Variétés

Introduction

Dans ce chapitre, nous commençons à étudier les variétés et, plus généralement, les schémas sur un corps. Une référence fondamentale est [EGA].

Notation

Tout au long de ce chapitre, nous utilisons la lettre \(k\) pour désigner le corps de base.

Variétés

Dans le projet Champs, nous adoptons la définition suivante d’une variété.

Définition

Soit \(k\) un corps. Une variété est un schéma \(X\) sur \(k\) qui est intègre et dont le morphisme structural \(X \to \Spec(k)\) est séparé et de type fini.

Cette définition présente l’inconvénient suivant. Soit \(k'/k\) une extension de corps et soit \(X\) une variété sur \(k\). Le changement de base \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) n’est alors pas nécessairement une variété sur \(k'\). Ce phénomène sera étudié en détail, dans un caunere plus général, dans les sections suivantes. Le produit de deux variétés n’est pas nécessairement d variété non plus (il s’agit en fait du même phénomène). En voici un exemple.

Exemple

Soit \(k = \mathbf{Q}\). Posons \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\) et \(Y = \Spec(\mathbf{Q}(i))\). Alors le produit \(X \times_{\Spec(k)} Y\) des variétés \(X\) et \(Y\) n’est pas d variété, car il est réductible. (Il est isomorphe à la réunion disjointe de deux copies de \(X\).)

Toutefois, si le corps de base est algébriquement clos, le produit de variétés est une variété. Cela résulte du chapitre sur l’algèbre, où l’on traite des situations bien plus générales. Nous en donnons également ici une démonstration directe et simple.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soient \(X\) et \(Y\) des variétés sur \(k\). Alors \(X \times_{\Spec(k)} Y\) est d variété sur \(k\).

Démonstration

Le morphisme \(X \times_{\Spec(k)} Y \to \Spec(k)\) est de type fini et séparé : c’est le composé des morphismes \(X \times_{\Spec(k)} Y \to Y \to \Spec(k)\), qui sont séparés et de type fini ; voir Morphismes, lemmes 01T4 et 01T3, ainsi que Schémas, lemme 01KU. Il reste à montrer que \(X \times_{\Spec(k)} Y\) est intègre. Soient \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) et \(Y = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\) des recouvrements ouverts affines finis. Il suffit que chacun des schémas \(U_i \times_{\Spec(k)} V_j\) soit intègre, d’après Propriétés, lemmes 01OL, 01OM et 01ON. On est ainsi ramené au cas affine.

Le cas affine équivaut à l’énoncé algébrique suivant : si \(A\) et \(B\) sont des anneaux intègres et des \(k\)-algèbres de type fini, alors \(A \otimes_k B\) est un anneau intègre. Raisonnons par l’absurde et supposons que \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} a_i \otimes b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} c_j \otimes une_j) = 0\] dans \(A \otimes_k B\), les deux facteurs étant non nuls dans \(A \otimes_k B\). On peut supposer que \(b_1, \ldots, b_n\) sont linéairement indépendants sur \(k\) dans \(B\), et de même pour \(d_1, \ldots, d_m\). On peut aussi supposer que \(a_1\) et \(c_1\) sont non nuls dans \(A\). Ainsi, \(D(a_1c_1) \subset \Spec(A)\) est non vide. D’après le théorème des zéros de Hqubert (Algèbre, théorème 00FV), il existe un idéal maximal \(\mathfrak m \in D(a_1c_1)\) tel que \(A/\mathfrak m = k\), puisque \(k\) est algébriquement clos. Notons \(\overline{a}_i\) et \(\overline{c}_j\) les classes de \(a_i\) et \(c_j\) dans \(A/\mathfrak m = k\). L’égalité précédente devient \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \overline{a}_i b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \overline{c}_j une_j) = 0\] ce qui contredit \(\mathfrak m \in D(a_1c_1)\), l’indépendance linéaire des famqules \(b_1, \ldots, b_n\) et \(une_1, \ldots, une_m\), ainsi que le fait que \(B\) est un anneau intègre.

Variétés et applications rationnelles

Soit \(k\) un corps et soient \(X\) et \(Y\) des variétés sur \(k\). Par application rationnelle de variétés de \(X\) vers \(Y\), nous entendrons une application rationnelle sur \(\Spec(k)\) du schéma \(X\) vers le schéma \(Y\), au sens de Morphismes, définition 01RS. Selon l’usage, l’expression « application rationnelle de variétés » ne mentionne pas le corps de base (commun) des variétés, bien que, pour des schémas généraux, nous distinguions les applications rationnelles des applications rationnelles sur une base donnée.

Le titre de cette section fait référence au théorème fondamental suivant.

Théorème

Soit \(k\) un corps. La catégorie des variétés et des applications rationnelles dominantes est équivalente à la catégorie des extensions de corps de type fini \(K/k\).

Démonstration

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés de points génériques respectifs \(x \in X\) et \(y \in Y\). Rappelons que les applications rationnelles dominantes de \(X\) vers \(Y\) sont précisément les applications rationnelles qui envoient \(x\) sur \(y\) (Morphismes, définition 0A1Z et discussion qui suit). Toute application rationnelle dominante \(X \supset U \to Y\) induit donc un homomorphisme de corps de fonctions \[k(Y) = \kappa(y) = \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = \kappa(x) = k(X)\] Inversement, un tel homomorphisme de \(k\)-algèbres (automatiquement local, puisque sa source et son but sont des corps) détermine de manière unique d application rationnelle dominante, d’après Morphismes, lemme 0BX8. On obtient ainsi un foncteur pleinement fidèle. Il reste à voir que toute extension de corps de type fini \(K/k\) appartient à l’image essentielle. Comme \(K/k\) est de type fini, qu existe d \(k\)-algèbre de type fini \(A \subset K\) dont \(K\) est le corps des fractions. Alors \(X = \Spec(A)\) est d variété de corps de fonctions \(K\).

Soit \(k\) un corps et soient \(X\) et \(Y\) des variétés sur \(k\). Nous dirons que \(X\) et \(Y\) sont des variétés birationnelles si \(X\) et \(Y\) sont birationnels sur \(\Spec(k)\), au sens de Morphismes, définition 01RO. Selon l’usage, l’expression « variétés birationnelles » ne mentionne pas le corps de base (commun) des variétés, bien que, pour des schémas irréductibles généraux, nous distinguions le fait d’être birationnels du fait de l’être sur une base donnée.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés sur un corps \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) et \(Y\) sont des variétés birationnelles,

2. les corps de fonctions \(k(X)\) et \(k(Y)\) sont isomorphes,

3. il existe des ouverts non vides de \(X\) et de \(Y\) qui sont isomorphes comme variétés,

4. il existe un ouvert \(U \subset X\) et un morphisme birationnel de variétés \(U \to Y\).

Démonstration

C’est un cas particulier de Morphismes, lemme 0BAD.

Changement de corps et anneaux locaux

Voici quelques résultats préliminaires sur le comportement des anneaux locaux par extension du corps de base.

Lemme

Soit \(K/k\) d extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\) et posons \(Y = X_K\). Si \(y \in Y\) a pour image \(x \in X\), alors

1. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) est un homomorphisme local fidèlement plat,

2. si \(\mathfrak p_0 = \Ker(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y))\), alors \(\kappa(y) = \kappa(\mathfrak p_0)\),

3. \(\mathcal{O}_{Y, y} = (\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K)_\mathfrak p\), où \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K\) est l’image réciproque de \(\mathfrak p_0\),

4. on a \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y} = (\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\).

Démonstration

On peut supposer \(X = \Spec(A)\) affine. Alors \(Y = \Spec(A \otimes_k K)\). Puisque \(K\) est plat sur \(k\), \(A \to A \otimes_k K\) est plat. Il en va donc de même de \(Y \to X\), et la première assertion résulte aussi d’Algèbre, lemme 00HR. La deuxième résulte de Schémas, lemme 01JT. Le point \(y\) correspond à un idéal premier \(\mathfrak q \subset A \otimes_k K\) et \(x\) à \(\mathfrak r = A \cap \mathfrak q\). Alors \(\mathfrak p_0\) est le noyau de l’homomorphisme induit \(\kappa(\mathfrak r) \otimes_k K \to \kappa(\mathfrak q)\). L’homomorphisme d’anneaux locaux est \[A_\mathfrak r \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] Il se factorise par \(A_\mathfrak r \otimes_k K = (A \otimes_k K)_{\mathfrak r}\) sous la forme \[A_\mathfrak r \longrightarrow A_\mathfrak r \otimes_k K \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] où la deuxième flèche est la localisation en un certain idéal premier. Celui-ci est l’image réciproque de \(\mathfrak p_0\) (nous omettons les détails), ce qui prouve (3). Pour (4), on utilise (3) et l’exactitude de la localisation et du foncteur \(- \otimes_k K\).

Lemme

Avec les notations du lemme 0C4Y, si \(X\) est localement de type fini sur \(k\), alors \[\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_K(\kappa(y)) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - \dim(\mathcal{O}_{X, x})\]

Démonstration

Il s’agit d’une reformulation d’Algèbre, lemme 0CWE.

Lemme

Avec les notations du lemme 0C4Y, supposons \(X\) localement de type fini sur \(k\), \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\) et \(\kappa(x) \otimes_k K\) réduit (par exemple si \(\kappa(x)/k\) est séparable ou si \(K/k\) est séparable). Alors \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\).

Démonstration

(L’assertion entre parenthèses résulte d’Algèbre, lemme 030U.) En combinant les lemmes 0C4Y et 0C4Z, on voit que \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y}\) a une dimension \(0\) et est réduit. C’est donc un corps.

Schémas géométriquement réduits

Si \(X\) est un schéma réduit sur un corps, il peut arriver que \(X\) devienne non réduit après l’extension du corps de base. Cela ne se produit pas pour les schémas géométriquement réduits.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\).

1. Soit \(x \in X\). On dit que \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) si, pour toute extension de corps \(k'/k\) et tout point \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est réduit.

2. On dit que \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) si \(X\) est géométriquement réduit en tout point de \(X\).

Cette définition peut paraître quelque peu mystérieuse, mais elle coïncide en réalité avec la notion étudiée dans le chapitre sur l’algèbre. Les résultats élémentaires qui suivent précisent ce lien. Voir aussi le lemme 056V, d’après lequel « géométriquement réduit » équivaut à « génériquement lisse » pour les variétés sur un corps.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Soit \(x \in X\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), et

2. l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement réduit sur \(k\) (voir Algèbre, définition 030S).

Démonstration

Supposons (1). Cela implique en particulier que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit. Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable. Considérons l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). D’après l’algèbre, le lemme 0BRA, son spectre est le même que le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Par conséquent, c’est également un anneau local (Algèbre, lemme 00E9). Donc, il existe un point unique \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\) et de \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\), voir le lemme 0C4Y. Par hypothèse, il s’agit d’un anneau réduit. Ainsi, nous déduisons (2) d’après Algèbre, lemme 030V.

Supposons (2). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Puisque \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) est surjectif, \(X_{k'} \to X\) est aussi surjectif (Morphismes, lemme 01S1). Supposons que \(x' \in X_{k'}\) soit un point quelconque situé au-dessus de \(x\). L’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est une localisation de l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\) d’après le lemme 0C4Y. Par conséquent, il est réduit par hypothèse et (1) est prouvé.

La notion n’est pas intéressante en caractéristique zéro.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur un corps parfait \(k\) (par exemple  \(k\) a une caractéristique nulle). Soit \(x \in X\). Si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit, alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x\). Si \(X\) est réduit, alors \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\).

Démonstration

La première affirmation découle du lemme 035W et de l’Algèbre, du lemme 030U et de la définition d’un corps parfait (Algèbre, définition 030Y). La seconde affirmation découle de la première.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps de caractéristique \(p > 0\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement réduit,

2. \(X_{k'}\) est réduit pour toute extension de corps \(k'/k\),

3. \(X_{k'}\) est réduit pour toute extension de corps finie purement inséparable \(k'/k\),

4. \(X_{k^{1/p}}\) est réduit,

5. \(X_{k^{perf}}\) est réduit,

6. \(X_{\bar k}\) est réduit,

7. pour tout ouvert affine \(U \subset X\) l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est géométriquement réduit (voir Algèbre, définition 030S).

Démonstration

Supposons (1). Alors pour toute extension de corps \(k'/k\) et chaque point \(x' \in X_{k'}\), l’anneau local de \(X_{k'}\) en \(x'\) est réduit. En d’autres termes, \(X_{k'}\) est réduit. D’où (2).

Supposons (2). Supposons que \(U \subset X\) soit un ouvert affine. Alors, pour toute extension de corps \(k'/k\), le schéma \(X_{k'}\) est réduit, donc \(U_{k'} = \Spec(\mathcal{O}(U)\otimes_k k')\) est réduit, donc \(\mathcal{O}(U)\otimes_k k'\) est réduit (voir Propriétés, section 01OJ). En d’autres termes, \(\mathcal{O}(U)\) est géométriquement réduit, donc (7) est vérifié.

Supposons (7). Pour toute extension de corps \(k'/k\), le changement de base \(X_{k'}\) s’obtient par recollement des spectres des anneaux \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\) où \(U\) est un ouvert affine dans \(X\) (voir Schémas, section 01JO). Donc \(X_{k'}\) est réduit. Ainsi (1) est vrai.

Cela prouve que (1), (2) et (7) sont équivalents. Ceux-ci sont équivalents à (3), (4), (5) et (6) car nous pouvons appliquer Algèbre, lemme 030V à \(\mathcal{O}_X(U)\) pour \(U \subset X\) ouvert affine.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps de caractéristique \(p > 0\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Soit \(x \in X\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement réduit en \(x\),

2. \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est réduit pour chaque extension de corps finie purement inséparable \(k'\) de \(k\) et \(x' \in X_{k'}\) le point unique au-dessus de \(x\),

3. \(\mathcal{O}_{X_{k^{1/p}}, x'}\) est réduit pour \(x' \in X_{k^{1/p}}\) le point unique au-dessus de \(x\), et

4. \(\mathcal{O}_{X_{k^{perf}}, x'}\) est réduit pour \(x' \in X_{k^{perf}}\) le point unique au-dessus de \(x\).

Démonstration

Notons que si \(k'/k\) est purement inséparable, alors \(X_{k'} \to X\) induit un homéomorphisme sur les espaces topologiques sous-jacents, voir Algèbre, lemme 0BRA. D’où l’unicité de \(x'\) au-dessus de \(x\) mentionnée dans l’énoncé. De plus, dans ce cas \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). Par conséquent, le lemme découle du lemme 035W ci-dessus et du lemme 030V d’Algèbre.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(x \in X\) soit un point, et soit \(x' \in X_{k'}\) un point situé au-dessus de \(x\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement réduit en \(x\),

2. \(X_{k'}\) est géométriquement réduit en \(x'\).

En particulier, \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement réduit sur \(k'\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Supposons que \(k''/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable et soit \(x'' \in X_{k''}\) un point au-dessus de \(x\) (en fait, il est unique). Choisissons une extension de corps commune \(k'''/k\) de \(k''/k\) et \(k'/k\), voir corps, lemme 0H7K. Choisissons un point \(x''' \in X_{k'''}\) au-dessus à la fois de \(x'\) et \(x''\). Considérons le morphisme d’anneaux locaux \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x'''}.\] Ceci est un homomorphisme local plat d’anneaux et donc fidèlement plat. Par (2), on voit que l’anneau local à droite est réduit. Ainsi, d’après L’Algèbre, lemme 033F, nous concluons que \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) est réduit. Ainsi, d’après le lemme 035Y, nous concluons que \(X\) est géométriquement réduit en \(x\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\), \(Y\) soient des schémas sur \(k\).

1. Si \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), et \(Y\) est réduit, alors \(X \times_k Y\) est réduit en tout point au-dessus de \(x\).

2. Si \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) et \(Y\) est réduit, alors \(X \times_k Y\) est réduit.

3. Si \(X\) et \(Y\) sont géométriquement réduits sur \(k\), alors \(X \times_k Y\) est géométriquement réduit.

4. Si \(k\) est parfait et \(X\) et \(Y\) sont réduits, alors \(X \times_k Y\) est réduit.

5. Ajouter plus ici.

Démonstration

Pour démontrer (1), on combine le lemme 035W avec le lemme d’Algèbre 034N. Pour démontrer (2), on combine le lemme 035X avec le lemme d’Algèbre 034N. Pour démontrer (3), notons que \((X \times_k Y)_{\overline{k}} = X_{\overline{k}} \times_{\overline{k}} Y_{\overline{k}}\) et utilisez (2) ainsi que le lemme 035X. Pour démontrer (4), utilisez (3) combiné avec le lemme 020I.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\).

1. Si \(x' \leadsto x\) est une spécialisation et \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x'\).

2. Si \(x \in X\) tel que (a) \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit, et (b) pour chaque spécialisation \(x' \leadsto x\) où \(x'\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\), le schéma \(X\) est géométriquement réduit en \(x'\), alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x\).

3. Si \(X\) est réduit et géométriquement réduit en tous les points génériques des composantes irréductibles de \(X\), alors \(X\) est géométriquement réduit.

4. Si \(X\) est une variété sur \(k\), alors \(X\) est géométriquement réduit si et seulement si son corps des fonctions est une extension séparable de \(k\).

Démonstration

La partie (1) découle du lemme 035W et du fait que si \(A\) est une \(k\)-algèbre géométriquement réduite, alors \(S^{-1}A\) est une \(k\)-algèbre géométriquement réduite pour tout sous-ensemble multiplicatif \(S\) de \(A\), voir Algèbre, lemme 04KN.

Soit \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Les hypothèses (a) et (b) de (2) impliquent que \(A\) est réduit, et que \(A_{\mathfrak q}\) est géométriquement réduit sur \(k\) pour chaque idéal premier minimal \(\mathfrak q\) de \(A\). Par conséquent, \(A\) est géométriquement réduit sur \(k\), voir Algèbre, lemme 07K2. Ainsi, \(X\) est géométriquement réduit en \(x\), voir lemme 035W.

La partie (3) découle trivialement de la partie (2). Enfin, (4) découle de (3) par Algèbre, lemme 030W.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Soit \(x \in X\). Supposons que \(X\) soit localement noethérien et géométriquement réduit en \(x\). Alors il existe un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) qui est géométriquement réduit sur \(k\).

Démonstration

Supposons que \(X\) soit localement noethérien et géométriquement réduit en \(x\). D’après le lemme des propriétés 0BX3, nous pouvons trouver un voisinage affine ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(R = \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\) soit injectif. D’après le lemme 035W, l’hypothèse signifie que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement réduit sur \(k\). D’après Algèbre, lemme 030T, cela implique que \(R\) est géométriquement réduit sur \(k\), ce qui implique à son tour que \(U\) est géométriquement réduit.

Exemple

Soit \(k = \mathbf{F}_p(s, t)\), c’est-à-dire une extension purement transcendantale du corps premier. Considérons la variété \(X = \Spec(k[x, y]/(1 + sx^p + ty^p))\). Soit \(k'/k\) une extension quelconque telle que \(s\) et \(t\) possèdent toutes deux une racine \(p\)-ième dans \(k'\). Alors le changement de base \(X_{k'}\) n’est pas réduit. En effet, l’anneau \(k'[x, y]/(1 + s x^p + ty^p)\) contient l’élément \(1 + s^{1/p}x + t^{1/p}y\), dont la puissance \(p\)-ième est nulle alors que lui-même ne l’est pas (l’idéal \((1 + sx^p + ty^p)\) ne contient certainement aucun élément non nul de degré \(< p\)).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X \to \Spec(k)\) un morphisme localement de type fini. Supposons que \(X\) n’ait il’un nombre fini de composantes irréductibles. Il existe alors une extension finie purement inséparable \(k'/k\) telle que \((X_{k'})_{red}\) soit géométriquement réduit sur \(k'\).

Démonstration

On peut remplacer \(X\) par sa réduction \(X_{red}\), et donc supposer \(X\) réduit et localement de type fini sur \(k\). Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) les points génériques de ses composantes irréductibles. Pour toute extension algébrique purement inséparable \(k'/k\), le morphisme \((X_{k'})_{red} \to X\) est un homéomorphisme ; voir Algèbre, lemme 0BRA. Les points \(x'_1, \ldots, x'_n\) au-dessus de \(x_1, \ldots, x_n\) sont donc les points génériques des composantes irréductibles de \((X_{k'})_{red}\). Comme \(X\) est réduit, les anneaux locaux \(K_i = \mathcal{O}_{X, x_i}\) sont des corps ; voir Algèbre, lemme 00EU. Puisque \(X\) est localement de type fini sur \(k\), les extensions de corps \(K_i/k\) sont de type fini. Enfin, les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{(X_{k'})_{red}, x'_i}\) sont les corps \((K_i \otimes_k k')_{red}\). D’après Algèbre, lemme 030R, il existe une extension finie purement inséparable \(k'/k\) telle que les corps \((K_i \otimes_k k')_{red}\) soient séparables sur \(k'\). Chacun est donc géométriquement réduit sur \(k'\), d’après Algèbre, lemme 030W. Le lemme 04KS, partie (3), montre alors que \((X_{k'})_{red}\) est géométriquement réduit.

Schémas géométriquement connexes

Si \(X\) est un schéma connexe sur un corps, il peut arriver que \(X\) devienne non connexe après l’extension du corps de base. Cela n’arrive pas pour les schémas géométriquement connexes.

Définition

Soit \(X\) un schéma sur le corps \(k\). On dit que \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si le schéma \(X_{k'}\) est connexe pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

Par convention, un espace topologique connexe est non vide ; par conséquent a fortiori, les schémas géométriquement connexes sont non vides. Voici un exemple d’une variété qui n’est pas géométriquement connexe.

Exemple

Soit \(k = \mathbf{Q}\). Le schéma \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\) est une variété sur \(\Spec(\mathbf{Q})\). Mais le changement de base \(X_{\mathbf{C}}\) est le spectre de \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i) \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\) qui est l’union disjointe de deux copies de \(\Spec(\mathbf{C})\). Donc en fait, c’est un exemple d’une variété non géométriquement connexe.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur le corps \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Alors \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\).

Démonstration

Si \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\), alors il est clair que \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\). Pour la réciproque, pour toute extension de corps \(k''/k\), il existe une extension de corps commune \(k'''/k'\) et \(k'''/k''\), voir corps, lemme 0H7K. Comme le morphisme \(X_{k'''} \to X_{k''}\) est surjectif (en tant que changement de base d’un morphisme surjectif entre spectres de corps), on voit que la connexité de \(X_{k'''}\) implique la connexité de \(X_{k''}\). Ainsi, si \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\), alors \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\), \(Y\) soient des schémas sur \(k\). Supposons que \(X\) soit géométriquement connexe sur \(k\). Alors le morphisme de projection \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] induit une bijection entre les composantes connexes.

Démonstration

Les fibres schématiques de \(p\) sont connexes, puisque ce sont des changements de base du schéma géométriquement connexe \(X\) par extensions de corps. De plus, les fibres schématiques sont homéomorphes aux fibres ensemblistes, voir Schémas, lemme 01K1. Par morphismes, lemme 0383, l’application \(p\) est ouverte. Ainsi, nous pouvons appliquer Topologie, lemme 0378 pour conclure.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(A\) soit une \(k\)-algèbre. Alors \(X = \Spec(A)\) est géométriquement connexe sur \(k\) si et seulement si \(A\) est géométriquement connexe sur \(k\) (voir Algèbre, définition 037T ).

Démonstration

Immédiat d’après les définitions.

Lemme

Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que \(k\) soit séparablement algébriquement clos. Alors le morphisme \(X_{k'} \to X\) induit une bijection des composantes connexes. En particulier, \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\) si et seulement si \(X\) est connexe.

Démonstration

Puisque \(k\) est séparablement algébriquement clos, nous voyons que \(k'\) est géométriquement connexe sur \(k\), voir Algèbre, lemme 037U. Par conséquent, \(Z = \Spec(k')\) est géométriquement connexe sur \(k\) d’après le lemme 0386 ci-dessus. Puisque \(X_{k'} = Z \times_k X\), le résultat est un cas particulier du lemme 0385.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(\overline{k}\) soit une clôture algébrique séparable de \(k\). Alors \(X\) est géométriquement connexe si et seulement si le changement de base \(X_{\overline{k}}\) est connexe.

Démonstration

Supposons que \(X_{\overline{k}}\) soit connexe. Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Il existe une extension de corps \(\overline{k}'/\overline{k}\) telle que \(k'\) se plonge dans \(\overline{k}'\) comme extension de \(k\). D’après le lemme 0363, on voit que \(X_{\overline{k}'}\) est connexe. Puisque \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) est surjectif, nous concluons que \(X_{k'}\) est connexe comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(A\) soit une \(k\)-algèbre. Supposons que \(V \subset X_A\) soit un ouvert quasi-compact. Alors il existe une \(k\)-subalgèbre de type fini \(A' \subset A\) et un ouvert quasi-compact \(V' \subset X_{A'}\) tels que \(V = V'_A\).

Démonstration

Nous remarquons que si \(X\) est également quasi-séparé, cela découle de Limites, lemme 01Z4. Choisissons un nombre fini d’ouverts affines \(U_1, \ldots, U_n\) de \(X\) tels que \(V \subset \bigcup U_{i, A}\). Disons \(U_i = \Spec(R_i)\). Puisque \(V\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini d’éléments \(f_{ij} \in R_i \otimes_k A\), \(j = 1, \ldots, n_i\) tels que \(V = \bigcup_i \bigcup_{j = 1, \ldots, n_i} D(f_{ij})\) où \(D(f_{ij}) \subset U_{i, A}\) est l’ouvert principal correspondant. (Nous ne prétendons pas que \(V \cap U_{i, A}\) est l’union des \(D(f_{ij})\), \(j = 1, \ldots, n_i\).) Il est clair que nous pouvons trouver une \(k\)-sous-algèbre de type fini \(A' \subset A\) telle que \(f_{ij}\) soit l’image de certains \(f_{ij}' \in R_i \otimes_k A'\). Posons \(V' = \bigcup D(f_{ij}')\) qui est un ouvert quasi-compact de \(X_{A'}\). Notons \(\pi : X_A \to X_{A'}\) le morphisme canonique. Nous avons \(\pi(V) \subset V'\) comme \(\pi(D(f_{ij})) \subset D(f_{ij}')\). Si \(x \in X_A\) avec \(\pi(x) \in V'\), alors \(\pi(x) \in D(f_{ij}')\) pour certains \(i, j\) et on voit que \(x \in D(f_{ij})\) en tant que \(f_{ij}'\) s’envoie vers \(f_{ij}\). Ainsi, on voit que \(V = \pi^{-1}(V')\) comme voulu.

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(\overline{k}/k\) soit une extension galoisienne (éventuellement infinie). Par exemple, \(\overline{k}\) pourrait être la clôture algébrique séparable de \(k\). Pour tout \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\), nous obtenons un automorphisme correspondant \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\). Notons que \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\). Par conséquent, nous obtenons une action \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] du groupe opposé sur le schéma \(\Spec(\overline{k})\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Puisque \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\) par définition, on voit que l’action ci-dessus induit une action canonique [038A]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\]

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(\overline{k}\) soit une extension de Galois (éventuellement infinie) de \(k\). Supposons que \(V \subset X_{\overline{k}}\) soit un ouvert quasi-compact. Alors

1. il existe une sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\) et un ouvert quasi-compact \(V' \subset X_{k'}\) tels que \(V = (V')_{\overline{k}}\),

2. il existe un sous-groupe ouvert \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\) tels que \(\sigma(V) = V\) pour tout \(\sigma \in H\).

Démonstration

D’après le lemme 0388, il existe une sous-extension finie \(k'/k \subset \overline{k}\) et un ouvert \(V' \subset X_{k'}\) dont l’image réciproque est \(V\). Cela prouve (1). Puisque \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\) est ouvert dans \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\), la partie (2) est également claire.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(\overline{k}/k\) soit une extension de Galois (éventuellement infinie). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Soit \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\) vérifiant les propriétés suivantes

1. \(\overline{T}\) est un sous-ensemble fermé de \(X_{\overline{k}}\),

2. pour chaque \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\) nous avons \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\).

Alors il existe un sous-ensemble fermé \(T \subset X\) dont l’image réciproque dans \(X_{\overline{k}}\) est \(\overline{T}\).

Démonstration

Ce lemme se réduit immédiatement au cas où \(X = \Spec(A)\) est affine. Dans ce cas, soit \(\overline{I} \subset A \otimes_k \overline{k}\) l’idéal radical correspondant à \(\overline{T}\). L’hypothèse (2) implique que \(\sigma(\overline{I}) = \overline{I}\) pour tout \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\). Choisissons \(x \in \overline{I}\). Il existe une extension galoisienne finie \(k'/k\) contenue dans \(\overline{k}\) telle que \(x \in A \otimes_k k'\). Posons \(G = \text{Gal}(k'/k)\). Posons \[P(T) = \prod\nolimits_{\sigma \in G} (T - \sigma(x)) \in (A \otimes_k k')[T]\] Il est clair que \(P(T)\) est unitaire et est en fait un élément de \((A \otimes_k k')^G[T] = A[T]\) (selon la théorie de Galois de base). De plus, si nous écrivons \(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d\) alors on voit que \(a_i \in I := A \cap \overline{I}\). En combinant \(P(x) = 0\) et \(a_i \in I\) nous trouvons \(x^d = - a_1 x^{d - 1} - \ldots - a_d \in I(A \otimes_k \overline{k})\). Ainsi, \(x\) est contenu dans le radical de \(I(A \otimes_k \overline{k})\). Par conséquent, \(\overline{I}\) est le radical de \(I(A \otimes_k \overline{k})\); le choix \(T = V(I)\) convient.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(X\) est géométriquement connexe,

2. pour toute extension de corps finie séparable \(k'/k\) le schéma \(X_{k'}\) est connexe.

Démonstration

Il découle immédiatement de la définition que (1) implique (2). Supposons que \(X\) ne soit pas géométriquement connexe. Supposons que \(k \subset \overline{k}\) soit une clôture algébrique séparable de \(k\). D’après le lemme 0387, il s’ensuit que \(X_{\overline{k}}\) est non connexe. Disons \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\) avec \(\overline{U}\) et \(\overline{V}\) ouverts, fermés et non vides.

Supposons que \(W \subset X\) soit un ouvert quasi-compact quelconque. Alors \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont ouverts et fermés dans \(W_{\overline{k}}\). En particulier, \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont quasi-compacts, et d’après le lemme 04KU, \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont définis sur une sous-extension finie et invariants sous un sous-groupe ouvert de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\). Nous utiliserons cela sans autre mention dans ce qui suit.

Choisissons \(W_0 \subset X\) quasi-compact ouvert de telle sorte que \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\) soient tous deux non vides. Choisissons une sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\) et une décomposition \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\) en parties ouvertes et fermées de sorte que \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) et \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\). Soit \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\). En particulier \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\) et de même pour \(\overline{V}\).

Ayant choisi \(W_0\), \(k'\) comme ci-dessus, pour chaque ouvert quasi-compact \(W \subset X\) nous posons \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] Maintenant, puisque \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\) et \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\) sont fixés par un sous-groupe ouvert de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\), on voit que l’union et l’intersection ci-dessus sont finies. Par conséquent, \(U_W\) et \(V_W\) sont à la fois ouverts et fermés. De plus, par construction \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\).

