Hyperrecouvrements

Introduction

Soit \(\mathcal{C}\) un site ; voir Sites, Définition 00VH. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Étant donné un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), nous voudrions calculer ses groupes de cohomologie \[H^i(X, \mathcal{F}).\] D’après nos définitions générales (Cohomologie sur les sites, section 01FT) ce groupe de cohomologie se calcule en choisissant une résolution injective \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I}^0 \to \mathcal{I}^1 \to \ldots\) et en posant \[H^i(X, \mathcal{F}) = H^i( \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^2)\to \ldots)\] Le but de ce chapitre est de montrer que l’on peut aussi calculer ces groupes de cohomologie sans choisir de résolution injective (lorsque \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés). Pour cela, nous utiliserons des hyperrecouvrements.

Un hyperrecouvrement dans un site est une généralisation d’un recouvrement ; voir [SGA4, Exposé V, Sec. 7]. Étant donné un hyperrecouvrement \(K\) d’un objet \(X\), il existe une suite spectrale de Čech à la cohomologie qui exprime la cohomologie d’un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\) en fonction de la cohomologie du faisceau sur les composantes \(K_n\) de \(K\). Il se trouve qu’il existe toujours assez d’hyperrecouvrements ; en prenant donc la limite inductive sur tous les hyperrecouvrements, la suite spectrale dégénère et la cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(X\) se calcule par la limite inductive des groupes de cohomologie de Čech.

Un dispositif plus général que l’on peut considérer est une augmentation simpliciale pour laquelle on a descente cohomologique ; voir [SGA4, Exposé Vbis]. Le texte de Brian Conrad constitue un bel exposé sur la descente cohomologique ; voir https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf. Nous reviendrons sur ces questions dans le chapitre consacré aux espaces simpliciaux, où nous montrerons, par exemple, que les hyperrecouvrements propres d’espaces topologiques “localement compacts” sont de descente cohomologique (Espaces simpliciaux, section 09XA). Notre méthode consistera à ramener cet énoncé à la suite spectrale de Čech à la cohomologie construite dans ce chapitre.

Objets semi-représentables

Pour commencer, nous posons la définition suivante. Les lettres « SR » signifient semi-représentable.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. On note \(\text{SR}(\mathcal{C})\) la catégorie des objets semi-représentables, définie comme suit :

1. les objets sont les familles d’objets \(\{U_i\}_{i \in I}\), et

2. les morphismes \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) sont donnés par une application \(\alpha : I \to J\) et, pour chaque \(i \in I\), un morphisme \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) de \(\mathcal{C}\).

Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet de \(\mathcal{C}\). La catégorie des objets semi-représentables au-dessus de \(X\) est la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\).

Cette définition est essentiellement équivalente à celle de [SGA4, Exposé V, sous-section 7.3.0]. Notons qu’il s’agit d’une « grande » catégorie. Nous bornerons plus loin la taille des ensembles d’indices \(I\) dont nous avons besoin pour les hyperrecouvrements de \(X\). Nous pourrons alors redéfinir \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) de manière à obtenir une catégorie. Décrivons explicitement les objets et les morphismes de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) :

1. les objets sont les familles de morphismes \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\), et

2. les morphismes \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) sont donnés par une application \(\alpha : I \to J\) et, pour chaque \(i \in I\), un morphisme \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) au-dessus de \(X\).

Il existe un foncteur d’oubli \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \text{SR}(\mathcal{C})\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. On note \(F\) le foncteur qui associe un préfaisceau à un objet semi-représentable. En formule, \[\begin{eqnarray*} F : \text{SR}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(\mathcal{C}) \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \amalg_{i\in I} h_{U_i} \end{eqnarray*}\] où \(h_U\) désigne le préfaisceau représentable associé à l’objet \(U\).

À un morphisme \(U \to X\) est associé un morphisme \(h_U \to h_X\) de préfaisceaux représentables. On considère donc souvent \(F\) sur \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) comme un foncteur à valeurs dans la catégorie des préfaisceaux d’ensembles au-dessus de \(h_X\), à savoir \(\textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\). Voici le diagramme correspondant : \[\xymatrix{ \text{SR}(\mathcal{C}, X) \ar[r]_F \ar[d] & \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X \ar[d] \\ \text{SR}(\mathcal{C}) \ar[r]^F & \textit{PSh}(\mathcal{C}) }\] Étudions maintenant l’existence de limites dans la catégorie des objets semi- représentables.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C})\) admet des coproduits et \(F\) commute à ceux-ci,

2. le foncteur \(F : \text{SR}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\) commute aux limites,

3. si \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés, alors \(\text{SR}(\mathcal{C})\) admet des produits fibrés,

4. si \(\mathcal{C}\) admet les produits de deux objets, alors \(\text{SR}(\mathcal{C})\) admet les produits de deux objets,

5. si \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs, il en est de même de \(\text{SR}(\mathcal{C})\), et

6. si \(\mathcal{C}\) admet un objet final, il en est de même de \(\text{SR}(\mathcal{C})\).

Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\).

1. la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) admet des coproduits et \(F\) commute à ceux-ci,

2. si \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés, alors \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) admet des limites finies et \(F : \text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) commute à celles-ci.

Démonstration

Démonstration des assertions sur \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Démonstration de (1). Le coproduit de \(\{U_i\}_{i \in I}\) et \(\{V_j\}_{j \in J}\) est \(\{U_i\}_{i \in I} \amalg \{V_j\}_{j \in J}\), autrement dit la famille d’objets dont l’ensemble d’indices est \(I \amalg J\) et qui, pour un élément \(k \in I \amalg J\), donne \(U_i\) si \(k = i \in I\) et donne \(V_j\) si \(k = j \in J\). Il en va de même pour les coproduits de familles d’objets. Il est clair que \(F\) commute à ceux-ci.

Démonstration de (2). Pour \(U\) dans \(\Ob(\mathcal{C})\), considérons l’objet \(\{U\}\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Il est clair que \(\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(\{U\}, K)) = F(K)(U)\) pour \(K \in \Ob(\text{SR}(\mathcal{C}))\). Comme les limites de préfaisceaux se calculent au niveau des sections (Sites, section 00VB), on conclut que \(F\) commute aux limites.

Démonstration de (3). Supposons donnés un morphisme \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) et un morphisme \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\). Le produit fibré de ces morphismes est donné par \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k\}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{ tels que } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] Les produits fibrés existent si \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés.

Démonstration de (4). Le produit de \(\{U_i\}_{i \in I}\) et \(\{V_j\}_{j \in J}\) est \(\{U_i \times V_j\}_{i \in I, j \in J}\). Les produits existent si \(\mathcal{C}\) admet des produits.

Démonstration de (5). L’égalisateur de deux applications \((\alpha, f_i), (\alpha', f'_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) est \[\{ \text{Eq}(f_i, f'_i : U_i \to V_{\alpha(i)}) \}_{i \in I,\ \alpha(i) = \alpha'(i)}\] Les égalisateurs existent si \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs.

Démonstration de (6). Si \(X\) est un objet final de \(\mathcal{C}\), alors \(\{X\}\) est un objet final de \(\text{SR}(\mathcal{C})\).

Démonstration des assertions sur \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Elles résultent des résultats précédents appliqués à la catégorie \(\mathcal{C}/X\), compte tenu de \(\text{SR}(\mathcal{C}/X) = \text{SR}(\mathcal{C}, X)\) et de \(\textit{PSh}(\mathcal{C}/X) = \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\) (Sites, Lemme 00Y1 appliqué à \(\mathcal{C}\) munie de la topologie chaotique). Toutefois, donnons aussi l’argument direct suivant. Il est clair que le coproduit de \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) et \(\{V_j \to X\}_{j \in J}\) est \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{V_j \to X\}_{j \in J}\), et de même pour les coproduits de familles de familles de morphismes de but \(X\). L’objet \(\{X \to X\}\) est un objet final de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Supposons donnés un morphisme \((\alpha, f_i) : \{U_i \to X\}_{i \in I} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\) et un morphisme \((\beta, g_k) : \{W_k \to X\}_{k \in K} \to \{V_j \to X\}_{j \in J}\). Le produit fibré de ces morphismes est donné par \[\{ U_i \times_{f_i, V_j, g_k} W_k \to X \}_{(i, j, k) \in I \times J \times K \text{ tels que } j = \alpha(i) = \beta(k)}\] Les produits fibrés existent d’après l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés. Ainsi \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) admet des limites finies ; voir Catégories, Lemme 002O. Nous omettons la vérification des assertions sur le foncteur \(F\) dans ce cas.

Hyperrecouvrements

Si nous supposons que notre catégorie est un site, nous pouvons poser la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(f = (\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) un morphisme de la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C})\). On dit que \(f\) est un recouvrement si, pour tout \(j \in J\), la famille de morphismes \(\{U_i \to V_j\}_{i \in I, \alpha(i) = j}\) est couvrante pour le site \(\mathcal{C}\). Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Un morphisme \(K \to L\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) est un recouvrement si son image dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\) est un recouvrement.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Un composé de recouvrements dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\) est un recouvrement.

2. Si \(K \to L\) est un recouvrement dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\) et \(L' \to L\) est un morphisme, alors \(L' \times_L K\) existe et \(L' \times_L K \to L'\) est un recouvrement.

3. Si \(\mathcal{C}\) admet les produits de deux objets, et si \(A \to B\) et \(K \to L\) sont des recouvrements dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), alors \(A \times K \to B \times L\) est un recouvrement.

Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Alors (1) et (2) valent pour \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\), et (3) vaut si \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés.

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement des axiomes d’un site. L’assertion (2) résulte de la construction des produits fibrés dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\) donnée dans la démonstration du Lemme 01G2 et de l’exigence que les morphismes d’un recouvrement de \(\mathcal{C}\) soient représentables. L’assertion (3) s’obtient en considérant \(A \times K \to B \times L\) comme le composé \(A \times K \to B \times K \to B \times L\), donc comme un composé de changements de base de recouvrements. La dernière assertion résulte de l’égalité \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) = \text{SR}(\mathcal{C}/X)\).

D’après le Lemme 01G2 et le Lemme 0183 de Simplicial, le cosquelette d’un objet simplicial tronqué de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) existe si \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés. La définition suivante a donc un sens.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des produits fibrés. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet de \(\mathcal{C}\). Un hyperrecouvrement de \(X\) est un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) tel que

1. L’objet \(K_0\) est un recouvrement de \(X\) pour le site \(\mathcal{C}\).

2. Pour tout \(n \geq 0\), le morphisme canonique \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] est un recouvrement au sens défini ci-dessus.

La condition (1) a un sens puisque tout objet de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) est, après tout, une famille de morphismes de but \(X\). On pourrait aussi la formuler en disant que le morphisme de \(K_0\) vers l’objet final de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) est un recouvrement.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Posons \(K_0 = \{U_i \to X\}_{i \in I}\). Alors \(K_0\) est un objet simplicial \(0\)-tronqué de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Nous pouvons donc former \[K = \text{cosk}_0 K_0.\] Il est clair que \(K\) vérifie la condition (1) de la Définition 01G5. Comme tous les morphismes \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) sont des isomorphismes d’après le Lemme 018B de Simplicial, il vérifie aussi la condition (2). Remarquons que les termes \(K_n\) sont les objets usuels \[K_n = \{ U_{i_0} \times_X U_{i_1} \times_X \ldots \times_X U_{i_n} \to X \}_{(i_0, i_1, \ldots, i_n) \in I^{n + 1}}\] Un hyperrecouvrement de \(X\) de cette forme est appelé un hyperrecouvrement de Čech de \(X\).

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(U\) un objet simplicial de \(\mathcal{C}\). Comme d’habitude, on note \(U_n = U([n])\). Enfin, supposons donnée une augmentation \[a : U \to X\] Dans cette situation, on peut considérer l’objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) dont les termes sont \(K_n = \{U_n \to X\}\). Alors \(K\) est un hyperrecouvrement de \(X\) au sens de la Définition 01G5 si et seulement si les trois conditions suivantes¹ sont vérifiées :

1. \(\{U_0 \to X\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\),

2. \(\{U_1 \to U_0 \times_X U_0\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\),

3. \(\{U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) pour \(n \geq 1\).

Nous omettons la vérification immédiate.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(U \to X\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que \(\{U \to X\}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\)². Considérons l’objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) dont les termes sont \[K_n = \{U \times_X U \times_X \ldots \times_X U \to X\} \quad (n + 1 \text{ facteurs})\] Alors \(K\) est un hyperrecouvrement de \(X\). Cet exemple est un cas particulier à la fois de l’Exemple 01G6 et de l’Exemple 0GM9.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet de \(\mathcal{C}\). La collection de tous les hyperrecouvrements de \(X\) forme un ensemble.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{C}\) est un site, l’ensemble de tous les recouvrements de \(X\) forme un ensemble. On voit donc que la collection des \(K_0\) possibles forme un ensemble. Supposons avoir montré que la collection de tous les \(K_0, \ldots, K_n\) possibles forme un ensemble. Il suffit alors de montrer qu’étant donnés \(K_0, \ldots, K_n\), la collection de tous les \(K_{n + 1}\) possibles forme un ensemble. Cela est clair, puisque il faut choisir \(K_{n + 1}\) parmi tous les recouvrements possibles de \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\).

Remarque

Le lemme ne dit pas seulement qu’il existe un système cofinal de choix d’hyperrecouvrements qui soit un ensemble, mais que les hyperrecouvrements eux-mêmes forment effectivement un ensemble.

La catégorie des préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\) admet des (co)limites finies. Les foncteurs \(\text{cosk}_n\) existent donc pour les préfaisceaux d’ensembles.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Considérons l’objet simplicial \(F(K)\) de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\), muni de son augmentation vers le préfaisceau simplicial constant \(h_X\).

