Compléments sur les morphismes

Introduction

Dans ce chapitre, nous poursuivons l’étude des propriétés des morphismes de schémas. Une référence fondamentale est [EGA].

Épaississements

La terminologie suivante n’est peut-être pas entièrement usuelle, mais elle est commode.

Définition

Épaississements.

1. On dit qu’un schéma \(X'\) est un épaississement d’un schéma \(X\) si \(X\) est un sous-schéma fermé de \(X'\) et si les espaces topologiques sous-jacents sont égaux.

2. On dit qu’un schéma \(X'\) est un épaississement du premier ordre d’un schéma \(X\) si \(X\) est un sous-schéma fermé de \(X'\) et si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) définissant \(X\) est de carré nul.

3. On dit qu’un schéma \(X'\) est un épaississement d’ordre fini d’un schéma \(X\) si \(X\) est un sous-schéma fermé de \(X'\) et si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) définissant \(X\) est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\).

4. On dit qu’un schéma \(X'\) est un épaississement d’ordre \(n\) d’un schéma \(X\) si \(X\) est un sous-schéma fermé de \(X\) et si \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\), où \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(X\).

5. Étant donnés deux épaississements \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\), un morphisme d’épaississements est un morphisme \(f' : X' \to Y'\) tel que \(f'(X) \subset Y\), c’est-à-dire tel que \(f'|_X\) se factorise par le sous-schéma fermé \(Y\). Dans cette situation, on pose \(f = f'|_X : X \to Y\) et on dit que \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme d’épaississements.

6. Soit \(S\) un schéma. On définit de même les épaississements sur \(S\) et les morphismes d’épaississements sur \(S\). Cela signifie que les schémas \(X, X', Y, Y'\) ci-dessus sont des schémas sur \(S\) et que les morphismes \(X \to X'\), \(Y \to Y'\) et \(f' : X' \to Y'\) sont des morphismes sur \(S\).

Soit \(i_X : X \to X'\) un épaississement. Toute section locale du noyau \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp)\) est localement nilpotente. Cela donne un certain contrôle sur le faisceau structural \(\mathcal{O}_{X'}\), mais, techniquement, la classe des épaississements d’ordre fini \(X \subset X'\) est beaucoup plus facile à manier. En effet, si \(X'\) est un épaississement d’ordre \(n\), on dispose d’une filtration \[0 = \mathcal{I}^{n + 1} \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] et l’on voit que \(X'\) est filtré par des sous-espaces fermés \[X = X_1 \subset X_2 \subset \ldots \subset X_n \subset X_{n + 1} = X'\] tels que chaque paire \(X_i \subset X_{i + 1}\) soit un épaississement du premier ordre sur \(S\). Par de simples raisonnements par récurrence, de nombreux résultats établis pour les épaississements du premier ordre se reformulent en résultats sur les épaississements d’ordre fini.

Les épaississements du premier ordre se décrivent comme suit (voir Modules, lemme 01UP).

Lemme

Soit \(X\) un schéma sur une base \(S\). Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] de faisceaux sur \(X\), où \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) est une surjection de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres et \(\mathcal{I}\) en est le noyau. Si

1. \(\mathcal{I}\) est un idéal de carré nul dans \(\mathcal{A}\) et

2. \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module,

alors \(X' = (X, \mathcal{A})\) est un schéma et \(X \to X'\) est un épaississement du premier ordre sur \(S\). De plus, tout épaississement du premier ordre sur \(S\) est de cette forme.

Démonstration

Il est clair que \(X'\) est un espace localement annelé. Soit \(U = \Spec(B)\) un ouvert affine de \(X\). Posons \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\). Remarquons que, puisque \(H^1(U, \mathcal{I}) = 0\) (voir Cohomologie des schémas, lemme 01XB), l’application \(A \to B\) est surjective. Par hypothèse, le noyau \(I = \mathcal{I}(U)\) est un idéal de carré nul de l’anneau \(A\). D’après Schémas, lemme 01I1, il existe un morphisme canonique d’espaces localement annelés \[(U, \mathcal{A}|_U) \longrightarrow \Spec(A)\] provenant de l’application \(B \to \Gamma(U, \mathcal{A})\). Ce morphisme s’inscrit dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ (U, \mathcal{O}_X|_U) \ar[d] \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ (U, \mathcal{A}|_U) \ar[r] & \Spec(A) }\] et l’on voit donc qu’il est un homéomorphisme sur les espaces topologiques sous-jacents. Pour montrer que c’est un isomorphisme, il suffit donc de vérifier qu’il induit un isomorphisme sur les anneaux locaux. Pour \(u \in U\) correspondant à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\), on obtient un diagramme commutatif de suites exactes courtes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & A_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & B_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_u \ar[r] & \mathcal{A}_u \ar[r] & \mathcal{O}_{X, u} \ar[r] & 0. }\] Les flèches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes, car \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{O}_X\) sont des faisceaux quasi-cohérents. La flèche du milieu est donc elle aussi un isomorphisme. Ainsi, tout point de \(X' = (X, \mathcal{A})\) possède un voisinage affine et \(X'\) est un schéma, comme voulu.

Lemme

Tout épaississement d’un schéma affine est affine.

Démonstration

C’est un cas particulier de Limites, proposition 05YU.

Démonstration

Supposons que \(X \subset X'\) soit un épaississement d’ordre fini avec \(X\) affine. On peut alors appliquer le critère de Serre pour prouver que \(X'\) est affine. Plus précisément, on utilisera Cohomologie des schémas, lemme 01XF. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent. Il suffit de montrer que \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\). Notons \(i : X \to X'\) l’immersion fermée donnée et posons \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X)\). D’après la discussion des épaississements d’ordre fini (qui suit la définition 04EX), il existe un entier \(n \geq 0\) et une filtration \[0 = \mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}\] par des sous-modules quasi-cohérents tels que \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}\) soit annulé par \(\mathcal{I}\). On peut en effet prendre \(\mathcal{F}_a = \mathcal{I}^a\mathcal{F}\). Alors \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1} = i_*\mathcal{G}_a\) pour un certain \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}_a\), voir Morphismes, lemme 01QY. On obtient \[H^1(X', \mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}) = H^1(X', i_*\mathcal{G}_a) = H^1(X, \mathcal{G}_a) = 0\] La deuxième égalité résulte de Cohomologie des schémas, lemme 089W, et la dernière de Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Ainsi, \(\mathcal{F}\) possède une filtration finie dont les quotients successifs ont leur premier groupe de cohomologie nul ; un simple raisonnement par récurrence montre donc que \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\).

Lemme

Soit \(S \subset S'\) un épaississement de schémas. Soit \(X' \to S'\) un morphisme et posons \(X = S \times_{S'} X'\). Alors \((X \subset X') \to (S \subset S')\) est un morphisme d’épaississements. Si \(S \subset S'\) est un épaississement du premier ordre (resp. d’ordre fini), alors \(X \subset X'\) est un épaississement du premier ordre (resp. d’ordre fini).

Démonstration

Omise.

Lemme

Si \(S \subset S'\) et \(S' \subset S''\) sont des épaississements, alors \(S \subset S''\) en est un également.

Démonstration

Omise.

Lemme

La propriété d’être un épaississement est locale pour la topologie fpqc. Il en va de même pour les épaississements du premier ordre.

Démonstration

L’énoncé signifie ceci : soit \(X \to X'\) un morphisme de schémas et soit \(\{g_i : X'_i \to X'\}\) un recouvrement fpqc tel que le changement de base \(X_i \to X'_i\) soit un épaississement pour tout \(i\). Alors \(X \to X'\) est un épaississement. Puisque les morphismes \(g_i\) sont conjointement surjectifs, on en déduit que \(X \to X'\) est surjectif. D’après Descente, lemme 02L6, on en déduit que \(X \to X'\) est une immersion fermée. Ainsi, \(X \to X'\) est un épaississement. On omet la démonstration dans le cas des épaississements du premier ordre.

Morphismes d’épaississements

Si \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme d’épaississements de schémas, alors les propriétés du morphisme \(f\) se transmettent souvent à \(f'\). Il existe plusieurs variantes.

Lemme

Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) un morphisme d’épaississements. Alors

1. \(f\) est un morphisme affine si et seulement si \(f'\) est un morphisme affine,

2. \(f\) est un morphisme surjectif si et seulement si \(f'\) est un morphisme surjectif,

3. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact,

4. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé,

5. \(f\) est entier si et seulement si \(f'\) est entier,

6. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé,

7. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif,

8. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert,

9. \(f\) est quasi-affine si et seulement si \(f'\) est quasi-affine, et

10. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Remarquons que \(S \to S'\) et \(X \to X'\) sont des homéomorphismes universels (voir par exemple Morphismes, lemme 054M). Cela entraîne immédiatement (2), (3), (4), (7) et (8). Le point (1) résulte du lemme 06AD, qui établit une correspondance biunivoque entre les ouverts affines de \(S\) et de \(S'\), ainsi qu’entre ceux de \(X\) et de \(X'\). Le point (9) résulte de Limites, lemme 0B7L, et de la remarque précédente sur les ouverts affines de \(S\) et de \(S'\). Le point (5) résulte de (1) et (4), d’après Morphismes, lemme 01WM. Enfin, remarquons que

\[S \times_X S = S \times_{X'} S \to S \times_{X'} S' \to S' \times_{X'} S'\] est un épaississement (les deux flèches sont des épaississements d’après le lemme 09ZU). En appliquant (3) et (4) au morphisme \((S \subset S') \to (S \times_X S \to S' \times_{X'} S')\), on obtient donc (6).

Lemme

Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) un morphisme d’épaississements. Soit \(\mathcal{L}'\) un faisceau inversible sur \(X'\) et notons \(\mathcal{L}\) sa restriction à \(X\). Alors \(\mathcal{L}'\) est \(f'\)-ample si et seulement si \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample.

Démonstration

Rappelons que l’amplitude relative se vérifie sur chaque ouvert affine de la base, voir Morphismes, définition 01VH. D’après le lemme 06AD, il existe une correspondance biunivoque entre les ouverts affines de \(S\) et de \(S'\). On peut donc supposer que \(S\) et \(S'\) sont affines, et l’on est ramené à prouver que \(\mathcal{L}'\) est ample si et seulement si \(\mathcal{L}\) est ample. C’est Limites, lemme 09MW.

Lemme

Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) un morphisme d’épaississements tel que \(X = S \times_{S'} X'\). Si \(S \subset S'\) est un épaississement d’ordre fini, alors

1. \(f\) est une immersion fermée si et seulement si \(f'\) est une immersion fermée,

2. \(f\) est localement de type fini si et seulement si \(f'\) est localement de type fini,

3. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini,

4. \(f\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\),

5. \(\Omega_{X/S} = 0\) si et seulement si \(\Omega_{X'/S'} = 0\),

6. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié,

7. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre,

8. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini,

9. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme,

10. \(f\) est une immersion si et seulement si \(f'\) est une immersion, et

11. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Les propriétés \(\mathcal{P}\) énumérées dans le lemme sont toutes stables par changement de base ; si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), il en va donc de même de \(f\). Voir Schémas, lemmes 01JY et 02YC, et Morphismes, lemmes 01T4, 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4 et 01WL.

Dans chaque cas, le sens intéressant consiste donc à supposer que \(f\) possède la propriété et à en déduire que \(f'\) la possède aussi. Par récurrence sur l’ordre de l’épaississement, on peut supposer que \(S \subset S'\) est un épaississement du premier ordre, voir la discussion qui suit immédiatement la définition 04EX.

La plupart des démonstrations utiliseront une réduction au cas affine. Soient \(U' \subset S'\) un ouvert affine et \(V' \subset X'\) un ouvert affine au-dessus de \(U'\). Écrivons \(U' = \Spec(A')\) et notons \(I \subset A'\) l’idéal définissant le sous-schéma fermé \(U' \cap S\). Écrivons \(V' = \Spec(B')\). Alors \(V' \cap X = \Spec(B'/IB')\). En posant \(A = A'/I\) et \(B = B'/IB'\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] dont les lignes sont exactes et où \(I^2 = 0\).

Traduction algébrique de (1) : si \(A \to B\) est surjectif, alors \(A' \to B'\) est surjectif. Cela résulte du lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV).

Traduction algébrique de (2) : si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux de type fini, alors \(A' \to B'\) est de type fini. Cela résulte du lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) appliqué à un homomorphisme \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B'\) tel que \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) soit surjectif.

Démonstration de (3). Elle résulte de (2) et du fait que la quasi-finitude d’un morphisme localement de type fini se vérifie sur les fibres, voir Morphismes, lemme 01TH.

Démonstration de (4). Elle résulte de (2) et du fait que la propriété supplémentaire d’« être de dimension relative \(d\) » se vérifie sur les fibres (par définition, voir Morphismes, définition 02NJ).

Traduction algébrique de (5) : si \(\Omega_{B/A} = 0\), alors \(\Omega_{B'/A'} = 0\). D’après Algèbre, lemme 00RV, on a \(0 = \Omega_{B/A} = \Omega_{B'/A'}/I\Omega_{B'/A'}\). Ainsi, \(\Omega_{B'/A'} = 0\) par le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV).

Traduction algébrique de (6) : si \(A \to B\) est un homomorphisme non ramifié, alors \(A' \to B'\) est non ramifié. Puisque \(A \to B\) est de type fini, on voit que \(A' \to B'\) est de type fini d’après (2). Comme \(A \to B\) est non ramifié, on a \(\Omega_{B/A} = 0\). D’après (5), on a \(\Omega_{B'/A'} = 0\). Ainsi, \(A' \to B'\) est non ramifié.

Démonstration de (7). Elle résulte de la combinaison de (2) avec les résultats du lemme 09ZV et du fait que propre signifie quasi-compact \(+\) séparé \(+\) localement de type fini \(+\) universellement fermé.

Démonstration de (8). Elle résulte de la combinaison de (2) avec les résultats du lemme 09ZV et du fait que fini signifie entier \(+\) localement de type fini (Morphismes, lemme 01WJ).

Démonstration de (9). Puisque \(f\) est un monomorphisme, on a \(X = X \times_S X\). On peut appliquer les résultats déjà démontrés au morphisme d’épaississements \((X \subset X') \to (X \times_S X \subset X' \times_{S'} X')\). On en déduit que \(X' \to X' \times_{S'} X'\) est une immersion fermée d’après (1). En fait, c’est un épaississement du premier ordre, car l’idéal définissant l’immersion fermée \(X' \to X' \times_{S'} X'\) est contenu dans l’image inverse de l’idéal \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{S'}\) définissant \(S\) dans \(S'\). En effet, \(X = X \times_S X = (X' \times_{S'} X') \times_{S'} S\) est contenu dans \(X'\). D’après Morphismes, lemme 08S2, il suffit donc de montrer que \(\Omega_{X'/S'} = 0\), ce qui résulte de (5) et de l’énoncé correspondant pour \(X/S\).

Démonstration de (10). Si \(f : X \to S\) est une immersion, il se factorise en \(X \to U \to S\), où \(U \to S\) est une immersion ouverte et \(X \to U\) une immersion fermée. Soit \(U' \subset S'\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent est celui de \(U\). Alors \(X' \to S'\) se factorise par \(U'\) et l’on en déduit que \(X' \to U'\) est une immersion fermée d’après (1). Cela achève la démonstration.

Le lemme suivant est une variante du précédent. Au lieu de supposer que les épaississements considérés sont d’ordre fini (ce qui permet de transmettre la propriété d’être localement de type fini de \(f\) à \(f'\)), on suppose directement que \(f\) et \(f'\) sont tous deux localement de type fini.

Lemme

Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\) un morphisme d’épaississements. Supposons que \(f\) et \(f'\) soient localement de type fini et que \(X = Y \times_{Y'} X'\). Alors

1. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini,

2. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini,

3. \(f\) est une immersion fermée si et seulement si \(f'\) est une immersion fermée,

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) si et seulement si \(\Omega_{X'/Y'} = 0\),

5. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié,

6. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme,

7. \(f\) est une immersion si et seulement si \(f'\) est une immersion,

8. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, et

9. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Les propriétés \(\mathcal{P}\) énumérées dans le lemme sont toutes stables par changement de base ; si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), il en va donc de même de \(f\). Voir Schémas, lemmes 01JY et 02YC, et Morphismes, lemmes 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4 et 01WL. Dans chaque cas, il suffit donc de prouver que, si \(f\) possède la propriété voulue, \(f'\) la possède aussi.

Un morphisme est localement quasi-fini si et seulement s’il est localement de type fini et si ses fibres schématiques sont des espaces discrets, voir Morphismes, lemme 06RT. Puisque le passage à un épaississement ne modifie pas l’espace topologique sous-jacent, on voit que \(f'\) est localement quasi-fini si (et seulement si) \(f\) l’est. Cela prouve (1).

Le cas (2) résulte du cas (5) du lemme 09ZV et du fait que les morphismes finis sont précisément les morphismes entiers localement de type fini (Morphismes, lemme 01WJ).

Cas (3). Il résulte immédiatement de Morphismes, lemme 0896.

Le cas (4) résulte de l’énoncé algébrique suivant : soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal localement nilpotent. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre de type fini. Si \(\Omega_{(B/IB)/(A/I)} = 0\), alors \(\Omega_{B/A} = 0\). En effet, l’hypothèse signifie que \(I\Omega_{B/A} = 0\), voir Algèbre, lemme 00RV. D’autre part, \(\Omega_{B/A}\) est un \(B\)-module de type fini, voir Algèbre, lemme 00RZ. L’annulation de \(\Omega_{B/A}\) résulte donc du lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) et du fait que \(IB\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(B\).

Le cas (5) résulte immédiatement de (4) et de Morphismes, lemme 02G5.

Démonstration de (6). Puisque \(f\) est un monomorphisme, on a \(X = X \times_Y X\). On peut appliquer les résultats déjà démontrés au morphisme d’épaississements \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\). On en déduit que \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) est une immersion fermée d’après (3). En fait, \(\Delta_{X'/Y'}\) est une bijection sur les ensembles sous-jacents ; \(\Delta_{X'/Y'}\) est donc un épaississement. D’autre part, \(\Delta_{X'/Y'}\) est localement de présentation finie d’après Morphismes, lemme 0818. Autrement dit, \(\Delta_{X'/Y'}(X')\) est défini par un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\) de type fini. Puisque \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) d’après (5), on voit que le faisceau conormal de \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) est nul d’après Morphismes, lemme 08S2. Autrement dit, \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\). Cela entraîne que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme, par exemple d’après Algèbre, lemme 00EH.

Démonstration de (7). Si \(f : X \to Y\) est une immersion, il se factorise en \(X \to V \to Y\), où \(V \to Y\) est une immersion ouverte et \(X \to V\) une immersion fermée. Soit \(V' \subset Y'\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent est celui de \(V\). Alors \(X' \to V'\) se factorise par \(V'\) et l’on en déduit que \(X' \to V'\) est une immersion fermée d’après (3).

Le cas (8) résulte du lemme 09ZV et de la définition des morphismes propres comme morphismes quasi-compacts, universellement fermés, séparés et localement de type fini.

Groupes de Picard des épaississements

Quelques résultats sur les groupes de Picard des épaississements.

Lemme

Soit \(X \subset X'\) un épaississement du premier ordre de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\). Il existe alors une suite exacte canonique \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] de groupes abéliens.

Démonstration

C’est la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte de faisceaux de groupes abéliens \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] dans laquelle la première application envoie une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) sur la section inversible \(1 + f\) de \(\mathcal{O}_{X'}\). On utilise aussi l’identification du groupe de Picard d’un espace annelé au premier groupe de cohomologie du faisceau des fonctions inversibles, voir Cohomologie, lemme 09NU.

Lemme

Soit \(X \subset X'\) un épaississement. Soit \(n\) un entier inversible dans \(\mathcal{O}_X\). Alors l’application \(\Pic(X')[n] \to \Pic(X)[n]\) est bijective.

Démonstration

D’après le principe général expliqué à la suite de la définition 04EX, on est ramené au cas d’un épaississement du premier ordre. On peut alors utiliser le lemme 0C6R pour voir qu’il suffit de montrer que \(H^1(X, \mathcal{I})[n]\), \(H^1(X, \mathcal{I})/n\) et \(H^2(X, \mathcal{I})[n]\) sont nuls. Cela résulte du fait que la multiplication par \(n\) sur \(\mathcal{I}\) est un isomorphisme, puisque c’est un \(\mathcal{O}_X\)-module.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(X\). On dispose alors d’une suite exacte courte de groupes abéliens \[0 \to (1 + \mathcal{I})^* \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] On obtient une suite exacte longue de cohomologie comme dans l’énoncé du lemme 0C6R, où \(H^i(X, \mathcal{I})\) est remplacé par \(H^i(X, (1 + \mathcal{I})^*)\). Il suffit donc de montrer que l’élévation à la puissance \(n\) est un isomorphisme \((1 + \mathcal{I})^* \to (1 + \mathcal{I})^*\). En prenant les sections sur les ouverts affines, cela résulte de Algèbre, lemme 0CAP.

Voisinages infinitésimaux

Voici une construction naturelle d’épaississements d’ordre fini. Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Choisissons un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(i\) identifie \(Z\) à un sous-schéma fermé \(Z \subset U\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z\) dans \(U\). Pour \(n \geq 1\), on peut considérer le sous-schéma fermé \(Z_n \subset U\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}^{n + 1}\).

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas.

1. Le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\) est l’épaississement du premier ordre \(Z \subset Z_1\) sur \(X\) décrit ci-dessus.

2. Le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) de \(Z\) dans \(X\) est l’épaississement d’ordre \(n\) \(Z \subset Z_n\) sur \(X\) décrit ci-dessus.

Ces épaississements possèdent la propriété universelle suivante (qui dissipe toute crainte que la construction ci-dessus ne dépende du choix de l’ouvert \(U\)).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas.

1. Le voisinage infinitésimal du premier ordre \(Z'\) de \(Z\) dans \(X\) possède la propriété universelle suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre sur \(X\), il existe un unique morphisme \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) d’épaississements sur \(X\).

2. Pour \(n \geq 1\), le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\), \(Z_n\), de \(Z\) dans \(X\) possède la propriété universelle suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement d’ordre \(n\) sur \(X\), il existe un unique morphisme \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\) d’épaississements sur \(X\).

Démonstration

On démontrera seulement (1). Soit \(U \subset X\) l’ouvert utilisé dans la construction de \(Z'\), c’est-à-dire un ouvert tel que \(Z\) soit identifié à un sous-schéma fermé de \(U\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\). Puisque \(|T| = |T'|\), on voit que \(b(T') \subset U\). On peut donc considérer \(b\) comme un morphisme à valeurs dans \(U\). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\) l’idéal définissant \(T\). Puisque \(b(T) \subset Z\) d’après le diagramme ci-dessus, on voit que \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\). Comme \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T\), on a \(\mathcal{J}^2 = 0\), d’où \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\). D’après Schémas, lemme 01HP, cela entraîne que \(b\) se factorise par \(Z'\). Notons \(a' : T' \to Z'\) cette factorisation ; tout est alors clair.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Soit \(Z \subset Z'\) le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] induit un homomorphisme de faisceaux conormaux \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) d’après Morphismes, lemme 01R4. Cet homomorphisme est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(Z'\) ci-dessus.

Morphismes formellement non ramifiés

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit formellement non ramifié (voir Algèbre, définition 00UN) si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] où \(I \subset B\) est un idéal de carré nul, il existe au plus une flèche pointillée qui rende le diagramme commutatif. Cela conduit à l’analogue suivant pour les morphismes de schémas.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est formellement non ramifié si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

On prouve d’abord quelques lemmes formels, c’est-à-dire des lemmes dont la démonstration consiste à tracer les diagrammes correspondants.

Lemme

Si \(f : X \to S\) est un morphisme formellement non ramifié, alors, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas sur \(S\), il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Autrement dit, dans la définition 02H8, on peut omettre la condition que \(T\) soit affine.

Démonstration

Cela vient de ce qu’un morphisme est déterminé par ses restrictions aux ouverts affines.

Lemme

Un composé de morphismes formellement non ramifiés est formellement non ramifié.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme formellement non ramifié est formellement non ramifié.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset S\) des ouverts tels que \(f(U) \subset V\). Si \(f\) est formellement non ramifié, il en va de même de \(f|_U : U \to V\).

Démonstration

Considérons un diagramme de flèches pleines \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la définition 02H8. Si \(f\) est formellement non ramifié, il existe au plus un \(S\)-morphisme \(a' : T' \to X\) tel que \(a'|_T = a\). Il existe donc, a fortiori, au plus un tel morphisme à valeurs dans \(U\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X\) et \(S\) soient affines. Alors \(f\) est formellement non ramifié si et seulement si \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) est un homomorphisme d’anneaux formellement non ramifié.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions (définition 02H8 et Algèbre, définition 00UN), par l’équivalence entre les catégories des anneaux et des schémas affines, voir Schémas, lemme 01I2.

Voici une caractérisation en termes du faisceau des différentielles.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est formellement non ramifié si et seulement si \(\Omega_{X/S} = 0\).

Démonstration

Rappelons quelques arguments de la démonstration de Morphismes, lemme 01UT. Soit \(W \subset X \times_S X\) un ouvert tel que \(\Delta : X \to X \times_S X\) induise une immersion fermée dans \(W\). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_W\) le faisceau d’idéaux de cette immersion fermée. Soit \(X' \subset W\) le sous-schéma fermé défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J}^2\). Considérons les deux morphismes \(p_1, p_2 : X' \to X\) induits par les deux projections \(X \times_S X \to X\). Remarquons que \(p_1\) et \(p_2\) coïncident après composition avec \(\Delta : X \to X'\) et que \(X \to X'\) est une immersion fermée définie par un idéal de carré nul. De plus, on dispose d’une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] et \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\). De plus, \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) est engendré par les sections locales \(p_1^\sharp(f) - p_2^\sharp(f)\), où \(f\) est une section locale de \(\mathcal{O}_X\).

Supposons que \(f : X \to S\) soit formellement non ramifié. Par hypothèse, cela signifie que \(p_1 = p_2\) après restriction à tout ouvert affine \(T' \subset X'\). Donc \(p_1 = p_2\). D’après ce qui précède, on en déduit que \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\).

Réciproquement, supposons que \(\Omega_{X/S} = 0\). Alors \(X' = X\). Prenons deux morphismes \(f'_1, f'_2 : T' \to X\) pouvant servir de flèches pointillées dans le diagramme de la définition 02H8. On obtient ainsi un morphisme \((f'_1, f'_2) : T' \to X \times_S X\). Puisque \(f'_1|_T = f'_2|_T\) et \(|T| =|T'|\), on voit que l’image de \(T'\) par \((f'_1, f'_2)\) est contenue dans l’ouvert \(W\) choisi ci-dessus. Comme \((f'_1, f'_2)(T) \subset \Delta(X)\) et que \(T\) est défini par un idéal de carré nul dans \(T'\), on voit que \((f'_1, f'_2)\) se factorise par \(X'\). Puisque \(X' = X\), on en déduit que \(f_1' = f'_2\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement non ramifié,

2. pour tout \(x \in X\), il existe des ouverts \(x \in U \subset X\) et \(f(x) \in V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\) tels que \(f|_U : U \to V\) soit formellement non ramifié,

3. pour tout couple d’ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est formellement non ramifié, et

4. il existe un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup V_j\) et, pour chaque \(j\), un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) tels que \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) soit un homomorphisme d’anneaux formellement non ramifié pour tous \(j\) et \(i\).

Démonstration

En combinant les lemmes 02HC et 02HD, on voit que (1) \(\Rightarrow\) (3). L’implication (3) \(\Rightarrow\) (4) est immédiate. On a (4) \(\Rightarrow\) (2) d’après le lemme 02HD. Si (2) est vérifiée, alors \(\Omega_{X/S}\) s’annule au voisinage de chaque point d’après le lemme 02H9 (on utilise aussi Morphismes, lemme 01US) ; le lemme 02H9 montre alors que \(f\) est formellement non ramifié.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est non ramifié (resp. G-non ramifié), et

2. le morphisme \(f\) est localement de type fini (resp. localement de présentation finie) et formellement non ramifié.

Démonstration

Utiliser le lemme 02H9 et Morphismes, lemme 02G5.