Nous affirmons que si \(W \subset W' \subset X\) sont quasi-compacts ouverts, alors \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\) et \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\). Vérification omise. Ainsi, nous voyons qu’en définissant \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) et \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\) nous obtenons \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\) est une union disjointe de ouverts et fermés. Il est évident que \(V\) est non vide car il est construit en prenant des unions (localement). D’autre part, \(U\) est non vide puisqu’il contient \(W_0 \cap \overline{U}\) par construction. Enfin, \(U, V \subset X_{\bar k}\) sont fermés et \(H\)-invariants par construction. Ainsi, par le lemme 038B nous avons \(U = (U')_{\bar k}\), et \(V = (V')_{\bar k}\) pour un certain \(U', V' \subset X_{k'}\) fermé. Il est clair que \(X_{k'} = U' \amalg V'\) et on voit que \(X_{k'}\) est non connexe comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(\overline{k}/k\) soit une extension de Galois (éventuellement infinie). Supposons que \(f : T \to X\) soit un morphisme de schémas sur \(k\). Supposons que \(T_{\overline{k}}\) soit connexe et \(X_{\overline{k}}\) soit non connexe. Alors \(X\) est non connexe.

Démonstration

Écrivons \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\) avec \(\overline{U}\) et \(\overline{V}\) ouverts et fermés. Notons \(\overline{f} : T_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) le changement de base de \(f\). Puisque \(T_{\overline{k}}\) est connexe, on voit que \(T_{\overline{k}}\) est contenu soit dans \(\overline{f}^{-1}(\overline{U})\), soit dans \(\overline{f}^{-1}(\overline{V})\). Disons que \(T_{\overline{k}} \subset \overline{f}^{-1}(\overline{U})\).

Fixons un ouvert quasi-compact \(W \subset X\). Il existe une sous-extension galoisienne finie \(\overline{k}/k'/k\) telle que \(\overline{U} \cap W_{\overline{k}}\) et \(\overline{V} \cap W_{\overline{k}}\) proviennent d’ouverts quasi-compacts \(U', V' \subset W_{k'}\). Alors aussi \(W_{k'} = U' \amalg V'\). Considérons \[U'' = \bigcap\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(U'), \quad V'' = \bigcup\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(V').\] Ces parties sont invariantes par Galois, ouvertes et fermés, et \(W_{k'} = U'' \amalg V''\). D’après le lemme 038B, nous obtenons des ouverts et fermés \(U_W, V_W \subset W\) tels que \(U'' = (U_W)_{k'}\), \(V'' = (V_W)_{k'}\) et \(W = U_W \amalg V_W\).

Nous affirmons que si \(W \subset W' \subset X\) sont quasi-compacts ouverts, alors \(W \cap U_{W'} = U_W\) et \(W \cap V_{W'} = V_W\). Nous omettons la vérification. Par conséquent, nous voyons qu’en définissant \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) et \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\), nous obtenons \(X = U \amalg V\). Il est clair que \(V\) est non vide car il est construit en prenant des unions (localement). D’autre part, \(U\) est non vide puisqu’il contient \(f(T)\) par construction.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(T \to X\) un morphisme de schémas sur \(k\). Supposons \(T\) géométriquement connexe et \(X\) connexe. Alors \(X\) est géométriquement connexe.

Démonstration

Ceci est une reformulation du lemme 038C.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(X\) soit connexe et possède un point \(x\) tel que \(k\) soit algébriquement clos dans \(\kappa(x)\). Alors \(X\) est géométriquement connexe. En particulier, si \(X\) possède un point \(k\)-rationnel et que \(X\) est connexe, alors \(X\) est géométriquement connexe.

Démonstration

Posons \(T = \Spec(\kappa(x))\). Supposons que \(\overline{k}\) soit une clôture algébrique séparable de \(k\). L’hypothèse sur \(\kappa(x)/k\) implique que \(T_{\overline{k}}\) est irréductible, voir Algèbre, lemme 037P. Donc, d’après le lemme 056R, on voit que \(X_{\overline{k}}\) est connexe. D’après le lemme 0387, nous concluons que \(X\) est géométriquement connexe.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Pour chaque composante connexe \(T\) de \(X\), l’image réciproque \(T_K \subset X_K\) est une union de composantes connexes de \(X_K\).

Démonstration

C’est un énoncé purement topologique. Notons \(p : X_K \to X\) le morphisme de projection. Soit \(T \subset X\) une composante connexe de \(X\). Soit \(t \in T_K = p^{-1}(T)\). Soit \(C \subset X_K\) une composante connexe contenant \(t\). Alors \(p(C)\) est un sous-ensemble connexe de \(X\) qui rencontre \(T\), donc \(p(C) \subset T\). Par conséquent \(C \subset T_K\).

Le lemme suivant sera supplanté par le lemme plus fort 04PZ ci-dessous.

Lemme

Supposons que \(K/k\) soit une extension finie de corps et soit \(X\) un schéma sur \(k\). Notons \(p : X_K \to X\) le morphisme de projection. Pour chaque composante connexe \(T\) de \(X_K\), l’image \(p(T)\) est une composante connexe de \(X\).

Démonstration

L’image \(p(T)\) est contenue dans une certaine composante connexe \(X'\) de \(X\). Considérons \(X'\) comme un sous-schéma fermé de \(X\) de quelque manière que ce soit. Alors \(T\) est également une composante connexe de \(X'_K = p^{-1}(X')\) et nous pouvons donc supposer que \(X\) est connexe. Le morphisme \(p\) est ouvert (Morphismes, lemme 0383), fermé (Morphismes, lemme 01WM) et les fibres de \(p\) sont des ensembles finis (Morphismes, lemme 02NU). Ainsi, nous pouvons appliquer Topologie, lemme 07VB pour conclure.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Notons \(p : X_K \to X\) le morphisme de projection. Supposons que \(\overline{T} \subset X_K\) soit une composante connexe. Alors \(p(\overline{T})\) est une composante connexe de \(X\).

Démonstration

Lorsque \(K/k\) est fini, c’est le lemme 07VM. En général, la preuve est plus difficile.

Soit \(T \subset X\) soit la composante connexe de \(X\) contenant l’image de \(\overline{T}\). Nous pouvons remplacer \(X\) par \(T\) (avec la structure de sous-schéma réduit induite). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X\) est connexe. Supposons que \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(L \subset A\) la \(k\)-algèbre maximale faiblement étale, voir Compléments d’algèbre, lemme 0CKS. Comme \(A\) n’a pas d’idempotents non triviaux, on voit que \(L\) est un corps et une extension algébrique séparable de \(k\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0CKR. Observons que \(L\) est également l’algèbre \(L\) maximale faiblement étale de \(A\) (car toute algèbre faiblement étale \(L\) est faiblement étale sur \(k\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 092J). D’après Schémas, lemme 01I1, nous obtenons une factorisation \(X \to \Spec(L) \to \Spec(k)\) du morphisme de structure.

Supposons que \(L'/L\) soit une extension finie séparable. D’après Cohomologie des Schémas, lemme 0CKW nous avons \[A \otimes_L L' = H^0(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L'), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')})\] La \(L'\)-sous-algèbre faiblement étale maximale de \(A \otimes_L L'\) est \(L \otimes_L L' = L'\), d’après Compléments d’algèbre, lemme 0CKU. En particulier, \(A \otimes_L L'\) n’a pas d’idempotents non triviaux (un tel idempotent engendrerait une sous-algèbre faiblement étale) et nous concluons que \(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')\) est connexe. Par le lemme 0389, nous concluons que \(X\) est géométriquement connexe sur \(L\).

Donnons à \(\overline{T}\) la structure de schéma induit réduite et considérons la composition \[\overline{T} \xrightarrow{i} X_K = X \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \xrightarrow{\pi} \Spec(L \otimes_k K)\] L’image est contenue dans une composante connexe de \(\Spec(L \otimes_k K)\). Puisque \(K \to L \otimes_k K\) est intégral, on voit que les composantes connexes de \(\Spec(L \otimes_k K)\) sont des points et tous les points sont fermés, voir Algèbre, lemme 00GS. Ainsi, nous obtenons un corps quotient \(L \otimes_k K \to E\) tel que \(\overline{T}\) s’envoie dans \(\Spec(E) \subset \Spec(L \otimes_k K)\). Par conséquent \(i(\overline{T}) \subset \pi^{-1}(\Spec(E))\). Mais \[\pi^{-1}(\Spec(E)) = (X \times_{\Spec(k)} \Spec(K)) \times_{\Spec(L \otimes_k K)} \Spec(E) = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\] qui est connexe parce que \(X\) est géométriquement connexe sur \(L\). Ensuite, nous obtenons l’égalité \(\overline{T} = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\) (au sens des ensembles) et nous concluons que \(\overline{T} \to X\) est surjective comme voulu.

Soit \(X\) un schéma. On note \(\pi_0(X)\) l’ensemble des composantes connexes de \(X\).

Lemme

Soit \(k\) un corps, muni d’une clôture algébrique séparable \(\overline{k}\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Il existe une action \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \pi_0(X_{\overline{k}})\] avec les propriétés suivantes :

1. Un élément \(\overline{T} \in \pi_0(X_{\overline{k}})\) est fixé par l’action si et seulement s’il existe une composante connexe \(T \subset X\), qui est géométriquement connexe sur \(k\), telle que \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\).

2. Pour toute extension de corps \(k'/k\) avec clôture algébrique séparable \(\overline{k}'\) le diagramme \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \pi_0(X_{\overline{k}}) }\] est commutatif (où la flèche verticale droite est une bijection d’après le lemme 0363).

Démonstration

L’action (038A) de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) sur \(X_{\overline{k}}\) induit une action sur ses composantes connexes. Les composantes connexes sont toujours fermées (Topologie, lemme 004T). Donc si \(\overline{T}\) est comme dans (1), alors par le lemme 038B il existe un sous-ensemble fermé \(T \subset X\) tel que \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\). Notons que \(T\) est géométriquement connexe sur \(k\), voir le lemme 0387. Pour voir que \(T\) est une composante connexe de \(X\), supposons que \(T \subset T'\), \(T \not = T'\) où \(T'\) est une composante connexe de \(X\). Dans ce cas, \(T'_{k'}\) contient strictement \(\overline{T}\) et est donc non connexe. Par le lemme 038C cela signifie que \(T'\) est non connexe ! Contradiction.

Nous omettons la preuve de la fonctorialité en (2).

Lemme

Soit \(k\) un corps, muni d’une clôture algébrique séparable \(\overline{k}\). Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons

1. \(X\) est quasi-compact, et

2. les composantes connexes de \(X_{\overline{k}}\) sont ouvertes.

Alors

1. \(\pi_0(X_{\overline{k}})\) est fini, et

2. l’action de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) sur \(\pi_0(X_{\overline{k}})\) est continue.

De plus, les hypothèses (1) et (2) sont satisfaites lorsque \(X\) est de type fini sur \(k\).

Démonstration

Comme les composantes connexes, qui sont ouvertes, recouvrent \(X_{\overline{k}}\) (Topologie, lemme 004T) et \(X_{\overline{k}}\) est quasi-compact, nous concluons qu’il n’y en a qu’un nombre fini. Ainsi, (a) est vérifié. D’après le lemme 0388, ces composantes connexes sont chacune définies sur une sous-extension finie de \(\overline{k}/k\) et nous obtenons (b). Si \(X\) est de type fini sur \(k\), alors \(X_{\overline{k}}\) est de type fini sur \(\overline{k}\) (Morphismes, lemme 01T4). Par conséquent, \(X_{\overline{k}}\) est un schéma noethérien (Morphismes, lemme 01T6). Ainsi, \(X_{\overline{k}}\) a un nombre fini de composantes irréductibles (Propriétés, lemme 0BA8) et a fortiori un nombre fini de composantes connexes (qui sont donc ouvertes).

Schémas géométriquement irréductibles

Si \(X\) est un schéma irréductible sur un corps, il peut arriver que \(X\) devienne réductible après l’extension du corps de base. Cela n’arrive pas pour les schémas géométriquement irréductibles.

Définition

Soit \(X\) un schéma sur le corps \(k\). On dit que \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\) si le schéma \(X_{k'}\) est irréductible ¹ pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur le corps \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Alors \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement irréductible sur \(k'\).

Démonstration

Si \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\), alors il est clair que \(X_{k'}\) est géométriquement irréductible sur \(k'\). Pour la réciproque, pour toute extension de corps \(k''/k\), il existe une extension de corps commune \(k'''/k'\) et \(k'''/k''\), voir corps, lemme 0H7K. Comme le morphisme \(X_{k'''} \to X_{k''}\) est surjectif (en tant que changement de base d’un morphisme surjectif entre spectres de corps), on voit que l’irréductibilité de \(X_{k'''}\) implique l’irréductibilité de \(X_{k''}\). Ainsi, si \(X_{k'}\) est géométriquement irréductible sur \(k'\), alors \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\).

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur un corps séparablement clos \(k\). Si \(X\) est irréductible, alors \(X_K\) est irréductible pour toute extension de corps \(K/k\). C.-à-d., \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\).

Démonstration

Cela résulte de Propriétés, lemme 01OM et Algèbre, lemme 00I7.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\), \(Y\) soient des schémas sur \(k\). Supposons que \(X\) soit géométriquement irréductible sur \(k\). Ensuite, le morphisme de projection \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] induit une bijection entre les composantes irréductibles.

Démonstration

Tout d’abord, notons que les fibres schématiques de \(p\) sont irréductibles, puisqu’elles sont des changements de base du schéma géométriquement irréductible \(X\) par des extensions de corps. De plus, les fibres schématiques sont homéomorphes aux fibres ensemblistes, voir Schémas, lemme 01K1. Selon Morphismes, lemme 0383, l’application \(p\) est ouverte. Ainsi, nous pouvons appliquer Topologie, lemme 037A pour conclure.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\),

2. pour chaque ouvert affine non vide \(U\) la \(k\)-algèbre \(\mathcal{O}_X(U)\) est géométriquement irréductible sur \(k\) (voir Algèbre, définition 037L),

3. \(X\) est irréductible et il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(k\)-algèbre \(\mathcal{O}_X(U_i)\) est géométriquement irréductible, et

4. il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) avec \(I \not = \emptyset\) tel que \(X_i\) est géométriquement irréductible pour chaque \(i\) et tel que \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\) pour tout \(i, j \in I\).

De plus, si \(X\) est géométriquement irréductible, il en est de même pour tout sous-schéma ouvert non vide de \(X\).

Démonstration

Un schéma affine \(\Spec(A)\) sur \(k\) est géométriquement irréductible si et seulement si \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\) ; cela découle immédiatement des définitions. Rappelons que si un schéma est irréductible, alors tout sous-schéma ouvert non vide de \(X\) l’est aussi, et que deux ouverts non vides ont une intersection non vide. De plus, si tout ouvert affine est irréductible, alors le schéma est irréductible, voir Propriétés, lemme 01OM. Ainsi, l’énoncé final du lemme est clair, ainsi que les implications (1) \(\Rightarrow\) (2), (2) \(\Rightarrow\) (3), et (3) \(\Rightarrow\) (4). Si (4) est vrai, alors pour toute extension de corps \(k'/k\), le schéma \(X_{k'}\) possède un recouvrement par des ouverts irréductibles dont les intersections deux à deux sont non vides. Par conséquent, \(X_{k'}\) est irréductible. Ainsi, (4) implique (1).

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma irréductible sur le corps \(k\). Supposons que \(\xi \in X\) soit son point générique. Les énoncés suivants sont équivalents :

1. \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\) ;

2. \(\kappa(\xi)\) est géométriquement irréductible sur \(k\) ;

3. la clôture algébrique séparable de \(k\) dans \(\kappa(\xi)\) est égale à \(k\).

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 0G33, (2) et (3) sont équivalents.

Supposons (1). Rappelons que \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est la colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X(U)\) où \(U\) parcourt les sous-schémas affines ouverts non vides de \(X\). En combinant le lemme 038G et le lemme d’Algèbre 037N, nous voyons que \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est géométriquement irréductible sur \(k\). Puisque \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \kappa(\xi)\) est une surjection avec noyau localement nilpotent (voir le lemme d’Algèbre 00EU), il s’ensuit que \(\kappa(\xi)\) est géométriquement irréductible, voir le lemme d’Algèbre 0BRA.

Supposons (2). On peut supposer que \(X\) est réduit. Supposons que \(U \subset X\) est un ouvert affine non vide. Alors \(U = \Spec(A)\) où \(A\) est un anneau intègre avec corps des fractions \(\kappa(\xi)\). Ainsi \(A\) est une \(k\)-sous-algèbre d’une \(k\)-algèbre géométriquement irréductible. Par conséquent, d’après le lemme d’Algèbre 037N, on voit que \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\). D’après le lemme 038G, nous en concluons que \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\).

Lemme

Un schéma \(X\) sur un corps \(k\) est géométriquement irréductible sur \(k\) si et seulement si \(X\times_k X\) est irréductible.

Démonstration

Si \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\), alors \(X\times_k X\) est irréductible selon le lemme 038F.

Inversement, supposons que \(X \times_k X\) soit irréductible. En remplaçant \(X\) par le schéma réduit sous-jacent, on peut supposer que \(X\) est réduit sans changer le problème. Puisque la première projection \(X \times_k X \to X\) est surjective, \(X\) est également irréductible, donc intégral. Supposons qu’il existe un élément \(\alpha\) dans le corps des fonctions \(k(X)\) qui soit algébrique séparable sur \(k\) mais pas dans \(k\). Soit \(E = k(\alpha)\).

Puis il existe un sous-schéma affine ouvert non vide \(U\) de \(X\) tel que \(k \subset E \subset O(U)\), et donc \(E \otimes_k E \subset O(U)\otimes_k O(U) = O(U\times_k U)\). Ainsi nous avons un morphisme dominant \(U \times_k U \to \Spec(E\otimes_k E)\). Puisque \(X\times_k X\) est irréductible, \(U \times_k U\) l’est aussi, et donc \(\Spec(E \otimes_k E)\) est connexe. Si \(E\) est strictement plus grand que \(k\), alors \(E \otimes_k E\) est un produit de corps incluant \(E\) comme un facteur. Il a une dimension \((\dim_k(E))^2>\dim_k(E)\) comme espace vectoriel sur \(k\), et donc \(E\otimes_k E\) est un produit d’au moins deux corps, ce qui contredit que \(\Spec(E \otimes_k E)\) est connexe. Donc en fait \(E\) est égal à \(k\). D’après le lemme 054Q, \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\).

Lemme

Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(X\) est un schéma sur \(k\). Posons \(X' = X_{k'}\). Supposons que \(k\) est séparablement algébriquement clos. Alors le morphisme \(X' \to X\) induit une bijection des composantes irréductibles.

Démonstration

Puisque \(k\) est séparablement algébriquement clos, on voit que \(k'\) est géométriquement irréductible sur \(k\), voir Algèbre, lemme 037M. Par conséquent, \(Z = \Spec(k')\) est géométriquement irréductible sur \(k\), d’après le lemme 038G ci-dessus. Puisque \(X' = Z \times_k X\), le résultat est un cas particulier du lemme 038F.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\),

2. pour toute extension de corps finie séparable \(k'/k\) le schéma \(X_{k'}\) est irréductible, et

3. \(X_{\overline{k}}\) est irréductible, où \(k \subset \overline{k}\) est une clôture algébrique séparable de \(k\).

Démonstration

Supposons que \(X_{\overline{k}}\) soit irréductible, c’est-à-dire, supposons (3). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Il existe une extension de corps \(\overline{k}'/\overline{k}\) telle que \(k'\) se plonge dans \(\overline{k}'\) comme une extension de \(k\). D’après le lemme 038H, on voit que \(X_{\overline{k}'}\) est irréductible. Puisque \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\) est surjective, nous concluons que \(X_{k'}\) est irréductible. Par conséquent, (1) est vrai.

Supposons que \(k \subset \overline{k}\) soit une clôture algébrique séparable de \(k\). Supposons que non (3), c’est-à-dire supposons que \(X_{\overline{k}}\) soit réductible. Notre but est de montrer que \(X_{k'}\) est également réductible pour une certaine sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\). Supposons que \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) soit un recouvrement affine ouvert avec \(U_i\) non vide. Si pour un certain \(i\) le schéma \(U_i\) est réductible, ou si pour une certaine paire \(i \not = j\) l’intersection \(U_i \cap U_j\) est vide, alors \(X\) est réductible (Propriétés, lemme 01OM) et nous avons terminé. En particulier, on peut supposer que \(U_{i, \overline{k}} \cap U_{j, \overline{k}}\) pour tout \(i, j \in I\) est non vide et nous en concluons que \(U_{i, \overline{k}}\) doit être réductible pour un certain \(i\). Selon Algèbre, lemme 037K, cela signifie que \(U_{i, k'}\) est réductible pour une certaine extension de corps finie séparable \(k'/k\). Par conséquent, \(X_{k'}\) est également réductible. Ainsi, on voit que (2) implique (3).

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Pour chaque composante irréductible \(T\) de \(X\), l’image réciproque \(T_K \subset X_K\) est une union de composantes irréductibles de \(X_K\).

Démonstration

Soit \(T \subset X\) une composante irréductible de \(X\). Le morphisme \(T_K \to T\) est plat, donc les généralisations se relèvent le long de \(T_K \to T\). Ainsi, chaque \(\xi \in T_K\) qui est un point générique d’une composante irréductible de \(T_K\) s’envoie sur le point générique \(\eta\) de \(T\). Si \(\xi' \leadsto \xi\) est une spécialisation dans \(X_K\), alors \(\xi'\) se mappe à \(\eta\) puisqu’il n’y a pas de points se spécialisant en \(\eta\) dans \(X\). Ainsi \(\xi' \in T_K\) et nous concluons que \(\xi = \xi'\). En d’autres termes, \(\xi\) est le point générique d’une composante irréductible de \(X_K\). Cela signifie que les composantes irréductibles de \(T_K\) sont toutes des composantes irréductibles de \(X_K\).

Pour un schéma \(X\), nous notons \(\text{IrredComp}(X)\) l’ensemble des composantes irréductibles de \(X\).

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Pour chaque composante irréductible \(\overline{T} \subset X_K\), l’image de \(\overline{T}\) dans \(X\) est une composante irréductible dans \(X\). Cela définit une application canonique \[\text{IrredComp}(X_K) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] qui est surjective.

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X_K \ar[d] & X_{\overline{K}} \ar[d] \ar[l] \\ X & X_{\overline{k}} \ar[l] }\] où \(\overline{K}\) est la clôture algébrique séparable de \(K\), et où \(\overline{k}\) est la clôture algébrique séparable de \(k\). D’après le lemme 038H, le morphisme \(X_{\overline{K}} \to X_{\overline{k}}\) induit une bijection entre les composantes irréductibles. Il suffit donc de démontrer le lemme pour les morphismes \(X_{\overline{k}} \to X\) et \(X_{\overline{K}} \to X_K\). En d’autres termes, on peut supposer que \(K = \overline{k}\).

Le morphisme \(p : X_{\overline{k}} \to X\) est intégral, plat et surjectif. La platitude implique que les généralisations se relèvent le long de \(p\), voir Morphismes, lemme 03HV. Par conséquent, les points génériques des composantes irréductibles de \(X_{\overline{k}}\) se projettent sur des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). L’intégralité implique que \(p\) est universellement fermé, voir Morphismes, lemme 01WM. Ainsi, nous concluons que l’image \(p(\overline{T})\) d’une composante irréductible est un sous-ensemble fermé irréductible qui contient un point générique d’une composante irréductible de \(X\), donc \(p(\overline{T})\) est une composante irréductible de \(X\). Cela prouve la première assertion. Si \(T \subset X\) est une composante irréductible, alors \(p^{-1}(T) =T_K\) est une union non vide de composantes irréductibles, voir lemme 04KW. Chacune d’elles se projette nécessairement sur \(T\) selon la première partie. Par conséquent, l’application est surjective.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Si \(X\) est irréductible et possède un ensemble dense de points \(k\)-rationnels, alors \(X\) est géométriquement irréductible.

Démonstration

Supposons que \(k'/k\) soit une extension finie de corps et soit \(Z, Z' \subset X_{k'}\) des composantes irréductibles. Il suffit de montrer \(Z = Z'\), voir le lemme 038I. Par le lemme 04KX, nous avons \(p(Z) = p(Z') = X\) où \(p : X_{k'} \to X\) est la projection. Si \(Z \not = Z'\) alors \(Z \cap Z'\) est nulle part dense dans \(X_{k'}\) et donc \(p(Z \cap Z')\) n’est pas dense d’après Morphismes, lemme 03HX ; ici nous utilisons aussi que \(p\) est un morphisme fini comme le changement de base du morphisme fini \(\Spec(k') \to \Spec(k)\), voir Morphismes, lemme 01WL. Ainsi nous pouvons choisir un point \(k\)-rationnel \(x \in X\) avec \(x \not \in p(Z \cap Z')\). Puisque le corps résiduel de \(x\) est \(k\), nous voyons que \(p^{-1}(\{x\}) = \{x'\}\) où \(x' \in X_{k'}\) est un point dont le corps résiduel est \(k'\). Puisque \(x \in p(Z) = p(Z')\), nous concluons que \(x' \in Z \cap Z'\), ce qui est la contradiction que nous cherchions.

Lemme

Soit \(k\) un corps, muni d’une clôture algébrique séparable \(\overline{k}\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Il existe une action \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] avec les propriétés suivantes :

1. Un élément \(\overline{T} \in \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\) est fixé par l’action si et seulement s’il existe une composante irréductible \(T \subset X\), qui est géométriquement irréductible sur \(k\), telle que \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\).

2. Pour toute extension de corps \(k'/k\) avec clôture algébrique séparable \(\overline{k}'\), le diagramme \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) }\] est commutatif (où la flèche verticale droite est une bijection selon le lemme 038H).

Démonstration

L’action ( 038A ) de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) sur \(X_{\overline{k}}\) induit une action sur ses composantes irréductibles. Les composantes irréductibles sont toujours fermées (Topologie, lemme 004T). Par conséquent, si \(\overline{T}\) est comme dans (1), alors par le lemme 038B il existe un sous-ensemble fermé \(T \subset X\) tel que \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\). Notons que \(T\) est géométriquement irréductible sur \(k\), voir le lemme 038I. Pour voir que \(T\) est une composante irréductible de \(X\), supposons que \(T \subset T'\), \(T \not = T'\) où \(T'\) est une composante irréductible de \(X\). Supposons que \(\overline{\eta}\) soit le point générique de \(\overline{T}\). Il s’envoie sur le point générique \(\eta\) de \(T\). Ensuite, le point générique \(\xi \in T'\) se spécialise en \(\eta\). Comme \(X_{\overline{k}} \to X\) est plat, il existe un point \(\overline{\xi} \in X_{\overline{k}}\) qui s’envoie sur \(\xi\) et se spécialise en \(\overline{\eta}\). Il s’ensuit que l’adhérence du singleton \(\{\overline{\xi}\}\) est un sous-ensemble fermé irréductible de \(X_{\overline{\xi}}\) qui contient strictement \(\overline{T}\). C’est la contradiction souhaitée.

Nous omettons la preuve de la fonctorialité en (2).

Lemme

Soit \(k\) un corps, muni d’une clôture algébrique séparable \(\overline{k}\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les fibres de l’application \[\text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] du lemme 04KX sont exactement les orbites de \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) sous l’action du lemme 038J.

Démonstration

Soit \(T \subset X\) une composante irréductible de \(X\). Supposons que \(\eta \in T\) soit son point générique. D’après les lemmes 04KW et 04KX, les points génériques des composantes irréductibles de \(\overline{T}\) qui se projettent sur \(T\) se projettent sur \(\eta\). D’après le lemme d’algèbre 04KP, le groupe de Galois agit transitivement sur tous les points de \(X_{\overline{k}}\) se projetant sur \(\eta\). D’où le lemme en découle.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X \to \Spec(k)\) soit localement de type fini. Dans ce cas

1. l’action \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] est continue si nous donnons à \(\text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\) la topologie discrète,

2. chaque composante irréductible de \(X_{\overline{k}}\) peut être définie sur une extension finie de \(k\), et

3. étant donnée une composante irréductible \(T \subset X\), le schéma \(T_{\overline{k}}\) est une union finie de composantes irréductibles de \(X_{\overline{k}}\) qui sont toutes dans le même \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-orbite.

Démonstration

Supposons que \(\overline{T}\) soit une composante irréductible de \(X_{\overline{k}}\). Nous pouvons choisir un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\) ne soit pas vide. Écrivons \(U = \Spec(A)\), ainsi \(A\) est une \(k\)-algèbre de type fini, voir Morphismes, lemme 01T2. Par conséquent, \(A_{\overline{k}}\) est une \(\overline{k}\)-algèbre de type fini, et en particulier noethérienne. Supposons que \(\mathfrak p = (f_1, \ldots, f_n)\) soit l’idéal premier correspondant à \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\). Comme \(A_{\overline{k}} = A \otimes_k \overline{k}\), nous voyons qu’il existe une sous-extension finie \(\overline{k}/k'/k\) telle que chaque \(f_i \in A_{k'}\). Il est clair que \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\) fixe \(\overline{T}\), ce qui prouve (1).

La partie (2) suit en appliquant le lemme 038J (1) à la situation sur \(k'\), ce qui implique que la composante irréductible \(\overline{T}\) est de la forme \(T'_{\overline{k}}\) pour un certain irréductible \(T' \subset X_{k'}\).

Pour démontrer (3), soit \(T \subset X\) une composante irréductible. Choisissons une composante irréductible \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\) qui s’envoie sur \(T\), voir le lemme 04KX. D’après ce qui précède, l’orbite de \(\overline{T}\) est finie, disons qu’elle est \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\). Alors \(\overline{T}_1 \cup \ldots \cup \overline{T}_n\) est un sous-ensemble fermé invariant par \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\) de \(X_{\overline{k}}\) et donc de la forme \(W_{\overline{k}}\) pour un certain \(W \subset X\) fermé d’après le lemme 038B. Clairement \(W = T\) et cela conclut.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X \to \Spec(k)\) soit localement de type fini. Supposons que \(X\) ait un nombre fini de composantes irréductibles. Alors il existe une extension finie séparable \(k'/k\) telle que chaque composante irréductible de \(X_{k'}\) soit géométriquement irréductible sur \(k'\).

Démonstration

Supposons que \(\overline{k}\) soit une clôture algébrique séparable de \(k\). L’hypothèse que \(X\) a un nombre fini de composantes irréductibles combinée avec le lemme 04KZ (3) montre que \(X_{\overline{k}}\) a un nombre fini de composantes irréductibles \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\). Par le lemme 04KZ (2), il existe une extension finie \(\overline{k}/k'/k\) et des composantes irréductibles \(T_i \subset X_{k'}\) telles que \(\overline{T}_i = T_{i, \overline{k}}\) et nous avons terminé.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur le corps \(k\). Supposons que \(X\) ait un nombre fini de composantes irréductibles, toutes géométriquement irréductibles. Alors \(X\) a un nombre fini de composantes connexes, chacune étant géométriquement connexe.

Démonstration

Ceci est clair parce qu’une composante connexe est une union de composantes irréductibles. Nous omettons les détails.

Schémas géométriquement intègres

Si \(X\) est un schéma intègre sur un corps, il peut arriver que \(X\) devienne soit non réduit soit réductible après extension du corps de base. Cela n’arrive pas pour les schémas géométriquement intègres.

Définition

Soit \(X\) un schéma sur le corps \(k\).

1. Soit \(x \in X\). Nous disons que \(X\) est géométriquement ponctuellement intègre en \(x\) si pour toute extension de corps \(k'/k\) et tout \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est intègre.

2. Nous disons que \(X\) est géométriquement ponctuellement intègre si \(X\) est géométriquement ponctuellement intègre en tout point.

3. Nous disons que \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\) si le schéma \(X_{k'}\) est intègre pour toute extension de corps \(k'\) de \(k\).

La distinction entre les notions (2) et (3) est nécessaire. Par exemple, si \(k = \mathbf{R}\) et \(X = \Spec(\mathbf{C}[x])\), alors \(X\) est géométriquement ponctuellement intégral sur \(\mathbf{R}\) mais bien sûr pas géométriquement intègre.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Alors \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\) si et seulement si \(X\) est à la fois géométriquement réduit et géométriquement irréductible sur \(k\).