1. Le morphisme de préfaisceaux \(F(K)_0 \to h_X\) devient surjectif après passage aux faisceaux associés.

2. Le morphisme \[(d^1_0, d^1_1) : F(K)_1 \longrightarrow F(K)_0 \times_{h_X} F(K)_0\] devient surjectif après passage aux faisceaux associés.

3. Pour tout \(n \geq 1\), le morphisme \[F(K)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1}\] devient surjectif après passage aux faisceaux associés.

Démonstration

Nous utiliserons le fait que si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement du site \(\mathcal{C}\), alors le morphisme \[\amalg_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\] devient surjectif après passage aux faisceaux associés ; voir Sites, Lemme 00WT. La première assertion en résulte immédiatement.

Pour la deuxième assertion, remarquons que, d’après Simplicial, Exemple 0182, l’objet simplicial \(\text{cosk}_0 \text{sk}_0 K\) a pour termes \(K_0 \times \ldots \times K_0\). Ainsi, d’après la définition d’un hyperrecouvrement, on voit que \((d^1_0, d^1_1) : K_1 \to K_0 \times K_0\) est un recouvrement. L’assertion (2) résulte donc de l’observation précédente et du fait que \(F\) transforme les produits en produits fibrés au-dessus de \(h_X\).

Pour la troisième assertion, nous affirmons que \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K) = F(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\) pour \(n \geq 1\). Pour le montrer, notons temporairement \(F'\) le foncteur \(\text{SR}(\mathcal{C}, X) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})/h_X\). D’après le Lemme 01G2, le foncteur \(F'\) commute aux limites finies. La description du foncteur \(\text{cosk}_n\) donnée dans Simplicial, section 017Z, montre que \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = F'(\text{cosk}_n \text{sk}_n K)\). Rappelons que la catégorie intervenant dans la description de \((\text{cosk}_n U)_m\) du Lemme 0183 de Simplicial est la catégorie \((\Delta/[m])^{opp}_{\leq n}\). C’est un exercice plaisant que de montrer que \((\Delta/[m])_{\leq n}\) est une catégorie connexe (voir Catégories, Définition 002S) dès que \(n \geq 1\). Par conséquent, le Lemme 002T de Catégories montre que \(\text{cosk}_n \text{sk}_n F'(K) = \text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)\). D’où l’assertion. L’assertion (3) en résulte, car on voit maintenant que le morphisme de (3) s’obtient en appliquant le foncteur \(F\) à un recouvrement comme dans la Définition 01G3, et le résultat découle du premier fait mentionné dans cette démonstration.

Acyclicité

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Pour un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\), on note \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}\) le préfaisceau de groupes abéliens défini par la règle \[\mathbf{Z}_\mathcal{F}(U) = \text{groupe abélien libre sur }\mathcal{F}(U).\] Nous l’appellerons parfois le préfaisceau abélien libre sur \(\mathcal{F}\). Bien entendu, la construction \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}\) est un foncteur, adjoint à gauche du foncteur d’oubli \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\). Bien entendu, le faisceau associé \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) est un faisceau de groupes abéliens, et le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) est lui aussi un adjoint à gauche. Nous appelons parfois \(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) le faisceau abélien libre sur \(\mathcal{F}\).

Pour un objet \(X\) du site \(\mathcal{C}\), on note \(\mathbf{Z}_X\) le préfaisceau abélien libre sur \(h_X\), et on note \(\mathbf{Z}_X^\#\) son faisceau associé.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K\) un objet simplicial de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Par ce qui précède, on obtient un objet simplicial \(\mathbf{Z}_K^\#\) de \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). On peut prendre son complexe associé de préfaisceaux abéliens \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\) ; voir Simplicial, section 0194. L’homologie de \(K\) est l’homologie du complexe de faisceaux abéliens \(s(\mathbf{Z}_K^\#)\).

Autrement dit, la \(i\)-ième homologie \(H_i(K)\) de \(K\) est le faisceau de groupes abéliens \(H_i(K) = H_i(s(\mathbf{Z}_K^\#))\). Dans cette section, nous étudions l’homologie lorsque \(K\) est un hyperrecouvrement d’un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de préfaisceaux d’ensembles. Notons \(K\) l’objet simplicial de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\) dont le \(n\)-ième terme est le \((n + 1)\)-ième produit fibré de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(\mathcal{G}\) ; voir Simplicial, Exemple 016E. Alors, si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) devient surjectif après passage aux faisceaux associés, on a \[H_i(K) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i > 0\\ \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\# & \text{si} & i = 0 \end{matrix} \right.\] L’isomorphisme en degré \(0\) est donné par le morphisme \(H_0(K) \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\) provenant de l’application \((\mathbf{Z}_K^\#)_0 = \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\# \to \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) l’image du morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Posons \(A = \mathcal{F}(U)\) et \(B = \mathcal{G}'(U)\). Alors l’ensemble simplicial \(K(U)\) est égal à l’ensemble simplicial dont les \(n\)-simplexes sont donnés par \[A \times_B A \times_B \ldots \times_B A\ (n + 1 \text{ facteurs)}.\] D’après Simplicial, Lemme 01AB, le morphisme \(K(U) \to B\) est une fibration de Kan triviale. C’est donc une équivalence d’homotopie (Simplicial, Lemme 08NS). En appliquant le foncteur « groupe abélien libre sur » à ce morphisme, on en déduit que \[\mathbf{Z}_K(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_B\] est une équivalence d’homotopie. Remarquons que \(s(\mathbf{Z}_B)\) est le complexe \[\ldots \to \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{1} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \xrightarrow{0} \bigoplus\nolimits_{b \in B}\mathbf{Z} \to 0\] voir Simplicial, Lemme 0197. On voit donc que \(H_i(s(\mathbf{Z}_K(U))) = 0\) pour \(i > 0\), et \(H_0(s(\mathbf{Z}_K(U))) = \bigoplus_{b \in B}\mathbf{Z} = \bigoplus_{s \in \mathcal{G}'(U)} \mathbf{Z}\). Ces identifications sont compatibles aux morphismes de restriction.

On conclut que \(H_i(s(\mathbf{Z}_K)) = 0\) pour \(i > 0\) et que \(H_0(s(\mathbf{Z}_K)) = \mathbf{Z}_{\mathcal{G}'}\), où l’on calcule ici les groupes d’homologie dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Comme le foncteur « faisceau associé » est exact, on en déduit le résultat du lemme. En effet, l’exactitude implique que \(H_0(s(\mathbf{Z}_K))^\# = H_0(s(\mathbf{Z}_K^\#))\), et de même pour les autres indices.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(f : L \to K\) un morphisme d’objets simpliciaux de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\). Soit \(n \geq 0\) un entier. Supposons que

1. Pour \(i < n\), le morphisme \(L_i \to K_i\) est un isomorphisme.

2. Le morphisme \(L_n \to K_n\) devient surjectif après passage aux faisceaux associés.

3. L’application canonique \(L \to \text{cosk}_n \text{sk}_n L\) est un isomorphisme.

4. L’application canonique \(K \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K\) est un isomorphisme.

Alors \(H_i(f) : H_i(L) \to H_i(K)\) est un isomorphisme.

Démonstration

Cette démonstration est exactement la même que celle du Lemme 01GC ci-dessus. En effet, on commence par noter \(K_n' \subset K_n\) le sous-préfaisceau qui est l’image de l’application \(L_n \to K_n\). L’hypothèse (2) signifie que le faisceau associé à \(K_n'\) est égal au faisceau associé à \(K_n\). De plus, puisque \(L_i = K_i\) pour tout \(i < n\), on voit que l’on obtient un préfaisceau simplicial \(n\)-tronqué \(U\) en prenant \(U_0 = L_0 = K_0, \ldots, U_{n - 1} = L_{n - 1} = K_{n - 1}, U_n = K'_n\). Notons \(K' = \text{cosk}_n U\), qui est un préfaisceau simplicial. Comme on peut construire \(K'_m\) par une limite finie, et que le foncteur « faisceau associé » est exact, on voit que \((K'_m)^\# = K_m\). Autrement dit, \((K')^\# = K^\#\). On conclut, en utilisant encore une fois l’exactitude du faisceau associé, que \(H_i(K) = H_i(K')\). Il suffit donc de démontrer le lemme pour le morphisme \(L \to K'\) ; autrement dit, on peut supposer que \(L_n \to K_n\) est un morphisme surjectif de préfaisceaux !

Dans ce cas, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), on voit que le morphisme d’ensembles simpliciaux \[L(U) \longrightarrow K(U)\] satisfait toutes les hypothèses du Lemme 01A6 de Simplicial. C’est donc une fibration de Kan triviale. En particulier, c’est une équivalence d’homotopie (Simplicial, Lemme 08NS). Ainsi \[\mathbf{Z}_L(U) \longrightarrow \mathbf{Z}_K(U)\] est elle aussi une équivalence d’homotopie, et ce pour tout \(U\). Le résultat en découle.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K\) un préfaisceau simplicial. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau. Soit \(K \to \mathcal{G}\) une augmentation de \(K\) vers \(\mathcal{G}\). Supposons que

1. Le morphisme de préfaisceaux \(K_0 \to \mathcal{G}\) devienne surjectif après passage aux faisceaux associés.

2. Le morphisme \[(d^1_0, d^1_1) : K_1 \longrightarrow K_0 \times_\mathcal{G} K_0\] devienne surjectif après passage aux faisceaux associés.

3. Pour tout \(n \geq 1\), le morphisme \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] devienne surjectif après passage aux faisceaux associés.

Alors \(H_i(K) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H_0(K) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\).

Démonstration

Notons \(K^n = \text{cosk}_n \text{sk}_n K\) pour \(n \geq 1\). Définissons \(K^0\) comme l’objet simplicial dont les termes \((K^0)_n\) sont égaux au produit fibré itéré \((n + 1)\) fois \(K_0 \times_\mathcal{G} \ldots \times_\mathcal{G} K_0\) ; voir Simplicial, Exemple 016E. On a des morphismes \[K \longrightarrow \ldots \to K^n \to K^{n - 1} \to \ldots \to K^1 \to K^0.\] Les morphismes \(K \to K^i\), \(K^j \to K^i\) pour \(j \geq i \geq 1\) proviennent des propriétés universelles des foncteurs \(\text{cosk}_n\). Le morphisme \(K^1 \to K^0\) est le morphisme canonique de Simplicial, Remarque 018J. Rappelons aussi que \(K^0 \to \text{cosk}_1 \text{sk}_1 K^0\) est un isomorphisme ; voir Simplicial, Lemme 018I.

D’après le Lemme 01GC, on voit que \(H_i(K^0) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H_0(K^0) = \mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\).

Fixons \(n \geq 1\). Considérons le morphisme \(K^n \to K^{n - 1}\). C’est un isomorphisme sur les termes de degré \(< n\). Remarquons que \(K^n \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^n\) et \(K^{n - 1} \to \text{cosk}_n \text{sk}_n K^{n - 1}\) sont des isomorphismes. Remarquons que \((K^n)_n = K_n\) et que \((K^{n - 1})_n = (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\). D’après l’hypothèse, on a donc que \((K^n)_n \to (K^{n - 1})_n\) est un morphisme de préfaisceaux qui devient surjectif après passage aux faisceaux associés. Le Lemme 01GD donne alors \(H_i(K^n) = H_i(K^{n - 1})\). Combiné avec ce qui précède, ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). L’homologie du préfaisceau simplicial \(F(K)\) est \(0\) dans les degrés \(> 0\) et égale à \(\mathbf{Z}_X^\#\) en degré \(0\).

Démonstration

Combiner les Lemmes 01GE et 01G9.

Cohomologie de Čech et hyperrecouvrements

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Considérons un préfaisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) sur le site \(\mathcal{C}\). Il définit un foncteur \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F} : \text{SR}(\mathcal{C})^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \{U_i\}_{i \in I} & \longmapsto & \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}(U_i) \end{eqnarray*}\] Ainsi, un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) donne un objet cosimplicial \(\mathcal{F}(K)\) de \(\textit{Ab}\). Le complexe de cochaînes \(s(\mathcal{F}(K))\) associé à \(\mathcal{F}(K)\) (Simplicial, section 019H) est appelé le complexe de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à l’objet simplicial \(K\). On pose \[\check{H}^i(K, \mathcal{F}) = H^i(s(\mathcal{F}(K))).\] et on l’appelle le \(i\)-ième groupe de cohomologie de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à \(K\). Dans cette section, nous démontrons des analogues de certains résultats sur la cohomologie de Čech des recouvrements ouverts établis dans Cohomologie, sections 01ED, 01EH et 01EO.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Alors \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(X)\).

Démonstration

On a \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker(\mathcal{F}(K_0) \longrightarrow \mathcal{F}(K_1))\] Écrivons \(K_0 = \{U_i \to X\}\). C’est un recouvrement dans le site \(\mathcal{C}\). De même, \(K_1 \to K_0 \times K_0\) est un recouvrement dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). On peut donc écrire \(K_1 = \amalg_{i_0, i_1 \in I} \{V_{i_0i_1j} \to X\}\) de telle sorte que le morphisme \(K_1 \to K_0 \times K_0\) soit donné par les recouvrements \(\{V_{i_0i_1j} \to U_{i_0} \times_X U_{i_1}\}\) du site \(\mathcal{C}\). On peut alors encore identifier \[\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = \Ker( \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0i_1 j} \mathcal{F}(V_{i_0i_1j}) )\] où l’application est évidente. La propriété de faisceau de \(\mathcal{F}\) implique que \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{F})\).

