Amorçage

Introduction

Dans ce chapitre, nous utilisons les résultats des sections précédentes pour donner des critères assurant qu’un préfaisceau d’ensembles sur la catégorie des schémas est un espace algébrique. Une partie de ces résultats provient des travaux d’Artin, voir [ArtinI], [ArtinII], [Artin-Theorem-Representability], [Artin-Construction-Techniques], [Artin-Algebraic-Spaces], [Artin-Algebraic-Approximation], [Artin-Implicit-Function], et [ArtinVersal]. Notre méthode consistera toutefois à employer autant que possible des arguments semblables à ceux de l’article de Keel et Mori, voir [K-M].

Conventions

Nous supposons une fois pour toutes que tous les schémas considérés appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De même, tout anneau \(A\) considéré est tel que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et dans les suivants, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) avec lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), plutôt que \(X \times X\).

Morphismes représentables par des espaces algébriques

Nous définissons ici la notion de préfaisceau relativement représentable par des espaces algébriques au-dessus d’un autre, puis en établissons quelques propriétés.

Définition

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F\), \(G\) des préfaisceaux sur \(\Sch_{fppf}/S\). On dit qu’un morphisme \(a : F \to G\) est représentable par des espaces algébriques si, pour tout \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et tout \(\xi : U \to G\), le produit fibré \(U \times_{\xi, G} F\) est un espace algébrique.

Voici une vérification élémentaire.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

C’est formel. Cela repose sur le fait que la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) admet des produits fibrés, voir Espaces, lemme 02X2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ G' \times_G F \ar[r] \ar[d]^{a'} & F \ar[d]^a \\ G' \ar[r] & G }\] soit un carré cartésien de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(a\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(a'\) l’est aussi.

Démonstration

Omis. Indication : c’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(a : F \to G\) représentable par des espaces algébriques. Si \(G\) est un faisceau, alors \(F\) en est un aussi.

Démonstration

(Même démonstration que celle de Espaces, lemme 02WD.) Soit \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) un recouvrement du site \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(s_i \in F(T_i)\) satisfaisant à la condition de faisceau. Alors les \(\sigma_i = a(s_i) \in G(T_i)\) satisfont eux aussi à la condition de faisceau. Il existe donc un unique \(\sigma \in G(T)\) tel que \(\sigma_i = \sigma|_{T_i}\). Par hypothèse, \(F' = h_T \times_{\sigma, G, a} F\) est un faisceau. Notons que les \((\varphi_i, s_i) \in F'(T_i)\) satisfont eux aussi à la condition de faisceau et proviennent donc d’un unique \((\text{id}_T, s) \in F'(T)\). Manifestement, \(s\) est la section de \(F\) cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(a : F \to G\) représentable par des espaces algébriques. Alors \(\Delta_{F/G} : F \to F \times_G F\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

(Même démonstration que celle de Espaces, lemme 05L9.) Soit \(U\) un schéma. Soit \(\xi = (\xi_1, \xi_2) \in (F \times_G F)(U)\). Posons \(\xi' = a(\xi_1) = a(\xi_2) \in G(U)\). Par hypothèse, il existe un espace algébrique \(V\) et un morphisme \(V \to U\) qui représentent le produit fibré \(U \times_{\xi', G} F\). En particulier, les éléments \(\xi_1, \xi_2\) donnent des morphismes \(f_1, f_2 : U \to V\) au-dessus de \(U\). Comme \(V\) représente le produit fibré \(U \times_{\xi', G} F\) et que \(\xi' = a \circ \xi_1 = a \circ \xi_2\), on voit que, si \(g : U' \to U\) est un morphisme, alors \[g^*\xi_1 = g^*\xi_2 \Leftrightarrow f_1 \circ g = f_2 \circ g.\] Autrement dit, \(U \times_{\xi, F \times_G F} F\) est représenté par \(V \times_{\Delta, V \times V, (f_1, f_2)} U\), qui est un espace algébrique.

La démonstration du lemme 02YS ci-dessous est en fait quelque peu délicate. En effet, nous ne pouvons employer l’argument de la démonstration de Espaces, lemme 02WY, car nous ne savons pas encore qu’un composé de transformations représentables par des espaces algébriques est représentable par des espaces algébriques. Nous utiliserons précisément ce lemme pour établir cet énoncé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(a : F \to G\) représentable par des espaces algébriques. Si \(G\) est un espace algébrique, alors \(F\) en est un aussi.

Démonstration

Nous avons vu au lemme 02YR que \(F\) est un faisceau.

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to G\) un morphisme étale surjectif. Alors \(U \times_G F\) est un espace algébrique. Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to U \times_G F\) un morphisme étale surjectif.

Affirmons d’abord que \(W \to F\) est représentable. Pour le voir, soient \(X\) un schéma et \(X \to F\) un morphisme. Alors \[W \times_F X = W \times_{U \times_G F} U \times_G F \times_F X = W \times_{U \times_G F} (U \times_G X)\] Comme \(U \times_G F\) et \(G\) sont tous deux des espaces algébriques, on voit qu’il s’agit d’un schéma.

Affirmons ensuite que \(W \to F\) est étale et surjectif (cela a désormais un sens puisque nous savons qu’il est représentable). Cela résulte de la formule précédente : \(W \to U \times_G F\) et \(U \to G\) sont tous deux étales et surjectifs, donc \(W \times_{U \times_G F} (U \times_G X) \to U \times_G X\) et \(U \times_G X \to X\) sont étales et surjectifs, et le composé de morphismes étales surjectifs est étale et surjectif.

Posons \(R = W \times_F W\). D’après ce qui précède, \(R\) est un schéma et les projections \(t, s : R \to W\) sont étales. Il est clair que \(R\) est une relation d’équivalence et que \(W \to F\) est un épimorphisme de faisceaux. Ainsi, \(R\) est une relation d’équivalence étale et \(F = W/R\). Par conséquent, \(F\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(a : F \to G\) un morphisme de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons \(a : F \to G\) représentable par des espaces algébriques. Si \(X\) est un espace algébrique sur \(S\) et si \(X \to G\) est un morphisme de préfaisceaux, alors \(X \times_G F\) est un espace algébrique.

Démonstration

D’après le lemme 03Y0, la transformation \(X \times_G F \to X\) est représentable par des espaces algébriques. Sa source est donc un espace algébrique d’après le lemme 02YS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \[\xymatrix{ F \ar[r]^a & G \ar[r]^b & H }\] des morphismes de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(a\) et \(b\) sont représentables par des espaces algébriques, alors \(b \circ a\) l’est aussi.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(S\), et soit \(T \to H\) un morphisme. Par hypothèse, \(T \times_H G\) est un espace algébrique. Le lemme 03XY montre donc que \(T \times_H F = (T \times_H G) \times_G F\) est lui aussi un espace algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F_i, G_i : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\), \(i = 1, 2\). Soient \(a_i : F_i \to G_i\), \(i = 1, 2\), représentables par des espaces algébriques. Alors \[a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\] est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Écrivons \(a_1 \times a_2\) comme le composé \(F_1 \times F_2 \to G_1 \times F_2 \to G_1 \times G_2\). La première flèche est le changement de base de \(a_1\) par le morphisme \(G_1 \times F_2 \to G_1\), et la seconde est le changement de base de \(a_2\) par le morphisme \(G_1 \times G_2 \to G_2\). Ce lemme est donc une conséquence formelle des lemmes 03Y1 et 03Y0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(a : F \to G\) et \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs \((\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Supposons que

1. \(\Delta : G \to G \times_H G\) soit représentable par des espaces algébriques, et que

2. \(b \circ a : F \to H\) soit représentable par des espaces algébriques.

Alors \(a\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma sur \(S\) et soit \(\xi \in G(U)\). Alors \[U \times_{\xi, G, a} F = (U \times_{b(\xi), H, b \circ a} F) \times_{(\xi, a), (G \times_H G), \Delta} G\] Le résultat découle donc du lemme 03XY.

Lemme

Soit \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soit \(F\) un préfaisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

1. \(F\) soit un faisceau pour la topologie de Zariski sur \((\Sch/S)_{fppf}\),

2. il existe un ensemble d’indices \(I\) et des sous-foncteurs \(F_i \subset F\) tels que

   1. chaque \(F_i\) soit un faisceau fppf,

   2. chaque \(F_i \to F\) soit représentable par des espaces algébriques,

   3. \(\coprod F_i \to F\) devienne surjectif après faisceautisation fppf.

Alors \(F\) est un faisceau fppf.

Démonstration

Soient \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \(s \in F(T)\). D’après (2)(c), il existe un recouvrement fppf \(\{T_j \to T\}\) tel que \(s|_{T_j}\) soit une section de \(F_{\alpha(j)}\) pour un certain \(\alpha(j) \in I\). Soit \(W_j \subset T\) l’image de \(T_j \to T\) ; c’est un sous-schéma ouvert d’après Morphismes, lemme 01UA. D’après (2)(b), \(F_{\alpha(j)} \times_{F, s|_{W_j}} W_j \to W_j\) est un monomorphisme d’espaces algébriques par lequel \(T_j\) se factorise. Puisque \(\{T_j \to W_j\}\) est un recouvrement fppf, on en déduit que \(F_{\alpha(j)} \times_{F, s|_{W_j}} W_j = W_j\), in other words \(s|_{W_j} \in F_{\alpha(j)}(W_j)\). On en conclut donc que \(\coprod F_i \to F\) est surjectif pour la topologie de Zariski.

Soit \(\{T_j \to T\}\) un recouvrement fppf de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(s, s' \in F(T)\) tels que \(s|_{T_j} = s'|_{T_j}\) pour tout \(j\). Montrons que \(s, s'\) sont égaux. Comme \(F\) est un faisceau de Zariski d’après (1), nous pouvons raisonner localement pour la topologie de Zariski sur \(T\). D’après l’alinéa précédent, nous pouvons supposer qu’il existe \(i\) tel que \(s \in F_i(T)\). Alors \(s'|_{T_j}\) est une section de \(F_i\). D’après (2)(b), \(F_{i} \times_{F, s'} T \to T\) est un monomorphisme d’espaces algébriques par lequel tous les \(T_j\) se factorisent. On en conclut que \(s' \in F_i(T)\). Comme \(F_i\) est un faisceau pour la topologie fppf, on obtient \(s = s'\).

