Introduction
Ce chapitre étudie quelques propriétés géométriques des champs algébriques. Les versions initiales des sections 0DR4 et 0DRE ont été rédigées par Matthew Emerton et Toby Gee et se trouvent sous leur forme originale dans [Emerton-Gee-dim].
Anneaux versels
Dans cette section, nous explicitons le lien entre les anneaux de déformation et les anneaux locaux des champs algébriques de type fini sur une base localement noethérienne.
Situation
Ici, \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique localement de type fini sur un schéma localement noethérien \(S\).
Voici la définition.
Définition
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\) est une \(S\)-algèbre locale noethérienne complète \(A\) de corps résiduel \(k\), pour laquelle il existe un objet formel versel \((A, \xi_n, f_n)\) comme dans Axiomes d’Artin, Définition 0CXJ, avec \(\xi_1 \cong x_0\) (une \(2\)-isomorphie).
Nous voulons démontrer que les anneaux versels existent et sont uniques à facteurs lisses près. Nous utiliserons pour cela les catégories de prédéformations de Axiomes d’Artin, section 07T2. Dans notre situation, ce sont toujours des catégories de déformations.
Lemme
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Alors \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est une catégorie de déformations, et \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) ainsi que \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) sont des espaces vectoriels sur \(k\) de dimension finie.
Démonstration
Choisissons un ouvert affine \(\Spec(\Lambda) \subset S\) tel que \(\Spec(k) \to S\) se factorise par celui-ci. D’après Axiomes d’Artin, section 07T2, nous obtenons une catégorie de prédéformations \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) sur la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\). (Comme il est signalé au passage cité, cette catégorie ne dépend que du morphisme \(\Spec(k) \to S\), et non du choix de \(\Lambda\).) D’après Axiomes d’Artin, Lemmes 07WU et 07WQ \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est en fait une catégorie de déformations. D’après Axiomes d’Artin, Lemme 07X1, nous constatons que \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) sont des espaces vectoriels sur \(k\) de dimension finie.
Lemme
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Il existe alors un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Si \(A\), \(A'\) en sont deux, alors \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\) ou \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\) comme \(S\)-algèbres pour un certain \(r\).
Démonstration
L’existence résulte du Lemme 0DQW et de Théorie formelle des déformations, Définition 06J9 et Lemmes 06J7 et 06IW. D’après le résultat d’unicité de Théorie formelle des déformations, Lemme 06T5, il existe un anneau versel « minimal » \(A\) de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\) tel que tout autre anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\) soit isomorphe à \(A[[t_1, \ldots, t_r]]\) pour un certain \(r\). Ceci entraîne manifestement la seconde assertion.
Lemme
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Soit \(l/k\) une extension finie de corps, et notons \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) le morphisme induit. Étant donné un anneau versel \(A\) de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\), il existe un anneau versel \(A'\) de \(\mathcal{X}\) en \(x_{l, 0}\) tel qu’il existe un homomorphisme de \(S\)-algèbres \(A \to A'\) induisant l’extension de corps donnée \(l/k\) et formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_{A'}\)-adique considérée.
Démonstration
Cela résulte immédiatement de Axiomes d’Artin, Lemme 07WX, et de Théorie formelle des déformations, Lemme 0DQF. (Nous utilisons aussi le fait que \(\mathcal{X}\) satisfait (RS), d’après Axiomes d’Artin, Lemme 07WQ.)
Lemme
Dans la Situation 0DQU, soit \(x : U \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(U\) est un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(u_0 \in U\) un point de type fini. Posons \(k = \kappa(u_0)\) et notons \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) l’application induite. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(x\) est versel en \(u_0\) (Axiomes d’Artin, Définition 07XF),
\(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est lisse,
l’objet formel associé à \(x|_{\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)}\) est versel, et
il existe un voisinage ouvert \(U' \subset U\) de \(x\) tel que \(x|_{U'} : U' \to \mathcal{X}\) soit lisse.
De plus, dans ce cas, le complété \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) est un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\).
Démonstration
Puisque \(U \to S\) est localement de type fini (comme composé de tels morphismes), nous voyons que \(\Spec(k) \to S\) est de type fini (encore comme composé). L’énoncé a donc un sens. L’équivalence de (1) et (2) est la définition du fait que \(x\) est versel en \(u_0\). L’équivalence de (1) et (3) est Axiomes d’Artin, Lemme 0CXK. Ainsi, (1), (2) et (3) sont équivalentes.
Si \(x|_{U'}\) est lisse, alors le foncteur \(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est lisse d’après Axiomes d’Artin, Lemme 07WK. Ainsi, (4) entraîne (1), (2) et (3). Réciproquement, supposons que \(x\) soit versel en \(u_0\). Choisissons un morphisme lisse surjectif \(y : V \to \mathcal{X}\), où \(V\) est un schéma. Posons \(Z = V \times_\mathcal{X} U\) et choisissons un point de type fini \(z_0 \in |Z|\) au-dessus de \(u_0\) (cela est possible d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06EJ). D’après Axiomes d’Artin, Lemme 0CXM, le morphisme \(Z \to V\) est lisse en \(z_0\). Par définition, nous pouvons trouver un voisinage ouvert \(W \subset Z\) de \(z_0\) tel que \(W \to V\) soit lisse. Puisque \(Z \to U\) est ouvert, soit \(U' \subset U\) l’image de \(W\). Nous voyons alors que \(U' \to \mathcal{X}\) est lisse par notre définition des morphismes lisses de champs.
La dernière assertion résulte des définitions, puisque \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) proreprésente \(\mathcal{F}_{U, k, u_0}\).
Lemme
Dans la Situation 0DQU. Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme tel que \(\Spec(k) \to S\) soit de type fini, d’image \(s\). Soit \(A\) un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(x_0\) appartient au lieu lisse de \(\mathcal{X} \to S\) (Morphismes de champs, Lemme 0DZR),
\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique, et
\(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) est sans obstruction.
Démonstration
L’équivalence de (2) et (3) résulte immédiatement de Théorie formelle des déformations, Lemme 0DZK.
Notons que \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique si et seulement si \(\mathcal{O}_{S, s} \to A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_{A'}\)-adique. Par conséquent, (2) ne dépend pas du choix de l’anneau versel, d’après le Lemme 0DQX. Ensuite, soit \(l/k\) une extension finie et choisissons \(A \to A'\) comme dans le Lemme 0DQY. Si \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique, alors \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_{A'}\)-adique, voir Compléments d’algèbre, Lemme 07EF. Réciproquement, si \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_{A'}\)-adique, alors \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A'\) et \(A \to A'\) sont réguliers (Compléments d’algèbre, Proposition 07PM), donc \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A\) est régulier (Compléments d’algèbre, Lemme 07NT), et donc \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) est formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique (même lemme que précédemment). Ainsi, l’équivalence de (2) et (1) vaut pour \(k\) et \(x_0\) si et seulement si elle vaut pour \(l\) et \(x_{0, l}\).
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\) tels que \(\Spec(k) \times_\mathcal{X} U\) soit non vide. Choisissons une extension finie \(l/k\) et un point \(w_0 : \Spec(l) \to \Spec(k) \times_\mathcal{X} U\). Soit \(u_0 \in U\) l’image de \(w_0\). Nous pouvons appliquer ce qui précède à \(l/k\) et à \(l/\kappa(u_0)\) pour voir que nous pouvons nous ramener à \(u_0\). Nous pouvons donc supposer \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\), voir le Lemme 0DQZ. Observons que \(x_0\) appartient au lieu lisse de \(\mathcal{X} \to S\) si et seulement si \(u_0\) appartient au lieu lisse de \(U \to S\), voir par exemple Morphismes de champs, Lemme 0DZR. L’équivalence de (1) et (2) résulte donc de Compléments d’algèbre, Lemme 07VH.
Rappelons une conséquence de l’approximation d’Artin.
Lemme
Dans la Situation 0DQU. Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme tel que \(\Spec(k) \to S\) soit de type fini, d’image \(s\). Soit \(A\) un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Si \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un anneau G, nous pouvons trouver un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\) dont la source est un schéma, et un point \(u_0 \in U\) de corps résiduel \(k\), tels que
\(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\) coïncide avec le morphisme donné \(x_0\),
il existe un isomorphisme \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\).
Démonstration
Soit \((\xi_n, f_n)\) l’objet formel versel sur \(A\). D’après Axiomes d’Artin, Lemme 07X8, nous savons que \(\xi = (A, \xi_n, f_n)\) est effectif. Par hypothèse, \(\mathcal{X}\) est localement de présentation finie sur \(S\) (utiliser Morphismes de champs, Lemme 0DQJ), et préserve donc les limites d’après Limites de champs, Proposition 0CMY. Ainsi, l’approximation d’Artin, sous la forme de Axiomes d’Artin, Lemme 07XH, montre que nous pouvons trouver un morphisme \(U \to \mathcal{X}\) dont la source est un \(S\)-schéma de type fini, contenant un point \(u_0 \in U\) de corps résiduel \(k\) satisfaisant (1) et (2), tel que \(U \to \mathcal{X}\) soit versel en \(u_0\). D’après le Lemme 0DQZ, quitte à rétrécir \(U\), nous pouvons supposer que \(U \to \mathcal{X}\) est lisse.
Remarque
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Soit \(A\) un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). D’après Axiomes d’Artin, Lemme 07X8, notre objet formel versel provient en fait d’un morphisme \[\Spec(A) \longrightarrow \mathcal{X}\] sur \(S\). De plus, chacun des résultats précédents peut être renforcé de façon à être compatible avec ce morphisme. En voici la liste :
dans le Lemme 0DQX, l’isomorphisme \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\) ou \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\) peut être choisi compatible avec ces morphismes,
dans le Lemme 0DQY, l’homomorphisme \(A \to A'\) peut être choisi compatible avec ces morphismes,
dans le Lemme 0DQZ, le morphisme \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to \mathcal{X}\) est le composé de l’application canonique \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U\) et de l’application donnée \(U \to \mathcal{X}\),
dans le Lemme 0DR0, l’isomorphisme \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\) peut être choisi de telle sorte que \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) corresponde à l’application canonique de l’alinéa précédent.
Dans chaque cas, l’assertion résulte du fait que nos applications sont compatibles avec les éléments formels versels; notons toutefois que les diagrammes sous-entendus ne sont \(2\)-commutatifs qu’au choix (non canonique) d’une \(2\)-flèche près. Cela signifie néanmoins que l’application \(A' \to A\) ou \(A \to A'\) sous-entendue dans (1) est bien définie à homotopie formelle près, voir Théorie formelle des déformations, Lemme 0DQD.
Lemme
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Soit \(A\) un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Alors le morphisme \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) de la Remarque 0DR1 est plat.
Démonstration
Si l’anneau local de \(S\) au point image est un anneau G, cela résulte immédiatement du Lemme 0DR0 et du fait que l’application d’un anneau local noethérien dans son complété est plate. Dans le cas général, nous procédons comme suit.