Épaississements universels du premier ordre

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme de schémas. Un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est un épaississement du premier ordre \(Z \subset Z'\) sur \(X\) tel que, pour tout épaississement du premier ordre \(T \subset T'\) sur \(X\) et tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X }\] il existe une unique flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Remarquons que, dans cette situation, \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) est un morphisme d’épaississements sur \(X\). Ainsi, s’il existe un épaississement universel du premier ordre, il est unique à isomorphisme unique près. En général, un épaississement universel du premier ordre n’existe pas, mais il en existe un si \(h\) est formellement non ramifié.

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme de schémas formellement non ramifié. Il existe un épaississement universel du premier ordre \(Z \subset Z'\) de \(Z\) sur \(X\).

Démonstration

Au cours de cette démonstration, on dira que \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) s’il satisfait à la condition du lemme. On construira l’épaississement universel du premier ordre \(Z \subset Z'\) sur \(X\) par recollement, en partant du cas affine, donné par Algèbre, lemme 04EB. Commençons par quelques remarques générales.

S’il existe un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\), il est unique à isomorphisme unique près. De plus, supposons que \(V \subset Z\) et \(U \subset X\) soient des sous-schémas ouverts tels que \(h(V) \subset U\). Soit \(Z \subset Z'\) un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Soit \(V' \subset Z'\) le sous-schéma ouvert tel que \(V = Z \cap V'\). On affirme alors que \(V \subset V'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(V\) sur \(U\). En effet, supposons donné un diagramme \[\xymatrix{ V \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ U & T' \ar[l]_b }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre sur \(U\). Par la propriété universelle de \(Z'\), on obtient \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\). Mais, puisqu’on a l’égalité \(|T| = |T'|\) des espaces topologiques sous-jacents, on voit que \(a'(T') \subset V'\). On peut donc considérer \((a, a')\) comme un morphisme d’épaississements \((a, a') : (T \subset T') \to (V \subset V')\) sur \(U\). L’unicité est également claire. De façon tout à fait analogue, on prouve que, si \(h(Z) \subset U\) et si \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre sur \(U\), alors \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre sur \(X\).

Avant de recoller les morceaux affines, montrons que le lemme est vrai si \(Z\) et \(X\) sont affines. Écrivons \(X = \Spec(R)\) et \(Z = \Spec(S)\). D’après Algèbre, lemme 04EB, il existe un épaississement du premier ordre \(Z \subset Z'\) sur \(X\) qui possède la propriété universelle du lemme pour les diagrammes \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(T, T'\) sont affines. Pour un diagramme quelconque, on peut choisir un recouvrement ouvert affine \(T' = \bigcup T'_i\) et l’on obtient des morphismes \(a'_i : T'_i \to Z'\) sur \(X\) tels que \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\). Par unicité, on voit que \(a'_i\) et \(a'_j\) coïncident sur tout ouvert affine de \(T'_i \cap T'_j\). Les morphismes \(a'_i\) se recollent donc en un morphisme global \(a' : T' \to Z'\) sur \(X\), comme voulu. Le lemme est ainsi prouvé si \(X\) et \(Z\) sont affines.

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(Z = \bigcup Z_i\) tel que chaque \(Z_i\) s’envoie dans un ouvert affine \(U_i\) de \(X\). D’après le lemme 02HC, les morphismes \(Z_i \to U_i\) sont formellement non ramifiés. Le cas affine fournit donc des épaississements universels du premier ordre \(Z_i \subset Z_i'\) sur \(U_i\). D’après les remarques générales ci-dessus, \(Z_i \subset Z_i'\) est aussi un épaississement universel du premier ordre de \(Z_i\) sur \(X\). Soit \(Z'_{i, j} \subset Z'_i\) le sous-schéma ouvert tel que \(Z_i \cap Z_j = Z'_{i, j} \cap Z_i\). D’après les remarques générales, on voit que \(Z'_{i, j}\) et \(Z'_{j, i}\) sont tous deux des épaississements universels du premier ordre de \(Z_i \cap Z_j\) sur \(X\). Ainsi, d’après la première de ces remarques, il existe un isomorphisme canonique \(\varphi_{ij} : Z'_{i, j} \to Z'_{j, i}\) induisant l’identité sur \(Z_i \cap Z_j\). On affirme que ces morphismes vérifient la condition de cocycle de Schémas, section 01JA. (Vérification omise. Indication : utiliser le fait que \(Z'_{i, j} \cap Z'_{i, k}\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z_i \cap Z_j \cap Z_k\), ce qui le détermine à isomorphisme unique près d’après ce qui précède.) On peut donc utiliser les résultats de Schémas, section 01JA, pour obtenir un épaississement du premier ordre \(Z \subset Z'\) sur \(X\) tel que le sous-schéma ouvert \(Z'_i \subset Z'\) vérifiant \(Z_i = Z'_i \cap Z\) soit un épaississement universel du premier ordre de \(Z_i\) sur \(X\).

Cela entraîne formellement que \(Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). En effet, on dispose de la propriété universelle pour tout diagramme \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(a(T)\) est contenu dans l’un des \(Z_i\). Pour un diagramme quelconque, on peut choisir un recouvrement ouvert \(T' = \bigcup T'_i\) tel que \(a(T_i) \subset Z_i\). On obtient des morphismes \(a'_i : T'_i \to Z'\) sur \(X\) tels que \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\). On voit que \(a'_i\) et \(a'_j\) coïncident nécessairement sur \(T'_i \cap T'_j\), car \(a'_i|_{T'_i \cap T'_j}\) et \(a'_j|_{T'_i \cap T'_j}\) résolvent tous deux le problème de morphisme à valeurs dans l’épaississement universel du premier ordre \(Z'_i \cap Z'_j\) de \(Z_i \cap Z_j\) sur \(X\). Les morphismes \(a'_i\) se recollent donc en un morphisme global \(a' : T' \to Z'\) sur \(X\), comme voulu. Cela achève la démonstration.

Définition

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme de schémas formellement non ramifié.

1. L’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est l’épaississement \(Z \subset Z'\) construit dans le lemme 04F3.

2. Le faisceau conormal de \(Z\) sur \(X\) est le faisceau conormal de \(Z\) dans son épaississement universel du premier ordre \(Z'\) sur \(X\).

Dans cette situation, on note souvent le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\).

On voit ainsi qu’il existe une suite exacte courte de faisceaux \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] sur \(Z\). Le lemme suivant prouve que cette définition est compatible avec celle donnée dans le cas où \(Z \to X\) est une immersion.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Alors

1. \(i\) est formellement non ramifié,

2. l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\) de la définition 04EY, et

3. le faisceau conormal de \(i\) au sens de Morphismes, définition 01R2, coïncide avec le faisceau conormal de \(i\) au sens de la définition 04F4.

Démonstration

D’après Morphismes, lemmes 02GB et 02GC, une immersion est non ramifiée, donc formellement non ramifiée d’après le lemme 02HE. Les autres assertions résultent de la combinaison des lemmes 04EZ et 04F0 avec les définitions.

Lemme

Soit \(Z \to X\) un morphisme de schémas formellement non ramifié. Alors l’épaississement universel du premier ordre \(Z'\) est formellement non ramifié sur \(X\).

Démonstration

Il y a deux démonstrations. La première consiste à montrer que \(\Omega_{Z'/X} = 0\) en travaillant localement sur des ouverts affines et en appliquant Algèbre, lemme 04EF. Alors le lemme 02H9 donne le résultat voulu. La seconde est l’argument direct suivant.

Soit \(T \subset T'\) un épaississement du premier ordre. Soit \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] un diagramme commutatif. Considérons deux morphismes \(a, b : T' \to Z'\) s’inscrivant dans ce diagramme. Posons \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\) et \(T'_a = a^{-1}(Z)\) (au sens schématique). Puisque \(Z'\) est un épaississement du premier ordre de \(Z\), on voit que \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T'_a\). De plus, puisque \(c = a|_T\), on voit que \(T_0 = T \cap T'_a\) (au sens schématique). Comme \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T\), il en résulte que \(T'_a\) est un épaississement du premier ordre de \(T_0\). Or \(a|_{T'_a}\) et \(b|_{T'_a}\) sont des morphismes de \(T'_a\) dans \(Z'\) sur \(X\) qui coïncident sur \(T_0\) en tant que morphismes à valeurs dans \(Z\). Par la propriété universelle de \(Z'\), on en déduit donc que \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\). Ainsi, \(a\) et \(b\) sont des morphismes définis sur l’épaississement du premier ordre \(T'\) de \(T'_a\) dont les restrictions à \(T'_a\) coïncident comme morphismes à valeurs dans \(Z\). En utilisant encore la propriété universelle de \(Z'\), on en déduit donc que \(a = b\). Autrement dit, la propriété définissant un morphisme formellement non ramifié est vérifiée par \(Z' \to X\), comme voulu.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] où \(h\) et \(h'\) sont formellement non ramifiés. Soit \(Z \subset Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Soit \(W \subset W'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(W\) sur \(Y\). Il existe un morphisme canonique \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\) d’épaississements sur \(Y\) qui s’inscrit dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] En particulier, le morphisme \((f, f')\) d’épaississements induit un homomorphisme de faisceaux conormaux \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\).

Démonstration

La première assertion résulte immédiatement de la propriété universelle de \(W'\). L’homomorphisme induit sur les faisceaux conormaux est celui de Morphismes, lemme 01R4, appliqué à \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] un diagramme cartésien dans la catégorie des schémas, où \(h'\) est formellement non ramifié. Alors \(h\) est formellement non ramifié et, si \(W \subset W'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(W\) sur \(Y\), alors \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). En particulier, l’homomorphisme canonique \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) du lemme 04F7 est surjectif.

Démonstration

Le morphisme \(h\) est formellement non ramifié d’après le lemme 02HB. Il est clair que \(X \times_Y W'\) est un épaississement du premier ordre. On vérifie directement qu’il possède la propriété universelle, car \(W'\) la possède (par la propriété universelle des produits fibrés). Voir Morphismes, lemme 0473, pour en déduire la surjectivité de l’homomorphisme de faisceaux conormaux.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] un diagramme cartésien dans la catégorie des schémas, où \(h'\) est formellement non ramifié et \(g\) plat. Dans ce cas, le morphisme correspondant \(Z' \to W'\) des épaississements universels du premier ordre est plat, et \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) est un isomorphisme.

Démonstration

La platitude est préservée par changement de base, voir Morphismes, lemme 01U9. La première assertion résulte donc de la description de \(W'\) dans le lemme 04F8. Il est clair que \(X \times_Y W'\) est un épaississement du premier ordre. On vérifie directement qu’il possède la propriété universelle, car \(W'\) la possède (par la propriété universelle des produits fibrés). Voir Morphismes, lemme 0473, pour en déduire que l’homomorphisme de faisceaux conormaux est un isomorphisme.

Lemme

La formation des épaississements universels du premier ordre commute à la restriction aux ouverts. Plus précisément, soit \(h : Z \to X\) un morphisme de schémas formellement non ramifié. Soient \(V \subset Z\), \(U \subset X\) des ouverts tels que \(h(V) \subset U\). Soit \(Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Alors \(h|_V : V \to U\) est formellement non ramifié et l’épaississement universel du premier ordre de \(V\) sur \(U\) est le sous-schéma ouvert \(V' \subset Z'\) tel que \(V = Z \cap V'\). En particulier, \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\).

Démonstration

La première assertion est le lemme 02HC. La compatibilité des épaississements universels peut se déduire de la démonstration du lemme 04F3, ou d’Algèbre, lemme 04EE, ou encore du lemme 04F9.

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié de schémas sur \(S\). Soit \(Z \subset Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\), de morphisme structural \(h' : Z' \to X\). L’homomorphisme canonique \[c_{h'} : (h')^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{Z'/S}\] induit un isomorphisme \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\).

Démonstration

L’homomorphisme \(c_{h'}\) est celui défini dans Morphismes, lemme 01UV. Si \(i : Z \to Z'\) est l’immersion fermée donnée, alors \(i^*c_{h'}\) est un homomorphisme \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\). Pour vérifier que c’est un isomorphisme, on se ramène au cas affine par localisation, voir le lemme 04FA et Morphismes, lemme 01US. Dans ce cas, le résultat est Algèbre, lemme 04EF.

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié de schémas sur \(S\). Il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] La première flèche est induite par \(\text{d}_{Z'/S}\), où \(Z'\) est le voisinage universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\).

Démonstration

On sait qu’il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] voir Morphismes, lemme 01UZ. Le résultat s’en déduit donc en appliquant le lemme 04FB.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] un diagramme commutatif de schémas où \(i\) et \(j\) sont formellement non ramifiés. Il existe alors une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] dont la première flèche provient du lemme 04F7 et la seconde du lemme 04FC.

Démonstration

Notons \(Z \to Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Notons \(Z \to Z''\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\). D’après le lemme 04FC, il existe un morphisme canonique \(Z' \to Z''\) donnant un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & Z'' \ar[r] & Y }\] Appliquons Morphismes, lemme 067L, au triangle de gauche pour obtenir une suite exacte \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] Comme \(Z''\) est formellement non ramifié sur \(Y\) (voir le lemme 04F6), on a \(\Omega_{Z'/Z''} = \Omega_{Z/Y}\) (en combinant le lemme 02H9 et Morphismes, lemme 01UX). On a alors \((i')^*\Omega_{Z'/Y} = i^*\Omega_{X/Y}\) d’après le lemme 04FB.

Lemme

Soient \(Z \to Y \to X\) des morphismes de schémas formellement non ramifiés.

1. Si \(Z \subset Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) et si \(Y \subset Y'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Y\) sur \(X\), alors il existe un morphisme \(Z' \to Y'\) et \(Y \times_{Y'} Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\).

2. Il existe une suite exacte canonique \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] dont les homomorphismes proviennent du lemme 04F7 et où \(i : Z \to Y\) est le premier morphisme.

Démonstration

Le morphisme \(h : Z' \to Y'\) de (1) provient du lemme 04F7. Le fait que \(Y \times_{Y'} Z'\) soit l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\) résulte immédiatement des propriétés universelles de \(Z'\) et de \(Y'\). D’après Morphismes, lemme 062S, on dispose d’une suite exacte \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] où \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\) est le morphisme donné. D’après Morphismes, lemme 0473, il existe une surjection \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\). En combinant cela avec les égalités \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\), \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\) et \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\), on obtient le lemme.

Morphismes formellement étales

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit formellement étale (voir Algèbre, définition 00UQ) si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] où \(I \subset B\) est un idéal de carré nul, il existe exactement une flèche pointillée qui rende le diagramme commutatif. Cela conduit à l’analogue suivant pour les morphismes de schémas.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est formellement étale si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), il existe exactement une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Il est clair qu’un morphisme formellement étale est formellement non ramifié. Ainsi, si \(f : X \to S\) est formellement étale, alors \(\Omega_{X/S}\) est nul, voir le lemme 02H9.

Lemme

Si \(f : X \to S\) est un morphisme formellement étale, alors, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas sur \(S\), il existe exactement une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Autrement dit, dans la définition 02HG, on peut omettre la condition que \(T\) soit affine.

Démonstration

Soit \(T' = \bigcup T'_i\) un recouvrement ouvert affine et posons \(T_i = T \cap T'_i\). On obtient alors des morphismes \(a'_i : T'_i \to X\) s’inscrivant dans le diagramme. Par unicité, on voit que \(a'_i\) et \(a'_j\) coïncident sur tout sous-schéma ouvert affine de \(T'_i \cap T'_j\). Ainsi, \(a'_i\) et \(a'_j\) coïncident sur \(T'_i \cap T'_j\). On voit donc que les morphismes \(a'_i\) se recollent en un morphisme global \(a' : T' \to X\). L’unicité de \(a'\) a été établie dans le lemme 04F1.

Lemme

Un composé de morphismes formellement étales est formellement étale.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme formellement étale est formellement étale.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset S\) des sous-schémas ouverts tels que \(f(U) \subset V\). Si \(f\) est formellement étale, il en va de même de \(f|_U : U \to V\).

Démonstration

Considérons un diagramme de flèches pleines \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la définition 02HG. Si \(f\) est formellement étale, il existe exactement un \(S\)-morphisme \(a' : T' \to X\) tel que \(a'|_T = a\). Puisque \(|T'| = |T|\), on en déduit que \(a'(T') \subset U\), ce qui donne l’unique morphisme de \(T'\) dans \(U\) voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. \(f\) est formellement non ramifié et l’épaississement universel du premier ordre de \(X\) sur \(S\) est égal à \(X\),

3. \(f\) est formellement non ramifié et \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\), et

4. \(\Omega_{X/S} = 0\) et \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\).

Démonstration

En fait, la dernière assertion n’a de sens que parce que \(\Omega_{X/S} = 0\) entraîne que \(\mathcal{C}_{X/S}\) est défini en vertu du lemme 02H9 et de la définition 04F4. Cela montre aussi clairement que (3) et (4) sont équivalentes.

Chacune des hypothèses (1), (2) et (3) entraîne que \(f\) est formellement non ramifié. On peut donc supposer \(f\) formellement non ramifié. L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte de la propriété universelle de l’épaississement universel du premier ordre \(X'\) de \(X\) sur \(S\) et du fait que \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/S} = 0\), puisque \(\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X'}\) est, par définition, le faisceau d’idéaux de \(X\) dans \(X'\).

Lemme

Un morphisme non ramifié et plat est formellement étale.

Démonstration

Supposons \(X \to S\) non ramifié et plat. Alors \(\Delta : X \to X \times_S X\) est une immersion ouverte, voir Morphismes, lemme 02GE. Il faut montrer que \(\mathcal{C}_{X/S}\) est nul. Considérons les deux projections \(p, q : X \times_S X \to X\). Comme \(f\) est formellement non ramifié (voir le lemme 02HE), \(q\) est formellement non ramifié (voir le lemme 02HB). Comme \(f\) est plat, \(p\) est plat, voir Morphismes, lemme 01U9. Ainsi, \(p^*\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_q\) d’après le lemme 04F9, où \(\mathcal{C}_q\) désigne le faisceau conormal du morphisme formellement non ramifié \(q : X \times_S X \to X\). Mais \(\Delta(X) \subset X \times_S X\) est un sous-schéma ouvert qui s’envoie isomorphiquement sur \(X\) par \(q\). D’après le lemme 04FA, on voit donc que \(\mathcal{C}_q|_{\Delta(X)} = \mathcal{C}_{X/X} = 0\). Autrement dit, l’image inverse de \(\mathcal{C}_{X/S}\) sur \(X\) par le morphisme identité est nulle, c’est-à-dire \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X\) et \(S\) soient affines. Alors \(f\) est formellement étale si et seulement si \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) est un homomorphisme d’anneaux formellement étale.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions (définition 02HG et Algèbre, définition 00UQ), par l’équivalence entre les catégories des anneaux et des schémas affines, voir Schémas, lemme 01I2.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. pour tout \(x \in X\), il existe des ouverts \(x \in U \subset X\) et \(f(x) \in V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\) tels que \(f|_U : U \to V\) soit formellement étale,

3. pour tout couple d’ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est formellement étale, et

4. il existe un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup V_j\) et, pour chaque \(j\), un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) tels que \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) soit un homomorphisme d’anneaux formellement étale pour tous \(j\) et \(i\).

Démonstration

En combinant les lemmes 02HK et 02HL, on voit que (1) \(\Rightarrow\) (3). L’implication (3) \(\Rightarrow\) (4) est immédiate. On a (4) \(\Rightarrow\) (2) d’après le lemme 02HL. Si (2) est vérifiée, alors \(\Omega_{X/S}\) et \(\mathcal{C}_{X/S}\) s’annulent au voisinage de chaque point d’après le lemme 04FE (on utilise aussi Morphismes, lemme 01US, et le lemme 04FA) ; le lemme 04FE montre alors que \(f\) est formellement étale.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est étale, et

2. le morphisme \(f\) est localement de présentation finie et formellement étale.

Démonstration

Supposons \(f\) étale. Un morphisme étale est localement de présentation finie, plat et non ramifié, voir Morphismes, section 02GH. Ainsi, \(f\) est localement de présentation finie et formellement étale, voir le lemme 04FF.

Réciproquement, supposons que \(f\) soit localement de présentation finie et formellement étale. La propriété d’être étale est locale pour la topologie de Zariski sur \(X\) et \(S\), voir Morphismes, lemme 02GJ. D’après le lemme 02HK, on peut recouvrir \(X\) par des ouverts affines \(U\) s’envoyant dans des ouverts affines \(V\) tels que \(U \to V\) soit formellement étale (et de présentation finie, voir Morphismes, lemme 01TQ). D’après le lemme 02HL, on voit que les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) sont formellement étales (et de présentation finie). On conclut par Algèbre, lemme 00UR. (On donnera une autre démonstration de cette implication lors de l’étude des morphismes formellement lisses.)

Déformations infinitésimales des morphismes

Dans cette section, on explique comment utiliser une dérivation pour déformer infinitésimalement un morphisme. Dans toute cette section, on utilise le fait qu’un faisceau sur un épaississement \(X'\) de \(X\) peut être considéré comme un faisceau sur \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\) deux épaississements du premier ordre sur \(S\). Soient \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) deux morphismes d’épaississements sur \(S\). Supposons que

1. \(a = b\), et

2. les deux homomorphismes \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) (Morphismes, lemme 01R4) soient égaux.

Alors l’application \((a')^\sharp - (b')^\sharp\) se factorise en \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] où \(D\) est une \(\mathcal{O}_S\)-dérivation.

Démonstration

Au lieu de travailler sur \(Y\), on travaille sur \(X\). L’avantage est que le foncteur image inverse \(a^{-1}\) est exact. Grâce à (1) et (2), on obtient un diagramme commutatif à lignes exactes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Or, dans une telle situation, c’est un fait général que la différence des homomorphismes de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \((a')^\sharp\) et \((b')^\sharp\) est une \(\mathcal{O}_S\)-dérivation de \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\) dans \(\mathcal{C}_{X/X'}\). Par adjonction des foncteurs \(a^{-1}\) et \(a_*\), cela revient à se donner une \(\mathcal{O}_S\)-dérivation de \(\mathcal{O}_Y\) dans \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\). Certains détails sont omis.

Remarquons que, dans la situation du lemme précédent, on peut écrire \(D\) sous la forme [04BV]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/S} \circ \theta \end{equation}\] où \(\theta\) est un homomorphisme \(\mathcal{O}_Y\)-linéaire \(\theta : \Omega_{Y/S} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\). Bien entendu, par une nouvelle adjonction, on peut alors considérer \(\theta\) comme un homomorphisme \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre sur \(S\). Soit \[\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] un homomorphisme \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. Il existe alors un unique morphisme de couples \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) tel que (1) et (2) du lemme 04FG soient vérifiées et que la dérivation \(D\) et \(\theta\) soient liées par l’équation (04BV).

Démonstration

On pose simplement \(b = a\) et on définit \((b')^\sharp\) comme l’application \[(a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] où \(D\) est donné par l’équation (04BV). On omet de vérifier que \((b')^\sharp\) est un homomorphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres et que (1) et (2) du lemme 04FG sont vérifiées. L’équation (04BV) est satisfaite par construction.

Remarque

Les hypothèses et notations sont celles du lemme 02H5. L’action d’une section locale \(\theta\) sur \(a'\) est parfois notée \(\theta \cdot a'\). Cela signifie simplement que \((a')^\sharp\) et \((\theta \cdot a')^\sharp\) diffèrent d’une dérivation \(D\) liée à \(\theta\) par l’équation (04BV).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\) des épaississements du premier ordre sur \(S\). Supposons donnés un morphisme \(a : X \to Y\) et un homomorphisme \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour un sous-schéma ouvert \(U' \subset X'\), considérons les morphismes \(a' : U' \to Y'\) tels que

1. \(a'\) soit un morphisme sur \(S\),

2. \(a'|_U = a|_U\), et

3. l’homomorphisme induit \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) soit la restriction de \(A\) à \(U\).

Ici, \(U = X \cap U'\). Alors la règle [04FI]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ vérifiant (1), (2), (3).}\} \end{equation}\] définit un faisceau d’ensembles sur \(X'\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{F}\) la règle du lemme. L’application de restriction \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\), pour \(V' \subset U' \subset X'\), de \(\mathcal{F}\) est simplement l’application de restriction \(a' \mapsto a'|_{V'}\). Avec cette définition, il est clair que \(\mathcal{F}\) est un faisceau, puisque les morphismes se définissent localement.

Dans le lemme suivant, on identifie les faisceaux sur \(X\) à ceux sur un épaississement quelconque de \(X\).

Lemme

Les notations et hypothèses sont celles du lemme 04FH. Il existe une action du faisceau \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\] sur le faisceau (04FI). De plus, cette action est simplement transitive pour tout ouvert \(U' \subset X'\) sur lequel le faisceau (04FI) possède une section.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des lemmes 04FG, 02H5 et 04FH.

Remarque

Un cas particulier des lemmes 04FG, 02H5, 04FH et 04FJ est celui où \(Y = Y'\). Dans ce cas, l’homomorphisme \(A\) est toujours nul. Le faisceau du lemme 04FH est simplement donné par la règle \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{ sur }S\text{ avec } a'|_U = a|_U\}\] et l’on fait agir sur lui le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\).

Remarque

Un autre cas particulier des lemmes 04FG, 02H5, 04FH et 04FJ est celui où \(S\) est lui-même un épaississement \(Z \subset Z' = S\) et où \(Y = Z \times_{Z'} Y'\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] Dans ce cas, l’homomorphisme \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) est déterminé par \(a\) : l’homomorphisme \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\) est surjectif (car on a supposé \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)), donc son image inverse \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\) est surjective, et le composé \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) doit être l’homomorphisme canonique induit par \(g'\). Ainsi, le faisceau du lemme 04FH est simplement donné par la règle \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ sur }Z'\text{ avec } a'|_U = a|_U\}\] et l’on fait agir sur lui le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement du premier ordre sur \(S\). Soit \(Y\) un schéma sur \(S\). Soient \(a', b' : X' \to Y\) deux morphismes sur \(S\) tels que \(a = a'|_X = b'|_X\). On obtient ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_a & X' \ar[d]^{(b', a')} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] Puisque les flèches horizontales sont des immersions de faisceaux conormaux \(\mathcal{C}_{X/X'}\) et \(\Omega_{Y/S}\), d’après Morphismes, lemme 01R4, on obtient un homomorphisme \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\). Alors cet homomorphisme \(\theta\) et la dérivation \(D\) du lemme 04FG sont liés par l’équation (04BV).

Démonstration

Omise. Indication : l’égalité se vérifie sur les ouverts affines, où elle résulte du calcul suivant. Si \(f\) est une section locale de \(\mathcal{O}_Y\), alors \(1 \otimes f - f \otimes 1\) est une section locale de \(\mathcal{C}_{Y/(Y \times_S Y)}\) correspondant à \(\text{d}_{Y/S}(f)\). Elle s’envoie sur la section locale \((a')^\sharp(f) - (b')^\sharp(f) = D(f)\) de \(\mathcal{C}_{X/X'}\). Autrement dit, \(\theta(\text{d}_{Y/S}(f)) = D(f)\).

Pour la suite, il nous faut un résultat affirmant, en substance, que la construction du lemme 02H5 est compatible avec la localisation étale.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] & X_2 \ar[l]^f \ar[d] \\ S_1 & S_2 \ar[l] }\] un diagramme commutatif de schémas dans lequel \(X_2 \to X_1\) et \(S_2 \to S_1\) sont étales. Alors l’homomorphisme \(c_f : f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_2}\) de Morphismes, lemme 01UV, est un isomorphisme.

Démonstration

Rappelons qu’un morphisme étale \(U \to V\) est un morphisme lisse tel que \(\Omega_{U/V} = 0\). En utilisant cela, on voit que Morphismes, lemme 01UX, entraîne \(\Omega_{X_2/S_2} = \Omega_{X_2/S_1}\), et que Morphismes, lemme 02K4, entraîne que l’homomorphisme \(f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_1}\) (pour le morphisme \(f\) considéré comme morphisme sur \(S_1\)) est un isomorphisme. Le lemme s’en déduit.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif d’épaississements du premier ordre \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{et un diagramme commutatif} \\ \text{de schémas} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & S_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & S_1 } }\] où \(X_2 \to X_1\) et \(S_2 \to S_1\) sont étales. Pour tout homomorphisme \(\mathcal{O}_{T_1}\)-linéaire \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\), notons \(\theta_2\) le composé \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] (le signe d’égalité est expliqué dans la démonstration). Alors le diagramme \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] est commutatif, où les actions \(\theta_2 \cdot a_2'\) et \(\theta_1 \cdot a_1'\) sont celles de la remarque 0CK1.