Démonstration

Voir Propriétés, lemme 01ON.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre sur \(k\).

1. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre de dimension finie,

2. \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\) est un produit d’\(k\)-algèbres locales artiniennes, un facteur pour chaque composante connexe de \(X\),

3. si \(X\) est réduit, alors \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\) est un produit de corps, chacun étant une extension finie de \(k\),

4. si \(X\) est géométriquement réduit, alors \(k_i\) est finie et séparable sur \(k\),

5. si \(X\) est géométriquement connexe, alors \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\),

6. si \(X\) est géométriquement irréductible, alors \(A\) est géométriquement irréductible sur \(k\),

7. si \(X\) est géométriquement réduit et géométriquement connexe, alors \(A = k\), et

8. si \(X\) est géométriquement intègre, alors \(A = k\).

Démonstration

D’après Cohomologie des Schémas, lemme 02O6, on voit que \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre de dimension finie. Cela prouve (1).

Alors \(A\) est un produit de \(k\)-algèbres artiniennes locales par Algèbre, lemme 00J6 et la proposition 00KJ. Si \(X = Y \amalg Z\) avec \(Y\) et \(Z\) ouverts dans \(X\), alors nous obtenons un idempotent \(e \in A\) en prenant la section de \(\mathcal{O}_X\) qui est \(1\) sur \(Y\) et \(0\) sur \(Z\). Réciproquement, si \(e \in A\) est un idempotent, alors nous obtenons une décomposition correspondante de \(X\). Enfin, comme \(X\) a un espace topologique sous-jacent noethérien, ses composantes connexes sont ouvertes. Par conséquent, les composantes connexes de \(X\) correspondent de \(1\) à \(1\) avec des idempotents primitifs de \(A\). Cela prouve (2).

Si \(X\) est réduit, alors \(A\) est réduit. Par conséquent, les anneaux locaux \(A_i = k_i\) sont réduits et donc corps (par exemple d’après Algèbre, lemme 00EU). Cela prouve (3).

Si \(X\) est géométriquement réduit, alors \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) (égalité par la cohomologie des Schémas, lemme 02KH) est réduit. Cela implique que \(k_i \otimes_k \overline{k}\) est un produit de corps et donc \(k_i/k\) est séparable, par exemple d’après Algèbre, lemmes 030W et 030V. Cela prouve (4).

Si \(X\) est géométriquement connexe, alors \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\) est un anneau local de dimension zéro d’après la partie (2) et donc son spectre a un point, en particulier il est irréductible. Ainsi \(A\) est géométriquement irréductible. Cela prouve (5). Bien sûr, (5) implique (6).

Si \(X\) est géométriquement réduit et géométriquement connexe, alors \(A = k_1\) est un corps et l’extension \(k_1/k\) est finie séparable et géométriquement irréductible. Cependant, alors \(k_1 \otimes_k \overline{k}\) est un produit de \([k_1 : k]\) copies de \(\overline{k}\) et nous concluons que \(k_1 = k\). Cela prouve (7). Bien sûr, (7) implique (8).

Voici une version simplifiée de la factorisation de Stein ; la factorisation de Stein proprement dite sera abordée dans Plus sur les Morphismes, section 03GX.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma propre sur un corps \(k\). Posons \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Les fibres du morphisme canonique \(X \to \Spec(A)\) sont géométriquement connexes.

Démonstration

Posons \(S = \Spec(A)\). Le morphisme canonique \(X \to S\) est le morphisme correspondant à \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S) = A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) d’après Schémas, lemme 01I1. La \(k\)-algèbre \(A\) est un produit fini \(A = \prod A_i\) de \(k\)-algèbres locales artiniennes finies sur \(k\), voir le lemme 0BUG. Désignons par \(s_i \in S\) le point correspondant à l’idéal maximal de \(A_i\). Choisissons une clôture algébrique \(\overline{k}\) de \(k\) et posons \(\overline{A} = A \otimes_k \overline{k}\). Choisissons un plongement \(\kappa(s_i) \to \overline{k}\) sur \(k\) ; cela détermine un morphisme d’algèbres \(\overline{k}\). \[\sigma_i : \overline{A} = A \otimes_k \overline{k} \to \kappa(s_i) \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\] Considérons le changement de base \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \overline{S} \ar[r] & S }\] de \(X\) à \(\overline{S} = \Spec(\overline{A})\). Par la cohomologie des Schémas, lemme 02KH nous avons \(\Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}}) = \overline{A}\). Si \(\overline{s}_i \in \Spec(\overline{A})\) désigne le point \(\overline{k}\)-rationnel correspondant à \(\sigma_i\), alors on voit que \(\overline{s}_i\) s’envoie sur \(s_i \in S\) et \(\overline{X}_{\overline{s}_i}\) est le changement de base de \(X_{s_i}\) par \(\Spec(\sigma_i)\). Ainsi, nous voyons qu’il suffit de prouver le lemme dans le cas où \(k\) est algébriquement clos.

Supposons que \(k\) soit algébriquement clos. Dans ce cas, \(\kappa(s_i)\) est algébriquement clos et nous devons montrer que \(X_{s_i}\) est connexe. La décomposition en produit \(A = \prod A_i\) correspond à une décomposition en union disjointe \(\Spec(A) = \coprod \Spec(A_i)\), voir Algèbre, lemme 00ED. Notons \(X_i\) l’image inverse de \(\Spec(A_i)\). Il découle du lemme 0BUG, partie (2), que \(A_i = \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\). Il faut observer que \(X_{s_i} \to X_i\) est une immersion fermée induisant un isomorphisme sur les espaces topologiques sous-jacents (parce que \(\Spec(A_i)\) est un singleton). Ainsi, si \(X_{s_i}\) n’est pas connexe, alors \(X_i\) ne l’est pas non plus. Donc soit \(X_i\) est vide et \(A_i = 0\) ou \(X_i\) peut être écrit comme \(U \amalg V\) avec \(U\) et \(V\) ouverts et non vides, ce qui impliquerait que \(A_i\) possède un idempotent non trivial. Puisque \(A_i\) est local, c’est une contradiction et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre géométriquement réduit sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), et

2. \(X\) est géométriquement connexe.

Démonstration

D’après le lemme 0FD1, nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2). D’après le lemme 0BUG, nous avons (2) \(\Rightarrow\) (1).

Schémas géométriquement normaux

Dans Propriétés, définition 033I nous avons défini la notion de schéma normal. Cette notion est définie même pour des schémas non noethériens. Ainsi, contrairement à notre discussion des schémas « géométriquement réguliers », nous considérons toutes les extensions de corps du corps de base.

Définition

Soit \(X\) un schéma sur le corps \(k\).

1. Soit \(x \in X\). On dit que \(X\) est géométriquement normal en \(x\) si pour toute extension de corps \(k'/k\) et tout \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\) l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est normal.

2. On dit que \(X\) est géométriquement normal sur \(k\) si \(X\) est géométriquement normal en tout \(x \in X\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Soit \(x \in X\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement normal en \(x\),

2. pour toute extension de corps finie purement inséparable \(k'\) de \(k\) et \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est normal, et

3. l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement normal sur \(k\) (voir Algèbre, définition 0380).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable (par exemple \(k = k'\)). Considérons l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). D’après Algèbre, lemme 0BRA, son spectre est le même que le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Par conséquent, c’est aussi un anneau local (Algèbre, lemme 00E9). Il existe donc un point unique \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\) et \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). Par hypothèse, c’est un anneau normal. Nous en déduisons donc (3) d’après Algèbre, lemme 037Z.

Supposons (3). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Comme \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) est surjectif, \(X_{k'} \to X\) est aussi surjectif (Morphismes, lemme 01S1). Soit \(x' \in X_{k'}\) un point quelconque au-dessus de \(x\). L’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est une localisation de l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). Par conséquent, il est normal par hypothèse et (1) est prouvé.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(X\) est géométriquement normal,

2. \(X_{k'}\) est un schéma normal pour toute extension de corps \(k'/k\),

3. \(X_{k'}\) est un schéma normal pour chaque extension de corps de type fini \(k'/k\),

4. \(X_{k'}\) est un schéma normal pour chaque extension de corps finie purement inséparable \(k'/k\),

5. pour chaque ouvert affine \(U \subset X\) l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est géométriquement normal (voir Algèbre, définition 0380), et

6. \(X_{k^{perf}}\) est un schéma normal.

Démonstration

Supposons (1). Alors pour toute extension de corps \(k'/k\) et tout point \(x' \in X_{k'}\), l’anneau local de \(X_{k'}\) en \(x'\) est normal. Par définition, cela signifie que \(X_{k'}\) est normal. D’où (2).

Il est clair que (2) implique (3) implique (4).

Supposons (4) et soit \(U \subset X\) un sous-schéma affine ouvert. Alors \(U_{k'}\) est un schéma normal pour toute extension finie purement inséparable \(k'/k\) (y compris \(k = k'\)). Cela signifie que \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\) est un anneau normal pour toutes les extensions finies purement inséparables \(k'/k\). Par conséquent, \(\mathcal{O}(U)\) est une algèbre géométriquement normale \(k\) par définition. Ainsi, (4) implique (5).

Supposons (5). Pour toute extension de corps \(k'/k\), le changement de base \(X_{k'}\) s’obtient par recollement des spectres des anneaux \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\) où \(U\) est un ouvert affine dans \(X\) (voir Schémas, section 01JO). Donc \(X_{k'}\) est normal. Ainsi (1) est vrai.

L’équivalence de (5) et (6) découle de la définition des algèbres géométriquement normales et de l’équivalence que l’on vient de démontrer de (3) et (4).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(x \in X\) soit un point, et soit \(x' \in X_{k'}\) un point situé au-dessus de \(x\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement normal en \(x\),

2. \(X_{k'}\) est géométriquement normal en \(x'\).

En particulier, \(X\) est géométriquement normal sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement normal sur \(k'\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Supposons que \(k''/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable et soit \(x'' \in X_{k''}\) un point au-dessus de \(x\) (en fait, il est unique). Choisissons une extension de corps commune \(k'''/k\) de \(k'/k\) et \(k''/k\), voir corps, lemme 0H7K. Choisissons un point \(x''' \in X_{k'''}\) au-dessus à la fois de \(x'\) et \(x''\). Considérons le morphisme d’anneaux locaux \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] Ceci est un homomorphisme local plat d’anneaux et donc fidèlement plat. D’après (2), on voit que l’anneau local à droite est normal. Ainsi, d’après L’Algèbre, lemme 033G, nous concluons que \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) est normal. D’après le lemme 038N, on voit que \(X\) est géométriquement normal en \(x\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma géométriquement normal sur \(k\) et soit \(Y\) un schéma normal sur \(k\). Alors \(X \times_k Y\) est un schéma normal.

Démonstration

Cela se ramène à l’algèbre, lemme 06DF par le lemme 038O.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma normal sur \(k\). Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps séparable. Alors \(X_K\) est un schéma normal.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06DG et du lemme d’Algèbre 0C30.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre géométriquement normal sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\),

2. \(X\) est géométriquement connexe,

3. \(X\) est géométriquement irréductible, et

4. \(X\) est géométriquement intègre.

Démonstration

D’après le lemme 0FD2, nous avons l’équivalence de (1) et (2). Un schéma normal localement noethérien (tel que \(X_{\overline{k}}\)) est une réunion disjointe de ses composantes irréductibles (Propriétés, lemme 033M). Ainsi, on voit que (2) et (3) sont équivalents. Puisque \(X_{\overline{k}}\) est supposé réduit, on voit que (3) et (4) sont également équivalents.

Changement de corps et schémas localement noethériens

Soit \(X\) un schéma localement noethérien sur un corps \(k\). Il n’est pas toujours vrai que \(X_{k'}\) soit aussi localement noethérien. Par exemple, si \(X = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) et \(k = \mathbf{Q}\), alors \(X_{\overline{\mathbf{Q}}}\) est le spectre de \(\overline{\mathbf{Q}} \otimes_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{Q}}\) qui n’est pas noethérien. (Indice : Il a trop d’idempotents). Mais si nous ne faisons que des changements de base utilisant des extensions de corps de type fini, alors la propriété noethérienne est préservée. (Ou si \(X\) est localement de type fini sur \(k\), puisque cette propriété est préservée par changement de base.)

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps de type fini. Alors \(X\) est localement noethérien si et seulement si \(X_{k'}\) est localement noethérien.

Démonstration

D’après Propriétés, lemme 01OW nous réduisons au cas où \(X\) est affine, disons \(X = \Spec(A)\). Dans ce cas, nous devons prouver que \(A\) est noethérien si et seulement si \(A_{k'}\) est noethérien. Puisque \(A \to A_{k'} = k' \otimes_k A\) est fidèlement plat, on voit que si \(A_{k'}\) est noethérien, alors \(A\) l’est aussi, d’après Algèbre, lemme 033E. Réciproquement, si \(A\) est noethérien, alors \(A_{k'}\) est noethérien d’après Algèbre, lemme 045I.

Schémas géométriquement réguliers

Un schéma géométriquement régulier sur un corps \(k\) est un schéma localement noethérien sur \(k\) qui reste régulier après des changements appropriés de corps de base. Un schéma de type fini sur \(k\) est géométriquement régulier si et seulement s’il est lisse sur \(k\) (voir le lemme 038X). La notion de régularité géométrique est particulièrement intéressante dans les situations où la lissité ne peut pas être utilisée, comme pour les fibres formelles (insérer référence future ici).

Dans la définition suivante, nous nous limitons aux schémas localement noethériens, puisque la propriété d’être un anneau local régulier n’est définie que pour les anneaux locaux noethériens. D’après le lemme 038R ci-dessus, si nous nous limitons aux extensions de corps de type fini, alors cette propriété est préservée par changement de corps de base. Ce commentaire sera utilisé sans référence supplémentaire dans cette section. En particulier, la définition suivante a un sens.

Définition

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma localement noethérien sur \(k\).

1. Soit \(x \in X\). On dit que \(X\) est géométriquement régulier en \(x\) sur \(k\) si pour toute extension de corps de type fini \(k'/k\) et tout \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est régulier.

2. On dit que \(X\) est géométriquement régulier sur \(k\) si \(X\) est géométriquement régulier en tout point.

Une définition analogue permet de définir les schémas géométriquement de Cohen–Macaulay, \((R_k)\) et \((S_k)\) sur un corps. Nous ajouterons des sections séparées lorsque cela sera nécessaire.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma localement noethérien sur \(k\). Soit \(x \in X\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(X\) est géométriquement régulier en \(x\),

2. pour toute extension de corps finie purement inséparable \(k'\) de \(k\) et \(x' \in X_{k'}\) située au-dessus de \(x\) l’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est régulier, et

3. l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est géométriquement régulier sur \(k\) (voir Algèbre, définition 0382).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Cela implique en particulier que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local régulier. Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable. Considérons l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). D’après Algèbre, lemme 0BRA, son spectre est le même que le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Par conséquent, c’est aussi un anneau local (Algèbre, lemme 00E9). Donc, il y a un point unique \(x' \in X_{k'}\) au-dessus de \(x\) et \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). Par hypothèse, il s’agit d’un anneau régulier. Ainsi, nous déduisons (3) de la définition d’un anneau géométriquement régulier.

Supposons (3). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Comme \(\Spec(k') \to \Spec(k)\) est surjectif, \(X_{k'} \to X\) est aussi surjectif (Morphismes, lemme 01S1). Supposons que \(x' \in X_{k'}\) est un point quelconque situé au-dessus de \(x\). L’anneau local \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\) est une localisation de l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\). Par conséquent, il est régulier par hypothèse et (1) est prouvé.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma localement noethérien sur \(k\). Les affirmations suivantes sont équivalentes

1. \(X\) est géométriquement régulier,

2. \(X_{k'}\) est un schéma régulier pour toute extension de corps de type fini \(k'/k\),

3. \(X_{k'}\) est un schéma régulier pour toute extension de corps finie purement inséparable \(k'/k\),

4. pour tout ouvert affine \(U \subset X\) l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) est géométriquement régulier (voir Algèbre, définition 0382), et

5. il existe un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(U_i)\) est géométriquement régulier sur \(k\).

Démonstration

Supposons (1). Alors pour toute extension de corps de type fini \(k'/k\) et pour tout point \(x' \in X_{k'}\), l’anneau local de \(X_{k'}\) en \(x'\) est régulier. D’après les Propriétés, lemme 02IT, cela signifie que \(X_{k'}\) est régulier. D’où (2).

Il est clair que (2) implique (3).

Supposons (3) et soit \(U \subset X\) un sous-schéma affine ouvert. Alors \(U_{k'}\) est un schéma régulier pour toute extension finie purement inséparable \(k'/k\) (y compris \(k = k'\)). Cela signifie que \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\) est un anneau régulier pour toutes les extensions finies purement inséparables \(k'/k\). Par conséquent, \(\mathcal{O}(U)\) est une algèbre \(k\) géométriquement régulière et on voit que (4) est vrai.

Il est clair que (4) implique (5). Supposons que \(X = \bigcup U_i\) soit un recouvrement affine ouvert comme dans (5). Pour toute extension de corps \(k'/k\), le changement de base \(X_{k'}\) est obtenu en recollant les spectres des anneaux \(\mathcal{O}_X(U_i) \otimes_k k'\) (voir Schémas, section 01JO). Par conséquent, \(X_{k'}\) est régulier. Donc (1) est vérifié.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Supposons que \(k'/k\) est une extension de corps de type fini. Supposons que \(x \in X\) est un point, et soit \(x' \in X_{k'}\) un point situé au-dessus de \(x\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est géométriquement régulier en \(x\),

2. \(X_{k'}\) est géométriquement régulier en \(x'\).

En particulier, \(X\) est géométriquement régulier sur \(k\) si et seulement si \(X_{k'}\) est géométriquement régulier sur \(k'\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Supposons que \(k''/k\) soit une extension de corps finie purement inséparable et soit \(x'' \in X_{k''}\) un point au-dessus de \(x\) (en fait il est unique). Nous pouvons trouver une extension de corps commune, de type fini, \(k'''/k\) de \(k'/k\) et \(k''/k\), voir corps, lemme 0H7K et sa démonstration, et un point \(x''' \in X_{k'''}\) se trouvant au-dessus à la fois de \(x'\) et \(x''\). Considérons le morphisme d’anneaux locaux \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] Ceci est un homomorphisme plat local d’anneaux locaux noethériens et donc fidèlement plat. D’après (2), nous voyons que l’anneau local à droite est régulier. Ainsi, d’après Algèbre, lemme 00OF, nous concluons que \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\) est régulier. D’après le lemme 038U, on voit que \(X\) est géométriquement régulier en \(x\).

Le lemme suivant est une variante géométrique de l’Algèbre, lemme 07NH.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme de schémas localement noethériens sur \(k\). Supposons que \(x \in X\) soit un point et posons \(y = f(x)\). Si \(X\) est géométriquement régulier en \(x\) et que \(f\) est plat en \(x\) alors \(Y\) est géométriquement régulier en \(y\). En particulier, si \(X\) est géométriquement régulier sur \(k\) et que \(f\) est plat et surjectif, alors \(Y\) est géométriquement régulier sur \(k\).

Démonstration

Supposons que \(k'\) soit une extension finie purement inséparable de \(k\). Supposons que \(f' : X_{k'} \to Y_{k'}\) soit le changement de base de \(f\). Supposons que \(x' \in X_{k'}\) soit le point unique situé au-dessus de \(x\). Si nous montrons que \(Y_{k'}\) est régulier en \(y' = f'(x')\), alors \(Y\) est géométriquement régulier sur \(k\) en \(y'\), voir le lemme 038V. D’après Morphismes, lemme 01U8 le morphisme \(X_{k'} \to Y_{k'}\) est plat en \(x'\). Par conséquent, l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}_{Y_{k'}, y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\] est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens avec le côté droit régulier par hypothèse. Par conséquent, le côté gauche est un anneau local régulier d’après Algèbre, lemme 00OF.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma localement de type fini sur \(k\). Soit \(x \in X\). Alors \(X\) est géométriquement régulier en \(x\) si et seulement si \(X \to \Spec(k)\) est lisse en \(x\) (Morphismes, définition 01V5).

Démonstration

La question est locale autour de \(x\), donc on peut supposer que \(X = \Spec(A)\) pour une certaine \(k\)-algèbre de type fini. Soit \(\mathfrak p\) l’idéal premier correspondant à \(x\).

Si \(A\) est lisse sur \(k\) à \(\mathfrak p\), alors nous pouvons localiser \(A\) et supposer que \(A\) est lisse sur \(k\). Dans ce cas, \(k' \otimes_k A\) est lisse sur \(k'\) pour tout corps d’extension \(k'/k\), et chacun de ces anneaux noethériens est régulier selon l’Algèbre, lemme 00TT.

Supposons que \(X\) soit géométriquement régulier en \(x\). Considérons le corps résiduel \(K := \kappa(x) = \kappa(\mathfrak p)\) de \(x\). C’est une extension de type fini de \(k\). D’après Algèbre, lemme 030R, il existe une extension finie purement inséparable \(k'/k\) telle que le compositum \(k'K\) soit une extension de corps séparable de \(k'\). Supposons que \(\mathfrak p' \subset A' = k' \otimes_k A\) soit un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p\). C’est le seul premier au-dessus de \(\mathfrak p\), voir Algèbre, lemme 0BRA. Ainsi, le corps résiduel \(K' := \kappa(\mathfrak p')\) est le compositum \(k'K\). Par hypothèse, l’anneau local \((A')_{\mathfrak p'}\) est régulier. Ainsi, d’après l’Algèbre, lemme 00TV, on voit que \(k' \to A'\) est lisse en \(\mathfrak p'\). Cela implique à son tour que \(k \to A\) est lisse en \(\mathfrak p\) d’après Algèbre, lemme 02UQ. Le lemme est prouvé.

Exemple

Soit \(k =\mathbf{F}_p(t)\). Il est assez facile de donner un exemple d’une variété régulière \(V\) sur \(k\) qui n’est pas géométriquement réduite. Par exemple, nous pouvons prendre \(\Spec(k[x]/(x^p - t))\). En fait, il existe un exemple d’une variété régulière \(V\) qui est géométriquement réduite, mais pas même géométriquement normale. À savoir, prenons pour \(p > 2\) le schéma \(V = \Spec(k[x, y]/(y^2 - x^p + t))\). C’est une variété puisque le polynôme \(y^2 - x^p + t \in k[x, y]\) est irréductible. Le morphisme \(V \to \Spec(k)\) est lisse en tous les points sauf au point \(v_0 \in V\) correspondant à l’idéal maximal \((y, x^p - t)\) (car \(2y\) est inversible). En particulier, on voit que \(V\) est (géométriquement) régulière en tous les points, sauf éventuellement \(v_0\). L’anneau local \[\mathcal{O}_{V, v_0} = \left(k[x, y]/(y^2 - x^p + t)\right)_{(y, x^p - t)}\] est un anneau intègre de dimension \(1\). Son idéal maximal est engendré par un seul élément, à savoir \(y\). Par conséquent, c’est un anneau à valuation discrète et régulier. Soit \(k' = k[t^{1/p}]\). On note \(t' = t^{1/p} \in k'\), \(V' = V_{k'}\), \(v'_0 \in V'\) le point unique au-dessus de \(v_0\). Au-dessus de \(k'\), nous pouvons écrire \(x^p - t = (x - t')^p\), mais le polynôme \(y^2 - (x - t')^p\) est toujours irréductible et \(V'\) est toujours une variété. Mais l’élément \[\frac{y}{x - t'} \in (\text{fraction field of }\mathcal{O}_{V', v'_0})\] est intégral sur \(\mathcal{O}_{V', v'_0}\) (il suffit de calculer son carré) et n’y est pas contenu, donc \(V'\) n’est pas normal en \(v'_0\). Cela conclut l’exemple.

Changement de corps et propriété de Cohen–Macaulay

Le lemme suivant dit qu’il n’a pas de sens de définir des schémas géométriquement de Cohen–Macaulay, puisque ceux-ci seraient les mêmes que les schémas de Cohen-Macaulay.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma localement noethérien sur le corps \(k\). Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps de type fini. Supposons que \(x \in X\) soit un point, et soit \(x' \in X_{k'}\) un point au-dessus de \(x\). Alors nous avons \[\mathcal{O}_{X, x}\text{ is Cohen-Macaulay} \Leftrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\text{ is Cohen-Macaulay}\] Si \(X\) est localement de type fini sur \(k\), il en va de même pour toute extension de corps \(k'/k\).

Démonstration

Le premier cas du lemme découle de l’Algèbre, lemme 045N. Le deuxième cas du lemme est équivalent à l’Algèbre, lemme 00RJ.

Changement de corps et propriété de Jacobson

Un schéma localement de type fini sur un corps a beaucoup de points fermés, à savoir qu’il est de Jacobson. De plus, les corps résiduels sont des extensions finies du corps de base.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma qui est localement de type fini sur \(k\). Alors

1. pour tout point fermé \(x \in X\) l’extension \(\kappa(x)/k\) est algébrique, et

2. \(X\) est un schéma de Jacobson (Propriétés, définition 01P2 ).

Démonstration

Un schéma est de Jacobson si et seulement s’il possède un recouvrement par des ouverts affines de schémas de Jacobson, voir Propriétés, lemme 01P4. La propriété sur les corps résiduels aux points fermés est également locale sur \(X\). Par conséquent, on peut supposer que \(X\) est affine. Dans ce cas, le résultat est une conséquence du Nullstellensatz de Hilbert, voir Algèbre, théorème 00FV. Il découle également d’une combinaison de Morphismes, lemmes 01TB, 02J5 et 02J6.

Il s’avère que si \(X\) n’est pas localement de type fini, alors nous pouvons obtenir le même résultat après avoir fait une extension du corps de base suffisamment grande.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma sur un corps \(k\). Pour toute extension de corps \(K/k\) dont la cardinalité est suffisamment grande, nous avons

1. pour tout point fermé \(x \in X_K\) l’extension \(\kappa(x)/K\) est algébrique, et

2. \(X_K\) est un schéma de Jacobson (Propriétés, définition 01P2 ).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_i\). D’après Algèbre, lemme 046V et les Propriétés, lemme 01P3, il existe des cardinaux \(\kappa_i\) tels que \(U_{i, K}\) possède les propriétés souhaitées sur \(K\) si \(\#(K) \geq \kappa_i\). Posons \(\kappa = \max\{\kappa_i\}\). Alors, si la cardinalité de \(K\) est supérieure à \(\kappa\), on voit que chaque \(U_{i, K}\) satisfait les conclusions du lemme. Par conséquent, \(X_K\) est Jacobson d’après Propriétés, lemme 01P4. L’énoncé sur les corps résiduels aux points fermés de \(X_K\) découle des énoncés correspondants pour les corps résiduels des points fermés de \(U_{i, K}\).

Changement de corps et faisceaux inversibles amples

Le résultat suivant est typique des résultats de cette section.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). S’il existe un faisceau inversible ample sur \(X_K\) pour une certaine extension de corps \(K/k\), alors \(X\) possède un faisceau inversible ample.

Démonstration

Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps telle que \(X_K\) possède un faisceau inversible ample \(\mathcal{L}\). Le morphisme \(X_K \to X\) est surjectif. Par conséquent, \(X\) est quasi-compact en tant qu’image d’un schéma quasi-compact (Propriétés, définition 01PS). Puisque \(X_K\) est quasi-séparé (d’après Propriétés, lemme 01PY), nous voyons que \(X\) est quasi-séparé : si \(U, V \subset X\) sont ouverts affines, alors \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) est quasi-compact et \((U \cap V)_K \to U \cap V\) est surjectif. Ainsi, le lemme 01KO sur les schémas s’applique.

Écrivons \(K = \colim A_i\) comme colimite des sous-algèbres de \(K\) qui sont de type fini sur \(k\). Notons \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\). Puisque \(X_K = \lim X_i\), nous trouvons un \(i\) et un faisceau inversible \(\mathcal{L}_i\) sur \(X_i\) dont le image réciproque sur \(X_K\) est \(\mathcal{L}\) (Limites, lemme 0B8W ; ici et ci-dessous, nous utilisons que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé comme montré précédemment). D’après Limites, lemme 09MT, on peut supposer que \(\mathcal{L}_i\) est ample après avoir éventuellement augmenté \(i\). Fixons un tel \(i\) et soit \(\mathfrak m \subset A_i\) un idéal maximal. Par le Nullstellensatz de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV), le corps résiduel \(k' = A_i/\mathfrak m\) est une extension finie de \(k\). Ainsi \(X_{k'} \subset X_i\) est un sous-schéma fermé et possède donc un faisceau inversible ample (Propriétés, lemme 01PU). Puisque \(X_{k'} \to X\) est localement libre de rang fini, nous en concluons que \(X\) possède un faisceau inversible ample d’après Diviseurs, proposition 0BD4.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Si \(X_K\) est quasi-affine pour une certaine extension de corps \(K/k\), alors \(X\) est quasi-affine.

Démonstration

Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps telle que \(X_K\) soit quasi-affine. Le morphisme \(X_K \to X\) est surjectif. Ainsi \(X\) est quasi-compact comme l’image d’un schéma quasi-compact (Propriétés, définition 01P6). Puisque \(X_K\) est quasi-séparé (en tant que sous-schéma ouvert d’un schéma affine), on voit que \(X\) est quasi-séparé : si \(U, V \subset X\) sont ouverts affines, alors \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) est quasi-compact et \((U \cap V)_K \to U \cap V\) est surjectif. Ainsi, le lemme sur les schémas, 01KO, s’applique.

Écrivons \(K = \colim A_i\) comme colimite des sous-algèbres de \(K\) qui sont de type fini sur \(k\). Noter \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\). Puisque \(X_K = \lim X_i\), nous trouvons un \(i\) tel que \(X_i\) soit quasi-affine (Limites, lemme 01Z5 ; ici nous utilisons que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé comme montré précédemment). Par le Nullstellensatz de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV), le corps résiduel \(k' = A_i/\mathfrak m\) est une extension finie de \(k\). Ainsi \(X_{k'} \subset X_i\) est un sous-schéma fermé donc est quasi-affine (Propriétés, lemme 0BCK). Puisque \(X_{k'} \to X\) est localement libre de type fini, nous concluons par Diviseurs, lemme 0BD5.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Si \(X_K\) est quasi-projectif sur \(K\) pour une certaine extension de corps \(K/k\), alors \(X\) est quasi-projectif sur \(k\).

Démonstration

Par définition, un morphisme de schémas \(g : Y \to T\) est quasi-projectif s’il est localement de type fini, quasi-compact, et s’il existe un faisceau inversible \(g\)-ample sur \(Y\). Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps telle que \(X_K\) soit quasi-projectif sur \(K\). Supposons que \(\Spec(A) \subset X\) soit un ouvert affine. Alors \(U_K\) est un sous-schéma ouvert affine de \(X_K\), donc \(A_K\) est une \(K\)-algèbre de type fini. Alors \(A\) est une \(k\)-algèbre de type fini d’après le lemme d’algèbre 00QP. Par conséquent, \(X \to \Spec(k)\) est localement de type fini. Puisque \(X_K \to \Spec(K)\) est quasi-compact, on voit que \(X_K\) est quasi-compact, donc \(X\) est quasi-compact, donc \(X \to \Spec(k)\) est de type fini. D’après le lemme sur les morphismes 01VT, nous voyons que \(X_K\) possède un faisceau inversible ample. Ensuite, \(X\) possède un faisceau inversible ample d’après le lemme 0BDC. Par conséquent, \(X \to \Spec(k)\) est quasi-projectif d’après Morphismes, lemme 01VT.

