Cohomologie \'etale

Introduction

Ce chapitre est le premier d’une série de chapitres sur la cohomologie étale des schémas. Nous y présentons les rudiments de la topologie étale et de la cohomologie des faisceaux abéliens pour cette topologie. Une grande partie des sujets abordés peut sans inconvénient être omise lors d’une première lecture; on consultera la section suivante pour décider des passages à laisser de côté.

La version initiale de ce chapitre a à l’origine été constituée par les notes de la première partie d’un cours de cohomologie étale donné par Johan de Jong à l’Université Columbia à l’automne 2009. Les premiers auteurs des notes étaient Thibaut Pugin, Zachary Maddock et Min Lee. La seconde partie du cours se trouve dans le chapitre sur la formule des traces; voir La formule des traces, section 0F5Q.

Quelles sections omettre lors d’une première lecture?

Nous voulons utiliser le contenu de ce chapitre pour développer la théorie des espaces algébriques, des champs de Deligne–Mumford, des champs algébriques, etc. Nous avons donc ajouté à l’exposé initial de la cohomologie étale des schémas certains développements assez techniques. Le lecteur les reconnaîtra à la fréquence du mot “topos”, aux discussions relevant de la théorie des ensembles ou encore aux démonstrations portant sur des propriétés très générales des morphismes de schémas. Certaines de ces discussions peuvent être omises lors d’une première lecture.

En particulier, nous suggérons au lecteur d’omettre les sections suivantes:

1. Comparaison des grands et petits topos, section 0757.

2. Reconstruction des morphismes, section 04JH.

3. Image directe et image inverse, section 04C6.

4. Propriété (A), section 04DJ.

5. Propriété (B), section 04DN.

6. Propriété (C), section 04DS.

7. Invariance topologique du petit site étale, section 04DY.

8. Morphismes entiers universellement injectifs, section 04FY.

9. Grands sites et image directe, section 04E2.

10. Exactitude du grand foncteur image directe à support propre, section 04CB.

Outre ces sections, quelques résultats isolés peuvent être omis; le lecteur les reconnaîtra aux mots-clés indiqués ci-dessus.

Prologue

Ces leçons portent sur une autre théorie cohomologique. Il faut tout d’abord observer que la topologie de Zariski n’est pas entièrement satisfaisante. L’une des principales raisons pour lesquelles elle ne donne pas les résultats souhaités est que, si \(X\) est une variété complexe et \(\mathcal{F}\) un faisceau constant, alors \[H^i(X, \mathcal{F}) = 0, \quad \text{ pour tout } i > 0.\] En voici la raison. Dans un schéma irréductible (en particulier dans une variété), deux ouverts non vides quelconques se rencontrent, de sorte que les applications de restriction d’un faisceau constant sont surjectives. On dit que le faisceau est flasque. Dans ce cas, tous les groupes de cohomologie de Čech supérieurs sont nuls, de même que tous les groupes de cohomologie de Zariski supérieurs. Autrement dit, la topologie de Zariski ne possède “pas assez” d’ouverts pour détecter cette cohomologie supérieure.

En revanche, si \(X\) est une variété complexe projective lisse, alors \[H_{Betti}^{2 \dim X}(X (\mathbf{C}), \Lambda) = \Lambda \quad \text{ pour } \Lambda = \mathbf{Z}, \ \mathbf{Z}/n\mathbf{Z},\] où \(X(\mathbf{C})\) désigne l’ensemble des points complexes de \(X\). Il serait souhaitable de retrouver cette propriété en géométrie algébrique, tout particulièrement en caractéristique positive.

La topologie étale

Il est très difficile de simplement “ajouter” des ouverts supplémentaires pour raffiner la topologie de Zariski. Une manière efficace de définir une topologie consiste à considérer non seulement des ouverts, mais aussi certains schémas au-dessus de ceux-ci. Pour définir la topologie étale, on considère tous les morphismes étales \(\varphi : U \to X\). Si \(X\) est une variété projective lisse sur \(\mathbf{C}\), cela signifie que

1. \(U\) est une réunion disjointe de variétés lisses, et

2. \(\varphi\) est localement un isomorphisme (analytiquement).

Le mot “analytiquement” renvoie à la topologie usuelle (transcendante) sur \(\mathbf{C}\). La seconde condition signifie donc que la différentielle de \(\varphi\) est partout de rang maximal (et, en particulier, que toutes les composantes de \(U\) ont la même dimension que \(X\)).

Un revêtement double — défini de manière informelle comme une application finie de degré \(2\) entre variétés — par exemple \[\Spec(\mathbf{C}[t]) \longrightarrow \Spec(\mathbf{C}[t]), \quad t \longmapsto t^2\] n’est pas un morphisme étale s’il possède une fibre réduite à un seul point. Dans cet exemple, cela se produit pour \(t = 0\). Pour qu’une application finie entre variétés sur \(\mathbf{C}\) soit étale, toutes ses fibres doivent avoir le même nombre de points. En retirant le point \(t = 0\) de la source de l’application dans l’exemple, on rend le morphisme étale. Mais on peut aussi retirer d’autres points de la source et le morphisme demeure étale. Pour considérer la topologie étale, il faut examiner tous ces morphismes. À la différence de la topologie de Zariski, ils ne sont pas nécessairement de simples ouverts de \(X\), bien que leurs images le soient toujours.

Définition

Une famille de morphismes \(\{ \varphi_i : U_i \to X\}_{i \in I}\) est appelée un recouvrement étale si chaque \(\varphi_i\) est un morphisme étale et si leurs images recouvrent \(X\), c’est-à-dire si \(X = \bigcup_{i \in I} \varphi_i(U_i)\).

Ceci “définit” la topologie étale. Autrement dit, nous pouvons maintenant préciser ce que sont les faisceaux. Un faisceau étale \(\mathcal{F}\) d’ensembles (resp. de groupes abéliens, d’espaces vectoriels, etc.) sur \(X\) est la donnée de:

1. pour chaque morphisme étale \(\varphi : U \to X\), un ensemble (resp. un groupe abélien, un espace vectoriel, etc.) \(\mathcal{F}(U)\);

2. pour chaque paire \(U, \ U'\) de schémas étales sur \(X\), et chaque morphisme \(U \to U'\) au-dessus de \(X\) (qui est automatiquement étale), une application de restriction \(\rho^{U'}_U : \mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(U)\)

Ces données doivent satisfaire les conditions \(\rho^U_U = \text{id}\) pour le morphisme identique \(U \to U\) et \(\rho^{U'}_U \circ \rho^{U''}_{U'} = \rho^{U''}_U\) pour des morphismes \(U \to U' \to U''\) de schémas étales sur \(X\), ainsi que l’axiome de faisceau suivant:

• pour tout recouvrement étale \(\{ \varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F} (U) \ar[r] & \Pi_{i \in I} \mathcal{F} (U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Pi_{i, j \in I} \mathcal{F} (U_i \times_U U_j) }\] est un diagramme d’égalisateur dans la catégorie des ensembles (resp. des groupes abéliens, des espaces vectoriels, etc.).

Remarque

Dans le dernier énoncé, il est essentiel de ne pas oublier le cas \(i = j\), qui constitue en général une condition loin d’être triviale (contrairement à ce qui se passe pour la topologie de Zariski). De fait, des recouvrements importants ne comportent souvent qu’un seul èlément.

Puisque l’identité est un morphisme étale, nous pouvons calculer les sections globales d’un faisceau étale, et la cohomologie sera simplement donnée par les foncteurs dérivés à droite correspondants. Autrement dit, une fois la théorie davantage développée et les énoncés rendus précis, rien ne s’opposera à la définition de la cohomologie.

Prouesses de la topologie étale

Pour tout entier naturel \(n \in \mathbf{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\), on a \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] Plus généralement, si \(X\) est une variété complexe, ses nombres de Betti étales à coefficients dans un corps fini coïncident avec les nombres de Betti usuels de \(X(\mathbf{C})\), c’est-à-dire que \[\dim_{\mathbf{F}_q} H_\etale^{2i} (X, \mathbf{F}_q) = \dim_{\mathbf{F}_q} H_{Betti}^{2i} (X(\mathbf{C}), \mathbf{F}_q).\] C’est tout à fait satisfaisant. Toutefois, ces égalités ne valent que pour des coefficients de torsion, et non en général. À coefficients entiers, on a \[H_\etale^2 (\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}) = 0.\] En revanche, \(H_{Betti}^2(\mathbf{P}^1(\mathbf{C}), \mathbf{Z}) = \mathbf{Z}\), car l’espace topologique \(\mathbf{P}^1(\mathbf{C})\) est homéomorphe à une sphère de dimension \(2\). Il existe des moyens de retrouver des coefficients non de torsion à partir de coefficients de torsion par un procédé de passage à la limite, que nous aborderons bientôt.

Un calcul

Comment calculer la cohomologie de \(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) à coefficients dans \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)? Nous utilisons la cohomologie de Čech. Un recouvrement de \(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}\) est donné par les deux ouverts standards \(U_0, U_1\), tous deux isomorphes à \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\), et dont l’intersection est isomorphe à \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\} = \mathbf{G}_{m, \mathbf{C}}\). Il se trouve que la suite de Mayer–Vietoris vaut en cohomologie étale. On en déduit une suite exacte \[H_\etale^{i-1}(U_0\cap U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(\mathbf{P}^1_\mathbf{C}, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0, \Lambda) \oplus H_\etale^i(U_1, \Lambda) \to H_\etale^i(U_0\cap U_1, \Lambda).\] Pour obtenir la réponse attendue, il faudrait montrer que la somme directe figurant dans le troisième terme est nulle. En fait, comme pour la topologie usuelle, on a bien \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \Lambda) = 0 \quad \text{ pour } q \geq 1,\] et \[H_\etale^q (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \Lambda) = \left\{ \begin{matrix} \Lambda & \text{ si }q = 1\text{, et} \\ 0 & \text{ pour }q \geq 2. \end{matrix} \right.\] Ces résultats sont déjà assez difficiles (quelle en serait une preuve élémentaire?). Expliquons comment effectuer ce calcul une fois que nous disposerons du formalisme de la cohomologie étale.

Cohomologie supérieure. Elle est traitée par le fait général suivant: si \(X\) est une courbe affine sur \(\mathbf{C}\), alors \[H_\etale^q (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0 \quad \text{ pour } q \geq 2.\] On le démontre en considérant le point générique de la courbe et en faisant un peu de cohomologie galoisienne. Il ne reste donc à examiner que la cohomologie en degré 1.

Cohomologie en degré 1. Nous utilisons les identifications suivantes: \[\begin{eqnarray*} H_\etale^1 (X, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux d'ensembles }\mathcal{F}\text{ sur le site \'etale }X_\etale \text{ munis d'une} \\ \text{action }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F} \text{ telle que }\mathcal{F}\text{ soit un }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{-torseur.} \end{matrix} \right\} \Big/ \cong \\ = \left\{ \begin{matrix} \text{morphismes }Y \to X\text{ finis \'etales, munis} \\ \text{ d'une action libre de }\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\text{ tels que } X = Y/(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}). \end{matrix} \right\} \Big/ \cong. \end{eqnarray*}\] La première identification est très générale (elle vaut pour toute théorie cohomologique sur un site) et n’a rien à voir avec la topologie étale. La seconde identification est une conséquence de la théorie de la descente. Le dernier ensemble décrit une collection d’objets géométriques que nous pouvons manipuler concrètement.

La courbe \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C}\) n’a aucun revêtement étale fini non trivial; par conséquent, \(H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0\). On peut le voir soit topologiquement, soit au moyen de l’argument du paragraphe suivant.

Décrivons les revêtements étales finis \(\varphi : Y \to \mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}\). Il suffit de considérer le cas où \(Y\) est connexe, ce que nous supposons. Nous allons déterminer les possibilités pour \(Y\) en appliquant la formule de Riemann–Hurwitz (c’est bien sûr un peu superflu, et le lecteur peut passer la section suivante s’il le souhaite). Supposons que ce morphisme soit de degré \(n\) et considérons une compactification projective \[\xymatrix{ {Y\ } \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]^\varphi & {\bar Y} \ar[d]^{\bar\varphi} \\ {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}} \ar@{^{(}->}[r] & {\mathbf{P}^1_\mathbf{C}} }\] Bien que \(\varphi\) soit étale et non ramifié, \(\bar{\varphi}\) peut être ramifié en 0 et en \(\infty\). Supposons que les antécédents de 0 soient les points \(y_1, \ldots, y_r\), d’indices de ramification \(e_1, \ldots e_r\), et que les antécédents de \(\infty\) soient les points \(y_1', \ldots, y_s'\), d’indices de ramification \(d_1, \ldots d_s\). En particulier, \(\sum e_i = n = \sum d_j\). La formule de Riemann–Hurwitz donne \[2 g_Y - 2 = -2n + \sum (e_i - 1) + \sum (d_j - 1)\] et donc \(g_Y = 0\), \(r = s = 1\) et \(e_1 = d_1 = n\). Ainsi \(Y \cong {\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\), et l’on voit facilement que \(\varphi(z) = \lambda z^n\) pour un certain \(\lambda \in \mathbf{C}^*\). Après avoir reparamétré \(Y\), nous pouvons supposer \(\lambda = 1\). Notre revêtement s’obtient donc en extrayant une racine \(n\)-ième de la coordonnée sur \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\).

Rappelons qu’il nous faut classifier les revêtements de \({\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}}\) munis d’une action libre de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\). Dans notre cas, toute action de ce type correspond à un automorphisme de \(Y\) envoyant \(z\) sur \(\zeta_n z\), où \(\zeta_n\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité. Il existe \(\phi(n)\) telles actions (ici, \(\phi(n)\) désigne l’indicatrice d’Euler). Il existe donc exactement \(\phi(n)\) revêtements étales finis connexes munis d’une action libre donnée de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), chacun correspondant à une racine primitive \(n\)-ième de l’unité. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que les revêtements étales finis non connexes de degré \(n\) de \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}} \setminus \{0\}\), munis d’une action libre donnée de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), correspondent bijectivement aux racines \(n\)-ièmes non primitives de \(1\). Autrement dit, ce calcul montre que \[H_\etale^1 (\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \setminus \{0\}, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = \Hom(\mu_n(\mathbf{C}), \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\] La première identification est canonique, la seconde ne l’est pas; voir la remarque 0A44. Puisque la preuve de la formule de Riemann–Hurwitz ne fait pas appel au calcul de la cohomologie, ce qui précède constitue effectivement une preuve (à condition de compléter les détails concernant l’annulation, etc.).

Coefficients non de torsion

Pour étudier les coefficients non de torsion, on pose la définition suivante: \[H_\etale^i (X, \mathbf{Q}_\ell) := \left( \lim_n H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}) \right) \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Q}_\ell.\] Le symbole \(\lim_n\) désigne la limite du système de groupes de cohomologie \(H_\etale^i(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) indexé par \(n\); voir Catégories, section 002Z. Nous devrons donc étudier des systèmes de faisceaux satisfaisant certaines conditions de compatibilité.

Théorie des faisceaux

Nous abordons maintenant véritablement les sites et les faisceaux. Une quantité impressionnante de résultats abstraits utiles pourrait trouver place dans les quelques sections qui suivent. Une partie de ces résultats est développée dans des chapitres antérieurs, tels que ceux sur les sites, les modules sur les sites et la cohomologie sur les sites. Nous nous efforçons de ne pas ajouter trop de matière ici, mais seulement ce qu’il faut pour que la suite de ce chapitre soit compréhensible.

Préfaisceaux

Une référence pour cette section est Sites, section 00V1.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Un préfaisceau d’ensembles (respectivement, un préfaisceau abélien) sur \(\mathcal{C}\) est un foncteur \(\mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) (resp. \(\textit{Ab}\)).

Terminologie. Si \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), les éléments de \(\mathcal{F}(U)\) sont appelés les sections de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(U\). Pour \(\varphi : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\), l’application \(\mathcal{F}(\varphi) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) est appelée l’application de restriction et est souvent notée \(s \mapsto s|_V\) ou parfois \(s \mapsto \varphi^*s\). La notation \(s|_V\) est ambiguë car l’application de restriction dépend de \(\varphi\), mais il s’agit d’un abus de notation usuel. Nous employons aussi la notation \(\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\).

Dire que \(\mathcal{F}\) est un foncteur signifie que, si \(W \to V \to U\) sont des morphismes de \(\mathcal{C}\) et si \(s \in \Gamma(U, \mathcal{F})\), alors \((s|_V)|_W = s |_W\), avec l’abus de notation que nous venons de voir. De plus, les applications de restriction correspondant aux morphismes identité \(\text{id}_U : U \to U\) sont l’identité.

La catégorie des préfaisceaux d’ensembles (respectivement, des préfaisceaux abéliens) sur \(\mathcal{C}\) est notée \(\textit{PSh} (\mathcal{C})\) (resp. \(\textit{PAb} (\mathcal{C})\)). C’est la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{C}^{opp}\) vers \(\textit{Ensembles}\) (resp. \(\textit{Ab}\)), c’est-à-dire que les morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturelles de foncteurs. Nous ne considérons les catégories \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) et \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) que lorsque la catégorie \(\mathcal{C}\) est petite. (Notre convention est qu’une catégorie est petite sauf mention contraire et, si elle ne l’est pas, elle doit être répertoriée dans Catégories, remarque 0015.)

Exemple

Étant donné un objet \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), considérons la règle \[\begin{matrix} U & \longmapsto & h_X(U) = \Mor_\mathcal{C}(U, X) \\ V \xrightarrow{\varphi} U & \longmapsto & (\psi \mapsto \psi \circ \varphi) : h_X(U) \to h_X(V). \end{matrix}\] Elle définit un foncteur \(h_X : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) et donc un préfaisceau. On l’appelle le préfaisceau représentable associé à \(X\). Il n’est pas vrai que les préfaisceaux représentables soient des faisceaux pour toute topologie sur tout site.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, et soient \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\). Il existe une bijection naturelle \[\begin{matrix} \Mor_\mathcal{C}(X, Y) & \longrightarrow & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})} (h_X, h_Y) \\ \psi & \longmapsto & h_\psi = \psi \circ - : h_X \to h_Y. \end{matrix}\]

Démonstration

Voir Catégories, lemme 001P.

Sites

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Une famille de morphismes à cible fixée \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) est la donnée de

1. un objet \(U \in \mathcal{C}\),

2. un ensemble \(I\) (éventuellement vide), et

3. pour tout \(i\in I\), un morphisme \(\varphi_i : U_i \to U\) de \(\mathcal{C}\) de cible \(U\).

Il existe une notion de morphisme de familles de morphismes à cible fixée. Un cas particulier est la notion de raffinement. On pourra consulter à ce sujet Sites, section 00VS.

Définition

Un site¹ est la donnée d’une catégorie \(\mathcal{C}\) et d’un ensemble \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) formé de familles de morphismes à cible fixée appelées recouvrements, qui satisfont aux axiomes suivants :

1. (isomorphisme) si \(\varphi : V \to U\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{C}\), alors \(\{\varphi : V \to U\}\) est un recouvrement,

2. (localité) si \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) est un recouvrement et si pour tout \(i \in I\) on se donne un recouvrement \(\{\psi_{ij} : U_{ij} \to U_i \}_{j\in I_i}\), alors \[\{ \varphi_i \circ \psi_{ij} : U_{ij} \to U \}_{(i, j)\in \prod_{i\in I} \{i\} \times I_i}\] est aussi un recouvrement, et

3. (changement de base) si \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) est un recouvrement et si \(V \to U\) est un morphisme dans \(\mathcal{C}\), alors

   1. pour tout \(i \in I\), le produit fibré \(U_i \times_U V\) existe dans \(\mathcal{C}\), et

   2. \(\{U_i \times_U V \to V\}_{i\in I}\) est un recouvrement.

Pour nous, la catégorie sous-jacente à un site est toujours “petite”, c.-à-d. que sa collection d’objets forme un ensemble et que la collection des recouvrements d’un site est aussi un ensemble (comme dans la définition ci-dessus). Dans ce chapitre, nous omettrons le plus souvent les arguments qui ramènent à un ensemble la collection des objets et des recouvrements. Pour une discussion plus approfondie, voir Sites, remarque 00VI.

Exemple

Si \(X\) est un espace topologique, il possède un site associé \(X_{Zar}\) défini comme suit : les objets de \(X_{Zar}\) sont les ouverts de \(X\), les morphismes entre eux sont les applications d’inclusion, et les recouvrements sont les recouvrements topologiques usuels (surjectifs). Observons que si \(U, V \subset W \subset X\) sont des ouverts, alors \(U \times_W V = U \cap V\) existe : cette catégorie admet les produits fibrés. Toutes les vérifications sont immédiates et tout fonctionne comme prévu.

Faisceaux

Définition

Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles (resp. un préfaisceau abélien) sur un site \(\mathcal{C}\) est dit séparé si, pour tout recouvrement \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\), l’application \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i)\] est injective. Ici, l’application est \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\). Le préfaisceau \(\mathcal{F}\) est un faisceau si, pour tout recouvrement \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\), le diagramme [03NL]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(U_i \times_U U_j), } \end{equation}\] où la première application est \(s \mapsto (s|_{U_i})_{i\in I}\) et les deux applications de droite sont \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_i |_{U_i \times_U U_j})\) et \((s_i)_{i\in I} \mapsto (s_j |_{U_i \times_U U_j})\), est un diagramme égalisateur dans la catégorie des ensembles (resp. des groupes abéliens).

Remarque

Pour le recouvrement vide (où \(I = \emptyset\)), ceci implique que \(\mathcal{F}(\emptyset)\) est un produit vide, qui est un objet final de la catégorie correspondante (un singleton, tant pour \(\textit{Ensembles}\) que pour \(\textit{Ab}\)).

Exemple

En explicitant cette définition pour le site \(X_{Zar}\) associé à un espace topologique, voir l’exemple 03NI, on retrouve la notion usuelle de faisceau.

Définition

Nous notons \(\Sh(\mathcal{C})\) (resp. \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)) la sous-catégorie pleine de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) (resp. \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\)) dont les objets sont les faisceaux. C’est la catégorie des faisceaux d’ensembles (resp. celle des faisceaux abéliens) sur \(\mathcal{C}\).

L’exemple des G-ensembles

Soit \(G\) un groupe et définissons un site \(\mathcal{T}_G\) comme suit : la catégorie sous-jacente est la catégorie des \(G\)-ensembles, c’est-à-dire que ses objets sont des ensembles munis d’une action à gauche de \(G\) et que les morphismes sont les applications équivariantes ; les recouvrements de \(\mathcal{T}_G\) sont les familles \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) satisfaisant \(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\).

Il existe un objet particulier du site \(\mathcal{T}_G\), à savoir le \(G\)-ensemble \(G\) muni de son action naturelle par translations à gauche. Nous le notons \({}_G G\). Observons qu’il existe un isomorphisme naturel de groupes \[\begin{matrix} \rho : & G^{opp} & \longrightarrow & \text{Aut}_{G\textit{-Ensembles}}({}_G G) \\ & g & \longmapsto & (h \mapsto hg). \end{matrix}\] En particulier, pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\), l’ensemble \(\mathcal{F}({}_G G)\) hérite d’une action de \(G\) au moyen de \(\rho\). (Notons que, par contravariance de \(\mathcal{F}\), l’ensemble \(\mathcal{F}({}_G G)\) est encore un \(G\)-ensemble à gauche.) En fait, le foncteur \[\begin{matrix} \Sh(\mathcal{T}_G) & \longrightarrow & G\textit{-Ensembles} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \mathcal{F}({}_G G) \end{matrix}\] est une équivalence de catégories. Son quasi-inverse est le foncteur \(X \mapsto h_X\). Sans donner la démonstration complète (que l’on trouvera dans Sites, section 00VZ), essayons d’expliquer pourquoi il en est ainsi.

1. Si \(S\) est un \(G\)-ensemble, nous pouvons le décomposer en orbites \(S = \coprod_{i\in I} O_i\). L’axiome des faisceaux appliqué au recouvrement \(\{O_i \to S\}_{i\in I}\) affirme que \[\xymatrix{ \mathcal{F}(S) \ar[r] & \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) }\] est un diagramme égalisateur. Comme les produits fibrés dans \(G\textit{-Ensembles}\) sont induits par les produits fibrés dans \(\textit{Ensembles}\), et comme \(\mathcal{F}(\emptyset)\) est un \(G\)-ensemble réduit à un point, nous obtenons \[\prod_{i, j \in I} \mathcal{F}(O_i \times_S O_j) = \prod_{i \in I} \mathcal{F}(O_i)\] et les deux applications ci-dessus sont en fait identiques. Ainsi, l’axiome des faisceaux affirme simplement que \(\mathcal{F}(S) = \prod_{i\in I} \mathcal{F}(O_i)\).

2. Si \(S\) est le \(G\)-ensemble \(S= G/H\) et si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{T}_G\), nous affirmons que \[\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\] et en particulier que \(\mathcal{F}(\{*\}) = \mathcal{F}({}_G G)^G\). Pour le voir, appliquons l’axiome des faisceaux au recouvrement \(\{ {}_G G \to G/H \}\) de \(S\). Nous avons \[\begin{eqnarray*} {}_G G \times_{G/H} {}_G G & \cong & G \times H \\ (g_1, g_2) & \longmapsto & (g_1, g_1^{-1} g_2) \end{eqnarray*}\] Le membre de gauche est une réunion disjointe de copies de \({}_G G\) (comme \(G\)-ensemble). L’axiome des faisceaux s’écrit donc \[\xymatrix{ \mathcal{F} (G/H) \ar[r] & \mathcal{F}({}_G G) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{h\in H} \mathcal{F}({}_G G) }\] où les deux applications de droite sont \(s \mapsto (s)_{h \in H}\) et \(s \mapsto (hs)_{h \in H}\). Par conséquent, \(\mathcal{F}(G/H) = \mathcal{F}({}_G G)^H\), comme annoncé.

Ceci ne démontre pas tout à fait l’équivalence de catégories annoncée, mais montre au moins qu’un faisceau \(\mathcal{F}\) est entièrement déterminé par ses sections au-dessus de \({}_G G\). On trouvera les détails (ainsi que des remarques ensemblistes) dans Sites, section 00VZ.

Passage au faisceau associé

Définition

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur le site \(\mathcal{C}\) et soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\} \in \text{Cov} (\mathcal{C})\). Nous définissons le groupe de cohomologie de Čech de degré zéro de \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\) par \[\check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \left\{ (s_i)_{i\in I} \in \prod\nolimits_{i\in I }\mathcal{F}(U_i) \text{ tels que } s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j |_{U_i \times_U U_j} \right\}.\]

Il existe une application canonique \(\mathcal{F}(U) \to \check H^0 (\mathcal{U}, \mathcal{F})\), \(s \mapsto (s |_{U_i})_{i\in I}\). Nous appelons morphisme de recouvrements d’un recouvrement \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) vers \(\mathcal{U}\) un triplet \((\chi, \alpha, \chi_j)\), où \(\chi : V \to U\) est un morphisme, \(\alpha : J \to I\) est une application d’ensembles, et, pour tout \(j \in J\), le morphisme \(\chi_j\) s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V_j \ar[rr]_{\chi_j} \ar[d] & & U_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V \ar[rr]^\chi & & U. }\] À partir des données \(\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\), nous définissons \[\begin{eqnarray*} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & \longrightarrow & \check H^0(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \\ (s_i)_{i\in I} & \longmapsto & \left(\chi_j^*\left(s_{\alpha(j)}\right)\right)_{j\in J}. \end{eqnarray*}\] Nous affirmons alors que

1. l’application est bien définie, et

2. elle ne dépend que de \(\chi\) et est indépendante du choix de \(\alpha, \{\chi_j\}_{j \in J}\).

Nous omettons la démonstration du premier point. Pour voir (2), considérons un autre triplet \((\psi, \beta, \psi_j)\) tel que \(\chi = \psi\). On a alors le diagramme commutatif \[\xymatrix{ V_j \ar[rrr]_{(\chi_j, \psi_j)} \ar[dd] & & & U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)} \ar[dl] \ar[dr] \\ & & U_{\alpha(j)} \ar[dr] & & U_{\beta(j)} \ar[dl] \\ V \ar[rrr]^{\chi = \psi} & & & U. }\] Étant donnée une section \(s \in \mathcal{F}(\mathcal{U})\), son image dans \(\mathcal{F}(V_j)\) par l’application définie par \((\chi, \alpha, \{\chi_j\}_{j \in J})\) est \(\chi_j^*s_{\alpha(j)}\), et son image par l’application définie par \((\psi, \beta, \{\psi_j\}_{j \in J})\) est \(\psi_j^*s_{\beta(j)}\). Ces deux éléments sont égaux car, par hypothèse, \(s \in \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) ; ils sont donc tous deux égaux au tiré en arrière de la valeur commune \[s_{\alpha(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}} = s_{\beta(j)}|_{U_{\alpha(j)} \times_U U_{\beta(j)}}\] par l’application \((\chi_j, \psi_j)\) du diagramme.

Théorème

Soient \(\mathcal{C}\) un site et \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\).

1. La règle \[U \mapsto \mathcal{F}^+(U) := \colim_{\mathcal{U} \text{ recouvrement de }U} \check H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est un préfaisceau. De plus, la limite inductive est filtrante.

2. Il existe un morphisme canonique de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^+\).

3. Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau séparé, alors \(\mathcal{F}^+\) est un faisceau et le morphisme de (2) est injectif.

4. \(\mathcal{F}^+\) est un préfaisceau séparé.

5. \(\mathcal{F}^\# = (\mathcal{F}^+)^+\) est un faisceau, et le morphisme canonique induit un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] pour tout \(\mathcal{G} \in \Sh(\mathcal{C})\).

Démonstration

Voir Sites, théorème 00WB.

Autrement dit, le passage au faisceau associé, donné par le morphisme naturel \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\), est adjoint à gauche au foncteur d’oubli \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\).

Cohomologie

Le résultat fondamental suivant permet de définir la cohomologie des faisceaux abéliens sur les sites.

Théorème

La catégorie des faisceaux abéliens sur un site est une catégorie abélienne qui possède assez d’injectifs.

Démonstration

Voir Modules sur les sites, lemme 03CN et Injectifs, théorème 01DP.

On peut donc définir la cohomologie au moyen des foncteurs dérivés à droite du foncteur des sections : si \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \[H^p(U, \mathcal{F}) := R^p\Gamma(U, \mathcal{F}) = H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet))\] où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective. Pour ce faire, il faut vérifier que le foncteur \(\Gamma(U, -)\) est exact à gauche. C’est le cas, et c’est en partie pourquoi la catégorie \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) est abélienne ; voir Modules sur les sites, lemme 03CN. Pour une étude plus générale de la cohomologie sur les sites (y compris le foncteur des sections globales et ses foncteurs dérivés à droite), voir Cohomologie sur les sites, section 01FT.

La topologie fpqc

Avant d’aborder la cohomologie étale, nous étudions quelque peu la topologie fpqc, car elle se comporte bien avec les faisceaux quasi-cohérents.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement fpqc de \(T\) est une famille \(\{ \varphi_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que

1. chaque \(\varphi_i\) est un morphisme plat et \(\bigcup_{i\in I} \varphi_i(T_i) = T\), et

2. pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe un ensemble fini \(K\), une application \(\mathbf{i} : K \to I\) et des ouverts affines \(U_{\mathbf{i}(k)} \subset T_{\mathbf{i}(k)}\) tels que \(U = \bigcup_{k \in K} \varphi_{\mathbf{i}(k)}(U_{\mathbf{i}(k)})\).

Remarque

La première condition correspond à fp, sigle français de fidèlement plat, qui signifie “faithfully flat” en anglais, et la seconde à qc, quasi-compact. La seconde partie de la première condition est superflue lorsque la seconde est satisfaite.

Exemple

Voici des exemples de recouvrements fpqc.

1. Tout recouvrement ouvert de Zariski de \(T\) est un recouvrement fpqc.

2. La famille \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) est un recouvrement fpqc si et seulement si \(A \to B\) est un morphisme d’anneaux fidèlement plat.

3. Si \(f: X \to Y\) est plat, surjectif et quasi-compact, alors \(\{ f: X\to Y\}\) est un recouvrement fpqc.

4. Le morphisme \(\varphi : \coprod_{x \in \mathbf{A}^1_k} \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^1_k, x}) \to \mathbf{A}^1_k\), où \(k\) est un corps, est plat et surjectif. Il n’est pas quasi-compact, et en fait la famille \(\{\varphi\}\) n’est pas un recouvrement fpqc.

5. Écrivons \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\). Notons \(i_x : D(x) \to \mathbf{A}^2_k\) et \(i_y : D(y) \to \mathbf{A}^2_k\) les immersions ouvertes standard. Alors les familles \(\{i_x, i_y, \Spec(k[[x, y]]) \to \mathbf{A}^2_k\}\) et \(\{i_x, i_y, \Spec(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^2_k, 0}) \to \mathbf{A}^2_k\}\) sont des recouvrements fpqc.

Lemme

La collection des recouvrements fpqc de la catégorie des schémas satisfait les axiomes d’un site.

Démonstration

Voir Topologies, lemme 022D.

Il semble que ce lemme permette de définir le site fpqc de la catégorie des schémas. Cependant, un problème ensembliste surgit lorsqu’on considère la topologie fpqc ; voir Topologies, section 022A. Il provient de ce que nous exigeons que les sites soient “petits”, alors qu’aucune petite catégorie de schémas ne peut contenir un système cofinal de recouvrements fpqc d’un schéma non vide donné. Bien que cela ne nous empêche pas, à proprement parler, de définir des sites fpqc “partiels”, il ne semble pas prudent de le faire. La solution consiste à autoriser la notion de faisceau pour la topologie fpqc (voir ci-dessous), mais à interdire de considérer la catégorie de tous les faisceaux fpqc.

Définition

Soit \(S\) un schéma. La catégorie des schémas sur \(S\) est notée \(\Sch/S\). Considérons un foncteur \(\mathcal{F} : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\), autrement dit un préfaisceau d’ensembles. Nous dirons que \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc si, pour tout recouvrement fpqc \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de schémas sur \(S\), le diagramme (03NL) est un diagramme égalisateur.

Nous dirons de même que \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie de Zariski si, pour tout recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\), le diagramme (03NL) est un diagramme égalisateur. Voir Schémas, définition 01JI. Il est clair que cela revient à dire que, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), la restriction de \(\mathcal{F}\) aux ouverts de \(T\) est un faisceau (au sens usuel).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\Sch/S\). Alors \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc si et seulement si

1. \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété de faisceau relativement à la topologie de Zariski, et

2. pour tout morphisme fidèlement plat \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) de schémas affines sur \(S\), l’axiome de faisceau est vérifié pour le recouvrement \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\). Plus précisément, cela signifie que \[\xymatrix{ \mathcal{F}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] est un diagramme égalisateur.

Démonstration

Voir Topologies, lemme 022H.

Une autre manière de considérer un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sch/S\) satisfaisant la condition de faisceau pour la topologie fpqc consiste à se donner les données suivantes :

1. pour tout \(T/S\), un faisceau usuel (c’est-à-dire pour la topologie de Zariski) \(\mathcal{F}_T\) sur \(T_{Zar}\),

2. pour tout morphisme \(f : T' \to T\) sur \(S\), un morphisme de restriction \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)

satisfaisant

1. les morphismes de restriction sont fonctoriels,

2. si \(f : T' \to T\) est une immersion ouverte, alors le morphisme de restriction \(f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\) est un isomorphisme, et

3. pour tout morphisme fidèlement plat \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) sur \(S\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{\Spec(A)}(\Spec(A)) \ar[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B)}(\Spec(B)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}_{\Spec(B \otimes_A B)}(\Spec(B \otimes_A B)) }\] est un diagramme égalisateur.

Les données (1) et (2), avec les conditions (a), (b), définissent un préfaisceau sur \(\Sch/S\) satisfaisant la condition de faisceau pour la topologie de Zariski. D’après le lemme 03O1, la condition (c) suffit alors pour obtenir la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Exemple

Considérons le préfaisceau \[\begin{matrix} \mathcal{F} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \Omega_{T/S}). \end{matrix}\] La compatibilité des différentielles avec la localisation entraîne que \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site de Zariski. Il ne vérifie toutefois pas la condition de faisceau pour la topologie fpqc. Considérons en effet le cas \(S = \Spec(\mathbf{F}_p)\) et le morphisme \[\varphi : V = \Spec(\mathbf{F}_p[v]) \to U = \Spec(\mathbf{F}_p[u])\] défini par l’envoi de \(u\) sur \(v^p\). La famille \(\{\varphi\}\) est un recouvrement fpqc, mais le morphisme de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) envoie le générateur \(\text{d}u\) sur \(\text{d}(v^p) = 0\), donc c’est le morphisme nul, et le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{0} & \mathcal{F}(V) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(V \times_U V) }\] n’est pas un diagramme égalisateur. Nous verrons plus loin que \(\mathcal{F}\) donne en fait lieu à un faisceau sur les sites étale et lisse.

Lemme

Tout préfaisceau représentable sur \(\Sch/S\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Voir Descente, lemme 023Q.

Nous y reviendrons plus loin, car la démonstration de ce fait utilise la descente des faisceaux quasi-cohérents, que nous étudierons dans la section suivante. Une manière élégante d’exprimer le lemme consiste à dire que la topologie fpqc est moins fine que la topologie canonique, ou que la topologie fpqc est sous-canonique. Dans le cadre des sites, ceci est étudié dans Sites, section 00WO.

Remarque

La topologie fpqc est plus fine que les topologies de Zariski, étale, lisse, syntomique et fppf. Par conséquent, tout préfaisceau satisfaisant à la condition de faisceau pour la topologie fpqc est un faisceau sur les sites de Zariski, étale, lisse, syntomique et fppf. En particulier, les préfaisceaux représentables sont des faisceaux sur le site étale d’un schéma, par exemple.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Considérons le schéma en groupes additif \(\mathbf{G}_{a, S} = \mathbf{A}^1_S\) sur \(S\), voir Groupoïdes, exemple 022V. Le préfaisceau représentable associé est donné par \[h_{\mathbf{G}_{a, S}}(T) = \Mor_S(T, \mathbf{G}_{a, S}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T).\] D’après ce qui précède, nous savons qu’il s’agit d’un préfaisceau d’ensembles satisfaisant à la condition de faisceau pour la topologie fpqc. Il s’agit manifestement aussi d’un préfaisceau d’anneaux. Nous pouvons donc le considérer comme le foncteur \[\begin{matrix} \mathcal{O} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Rings} \\ & T/S & \longmapsto & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \end{matrix}\] qui satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc. On dispose de même d’une notion de \(\mathcal{O}\)-module, et ainsi de suite.

Descente fidèlement plate

Dans cette section, nous étudions la descente fidèlement plate des modules quasi-cohérents. Plus précisément, nous démontrerons que les modules quasi-cohérents satisfont à la descente effective relativement aux recouvrements fpqc.

