après la proposition 01Q3, les ouverts \(X_s\), pour \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\), forment une base de la topologie de \(X\). Comme \(X'_{s'} = i^{-1}(X_s)\) d’après Modules, remarque 0H78, et comme \(X' \to i(X')\) est un homéomorphisme, on en conclut que les ouverts \(X'_{s'}\) forment une base de la topologie de \(X'\). Ainsi \(i^*\mathcal{L}\) est ample d’après la proposition 01Q3.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-séparé. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample et soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ample. Alors \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{N}\) est un faisceau inversible ample sur \(X \times_S Y\).

Démonstration

Le morphisme \(i : X \times_S Y \to X \times Y\) est une immersion quasi-compacte, voir Schémas, lemme 01KR. D’autre part, \(\mathcal{M}\) est l’image réciproque par \(i\) du module inversible correspondant sur \(X \times Y\). D’après le lemme 0B3E, il suffit de démontrer le lemme pour \(X \times Y\). Vérifions (1) et (2) de la définition 01PS pour \(\mathcal{M}\) sur \(X \times Y\).

Puisque \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts, il en est de même de \(X \times Y\). Soit \(z \in X \times Y\) un point. Soient \(x \in X\) et \(y \in Y\) ses projections. Choisissons \(n > 0\) et \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(X_s\) soit un voisinage ouvert affine de \(x\). Choisissons \(m > 0\) et \(t \in \Gamma(Y, \mathcal{N}^{\otimes m})\) tels que \(Y_t\) soit un voisinage ouvert affine de \(y\). Alors \(r = \text{pr}_1^*s \otimes \text{pr}_2^*t\) est une section de \(\mathcal{M}\) avec \((X \times Y)_r = X_s \times Y_t\). C’est un voisinage ouvert affine de \(z\), ce qui achève la démonstration.

Schémas affines et quasi-affines

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Alors \(X\) est quasi-affine si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est ample.

Démonstration

Supposons \(X\) quasi-affine. Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Considérons l’immersion ouverte \[j : X \longrightarrow \Spec(A)\] du lemme 01P9. Notons que \(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\), voir Constructions, exemple 01MI. On peut donc appliquer le lemme 01Q2 pour en déduire que \(\mathcal{O}_X\) est ample.

Supposons \(\mathcal{O}_X\) ample. Notons que \(\Gamma_*(X, \mathcal{O}_X) \cong A[T]\) comme anneaux gradués. Le résultat découle donc des lemmes 01Q1 et 01P9, compte tenu de l’égalité \(\Spec(A) = \text{Proj}(A[T])\) pour tout anneau \(A\), établie ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-affine. Pour toute immersion quasi-compacte \(i : X' \to X\), le schéma \(X'\) est quasi-affine.

Démonstration

On peut le démontrer directement, sans faire appel aux résultats sur les faisceaux inversibles amples ; nous invitons le lecteur à en esquisser une preuve. Comme \(X\) est quasi-affine, \(\mathcal{O}_X\) est ample d’après le lemme 01QE. Alors \(\mathcal{O}_{X'}\) est ample d’après le lemme 0B3E. Donc \(X'\) est quasi-affine d’après le lemme 01QE.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons qu’il existe un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) tels que

1. chaque \(X_{f_i}\) soit un ouvert affine de \(X\), et

2. l’idéal engendré par \(f_1, \ldots, f_n\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) soit l’idéal unité.

Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Supposons donnés \(f_1, \ldots, f_n\) comme dans l’énoncé. On peut écrire \(1 = \sum g_i f_i\) avec \(g_j \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), d’où clairement \(X = \bigcup X_{f_i}\). (Les \(f_i\) ne peuvent pas tous s’annuler en un même point.) Puisque chaque \(X_{f_i}\) est quasi-compact (étant affine), \(X\) est quasi-compact. Il en résulte que \(X\) est quasi-affine d’après le lemme 01QE ci-dessus. Considérons l’immersion ouverte \[j : X \to \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)),\] voir le lemme 01P9. L’image réciproque de l’ouvert standard \(D(f_i)\) du membre de droite est \(X_{f_i}\) dans le membre de gauche, et le morphisme \(j\) induit un isomorphisme \(X_{f_i} \cong D(f_i)\), voir le lemme 01P8. Puisque les \(f_i\) engendrent l’idéal unité, on a \(\Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)) = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\). Ainsi \(j\) est un isomorphisme.

