Cohomologie des faisceaux

Introduction

Dans ce document, nous étudions quelques thèmes de cohomologie des faisceaux sur les espaces topologiques. Nous travaillons principalement dans le cadre général des modules sur un faisceau d’anneaux et des morphismes d’espaces annelés. Pour le cas des faisceaux sur les sites, voir le chapitre Cohomologie sur les sites, section 01FR. Les références de base sont [Godement] et [Iversen].

Cohomologie des faisceaux

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien. La catégorie des faisceaux abéliens sur \(X\) possède suffisamment d’objets injectifs, voir Injectifs, lemme 01DG. Nous pouvons donc choisir une résolution injective \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\). Comme il est d’usage, nous définissons

[0712]\[\begin{equation} H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\]

le membre de gauche comme le \(i\)-ième groupe de cohomologie du faisceau abélien \(\mathcal{F}\). La famille des foncteurs \(H^i(X, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}\).

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Avec \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\) comme ci-dessus, nous définissons

[0713]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\]

le membre de gauche comme la \(i\)-ième image directe supérieure de \(\mathcal{F}\). La famille des foncteurs \(R^if_*\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de \(\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)\).

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X\) possède suffisamment d’objets injectifs, voir Injectifs, lemme 01DI. Nous pouvons donc choisir une résolution injective \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\). Comme il est d’usage, nous définissons

[0714]\[\begin{equation} H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\]

le membre de gauche comme le \(i\)-ième groupe de cohomologie de \(\mathcal{F}\). La famille des foncteurs \(H^i(X, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)}\).

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Avec \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\) comme ci-dessus, nous définissons

[0715]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\]

le membre de gauche comme la \(i\)-ième image directe supérieure de \(\mathcal{F}\). La famille des foncteurs \(R^if_*\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\).

Foncteurs dérivés

Nous expliquons brièvement comment obtenir les foncteurs dérivés à droite à l’aide de foncteurs de résolution. Pour les foncteurs dérivés non bornés, voir la section 079V.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est abélienne, voir Faisceaux de modules, lemme 01AG. Dans ce chapitre, nous écrirons \[K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{et} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).\] et de même pour les versions bornées des catégories triangulées introduites dans Catégories dérivées, définition 013H et définition 05RU. D’après Catégories dérivées, remarque 0142, il existe un foncteur de résolution \[j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] où \(\mathcal{I}\) est la sous-catégorie additive strictement pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) formée des faisceaux injectifs. Pour tout foncteur exact à gauche \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}\) à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{B}\), nous noterons \(RF\) le foncteur dérivé à droite décrit dans Catégories dérivées, section 0156, et construit à l’aide du foncteur de résolution \(j_X\) que nous venons de décrire :

[05U3]\[\begin{equation} RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\]

Voir Catégories dérivées, lemme 05TN, pour cette notation. Remarquons que l’on peut considérer \(RF\) comme défini sur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), \(\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\), \(K^{+}(X)\) ou \(D^{+}(X)\), selon la situation. D’après Catégories dérivées, définition 015A, nous obtenons le \(i\)-ième foncteur dérivé à droite

[05U4]\[\begin{equation} R^iF = H^i \circ RF : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} \end{equation}\]

de sorte que \(R^0F = F\) et que \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\) est un \(\delta\)-foncteur universel, voir Catégories dérivées, lemme 015B.

Voici deux cas particuliers de cette construction. Pour un anneau \(R\), nous écrivons \(K(R) = K(\text{Mod}_R)\) et \(D(R) = D(\text{Mod}_R)\), et de même pour les versions bornées. Pour tout ouvert \(U \subset X\), nous avons un foncteur exact à gauche \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}\) qui donne lieu à

[0717]\[\begin{equation} R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) \end{equation}\]

d’après la discussion précédente. Nous posons \(H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)\). Si \(U = X\), nous retrouvons (0714). Si \(f : X \to Y\) est un morphisme d’espaces annelés, nous avons le foncteur exact à gauche \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) qui donne lieu à l’image directe dérivée

[0718]\[\begin{equation} Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) \end{equation}\]

Le \(i\)-ième faisceau de cohomologie de \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\) est noté \(R^if_*\mathcal{F}^\bullet\) et appelé la \(i\)-ième image directe supérieure, conformément à (0715). Les deux foncteurs affichés ci-dessus sont des foncteurs exacts de catégories dérivées.

Abus de notation: Lorsque le foncteur \(Rf_*\), ou tout autre foncteur dérivé, est appliqué à un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\) ou à un complexe de faisceaux, il est entendu que \(\mathcal{F}\) a été remplacé par une résolution appropriée de \(\mathcal{F}\). Afin de faciliter ce type d’opération, nous dirons, étant donné un objet \(\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)\), qu’un complexe borné inférieurement \(\mathcal{I}^\bullet\) d’objets injectifs de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) représente \(\mathcal{F}^\bullet\) dans la catégorie dérivée s’il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\). Dans le même esprit, la phrase « soit \(\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) un morphisme de \(D(\mathcal{O}_X)\) » ne signifie pas que \(\alpha\) est représenté par un morphisme de complexes. S’il s’agit effectivement d’un morphisme de complexes, nous le préciserons.

Première cohomologie et torseurs

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes (éventuellement non commutatifs) sur \(X\). Un pseudo-torseur, ou plus précisément un pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseur, est un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\) muni d’une action \(\mathcal{G} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) telle que

1. dès que \(\mathcal{F}(U)\) est non vide, l’action \(\mathcal{G}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) est simplement transitive

Un morphisme de pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseurs \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est un morphisme de faisceaux d’ensembles compatible avec les actions de \(\mathcal{G}\). Un torseur, ou plus précisément un \(\mathcal{G}\)-torseur, est un pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseur tel que, de plus,

1. pour tout \(x \in X\), la fibre \(\mathcal{F}_x\) est non vide.

Un morphisme de \(\mathcal{G}\)-torseurs est un morphisme de pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseurs. Le \(\mathcal{G}\)-torseur trivial est le faisceau \(\mathcal{G}\) muni de l’action à gauche évidente de \(\mathcal{G}\).

Il est clair qu’un morphisme de torseurs est automatiquement un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes (éventuellement non commutatifs) sur \(X\). Un \(\mathcal{G}\)-torseur \(\mathcal{F}\) est trivial si et seulement si \(\mathcal{F}(X) \not = \emptyset\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \(X\). Il existe une bijection canonique entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{H}\)-torseurs et \(H^1(X, \mathcal{H})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{H}\)-torseur. Considérons le faisceau abélien libre \(\mathbf{Z}[\mathcal{F}]\) sur \(\mathcal{F}\). C’est la faisceautisation du préfaisceau qui associe à tout ouvert \(U \subset X\) l’ensemble des sommes formelles finies \(\sum n_i[s_i]\) avec \(n_i \in \mathbf{Z}\) et \(s_i \in \mathcal{F}(U)\). Il existe un morphisme naturel \[\sigma : \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] qui, à une section locale \(\sum n_i[s_i]\), associe \(\sum n_i\). Le noyau de \(\sigma\) est engendré par les sections locales de la forme \([s] - [s']\). Il y a une application canonique \(a : \Ker(\sigma) \to \mathcal{H}\) qui envoie \([s] - [s'] \mapsto h\), où \(h\) est la section locale de \(\mathcal{H}\) telle que \(h \cdot s' = s\). Considérons le diagramme cocartésien \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\sigma) \ar[r] \ar[d]^a & \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] & 0 }\] Ici, \(\mathcal{E}\) est l’extension obtenue par somme amalgamée. La longue suite exacte de cohomologie associée à la suite exacte courte inférieure fournit un élément \(\xi = \xi_\mathcal{F} \in H^1(X, \mathcal{H})\) en appliquant le morphisme de bord à \(1 \in H^0(X, \underline{\mathbf{Z}})\).

Réciproquement, étant donné \(\xi \in H^1(X, \mathcal{H})\), nous pouvons associer à \(\xi\) un torseur comme suit. Choisissons un plongement \(\mathcal{H} \to \mathcal{I}\) de \(\mathcal{H}\) dans un faisceau abélien injectif \(\mathcal{I}\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{H}\), de sorte que nous avons une suite exacte courte \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] L’élément \(\xi\) est l’image d’une section globale \(q \in H^0(X, \mathcal{Q})\) car \(H^1(X, \mathcal{I}) = 0\) (voir Catégories dérivées, lemme 015B). Soit \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\) le sous-faisceau (d’ensembles) des sections qui s’envoient sur \(q\) dans le faisceau \(\mathcal{Q}\). Il est facile de vérifier que \(\mathcal{F}\) est un torseur.

Nous omettons de vérifier que les deux constructions données ci-dessus sont inverses l’une de l’autre.

Première cohomologie et extensions

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe une bijection canonique \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{F})\] qui associe à l’extension \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X \to 0\] l’image de \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) dans \(H^1(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Construisons l’inverse de l’application donnée dans le lemme. Soit \(\xi \in H^1(X, \mathcal{F})\). Choisissons une injection \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\), où \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\). Par la longue suite exacte de cohomologie, \(\xi\) est l’image d’une section \(\tilde \xi \in \Gamma(X, \mathcal{Q}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_X, \mathcal{Q})\). Formons alors le produit fibré \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}_X \ar[r] \ar[d]^{\tilde \xi} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] voir Homologie, section 010I.

Première cohomologie et faisceaux inversibles

Le groupe de Picard d’un espace annelé est défini dans Faisceaux de modules, section 01CR.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Si tous les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont locaux, alors il existe un isomorphisme canonique \[H^1(X, \mathcal{O}_X^*) = \Pic(X).\] de groupes abéliens.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Considérons le préfaisceau \(\mathcal{L}^*\) défini par la règle \[U \longmapsto \{s \in \mathcal{L}(U) \text{ tel que } \mathcal{O}_U \xrightarrow{s \cdot -} \mathcal{L}_U \text{ est un isomorphisme}\}\] Ce préfaisceau satisfait à la condition de faisceau. De plus, si \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\) et \(s \in \mathcal{L}^*(U)\), alors il est clair que \(fs \in \mathcal{L}^*(U)\). De la même façon, si \(s, s' \in \mathcal{L}^*(U)\) alors il existe un unique \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\) tel que \(fs = s'\). De plus, le faisceau \(\mathcal{L}^*\) possède localement des sections d’après Faisceaux de modules, lemme 0B8M. Ainsi, \(\mathcal{L}^*\) est un \(\mathcal{O}_X^*\)-torseur. Nous obtenons donc une application \[\begin{matrix} \text{faisceaux inversibles sur }(X, \mathcal{O}_X) \\ \text{ à isomorphisme près} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \mathcal{O}_X^*\text{-torsors} \\ \text{ à isomorphisme près} \end{matrix}\] Nous omettons de vérifier qu’il s’agit d’un homomorphisme de groupes abéliens. D’après le lemme 02FQ, le membre de droite est canoniquement en bijection avec \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\). Il reste donc à montrer que cette application est injective et surjective.

Injectivité. Si le torseur \(\mathcal{L}^*\) est trivial, le lemme 02FP montre que \(\mathcal{L}^*\) possède une section globale. Cela signifie précisément que \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\), qui est l’élément neutre de \(\Pic(X)\).

Surjectivité. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X^*\)-torseur. Considérons le préfaisceau d’ensembles \[\mathcal{L}_1 : U \longmapsto (\mathcal{F}(U) \times \mathcal{O}_X(U))/\mathcal{O}_X^*(U)\] où l’action de \(f \in \mathcal{O}_X^*(U)\) sur \((s, g)\) est donnée par \((fs, f^{-1}g)\). Alors \(\mathcal{L}_1\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules si l’on pose \((s, g) + (s', g') = (s, g + (s'/s)g')\), où \(s'/s\) est la section locale \(f\) de \(\mathcal{O}_X^*\) telle que \(fs = s'\), \(h(s, g) = (s, hg)\) pour toute section locale \(h\) de \(\mathcal{O}_X\). Nous omettons de vérifier que la faisceautisation \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1^\#\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont le \(\mathcal{O}_X^*\)-torseur associé \(\mathcal{L}^*\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\).

Caractère local de la cohomologie

Le lemme suivant montre qu’il n’y a aucune ambiguïté dans la définition de la cohomologie d’un faisceau \(\mathcal{F}\) sur un ouvert.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert.

1. Si \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif, alors \(\mathcal{I}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module injectif.

2. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), nous avons \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F}|_U)\).

Démonstration

Notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte. Rappelons que le foncteur de restriction \(j^{-1}\) à \(U\) est adjoint à droite du foncteur \(j_!\) d’extension par \(0\), voir Faisceaux, lemme 00A7. De plus, \(j_!\) est exact. Par conséquent, (1) découle d’Homologie, lemme 015Z.

Par définition, \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet))\), où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). D’après ce qui précède, \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{I}^\bullet|_U\) est une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\). Par conséquent, \(H^p(U, \mathcal{F}|_U)\) est égal à \(H^p(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet|_U))\). Bien entendu, \(\Gamma(U, \mathcal{F}) = \Gamma(U, \mathcal{F}|_U)\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\). On obtient ainsi l’égalité de (2).

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soient \(U \subset V \subset X\) des ouverts. Il existe alors une application de restriction canonique

[01E2]\[\begin{equation} H^n(V, \mathcal{F}) \longrightarrow H^n(U, \mathcal{F}), \quad \xi \longmapsto \xi|_U \end{equation}\]

fonctorielle en \(\mathcal{F}\). En effet, choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Les applications de restriction des faisceaux \(\mathcal{I}^p\) donnent un morphisme de complexes \[\Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\] Le membre de gauche est un complexe représentant \(R\Gamma(V, \mathcal{F})\), et celui de droite un complexe représentant \(R\Gamma(U, \mathcal{F})\). En appliquant le foncteur \(H^n\), nous obtenons l’application sur les groupes de cohomologie. Comme indiqué, nous la noterons \(\xi \mapsto \xi|_U\). Ainsi, la règle \(U \mapsto H^n(U, \mathcal{F})\) définit un préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Ce préfaisceau est habituellement noté \(\underline{H}^n(\mathcal{F})\). Nous en donnerons une autre interprétation dans le lemme 01ER.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Soient \(n > 0\) et \(\xi \in H^n(U, \mathcal{F})\). Il existe alors un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\) tel que \(\xi|_{U_i} = 0\) pour tout \(i \in I\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Alors \[H^n(U, \mathcal{F}) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] Choisissons un élément \(\tilde \xi \in \mathcal{I}^n(U)\) représentant la classe de cohomologie dans la présentation ci-dessus. Puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}\) et que \(n > 0\), le complexe \(\mathcal{I}^\bullet\) est exact en degré \(n\). Par conséquent, \(\Im(\mathcal{I}^{n - 1} \to \mathcal{I}^n) = \Ker(\mathcal{I}^n \to \mathcal{I}^{n + 1})\) comme faisceaux. Puisque \(\tilde \xi\) est une section du faisceau noyau sur \(U\), il existe un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que \(\tilde \xi|_{U_i}\) soit l’image par \(d\) d’une section \(\xi_i \in \mathcal{I}^{n - 1}(U_i)\). Par définition de la restriction, \(\xi|_{U_i}\) correspond à la classe de \(\tilde \xi|_{U_i}\), ce qui conclut la preuve.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les faisceaux \(R^if_*\mathcal{F}\) sont les faisceaux associés aux préfaisceaux \[V \longmapsto H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F})\] munis des applications de restriction de l’équation (01E2). Il existe un énoncé analogue pour \(R^if_*\) appliqué à un complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Par définition, \(R^if_*\mathcal{F}\) est le \(i\)-ième faisceau de cohomologie du complexe \[f_*\mathcal{I}^0 \to f_*\mathcal{I}^1 \to f_*\mathcal{I}^2 \to \ldots\] Par définition de la structure de catégorie abélienne sur les \(\mathcal{O}_Y\)-modules, ce faisceau de cohomologie est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(V) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(V))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(V) \to f_*\mathcal{I}^i(V))}\] et cela est évidemment égal à \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^i(f^{-1}(V)) \to \mathcal{I}^{i + 1}(f^{-1}(V)))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(f^{-1}(V)) \to \mathcal{I}^i(f^{-1}(V)))}\] qui est égal à \(H^i(f^{-1}(V), \mathcal{F})\), ce qui démontre le résultat.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert. Notons \(g : f^{-1}(V) \to V\) la restriction de \(f\). Alors \[R^pg_*(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) = (R^pf_*\mathcal{F})|_V\] Il existe un énoncé analogue pour l’image dérivée \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\), où \(\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Première démonstration. Appliquer les lemmes 01E4 et 01E1 donne l’égalité affichée. Deuxième démonstration. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) et utilisons le fait que \(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)} \to \mathcal{I}^\bullet|_{f^{-1}(V)}\) est également une résolution injective.

Remarque

Voici une autre approche des démonstrations des lemmes 01E3 et 01E4 ci-dessus. Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\) le foncteur d’inclusion, et soit \(\#\) le foncteur de faisceautisation. Rappelons que \(i_X\) est exact à gauche et que \(\#\) est exact.

1. Démontrons d’abord le lemme 01ER ci-dessous, qui affirme que les foncteurs dérivés à droite de \(i_X\) sont donnés par \(R^pi_X\mathcal{F} = \underline{H}^p(\mathcal{F})\). En voici une autre démonstration : l’égalité est claire pour \(p = 0\). Les deux familles \((R^pi_X)_{p \geq 0}\) et \((\underline{H}^p)_{p \geq 0}\) sont des foncteurs delta qui s’annulent sur les objets injectifs ; ils sont donc universels, et par conséquent isomorphes. Voir Homologie, section 010P.

2. Une reformulation du lemme 01E3 est que \((\underline{H}^p(\mathcal{F}))^\# = 0\), \(p > 0\), pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\). Pour le vérifier, utilisons l’exactitude de \({}^\#\) : \[(\underline{H}^p(\mathcal{F}))^\# = (R^pi_X\mathcal{F})^\# = R^p(\# \circ i_X)(\mathcal{F}) = 0\] car \(\# \circ i_X\) est le foncteur identité.

3. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Le préfaisceau \(V \mapsto H^p(f^{-1}V, \mathcal{F})\) est égal à \(R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F}\). On peut le démontrer en remarquant que les deux constructions donnent des foncteurs delta universels, comme dans l’argument de (1). Le lemme 01E4 affirme que \(R^p f_* \mathcal{F}= (R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F})^\#\). En utilisant à nouveau l’exactitude de \(\#\) et le fait que \(\# \circ i_Y\) est le foncteur identité, on obtient \[R^p f_* \mathcal{F} = R^p(\# \circ i_Y \circ f_*)\mathcal{F} = (R^p (i_Y \circ f_*)\mathcal{F})^\#\] comme souhaité.

Mayer–Vietoris

Nous construirons plus loin la suite spectrale reliant la cohomologie de Čech à la cohomologie des faisceaux, voir le lemme 01ES. La longue suite exacte de Mayer–Vietoris en est un cas particulier. Comme il s’agit d’une variante fondamentale, utile et facile à comprendre de cette suite spectrale, nous la traitons ici séparément.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soient \(U' \subset U \subset X\) des sous-espaces ouverts. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module injectif \(\mathcal{I}\), l’application de restriction \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U')\) est surjective.

Démonstration

Soient \(j : U \to X\) et \(j' : U' \to X\) les immersions ouvertes. Rappelons que \(j_!\mathcal{O}_U\) est l’extension par zéro de \(\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_X|_U\), voir Faisceaux, section 009Z. Puisque \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U)\] voir Faisceaux, lemme 00A7. De même, le faisceau \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\) représente le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U')\). En outre, il existe une application canonique évidente de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[j'_!\mathcal{O}_{U'} \longrightarrow j_!\mathcal{O}_U\] qui correspond à l’application de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). D’après la description des fibres de \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\), \(j_!\mathcal{O}_U\) nous voyons que l’application affichée ci-dessus est injective (voir le lemme cité ci-dessus). Si \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif, alors l’application \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{I}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_X}(j'_!\mathcal{O}_{U'}, \mathcal{I})\] est surjective, voir Homologie, lemme 0136. En réunissant ces observations, nous obtenons le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux ouverts. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), il existe une longue suite exacte de cohomologie \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] Cette longue suite exacte est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

La condition de faisceau affirme que le noyau de \((1, -1) : \mathcal{F}(U) \oplus \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U \cap V)\) est égal à l’image de \(\mathcal{F}(X)\) par la première application, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\). Le lemme 01EA ci-dessus implique que l’application \((1, -1) : \mathcal{I}(U) \oplus \mathcal{I}(V) \to \mathcal{I}(U \cap V)\) est surjective dès que \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Ainsi, si \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}\), nous obtenons une suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0.\] Le passage à la cohomologie donne le résultat (utiliser Homologie, lemme 0117). Nous omettons la vérification de la fonctorialité de la suite.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux ouverts. Notons \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\) et \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\). Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), il existe une longue suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{F} \to a_*(\mathcal{F}|_U) \oplus b_*(\mathcal{F}|_V) \to c_*(\mathcal{F}|_{U \cap V}) \to R^1f_*\mathcal{F} \to \ldots\] Cette longue suite exacte est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective de \(\mathcal{F}\). Nous affirmons que nous obtenons une suite exacte courte de complexes \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] En effet, pour tout ouvert \(W \subset Y\) et tout \(n \geq 0\), la suite correspondante des groupes de sections sur \(W\)

\[0 \to \mathcal{I}^n(f^{-1}(W)) \to \mathcal{I}^n(U \cap f^{-1}(W)) \oplus \mathcal{I}^n(V \cap f^{-1}(W)) \to \mathcal{I}^n(U \cap V \cap f^{-1}(W)) \to 0\] est exacte courte d’après la démonstration du lemme 01EB. Le lemme s’obtient en prenant les faisceaux de cohomologie et en utilisant le fait que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}|_U\) et de même pour \(\mathcal{I}^\bullet|_V\) et \(\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V}\), voir le lemme 01E1.

Le complexe de Č ech et la cohomologie de Čech

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, voir Topologie, notion de base (004K). Comme il est d’usage, nous notons \(U_{i_0\ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) pour l’intersection de \((p + 1)\) membres de \(\mathcal{U}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Posons \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] C’est un groupe abélien. Pour \(s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), nous notons \(s_{i_0\ldots i_p}\) sa valeur dans \(\mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p})\). Remarquons que si \(s \in \check{\mathcal{C}}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) et \(i, j \in I\), alors \(s_{ij}\) et \(s_{ji}\) appartiennent tous deux à \(\mathcal{F}(U_i \cap U_j)\), mais aucune relation n’est imposée entre \(s_{ij}\) et \(s_{ji}\). Autrement dit, nous ne travaillons pas avec des cochaînes alternées (celles-ci seront définies dans la section 01FG). Nous définissons \[d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] par la formule

[01EE]\[\begin{equation} d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}|_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}} \end{equation}\]

On vérifie immédiatement que \(d \circ d = 0\). Autrement dit, \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un complexe.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le complexe de Čech associé à \(\mathcal{F}\) et au recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\). Ses groupes de cohomologie \(H^i(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}))\) sont appelés les groupes de cohomologie de Čech associés à \(\mathcal{F}\) et au recouvrement \(\mathcal{U}\). Ils sont notés \(\check H^i(\mathcal{U}, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien, et

2. pour chaque recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) l’application naturelle \[\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est bijective.

Démonstration

Cela résulte du fait que la condition de faisceau affirme précisément que \(\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est bijectif pour chaque recouvrement ouvert.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Si \(U_i = U\) pour un certain \(i \in I\), alors le complexe de Čech augmenté \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] obtenu en plaçant \(\mathcal{F}(U)\) en degré \(-1\), avec pour différentielle l’application canonique de \(\mathcal{F}(U)\) dans \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), est homotopiquement équivalent à \(0\).

Démonstration

Fixons un élément \(i \in I\) tel que \(U = U_i\). Remarquons que \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}\) si \(i_j = i\). Définissons une homotopie \[h : \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \longrightarrow \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\] par la règle \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i i_0 \ldots i_p}\] En d’autres termes, \(h : \prod_{i_0} \mathcal{F}(U_{i_0}) \to \mathcal{F}(U)\) est la projection sur le facteur \(\mathcal{F}(U_i) = \mathcal{F}(U)\) et en général l’application \(h\) égale la projection sur les facteurs \(\mathcal{F}(U_{i i_1 \ldots i_{p + 1}}) = \mathcal{F}(U_{i_1 \ldots i_{p + 1}})\). Nous calculons

\[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\]

Ceci prouve que l’application identité est homotope à zéro, comme souhaité.

La cohomologie de Č ech comme foncteur sur les préfaisceaux

\sectionmark{Cohomologie de {\v C}ech des préfaisceaux}

Attention : dans cette section, nous travaillons presque exclusivement avec des préfaisceaux et des catégories de préfaisceaux ; les résultats sont entièrement faux dans le cadre des faisceaux et des catégories de faisceaux !

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous disposons du complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) de \(\mathcal{F}\) en considérant simplement \(\mathcal{F}\) comme un préfaisceau de groupes abéliens. Cependant, chaque terme \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est naturellement muni d’une structure de \(\mathcal{O}_X(U)\)-module, et la différentielle est donnée par des applications \(\mathcal{O}_X(U)\)-linéaires. De plus, il est clair que la construction \[\mathcal{F} \longmapsto \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Il s’agit en fait d’un foncteur

[01EI]\[\begin{equation} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}) \end{equation}\]

Voir Catégories dérivées, définition 013H, pour la notation. Rappelons que la catégorie des complexes bornés inférieurement d’une catégorie abélienne est elle-même abélienne, voir Homologie, lemme 0114.

Lemme

Le foncteur donné par l’équation (01EI) est exact (voir Homologie, 010N).

Démonstration

Pour tout ouvert \(W \subset U\), le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\) est un foncteur additif exact de \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\) vers \(\text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}\). Les termes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) du complexe sont des produits de ces foncteurs exacts, donc sont exacts. En outre, une suite de complexes est exacte si et seulement si la suite des termes de chaque degré est exacte.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Les foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) forment un \(\delta\)-foncteur de la catégorie abélienne des préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules vers la catégorie des \(\mathcal{O}_X(U)\)-modules (voir Homologie, définition 010Q).

Démonstration

Par le lemme 01EJ, une suite exacte courte de préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) donne une suite exacte courte de complexes de \(\mathcal{O}_X(U)\)-modules. Nous pouvons donc appliquer Homologie, lemme 0117, pour obtenir les morphismes de bord \(\delta_{\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3} : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1)\) et la longue suite exacte correspondante. Nous omettons de vérifier que ces applications sont compatibles avec les morphismes entre suites exactes courtes de préfaisceaux.

Dans la formulation du lemme suivant, nous utilisons le foncteur \(j_{p!}\) d’extension par \(0\) pour les préfaisceaux de modules relativement à une immersion ouverte \(j : U \to X\). Voir Faisceaux, section 009Z. Pour tout ouvert \(W \subset X\) et tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) de \(\mathcal{O}_X|_U\)-modules, nous avons \[(j_{p!}\mathcal{G})(W) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{G}(W) & \text{si } W \subset U \\ 0 & \text{sinon.} \end{matrix} \right.\] De plus, le foncteur \(j_{p!}\) est adjoint à gauche du foncteur de restriction, voir Faisceaux, lemme 00A7. En particulier, nous avons la formule \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(j_{p!}\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U).\] Puisque le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\) est un foncteur exact sur la catégorie des préfaisceaux, nous concluons que le préfaisceau \(j_{p!}\mathcal{O}_U\) est un objet projectif dans la catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\), voir Homologie, lemme 013C.

Notons que, si l’on se donne des ouverts \(U \subset V \subset X\) et les immersions ouvertes associées \(j_U, j_V\), alors on dispose d’une application canonique \((j_U)_{p!}\mathcal{O}_U \to (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V\). Sur les sections au-dessus de tout ouvert \(W \subset U\), c’est l’identité, et c’est \(0\) sinon. Sous l’identification \(\Hom_{\mathcal{O}_X}((j_U)_{p!}\mathcal{O}_U, (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V) = (j_V)_{p!}\mathcal{O}_V(U) = \mathcal{O}_V(U)\), elle correspond à l’élément \(1 \in \mathcal{O}_V(U)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Notons \(j_{i_0\ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) l’immersion ouverte. Considérons le complexe de chaînes \(K(\mathcal{U})_\bullet\) de préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\ldots \to \bigoplus_{i_0i_1i_2} (j_{i_0i_1i_2})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0i_1i_2}} \to \bigoplus_{i_0i_1} (j_{i_0i_1})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0i_1}} \to \bigoplus_{i_0} (j_{i_0})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0}} \to 0 \to \ldots\] où le dernier terme non nul est placé en degré \(0\) et où l’application \[(j_{i_0\ldots i_{p + 1}})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}} \longrightarrow (j_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}})_{p!} \mathcal{O}_{U_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}}\] est donnée par \((-1)^j\) fois l’application canonique. Alors il existe un isomorphisme \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(K(\mathcal{U})_\bullet, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] fonctoriel en \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X))\).

Démonstration

Nous avons vu dans la discussion qui précède le lemme que \[\Hom_{\mathcal{O}_X}( (j_{i_0\ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0\ldots i_p}}, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] Par conséquent, on voit bien que la somme directe \[\bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0 \ldots i_p}}\] représente le foncteur \[\mathcal{F} \longmapsto \prod\nolimits_{i_0\ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] Par conséquent, d’après Catégories, lemme de Yoneda 001P, nous voyons qu’il existe un complexe \(K(\mathcal{U})_\bullet\) dont les termes sont ceux indiqués. Il est immédiat que les applications sont celles données dans le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{U} \subset \mathcal{O}_X\) le préfaisceau image de l’application \(\bigoplus j_{p!}\mathcal{O}_{U_i} \to \mathcal{O}_X\). Le complexe de chaînes \(K(\mathcal{U})_\bullet\) de préfaisceaux du lemme 01EL ci-dessus a pour préfaisceaux d’homologie \[H_i(K(\mathcal{U})_\bullet) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i \not = 0 \\ \mathcal{O}_\mathcal{U} & \text{si} & i = 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Considérons le complexe étendu \(K^{ext}_\bullet\) obtenu en plaçant \(\mathcal{O}_\mathcal{U}\) en degré \(-1\), muni de l’application évidente \(K(\mathcal{U})_0 = \bigoplus_{i_0} (j_{i_0})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0}} \to \mathcal{O}_\mathcal{U}\). Il suffit de montrer que le complexe obtenu en prenant les sections de ce complexe étendu sur tout ouvert \(W \subset X\) est acyclique. En fait, nous affirmons que, pour chaque \(W \subset X\), le complexe \(K^{ext}_\bullet(W)\) est homotopiquement équivalent au complexe nul. Écrivons \(I = I_1 \amalg I_2\), où \(W \subset U_i\) si et seulement si \(i \in I_1\).

Si \(I_1 = \emptyset\), alors le complexe \(K^{ext}_\bullet(W) = 0\), donc il n’y a rien à prouver.

Si \(I_1 \not = \emptyset\), alors \(\mathcal{O}_\mathcal{U}(W) = \mathcal{O}_X(W)\) et \[K^{ext}_p(W) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p \in I_1} \mathcal{O}_X(W).\] Cela résulte de la description simple des préfaisceaux \((j_{i_0 \ldots i_p})_{p!}\mathcal{O}_{U_{i_0 \ldots i_p}}\). En outre, le différentiel du complexe \(K^{ext}_\bullet(W)\) est donné par \[d(s)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{j = 0, \ldots, p + 1} \sum\nolimits_{i \in I_1} (-1)^j s_{i_0 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p}.\] La somme est finie, car l’élément \(s\) est à support fini. Fixons un élément \(i_{\text{fix}} \in I_1\). Définissons une application \[h : K^{ext}_p(W) \longrightarrow K^{ext}_{p + 1}(W)\] par la règle \[h(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i_0 \not = i_{\text{fix}} \\ s_{i_1 \ldots i_{p + 1}} & \text{si} & i_0 = i_{\text{fix}} \end{matrix} \right.\] Nous utiliserons la notation abrégée \(h(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = (i_0 = i_{\text{fix}}) s_{i_1 \ldots i_p}\) pour cela. Alors nous calculons

\[\begin{eqnarray*} & & (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} \\ & = & \sum_j \sum_{i \in I_1} (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p} + (i = i_0) d(s)_{i_1 \ldots i_p} \\ & = & s_{i_0 \ldots i_p} + \sum_{j \geq 1}\sum_{i \in I_1} (-1)^j (i_0 = i_{\text{fix}}) s_{i_1 \ldots i_{j - 1} i i_j \ldots i_p} + (i_0 = i_{\text{fix}}) d(s)_{i_1 \ldots i_p} \end{eqnarray*}\]

qui est égal à \(s_{i_0 \ldots i_p}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert de \(U \subset X\). Les foncteurs de cohomologie de Čech \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\) sont canoniquement isomorphes, en tant que \(\delta\)-foncteur, aux foncteurs dérivés à droite du foncteur \[\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}.\] En outre, il existe un quasi-isomorphisme fonctoriel \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow R\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] où le membre de droite désigne le foncteur dérivé à droite \[R\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : D^{+}(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\] du foncteur exact à gauche \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\).

Démonstration

Notons que la catégorie des préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules a suffisamment d’injectifs, voir Injectifs, proposition 01DV. Notons aussi que \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) est un foncteur exact à gauche de la catégorie des préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules vers celle des \(\mathcal{O}_X(U)\)-modules. Le foncteur dérivé et le foncteur dérivé à droite existent donc, voir Catégories dérivées, section 0156.

Soit \(\mathcal{I}\) un préfaisceau injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Dans ce cas, le foncteur \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(-, \mathcal{I})\) est exact sur \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 01EL, nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(K(\mathcal{U})_\bullet, \mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] D’après le lemme 01EM, nous savons que \(K(\mathcal{U})_\bullet\) est quasi-isomorphe à \(\mathcal{O}_\mathcal{U}[0]\). Par l’exactitude du foncteur Hom à valeurs dans \(\mathcal{I}\) mentionnée ci-dessus, nous obtenons donc \(\check{H}^i(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\) pour tous \(i > 0\). Ainsi, le \(\delta\)-foncteur \((\check{H}^n, \delta)\) (voir lemme 01EK) satisfait aux hypothèses de Homologie, lemme 010T, et est donc un \(\delta\)-foncteur universel.

D’après Catégories dérivées, lemme 015B, la suite \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) forme également un \(\delta\)-foncteur universel. Par l’unicité des \(\delta\)-foncteurs universels, voir Homologie, lemme 010U, nous concluons que \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -) = \check{H}^i(\mathcal{U}, -)\). Cela suffit pour la plupart des applications, et l’on suggère au lecteur de sauter le reste de la démonstration.

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans la catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\). Considérons le double complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) avec des termes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Considérons le complexe total associé \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\), voir Homologie, définition 012Z. Il existe un morphisme de complexes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des applications \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^0)\) et il existe un morphisme de complexes \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des applications \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Ces deux applications sont des quasi-isomorphismes d’après Homologie, lemme 0133. En effet, les colonnes du double complexe sont exactes en degrés positifs parce que le complexe de Čech est exact en tant que foncteur (lemme 01EJ), et les lignes du double complexe sont exactes en degrés positifs puisque, comme nous venons de le voir, les groupes de cohomologie supérieure de Čech des préfaisceaux injectifs \(\mathcal{I}^q\) sont nuls. Comme les quasi-isomorphismes deviennent inversibles dans \(D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\), on obtient le dernier morphisme affiché du lemme. Nous omettons de vérifier que ce morphisme est fonctoriel.

Cohomologie de Č ech et cohomologie

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Alors \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{si} & p = 0 \\ 0 & \text{si} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif est également injectif comme objet de la catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\) (par exemple, puisque la faisceautisation est un adjoint à gauche exact du foncteur d’inclusion, en utilisant Homologie, lemme 015Z). Nous pouvons donc appliquer le lemme 01EN (ou sa preuve) pour voir le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Il existe une transformation \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) \longrightarrow R\Gamma(U, -)\] des foncteurs \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\). En particulier, cela fournit des applications canoniques \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^p(U, \mathcal{F})\) lorsque \(\mathcal{F}\) parcourt \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Considérons le double complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) avec des termes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Il existe un morphisme de complexes \[\alpha : \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des applications \(\mathcal{I}^q(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\) et un morphisme de complexes \[\beta : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant de l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^0\). Le lemme 0133 d’Homologie montre que \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme. En effet, le lemme 01EP implique que la \(q\)-ième ligne du double complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) est une résolution de \(\Gamma(U, \mathcal{I}^q)\). Ainsi, \(\alpha\) devient inversible dans \(D^{+}(\mathcal{O}_X(U))\) et la transformation du lemme est la composition de \(\beta\) suivie de l’inverse de \(\alpha\). Nous omettons de vérifier que cette construction est fonctorielle.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \(X\). Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. L’application \[\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{H})\] est injective et identifie \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{H})\), au moyen de la bijection du lemme 02FQ, à l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{H}\)-torseurs dont la restriction à chaque \(U_i\) est triviale.