Définition

Soit \(\mathcal{U} = \{ t_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas à cible fixée. Une donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\mathcal{U}\) est une famille \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\) telle que

1. \(\mathcal{F}_i\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(T_i\), et

2. \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^* \mathcal{F}_i \to \text{pr}_1^* \mathcal{F}_j\) est un isomorphisme de modules sur \(T_i \times_T T_j\),

et que la condition de cocycle soit satisfaite : les diagrammes \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[dr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} \ar[rr]^{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} & & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[dl]^{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} \\ & \text{pr}_2^*\mathcal{F}_k }\] commutent sur \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\). Cette donnée de descente est dite effective s’il existe un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(T\) et des isomorphismes de \(\mathcal{O}_{T_i}\)-modules \(\varphi_i : t_i^* \mathcal{F} \cong \mathcal{F}_i\) compatibles avec les applications \(\varphi_{ij}\), à savoir \[\varphi_{ij} = \text{pr}_1^* (\varphi_j) \circ \text{pr}_0^* (\varphi_i)^{-1}.\]

Dans cette section et la suivante, nous étudions quelques ingrédients de la démonstration du théorème ci-dessous, ainsi que des résultats connexes.

Théorème

Si \(\mathcal{V} = \{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc, alors toutes les données de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\mathcal{V}\) sont effectives.

Démonstration

Voir Descente, proposition 023T.

Autrement dit, la catégorie fibrée des faisceaux quasi-cohérents est un champ sur le site fpqc. La démonstration du théorème comporte deux étapes. La première consiste à observer que, pour les recouvrements de Zariski, le résultat est facile (ou bien connu), par le recollement usuel des faisceaux (voir Faisceaux, section 00AK) et le caractère local de la quasi-cohérence. La seconde étape traite le cas d’un recouvrement fpqc de la forme \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\), où \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Il s’agit d’un lemme d’algèbre, que nous énonçons maintenant.

Descente des modules. Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux, considérons le complexe \[(B/A)_\bullet : B \to B \otimes_A B \to B \otimes_A B \otimes_A B \to \ldots\] où \(B\) est en degré 0, \(B \otimes_A B\) en degré 1, etc., les applications étant données par \[\begin{eqnarray*} b & \mapsto & 1 \otimes b - b \otimes 1, \\ b_0 \otimes b_1 & \mapsto & 1 \otimes b_0 \otimes b_1 - b_0 \otimes 1 \otimes b_1 + b_0 \otimes b_1 \otimes 1, \\ & \text{etc.} \end{eqnarray*}\]

Lemme

Si \(A \to B\) est fidèlement plat, alors le complexe \((B/A)_\bullet\) est exact en degrés strictement positifs, et \(H^0((B/A)_\bullet) = A\).

Démonstration

Voir Descente, lemme 023M.

Grothendieck démontre ceci en trois étapes. Premièrement, il suppose que l’application \(A \to B\) admet une section, et construit une homotopie explicite avec le complexe dont \(A\) est l’unique terme non nul, en degré 0. Deuxièmement, il observe que, pour démontrer le résultat, il suffit de le faire après un changement de base fidèlement plat \(A \to A'\), en remplaçant \(B\) par \(B' = B \otimes_A A'\). Troisièmement, il effectue le changement de base fidèlement plat \(A \to A' = B\) et remarque que l’application \(A' = B \to B' = B \otimes_A B\) possède une section naturelle.

La même stratégie démontre le lemme suivant.

Lemme

Si \(A \to B\) est fidèlement plat et si \(M\) est un \(A\)-module, alors le complexe \((B/A)_\bullet \otimes_A M\) est exact en degrés strictement positifs, et \(H^0((B/A)_\bullet \otimes_A M) = M\).

Démonstration

Voir Descente, lemme 023M.

Définition

Soient \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et \(N\) un \(B\)-module. Une donnée de descente pour \(N\) relativement à \(A \to B\) est un isomorphisme \(\varphi : N \otimes_A B \cong B \otimes_A N\) de \(B \otimes_A B\)-modules tel que le diagramme de \(B \otimes_A B \otimes_A B\)-modules \[\xymatrix{ {N \otimes_A B \otimes_A B} \ar[dr]_{\varphi_{02}} \ar[rr]^{\varphi_{01}} & & {B \otimes_A N \otimes_A B} \ar[dl]^{\varphi_{12}} \\ & {B \otimes_A B \otimes_A N} }\] commute, où \(\varphi_{01} = \varphi \otimes \text{id}_B\), et de même pour \(\varphi_{12}\) et \(\varphi_{02}\).

Si \(N' = B \otimes_A M\) pour un certain \(A\)-module M, alors il est muni d’une donnée de descente canonique donnée par l’application \[\begin{matrix} \varphi_\text{can}: & N' \otimes_A B & \to & B \otimes_A N' \\ & b_0 \otimes m \otimes b_1 & \mapsto & b_0 \otimes b_1 \otimes m. \end{matrix}\]

Définition

Une donnée de descente \((N, \varphi)\) est dite effective s’il existe un \(A\)-module \(M\) tel que \((N, \varphi) \cong (B \otimes_A M, \varphi_\text{can})\), avec la notion évidente d’isomorphisme de données de descente.

Le théorème 03O8 est une conséquence du résultat suivant.

Théorème

Si \(A \to B\) est fidèlement plat, alors les données de descente relativement à \(A\to B\) sont effectives.

Démonstration

Voir Descente, proposition 023N. Voir aussi Descente, remarque 039Y, pour un autre point de vue sur la démonstration.

Remarques

Les résultats sur la descente des modules ont plusieurs applications :

1. L’exactitude du complexe de Čech en degrés strictement positifs pour le recouvrement \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\), où \(A \to B\) est fidèlement plat. Ceci donnera des résultats d’annulation en cohomologie.

2. Si \((N, \varphi)\) est une donnée de descente relativement à un homomorphisme fidèlement plat \(A \to B\), alors l’\(A\)-module correspondant est donné par \[M = \Ker \left( \begin{matrix} N & \longrightarrow & B \otimes_A N \\ n & \longmapsto & 1 \otimes n - \varphi(n \otimes 1) \end{matrix} \right).\] Voir Descente, proposition 023N.

Faisceaux quasi-cohérents

Nous pouvons appliquer la descente des modules à l’étude des faisceaux quasi-cohérents.

Proposition

Pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\), le préfaisceau \[\begin{matrix} \mathcal{F}^a : & \Sch/S & \to & \textit{Ab}\\ & (f: T \to S) & \mapsto & \Gamma(T, f^*\mathcal{F}) \end{matrix}\] est un \(\mathcal{O}\)-module qui satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Ceci est démontré dans Descente, lemme 03DT. Indiquons ici la démonstration. Comme établi dans le lemme 03O1, il suffit de vérifier la propriété de faisceau sur les recouvrements de Zariski et les morphismes fidèlement plats de schémas affines. La propriété de faisceau pour les recouvrements de Zariski relève de la théorie usuelle des schémas, puisque \(\Gamma(U, i^\ast \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\) lorsque \(i : U \hookrightarrow S\) est une immersion ouverte.

Pour \(\left\{\Spec(B)\to \Spec(A)\right\}\), où \(A\to B\) est fidèlement plat et où \(\mathcal{F}|_{\Spec(A)} = \widetilde{M}\), cela correspond au fait que \(M = H^0\left((B/A)_\bullet \otimes_A M \right)\), c’est-à-dire que \[\begin{align*} 0 \to M \to B \otimes_A M \to B \otimes_A B \otimes_A M \end{align*}\] est exacte d’après le lemme 03OA.

Il existe une notion abstraite de faisceau quasi-cohérent sur un site annelé. Nous l’introduisons brièvement ici. Pour plus d’informations, consulter Modules sur les sites, section 03DK. Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{C}/U\) désigne la catégorie des objets au-dessus de \(U\), voir Catégories, exemple 001G. Si \(\mathcal{C}\) est un site, alors \(\mathcal{C}/U\) est également un site : les recouvrements de \(V/U\) sont les familles \(\{V_i/U \to V/U\}\) de morphismes de \(\mathcal{C}/U\) à cible fixée telles que \(\{V_i \to V\}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\). De plus, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), la restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\) (définie de manière évidente) est encore un faisceau. Voir Sites, section 00XZ, pour plus de détails.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site annelé, c’est-à-dire un site muni d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\). Un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) est dit quasi-cohérent si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que la restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit isomorphe au conoyau d’une application \(\mathcal{O}\)-linéaire entre \(\mathcal{O}\)-modules libres \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}|_{\mathcal{C}/U_i}.\] La somme directe indexée par \(K\) est le faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto \bigoplus_{k \in K} \mathcal{O}(V)\), et de même pour l’autre.

Bien qu’il soit utile de pouvoir donner une définition générale comme ci-dessus, cette notion ne se comporte pas bien en général.

Remarque

Dans le cas où \(\mathcal{C}\) possède un objet final, par exemple \(S\), il suffit de vérifier la condition de la définition pour \(U = S\) dans l’énoncé ci-dessus. Voir Modules sur les sites, lemme 03DN.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que

1. la catégorie sous-jacente \(\mathcal{C}\) soit une sous-catégorie pleine de \(\Sch/S\),

2. tout recouvrement de Zariski de \(T \in \Ob(\mathcal{C})\) puisse être raffiné par un recouvrement de \(\mathcal{C}\),

3. \(S/S\) soit un objet de \(\mathcal{C}\),

4. tout recouvrement de \(\mathcal{C}\) soit un recouvrement fpqc de schémas.

Alors le préfaisceau \(\mathcal{O}\) est un faisceau sur \(\mathcal{C}\) et tout \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est de la forme \(\mathcal{F}^a\) pour un certain faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\).

Démonstration

Après quelques arguments formels, c’est exactement le théorème 03O8. Nous omettons les détails. Dans Descente, Proposition 03DX, nous démontrons une version plus précise du théorème pour les grands sites de Zariski, fppf, étale, lisse et syntomique de \(S\), ainsi que pour les petits sites de Zariski et étale de \(S\).

Autrement dit, il n’y a aucune différence entre les modules quasi-cohérents sur le schéma \(S\) et les \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents sur les sites \(\mathcal{C}\) comme dans le théorème. On trouvera des énoncés plus précis pour les grands et petits sites \((\Sch/S)_{fppf}\), \(S_\etale\), etc., dans Descente, sections 03DR, 0GN8, et 0GN9. Dans ce chapitre, nous parlerons parfois d’un “site comme dans le théorème 03OJ” afin d’énoncer commodément des résultats valables dans chacune de ces situations.

Cohomologie de Čech

Notre prochain objectif est d’utiliser la théorie de la descente pour montrer que \(H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}^a) = H_{Zar}^i(S, \mathcal{F})\) pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\), et tout site \(\mathcal{C}\) comme dans le théorème 03OJ. À cette fin, nous introduisons la cohomologie de Čech sur les sites. Voir [ArtinTopologies] et Cohomologie sur les sites, sections 03AK, 03AO et 03AV pour plus de détails.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\) à cible fixée. Supposons que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F} \in \textit{PAb}(\mathcal{C})\) un préfaisceau abélien. Nous définissons le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) par \[\prod_{i_0 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1}) \to \prod_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) \to \ldots\] où le premier terme est en degré 0 et les applications sont usuelles. Les groupes de cohomologie de Čech sont définis par \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})).\]

Dans la définition ci-dessus, il est essentiel d’autoriser les indices \((i_0, \ldots, i_p)\) à se répéter.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la définition 03OL. Le foncteur \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) est exact sur la catégorie \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

Autrement dit, si \(0\to \mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\to 0\) est une suite exacte courte de préfaisceaux de groupes abéliens, alors \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet\left(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1\right) \to\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_2) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3)\to 0\] est une suite exacte courte de complexes.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition d’une suite exacte courte de préfaisceaux. En effet, puisque la catégorie des préfaisceaux abéliens est la catégorie des foncteurs d’une certaine catégorie à valeurs dans \(\textit{Ab}\), c’est automatiquement une catégorie abélienne : une suite \(\mathcal{F}_1\to \mathcal{F}_2\to \mathcal{F}_3\) est exacte dans \(\textit{PAb}\) si et seulement si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), la suite \(\mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) est exacte dans \(\textit{Ab}\). Ainsi, le complexe ci-dessus est simplement un produit de suites exactes courtes en chaque degré. Voir aussi Cohomologie sur les sites, lemme 03AQ.

Cela montre que \(\check{H}^\bullet(\mathcal{U}, -)\) est un \(\delta\)-foncteur. Nous allons maintenant montrer qu’il s’agit d’un \(\delta\)-foncteur universel. Il nous faut donc montrer que c’est un foncteur effaçable. Commençons par rappeler le lemme de Yoneda.

Lemme

Pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur une catégorie \(\mathcal{C}\) et tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U).\]

Démonstration

Voir Catégories, lemme 001P.

Pour un ensemble \(E\), nous notons (dans cette section) \(\mathbf{Z}[E]\) le groupe abélien libre engendré par \(E\). Sous forme de formule, \(\mathbf{Z}[E] = \bigoplus_{e \in E} \mathbf{Z}\), c’est-à-dire que \(\mathbf{Z}[E]\) est un \(\mathbf{Z}\)-module libre dont une base est formée des éléments de \(E\). Avec cette notation, nous introduisons le préfaisceau abélien libre engendré par un préfaisceau d’ensembles.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Étant donné un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{G}\), nous définissons le préfaisceau abélien libre engendré par \(\mathcal{G}\), noté \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}\), par la règle \[\mathbf{Z}_\mathcal{G}(U) = \mathbf{Z}[\mathcal{G}(U)]\] pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), les applications de restriction étant induites par celles de \(\mathcal{G}\). Dans le cas particulier où \(\mathcal{G} = h_U\), nous écrivons simplement \(\mathbf{Z}_U = \mathbf{Z}_{h_U}\).

Le foncteur \(\mathcal{G} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{G}\) est adjoint à gauche du foncteur d’oubli \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\). Ainsi, pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\), il existe un isomorphisme canonique \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\] où la dernière égalité résulte du lemme de Yoneda. En particulier, nous obtenons le résultat suivant.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la définition 03OL. Le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) peut se décrire explicitement comme suit : \[\begin{eqnarray*} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) & = & \left( \prod_{i_0 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{U_{i_0}}, \mathcal{F}) \to \prod_{i_0, i_1 \in I} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}, \mathcal{F}) \to \ldots \right) \\ & = & \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}\left( \left( \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \ldots \right), \mathcal{F}\right) \end{eqnarray*}\]

Démonstration

Cela résulte de la formule ci-dessus. Voir Cohomologie sur les sites, lemme 03AS.

Nous sommes ainsi ramenés à l’étude du seul complexe situé dans le premier argument du dernier \(\Hom\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la définition 03OL. Le complexe de préfaisceaux abéliens \[\begin{align*} \mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet \quad : \quad \bigoplus_{i_0 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \leftarrow \bigoplus_{i_0, i_1, i_2 \in I} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}} \leftarrow \ldots \end{align*}\] est exact en tout degré sauf en degré \(0\) dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

Démonstration

Pour tout \(V\in \Ob(\mathcal{C})\), le complexe de groupes abéliens \(\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V)\) est \[\begin{matrix} \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0\in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0, i_1 \in I} \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots = \\ \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0 \in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0})\right] \leftarrow \mathbf{Z}\left[\coprod_{i_0, i_1\in I} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1})\right] \leftarrow \ldots \right) \end{matrix}\] où \[\Mor_{\varphi}(V, U_i) = \{ V \to U_i \text{ tels que } V \to U_i \to U \text{ est \'egal \`a } \varphi \}.\] Posons \(S_\varphi = \coprod_{i\in I} \Mor_\varphi(V, U_i)\), de sorte que \[\mathbf{Z}_\mathcal{U}^\bullet(V) = \bigoplus_{\varphi : V \to U} \left( \mathbf{Z}[S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi \times S_\varphi] \leftarrow \ldots \right).\] Il suffit donc de montrer que, pour chaque \(S = S_\varphi\), le complexe \[\begin{align*} \mathbf{Z}[S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S] \leftarrow \mathbf{Z}[S \times S \times S] \leftarrow \ldots \end{align*}\] est exact en degrés négatifs. Pour le voir, nous pouvons donner une homotopie explicite. Fixons \(s\in S\) et définissons \(K: n_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto n_{(s, s_0, \ldots, s_p)}.\) On vérifie aisément que \(K\) est une homotopie à zéro pour l’opérateur \[\delta : \eta_{(s_0, \ldots, s_p)} \mapsto \sum\nolimits_{i = 0}^p (-1)^p \eta_{(s_0, \ldots, \hat s_i, \ldots, s_p)}.\] Voir Cohomologie sur les sites, lemme 03AT, pour plus de détails.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la définition 03OL. Si \(\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\), alors \(\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Le complexe de Čech s’obtient en appliquant le foncteur \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) au complexe \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\), c’est-à-dire \[\check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = H^p (\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})).\] Mais nous venons de voir que \(\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}\) est exact en degrés négatifs, et le foncteur \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) est exact ; par conséquent, \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})} (\mathbf{Z}^\bullet_\mathcal{U}, \mathcal{I})\) est exact en degrés positifs.

Théorème

Notations et hypothèses comme dans la définition 03OL. Sur \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\), les foncteurs \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\) sont les foncteurs dérivés à droite de \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\).

Démonstration

D’après le lemme 03OR, les foncteurs \(\check H^p(\mathcal{U}, -)\) sont des \(\delta\)-foncteurs universels, puisqu’ils sont effaçables. Il en va de même des foncteurs dérivés à droite de \(\check H^0(\mathcal{U}, -)\). Puisqu’ils coïncident en degré \(0\), ils coïncident par la propriété universelle des \(\delta\)-foncteurs universels. Pour plus de détails, voir Cohomologie sur les sites, lemme 03AU.

Remarque

Notons que tous les énoncés précédents portent sur les préfaisceaux ; nous n’avons donc pas encore utilisé la topologie.

La suite spectrale de Čech à la cohomologie

Cette suite spectrale est essentielle pour ètablir les résultats fondamentaux sur la cohomologie des faisceaux.

Lemme

Le foncteur d’oubli \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\to \textit{PAb}(\mathcal{C})\) transforme les objets injectifs en objets injectifs.

Démonstration

C’est formel, puisque le foncteur d’oubli admet un adjoint à gauche, à savoir le passage au faisceau associé, qui est un foncteur exact. Pour plus de détails, voir Cohomologie sur les sites, lemme 03F6.

Théorème

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F})) \Rightarrow H^{p+q}(U, \mathcal{F}),\] où \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) est le préfaisceau abélien \(V \mapsto H^q(V, \mathcal{F})\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^\bullet\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) et considérons le bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) et les applications \[\xymatrix{ \Gamma(U, I^\bullet) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \\ & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[u] }\] Ici, l’application horizontale est l’application naturelle \(\Gamma(U, I^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) vers la colonne de gauche, et l’application verticale est induite par \(\mathcal{F}\to \mathcal{I}^0\) et aboutit à la ligne inférieure. Par hypothèse, \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe d’injectifs dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) ; par le lemme 03OV, c’est donc un complexe d’injectifs dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Ainsi, les lignes du bicomplexe sont exactes en degrés positifs (lemme 03OR), et le noyau de \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^1(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) est égal à \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\), puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe de faisceaux. En particulier, la cohomologie du complexe total est la cohomologie usuelle du foncteur des sections globales \(H^0(U, \mathcal{F})\).

Dans la direction verticale, le \(q\)-ième groupe de cohomologie de la \(p\)-ième colonne est \[\prod_{i_0, \ldots, i_p} H^q(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0, \ldots, i_p} \underline{H}^q(\mathcal{F})(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\] dans le terme \(E_1^{p, q}\). Il s’agit donc d’une suite spectrale standard de bicomplexe, et sa page \(E_2\) est celle indiquée. Pour plus de détails, voir Cohomologie sur les sites, lemme 03AZ.

Remarque

C’est une suite spectrale de Grothendieck pour la composée des foncteurs \[\textit{Ab}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{PAb}(\mathcal{C}) \xrightarrow{\check H^0} \textit{Ab}.\]

Grands et petits sites des schémas

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau\) l’une des topologies dont nous allons parler. Ainsi, \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Bien entendu, si seule la topologie étale vous intéresse, vous pouvez simplement supposer \(\tau = \etale\) partout. En outre, nous traiterons plus en détail des morphismes étales, des recouvrements étales et des sites étales à partir de la section 03P9. Pour poursuivre l’étude de la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents, il est commode d’introduire le grand \(\tau\)-site et, lorsque \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\), le petit \(\tau\)-site de \(S\). Pour ce faire, nous introduisons d’abord la notion de \(\tau\)-recouvrement.

Définition

(Voir Topologies, définitions 021M, 0225, 021Z, 0215, et 020O.) Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) à cible fixée est appelée un \(\tau\)-recouvrement si et seulement si chaque \(f_i\) est plat et de présentation finie, syntomique, lisse, étale, respectivement une immersion ouverte, et si \(\bigcup f_i(T_i) = T\).

La classe de tous les \(\tau\)-recouvrements satisfait aux axiomes (1), (2) et (3) de la définition 03NH (notre définition d’un site), voir Topologies, lemmes 021O, 0227, 0221, 0217, et 020P.

Introduisons les sites avec lesquels nous travaillerons. Contrairement à ce qui se passe dans [SGA4], nous ne voulons pas choisir un univers. Nous choisissons plutôt un “univers partiel” (qui est un ensemble suffisamment grand comme dans Ensembles, section 000B) et considérons tous les schémas contenus dans cet ensemble. Bien entendu, nous veillons à ce que notre schéma de base privilégié \(S\) appartienne à l’univers partiel. Après avoir choisi la catégorie sous-jacente, nous choisissons un ensemble suffisamment grand de \(\tau\)-recouvrements qui en fait un site. Les détails se trouvent dans le chapitre sur les topologies des schémas ; les choix laissent une grande liberté, mais, en fin de compte, les choix effectivement faits n’auront aucune incidence sur la cohomologie étale (ou autre) de \(S\) (tout comme, dans [SGA4], le choix effectif de l’univers n’a finalement aucune importance). En outre, la manière dont le texte est rédigé permet au lecteur qui accepte les cardinaux fortement inaccessibles (c’est-à-dire les univers) de les utiliser en remplacement.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, \linebreak[0] Zariski\}\).

1. Un grand \(\tau\)-site de \(S\) est l’un quelconque des sites \((\Sch/S)_\tau\) construits comme expliqué ci-dessus et, plus en détail, dans Topologies, définitions 021S, 03X3, 03X0, 021B, et 020T.

2. Si \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\), alors le petit \(\tau\)-site de \(S\) est la sous-catégorie pleine \(S_\tau\) de \((\Sch/S)_\tau\) dont les objets sont les schémas \(T\) sur \(S\) dont le morphisme structural \(T \to S\) est étale, respectivement une immersion ouverte. Un recouvrement dans \(S_\tau\) est un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \((\Sch/S)_\tau\) tel que \(U\) soit un objet de \(S_\tau\).

La catégorie sous-jacente au site \((\Sch/S)_\tau\) possède des propriétés raisonnables de “stabilité” : étant donné un schéma \(T\) qui lui appartient, tout sous-schéma localement fermé de \(T\) est isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_\tau\). Parmi les autres propriétés de ce type : stabilité par produits fibrés de schémas, par sommes disjointes dénombrables, par passage aux schémas de type fini sur un schéma donné ; étant donné un schéma affine \(\Spec(R)\), on peut compléter ou localiser \(R\), ou en prendre le quotient par un idéal, tout en restant dans la catégorie, etc. En revanche, par exemple, des sommes disjointes arbitraires de schémas de \((\Sch/S)_\tau\) feront sortir de cette catégorie. Notons aussi que, pour un objet \(T\) de \((\Sch/S)_\tau\), il existe des \(\tau\)-recouvrements \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (comme dans la définition 03X8) qui ne sont pas des recouvrements dans \((\Sch/S)_\tau\), par exemple parce que les schémas \(T_i\) ne sont pas des objets de la catégorie \((\Sch/S)_\tau\). Mais notre choix des sites \((\Sch/S)_\tau\) est tel qu’il existe toujours un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \((\Sch/S)_\tau\) qui raffine le recouvrement \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\), voir Topologies, lemmes 03WX, 03X2, 03WZ, 03WW, et 03WV. Dans ce chapitre, nous ignorerons pour l’essentiel ces questions.

Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \((\Sch/S)_\tau\) ou \(S_\tau\), alors nous notons \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}), \text{ en particulier } H^p_\tau(S, \mathcal{F})\] les groupes de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur l’objet \(U\) du site, voir la section 03NT. Nous avons ainsi \(H^p_{fppf}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{syntomic}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_{smooth}(S, \mathcal{F})\), \(H^p_\etale(S, \mathcal{F})\), et \(H^p_{Zar}(S, \mathcal{F})\). Les deux derniers sont potentiellement ambigus, puisqu’ils peuvent renvoyer soit au grand, soit au petit site étale ou de Zariski. Cependant, cette ambiguïté est sans conséquence grâce au lemme suivant.

Lemme

Soit \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien défini sur \((\Sch/S)_\tau\), alors les groupes de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(S\) coïncident avec les groupes de cohomologie de \(\mathcal{F}|_{S_\tau}\) sur \(S\).

Démonstration

D’après Topologies, lemmes 020Z et 021G, les foncteurs \(S_\tau \to (\Sch/S)_\tau\) satisfont aux hypothèses de Sites, lemme 00XU. Notre lemme résulte donc de Cohomologie sur les sites, lemme 03YU.

La catégorie des faisceaux sur le grand ou le petit site étale de \(S\) ne dépend que de la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\etale\) ou de \(S_\etale\) formée des schémas affines, et il suffit de considérer entre eux les recouvrements étales standards (définis ci-dessous). Cela donne les sites \((\textit{Aff}/S)_\etale\) et \(S_{affine, \etale}\), voir Topologies, définition 021B. Les résultats de comparaison sont démontrés dans Topologies, lemmes 021E et 04HR. Voici notre définition des recouvrements standards pour certaines des topologies considérées dans ce chapitre.

Définition

(Voir Topologies, définitions 021Q, 0229, 0223, 0219, et 020R.) Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Soit \(T\) un schéma affine. Un \(\tau\)-recouvrement standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) où chaque \(U_j\) est affine, et chaque \(f_j\) est plat et de présentation finie, syntomique standard, lisse standard, étale, respectivement l’immersion d’un ouvert principal standard dans \(T\), et \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Lemme

Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Tout \(\tau\)-recouvrement d’un schéma affine peut être raffiné par un \(\tau\)-recouvrement standard.

Démonstration

Voir Topologies, lemmes 021P, 0228, 0222, 0218, et 020Q.

Par souci d’exhaustivité, nous énonçons et démontrons l’invariance, par rapport au choix de l’univers partiel, des groupes de cohomologie que nous considérons. Nous démontrerons l’invariance du petit topos étale dans le lemme 0958 ci-dessous. Pour les notations et la terminologie employées dans ce lemme, nous renvoyons à Topologies, section 022I.

Lemme

Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Soit \(S\) un schéma. Soient \((\Sch/S)_\tau\) et \((\Sch'/S)_\tau\) deux grands \(\tau\)-sites de \(S\), et supposons que le premier soit contenu dans le second. Dans ce cas,

1. pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) défini sur \((\Sch'/S)_\tau\) et tout objet \(U\) de \((\Sch/S)_\tau\), nous avons \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\tau}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}')\] Autrement dit : la cohomologie de \(\mathcal{F}'\) sur \(U\), calculée dans le site le plus grand, coïncide avec celle de la restriction de \(\mathcal{F}'\) au site le plus petit, sur \(U\).

2. pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/S)_\tau\), il existe un faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) sur \((\Sch/S)_\tau'\) dont la restriction à \((\Sch/S)_\tau\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après Topologies, lemme 022K, le foncteur d’inclusion \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU. Cela implique (2), et (1) résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 03YU.

Le topos étale

Un topos est la catégorie des faisceaux d’ensembles sur un site, voir Sites, définition 00XA. Il est donc d’usage d’employer l’expression “topos étale d’un schéma” pour désigner la catégorie des faisceaux sur le petit site étale d’un schéma. En voici la définition formelle.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Le topos étale, ou le petit topos étale de \(S\), est la catégorie \(\Sh(S_\etale)\) des faisceaux d’ensembles sur le petit site étale de \(S\).

2. Le topos de Zariski, ou le petit topos de Zariski de \(S\), est la catégorie \(\Sh(S_{Zar})\) des faisceaux d’ensembles sur le petit site de Zariski de \(S\).

3. Pour \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\), un grand \(\tau\)-topos est la catégorie des faisceaux d’ensembles sur un grand \(\tau\)-topos de \(S\).

Notons que le petit topos de Zariski de \(S\) est simplement la catégorie des faisceaux d’ensembles sur l’espace topologique sous-jacent à \(S\), voir Topologies, lemme 020X. Alors que le petit topos étale ne dépend pas des choix faits lors de la construction du petit site étale, les grands topos dépendent en général de ces choix.

Il se trouve que le grand ou le petit topos étale ne dépend que de la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\etale\) ou de \(S_\etale\) formée des schémas affines, voir Topologies, lemmes 021E et 04HR. Nous l’utiliserons par exemple dans la démonstration du lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Le topos étale de \(S\) est indépendant (à équivalence canonique près) de la construction du petit site étale de la définition 03XB.

Démonstration

Nous devons montrer qu’étant donnés deux grands sites étales \(\Sch_\etale\) et \(\Sch_\etale'\) contenant \(S\), on a \(\Sh(S_\etale) \cong \Sh(S_\etale')\) avec les notations évidentes. D’après Topologies, lemme 022J, nous pouvons supposer \(\Sch_\etale \subset \Sch_\etale'\). D’après Ensembles, lemme 000R, tout schéma affine étale sur \(S\) est isomorphe à un objet à la fois de \(\Sch_\etale\) et de \(\Sch_\etale'\). Ainsi, le foncteur induit \(S_{affine, \etale} \to S_{affine, \etale}'\) est une équivalence. En outre, il est clair que ce foncteur et un quasi-inverse transforment les recouvrements étales standards en recouvrements étales standards. Le résultat découle donc de Topologies, lemme 04HR.

Cohomologie des faisceaux quasi-cohérents

Commençons par un lemme simple (qui reste vrai dans une généralité plus grande que celle de l’énoncé). Il affirme que le complexe de Čech d’un recouvrement standard est égal au complexe de Čech d’un recouvrement fpqc de la forme \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) où \(A \to B\) est fidèlement plat.

Lemme

Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \((\Sch/S)_\tau\), ou sur \(S_\tau\) dans le cas où \(\tau = \etale\), et soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un \(\tau\)-recouvrement standard de ce site. Soit \(V = \coprod_{i \in I} U_i\). Alors

1. \(V\) est un schéma affine,

2. \(\mathcal{V} = \{V \to U\}\) est un recouvrement fpqc et aussi un \(\tau\)-recouvrement, sauf si \(\tau = Zariski\),

3. les complexes de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\) et \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F})\) coïncident.

Démonstration

La définition d’un \(\tau\)-recouvrement standard est donnée dans Topologies, définition 020R, 0219, 0223, 0229, et 021Q. Par définition, chacun des schémas \(U_i\) est affine et \(I\) est un ensemble fini. Ainsi, \(V\) est un schéma affine. Il est clair que \(V \to U\) est plat et surjectif ; par conséquent, \(\mathcal{V}\) est un recouvrement fpqc, voir l’exemple 03NY. Sauf dans le cas de Zariski, le recouvrement \(\mathcal{V}\) est aussi un \(\tau\)-recouvrement, voir Topologies, définition 0215, 021Z, 0225, et 021M.

Notons que \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{V}\) ; il existe donc un morphisme de complexes de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet (\mathcal{U}, \mathcal{F})\), voir Cohomologie sur les sites, Equation (03F4). Ensuite, observons que si \(T = \coprod_{j \in J} T_j\) est une somme disjointe de schémas du site sur lequel \(\mathcal{F}\) est défini, alors la famille de morphismes à cible fixée \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\) est un recouvrement de Zariski, et donc [03XC]\[\begin{equation} \mathcal{F}(T) = \mathcal{F}(\coprod\nolimits_{j \in J} T_j) = \prod\nolimits_{j \in J} \mathcal{F}(T_j) \end{equation}\] d’après la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\). Cela implique que le morphisme de complexes de Čech ci-dessus est un isomorphisme en chaque degré, car \[V \times_U \ldots \times_U V = \coprod\nolimits_{i_0, \ldots i_p} U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\] en tant que schémas.

Notons que l’égalité (03XC) est fausse pour un préfaisceau général. Même pour les faisceaux, elle n’est pas vraie sur tout site, car les coproduits peuvent ne pas donner des recouvrements et ne pas être disjoints. Mais elle est vraie pour tous les sites usuels (du moins pour tous ceux que nous étudierons).

Remarque

Dans l’énoncé du lemme 03OZ, le recouvrement \(\mathcal{U}\) est un raffinement de \(\mathcal{V}\), mais non l’inverse. Les recouvrements de la forme \(\{V \to U\}\) ne forment pas une sous-catégorie initiale de la catégorie de tous les recouvrements de \(U\). Il reste pourtant vrai que nous pouvons calculer la cohomologie de Čech \(\check H^n(U, \mathcal{F})\) (qui est définie comme la limite inductive indexée par la catégorie opposée à celle des recouvrements \(\mathcal{U}\) de \(U\) des groupes de cohomologie de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\)) au moyen des recouvrements \(\{V \to U\}\). Nous formulerons un lemme précis (il ne vaut que pour les faisceaux) et l’ajouterons ici si nous en avons un jour besoin.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) un site, \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\), \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\), \(p > 0\) un entier et \(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\). Alors il existe un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(U\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(\xi |_{U_i} = 0\) pour tout \(i \in I\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Alors \(\xi\) est représentée par un cocycle \(\tilde{\xi} \in \mathcal{I}^p(U)\) tel que \(d^p(\tilde{\xi}) = 0\). Par hypothèse, la suite \(\mathcal{I}^{p - 1} \to \mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\) est exacte dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\), ce qui signifie qu’il existe un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que \(\tilde{\xi}|_{U_i} = d^{p - 1}(\xi_i)\) pour un certain \(\xi_i \in \mathcal{I}^{p-1}(U_i)\). Puisque la classe de cohomologie \(\xi|_{U_i}\) est représentée par le cocycle \(\tilde{\xi}|_{U_i}\), qui est un cobord, elle s’annule. Pour plus de détails, voir Cohomologie sur les sites, lemme 01FW.

Théorème

Soit \(S\) un schéma et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{C}\) l’un des sites \((\Sch/S)_\tau\) pour \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale, Zariski\}\), ou \(S_\etale\). Alors \[H^p(S, \mathcal{F}) = H^p_\tau(S, \mathcal{F}^a)\] pour tout \(p \geq 0\), où

1. le membre de gauche désigne la cohomologie usuelle du faisceau \(\mathcal{F}\) sur l’espace topologique sous-jacent au schéma \(S\), et

2. le membre de droite désigne la cohomologie du faisceau abélien \(\mathcal{F}^a\) (voir la proposition 03OG) sur le site \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Nous allons montrer que \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) pour tout objet \(f : U \to S\) du site \(\mathcal{C}\). Le résultat est vrai pour \(p = 0\) par la propriété de faisceau.

Supposons que \(U\) soit affine. Nous voulons alors prouver que \(H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = 0\) pour tout \(p > 0\). Nous raisonnons par récurrence sur \(p\).

1. Prenons \(\xi \in H^1_\tau(U, \mathcal{F}^a)\). D’après le lemme 03P1, il existe un recouvrement fpqc \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que \(\xi|_{U_i} = 0\) pour tout \(i \in I\). Quitte à raffiner \(\mathcal{U}\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{U}\) est un \(\tau\)-recouvrement standard. En appliquant la suite spectrale du théorème 03OW, nous voyons que \(\xi\) provient d’une classe de cohomologie \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\). Considérons le recouvrement \(\mathcal{V} = \{\coprod_{i\in I} U_i \to U\}\). D’après le lemme 03OZ, \(\check H^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}^a)\). D’autre part, puisque \(\mathcal{V}\) est un recouvrement de la forme \(\{\Spec(B) \to \Spec(A)\}\) et \(f^*\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un certain \(A\)-module \(M\), nous voyons que le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F})\) n’est autre que le complexe \((B/A)_\bullet \otimes_A M\). D’après le lemme 03OA, \(H^p((B/A)_\bullet \otimes_A M) = 0\) pour \(p > 0\) ; ainsi, \(\check \xi = 0\) et donc \(\xi = 0\).

2. Prenons \(\xi \in H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\). D’après le lemme 03P1, il existe un recouvrement fpqc \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que \(\xi|_{U_i} = 0\) pour tout \(i \in I\). Quitte à raffiner \(\mathcal{U}\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{U}\) est un \(\tau\)-recouvrement standard. Nous appliquons la suite spectrale du théorème 03OW. Observons que les intersections \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) sont affines ; par l’hypothèse de récurrence, les groupes de cohomologie \[E_2^{p, q} = \check H^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^a))\] s’annulent donc pour tout \(0 < q < p\). Nous voyons que \(\xi\) doit provenir d’un \(\check \xi \in \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a)\). En remplaçant \(\mathcal{U}\) par le recouvrement \(\mathcal{V}\) qui ne contient qu’un seul morphisme et en utilisant de nouveau le lemme 03OA, nous voyons que la classe de cohomologie de Čech \(\check \xi\) doit être nulle, donc \(\xi = 0\).

Supposons ensuite que \(U\) soit séparé. Choisissons des ouverts affines \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) formant un recouvrement de \(U\). La famille \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) est alors un recouvrement fpqc, et toutes les intersections \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) sont affines, puisque \(U\) est séparé. Toutes les lignes de la suite spectrale du théorème 03OW sont donc nulles, sauf la ligne de degré zéro. Par conséquent, \[H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^a) = \check H^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\] où la dernière égalité résulte de la théorie usuelle des schémas, voir Cohomologie des schémas, lemme 01XD.

Le cas général est technique et (pour prolonger la démonstration donnée ici) nécessite une discussion sur les morphismes de suites spectrales ; nous ne le traiterons donc pas. Il résulte de Descente, Proposition 03DW, (dont la démonstration adopte une approche légèrement différente), combinée avec Cohomologie sur les sites, lemme 03F3.

Remarque

Commentaire sur le théorème 03P2. Puisque \(S\) est un objet final de la catégorie \(\mathcal{C}\), les groupes de cohomologie du membre de droite sont simplement les foncteurs dérivés à droite du foncteur des sections globales. En fait, la démonstration montre que \(H^p(U, f^*\mathcal{F}) = H^p_\tau(U, \mathcal{F}^a)\) pour tout objet \(f : U \to S\) du site \(\mathcal{C}\).

Exemples de faisceaux

Soient \(S\) et \(\tau\) comme dans la section 03X7. Nous avons déjà vu que tout préfaisceau représentable est un faisceau sur \((\Sch/S)_\tau\) ou \(S_\tau\), voir le lemme 03O3 et la remarque 03O4. Voici quelques cas particuliers.

Définition

Sur l’un quelconque des sites \((\Sch/S)_\tau\) ou \(S_\tau\) de la section 03X7 :

1. Le faisceau \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) est noté \(\mathcal{O}_S\), ou \(\mathbf{G}_a\), ou \(\mathbf{G}_{a, S}\) si nous voulons indiquer le schéma de base.