Étape I. Si \(A\) et \(A'\) sont deux anneaux versels de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\), le résultat est vrai pour \(A\) si et seulement s’il l’est pour \(A'\). En effet, quitte à échanger \(A\) et \(A'\), nous pouvons supposer qu’il existe une application formellement lisse \(\varphi : A \to A'\) telle que le composé \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] soit le morphisme \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\), voir le Lemme 0DQX et la Remarque 0DR1. Puisque \(A \to A'\) est fidèlement plat, l’équivalence résulte de Morphismes de champs, Lemmes 06PX et 06Q0.
Étape II. Soit \(l/k\) une extension finie de corps. Soit \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) le morphisme induit. Soit \(A\) un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\) et soit \(A \to A'\) comme dans le Lemme 0DQY. À nouveau, le composé \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] est le morphisme \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\), voir la Remarque 0DR1. En raisonnant comme précédemment et en utilisant l’étape I pour voir que le choix des anneaux versels est sans incidence, nous voyons que le lemme vaut pour \(x_0\) si et seulement s’il vaut pour \(x_{l, 0}\).
Étape III. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Nous pouvons alors choisir un point de type fini \(z_0\) de \(Z = U \times_\mathcal{X} x_0\) (c’est un espace algébrique non vide). Soit \(u_0 \in U\) l’image de \(z_0\) dans \(U\). Choisissons un schéma et une application étale surjective \(W \to Z\) tels que \(z_0\) soit l’image d’un point fermé \(w_0 \in W\) (voir Morphismes d’espaces, section 06EE). Puisque \(W \to \Spec(k)\) et \(W \to U\) sont de type fini, nous voyons que \(\kappa(w_0)/k\) et \(\kappa(w_0)/\kappa(u_0)\) sont des extensions finies de corps (voir Morphismes, section 01T9). En appliquant deux fois l’étape II, nous pouvons remplacer \(x_0\) par \(u_0 \to U \to \mathcal{X}\). Nous voyons alors que notre morphisme est le composé \[\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U \to \mathcal{X}\] La première flèche est plate parce que les complétions d’anneaux locaux noethériens sont plates (Algèbre, Lemme 00MB), et la seconde flèche est plate puisque les morphismes lisses sont plats. Le composé est plat car la composition préserve la platitude.
Remarque
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). D’après le Lemme 0DQW et Théorie formelle des déformations, Théorème 06L8 nous savons que \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). En explicitant les définitions, cela signifie que nous pouvons choisir
une \(\Lambda\)-algèbre locale noethérienne complète \(A\) de corps résiduel \(k\), et un objet formel versel \(\xi\) de \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) sur \(A\),
une \(\Lambda\)-algèbre locale noethérienne complète \(B\) de corps résiduel \(k\), et un isomorphisme \[\underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \times_{\underline{\xi}, \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}, \underline{\xi}} \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\]
Les projections correspondent à des applications formellement lisses \(t : A \to B\) et \(s : A \to B\) (car \(\xi\) est versel). Il existe une application \(c : B \to B \widehat{\otimes}_{s, A, t} B\) qui fait de \((A, B, s, t, c)\) un cogroupoïde dans la catégorie des \(\Lambda\)-algèbres locales noethériennes complètes de corps résiduel \(k\) (sur les foncteurs proreprésentables, cette application est construite dans Théorie formelle des déformations, Lemme 06KY). Enfin, le théorème cité nous dit que \(\xi\) induit une équivalence \[[\underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} / \underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda}] \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] de groupoïdes cofibrés sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). En fait, nous obtenons aussi une équivalence \[[\underline{A}/\underline{B}] \longrightarrow \widehat{\mathcal{F}}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] de groupoïdes cofibrés sur la catégorie complétée \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) (voir la discussion dans Théorie formelle des déformations, section 06KC qui explique pourquoi cela fonctionne). Bien entendu, \(A\) est un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\).
Multiplicités des composantes des champs algébriques
Si \(X\) est un schéma localement noethérien, nous pouvons écrire \(X\) (considéré simplement comme espace topologique) comme réunion de composantes irréductibles, disons \(X = \bigcup T_i\). Chaque composante irréductible est l’adhérence d’un unique point générique \(\xi_i\), et l’anneau local \(\mathcal O_{X,\xi_i}\) est un anneau artinien local. Nous pouvons définir la multiplicité de \(X\) le long de \(T_i\) ou la multiplicité de \(T_i\) dans \(X\) par \[m_{T_i, X} = \text{length}_{\mathcal O_{X, \xi_i}} \mathcal O_{X, \xi_i}\] Autrement dit, c’est la longueur de l’anneau artinien local. Comparer avec Homologie de Chow, section 02QS.
Notre but est ici de généraliser cette définition aux champs algébriques localement noethériens. Si \(\mathcal{X}\) est un champ, alors son espace topologique \(|\mathcal{X}|\) (voir Propriétés des champs, Définition 04Y8) est localement noethérien (Morphismes de champs, Lemme 0DQI). Les composantes irréductibles de \(|\mathcal{X}|\) sont parfois appelées les composantes irréductibles de \(\mathcal{X}\). Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé, alors \(|\mathcal{X}|\) est sobre (Morphismes de champs, Lemme 0DQQ), mais il ne l’est pas nécessairement dans le cas non quasi-séparé. Considérons par exemple l’espace algébrique non quasi-séparé \(X = \mathbf{A}^1_\mathbf{C}/\mathbf{Z}\). En outre, il n’existe pas de faisceau structural sur \(|\mathcal{X}|\) dont les fibres puissent servir à définir les multiplicités.
Lemme
Soit \(f : U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse d’un schéma vers un champ algébrique localement noethérien. L’adhérence de l’image de toute composante irréductible de \(|U|\) est une composante irréductible de \(|\mathcal{X}|\). Si \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, toutes les composantes irréductibles de \(|\mathcal{X}|\) s’obtiennent ainsi.
Démonstration
L’application \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est continue et ouverte d’après Propriétés des champs, Lemme 04XL. Soit \(T \subset |U|\) une composante irréductible. Puisque \(U\) est localement noethérien, nous pouvons trouver un ouvert affine non vide \(W \subset U\) contenu dans \(T\). Alors \(f(T) \subset |\mathcal{X}|\) est irréductible et contient le sous-ensemble ouvert non vide \(f(W)\). Ainsi, l’adhérence de \(f(T)\) est irréductible et contient un ouvert non vide. Il s’ensuit que cette adhérence est une composante irréductible.
Supposons \(U \to \mathcal{X}\) surjectif et soit \(Z \subset |\mathcal{X}|\) une composante irréductible. Choisissons un sous-ensemble ouvert noethérien \(V\) de \(|\mathcal{X}|\) rencontrant \(Z\). Après avoir retiré les autres composantes irréductibles de \(V\), nous pouvons supposer que \(V \subset Z\). Prenons une composante irréductible de l’ouvert non vide \(f^{-1}(V) \subset |U|\) et soit \(T \subset |U|\) son adhérence. C’est une composante irréductible de \(|U|\), et l’adhérence de \(f(T)\) doit coïncider avec \(Z\) par notre choix de \(T\).
Le lemme précédent s’applique en particulier aux morphismes lisses entre schémas localement noethériens. Ce cas particulier est invoqué implicitement dans l’énoncé du lemme suivant.
Lemme
Soit \(U \to X\) un morphisme lisse de schémas localement noethériens. Soit \(T'\) une composante irréductible de \(U\). Soit \(T\) la composante irréductible de \(X\) obtenue comme adhérence de l’image de \(T'\). Alors \(m_{T', U} = m_{T, X}\).
Démonstration
Notons \(\xi'\) le point générique de \(T'\), et \(\xi\) le point générique de \(T\). Soient \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) et \(B = \mathcal{O}_{U, \xi'}\). Nous devons montrer que \(\text{length}_A A = \text{length}_B B\). Puisque \(A \to B\) est un homomorphisme local plat d’anneaux (car les morphismes lisses sont plats), nous avons \[\text{length}_A(A) \text{length}_B(B/\mathfrak m_A B) = \text{length}_B(B)\] d’après Algèbre, Lemme 02M1. Il suffit donc de montrer que \(\mathfrak m_A B = \mathfrak m_B\), ou, de manière équivalente, que \(B/\mathfrak m_A B\) est réduit. Puisque \(U \to X\) est lisse, son changement de base \(U_{\xi} \to \Spec \kappa(\xi)\) l’est aussi. Comme \(U_{\xi}\) est un schéma lisse sur un corps, il est réduit, et son anneau local en tout point l’est donc aussi (Variétés, Lemme 056T). En particulier, \[B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{U, \xi'}/\mathfrak m_{X, \xi}\mathcal{O}_{U, \xi'} = \mathcal{O}_{U_\xi, \xi'}\] est réduit, comme voulu.
À l’aide de ce résultat, nous pouvons montrer qu’il existe une bonne notion de multiplicité en nous plaçant localement pour la topologie lisse.
Lemme
Soient \(U_1 \to \mathcal{X}\) et \(U_2 \to \mathcal{X}\) deux morphismes lisses de schémas vers un champ algébrique localement noethérien \(\mathcal{X}\). Soient \(T_1'\) et \(T_2'\) des composantes irréductibles de \(|U_1|\) et \(|U_2|\), respectivement. Supposons que les adhérences des images de \(T_1'\) et \(T_2'\) soient la même composante irréductible \(T\) de \(|\mathcal{X}|\). Alors \(m_{T_1', U_1} = m_{T_2', U_2}\).
Démonstration
Soient \(V_1\) et \(V_2\) des sous-ensembles denses de \(T_1'\) et \(T'_2\), respectivement, qui soient ouverts dans \(U_1\) et \(U_2\), respectivement (voir la preuve du Lemme 0DR5). Les images de \(|V_1|\) et \(|V_2|\) dans \(|\mathcal{X}|\) sont des sous-ensembles ouverts non vides de l’ensemble irréductible \(T\), et ont donc une intersection non vide. D’après Propriétés des champs, Lemme 04XH, l’application \(|V_1 \times_\mathcal{X} V_2| \to |V_1| \times_{|\mathcal{X}|} |V_2|\) est surjective. Par conséquent, \(V_1 \times_\mathcal{X} V_2\) est un espace algébrique non vide; nous pouvons donc choisir une surjection étale \(V \to V_1 \times_\mathcal{X} V_2\) dont la source est un schéma (non vide). Si \(T'\) est une composante irréductible quelconque de \(V\), alors le Lemme 0DR5 montre que l’adhérence de l’image de \(T'\) dans \(U_1\) (respectivement dans \(U_2\)) est égale à \(T'_1\) (respectivement à \(T'_2\)).