Le lemme suivant est un cas particulier de la Descente, lemme 02L1.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Si \(X_K\) est propre sur \(K\) pour une certaine extension de corps \(K/k\), alors \(X\) est propre sur \(k\).

Démonstration

Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps telle que \(X_K\) soit propre sur \(K\). Rappelons que cela implique que \(X_K\) est séparé et quasi-compact (Morphismes, définition 01W1). Le morphisme \(X_K \to X\) est surjectif. Ainsi, \(X\) est quasi-compact comme l’image d’un schéma quasi-compact (Propriétés, définition 01PS). Puisque \(X_K\) est séparé, on voit que \(X\) est quasi-séparé : si \(U, V \subset X\) sont ouverts affines, alors \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\) est quasi-compact et \((U \cap V)_K \to U \cap V\) est surjectif. Ainsi, le lemme des schémas 01KO s’applique.

Écrivons \(K = \colim A_i\) comme colimite des sous-algèbres de \(K\) qui sont de type fini sur \(k\). Notons \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\). D’après Limites, lemme 081F, il existe un \(i\) tel que \(X_i \to \Spec(A_i)\) soit propre. Ici, nous utilisons que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé comme montré précédemment. Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m \subset A_i\). D’après le Nullstellensatz de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV), le corps résiduel \(k' = A_i/\mathfrak m\) est une extension finie de \(k\). Le changement de base \(X_{k'} \to \Spec(k')\) est propre (Morphismes, lemme 01W4). Puisque \(k'/k\) est fini, à la fois \(X_{k'} \to X\) et la composition \(X_{k'} \to \Spec(k)\) sont également propres (Morphismes, lemmes 01WN, 01W4 et 01W3). Le premier implique que \(X\) est séparé sur \(k\) puisque \(X_{k'}\) est séparé (Morphismes, lemme 09MQ). Le second implique que \(X \to \Spec(k)\) est propre d’après Morphismes, lemme 03GN.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Si \(X_K\) est projectif sur \(K\) pour une certaine extension de corps \(K/k\), alors \(X\) est projectif sur \(k\).

Démonstration

Un schéma sur \(k\) est projectif sur \(k\) si et seulement s’il est quasi-projectif et propre sur \(k\). Voir Morphismes, lemme 0BCL. Ainsi, le lemme découle des lemmes 0BDE et 0BDF.

Espaces tangents

Dans cette section, nous définissons l’espace tangent d’un morphisme de schémas en un point de la source à l’aide de points à valeurs dans les nombres duaux.

Définition

Pour tout anneau \(R\), l’algèbre des nombres duaux sur \(R\) est la \(R\)-algèbre notée \(R[\epsilon]\). Comme \(R\)-module, elle est libre de base \(1\), \(\epsilon\); la structure de \(R\)-algèbre est définie par la relation \(\epsilon^2 = 0\).

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point d’image \(s = f(x)\) dans \(S\). Considérons le diagramme commutatif formé de flèches pleines [0B2A]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S } } \end{equation}\] où la flèche courbe est le morphisme canonique de \(\Spec(\kappa(x))\) vers \(X\).

Lemme

L’ensemble des flèches pointillées rendant commutatif le diagramme (0B2A) possède une structure canonique de \(\kappa(x)\)-espace vectoriel.

Démonstration

Posons \(\kappa = \kappa(x)\). Observons que la somme amalgamée suivante existe dans la catégorie des schémas : \[\Spec(\kappa[\epsilon]) \amalg_{\Spec(\kappa)} \Spec(\kappa[\epsilon]) = \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2])\] où \(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]\) est la \(\kappa\)-algèbre libre comme module, de base \(1, \epsilon_1, \epsilon_2\), avec \(\epsilon_1^2 = \epsilon_1\epsilon_2 = \epsilon_2^2 = 0\). Cela découle immédiatement du résultat correspondant pour les anneaux et de la description des morphismes du spectre d’un anneau local vers un schéma; voir Schémas, lemme 01J6. Étant donné deux flèches \(\theta_1, \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\), nous pouvons considérer le morphisme \[\theta_1 + \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]) \xrightarrow{\theta_1, \theta_2} X\] où la première flèche est donnée par \(\epsilon_i \mapsto \epsilon\). D’autre part, pour \(\lambda \in \kappa\), il existe un endomorphisme de \(\Spec(\kappa[\epsilon])\) correspondant à l’endomorphisme de \(\kappa\)-algèbres de \(\kappa[\epsilon]\) qui envoie \(\epsilon\) sur \(\lambda \epsilon\). La précomposition de \(\theta : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\) par cet endomorphisme donne \(\lambda \theta\). On vérifie les axiomes d’un espace vectoriel au moyen de diagrammes commutatifs convenables de schémas. Nous omettons les détails. (Une autre preuve consisterait à tout exprimer en termes d’anneaux locaux, puis à vérifier les axiomes de l’espace vectoriel au niveau des homomorphismes d’anneaux.)

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). L’ensemble des flèches pointillées rendant commutatif le diagramme 0B2A, muni de sa structure canonique d’espace vectoriel sur \(\kappa(x)\), est appelé le espace tangent de \(X\) sur \(S\) en \(x\) et nous le notons \(T_{X/S, x}\). Un élément de cet espace est appelé un vecteur tangent de \(X/S\) en \(x\).

Puisque les vecteurs tangents en \(x \in X\) sont contenus dans la fibre schématique \(X_s\) de \(f : X \to S\) au-dessus de \(s = f(x)\), nous obtenons une identification canonique [0BEA]\[\begin{equation} T_{X/S, x} = T_{X_s/s, x} \end{equation}\] Cette agréable définition faisant intervenir le foncteur des points admet la description algébrique suivante, qui suggère de définir l’espace cotangent de \(X\) sur \(S\) en \(x\) comme l’espace vectoriel sur \(\kappa(x)\) \[T^*_{X/S, x} = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] puisqu’il est canoniquement le dual, sur \(\kappa(x)\), de l’espace tangent de \(X\) sur \(S\) en \(x\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Il existe un isomorphisme canonique \[T_{X/S, x} = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/S, x}, \kappa(x))\] d’espaces vectoriels sur \(\kappa(x)\).

Démonstration

Posons \(\kappa = \kappa(x)\). Étant donné \(\theta \in T_{X/S, x}\), nous obtenons un homomorphisme \[\theta^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa(s))} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa)}\] En prenant les sections, nous obtenons un morphisme \(\mathcal{O}_{X, x}\)-linéaire \(\xi_\theta : \Omega_{X/S, x} \to \kappa \text{d}\epsilon\), c’est-à-dire un élément du membre de droite de la formule du lemme. Pour montrer que \(\theta \mapsto \xi_\theta\) est un isomorphisme, nous pouvons remplacer \(S\) par \(s\) et \(X\) par la fibre schématique \(X_s\). En effet, les deux membres de la formule ne dépendent que de la fibre schématique ; cela est clair pour \(T_{X/S, x}\) et, pour le membre de droite, voir Morphismes, lemme 01V0. Nous pouvons aussi remplacer \(X\) par le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\), car cela ne change ni \(T_{X/S, x}\) (Schémas, lemme 01J6) ni \(\Omega_{X/S, x}\) (Modules, lemme 08TE).

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local sur un corps \(k\). Il faut montrer que tout homomorphisme \(A\)-linéaire \(\xi : \Omega_{A/k} \to \kappa\) provient d’un unique morphisme de \(k\)-algèbres \(\varphi : A \to \kappa[\epsilon]\) coïncidant avec le morphisme canonique \(c : A \to \kappa\) modulo \(\epsilon\). Écrivons \(\varphi(a) = c(a) + D(a) \epsilon\) : on constate que \(a \mapsto D(a)\) est une \(k\)-dérivation. En utilisant la propriété universelle de \(\Omega_{A/k}\), on voit que chaque \(D\) correspond à un \(\xi\) unique et vice versa. Cela termine la preuve.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point et posons \(s = f(x) \in S\). Supposons que \(\kappa(x) = \kappa(s)\). Alors il existe des isomorphismes canoniques \[\mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] et \[T_{X/S, x} = \Hom_{\kappa(x)}( \mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}), \kappa(x))\] Cela fonctionne de manière plus générale si \(\kappa(x)/\kappa(s)\) est une extension algébrique séparable.

Démonstration

Le deuxième isomorphisme découle du premier par le lemme 0B2D. Pour le premier, nous pouvons remplacer \(S\) par \(s\) et \(X\) par \(X_s\), voir Morphismes, lemme 01V0. Nous pouvons également remplacer \(X\) par le spectre de \(\mathcal{O}_{X, x}\), voir Modules, lemme 08TE. Il suffit donc de démontrer le fait algébrique suivant : soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local sur un corps \(k\) tel que \(\kappa/k\) soit algébrique séparable. Alors l’application canonique \[\mathfrak m/\mathfrak m^2 \longrightarrow \Omega_{A/k} \otimes \kappa\] est un isomorphisme. Observons que \(\mathfrak m/\mathfrak m^2 = H_1(\NL_{\kappa/A})\). D’après Algèbre, lemme 00S2, il suffit de montrer que \(\Omega_{\kappa/k} = 0\) et \(H_1(\NL_{\kappa/k}) = 0\). Comme \(\kappa\) est la réunion des extensions finies séparables de \(k\) qu’il contient, il suffit de prouver cela lorsque \(\kappa\) est une extension séparable finie de \(k\) (Algèbre, lemme 07BQ). Dans ce cas, l’homomorphisme d’anneaux \(k \to \kappa\) est étale et donc \(\NL_{\kappa/k} = 0\) (à peu près par définition, voir Algèbre, section 00U0).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur un schéma de base \(S\). Soit \(x \in X\) un point. Posons \(y = f(x)\). Si \(\kappa(y) = \kappa(x)\), alors \(f\) induit une application linéaire naturelle \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\] qui est duale de l’application linéaire \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\) via les identifications du lemme 0B2D.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur une base \(S\). Soient \(x \in X\) et \(y \in Y\) avec le même point image \(s \in S\) tel que \(\kappa(s) = \kappa(x)\) et \(\kappa(s) = \kappa(y)\). Il existe un isomorphisme canonique \[T_{X \times_S Y/S, (x, y)} = T_{X/S, x} \oplus T_{Y/S, y}\] L’application de gauche à droite est induite par les applications sur les espaces tangents provenant des projections \(X \times_S Y \to X\) et \(X \times_S Y \to Y\). La application de droite à gauche est induite par les applications \(1 \times y : X_s \to X_s \times_s Y_s\) et \(x \times 1 : Y_s \to X_s \times_s Y_s\) via l’identification (0BEA) des espaces tangents avec les espaces tangents des fibres.

Démonstration

La décomposition en somme directe découle de Morphismes, lemme 01V1 via le lemme 0B2E. La compatibilité avec les applications provient du lemme 0B2F.

Lemme

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme de schémas localement de type fini sur un schéma de base \(S\). Supposons que \(x \in X\) soit un point. Posons \(y = f(x)\) et supposons que \(\kappa(y) = \kappa(x)\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\) est injective, et

2. \(f\) est non ramifié en \(x\).

Démonstration

Le morphisme \(f\) est localement de type fini d’après Morphismes, lemme 01T8. L’application \(\text{d}f\) est injective si et seulement si \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\) est surjective (lemme 0B2F). La suite exacte \(f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\) (Morphismes, lemme 01UX) montre alors que cela se produit si et seulement si \(\Omega_{X/Y, x} \otimes \kappa(x) = 0\). Le résultat découle donc de Morphismes, lemme 02GF.

Morphismes génériquement finis

Dans cette section, nous revenons sur la notion de morphisme génériquement fini de schémas telle qu’elle est étudiée dans Morphismes, section 02NV.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit noethérien de dimension \(\leq 1\). Supposons en outre que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\), l’extension de corps \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) est finie (ou algébrique),

2. pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\) tel que \(f(\eta) \leadsto y\), l’extension de corps \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) est finie (ou algébrique),

3. \(f\) est quasi-fini en tout point générique d’une composante irréductible de \(X\),

4. \(Y\) est localement noethérien et \(f\) est quasi-fini sur une partie dense de \(X\),

5. ajouter d’autres conditions ici.

Alors \(f\) est quasi-fini en tout point de \(X\) au-dessus de \(y\).

Démonstration

La condition (4) implique que \(X\) est localement noethérien (Morphismes, lemme 01T6). L’ensemble des points en lesquels le morphisme est quasi-fini est ouvert (Morphismes, lemme 01TI). Un ouvert dense d’un schéma localement noethérien contient tous les points génériques des composantes irréductibles, donc (4) implique (3). La condition (3) implique la condition (1) d’après Morphismes, lemme 01TG. La condition (1) implique la condition (2). Ainsi, il suffit de prouver le lemme dans le cas où la condition (2) est vérifiée.

Supposons (2). Rappelons que \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) est l’ensemble des points de \(Y\) se spécialisant en \(y\), voir Schémas, lemme 01J7. En combinant avec Morphismes, lemme 01TM, on voit que nous pouvons remplacer \(Y\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\). Ainsi nous pouvons supposer \(Y = \Spec(B)\) où \(B\) est un anneau local noethérien de dimension \(\leq 1\) et \(y\) est le point fermé.

Soit \(X = \bigcup X_i\) la décomposition en composantes irréductibles de \(X\), munies de leur structure réduite. Si nous pouvons montrer que chaque fibre \(X_{i, y}\) est un espace discret, alors \(X_y = \bigcup X_{i, y}\) est également discret et nous en concluons que \(X \to Y\) est quasi-fini en tout point de \(X_y\) d’après Morphismes, lemme 01TH. Ainsi on peut supposer que \(X\) est un schéma intègre.

Si \(X \to Y\) envoie le point générique \(\eta\) de \(X\) à \(y\), alors \(X\) est le spectre d’une extension finie de \(\kappa(y)\) et le résultat est vrai. Supposons que \(X\) envoie \(\eta\) à un point correspondant à un idéal premier minimal \(\mathfrak q\) de \(B\) différent de \(\mathfrak m_B\). Nous obtenons une factorisation \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\). Supposons que \(x \in X\) soit un point au-dessus de \(y\). Par la formule de la dimension (Morphismes, lemme 02JU) nous avons \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] Nous savons que \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\), que le point générique de \(X\) n’est pas égal à \(x\) et se spécialise en \(x\) et que \(R(X)\) est algébrique sur \(\kappa(\mathfrak q)\). Ainsi nous obtenons \[1 \leq 1 - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] Ainsi, chaque point \(x\) de \(X_y\) est fermé dans \(X_y\) par Morphismes, lemme 01TE et donc \(X \to Y\) est quasi-fini en tout point \(x\) de \(X_y\) par Morphismes, lemme 01TH (ce qui implique également que \(X_y\) est un espace topologique discret).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit noethérien de dimension \(\leq 1\). Supposons en outre que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\), l’extension de corps \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) est finie (ou algébrique),

2. pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\) tel que \(f(\eta) \leadsto y\), l’extension de corps \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\) est finie (ou algébrique),

3. \(f\) est quasi-fini en tout point générique de \(X\),

4. \(Y\) est localement noethérien et \(f\) est quasi-fini sur une partie dense de \(X\),

5. ajouter d’autres conditions ici.

Alors il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

D’après le lemme 0AB6, le morphisme \(f\) est quasi-fini en tout point de la fibre \(X_y\). Par conséquent, \(X_y\) est un espace topologique discret (Morphismes, lemme 01TH). Comme \(f\) est propre, la fibre \(X_y\) est quasi-compacte, c’est-à-dire finie. Ainsi, nous pouvons appliquer Cohomologie des schémas, lemme 02OH pour conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre birationnel, avec \(Y\) réduit. Soit \(U \subset X\) le plus grand ouvert sur lequel \(f\) est un isomorphisme. Alors \(U\) contient

1. tout point de codimension \(0\) dans \(X\),

2. tout \(x \in X\) de codimension \(1\) dans \(X\) tel que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau de valuation discrète,

3. tout \(x \in X\) tel que la fibre de \(Y \to X\) au-dessus de \(x\) soit finie et que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit normal, et

4. tout \(x \in X\) tel que \(f\) soit quasi-fini en un \(y \in Y\) au-dessus de \(x\) et que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit normal.

Démonstration

La partie (1) découle de Morphismes, lemme 0BAJ. La partie (2) découle de la partie (3) et du lemme 0AB7 (et du fait que les morphismes finis ont des fibres finies).

La partie (3) découle de la partie (4) et de Morphismes, lemme 02NG, mais nous allons également donner une preuve directe. Soit \(x \in X\) comme dans (3). D’après Cohomologie des schémas, lemme 02OH, on peut supposer que \(f\) est fini. Nous pouvons supposer que \(X\) est affine. Cela nous ramène au cas d’un morphisme birationnel fini de schémas affines noethériens \(Y \to X\) et \(x \in X\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau intègre normal. Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau intègre et \(X\) est noethérien, nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x\) qui est intègre. Ensuite, puisque \(Y \to X\) est birationnel et \(Y\) est réduit, on voit que \(Y\) est intègre. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\), on voit que \(A \subset B\) est une inclusion finie d’anneaux intègres ayant le même corps de fractions. Si \(\mathfrak p \subset A\) est l’idéal premier correspondant à \(x\), alors le fait que \(A_\mathfrak p\) soit normal implique que \(A_\mathfrak p \subset B_\mathfrak p\) est une égalité. Puisque \(B\) est un \(A\)-module fini, nous voyons qu’il existe un \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\) tel que \(A_a \to B_a\) est un isomorphisme.

Soient \(x \in X\) et \(y \in Y\) comme dans (4). Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage affine ouvert, nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\) et \(A \subset \mathcal{O}_{X, x}\), voir Propriétés, lemme 0BX3. Ensuite, \(A\) est un anneau intègre et donc \(X\) est intègre. Puisque \(f\) est birationnel et \(Y\) est réduit, il s’ensuit que \(Y\) est également intègre. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\). Il s’agit d’un homomorphisme d’anneaux qui est essentiellement de type fini, l’extension des corps résiduels est finie, et \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = 0\) (pour le voir, remontons aux définitions des morphismes quasi-finis dans Morphismes, définition 01TD et Algèbre, définition 00PL). D’après Algèbre, lemme 052V, \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est la localisation d’une \(\mathcal{O}_{X, x}\)-algèbre finie \(B\). Bien sûr, nous pouvons remplacer \(B\) par l’image de \(B\) dans \(\mathcal{O}_{Y, y}\) et supposer que \(B\) est un anneau intègre ayant le même corps des fractions que \(\mathcal{O}_{Y, y}\). Comme Les anneaux de l’inclusion \(\mathcal{O}_{X, x} \subset B\) ont le même corps de fractions puisque \(f\) est birationnel. Comme \(\mathcal{O}_{X, x}\) est normal, nous concluons que \(\mathcal{O}_{X, x} = B\) (car fini implique intégral), en particulier, nous voyons que \(\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{Y, y}\). D’après Morphismes, lemme 0BX6, après avoir rétréci \(X\), nous pouvons supposer qu’il existe une section \(X \to Y\) de \(f\) envoyant \(x\) vers \(y\) et induisant l’isomorphisme donné sur les anneaux locaux. Comme \(X \to Y\) est une immersion fermée (d’après Schémas, lemme 01KT) et envoie nécessairement le point générique de \(X\) sur le point générique de \(Y\), il s’ensuit que l’image de \(X \to Y\) est \(Y\). Ainsi \(Y = X\), ce qu’il fallait démontrer.

Variantes de la normalisation de Noether

La normalisation de Noether affirme que si \(k\) est un corps et \(A\) une \(k\)-algèbre de type fini de dimension \(d\), alors il existe un homomorphisme injectif et fini de \(k\)-algèbres \(k[x_1, \ldots, x_d] \to A\). Voir Algèbre, lemme 00OY. Géométriquement, cela signifie qu’il existe un morphisme surjectif fini \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^d_k\) au-dessus de \(\Spec(k)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\), d’image \(s \in S\). Soit \(V \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(s\). Si \(f\) est localement de type fini et si \(\dim_x(X_s) = d\), alors il existe un ouvert affine \(U \subset X\), avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\), et une factorisation \[U \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_V \to V\] de \(f|_U : U \to V\) telle que \(\pi\) soit quasi-fini.

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, lemme 00QE.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini de schémas affines. Soit \(s \in S\). Si \(\dim(X_s) = d\), alors il existe une factorisation \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_S \to S\] de \(f\) de telle sorte que le morphisme \(\pi_s : X_s \to \mathbf{A}^d_{\kappa(s)}\) des fibres au-dessus de \(s\) soit fini.

Démonstration

Écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(B)\), et notons \(A \to B\) l’homomorphisme d’anneaux correspondant à \(f\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Nous pouvons choisir une surjection \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\). Par Algèbre, lemme 00OY, il existe des éléments \(y_1, \ldots, y_d \in A\) appartenant à la \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de \(A\) engendrée par \(x_1, \ldots, x_r\) tels que l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[t_1, \ldots, t_d] \to B\) envoyant \(t_i\) sur \(y_i\) induise un homomorphisme fini de \(\kappa(\mathfrak p)\)-algèbres \(\kappa(\mathfrak p)[t_1, \ldots, t_d] \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\). Ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Soit \(V = \Spec(A)\) un voisinage ouvert affine de \(f(x)\) dans \(S\). Si \(f\) est non ramifié en \(x\), alors il existe un ouvert affine \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\) tel que nous ayons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[rd] \ar[r]^-j & \Spec(A[t]_{g'}/(g)) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A[t]) = \mathbf{A}^1_V \ar[ld] \\ Y & & V \ar[ll] }\] où \(j\) est une immersion, \(g \in A[t]\) est un polynôme unitaire, et \(g'\) est la dérivée de \(g\) par rapport à \(t\). Si \(f\) est étale en \(x\), alors nous pouvons choisir le diagramme de manière à ce que \(j\) soit une immersion ouverte.

Démonstration

Le cas non ramifié est la traduction géométrique d’Algèbre, proposition 0395. Dans le cas étale, on traduit de même Algèbre, proposition 00UE; de façon équivalente, le résultat découle de Morphismes, lemme 02GT bien que les énoncés diffèrent légèrement.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini de schémas affines. Soit \(x \in X\), d’image \(s \in S\). Posons \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] Alors il existe une factorisation \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^r_S \to S\] de \(f\) de telle sorte que \(\pi\) soit non ramifié en \(x\).

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 01V2 la première dimension est finie. La première égalité résulte du fait que la restriction de \(\Omega_{X/S}\) à la fibre est le module des différentielles, d’après Morphismes, lemme 01V0. La dernière égalité découle du lemme 0B2D. Ainsi, on voit que l’énoncé a du sens.

Pour démontrer le lemme, écrivons \(S = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(B)\) et notons \(A \to B\) l’homomorphisme d’anneaux correspondant à \(f\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Choisissons une surjection de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots, x_t] \to B\). Puisque \(\Omega_{B/A}\) est engendré par \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_t\), on voit que leurs images dans \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\) engendrent cet espace comme espace vectoriel sur \(\kappa(x)\). Après renumérotation, on peut supposer que \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\) s’envoient sur une base de \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\). Nous affirmons que \(P = A[x_1, \ldots, x_r] \to B\) est non ramifié en \(\mathfrak q\). Pour le voir, il suffit de montrer que \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\) (Algèbre, lemme 00UV). Notons que \(\Omega_{B/P}\) est le quotient de \(\Omega_{B/A}\) par le sous-module généré par \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\). Par conséquent, \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} \otimes_{B_\mathfrak q} \kappa(\mathfrak q) = 0\) par notre choix de \(x_1, \ldots, x_r\). Par le lemme de Nakayama, plus précisément Algèbre, lemme 00DV partie (2) qui s’applique car \(\Omega_{B/P}\) est fini (voir référence ci-dessus), nous concluons que \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\), d’image \(s \in S\). Soit \(V \subset S\) un voisinage ouvert affine ouvert de \(s\). Si \(f\) est localement de type fini et \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] alors il existe

1. un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\), et une factorisation \[U \xrightarrow{j} \mathbf{A}^{r + 1}_V \to V\] de \(f|_U\) tel que \(j\) soit une immersion, ou

2. un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\), et une factorisation \[U \xrightarrow{j} D \to V\] de \(f|_U\) telle que \(j\) soit une immersion fermée et \(D \to V\) soit lisse de dimension relative \(r\).

Démonstration

Choisissons un ouvert affine quelconque \(U \subset X\) avec \(x \in U\) et \(f(U) \subset V\). Appliquons le lemme 0CBK à \(U \to V\) pour obtenir \(U \to \mathbf{A}^r_V \to V\) comme dans l’énoncé de ce lemme. D’après le lemme 0CBJ, nous obtenons une factorisation \[U \xrightarrow{j} D \xrightarrow{j'} \mathbf{A}^{r + 1}_V \xrightarrow{p} \mathbf{A}^r_V \to V\] où \(j\) et \(j'\) sont des immersions, \(p\) est la projection, et \(p \circ j'\) est étale standard. Ainsi, les assertions (1) et (2) sont vérifiées.

Dimension des fibres

Nous avons déjà vu que la dimension des fibres des morphismes de type fini peut augmenter. Dans cette section, nous observons qu’en codimension \(1\), ce phénomène ne se produit pas. Plus généralement, nous étudions l’amplitude possible de ce saut de dimension. Voici une liste de résultats connexes :

1. Pour un morphisme de type fini \(X \to S\), la partie formée des \(x \in X\) tels que \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\) est ouverte; voir Algèbre, lemme 00QH et Morphismes, lemme 02FZ.

2. On dispose de la formule de dimension; voir Algèbre, lemme 02IJ et Morphismes, lemme 02JU.

3. Les fibres d’un schéma intègre de type fini dominant le spectre d’un anneau de valuation sont de dimension constante; voir Algèbre, lemme 00QK.

4. Si \(X \to S\) est de type fini et quasi-fini en tout point générique de \(X\), alors \(X \to S\) est quasi-fini en codimension \(1\); voir Algèbre, lemme 02MA et lemme 0AB6.

Le dernier résultat mentionné ci-dessus se généralise comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(x \in X\) un point d’image \(y \in Y\) tel que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit noethérien de dimension \(\leq 1\). Soit \(d \geq 0\) un entier tel que pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\) contenant \(x\), nous ayons \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\). Alors \(\dim_x(X_y) = d\).

Démonstration

Rappelons que \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) est l’ensemble des points de \(Y\) se spécialisant en \(y\), voir Schémas, lemme 01J7. Ainsi, nous pouvons remplacer \(Y\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) et supposer \(Y = \Spec(B)\) où \(B\) est un anneau local noethérien de dimension \(\leq 1\) et \(y\) est le point fermé. Nous pouvons également remplacer \(X\) par un voisinage affine de \(x\).

Soit \(X = \bigcup X_i\) la décomposition de \(X\) en composantes irréductibles, munies de leur structure réduite. S’il est possible de montrer que chaque fibre \(X_{i, y}\) a dimension \(d\), alors \(X_y = \bigcup X_{i, y}\) a également dimension \(d\). Ainsi, on peut supposer que \(X\) est un schéma intègre.

Si \(X \to Y\) envoie le point générique \(\eta\) de \(X\) sur \(y\), alors \(X\) est un schéma sur \(\kappa(y)\) et le résultat est vrai par hypothèse. Supposons que \(X\) envoie \(\eta\) sur un point \(\xi \in Y\) correspondant à un idéal premier minimal \(\mathfrak q\) de \(B\) différent de \(\mathfrak m_B\). Nous obtenons une factorisation \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\). Par la formule de dimension (Morphismes, lemme 02JU) nous avons \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X))\] Nous avons \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\). Nous avons \(\text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) = d\) par hypothèse, puisque \(\dim_\eta(X_\xi) = d\); voir Morphismes, lemme 02FX. Puisque \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\) a un noyau (comme \(\eta \mapsto \xi \not = y\)) et puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau intègre noethérien, on voit que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\). Nous concluons que \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq d\] (Morphismes, lemme 02FX). D’autre part, nous avons \(\dim_x(X_s) \geq \dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\) d’après Morphismes, lemme 02FZ.

Lemme

Soit \(f : X \to \Spec(R)\) un morphisme d’un schéma irréductible vers le spectre d’un anneau de valuation. Si \(f\) est localement de type fini et surjectif, alors la fibre spéciale est équidimensionnelle de dimension égale à la dimension de la fibre générique.

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(X\) par sa réduction car cela ne change pas la dimension de \(X\) ni celle de la fibre spéciale. Alors \(X\) est intègre et le lemme résulte d’Algèbre, lemme 00QK.

Le lemme suivant généralise le lemme 0B2I.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement de type fini. Soit \(x \in X\) un point d’image \(y \in Y\) tel que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit noethérien. Soit \(d \geq 0\) un entier tel que pour tout point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\) qui contient \(x\), nous ayons \(f(\eta) \not = y\) et \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\). Alors \(\dim_x(X_y) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - 1\).

Démonstration

Comme dans la preuve du lemme 0B2I, nous réduisons au cas \(X = \Spec(A)\) avec \(A\) un anneau intègre et \(Y = \Spec(B)\) où \(B\) est un anneau local noethérien dont l’idéal maximal correspond à \(y\). Après avoir remplacé \(B\) par \(B/\Ker(B \to A)\), on peut supposer que \(B\) est un anneau intègre et que \(B \subset A\). Ensuite, nous utilisons la formule de dimension (Morphismes, lemme 02JU) pour obtenir \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B) + \text{trdeg}_B(A)\] Nous avons \(\text{trdeg}_B(A) = d\) par hypothèse, puisque \(\dim_\eta(X_\xi) = d\); voir Morphismes, lemme 02FX. Puisque \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_y, x}\) a un noyau (comme \(f(\eta) \not = y\)) et puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau intègre noethérien, on voit que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\). Nous concluons que \[\dim_x(X_y) = \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) < \dim(B) + d\] (l’égalité vient de Morphismes, lemme 02FX), ce qui donne le résultat.

Schémas algébriques

La définition suivante est tirée de [EGA, I, définition 6.4.1].

Définition

Soit \(k\) un corps. Un \(k\)-schéma algébrique est un schéma \(X\) sur \(k\) tel que le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) soit de type fini. Un \(k\)-schéma localement algébrique est un schéma \(X\) sur \(k\) tel que le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) soit localement de type fini.

Notons que tout \(k\)-schéma (localement) algébrique est (localement) noethérien, voir Morphismes, lemme 01T6. La catégorie des \(k\)-schémas algébriques possède tous les produits et produits fibrés (contrairement à la catégorie des variétés sur \(k\)). De même pour la catégorie des \(k\)-schémas localement algébriques.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique de dimension \(0\). Alors \(X\) est une réunion disjointe de spectres de \(k\)-algèbres locales artiniennes \(A\) avec \(\dim_k(A) < \infty\). Si \(X\) est un \(k\)-schéma algébrique de dimension \(0\), alors en plus \(X\) est affine et le morphisme \(X \to \Spec(k)\) est fini.

Démonstration

Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique de dimension \(0\). Soit \(U = \Spec(A) \subset X\) un sous-schéma ouvert affine. Comme \(\dim(X) = 0\), on a \(\dim(A) = 0\). Par normalisation de Noether, voir Algèbre, lemme 00OY, nous voyons qu’il existe une injection finie \(k \to A\), c’est-à-dire \(\dim_k(A) < \infty\). Par conséquent, \(A\) est artinien, voir Algèbre, lemme 00J6. Cela implique que \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\) est un produit d’un nombre fini d’anneaux locaux artiniens, voir Algèbre, lemme 00JB. Bien sûr, \(\dim_k(A_i) < \infty\) pour chaque \(i\) puisque la somme de ces dimensions égale \(\dim_k(A)\).