2. De même, le faisceau \(T \mapsto \Gamma(T, \mathcal{O}^*_T)\) est noté \(\mathcal{O}_S^*\), ou \(\mathbf{G}_m\), ou \(\mathbf{G}_{m, S}\) si nous voulons indiquer le schéma de base.

3. Le faisceau constant \(\underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) sur un site quelconque est le faisceau associé au préfaisceau constant \(U \mapsto \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

Le premier est un faisceau, par exemple d’après le théorème 03OJ. Le deuxième est un sous-préfaisceau du premier, dont on vérifie facilement qu’il est lui-même un faisceau. Le troisième est un faisceau par définition. Notons que chacun de ces faisceaux est représentable. Le premier et le deuxième le sont par les schémas \(\mathbf{G}_{a, S}\) et \(\mathbf{G}_{m, S}\), voir Groupoïdes, section 022R. Le troisième l’est par le schéma en groupes fini étale \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}_S\), parfois noté \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_S\), qui consiste simplement en \(n\) copies de \(S\) munies de l’évidente structure de schéma en groupes sur \(S\), voir Groupoïdes, exemple 03YW et la remarque suivante.

Remarque

Soit \(G\) un groupe abstrait. Sur l’un quelconque des sites \((\Sch/S)_\tau\) ou \(S_\tau\) de la section 03X7, le faisceau associé \(\underline{G}\) au préfaisceau constant associé à \(G\) pour la topologie de Zariski du site donne déjà \[\Gamma(U, \underline{G}) = \{\text{applications localement constantes pour la topologie de Zariski }U \to G\}\] Ce faisceau de Zariski est représentable par le schéma en groupes \(G_S\) d’après Groupoïdes, exemple 03YW. D’après le lemme 03O3, tout préfaisceau représentable satisfait aussi la condition de faisceau pour la topologie \(\tau\) ; nous concluons donc que le faisceau associé de Zariski \(\underline{G}\) ci-dessus est aussi le faisceau associé pour la topologie \(\tau\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Le faisceau structural de \(S\) est le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_S\) sur l’un quelconque des sites \(S_{Zar}\), \(S_\etale\) ou \((\Sch/S)_\tau\) considérés ci-dessus.

S’il peut y avoir une ambiguïté quant au site sur lequel nous travaillons, nous l’indiquerons au moyen d’indices. Par exemple, nous pouvons utiliser \(\mathcal{O}_{S_\etale}\) pour souligner que nous travaillons sur le petit site étale de \(S\).

Remarque

Dans la terminologie introduite ci-dessus, un cas particulier du théorème 03P2 est \[H_{fppf}^p(X, \mathbf{G}_a) = H_\etale^p(X, \mathbf{G}_a) = H_{Zar}^p(X, \mathbf{G}_a) = H^p(X, \mathcal{O}_X)\] pour tout \(p \geq 0\). De plus, nous pourrions utiliser la notation \(H^p_{fppf}(X, \mathcal{O}_X)\) pour désigner la cohomologie du faisceau structural sur le grand site fppf de \(X\).

Groupes de Picard

Le théorème suivant est parfois appelé “théorème 90 de Hilbert”.

Théorème

Pour tout schéma \(X\), nous avons des identifications canoniques \[\begin{align*} H_{fppf}^1(X, \mathbf{G}_m) & = H^1_{syntomic}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{smooth}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H_\etale^1(X, \mathbf{G}_m) \\ & = H^1_{Zar}(X, \mathbf{G}_m) \\ & = \Pic(X) \\ & = H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \end{align*}\]

Démonstration

Soit \(\tau\) l’une des topologies considérées dans la section 03X7. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 040E, nous voyons que \(H^1_\tau(X, \mathbf{G}_m) = H^1_\tau(X, \mathcal{O}_\tau^*) = \Pic(\mathcal{O}_\tau)\), où \(\mathcal{O}_\tau\) est le faisceau structural du site \((\Sch/X)_\tau\). Or un \(\mathcal{O}_\tau\)-module inversible est un \(\mathcal{O}_\tau\)-module quasi-cohérent. D’après le théorème 03OJ, ou plus précisément Descente, Proposition 03DX, nous voyons que \(\Pic(\mathcal{O}_\tau) = \Pic(X)\). La dernière égalité se démontre de la même manière.

Le site étale

Nous commençons maintenant à examiner plus en détail le site étale d’un schéma. Dans un premier temps, nous examinons brièvement la notion de morphisme étale.

Morphismes étales

Pour plus de détails, voir Morphismes, section 02GH pour la définition formelle, et Morphismes étales, sections 0257, 025A, 039P, 025F, 025J, et 025L pour un aperçu de propriétés intéressantes des morphismes étales.

Rappelons qu’une algèbre \(A\) sur un corps algébriquement clos \(k\) est lisse si elle est de type fini et si le module des différentielles \(\Omega_{A/k}\) est localement libre de type fini, de rang ègal à la dimension. Un schéma \(X\) sur \(k\) est lisse sur \(k\) s’il est localement de type fini et si chaque ouvert affine est le spectre d’une \(k\)-algèbre lisse. Si \(k\) n’est pas algébriquement clos, alors une \(k\)-algèbre \(A\) est une \(k\)-algèbre lisse si \(A \otimes_k \overline{k}\) est une \(\overline{k}\)-algèbre lisse. Un morphisme d’anneaux \(A \to B\) est lisse s’il est plat, de présentation finie et si, pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\), l’anneau de la fibre \(\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B\) est lisse sur le corps résiduel \(\kappa(\mathfrak p)\). Plus généralement, un morphisme de schémas est lisse s’il est plat, localement de présentation finie et si ses fibres géométriques sont lisses.

Pour ces faits, voir Morphismes, section 01V4. Cela nous permet de définir un morphisme étale comme suit.

Définition

Un morphisme de schémas est étale s’il est lisse de dimension relative 0.

En particulier, un morphisme de schémas \(X \to S\) est étale s’il est lisse et si \(\Omega_{X/S} = 0\).

Proposition

Propriétés des morphismes étales.

1. Soit \(k\) un corps. Un morphisme de schémas \(U \to \Spec(k)\) est étale si et seulement si \(U \cong \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\), où, pour chaque \(i \in I\), le corps \(k_i\) est une extension finie séparable de \(k\).

2. Soit \(\varphi : U \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont èquivalentes :

   1. \(\varphi\) est étale,

   2. \(\varphi\) est localement de présentation finie, plat, et toutes ses fibres sont étales,

   3. \(\varphi\) est plat, non ramifié et localement de présentation finie.

3. Un morphisme d’anneaux \(A \to B\) est étale si et seulement si \(B \cong A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) tel que \(\Delta = \det \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)\) soit inversible dans \(B\).

4. Le changement de base d’un morphisme étale est étale.

5. Les composées de morphismes étales sont étales.

6. Les produits fibrés et les produits de morphismes étales sont étales.

7. Un morphisme étale a pour dimension relative 0.

8. Soit \(Y \to X\) un morphisme étale. Si \(X\) est réduit (respectivement régulier), alors \(Y\) l’est aussi.

9. Les morphismes étales sont ouverts.

10. Si \(X \to S\) et \(Y \to S\) sont étales, alors tout \(S\)-morphisme \(X \to Y\) est lui aussi étale.

Démonstration

Nous avons démontré ces faits (et davantage) dans les chapitres précédents. Voici une liste de références : (1) Morphismes, lemme 02GL. (2) Morphismes, lemmes 02GM et 02GV. (3) Algèbre, lemme 00U9. (4) Morphismes, lemme 02GO. (5) Morphismes, lemme 02GN. (6) Découle formellement de (4) et (5). (7) Morphismes, lemmes 03WS et 0397. (8) Voir Algèbre, lemmes 033B et 033A ; voir aussi d’autres résultats de ce type dans Morphismes étales, section 025L. (9) Voir Morphismes, lemme 01UA et 02GS. (10) Voir Morphismes, lemme 02GW.

Définition

Un morphisme d’anneaux \(A \to B\) est dit étale standard si \(B \cong \left(A[t]/(f)\right)_g\) avec \(f, g \in A[t]\), où \(f\) est unitaire, et si \(\text{d}f/\text{d}t\) est inversible dans \(B\).

Il est vrai qu’un morphisme d’anneaux étale standard est étale. En effet, supposons que \(B = \left(A[t]/(f)\right)_g\) avec \(f, g \in A[t]\), où \(f\) est unitaire, et que \(\text{d}f/\text{d}t\) soit inversible dans \(B\). Alors \(A[t]/(f)\) est un \(A\)-module libre de rang égal au degré du polynôme unitaire \(f\). Par conséquent, \(B\), en tant que localisation de cette algèbre qui est libre comme module, est de présentation finie et plat sur \(A\). Pour achever la preuve que \(B\) est étale, il suffit de montrer que les anneaux des fibres \[\kappa(\mathfrak p) \otimes_A B \cong \kappa(\mathfrak p) \otimes_A (A[t]/(f))_g \cong \kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f})\] sont des produits finis d’extensions de corps finies séparables. Ici, \(\overline{f}, \overline{g} \in \kappa(\mathfrak p)[t]\) sont les images de \(f\) et \(g\). Soit \[\overline{f} = \overline{f}_1 \ldots \overline{f}_a \overline{f}_{a + 1}^{e_1} \ldots \overline{f}_{a + b}^{e_b}\] la factorisation de \(\overline{f}\) en puissances de facteurs unitaires irréductibles deux à deux distincts \(\overline{f}_i\), avec \(e_1, \ldots, e_b > 1\). Par hypothèse, \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) est inversible dans \(\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]\). Nous voyons donc que au moins les \(\overline{f}_i\), \(i > a\), sont inversibles. Nous concluons que \[\kappa(\mathfrak p)[t, 1/\overline{g}]/(\overline{f}) \cong \prod\nolimits_{i \in I} \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\] où \(I \subset \{1, \ldots, a\}\) est le sous-ensemble des indices \(i\) tels que \(\overline{f}_i\) ne divise pas \(\overline{g}\). De plus, l’image de \(\text{d}\overline{f}/\text{d}t\) dans le facteur \(\kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) est clairement égale au produit d’une unité par \(\text{d}\overline{f}_i/\text{d}t\). Nous en concluons que \(\kappa_i = \kappa(\mathfrak p)[t]/(\overline{f}_i)\) est une extension de corps finie de \(\kappa(\mathfrak p)\), engendrée par un élément dont le polynôme minimal est séparable, c’est-à-dire que l’extension de corps \(\kappa_i/\kappa(\mathfrak p)\) est finie séparable, comme souhaité.

Il se trouve que tout morphisme d’anneaux étale est localement étale standard. Pour formuler cela, introduisons la notation suivante. Un morphisme d’anneaux \(A \to B\) est étale en un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(B\) s’il existe \(h \in B\), \(h \not \in \mathfrak q\), tel que \(A \to B_h\) soit étale. Voici le résultat.

Théorème

Un morphisme d’anneaux \(A \to B\) est étale en un idéal premier \(\mathfrak q\) si et seulement s’il existe \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(B_g\) soit étale standard sur \(A\).

Démonstration

Voir Algèbre, Proposition 00UE.

Recouvrements étales

Rappelons la définition.

Définition

Un recouvrement étale d’un schéma \(U\) est une famille de morphismes de schémas \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) telle que

1. chaque \(\varphi_i\) est un morphisme étale,

2. les \(U_i\) recouvrent \(U\), c’est-à-dire \(U = \bigcup_{i\in I}\varphi_i(U_i)\).

Lemme

Tout recouvrement étale est un recouvrement fpqc.

Démonstration

(Voir aussi Topologies, lemme 022C.) Soit \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement étale. Puisqu’un morphisme étale est plat et que les éléments du recouvrement doivent recouvrir sa cible, la propriété fp (fidèlement plat) est satisfaite. Pour vérifier la propriété qc (quasi-compacité), soit \(V \subset U\) un ouvert affine, et écrivons \(\varphi_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\) pour certains ouverts affines \(V_{ij} \subset U_i\). Puisque \(\varphi_i\) est ouvert (car les morphismes étales sont ouverts), nous voyons que \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} \varphi_i(V_{ij})\) est un recouvrement ouvert de \(V\). De plus, puisque \(V\) est quasi-compact, ce recouvrement admet un raffinement fini.

Ainsi, tout énoncé vrai pour les recouvrements fpqc reste vrai a fortiori pour les recouvrements étales. Par exemple, le site étale est sous-canonique.

Définition

(Pour plus de détails, voir la section 03X7, ou Topologies, section 0214.) Soit \(S\) un schéma. Le grand site étale de \(S\) est le site \((\Sch/S)_\etale\), voir la définition 03XB. Le petit site étale de \(S\) est le site \(S_\etale\), voir la définition 03XB. Nous définissons de même le grand et le petit site de Zariski de \(S\), notés \((\Sch/S)_{Zar}\) et \(S_{Zar}\).

Grosso modo, le grand site étale de \(S\) est constitué des schémas sur \(S\) et ses recouvrements sont les recouvrements étales. Le petit site étale de \(S\) est constitué des schémas étales sur \(S\), avec pour recouvrements les recouvrements étales. En fait, tout morphisme entre objets de \(S_\etale\) est étale, en vertu de la proposition 03PC ; par conséquent, pour vérifier que \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) dans \(S_\etale\) est un recouvrement, il suffit de vérifier que \(\coprod U_i \to U\) est surjectif.

Le petit site étale a moins d’objets que le grand site étale ; il ne contient que les “ouverts” de la topologie étale sur \(S\). C’est une sous-catégorie pleine du grand site étale, et sa topologie est induite par la topologie du grand site. Ainsi, le foncteur de restriction du grand site étale au petit est exact et transforme les objets injectifs en objets injectifs. Cela a la conséquence suivante.

Proposition

Soit \(S\) un schéma et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \((\Sch/S)_\etale\). Alors \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) est un faisceau sur \(S_\etale\) et \[H^p_\etale(S, \mathcal{F}|_{S_\etale}) = H^p_\etale(S, \mathcal{F})\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 03YX.

Conformément à la notation générale introduite dans la section 03X7, nous notons \(H_\etale^p(S, \mathcal{F})\) le groupe de cohomologie ci-dessus.

Théorie de Kummer

Soit \(n \in \mathbf{N}\) et considérons le foncteur \(\mu_n\) défini par \[\begin{matrix} \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ S & \longmapsto & \mu_n(S) = \{t \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \mid t^n = 1 \}. \end{matrix}\] D’après Groupoïdes, exemple 040M, ce foncteur est représentable, et le schéma qui le représente est lui aussi noté \(\mu_n\). D’après le lemme 03O3, ce foncteur satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fpqc (en particulier, il satisfait aussi à la condition de faisceau pour les topologies étale, de Zariski, etc.).

Lemme

Si \(n\in \mathcal{O}_S^*\), alors \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] est une suite exacte courte de faisceaux aussi bien sur le petit que sur le grand site étale de \(S\).

Démonstration

Par définition, le faisceau \(\mu_{n, S}\) est le noyau de l’application \((\cdot)^n\). Il suffit donc de montrer que la dernière application est surjective. Soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\). Nous devons montrer que nous pouvons trouver un recouvrement étale de \(U\) tel que la restriction de \(f\) à chacun de ses membres soit une puissance \(n\)-ième. Posons \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] (Voir Constructions, section 01LL ou 01LQ pour une présentation du spectre relatif.) Soit \(\Spec(A) \subset U\) un ouvert affine, et supposons que \(f|_{\Spec(A)}\) corresponde à l’unité \(a \in A^*\). Alors \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) avec \(B = A[T]/(T^n - a)\). Le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est fini libre de rang \(n\), donc fidèlement plat, et nous en concluons que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est surjectif. Comme cela vaut pour tout ouvert affine de \(U\), nous concluons que \(\pi\) est surjectif. De plus, \(n\) et \(T^{n - 1}\) sont inversibles dans \(B\), donc \(nT^{n-1} \in B^*\) et le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est étale standard, en particulier étale. Comme cela vaut pour tout ouvert affine de \(U\), nous concluons que \(\pi\) est étale. Par conséquent, \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) est un recouvrement étale. De plus, \(f|_{U'} = (f')^n\), où \(f'\) est la classe de \(T\) dans \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) ; ainsi, \(\mathcal{U}\) possède la propriété voulue.

Remarque

Le lemme 03PL est faux lorsque “étale” est remplacé par “Zariski”. Comme la topologie étale est moins fine que la topologie lisse, voir Topologies, lemme 0220, il s’ensuit que la suite est aussi exacte pour la topologie lisse.

D’après le théorème 03P8, le lemme 03PL et les propriétés générales de la cohomologie, nous obtenons la suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_\etale^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_\etale^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] du moins si \(n\) est inversible sur \(S\). Lorsque \(n\) n’est pas inversible sur \(S\), nous pouvons appliquer le lemme suivant.

Lemme

Pour tout \(n \in \mathbf{N}\), la suite \[0 \to \mu_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S} \xrightarrow{(\cdot)^n} \mathbf{G}_{m, S} \to 0\] est une suite exacte courte de faisceaux sur les sites \((\Sch/S)_{fppf}\) et \((\Sch/S)_{syntomic}\).

Démonstration

Par définition, le faisceau \(\mu_{n, S}\) est le noyau de l’application \((\cdot)^n\). Il suffit donc de montrer que la dernière application est surjective. Comme la topologie syntomique est moins fine que la topologie fppf, voir Topologies, lemme 021N, il suffit de le démontrer pour la topologie syntomique. Soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(f \in \mathbf{G}_m(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*)\). Nous devons montrer que nous pouvons trouver un recouvrement syntomique de \(U\) tel que la restriction de \(f\) à chacun de ses membres soit une puissance \(n\)-ième. Posons \[U' = \underline{\Spec}_U(\mathcal{O}_U[T]/(T^n-f)) \xrightarrow{\pi} U.\] (Voir Constructions, section 01LL ou 01LQ pour une présentation du spectre relatif.) Soit \(\Spec(A) \subset U\) un ouvert affine, et supposons que \(f|_{\Spec(A)}\) corresponde à l’unité \(a \in A^*\). Alors \(\pi^{-1}(\Spec(A)) = \Spec(B)\) avec \(B = A[T]/(T^n - a)\). Le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est fini libre de rang \(n\), donc fidèlement plat, et nous en concluons que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est surjectif. Comme cela vaut pour tout ouvert affine de \(U\), nous concluons que \(\pi\) est surjectif. De plus, \(B\) est une intersection complète globale relative sur \(A\), donc le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est syntomique standard, en particulier syntomique. Comme cela vaut pour tout ouvert affine de \(U\), nous concluons que \(\pi\) est syntomique. Par conséquent, \(\mathcal{U} = \{\pi : U' \to U\}\) est un recouvrement syntomique. De plus, \(f|_{U'} = (f')^n\), où \(f'\) est la classe de \(T\) dans \(\Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}^*)\) ; ainsi, \(\mathcal{U}\) possède la propriété voulue.

Remarque

Le lemme 040N est faux pour les topologies lisse, étale ou de Zariski.

D’après le théorème 03P8, le lemme 040N et les propriétés générales de la cohomologie, nous obtenons la suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H_{fppf}^0(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^1(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \Pic(S) \ar[r]^{(\cdot)^n} & \Pic(S) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & H_{fppf}^2(S, \mu_{n, S}) \ar[r] & \ldots }\] pour tout schéma \(S\) et tout entier \(n\). Bien entendu, il existe une suite analogue en cohomologie syntomique.

Soit \(n \in \mathbf{N}\) et soit \(S\) un schéma quelconque. Il existe une autre façon, plus directe, de décrire le premier groupe de cohomologie à valeurs dans \(\mu_n\). Considérons les paires \((\mathcal{L}, \alpha)\) où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible sur \(S\) et \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_S\) est une trivialisation de la \(n\)-ième puissance tensorielle de \(\mathcal{L}\). Soit \((\mathcal{L}', \alpha')\) une seconde paire de ce type. Un isomorphisme \(\varphi : (\mathcal{L}, \alpha) \to (\mathcal{L}', \alpha')\) est un isomorphisme \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) de faisceaux inversibles tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{L}^{\otimes n} \ar[d]_{\varphi^{\otimes n}} \ar[r]_\alpha & \mathcal{O}_S \ar[d]^1 \\ (\mathcal{L}')^{\otimes n} \ar[r]^{\alpha'} & \mathcal{O}_S \\ }\] soit commutatif. Nous avons donc [040P]\[\begin{equation} \mathit{Isom}_S((\mathcal{L}, \alpha), (\mathcal{L}', \alpha')) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{si} & \text{elles ne sont pas isomorphes} \\ H^0(S, \mu_{n, S})\cdot \varphi & \text{si} & \varphi \text{ est un isomorphisme de paires} \end{matrix} \right. \end{equation}\] De plus, étant données deux paires \((\mathcal{L}, \alpha)\), \((\mathcal{L}', \alpha')\), le produit tensoriel \[(\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha') = (\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}', \alpha \otimes \alpha')\] est encore une paire. La paire \((\mathcal{O}_S, 1)\) est un élément neutre pour cette opération de produit tensoriel, et un inverse est donné par \[(\mathcal{L}, \alpha)^{-1} = (\mathcal{L}^{\otimes -1}, \alpha^{\otimes -1}).\] Ainsi, l’ensemble des classes d’isomorphisme de paires forme un groupe abélien. Notons que \[(\mathcal{L}, \alpha)^{\otimes n} = (\mathcal{L}^{\otimes n}, \alpha^{\otimes n}) \xrightarrow{\alpha} (\mathcal{O}_S, 1)\] est un isomorphisme ; par conséquent, tout élément de ce groupe est d’ordre divisant \(n\). Nous avertissons le lecteur que ce groupe n’est en général pas la \(n\)-torsion de \(\Pic(S)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Il existe une identification canonique \[H_\etale^1(S, \mu_n) = \text{groupe des paires }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ \`a isomorphisme pr\`es comme ci-dessus}\] si \(n\) est inversible sur \(S\). En général, nous avons \[H_{fppf}^1(S, \mu_n) = \text{groupe des paires }(\mathcal{L}, \alpha)\text{ \`a isomorphisme pr\`es comme ci-dessus}.\] Le même résultat vaut en remplaçant fppf par syntomique.

Démonstration

Nous démontrons d’abord le second isomorphisme. Soit \((\mathcal{L}, \alpha)\) une paire comme ci-dessus. Choisissons un recouvrement de \(S = \bigcup U_i\) par des ouverts affines tel que \(\mathcal{L}|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}\). Choisissons un générateur \(s_i \in \mathcal{L}(U_i)\). Alors \(\alpha(s_i^{\otimes n}) = f_i \in \mathcal{O}_S^*(U_i)\). En écrivant \(U_i = \Spec(A_i)\), nous voyons qu’il existe une intersection complète globale relative \(A_i \to B_i = A_i[T]/(T^n - f_i)\) telle que \(f_i\) devienne une puissance \(n\)-ième dans \(B_i\). Autrement dit, en posant \(V_i = \Spec(B_i)\), nous obtenons un recouvrement syntomique \(\mathcal{V} = \{V_i \to S\}_{i \in I}\) et des trivialisations \(\varphi_i : (\mathcal{L}, \alpha)|_{V_i} \to (\mathcal{O}_{V_i}, 1)\).

Nous utiliserons ce résultat (l’existence du recouvrement \(\mathcal{V}\)) pour associer à cette paire une classe de cohomologie dans \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\). Nous donnons deux constructions (équivalentes).

Première construction : au moyen de la cohomologie de Čech. Sur les intersections doubles \(V_i \times_S V_j\), nous avons l’isomorphisme \[(\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1) \xrightarrow{\text{pr}_0^*\varphi_i^{-1}} (\mathcal{L}|_{V_i \times_S V_j}, \alpha|_{V_i \times_S V_j}) \xrightarrow{\text{pr}_1^*\varphi_j} (\mathcal{O}_{V_i \times_S V_j}, 1)\] de paires. D’après (040P), il est donné par un élément \(\zeta_{ij} \in \mu_n(V_i \times_S V_j)\). Nous omettons la vérification que ces \(\zeta_{ij}\) forment un \(1\)-cocycle, c’est-à-dire qu’ils donnent un élément \((\zeta_{i_0i_1}) \in \check C(\mathcal{V}, \mu_n)\) tel que \(d(\zeta_{i_0i_1}) = 0\). Sa classe est donc un élément de \(\check H^1(\mathcal{V}, \mu_n)\) et, d’après le théorème 03OW, elle a pour image une classe de cohomologie dans \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\).

Seconde construction : au moyen des torseurs. Considérons le préfaisceau \[\mu_n(\mathcal{L}, \alpha) : U \longmapsto \mathit{Isom}_U((\mathcal{O}_U, 1), (\mathcal{L}, \alpha)|_U)\] sur \((\Sch/S)_{syntomic}\). Nous pouvons le voir comme un sous-préfaisceau de \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{L})\) (faisceau Hom interne, voir Modules sur les sites, section 04TT). Comme les conditions qui définissent ce sous-préfaisceau sont locales, nous voyons que c’est un faisceau. D’après (040P), ce faisceau est muni d’une action libre du faisceau \(\mu_{n, S}\). Il reste donc seulement à vérifier qu’il admet localement des sections. C’est vrai grâce à l’existence du recouvrement trivialisant \(\mathcal{V}\). Ainsi, \(\mu_n(\mathcal{L}, \alpha)\) est un \(\mu_{n, S}\)-torseur et, d’après Cohomologie sur les sites, lemme 03AJ, nous obtenons un élément correspondant de \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\).

Il nous reste maintenant à montrer les points suivants :

1. Les deux constructions donnent la même classe de cohomologie.

2. Des paires isomorphes donnent la même classe de cohomologie.

3. La classe de cohomologie de \((\mathcal{L}, \alpha) \otimes (\mathcal{L}', \alpha')\) est la somme des classes de cohomologie de \((\mathcal{L}, \alpha)\) et \((\mathcal{L}', \alpha')\).

4. Si la classe de cohomologie est triviale, alors la paire est triviale.

5. Tout élément de \(H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\) est la classe de cohomologie d’une paire.

Nous omettons la preuve de (1). Le point (2) ressort clairement de la seconde construction, puisque des torseurs isomorphes donnent la même classe de cohomologie. Le point (3) ressort clairement de la première construction, puisque les classes de Čech obtenues s’additionnent. Le point (4) ressort clairement de la seconde construction, puisqu’un torseur est trivial si et seulement s’il possède une section globale, voir Cohomologie sur les sites, lemme 03AI.

Le point (5) se voit comme suit (bien qu’une preuve directe soit préférable). Supposons que \(\xi \in H^1_{syntomic}(S, \mu_{n, S})\). Alors \(\xi\) s’envoie sur un élément \(\overline{\xi} \in H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\) tel que \(n \overline{\xi} = 0\). D’après le théorème 03P8, nous voyons que \(\overline{\xi}\) correspond à un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) dont la \(n\)-ième puissance tensorielle est isomorphe à \(\mathcal{O}_S\). Il existe donc une paire \((\mathcal{L}, \alpha')\) dont la classe de cohomologie \(\xi'\) a la même image \(\overline{\xi'}\) dans \(H^1_{syntomic}(S, \mathbf{G}_{m, S})\). Il suffit donc de montrer que \(\xi - \xi'\) est la classe d’une paire. Par construction et d’après la suite exacte longue de cohomologie ci-dessus, nous voyons que \(\xi - \xi' = \partial(f)\) pour un certain \(f \in H^0(S, \mathcal{O}_S^*)\). Considérons la paire \((\mathcal{O}_S, f)\). Nous omettons la vérification que la classe de cohomologie de cette paire est \(\partial(f)\), ce qui achève la preuve de la première identification (avec fppf remplacée par syntomique).

Pour voir la première identification, notons que si \(n\) est inversible sur \(S\), alors le recouvrement \(\mathcal{V}\) construit dans la première partie de la preuve est en fait un recouvrement étale (comparer avec la preuve du lemme 03PL). Le reste de la preuve est indépendant de la topologie, à l’exception du tout dernier argument, qui utilise l’exactitude de la suite de Kummer, c’est-à-dire le lemme 03PL.

Voisinages, fibres et points

Nous pouvons associer à tout point géométrique de \(S\) un foncteur fibre qui est exact. Un morphisme de faisceaux sur \(S_\etale\) est un isomorphisme si et seulement s’il induit un isomorphisme sur toutes ces fibres. Un complexe de faisceaux abéliens est exact si et seulement si le complexe des fibres est exact en tout point géométrique. Ces faits, pris ensemble, signifient que le petit site étale d’un schéma \(S\) possède assez de points. Il se trouve aussi que tout point du petit topos étale de \(S\) (notion abstraite) est donné par un point géométrique. Ainsi, en un certain sens, le petit topos étale de \(S\) peut se comprendre en termes de points géométriques et de voisinages.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Un point géométrique de \(S\) est un morphisme \(\Spec(k) \to S\) où \(k\) est algébriquement clos. Un tel point se note habituellement \(\overline{s}\), autrement dit au moyen d’une lettre minuscule surmontée d’une barre. Nous employons souvent \(\overline{s}\) pour désigner aussi bien le schéma \(\Spec(k)\) que le morphisme, et nous employons \(\kappa(\overline{s})\) pour désigner \(k\).

2. Nous disons que \(\overline{s}\) est au-dessus de \(s\) pour indiquer que \(s \in S\) est l’image de \(\overline{s}\).

3. Un voisinage étale d’un point géométrique \(\overline{s}\) de \(S\) est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & U \ar[d]^\varphi \\ {\overline{s}} \ar[r]^{\overline{s}} \ar[ur]^{\bar u} & S }\] où \(\varphi\) est un morphisme étale de schémas. Nous écrivons \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\).

4. Un morphisme de voisinages étales \((U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) est un \(S\)-morphisme \(h: U \to U'\) tel que \(\overline{u}' = h \circ \overline{u}\).

Remarque

Puisque \(U\) et \(U'\) sont étales sur \(S\), tout \(S\)-morphisme entre eux est lui aussi étale, voir la proposition 03PC. En particulier, tous les morphismes de voisinages étales sont étales.

Remarque

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Dans Compléments sur les morphismes, définition 02LE, nous avons défini la notion de voisinage étale \((U, u) \to (S, s)\) de \((S, s)\). Si \(\overline{s}\) est un point géométrique de \(S\) au-dessus de \(s\), alors tout voisinage étale \((U, \overline{u}) \to (S, \overline{s})\) donne lieu à un voisinage étale \((U, u)\) de \((S, s)\) en prenant pour \(u \in U\) l’unique point de \(U\) tel que \(\overline{u}\) soit au-dessus de \(u\). Réciproquement, étant donné un voisinage étale \((U, u)\) de \((S, s)\), l’extension de corps résiduels \(\kappa(u)/\kappa(s)\) est finie séparable (voir la proposition 03PC) ; nous pouvons donc trouver un plongement \(\kappa(u) \subset \kappa(\overline{s})\) qui induit l’identité sur \(\kappa(s)\). Autrement dit, nous pouvons trouver un point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\) au-dessus de \(u\) tel que \((U, \overline{u})\) soit un voisinage étale de \((S, \overline{s})\). Nous utiliserons ces observations pour passer d’un type de voisinage étale à l’autre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, et soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). La catégorie des voisinages étales est cofiltrante. Plus précisément :

1. Soient \((U_i, \overline{u}_i)_{i = 1, 2}\) deux voisinages étales de \(\overline{s}\) dans \(S\). Alors il existe un troisième voisinage étale \((U, \overline{u})\) et des morphismes \((U, \overline{u}) \to (U_i, \overline{u}_i)\), \(i = 1, 2\).

2. Soient \(h_1, h_2: (U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) deux morphismes entre voisinages étales de \(\overline{s}\). Alors il existe un voisinage étale \((U'', \overline{u}'')\) et un morphisme \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\) qui égalise \(h_1\) et \(h_2\), c’est-à-dire tel que \(h_1 \circ h = h_2 \circ h\).

Démonstration

Pour le point (1), considérons le produit fibré \(U = U_1 \times_S U_2\). Il est étale sur \(U_1\) et sur \(U_2\), puisque les morphismes étales sont préservés par changement de base, voir la proposition 03PC. Le morphisme \(\overline{s} \to U\) défini par \((\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) lui confère la structure d’un voisinage étale muni de morphismes vers \(U_1\) et \(U_2\). Pour le point (2), définissons \(U''\) comme le produit fibré \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^{(h_1, h_2)} \\ U' \ar[r]^-\Delta & U' \times_S U'. }\] Puisque les composées de \(\overline{u}\) et \(\overline{u}'\) vers \(S\) sont toutes deux égales à \(\overline{s}\), nous voyons que \(\overline{u}'' = (\overline{u}, \overline{u}')\) est un point géométrique de \(U''\). En particulier, \(U'' \not = \emptyset\). De plus, puisque \(U'\) est étale sur \(S\), le produit fibré \(U'\times_S U'\) l’est aussi (voir la proposition 03PC). Ainsi, la flèche verticale \((h_1, h_2)\) est étale d’après la remarque 03PP ci-dessus. Par conséquent, \(U''\) est étale sur \(U'\) par changement de base, et donc aussi étale sur \(S\) (car les composées de morphismes étales sont étales). Ainsi, \((U'', \overline{u}'')\) est une solution au problème.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Soit \((U, \overline{u})\) un voisinage étale de \(\overline{s}\). Soit \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U \}_{i\in I}\) un recouvrement étale. Alors il existe \(i \in I\) et \(\overline{u}_i : \overline{s} \to U_i\) tels que \(\varphi_i : (U_i, \overline{u}_i) \to (U, \overline{u})\) soit un morphisme de voisinages étales.

Démonstration

Comme \(U = \bigcup_{i\in I} \varphi_i(U_i)\), le produit fibré \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) n’est pas vide pour un certain \(i\). Considérons alors le diagramme cartésien \[\xymatrix{ \overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-{\text{pr}_2} & U_i \ar[d]^{\varphi_i} \\ \Spec(k) = \overline{s} \ar@/^1pc/[u]^\sigma \ar[r]^-{\overline{u}} & U }\] La projection \(\text{pr}_1\) est le changement de base d’un morphisme étale ; elle est donc étale, voir la proposition 03PC. Par conséquent, \(\overline{s} \times_{\overline{u}, U, \varphi_i} U_i\) est une somme disjointe d’extensions finies séparables de \(k\), d’après la proposition 03PC. Ici, \(\overline{s} = \Spec(k)\). Mais \(k\) est algébriquement clos, donc toutes ces extensions sont triviales, et il existe une section \(\sigma\) de \(\text{pr}_1\). La composée \(\text{pr}_2 \circ \sigma\) donne un morphisme compatible avec \(\overline{u}\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(S_\etale\). Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). La fibre de \(\mathcal{F}\) en \(\overline{s}\) est \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] où \((U, \overline{u})\) parcourt tous les voisinages étales de \(\overline{s}\) dans \(S\).

D’après le lemme 03PQ, cette limite inductive est indexée par une catégorie filtrante, à savoir l’opposée de la catégorie des voisinages étales. Autrement dit, un élément de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) peut étre considéré comme un triplet \((U, \overline{u}, \sigma)\) où \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\). Deux triplets \((U, \overline{u}, \sigma)\), \((U', \overline{u}', \sigma')\) définissent le même élément de la fibre s’il existe un troisième voisinage étale \((U'', \overline{u}'')\) et des morphismes de voisinages étales \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\), \(h' : (U'', \overline{u}'') \to (U', \overline{u}')\) tels que \(h^*\sigma = (h')^*\sigma'\) dans \(\mathcal{F}(U'')\). Voir Catégories, section 04AX.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Considérons le foncteur \[\begin{align*} u : S_\etale & \longrightarrow \textit{Ensembles}, \\ U & \longmapsto |U_{\overline{s}}| = \{\overline{u} \text{ tel que }(U, \overline{u}) \text{ soit un voisinage \'etale de }\overline{s}\}. \end{align*}\] Ici, \(|U_{\overline{s}}|\) désigne l’ensemble sous-jacent à la fibre géométrique. Alors \(u\) définit un point \(p\) du site \(S_\etale\) (Sites, définition 00Y5) et le foncteur fibre associé \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) (Sites, Equation 04EH) est le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) défini ci-dessus.

Démonstration

Dans la preuve du lemme 03PR, nous avons vu que le schéma \(U_{\overline{s}}\) est une somme disjointe de schémas isomorphes à \(\overline{s}\). Nous pouvons donc aussi considérer \(|U_{\overline{s}}|\) comme l’ensemble des points géométriques de \(U\) situés au-dessus de \(\overline{s}\), c’est-à-dire comme l’ensemble des morphismes \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) qui s’inscrivent dans le diagramme de la définition 03PO. Il s’ensuit que \(u(S)\) est un singleton, et que \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\) chaque fois que \(U \to V\) et \(W \to V\) sont des morphismes dans \(S_\etale\). Et, étant donné un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) dans \(S_\etale\), nous voyons que \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) est surjectif par le lemme 03PR. Par conséquent, Sites, Proposition 00YC s’applique, de sorte que \(p\) est un point du site \(S_\etale\). Enfin, notre foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) est donné par exactement la même limite inductive que le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) associé à \(p\) dans Sites, Equation 04EH, ce qui démontre la dernière assertion.

Remarque

Soit \(S\) un schéma et soient \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) et \(\overline{s}' : \Spec(k') \to S\) deux points géométriques de \(S\). Un morphisme \(a : \overline{s} \to \overline{s}'\) de points géométriques est simplement un morphisme \(a : \Spec(k) \to \Spec(k')\) tel que \(\overline{s}' \circ a = \overline{s}\). Étant donné un tel morphisme, nous obtenons un foncteur de la catégorie des voisinages étales de \(\overline{s}'\) vers la catégorie des voisinages étales de \(\overline{s}\) par la règle \((U, \overline{u}') \mapsto (U, \overline{u}' \circ a)\). Nous obtenons donc une application canonique \[\mathcal{F}_{\overline{s}'} = \colim_{(U, \overline{u}')} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] donnée par Catégories, lemme 002K. En utilisant la description des éléments des fibres par des triplets, elle envoie l’élément de \(\mathcal{F}_{\overline{s}'}\) représenté par le triplet \((U, \overline{u}', \sigma)\) sur l’élément de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) représenté par le triplet \((U, \overline{u}' \circ a, \sigma)\). Comme le foncteur ci-dessus est manifestement une équivalence, nous concluons que cette application canonique est un isomorphisme de foncteurs fibres.

Assurons-nous que l’application de fibres correspondant à \(a\) est orientée dans le bon sens. Notons que ce qui précède signifie, d’après Sites, définition 00YI, que \(a\) définit un morphisme \(a : p \to p'\) entre les points \(p, p'\) du site \(S_\etale\) associés à \(\overline{s}, \overline{s}'\) par le lemme 04FM. Il existe des morphismes plus généraux de points (correspondant à des spécialisations de points de \(S\)), que nous décrirons plus loin et qui ne seront pas des isomorphismes, voir la section 0GJ2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\).

1. Le foncteur fibre \(\textit{PAb}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) est exact.

2. On a \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) pour tout préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(S_\etale\).

3. Le foncteur \(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) est exact.

4. De même, les foncteurs \(\textit{PSh}(S_\etale) \to \textit{Ensembles}\) et \(\Sh(S_\etale) \to \textit{Ensembles}\) donnés par le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) sont exacts (voir Catégories, définition 0034) et commutent aux limites inductives arbitraires.

