Introduction
Nous poursuivons dans ce chapitre l’étude commencée dans Cohomologie des espaces, section 071U. On peut aussi voir ce chapitre comme l’analogue, pour les espaces algébriques, du chapitre consacré à la cohomologie étale des schémas; voir Cohomologie étale, section 03N2.
En fait, ce chapitre vise principalement à transposer dans le langage des espaces algébriques des résultats déjà démontrés pour les schémas. Certains de nos résultats se trouvent dans [Kn].
Conventions
Nous supposons une fois pour toutes que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les anneaux \(A\) considérés ont en outre la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et dans les suivants, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), plutôt que \(X \times X\).
Transfert des résultats établis pour les schémas
Nous expliquons brièvement dans cette section comment des résultats concernant les schémas entraînent des résultats pour les espaces algébriques (représentables) et les morphismes (représentables) d’espaces algébriques. On dispose d’énoncés plus forts pour les modules quasi-cohérents (car la cohomologie étale d’un module quasi-cohérent sur un schéma coïncide avec sa cohomologie de Zariski); cette question a déjà été traitée dans Cohomologie des espaces, section 071Y.
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons maintenant que \(X\) soit représentable par le schéma \(X_0\) (notation peu commode mais temporaire; nous disons habituellement simplement que « \(X\) est un schéma »). Dans ce cas, \(X\) et \(X_0\) ont le même petit site étale: \[X_\etale = (X_0)_\etale\] Ceci est signalé dans Propriétés des espaces, section 03EB. De plus, si \(f : X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques représentables sur \(S\) et si \(f_0 : X_0 \to Y_0\) est un morphisme de schémas représentant \(f\), alors les morphismes induits entre les petits topos étales coïncident: \[\xymatrix{ \Sh(X_\etale) \ar[rr]_{f_{small}} \ar@{=}[d] & & \Sh(Y_\etale) \ar@{=}[d] \\ \Sh((X_0)_\etale) \ar[rr]^{(f_0)_{small}} & & \Sh((Y_0)_\etale) }\] Voir Propriétés des espaces, lemme 03G2 et Topologies, lemme 021I.
Il n’y a donc absolument aucune différence entre la cohomologie étale d’un schéma et celle de l’espace algébrique correspondant. Il en va de même des images directes supérieures par des morphismes de schémas. En effet, si \(f : X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est représentable (par des schémas), les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) d’un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) peuvent se calculer localement pour la topologie étale sur \(Y\) (Cohomologie sur les sites, lemme 072W); ceci ramène donc souvent les calculs et les démonstrations au cas où \(Y\) et \(X\) sont des schémas.
Nous utiliserons ce qui précède sans autre mention dans ce chapitre. Le même fait vaut pour les autres topologies; nous l’énonçons ici explicitement sous forme d’un lemme pour la cohomologie.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{\etale, fppf, ph\}\) (en ajouter ici). Le foncteur d’inclusion \[(\Sch/S)_\tau \longrightarrow (\textit{Espaces}/S)_\tau\] est un foncteur cocontinu spécial (Sites, définition 03CG) et identifie par conséquent les topos.
Démonstration
Les conditions de Sites, lemme 03A0, se vérifient immédiatement, puisque notre foncteur est pleinement fidèle et que tout espace algébrique admet un recouvrement étale par des schémas.
Changement de base propre
Le théorème de changement de base propre pour les espaces algébriques se déduit, au prix d’un peu de travail, du théorème de changement de base propre pour les schémas et du lemme de Chow.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Alors \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) est injectif et son image est l’égalisateur des deux applications \(f_*f^{-1}\mathcal{F} \to g_*g^{-1}\mathcal{F}\), où \(g\) est le morphisme structural \(g : Y \times_X Y \to X\).
Démonstration
Pour tout morphisme surjectif \(f : Y \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), l’application \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) est injective. En effet, si \(\overline{x}\) est un point géométrique de \(X\), choisissons un point géométrique \(\overline{y}\) de \(Y\) situé au-dessus de \(\overline{x}\) et considérons \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \to (f_*f^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}} \to (f^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\] Voir Propriétés des espaces, lemme 04K2, pour la dernière égalité.
Le second énoncé est local sur \(X\) pour la topologie étale; nous pouvons donc supposer, et nous supposons, que \(Y\) est un schéma affine.
Choisissons un morphisme propre surjectif \(Z \to Y\), où \(Z\) est un schéma; voir Cohomologie des espaces, lemme 089J. Le résultat pour \(Z \to X\) entraîne celui pour \(Y \to X\). Comme \(Z \to X\) est un morphisme propre surjectif de schémas, et par conséquent un recouvrement ph (Topologies, lemme 0DES), le résultat pour \(Z \to X\) découle de Cohomologie étale, lemme 0DDW (il est en fait, en un certain sens, équivalent à ce lemme).
Lemme
Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(A\) tel que le morphisme structural \(f : X \to \Spec(A)\) soit propre. Soit \(i : X_0 \to X\) l’inclusion de \(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I)\). Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Gamma(X_0, i^{-1}\mathcal{F})\).
Démonstration
Choisissons un morphisme propre surjectif \(Y \to X\), où \(Y\) est un schéma; voir Cohomologie des espaces, lemme 089J. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \Gamma(X_0, \mathcal{F}_0) \ar[r] & \Gamma(Y_0, \mathcal{G}_0) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma((Y \times_X Y)_0, \mathcal{H}_0) \\ \Gamma(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \Gamma(Y, \mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[u] & \Gamma(Y \times_X Y, \mathcal{H}) \ar[u] }\] Ici \(\mathcal{G}\), resp. \(\mathcal{H}\), est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(Y\), resp. sur \(Y \times_X Y\), et l’indice \(0\) indique le changement de base à \(\Spec(A/I)\). D’après le cas des schémas (Cohomologie étale, lemme 0A0C) nous voyons que les flèches verticales du milieu et de droite sont bijectives. Le lemme 0DFX montre qu’il en va de même de celle de gauche.
Lemme
Soit \(A\) un anneau local hensélien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(A\) tel que \(f : X \to \Spec(A)\) soit un morphisme propre. Soit \(X_0 \subset X\) la fibre de \(f\) au-dessus du point fermé. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Gamma(X_0, \mathcal{F}|_{X_0})\).
Démonstration
C’est un cas particulier du lemme 0DFY.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y' \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) propre. Posons \(X' = Y' \times_Y X\), de projections \(f' : X' \to Y'\) et \(g' : X' \to X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quelconque sur \(X_\etale\). Alors \(g^{-1}f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\).
Démonstration
La question est locale pour la topologie étale sur \(Y'\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to V \times_Y Y'\). Nous pouvons alors remplacer \(Y'\) par \(V'\) et \(Y\) par \(V\), donc supposer que \(Y\) et \(Y'\) sont des schémas. Nous pouvons ensuite travailler localement pour la topologie de Zariski sur \(Y\) et \(Y'\), et donc supposer que \(Y\) et \(Y'\) sont des schémas affines.
Supposons que \(Y\) et \(Y'\) soient des schémas affines. Choisissons un morphisme propre surjectif \(h_1 : X_1 \to X\), où \(X_1\) est un schéma; voir Cohomologie des espaces, lemme 089J. Posons \(X_2 = X_1 \times_X X_1\) et notons \(h_2 : X_2 \to X\) le morphisme structural. Observons qu’il s’agit d’un schéma. D’après le cas des schémas (Cohomologie étale, lemme 0A3U) nous savons que le lemme est vrai pour les diagrammes cartésiens \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_1 \ar[r] \ar[d] & X_1 \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[r] \ar[d] & X_2 \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } }\] et les faisceaux \(\mathcal{F}_i = (X_i \to X)^{-1}\mathcal{F}\). D’après le lemme 0DFX, nous avons une suite exacte \(0 \to \mathcal{F} \to h_{1, *}\mathcal{F}_1 \to h_{2, *}\mathcal{F}_2\) et de même pour \((g')^{-1}\mathcal{F}\), puisque \(X'_2 = X'_1 \times_{X'} X'_1\). Nous en concluons que le lemme est vrai (certains détails sont omis).