Soit \(\{T_j \to T\}\) un recouvrement fppf de \((\Sch/S)_{fppf}\) et soient \(s_j \in F(T_j)\) tels que \(s_j|_{T_j \times_T T_{j'}} = s_{j'}|_{T_j \times_T T_{j'}}\). D’après l’hypothèse (2)(c), nous pouvons raffiner le recouvrement et supposer que \(s_j \in F_{\alpha(j)}(T_j)\) pour un certain \(\alpha(j) \in I\). Soit \(W_j \subset T\) l’image de \(T_j \to T\), qui est un sous-schéma ouvert d’après Morphismes, lemme 01UA. Alors \(\{T_j \to W_j\}\) est un recouvrement fppf. Comme \(F_{\alpha(j)}\) est un sous-préfaisceau de \(F\), les deux restrictions de \(s_j\) à \(T_j \times_{W_j} T_j\) coïncident comme éléments de \(F_{\alpha(j)}(T_j \times_{W_j} T_j)\). La condition de faisceau pour \(F_{\alpha(j)}\) implique donc l’existence d’un \(s'_j \in F_{\alpha(j)}(W_j)\) dont la restriction à \(T_j\) est \(s_j\). Pour toute paire d’indices \(j\) et \(j'\), les sections \(s'_j|_{W_j \cap W_{j'}}\) et \(s'_{j'}|_{W_j \cap W_{j'}}\) de \(F\) coïncident d’après l’alinéa précédent. Le fait que \(F\) soit un faisceau de Zariski achève la démonstration.

Propriétés des morphismes de préfaisceaux représentables par des espaces algébriques

Voici la définition qui convient.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(a : F \to G\) un morphisme de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) représentable par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui

1. est stable par tout changement de base, et

2. est locale sur la base pour la topologie fppf, voir Descente sur les espaces, définition 03YH.

Dans ce cas, on dit que \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si, pour tout schéma \(U\) et tout \(\xi : U \to G\), le morphisme d’espaces algébriques ainsi obtenu \(U \times_G F \to U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Il importe de noter que nous n’utiliserons cette définition que pour des propriétés de morphismes stables par changement de base et locales sur la base pour la topologie fppf. Ce n’est pas que la définition n’ait autrement aucun sens ; c’est plutôt que nous pouvons vouloir donner une autre définition, mieux adaptée à la propriété envisagée.

La définition précédente s’applique¹ par exemple aux propriétés d’être « surjectif », « quasi-compact », « étale », « lisse », « plat », « séparé », « (localement) de type fini », « (localement) quasi-fini », « (localement) de présentation finie », « affine », « propre » et « une immersion fermée ». Autrement dit, \(a\) est surjectif (resp. quasi-compact, étale, lisse, plat, séparé, (localement) de type fini, (localement) quasi-fini, (localement) de présentation finie, propre, une immersion fermée) si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(\xi : T \to G\), le morphisme d’espaces algébriques \(T \times_{\xi, G} F \to T\) est surjectif (resp. quasi-compact, étale, plat, séparé, (localement) de type fini, (localement) quasi-fini, (localement) de présentation finie, propre, une immersion fermée).

Vérifions ensuite la compatibilité avec les notions déjà définies. D’après le lemme 03BN, tout morphisme entre espaces algébriques sur \(S\) est représentable par des espaces algébriques. D’autre part, d’après Morphismes d’espaces, lemme 03MF (resp. 03KG, 03XT, 03ZF, 03MM, 03KM, 040Y, 040Z, 0410, 03WG, 083R, 03M4) la définition précédente de surjectif (resp. quasi-compact, étale, lisse, plat, séparé, (localement) de type fini, (localement) quasi-fini, (localement) de présentation finie, affine, propre, immersion fermée) coïncide avec la définition déjà donnée pour les morphismes d’espaces algébriques.

Voici maintenant quelques lemmes formels.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la définition 03XZ. Soit \[\xymatrix{ G' \times_G F \ar[r] \ar[d]^{a'} & F \ar[d]^a \\ G' \ar[r] & G }\] un carré cartésien de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(a\) est représentable par des espaces algébriques et possède \(\mathcal{P}\), alors \(a'\) aussi.

Démonstration

Omis. Indication : c’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la définition 03XZ, et supposons \(\mathcal{P}\) stable par composition. Soient \[\xymatrix{ F \ar[r]^a & G \ar[r]^b & H }\] des morphismes de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(a\) et \(b\) sont représentables par des espaces algébriques et possèdent \(\mathcal{P}\), alors \(b \circ a\) la possède aussi.

Démonstration

Omis. Indication : voir le lemme 03Y1 et utiliser la stabilité par composition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F_i, G_i : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\), \(i = 1, 2\). Soient \(a_i : F_i \to G_i\), \(i = 1, 2\), représentables par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété comme dans la définition 03XZ, stable par composition. Si \(a_1\) et \(a_2\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(a_1 \times a_2 : F_1 \times F_2 \longrightarrow G_1 \times G_2\) la possède aussi.

Démonstration

Notons que l’énoncé a un sens d’après le lemme 046D. Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs représentable par des espaces algébriques. Soient \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{P}'\) des propriétés comme dans la définition 03XZ. Supposons que, pour tout morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\), on ait \(\mathcal{P}(f) \Rightarrow \mathcal{P}'(f)\). Si \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(a\) possède la propriété \(\mathcal{P}'\).

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) des faisceaux. Soit \(a : F \to G\) représentable par des espaces algébriques, plat, localement de présentation finie et surjectif. Alors \(a : F \to G\) est surjectif comme morphisme de faisceaux.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(S\) et soit \(g : T \to G\) un point à valeurs dans \(T\) de \(G\). Par hypothèse, \(T' = F \times_G T\) est un espace algébrique et le morphisme \(T' \to T\) est un morphisme d’espaces algébriques plat, localement de présentation finie et surjectif. Soit \(U \to T'\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Par définition des morphismes plats d’espaces algébriques, le morphisme de schémas \(U \to T\) est alors plat. Il en va de même pour la propriété « localement de présentation finie ». Le morphisme \(U \to T\) est aussi surjectif, voir Morphismes d’espaces, lemme 03MF. Ainsi, \(\{U \to T\}\) est un recouvrement fppf tel que \(g|_U \in G(U)\) provienne d’un élément de \(F(U)\), à savoir du morphisme \(U \to T' \to F\). Cela prouve que le morphisme est surjectif comme morphisme de faisceaux, voir Sites, définition 00WM.

Amorçage de la diagonale

Dans cette section, nous prouvons que la diagonale d’un faisceau \(F\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est représentable dès qu’il existe un « recouvrement fppf » de \(F\) par un schéma ou par un espace algébrique, voir le lemme 046K.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F\) un préfaisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\Delta_F : F \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques ;

2. pour tout schéma \(T\), tout morphisme \(T \to F\) est représentable par des espaces algébriques ;

3. pour tout espace algébrique \(X\), tout morphisme \(X \to F\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(X \to F\) comme en (3). Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to F\) un morphisme. On a alors \[T \times_F X = (T \times_S X) \times_{F \times F, \Delta} F\] qui est un espace algébrique d’après le lemme 03XY et (1). Ainsi, \(X \to F\) est représentable, c’est-à-dire que (3) est vérifiée. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2). Soit \(T\) un schéma et soit \((a, b) : T \to F \times F\) un morphisme. Alors \[F \times_{\Delta_F, F \times F} T = (T \times_{a, F, b} T) \times_{T \times T, \Delta_T} T\] qui est un espace algébrique par hypothèse. Ainsi, \(\Delta_F\) est représentable par des espaces algébriques, c’est-à-dire que (1) est vérifiée.

En particulier, si \(F\) est un préfaisceau satisfaisant aux conditions équivalentes du lemme, alors, pour tout morphisme \(X \to F\) où \(X\) est un espace algébrique, il est légitime de dire que \(X \to F\) est surjectif (resp. étale, plat, localement de présentation finie) en appliquant la définition 03XZ.

Avant de procéder à l’amorçage proprement dit, établissons un petit lemme utile.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ E \ar[r]_a \ar[d]_f & F \ar[d]^g \\ H \ar[r]^b & G }\] un diagramme cartésien de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\), de sorte que \(E = H \times_G F\). Si

1. \(g\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie ;

2. \(a\) est représentable par des espaces algébriques, séparé et localement quasi-fini,

alors \(b\) est représentable (par des schémas), séparé et localement quasi-fini.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to G\) un morphisme. Il faut montrer que \(T \times_G H\) est un schéma et que le morphisme \(T \times_G H \to T\) est séparé et localement quasi-fini. Nous pouvons donc effectuer sur tout le diagramme le changement de base vers \(T\) et supposer que \(G\) est un schéma. Alors \(F\) est un espace algébrique. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to F\) un morphisme étale surjectif. Alors \(U \to F\) est représentable, surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, lemmes 0467 et 0468. Le lemme 03Y1 montre que \(U \to G\) est lui aussi surjectif, plat et localement de présentation finie. Notons que le changement de base \(E \times_F U \to U\) de \(a\) reste séparé et localement quasi-fini (d’après le lemme 046F). Nous pouvons donc remplacer la partie supérieure du diagramme du lemme par \(E \times_F U \to U\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(F \to G\) est un morphisme de schémas surjectif et plat, localement de présentation finie. En particulier, \(\{F \to G\}\) est un recouvrement fppf de schémas. D’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX on en conclut que \(E\) est aussi un schéma. D’après Descente, lemme 02W5, l’égalité \(E = H \times_G F\) signifie que l’on obtient une donnée de descente sur \(E\) relativement au recouvrement fppf \(\{F \to G\}\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 02W8 Cette donnée de descente est effective. En appliquant de nouveau Descente, lemme 02W5, on en déduit que \(H\) est un schéma. Enfin, d’après Descente, lemmes 02KU et 02VI il s’ensuit que \(b\) est séparé et localement quasi-fini.

Voici le résultat annoncé par le titre de la section.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. le préfaisceau \(F\) soit un faisceau ;

2. il existe un espace algébrique \(X\) et un morphisme \(X \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie.

Alors \(\Delta_F\) est représentable (par des schémas).