Démonstration

Pour le voir, construisons une application inverse. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{H}\)-torseur dont la restriction à \(U_i\) est triviale. D’après le lemme 02FP, cela signifie qu’il existe une section \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\). Sur \(U_{i_0} \cap U_{i_1}\) il existe une section unique \(s_{i_0i_1}\) de \(\mathcal{H}\) telle que \(s_{i_0i_1} \cdot s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}}\). Un calcul montre que \(s_{i_0i_1}\) est un cocycle de Čech et que sa classe est bien définie (c.-à-d. ne dépend pas du choix des sections \(s_i\)). L’application inverse envoie la classe d’isomorphisme de \(\mathcal{F}\) sur la classe de cohomologie du cocycle \((s_{i_0i_1})\). Nous omettons de vérifier que cette application est bien un inverse.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Considérons le foncteur \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\). C’est un foncteur exact à gauche dont les foncteurs dérivés à droite sont donnés par \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] voir la discussion dans la section 01E0.

Démonstration

Il est clair que \(i\) est exact à gauche. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Par définition, \(R^pi\) est le \(p\)-ième préfaisceau de cohomologie du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). En d’autres termes, les sections de \(R^pi(\mathcal{F})\) sur un ouvert \(U\) sont données par \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^p(U) \to \mathcal{I}^{p + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{p - 1}(U) \to \mathcal{I}^p(U))}.\] ce qui est la définition de \(H^p(U, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) avec \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] qui converge vers \(H^{p + q}(U, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

C’est une suite spectrale de Grothendieck (voir Catégories dérivées, lemme 015N) pour les foncteurs \[i : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \quad\text{et}\quad \check{H}^0(\mathcal{U}, - ) : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}.\] Nous avons \(\check{H}^0(\mathcal{U}, i(\mathcal{F})) = \mathcal{F}(U)\) d’après le lemme 01EG. Le préfaisceau \(i(\mathcal{I})\) est acyclique pour la cohomologie de Čech d’après le lemme 01EP. Enfin, \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -) = R^p\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) comme foncteurs sur \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 01EN. L’assemblage de ces faits donne le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons que \(H^i(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(i > 0\), tout \(p \geq 0\) et tous \(i_0, \ldots, i_p \in I\). Alors \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\) comme \(\mathcal{O}_X(U)\)-modules.

Démonstration

Nous utiliserons la suite spectrale du lemme 01ES. Les hypothèses signifient que \(E_2^{p, q} = 0\) pour tous \((p, q)\) avec \(q \not = 0\). La suite spectrale dégénère donc en \(E_2\), et le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(U \subset X\) un ouvert. S’il existe un système cofinal de recouvrements ouverts \(\mathcal{U}\) de \(U\) tel que \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\), alors l’application \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\) est surjective.

Démonstration

Prenons un élément \(s \in \mathcal{H}(U)\). Choisissons un recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que a) \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) et b) \(s|_{U_i}\) soit l’image d’une section \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\). Puisque nous pouvons certainement trouver \(\mathcal{U}\) satisfaisant à (b), les hypothèses du lemme montrent que nous pouvons trouver \(\mathcal{U}\) satisfaisant à la fois à a) et à b). Considérons les sections \[s_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} - s_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}.\] Puisque \(s_i\) relève \(s\), nous voyons que \(s_{i_0i_1} \in \mathcal{F}(U_{i_0i_1})\). Par l’annulation de \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), nous pouvons trouver des sections \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telles que \[s_{i_0i_1} = t_{i_1}|_{U_{i_0i_1}} - t_{i_0}|_{U_{i_0i_1}}.\] Alors les sections \(s_i - t_i\) satisfont clairement à la condition de recollement et se recollent en une section de \(\mathcal{G}\) sur \(U\) dont l’image est \(s\). D’où le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module tel que \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\] pour tout \(p > 0\) et tout recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) d’un ouvert de \(X\). Alors \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout ouvert \(U \subset X\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau satisfaisant à l’hypothèse du lemme. Nous exprimerons cette propriété en disant que « la cohomologie supérieure de Čech de \(\mathcal{F}\) s’annule pour tout recouvrement ouvert ». Choisissons un plongement \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) dans un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. D’après le lemme 01EP, la cohomologie supérieure de Čech de \(\mathcal{I}\) s’annule pour tout recouvrement ouvert. Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\) de sorte que nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] D’après le lemme 01EU et nos hypothèses, cette suite est même exacte comme suite de préfaisceaux ! En particulier, nous disposons d’une suite exacte longue de groupes de cohomologie de Čech pour tout recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\) ; voir, par exemple, le lemme 01EK. Il en résulte que \(\mathcal{Q}\) est lui aussi un \(\mathcal{O}_X\)-module dont la cohomologie supérieure de Čech s’annule pour tout recouvrement ouvert.

Ensuite, nous examinons la suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] pour tout ouvert \(U \subset X\). Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif, nous avons \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\) pour \(n > 0\) (voir Catégories dérivées, lemme 015B). D’après ce qui précède, l’application \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\) est surjective, donc \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\). Comme \(\mathcal{F}\) était un \(\mathcal{O}_X\)-module arbitraire dont la cohomologie supérieure de Čech s’annule, nous en déduisons également que \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\), puisque \(\mathcal{Q}\) est un autre faisceau de ce type (voir ci-dessus). La suite exacte longue entraîne alors \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\), et l’on poursuit de même.

Lemme

(Variante du lemme 01EV.) Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons qu’il existe un ensemble de recouvrements ouverts \(\text{Cov}\) ayant les propriétés suivantes :

1. Pour chaque \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\) avec \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\), nous avons \(U, U_i \in \mathcal{B}\) et chaque \(U_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{B}\).

2. Pour chaque \(U \in \mathcal{B}\), les recouvrements ouverts de \(U\) qui appartiennent à \(\text{Cov}\) forment un système cofinal de recouvrements ouverts de \(U\).

3. Pour chaque \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous avons \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Alors \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Soient \(\mathcal{F}\) et \(\text{Cov}\) comme dans le lemme. Nous exprimerons cette propriété en disant que « la cohomologie supérieure de Čech de \(\mathcal{F}\) s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\) ». Choisissons un plongement \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) dans un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. D’après le lemme 01EP, la cohomologie supérieure de Čech de \(\mathcal{I}\) s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\) de sorte que nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] D’après le lemme 01EU et notre hypothèse (2), cette suite donne lieu à une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{Q}(U) \to 0.\] pour chaque \(U \in \mathcal{B}\). Par conséquent, pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous obtenons une suite exacte courte de complexes de Čech \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{Q}) \to 0\] car chaque terme du complexe de Čech est constitué d’un produit de valeurs sur des éléments de \(\mathcal{B}\), d’après l’hypothèse (1). En particulier, nous avons une suite exacte longue de groupes de cohomologie de Čech pour tout recouvrement ouvert \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\). Cela implique que \(\mathcal{Q}\) est également un \(\mathcal{O}_X\)-module dont la cohomologie supérieure de Čech s’annule pour tous \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\).

Ensuite, nous examinons la suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] pour tout \(U \in \mathcal{B}\). Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif, nous avons \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\) pour \(n > 0\) (voir Catégories dérivées, lemme 015B). D’après ce qui précède, l’application \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\) est surjective, donc \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\). Comme \(\mathcal{F}\) était un \(\mathcal{O}_X\)-module arbitraire dont la cohomologie supérieure de Čech s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous en déduisons que \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\), puisque \(\mathcal{Q}\) est un autre faisceau de ce type (voir ci-dessus). La suite exacte longue entraîne alors \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\), et l’on poursuit de même.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Alors :

1. \(\check{H}^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout recouvrement ouvert \(\mathcal{V} : V = \bigcup_{j \in J} V_j\) de \(Y\).

2. \(H^p(V, f_*\mathcal{I}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout ouvert \(V \subset Y\).

En d’autres termes, \(f_*\mathcal{I}\) est acyclique à droite pour \(\Gamma(V, -)\) (voir Catégories dérivées, définition 0157) pour tout ouvert \(V \subset Y\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{U} : f^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j)\). Il s’agit d’un recouvrement par des ouverts de \(X\) et \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] Ceci est vrai parce que \[f_*\mathcal{I}(V_{j_0 \ldots j_p}) = \mathcal{I}(f^{-1}(V_{j_0 \ldots j_p})) = \mathcal{I}(f^{-1}(V_{j_0}) \cap \ldots \cap f^{-1}(V_{j_p})) = \mathcal{I}(U_{j_0 \ldots j_p}).\] Ainsi, la première affirmation du lemme résulte du lemme 01EP. La seconde résulte de la première et du lemme 01EV.

Le lemme suivant implique en particulier que \(f_* : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)\) transforme les faisceaux abéliens injectifs en faisceaux abéliens injectifs.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Supposons que \(f\) soit plat. Alors \(f_*\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module injectif pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module injectif \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \(f^*\) transforme les monomorphismes en monomorphismes (Faisceaux de modules, lemme 02N4). Le résultat découle alors d’Homologie, lemme 015Z.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(I\) un ensemble. Pour \(i \in I\), soit \(\mathcal{F}_i\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(U \subset X\) un ouvert. L’application canonique \[H^p(U, \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} H^p(U, \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour \(p = 0\) et injective pour \(p = 1\).

Démonstration

L’assertion pour \(p = 0\) est vraie parce que le produit des faisceaux est égal au produit des préfaisceaux sous-jacents ; voir Faisceaux, section 009E. Prouvons l’assertion pour \(p = 1\). Posons \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\). Soit \(\xi \in H^1(U, \mathcal{F})\) dont l’image est nulle dans \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\). Par le caractère local de la cohomologie, voir lemme 01E3, il existe un recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_j\) tel que \(\xi|_{U_j} = 0\) pour tout \(j\). D’après le lemme 0B8R, cela signifie que \(\xi\) provient d’un élément \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). Puisque les applications \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, \mathcal{F}_i)\) sont injectives pour tout \(i\) (par le lemme 0B8R) et, puisque l’image de \(\xi\) est nulle dans \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\), nous voyons que l’image \(\check \xi_i = 0\) dans \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\). Cependant, puisque \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\), nous voyons que \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le produit des complexes \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\), donc par Homologie, lemme 060K nous concluons que \(\check \xi = 0\), comme voulu.

Faisceaux flasques

Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. On dit qu’un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) est flasque, ou mou, si, pour tous ouverts \(U \subset V\) de \(X\), l’application de restriction \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)\) est surjective.

Nous utiliserons également cette terminologie pour les faisceaux abéliens et les faisceaux de modules lorsque \(X\) est un espace annelé. Il suffit clairement de supposer que les applications de restriction \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U)\) sont surjectives pour chaque ouvert \(U \subset X\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Alors tout \(\mathcal{O}_X\)-module injectif est flasque.

Démonstration

C’est une reformulation du lemme 01EA.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module flasque est acyclique pour \(R\Gamma(X, -)\) ainsi que pour \(R\Gamma(U, -)\), pour tout ouvert \(U\) de \(X\).

Démonstration

Nous utiliserons Catégories dérivées, lemme 05T8. Comme tout module injectif est flasque, chaque \(\mathcal{O}_X\)-module se plonge dans un module flasque ; voir Injectifs, lemme 01DG. Il suffit donc de montrer que, pour toute suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] avec \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) flasques, \(\mathcal{H}\) est flasque et la suite reste exacte après prise de sections sur tout ouvert de \(X\). En fait, la seconde assertion implique la première. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Soit \(s \in \mathcal{H}(U)\). Nous montrerons que nous pouvons relever \(s\) en une section de \(\mathcal{G}\) sur \(U\). Pour ce faire, considérons l’ensemble \(T\) des couples \((V, t)\) où \(V \subset U\) est ouvert et \(t \in \mathcal{G}(V)\) est une section envoyée sur \(s|_V\) dans \(\mathcal{H}\). Munissons \(T\) de l’ordre partiel défini par \((V, t) \leq (V', t')\) si et seulement si \(V \subset V'\) et \(t'|_V = t\). Si \((V_\alpha, t_\alpha)\), \(\alpha \in A\), est un sous-ensemble totalement ordonné de \(T\), alors \(V = \bigcup V_\alpha\) est ouvert et il existe une section unique \(t \in \mathcal{G}(V)\) se restreignant à \(t_\alpha\) sur \(V_\alpha\), grâce à la condition de recollement pour \(\mathcal{G}\). Ainsi, le lemme de Zorn fournit un élément maximal \((V, t)\) de \(T\). Nous allons montrer que \(V = U\), ce qui achèvera la démonstration. En effet, choisissons \(x \in U\). Nous pouvons trouver un petit voisinage ouvert \(W \subset U\) de \(x\) et \(t' \in \mathcal{G}(W)\) dont l’image est \(s|_W\) dans \(\mathcal{H}\). Alors \(t'|_{W \cap V} - t|_{W \cap V}\) a pour image zéro dans \(\mathcal{H}\) et provient donc d’une section \(r' \in \mathcal{F}(W \cap V)\). Comme \(\mathcal{F}\) est flasque, nous trouvons une section \(r \in \mathcal{F}(W)\) dont la restriction est \(r'\) sur \(W \cap V\). En modifiant \(t'\) par l’image de \(r\), nous pouvons supposer que \(t\) et \(t'\) se restreignent à la même section sur \(W \cap V\). Grâce à la condition de recollement pour \(\mathcal{G}\), nous pouvons trouver une section \(\tilde t\) de \(\mathcal{G}\) sur \(W \cup V\) qui se restreint à \(t\) et à \(t'\). Par maximalité de \((V, t)\), nous voyons que \(V \cup W = V\). Ainsi, \(x \in V\) et la démonstration est achevée.

Le lemme suivant ne vaut pas pour les préfaisceaux flasques.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Si \(\mathcal{F}\) est flasque, alors \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Les préfaisceaux \(\underline{H}^q(\mathcal{F})\) utilisés dans l’énoncé du lemme 01ES sont nuls d’après le lemme 09SY. Par conséquent, \(\check{H}^p(U, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) d’après le lemme 09SY, encore une fois.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est flasque, alors \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 01E4 et 09SY.

Le lemme suivant peut être démontré par un argument élémentaire d’induction pour les recouvrements finis ; comparer avec la discussion de la cohomologie de Čech dans [FOAG].

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Supposons que les applications de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) soient surjectives pour toute union arbitraire \(U'\) d’ouverts de la forme \(U_{i_0 \ldots i_p}\). Alors \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) s’annule pour \(p > 0\).

Démonstration

Soit \(Y\) l’ensemble de sous-ensembles non vides de \(I\). Nous utiliserons les lettres \(A, B, C, \ldots\) pour désigner les éléments de \(Y\), c’est-à-dire les sous-ensembles non vides de \(I\). Pour un sous-ensemble fini non vide \(J \subset I\), posons \[V_J = \{A \in Y \mid J \subset A\}\] Cela signifie que \(V_{\{i\}} = \{A \in Y \mid i \in A\}\) et \(V_J = \bigcap_{j \in J} V_{\{j\}}\). Alors \(V_J \subset V_K\) si et seulement si \(J \supset K\). Il existe une topologie unique sur \(Y\) telle que la collection des sous-ensembles \(V_J\) forme une base de la topologie de \(Y\). Tout ouvert est de la forme \[V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t}\] pour une famille de sous-ensembles finis \(J_t\). Si \(J_t \subset J_{t'}\), alors nous pouvons retirer \(J_{t'}\) de la famille sans modifier \(V\). Ainsi, nous pouvons supposer qu’il n’y a pas d’inclusions parmi les \(J_t\). Dans ce cas, les éléments minimaux de \(V\) sont les ensembles \(A = J_t\). Par conséquent, nous pouvons retrouver la famille \((J_t)_{t \in T}\) à partir de l’ouvert \(V\).

Nous pouvons décrire complètement les recouvrements ouverts de \(Y\). Premièrement, puisque les éléments \(A \in Y\) sont des sous-ensembles non vides de \(I\), nous avons \[Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} V_{\{i\}}\] Pour comprendre les autres recouvrements, soit \(V\) comme ci-dessus et soit \(V_s \subset Y\) un ouvert correspondant à la famille \((J_{s, t})_{t \in T_s}\). Alors \[V = \bigcup\nolimits_{s \in S} V_s\] si et seulement si, pour chaque \(t \in T\), il existe un \(s \in S\) et \(t_s \in T_s\) tel que \(J_t = J_{s, t_s}\). Comme la famille \((J_t)_{t \in T}\) est minimale, l’élément minimal \(A = J_t\) doit appartenir à \(V_s\) pour un certain \(s\), donc \(A \in V_{J_{t_s}}\) pour un certain \(t_s \in T_s\). Mais, comme \(A\) est également minimal dans \(V_s\), nous concluons que \(J_{t_s} = J_t\).

Ensuite, nous associons à chaque ouvert de \(Y\) un ouvert de \(X\). Plus précisément, nous envoyons \(Y\) sur \(U\) et adoptons la règle \[V_J \mapsto U_J = \bigcap\nolimits_{i \in J} U_i\] sur les ouverts \(V_J\), et nous l’étendons à des ouverts arbitraires \(V\) par la règle \[V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t} \mapsto \bigcup\nolimits_{t \in T} U_{J_t}\] La classification des recouvrements ouverts de \(Y\) ci-dessus montre que cette règle transforme les recouvrements ouverts en recouvrements ouverts. Nous obtenons ainsi un faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(Y\) en posant \(\mathcal{G}(Y) = \mathcal{F}(U)\) et pour \(V = \bigcup\nolimits_{t \in T} V_{J_t}\), en posant \[\mathcal{G}(V) = \mathcal{F}\left(\bigcup\nolimits_{t \in T} U_{J_t}\right)\] et en utilisant les applications de restriction de \(\mathcal{F}\).

Ces préliminaires étant établis, nous pouvons démontrer le lemme comme suit. Nous avons un recouvrement ouvert \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{i \in I} V_{\{i\}}\) de \(Y\). Par construction, nous avons une égalité \[\check{C}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = \check{C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] de complexes de Čech. Puisque le faisceau \(\mathcal{G}\) est flasque sur \(Y\) (d’après notre hypothèse sur \(\mathcal{F}\) dans l’énoncé du lemme), l’annulation résulte du lemme 09SZ.

La suite spectrale de Leray

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D^{+}(X) \ar[rr]_-{R\Gamma(X, -)} \ar[d]_{Rf_*} & & D^{+}(\mathcal{O}_X(X)) \ar[d]^{\text{restriction}} \\ D^{+}(Y) \ar[rr]^-{R\Gamma(Y, -)} & & D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y)) }\] Plus généralement, pour tout ouvert \(V \subset Y\) et \(U = f^{-1}(V)\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D^{+}(X) \ar[rr]_-{R\Gamma(U, -)} \ar[d]_{Rf_*} & & D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) \ar[d]^{\text{restriction}} \\ D^{+}(Y) \ar[rr]^-{R\Gamma(V, -)} & & D^{+}(\mathcal{O}_Y(V)) }\] Voir aussi la remarque 01F0 pour plus d’explications.

Démonstration

Soit \(\Gamma_{res} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_Y(Y)}\) le foncteur qui associe à un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) les sections globales de \(\mathcal{F}\), considérées comme un \(\mathcal{O}_Y(Y)\)-module via l’application \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y(Y) \to \mathcal{O}_X(X)\). Soit \(restriction : \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)} \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_Y(Y)}\) le foncteur de restriction des scalaires induit par \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y(Y) \to \mathcal{O}_X(X)\). Notons que \(restriction\) est exact, si bien que son foncteur dérivé à droite se calcule en appliquant simplement le foncteur de restriction, voir Catégories dérivées, lemme 015F. Il est clair que \[\Gamma_{res} = restriction \circ \Gamma(X, -) = \Gamma(Y, -) \circ f_*\] Nous affirmons que le lemme 015M de Catégories dérivées s’applique aux deux compositions. Pour la première, cela résulte clairement des remarques ci-dessus. Pour la seconde, cela découle du lemme 01EX, qui implique que les \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs sont envoyés sur des faisceaux acycliques pour \(\Gamma(Y, -)\) dans la catégorie des faisceaux sur \(Y\).

Remarque

Voici une explication concrète du lemme 01EZ. Étant donnés \(f : X \to Y\), \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) et une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\), on a \[\begin{matrix} R\Gamma(X, \mathcal{F}) & \text{est représenté par} & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \\ Rf_*\mathcal{F} & \text{est représenté par} & f_*\mathcal{I}^\bullet \\ R\Gamma(Y, Rf_*\mathcal{F}) & \text{est représenté par} & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{matrix}\] où la dernière assertion résulte du lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) et du lemme 01EX. Enfin, combinons cela avec l’observation immédiate que \[\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet).\] ce qui donne la commutativité du diagramme du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module.

1. Les groupes de cohomologie \(H^i(U, \mathcal{F})\), pour tout ouvert \(U \subset X\), calculés en considérant \(\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}_X\)-module ou comme un faisceau abélien sont identiques.

2. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) calculées en considérant celui-ci comme un \(\mathcal{O}_X\)-module ou comme un faisceau abélien sont identiques.

Des énoncés analogues valent pour les complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Considérons le morphisme d’espaces annelés \((X, \mathcal{O}_X) \to (X, \underline{\mathbf{Z}}_X)\) donné par l’identité sur l’espace topologique sous-jacent et par l’unique morphisme de faisceaux d’anneaux \(\underline{\mathbf{Z}}_X \to \mathcal{O}_X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Notons \(\mathcal{F}_{ab}\) le même faisceau, vu comme un \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-module, c’est-à-dire comme un faisceau de groupes abéliens. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. D’après la remarque 01F0, \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\) calcule à la fois \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) et \(R\Gamma(X, \mathcal{F}_{ab})\). Ceci prouve (1).

Pour prouver (2), nous utilisons (1) et le lemme 01E4. Le résultat suit immédiatement.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^p(Y, R^qf_*(\mathcal{F}^\bullet))\] convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F}^\bullet)\).

Démonstration

Il s’agit simplement de la suite spectrale de Grothendieck des Catégories dérivées, lemme 015N, issue de la composition des foncteurs \(\Gamma_{res} = \Gamma(Y, -) \circ f_*\), où \(\Gamma_{res}\) est celui de la démonstration du lemme 01EZ. Pour vérifier les hypothèses des Catégories dérivées, lemme 015N, voir la démonstration du lemme 01EZ ou la remarque 01F0.

Remarque

La suite spectrale de Leray, telle que nous l’avons construite dans le lemme 01F2, est une suite spectrale de \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)-modules. Il est toutefois assez facile de voir qu’il s’agit en fait d’une suite spectrale de \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-modules. Par exemple \(f\) donne lieu à un morphisme d’espaces annelés \(f' : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, f_*\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 01F1, les termes \(E_r^{p, q}\) de la suite spectrale de Leray associés au \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et \(f\) sont identiques à ceux associés à \(\mathcal{F}\) et \(f'\) au moins pour \(r \geq 2\). En effet, ils coïncident tous deux avec les termes de la suite spectrale de Leray de \(\mathcal{F}\) considéré comme faisceau abélien. Puisque \((f_*\mathcal{O}_X)(Y) = \mathcal{O}_X(X)\), le résultat en découle. La suite spectrale de Leray possède souvent une structure supplémentaire.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module.

1. Si \(R^qf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(q > 0\), alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(Y, f_*\mathcal{F})\) pour tous \(p\).

2. Si \(H^p(Y, R^qf_*\mathcal{F}) = 0\) pour tous \(q\) et \(p > 0\), alors \(H^q(X, \mathcal{F}) = H^0(Y, R^qf_*\mathcal{F})\) pour tous \(q\).

Démonstration

Ce sont deux conditions simples qui forcent la suite spectrale de Leray à dégénérer en \(E_2\). On peut aussi démontrer ces faits directement, sans utiliser la suite spectrale ; c’est un bon exercice de cohomologie des faisceaux.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Alors \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\) comme foncteurs de \(D^{+}(X) \to D^{+}(Z)\).

Démonstration

Nous allons appliquer Catégories dérivées, lemme 015M. Il est clair que \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\) ; voir Faisceaux, lemme 008E. Il reste à montrer que \(f_*\mathcal{I}\) est \(g_*\)-acyclique. Ceci résulte du lemme 01EX et de la description des images directes supérieures \(R^ig_*\) dans le lemme 01E4.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Il existe une suite spectrale telle que \[E_2^{p, q} = R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})\] convergeant vers \(R^{p + q}(g \circ f)_*\mathcal{F}\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\), et il existe une version pour les complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Il s’agit de la suite spectrale de Grothendieck associée à la composition des foncteurs ; elle résulte du lemme 01F5 et des Catégories dérivées, lemme 015N.

Fonctorialité de la cohomologie

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{G}^\bullet\), respectivement \(\mathcal{F}^\bullet\), des complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_Y\)-modules, respectivement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\varphi : \mathcal{G}^\bullet \to f_*\mathcal{F}^\bullet\) un morphisme de complexes. Il existe un morphisme canonique \[\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow Rf_*(\mathcal{F}^\bullet)\] dans \(D^{+}(Y)\). De plus, cette construction est fonctorielle par rapport au triple \((\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet, \varphi)\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\). Par définition, \(Rf_*(\mathcal{F}^\bullet)\) est représenté par \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) dans \(K^{+}(\mathcal{O}_Y)\). La composée \[\mathcal{G}^\bullet \to f_*\mathcal{F}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\] est un morphisme dans \(K^{+}(Y)\) qui se transforme en morphisme du lemme en appliquant le foncteur de localisation \(j_Y : K^{+}(Y) \to D^{+}(Y)\).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Rappelons qu’un \(f\)-morphisme \(\varphi\) de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{F}\) est un morphisme \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\), ou, ce qui revient au même, un morphisme \(\varphi : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\). Voir Faisceaux, définition 008J. Un tel \(f\)-morphisme donne lieu à un morphisme de complexes

[01F9]\[\begin{equation} \varphi : R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}) \end{equation}\]

dans \(D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y))\). Plus précisément, nous utilisons le morphisme \(\mathcal{G} \to Rf_*\mathcal{F}\) dans \(D^{+}(Y)\) du lemme 01F8, puis nous appliquons \(R\Gamma(Y, -)\). D’après le lemme 01EZ, nous avons \(R\Gamma(X, \mathcal{F}) = R\Gamma(Y, Rf_*\mathcal{F})\) et nous obtenons la flèche affichée. Nous la décrivons complètement dans la remarque 01FB ci-dessous. Elle induit en particulier des morphismes en cohomologie

[01FA]\[\begin{equation} \varphi : H^i(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow H^i(X, \mathcal{F}). \end{equation}\]

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(\varphi\) un \(f\)-morphisme de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{F}\). Choisissons une résolution \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) par un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs. Choisissons des résolutions \(\mathcal{G} \to \mathcal{J}^\bullet\) et \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to (\mathcal{J}')^\bullet\) par des complexes de \(\mathcal{O}_Y\)-modules injectifs. D’après Catégories dérivées, lemme 013P, il existe un morphisme de complexes \(\beta\) tel que le diagramme

[01FC]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{G} \ar[d] \ar[r] & f_*\mathcal{F} \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{J}^\bullet \ar[rr]^\beta & & (\mathcal{J}')^\bullet } \end{equation}\]

En appliquant les foncteurs de sections globales, nous obtenons un diagramme \[\xymatrix{ & & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \ar[d]_{qis} \ar@{=}[r] & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \\ \Gamma(Y, \mathcal{J}^\bullet) \ar[rr]^\beta & & \Gamma(Y, (\mathcal{J}')^\bullet) & }\] Le complexe en bas à gauche représente \(R\Gamma(Y, \mathcal{G})\) et le complexe en haut à droite représente \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\). La flèche verticale est un quasi-isomorphisme d’après le lemme 01EZ ; elle devient inversible après application du foncteur de localisation \(K^{+}(\mathcal{O}_Y(Y)) \to D^{+}(\mathcal{O}_Y(Y))\). La flèche (01F9) est la composée de la flèche horizontale avec l’inverse de la flèche verticale.

Raffinements et cohomologie de Čech

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et \(\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} V_j\) soient des recouvrements ouverts. Supposons que \(\mathcal{U}\) soit un raffinement de \(\mathcal{V}\). Choisissons une application \(c : I \to J\) telle que \(U_i \subset V_{c(i)}\) pour tous \(i \in I\). Cela induit un morphisme de complexes de Čech \[\gamma : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}), \quad (\xi_{j_0 \ldots j_p}) \longmapsto (\xi_{c(i_0) \ldots c(i_p)}|_{U_{i_0 \ldots i_p}})\] fonctoriel par rapport au faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\). Supposons que \(c' : I \to J\) soit une seconde application telle que \(U_i \subset V_{c'(i)}\) pour tous \(i \in I\). Alors les morphismes correspondants \(\gamma\) et \(\gamma'\) sont homotopes. \(\gamma - \gamma' = \text{d} \circ h + h \circ \text{d}\) avec \(h : \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) donné par la formule \[h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^{p} (-1)^a \alpha_{c(i_0)\ldots c(i_a) c'(i_a) \ldots c'(i_p)}\] Nous omettons le calcul qui le vérifie ; voir la discussion qui suit (08BM) pour une démonstration dans un cadre plus général. En particulier, le morphisme induit sur les groupes de cohomologie de Čech est indépendant du choix de \(c\). En outre, si \(\mathcal{W} : X = \bigcup_{k \in K} W_k\) est un troisième recouvrement ouvert et si \(\mathcal{V}\) est un raffinement de \(\mathcal{W}\), alors la composée des morphismes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] associés aux applications \(I \to J\) et \(J \to K\) est le morphisme associé à la composée \(I \to K\). Nous pouvons donc définir les groupes de cohomologie de Čech \[\check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] où la colimite porte sur tous les recouvrements ouverts de \(X\), ordonnés par raffinement.

Les morphismes \(\gamma\) définis ci-dessus sont compatibles avec le morphisme vers la cohomologie ; autrement dit, la composée \[\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \to \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \xrightarrow{\text{Lemme \href{cohomology.html#cohomology-lemma-cech-cohomology}{01EQ}}} H^p(X, \mathcal{F})\] est le morphisme canonique du premier groupe vers la cohomologie du lemme 01EQ. Nous le démontrerons ci-dessous dans un cadre légèrement plus général. Il en résulte un morphisme bien défini

[09UZ]\[\begin{equation} \check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \colim_\mathcal{U} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}) \end{equation}\]

de la cohomologie de Čech vers la cohomologie.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\varphi : f^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un \(f\)-morphisme d’un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{G}\) vers un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\). Soient \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) des recouvrements ouverts. Supposons que \(\mathcal{U}\) soit un raffinement de \(f^{-1}\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(V_j)\). Dans ce cas, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{F}) \\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \ar[u] }\] dans \(D^{+}(\mathcal{O}_X(X))\), où les flèches horizontales sont celles du lemme 01EQ et la flèche verticale de droite est donnée par (01F9). En particulier, nous obtenons des diagrammes commutatifs de groupes de cohomologie \[\xymatrix{ \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}) \\ \check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & H^p(Y, \mathcal{G}) \ar[u] }\] où la flèche verticale de droite est celle de (01FA).

Démonstration

Définissons d’abord la flèche verticale de gauche. Choisissons une application \(c : I \to J\) telle que \(U_i \subset f^{-1}(V_{c(i)})\) pour tous \(i \in I\). En degré \(p\) nous définissons l’application par la règle \[\gamma(s)_{i_0 \ldots i_p} = \varphi(s)_{c(i_0) \ldots c(i_p)}\] Ceci est bien défini, car \(\varphi\) induit des morphismes \(\mathcal{G}(V_{c(i_0) \ldots c(i_p)}) \to \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\) par hypothèse. Cela définit clairement un morphisme de complexes. Choisissons des résolutions injectives \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) sur \(X\) et \(\mathcal{G} \to J^\bullet\) sur \(Y\). Comme dans la démonstration du lemme 01EQ, introduisons les bicomplexes \(A^{\bullet, \bullet}\) et \(B^{\bullet, \bullet}\) avec des termes \[B^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, \mathcal{J}^q) \quad \text{et} \quad A^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q).\] Comme dans la remarque 01FB ci-dessus, choisissons également une résolution injective \(f_*\mathcal{I} \to (\mathcal{J}')^\bullet\) sur \(Y\) et un morphisme de complexes \(\beta : \mathcal{J} \to (\mathcal{J}')^\bullet\) rendant (01FC) commutatif. Introduisons deux autres bicomplexes, \((B')^{\bullet, \bullet}\) et \((B'')^{\bullet, \bullet}\) avec \[(B')^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, (\mathcal{J}')^q) \quad \text{et} \quad (B'')^{p, q} = \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}^q).\] Il existe un \(f\)-morphisme de complexes de \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) vers \(\mathcal{I}^\bullet\). La même formule que ci-dessus définit donc un morphisme de bicomplexes \[\gamma : (B'')^{\bullet, \bullet} \longrightarrow A^{\bullet, \bullet}.\] Considérons le diagramme de complexes \[\xymatrix{ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] & \text{Tot}(A^{\bullet, \bullet}) & & & \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \ar[lll]^{qis} \ar@{=}[ddl]\\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] \ar[u]^\gamma & \text{Tot}(B^{\bullet, \bullet}) \ar[r]^\beta & \text{Tot}((B')^{\bullet, \bullet}) & \text{Tot}((B'')^{\bullet, \bullet}) \ar[l] \ar[llu]_{s\gamma} \\ & \Gamma(Y, \mathcal{J}^\bullet) \ar[u]^{qis} \ar[r]^\beta & \Gamma(Y, (\mathcal{J}')^\bullet) \ar[u] & \Gamma(Y, f_*\mathcal{I}^\bullet) \ar[u] \ar[l]_{qis} }\] Les deux flèches horizontales de cibles \(\text{Tot}(A^{\bullet, \bullet})\) et \(\text{Tot}(B^{\bullet, \bullet})\) sont celles expliquées dans le lemme 01EQ. La partie supérieure gauche, un pentagone, est commutative parce que (01FC) l’est. Les deux carrés inférieurs sont manifestement commutatifs. Les définitions montrent aussi immédiatement que la partie supérieure droite, un carré, est commutative. Le lemme résulte alors des définitions et du fait que les deux chemins extérieurs allant de \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})\) à \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\), par le haut ou par le bas, coïncident après inversion des quasi-isomorphismes rencontrés.

Cohomologie sur les espaces séparés quasi compacts

Sur un tel espace, la cohomologie de Čech coïncide avec la cohomologie usuelle.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur cet espace. Alors l’application \(\check{H}^1(X, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F})\) définie dans (09UZ) est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(\mathcal{U}\) un recouvrement ouvert de \(X\). D’après le lemme 01ES, il existe une suite exacte \[0 \to \check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \underline{H}^1(\mathcal{F}))\] L’application est donc injective. Pour établir la surjectivité, il suffit de montrer que tout élément de \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \underline{H}^1(\mathcal{F}))\) s’envoie sur zéro après remplacement de \(\mathcal{U}\) par un raffinement. Cela résulte immédiatement des définitions et du fait que \(\underline{H}^1(\mathcal{F})\) est un préfaisceau de groupes abéliens dont la faisceautisation est nulle par le caractère local de la cohomologie ; voir le lemme 01E3.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique séparé et quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Alors l’application \(\check{H}^n(X, \mathcal{F}) \to H^n(X, \mathcal{F})\) définie dans (09UZ) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

Nous savons déjà que \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\) est un isomorphisme de foncteurs pour \(n = 0, 1\) ; voir le lemme 09V1. Les foncteurs \(H^n(X, -)\) forment un \(\delta\)-foncteur universel ; voir Catégories dérivées, lemme 015B. Si nous montrons que \(\check{H}^n(X, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel et que \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\) est compatible avec les morphismes de bord, alors l’application sera automatiquement un isomorphisme par unicité des \(\delta\)-foncteurs universels ; voir Homologie, lemme 010U.

Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) une suite exacte courte de faisceaux abéliens sur \(X\). Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. On obtient alors un complexe de complexes \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \to 0\] qui n’est en général pas exact à droite. Cette suite définit les morphismes \[\check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H})\] mais ne suffit pas à définir un morphisme de bord \(\delta : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). En effet une telle chose n’existera pas en général. Cependant, compte tenu d’un élément \(\overline{h} \in \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{H})\) représenté par le cocycle \(h = (h_{i_0 \ldots i_n})\) nous pouvons choisir des recouvrements ouverts \[U_{i_0 \ldots i_n} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_n, k}\] de sorte que \(h_{i_0 \ldots i_n}|_{W_{i_0 \ldots i_n, k}}\) se relève en une section de \(\mathcal{G}\) sur \(W_{i_0 \ldots i_n, k}\). D’après Topologie, lemme 09UW, (c’est ici que nous utilisons l’hypothèse que \(X\) est séparé et quasi-compact), nous pouvons choisir un recouvrement ouvert \(\mathcal{V} : X = \bigcup_{j \in J} V_j\) et \(\alpha : J \to I\) tels que \(V_j \subset U_{\alpha(j)}\) (c’est un raffinement) et tel que pour tous \(j_0, \ldots, j_n \in J\) il existe un \(k\) tel que \(V_{j_0 \ldots j_n} \subset W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_n), k}\). Nous obtenons des morphismes de complexes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \ar[d] \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{H}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{H}) \ar[r] & 0 }\] En fait, les flèches verticales sont les morphismes de complexes utilisés pour définir les morphismes de transition entre les groupes de cohomologie de Čech. Notre choix de raffinement montre que nous pouvons choisir \[g_{j_0 \ldots j_n} \in \mathcal{G}(V_{j_0 \ldots j_n}),\quad g_{j_0 \ldots j_n} \longmapsto h_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_n)}|_{V_{j_0 \ldots j_n}}\] La cochaîne \(g = (g_{j_0 \ldots j_n})\) n’est pas nécessairement un cocycle, mais son cobord de Čech \(\text{d}(g)\) s’envoie sur zéro dans \(\check{\mathcal{C}}^{n + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{H})\) (par le diagramme commutatif ci-dessus et parce que \(h\) est un cocycle). Ainsi, \(\text{d}(g)\) est un cocycle dans \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F})\). Cela nous permet de définir \[\delta(\overline{h}) = \text{classe de }\text{d}(g)\text{ dans } \check{H}^{n + 1}(\mathcal{V}, \mathcal{F})\] Étant donné un élément \(\xi \in \check{H}^n(X, \mathcal{G})\), nous choisissons un recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\) et un élément \(\overline{h} \in \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{G})\) qui s’envoie sur \(\xi\) dans la colimite définissant la cohomologie de Čech. Choisissons ensuite \(\mathcal{V}\) et \(g\) comme ci-dessus, et posons \(\delta(\xi)\) égal à l’image de \(\delta(\overline{h})\) dans \(\check{H}^n(X, \mathcal{F})\). Il reste à vérifier plusieurs propriétés, toutes immédiates. Il faut notamment montrer que la construction est indépendante du choix de \(\mathcal{U}, \overline{h}, \mathcal{V}, \alpha : J \to I, g\). La classe de \(\text{d}(g)\) est indépendante du choix des relèvements \(g_{i_0 \ldots i_n}\), car la différence est un cobord. L’application ne dépend pas de \(\alpha\)¹, car deux choix de \(\alpha\) donnent des morphismes verticaux homotopes entre les complexes du diagramme ci-dessus ; voir la section 09UY. Pour les autres choix intervenant dans la construction, toute famille finie de recouvrements ouverts de \(X\) admet un raffinement ouvert commun. L’additivité se vérifie de la même manière. Enfin, il faut vérifier que les applications \(\check{H}^n(X, -) \to H^n(X, -)\) sont compatibles avec les morphismes de bord. Pour ce faire, nous choisissons des résolutions injectives \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{H} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_3^\bullet \ar[r] & 0 }\] comme dans Catégories dérivées, lemme 013T. Ceci donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_1^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_2^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_3^\bullet)) \ar[r] & 0 }\] Ici \(\mathcal{U}\) est un recouvrement ouvert comme ci-dessus et les flèches verticales sont celles utilisées pour définir les morphismes \(\check{H}^n(\mathcal{U}, -) \to H^n(X, -)\) ; voir le lemme 01EQ. Le complexe inférieur est exact, car la suite de complexes injectifs est scindée exacte terme à terme. Le morphisme de bord en cohomologie est donc calculé par la procédure usuelle appliquée à cette suite exacte inférieure ; voir Homologie, lemme 0117. Il en va de même après passage au raffinement \(\mathcal{V}\), où le morphisme de bord en cohomologie de Čech a été défini. Les morphismes de bord coïncident donc, puisqu’ils reposent sur la même construction (lorsque le premier est défini sur un élément de la cohomologie de Čech associé à un recouvrement ouvert donné). Ceci achève la construction de la structure de \(\delta\)-foncteur sur la cohomologie de Čech et établit sa compatibilité avec la structure de \(\delta\)-foncteur sur la cohomologie usuelle.

Enfin, le lemme 01EP montre que la cohomologie supérieure de Čech est nulle sur les faisceaux injectifs. La cohomologie de Čech forme donc un \(\delta\)-foncteur universel, d’après Homologie, lemme 010T.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble quasi-compact tel que deux points quelconques de \(Z\) possèdent des voisinages ouverts disjoints dans \(X\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), le morphisme canonique \[\colim H^p(U, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(Z, \mathcal{F}|_Z)\] où la colimite porte sur les voisinages ouverts \(U\) de \(Z\) dans \(X\), est un isomorphisme.

Démonstration

Commençons par le cas \(p = 0\). L’injectivité découle de la définition de \(\mathcal{F}|_Z\) et vaut en général (pour tout sous-ensemble de tout espace topologique \(X\)). Supposons ensuite que \(s \in H^0(Z, \mathcal{F}|_Z)\). Nous pouvons trouver des ouverts \(U_i \subset X\) tels que \(Z \subset \bigcup U_i\) et tels que \(s|_{Z \cap U_i}\) vient de \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\). Il s’ensuit qu’il existe des ouvertures \(W_{ij} \subset U_i \cap U_j\) avec \(W_{ij} \cap Z = U_i \cap U_j \cap Z\) tels que \(s_i|_{W_{ij}} = s_j|_{W_{ij}}\). En appliquant Topologie, lemme 0CY5 nous trouvons des ouverts \(V_i\) de \(X\) tels que \(V_i \subset U_i\) et \(V_i \cap V_j \subset W_{ij}\). Nous voyons donc que \(s_i|_{V_i}\) colle sur une section de \(\mathcal{F}\) sur le voisinage ouvert \(\bigcup V_i\) de \(Z\).

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que, si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif sur \(X\), alors \(H^p(Z, \mathcal{I}|_Z) = 0\) pour \(p > 0\). Cela résulte des suites exactes courtes et du décalage des degrés ; nous omettons les détails. Supposons donc que \(\overline{\xi}\) soit un élément de \(H^p(Z, \mathcal{I}|_Z)\) pour un certain \(p > 0\). D’après le lemme 09V2, l’élément \(\overline{\xi}\) provient de \(\check{H}^p(\mathcal{V}, \mathcal{I}|_Z)\) pour un recouvrement ouvert \(\mathcal{V} : Z = \bigcup V_i\) de \(Z\). Écrivons \(\overline{\xi}\) comme l’image de la classe d’un cocycle \(\xi = (\xi_{i_0 \ldots i_p})\) de \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{V}, \mathcal{I}|_Z)\).

Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}|_Z\) le sous-préfaisceau défini par la formule \[\mathcal{I}'(V) = \{s \in \mathcal{I}|_Z(V) \mid \exists (U, t),\ U \subset X\text{ ouvert}, \ t \in \mathcal{I}(U),\ V = Z \cap U,\ s = t|_{Z \cap U} \}\] Alors \(\mathcal{I}|_Z\) est la faisceautisation de \(\mathcal{I}'\). Ainsi, pour chaque \((p + 1)\)-uplet \(i_0 \ldots i_p\), nous pouvons trouver un recouvrement ouvert \(V_{i_0 \ldots i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\) tel que \(\xi_{i_0 \ldots i_p}|_{W_{i_0 \ldots i_p, k}}\) soit une section de \(\mathcal{I}'\). En appliquant Topologie, lemme 09UW, nous pouvons, après avoir raffiné \(\mathcal{V}\), supposer que chaque \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\) est une section du préfaisceau \(\mathcal{I}'\).

Écrivons \(V_i = Z \cap U_i\) pour certains ouverts \(U_i \subset X\). Puisque \(\mathcal{I}\) est flasque (lemme 09SX) et que \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\) est une section de \(\mathcal{I}'\), pour chaque \((p + 1)\)-uplet \(i_0 \ldots i_p\), nous pouvons choisir une section \(s_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{I}(U_{i_0 \ldots i_p})\) dont la restriction est \(\xi_{i_0 \ldots i_p}\) sur \(V_{i_0 \ldots i_p} = Z \cap U_{i_0 \ldots i_p}\). (On peut éviter ici d’utiliser le fait que les injectifs sont flasques en appliquant une fois de plus Topologie, lemme 0CY5.) Soit \(s = (s_{i_0 \ldots i_p})\) la cochaîne correspondante pour le recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_i\). Puisque \(\text{d}(\xi) = 0\), les sections \(\text{d}(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\) se restreignent à zéro sur \(Z \cap U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\). Par conséquent, d’après les remarques initiales de la démonstration, il existe des ouverts \(W_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \subset U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\) avec \(Z \cap W_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = Z \cap U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\) tels que \(\text{d}(s)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}|_{W_{i_0 \ldots i_{p + 1}}} = 0\). D’après Topologie, lemme 0CY5 nous pouvons trouver \(U'_i \subset U_i\) tels que \(Z \subset \bigcup U'_i\) et \(U'_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \subset W_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\). Alors \(s' = (s'_{i_0 \ldots i_p})\) avec \(s'_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p}|_{U'_{i_0 \ldots i_p}}\) est un cocycle à valeurs dans \(\mathcal{I}\) pour le recouvrement ouvert \(U' = \bigcup U'_i\) d’un voisinage ouvert de \(Z\). Puisque les groupes de cohomologie supérieure de Čech de \(\mathcal{I}\) sont nuls (lemme 01EP), nous concluons que \(s'\) est un cobord. Il s’ensuit que l’image de \(\xi\) dans le complexe de Čech associé au recouvrement ouvert \(Z = \bigcup Z \cap U'_i\) est un cobord, ce qui achève la démonstration.

L’application de changement de base

Nous devons savoir construire le morphisme de changement de base dans certains cas. Comme nous n’avons pas encore étudié l’image inverse dérivée, nous ne considérons ici que le changement de base par un morphisme plat d’espaces annelés. Avant d’énoncer le résultat, examinons l’image inverse plate sur la catégorie dérivée. Soit \(g : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces annelés. D’après Faisceaux de modules, lemme 02N4, le foncteur \(g^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact. Il admet donc un foncteur dérivé \[g^* : D^{+}(Y) \to D^{+}(X)\] qui se calcule simplement en appliquant l’image inverse à un représentant de l’objet de \(D^{+}(Y)\) considéré ; voir Catégories dérivées, lemme 015F. Ainsi, comme annoncé, nous notons ce foncteur \(g^*\) plutôt que \(Lg^*\).

Lemme

Considérons le diagramme commutatif suivant d’espaces annelés : \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons \(g\) et \(g'\) plats. Il existe alors un morphisme canonique de changement de base \[g^*Rf_*\mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\] dans \(D^{+}(S')\).

Démonstration

Choisissons des résolutions injectives \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) et \((g')^*\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\). D’après le lemme 02N5, \((g')_*\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe de modules injectifs représentant \(R(g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\). D’où par catégories dérivées, lemmes 013P et 013S le morphisme \(\beta\) du diagramme \[\xymatrix{ (g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet \ar[r] & (g')_*\mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{F}^\bullet \ar[u]^{adjunction} \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet \ar[u]_\beta }\] existe et est unique à homotopie près. En poussant vers \(S\), nous obtenons \[f_*\beta : f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow f_*(g')_*\mathcal{J}^\bullet = g_*(f')_*\mathcal{J}^\bullet\] Par adjonction entre \(g^*\) et \(g_*\), nous obtenons un morphisme de complexes \(g^*f_*\mathcal{I}^\bullet \to (f')_*\mathcal{J}^\bullet\). Ce morphisme est unique à homotopie près, puisque le seul choix effectué au cours de la construction est celui du morphisme \(\beta\) et tout a été fait au niveau des complexes.

Remarque

La version « correcte » du morphisme de changement de base est le morphisme \[Lg^* Rf_* \mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_* L(g')^*\mathcal{F}^\bullet.\] Sa construction fait intervenir des complexes non bornés ; voir la remarque 08HY.

Changement de base propre en topologie

Dans cette section, nous démontrons une version très générale du théorème de changement de base propre en topologie. Elle affirme que les germes des images directes supérieures \(R^pf_*\) peuvent se calculer sur la fibre.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(y \in Y\). Supposons que

1. \(f\) est fermé,

2. \(f\) est séparé, et

3. \(f^{-1}(y)\) est quasi-compact.

Alors, pour \(E\) dans \(D^+(\mathcal{O}_X)\), nous avons \((Rf_*E)_y = R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\) dans \(D^+(\mathcal{O}_{Y, y})\).

Démonstration

Le morphisme de changement de base du lemme 02N7 donne un morphisme canonique \((Rf_*E)_y \to R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\). Pour montrer que ce morphisme est un isomorphisme, représentons \(E\) par un complexe borné inférieurement de modules injectifs \(\mathcal{I}^\bullet\). Posons \(Z = f^{-1}(\{y\})\). Les hypothèses du lemme 09V3 sont satisfaites ; voir Topologie, lemme 0CY2. Les restrictions \(\mathcal{I}^n|_Z\) sont acycliques pour \(\Gamma(Z, -)\). Ainsi \(R\Gamma(Z, E|_Z)\) est représenté par le complexe \(\Gamma(Z, \mathcal{I}^\bullet|_Z)\) ; voir Catégories dérivées, lemme 015E. En d’autres termes, nous devons montrer que le morphisme \[\colim_V \mathcal{I}^\bullet(f^{-1}(V)) \longrightarrow \Gamma(Z, \mathcal{I}^\bullet|_Z)\] est un isomorphisme. D’après le lemme 09V3, nous voyons qu’il suffit de montrer que la collection de voisinages ouverts \(f^{-1}(V)\) de \(Z = f^{-1}(\{y\})\) est cofinal dans le système de tous les voisinages ouverts. Si \(f^{-1}(\{y\}) \subset U\) est un voisinage ouvert, alors, puisque \(f\) est fermé, l’ensemble \(V = Y \setminus f(X \setminus U)\) est un voisinage ouvert de \(y\) tel que \(f^{-1}(V) \subset U\). Cela démontre le lemme.

Théorème

Considérez un carré cartésien d’espaces topologiques \[\xymatrix{ X' = Y' \times_Y X \ar[d]_{f'} \ar[r]_-{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] Supposons que \(f\) soit propre. Soit \(E\) un objet de \(D^+(X)\). Alors le morphisme de changement de base \[g^{-1}Rf_*E \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}E\] du lemme 02N7 est un isomorphisme dans \(D^+(Y')\).

Démonstration

Soit \(y' \in Y'\) un point d’image \(y \in Y\). Il suffit de montrer que le morphisme de changement de base induit un isomorphisme sur les germes en \(y'\). Puisque \(f\) est propre, il en va de même de \(f'\) ; les fibres de \(f\) et de \(f'\) sont quasi-compactes, et \(f\) et \(f'\) sont fermés. Voir Topologie, théorème 005R et lemme 0CY4. Nous pouvons donc appliquer deux fois le lemme 09V5 pour obtenir \[(Rf'_*(g')^{-1}E)_{y'} = R\Gamma((f')^{-1}(y'), (g')^{-1}E|_{(f')^{-1}(y')})\] et \[(Rf_*E)_y = R\Gamma(f^{-1}(y), E|_{f^{-1}(y)})\] Le morphisme induit sur les fibres \((f')^{-1}(y') \to f^{-1}(y)\) est un homéomorphisme d’espaces topologiques, et l’image inverse de \(E|_{f^{-1}(y)}\) est \((g')^{-1}E|_{(f')^{-1}(y')}\). Le résultat en découle.

Lemme

Considérez un carré cartésien d’espaces topologiques \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_-{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] Supposons que \(f\) soit propre. Alors \(g^{-1}f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

Démonstration

On raisonne exactement comme dans la démonstration du théorème 09V6 : il suffit d’établir \((f_*\mathcal{F})_y = \Gamma(X_y, \mathcal{F}|_{X_y})\). Comme dans le lemme 09V5, on se ramène ensuite au cas \(p = 0\) du lemme 09V3 pour les faisceaux d’ensembles. La première partie de la démonstration du lemme 09V3 s’applique aux faisceaux d’ensembles et achève la preuve. Nous omettons quelques détails.

Cohomologie et colimites

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules indexé par l’ensemble dirigé \(I\) ; voir Catégories, section 002Z. Pour chaque \(i\), le morphisme canonique \(\mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{F}_i\) induit un morphisme canonique \[\colim_i H^p(X, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(X, \colim_i \mathcal{F}_i)\] pour chaque \(p \geq 0\). Il existe bien sûr un morphisme analogue pour chaque \(U \subset X\). En général, ces morphismes ne sont pas des isomorphismes, même pour \(p = 0\). Dans cette section, nous généralisons le résultat de Faisceaux, 009F. Voir aussi Faisceaux de modules, lemme 01BS (dans le cas spécial \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\)).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Supposons que l’espace topologique sous-jacent à \(X\) possède les propriétés suivantes :

1. il existe une base de sous-ensembles ouverts quasi compacts, et

2. l’intersection de deux ouverts quasi compacts est quasi-compacte.

Alors, pour tout système dirigé \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules et pour tout ouvert quasi compact \(U \subset X\), le morphisme canonique \[\colim_i H^q(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^q(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour chaque \(q \geq 0\).

Démonstration

Il importe de raisonner simultanément pour tous les ouverts quasi compacts \(U \subset X\). Pour \(q = 0\) et tout ouvert quasi compact \(U \subset X\), le résultat découle de Faisceaux, lemme 009F, combiné avec Topologie, lemme 0069. Supposons le résultat établi pour tout \(q \leq q_0\) et démontrons-le pour \(q = q_0 + 1\).

Par convention, l’ensemble d’indices \(I\) est dirigé, et tout système de \(\mathcal{O}_X\)-modules \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) indexé par \(I\) est un système dirigé. D’après Injectifs, lemme 01DI, la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules possède des plongements injectifs fonctoriels. Ainsi, pour tout système \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\), il existe un système \((\mathcal{I}_i, \varphi_{ii'})\) tel que chaque \(\mathcal{I}_i\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif et un morphisme de systèmes formé de morphismes injectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\). Notons \(\mathcal{Q}_i\) le conoyau ; nous obtenons ainsi des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i \to \mathcal{Q}_i \to 0.\] Nous affirmons que la séquence \[0 \to \colim_i \mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{I}_i \to \colim_i \mathcal{Q}_i \to 0.\] est également une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules ; cela se vérifie sur les germes. Voir 009D et 009E puisque la colimite dirigée d’une suite exacte courte de groupes abéliens est exacte (voir Algèbre, lemme 00DB), le résultat en découle. Nous affirmons que \(H^q(U, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\) pour tout ouvert quasi compact \(U \subset X\) et tout \(q \geq 1\). Admettons provisoirement cette assertion et considérons le diagramme \[\xymatrix{ \colim_i H^{q_0}(U, \mathcal{I}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{q_0}(U, \mathcal{Q}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{q_0 + 1}(U, \mathcal{F}_i) \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \\ H^{q_0}(U, \colim_i \mathcal{I}_i) \ar[r] & H^{q_0}(U, \colim_i \mathcal{Q}_i) \ar[r] & H^{q_0 + 1}(U, \colim_i \mathcal{F}_i) \ar[r] & 0 }\] Le zéro dans le coin inférieur droit provient de l’assertion, et celui du coin supérieur droit du fait que les faisceaux \(\mathcal{I}_i\) sont injectifs. La ligne supérieure est exacte par Algèbre, lemme 00DB. Le lemme du serpent donne alors le résultat pour \(q = q_0 + 1\).

Il reste à démontrer l’assertion. Nous appliquons le lemme 01EW. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble de tous les ouverts quasi compacts de \(X\) ; par hypothèse, c’est une base de la topologie de \(X\). Soit \(\text{Cov}\) l’ensemble des recouvrements ouverts finis \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) tels que \(U\) et chaque \(U_j\) soient des ouverts quasi compacts de \(X\). D’après le cas \(q = 0\), pour \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous avons \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = \colim_i \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_i)\] parce que toutes les intersections multiples \(U_{j_0 \ldots j_p}\) sont quasi-compactes. D’après le lemme 01EP, chacun des complexes de la colimite de complexes de Čech est acyclique en degré \(\geq 1\). Par Algèbre, lemme 00DB, le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i)\) est acyclique en degrés \(\geq 1\). En d’autres termes, nous voyons que \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\) pour tout \(p \geq 1\). Les hypothèses du lemme 01EW sont donc satisfaites, ce qui démontre l’assertion.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système de faisceaux abéliens sur \(X\). Posons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\). Soit \(p \geq 0\) un entier. Supposons que les ouverts \(V \subset Y\) tels que \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}) = \colim H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}_i)\) forment une base de la topologie de \(Y\). Alors \(R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i\).

Démonstration

Rappelons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est la faisceautisation du préfaisceau \(\mathcal{G}\) qui associe à \(V\) le groupe \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F})\) ; voir le lemme 01E4. De même, \(R^pf_*\mathcal{F}_i\) est la faisceautisation du préfaisceau \(\mathcal{G}_i\) qui associe à \(V\) le groupe \(H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F}_i)\). Rappelons que la faisceautisation est adjointe à gauche au foncteur d’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux ; voir Faisceaux, section 007X. La faisceautisation commute donc aux colimites ; voir Catégories, lemme 0038. Il suffit ainsi de montrer que le morphisme de préfaisceaux, la colimite étant prise dans la catégorie des préfaisceaux, \[\colim \mathcal{G}_i \longrightarrow \mathcal{G}\] induit un isomorphisme sur les faisceautisés. Il suffit pour cela de montrer que les préfaisceaux \(\mathcal{G}\) et \(\colim \mathcal{G}_i\) coïncident sur une base de la topologie de \(Y\). En effet, les germes de leurs faisceautisés, calculables directement à partir des valeurs des préfaisceaux sur les éléments de la base, coïncident alors. L’égalité requise est précisément l’hypothèse du lemme.

Formulons maintenant l’analogue, pour la cohomologie, de Faisceaux, lemme 0A33. Soit \(X\) un espace spectral, écrit comme limite cofiltrée d’espaces spectraux \(X_i\) pour un diagramme dont les morphismes de transition sont spectraux, comme dans Topologie, lemme 0A2Z. Supposons donnés

1. un faisceau abélien \(\mathcal{F}_i\) sur \(X_i\) pour tout \(i \in \Ob(\mathcal{I})\),

2. pour \(a : j \to i\), un \(f_a\)-morphisme \(\varphi_a : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\) de faisceaux abéliens (voir Faisceaux, définition 008J)

tels que \(\varphi_c = \varphi_b \circ \varphi_a\) dès que \(c = a \circ b\). Posons \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\) sur \(X\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et soit \(U_i \subset X_i\) un ouvert quasi compact. Alors \[\colim_{a : j \to i} H^p(f_a^{-1}(U_i), \mathcal{F}_j) = H^p(p_i^{-1}(U_i), \mathcal{F})\] pour tous \(p \geq 0\). En particulier, nous avons \(H^p(X, \mathcal{F}) = \colim H^p(X_i, \mathcal{F}_i)\).

Démonstration

Le cas \(p = 0\) est Faisceaux, lemme 0A33.

Dans ce paragraphe, montrons que l’on peut trouver un morphisme de systèmes \((\gamma_i) : (\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) où \(\mathcal{G}_i\) est un faisceau abélien injectif et \(\gamma_i\) est injectif. Pour chaque \(i\), choisissons une injection \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\), où \(\mathcal{I}_i\) est un faisceau abélien injectif sur \(X_i\). Nous pouvons alors considérer la famille de morphismes \[\gamma_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \prod\nolimits_{b : k \to i} f_{b, *}\mathcal{I}_k = \mathcal{G}_i\] où les morphismes composantes sont adjoints aux morphismes \(f_b^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_k \to \mathcal{I}_k\). Pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), il existe un morphisme canonique \[\psi_a : f_a^{-1}\mathcal{G}_i \to \mathcal{G}_j\] dont les composantes sont les morphismes canoniques \(f_b^{-1}f_{a \circ b, *}\mathcal{I}_k \to f_{b, *}\mathcal{I}_k\) pour \(b : k \to j\). Nous obtenons ainsi une injection \(\{\gamma_i\} : \{\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) de systèmes de faisceaux abéliens. Le faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{G}_i\) est injectif sur \(X_i\) ; voir le lemme 02N5 et Homologie, lemme 0137. Ceci termine la construction.

En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 01FF, il suffit de montrer que \(H^p(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i) = 0\) pour \(p > 0\).

Posons \(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\). Pour établir l’annulation de la cohomologie de \(\mathcal{G}\) sur tout ouvert quasi compact de \(X\), il suffit de montrer que la cohomologie de Čech de \(\mathcal{G}\), pour tout recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\) d’un ouvert quasi compact de \(X\) par un nombre fini d’ouverts quasi compacts, est nulle ; voir le lemme 01EW. Un tel recouvrement est l’image inverse par \(p_i\) d’un recouvrement \(\mathcal{U}_i\) de l’espace \(X_i\) pour un certain \(i\), d’après Topologie, lemme 0A30. Nous avons \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{a : j \to i} \check{\mathcal{C}}^\bullet(f_a^{-1}(\mathcal{U}_i), \mathcal{G}_j)\] d’après le cas \(p = 0\). Le membre de droite est une colimite filtrante de complexes, chacun acyclique en degrés positifs d’après le lemme 01EP. On conclut alors par Algèbre, lemme 00DB.

Annulation sur les espaces topologiques noethériens

L’objectif est de prouver un théorème de Grothendieck, à savoir la proposition 02UZ. Voir [Tohoku].

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces topologiques. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(Z\), on a \(H^p(Z, \mathcal{F}) = H^p(X, i_*\mathcal{F})\).

Démonstration

Cela résulte de l’exactitude de \(i_*\) (voir Modules, lemme 01AX); par conséquent \(R^pi_* = 0\) en tant que foncteur (Catégories dérivées, lemme 015F). Nous pouvons donc appliquer le lemme 01F4.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique irréductible. Alors \(H^p(X, \underline{A}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout groupe abélien \(A\).

Démonstration

Rappelons que \(\underline{A}\) est le faisceau constant défini dans Faisceaux, définition 006W. Comme \(X\) est irréductible, tout ouvert non vide \(U\) est irréductible et, a fortiori, connexe. Si \(U \subset X\) est un ouvert non vide, alors \(\underline{A}(U) = A\). De plus, \(\underline{A}(\emptyset) = 0\). Ainsi \(\underline{A}\) est un faisceau abélien flasque sur \(X\). L’annulation résulte du lemme 09SY.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique tel que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compact. \(\mathcal{F} \subset \underline{\mathbf{Z}}\) un sous-faisceau engendré par un nombre fini de sections sur des ouverts quasi-compacts. \[(0) = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_n = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux abéliens tels que, pour chaque \(0 < i \leq n\), il existe une suite exacte courte \[0 \to j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V \to j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1} \to 0\] avec \(j : U \to X\) et \(j' : V \to X\) l’inclusion des ouverts quasi-compacts dans \(X\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit engendré par les sections \(s_1, \ldots, s_t\) sur les ouverts quasi-compacts \(U_1, \ldots, U_t\). Comme \(U_i\) est quasi-compact et que \(s_i\) est une fonction localement constante à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), nous pouvons, quitte à remplacer \(U_i\) par les morceaux d’une décomposition finie en parties ouvertes et fermées, supposer que \(s_i\) est constante, disons \(s_i = n_i\) avec \(n_i \in \mathbf{Z}\). Nous pouvons supprimer \((U_i, n_i)\) de la liste lorsque \(n_i = 0\). En changeant les signes si nécessaire, nous pouvons aussi supposer \(n_i > 0\). Ensuite, pour tout sous-ensemble \(I \subset \{1, \ldots, t\}\), nous pouvons ajouter à la liste \(\bigcap_{i \in I} U_i\) et \(\gcd(n_i, i \in I)\). Après cette opération, la liste \((U_1, n_1), \ldots, (U_t, n_t)\) possède la propriété suivante : pour \(x \in X\), posons \(I_x = \{i \in \{1, \ldots, t\} \mid x \in U_i\}\). Alors \(\gcd(n_i, i \in I_x)\) est égal à l’un des \(n_i\), pour un certain \(i \in I_x\).

Pour filtration, prenons \(\mathcal{F}_0 = (0)\) et \(\mathcal{F}_n\) le sous-faisceau engendré par les sections \(n_i\) sur \(U_i\) pour les \(i\) tels que \(n_i \leq n\). Il est clair que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}\) pour \(n \gg 0\). Le quotient \(\mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n - 1}\) est engendré par la section \(n\) sur \(U = \bigcup_{n_i \leq n} U_i\), et le noyau de \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n - 1}\) est engendré par la section \(n\) sur \(V = \bigcup_{n_i \leq n - 1} U_i\). On obtient ainsi une suite exacte courte comme dans l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(d \geq 0\) un entier. Supposons que

1. \(X\) est quasi-compact,

2. les ouverts quasi-compacts constituent une base pour \(X\),

3. l’intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compact.

4. \(H^p(X, j_!\underline{\mathbf{Z}}_U) = 0\) pour tous \(p > d\) et tout ouvert quasi-compact \(j : U \to X\).

Alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > d\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

Démonstration

Posons \(S = \coprod_{U \subset X} \mathcal{F}(U)\), où \(U\) parcourt les ouverts quasi-compacts de \(X\). Pour tout sous-ensemble fini \(A = \{s_1, \ldots, s_n\} \subset S\), soit \(\mathcal{F}_A\) le sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) engendré par les \(s_i\) (voir Modules, définition 01AQ). Si \(A \subset A'\), alors \(\mathcal{F}_A \subset \mathcal{F}_{A'}\). Ainsi, les \(\{\mathcal{F}_A\}\) forment un système indexé par l’ensemble ordonné filtrant des sous-ensembles finis de \(S\). D’après Modules, lemme 01AR, il est clair que \[\colim_A \mathcal{F}_A = \mathcal{F}\] comme on le voit sur les germes. D’après le lemme 01FF, on a \[H^p(X, \mathcal{F}) = \colim_A H^p(X, \mathcal{F}_A)\] Il suffit donc de prouver l’annulation pour les faisceaux abéliens \(\mathcal{F}_A\). Autrement dit, il suffit de traiter le cas où \(\mathcal{F}\) est engendré par un nombre fini de sections locales sur des ouverts quasi-compacts de \(X\).

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit engendré par les sections locales \(s_1, \ldots, s_n\). Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) le sous-faisceau engendré par \(s_1, \ldots, s_{n - 1}\). Nous avons alors une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}' \to 0\] La suite exacte longue de cohomologie montre qu’il suffit d’établir l’annulation pour \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\), qui sont engendrés par moins de \(n\) sections locales. Il suffit donc de traiter les faisceaux engendrés par une seule section locale au plus. Ce sont précisément les quotients des faisceaux \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\), où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\).

Supposons maintenant donnée une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \to j_!\underline{\mathbf{Z}}_U \to \mathcal{F} \to 0\] où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\). Il suffit de montrer que \(H^q(X, \mathcal{K})\) est nul pour \(q \geq d + 1\). Comme ci-dessus, écrivons \(\mathcal{K}\) comme colimite filtrante de sous-faisceaux \(\mathcal{K}'\) engendrés par un nombre fini de sections sur des ouverts quasi-compacts. Alors \(\mathcal{F}\) est la colimite filtrante des faisceaux \(j_!\underline{\mathbf{Z}}_U/\mathcal{K}'\). Nous nous ramenons ainsi au cas où \(\mathcal{K}\) est engendré par un nombre fini de sections sur des ouverts quasi-compacts. Remarquons que \(\mathcal{K}\) est un sous-faisceau de \(\underline{\mathbf{Z}}_X\). Le lemme 0A38 fournit donc une filtration finie de \(\mathcal{K}\) dont chaque quotient successif \(\mathcal{Q}\) s’insère dans une suite exacte courte \[0 \to j''_!\underline{\mathbf{Z}}_W \to j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V \to \mathcal{Q} \to 0\] avec \(j'' : W \to X\) et \(j' : V \to X\) les inclusions des ouverts quasi-compacts. L’annulation de \(H^p(X, \mathcal{Q})\) pour \(p > d\) découle alors de l’hypothèse du lemme appliquée aux groupes de cohomologie de \(j''_!\underline{\mathbf{Z}}_W\) et \(j'_!\underline{\mathbf{Z}}_V\). En revenant à \(\mathcal{K}\), un raisonnement par récurrence utilisant la suite exacte longue de cohomologie donne l’annulation cherchée.

Exemple

Soit \(X = \mathbf{N}\) doté de la topologie dont les ouverts sont \(\emptyset\), \(X\), \(U_n = \{i \mid i \leq n\}\) pour \(n \geq 1\). Un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\) équivaut à la donnée d’un système projectif de groupes abéliens \(A_n = \mathcal{F}(U_n)\) et \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \lim A_n\). Comme le foncteur de limite projective n’est pas exact sur la catégorie des systèmes projectifs, il existe un faisceau abélien dont \(H^1\) est non nul. Enfin, le lecteur peut vérifier que \(H^p(X, j_!\mathbf{Z}_U) = 0\), \(p \geq 1\) si \(j : U = U_n \to X\) est l’inclusion. Ainsi, nous voyons que \(X\) est un exemple d’espace satisfaisant aux conditions (2), (3) et (4) du lemme 02UX pour \(d = 0\) mais non à sa conclusion.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique irréductible. Soit \(\mathcal{H} \subset \underline{\mathbf{Z}}\) un sous-faisceau abélien du faisceau constant. Il existe alors un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(\mathcal{H}|_U = \underline{d\mathbf{Z}}_U\) pour un certain \(d \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Rappelons que \(\underline{\mathbf{Z}}(V) = \mathbf{Z}\) pour tout ouvert non vide \(V\) de \(X\) (voir la preuve du lemme 02UW). Si \(\mathcal{H} = 0\), le lemme vaut avec \(d = 0\). Si \(\mathcal{H} \not = 0\), il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(\mathcal{H}(U) \not = 0\). Écrivons \(\mathcal{H}(U) = n\mathbf{Z}\) pour un certain \(n \geq 1\). On a donc \(\underline{n\mathbf{Z}}_U \subset \mathcal{H}|_U \subset \underline{\mathbf{Z}}_U\). Si la première inclusion est stricte, nous pouvons trouver un \(U' \subset U\) non vide et un entier \(1 \leq n' < n\) tel que \(\underline{n'\mathbf{Z}}_{U'} \subset \mathcal{H}|_{U'} \subset \underline{\mathbf{Z}}_{U'}\). Ce processus s’arrête après un nombre fini d’étapes, ce qui prouve le lemme.

Proposition

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Si \(\dim(X) \leq d\), alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tous les \(p > d\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

Démonstration

Nous prouvons ce lemme par induction sur \(d\). Fixez donc \(d\) et supposez que le lemme tient pour tous les espaces topologiques noethériens de dimension \(< d\).

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Supposons que \(U \subset X\) soit un ouvert et notons \(Z \subset X\) son complémentaire fermé. Notons \(j : U \to X\) et \(i : Z \to X\) les applications d’inclusion. On a alors une suite exacte courte \[0 \to j_{!}j^*\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^*\mathcal{F} \to 0\] voir Modules, lemme 02UT. Notez que \(j_!j^*\mathcal{F}\) est pris en charge sur la fermeture topologique \(Z'\) de \(U\), c’est-à-dire qu’il est de la forme \(i'_*\mathcal{F}'\) pour certains faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) sur \(Z'\), où \(i' : Z' \to X\) est l’inclusion.

Nous pouvons utiliser cela pour nous ramener au cas où \(X\) est irréductible. En effet, d’après Topologie, lemme 0052,

\(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Si \(X\) en possède plus d’une, soit \(Z \subset X\) une composante irréductible de \(X\) et posons \(U = X \setminus Z\). D’après ce qui précède et la suite exacte longue de cohomologie, il suffit de prouver l’annulation de \(H^p(X, i_*i^*\mathcal{F})\) et \(H^p(X, i'_*\mathcal{F}')\) pour \(p > d\). D’après le lemme 02UV il suffit de prouver \(H^p(Z, i^*\mathcal{F})\) et de \(H^p(Z', \mathcal{F}')\) pour \(p > d\). Comme \(Z'\) et \(Z\) ont moins de composantes irréductibles, nous nous ramenons bien au cas où \(X\) est irréductible.

Si \(d = 0\) et si \(X\) est irréductible, alors \(X\) est le seul ouvert non vide de \(X\). Par conséquent, tout faisceau est constant et les groupes de cohomologie supérieurs s’annulent (par exemple d’après le lemme 02UW).