Démonstration

Le signe d’égalité provient de l’identification \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\) du lemme 04BX. En effet, grâce à celle-ci, on a \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\), car \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\). Cela étant, la commutativité du diagramme peut se vérifier sur les ouverts affines. On peut donc supposer que les schémas du grand diagramme initial sont affines. On obtient ainsi des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ (B'_2, I_2) & & (A'_2, J_2) \ar[ll]^{a_2'} \\ (B'_1, I_1) \ar[u]^{h'} & & (A'_1, J_1) \ar[ll]_{a_1'} \ar[u]_{f'} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A'_2 & & R_2 \ar[ll] \\ A'_1 \ar[u] & & R_1 \ar[ll] \ar[u] } }\] Cette notation signifie que \(I_1, I_2, J_1, J_2\) sont des idéaux de carré nul et que les morphismes de couples sont des homomorphismes d’anneaux envoyant les idéaux dans les idéaux. Posons \(A_1 = A'_1/J_1\), \(A_2 = A'_2/J_2\), \(B_1 = B'_1/I_1\) et \(B_2 = B'_2/I_2\). On sait que \[A_2 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \longrightarrow \Omega_{A_2/R_2}\] est un isomorphisme. Alors \(\theta_1 : B_1 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \to I_1\) est \(B_1\)-linéaire. Cela donne une \(R_1\)-dérivation \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{A_1/R_1} : A_1 \to I_1\). De même, on voit que \(\theta_2 : B_2 \otimes_{A_2} \Omega_{A_2/R_2} \to I_2\) donne une \(R_2\)-dérivation \(D_2 = \theta_2 \circ \text{d}_{A_2/R_2} : A_2 \to I_2\). La construction de \(\theta_2\) entraîne la compatibilité suivante entre \(\theta_1\) et \(\theta_2\) : pour tout \(x \in A_1\), on a \[h'(D_1(x)) = D_2(f'(x))\] dans \(I_2\). On peut considérer \(D_1\) comme une application \(A'_1 \to B'_1\) à l’aide de \(A'_1 \to A_1 \xrightarrow{D_1} I_1 \to B_1\) ; de même, on peut considérer \(D_2\) comme une application \(A'_2 \to B'_2\). L’égalité affichée est alors valable pour \(x \in A'_1\). D’après la construction de l’action dans le lemme 02H5 et la remarque 0CK1, on sait que \(\theta_1 \cdot a_1'\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(a_1' + D_1 : A'_1 \to B'_1\) et que \(\theta_2 \cdot a_2'\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(a_2' + D_2 : A'_2 \to B'_2\). L’égalité affichée donne donc \(h' \circ (a_1' + D_1) = (a_2' + D_2) \circ f'\), comme voulu.

Remarque

Le lemme 04BY peut être amélioré de la manière suivante. Supposons donnés des diagrammes commutatifs comme dans le lemme 04BY, sans supposer que \(X_2 \to X_1\) et \(S_2 \to S_1\) soient étales. Supposons ensuite que l’on dispose de \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) et de \(\theta_2 : a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \to \mathcal{C}_{T_2/T'_2}\) tels que \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_{X_2} \ar[rr]_{f_*D_2} & & f_*a_{2, *}\mathcal{C}_{T_2/T_2'} \\ \mathcal{O}_{X_1} \ar[rr]^{D_1} \ar[u]^{f^\sharp} & & a_{1, *}\mathcal{C}_{T_1/T_1'} \ar[u]_{\text{induit par }(h')^\sharp} }\] soit commutatif, où \(D_i\) correspond à \(\theta_i\) comme dans l’équation (04BV). On obtient alors la conclusion du lemme 04BY. L’intérêt de l’hypothèse que \(X_2 \to X_1\) et \(S_2 \to S_1\) soient tous deux étales est qu’elle permet de construire un \(\theta_2\) à partir de \(\theta_1\).

Déformations infinitésimales des schémas

Le lemme élémentaire suivant est souvent commode pour vérifier qu’une déformation infinitésimale d’un morphisme est plate.

Lemme

Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre. Supposons \(f\) plat. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f'\) est plat et \(X = S \times_{S'} X'\), et

2. l’homomorphisme canonique \(f^*\mathcal{C}_{S/S'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) est un isomorphisme.

Démonstration

Le problème étant local sur \(X'\), on peut supposer que \(X, X', S, S'\) sont des schémas affines. Écrivons \(S' = \Spec(A')\), \(X' = \Spec(B')\), \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\), avec \(A = A'/I\) et \(B = B'/J\) pour certains idéaux de carré nul. On obtient alors le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] dont les lignes sont exactes. L’homomorphisme canonique du lemme est l’homomorphisme \[I \otimes_A B = I \otimes_{A'} B' \longrightarrow J.\] L’hypothèse que \(f\) est plat signifie que \(A \to B\) est plat.

Supposons (1). Alors \(A' \to B'\) est plat et \(J = IB'\). La platitude entraîne \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A) = 0\) (voir Algèbre, lemme 00M5). Cela signifie que \(I \otimes_{A'} B' \to B'\) est injectif (voir Algèbre, remarque 00M6). On voit donc que \(I \otimes_A B \to J\) est un isomorphisme.

Supposons (2). Il en résulte que \(J = IB'\), donc que \(X = S \times_{S'} X'\). De plus, on obtient \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A'/I) = 0\) en renversant les implications du paragraphe précédent. Ainsi, \(B'\) est plat sur \(A'\) d’après Algèbre, lemme 051C.

Le lemme suivant est la version « nilpotente » du « critère de platitude par fibres », voir la section 039A.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] d’épaississements. Supposons que

1. \(X'\) soit plat sur \(S'\),

2. \(f\) soit plat,

3. \(S \subset S'\) soit un épaississement d’ordre fini, et

4. \(X = S \times_{S'} X'\) et \(Y = S \times_{S'} Y'\).

Alors \(f'\) est plat et \(Y'\) est plat sur \(S'\) en tout point de l’image de \(f'\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du résultat d’Algèbre, lemme 06A5.

De nombreuses propriétés des morphismes de schémas sont préservées par déformation plate.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] d’épaississements. Supposons que \(S \subset S'\) soit un épaississement d’ordre fini, que \(X'\) soit plat sur \(S'\), que \(X = S \times_{S'} X'\) et que \(Y = S \times_{S'} Y'\). Alors

1. \(f\) est plat si et seulement si \(f'\) est plat, [06AH]

2. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f'\) est un isomorphisme, [06AI]

3. \(f\) est une immersion ouverte si et seulement si \(f'\) est une immersion ouverte, [06AJ]

4. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact, [06AK]

5. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé, [06AL]

6. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé, [06AM]

7. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme, [06AN]

8. \(f\) est surjectif si et seulement si \(f'\) est surjectif, [06AP]

9. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif, [06AQ]

10. \(f\) est affine si et seulement si \(f'\) est affine, [06AR]

11. \(f\) est localement de type fini si et seulement si \(f'\) est localement de type fini,

12. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini, [06AT]

13. \(f\) est localement de présentation finie si et seulement si \(f'\) est localement de présentation finie,

14. \(f\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\),

15. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert, [06AW]

16. \(f\) est syntomique si et seulement si \(f'\) est syntomique, [06AX]

17. \(f\) est lisse si et seulement si \(f'\) est lisse, [06AY]

18. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié, [06AZ]

19. \(f\) est étale si et seulement si \(f'\) est étale, [06B0]

20. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, [06B1]

21. \(f\) est entier si et seulement si \(f'\) est entier, [06B2]

22. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini, [06B3]

23. \(f\) est fini localement libre (de rang \(d\)) si et seulement si \(f'\) est fini localement libre (de rang \(d\)), et

24. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Les hypothèses sur \(X\) et \(Y\) signifient que \(f\) est le changement de base de \(f'\) par \(X \to X'\). Les propriétés \(\mathcal{P}\) énumérées en (1) – (23) ci-dessus sont toutes stables par changement de base ; si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), il en va donc de même de \(f\). Voir Schémas, lemmes 01JY, 01K5, 01KU et 02YC, et Morphismes, lemmes 01S1, 0472, 01SD, 01T4, 01TM, 01TS, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL et 02KD.

Dans chaque cas, le sens intéressant consiste donc à supposer que \(f\) possède la propriété et à en déduire que \(f'\) la possède aussi. Par récurrence sur l’ordre de l’épaississement, on peut supposer que \(S \subset S'\) est un épaississement du premier ordre, voir la discussion qui suit immédiatement la définition 04EX. Faisons quelques remarques générales que l’on utilisera sans autre mention dans les arguments ci-dessous. (I) Soient \(W' \subset S'\) un ouvert affine et \(U' \subset X'\) et \(V' \subset Y'\) des ouverts affines au-dessus de \(W'\) tels que \(f'(U') \subset V'\). Écrivons \(W' = \Spec(R')\) et notons \(I \subset R'\) l’idéal définissant le sous-schéma fermé \(W' \cap S\). Écrivons \(U' = \Spec(B')\) et \(V' = \Spec(A')\). On obtient alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] à lignes exactes. De plus, \(IB' \cong I \otimes_R B\), voir la démonstration du lemme 063Y. (II) Les morphismes \(X \to X'\) et \(Y \to Y'\) sont des homéomorphismes universels. Les applications \(f\) et \(f'\) ont donc la même topologie (après tout changement de base). (III) Si \(f\) est plat, alors \(f'\) est plat et \(Y' \to S'\) est plat en tout point de l’image de \(f'\), voir le lemme 06AF.

Pour (06AH). C’est la remarque générale (III).

Pour (06AI). Supposons que \(f\) soit un isomorphisme. D’après (III), on voit que \(Y' \to S'\) est plat. Choisissons un ouvert affine \(V' \subset Y'\) et posons \(U' = (f')^{-1}(V')\). Alors \(V = Y \cap V'\) est affine, ce qui entraîne que \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) est affine. D’après le lemme 06AD, on voit que \(U'\) est affine. On dispose donc d’un diagramme comme dans la remarque générale (I), et de plus \(IA \cong I \otimes_R A\), car \(R' \to A'\) est plat. Alors \(IB' \cong I \otimes_R B \cong I \otimes_R A \cong IA'\) et \(A \cong B\). L’exactitude des lignes du diagramme ci-dessus donne \(A' \cong B'\), c’est-à-dire \(U' \cong V'\). Ainsi, \(f'\) est un isomorphisme.

Pour (06AJ). Supposons que \(f\) soit une immersion ouverte. Alors \(f\) est un isomorphisme de \(X\) sur un sous-schéma ouvert \(V \subset Y\). Soit \(V' \subset Y'\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent est \(V\). Alors \(f'\) est un morphisme de \(X'\) dans \(V'\), qui est un isomorphisme d’après (06AI). Ainsi, \(f'\) est une immersion ouverte.

Pour (06AK). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AL). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AM). Remarquons que \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\), de sorte que \(X' \times_{Y'} X'\) est un épaississement de \(X \times_Y X\). Les applications \(\Delta_{X/Y}\) et \(\Delta_{X'/Y'}\) ont donc la même topologie, ce qui permet de conclure. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AN). Supposons que \(f\) soit un monomorphisme. Considérons le morphisme diagonal \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\). Le changement de base de \(\Delta_{X'/Y'}\) par \(S \to S'\) est \(\Delta_{X/Y}\), qui est un isomorphisme par hypothèse. D’après (06AI), on en déduit que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme.

Pour (06AP). C’est clair. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AQ). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AR). Supposons que \(f\) soit affine. Choisissons un ouvert affine \(V' \subset Y'\) et posons \(U' = (f')^{-1}(V')\). Alors \(V = Y \cap V'\) est affine, ce qui entraîne que \(U = Y \times_{Y'} U'\) est affine. D’après le lemme 06AD, on voit que \(U'\) est affine. Ainsi, \(f'\) est affine. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AS). D’après la remarque (I), il s’agit de prouver que \(A' \to B'\) est de type fini si \(A \to B\) est de type fini. Supposons que \(x_1, \ldots, x_n \in B'\) soient des éléments dont les images dans \(B\) engendrent \(B\) comme \(A\)-algèbre. Alors \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) est surjectif, car \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) est surjectif et \(I \otimes_R A[x_1, \ldots, x_n] \to I \otimes_R B\) est surjectif. Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06AT). Cela résulte de (06AS) et du fait que la quasi-finitude d’un morphisme de type fini se vérifie sur les fibres, voir Morphismes, lemme 01TH. Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06AU). D’après la remarque (I), il s’agit de prouver que \(A' \to B'\) est de présentation finie si \(A \to B\) est de présentation finie. On peut supposer que \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/K'\) pour un certain idéal \(K'\) d’après (06AS). On obtient une suite exacte courte \[0 \to K' \to A'[x_1, \ldots, x_n] \to B' \to 0\] Comme \(B'\) est plat sur \(R'\), on voit que \(K' \otimes_{R'} R\) est le noyau de la surjection \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Par hypothèse sur \(A \to B\), il existe un nombre fini d’éléments \(f'_1, \ldots, f'_m \in K'\) dont les images dans \(A[x_1, \ldots, x_n]\) engendrent ce noyau. Puisque \(I\) est nilpotent, on voit que \(f'_1, \ldots, f'_m\) engendrent \(K'\) par le lemme de Nakayama, voir Algèbre, lemme 00DV.

Pour (06AV). Cela résulte de (06AS) et de la remarque générale (II). Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06AW). C’est immédiat d’après la remarque générale (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06AX). Supposons \(f\) syntomique. D’après (06AU), \(f'\) est localement de présentation finie ; d’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat, et les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est syntomique d’après Morphismes, lemme 01UF.

Pour (06AY). Supposons \(f\) lisse. D’après (06AU), \(f'\) est localement de présentation finie ; d’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat, et les fibres de \(f'\) sont les fibres de \(f\). Ainsi, \(f'\) est lisse d’après Morphismes, lemme 01V8.

Pour (06AZ). Supposons \(f\) non ramifié. D’après (06AS), \(f'\) est localement de type fini, et les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est non ramifié d’après Morphismes, lemme 02G8. Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06B0). Supposons \(f\) étale. D’après (06AU), \(f'\) est localement de présentation finie ; d’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat, et les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est étale d’après Morphismes, lemme 02GM.

Pour (06B1). Cela résulte de la combinaison de (06AM), (06AS), (06AK) et (06AL). Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06B2). Combiner (06AL) et (06AR) avec Morphismes, lemme 01WM. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (06B3). Combiner (06B2) et (06AS) avec Morphismes, lemme 01WJ. Voir aussi le lemme 09ZW pour un énoncé plus général.

Pour (06B4). Supposons \(f\) fini localement libre. D’après (06B3), on voit que \(f'\) est fini ; d’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat, et d’après (06AU), \(f'\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(f'\) est fini localement libre d’après Morphismes, lemme 02KB.

Le lemme suivant est la version « localement nilpotente » du « critère de platitude par fibres », voir la section 039A.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] d’épaississements. Supposons que

1. \(Y' \to S'\) soit localement de type fini,

2. \(X' \to S'\) soit plat et localement de présentation finie,

3. \(f\) soit plat, et

4. \(X = S \times_{S'} X'\) et \(Y = S \times_{S'} Y'\).

Alors \(f'\) est plat et, pour tout \(y' \in Y'\) dans l’image de \(f'\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) est plat et essentiellement de présentation finie sur \(\mathcal{O}_{S', s'}\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du résultat d’Algèbre, lemme 0CEL.

De nombreuses propriétés des morphismes de schémas sont préservées par les déformations plates considérées dans le lemme précédent.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] d’épaississements. Supposons \(Y' \to S'\) localement de type fini, \(X' \to S'\) plat et localement de présentation finie, \(X = S \times_{S'} X'\) et \(Y = S \times_{S'} Y'\). Alors

1. \(f\) est plat si et seulement si \(f'\) est plat, [0CF5]

2. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f'\) est un isomorphisme, [0CF6]

3. \(f\) est une immersion ouverte si et seulement si \(f'\) est une immersion ouverte, [0CF7]

4. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact, [0CF8]

5. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé, [0CF9]

6. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé, [0CFA]

7. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme, [0CFB]

8. \(f\) est surjectif si et seulement si \(f'\) est surjectif, [0CFC]

9. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif, [0CFD]

10. \(f\) est affine si et seulement si \(f'\) est affine, [0CFE]

11. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini, [0CFF]

12. \(f\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini et de dimension relative \(d\),

13. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert, [0CFH]

14. \(f\) est syntomique si et seulement si \(f'\) est syntomique, [0CFI]

15. \(f\) est lisse si et seulement si \(f'\) est lisse, [0CFJ]

16. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié, [0CFK]

17. \(f\) est étale si et seulement si \(f'\) est étale, [0CFL]

18. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, [0CFM]

19. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini, [0CFN]

20. \(f\) est fini localement libre (de rang \(d\)) si et seulement si \(f'\) est fini localement libre (de rang \(d\)), et

21. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Les hypothèses sur \(X\) et \(Y\) signifient que \(f\) est le changement de base de \(f'\) par \(X \to X'\). Les propriétés \(\mathcal{P}\) énumérées en (1) – (20) ci-dessus sont toutes stables par changement de base ; si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), il en va donc de même de \(f\). Voir Schémas, lemmes 01JY, 01K5, 01KU et 02YC, et Morphismes, lemmes 01S1, 0472, 01SD, 01TM, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL et 02KD.

Dans chaque cas, le sens intéressant consiste donc à supposer que \(f\) possède la propriété et à en déduire que \(f'\) la possède aussi. Faisons quelques remarques générales que l’on utilisera sans autre mention dans les arguments ci-dessous. (I) Soient \(W' \subset S'\) un ouvert affine et \(U' \subset X'\) et \(V' \subset Y'\) des ouverts affines au-dessus de \(W'\) tels que \(f'(U') \subset V'\). Écrivons \(W' = \Spec(R')\) et notons \(I \subset R'\) l’idéal définissant le sous-schéma fermé \(W' \cap S\). Écrivons \(U' = \Spec(B')\) et \(V' = \Spec(A')\). On obtient alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] à lignes exactes. (II) Les morphismes \(X \to X'\) et \(Y \to Y'\) sont des homéomorphismes universels. Les applications \(f\) et \(f'\) ont donc la même topologie (après tout changement de base). (III) Si \(f\) est plat, alors \(f'\) est plat et \(Y' \to S'\) est plat en tout point de l’image de \(f'\), voir le lemme 06AF.

Pour (0CF5). C’est la remarque générale (III).

Pour (0CF6). Supposons que \(f\) soit un isomorphisme. Choisissons un ouvert affine \(V' \subset Y'\) et posons \(U' = (f')^{-1}(V')\). Alors \(V = Y \cap V'\) est affine, ce qui entraîne que \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) est affine. D’après le lemme 06AD, on voit que \(U'\) est affine. On dispose donc d’un diagramme comme dans la remarque générale (I). D’après Algèbre, lemme 07RE, on voit que \(A' \to B'\) est un isomorphisme, c’est-à-dire \(U' \cong V'\). Ainsi, \(f'\) est un isomorphisme.

Pour (0CF7). Supposons que \(f\) soit une immersion ouverte. Alors \(f\) est un isomorphisme de \(X\) sur un sous-schéma ouvert \(V \subset Y\). Soit \(V' \subset Y'\) le sous-schéma ouvert dont l’espace topologique sous-jacent est \(V\). Alors \(f'\) est un morphisme de \(X'\) dans \(V'\), qui est un isomorphisme d’après (0CF6). Ainsi, \(f'\) est une immersion ouverte.

Pour (0CF8). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CF9). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFA). Remarquons que \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\), de sorte que \(X' \times_{Y'} X'\) est un épaississement de \(X \times_Y X\). Les applications \(\Delta_{X/Y}\) et \(\Delta_{X'/Y'}\) ont donc la même topologie, ce qui permet de conclure. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFB). Supposons que \(f\) soit un monomorphisme. Considérons le morphisme diagonal \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\). Remarquons que \(X' \times_{Y'} X' \to S'\) est localement de type fini. Le changement de base de \(\Delta_{X'/Y'}\) par \(S \to S'\) est \(\Delta_{X/Y}\), qui est un isomorphisme par hypothèse. D’après (0CF6), on en déduit que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme.

Pour (0CFC). C’est clair. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFD). C’est immédiat d’après la remarque (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFE). Supposons que \(f\) soit affine. Choisissons un ouvert affine \(V' \subset Y'\) et posons \(U' = (f')^{-1}(V')\). Alors \(V = Y \cap V'\) est affine, ce qui entraîne que \(U = Y \times_{Y'} U'\) est affine. D’après le lemme 06AD, on voit que \(U'\) est affine. Ainsi, \(f'\) est affine. Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFF). Cela résulte du fait que \(f'\) est localement de type fini (d’après Morphismes, lemme 01T8) et du fait que la quasi-finitude d’un morphisme de type fini se vérifie sur les fibres, voir Morphismes, lemme 01TH.

Pour (0CFG). Cela résulte de la remarque générale (II) et du fait que \(f'\) est localement de type fini (Morphismes, lemme 01T8).

Pour (0CFH). C’est immédiat d’après la remarque générale (II). Voir aussi le lemme 09ZV pour un énoncé plus général.

Pour (0CFI). Supposons \(f\) syntomique. D’après Morphismes, lemme 02FV, \(f'\) est localement de présentation finie. D’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat. Les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est syntomique d’après Morphismes, lemme 01UF.

Pour (0CFJ). Supposons \(f\) lisse. D’après Morphismes, lemme 02FV, \(f'\) est localement de présentation finie. D’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat. Les fibres de \(f'\) sont les fibres de \(f\). Ainsi, \(f'\) est lisse d’après Morphismes, lemme 01V8.

Pour (0CFK). Supposons \(f\) non ramifié. D’après Morphismes, lemme 01T8, \(f'\) est localement de type fini. Les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est non ramifié d’après Morphismes, lemme 02G8.

Pour (0CFL). Supposons \(f\) étale. D’après Morphismes, lemme 02FV, \(f'\) est localement de présentation finie. D’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat. Les fibres de \(f'\) sont celles de \(f\). Ainsi, \(f'\) est étale d’après Morphismes, lemme 02GM.

Pour (0CFM). Cela résulte de la combinaison de (0CFA), du fait que \(f\) est localement de type fini (Morphismes, lemme 01T8), de (0CF8) et de (0CF9).

Pour (0CFN). Combiner (0CF9), (0CFE), Morphismes, lemme 01WM, le fait que \(f\) est localement de type fini (Morphismes, lemme 01T8) et Morphismes, lemme 01WJ.

Pour (0CFP). Supposons \(f\) fini localement libre. D’après (0CFN), on voit que \(f'\) est fini. D’après la remarque générale (III), \(f'\) est plat. D’après Morphismes, lemme 02FV, \(f'\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(f'\) est fini localement libre d’après Morphismes, lemme 02KB.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas propre, plat et de présentation finie. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau \(f\)-ample. Supposons \(S\) quasi-compact. Il existe un entier \(d_0 \geq 0\) tel que, pour tout diagramme cartésien \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{i'} \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ S \ar[r]^i & S' } } \quad\text{et}\quad \begin{matrix} \text{un }\mathcal{O}_{X'}\text{-module inversible}\\ \mathcal{L}'\text{ avec }\mathcal{L} \cong (i')^*\mathcal{L}' \end{matrix}\] où \(S \subset S'\) est un épaississement et où \(f'\) est propre, plat et de présentation finie, on ait

1. \(R^p(f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\) pour tous \(p > 0\) et \(d \geq d_0\),

2. \(\mathcal{A}'_d = (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) est localement libre de rang fini pour \(d \geq d_0\),

3. \(\mathcal{A}' = \mathcal{O}_{S'} \oplus \bigoplus_{d \geq d_0} \mathcal{A}'_d\) est une \(\mathcal{O}_{S'}\)-algèbre quasi-cohérente de présentation finie,

4. il existe un isomorphisme canonique \(r' : X' \to \underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')\), et

5. il existe un isomorphisme canonique \(\theta' : (r')^*\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')}(1) \to \mathcal{L}'\).

La construction de \(\mathcal{A}'\), \(r'\), \(\theta'\) est fonctorielle en les données \((X', S', i, i', f', \mathcal{L}')\).

Démonstration

Décrivons d’abord les morphismes \(r'\) et \(\theta'\). Remarquons que \(\mathcal{L}'\) est \(f'\)-ample, voir le lemme 0D2R. Il existe un homomorphisme canonique de \(\mathcal{O}_{S'}\)-algèbres graduées quasi-cohérentes \(\mathcal{A}' \to \bigoplus_{d \geq 0} (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) qui est un isomorphisme en degrés \(\geq d_0\). Il induit donc un isomorphisme des Proj relatifs, compatible avec les faisceaux structuraux tordus de Serre, voir Constructions, lemme 07ZJ. On obtient ainsi le morphisme \(r'\) par Morphismes, lemme 01VJ (qui utilise à son tour la construction donnée dans Constructions, lemme 01O9), et c’est un isomorphisme d’après Morphismes, lemme 0C6J. L’homomorphisme \(\theta'\) est fourni par Constructions, lemme 01O9. D’après Propriétés, lemme 01QI, on voit que \(\theta'\) est un isomorphisme (on utilise aussi le fait que le morphisme \(r'\), au-dessus des ouverts affines de \(S'\), est le même que celui de Propriétés, lemme 01PZ, comme l’explique la démonstration de Morphismes, lemme 0C6J).

En admettant l’annulation et la liberté locale énoncées en (1) et (2), on peut voir la fonctorialité de la construction comme suit. Soit \(h : T \to S'\) un morphisme de schémas ; notons \(f_T : X'_T \to T\) le changement de base de \(f'\) et \(\mathcal{L}_T\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(X'_T\). Par les théorèmes de cohomologie et changement de base (tels qu’ils sont formulés, par exemple, dans Catégories dérivées des schémas, lemme 08IB), on a l’annulation correspondante sur \(T\) et, de plus, \(h^*\mathcal{A}'_d = f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d}\) (donc aussi la liberté locale des images directes, ainsi que le caractère de type fini de la \(\mathcal{O}_T\)-algèbre graduée correspondante \(\mathcal{A}_T\)). Ainsi, le morphisme \(r_T : X_T \to \underline{\text{Proj}}_T(\bigoplus f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d})\) est simplement le changement de base de \(r'\) à \(T\), et l’image inverse de \(\theta'\) est l’homomorphisme \(\theta_T\).

Après ces observations, on voit qu’il suffit de prouver (1), (2) et (3). Choisissons \(d_0\) tel que \(R^pf_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\) pour tous \(d \geq d_0\) et \(p > 0\), voir Cohomologie des schémas, lemme 0B5T. On affirme que \(d_0\) convient.

Par les théorèmes de cohomologie et changement de base (Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91), on voit que \(E'_d = Rf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_{S'})\) et que sa formation commute à tout changement de base. En particulier, \(E_d = Li^*E'_d = Rf_*\mathcal{L}^{\otimes d}\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0D4E, on voit que, pour \(d \geq d_0\), le complexe \(E_d\) est isomorphe au \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini \(f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) placé en degré cohomologique \(0\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0BDK, on en déduit que \(E'_d\) est isomorphe à un module localement libre de rang fini placé en degré cohomologique \(0\). Bien entendu, cela signifie que \(E'_d = \mathcal{A}'_d[0]\), que \(R^pf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\) pour \(p > 0\) et que \(\mathcal{A}'_d\) est localement libre de rang fini. Cela prouve (1) et (2).