Faisceaux quasi-cohérents et faisceaux inversibles amples

Thème de cette section : en présence d’un faisceau inversible ample, tout faisceau quasi-cohérent provient d’un module gradué.

Situation

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Posons \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L})\), considéré comme anneau gradué. Posons \(Y = \text{Proj}(S)\). Soit \(f : X \to Y\) le morphisme canonique du lemme 01PZ. Il est muni d’un homomorphisme \(\mathbf{Z}\)-gradué de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(\bigoplus f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}\).

Le lemme suivant est en fait un cas particulier de celui qui le suit, mais il paraît utile de l’établir d’abord.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 01QH. Le morphisme canonique \(f : X \to Y\) envoie \(X\) dans le sous-schéma ouvert \(W = W_1 \subset Y\) sur lequel \(\mathcal{O}_Y(1)\) est inversible et toutes les applications de multiplication \(\mathcal{O}_Y(n) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \to \mathcal{O}_Y(n + m)\) sont des isomorphismes (voir Constructions, lemme 01MU). De plus, les applications \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) sont toutes des isomorphismes.

Démonstration

D’après la proposition 01Q3, il existe un entier \(n_0\) tel que \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) soit engendré par ses sections globales pour tout \(n \geq n_0\). Soit \(x \in X\). D’après ce qui précède, on peut trouver \(a \in S_{n_0}\) et \(b \in S_{n_0 + 1}\) tels que \(a\) et \(b\) ne s’annulent pas en \(x\). Ainsi \(f(x) \in D_{+}(a) \cap D_{+}(b) = D_{+}(ab)\). D’après Constructions, lemme 01MU, on a \(f(x) \in W_1\), comme voulu. D’après Constructions, lemme 01NK, utilisé dans la construction de l’application \(f\), les applications \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0}\) et \(f^*\mathcal{O}_Y(n_0 + 1) \to \mathcal{L}^{\otimes n_0 + 1}\) sont des isomorphismes dans un voisinage de \(x\). Par compatibilité avec la structure d’algèbre et du fait que \(f\) prend ses valeurs dans \(W\), on en conclut que toutes les applications \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) sont des isomorphismes dans un voisinage de \(x\), d’où la conclusion.

Rappelons d’après Modules, définition 01CV, qu’étant donnés un espace localement annelé \(X\), un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), on dispose du \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué \[\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}).\] Le lemme suivant affirme que, dans la situation 01QH, on peut retrouver un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) à partir de ce module gradué. Voir aussi Constructions, lemme 03GM, où ce lemme est démontré dans le cas particulier \(X = \mathbf{P}^n_R\).

Lemme

Plaçons-nous dans la situation 01QH. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Posons \(M = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\), considéré comme \(S\)-module gradué. Il existe des isomorphismes \[f^*\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] fonctoriels en \(\mathcal{F}\), tels que \(M_0 \to \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \to \Gamma(X, \mathcal{F})\) soit l’application identique.

Démonstration

Soit \(s \in S_{+}\) homogène tel que \(X_s\) soit un ouvert affine de \(X\). Rappelons que \(\widetilde{M}|_{D_{+}(s)}\) correspond au \(S_{(s)}\)-module \(M_{(s)}\), voir Constructions, lemme 01M7. Rappelons que \(f^{-1}(D_{+}(s)) = X_s\). Puisque \(X\) possède un faisceau inversible ample, il est quasi-compact et quasi-séparé, voir la section 01PR. D’après le lemme 01PW, il existe un isomorphisme canonique \(M_{(s)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s)} \to \Gamma(X_s, \mathcal{F})\). Puisque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, cela donne un isomorphisme canonique \[f^*\widetilde{M}|_{X_s} \to \mathcal{F}|_{X_s}\] Comme \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\), on sait que \(X\) est recouvert par les ouverts affines de la forme \(X_s\). Il suffit donc de montrer que les applications ci-dessus se recollent sur les intersections. Nous en omettons la démonstration.