Supposons que \(X\) soit irréductible de dimension \(d > 0\). D’après le lemme 02UX, nous nous ramenons au cas où \(\mathcal{F} = j_!\underline{\mathbf{Z}}_U\) pour un ouvert \(U \subset X\). Dans ce cas, considérons la suite exacte courte \[0 \to j_!(\underline{\mathbf{Z}}_U) \to \underline{\mathbf{Z}}_X \to i_*\underline{\mathbf{Z}}_Z \to 0\] où \(Z = X \setminus U\). D’après le lemme 02UW, on a l’annulation de \(H^p(X, \underline{\mathbf{Z}}_X)\) pour tout \(p \geq 1\). Par récurrence, \(H^p(X, i_*\underline{\mathbf{Z}}_Z) = H^p(Z, \underline{\mathbf{Z}}_Z) = 0\) pour \(p \geq d\). Le résultat découle donc de la suite exacte longue de cohomologie.

Cohomologie à l’appui dans une partie fermée

Cette section traite juste du minimum – la discussion se poursuivra dans la section 0G6Y.

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(Z \subset X\) une partie fermée et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Posons \[\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(X) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] le sous-ensemble des sections dont le support est contenu dans \(Z\). Le support d’une section est défini dans Modules, définition 01AT. Modules, lemme 01AU implique que \(\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\) est un sous-groupe de \(\Gamma(X, \mathcal{F})\). Le même lemme garantit que l’association \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma_Z(X, \mathcal{F})\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Ce foncteur est exact à gauche, mais n’est pas exact en général.

Comme la catégorie des faisceaux abéliens possède assez d’injectifs (Injectifs, lemme 01DG), on obtient un foncteur dérivé à droite \[R\Gamma_Z(X, -) : D^+(X) \longrightarrow D^+(\textit{Ab})\] d’après Catégories dérivées, lemme 05TI. La valeur de \(R\Gamma_Z(X, -)\) sur un objet \(K\) se calcule en représentant \(K\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux abéliens injectifs, puis en prenant \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I}^\bullet)\); voir Catégories dérivées, lemme 05TH. Les groupes de cohomologie d’un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) à support dans \(Z\) sont définis par \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = R^q\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\).

Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(X\), et posons \(U = X \setminus Z\). L’application de restriction \(\mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U)\) est surjective (lemme 01EA) et a pour noyau \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I})\). Il s’ensuit immédiatement que, pour \(K \in D^+(X)\), on a un triangle distingué \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] dans \(D^+(\textit{Ab})\). Par conséquent, nous obtenons une suite exacte longue de cohomologie \[\ldots \to H^i_Z(X, K) \to H^i(X, K) \to H^i(U, K) \to H^{i + 1}_Z(X, K) \to \ldots\] pour tout \(K\) dans \(D^+(X)\).

Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous pouvons considérer le sous-faisceau des sections à support dans \(Z\), dénoté \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), défini par la règle \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\} = \Gamma_{Z \cap U}(U, \mathcal{F}|_U)\] En utilisant l’équivalence de Modules, lemme 01AX, nous pouvons considérer \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) comme un faisceau abélien sur \(Z\); voir Modules, remarque 01AY. Ainsi, nous obtenons un foncteur \[\textit{Ab}(X) \longrightarrow \textit{Ab}(Z),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\text{ considéré comme faisceau sur }Z\] Ce foncteur est exact à gauche, mais n’est pas exact en général. Comme ci-dessus, nous obtenons un foncteur dérivé à droite \[R\mathcal{H}_Z : D^+(X) \longrightarrow D^+(Z)\] et nous posons \(\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = R^q\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), de sorte que \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\).

On a \(\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \Gamma(Z, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}))\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\). D’après le lemme 0A3A, le foncteur \(\mathcal{H}_Z\) transforme les faisceaux abéliens injectifs en faisceaux acycliques pour \(\Gamma(Z, -)\). Le lemme de Catégories dérivées 015N fournit donc une suite spectrale de Grothendieck convergente \[E_2^{p, q} = H^p(Z, \mathcal{H}^q_Z(K)) \Rightarrow H^{p + q}_Z(X, K)\] fonctorielle en \(K\) dans \(D^+(X)\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée, et soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(X\). Alors \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\) est un faisceau abélien injectif sur \(Z\).

Démonstration

Cela résulte du lemme d’Homologie 015Z, car \(\mathcal{H}_Z(-)\) est adjoint à droite du foncteur exact \(i_*\). Voir Modules, lemmes 01AX et 01AZ.

Cohomologie sur les espaces spectraux

Un résultat clé sur la cohomologie des espaces spectraux est le lemme 0A37, qui affirme, en termes informels, que la cohomologie commute aux limites cofiltrantes dans la catégorie des espaces spectraux définie dans Topologie, définition 08YG. On peut l’appliquer pour obtenir les analogues suivants des lemmes 09V3 et 09V5.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\), soit \(E \subset X\) un sous-ensemble quasi-compact et soit \(W \subset X\) l’ensemble des points de \(X\) qui se spécialisent en un point de \(E\).

1. \(H^p(W, \mathcal{F}|_W) = \colim H^p(U, \mathcal{F})\) où la colimite est sur les voisinages quasi-compacts ouverts de \(E\),

2. \(H^p(W \setminus E, \mathcal{F}|_{W \setminus E}) = \colim H^p(U \setminus E, \mathcal{F}|_{U \setminus E})\) si \(E\) est un sous-ensemble constructible.

Démonstration

D’après Topologie, lemme 0A31, on a \(W = \lim U\), où la limite porte sur les ouverts quasi-compacts contenant \(E\). Chaque \(U\) est un espace spectral d’après Topologie, lemme 0902. Le lemme 0A37 donne donc (1). La même démonstration vaut pour (2), en utilisant Topologie, lemme 0AP0.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application spectrale entre espaces spectraux. Soit \(y \in Y\), et soit \(E \subset Y\) l’ensemble des points qui se spécialisent en \(y\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \((R^pf_*\mathcal{F})_y = H^p(f^{-1}(E), \mathcal{F}|_{f^{-1}(E)})\).

Démonstration

On a \(E = \bigcap V\), où \(V\) parcourt les voisinages ouverts quasi-compacts de \(y\) dans \(Y\). Ainsi \(f^{-1}(E) = \bigcap f^{-1}(V)\), donc \(f^{-1}(E) = \lim f^{-1}(V)\) comme espace topologique. Puisque \(f\) est spectrale, chaque \(f^{-1}(V)\) est encore un espace spectral (Topologie, lemme 0902). On en déduit que \(f^{-1}(E)\) est un espace spectral et que \[H^p(f^{-1}(E), \mathcal{F}|_{f^{-1}(E)}) = \colim H^p(f^{-1}(V), \mathcal{F})\] par lemme 0A37. D’autre part, le germe de \(R^pf_*\mathcal{F}\) en \(y\) est donné par la colimite du membre de droite.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique profini. Alors \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q > 0\) et tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Tout recouvrement ouvert de \(X\) admet un raffinement qui est une décomposition finie en parties ouvertes disjointes; voir Topologie, lemme 08ZZ. Ainsi, si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est une surjection de faisceaux abéliens sur \(X\), l’application \(\mathcal{F}(X) \to \mathcal{G}(X)\) est surjective. Autrement dit, le foncteur des sections globales est exact. Ses foncteurs dérivés supérieurs sont donc nuls; voir Catégories dérivées, lemme 015F.

Le résultat suivant sur l’annulation cohomologique améliore le résultat de Grothendieck (proposition 02UZ) et se trouve dans [Scheiderer].

Proposition

Soit \(X\) un espace spectral de dimension de Krull \(d\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\).

1. \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(q > d\),

2. \(H^d(X, \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) est surjectif pour chaque ouvert quasi-compact \(U \subset X\),

3. \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(q > d\) et toute partie fermée constructible \(Z \subset X\).

Démonstration

Nous prouvons ce résultat par induction sur \(d\).

Si \(d = 0\), alors \(X\) est un espace profini; voir Topologie, lemme 0905. Le point (1) résulte donc du lemme 0A3F. Si \(U \subset X\) est un ouvert quasi-compact, alors \(U\) est aussi fermé, puisqu’il est quasi-compact dans un espace séparé. Ainsi \(X = U \amalg (X \setminus U)\), ce qui prouve (2). Pour \(Z\) comme dans (3), considérons la suite exacte longue \[H^{q - 1}(X, \mathcal{F}) \to H^{q - 1}(X \setminus Z, \mathcal{F}) \to H^q_Z(X, \mathcal{F}) \to H^q(X, \mathcal{F})\] Comme \(X\) et \(U = X \setminus Z\) sont profinis (en effet, \(U\) est quasi-compact puisque \(Z\) est constructible), les points (2) et (1) donnent l’annulation cherchée des groupes de cohomologie à support dans \(Z\).

Étape d’induction. Supposons \(d \geq 1\) et la proposition vraie pour tout espace spectral de dimension \(< d\). Prouvons d’abord (2) pour \(X\). Soit \(U\) un ouvert quasi-compact et soit \(\xi \in H^d(U, \mathcal{F})\). Posons \(Z = X \setminus U\), et soit \(W \subset X\) l’ensemble des points qui se spécialisent dans \(Z\). D’après le lemme 0A3D, on a \[H^d(W \setminus Z, \mathcal{F}|_{W \setminus Z}) = \colim_{Z \subset V} H^d(V \setminus Z, \mathcal{F})\] où la colimite porte sur les voisinages ouverts quasi-compacts \(V\) de \(Z\) dans \(X\). D’après Topologie, lemme 0A31, \(W \setminus Z\) est un espace spectral. Comme tout point de \(W\) se spécialise en un point de \(Z\), \(W \setminus Z\) est de dimension de Krull \(< d\). Par l’hypothèse d’induction, l’image de \(\xi\) dans \(H^d(W \setminus Z, \mathcal{F}|_{W \setminus Z})\) est nulle. Par la formule affichée, il existe un ouvert quasi-compact \(Z \subset V \subset X\) tel que \(\xi|_{V \setminus Z} = 0\). Comme \(V \setminus Z = V \cap U\), la suite de Mayer–Vietoris (lemme 01EB) pour le recouvrement \(X = U \cup V\) fournit un élément \(\tilde \xi \in H^d(X, \mathcal{F})\) qui se restreint à \(\xi\) sur \(U\) et à zéro sur \(V\). Le point (2) est donc établi.

Preuve de (1), en supposant (2). Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Posons \[\mathcal{G} = \Im(\mathcal{I}^{d - 1} \to \mathcal{I}^d) = \Ker(\mathcal{I}^d \to \mathcal{I}^{d + 1})\] Pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), nous avons le morphisme suivant de suites exactes : \[\xymatrix{ \mathcal{I}^{d - 1}(X) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}(X) \ar[r] \ar[d] & H^d(X, \mathcal{F}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ \mathcal{I}^{d - 1}(U) \ar[r] & \mathcal{G}(U) \ar[r] & H^d(U, \mathcal{F}) \ar[r] & 0 }\] Le faisceau \(\mathcal{I}^{d - 1}\) est flasque, par le lemme 09SX et puisque \(d \geq 1\). Le point (2) montre que la flèche verticale de droite est surjective. Une chasse au diagramme montre alors que l’application \(\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(U)\) est surjective. D’après le lemme 0A36, on en déduit que \(\check{H}^q(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = 0\) pour \(q > 0\) et tout recouvrement fini \(\mathcal{U} : U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) d’un ouvert quasi-compact par des ouverts quasi-compacts. D’après le lemme 01EW, on a \(H^q(U, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(q > 0\) et tout ouvert quasi-compact \(U\) de \(X\). Le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) donne alors \[H^q(X, \mathcal{F}) = H^q\left( \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \ldots \to \Gamma(X, \mathcal{I}^{d - 1}) \to \Gamma(X, \mathcal{G}) \right)\] En particulier, ce groupe de cohomologie est nul si \(q > d\).

Démonstration de (3). Pour \(Z\) comme dans (3), considérons la suite exacte longue \[H^{q - 1}(X, \mathcal{F}) \to H^{q - 1}(X \setminus Z, \mathcal{F}) \to H^q_Z(X, \mathcal{F}) \to H^q(X, \mathcal{F})\] Comme \(X\) et \(U = X \setminus Z\) sont des espaces spectraux (Topologie, lemme 0902) de dimension \(\leq d\), les points (2) et (1) donnent l’annulation cherchée.

Le complexe de Č ech modifié

Cette section compare le complexe Čech avec le complexe Čech alternatif et certains complexes connexes.

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Pour \(p \geq 0\), posons \[\check{\mathcal{C}}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \left\{ \begin{matrix} s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \text{ tel que } s_{i_0 \ldots i_p} = 0 \text{ si } i_n = i_m \text{ pour certains } n \not = m\\ \text{ et } s_{i_0\ldots i_n \ldots i_m \ldots i_p} = -s_{i_0\ldots i_m \ldots i_n \ldots i_p} \text{ dans tous les cas.} \end{matrix} \right\}\] Nous omettons de vérifier que le différentiel \(d\) de l’équation (01EE) envoie \(\check{\mathcal{C}}^p_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) dans \(\check{\mathcal{C}}^{p + 1}_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Le complexe \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le complexe de Čech alterné associé à \(\mathcal{F}\) et au recouvrement \(\mathcal{U}\).

Il y a donc un morphisme canonique des complexes \[\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] à savoir l’inclusion du complexe Čech alternatif dans le complexe Čech habituel.

Supposons le recouvrement \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) muni d’un ordre total \(<\) sur \(I\). Posons alors \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}, i_0 < \ldots < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p}).\] C’est un groupe abélien. Pour \(s \in \check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), nous notons \(s_{i_0\ldots i_p}\) sa valeur dans \(\mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p})\). Nous définissons \[d : \check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] par la formule \[d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}|_{U_{i_0\ldots i_{p + 1}}}\] pour n’importe quelle \(i_0 < \ldots < i_{p + 1}\). Notez que cette formule est identique à l’équation (01EE). Il est simple de voir que \(d \circ d = 0\). En d’autres termes, \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un complexe.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, et supposons \(I\) muni d’un ordre total. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Le complexe \(\check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le complexe de Čech ordonné associé à \(\mathcal{F}\), au recouvrement \(\mathcal{U}\) et à l’ordre total donné sur \(I\).

Ce complexe est parfois appelé le complexe alterné de Čech. La raison est qu’il existe une application de comparaison évidente entre le complexe ordonné de Čech et le complexe alterné de Čech. Plus précisément, considérons l’application \[c : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] donnée par la règle \[c(s)_{i_0\ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i_n = i_m \text{ pour certains } n \not = m\\ \text{sgn}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)}\ldots i_{\sigma(p)}} & \text{si} & i_{\sigma(0)} < i_{\sigma(1)} < \ldots < i_{\sigma(p)} \end{matrix} \right.\] Ici, \(\sigma\) désigne une permutation de \(\{0, \ldots, p\}\) et \(\text{sgn}(\sigma)\) désigne son signe. Les complexes alterné et ordonné de Čech sont souvent identifiés dans la littérature au moyen de l’application \(c\). Nous avons en effet le lemme élémentaire suivant.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, et supposons \(I\) muni d’un ordre total. L’application \(c\) est un morphisme de complexes. Elle induit même un isomorphisme \[c : \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] de complexes.

Démonstration

Démonstration omise.

Il y a aussi une application \[\pi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] qui est décrite par la règle \[\pi(s)_{i_0\ldots i_p} = s_{i_0\ldots i_p}\] chaque fois que \(i_0 < i_1 < \ldots < i_p\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, et supposons \(I\) muni d’un ordre total. La projection \(\pi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un morphisme de complexes. Il induit un isomorphisme \[\pi : \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] de complexes qui est un inverse gauche au morphisme \(c\).

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Cela signifie que si nous avons deux commandes totales \(<_1\) et \(<_2\) sur le jeu d’index \(I\), alors nous obtenons un isomorphisme des complexes \(\tau = \pi_2 \circ c_1 : \check{\mathcal{C}}_{ord\text{-}1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}_{ord\text{-}2}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). Il est clair que \[\tau(s)_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] où \(i_0 <_1 i_1 <_1 \ldots <_1 i_p\) et \(i_{\sigma(0)} <_2 i_{\sigma(1)} <_2 \ldots <_2 i_{\sigma(p)}\). C’est en ce sens que le complexe de Čech ordonné ne dépend pas de l’ordre total choisi.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, et supposons \(I\) muni d’un ordre total. L’application \(c \circ \pi\) est homotope à l’identité de \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). En particulier, l’inclusion \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est une équivalence d’homotopie.

Démonstration

Pour tout multi-index \((i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}\) il existe une permutation unique \(\sigma : \{0, \ldots, p\} \to \{0, \ldots, p\}\) telle que \[i_{\sigma(0)} \leq i_{\sigma(1)} \leq \ldots \leq i_{\sigma(p)} \quad \text{et} \quad \sigma(j) < \sigma(j + 1) \quad \text{si} \quad i_{\sigma(j)} = i_{\sigma(j + 1)}.\] Nous dénotons cette permutation \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\).

Pour toute permutation \(\sigma : \{0, \ldots, p\} \to \{0, \ldots, p\}\) et toute \(a\), \(0 \leq a \leq p\) nous dénotons \(\sigma_a\) la permutation unique de \(\{0, \ldots, p\}\) telle que \(\sigma_a(j) = \sigma(j)\) pour \(0 \leq j < a\) et telle que \(\sigma_a(a) < \sigma_a(a + 1) < \ldots < \sigma_a(p)\). Donc si \(p = 3\) et \(\sigma\), \(\tau\) sont donnés par \[\begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma & 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} \quad \text{et} \quad \begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau & 3 & 0 & 2 & 1 \end{matrix}\] alors nous avons \[\begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \sigma_1 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \sigma_2 & 3 & 2 & 0 & 1 \\ \sigma_3 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \quad \text{et} \quad \begin{matrix} \text{id} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \tau_1 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \tau_2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \tau_3 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix}\] Il est clair que toujours \(\sigma_0 = \text{id}\) et \(\sigma_p = \sigma\).

Après avoir introduit cette notation, nous définissons pour \(s \in \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) l’élément \(h(s) \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) comme l’élément dont les composantes sont

[01FN]\[\begin{equation} h(s)_{i_0\ldots i_p} = \sum\nolimits_{0 \leq a \leq p} (-1)^a \text{sign}(\sigma_a) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}} \end{equation}\]

où \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\). L’indice \(i_{\sigma(a)}\) survient deux fois dans \(i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}\) une fois dans le premier groupe de \(a + 1\) indices et une fois dans le second groupe de \(p - a + 1\) indices, puisque \(\sigma_a(j) = \sigma(a)\) pour un certain \(j \geq a\) par définition de \(\sigma_a\). La somme a donc un sens, car chacun des éléments \(s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(a)} i_{\sigma_a(a)} \ldots i_{\sigma_a(p)}}\) est défini sur l’ouvert \(U_{i_0 \ldots i_p}\). Notons également que, pour \(a = 0\), nous obtenons \(s_{i_0 \ldots i_p}\) et que, pour \(a = p\), nous obtenons \((-1)^p \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\).

Nous affirmons que : \[(dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = s_{i_0 \ldots i_p} - \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] où \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\). Nous omettons la vérification de cette revendication. (Il y a un script PARI/gp appelé first-homotopy.gp dans les scripts de sous-répertoire stacks-project qui peuvent être utilisés pour vérifier de nombreuses instances finies de cette revendication. Nous avons écrit ce script pour nous assurer que les signes sont corrects.) \[\kappa : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] pour l’opérateur donné par la règle \[\kappa(s)_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma^{i_0 \ldots i_p}) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}.\] L’allégation ci-dessus implique que: \(\kappa\) est un morphisme de complexes et que \(\kappa\) est homotope à l’identité du complexe de Čech. Cela n’implique pas immédiatement le lemme, car l’image de l’opérateur \(\kappa\) n’est pas le sous-complexe alterné. Plus précisément, l’image de \(\kappa\) est le complexe « semi-alterné » \(\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) où \(s\) est une \(p\)-cochaîne de ce complexe si et seulement si \[s_{i_0 \ldots i_p} = \text{sign}(\sigma) s_{i_{\sigma(0)} \ldots i_{\sigma(p)}}\] pour tout \((i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}\) avec \(\sigma = \sigma^{i_0 \ldots i_p}\). Nous introduisons une autre variante du complexe de Čech, à savoir le complexe de Čech semi-ordonné défini par \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{i_0 \leq i_1 \leq \ldots \leq i_p} \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\] Il est facile de voir que l’équation (01EE) définit encore une différentielle, donc un complexe. Il est également clair, comme dans le lemme 01FK, que l’application de projection \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est un isomorphisme des complexes.

Par conséquent, le lemme suit si nous pouvons montrer que l’application d’inclusion évidente \[\check{\mathcal{C}}_{ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est une équivalence d’homotopie. Pour cela nous utilisons l’homotopie

[01FO]\[\begin{equation} h(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i_0 < i_1 < \ldots < i_p \\ (-1)^a s_{i_0 \ldots i_{a - 1} i_a i_a i_{a + 1} \ldots i_p} & \text{si} & i_0 < i_1 < \ldots < i_{a - 1} < i_a = i_{a + 1} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Nous affirmons que : \[(dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i_0 < i_1 < \ldots < i_p \\ s_{i_0 \ldots i_p} & \text{sinon} & \end{matrix} \right.\] Nous omettons la vérification. (Il y a un script PARI/gp appelé second-homotopy.gp dans les scripts de sous-répertoire stacks-project qui peuvent être utilisés pour vérifier de nombreuses instances de cette revendication. Nous avons écrit ce script pour nous assurer que les signes sont corrects.) La revendication montre clairement que la composition \[\check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{semi\text{-}ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] de la projection avec l’inclusion naturelle est homotopique à l’application d’identité comme souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\) et soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Si \(U_i = U\) pour un certain \(i \in I\), alors le complexe de Čech alterné augmenté \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] obtenu en plaçant \(\mathcal{F}(U)\) en degré \(-1\), avec pour différentielle l’application canonique de \(\mathcal{F}(U)\) dans \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est homotopiquement équivalent à \(0\). De même, pour tout ordre total sur \(I\), le complexe de Čech ordonné augmenté \[\mathcal{F}(U) \to \check{\mathcal{C}}_{ord}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est homotopiquement équivalent à \(0\).

Démonstration

Combiner les lemmes 0G6S et 01FM.

Démonstration

Puisque les complexes de Čech alterné et ordonné sont isomorphes, il suffit de traiter le complexe ordonné. Nous emploierons la notation usuelle : une cochaîne \(s\) de degré \(p\) du complexe de Čech ordonné augmenté est de la forme \(s = (s_{i_0 \ldots i_p})\) où \(s_{i_0 \ldots i_p}\) est dans \(\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\) et \(i_0 < \ldots < i_p\). Avec cette notation nous avons \[d(x)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_j (-1)^j x_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}\] Fixons un indice \(i \in I\) tel que \(U = U_i\). Nous utilisons comme homotopie les applications \[h : \text{cochaînes de degré }p + 1 \to \text{cochaînes de degré }p\] données par la règle \[h(s)_{i_0 \ldots i_p} = 0 \text{ si } i \in \{i_0, \ldots, i_p\} \text{ et } h(s)_{i_0 \ldots i_p} = (-1)^j s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \text{ sinon}\] Ici \(j\) est l’unique indice tel que \(i_j < i < i_{j + 1}\) dans le second cas; puisque \(U = U_i\), nous avons aussi l’égalité \[\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p}) = \mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p})\] qui permet de considérer \((-1)^j s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p}\) comme un élément de \(\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\). Nous allons montrer par un calcul que \(d h + h d\) est l’opposé de l’identité, ce qui achèvera la preuve. Fixons une cochaîne \(s\) de degré \(p\) et des éléments \(i_0 < \ldots < i_p\) de \(I\).

Cas I : \(i \in \{i_0, \ldots, i_p\}\). Écrivons \(i = i_t\). Alors \(h(d(s))_{i_0 \ldots i_p} = 0\). D’autre part, on a \[d(h(s))_{i_0 \ldots i_p} = \sum (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} = (-1)^t h(s)_{i_0 \ldots \hat i \ldots i_p} = (-1)^t (-1)^{t - 1} s_{i_0 \ldots i_p}\] Ainsi \((dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = -s_{i_0 \ldots i_p}\) comme désiré.

Cas II : \(i \not \in \{i_0, \ldots, i_p\}\). Soit \(j\) tel que \(i_j < i < i_{j + 1}\). Alors nous voyons que

\[\begin{align*} h(d(s))_{i_0 \ldots i_p} & = (-1)^j d(s)_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \\ & = \sum\nolimits_{j' \leq j} (-1)^{j + j'} s_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} - s_{i_0 \ldots i_p} \\ & + \sum\nolimits_{j' > j} (-1)^{j + j' + 1} s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \end{align*}\]

D’autre part, nous avons

\[\begin{align*} d(h(s))_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j'} (-1)^{j'} h(s)_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \\ & = \sum\nolimits_{j' \leq j} (-1)^{j' + j - 1} s_{i_0 \ldots \hat i_{j'} \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots i_p} \\ & + \sum\nolimits_{j' > j} (-1)^{j' + j} s_{i_0 \ldots i_j i i_{j + 1} \ldots \hat i_{j'} \ldots i_p} \end{align*}\]

En les ajoutant, nous obtenons \((dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} = - s_{i_0 \ldots i_p}\) comme désiré.

Un autre point de vue sur le complexe de Č ech

Dans cette section, nous discutons d’une autre façon d’établir la relation entre le complexe Čech et la cohomologie.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Notons \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{i_0 \ldots i_p}\). Il existe un complexe \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules avec \[{\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_* \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] et différentiel \(d : {\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to {\mathfrak C}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) comme dans l’équation (01EE). En outre, il existe une application canonique \[\mathcal{F} \to {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] qui est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire, \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est une résolution de \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Nous vérifions \[0 \to \mathcal{F} \to \mathfrak{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \mathfrak{C}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \ldots\] est exact sur les germes. \(x \in X\) et choisir \(i_{\text{fix}} \in I\) de telle manière que \(x \in U_{i_{\text{fix}}}\). Ensuite, définir \[h : \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \mathfrak{C}^{p - 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x\] comme suit: \(s \in \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x\), prendre un représentant \[\widetilde{s} \in \mathfrak{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})(V) = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(V \cap U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p})\] défini sur un voisinage \(V\) de \(x\), et posons \[h(s)_{i_0 \ldots i_{p - 1}} = \widetilde{s}_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_{p - 1}, x}.\] Par la même formule (pour \(p = 0\)) nous obtenons une application \(\mathfrak{C}^{0}(\mathcal{U},\mathcal{F})_x \to \mathcal{F}_x\). Nous calculons formellement comme suit :

\[\begin{align*} (dh + hd)(s)_{i_0 \ldots i_p} & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j h(s)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + d(s)_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots i_p}\\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^j s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} + s_{i_0 \ldots i_p} + \sum\nolimits_{j = 0}^p (-1)^{j + 1} s_{i_{\text{fix}} i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p} \\ & = s_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\]

Ceci montre \(h\) est une homotopie de l’application d’identité du complexe étendu \[0 \to \mathcal{F}_x \to \mathfrak{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \mathfrak{C}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})_x \to \ldots\] à zéro et nous concluons.

Ce lemme permet de redémontrer facilement la suite spectrale reliant la cohomologie de Čech à la cohomologie du lemme 01ES. Soient \(X\), \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{F}\) comme dans le lemme 02FU, et soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Considérons alors le bicomplexe \[A^{\bullet, \bullet} = \Gamma(X, {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)).\] Par construction nous avons \[A^{p, q} = \prod\nolimits_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{I}^q(U_{i_0 \ldots i_p})\] Considérons les deux suites spectrales associées à ce bicomplexe dans Homologie, section 012X; voir notamment Homologie, lemme 0130. Pour la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\), nous obtenons \({}'E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\) car la formation des produits est exacte (Homologie, lemme 060K). Pour la suite spectrale \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\), nous obtenons \({}''E_2^{p, q} = 0\) si \(p > 0\) et \({}''E_2^{0, q} = H^q(X, \mathcal{F})\). En effet, pour \(q\) fixé, le complexe de faisceaux \({\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\) est une résolution (lemme 02FU) du faisceau injectif \(\mathcal{I}^q\) par des faisceaux injectifs (d’après les lemmes 01E1 et 02N5 et Homologie, lemme 0137). Par conséquent, la cohomologie de \(\Gamma(X, {\mathfrak C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q))\) est nulle en degrés positifs et égale à \(\Gamma(X, \mathcal{I}^q)\) en degré \(0\). En prenant la cohomologie pour la différentielle suivante, on obtient l’assertion sur la suite spectrale \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\). Le résultat s’ensuit, puisque les deux suites spectrales convergent vers la cohomologie du complexe total associé à \(A^{\bullet, \bullet}\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) est dit localement fini si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(W\) de \(x\) tel que \(\{i \in I \mid W \cap U_i \not = \emptyset\}\) soit fini.

Remarque

Soit \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert localement fini. Notons \(j_i : U_i \to X\) l’application d’inclusion. Supposons que, pour chaque \(i\), on se donne un faisceau abélien \(\mathcal{F}_i\) sur \(U_i\). Considérons le faisceau abélien \(\mathcal{G} = \bigoplus_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i\). Alors, pour tout ouvert \(V \subset X\), on a \[\Gamma(V, \mathcal{G}) = \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i(V \cap U_i).\] En d’autres termes, nous avons \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i = \prod\nolimits_{i \in I} (j_i)_*\mathcal{F}_i\] Cela peut sembler étrange jusqu’à ce que l’on se rappelle que la somme directe d’une famille de faisceaux est le faisceau associé au préfaisceau somme directe. Voir la discussion dans Modules, section 01AF. Nous concluons donc que, dans ce cas, les termes du complexe du lemme 02FU sont \[{\mathfrak C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{i_0 \ldots i_p} (j_{i_0 \ldots i_p})_* \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] Ce qui est parfois utile.

Cohomologie de Č ech des complexes

En général, pour des faisceaux de groupes abéliens \({\mathcal F}\) et \({\mathcal G}\) sur \(X\), il existe une application produit cup \[H^i(X, {\mathcal F}) \times H^j(X, {\mathcal G}) \longrightarrow H^{i + j}(X, {\mathcal F} \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}).\] Dans cette section, nous la définissons au moyen de cocycles de Čech, par une formule explicite pour le produit cup. Si l’on craint que la cohomologie ne coïncide pas avec la cohomologie de Čech, on peut utiliser des hyperrecouvrements tout en conservant la notation des cocycles. Cette méthode a en outre l’avantage de définir le produit cup en hypercohomologie sur tout topos (insérer ici une référence ultérieure).

Soit \({\mathcal F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de préfaisceaux de groupes abéliens sur \(X\). On peut souvent calculer \(H^n(X, {\mathcal F}^\bullet)\) au moyen de cocycles de Čech. Soit donc \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert de \(X\). Comme le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) (définition 01EF) est fonctoriel en le préfaisceau \(\mathcal{F}\), on obtient un bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\). Le complexe associé total à \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)\) est le complexe dont le terme de degré \(n\) est \[\text{Tot}^n(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \prod\nolimits_{i_0\ldots i_p} {\mathcal F}^q(U_{i_0\ldots i_p})\] Voir Homologie, définition 012Z. Un élément typique de \(\text{Tot}^n\) sera noté \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\) où \(\alpha_{i_0 \ldots i_p} \in \mathcal{F}^q(U_{i_0\ldots i_p})\). Autrement dit, le degré en \(\mathcal{F}\) de \(\alpha_{i_0\ldots i_p}\) est \(q = n - p\). Cette notation suppose que l’on garde à l’esprit le degré de \(\alpha\); nous indiquons cette situation par la formule \(\deg_{\mathcal F}(\alpha_{i_0\ldots i_p}) = q\). Selon nos conventions dans Homologie, définition 012Z la différentielle d’un élément \(\alpha\) de degré \(n\) est donnée par \[d(\alpha)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1}d_{{\mathcal F}}(\alpha_{i_0 \ldots i_{p + 1}})\] où \(d_\mathcal{F}\) désigne le différentiel sur le complexe \(\mathcal{F}^\bullet\). L’expression \(\alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\) désigne la restriction de \(\alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} \in {\mathcal F}(U_{i_0\ldots\hat i_j\ldots i_{p + 1}})\) à \(U_{i_0 \ldots i_{p + 1}}\).

La construction de \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) est fonctorielle en \({\mathcal F}^\bullet\). Il existe également une transformation fonctorielle

[07M9]\[\begin{equation} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{equation}\]

de complexes définie par la règle suivante : \(s\in \Gamma(X, {\mathcal F}^n)\) est envoyé sur l’élément \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\) avec \(\alpha_{i_0} = s|_{U_{i_0}}\) et \(\alpha_{i_0\ldots i_p} = 0\) pour \(p > 0\).

Raffinements. Soit \({\mathcal V} = \{ V_j \}_{j\in J}\) un raffinement de \({\mathcal U}\). Cela signifie qu’il existe une application \(t: J \to I\) telle que \(V_j \subset U_{t(j)}\) pour tout \(j\in J\). Elle induit une transformation fonctorielle

[08BM]\[\begin{equation} T_t : \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal V}, {\mathcal F}^\bullet)). \end{equation}\]

défini par la règle \[T_t(\alpha)_{j_0\ldots j_p} = \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_p)}|_{V_{j_0\ldots j_p}}.\] Pour deux applications \(t, t' : J \to I\) comme ci-dessus, les applications \(T_t\) et \(T_{t'}\) ainsi construites sont homotopes. Une homotopie est donnée par \[h(\alpha)_{j_0\ldots j_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^{p} (-1)^a \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}\] pour un élément \(\alpha\) de degré \(n\). Cela résulte du calcul suivant, où \(\alpha\) est encore un élément de degré \(n\) (ainsi \(d(\alpha)\) est de degré \(n + 1\) et \(h(\alpha)\) de degré \(n - 1\)) :

\[\begin{align*} ( d(h(\alpha)) + h(d(\alpha)) )_{j_0\ldots j_p} = & \sum\nolimits_{k = 0}^p (-1)^k h(\alpha)_{j_0 \ldots \hat j_k \ldots j_p} + \\ & (-1)^p d_{\mathcal F}(h(\alpha)_{j_0 \ldots j_p}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^a d(\alpha)_{t(j_0) \ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)} \\ = & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = 0}^{k - 1} (-1)^{k + a} \alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots \hat{t'(j_k)}\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = k + 1}^p (-1)^{k + a - 1} \alpha_{t(j_0)\ldots \hat{t(j_k)}\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^{p + a} d_{\mathcal F}(\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = 0}^a (-1)^{a + k} \alpha_{t(j_0)\ldots\hat{t(j_k)}\ldots t(j_a)t'(j_a)\ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = a}^p (-1)^{a + k + 1} \alpha_{t(j_0) \ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots \hat{t'(j_k)} \ldots t'(j_p)} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^{a + p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_a) t'(j_a) \ldots t'(j_p)}) \\ = & \alpha_{t'(j_0)\ldots t'(j_p)} + (-1)^{2p + 1}\alpha_{t(j_0)\ldots t(j_p)} \\ = & T_{t'}(\alpha)_{j_0\ldots j_p} - T_t(\alpha)_{j_0\ldots j_p} \end{align*}\]

Nous laissons le lecteur vérifier les annulations. (Notez que les termes ayant les deux \(k\) et \(a\) dans les 1er, 2e et 4e, 5e summands annuler, sauf ceux où \(a = k\) qui ne se produisent que dans les 4ème et 5ème et qui s’annulent l’un contre l’autre, sauf pour les deux termes souhaités.) Il s’ensuit que l’application induite \[H^n(T_t) : H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \to H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal V}, {\mathcal F}^\bullet)) )\] est indépendant du choix de \(t\). Nous définissons hypercohomologie de Čech comme la colimite des groupes de cohomologie de Čech sur tous les raffinements, relativement aux applications \(H^\bullet(T_t)\).

En passant à la colimite sur tous les recouvrements ouverts de \(X\), le lemme suivant fournit une application de l’hypercohomologie de Čech vers la cohomologie. Celle-ci est souvent un isomorphisme et l’est toujours si l’on utilise des hyperrecouvrements.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé, soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Pour tout complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe une application canonique \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] fonctorielle en \(\mathcal{F}^\bullet\) et compatible avec (07M9) et (08BM). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) telle que \[E_2^{p, q} = H^p(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}^\bullet)))\] convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F}^\bullet)\).