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(X\). Alors \(U \to X\) est représentable, surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, lemmes 0467 et 0468. Le lemme 046G montre que le composé \(U \to F\) est lui aussi représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Ainsi, \(R = U \times_F U\) est un espace algébrique, voir le lemme 03XY. Le morphisme d’espaces algébriques \(R \to U \times_S U\) est un monomorphisme, donc il est séparé (puisque la diagonale d’un monomorphisme est un isomorphisme, voir Morphismes d’espaces, lemme 042M). Comme \(U \to F\) est localement de présentation finie, les deux morphismes \(R \to U\) le sont aussi, voir le lemme 046F. Ainsi, \(R \to U \times_S U\) est localement de type fini (utiliser Morphismes d’espaces, lemmes 0464 et 0462). Au total, \(R \to U \times_S U\) est un monomorphisme localement de type fini, donc un morphisme séparé et localement quasi-fini, voir Morphismes d’espaces, lemme 0463.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver que \(\Delta_F\) est représentable. Soit \(T\) un schéma et soit \((a, b) : T \to F \times F\) un morphisme. Posons \[T' = (U \times_S U) \times_{F \times F} T.\] Notons que \(U \times_S U \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 046H. Ainsi, \(T'\) est un espace algébrique et le morphisme de projection \(T' \to T\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Considérons \(Z = T \times_{F \times F} F\) (c’est un faisceau) et \[Z' = T' \times_{U \times_S U} R = T' \times_T Z.\] On voit que \(Z'\) est un espace algébrique et que \(Z' \to T'\) est séparé et localement quasi-fini d’après la discussion du premier alinéa de la démonstration, qui a établi que \(R\) est un espace algébrique et que le morphisme \(R \to U \times_S U\) possède ces propriétés. Nous pouvons donc appliquer le lemme 046J au diagramme \[\xymatrix{ Z' \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ Z \ar[r] & T }\] ce qui permet de conclure.

Voici une variante du résultat précédent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(X\) un schéma et soit \(X \to F\) représentable par des espaces algébriques et localement quasi-fini. Alors \(X \to F\) est représentable (par des schémas).

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to F\) un morphisme. Il faut montrer que l’espace algébrique \(X \times_F T\) est représentable par un schéma. Considérons le morphisme \[X \times_F T \longrightarrow X \times_{\Spec(\mathbf{Z})} T\] Comme \(X \times_F T \to T\) est localement quasi-fini, la flèche affichée l’est aussi (Morphismes d’espaces, lemme 03XN). D’autre part, la flèche affichée est un monomorphisme, donc elle est séparée (Morphismes d’espaces, lemme 042N). Ainsi, \(X \times_F T\) est un schéma d’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX.

Amorçage

Prévenons d’emblée le lecteur que le résultat de cette section sera supplanté par le théorème plus fort 04S6. En revanche, le théorème de cette section est nettement plus facile à démontrer et donne déjà une bonne compréhension du mécanisme en jeu, notamment aux lecteurs qui s’intéressent surtout aux champs de Deligne–Mumford.

Dans Espaces, section 025X, nous avons défini un espace algébrique comme un faisceau pour la topologie fppf dont la diagonale est représentable et vers lequel il existe un morphisme étale surjectif provenant d’un schéma. Dans cette section, nous montrons qu’un faisceau pour la topologie fppf dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques et qui admet un recouvrement étale surjectif par un espace algébrique est lui aussi un espace algébrique. Autrement dit, la catégorie des espaces algébriques s’obtient en élargissant la catégorie des schémas par les faisceaux fppf \(F\) qui possèdent une diagonale représentable et un recouvrement étale par un schéma. Le résultat de cette section affirme que recommencer ce procédé à partir de la catégorie des espaces algébriques ne conduit pas à une nouvelle catégorie.

Une autre motivation des résultats de cette section est qu’ils permettront plus loin d’assurer qu’un champ de Deligne–Mumford dont le champ d’inertie est trivial est équivalent à un espace algébrique, voir Champs algébriques, lemme 045H.

Voici le résultat principal de cette section (comme indiqué plus haut, il sera supplanté par le théorème plus fort 04S6).

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. le préfaisceau \(F\) soit un faisceau ;

2. le morphisme diagonal \(F \to F \times F\) soit représentable par des espaces algébriques ;

3. il existe un espace algébrique \(X\) et un morphisme \(X \to F\) surjectif et étale.

ou bien supposons que

1. le préfaisceau \(F\) soit un faisceau ;

2. il existe un espace algébrique \(X\) et un morphisme \(X \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et étale.

Alors \(F\) est un espace algébrique.

Démonstration

Nous utiliserons sans plus les mentionner les remarques qui suivent immédiatement la définition 03XZ.

Supposons (1), (2) et (3), et soit \(X \to F\) comme en (3). D’après le lemme 03Y2, le morphisme \(X \to F\) est représentable par des espaces algébriques. Ainsi, (a) et (b) sont vérifiées.

Supposons (a) et (b), et soit \(X \to F\) comme en (b). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(X\). D’après le lemme 03Y1, la transformation \(U \to F\) est représentable par des espaces algébriques, surjective et étale. Pour prouver que \(F\) est un espace algébrique, il suffit donc de montrer que \(\Delta_F\) est représentable (Espaces, définition 025Y). Cela résulte immédiatement du lemme 046K. Nous pouvons aussi éviter ce lemme et montrer directement que \(F\) est un espace algébrique, comme dans l’alinéa suivant.

En effet, soient \(U\) un schéma et \(U \to F\) un morphisme représentable par des espaces algébriques, surjectif et étale. Considérons le produit fibré \(R = U \times_F U\). Les deux projections \(R \to U\) sont représentables par des espaces algébriques, surjectives et étales (lemme 046F). En particulier, \(R\) est un espace algébrique d’après le lemme 02YS. Le morphisme d’espaces algébriques \(R \to U \times_S U\) est un monomorphisme, donc il est séparé (puisque la diagonale d’un monomorphisme est un isomorphisme). Comme \(R \to U\) est étale, \(R \to U\) est localement quasi-fini, voir Morphismes d’espaces, lemme 03XU. On en déduit que \(R \to U \times_S U\) est lui aussi localement quasi-fini d’après Morphismes d’espaces, lemme 03XN. Ainsi, Morphismes d’espaces, proposition 03XX s’applique et \(R\) est un schéma. D’après le lemme 04S1, le morphisme \(U \to F\) est un épimorphisme de faisceaux. Ainsi \(F = U/R\). On en conclut que \(F\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW.

Recherche d’ouverts

Commençons par établir un lemme qui améliore et généralise légèrement Espaces, lemme 02WU, aux faisceaux quotients associés à des groupoïdes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme. Supposons que

1. le composé \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] a pour image un ouvert \(W \subset U\) ;

2. le morphisme induit \(h : U' \times_{g, U, t} R \to W\) définit un épimorphisme de faisceaux pour la topologie fppf.

Soit \(R' = R|_{U'}\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Alors le morphisme de faisceaux quotients \[U'/R' \to U/R\] pour la topologie fppf est représentable et est une immersion ouverte.

Démonstration

Notons que \(W\) est un sous-schéma ouvert \(R\)-invariant de \(U\). En effet, l’ensemble des points de \(W\) est l’ensemble des points de \(U\) équivalents, au sens de Groupoïdes, lemme 022Q, à un point de \(g(U') \subset U\) (le lemme s’applique puisque \(j : R \to U \times_S U\) est une pré-relation d’équivalence d’après Groupoïdes, lemme 0232). De plus, \(g : U' \to U\) se factorise par \(W\). Soit \(R|_W\) la restriction de \(R\) à \(W\). Il s’ensuit que \(R'\) est aussi la restriction de \(R|_W\) à \(U'\). On peut donc factoriser le morphisme de faisceaux du lemme sous la forme \[U'/R' \longrightarrow W/R|_W \longrightarrow U/R\] D’après Groupoïdes, lemme 02VH, la première flèche est un isomorphisme de faisceaux. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(g\) est l’immersion d’un ouvert \(R\)-invariant dans \(U\).

Supposons que \(U' \subset U\) soit un ouvert \(R\)-invariant et que \(g\) soit le morphisme d’inclusion. Posons \(F = U/R\) et \(F' = U'/R'\). D’après Groupoïdes, lemme 045Z ou 02VH, le morphisme \(F' \to F\) est injectif. Soit \(\xi \in F(T)\). Il faut montrer que \(T \times_{\xi, F} F'\) est représentable par un sous-schéma ouvert de \(T\). Il existe un recouvrement fppf \(\{f_i : T_i \to T\}\) tel que \(\xi|_{T_i}\) soit l’image par \(U \to U/R\) d’un morphisme \(a_i : T_i \to U\). Posons \(V_i = a_i^{-1}(U')\). Affirmons que \(V_i \times_T T_j = T_i \times_T V_j\) comme sous-schémas ouverts de \(T_i \times_T T_j\).

Comme \(a_i \circ \text{pr}_0\) et \(a_j \circ \text{pr}_1\) sont des morphismes \(T_i \times_T T_j \to U\) ayant tous deux pour image la section \(\xi|_{T_i \times_T T_j} \in F(T_i \times_T T_j)\), il existe un recouvrement fppf \(\{f_{ijk} : T_{ijk} \to T_i \times_T T_j\}\) et des morphismes \(r_{ijk} : T_{ijk} \to R\) tels que \[a_i \circ \text{pr}_0 \circ f_{ijk} = s \circ r_{ijk}, \quad a_j \circ \text{pr}_1 \circ f_{ijk} = t \circ r_{ijk},\] voir Groupoïdes, lemme 045Y. Puisque \(U'\) est \(R\)-invariant, on a \(s^{-1}(U') = t^{-1}(U')\), donc \(f_{ijk}^{-1}(V_i \times_T T_j) = f_{ijk}^{-1}(T_i \times_T V_j)\). Comme \(\{f_{ijk}\}\) est surjectif, l’affirmation précédente en résulte. Ainsi, d’après Descente, lemme 03N0, il existe un sous-schéma ouvert \(V \subset T\) tel que \(f_i^{-1}(V) = V_i\). Affirmons que \(V\) représente \(T \times_{\xi, F} F'\).