En appliquant deux fois le Lemme 0DR6, nous trouvons que \[m_{T_1', U_1} = m_{T', V} = m_{T_2', U_2},\] comme voulu.
Nous en avons maintenant fait assez pour montrer que la définition suivante a un sens.
Définition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une composante irréductible. La multiplicité de \(T\) dans \(\mathcal{X}\) est définie par \(m_{T, \mathcal{X}} = m_{T', U}\), où \(f : U \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse d’un schéma et \(T' \subset |U|\) est une composante irréductible telle que \(f(T') \subset T\).
Ceci est indépendant du choix de \(f : U \to \mathcal{X}\) et de celui de la composante irréductible \(T'\) envoyée dans \(T\), d’après les Lemmes 0DR5 et 0DR7.
Pour terminer, notons qu’il est parfois commode de considérer une composante irréductible de \(\mathcal{X}\) comme un sous-champ fermé. À cette fin, si \(T \subset |\mathcal{X}|\) est une composante irréductible, nous pouvons considérer l’unique sous-champ fermé réduit \(\mathcal{T} \subset \mathcal{X}\) tel que \(|\mathcal{T}| = T\), voir Propriétés des champs, Définition 050C. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé, alors une composante irréductible est un champ intègre; voir Morphismes de champs, section 0GWA, pour plus de détails.
Branches formelles et multiplicités
Il sera commode de comparer la notion de multiplicité d’une composante irréductible donnée par la Définition 0DR8 à la notion connexe de multiplicité des composantes irréductibles (des spectres) des anneaux versels de \(\mathcal{X}\) aux points de type fini.
Dans la Situation 0DQU, soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Soient \(A\), \(A'\) des anneaux versels de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Quitte à échanger \(A\) et \(A'\), nous savons qu’il existe une application formellement lisse1 \(\varphi : A \to A'\) compatible avec les objets formels versels, voir le Lemme 0DQX et la Remarque 0DR1. De plus, \(\varphi\) est bien définie à homotopie formelle près, voir Théorie formelle des déformations, Lemme 0DQD. En particulier, nous constatons que \(\varphi(\mathfrak p)A'\) est un idéal bien défini de \(A'\), d’après Théorie formelle des déformations, Lemme 0DQE. Puisque \(A \to A'\) est formellement lisse, \(\varphi(\mathfrak p)A'\) est en fait un idéal premier minimal de \(A'\), et tout idéal premier minimal de \(A'\) est de cette forme pour un unique idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A\) (tout cela se démontre facilement en écrivant \(A'\) comme anneau de séries formelles sur \(A\)). Ainsi, puisque les idéaux premiers minimaux correspondent aux composantes irréductibles, la définition suivante a un sens.
Définition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement de type fini sur un schéma localement noethérien \(S\). Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). L’ensemble des branches formelles de \(\mathcal{X}\) passant par \(x_0\) est l’ensemble des composantes irréductibles de \(\Spec(A)\) pour un choix quelconque d’anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\), ces ensembles étant identifiés pour les différents choix de \(A\) par le procédé décrit ci-dessus.
Supposons, dans la situation de la Définition 0DRA, qu’une extension finie \(l/k\) soit donnée. Posons \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) égal au composé de \(\Spec(l) \to \Spec(k)\) avec \(x_0\). Soit \(A \to A'\) comme dans le Lemme 0DQY. Puisque \(A \to A'\) est fidèlement plat, le morphisme \[\Spec(A') \to \Spec(A)\] envoie les (points génériques des) composantes irréductibles sur les (points génériques des) composantes irréductibles. Cette application est surjective, mais elle n’est en général pas bijective. Autrement dit, nous obtenons une application surjective \[\text{branches formelles de }\mathcal{X}\text{ passant par }x_{l, 0} \longrightarrow \text{branches formelles de }\mathcal{X}\text{ passant par }x_0\] Il se trouve que, si \(l/k\) est purement inséparable, alors l’application est également injective (nous ajouterons ici un énoncé précis et une preuve si nous en avons un jour besoin).
Lemme
Dans la situation de la Définition 0DRA, il existe une surjection canonique de l’ensemble des branches formelles de \(\mathcal{X}\) passant par \(x_0\) sur l’ensemble des composantes irréductibles de \(|\mathcal{X}|\) qui contiennent \(x_0\) dans \(|\mathcal{X}|\).
Démonstration
Soit \(A\) comme dans la Définition 0DRA, et soit \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\) comme dans la Remarque 0DR1. Nous affirmons que le point générique d’une composante irréductible de \(\Spec(A)\) est envoyé sur un point générique d’une composante irréductible de \(|\mathcal{X}|\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(A) \times_\mathcal{X} U \ar[d]_p \ar[r]_-q & U \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^j & \mathcal{X} }\] D’après le Lemme 0DR2, \(j\) est plat. Par conséquent, \(q\) est plat. D’autre part, \(f\) est lisse surjectif, donc \(p\) est lisse surjectif. Cela entraîne que tout point générique \(\eta \in \Spec(A)\) d’une composante irréductible est l’image d’un point de codimension \(0\), \(\eta'\), de l’espace algébrique \(\Spec(A) \times_\mathcal{X} U\) (voir Propriétés des espaces, section 0BAP, pour la notation et l’emploi du théorème de descente dans les anneaux locaux étales). Puisque \(q\) est plat, \(q(\eta')\) est un point de codimension \(0\) de \(U\) (même raisonnement). Puisque \(U\) est un schéma, \(q(\eta')\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\). Ainsi, l’adhérence de l’image de \(q(\eta')\) dans \(|\mathcal{X}|\) est une composante irréductible d’après le Lemme 0DR5, comme affirmé.
L’affirmation fournit manifestement un procédé pour définir l’application voulue. Pour voir qu’elle est surjective, choisissons \(u_0 \in U\) s’envoyant sur \(x_0\) dans \(|\mathcal{X}|\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(U' \subset U\) de \(u_0\). Quitte à rétrécir \(U'\), nous pouvons supposer que toute composante irréductible de \(U'\) passe par \(u_0\). Nous pouvons alors remplacer \(\mathcal{X}\) par le sous-champ ouvert correspondant à l’image de \(|U'| \to |\mathcal{X}|\). Nous pouvons donc supposer que \(U\) est affine, possède un point \(u_0\) s’envoyant sur \(x_0 \in |\mathcal{X}|\), et que toute composante irréductible de \(U\) passe par \(u_0\). D’après Propriétés des champs, Lemme 04XH il existe un point \(t \in |\Spec(A) \times_\mathcal{X} U|\) s’envoyant sur le point fermé de \(\Spec(A)\) et sur \(u_0\). En appliquant le théorème de descente aux homomorphismes locaux plats d’anneaux \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{\Spec(A) \times_\mathcal{X} U, \overline{t}} \longleftarrow \mathcal{O}_{U, u_0}\] nous voyons que tout idéal premier minimal de \(\mathcal{O}_{U, u_0}\) est l’image d’un idéal premier minimal de l’anneau local du milieu, et qu’un tel idéal premier minimal s’envoie sur un idéal premier minimal de \(A\). Cela démontre la surjectivité. Certains détails sont omis.
Soit \(A\) un anneau local noethérien complet. Les composantes irréductibles de \(\Spec(A)\) ont alors des multiplicités, voir l’introduction de la section 0DR4. Si \(A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\), alors le morphisme \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) induit une bijection entre les composantes irréductibles qui préserve les multiplicités (nous omettons la preuve facile). Ceci, joint à la discussion précédant la Définition 0DRA, montre que la définition suivante a un sens.
Définition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement de type fini sur un schéma localement noethérien \(S\). Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). La multiplicité d’une branche formelle de \(\mathcal{X}\) passant par \(x_0\) est la multiplicité de la composante irréductible correspondante de \(\Spec(A)\) pour un choix quelconque d’anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\) (voir la discussion ci-dessus).
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement de type fini sur un schéma localement noethérien \(S\). Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\), dont l’image est \(s \in S\). Si \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un anneau G, alors l’application du Lemme 0DRB préserve les multiplicités.
Démonstration
D’après le Lemme 0DR0, nous pouvons supposer qu’il existe un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma, et où un point à valeurs dans \(k\), \(u_0\), appartient à \(U\), tels que \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\) soit un anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\). Par la construction de notre application dans la preuve du Lemme 0DRB (qui se simplifie considérablement puisque \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)), nous trouvons qu’il suffit de montrer ceci : la multiplicité d’une composante irréductible de \(U\) passant par \(u_0\) est égale à la multiplicité de toute composante irréductible de \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)\) qui s’y envoie.
Traduit en algèbre commutative, cela donne ce qui suit : soit \(C = \mathcal{O}_{U, u_0}\). Il est essentiellement de type fini sur \(\mathcal{O}_{S, s}\) et est donc un anneau G (Compléments d’algèbre, Proposition 07PV). Alors \(A = C^\wedge\). Par conséquent, \(C \to A\) est un homomorphisme régulier d’anneaux. Soit \(\mathfrak q \subset C\) un idéal premier minimal et soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier minimal au-dessus de \(\mathfrak q\). Alors \[R = C_\mathfrak p \longrightarrow A_\mathfrak p = R'\] est un homomorphisme régulier d’anneaux locaux artiniens. Pour un tel homomorphisme, on a toujours \[\text{length}_R R = \text{length}_{R'} R'\] C’est précisément ce qu’il fallait montrer, car le membre de gauche est la multiplicité de notre composante sur \(U\), et le membre de droite est la multiplicité de notre composante sur \(\Spec(A)\). Pour établir l’égalité, nous utilisons d’abord \[\text{length}_R(R) \text{length}_{R'}(R'/\mathfrak m_R R') = \text{length}_{R'}(R')\] d’après Algèbre, Lemme 02M1. Il suffit donc de montrer que \(\mathfrak m_R R' = \mathfrak m_{R'}\), ce qui résulte du fait qu’il s’agit d’un homomorphisme régulier d’anneaux locaux de dimension zéro.
Théorie de la dimension des champs algébriques
À notre connaissance, les principaux résultats publiés sur la théorie de la dimension des champs algébriques sont ceux de [Osserman], qui étudie les notions de codimension et de dimension relative. Nous examinons plus en détail la notion de dimension d’un champ algébrique en un point, et démontrons divers résultats reliant la dimension des fibres d’un morphisme en un point de la source à la dimension de sa source et de son but. Nous démontrons aussi un résultat (le Lemme 0DSB ci-dessous) qui nous permet (sous des hypothèses appropriées) de calculer la dimension d’un champ algébrique en un point au moyen d’un anneau versel.