Il reste à montrer que \(\mathcal{A}'\) est de présentation finie comme faisceau de \(\mathcal{O}_{S'}\)-algèbres (cette notion a été introduite dans Propriétés, section 01PD). Soit \(U' = \Spec(R') \subset S'\) un ouvert affine. Alors \(A' = \mathcal{A}'(U')\) est une \(R'\)-algèbre graduée dont les composantes homogènes sont des \(R'\)-modules projectifs de type fini. Il faut montrer que \(A'\) est une \(R'\)-algèbre de présentation finie. On le prouvera en se ramenant au cas noethérien. En effet, on peut trouver une sous-\(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini \(R'_0 \subset R'\) et un couple¹ \((X'_0, \mathcal{L}'_0)\) sur \(R'_0\) dont le changement de base est \((X'_{U'}, \mathcal{L}'|_{X'_{U'}})\), voir Limites, lemmes 01ZR, 0B8W, 081F, 04AI et 09MT. Cohomologie des schémas, lemme 0B5T, entraîne que \(A'_0 = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d})\) est une \(R'_0\)-algèbre graduée de type fini et qu’il existe un entier \(d'_0\) tel que \(H^p(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) = 0\), \(p > 0\), pour \(d \geq d'_0\). En appliquant les arguments ci-dessus à \(X'_0 \to \Spec(R'_0)\) et \(\mathcal{L}'_0\), on voit que \((A'_0)_d\) est un \(R'_0\)-module projectif de type fini et que \[A'_d = \mathcal{A}'_d(U') = H^0(X'_{U'}, (\mathcal{L}')^{\otimes d}|_{X'_{U'}}) = H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) \otimes_{R'_0} R' = (A'_0)_d \otimes_{R'_0} R'\] pour \(d \geq d'_0\). Une petite difficulté est que l’on ne sait pas si l’on peut choisir \(d'_0\) égal à \(d_0\)². Pour la contourner, on achève la démonstration par la succession d’arguments suivante :

1. L’algèbre \(B = R'_0 \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} (A'_0)_d\) est une \(R'_0\)-algèbre de type fini : appliquer le lemme d’Artin–Tate à \(B \subset A'_0\), voir Algèbre, lemme 00IS.

2. Puisque \(R'_0\) est noethérien, on voit que \(B\) est une \(R'_0\)-algèbre de présentation finie.

3. Par exactitude à droite du produit tensoriel, on voit que \(B \otimes_{R'_0} R'\) est une \(R'\)-algèbre de présentation finie.

4. D’après les égalités affichées, cela signifie exactement que \(C = R' \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} A'_d\) est une \(R'\)-algèbre de présentation finie.

5. Le quotient \(A'/C\) est la somme directe des \(R'\)-modules projectifs de type fini \(A'_d\), \(d_0 \leq d \leq \max(d_0, d'_0)\) ; il est donc de présentation finie comme \(R'\)-module.

6. Le quotient \(A'/C\) est de présentation finie comme \(C\)-module d’après Algèbre, lemme 0561.

7. Ainsi, \(A'\) est de présentation finie comme \(C\)-module d’après Algèbre, lemme 0519.

8. D’après Algèbre, lemme 0D46, cela entraîne que \(A'\) est de présentation finie comme \(C\)-algèbre.

9. Enfin, d’après Algèbre, lemme 00F4, appliqué à \(R' \to C \to A'\), cela entraîne que \(A'\) est de présentation finie comme \(R'\)-algèbre.

Cela achève la démonstration.

Morphismes formellement lisses

Selon Michael Artin, les critères différentiels de lissité (par exemple, Morphismes, lemme 01V9) sont essentiellement inutiles (en pratique). Dans cette section, on introduit la notion de morphisme formellement lisse \(X \to S\). Un tel morphisme est caractérisé par la propriété que les points à valeurs dans \(T\) de \(X\) se relèvent aux épaississements infinitésimaux de \(T\), pourvu que \(T\) soit affine. Le résultat principal est qu’un morphisme formellement lisse et localement de présentation finie est lisse, voir le lemme 02H6. Il se trouve que ce critère est souvent plus facile à utiliser que les critères différentiels mentionnés ci-dessus.

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit formellement lisse (voir Algèbre, définition 00TI) si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] où \(I \subset B\) est un idéal de carré nul, il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Cela conduit à l’analogue suivant pour les morphismes de schémas.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. On dit que \(f\) est formellement lisse si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(S\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Dans le cas des morphismes formellement non ramifiés et formellement étales, on pouvait omettre la condition que \(T'\) soit affine, voir les lemmes 04F1 et 04FD. Ce n’est plus vrai dans le cas des morphismes formellement lisses. Une condition légèrement plus naturelle serait, en fait, que l’on puisse compléter le diagramme par la flèche pointillée localement pour la topologie de Zariski sur \(T'\). L’analyse de la démonstration du lemme 0D0F montre que cette condition serait équivalente à la définition actuelle. En particulier, la propriété d’être formellement lisse est locale sur la source pour la topologie de Zariski (et même pour la topologie lisse ; insérer ici une référence ultérieure).

Lemme

Un composé de morphismes formellement lisses est formellement lisse.

Démonstration

Omise.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme formellement lisse est formellement lisse.

Démonstration

Omise ; voir cependant Algèbre, lemme 00TJ, pour la version algébrique.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est formellement étale si et seulement si \(f\) est formellement lisse et formellement non ramifié.

Démonstration

Omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset S\) des sous-schémas ouverts tels que \(f(U) \subset V\). Si \(f\) est formellement lisse, il en va de même de \(f|_U : U \to V\).

Démonstration

Considérons un diagramme de flèches pleines \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la définition 02H0. Si \(f\) est formellement lisse, il existe un \(S\)-morphisme \(a' : T' \to X\) tel que \(a'|_T = a\). Puisque \(T\) et \(T'\) ont le même ensemble sous-jacent, on voit que \(a'\) est un morphisme à valeurs dans \(U\) (voir Schémas, section 01HD). C’est manifestement aussi un \(V\)-morphisme. On obtient donc la flèche pointillée voulue.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(X\) et \(S\) soient affines. Alors \(f\) est formellement lisse si et seulement si \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) est un homomorphisme d’anneaux formellement lisse.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions (définition 02H0 et Algèbre, définition 00TI), par l’équivalence entre les catégories des anneaux et des schémas affines, voir Schémas, lemme 01I2.

Le lemme suivant est le résultat principal de cette section. C’est une victoire du point de vue fonctoriel : combiné avec Limites, proposition 01ZC, il permet de reconnaître si un morphisme \(f : X \to S\) est lisse à l’aide de propriétés « simples » du foncteur \(h_X : \Sch/S \to \textit{Ensembles}\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est lisse, et

2. le morphisme \(f\) est localement de présentation finie et formellement lisse.

Démonstration

Supposons \(f : X \to S\) localement de présentation finie et formellement lisse. Considérons deux ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\). D’après le lemme 02H3, on voit que \(U \to V\) est formellement lisse. D’après le lemme 02H4, on voit que \(R \to A\) est formellement lisse. D’après Morphismes, lemme 01TQ, on voit que \(R \to A\) est de présentation finie. D’après Algèbre, proposition 00TN, on voit que \(R \to A\) est lisse. La définition d’un morphisme lisse montre donc que \(X \to S\) est lisse.

Réciproquement, supposons que \(f : X \to S\) soit lisse. Considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la définition 02H0. On montrera que la flèche pointillée existe, ce qui prouvera que \(f\) est formellement lisse.

Soit \(\mathcal{F}\) le faisceau d’ensembles sur \(T'\) du lemme 04FH, dans le cas particulier étudié à la remarque 04FK. Soit \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\] le faisceau de \(\mathcal{O}_T\)-modules muni de l’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) donnée par le lemme 04FJ. Il s’agit simplement de montrer que \(\mathcal{F}(T) \not = \emptyset\). Autrement dit, on cherche à montrer que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{H}\)-torseur trivial sur \(T\) (voir Cohomologie, section 02FN). Il y a deux étapes : (I) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur, il faut montrer que \(\mathcal{F}_t \not = \emptyset\) pour tout \(t \in T\) (voir Cohomologie, définition 02FO). (II) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est le torseur trivial, il suffit de montrer que \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\) (voir Cohomologie, lemme 02FQ – on peut utiliser la cohomologie de \(\mathcal{H}\) comme faisceau abélien ou comme \(\mathcal{O}_T\)-module, voir Cohomologie, lemme 01F1).

Prouvons d’abord (I). Pour tout \(t \in T\), on peut choisir un voisinage ouvert affine \(U \subset T\) de \(t\) tel que \(a(U)\) soit contenu dans un ouvert affine \(\Spec(A) = W \subset X\) qui s’envoie dans un ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\). D’après Morphismes, lemme 01V6, l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est lisse. D’après Algèbre, proposition 00TN, l’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est donc formellement lisse. Le lemme 02H4 entraîne à son tour que \(W \to V\) est formellement lisse. On peut donc relever \(a|_U : U \to W\) en un \(V\)-morphisme \(a' : U' \to W \subset X\), ce qui montre que \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\).

Prouvons enfin (II). D’après Morphismes, lemme 01V3, on voit que \(\Omega_{X/S}\) est de présentation finie (il est même localement libre de rang fini d’après Morphismes, lemme 02G1). Ainsi, \(a^*\Omega_{X/S}\) est de présentation finie (voir Modules, lemme 01BQ). Le faisceau \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\) est donc quasi-cohérent d’après la discussion de Schémas, section 01LA. D’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB, on a donc \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\), comme voulu.

Les modules quasi-cohérents localement projectifs sont définis dans Propriétés, section 05JN.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas formellement lisse. Alors \(\Omega_{X/Y}\) est localement projectif sur \(X\).

Démonstration

Choisissons des ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\). D’après le lemme 02H3, \(f|_U : U \to V\) est formellement lisse. Ainsi, \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) est un homomorphisme d’anneaux formellement lisse, voir le lemme 02H4. D’après Algèbre, lemme 031I, le \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-module \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) est donc projectif. Ainsi, \(\Omega_{U/V}\) est localement projectif, voir Propriétés, section 05JN.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_T\)-modules quasi-cohérents. Considérons \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\). Si \(\mathcal{F}\) est localement projectif, alors \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\).

Démonstration

D’après la définition d’un faisceau localement projectif sur un schéma (voir Propriétés, définition 05JP), on voit que \(\mathcal{F}\) est un facteur direct d’un \(\mathcal{O}_T\)-module libre. On peut donc supposer que \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\) est un module libre. Dans ce cas, \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\) est un produit de modules quasi-cohérents. D’après Cohomologie, lemme 0D0A, on en déduit que \(H^1 = 0\), car la cohomologie d’un faisceau quasi-cohérent sur un schéma affine est nulle, voir Cohomologie des schémas, lemme 01XB.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement lisse,

2. pour tout \(x \in X\), il existe des ouverts \(x \in U \subset X\) et \(f(x) \in V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\) tels que \(f|_U : U \to V\) soit formellement lisse,

3. pour tout couple d’ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) avec \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est formellement lisse, et

4. il existe un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup V_j\) et, pour chaque \(j\), un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) tels que \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) soit un homomorphisme d’anneaux formellement lisse pour tous \(j\) et \(i\).

Démonstration

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2), (1) \(\Rightarrow\) (3) et (2) \(\Rightarrow\) (4) résultent du lemme 02H3. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (4) est immédiate.

Supposons (4). La démonstration du fait que \(f\) est formellement lisse est la même que la seconde partie de la démonstration du lemme 02H6. Considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la définition 02H0. On montrera que la flèche pointillée existe, ce qui prouvera que \(f\) est formellement lisse. Soit \(\mathcal{F}\) le faisceau d’ensembles sur \(T'\) du lemme 04FH, dans le cas particulier étudié à la remarque 04FK. Soit \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] le faisceau de \(\mathcal{O}_T\)-modules sur \(T\) muni de l’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) du lemme 04FJ. L’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) fait de \(\mathcal{F}\) un pseudo-\(\mathcal{H}\)-torseur, voir Cohomologie, définition 02FO. Il s’agit de montrer que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{H}\)-torseur trivial. Il y a deux étapes : (I) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur, il faut montrer que \(\mathcal{F}\) possède localement une section. (II) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est le torseur trivial, il suffit de montrer que \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\), voir Cohomologie, lemme 02FQ.

Prouvons d’abord (I). Pour tout \(t \in T\), on peut choisir un voisinage ouvert affine \(W \subset T\) de \(t\) tel que \(a(W)\) soit contenu dans \(U_{ji}\) pour certains \(i, j\). Soit \(W' \subset T'\) le sous-schéma ouvert correspondant. Par l’hypothèse (4), on peut relever \(a|_W : W \to U_{ji}\) en un \(V_j\)-morphisme \(a' : W' \to U_{ji}\), ce qui montre que \(\mathcal{F}(W')\) est non vide.

Prouvons enfin (II). D’après le lemme 06B5, on voit que \(\Omega_{U_{ji}/V_j}\) est localement projectif. Ainsi, \(\Omega_{X/Y}\) est localement projectif, voir Propriétés, lemme 05JQ. Ainsi, \(a^*\Omega_{X/Y}\) est localement projectif, voir Propriétés, lemme 060M. On a donc \[H^1(T, \mathcal{H}) = H^1(T, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})) = 0\] d’après le lemme 0D0E, comme voulu.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\), \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Supposons \(f\) formellement lisse. Alors \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] (voir Morphismes, lemme 01UX) est une suite exacte courte.

Démonstration

La version algébrique de ce lemme est la suivante : pour des homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\) avec \(B \to C\) formellement lisse, la suite \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] donnée dans Algèbre, lemme 00RS, est exacte. C’est Algèbre, lemme 031K.

Lemme

Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié de schémas sur \(S\). Supposons que \(Z\) soit formellement lisse sur \(S\). Alors la suite exacte canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] du lemme 04FC est une suite exacte courte.

Démonstration

Soit \(Z \to Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). La démonstration du lemme 04FC montre que notre suite s’identifie à la suite \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] Puisque \(Z \to S\) est formellement lisse, on peut trouver, localement sur \(Z'\), un inverse à gauche \(Z' \to Z\) sur \(S\) de l’inclusion \(Z \to Z'\). La suite est donc localement scindée, voir Morphismes, lemme 0474.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] un diagramme commutatif de schémas où \(i\) et \(j\) sont formellement non ramifiés et où \(f\) est formellement lisse. Alors la suite exacte canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] du lemme 067V est exacte et localement scindée.

Démonstration

Notons \(Z \to Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Notons \(Z \to Z''\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\). D’après le lemme 04FC, il existe un morphisme canonique \(Z' \to Z''\) donnant un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] Dans la démonstration du lemme 067V, on a identifié la suite ci-dessus à la suite \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] Soit \(U'' \subset Z''\) un ouvert affine. Notons \(U \subset Z\) et \(U' \subset Z'\) les sous-schémas ouverts affines correspondants. Comme \(f\) est formellement lisse, il existe un morphisme \(h : U'' \to X\) qui coïncide avec \(i\) sur \(U\) et tel que \(f \circ h\) soit égal à \(b|_{U''}\). Puisque \(Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre, on obtient un unique morphisme \(g : U'' \to Z'\) tel que \(g = a \circ h\). La propriété universelle de \(Z''\) entraîne que \(k \circ g\) est l’inclusion \(U'' \to Z''\). Ainsi, \(g\) est un inverse à droite de \(k\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] Ainsi, \(g\) induit un homomorphisme \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\) qui est un inverse à gauche de l’homomorphisme \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) sur \(U\).

Lissité sur une base noethérienne

Lorsque la base est noethérienne, on peut alléger la formulation de la lissité formelle. En un certain sens, les lemmes suivants constituent les premiers éléments de la théorie des déformations.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse en \(x\),

2. pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] où \(B' \to B\) est une surjection d’anneaux locaux telle que \(\Ker(B' \to B)\) soit de carré nul et où \(\alpha\) envoie le point fermé de \(\Spec(B)\) sur \(x\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif,

3. même condition qu’en (2), mais en faisant parcourir à \(B' \to B\) les petites extensions (voir Algèbre, définition 02HS), et

4. même condition qu’en (2), mais en faisant parcourir à \(B' \to B\) les petites extensions telles que \(\alpha\) induise un isomorphisme \(\kappa(x) \to \kappa(\mathfrak m)\), où \(\mathfrak m \subset B\) est l’idéal maximal.

Démonstration

Choisissons un voisinage affine \(V \subset S\) de \(f(x)\) et un voisinage affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(f(U) \subset V\). Pour tout diagramme « test » comme en (2), le morphisme \(\alpha\) enverra \(\Spec(B)\) dans \(U\) et le morphisme \(\beta\) enverra \(\Spec(B')\) dans \(V\) (voir Schémas, section 01J5). Le lemme se ramène donc au morphisme \(f|_U : U \to V\) de schémas affines. (En effet, \(V\) est noethérien et \(f|_U\) est de type fini, voir Propriétés, lemme 01OW, et Morphismes, lemme 01T2.) Dans ce cas affine, le lemme est identique à Algèbre, lemme 02HT.

Il est parfois utile de savoir qu’il suffit de vérifier le critère de relèvement pour les petites extensions « centrées » en des points de type fini (voir Morphismes, section 01T9).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse,

2. pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] où \(B' \to B\) est une petite extension d’anneaux locaux artiniens et où \(\beta\) est de type fini (!), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Si \(f\) est lisse, le critère de relèvement infinitésimal (lemme 02H6) affirme que \(f\) est formellement lisse, et (2) est vérifiée.

Supposons (2). L’ensemble des points \(x \in X\) où \(f\) n’est pas lisse forme un fermé \(T\) de \(X\). D’après la discussion de Morphismes, section 01T9, si \(T \not = \emptyset\), il existe un point \(x \in T \subset X\) tel que le morphisme \[\Spec(\kappa(x)) \to X \to S\] soit de type fini (il suffit de choisir un point \(x\) de \(T\) qui soit fermé dans un ouvert affine de \(X\)). D’après Morphismes, lemme 02HV, pour tout anneau local artinien \(B'\) de corps résiduel \(\kappa(x)\), tout morphisme \(\beta : \Spec(B') \to S\) est de type fini. Ainsi, on voit que tous les diagrammes utilisés dans le lemme 02HX (4) correspondent à des diagrammes du présent lemme (2). Donc \(X \to S\) est lisse en \(x\), contradiction.

Voici une application utile.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini entre schémas localement noethériens. Soit \(Z \subset S\) un sous-schéma fermé de voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) \(Z_n \subset S\). Posons \(X_n = Z_n \times_S X\).

1. Si \(X_n \to Z_n\) est lisse pour tout \(n\), alors \(f\) est lisse en tout point de \(f^{-1}(Z)\).

2. Si \(X_n \to Z_n\) est étale pour tout \(n\), alors \(f\) est étale en tout point de \(f^{-1}(Z)\).

Démonstration

Supposons \(X_n \to Z_n\) lisse pour tout \(n\). Soit \(x \in X\) un point au-dessus d’un point de \(Z\). Étant donnés une petite extension \(B' \to B\) et des morphismes \(\alpha\), \(\beta\) comme dans le lemme 02HX (3), l’idéal maximal de \(B'\) est nilpotent (puisque \(B'\) est artinien) ; le morphisme \(\beta\) se factorise donc par \(Z_n\) et \(\alpha\) par \(X_n\) pour un entier \(n\) convenable. La propriété de relèvement de \(X_n \to Z_n\) fournit alors la flèche pointillée voulue. Cela prouve (1). Le point (2) résulte de (1) et du fait qu’un morphisme est étale si et seulement s’il est lisse de dimension relative \(0\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(Z \subset S\) un sous-schéma fermé de voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) \(Z_n \subset S\). Posons \(X_n = Z_n \times_S X\). Si \(X_n \to Z_n\) est plat pour tout \(n\), alors \(f\) est plat en tout point de \(f^{-1}(Z)\).

Démonstration

C’est la traduction d’Algèbre, lemme 0523, dans le langage des schémas.

Le complexe cotangent naïf

Cette section poursuit Modules, section 08TG, qui prolonge elle-même la discussion d’Algèbre, section 00S0.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Le complexe cotangent naïf de \(f\) est le complexe défini dans Modules, définition 08TN. Notation : \(\NL_f\) ou \(\NL_{X/Y}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soient \(\Spec(A) = U \subset X\) et \(\Spec(R) = V \subset S\) des ouverts affines tels que \(f(U) \subset V\). Il existe un morphisme canonique \[\widetilde{\NL_{A/R}} \longrightarrow \NL_{X/Y}|_U\] de complexes, qui est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

La construction de \(\NL_{X/Y}\) dans Modules, section 08TG, fournit un morphisme canonique de complexes \(\NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to \NL_{X/Y}(U)\) de \(A = \mathcal{O}_X(U)\)-modules, compatible aux restrictions ultérieures. À l’aide de l’homomorphisme canonique \(R \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\), on obtient un morphisme canonique \(\NL_{A/R} \to \NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\) de complexes de \(A\)-modules. Par la propriété universelle du foncteur \(\widetilde{\ }\) (voir Schémas, lemme 01I7), on obtient un morphisme comme dans l’énoncé du lemme. Pour vérifier qu’il induit des isomorphismes sur les faisceaux de cohomologie, on peut vérifier qu’il induit des isomorphismes sur leurs fibres. Cela résulte des résultats d’Algèbre, lemmes 07BS et 00S7, et de Modules, lemme 0D09 (ainsi que de la description des fibres de \(\mathcal{O}_X\) et \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) en un point \(\mathfrak p \in \Spec(A)\) comme \(A_\mathfrak p\) et \(R_\mathfrak q\), où \(\mathfrak q = R \cap \mathfrak p\) ; les références utilisées sont Schémas, lemme 01HV, et Faisceaux, lemme 008H).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les faisceaux de cohomologie du complexe \(\NL_{X/Y}\) sont quasi-cohérents, nuls en dehors des degrés \(-1\), \(0\), et égaux à \(\Omega_{X/Y}\) en degré \(0\).

Démonstration

Par construction du complexe cotangent naïf dans Modules, section 08TG, \(\NL_{X/Y}\) est un complexe placé en degrés \(-1\), \(0\), et sa cohomologie en degré \(0\) est \(\Omega_{X/Y}\). Le faisceau des différentielles est quasi-cohérent (d’après Morphismes, lemme 08S2). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\) est quasi-cohérent. Cela se vérifie sur les ouverts affines à l’aide du lemme 0D0I.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est localement de présentation finie, alors \(\NL_{X/Y}\) est, localement sur \(X\), quasi-isomorphe à un complexe \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, où \(\mathcal{F}^0\) est de présentation finie et \(\mathcal{F}^{-1}\) de type fini.

Démonstration

D’après le lemme 0D0I, il suffit de montrer que \(\NL_{A/R}\) a cette forme si \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Écrivons \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\) avec \(I\) de type fini. Alors \(I/I^2\) est un \(A\)-module de type fini et \(\NL_{A/R}\) est quasi-isomorphe à \[\ldots \to 0 \to I/I^2 \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A\text{d}x_i \to 0 \to \ldots\] d’après Algèbre, section 00S0, et en particulier Algèbre, lemme 00S1.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement lisse,

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) et \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) est localement projectif.

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, proposition 031J, et du lemme 0D0F.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

Démonstration

Un morphisme formellement étale est formellement lisse ; on a donc \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) d’après le lemme 0D0L. D’autre part, on a \(\Omega_{X/Y} = 0\) d’après le lemme 04FE. Réciproquement, si (2) est vérifiée, alors \(f\) est formellement lisse d’après le lemme 0D0L et formellement non ramifié d’après le lemme 02H9, donc formellement étale d’après le lemme 02HH.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse, et

2. \(f\) est localement de présentation finie, \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\), et \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) est localement libre de rang fini.

Démonstration

Cela résulte de la définition d’un homomorphisme d’anneaux lisse (Algèbre, définition 00T2), du lemme 0D0I et de la définition d’un morphisme de schémas lisse (Morphismes, définition 01V5). On utilise aussi le fait que, pour les modules sur un anneau, être localement libre de rang fini équivaut à être projectif de type fini (Algèbre, lemme 00NX).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est étale, et

2. \(f\) est localement de présentation finie et \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

Démonstration

Cela résulte de la définition d’un homomorphisme d’anneaux étale (Algèbre, définition 00U1), du lemme 0D0I et de la définition d’un morphisme de schémas étale (Morphismes, définition 02GI).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Alors \(\NL_{Z/X}\) est isomorphe à \(\mathcal{C}_{Z/X}[1]\) dans \(D(\mathcal{O}_Z)\), où \(\mathcal{C}_{Z/X}\) est le faisceau conormal de \(Z\) dans \(X\).

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, lemme 07BP, de Morphismes, lemme 01R3, et du lemme 0D0I.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas. Il existe une suite exacte canonique à six termes \[H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Y}) \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] de faisceaux de cohomologie.

Démonstration

C’est un cas particulier de Modules, lemme 0E1Z.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes de schémas. Supposons que \(X \to Y\) soit un morphisme d’intersection complète. Il existe alors un triangle distingué canonique \[f^*\NL_{Y/Z} \to \NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y} \to f^*\NL_{Y/Z}[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), qui redonne la suite exacte à \(6\) termes du lemme 0E44.

Démonstration

Il suffit de montrer que le morphisme canonique \[f^*\NL_{Y/Z} \to \text{Cone}(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y})[-1]\] de Modules, lemme 0E1Z, est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Pour cela, il suffit de montrer que la suite à \(6\) termes commence par un zéro à gauche, c’est-à-dire que \(H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z})\) est injectif. Localement sur les ouverts affines, cela résulte du résultat algébrique correspondant dans Compléments d’algèbre, lemme 07D4. Pour effectuer cette traduction algébrique, utiliser le lemme 0D0I.

Lemme

Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes de schémas. Supposons \(X \to Z\) lisse et \(Y \to Z\) étale. Alors \(X \to Y\) est lisse.

Démonstration

Le morphisme \(X \to Y\) est localement de présentation finie d’après Morphismes, lemme 02FV. D’après le lemme 0D0N, on a \(H^{-1}(\NL_{X/Z}) = 0\) et le module \(\Omega_{X/Z}\) est localement libre de rang fini. D’après le lemme 0G7Z, on a \(H^{-1}(\NL_{Y/Z}) = H^0(\NL_{Y/Z}) = 0\). D’après le lemme 0E44, on obtient \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) et \(\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X/Z}\) est localement libre de rang fini. D’après le lemme 0D0N, le morphisme \(X \to Y\) est lisse.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas qui se factorise en \(f = g \circ i\), où \(i\) est une immersion et \(g : P \to Y\) est formellement lisse (par exemple lisse). Il existe alors un isomorphisme canonique \[\NL_{X/Y} \cong \left(\mathcal{C}_{X/P} \to i^*\Omega_{P/Y}\right)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), où le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{X/P}\) est placé en degré \(-1\).

Démonstration

(Pour l’assertion entre parenthèses, voir le lemme 02H6.) D’après les lemmes 0FV2 et 0D0L, on a \(\NL_{X/P} = \mathcal{C}_{X/P}[1]\) et \(\NL_{P/Y} = \Omega_{P/Y}\), avec \(\Omega_{P/Y}\) localement projectif. Cela entraîne que \(i^*\NL_{P/Y} \to i^*\Omega_{P/Y}\) est aussi un quasi-isomorphisme (un petit détail est omis ; la raison est que \(i^*\NL_{P/Y}\) est la même chose que \(\tau_{\geq -1}Li^*\NL_{P/Y}\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0FUY). Ainsi, le morphisme canonique \[i^*\NL_{P/Y} \to \text{Cone}(\NL_{X/Y} \to \NL_{X/P})[-1]\] de Modules, lemme 0E1Z, est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\), car le groupe de cohomologie \(H^{-1}(i^*\NL_{P/Y})\) est nul d’après ce qui précède. Autrement dit, on dispose d’un triangle distingué \[i^*\NL_{P/Y} \to \NL_{X/Y} \to \NL_{X/P} \to i^*\NL_{P/Y}[1]\] Cela signifie manifestement que \(\NL_{X/Y}\) est le cône du morphisme \(\NL_{X/P}[-1] \to i^*\NL_{P/Y}\), ce qui équivaut à l’énoncé du lemme, d’après le calcul effectué ci-dessus des faisceaux de cohomologie de ces objets de la catégorie dérivée.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] Le morphisme canonique \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) induit un isomorphisme sur \(H^0\) et une surjection sur \(H^{-1}\).

Démonstration

La traduction algébrique de cet énoncé est Compléments d’algèbre, lemme 0FUZ. Pour effectuer la traduction, utiliser le lemme 0D0I.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] Si \(Y' \to Y\) est plat, alors le morphisme canonique \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 0D0I, cela résulte d’Algèbre, lemme 00S4.

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] Si \(X \to Y\) est plat, alors le morphisme canonique \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) est un quasi-isomorphisme. Si, de plus, \(\NL_{X/Y}\) a une amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\), alors \(L(g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) est aussi un quasi-isomorphisme.

Démonstration

La traduction algébrique de cet énoncé est Compléments d’algèbre, lemme 0FJU. Pour effectuer la traduction, utiliser le lemme 0D0I et Catégories dérivées des schémas, lemmes 06Z0 et 08E9.