Dans un premier temps, montrons que \(\xi|_V\) appartient à \(F'(V) \subset F(V)\). En effet, la famille de morphismes \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement fppf et, par construction, \(\xi|_{V_i} \in F'(V_i)\). La propriété de faisceau de \(F'\) donne donc \(\xi|_V \in F'(V)\). Enfin, soient \(T' \to T\) un morphisme de schémas et \(\xi|_{T'} \in F'(T')\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que \(T' \to T\) se factorise par \(V\). Il existe un recouvrement fppf \(\{T'_j \to T'\}_{j \in J}\) et des morphismes \(b_j : T'_j \to U'\) tels que \(\xi|_{T'_j}\) soit l’image par \(U' \to U/R\) de \(b_j\). Il suffit manifestement de montrer que les composés \(T'_j \to T\) se factorisent par \(V\). Nous pouvons donc supposer que \(\xi|_{T'}\) est l’image d’un morphisme \(b : T' \to U'\). Il suffit alors de montrer que \(T'\times_T T_i \to T_i\) se factorise par \(V_i\). Sur le schéma \(T' \times_T T_i\), la restriction de \(\xi\) est l’image de deux éléments de \((U/R)(T' \times_T T_i)\), à savoir \(a_i \circ \text{pr}_1\) et \(b \circ \text{pr}_0\), dont le second se factorise par l’ouvert \(R\)-invariant \(U'\). Ainsi, d’après Groupoïdes, lemme 045Y, il existe un recouvrement \(\{h_k : Z_k \to T' \times_T T_i\}\) et des morphismes \(r_k : Z_k \to R\) tels que \(a_i \circ \text{pr}_1 \circ h_k = s \circ r_k\) et \(b \circ \text{pr}_0 \circ h_k = t \circ r_k\). Comme \(U'\) est un ouvert \(R\)-invariant et que l’image de \(b\) est contenue dans \(U'\), l’image de chaque \(a_i \circ \text{pr}_1 \circ h_k\) est contenue dans \(U'\). Il s’ensuit que l’image de \(T' \times_T T_i \to T_i\) est contenue dans \(V_i\), par définition de \(V_i\), ce qui achève la démonstration.

Découpage des relations d’équivalence

Dans cette section, nous expliquons comment « améliorer » une relation d’équivalence donnée en la découpant. Il ne s’agit pas du type de « découpage étale » auquel on pourrait être habitué, mais d’un découpage beaucoup plus grossier.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence sur des schémas au-dessus de \(S\). Supposons que \(s, t : R \to U\) soient plats et localement de présentation finie. Alors il existe une relation d’équivalence \(j' : R' \to U'\times_S U'\) sur des schémas au-dessus de \(S\), et un isomorphisme \[U'/R' \longrightarrow U/R\] induit par un morphisme \(U' \to U\) qui envoie \(R'\) dans \(R\), tel que \(s', t' : R \to U\) soient plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis.

Démonstration

Nous démontrerons ce lemme en plusieurs étapes. Nous utiliserons sans plus le mentionner le fait qu’une relation d’équivalence donne lieu à un schéma en groupoïdes et que la restriction d’une relation d’équivalence est encore une relation d’équivalence, voir Groupoïdes, lemmes 02V8, 0233, et 02VD.

Étape 1 : nous pouvons supposer que \(s, t : R \to U\) sont des morphismes localement de présentation finie et de Cohen–Macaulay. En effet, comme dans Compléments sur les groupoïdes, lemme 0460, soit \(g : U' \to U\) le sous-schéma ouvert tel que \(t^{-1}(U') \subset R\) soit l’ouvert maximal au-dessus duquel \(s : R \to U\) est de Cohen–Macaulay, et notons \(R'\) la restriction de \(R\) à \(U'\). D’après le lemme cité, le morphisme \[\xymatrix{ t^{-1}(U') \ar@{=}[r] & U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] est surjectif. Comme \(h\) est plat et localement de présentation finie, \(\{h\}\) est un recouvrement fppf. Ainsi, d’après Groupoïdes, lemme 02VH, \(U'/R' \to U/R\) est un isomorphisme. Par construction de \(U'\), \(s', t'\) sont de Cohen–Macaulay et localement de présentation finie.

Étape 2. Supposons \(s, t\) de Cohen–Macaulay et localement de présentation finie. Soit \(u \in U\) un point de type fini. D’après Compléments sur les groupoïdes, lemme 04N0, il existe un schéma affine \(U'\) et un morphisme \(g : U' \to U\) tels que

1. \(g\) est une immersion ;

2. \(u \in U'\) ;

3. \(g\) est localement de présentation finie ;

4. \(h\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini ;

5. les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis.

Nous avons utilisé ici les notations introduites dans Compléments sur les groupoïdes, situation 04MY.

Étape 3. Pour chaque point \(u \in U\) de type fini, choisissons \(g_u : U'_u \to U\) comme à l’étape 2 et notons \(R'_u\) la restriction de \(R\) à \(U'_u\). Notons \(h_u = s \circ \text{pr}_1 : U'_u \times_{g_u, U, t} R \to U\). Posons \(U' = \coprod_{u \in U} U'_u\) et \(g = \coprod g_u\). Soit \(R'\) la restriction de \(R\) à \(U'\) comme ci-dessus. Affirmons que le couple \((U', g)\) convient². Notons que \[\begin{align*} R' = & \coprod\nolimits_{u_1, u_2 \in U} (U'_{u_1} \times_{g_{u_1}, U, t} R) \times_R (R \times_{s, U, g_{u_2}} U'_{u_2}) \\ = & \coprod\nolimits_{u_1, u_2 \in U} (U'_{u_1} \times_{g_{u_1}, U, t} R) \times_{h_{u_1}, U, g_{u_2}} U'_{u_2} \end{align*}\] Ainsi, la projection \(s' : R' \to U' = \coprod U'_{u_2}\) est plate, localement de présentation finie et localement quasi-finie, car elle est un changement de base de \(\coprod h_{u_1}\). Enfin, par construction, le morphisme \(h : U' \times_{g, U, t} R \to U\) est égal à \(\coprod h_u\) ; son image contient donc tous les points de type fini de \(U\). Comme chaque \(h_u\) est plat et localement de présentation finie, on en déduit que \(h\) est plat et localement de présentation finie. En particulier, l’image de \(h\) est ouverte (voir Morphismes, lemme 01UA) et, puisque l’ensemble des points de type fini est dense (voir Morphismes, lemme 02J4), on en conclut que l’image de \(h\) est \(U\). Il s’ensuit que \(\{h\}\) est un recouvrement fppf. D’après Groupoïdes, lemme 02VH, cela signifie que \(U'/R' \to U/R\) est un isomorphisme. La démonstration du lemme est achevée.

Quotient par un sous-groupoïde

Il nous faut encore un lemme avant de pouvoir effectuer l’amorçage final. Examinons d’abord ce qui se passe pour les groupoïdes « ordinaires », avant d’aborder la version schématique.

Soit \(\mathcal{C}\) un groupoïde, voir Catégories, définition 0018. Comme expliqué dans Groupoïdes, section 0230, il correspond à un quintuple \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c)\). Supposons donné un sous-ensemble \(P \subset \text{Arrows}\) tel que \((\text{Ob}, P, s|_P, t|_P, c|_P)\) soit lui aussi un groupoïde et que \(P\) ne contienne aucun automorphisme non trivial. On peut alors construire le groupoïde quotient \((\overline{\text{Ob}}, \overline{\text{Arrows}}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) de la manière suivante :

1. \(\overline{\text{Ob}} = \text{Ob}/P\) est l’ensemble des classes de \(P\)-isomorphie ;

2. \(\overline{\text{Arrows}} = P\backslash \text{Arrows}/P\) est l’ensemble des flèches de \(\mathcal{C}\) modulo précomposition et postcomposition par des flèches de \(P\) ;

3. les applications source et but \(\overline{s}, \overline{t} : P\backslash \text{Arrows}/P \to \text{Ob}/P\) sont induites par \(s, t\) ;

4. la composition est définie par la règle \(\overline{c}(\overline{a}, \overline{b}) = \overline{c(a, b)}\), qui est bien définie.

En fait, le groupoïde initial \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c)\) est canoniquement isomorphe à la restriction (voir la discussion dans Groupoïdes, section 02VA) du groupoïde \((\overline{\text{Ob}}, \overline{\text{Arrows}}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) par l’application quotient \(g : \text{Ob} \to \overline{\text{Ob}}\). Rappelons que cela signifie que \[\text{Arrows} = \text{Ob} \times_{g, \overline{\text{Ob}}, \overline{t}} \overline{\text{Arrows}} \times_{\overline{s}, \overline{\text{Ob}}, g} \text{Ob}\] ce qui est vrai puisque \(P\) ne possède aucun automorphisme non trivial. Nous omettons les détails.

Le lemme suivant vaut dans une généralité bien plus grande, mais c’est la version que nous utiliserons dans la démonstration de l’amorçage final (après quoi nous pourrons démontrer plus facilement les versions plus générales de ce lemme).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(P \to R\) un monomorphisme de schémas. Supposons que

1. \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t}P})\) soit un schéma en groupoïdes ;

2. \(s|_P, t|_P : P \to U\) soient finis localement libres ;

3. \(j|_P : P \to U \times_S U\) soit un monomorphisme ;

4. \(U\) soit affine ;

5. \(j : R \to U \times_S U\) soit séparé et localement quasi-fini.

Alors \(U/P\) est représentable par un schéma affine \(\overline{U}\), le morphisme quotient \(U \to \overline{U}\) est fini localement libre et \(P = U \times_{\overline{U}} U\). De plus, \(R\) est la restriction d’un schéma en groupoïdes \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) sur \(\overline{U}\) par le morphisme quotient \(U \to \overline{U}\).