Cette propriété caractérise bien sûr les faisceaux abéliens parmi tous les préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). L’analogue de Cohomologie, Lemme 01GW, est ici le suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau injectif de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Alors \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(X) & \text{si} & p = 0 \\ 0 & \text{si} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Observons que, pour tout objet \(Z = \{U_i \to X\}\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), on a \[\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(Z) & = & \prod \mathcal{F}(U_i) \\ & = & \prod \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_{U_i}, \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(F(Z), \mathcal{F})\\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{F(Z)}^\#, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] On voit donc que, pour tout objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\), on a [01GX]\[\begin{equation} s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F}) \end{equation}\] voir la Définition 01GB pour les notations. Le complexe de faisceaux \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) est quasi-isomorphe à \(\mathbf{Z}_X^\#\) si \(K\) est un hyperrecouvrement ; voir le Lemme 01GF. On en conclut que si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif et si \(K\) est un hyperrecouvrement, alors le complexe \(s(\mathcal{I}(K))\) est acyclique, sauf peut-être en degré \(0\). Autrement dit, on a \[\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\] pour \(i > 0\). Combiné au Lemme 01GV, ceci démontre le lemme.

Venons-en à l’analogue de Cohomologie sur les sites, Lemme 03AZ. Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Rappelons que \(\underline{H}^i(\mathcal{F})\) désigne le préfaisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\) défini par la règle \(\underline{H}^i(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^i(U, \mathcal{F})\). On l’étend à \(\text{SR}(\mathcal{C})\) comme dans l’introduction de cette section.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Il existe un morphisme \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\] dans \(D^{+}(\textit{Ab})\), fonctoriel en \(\mathcal{F}\), qui induit des transformations naturelles \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(X, -)\] entre foncteurs \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\). De plus, il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) et en l’hyperrecouvrement \(K\).

Démonstration

On pourrait le démontrer par la même méthode que celle employée dans le lemme correspondant du chapitre consacré à la cohomologie. Donnons plutôt une démonstration par un complexe double.

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Considérons le complexe double \(A^{\bullet, \bullet}\) de termes \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] où la différentielle \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) est celle qui provient de la différentielle du complexe \(s(\mathcal{I}^q(K))\) associé au groupe abélien cosimplicial \(\mathcal{I}^p(K)\), et où la différentielle \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) est celle qui provient de la différentielle \(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1}\). Notons \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) le complexe total associé au complexe double \(A^{\bullet, \bullet}\) ; voir Homologie, section 0FNB. Nous utiliserons les deux suites spectrales \(({}'E_r, {}'d_r)\) et \(({}''E_r, {}''d_r)\) associées à ce complexe double ; voir Homologie, section 012X.

D’après le Lemme 01GW, les complexes \(s(\mathcal{I}^q(K))\) sont acycliques en degrés positifs et ont pour \(H^0\) le groupe \(\mathcal{I}^q(X)\). Par conséquent, d’après Homologie, Lemme 0133, le morphisme naturel \[\mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] est un quasi-isomorphisme de complexes de groupes abéliens. En particulier, on conclut que \(H^n(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})) = H^n(X, \mathcal{F})\).

Le morphisme \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\) du lemme est le composé du morphisme \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) avec l’inverse du quasi-isomorphisme affiché ci-dessus. Cela convient puisque \(\mathcal{I}^\bullet(X)\) représente \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\).

Considérons la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\). D’après Homologie, Lemme 0130, on voit que \[{}'E_2^{p, q} = H^p_I(H^q_{II}(A^{\bullet, \bullet}))\] Autrement dit, on calcule d’abord la cohomologie relativement à \(d_2\), ce qui donne les groupes \({}'E_1^{p, q} = \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_p)\). Il en résulte bien (d’après la description de la différentielle \({}'d_1\)) que \({}'E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\). De ce qui précède et de Homologie, Lemme 0132, on déduit que cette suite converge vers \(H^n(X, \mathcal{F})\), comme voulu.

Nous omettons la démonstration des assertions relatives à la fonctorialité des constructions précédentes en le faisceau abélien \(\mathcal{F}\) et en l’hyperrecouvrement \(K\).

Hyperrecouvrements à la Verdier

Le lecteur attentif aura remarqué que, pour obtenir la suite spectrale de Čech à la cohomologie associée à un hyperrecouvrement d’un objet \(X\), il suffit de disposer de la conclusion du Lemme 01G9. La définition suivante a donc un sens.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles. Un hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\) est un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\), muni d’une augmentation \(F(K) \to \mathcal{G}\) telle que

1. \(F(K_0) \to \mathcal{G}\) devienne surjectif après passage aux faisceaux associés,

2. \(F(K_1) \to F(K_0) \times_\mathcal{G} F(K_0)\) devienne surjectif après passage aux faisceaux associés, et

3. \(F(K_{n + 1}) \longrightarrow F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})\) devienne surjectif après passage aux faisceaux associés pour \(n \geq 1\).

On dit qu’un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) est un hyperrecouvrement si \(K\) est un hyperrecouvrement de l’objet final \(*\) de \(\textit{PSh}(\mathcal{C})\).

L’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et des égalisateurs garantit que \(\text{SR}(\mathcal{C})\) admet des produits fibrés et des égalisateurs, et que \(F\) commute à ceux-ci (Lemme 01G2), ce qui suffit pour définir les foncteurs cosquelette utilisés (voir Simplicial, Remarque 09VS et Catégories, Lemme 04AT). Si \(\mathcal{C}\) est quelconque, on peut remplacer la condition (3) par la condition selon laquelle \(F(K_{n + 1}) \longrightarrow ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K))_{n + 1})\) devient surjectif après passage aux faisceaux associés pour \(n \geq 1\), et les résultats de cette section restent valables.

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Dans la section précédente, nous avons défini le complexe de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Puis, étant donné un préfaisceau \(\mathcal{G}\), on pose \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}^\#, \mathcal{F})\] avec les notations de Cohomologie sur les sites, section 079X. C’est un foncteur exact à gauche, et ses foncteurs dérivés supérieurs (brièvement étudiés dans Cohomologie sur les sites, section 079X) sont notés \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). Nous montrerons qu’étant donné un hyperrecouvrement \(K\) de \(\mathcal{G}\), il existe une suite spectrale de Čech à la cohomologie convergeant vers la cohomologie \(H^i(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). Remarquons que si \(\mathcal{G} = *\), alors \(H^i(*, \mathcal{F}) = H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F})\) redonne la cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur le site \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Alors \(\check{H}^0(K, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\).

Démonstration

Cela résulte de la définition de \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et du fait que \[\xymatrix{ F(K_1) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(K_0) \ar[r] & \mathcal{G} }\] devient un diagramme coégalisateur après passage aux faisceaux associés.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau injectif de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Alors \[\check{H}^p(K, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}) & \text{si} & p = 0 \\ 0 & \text{si} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

D’après (01GX), on a \[s(\mathcal{F}(K)) = \Hom_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#), \mathcal{F})\] Le complexe \(s(\mathbf{Z}_{F(K)}^\#)\) est quasi-isomorphe à \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\) ; voir le Lemme 01GE. On en conclut que si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif, alors le complexe \(s(\mathcal{I}(K))\) est acyclique, sauf peut-être en degré \(0\). Autrement dit, on a \(\check{H}^i(K, \mathcal{I}) = 0\) pour \(i > 0\). Combiné au Lemme 09VV, ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(\mathcal{G}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Il existe un morphisme \[s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] dans \(D^{+}(\textit{Ab})\), fonctoriel en \(\mathcal{F}\), qui induit une transformation naturelle \[\check{H}^i(K, -) \longrightarrow H^i(\mathcal{G}, -)\] de foncteurs \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\). De plus, il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] convergeant vers \(H^{p + q}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) et en l’hyperrecouvrement \(K\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Considérons le complexe double \(A^{\bullet, \bullet}\) de termes \[A^{p, q} = \mathcal{I}^q(K_p)\] où la différentielle \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) est celle provenant de la différentielle \(\mathcal{I}^p \to \mathcal{I}^{p + 1}\), et où la différentielle \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) est celle provenant de la différentielle du complexe \(s(\mathcal{I}^p(K))\) associé au groupe abélien cosimplicial \(\mathcal{I}^p(K)\), comme expliqué ci-dessus. Nous utiliserons les deux suites spectrales \(({}'E_r, {}'d_r)\) et \(({}''E_r, {}''d_r)\) associées à ce complexe double ; voir Homologie, section 012X.

D’après le Lemme 09VW, les complexes \(s(\mathcal{I}^p(K))\) sont acycliques en degrés positifs et ont pour \(H^0\) le groupe \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^p)\). Par conséquent, d’après Homologie, Lemme 0133, et sa démonstration, la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)\) dégénère, et le morphisme naturel \[H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\] est un quasi-isomorphisme de complexes de groupes abéliens. Le morphisme \(s(\mathcal{F}(K)) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) du lemme est le composé du morphisme naturel \(s(\mathcal{F}(K)) \to \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) avec l’inverse du quasi-isomorphisme affiché ci-dessus. Cela convient parce que \(H^0(\mathcal{G}, \mathcal{I}^\bullet)\) représente \(R\Gamma(\mathcal{G}, \mathcal{F})\).

Considérons la suite spectrale \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\). D’après Homologie, Lemme 0130, on voit que \[{}''E_2^{p, q} = H^p_{II}(H^q_I(A^{\bullet, \bullet}))\] Autrement dit, on calcule d’abord la cohomologie relativement à \(d_1\), ce qui donne les groupes \({}''E_1^{p, q} = \underline{H}^p(\mathcal{F})(K_q)\). Il en résulte bien (d’après la description de la différentielle \({}''d_1\)) que \({}''E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\). Puisque cette suite spectrale converge vers la cohomologie de \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\), la démonstration est terminée.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(K\) un hyperrecouvrement. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien. Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] convergeant vers les groupes de cohomologie globale \(H^{p + q}(\mathcal{F})\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 09VX.

Recouvrement des hyperrecouvrements

Voici quelques méthodes pour construire des hyperrecouvrements. Remarquons que, puisque la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) admet des produits fibrés, la catégorie des objets simpliciaux de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) en admet elle aussi ; voir Simplicial, Lemme 016U.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soient \(K, L, M\) des objets simpliciaux de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Soient \(a : K \to L\), \(b : M \to L\) des morphismes. Supposons que

1. \(K\) soit un hyperrecouvrement de \(X\),

2. le morphisme \(M_0 \to L_0\) soit un recouvrement, et

3. pour tout \(n \geq 0\), dans le diagramme \[\xymatrix{ M_{n + 1} \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd]^\gamma & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[dd] \\ & L_{n + 1} \times_{(\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}} (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1} \ar[ld] \ar[ru] & \\ L_{n + 1} \ar[rr] & & (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1} }\] la flèche \(\gamma\) soit un recouvrement.

Alors le produit fibré \(K \times_L M\) est un hyperrecouvrement de \(X\).

Démonstration

Le morphisme \((K \times_L M)_0 = K_0 \times_{L_0} M_0 \to K_0\) est le changement de base d’un recouvrement d’après (2), donc un recouvrement ; voir le Lemme 01G4. Et \(K_0 \to \{X \to X\}\) est un recouvrement d’après (1). Ainsi, \((K \times_L M)_0 \to \{X \to X\}\) est un recouvrement d’après le Lemme 01G4. Par conséquent, \(K \times_L M\) satisfait la première condition de la Définition 01G5.

Il reste à vérifier que \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K \times_L M)_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n (K \times_L M))_{n + 1}\] est un recouvrement pour tout \(n \geq 0\). Adoptons les abréviations suivantes : \(A = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\), \(B = (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\), et \(C = (\text{cosk}_n \text{sk}_n M)_{n + 1}\). Le foncteur \(\text{cosk}_n \text{sk}_n\) commute aux produits fibrés ; voir Simplicial, Lemme 018D. Le membre de droite ci-dessus est donc égal à \(A \times_B C\). Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & M_{n + 1} \ar[d] \ar[rd]_\gamma \ar[rrd] & & \\ K_{n + 1} \ar[r] \ar[rd] & L_{n + 1} \ar[rrd] & L_{n + 1} \times_B C \ar[l] \ar[r] & C \ar[d] \\ & A \ar[rr] & & B }\] Ce diagramme montre que \[K_{n + 1} \times_{L_{n + 1}} M_{n + 1} = (K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1}\] Or \(K_{n + 1} \times_B C \to A \times_B C\) est le changement de base du recouvrement \(K_{n + 1} \to A\) par le morphisme \(A \times_B C \to A\) ; c’est donc un recouvrement. D’après l’hypothèse (3), le morphisme \(\gamma\) est un recouvrement. Par conséquent, le morphisme \[(K_{n + 1} \times_B C) \times_{(L_{n + 1} \times_B C), \gamma} M_{n + 1} \longrightarrow K_{n + 1} \times_B C\] est un recouvrement, puisqu’il est le changement de base d’un recouvrement. Le lemme en découle, car un composé de recouvrements est un recouvrement.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Si \(K, L\) sont des hyperrecouvrements de \(X\), alors \(K \times L\) est un hyperrecouvrement de \(X\).

Démonstration

On peut soit le vérifier directement, soit appliquer le Lemme 01GH ci-dessus et vérifier que \(L \to \{X \to X\}\) possède la propriété (3).

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Puisque la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) admet des coproduits et des limites finies, il est permis de parler des objets \(U \times K\) et \(\Hom(U, K)\) pour certains ensembles simpliciaux \(U\) (par exemple ceux qui ne possèdent qu’un nombre fini de simplexes non dégénérés) et tout objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Voir Simplicial, sections 017A et 017H.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(k \geq 0\) un entier. Soit \(u : Z \to K_k\) un recouvrement dans \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Alors il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(f: L \to K\) tel que \(L_k \to K_k\) se factorise par \(u\).