Démonstration

Avant d’indiquer comment le démontrer par des arguments directs, notons que le résultat découle de la théorie générale de Modules sur les sites, section 04EM. Cela est vrai parce que \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) provient d’un point du petit site étale de \(S\), voir le lemme 04FM. Nous ne donnerons une preuve directe que de (1), (2) et (3), et omettrons une preuve directe de (4).

L’exactitude comme foncteur sur \(\textit{PAb}(S_\etale)\) découle formellement du fait que les limites inductives filtrantes commutent à toutes les limites inductives et aux limites finies. L’identification des fibres dans (2) se fait au moyen de l’application \[\kappa : \mathcal{F}_{\overline{s}} \longrightarrow (\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\] induite par le morphisme naturel \(\mathcal{F}\to \mathcal{F}^\#\), voir le théorème 03NS. Nous affirmons que cette application est un isomorphisme de groupes abéliens. Nous montrerons l’injectivité et omettrons la preuve de la surjectivité.

Soit \(\sigma\in \mathcal{F}_{\overline{s}}\). Il existe un voisinage étale \((U, \overline{u})\to (S, \overline{s})\) tel que \(\sigma\) soit l’image d’une section \(s \in \mathcal{F}(U)\). Si \(\kappa(\sigma) = 0\) dans \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{s}}\), alors il existe un morphisme de voisinages étales \((U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\) tel que \(s|_{U'}\) soit nul dans \(\mathcal{F}^\#(U')\). Il s’ensuit qu’il existe un recouvrement étale \(\{U_i'\to U'\}_{i\in I}\) tel que \(s|_{U_i'}=0\) dans \(\mathcal{F}(U_i')\) pour tout \(i\). Par le lemme 03PR, il existe \(i \in I\) et un morphisme \(\overline{u}_i': \overline{s} \to U_i'\) tels que \((U_i', \overline{u}_i') \to (U', \overline{u}')\to (U, \overline{u})\) soient des morphismes de voisinages étales. Ainsi \(\sigma = 0\) puisque \((U_i', \overline{u}_i') \to (U, \overline{u})\) est un morphisme de voisinages étales tel que l’on ait \(s|_{U'_i}=0\). Cela démontre que \(\kappa\) est injectif.

Pour montrer que le foncteur \(\textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) est exact, considérons une suite exacte courte quelconque dans \(\textit{Ab}(S_\etale)\) : \(0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal H \to 0.\) Elle nous donne la suite exacte de préfaisceaux \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal H \to \mathcal H/^p\mathcal{G} \to 0,\] où \(/^p\) désigne le quotient dans \(\textit{PAb}(S_\etale)\). En prenant les fibres en \(\overline{s}\), nous voyons que \((\mathcal H /^p\mathcal{G})_{\bar{s}} = (\mathcal H /\mathcal{G})_{\bar{s}} = 0\), puisque le faisceau associé à \(\mathcal H/^p\mathcal{G}\) est \(0\). Par conséquent, \[0\to \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}} \to \mathcal{H}_{\overline{s}} \to 0 = (\mathcal H/^p\mathcal{G})_{\overline{s}}\] est exacte, puisque prendre les fibres est exact comme foncteur sur les préfaisceaux.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de faisceaux d’ensembles est injectif (resp. surjectif) si et seulement si le morphisme sur les fibres \(a_{\overline{s}} : \mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) est injectif (resp. surjectif) pour tout point géométrique de \(S\). Une suite de faisceaux abéliens sur \(S_\etale\) est exacte si et seulement si elle est exacte sur toutes les fibres aux points géométriques de \(S\).

Démonstration

La nécessité de l’exactitude sur les fibres découle du lemme 03PT. Réciproquement, il suffit de montrer qu’un morphisme de faisceaux est surjectif (respectivement injectif) si et seulement s’il est surjectif (respectivement injectif) sur toutes les fibres. Nous le démontrons dans le cas de la surjectivité et omettons la preuve dans le cas de l’injectivité.

Soit \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux tel que \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \to \mathcal{G}_{\overline{s}}\) soit surjectif pour tout point géométrique. Fixons \(U \in \Ob(S_\etale)\) et \(s \in \mathcal{G}(U)\). Pour tout \(u \in U\), choisissons un \(\overline{u} \to U\) situé au-dessus de \(u\) et un voisinage étale \((V_u , \overline{v}_u) \to (U, \overline{u})\) tel que \(s|_{V_u} = \alpha(s_{V_u})\) pour un certain \(s_{V_u} \in \mathcal{F}(V_u)\). C’est possible puisque \(\alpha\) est surjectif sur les fibres. Alors \(\{V_u \to U\}_{u \in U}\) est un recouvrement étale sur lequel les restrictions de \(s\) appartiennent à l’image du morphisme \(\alpha\). Ainsi, \(\alpha\) est surjectif, voir Sites, section 00WL.

Remarques

Quelques remarques sur les points des sites géométriques.

1. Le théorème 03PU dit que la famille de points de \(S_\etale\) donnée par les points géométriques de \(S\) (lemme 04FM) est conservative, voir Sites, définition 00YK. En particulier, \(S_\etale\) a assez de points.

2. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau sur le grand site étale [04FP] de \(S\). Soit \(T \to S\) un objet du grand site étale de \(S\), et soit \(\overline{t}\) un point géométrique de \(T\). Nous définissons alors \(\mathcal{F}_{\overline{t}}\) comme la fibre de la restriction \(\mathcal{F}|_{T_\etale}\) de \(\mathcal{F}\) au petit site étale de \(T\). Autrement dit, nous pouvons définir la fibre de \(\mathcal{F}\) en tout point géométrique de tout schéma \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\).

3. Le grand site étale de \(S\) a lui aussi assez de points, en considérant tous les points géométriques de tous les objets de ce site, voir (04FP).

Le lemme suivant devrait être omis en première lecture.

Lemme

Soit \(S\) un schéma.

1. Soit \(p\) un point du petit site étale \(S_\etale\) de \(S\) donné par un foncteur \(u : S_\etale \to \textit{Ensembles}\). Alors il existe un point géométrique \(\overline{s}\) de \(S\) tel que \(p\) soit isomorphe au point de \(S_\etale\) associé à \(\overline{s}\) dans le lemme 04FM.

2. Soit \(p : \Sh(pt) \to \Sh(S_\etale)\) un point du petit topos étale de \(S\). Alors \(p\) provient d’un point géométrique de \(S\), c’est-à-dire que le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est isomorphe à un foncteur fibre tel que défini dans la définition 040R.

Démonstration

D’après Sites, lemme 00YA, il existe une correspondance bijective entre les points du site et les points du topos associé ; il suffit donc de démontrer (1). D’après Sites, Proposition 00YC, le foncteur \(u\) a les propriétés suivantes : (a) \(u(S) = \{*\}\), (b) \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\), et (c) si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement étale, alors \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) est surjectif. En particulier, si \(U' \subset U\) est un sous-schéma ouvert, alors \(u(U') \subset u(U)\). De plus, d’après Sites, lemme 00YA, nous pouvons écrire \(u(U) = p^{-1}(h_U^\#)\) ; autrement dit, \(u(U)\) est la fibre du faisceau représentable \(h_U\). Si \(U = V \amalg W\), alors nous voyons que \(h_U = (h_V \amalg h_W)^\#\) et obtenons \(u(U) = u(V) \amalg u(W)\) puisque \(p^{-1}\) est exact.

Considérons la restriction de \(u\) à \(S_{Zar}\). D’après Sites, Exemples 00YE et 04EJ, il existe un unique point \(s \in S\) tel que, pour \(S' \subset S\) ouvert, nous ayons \(u(S') = \{*\}\) si \(s \in S'\) et \(u(S') = \emptyset\) si \(s \not \in S'\). Notons que si \(\varphi : U \to S\) est un objet de \(S_\etale\), alors \(\varphi(U) \subset S\) est ouvert (voir la proposition 03PC) et \(\{U \to \varphi(U)\}\) est un recouvrement étale. Nous concluons donc que \(u(U) = \emptyset \Leftrightarrow s \not \in \varphi(U)\).

Choisissons un point géométrique \(\overline{s} : \overline{s} \to S\) au-dessus de \(s\), voir la définition 03PO pour l’abus de notation usuel. Supposons que \(\varphi : U \to S\) soit un objet de \(S_\etale\) avec \(U\) affine. Notons que \(\varphi\) est séparé et que la fibre \(U_s\) de \(\varphi\) au-dessus de \(s\) est un schéma affine sur \(\Spec(\kappa(s))\) et qu’elle est le spectre d’un produit fini d’extensions finies séparables \(k_i\) de \(\kappa(s)\). Nous pouvons donc appliquer Morphismes étales, lemme 04HM pour obtenir un voisinage étale \((V, \overline{v})\) de \((S, \overline{s})\) tel que \[U \times_S V = U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \amalg W\] où \(U_i \to V\) est un isomorphisme et \(W\) n’a aucun point au-dessus de \(\overline{v}\). Nous concluons donc que \[u(U) \times u(V) = u(U \times_S V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) \amalg u(W)\] et, bien sûr, aussi \(u(U_i) = u(V)\). Après avoir un peu rétréci \(V\), nous pouvons supposer que \(V\) a exactement un point au-dessus de \(s\) et que, par conséquent, \(W\) n’a aucun point au-dessus de \(s\). D’après ce qui précède, cela donne alors \(u(W) = \emptyset\). Nous obtenons donc \[u(U) \times u(V) = u(U_1) \amalg \ldots \amalg u(U_n) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} u(V)\] où les signes d’égalité sont compatibles avec les applications vers l’ensemble \(u(V)\). Notons que \(u(V) \not = \emptyset\) puisque \(s\) est dans l’image de \(V \to S\). En particulier, nous voyons que, dans cette situation, \(u(U)\) est un ensemble fini à \(n\) éléments : en effet, le membre de gauche a pour fibre \(u(U)\) au-dessus de tout élément de \(u(V)\) et le membre de droite a une fibre de cardinal \(n\).

Considérons la limite \[\lim_{(V, \overline{v})} u(V)\] sur la catégorie des voisinages étales \((V, \overline{v})\) de \(\overline{s}\). Il est clair que nous obtenons la même valeur en prenant la limite sur la sous-catégorie des \((V, \overline{v})\) tels que \(V\) soit affine. D’après le paragraphe précédent (appliqué en échangeant les rôles de \(V\) et \(U\)), nous voyons que, dans ce cas, \(u(V)\) est toujours un ensemble fini non vide. De plus, la catégorie d’indexation est cofiltrante, voir le lemme 03PQ. Par conséquent, d’après Catégories, section 04AY, la limite est non vide. Choisissons un élément \(x\) de cette limite. Cela signifie que nous obtenons un \(x_{V, \overline{v}} \in u(V)\) pour chaque voisinage étale \((V, \overline{v})\) de \((S, \overline{s})\) tel que, pour tout morphisme de voisinages étales \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\), on ait \(u(\varphi)(x_{V', \overline{v}'}) = x_{V, \overline{v}}\).

Nous utiliserons le choix de \(x\) pour construire une application bijective fonctorielle \[c : |U_{\overline{s}}| \longrightarrow u(U)\] pour \(U \in \Ob(S_\etale)\), ce qui conclura la preuve. Voir le lemme 04FM et sa preuve pour une description de \(|U_{\overline{s}}|\). Nous affirmons d’abord qu’il suffit de construire l’application pour \(U\) affine. Nous omettons la preuve de cette affirmation. Supposons que \(U \to S\) soit un objet de \(S_\etale\), avec \(U\) affine, et soit \(\overline{u} : \overline{s} \to U\) un élément de \(|U_{\overline{s}}|\). Choisissons \((V, \overline{v})\) tel que \(U \times_S V\) se décompose comme dans le troisième paragraphe de la preuve. Alors le couple \((\overline{u}, \overline{v})\) donne un point géométrique de \(U \times_S V\) au-dessus de \(\overline{v}\) et détermine l’une des composantes \(U_i\) de \(U \times_S V\). Plus précisément, il existe une section \(\sigma : V \to U \times_S V\) de la projection \(\text{pr}_U\) telle que \((\overline{u}, \overline{v}) = \sigma \circ \overline{v}\). Posons \(c(\overline{u}) = u(\text{pr}_U)(u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})) \in u(U)\). Nous devons vérifier que cela est indépendant du choix de \((V, \overline{v})\). D’après le lemme 03PQ, la catégorie des voisinages étales est cofiltrante. Il suffit donc de montrer que, étant donnés un morphisme de voisinages étales \(\varphi : (V', \overline{v}') \to (V, \overline{v})\) et le choix d’une section \(\sigma' : V' \to U \times_S V'\) de la projection telle que \((\overline{u}, \overline{v'}) = \sigma' \circ \overline{v}'\), on a \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] Il se peut que ce diagramme ne soit pas commutatif. La raison en est que les schémas \(V'\) et \(V\) ne sont peut-être pas connexes, et donc que les décompositions utilisées ci-dessus pour construire \(\sigma'\) et \(\sigma\) ne sont peut-être pas uniques. Mais nous savons que \(\sigma \circ \varphi \circ \overline{v}' = (1 \times \varphi) \circ \sigma' \circ \overline{v}'\) par construction. Par conséquent, puisque \(U \times_S V\) est étale sur \(S\), il existe un voisinage ouvert \(V'' \subset V'\) de \(\overline{v'}\) tel que le diagramme soit commutatif après restriction à \(V''\), voir Morphismes, lemme 04HB. Cela signifie que nous pouvons compléter le diagramme ci-dessus en \[\xymatrix{ V'' \ar[r] \ar[d]^{\sigma'|_{V''}} & V' \ar[d]^{\sigma'} \ar[r]_\varphi & V \ar[d]^\sigma \\ U \times_S V'' \ar[r] & U \times_S V' \ar[r]^{1 \times \varphi} & U \times_S V }\] de sorte que le carré de gauche et le rectangle extérieur soient commutatifs. Comme \(u\) est un foncteur, cela implique que \(x_{V'', \overline{v}'}\) s’envoie sur le même élément de \(u(U \times_S V)\) quel que soit le chemin suivi dans le diagramme. D’autre part, il s’envoie sur les éléments \(x_{V', \overline{v}'}\) et \(x_{V, \overline{v}}\) dans \(u(V')\) et \(u(V)\). Cela implique l’égalité voulue \(u(\sigma')(x_{V', \overline{v}'}) = u(\sigma)(x_{V, \overline{v}})\).

De manière analogue, on démontre que la construction \(c : |U_{\overline{s}}| \to u(U)\) est fonctorielle en \(U\) ; nous omettons les détails. Enfin, d’après les résultats du troisième paragraphe, il est clair que l’application \(c\) est bijective, ce qui termine la preuve du lemme.

Points dans d’autres topologies

Dans cette section, nous discutons brièvement de l’existence de points pour certains sites autres que le site étale d’un schéma. Nous renvoyons à Sites, section 00YJ et à Topologies, section 020M et suivantes pour la terminologie employée dans cette section. Tous les sites géométriques ont assez de points.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Tous les sites suivants ont assez de points : \(S_{affine, Zar}\), \(S_{Zar}\), \(S_{affine, \etale}\), \(S_\etale\), \((\Sch/S)_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \((\Sch/S)_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), \((\Sch/S)_{smooth}\), \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\), \((\Sch/S)_{syntomic}\), \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\), \((\Sch/S)_{fppf}\) et \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\).

Démonstration

Pour chacun des grands sites, le topos associé est équivalent au topos défini par le site \((\textit{Aff}/S)_\tau\), voir Topologies, lemmes 020W, 021E, 06VC, 06VD et 021V. Le résultat pour les sites \((\textit{Aff}/S)_\tau\) découle immédiatement du résultat de Deligne, Sites, lemme 0DW0.

Le résultat pour \(S_{Zar}\) est clair. Celui pour \(S_{affine, Zar}\) découle du résultat de Deligne. Le résultat pour \(S_\etale\) découle soit (de la preuve) du théorème 03PU, soit de Topologies, lemme 04HR et du résultat de Deligne appliqué à \(S_{affine, \etale}\).

Le lemme ci-dessus garantit l’existence de points, mais ne nous dit pas à quoi ils ressemblent. Nous pouvons construire explicitement certains points comme suit. Supposons que \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) soit un point géométrique, avec \(k\) algébriquement clos. Considérons le foncteur \[u : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad u(U) = U(k) = \Mor_S(\Spec(k), U).\] Notons que \(U \mapsto U(k)\) commute aux limites finies puisque \(S(k) = \{\overline{s}\}\) et \((U_1 \times_U U_2)(k) = U_1(k) \times_{U(k)} U_2(k)\). De plus, si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement fppf, alors \(\coprod U_i(k) \to U(k)\) est surjectif. D’après Sites, Proposition 00YC, nous voyons que \(u\) définit un point \(p\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) dont les fibres sont \[\mathcal{F}_p = \colim_{(U, x)} \mathcal{F}(U)\] où la limite inductive porte, comme d’habitude, sur les couples \(U \to S\), \(x \in U(k)\). Mais... cette catégorie a un objet initial, à savoir \((\Spec(k), \text{id})\) ; nous voyons donc que \[\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(k))\] ce qui n’est guère intéressant ! En fait, en général, ces points ne forment pas une famille conservative de points. Un type de point plus intéressant est décrit dans la remarque suivante.

Remarque

Soit \(S = \Spec(A)\) un schéma affine. Soit \((p, u)\) un point du site \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\), voir Sites, sections 00Y3 et 05UZ. Soit \(B = \mathcal{O}_p\) la fibre du faisceau structural au point \(p\). Rappelons que \[B = \colim_{(U, x)} \mathcal{O}(U) = \colim_{(\Spec(C), x_C)} C\] où \(x_C \in u(\Spec(C))\). Il peut arriver que \(\Spec(B)\) soit un objet de \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) et qu’il existe un élément \(x_B \in u(\Spec(B))\) qui s’envoie sur le système compatible \(x_C\). Dans ce cas, le système de voisinages a un objet initial et il s’ensuit que \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}(\Spec(B))\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\). Il est immédiat de voir que, si \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) définit un point de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\), alors \(B\) doit être une \(A\)-algèbre locale telle que, pour tout morphisme d’anneaux fidèlement plat et de présentation finie \(B \to B'\), il existe une section \(B' \to B\). Réciproquement, pour toute \(A\)-algèbre \(B\) de ce type, le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(\Spec(B))\) est le foncteur fibre d’un point. Nous omettons les détails. On ne sait pas clairement à quoi ressemble un point quelconque du site \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\).

Supports des faisceaux abéliens

Nous commençons par les supports des sections locales.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un sous-faisceau de l’objet final du topos étale de \(S\) (voir Sites, exemple 00W3). Alors il existe un unique ouvert \(W \subset S\) tel que \(\mathcal{F} = h_W\).

Démonstration

La condition signifie que \(\mathcal{F}(U)\) est un singleton ou est vide pour tout \(\varphi : U \to S\) dans \(\Ob(S_\etale)\). En particulier, les sections locales se recollent toujours. Si \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\), alors \(\mathcal{F}(\varphi(U)) \not = \emptyset\) parce que \(\{\varphi : U \to \varphi(U)\}\) est un recouvrement. Nous pouvons donc prendre \(W = \bigcup_{\varphi : U \to S, \mathcal{F}(U) \not = \emptyset} \varphi(U)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(S_\etale\). Soit \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) une section locale. Il existe un ouvert \(W \subset U\) tel que

1. \(W \subset U\) soit le plus grand ouvert de Zariski de \(U\) tel que \(\sigma|_W = 0\),

2. pour tout \(\varphi : V \to U\) dans \(S_\etale\), on ait \[\sigma|_V = 0 \Leftrightarrow \varphi(V) \subset W,\]

3. pour tout point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\), on ait \[(U, \overline{u}, \sigma) = 0\text{ dans }\mathcal{F}_{\overline{s}} \Leftrightarrow \overline{u} \in W\] où \(\overline{s} = (U \to S) \circ \overline{u}\).

Démonstration

Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale, la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{Zar}\) est un faisceau sur \(U\) pour la topologie de Zariski. Il existe donc un ouvert de Zariski \(W\) ayant la propriété (1), voir Modules, lemme 01AU. Soit \(\varphi : V \to U\) un morphisme de \(S_\etale\). Notons que \(\varphi(V) \subset U\) est un ouvert et que \(\{V \to \varphi(V)\}\) est un recouvrement étale. Ainsi, si \(\sigma|_V = 0\), alors la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) montre que \(\sigma|_{\varphi(V)} = 0\). Cela démontre (2). Pour démontrer (3), nous devons montrer que si \((U, \overline{u}, \sigma)\) définit l’élément nul de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\), alors \(\overline{u} \in W\). Cela est vrai parce que l’hypothèse signifie qu’il existe un morphisme de voisinages étales \((V, \overline{v}) \to (U, \overline{u})\) tel que \(\sigma|_V = 0\). D’après (2), nous voyons donc que \(V \to U\) est à valeurs dans \(W\), et par conséquent que \(\overline{u} \in W\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\etale\). D’après la remarque 04FN, la classe d’isomorphisme de la fibre du faisceau \(\mathcal{F}\) en un point géométrique au-dessus de \(s\) est bien définie.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(S_\etale\).

1. Le support de \(\mathcal{F}\) est l’ensemble des points \(s \in S\) tels que \(\mathcal{F}_{\overline{s}} \not = 0\) pour tout (ou un) point géométrique \(\overline{s}\) au-dessus de \(s\).

2. Soit \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) une section. Le support de \(\sigma\) est le fermé \(U \setminus W\), où \(W \subset U\) est le plus grand ouvert de \(U\) sur lequel \(\sigma\) est nulle (voir le lemme 04FR).

En général, le support d’un faisceau abélien n’est pas fermé. Par exemple, supposons que \(S = \mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\). Soit \(i_t : \Spec(\mathbf{C}) \to S\) l’inclusion du point \(t \in \mathbf{C}\). Nous verrons plus loin que \(\mathcal{F}_t = i_{t, *}(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) est un faisceau abélien dont le support est exactement \(\{t\}\), voir la section 04E1. Alors \[\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} \mathcal{F}_n\] est un faisceau abélien de support \(\{1, 2, 3, \ldots\} \subset S\). Cela est vrai parce que prendre les fibres commute aux limites inductives, voir le lemme 03PT. Nous avons ainsi un exemple de faisceau abélien dont le support n’est pas fermé. Voici quelques faits fondamentaux sur les supports des faisceaux et des sections.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(S_\etale\). Soient \(U \in \Ob(S_\etale)\) et \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\).

1. Le support de \(\sigma\) est fermé dans \(U\).

2. Le support de \(\sigma + \sigma'\) est contenu dans la réunion des supports de \(\sigma, \sigma' \in \mathcal{F}(U)\).

3. Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de faisceaux abéliens sur \(S_\etale\), alors le support de \(\varphi(\sigma)\) est contenu dans le support de \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\).

4. Le support de \(\mathcal{F}\) est la réunion des images des supports de toutes les sections locales de \(\mathcal{F}\).

5. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est surjectif, alors le support de \(\mathcal{G}\) est un sous-ensemble du support de \(\mathcal{F}\).

6. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injectif, alors le support de \(\mathcal{F}\) est un sous-ensemble du support de \(\mathcal{G}\).

Démonstration

L’assertion (1) est vraie par définition. Les assertions (2) et (3) sont vraies parce qu’elles le sont pour les restrictions de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) à \(U_{Zar}\), voir Modules, lemme 01AU. L’assertion (4) est une conséquence directe de la partie (3) du lemme 04FR. Les assertions (5) et (6) découlent des autres.

Lemme

Le support d’un faisceau d’anneaux sur \(S_\etale\) est fermé.

Démonstration

Cela est vrai parce que (selon nos conventions) un anneau est \(0\) si et seulement si \(1 = 0\) ; par conséquent, le support d’un faisceau d’anneaux est le support de la section unité.

Anneaux henséliens

Nous commençons par énoncer un théorème qui a déjà été utilisé de nombreuses fois dans le projet Champs. Il existe de nombreuses versions de ce résultat ; ici, nous n’énonçons que la version algébrique.

Théorème

Soient \(A\to B\) un morphisme d’anneaux de type fini et \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Alors il existe un morphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) et un idéal premier \(\mathfrak p' \subset A'\) au-dessus de \(\mathfrak p\) tels que

1. \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p')\),

2. \(B \otimes_A A' = B_1\times \ldots \times B_r \times C\),

3. \(A'\to B_i\) est fini et il existe un unique idéal premier \(q_i\subset B_i\) au-dessus de \(\mathfrak p'\), et

4. toutes les composantes irréductibles de la fibre \(\Spec(C \otimes_{A'} \kappa(\mathfrak p'))\) de \(C\) au-dessus de \(\mathfrak p'\) sont de dimension au moins 1.

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 00UK, ou voir [EGA4, Théorème 18.12.1]. Pour de nombreuses versions en termes de morphismes de schémas, voir Compléments sur les morphismes, section 04HF.

Rappelons le lemme de Hensel. Il existe de nombreuses versions de ce lemme. En voici deux :

1. si \(f\in \mathbf{Z}_p[T]\) est unitaire et \(f \bmod p = g_0 h_0\) avec \(gcd(g_0, h_0) = 1\), alors \(f\) se factorise sous la forme \(f = gh\) avec \(\bar g = g_0\) et \(\bar h = h_0\),

2. si \(f \in \mathbf{Z}_p[T]\) est unitaire, \(a_0 \in \mathbf{F}_p\), \(\bar f(a_0) =0\) mais \(\bar f'(a_0) \neq 0\), alors il existe \(a \in \mathbf{Z}_p\) tel que \(f(a) = 0\) et \(\bar a = a_0\).

Les deux versions sont vraies (nous le verrons plus loin). La première version demande des relèvements de factorisations en facteurs premiers entre eux, et la seconde demande des relèvements de racines simples modulo l’idéal maximal. Il se trouve que, pour un anneau local général, ces deux conditions sont équivalentes, et qu’elles sont équivalentes à beaucoup d’autres conditions. Nous utilisons la propriété de relèvement des racines comme définition d’un anneau local hensélien, car c’est souvent la plus facile à vérifier.

Définition

(Voir Algèbre, définition 04GF.) Un anneau local \((R, \mathfrak m, \kappa)\) est dit hensélien si, pour tout \(f \in R[T]\) unitaire et tout \(a_0 \in \kappa\) tel que \(\bar f(a_0) = 0\) et \(\bar f'(a_0) \neq 0\), il existe un \(a \in R\) tel que \(f(a) = 0\) et \(a \bmod \mathfrak m = a_0\).

Les anneaux locaux complets constituent un bon exemple d’anneaux locaux henséliens à garder à l’esprit. Rappelons (Algèbre, définition 0324) qu’un anneau local complet est un anneau local \((R, \mathfrak m)\) tel que \(R \cong \lim_n R/\mathfrak m^n\), c’est-à-dire complet et séparé pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique.

Théorème

Les anneaux locaux complets sont henséliens.

Démonstration

Méthode de Newton. Voir Algèbre, lemme 04GM.

Théorème

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. \(R\) est hensélien,

2. pour tout \(f\in R[T]\) et toute factorisation \(\bar f = g_0 h_0\) dans \(\kappa[T]\) avec \(\gcd(g_0, h_0)=1\), il existe une factorisation \(f = gh\) dans \(R[T]\) avec \(\bar g = g_0\) et \(\bar h = h_0\),

3. toute \(R\)-algèbre finie \(S\) est isomorphe à un produit fini d’anneaux locaux finis sur \(R\),

4. toute \(R\)-algèbre de type fini \(A\) est isomorphe à un produit \(A \cong A' \times C\) où \(A' \cong A_1 \times \ldots \times A_r\) est un produit de \(R\)-algèbres locales finies et toutes les composantes irréductibles de \(C \otimes_R \kappa\) sont de dimension au moins 1,

5. si \(A\) est une \(R\)-algèbre étale et \(\mathfrak n\) un idéal maximal de \(A\) au-dessus de \(\mathfrak m\) tel que \(\kappa \cong A/\mathfrak n\), alors il existe un isomorphisme \(\varphi : A \cong R \times A'\) tel que \(\varphi(\mathfrak n) = \mathfrak m \times A' \subset R \times A'\).

Démonstration

Il s’agit simplement d’une partie des résultats de Algèbre, lemme 04GG. Notons que la partie (5) ci-dessus correspond à la partie (8) de Algèbre, lemme 04GG, mais qu’elle est formulée légèrement différemment.

Lemme

Si \(R\) est hensélien et \(A\) est une \(R\)-algèbre finie, alors \(A\) est un produit fini d’anneaux locaux henséliens.

Démonstration

Voir Algèbre, lemme 04GH.

Définition

Un anneau local \(R\) est dit strictement hensélien s’il est hensélien et si son corps résiduel est séparablement clos.

Exemple

Dans le cas \(R = \mathbf{C}[[t]]\), les \(R\)-algèbres étales sont des produits finis de l’extension triviale \(R \to R\) et des extensions \(R \to R[X, X^{-1}]/(X^n-t)\). Ces dernières se factorisent par l’ouvert \(D(t) \subset \Spec(R)\), de sorte que tout recouvrement étale peut être raffiné par le recouvrement \(\{\text{id} : \Spec(R) \to \Spec(R)\}\). Nous verrons ci-dessous que c’est un fait assez général sur les recouvrements étales des spectres d’anneaux henséliens. Cela montrera que la cohomologie étale supérieure du spectre d’un anneau strictement hensélien est nulle.

Théorème

Soient \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local et \(\kappa\subset\kappa^{sep}\) une clôture algébrique séparable. Il existe des morphismes locaux plats canoniques d’anneaux \(R \to R^h \to R^{sh}\) tels que

1. \(R^h\), \(R^{sh}\) soient des limites inductives filtrantes de \(R\)-algèbres étales,

2. \(R^h\) soit hensélien, \(R^{sh}\) soit strictement hensélien,

3. \(\mathfrak m R^h\) (resp. \(\mathfrak m R^{sh}\)) soit l’idéal maximal de \(R^h\) (resp. de \(R^{sh}\)), et

4. \(\kappa = R^h/\mathfrak m R^h\), et \(\kappa^{sep} = R^{sh}/\mathfrak m R^{sh}\) comme extensions de \(\kappa\).

Démonstration

La structure de \(R^h\) et de \(R^{sh}\) est décrite dans Algèbre, lemmes 04GN et 04GP.

Les anneaux construits dans le théorème 03QL sont appelés respectivement l’hensélisation et l’hensélisation stricte de l’anneau local \(R\), voir Algèbre, définition 04GQ. De nombreuses propriétés de \(R\) se reflètent dans son hensélisation (stricte), voir Compléments d’algèbre, section 07QL.

Fibres du faisceau structural

Dans cette section, nous identifions la fibre du faisceau structural en un point géométrique à l’hensélisation stricte de l’anneau local au point “usuel” correspondant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\) au-dessus de \(s \in S\). Posons \(\kappa = \kappa(s)\) et notons \(\kappa \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) la clôture algébrique séparable de \(\kappa\) dans \(\kappa(\overline{s})\). Alors il existe une identification canonique \[(\mathcal{O}_{S, s})^{sh} \cong (\mathcal{O}_S)_{\overline{s}}\] où le membre de gauche est l’hensélisation stricte de l’anneau local \(\mathcal{O}_{S, s}\) telle qu’elle est décrite dans le théorème 03QL, et le membre de droite est la fibre du faisceau structural \(\mathcal{O}_S\) sur \(S_\etale\) au point géométrique \(\overline{s}\).

Démonstration

Soit \(\Spec(A) \subset S\) un voisinage affine de \(s\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Avec ces choix, nous avons des isomorphismes canoniques \(\mathcal{O}_{S, s} = A_{\mathfrak p}\) et \(\kappa(s) = \kappa(\mathfrak p)\). Nous avons donc \(\kappa(\mathfrak p) \subset \kappa^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\). Rappelons que \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{O}(U)\] où la limite inductive porte sur les voisinages étales de \((S, \overline{s})\). Un système cofinal est donné par les voisinages étales \((U, \overline{u})\) tels que \(U\) soit affine et que \(U \to S\) se factorise par \(\Spec(A)\). Autrement dit, nous voyons que \[(\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \colim_{(B, \mathfrak q, \phi)} B\] où la limite inductive porte sur les \(A\)-algèbres étales \(B\) munies d’un idéal premier \(\mathfrak q\) au-dessus de \(\mathfrak p\) et d’un morphisme de \(\kappa(\mathfrak p)\)-algèbres \(\phi : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\overline{s})\). Notons que, puisque \(\kappa(\mathfrak q)\) est une extension finie séparable de \(\kappa(\mathfrak p)\), l’image de \(\phi\) est contenue dans \(\kappa^{sep}\). Moyennant ces identifications, le résultat du lemme est équivalent au résultat de Algèbre, lemme 04GW.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\) au-dessus du point \(s \in S\).

1. L’anneau local étale de \(S\) en \(\overline{s}\) est la fibre du faisceau structural \(\mathcal{O}_S\) sur \(S_\etale\) en \(\overline{s}\). Nous appelons parfois cet anneau l’hensélisation stricte de \(\mathcal{O}_{S, s}\) relative au point géométrique \(\overline{s}\). Notation utilisée : \(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}\).

2. L’hensélisation de \(\mathcal{O}_{S, s}\) désigne l’hensélisation de l’anneau local de \(S\) en \(s\). Voir Algèbre, définition 04GQ, et le théorème 03QL. Notation : \(\mathcal{O}_{S, s}^h\).

3. L’hensélisation stricte de \(S\) en \(\overline{s}\) est le schéma \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\).

4. L’hensélisation de \(S\) en \(s\) est le schéma \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\).

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\overline{t}\) un point géométrique de \(T\) d’image \(\overline{s}\) dans \(S\). Soient \(t \in T\) et \(s \in S\) leurs images. Nous obtenons alors un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{T, \overline{t}}) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}^h_{T, t}) \ar[r] \ar[d] & T \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}^h_{S, s}) \ar[r] & S }\] des hensélisations et hensélisations strictes de \(T\) et de \(S\). On peut le démontrer en choisissant des voisinages affines de \(t\) et de \(s\) et en utilisant la fonctorialité des hensélisations (strictes) donnée par Algèbre, lemmes 08HU et 08HV.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\). Alors \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}(U)\] où la limite inductive porte sur la catégorie filtrante des voisinages étales \((U, u)\) de \((S, s)\) tels que \(\kappa(s) = \kappa(u)\).

Démonstration

Ce lemme est une copie de Compléments sur les morphismes, lemme 05KS.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\). Si \(S\) est localement noethérien, alors \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) est lui aussi noethérien et il a le même complété : \[\widehat{\mathcal{O}_{S, s}} \cong \widehat{\mathcal{O}_{S, s}^h}.\] En particulier, \(\mathcal{O}_{S, s} \subset \mathcal{O}_{S, s}^h \subset \widehat{\mathcal{O}_{S, s}}\). L’hensélisation de \(\mathcal{O}_{S, s}\) est en général beaucoup plus petite que son complété et hérite de nombre de ses propriétés. Par exemple, si \(\mathcal{O}_{S, s}\) est réduit, alors \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) l’est aussi, mais ce n’est en général pas vrai du complété. Insérer ici des références futures.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Le petit site étale \(S_\etale\), muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}_S\), est un site localement annelé, voir Modules sur les sites, définition 04EU.

Démonstration

Cela résulte du fait que les fibres \((\mathcal{O}_S)_{\overline{s}} = \mathcal{O}^{sh}_{S, \overline{s}}\) sont des anneaux locaux, et du fait que \(S_\etale\) a assez de points, voir le lemme 04HX, le théorème 03PU, et les remarques 040S. Voir Modules sur les sites, lemmes 04ET et 05D8 pour le fait que cela implique que le petit site étale est localement annelé.

Fonctorialité du petit topos étale

Jusqu’ici, nous n’avons pas abordé la fonctorialité du site étale, autrement dit ce qui se passe lorsque l’on se donne un morphisme de schémas. Une discussion formelle précise se trouve dans Topologies, section 0214. Dans cette section et les suivantes, nous examinons brièvement ces questions, plus précisément dans le cadre des petits sites étales.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Nous obtenons un foncteur [04I1]\[\begin{equation} u : Y_\etale \longrightarrow X_\etale, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X. \end{equation}\] Ce foncteur possède les propriétés importantes suivantes :

1. \(u(\text{objet final}) = \text{objet final}\),

2. \(u\) préserve les produits fibrés,

3. si \(\{V_j \to V\}\) est un recouvrement dans \(Y_\etale\), alors \(\{u(V_j) \to u(V)\}\) est un recouvrement dans \(X_\etale\).

Chacune d’elles se vérifie facilement (nous omettons la vérification). Par conséquent, nous obtenons ce que l’on appelle un morphisme de sites \[f_{small} : X_\etale \longrightarrow Y_\etale,\] voir Sites, définition 00X1 et Sites, Proposition 00X6. Il n’est pas nécessaire de connaître en détail la notion abstraite pour travailler avec les faisceaux étales et la cohomologie étale. Il suffit habituellement de savoir qu’il existe des foncteurs \(f_{small, *}\) (image directe) et \(f_{small}^{-1}\) (image inverse) sur les faisceaux étales, et de connaître quelques-unes de leurs propriétés simples. Nous examinerons ces propriétés dans les sections suivantes, mais nous nous référerons parfois au cadre plus abstrait pour les démonstrations, car c’est souvent le cadre naturel pour les ètablir.

Images directes

Définissons l’image directe d’un préfaisceau.

Définition

Soit \(f: X\to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X_\etale\). L’image directe, ou poussée en avant, de \(\mathcal{F}\) (par \(f\)) est \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X).\] Nous ècrivons parfois \(f_* = f_{small, *}\) pour distinguer ce foncteur des autres foncteurs d’image directe (comme l’image directe usuelle pour la topologie de Zariski ou \(f_{big, *}\)).

C’est bien un préfaisceau étale, puisque le changement de base d’un morphisme étale est encore étale. Une façon plus catégorique de l’exprimer consiste à dire que \(f_*\mathcal{F}\) est le foncteur composé \(\mathcal{F} \circ u\) où \(u\) est défini par l’équation (04I1). Cela montre clairement que la construction dépend fonctoriellement du préfaisceau \(\mathcal{F}\) et nous obtenons donc un foncteur \[f_* = f_{small, *} : \textit{PSh}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PSh}(Y_\etale)\] Notons que si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de groupes abéliens, alors \(f_*\mathcal{F}\) est aussi un préfaisceau de groupes abéliens et nous obtenons \[f_* = f_{small, *} : \textit{PAb}(X_\etale) \longrightarrow \textit{PAb}(Y_\etale)\] comme précédemment (c’est-à-dire défini par exactement la même règle).

Remarque

Nous affirmons que l’image directe d’un faisceau est un faisceau. En effet, si \(\{V_j \to V\}\) est un recouvrement étale dans \(Y_\etale\), alors \(\{X \times_Y V_j \to X \times_Y V\}\) est un recouvrement étale dans \(X_\etale\). Par conséquent, la condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) relativement à \(\{X \times_Y V_i \to X \times_Y V\}\) est èquivalente à la condition de faisceau pour \(f_*\mathcal{F}\) relativement à \(\{V_i \to V\}\). Ainsi, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau, \(f_*\mathcal{F}\) l’est aussi.