Sans avoir toujours cherché à optimiser nos résultats, nous avons dans une large mesure essayé d’éviter les hypothèses superflues. Toutefois, dans certains de nos résultats, où nous comparons certaines propriétés d’un champ algébrique à celles d’un anneau versel de ce champ en un point, nous nous sommes restreints au cas des champs algébriques localement de présentation finie sur un schéma de base localement noethérien dont tous les anneaux locaux sont des anneaux \(G\). Cela nous permet de disposer de l’approximation d’Artin pour comparer la géométrie de l’anneau versel à celle du champ lui-même. Il se peut cependant que cette hypothèse restrictive ne soit pas nécessaire à la validité de tous les énoncés que nous démontrons. Comme elle est satisfaite dans les applications que nous avons en vue, nous nous en sommes néanmoins accommodés lorsqu’elle est utile.
Si \(X\) est un schéma, nous définissons la dimension \(\dim(X)\) de \(X\) comme la dimension de Krull de l’ espace topologique sous-jacent à \(X\), tandis que, si \(x\) est un point de \(X\), nous définissons la dimension \(\dim_x (X)\) de \(X\) en \(x\) comme le minimum des dimensions des sous-ensembles ouverts \(U\) de \(X\) contenant \(x\), voir Propriétés, Définition 04MT. On a la relation \(\dim(X) = \sup_{x \in X} \dim_x(X)\), voir Propriétés, Lemme 04MU. Si \(X\) est localement noethérien, alors \(\dim_x(X)\) coïncide avec le supremum des dimensions en \(x\) des composantes irréductibles de \(X\) passant par \(x\).
Si \(X\) est un espace algébrique et \(x \in |X|\), nous définissons \(\dim_x X = \dim_u U,\) où \(U\) est un schéma quelconque admettant une surjection étale \(U \to X\), et où \(u\in U\) est un point quelconque au-dessus de \(x\), voir Propriétés des espaces, Définition 04N5. Nous posons \(\dim(X) = \sup_{x \in |X|} \dim_x(X)\), voir Propriétés des espaces, Définition 04N6.
Remarque
En général, la dimension de l’espace algébrique \(X\) en un point \(x\) peut ne pas coïncider avec la dimension de l’espace topologique sous-jacent \(|X|\) en \(x\). Par exemple, si \(k\) est un corps de caractéristique zéro et \(X = \mathbf{A}^1_k / \mathbf{Z}\), alors \(X\) est de dimension \(1\) (la dimension de \(\mathbf{A}^1_k\)) en chacun de ses points, tandis que \(|X|\) est muni de la topologie grossière et a donc une dimension de Krull nulle. D’autre part, dans Espaces algébriques, Exemple 02Z8, on donne un exemple d’espace algébrique qui est de dimension \(0\) en chacun de ses points, tandis que \(|X|\) est irréductible, de dimension de Krull \(1\), et admet un point générique (de sorte que la dimension de \(|X|\) en chacun de ses points est \(1\)); voir aussi la discussion de cet exemple dans Propriétés des espaces, section 04N3.
D’autre part, si \(X\) est un espace algébrique convenable, au sens de Espaces convenables, Définition 03I8 (en particulier, si \(X\) est quasi-séparé; voir Espaces convenables, section 03I7), alors la dimension de \(X\) en \(x\) coïncide effectivement avec la dimension de \(|X|\) en \(x\); voir Espaces convenables, Lemme 0A4J.
Pour définir la dimension d’un champ algébrique, il sera utile de disposer d’abord de la notion de dimension relative, en un point de la source, d’un morphisme dont la source est un espace algébrique et le but un champ algébrique. La définition est quelque peu compliquée, simplement parce que (contrairement au cas des schémas) les points d’un champ algébrique, ou d’un espace algébrique, ne peuvent être décrits comme des morphismes depuis le spectre d’un corps, mais seulement comme des classes d’équivalence de tels morphismes.
Définition
Si \(f : T \to \mathcal{X}\) est un morphisme localement de type fini d’un espace algébrique vers un champ algébrique, et si \(t \in |T|\) est un point d’image \(x \in | \mathcal{X}|\), nous définissons la dimension relative de \(f\) en \(t\), notée \(\dim_t(T_x),\) comme suit : choisissons un morphisme \(\Spec k \to \mathcal{X}\), de source le spectre d’un corps, qui représente \(x\), et choisissons un point \(t' \in |T \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\) s’envoyant sur \(t\) par la projection vers \(|T|\) (un tel point \(t'\) existe, d’après Propriétés des champs, Lemme 04XH); alors \[\dim_t(T_x) = \dim_{t'}(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]
Notons que, puisque \(T\) est un espace algébrique et \(\mathcal{X}\) un champ algébrique, le produit fibré \(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k\) est un espace algébrique; la quantité figurant au membre de droite de cette définition est donc bien définie (voir la discussion ci-dessus).
Remarque
(1) On vérifie aisément (par exemple en utilisant l’invariance par changement de base de la dimension relative des morphismes de schémas localement de type fini; voir par exemple Morphismes, Lemme 02FY) que \(\dim_t(T_x)\) est bien définie, indépendamment des choix faits pour la calculer.
(2) Lorsque \(\mathcal{X}\) est aussi un espace algébrique, on vérifie immédiatement que cette définition coïncide avec la définition de la dimension relative donnée dans Morphismes d’espaces, Définition 04NM.
Rappelons maintenant le lemme suivant, sur lequel repose notre étude de la dimension d’un champ algébrique localement noethérien.
Lemme
Si \(f: U \to X\) est un morphisme lisse d’espaces algébriques localement noethériens, et si \(u \in |U|\) est d’image \(x \in |X|\), alors \[\dim_u (U) = \dim_x(X) + \dim_{u} (U_x)\] où \(\dim_u (U_x)\) est défini par la Définition 0DRG.
Démonstration
Voir Morphismes d’espaces, Lemme 0AFI en notant que la définition de \(\dim_u (U_x)\) utilisée ici coïncide avec celle qui y est employée, d’après la Remarque 0DRH (2).
Lemme
Soient \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien et \(x \in |\mathcal{X}|\). Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse d’un espace algébrique vers \(\mathcal{X}\), et soit \(u\) un point quelconque de \(|U|\) s’envoyant sur \(x\). Alors \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_{u}(U_x)\] où la dimension relative \(\dim_u(U_x)\) est définie par la Définition 0DRG, et la dimension de \(\mathcal{X}\) en \(x\) comme dans Propriétés des champs, Définition 0AFN.
Démonstration
Le Lemme 0DRI permet de vérifier que le membre de droite \(\dim_u(U) + \dim_u(U_x)\) est indépendant du choix du morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\) et de \(u \in |U|\). Nous omettons les détails. En particulier, nous pouvons supposer que \(U\) est un schéma. Dans ce cas, nous pouvons calculer \(\dim_u(U_x)\) en choisissant comme représentant de \(x\) le composé \(\Spec \kappa(u) \to U \to \mathcal{X}\), où le premier morphisme est le morphisme canonique d’image \(u \in U\). Écrivons alors \(R = U \times_{\mathcal{X}} U\) et notons \(e : U \to R\) le morphisme diagonal. L’invariance de la dimension relative par changement de base montre que \(\dim_u(U_x) = \dim_{e(u)}(R_u)\). Nous voyons donc que le membre de droite est égal à \(\dim_u (U) - \dim_{e(u)}(R_u) = \dim_x(\mathcal{X})\), comme voulu.
Remarque
Pour les champs de Deligne–Mumford suffisamment convenables (par exemple quasi-séparés), \(\dim_x(\mathcal{X})\) coïncide à nouveau avec la quantité définie topologiquement \(\dim_x |\mathcal{X}|\). Cependant, pour des champs d’Artin plus généraux, ce n’est généralement pas le cas. Par exemple, si \(\mathcal{X} = [\mathbf{A}^1/\mathbf{G}_m]\) (sur un certain corps, le quotient étant pris pour l’action multiplicative usuelle de \(\mathbf{G}_m\) sur \(\mathbf{A}^1\)), alors \(|\mathcal{X}|\) possède deux points, dont l’un est une spécialisation de l’autre (correspondant aux deux orbites de \(\mathbf{G}_m\) sur \(\mathbf{A}^1\)), et est donc de dimension \(1\) comme espace topologique; mais \(\dim_x (\mathcal{X}) = 0\) pour les deux points \(x \in |\mathcal{X}|\). (Un exemple encore plus extrême est fourni par l’espace classifiant \([\Spec k/\mathbf{G}_m]\), dont la dimension en son unique point est égale à \(-1\).)
Nous pouvons maintenant étendre la Définition 0DRG au contexte des morphismes (localement de type fini) entre champs algébriques (localement noethériens).
Définition
Si \(f : \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) est un morphisme localement de type fini entre champs algébriques localement noethériens, et si \(t \in |\mathcal{T}|\) est un point d’image \(x \in |\mathcal{X}|\), nous définissons la dimension relative de \(f\) en \(t\), notée \(\dim_t(\mathcal{T}_x),\) comme suit : choisissons un morphisme \(\Spec k \to \mathcal{X}\), de source le spectre d’un corps, qui représente \(x\), et choisissons un point \(t' \in |\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\) s’envoyant sur \(t\) par la projection vers \(|\mathcal{T}|\) (un tel point \(t'\) existe, d’après Propriétés des champs, Lemme 04XH; alors \[\dim_t(\mathcal{T}_x) = \dim_{t'}(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]
Notons que, puisque \(\mathcal{T}\) est un champ algébrique et \(\mathcal{X}\) un champ algébrique, le produit fibré \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} \Spec k\) est un champ algébrique, localement noethérien d’après Morphismes de champs, Lemme 06R6. Ainsi, la quantité figurant au membre de droite de cette définition est définie par Propriétés des champs, Définition 0AFN.
Remarque
Des manipulations usuelles montrent que \(\dim_t(\mathcal{T}_x)\) est bien définie, indépendamment des choix faits pour la calculer.
Établissons maintenant quelques propriétés élémentaires de la dimension relative, qui sont des généralisations évidentes des énoncés correspondants dans le cas des morphismes de schémas.
Lemme
Supposons donné un carré cartésien de morphismes de champs localement noethériens \[\xymatrix{ \mathcal{T}' \ar[d]\ar[r] & \mathcal{T} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X} }\] où les morphismes verticaux sont localement de type fini. Si \(t' \in |\mathcal{T}'|\), a pour images \(t\), \(x'\) et \(x\) dans \(|\mathcal{T}|\), \(|\mathcal{X}'|\) et \(|\mathcal{X}|\), respectivement, alors \(\dim_{t'}(\mathcal{T}'_{x'}) = \dim_{t}(\mathcal{T}_x).\)
Démonstration
Les deux membres peuvent (par définition) être calculés comme la dimension du même produit fibré.