Démonstration

Soit \({\mathcal I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de faisceaux injectifs. L’application (07M9) pour \(\mathcal{I}^\bullet\) est une application \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet))\). C’est un quasi-isomorphisme de complexes de groupes abéliens, comme il résulte d’Homologie, lemme 0133, appliqué au complexe double \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)\), en utilisant le lemme 01EP. Choisissons un quasi-isomorphisme \({\mathcal F}^\bullet \to {\mathcal I}^\bullet\) de \({\mathcal F}^\bullet\) vers un complexe borné inférieurement de faisceaux injectifs. Le complexe représentant \(R\Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet)\) est \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet)\); on obtient l’application du lemme au moyen de \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)).\] Nous omettons la vérification de la fonctorialité et des compatibilités. Pour construire la suite spectrale du lemme, choisissons une résolution de Cartan–Eilenberg \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^{\bullet, \bullet}\); voir Catégories dérivées, lemme 015I. Alors \(\mathcal{F}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{I}^{\bullet, \bullet})\) est une résolution injective, et donc \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal I}^{\bullet, \bullet})))\] calcule \(R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\), comme nous l’avons vu plus haut. D’après Homologie, remarque 08BI, nous pouvons le considérer comme le complexe total associé au triple complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal I}^{\bullet, \bullet})\) et, en utilisant la même remarque, comme le complexe total associé au bicomplexe \(A^{\bullet, \bullet}\) dont les termes sont \[A^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \check{\mathcal{C}}^p({\mathcal U}, \mathcal{I}^{q, m})\] Comme \(\mathcal{I}^{q, \bullet}\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}^q\), nous pouvons appliquer la première suite spectrale associée à \(A^{\bullet, \bullet}\) (Homologie, lemme 0130) pour obtenir une suite spectrale \[E_1^{n, m} = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^m(\mathcal{F}^q))\] qui est le terme de degré \(n\) du complexe \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \underline{H}^m(\mathcal{F}^\bullet))\). On obtient donc les termes \(E_2\) décrits dans le lemme. La convergence résulte d’Homologie, lemme 0132.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(H^i(U_{i_0 \ldots i_p}, \mathcal{F}^q) = 0\) pour tout \(i > 0\) et tous \(p, i_0, \ldots, i_p, q\), alors l’application \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \to R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\) du lemme 08BN est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la suite spectrale du lemme 08BN.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert, soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules et soit \(b\) un entier. Nous affirmons qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))[b] \ar[r] \ar[d]_\gamma & R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)[b] \ar[d] \\ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet[b])) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet[b]) }\] dans la catégorie dérivée, où \(\gamma\) est l’application de complexes construite dans Homologie, remarque 0FLG. Cela a un sens puisque le bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet[b])\) est manifestement le même que le bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)[0, b]\) introduit dans Homologie, remarque 0FLG. Pour vérifier que le diagramme commute, choisissons une résolution injective \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) comme dans la preuve du lemme 08BN. Une chasse au diagramme montre qu’il suffit de vérifier la commutativité après avoir remplacé \(\mathcal{F}^\bullet\) par \(\mathcal{I}^\bullet\). Ensuite, nous considérons le diagramme étendu \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)[b] \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))[b] \ar[r] \ar[d]_\gamma & R\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)[b] \ar[d] \\ \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet[b]) \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet[b])) \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet[b]) }\] où les flèches horizontales de gauche sont celles de (07M9). Puisque les flèches horizontales sont ici des isomorphismes dans la catégorie dérivée (voir la preuve du lemme 08BN), il suffit de montrer que le carré de gauche commute. C’est le cas parce que l’application \(\gamma\) utilise le signe \(1\) sur les facteurs directs \(\check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^{q + b})\), voir la formule dans Homologie, remarque 0FLG.

Soit \(X\) un espace topologique, soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert et soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de préfaisceaux de groupes abéliens. \(\tau : \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) défini par \[\tau(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = (-1)^{p(p + 1)/2} \alpha_{i_p \ldots i_0}.\] Alors, pour tout élément \(\alpha\) de degré \(n\), on a

\[\begin{align*} & d(\tau(\alpha))_{i_0 \ldots i_{p + 1}} \\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \tau(\alpha)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\tau(\alpha)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \\ & = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^{j + \frac{p(p + 1)}{2}} \alpha_{i_{p + 1} \ldots \hat i_j \ldots i_0} + (-1)^{p + 1 + \frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_{p + 1} \ldots i_0}) \end{align*}\]

D’autre part, nous avons

\[\begin{align*} & \tau(d(\alpha))_{i_0\ldots i_{p + 1}} \\ & = (-1)^{\frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} d(\alpha)_{i_{p + 1} \ldots i_0} \\ & = (-1)^{\frac{(p + 1)(p + 2)}{2}} \left( \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \alpha_{i_{p + 1}\ldots \hat i_{p + 1 - j} \ldots i_0} + (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_{p + 1}\ldots i_0}) \right) \end{align*}\]

Ainsi, nous concluons que \(d(\tau(\alpha)) = \tau(d(\alpha))\) parce que \(p(p + 1)/2 \equiv (p + 1)(p + 2)/2 + p + 1 \bmod 2\). En d’autres termes \(\tau\) est un endomorphisme du complexe \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\). Notez que le schéma \[\begin{matrix} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) & \longrightarrow & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \\ \downarrow \text{id} & & \downarrow \tau \\ \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) & \longrightarrow & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{matrix}\] commute. En outre, \(\tau\) est manifestement compatible avec les raffinements. Cela suggère que \(\tau\) agit comme l’identité sur la cohomologie de Čech, c’est-à-dire dans la colimite, dès que l’hypercohomologie de Čech coïncide avec l’hypercohomologie; c’est toujours le cas si l’on utilise des hyperrecouvrements. En fait, \(\tau\) est homotope à l’identité sur le complexe total de Čech \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\). Pour prouver cela, nous utilisons comme homotopie \[h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a} \quad\text{avec}\quad \epsilon_p(a) = (-1)^{\frac{(p - a)(p - a - 1)}{2} + p}\] pour \(\alpha\) du degré \(n\). Comme d’habitude nous omettons d’écrire \(|_{U_{i_0 \ldots i_p}}\). Cela fonctionne à cause du calcul suivant, encore avec \(\alpha\) un élément de degré \(n\):

\[\begin{align*} (d(h(\alpha)) + h(d(\alpha)))_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{k = 0}^p (-1)^k h(\alpha)_{i_0 \ldots \hat i_k \ldots i_p} + \\ & (-1)^p d_{\mathcal F}(h(\alpha)_{i_0 \ldots i_p}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) d(\alpha)_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a} \\ = & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = 0}^{k - 1} (-1)^k \epsilon_{p - 1}(a) \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots \hat{i_k} \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{k = 0}^p \sum\nolimits_{a = k + 1}^p (-1)^k \epsilon_{p - 1}(a - 1) \alpha_{i_0 \ldots \hat{i_k} \ldots i_a i_p \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p (-1)^p \epsilon_p(a) d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a}) + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = 0}^a \epsilon_p(a) (-1)^k \alpha_{i_0 \ldots \hat{i_k} \ldots i_a i_p \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \sum\nolimits_{k = a}^p \epsilon_p(a) (-1)^{p + a + 1 - k} \alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots \hat{i_k} \ldots i_a} + \\ & \sum\nolimits_{a = 0}^p \epsilon_p(a) (-1)^{p + 1} d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_a i_p \ldots i_a}) \\ = & \epsilon_p(0) \alpha_{i_p \ldots i_0} + \epsilon_p(p) (-1)^{p + 1} \alpha_{i_0 \ldots i_p} \\ = & (-1)^{\frac{p(p + 1)}{2}}\alpha_{i_p \ldots i_0} - \alpha_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\]

Les annulations suivent parce que \[(-1)^k \epsilon_{p - 1}(a) + \epsilon_p(a)(-1)^{p + a + 1 - k} = 0 \quad\text{et}\quad (-1)^k\epsilon_{p - 1}(a - 1) + \epsilon_p(a) (-1)^k = 0\] Nous laissons le lecteur vérifier les annulations.

Supposons que nous ayons deux complexes bornés inférieurement de faisceaux abéliens \({\mathcal F}^\bullet\) et \({\mathcal G}^\bullet\). Nous définissons le complexe \(\text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet)\) être complexe avec les termes \(\bigoplus_{p + q = n} {\mathcal F}^p \otimes {\mathcal G}^q\) et différentiel selon la règle

[07MA]\[\begin{equation} d(\alpha \otimes \beta) = d(\alpha)\otimes \beta + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \otimes d(\beta) \end{equation}\]

lorsque \(\alpha\) et \(\beta\) homogène, voir Homologie, définition 012Z.

Supposons que \(M^\bullet\) et \(N^\bullet\) soient deux complexes bornés inférieurement de groupes abéliens. Si \(m\), respectivement \(n\), est un cocycle de \(M^\bullet\), respectivement de \(N^\bullet\), il est immédiat que \(m \otimes n\) est un cocycle de \(\text{Tot}(M^\bullet\otimes N^\bullet)\). On obtient ainsi un produit cup \[H^i(M^\bullet) \times H^j(N^\bullet) \longrightarrow H^{i + j}(Tot(M^\bullet\otimes N^\bullet)).\] Ceci est discuté également dans Compléments sur l’algèbre, section 068G.

Ainsi, la construction du produit de la coupe dans l’hypercohomologie des complexes repose sur une construction d’une application des complexes

[07MB]\[\begin{equation} \text{Tot}\left( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}^\bullet)) \right) \longrightarrow \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes {\mathcal G}^\bullet) )) \end{equation}\]

Cette application est dénotée \(\cup\) et est donné par la règle \[(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_p} = \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_p}.\] où \(\alpha\) est de degré \(n\) et \(\beta\) de degré \(m\) et avec \[\epsilon(n, m, p, r) = (-1)^{(p + r)n + rp + r}.\] Notez que \(\epsilon(n, m, p, n) = 1\). Par conséquent, si \(\mathcal{F}^\bullet = \mathcal{F}[0]\) est le complexe constitué d’un seul faisceau abélien \(\mathcal{F}\) placé dans le degré \(0\), puis il n’y a pas de signes dans la formule pour \(\cup\) (comme dans ce cas \(\alpha_{i_0 \ldots i_r} = 0\) sauf \(r = n\)). Pour une explication de pourquoi il doit y avoir un signe et comment le calculer voir [SGA4, Exposé XVII] par Deligne. Pour vérifier (07MB) est une application des complexes que nous devons montrer que \[d(\alpha \cup \beta) = d(\alpha) \cup \beta + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \cup d(\beta)\] par la définition du différentiel \(\text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}^\bullet)) )\) tel qu’indiqué dans Homologie, définition 012Z. Nous calculons d’abord

\[\begin{align*} d(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j (\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{p + 1} d_{{\mathcal F} \otimes {\mathcal G}} ((\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_{p + 1}}) \\ = & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{r = 0}^{j - 1} (-1)^j \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{r = j + 1}^{p + 1} (-1)^j \epsilon(n, m, p, r - 1) \alpha_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) d_{{\mathcal F} \otimes {\mathcal G}} (\alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \end{align*}\]

et noter que les sommes dans le dernier terme égale \[(-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) \left( d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) \otimes \beta_{i_r \ldots i_{p + 1}} + (-1)^{n - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d_{\mathcal G}(\beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \right).\] parce que \(\deg_\mathcal{F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) = n - r\). D’un autre côté

\[\begin{align*} (d(\alpha) \cup \beta)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) d(\alpha)_{i_0\ldots i_r} \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{j = 0}^{r} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^j \alpha_{i_0\ldots\hat{i_j}\ldots i_r} \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r d_{\mathcal F}(\alpha_{i_0 \ldots i_r}) \otimes \beta_{i_r\ldots i_{p + 1}} \end{align*}\]

et

\[\begin{align*} (\alpha \cup d(\beta))_{i_0\ldots i_{p + 1}} = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d(\beta)_{i_r \ldots i_{p + 1}} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \sum\nolimits_{j = r}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{j - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes \beta_{i_r \ldots \hat{i_j}\ldots i_{p + 1}} + \\ & \sum\nolimits_{r = 0}^{p + 1} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{p + 1 - r} \alpha_{i_0 \ldots i_r} \otimes d_{\mathcal G}(\beta_{i_r \ldots i_{p + 1}}) \end{align*}\]

L’égalité souhaitée tient si nous avons

\[\begin{align*} (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) & = \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r \\ (-1)^{p + 1} \epsilon(n, m, p + 1, r) (-1)^{n - r} & = (-1)^n \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{p + 1 - r} \\ \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^r & = (-1)^{1 + n} \epsilon(n, m + 1, p + 1, r - 1) \\ (-1)^j \epsilon(n, m, p, r) & = (-1)^n \epsilon(n, m + 1, p + 1, r) (-1)^{j - r} \\ (-1)^j \epsilon(n, m, p, r - 1) & = \epsilon(n + 1, m, p + 1, r) (-1)^j \end{align*}\]

(La troisième égalité est nécessaire pour obtenir les \(r = j\) à partir \(d(\alpha) \cup \beta\) et \((-1)^n \alpha \cup d(\beta)\) Nous laissons les vérifications au lecteur. (Alternativement, vérifiez les script signs.gp dans le sous-répertoire scripts du projet Champs.)

Associativité du produit de la tasse. Supposons que \({\mathcal F}^\bullet\), \({\mathcal G}^\bullet\) et \({\mathcal H}^\bullet\) sont nés complexes d’intérieur de groupes abéliens sur \(X\). La carte évidente (sans intervention des signes) est un isomorphisme des complexes \[\text{Tot}( \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet) \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet ) \longrightarrow \text{Tot}( {\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} \text{Tot}({\mathcal G}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet) ).\] Une autre façon de dire ceci est que le triple complexe \({\mathcal F}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal H}^\bullet\) donne lieu à un complexe bien défini total avec différentiel satisfaisant \[d(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma) = d(\alpha) \otimes \beta \otimes \gamma + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \otimes d(\beta) \otimes \gamma + (-1)^{\deg(\alpha) + \deg(\beta)} \alpha \otimes \beta \otimes d(\gamma)\] pour les éléments homogènes. En utilisant cette application, il est facile de vérifier que \[(\alpha \cup \beta) \cup \gamma = \alpha \cup ( \beta \cup \gamma)\] à savoir, si \(\alpha\) est de degré \(a\), \(\beta\) de degré \(b\) et \(\gamma\) de degré \(c\), alors

\[\begin{align*} ((\alpha \cup \beta) \cup \gamma)_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(a + b, c, p, r) (\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \sum\nolimits_{s = 0}^r \epsilon(a + b, c, p, r) \epsilon(a, b, r, s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes \beta_{i_s \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \end{align*}\]

et

\[\begin{align*} (\alpha \cup (\beta \cup \gamma)_{i_0\ldots i_p} = & \sum\nolimits_{s = 0}^p \epsilon(a, b + c, p, s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes (\beta \cup \gamma)_{i_s \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{s = 0}^p \sum\nolimits_{r = s}^p \epsilon(a, b + c, p, s) \epsilon(b, c, p - s, r - s) \alpha_{i_0 \ldots i_s} \otimes \beta_{i_s \ldots i_r} \otimes \gamma_{i_r \ldots i_p} \end{align*}\]

et un mod trivial \(2\) (Alternativement, vérifiez les script signs.gp dans le sous-répertoire scripts du projet Champs.)

Enfin, nous indiquons pourquoi le produit de la coupe conserve une structure commutative gradée, au moins au niveau cohomologique. \(\tau\) présenté ci-dessus. Soit \({\mathcal F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de groupes abéliens, muni d’une multiplication commutative graduée \[\wedge^\bullet : \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow {\mathcal F}^\bullet.\] Cela signifie ce qui suit : \(s\) une section locale de \({\mathcal F}^a\), \(t\) une section locale de \({\mathcal F}^b\) Nous avons \(s \wedge t\) une section locale de \({\mathcal F}^{a + b}\). Commutatif graduel signifie que nous avons \(s \wedge t = (-1)^{ab} t \wedge s\)Depuis... \(\wedge\) est une application des complexes que nous avons \(d(s\wedge t) = d(s) \wedge t + (-1)^a s \wedge d(t)\). La composition \[\text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \otimes \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \to \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}({\mathcal F}^\bullet\otimes_{\mathbf Z}{\mathcal F}^\bullet)) ) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\] induit une tasse produit sur la cohomologie \[H^n( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \times H^m( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) ) \longrightarrow H^{n + m}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) )\] et donc, après passage à la limite inductive, également un produit sur la cohomologie de Čech et, par conséquent (en utilisant des hyperrecouvrements si nécessaire), un produit sur la cohomologie de \({\mathcal F}^\bullet\). Nous affirmons que ce produit (sur la cohomologie) est lui aussi commutatif gradué. Pour le prouver, considérons d’abord un élément \(\alpha\) de degré \(n\) dans \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) et un élément \(\beta\) de degré \(m\) dans \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) et calculons

\[\begin{align*} \wedge^\bullet(\alpha \cup \beta)_{i_0 \ldots i_p} = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) \alpha_{i_0 \ldots i_r} \wedge \beta_{i_r \ldots i_p} \\ = & \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(n, m, p, r) (-1)^{\deg(\alpha_{i_0 \ldots i_r})\deg(\beta_{i_r \ldots i_p})} \beta_{i_r \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_r} \end{align*}\]

parce que \(\wedge\) est classé comme commutatif. D’autre part, nous avons

\[\begin{align*} \tau(\wedge^\bullet(\tau(\beta) \cup \tau(\alpha)))_{i_0 \ldots i_p} = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, r) \tau(\beta)_{i_p \ldots i_{p - r}} \wedge \tau(\alpha)_{i_{p - r} \ldots i_0} \\ = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, r) \chi(r) \chi(p - r) \beta_{i_{p - r} \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_{p - r}} \\ = & \chi(p) \sum\nolimits_{r = 0}^p \epsilon(m, n, p, p - r) \chi(r) \chi(p - r) \beta_{i_r \ldots i_p} \wedge \alpha_{i_0 \ldots i_r} \end{align*}\]

où \(\chi(t) = (-1)^{\frac{t(t + 1)}{2}}\). Puisque nous avons prouvé plus tôt que \(\tau\) agit comme l’identité sur la cohomologie, nous devons vérifier que \[\epsilon(n, m, p, r) (-1)^{(n - r)(m - (p - r))} = (-1)^{nm} \chi(p)\epsilon(m, n, p, p - r) \chi(r) \chi(p - r)\] Un calcul immédiat modulo \(2\) le vérifie. On peut aussi consulter le script signs.gp dans le sous-répertoire scripts du projet Champs.

Enfin, étudions la compatibilité du produit cup avec les applications de bord. Supposons que \[0 \to {\mathcal F}_1^\bullet \to {\mathcal F}_2^\bullet \to {\mathcal F}_3^\bullet \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \leftarrow {\mathcal G}_1^\bullet \leftarrow {\mathcal G}_2^\bullet \leftarrow {\mathcal G}_3^\bullet \leftarrow 0\] soient des suites exactes courtes de complexes bornés inférieurement de faisceaux abéliens sur \(X\). Soit \({\mathcal H}^\bullet\) un autre complexe borné inférieurement de faisceaux abéliens, et supposons que nous ayons des morphismes de complexes \[\gamma_i : \text{Tot}({\mathcal F}_i^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_i^\bullet) \longrightarrow {\mathcal H}^\bullet\] compatibles avec les morphismes entre ces complexes, c’est-à-dire tels que les diagrammes \[\xymatrix{ \text{Tot}({\mathcal F}_1^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_1^\bullet) \ar[d]_{\gamma_1} & \text{Tot}({\mathcal F}_1^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{H}^\bullet & \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_2} }\] et \[\xymatrix{ \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_2^\bullet) \ar[d]_{\gamma_2} & \text{Tot}({\mathcal F}_2^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_3^\bullet) \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{H}^\bullet & \text{Tot}({\mathcal F}_3^\bullet \otimes_{\mathbf Z} {\mathcal G}_3^\bullet) \ar[l]_-{\gamma_3} }\] sont commutatifs.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que la cohomologie de Čech coïncide avec la cohomologie pour les faisceaux \(\mathcal{F}_i^p\) et \(\mathcal{G}_j^q\). Soient \(a_3 \in H^n(X, \mathcal{F}_3^\bullet)\) et \(b_1 \in H^m(X, \mathcal{G}_1^\bullet)\). Alors \[\gamma_1( \partial a_3 \cup b_1) = (-1)^{n + 1} \gamma_3( a_3 \cup \partial b_1)\] dans \(H^{n + m + 1}(X, \mathcal{H}^\bullet)\), où \(\partial\) désigne l’application de bord en cohomologie associée aux suites exactes courtes de complexes ci-dessus.

Démonstration

Nous utiliserons les conventions et notations suivantes. Nous considérons \({\mathcal F}_1^p\) comme un sous-faisceau de \({\mathcal F}_2^p\) et \({\mathcal G}_3^q\) comme un sous-faisceau de \({\mathcal G}_2^q\). Ainsi, si \(s\) est une section locale de \({\mathcal F}_1^p\), nous notons encore \(s\) la section correspondante de \({\mathcal F}_2^p\). De même pour les sections locales de \({\mathcal G}_3^q\). En outre, si \(s\) est une section locale de \({\mathcal F}_2^p\), nous notons \(\bar s\) son image dans \({\mathcal F}_3^p\). On adopte la même convention pour l’application \({\mathcal G}_2^q \to {\mathcal G}^q_1\). En particulier, si \(s\) est une section locale de \({\mathcal F}_2^p\) et \(\bar s = 0\) alors \(s\) est une section locale de \({\mathcal F}_1^p\). La commutativité des diagrammes ci-dessus implique, pour les sections locales \(s\) de \({\mathcal F}_2^p\) et \(t\) de \({\mathcal G}_3^q\) que \(\gamma_2(s \otimes t) = \gamma_3(\bar s \otimes t)\) en tant que sections \({\mathcal H}^{p + q}\).

Soit \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert de \(X\). Supposons que \(\alpha_3\), respectivement \(\beta_1\), soit un cocycle de degré \(n\), respectivement \(m\), de \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_3^\bullet))\), respectivement de \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_1^\bullet))\) représentant \(a_3\), respectivement \(b_1\). Après avoir raffiné \(\mathcal{U}\) si nécessaire, nous pouvons trouver des cochaînes \(\alpha_2\), respectivement \(\beta_2\), de degré \(n\), respectivement \(m\), dans \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_2^\bullet))\), respectivement dans \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_2^\bullet))\) qui s’envoient sur \(\alpha_3\), respectivement \(\beta_1\). On a alors \[\overline{d(\alpha_2)} = d(\bar \alpha_2) = 0 \quad\text{et}\quad \overline{d(\beta_2)} = d(\bar \beta_2) = 0.\] Cela signifie que \(\alpha_1 = d(\alpha_2)\) est un cocycle de degré \(n + 1\) dans \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal F}_1^\bullet))\) représentant \(\partial a_3\). De même, \(\beta_3 = d(\beta_2)\) est un cocycle de degré \(m + 1\) dans \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, {\mathcal G}_3^\bullet))\) représentant \(\partial b_1\). Ainsi nous pouvons calculer

\[\begin{align*} d(\gamma_2(\alpha_2 \cup \beta_2)) & = \gamma_2(d(\alpha_2 \cup \beta_2)) \\ & = \gamma_2(d(\alpha_2) \cup \beta_2 + (-1)^n \alpha_2 \cup d(\beta_2) ) \\ & = \gamma_2( \alpha_1 \cup \beta_2) + (-1)^n \gamma_2( \alpha_2 \cup \beta_3) \\ & = \gamma_1(\alpha_1 \cup \beta_1) + (-1)^n \gamma_3(\alpha_3 \cup \beta_3) \end{align*}\]

Donc cela nous dit même que le signe est \((-1)^{n + 1}\) comme indiqué dans le lemme².

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}'\) est de carré nul. Alors \(M = H^1(X, \mathcal{I})\) est un \(R = H^0(X, \mathcal{O})\)-module et l’application de bord \(\partial : R \to M\) associée à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] est une dérivation (Algèbre, définition 00RN).

Démonstration

L’application \(\mathcal{O}' \to \SheafHom(\mathcal{I}, \mathcal{I})\) se factorise par \(\mathcal{O}\) puisque \(\mathcal{I} \cdot \mathcal{I} = 0\) par hypothèse. Ainsi, \(\mathcal{I}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, ce qui définit la structure de \(R\)-module sur \(M\). L’application de bord est additive; il suffit donc de prouver la règle de Leibniz. Soit \(f \in R\). Choisissons un recouvrement ouvert \(\mathcal{U} : X = \bigcup U_i\) tel qu’il existe des éléments \(f_i \in \mathcal{O}'(U_i)\) relevant \(f|_{U_i} \in \mathcal{O}(U_i)\). Remarquons que \(f_i - f_j\) appartient à \(\mathcal{I}(U_i \cap U_j)\). Alors \(\partial(f)\) correspond à la classe de cohomologie de Čech du \(1\)-cocycle \(\alpha\) défini par \(\alpha_{i_0i_1} = f_{i_0} - f_{i_1}\). (D’après le lemme 0B8R, le premier groupe de cohomologie de Čech relatif à \(\mathcal{U}\) est un sous-module de \(M\).) Soit ensuite \(g \in R\) un second élément et supposons, après avoir éventuellement raffiné le recouvrement ouvert, que \(g_i \in \mathcal{O}'(U_i)\) relève \(g|_{U_i} \in \mathcal{O}(U_i)\). Alors nous voyons que \(\partial(g)\) est donné par le cocycle \(\beta\) avec \(\beta_{i_0i_1} = g_{i_0} - g_{i_1}\). Comme \(f_ig_i \in \mathcal{O}'(U_i)\) relève \(fg|_{U_i}\), on voit que \(\partial(fg)\) est donné par le cocycle \(\gamma\) avec \[\gamma_{i_0i_1} = f_{i_0}g_{i_0} - f_{i_1}g_{i_1} = (f_{i_0} - f_{i_1})g_{i_0} + f_{i_1}(g_{i_0} - g_{i_1}) = \alpha_{i_0i_1}g + f\beta_{i_0i_1}\] par notre définition du \(\mathcal{O}\)-module structure sur \(\mathcal{I}\). Cela prouve la règle de Leibniz et la preuve est complète.

Résolutions plates

Une référence pour le contenu de cette section est [Spaltenstein]. Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. D’après Modules, lemme 05NI, tout \(\mathcal{O}_X\)-module est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module plat. D’après Catégories dérivées, lemme 05T7, tout complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules admet une résolution à gauche par un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules plats. Pour les complexes non bornés, toutefois, les résolutions plates ne suffisent pas.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Les foncteurs \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}^\bullet)\] et \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] sont des foncteurs exacts de catégories triangulées.

Démonstration

Cela résulte de Catégories dérivées, remarque 0G6E.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules est dit K-plat si, pour tout complexe acyclique \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, le complexe \[\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] est acyclique.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe K-plat. Alors le foncteur \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] transforme les quasi-isomorphismes en quasi-isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06Y8 et le fait que les quasi-isomorphismes sont caractérisés par des cônes acycliques.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Le complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat si et seulement si, pour tout \(x \in X\), le complexe \(\mathcal{K}_x^\bullet\) de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules est K-plat (Compléments sur l’algèbre, définition 06XZ).

Démonstration

Si \(\mathcal{K}_x^\bullet\) est K-plat pour tout \(x \in X\), alors \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, car \(\otimes\) et les sommes directes commutent à la prise des germes et l’exactitude se vérifie sur les germes; voir Modules, lemme 01AG. Réciproquement, supposons \(\mathcal{K}^\bullet\) K-plat. Fixons \(x \in X\) et soit \(M^\bullet\) un complexe acyclique de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Alors \(i_{x, *}M^\bullet\) est un complexe acyclique de \(\mathcal{O}_X\)-modules, donc \(\text{Tot}(i_{x, *}M^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\) est acyclique. En prenant le germe en \(x\), on voit que \(\text{Tot}(M^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_x^\bullet)\) est acyclique.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Si \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{L}^\bullet\) sont des complexes K-plats de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Cela résulte de l’isomorphisme \[\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)) = \text{Tot}(\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\] et la définition.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((\mathcal{K}_1^\bullet, \mathcal{K}_2^\bullet, \mathcal{K}_3^\bullet)\) un triangle distingué dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\). Si deux des trois complexes \(\mathcal{K}_i^\bullet\) sont K-plats, alors le troisième l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06Y8 et du fait que, dans un triangle distingué de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\), si deux des trois objets sont acycliques, alors le troisième l’est aussi.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(0 \to \mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \mathcal{K}_3^\bullet \to 0\) une suite exacte courte de complexes, dont les termes de \(\mathcal{K}_3^\bullet\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules plats. Si deux des trois complexes \(\mathcal{K}_i^\bullet\) sont K-plats, alors le troisième l’est aussi.

Démonstration

D’après Modules, lemme 05NJ, pour tout complexe \(\mathcal{L}^\bullet\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_1^\bullet) \to 0\] de complexes. Le lemme résulte donc de la suite exacte longue des faisceaux de cohomologie et de la définition des complexes K-plats.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’image inverse d’un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_Y\)-modules est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Nous pouvons vérifier ceci sur les germes, voir lemme 06YB. C’est ainsi que ceci résulte de Faisceaux, lemme 0098 et Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y1.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Tout complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules plats est K-plat.

Démonstration

Nous pouvons vérifier ceci sur les germes, voir lemme 06YB. Ainsi ce lemme suit des Modules, lemme 05NE et Compléments sur l’algèbre, lemme 064K.

Dans le lemme suivant, la colimite d’un système de complexes désigne la colimite terme à terme.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\) un système de complexes K-plats. Alors \(\colim_i \mathcal{K}_i^\bullet\) est K-plat.

Démonstration

Puisque nous prenons les colimites terme à terme, il est clair que \[\colim_i \text{Tot}( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_i^\bullet) = \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \colim_i \mathcal{K}_i^\bullet)\] Le lemme découle donc de l’exactitude des colimites filtrantes.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Pour tout complexe \(\mathcal{G}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules il existe un diagramme commutatif des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] avec les propriétés suivantes : (1) les flèches verticales sont des quasi-isomorphismes et sont surjectives terme à terme, (2) chaque \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement dont les termes sont des sommes directes de \(\mathcal{O}_X\)-modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\), et (3) les applications \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}_{n + 1}^\bullet\) sont des injections scindées terme à terme dont les conoyaux sont des sommes directes de \(\mathcal{O}_X\)-modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\). En outre, l’application \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

L’existence du diagramme et les propriétés (1), (2), (3) résultent immédiatement de Modules, lemme 05NI, et de Catégories dérivées, lemme 06XX. L’application induite \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme parce que les colimites filtrantes sont exactes.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Pour tout complexe \(\mathcal{G}^\bullet\), il existe un complexe \(K\)-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) dont les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules plats, ainsi qu’un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) surjectif terme à terme.

Démonstration

Choisissez un diagramme comme dans lemme 079T. Chaque complexe \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de modules plats, voir Modules, lemme 05NH. D’où \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est K-plat par lemme 06YD. Ainsi \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\) est K-plat par lemme 06YE. La carte induite \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme et surjectif par construction. Propriété (3) de lemme 079T montre que \(\colim \mathcal{K}_n^m\) est une somme directe de modules plats et donc plats qui prouve l’affirmation finale.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\alpha : \mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{Q}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes K-plats de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour tout complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, l’application induite \[\text{Tot}(\text{id}_{\mathcal{F}^\bullet} \otimes \alpha) : \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Choisissez un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) où \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat; voir le lemme 06YF. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Q}^\bullet) }\] Le résultat découle du lemme 06YA : les flèches verticales et la flèche horizontale supérieure sont des quasi-isomorphismes.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Choisissons une résolution K-plate \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\); voir le lemme 06YF. Le lemme 06Y8 fournit un foncteur exact entre catégories triangulées \[K(\mathcal{O}_X) \longrightarrow K(\mathcal{O}_X), \quad \mathcal{G}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet)\] D’après le lemme 06YA, ce foncteur induit un foncteur \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\), puisque \(D(\mathcal{O}_X)\) est la localisation de \(K(\mathcal{O}_X)\) relativement aux quasi-isomorphismes. Comme la catégorie des résolutions \(K\)-plates de \(\mathcal{F}^\bullet\) est cofiltrante et compte tenu du lemme 06YG, le foncteur obtenu, à isomorphisme près, ne dépend pas du choix de \(\mathcal{K}^\bullet\).

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Le produit tensoriel dérivé \[- \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] est le foncteur exact des catégories triangulées décrites ci-dessus.

Il ressort clairement de nos constructions explicites qu’il y a un isomorphisme canonique \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet \cong \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet\] pour \(\mathcal{G}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Ici nous utilisons les règles des signes comme indiqué dans Compléments sur l’algèbre, section 0FNG. Par conséquent, lorsque nous écrivons \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) nous serons généralement agnostiques sur quelle variable nous utilisons pour définir le produit tensoriel dérivé avec.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) \(\mathcal{O}_X\)-modules. Les Tor de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont définis par la formule \[\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = H^{-p}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G})\] avec produit tensoriel dérivé comme défini ci-dessus.

Cette définition implique que, pour toute suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), nous avons une suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r] & 0 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \ar[ull] }\] pour chaque \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\). Ceci sera appelé la suite exacte longue de \(\text{Tor}\) associée à la situation.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat, et

2. \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Si \(\mathcal{F}\) est plat, alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} -\) est un foncteur exact et ses foncteurs dérivés s’annulent. Réciproquement, supposons (2). Si \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est injectif, de conoyau \(\mathcal{Q}\), la suite exacte longue de \(\text{Tor}\) montre que le noyau de \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H}\) est un quotient de \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{Q})\), qui est nul par hypothèse. Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est plat.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, alors il existe un complexe \(\mathcal{N}^\bullet\) et des morphismes de complexes \(b : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\) et \(c : \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) de telle manière que

1. \(\mathcal{N}^\bullet\) est K-plat,

2. \(c\) est un quasi-isomorphisme,

3. \(a\) est homotopique à \(c \circ b\).

Si les termes de \(\mathcal{K}^\bullet\) sont plats, alors nous pouvons choisir \(\mathcal{N}^\bullet\), \(b\), \(c\) tel que la même chose est vraie pour \(\mathcal{N}^\bullet\).

Démonstration

Nous utiliserons que la catégorie homotopie \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))\) est une catégorie triangulée, voir Catégories dérivées, proposition 014S. Choisissez un triangle distingué \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). Choisissez un quasi-isomorphisme \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet\) avec \(\mathcal{M}^\bullet\) K-plat avec des termes plats, voir lemme 06YF. Par les axiomes des catégories triangulées, nous pouvons correspondre à la composition \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\) dans un triangle distingué \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). D’après le lemme 079S Nous voyons que \(\mathcal{N}^\bullet\) est K-plat. En utilisant de nouveau les axiomes des catégories triangulées, nous pouvons choisir une application \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) qui définit un morphisme entre les triangles distingués suivants \[\xymatrix{ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{N}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet[1] \ar[d] \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{L}^\bullet \ar[r] & \mathcal{C}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet[1] }\] Puisque deux des trois flèches sont quasi-isomorphismes, ainsi est la troisième flèche \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) par les suites exécute des longues de cohomologie associées à ces triangles distingués (ou vous pouvez regarder l’image de ce diagramme en \(D(\mathcal{O}_X)\) et utiliser Derived Catégories, lemme 014A si vous le souhaitez). Ceci termine la preuve de (1), (2), et (3). Pour prouver l’affirmation finale, nous pouvons choisir \(\mathcal{N}^\bullet\) de telle manière que \(\mathcal{N}^n \cong \mathcal{M}^n \oplus \mathcal{K}^n\), voir Catégories dérivées, lemme 0G6C. Nous obtenons donc la planéité désirée si les termes de \(\mathcal{K}^\bullet\) Ils sont plats.

Image inverse dérivée

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Les résolutions K-plates permettent de définir le foncteur image inverse dérivée \[Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\] Plus précisément, pour tout complexe de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \(\mathcal{G}^\bullet\), choisissons une résolution K-plate \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) et posons \(Lf^*\mathcal{G}^\bullet = f^*\mathcal{K}^\bullet\). Les lemmes 06YC, 06YF et 06YG montrent que cette définition est indépendante des choix. Pour régler tous les détails, il est toutefois plus commode d’employer une théorie générale.

Lemme

La construction ci-dessus est indépendante des choix et définit un foncteur exact des catégories triangulées \(Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Pour cela, nous utilisons la théorie générale développée dans Catégories dérivées, section 05S7. Posons \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}_Y)\) et \(\mathcal{D}' = D(\mathcal{O}_X)\). Notons \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) le foncteur exact entre catégories triangulées défini par la règle \(F(\mathcal{G}^\bullet) = f^*\mathcal{G}^\bullet\). Soit \(S\) l’ensemble des quasi-isomorphismes de \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}_Y)\). On obtient une situation comme dans Catégories dérivées, situation 05S8, de sorte que Catégories dérivées, définition 05S9 est applicable. Nous affirmons que \(LF\) est défini partout. Cela résulte de Catégories dérivées, lemme 06XN, en prenant pour \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\) la collection des complexes \(K\)-plats : la condition (1) résulte du lemme 06YF; pour vérifier (2), il faut montrer que, pour tout quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet\) entre complexes K-plats de \(\mathcal{O}_Y\)-modules, l’application \(f^*\mathcal{K}_1^\bullet \to f^*\mathcal{K}_2^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Écrivons cette application sous la forme \[f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X \longrightarrow f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X\] Le foncteur \(f^{-1}\) est exact; l’application \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \to f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\) est donc un quasi-isomorphisme. Le lemme 06YC, appliqué au morphisme \((X, f^{-1}\mathcal{O}_Y) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) montre que les complexes \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet\) et \(f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\) sont des complexes K-plats de \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-modules. Le lemme 06YG garantit que l’application affichée est un quasi-isomorphisme. \[LF : D(\mathcal{O}_Y) = S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}' = D(\mathcal{O}_X)\] Voir Catégories dérivées, Équation (05SW). Enfin, les catégories dérivées, lemme 06XN garantit également que \(LF(\mathcal{K}^\bullet) = F(\mathcal{K}^\bullet) = f^*\mathcal{K}^\bullet\) lorsque \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, c’est-à-dire, \(Lf^* = LF\) est effectivement calculé de la manière décrite ci-dessus.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Alors \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_Z) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_Z)\). Par construction, \(Lg^*E\) se calcule en choisissant un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(E\) sur \(Z\) et en posant \(Lg^*E = g^*\mathcal{K}^\bullet\). D’après le lemme 06YC, \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat sur \(Y\). Ainsi, \(Lf^*Lg^*E\) est représenté par \(f^*g^*\mathcal{K}^\bullet = (g \circ f)^*\mathcal{K}^\bullet\), qui représente également \(L(g \circ f)^*E\).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Il existe un isomorphisme canonique bifonctoriel \[Lf^*( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet ) = Lf^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet\] pour \(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_Y))\).