Démonstration

Notons \(Y = K_k\). Soit \(C[k]\) l’ensemble cosimplicial défini dans Simplicial, Exemple 0B13. Nous utiliserons la description de \(\Hom(C[k], Y)\) et \(\Hom(C[k], Z)\) donnée dans Simplicial, Lemme 017M. Il existe un morphisme canonique \(K \to \Hom(C[k], Y)\) correspondant à \(\text{id} : K_k = Y \to Y\). Considérons le morphisme \(\Hom(C[k], Z) \to \Hom(C[k], Y)\) qui, sur les termes de degré \(n\), est le morphisme \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [n]} Y\] obtenu en utilisant le morphisme donné \(Z \to Y\) sur chaque facteur. Posons \[L = K \times_{\Hom(C[k], Y)} \Hom(C[k], Z).\] Le morphisme \(L_k \to K_k\) s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ L_k \ar[r] \ar[d] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Z \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} \ar[d] & Z \ar[d] \\ K_k \ar[r] & \prod_{\alpha : [k] \to [k]} Y \ar[r]^-{\text{pr}_{\text{id}_{[k]}}} & Y }\] Comme le composé des deux flèches du bas est l’identité, on en conclut que l’on a la factorisation voulue.

Il reste à montrer que \(L\) est un hyperrecouvrement de \(X\). Pour cela, nous appliquerons le Lemme 01GH. La condition (1) est satisfaite par hypothèse. Pour (2), le morphisme \[\Hom(C[k], Z)_0 \to \Hom(C[k], Y)_0\] est un recouvrement parce qu’il est isomorphe à \(Z \to Y\), puisqu’il n’existe qu’un seul morphisme \([k] \to [0]\).

Considérons la condition (3) pour \(n = 0\). Alors, puisque \((\text{cosk}_0 T)_1 = T \times T\) (Simplicial, Exemple 0182) et puisque \(\Hom(C[k], Z)_1 = \prod_{\alpha : [k] \to [1]} Z\), on obtient le diagramme \[\xymatrix{ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \ar[r] \ar[d] & Z \times Z \ar[d] \\ \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Y \ar[r] & Y \times Y }\] où les flèches horizontales correspondent à la projection sur les facteurs associés aux deux \(\alpha\) non surjectifs. La flèche \(\gamma\) est donc le morphisme \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ non surjective}} Z \times \prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]\text{ surjective}} Y\] qui est un produit de recouvrements, donc un recouvrement d’après le Lemme 01G4.

Considérons la condition (3) pour \(n > 0\). Nous affirmons qu’il existe une application injective \(\tau : S' \to S\) d’ensembles finis telle que, pour tout objet \(T\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\), le morphisme [0B16]\[\begin{equation} \Hom(C[k], T)_{n + 1} \to (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1} \end{equation}\] soit isomorphe à la projection \(\prod_{s \in S} T \to \prod_{s' \in S'} T\), fonctoriellement en \(T\). Si cela est vrai, on voit, en raisonnant comme au paragraphe précédent, que la flèche \(\gamma\) est le morphisme \[\prod\nolimits_{s \in S} Z \longrightarrow \prod\nolimits_{s \in S'} Z \times \prod\nolimits_{s \not\in \tau(S')} Y\] qui est un produit de recouvrements, donc un recouvrement d’après le Lemme 01G4. Par construction, on a \(\Hom(C[k], T)_{n + 1} = \prod_{\alpha : [k] \to [n + 1]} T\) (voir Simplicial, Lemme 017M). On prend donc \(S = \text{Map}([k], [n + 1])\). D’autre part, Simplicial, Lemme 0186, donne une description des points de \((\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(C[k], T))_{n + 1}\) comme des suites \((f_0, \ldots, f_{n + 1})\) de points de \(\Hom(C[k], T)_n\) vérifiant \(d^n_{j - 1} f_i = d^n_i f_j\) pour \(0 \leq i < j \leq n + 1\). On peut écrire \(f_i = (f_{i, \alpha})\), où \(f_{i, \alpha}\) est un point de \(T\) et \(\alpha \in \text{Map}([k], [n])\). Les conditions se traduisent par \[f_{i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta} = f_{j, \delta_i^n \circ \beta}\] pour tout \(0 \leq i < j \leq n + 1\) et tout \(\beta : [k] \to [n - 1]\). On voit donc que \[S' = \{0, \ldots, n + 1\} \times \text{Map}([k], [n]) / \sim\] où la relation d’équivalence est engendrée par les équivalences \[(i, \delta^n_{j - 1} \circ \beta) \sim (j, \delta_i^n \circ \beta)\] pour \(0 \leq i < j \leq n + 1\) et \(\beta : [k] \to [n - 1]\). Un calcul (omis) montre que le morphisme (0B16) correspond à l’application \(S' \to S\) qui envoie \((i, \alpha)\) sur \(\delta^{n + 1}_i \circ \alpha \in S\). (Le lecteur pourra être rassuré de voir que cette application est bien définie d’après la partie (1) du Lemme 0167 de Simplicial.) Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que si \(\alpha, \alpha' : [k] \to [n]\) et \(0 \leq i < j \leq n + 1\) sont tels que \[\delta^{n + 1}_i \circ \alpha = \delta^{n + 1}_j \circ \alpha'\] alors on a \(\alpha = \delta^n_{j - 1} \circ \beta\) et \(\alpha' = \delta_i^n \circ \beta\) pour un certain \(\beta : [k] \to [n - 1]\). Cela se voit aisément, et nous l’omettons.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soit \(n \geq 0\) un entier. Soit \(u : \mathcal{F} \to F(K_n)\) un morphisme de préfaisceaux qui devient surjectif après passage aux faisceaux associés. Alors il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(f: L \to K\) tel que \(F(f_n) : F(L_n) \to F(K_n)\) se factorise par \(u\).

Démonstration

Écrivons \(K_n = \{U_i \to X\}_{i \in I}\). Ainsi, l’application \(u\) est un morphisme de préfaisceaux d’ensembles \(u : \mathcal{F} \to \amalg h_{u_i}\). L’hypothèse sur \(u\) signifie que, pour tout \(i \in I\), il existe un recouvrement \(\{U_{ij} \to U_i\}_{j \in I_i}\) du site \(\mathcal{C}\) et un morphisme de préfaisceaux \(t_{ij} : h_{U_{ij}} \to \mathcal{F}\) tel que \(u \circ t_{ij}\) soit l’application \(h_{U_{ij}} \to h_{U_i}\) provenant du morphisme \(U_{ij} \to U_i\). Posons \(J = \amalg_{i \in I} I_i\), et soit \(\alpha : J \to I\) l’application évidente. Pour \(j \in J\), notons \(V_j = U_{\alpha(j)j}\). Posons \(Z = \{V_j \to X\}_{j \in J}\). Enfin, considérons le morphisme \(u' : Z \to K_n\) donné par \(\alpha : J \to I\) et par les morphismes \(V_j = U_{\alpha(j)j} \to U_{\alpha(j)}\) ci-dessus. Il est clair que c’est un recouvrement dans la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) et, par construction, \(F(u') : F(Z) \to F(K_n)\) se factorise par \(u\). Le résultat découle donc du Lemme 01GJ ci-dessus.

Ajout de simplexes

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes techniques qui serviront plus loin. Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Comme nous l’avons signalé dans la section 01GG ci-dessus, les objets \(U \times K\) et \(\Hom(U, K)\) sont définis pour certains ensembles simpliciaux \(U\) et tout objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Voir Simplicial, sections 017A et 017H.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soient \(U \subset V\) des ensembles simpliciaux tels que \(U_n, V_n\) soient finis non vides pour tout \(n\). Supposons que \(U\) n’ait qu’un nombre fini de simplexes non dégénérés. Supposons que \(n \geq 0\) et que \(x \in V_n\), \(x \not \in U_n\), soient tels que

1. \(V_i = U_i\) pour \(i < n\),

2. \(V_n = U_n \cup \{x\}\),

3. tout \(z \in V_j\), \(z \not \in U_j\), pour \(j > n\), soit dégénéré.

Alors le morphisme \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) est un recouvrement.

Démonstration

Si \(n = 0\), il résulte aisément que \(V = U \amalg \Delta[0]\) (voir ci-dessous). Dans ce cas, \(\Hom(V, K)_0 = \Hom(U, K)_0 \times K_0\). Le résultat découle alors du Lemme 01G4.

Soit \(a : \Delta[n] \to V\) le morphisme associé à \(x\) comme dans Simplicial, Lemme 0177. Écrivons \(\partial \Delta[n] = i_{(n-1)!} \text{sk}_{n - 1} \Delta[n]\) pour le \((n - 1)\)-squelette de \(\Delta[n]\). Soit \(b : \partial \Delta[n] \to U\) la restriction de \(a\) au \((n - 1)\)-squelette de \(\Delta[n]\). D’après Simplicial, Lemme 018R, on a \(V = U \amalg_{\partial \Delta[n]} \Delta[n]\). D’après Simplicial, Lemme 017N, le carré \[\xymatrix{ \Hom(V, K)_0 \ar[r] \ar[d] & \Hom(U, K)_0 \ar[d] \\ \Hom(\Delta[n], K)_0 \ar[r] & \Hom(\partial \Delta[n], K)_0 }\] est cartésien. Il suffit donc de montrer que la flèche horizontale inférieure est un recouvrement. D’après Simplicial, Lemme 018V, cette flèche s’identifie à \[K_n \to (\text{cosk}_{n - 1} \text{sk}_{n - 1} K)_n\] et c’est donc un recouvrement par définition d’un hyperrecouvrement.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Soient \(U \subset V\) des ensembles simpliciaux tels que \(U_n, V_n\) soient finis non vides pour tout \(n\). Supposons que \(U\) et \(V\) n’aient qu’un nombre fini de simplexes non dégénérés. Alors le morphisme \[\Hom(V, K)_0 \longrightarrow \Hom(U, K)_0\] de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) est un recouvrement.

Démonstration

D’après le Lemme 01GM ci-dessus, il suffit de démontrer un lemme élémentaire sur les inclusions d’ensembles simpliciaux \(U \subset V\) comme dans le lemme. Or c’est exactement le résultat de Simplicial, Lemme 018S.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Alors

1. \(K_n\) est un recouvrement de \(X\) pour tout \(n \geq 0\),

2. \(d^n_i : K_n \to K_{n - 1}\) est un recouvrement pour tous \(n \geq 1\) et \(0 \leq i \leq n\).

Démonstration

Rappelons que \(K_0\) est un recouvrement de \(X\) d’après la Définition 01G5 et que cela équivaut à dire que \(K_0 \to \{X \to X\}\) est un recouvrement au sens de la Définition 01G3. L’assertion (1) résulte donc de (2), car celle-ci montrera que le composé \(K_n \to K_{n - 1} \to \ldots \to K_0 \to \{X \to X\}\) est un recouvrement d’après le Lemme 01G4.

Démonstration de (2). Observons que \(\Mor(\Delta[n], K)_0 = K_n\) d’après Simplicial, Lemme 017L. L’assertion (2) résulte donc du Lemme 01GN appliqué aux \(n + 1\) inclusions distinctes \(\Delta[n - 1] \to \Delta[n]\).

Remarque

Un cas particulier utile des Lemmes 01GN et 0DEQ est le suivant. Supposons donnée une catégorie \(\mathcal{C}\) admettant des produits fibrés. Soit \(P \subset \text{Arrows}(\mathcal{C})\) un sous-ensemble stable par changement de base, stable par composition et contenant tous les isomorphismes. On appelle alors \(P\)-hyperrecouvrement une augmentation \(a : U \to X\) issue d’un objet simplicial de \(\mathcal{C}\) telle que

1. \(U_0 \to X\) appartienne à \(P\),

2. \(U_1 \to U_0 \times_X U_0\) appartienne à \(P\),

3. \(U_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n U)_{n + 1}\) appartienne à \(P\) pour \(n \geq 1\).

La catégorie \(\mathcal{C}/X\) admet toutes les limites finies ; les cosquelettes employés dans la formulation ci-dessus existent donc (voir Catégories, Lemme 002O). Nous affirmons alors que les morphismes \(U_n \to X\) et \(d^n_i : U_n \to U_{n - 1}\) appartiennent à \(P\). Cela résulte des lemmes précités en munissant \(\mathcal{C}\) de la structure de site dont les recouvrements sont les \(\{f : V \to U\}\) avec \(f \in P\), et en prenant pour \(K\) l’objet défini par \(K_n = \{U_n \to X\}\).

Homotopies

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(L\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). D’après Simplicial, Lemme 017L, il existe un objet \(\Hom(\Delta[1], L)\) de la catégorie \(\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))\) qui représente le foncteur \[T \longmapsto \Mor_{\text{Simp}(\text{SR}(\mathcal{C}, X))}(\Delta[1] \times T, L)\] Il existe un morphisme canonique \[\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\] provenant de \(e_i : \Delta[0] \to \Delta[1]\) et de l’identification \(\Hom(\Delta[0], L) = L\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(L\) un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\). Soit \(n \geq 0\). Considérons le diagramme commutatif [01GQ]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} \ar[r] \ar[d] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} \ar[d] \\ (L \times L)_{n + 1} \ar[r] & (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} } \end{equation}\] provenant du morphisme défini ci-dessus. On peut identifier les termes de ce diagramme comme suit, où \(\partial \Delta[n + 1] = i_{n!}\text{sk}_n \Delta[n + 1]\) est le \(n\)-squelette du \((n + 1)\)-simplexe : \[\begin{eqnarray*} \Hom(\Delta[1], L)_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n \Hom(\Delta[1], L))_{n + 1} & = & \Hom(\Delta[1] \times \partial \Delta[n + 1], L)_0 \\ (L \times L)_{n + 1} & = & \Hom( (\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1], L)_0 \\ (\text{cosk}_n \text{sk}_n (L \times L))_{n + 1} & = & \Hom( \partial \Delta[n + 1] \amalg \partial \Delta[n + 1], L)_0 \end{eqnarray*}\] et les morphismes entre ces objets de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) proviennent du diagramme commutatif d’ensembles simpliciaux [01GR]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Delta[1] \times \Delta[n + 1] & \Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \\ \Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1] \ar[u] & \partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1] \ar[l] \ar[u] } \end{equation}\] De plus, le produit fibré de la flèche inférieure et de la flèche de droite dans (01GQ) est égal à \[\Hom(U, L)_0\] où \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\) est le plus petit sous-ensemble simplicial tel que \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\) et \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\) s’y envoient tous deux.