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to S\) un point géométrique. La fibre de \(f\) en \(\overline{x}\) est l’espace algébrique \(Y_{\overline{x}} = \Spec(k) \times_{\overline{x}, X} Y\) sur \(\Spec(k)\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(Y_\etale\), notons \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = p^{-1}\mathcal{F}\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \((Y_{\overline{x}})_\etale\). Ici \(p : Y_{\overline{x}} \to Y\) est la projection. Dans la suite, nous considérerons l’ensemble \(\Gamma(Y_{\overline{x}}, \mathcal{F}_{\overline{x}})\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\overline{x} \to X\) un point géométrique. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Y_\etale\), l’application canonique \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{x}} \longrightarrow \Gamma(Y_{\overline{x}}, \mathcal{F}_{\overline{x}})\] est bijective.
Démonstration
C’est un cas particulier du lemme 0DG0.
Théorème
Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un carré cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) propre. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien de torsion sur \(X_\etale\). Alors le morphisme de changement de base \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] est un isomorphisme.
Démonstration
Cette démonstration reprend certains des arguments de la démonstration du théorème de changement de base propre pour les schémas. Voir Cohomologie étale, section 095S, pour davantage de détails.
L’énoncé est local pour la topologie étale sur \(Y'\) et sur \(Y\); nous pouvons donc supposer que \(Y\) et \(Y'\) sont tous deux des schémas affines. Observons que ceci démontre en particulier le théorème lorsque \(f\) est représentable (nous l’utiliserons plus bas).
Pour tout \(n \geq 1\), soit \(\mathcal{F}[n]\) le sous-faisceau des sections de \(\mathcal{F}\) annulées par \(n\). Alors \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}[n]\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 07U6, les foncteurs \(g^{-1}R^pf_*\) et \(R^pf'_*(g')^{-1}\) commutent aux limites inductives filtrantes. Il suffit donc de démontrer le théorème lorsque \(\mathcal{F}\) est annulée par \(n\).
Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution par des faisceaux injectifs de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-modules. Observons que \(g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet = f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) d’après le lemme 0DG0. En appliquant le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E), nous concluons qu’il suffit de démontrer \(R^pf'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^m = 0\) pour \(p > 0\) et \(m \in \mathbf{Z}\).
Choisissons un morphisme propre surjectif \(h : Z \to X\), où \(Z\) est un schéma; voir Cohomologie des espaces, lemme 089J. Choisissons une application injective \(h^{-1}\mathcal{I}^m \to \mathcal{J}\), où \(\mathcal{J}\) est un faisceau injectif de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-modules sur \(Z_\etale\). Comme \(h\) est surjectif, l’application \(\mathcal{I}^m \to h_*\mathcal{J}\) est injective (voir le lemme 0DFX). Puisque \(\mathcal{I}^m\) est injectif, nous voyons que \(\mathcal{I}^m\) est un facteur direct de \(h_*\mathcal{J}\). Il suffit donc de démontrer l’annulation voulue pour \(h_*\mathcal{J}\).
Notons \(h'\) son changement de base par \(g\) et \(g'' : Z' \to Z\) la projection. Il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^pf'_* R^qh'_* (g'')^{-1}\mathcal{J}\] qui aboutit à \(R^{p + q}(f' \circ h')_*(g'')^{-1}\mathcal{J}\). Comme \(h\) et \(f \circ h\) sont représentables (par des schémas), nous savons que le résultat voulu vaut pour eux. La suite spectrale montre donc que \(E_2^{p, q} = 0\) pour \(q > 0\) et que \(R^{p + q}(f' \circ h')_*(g'')^{-1}\mathcal{J} = 0\) pour \(p + q > 0\). Il s’ensuit que \(E_2^{p, 0} = 0\) pour \(p > 0\). Or \[E_2^{p, 0} = R^pf'_* h'_* (g'')^{-1}\mathcal{J} = R^pf'_* (g')^{-1}h_*\mathcal{J}\] d’après le lemme 0DG0. Ceci achève la démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un carré cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) propre. Soit \(E \in D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion. Alors le morphisme de changement de base \(g^{-1}Rf_*E \to Rf'_*(g')^{-1}E\) est un isomorphisme.
Démonstration
C’est une conséquence immédiate du théorème de changement de base propre (théorème 0DG2), en utilisant les suites spectrales \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(E) \quad\text{et}\quad {E'}_2^{p, q} = R^pf'_*(g')^{-1}H^q(E)\] qui aboutissent à \(R^nf_*E\) et \(R^nf'_*(g')^{-1}E\). Ces suites spectrales sont construites dans Catégories dérivées, lemme 015J. Certains détails sont omis.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques. Soit \(\overline{y} \to Y\) un point géométrique.
Pour un faisceau abélien de torsion \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \((R^nf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = H^n_\etale(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}_{\overline{y}})\).
Pour \(E \in D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion, on a \((R^nf_*E)_{\overline{y}} = H^n_\etale(X_{\overline{y}}, E_{\overline{y}})\).
Démonstration
Dans l’énoncé, \(\mathcal{F}_{\overline{y}}\) désigne l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_{\overline{y}} = \overline{y} \times_Y X\). Comme l’image réciproque par \(\overline{y} \to Y\) donne la fibre de \(\mathcal{F}\), la première assertion du lemme est un cas particulier du théorème 0DG2. La seconde est un cas particulier du lemme 0DG3.
Lemme
Soit \(k'/k\) une extension de corps séparablement clos. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien de torsion sur \(X\). Alors l’application \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^q_\etale(X_{k'}, \mathcal{F}|_{X_{k'}})\) est un isomorphisme pour \(q \geq 0\).
Démonstration
C’est un cas particulier du théorème 0DG2.
Comparaison des grands et petits topos
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans Topologies sur les espaces, lemme 0DF3 nous avons introduit les morphismes de comparaison \(\pi_X : (\textit{Espaces}/X)_\etale \to X_{spaces, \etale}\) et \(i_X : \Sh(X_\etale) \to \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\) avec \(\pi_X \circ i_X = \text{id}\) comme morphismes de topos et \(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\). Plus généralement, si \(f : Y \to X\) est un objet de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\), il existe un morphisme \(i_f : \Sh(Y_\etale) \to \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\) tel que \(f_{small} = \pi_X \circ i_f\); voir Topologies sur les espaces, lemmes 0DF2 et 0DF6. Dans Topologies sur les espaces, remarque 0DF9 nous avons étendu ceux-ci en un morphisme de sites annelés \[\pi_X : ((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \to (X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X)\] et en des morphismes de topos annelés \[i_X : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \to (\Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale), \mathcal{O})\] et \[i_f : (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) \to (\Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O}))\] Notons que la restriction \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\) (voir Topologies, définition 04BT) transforme \(\mathcal{O}\) en \(\mathcal{O}_X\). De même, \(i_f^{-1}\) transforme \(\mathcal{O}\) en \(\mathcal{O}_Y\). Voir Topologies sur les espaces, remarque 0DF9. Ainsi \(i_X^*\mathcal{F} = i_X^{-1}\mathcal{F}\) et \(i_f^*\mathcal{F} = i_f^{-1}\mathcal{F}\) pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). En particulier, \(i_X^*\) et \(i_f^*\) sont des foncteurs exacts. Le foncteur \(i_X^*\) est souvent noté \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{X_\etale}\) (ce qui n’entre pas en conflit avec la notation de Topologies sur les espaces, définition 0DF4).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Alors \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) est donné par la règle \[(\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Y) = \Gamma(Y_\etale, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] pour \(f : Y \to X\) dans \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). De plus, \(\pi_Y^{-1}\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements lisses, syntomiques, fppf, fpqc et ph.