Démonstration

On peut supposer que \(\mathcal{F}^\bullet\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) sont des complexes K-plats. Dans ce cas, \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) est le complexe total associé au bicomplexe \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet\). D’après le lemme 079R, \(\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet)\) est lui aussi K-plat. L’isomorphisme du lemme provient donc de l’isomorphisme \[\text{Tot}(f^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow f^*\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^\bullet)\] dont les constituants sont les isomorphismes \(f^*\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}^q \to f^*(\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}^q)\) des modules, lemme 01CD.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Il y a un isomorphisme bifonctionnel canonique \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}^{\mathbf{L}} f^{-1}\mathcal{G}^\bullet\] pour \(\mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module et soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module. Alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\) parce que \(f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\). Le lemme suit de ceci et les définitions.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme des espaces annelés. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes des modules \(\mathcal{O}_Y\). Le schéma \[\xymatrix{ Lf^*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ Lf^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} f^*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] se déplace.

Démonstration

Nous utiliserons l’existence de résolutions K-plates comme dans le lemme 06YC. Si nous choisissons ces résolutions \(\mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{Q}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet\), alors nous voyons que \[\xymatrix{ Lf^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(f^*\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] commute. Or le côté gauche de ce diagramme coïncide avec celui du diagramme de l’énoncé, par notre choix de \(\mathcal{P}^\bullet\) et \(\mathcal{Q}^\bullet\) et par le lemme 079R.

Cohomologie des complexes non bornés

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck : elle admet toutes les colimites, les colimites filtrantes y sont exactes et elle possède un générateur, à savoir \[\bigoplus\nolimits_{U \subset X\text{ open}} j_{U!}\mathcal{O}_U,\] voir Modules, section 01AF et les lemmes 05NH et 05NI. Par Injectifs, théorème 079P pour tout complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont tous les termes sont injectifs; \(\mathcal{O}_X\)-modules; de plus, cette inclusion peut être choisie fonctoriellement en le complexe \(\mathcal{F}^\bullet\). Il résulte alors de Catégories dérivées, lemme 070K, que

1. tout foncteur exact \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \to \mathcal{D}\) à valeurs dans une catégorie triangulée \(\mathcal{D}\) admet un foncteur dérivé à droite \(RF : D(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{D}\),

2. pour tout foncteur additif \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{A}\) à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), on considère le foncteur exact \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \to K(\mathcal{A})\) induit par \(F\) et nous obtenons un foncteur dérivé à droite \(RF : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{A})\).

Par construction, on a \(RF(\mathcal{F}^\bullet) = F(\mathcal{I}^\bullet)\), où \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) est comme ci-dessus.

Voici quelques exemples de ce qui précède :

1. Le foncteur \(\Gamma(X, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\Gamma(X, \mathcal{O}_X)}\) donne lieu à \[R\Gamma(X, -) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] Nous utiliserons la notation \(H^i(X, K) = H^i(R\Gamma(X, K))\) pour la cohomologie.

2. Pour un \(U \subset X\) ouvert nous considérons le foncteur \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\Gamma(U, \mathcal{O}_X)}\). Ceci donne lieu à \[R\Gamma(U, -) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(U, \mathcal{O}_X))\] Nous utiliserons la notation \(H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, K))\) pour la cohomologie.

3. Pour un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) nous considérons le foncteur \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)\) qui donne lieu à l’image directe totale \[Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y)\] sur des catégories dérivées non délimitées.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme des espaces annelés. Le foncteur \(Rf_*\) défini ci-dessus et le foncteur \(Lf^*\) défini dans le lemme 06YJ sont adjoints: \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Lf^*\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{G}^\bullet, Rf_*\mathcal{F}^\bullet)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_X))\) et \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}_Y))\).

Démonstration

Ceci résulte formellement du fait que \(Rf_*\) et \(Lf^*\) existent, voir Catégories dérivées, lemme 09T5.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Alors \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Z)\).

Démonstration

Par lemme 079W nous voyons que \(Rg_* \circ Rf_*\) est adjoint à \(Lf^* \circ Lg^*\). Nous avons \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\) par lemme 0D5S et donc par unicité des foncteurs adjoints nous avons \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\).

Remarque

La construction des foncteurs dérivés \(Lf^*\) et \(Rf_*\) permet de construire l’application de changement de base en pleine généralité. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] soit un diagramme commutatif d’espaces annelés. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Il existe alors une application canonique de changement de base \[Lg^*Rf_*K \longrightarrow R(f')_*L(g')^*K\] dans \(D(\mathcal{O}_{S'})\). Cette application est, par adjonction, associée à une application \(L(f')^*Lg^*Rf_*K \to L(g')^*K\) Puisque \(L(f')^*Lg^* = L(g')^*Lf^*\), il s’agit de la même chose que de donner une application \(L(g')^*Lf^*Rf_*K \to L(g')^*K\) que nous pouvons prendre pour être \(L(g')^*\) de l’application d’adjonction \(Lf^*Rf_*K \to K\).

Remarque

Considérez un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] d’espaces annelés. Les applications de changement de base de la remarque 08HY associées aux deux carrés se composent en l’application de changement de base du rectangle extérieur. Plus précisément, la composée

\[\begin{align*} Lm^* \circ R(g \circ f)_* & = Lm^* \circ Rg_* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Ll^* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Rf'_* \circ Lk^* \\ & = R(g' \circ f')_* \circ Lk^* \end{align*}\]

est l’application de changement de base pour le rectangle. Nous omettons la vérification.

Remarque

Considérez un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] d’espaces annelés. Les applications de changement de base de la remarque 08HY associées aux deux carrés se composent en l’application de changement de base du rectangle extérieur. Plus précisément, la composée

\[\begin{align*} L(h \circ h')^* \circ Rf_* & = L(h')^* \circ Lh_* \circ Rf_* \\ & \to L(h')^* \circ Rf'_* \circ Lg^* \\ & \to Rf''_* \circ L(g')^* \circ Lg^* \\ & = Rf''_* \circ L(g \circ g')^* \end{align*}\]

est l’application de changement de base pour le rectangle. Nous omettons la vérification.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Le diagramme \[\xymatrix{ Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet }\] provenant de \(Lf^* \to f^*\) sur les complexes, \(f_* \to Rf_*\) sur les complexes, et l’adjonction \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\) se déplace dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Nous utiliserons l’existence de résolutions K-plates et de résolutions K-injectives; voir le lemme 06YC et la discussion ci-dessus. Choisissez un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) où \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injective comme un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Choisissez un quasi-isomorphisme \(\mathcal{Q}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\) où \(\mathcal{Q}^\bullet\) est K-plat comme un complexe de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Nous pouvons choisir un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \(\mathcal{P}^\bullet\) et un diagramme de morphismes de complexes \[\xymatrix{ \mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet }\] commutatif à homotopie près, dont la flèche horizontale supérieure est un quasi-isomorphisme. Un tel \(\mathcal{P}^\bullet\) existe parce que les quasi-isomorphismes forment un système multiplicatif dans la catégorie homotopique des complexes; on peut ensuite remplacer \(\mathcal{P}^\bullet\) par un complexe K-plat. En appliquant l’image inverse, on obtient un diagramme de morphismes de complexes \[\xymatrix{ f^*\mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ f^*\mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f^*f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet }\] Le rectangle extérieur prouve l’assertion du lemme.

Remarque

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. L’adjonction entre \(Lf^*\) et \(Rf_*\) permet de construire un produit cup relatif \[Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \longrightarrow Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O}_Y)\) pour tous \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Autrement dit, cette application est adjointe à une application \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) pour laquelle nous pouvons prendre la composition de l’isomorphisme \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L\) (lemme 079U) avec l’application \(Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) provenant de la co-unité \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\).

Cohomologie des complexes filtrés

Les complexes filtrés de faisceaux apparaissent souvent de manière naturelle dans l’étude de la cohomologie des variétés algébriques; par exemple, le complexe de de Rham est muni de sa filtration de Hodge. Dans cette section, nous utilisons le très général lemme 0BKI d’Injectifs pour construire des suites spectrales en cohomologie et les relier à celles construites précédemment.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe une suite spectrale canonique \((E_r, \text{d}_r)_{r \geq 1}\) de \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)-modules bigradués, où \(d_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\), et \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, \text{gr}^p\mathcal{F}^\bullet)\] Si, pour tout \(n\), on a \[H^n(X, F^p\mathcal{F}^\bullet) = 0\text{ pour }p \gg 0 \quad\text{et}\quad H^n(X, F^p\mathcal{F}^\bullet) = H^n(X, \mathcal{F}^\bullet)\text{ pour }p \ll 0\] alors la suite spectrale est bornée et converge vers \(H^*(X, \mathcal{F}^\bullet)\).

Démonstration

(Pour une preuve dans le cas d’un complexe borné inférieurement de modules munis de filtrations finies, voir la remarque ci-dessous.) Choisissons un morphisme de complexes filtrés \(j : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) comme dans Injectifs, lemme 0BKI. La suite spectrale est celle d’Homologie, section 012K, associée au complexe filtré \[\Gamma(X, \mathcal{J}^\bullet) \quad\text{avec}\quad F^p\Gamma(X, \mathcal{J}^\bullet) = \Gamma(X, F^p\mathcal{J}^\bullet)\] Comme la cohomologie se calcule sur des représentants K-injectifs, la page \(E_1\) est celle indiquée dans le lemme. Sous les hypothèses énoncées, la convergence et le caractère borné résultent d’Homologie, lemme 0BK5.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{F}^\bullet\) est borné inférieurement et si, pour tout \(n\), la filtration de \(\mathcal{F}^n\) est finie, on peut construire la suite spectrale du lemme 0BKK sans recourir à Injectifs, lemme 0BKI. En effet, d’après Catégories dérivées, lemme 05TW il y a un quasi-isomorphisme filtré \(i : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) de complexes filtrés, où \(\mathcal{I}^\bullet\) est borné inférieurement, où la filtration de \(\mathcal{I}^n\) est finie pour tout \(n\) et où chaque \(\text{gr}^p\mathcal{I}^n\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Nous prenons alors la suite spectrale associée à \[\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) \quad\text{avec}\quad F^p\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \Gamma(X, F^p\mathcal{I}^\bullet)\] Comme la cohomologie se calcule sur des complexes bornés inférieurement d’injectifs, la page \(E_1\) est celle indiquée dans le lemme. Sous les hypothèses énoncées, la convergence et le caractère borné résultent d’Homologie, lemme 012W. Il s’agit en fait d’un cas particulier de la suite spectrale de Catégories dérivées, lemme 015W.

Exemple

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous pouvons appliquer le lemme 0BKK avec \(F^p\mathcal{F}^\bullet = \tau_{\leq -p}\mathcal{F}^\bullet\). (Si \(\mathcal{F}^\bullet\) est borné inférieurement, nous pouvons utiliser la remarque 0BKL.) Nous obtenons alors une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, H^{-p}(\mathcal{F}^\bullet)[p]) = H^{2p + q}(X, H^{-p}(\mathcal{F}^\bullet))\] Après renumérotation \(p = -j\) et \(q = i + 2j\), on voit que, pour tout \(K \in D(\mathcal{O}_X)\), il existe une suite spectrale \((E'_r, d'_r)_{r \geq 2}\) de modules bigradués, où \(d'_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\), et telle que \[(E'_2)^{i, j} = H^i(X, H^j(K))\] Si \(K\) est borné inférieurement, par exemple, cette suite spectrale est bornée et converge vers \(H^{i + j}(X, K)\). Dans le cas borné inférieurement, elle est un exemple de la seconde suite spectrale de Catégories dérivées, lemme 015J (construit en utilisant les résolutions de Cartan-Eilenberg).

Exemple

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous pouvons appliquer le lemme 0BKK avec \(F^p\mathcal{F}^\bullet = \sigma_{\geq p}\mathcal{F}^\bullet\). Nous obtenons alors une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^{p + q}(X, \mathcal{F}^p[-p]) = H^q(X, \mathcal{F}^p)\] Si \(\mathcal{F}^\bullet\) est borné inférieurement, alors

1. Nous pouvons utiliser la remarque 0BKL pour construire cette suite spectrale,

2. la suite spectrale est bornée et converge vers \(H^{i + j}(X, \mathcal{F}^\bullet)\),

3. la suite spectrale est égale à la première suite spectrale de Catégories dérivées, lemme 015J (construit en utilisant les résolutions de Cartan-Eilenberg).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés, et soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe filtré de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe une suite spectrale canonique \((E_r, \text{d}_r)_{r \geq 1}\) de \(\mathcal{O}_Y\)-modules bigradués, où \(d_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\), et \[E_1^{p, q} = R^{p + q}f_*\text{gr}^p\mathcal{F}^\bullet\] Si pour chaque \(n\) nous avons \[R^nf_*F^p\mathcal{F}^\bullet = 0 \text{ pour }p \gg 0 \quad\text{et}\quad R^nf_*F^p\mathcal{F}^\bullet = R^nf_*\mathcal{F}^\bullet \text{ pour }p \ll 0\], alors la suite spectrale est bornée et converge vers \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\).

Démonstration

La preuve est exactement la même que celle du lemme 0BKK.

Résolution de Godement

Une référence est [Godement].

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Notons \(X_{disc}\) l’espace topologique discret ayant les mêmes points que \(X\), et \(f : X_{disc} \to X\) l’application continue évidente. Posons \(\mathcal{O}_{X_{disc}} = f^{-1}\mathcal{O}_X\). Alors \(f : (X_{disc}, \mathcal{O}_{X_{disc}}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est un morphisme plat d’espaces annelés. Appliquons la construction duale de Simplicial, section 08N8, à la paire de foncteurs adjoints \(f^*, f_*\) sur les faisceaux de modules. On obtient ainsi un objet cosimplicial augmenté \[\xymatrix{ \text{id} \ar[r] & f_*f^* \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_*f^*f_*f^* \ar@<0ex>[l] \ar@<-2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<2ex>[r] & f_*f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] dans la catégorie des endofoncteurs de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\); voir Simplicial, lemme 08NC. De plus, l’augmentation \[\xymatrix{ f^* \ar[r] & f^*f_*f^* \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<0ex>[l] \ar@<-2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<2ex>[r] & f^*f_*f^*f_*f^*f_*f^* \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] }\] est une équivalence d’homotopie, voir Simplicial, lemme 08ND.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), il existe une résolution \[0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots\] fonctorielle en \(\mathcal{F}\), telle que chaque terme \(f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module flasque et que, pour tout \(x \in X\), l’application \[\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)\] est une équivalence d’homotopie dans la catégorie des complexes de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules.

Démonstration

Le complexe \(f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots\) est le complexe associé à l’objet cosimplicial avec les termes \(f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, \ldots\) décrit ci-dessus; voir Simplicial, section 019H. L’augmentation fournit l’application \(\mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F}\) indiquée. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{H}\) sur \(X_{disc}\), l’image directe \(f_*\mathcal{H}\) est flasque, car \(X_{disc}\) est discret et l’image directe d’un faisceau flasque est flasque. La même observation vaut pour les \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Si \(x \in X_{disc} = X\) est un point, alors \((f^*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_x\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\). Ainsi, \(f^*\) est un foncteur exact, et un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_3\) est exact si et seulement si \(f^*\mathcal{G}_1 \to f^*\mathcal{G}_2 \to f^*\mathcal{G}_3\) est exact (voir Modules, lemme 01AG). Le résultat mentionné au début de cette section montre que l’image inverse par \(f^*\) fournit une équivalence d’homotopie de l’objet cosimplicial constant \(f^*\mathcal{F}\) vers l’objet cosimplicial dont les termes sont \(f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}, \ldots\). Par Simplicial, lemme 0FKK nous obtenons que \[f^*\mathcal{F}[0] \to \Big( f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f^*f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots \Big)\] est une équivalence d’homotopie. Les deux dernières assertions du lemme en résultent immédiatement.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\), où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules flasques et où, pour tout \(x \in X\), l’application \(\mathcal{F}^\bullet_x \to \mathcal{G}^\bullet_x\) est une équivalence d’homotopie dans la catégorie des complexes de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules.

Démonstration

Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules et soit \(\mathcal{B}\) la catégorie de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous pouvons alors appliquer la discussion ci-dessus aux foncteurs \(f^*\) et \(f_*\) entre \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\). En raisonnant exactement comme dans la preuve du lemme 0FKS, nous obtenons une résolution \[0 \to \mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to \ldots\] dans la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), de telle sorte que chaque terme de chaque \(f_*f^*\ldots f_*f^*\mathcal{F}^\bullet\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module flasque et que, pour tout \(x \in X\), l’application \[\mathcal{F}^\bullet_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet)_x \to \ldots \Big)\] est une équivalence d’homotopie dans la catégorie des complexes de complexes de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Comme un complexe de complexes est un bicomplexe, nous pouvons considérer l’application induite \[\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet = \text{Tot}( f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F}^\bullet \to \ldots )\] Comme le complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) est borné inférieurement, il en est de même de \(\mathcal{G}^\bullet\); en fait, chaque terme de \(\mathcal{G}^\bullet\) est une somme directe finie de termes des complexes \(f_*f^*\ldots f_*f^*\mathcal{F}^\bullet\) et est donc flasque. La dernière assertion du lemme résulte alors d’Homologie, lemme 0FKH. Comme cela montre en particulier que \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, la preuve est complète.

Cup-produit

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(K, M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Le cup-produit (global) dans ce cadre est un morphisme \[\mu : R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] dans \(D(A)\). Nous le définissons comme le cup-produit relatif associé au morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\) de la remarque 0B68, via \(D(pt, A) = D(A)\). Ce morphisme définit en particulier les accouplements \[\cup : H^i(X, K) \times H^j(X, M) \longrightarrow H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] Plus précisément, étant donnés \(\xi \in H^i(X, K) = H^i(R\Gamma(X, K))\) et \(\eta \in H^j(X, M) = H^j(R\Gamma(X, M))\), nous pouvons d’abord les “tensoriser” pour obtenir un élément \(\xi \otimes \eta\) de \(H^{i + j}(R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M))\); voir Compléments sur l’algèbre, section 068G. Nous pouvons ensuite appliquer \(\mu\) pour obtenir l’élément souhaité \(\xi \cup \eta = \mu(\xi \otimes \eta)\) de \(H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\).

Voici une autre manière d’interpréter le cup-produit de \(\xi\) et \(\eta\). En effet, nous pouvons écrire \[H^i(R\Gamma(X, K)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[-i], K) \quad\text{et}\quad H^j(R\Gamma(X, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[-j], M)\] puisque \(\Hom(\mathcal{O}_X, -) = \Gamma(X, -)\). Ainsi, \(\xi\) et \(\eta\) sont la “même” chose que les morphismes \[\tilde \xi : \mathcal{O}_X[-i] \to K \quad\text{et}\quad \tilde \eta : \mathcal{O}_X[-j] \to M\] En combinant ceci avec la fonctorialité du produit tensoriel dérivé, nous obtenons \[\mathcal{O}_X[-i - j] = \mathcal{O}_X[-i] \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X[-j] \xrightarrow{\tilde \xi \otimes \tilde \eta} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] qui, par le même raisonnement que ci-dessus, est un élément de \(H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\).

Lemme

Cette construction donne le cup-produit.

Démonstration

Avec \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\) comme ci-dessus nous avons \(Rf_*(-) = R\Gamma(X, -)\) et notre morphisme \(\mu\) est adjoint du morphisme \[Lf^*(Rf_*K \otimes_A^\mathbf{L} Rf_*M) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*M \xrightarrow{\epsilon_K \otimes \epsilon_M} K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] où \(\epsilon\) est la counité de l’adjonction entre \(Lf^*\) et \(Rf_*\). Si nous considérons \(\xi\) et \(\eta\) comme des morphismes \(\xi : A[-i] \to R\Gamma(X, K)\) et \(\eta : A[-j] \to R\Gamma(X, M)\), alors le tenseur \(\xi \otimes \eta\) correspond au morphisme³ \[A[-i - j] = A[-i] \otimes_A^\mathbf{L} A[-j] \xrightarrow{\xi \otimes \eta} R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M)\] Par définition, le cup-produit \(\xi \cup \eta\) est le morphisme \(A[-i - j] \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\) dont l’adjoint est \[(\epsilon_K \otimes \epsilon_M) \circ Lf^*(\xi \otimes \eta) = (\epsilon_K \circ Lf^*\xi) \otimes (\epsilon_M \circ Lf^*\eta)\] Cependant, il est facile de voir que \(\epsilon_K \circ Lf^*\xi = \tilde \xi\) et \(\epsilon_M \circ Lf^*\eta = \tilde \eta\). Nous concluons que \(\widetilde{\xi \cup \eta} = \tilde \xi \otimes \tilde \eta\), ce qui donne l’identification souhaitée.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(K, M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Pour \(\xi \in H^i(X, K)\), nous obtenons le morphisme associé \[\xi = ``\xi \cup -'' : R\Gamma(X, M)[-i] \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] en représentant \(\xi\) par un morphisme \(\xi : A[-i] \to R\Gamma(X, K)\) comme dans la preuve du lemme 0FP2, puis en utilisant la composition \[R\Gamma(X, M)[-i] = A[-i] \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \xrightarrow{\xi \otimes 1} R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \to R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] où la deuxième flèche est le cup-produit global \(\mu\) ci-dessus. En cohomologie, on retrouve ainsi le cup-produit par \(\xi\), comme il ressort du lemme 0FP2 et de sa preuve.

Formulons et démontrons une compatibilité naturelle du cup-produit relatif. Supposons donné un morphisme \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il existe un cup-produit naïf \[\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \longrightarrow f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)\] Nous affirmons que celui-ci est relié au cup-produit relatif.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le diagramme ci-dessous commute \[\xymatrix{ f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d]^{\text{Remarque \href{cohomology.html#cohomology-remark-cup-product}{0B68}}} \\ \text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{\text{cup-produit naïf}} & Rf_*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] & Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) }\]

Démonstration

D’après la construction de la remarque 0B68, le parcours du diagramme dans le sens horaire donne un morphisme \[f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \longrightarrow Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)\] dont l’adjoint est le morphisme

\[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\]

D’après le lemme 0FP1 c’est aussi égal à

\[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\]

En parcourant le diagramme dans le sens antihoraire, nous obtenons le morphisme adjoint du morphisme

\[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\]

D’après le lemme 0FP1 c’est aussi égal à

\[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\]

La démonstration s’achève alors par l’examen du diagramme \[\xymatrix{ Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[rr] & & Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{naive} \ar[r] & f^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[ldd]^{naive} \ar[dd] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[dd] \ar[ldd] \\ Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \ar[rd] & \text{Tot}(f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \ar[ld] \\ & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) }\] Tous les polygones de ce diagramme commutent. Cela résulte du lemme 0FP0. Le carré comportant les deux cup-produits naïfs commute parce que \(Lf^* \to f^*\) est fonctoriel dans le complexe de modules. De même avec le carré impliquant les deux cartes \(\mathcal{A}^\bullet \otimes^\mathbf{L} \mathcal{B}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{A}^\bullet \otimes \mathcal{B}^\bullet)\). Enfin, la commutativité du reste du carré vaut au niveau des complexes et peut être considérée comme la définition du cup-produit naïf (par l’adjonction de \(f^*\) et \(f_*\)). La preuve est achevée, car les deux morphismes décrits ci-dessus font le tour du bord extérieur du diagramme.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous avons alors un cup-produit naïf \[\mu' : \text{Tot}( \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet))\] D’après le lemme 0FP3, appliqué au morphisme \((X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\), ce cup-produit naïf est relié au cup-produit \(\mu\) défini au premier paragraphe de cette section par le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d]^-\mu \\ \text{Tot}(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d]_-{\mu'} & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \ar[r] & R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) }\] dans \(D(A)\). Sur la cohomologie, nous obtenons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^i(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet)) \times H^j(\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & H^{i + j}(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \\ H^i(X, \mathcal{K}^\bullet) \times H^j(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[r]^\cup & H^{i + j}(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[u] }\] qui relie le cup-produit naïf au véritable cup-produit.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Alors \[\xymatrix{ \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A^\mathbf{L} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d]^\mu \\ \text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet))) \ar[d]^{(\href{cohomology.html#cohomology-equation-needs-signs}{07MB})} & R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) )) \ar[r] & R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) }\] où les flèches horizontales sont celles du lemme 08BN, commute dans \(D(A)\).

Démonstration

Choisissez des quasi-isomorphismes de complexes \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{K}_1^\bullet\) et \(b : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{M}_1^\bullet\) comme dans le lemme 0FKT. Puisque les morphismes \(a\) et \(b\) induisent des équivalences d’homotopie sur les germes, nous voyons que le morphisme induit \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}_1^\bullet)\] est lui aussi une équivalence d’homotopie sur les germes (Compléments sur l’algèbre, lemme 064I) et donc un quasi-isomorphisme. Ainsi les cibles \[R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) = R\Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}_1^\bullet))\] des deux diagrammes coïncident dans \(D(A)\). Il suffit donc de démontrer l’assertion après avoir remplacé \(\mathcal{K}\) et \(\mathcal{M}\) par \(\mathcal{K}_1\) et \(\mathcal{M}_1\). Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) soient des complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules flasques et considérons le diagramme qui relie le cup-produit au cup-produit (07MB) sur les complexes de Čech. Nous pouvons alors considérer le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A^\mathbf{L} \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \\ \text{Tot}(\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) \otimes_A \Gamma(X, \mathcal{M}^\bullet)) \ar[d] \ar[r] & \text{Tot}( \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) \otimes_A \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{M}^\bullet))) \ar[d]^{(\href{cohomology.html#cohomology-equation-needs-signs}{07MB})} \\ \Gamma(X, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)) \ar[r] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet({\mathcal U}, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet) )) }\] Dans ce diagramme, les flèches horizontales sont des isomorphismes dans \(D(A)\), car, pour un complexe borné inférieurement de modules flasques tel que \(\mathcal{K}^\bullet\), nous avons \[\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet) = \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{K}^\bullet)) = R\Gamma(X, \mathcal{K}^\bullet)\] dans \(D(A)\). Cela résulte du lemme 09SY, de Catégories dérivées, lemme 015E, et du lemme 0FLH. La commutativité du diagramme du lemme faisant intervenir (07MB) résulte donc de celle, déjà démontrée, du lemme 0FP3, où \(f\) est le morphisme vers un point (voir la discussion qui suit 0FP3).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B68 est associatif au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[r] \ar[d] & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[d] \\ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[r] & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}_Y)\) pour tous \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

En suivant chacun des deux chemins, nous obtenons le morphisme adjoint du morphisme évident

\[\begin{align*} Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*M) & = Lf^*(Rf_*K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*L) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*M) \\ & \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M \end{align*}\]

en \(D(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B68 est commutatif au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L \ar[r] \ar[d]_\psi & Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar[d]^{Rf_*\psi} \\ Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] & Rf_*(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}_Y)\) pour tous \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Ici, \(\psi\) est la contrainte de commutativité de la catégorie dérivée (lemme 0FPB).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soient \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) et \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (Z, \mathcal{O}_Z)\) des morphismes d’espaces annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B68 est compatible aux compositions au sens où le diagramme \[\xymatrix{ R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} R(g \circ f)_*L \ar@{=}[rr] \ar[d] & & Rg_*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} Rg_*Rf_*L \ar[d] \\ R(g \circ f)_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[r] & Rg_*Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) & Rg_*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[l] }\] est commutatif en \(D(\mathcal{O}_Z)\) pour tous \(K, L\) en \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

En effet, chacun des deux parcours du diagramme donne le morphisme adjoint du morphisme

\[\begin{align*} & L(g \circ f)^*\left(R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_Z}^\mathbf{L} R(g \circ f)_*L\right) \\ & = L(g \circ f)^*R(g \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L(g \circ f)^*R(g \circ f)_*L) \\ & \to K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L \end{align*}\]

dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Pour le voir, on utilise que la composée des counités \[L(g \circ f)^*R(g \circ f)_* = Lf^* Lg^* Rg_* Rf_* \to Lf^* Rf_* \to \text{id}\] est la counité pour \(L(g \circ f)^*\) et \(R(g \circ f)_*\). Voir Catégories, lemme 0DV0.

Lemme

Considérez un carré commutatif \[\xymatrix{ (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y', \mathcal{O}_{Y'}) \ar[r]^g & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] d’espaces annelés. Soient \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Le cup-produit relatif est compatible avec ce carré au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Lg^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[r] \ar@{=}[d] & Lg^*(Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)) \ar[d] \\ Lg^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*L \ar[d] & R(f')_*L(g')^*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[d] \\ R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} R(f')_*(L(g')^*L \ar[r] & R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*L) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}_{Y'})\). Les flèches horizontales sont données par le cup-produit relatif (remarque 0B68) et les flèches verticales par le morphisme de changement de base (remarque 08HY) et le lemme 079U.

Démonstration

Démonstration omise.

Quelques propriétés des complexes K-injectifs

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un sous-ensemble ouvert. Notons \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\) l’immersion ouverte correspondante. Le foncteur d’image inverse \(j^*\) est exact, puisqu’il n’est autre que le foncteur de restriction. Ainsi, l’image inverse dérivée \(Lj^*\) se calcule sur tout complexe en restreignant simplement ce complexe. Nous notons souvent simplement le foncteur correspondant \[D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_U), \quad E \mapsto j^*E = E|_U\] De même, l’extension de zéro \(j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (voir Faisceaux, section 009Z) est un foncteur exact (Modules, lemme 01AK). Il induit donc un foncteur \[j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}_X),\quad F \mapsto j_!F\] en appliquant simplement \(j_!\) à tout complexe représentant l’objet \(F\).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. La restriction d’un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules à \(U\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

Démonstration

Cela résulte de Catégories dérivées, lemme 08BJ, et du fait que le foncteur de restriction admet pour adjoint à gauche le foncteur exact \(j_!\). Pour la construction de \(j_!\), voir Faisceaux, section 009Z, et, pour son exactitude, voir Modules, lemme 01AK.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), nous avons \(H^p(U, K) = H^p(U, K|_U)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(K\). Alors \[H^q(U, K) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet|_U))\] par construction de la cohomologie. D’après le lemme 08BS, le complexe \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est un complexe K-injectif représentant \(K|_U\) et le lemme suit.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). La faisceautisation de \[U \mapsto H^q(U, K) = H^q(U, K|_U)\] est le \(q\)-ième faisceau de cohomologie \(H^q(K)\) de \(K\).

Démonstration

L’égalité \(H^q(U, K) = H^q(U, K|_U)\) résulte du lemme 0D5V. Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\). Alors \[H^q(U, K) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^q(U) \to \mathcal{I}^{q + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{q - 1}(U) \to \mathcal{I}^q(U))}.\] par notre construction de la cohomologie. Comme \(H^q(K) = \Ker(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1})/ \Im(\mathcal{I}^{q - 1} \to \mathcal{I}^q)\), le résultat est clair.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Étant donné un sous-espace ouvert \(V \subset Y\), posons \(U = f^{-1}(V)\) et notons \(g : U \to V\) le morphisme induit. Alors \((Rf_*E)|_V = Rg_*(E|_U)\) pour \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Représentons \(E\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) et \(Rg_*(E|_U) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_U)\) d’après le lemme 08BS. Comme il est clair que \((f_*\mathcal{F})|_V = g_*(\mathcal{F}|_U)\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\), le résultat suit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Alors \(R\Gamma(Y, -) \circ Rf_* = R\Gamma(X, -)\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y))\). Plus généralement, pour \(V \subset Y\) ouvert et \(U = f^{-1}(V)\), nous avons \(R\Gamma(U, -) = R\Gamma(V, -) \circ Rf_*\).

Démonstration

Soit \(Z\) l’espace annelé dont l’espace sous-jacent est réduit à un point et tel que \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\). Il existe un morphisme canonique \(Y \to Z\) d’espaces annelés qui induit l’identification sur les sections globales des faisceaux structuraux. Alors \(D(\mathcal{O}_Z) = D(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y))\). L’égalité \(R\Gamma(Y, -) \circ Rf_* = R\Gamma(X, -)\) découle donc du lemme 0D5T appliqué à \(X \to Y \to Z\).

Le second énoncé, plus général, découle du premier après application du lemme 08FE.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \(H^i(Rf_*K)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \mapsto H^i(f^{-1}(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\]

Démonstration

L’égalité \(H^i(f^{-1}(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\) s’obtient en prenant la cohomologie du second énoncé du lemme 0D5W. L’énoncé sur la faisceautisation découle alors du lemme 0BKJ.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) et notons \(K_{ab}\) son image dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_X)\).

1. Pour tout \(U \subset X\) ouvert, il y a une application canonique \(R\Gamma(U, K) \to R\Gamma(U, K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\textit{Ab})\).

2. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Il y a une application canonique \(Rf_*K \to Rf_*(K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_Y)\).

Démonstration

Le morphisme est construit comme suit. Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\). Choisissez un quasi-isomorphisme \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) où \(\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe K-injectif de groupes abéliens. Alors le morphisme de (1) est donné par \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{J}^\bullet)\) et celui de (2) par \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to f_*\mathcal{J}^\bullet\). Pour montrer que ces morphismes sont des isomorphismes, il suffit de prouver qu’ils induisent des isomorphismes sur les groupes et les faisceaux de cohomologie. D’après les lemmes 0D5V et 0D5X il suffit de montrer que l’application \[H^0(X, K) \longrightarrow H^0(X, K_{ab})\] est un isomorphisme. Observez que \[H^0(X, K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, K)\] et de même pour l’autre groupe. Choisissons un complexe quelconque \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(K\). Par la construction de la catégorie dérivée comme une localisation nous avons \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, K) = \colim_{s : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{O}_X} \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] où la colimite est prise sur les quasi-isomorphismes \(s\) de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. De même, nous avons \[\Hom_{D(\underline{\mathbf{Z}}_X)}(\underline{\mathbf{Z}}_X, K) = \colim_{s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X} \Hom_{K(\underline{\mathbf{Z}}_X)}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] Ensuite, nous observons que les quasi-isomorphismes \(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X\) avec \(\mathcal{G}^\bullet\) complexe borné supérieurement de \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-modules plats forment une famille cofinale dans le système. (Ceci découle de Modules, lemme 05NI, et de Catégories dérivées, lemme 05T7; voir la discussion de la section 06Y7.) Nous pouvons donc construire un inverse au morphisme \(H^0(X, K) \longrightarrow H^0(X, K_{ab})\) en représentant un élément \(\xi \in H^0(X, K_{ab})\) par une paire \[(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_X, a : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet)\] où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)-modules plats, et envoyer cet élément sur \[(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_X} \mathcal{O}_X \to \mathcal{K}^\bullet)\] Le seul point à noter est que la première flèche est un quasi-isomorphisme d’après les lemmes 06YG et 06YD. Nous omettons la vérification détaillée que cette construction est effectivement un inverse.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(U \subset X\) un sous-ensemble ouvert. Notons \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\) l’immersion ouverte correspondante. Le foncteur de restriction \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_U)\) est adjoint à droite du foncteur d’extension par zéro \(j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Ceci résulte formellement du fait que \(j_!\) et \(j^*\) sont adjoints et exacts (et donc \(Lj_! = j_!\) et \(Rj^* = j^*\) existent), voir Catégories dérivées, lemme 09T5.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces annelés. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif comme complexe de \(\mathcal{O}_Y\)-modules.

Démonstration

Ceci est vrai parce que \[\Hom_{K(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{F}^\bullet, f_*\mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(f^*\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] par Faisceaux, lemme 0096 et le fait que \(f^*\) est exact comme \(f\) est supposé être plat.