Démonstration

La première et la troisième égalité sont données par Simplicial, Lemme 017L. La deuxième et la quatrième résultent du lemme cité, combiné au Lemme 018V de Simplicial. La dernière assertion résulte du fait que \(U\) est la somme amalgamée de la flèche inférieure et de la flèche droite du diagramme (01GR), d’après Simplicial, Lemme 017N. Pour voir que \(U\) est égal à cette somme amalgamée, il suffit de voir que l’intersection de \(\Delta[n + 1] \amalg \Delta[n + 1]\) et de \(\Delta[1] \times \partial\Delta[n + 1]\) dans \(\Delta[1] \times \Delta[n + 1]\) est égale à \(\partial\Delta[n + 1] \amalg \partial\Delta[n + 1]\). Nous laissons cette vérification au lecteur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soient \(K, L\) des hyperrecouvrements de \(X\). Soient \(a, b : K \to L\) des morphismes d’hyperrecouvrements. Il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(c : K' \to K\) tel que \(a \circ c\) soit homotope à \(b \circ c\).

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ K' \ar@{=}[r]^-{def} \ar[rd]_c & K \times_{(L \times L)} \Hom(\Delta[1], L) \ar[r] \ar[d] & \Hom(\Delta[1], L) \ar[d] \\ & K \ar[r]^{(a, b)} & L \times L }\] Par la propriété fonctorielle de \(\Hom(\Delta[1], L)\), le composé des morphismes horizontaux correspond à un morphisme \(K' \times \Delta[1] \to L\) qui définit une homotopie entre \(c \circ a\) et \(c \circ b\). Ainsi, si l’on peut montrer que \(K'\) est un hyperrecouvrement de \(X\), on obtient le lemme. Pour cela, nous appliquerons le Lemme 01GH à la paire de morphismes \(K \to L \times L\) et \(\Hom(\Delta[1], L) \to L \times L\). La condition (1) du Lemme 01GH est satisfaite. La condition (2) du Lemme 01GH est vérifiée parce que \(\Hom(\Delta[1], L)_0 = L_1\), et que le morphisme \((d^1_0, d^1_1) : L_1 \to L_0 \times L_0\) est un recouvrement de \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\), puisque \(L\) est par hypothèse un hyperrecouvrement. Pour démontrer la condition (3) du Lemme 01GH, on utilise le Lemme 01GP ci-dessus. D’après ce lemme, le morphisme \(\gamma\) de la condition (3) du Lemme 01GH est le morphisme \[\Hom(\Delta[1] \times \Delta[n + 1], L)_0 \longrightarrow \Hom(U, L)_0\] où \(U \subset \Delta[1] \times \Delta[n + 1]\). D’après le Lemme 01GN, c’est un recouvrement, ce qui démontre l’assertion.

Remarque

Remarquons que le point essentiel de la démonstration est l’emploi du Lemme 01GN. Ce lemme est tout à fait général et ne dépend pas de la forme exacte des ensembles simpliciaux (pourvu qu’ils n’aient qu’un nombre fini de simplexes non dégénérés). Il paraît tout à fait raisonnable d’attendre un résultat du type suivant : Étant donné un morphisme \(a : K \times \partial \Delta[k] \to L\), où \(K\) et \(L\) sont des hyperrecouvrements, il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(c : K' \to K\) et un morphisme \(g : K' \times \Delta[k] \to L\) tels que \(g|_{K' \times \partial \Delta[k]} = a \circ (c \times \text{id}_{\partial \Delta[k]})\). Autrement dit, la catégorie des hyperrecouvrements est contractile en un sens convenable.

Cohomologie et hyperrecouvrements

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\). Soient \(K, L\) des hyperrecouvrements de \(X\). Si \(a, b : K \to L\) sont des applications homotopes, alors \(\mathcal{F}(a), \mathcal{F}(b) : \mathcal{F}(K) \to \mathcal{F}(L)\) sont des applications homotopes ; voir Simplicial, Lemme 019Y. Elles ont donc le même effet sur les groupes de cohomologie des complexes de cochaînes associés ; voir Simplicial, Lemme 01A0. Nous allons nous en servir pour définir la limite inductive sur tous les hyperrecouvrements.

Notons temporairement \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\) la catégorie dont les objets sont les hyperrecouvrements de \(X\) et dont les morphismes sont les applications entre hyperrecouvrements de \(X\) à homotopie près. Nous avons vu qu’il s’agit d’une catégorie et non d’une « grande » catégorie ; voir le Lemme 01G7. L’opposée de \(\text{HC}(\mathcal{C}, X)\) sera la catégorie d’indices de notre diagramme ; voir Catégories, section 002D, pour la terminologie. Considérons le diagramme \[\check{H}^i(-, \mathcal{F}) : \text{HC}(\mathcal{C}, X)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab}.\] D’après les Lemmes 01GI et 01GS, ainsi que la remarque ci-dessus sur les homotopies, ce diagramme est filtrant ; voir Catégories, Définition 002V. La limite inductive \[\check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) = \colim_{K \in \text{HC}(\mathcal{C}, X)} \check{H}^i(K, \mathcal{F})\] admet donc une description particulièrement simple (voir la référence citée).

Théorème

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(i \geq 0\). Les foncteurs \[\begin{eqnarray*} \textit{Ab}(\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{Ab} \\ \mathcal{F} & \longmapsto & H^i(X, \mathcal{F}) \\ \mathcal{F} & \longmapsto & \check{H}^i_{\text{HC}}(X, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] sont canoniquement isomorphes.

Démonstration

Supposons que \(\xi \in H^p(X, \mathcal{F})\) pour un certain \(p \geq 0\). Montrons que \(\xi\) appartient à l’image de l’application \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) du Lemme 01GY pour un certain hyperrecouvrement \(K\) de \(X\).

C’est vrai si \(p = 0\) d’après le Lemme 01GV. Si \(p = 1\), choisissons un hyperrecouvrement de Čech \(K\) de \(X\) comme dans l’Exemple 01G6, en partant d’un recouvrement \(K_0 = \{U_i \to X\}\) du site \(\mathcal{C}\) tel que \(\xi|_{U_i} = 0\) ; voir Cohomologie sur les sites, Lemme 01FW. Il résulte immédiatement de la suite spectrale du Lemme 01GY que, dans ce cas, \(\xi\) provient d’un élément de \(\check{H}^1(K, \mathcal{F})\). Dans le cas général, choisissons un hyperrecouvrement quelconque \(K\) de \(X\) tel que l’image de \(\xi\) soit nulle dans \(\underline{H}^p(\mathcal{F})(K_0)\) (en utilisant l’Exemple 01G6 et Cohomologie sur les sites, Lemme 01FW une fois encore). D’après la suite spectrale du Lemme 01GY, l’obstruction à ce que \(\xi\) provienne d’un élément de \(\check{H}^p(K, \mathcal{F})\) est une suite d’éléments \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\) avec \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) (plus précisément, les images des \(\xi_q\) dans certains sous-quotients de ces groupes).

On peut remplacer par récurrence l’hyperrecouvrement \(K\) par des raffinements de telle sorte que les restrictions des obstructions \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 1}\) soient nulles (et pas seulement leurs images dans les sous-quotients : il n’y a donc ici aucune subtilité). En effet, supposons être déjà parvenus à une situation où \(\xi_{q + 1}, \ldots, \xi_{p - 1}\) sont nuls. Remarquons que \(\xi_q \in \check{H}^{p - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) est la classe d’un élément \[\tilde \xi_q \in \underline{H}^q(\mathcal{F})(K_{p - q}) = \prod H^q(U_i, \mathcal{F})\] si \(K_{p - q} = \{U_i \to X\}_{i \in I}\). Soit \(\xi_{q, i}\) la composante de \(\tilde \xi_q\) dans \(H^q(U_i, \mathcal{F})\). Comme \(q \geq 1\), on peut appliquer Cohomologie sur les sites, Lemme 01FW, une fois encore, afin de choisir des recouvrements \(\{U_{i, j} \to U_i\}\) du site tels que chaque restriction \(\xi_{q, i}|_{U_{i, j}} = 0\). Considérons l’objet \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\) de la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) et son morphisme évident \(u : Z \to K_{p - q}\). Il est clair que \(u\) est un recouvrement ; voir la Définition 01G3. D’après le Lemme 01GJ, il existe un morphisme \(L \to K\) d’hyperrecouvrements de \(X\) tel que \(L_{p - q} \to K_{p - q}\) se factorise par \(u\). Alors l’image de \(\xi_q\) dans \(\underline{H}^q(\mathcal{F})(L_{p - q})\) est nulle. Puisque la suite spectrale du Lemme 01GY est fonctorielle, cela signifie qu’après avoir remplacé \(K\) par \(L\), on atteint la situation où \(\xi_q, \ldots, \xi_{p - 1}\) sont tous nuls. En poursuivant ainsi, on obtient un hyperrecouvrement où ils sont tous nuls, et donc \(\xi\) appartient à l’image de l’application \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\).

Supposons que \(K\) soit un hyperrecouvrement de \(X\), que \(\xi \in \check{H}^p(K, \mathcal{F})\) et que l’image de \(\xi\) par l’application \(\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\) du Lemme 01GY soit nulle. Pour achever la démonstration du théorème, il faut montrer qu’il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(L \to K\) tel que la restriction de \(\xi\) soit nulle dans \(\check{H}^p(L, \mathcal{F})\). D’après la suite spectrale du Lemme 01GY, l’annulation de l’image de \(\xi\) dans \(H^p(X, \mathcal{F})\) signifie qu’il existe des éléments \(\xi_1, \ldots, \xi_{p - 2}\) avec \(\xi_q \in \check{H}^{p - 1 - q}(K, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) (plus précisément, leurs images dans certains sous-quotients) tels que les images \(d_{q + 1}^{p - 1 - q, q}\xi_q\) (dans la suite spectrale) aient pour somme \(\xi\). Par le même procédé que ci-dessus, on peut donc trouver un morphisme d’hyperrecouvrements \(L \to K\) tel que les restrictions des éléments \(\xi_q\), \(q = 1, \ldots, p - 2\), dans \(\check{H}^{p - 1 - q}(L, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) soient nulles. Il en résulte que \(\xi\) est nul, puisque le morphisme \(L \to K\) induit un morphisme de suites spectrales d’après le Lemme 01GY.

Démonstration

Nous avons vu le résultat pour \(i = 0\) ; voir le Lemme 01GV. Nous savons que les foncteurs \(H^i(X, -)\) forment un \(\delta\)-foncteur universel ; voir Catégories dérivées, Lemme 015B. Pour démontrer le théorème, il suffit de montrer que la suite de foncteurs \(\check{H}^i_{HC}(X, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur. En effet, nous savons que la cohomologie de Čech est nulle sur les faisceaux injectifs (Lemme 01GW), et on peut alors appliquer Homologie, Lemme 010T.

Soit \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] une suite exacte courte de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\). Choisissons un hyperrecouvrement \(K\) de \(X\) et un élément \(\sigma \in \mathcal{H}(K_p)\) représentant \(\xi\) en cohomologie. Il existe une suite exacte correspondante de complexes \[0 \to s(\mathcal{F}(K)) \to s(\mathcal{G}(K)) \to s(\mathcal{H}(K))\] mais rien ne garantit qu’il y ait aussi un zéro à droite, et c’est la seule chose qui nous empêche de définir \(\delta(\xi)\) par une simple application du lemme du serpent. Rappelons que \[\mathcal{H}(K_p) = \prod \mathcal{H}(U_i)\] si \(K_p = \{U_i \to X\}\). Écrivons \(\sigma =\prod \sigma_i\) avec \(\sigma_i \in \mathcal{H}(U_i)\). Comme \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est un morphisme surjectif de faisceaux, il existe des recouvrements \(\{U_{i, j} \to U_i\}\) tels que \(\sigma_i|_{U_{i, j}}\) soit l’image d’un élément \(\tau_{i, j} \in \mathcal{G}(U_{i, j})\). Considérons l’objet \(Z = \{U_{i, j} \to X\}\) de la catégorie \(\text{SR}(\mathcal{C}, X)\) et son morphisme évident \(u : Z \to K_p\). Il est clair que \(u\) est un recouvrement ; voir la Définition 01G3. D’après le Lemme 01GJ, il existe un morphisme \(L \to K\) d’hyperrecouvrements de \(X\) tel que \(L_p \to K_p\) se factorise par \(u\). Après avoir remplacé \(K\) par \(L\), on peut donc supposer que \(\sigma\) est l’image d’un élément \(\tau \in \mathcal{G}(K_p)\). Remarquons que \(d(\sigma) = 0\), mais pas nécessairement que \(d(\tau) = 0\). Ainsi, \(d(\tau) \in \mathcal{F}(K_{p + 1})\) est un cocycle. Dans cette situation, on définit \(\delta(\xi)\) comme la classe du cocycle \(d(\tau)\) dans \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\).