Lemme
Si \(f: \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse de champs algébriques localement noethériens, et si \(u \in |\mathcal{U}|\) est d’image \(x \in |\mathcal{X}|\), alors \[\dim_u (\mathcal{U}) = \dim_x(\mathcal{X}) + \dim_{u} (\mathcal{U}_x).\]
Démonstration
Choisissons un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{U}\) dont la source est un schéma, et soit \(v\in |V|\) un point s’envoyant sur \(u\). Alors le composé \(V \to \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est lui aussi lisse, et, d’après le Lemme 0DRI, nous avons \(\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_x),\) tandis que \(\dim_u(\mathcal{U}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_u).\) Ainsi \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v (V_x) - \dim_v (V_u).\]
Choisissons un représentant \(\Spec k \to \mathcal{X}\) de \(x\) et un point \(v' \in | V \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\) au-dessus de \(v\), d’image \(u'\) dans \(|\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k|\); alors, par définition, \(\dim_u(\mathcal{U}_x) = \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k),\) et \(\dim_v(V_x) = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k).\)
Or \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \to \mathcal{U}\times_{\mathcal{X}}\Spec k\) est un morphisme lisse surjectif (comme changement de base d’un tel morphisme) dont la source est un espace algébrique (puisque \(V\) et \(\Spec k\) sont des schémas et \(\mathcal{X}\) un champ algébrique). Ainsi, toujours par définition, nous avons \[\begin{align*} \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k) & = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k) - \dim_{v'}(V \times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) \\ & = \dim_v(V_x) - \dim_{v'}( (V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}). \end{align*}\] Or \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \cong V\times_{\mathcal{U}} (\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k),\) et donc le Lemme 0DRN montre que \(\dim_{v'}((V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) = \dim_v(V_u).\) En réunissant ces égalités, nous trouvons \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(\mathcal{U}_x),\] comme voulu.
Lemme
Soit \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) un morphisme localement de type fini de champs algébriques.
La fonction \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\) est semi-continue supérieurement sur \(|\mathcal{T}|\).
Si \(f\) est lisse, alors la fonction \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\) est localement constante sur \(|\mathcal{T}|\).
Démonstration
Supposons d’abord que \(\mathcal{T}\) soit un schéma \(T\), soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif dont la source est un schéma, et soit \(T' = T \times_{\mathcal{X}} U\). Soit \(f': T' \to U\) le changement de base de \(f\) à \(U\), et soit \(g: T' \to T\) la projection.
Le Lemme 0DRN montre que \(\dim_{t'}(T'_{f'(t')}) = \dim_{g(t')}(T_{f(g(t'))}),\) pour \(t' \in T'\), tandis que, puisque \(g\) est lisse et surjectif (étant le changement de base d’un morphisme lisse surjectif), l’application induite par \(g\) sur les espaces topologiques sous-jacents est continue et ouverte (d’après Propriétés des espaces, Lemme 03BX), et surjective. Il suffit donc de noter que la partie (1) pour le morphisme \(f'\) résulte de Morphismes d’espaces, Lemme 04NT, et la partie (2) de l’un ou l’autre des lemmes suivants, Morphismes, Lemme 02NM ou Morphismes, Lemme 02G1 (chacun donne le résultat pour les schémas, d’où les résultats analogues pour les espaces algébriques se déduisent exactement comme dans Morphismes d’espaces, Lemme 04NT.
Revenons maintenant au cas général, et choisissons un morphisme lisse surjectif \(h:V \to \mathcal{T}\) dont la source est un schéma. Si \(v \in V\), alors, essentiellement par définition, nous avons \[\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))}) = \dim_{v}(V_{f(h(v))}) - \dim_{v}(V_{h(v)}).\] Puisque \(V\) est un schéma, nous avons démontré que le premier des termes du membre de droite de cette égalité est semi-continu supérieur (et même localement constant si \(f\) est lisse), tandis que le second terme est en fait localement constant. Leur différence est donc semi-continue supérieurement (et localement constante si \(f\) est lisse), et par conséquent la fonction \(\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))})\) est semi-continue supérieurement sur \(|V|\) (et localement constante si \(f\) est lisse). Puisque le morphisme \(|V| \to |\mathcal{T}|\) est ouvert et surjectif, le lemme en résulte.
Avant de poursuivre notre étude, démontrons deux lemmes relatifs à la théorie de la dimension des schémas.
Pour situer le premier lemme, notons que, si \(X\) est un schéma de dimension finie, puisque \(\dim X\) est défini comme le supremum des dimensions \(\dim_x X\), il existe un point \(x \in X\) tel que \(\dim_x X = \dim X\). Le lemme suivant montre que nous pouvons en outre choisir le point \(x\) de type fini.
Lemme
Si \(X\) est un schéma de dimension finie, il existe un point fermé (et donc de type fini) \(x \in X\) tel que \(\dim_x X = \dim X\).
Démonstration
Soit \(d = \dim X\), et choisissons une chaîne strictement décroissante maximale de sous-ensembles fermés irréductibles de \(X\), disons [0DRS]\[\begin{equation} Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d. \end{equation}\] Le sous-ensemble \(Z_d\) est un sous-ensemble fermé irréductible minimal de \(X\), et tout point de \(Z_d\) est donc un point générique de \(Z_d\). Puisque l’espace topologique sous-jacent au schéma \(X\) est sobre, nous concluons que \(Z_d\) est un singleton, constitué d’un unique point fermé \(x \in X\). Si \(U\) est un voisinage quelconque de \(x\), alors la chaîne \[U\cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = Z_d = \{x\}\] est une chaîne strictement décroissante de sous-ensembles fermés irréductibles de \(U\), ce qui montre que \(\dim U \geq d\). Nous trouvons donc \(\dim_x X \geq d\). L’autre inégalité étant évidente, le lemme est démontré.
Le lemme suivant montre que \(\dim_x X\) est une fonction constante sur un schéma irréductible satisfaisant quelques hypothèses supplémentaires modérées.
Lemme
Si \(X\) est un schéma irréductible, jacobsonien, caténaire et localement noethérien, de dimension finie, alors \(\dim U = \dim X\) pour tout sous-ensemble ouvert non vide \(U\) de \(X\). De manière équivalente, \(\dim_x X\) est une fonction constante sur \(X\).
Démonstration
L’équivalence des deux assertions résulte directement des définitions. Supposons donc que \(U\subset X\) soit un sous-ensemble ouvert non vide. Certes \(\dim U \leq \dim X\), et nous devons montrer que \(\dim U \geq \dim X.\) Écrivons \(d = \dim X\), et choisissons une chaîne strictement décroissante maximale de sous-ensembles fermés irréductibles de \(X\), disons \[X = Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d.\] Puisque \(X\) est jacobsonien, le sous-ensemble fermé irréductible minimal \(Z_d\) est égal à \(\{x\}\) pour un certain point fermé \(x\).
Si \(x \in U,\) alors \[U = U \cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = \{x\}\] est une chaîne strictement décroissante de sous-ensembles fermés irréductibles de \(U\), et nous concluons donc que \(\dim U \geq d\), comme voulu. Nous pouvons donc supposer que \(x \not\in U.\)
Considérons le morphisme plat \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \to X\). Le sous-ensemble ouvert non vide (et donc dense) \(U\) de \(X\) se relève en un sous-ensemble ouvert \(V \subset \Spec \mathcal{O}_{X,x}\). En remplaçant \(U\) par un sous-ensemble ouvert non vide quasi-compact, donc noethérien, nous pouvons supposer que l’inclusion \(U \to X\) est un morphisme quasi-compact. Puisque la formation des images schématiques de morphismes quasi-compacts commute au changement de base plat, d’après Morphismes, Lemme 081I nous voyons que \(V\) est dense dans \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\), et en particulier non vide, et bien sûr \(x \not\in V.\) (Ici, nous notons aussi \(x\) le point fermé de \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\), puisque son image est égale au point donné \(x \in X\).) Or \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\) est jacobsonien d’après Propriétés, Lemme 02IM et \(V\) contient donc un point fermé \(z\) de \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\). L’adhérence dans \(X\) de l’image de \(z\) est alors un sous-ensemble fermé irréductible \(Z\) de \(X\) contenant \(x\), dont l’intersection avec \(U\) est non vide, et pour lequel il n’existe aucun sous-ensemble fermé irréductible strictement contenu dans \(Z\) et contenant strictement \(\{x\}\) (car le changement de base à \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\) induit une bijection entre les sous-ensembles fermés irréductibles de \(X\) contenant \(x\) et les sous-ensembles fermés irréductibles de \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\)). Puisque \(U \cap Z\) est un sous-ensemble fermé non vide de \(U\), il contient un point \(u\) qui est fermé dans \(X\) (puisque \(X\) est jacobsonien), et puisque \(U\cap Z\) est un sous-ensemble ouvert non vide (donc dense) de l’ensemble irréductible \(Z\) (qui contient un point n’appartenant pas à \(U\), à savoir \(x\)), l’inclusion \(\{u\} \subset U\cap Z\) est stricte.
Puisque \(X\) est caténaire, la chaîne \[X = Z_0 \supset Z \supset \{x\} = Z_d\] peut être raffinée en une chaîne de longueur \(d+1\), qui est nécessairement de la forme \[X = Z_0 \supset W_1 \supset \ldots \supset W_{d-1} = Z \supset \{x\} = Z_d.\] Puisque \(U\cap Z\) est non vide, nous trouvons alors que \[U = U \cap Z_0 \supset U \cap W_1\supset \ldots \supset U\cap W_{d-1} = U\cap Z \supset \{u\}\] est une chaîne strictement décroissante de sous-ensembles fermés irréductibles de \(U\), de longueur \(d+1\), ce qui montre que \(\dim U \geq d\), comme voulu.
Nous démontrerons un analogue pour les champs du Lemme 0DRT dans le Lemme 0DRX ci-dessous, mais nous devons auparavant introduire une définition supplémentaire, rendue nécessaire par le fait que la propriété d’un schéma d’être caténaire n’est pas locale pour la topologie étale (voir l’exemple de Algèbre, Remarque 0355, ce qui rend difficile de définir ce que signifie, pour un espace algébrique ou un champ algébrique, d’être caténaire (voir la discussion de [Osserman, page 3]). Pour certains aspects de la théorie de la dimension, la définition suivante semble fournir un bon substitut à la notion manquante de champ algébrique caténaire.
Définition
Nous disons qu’un champ algébrique localement noethérien \(\mathcal{X}\) est pseudo-caténaire s’il existe un morphisme lisse et surjectif \(U \to \mathcal{X}\) dont la source est un schéma universellement caténaire.
Exemple
Si \(\mathcal{X}\) est localement de type fini sur un schéma universellement caténaire et localement noethérien \(S\), et si \(U\to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif dont la source est un schéma, alors le composé \(U \to \mathcal{X} \to S\) est localement de type fini, et donc \(U\) est universellement caténaire d’après Morphismes, Lemme 02J9. Ainsi, \(\mathcal{X}\) est pseudo-caténaire.
Le lemme suivant montre que la propriété d’être pseudo-caténaire se transmet par les morphismes de type fini.
Lemme
Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique localement noethérien pseudo-caténaire, et si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est un morphisme localement de type fini, alors il existe un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) dont la source est un schéma universellement caténaire; ainsi \(\mathcal{Y}\) est encore pseudo-caténaire.