Mayer–Vietoris non borné

Il existe également une suite de Mayer–Vietoris pour la cohomologie non bornée.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(X = U \cup V\) l’union de deux sous-espaces ouverts. Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) nous avons un triangle distingué \[j_{U \cap V!}E|_{U \cap V} \to j_{U!}E|_U \oplus j_{V!}E|_V \to E \to j_{U \cap V!}E|_{U \cap V}[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Nous avons vu dans la section 0D5U que les foncteurs de restriction et d’extension par zéro se calculent en appliquant simplement les foncteurs correspondants à chaque complexe. Soit \(\mathcal{E}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(E\). Le triangle distingué du lemme est le triangle distingué associé (par Catégories dérivées, section 014Z et en particulier 0152) à la suite exacte courte de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[0 \to j_{U \cap V!}\mathcal{E}^\bullet|_{U \cap V} \to j_{U!}\mathcal{E}^\bullet|_U \oplus j_{V!}\mathcal{E}^\bullet|_V \to \mathcal{E}^\bullet \to 0\] L’exactitude de cette suite se vérifie sur les germes à l’aide de Faisceaux, lemme 00A7 (calcul omis).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(X = U \cup V\) l’union de deux sous-espaces ouverts. Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) nous avons un triangle distingué \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \cap V, *}E|_{U \cap V} \to E[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\) dont les termes \(\mathcal{I}^n\) sont des objets injectifs de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\); voir Injectifs, théorème 079P. Nous avons vu que \(\mathcal{I}^\bullet|U\) est également un complexe K-injectif (lemme 08BS). D’où : \(Rj_{U, *}E|_U\) est représenté par \(j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U\). De même pour \(V\) et \(U \cap V\). Par conséquent, le triangle distingué du lemme est le triangle distingué associé (par Catégories dérivées, section 014Z et en particulier 0152) à la suite exacte courte des complexes \[0 \to \mathcal{I}^\bullet \to j_{U, *}\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus j_{V, *}\mathcal{I}^\bullet|_V \to j_{U \cap V, *}\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] Cette suite est exacte parce que, pour tout ouvert \(W \subset X\) et tout \(n\), la suite \[0 \to \mathcal{I}^n(W) \to \mathcal{I}^n(W \cap U) \oplus \mathcal{I}^n(W \cap V) \to \mathcal{I}^n(W \cap U \cap V) \to 0\] est exacte (voir la preuve du lemme 01EB).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(X = U \cup V\) l’union de deux sous-espaces ouverts de \(X\). Pour les objets \(E\), \(F\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) nous avons une suite de Mayer–Vietoris \[\xymatrix{ & \ldots \ar[r] & \Ext^{-1}(E_{U \cap V}, F_{U \cap V}) \ar[lld] \\ \Hom(E, F) \ar[r] & \Hom(E_U, F_U) \oplus \Hom(E_V, F_V) \ar[r] & \Hom(E_{U \cap V}, F_{U \cap V}) }\] où les indices désignent les restrictions aux ouverts concernés, et où les \(\Hom\) et \(\Ext\) sont pris dans les catégories dérivées correspondantes.

Démonstration

Appliquons le triangle distingué du lemme 08BU pour obtenir une suite exacte longue de \(\Hom\) (Catégories dérivées, lemme 0149) et utilisons l’égalité \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(j_{U!}E|_U, F) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, F|_U)\] d’après le lemme 08BT.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux sous-ensembles ouverts. Pour un objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), nous avons un triangle distingué \[R\Gamma(X, E) \to R\Gamma(U, E) \oplus R\Gamma(V, E) \to R\Gamma(U \cap V, E) \to R\Gamma(X, E)[1]\] et, en particulier, une suite exacte longue de cohomologie \[\ldots \to H^n(X, E) \to H^n(U, E) \oplus H^0(V, E) \to H^n(U \cap V, E) \to H^{n + 1}(X, E) \to \ldots\] La construction du triangle distingué et de la suite exacte longue est fonctorielle en \(E\).

Démonstration

Choisissez un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\). Nous pouvons supposer que \(\mathcal{I}^n\) est un objet injectif de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) pour tout \(n\); voir Injectifs, théorème 079P. Alors \(R\Gamma(X, E)\) est calculé par \(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)\). De même pour \(U\), \(V\), \(U \cap V\) d’après le lemme 08BS. Par conséquent, le triangle distingué du lemme est le triangle distingué associé (par Catégories dérivées, section 014Z et en particulier 0152) à la suite exacte courte des complexes \[0 \to \mathcal{I}^\bullet(X) \to \mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V) \to \mathcal{I}^\bullet(U \cap V) \to 0.\] Nous avons vu qu’il s’agit d’une suite exacte courte dans la preuve du lemme 01EB. L’assertion finale découle de la fonctorielité de la construction dans Injectifs, théorème 079P.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés. Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux sous-ensembles ouverts. Notons \(a = f|_U : U \to Y\), \(b = f|_V : V \to Y\) et \(c = f|_{U \cap V} : U \cap V \to Y\). Pour chaque objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un triangle distingué \[Rf_*E \to Ra_*(E|_U) \oplus Rb_*(E|_V) \to Rc_*(E|_{U \cap V}) \to Rf_*E[1]\] Ce triangle est fonctoriel dans \(E\).

Démonstration

Choisissez un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(E\). Nous pouvons supposer que \(\mathcal{I}^n\) est un objet injectif de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) pour tout \(n\); voir Injectifs, théorème 079P. Alors \(Rf_*E\) est calculé par \(f_*\mathcal{I}^\bullet\). De même pour \(U\), \(V\), \(U \cap V\) d’après le lemme 08BS. Par conséquent, le triangle distingué du lemme est le triangle distingué associé (par Catégories dérivées, section 014Z et en particulier 0152) à la suite exacte courte des complexes \[0 \to f_*\mathcal{I}^\bullet \to a_*\mathcal{I}^\bullet|_U \oplus b_*\mathcal{I}^\bullet|_V \to c_*\mathcal{I}^\bullet|_{U \cap V} \to 0.\] C’est une suite exacte courte de complexes d’après le lemme 01EC et le fait que \(R^1f_*\mathcal{I} = 0\) pour un objet injectif \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). L’assertion finale découle de la fonctorielité de la construction dans Injectifs, théorème 079P.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-espace ouvert. Soit \(T \subset X\) une partie fermée contenue dans \(U\).

1. Si \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\), alors \(E \to Rj_*(E|_U)\) est un isomorphisme.

2. Si \(F\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_U)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\), alors \(j_!F \to Rj_*F\) est un isomorphisme.

Démonstration

Posons \(V = X \setminus T\) et \(W = U \cap V\). Remarquons que \(X = U \cup V\) est un recouvrement ouvert de \(X\). Notons \(j_W : W \to V\) l’immersion ouverte. Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\). D’après le lemme 08FE, nous avons \((Rj_*E|_U)|_V = Rj_{W, *}(E|_W) = 0\), car \(E|_W = 0\) par hypothèse. D’autre part, \(Rj_*(E|_U)|_U = E|_U\). Ainsi, (1) est clair. Soit \(F\) un objet de \(D(\mathcal{O}_U)\) dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\). D’après le lemme 08FE, nous avons \((Rj_*F)|_V = Rj_{W, *}(F|_W) = 0\), car \(F|_W = 0\) par hypothèse. Nous avons aussi \((j_!F)|_V = j_{W!}(F|_W) = 0\) (la première égalité résulte immédiatement de la définition de l’extension par zéro). Comme \((Rj_*F)|_U = F\) et \((j_!F)|_U = F\), nous voyons que (2) est vérifié.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Supposons que \(X = U \cup V\) soit la réunion de deux sous-ensembles ouverts. Pour des objets \(K\) et \(M\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), nous avons un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} (R\Gamma(U, M) \oplus R\Gamma(V, M)) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \oplus R\Gamma(V, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(U \cap V, M) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U \cap V, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X, M)[1] \ar[r] & R\Gamma(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)[1] }\] où

1. les flèches horizontales sont données par le cup-produit,

2. sur le côté droit nous avons le triangle distingué du lemme 08BX pour \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\),

3. sur le côté gauche nous avons le foncteur exact \(R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} -\) appliqué au triangle distingué du lemme 08BX pour \(M\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-plat \(T^\bullet\) de \(A\)-modules plats représentant \(R\Gamma(X, K)\), voir Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y4. Notons \(T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X\) l’image inverse de \(T^\bullet\) par le morphisme d’espaces annelés \((X, \mathcal{O}_X) \to (pt, A)\). Il existe un morphisme d’adjonction naturel \(\epsilon : T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \to K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Remarquons que \(T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules à termes plats; voir le lemme 06YC et Modules, lemme 02N4. D’après le lemme 0G6V, nous pouvons trouver un morphisme de complexes \[T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{K}^\bullet\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(\epsilon\) tel que \(\mathcal{K}^\bullet\) soit un complexe K-plat à termes plats. En effet, par la construction de \(D(\mathcal{O}_X)\), nous pouvons d’abord représenter \(\epsilon\) par un morphisme de complexes \(e : T^\bullet \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(\epsilon\) puis appliquer le lemme à \(e\). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) dont les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs et qui représente \(M\). Enfin, choisissons un quasi-isomorphisme \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \mathcal{J}^\bullet\] vers un complexe K-injectif dont les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs. Remarquons que la source et la cible de cette flèche représentent \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). À ce stade, pour tout ouvert \(W \subset X\), nous obtenons un morphisme de complexes \[\text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(W)) \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet(W) \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(W)) \to \mathcal{J}^\bullet(W)\] de \(A\)-modules dont la composition représente l’application \[R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(W, M) \longrightarrow R\Gamma(W, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] dans \(D(A)\). Ces morphismes sont manifestement compatibles aux applications de restriction. Nous pouvons donc considérer le diagramme commutatif suivant de complexes de \(A\)-modules \[\xymatrix{ 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(X)) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet(X) \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A (\mathcal{I}^\bullet(U) \oplus \mathcal{I}^\bullet(V)) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{J}^\bullet(U) \oplus \mathcal{J}^\bullet(V) \ar[d] \\ \text{Tot}(T^\bullet \otimes_A \mathcal{I}^\bullet(U \cap V)) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{J}^\bullet(U \cap V) \ar[d] \\ 0 & 0 }\] D’après la preuve du lemme 01EB, les colonnes sont des suites exactes de complexes de \(A\)-modules (ce qui utilise aussi le fait que \(\text{Tot}(T^\bullet \otimes_A -)\) transforme les suites exactes courtes de complexes de \(A\)-modules en suites exactes courtes, puisque les termes de \(T^\bullet\) sont des \(A\)-modules plats). Comme les triangles distingués du lemme 08BX sont les triangles distingués associés à ces suites exactes courtes de complexes, le résultat souhaité découle de la fonctorialité de la construction du triangle distingué associé, étudiée dans Catégories dérivées, section 014Z.

Cohomologie à support dans une partie fermée, II

Nous poursuivons la discussion commencée dans la section 0A39.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée. Dans cette situation, nous pouvons considérer le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X(X))\) donné par \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma_Z(X, \mathcal{F})\). Voir Modules, définition 01AT et Modules, lemme 01AU. En utilisant des résolutions K-injectives (voir la section 079V), nous obtenons le foncteur dérivé à droite \[R\Gamma_Z(X, - ) : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X(X))\] Pour un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), nous notons \(H^q_Z(X, K) = H^q(R\Gamma_Z(X, K))\) le module de cohomologie à support dans \(Z\). Nous verrons plus loin (lemme 0G74) que cette notation coïncide avec la construction de la section 0A39.

Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), nous pouvons considérer le sous-faisceau des sections à support dans \(Z\), noté \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), défini par la formule \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \cap Z\} = \Gamma_{Z \cap U}(U, \mathcal{F}|_U)\] Comme expliqué dans Modules, remarque 0G6N, nous pouvons voir \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) comme un \(\mathcal{O}_X|_Z\)-module sur \(Z\), et nous obtenons un foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \text{ considéré comme }\mathcal{O}_X|_Z\text{-module sur }Z\] Ce foncteur est exact à gauche, mais n’est pas exact en général. Exactement comme ci-dessus, nous obtenons un foncteur dérivé à droite \[R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X|_Z)\] Nous posons \(\mathcal{H}^q_Z(K) = H^q(R\mathcal{H}_Z(K))\), de sorte que \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée.

1. \(R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X|_Z)\) est adjoint à droite de \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D(\mathcal{O}_X)\).

2. Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\) nous avons \(R\mathcal{H}_Z(i_*K) = K\).

3. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X|_Z\)-modules sur \(Z\). Alors \(\mathcal{H}^p_Z(i_*\mathcal{G}) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Le foncteur \(i_*\) est exact, donc \(i_* = Ri_* = Li_*\). Par conséquent, la partie (1) du lemme découle de Modules, lemme 0G6P, et de Catégories dérivées, lemme 09T5. Soit \(K\) comme dans (2). Nous pouvons représenter \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X|_Z\)-modules. D’après le lemme 0D5Z, le complexe \(i_*\mathcal{I}^\bullet\), qui représente \(i_*K\), est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Ainsi, \(R\mathcal{H}_Z(i_*K)\) est calculé par \(\mathcal{H}_Z(i_*\mathcal{I}^\bullet) = \mathcal{I}^\bullet\) ce qui prouve (2). La partie (3) est un cas particulier de (2).

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(Z \subset X\) une partie fermée. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules dont le support est contenu dans \(Z\) est une sous-catégorie de Serre de la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules, voir Homologie, définition 02MO et Modules, lemme 01AU. Nous notons \(D_Z(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie triangulée strictement saturée de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(Z\), voir Catégories dérivées, section 06UP.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée.

1. Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\) nous avons \(i_*K\) dans \(D_Z(\mathcal{O}_X)\).

2. Le foncteur \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence, de quasi-inverse \(i^{-1}|_{D_Z(\mathcal{O}_X)} = R\mathcal{H}_Z|_{D_Z(\mathcal{O}_X)}\).

3. Le foncteur \(i_* \circ R\mathcal{H}_Z : D(\mathcal{O}_X) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_Z(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement des définitions. La partie (3) est une conséquence formelle de la partie (2) et du lemme 0A3B. Dans la suite de la preuve, nous démontrons la partie (2).

Considérons \(i\) comme le morphisme d’espaces annelés \(i : (Z, \mathcal{O}_X|_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\). Rappelons que \(i^*\) et \(i_*\) forment une paire de foncteurs adjoints. Puisque \(i\) est une immersion fermée, \(i_*\) est exact. Comme \(i^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_X|_Z\) est le faisceau structural de \((Z, \mathcal{O}_X|_Z)\), nous voyons que \(i^* = i^{-1}\) est exact et que \(i^*i_* = i^{-1}i_*\) est isomorphe au foncteur identité. Voir Modules, lemmes 01AJ et 01AX. Ainsi \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\) est pleinement fidèle et \(i^{-1}\) fournit un inverse à gauche. D’autre part, supposons que \(K\) soit un objet de \(D_Z(\mathcal{O}_X)\) et considérons le morphisme d’adjonction \(K \to i_*i^{-1}K\). L’exactitude de \(i_*\) et de \(i^{-1}\) montre que celui-ci induit les morphismes d’adjonction \(H^n(K) \to i_*i^{-1}H^n(K)\) sur les faisceaux de cohomologie. Comme ces faisceaux sont à support dans \(Z\), ces morphismes d’adjonction sont des isomorphismes; nous concluons donc que \(i_* : D(\mathcal{O}_X|_Z) \to D_Z(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence.

Pour terminer la preuve, il suffit de montrer que \(R\mathcal{H}_Z(K) = i^{-1}K\) lorsque \(K\) est un objet de \(D_Z(\mathcal{O}_X)\). Pour cela, nous pouvons utiliser l’égalité \(K = i_*i^{-1}K\), que nous venons de démontrer. Le lemme 0A3B donne alors le résultat souhaité.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^\bullet)\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X|_Z\)-modules.

Démonstration

Puisque \(i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X|_Z) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact et adjoint à gauche de \(\mathcal{H}_Z\) (Modules, lemme 0G6P), ceci découle de Catégories dérivées, lemme 08BJ.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée. Alors \(R\Gamma(Z, - ) \circ R\mathcal{H}_Z = R\Gamma_Z(X, - )\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X(X))\).

Démonstration

Cela résulte de la construction des foncteurs dérivés à droite au moyen de résolutions K-injectives, du lemme 0G6Z et de l’égalité \(\Gamma_Z(X, -) = \Gamma(Z, -) \circ \mathcal{H}_Z\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée. Posons \(U = X \setminus Z\). Il existe un triangle distingué \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X(X))\), fonctoriellement en \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) dont tous les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs et qui représente \(K\). Voir la section 079V. Rappelons que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules; voir le lemme 08BS. Par conséquent, chacun des foncteurs dérivés du triangle distingué s’obtient en appliquant le foncteur sous-jacent à \(\mathcal{I}^\bullet\). Il suffit donc de prouver que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module injectif \(\mathcal{I}\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to \Gamma_Z(X, \mathcal{I}) \to \Gamma(X, \mathcal{I}) \to \Gamma(U, \mathcal{I}) \to 0\] Cela découle du lemme 01EA et des définitions.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée. Notons \(j : U = X \setminus Z \to X\) l’inclusion du complémentaire. Il existe un triangle distingué \[i_*R\mathcal{H}_Z(K) \to K \to Rj_*(K|_U) \to i_*R\mathcal{H}_Z(K)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriellement en \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) dont tous les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs et qui représente \(K\). Voir la section 079V. Rappelons que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules; voir le lemme 08BS. Par conséquent, chacun des foncteurs dérivés du triangle distingué s’obtient en appliquant le foncteur sous-jacent à \(\mathcal{I}^\bullet\). Il suffit donc de prouver que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module injectif \(\mathcal{I}\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to i_*\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}) \to \mathcal{I} \to j_*(\mathcal{I}|_U) \to 0\] Cela découle du lemme 01EA et des définitions.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert tel que \(U \cap Z = \emptyset\). Alors \(R\mathcal{H}_Z(Rj_*K) = 0\) pour tout \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules représentant \(K\). Alors \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rj_*K\). D’après le lemme 0D5Z, le complexe \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Ainsi, \(\mathcal{H}_Z(j_*\mathcal{I}^\bullet)\) représente \(R\mathcal{H}_Z(Rj_*K)\). Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{H}_Z(j_*\mathcal{G}) = 0\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(U\). Il faut donc montrer qu’une section \(s\) de \(j_*\mathcal{G}\) sur un ouvert \(W\), à support dans \(W \cap Z\), est nulle. La condition sur le support signifie que \(s|_{W \setminus W \cap Z} = 0\). Comme \(j_*\mathcal{G}(W) = \mathcal{G}(U \cap W) = j_*\mathcal{G}(W \setminus W \cap Z)\) cela implique que \(s\) est nulle, comme souhaité.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) et notons \(K_{ab}\) son image dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_X)\).

1. Il y a une application canonique \(R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma_Z(X, K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\textit{Ab})\).

2. Il y a une application canonique \(R\mathcal{H}_Z(K) \to R\mathcal{H}_Z(K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_Z)\).

Démonstration

Démonstration de (1). Le morphisme est construit comme suit. Choisissons un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) où \(\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe K-injectif de groupes abéliens. Alors le morphisme de (1) est donné par \[\Gamma_Z(X, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma_Z(X, \mathcal{J}^\bullet)\] déterminé par le fait que \(\Gamma_Z\) est un foncteur sur les faisceaux abéliens. Une vérification immédiate montre que le morphisme obtenu et les morphismes canoniques du lemme 0D5Y s’insèrent dans un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ R\Gamma_Z(X, K) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X, K) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(U, K) \ar[d] \\ R\Gamma_Z(X, K_{ab}) \ar[r] & R\Gamma(X, K_{ab}) \ar[r] & R\Gamma(U, K_{ab}) }\] du lemme 0G71. Comme deux des trois flèches sont des isomorphismes d’après le lemme cité, nous concluons par Catégories dérivées, lemme 014A.

La preuve de (2) est omise. Indication : utiliser le même argument avec le lemme 0G72 pour le triangle distingué.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’une partie fermée. Étant donnés \(K\) et \(M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique \[K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M) \longrightarrow R\mathcal{H}_Z(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] dans \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\). Ici, \(K|_Z = i^{-1}K\) est la restriction de \(K\) à \(Z\), considérée comme un objet de \(D(\mathcal{O}_X|_Z)\). Par l’adjonction entre \(i_*\) et \(R\mathcal{H}_Z\) du lemme 0A3B, il suffit, pour construire ce morphisme, de produire un morphisme canonique \[i_*\left(K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M)\right) \longrightarrow K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] Pour construire ce morphisme, choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(M\) et un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(K\). Remarquons que \(\mathcal{K}^\bullet|_Z\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X|_Z\)-modules représentant \(K|_Z\); voir le lemme 06YC. Nous devons donc produire un morphisme de complexes \[i_*\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z} \mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^\bullet)\right) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet)\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour cela, il suffit de produire des morphismes \[i_*(\mathcal{K}^a|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z} \mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b)) \longrightarrow \mathcal{K}^a \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^b\] En regardant les germes (par exemple), nous voyons que le côté gauche de cette formule est égal à \(\mathcal{K}^a \otimes_{\mathcal{O}_X} i_*\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b)\) et nous pouvons utiliser l’inclusion \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I}^b) \to \mathcal{I}^b\) pour obtenir notre morphisme.

Remarque

Avec les notations de la remarque 0G75, nous obtenons un cup-produit canonique

\[\begin{align*} H^a(X, K) \times H^b_Z(X, M) & = H^a(X, K) \times H^b(Z, R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^a(Z, K|_Z) \times H^b(Z, R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^{a + b}(Z, K|_Z \otimes_{\mathcal{O}_X|_Z}^\mathbf{L} R\mathcal{H}_Z(M)) \\ & \to H^{a + b}(Z, R\mathcal{H}_Z(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)) \\ & = H^{a + b}_Z(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \end{align*}\]

Ici, les signes d’égalité sont donnés par le lemme 0G70; la première flèche est la restriction à \(Z\), la deuxième est le cup-produit (section 0FKU) et la troisième est le morphisme de la remarque 0G75.

Lemme

Avec les notations de la remarque 0G75, le diagramme \[\xymatrix{ H^i(X, K) \times H^j_Z(X, M) \ar[r] \ar[d] & H^{i + j}_Z(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) \ar[d] \\ H^i(X, K) \times H^j(X, M) \ar[r] & H^{i + j}(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M) }\] commute, la flèche horizontale supérieure étant le cup-produit de la remarque 0G76.

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Soit \(f : (X', \mathcal{O}_{X'}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée et posons \(Z' = f^{-1}(Z)\). Notons \(f|_{Z'} : (Z', \mathcal{O}_{X'}|_{Z'}) \to (Z, \mathcal{O}_X|Z)\) le morphisme induit d’espaces annelés. Pour tout \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique \[L(f|_{Z'})^*R\mathcal{H}_Z(K) \longrightarrow R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\] dans \(D(\mathcal{O}_{X'}|_{Z'})\). Notons \(i : Z \to X\) et \(i' : Z' \to X'\) les morphismes d’inclusion. D’après le lemme 0AEF, partie (2), appliqué à \(i'\), cela revient à donner un morphisme \[i'_* L(f|_{Z'})^* R\mathcal{H}_Z(K) \longrightarrow i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\] dans \(D_{Z'}(\mathcal{O}_{X'})\). Le morphisme de foncteurs \(Lf^* \circ i_* \to i'_* \circ L(f|_{Z'})^*\) de la remarque 08HY est un isomorphisme dans ce cas (cela se vérifie sur les germes en utilisant que \(i_*\) et \(i'_*\) sont exactes et \(\mathcal{O}_{Z, z} = \mathcal{O}_{X, z}\) et de même pour \(Z'\)). Il suffit donc de construire la flèche horizontale supérieure dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ Lf^* i_* R\mathcal{H}_Z(K) \ar[rr] \ar[rd] & & i'_* R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K) \ar[ld] \\ & Lf^*K }\] Le complexe \(Lf^* i_* R\mathcal{H}_Z(K)\) est à support dans \(Z'\). La flèche sud-est provient du morphisme d’adjonction \(i_*R\mathcal{H}_Z(K) \to K\) (lemme 0A3B). Puisque le morphisme d’adjonction \(i'_* R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K) \to Lf^*K\) est universel d’après le lemme 0AEF, partie (3), la flèche sud-est se factorise de manière unique par la flèche sud-ouest, ce qui fournit la flèche souhaitée.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses de la remarque 0G78, le diagramme \[\xymatrix{ H^p_Z(X, K) \ar[r] \ar[d] & H^p_{Z'}(X', Lf^*K) \ar[d] \\ H^p(X, K) \ar[r] & H^p(X', Lf^*K) }\] commute. Ici, la flèche horizontale supérieure provient des identifications \(H^p_Z(X, K) = H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K))\) et \(H^p_{Z'}(X', Lf^*K) = H^p(Z', R\mathcal{H}_{Z'}(K'))\), du morphisme d’image inverse \(H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K)) \to H^p(Z', L(f|_{Z'})^*R\mathcal{H}_Z(K))\) et du morphisme construit dans la remarque 0G78.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : en utilisant \(H^p(Z, R\mathcal{H}_Z(K)) = H^p(X, i_*R\mathcal{H}_Z(K))\), et de même pour \(R\mathcal{H}_{Z'}(Lf^*K)\), le résultat découle de la fonctorialité des morphismes d’image inverse et du diagramme commutatif utilisé pour définir le morphisme de la remarque 0G78.

Systèmes projectifs et cohomologie, I

Soit \(A\) un anneau et soit \(I \subset A\) un idéal. Nous démontrons quelques résultats sur des systèmes projectifs de faisceaux de \(A/I^n\)-modules.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] soit un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfait à la condition de chaîne ascendante comme module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\). Alors le système projectif \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Mittag–Leffler⁴.

Démonstration

Posons \(N_n = H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et soit \(\delta_n : M_n \to N_n\) l’application de bord en cohomologie provenant de la suite exacte courte \(0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\). Alors \(\bigoplus \Im(\delta_n) \subset \bigoplus N_n\) est un sous-module gradué. Soient \(s \in M_n\) et \(f \in I^m\); nous avons alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m} \ar[r] & 0 }\] Le morphisme vertical du milieu s’obtient en relevant une section locale de \(\mathcal{F}_{n + 1}\) en une section de \(\mathcal{F}_{n + m + 1}\), puis en la multipliant par \(f\); il en va de même pour les autres flèches verticales. Nous en déduisons que \(\delta_{n + m}(fs) = f \delta_n(s)\). Par hypothèse, nous pouvons trouver \(s_j \in M_{n_j}\), \(j = 1, \ldots, N\), tels que les \(\delta_{n_j}(s_j)\) engendrent \(\bigoplus \Im(\delta_n)\) comme module gradué. Soit \(n > c = \max(n_j)\) et soit \(s \in M_n\). Nous pouvons alors trouver \(f_j \in I^{n - n_j}\) tels que \(\delta_n(s) = \sum f_j \delta_{n_j}(s_j)\). Nous concluons que \(\delta(s - \sum f_j s_j) = 0\), c’est-à-dire, nous pouvons trouver \(s' \in M_{n + 1}\) s’envoyant sur \(s - \sum f_js_j\) dans \(M_n\). Il s’ensuit que \[\Im(M_{n + 1} \to M_{n - c}) = \Im(M_n \to M_{n - c})\] En effet, les éléments \(f_js_j\) s’envoient sur zéro dans \(M_{n - c}\). Cela prouve le lemme.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Pour \(n\), posons \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] Si \(\bigoplus N_n\) satisfait à la condition de chaîne ascendante comme module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\), alors le système projectif \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Mittag–Leffler⁵.

Démonstration

La preuve est exactement la même que celle du lemme 0GYK. En effet, les arguments donnés là prouvent le résultat dès que l’on montre que \(\bigoplus N_n\) est un sous-module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) de \(\bigoplus H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et que les applications de bord \(\delta_n : M_n \to H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) ont leur image contenue dans \(N_n\).

Supposons que \(\xi \in N_n\) et \(f \in I^k\). Choisissons \(m \gg n + k\), puis \(\xi' \in H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\) relevant \(\xi\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + k} \ar[r] & 0 }\] construit comme dans la preuve du lemme 0GYK. Nous obtenons un morphisme induit en cohomologie et nous voyons que \(f \xi' \in H^{p + 1}(X, I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1})\) s’envoie sur \(f \xi\). Puisque ceci vaut pour tout \(m \gg n + k\), nous voyons que \(f\xi\) appartient à \(N_{n + k}\), comme souhaité.

Pour voir que les applications de bord \(\delta_n\) ont leur image contenue dans \(N_n\), nous considérons les diagrammes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[r] & 0 }\] pour \(m \geq n\). Le résultat s’obtient en examinant les morphismes induits en cohomologie.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfasse à la condition de chaîne ascendante comme module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\). Alors la topologie limite sur \(M = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

Posons \(F^n = \Ker(M \to H^p(X, \mathcal{F}_n))\) pour \(n \geq 1\) et \(F^0 = M\). Observons que \(I F^n \subset F^{n + 1}\). En particulier, \(I^n M \subset F^n\). Ainsi, la topologie \(I\)-adique est plus fine que la topologie limite. Réciproquement, nous montrerons que, pour tout \(n\), il existe un \(m \geq n\) tel que \(F^m \subset I^nM\).⁶ Nous avons des applications injectives \[F^n/F^{n + 1} \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\] dont l’image est contenue dans \(H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\). Notons \[E_n \subset H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] l’image inverse de \(F^n/F^{n + 1}\). Alors \(\bigoplus E_n\) est un sous-module gradué sur \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\) de \(\bigoplus H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et \(\bigoplus E_n \to \bigoplus F^n/F^{n + 1}\) est un homomorphisme de modules gradués; nous omettons les détails. Par hypothèse, \(\bigoplus E_n\) est engendré par un nombre fini d’éléments homogènes sur \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\). Comme \(E_n \to F^n/F^{n + 1}\) est surjectif, il en va de même pour \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\). Nous pouvons donc trouver \(r\), des entiers \(c_1, \ldots, c_r \geq 0\) et des éléments \(a_i \in F^{c_i}\) dont les images engendrent \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\). Posons \(c = \max(c_i)\).

Pour \(n \geq c\), nous affirmons que \(I F^n = F^{n + 1}\). Cette assertion montre que \(F^{n + c} = I^nF^c \subset I^nM\), comme souhaité. Pour la démontrer, supposons que \(a \in F^{n + 1}\). L’image de \(a\) en \(F^{n + 1}/F^{n + 2}\) est une combinaison linéaire de notre \(a_i\). Par conséquent \(a - \sum f_i a_i \in F^{n + 2}\) pour certains \(f_i \in I^{n + 1 - c_i}\). Comme \(I^{n + 1 - c_i} = I \cdot I^{n - c_i}\) et \(n \geq c_i\), nous pouvons écrire \(f_i = \sum g_{i, j} h_{i, j}\) avec \(g_{i, j} \in I\) et \(h_{i, j}a_i \in F^n\). Ainsi, nous voyons que \(F^{n + 1} = F^{n + 2} + IF^n\). Un simple argument d’induction donne \(F^{n + 1} = F^{n + e} + IF^n\) pour tout \(e > 0\). Il s’ensuit que \(IF^n\) est dense dans \(F^{n + 1}\). Choisissons des générateurs \(k_1, \ldots, k_r\) de \(I\) et considérons l’application continue \[u : (F^n)^{\oplus r} \longrightarrow F^{n + 1},\quad (x_1, \ldots, x_r) \mapsto \sum k_i x_i\] (pour la topologie limite). D’après ce qui précède, l’image de \((F^m)^{\oplus r}\) par \(u\) est dense dans \(F^{m + 1}\) pour tout \(m \geq n\). Le lemme de l’application ouverte (Compléments sur l’algèbre, lemme 0CQW) montre que \(u\) est ouverte. L’application \(u\) est donc surjective. Par conséquent, \(IF^n = F^{n + 1}\) pour \(n \geq c\). Ceci conclut la preuve.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Pour \(n\), posons \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] Si \(\bigoplus N_n\) satisfait à la condition de chaîne ascendante comme module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\), alors la topologie limite sur \(M = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

La preuve est exactement la même que celle du lemme 0GYM. En effet, les arguments donnés là prouvent le résultat dès que l’on montre que \(\bigoplus N_n\) est un sous-module gradué sur \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) de \(\bigoplus H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et que \(F^n/F^{n + 1} \subset H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\) est contenu dans l’image de \(N_n \to H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\). Dans la preuve du lemme 0GYL, nous avons établi l’énoncé sur la structure de module.

Soit \(t \in F^n\). Choisissons un élément \(s \in H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) qui s’envoie sur l’image de \(t\) dans \(H^p(X, \mathcal{F}_{n + 1})\). Nous devons montrer que \(s\) appartient à \(N_n\). Or \(F^n\) est le noyau de l’application \(M \to H^p(X, \mathcal{F}_n)\); par conséquent, pour tout \(m \geq n\), nous pouvons envoyer \(t\) vers un élément \(t_m \in H^p(X, \mathcal{F}_{m + 1})\) qui s’envoie sur zéro dans \(H^p(X, \mathcal{F}_n)\). Considérez la séquence de cohomologie \[H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, \mathcal{F}_n)\] provenant de la suite exacte courte \(0 \to I^n\mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\). Nous pouvons choisir \(s_m \in H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\) s’envoyant sur \(t_m\). En comparant la suite ci-dessus à celle correspondant à \(m = n\), nous voyons que \(s_m\) s’envoie sur \(s\), à un élément de l’image de \(H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\). Cependant, cette application se factorise par l’application \(H^p(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et nous voyons que \(s\) appartient à l’image, comme souhaité.

Systèmes projectifs et cohomologie, II

Cette section poursuit la discussion dans la section 0GYJ dans le cadre où l’idéal est principal.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Considérons les conditions

1. pour tout \(n \geq 1\), le morphisme \(f : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) se factorise par \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) de manière à donner une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1 \to 0\),

2. pour tout \(n \geq 1\), le morphisme \(f^n : \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1}\) se factorise par \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_1\) de manière à donner une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\)

3. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) qui est \(f\)-divisible et tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\),

4. il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) sans \(f\)-torsion et tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\).

Alors (4) \(\Rightarrow\) (3) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\Leftrightarrow\) (1).

Démonstration

Nous omettons la preuve de l’équivalence de (1) et (2), ainsi que celle du fait que (3) implique (1). Étant donné \(\mathcal{F}_n\) comme dans (1), posons, pour démontrer (3), \(\mathcal{G} = \colim \mathcal{F}_n\), où les morphismes \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to \ldots\) sont ceux de (1). Le morphisme \(f : \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est surjectif, car l’image de \(\mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{G}\) est \(\mathcal{F}_n \subset \mathcal{G}\) d’après la suite exacte courte de (1). Ainsi, \(\mathcal{G}\) est \(f\)-divisible comme \(\mathcal{O}_X\)-module et \(\mathcal{F}_n = \mathcal{G}[f^n]\).

Supposons donné \(\mathcal{F}\) comme dans (4). Le morphisme \(\mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}\) est toujours surjectif, et son noyau est l’image du morphisme \(\mathcal{F}/f\mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F}\) induit par la multiplication par \(f^n\). Pour vérifier (2), il suffit de voir que le noyau de \(f^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F}/f^{n + 1}\mathcal{F}\) est \(f\mathcal{F}\). Il suffit donc de montrer que, pour des sections \(s, t\) de \(\mathcal{F}\) sur un ouvert \(U \subset X\) telles que \(f^ns = f^{n + 1}t\), nous avons \(s = ft\). Cela est clair, car \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est injectif puisque \(\mathcal{F}\) est sans \(f\)-torsion.

Lemme

Supposons que \(X\), \(f\) et \((\mathcal{F}_n)\) satisfassent à la condition (1) du lemme 0H39. Soit \(p \geq 0\) et posons \(H^p = \lim H^p(X, \mathcal{F}_n)\). Alors \(f^cH^p\) est le noyau de \(H^p \to H^p(X, \mathcal{F}_c)\) pour tout \(c \geq 1\). Ainsi, la topologie limite sur \(H^p\) est la topologie \(f\)-adique.

Démonstration

Soit \(c \geq 1\). Il est clair que \(f^c H^p\) s’envoie sur zéro dans \(H^p(X, \mathcal{F}_c)\). Si \(\xi = (\xi_n) \in H^p\) est suffisamment petit pour la topologie limite, alors \(\xi_c = 0\), et donc \(\xi_n\) s’envoie sur zéro dans \(H^p(X, \mathcal{F}_c)\) pour \(n \geq c\). Considérons le système projectif de suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_{n - c} \xrightarrow{f^c} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_c \to 0\] et le système projectif correspondant de suites exactes longues de cohomologie \[H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_c) \to H^p(X, \mathcal{F}_{n - c}) \to H^p(X, \mathcal{F}_n) \to H^p(X, \mathcal{F}_c)\] Puisque le terme \(H^{p - 1}(X, \mathcal{F}_c)\) est indépendant de \(n\), nous pouvons choisir une suite compatible d’éléments \(\xi'_n \in H^p(X, \mathcal{F}_{n - c})\) relevant \(\xi_n\). En posant \(\xi' = (\xi'_n)\), nous obtenons \(\xi = f^c \xi'\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien complet pour un idéal principal \((f)\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules. Supposons que

1. \(\Gamma(X, \mathcal{F}_1)\) est un \(A\)-module de type fini,

2. \(X\), \(f\) et \((\mathcal{F}_n)\) satisfont à la condition (1) du lemme 0H39.