Définition

Soit \(f: X\to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X_\etale\). L’image directe, ou poussée en avant, de \(\mathcal{F}\) (par \(f\)) est \[f_*\mathcal{F} : Y_\etale^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad (V/Y) \longmapsto \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] qui est un faisceau d’après la remarque 03PX. Nous ècrivons parfois \(f_* = f_{small, *}\) pour distinguer ce foncteur des autres foncteurs d’image directe (comme l’image directe usuelle pour la topologie de Zariski ou \(f_{big, *}\)).

La discussion précédente s’applique mot pour mot et nous obtenons des foncteurs \[f_* = f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] et \[f_* = f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] à nouveau appelés foncteurs d’image directe.

Le foncteur \(f_*\) sur les faisceaux abéliens est exact à gauche. (Voir Homology, section 010M pour savoir ce que signifie qu’un foncteur entre catégories abéliennes est exact à gauche.) En effet, si \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) est exacte sur \(X_\etale\), alors, pour tout \(U/X \in \Ob(X_\etale)\), la suite de groupes abéliens \(0 \to \mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U) \to \mathcal{F}_3(U)\) est exacte. Par conséquent, pour tout \(V/Y \in \Ob(Y_\etale)\), la suite de groupes abéliens \(0 \to f_*\mathcal{F}_1(V) \to f_*\mathcal{F}_2(V) \to f_*\mathcal{F}_3(V)\) est exacte, car c’est la suite précédente avec \(U = X \times_Y V\).

Définition

Soit \(f: X \to Y\) un morphisme de schémas. Les foncteurs dérivés droits \(\{R^pf_*\}_{p \geq 1}\) de \(f_* : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) sont appelés images directes supérieures.

Les images directes supérieures et leurs variantes dans la catégorie dérivée sont examinées plus en détail dans (insérer ici une référence future).

Image inverse

Dans cette section, nous examinons brièvement l’image inverse des faisceaux sur les petits sites étales. Sa construction précise se trouve dans Topologies, section 0214.

Définition

Soit \(f: X\to Y\) un morphisme de schémas. Les foncteurs d’image inverse, ou de tiré en arrière² sont les foncteurs \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] et \[f^{-1} = f_{small}^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] qui sont adjoints à gauche de \(f_* = f_{small, *}\). Ainsi, \(f^{-1}\) est caractérisé par le fait que \[\Hom_{{\Sh(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\Sh(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] fonctoriellement, pour tout \(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\) et tout \(\mathcal{G} \in \Sh(Y_\etale)\). De même, nous avons \[\Hom_{{\textit{Ab}(X_\etale)}} (f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\textit{Ab}(Y_\etale)} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) et \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\).

L’existence d’un tel adjoint n’est pas triviale. En revanche, il existe dans un cadre assez général, voir la remarque 03Q2 ci-dessous. Le formalisme général montre que \(f^{-1}\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau [04I3]\[\begin{equation} U/X \longmapsto \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V/Y) \end{equation}\] où la limite inductive est prise sur la catégorie des couples \((V/Y, \varphi : U/X \to X \times_Y V/X)\). Pour le voir, appliquons Sites, Proposition 00X6 au foncteur \(u\) de l’équation (04I1) et utilisons la description de \(u_s = (u_p\ )^\#\) dans Sites, sections 00WU et 00VC. Nous utiliserons occasionnellement cette formule pour l’image inverse afin de démontrer certaines de ses propriétés fondamentales.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas.

1. Le foncteur \(f^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) est exact.

2. Le foncteur \(f^{-1} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est exact, c’est-à-dire qu’il commute aux limites et colimites finies, voir Catégories, définition 0034.

3. Soit \(\overline{x} \to X\) un point géométrique. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(Y_\etale\). Il existe alors une identification canonique \[(f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \mathcal{G}_{\overline{y}}.\] où \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\).

4. Pour tout \(V \to Y\) étale, nous avons \(f^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\).

Démonstration

L’exactitude de \(f^{-1}\) sur les faisceaux d’ensembles résulte de Sites, Proposition 00X6 appliquée à notre foncteur \(u\) de l’équation (04I1). En fait, l’exactitude de l’image inverse fait partie de la définition d’un morphisme de topos (ou de sites, si l’on préfère). Ainsi, (2) est vérifié. Cela implique (1), car, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(Y_\etale\), le faisceau d’ensembles sous-jacent à \(f^{-1}\mathcal{F}\) est le même que l’image par \(f^{-1}\) du faisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{F}\), voir Sites, section 00YR. Voir aussi Modules sur les sites, lemme 04JC. Dans la littérature, (1) et (2) sont parfois déduits de (3) au moyen du théorème 03PU.

L’assertion (3) est un fait général sur les fibres des images inverses, voir Sites, lemme 05V1. Nous allons aussi démontrer directement (3) comme suit. Notons, d’après le lemme 03PT, que la prise des fibres commute à la faisceautisation. Rappelons maintenant que \(f^{-1}\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longrightarrow \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V),\] voir l’équation (04I3). Ainsi, nous avons \[\begin{align*} (f^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} & = \colim_{(U, \overline{u})} f^{-1}\mathcal{G}(U) \\ & = \colim_{(U, \overline{u})} \colim_{a : U \to X \times_Y V} \mathcal{G}(V) \\ & = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V) \\ & = \mathcal{G}_{\overline{y}} \end{align*}\] Dans la troisième ègalité, le couple \((U, \overline{u})\) et le morphisme \(a : U \to X \times_Y V\) correspondent au couple \((V, a \circ \overline{u})\).

L’assertion (4) se démontre de manière analogue en identifiant les limites inductives qui définissent \(f^{-1}h_V\). On peut aussi utiliser le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P) et les ègalités fonctorielles \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(f^{-1}h_V, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, f_*\mathcal{F}) = f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(X \times_Y V)\] ainsi que le fait que les préfaisceaux représentables sont des faisceaux. Voir aussi Sites, lemme 04D3 pour un résultat entièrement général.

Le couple de foncteurs \((f_*, f^{-1})\) définit un morphisme de petits topos étales \[f_{small} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] De nombreux résultats généraux sur la cohomologie des faisceaux valent pour les topos et les morphismes de topos. Nous nous efforcerons de signaler ceux qui sont généraux et ceux qui sont propres au topos étale.

Remarque

Plus généralement, soient \(\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2\) des sites, et supposons qu’ils possèdent des objets finals et des produits fibrés. Soit \(u: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1\) un foncteur satisfaisant aux conditions suivantes :

1. si \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_2\), alors \(\{u(V_i) \to u(V)\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}_1\) (nous disons que \(u\) est continu), et

2. \(u\) commute aux limites finies (c’est-à-dire que \(u\) est exact à gauche, ou encore que \(u\) préserve les produits fibrés et les objets finals).

On peut alors définir \(f_*: \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) par \(f_* \mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(u(V))\). De plus, il existe un foncteur exact \(f^{-1}\) qui est adjoint à gauche de \(f_*\), voir Sites, définition 00X1 et Proposition 00X6. Attention : demander simplement que \(u\) soit continu et commute aux produits fibrés ne suffit pas pour obtenir un morphisme de topos.

Fonctorialité des grands topos

Pour tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\), on dispose de toute une famille de morphismes de topos associés à \(f\), voir Topologies, section 03FE pour une liste. Les plus utilisés sont peut-être les morphismes de topos \[f_{big} = f_{big, \tau} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] où \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Chacun d’eux correspond à un foncteur continu \[(\Sch/Y)_\tau \longrightarrow (\Sch/X)_\tau, \quad V/Y \longmapsto X \times_Y V/X\] qui préserve les objets finals, les produits fibrés et les recouvrements, et définit donc un morphisme de sites \[f_{big} : (\Sch/X)_\tau \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau.\] Voir Topologies, sections 020N, 0214, 021Y, 0224, et 021L. En particulier, l’image directe par \(f_{big}\) est donnée par la règle \[(f_{big, *}\mathcal{F})(V/Y) = \mathcal{F}(X \times_Y V/X)\] Il se trouve que ces morphismes de topos possèdent un foncteur image inverse \(f_{big}^{-1}\) très facile à décrire. Plus précisément, nous avons \[(f_{big}^{-1}\mathcal{G})(U/X) = \mathcal{G}(U/Y)\] où le morphisme structural de \(U/Y\) est la composée du morphisme structural \(U \to X\) et de \(f\), voir Topologies, lemmes 0210, 021H, 04HC, 04HD, et 021W.

Fonctorialité et faisceaux de modules

Dans cette section, nous allons reformuler une partie des résultats expliqués dans Descente, sections 03DR, 0GN8, et 0GN9 dans le cadre des topologies étales. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Nous avons vu plus haut, voir les sections 04I0, 03PV et 03PZ, qu’il induit un morphisme \(f_{small}\) de petits sites étales. Dans Descente, remarque 070R, nous avons vu que \(f\) induit aussi un morphisme naturel \[f_{small}^\sharp : \mathcal{O}_{Y_\etale} \longrightarrow f_{small, *}\mathcal{O}_{X_\etale}\] de faisceaux d’anneaux sur \(Y_\etale\) tel que \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) soit un morphisme de sites annelés. Voir Modules sur les sites, définition 03AD pour la définition d’un morphisme de sites annelés. Rappelons simplement ici que \(f_{small}^\sharp\) est défini par le système compatible de morphismes \[\text{pr}_V^\sharp : \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(X \times_Y V)\] lorsque \(V\) parcourt les objets de \(Y_\etale\).

Il est clair que cette construction est compatible avec les compositions de morphismes de schémas. Plus précisément, si \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) sont des morphismes de schémas, alors nous avons \[(g_{small}, g_{small}^\sharp) \circ (f_{small}, f_{small}^\sharp) = ((g \circ f)_{small}, (g \circ f)_{small}^\sharp)\] comme morphismes de topos annelés. De plus, d’après Modules sur les sites, définition 03D6, nous voyons que tout morphisme de schémas \(f : X \to Y\) donne des foncteurs bien définis d’image inverse et d’image directe \[\begin{align*} f_{small}^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}), \\ f_{small, *} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{X_\etale}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y_\etale}) \end{align*}\] qui sont adjoints de la manière habituelle. Si \(g : Y \to Z\) est un autre morphisme de schémas, alors nous avons \((g \circ f)_{small}^* = f_{small}^* \circ g_{small}^*\) et \((g \circ f)_{small, *} = g_{small, *} \circ f_{small, *}\) en vertu de ce que nous avons dit sur les compositions.

Il y a une différence assez importante entre la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X\) et la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-modules sur \(X_\etale\). Mais les résultats de Descente, sections 03DR, 0GN8, et 0GN9 nous disent qu’il y a peu de différence entre considérer les modules quasi-cohérents sur \(S\) et les modules quasi-cohérents sur \(S_\etale\). (Nous l’avons déjà vu dans le théorème 03OJ, par exemple.) En particulier, si \(f : X \to Y\) est un morphisme quelconque de schémas, alors les foncteurs d’image inverse \(f_{small}^*\) et \(f^*\) s’identifient pour les faisceaux quasi-cohérents, voir Descente, Proposition 03LC. De plus, il en va de même pour l’image directe pourvu que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé, voir Descente, lemme 071N.

Disons quelques mots de la fonctorialité du faisceau structural sur les grands sites. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Choisissons l’une des topologies \(\tau \in \{Zariski,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\). Alors le morphisme \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) devient un morphisme de sites annelés au moyen d’un morphisme \[f_{big}^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_{big, *}\mathcal{O}_X\] voir Descente, remarque 070R. En fait, il est donné par la même construction que celle exposée pour les petits sites plus haut.

Comparaison de topologies

Dans cette section, nous commençons à ètudier ce qui se produit lorsque l’on compare les faisceaux relativement à différentes topologies.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(S_\etale\). Soient \(s, t \in \mathcal{F}(S)\). Il existe alors un ouvert \(W \subset S\) caractérisé par la propriété suivante : un morphisme \(f : T \to S\) se factorise par \(W\) si et seulement si \(s|_T = t|_T\) (la restriction est l’image inverse par \(f_{small}\)).

Démonstration

Considérons le préfaisceau qui associe à \(U \in \Ob(S_\etale)\) l’ensemble vide si \(s|_U \not = t|_U\), et un singleton sinon. Il est clair qu’il s’agit d’un sous-faisceau de l’objet final de \(\Sh(S_\etale)\). D’après le lemme 04HV, nous trouvons un ouvert \(W \subset S\) qui représente ce préfaisceau. Pour un point géométrique \(\overline{x}\) de \(S\), nous voyons que \(\overline{x} \in W\) si et seulement si les germes de \(s\) et de \(t\) en \(\overline{x}\) sont identiques. D’après la description des fibres des images inverses donnée dans le lemme 03Q1, nous voyons que \(W\) possède la propriété voulue.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale\}\). Considérons le morphisme \[\pi_S : (\Sch/S)_\tau \longrightarrow S_\tau\] de Topologies, lemme 020Z ou 021G. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\tau\). Alors \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) est donné par la règle \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\tau, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] où \(f : T \to S\). De plus, \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau relativement aux recouvrements fpqc.

Démonstration

Observons que nous avons un morphisme \(i_f : \Sh(T_\tau) \to \Sh(\Sch/S)_\tau)\) tel que \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\) comme morphismes \(T_\tau \to S_\tau\), voir Topologies, lemmes 020Y, 0211, 021F, et 021I. Comme l’image inverse est transitive, nous voyons que \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) comme voulu.

Soit \(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. La dernière assertion signifie ce qui suit : ètant donné un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(T_\tau\) et des sections \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\) dont les images inverses sur \(T_i \times_T T_j\) concordent, il existe une unique section \(s\) de \(\mathcal{G}\) sur \(T\) dont l’image inverse sur \(T_i\) concorde avec \(s_i\).

Soit \(V \to T\) un objet de \(T_\tau\) et soit \(t \in \mathcal{G}(V)\). Pour tout \(i\), il existe un plus grand ouvert \(W_i \subset T_i \times_T V\) tel que les images inverses de \(s_i\) et de \(t\) concordent comme sections de l’image inverse de \(\mathcal{G}\) sur \(W_i \subset T_i \times_T V\), voir le lemme 09XM. Comme \(s_i\) et \(s_j\) concordent sur \(T_i \times_T T_j\), nous constatons que les images inverses de \(W_i\) et de \(W_j\) sont le même ouvert au-dessus de \(T_i \times_T T_j \times_T V\). D’après Descente, lemme 03N0, nous trouvons un ouvert \(W \subset V\) dont l’image inverse sur \(T_i \times_T V\) redonne \(W_i\).

Par construction de \(g_{i, small}^{-1}\mathcal{G}\), il existe un recouvrement pour \(\tau\) \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j \in J_i}\), pour chaque \(j\) une immersion ouverte ou un morphisme étale \(V_{ij} \to T\), une section \(t_{ij} \in \mathcal{G}(V_{ij})\), et des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ T_{ij} \ar[r] \ar[d] & V_{ij} \ar[d] \\ T_i \ar[r] & T }\] tels que \(s_i|_{T_{ij}}\) soit l’image inverse de \(t_{ij}\). Autrement dit, après avoir remplacé le recouvrement \(\{T_i \to T\}\) par \(\{T_{ij} \to T\}\), nous pouvons supposer qu’il existe des factorisations \(T_i \to V_i \to T\) avec \(V_i \in \Ob(T_\tau)\) et des sections \(t_i \in \mathcal{G}(V_i)\) dont les images inverses sont \(s_i\) sur \(T_i\). D’après le résultat du paragraphe précédent, nous trouvons des ouverts \(W_i \subset V_i\) tels que \(t_i|_{W_i}\) “concorde avec” chaque \(s_j\) sur \(T_j \times_T W_i\). Notons que \(T_i \to V_i\) se factorise par \(W_i\). Ainsi, \(\{W_i \to T\}\) est un recouvrement pour \(\tau\) et le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : T \to S\) un morphisme tel que

1. \(f\) est plat et quasi-compact, et

2. les fibres géométriques de \(f\) sont connexes.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\etale\). Alors \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(T, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\).

Démonstration

Il existe un morphisme canonique \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). Comme \(f\) est surjectif (puisque ses fibres sont connexes), nous voyons que ce morphisme est injectif.

Pour montrer que le morphisme est surjectif, soit \(\alpha \in \Gamma(T, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). Comme \(\{T \to S\}\) est un recouvrement fpqc, nous pouvons utiliser le lemme 09XN pour voir qu’il suffit de montrer que les deux images inverses de \(\alpha\) sur \(T \times_S T\) sont la même section par les deux projections. Soit \(\overline{s} \to S\) un point géométrique. Il suffit de montrer l’égalité sur \((T \times_S T)_{\overline{s}}\), car tout point géométrique de \(T \times_S T\) est contenu dans l’une de ces fibres géométriques. Autrement dit, nous voulons montrer que \(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) donne la même section par les deux projections sur \[(T \times_S T)_{\overline{s}} = T_{\overline{s}} \times_{\overline{s}} T_{\overline{s}}\] vers \(T_{\overline{s}}\). Cependant, comme \(\mathcal{F}|_{T_{\overline{s}}}\) est l’image inverse de \(\mathcal{F}|_{\overline{s}}\), c’est un faisceau constant de valeur \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\). Comme \(T_{\overline{s}}\) est connexe par hypothèse, toute section d’un faisceau constant est constante. Ainsi, \(\alpha|_{T_{\overline{s}}}\) correspond à un èlément de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\). Les deux images inverses sur \((T \times_S T)_{\overline{s}}\) correspondent donc toutes deux à ce même èlément, d’où la conclusion.

Voici une variante du lemme 0A3H où nous ne supposons pas que le morphisme est plat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme tel que

1. \(f\) est submersif, et

2. les fibres géométriques de \(f\) sont connexes.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\etale\). Alors \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(X, f^{-1}_{small}\mathcal{F})\).

Démonstration

Il existe un morphisme canonique \(\Gamma(S, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). Comme \(f\) est surjectif (puisque ses fibres sont connexes), nous voyons que ce morphisme est injectif.

Pour montrer que le morphisme est surjectif, soit \(\tau \in \Gamma(X, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\). Il suffit de trouver un recouvrement étale \(\{U_i \to S\}\) et des sections \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telles que l’image inverse de \(\sigma_i\) soit \(\tau|_{X \times_S U_i}\). En effet, l’injectivité montrée ci-dessus garantit que \(\sigma_i\) et \(\sigma_j\) induisent la même section de \(\mathcal{F}\) sur \(U_i \times_S U_j\). Nous obtenons donc une unique section \(\sigma \in \mathcal{F}(S)\) qui se restreint à \(\sigma_i\) sur \(U_i\). L’image inverse de \(\sigma\) sur \(X\) est alors \(\tau\), car c’est vrai localement.

Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) d’image \(\overline{s}\) dans \(S\). Considérons l’image de \(\tau\) dans la fibre \[(f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] Voir le lemme 03Q1. Nous pouvons trouver un voisinage étale \(U \to S\) de \(\overline{s}\) et une section \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) qui s’envoie sur cette image dans la fibre. Ainsi, après avoir remplacé \(S\) par \(U\) et \(X\) par \(X \times_S U\), nous pouvons supposer qu’il existe une section \(\sigma\) de \(\mathcal{F}\) sur \(S\) dont l’image dans \((f_{small}^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}}\) est la même que celle de \(\tau\).

D’après le lemme 09XM, il existe un ouvert maximal \(W \subset X\) sur lequel \(f_{small}^{-1}\sigma\) et \(\tau\) concordent sur \(W\), et la formation de \(W\) commute aux changements de base ultérieurs. Observons que l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur la fibre géométrique \(X_{\overline{s}}\) est l’image inverse de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\), considéré comme faisceau sur \(\overline{s}\), par \(X_{\overline{s}} \to \overline{s}\). Nous voyons donc que \(\tau\) et \(\sigma\) donnent des sections du faisceau constant de valeur \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) sur \(X_{\overline{s}}\) qui concordent en un point. Comme \(X_{\overline{s}}\) est connexe par hypothèse, nous concluons que \(W\) contient \(X_s\). Le même argument appliqué aux autres fibres géométriques montre que \(W\) contient toute fibre qu’il rencontre. Comme \(f\) est submersif, nous concluons que \(W\) est l’image inverse d’un voisinage ouvert de \(s\) dans \(S\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps où \(k\) est séparablement clos. Soit \(S\) un schéma sur \(k\). Notons \(p : S_K = S \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \to S\) la projection. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\etale\). Alors \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \Gamma(S_K, p^{-1}_{small}\mathcal{F})\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0A3H. En effet, il est clair que \(p\) est plat et quasi-compact comme changement de base de \(\Spec(K) \to \Spec(k)\). D’autre part, si \(\overline{s} : \Spec(L) \to S\) est un point géométrique, alors la fibre de \(p\) en \(\overline{s}\) est le spectre de \(K \otimes_k L\), qui est irréductible, donc connexe, d’après Algèbre, lemme 00I7.

Reconstruction des morphismes

Dans cette section, nous démontrons que la règle qui associe à un schéma son petit topos étale localement annelé est pleinement fidèle en un sens convenable, voir le théorème 04I7.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Le morphisme de sites annelés \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) associé à \(f\) est un morphisme de sites localement annelés, voir Modules sur les sites, définition 04HA.

Démonstration

Notons que l’assertion a un sens, puisque nous avons vu que \((X_\etale, \mathcal{O}_{X_\etale})\) et \((Y_\etale, \mathcal{O}_{Y_\etale})\) sont des sites localement annelés, voir le lemme 04HZ. De plus, nous savons que \(X_\etale\) a assez de points, voir le théorème 03PU et les remarques 040S. Il suffit donc de démontrer que \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) satisfait à la condition (3) de Modules sur les sites, lemme 04H9. Pour le voir, prenons un point \(p\) de \(X_\etale\). D’après le lemme 04HU, \(p\) correspond à un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\). D’après le lemme 03Q1, le point \(q = f_{small} \circ p\) correspond au point géométrique \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) de \(Y\). L’assertion à démontrer est donc que le morphisme induit sur les fibres \[(\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} \longrightarrow (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] est un morphisme local d’anneaux. Supposons que \(a \in (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\) soit un èlément du membre de gauche qui s’envoie sur un èlément de l’idéal maximal du membre de droite. Supposons que \(a\) soit la classe d’équivalence d’un triplet \((V, \overline{v}, a)\) où \(V \to Y\) est étale, \(\overline{v} : \overline{x} \to V\) au-dessus de \(Y\), et \(a \in \mathcal{O}(V)\). Il s’envoie sur la classe d’équivalence de \((X \times_Y V, \overline{x} \times \overline{v}, \text{pr}_V^\sharp(a))\) dans l’anneau local \((\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\). Mais il est clair que le fait d’appartenir à l’idéal maximal signifie que l’image de \(\text{pr}_V^\sharp(a)\) dans \(\kappa(\overline{x})\) est nulle. Par conséquent, l’image de \(a\) dans \(\kappa(\overline{x})\) est elle aussi nulle. Cela signifie que \(a\) appartient à l’idéal maximal de \((\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}}\).

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(t\) un \(2\)-morphisme de \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\) vers lui-même, voir Modules sur les sites, définition 04IC. Alors \(t = \text{id}\).

Démonstration

Cela signifie que \(t : f^{-1}_{small} \to f^{-1}_{small}\) est une transformation naturelle telle que le diagramme \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{f_{small}^\sharp} & & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{f_{small}^\sharp} \\ & \mathcal{O}_X }\] soit commutatif. Supposons que \(V \to Y\) soit étale avec \(V\) affine. D’après Morphismes, lemme 04II, nous pouvons choisir une immersion \(i : V \to \mathbf{A}^n_Y\) au-dessus de \(Y\). En termes de faisceaux, cela signifie que \(i\) induit une injection \(h_i : h_V \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y\) de faisceaux. Le changement de base \(i'\) de \(i\) à \(X\) est une immersion (Schémas, lemme 01JY). Ainsi, \(i' : X \times_Y V \to \mathbf{A}^n_X\) est une immersion, ce qui signifie à son tour que \(h_{i'} : h_{X \times_Y V} \to \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X\) est une injection de faisceaux. Via l’identification \(f_{small}^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\) du lemme 03Q1, le morphisme \(h_{i'}\) est ègal à \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] (nous omettons la vérification). Cela signifie que le morphisme \(t : f_{small}^{-1}h_V \to f_{small}^{-1}h_V\) s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} \ar[d]^t & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} \ar[d]^{\prod t} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar[d]^{\text{id}}\\ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j = 1, \ldots, n} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} & \prod_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] Le carré de droite est commutatif par notre hypothèse sur \(t\) expliquée ci-dessus. Comme la composée des flèches horizontales est injective d’après la discussion précédente, nous concluons que la flèche verticale de gauche est elle aussi l’identité. Tout faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\) est quotient d’un coproduit (énorme) de faisceaux de la forme \(h_V\) avec \(V\) affine (combiner Topologies, lemme 04HR avec Sites, lemme 00WS). Nous concluons donc que \(t : f_{small}^{-1} \to f_{small}^{-1}\) est la transformation identité, comme voulu.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Deux morphismes de schémas \(a, b : X \to Y\) pour lesquels il existe un \(2\)-isomorphisme \((a_{small}, a_{small}^\sharp) \cong (b_{small}, b_{small}^\sharp)\) dans la \(2\)-catégorie des topos annelés sont ègaux.

Démonstration

Donnons l’argument avec soin, car il est quelque peu déroutant. Soit \(t : a_{small}^{-1} \to b_{small}^{-1}\) le \(2\)-isomorphisme. Considérons un ouvert quelconque \(V \subset Y\). Notons que \(h_V\) est un sous-faisceau du faisceau final \(*\). Ainsi, \(a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)}\) et \(b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\) sont tous deux des sous-faisceaux du faisceau final. L’isomorphisme \[t : a_{small}^{-1}h_V = h_{a^{-1}(V)} \to b_{small}^{-1}h_V = h_{b^{-1}(V)}\] est donc nécessairement l’identité, et \(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\). Il s’ensuit que \(a\) et \(b\) sont ègaux sur les espaces topologiques sous-jacents. Prenons ensuite une section \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\). Elle détermine, et est déterminée par, un morphisme de faisceaux d’ensembles \(f : h_V \to \mathcal{O}_Y\). Prenons son image inverse et appliquons \(t\) pour obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ h_{b^{-1}(V)} \ar@{=}[r] & b_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{b_{small}^{-1}(f)} & & a_{small}^{-1}h_V \ar[d]^{a_{small}^{-1}(f)} \ar[ll]^t & h_{a^{-1}(V)} \ar@{=}[l] \\ & b_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{b^\sharp} & & a_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{a^\sharp} \\ & & \mathcal{O}_X }\] où le triangle est commutatif par définition d’un \(2\)-isomorphisme dans Modules sur les sites, section 04IB. Nous avons vu plus haut que la composée des flèches horizontales supérieures provient de l’identité \(a^{-1}(V) = b^{-1}(V)\). La commutativité du diagramme nous dit donc que \(a_{small}^\sharp(f) = b_{small}^\sharp(f)\) dans \(\mathcal{O}_X(a^{-1}(V)) = \mathcal{O}_X(b^{-1}(V))\). Comme cela vaut pour tout ouvert \(V\) et tout \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\), nous concluons que \(a = b\) comme morphismes de schémas.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas affines. Soit \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] un morphisme de topos localement annelés. Il existe alors un unique morphisme de schémas \(f : X \to Y\) tel que \((g, g^\#)\) soit \(2\)-isomorphe à \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\), voir Modules sur les sites, définition 04IC.

Démonstration

Dans cette démonstration, nous notons \(\mathcal{O}_X\) le faisceau structural du petit site étale \(X_\etale\), et de même pour \(\mathcal{O}_Y\). Posons \(Y = \Spec(B)\) et \(X = \Spec(A)\). Comme \(B = \Gamma(Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\), \(A = \Gamma(X_\etale, \mathcal{O}_X)\), nous voyons que \(g^\sharp\) induit un morphisme d’anneaux \(\varphi : B \to A\). Soit \(f = \Spec(\varphi) : X \to Y\) le morphisme correspondant de schémas affines. Nous allons montrer que ce \(f\) convient.

Soit \(V \to Y\) un schéma affine étale sur \(Y\). Nous pouvons donc ècrire \(V = \Spec(C)\), où \(C\) est une \(B\)-algèbre étale. Nous pouvons ècrire \[C = B[x_1, \ldots, x_n]/(P_1, \ldots, P_n)\] avec des polynômes \(P_i\) tels que \(\Delta = \det(\partial P_i/ \partial x_j)\) soit inversible dans \(C\), voir par exemple Algèbre, lemme 00U9. Si \(T\) est un schéma sur \(Y\), alors un \(T\)-point de \(V\) est donné par \(n\) sections de \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) qui satisfont aux èquations polynomiales \(P_1 = 0, \ldots, P_n = 0\). Autrement dit, le faisceau \(h_V\) sur \(Y_\etale\) est l’égalisateur des deux morphismes \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_Y }\] où \(b(h_1, \ldots, h_n) = 0\) et \(a(h_1, \ldots, h_n) = (P_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P_n(h_1, \ldots, h_n))\). Comme \(g^{-1}\) est exact, nous concluons que la ligne supérieure de la partie du diagramme commutatif suivant formée par les flèches pleines est elle aussi un diagramme d’égalisateur : \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar@<1ex>[r]^{g^{-1}a} \ar@<-1ex>[r]_{g^{-1}b} \ar[d]^{\prod g^\sharp} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp}\\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \ar@<1ex>[r]^{a'} \ar@<-1ex>[r]_{b'} & \prod\nolimits_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X \\ }\] Ici, \(b'\) est l’application nulle et \(a'\) est l’application définie par les images \(P'_i = \varphi(P_i) \in A[x_1, \ldots, x_n]\) suivant la même règle \(a'(h_1, \ldots, h_n) = (P'_1(h_1, \ldots, h_n), \ldots, P'_n(h_1, \ldots, h_n))\). que celle qui définit \(a\). La commutativité du diagramme résulte de l’égalité \(\varphi = g^\sharp\) sur les sections globales. La ligne inférieure est également un diagramme égalisateur, exactement par les mêmes arguments que précédemment, puisque \(X \times_Y V\) est le schéma affine \(\Spec(A \otimes_B C)\) et \(A \otimes_B C = A[x_1, \ldots, x_n]/(P'_1, \ldots, P'_n)\). Nous obtenons donc une unique flèche pointillée \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) qui s’insère dans le diagramme.

Nous affirmons que le morphisme de faisceaux \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) est un isomorphisme. Comme le petit site étale de \(X\) possède suffisamment de points (Théorème 03PU), il suffit de le démontrer sur les germes. Soit donc \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\), et notons \(p\) le point associé du petit topos étale de \(X\). Posons \(q = g \circ p\). C’est un point du petit topos étale de \(Y\). D’après le Lemme 04HU, nous voyons que \(q\) correspond à un point géométrique \(\overline{y}\) de \(Y\). Considérons le morphisme de germes \[(g^\sharp)_p : (\mathcal{O}_Y)_{\overline{y}} = \mathcal{O}_{Y, q} = (g^{-1}\mathcal{O}_Y)_p \longrightarrow \mathcal{O}_{X, p} = (\mathcal{O}_X)_{\overline{x}}\] Comme \((g, g^\sharp)\) est un morphisme de topos localement annelés, \((g^\sharp)_p\) est un homomorphisme local entre anneaux locaux strictement henséliens. En localisant le grand diagramme commutatif ci-dessus et en appliquant Algèbre, Lemme 04GX, nous concluons que \((g^{-1}h_V)_p \to (h_{X \times_Y V})_p\) est un isomorphisme, comme voulu.

Nous affirmons que les isomorphismes \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) sont fonctoriels. Plus précisément, supposons que \(V_1 \to V_2\) soit un morphisme de schémas affines étales sur \(Y\). Écrivons \(V_i = \Spec(C_i)\) avec \[C_i = B[x_{i, 1}, \ldots, x_{i, n_i}]/(P_{i, 1}, \ldots, P_{i, n_i})\] Le morphisme \(V_1 \to V_2\) est donné par un homomorphisme de \(B\)-algèbres \(C_2 \to C_1\) qui, à son tour, est donné par des polynômes \(Q_j \in B[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\), pour \(j = 1, \ldots, n_2\). Il est alors aisé de montrer que le diagramme de faisceaux \[\xymatrix{ h_{V_1} \ar[d] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_Y \ar[d]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}}\\ h_{V_2} \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_Y }\] est commutatif et que, par image inverse sur \(X_\etale\), nous obtenons le diagramme commutatif à flèches pleines \[\xymatrix{ g^{-1}h_{V_1} \ar@{..>}[dd] \ar[rrd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_1} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \ar[rrd]^{Q_1, \ldots, Q_{n_2}} \\ & & g^{-1}h_{V_2} \ar@{..>}[dd] \ar[r] & \prod_{i = 1, \ldots, n_2} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[dd]^{g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V_1} \ar[r] \ar[rrd] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_1} \mathcal{O}_X \ar[rrd]^{Q'_1, \ldots, Q'_{n_2}} \\ & & h_{X \times_Y V_2} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n_2} \mathcal{O}_X }\] où \(Q'_j \in A[x_{1, 1}, \ldots, x_{1, n_1}]\) est l’image de \(Q_j\) par \(\varphi\). Puisque les flèches pointillées existent, rendent les deux carrés commutatifs, et que les flèches horizontales sont injectives, nous voyons que le diagramme entier est commutatif. Cela prouve la fonctorialité (ainsi que l’indépendance de la construction de \(g^{-1}h_V \to h_{X \times_Y V}\) à l’égard du choix de la présentation, bien qu’à strictement parler nous n’ayons pas besoin de le montrer).

À ce stade, nous pouvons montrer que \(f_{small, *} \cong g_*\). En effet, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Pour tout objet affine \(V \in \Ob(X_\etale)\), nous avons \[\begin{align*} (g_*\mathcal{F})(V) & = \Mor_{\Sh(Y_\etale)}(h_V, g_*\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(g^{-1}h_V, \mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\Sh(X_\etale)}(h_{X \times_Y V}, \mathcal{F}) \\ & = \mathcal{F}(X \times_Y V) \\ & = f_{small, *}\mathcal{F}(V) \end{align*}\] où, dans la troisième égalité, nous utilisons l’isomorphisme \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\) construit ci-dessus. Ces isomorphismes sont manifestement fonctoriels en \(\mathcal{F}\) et en \(V\), car les isomorphismes \(g^{-1}h_V \cong h_{X \times_Y V}\) sont fonctoriels. Or tout faisceau sur \(Y_\etale\) est déterminé par sa restriction à la sous-catégorie des schémas affines (Topologies, Lemme 04HR) ; nous obtenons donc un isomorphisme de foncteurs \(f_{small, *} \cong g_*\), comme voulu.

Enfin, nous devons vérifier que, par l’isomorphisme \(f_{small, *} \cong g_*\) ci-dessus, les morphismes \(f_{small}^\sharp\) et \(g^\sharp\) coïncident. Par construction, c’est déjà le cas sur les sections globales de \(\mathcal{O}_Y\), c’est-à-dire sur les éléments de \(B\). Il suffit de vérifier le résultat sur les sections au-dessus d’un ouvert affine \(V\) étale sur \(Y\) (encore d’après Topologies, Lemme 04HR). En écrivant \(V = \Spec(C)\), \(C = B[x_i]/(P_j)\) comme précédemment, il suffit de vérifier que les fonctions coordonnées \(x_i\) sont envoyées sur les mêmes sections de \(\mathcal{O}_X\) au-dessus de \(X \times_Y V\). Et c’est exactement ce que signifie la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ g^{-1}h_V \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} g^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[d]^{\prod g^\sharp} \\ h_{X \times_Y V} \ar[r] & \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X }\] Le lemme est donc démontré.

Voici une version pour des schémas quelconques.

Théorème

Soient \(X\), \(Y\) des schémas. Soit \[(g, g^\#) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] un morphisme de topos localement annelés. Alors il existe un unique morphisme de schémas \(f : X \to Y\) tel que \((g, g^\#)\) soit isomorphe à \((f_{small}, f_{small}^\sharp)\). Autrement dit, la construction \[\Sch \longrightarrow \textit{Topos localement annel\'es}, \quad X \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] est pleinement fidèle (les morphismes du membre de droite sont considérés à \(2\)-isomorphisme près).

Démonstration

On peut démontrer ce théorème en adaptant soigneusement les arguments de la démonstration du Lemme 04I6 au cadre global. Nous voulons toutefois indiquer comment recoller le résultat de ce lemme pour obtenir un morphisme global, grâce à la rigidité fournie par le résultat du Lemme 04IJ. Malheureusement, les détails sont quelque peu laborieux.

Montrons l’existence lorsque \(Y\) est affine. Choisissons alors un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\). Pour chaque \(i\), le morphisme d’inclusion \(j_i : U_i \to X\) induit un morphisme de topos localement annelés \((j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X)\) d’après le Lemme 04I5. Nous pouvons le composer avec \((g, g^\sharp)\) pour obtenir un morphisme de topos localement annelés \[(g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) : (\Sh(U_{i, \etale}), \mathcal{O}_{U_i}) \to (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] voir Modules sur les sites, Lemme 04IG. D’après le Lemme 04I6, il existe un unique morphisme de schémas \(f_i : U_i \to Y\) et un \(2\)-isomorphisme \[t_i : (f_{i, small}, f_{i, small}^\sharp) \longrightarrow (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp).\] Posons \(U_{i, i'} = U_i \cap U_{i'}\), et notons \(j_{i, i'} : U_{i, i'} \to U_i\) le morphisme d’inclusion. Puisque \(j_i \circ j_{i, i'} = j_{i'} \circ j_{i', i}\) nous avons \[\begin{align*} (g, g^\sharp) \circ (j_{i, small}, j_{i, small}^\sharp) \circ (j_{i, i', small}, j_{i, i', small}^\sharp) = \\ (g, g^\sharp) \circ (j_{i', small}, j_{i', small}^\sharp) \circ (j_{i', i, small}, j_{i', i, small}^\sharp) \end{align*}\] Par unicité (voir le Lemme 04LW), nous en concluons que \(f_i \circ j_{i, i'} = f_{i'} \circ j_{i', i}\) ; autrement dit, les morphismes de schémas \(f_i = f \circ j_i\) sont les restrictions d’un morphisme de schémas global \(f : X \to Y\). Considérons le diagramme de \(2\)-isomorphismes (dans lequel nous omettons les composantes \({}^\sharp\) pour alléger la notation) \[\xymatrix{ g \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar[rr]^{t_i \star \text{id}_{j_{i, i', small}}} \ar@{=}[d] & & f_{small} \circ j_{i, small} \circ j_{i, i', small} \ar@{=}[d] \\ g \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} \ar[rr]^{t_{i'} \star \text{id}_{j_{i', i, small}}} & & f_{small} \circ j_{i', small} \circ j_{i', i, small} }\] La notation \(\star\) désigne la composition horizontale ; voir Catégories, Définition 003H dans le cas général et Sites, section 04I9 dans notre cas particulier. D’après le résultat du Lemme 04IJ, ce diagramme est commutatif. Ainsi, pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Y_\etale\), les isomorphismes \(t_i : f_{small}^{-1}\mathcal{G}|_{U_i} \to g^{-1}\mathcal{G}|_{U_i}\) coïncident au-dessus de \(U_{i, i'}\) et nous obtenons un isomorphisme global \(t : f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to g^{-1}\mathcal{G}\). Il est clair que cet isomorphisme est fonctoriel en \(\mathcal{G}\) et compatible avec les morphismes \(f_{small}^\sharp\) et \(g^\sharp\) (puisqu’il est localement compatible avec ces morphismes). Cela démontre le théorème lorsque \(Y\) est affine.