Démonstration

Les conditions (1), (2), (3) et (4), ainsi que Groupoïdes, proposition 03BM, impliquent l’existence du schéma affine \(\overline{U}\) représentant \(U/P\) ; le morphisme \(U \to \overline{U}\) est fini localement libre et \(P = U \times_{\overline{U}} U\). L’identification \(P = U \times_{\overline{U}} U\) est telle que \(t|_P = \text{pr}_0\) et \(s|_P = \text{pr}_1\), et que la composition est égale à \(\text{pr}_{02} : U \times_{\overline{U}} U \times_{\overline{U}} U \to U \times_{\overline{U}} U\). Un produit de morphismes finis localement libres est fini localement libre (voir Espaces, lemme 02WM et Morphismes, lemmes 02KD et 02KC). Pour obtenir \(\overline{R}\), nous allons descendre le schéma \(R\) par le morphisme fini localement libre \(U \times_S U \to \overline{U} \times_S \overline{U}\). Notons en effet que \[(U \times_S U) \times_{(\overline{U} \times_S \overline{U})} (U \times_S U) = P \times_S P\] d’après ce qui précède. Ainsi, se donner une donnée de descente (voir Descente, définition 023V) pour \(R / U \times_S U / \overline{U} \times_S \overline{U}\) revient à se donner un isomorphisme \[\varphi : R \times_{(U \times_S U), t \times t} (P \times_S P) \longrightarrow (P \times_S P) \times_{s \times s, (U \times_S U)} R\] au-dessus de \(P \times_S P\) satisfaisant à une condition de cocycle. Nous définissons \(\varphi\) sur les points à valeurs dans \(T\) par la règle \[\varphi : (r, (p, p')) \longmapsto ((p, p'), p^{-1} \circ r \circ p')\] où la composition est prise dans la catégorie groupoïde \((U(T), R(T), s, t, c)\). Cela a un sens, car pour que \((r, (p, p'))\) soit un point à valeurs dans \(T\) de la source de \(\varphi\), il faut que \(t(r) = t(p)\) et \(s(r) = t(p')\). Notons que ce morphisme est un isomorphisme dont l’inverse est donné par \(((p, p'), r') \mapsto (p \circ r' \circ (p')^{-1}, (p, p'))\). Pour vérifier la condition de cocycle, il faut établir que \(\varphi_{02} = \varphi_{12} \circ \varphi_{01}\) comme morphismes au-dessus de \[(U \times_S U) \times_{(\overline{U} \times_S \overline{U})} (U \times_S U) \times_{(\overline{U} \times_S \overline{U})} (U \times_S U) = (P \times_S P) \times_{s \times s, (U \times_S U), t \times t} (P \times_S P)\] Un calcul explicite donne \[\begin{matrix} \varphi_{02} & (r, (p_1, p_1'), (p_2, p_2')) & \mapsto & ((p_1, p_1'), (p_2, p_2'), (p_1 \circ p_2)^{-1} \circ r \circ (p_1' \circ p_2')) \\ \varphi_{01} & (r, (p_1, p_1'), (p_2, p_2')) & \mapsto & ((p_1, p_1'), p_1^{-1} \circ r \circ p_1', (p_2, p_2')) \\ \varphi_{12} & ((p_1, p_1'), r, (p_2, p_2')) & \mapsto & ((p_1, p_1'), (p_2, p_2'), p_2^{-1} \circ r \circ p_2') \end{matrix}\] (avec des notations évidentes), ce qui donne le résultat voulu. Comme \(j\) est séparé et localement quasi-fini d’après (5), nous pouvons appliquer Compléments sur les morphismes, lemme 02W8 pour obtenir un schéma \(\overline{R} \to \overline{U} \times_S \overline{U}\) et un isomorphisme \[R \to \overline{R} \times_{(\overline{U} \times_S \overline{U})} (U \times_S U)\] qui identifie la donnée de descente \(\varphi\) à la donnée de descente canonique sur \(\overline{R} \times_{(\overline{U} \times_S \overline{U})} (U \times_S U)\), voir Descente, définition 023Z.

Comme \(U \times_S U \to \overline{U} \times_S \overline{U}\) est fini localement libre, on en déduit que \(R \to \overline{R}\) est fini localement libre comme changement de base. Ainsi, \(R \to \overline{R}\) est surjectif comme morphisme de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Notre choix de \(\varphi\) implique que, pour des points à valeurs dans \(T\), \(r, r' \in R(T)\), ceux-ci ont la même image dans \(\overline{R}\) si et seulement si \(p^{-1} \circ r \circ p'\) pour certains \(p, p' \in P(T)\). Ainsi, \(\overline{R}\) représente le faisceau \[T \longmapsto \overline{R(T)} = P(T)\backslash R(T)/P(T)\] avec les notations de la discussion précédant le lemme. Nous pouvons donc définir la structure de groupoïde sur \((\overline{U} = U/P, \overline{R} = P\backslash R/P)\) exactement comme dans la discussion du cas d’un groupoïde « ordinaire ». Il s’ensuit que \((U, R, s, t, c)\) est l’image inverse de cette structure de groupoïde par le morphisme \(U \to \overline{U}\). Cela achève la démonstration.

Amorçage final

Le résultat suivant va nettement plus loin que les précédents.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Chacune des conditions suivantes implique que \(F\) est un espace algébrique :

1. \(F = U/R\), où \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\) tel que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie, et \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence ;

2. \(F = U/R\), où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\) tel que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie, et \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence ;

3. \(F\) est un faisceau et il existe un espace algébrique \(U\) et un morphisme \(U \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie ;

4. \(F\) est un faisceau et il existe un schéma \(U\) et un morphisme \(U \to F\) représentable par des espaces algébriques ou par des schémas, surjectif, plat et localement de présentation finie ;

5. \(F\) est un faisceau, \(\Delta_F\) est représentable par des espaces algébriques, et il existe un espace algébrique \(U\) et un morphisme \(U \to F\) surjectif, plat et localement de présentation finie ;

6. \(F\) est un faisceau, \(\Delta_F\) est représentable, et il existe un schéma \(U\) et un morphisme \(U \to F\) surjectif, plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Observations immédiates : (6) est un cas particulier de (5) et (4) est un cas particulier de (3). Montrons d’abord que les cas (5) et (3) se ramènent au cas (1). En effet, le lemme d’amorçage de la diagonale 046K montre que (3) implique (5). Dans le cas (5), posons \(R = U \times_F U\) ; c’est un espace algébrique par hypothèse. De plus, toujours par hypothèse, les deux projections \(s, t : R \to U\) sont surjectives, plates et localement de présentation finie. Le morphisme \(j : R \to U \times_S U\) est manifestement une relation d’équivalence. D’après le lemme 04S1, le morphisme \(U \to F\) est un épimorphisme de faisceaux. Ainsi \(F = U/R\), ce qui nous ramène au cas (1).

Montrons ensuite que (1) se ramène à (2). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\) tel que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie, et que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence. Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to U\). Soit \(R' = R|_{U'}\) la restriction de \(R\) à \(U'\). D’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046P, on a \(U/R = U'/R'\). Comme \(s', t' : R' \to U'\) sont eux aussi plats et localement de présentation finie (voir Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 04RP), nous sommes ramenés au cas où \(U\) est un schéma. Puisque \(j\) est une relation d’équivalence, \(j\) est un monomorphisme. Comme \(s : R \to U\) est localement de présentation finie, \(j : R \to U \times_S U\) est localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, lemme 0462. D’après Morphismes d’espaces, lemme 0463 \(j\) est localement quasi-fini et séparé. Ainsi, si \(U\) est un schéma, alors \(R\) est un schéma d’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX. Nous sommes donc ramenés à démontrer le théorème dans le cas (2).

Supposons \(F = U/R\), où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\) tel que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie, et que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence. D’après le lemme 0489, nous sommes ramenés au cas où \(s, t\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis. Soit \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert affine (où l’ensemble d’indices \(I\) est de cardinal \(\leq\) à la taille de \(U\), afin d’éviter plus loin des problèmes ensemblistes — la plupart des lecteurs peuvent ignorer cette remarque). Soit \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\) la restriction de \(R\) à \(U_i\). Il est clair que \(s_i, t_i\) restent plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, puisque \(R_i\) est le sous-schéma ouvert \(s^{-1}(U_i) \cap t^{-1}(U_i)\) de \(R\) et que \(s_i, t_i\) sont les restrictions de \(s, t\) à cet ouvert. D’après le lemme 046M (ou, plus simplement, Espaces, lemme 02WU), le morphisme \(U_i/R_i \to U/R\) est représentable par des immersions ouvertes. Ainsi, si l’on peut montrer que \(F_i = U_i/R_i\) est un espace algébrique, alors \(\coprod_{i \in I} F_i\) est un espace algébrique d’après Espaces, lemme 02WQ. Comme \(U = \bigcup U_i\) est un recouvrement ouvert, il est clair que \(\coprod F_i \to F\) est surjectif. Il s’ensuit que \(U/R\) est un espace algébrique, d’après Espaces, lemme 02WR. Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(U\) est affine, \(s, t\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, et où \(j\) est une relation d’équivalence.

Supposons que \((U, R, s, t, c)\) soit un schéma en groupoïdes sur \(S\), avec \(U\) affine, tel que \(s, t\) soient plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, et que \(j\) soit une relation d’équivalence. Choisissons \(u \in U\). Appliquons Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 04S0, à \(u \in U, R, s, t, c\). On obtient un schéma affine \(U'\), un morphisme étale \(g : U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) tel que \(\kappa(u) = \kappa(u')\) et que la restriction \(R' = R|_{U'}\) soit quasi-scindée au-dessus de \(u'\). Notons que l’image \(g(U')\) est ouverte, puisque \(g\) est étale, et qu’elle contient \(u\). En appliquant le lemme à plusieurs reprises, on peut donc trouver un nombre fini de points \(u_i \in U\), \(i = 1, \ldots, n\), de schémas affines \(U'_i\), de morphismes étales \(g_i : U_i' \to U\) et de points \(u'_i \in U'_i\) tels que \(g(u'_i) = u_i\), avec (a) chaque restriction \(R'_i\) quasi-scindée au-dessus d’un point de \(U'_i\), et (b) \(U = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} g_i(U'_i)\). Reprenons maintenant la dernière partie de l’argument de l’alinéa précédent : d’après le lemme 046M (ou, plus simplement, Espaces, lemme 02WU), le morphisme \(U'_i/R'_i \to U/R\) est représentable par des immersions ouvertes. Si l’on peut montrer que \(F_i = U'_i/R'_i\) est un espace algébrique, alors \(\coprod_{i \in I} F_i\) est un espace algébrique d’après Espaces, lemme 02WQ. Comme \(\{g_i : U'_i \to U\}\) est un recouvrement étale, il est clair que \(\coprod F_i \to F\) est surjectif. Il s’ensuit que \(U/R\) est un espace algébrique, d’après Espaces, lemme 02WR. Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(U\) est affine, \(s, t\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, \(j\) est une relation d’équivalence et \(R\) est quasi-scindé au-dessus de \(u\) pour un certain \(u \in U\).