Alors \[M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\] est un \(A\)-module de type fini, \(f\) est un non-diviseur de zéro sur \(M\), et \(M/fM\) est l’image de \(M\) dans \(\Gamma(X, \mathcal{F}_1)\).

Démonstration

D’après le lemme 0EHA, nous avons \(M/fM \subset H^0(X, \mathcal{F}_1)\). D’après (1) et la noethérianité de \(A\), nous obtenons que \(M/fM\) est un \(A\)-module de type fini. De plus, \(\bigcap f^nM = 0\), car \(f^nM\) s’envoie sur zéro dans \(H^0(X, \mathcal{F}_n)\). Par Algèbre, lemme 031D, nous concluons que \(M\) est de type fini sur \(A\). Enfin, supposons que \(s = (s_n) \in M = \lim H^0(X, \mathcal{F}_n)\) vérifie \(fs = 0\). Alors \(s_{n + 1}\) appartient au noyau de \(\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n\) d’après la condition (1) du lemme 0H39. Ainsi, \(s_n = 0\). Comme \(n\) est arbitraire, nous obtenons \(s = 0\). Par conséquent, \(f\) est un non-diviseur de zéro sur \(M\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(f \in A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules. Soit \(p \geq 0\). Supposons que

1. soit \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\) est un \(A\)-module de longueur finie, soit \(A\) est noethérien et \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\) est un \(A\)-module de type fini,

2. \(X\), \(f\) et \((\mathcal{F}_n)\) satisfont à la condition (1) du lemme 0H39.

Alors le système projectif \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Mittag–Leffler.

Démonstration

Posons \(I = (f)\). Nous utiliserons le critère du lemme 0GYK. Remarquons que \(f^n : \mathcal{F}_1 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) est un isomorphisme pour tout \(n \geq 0\). Il suffit donc de montrer que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1) \cdot f^{n + 1}\] est un module gradué sur \(S = \bigoplus_{n \geq 0} A/(f) \cdot f^n\) satisfaisant à la condition de chaîne ascendante. Si \(A\) n’est pas noethérien, alors \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\) est de longueur finie et le résultat est acquis. Si \(A\) est noethérien, alors \(S\) est un anneau noethérien et le résultat découle de ce que le module est de type fini sur \(S\), par l’hypothèse de finitude sur \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(f \in A\). Soit \(X\) un espace topologique. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules. Soit \(p \geq 0\). Supposons que

1. soit il existe \(m \geq 1\) tel que l’image de \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\) soit un \(A\)-module de longueur finie, soit \(A\) est noethérien et l’intersection des images de \(H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1)\) est un \(A\)-module de type fini,

2. \(X\), \(f\) et \((\mathcal{F}_n)\) satisfont à la condition (1) du lemme 0H39.

Alors le système projectif \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Mittag–Leffler.

Démonstration

Posons \(I = (f)\). Nous appliquerons le critère du lemme 0GYL aux modules \(N_n\). Pour \(m \geq n\), nous avons \(I^n\mathcal{F}_{m + 1} = \mathcal{F}_{m + 1 - n}\). Ainsi, nous voyons que \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq 1} \Im\left( H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_m) \to H^{p + 1}(X, \mathcal{F}_1) \right)\] est indépendant de \(n\) et que \(\bigoplus N_n = \bigoplus N_1 \cdot f^{n + 1}\). Nous concluons donc exactement comme dans la preuve du lemme 0BLC.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Si \(\mathcal{F}\) est sans \(f\)-torsion, alors, pour tout \(p \geq 0\), nous avons une suite exacte courte de systèmes projectifs \[0 \to \{H^p(X, \mathcal{F})/f^nH^p(X, \mathcal{F})\} \to \{H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\} \to \{H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\} \to 0\] Comme le premier système projectif satisfait à la condition de Mittag–Leffler (ML), nous en déduisons trois faits :

1. Il existe une suite exacte courte \[0 \to \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \to \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \to T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \to 0\] où \(\widehat{\ }\) désigne la complétion \(f\)-adique usuelle et \(T_f( - )\) le module de Tate \(f\)-adique de Compléments sur l’algèbre, exemple 0BKG.

2. Nous avons \(R^1\lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) = R^1\lim H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\).

3. Le système \(\{H^{p + 1}(X, \mathcal{F})[f^n]\}\) est ML si et seulement si \(\{H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\}\) est ML.

Voir Homologie, lemme 02N1, et Compléments sur l’algèbre, lemmes 0H31 et 0CQB.

Limites dérivées

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Puisque la catégorie triangulée \(D(\mathcal{O}_X)\) admet des produits (Injectifs, lemme 07D9), il s’ensuit que \(D(\mathcal{O}_X)\) admet des limites dérivées; voir Catégories dérivées, définition 08TC. Si \((K_n)\) est un système projectif dans \(D(\mathcal{O}_X)\), nous notons \(R\lim K_n\) sa limite dérivée.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Pour tout ouvert \(U \subset X\), le foncteur \(R\Gamma(U, -)\) commute avec \(R\lim\). De plus, il existe des suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] pour tout système projectif \((K_n)\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) et tout \(m \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Le premier énoncé découle d’Injectifs, lemme 08U1. Nous pouvons ensuite appliquer Compléments sur l’algèbre, remarque 08U5, à \(R\lim R\Gamma(U, K_n) = R\Gamma(U, R\lim K_n)\) pour obtenir les suites exactes courtes.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Alors \(Rf_*\) commute avec \(R\lim\), c’est-à-dire que \(Rf_*\) commute avec les limites dérivées.

Démonstration

Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Considérons le triangle distingué qui définit la limite dérivée \[R\lim K_n \to \prod K_n \to \prod K_n\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). En appliquant le foncteur exact \(Rf_*\), nous obtenons le triangle distingué \[Rf_*(R\lim K_n) \to Rf_*\left(\prod K_n\right) \to Rf_*\left(\prod K_n\right)\] dans \(D(\mathcal{O}_Y)\). Il suffit donc de montrer que \(Rf_*\) commute aux produits de la catégorie dérivée (lesquels ne sont pas simplement donnés par les produits de complexes; voir Injectifs, lemme 07D9). Or, puisque \(Rf_*\) est adjoint à droite d’après le lemme 079W, cela résulte formellement de Catégories, lemme 0038. Attention : on ne peut pas appliquer directement Catégories, lemme 0038, car \(R\lim K_n\) n’est pas une limite dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \(K = R\lim K_n\). Pour tout \(n\) et tout \(m\), soit \(\mathcal{H}^m_n = H^m(K_n)\) le \(m\)-ième faisceau de cohomologie de \(K_n\), et posons de même \(\mathcal{H}^m = H^m(K)\). Notons \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\) le préfaisceau \[U \longmapsto \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) = H^m(U, K_n)\] De même, posons \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = H^m(U, K)\). D’après le lemme 0BKJ, nous voyons que \(\mathcal{H}^m_n\) est la faisceautisation de \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\) et que \(\mathcal{H}^m\) est la faisceautisation de \(\underline{\mathcal{H}}^m\). Voici un diagramme \[\xymatrix{ K \ar@{=}[d] & \underline{\mathcal{H}}^m \ar[d] \ar[r] & \mathcal{H}^m \ar[d] \\ R\lim K_n & \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n \ar[r] & \lim \mathcal{H}^m_n }\] En général, il n’est pas vrai que \(\lim \mathcal{H}^m_n\) soit le faisceau associé à \(\lim \underline{\mathcal{H}}^m_n\). Si \(U \subset X\) est un ouvert, nous avons alors des suites exactes courtes

[0BKR]\[\begin{equation} 0 \to R^1\lim \underline{\mathcal{H}}^{m - 1}_n(U) \to \underline{\mathcal{H}}^m(U) \to \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) \to 0 \end{equation}\]

d’après le lemme 0D60.

Le lemme suivant s’applique à un système projectif de modules quasi-cohérents dont les morphismes de transition sont surjectifs sur un schéma.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{B}\) un ensemble d’ouverts de \(X\). Supposons que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(U, \mathcal{F}_n) = 0\) pour \(p > 0\) et \(U \in \mathcal{B}\),

3. le système projectif \(\mathcal{F}_n(U)\) a un \(R^1\lim\) nul pour \(U \in \mathcal{B}\).

Alors \(R\lim \mathcal{F}_n = \lim \mathcal{F}_n\) et nous avons \(H^p(U, \lim \mathcal{F}_n) = 0\) pour \(p > 0\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Posons \(K_n = \mathcal{F}_n\) et \(K = R\lim \mathcal{F}_n\). Avec les notations de la remarque 0BKQ et l’hypothèse (2), nous voyons que, pour \(U \in \mathcal{B}\), nous avons \(\underline{\mathcal{H}}_n^m(U) = 0\) lorsque \(m \not = 0\) et \(\underline{\mathcal{H}}_n^0(U) = \mathcal{F}_n(U)\). De l’équation (0BKR) et l’hypothèse (3) nous voyons que \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\) lorsque \(m \not = 0\) et égal à \(\lim \mathcal{F}_n(U)\) lorsque \(m = 0\). En faisceautisant et en utilisant (1), nous obtenons \(\mathcal{H}^m = 0\) lorsque \(m \not = 0\) et égal à \(\lim \mathcal{F}_n\) lorsque \(m = 0\). Ainsi, \(K = \lim \mathcal{F}_n\). Comme \(H^m(U, K) = \underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\) pour \(m > 0\) (voir ci-dessus), la seconde assertion est vérifiée.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Soient \(x \in X\) et \(m \in \mathbf{Z}\). Supposons qu’il existe un entier \(n(x)\) et un système fondamental \(\mathfrak{U}_x\) de voisinages ouverts de \(x\) tels que, pour \(U \in \mathfrak{U}_x\),

1. \(R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) = 0\),

2. \(H^m(U, K_n) \to H^m(U, K_{n(x)})\) est injectif pour \(n \geq n(x)\).

Alors l’application sur les germes \(H^m(R\lim K_n)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\) est injective.

Démonstration

Soit \(\gamma\) un élément de \(H^m(R\lim K_n)_x\) qui s’envoie sur zéro dans \(H^m(K_{n(x)})_x\). Comme \(H^m(R\lim K_n)\) est la faisceautisation de \(U \mapsto H^m(U, R\lim K_n)\), (d’après le lemme 0BKJ) nous pouvons choisir \(U \in \mathfrak{U}_x\) et un élément \(\tilde \gamma \in H^m(U, R\lim K_n)\) s’envoyant sur \(\gamma\). Alors \(\tilde\gamma\) s’envoie sur \(\tilde\gamma_{n(x)} \in H^m(U, K_{n(x)})\). Puisque \(H^m(K_{n(x)})\) est la faisceautisation de \(U \mapsto H^m(U, K_{n(x)})\) (à nouveau d’après le lemme 0BKJ), nous voyons qu’après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(\tilde\gamma_{n(x)} = 0\). Pour cet ouvert \(U\), considérons la suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] du lemme 0D60. Par l’hypothèse (1), le groupe de gauche est nul et, par l’hypothèse (2), celui de droite s’injecte dans \(H^m(U, K_{n(x)})\). Nous concluons que \(\tilde\gamma = 0\) et donc que \(\gamma = 0\), comme souhaité.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé et soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que, pour tout \(x \in X\), il existe une fonction \(p(x, -) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) et un système fondamental \(\mathfrak{U}_x\) de voisinages ouverts de \(x\) tels que \[H^p(U, H^{m - p}(E)) = 0 \text{ pour } U \in \mathfrak{U}_x \text{ et } p > p(x, m)\] Alors l’application \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Posons \(K_n = \tau_{\geq -n}E\) et \(K = R\lim K_n\). Le morphisme canonique \(E \to K\) provient des morphismes canoniques \(E \to K_n = \tau_{\geq -n}E\). Nous devons montrer que \(E \to K\) induit un isomorphisme \(H^m(E) \to H^m(K)\) de faisceaux de cohomologie. Dans la suite de la preuve, fixons \(m\). Si \(n \geq -m\), alors le morphisme \(E \to \tau_{\geq -n}E = K_n\) induit un isomorphisme \(H^m(E) \to H^m(K_n)\). Pour finir la preuve il suffit de montrer que pour chaque \(x \in X\) il existe un entier \(n(x) \geq -m\) de sorte que l’application \(H^m(K)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\) est injective. En effet, la composée \[H^m(E)_x \to H^m(K)_x \to H^m(K_{n(x)})_x\] est une bijection et la deuxième flèche est injective; la première est donc bijective. Posons \[n(x) = 1 + \max\{-m, p(x, m - 1) - m, -1 + p(x, m) - m, -2 + p(x, m + 1) - m\}.\] de sorte que, dans tous les cas, \(n(x) \geq -m\). Assertion : les morphismes \[H^{m - 1}(U, K_{n + 1}) \to H^{m - 1}(U, K_n) \quad\text{et}\quad H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\] sont des isomorphismes pour \(n \geq n(x)\) et \(U \in \mathfrak{U}_x\). L’assertion implique que les conditions (1) et (2) du lemme 0D61 sont satisfaites et fournit donc l’injectivité souhaitée. Rappelons (Catégories dérivées, remarque 08J5) que nous avons des triangles distingués \[H^{-n - 1}(E)[n + 1] \to K_{n + 1} \to K_n \to H^{-n - 1}(E)[n + 2]\] En examinant la suite exacte longue de cohomologie associée, l’assertion découle de la nullité des groupes \[H^{m + n}(U, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 1}(U, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 2}(U, H^{-n - 1}(E))\] pour \(n \geq n(x)\) et \(U \in \mathfrak{U}_x\). Cette nullité découle de notre choix de \(n(x)\) et de l’hypothèse du lemme.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que, pour tout \(x \in X\), il existe un entier \(d_x \geq 0\) et un système fondamental \(\mathfrak{U}_x\) de voisinages ouverts de \(x\) tels que \[H^p(U, H^q(E)) = 0 \text{ pour } U \in \mathfrak{U}_x,\ p > d_x, \text{ et }q < 0\] Alors l’application \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72, est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Ceci résulte du lemme 0D62 avec \(p(x, m) = d_x + \max(0, m)\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons qu’il existe une fonction \(p(-) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) et un ensemble \(\mathcal{B}\) d’ouverts de \(X\) tels que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(U, H^{m - p}(E)) = 0\) pour \(p > p(m)\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Alors l’application \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Appliquer le lemme 0D62 avec \(p(x, m) = p(m)\) et \(\mathfrak{U}_x = \{U \in \mathcal{B} \mid x \in U\}\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons qu’il existe un entier \(d \geq 0\) et une base \(\mathcal{B}\) de la topologie de \(X\) telle que \[H^p(U, H^q(E)) = 0 \text{ pour } U \in \mathcal{B},\ p > d, \text{ et }q < 0\] Alors l’application \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72, est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Appliquer le lemme 0D63 avec \(d_x = d\) et \(\mathfrak{U}_x = \{U \in \mathcal{B} \mid x \in U\}\).

Les lemmes ci-dessus peuvent être utilisés pour calculer la cohomologie dans certaines situations.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{B}\) un ensemble d’ouverts de \(X\). Supposons que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(U, H^q(K)) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(q \in \mathbf{Z}\), \(U \in \mathcal{B}\).

Alors \(H^q(U, K) = H^0(U, H^q(K))\) pour \(q \in \mathbf{Z}\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Remarquons que \(K = R\lim \tau_{\geq -n} K\) d’après le lemme 0D64 avec \(d = 0\). Soit \(U \in \mathcal{B}\). Par l’équation (0BKR), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{q - 1}(U, \tau_{\geq -n}K) \to H^q(U, K) \to \lim H^q(U, \tau_{\geq -n}K) \to 0\] La condition (2) implique \(H^q(U, \tau_{\geq -n} K) = H^0(U, H^q(\tau_{\geq -n} K))\) pour tout \(q\), à l’aide de la suite spectrale de l’exemple 0BKM. Cette suite spectrale converge parce que \(\tau_{\geq -n}K\) est borné inférieurement. Si \(n > -q\), alors \(H^q(\tau_{\geq -n}K) = H^q(K)\). Ainsi, les systèmes de gauche et de droite de la suite exacte courte affichée sont stationnaires, de valeurs respectives \(H^0(U, H^{q - 1}(K))\) et \(H^0(U, H^q(K))\). Le lemme suit.

Voici un autre cas où nous pouvons décrire la limite dérivée.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif d’objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{B}\) un ensemble d’ouverts de \(X\). Supposons que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\) et tout \(q \in \mathbf{Z}\), nous avons

   1. \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) pour \(p > 0\),

   2. le système projectif \(H^0(U, H^q(K_n))\) a un \(R^1\lim\) nul.

Alors \(H^q(R\lim K_n) = \lim H^q(K_n)\) pour \(q \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Posons \(K = R\lim K_n\). Soit \(U \in \mathcal{B}\). D’après le lemme 0BKT et (2) a), nous avons \(H^q(U, K_n) = H^0(U, H^q(K_n))\). D’après le lemme 0D60 et (2) b), nous avons \(H^q(U, K) = \lim H^0(U, H^q(K_n))\). Ainsi, \(H^q(U, K)\) est la limite projective des sections des faisceaux \(H^q(K_n)\) sur \(U\). Comme \(\lim H^q(K_n)\) est un faisceau, l’hypothèse (1) montre que \(H^q(K)\), qui est la faisceautisation du préfaisceau \(U \mapsto H^q(U, K)\), est égal à \(\lim H^q(K_n)\). Cela prouve le lemme.

Construction de résolutions K-injectives

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) a assez d’injectifs; nous pouvons donc utiliser Catégories dérivées, lemme 070F, pour produire un diagramme \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \tau_{\geq -2}\mathcal{F}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tau_{\geq -1}\mathcal{F}^\bullet \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet }\] dans la catégorie des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules, tel que

1. les flèches verticales sont des quasi-isomorphismes,

2. \(\mathcal{I}_n^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’objets injectifs,

3. les flèches \(\mathcal{I}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{I}_n^\bullet\) sont des surjections scindées terme à terme.

La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules admet des limites (elles se calculent au niveau des préfaisceaux); nous pouvons donc former la limite \(\mathcal{I}^\bullet = \lim_n \mathcal{I}_n^\bullet\). Par Catégories dérivées, lemmes 070J et 070L il s’agit d’un complexe K-injectif. En général, l’application canonique

[071A]\[\begin{equation} \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \end{equation}\]

peut ne pas être un quasi-isomorphisme. Dans le lemme suivant, nous donnons des conditions sous lesquelles il en est un.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, soit \(\mathcal{H}^m = H^m(\mathcal{F}^\bullet)\) le faisceau de cohomologie de degré \(m\). Soit \(\mathcal{B}\) un ensemble de sous-ensembles ouverts de \(X\). Soit \(d \in \mathbf{N}\). Supposons que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), nous avons \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\) pour \(p > d\) et \(q < 0\)⁷.

Alors (071A) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

D’après Catégories dérivées, lemme 070M, il suffit de montrer que l’application \(\mathcal{F}^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n} \mathcal{F}^\bullet\) est un isomorphisme. C’est le lemme 0D64.

Voici un lemme technique sur les faisceaux de cohomologie de la limite projective d’un système de complexes de faisceaux. En un certain sens, ce n’est pas le bon énoncé à chercher à démontrer, car il faudrait prendre des limites dérivées plutôt que des limites projectives ordinaires.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((\mathcal{F}_n^\bullet)\) un système projectif de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(m \in \mathbf{Z}\). Supposons qu’il existe un ensemble \(\mathcal{B}\) de sous-ensembles ouverts de \(X\) et un entier \(n_0\) tels que

1. tout ouvert de \(X\) admet un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour chaque \(U \in \mathcal{B}\)

   1. les systèmes des groupes abéliens \(\mathcal{F}_n^{m - 2}(U)\) et \(\mathcal{F}_n^{m - 1}(U)\) ont un \(R^1\lim\) nul (par exemple, ils satisfont à la condition de Mittag–Leffler),

   2. le système des groupes abéliens \(H^{m - 1}(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\) a un \(R^1\lim\) nul (par exemple, il satisfait à la condition de Mittag–Leffler), et

   3. Nous avons \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet(U))\) pour tous \(n \geq n_0\).

Alors les morphismes \(H^m(\mathcal{F}^\bullet) \to \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet) \to H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet)\) sont des isomorphismes de faisceaux, où \(\mathcal{F}^\bullet = \lim \mathcal{F}_n^\bullet\) est la limite projective par terme.

Démonstration

Soit \(U \in \mathcal{B}\). Notons que \(H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\) est la cohomologie de \[\lim_n \mathcal{F}_n^{m - 2}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m - 1}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^m(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m + 1}(U)\] Sous les hypothèses (2)a) et (2)b), nous pouvons appliquer Compléments sur l’algèbre, lemme 0918, pour conclure que \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] Par hypothèse (2) c), nous concluons \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] pour tout \(n \geq n_0\). Par l’hypothèse (1), nous concluons que la faisceautisation de \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\) est égale à celle de \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\) pour tout \(n \geq n_0\). Ainsi, le système projectif des faisceaux \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet)\) est constant pour \(n \geq n_0\), de valeur \(H^m(\mathcal{F}^\bullet)\). Cela prouve le lemme.

Systèmes projectifs et cohomologie, III

Cette section poursuit la discussion dans la section 0H38 en utilisant des limites dérivées.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(f \in A\). Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \[E_n = E \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{O}_X \xrightarrow{f^n} \mathcal{O}_X)\] et définissons \(E^\wedge = R\lim E_n\). Pour \(p \in \mathbf{Z}\), il existe un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, E)} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, E_n) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, E)) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, E)^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, E^\wedge) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, E)) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, E)[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, E_n) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] dont les lignes et les colonnes sont exactes, où \(\widehat{H^p(X, E)} = \lim H^p(X, E)/f^n H^p(X, E)\) est la complétion \(f\)-adique, \(H^p(X, E)^\wedge\) est la complétion \(f\)-adique dérivée, et \(T_f(H^{p + 1}(X, E))\) est le module de Tate \(f\)-adique; voir Compléments sur l’algèbre, exemple 0BKG. Enfin, nous avons \(H^p(X, E^\wedge) = H^p(R\Gamma(X, E)^\wedge)\).

Démonstration

Remarquons que \(R\Gamma(X, E^\wedge) = R\lim R\Gamma(X, E_n)\) d’après le lemme 0BKP. D’autre part, nous avons \[R\Gamma(X, E_n) = R\Gamma(X, E) \otimes_A^\mathbf{L} (A \xrightarrow{f^n} A)\] (détails omis). Nous en déduisons que \(R\Gamma(X, E^\wedge)\) est la complétion \(f\)-adique dérivée \(R\Gamma(X, E)^\wedge\). Le diagramme découle alors de Compléments sur l’algèbre, lemme 0H32.

Lemme

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(f : M \to M\) un morphisme de \(\mathcal{A}\). Si \(M[f^n] = \Ker(f^n : M \to M)\) se stabilise, alors les systèmes projectifs \[(M \xrightarrow{f^n} M) \quad\text{et}\quad \Coker(f^n : M \to M)\] sont pro-isomorphes dans \(D(\mathcal{A})\).

Démonstration

Il existe manifestement un morphisme du premier système projectif vers le second. Supposons que \(M[f^c] = M[f^{c + 1}] = M[f^{c + 2}] = \ldots\). Nous pouvons alors définir un morphisme de systèmes projectifs dans \(D(\mathcal{A})\) en sens inverse au moyen des diagrammes \[\xymatrix{ M/M[f^c] \ar[r]_-{f^{n + c}} \ar[d]_{f^c} & M \ar[d]^1 \\ M \ar[r]^{f^n} & M }\] Puisque la flèche horizontale supérieure est injective, le complexe de la ligne supérieure est quasi-isomorphe à \(\Coker(f^{n + c} : M \to M)\). Nous omettons quelques détails.

Exemple

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(f \in A\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons qu’il existe un entier \(c\) tel que \(\mathcal{F}[f^c] = \mathcal{F}[f^n]\) pour tout \(n \geq c\). Appliquons le lemme 0H3C avec \(E = \mathcal{F}\). D’après le lemme 0H3D, le système projectif \((E_n)\) est pro-isomorphe au système projectif \((\mathcal{F}/f^n\mathcal{F})\). Nous en concluons que, pour \(p \in \mathbf{Z}\), nous obtenons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & 0 & 0 \\ 0 \ar[r] & \widehat{H^p(X, \mathcal{F})} \ar[r] \ar[u] & \lim H^p(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(H^p(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & H^p(R\Gamma(X, \mathcal{F})^\wedge) \ar[r] \ar[u] & T_f(H^{p + 1}(X, \mathcal{F})) \ar[r] \ar@{=}[u] & 0 \\ & R^1\lim H^p(X, \mathcal{F})[f^n] \ar[u] \ar[r]^\cong & R^1\lim H^{p - 1}(X, \mathcal{F}/f^n\mathcal{F}) \ar[u] \\ & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] }\] dont les lignes et les colonnes sont exactes, où \(\widehat{H^p(X, \mathcal{F})} = \lim H^p(X, \mathcal{F})/f^n H^p(X, \mathcal{F})\) est la complétion \(f\)-adique usuelle et où \(M^\wedge\) désigne la complétion \(f\)-adique dérivée de \(M\) dans \(D(A)\).

Cohomologie de Čech des complexes non bornés

La construction de la section 01FP n’est pas la bonne pour les complexes non bornés. Le problème est que, dans le projet Champs, nous utilisons des sommes directes dans la totalisation d’un complexe double et que nous devrions les remplacer par un produit. Au lieu d’effectuer ce remplacement dans cette section, nous supposons que le recouvrement est fini et nous utilisons le complexe de Čech alterné.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \({\mathcal F}^\bullet\) un complexe de préfaisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert fini de \(X\). Comme le complexe de Čech alterné \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) (section 01FG) est fonctoriel en \(\mathcal{F}\), nous obtenons un complexe double \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\). Dans cette section, nous travaillons avec le complexe total associé. La construction de \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet))\) est fonctorielle en \({\mathcal F}^\bullet\). Il existe également une transformation fonctorielle

[08C0]\[\begin{equation} \Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \end{equation}\]

de complexes définie par la règle suivante : une section \(s\in \Gamma(X, {\mathcal F}^n)\) est envoyée vers l’élément \(\alpha = \{\alpha_{i_0\ldots i_p}\}\) avec \(\alpha_{i_0} = s|_{U_{i_0}}\) et \(\alpha_{i_0\ldots i_p} = 0\) pour \(p > 0\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement fini ouvert. Pour un complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] fonctoriel en \(\mathcal{F}^\bullet\) et compatible avec (08C0).

Démonstration

Soit \({\mathcal I}^\bullet\) un complexe K-injectif dont les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs. Le morphisme (08C0) pour \(\mathcal{I}^\bullet\) est un morphisme \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet) \to \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet))\). Il s’agit d’un quasi-isomorphisme de complexes de groupes abéliens comme il résulte de Homologie, lemme 0133 appliqué au complexe double \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)\), au moyen des lemmes 01EP et 01FM. Supposons que \({\mathcal F}^\bullet \to {\mathcal I}^\bullet\) soit un quasi-isomorphisme de \({\mathcal F}^\bullet\) dans un complexe K-injectif dont les termes sont injectifs (Injectifs, théorème 079P). Puisque \(R\Gamma(X, {\mathcal F}^\bullet)\) est représenté par le complexe \(\Gamma(X, {\mathcal I}^\bullet)\), nous obtenons le morphisme du lemme au moyen de \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}({\mathcal U}, {\mathcal I}^\bullet)).\] Nous omettons la vérification de la fonctorialité et des compatibilités.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement fini ouvert. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{B}\) un ensemble d’ouverts de \(X\). Supposons que

1. tout ouvert de \(X\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. on a \(U_{i_0\ldots i_p} \in \mathcal{B}\) pour tous \(i_0, \ldots, i_p \in I\),

3. pour tout \(U \in \mathcal{B}\) et tout \(p > 0\), on a

   1. \(H^p(U, \mathcal{F}^q) = 0\),

   2. \(H^p(U, \Coker(\mathcal{F}^{q - 1} \to \mathcal{F}^q)) = 0\),

   3. \(H^p(U, H^q(\mathcal{F})) = 0\).

Alors le morphisme \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\] du lemme 08C1 est un isomorphisme dans \(D(\textit{Ab})\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(\mathcal{F}^\bullet\) soit borné inférieurement. Dans ce cas, le morphisme \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))\] est un quasi-isomorphisme d’après le lemme 01FM. En effet, le morphisme de complexes doubles \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)\) induit un isomorphisme entre les premières pages des secondes suites spectrales associées à ces complexes (par Homologie, lemme 0130), et ces suites spectrales convergent (Homologie, lemme 0132). La conclusion découle donc, dans ce cas, du lemme 0FLH et de l’hypothèse (3)(a).

En général, par l’hypothèse (3)c), nous pouvons choisir une résolution \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet = \lim \mathcal{I}_n^\bullet\) comme dans le lemme 071B. Le morphisme du lemme devient alors \[\lim_n \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet) = \lim_n \Gamma(X, \mathcal{I}_n^\bullet)\] Ici, la flèche appartient à la catégorie dérivée, mais l’égalité de droite vaut au niveau des complexes. Remarquons que l’hypothèse (3)(b) montre que \(\tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné inférieurement satisfaisant aux hypothèses du lemme. Ainsi, le cas des complexes bornés inférieurement montre que chacun des morphismes \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(\mathcal{U}, \tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{I}_n^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme. En chaque degré donné, les cohomologies des complexes du membre de gauche sont stationnaires (car le complexe de Čech alterné est fini). Il en va donc de même pour le membre de droite. La cohomologie de la limite du membre de droite est par conséquent égale à cette valeur stationnaire, d’après Homologie, lemme 070E (ou, plus précisément, Compléments sur l’algèbre, lemme 0918), ce qui démontre le résultat.

Complexes de Hom

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(\mathcal{L}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) deux complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous construisons un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\). Plus précisément, pour tout \(n\), posons \[\SheafHom^n(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) = \prod\nolimits_{n = p + q} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] On peut voir \(\SheafHom^n\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules formé des applications \(\mathcal{O}_X\)-linéaires de \(\mathcal{L}^\bullet\) dans \(\mathcal{M}^\bullet\) (considérés comme des \(\mathcal{O}_X\)-modules gradués) qui sont homogènes de degré \(n\). Dans cette terminologie, nous définissons le différentiel par la formule \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] pour \(f \in \SheafHom^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\). Nous omettons la vérification que \(\text{d}^2 = 0\). Cette construction est un cas particulier d’Algèbre différentielle graduée, exemple 09L9. Il résulte immédiatement de la construction que

[0A8L]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet[n]) \end{equation}\]

pour tous \(n \in \mathbf{Z}\) et tous les ouverts \(U \subset X\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un isomorphisme \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules, fonctoriel en \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement de la même manière que Compléments sur l’algèbre, lemme 0A5Y.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement de la même manière que Compléments sur l’algèbre, lemme 0A8I.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet))\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules, fonctoriel en les trois complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement de la même manière que Compléments sur l’algèbre, lemme 0BYM.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\mathcal{K}^\bullet \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet))\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules, fonctoriel en les deux complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement de la même manière que Compléments sur l’algèbre, lemme 0A62.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules, fonctoriel en les trois complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement de la même manière que Compléments sur l’algèbre, lemme 0A60.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(L\) et \(M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(M\). Soit \(\mathcal{L}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(L\). Alors \[H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] pour tout ouvert \(U \subset X\).

Démonstration

Nous avons

\[\begin{align*} H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{I}^\bullet|_U) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U) \end{align*}\]

La première égalité est (0A8L). La seconde est vraie parce que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est K-injectif d’après le lemme 08BS.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \((\mathcal{I}')^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes K-injectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \((\mathcal{L}')^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Soit \(M\) l’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) représenté par \(\mathcal{I}^\bullet\) et \((\mathcal{I}')^\bullet\). Soit \(L\) l’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) représenté par \(\mathcal{L}^\bullet\) et \((\mathcal{L}')^\bullet\). D’après le lemme 0A8R, les faisceaux \[H^0(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet)) \quad\text{et}\quad H^0(\SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] sont tous deux égaux au faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] Le morphisme est donc un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{L}^\bullet\) un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

En effet, si \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe acyclique de \(\mathcal{O}_X\)-modules, alors

\[\begin{align*} \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) & = H^0(\Gamma(X, \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)))) \\ & = H^0(\Gamma(X, \SheafHom^\bullet(\text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet))) \\ & = \Hom_{K(\mathcal{O}_X)}( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet) \\ & = 0 \end{align*}\]

La première égalité découle de (0A8L), la deuxième du lemme 0A8M et la troisième de (0A8L). La dernière égalité vaut parce que \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)\) est acyclique puisque \(\mathcal{L}^\bullet\) est K-plat (définition 06Y9) et puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif.

Hom interne dans la catégorie dérivée

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Nous voulons construire un objet \(R\SheafHom(L, M)\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que, pour tout autre objet \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe une bijection canonique

[08DI]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M) \end{equation}\]

Remarquons que cette formule définit \(R\SheafHom(L, M)\) à isomorphisme unique près, par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P).

Pour construire un tel objet, choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\) et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Posons alors \[R\SheafHom(L, M) = \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] où le membre de droite est le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules construit dans la section 0A8K. Cette définition est bien posée d’après le lemme 0A8S. Nous obtenons un foncteur \[D(\mathcal{O}_X)^{opp} \times D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X), \quad (K, L) \longmapsto R\SheafHom(K, L)\] Avant de démontrer (08DI), calculons les groupes de cohomologie de \(R\SheafHom(K, L)\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Pour tout ouvert \(U\), on a \[H^0(U, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] et en particulier \(H^0(X, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(L, M)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(M\) et un complexe K-plat \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Alors \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) est K-injectif d’après le lemme 0A8T. Nous pouvons donc calculer la cohomologie sur \(U\) en prenant simplement les sections sur \(U\), et le résultat découle du lemme 0A8R.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(K, L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). Avec la construction décrite ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \[R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M)) = R\SheafHom(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriel en \(K, L, M\), qui redonne (08DI) après application de \(H^0(X, -)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\) et un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(K\). Alors \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] d’après le lemme 0A8M. Remarquons que le membre de gauche représente \(R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M))\) (utiliser le lemme 0A8T) et que le membre de droite représente \(R\SheafHom(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, M)\). Cela démontre la formule du lemme. En prenant les sections globales et en utilisant le lemme 08DK, nous obtenons (08DI).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \(K, L\) des objets de \(D(\mathcal{O}_X)\). La construction de \(R\SheafHom(K, L)\) commute à la restriction aux ouverts, c’est-à-dire que, pour tout ouvert \(U\), on a \(R\SheafHom(K|_U, L|_U) = R\SheafHom(K, L)|_U\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction et du lemme 08BS.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Le bifoncteur \(R\SheafHom(- , -)\) transforme les triangles distingués en triangles distingués dans les deux variables.

Démonstration

Cela résulte du fait que l’application \[(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \longmapsto \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] transforme une suite exacte courte de complexes scindée terme à terme, dans l’une ou l’autre variable, en une suite exacte courte scindée terme à terme. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique \[R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, M)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriel en \(K, L, M\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\), un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) représentant \(L\), et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\). D’après le lemme 0A8N, il existe un morphisme de complexes \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] Les complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\), \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\), \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) représentent respectivement \(R\SheafHom(L, M)\), \(R\SheafHom(K, L)\) et \(R\SheafHom(K, M)\). Si nous choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{H}^\bullet\) et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{H}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\), alors il existe un morphisme \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{H}^\bullet \right) \longrightarrow \text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right)\] dont la source représente \(R\SheafHom(L, M) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L)\). En composant les deux flèches affichées, on obtient le morphisme souhaité. Nous omettons la preuve de la fonctorialité de la construction.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriel en \(K, L, M\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\), un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(L\), et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{M}^\bullet\) représentant \(M\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\), où \(\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif. Nous utilisons alors le morphisme \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \right) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] où la première flèche est le morphisme du lemme 0BYR.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Étant donnés \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique \[K \longrightarrow R\SheafHom(L, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriel en \(K\) et \(L\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\) et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) et un quasi-isomorphisme \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\). Nous utilisons alors \[\mathcal{K}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] où la première flèche provient du lemme 0A8Q.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(L\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \(L^\vee = R\SheafHom(L, \mathcal{O}_X)\). Pour \(M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique

[08I2]\[\begin{equation} M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} L^\vee \longrightarrow R\SheafHom(L, M) \end{equation}\]

qui induit un morphisme canonique \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} L^\vee) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(L, M)\] fonctoriel en \(M\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\).