Démonstration
Comme l’image réciproque est transitive et que \(f_{small} = \pi_X \circ i_f\) (voir ci-dessus), nous avons \(i_f^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\). Ceci donne la description de \(\pi_X^{-1}\) annoncée dans le lemme.
Pour démontrer que \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie ph, il suffit, d’après Topologies sur les espaces, lemme 0DFM de montrer que, pour tout morphisme propre surjectif \(V \to U\) d’espaces algébriques sur \(X\), l’ensemble \((\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U)\) est l’égalisateur des deux applications \((\pi_X^{-1}\mathcal{F})(V) \to (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(V \times_U V)\). C’est précisément le lemme 0DFX.
Le cas des recouvrements lisses, syntomiques et fppf se déduit de celui des recouvrements ph par Topologies sur les espaces, lemme 0DFH.
Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(X\). Soient \(s_i \in (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U_i)\) des sections qui coïncident sur \(U_i \times_U U_j\). Il faut démontrer qu’il existe un unique \(s \in (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U)\) qui se restreint en \(s_i\) sur \(U_i\). Cas I: \(U\) et les \(U_i\) sont des schémas. Ce cas découle de Cohomologie étale, lemme 09XN. Cas II: \(U\) est un schéma. Choisissons des morphismes étales surjectifs \(T_i \to U_i\), où les \(T_i\) sont des schémas. Alors \(\mathcal{T} = \{T_i \to U\}\) est un recouvrement fpqc par des schémas et, d’après le cas I, le résultat vaut pour \(\mathcal{T}\). Nous omettons de vérifier que ceci entraîne le résultat pour \(\mathcal{U}\). Cas III: cas général. Soit \(W \to U\) un morphisme étale surjectif, où \(W\) est un schéma. Alors \(\mathcal{W} = \{U_i \times_U W \to W\}\) est un recouvrement fpqc (par des espaces algébriques) du schéma \(W\). D’après le cas II, le résultat vaut pour \(\mathcal{W}\). Nous omettons de vérifier que ceci entraîne le résultat pour \(\mathcal{U}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \to X\) un morphisme de \((\textit{Espaces}/S)_\etale\).
Si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}((\textit{Espaces}/X)_\etale)\), alors
\(i_f^{-1}\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(Y_\etale)\),
\(\mathcal{I}|_{X_\etale}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\),
Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}((\textit{Espaces}/X)_\etale)\), alors
\(i_f^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(Y_\etale)\),
\(\mathcal{I}^\bullet|_{X_\etale}\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\),
Les énoncés correspondants ne valent pas pour les modules.
Démonstration
Les assertions (1)(b) et (2)(b) découlent formellement du fait que le foncteur de restriction \(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\) est adjoint à droite du foncteur exact \(\pi_X^{-1}\); voir Homologie, lemme 015Z, et Catégories dérivées, lemme 08BJ.
Les assertions (1)(a) et (2)(a) peuvent se voir de deux façons. Première démonstration: on utilise que \(i_f^{-1}\) est adjoint à droite du foncteur exact \(i_{f, !}\). Ce foncteur est construit, pour les faisceaux d’ensembles, dans Topologies, lemme 021F, et, pour les faisceaux abéliens, dans Modules sur les sites, lemme 04BG. Il est démontré dans Modules sur les sites, lemme 04BH, qu’il est exact. Seconde démonstration: on utilise l’égalité \(i_f = i_Y \circ f_{big}\), établie dans Topologies, lemme 021I. Comme \(f_{big}\) est une localisation, l’image réciproque par ce morphisme préserve les injectifs et les K-injectifs; voir Cohomologie sur les sites, lemmes 03F3 et 08FI. On conclut alors en appliquant au foncteur \(i_Y^{-1}\) les assertions (1)(b) et (2)(b), déjà démontrées.
Pour un contre-exemple dans le cas des modules, nous renvoyons à Cohomologie étale, lemme 0758.
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le diagramme commutatif de Topologies sur les espaces, lemme 0DF6 (3) donne un diagramme commutatif de sites annelés \[\xymatrix{ (Y_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_Y) \ar[d]_{f_{spaces, \etale}} & ((\textit{Espaces}/Y)_\etale, \mathcal{O}) \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_Y} \\ (X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X) & ((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \ar[l]_{\pi_X} }\] comme on le voit aisément en explicitant les définitions de \(f_{small}^\sharp\), \(f_{big}^\sharp\), \(\pi_X^\sharp\) et \(\pi_Y^\sharp\). En particulier, cela signifie que [0DG9]\[\begin{equation} (f_{big, *}\mathcal{F})|_{X_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{Y_\etale}) \end{equation}\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\textit{Espaces}/Y)_\etale\); si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, alors (0DG9) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X_\etale\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale)\), on a \((Rf_{big, *}K)|_{X_\etale} = Rf_{small, *}(K|_{Y_\etale})\) dans \(D(X_\etale)\).
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\), on a \((Rf_{big, *}K)|_{X_\etale} = Rf_{small, *}(K|_{Y_\etale})\) dans \(D(\textit{Mod}(X_\etale, \mathcal{O}_X))\).
Plus généralement, soit \(g : X' \to X\) un objet de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] Alors
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale)\), on a \(i_g^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}K)\) dans \(D(X'_\etale)\).
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\), on a \(i_g^*(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^*K)\) dans \(D(\textit{Mod}(X'_\etale, \mathcal{O}_{X'}))\).
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale)\), on a \(g_{big}^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^{-1}K)\) dans \(D((\textit{Espaces}/X')_\etale)\).
Pour \(K\) dans \(D((\textit{Espaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\), on a \(g_{big}^*(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^*K)\) dans \(D(\textit{Mod}(X'_\etale, \mathcal{O}_{X'}))\).
Démonstration
L’assertion (1) découle du lemme 0DG8 et de (0DG9), en choisissant un complexe K-injectif de faisceaux abéliens représentant \(K\).
L’assertion (3) découle du lemme 0DG8 et de Topologies, lemme 0DDA en choisissant un complexe K-injectif de faisceaux abéliens représentant \(K\).
L’assertion (5) est Cohomologie sur les sites, lemme 0EZ0.
L’assertion (6) est Cohomologie sur les sites, lemme 0FN5.
L’assertion (2) se démontre comme suit. Nous avons vu ci-dessus que \(\pi_X \circ f_{big} = f_{small} \circ \pi_Y\) comme morphismes de sites annelés. Nous obtenons donc \(R\pi_{X, *} \circ Rf_{big, *} = Rf_{small, *} \circ R\pi_{Y, *}\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0D6E. Comme les foncteurs de restriction \(\pi_{X, *}\) et \(\pi_{Y, *}\) sont exacts, on conclut.
L’assertion (4) découle des assertions (6) et (2), cette dernière étant appliquée à \(f' : Y' \to X'\).
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Rappelons que \(H^n_\etale(U, \mathcal{H})\) désigne la cohomologie de \(\mathcal{H}\) sur un objet \(U\) de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors
Pour \(K\) dans \(D(X_\etale)\), on a \(H^n_\etale(X, \pi_X^{-1}K) = H^n(X_\etale, K)\).
Pour \(K\) dans \(D(X_\etale, \mathcal{O}_X)\), on a \(H^n_\etale(X, L\pi_X^*K) = H^n(X_\etale, K)\).
Pour \(K\) dans \(D(X_\etale)\), on a \(H^n_\etale(Y, \pi_X^{-1}K) = H^n(Y_\etale, f_{small}^{-1}K)\).
Pour \(K\) dans \(D(X_\etale, \mathcal{O}_X)\), on a \(H^n_\etale(Y, L\pi_X^*K) = H^n(Y_\etale, Lf_{small}^*K)\).