Remarque

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 01QJ, notons \(\theta_\mathcal{F}\) l’application qui y figure. Notons que l’isomorphisme \(f^*\mathcal{O}_Y(n) \to \mathcal{L}^{\otimes n}\) du lemme 01QI n’est autre que \(\theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}\). Considérons les applications de multiplication \[\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}\] voir Constructions, équation (01MQ). Prenons-en l’image réciproque sur \(X\) et considérons \[\xymatrix{ f^*\widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{O}_Y(n) \ar[r] \ar[d]_{\theta_\mathcal{F} \otimes \theta_{\mathcal{L}^{\otimes n}}} & f^*\widetilde{M(n)} \ar[d]^{\theta_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}}} \\ \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n} }\] On a utilisé ici l’identification évidente \(M(n) = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n})\). Ce diagramme est commutatif. Démonstration omise.

On devrait pouvoir déduire le lemme suivant du lemme 01QJ (ou réciproquement), mais il paraît plus simple d’en reprendre la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué tel que \(X = \text{Proj}(S)\) soit quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Posons \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\), considéré comme \(S\)-module gradué, voir Constructions, section 01MM. L’application \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] de Constructions, lemme 0B5I, est un isomorphisme. Si \(X\) est recouvert par des ouverts standards \(D_+(f)\), où \(f\) est de degré \(1\), alors les applications induites \(M_n \to \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) sont les applications identiques.

Démonstration

Comme \(X\) est quasi-compact, on peut trouver des éléments homogènes \(f_1, \ldots, f_n \in S\) de degrés strictement positifs tels que \(X = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\). Soit \(d\) le plus petit commun multiple des degrés de \(f_1, \ldots, f_n\). En remplaçant chaque \(f_i\) par une puissance, on peut supposer que chaque \(f_i\) est de degré \(d\). Alors \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(d)\) est inversible, les applications de multiplication \(\mathcal{O}_X(ad) \otimes \mathcal{O}_X(bd) \to \mathcal{O}_X((a + b)d)\) sont des isomorphismes, et chaque \(f_i\) détermine une section globale \(s_i\) de \(\mathcal{L}\) telle que \(X_{s_i} = D_+(f_i)\), voir Constructions, lemmes 01MU et 01MV. Ainsi \(\Gamma(X, \mathcal{F}(ad)) = \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes a})\). Rappelons que \(\widetilde{M}|_{D_{+}(f_i)}\) correspond au \(S_{(f_i)}\)-module \(M_{(f_i)}\), voir Constructions, lemme 01M7. Comme le degré de \(f_i\) est \(d\), la classe d’isomorphisme de \(M_{(f_i)}\) ne dépend que des composantes homogènes de \(M\) de degré divisible par \(d\). Plus précisément, la classe d’isomorphisme de \(M_{(f_i)}\) ne dépend que du \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\)-module gradué \(\Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})\) et de l’image \(s_i\) de \(f_i\) dans \(\Gamma_*(X, \mathcal{L})\). Le schéma \(X\) est quasi-compact par hypothèse et séparé d’après Constructions, lemme 01MC. D’après le lemme 01PW, il existe un isomorphisme canonique \[M_{(f_i)} = \Gamma_*(X, \mathcal{L}, \mathcal{F})_{(s_i)} \to \Gamma(X_{s_i}, \mathcal{F}).\] La construction de l’application de Constructions, lemme 0B5I, montre alors qu’elle est un isomorphisme sur \(D_+(f_i)\), donc un isomorphisme puisque ces ouverts recouvrent \(X\). Nous omettons la démonstration de la dernière assertion.

Recherche d’ouverts affines convenables

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats sur l’existence d’ouverts affines dans des situations plus ou moins générales.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé. Soient \(Z_1, \ldots, Z_n\) des composantes irréductibles deux à deux distinctes de \(X\), voir Topologie, section 004U. Soient \(\eta_i \in Z_i\) leurs points génériques, voir Schémas, lemme 01IS. Il existe des voisinages ouverts affines \(\eta_i \in U_i\) tels que \(U_i \cap U_j = \emptyset\) pour tous \(i \not = j\). En particulier, \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) est un ouvert affine contenant tous les points \(\eta_1, \ldots, \eta_n\).