Les arguments ci-dessus montrent que \(X\) possède un recouvrement ouvert dont les membres sont des espaces topologiques discrets finis. Par conséquent, \(X\) est un espace topologique discret. Il s’ensuit que \(X\) est isomorphe à la réunion disjointe de ses composantes connexes, chacune étant un espace à un point. Puisqu’un tel schéma est affine, nous concluons (d’après les résultats du paragraphe précédent) que chacune de ces composantes est le spectre d’une \(k\)-algèbre locale artinienne \(A\) telle que \(\dim_k(A) < \infty\).

Enfin, si \(X\) est un \(k\)-schéma algébrique de dimension \(0\), alors \(X\) est quasi-compact donc est une réunion disjointe finie \(X = \Spec(A_1) \amalg \ldots \amalg \Spec(A_r)\) donc affine (voir Schémas, lemme 01I5); nous avons vu la finitude de \(X \to \Spec(k)\) dans le premier paragraphe de la démonstration.

Le lemme suivant rassemble quelques énoncés sur la théorie de la dimension pour les schémas localement algébriques.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique.

1. L’espace topologique sous-jacent à \(X\) est caténaire (Topologie, définition 02I1).

2. Pour tout point fermé \(x \in X\), on a \(\dim_x(X) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\).

3. Si \(X\) est irréductible, on a \(\dim(X) = \dim(U)\) pour tout ouvert non vide \(U \subset X\), et \(\dim(X) = \dim_x(X)\) pour tout \(x \in X\).

4. Si \(X\) est irréductible, toute chaîne de parties fermées irréductibles peut être prolongée en une chaîne maximale, et toutes les chaînes maximales de parties fermées irréductibles sont de longueur \(\dim(X)\).

5. Pour \(x \in X\), on a \(\dim_x(X) = \max \dim(Z) = \min \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\), où le maximum porte sur les composantes irréductibles \(Z \subset X\) contenant \(x\), et le minimum sur les spécialisations \(x \leadsto x'\) telles que \(x'\) soit fermé dans \(X\).

6. Si \(X\) est irréductible de point générique \(x\), alors \(\dim(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x))\).

7. Si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation immédiate de points de \(X\), alors \(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) = \text{trdeg}_k(\kappa(x')) + 1\).

8. La dimension de \(X\) est le suprémum des nombres \(\text{trdeg}_k(\kappa(x))\), où \(x\) parcourt les points génériques des composantes irréductibles de \(X\).

9. Si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation non triviale de points de \(X\), alors

   1. \(\dim_x(X) \leq \dim_{x'}(X)\),

   2. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\),

   3. \(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) > \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\), et

   4. toute chaîne maximale de spécialisations non triviales \(x = x_0 \leadsto x_1 \leadsto \ldots \leadsto x_n = x'\) est de longueur \(n = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\).

10. Pour \(x \in X\), on a \(\dim_x(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) + \dim(\mathcal{O}_{X, x})\).

11. Si \(x \leadsto x'\) est une spécialisation immédiate de points de \(X\) et si \(X\) est irréductible ou équidimensionnel, alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) + 1\).

Démonstration

Au lieu de nous appuyer sur les résultats plus généraux démontrés précédemment, nous allons ramener ces énoncés aux énoncés correspondants sur les \(k\)-algèbres de type fini et citer des résultats du chapitre d’algèbre commutative.

Preuve de (0B17). Cette propriété est locale sur \(X\) d’après Topologie, lemme 02I2. Ainsi, nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\) où \(A\) est une \(k\)-algèbre de type fini. Nous devons montrer que \(A\) est caténaire (Algèbre, lemme 02IH). Nous pouvons réduire à \(k[x_1, \ldots, x_n]\) en utilisant Algèbre, lemme 00NK et ensuite appliquer Algèbre, lemme 00OR. On peut aussi conclure du fait que \(k\) est de Cohen–Macaulay (trivialement) et que les anneaux de Cohen–Macaulay sont universellement caténaires (Algèbre, lemme 00NM).

Preuve de (0B18). Choisissons un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\). Alors \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\). Par conséquent, nous nous réduisons au cas affine, qui est Algèbre, lemme 00OU.

Preuve de (0B19). Il suffit de montrer que deux ouverts affines non vides \(U, U' \subset X\) quelconques ont la même dimension (toute chaîne finie de sous-ensembles irréductibles rencontre un ouvert affine). Choisissons un point fermé \(x\) de \(X\) avec \(x \in U \cap U'\). Cela est possible car \(X\) est irréductible, donc \(U \cap U'\) est non vide, donc il existe un tel point fermé car \(X\) est Jacobson d’après le lemme 0478. Ensuite \(\dim(U) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(U')\) d’après Algèbre, lemme 00OS (strictement parlant, il faut remplacer \(X\) par sa réduction avant d’appliquer le lemme).

Preuve de (0B1A). Étant donné une chaîne de sous-ensembles fermés irréductibles, nous pouvons trouver un ouvert affine \(U \subset X\) qui rencontre le plus petit. Ainsi, l’énoncé résulte d’Algèbre, lemme 00OS et \(\dim(U) = \dim(X)\), comme on l’a vu dans (0B19).

Preuve de (0B1B). Choisissons un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\). Alors \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\). La règle \(Z \mapsto Z \cap U\) est une bijection entre les composantes irréductibles de \(X\) passant par \(x\) et les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(x\). De plus, \(\dim(Z \cap U) = \dim(Z)\) pour un tel \(Z\) d’après (0B19). Ainsi, l’énoncé découle d’Algèbre, lemme 00OT.

Preuve de (0B1C). D’après (0B19), cela se réduit au cas où \(X = \Spec(A)\) est affine. Dans ce cas, cela résulte d’Algèbre, lemme 00P0 appliqué à \(A_{red}\).

Preuve de (0B1D). Soit \(Z = \overline{\{x\}} \supset Z' = \overline{\{x'\}}\). Il résulte de (0B1A) que \(Z \supset Z'\) est le début d’une chaîne maximale de parties fermées irréductibles dans \(Z\) et par conséquent \(\dim(Z) = \dim(Z') + 1\). On conclut par (0B1C).

Preuve de (0B1E). Un argument topologique simple montre que \(\dim(X) = \sup \dim(Z)\) où le suprémum porte sur les composantes irréductibles de \(X\) (indication : utiliser Topologie, lemme 004W). Le résultat découle donc de (0B1C).

Preuve de (0B1F). La partie (a) découle du fait que tout ouvert \(U \subset X\) contenant \(x'\) contient également \(x\). La partie (b) découle du fait que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est une localisation de \(\mathcal{O}_{X, x'}\); toute chaîne d’idéaux premiers de \(\mathcal{O}_{X, x}\) correspond donc à une chaîne d’idéaux premiers de \(\mathcal{O}_{X, x'}\), qui peut être prolongée en ajoutant \(\mathfrak m_{x'}\) à la fin. Les parties (c) et (d) découlent formellement de (0B1D).

Preuve de (0B1G). Choisissons un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\). Alors \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\). Par conséquent, nous nous réduisons au cas affine, qui est Algèbre, lemme 00P1.

Preuve de (0B1H). Si \(X\) est équidimensionnel (Topologie, définition 0058) alors \(\dim(X)\) est égal à la dimension de chaque composante irréductible de \(X\), d’où \(\dim_x(X) = \dim(X) = \dim_{x'}(X)\) d’après (0B1B). Cela découle donc de (0B1D).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(k\)-schémas localement algébriques.

1. Pour \(y \in Y\), la fibre \(X_y\) est un schéma localement algébrique sur \(\kappa(y)\); tous les résultats du lemme 0A21 s’appliquent donc.

2. Supposons \(X\) irréductible. Posons \(Z = \overline{f(X)}\) et \(d = \dim(X) - \dim(Z)\). Alors

   1. \(\dim_x(X_{f(x)}) \geq d\) pour tout \(x \in X\),

   2. la partie des \(x \in X\) tels que \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\) est ouverte dense,

   3. si \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) \geq 1\), alors \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) - 1\),

   4. si \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) = 1\), alors \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\),

3. Pour \(x \in X\) avec \(y = f(x)\) nous avons \(\dim_x(X_y) \geq \dim_x(X) - \dim_y(Y)\).

Démonstration

Le morphisme \(f\) est localement de type fini d’après Morphismes, lemme 01T8. Par conséquent, le changement de base \(X_y \to \Spec(\kappa(y))\) est localement de type fini. Cela prouve (1). Dans le reste de la démonstration, nous utiliserons librement les résultats du lemme 0A21 pour \(X\), \(Y\), et les fibres de \(f\).

Preuve de (2). Soit \(\eta \in X\) le point générique et posons \(\xi = f(\eta)\). Alors \(Z = \overline{\{\xi\}}\). Par conséquent \[d = \dim(X) - \dim(Z) = \text{trdeg}_k \kappa(\eta) - \text{trdeg}_k \kappa(\xi) = \text{trdeg}_{\kappa(\xi)} \kappa(\eta) = \dim_\eta(X_\xi)\] Ainsi, les parties (2)(a) et (2)(b) découlent des Morphismes, lemme 02FZ. Les parties (2)(c) et (2)(d) découlent des lemmes 0B2K et 0B2I.

Preuve de (3). Soit \(x \in X\). Soit \(X' \subset X\) une composante irréductible de \(X\) passant par \(x\) de dimension \(\dim_x(X)\). Alors (2) implique que \(\dim_x(X_y) \geq \dim(X') - \dim(Z')\) où \(Z' \subset Y\) est l’adhérence de l’image de \(X'\). Cela prouve (3).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\), \(Y\) des \(k\)-schémas localement algébriques.

1. Pour \(z \in X \times Y\) au-dessus de \((x, y)\), nous avons \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\).

2. Nous avons \(\dim(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\).

Démonstration

Preuve de (1). Considérons la factorisation \[X \times Y \longrightarrow Y \longrightarrow \Spec(k)\] du morphisme de structure. Le premier morphisme \(p : X \times Y \to Y\) est plat par changement de base du morphisme plat \(X \to \Spec(k)\) d’après Morphismes, lemme 01U9. De plus, nous avons \(\dim_z(p^{-1}(y)) = \dim_x(X)\) d’après Morphismes, lemme 02FY. Par conséquent \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\) d’après Morphismes, lemme 02JS. La partie (2) est une conséquence directe de (1).

Anneaux locaux complets

Quelques résultats sur les anneaux locaux complets des schémas sur un corps.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma localement noethérien sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point de corps résiduel \(\kappa\). Il existe un isomorphisme [0C53]\[\begin{equation} \kappa[[x_1, \ldots, x_n]]/I \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \end{equation}\] induisant l’identité sur les corps résiduels. En général, on ne peut choisir (0C53) comme isomorphisme de \(k\)-algèbres. Toutefois, si l’extension \(\kappa/k\) est séparable, on peut choisir (0C53) comme isomorphisme de \(k\)-algèbres.

Démonstration

L’existence de l’isomorphisme est une conséquence immédiate du théorème de structure de Cohen² (Algèbre, théorème 032A).

Soit \(p\) un nombre premier impair, posons \(k = \mathbf{F}_p(t)\) et \(A = k[x, y]/(y^2 + x^p - t)\). Alors le complété \(A^\wedge\) de \(A\) pour l’idéal maximal \(\mathfrak m = (y)\) est isomorphe à \(k(t^{1/p})[[z]]\) comme anneau, mais non comme \(k\)-algèbre. En effet, \(A^\wedge\) ne contient pas d’élément dont la \(p\)-ième puissance est \(t\) (comme le lecteur peut le voir en calculant modulo \(y^2\)). Cela montre également qu’aucun isomorphisme (0C53) ne peut être un isomorphisme de \(k\)-algèbres.

Si \(\kappa/k\) est séparable, alors il existe un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(\kappa \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) induisant l’identité sur les corps résiduels d’après Compléments d’algèbre, lemme 0C34. Soient \(f_1, \ldots, f_n \in \mathfrak m_x\) des générateurs. Considérons l’homomorphisme \[\kappa[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] Puisque les deux membres sont complets pour la topologie \((x_1, \ldots, x_n)\)-adique (le membre de droite d’après Algèbre, lemme 05GG), cette application est surjective d’après Algèbre, lemme 0315 car elle est surjective modulo \((x_1, \ldots, x_n)\) par construction.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique. Posons \(Y = X_K\). Soit \(y \in Y\) un point d’image \(x \in X\). Supposons que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\) et que \(\kappa(x)/k\) soit séparable. Choisissons un isomorphisme \[\kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\] de \(k\)-algèbres comme dans (0C53). On a alors un isomorphisme \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] de \(K\)-algèbres comme dans (0C53). On utilise ici \(\kappa(x) \to \kappa(y)\) pour considérer \(g_j\) comme une série formelle sur \(\kappa(y)\).

Démonstration

L’homomorphisme local \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) induit un homomorphisme local \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\). L’homomorphisme induit \[\kappa(x) \to \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] composée avec la projection vers \(\kappa(y)\) est l’homomorphisme canonique \(\kappa(x) \to \kappa(y)\). D’après le lemme 0C4Y, le corps résiduel \(\kappa(y)\) est une localisation de \(\kappa(x) \otimes_k K\) au noyau \(\mathfrak p_0\) de \(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y)\). D’autre part, d’après le lemme 0C50, l’anneau local \((\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\) est égal à \(\kappa(y)\). Ainsi, l’application \[\kappa(x) \otimes_k K \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] se factorise canoniquement par \(\kappa(y)\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \kappa(y) \ar[rr] & & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x) \ar[r] \ar[u] & \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] Soit \(f_i \in \mathfrak m_x^\wedge \subset \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\) soit l’image de \(x_i\). Observons que \(\mathfrak m_x^\wedge = (f_1, \ldots, f_n)\) puisque l’homomorphisme est surjectif. Considérons l’homomorphisme \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] où ici \(f_i\) signifie vraiment l’image de \(f_i\) dans \(\mathfrak m_y^\wedge\). Puisque \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\) d’après le lemme 0C50, nous voyons que le membre de droite est complet pour la topologie \((x_1, \ldots, x_n)\)-adique (on utilise Algèbre, lemme 05GG pour voir que le membre de droite est un anneau local complet). Puisque les deux membres sont complets pour la topologie \((x_1, \ldots, x_n)\)-adique, notre application est surjective par Algèbre, lemme 0315 car elle est surjective modulo \((x_1, \ldots, x_n)\). Bien sûr, les séries formelles \(g_1, \ldots, g_m\) sont envoyées sur zéro par cet homomorphisme, puisqu’elles le sont déjà dans \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\). On obtient donc le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] Nous devons encore montrer que la flèche horizontale supérieure est un isomorphisme. Nous savons déjà qu’elle est surjective. Nous savons que \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) est plat (lemme 0C4Y), ce qui implique que \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) est plat (Compléments d’algèbre, lemme 0C4G). Ainsi, nous pouvons appliquer Algèbre, lemme 00ME avec \(R = \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\), avec \(S = \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\), avec \(M = \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) et avec \(N = S\) pour conclure que l’application est injective.

Engendrement par les sections globales

Quelques lemmes sur l’engendrement des modules quasi-cohérents par leurs sections globales.

Lemme

Soit \(X \to \Spec(A)\) un morphisme de schémas. Soit \(A \subset A'\) une inclusion d’anneaux fidèlement plate. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales si et seulement si \(\mathcal{F}_{A'}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Plus précisément, posons \(X_{A'} = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\). Soit \(\mathcal{F}_{A'} = p^*\mathcal{F}\) où \(p : X_{A'} \to X\) est la projection. D’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH nous avons \(H^0(X_{k'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A A'\). Ainsi, si \(s_i\), \(i \in I\) sont des générateurs de \(H^0(X, \mathcal{F})\) comme module \(A\), alors leurs images dans \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\) sont des générateurs de \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\) comme module \(A'\). Ainsi, nous devons montrer que l’application \(\alpha : \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\), \((f_i) \mapsto \sum f_i s_i\) est surjective si et seulement si \(p^*\alpha\) est surjective. Cela, nous pouvons le vérifier sur un ouvert affine \(U = \Spec(B)\) de \(X\). Alors \(\mathcal{F}|_U\) correspond à un \(B\)-module \(M\) et \(s_i|_U\) aux éléments \(x_i \in M\). Ainsi, nous devons montrer que \(\bigoplus_{i \in I} B \to M\) est surjective si et seulement si le changement de base \(\bigoplus_{i \in I} B \otimes_A A' \to M \otimes_A A'\) est surjective. C’est vrai parce que \(A \to A'\) est fidèlement plat.

Lemme

Soit \(k\) un corps infini. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible très ample sur \(X\). Soient \(n \geq 0\) et \(x, x_1, \ldots, x_n \in X\), avec \(x\) un point \(k\)-rationnel, c’est-à-dire \(\kappa(x) = k\), et \(x \not = x_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Alors il existe un \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) qui s’annule en \(x\) mais en aucun des \(x_i\).

Démonstration

Si \(n = 0\) le résultat est trivial, nous supposons donc \(n > 0\). Par définition d’un faisceau inversible très ample, le lemme se réduit immédiatement au cas où \(X = \mathbf{P}^r_k\) pour un certain \(r > 0\) et \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\). Écrivons \(\mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\). Posons \(V = H^0(X, \mathcal{L}) = kT_0 \oplus \ldots \oplus kT_r\). Puisque \(x\) est un point \(k\)-rationnel, on voit que l’ensemble des \(s \in V\) qui s’annulent en \(x\) est un sous-espace de codimension \(1\), à savoir \(W \subset V\), et que \(W\) engendre l’idéal premier homogène correspondant à \(x\). Puisque \(x_i \not = x\), l’idéal premier homogène correspondant \(\mathfrak p_i \subset k[T_0, \ldots, T_r]\) ne contient pas \(W\). Comme \(k\) est infini, nous voyons alors que \(W \not = \bigcup W \cap \mathfrak q_i\) et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(k\) un corps infini. Soit \(X\) un \(k\)-schéma algébrique. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) une application linéaire de \(k\)-espaces vectoriels dont l’image génère \(\mathcal{L}\). Alors il existe un sous-espace \(W \subset V\) avec \(\dim_k(W) \leq \dim(X) + 1\) qui génère \(\mathcal{L}\).

Démonstration

Tout au long de la démonstration, nous utiliserons que pour tout \(x \in X\), l’application linéaire \[\psi_x : V \to \Gamma(X, \mathcal{L}) \to \mathcal{L}_x \to \mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] n’est pas nulle. La démonstration se fait par récurrence sur \(\dim(X)\).

Le cas de base est \(\dim(X) = 0\). Dans ce cas, \(X\) a un nombre fini de points \(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\) (voir par exemple le lemme 06LH). Puisque \(k\) est infini, il existe un vecteur \(v \in V\) tel que \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\) pour tout \(i\). Alors \(W = k\cdot v\) convient.

Supposons \(\dim(X) > 0\). Soient \(X_i \subset X\) les composantes irréductibles de dimension égale à \(\dim(X)\). Comme \(X\) est noethérien, elles sont en nombre fini. Pour tout \(i\), choisissons un point \(x_i \in X_i\). Comme ci-dessus, choisissons \(v \in V\) tel que \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\) pour tout \(i\). Soit \(Z \subset X\) le schéma des zéros de l’image de \(v\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{L})\), voir Diviseurs, définition 02OQ. Par construction \(\dim(Z) < \dim(X)\). Par induction, nous pouvons trouver \(W \subset V\) avec \(\dim(W) \leq \dim(X)\) tel que \(W\) génère \(\mathcal{L}|_Z\). Alors \(W + k\cdot v\) génère \(\mathcal{L}\).

Séparation des points et des vecteurs tangents

C’est simplement le résultat suivant.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un \(k\)-schéma propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(V \subset H^0(X, \mathcal{L})\) soit un \(k\)-sous-espace vectoriel. Si

1. pour toute paire de points fermés distincts \(x, y \in X\), il existe une section \(s \in V\) qui s’annule en \(x\) mais non en \(y\), et

2. pour tout point fermé \(x \in X\) et tout vecteur tangent non nul \(\theta \in T_{X/k, x}\), il existe une section \(s \in V\) qui s’annule en \(x\) mais dont l’image réciproque par \(\theta\) est non nulle,

alors \(\mathcal{L}\) est très ample et le morphisme canonique \(\varphi_{\mathcal{L}, V} : X \to \mathbf{P}(V)\) est une immersion fermée.

Démonstration

La condition (1) implique en particulier que les éléments de \(V\) engendrent \(\mathcal{L}\) sur \(X\). On obtient donc un morphisme canonique \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}, V} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] par Constructions, exemple 0FCY. Le morphisme \(\varphi\) est propre d’après Morphismes, lemme 01W6. D’après (1), le morphisme \(\varphi\) est injectif sur les points fermés (calcul omis). En particulier, la fibre au-dessus de tout point fermé de \(\mathbf{P}(V)\) est réduite à un point (petit détail omis). Ainsi, nous voyons que \(\varphi\) est fini, par exemple en utilisant Cohomologie des schémas, lemme 02OH. Pour terminer la démonstration, il suffit de montrer que l’application \[\varphi^\sharp : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)} \longrightarrow \varphi_*\mathcal{O}_X\] est surjective. Nous pouvons le vérifier sur les germes aux points fermés. Soit \(x \in X\) un point fermé d’image le point fermé \(p = \varphi(x) \in \mathbf{P}(V)\). Puisque \(\varphi^{-1}(\{p\}) = \{x\}\) par (1) et que \(\varphi\) est propre (donc fermé), on voit que \(\varphi^{-1}(U)\) décrit un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\) lorsque \(U\) décrit un système fondamental de voisinages ouverts de \(p\). Nous concluons qu’en passant aux germes en \(p\), nous obtenons l’homomorphisme \[\varphi^\sharp_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] En particulier, \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p}\)-module fini. De plus, les corps résiduels de \(x\) et \(p\) sont égaux à \(k\) (comme \(k\) est algébriquement clos — on utilise le Nullstellensatz de Hilbert). Enfin, la condition (2) implique que l’application \[T_{X/k, x} \longrightarrow T_{\mathbf{P}(V)/k, p}\] est injective puisque tout \(\theta\) non nul dans le noyau de cette application ne saurait satisfaire la conclusion de (2). En termes du morphisme d’anneaux locaux ci-dessus, cela signifie que \[\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 \longrightarrow \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\] est surjective, voir le lemme 0B2E. La preuve s’achève alors par Algèbre, lemme 0E8M.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un \(k\)-schéma propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que, pour tout sous-schéma fermé \(Z \subset X\) de dimension \(0\) et de degré \(2\) sur \(k\), l’application \[H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{L}|_Z)\] est surjective. Alors \(\mathcal{L}\) est très ample sur \(X\) relativement à \(k\).

Démonstration

C’est une reformulation du lemme 0E8S. En effet, étant donnés deux points fermés distincts \(x, y \in X\), le choix \(Z = x \cup y\) (considéré comme sous-schéma fermé) donne la condition (1) du lemme. Étant donné un vecteur tangent non nul \(\theta \in T_{X/k, x}\) le morphisme \(\theta : \Spec(k[\epsilon]) \to X\) est une immersion fermée. En posant \(Z = \Im(\theta)\) nous obtenons la condition (2) du lemme.

Adhérences de produits

Quelques résultats sur les rapports entre l’adhérence et les produits.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(k\), et soient \(A \subset X\), \(B \subset Y\) des parties. Posons \[AB = \{z \in X \times_k Y \mid \text{pr}_X(z) \in A, \ \text{pr}_Y(z) \in B\} \subset X \times_k Y\] Alors, ensemblistement, nous avons \[\overline{A} \times_k \overline{B} = \overline{AB}\]

Démonstration

L’inclusion \(\overline{AB} \subset \overline{A} \times_k \overline{B}\) est immédiate. Nous pouvons remplacer \(X\) et \(Y\) par les sous-schémas fermés réduits \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\). Soit \(W \subset X \times_k Y\) soit un ouvert non vide. Par Morphismes, lemme 0383, le sous-ensemble \(U = \text{pr}_X(W)\) est ouvert non vide dans \(X\). Ainsi \(A \cap U\) n’est pas vide. Choisissons \(a \in A \cap U\). Notons \(Y_a = \{a\} \times_k Y \cong Y_{\kappa(a)}\) la fibre de \(\text{pr}_X : X \times_k Y \to X\) au-dessus de \(a\). D’après Morphismes, lemme 0383, le morphisme \(Y_a \to Y\) est encore ouvert puisque \(\Spec(\kappa(a)) \to \Spec(k)\) est universellement ouvert. Ainsi l’ouvert non vide \(W_a = W \times_{X \times_k Y} Y_a\) se projette sur un ouvert non vide de \(Y\). Nous en concluons qu’il existe un \(b \in B\) dans l’image. Ainsi \(AB \cap W \not = \emptyset\) comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(f : A \to X\), \(g : B \to Y\) des morphismes de schémas sur \(k\). Alors, ensemblistement, on a \[\overline{f(A)} \times_k \overline{g(B)} = \overline{(f \times g)(A \times_k B)}\]

Démonstration

Cela découle du lemme 047B puisque l’image de \(f \times g\) est \(f(A)g(B)\) dans la notation de ce lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(f : A \to X\), \(g : B \to Y\) des morphismes quasi-compacts de schémas sur \(k\). Soit \(Z \subset X\) l’image schématique de \(f\); voir Morphismes, définition 01R7. De même, soit \(Z' \subset Y\) l’image schématique de \(g\). Alors \(Z \times_k Z'\) est l’image schématique de \(f \times g\).

Démonstration

Rappelons que \(Z\) est le plus petit sous-schéma fermé de \(X\) par lequel \(f\) se factorise. De même pour \(Z'\). Soit \(W \subset X \times_k Y\) l’image schématique de \(f \times g\). Comme \(f \times g\) se factorise par \(Z \times_k Z'\), on voit que \(W \subset Z \times_k Z'\).

Pour démontrer l’autre inclusion, soient \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) des ouverts affines. D’après Morphismes, lemme 01R8, le schéma \(Z \cap U\) est l’image schématique de \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\), et de même pour \(Z' \cap V\) et \(W \cap U \times_k V\). On peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines. Comme \(f\) et \(g\) sont quasi-compacts, cela implique que \(A = \bigcup U_i\) est une union finie d’affines et \(B = \bigcup V_j\) est une union finie d’affines. On peut alors remplacer \(A\) par \(\coprod U_i\) et \(B\) par \(\coprod V_j\), c’est-à-dire qu’on peut supposer que \(A\) et \(B\) sont également affines. Dans ce cas, \(Z\) est défini par \(\Ker(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \Gamma(A, \mathcal{O}_A))\) et de même pour \(Z'\) et \(W\). Par conséquent, le résultat découle de l’égalité \[\Gamma(A \times_k B, \mathcal{O}_{A \times_k B}) = \Gamma(A, \mathcal{O}_A) \otimes_k \Gamma(B, \mathcal{O}_B)\] qui est vraie puisque \(A\) et \(B\) sont affines. Nous omettons les détails.

Schémas lisses sur des corps

Voici deux lemmes caractérisant les schémas lisses sur les corps.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons

1. \(X\) est localement de type fini sur \(k\),

2. \(\Omega_{X/k}\) est localement libre, et

3. \(k\) a caractéristique zéro.

Alors le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est lisse.

Démonstration

Cela résulte d’Algèbre, lemme 00TX.

En caractéristique positive, il existe des schémas de type fini non réduits dont le faisceau des différentielles est libre, par exemple \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]/(t^p))\) sur \(\Spec(\mathbf{F}_p)\). Si le corps de base \(k\) est non parfait de caractéristique \(p\), il existe des schémas réduits \(X/k\) avec \(\Omega_{X/k}\) libre qui ne sont pas lisses, par exemple \(\Spec(k[t]/(t^p-a)\) où \(a \in k\) n’est pas une puissance \(p\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons

1. \(X\) est localement de type fini sur \(k\),

2. \(\Omega_{X/k}\) est localement libre,

3. \(X\) est réduit, et

4. \(k\) est parfait.

Alors le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est lisse.

Démonstration

Soit \(x \in X\) un point. Comme \(X\) est localement noethérien (voir Morphismes, lemme 01T6), il y a un nombre fini de composantes irréductibles \(X_1, \ldots, X_n\) passant par \(x\) (voir Propriétés, lemme 01OZ et Topologie, lemme 0052). Soit \(\eta_i \in X_i\) le point générique. Comme \(X\) est réduit, on a \(\mathcal{O}_{X, \eta_i} = \kappa(\eta_i)\), voir Algèbre, lemme 00EU. De plus, \(\kappa(\eta_i)\) est une extension de corps de type fini du corps parfait \(k\), donc séparablement engendrée sur \(k\) (voir Algèbre, section 030I). Il s’ensuit que \(\Omega_{X/k, \eta_i} = \Omega_{\kappa(\eta_i)/k}\) est libre de rang égal au degré de transcendance de \(\kappa(\eta_i)\) sur \(k\). D’après Morphismes, lemme 02FX, nous concluons que \(\dim_{\eta_i}(X_i) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k})\). Puisque \(x \in X_1 \cap \ldots \cap X_n\), on voit que \[\text{rank}_x(\Omega_{X/k}) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k}) = \dim(X_i).\] Par conséquent \(\dim_x(X) = \text{rank}_x(\Omega_{X/k})\), voir Algèbre, lemme 00OT. Il s’ensuit que \(X \to \Spec(k)\) est lisse en \(x\) par exemple d’après Algèbre, lemme 00TT.

Lemme

Soit \(X \to \Spec(k)\) un morphisme lisse, où \(k\) est un corps. Alors \(X\) est un schéma régulier.

Démonstration

(Voir aussi le lemme 038X.)

D’après Algèbre, lemme 00TT, tout anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier. Comme \(X\) est localement de type fini sur \(k\), il est localement noethérien. Par conséquent, \(X\) est régulier d’après Propriétés, lemme 02IT.

Lemme

Soit \(X \to \Spec(k)\) un morphisme lisse, où \(k\) est un corps. Alors \(X\) est géométriquement régulier, géométriquement normal et géométriquement réduit sur \(k\).

Démonstration

(Voir aussi le lemme 038X.) Soit \(k'\) une extension finie purement inséparable de \(k\). Il suffit de montrer que \(X_{k'}\) est régulier, normal et réduit ; voir les lemmes 038V, 038O, et 035Y.

D’après Morphismes, lemme 01VB, le morphisme \(X_{k'} \to \Spec(k')\) est également lisse. Par conséquent, il suffit de montrer qu’un schéma \(X\) lisse sur un corps est régulier, normal et réduit. On voit que \(X\) est régulier d’après le lemme 056S.

Par conséquent, Propriétés, lemme 0569 garantit que \(X\) est normal.

Lemme

Soit \(k\) un corps, soit \(d \geq 0\) et soit \(W \subset \mathbf{A}^d_k\) ouvert non vide. Alors il existe un point fermé \(w \in W\) tel que \(k \subset \kappa(w)\) soit finie et séparable.

Démonstration

Après avoir éventuellement rétréci \(W\), on peut supposer que \(W = \mathbf{A}^d_k \setminus V(f)\) pour certains \(f \in k[x_1, \ldots, x_d]\). Si le lemme est faux, alors \(f(a_1, \ldots, a_d) = 0\) pour tous les \((a_1, \ldots, a_d) \in (k^{sep})^d\). C’est absurde car \(k^{sep}\) est un corps infini.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Si \(X\) est lisse sur \(\Spec(k)\) alors l’ensemble \[\{x \in X\text{ fermé tel que }k \subset \kappa(x) \text{ est finie séparable}\}\] est dense en \(X\).