Pour \(M\) dans \(D((\textit{Espaces}/X)_\etale)\), on a \(H^n_\etale(Y, M) = H^n(Y_\etale, i_f^{-1}M)\).
Pour \(M\) dans \(D((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\), on a \(H^n_\etale(Y, M) = H^n(Y_\etale, i_f^*M)\).
Démonstration
Pour démontrer (5), représentons \(M\) par un complexe K-injectif de faisceaux abéliens, appliquons le lemme 0DG8 et explicitons les définitions. L’assertion (3) en découle puisque \(i_f^{-1}\pi_X^{-1} = f_{small}^{-1}\). L’assertion (1) est un cas particulier de (3).
L’assertion (6) découle du très général lemme 0DD8 de Cohomologie sur les sites. Ensuite, l’assertion (4) découle de l’égalité \(Lf_{small}^* = i_f^* \circ L\pi_X^*\). L’assertion (2) est un cas particulier de (4).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(K \in D(X_\etale)\), l’application \[K \longrightarrow R\pi_{X, *}\pi_X^{-1}K\] est un isomorphisme, où \(\pi_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est défini ci-dessus.
Démonstration
Ceci est vrai parce que \(\pi_X^{-1}\) et \(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\) sont tous deux des foncteurs exacts et que le composé \(\pi_{X, *} \circ \pi_X^{-1}\) est le foncteur identité.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Alors on a
\(\pi_X^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, *} \circ \pi_Y^{-1}\) comme foncteurs \(\Sh(Y_\etale) \to \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\),
\(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K = Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) pour \(K\) dans \(D^+(Y_\etale)\) dont les faisceaux de cohomologie sont de torsion, et
\(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K = Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) pour tout \(K\) dans \(D(Y_\etale)\) si \(f\) est fini.
Démonstration
Démonstration de (1). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(Y_\etale\). Soit \(g : X' \to X\) un objet de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{f'} \ar[d]_{g'} & X' \ar[d]^g \\ Y \ar[r]^f & X }\] On a alors \[(f_{big, *}\pi_Y^{-1}\mathcal{F})(X') = (\pi_Y^{-1}\mathcal{F})(Y') = ((g'_{small})^{-1}\mathcal{F})(Y') = (f'_{small, *}(g'_{small})^{-1}\mathcal{F})(X')\] la seconde égalité résultant du lemme 0DG7. D’autre part, \[(\pi_X^{-1}f_{small, *}\mathcal{F})(X') = (g_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F})(X')\] de nouveau d’après le lemme 0DG7. Le changement de base propre pour les faisceaux d’ensembles (lemme 0DG0) montre donc que les deux ensembles sont canoniquement isomorphes. Cet isomorphisme est compatible avec les applications de restriction et définit un isomorphisme \(\pi_X^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} = f_{big, *}\pi_Y^{-1}\mathcal{F}\). On obtient ainsi un isomorphisme de foncteurs \(\pi_X^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, *} \circ \pi_Y^{-1}\).
Démonstration de (2). Il existe un morphisme canonique de changement de base \(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K \to Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) pour tout \(K\) dans \(D(Y_\etale)\); voir Cohomologie sur les sites, remarque 07A7. Pour démontrer que c’est un isomorphisme, il suffit de montrer que l’image réciproque du morphisme de changement de base par \(i_g : \Sh(X'_\etale) \to \Sh((\Sch/X)_\etale)\) est un isomorphisme pour tout objet \(g : X' \to X\) de \((\Sch/X)_\etale\). Soient \(T', g', f'\) comme au paragraphe précédent. L’image réciproque du morphisme de changement de base est \[\begin{align*} g_{small}^{-1}Rf_{small, *}K & = i_g^{-1}\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K \\ & \to i_g^{-1}Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K \\ & = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}\pi_Y^{-1}K) \\ & = Rf'_{small, *}((g'_{small})^{-1}K) \end{align*}\] où nous avons utilisé \(\pi_X \circ i_g = g_{small}\), \(\pi_Y \circ i_{g'} = g'_{small}\) et le lemme 0DGA. Cette application est un isomorphisme d’après le théorème de changement de base propre (lemme 0DG3), pourvu que \(K\) soit borné inférieurement et que les faisceaux de cohomologie de \(K\) soient de torsion.
Démonstration de (3). Si \(f\) est fini, les foncteurs \(f_{small, *}\) et \(f_{big, *}\) sont exacts. Pour \(f_{small}\), ceci découle de Cohomologie des espaces, lemme 0A4K. Comme tout changement de base \(f'\) de \(f\) est encore fini, le lemme 0DGA, assertion (3), montre que \(f_{big, *}\) est lui aussi exact (puisque les foncteurs dérivés supérieurs sont nuls). Ce cas découle donc de l’assertion (1).
Comparaison des topologies fppf et étale
Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 0DDK.
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Sur la catégorie \(\textit{Espaces}/X\), considérons les topologies fppf et étale. Le foncteur identité \((\textit{Espaces}/X)_\etale \to (\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) est continu et définit un morphisme de sites \[\epsilon_X : (\textit{Espaces}/X)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Espaces}/X)_\etale\] par application de Sites, proposition 00X6. Notons que \(\epsilon_{X, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents et que \(\epsilon_X^{-1}\) associe à un faisceau étale son faisceau associé pour la topologie fppf. Considérons le morphisme de sites \[\pi_X : (\textit{Espaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] qui compare les grands et petits sites étales; voir la section 0DG6. Le composé détermine un morphisme de sites \[a_X = \pi_X \circ \epsilon_X : (\textit{Espaces}/X)_{fppf} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] Si \(\mathcal{H}\) est un faisceau abélien sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\), nous noterons \(H^n_{fppf}(U, \mathcal{H})\) la cohomologie de \(\mathcal{H}\) sur un objet \(U\) de \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Pour \(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\), on a \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) et \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\).
Pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\), on a \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\).
Démonstration
On a \(a_X^{-1}\mathcal{F} = \epsilon_X^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F}\). D’après le lemme 0DG7, le faisceau étale \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie fppf; il est donc égal à \(a_X^{-1}\mathcal{F}\) (puisque l’image réciproque par \(\epsilon_X\) est donnée par le faisceau associé pour la topologie fppf). Rappelons en outre que \(\epsilon_{X, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents. L’assertion (1) résulte alors immédiatement de la description explicite de \(\pi_X^{-1}\) donnée au lemme 0DG7.
Nous démontrerons (2) en nous ramenant au cas des schémas; voir l’assertion (1) de Cohomologie étale, lemme 0DDS. Cette méthode « fonctionne clairement », puisque tout espace algébrique est localement un schéma pour la topologie étale. Les détails sont donnés ci-dessous, mais nous invitons vivement le lecteur à omettre la démonstration.
Pour un faisceau abélien \(\mathcal{H}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\), l’image directe supérieure \(R^p\epsilon_{X, *}\mathcal{H}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^p_{fppf}(U, \mathcal{H})\) sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Voir Cohomologie sur les sites, lemme 072W. Comme tout objet de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) admet un recouvrement par des schémas, il suffit de démontrer que, pour tout schéma \(U/X\) et tout \(\xi \in H^p_{fppf}(U, a_X^{-1}\mathcal{F})\), il existe un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}\) tel que la restriction de \(\xi\) à chaque \(U_i\) soit nulle. On a \[\begin{align*} H^p_{fppf}(U, a_X^{-1}\mathcal{F}) & = H^p((\textit{Espaces}/U)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\textit{Espaces}/U}) \\ & = H^p((\Sch/U)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}) \end{align*}\] où la seconde identification est le lemme 0DFV, et la première un fait général sur la restriction (Cohomologie sur les sites, lemme 03F3). En comparant le premier paragraphe et le résultat correspondant dans le cas des schémas (Cohomologie étale, lemme 0DDL) nous concluons que le faisceau \((a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}\) coïncide avec l’image réciproque par la « version pour les schémas de \(a_U\) ». Nous pouvons donc trouver un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}\) tel que notre classe s’annule dans \(H^p((\Sch/U_i)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U_i})\) pour tout \(i\); voir Cohomologie étale, lemme 0DDS (l’énoncé précis à utiliser ici est que \(V_n\) vaut pour tout \(n\), ce qui est l’assertion (2) dans le cas des schémas). En revenant en arrière (au moyen des mêmes formules que ci-dessus, appliquées cette fois à \(U_i\)), nous concluons que la restriction de \(\xi\) à \(U_i\) est nulle, comme souhaité.