Démonstration
Par hypothèse, nous pouvons trouver un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\) dont la source est un schéma universellement caténaire. Le changement de base \(U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\) est alors un champ algébrique; soit \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\) un morphisme lisse surjectif dont la source est un schéma. Le composé \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) est alors lisse et surjectif (comme composé de morphismes lisses et surjectifs), tandis que le morphisme \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to U\) est localement de type fini (comme composé de morphismes localement de type fini). Puisque \(U\) est universellement caténaire, nous voyons que \(V\) l’est aussi (d’après Morphismes, Lemme 02J9), comme affirmé.
Étudions maintenant le comportement de la fonction \(\dim_x(\mathcal{X})\) sur \(|\mathcal{X}|\) (pour un champ localement noethérien \(\mathcal{X}\)) par rapport aux composantes irréductibles de \(|\mathcal{X}|\), ainsi que diverses questions connexes.
Lemme
Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique jacobsonien, pseudo-caténaire et localement noethérien tel que \(|\mathcal{X}|\) soit irréductible, alors \(\dim_x(\mathcal{X})\) est une fonction constante sur \(|\mathcal{X}|\).
Démonstration
Il suffit de montrer que \(\dim_x(\mathcal{X})\) est localement constante sur \(|\mathcal{X}|\), car elle sera alors nécessairement constante (puisque \(|\mathcal{X}|\) est connexe, étant irréductible). Puisque \(\mathcal{X}\) est pseudo-caténaire, nous pouvons trouver un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\), avec \(U\) un schéma universellement caténaire. Si \(\{U_i\}\) est un recouvrement de \(U\) par des sous-schémas ouverts quasi-compacts, nous pouvons remplacer \(U\) par \(\coprod U_i,\), et il suffit de montrer que la fonction \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\) est localement constante sur \(U_i\). Puisque nous vérifions ceci pour un seul \(U_i\) à la fois, omettons désormais l’indice, et écrivons simplement \(U\) plutôt que \(U_i\). Puisque \(U\) est quasi-compact, il est la réunion d’un nombre fini de composantes irréductibles, disons \(T_1 \cup \ldots \cup T_n\). Notons que chaque \(T_i\) est jacobsonien, caténaire et localement noethérien, car c’est un sous-schéma fermé du schéma jacobsonien, caténaire et localement noethérien \(U\).
D’après le Lemme 0DRI, nous avons \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_{u}(U) - \dim_{u}(U_{f(u)}).\) Le Lemme 0DRQ (2) montre que le second terme du membre de droite est localement constant sur \(U\), puisque \(f\) est lisse; nous devons donc montrer que \(\dim_u(U)\) est localement constante sur \(U\). Puisque \(\dim_u(U)\) est le maximum des dimensions \(\dim_u T_i\), lorsque \(T_i\) parcourt les composantes de \(U\) contenant \(u\), il suffit de montrer que, si un point \(u\) appartient à deux composantes distinctes, disons \(T_i\) et \(T_j\) (avec \(i \neq j\)), alors \(\dim_u T_i = \dim_u T_j\), puis de noter que \(t\mapsto \dim_t T\) est une fonction constante sur un schéma irréductible et jacobsonien, caténaire et localement noethérien, noté \(T\), (comme il résulte du Lemme 0DRT).
Soient \(V = T_i \setminus (\bigcup_{i' \neq i} T_{i'})\) et \(W = T_j \setminus (\bigcup_{i' \neq j} T_{i'})\). Chacun de \(V\) et \(W\) est alors un sous-ensemble ouvert non vide de \(U\), et a donc une image ouverte non vide dans \(|\mathcal{X}|\). Puisque \(|\mathcal{X}|\) est irréductible, ces deux sous-ensembles ouverts non vides de \(|\mathcal{X}|\) ont une intersection non vide. Soit \(x\) un point de cette intersection, et soient \(v \in V\) et \(w\in W\) des points s’envoyant sur \(x\). Nous trouvons alors \[\dim T_i = \dim V = \dim_v (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_v (U_x)\] et, de même, \[\dim T_j = \dim W = \dim_w (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_w (U_x).\] Puisque \(u \mapsto \dim_u (U_{f(u)})\) est localement constante sur \(U\), et puisque \(T_i \cup T_j\) est connexe (comme réunion de deux ensembles irréductibles, donc connexes, d’intersection non vide), nous voyons que \(\dim_v (U_x) = \dim_w(U_x)\), et donc, en comparant les deux équations précédentes, que \(\dim T_i = \dim T_j\), comme voulu.
Lemme
Si \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) est une immersion fermée de champs algébriques localement noethériens, et si \(z \in |\mathcal{Z}|\) a pour image \(x \in |\mathcal{X}|\), alors \(\dim_z (\mathcal{Z}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\).
Démonstration
Choisissons un morphisme lisse surjectif \(U\to \mathcal{X}\) dont la source est un schéma; le morphisme obtenu par changement de base \(V = U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) est alors lui aussi lisse et surjectif, et la projection \(V \to U\) est une immersion fermée. Si \(v \in |V|\) s’envoie sur \(z \in |\mathcal{Z}|\), et si nous notons \(u\) l’image de \(v\) dans \(|U|\), alors, manifestement, \(\dim_v(V) \leq \dim_u(U)\), tandis que \(\dim_v (V_z) = \dim_u(U_x)\), d’après le Lemme 0DRN. Ainsi, \[\dim_z(\mathcal{Z}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_z) \leq \dim_u(U) - \dim_u(U_x) = \dim_x(\mathcal{X}),\] comme affirmé.
Lemme
Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique localement noethérien, et si \(x \in |\mathcal{X}|\), alors \(\dim_x(\mathcal{X}) = \sup_{\mathcal{T}} \{ \dim_x(\mathcal{T}) \}\), où \(\mathcal{T}\) parcourt toutes les composantes irréductibles de \(|\mathcal{X}|\) passant par \(x\) (munies de leur structure réduite induite).
Démonstration
Le Lemme 0DRY montre que \(\dim_x (\mathcal{T}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\) pour chaque pour chaque composante irréductible \(\mathcal{T}\) passant par le point \(x\). Pour démontrer le lemme, il suffit donc de montrer que [0DS0]\[\begin{equation} \dim_x(\mathcal{X}) \leq \sup_{\mathcal{T}} \{\dim_x(\mathcal{T})\}. \end{equation}\] Soit \(U\to\mathcal{X}\) un recouvrement lisse par un schéma. Si \(T\) est une composante irréductible de \(U\), notons \(\mathcal{T}\) l’adhérence de son image dans \(\mathcal{X}\); c’est une composante irréductible de \(\mathcal{X}\). Soit \(u \in U\) un point s’envoyant sur \(x\). Alors \(\dim_x(\mathcal{X})=\dim_uU-\dim_uU_x=\sup_T\dim_uT-\dim_uU_x\), où le supremum est pris sur les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\). Choisissons une composante \(T\) sur laquelle le supremum est atteint, et notons que \(\dim_x(\mathcal{T})=\dim_uT-\dim_u T_x\). L’inégalité voulue (0DS0) résulte maintenant de l’inégalité évidente \(\dim_u T_x \leq \dim_u U_x.\) (Notons que, si \(\Spec k \to \mathcal{X}\) est un représentant de \(x\), alors \(T\times_{\mathcal{X}} \Spec k\) est un sous-espace fermé de \(U\times_{\mathcal{X}} \Spec k\).)
Lemme
Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique localement noethérien, et si \(x \in |\mathcal{X}|\), alors, pour tout sous-champ ouvert \(\mathcal{V}\) de \(\mathcal{X}\) contenant \(x\), il existe un point de type fini \(x_0 \in |\mathcal{V}|\) tel que \(\dim_{x_0}(\mathcal{X}) = \dim_x(\mathcal{V})\).
Démonstration
Choisissons un morphisme lisse surjectif \(f:U \to \mathcal{X}\) dont la source est un schéma, et considérons la fonction \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X});\) puisque le morphisme \(|U| \to |\mathcal{X}|\) induit par \(f\) est ouvert (car \(f\) est lisse) et surjectif (par hypothèse), et envoie les points de type fini sur des points de type fini (par la définition même des points de type fini de \(|\mathcal{X}|\)), il suffit de montrer que, pour tout \(u \in U\) et tout voisinage ouvert de \(u\), il existe dans ce voisinage un point de type fini \(u_0\) tel que \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X}).\) Avec cette reformulation du problème, la surjectivité de \(f\) n’étant plus requise, nous pouvons remplacer \(U\) par le voisinage ouvert du point \(u\) considéré, et nous ramener ainsi à montrer que, pour chaque \(u \in U\), il existe un point de type fini \(u_0 \in U\) tel que \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X}).\) D’après le Lemme 0DRI, \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_u(U_{f(u)}),\) tandis que \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{u_0}(U) - \dim_{u_0}(U_{f(u_0)}).\) Puisque \(f\) est lisse, l’expression \(\dim_{u_0}(U_{f(u_0)})\) est localement constante lorsque \(u_0\) varie dans \(U\) (d’après le Lemme 0DRQ (2)); quitte donc à rétrécir encore \(U\) autour de \(u\), nous pouvons la supposer constante. Le problème se réduit ainsi à montrer que nous pouvons trouver un point de type fini \(u_0 \in U\) pour lequel \(\dim_{u_0}(U) = \dim_u(U)\). Comme, par définition, \(\dim_u U\) est le minimum des dimensions \(\dim V\), lorsque \(V\) parcourt les voisinages ouverts \(V\) de \(u\) dans \(U\), nous pouvons encore rétrécir \(U\) autour de \(u\) de sorte que \(\dim_u U = \dim U\). L’existence du point voulu \(u_0\) résulte alors du Lemme 0DRR.
Lemme
Soit \(\mathcal{T} \hookrightarrow \mathcal{X}\) un monomorphisme localement de type fini de champs algébriques, où \(\mathcal{X}\) (et donc aussi \(\mathcal{T}\)) est jacobsonien, pseudo-caténaire et localement noethérien. Supposons en outre que \(\mathcal{T}\) soit irréductible, de dimension (finie) \(d\), et que \(\mathcal{X}\) soit réduit et de dimension inférieure ou égale à \(d\). Alors il existe un sous-champ ouvert non vide \(\mathcal{V}\) de \(\mathcal{T}\) tel que le monomorphisme induit \(\mathcal{V} \hookrightarrow \mathcal{X}\) soit une immersion ouverte qui identifie \(\mathcal{V}\) à un sous-ensemble ouvert d’une composante irréductible de \(\mathcal{X}\).