Dans le cas général, soit \(V \subset Y\) un ouvert affine. Alors \(h_V\) est un sous-faisceau du faisceau final \(*\) sur \(Y_\etale\). Comme \(g\) est exact, nous voyons que \(g^{-1}h_V\) est un sous-faisceau du faisceau final sur \(X_\etale\). Ainsi, d’après le Lemme 04HV, il existe un sous-schéma ouvert \(W \subset X\) tel que \(g^{-1}h_V = h_W\). D’après Modules sur les sites, Lemme 04IH, il existe un diagramme commutatif de morphismes de topos localement annelés \[\xymatrix{ (\Sh(W_\etale), \mathcal{O}_W) \ar[r] \ar[d]_{g'} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^g \\ (\Sh(V_\etale), \mathcal{O}_V) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] où les flèches horizontales sont les morphismes de localisation (induits par les morphismes d’inclusion \(V \to Y\) et \(W \to X\)) et où \(g'\) est induit par \(g\). Le paragraphe précédent nous fournit un morphisme de schémas \(f' : W \to V\) et un \(2\)-isomorphisme \(t : (f'_{small}, (f'_{small})^\sharp) \to (g', (g')^\sharp)\). Exactement comme précédemment, ces morphismes \(f'\) (pour les divers ouverts affines \(V \subset Y\)) coïncident sur les intersections par unicité, et donnent donc un morphisme \(f : X \to Y\). De plus, les \(2\)-isomorphismes \(t\) sont compatibles sur les intersections, encore d’après le Lemme 04IJ, et nous obtenons un \(2\)-isomorphisme global \((f_{small}, (f_{small})^\sharp) \to (g, (g)^\sharp)\). comme voulu. Nous omettons certains détails.

Image directe et image inverse

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Voici une liste de conditions que nous considérerons dans la suite :

1. Pour tout morphisme étale \(U \to X\) et tout \(u \in U\), il existe un morphisme étale \(V \to Y\), une décomposition en union disjointe \(X \times_Y V = W \amalg W'\) et un morphisme \(h : W \to U\) au-dessus de \(X\) tel que \(u\) appartienne à l’image de \(h\).

2. Pour tout morphisme étale \(V \to Y\) et tout recouvrement étale \(\{U_i \to X \times_Y V\}\), il existe un recouvrement étale \(\{V_j \to V\}\) tel que, pour chaque \(j\), on ait \(X \times_Y V_j = \coprod W_{ij}\), où \(W_{ij} \to X \times_Y V\) se factorise par \(U_i \to X \times_Y V\) pour un certain \(i\).

3. Pour tout morphisme étale \(U \to X\), il existe un morphisme étale \(V \to Y\) et un morphisme surjectif \(X \times_Y V \to U\) au-dessus de \(X\).

Il s’avère que chacune de ces propriétés s’interprète en termes du comportement du foncteur \(f_{small, *}\). Nous expliciterons cela dans les quelques sections suivantes.

Propriété (A)

Voir la section 04C6 pour la définition de la propriété (A).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons (A).

1. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) reflète les injections et les surjections,

2. \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est surjectif pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\),

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est fidèle.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Soit \(U\) un objet de \(X_\etale\). Par hypothèse, nous pouvons trouver un recouvrement \(\{W_i \to U\}\) dans \(X_\etale\) tel que chaque \(W_i\) soit un sous-schéma ouvert et fermé de \(X \times_Y V_i\) pour un certain objet \(V_i\) de \(Y_\etale\). La condition de faisceau montre que \[\mathcal{F}(U) \subset \prod \mathcal{F}(W_i)\] et que \(\mathcal{F}(W_i)\) est un facteur direct de \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i) = f_{small, *}\mathcal{F}(V_i)\). Il est donc clair que \(f_{small, *}\) reflète les injections.

Supposons ensuite que \(a : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) soit un morphisme de faisceaux abéliens tel que \(f_{small, *}a\) soit surjectif. Soit \(s \in \mathcal{F}(U)\), avec \(U\) comme ci-dessus. Avec les \(W_i\), \(V_i\) ci-dessus, nous voyons qu’il suffit de montrer que \(s|_{W_i}\) est, localement pour la topologie étale, l’image d’une section de \(\mathcal{G}\) par \(a\). Comme \(\mathcal{F}(W_i)\) est un facteur direct de \(\mathcal{F}(X \times_Y V_i)\), il suffit de montrer que, pour tout \(V \in \Ob(Y_\etale)\), tout élément \(s \in \mathcal{F}(X \times_Y V)\) est, localement pour la topologie étale sur \(X \times_Y V\), l’image d’une section de \(\mathcal{G}\) par \(a\). Puisque \(\mathcal{F}(X \times_Y V) = f_{small, *}\mathcal{F}(V)\) nous voyons par hypothèse qu’il existe un recouvrement \(\{V_j \to V\}\) tel que \(s\) soit l’image de \(s_j \in f_{small, *}\mathcal{G}(V_j) = \mathcal{G}(X \times_Y V_j)\). Cela prouve que \(f_{small, *}\) reflète les surjections.

Les assertions (2) et (3) découlent formellement de l’assertion (1) ; voir Modules sur les sites, Lemme 04DA.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement quasi-fini. Alors la propriété (A) ci-dessus est satisfaite.

Démonstration

Soient \(U \to X\) un morphisme étale et \(u \in U\). L’énoncé géométrique (A) se réduit directement au cas où \(U\) et \(Y\) sont des schémas affines. Notons \(x \in X\) et \(y \in Y\) les images de \(u\). Comme \(X \to Y\) est localement quasi-fini et que \(U \to X\) est localement quasi-fini (voir Morphismes, Lemme 03WS), nous voyons que \(U \to Y\) est localement quasi-fini (voir Morphismes, Lemme 01TL). De plus, \(X \to Y\) et \(U \to Y\) sont tous deux séparés. Ainsi, le Compléments sur les morphismes, Lemme 02LO s’applique aux deux morphismes. Nous pouvons donc choisir un voisinage étale \((V, v) \to (Y, y)\) tel que \[X \times_Y V = W \amalg R, \quad U \times_Y V = W' \amalg R'\] et des points \(w \in W\), \(w' \in W'\) tels que

1. \(W\), \(R\) sont ouverts et fermés dans \(X \times_Y V\),

2. \(W'\), \(R'\) sont ouverts et fermés dans \(U \times_Y V\),

3. \(W \to V\) et \(W' \to V\) sont finis,

4. \(w\), \(w'\) s’envoient sur \(v\),

5. \(\kappa(v) \subset \kappa(w)\) et \(\kappa(v) \subset \kappa(w')\) sont purement inséparables, et

6. aucun autre point de \(W\) ou de \(W'\) ne s’envoie sur \(v\).

Voici un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W' \amalg R' \ar[d] \ar[l] \\ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[l] \ar[d] & W \amalg R \ar[l] \\ Y & V \ar[l] }\] Après avoir rétréci \(V\), nous pouvons supposer que \(W'\) s’envoie dans \(W\) : il suffit d’enlever l’image de l’image inverse de \(R\) dans \(W'\) ; c’est un fermé (puisque \(W' \to V\) est fini) qui ne contient pas \(v\). Alors \(W' \to W\) est fini, puisque \(W \to V\) et \(W' \to V\) sont finis. Ainsi \(W' \to W\) est fini étale, et la fibre au-dessus de \(w\) contient exactement un point, avec \(\kappa(w) = \kappa(w')\). Par conséquent, \(W' \to W\) est un isomorphisme sur un voisinage ouvert \(W^\circ\) de \(w\) ; voir Morphismes étales, Lemme 04DH. Comme \(W \to V\) est fini, l’image de \(W \setminus W^\circ\) est un sous-ensemble fermé \(T\) de \(V\) qui ne contient pas \(v\). Après avoir remplacé \(V\) par \(V \setminus T\), nous pouvons donc supposer que \(W' \to W\) est un isomorphisme. La décomposition \(X \times_Y V = W \amalg R\) et le morphisme \(W \to U\) sont alors ceux recherchés, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier de schémas. Alors la propriété (A) est satisfaite.

Démonstration

Soient \(U \to X\) étale et \(u \in U\) un point. Nous devons trouver un morphisme étale \(V \to Y\), une décomposition en union disjointe \(X \times_Y V = W \amalg W'\) et un \(X\)-morphisme \(W \to U\) tel que \(u\) appartienne à son image. Nous pouvons rétrécir \(U\) et \(Y\) et supposer que \(U\) et \(Y\) sont affines. Alors \(X\) est également affine, puisqu’un morphisme entier est affine par définition. Écrivons \(Y = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) et \(U = \Spec(C)\). Alors \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux entier, et \(B \to C\) un homomorphisme d’anneaux étale. D’après Algèbre, Lemme 00U2, nous pouvons trouver une sous-\(A\)-algèbre finie \(B' \subset B\) et un homomorphisme d’anneaux étale \(B' \to C'\) tels que \(C = B \otimes_{B'} C'\). La question se ramène donc au morphisme étale \(U' = \Spec(C') \to X' = \Spec(B')\) au-dessus du morphisme fini \(X' \to Y\). Dans ce cas, le résultat découle du Lemme 04DL.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Notons \(f_{small} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) le morphisme associé de petits topos étales. Supposons qu’au moins l’une des hypothèses suivantes soit satisfaite :

1. \(f\) est entier, ou

2. \(f\) est séparé et localement quasi-fini.

Alors le foncteur \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) possède les propriétés suivantes :

1. le morphisme \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est toujours surjectif,

2. \(f_{small, *}\) est fidèle, et

3. \(f_{small, *}\) reflète les injections et les surjections.

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 04DL, 04DM, et 04DK.

Propriété (B)

Voir la section 04C6 pour la définition de la propriété (B).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons la propriété (B) satisfaite. Alors le foncteur \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) envoie les morphismes surjectifs sur des morphismes surjectifs.

Démonstration

Cela découle de Sites, Lemme 04D7.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(V \to Y\) soit un morphisme étale de schémas,

2. \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) soit un recouvrement étale, et

3. \(v \in V\) soit un point.

Supposons que, pour toute donnée de ce type, il existe un voisinage étale \((V', v') \to (V, v)\), une décomposition en union disjointe \(X \times_Y V' = \coprod W'_i\) et des morphismes \(W'_i \to U_i\) au-dessus de \(X \times_Y V\). Alors la propriété (B) est satisfaite.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. Alors la propriété (B) est satisfaite.

Démonstration

Considérons un morphisme étale \(V \to Y\), un recouvrement étale \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) et un point \(v \in V\). Nous devons trouver \(V' \to V\), une décomposition et des morphismes comme dans le Lemme 04DP. Nous pouvons rétrécir \(V\) et \(Y\), donc supposer que \(V\) et \(Y\) sont affines. Comme \(X\) est fini sur \(Y\), il en résulte aussi que \(X\) est affine. Au cours de la démonstration, nous pouvons remplacer (un nombre fini de fois) \((V, v)\) par un voisinage étale \((V', v')\) et, de manière correspondante, le recouvrement \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) par \(\{V' \times_V U_i \to X \times_Y V'\}\).

Comme \(X \times_Y V \to V\) est fini, il existe un nombre fini de points deux à deux distincts \(x_1, \ldots, x_n \in X \times_Y V\) qui s’envoient sur \(v\). Nous pouvons appliquer Compléments sur les morphismes, Lemme 02LO à \(X \times_Y V \to V\) et aux points \(x_1, \ldots, x_n\) situés au-dessus de \(v\), et trouver un voisinage étale \((V', v') \to (V, v)\) tel que \[X \times_Y V' = R \amalg \coprod T_a\] où \(T_a \to V'\) est fini, avec exactement un point \(p_a\) au-dessus de \(v'\), où de plus \(\kappa(v') \subset \kappa(p_a)\) est purement inséparable, et tel que la fibre de \(R \to V'\) au-dessus de \(v'\) soit vide. Puisque \(X \to Y\) est fini, \(R \to V'\) l’est aussi. Après avoir rétréci \(V'\), nous pouvons donc supposer que \(R = \emptyset\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X \times_Y V = X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\), avec exactement un point \(x_l \in X_l\) au-dessus de \(v\), et tel que, de plus, \(\kappa(v) \subset \kappa(x_l)\) soit purement inséparable. Remarquons que cette propriété est préservée par tout raffinement du voisinage étale \((V, v)\).

Pour chaque \(l\), choisissons un \(i_l\) et un point \(u_l \in U_{i_l}\) qui s’envoie sur \(x_l\). Appliquons maintenant la propriété (A) au morphisme fini \(X \times_Y V \to V\), aux morphismes étales \(U_{i_l} \to X \times_Y V\) et aux points \(u_l\). Cela est permis par le Lemme 04DM. Nous obtenons ainsi un voisinage étale \((V', v') \to (V, v)\) et des décompositions \[X \times_Y V' = W_l \amalg R_l\] et des \(X\)-morphismes \(a_l : W_l \to U_{i_l}\) dont l’image contient \(u_{i_l}\). Voici une figure : \[\xymatrix{ & & & U_{i_l} \ar[d] & \\ W_l \ar[rrru] \ar[r] & W_l \amalg R_l \ar@{=}[r] & X \times_Y V' \ar[r] \ar[d] & X \times_Y V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & & V' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] Après avoir remplacé \((V, v)\) par \((V', v')\), nous concluons que chaque \(x_l\) appartient à un voisinage ouvert et fermé \(W_l\) tel que le morphisme d’inclusion \(W_l \to X \times_Y V\) se factorise par \(U_i \to X \times_Y V\) pour un certain \(i\). En remplaçant \(W_l\) par \(W_l \cap X_l\), nous voyons que ces ouverts et fermés sont disjoints et, de plus, que \(\{x_1, \ldots, x_n\} \subset W_1 \cup \ldots \cup W_n\). Comme \(X \times_Y V \to V\) est fini, nous pouvons rétrécir \(V\) et supposer que \(X \times_Y V = W_1 \amalg \ldots \amalg W_n\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier de schémas. Alors la propriété (B) est satisfaite.

Démonstration

Considérons un morphisme étale \(V \to Y\), un recouvrement étale \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) et un point \(v \in V\). Nous devons trouver \(V' \to V\), une décomposition et des morphismes comme dans le Lemme 04DP. Nous pouvons rétrécir \(V\) et \(Y\), donc supposer que \(V\) et \(Y\) sont affines. Comme \(X\) est entier sur \(Y\), il en résulte aussi que \(X\) et \(X \times_Y V\) sont affines. Nous pouvons raffiner le recouvrement \(\{U_i \to X \times_Y V\}\) et donc supposer que \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\) est un recouvrement étale standard. Écrivons \(Y = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\), \(V = \Spec(C)\) et \(U_i = \Spec(B_i)\). Alors \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux entier, et les \(B \otimes_A C \to B_i\) sont des homomorphismes d’anneaux étales. D’après Algèbre, Lemme 00U2, nous pouvons trouver une sous-\(A\)-algèbre finie \(B' \subset B\) et un homomorphisme d’anneaux étale \(B' \otimes_A C \to B'_i\), pour \(i = 1, \ldots, n\), tels que \(B_i = B \otimes_{B'} B'_i\). La question se ramène donc au recouvrement étale \(\{\Spec(B'_i) \to X' \times_Y V\}_{i = 1, \ldots, n}\) où \(X' = \Spec(B')\) est fini sur \(Y\). Dans ce cas, le résultat découle du Lemme 04DQ.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) entier (par exemple fini). Alors

1. \(f_{small, *}\) envoie les morphismes surjectifs sur des morphismes surjectifs (pour les faisceaux d’ensembles et pour les faisceaux abéliens),

2. \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est surjectif pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\),

3. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est fidèle et reflète les injections et les surjections, et

4. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est exact.

Démonstration

Nous avons vu les assertions (2) et (3) dans le Lemme 04C9. L’assertion (1) découle des Lemmes 04DR et 04DO. L’assertion (4) est une conséquence de l’assertion (1) ; voir Modules sur les sites, Lemme 04DB.

Propriété (C)

Voir la section 04C6 pour la définition de la propriété (C).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons (C) satisfaite. Alors le foncteur \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) reflète les injections et les surjections.

Démonstration

Cela découle de Sites, Lemme 04D9. Nous omettons la vérification du fait que la propriété (C) implique que le foncteur \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) satisfait l’hypothèse de Sites, Lemme 04D9.

Remarque

La propriété (C) est satisfaite si \(f : X \to Y\) est une immersion ouverte. En effet, si \(U \in \Ob(X_\etale)\), nous pouvons aussi considérer \(U\) comme un objet de \(Y_\etale\) et \(U \times_Y X = U\). Ainsi, la propriété (C) n’implique pas que \(f_{small, *}\) soit exact, car ce n’est pas le cas pour les immersions ouvertes (en général).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que, pour tout morphisme étale \(V \to Y\), on ait

1. \(X \times_Y V \to V\) possède la propriété (C), et

2. \(X \times_Y V \to V\) est fermé.

Alors le foncteur \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) est presque cocontinu ; voir Sites, Définition 04B7.

Démonstration

Soit \(V \to Y\) un objet de \(Y_\etale\) et soit \(\{U_i \to X \times_Y V\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(X_\etale\). Par l’hypothèse (1), pour chaque \(i\), nous pouvons trouver un morphisme étale \(h_i : V_i \to V\) et un morphisme surjectif \(X \times_Y V_i \to U_i\) au-dessus de \(X \times_Y V\). Remarquons que \(\bigcup h_i(V_i) \subset V\) est un ouvert qui contient le fermé \(Z = \Im(X \times_Y V \to V)\). Soit \(h_0 : V_0 = V \setminus Z \to V\) l’immersion ouverte. Il est clair que \(\{V_i \to V\}_{i \in I \cup \{0\}}\) est un recouvrement étale tel que, pour tout \(i \in I \cup \{0\}\), on ait soit \(V_i \times_Y X = \emptyset\) (si \(i = 0\)), soit que \(V_i \times_Y X \to V \times_Y X\) se factorise par \(U_i \to X \times_Y V\) (si \(i \not = 0\)). Le foncteur \(Y_\etale \to X_\etale\) est donc presque cocontinu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier de schémas qui définit un homéomorphisme de \(X\) sur un sous-ensemble fermé de \(Y\). Alors la propriété (C) est satisfaite.

Démonstration

Soit \(g : U \to X\) un morphisme étale. Nous devons trouver un objet \(V \to Y\) de \(Y_\etale\) et un morphisme surjectif \(X \times_Y V \to U\) au-dessus de \(X\). Supposons que, pour tout \(u \in U\), nous puissions trouver un objet \(V_u \to Y\) de \(Y_\etale\) et un morphisme \(h_u : X \times_Y V_u \to U\) au-dessus de \(X\) avec \(u \in \Im(h_u)\). Nous pouvons alors prendre \(V = \coprod V_u\) et \(h = \coprod h_u\), ce qui donne le résultat. Ainsi, étant donné un point \(u \in U\), construisons une paire \((V_u, h_u)\) comme ci-dessus. Pour ce faire, nous pouvons rétrécir \(U\) et supposer que \(U\) est affine. Dans ce cas, \(g : U \to X\) est localement quasi-fini. Posons \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u, u_2, \ldots, u_n\}\). Puisqu’il n’existe aucune spécialisations \(u_i \leadsto u\), nous pouvons remplacer \(U\) par un voisinage affine de sorte que \(g^{-1}(g(\{u\})) = \{u\}\).

L’image \(g(U) \subset X\) est ouverte ; par conséquent, \(f(g(U))\) est localement fermé dans \(Y\). Choisissons un ouvert \(V \subset Y\) tel que \(f(g(U)) = f(X) \cap V\). Il en résulte que \(g\) se factorise par \(X \times_Y V\) et que le morphisme \(\{U \to X \times_Y V\}\) ainsi obtenu est un recouvrement étale. Comme \(f\) possède la propriété (B), voir le Lemme 04DR, nous voyons qu’il existe un recouvrement étale \(\{V_j \to V\}\) tel que \(X \times_Y V_j \to X \times_Y V\) se factorise par \(U\). Il en résulte que \(V' = \coprod V_j\) est étale sur \(Y\) et qu’il existe un morphisme \(h : X \times_Y V' \to U\) dont l’image se projette surjectivement sur \(g(U)\). Comme \(u\) est le seul point de sa fibre, il doit appartenir à l’image de \(h\), ce qui donne le résultat.

Nous invitons le lecteur à considérer le lemme suivant comme une étape³ sur le chemin qui mène au résultat ultime concernant \(f_{small, *}\) pour les morphismes entiers et universellement injectifs.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit universellement injectif et entier (par exemple une immersion fermée). Alors

1. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) reflète les injections et les surjections,

2. \(f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) commute aux sommes amalgamées et aux coégalisateurs (et, plus généralement, aux colimites connexes finies),

3. \(f_{small, *}\) envoie les morphismes surjectifs sur des morphismes surjectifs (pour les faisceaux d’ensembles et pour les faisceaux abéliens),

4. le morphisme \(f_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est surjectif pour tout faisceau (d’ensembles ou de groupes abéliens) \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\),

5. le foncteur \(f_{small, *}\) est fidèle (sur les faisceaux d’ensembles et sur les faisceaux abéliens),

6. \(f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est exact, et

7. le foncteur \(Y_\etale \to X_\etale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) est presque cocontinu.

Démonstration

D’après les Lemmes 04DM, 04DR et 04DW, nous savons que le morphisme \(f\) possède les propriétés (A), (B) et (C). De plus, d’après le Lemme 04DV, nous savons que le foncteur \(Y_\etale \to X_\etale\) est presque cocontinu. Nous avons maintenant :

1. la propriété (C) implique (1) d’après le Lemme 04DT,

2. la presque cocontinuité implique (2) d’après Sites, Lemme 04BA,

3. la propriété (B) implique (3) d’après le Lemme 04DO.

Les propriétés (4), (5) et (6) découlent formellement des trois premières ; voir Sites, Lemme 04D6 et Modules sur les sites, Lemme 04DB. Nous avons vu la propriété (7) ci-dessus.

Invariance topologique du petit site étale

Dans le théorème suivant, nous montrons que le petit site étale est un invariant topologique au sens suivant : si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas qui est un homéomorphisme universel, alors \(X_\etale \cong Y_\etale\) en tant que sites. Cela améliore le résultat de Morphismes étales, Théorème 039R. Nous démontrons d’abord le résultat pour les morphismes, puis nous énonçons celui pour les catégories.

Théorème

Soient \(X\) et \(Y\) deux schémas sur un schéma de base \(S\). Soit \(S' \to S\) un homéomorphisme universel. Notons \(X'\) (resp. \(Y'\)) le changement de base à \(S'\). Si \(X\) est étale sur \(S\), alors l’application \[\Mor_S(Y, X) \longrightarrow \Mor_{S'}(Y', X')\] est bijective.

Démonstration

Après changement de base par \(Y \to S\), nous pouvons supposer que \(Y = S\). Ainsi, nous pouvons et allons supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux étales sur \(S\). Autrement dit, le théorème affirme que le foncteur de changement de base est un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des schémas étales sur \(S\) vers la catégorie des schémas étales sur \(S'\).

Considérons le foncteur d’oubli [0BTZ]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{donn\'ees de descente }(X', \varphi')\text{ relativement \`a }S'/S \\ \text{ avec }X'\text{ \'etale sur }S' \end{matrix} \longrightarrow \text{sch\'emas }X'\text{ \'etales sur }S' \end{equation}\] Nous affirmons que ce foncteur est une équivalence. D’autre part, le foncteur [0BU0]\[\begin{equation} \text{sch\'emas }X\text{ \'etales sur }S \longrightarrow \begin{matrix} \text{donn\'ees de descente }(X', \varphi')\text{ relativement \`a }S'/S \\ \text{ avec }X'\text{ \'etale sur }S' \end{matrix} \end{equation}\] est pleinement fidèle d’après Morphismes étales, Lemme 0BTL. L’affirmation entraîne donc le théorème.

Démonstration de l’affirmation. Rappelons qu’un homéomorphisme universel est la même chose qu’un morphisme entier, universellement injectif et surjectif ; voir Morphismes, Lemme 04DF. En particulier, la diagonale \(\Delta : S' \to S' \times_S S'\) est un épaississement d’après Morphismes, Lemme 01S4. Ainsi, d’après Morphismes étales, Théorème 025H, nous voyons que, pour tout \(X' \to S'\) étale, il existe un unique isomorphisme \[\varphi' : X' \times_S S' \to S' \times_S X'\] de schémas étales sur \(S' \times_S S'\) dont l’image inverse par \(\Delta\) est \(\text{id} : X' \to X'\) sur \(S'\). Comme \(S' \to S' \times_S S' \times_S S'\) est aussi un épaississement (c’est une immersion fermée bijective), nous concluons que \((X', \varphi')\) est une donnée de descente relativement à \(S'/S\). Le caractère canonique de la construction de \(\varphi'\) montre qu’elle est compatible aux morphismes entre schémas étales sur \(S'\). Autrement dit, nous obtenons un quasi-inverse \(X' \mapsto (X', \varphi')\) du foncteur (0BTZ). Cela démontre l’affirmation et achève la démonstration du théorème.

Théorème

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) entier, universellement injectif et surjectif (c’est-à-dire que \(f\) est un homéomorphisme universel ; voir Morphismes, Lemme 04DF). Le foncteur \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] définit une équivalence de catégories \[\{ \text{sch\'emas }V\text{ \'etales sur }Y \} \leftrightarrow \{ \text{sch\'emas }U\text{ \'etales sur }X \}\]

Nous donnons deux démonstrations. La première utilise l’effectivité de la descente des morphismes quasi-compacts, séparés et étales relativement aux morphismes entiers surjectifs. La seconde utilise les résultats sur les propriétés (A), (B) et (C) discutés plus haut dans le chapitre.

Démonstration

D’après le Théorème 0BTY, nous voyons que le foncteur est pleinement fidèle. Il reste à montrer que le foncteur est essentiellement surjectif. Soit \(U \to X\) un morphisme étale de schémas.

Supposons le résultat vrai lorsque \(U\) et \(Y\) sont affines. Dans ce cas, choisissons un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) s’envoie dans un ouvert affine de \(Y\). Par hypothèse (cas affine), nous pouvons trouver des morphismes étales \(V_i \to Y\) tels que \(X \times_Y V_i \cong U_i\) comme schémas sur \(X\). Soit \(V_{i, i'} \subset V_i\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent correspond à \(U_i \cap U_{i'}\). Puisque nous avons des isomorphismes \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] comme schémas sur \(X\), la pleine fidélité montre que nous obtenons des isomorphismes \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\) de schémas sur \(Y\). Nous omettons de vérifier que ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle de Schémas, section 01JA. En appliquant Schémas, Lemme 01JC nous obtenons un schéma \(V \to Y\) par recollement des schémas \(V_i\) suivant les identifications \(\theta_{i, i'}\). Il est clair que \(V \to Y\) est étale et que \(X \times_Y V \cong U\) par construction.

Ainsi, il suffit de démontrer le lemme dans le cas où \(U\) et \(Y\) sont affines. Rappelons que, dans la démonstration du Théorème 0BTY, nous avons montré que \(U\) est muni d’une unique donnée de descente \((U, \varphi)\) relativement à \(X/Y\). D’après Morphismes étales, Proposition 0BTP (qui s’applique car \(U \to X\) est quasi-compact et séparé ainsi qu’étale, d’après notre réduction au cas affine), il existe un morphisme étale \(V \to Y\) tel que \(X \times_Y V \cong U\), ce qui achève la démonstration.

Démonstration

D’après le Théorème 0BTY, nous voyons que le foncteur est pleinement fidèle. Il reste à montrer que le foncteur est essentiellement surjectif. Soit \(U \to X\) un morphisme étale de schémas.

Supposons le résultat vrai lorsque \(U\) et \(Y\) sont affines. Dans ce cas, choisissons un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) s’envoie dans un ouvert affine de \(Y\). Par hypothèse (cas affine), nous pouvons trouver des morphismes étales \(V_i \to Y\) tels que \(X \times_Y V_i \cong U_i\) comme schémas sur \(X\). Soit \(V_{i, i'} \subset V_i\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent correspond à \(U_i \cap U_{i'}\). Puisque nous avons des isomorphismes \[X \times_Y V_{i, i'} \cong U_i \cap U_{i'} \cong X \times_Y V_{i', i}\] comme schémas sur \(X\), la pleine fidélité montre que nous obtenons des isomorphismes \(\theta_{i, i'} : V_{i, i'} \to V_{i', i}\) de schémas sur \(Y\). Nous omettons de vérifier que ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle de Schémas, section 01JA. En appliquant Schémas, Lemme 01JC nous obtenons un schéma \(V \to Y\) par recollement des schémas \(V_i\) suivant les identifications \(\theta_{i, i'}\). Il est clair que \(V \to Y\) est étale et que \(X \times_Y V \cong U\) par construction.

Ainsi, il suffit de démontrer que le foncteur [04E0]\[\begin{equation} \{ \text{sch\'emas affines }V\text{ \'etales sur }Y \} \leftrightarrow \{ \text{sch\'emas affines }U\text{ \'etales sur }X \} \end{equation}\] est essentiellement surjectif lorsque \(X\) et \(Y\) sont affines.

Soit \(U \to X\) un schéma affine étale sur \(X\). Nous devons trouver \(V \to Y\) étale (et affine) tel que \(X \times_Y V\) soit isomorphe à \(U\) sur \(X\). Remarquons qu’un morphisme étale de schémas affines a des fibres universellement bornées, voir Morphismes, Lemmes 03WS et 03JA. Nous pouvons donc raisonner par récurrence sur l’entier \(n\) qui borne le degré des fibres de \(U \to X\). Voir Morphismes, Lemme 03WU pour une description de cet entier dans le cas d’un morphisme étale. Si \(n = 1\), alors \(U \to X\) est une immersion ouverte (voir Morphismes étales, Théorème 025G), et le résultat est clair. Supposons \(n > 1\).

D’après le Lemme 04DW, il existe un morphisme étale de schémas \(W \to Y\) et un morphisme surjectif \(W_X \to U\) sur \(X\). Comme \(U\) est quasi-compact, nous pouvons remplacer \(W\) par une somme disjointe d’un nombre fini d’ouverts affines de \(W\) ; nous pouvons donc supposer que \(W\) est lui aussi affine. Voici un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_Y W \ar[l] \ar[d] & W_X \amalg R \ar@{=}[l]\\ X \ar[d] & W_X \ar[l] \ar[d] \\ Y & W \ar[l] }\] La décomposition en somme disjointe provient du fait que, par construction, le morphisme étale de schémas affines \(U \times_Y W \to W_X\) admet une section. Nous voyons alors que le morphisme \(R \to X \times_Y W\) est un morphisme étale de schémas affines dont les fibres ont un degré universellement borné par \(n - 1\). Par l’hypothèse de récurrence, il existe donc un schéma \(V' \to W\) étale tel que \(R \cong W_X \times_W V'\). En posant \(V'' = W \amalg V'\), nous obtenons un schéma \(V''\) étale sur \(W\) dont le changement de base à \(W_X\) est isomorphe à \(U \times_Y W\) sur \(X \times_Y W\).

À ce stade, nous pouvons utiliser la descente pour trouver \(V\) sur \(Y\) dont le changement de base à \(X\) est isomorphe à \(U\) sur \(X\). En effet, par la pleine fidélité du foncteur (04E0) correspondant à l’homéomorphisme universel \(X \times_Y (W \times_Y W) \to (W \times_Y W)\) il existe un unique isomorphisme \(\varphi : V'' \times_Y W \to W \times_Y V''\) dont le changement de base à \(X \times_Y (W \times_Y W)\) est la donnée de descente canonique de \(U \times_Y W\) sur \(X \times_Y W\). En particulier, \(\varphi\) satisfait à la condition de cocycle. Ainsi, d’après Descente, Lemme 0245, nous voyons que \(\varphi\) est effective (rappelons que tous les schémas ci-dessus sont affines). Nous obtenons donc \(V \to Y\) et un isomorphisme \(V'' \cong W \times_Y V\) tel que la donnée de descente canonique sur \(W \times_Y V/W/Y\) coïncide avec \(\varphi\). Remarquons que \(V \to Y\) est étale, d’après Descente, Lemme 02VN. De plus, il existe un isomorphisme \(V_X \cong U\) obtenu par descente de l’isomorphisme \[V_X \times_X W_X = X \times_Y V \times_Y W = (X \times_Y W) \times_W (W \times_Y V) \cong W_X \times_W V'' \cong U \times_Y W\] dont nous disposons par construction. Nous omettons certains détails.

Remarque

Dans la situation du Théorème 04DZ, il est ègalement vrai que \(V \mapsto V_X\) induit une équivalence entre les morphismes étales \(V \to Y\) pour lesquels \(V\) est affine et les morphismes étales \(U \to X\) pour lesquels \(U\) est affine. Cela résulte par exemple de Limits, Proposition 05YU.

Proposition

Soit \(X_0 \to X\) un homéomorphisme universel de schémas (par exemple l’immersion fermée définie par un faisceau d’idéaux nilpotent). Alors

1. les sites étales \(X_\etale\) et \((X_0)_\etale\) sont isomorphes,

2. les topos étales \(\Sh(X_\etale)\) et \(\Sh((X_0)_\etale)\) sont équivalents, et

3. \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}) = H^q_\etale(X_0, \mathcal{F}|_{X_0})\) pour tout \(q\) et pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\).

Démonstration

L’équivalence de catégories \(X_\etale \to (X_0)_\etale\) est donnée par le Théorème 04DZ. Nous omettons de démontrer que, sous cette équivalence, les recouvrements étales se correspondent. Ainsi, (1) est démontré. Les assertions (2) et (3) découlent formellement de (1).

Immersions fermées et image directe

Avant d’énoncer et de démontrer Proposition 04CA dans toute sa généralité, nous l’énonçons et la démontrons brièvement pour les immersions fermées. En effet, certains des arguments précédents sont beaucoup plus faciles à suivre dans le cas d’une immersion fermée et nous les répétons donc ici sous leur forme simplifiée.

Dans la suite de cette section, \(i : Z \to X\) est une immersion fermée. Le foncteur \[\Sch/X \longrightarrow \Sch/Z, \quad U \longmapsto U_Z = Z \times_X U\] sera noté \(U \mapsto U_Z\), comme indiqué. Comme la propriété d’être une immersion fermée se conserve par tout changement de base, le schéma \(U_Z\) est un sous-schéma fermé de \(U\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Soient \(U, U'\) des schémas étales sur \(X\). Soit \(h : U_Z \to U'_Z\) un morphisme sur \(Z\). Alors il existe un diagramme \[\xymatrix{ U & W \ar[l]_a \ar[r]^b & U' }\] dans \(X_\etale\) tel que \(a_Z : W_Z \to U_Z\) soit un isomorphisme et \(h = b_Z \circ (a_Z)^{-1}\).

Démonstration

Considérons le schéma \(M = U \times_X U'\). Le graphe \(\Gamma_h \subset M_Z\) de \(h\) est ouvert. Cela résulte, par exemple, de ce que \(\Gamma_h\) est l’image d’une section du morphisme étale \(\text{pr}_{1, Z} : M_Z \to U_Z\), voir Morphismes étales, Proposition 024T. Il existe donc un sous-schéma ouvert \(W \subset M\) dont l’intersection avec la partie fermée \(M_Z\) est \(\Gamma_h\). Posons \(a = \text{pr}_1|_W\) et \(b = \text{pr}_2|_W\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Soit \(V \to Z\) un morphisme étale de schémas. Il existe des morphismes étales \(U_i \to X\) et des morphismes \(U_{i, Z} \to V\) tels que \(\{U_{i, Z} \to V\}\) soit un recouvrement de Zariski de \(V\).

Démonstration

Puisqu’il nous suffit de trouver un recouvrement de Zariski de \(V\) formé de schémas de la forme \(U_Z\), avec \(U\) étale sur \(X\), nous pouvons raisonner localement pour la topologie de Zariski sur \(X\) et sur \(V\). Nous pouvons donc supposer \(X\) et \(V\) affines. Dans le cas affine, cela résulte de Algèbre, Lemme 04D1.

Si \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) est un point géométrique de \(X\), alors ou bien \(\overline{x}\) se factorise (de façon unique) par le sous-schéma fermé \(Z\), ou bien \(Z_{\overline{x}} = \emptyset\). Si \(\overline{x}\) se factorise par \(Z\), nous disons que \(\overline{x}\) est un point géométrique de \(Z\) (ce qu’il est) et nous employons la notation “\(\overline{x} \in Z\)” pour l’indiquer.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Z_\etale\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Alors \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \left\{ \begin{matrix} * & \text{si} & \overline{x} \not \in Z \\ \mathcal{G}_{\overline{x}} & \text{si} & \overline{x} \in Z \end{matrix} \right.\] où \(*\) désigne un ensemble réduit à un élément.

Démonstration

Posons \(U = X \setminus Z\). Notons que \(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} = *\) est l’objet final de la catégorie des faisceaux étales sur \(U\), c’est-à-dire le faisceau qui associe un ensemble réduit à un élément à chaque schéma étale sur \(U\). Cela explique la valeur de \((i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\) lorsque \(\overline{x} \not \in Z\).

Supposons maintenant que \(\overline{x} \in Z\). Notons que \[(i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{G}(U_Z)\] et, d’autre part, \[\mathcal{G}_{\overline{x}} = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}(V).\] Soit \(\mathcal{C}_1 = \{(U, \overline{u})\}^{opp}\) la catégorie opposée à la catégorie des voisinages étales de \(\overline{x}\) dans \(X\), et soit \(\mathcal{C}_2 = \{(V, \overline{v})\}^{opp}\) la catégorie opposée à la catégorie des voisinages étales de \(\overline{x}\) dans \(Z\). L’application canonique \[\mathcal{G}_{\overline{x}} \longrightarrow (i_{small, *}\mathcal{G})_{\overline{x}}\] correspond au foncteur \(F : \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\), \(F(U, \overline{u}) = (U_Z, \overline{x})\). Or les lemmes 04FW et 04FV impliquent que \(\mathcal{C}_1\) est cofinale dans \(\mathcal{C}_2\), voir Catégories, définition 04E6. Il en résulte que la flèche ci-dessus est un isomorphisme, voir Catégories, lemme 04E7.

Proposition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas.

1. Le foncteur \[i_{small, *} : \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \Sh(X_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) dont la restriction à \(X \setminus Z\) est isomorphe à \(*\), et

2. le foncteur \[i_{small, *} : \textit{Ab}(Z_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux abéliens sur \(X_\etale\) dont le support est contenu dans \(Z\).

Dans les deux cas, \(i_{small}^{-1}\) est un inverse à gauche du foncteur \(i_{small, *}\).