Sommes amalgamées dans la catégorie des schémas, I

Dans cette section, on construit les sommes amalgamées de \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) lorsque \(X \to Y\) est affine et que \(X \to X'\) est un épaississement. Ce cas jouera un rôle important par la suite, ce qui justifie une discussion détaillée. Dans la section 0ECH, on traite un cas plus intéressant et plus difficile. Voir Catégories, section 0025, pour une discussion générale des sommes amalgamées dans une catégorie quelconque.

Lemme

Soient \(A' \to A\) une surjection d’anneaux et \(B \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(B' = B \times_A A'\) le produit fibré d’anneaux. Posons \(S = \Spec(A)\), \(S' = \Spec(A')\), \(T = \Spec(B)\) et \(T' = \Spec(B')\). Alors \[\vcenter{ \xymatrix{ S \ar[r]_i \ar[d]_f & S' \ar[d]^{f'} \\ T \ar[r]^{i'} & T' } } \quad\text{correspondant à}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] } }\] est une somme amalgamée de schémas.

Démonstration

D’après Compléments d’algèbre, lemme 0B7J, on a \(T' = T \amalg_S S'\) comme espaces topologiques, c’est-à-dire que le diagramme est une somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. Considérons ensuite l’homomorphisme \[((i')^\sharp, (f')^\sharp) : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow i'_*\mathcal{O}_T \times_{g_*\mathcal{O}_S} f'_*\mathcal{O}_{S'}\] où \(g = i' \circ f = f' \circ i\). On affirme que cet homomorphisme est un isomorphisme de faisceaux d’anneaux. En effet, on peut considérer les deux membres comme des \(\mathcal{O}_{T'}\)-modules quasi-cohérents (utiliser Schémas, lemme 01LC, pour le membre de droite), et l’homomorphisme est \(\mathcal{O}_{T'}\)-linéaire. Il suffit donc de montrer qu’il est un isomorphisme au niveau des sections globales (Schémas, lemme 01IB). Sur les sections globales, on retrouve l’identification \(B' \to B \times_A A'\) de l’énoncé du lemme (c’est ainsi que l’on a choisi \(B'\)).

Soit \(X\) un schéma. Supposons donnés des morphismes de schémas \(m' : S' \to X\) et \(n : T \to X\) tels que \(m' \circ i = n \circ f\) (notons ce morphisme \(m\)). On obtient une unique application d’espaces topologiques \(n' : T' \to X\) compatible avec \(m'\) et \(n\), puisque \(T' = T \amalg_S S'\) (voir ci-dessus). D’après la description de \(\mathcal{O}_{T'}\) au paragraphe précédent, on obtient un unique homomorphisme de faisceaux d’anneaux \[(n')^\sharp : \mathcal{O}_X \longrightarrow (n')_*\mathcal{O}_{T'} = m'_*\mathcal{O}_T \times_{m_*\mathcal{O}_T} n_*\mathcal{O}_S\] donné par \((m')^\sharp\) et \(n^\sharp\). Ainsi, \((n', (n')^\sharp)\) est l’unique morphisme d’espaces annelés \(T' \to X\) compatible avec \(m'\) et \(n\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(n'\) est un morphisme de schémas, c’est-à-dire un morphisme d’espaces localement annelés.

Soit \(t' \in T'\) d’image \(x \in X\). Il faut montrer que \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'}\) est local. Si \(t' \not \in T\), alors \(t'\) est l’image d’un unique point \(s' \in S'\) et \(\mathcal{O}_{T', t'} = \mathcal{O}_{S', s'}\). En effet, \(S' \setminus S \to T' \setminus T\) est un isomorphisme de schémas, car \(B' \to A'\) induit un isomorphisme \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\). Si \(t'\) est l’image de \(t \in T\), on sait que le composé \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'} \to \mathcal{O}_{T, t}\) est local, ce qui permet aussi de conclure.

Lemme

Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\), un diagramme de schémas. Soit \((W, X_i \to W)\) un cocône sur ce diagramme dans la catégorie des schémas (Catégories, remarque 0G2U). S’il existe un recouvrement fpqc \(\{W_a \to W\}_{a \in A}\) de schémas tel que

1. pour tout \(a \in A\), on ait \(W_a = \colim X_i \times_W W_a\) dans la catégorie des schémas, et

2. pour tous \(a, b \in A\), on ait \(W_a \times_W W_b = \colim X_i \times_W W_a \times_W W_b\) dans la catégorie des schémas,

alors \(W = \colim X_i\) dans la catégorie des schémas.

Démonstration

En effet, pour un schéma \(T\), un morphisme \(W \to T\) revient à se donner une famille de morphismes \(W_a \to T\), \(a \in A\), qui coïncident sur les intersections \(W_a \times_W W_b\), voir Descente, lemme 023Q.

Lemme

Soit \(X \to X'\) un épaississement de schémas et soit \(X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Il existe alors une somme amalgamée \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y' }\] dans la catégorie des schémas. De plus, \(Y \subset Y'\) est un épaississement, \(X = Y \times_{Y'} X'\), et \[\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] comme faisceaux sur \(|Y| = |Y'|\).

Démonstration

Construisons d’abord \(Y'\) comme espace annelé. Comme espace topologique, on prend \(Y' = Y\). Notons \(f' : X' \to Y'\) l’application d’espaces topologiques égale à \(f\). Comme faisceau structural \(\mathcal{O}_{Y'}\), on prend le membre de droite de l’égalité du lemme. Pour montrer que \(Y'\) est un schéma, il faut montrer que tout point possède un voisinage affine. Puisque la formation du produit fibré de faisceaux commute à la restriction aux ouverts, on peut supposer \(Y\) affine. Alors \(X\) est affine (puisque \(f\) est affine) et \(X'\) l’est aussi (voir le lemme 06AD). Supposons que \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) corresponde à \(B \rightarrow A \leftarrow A'\). Posons \(B' = B \times_A A'\) ; c’est l’anneau des sections globales de \(\mathcal{O}_{Y'}\). Comme \(A' \to A\) est surjectif à noyau localement nilpotent, on voit que \(B' \to B\) est surjectif à noyau localement nilpotent. Ainsi, \(\Spec(B') = \Spec(B)\) (comme espaces topologiques). On affirme que \(Y' = \Spec(B')\). Pour cela, on montrera que, pour \(g' \in B'\) d’image \(g \in B\), on a \(\mathcal{O}_{Y'}(D(g)) = B'_{g'}\). En effet, d’après Compléments d’algèbre, lemme 01Z8, on a \[(B')_{g'} = B_g \times_{A_h} A'_{h'}\] où \(h \in A\), \(h' \in A'\) sont les images de \(g'\). Puisque \(B_g\) (resp. \(A_h\), resp. \(A'_{h'}\)) est égal à \(\mathcal{O}_Y(D(g))\) (resp. \(f_*\mathcal{O}_X(D(g))\), resp. \(f'_*\mathcal{O}_{X'}(D(g))\)), l’assertion s’ensuit.

Il reste à montrer que \(Y'\) est la somme amalgamée. La discussion ci-dessus montre que le schéma \(Y'\) possède un recouvrement ouvert affine \(Y' = \bigcup W'_i\) tel que les ouverts correspondants \(U'_i \subset X'\), \(W_i \subset Y\) et \(U_i \subset X\) soient affines. De plus, si \(A'_i\), \(B_i\), \(A_i\) sont les anneaux correspondant à \(U'_i\), \(W_i\), \(U_i\), alors \(W'_i\) correspond à \(B_i \times_{A_i} A'_i\). On peut donc appliquer les lemmes 0ET0 et 0BMP pour conclure que notre construction est une somme amalgamée dans la catégorie des schémas.

Dans le lemme suivant, on utilise le produit fibré de catégories défini dans Catégories, exemple 003R.

Lemme

Soit \(X \to X'\) un épaississement de schémas et soit \(X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Soit \(Y' = Y \amalg_X X'\) la somme amalgamée (voir le lemme 07RT). Le changement de base donne un foncteur \[F : (\Sch/Y') \longrightarrow (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X')\] défini par \(V' \longmapsto (V' \times_{Y'} Y, V' \times_{Y'} X', 1)\), qui admet un adjoint à gauche \[G : (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X') \longrightarrow (\Sch/Y')\] envoyant le triplet \((V, U', \varphi)\) sur la somme amalgamée \(V \amalg_{(V \times_Y X)} U'\). Enfin, \(F \circ G\) est isomorphe au foncteur identité.

Démonstration

Soit \((V, U', \varphi)\) un objet de la catégorie produit fibré. Posons \(U = U' \times_{X'} X\). Remarquons que \(U \to U'\) est un épaississement. Puisque \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X = U\) est un isomorphisme, on dispose d’un morphisme \(U \to V\) au-dessus de \(X \to Y\) qui identifie \(U\) au produit fibré \(X \times_Y V\). En particulier, \(U \to V\) est affine, voir Morphismes, lemme 01SD. On peut donc appliquer le lemme 07RT pour obtenir une somme amalgamée \(V' = V \amalg_U U'\). Notons \(V' \to Y'\) le morphisme fourni par la propriété de somme amalgamée de \(V'\) et par les morphismes donnés \(V \to Y\) et \(U' \to X'\), qui coïncident sur \(U\) comme morphismes à valeurs dans \(Y'\). En posant \(G(V, U', \varphi) = V'\), on obtient le foncteur \(G\).

Prouvons que \(G\) est adjoint à gauche de \(F\). Soit \(Z\) un schéma sur \(Y'\). Il faut montrer que \[\Mor(V', Z) = \Mor((V, U', \varphi), F(Z))\] où les ensembles de morphismes sont pris dans leurs catégories respectives. Soit \(g' : V' \to Z\) un morphisme. Notons \(\tilde g\) (resp. \(\tilde f'\)) le composé de \(g'\) avec le morphisme \(V \to V'\) (resp. \(U' \to V'\)). Effectuons le changement de base de \(\tilde g\) (resp. \(\tilde f'\)) par \(Y \to Y'\) (resp. \(X' \to Y'\)) pour obtenir un morphisme \(g : V \to Z \times_{Y'} Y\) (resp. \(f' : U' \to Z \times_{Y'} X'\)). Alors \((g, f')\) est un élément du membre de droite de l’égalité ci-dessus (détails omis). Réciproquement, supposons que \((g, f') : (V, U', \varphi) \to F(Z)\) soit un élément du membre de droite. On peut considérer le composé \(\tilde g : V \to Z\) (resp. \(\tilde f' : U' \to Z\)) de \(g\) (resp. \(f\)) avec \(Z \times_{Y'} X' \to Z\) (resp. \(Z \times_{Y'} Y \to Z\)). Alors \(\tilde g\) et \(\tilde f'\) coïncident comme morphismes de \(U\) dans \(Z\). Par la propriété universelle de la somme amalgamée, on obtient un morphisme \(g' : V' \to Z\), c’est-à-dire un élément du membre de gauche. On omet de vérifier que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Pour prouver que \(F \circ G\) est isomorphe à l’identité, il faut montrer que le morphisme d’adjonction \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\) est un isomorphisme. On peut pour cela travailler localement sur des ouverts affines. Écrivons \(X = \Spec(A)\), \(X' = \Spec(A')\) et \(Y = \Spec(B)\). Alors \(A' \to A\) et \(B \to A\) sont des homomorphismes d’anneaux comme dans Compléments d’algèbre, lemme 07RU, et \(Y' = \Spec(B')\), avec \(B' = B \times_A A'\). Supposons ensuite que \(V = \Spec(D)\), \(U' = \Spec(C')\) et que \(\varphi\) soit donné par un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(D \otimes_B A \to C' \otimes_{A'} A = C'/IC'\). Posons \(D' = D \times_{C'/IC'} C'\). Dans ce cas, il faut prouver que \(D' \otimes_{B'} B \cong D\) et \(D' \otimes_{B'} A' \cong C'\). C’est un cas particulier de Compléments d’algèbre, lemme 07RU.

Lemme

Soit \(X \to X'\) un épaississement de schémas et soit \(X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Soit \(Y' = Y \amalg_X X'\) la somme amalgamée (voir le lemme 07RT). Soit \(V' \to Y'\) un morphisme de schémas. Posons \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\) et \(U = X \times_{Y'} V'\). Il existe une équivalence de catégories entre

1. les \(\mathcal{O}_{V'}\)-modules quasi-cohérents plats sur \(Y'\), et

2. la catégorie des triplets \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\), où

   1. \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module quasi-cohérent plat sur \(Y\),

   2. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{U'}\)-module quasi-cohérent plat sur \(X'\), et

   3. \(\varphi : (U \to V)^*\mathcal{G} \to (U \to U')^*\mathcal{F}'\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

L’équivalence envoie \(\mathcal{G}'\) sur \(((V \to V')^*\mathcal{G}', (U' \to V')^*\mathcal{G}', can)\). Supposons que \(\mathcal{G}'\) corresponde au triplet \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\). Alors

1. \(\mathcal{G}'\) est un \(\mathcal{O}_{V'}\)-module de type fini si et seulement si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}'\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)- et \(\mathcal{O}_{U'}\)-modules de type fini.

2. si \(V' \to Y'\) est localement de présentation finie, alors \(\mathcal{G}'\) est un \(\mathcal{O}_{V'}\)-module de présentation finie si et seulement si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}'\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)- et \(\mathcal{O}_{U'}\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Un foncteur quasi-inverse associe au triplet \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) le produit fibré \[(V \to V')_*\mathcal{G} \times_{(U \to V')_*\mathcal{F}} (U' \to V')_*\mathcal{F}'\] où \(\mathcal{F} = (U \to U')^*\mathcal{F}'\). Cette construction convient, car, sur les ouverts affines, on retrouve l’équivalence de Compléments d’algèbre, lemme 07RW. Certains détails sont omis.

Les points (a) et (b) résultent de Compléments d’algèbre, lemmes 08IH et 08KP.

Lemme

Dans la situation du lemme 07RV, si \(V' = G(V, U', \varphi)\) pour un certain triplet \((V, U', \varphi)\), alors

1. \(V' \to Y'\) est localement de type fini si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont localement de type fini,

2. \(V' \to Y'\) est plat si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont plats,

3. \(V' \to Y'\) est plat et localement de présentation finie si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont plats et localement de présentation finie,

4. \(V' \to Y'\) est lisse si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont lisses,

5. \(V' \to Y'\) est étale si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont étales, et

6. ajouter ici d’autres propriétés selon les besoins.

Si \(W'\) est plat sur \(Y'\), alors le morphisme d’adjonction \(G(F(W')) \to W'\) est un isomorphisme. Ainsi, \(F\) et \(G\) définissent des foncteurs quasi-inverses l’un de l’autre entre la catégorie des schémas plats sur \(Y'\) et la catégorie des triplets \((V, U', \varphi)\) tels que \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) soient plats.

Démonstration

En se plaçant sur des ouverts affines, les assertions de ce lemme sont équivalentes aux assertions correspondantes de Compléments d’algèbre, lemme 08KQ.

Ouverture du lieu de platitude

La démonstration de ce résultat demande un certain travail et mérite (peut-être) une section à elle seule. La voici.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent localement de présentation finie. Alors \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ est plat sur }S\text{ en }x\}\] est ouvert dans \(X\).

Démonstration

L’ouverture se vérifie localement sur \(X\) ; on peut donc supposer que \(f\) est un morphisme de schémas affines. Dans ce cas, le théorème est exactement le théorème 00RC d’Algèbre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x' \in X'\) d’images \(x = g'(x')\) et \(s' = f'(x')\).

1. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\), alors \((g')^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S'\) en \(x'\).

2. Si \(g\) est plat en \(s'\) et si \((g')^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S'\) en \(x'\), alors \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\).

En particulier, si \(g\) est plat, si \(f\) est localement de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est localement de présentation finie, alors la formation de l’ouvert du théorème 0399 commute au changement de base.

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif d’anneaux locaux \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{S', s'} \ar[u] & \mathcal{O}_{S, s} \ar[l] \ar[u] }\] Notons que \(\mathcal{O}_{X', x'}\) est un localisé de \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\) et que \(((g')^*\mathcal{F})_{x'}\) est égal à \(\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\). Le lemme résulte donc du lemme 00MQ d’Algèbre.

Critère de platitude par fibres

Considérons un diagramme commutatif de schémas (diagramme de gauche) \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr] & & Y \ar[dl] \\ & S } \quad \xymatrix{ X_s \ar[rr]_{f_s} \ar[rd] & & Y_s \ar[dl] \\ & \Spec(\kappa(s)) }\] et un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Étant donné un point \(x \in X\) au-dessus de \(s \in S\), d’image \(y = f(x)\), on se pose la question : \(\mathcal{F}\) est-il plat sur \(Y\) en \(x\) ? Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\), le théorème affirme que cette question est étroitement liée à celle de savoir si la restriction de \(\mathcal{F}\) à la fibre \[\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\] est plate sur \(Y_s\) en \(x\). On trouvera ci-dessous une version « noethérienne » et une version « de présentation finie » ; une version « nilpotente » a déjà été traitée, voir le lemme 06AF.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in X\). Posons \(y = f(x)\) et notons \(s \in S\) l’image de \(x\) dans \(S\). Supposons \(S\), \(X\), \(Y\) localement noethériens, \(\mathcal{F}\) cohérent et \(\mathcal{F}_x \not = 0\). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\) et \(\mathcal{F}_s\) est plat sur \(Y_s\) en \(x\), et

2. \(Y\) est plat sur \(S\) en \(y\) et \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\).

Démonstration

Considérons les homomorphismes d’anneaux \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] et le module \(\mathcal{F}_x\). La fibre de \(\mathcal{F}_s\) en \(x\) est le module \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) et l’anneau local de \(Y_s\) en \(y\) est \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\). L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est donc le lemme 00MP d’Algèbre. Si (2) est vérifiée, le premier homomorphisme d’anneaux est fidèlement plat et \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y, y}\) ; le lemme 00HC d’Algèbre montre donc que \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\). De plus, \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) s’obtient à partir du module plat \(\mathcal{F}_x\) par le changement de base \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) ; il est donc plat d’après le lemme 00HI d’Algèbre.

Voici la version non noethérienne.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(S\),

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, et

3. \(Y\) soit localement de type fini sur \(S\).

Soit \(x \in X\). Posons \(y = f(x)\) et soit \(s \in S\) l’image de \(x\) dans \(S\). Si \(\mathcal{F}_x \not = 0\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\) et \(\mathcal{F}_s\) est plat sur \(Y_s\) en \(x\), et

2. \(Y\) est plat sur \(S\) en \(y\) et \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\).

De plus, l’ensemble des points \(x\) où (1) et (2) sont vérifiées est ouvert dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Considérons les homomorphismes d’anneaux \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] et le module \(\mathcal{F}_x\). La fibre de \(\mathcal{F}_s\) en \(x\) est le module \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) et l’anneau local de \(Y_s\) en \(y\) est \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\). L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est donc le lemme 05UV d’Algèbre. Si (2) est vérifiée, le premier homomorphisme d’anneaux est fidèlement plat et \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y, y}\) ; le lemme 00HC d’Algèbre montre donc que \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S, s}\). De plus, \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) s’obtient à partir du module plat \(\mathcal{F}_x\) par le changement de base \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) ; il est donc plat d’après le lemme 00HI d’Algèbre.

D’après Morphismes, lemme 02FV, le morphisme \(f\) est localement de présentation finie. Considérons l’ensemble [05VI]\[\begin{equation} U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ plat en }x \text{ à la fois sur }Y\text{ et }S\}. \end{equation}\] Cet ensemble est ouvert dans \(X\) d’après le théorème 0399. Notons que si \(x \in U\), alors \(\mathcal{F}_s\) est plat en \(x\) sur \(Y_s\), comme changement de base d’un module plat par le morphisme \(Y_s \to Y\), voir Morphismes, lemme 01U8. Ainsi, en tout point de \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\), la condition (1) est vérifiée. D’autre part, il est clair que si \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) vérifie (1) et (2), alors \(x \in U\). L’ouvert recherché est donc \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\).

On utilise souvent ces théorèmes sous les formes simplifiées suivantes. Nous ne donnons que les énoncés globaux ; il existe bien entendu aussi des versions ponctuelles.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Supposons que

1. \(S\), \(X\), \(Y\) soient localement noethériens,

2. \(X\) soit plat sur \(S\),

3. pour tout \(s \in S\), le morphisme \(f_s : X_s \to Y_s\) soit plat.

Alors \(f\) est plat. Si \(f\) est en outre surjectif, \(Y\) est plat sur \(S\).

Démonstration

C’est un cas particulier du théorème 039B.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(S\),

2. \(X\) soit plat sur \(S\),

3. pour tout \(s \in S\), le morphisme \(f_s : X_s \to Y_s\) soit plat, et

4. \(Y\) soit localement de type fini sur \(S\).

Alors \(f\) est plat. Si \(f\) est en outre surjectif, \(Y\) est plat sur \(S\).

Démonstration

C’est un cas particulier du théorème 039C.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(S\),

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie,

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\), et

4. \(Y\) soit localement de type fini sur \(S\).

Alors l’ensemble \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ plat en }x \text{ sur }Y\}.\] est ouvert dans \(X\) et sa formation commute à tout changement de base : si \(S' \to S\) est un morphisme de schémas et si \(U'\) est l’ensemble des points de \(X' = X \times_S S'\) où \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_S S'\) est plat sur \(Y' = Y \times_S S'\), alors \(U' = U \times_S S'\).

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 02FV, le morphisme \(f\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(U\) est ouvert d’après le théorème 0399. Puisque l’on a supposé \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\), le théorème 039C donne \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}_s \text{ plat en }x \text{ sur }Y_s\}.\] où \(s\) désigne toujours l’image de \(x\) dans \(S\). (Cette description reste trivialement valable lorsque \(\mathcal{F}_x = 0\).) De plus, les hypothèses du lemme restent vérifiées pour le morphisme \(f' : X' \to Y'\) et le faisceau \(\mathcal{F}'\). Ainsi, \(U'\) admet une description analogue. Autrement dit, il suffit de prouver que, pour \(s' \in S'\) d’image \(s \in S\), l’ensemble \[\{x' \in X'_{s'} \mid \mathcal{F}'_{s'} \text{ plat en }x' \text{ sur }Y'_{s'}\}\] est l’image réciproque du lieu correspondant dans \(X_s\). C’est vrai d’après le lemme 047C, car, dans le diagramme cartésien \[\xymatrix{ X'_{s'} \ar[d] \ar[r] & X_s \ar[d] \\ Y'_{s'} \ar[r] & Y_s }\] les morphismes horizontaux sont plats, puisqu’ils s’obtiennent par changement de base par le morphisme plat \(\Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s))\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(S\),

2. \(X\) soit plat sur \(S\), et

3. \(Y\) soit localement de type fini sur \(S\).

Alors l’ensemble \[U = \{x \in X \mid X\text{ plat en }x \text{ sur }Y\}.\] est ouvert dans \(X\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 05VJ.

Le lemme suivant est une variante du lemme 00MH d’Algèbre. Notons que l’hypothèse que \((\mathcal{F}_s)_x\) est un \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-module plat signifie que \((\mathcal{F}_s)_x\) est un \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-module libre, ce qui est toujours le cas si \(x \in X_s\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X_s\) et si \(X_s\) est réduit (en effet, dans ce cas \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) est un corps, voir Algèbre, lemme 00EU).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\) et si \((\mathcal{F}_s)_x\) est un \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-module plat, alors \(\mathcal{F}\) est libre de rang fini dans un voisinage de \(x\).

Démonstration

Si \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) est nul, alors \(\mathcal{F}_x = 0\) d’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), donc \(\mathcal{F}\) est nul dans un voisinage de \(x\) (Modules, lemme 01B9) et le lemme est établi. On peut donc supposer \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) non nul, et l’on voit que le théorème 039C s’applique avec \(f = \text{id} : X \to X\). On en conclut que \(\mathcal{F}_x\) est plat sur \(\mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi, \(\mathcal{F}_x\) est libre, voir par exemple Algèbre, lemme 00NZ. Choisissons un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) et des sections \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\) dont les images forment une base de \(\mathcal{F}_x\). Le morphisme correspondant \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\) est surjectif après restriction de \(U\) (Modules, lemme 01B9). Alors \(\Ker(\psi)\) est de type fini (voir Modules, lemme 01BP) et \(\Ker(\psi)_x = 0\). En restreignant encore \(U\), \(\psi\) devient donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie plat sur \(S\). Alors l’ensemble \[\{x \in X : \mathcal{F}\text{ libre dans un voisinage de }x\}\] est ouvert dans \(X\) et sa formation commute à tout changement de base \(S' \to S\).

Démonstration

L’ouverture est immédiate. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). D’après le lemme 080Q, \(x\) appartient à notre ensemble si et seulement si \(\mathcal{F}|_{X_s}\) est plat en \(x\) sur \(X_s\). Ceci équivaut aussi à la platitude de \(\mathcal{F}\) en \(x\) sur \(X\) (car cette propriété est impliquée par la liberté de \(\mathcal{F}_x\) et implique la platitude de \(\mathcal{F}|_{X_s}\) en \(x\) sur \(X_s\)). L’assertion sur le changement de base résulte donc du lemme 05VJ appliqué à \(\text{id} : X \to X\) sur \(S\).

Immersions fermées entre schémas lisses

Quelques résultats qui ne trouvent guère leur place ailleurs.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \to X\) une immersion fermée de schémas lisses sur \(S\). Pour tout \(y \in Y\), il existe des entiers \(0 \leq m, n\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_S \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0 \ldots, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + n}_S }\] où \(U \subset X\) est ouvert, \(V = Y \cap U\), \(\pi\) est étale, \(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_S)\) et \(y \in V\).

Démonstration

La question est locale sur \(X\) ; on peut donc remplacer \(X\) par un voisinage ouvert de \(y\). Puisque \(Y \to X\) est une immersion régulière d’après Diviseurs, lemme 067U, on peut supposer \(X = \Spec(A)\) affine et qu’il existe une suite régulière \(f_1, \ldots, f_n \in A\) telle que \(Y = V(f_1, \ldots, f_n)\). En restreignant encore \(X\) (et donc \(Y\)), on peut supposer qu’il existe un morphisme étale \(Y \to \mathbf{A}^m_S\), voir Morphismes, lemme 054L. Soient \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) dans \(\mathcal{O}_Y(Y)\) les fonctions coordonnées de ce morphisme étale. Choisissons des relèvements \(g_1, \ldots, g_m \in A\) de ces fonctions et considérons le morphisme \[(g_1, \ldots, g_m, f_1, \ldots, f_n) : X \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S\] sur \(S\). C’est un morphisme entre schémas localement de présentation finie sur \(S\) ; il est donc localement de présentation finie (Morphismes, lemme 02FV). La restriction de ce morphisme à \(\mathbf{A}^m_S \subset \mathbf{A}^{m + n}_S\) est étale par construction. Par conséquent, pour montrer que \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) est étale en \(y\), il suffit de montrer que \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) est plat en \(y\), voir Morphismes, lemme 02GU. Soit \(s \in S\) l’image de \(y\). Il suffit de vérifier que \(X_s \to \mathbf{A}^{m + n}_s\) est plat en \(y\), voir le théorème 039C. Soit \(z \in \mathbf{A}^{m + n}_s\) l’image de \(y\). L’homomorphisme local d’anneaux \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_s, y}\] est plat d’après Algèbre, lemme 00R4. En effet, les schémas lisses sur un corps sont réguliers et les anneaux réguliers sont de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 056S et Algèbre, lemme 00NQ. La source et le but sont donc des anneaux locaux réguliers (et donc de Cohen-Macaulay). Ils ont la même dimension : en effet, on a \(\dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}) = \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QP, on a \(\dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z}) = n + \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\), et l’on a \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, y}) = n + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y})\), car \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\) est le quotient de \(\mathcal{O}_{X_s, y}\) par la suite régulière \(f_1, \ldots, f_n\) de longueur \(n\) (voir Diviseurs, remarque 0FUD). Enfin, l’anneau de la fibre de la flèche ci-dessus est fini sur \(\kappa(z)\), puisque \(Y_s \to \mathbf{A}^m_s\) est étale en \(y\). Ceci achève la démonstration.