Supposons que \((U, R, s, t, c)\) soit un schéma en groupoïdes sur \(S\), avec \(U\) affine et \(u \in U\), tel que \(s, t\) soient plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence et que \(R\) soit quasi-scindé au-dessus de \(u\). Soit \(P \subset R\) un quasi-scindage de \(R\) au-dessus de \(u\). D’après le lemme 04S4, \((U, R, s, t, c)\) est la restriction d’un groupoïde \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) par un morphisme fini localement libre surjectif \(U \to \overline{U}\) tel que \(P = U \times_{\overline{U}} U\). Notons que \(s\) admet la factorisation \[R = U \times_{\overline{U}, \overline{t}} \overline{R} \times_{\overline{s}, \overline{U}} U \xrightarrow{\text{pr}_{23}} \overline{R} \times_{\overline{s}, \overline{U}} U \xrightarrow{\text{pr}_2} U\] Le morphisme \(\text{pr}_2\) est le changement de base de \(\overline{s}\), et \(\text{pr}_{23}\) est un changement de base du morphisme fini localement libre surjectif \(U \to \overline{U}\). Comme \(s\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, et comme \(\text{pr}_{23}\) est fini localement libre surjectif (comme changement de base d’un tel morphisme), on en déduit que \(\text{pr}_2\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini d’après Descente, lemmes 036K et 036N, ainsi que Morphismes, lemme 0GWS. Comme \(\text{pr}_2\) est le changement de base du morphisme \(\overline{s}\) par \(U \to \overline{U}\) et que \(\{U \to \overline{U}\}\) est un recouvrement fppf, on en conclut que \(\overline{s}\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, voir Descente, lemmes 02L2, 02KY et 02VI. Il en va de même pour \(\overline{t}\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \times_{\overline{U}} U \ar@{=}[r] \ar[rd] & P \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ & \overline{U} \ar[r]^{\overline{e}} & \overline{R} }\] Un fait général sur les restrictions affirme que les quatre sommets extérieurs forment un diagramme cartésien. L’égalité montre que le carré intérieur est cartésien. Comme \(P\) est ouvert dans \(R\) (par définition d’un quasi-scindage), on en conclut que \(\overline{e}\) est une immersion ouverte d’après Descente, lemme 02L3. En appliquant Groupoïdes, lemme 045Z, on obtient \(U/R = \overline{U}/\overline{R}\). Nous sommes donc ramenés au cas où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\), avec \(U\) affine et \(u \in U\), tel que \(s, t\) soient plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence et que \(e : U \to R\) soit une immersion ouverte !

Mais bien entendu, si \(e\) est une immersion ouverte et si \(s, t\) sont plats et localement de présentation finie, alors les morphismes \(t, s\) sont étales. On peut par exemple le voir en appliquant Compléments sur les groupoïdes, lemme 04R9, qui montre que \(\Omega_{R/U} = 0\), ce qui implique à son tour que \(s, t : R \to U\) sont G-non ramifiés (voir Morphismes, lemme 02G5), et implique donc que \(s, t\) sont étales (voir Morphismes, lemme 02GV). Enfin, si \(s, t\) sont étales, alors \(U/R\) est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW.

Applications

Comme première application, nous obtenons le fait fondamental suivant : \[\fbox{Un faisceau qui est localement un espace algébrique pour la topologie fppf est un espace algébrique.}\] C’est le contenu du lemme suivant. Notons que l’hypothèse (2) équivaut à la condition selon laquelle \(F|_{(\Sch/S_i)_{fppf}}\) est un espace algébrique, voir Espaces, lemme 04SH. L’hypothèse (3) est une condition ensembliste que peuvent ignorer ceux qui ne se soucient pas des questions ensemblistes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

1. \(F\) soit un faisceau ;

2. chaque \(F_i = h_{S_i} \times F\) soit un espace algébrique ;

3. \(\coprod_{i \in I} F_i\) soit un espace algébrique (voir Espaces, lemme 02WQ).

Alors \(F\) est un espace algébrique.

Démonstration

Considérons le morphisme \(\coprod F_i \to F\). C’est le changement de base de \(\coprod S_i \to S\) par \(F \to S\). Il est donc représentable, localement de présentation finie, plat et surjectif, d’après notre définition d’un recouvrement fppf et le lemme 046F. Ainsi, le théorème 04S6 s’applique et montre que \(F\) est un espace algébrique.

Voici un cas particulier du lemme 04SK dans lequel les questions ensemblistes ne se posent pas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Soit \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que

1. \(F\) soit un faisceau ;

2. chaque \(F_i = h_{S_i} \times F\) soit un espace algébrique ;

3. les morphismes \(F_i \to S_i\) soient de type fini.

Alors \(F\) est un espace algébrique.

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 04SK ci-dessus. Pour cela, nous montrerons que l’hypothèse selon laquelle \(F_i\) est de type fini sur \(S_i\) entraîne que la condition ensembliste du lemme est satisfaite (quitte à raffiner légèrement le recouvrement donné de \(S\)). Nous suggérons au lecteur de passer la suite de la démonstration.

Si \(S'_i \to S_i\) est un morphisme de schémas, alors \[h_{S'_i} \times F = h_{S'_i} \times_{h_{S_i}} h_{S_i} \times F = h_{S'_i} \times_{h_{S_i}} F_i\] est un espace algébrique de type fini sur \(S'_i\), voir Espaces, lemme 02X2, et Morphismes d’espaces, lemme 03XH. Nous pouvons donc raffiner le recouvrement donné. Après ce raffinement, nous pouvons supposer : (a) chaque \(S_i\) est affine ; (b) le cardinal de \(I\) est au plus le cardinal de l’ensemble des points de \(S\). (En effet, pour recouvrir tout \(S\), il suffit que chaque point appartienne à l’image de \(S_i \to S\) pour un certain \(i\).)

Comme chaque \(S_i\) est affine et chaque \(F_i\) de type fini sur \(S_i\), on en déduit que \(F_i\) est quasi-compact. Ainsi, d’après Propriétés des espaces, lemme 03H6, il existe un \(U_i \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) affine et un morphisme étale surjectif \(U_i \to F_i\). Le fait que \(F_i \to S_i\) soit localement de type fini implique alors que \(U_i \to S_i\) est localement de type fini, et en particulier que \(U_i \to S\) est localement de type fini. D’après Ensembles, lemme 04T7, on a \(\text{size}(U_i) \leq \text{size}(S)\). Comme on a aussi \(|I| \leq \text{size}(S)\), \(\coprod_{i \in I} U_i\) est isomorphe à un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) d’après Ensembles, lemme 000Q, et la construction de \(\Sch\). Il s’ensuit que \(\coprod F_i\) est un espace algébrique d’après Espaces, lemme 02WQ, ce qui conclut.

Comme deuxième application, nous obtenons \[\fbox{Toute donnée de descente fppf pour des espaces algébriques est effective.}\] Cet énoncé vaut sous réserve de difficultés ensemblistes ; nous donnons le lemme suivant comme résultat type.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Si \(I\) est dénombrable³, alors toute donnée de descente d’espaces algébriques relativement à \(\{X_i \to X\}\) est effective.

2. Toute donnée de descente \((Y_i, \varphi_{ij})\) relativement à \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) (Descente sur les espaces, définition 0ADI) pour laquelle \(Y_i \to X_i\) est de type fini est effective.

Démonstration

Démonstration de (1). D’après Descente sur les espaces, lemme 0ADT, cela revient à affirmer qu’un faisceau fppf \(F\) muni d’un morphisme \(F \to X\) est un espace algébrique dès que chaque \(F \times_X X_i\) est un espace algébrique. La restriction sur le cardinal de \(I\) implique que les coproduits d’espaces algébriques indexés par \(I\) sont des espaces algébriques, voir Espaces, lemme 02WQ, et Ensembles, lemme 000R. Le morphisme \[\coprod F \times_X X_i \longrightarrow F\] est représentable par des espaces algébriques (comme changement de base de \(\coprod X_i \to X\), voir le lemme 03Y0), et surjectif, plat et localement de présentation finie (comme changement de base de \(\coprod X_i \to X\), voir le lemme 046F). La partie (1) résulte donc du théorème 04S6.

Démonstration de (2). Appliquons d’abord Descente sur les espaces, lemme 0ADT, pour obtenir un faisceau fppf \(F\) muni d’un morphisme \(F \to X\) tel que \(F \times_X X_i = Y_i\) pour tout \(i \in I\). Il s’agit de montrer que \(F\) est un espace algébrique. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(F' = U \times_X F \to F\) est représentable, surjectif et étale comme changement de base de \(U \to X\). D’après le théorème 04S6, il suffit de montrer que \(F' = U \times_X F\) est un espace algébrique. On peut choisir un recouvrement fppf \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\), où \(U_j\) est un schéma raffinant le recouvrement fppf \(\{X_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\), voir Topologies sur les espaces, lemme 042T. On obtient ainsi une application \(a : J \to I\) et, pour chaque \(j\), un morphisme \(U_j \to X_{a(j)}\) au-dessus de \(X\). Alors \(U_j \times_U F' = U_j \times_{X_{a(j)}} Y_{a(j)}\) est de type fini sur \(U_j\). Par conséquent, \(F'\) est un espace algébrique d’après le lemme 04U0.

Voici une application d’un autre type.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(a : F \to G\) et \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs \((\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Supposons que

1. \(F, G, H\) soient des faisceaux ;

2. \(a : F \to G\) soit représentable par des espaces algébriques, plat, localement de présentation finie et surjectif ;

3. \(b \circ a : F \to H\) soit représentable par des espaces algébriques.

Alors \(b\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma sur \(S\) et soit \(\xi \in H(U)\). Il faut montrer que \(U \times_{\xi, H} G\) est un espace algébrique. Or, nous savons que \(U \times_{\xi, H} F\) est un espace algébrique et que \(U \times_{\xi, H} F \to U \times_{\xi, H} G\) est représentable par des espaces algébriques, plat, localement de présentation finie et surjectif, comme changement de base du morphisme \(a\) (voir le lemme 046F). Le résultat découle donc du théorème 04S6.