Il faut maintenant vérifier plusieurs points : (a) \(\delta(\xi)\) ne dépend pas du choix de \(\tau\), (b) \(\delta(\xi)\) ne dépend pas du choix de l’hyperrecouvrement \(L \to K\) sur lequel \(\sigma\) se relève, et (c) \(\delta(\xi)\) ne dépend pas de l’hyperrecouvrement initial ni de \(\sigma\) choisi pour représenter \(\xi\). Nous omettons la vérification de (a), (b) et (c) ; l’indépendance des choix d’hyperrecouvrements se ramène en fait aux Lemmes 01GI et 01GS. Nous omettons aussi de vérifier que \(\delta\) est fonctoriel à l’égard des morphismes de suites exactes courtes de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\).

Enfin, il faut vérifier qu’avec cette définition de \(\delta\), la suite exacte courte de faisceaux abéliens ci-dessus fournit une suite exacte longue de groupes de cohomologie de Čech. Montrons d’abord que si \(\delta(\xi) = 0\) (avec \(\xi\) comme ci-dessus), alors \(\xi\) est l’image d’un élément \(\xi' \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{G})\). En effet, si \(\delta(\xi) = 0\), alors, avec les notations précédentes, on voit que la classe de \(d(\tau)\) est nulle dans \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\). Il existe donc un morphisme d’hyperrecouvrements \(L \to K\) tel que la restriction de \(d(\tau)\) à un élément de \(\mathcal{F}(L_{p + 1})\) soit égale à \(d(\upsilon)\) pour un certain \(\upsilon \in \mathcal{F}(L_p)\). Cela implique que \(\tau|_{L_p} + \upsilon\) forme un cocycle et détermine une classe \(\xi' \in \check{H}^p(L, \mathcal{G})\) qui s’envoie sur \(\xi\), comme voulu.

Nous omettons la démonstration du fait que si \(\xi' \in \check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{F})\) s’envoie sur zéro dans \(\check{H}^{p + 1}_{HC}(X, \mathcal{G})\), alors il est égal à \(\delta(\xi)\) pour un certain \(\xi \in \check{H}^p_{HC}(X, \mathcal{H})\).

Déduisons maintenant le cas de Verdier du Théorème 01H0 par un artifice.

Proposition

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés et les produits de deux objets. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Soit \(i \geq 0\). Alors

1. pour tout \(\xi \in H^i(\mathcal{F})\), il existe un hyperrecouvrement \(K\) tel que \(\xi\) appartienne à l’image de l’application canonique \(\check{H}^i(K, \mathcal{F}) \to H^i(\mathcal{F})\), et

2. si \(K, L\) sont des hyperrecouvrements et \(\xi_K \in \check{H}^i(K, \mathcal{F})\), \(\xi_L \in \check{H}^i(L, \mathcal{F})\) des éléments s’envoyant sur le même élément de \(H^i(\mathcal{F})\), alors il existe un hyperrecouvrement \(M\) et des morphismes \(M \to K\) et \(M \to L\) tels que \(\xi_K\) et \(\xi_L\) s’envoient sur le même élément de \(\check{H}^i(M, \mathcal{F})\).

Autrement dit, à des questions ensemblistes près, les groupes de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) sont la limite inductive des groupes de cohomologie de Čech de \(\mathcal{F}\) sur tous les hyperrecouvrements.

Démonstration

Ce résultat est une conséquence immédiate du Théorème 01H0. En effet, on peut remplacer artificiellement \(\mathcal{C}\) par un site légèrement plus grand \(\mathcal{C}'\) tel que (I) \(\mathcal{C}'\) possède un objet final \(X\) et (II) les hyperrecouvrements dans \(\mathcal{C}\) soient essentiellement la même chose que les hyperrecouvrements de \(X\) dans \(\mathcal{C}'\). Mais la nature de la construction impose un assez grand nombre de vérifications.

Appelons une famille de morphismes \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\) de but fixé un recouvrement faible si l’application \(\coprod_{i \in I} h_{U_i} \to h_U\) devient surjective après passage aux faisceaux associés. Construisons un nouveau site \(\mathcal{C}'\) comme suit :

1. comme catégorie, on pose \(\Ob(\mathcal{C}') = \Ob(\mathcal{C}) \amalg \{X\}\) et on ajoute un unique morphisme vers \(X\) depuis tout objet de \(\mathcal{C}'\),

2. \(\mathcal{C}'\) admet des produits fibrés dès que les produits fibrés et les produits de deux objets existent dans \(\mathcal{C}\),

3. les recouvrements de \(\mathcal{C}'\) sont les recouvrements faibles de \(\mathcal{C}\), ainsi que les \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) tels que soit \(U_i = X\) pour un certain \(i\), soit \(U_i \not = X\) pour tout \(i\) et que l’application \(\coprod h_{U_i} \to *\) de préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\) devienne surjective après passage aux faisceaux associés sur \(\mathcal{C}\),

4. on applique Ensembles, Lemme 000X, pour restreindre les recouvrements et obtenir notre site \(\mathcal{C}'\).

Alors \(\Sh(\mathcal{C}') = \Sh(\mathcal{C})\), car le foncteur d’inclusion \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est spécialement cocontinu (voir Sites, Définition 03CG). Nous omettons les vérifications immédiates.

Choisissons un recouvrement \(\{U_i \to X\}\) de \(\mathcal{C}'\) tel que \(U_i\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) pour tout \(i\) (cela est possible puisque \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est spécialement cocontinu). Alors \(K_0 = \{U_i \to X\}\) est un recouvrement dans le site \(\mathcal{C}'\) construit ci-dessus. Considérons \(K_0\) comme un objet de \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\) et posons \(K_{init} = \text{cosk}_0(K_0)\). Alors \(K_{init}\) est un hyperrecouvrement de \(X\) ; voir l’Exemple 01G6. Remarquons que chaque \(K_{init, n}\) est de la forme \(\{W_j \to X\}\) avec \(W_j \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration de (1). Choisissons \(\xi \in H^i(\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F}')\), où \(\mathcal{F}'\) est le faisceau abélien sur \(\mathcal{C}'\) correspondant à \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\). D’après le Théorème 01H0, il existe un morphisme d’hyperrecouvrements \(K' \to K_{init}\) de \(X\) dans \(\mathcal{C}'\) tel que \(\xi\) provienne d’un élément de \(\check{H}^i(K', \mathcal{F})\). Écrivons \(K'_n = \{U_{n, j} \to X\}\). Comme \(K'_n\) s’envoie dans \(K_{init, n}\), on voit que \(U_{n, j}\) est un objet de \(\mathcal{C}\). On peut donc définir un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) en posant \(K_n = \{U_{n, j}\}\). Puisque les recouvrements de \(\mathcal{C}'\) formés de familles de morphismes de \(\mathcal{C}\) sont des recouvrements faibles, on voit que \(K\) est un hyperrecouvrement au sens de la Définition 09VU. Enfin, puisque \(\mathcal{F}'\) est l’unique faisceau sur \(\mathcal{C}'\) dont la restriction à \(\mathcal{C}\) est égale à \(\mathcal{F}\), on voit que les complexes de Čech \(s(\mathcal{F}(K))\) et \(s(\mathcal{F}'(K'))\) sont identiques, ce qui démontre (1). (La compatibilité avec l’application vers les groupes de cohomologie est omise.)

Démonstration de (2). Soient \(K\) et \(L\) des hyperrecouvrements dans \(\mathcal{C}\). Soient \(K'\) et \(L'\) les objets simpliciaux de \(\text{SR}(\mathcal{C}', X)\) obtenus à partir de \(K\) et \(L\) par le foncteur \(\text{SR}(\mathcal{C}) \to \text{SR}(\mathcal{C}', X)\), \(\{U_i\} \mapsto \{U_i \to X\}\). Comme précédemment, les complexes de Čech sont égaux ; on obtient donc \(\xi_{K'}\) et \(\xi_{L'}\) qui s’envoient sur la même classe de cohomologie de \(\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}'\). Après avoir éventuellement élargi notre choix de recouvrements dans \(\mathcal{C}'\) (en raison d’une question ensembliste), on peut supposer que \(K'\) et \(L'\) sont des hyperrecouvrements de \(X\) dans \(\mathcal{C}'\) ; cela résulte de notre définition des hyperrecouvrements dans la Définition 09VU et du fait que les recouvrements faibles de \(\mathcal{C}\) donnent des recouvrements dans \(\mathcal{C}'\). D’après le Théorème 01H0, il existe un hyperrecouvrement \(M'\) de \(X\) dans \(\mathcal{C}'\) et des morphismes \(M' \to K'\), \(M' \to L'\) et \(M' \to K_{init}\) tels que les restrictions de \(\xi_{K'}\) et \(\xi_{L'}\) soient le même élément de \(\check{H}^i(M', \mathcal{F})\). En explicitant cet énoncé comme ci-dessus, on obtient (2).

Hyperrecouvrements d’espaces

La théorie précédente présente déjà quelque intérêt dans le cas des espaces topologiques. Dans ce cas, on peut expliciter ce qu’est un hyperrecouvrement et voir ce que dit effectivement le résultat.

Soit \(X\) un espace topologique. Considérons le site \(X_{Zar}\) de Sites, Exemple 00VJ. Rappelons qu’un objet de \(X_{Zar}\) est simplement un ouvert de \(X\) et que les morphismes de \(X_{Zar}\) correspondent simplement aux inclusions. Qu’est donc un hyperrecouvrement de \(X\) pour le site \(X_{Zar}\) ?

Explicitons d’abord la Définition 01G0. Un objet de \(\text{SR}(X_{Zar}, X)\) est simplement donné par un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i \in I\), un ouvert \(U_i \subset X\). Notons-le \(\{U_i\}_{i \in I}\), puisqu’aucune confusion n’est possible au sujet du morphisme \(U_i \to X\). Un morphisme \(\{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) entre deux tels objets est donné par une application d’ensembles \(\alpha : I \to J\) telle que \(U_i \subset V_{\alpha(i)}\) pour tout \(i \in I\). Quand un tel morphisme est-il un recouvrement ? C’est le cas si et seulement si, pour tout \(j \in J\), on a \(V_j = \bigcup_{i\in I, \ \alpha(i) = j} U_i\) (et que la famille est un recouvrement dans le site \(X_{Zar}\)).

Ce qui précède donne la description suivante d’un hyperrecouvrement dans le site \(X_{Zar}\). Un hyperrecouvrement de \(X\) dans \(X_{Zar}\) est donné par les données suivantes :

1. un ensemble simplicial \(I\) (voir Simplicial, section 0174), et

2. pour tout \(n \geq 0\) et tout \(i \in I_n\), un ouvert \(U_i \subset X\).

Nous noterons une telle collection de données \((I, \{U_i\})\). Pour que ce soit un hyperrecouvrement de \(X\), on exige les propriétés suivantes :

• pour \(i \in I_n\) et \(0 \leq a \leq n\), on a \(U_i \subset U_{d^n_a(i)}\),

• pour \(i \in I_n\) et \(0 \leq a \leq n\), on a \(U_i = U_{s^n_a(i)}\),

• on a [01H2]\[\begin{equation} X = \bigcup\nolimits_{i \in I_0} U_i, \end{equation}\]

• pour tous \(i_0, i_1 \in I_0\), on a [01H3]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap U_{i_1} = \bigcup\nolimits_{i \in I_1, \ d^1_0(i) = i_0, \ d^1_1(i) = i_1} U_i, \end{equation}\]

• pour tout \(n \geq 1\) et tout \((i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2}\) tels que \(d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b)\) pour tous \(0\leq a < b\leq n + 1\), on a [01H4]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in I_{n + 1}, \ d^{n + 1}_a(i) = i_a, \ a = 0, \ldots, n + 1} U_i, \end{equation}\]

• chacun des recouvrements ouverts (01H2), (01H3) et (01H4) est un élément de \(\text{Cov}(X_{Zar})\) (c’est une condition ensembliste qui borne la taille des ensembles d’indices des recouvrements).

Les conditions (01H2) et (01H3) devraient être familières, par exemple d’après le chapitre consacré aux faisceaux sur les espaces, et la condition (01H4) en est la généralisation naturelle.

Remarque

Une particularité de cette description est que, si l’une des intersections multiples \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}}\) est vide, alors le recouvrement du membre de droite peut être le recouvrement vide. Ainsi, les applications \(I_{n + 1} \to (\text{cosk}_n\text{sk}_n I)_{n + 1}\) ne sont pas nécessairement surjectives. Cela signifie que la réalisation géométrique de \(I\) peut être un espace intéressant (non contractile).

En effet, soit \(I'_n \subset I_n\) le sous-ensemble formé des simplexes \(i \in I_n\) tels que \(U_i \not = \emptyset\). On vérifie aisément que \(I' \subset I\) est un sous-ensemble simplicial et que \((I', \{U_i\})\) est un hyperrecouvrement. On peut donc toujours raffiner un hyperrecouvrement en un hyperrecouvrement où aucun des ouverts \(U_i\) n’est vide.

Remarque

Reformulons encore une fois ces informations. Supposons donc que \((I, \{U_i\})\) soit un hyperrecouvrement de l’espace topologique \(X\). À partir de ces données, on peut construire un espace topologique simplicial \(U_\bullet\) en posant \[U_n = \coprod\nolimits_{i \in I_n} U_i,\] et, pour \(\varphi : [n] \to [m]\) donné, on définit les morphismes \(U(\varphi) : U_n \to U_m\) par les inclusions \(U_i \subset U_{\varphi(i)}\) pour \(i \in I_n\). Cet espace topologique simplicial est muni d’une augmentation \(\epsilon : U_\bullet \to X\). Avec ce morphisme, l’espace simplicial \(U_\bullet\) devient un hyperrecouvrement de \(X\) le long duquel on a descente cohomologique au sens de [SGA4, Exposé Vbis]. Autrement dit, \(H^n(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\). (Insérer ici une référence future à la cohomologie sur les espaces simpliciaux et à la descente cohomologique formulée en ces termes.) Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau abélien sur \(X\). Dans ce cas, la suite spectrale du Lemme 01GY devient la suite spectrale dont le terme \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \epsilon_q^*\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(U_\bullet, \epsilon^*\mathcal{F}) = H^{p + q}(X, \mathcal{F})\] qui compare la cohomologie totale de \(\epsilon^*\mathcal{F}\) aux groupes de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur les morceaux de \(U_\bullet\). (Insérer une référence future à cette suite spectrale ici.)