Remarque

Fixons un anneau \(R\) et posons \(S = \Spec(R)\). Fixons des entiers \(0 \leq m\) et \(1 \leq n\). Considérons l’immersion fermée \[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] Nous allons considérer l’éclatement \(X'\) de \(X\) le long du sous-schéma fermé \(Z\). Écrivons \[X = \Spec(A) \quad\text{avec}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] Alors \(X'\) est le Proj de l’algèbre de Rees de \(A\) relativement à l’idéal \((y_1, \ldots, y_n)\). Cette algèbre de Rees est égale à \(B = A[T_1, \ldots, T_n]/(y_iT_j - y_jT_i)\) ; les détails sont omis. Ainsi, \(X' = \text{Proj}(B)\) est lisse sur \(S\), car il est recouvert par les ouverts affines \[\begin{align*} D_+(T_i) & = \Spec(B_{(T_i)}) \\ & = \Spec(A[t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots t_n]/(y_j - y_i t_j)) \\ & = \Spec(R[x_1, \ldots, x_m, y_i, t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots, t_n]) \end{align*}\] qui sont isomorphes à \(\mathbf{A}^{n + m}_S\). Dans cette carte, le diviseur exceptionnel est défini par \(y_i = 0\) ; il est donc lui aussi lisse sur \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de schémas lisses sur \(S\). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(Z\), de diviseur exceptionnel \(E \subset X'\). Alors \(X'\) et \(E\) sont lisses sur \(S\). Le morphisme \(p : E \to Z\) est canoniquement isomorphe au fibré projectif \[\mathbf{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) \longrightarrow Z\] où \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) est le faisceau d’idéaux de \(Z\). Le faisceau relatif \(\mathcal{O}_E(1)\) provenant de la structure de fibré projectif est isomorphe à la restriction de \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\) à \(E\).

Démonstration

D’après Diviseurs, lemme 067U, l’immersion \(Z \to X\) est régulière ; le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) est donc de type fini, et \(b\) est un morphisme projectif admettant pour faisceau inversible relativement ample \(\mathcal{O}_{X'}(1) = \mathcal{O}_{X'}(-E)\), voir Diviseurs, lemmes 02OS et 02NS. Le morphisme canonique \(\mathcal{I} \to b_*\mathcal{O}_{X'}(1)\) donne une immersion fermée \[X' \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I})\right)\] par la construction même de l’éclatement. La restriction de ce morphisme à \(E\) donne un morphisme canonique \[E \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\right)\] sur \(Z\). Puisque \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) est localement libre de rang fini, si ce morphisme canonique est un isomorphisme, la dernière assertion du lemme est vérifiée. Après ces observations, la question est locale sur \(X\) pour la topologie étale. En effet, l’éclatement commute au changement de base plat d’après Diviseurs, lemme 0805, et la lissité peut se vérifier après précomposition par un morphisme étale surjectif. Ainsi, la structure locale étale d’une immersion fermée de schémas sur \(S\) donnée au lemme 0FUE nous ramène au cas traité dans la remarque 0H1H.

Modules plats et assassins relatifs

Dans cette section, nous montrerons que, dans les situations géométriques, le support d’un module plat est, en un certain sens, équidimensionnel sur la base. Pour le cas noethérien, nous renvoyons à [EGA, IV Proposition 12.1.1.5]. Commençons par deux lemmes auxiliaires.

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux essentiellement de type fini. Soit \(u : N \to M\) un homomorphisme de \(B\)-modules de type fini. Supposons \(M\) plat sur \(A\) et \(\overline{u} : N/\mathfrak m_A N \to M/\mathfrak m_A M\) injectif. Alors \(u\) est injectif et \(M/u(N)\) est plat sur \(A\).

Démonstration

Nous déduirons ce lemme du lemme 046Y d’Algèbre (notons que les rôles de \(M\) et \(N\) ont été intervertis). Pour cela, nous utiliserons Compléments d’algèbre, lemme 0GSE, afin de nous ramener au cas de présentation finie.

Par hypothèse, on peut écrire \(B\) comme quotient du localisé d’une algèbre de polynômes \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) en un idéal premier \(\mathfrak q\). On peut alors considérer \(u : N \to M\) comme un homomorphisme de \(P_\mathfrak q\)-modules de type fini. On peut donc supposer, et l’on suppose, que \(B\) est essentiellement de présentation finie sur \(A\).

Le \(B\)-module \(N\) est de type fini, mais pas nécessairement de présentation finie. Écrivons \(N = \colim N_\lambda\) comme limite inductive filtrante de \(B\)-modules de présentation finie, avec des morphismes de transition surjectifs. Par exemple, choisissons une présentation \(0 \to K \to B^{\oplus r} \to N \to 0\), écrivons \(K\) comme réunion de ses sous-modules de type fini \(K_\lambda\) et posons \(N_\lambda = \Coker(K_\lambda \to B^{\oplus r})\). Le module \(N/\mathfrak m_A N\) est de présentation finie sur l’anneau noethérien \(B/\mathfrak m_A B\). Par conséquent, pour \(\lambda\) assez grand, on a \(N_\lambda/\mathfrak m_A N_\lambda = N/\mathfrak m_A N\). Si l’on peut démontrer le lemme pour le composé \(u_\lambda : N_\lambda \to M\), on en déduit que \(N_\lambda = N\) et que le résultat vaut pour \(u\). On peut donc supposer, et l’on suppose, que \(N\) est de présentation finie sur \(B\).

D’après Compléments d’algèbre, lemme 0GSE, le module \(M\) est de présentation finie sur \(B\). Toutes les hypothèses du lemme 046Y d’Algèbre sont donc vérifiées, ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(y \in X\) un point d’image \(t \in S\). Notons \(Y \subset X\) l’adhérence de \(\{y\}\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre de \(X\). Soit \(s \in S\) et soit \(x \in Y_s\) un point générique d’une composante irréductible de \(Y_s\). Il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] ayant les propriétés suivantes :

1. \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation de point générique \(t'\) et de point fermé \(s'\),

2. \(g(t') = t\) et \(g(s') = s\),

3. il existe un point \(y' \in X'_{t'}\) qui est un point générique d’une composante irréductible de \((S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\) et vérifie \(g'(y') = y\),

4. si l’on note \(Y' \subset X'\) l’adhérence de \(\{y'\}\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre de \(X'\), il existe un point \(x' \in Y'_{s'}\) qui est un point générique d’une composante irréductible de \(Y'_{s'}\) et vérifie \(g'(x') = x\).

Démonstration

Choisissons un anneau de valuation \(R\), posons \(S' = \Spec(R)\), de point générique \(t'\) et de point fermé \(s'\), et choisissons un morphisme \(h : S' \to X\) tel que \(h(t') = y\) et \(h(s') = x\). Voir Schémas, lemme 01J8. Posons \(g = f \circ h\), de sorte que \(g(t') = t\) et \(g(s') = s\). Considérons le changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar@/^1em/[u]^\sigma \ar[r]^-g & S }\] On obtient une section \(\sigma\) du morphisme changé de base telle que \(h = g' \circ \sigma\).

Bien entendu, \(\sigma\) se factorise par le changement de base \(S' \times_S Y\) de \(Y\), puisque \(h\) se factorise par \(Y\). Soit \(y' \in X'_{t'} \subset X'\) le point générique d’une composante irréductible de la fibre \[(S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\] contenant le point \(\sigma(t')\), c’est-à-dire telle que \(y' \leadsto \sigma(t')\). Puisque \(g'(y') \in Y_t\) et \(g(y') \leadsto g(\sigma(t')) = y\), on obtient \(g'(y') = y\), car \(y\) est le point générique de la fibre \(Y_t\). Notons \(Y' \subset X'\) l’adhérence de \(\{y'\}\) dans \(X'\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre. Alors \(\sigma\) se factorise par \(Y'\), puisque \(\sigma(t') \in Y'\). Choisissons un point générique \(x' \in Y'_{s'}\) d’une composante irréductible de \(Y'_{s'}\) contenant \(\sigma(s')\) ; on a donc \(x' \leadsto \sigma(s')\), puis \(g'(x') \leadsto g'(\sigma(s')) = x\). À nouveau, puisque \(x\) est par hypothèse un point générique d’une composante irréductible de \(Y_s\) et puisque \(g'(Y') \subset Y\), on en conclut que \(g'(x') = x\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) d’image \(t \in S\). Notons \(Y \subset X\) l’adhérence de \(\{y\}\) dans \(X\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre. Soit \(s \in S\) et soit \(x \in Y_s\) un point générique d’une composante irréductible de \(Y_s\). Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en \(x\), alors \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) et \(\dim_x(Y_s) = \dim(Y_t)\).

Démonstration

Choisissons un diagramme comme au lemme 0GSH. Posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). Diviseurs, lemme 05DC, implique que \(y' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\). Le choix de \(y'\) donne aussi \(\dim(Y'_{t'}) = \dim(Y_t)\), voir par exemple Algèbre, lemme 0CWE. D’après Algèbre, lemme 00QK, \(Y'_{s'}\) est équidimensionnel de dimension égale à \(\dim(Y_t)\). Puisque \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(S\), \(\mathcal{F}'\) est plat en \(x'\) sur \(S'\), voir Morphismes, lemme 01U8.

Supposons que l’on puisse montrer \(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(\mathcal{F}')\). Alors Diviseurs, lemme 05DC, implique que \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) et que la composante irréductible \(C'\) de \(Y'_{s'}\) contenant \(x'\) est une composante irréductible de \(C \times_s s'\), où \(C \subset Y_s\) est la composante irréductible contenant \(x\). D’où \(\dim(C) = \dim(C') = \dim(Y_t)\) (voir ci-dessus), ce qui achève la démonstration. On est ainsi ramené au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau de valuation, et où \(t\) et \(s\) sont les points générique et fermé de \(S\). Nous allons supposer \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) afin d’aboutir à une contradiction. Autrement dit, on suppose \(x \not \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\), où \(\mathcal{F}_s\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_s\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = B\] et le module \(N = \mathcal{F}_x\) sur \(B = \mathcal{O}_{X, x}\). Alors \(B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{X_s, x}\) et \(N/\mathfrak m_A N\) est la fibre de \(\mathcal{F}_s\) au point \(x\). Notons \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant au point \(y\), voir Schémas, lemme 01J7. Puisque \(x\) est un point générique de \(Y_s\), le radical de \(\mathfrak q + \mathfrak m_A B\) est \(\mathfrak m_B\). Alors \(\text{Ass}_{B/\mathfrak m_A B}(N/\mathfrak m_A N)\) est un ensemble fini d’idéaux premiers (Algèbre, lemme 00LC) qui ne contient pas l’idéal maximal de \(B/\mathfrak m_A B\), puisque \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). L’image de \(\mathfrak q\) dans \(B/\mathfrak m_A B\) n’est donc contenue dans aucun de ces idéaux premiers. Par conséquent, le lemme d’évitement des idéaux premiers (Algèbre, lemme 00DS) permet de trouver un élément \(g \in \mathfrak q\) dont l’image dans \(B/\mathfrak m_A B\) est non diviseur de zéro sur \(N/\mathfrak m_A N\) (on utilise ici la description des diviseurs de zéro d’Algèbre, lemme 00LD). Puisque \(N = \mathcal{F}_x\) est \(A\)-plat, le lemme 0GSG montre que \[g : N \longrightarrow N\] est injectif. En particulier, si \(K = \text{Frac}(A)\) est le corps des fractions de \(A\), alors \[g : N \otimes_A K \longrightarrow N \otimes_A K\] est injectif. Observons que \(\mathfrak q\) correspond à un idéal premier de \(B \otimes_A K\). Notons \(\mathcal{F}_t\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à la fibre générique \(X_t\). On a \((B \otimes_A K)_{\mathfrak q} = \mathcal{O}_{X_t, y}\) et \((N \otimes_A K)_\mathfrak q\) est la fibre en \(y\) de \(\mathcal{F}_t\). On obtient donc que \(g \in \mathfrak m_y \subset \mathcal{O}_{X_t, y}\) est non diviseur de zéro sur la fibre \((\mathcal{F}_t)_y\), ce qui contredit l’hypothèse \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini, plat sur \(S\). Supposons \(S\) irréductible, de point générique \(\eta\). Si \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)) \leq r\), alors, pour tout \(s \in S\), on a \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\).

Démonstration

Soit \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\). D’après Algèbre, lemme 080T, on peut trouver une spécialisation \(y \leadsto x\) dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) avec \(f(y) = \eta\). On peut bien entendu supposer que \(y\) est un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)\). Le lemme 0GSI permet de conclure que la dimension de \(\overline{\{x\}}\) est au plus \(r\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Notons \(Y \subset X\) l’adhérence de \(\{y\}\) dans \(X\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre. Notons \(T \subset S\) l’adhérence de \(\{f(y)\}\), munie de sa structure de sous-schéma fermé intègre. On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] où \(Y \to T\) est dominant. Supposons \(\mathcal{F}\) plat sur \(S\) en tous les points génériques des composantes irréductibles des fibres de \(Y \to T\) (par exemple si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\)). Alors

1. si \(s \in S\) et si \(x \in Y_s\) est le point générique d’une composante irréductible de \(Y_s\), alors \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\), et

2. il existe un entier \(d \geq 0\) tel que \(Y \to T\) soit de dimension relative \(d\), voir Morphismes, définition 02NJ.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la version ponctuelle, le lemme 0GSI. Notons que, pour calculer la dimension des schémas localement algébriques \(Y_s\), il suffit de se placer au voisinage des points génériques, voir Variétés, section 06LF.

Remarque

Voici quelques cas où les résultats ci-dessus, en particulier le lemme 0GSJ, permettent de conclure qu’un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est de dimension relative \(d\) au sens de Morphismes, définition 02NJ. C’est par exemple le cas si

1. \(X\) est intègre, de point générique \(\xi\),

2. le degré de transcendance de \(\kappa(\xi)\) sur \(\kappa(f(\xi))\) est \(d\),

3. \(f\) est localement de type fini, et

4. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini, plat sur \(S\) et tel que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\).

Voici un autre ensemble d’hypothèses qui convient :

1. \(S\) est irréductible, de point générique \(\eta\),

2. \(X_\eta\) est dense dans \(X\),

3. toute composante irréductible de \(X_\eta\) est de dimension \(d\),

4. \(f\) est localement de type fini, et

5. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini, plat sur \(S\) et tel que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\).

On peut bien entendu affaiblir la condition de platitude sur \(\mathcal{F}\) et demander seulement que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en codimension \(0\), c’est-à-dire que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point générique de toute fibre. Si nous avons un jour besoin de ces résultats, nous les énoncerons et les démontrerons ici avec soin.

Retour sur la normalisation

La normalisation commute au changement de base lisse.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme lisse de schémas. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. La clôture intégrale de \(\mathcal{O}_Y\) dans \(f^*\mathcal{A}\) est égale à \(f^*\mathcal{A}'\), où \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) est la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans \(\mathcal{A}\).

Démonstration

C’est la traduction du lemme 03GG d’Algèbre dans le langage des schémas. Les détails sont omis.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d]_{f_2} & Y_1 \ar[d]^{f_1} \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] un carré cartésien dans la catégorie des schémas. Supposons \(f_1\) quasi-compact et quasi-séparé, et \(\varphi\) lisse. Soit \(Y_i \to X_i' \to X_i\) la normalisation de \(X_i\) dans \(Y_i\). Alors \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\).

Démonstration

Le changement de base de la factorisation \(Y_1 \to X_1' \to X_1\) à \(X_2\) est une factorisation \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\), et \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\) est entier (Morphismes, lemme 01WL). On obtient donc un morphisme \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\) par la propriété universelle de Morphismes, lemme 035I. Observons que \(X_2'\) est le spectre relatif de la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X_2}\) dans \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\). Si \(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) désigne la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X_1}\), alors \(X_2 \times_{X_1} X_1'\) est le spectre relatif de \(\varphi^*\mathcal{A}'\), voir Constructions, lemme 01LX. D’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH, on sait que \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\). Le résultat découle donc du lemme 081K.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme lisse de schémas. Supposons que tout ouvert quasi-compact de \(Y\) ait un nombre fini de composantes irréductibles. Il en est alors de même de \(X\), et il existe un unique isomorphisme \(X^\nu = X \times_Y Y^\nu\) sur \(X\), où \(X^\nu\), \(Y^\nu\) sont les normalisations de \(X\), \(Y\).

Démonstration

D’après Descente, lemme 0BAL, tout ouvert quasi-compact de \(X\) a un nombre fini de composantes irréductibles. Notons que \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\), car un schéma lisse sur un schéma réduit est réduit, voir Descente, lemme 034E. On peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont réduits (car la normalisation d’un schéma est, par définition, égale à celle de son réduit). Notons ensuite que \(X' = X \times_Y Y^\nu\) est un schéma normal d’après Descente, lemme 034F. Le morphisme \(X' \to Y^\nu\) est lisse (donc plat) ; les points génériques des composantes irréductibles de \(X'\) sont donc au-dessus des points génériques des composantes irréductibles de \(Y^\nu\). Puisque \(Y^\nu \to Y\) est birationnel, on en conclut que \(X' \to X\) est aussi birationnel (car \(X' \to Y^\nu\) induit un isomorphisme sur les fibres au-dessus des points génériques de \(Y\)). On en déduit qu’il existe une factorisation \(X^\nu \to X' \to X\), voir Morphismes, lemme 035Q, dont le premier morphisme est un isomorphisme, puisque \(X'\) est normal et entier sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) le morphisme de normalisation. Alors, pour tout point \(x \in X\), le changement de base \[X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h), \quad\text{resp.}\quad X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\] est la normalisation de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\), resp. \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\).

Démonstration

Soient \(\eta_1, \ldots, \eta_r\) les points génériques des composantes irréductibles de \(X\) passant par \(x\). Le changement de base de la normalisation à \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est le spectre de la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, x}\) dans \(\prod \kappa(\eta_i)\). Cela résulte de notre construction de la normalisation de \(X\) dans Morphismes, définition 035N, et de Morphismes, lemme 035F ; on peut aussi utiliser la description de la normalisation dans Morphismes, lemme 035P. On est ainsi ramené au problème d’algèbre suivant. Soit \(A\) un anneau local noethérien ; rappelons que son hensélisé \(A^h\) et son hensélisé strict \(A^{sh}\) sont alors eux aussi noethériens (Compléments d’algèbre, lemme 06LJ). Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) ses idéaux premiers minimaux. Soit \(A'\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(\prod \kappa(\mathfrak p_i)\). Le problème est de montrer que \(A' \otimes_A A^h\), resp. \(A' \otimes_A A^{sh}\), s’obtient à partir de l’anneau local noethérien \(A^h\), resp. \(A^{sh}\), de la même manière.

Puisque \(A^h\), resp. \(A^{sh}\), sont des limites inductives de \(A\)-algèbres étales, les idéaux premiers minimaux de \(A\) et \(A^{sh}\) sont exactement les idéaux premiers de \(A^h\), resp. \(A^{sh}\), au-dessus des idéaux premiers minimaux de \(A\) (par descente des idéaux premiers, voir Algèbre, lemmes 00HS et 0CAN). Ainsi, Compléments d’algèbre, lemme 07QQ, montre que \(A^h \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\), resp. \(A^{sh} \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\), est le produit des corps résiduels aux idéaux premiers minimaux de \(A^h\), resp. \(A^{sh}\). On sait que la formation de la clôture intégrale dans un suranneau commute au changement de base étale, voir Algèbre, lemme 03GE. En écrivant \(A^h\) et \(A^{sh}\) comme limites inductives de \(A\)-algèbres étales, on voit qu’il en est de même pour le changement de base à \(A^h\) et \(A^{sh}\) (on peut aussi utiliser le résultat plus général d’Algèbre, lemme 0CBF).

Morphismes normaux

L’article [DM] de Deligne et Mumford mentionne la notion de morphisme normal. Il s’agit d’un type parmi toute une série³ de morphismes qui peuvent tous être définis de manière analogue. Nous les introduirons au besoin, chacun dans sa propre section.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que toutes les fibres \(X_y\) soient des schémas localement noethériens.

1. Soient \(x \in X\) et \(y = f(x)\). On dit que \(f\) est normal en \(x\) si \(f\) est plat en \(x\) et si le schéma \(X_y\) est géométriquement normal en \(x\) sur \(\kappa(y)\) (voir Variétés, définition 038M).

2. On dit que \(f\) est un morphisme normal si \(f\) est normal en tout point de \(X\).

La normalité du morphisme \(X \to Y\) est donc une condition plus forte que celle demandant seulement que toutes les fibres soient des schémas normaux localement noethériens.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons toutes les fibres de \(f\) localement noethériennes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est normal, et

2. \(f\) est plat et ses fibres sont des schémas géométriquement normaux.

Démonstration

Cela résulte directement des définitions.

Lemme

Un morphisme lisse est normal.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse. Puisque \(f\) est localement de présentation finie, voir Morphismes, lemme 01VE, les fibres \(X_y\) sont localement de type fini sur un corps, donc localement noethériennes. De plus, \(f\) est plat, voir Morphismes, lemme 01VF. Enfin, les fibres \(X_y\) sont lisses sur un corps (d’après Morphismes, lemme 01VB), donc géométriquement normales d’après Variétés, lemme 056T. Ainsi, \(f\) est normal d’après le lemme 0391.

Nous voulons montrer que cette notion est locale à la source et au but pour la topologie lisse. Traitons d’abord la propriété d’avoir des fibres localement noethériennes.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes » est locale pour la topologie fppf à la source et au but.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf de \(Y\). Notons \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\) par \(\varphi_i\). Soit \(i \in I\) et soit \(y_i \in Y_i\) un point. Posons \(y = \varphi_i(y_i)\). Notons que \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] De plus, puisque \(\varphi_i\) est de présentation finie, l’extension de corps \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) est de type fini. Dans cette situation, \(X_y\) est donc localement noethérien si et seulement si \(X_{i, y_i}\) est localement noethérien, voir Variétés, lemme 038R. Ce fait donne le caractère local au but.

Soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement fppf de \(X\). Soit \(y \in Y\). Dans ce cas, \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) est un recouvrement fppf de la fibre. Le caractère local à la source résulte donc de Descente, lemme 034C.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes et \(f\) est normal » est locale pour la topologie fppf au but et locale pour la topologie lisse à la source.

Démonstration

On a \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\), où \(\mathcal{P}_1(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes », \(\mathcal{P}_2(f)=\)« \(f\) est plat », et \(\mathcal{P}_3(f)=\)« les fibres de \(f\) sont géométriquement normales ». On a déjà vu que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont locales pour la topologie fppf à la source et au but, voir le lemme 0392, et Descente, lemmes 02L2 et 036K. Il reste donc à traiter \(\mathcal{P}_3\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de \(Y\). Notons \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\) par \(\varphi_i\). Soit \(i \in I\) et soit \(y_i \in Y_i\) un point. Posons \(y = \varphi_i(y_i)\). Notons que \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] Dans cette situation, \(X_y\) est donc géométriquement normal si et seulement si \(X_{i, y_i}\) est géométriquement normal, voir Variétés, lemme 038P. Ce fait montre que \(\mathcal{P}_3\) est locale pour la topologie fpqc au but.

Soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement lisse de \(X\). Soit \(y \in Y\). Dans ce cas, \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) est un recouvrement lisse de la fibre. Le caractère local de \(\mathcal{P}_3\) pour la topologie lisse à la source résulte donc de Descente, lemme 034F. En combinant ces observations, on obtient le lemme.

Morphismes réguliers

Comparer avec la section 038Z. La version algébrique de cette notion est étudiée dans Compléments d’algèbre, section 07BY.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que toutes les fibres \(X_y\) soient des schémas localement noethériens.

1. Soient \(x \in X\) et \(y = f(x)\). On dit que \(f\) est régulier en \(x\) si \(f\) est plat en \(x\) et si le schéma \(X_y\) est géométriquement régulier en \(x\) sur \(\kappa(y)\) (voir Variétés, définition 038T).

2. On dit que \(f\) est un morphisme régulier si \(f\) est régulier en tout point de \(X\).

La régularité du morphisme \(X \to Y\) est une condition plus forte que celle demandant seulement que toutes les fibres soient des schémas réguliers localement noethériens.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons toutes les fibres de \(f\) localement noethériennes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est régulier,

2. \(f\) est plat et ses fibres sont des schémas géométriquement réguliers,

3. pour toute paire d’ouverts affines \(U \subset X\), \(V \subset Y\) telle que \(f(U) \subset V\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est régulier,

4. il existe un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que chacun des morphismes \(U_i \to V_j\) soit régulier, et

5. il existe un recouvrement ouvert affine \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) et des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) tels que les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_Y(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) soient réguliers.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte immédiatement des définitions. Soit \(x \in X\) et posons \(y = f(x)\). Par définition, \(f\) est plat en \(x\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est un homomorphisme d’anneaux plat, et \(X_y\) est géométriquement régulier en \(x\) sur \(\kappa(y)\) si et seulement si \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) est une algèbre géométriquement régulière sur \(\kappa(y)\). La régularité de \(f\) en \(x\) ne dépend donc que de l’homomorphisme local d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\). L’équivalence de (1) et (4) est donc claire.

Rappelons (Compléments d’algèbre, définition 07BZ) qu’un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est régulier si et seulement s’il est plat et si les anneaux des fibres \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) sont noethériens et géométriquement réguliers pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). D’après Variétés, lemme 038V, cela équivaut à ce que \(\Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) soit un schéma géométriquement régulier sur \(\kappa(\mathfrak p)\). Ainsi, (2) implique (3). Il est clair que (3) implique (5). Enfin, supposons (5). Alors \(f\) est plat (voir Morphismes, lemme 01U5). De plus, si \(y \in Y\), alors \(y \in V_j\) pour un certain \(j\), et \(X_y = \bigcup_{i \in I_j} U_{i, y}\), chaque \(U_{i, y}\) étant géométriquement régulier sur \(\kappa(y)\) d’après Variétés, lemme 038V. Une nouvelle application de Variétés, lemme 038V, montre que \(X_y\) est géométriquement régulier. Ainsi, (2) est vérifiée, ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Un morphisme lisse est régulier.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse. Puisque \(f\) est localement de présentation finie, voir Morphismes, lemme 01VE, les fibres \(X_y\) sont localement de type fini sur un corps, donc localement noethériennes. De plus, \(f\) est plat, voir Morphismes, lemme 01VF. Enfin, les fibres \(X_y\) sont lisses sur un corps (d’après Morphismes, lemme 01VB), donc géométriquement régulières d’après Variétés, lemme 056T. Ainsi, \(f\) est régulier d’après le lemme 07R8.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes et \(f\) est régulier » est locale pour la topologie fppf au but et locale pour la topologie lisse à la source.

Démonstration

On a \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\), où \(\mathcal{P}_1(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes », \(\mathcal{P}_2(f)=\)« \(f\) est plat », et \(\mathcal{P}_3(f)=\)« les fibres de \(f\) sont géométriquement régulières ». On a déjà vu que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont locales pour la topologie fppf à la source et au but, voir le lemme 0392, et Descente, lemmes 02L2 et 036K. Il reste donc à traiter \(\mathcal{P}_3\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de \(Y\). Notons \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\) par \(\varphi_i\). Soit \(i \in I\) et soit \(y_i \in Y_i\) un point. Posons \(y = \varphi_i(y_i)\). Notons que \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] Dans cette situation, \(X_y\) est donc géométriquement régulier si et seulement si \(X_{i, y_i}\) est géométriquement régulier, voir Variétés, lemme 038W. Ce fait montre que \(\mathcal{P}_3\) est locale pour la topologie fpqc au but.

Soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement lisse de \(X\). Soit \(y \in Y\). Dans ce cas, \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) est un recouvrement lisse de la fibre. Le caractère local de \(\mathcal{P}_3\) pour la topologie lisse à la source résulte donc de Descente, lemme 036D. En combinant ces observations, on obtient le lemme.

Morphismes de Cohen-Macaulay

Comparer avec la section 038Z. Notons que, comme il est signalé dans Algèbre, section 045L, et dans Variétés, section 045O, « géométriquement de Cohen-Macaulay » équivaut simplement à « de Cohen-Macaulay ».

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que toutes les fibres \(X_y\) soient des schémas localement noethériens.

1. Soient \(x \in X\) et \(y = f(x)\). On dit que \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\) si \(f\) est plat en \(x\) et si l’anneau local du schéma \(X_y\) en \(x\) est de Cohen-Macaulay.

2. On dit que \(f\) est un morphisme de Cohen-Macaulay si \(f\) est de Cohen-Macaulay en tout point de \(X\).

Voici une reformulation.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons toutes les fibres de \(f\) localement noethériennes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est de Cohen-Macaulay, et

2. \(f\) est plat et ses fibres sont des schémas de Cohen-Macaulay.