Démonstration

Traitons le cas des faisceaux d’ensembles. Pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Z\), le morphisme \(i_{small}^{-1}i_{small, *}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est un isomorphisme d’après le lemme 04FX (et le théorème 03PU). Il en résulte formellement que \(i_{small, *}\) est pleinement fidèle, voir Sites, lemme 04D6. Il est clair que \(i_{small, *}\mathcal{G}|_{U_\etale} \cong *\) où \(U = X \setminus Z\). Réciproquement, supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau d’ensembles sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_\etale} \cong *\). Considérons le morphisme d’adjonction \[\mathcal{F} \longrightarrow i_{small, *}i_{small}^{-1}\mathcal{F}\] En combinant les lemmes 04FX et 03Q1, nous voyons que c’est un isomorphisme. Cela achève la démonstration de (1). La démonstration de (2) est identique.

Morphismes entiers universellement injectifs

Voici la version générale de la proposition 04CA.

Proposition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier de schémas et universellement injectif.

1. Le foncteur \[f_{small, *} : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(Y_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(Y_\etale\) dont la restriction à \(Y \setminus f(X)\) est isomorphe à \(*\), et

2. le foncteur \[f_{small, *} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Y_\etale)\] est pleinement fidèle et son image essentielle est formée des faisceaux abéliens sur \(Y_\etale\) dont le support est contenu dans \(f(X)\).

Dans les deux cas, \(f_{small}^{-1}\) est un inverse à gauche du foncteur \(f_{small, *}\).

Démonstration

Nous pouvons factoriser \(f\) sous la forme \[\xymatrix{ X \ar[r]^h & Z \ar[r]^i & Y }\] où \(h\) est entier, universellement injectif et surjectif et \(i : Z \to Y\) est une immersion fermée. Appliquons la proposition 04CA à \(i\) et le théorème 04DZ à \(h\).

Grands sites et image directe

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats techniques sur \(f_{big, *}\) pour certains types de morphismes de schémas.

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme de schémas. Alors le morphisme canonique \(f_{big}^{-1}f_{big, *}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/X)_\tau\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) est continu, cocontinu et pleinement fidèle. Le résultat découle donc de Sites, lemme 00XT.

Remarque

Dans la situation du lemme 04C7, le morphisme canonique \(\mathcal{F} \to f_{big}^{-1}f_{big!}\mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/X)_\tau\). La démonstration est la même. Cela vaut aussi pour les faisceaux abéliens. Cependant, notons que le foncteur \(f_{big!}\) pour les faisceaux abéliens est défini dans Modules sur les sites, section 04BE et est en général différent de \(f_{big!}\) sur les faisceaux d’ensembles. Le résultat pour les faisceaux abéliens découle de Modules sur les sites, lemme 077I.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Soit \(U \to X\) un morphisme syntomique (resp. lisse, resp. étale). Il existe alors des morphismes syntomiques (resp. lisses, resp. étales) \(V_i \to Y\) et des morphismes \(V_i \times_Y X \to U\) tels que \(\{V_i \times_Y X \to U\}\) forme un recouvrement de Zariski de \(U\).

Démonstration

Démontrons le lemme dans le cas où \(\tau = syntomic\). La question est locale sur \(U\). Nous pouvons donc supposer que \(U\) est un schéma affine dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(Y\). Nous sommes donc ramenés à démontrer le cas suivant : \(Y = \Spec(A)\), \(X = \Spec(A/I)\), et \(U = \Spec(\overline{B})\), où \(A/I \to \overline{B}\) est un morphisme d’anneaux syntomique. D’après Algèbre, lemme 00T0 nous pouvons trouver des éléments \(\overline{g}_i \in \overline{B}\) tels que \(\overline{B}_{\overline{g}_i} = A_i/IA_i\) pour certains morphismes d’anneaux syntomiques \(A \to A_i\). Cela démontre le lemme dans le cas syntomique. La démonstration du cas lisse est identique, à ceci près qu’elle utilise Algèbre, lemme 04B1. Dans le cas étale, on utilise Algèbre, lemme 04D1.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Soit \(\{U_i \to X\}\) un recouvrement syntomique (resp. lisse, resp. étale). Il existe un recouvrement syntomique (resp. lisse, resp. étale) \(\{V_j \to Y\}\) tel que, pour chaque \(j\), soit \(V_j \times_Y X = \emptyset\), soit le morphisme \(V_j \times_Y X \to X\) se factorise par \(U_i\) pour un certain \(i\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), nous pouvons choisir des morphismes syntomiques (resp. lisses, resp. étales) \(g_{ij} : V_{ij} \to Y\) et des morphismes \(V_{ij} \times_Y X \to U_i\) au-dessus de \(X\), de sorte que \(\{V_{ij} \times_Y X \to U_i\}\) forme un recouvrement de Zariski, voir le lemme 04E3. Cela implique en particulier que \(\bigcup_{ij} g_{ij}(V_{ij})\) contient le sous-ensemble fermé \(f(X)\). Par conséquent, la famille de morphismes syntomiques (resp. lisses, resp. étales) \(g_{ij}\) ainsi que l’immersion ouverte \(Y \setminus f(X) \to Y\) forment le recouvrement syntomique (resp. lisse, resp. étale) voulu de \(Y\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Soit \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\). Le foncteur \(V \mapsto X \times_Y V\) définit un foncteur presque cocontinu (voir Sites, Définition 04B7) \((\Sch/Y)_\tau \to (\Sch/X)_\tau\) entre les grands \(\tau\)-sites.

Démonstration

Il faut montrer ce qui suit : étant donné un morphisme \(V \to Y\) et un recouvrement syntomique quelconque (resp. lisse, resp. étale) \(\{U_i \to X \times_Y V\}\), il existe un recouvrement lisse (resp. lisse, resp. étale) \(\{V_j \to V\}\) tel que, pour tout \(j\), soit \(X \times_Y V_j\) est vide, soit \(X \times_Y V_j \to Z \times_Y V\) se factorise par l’un des \(U_i\). Cela résulte de l’application du Lemme 04E4 ci-dessus à l’immersion fermée \(X \times_Y V \to V\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Soit \(\tau \in \{syntomic, smooth, \etale\}\).

1. Le foncteur d’image directe \(f_{big, *} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \to \Sh((\Sch/Y)_\tau)\) commute aux coégalisateurs et aux sommes amalgamées.

2. Le foncteur d’image directe \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\) est exact.

Démonstration

Cela résulte de Sites, Lemme 04BA, Modules sur les sites, Lemme 04BD, et du Lemme 04C3 ci-dessus.

Remarque

Dans le Lemme 04C4, le cas \(\tau = fppf\) n’est pas traité. La raison en est qu’étant donnés un anneau \(A\), un idéal \(I\) et un homomorphisme d’anneaux \(A/I \to \overline{B}\) fidèlement plat et de présentation finie, il n’y a aucune raison de penser que l’on puisse trouver un quelconque homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), plat et de présentation finie, avec \(B/IB \not = 0\), tel que \(A/I \to B/IB\) se factorise par \(\overline{B}\). Ainsi, la preuve du Lemme 04C3 ne fonctionne pas pour la topologie fppf. En fait, il est probablement faux que \(f_{big, *} : \textit{Ab}((\Sch/X)_{fppf}) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_{fppf})\) soit exact lorsque \(f\) est une immersion fermée. Si vous connaissez un exemple, veuillez envoyer un courriel à stacks.project@gmail.com.

Exactitude du grand foncteur image directe à support propre

Il s’agit simplement du résultat technique suivant. Notons que le foncteur \(f_{big!}\) n’a absolument rien à voir avec la cohomologie à support compact en général.

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \[f_{big} : \Sh((\Sch/X)_\tau) \longrightarrow \Sh((\Sch/Y)_\tau)\] le morphisme de topos correspondant comme dans Topologies, Lemme 0210, 021H, 04HC, 04HD, ou 021W.

1. Le foncteur \(f_{big}^{-1} : \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau)\) admet un adjoint à gauche \[f_{big!} : \textit{Ab}((\Sch/X)_\tau) \to \textit{Ab}((\Sch/Y)_\tau)\] qui est exact.

2. Le foncteur \(f_{big}^* : \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O})\) admet un adjoint à gauche \[f_{big!} : \textit{Mod}((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O}) \to \textit{Mod}((\Sch/Y)_\tau, \mathcal{O})\] qui est exact.

De plus, les deux foncteurs \(f_{big!}\) coïncident sur les faisceaux sous-jacents de groupes abéliens.

Démonstration

Rappelons que \(f_{big}\) est le morphisme de topos associé au foncteur continu et cocontinu \(u : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\), \(U/X \mapsto U/Y\). De plus, on a \(f_{big}^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}\). Ainsi, l’existence de \(f_{big!}\) résulte de Modules sur les sites, Lemme 04BG, et, respectivement, de Modules sur les sites, Lemme 0797. Notons que, si \(U\) est un objet de \((\Sch/X)_\tau\), alors le foncteur \(u\) induit une équivalence de catégories \[u' : (\Sch/X)_\tau/U \longrightarrow (\Sch/Y)_\tau/U\] car les deux membres de la flèche sont égaux à \((\Sch/U)_\tau\). Ainsi, la coïncidence de \(f_{big!}\) sur les faisceaux abéliens sous-jacents résulte de la discussion dans Modules sur les sites, Remarque 0798. L’exactitude de \(f_{big!}\) résulte de Modules sur les sites, Lemme 04BH puisque le foncteur \(u\) ci-dessus commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démontrons ensuite un lemme technique qui sera utile plus loin pour comparer les faisceaux de modules sur les différents sites associés aux champs algébriques.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soient \(\mathcal{C}_1 \subset \mathcal{C}_2 \subset (\Sch/X)_\tau\) des sous-catégories pleines ayant les propriétés suivantes :

1. Pour tout objet \(U/X\) de \(\mathcal{C}_t\),

   1. si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \((\Sch/X)_\tau\), alors \(U_i/X\) est un objet de \(\mathcal{C}_t\),

   2. \(U \times \mathbf{A}^1/X\) est un objet de \(\mathcal{C}_t\).

2. \(X/X\) est un objet de \(\mathcal{C}_t\).

Munissons \(\mathcal{C}_t\) de la structure de site dont les recouvrements sont exactement les recouvrements \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/X)_\tau\) tels que \(U \in \Ob(\mathcal{C}_t)\). Alors

1. Le foncteur \(\mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) est pleinement fidèle, continu et cocontinu.

Notons \(g : \Sh(\mathcal{C}_1) \to \Sh(\mathcal{C}_2)\) le morphisme de topos correspondant. Notons \(\mathcal{O}_t\) la restriction de \(\mathcal{O}\) à \(\mathcal{C}_t\). Notons \(g_!\) le foncteur de Modules sur les sites, Définition 04BF.

1. Le morphisme canonique \(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) est un isomorphisme.

Démonstration

L’assertion (a) est immédiate d’après les définitions. Dans cette preuve, tous les schémas sont des schémas sur \(X\) et tous les morphismes de schémas sont des morphismes de schémas sur \(X\). Notons que \(g^{-1}\) est donné par restriction, de sorte que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}_1\) on a \(\mathcal{O}_1(U) = \mathcal{O}_2(U) = \mathcal{O}(U)\). Rappelons que \(g_!\mathcal{O}_1\) est le faisceau associé au préfaisceau \(g_{p!}\mathcal{O}_1\) qui associe à \(V\) dans \(\mathcal{C}_2\) le groupe \[\colim_{V \to U} \mathcal{O}(U)\] où \(U\) parcourt les objets de \(\mathcal{C}_1\) et où la colimite est prise dans la catégorie des groupes abéliens. Nous utiliserons souvent ci-dessous le fait que, si \[V \to U \to U'\] sont des morphismes avec \(U, U' \in \Ob(\mathcal{C}_1)\) et si \(f' \in \mathcal{O}(U')\) se restreint en \(f \in \mathcal{O}(U)\), alors \((V \to U, f)\) et \((V \to U', f')\) définissent le même élément de la colimite. De plus, \(g_!\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) envoie l’élément \((V \to U, f)\) simplement sur la restriction de \(f\) à \(V\).

Surjectivité. Soit \(V\) un schéma et soit \(h \in \mathcal{O}(V)\). On obtient alors un morphisme \(V \to X \times \mathbf{A}^1\) induit par \(h\) et le morphisme structural \(V \to X\). En écrivant \(\mathbf{A}^1 = \Spec(\mathbf{Z}[x])\), on voit que l’élément \(x \in \mathcal{O}(X \times \mathbf{A}^1)\) a pour image inverse \(h\). Puisque \(X \times \mathbf{A}^1\) est un objet de \(\mathcal{C}_1\) d’après les hypothèses (1)(b) et (2), on obtient la surjectivité voulue.

Injectivité. Soit \(V\) un schéma. Soit \(s = \sum_{i = 1, \ldots, n} (V \to U_i, f_i)\) un élément de la colimite affichée ci-dessus. Pour tout \(i\), on peut utiliser le morphisme \(f_i : U_i \to X \times \mathbf{A}^1\) pour voir que \((V \to U_i, f_i)\) définit le même élément de la colimite que \((f_i : V \to X \times \mathbf{A}^1, x)\). Nous pouvons alors considérer \[f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n\] et l’on voit que \(s\) est équivalent dans la colimite à \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_i) = (f_1 \times \ldots \times f_n : V \to X \times \mathbf{A}^n, x_1 + \ldots + x_n)\] Maintenant, si \(x_1 + \ldots + x_n\) se restreint à zéro sur \(V\), alors on voit que \(f_1 \times \ldots \times f_n\) se factorise par \(X \times \mathbf{A}^{n - 1} = V(x_1 + \ldots + x_n)\). Ainsi, nous voyons que \(s\) est équivalent à zéro dans la limite inductive.

Cohomologie étale

Dans les sections suivantes, nous démontrons quelques résultats èlémentaires sur la cohomologie étale. Voici une propriété connue de la cohomologie des espaces topologiques et qui vaut ègalement pour la cohomologie étale.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux ouverts. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) il existe une suite exacte longue de cohomologie \[\begin{matrix} 0 \to H^0_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^0_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^0_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \phantom{\to \ldots} \\ \phantom{0} \to H^1_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U, \mathcal{F}) \oplus H^1_\etale(V, \mathcal{F}) \to H^1_\etale(U \cap V, \mathcal{F}) \to \ldots \end{matrix}\] Cette suite exacte longue est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Observons que si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif, alors \[0 \to \mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V) \to 0\] est exacte. L’exactitude aux premier et second termes vient de ce que \(\mathcal{I}\) est un faisceau. L’exactitude à droite vient de ce que \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) est surjective d’après Cohomologie sur les sites, Lemme 093X. Une autre manière de le démontrer serait de montrer que le conoyau de l’application \(\mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) est le premier groupe de cohomologie de Čech de \(\mathcal{I}\) relativement au recouvrement \(X = U \cup V\), lequel s’annule d’après les lemmes 03OR et 03OV. Ainsi, si \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective, alors \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0\] est une suite exacte courte de complexes et la suite exacte longue de cohomologie associée est celle de l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X = U \cup V\) soit une réunion de deux sous-schémas ouverts. Notons \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\), et \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) il existe une suite exacte longue \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1f_*\mathcal{F} \to \ldots\] sur \(Y_\etale\). Cette suite exacte longue est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective de \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\). Nous affirmons qu’il existe une suite exacte courte de complexes \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] En effet, pour tout \(W\) de \(Y_\etale\) et tout \(n \geq 0\), la suite correspondante des groupes de sections sur \(W\) \[0 \to \mathcal{I}^n(W \times_Y X) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y U) \oplus \mathcal{I}^n(W \times_Y V) \to \mathcal{I}^n(W \times_Y (U \cap V)) \to 0\] est une suite exacte courte, comme on l’a montré dans la démonstration du lemme 0A50. Le lemme résulte alors du passage aux faisceaux de cohomologie et du fait que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}|_U\) et de même pour \(\mathcal{I}^\bullet|_V\), \(\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V}\).

Limites inductives

Rappelons que si \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) est un diagramme de faisceaux sur un site \(\mathcal{C}\), sa limite inductive (dans la catégorie des faisceaux) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\). Voir Sites, Lemme 00WI. Si le système est filtrant, si \(U\) est un objet quasi-compact de \(\mathcal{C}\) qui possède un système cofinal de recouvrements par des objets quasi-compacts, alors \(\mathcal{F}(U) = \colim \mathcal{F}_i(U)\), voir Sites, Lemme 0738. Voir Cohomologie sur les sites, Lemme 0739 pour un résultat concernant les groupes de cohomologie supérieure des limites inductives de faisceaux abéliens.

Dans Cohomologie sur les sites, Lemme 09YP, nous généralisons ce résultat à un système de faisceaux sur un système projectif de sites. Voici la notion correspondante dans le cas d’un système de faisceaux étales définis sur un système projectif de schémas.

Définition

Soit \(I\) un ensemble préordonné. Soit \((X_i, f_{i'i})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Un système \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) de faisceaux sur \((X_i, f_{i'i})\) est la donnée de

1. un faisceau \(\mathcal{F}_i\) sur \((X_i)_\etale\) pour tout \(i \in I\),

2. pour \(i' \geq i\), un morphisme \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_{i'}\) de faisceaux sur \((X_{i'})_\etale\)

de telle sorte que \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) lorsque \(i'' \geq i' \geq i\).

Dans la situation de la définition 0EZL, supposons que \(I\) soit filtrant et que les morphismes de transition \(f_{i'i}\) soient affines. Soit \(X = \lim X_i\) la limite dans la catégorie des schémas, voir Limites, section 01YV. Notons \(f_i : X \to X_i\) les morphismes de projection et considérons les morphismes \[f_i^{-1}\mathcal{F}_i = f_{i'}^{-1}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i \xrightarrow{f_{i'}^{-1}\varphi_{i'i}} f_{i'}^{-1}\mathcal{F}_{i'}\] Cela fait des \(f_i^{-1}\mathcal{F}_i\) un système de faisceaux sur \(X_\etale\) indexé par \(I\) (c’est un bon exercice de le vérifier). Nous voulons souvent savoir si l’on a un isomorphisme \[H^q_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i) = \colim H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i)\] Il s’avérera que cela est vrai si \(X_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i\), voir le théorème 09YQ.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble préordonné filtrant. Soit \((X_i, f_{i'i})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\) dont les morphismes de transition sont affines. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\). Avec les notations de Topologies, Lemme 04HR, on a \[X_{affine, \etale} = \colim (X_i)_{affine, \etale}\] comme sites au sens de Sites, Lemme 09YL.

Démonstration

Démontrons d’abord ceci lorsque \(X\) et les \(X_i\) sont quasi-compacts et quasi-séparés pour tout \(i\) (c’est le cas dans toutes les situations qui nous intéressent). Dans ce cas, tout objet de \(X_{affine, \etale}\), resp. de \((X_i)_{affine, \etale}\), est de présentation finie sur \(X\). De plus, la catégorie des schémas de présentation finie sur \(X\) est la limite inductive des catégories de schémas de présentation finie sur les \(X_i\), voir Limites, Lemme 01ZM. Il en va de même des sous-catégories d’objets affines et étales sur \(X\), d’après les lemmes de Limites 01Z6 et 07RP. Enfin, si \(\{U^j \to U\}\) est un recouvrement de \(X_{affine, \etale}\) et si \(U_i^j \to U_i\) est un morphisme de schémas affines étales sur \(X_i\) dont le changement de base à \(X\) est \(U^j \to U\), alors nous voyons que le changement de base de \(\{U^j_i \to U_i\}\) à un certain \(X_{i'}\) est un recouvrement pour \(i'\) assez grand, voir Limites, Lemme 07RR.

Dans le cas général, soit \(U\) un objet de \(X_{affine, \etale}\). Alors \(U \to X\) est étale et séparé (puisque \(U\) est séparé), mais n’est en général pas quasi-compact. Toutefois, \(U \to X\) est localement de présentation finie et donc, d’après le lemme 0EY1 de Limites, il existe un \(i\), un schéma \(U_i\) quasi-compact et quasi-séparé, et un morphisme \(U_i \to X_i\) qui est localement de présentation finie dont le changement de base à \(X\) est \(U \to X\). Alors \(U = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\) où \(U_{i'} = U_i \times_{X_i} X_{i'}\). Quitte à augmenter \(i\), nous pouvons supposer \(U_i\) affine, voir Limites, Lemme 01Z6. Pour vérifier que \(U_i \to X_i\) est étale pour \(i\) assez grand, choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(U_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\) tel que \(U_{i, j} \to U_i \to X_i\) se factorise par un ouvert affine \(W_{i, j} \subset X_i\). On peut alors appliquer Limites, Lemme 07RP, pour voir que \(U_{i, j} \to W_{i, j}\) est étale après avoir, si nécessaire, augmenté \(i\). Nous voyons ainsi que le foncteur \(\colim (X_i)_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\) est essentiellement surjectif. Sa pleine fidélité résulte directement du résultat déjà utilisé : Limites, Lemme 0EY1. L’assertion concernant les recouvrements se démontre exactement de la même manière que dans le premier paragraphe de la démonstration.

Ce qui précède donne le résultat général suivant sur les limites inductives et la cohomologie.

Théorème

Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif de schémas dont les morphismes de transition \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) sont affines. Nous supposons que \(X_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) un système de faisceaux abéliens sur \((X_i, f_{i'i})\). Notons \(f_i : X \to X_i\) la projection et posons \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\). Alors \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}).\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

D’après Topologies, lemme 04HR, nous pouvons calculer la cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(X_{affine, \etale}\). Le résultat découle donc de la combinaison du lemme 0EYL et du lemme 09YP de Cohomologie sur les sites.

Les deux résultats suivants sont des cas particuliers du théorème ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) un système de faisceaux abéliens sur \(X_\etale\) indexé par \(I\). Alors \[\colim_{i\in I} H_\etale^p(X, \mathcal{F}_i) = H_\etale^p(X, \colim_{i\in I} \mathcal{F}_i).\]

Démonstration

C’est un cas particulier du théorème 09YQ. Nous esquissons également une démonstration directe. Nous le démontrons simultanément pour tout \(X\), par récurrence sur \(p\).

1. Pour tout schéma quasi-compact et quasi-séparé \(X\) et tout recouvrement étale \(\mathcal{U}\) de \(X\), montrer qu’il existe un raffinement \(\mathcal{V} = \{V_j \to X\}_{j\in J}\) avec \(J\) fini et chaque \(V_j\) quasi-compact et quasi-séparé, de telle sorte que tous les \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) soient eux aussi quasi-compacts et quasi-séparés.

2. En utilisant l’étape précédente et la définition des limites inductives dans la catégorie des faisceaux, montrer que le théorème vaut pour \(p = 0\) et tout \(X\).

3. En utilisant la localité de la cohomologie (lemme 03P1), la suite spectrale de Čech vers la cohomologie (théorème 03OW) et le fait que l’hypothèse de récurrence s’applique à tous les \(V_{j_0} \times_X \ldots \times_X V_{j_p}\) dans la situation ci-dessus, démontrer l’étape de récurrence \(p \to p + 1\).

Lemme

Soient \(A\) un anneau, \((I, \leq)\) un ensemble ordonné filtrant et \((B_i, \varphi_{ij})\) un système de \(A\)-algèbres. Posons \(B = \colim_{i\in I} B_i\). Soit \(X \to \Spec(A)\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Notons \(Y_i = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B_i)\), \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(B)\), \(\mathcal{G}_i = (Y_i \to X)^{-1}\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G} = (Y \to X)^{-1}\mathcal{F}\). Alors \[H_\etale^p(Y, \mathcal{G}) = \colim_{i\in I} H_\etale^p (Y_i, \mathcal{G}_i).\]

Démonstration

C’est un cas particulier du théorème 09YQ. Nous indiquons également une démonstration directe comme suit.

1. Étant donné \(V \to Y\) étale, avec \(V\) quasi-compact et quasi-séparé, il existe \(i\in I\) et \(V_i \to Y_i\) tels que \(V = V_i \times_{Y_i} Y\). Si tous les schémas considérés étaient affines, cela correspondrait à l’énoncé algébrique suivant : si \(B = \colim B_i\) et si \(B \to C\) est étale, alors il existe \(i \in I\) et \(B_i \to C_i\) étale tels que \(C \cong B \otimes_{B_i} C_i\). Ceci est démontré dans Algèbre, lemme 00U2.

2. Dans la situation de (1), montrer que \(\mathcal{G}(V) = \colim_{i' \geq i} \mathcal{G}_{i'}(V_{i'})\) où \(V_{i'}\) est le changement de base de \(V_i\) sur \(Y_{i'}\).

3. D’après (1), on voit que pour tout recouvrement étale \(\mathcal{V} = \{V_j \to Y\}_{j\in J}\) avec \(J\) fini et les \(V_j\) quasi-compacts et quasi-séparés, il existe \(i \in I\) et un recouvrement étale \(\mathcal{V}_i = \{V_{ij} \to Y_i\}_{j \in J}\) tel que \(\mathcal{V} \cong \mathcal{V}_i \times_{Y_i} Y\).

4. Montrer que (2) et (3) impliquent \[\check H^*(\mathcal{V}, \mathcal{G})= \colim_{i\in I} \check H^*(\mathcal{V}_i, \mathcal{G}_i).\]

5. Utiliser judicieusement la suite spectrale de Čech vers la cohomologie (théorème 03OW).

Lemme

Soit \(f: X\to Y\) un morphisme de schémas et soit \(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(X_\etale)\). Alors \(R^pf_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, \mathcal{F}|_{X \times_Y V}).\] Plus généralement, pour \(K \in D(X_\etale)\), \(R^pf_*K\) est le faisceau associé au préfaisceau \[(V \to Y) \longmapsto H_\etale^p(X \times_Y V, K|_{X \times_Y V}).\]

Démonstration

Ce lemme est valable pour les espaces topologiques, et la démonstration dans ce cas est la même. Voir Cohomologie sur les sites, lemme 072W pour le cas d’un faisceau, et voir Cohomologie sur les sites, lemme 0BKV pour le cas d’un complexe de faisceaux abéliens.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) une limite d’un système projectif de schémas sur \(S\) avec morphismes de transition affines \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\). Nous supposons que les morphismes structuraux \(g_i : X_i \to S\) et \(g : X \to S\) sont quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) un système de faisceaux abéliens sur \((X_i, f_{i'i})\). Notons \(f_i : X \to X_i\) la projection et posons \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\). Alors \[\colim_{i\in I} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i = R^p g_* \mathcal{F}\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

Rappelons (lemme 03Q8) que \(R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i)\) et de même pour \(R^pg_*\mathcal{F}\). De plus, la limite inductive d’un système de faisceaux est le faisceau associé à la limite inductive calculée dans la catégorie des préfaisceaux. Remarquons que tout objet de \(S_\etale\) admet un recouvrement par des objets quasi-compacts et quasi-séparés (par exemple, des schémas affines). De plus, si \(U\) est un objet quasi-compact et quasi-séparé, alors on a \[\colim H^p_\etale(U \times_S X_i, \mathcal{F}_i) = H^p_\etale(U \times_S X, \mathcal{F})\] d’après le théorème 09YQ. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \(g_i : X_i \to S_i\) un système projectif de morphismes de schémas indexé par \(I\). Supposons que \(g_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé et que, pour \(i' \geq i\), les morphismes de transition \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) et \(h_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) soient affines. Soit \(g : X \to S\) la limite des morphismes \(g_i\), voir Limites, section 01YV. Notons \(f_i : X \to X_i\) et \(h_i : S \to S_i\) les projections. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) un système de faisceaux sur \((X_i, f_{i'i})\). Posons \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\). Alors \[R^p g_* \mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

Comment construit-on l’application du lemme ? Pour \(i' \geq i\), nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r]_{f_{i'}} \ar[d]_g & X_{i'} \ar[r]_{f_{i'i}} \ar[d]_{g_{i'}} & X_i \ar[d]^{g_i} \\ S \ar[r]^{h_{i'}} & S_{i'} \ar[r]^{h_{i'i}} & S_i }\] Si nous composons l’application de changement de base \(h_{i'i}^{-1}Rg_{i, *}\mathcal{F}_i \to Rg_{i', *}f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i\) (Cohomologie sur les sites, lemme 0736 ou Remarque 07A7) avec l’application \(Rg_{i', *}\varphi_{i'i}\), nous obtenons alors \(\psi_{i'i} : h_{i' i}^{-1} R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i \to R^pg_{i', *} \mathcal{F}_{i'}\). De même, en utilisant le carré de gauche du diagramme, nous obtenons les applications \(\psi_i : h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i \to R^pg_*\mathcal{F}\). Les applications \(h_{i'}^{-1}\psi_{i'i}\) et \(\psi_i\) sont celles utilisées dans l’énoncé du lemme. Pour que cela ait un sens, nous devons vérifier que \(\psi_{i''i} = \psi_{i''i'} \circ h_{i''i'}^{-1}\psi_{i'i}\) et \(\psi_{i'} \circ h_{i'}^{-1}\psi_{i'i} = \psi_i\) ; cela résulte de Cohomologie sur les sites, remarque 0E47.

Démonstration de l’égalité. Première démonstration par décalage de dimension⁴. Pour tout \(U\) affine et étale sur \(X\), d’après le Théorème 09YQ, nous avons \[g_*\mathcal{F}(U) = H^0(U \times_S X, \mathcal{F}) = \colim H^0(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{F}_i) = \colim g_{i, *}\mathcal{F}_i(U_i)\] où la limite inductive porte sur les \(i\) assez grands tels qu’ il existe un \(i\) et un \(U_i\) affine et étale sur \(S_i\) dont le changement de base est \(U\) sur \(S\) (voir Lemme 0EYL). Le membre de droite est égal à \((\colim h_i^{-1}g_{i, *}\mathcal{F}_i)(U)\) d’après Sites, Lemme 09YN. Cela démontre le lemme pour \(p = 0\). Si \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) est un système tel que \(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\) et tel que \(\mathcal{G}_i\) soit un faisceau abélien injectif sur \(X_i\) pour tout \(i\), alors, pour tout \(U\) affine et étale sur \(X\), d’après le Théorème 09YQ, nous avons \[H^p(U \times_S X, \mathcal{G}) = \colim H^p(U_i \times_{S_i} X_i, \mathcal{G}_i) = 0\] pour \(p > 0\) (la même limite inductive que précédemment). Ainsi \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) et nous obtenons le résultat pour \(p > 0\) pour un tel système. En général, nous pouvons choisir une suite exacte courte de systèmes \[0 \to (\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i}) \to (\mathcal{Q}_i, \varphi_{i'i}) \to 0\] où \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\) est comme ci-dessus, voir Cohomologie sur les sites, Lemme 0EXZ. Par récurrence, le lemme vaut pour \(p - 1\) et, d’après ce qui précède, on a l’annulation en degré \(p\) pour \((\mathcal{G}_i, \varphi_{i'i})\). On en déduit le résultat pour \(p\) et \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) par la suite exacte longue de cohomologie.

Seconde démonstration. Rappelons que \(S_{affine, \etale} = \colim (S_i)_{affine, \etale}\), voir le lemme 0EYL. Ainsi, si \(U\) est un objet de \(S_{affine, \etale}\), alors on peut écrire \(U = U_i \times_{S_i} S\) pour un certain \(i\) et un certain \(U_i\) de \((S_i)_{affine, \etale}\), et \[(\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^p g_{i, *} \mathcal{F}_i)(U) = \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\] d’après Sites, Lemme 09YN, et la construction des morphismes de transition du système décrit ci-dessus. Puisque \(R^pg_{i', *}\mathcal{F}_{i'}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U_{i'} \mapsto H^p(U_{i'} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\) et puisque \(R^pg_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\) (Lemme 03Q8) on obtient un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ \colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'}) \ar[r] \ar[d] & \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'}) \ar[d] \\ H^p(U \times_S X, \mathcal{F}) \ar[r] & R^pg_*\mathcal{F}(U) }\] Remarquons que la flèche verticale de gauche est un isomorphisme d’après le théorème 09YQ. Nous cherchons à montrer que la flèche verticale de droite est un isomorphisme. Cependant, nous savons déjà que la source et le but de cette flèche sont des faisceaux sur \(S_{affine, \etale}\). Il suffit donc de montrer : (1) tout élément du but provient localement d’un élément de la source, et (2) tout élément de la source qui s’envoie sur zéro dans le but s’annule localement. L’assertion (1) découle immédiatement de ce qui précède et du fait que la flèche horizontale inférieure provient d’un morphisme de préfaisceaux qui devient un isomorphisme après faisceautisation. Pour (2), soit \(\xi \in \colim_{i' \geq i} (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\) dans le noyau. Choisissons \(i' \geq i\) et \(\xi_{i'} \in (R^p g_{i', *}\mathcal{F}_{i'})(U_i \times_{S_i} S_{i'})\) représentant \(\xi\). Choisissons un recouvrement étale standard \(\{U_{i', k} \to U_i \times_{S_i} S_{i'}\}_{k = 1, \ldots, m}\) tel que \(\xi_{i'}|_{U_{i', k}}\) provienne de \(\xi_{i', k} \in H^p(U_{i', k} \times_{S_{i'}} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\). Puisqu’il suffit de prouver que \(\xi\) s’annule localement, nous pouvons remplacer \(U\) par les membres du recouvrement étale \(\{U_{i', k} \times_{S_{i'}} S \to U = U_i \times_{S_i} S\}\). Après ce remplacement, on voit que \(\xi\) est l’image d’un élément \(\xi'\) du groupe \(\colim_{i' \geq i} H^p(U_i \times_{S_i} X_{i'}, \mathcal{F}_{i'})\) dans le diagramme ci-dessus. Puisque \(\xi'\) s’envoie sur zéro dans \(R^pg_*\mathcal{F}(U)\) nous pouvons effectuer un autre remplacement et supposer que \(\xi'\) s’envoie sur zéro dans \(H^p(U \times_S X, \mathcal{F})\). Toutefois, puisque la flèche verticale de gauche est un isomorphisme, on conclut alors que \(\xi' = 0\), d’où \(\xi = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif de schémas dont les morphismes de transition \(f_{i'i}\) sont affines et dont les morphismes de projection sont \(f_i : X \to X_i\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Alors

1. il existe des morphismes canoniques \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}f_{i, *}\mathcal{F} \to f_{i', *}\mathcal{F}\) tels que \((f_{i, *}\mathcal{F}, \varphi_{i'i})\) soit un système de faisceaux sur \((X_i, f_{i'i})\) au sens de la définition 0EZL, et

2. \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}\).

Démonstration

Par Topologies, Lemme 04HR, et le lemme 0EYL, ceci est un cas particulier de Sites, Lemme 0EXJ.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \(g_i : X_i \to S_i\) un système projectif de morphismes de schémas indexé par \(I\). Supposons que \(g_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé et que, pour \(i' \geq i\), les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) et \(S_{i'} \to S_i\) soient affines. Soit \(g : X \to S\) la limite des morphismes \(g_i\), voir Limites, section 01YV. Notons \(f_i : X \to X_i\) et \(h_i : S \to S_i\) les projections. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Alors on a \[R^pg_*\mathcal{F} = \colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(f_{i, *}\mathcal{F})\]

Démonstration

Combinaison formelle des lemmes 0EYM et 0EYN.

Limites inductives et complexes

Dans cette section, nous étudions la cohomologie des systèmes de complexes dans divers contextes, en poursuivant l’étude des faisceaux commencée à la section 03Q4. Nous conseillons vivement au lecteur de ne pas lire cette section, sauf si cela est absolument nécessaire.

Lemme

Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif de schémas dont les morphismes de transition \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) sont affines. Supposons que \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Soit \(\mathcal{F}_i^\bullet\) un complexe de faisceaux abéliens sur \(X_{i, \etale}\). Soit \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) un morphisme de complexes sur \(X_{i, \etale}\) tel que \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) lorsque \(i'' \geq i' \geq i\). Supposons qu’il existe un entier \(a\) tel que \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\) et tout \(i \in I\). Alors on a \[H^p_\etale(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim H^p_\etale(X_i, \mathcal{F}^\bullet_i)\] où \(f_i : X \to X_i\) est la projection.

Démonstration

Cela résulte du théorème 09YQ. Posons \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\). Le théorème affirme que \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, \mathcal{F}_i^n) = H_\etale^p(X, \mathcal{F}^n)\] pour tous \(n, p \in \mathbf{Z}\). Utilisons les suites spectrales \[E_{1, i}^{s, t} = H_\etale^t(X_i, \mathcal{F}_i^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\] et \[E_1^{s, t} = H_\etale^t(X, \mathcal{F}^s) \Rightarrow H_\etale^{s + t}(X, \mathcal{F}^\bullet)\] de Catégories dérivées, Lemme 015J. Puisque \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\) (avec \(a\) indépendant de \(i\)), on voit que seul un nombre fini de termes \(E_{1, i}^{s, t}\) (indépendant de \(i\)) et \(E_1^{s, t}\) contribuent à \(H^q_\etale(X_i, \mathcal{F}_i^\bullet)\) et \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}^\bullet)\) et \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\). Cela démontre l’assertion. Certains détails sont omis. (Il existe un autre argument utilisant les troncatures “bêtes” des complexes, qui évite d’utiliser les suites spectrales.)

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K_i \in D(X_\etale)\), \(i \in I\), une famille d’objets. Supposons donné \(a \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^n(K_i) = 0\) pour \(n < a\) et \(i \in I\). Alors \(R\Gamma(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R\Gamma(X, K_i)\).

Démonstration

Il faut montrer que \(H^p(X, \bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i H^p(X, K_i)\) pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Choisissons des complexes \(\mathcal{F}_i^\bullet\) représentant \(K_i\) tels que \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\). La somme directe des complexes \(\mathcal{F}_i^\bullet\) représente l’objet \(\bigoplus K_i\) d’après Injectifs, Lemme 07D9. Puisque \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) est la limite inductive filtrante des sommes directes finies, le résultat découle du lemme 0EZM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim_{i \in I} X_i\) la limite d’un système projectif de schémas sur \(S\) avec pour morphismes de transition affines \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\). Supposons que \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Soit \(K \in D^+(S_\etale)\). Alors \[\colim_{i \in I} H_\etale^p(X_i, K|_{X_i}) = H_\etale^p(X, K|_X).\] pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), où \(K|_{X_i}\) et \(K|_X\) sont les images inverses de \(K\) sur \(X_i\) et \(X\).

Démonstration

On peut représenter \(K\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{G}^\bullet\) de faisceaux abéliens sur \(S_\etale\). Disons que \(\mathcal{G}^n = 0\) pour \(n < a\). Notons \(\mathcal{F}^\bullet_i\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) les images inverses de ce complexe sur \(X_i\) et \(X\). Ces complexes représentent les objets \(K|_{X_i}\) et \(K|_X\), et l’on a \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\) terme à terme. Le lemme découle donc du lemme 0EZM.