Le travail difficile effectué dans le cas des schémas montre maintenant que les cohomologies étale et fppf coïncident pour les faisceaux provenant du petit site étale.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(K \in D^+(X_\etale)\), les applications \[\pi_X^{-1}K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \quad\text{et}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] sont des isomorphismes, où \(a_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) est défini ci-dessus.
Démonstration
Nous démontrons seulement le second énoncé; le premier est plus facile et se démontre exactement de la même manière. On se ramène immédiatement au cas où \(K\) est donné par un seul faisceau abélien. En effet, représentons \(K\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\). Le cas d’un faisceau donne \(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) et les faisceaux \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\) sont nuls pour \(q > 0\). Le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E), appliqué à \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\) et au foncteur \(a_{X, *}\), permet de conclure. Supposons désormais \(K = \mathcal{F}\).
Le lemme 0DGF donne \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\). Il suffit donc de montrer que \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\) pour \(q > 0\). Pour cela, nous pouvons utiliser \(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\) et la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, lemme 0734). D’après le lemme 0DGF, on a \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\). On a \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) et, d’après le lemme 0DGC, \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(j > 0\). Ceci achève la démonstration.
Lemme
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Avec \(a_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) défini ci-dessus:
\(H^q(X_\etale, \mathcal{F}) = H^q_{fppf}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\) pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\),
\(H^q(X_\etale, K) = H^q_{fppf}(X, a_X^{-1}K)\) pour \(K \in D^+(X_\etale)\).
Exemple: si \(A\) est un groupe abélien, alors \(H^q_\etale(X, \underline{A}) = H^q_{fppf}(X, \underline{A})\).
Démonstration
Ceci découle du lemme 0DGG, d’après Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe alors des diagrammes commutatifs de topos \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \ar[rr]_{f_{big, fppf}} \ar[d]_{\epsilon_X} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{fppf}) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale) \ar[rr]^{f_{big, \etale}} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_\etale) }\] et \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \ar[rr]_{f_{big, fppf}} \ar[d]_{a_X} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{fppf}) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X_\etale) \ar[rr]^{f_{small}} & & \Sh(Y_\etale) }\] avec \(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\) et \(a_Y = \pi_X \circ \epsilon_X\).
Démonstration
Ceci découle immédiatement des définitions des morphismes en jeu; voir Topologies sur les espaces, section 03Y7, et la section 0DG6.
Lemme
Dans le lemme 0DGI, si \(f\) est propre, alors on a
\(a_Y^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, fppf, *} \circ a_X^{-1}\), et
\(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) pour \(K\) dans \(D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion.
Démonstration
Démonstration de (1). On pourrait la donner en répétant celle du lemme 0DGD, assertion (1); nous allons plutôt en déduire le résultat. Comme \(\epsilon_{Y, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents, il reflète les isomorphismes. Le lemme 0DGF montre que \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\), et de même pour \(X\). Pour montrer que l’application canonique \(a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to f_{big, fppf, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme, il suffit de montrer que \[\begin{align*} \pi_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} & = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \\ & \to \epsilon_{Y, *}f_{big, fppf, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *} \epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] est un isomorphisme. C’est l’assertion (1) du lemme 0DGD.
Pour démontrer (2), nous utilisons \[\begin{align*} R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, fppf, *}a_X^{-1}K & = Rf_{big, \etale, *}R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \\ & = Rf_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}K \\ & = \pi_Y^{-1}Rf_{small, *}K \\ & = R\epsilon_{Y, *} a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \end{align*}\] La première égalité résulte du diagramme commutatif du lemme 0DGI et de Cohomologie sur les sites, lemme 0D6E. La deuxième est le lemme 0DGG; la troisième est l’assertion (2) du lemme 0DGD; la quatrième est de nouveau le lemme 0DGG. Ainsi le morphisme de changement de base \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) \to Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) induit un isomorphisme \[R\epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \to R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, fppf, *}a_X^{-1}K\] La remarque suivante achève la démonstration: soit \(\alpha : a_Y^{-1}L \to M\), avec \(L\) dans \(D^+(Y_\etale)\) et \(M\) dans \(D^+((\textit{Espaces}/Y)_{fppf})\), telle que \(R\epsilon_{Y, *}\alpha\) soit un isomorphisme. Alors cette application est un isomorphisme. En effet, montrons par récurrence sur \(i\) que \(H^i(\alpha)\) est un isomorphisme. Ceci est vrai pour tout \(i\) suffisamment petit. Si cela vaut pour \(i \leq i_0\), alors \(R^j\epsilon_{Y, *}H^i(M) = 0\) pour \(j > 0\) et \(i \leq i_0\) d’après le lemme 0DGF, puisque \(H^i(M) = a_Y^{-1}H^i(L)\) dans cet intervalle. Un argument de suite spectrale donne alors \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = H^{i_0 + 1}(R\epsilon_{Y, *}M)\). Par conséquent, \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = \pi_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L) = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L)\). Il s’ensuit que \(H^{i_0 + 1}(\alpha)\) est un isomorphisme (car \(\epsilon_{Y, *}\) reflète les isomorphismes, puisqu’il est l’identité sur les préfaisceaux sous-jacents), comme voulu.
Lemme
Dans le lemme 0DGI, si \(f\) est fini, alors \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) pour \(K\) dans \(D^+(X_\etale)\).
Démonstration
Soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif, où \(V\) est un schéma. Il suffit de montrer que le morphisme de changement de base est un isomorphisme après restriction à \(V\). Nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma. Comme le morphisme est fini, donc représentable, nous pouvons alors supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux des schémas. Dans ce cas, le résultat découle du cas des schémas (Cohomologie étale, lemme 0DDS, assertion (2)), au moyen de la comparaison des topos exposée à la section 0DFU et, en particulier, dans le lemme 0DFV. Certains détails sont omis.
Lemme
Dans le lemme 0DGI, supposons que \(f\) soit plat, localement de présentation finie et surjectif. Alors le foncteur \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \left\{ (\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \middle| \begin{matrix} \mathcal{G} \in \Sh(X_\etale),\ \mathcal{H} \in \Sh((\Sch/Y)_{fppf}), \\ \alpha : a_X^{-1}\mathcal{G} \to f_{big, fppf}^{-1}\mathcal{H} \text{ un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] qui envoie \(\mathcal{F}\) sur \((f_{small}^{-1}\mathcal{F}, a_Y^{-1}\mathcal{F}, can)\) est une équivalence.
Démonstration
Le foncteur \(a_X^{-1}\) est pleinement fidèle (car \(a_{X, *}a_X^{-1} = \text{id}\) d’après le lemme 0DGF). Le foncteur d’oubli \((\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \mapsto \mathcal{H}\) identifie donc la catégorie des triplets à une sous-catégorie pleine de \(\Sh((\Sch/Y)_{fppf})\). De plus, le foncteur \(a_Y^{-1}\) est pleinement fidèle; le foncteur du lemme l’est donc lui aussi.