Démonstration

Cela résulte directement des définitions.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement noethériens, localement de type fini et de Cohen-Macaulay. Pour tout point \(x\) de \(X\) d’image \(y\) dans \(Y\), \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y),\] où \(X_y\) désigne la fibre au-dessus de \(y\).

Démonstration

Après remplacement de \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), il existe un entier naturel \(d\) tel que toutes les fibres de \(X \to Y\) soient de dimension \(d\) en tout point, voir Morphismes, lemme 02NM. Alors \(f\) est plat, localement de type fini et de dimension relative \(d\). Le résultat découle donc de Morphismes, lemme 0AFE.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas. Supposons que les fibres de \(f\), \(g\) et \(g \circ f\) soient localement noethériennes. Soit \(x \in X\) d’images \(y \in Y\) et \(z \in Z\).

1. Si \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\) et si \(g\) est de Cohen-Macaulay en \(f(x)\), alors \(g \circ f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\).

2. Si \(f\) et \(g\) sont de Cohen-Macaulay, alors \(g \circ f\) est de Cohen-Macaulay.

3. Si \(g \circ f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\) et si \(f\) est plat en \(x\), alors \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\) et \(g\) est de Cohen-Macaulay en \(f(x)\).

4. Si \(g \circ f\) est de Cohen-Macaulay et si \(f\) est plat, alors \(f\) est de Cohen-Macaulay et \(g\) est de Cohen-Macaulay en tout point de l’image de \(f\).

Démonstration

Considérons l’homomorphisme d’anneaux locaux noethériens \[\mathcal{O}_{Y_z, y} \to \mathcal{O}_{X_z, x}\] et observons que sa fibre est \[\mathcal{O}_{X_z, x}/\mathfrak m_{Y_z, y}\mathcal{O}_{X_z, x} = \mathcal{O}_{X_y, x}\] Le lemme résulte donc du lemme 045J d’Algèbre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de schémas localement noethériens. Si \(X\) est de Cohen-Macaulay, alors \(f\) est de Cohen-Macaulay et \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\) est de Cohen-Macaulay pour tout \(x \in X\).

Démonstration

Après traduction en algèbre, cela résulte du lemme 045J d’Algèbre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que toutes les fibres \(X_y\) soient des schémas localement noethériens. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Soit \(x' \in X'\) un point d’image \(x \in X\).

1. Si \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\), alors \(f' : X' \to Y'\) est de Cohen-Macaulay en \(x'\).

2. Si \(f\) est plat en \(x\) et si \(f'\) est de Cohen-Macaulay en \(x'\), alors \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\).

3. Si \(Y' \to Y\) est plat en \(f'(x')\) et si \(f'\) est de Cohen-Macaulay en \(x'\), alors \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\).

Démonstration

Notons que l’hypothèse sur \(Y' \to Y\) implique que, pour \(y' \in Y'\) d’image \(y \in Y\), l’extension de corps \(\kappa(y')/\kappa(y)\) est de type fini. Toutes les fibres \(X'_{y'} = (X_y)_{\kappa(y')}\) sont donc elles aussi localement noethériennes, voir Variétés, lemme 038R. Le lemme a donc un sens. Posons \(y' = f'(x')\) et \(y = f(x)\). On obtient le diagramme commutatif d’anneaux locaux suivant : \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, y} \ar[l] \ar[u] }\] où l’anneau en haut à gauche est un localisé du produit tensoriel des anneaux en haut à droite et en bas à gauche sur l’anneau en bas à droite.

Supposons \(f\) de Cohen-Macaulay en \(x\). La platitude de \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) implique celle de \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\), voir Algèbre, lemme 00MQ. Le fait que \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) soit de Cohen-Macaulay implique que \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) est de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 045P. Ainsi, \(f'\) est de Cohen-Macaulay en \(x'\).

Supposons \(f\) plat en \(x\) et \(f'\) de Cohen-Macaulay en \(x'\). Le fait que \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) soit de Cohen-Macaulay implique que \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) est de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 045P. Ainsi, \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\).

Supposons \(Y' \to Y\) plat en \(y'\) et \(f'\) de Cohen-Macaulay en \(x'\). La platitude de \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) et de \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y', y'}\) implique celle de \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\), voir Algèbre, lemme 00MQ. Le fait que \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) soit de Cohen-Macaulay implique que \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) est de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 045P. Ainsi, \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Posons \[W = \{x \in X \mid f\text{ est de Cohen-Macaulay en }x\}\] Alors

1. \(W = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x}\text{ est de Cohen-Macaulay}\}\),

2. \(W\) est ouvert dans \(X\),

3. \(W\) est dense dans toute fibre de \(X \to S\),

4. la formation de \(W\) commute à tout changement de base de \(f\) : pour tout morphisme \(g : S' \to S\), considérons le changement de base \(f' : X' \to S'\) de \(f\) et la projection \(g' : X' \to X\). Alors l’ensemble \(W'\) correspondant au morphisme \(f'\) est égal à \(W' = (g')^{-1}(W)\).

Démonstration

Puisque \(f\) est plat à fibres localement noethériennes, l’égalité de (1) vaut par définition. Les assertions (2) et (3) résultent du lemme 00RI d’Algèbre. L’assertion (4) résulte soit du lemme 00RK d’Algèbre, soit de Variétés, lemme 045P.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Posons \(d = \dim_x(X_s)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est de Cohen-Macaulay en \(x\),

2. il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et un morphisme localement quasi-fini \(U \to \mathbf{A}^d_S\) sur \(S\) qui est plat en \(x\),

3. il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et un morphisme plat localement quasi-fini \(U \to \mathbf{A}^d_S\) sur \(S\),

4. pour tout \(S\)-morphisme \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\) d’un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\), on a : \(g\) est quasi-fini en \(x\) \(\Rightarrow\) \(g\) est plat en \(x\).

Démonstration

L’ouverture du lieu de platitude montre que (2) et (3) sont équivalentes, voir le théorème 0399.

Choisissons des ouverts affines \(U = \Spec(A) \subset X\) avec \(x \in U\) et \(V = \Spec(R) \subset S\) avec \(f(U) \subset V\). Alors \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux plat de présentation finie. Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Après remplacement de \(A\) par un localisé principal, on peut supposer qu’il existe un homomorphisme quasi-fini \(R[x_1, \ldots, x_d] \to A\), voir Algèbre, lemme 00QE. Il existe donc au moins un couple \((U, g)\) formé d’un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et d’un morphisme localement⁴ quasi-fini \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\).

Affirmation : étant donnés \(R \to A\) plat et de présentation finie, un idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) et \(\varphi : R[x_1, \ldots, x_d] \to A\) quasi-fini en \(\mathfrak p\), on a : \(\Spec(\varphi)\) est plat en \(\mathfrak p\) si et seulement si \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) est de Cohen-Macaulay en \(\mathfrak p\). En effet, d’après le théorème 039C, la platitude peut se vérifier sur les fibres. Il en est de même de la propriété d’être de Cohen-Macaulay (puisque \(A\) est déjà supposé plat sur \(R\)). L’affirmation résulte donc du lemme 00RE d’Algèbre.

Cette affirmation montre que (1) équivaut à (4) ; compte tenu de la construction d’un couple convenable \((U, g)\) au deuxième paragraphe, elle montre aussi que (1) équivaut à (2).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Pour \(d \geq 0\), il existe des ouverts \(U_d \subset X\) ayant les propriétés suivantes :

1. \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\) est dense dans toute fibre de \(f\), et

2. \(U_d \to S\) est de dimension relative \(d\) (voir Morphismes, définition 02NJ).

Démonstration

Cela résulte de la combinaison du lemme 045U avec Morphismes, lemme 02NM.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Supposons que \(x' \leadsto x\) soit une spécialisation de points de \(X\), d’image \(s' \leadsto s\) dans \(S\). Si \(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X_s\), alors \(\dim_{x'}(X_{s'}) = \dim_x(X_s)\).

Démonstration

Le point \(x\) appartient à \(U_d\) pour un certain \(d\), où \(U_d\) est comme au lemme 054T.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes et \(f\) est de Cohen-Macaulay » est locale pour la topologie fppf au but et locale pour la topologie syntomique à la source.

Démonstration

On a \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f)\), où \(\mathcal{P}_1(f)=\)« \(f\) est plat », et \(\mathcal{P}_2(f)=\)« les fibres de \(f\) sont localement noethériennes et de Cohen-Macaulay ». On sait que \(\mathcal{P}_1\) est locale pour la topologie fppf à la source et au but, voir Descente, lemmes 02L2 et 036K. Il reste donc à traiter \(\mathcal{P}_2\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf de \(Y\). Notons \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\) par \(\varphi_i\). Soit \(i \in I\) et soit \(y_i \in Y_i\) un point. Posons \(y = \varphi_i(y_i)\). Notons que \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] et que \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) est une extension de corps de type fini. Ainsi, si \(X_y\) est localement noethérien, \(X_{i, y_i}\) est localement noethérien, voir Variétés, lemme 038R. Si, de plus, \(X_y\) est de Cohen-Macaulay, alors \(X_{i, y_i}\) est de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 045P. Ainsi, \(\mathcal{P}_2\) est locale pour la topologie fppf au but.

Soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement syntomique de \(X\). Soit \(y \in Y\). Dans ce cas, \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) est un recouvrement syntomique de la fibre. Le caractère local de \(\mathcal{P}_2\) pour la topologie syntomique à la source résulte donc de Descente, lemme 036B. En combinant ces observations, on obtient le lemme.

sections des morphismes de Cohen-Macaulay

Les résultats de cette section conduisent finalement à l’assertion selon laquelle la topologie fppf est la même que la topologie « de présentation finie, plate et quasi-finie ». Le lemme suivant est très proche de Diviseurs, lemme 062Y.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Soit \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(f\) soit plat en \(x\), et

3. l’image \(\overline{h}\) de \(h\) dans \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) soit non diviseur de zéro.

Alors il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(h\) provienne d’un élément \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) et tel que \(D = V(h)\) soit un diviseur de Cartier effectif de \(U\), avec \(x \in D\) et \(D \to S\) plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Nous allons le démontrer en nous ramenant au cas noethérien. Par ouverture du lieu de platitude (voir le théorème 0399), on peut supposer, après remplacement de \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), que \(X \to S\) est plat. On peut aussi supposer \(X\) et \(S\) affines. Après restriction éventuelle de \(X\), on peut supposer qu’il existe un élément \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) dont l’image est l’élément \(h\) donné.

On peut écrire \(S = \Spec(A)\) et \(A = \colim_i A_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini. Alors, d’après Algèbre, lemme 02JO, ou Limites, lemmes 01ZM, 01ZN et 01ZM, on peut trouver un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r] & S_0 }\] avec \(f_0\) plat et de présentation finie, \(X_0\) affine et \(S_0\) affine et noethérien. Soit \(x_0 \in X_0\), resp. \(s_0 \in S_0\), l’image de \(x\), resp. \(s\). On peut aussi supposer qu’il existe un élément \(h_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) qui se restreint à \(h\) sur \(X\). (Si l’on utilise la référence algébrique ci-dessus, c’est clair ; si l’on utilise les références au chapitre sur les limites, cela résulte de Limites, lemme 01ZM, en considérant \(h\) comme un morphisme \(X \to \mathbf{A}^1_S\).) Notons que \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) est un localisé de \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \otimes_{\kappa(s_0)} \kappa(s)\), de sorte que \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\) est un homomorphisme local plat, donc fidèlement plat. Par conséquent, l’image \(\overline{h}_0 \in \mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0}\) appartient à \(\mathfrak m_{(X_0)_{s_0}, x_0}\) et est non diviseur de zéro. Nous affirmons qu’après remplacement de \(X_0\) par un voisinage ouvert principal de \(x_0\), l’élément \(h_0\) est non diviseur de zéro dans \(B_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) et \(B_0/h_0B_0\) est plat sur \(A_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\). Dans ce cas, \[0 \to B_0 \xrightarrow{h_0} B_0 \to B_0/h_0B_0 \to 0\] est une suite exacte courte de \(A_0\)-modules plats. Elle reste donc exacte après tensorisation par \(A\) (d’après Algèbre, lemme 00HL), et le lemme s’ensuit.

Il reste à démontrer l’affirmation ci-dessus. L’énoncé algébrique correspondant est le suivant (on omet ici l’indice \({}_0\)) : soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens, plat et de type fini. Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\). Supposons que \(h \in \mathfrak q\) ait pour image un non-diviseur de zéro dans \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak p B_{\mathfrak q}\). Il s’agit de montrer qu’après remplacement éventuel de \(B\) par \(B_g\) pour un \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), l’élément \(h\) devient non diviseur de zéro et \(B/hB\) devient plat sur \(A\). D’après Algèbre, lemme 00MF, \(h\) est non diviseur de zéro dans \(B_{\mathfrak q}\) et \(B_{\mathfrak q}/hB_{\mathfrak q}\) est plat sur \(A\). Par ouverture du lieu de platitude, voir Algèbre, théorème 00RC, ou le théorème 0399, \(B/hB\) est plat sur \(A\) après remplacement de \(B\) par \(B_g\) pour un \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\). Enfin, soit \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) l’annulateur de \(h\). Alors \(IB_{\mathfrak q} = 0\), puisque \(h\) est non diviseur de zéro dans \(B_{\mathfrak q}\). De plus, \(I\) est de type fini, car \(B\) est noethérien. Il existe donc un \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(IB_g = 0\). Après remplacement de \(B\) par \(B_g\), l’élément \(h\) est non diviseur de zéro.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Soient \(h_1, \ldots, h_r \in \mathcal{O}_{X, x}\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(f\) soit plat en \(x\), et

3. les images de \(h_1, \ldots, h_r\) dans \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) forment une suite régulière.

Alors il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(h_1, \ldots, h_r\) proviennent d’éléments \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) et tel que \(Z = V(h_1, \ldots, h_r) \to U\) soit une immersion régulière, avec \(x \in Z\) et \(Z \to S\) plat et localement de présentation finie. De plus, le changement de base \(Z_{S'} \to U_{S'}\) est une immersion régulière pour tout schéma \(S'\) sur \(S\).

Démonstration

(Nos conventions sur les suites régulières impliquent que \(h_i \in \mathfrak m_x\) pour tout \(i\).) Le cas \(r = 1\) résulte du lemme 056Y combiné avec Diviseurs, lemme 056Q, qui montre que \(V(h_1)\) reste un diviseur de Cartier effectif après changement de base. Le cas \(r > 1\) résulte d’une récurrence immédiate sur \(r\) (en appliquant le résultat pour \(r = 1\) exactement \(r\) fois ; les détails sont omis).

Une autre démonstration du lemme utilise les résultats de Diviseurs, section 063P. En effet, d’abord, par ouverture du lieu de platitude (voir le théorème 0399), on peut supposer, après remplacement de \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), que \(X \to S\) est plat. On peut aussi supposer \(X\) et \(S\) affines. Après restriction éventuelle de \(X\), on peut supposer que l’on a \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Posons \(Z = V(h_1, \ldots, h_r)\). Notons que \(X_s\) est un schéma noethérien (car c’est un \(\kappa(s)\)-schéma algébrique, voir Variétés, section 06LF) et que la topologie de \(X_s\) est induite par celle de \(X\) (voir Schémas, lemme 01K1). Ainsi, en restreignant encore \(X\), on peut supposer que \(Z_s \subset X_s\) est une immersion régulière définie par les \(r\) éléments \(h_i|_{X_s}\), voir Diviseurs, lemme 063I et sa démonstration. Il est aussi clair que \(r = \dim_x(X_s) - \dim_x(Z_s)\), car \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(Z_s) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + r \end{align*}\] les deux premières égalités résultant du lemme 00P1 d’Algèbre, et la troisième de \(r\) applications du lemme 00KW d’Algèbre. Ainsi, Diviseurs, lemme 063W, assertion (3), s’applique et montre qu’après restriction de \(X\) pour la topologie de Zariski, le morphisme \(Z \to X\) est une immersion régulière à laquelle s’applique Diviseurs, lemme 063U (ce qui donne la platitude et l’assertion sur le changement de base).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(f\) soit plat en \(x\), et

3. \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) vérifie \(\text{depth} \geq 1\).

Alors il existe un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) et un diviseur de Cartier effectif \(D \subset U\) contenant \(x\) tels que \(D \to S\) soit plat et de présentation finie.

Démonstration

Choisir un élément \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) dont l’image soit non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) et appliquer le lemme 056Y.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s \in S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de présentation finie,

2. \(f\) soit de Cohen-Macaulay en \(x\), et

3. \(x\) soit un point fermé de \(X_s\).

Alors il existe une immersion régulière \(Z \to X\) contenant \(x\) telle que

1. \(Z \to S\) soit plat et localement de présentation finie,

2. \(Z \to S\) soit localement quasi-fini, et

3. \(Z_s = \{x\}\) ensemblistement.

Démonstration

On peut remplacer, et l’on remplace, \(S\) par un voisinage ouvert affine de \(s\). Nous démontrerons le lemme pour \(S\) affine par récurrence sur \(d = \dim_x(X_s)\).

Cas \(d = 0\). Dans ce cas, nous montrons que l’on peut prendre pour \(Z\) un voisinage ouvert de \(x\). (Notons qu’une immersion ouverte est une immersion régulière.) En effet, si \(d = 0\), alors \(X \to S\) est quasi-fini en \(x\), voir Morphismes, lemme 0397. Il existe donc un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(U \to S\) soit quasi-fini, voir Morphismes, lemme 01TI. Ainsi, après remplacement de \(X\) par \(U\), la fibre \(X_s\) est un ensemble fini discret. En remplaçant \(X\) par un nouveau voisinage ouvert affine de \(X\), on obtient donc \(f^{-1}(\{s\}) = \{x\}\) (car la topologie de \(X_s\) est induite par celle de \(X\), voir Schémas, lemme 01K1). Cela démontre le lemme dans ce cas.

Supposons maintenant \(d > 0\). Puisque \(x\) est un point fermé de sa fibre, l’extension \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est finie (d’après le théorème des zéros de Hilbert, voir Morphismes, lemme 01TF). On a donc \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = d > 0\] la première égalité provenant de ce que \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) est de Cohen-Macaulay, et la seconde de Morphismes, lemme 02FX. On peut donc appliquer le lemme 056Z pour trouver un diagramme \[\xymatrix{ D \ar[r] \ar[rrd] & U \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d] \\ & & S }\] avec \(x \in D\). Notons que \(\mathcal{O}_{D_s, x} = \mathcal{O}_{X_s, x}/(\overline{h})\) pour un certain non-diviseur de zéro \(\overline{h}\), voir Diviseurs, lemme 056Q. Ainsi, \(\mathcal{O}_{D_s, x}\) est de Cohen-Macaulay, de dimension inférieure d’une unité à celle de \(\mathcal{O}_{X_s, x}\), voir Algèbre, lemme 02JN, par exemple. Le morphisme \(D \to S\) est donc plat, localement de présentation finie et de Cohen-Macaulay en \(x\), avec \(\dim_x(D_s) = \dim_x(X_s) - 1 = d - 1\). Par l’hypothèse de récurrence, on peut trouver une immersion régulière \(Z \to D\) ayant les propriétés (a), (b), (c). Puisque les deux morphismes \(Z \to D \to U\) sont des immersions régulières, \(Z \to U\) est aussi une immersion régulière d’après Diviseurs, lemme 067Q. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme plat de schémas localement de présentation finie. Soit \(s \in S\) un point de l’image de \(f\). Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ S' \ar[rr] \ar[rd]_g & & X \ar[ld]^f \\ & S }\] où \(g : S' \to S\) est plat, localement de présentation finie, localement quasi-fini, et où \(s \in g(S')\).

Démonstration

La fibre \(X_s\) est non vide par hypothèse. Il existe donc un point fermé \(x \in X_s\) où \(f\) est de Cohen-Macaulay, voir le lemme 045U. Appliquer le lemme 0570 et poser \(S' = Z\).

Le lemme suivant montre que les faisceaux pour la topologie fppf sont exactement les faisceaux pour la topologie « quasi-finie, plate et de présentation finie ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{U} = \{S_i \to S\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf de \(S\), voir Topologies, définition 021M. Alors il existe un recouvrement fppf \(\mathcal{V} = \{T_j \to S\}_{j \in J}\) qui raffine (voir Sites, définition 00VT) \(\mathcal{U}\) et tel que chaque morphisme \(T_j \to S\) soit localement quasi-fini.

Démonstration

Pour tout \(s \in S\), il existe un \(i \in I\) tel que \(s\) appartienne à l’image de \(S_i \to S\). D’après le lemme 0571, on peut trouver un morphisme \(g_s : T_s \to S\) tel que \(s \in g_s(T_s)\), plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, et tel que \(g_s\) se factorise par \(S_i \to S\). Ainsi, \(\{T_s \to S\}\) est le recouvrement recherché de \(S\) raffinant \(\mathcal{U}\).

Fibres génériques

Quelques résultats sur les rapports entre les fibres génériques et les fibres voisines.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\). Si \(X_\eta = \emptyset\), alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(X_V = V \times_Y X = \emptyset\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du résultat plus général Morphismes, lemme 02NE.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\). Si \(X_\eta \not = \emptyset\), alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(X_V = V \times_Y X \to V\) soit surjectif.

Démonstration

Cela résulte, en prenant des ouverts affines, de Algèbre, lemme 00FH. (Bien entendu, cela résulte aussi de la platitude générique.)

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\). Si \(Z \subset X\) est un sous-ensemble fermé tel que \(Z_\eta\) soit nulle part dense dans \(X_\eta\), alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(Z_y\) soit nulle part dense dans \(X_y\) pour tout \(y \in V\).

Démonstration

Soit \(Y' \subset Y\) le réduit de \(Y\). Posons \(X' = Y' \times_Y X\) et \(Z' = Y' \times_Y Z\). Comme \(Y' \to Y\) est un homéomorphisme universel d’après Morphismes, lemme 054M, il suffit de démontrer le lemme pour \(Z' \subset X' \to Y'\). On peut donc supposer que \(Y\) est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. D’après Morphismes, proposition 052A, il existe un ouvert affine non vide \(V \subset Y\) tel que \(X_V \to V\) et \(Z_V \to V\) soient plats et de présentation finie. Nous affirmons que \(V\) convient. Choisissons \(y \in V\). Si \(Z_y\) est d’intérieur non vide, alors \(Z_y\) contient un point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(X_y\). Notons que \(\eta \leadsto f(\xi)\). Comme \(Z_V \to V\) est plat, on peut choisir une spécialisation \(\xi' \leadsto \xi\), \(\xi' \in Z\), avec \(f(\xi') = \eta\), voir Morphismes, lemme 03HV. D’après le lemme 054U, on a \[\dim_{\xi'}(Z_\eta) = \dim_{\xi}(Z_y) = \dim_{\xi}(X_y) = \dim_{\xi'}(X_\eta).\] Ainsi, une composante irréductible de \(Z_\eta\) passant par \(\xi'\) est de dimension \(\dim_{\xi'}(X_\eta)\), ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle \(Z_\eta\) est nulle part dense dans \(X_\eta\), et le résultat est démontré.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\). Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert tel que \(U_\eta\) soit schématiquement dense dans \(X_\eta\). Alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(U_y\) soit schématiquement dense dans \(X_y\) pour tout \(y \in V\).

Démonstration

Soit \(Y' \subset Y\) le réduit de \(Y\). Posons \(X' = Y' \times_Y X\) et \(U' = Y' \times_Y U\). Comme \(Y' \to Y\) induit une bijection sur les points, et comme \(U' \to U\) et \(X' \to X\) induisent des isomorphismes sur les fibres schématiques, on peut remplacer \(Y\) par \(Y'\) et \(X\) par \(X'\). On peut donc supposer que \(Y\) est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. On peut aussi remplacer \(Y\) par un ouvert affine non vide. Autrement dit, on peut supposer que \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau intègre de corps des fractions \(K\).

Puisque \(f\) est de type fini, \(X\) est quasi-compact. Écrivons \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\), où les \(X_i\) sont des ouverts affines. D’après Morphismes, définition 01RB, \(U_i = X_i \cap U\) est un sous-schéma ouvert de \(X_i\) tel que \(U_{i, \eta}\) soit schématiquement dense dans \(X_{i, \eta}\). Il suffit donc de démontrer le résultat pour les couples \((X_i, U_i)\) ; autrement dit, on peut supposer que \(X\) est affine.

Écrivons \(X = \Spec(B)\). Notons que \(B_K\) est noethérien, puisque c’est une \(K\)-algèbre de type fini. Ainsi, \(U_\eta\) est quasi-compact. On peut donc trouver un nombre fini d’éléments \(g_1, \ldots, g_m \in B\) tels que \(D(g_j) \subset U\) et tels que \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\). Le fait que \(U_\eta\) soit schématiquement dense dans \(X_\eta\) signifie que \(B_K \to \bigoplus_j (B_K)_{g_j}\) est injectif, voir Morphismes, exemple 056C. D’après Algèbre, lemme 0565, cela équivaut à l’injectivité de \(B_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B_K\), \(b \mapsto (g_1b, \ldots, g_mb)\). Soit \(M\) le conoyau de cette application sur \(A\), c’est-à-dire que l’on a une suite exacte \[0 \to I \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] Quitte à remplacer \(A\) par \(A_h\) pour un certain \(h\) non nul, on peut supposer que \(B\) est une \(A\)-algèbre plate et de présentation finie, et que \(M\) est plat sur \(A\), voir Algèbre, lemme 051T. La platitude de \(B\) sur \(A\) implique que \(B\) est sans torsion comme \(A\)-module, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0538. Ainsi \(B \subset B_K\). Par hypothèse, \(I_K = 0\), ce qui implique que \(I = 0\) (car \(I \subset B \subset B_K\) est inclus dans \(I_K\)). On a donc maintenant une suite exacte courte \[0 \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] où \(M\) est plat sur \(A\). Pour tout homomorphisme \(A \to \kappa\), où \(\kappa\) est un corps, on obtient donc une suite exacte courte \[0 \to B \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] voir Algèbre, lemme 00HL. En reprenant en sens inverse les arguments ci-dessus, cela signifie que \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) est schématiquement dense dans \(\Spec(B \otimes_A \kappa)\). Comme \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\), on en déduit que \(U_\kappa\) est schématiquement dense dans \(X_\kappa\), ce qu’il fallait démontrer.

Soient un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) et un point \(y \in Y\). Rappelons que la fibre \(X_y\) est homéomorphe au sous-ensemble \(f^{-1}(\{y\})\) de \(X\) muni de la topologie induite, voir Schémas, lemme 01K1. Soit un sous-ensemble fermé \(T(y) \subset X_y\). Soit \(T\) l’adhérence de \(T(y)\) dans \(X\). Munissons \(T\) de la structure de schéma réduit induite. Alors \(T\) est un sous-schéma fermé de \(X\) tel que \(T_y = T(y)\) ensemblistement. En fait, \(T\) est le plus petit sous-schéma fermé de \(X\) ayant cette propriété. Il est donc « sans inconvénient » de désigner un sous-ensemble fermé de \(X_y\) par \(T_y\) si on le souhaite. Dans le lemme suivant, on applique ceci à la fibre générique de \(f\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\). Soit \(X_\eta = Z_{1, \eta} \cup \ldots \cup Z_{n, \eta}\) un recouvrement de la fibre générique par des sous-ensembles fermés de \(X_\eta\). Soit \(Z_i\) l’adhérence de \(Z_{i, \eta}\) dans \(X\) (voir la discussion ci-dessus). Alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(X_y = Z_{1, y} \cup \ldots \cup Z_{n, y}\) pour tout \(y \in V\).

Démonstration

Si \(Y\) est noethérien, alors \(U = X \setminus (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n)\) est de type fini sur \(Y\), et on peut appliquer directement le lemme 054W pour obtenir \(U_V = \emptyset\) pour un ouvert non vide \(V \subset Y\). Dans le cas général, raisonnons comme suit. Puisque la question est topologique, on peut remplacer \(Y\) par son réduit. Ainsi \(Y\) est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. Quitte à rétrécir \(Y\), on peut supposer que \(X \to Y\) est plat, voir Morphismes, proposition 052A. Dans ce cas, tout point \(x\) de \(X_y\) est une spécialisation d’un point \(x' \in X_\eta\), d’après Morphismes, lemme 03HV. Comme les \(Z_i\) sont fermés dans \(X\) et recouvrent la fibre générique, ceci implique que \(X_y = \bigcup Z_{i, y}\) pour \(y \in Y\), comme désiré.