Démonstration

Soit \(V_i\) un ouvert affine quelconque contenant \(\eta_i\) et disjoint du fermé \(Z_1 \cup \ldots \hat Z_i \ldots \cup Z_n\). Comme \(X\) est quasi-séparé, pour chaque \(i\), la réunion \(W_i = \bigcup_{j, j \not = i} V_i \cap V_j\) est un ouvert quasi-compact de \(V_i\) ne contenant pas \(\eta_i\). On peut trouver des voisinages ouverts \(U_i \subset V_i\) contenant \(\eta_i\) et disjoints de \(W_i\) d’après Algèbre, lemme 00EV. Enfin, \(U\) est affine, car c’est le spectre de l’anneau \(R_1 \times \ldots \times R_n\), où \(R_i = \mathcal{O}_X(U_i)\), voir Schémas, lemme 01I5.

Remarque

Le lemme 01ZV ci-dessus est faux si \(X\) n’est pas quasi-séparé. En voici un exemple. Prenons \(R = \mathbf{Q}[x, y_1, y_2, \ldots]/((x-i)y_i)\). Considérons l’idéal premier minimal \(\mathfrak p = (y_1, y_2, \ldots)\) de \(R\). Recollons deux copies de \(\Spec(R)\) le long de l’ouvert (non quasi-compact) \(\Spec(R) \setminus V(\mathfrak p)\) pour obtenir un schéma \(X\) (par le recollement décrit dans Schémas, exemple 01JD). Alors les deux points maximaux de \(X\) correspondant à \(\mathfrak p\) ne sont contenus dans aucun ouvert affine commun. En effet, tout ouvert de \(\Spec(R)\) contenant \(\mathfrak p\) contient une infinité des « droites » \(x = i\), \(y_j = 0\), \(j \not = i\), de paramètre \(y_i\). Détails omis.

Malgré l’exemple ci-dessus, pour « la plupart » des familles finies de fermés irréductibles, on peut appliquer le lemme 01ZV ci-dessus, du moins si \(X\) est quasi-compact. Cela tient au fait que \(X\) contient un ouvert dense qui est séparé.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact. Il existe un ouvert dense \(V \subset X\) qui est séparé.

Démonstration

Écrivons \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) comme réunion de \(n\) sous-schémas ouverts affines. Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(n\). Il est immédiat pour \(n = 1\). Soit \(V' \subset \bigcup_{i = 1, \ldots, n - 1} U_i\) un sous-schéma ouvert dense séparé, dont l’existence résulte de l’hypothèse de récurrence. Considérons \[V = V' \amalg (U_n \setminus \overline{V'}).\] Il est clair que \(V\) est séparé et est un sous-schéma ouvert dense de \(X\).

Même si \(X\) est à la fois quasi-séparé et quasi-compact, il n’existe pas nécessairement d’ouvert dense séparé et quasi-compact, voir Exemples, lemme 086I. Voici une légère précision du lemme 01ZV ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé. Soient \(Z_1, \ldots, Z_n\) des composantes irréductibles deux à deux distinctes de \(X\). Soient \(\eta_i \in Z_i\) leurs points génériques. Soit \(x \in X\) un point quelconque. Il existe un ouvert affine \(U \subset X\) contenant \(x\) et tous les \(\eta_i\).

Démonstration

Supposons que \(x \in Z_1 \cap \ldots \cap Z_r\) et que \(x \not \in Z_{r + 1}, \ldots, Z_n\). On peut alors choisir un ouvert affine \(W \subset X\) tel que \(x \in W\) et \(W \cap Z_i = \emptyset\) pour \(i = r + 1, \ldots, n\). Il est clair que \(\eta_i \in W\) pour \(i = 1, \ldots, r\). D’après le lemme 01ZV, on peut choisir des ouverts affines \(U_i \subset X\) deux à deux disjoints tels que \(\eta_i \in U_i\) pour \(i = r + 1, \ldots, n\). Comme \(X\) est quasi-séparé, les ouverts \(W \cap U_i\) sont quasi-compacts et ne contiennent pas \(\eta_i\) pour \(i = r + 1, \ldots, n\). Ainsi, d’après Algèbre, lemme 00EV, on peut rétrécir \(U_i\) de sorte que \(W \cap U_i = \emptyset\) pour \(i = r + 1, \ldots, n\). Alors la réunion \(U = W \cup \bigcup_{i = r + 1, \ldots, n} U_i\) est disjointe, donc (d’après Schémas, lemme 01I5) c’est un ouvert affine convenable.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons vérifiée l’une des conditions suivantes :