Supposons donné un recouvrement étale \(\{Y_i \to Y\}\). Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\). Notons \(f_{ij} = f_i \times f_j : X_i \times_X X_j \to Y_i \times_Y Y_j\). Affirmation: si le lemme est vrai pour \(f_i\) et \(f_{ij}\) pour tous \(i,j\), il est vrai pour \(f\). En effet, le recouvrement étale donné détermine un recouvrement étale de l’objet final de chacun des quatre sites \(Y_\etale, X_\etale, (\Sch/Y)_{fppf}, (\Sch/X)_{fppf}\). Dans chacun des quatre cas, la catégorie des faisceaux est donc équivalente à la catégorie des données de recollement pour ce recouvrement (Sites, lemme 04TS). Un immense diagramme commutatif de catégories achève alors la démonstration de l’affirmation. Nous omettons les détails. L’affirmation montre que nous pouvons travailler localement pour la topologie étale sur \(Y\). En particulier, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma.
Supposons que \(Y\) soit un schéma. Choisissons un schéma \(X'\) et un morphisme étale surjectif \(s : X' \to X\). Posons \(f' = f \circ s : X' \to Y\) et observons que \(f'\) est surjectif, localement de présentation finie et plat. Affirmation: si le lemme est vrai pour \(f'\), il est vrai pour \(f\). En effet, à partir d’un triplet \((\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha)\) pour \(f\), on obtient par image réciproque par \(s\) un triplet \((s_{small}^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{H}, s_{big, fppf}^{-1}\alpha)\) pour \(f'\). Une solution de ce triplet fournit un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Y_\etale\) tel que \(a_Y^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{H}\). D’après le premier paragraphe de la démonstration, cela signifie que le triplet appartient à l’image essentielle. Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(X\) et \(Y\) sont tous deux des schémas. Ce cas découle de Cohomologie étale, lemme 0DEU au moyen de la discussion de la section 0DFU, et en particulier du lemme 0DFV.
Comparaison des topologies fppf et étale: modules
Nous poursuivons l’étude de la section 0DGE, en examinant brièvement ici ce qui se passe pour les faisceaux de modules.
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les morphismes de sites \(\epsilon_X\), \(\pi_X\) et leur composé \(a_X\), introduits à la section 0DGE, se prolongent naturellement en des morphismes de sites annelés. Le premier s’écrit \[\epsilon_X : ((\textit{Espaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O}) \longrightarrow ((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\] Notons que nous pouvons employer le même symbole pour le faisceau structural, car ces faisceaux ont effectivement le même préfaisceau sous-jacent. Le second est \[\pi_X : ((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] Le troisième est le morphisme \[a_X : ((\textit{Espaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O}) \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] Rappelons ce que nous savons déjà des modules quasi-cohérents sur ces sites.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.
La règle \[\mathcal{F}^a : (\textit{Espaces}/X)_\etale \longrightarrow \textit{Ab},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y, f^*\mathcal{F})\] satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc et, a fortiori, pour les recouvrements fppf et étales,
\(\mathcal{F}^a = \pi_X^*\mathcal{F}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\),
\(\mathcal{F}^a = a_X^*\mathcal{F}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\),
la règle \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) définit une équivalence entre les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et les modules quasi-cohérents sur \(((\textit{Espaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\),
la règle \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) définit une équivalence entre les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et les modules quasi-cohérents sur \(((\textit{Espaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O})\),
on a \(\epsilon_{X, *}a_X^*\mathcal{F} = \pi_X^*\mathcal{F}\) et \(a_{X, *}a_X^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\),
on a \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) = 0\) et \(R^ia_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\).
Démonstration
L’assertion (1) est une conséquence de la descente fppf des modules quasi-cohérents. Supposons en effet que \(\{f_i : U_i \to U\}\) soit un recouvrement fpqc dans \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Notons \(g : U \to X\) le morphisme structural. Supposons donnée une famille de sections \(s_i \in \Gamma(U_i , f_i^*g^*\mathcal{F})\) telle que \(s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\). Il faut trouver la section correspondante \(s \in \Gamma(U, g^*\mathcal{F})\). Nous pouvons interpréter les \(s_i\) comme une famille d’applications \(\varphi_i : f_i^*\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_{U_i} \to f_i^*g^*\mathcal{F}\) compatibles avec les données de descente canoniques associées aux faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{O}_U\) et \(g^*\mathcal{F}\) sur \(U\). Par conséquent, d’après Descente sur les espaces, proposition 04W8 nous pouvons les descendre (de manière unique) en une application \(\mathcal{O}_U \to g^*\mathcal{F}\), qui fournit notre section \(s\).
Nous déduirons les assertions (2) à (7) de l’énoncé correspondant pour les schémas. Choisissons un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\), où chaque \(X_i\) est un schéma. Observons que \(X_i \times_X X_j\) est également un schéma. Ce recouvrement induit un recouvrement de l’objet final de chacun des trois sites \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\), \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) et \(X_\etale\). Ainsi, la catégorie des faisceaux sur chacun de ces sites est équivalente à celle des données de descente pour ces recouvrements; voir Sites, lemme 04TS. Les assertions (2) et (3) sont locales (grâce à l’énoncé de recollement). La quasi-cohérence est une propriété locale; les assertions (4) et (5) sont donc locales. Les assertions (6) et (7) le sont manifestement. Il suffit par conséquent de démontrer les assertions (2) à (7) du lemme lorsque \(X\) est un schéma.
Supposons que \(X\) soit un schéma. Les plongements \((\Sch/X)_\etale \subset (\textit{Espaces}/X)_\etale\) et \((\Sch/X)_{fppf} \subset (\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) déterminent des équivalences de topos annelés d’après le lemme 0DFV. Nous concluons que les assertions (2) à (7) découlent du cas des schémas, Cohomologie étale, lemme 0DEW. Pour transporter la propriété de quasi-cohérence par cette équivalence, on utilise le fait que la quasi-cohérence est une propriété intrinsèque des modules, comme expliqué dans Modules sur les sites, section 03DK. Quelques détails mineurs sont omis.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, les applications \[\pi_X^*\mathcal{F} \longrightarrow R\epsilon_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) \quad\text{et}\quad \mathcal{F} \longrightarrow Ra_{X, *}(a_X^*\mathcal{F})\] sont des isomorphismes.
Démonstration
C’est une conséquence immédiate des assertions (6) et (7) du lemme 0DGN.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Posons \[\mathcal{H}_\etale = \Ker(\pi_X^*\mathcal{F}_2 \to \pi_X^*\mathcal{F}_3)/ \Im(\pi_X^*\mathcal{F}_1 \to \pi_X^*\mathcal{F}_2)\] sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\), et posons \[\mathcal{H}_{fppf} = \Ker(a_X^*\mathcal{F}_2 \to a_X^*\mathcal{F}_3)/ \Im(a_X^*\mathcal{F}_1 \to a_X^*\mathcal{F}_2)\] sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\). Alors \(\mathcal{H}_\etale = \epsilon_{X, *}\mathcal{H}_{fppf}\) et \[H^p_\etale(U, \mathcal{H}_\etale) = H^p_{fppf}(U, \mathcal{H}_{fppf}) = 0\] pour \(p > 0\) et tout objet affine \(U\) de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\).
Il y a mieux: les modules sur \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) qui, localement pour la topologie fppf, sont de la forme considérée dans le lemme sont appelés modules adéquats. Ils forment une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie de tous les \(\mathcal{O}\)-modules, et leur cohomologie est étudiée dans Modules adéquats, section 06VF.