Démonstration

Il suffit de montrer que, pour tout schéma lisse non vide \(X\) sur \(k\), il existe au moins un point fermé dont le corps résiduel est fini et séparable sur \(k\). Pour le voir, choisissons un diagramme \[\xymatrix{ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^d_k }\] où \(\pi\) est étale, voir Morphismes, lemme 054L. Le morphisme \(\pi : U \to \mathbf{A}^d_k\) est ouvert, voir Morphismes, lemme 03WT. D’après le lemme 055T, nous pouvons choisir un point fermé \(w \in \pi(U)\) dont le corps résiduel est fini et séparable sur \(k\). Choisissons un \(x \in U\) avec \(\pi(x) = w\). D’après Morphismes, lemme 02GL, l’extension de corps \(\kappa(x)/\kappa(w)\) est finie et séparable. Par conséquent, \(\kappa(x)/k\) est finie et séparable. Le point \(x\) est un point fermé de \(X\) d’après Morphismes, lemme 01TE.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit localement de type fini sur un corps \(k\). Alors \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\) si et seulement si \(X\) contient un ouvert dense qui est lisse sur \(k\).

Démonstration

La question étant locale sur \(X\), on peut supposer que \(X\) est quasi-compact. Soit \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) la réunion des composantes irréductibles de \(X\). Supposons d’abord que \(X\) contient un ouvert dense qui est lisse sur \(k\). Alors \(X\) est géométriquement réduit au point générique de chaque \(X_i\) (par exemple d’après le lemme 056T). D’après le lemme 04KS, il s’ensuit que \(X\) est géométriquement réduit.

Réciproquement, supposons que \(X\) soit géométriquement réduit. Comme \(Z = \bigcup_{i \not = j} X_i \cap X_j\) est nulle part dense dans \(X\), nous pouvons remplacer \(X\) par \(X \setminus Z\). Comme \(X \setminus Z\) est une réunion disjointe de schémas irréductibles, cela nous ramène au cas où \(X\) est irréductible. Comme \(X\) est irréductible et réduit, il est intègre, voir Propriétés, lemme 01ON. Soit \(\eta \in X\) son point générique. Alors le corps des fonctions \(K = k(X) = \kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\) est géométriquement réduit sur \(k\), donc séparable sur \(k\), voir Algèbre, lemme 030W. Soit \(U = \Spec(A) \subset X\) un ouvert affine non vide quelconque, de sorte que \(K = A_{(0)}\) soit le corps des fractions de \(A\). Appliquons Algèbre, lemme 00TV pour en déduire que \(A\) est lisse en \((0)\) sur \(k\). Par définition, cela signifie qu’une certaine localisation principale de \(A\) est lisse sur \(k\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps parfait. Soit \(X\) un \(k\)-schéma réduit localement algébrique, par exemple une variété sur \(k\). Alors nous avons \[\{x \in X \mid X \to \Spec(k)\text{ is smooth at }x\} = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X, x}\text{ is regular}\}\] et c’est un ouvert dense de \(X\).

Démonstration

L’égalité des deux ensembles résulte immédiatement d’Algèbre, lemme 00TV et des définitions (voir Algèbre, définition 030Y pour la définition d’un corps parfait). L’ensemble est ouvert car l’ensemble des points où un morphisme de schémas est lisse est ouvert, voir Morphismes, définition 01V5. Enfin, nous donnons deux arguments pour voir qu’il est dense : (1) Les points génériques de \(X\) sont dans l’ensemble car les anneaux locaux aux points génériques sont des corps (Algèbre, lemme 00EU), donc réguliers. (2) Nous utilisons que \(X\) est géométriquement réduit d’après le lemme 020I et donc le lemme 056V s’applique.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(k\). Soit \(x \in X\) un point et posons \(y = f(x)\). Si \(X \to \Spec(k)\) est lisse en \(x\) et que \(f\) est plat en \(x\) alors \(Y \to \Spec(k)\) est lisse en \(y\). En particulier, si \(X\) est lisse sur \(k\) et que \(f\) est plat et surjectif, alors \(Y\) est lisse sur \(k\).

Démonstration

Il suffit de montrer que \(Y\) est géométriquement régulier en \(y\), voir le lemme 038X. Cela découle du lemme 05AW (et du lemme 038X appliqué à \((X, x)\)).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une variété sur \(k\) possédant un point \(k\)-rationnel \(x\) tel que \(X\) soit lisse en \(x\). Alors \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) le lieu lisse de \(X\). Par hypothèse, \(U\) n’est pas vide et est donc dense et schématiquement dense. Alors \(U_{\overline{k}} \subset X_{\overline{k}}\) est également dense et schématiquement dense (certains détails omis). Par conséquent, il suffit de montrer que \(U\) est géométriquement intègre. Comme \(U\) possède un point \(k\)-rationnel, il est géométriquement connexe d’après le lemme 04KV. D’autre part, \(U_{\overline{k}}\) est réduit et normal (lemme 056T). Puisqu’un schéma noethérien connexe et normal est intègre (Propriétés, lemme 033M), la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps \(k\). Il existe une extension finie purement inséparable \(k'/k\), un entier \(t \geq 0\), et des sous-schémas fermés \[X_{k'} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] de sorte que \(Z_0 = (X_{k'})_{red}\) et \(Z_i \setminus Z_{i + 1}\) soient lisses sur \(k'\) pour tout \(i\).

Démonstration

Procédons par récurrence sur \(\dim(X)\). D’après le lemme 04KT, nous pouvons trouver une extension finie purement inséparable \(k'/k\) telle que \((X_{k'})_{red}\) soit géométriquement réduit sur \(k'\). D’après le lemme 056V, il existe un sous-schéma fermé nulle part dense \(X' \subset (X_{k'})_{red}\) tel que \((X_{k'})_{red} \setminus X'\) soit lisse sur \(k'\). Ensuite \(\dim(X') < \dim(X)\). Par hypothèse d’induction, il existe une extension finie purement inséparable \(k''/k'\), un entier \(t' \geq 0\), et des sous-schémas fermés \[X'_{k''} \supset Y_0 \supset Y_1 \supset \ldots \supset Y_{t'} = \emptyset\] tels que \(Y_0 = (X'_{k''})_{red}\) et \(Y_i \setminus Y_{i + 1}\) soit lisse sur \(k''\) pour tout \(i\). Posons alors \(t = t' + 1\) et nous considérons \[X_{k''} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] où \(Z_0 = (X_{k''})_{red}\) et \(Z_i = Y_{i - 1}\) pour \(i > 0\); cela a du sens car \(X'_{k''}\) est un sous-schéma fermé de \(X_{k''}\). Nous omettons de vérifier toutes les propriétés énoncées.

Types de variétés

Cette courte section traite de quelques propriétés globales élémentaires des variétés.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une variété sur \(k\).

1. On dit que \(X\) est une variété affine si \(X\) est un schéma affine. Cela équivaut à exiger que \(X\) soit isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{A}^n_k\) pour un certain \(n\).

2. On dit que \(X\) est une variété projective si le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est projectif. D’après Morphismes, lemme 01WB, cela est vrai si et seulement si \(X\) est isomorphe à un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^n_k\) pour un certain \(n\).

3. On dit que \(X\) est une variété quasi-projective si le morphisme de structure \(X \to \Spec(k)\) est quasi-projectif. D’après Morphismes, lemme 01VZ, cela est vrai si et seulement si \(X\) est isomorphe à un sous-schéma localement fermé de \(\mathbf{P}^n_k\) pour un certain \(n\).

4. Une variété propre est une variété telle que le morphisme \(X \to \Spec(k)\) est propre.

5. Une variété lisse est une variété telle que le morphisme \(X \to \Spec(k)\) est lisse.

Notons qu’une variété projective est une variété propre, voir Morphismes, lemme 01WC. De plus, une variété affine est quasi-projective car \(\mathbf{A}^n_k\) est isomorphe à un sous-schéma ouvert de \(\mathbf{P}^n_k\), voir Constructions, lemme 01NG.

Lemme

Soit \(X\) une variété propre sur \(k\). Alors

1. \(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est un corps qui est une extension finie du corps \(k\),

2. si \(X\) est géométriquement réduit, alors \(K/k\) est séparable,

3. si \(X\) est géométriquement irréductible, alors \(K/k\) est purement inséparable,

4. si \(X\) est géométriquement intègre, alors \(K = k\).

Démonstration

Ceci est un cas particulier du lemme 0BUG.

Normalisation

Quelques questions relatives à la normalisation.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma localement algébrique sur \(k\). Soit \(\nu : X^\nu \to X\) le morphisme de normalisation, voir Morphismes, définition 035N. Alors

1. \(\nu\) est fini, dominant, et \(X^\nu\) est une réunion disjointe de schémas irréductibles normaux localement algébriques sur \(k\),

2. \(\nu\) se factorise en \(X^\nu \to X_{red} \to X\) et le premier morphisme est le morphisme de normalisation de \(X_{red}\),

3. si \(X\) est un schéma algébrique réduit, alors \(\nu\) est birationnel,

4. si \(X\) est une variété, alors \(X^\nu\) est une variété et \(\nu\) est un morphisme birationnel fini de variétés.

Démonstration

Puisque \(X\) est localement de type fini sur un corps, on voit que \(X\) est localement noethérien (Morphismes, lemme 01T6), donc chaque ouvert quasi-compact a un nombre fini de composantes irréductibles (Propriétés, lemme 0BA8). Ainsi, Morphismes, définition 035N, s’applique. La normalisation \(X^\nu\) est toujours une réunion disjointe de schémas intègres normaux et le morphisme de normalisation \(\nu\) est toujours dominant, voir Morphismes, lemme 035Q. Comme \(X\) est universellement Nagata (Morphismes, lemme 035B), on voit que \(\nu\) est fini (Morphismes, lemme 035S). Ainsi \(X^\nu\) est également localement algébrique. À ce stade, nous avons prouvé (1).

La partie (2) est donnée par Morphismes, lemme 035O.

La partie (3) est donnée par Morphismes, lemme 0BXC.

La partie (4) découle de (1), (2), (3), et du fait que \(X^\nu\) est séparé en tant que schéma fini sur un schéma séparé.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(\nu : X^\nu \to X\) le morphisme de normalisation, voir Morphismes, définition 035N. Alors \(X^\nu\) est propre sur \(k\). Si \(X\) est projectif sur \(k\), alors \(X^\nu\) est projectif sur \(k\).

Démonstration

D’après le lemme 0BXR le morphisme \(\nu\) est fini. Par conséquent, \(X^\nu\) est propre sur \(k\) d’après Morphismes, lemmes 01WN et 01W3. Le morphisme \(\nu\) est projectif d’après Morphismes, lemme 0B3I et donc si \(X\) est projectif sur \(k\), alors \(X^\nu\) est projectif sur \(k\) d’après Morphismes, le lemme 0C4P.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-compact de schémas localement algébriques sur \(k\). Soit \(X'\) la normalisation de \(X\) dans \(Y\). Si \(Y\) est réduit, alors \(X' \to X\) est fini.

Démonstration

Puisque \(Y\) est quasi-séparé (par Propriétés, lemme 01OY et Morphismes, lemme 01T6), le morphisme \(f\) est quasi-séparé (Schémas, lemme 01KV). Ainsi, Morphismes, définition 035H s’applique. Le résultat découle de Morphismes, lemme 0AVK. Cela utilise que les schémas localement algébriques sont localement noethériens (et ont donc localement un nombre fini de composantes irréductibles) et que les schémas localement algébriques sont de Nagata (Morphismes, lemme 035B). Quelques petits détails sont omis.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma algébrique. Alors il existe une extension finie purement inséparable \(k'/k\) telle que la normalisation \(Y\) de \(X_{k'}\) soit géométriquement normale sur \(k'\).

Démonstration

Soit \(K = k^{perf}\) la clôture parfaite. Soit \(Y_K\) la normalisation de \(X_K\), voir le lemme 0BXR. D’après Limites, lemme 01ZM, il existe une sous-extension finie \(K/k'/k\) et un morphisme \(\nu : Y \to X_{k'}\) de présentation finie dont le changement de base vers \(K\) est le morphisme de normalisation \(\nu_K : Y_K \to X_K\). On observe que \(Y\) est géométriquement normal sur \(k'\) (lemme 038O). Après avoir augmenté \(k'\), on peut supposer que \(Y \to X_{k'}\) est fini (Limites, lemme 01ZO). Comme \(\nu_K : Y_K \to X_K\) est le morphisme de normalisation, il induit un morphisme birationnel \(Y_K \to (X_K)_{red}\). Par conséquent, il existe un ouvert dense \(V_K \subset X_K\) tel que \(\nu_K^{-1}(V_K) \to V_K\) soit une immersion fermée (induisant un isomorphisme de \(\nu_K^{-1}(V_K)\) avec \(V_{K, red}\), voir par exemple Morphismes, lemme 0BAJ). Après avoir augmenté \(k'\), nous trouvons que \(V_K\) est le changement de base d’un ouvert dense \(V \subset Y\) et que le morphisme \(\nu^{-1}(V) \to V\) est une immersion fermée (Limites, lemmes 01Z4 et 01ZP). Il s’ensuit facilement de cela que \(\nu\) est le morphisme de normalisation et la preuve est complète.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique. Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation de \(X\), et soit \(Y^\nu \to X_K\) la normalisation du changement de base. Alors le morphisme canonique \[Y^\nu \longrightarrow X^\nu \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\] est un isomorphisme si \(K/k\) est séparable et un homéomorphisme universel en général.

Démonstration

Posons \(Y = X_K\). Soient \(X^{(0)}\), resp. \(Y^{(0)}\), les ensembles des points génériques des composantes irréductibles de \(X\), resp.  \(Y\). Alors le morphisme de projection \(\pi : Y \to X\) satisfait \(\pi(Y^{(0)}) = X^{(0)}\). Cela est vrai car \(\pi\) est surjectif, ouvert et générisant, voir Morphismes, lemme 0383 et 040F. Si nous considérons \(X^{(0)}\), resp.  \(Y^{(0)}\) comme des schémas (réduits), alors \(X^\nu\), resp.  \(Y^\nu\) est la normalisation de \(X\), resp.  \(Y\) dans \(X^{(0)}\), resp.  \(Y^{(0})\). Ainsi, Morphismes, lemme 035J donne un morphisme canonique \(Y^\nu \to X^\nu\) sur \(Y \to X\) qui à son tour donne le morphisme canonique du lemme par la propriété universelle du produit fibré.

Pour montrer que ce morphisme possède les propriétés énoncées dans le lemme, on peut supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine. Soit \(Q(A_{red})\) l’anneau total des fractions de \(A_{red}\). Alors \(X^\nu\) est le spectre de la clôture intégrale \(A'\) de \(A\) dans \(Q(A_{red})\), voir Morphismes, lemmes 035O et 035P. De même, \(Y^\nu\) est le spectre de la clôture intégrale \(B'\) de \(A \otimes_k K\) dans \(Q((A \otimes_k K)_{red})\). Il existe un homomorphisme canonique \(Q(A_{red}) \to Q((A \otimes_k K)_{red})\), un homomorphisme canonique \(A' \to B'\), et le morphisme du lemme correspond à l’homomorphisme induit. \[A' \otimes_k K \longrightarrow B'\] de \(K\)-algèbres. Le noyau est constitué d’éléments nilpotents car le noyau de \(Q(A_{red}) \otimes_k K \to Q((A \otimes_k K)_{red})\) est l’ensemble des éléments nilpotents.

Si \(K/k\) est séparable, alors \(A' \otimes_k K\) est normal d’après le lemme 0C3M. En particulier, il est réduit, donc \(Q((A \otimes_k K)_{red}) = Q(A' \otimes_k K)\) et \(B' = A' \otimes_k K\) d’après Algèbre, lemme 030C.

Supposons que \(K/k\) ne soit pas séparable. Alors la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\). Nous allons montrer que pour chaque \(b \in B'\) il existe une puissance \(q\) de \(p\) telle que \(b^q\) appartienne à l’image de \(A' \otimes_k K\). Cela montrera que l’application affichée est un homéomorphisme universel d’après le lemme d’Algèbre 0BRA. Pour \(b\) fixé, il existe un sous-corps \(F \subset K\) avec \(F/k\) de type fini tel que \(b\) soit contenu dans \(Q((A \otimes_k F)_{red})\) et soit entier sur \(A \otimes_k F\). Choisissons un polynôme unitaire \(P = T^d + \alpha_1 T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d\) avec \(P(b) = 0\) et \(\alpha_i \in A \otimes_k F\). Choisissons une base de transcendance \(t_1, \ldots, t_r\) de \(F\) sur \(k\). Soit \(F/F'/k(t_1, \ldots, t_r)\) la sous-extension séparable maximale (Corps, lemme 030K). Comme \(F/F'\) est finie purement inséparable, il existe un \(q\) tel que \(\lambda^q \in F'\) pour tout \(\lambda \in F\). Alors \(b^q\) est dans \(Q((A \otimes_k F')_{red})\) et satisfait le polynôme \(T^d + \alpha_1^q T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d^q\) avec \(\alpha_i^q \in A \otimes_k F'\). Par le cas séparable, nous voyons que \(b^q \in A' \otimes_k F'\) et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement algébrique. Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation de \(X\). Soit \(x \in X\) un point tel que (a) \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit réduit, (b) \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\), et (c) pour tout \(x' \in X^\nu\) avec \(\nu(x') = x\) l’extension \(\kappa(x')/k\) soit séparable. Alors \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) et \(X^\nu\) est géométriquement régulier en \(x'\) avec \(\nu(x') = x\).

Démonstration

Nous utiliserons les résultats du lemme 0BXR sans autre mention. Soit \(x' \in X^\nu\) un point au-dessus de \(x\). Par la théorie de la dimension (section 06LF), nous avons \(\dim(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}) = 1\). Puisque \(X^\nu\) est normal, on voit que \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est un anneau de valuation discrète (Propriétés, lemme 0345). Ainsi, \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est une \(k\)-algèbre locale régulière dont le corps résiduel est séparable sur \(k\). Par conséquent, \(k \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est formellement lisse dans la topologie \(\mathfrak m_{x'}\)-adique, voir Compléments d’algèbre, lemme 07EJ. Alors \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est géométriquement régulier sur \(k\) par Compléments d’algèbre, théorème 07EL. Ainsi \(X^\nu\) est géométriquement régulier en \(x'\) d’après le lemme 038U.

Puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit, la famille d’homomorphismes \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est injective. Puisque \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\) est une \(k\)-algèbre géométriquement réduite, il s’ensuit immédiatement que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est une \(k\)-algèbre géométriquement réduite. Par conséquent, \(X\) est géométriquement réduit en \(x\) d’après le lemme 035W.

Groupes de fonctions inversibles

Il arrive souvent (mais pas toujours) que \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) soit un groupe abélien de type fini si \(X\) est une variété sur \(k\). Nous le montrons par une série de lemmes. Tout repose sur le cas spécial suivant.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(\overline{X}\) une variété propre sur \(k\). Soit \(X \subset \overline{X}\) un sous-schéma ouvert. Supposons que \(X\) soit normal. Alors \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) est un groupe abélien de type fini.

Démonstration

Puisque l’énoncé ne concerne que \(X\), nous pouvons remplacer \(\overline{X}\) par une autre variété propre sur \(k\). Soit \(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\) le morphisme de normalisation. D’après le lemme 0BXR, on sait que \(\nu\) est fini et que \(\overline{X}^\nu\) est une variété. Comme \(X\) est normale, on voit que \(\nu^{-1}(X) \to X\) est un isomorphisme (petit détail omis). Enfin, on voit que \(\overline{X}^\nu\) est propre sur \(k\), car un morphisme fini est propre (Morphismes, lemme 01WN) et les compositions de morphismes propres sont propres (Morphismes, lemme 01W3). Ainsi, nous pouvons et faisons l’hypothèse que \(\overline{X}\) est normal.

Nous utiliserons sans plus le rappeler que, pour tout ouvert affine \(U\) de \(\overline{X}\), l’anneau \(\mathcal{O}(U)\) est une \(k\)-algèbre de type fini, qui est noethérienne, intègre et normale, voir Algèbre, lemme 00FN, Propriétés, définition 01OK, Propriétés, lemmes 01OW et 033J, Morphismes, lemme 01T2.

Soient \(\xi_1, \ldots, \xi_r\) les points génériques du complément de \(X\) dans \(\overline{X}\). Ils sont en nombre fini puisque \(\overline{X}\) possède un espace topologique sous-jacent noethérien (voir Morphismes, lemme 01T6, Propriétés, lemme 01OZ, et Topologie, lemme 0052). Pour chaque \(i\), l’anneau local \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) est un anneau intègre local normal noethérien (comme une localisation d’un anneau intègre normal noethérien). Soit \(J \subset \{1, \ldots, r\}\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(\dim(\mathcal{O}_i) = 1\). Pour \(j \in J\), l’anneau local \(\mathcal{O}_j\) est un anneau de valuation discrète, voir Algèbre, lemme 00PD. Par conséquent, nous obtenons une valuation. \[v_j : k(\overline{X})^* \longrightarrow \mathbf{Z}\] avec la propriété que \(v_j(f) \geq 0 \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}_j\).

Identifions \(\mathcal{O}(X)\) à une sous-\(k\)-algèbre de \(k(X) = k(\overline{X})\). Nous affirmons que le noyau de l’application \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod\nolimits_{j \in J} \mathbf{Z}, \quad f \longmapsto \prod v_j(f)\] est \(k^*\). Il est clair que cette affirmation prouve le lemme. En effet, soit \(f \in \mathcal{O}(X)\) un élément du noyau. Soit \(U = \Spec(B) \subset \overline{X}\) un ouvert affine quelconque. Alors \(B\) est un anneau intègre normal noethérien. Pour chaque idéal premier de hauteur un \(\mathfrak q \subset B\) avec le point correspondant \(\xi \in X\), on a ou bien \(\xi = \xi_j\) pour un certain \(j \in J\), ou bien \(\xi \in X\). En effet, \(\text{codim}(\overline{\{\xi\}}, \overline{X}) = 1\) d’après Propriétés, lemme 02IZ, et donc si \(\xi \in \overline{X} \setminus X\), cela doit être un point générique de \(\overline{X} \setminus X\), donc égal à un certain \(\xi_j\), \(j \in J\). Nous concluons que \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi} = B_{\mathfrak q}\) dans les deux cas puisque \(f\) est dans le noyau de l’application. Ainsi \(f \in \bigcap_{\text{ht}(\mathfrak q) = 1} B_{\mathfrak q} = B\), voir Algèbre, lemme 031T. En d’autres termes, on voit que \(f \in \Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}})\). Mais puisque \(k\) est algébriquement clos, nous concluons que \(f \in k\) d’après le lemme 04L2.

Nous généralisons maintenant le cas précédent par quelques arguments élémentaires, en supposant toujours le corps algébriquement clos.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma intègre localement de type fini sur \(k\). Alors \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) est un groupe abélien de type fini.

Démonstration

Comme \(X\) est intègre, l’homomorphisme de restriction \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) est injectif pour tout sous-schéma ouvert non vide \(U \subset X\). Par conséquent, on peut supposer que \(X\) est affine. Choisissons une immersion fermée \(X \to \mathbf{A}^n_k\) et notons \(\overline{X}\) l’adhérence de \(X\) dans \(\mathbf{P}^n_k\) via l’immersion usuelle \(\mathbf{A}^n_k \to \mathbf{P}^n_k\). Ainsi, on peut supposer que \(X\) est un ouvert affine d’une variété projective \(\overline{X}\).

Soit \(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\) le morphisme de normalisation, voir Morphismes, définition 035N. Nous savons que \(\nu\) est fini, dominant, et que \(\overline{X}^\nu\) est un schéma irréductible normal, voir Morphismes, lemmes 035Q, 035R, et 035B. Il s’ensuit que \(\overline{X}^\nu\) est une variété propre, parce que \(\overline{X} \to \Spec(k)\) est propre comme composition d’un morphisme fini et d’un morphisme propre (voir les résultats dans Morphismes, sections 01W0 et 01WG). Il s’ensuit également que \(\nu\) est un morphisme surjectif, parce que l’image de \(\nu\) est fermée et contient le point générique de \(\overline{X}\). Ainsi, en posant \(X^\nu = \nu^{-1}(X)\), nous voyons qu’il suffit de prouver le résultat pour \(X^\nu\). En d’autres termes, on peut supposer que \(X\) est un ouvert non vide d’une variété propre normale \(\overline{X}\). Ce cas est traité par le lemme 04L4.

Le lemme précédent implique la légère généralisation suivante.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma réduit connexe localement de type fini sur \(k\) avec un nombre fini de composantes irréductibles. Alors \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\) est un groupe abélien de type fini.

Démonstration

Écrivons \(X = \bigcup X_i\) pour la décomposition en composantes irréductibles. Par le lemme 04L5, nous voyons que \(\mathcal{O}(X_i)^*/k^*\) est un groupe abélien de type fini. Soit \(f \in \mathcal{O}(X)^*\) dans le noyau de l’application \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*.\] Alors pour chaque \(i\) il existe un élément \(\lambda_i \in k\) tel que \(f|_{X_i} = \lambda_i\). En se restreignant à \(X_i \cap X_j\), nous concluons que \(\lambda_i = \lambda_j\) si \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\). Puisque \(X\) est connexe, nous concluons que tous les \(\lambda_i\) sont égaux et donc que \(f \in k^*\). Cela prouve que \[\mathcal{O}(X)^*/k^* \subset \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*\] et le lemme en découle, car le membre de droite est un produit d’un nombre fini de groupes abéliens de type fini.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\), connexe et réduit. Alors la clôture intégrale de \(k\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un corps.

Démonstration

Soit \(k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) la clôture intégrale de \(k\). Alors \(X \to \Spec(k)\) se factorise à travers \(\Spec(k')\), voir Schémas, lemme 01I1. Comme \(X\) est réduit, on voit que \(k'\) n’a pas d’éléments nilpotents non nuls. Comme \(k \to k'\) est intègre, on voit que tout idéal premier de \(k'\) est à la fois un idéal maximal et un premier minimal, et \(\Spec(k')\) est totalement discontinu, voir Algèbre, lemmes 00GT et 04MG. Comme \(X\) est connexe, le morphisme \(X \to \Spec(k')\) est constant, d’image le point correspondant à \(\mathfrak p \subset k'\). Alors tout \(f \in k'\), \(f \not \in \mathfrak p\) s’envoie sur un élément inversible de \(\mathcal{O}_X\). Par définition de \(k'\), il s’ensuit que \(f\) est une unité de \(k'\). Ainsi, on voit que \(k'\) est local avec idéal maximal \(\mathfrak p\), voir Algèbre, lemme 00E9. Puisque nous avons déjà vu que \(k'\) est réduit, cela implique que \(k'\) est un corps, voir Algèbre, lemme 00EU.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que \(X\) soit localement de type fini sur \(k\), connexe et réduit, et possède un nombre fini de composantes irréductibles. Alors \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) est un groupe abélien de type fini si, en plus des conditions ci-dessus, au moins l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. la clôture intégrale de \(k\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est \(k\),

2. \(X\) a un point \(k\)-rationnel, ou

3. \(X\) est géométriquement intègre.

Démonstration

Soit \(\overline{k}\) une clôture algébrique de \(k\). Soit \(Y\) une composante connexe de \((X_{\overline{k}})_{red}\). Notons que le morphisme canonique \(p : Y \to X\) est ouvert (d’après Morphismes, lemme 0383) et fermé (d’après Morphismes, lemme 01WM). Ainsi, \(p(Y) = X\), puisque \(X\) est connexe. En particulier, comme \(X\) est réduit, cela implique \(\mathcal{O}(X) \subset \mathcal{O}(Y)\). D’après le lemme 04KZ, nous voyons que \(Y\) possède un nombre fini de composantes irréductibles (le corps \(\overline{k}\) dans le lemme est la clôture algébrique séparable, mais cela n’a pas d’importance car les deux changements de base \(X_{\overline{k}}\) ont les mêmes composantes irréductibles d’après le lemme 038H). Ainsi, le lemme 04L6 s’applique à \(Y\). Cela implique que si \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) n’est pas un groupe abélien de type fini, alors il existe un élément \(f \in \mathcal{O}(X)\), \(f \not \in k\), qui s’envoie sur un élément de \(\overline{k}\) via l’application \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(Y)\). Dans ce cas, \(f\) est algébrique sur \(k\), donc intégral sur \(k\). Ainsi, si la condition (1) est vérifiée, cela ne peut pas se produire. Pour terminer la démonstration, nous montrons que les conditions (2) et (3) impliquent (1).

Soit \(k \subset k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) la clôture intégrale de \(k\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 04MI, on voit que \(k'\) est un corps. Si \(e : \Spec(k) \to X\) est un point \(k\)-rationnel, alors \(e^\sharp : \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to k\) est une section de l’application d’inclusion \(k \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). En particulier, la restriction de \(e^\sharp\) à \(k'\) est un homomorphisme de corps \(k' \to k\) sur \(k\), ce qui montre clairement que (2) implique (1).

Si la clôture intégrale \(k'\) de \(k\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) n’est pas triviale, alors on voit que \(X\) n’est pas géométriquement connexe (si \(k'/k\) n’est pas purement inséparable), ou bien que \(X\) n’est pas géométriquement réduit (si \(k'/k\) est purement inséparable non triviale). Nous omettons les détails. Par conséquent, (3) implique (1).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une variété sur \(k\). Le groupe \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\) est un groupe abélien de type fini à condition qu’au moins une des conditions suivantes soit remplie :

1. \(k\) est intégralement clos dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\),

2. \(k\) est algébriquement clos dans \(k(X)\),

3. \(X\) est géométriquement intègre sur \(k\), ou

4. \(k\) est l’intersection “ ” des extensions de corps \(\kappa(x)/k\) où \(x\) parcourt les points fermés de \(x\).

Démonstration

On voit que (1) suffit d’après la proposition 04L7. Nous omettons la vérification que chacun de (2), (3), (4) implique (1).

Formule de Künneth, I

Dans cette section, nous démontrons la formule de Künneth lorsque la base est un corps et que nous considérons la cohomologie des modules quasi-cohérents. Pour une version plus générale, voir Catégories dérivées de schémas, section 0FLN.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(k\), et soient \(\mathcal{F}\), resp. \(\mathcal{G}\), un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_X\), resp. sur \(\mathcal{O}_Y\). Alors nous avons un isomorphisme canonique \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] si \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts et ont une diagonale affine³ (par exemple si \(X\) et \(Y\) sont séparés).

Démonstration

Dans cette démonstration, les produits non décorés et les produits tensoriels sont pris sur \(k\). Pour construire les applications \[H^p(X, \mathcal{F}) \otimes H^q(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] on utilise la fonctorialité de la cohomologie pour obtenir les homomorphismes \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F})\) et \(H^p(Y, \mathcal{G}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\), puis le cup-produit \[\cup : H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes H^q(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] Le résultat est vrai lorsque \(X\) et \(Y\) sont affines en raison de la nullité des groupes de cohomologie supérieure sur les affines (Cohomologie des Schémas, lemme 01XB) et des définitions (des images réciproques de modules quasi-cohérents et des produits tensoriels de modules quasi-cohérents).

Choisissons des recouvrements affines ouverts finis \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\). Cela détermine un recouvrement affine ouvert \(\mathcal{W} : X \times Y = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} U_i \times V_j\). Notons que \(\mathcal{W}\) est un raffinement de \(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{U}\) et de \(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{V}\). Ainsi, d’après Cohomologie, lemme 01FD, on obtient des homomorphismes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \quad\text{et}\quad \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] compatibles avec les homomorphismes d’image réciproque en cohomologie. Dans Cohomologie, équation ( 07MB) nous avons construit une application de complexes \[\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] qui définit le cup-produit en cohomologie. En combinant ce qui précède, nous obtenons une application de complexes [0BEE]\[\begin{equation} \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \end{equation}\] Cette application n’est pas un isomorphisme de complexes. Rappelons que nous pouvons calculer les cohomologies de nos faisceaux quasi-cohérents en utilisant nos recouvrements (Cohomologie des Schémas, lemmes 0BDX et 01XD). Ainsi, en cohomologie, (0BEE) reproduit l’application du lemme.