Lemme

Supposons que \(B \to S\) et \((U, R, s, t, c)\) soient comme dans Groupoïdes dans les espaces, définition 044Q (1). Pour tout schéma \(T\) sur \(S\) et tous objets \(x, y\) de \([U/R]\) au-dessus de \(T\), le faisceau \(\mathit{Isom}(x, y)\) sur \((\Sch/T)_{fppf}\) est un espace algébrique.

Démonstration

D’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 044W, il existe un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) tel que \(\mathit{Isom}(x, y)|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\) soit un espace algébrique pour chaque \(i\). D’après Espaces, lemme 04SH, cela signifie que chaque \(F_i = h_{S_i} \times \mathit{Isom}(x, y)\) est un espace algébrique. Pour démontrer le lemme, il ne reste donc qu’à vérifier la condition ensembliste du lemme 04SK ci-dessus, à savoir que \(\coprod F_i\) est un espace algébrique. Pour cela, nous utilisons Espaces, lemme 02WQ, qui demande de montrer que \(I\) et les \(F_i\) ne sont pas « trop grands ». Nous suggérons au lecteur de passer la suite de la démonstration.

Choisissons \(U' \in \Ob(\Sch/S)_{fppf}\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to U\). Soit \(R'\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Comme \([U/R] = [U'/R']\), nous pouvons, après avoir remplacé \(U\) par \(U'\), supposer que \(U\) est un schéma. (Cette étape sert à faire en sorte que les produits fibrés ci-dessous soient pris au-dessus d’un schéma.)

Notons que, si l’on raffine le recouvrement \(\{T_i \to T\}\), chaque \(F_i\) reste un espace algébrique. Nous pouvons donc supposer que chaque \(T_i\) est affine. Comme \(T_i \to T\) est localement de présentation finie, il s’ensuit que \(\text{size}(T_i) \leq \text{size}(T)\), voir Ensembles, lemme 04T7. Nous pouvons aussi supposer que le cardinal de l’ensemble d’indices \(I\) est au plus le cardinal de l’ensemble des points de \(T\), car, pour obtenir un recouvrement, il suffit que chaque point de \(T\) appartienne à l’image. Ainsi \(|I| \leq \text{size}(T)\). Choisissons \(W \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(W \to R\). Notons que, dans la démonstration de Groupoïdes dans les espaces, lemme 044W, nous avons montré que \(F_i\) est représenté par \(T_i \times_{(y_i, x_i), U \times_B U} R\) pour certains \(x_i, y_i : T_i \to U\). On voit alors que \(V_i = T_i \times_{(y_i, x_i), U \times_B U} W\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif \(V_i \to F_i\). D’après Ensembles, lemme 04T6, on a \[\text{size}(V_i) \leq \max\{\text{size}(T_i), \text{size}(W)\} \leq \max\{\text{size}(T), \text{size}(W)\}\] Ainsi, d’après Ensembles, lemme 000Q, on en déduit que \[\text{size}(\coprod\nolimits_{i \in I} V_i) \leq \max\{|I|, \text{size}(T), \text{size}(W)\}.\] La construction de \(\Sch\) montre donc que \(\coprod_{i \in I} V_i\) est isomorphe à un objet \(V\) de \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela vérifie l’hypothèse de Espaces, lemme 02WQ, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un espace algébrique \(F\) de la forme \(F = U/R\), où \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\) tel que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie, et que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) soit une relation d’équivalence. Alors \(U \to F\) est surjectif, plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Ce résultat est presque, mais pas tout à fait, immédiat. En effet, d’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046O et puisque \(j\) est un monomorphisme, on a \(R = U \times_F U\). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to F\). Comme \(U \to F\) est un épimorphisme de faisceaux, il existe un recouvrement fppf \(\{W_i \to W\}\) et des morphismes \(W_i \to U\) relevant les morphismes \(W_i \to F\). Alors \[W_i \times_F U = W_i \times_U U \times_F U = W_i \times_{U, t} R\] et la projection \(W_i \times_F U \to W_i\) est le changement de base de \(t : R \to U\), donc elle est plate et localement de présentation finie, voir Morphismes d’espaces, lemmes 03MO et 03XR. Ainsi, d’après Descente sur les espaces, lemmes 041W et 041T on voit que \(U \to F\) est plat et localement de présentation finie. Il est surjectif d’après Espaces, remarque 02YN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\) et soit \(a : G \times_B X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(B\). Si

1. \(a\) est une action libre ;

2. \(G \to B\) est plat et localement de présentation finie,

alors \(X/G\) (voir Groupoïdes dans les espaces, définition 044J) est un espace algébrique, le morphisme \(X \to X/G\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, et \(X\) est un torseur fppf sous \(G\) au-dessus de \(X/G\).

Démonstration

Le fait que \(X/G\) soit un espace algébrique résulte immédiatement du théorème 04S6 et des définitions. En effet, \(X/G = X/R\), où \(R = G \times_B X\). Les morphismes \(s, t : G \times_B X \to X\) sont plats et localement de présentation finie (c’est clair pour \(s\), qui est un changement de base de \(G \to B\), et cela en résulte pour \(t\) par symétrie, en utilisant l’inverse), et le morphisme \(j : G \times_B X \to X \times_B X\) est un monomorphisme d’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 06P9, puisque l’action est libre. Le morphisme \(X \to X/G\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 06PG. Pour voir que \(X \to X/G\) est un torseur fppf sous \(G\) (Groupoïdes dans les espaces, définition 04TY) il faut montrer que \(G \times_S X \to X \times_{X/G} X\) est un isomorphisme et que \(X \to X/G\) admet localement des sections pour la topologie fppf. La seconde assertion résulte des propriétés déjà établies de \(X \to X/G\). Le morphisme \(G \times_S X \to X \times_{X/G} X\) est injectif (comme morphisme de faisceaux fppf), puisque l’action est libre. Enfin, il est aussi surjectif comme morphisme de faisceaux d’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046O. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(S\), et notons \(G_i = G_{S_i}\) ses changements de base. Supposons donnés

1. pour chaque \(i \in I\), un torseur fppf sous \(G_i\), noté \(X_i\), au-dessus de \(S_i\) ;

2. pour chaque \(i, j \in I\), un isomorphisme \(G_{S_i \times_S S_j}\)-équivariant \(\varphi_{ij} : X_i \times_S S_j \to S_i \times_S X_j\) satisfaisant à la condition de cocycle sur chaque \(S_i \times_S S_j \times_S S_j\).

Alors il existe un torseur fppf sous \(G\), noté \(X\), au-dessus de \(S\) dont le changement de base à \(S_i\) est isomorphe à \(X_i\), de telle sorte que l’on retrouve la donnée de descente \(\varphi_{ij}\).

Démonstration

Nous pouvons considérer \(X_i\) comme un faisceau sur \((\Sch/S_i)_{fppf}\), voir Espaces, section 03I3. D’après Sites, section 04TP, la donnée de descente \((X_i, \varphi_{ij})\) est effective au sens où il existe un unique faisceau \(X\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui redonne les espaces algébriques \(X_i\) après restriction à \((\Sch/S_i)_{fppf}\). On a donc \(X_i = h_{S_i} \times X\). D’après le lemme 04SK, \(X\) est un espace algébrique, sous réserve de vérifier que \(\coprod X_i\) est un espace algébrique, ce que nous ferons à la fin de la démonstration. Par l’équivalence de catégories de Sites, lemme 04TS, les morphismes d’action \(G_i \times_{S_i} X_i \to X_i\) se recollent en un morphisme \(a : G \times_S X \to X\). Il faut maintenant montrer que \(a\) est une action, que \(X\) est un pseudo-torseur et qu’il est localement trivial pour la topologie fppf (voir Groupoïdes dans les espaces, définition 04TY). Ces propriétés se vérifient localement pour la topologie fppf et découlent donc des propriétés correspondantes des actions \(G_i \times_{S_i} X_i \to X_i\). Le lemme est ainsi démontré.

Nous suggérons au lecteur de passer la suite de la démonstration, qui est purement ensembliste. Choisissons des recouvrements \(\{S_{ij} \to S_j\}_{j \in J_i}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui trivialisent les torseurs sous \(G_i\) notés \(X_i\) (c’est possible par hypothèse et par Topologies, lemme 03WX, partie (1)). Alors \(\{S_{ij} \to S\}_{i \in I, j \in J_i}\) est un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\) ; nous pouvons donc supposer que chaque \(X_i\) est le torseur trivial ! Bien entendu, nous pouvons encore raffiner le recouvrement ; nous pouvons donc supposer que chaque \(S_i\) est affine et que le cardinal de l’ensemble d’indices \(I\) est borné par le cardinal de l’ensemble des points de \(S\). Choisissons \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et un morphisme étale surjectif \(U \to G\). Alors \(U_i = U \times_S S_i\) est muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X_i \cong G_i\). D’après Ensembles, lemme 04T6, on a \(\text{size}(U_i) \leq \max\{\text{size}(U), \text{size}(S_i)\}\). D’après Ensembles, lemme 04T7, on a \(\text{size}(S_i) \leq \text{size}(S)\). Ainsi, \(\text{size}(U_i) \leq \max\{\text{size}(U), \text{size}(S)\}\) pour tout \(i \in I\). En combinant cela avec la borne sur \(|I|\) obtenue plus haut, Ensembles, lemme 000Q, donne \(\text{size}(\coprod U_i) \leq \max\{\text{size}(U), \text{size}(S)\}\). Par conséquent, Espaces, lemme 02WQ, s’applique et montre que \(\coprod X_i\) est un espace algébrique, comme il fallait le prouver.

Espaces algébriques pour la topologie étale

Soit \(S\) un schéma. Au lieu de travailler avec des faisceaux sur le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\), nous pourrions travailler avec des faisceaux sur le grand site étale \((\Sch/S)_\etale\). Tous les résultats de Espaces algébriques, sections 025U et 02WI ont un sens pour les faisceaux sur \((\Sch/S)_\etale\). On obtient ainsi une seconde notion d’espace algébrique en travaillant pour la topologie étale. Cette notion est a priori plus faible que celle introduite dans Espaces algébriques, définition 025Y, puisqu’un faisceau pour la topologie fppf est assurément un faisceau pour la topologie étale. Les deux notions sont toutefois équivalentes, comme le montre le lemme suivant.