Démonstration
Pour tout objet \(f : U \to X\) de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\), considérons la restriction \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) de \(\mathcal{H}_\etale\) à \(U_\etale\) par le foncteur \(i_f^* = i_f^{-1}\) étudié à la section 0DG6. Le faisceau \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) est égal à l’homologie du complexe \(f^*\mathcal{F}_\bullet\) en degré \(1\). Ceci résulte de l’égalité \(i_f \circ \pi_X = f\) comme morphismes de sites annelés \(U_\etale \to X_\etale\). En particulier, \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. Soit ensuite \(g : V \to U\) un morphisme plat dans \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Comme \[i_{f \circ g}^* \circ \pi_X^* = (f \circ g)^* = g^* \circ f^*\] comme morphismes de sites \(V_\etale \to X_\etale\), et comme \(g\) est plat, donc \(g^*\) exact, nous obtenons \[\mathcal{H}_\etale|_{V_\etale} = g^*\left(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\right)\] Ces préparatifs achevés, nous pouvons démontrer le lemme.
Soit \(\mathcal{U} = \{g_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf, avec \(f : U \to X\) comme ci-dessus. La propriété de faisceau vaut pour \(\mathcal{H}_\etale\) et le recouvrement \(\mathcal{U}\), d’après l’assertion (1) du lemme 0DGN, appliquée à \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\), et d’après ce qui précède. Ainsi \(\mathcal{H}_\etale\) est déjà un faisceau fppf, ce qui signifie que \(\mathcal{H}_{fppf}\) est égal à \(\mathcal{H}_\etale\) comme préfaisceau. En particulier, \(\mathcal{H}_\etale = \epsilon_{X, *}\mathcal{H}_{fppf}\).
Enfin, pour démontrer l’annulation, nous utilisons Cohomologie sur les sites, lemme 03F9. Soit \(\mathcal{B}\) la classe des objets affines de \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) et soit \(\text{Cov}\) l’ensemble des recouvrements fppf finis \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) où \(U\) et les \(U_i\) sont affines. On a \[{\check H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}_\etale) = {\check H}^p(\mathcal{U}, \left(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\right)^a)\] car, d’après le premier paragraphe, les valeurs de \(\mathcal{H}_\etale\) sur les schémas affines \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\), plats sur \(U\), coïncident avec les valeurs de l’image réciproque du module quasi-cohérent \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\). L’annulation résulte alors de Descente, lemme 03FJ. Ceci achève la démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les applications \[L\pi_X^*K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}(La_X^*K) \quad\text{et}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}(La_X^*K)\] sont des isomorphismes. Ici, \(a_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) est défini ci-dessus.
Démonstration
La question est locale pour la topologie étale sur \(X\); nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine, disons \(X = \Spec(A)\). Alors \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) = D(A)\) d’après Catégories dérivées des espaces, lemme 071Q et Catégories dérivées des schémas, lemme 06Z0. Nous pouvons donc choisir un complexe K-plat de \(A\)-modules \(K^\bullet\) dont le complexe correspondant \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents représente \(K\). Nous affirmons que \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules.
Démonstration de l’affirmation. D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08DV le complexe \(\widetilde{K}^\bullet\) est K-plat sur le schéma \((\Spec(A), \mathcal{O}_{\Spec(A)})\). Ensuite, notons que \(\mathcal{K}^\bullet = \epsilon^*\widetilde{K}^\bullet\), où \(\epsilon\) est défini comme dans Catégories dérivées des espaces, lemme 071Q ; le complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) est donc K-plat d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0DEP, et le fait que le site étale d’un schéma possède suffisamment de points (Cohomologie étale, remarques 040S).
D’après l’affirmation, on a \(La_X^*K = a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) et \(L\pi_X^*K = \pi_X^*\mathcal{K}^\bullet\). Comme la première partie de la démonstration montre que l’image réciproque \(a_X^*\mathcal{K}^n\) du module quasi-cohérent est acyclique pour \(\epsilon_{X, *}\), resp. \(a_{X, *}\), le lemme d’acyclicité de Leray ne permet-il pas aussitôt de conclure? En fait, non, car ce lemme ne s’applique qu’aux complexes bornés inférieurement. Nous montrerons toutefois au paragraphe suivant que le résultat découle bien du cas borné inférieurement, parce que notre complexe est la limite dérivée de complexes bornés inférieurement de modules quasi-cohérents.
Les faisceaux de cohomologie de \(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet\) et de \(a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) ont des groupes de cohomologie supérieure nuls sur les objets affines de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\), d’après le lemme 0DGQ. Par conséquent, on a \[L\pi_X^*K = R\lim \tau_{\geq -n}(L\pi_X^*K) \quad\text{et}\quad La_X^*K = R\lim \tau_{\geq -n}(La_X^*K)\] d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0D6P.
Démonstration de \(L\pi_X^*K = R\epsilon_{X, *}(La_X^*\mathcal{F})\). D’après ce qui précède, on a \[R\epsilon_{X, *}La_X^*K = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(La_X^*K))\] d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0A07. Notons que \(\tau_{\geq -n}(La_X^*K)\) est représenté par \(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)\), qui peut différer de \(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\). Mais les systèmes \[\{\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1} \quad\text{et}\quad \{a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1}\] sont manifestement isomorphes comme pro-systèmes. D’après le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) et la première partie du lemme, on a \[R\epsilon_{X, *}(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)) = \pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\] Nous pouvons ensuite utiliser le fait que les systèmes \[\{\tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1} \quad\text{et}\quad \{\pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1}\] sont isomorphes comme pro-systèmes. Enfin, regroupons toutes les égalités: \[\begin{align*} R\epsilon_{X, *}La_X^*K & = R\epsilon_{X, *} (R\lim \tau_{\geq -n}(La_X^*K)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(La_X^*K)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)) \\ & = R\lim \pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet) \\ & = R\lim \tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet) \\ & = R\lim \tau_{\geq -n}(L\pi_X^*K) \\ & = L\pi_X^*K \end{align*}\] Dans les quatrième et sixième égalités, nous avons utilisé que des pro-systèmes isomorphes ont le même \(R\lim\) (un petit détail est omis). On peut éviter cette étape en utilisant les résultats plus précis sur la cohomologie des termes du complexe \(\tau_{\geq -n}a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) démontrés au lemme 0DGQ; ils donnent directement \(R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)) = \tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet)\).
L’égalité \(K = Ra_{X, *}(La_X^*\mathcal{F})\) se démontre exactement de la même manière, en utilisant à la dernière étape l’égalité \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\), donnée par Catégories dérivées des espaces, lemme 08F6.
Comparaison des topologies ph et étale
Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 0DDV.
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Sur la catégorie \(\textit{Espaces}/X\), considérons les topologies ph et étale. Le foncteur identité \((\textit{Espaces}/X)_\etale \to (\textit{Espaces}/X)_{ph}\) est continu, puisque tout recouvrement étale est un recouvrement ph d’après Topologies sur les espaces, lemme 0DFH. Il définit donc un morphisme de sites \[\epsilon_X : (\textit{Espaces}/X)_{ph} \longrightarrow (\textit{Espaces}/X)_\etale\] par application de Sites, proposition 00X6. Notons que \(\epsilon_{X, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents et que \(\epsilon_X^{-1}\) associe à un faisceau étale son faisceau associé pour la topologie ph. Considérons le morphisme de sites \[\pi_X : (\textit{Espaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] qui compare les grands et petits sites étales; voir la section 0DG6. Le composé détermine un morphisme de sites \[a_X = \pi_X \circ \epsilon_X : (\textit{Espaces}/X)_{ph} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] Si \(\mathcal{H}\) est un faisceau abélien sur \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\), nous noterons \(H^n_{ph}(U, \mathcal{H})\) la cohomologie de \(\mathcal{H}\) sur un objet \(U\) de \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Pour \(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\), on a \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) et \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\).
Pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) de torsion, on a \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\).
Démonstration
On a \(a_X^{-1}\mathcal{F} = \epsilon_X^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F}\). D’après le lemme 0DG7, le faisceau étale \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie ph; il est donc égal à \(a_X^{-1}\mathcal{F}\) (puisque l’image réciproque par \(\epsilon_X\) est donnée par le faisceau associé pour la topologie ph). Rappelons en outre que \(\epsilon_{X, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents. L’assertion (1) résulte alors immédiatement de la description explicite de \(\pi_X^{-1}\) donnée au lemme 0DG7.