Considérons une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) de modules quasi-cohérents. Puisque la construction de ( 0BEE ) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) et puisque la formation des complexes de Čech concernés est exacte dans la variable \(\mathcal{F}\) (car nous prenons des sections sur des ouverts affines), on obtient un morphisme entre deux suites exactes courtes de complexes. \[\xymatrix{ \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}'') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[d] \\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}'' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) }\] (les zéros extérieurs ont été omis). En considérant les suites exactes longues de cohomologie, on constate que, si le résultat du lemme vaut pour \(2\) des \(3\) faisceaux \(\mathcal{F}, \mathcal{F}', \mathcal{F}''\), alors il vaut aussi pour le troisième.

Notons que \(X\) est de dimension cohomologique finie pour les modules quasi-cohérents, voir Cohomologie des Schémas, lemme 01XI. En utilisant l’induction sur \(d(\mathcal{F}) = \max \{d \mid H^d(X, \mathcal{F}) \not = 0\}\), nous allons réduire au cas \(d(\mathcal{F}) = 0\). Supposons \(d(\mathcal{F}) > 0\). D’après Cohomologie des Schémas, lemme 0BDY, nous avons vu qu’il existe un plongement \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\) pour tout \(p \geq 1\). En posant \(\mathcal{F}'' = \Coker(\mathcal{F} \to \mathcal{F}')\), on voit que \(d(\mathcal{F}'') < d(\mathcal{F})\). Ensuite, nous pouvons appliquer le résultat du paragraphe précédent pour voir qu’il suffit de prouver le lemme pour \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{F}''\), ce qui établit l’étape d’induction.

En raisonnant de même pour \(\mathcal{G}\), on constate qu’on peut supposer que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) n’ont une cohomologie non nulle qu’au degré \(0\). Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine. Considérons le recouvrement affine ouvert \(\mathcal{U}_V : X \times V = \bigcup_{i \in I} U_i \times V\). Il est immédiat que \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \mathcal{G}(V) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_V, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] (égalité des complexes). Nous concluons que \[R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \cong \Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_k \mathcal{G} \cong \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{G}\] sur \(Y\). Ici \(A\) est une base du \(k\)-espace vectoriel \(\Gamma(X, \mathcal{F})\). La cohomologie sur \(Y\) commute avec les sommes directes (Cohomologie, lemme 01FF). En utilisant la suite spectrale de Leray pour \(\text{pr}_2\) (via Cohomologie, lemme 01F4), nous concluons que \(H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\) est nul pour \(n > 0\) et isomorphe à \(H^0(X, \mathcal{F}) \otimes H^0(Y, \mathcal{G})\) pour \(n = 0\). Cela achève la démonstration (sauf qu’il faudrait vérifier que l’isomorphisme est bien donné par le cup-produit en degré \(0\) ; nous omettons la vérification).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(k\), et soient \(\mathcal{F}\), resp. \(\mathcal{G}\), un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_X\), resp. sur \(\mathcal{O}_Y\). Alors nous avons un isomorphisme canonique \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] à condition que \(X\) et \(Y\) soient quasi-compacts et quasi-séparés.

Démonstration

Si \(X\) et \(Y\) sont séparés ou, plus généralement, ont une diagonale affine, voir le lemme 0BED pour une « meilleure » démonstration (dont l’avantage sur celle-ci est d’identifier les applications comme des images réciproques suivies de cup-produits). Soient \(X'\), resp. \(Y'\), les épaississements infinitésimaux de \(X\), resp. \(Y\), de faisceaux de structure \(\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\), respectivement  \(\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{G}\), où \(\mathcal{F}\), resp. \(\mathcal{G}\), est un idéal de carré nul. Alors \[\mathcal{O}_{X' \times Y'} = \mathcal{O}_{X \times Y} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \oplus \text{pr}_2^*\mathcal{G} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] en tant que faisceaux sur \(X \times Y\). On voit ainsi qu’il suffit de prouver que \[H^n(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)\] pour toute paire de schémas quasi-compacts et quasi-séparés sur \(k\). Certains détails sont omis.

Pour démontrer cette assertion, nous utilisons la cohomologie et le changement de base sous la forme de Cohomologie des Schémas, lemme 01XN. Ce lemme fournit un complexe de \(k\)-espaces vectoriels borné inférieurement, c’est-à-dire un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de modules quasi-cohérents sur \(\Spec(k)\), qui calcule universellement la cohomologie de \(Y\) sur \(\Spec(k)\). En particulier, on voit que \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong (X \to \Spec(k))^*\mathcal{K}^\bullet\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). À homotopie près, le complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) est isomorphe à \(\bigoplus_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q]\) car cela est vrai pour tout complexe d’espaces vectoriels sur un corps. Nous concluons que \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puis nous avons \[\begin{align*} R\Gamma(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) & = R\Gamma(X, R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y})) \\ & = R\Gamma(X, \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X) \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, H^q(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes \mathcal{O}_X)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} H^p(X, \mathcal{O}_X)[-p] \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \end{align*}\] comme voulu. La première égalité résulte de Leray pour \(\text{pr}_1\) (Cohomologie, lemme 01EZ). La deuxième résulte de la décomposition de l’image directe totale donnée ci-dessus. La troisième vient de ce que la cohomologie commute toujours avec les sommes directes finies (et la cohomologie de \(Y\) s’annule en degré suffisamment grand d’après Cohomologie des Schémas, lemme 071L ). La quatrième vient de ce que la cohomologie sur \(X\) commute avec les sommes directes infinies d’après Cohomologie, lemme 01FF. Enfin, la dernière égalité résulte de la remarque faite plus haut sur la catégorie dérivée d’un corps.

Groupes de Picard des variétés

Dans cette section, nous recueillons quelques résultats élémentaires sur les groupes de Picard des variétés algébriques.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(A\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont l’image réciproque sur \(X_B\) est triviale. Alors \(H^0(X, \mathcal{L})\) et \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) sont des \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-modules inversibles, et l’application de multiplication induit un isomorphisme \[H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_{H^0(X, \mathcal{O}_X)} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X)\]

Démonstration

Notons \(\mathcal{L}_B\) l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) sur \(X_B\). Choisissons un isomorphisme \(\mathcal{L}_B \to \mathcal{O}_{X_B}\). Posons \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), \(M = H^0(X, \mathcal{L})\) et considérons \(M\) comme un \(R\)-module. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), dont \(\mathcal{F}_B\) désigne le tiré en arrière sur \(X_B\), il existe un isomorphisme canonique \(H^0(X_B, \mathcal{F}_B) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A B\), voir Cohomologie des Schémas, lemme 02KH. Ainsi, nous avons \[M \otimes_R (R \otimes_A B) = M \otimes_A B = H^0(X_B, \mathcal{L}_B) \cong H^0(X_B, \mathcal{O}_{X_B}) = R \otimes_A B\] Puisque \(R \to R \otimes_A B\) est fidèlement plat (en tant que changement de base de l’application fidèlement plate \(A \to B\)), nous concluons que \(M\) est un \(R\)-module inversible d’après Algèbre, proposition 058S. De même, \(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) est un \(R\)-module inversible. Pour l’assertion sur les produits tensoriels, on utilise qu’elle devient vraie après passage à \(X_B\), ainsi que la fidèle platitude de \(R \to R \otimes_A B\). Quelques détails sont omis.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Soit \(X\) un schéma sur \(A\) tel que

1. \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau semi-local.

Alors l’homomorphisme induit par image réciproque \(\Pic(X) \to \Pic(X_B)\) est injectif.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont l’image réciproque \(\mathcal{L}'\) sur \(X_B\) est triviale. Posons \(M = H^0(X, \mathcal{L})\) et \(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\). D’après le lemme 0CDX, les \(R\)-modules \(M\) et \(N\) sont inversibles. Puisque \(R\) est semi-local, \(M \cong R\) et \(N \cong R\), voir Algèbre, lemme 02M9. Choisissons des générateurs \(s \in M\) et \(t \in N\). Alors \(st \in R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une unité d’après la dernière assertion du lemme 0CDX. Nous concluons que \(s\) et \(t\) définissent des trivialisations de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\) sur \(X\).

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\) tel que

1. \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est semi-local, par exemple, si \(\dim_k R < \infty\).

Alors l’homomorphisme induit par image réciproque \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\) est injectif.

Démonstration

Cas particulier du lemme 0CDY. Si \(\dim_k R < \infty\), alors \(R\) est artinien et donc semi-local (Algèbre, lemmes 00J6 et 00J7).

Exemple

Le lemme 0CC5 devient faux sans hypothèse supplémentaire sur le schéma \(X\) sur le corps \(k\). Voici un exemple. Soit \(k\) un corps. Soit \(t \in \mathbf{P}^1_k\) un point fermé. Posons \(X = \mathbf{P}^1 \setminus \{t\}\). Alors nous avons une surjection \[\mathbf{Z} = \Pic(\mathbf{P}^1_k) \longrightarrow \Pic(X)\] La première égalité résulte du lemme des Diviseurs 0BXJ, et la surjectivité résulte du lemme l’homomorphisme résulte de Diviseurs, lemme 0BD9 (puisque \(\mathbf{P}^1_k\) est lisse de dimension \(1\) sur \(k\) et donc tous ses anneaux locaux sont des anneaux de valuation discrète). Si \(\mathcal{L}\) est dans le noyau de l’application affichée, alors \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(nt)\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(t) \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(d)\) où \(d = [\kappa(t) : k]\). Par conséquent \[\Pic(X) = \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\] Ainsi, si \(t\) n’est pas un point \(k\)-rationnel, alors \(d > 1\) et ce groupe de Picard est non nul. En revanche, si l’on étend le corps de base \(k\) à une extension de corps \(k'\) telle qu’il existe un \(k\)-plongement \(\kappa(t) \to k'\), alors \(\mathbf{P}^1_{k'} \setminus X_{k'}\) possède un point \(k'\)-rationnel \(t'\). Par conséquent, \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(t')\) sera dans le noyau de l’application \(\mathbf{Z} \to \Pic(X_{k'})\) et il s’ensuivra de la même manière que ci-dessus que \(\Pic(X_{k'}) = 0\).

Le lemme suivant affirme que les « modules inversibles rationnellement équivalents » sont isomorphes sur les variétés normales.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une variété normale sur \(k\). Soit \(U \subset \mathbf{A}^n_k\) un sous-schéma ouvert possédant des points \(k\)-rationnels \(p, q \in U(k)\). Pour chaque module inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X \times_{\Spec(k)} U\), les restrictions \(\mathcal{L}|_{X \times p}\) et \(\mathcal{L}|_{X \times q}\) sont isomorphes.

Démonstration

Les fibres de \(X \times_{\Spec(k)} U \to X\) sont des sous-schémas ouverts de l’espace affine de dimension \(n\) sur un corps. Par conséquent, ces fibres ont des groupes de Picard triviaux d’après Diviseurs, lemme 0BDA. En appliquant Diviseurs, lemme 0BD7, on voit que \(\mathcal{L}\) est l’image réciproque d’un module inversible \(\mathcal{N}\) sur \(X\).

Unicité du corps de base

La phrase « soit \(X\) un schéma sur \(k\) » signifie que \(X\) est un schéma muni d’un morphisme \(X \to \Spec(k)\). On peut alors se demander si le corps \(k\) est déterminé de manière unique par le schéma \(X\). Bien sûr, ce n’est pas le cas, car par exemple \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\) que nous considérons habituellement comme un schéma sur le corps \(\mathbf{C}\) des nombres complexes, pourrait également être considéré comme un schéma sur \(\mathbf{Q}\). Mais que se passe-t-il si nous demandons que le morphisme \(X \to \Spec(k)\) ne se factorise pas sous la forme \(X \to \Spec(k') \to \Spec(k)\) pour une extension de corps non triviale \(k'/k\) ? En d’autres termes, nous demandons que \(k\) soit d’une certaine manière maximal pour que \(X\) soit défini sur \(k\).

Un exemple montrant que cela ne garantit toujours pas l’unicité de \(k\) est le schéma \[X = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[\frac{1}{P(y)}, P \in \mathbf{Q}[y], P \not = 0\right] \right)\] À première vue, cela semble être un schéma sur \(\mathbf{Q}(x)\), mais à y regarder de plus près, il est clair que c’est aussi un schéma sur \(\mathbf{Q}(y)\). De plus, les corps \(\mathbf{Q}(x)\) et \(\mathbf{Q}(y)\) sont des sous-corps de \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) qui sont maximaux parmi les sous-corps de \(R\) (détails omis). En particulier, \(\mathbf{Q}(x)\) et \(\mathbf{Q}(y)\) sont tous deux maximaux au sens ci-dessus. Remarquons que les deux morphismes \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(x))\) et \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(y))\) sont « essentiellement de type fini » (c’est-à-dire que l’homomorphisme d’anneaux correspondant est essentiellement de type fini). Ainsi \(X\) est un schéma noethérien de dimension finie, c’est-à-dire qu’il n’est pas complètement pathologique.

Un autre problème qui peut empêcher l’unicité est que le schéma \(X\) peut ne pas être réduit. Dans ce cas, il peut y avoir de nombreux morphismes différents de \(X\) vers le spectre d’un corps donné. À titre d’exemple explicite, considérons l’algèbre des nombres duaux \(D = \mathbf{C}[y]/(y^2) = \mathbf{C} \oplus \epsilon \mathbf{C}\). Étant donnée toute dérivation \(\theta : \mathbf{C} \to \mathbf{C}\) sur \(\mathbf{Q}\), nous obtenons un homomorphisme d’anneaux \[\mathbf{C} \longrightarrow D, \quad c \longmapsto c + \epsilon \theta(c).\] Le sous-corps de \(\mathbf{C}\) sur lequel tous ces homomorphismes sont les mêmes est la clôture algébrique de \(\mathbf{Q}\). Cela signifie que prendre l’intersection de tous les corps sur lesquels \(X\) peut être défini peut être un très petit corps si \(X\) n’est pas réduit.

Une observation à ce sujet est la suivante : étant donné un corps \(k\) et deux sous-corps \(k_1, k_2\) de \(k\) tels que \(k\) soit fini sur \(k_1\) et sur \(k_2\), il n’est alors en général pas vrai que \(k\) soit fini sur \(k_1 \cap k_2\). Un exemple est le corps \(k = \mathbf{Q}(t)\) et ses sous-corps \(k_1 = \mathbf{Q}(t^2)\) et \(\mathbf{Q}((t + 1)^2)\). En effet, nous avons \(k_1 \cap k_2 = \mathbf{Q}\) dans ce cas. Ainsi, dans la suite, il faut être prudent lorsqu’on prend des intersections de corps.

Cela dit, nous montrons maintenant que si \(X\) est localement de type fini sur un corps, alors une certaine unicité s’applique. Voici le résultat précis.

Proposition

Soit \(X\) un schéma. Soient \(a : X \to \Spec(k_1)\) et \(b : X \to \Spec(k_2)\) des morphismes de \(X\) vers des spectres de corps. Supposons que \(a, b\) soient localement de type fini et que \(X\) soit réduit et connexe. Alors nous avons \(k_1' = k_2'\), où \(k_i' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est la clôture intégrale de \(k_i\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Admettons d’abord le résultat lorsque \(X\) est quasi-compact (nous établirons ce cas ci-dessous). Comme \(X\) est localement de type fini sur un corps, il est localement noethérien, voir Morphismes, lemme 01T6. En particulier, cela signifie qu’il est localement connexe, les composantes connexes des ouverts sont ouvertes, et les intersections d’ouverts quasi-compacts sont quasi-compactes, voir Propriétés, lemme 01OZ, Topologie, lemme 04ME, Topologie, section 0050, et Topologie, lemme 005L. Choisissons un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que chaque \(U_i\) soit quasi-compact et connexe. Pour chaque \(i\), soit \(K_i \subset \mathcal{O}_X(U_i)\) la clôture intégrale de \(k_1\) et de \(k_2\). Pour chaque paire \(i, j \in I\) nous décomposons \[U_i \cap U_j = \coprod U_{i, j, l}\] en ses composantes connexes, qui sont en nombre fini. Écrivons \(K_{i, j, l} \subset \mathcal{O}(U_{i, j, l})\) pour la clôture intégrale de \(k_1\) et de \(k_2\). D’après le lemme 04MI, les anneaux \(K_i\) et \(K_{i, j, l}\) sont des corps. Nous affirmons maintenant que \(k_1'\) et \(k_2'\) sont tous deux égaux au noyau de l’application \[\prod K_i \longrightarrow \prod K_{i, j, l}, \quad (x_i)_i \longmapsto x_i|_{U_{i, j, l}} - x_j|_{U_{i, j, l}}\] ce qui donne le résultat. En effet, il est clair que \(k_1'\) est contenu dans ce noyau. D’autre part, supposons que \((x_i)_i\) soit dans le noyau. Par la condition de faisceau, \((x_i)_i\) correspond à \(f \in \mathcal{O}(X)\). Choisissons \(i_0 \in I\) et un polynôme unitaire \(P(T) \in k_1[T]\) tel que \(P(x_{i_0}) = 0\). Nous affirmons alors que \(P(f) = 0\), ce qui prouve que \(f \in k_1\). Il suffit de montrer que \(P(x_i) = 0\) pour tout \(i\). Choisissons \(i \in I\). Comme \(X\) est connexe, il existe une suite \(i_0, i_1, \ldots, i_n = i \in I\) telle que \(U_{i_t} \cap U_{i_{t + 1}} \not = \emptyset\). Cela signifie que, pour chaque \(t\), il existe un \(l_t\) tel que \(x_{i_t}\) et \(x_{i_{t + 1}}\) se projettent sur le même élément du corps \(K_{i_t, i_{t + 1}, l_t}\). Par conséquent, si \(P(x_{i_t}) = 0\), alors \(P(x_{i_{t + 1}}) = 0\). Par induction, en partant de \(P(x_{i_0}) = 0\), nous obtenons \(P(x_i) = 0\), comme annoncé.

Pour terminer la démonstration du lemme, nous prouvons le lemme sous l’hypothèse supplémentaire que \(X\) est quasi-compact. D’après le lemme 04MI, après avoir remplacé \(k_i\) par \(k_i'\), on peut supposer que \(k_i\) est intégralement clos dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Cela implique que \(\mathcal{O}(X)^*/k_i^*\) est un groupe abélien de type fini, voir la proposition 04L7. Soit \(k_{12} = k_1 \cap k_2\) un sous-anneau de \(\mathcal{O}(X)\). Notons que \(k_{12}\) est un corps. Puisque \[k_1^*/k_{12}^* \longrightarrow \mathcal{O}(X)^*/k_2^*\] on voit que \(k_1^*/k_{12}^*\) est également un groupe abélien de type fini. Par conséquent, il existe \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k_1^*\) tels que chaque élément \(\lambda \in k_1\) ait la forme \[\lambda = c \alpha_1^{e_1} \ldots \alpha_n^{e_n}\] pour certains \(e_i \in \mathbf{Z}\) et \(c \in k_{12}\). En particulier, l’homomorphisme d’anneaux \[k_{12}[x_1, \ldots, x_n, \frac{1}{x_1 \ldots x_n}] \longrightarrow k_1, \quad x_i \longmapsto \alpha_i\] est surjectif. D’après le Nullstellensatz de Hilbert, Algèbre, théorème 00FV, nous concluons que \(k_1\) est une extension finie de \(k_{12}\). De la même manière, nous concluons que \(k_2\) est une extension finie de \(k_{12}\). En particulier, à la fois \(k_1\) et \(k_2\) sont contenus dans la clôture intégrale \(k_{12}'\) de \(k_{12}\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Mais puisque \(k_{12}'\) est un corps selon le lemme 04MI et que nous avons choisi \(k_i\) pour être intégralement clos dans \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), nous concluons que \(k_1 = k_{12} = k_2\), comme annoncé.

Automorphismes

Une section sur les automorphismes des schémas sur les corps. Pour certaines informations sur les automorphismes (infinitésimaux) des courbes, voir Courbes Algébriques, section 0E66 et Modules de Courbes, section 0DST.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un schéma de type fini réduit sur un corps \(k\). Supposons que \(f : X \to X\) soit un automorphisme sur \(k\) qui induit l’identité sur l’espace topologique sous-jacent de \(X\). Alors

1. \(f^*\mathcal{F} \cong \mathcal{F}\) pour chaque \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, et

2. si \(\dim(Z) > 0\) pour chaque composante irréductible \(Z \subset X\), alors \(f\) est l’identité.

Démonstration

La partie (1) découle de la partie (2) et du fait que les composantes connexes de \(X\) de dimension \(0\) sont des spectres de corps.

Supposons que \(Z \subset X\) soit une composante irréductible considérée comme un sous-schéma fermé intègre. Évidemment, \(f(Z) \subset Z\) et \(f|_Z : Z \to Z\) sont un automorphisme sur \(k\) qui induit l’identité sur l’espace topologique sous-jacent de \(Z\). Puisque \(X\) est réduit, il suffit de montrer que les flèches \(f|_Z : Z \to Z\) sont l’identité. Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) soit irréductible de dimension \(> 0\). Choisissons un ouvert affine non vide \(U \subset X\). Puisque \(f(U) \subset U\) et puisque \(U \subset X\) est schématiquement dense, il suffit de prouver que \(f|_U : U \to U\) est l’identité.

Supposons que \(X = \Spec(A)\) soit affine, irréductible, de dimension \(> 0\) et que \(k\) soit un corps infini. Soit \(g \in A\) non constant. L’ensemble \[S = \bigcup\nolimits_{\lambda \in k} V(g - \lambda)\] est dense dans \(X\) parce que c’est l’image réciproque du sous-ensemble dense \(\mathbf{A}^1_k(k)\) par le morphisme non constant \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\). Si \(x \in S\), alors l’image \(g(x)\) de \(g\) dans \(\kappa(x)\) est dans l’image de \(k \to \kappa(x)\). Par conséquent, \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\) fixe \(g(x)\). Ainsi, l’image de \(f^\sharp(g)\) dans \(\kappa(x)\) est égale à \(g(x)\). Nous en concluons que \[S \subset V(g - f^\sharp(g))\] et puisque \(X\) est réduit et \(S\) est dense, nous concluons \(g=f^\sharp(g)\). Cela prouve \(f^\sharp = \text{id}_A\) car \(A\) est engendré comme une \(k\)-algèbre par les éléments \(g\) comme ci-dessus (détails omis ; indication : l’ensemble des fonctions constantes est un \(k\)-sous-espace vectoriel de dimension finie de \(A\)). Nous concluons que \(f = \text{id}_X\).

Supposons que \(X = \Spec(A)\) soit affine, irréductible, de dimension \(> 0\) et que \(k\) soit un corps fini. Si pour tout sous-schéma fermé intègre de dimension \(1\), \(C \subset X\), la restriction \(f|_C : C \to C\) est l’identité, alors \(f\) est l’identité. Cela nous ramène au cas où \(X\) est une courbe. Une courbe sur un corps fini possède un groupe d’automorphismes fini (détails omis). Ainsi, \(f\) a un ordre fini, disons \(n\). Ensuite, nous choisissons \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\) non constant comme ci-dessus et considérons \[S = \{x \in X\text{ fermé tel que }[\kappa(g(x)) : k] \text{ est premier à }n\}\] En argumentant comme précédemment, nous trouvons que \(S\) est dense dans \(X\). Puisque pour \(x \in X\) fermé, l’application \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\) est un automorphisme d’ordre divisant \(n\), nous voyons que pour \(x \in S\), cet automorphisme agit trivialement sur le sous-corps engendré par l’image de \(g\) dans \(\kappa(x)\). Ainsi nous concluons que \(S \subset V(g - f^\sharp(g))\) et on conclut comme précédemment.

Caractéristiques d’Euler–Poincaré

Dans cette section, nous prouvons quelques propriétés élémentaires des caractéristiques d’Euler–Poincaré des faisceaux cohérents sur des schémas propres sur un corps.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Dans cette situation, la caractéristique d’Euler–Poincaré de \(\mathcal{F}\) est l’entier \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] Pour la justification de la formule, voir ci-dessous.

Dans le cas de la définition, seul un nombre fini des espaces vectoriels \(H^i(X, \mathcal{F})\) sont non nuls (Cohomologie des Schémas, lemme 01XJ) et chacun de ces espaces est de dimension finie (Cohomologie des Schémas, lemme 02O6). Ainsi \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\) est bien défini. Observons que cette définition dépend du corps \(k\) et pas seulement de la paire \((X, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre sur \(k\). Supposons que \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) soit une suite exacte courte de modules cohérents sur \(X\). Alors \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\]

Démonstration

Considérons la longue suite exacte de cohomologie \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] associée à la suite exacte courte du lemme. Le théorème du rang en algèbre linéaire montre que \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] Cela implique immédiatement le lemme.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre sur \(k\). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau cohérent avec \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\). Alors

1. \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales,

2. \(H^0(X, \mathcal{F}) = \bigoplus_{x \in \text{Supp}(\mathcal{F})} \mathcal{F}_x\),

3. \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\),

4. \(\chi(X, \mathcal{F}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{F})\), et

5. \(\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}) = n\chi(X, \mathcal{F})\) pour chaque module localement libre \(\mathcal{E}\) de rang \(n\).

Démonstration

Par Cohomologie des Schémas, lemme 01Y5, on voit que \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) où \(i : Z \to X\) est l’inclusion du support schématique de \(\mathcal{F}\) et où \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent. Par définition du support schématique, l’espace topologique sous-jacent de \(Z\) est \(\text{Supp}(\mathcal{F})\). Puisque la dimension de \(Z\) est \(0\), on voit que \(Z\) est affine (Propriétés, lemme 0AAX). Ainsi \(\mathcal{G}\) est engendré par ses sections globales et les groupes de cohomologie supérieurs de \(\mathcal{G}\) sont nuls (Cohomologie des Schémas, lemme 01XB). En fait, par le lemme 06LH, le schéma \(Z\) est une réunion finie disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens. Par conséquent, \(H^0(Z, \mathcal{G}) = \bigoplus_{z \in Z} \mathcal{G}_z\). Les cohomologies de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) coïncident d’après Cohomologie des Schémas, lemme 089W. Ainsi \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\) et \(H^0(X, \mathcal{F}) = H^0(Z, \mathcal{G})\). En particulier, (3) est vérifiée. Pour \(z \in Z\) correspondant à \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) nous avons \(\mathcal{G}_z = (i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{F}_x\). Nous concluons que (2) est vérifiée. Évidemment, (2) implique (1). Nous obtenons (4) par définition de la caractéristique d’Euler–Poincaré \(\chi(X, \mathcal{F})\) et (3). Par la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8) nous avons \[i_*(\mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{E}) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}.\] Puisque \(Z\) a pour dimension \(0\), le faisceau localement libre \(i^*\mathcal{E}\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n}\) et, en raisonnant comme ci-dessus, on voit que (5) est vérifiée.

Lemme

Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(X\) soit un schéma propre sur \(k\). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que \(\mathcal{F}'\) soit l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_{k'}\). Alors \(\chi(X, \mathcal{F}) = \chi(X_{k'}, \mathcal{F}')\).

Démonstration

En effet, \[H^i(X_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] par changement de base plat, voir Cohomologie des Schémas, lemme 02KH.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(f : Y \to X\) soit un morphisme de schémas propres sur \(k\). Supposons que \(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent. Alors \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\]

Démonstration

La formule a du sens : les faisceaux \(R^if_*\mathcal{G}\) sont cohérents et seul un nombre fini d’entre eux est non nul, voir Cohomologie des schémas, proposition 02O5 et lemme 01XJ. D’après Cohomologie, lemme 01F2, il existe une suite spectrale avec \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] convergeant vers \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\). Par la finitude de la cohomologie sur \(X\), les termes \(E_2^{p, q}\) non nuls sont en nombre fini et chaque \(E_2^{p, q}\) est un espace vectoriel de dimension finie. Il en va de même des termes \(E_r^{p, q}\) pour \(r \geq 2\), et \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] est indépendant de \(r\). Puisque pour \(r\) suffisamment grand nous avons \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\) et puisque la convergence signifie qu’il existe une filtration sur \(H^n(Y, \mathcal{G})\) dont les morceaux gradués sont \(E_\infty^{p, q}\) avec \(p + q = n\) (c’est le sens de la convergence de la suite spectrale), nous concluons. Voir aussi le lemme plus général du chapitre Homologie générale, lemme 0BDW.

Espace projectif

Quelques résultats sur l’espace projectif sur un corps.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps et \(n \geq 0\). Alors \(\mathbf{P}^n_k\) est une variété projective lisse de dimension \(n\) sur \(k\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps et \(n \geq 0\). Supposons que \(X, Y \subset \mathbf{A}^n_k\) soit des sous-ensembles fermés. Supposons que \(X\) et \(Y\) soient équidimensionnels, \(\dim(X) = r\) et \(\dim(Y) = s\). Alors chaque composante irréductible de \(X \cap Y\) a une dimension \(\geq r + s - n\).

Démonstration

Considérons le sous-schéma fermé \(X \times Y \subset \mathbf{A}^{2n}_k\) où nous utilisons les coordonnées \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\). Alors \(X \cap Y = X \times Y \cap V(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)\). Supposons que \(t \in X \cap Y \subset X \times Y\) soit un point fermé. Par le lemme 0B2M, nous avons \(\dim_t(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\). Ainsi \(\dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}) = r + s\) par le lemme 0A21. Par Algèbre, lemme 00KW, nous concluons que \[\dim(\mathcal{O}_{X \cap Y, t}) = \dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}/(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)) \geq r + s - n\] Cela implique le résultat par le lemme 0A21.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps et \(n \geq 0\). Supposons que \(X, Y \subset \mathbf{P}^n_k\) soit des sous-ensembles fermés non vides. Si \(\dim(X) = r\) et \(\dim(Y) = s\) et \(r + s \geq n\), alors \(X \cap Y\) est non vide et \(\dim(X \cap Y) \geq r + s - n\).

Démonstration

Écrivons \(\mathbf{A}^{n + 1} = \Spec(k[x_0, \ldots, x_n])\) et \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\). Considérons le morphisme \(\pi : \mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\} \to \mathbf{P}^n\) qui envoie \((x_0, \ldots, x_n)\) vers le point \([x_0 : \ldots : x_n]\). Plus précisément, c’est le morphisme associé à la paire \((\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\}}, (x_0, \ldots, x_n))\), voir Constructions, lemme 01NE. Sur l’ouvert affine standard \(D_+(T_i)\), nous obtenons le morphisme associé à l’homomorphisme d’anneaux \[k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \longrightarrow k\left[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_i}\right] \cong k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \left[T_i, \frac{1}{T_i}\right]\] qui est surjectif et lisse de dimension relative \(1\), à fibres irréductibles (détails omis). Par conséquent, \(\pi^{-1}(X)\) et \(\pi^{-1}(Y)\) sont des sous-ensembles fermés non vides de dimension \(r + 1\) et \(s + 1\). Choisissons une composante irréductible \(V \subset \pi^{-1}(X)\) de dimension \(r + 1\) et une composante irréductible \(W \subset \pi^{-1}(Y)\) de dimension \(s + 1\). Observons que cela implique que \(V\) et \(W\) contiennent chaque fibre de \(\pi\) qu’elles rencontrent (puisque \(\pi\) a des fibres irréductibles de dimension \(1\) et puisque le lemme 0B2L dit que les fibres de \(V \to \pi(V)\) et \(W \to \pi(W)\) ont pour dimension \(\geq 1\)). Supposons que \(\overline{V}\) et \(\overline{W}\) soient l’adhérence de \(V\) et \(W\) dans \(\mathbf{A}^{n + 1}\). Puisque \(0 \in \mathbf{A}^{n + 1}\) est dans l’adhérence de chaque fibre de \(\pi\), on voit que \(0 \in \overline{V} \cap \overline{W}\). Par le lemme 0B2Q, nous avons \(\dim(\overline{V} \cap \overline{W}) \geq r + s - n + 1\). En raisonnant comme ci-dessus et en appliquant à nouveau le lemme 0B2L, nous concluons que \(\pi(V \cap W) \subset X \cap Y\) est de dimension au moins \(r + s - n\), comme annoncé.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(Z \subset \mathbf{P}^n_k\) soit un sous-schéma fermé sans points immergés et dont chaque composante irréductible de \(Z\) est de dimension \(n - 1\). Alors l’idéal \(I(Z) \subset k[T_0, \ldots, T_n]\) correspondant à \(Z\) est principal.