En topologie, on cherche souvent des hyperrecouvrements de \(X\) qui possèdent la propriété que tous les \(U_i\) appartiennent à une base donnée de la topologie de \(X\) et que tous les recouvrements (01H3) et (01H4) appartiennent à une collection cofinale donnée de recouvrements. Voici deux lemmes qui en fournissent des exemples.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Il existe un hyperrecouvrement \((I, \{U_i\})\) de \(X\) tel que chaque \(U_i\) soit un élément de \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Soit \(n \geq 0\). Appelons hyperrecouvrement \(n\)-tronqué de \(X\) une donnée formée d’un ensemble simplicial \(n\)-tronqué \(I\) et, pour chaque \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\), d’un ouvert \(U_i\) de \(X\), de telle sorte que les conditions définissant un hyperrecouvrement soient satisfaites lorsqu’elles ont un sens. Autrement dit, on n’exige les relations d’inclusion et les conditions de recouvrement que lorsque tous les simplexes qui y interviennent sont des \(a\)-simplexes avec \(a \leq n\). Le lemme découle de l’assertion suivante : tout hyperrecouvrement \(n\)-tronqué \((I, \{U_i\})\) tel que tous les \(U_i \in \mathcal{B}\) se prolonge en un hyperrecouvrement \((n + 1)\)-tronqué sans ajout de \(a\)-simplexes pour \(a \leq n\). Procédons comme suit. Considérons d’abord l’ensemble simplicial \((n + 1)\)-tronqué \(I'\) défini par \(I' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n I)\). Rappelons que \[I'_{n + 1} = \left\{ \begin{matrix} (i_0, \ldots, i_{n + 1}) \in (I_n)^{n + 2} \text{ tels que}\\ d^n_{b - 1}(i_a) = d^n_a(i_b) \text{ pour tous }0\leq a < b\leq n + 1 \end{matrix} \right\}\] Si \(i' \in I'_{n + 1}\) est dégénéré, disons \(i' = s^n_a(i)\), on pose \(U_{i'} = U_i\) (c’est de toute façon imposé par la deuxième condition). On pose aussi \(J_{i'} = \{i'\}\) dans ce cas. Si \(i' \in I'_{n + 1}\) est non dégénéré, disons \(i' = (i_0, \ldots, i_{n + 1})\), on choisit un ensemble \(J_{i'}\) et un recouvrement ouvert [071K]\[\begin{equation} U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_{n + 1}} = \bigcup\nolimits_{i \in J_{i'}} U_i, \end{equation}\] avec \(U_i \in \mathcal{B}\) pour \(i \in J_{i'}\). Posons \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] Il existe une application canonique \(\pi : I_{n + 1} \to I'_{n + 1}\) qui est une bijection au-dessus de l’ensemble des simplexes dégénérés de \(I'_{n + 1}\) par construction. Pour \(i \in I_{n + 1}\), on définit \(d^{n + 1}_a(i) = d^{n + 1}_a(\pi(i))\). Pour \(i \in I_n\), on définit \(s^n_a(i) \in I_{n + 1}\) comme l’unique simplexe situé au-dessus du simplexe dégénéré \(s^n_a(i) \in I'_{n + 1}\). Nous omettons la vérification que cela définit un hyperrecouvrement \((n + 1)\)-tronqué de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact,

2. chaque \(U \in \mathcal{B}\) soit un ouvert quasi-compact, et

3. l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques de \(X\) soit quasi-compacte.

Alors il existe un hyperrecouvrement \((I, \{U_i\})\) de \(X\) ayant les propriétés suivantes :

1. chaque \(U_i\) est un élément de la base \(\mathcal{B}\),

2. chacun des \(I_n\) est un ensemble fini, et, en particulier,

3. chacun des recouvrements (01H2), (01H3) et (01H4) est fini.

Démonstration

Cela résulte directement de la construction donnée dans la démonstration du Lemme 01H6, si l’on choisit des recouvrements finis par des éléments de \(\mathcal{B}\) dans (071K). Nous omettons les détails.

Construction d’hyperrecouvrements

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Dans cette section, nous considérerons un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) de la manière suivante. Comme d’habitude, on pose \(K_n = K([n])\) et on note \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) le morphisme associé à \(\varphi : [m] \to [n]\). On peut écrire \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\). Pour \(\varphi : [m] \to [n]\), le morphisme \(K(\varphi) : K_n \to K_m\) est donné par une application \(\alpha(\varphi) : I_n \to I_m\) et des morphismes \(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) pour \(i \in I_n\). Le fait que \(K\) soit un objet simplicial de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) implique que \((I_n, \alpha(\varphi))\) est un ensemble simplicial et que \(f_{\psi, \alpha(\varphi)(i)} \circ f_{\varphi, i} = f_{\varphi \circ \psi, i}\) lorsque \(\psi : [l] \to [m]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K\) un objet simplicial \(r\)-tronqué de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(K\) est scindé (Simplicial, Définition 017P),

2. \(f_{\varphi, i} : U_{n, i} \to U_{m, \alpha(\varphi)(i)}\) est un isomorphisme pour \(r \geq n \geq 0\), \(\varphi : [m] \to [n]\) surjective, \(i \in I_n\), et

3. \(f_{\sigma^n_j, i} : U_{n, i} \to U_{n + 1, \alpha(\sigma^n_j)(i)}\) est un isomorphisme pour \(0 \leq j \leq n < r\), \(i \in I_n\).

Le même énoncé vaut pour les objets simpliciaux si, dans (2) et (3), on pose \(r = \infty\).

Démonstration

Le scindage d’un ensemble simplicial est unique et donné par les indices non dégénérés \(N(I_n)\) en chaque degré \(n\) ; voir Simplicial, Lemme 017R. Le coproduit de deux objets \(\{U_i\}_{i \in I}\) et \(\{U_j\}_{j \in J}\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) est donné par \(\{U_l\}_{l \in I \amalg J}\), avec les notations évidentes. Un scindage de \(K\) doit donc être donné par \(N(K_n) = \{U_i\}_{i \in N(I_n)}\). L’équivalence de (1) et (2) résulte alors de l’explicitation des définitions. L’équivalence de (2) et (3) résulte du fait que toute surjection \(\varphi : [m] \to [n]\) est un composé de morphismes \(\sigma^k_j\) avec \(k = n, n + 1, \ldots, m - 1\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des produits fibrés. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble. Supposons que

1. tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) avec \(U_j \in \mathcal{B}\), et

2. si \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) est un recouvrement avec \(U_j \in \mathcal{B}\) et si \(\{U' \to U\}\) est un morphisme avec \(U' \in \mathcal{B}\), alors \(\{U_j \to U\}_{j \in J} \amalg \{U' \to U\}\) soit un recouvrement.

Alors, pour tout \(X\) de \(\mathcal{C}\), il existe un hyperrecouvrement \(K\) de \(X\) tel que \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\) avec \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\) pour tout \(i \in I_n\).

Démonstration

La démonstration du Lemme 01H6 constitue un échauffement pour celle-ci, et nous encourageons le lecteur à la lire d’abord.

On commence par remplacer \(\mathcal{C}\) par le site \(\mathcal{C}/X\). Après ce remplacement, on peut supposer que \(X\) est l’objet final de \(\mathcal{C}\) et que \(\mathcal{C}\) admet toutes les limites finies (Catégories, Lemme 002O).

Soit \(n \geq 0\). Appelons hyperrecouvrement \(n\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) de \(X\) un objet simplicial \(n\)-tronqué \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) tel que, pour \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\), on ait \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\), que \(K_0\) soit un recouvrement de \(X\) et que \(K_{a + 1} \to (\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1}\) soit un recouvrement pour \(a = 0, \ldots, n - 1\), comme dans la Définition 01G3.

Puisque, par hypothèse, \(X\) admet un recouvrement \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\), on obtient un hyperrecouvrement \(0\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) de \(X\). Observons que tout hyperrecouvrement \(0\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) de \(X\) est scindé ; voir le Lemme 0DAU.

Le lemme découle de l’assertion suivante, pour \(n \geq 0\) : étant donné un hyperrecouvrement \(n\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\), noté \(K\), de \(X\) et scindé, on peut le prolonger en un hyperrecouvrement \((n + 1)\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\), scindé, de \(X\).

Construction du prolongement. Considérons l’objet simplicial \((n + 1)\)-tronqué \(K' = \text{sk}_{n + 1}(\text{cosk}_n K)\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Écrivons \[K'_{n + 1} = \{U'_{n + 1, i}\}_{i \in I'_{n + 1}}\] Puisque \(K = \text{sk}_n K'\), on a \(K_a = K'_a\) pour \(0 \leq a \leq n\). Pour tout \(i' \in I'_{n + 1}\), choisissons un recouvrement [0DAW]\[\begin{equation} \{g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\}_{j \in J_{i'}} \end{equation}\] avec \(U_{n + 1, j} \in \mathcal{B}\) pour \(j \in J_{i'}\). C’est possible d’après l’hypothèse du lemme sur \(\mathcal{B}\). Pour \(0 \leq m \leq n\), notons \(N_m \subset I_m\) le sous-ensemble des indices non dégénérés. Posons \[I_{n + 1} = \coprod\nolimits_{\varphi : [n + 1] \to [m]\text{ surjective, }0\leq m \leq n} N_m \amalg \coprod\nolimits_{i' \in I'_{n + 1}} J_{i'}\] Pour \(j \in I_{n + 1}\), posons \[U_{n + 1, j} = \left\{ \begin{matrix} U_{m, i} & \text{si} & j = (\varphi, i) & \text{où} & \varphi : [n + 1] \to [m], i \in N_m \\ U_{n + 1, j} & \text{si} & j \in J_{i'} & \text{où} & i' \in I'_{n + 1} \end{matrix} \right.\] avec les notations évidentes. Posons \(K_{n + 1} = \{U_{n + 1, j}\}_{j \in I_{n + 1}}\). Par construction, \(U_{n + 1, j}\) est un élément de \(\mathcal{B}\) pour tout \(j \in I_{n + 1}\). Définissons des applications compatibles \[I_{n + 1} \to I'_{n + 1} \quad\text{et}\quad K_{n + 1} \to K'_{n + 1}\] La première application est donnée par \((\varphi, i) \mapsto \alpha'(\varphi)(i)\) et \((j \in J_{i'}) \mapsto i'\). Pour la deuxième, on utilise les morphismes \[f'_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U'_{n + 1, \alpha'(\varphi)(i)} \quad\text{et}\quad g_{n + 1, j} : U_{n + 1, j} \to U'_{n + 1, i'}\] Nous affirmons que le morphisme \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} = (\text{cosk}_n \text{sk}_n K')_{n + 1} = (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\] est un recouvrement au sens de la Définition 01G3. En effet, si \(i' \in I'_{n + 1}\), alors soit \(i'\) est non dégénéré et l’image inverse de \(i'\) dans \(I_{n + 1}\) est égale à \(J_{i'}\), auquel cas on obtient un recouvrement de \(U'_{n + 1, i'}\) par notre choix (0DAW), soit \(i'\) est dégénéré et l’image inverse de \(i'\) dans \(I_{n + 1}\) est \(J_{i'} \amalg \{(\varphi, i)\}\) pour un unique couple \((\varphi, i)\), auquel cas notre choix (0DAW) et l’hypothèse (2) du lemme donnent un recouvrement.

Pour achever la démonstration, il faut définir les morphismes \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\) correspondant aux morphismes \(\varphi : [m] \to [n + 1]\), \(0 \leq m \leq n\), ainsi que les morphismes \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\) correspondant aux morphismes \(\varphi : [n + 1] \to [m]\), \(0 \leq m \leq n\), de manière à satisfaire les relations de composition convenables. Pour le premier type, on utilise le composé \[K_{n + 1} \to K'_{n + 1} \xrightarrow{K'(\varphi)} K'_m = K_m\] pour définir \(K(\varphi) : K_{n + 1} \to K_m\). Pour le second type, supposons donné \(\varphi : [n + 1] \to [m]\), \(0 \leq m \leq n\). On définit le morphisme correspondant \(K(\varphi) : K_m \to K_{n + 1}\) comme suit :

1. pour \(i \in I_m\), il existe une unique application surjective \(\psi : [m] \to [m_0]\) et un unique \(i_0 \in I_{m_0}\) non dégénéré tels que \(\alpha(\psi)(i_0) = i\)³,

2. on pose \(\varphi_0 = \psi_0 \circ \varphi : [n + 1] \to [m_0]\) et on envoie \(i \in I_m\) sur \((\varphi_0, i_0) \in I_{n + 1}\) ; autrement dit, \(\alpha(\varphi)(i) = (\varphi_0, i_0)\), et

3. le morphisme \(f_{\varphi, i} : U_{m, i} \to U_{n + 1, \alpha(\varphi)(i)} = U_{m_0, i_0}\) est l’inverse de l’isomorphisme \(f_{\psi, i_0} : U_{m_0, i_0} \to U_{m, i}\) (voir le Lemme 0DAU).