Démonstration
Choisissons un morphisme lisse surjectif \(f:U \to \mathcal{X}\) de source un schéma, nécessairement réduit puisque \(\mathcal{X}\) l’est, et écrivons \(U' = \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} U\). Le morphisme obtenu par changement de base \(U' \to U\) est un monomorphisme d’espaces algébriques, localement de type fini, donc représentable d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 0418 et 0463; puisque \(U\) est un schéma, \(U'\) l’est aussi. La projection \(f': U' \to \mathcal{T}\) est encore une surjection lisse. Soit \(u' \in U'\), d’image \(u \in U\). Le Lemme 0DRN montre que \(\dim_{u'}(U'_{f(u')}) = \dim_u(U_{f(u)}),\) tandis que \(\dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) =d \geq \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\) d’après le Lemme 0DRX et nos hypothèses sur \(\mathcal{T}\) et \(\mathcal{X}\). Nous voyons donc que [0DS3]\[\begin{equation} \dim_{u'} (U') = \dim_{u'} (U'_{f(u')}) + \dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) \\ \geq \dim_u (U_{f(u)}) + \dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u (U). \end{equation}\] Puisque \(U' \to U\) est un monomorphisme localement de type fini, il est en particulier non ramifié; par la structure locale étale des morphismes non ramifiés, Morphismes étales, Lemme 04HJ, nous pouvons donc trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V' \ar[r]\ar[d] & V \ar[d] \\ U' \ar[r] & U }\] où le schéma \(V'\) est non vide, les flèches verticales sont étales, et la flèche horizontale supérieure est une immersion fermée. En remplaçant \(V\) par un sous-ensemble ouvert quasi-compact dont l’image rencontre l’image de \(U'\), et \(V'\) par l’image réciproque de \(V\), nous pouvons en outre supposer que \(V\) (et donc \(V'\)) est quasi-compact. Puisque \(V\) est aussi localement noethérien, il est donc noethérien, et est par conséquent la réunion d’un nombre fini de composantes irréductibles.
Puisque les morphismes étales préservent la dimension ponctuelle, d’après Descente, Lemme 04N4, nous déduisons de (0DS3) que, pour tout point \(v' \in V'\), d’image \(v \in V\), nous avons \(\dim_{v'}( V') \geq \dim_v(V)\). En particulier, l’image de \(V'\) ne peut être contenue dans l’intersection de deux composantes irréductibles distinctes de \(V\); nous pouvons donc trouver au moins un sous-ensemble ouvert irréductible de \(V\) ayant une intersection non vide avec \(V'\); en remplaçant \(V\) par cet ouvert, nous pouvons supposer \(V\) intègre (car à la fois réduit et irréductible). L’inégalité précédente sur les dimensions permet de conclure que l’immersion fermée \(V' \hookrightarrow V\) est en fait un isomorphisme. Si nous notons \(W\) l’image de \(V'\) dans \(U'\), alors \(W\) est un sous-ensemble ouvert non vide de \(U'\) (car les morphismes étales sont ouverts), et le monomorphisme induit \(W \to U\) est étale (puisqu’il l’est localement pour la topologie étale sur la source, c’est-à-dire après changement de base à \(V'\)), et est donc une immersion ouverte (étant un monomorphisme étale). Ainsi, si nous notons \(\mathcal{V}\) l’image de \(W\) dans \(\mathcal{T}\), alors \(\mathcal{V}\) est un sous-champ ouvert dense (de manière équivalente, non vide) de \(\mathcal{T}\), dont l’image est dense dans une composante irréductible de \(\mathcal{X}\). Enfin, notons que le morphisme \(\mathcal{V} \to \mathcal{X}\) est lisse (puisque son composé avec le morphisme lisse \(W\to \mathcal{V}\) est lisse), et est aussi un monomorphisme, donc une immersion ouverte.
Lemme
Soit \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) un morphisme localement de type fini de champs algébriques jacobsoniens, pseudo-caténaires et localement noethériens, dont la source est irréductible et le but quasi-séparé, et soit \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) l’image schématique de \(\mathcal{T}\). Alors, pour tout \(t \in |T|\), nous avons \(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) \geq \dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\), et il existe un sous-ensemble ouvert non vide (de manière équivalente, dense) de \(|\mathcal{T}|\) sur lequel l’égalité est satisfaite.
Démonstration
En remplaçant \(\mathcal{X}\) par \(\mathcal{Z}\), nous pouvons supposer, et supposons, que \(f\) est schématiquement dominant, et aussi que \(\mathcal{X}\) est irréductible. Par la semi-continuité supérieure des dimensions des fibres (Lemme 0DRQ (1)), il suffit de démontrer que l’égalité \(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) =\dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\) est satisfaite pour \(t\) appartenant à un certain sous-champ ouvert non vide de \(\mathcal{T}\). Pour cette raison, nous pouvons à tout moment dans le raisonnement remplacer \(\mathcal{T}\) par un sous-champ ouvert non vide.
Soit \(T' \to \mathcal{T}\) un morphisme lisse surjectif dont la source est un schéma, et soit \(T\) un sous-ensemble ouvert non vide quasi-compact de \(T'\). Puisque \(\mathcal{Y}\) est quasi-séparé, nous trouvons que \(T \to \mathcal{Y}\) est quasi-compact (d’après Morphismes de champs, Lemme 050Y, appliqué aux morphismes \(T \to \mathcal{Y} \to \Spec \mathbf{Z}\) auquel on l’applique). Ainsi, en remplaçant \(\mathcal{T}\) par l’image de \(T\) dans \(\mathcal{T}\), nous pouvons supposer (en invoquant Morphismes de champs, Lemme 050X que le morphisme \(f:\mathcal{T} \to \mathcal{X}\) est quasi-compact.
Si nous choisissons une surjection lisse \(U \to \mathcal{X}\) avec \(U\) un schéma, alors le Lemme 0DR5 assure que nous pouvons trouver un sous-ensemble ouvert irréductible \(V\) de \(U\) tel que \(V \to \mathcal{X}\) soit lisse et schématiquement dominant. Puisque la dominance schématique des morphismes quasi-compacts est préservée par changement de base plat, le changement de base \(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\) du morphisme schématiquement dominant \(f\) est encore schématiquement dominant. Soit \(Z\) un schéma admettant une surjection lisse sur ce produit fibré; alors \(Z \to \mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\) est encore schématiquement dominant. Nous pouvons donc trouver une composante irréductible \(C\) de \(Z\) qui domine schématiquement \(V\). Puisque le composé \(Z \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V \to \mathcal{T}\) est lisse, et puisque \(\mathcal{T}\) est irréductible, le Lemme 0DR5 montre que toute composante irréductible de la source a une image dense dans \(|\mathcal{T}|\). Remplaçons maintenant \(C\) par un sous-ensemble ouvert non vide \(W\) disjoint de toute autre composante irréductible de \(Z\), puis remplaçons \(\mathcal{T}\) et \(\mathcal{X}\) par les images de \(W\) et de \(V\) (et appliquons le Lemme 0DRX pour voir que cela ne change la dimension ni de \(\mathcal{T}\) ni de \(\mathcal{X}\)). Si nous notons \(\mathcal{W}\) l’image du morphisme \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\), alors \(\mathcal{W}\) est ouvert dans \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) (puisque le morphisme \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) est lisse), et est irréductible (comme image d’un schéma irréductible). Nous aboutissons ainsi à un diagramme commutatif \[\xymatrix{ W \ar[dr] \ar[r] & \mathcal{W} \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ & \mathcal{T} \ar[r] & \mathcal{X} }\] où \(W\) et \(V\) sont des schémas, les flèches verticales sont lisses et surjectives, les flèches diagonales et la flèche horizontale supérieure de gauche sont lisses, et le morphisme induit \(\mathcal{W} \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\) est une immersion ouverte. À l’aide de ce diagramme et des définitions des diverses dimensions intervenant dans l’énoncé du lemme, nous ramènerons la vérification du lemme au cas des schémas, où elle est connue.
Fixons \(w \in |W|\), d’image \(w' \in |\mathcal{W}|\), d’image \(t \in |\mathcal{T}|\), d’image \(v\) dans \(|V|\), et d’image \(x\) dans \(|\mathcal{X}|\). Essentiellement par définition (en utilisant le fait que \(\mathcal{W}\) est ouvert dans \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\), et que la fibre d’un changement de base est le changement de base de la fibre), nous obtenons les égalités \[\dim_v V_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] et \[\dim_t \mathcal{T}_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_v.\] D’après le Lemme 0DRI (la flèche diagonale et la flèche verticale de droite de notre diagramme réalisent \(W\) et \(V\) comme des recouvrements lisses par des schémas des champs \(\mathcal{T}\) et \(\mathcal{X}\)), nous trouvons \[\dim_t \mathcal{T} = \dim_w W - \dim_w W_t\] et \[\dim_x \mathcal{X} = \dim_v V - \dim_v V_x.\] En combinant ces égalités, nous trouvons \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_{w'} \mathcal{W}_v - \dim_w W + \dim_w W_t + \dim_v V - \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] Puisque \(W \to \mathcal{W}\) est une surjection lisse, il en va de même après changement de base par le morphisme \(\Spec \kappa(v) \to V\) (en considérant \(W \to \mathcal{W}\) comme un morphisme sur \(V\)), et ce morphisme lisse donne la première des deux égalités suivantes \[\dim_w W_v - \dim_{w'} \mathcal{W}_v = \dim_w (W_v)_{w'} = \dim_w W_{w'};\] la seconde égalité résulte d’une comparaison directe des deux fibres en jeu. De même, si nous considérons \(W \to \mathcal{W}\) comme un morphisme de schémas sur \(\mathcal{T}\), et effectuons le changement de base par un représentant du point \(t \in |\mathcal{T}|\), nous obtenons les égalités \[\dim_w W_t - \dim_{w'} \mathcal{W}_t = \dim_w (W_t)_{w'} = \dim_w W_{w'}.\] En réunissant le tout, nous trouvons \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_w W_v - \dim_w W + \dim_v V.\] Notre but est de montrer que le membre de gauche de cette égalité s’annule sur un sous-ensemble ouvert non vide de \(t\). Lorsque \(w\) parcourt un sous-ensemble ouvert non vide de \(W\), son image \(t \in |\mathcal{T}|\) parcourt un sous-ensemble ouvert non vide de \(|\mathcal{T}|\) (puisque \(W \to \mathcal{T}\) est lisse).
Nous sommes donc ramenés à montrer que, si \(W\to V\) est un morphisme schématiquement dominant de schémas irréductibles localement noethériens, localement de type fini, alors il existe un sous-ensemble ouvert non vide de points \(w\in W\) tels que \(\dim_w W_v =\dim_w W - \dim_v V\) (où \(v\) désigne l’image de \(w\) dans \(V\)). C’est un fait classique, dont nous rappelons la preuve pour la commodité du lecteur.