1. Le schéma \(X\) est quasi-affine.

2. Le schéma \(X\) est isomorphe à un sous-schéma localement fermé d’un schéma affine.

3. Il existe un faisceau inversible ample sur \(X\).

4. Le schéma \(X\) est isomorphe à un sous-schéma localement fermé de \(\text{Proj}(S)\) pour un anneau gradué \(S\).

Alors, pour toute partie finie \(E \subset X\), il existe un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(E \subset U\).

Démonstration

D’après Propriétés, définition 01P6, un schéma quasi-affine est un sous-schéma ouvert quasi-compact d’un schéma affine. Tout schéma affine \(\Spec(R)\) est isomorphe à \(\text{Proj}(R[X])\), où \(R[X]\) est gradué en posant \(\deg(X) = 1\). D’après la proposition 01Q3, si \(X\) possède un faisceau inversible ample, alors \(X\) est isomorphe à un sous-schéma ouvert de \(\text{Proj}(S)\) pour un anneau gradué \(S\). Il suffit donc de démontrer le lemme dans le cas (4). (Nous invitons le lecteur à démontrer directement le cas (2).)

Supposons donc que \(X \subset \text{Proj}(S)\) soit un sous-schéma localement fermé, où \(S\) est un anneau gradué. Soit \(T = \overline{X} \setminus X\). Rappelons que les ouverts standards \(D_{+}(f)\) forment une base de la topologie de \(\text{Proj}(S)\). Comme \(E\) est fini, on peut choisir un nombre fini d’éléments homogènes \(f_i \in S_{+}\) tels que \[E \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n) \subset \text{Proj}(S) \setminus T\] Supposons que \(E = \{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_m\}\), considéré comme partie de \(\text{Proj}(S)\). Considérons l’idéal \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset S\). Puisque \(I \not \subset \mathfrak p_j\) pour tous \(j = 1, \ldots, m\), Algèbre, lemme 00JS, montre qu’il existe un élément homogène \(f \in I\), avec \(f \not \in \mathfrak p_j\) pour tous \(j = 1, \ldots, m\). Alors \(E \subset D_{+}(f) \subset D_{+}(f_1) \cup \ldots \cup D_{+}(f_n)\). Comme \(D_{+}(f)\) ne rencontre pas \(T\), on voit que \(X \cap D_{+}(f)\) est un sous-schéma fermé du schéma affine \(D_{+}(f)\), donc un ouvert affine de \(X\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Soient \[E \subset W \subset X\] avec \(E\) fini et \(W\) ouvert dans \(X\). Alors il existe un entier \(n > 0\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(X_s\) soit affine et que \(E \subset X_s \subset W\).