Le lemme suivant affirme que les fibres génériques de morphismes dont la source est réduite sont réduites.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\eta \in Y\) un point générique d’une composante irréductible de \(Y\). Alors \((X_\eta)_{red} = (X_{red})_\eta\).

Démonstration

Choisissons un voisinage affine \(\Spec(A) \subset Y\) de \(\eta\). Choisissons un ouvert affine \(\Spec(B) \subset X\) envoyé dans \(\Spec(A)\) par le morphisme \(f\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier minimal correspondant à \(\eta\). Soit \(B_{red}\) le quotient de \(B\) par le nilradical \(\sqrt{(0)}\). Le contenu algébrique du lemme est que \(C = B_{red} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est réduit. Notons \(I \subset A\) le nilradical, de sorte que \(A_{red} = A/I\). Notons \(\mathfrak p_{red} = \mathfrak p/I\) ; c’est un idéal premier minimal de \(A_{red}\) et \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p_{red})\). Comme \(A \to B_{red}\) et \(A \to \kappa(\mathfrak p)\) se factorisent tous deux par \(A \to A_{red}\), on a \(C = B_{red} \otimes_{A_{red}} \kappa(\mathfrak p_{red})\). Or \(\kappa(\mathfrak p_{red}) = (A_{red})_{\mathfrak p_{red}}\) est une localisation d’après Algèbre, lemme 00EU. Ainsi \(C\) est une localisation de \(B_{red}\) (Algèbre, lemme 00DK) et est donc réduit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible et que \(f\) soit de type fini. Il existe un diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] où

1. \(V\) est un ouvert non vide de \(Y\),

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\) est un homéomorphisme universel fini,

4. \(X' = (Y' \times_Y X)_{red} = (Y' \times_V X_V)_{red}\),

5. \(g'\) est un homéomorphisme universel fini,

6. \(Y'\) est un schéma affine intègre,

7. \(f'\) est plat et de présentation finie, et

8. la fibre générique de \(f'\) est géométriquement réduite.

Démonstration

Soit \(V = \Spec(A)\) un ouvert affine non vide de \(Y\). Par hypothèse, le nilradical \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) de \(A\) est un idéal premier. Soit \(K = \kappa(\mathfrak p)\). Soit \(p\) la caractéristique de \(K\) si elle est positive, et \(1\) si elle est nulle. D’après Variétés, lemme 04KT, il existe une extension de corps finie purement inséparable \(K'/K\) telle que \((X_{K'})_{red}\) soit géométriquement réduit sur \(K'\). Choisissons des éléments \(x_1, \ldots, x_n \in K'\) qui engendrent \(K'\) sur \(K\) et tels qu’une puissance d’exposant une puissance de \(p\) de \(x_i\) appartienne à \(A/\mathfrak p\). Soit \(A' \subset K'\) la \(A\)-sous-algèbre finie de \(K'\) engendrée par \(x_1, \ldots, x_n\). Notons que \(A'\) est un anneau intègre de corps des fractions \(K'\). D’après Algèbre, lemme 0BRA, l’application \(A \to A'\) induit un homéomorphisme universel sur les spectres. Posons \(Y' = \Spec(A')\). Posons \(X' = (Y' \times_Y X)_{red}\). La fibre générique de \(X' \to Y'\) est \((X_{K'})_{red}\) d’après le lemme 054Z, et elle est géométriquement réduite par construction. Notons que \(X' \to X_V\) est un homéomorphisme universel fini, car c’est la composée du morphisme de réduction \(X' \to Y' \times_Y X\) (voir Morphismes, lemme 054M) et du changement de base de \(g\). À ce stade, toutes les propriétés du lemme sont satisfaites, à l’exception possible de (7). On peut obtenir cette dernière en rétrécissant \(Y'\), et donc \(V\), voir Morphismes, proposition 052A.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible et que \(f\) soit de type fini. Il existe un diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] où

1. \(V\) est un ouvert non vide de \(Y\),

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\) est fini étale surjectif,

4. \(X' = Y' \times_Y X = Y' \times_V X_V\),

5. \(g'\) est fini étale surjectif,

6. \(Y'\) est un schéma affine irréductible, et

7. toutes les composantes irréductibles de la fibre générique de \(f'\) sont géométriquement irréductibles.

Démonstration

Soit \(V = \Spec(A)\) un ouvert affine non vide de \(Y\). Par hypothèse, le nilradical \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) de \(A\) est un idéal premier. Soit \(K = \kappa(\mathfrak p)\). D’après Variétés, lemme 054R, il existe une extension de corps finie séparable \(K'/K\) telle que toutes les composantes irréductibles de \(X_{K'}\) soient géométriquement irréductibles sur \(K'\). Choisissons un élément \(\alpha \in K'\) qui engendre \(K'\) sur \(K\), voir Corps, lemme 030N. Soit \(P(T) \in K[T]\) le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(K\). Quitte à remplacer \(\alpha\) par \(f \alpha\) pour un certain \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), on peut supposer qu’il existe un polynôme unitaire \(T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d \in A[T]\) dont l’image est \(P(T) \in K[T]\) par l’application \(A[T] \to K[T]\). Posons \(A' = A[T]/(P)\). Alors \(A \to A'\) est un homomorphisme d’anneaux fini libre tel qu’il existe un unique idéal premier \(\mathfrak q\) au-dessus de \(\mathfrak p\), que \(K = \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q) = K'\) est une extension finie séparable, et que \(\mathfrak pA'_{\mathfrak q}\) est l’idéal maximal de \(A'_{\mathfrak q}\). Ainsi \(g : Y' = \Spec(A') \to V = \Spec(A)\) est étale en \(\mathfrak q\), voir Algèbre, lemme 00U6. Cela signifie qu’il existe un ouvert \(W \subset \Spec(A')\) tel que \(g|_W : W \to \Spec(A)\) soit étale. Comme \(g\) est fini et comme \(\mathfrak q\) est le seul point au-dessus de \(\mathfrak p\), on voit que \(Z = g(Y' \setminus W)\) est un sous-ensemble fermé de \(V\) qui ne contient pas \(\mathfrak p\). Ainsi, quitte à remplacer \(V\) par un ouvert affine principal de \(V\) qui ne rencontre pas \(Z\), on obtient que \(g\) est fini étale.

Assassins relatifs

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) et posons \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X\). Si \(f\) est localement de type fini et si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Z\) tel que, pour tout \(s \in f(V)\), les points génériques de \(V_s\) appartiennent à \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\).

Démonstration

On peut remplacer \(S\) par un voisinage ouvert affine de \(f(\xi)\) et \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(\xi\). On peut donc supposer \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) et que \(f\) est donné par l’homomorphisme d’anneaux de type fini \(A \to B\), voir Morphismes, lemme 01T2. De plus, on peut écrire \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un certain \(B\)-module de type fini \(M\), voir Propriétés, lemme 01PB. Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(\xi\), et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant de \(A\). Par hypothèse, \(\mathfrak q \in \text{Ass}_B(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\), voir Algèbre, remarque 05E0 et Diviseurs, lemme 02OK. Avec ces notations, \(Z = V(\mathfrak q) \subset \Spec(B)\). En particulier, \(f(Z) \subset V(\mathfrak p)\). Il suffit donc clairement de démontrer le lemme après avoir remplacé \(A\), \(B\) et \(M\) par \(A/\mathfrak pA\), \(B/\mathfrak pB\) et \(M/\mathfrak pM\). Autrement dit, on peut supposer que \(A\) est un anneau intègre de corps des fractions \(K\) et que \(\mathfrak q \subset B\) est un idéal premier associé de \(M \otimes_A K\).

On peut maintenant utiliser la platitude générique. En effet, d’après Algèbre, lemme 051T, il existe un élément non nul \(g \in A\) tel que \(M_g\) soit plat comme \(A_g\)-module. Après avoir remplacé \(A\) par \(A_g\), on peut supposer que \(M\) est plat comme \(A\)-module.

Dans ce cas, d’après Algèbre, lemme 05C1, \(\mathfrak q\) est aussi un idéal premier associé de \(M\). On obtient donc une application injective de \(B\)-modules \(B/\mathfrak q \to M\). Soit \(Q\) son conoyau ; on obtient ainsi une suite exacte courte \[0 \to B/\mathfrak q \to M \to Q \to 0\] de \(B\)-modules de type fini. En appliquant une nouvelle fois la platitude générique, Algèbre, lemme 051T, cette fois au \(B\)-module \(Q\), on peut supposer que \(Q\) est un \(A\)-module plat. En particulier, on peut supposer que la suite exacte courte ci-dessus est universellement injective, voir Algèbre, lemme 00HL. Dans cette situation, \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p') \subset M \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p'\) de \(A\). Le lemme en résulte, car tout idéal premier minimal \(\mathfrak q'\) du support de \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) est un idéal premier associé de \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) d’après Diviseurs, lemme 05AH.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini,

3. \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\), et

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\) ne soit pas contenu dans \(U_\eta\).

Alors il existe un sous-schéma ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que, pour tout \(y \in V\), l’ensemble \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) ne soit pas contenu dans \(U_y\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\), voir Morphismes, définition 05JV. Alors \(Z_\eta\) est le support schématique de \(\mathcal{F}_\eta\) (Morphismes, lemme 07T9). Ainsi, les points génériques des composantes irréductibles de \(Z_\eta\) appartiennent à \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\) d’après Diviseurs, lemme 05AH. On voit donc que \(Z_\eta \cap U_\eta = \emptyset\). Ainsi \(T = Z \setminus U\) est un sous-ensemble fermé de \(Z\) tel que \(T_\eta = \emptyset\). Si l’on munit \(T\) de la structure de schéma réduit induite, alors \(T \to Y\) est un morphisme de type fini. D’après le lemme 054W, il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(T_V = \emptyset\). Alors \(V\) convient.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit de type fini,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini,

3. \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\), et

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\).

Alors il existe un sous-schéma ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que, pour tout \(y \in V\), on ait \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\).

Démonstration

(Cette démonstration est identique à celle du lemme 0573. Nous invitons le lecteur à lire d’abord cette dernière.) Puisque l’énoncé porte sur les fibres, on peut clairement remplacer \(Y\) par son réduit. On peut donc supposer que \(Y\) est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. On peut aussi supposer que \(Y = \Spec(A)\) est affine. Alors \(A\) est un anneau intègre de corps des fractions \(K\).

Puisque \(f\) est de type fini, \(X\) est quasi-compact. Écrivons \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\), où les \(X_i\) sont des ouverts affines, et posons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}|_{X_i}\). Par hypothèse, la fibre générique de \(U_i = X_i \cap U\) contient \(\text{Ass}_{X_{i, \eta}}(\mathcal{F}_{i, \eta})\). Il suffit donc de démontrer le résultat pour les triplets \((X_i, \mathcal{F}_i, U_i)\) ; autrement dit, on peut supposer que \(X\) est affine.

Écrivons \(X = \Spec(B)\). Soit \(N\) un \(B\)-module de type fini tel que \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\). Notons que \(B_K\) est noethérien, puisque c’est une \(K\)-algèbre de type fini. Ainsi \(U_\eta\) est quasi-compact. On peut donc trouver un nombre fini d’éléments \(g_1, \ldots, g_m \in B\) tels que \(D(g_j) \subset U\) et tels que \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\). Puisque \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\), l’application \(N_K \to \bigoplus_j (N_K)_{g_j}\) est injective. D’après Algèbre, lemme 0565, cela équivaut à l’injectivité de \(N_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N_K\), \(n \mapsto (g_1n, \ldots, g_mn)\). Soient \(I\) et \(M\) le noyau et le conoyau de cette application sur \(A\), c’est-à-dire que l’on a une suite exacte \[0 \to I \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] Quitte à remplacer \(A\) par \(A_h\) pour un certain \(h\) non nul, on peut supposer que \(B\) est une \(A\)-algèbre plate et de présentation finie et que \(M\) et \(N\) sont tous deux plats sur \(A\), voir Algèbre, lemme 051T. La platitude de \(N\) sur \(A\) implique que \(N\) est sans torsion comme \(A\)-module, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0538. Ainsi \(N \subset N_K\). Par construction, \(I_K = 0\), ce qui implique que \(I = 0\) (car \(I \subset N \subset N_K\) est inclus dans \(I_K\)). On a donc maintenant une suite exacte courte \[0 \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] où \(M\) est plat sur \(A\). Pour tout homomorphisme \(A \to \kappa\), où \(\kappa\) est un corps, on obtient donc une suite exacte courte \[0 \to N \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] voir Algèbre, lemme 00HL. En reprenant en sens inverse les arguments ci-dessus, cela signifie que \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) contient \(\text{Ass}_{B \otimes_A \kappa}(N \otimes_A \kappa)\). Comme \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\), on en déduit que \(U_\kappa\) contient \(\text{Ass}_{X \otimes \kappa}(\mathcal{F} \otimes \kappa)\), ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas, soit \(f' : X' = X_{S'} \to S'\) le changement de base de \(f\), soit \(g' : X' \to X\) la projection, posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\), et posons \(U' = (g')^{-1}(U)\). Enfin, soit \(s' \in S'\) d’image \(s = g(s')\). Dans ce cas, \[\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s) \subset U_s \Leftrightarrow \text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) \subset U'_{s'}.\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Diviseurs, lemme 05DC. Voir aussi Diviseurs, remarque 05KL.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert tel que \(U \to Y\) soit quasi-compact. Alors l’ensemble \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\}\] est localement constructible dans \(Y\).

Démonstration

Soit \(y \in Y\). Il faut montrer qu’il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(y\) dans \(Y\) tel que \(E \cap V\) soit constructible dans \(V\). On peut donc supposer que \(Y\) est affine. Écrivons \(Y = \Spec(A)\) et \(A = \colim A_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini. D’après Limites, lemme 01ZM, on peut trouver un \(i\) et un morphisme \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\) de présentation finie dont le changement de base à \(Y\) redonne \(f\). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) de présentation finie dont l’image inverse sur \(X\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\), voir Limites, lemme 01ZR. Quitte à augmenter encore une fois \(i\), on peut supposer qu’il existe un sous-schéma ouvert \(U_i \subset X_i\) dont l’image inverse dans \(X\) est \(U\), voir Limites, lemme 01Z4. D’après le lemme 05KQ, il suffit de démontrer le lemme pour \(f_i\). On se ramène donc au cas où \(Y\) est le spectre d’un anneau noethérien.

Nous allons utiliser le critère de Topologie, lemme 053Z, pour démontrer que \(E\) est constructible lorsque \(Y\) est un schéma noethérien. Pour le voir, soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé irréductible. Il faut montrer que \(E \cap Z\) contient un ouvert non vide ou n’est pas dense dans \(Z\). Cela résulte des lemmes 05KN et 05KP, appliqués au changement de base \((X, \mathcal{F}, U) \times_Y Z\) sur \(Z\).

Fibres réduites

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\), et que \(f\) soit de type fini. Si \(X_\eta\) n’est pas réduit, alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que, pour tout \(y \in V\), la fibre \(X_y\) ne soit pas réduite.

Démonstration

Soit \(Y' \subset Y\) le réduit de \(Y\). Soit \(X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Notons que \(Y' \to Y\) induit une bijection sur les points et que \(X' \to X\) identifie les fibres. On peut donc supposer que \(Y'\) est réduit, c’est-à-dire intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. On peut aussi remplacer \(Y\) par un ouvert affine. On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau intègre. Notons \(K\) le corps des fractions de \(A\). Choisissons un ouvert affine \(\Spec(B) = U \subset X\) et une section \(h_\eta \in \Gamma(U_\eta, \mathcal{O}_{U_\eta}) = B_K\) qui soit non nulle et nilpotente. Quitte à rétrécir \(Y\), on peut supposer que \(h\) provient de \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\). Quitte à rétrécir encore un peu \(Y\), on peut supposer que \(h\) est nilpotent. Soit \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) l’annulateur de \(h\). Alors \(C = B/I\) est une \(A\)-algèbre de type fini dont la fibre générique \((B/I)_K\) est non nulle (car \(h_\eta \not = 0\)). Appliquons la platitude générique à \(A \to C\) et \(A \to B/hB\), voir Algèbre, lemme 051T ; on obtient un \(g \in A\), \(g \not = 0\) tel que \(C_g\) soit libre comme \(A_g\)-module et que \((B/hB)_g\) soit plat comme \(A_g\)-module. Remplaçons \(Y\) par \(D(g) \subset Y\). On a maintenant la suite exacte courte \[0 \to C \to B \to B/hB \to 0.\] où \(B/hB\) est plat sur \(A\) et où \(C\) est un \(A\)-module libre non nul. Il en résulte que, pour tout homomorphisme \(A \to \kappa\) vers un corps, l’anneau \(C \otimes_A \kappa\) est non nul et la suite \[0 \to C \otimes_A \kappa \to B \otimes_A \kappa \to B/hB \otimes_A \kappa \to 0\] est exacte, voir Algèbre, lemme 00HL. Notons que \(B/hB \otimes_A \kappa = (B \otimes_A \kappa) / h(B \otimes_A \kappa)\) par exacte à droite du produit tensoriel. On en conclut que la multiplication par \(h\) n’est pas nulle sur \(B \otimes_A \kappa\). Cela signifie clairement que, pour tout point \(y \in Y\), l’élément \(h\) se restreint en un élément non nul de \(U_y\), d’où \(X_y\) n’est pas réduit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme quelconque, et notons \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Alors \[\begin{align*} \{y' \in Y' \mid X'_{y'}\text{ est géométriquement réduit}\} \\ = g^{-1}(\{y \in Y \mid X_y\text{ est géométriquement réduit}\}). \end{align*}\]

Démonstration

Cela revient à dire que, pour \(y' \in Y'\) d’image \(y \in Y\), la fibre \(X'_{y'} = X_y \times_y y'\) est géométriquement réduite sur \(\kappa(y')\) si et seulement si \(X_y\) est géométriquement réduit sur \(\kappa(y)\). Cela résulte de Variétés, lemme 0384.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\), et que \(f\) soit de type fini. Si \(X_\eta\) n’est pas géométriquement réduit, alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que, pour tout \(y \in V\), la fibre \(X_y\) ne soit pas géométriquement réduite.

Démonstration

Appliquons le lemme 0550 pour obtenir \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] avec toutes les propriétés mentionnées dans ce lemme. Soit \(\eta'\) le point générique de \(Y'\). Considérons le morphisme \(X' \to X_{Y'}\) (qui est le morphisme de réduction) et le morphisme de fibres génériques qui en résulte, \(X'_{\eta'} \to X_{\eta'}\). Puisque \(X'_{\eta'}\) est géométriquement réduit, tandis que \(X_\eta\) ne l’est pas, ce morphisme ne peut être un isomorphisme, voir Variétés, lemme 0384. Ainsi \(X_{\eta'}\) n’est pas réduit. D’après le lemme 0575, les fibres de \(X_{Y'} \to Y'\) ne sont donc pas réduites en tout point \(y' \in V'\) d’un ouvert non vide \(V' \subset Y'\). Puisque \(g : Y' \to V\) est un homéomorphisme, le lemme 0576 montre que \(g(V')\) est l’ouvert recherché.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(Y\) soit irréductible, de point générique \(\eta\),

2. \(X_\eta\) soit géométriquement réduit, et

3. \(f\) soit de type fini.

Alors il existe un sous-schéma ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(X_V \to V\) ait des fibres géométriquement réduites.

Démonstration

Soit \(Y' \subset Y\) le réduit de \(Y\). Soit \(X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Notons que \(Y' \to Y\) induit une bijection sur les points et que \(X' \to X\) identifie les fibres. On peut donc supposer que \(Y'\) est réduit, c’est-à-dire intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. On peut aussi remplacer \(Y\) par un ouvert affine. On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau intègre. Notons \(K\) le corps des fractions de \(A\). Quitte à rétrécir un peu \(Y\), on peut également supposer que \(X \to Y\) est plat et de présentation finie, voir Morphismes, proposition 052A.

Puisque \(X_\eta\) est géométriquement réduit, il existe un sous-ensemble ouvert dense \(V \subset X_\eta\) tel que \(V \to \Spec(K)\) soit lisse, voir Variétés, lemme 056V. Soit \(U \subset X\) l’ensemble des points où \(f\) est lisse. D’après Morphismes, lemme 02V4, on a \(V \subset U_\eta\). Ainsi, la fibre générique de \(U\) est dense dans la fibre générique de \(X\). Puisque \(X_\eta\) est réduit, il en résulte que \(U_\eta\) est schématiquement dense dans \(X_\eta\), voir Morphismes, lemme 056D. Notons que, puisque \(U \to Y\) est lisse, toutes les fibres de \(U \to Y\) sont géométriquement réduites. Il suffit donc de montrer que, après avoir rétréci \(Y\), pour tout \(y \in Y\), le schéma \(U_y\) est schématiquement dense dans \(X_y\), voir Morphismes, lemme 056E. Cela résulte du lemme 0573.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et localement de présentation finie. Alors l’ensemble \[E = \{y \in Y \mid X_y\text{ est géométriquement réduit}\}\] est localement constructible dans \(Y\).

Démonstration

Soit \(y \in Y\). Nous devons montrer qu’il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(y\) dans \(Y\) tel que \(E \cap V\) soit constructible dans \(V\). On peut donc supposer que \(Y\) est affine. Alors \(X\) est quasi-compact. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Les fibres des \(U_i \to Y\) en \(y\) forment alors un recouvrement ouvert affine de la fibre de \(X \to Y\) en \(y\). On peut donc aussi supposer que \(X\) est affine. Écrivons \(Y = \Spec(A)\). Écrivons \(A = \colim A_i\) comme limite inductive d’algèbres de type fini sur \(\mathbf{Z}\). D’après Limites, lemme 01ZM, on peut trouver un \(i\) et un morphisme \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\) de présentation finie dont le changement de base à \(Y\) redonne \(f\). D’après le lemme 0576, il suffit de démontrer le lemme pour \(f_i\). On se ramène ainsi au cas où \(Y\) est le spectre d’un anneau noethérien.

Nous utiliserons le critère du Topologie, lemme 053Z, pour montrer que \(E\) est constructible lorsque \(Y\) est un schéma noethérien. Pour cela, soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé irréductible de point générique \(\xi\). Nous devons montrer que \(E \cap Z\) contient un ouvert non vide ou n’est pas dense dans \(Z\). Si \(X_\xi\) est géométriquement réduit, alors le lemme 0578 (appliqué au morphisme \(X_Z \to Z\)) implique que toutes les fibres \(X_y\) sont géométriquement réduites pour un ouvert non vide \(V \subset Z\). Si \(X_\xi\) n’est pas géométriquement réduit, alors le lemme 0577 (appliqué au morphisme \(X_Z \to Z\)) implique que toutes les fibres \(X_y\) ne sont pas géométriquement réduites pour un ouvert non vide \(V \subset Z\). Cela conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to \Spec(R)\) un morphisme propre, où \(R\) est un anneau de valuation discrète. Supposons que toute composante irréductible de \(X\) domine \(\Spec(R)\) (par exemple si \(f\) est plat) et que la fibre spéciale soit réduite. Alors \(X\) et la fibre générique \(X_\eta\) sont réduits.

Démonstration

(Le fait qu’un morphisme plat satisfasse l’hypothèse sur les composantes irréductibles résulte par exemple du Diviseurs, lemme 05DB, ou de la descente des idéaux premiers pour les homomorphismes d’anneaux plats.) Supposons que la fibre spéciale \(X_s\) soit réduite. Soit \(x \in X\) un point quelconque, et montrons que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit ; cela montrera que \(X\) et \(X_\eta\) sont réduits. Soit \(x \leadsto x'\) une spécialisation telle que \(x'\) appartienne à la fibre spéciale ; une telle spécialisation existe puisqu’un morphisme propre est fermé. Considérons l’anneau local \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un localisé de \(A\), de sorte qu’il suffit de montrer que \(A\) est réduit. Soit \(\pi \in R\) une uniformisante. Si \(a \in A\) est non nul, il existe un \(n \geq 0\) et un élément \(a' \in A\) tels que \(a = \pi^n a'\) et \(a' \not \in \pi A\). Cela résulte du théorème d’intersection de Krull (Algèbre, lemme 00IP). Si \(a\) est nilpotent, alors \(a\) appartient à tous les idéaux premiers minimaux de \(A\), et il en va donc de même de \(a'\), car \(\pi\) n’appartient à aucun des idéaux premiers minimaux de \(A\) en vertu de notre hypothèse sur les composantes irréductibles de \(X\). Ainsi \(a'\) est nilpotent. Mais \(a'\) s’envoie sur un élément non nul de l’anneau réduit \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\). C’est une contradiction à moins que \(A\) ne soit réduit, ce qui est ce que nous voulions montrer.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat et propre de présentation finie. Alors l’ensemble \(\{y \in Y \mid X_y\text{ est géométriquement réduit}\}\) est ouvert dans \(Y\).

Démonstration

On peut supposer que \(Y\) est affine. Alors \(Y\) est une limite projective filtrante de schémas affines de type fini sur \(\mathbf{Z}\). On peut donc supposer que \(X \to Y\) est le changement de base de \(X_0 \to Y_0\), où \(Y_0\) est le spectre d’une algèbre de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et \(X_0 \to Y_0\) est plat et propre. Voir Limites, lemme 01ZM, 04AI, et 081F. Puisque la formation de l’ensemble des points où les fibres sont géométriquement réduites commute au changement de base (lemme 0576), on peut supposer que la base est noethérienne.

Supposons que \(Y\) soit noethérien. L’ensemble est constructible d’après le lemme 0579. Il suffit donc de montrer que l’ensemble est stable par générisation (Topologie, lemme 0542). D’après Propriétés, lemme 054F, on se ramène au cas où \(Y = \Spec(R)\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète, et où la fibre fermée \(X_y\) est géométriquement réduite. Il faut montrer que la fibre générique \(X_\eta\) est géométriquement réduite.

Sinon, il existe une extension finie \(L\) du corps des fractions de \(R\) telle que \(X_L\) ne soit pas réduit, voir Variétés, lemme 035X. Il existe un anneau de valuation discrète \(R' \subset L\) de corps des fractions \(L\) et dominant \(R\), voir Algèbre, lemme 09IG. Après avoir remplacé \(R\) par \(R'\), on se ramène au lemme 0C0D.

Composantes irréductibles des fibres

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(Y\) irréductible de point générique \(\eta\) et \(f\) de type fini. Si \(X_\eta\) a \(n\) composantes irréductibles, alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que, pour tout \(y \in V\), la fibre \(X_y\) ait au moins \(n\) composantes irréductibles.

Démonstration

La question étant purement topologique, on peut remplacer \(X\) et \(Y\) par leurs réduits. En particulier, cela implique que \(Y\) est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. Soit \(X_\eta = X_{1, \eta} \cup \ldots \cup X_{n, \eta}\) la décomposition de \(X_\eta\) en composantes irréductibles. Soit \(X_i \subset X\) le sous-schéma fermé réduit dont la fibre générique est \(X_{i, \eta}\). Notons que \(Z_{i, j} = X_i \cap X_j\) est un sous-ensemble fermé de \(X_i\) dont la fibre générique \(Z_{i, j, \eta}\) est nulle part dense dans \(X_{i, \eta}\). Après avoir rétréci \(Y\), on peut donc supposer que \(Z_{i, j, y}\) est nulle part dense dans \(X_{i, y}\) pour tout \(y \in Y\), voir lemme 054X. Après avoir encore rétréci \(Y\), on peut supposer que \(X_y = \bigcup X_{i, y}\) pour \(y \in Y\), voir lemme 054Y. De plus, après avoir rétréci \(Y\), on peut supposer que chaque \(X_i \to Y\) est plat et de présentation finie, voir Morphismes, proposition 052A. Les morphismes \(X_i \to Y\) sont ouverts, voir Morphismes, lemme 01UA. Il existe donc un voisinage ouvert \(V\) de \(\eta\) qui est contenu dans \(f(X_i)\) pour chaque \(i\). Pour tout \(y \in V\), les schémas \(X_{i, y}\) sont des sous-ensembles fermés non vides de \(X_y\), on a \(X_y = \bigcup X_{i, y}\), et les intersections \(Z_{i, j, y} = X_{i, y} \cap X_{j, y}\) ne sont pas denses dans \(X_{i, y}\). Cela implique clairement que \(X_y\) a au moins \(n\) composantes irréductibles.