Démonstration

Ceci est un cas particulier des Diviseurs, lemme 0BXL.

Faisceaux cohérents sur l’espace projectif

Dans cette section, nous prouvons certains résultats sur la cohomologie des faisceaux cohérents sur \(\mathbf{P}^n\) sur un corps, qui peuvent être trouvés dans [Mum]. Ceux-ci seront utiles plus tard lors de la discussion des schémas de Quot et de Hilbert.

Préliminaires

Soit \(k\) un corps, \(n \geq 1\), \(d \geq 1\), et soit \(s \in \Gamma(\mathbf{P}_k^n, \mathcal{O}(d))\) une section non nulle. Dans cette section, nous noterons \(\mathcal{O}(d)\) le \(d\)-ième tordu du faisceau structural sur l’espace projectif (Constructions, définitions 01MN et 01NF). Comme \(\mathbf{P}^n_k\) est une variété, cette section est régulière ; ainsi \(s\) est une section régulière de \(\mathcal{O}(d)\) et définit un diviseur de Cartier effectif \(H = Z(s) \subset \mathbf{P}^n_k\), voir Diviseurs, section 01WQ. Un tel diviseur \(H\) est appelé une hypersurface et, si \(d = 1\), il est appelé un hyperplan.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 1\). Soit \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\) un hyperplan. Alors il existe un isomorphisme \[\varphi : \mathbf{P}^{n - 1}_k \longrightarrow H\] tel que l’image réciproque de \(i^*\mathcal{O}(1)\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}(1)\).

Démonstration

Nous avons \(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\). La section \(s\) correspond à une forme homogène dans \(T_0, \ldots, T_n\) de degré \(1\), voir Cohomologie des schémas, section 01XS. Écrivons \(s = \sum a_i T_i\). Constructions, le lemme 03GL montre que \(H = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n]/I)\) pour l’idéal gradué \(I\) défini en posant \(I_d\) égal au noyau de l’application \(\Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \to \Gamma(H, i^*\mathcal{O}(d))\). D’après notre construction de \(Z(s)\) dans Diviseurs, définition 02OQ, on voit que sur \(D_{+}(T_j)\) l’idéal de \(H\) est engendré par \(\sum a_i T_i/T_j\) dans l’anneau de polynômes \(k[T_0/T_j, \ldots, T_n/T_j]\). Ainsi, il est clair que \(I\) est l’idéal engendré par \(\sum a_i T_i\). Remarquez que \[k[T_0, \ldots, T_n]/I = k[T_0, \ldots, T_n]/(\sum a_i T_i) \cong k[S_0, \ldots, S_{n - 1}]\] en tant qu’anneaux gradués. Par exemple, si \(a_n \not = 0\), alors envoyer \(S_i\) sur la classe de \(T_i\) convient. Nous obtenons l’isomorphisme annoncé par fonctorialité de \(\text{Proj}\). L’égalité des tordus du faisceau structural résulte par exemple du chapitre Constructions, lemme 01N1.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps infini. Supposons que \(n \geq 1\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Alors il existe une section non nulle \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\) et une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F} \to i_*\mathcal{G} \to 0\] où \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\) est l’hyperplan \(H\) associé à \(s\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\).

Démonstration

L’application \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) provient de Constructions, Équation ( 03GJ ) avec \(n = 1\), \(m = -1\) et la section \(s\) de \(\mathcal{O}(1)\). Voyons à quoi ressemble cette application si nous la restreignons à \(D_{+}(T_0)\). Écrivons \(D_{+}(T_0) = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\) avec \(x_i = T_i/T_0\). Identifions \(\mathcal{O}(1)|_{D_{+}(T_0)}\) avec \(\mathcal{O}\) à l’aide de la section \(T_0\). Par conséquent, si \(s = \sum a_iT_i\) alors \(s|_{D_{+}(T_0)} = a_0 + \sum a_ix_i\) avec l’identification choisie ci-dessus. De plus, supposons que \(\mathcal{F}|_{D_{+}(T_0)}\) corresponde au \(k[x_1, \ldots, x_n]\)-module fini \(M\). Via l’identification \(\mathcal{F}(-1) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(-1)\) et notre trivialisation choisie de \(\mathcal{O}(1)\), on voit que \(\mathcal{F}(-1)\) correspond également à \(M\). Ainsi, restreindre \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) à \(D_{+}(T_0)\) donne l’application \[M \xrightarrow{a_0 + \sum a_ix_i} M\] Pour que la flèche soit injective, il suffit de choisir \(a_0 + \sum a_ix_i\) n’appartenant à aucun des idéaux premiers associés de \(M\), voir Algèbre, lemme 00LD. D’après Algèbre, lemme 00LC, l’ensemble \(\text{Ass}(M)\) des idéaux premiers associés de \(M\) est fini. Notons que pour \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\), l’intersection \(\mathfrak p \cap \{a_0 + \sum a_i x_i\}\) est un sous-espace vectoriel propre de \(k\). Nous en concluons qu’il existe une famille finie de sous-espaces vectoriels propres \(V_1, \ldots, V_m \subset \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\) tels que si nous prenons \(s\) en dehors de \(\bigcup V_i\), alors la multiplication par \(s\) est injective sur \(D_{+}(T_0)\). De même pour la restriction à \(D_{+}(T_j)\) pour \(j = 1, \ldots, n\). Comme \(k\) est infini, une union finie de sous-espaces vectoriels propres n’est jamais égale à l’espace tout entier ; nous pouvons donc choisir \(s\) de sorte que l’application soit injective. Le conoyau de \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\) est annulé par \(\Im(s : \mathcal{O}(-1) \to \mathcal{O})\) qui est l’idéal faisceau de \(H\) selon Diviseurs, définition 02OQ. Ainsi, nous obtenons \(\mathcal{G}\) sur \(H\) en utilisant Cohomologie des Schémas, lemme 087T.

Remarque

Supposons que \(k\) soit un corps infini. Soit \(n \geq 1\). Étant donné un nombre fini de modules cohérents \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathbf{P}^n_k\), nous pouvons choisir un seul \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\) de sorte que l’énoncé du lemme 08A0 fonctionne pour chacun d’eux. Pour le prouver, il suffit d’appliquer le lemme à \(\bigoplus \mathcal{F}_i\).

Remarque

Dans la situation des lemmes 089Z et 08A0, nous avons \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) avec les tordus de Serre \(\mathcal{O}_H(d) = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\). Pour chaque \(d \in \mathbf{Z}\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*(\mathcal{G}(d)) \to 0\] En effet, le produit tensoriel par \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\) est un foncteur exact et, d’après la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8), nous avons \(i_*(\mathcal{G}(d)) = i_*\mathcal{G} \otimes \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\). Nous obtenons des suites exactes longues correspondantes \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) \to H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) \to H^i(H, \mathcal{G}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1))\] Cela résulte de ce qui précède et de l’égalité \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}(d)) = H^i(H, \mathcal{G}(d))\) d’après Cohomologie des Schémas, lemme 089W (les immersions fermées sont affines).

Régularité

Voici la définition.

Définition

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier si \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) = 0\] pour \(i = 1, \ldots, n\).

Notons que \(\mathcal{F} = \mathcal{O}(d)\) est \(m\)-régulier si et seulement si \(d \geq -m\). Cela découle du calcul des groupes de cohomologie dans Cohomologie des schémas, Équation ( 01XU ). En effet, on voit que \(H^n(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) = 0\) si et seulement si \(d \geq -n\).

Lemme

Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Supposons que \(\mathcal{F}'\) soit l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{P}^n_{k'}\). Alors \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier si et seulement si \(\mathcal{F}'\) est \(m\)-régulier.

Démonstration

Cela résulte de l’isomorphisme \[H^i(\mathbf{P}^n_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] par changement de base plat, voir Cohomologie des Schémas, lemme 02KH.

Lemme

Dans la situation du lemme 08A0, si \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier, alors \(\mathcal{G}\) est \(m\)-régulier sur \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\).

Démonstration

Rappelons que \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}) = H^i(H, \mathcal{G})\) d’après Cohomologie des Schémas, lemme 089W. Ainsi, pour \(i \geq 1\), nous obtenons \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) \to H^i(H, \mathcal{G}(m - i)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1 - i))\] par la Remarque 0EGK. Le lemme suit.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Si \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier, alors \(\mathcal{F}\) est \((m + 1)\)-régulier.

Démonstration

Nous procédons par récurrence sur \(n\). Si \(n = 0\), chaque faisceau est \(m\)-régulier pour tout \(m\), il n’y a rien à démontrer. D’après le lemme 08A4, nous pouvons remplacer \(k\) par une extension infinie et supposer que \(k\) est infini. Nous pouvons alors appliquer le lemme 08A0. D’après le lemme 08A5, nous savons que \(\mathcal{G}\) est \(m\)-régulier. Par induction sur \(n\), on voit que \(\mathcal{G}\) est \((m + 1)\)-régulier. En considérant la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite \[0 \to \mathcal{F}(m - i) \to \mathcal{F}(m + 1 - i) \to i_*\mathcal{G}(m + 1 - i) \to 0\] comme dans la remarque 0EGK, on déduit pour \(i \geq 1\) l’annulation de \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1 - i))\) à partir de l’annulation de \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i))\) et \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{G}(m + 1 - i))\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Si \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier, alors l’application de multiplication \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \longrightarrow H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\] est surjective.

Démonstration

Supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps. Supposons que \(\mathcal{F}'\) soit comme dans le lemme 08A4. D’après le chapitre Cohomologie des schémas, lemme 02KH, l’application linéaire obtenue par changement de base vers \(k'\) coïncide avec l’application linéaire associée au faisceau \(\mathcal{F}'\). Puisque \(k \to k'\) est fidèlement plat, il suffit de prouver le lemme sur \(k'\), c’est-à-dire que l’on peut supposer \(k\) infini.

Supposons que \(k\) soit infini. Nous prouvons le lemme par induction sur \(n\). Le cas \(n = 0\) est trivial car \(\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}\) est généré par \(T_0\). Pour \(n > 0\), appliquons le lemme 08A0 et tensorisons la suite par \(\mathcal{O}(m + 1)\) ; on obtient \[0 \to \mathcal{F}(m) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m + 1) \to i_*\mathcal{G}(m + 1) \to 0\] voir Remarque 0EGK. Soit \(t \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\). Par induction, l’image \(\overline{t} \in H^0(H, \mathcal{G}(m + 1))\) est l’image de \(\sum g_i \otimes \overline{s}_i\) avec \(\overline{s}_i \in \Gamma(H, \mathcal{O}(1))\) et \(g_i \in H^0(H, \mathcal{G}(m))\). Puisque \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier, nous avons \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1)) = 0\), d’où la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}(m - 1) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m) \to i_*\mathcal{G}(m) \to 0\] montre que nous pouvons relever \(g_i\) en \(f_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\). Nous pouvons également relever \(\overline{s}_i\) en \(s_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\) (voir la preuve du lemme 089Z par exemple). Après avoir soustrait l’image de \(\sum f_i \otimes s_i\) de \(t\), on voit que nous pouvons supposer \(\overline{t} = 0\). Mais cela signifie exactement que \(t\) est l’image de \(f \otimes s\) pour un certain \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\), comme annoncé.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). Si \(\mathcal{F}\) est \(m\)-régulier, alors \(\mathcal{F}(m)\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Pour tout \(d \gg 0\), le faisceau \(\mathcal{F}(d)\) est engendré par ses sections globales. Cela découle par exemple de la première partie de Cohomologie des Schémas, lemme 01YS. Choisissons \(d \geq m\) de telle sorte que \(\mathcal{F}(d)\) soit engendré par ses sections globales. Choisissons une base \(f_1, \ldots, f_r \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F})\). D’après le lemme 08A7, chaque élément \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\) peut être écrit comme \(f = \sum P_if_i\) pour un certain \(P_i \in k[T_0, \ldots, T_n]\) homogène de degré \(d - m\). Puisque les sections \(f\) génèrent \(\mathcal{F}(d)\), il en découle que les sections \(f_i\) génèrent \(\mathcal{F}(m)\).

Polynômes de Hilbert

Le lemme suivant sera englobé par le lemme plus général 0BEM.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). La fonction \[d \longmapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] est un polynôme.

Démonstration

Nous procédons par récurrence sur \(n\). Si \(n = 0\), alors \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\) et \(\mathcal{F}(d) = \mathcal{F}\). Par conséquent, dans ce cas, la fonction est constante, c’est-à-dire un polynôme de degré \(0\). Supposons \(n > 0\). Par le lemme 08AB, on peut supposer que \(k\) est infini. Appliquons le lemme 08A0. En appliquant le lemme 08AA aux suites tordues \(0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*\mathcal{G}(d) \to 0\), nous obtenons \[\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) = \chi(H, \mathcal{G}(d))\] Voir la Remarque 0EGK. Comme \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) par induction, le côté droit est un polynôme. On conclut en observant que toute fonction \(f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) ayant la propriété que l’application \(d \mapsto f(d) - f(d - 1)\) est un polynôme, est elle-même un polynôme. Nous omettons la preuve de ce fait (indication : comparer avec Algèbre, lemme 00JZ).

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\). La fonction \(d \mapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\) est appelée le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}\).

Le polynôme de Hilbert a des coefficients dans \(\mathbf{Q}\) et pas en général dans \(\mathbf{Z}\). Par exemple, le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\) est \[d \longmapsto {d + n \choose n} = \frac{d^n}{n!} + \ldots\] Cela découle du lemme suivant et du fait que \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) = k[T_0, \ldots, T_n]_d\] (sa partie de degré \(d\)), dont la dimension sur \(k\) est \({d + n \choose n}\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(n \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(\mathbf{P}^n_k\) avec le polynôme de Hilbert \(P \in \mathbf{Q}[t]\). Alors \[P(d) = \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] pour tous les \(d \gg 0\).

Démonstration

Cela résulte de l’annulation de la cohomologie des tordus suffisamment élevés de \(\mathcal{F}\). Voir Cohomologie des schémas, lemme 01YS.

Bornitude des quotients

Dans cette sous-section, nous bornons la régularité des quotients d’un faisceau cohérent donné sur \(\mathbf{P}^n\) en termes du polynôme de Hilbert.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 0\). Soit \(r \geq 1\). Soit \(P \in \mathbf{Q}[t]\). Il existe un entier \(m\) dépendant de \(n\), \(r\) et \(P\) ayant la propriété suivante : si \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] est une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(\mathbf{P}^n_k\) et \(\mathcal{F}\) a pour polynôme de Hilbert \(P\), alors \(\mathcal{K}\) est \(m\)-régulier.

Démonstration

Nous procédons par récurrence sur \(n\). Si \(n = 0\), alors \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\) et tout module cohérent est \(0\)-régulier et tout épimorphisme induit une surjection sur les sections globales. Supposons \(n > 0\). Considérons une suite exacte comme dans le lemme. Supposons que \(P' \in \mathbf{Q}[t]\) est le polynôme \(P'(t) = P(t) - P(t - 1)\). Supposons que \(m'\) soit l’entier qui fonctionne pour \(n - 1\), \(r\) et \(P'\). D’après les lemmes 08A4 et 08AB, nous pouvons remplacer \(k\) par une extension de corps, donc nous pouvons supposer que \(k\) est infini. Appliquons le lemme 08A0 au faisceau cohérent \(\mathcal{F}\). Le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}' = i^*\mathcal{F}\) est \(P'\) (voir la preuve du lemme 08AC). Puisque \(i^*\) est exact à droite, nous voyons que \(\mathcal{F}'\) est un quotient de \(\mathcal{O}_H^{\oplus r} = i^*\mathcal{O}^{\oplus r}\). Ainsi, l’hypothèse d’induction s’applique à \(\mathcal{F}'\) sur \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) (lemme 089Z). Notons que l’application \(\mathcal{K}(-1) \to \mathcal{K}\) est injective comme \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}^{\oplus r}\) et a un conoyau \(i_*\mathcal{H}\) où \(\mathcal{H} = i^*\mathcal{K}\). Par le lemme du serpent (Homologie, lemme 010H) nous obtenons un diagramme commutatif avec des colonnes et des lignes exactes. \[\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}(-1) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & i_*\mathcal{H} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{O}_H^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 }\] Ainsi, l’hypothèse d’induction s’applique à la suite exacte \(0 \to \mathcal{H} \to \mathcal{O}_H^{\oplus r} \to \mathcal{F}' \to 0\) sur \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) (lemme 089Z) et \(\mathcal{H}\) est \(m'\)-régulier. Rappelons que cela implique que \(\mathcal{H}\) est \(d\)-régulier pour tous les \(d \geq m'\) (lemme 08A6).

Soient \(i \geq 2\) et \(d \geq m'\). Il découle de la suite exacte longue de cohomologie associée à la colonne de gauche du diagramme ci-dessus et de la annulation de \(H^{i - 1}(H, \mathcal{H}(d))\) que l’application \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] est injective. Comme ces groupes sont nuls pour \(d \gg 0\) (Cohomologie des Schémas, lemme 01YS), nous en concluons que \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\) sont nuls pour tous les \(d \geq m'\) et \(i \geq 2\).

Nous devons encore contrôler \(H^1\). Tout d’abord, nous observons que toutes les applications \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' + 1)) \to \ldots\] sont surjectives en raison de l’annulation de \(H^1(H, \mathcal{H}(d))\) pour \(d \geq m'\). Supposons que \(d > m'\) soit tel que \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] est injective. Ensuite, \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^0(H, \mathcal{H}(d))\) est surjective. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \ar[r] \ar[d] & H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \ar[d] \\ H^0(H, \mathcal{H}(d)) \otimes_k H^0(H, \mathcal{O}_H(1)) \ar[r] & H^0(H, \mathcal{H}(d + 1)) }\] D’après le lemme 08A7, nous voyons que la flèche horizontale du bas est surjective. Par conséquent, la flèche verticale de droite est surjective. Nous concluons que \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1))\] est injective. Par induction, on voit que \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \to \ldots\] sont toutes injectives et nous concluons que \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) = 0\) en raison du fait que ces groupes finissent par s’annuler. Ainsi, les dimensions des groupes \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\) pour \(d \geq m'\) diminuent strictement jusqu’à devenir nulles. Il s’ensuit que la régularité de \(\mathcal{K}\) est bornée par \(m' + \dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\). D’autre part, par la annulation des groupes de cohomologie supérieurs, nous avons \[\dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) = - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) + \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\] Notons que le \(H^0\) a une dimension bornée par la dimension de \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}^{\oplus r}(m'))\) qui est au maximum \(r{n + m' \choose n}\) si \(m' > 0\) et zéro sinon. Enfin, le terme \(\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\) est égal à \(r{n + m' \choose n} - P(m')\). Cela donne une borne du type voulu et achève la démonstration du lemme.

Frobenius

Supposons que \(p\) soit un nombre premier. Si \(X\) est un schéma, alors nous disons que “ \(X\) a pour caractéristique \(p\) ”, ou que “ \(X\) est de caractéristique \(p\) ”, ou que “ \(X\) est en caractéristique \(p\) ” si \(p\) est nul dans \(\mathcal{O}_X\).

Définition

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(X\) un schéma de caractéristique \(p\). Le Frobenius absolu de \(X\) est le morphisme \(F_X : X \to X\) donné par l’identité sur l’espace topologique sous-jacent et dont \(F_X^\sharp : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) est donné par \(g \mapsto g^p\).

Cela a du sens car pour tout anneau \(A\) de caractéristique \(p\), l’application \(F_A : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) est un endomorphisme d’anneau qui induit l’identité sur \(\Spec(A)\). De plus, si \(A\) est local, alors \(F_A\) est un homomorphisme local. On voit ainsi que le Frobenius absolu de \(X\) est un endomorphisme de \(X\) dans la catégorie des schémas. Il s’avère que le Frobenius absolu définit un endomorphisme du foncteur identité sur la catégorie des schémas en caractéristique \(p\).

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme de schémas en caractéristique \(p\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_X} & X \ar[d]^f \\ Y \ar[r]^{F_Y} & Y }\] est commutatif.

Démonstration

Cela découle du fait algébrique trivial suivant : si \(\varphi : A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux de caractéristique \(p\), alors \(\varphi(a^p) = \varphi(a)^p\).

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(X\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Alors le Frobenius absolu \(F_X : X \to X\) est un homéomorphisme universel, est intégral, et induit des extensions purement inséparables des corps résiduels.

Démonstration

Cela découle des résultats correspondants pour l’endomorphisme de Frobenius \(F_A : A \to A\) d’un anneau \(A\) de caractéristique \(p > 0\). Voir la discussion dans Algèbre, section 0BR5, par exemple le lemme 0BRA.

Si nous travaillons avec des schémas sur une base fixe, alors il existe une version relative du morphisme de Frobenius.

Définition

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(S\). Nous définissons \[X^{(p)} = X^{(p/S)} = X \times_{S, F_S} S\] vu comme un schéma sur \(S\). En appliquant le lemme 0CC7, nous voyons qu’il existe un unique morphisme \(F_{X/S} : X \longrightarrow X^{(p)}\) sur \(S\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X} & & X^{(p)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S} & & S }\] où le carré de droite est cartésien. Le morphisme \(F_{X/S}\) est appelé le morphisme de Frobenius relatif de \(X/S\).

Remarquez que \(X \mapsto X^{(p)}\) est un foncteur ; c’est le foncteur de changement de base pour le morphisme de Frobenius absolu \(F_S : S \to S\). Nous obtenons les analogues des lemmes précédents pour le morphisme de Frobenius relatif.

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme de schémas sur \(S\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_{X/S}} & X^{(p)} \ar[d]^{f^{(p)}} \\ Y \ar[r]^{F_{Y/S}} & Y^{(p)} }\] est commutatif.

Démonstration

Cela découle du lemme 0CC7 et des définitions.

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(S\). Alors le Frobenius relatif \(F_{X/S} : X \to X^{(p)}\) est un homéomorphisme universel, est intégral, et induit des extensions purement inséparables des corps résiduels.

Démonstration

D’après le lemme 0CC8, les morphismes \(F_X : X \to X\) et le changement de base \(h : X^{(p)} \to X\) de \(F_S\) sont des homéomorphismes universels. Puisque \(h \circ F_{X/S} = F_X\), nous concluons que \(F_{X/S}\) est un homéomorphisme universel (Morphismes, lemme 0H2M). D’après les lemmes 04DF et 01S4 de Morphismes, nous concluons que \(F_{X/S}\) possède également les autres propriétés.

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(S\). Alors \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/X^{(p)}}\).

Démonstration

Cela se traduit par le fait algébrique suivant. Supposons que \(A \to B\) soit un homomorphisme d’anneaux de caractéristique \(p\). Posons \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\) et considérons l’homomorphisme d’anneaux \(F_{B/A} : B' \to B\), \(b \otimes a \mapsto b^pa\). Alors notre assertion est que \(\Omega_{B/A} = \Omega_{B/B'}\). En effet, \(\text{d}(b^pa) = 0\) si \(\text{d} : B \to \Omega_{B/A}\) est la dérivation universelle et donc \(\text{d}\) est une dérivation \(B'\).

Lemme

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(S\). Si \(X \to S\) est localement de type fini, alors \(F_{X/S}\) est fini.

Démonstration

Cela se traduit par le fait algébrique suivant. Supposons que \(A \to B\) soit un homomorphisme de type fini d’anneaux de caractéristique \(p\). Posons \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\) et considérons l’homomorphisme d’anneaux \(F_{B/A} : B' \to B\), \(b \otimes a \mapsto b^pa\). Alors notre assertion est que \(F_{B/A}\) est fini. En effet, si \(x_1, \ldots, x_n \in B\) sont des générateurs sur \(A\), alors \(x_i\) est intégral sur \(B'\) parce que \(x_i^p = F_{B/A}(x_i \otimes 1)\). Par conséquent, \(F_{B/A} : B' \to B\) est fini d’après le lemme d’Algèbre 02JJ.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps de caractéristique \(p > 0\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(k\). Alors \(X\) est géométriquement réduit si et seulement si \(X^{(p)}\) est réduit.

Démonstration

Considérons le Frobenius absolu \(F_k : k \to k\). Alors \(F_k(k) = k^p\), en d’autres termes, \(F_k : k \to k\) est s’identifie à l’inclusion de \(k\) dans \(k^{1/p}\). Ainsi, le lemme découle du lemme 035X.

Lemme

Supposons que \(k\) soit un corps de caractéristique \(p > 0\). Supposons que \(X\) soit une variété sur \(k\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X^{(p)}\) est réduit,

2. \(X\) est géométriquement réduit,

3. il y a un ouvert non vide \(U \subset X\) lisse sur \(k\).

Dans ce cas, \(X^{(p)}\) est une variété sur \(k\) et \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\) est un morphisme dominant fini de degré \(p^{\dim(X)}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du lemme 0CCE. Nous avons vu dans le lemme 056V que (2) implique (3). Si (3) est vrai, alors \(U\) est géométriquement réduit (voir par exemple le lemme 038X) et donc \(X\) est géométriquement réduit par le lemme 04KS. On voit ainsi que (1), (2) et (3) sont équivalents.

Supposons que (1), (2) et (3) soient vérifiés. Puisque \(F_{X/k}\) est un homéomorphisme (lemme 0CCB), on voit que \(X^{(p)}\) est une variété. Ensuite, \(F_{X/k}\) est fini par le lemme 0CCD. Il est dominant car il est surjectif. Pour calculer le degré (Morphismes, définition 02NY), il suffit de calculer le degré de \(F_{U/k} : U \to U^{(p)}\) (comme \(F_{U/k} = F_{X/k}|_U\) par le lemme 0CCA). Après avoir réduit un peu \(U\), nous pouvons supposer qu’il existe un morphisme étale \(h : U \to \mathbf{A}^n_k\), voir Morphismes, lemme 054L. On a nécessairement \(n = \dim(U)\) parce que \(\mathbf{A}^n_k \to \Spec(k)\) est lisse de dimension relative \(n\), le morphisme étale \(h\) est lisse de dimension relative \(0\), et \(U \to \Spec(k)\) est lisse de dimension relative \(\dim(U)\) et les dimensions relatives s’additionnent correctement (Morphismes, lemme 02NL). Remarquons que \(h\) est un morphisme génériquement fini et dominant de variétés, et donc \(\deg(h)\) est défini. D’après le lemme 0CCA, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rr]_{F_{X/k}} \ar[d]_h & & U^{(p)} \ar[d]^{h^{(p)}} \\ \mathbf{A}^n_k \ar[rr]^{F_{\mathbf{A}^n_k/k}} & & (\mathbf{A}^n_k)^{(p)} }\] Puisque \(h^{(p)}\) est un changement de base de \(h\), il est également étale et il s’ensuit que \(h^{(p)}\) est également un morphisme dominant génériquement fini de variétés. Le degré de \(h^{(p)}\) est le degré de l’extension \(k(X^{(p)})/k((\mathbf{A}^n_k)^{(p)})\), qui est le même que le degré de l’extension \(k(X)/k(\mathbf{A}^n_k)\) parce que \(h^{(p)}\) est le changement de base de \(h\) (un détail technique est omis). Par la multiplicativité des degrés (Morphismes, lemme 02NZ), il suffit de montrer que le degré de \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\) est \(p^n\). Pour le voir, observons que \((\mathbf{A}^n_k)^{(p)} = \mathbf{A}^n_k\) et que \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\) est donné par l’application qui envoie les coordonnées sur leurs puissances \(p\).

Remarque

Supposons que \(p > 0\) soit un nombre premier. Supposons que \(S\) soit un schéma en caractéristique \(p\). Supposons que \(X\) soit un schéma sur \(S\). Pour \(n \geq 1\) \[X^{(p^n)} = X^{(p^n/S)} = X \times_{S, F_S^n} S\] considéré comme un schéma sur \(S\). Observons que \(X \mapsto X^{(p^n)}\) est un foncteur. En appliquant le lemme 0CC7, on voit que \(F_{X/S, n} = (F_X^n, \text{id}_S) : X \longrightarrow X^{(p^n)}\) est un morphisme sur \(S\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S, n}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X^n} & & X^{(p^n)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S^n} & & S }\] où le carré de droite est cartésien. Le morphisme \(F_{X/S, n}\) est parfois appelé le morphisme de Frobenius relatif itéré \(n\) fois de \(X/S\) . Cela a du sens car nous avons la formule \[F_{X/S, n} = F_{X^{(p^{n - 1})}/S} \circ \ldots \circ F_{X^{(p)}/S} \circ F_{X/S}\] ce qui montre que \(F_{X/S, n}\) est la composition de \(n\) morphismes de Frobenius relatifs. Puisque nous avons \[F_{X^{(p^m)}/S} = F_{X^{(p^{m - 1})}/S}^{(p)} = \ldots = F_{X/S}^{(p^m)}\] (détails omis) nous obtenons également que \[F_{X/S, n} = F_{X/S}^{(p^{n - 1})} \circ \ldots \circ F_{X/S}^{(p)} \circ F_{X/S}\]

Recollement d’anneaux de dimension un

Cette section contient quelques préliminaires algébriques pour démontrer qu’un ensemble fini de points de codimension \(1\) d’un schéma séparé est contenu dans un ouvert affine.

Situation

On se donne un diagramme commutatif d’anneaux \[\xymatrix{ A \ar[r] & K \\ R \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] où \(K\) est un corps et \(A\), \(B\) sont des sous-anneaux de \(K\) avec le corps des fractions \(K\). Enfin, \(R = A \times_K B = A \cap B\).

Lemme

Dans la situation 09MY, supposons que \(B\) soit un anneau de valuation. Alors pour chaque élément inversible \(u\) de \(A\), soit \(u \in R\) soit \(u^{-1} \in R\).

Démonstration

En effet, si l’image \(c\) de \(u\) dans \(K\) est dans \(B\), alors \(u \in R\). Sinon, \(c^{-1} \in B\) (Algèbre, lemme 00IB) et \(u^{-1} \in R\).

Le lemme suivant explique la signification de la condition “ \(A \otimes B \to K\) est surjective ” qui revient assez souvent dans ce qui suit.

Lemme

Dans la situation 09MY, supposons que \(A\) soit un anneau noethérien de dimension \(1\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(A \otimes B \to K\) n’est pas surjective,

2. il existe un anneau de valuation discrète \(\mathcal{O} \subset K\) contenant à la fois \(A\) et \(B\).

Démonstration

Il est clair que (2) implique (1). D’autre part, si \(A \otimes B \to K\) n’est pas surjective, alors l’image \(C \subset K\) n’est pas un corps, donc \(C\) possède un idéal maximal non nul \(\mathfrak m\). Choisissons un anneau de valuation \(\mathcal{O} \subset K\) dominant \(C_\mathfrak m\). D’après le lemme d’Algèbre 00PG appliqué à \(A \subset \mathcal{O}\), l’anneau \(\mathcal{O}\) est noethérien. Par conséquent, \(\mathcal{O}\) est un anneau de valuation discrète d’après le lemme d’Algèbre 00II.