Démonstration

Le lecteur peut adapter la démonstration du lemme 01ZY pour établir celui-ci ; nous allons plutôt l’en déduire. D’après le lemme 01ZY, on peut choisir un ouvert affine \(U \subset W\) tel que \(E \subset U\). Considérons l’anneau gradué \(S = \Gamma_*(X, \mathcal{L}) = \bigoplus_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\). Pour chaque \(x \in E\), soit \(\mathfrak p_x \subset S\) l’idéal gradué des sections qui s’annulent en \(x\). Il est clair que \(\mathfrak p_x\) est un idéal premier et, puisqu’une puissance de \(\mathcal{L}\) est engendrée par ses sections globales, il est clair que \(S_{+} \not \subset \mathfrak p_x\). Soit \(I \subset S\) l’idéal gradué des sections qui s’annulent en tous les points de \(X \setminus U\). Comme les ensembles \(X_s\) forment une base de la topologie, on a \(I \not \subset \mathfrak p_x\) pour tous \(x \in E\). Par le lemme d’évitement des idéaux premiers dans le cas gradué (Algèbre, lemme 00JS), on peut trouver \(s \in I\) homogène tel que \(s \not \in \mathfrak p_x\) pour tous \(x \in E\). Alors \(E \subset X_s \subset U\) et \(X_s\) est affine d’après le lemme 01PV.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-affine. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(E \subset W \subset X\), avec \(E\) fini et \(W\) ouvert. Alors il existe \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) tel que \(X_s\) soit affine et que \(E \subset X_s \subset W\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme présente de nombreux points communs avec celle donnée dans Algèbre, lemme 00DS. Écrivons \(E = \{x_1, \ldots, x_n\}\). Si \(E = W = \emptyset\), alors \(s = 0\) convient. Si \(W \not = \emptyset\), on peut supposer \(E \not = \emptyset\) en ajoutant un point au besoin. On peut donc supposer \(n \geq 1\). Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(n\).

Cas initial : \(n = 1\). En remplaçant \(W\) par un voisinage ouvert affine de \(x_1\) dans \(W\), on peut supposer \(W\) affine. En combinant le lemme 01QE et la proposition 01Q3, on voit que tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est engendré par ses sections globales. Il existe donc une section globale \(s\) de \(\mathcal{L}\) qui ne s’annule pas en \(x_1\). D’autre part, soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé réduit induit sur \(X \setminus W\). En appliquant la propriété d’engendrement par les sections globales au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\) de \(Z\), on trouve une section globale \(f\) de \(\mathcal{I}\) qui ne s’annule pas en \(x_1\). Alors \(s' = fs\) est une section globale de \(\mathcal{L}\) qui ne s’annule pas en \(x_1\) et telle que \(X_{s'} \subset W\). Alors \(X_{s'}\) est affine d’après le lemme 01PV.

Étape de récurrence pour \(n > 1\). S’il existe une spécialisation \(x_i \leadsto x_j\) pour \(i \not = j\), il suffit de démontrer le lemme pour \(\{x_1, \ldots, x_n\} \setminus \{x_i\}\), et l’on conclut par récurrence. On peut donc supposer qu’il n’existe aucune spécialisation entre les \(x_i\). D’après le lemme 01ZY ou le lemme 09NV, on peut supposer \(W\) affine. Par récurrence, on peut trouver une section globale \(s\) de \(\mathcal{L}\) telle que \(X_s \subset W\) soit affine et contienne \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\). Si \(x_n \in X_s\), la démonstration est terminée. Supposons que \(s\) s’annule en \(x_n\). D’après le cas \(n = 1\), on peut trouver une section globale \(s'\) de \(\mathcal{L}\) telle que \(\{x_n\} \subset X_{s'} \subset W \setminus \overline{\{x_1, \ldots, x_{n - 1}\}}\). On utilise ici le fait que \(x_n\) n’est une spécialisation d’aucun des \(x_1, \ldots, x_{n - 1}\). Alors \(s + s'\) est une section globale de \(\mathcal{L}\) qui ne s’annule pas en \(x_1, \ldots, x_n\), avec \(X_{s + s'} \subset W\), et l’on conclut comme précédemment.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(x \in X\) un point. Il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que l’application canonique \(\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\) soit injective dans chacun des cas suivants :

1. \(X\) est intègre,

2. \(X\) est localement noethérien,

3. \(X\) est réduit et possède un nombre fini de composantes irréductibles.

Démonstration

Après traduction en termes d’algèbre, on applique Algèbre, lemme 0BX1.

Lemme

Soient \(U\), \(V\) des schémas affines et soient \(W \to U\) et \(W \to V\) des immersions ouvertes. Pour tout \(w \in W\), il existe un voisinage ouvert affine \(W' \subset W\) de \(w\) tel que \(W'\) ait pour image un ouvert standard de \(U\) et de \(V\).

Démonstration

Soit \(X\) le schéma obtenu en recollant \(U\) et \(V\) le long de \(W\) ; appliquons Schémas, lemme 01IW.