Nous pouvons remplacer \(W\) et \(V\) par leurs sous-schémas réduits sous-jacents sans modifier la validité (ou non) de cette équation, et pouvons donc les supposer en fait intègres. Puisque \(\dim_w W_v\) est localement constante sur \(W,\) quitte à remplacer \(W\) par un sous-ensemble ouvert non vide, nous pouvons supposer que \(\dim_w W_v\) est constante, disons égale à \(d\). En choisissant cet ouvert affine, nous pouvons aussi supposer que le morphisme \(W\to V\) est de type fini. Quitte à remplacer \(V\) par un sous-ensemble ouvert non vide (et à changer ensuite la base de \(W\) à cet ouvert; le changement de base obtenu est non vide, puisque le changement de base plat d’un morphisme quasi-compact et schématiquement dominant demeure schématiquement dominant), nous pouvons en outre supposer que \(W\) est plat sur \(V\). Le morphisme \(W\to V\) est donc de dimension relative \(d\) au sens de Morphismes, Définition 02NJ et il résulte de Morphismes, Lemme 0AFE, que \(\dim_w(W) = \dim_v(V) + d,\) comme voulu.
Remarque
Notons que, dans le contexte du lemme précédent, on n’a pas nécessairement \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\); cela ne contredit pas l’inégalité de l’énoncé du lemme, car les fibres du morphisme \(f\) sont encore des champs algébriques, et peuvent donc avoir une dimension négative. On l’illustre en prenant pour \(k\) un corps et en appliquant le lemme au morphisme \([\Spec k/\mathbf{G}_m] \to \Spec k\).
Si le morphisme \(f\) de l’énoncé du lemme est supposé quasi-DM (au sens de Morphismes de champs, Définition 04YW; les morphismes représentables par des espaces algébriques sont par exemple quasi-DM), alors les fibres du morphisme aux points du but sont des champs algébriques quasi-DM, et ont donc une dimension positive ou nulle. Dans ce cas, le lemme entraîne que l’on a bien \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\). En fait, nous obtenons le résultat plus général suivant.
Lemme
Soit \(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) un morphisme localement de type fini de champs algébriques jacobsoniens, pseudo-caténaires et localement noethériens, qui est quasi-DM, dont la source est irréductible et le but quasi-séparé, et soit \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\) l’image schématique de \(\mathcal{T}\). Alors \(\dim \mathcal{Z} \leq \dim \mathcal{T}\), et, de plus, exactement l’une des deux conditions suivantes est satisfaite :
pour tout point de type fini \(t \in |T|,\) nous avons \(\dim_t(\mathcal{T}_{f(t)}) > 0,\) auquel cas \(\dim \mathcal{Z} < \dim \mathcal{T}\); ou
\(\mathcal{T}\) et \(\mathcal{Z}\) ont la même dimension.
Démonstration
Comme nous l’avons observé dans la remarque précédente, la dimension d’un champ quasi-DM est toujours positive ou nulle, d’où nous concluons que \(\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} \geq 0\) pour tout \(t \in |\mathcal{T}|\), l’égalité \[\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} = \dim_t \mathcal{T} - \dim_{f(t)} \mathcal{Z}\] étant satisfaite sur un sous-ensemble ouvert dense de points \(t\in |\mathcal{T}|\).
La dimension de l’anneau local
Un champ algébrique ne possède pas véritablement d’anneaux locaux au sens usuel, mais nous pouvons définir la dimension de l’anneau local comme suit.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse et soit \(u \in U\). Alors \[\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})})\] Ici, \(R = U \times_\mathcal{X} U\), de projections \(s, t : R \to U\) et de diagonale \(e : U \to R\), et \(R_u\) est la fibre de \(s : R \to U\) en \(u\).
Démonstration
Cela est vrai parce que \(s : \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \to \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\) est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens, et donc \[\dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})})\] d’après Algèbre, Lemme 00ON.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de type fini Morphismes de champs, Définition 06FY). Soit \(d \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe un schéma \(U\), un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), et un point de type fini \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\), tels que \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\), et
pour tout schéma \(U\), tout morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), et tout point de type fini \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\), nous avons \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\).
Ici, \(R = U \times_\mathcal{X} U\), de projections \(s, t : R \to U\) et de diagonale \(e : U \to R\), et \(R_u\) est la fibre de \(s : R \to U\) en \(u\).
Démonstration
Supposons donnés deux voisinages lisses \((U, u)\) et \((U', u')\) de \(x\), où \(u\) et \(u'\) sont des points de type fini. Quitte à rétrécir \(U\) et \(U'\), nous pouvons supposer que \(u\) et \(u'\) sont des points fermés (par définition des points de type fini). Choisissons alors un morphisme étale surjectif \(W \to U \times_\mathcal{X} U'\). Soit \(W_u\) la fibre de \(W \to U\) en \(u\), et soit \(W_{u'}\) la fibre de \(W \to U'\) en \(u'\). Puisque \(u\) et \(u'\) s’envoient sur le même point de \(|\mathcal{X}|\), nous voyons que \(W_u \cap W_{u'}\) est non vide. Nous pouvons donc choisir un point fermé \(w \in W\) s’envoyant à la fois sur \(u\) et sur \(u'\). Cela nous ramène à la discussion du paragraphe suivant.
Supposons que \((U', u') \to (U, u)\) soit un morphisme lisse de voisinages lisses de \(x\), avec \(u\) et \(u'\) des points fermés. Le but est de démontrer que l’invariant défini pour \((U, u)\) est égal à celui défini pour \((U', u')\). Pour le voir, observons que \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{U', u'}\) est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens, et donc \[\dim(\mathcal{O}_{U', \overline{u}'}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] d’après Algèbre, Lemme 00ON. (Nous omettons le détail de toutes les étapes reliant les propriétés des anneaux locaux et de leurs hensélisés stricts; voir Compléments d’algèbre, section 07QL). D’autre part, nous avons \[R' = U' \times_{U, t} R \times_{s, U} U'\] Nous voyons donc que \[\dim(\mathcal{O}_{R', e(\overline{u}')}) = \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')})\] Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que \[\dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] Observons que ceci n’est pas toujours vrai (par exemple, si \(U'_u\) est une courbe et \(u'\) le point générique de cette courbe). Nous savons toutefois que \(u'\) est un point fermé de l’espace algébrique \(U'_u\), localement de type fini sur \(u\). Dans ce cas, l’égalité est satisfaite car, premièrement, \(\dim_{(u', u')}(U'_u \times_u U'_u) = 2\dim_{u'}(U'_u)\) d’après Variétés, Lemme 0B2M, et, deuxièmement, parce que la dimension coïncide avec celle des anneaux locaux aux points fermés des schémas localement algébriques; voir Variétés, Lemme 0A21. Nous omettons la transposition de ces résultats pour les schémas dans le langage des espaces algébriques.
Définition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de type fini. La dimension de l’anneau local de \(\mathcal{X}\) en \(x\) est \(d \in \mathbf{Z}\) si les conditions équivalentes du Lemme 0DS9 sont satisfaites.
Bien entendu, ceci est motivé par le Lemme 0DS8 et Propriétés des champs, Définition 0AFN. Terminons cette section en établissant une formule permettant de calculer \(\dim_x(\mathcal{X})\) à partir des propriétés de l’anneau versel de \(\mathcal{X}\) en \(x\).
Lemme
Supposons que \(\mathcal{X}\) soit un champ algébrique, localement de type fini sur un schéma localement noethérien \(S\). Soit \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(k\) est un corps de type fini sur \(S\). Représentons \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) comme dans la Remarque 0DR3 par un cogroupoïde \((A, B, s, t, c)\) de \(S\)-algèbres locales noethériennes complètes de corps résiduel \(k\). Alors \[\text{la dimension de l'anneau local de }\mathcal{X}\text{ en }x_0 = 2\dim A - \dim B\]
Démonstration
Soit \(s \in S\) l’image de \(x_0\). Si \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un anneau G (condition presque toujours satisfaite en pratique), nous pouvons démontrer le lemme comme suit. D’après le Lemme 0DR0, nous pouvons trouver un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), de source un schéma, contenant un point \(u_0 \in U\) de corps résiduel \(k\), tel que le morphisme induit \(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\) coïncide avec \(x_0\) et que \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\). Écrivons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). Nous pouvons alors identifier \(\mathcal{O}_{R, e(u_0)}^\wedge\) à \(B\). L’égalité résulte donc des définitions.
Dans la suite de cette preuve, nous expliquons comment démontrer le lemme en général, mais nous invitons vivement le lecteur à passer ce qui suit.
Montrons d’abord que le membre de droite est indépendant du choix de \((A, B, s, t, c)\). Supposons en effet que \((A', B', s', t', c')\) soit un second choix. Puisque \(A\) et \(A'\) sont des anneaux versels de \(\mathcal{X}\) en \(x_0\), nous pouvons choisir, quitte à échanger \(A\) et \(A'\), une application formellement lisse \(A \to A'\) compatible avec les objets formels versels donnés \(\xi\) et \(\xi'\) sur \(A\) et \(A'\). Rappelons que \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) possède des coproduits, donnés par le produit tensoriel complété sur \(\Lambda\); voir Théorie formelle des déformations, Lemme 06H1. Alors \(B\) proreprésente le foncteur des isomorphismes entre les deux images directes de \(\xi\) dans \(A \widehat{\otimes}_\Lambda A\). Il en va de même pour \(B'\). Nous en concluons que \[B' = B \otimes_{(A \widehat{\otimes}_\Lambda A)} (A' \widehat{\otimes}_\Lambda A')\] On voit immédiatement que \[A \widehat{\otimes}_\Lambda A \longrightarrow A \widehat{\otimes}_\Lambda A' \longrightarrow A' \widehat{\otimes}_\Lambda A'\] est formellement lisse, de dimension relative égale à \(2\) fois la dimension relative de l’application formellement lisse \(A \to A'\). (Cela résulte de principes généraux, mais aussi du fait que, dans ce cas particulier, \(A'\) est un anneau de séries formelles sur \(A\) en \(r\) variables.) Ainsi, \(B \to B'\) est formellement lisse, de dimension relative \(2(\dim(A') - \dim(A))\), comme voulu.
Ensuite, soit \(l/k\) une extension finie. Soit \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\) le point induit. Nous affirmons que le membre de droite de la formule est le même pour \(x_0\) que pour \(x_{l, 0}\). On le montre en choisissant \(A \to A'\) comme dans le Lemme 0DQY et en raisonnant exactement comme au paragraphe précédent. Nous omettons les détails.
Enfin, en raisonnant comme dans la preuve du Lemme 0DR2, nous pouvons utiliser les compatibilités des deux paragraphes précédents pour nous ramener au cas (étudié au premier paragraphe) où \(A\) est l’anneau local complet de \(U\) en \(u_0\), pour un certain schéma lisse sur \(\mathcal{X}\) et un point de type fini \(u_0\). Détails omis.
Au sens où \(A'\) devient isomorphe à un anneau de séries formelles sur \(A\).↩︎