Lemme

La catégorie sous-jacente commune à \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch_\etale\) sera notée \(\Sch_\alpha\) (voir Topologies, remarque 03FF). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_\alpha\). Soit \[F : (\Sch_\alpha/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] un préfaisceau possédant les propriétés suivantes :

1. \(F\) est un faisceau pour la topologie étale ;

2. la diagonale \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable ;

3. il existe \(U \in \Ob(\Sch_\alpha/S)\) et un morphisme \(U \to F\) surjectif et étale.

Alors \(F\) est un espace algébrique au sens de Espaces algébriques, définition 025Y.

Démonstration

Notons que les propriétés (2) et (3) du lemme et les propriétés correspondantes (2) et (3) de Espaces algébriques, définition 025Y, ne dépendent pas de la topologie. En effet, ces propriétés ne font intervenir que la notion de produit fibré de préfaisceaux, les morphismes de préfaisceaux, la notion de transformation représentable de foncteurs et ce que signifie pour une telle transformation d’être surjective et étale. Il ne reste donc qu’à prouver qu’un faisceau étale \(F\) possédant les propriétés (2) et (3) est aussi un faisceau fppf.

Pour cela, posons \(R = U \times_F U\). D’après (2), le préfaisceau \(R\) est représenté par un schéma et, d’après (3), les projections \(R \to U\) sont étales. Ainsi, \(j : R \to U \times_S U\) est une relation d’équivalence étale. De plus, \(U \to F\) identifie \(F\) au quotient de \(U\) par \(R\) pour la topologie étale : (a) si \(T \to F\) est un morphisme, alors \(\{T \times_F U \to T\}\) est un recouvrement étale, donc \(U \to F\) est un épimorphisme de faisceaux pour la topologie étale ; (b) si \(a, b : T \to U\) ont pour image la même section de \(F\), alors \((a, b) : T \to R\), donc \(a\) et \(b\) ont la même image dans le quotient de \(U\) par \(R\) pour la topologie étale. Notons ensuite \(U/R\) le faisceau quotient pour la topologie fppf ; c’est un espace algébrique d’après Espaces, théorème 02WW. Nous avons donc des morphismes (transformations de foncteurs) \[U \to F \to U/R.\] D’après le théorème 02WW d’Espaces cité plus haut, le composé est représentable, surjectif et étale. Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to U/R\), le produit fibré \(V = T \times_{U/R} U\) est un schéma étale et surjectif sur \(T\). Autrement dit, \(\{V \to U\}\) est un recouvrement étale. Cela prouve que \(U \to U/R\) est surjectif comme morphisme de faisceaux pour la topologie étale. Il s’ensuit que \(F \to U/R\) est surjectif comme morphisme de faisceaux pour la topologie étale. D’autre part, le morphisme \(F \to U/R\) est injectif (comme morphisme de préfaisceaux), puisque \(R = U \times_{U/R} U\), de nouveau d’après Espaces, théorème 02WW. Ainsi, \(F \to U/R\) est un isomorphisme de faisceaux étales, voir Sites, lemme 00WN, ce qui achève la démonstration.

Il existe aussi un analogue de Espaces, lemme 0BGQ.

Lemme

La catégorie sous-jacente commune à \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch_\etale\) sera notée \(\Sch_\alpha\) (voir Topologies, remarque 03FF). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_\alpha\). Soit \[F : (\Sch_\alpha/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] un préfaisceau possédant les propriétés suivantes :

1. \(F\) est un faisceau pour la topologie étale ;

2. il existe un espace algébrique \(U\) sur \(S\) et un morphisme \(U \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et étale.

Alors \(F\) est un espace algébrique au sens de Espaces algébriques, définition 025Y.

Démonstration

Posons \(R = U \times_F U\). C’est un espace algébrique puisque \(U \to F\) est supposé représentable par des espaces algébriques. Les projections \(s, t : R \to U\) sont des morphismes étales d’espaces algébriques puisque \(U \to F\) est supposé étale. Le morphisme \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) est un monomorphisme et une relation d’équivalence puisque \(R = U \times_F U\). D’après le théorème 04S6, le faisceau quotient fppf \(F' = U/R\) est un espace algébrique. Le morphisme \(U \to F'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 06PG. Le morphisme \(R \to U \times_{F'} U\) est surjectif comme morphisme de faisceaux fppf d’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046O et, puisque \(j\) est un monomorphisme, c’est un isomorphisme. Ainsi, le changement de base de \(U \to F'\) par \(U \to F'\) est étale, et l’on en déduit que \(U \to F'\) est étale d’après Descente sur les espaces, lemme 042B. Le morphisme \(U \to F'\) est donc surjectif comme morphisme de faisceaux étales. Cela signifie que \(F'\) est égal au faisceau quotient \(U/R\) pour la topologie étale (petite vérification omise). On obtient donc une factorisation canonique \(U \to F' \to F\), et \(F' \to F\) est un morphisme injectif de faisceaux. D’autre part, \(U \to F\) est surjectif comme morphisme de faisceaux étales, et il en va donc de même de \(F' \to F\). Ainsi \(F' = F\), ce qui achève la démonstration.

En fait, il suffit de disposer d’un recouvrement lisse par un schéma et de supposer que la diagonale est représentable par des espaces algébriques.

Lemme

La catégorie sous-jacente commune à \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch_\etale\) sera notée \(\Sch_\alpha\) (voir Topologies, remarque 03FF). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_\alpha\). Soit \[F : (\Sch_\alpha/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] un préfaisceau possédant les propriétés suivantes :

1. \(F\) est un faisceau pour la topologie étale ;

2. la diagonale \(\Delta : F \to F \times F\) est représentable par des espaces algébriques ;

3. il existe \(U \in \Ob(\Sch_\alpha/S)\) et un morphisme \(U \to F\) surjectif et lisse.

Alors \(F\) est un espace algébrique au sens de Espaces algébriques, définition 025Y.

Démonstration

La démonstration suit celle du lemme 076M. Posons \(R = U \times_F U\). D’après (2), le préfaisceau \(R\) est un espace algébrique et, d’après (3), les projections \(R \to U\) sont lisses et surjectives. Notons \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde associé à la relation d’équivalence \(j : R \to U \times_S U\) (voir Groupoïdes dans les espaces, lemme 043Y). D’après le théorème 04S6, \(X = U/R\) (quotient pour la topologie fppf) est un espace algébrique. Comme la topologie lisse et la topologie étale ont les mêmes faisceaux (d’après Compléments sur les morphismes, lemme 055V), le morphisme \(U \to F\) identifie \(F\) au quotient de \(U\) par \(R\) pour la topologie lisse (détails omis). Nous avons donc des morphismes (transformations de foncteurs) \[U \to F \to X.\] D’après le lemme 06PG, \(U \to X\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. D’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046O (et puisque \(j\) est un monomorphisme), on a \(R = U \times_X U\). D’après Descente sur les espaces, lemme 0429, on en déduit que \(U \to X\) est lisse et surjectif (puisque les projections \(R \to U\) sont lisses et surjectives et que \(\{U \to X\}\) est un recouvrement fppf). Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to X\), le produit fibré \(T \times_X U\) est un espace algébrique lisse et surjectif sur \(T\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to T \times_X U\). Alors \(\{V \to T\}\) est un recouvrement lisse tel que \(V \to T \to X\) se relève en un morphisme \(V \to U\). Cela prouve que \(U \to X\) est surjectif comme morphisme de faisceaux pour la topologie lisse. Il s’ensuit que \(F \to X\) est surjectif comme morphisme de faisceaux pour la topologie lisse. D’autre part, le morphisme \(F \to X\) est injectif (comme morphisme de préfaisceaux), puisque \(R = U \times_X U\). Ainsi, \(F \to X\) est un isomorphisme de faisceaux lisses (\(=\) étales), voir Sites, lemme 00WN, ce qui achève la démonstration.

Enfin, voici l’analogue de Espaces, lemme 0BGQ, où l’espace est recouvert par un morphisme lisse.

Lemme

La catégorie sous-jacente commune à \(\Sch_{fppf}\) et \(\Sch_\etale\) sera notée \(\Sch_\alpha\) (voir Topologies, remarque 03FF). Soit \(S\) un objet de \(\Sch_\alpha\). Soit \[F : (\Sch_\alpha/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] un préfaisceau possédant les propriétés suivantes :

1. \(F\) est un faisceau pour la topologie étale ;

2. il existe un espace algébrique \(U\) sur \(S\) et un morphisme \(U \to F\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse.

Alors \(F\) est un espace algébrique au sens de Espaces algébriques, définition 025Y.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0BH4. Posons \(R = U \times_F U\). C’est un espace algébrique puisque \(U \to F\) est supposé représentable par des espaces algébriques. Les projections \(s, t : R \to U\) sont des morphismes lisses d’espaces algébriques puisque \(U \to F\) est supposé lisse. Le morphisme \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) est un monomorphisme et une relation d’équivalence puisque \(R = U \times_F U\). D’après le théorème 04S6, le faisceau quotient fppf \(F' = U/R\) est un espace algébrique. Le morphisme \(U \to F'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 06PG. Le morphisme \(R \to U \times_{F'} U\) est surjectif comme morphisme de faisceaux fppf d’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 046O et, puisque \(j\) est un monomorphisme, c’est un isomorphisme. Ainsi, le changement de base de \(U \to F'\) par \(U \to F'\) est lisse, et l’on en déduit que \(U \to F'\) est lisse d’après Descente sur les espaces, lemme 0429. Le morphisme \(U \to F'\) est donc surjectif comme morphisme de faisceaux étales (car la topologie lisse et la topologie étale ont les mêmes faisceaux d’après Compléments sur les morphismes, lemme 055V). Cela signifie que \(F'\) est égal au faisceau quotient \(U/R\) pour la topologie étale (petite vérification omise). On obtient donc une factorisation canonique \(U \to F' \to F\), et \(F' \to F\) est un morphisme injectif de faisceaux. D’autre part, \(U \to F\) est surjectif comme morphisme de faisceaux étales (puisque les topologies lisse et étale ont les mêmes faisceaux), et il en va donc de même de \(F' \to F\). Ainsi \(F' = F\), ce qui achève la démonstration.