Nous démontrerons (2) en nous ramenant au cas des schémas; voir l’assertion (1) de Cohomologie étale, lemme 0DE4. Cette méthode « fonctionne clairement », puisque tout espace algébrique est localement un schéma pour la topologie étale. Les détails sont donnés ci-dessous, mais nous invitons vivement le lecteur à omettre la démonstration.
Pour un faisceau abélien \(\mathcal{H}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\), l’image directe supérieure \(R^p\epsilon_{X, *}\mathcal{H}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^p_{ph}(U, \mathcal{H})\) sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Voir Cohomologie sur les sites, lemme 072W. Comme tout objet de \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) admet un recouvrement par des schémas, il suffit de démontrer que, pour tout schéma \(U/X\) et tout \(\xi \in H^p_{ph}(U, a_X^{-1}\mathcal{F})\), il existe un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}\) tel que la restriction de \(\xi\) à chaque \(U_i\) soit nulle. On a \[\begin{align*} H^p_{ph}(U, a_X^{-1}\mathcal{F}) & = H^p((\textit{Espaces}/U)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\textit{Espaces}/U}) \\ & = H^p((\Sch/U)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}) \end{align*}\] où la seconde identification est le lemme 0DFV, et la première un fait général sur la restriction (Cohomologie sur les sites, lemme 03F3). En comparant le premier paragraphe et le résultat correspondant dans le cas des schémas (Cohomologie étale, lemme 0DDW) nous concluons que le faisceau \((a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}\) coïncide avec l’image réciproque par la « version pour les schémas de \(a_U\) ». Nous pouvons donc trouver un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}\) tel que notre classe s’annule dans \(H^p((\Sch/U_i)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U_i})\) pour tout \(i\); voir Cohomologie étale, lemme 0DE4 (l’énoncé précis à utiliser ici est que \(V_n\) vaut pour tout \(n\), ce qui est l’assertion (2) dans le cas des schémas). En revenant en arrière (au moyen des mêmes formules que ci-dessus, appliquées cette fois à \(U_i\)), nous concluons que la restriction de \(\xi\) à \(U_i\) est nulle, comme souhaité.
Le travail difficile effectué dans le cas des schémas montre maintenant que les cohomologies étale et ph coïncident pour les faisceaux abéliens de torsion provenant du petit site étale.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(K \in D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion, les applications \[\pi_X^{-1}K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \quad\text{et}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] sont des isomorphismes, où \(a_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph}) \to \Sh(X_\etale)\) est défini ci-dessus.
Démonstration
Nous démontrons seulement le second énoncé; le premier est plus facile et se démontre exactement de la même manière. On se ramène au cas où \(K\) est donné par un seul faisceau abélien de torsion. En effet, représentons \(K\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\) de faisceaux abéliens de torsion. C’est possible d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0DD7. Le cas d’un faisceau donne \(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) et les faisceaux \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\) sont nuls pour \(q > 0\). Le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E), appliqué à \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\) et au foncteur \(a_{X, *}\), permet de conclure. Supposons désormais \(K = \mathcal{F}\), où \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien de torsion.
Le lemme 0DGT donne \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\). Il suffit donc de montrer que \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\) pour \(q > 0\). Pour cela, nous pouvons utiliser \(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\) et la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, lemme 0734). D’après le lemme 0DGT, on a \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\). On a \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) et, d’après le lemme 0DGC, \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(j > 0\). Ceci achève la démonstration.
Lemme
Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Avec \(a_X : \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph}) \to \Sh(X_\etale)\) défini ci-dessus:
\(H^q(X_\etale, \mathcal{F}) = H^q_{ph}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\) pour un faisceau abélien de torsion \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\),
\(H^q(X_\etale, K) = H^q_{ph}(X, a_X^{-1}K)\) pour \(K \in D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion.
Exemple: si \(A\) est un groupe abélien de torsion, alors \(H^q_\etale(X, \underline{A}) = H^q_{ph}(X, \underline{A})\).
Démonstration
Ceci découle du lemme 0DGU, d’après Cohomologie sur les sites, remarque 08J6.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe alors des diagrammes commutatifs de topos \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph}) \ar[rr]_{f_{big, ph}} \ar[d]_{\epsilon_X} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{ph}) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale) \ar[rr]^{f_{big, \etale}} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_\etale) }\] et \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph}) \ar[rr]_{f_{big, ph}} \ar[d]_{a_X} & & \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{ph}) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X_\etale) \ar[rr]^{f_{small}} & & \Sh(Y_\etale) }\] avec \(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\) et \(a_Y = \pi_X \circ \epsilon_X\).
Démonstration
Ceci découle immédiatement des définitions des morphismes en jeu; voir Topologies sur les espaces, section 0DFF, et la section 0DG6.
Lemme
Dans le lemme 0DGW, si \(f\) est propre, alors on a
\(a_Y^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, ph, *} \circ a_X^{-1}\), et
\(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, ph, *}(a_X^{-1}K)\) pour \(K\) dans \(D^+(X_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion.
Démonstration
Démonstration de (1). On pourrait la donner en répétant celle du lemme 0DGD, assertion (1); nous allons plutôt en déduire le résultat. Comme \(\epsilon_{Y, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents, il reflète les isomorphismes. Le lemme 0DGT montre que \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\), et de même pour \(X\). Pour montrer que l’application canonique \(a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to f_{big, ph, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme, il suffit de montrer que \[\begin{align*} \pi_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} & = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \\ & \to \epsilon_{Y, *}f_{big, ph, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *} \epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] est un isomorphisme. C’est l’assertion (1) du lemme 0DGD.
Pour démontrer (2), nous utilisons \[\begin{align*} R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, ph, *}a_X^{-1}K & = Rf_{big, \etale, *}R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \\ & = Rf_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}K \\ & = \pi_Y^{-1}Rf_{small, *}K \\ & = R\epsilon_{Y, *} a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \end{align*}\] La première égalité résulte du diagramme commutatif du lemme 0DGW et de Cohomologie sur les sites, lemme 0D6E. La deuxième est le lemme 0DGU; la troisième est l’assertion (2) du lemme 0DGD; la quatrième est de nouveau le lemme 0DGU. Ainsi le morphisme de changement de base \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) \to Rf_{big, ph, *}(a_X^{-1}K)\) induit un isomorphisme \[R\epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \to R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, ph, *}a_X^{-1}K\] La remarque suivante achève la démonstration: soit \(\alpha : a_Y^{-1}L \to M\), avec \(L\) dans \(D^+(Y_\etale)\) à faisceaux de cohomologie de torsion et \(M\) dans \(D^+((\textit{Espaces}/Y)_{ph})\). Si \(R\epsilon_{Y, *}\alpha\) est un isomorphisme, alors \(\alpha\) est un isomorphisme. En effet, montrons par récurrence sur \(i\) que \(H^i(\alpha)\) est un isomorphisme. Ceci est vrai pour tout \(i\) suffisamment petit. Si cela vaut pour \(i \leq i_0\), alors \(R^j\epsilon_{Y, *}H^i(M) = 0\) pour \(j > 0\) et \(i \leq i_0\) d’après le lemme 0DGT, puisque \(H^i(M) = a_Y^{-1}H^i(L)\) dans cet intervalle. Un argument de suite spectrale donne alors \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = H^{i_0 + 1}(R\epsilon_{Y, *}M)\). Par conséquent, \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = \pi_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L) = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L)\). Il s’ensuit que \(H^{i_0 + 1}(\alpha)\) est un isomorphisme (car \(\epsilon_{Y, *}\) reflète les isomorphismes, puisqu’il est l’identité sur les préfaisceaux sous-jacents), comme voulu.