Lemme

Soient \(I\), \(g_i : X_i \to S_i\), \(g : X \to S\), \(f_i\), \(g_i\), \(h_i\) comme dans le lemme 0EYM. Soient \(0 \in I\) et \(K_0 \in D^+(X_{0, \etale})\). Pour \(i \geq 0\), notons \(K_i\) l’image inverse de \(K_0\) sur \(X_i\). Notons \(K\) l’image inverse de \(K_0\) sur \(X\). Alors \[R^pg_*K = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i\] pour tout \(p \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Fixons un entier \(p_0 \in \mathbf{Z}\). Soit \(a\) un entier tel que \(H^j(K_0) = 0\) pour \(j < a\). Nous allons démontrer que la formule vaut pour tout \(p \leq p_0\) par récurrence descendante sur \(a\). Si \(a > p_0\), alors on voit que les membres de gauche et de droite de la formule sont nuls pour \(p \leq p_0\) par annulation triviale, voir Catégories dérivées, Lemme 05TC. Supposons \(a \leq p_0\). Considérons le triangle distingué \[H^a(K_0)[-a] \to K_0 \to \tau_{\geq a + 1}K_0\] Le tiré en arrière de ce triangle distingué sur \(X_i\) et \(X\) donne des triangles distingués compatibles pour \(K_i\) et \(K\). Pour \(p \leq p_0\), considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^{p - 1}g_{i, *}(\tau_{\geq a + 1}K_i) \ar[r]_-\alpha \ar[d] & R^{p - 1}g_*(\tau_{\geq a + 1}K) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]_-\beta \ar[d] & R^pg_*(H^a(K)[-a]) \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}K_i \ar[r]_-\gamma \ar[d] & R^pg_*K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^pg_{i, *}\tau_{\geq a + 1}K_i \ar[r]_-\delta \ar[d] & R^pg_*\tau_{\geq a + 1}K \ar[d] \\ \colim_{i \geq 0} R^{p + 1}g_{i, *}(H^a(K_i)[-a]) \ar[r]^-\epsilon & R^{p + 1}g_*(H^a(K)[-a]) }\] à colonnes exactes. Les flèches \(\beta\) et \(\epsilon\) sont des isomorphismes d’après le lemme 0EYM. Les flèches \(\alpha\) et \(\delta\) sont des isomorphismes par l’hypothèse de récurrence. Ainsi, \(\gamma\) est un isomorphisme, comme voulu.

Lemme

Soient \(I\), \(g_i : X_i \to S_i\), \(g : X \to S\), \(f_{ii'}\), \(f_i\), \(g_i\), \(h_i\) comme dans le lemme 0EYM. Soit \(\mathcal{F}_i^\bullet\) un complexe de faisceaux abéliens sur \(X_{i, \etale}\). Soit \(\varphi_{i'i} : f_{i'i}^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet \to \mathcal{F}_{i'}^\bullet\) un morphisme de complexes sur \(X_{i, \etale}\) tel que \(\varphi_{i''i} = \varphi_{i''i'} \circ f_{i'' i'}^{-1}\varphi_{i'i}\) lorsque \(i'' \geq i' \geq i\). Supposons qu’il existe un entier \(a\) tel que \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\) et tout \(i \in I\). Alors \[R^pg_*(\colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet) = \colim_{i \geq 0} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] pour tout \(p \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Ceci résulte du lemme 0EYM. Posons \(\mathcal{F}^\bullet = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i^\bullet\). Le lemme affirme que \[\colim_{i \in I} h_i^{-1}R^pg_{i, *}\mathcal{F}_i^n = R^pg_*\mathcal{F}^n\] pour tous \(n, p \in \mathbf{Z}\). Utilisons les suites spectrales \[E_{1, i}^{s, t} = R^tg_{i, *}\mathcal{F}_i^s \Rightarrow R^{s + t}g_{i, *}\mathcal{F}_i^\bullet\] et \[E_1^{s, t} = R^tg_*\mathcal{F}^s \Rightarrow R^{s + t}g_*\mathcal{F}^\bullet\] de Catégories dérivées, Lemme 015J. Puisque \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\) (avec \(a\) indépendant de \(i\)), on voit que seul un nombre fini fixé de termes \(E_{1, i}^{s, t}\) (indépendant de \(i\)) et \(E_1^{s, t}\) contribuent et que \(E_1^{s, t} = \colim E_{i, i}^{s, t}\). Cela démontre l’assertion. Certains détails sont omis. (Il existe un autre argument utilisant les troncatures “bêtes” des complexes, qui évite d’utiliser les suites spectrales.)

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K_i \in D(X_\etale)\), \(i \in I\), une famille d’objets. Supposons donné \(a \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^n(K_i) = 0\) pour \(n < a\) et \(i \in I\). Alors \(Rf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i Rf_*K_i\).

Démonstration

Il faut montrer que \(R^pf_*(\bigoplus_i K_i) = \bigoplus_i R^pf_*K_i\) pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Choisissons des complexes \(\mathcal{F}_i^\bullet\) représentant \(K_i\) tels que \(\mathcal{F}_i^n = 0\) pour \(n < a\). La somme directe des complexes \(\mathcal{F}_i^\bullet\) représente l’objet \(\bigoplus K_i\) d’après Injectifs, Lemme 07D9. Puisque \(\bigoplus \mathcal{F}^\bullet\) est la limite inductive filtrante des sommes directes finies, le résultat découle du lemme 0GIV.

Fibres des images directes supérieures

Les fibres des images directes supérieures se calculent souvent comme suit.

Théorème

Soit \(f: X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé, \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\), et \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\) au-dessus de \(s \in S\). Alors \[\left(R^nf_* \mathcal{F}\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n( X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{F})\] où \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) est la projection. Pour \(K \in D^+(X_\etale)\) et \(n \in \mathbf{Z}\), on a \[\left(R^nf_*K\right)_{\overline{s}} = H_\etale^n(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] En fait, on a \[\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} = R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\] dans \(D^+(\textit{Ab})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) la catégorie des voisinages étales de \(\overline{s}\) sur \(S\). D’après le lemme 03Q8, on a \[(R^nf_*\mathcal{F})_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} H_\etale^n(X \times_S V, \mathcal{F}|_{X \times_S V}).\] Nous pouvons remplacer \(\mathcal{I}\) par la sous-catégorie initiale formée des voisinages étales affines de \(\overline{s}\). Remarquons que \[\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} V\] d’après le lemme 04HX et Limites, Lemme 01YW. Puisque les produits fibrés commutent aux limites, on obtient aussi \[X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) = \lim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}} X \times_S V\] On conclut par le lemme 03Q6. Pour la seconde variante, on emploie le même argument avec le lemme 0GIT au lieu du lemme 03Q6.

Pour voir que la dernière assertion est vraie, il suffit de construire un morphisme \(\left(Rf_*K\right)_{\overline{s}} \to R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\) dans \(D^+(\textit{Ab})\) qui réalise les isomorphismes ci-dessus sur les groupes de cohomologie en degré \(n\) pour tout \(n\). Pour cela, choisissons un complexe borné inférieurement \(\mathcal{J}^\bullet\) de faisceaux abéliens injectifs sur \(X_\etale\) représentant \(K\). Le complexe \(f_*\mathcal{J}^\bullet\) représente \(Rf_*K\). Ainsi, le complexe \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)_{\overline{s}} = \colim_{(V, \overline{v}) \in \mathcal{I}^{opp}} (f_*\mathcal{J}^\bullet)(V)\] représente \((Rf_*K)_{\overline{s}}\). Pour chaque \(V\), on a des morphismes \[(f_*\mathcal{J}^\bullet)(V) = \Gamma(X \times_S V, \mathcal{J}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}\mathcal{J}^\bullet)\] et le complexe cible représente \(R\Gamma_\etale(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K)\) dans \(D^+(\textit{Ab})\). En prenant la limite inductive de ces morphismes, on obtient le résultat.

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(K \in D(X_\etale)\). Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Il existe toujours des morphismes canoniques \[(Rf_*K)_{\overline{s}} \longrightarrow R\Gamma(X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}), p^{-1}K) \longrightarrow R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\] où \(p : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \to X\) est la projection. Considérons en effet le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_{\overline{s}} \ar[r] \ar[d]^{f_{\overline{s}}} & X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]_-p \ar[d]^{f'} & X \ar[d]^f \\ \overline{s} \ar[r]^-i & \Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh}) \ar[r]^-j & S }\] On dispose des morphismes de changement de base \[i^{-1}Rf'_*(p^{-1}K) \to Rf_{\overline{s}, *}(K|_{X_{\overline{s}}}) \quad\text{et}\quad j^{-1}Rf_*K \to Rf'_*(p^{-1}K)\] (Cohomologie sur les sites, Remarque 07A7) associés aux deux carrés de ce diagramme. En prenant les sections globales, on obtient les morphismes voulus. D’après Cohomologie sur les sites, Remarque 0E47 la composée de ces deux morphismes est le morphisme usuel de changement de base \((Rf_*K)_{\overline{s}} \to R\Gamma(X_{\overline{s}}, K|_{X_{\overline{s}}})\).

La suite spectrale de Leray

Lemme

Soient \(f: X \to Y\) un morphisme et \(\mathcal{I}\) un objet injectif de \(\textit{Ab}(X_\etale)\). Soit \(V \in \Ob(Y_\etale)\). Alors

1. pour tout recouvrement \(\mathcal{V} = \{V_j\to V\}_{j \in J}\), on a \(\check H^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = 0\) pour tout \(p > 0\) ;

2. \(f_*\mathcal{I}\) est acyclique pour le foncteur \(\Gamma(V, -)\) ; et

3. si \(g : Y \to Z\), alors \(f_*\mathcal{I}\) est acyclique pour \(g_*\).

Démonstration

Remarquons que \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V} \times_Y X, \mathcal{I})\) dont les groupes de cohomologie supérieure sont nuls d’après le lemme 03OR. Cela démontre (1). La deuxième assertion découle du fait qu’un faisceau dont la cohomologie supérieure de Čech s’annule pour tout recouvrement a des groupes de cohomologie supérieure nuls. C’est un excellent exercice d’utilisation de la suite spectrale de Čech vers la cohomologie, mais voir Cohomologie sur les sites, Lemme 03F9 pour les détails et pour un énoncé plus précis et plus général. L’assertion (3) résulte de (2) et de la description de \(R^pg_*\) dans le lemme 03Q8.

Le formalisme des suites spectrales de Grothendieck donne alors le résultat suivant.

Proposition

Soit \(f: X \to Y\) un morphisme de schémas et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau étale sur \(X\). Il existe alors une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H_\etale^p(Y, R^qf_*\mathcal{F}) \Rightarrow H_\etale^{p+q}(X, \mathcal{F}).\]

Démonstration

Voir le lemme 03QB et Catégories dérivées, section 015L.

Annulation des images directes supérieures finies

Le but suivant est de démontrer que les images directes supérieures d’un morphisme fini de schémas s’annulent.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local strictement hensélien. Posons \(S = \Spec(R)\) et soit \(\overline{s}\) son point fermé. Alors le foncteur des sections globales \(\Gamma(S, -) : \textit{Ab}(S_\etale) \to \textit{Ab}\) est exact. En fait, \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\) pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\). En particulier, \[\forall p\geq 1, \quad H_\etale^p(S, \mathcal{F})=0\] pour tout \(\mathcal{F}\in \textit{Ab}(S_\etale)\).

Démonstration

Si l’on montre que \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\), alors \(\Gamma(S, -)\) est exact, puisque le foncteur fibre est exact. Soit \((U, \overline{u})\) un voisinage étale de \(\overline{s}\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(\Spec(A)\) de \(\overline{u}\) dans \(U\). Alors \(R \to A\) est étale et \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\). D’après le théorème 03QH, on voit que \(A \cong R \times A'\) comme \(R\)-algèbre, de manière compatible avec les morphismes vers \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{u})\). On obtient donc une section \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] & U \ar[d]\\ & S \ar[ul] }\] Il s’ensuit que, dans le système des voisinages étales de \(\overline{s}\), le morphisme identité \((S, \overline{s}) \to (S, \overline{s})\) est cofinal. Ainsi \(\Gamma(S, \mathcal{F}) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\). La dernière assertion du lemme résulte du fait que les foncteurs dérivés supérieurs d’un foncteur exact sont nuls, voir Catégories dérivées, Lemme 015F.

Proposition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini de schémas.

1. Pour tout point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\), on a \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] pour \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(X_\etale)\) et \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f(\overline{x}) = \overline{y}} \mathcal{F}_{\overline{x}}.\] pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\).

2. Pour tout \(q \geq 1\), on a \(R^q f_*\mathcal{F} = 0\) pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\).

Démonstration

Notons \(X_{\overline{y}}^{sh}\) le produit fibré \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\). D’après le théorème 03Q9, la fibre de \(R^qf_*\mathcal{F}\) en \(\overline{y}\) se calcule par \(H_\etale^q(X_{\overline{y}}^{sh}, \mathcal{F})\). Puisque \(f\) est fini, \(X_{\bar y}^{sh}\) est fini sur \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh})\) ; ainsi, \(X_{\bar y}^{sh} = \Spec(A)\) pour un anneau \(A\) fini sur \(\mathcal{O}_{Y, \bar y}^{sh}\). Comme ce dernier est strictement hensélien, le lemme 03QJ implique que \(A\) est un produit fini d’anneaux locaux henséliens \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\). Puisque le corps résiduel de \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^{sh}\) est séparablement clos, il en va de même pour chaque \(A_i\). Ainsi \(A_i\) est strictement hensélien. Il s’ensuit que \(X_{\overline{y}}^{sh} = \coprod_{i = 1}^r \Spec(A_i)\). L’annulation du lemme 03QO implique que \((R^qf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\) pour \(q > 0\) ; cela implique (2) d’après le théorème 03PU. L’assertion (1) résulte de l’assertion correspondante du lemme 03QO.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas, avec \(f\) un morphisme fini. Pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\).

Démonstration

Dans une grande généralité, il existe un morphisme de changement de base \(g^{-1}f_*\mathcal{F} \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\), voir Sites, section 06UM. Il suffit de vérifier l’assertion sur les fibres (théorème 03PU). Soit \(\overline{y}' : \Spec(k) \to Y'\) un point géométrique. On a \[\begin{align*} (f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}'} & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} ((g')^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'} \mathcal{F}_{g' \circ \overline{x}'} \\ & = \prod\nolimits_{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'} \mathcal{F}_{\overline{x}} \\ & = (f_*\mathcal{F})_{g \circ \overline{y}'} \\ & = (g^{-1}f_*\mathcal{F})_{\overline{y}'} \end{align*}\] La première égalité résulte de la proposition 03QP. La deuxième égalité résulte du lemme 03Q1. La troisième égalité vaut parce que le diagramme est un carré cartésien et que, par conséquent, l’application \[\{\overline{x}' : \Spec(k) \to X',\ f' \circ \overline{x}' = \overline{y}'\} \longrightarrow \{\overline{x} : \Spec(k) \to X,\ f \circ \overline{x} = g \circ \overline{y}'\}\] qui envoie \(\overline{x}'\) sur \(g' \circ \overline{x}'\) est bijective. La quatrième égalité résulte de la proposition 03QP. La cinquième égalité résulte du lemme 03Q1.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] de schémas, avec \(f\) un morphisme entier. Pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} = g^{-1}f_*\mathcal{F}\).

Démonstration

La question est locale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. On peut alors écrire \(X = \lim X_i\), où \(f_i : X_i \to Y\) est fini (c’est immédiat dans le cas affine, mais voir Limites, Lemme 09YZ pour une référence). Notons \(p_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) les morphismes de transition et \(p_i : X \to X_i\) les projections. En posant \(\mathcal{F}_i = p_{i, *}\mathcal{F}\), on obtient du lemme 0EYN un système \((\mathcal{F}_i, \varphi_{i'i})\) tel que \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\). On obtient \(f_*\mathcal{F} = \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i\) par le lemme 09Z1. Posons \(X'_i = Y' \times_Y X_i\), de projections \(f'_i\) et \(g'_i\). Alors \(X' = \lim X'_i\), puisque les limites commutent aux limites. Notons \(p'_i : X' \to X'_i\) les projections. On a \[\begin{align*} g^{-1}f_*\mathcal{F} & = g^{-1} \colim f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim g^{-1}f_{i, *}\mathcal{F}_i \\ & = \colim f'_{i, *}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(\colim (p'_i)^{-1}(g'_i)^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(\colim (g')^{-1}p_i^{-1}\mathcal{F}_i) \\ & = f'_*(g')^{-1} \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i \\ & = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] comme voulu. Pour la première égalité, voir ci-dessus. Pour la deuxième, on utilise le fait que l’image inverse commute aux limites inductives. Pour la troisième, on utilise le cas fini, voir le lemme 0959. Pour la quatrième, on utilise le lemme 09Z1. Pour la cinquième, on utilise \(g'_i \circ p'_i = p_i \circ g'\). Pour la sixième, on utilise le fait que l’image inverse commute aux limites inductives. Pour la septième, on utilise \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\).

Le lemme suivant est un cas de descente cohomologique portant sur les faisceaux étales et les morphismes finis surjectifs. Nous généraliserons considérablement ce résultat une fois démontré le théorème de changement de base propre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini surjectif de schémas. Posons \(f_n : X_n \to Y\) égal au produit fibré itéré \((n + 1)\) fois de \(X\) au-dessus de \(Y\). Pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(Y_\etale)\), posons \(\mathcal{F}_n = f_{n, *}f_n^{-1}\mathcal{F}\). Il existe une suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \ldots\] sur \(Y_\etale\). De plus, il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F})\] convergeant vers \(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Si nous démontrons la première assertion du lemme, nous obtenons une suite spectrale de terme \(E_1^{p, q} = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\) convergeant vers \(H^{p + q}(Y_\etale, \mathcal{F})\), voir Catégories dérivées, lemme 015J. D’autre part, puisque \(R^if_{p, *}f_p^{-1}\mathcal{F} = 0\) pour \(i > 0\) (proposition 03QP) on obtient \[H^q_\etale(X_p, f_p^{-1}\mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, f_{p, *}f_p^{-1} \mathcal{F}) = H^q_\etale(Y, \mathcal{F}_p)\] d’après la proposition 03QC, ce qui donne la suite spectrale du lemme.

Pour démontrer la première assertion du lemme, observons que les \(X_n\) forment un schéma simplicial au-dessus de \(Y\), voir Simplicial, exemple 016E. Observons de plus que, pour chacune des projections \(d_j : X_{n + 1} \to X_n\), il existe un morphisme \(d_j^{-1} f_n^{-1}\mathcal{F} \to f_{n + 1}^{-1}\mathcal{F}\). Ces morphismes induisent des morphismes \[\delta_j : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\] pour \(j = 0, \ldots, n + 1\). Nous utilisons la somme alternée de ces morphismes pour définir les différentielles \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\). De même, il existe une augmentation canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_0\), qui est simplement le morphisme canonique \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\). Pour vérifier que cette suite de faisceaux est un complexe exact, il suffit de le vérifier sur les fibres aux points géométriques (théorème 03PU). Soit donc \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) un point géométrique. Posons \(E = \{\overline{x} : \Spec(k) \to X \mid f(\overline{x}) = \overline{y}\}\). Alors \(E\) est un ensemble fini non vide et l’on voit que \[(\mathcal{F}_n)_{\overline{y}} = \bigoplus\nolimits_{e \in E^{n + 1}} \mathcal{F}_{\overline{y}}\] d’après la proposition 03QP et le lemme 03Q1. Il reste donc à voir que, pour tout groupe abélien \(M\), la suite \[0 \to M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E} M \to \bigoplus\nolimits_{e \in E^2} M \to \ldots\] est exacte. Ici, le premier morphisme est le morphisme diagonal et le morphisme \(\bigoplus_{e \in E^{n + 1}} M \to \bigoplus_{e \in E^{n + 2}} M\) est la somme alternée des morphismes induits par les \((n + 2)\) projections \(E^{n + 2} \to E^{n + 1}\). Cela se démontre directement ou se déduit en appliquant Simplicial, lemme 019P au morphisme \(E \to \{*\}\).

Remarque

Dans la situation du lemme 09Z2, si \(\mathcal{G}\) est un faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\), alors on a \[\Gamma(Y, \mathcal{G}) = \text{\'Egaliseur}( \xymatrix{ \Gamma(X_0, f_0^{-1}\mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma(X_1, f_1^{-1}\mathcal{G}) } )\] Cela se démontre exactement de la même manière, en montrant que le faisceau \(\mathcal{G}\) est l’égalisateur des deux morphismes \(f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{G} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{G}\).

Action galoisienne sur les fibres

Dans cette section, nous définissons une action du groupe de Galois absolu du corps résiduel d’un point \(s\) de \(S\) sur le foncteur fibre en tout point géométrique situé au-dessus de \(s\).

Action galoisienne sur les fibres. Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Soit \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\). Définissons comme suit une action de \(\sigma\) sur la fibre \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) d’un faisceau \(\mathcal{F}\) [04JK]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{F}_{\overline{s}} & \longrightarrow & \mathcal{F}_{\overline{s}} \\ (U, \overline{u}, t) & \longmapsto & (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma), t). \end{matrix} \end{equation}\] où nous utilisons la description des éléments de la fibre au moyen de triplets, comme dans la discussion qui suit la définition 040R. Il s’agit d’une action à gauche, car si \(\sigma_i \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) alors \[\begin{align*} \sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot (U, \overline{u}, t)) & = \sigma_1 \cdot (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_2) \circ \Spec(\sigma_1), t) \\ & = (U, \overline{u} \circ \Spec(\sigma_1 \circ \sigma_2), t) \\ & = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot (U, \overline{u}, t) \end{align*}\] Il est clair que cette action est fonctorielle par rapport au faisceau \(\mathcal{F}\). Notons que nous aurions pu définir cette action en renvoyant directement à la remarque 04FN.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique situé au-dessus du point \(s\) de \(S\). Notons \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) la clôture séparable de \(\kappa(s)\) dans le corps algébriquement clos \(\kappa(\overline{s})\).

1. Dans cette situation, le groupe de Galois absolu de \(\kappa(s)\) est \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s))\). On le note parfois \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\).

2. Le point géométrique \(\overline{s}\) est dit algébrique si \(\kappa(s) \subset \kappa(\overline{s})\) est une clôture algébrique de \(\kappa(s)\).

Exemple

Le point géométrique \(\Spec(\mathbf{C}) \to \Spec(\mathbf{Q})\) n’est pas algébrique.

Soit \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\) comme dans la définition. Puisque \(\kappa(\overline{s})\) est algébriquement clos, le morphisme \[\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)) \longrightarrow \text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/\kappa(s)) = \text{Gal}_{\kappa(s)}\] est surjectif. Supposons que \((U, \overline{u})\) soit un voisinage étale de \(\overline{s}\) et que \(\overline{u}\) soit situé au-dessus du point \(u\) de \(U\). Puisque \(U \to S\) est étale, l’extension de corps résiduels \(\kappa(u)/\kappa(s)\) est finie séparable. Il s’ensuit ce qui suit

1. Si \(\sigma \in \text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s)^{sep})\), alors \(\sigma\) agit trivialement sur \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\).

2. Plus précisément, l’action de \(\text{Aut}(\kappa(\overline{s})/\kappa(s))\) détermine une action du groupe de Galois absolu \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\) sur \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\), et est déterminée par elle.

3. Si \((U, \overline{u}, t)\) représente un élément \(\xi\) de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\), tout élément de \(\text{Gal}(\kappa(s)^{sep}/K)\) agit trivialement, où \(\kappa(s) \subset K \subset \kappa(s)^{sep}\) est l’image de \(\overline{u}^\sharp : \kappa(u) \to \kappa(\overline{s})\).

Au total, nous voyons que \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) devient un \(\text{Gal}_{\kappa(s)}\)-ensemble (voir Groupes fondamentaux, définition 04JJ). Nous pouvons donc considérer le foncteur fibre comme un foncteur \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \text{Gal}_{\kappa(s)}\textit{-Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] et, dorénavant, c’est généralement ainsi que nous considérerons le foncteur fibre.

Théorème

Soit \(S = \Spec(K)\), où \(K\) est un corps. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Notons \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) le groupe de Galois absolu. Le passage aux fibres induit une équivalence de catégories \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow G\textit{-Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}.\]

Démonstration

Construisons un quasi-inverse de ce foncteur. Dans Groupes fondamentaux, lemme 03QR, nous avons vu que, pour tout \(G\)-ensemble \(M\), il existe un morphisme étale \(X \to \Spec(K)\) tel que \(\Mor_K(\Spec(K^{sep}), X)\) soit isomorphe à \(M\) comme \(G\)-ensemble. Considérons le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Spec(K)_\etale\) défini par la règle \(U \mapsto \Mor_K(U, X)\). C’est un faisceau, car la topologie étale est sous-canonique. On voit alors que \(\mathcal{F}_{\overline{s}} = \Mor_K(\Spec(K^{sep}), X) = M\) comme \(G\)-ensembles (détails omis). Cela fournit un quasi-inverse du foncteur et achève la démonstration.

Remarque

Une autre manière d’énoncer la conclusion du théorème 03QT et de Groupes fondamentaux, lemme 03QR, consiste à dire que tout faisceau sur \(\Spec(K)_\etale\) est représentable par un schéma \(X\) étale sur \(\Spec(K)\). Cela ne signifie pas que tout faisceau soit représentable au sens de Sites, définition 00WR. La raison est que, dans notre construction de \(\Spec(K)_\etale\), nous avons choisi un ensemble suffisamment grand de schémas étales sur \(\Spec(K)\), tandis que les faisceaux sur \(\Spec(K)_\etale\) forment une classe propre.

Lemme

Hypothèses et notations comme dans le théorème 03QT. Il existe une bijection fonctorielle \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = (\mathcal{F}_{\overline{s}})^G\]

Démonstration

Nous pouvons le démontrer par des arguments formels et à l’aide du théorème 03QT, comme suit. Pour un faisceau \(\mathcal{F}\) correspondant au \(G\)-ensemble \(M = \mathcal{F}_{\overline{s}}\), on a \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(S_\etale)}(h_{\Spec(K)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{G\textit{-Ensembles}}(\{*\}, M) \\ & = & M^G \end{eqnarray*}\] Ici, la première identification est expliquée dans Sites, sections 00V1 et 00WO, la deuxième résulte du théorème 03QT et la troisième est claire. Nous donnerons aussi une preuve directe⁵.

Supposons que \(t \in \Gamma(S, \mathcal{F})\) soit une section globale. Alors le triplet \((S, \overline{s}, t)\) définit un élément de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\) qui est clairement invariant sous l’action de \(G\). Réciproquement, supposons que \((U, \overline{u}, t)\) définisse un élément invariant de \(\mathcal{F}_{\overline{s}}\). Nous pouvons alors rétrécir \(U\) et supposer que \(U = \Spec(L)\) pour une extension de corps finie séparable \(L\) de \(K\), voir la proposition 03PC. Dans ce cas, le morphisme \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_{\overline{s}}\) est injectif, car pour tout morphisme de voisinages étales \((U', \overline{u}') \to (U, \overline{u})\), le morphisme de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) est injectif puisque \(U' \to U\) est un recouvrement de \(S_\etale\). Après avoir un peu agrandi \(L\), nous pouvons supposer que \(K \subset L\) est une extension galoisienne finie. Nous utilisons alors l’égalité \[\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L) = \coprod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(L/K)} \Spec(L)\] où les morphismes \(\Spec(L) \to \Spec(L \otimes_K L)\) proviennent des morphismes d’anneaux \(a \otimes b \mapsto a\sigma(b)\). Nous voyons donc que l’invariance de \((U, \overline{u}, t)\) sous tout \(G\) implique que \(t \in \mathcal{F}(\Spec(L))\) a la même image dans \(\mathcal{F}(\Spec(L) \times_{\Spec(K)} \Spec(L))\) par restriction suivant chacune des deux projections (on utilise ici l’injectivité mentionnée ci-dessus; détails omis). La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) et le recouvrement étale \(\{\Spec(L) \to \Spec(K)\}\) s’applique donc, et nous concluons que \(t\) provient d’une unique section de \(\mathcal{F}\) sur \(\Spec(K)\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma et soit \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) un point géométrique de \(S\). Par définition, cela signifie que \(k\) est algébriquement clos. En particulier, le groupe de Galois absolu de \(k\) est trivial. Par conséquent, d’après le théorème 03QT, la catégorie des faisceaux sur \(\Spec(k)_\etale\) est équivalente à la catégorie des ensembles. L’équivalence est donnée par la prise des sections sur \(\Spec(k)\). Cela nous fournit enfin une autre définition du foncteur fibre. Plus précisément, le foncteur \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\] est isomorphe au foncteur \[\Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh(\Spec(k)_\etale) = \textit{Ensembles}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \overline{s}^*\mathcal{F}\] Pour le démontrer rigoureusement, on peut utiliser la partie (3) du lemme 03Q1 avec \(f = \overline{s}\). De plus, ceci étant dit, le cas général de la partie (3) du lemme 03Q1 résulte de la fonctorialité des images inverses.

Cohomologie des groupes

Dans la suite, lorsque nous écrivons \(H^i(G, M)\), nous entendons que \(G\) est un groupe topologique, que \(M\) est un \(G\)-module discret muni d’une action continue de \(G\), et que \(H^i(G, -)\) est le \(i\)-ième foncteur dérivé droit sur la catégorie \(\text{Mod}_G\) de ces \(G\)-modules, voir les définitions 04JP et 04JR. Cela comprend le cas d’un groupe abstrait \(G\), ce qui signifie simplement que l’on considère \(G\) comme un groupe topologique muni de la topologie discrète.

Lorsque le module est muni d’une topologie non discrète, nous emploierons la notation \(H^i_{cont}(G, M)\) pour désigner les groupes de cohomologie continue introduits dans [Tate], voir la section 0DVG.

Définition

Soit \(G\) un groupe topologique.

1. Un \(G\)-module, parfois appelé \(G\)-module discret, est un groupe abélien \(M\) muni d’une action à gauche \(a : G \times M \to M\) par homomorphismes de groupes, telle que \(a\) soit continue lorsque \(M\) est muni de la topologie discrète.

2. Un morphisme de \(G\)-modules \(f : M \to N\) est un homomorphisme \(G\)-équivariant de \(M\) dans \(N\).

3. La catégorie des \(G\)-modules est notée \(\text{Mod}_G\).

Soit \(R\) un anneau.

1. Un \(R\text{-}G\)-module est un \(R\)-module \(M\) muni d’une action à gauche \(a : G \times M \to M\) par applications \(R\)-linéaires, telle que \(a\) soit continue lorsque \(M\) est muni de la topologie discrète.

2. Un morphisme de \(R\text{-}G\)-modules \(f : M \to N\) est une application \(R\)-linéaire \(G\)-équivariante de \(M\) dans \(N\).

3. La catégorie des \(R\text{-}G\)-modules est notée \(\text{Mod}_{R, G}\).

La continuité de \(a : G \times M \to M\) équivaut à demander que le stabilisateur de tout \(x \in M\) soit ouvert dans \(G\). Si \(G\) est un groupe abstrait, cela correspond à la notion d’un groupe abélien muni d’une action de \(G\), pourvu que l’on munisse \(G\) de la topologie discrète. Observons que \(\text{Mod}_{\mathbf{Z}, G} = \text{Mod}_G\).

La catégorie \(\text{Mod}_G\) a assez d’injectifs, voir Injectifs, lemme 04JF. Considérons le foncteur exact à gauche \[\text{Mod}_G \longrightarrow \textit{Ab}, \quad M \longmapsto M^G = \{x \in M \mid g \cdot x = x\ \forall g \in G\}\] Nous notons parfois \(M^G = H^0(G, M)\) et parfois \(M^G = \Gamma_G(M)\). Ce foncteur admet un foncteur dérivé droit total \(R\Gamma_G(M)\) et, pour tout \(i \geq 0\), un \(i\)-ième foncteur dérivé droit \(R^i\Gamma_G(M) = H^i(G, M)\).

La même construction s’applique à \(H^0(G, -) : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_R\). Nous verrons au lemme 0DVD qu’elle coı̈ncide avec la cohomologie du \(G\)-module sous-jacent.

Définition

Soit \(G\) un groupe topologique. Soit \(M\) un \(G\)-module discret muni d’une action continue de \(G\). Autrement dit, \(M\) est un objet de la catégorie \(\text{Mod}_G\) introduite dans la définition 04JP.

1. Les foncteurs dérivés droits \(H^i(G, M)\) de \(H^0(G, M)\) sur la catégorie \(\text{Mod}_G\) sont appelés les groupes de cohomologie continue de \(G\) à coefficients dans \(M\).

2. Si \(G\) est un groupe abstrait muni de la topologie discrète, les \(H^i(G, M)\) sont appelés les groupes de cohomologie de \(G\) à coefficients dans \(M\).

3. Si \(G\) est un groupe de Galois, les groupes \(H^i(G, M)\) sont appelés les groupes de cohomologie galoisienne à coefficients dans \(M\).

4. Si \(G\) est le groupe de Galois absolu d’un corps \(K\), les groupes \(H^i(G, M)\) sont parfois appelés les groupes de cohomologie galoisienne de \(K\) à coefficients dans \(M\). Dans ce cas, nous écrivons parfois \(H^i(K, M)\) au lieu de \(H^i(G, M)\).

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Soit \(R\) un anneau. Pour tout \(i \geq 0\), le diagramme \[\xymatrix{ \text{Mod}_{R, G} \ar[rr]_{H^i(G, -)} \ar[d] & & \text{Mod}_R \ar[d] \\ \text{Mod}_G \ar[rr]^{H^i(G, -)} & & \textit{Ab} }\] dont les flèches verticales sont les foncteurs d’oubli est commutatif.

Démonstration

Notons \(F : \text{Mod}_{R, G} \to \text{Mod}_G\) le foncteur d’oubli. Alors \(F\) admet un adjoint à gauche \(H : \text{Mod}_G \to \text{Mod}_{R, G}\) donné par \(H(M) = M \otimes_\mathbf{Z} R\). Observons que tout objet de \(\text{Mod}_G\) est un quotient d’une somme directe de modules de la forme \(\mathbf{Z}[G/U]\), où \(U \subset G\) est un sous-groupe ouvert. Ici, \(\mathbf{Z}[G/U]\) désigne le \(G\)-module formé des combinaisons \(\mathbf{Z}\)-linéaires finies des classes à droite modulo \(U\) dans \(G\), muni de l’action à gauche de \(G\). Ainsi, tout complexe borné supérieurement dans \(\text{Mod}_G\) est quasi-isomorphe à un complexe borné supérieurement dans \(\text{Mod}_G\) dont les termes sous-jacents sont des \(\mathbf{Z}\)-modules plats (Catégories dérivées, lemme 05T7). Il est donc clair que \(LH\) existe sur \(D^-(\text{Mod}_G)\) et se calcule en appliquant \(H\) à tout complexe dont les termes sont des \(\mathbf{Z}\)-modules plats; cela résulte de Catégories dérivées, lemme 05T9 et proposition 05TA. Nous concluons de Catégories dérivées, lemme 0DVC que \[\text{Ext}^i(\mathbf{Z}, F(M)) = \text{Ext}^i(R, M)\] pour \(M\) dans \(\text{Mod}_{R, G}\). Observons que \(H^0(G, -) = \Hom(\mathbf{Z}, -)\) sur \(\text{Mod}_G\), où \(\mathbf{Z}\) désigne le \(G\)-module à action triviale. Par conséquent, \(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(\mathbf{Z}, -)\) sur \(\text{Mod}_G\). De même, on a \(H^i(G, -) = \text{Ext}^i(R, -)\) sur \(\text{Mod}_{R, G}\). En combinant ces faits, on obtient le lemme.

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Soit \(R\) un anneau. Soient \(M\), \(N\) des \(R\text{-}G\)-modules. Si \(M\) est projectif de type fini comme \(R\)-module, alors \(\text{Ext}^i(M, N) = H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\) (pour les notations, voir la preuve).

Démonstration

Munissons le module \(M^\vee = \Hom_R(M, R)\) de l’action contragrédiente de \(G\). Ainsi, \((g \cdot \lambda)(m) = \lambda(g^{-1} \cdot m)\) pour \(g \in G\), \(\lambda \in M^\vee\), \(m \in M\). L’action de \(G\) sur \(M^\vee \otimes_R N\) est l’action diagonale, c’est-à-dire qu’elle est donnée par \(g \cdot (\lambda \otimes n) = g \cdot \lambda \otimes g \cdot n\). Notons que, pour un troisième \(R\text{-}G\)-module \(E\), on a \(\Hom(E, M^\vee \otimes_R N) = \Hom(M \otimes_R E, N)\). En effet, cela est vrai au niveau des \(R\)-modules d’après Algèbre, lemmes 00DE et 0DVB et les définitions des actions de \(G\) sont choisies de sorte que cela reste vrai pour les \(R\text{-}G\)-modules. Il en résulte que \(M^\vee \otimes_R N\) est un \(R\text{-}G\)-module injectif si \(N\) est un \(R\text{-}G\)-module injectif. Ainsi, si \(N \to N^\bullet\) est une résolution injective, alors \(M^\vee \otimes_R N \to M^\vee \otimes_R N^\bullet\) est une résolution injective. On a alors \[\Hom(M, N^\bullet) = \Hom(R, M^\vee \otimes_R N^\bullet) = (M^\vee \otimes_R N^\bullet)^G\] Puisque le membre de gauche calcule \(\text{Ext}^i(M, N)\) et celui de droite calcule \(H^i(G, M^\vee \otimes_R N)\), la preuve est terminée.

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Soit \(k\) un corps. Soit \(V\) un \(k\text{-}G\)-module. Si \(G\) est topologiquement engendré par un nombre fini d’éléments et si \(\dim_k(V) < \infty\), alors \(\dim_k H^1(G, V) < \infty\).

Démonstration

Soient \(g_1, \ldots, g_r \in G\) des éléments qui engendrent topologiquement \(G\), c’est-à-dire que le sous-groupe engendré par \(g_1, \ldots, g_r\) est dense. D’après le lemme 0DVE, on voit que \(H^1(G, V)\) est l’espace vectoriel sur \(k\) des extensions \[0 \to V \to E \to k \to 0\] de \(k\text{-}G\)-modules. Choisissons \(e \in E\) d’image \(1 \in k\). Écrivons \[g_i \cdot e = v_i + e\] pour un \(v_i \in V\). Cela est possible puisque \(g_i \cdot 1 = 1\). Nous affirmons que la liste des éléments \(v_1, \ldots, v_r \in V\) détermine la classe d’isomorphisme de l’extension \(E\). Une fois ceci démontré, le lemme en résulte, car notre espace vectoriel Ext est alors isomorphe à un sous-quotient de l’espace vectoriel sur \(k\) \(V^{\oplus r}\); quelques détails sont omis. Puisque \(E\) est un objet de la catégorie définie dans la définition 04JP, il existe un sous-groupe ouvert \(U\) tel que \(u \cdot e = e\) pour tout \(u \in U\). Prenons maintenant un \(g \in G\). Alors \(gU\) contient un mot \(w\) en les éléments \(g_1, \ldots, g_r\). Écrivons \(gu = w\). Puisque l’élément \(w \cdot e\) est déterminé par \(v_1, \ldots, v_r\), on voit que \(g \cdot e = (gu) \cdot e = w \cdot e\) l’est lui aussi.

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique profini. Alors

1. \(H^i(G, M)\) est de torsion pour \(i > 0\) et tout \(G\)-module \(M\), et

2. \(H^i(G, M) = 0\) si \(M\) est un \(\mathbf{Q}\)-espace vectoriel.