Nous omettons la vérification immédiate mais laborieuse que cela définit un hyperrecouvrement \((n + 1)\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\), scindé, de \(X\) prolongeant celui qui était donné en degré \(n\). Tout est en fait clair d’après ce qui précède, sauf la vérification que les morphismes \(K(\varphi)\) se composent correctement pour tout \(\varphi : [a] \to [b]\) avec \(0 \leq a, b \leq n + 1\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site admettant des égalisateurs et des produits fibrés. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble. Supposons que tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres sont des éléments de \(\mathcal{B}\). Alors il existe un hyperrecouvrement \(K\) tel que \(K_n = \{U_i\}_{i \in I_n}\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\) pour tout \(i \in I_n\).

Démonstration

Cette démonstration est presque identique à celle du Lemme 0DAV. Nous n’en expliquerons que les différences.

Soit \(n \geq 1\). Appelons hyperrecouvrement \(n\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) un objet simplicial \(n\)-tronqué \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) tel que, pour \(i \in I_a\), \(0 \leq a \leq n\), on ait \(U_{a, i} \in \mathcal{B}\) et que

1. \(F(K_0)^\# \to *\) soit surjectif,

2. \(F(K_1)^\# \to F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\) soit surjectif,

3. \(F(K_{a + 1})^\# \to F((\text{cosk}_a \text{sk}_a K)_{a + 1})^\#\) soit surjectif pour \(a = 1, \ldots, n - 1\).

Construisons d’abord explicitement un hyperrecouvrement \(1\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) et scindé.

Prenons \(I_0 = \mathcal{B}\) et \(K_0 = \{U\}_{U \in \mathcal{B}}\). Alors (1) est vérifiée d’après notre hypothèse sur \(\mathcal{B}\). Posons \[\Omega = \{(U, V, W, a, b) \mid U, V, W \in \mathcal{B}, a : U \to V, b : U \to W\}\] Puis posons \(I_1 = I_0 \amalg \Omega\). Pour \(i \in I_1\), on pose \(U_{1, i} = U_{0, i}\) si \(i \in I_0\), et \(U_{1, i} = U\) si \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\). L’application \(K(\sigma^0_0) : K_0 \to K_1\) correspond à l’inclusion \(\alpha(\sigma^0_0) : I_0 \to I_1\) et à l’identité \(f_{\sigma^0_0, i} : U_{0, i} \to U_{1, i}\) sur les objets. Les applications \(K(\delta^1_0), K(\delta^1_1) : K_1 \to K_0\) correspondent aux deux applications \(I_1 \to I_0\) qui sont l’identité sur \(I_0 \subset I_1\) et envoient \((U, V, W, a, b) \in \Omega \subset I_1\) sur \(V\), resp. \(W\). Les morphismes correspondants \(f_{\delta^1_0, i}, f_{\delta^1_1, i} : U_{1, i} \to U_{0, i}\) sont l’identité si \(i \in I_0\), et \(a, b\) si \(i = (U, V, W, a, b) \in \Omega\). La condition (2) est vérifiée parce que toute section de \(F(K_0)^\# \times F(K_0)^\#\) sur un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) provient, après remplacement de \(U\) par les membres d’un recouvrement, d’une application \(U \to F(K_0) \times F(K_0)\). Cela signifie à son tour qu’on dispose de \(V, W \in \mathcal{B}\) et de deux morphismes \(U \to V\) et \(U \to W\). En remplaçant encore \(U\) par les membres d’un recouvrement, on peut supposer que \(U \in \mathcal{B}\), comme voulu.

Le lemme découle de l’assertion suivante : étant donné un hyperrecouvrement \(n\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\), noté \(K\) et scindé, pour \(n \geq 1\), on peut le prolonger en un hyperrecouvrement \((n + 1)\)-tronqué de type \(\mathcal{B}\) et scindé. Ici, l’argument procède exactement comme dans la démonstration du Lemme 0DAV. Nous omettons les détails précis, à l’exception des remarques suivantes. Premièrement, l’hypothèse (2) de la démonstration du présent lemme est inutile, car nous n’avons pas besoin que le morphisme \(K_{n + 1} \to (\text{cosk}_n K)_{n + 1}\) soit un recouvrement ; il suffit qu’il induise une surjection sur les faisceaux d’ensembles associés, ce qui résulte de Sites, Lemme 00WT. Deuxièmement, l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et des égalisateurs garantit que \(\text{SR}(\mathcal{C})\) admet des produits fibrés et des égalisateurs, et que \(F\) commute à ceux-ci (Lemme 01G2). Cela suffit à garantir l’existence des foncteurs cosquelette employés (voir Simplicial, Remarque 09VS et Catégories, Lemme 04AT).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites donné par le foncteur \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{C}\) admettent des égalisateurs et des produits fibrés, et que \(u\) commute à ceux-ci. Si un objet simplicial \(K\) de \(\text{SR}(\mathcal{D})\) est un hyperrecouvrement, alors \(u(K)\) est un hyperrecouvrement.

Démonstration

Si l’on écrit \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\) comme dans l’introduction de cette section, alors \(u(K)\) est l’objet de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) donné par \(u(K_n) = \{u(U_i)\}_{i \in I_n}\). D’après Sites, Lemme 04D3, on a \(f^{-1}h_U^\# = h_{u(U)}^\#\) pour \(U \in \Ob(\mathcal{D})\). Cela signifie que \(f^{-1}F(K_n)^\# = F(u(K_n))^\#\) pour tout \(n\). Vérifions les conditions (1), (2) et (3) pour que \(u(K)\) soit un hyperrecouvrement selon la Définition 09VU. Comme \(f^{-1}\) est un foncteur exact, on trouve que \[F(u(K_0))^\# = f^{-1}F(K_0)^\# \to f^{-1}* = *\] est surjectif comme image inverse d’un morphisme surjectif, ce qui donne (1). De même, \[F(u(K_1))^\# = f^{-1}F(K_1)^\# \to f^{-1} (F(K_0) \times F(K_0))^\# = F(u(K_0))^\# \times F(u(K_0))^\#\] est surjectif comme image inverse, ce qui donne (2). Pour la condition (3), il suffit, afin de conclure par la même méthode, que \[F((\text{cosk}_n \text{sk}_n u(K))_{n + 1})^\# = f^{-1}F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\#\] Ce qui précède montre que \(f^{-1}F(-) = F(u(-))\). Il suffit donc de montrer que \(u\) commute aux limites utilisées pour définir \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) pour \(n \geq 1\). D’après Simplicial, Remarque 09VS, ces limites sont des limites finies connexes, auxquelles \(u\) commute par hypothèse.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un foncteur continu. Supposons que \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{C}\) admettent des produits fibrés et que \(u\) commute à ceux-ci. Soient \(Y \in \mathcal{D}\) et \(K \in \text{SR}(\mathcal{D}, Y)\) un hyperrecouvrement de \(Y\). Alors \(u(K)\) est un hyperrecouvrement de \(u(Y)\).

Démonstration

C’est plus facile que la démonstration du Lemme 0DAY, car la notion d’hyperrecouvrement d’un objet est plus forte ; voir les Définitions 01G5 et 01G3. En effet, \(u\) envoie les recouvrements sur des recouvrements par définition d’un morphisme de sites. Il suffit de vérifier que \(u\) commute aux limites utilisées pour définir \((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\) pour \(n \geq 1\). C’est clair, car le foncteur induit \(\mathcal{D}/Y \to \mathcal{C}/X\) commute à toutes les limites finies (et la source et le but admettent toutes les limites finies d’après Catégories, Lemme 002O).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble. Supposons que

1. \(\mathcal{C}\) admette des produits fibrés,

2. pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement fini \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\),

3. si \(\{U_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement fini avec \(U_i \in \mathcal{B}\) et si \(U \to X\) est un morphisme avec \(U \in \mathcal{B}\), alors \(\{U_i \to X\}_{i \in I} \amalg \{U \to X\}\) soit un recouvrement.

Alors, pour tout \(X\), il existe un hyperrecouvrement \(K\) de \(X\) tel que chaque \(K_n = \{U_{n, i} \to X\}_{i \in I_n}\), où \(I_n\) est fini et \(U_{n, i} \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Ce lemme est l’analogue du Lemme 01H7 pour les sites. Pour le démontrer, on suit exactement la démonstration du Lemme 0DAV, en prêtant attention aux deux points suivants :

1. on choisit le recouvrement initial \(\{U_{0, i} \to X\}_{i \in I_0}\) avec \(U_{0, i} \in \mathcal{B}\) de telle sorte que l’ensemble d’indices \(I_0\) soit fini, et

2. lors du choix des recouvrements (0DAW), on choisit \(J_{i'}\) fini.

Le lecteur voit aisément qu’avec ces modifications, on obtient des ensembles d’indices finis \(I_n\) pour tout \(n\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(K\) et \(L\) des objets de \(\text{SR}(\mathcal{C})\). Écrivons \(K = \{U_i\}_{i \in I}\) et \(L = \{V_j\}_{j \in J}\). Supposons que \(U = \coprod_{i \in I} U_i\) et \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) existent. On obtient alors \[\Mor_{\text{SR}(\mathcal{C})}(K, L) \longrightarrow \Mor_\mathcal{C}(U, V)\] comme suit. Étant donné \(f : K \to L\), défini par \(\alpha : I \to J\) et les \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\), on obtient une transformation de foncteurs \[\Mor_\mathcal{C}(V, -) = \prod\nolimits_{j \in J} \Mor_\mathcal{C}(V_j, -) \to \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_\mathcal{C}(U_i, -) = \Mor_\mathcal{C}(U, -)\] qui envoie \((g_j)_{j \in J}\) sur \((g_{\alpha(i)} \circ f_i)_{i \in I}\). Le lemme de Yoneda produit donc l’application correspondante \(U \to V\). Bien entendu, \(U \to V\) envoie le facteur \(U_i\) dans le facteur \(V_{\alpha(i)}\) par le morphisme \(f_i\).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des produits fibrés et des égalisateurs, et soit \(K\) un hyperrecouvrement. Écrivons \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\). Supposons que

1. \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\) existe, et

2. \(\coprod_{i \in I_n} h_{U_{n, i}} \to h_{U_n}\) induise un isomorphisme sur les faisceaux associés.

On obtient alors un autre objet simplicial \(L\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) avec \(L_n = \{U_n\}\) ; voir la Remarque 0DB0. Nous affirmons que \(L\) est un hyperrecouvrement. Vérifions pour cela les conditions (1), (2) et (3) de la Définition 09VU. La condition (1) résulte de (b) et de la condition (1) pour \(K\). La condition (2) se démontre exactement de la même manière. La condition (3) résulte des égalités \[\begin{align*} F((\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1})^\# & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(L)^\#)_{n + 1}) \\ & = ((\text{cosk}_n \text{sk}_n F(K)^\#)_{n + 1}) \\ & = F((\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1})^\# \end{align*}\] pour \(n \geq 1\) ; la condition pour \(K\) implique donc celle pour \(L\), exactement comme dans (1) et (2). Remarquons que \(F\) commute aux limites connexes et que le foncteur faisceau associé est exact, ce qui démontre la première et la dernière égalité ; l’égalité du milieu résulte de \(F(K)^\# = F(L)^\#\) d’après (b).

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Supposons que \(\mathcal{C}\) admette des produits fibrés, et soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(X\). Écrivons \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\). Supposons que

1. \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\) existe,

2. étant donnés des morphismes \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) et \((\beta, g_k) : \{W_k\}_{k \in K} \to \{V_j\}_{j \in J}\) dans \(\text{SR}(\mathcal{C})\), tels que \(U = \coprod U_i\), \(V = \coprod V_j\) et \(W = \coprod W_j\) existent, alors \(U \times_V W = \coprod_{(i, j, k), \alpha(i) = j = \beta(k)} U_i \times_{V_j} W_k\),

3. si \((\alpha, f_i) : \{U_i\}_{i \in I} \to \{V_j\}_{j \in J}\) est un recouvrement au sens de la Définition 01G3 et si \(U = \coprod U_i\) et \(V = \coprod V_j\) existent, alors le morphisme correspondant \(U \to V\) de la Remarque 0DB0 est un recouvrement de \(\mathcal{C}\).

On obtient alors un autre objet simplicial \(L\) de \(\text{SR}(\mathcal{C})\) avec \(L_n = \{U_n\}\) ; voir la Remarque 0DB0. Nous affirmons que \(L\) est un hyperrecouvrement de \(X\). Vérifions pour cela les conditions (1) et (2) de la Définition 01G5. La condition (1) résulte de (c) et de la condition (1) pour \(K\), car la condition (1) pour \(K\) dit que \(K_0 = \{U_{0, i}\}_{i \in I_0}\) est un recouvrement de \(\{X\}\) au sens de la Définition 01G3. La condition (2) résulte du fait que \(\mathcal{C}/X\) admet toutes les limites finies, donc que \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\) admet toutes les limites finies, et du fait que la condition (b) dit que la construction « prendre les sommes disjointes » commute à ces limites finies. Ainsi, le morphisme \[L_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n L)_{n + 1}\] est un recouvrement, puisqu’il résulte de l’application de notre foncteur « prendre les sommes disjointes » au morphisme \[K_{n + 1} \longrightarrow (\text{cosk}_n \text{sk}_n K)_{n + 1}\] qui est supposé être un recouvrement au sens de la Définition 01G3, d’après la condition (2) pour \(K\). Cela a un sens parce que la propriété (b) garantit en particulier que, si l’on part d’un diagramme fini d’objets semi-représentables au-dessus de \(X\) pour lesquels on peut prendre les sommes disjointes, alors la limite du diagramme dans \(\text{SR}(\mathcal{C}/X)\) est encore un objet semi-représentable au-dessus de \(X\) pour lequel on peut prendre les sommes disjointes.