Foncteurs et morphismes

Introduction

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas. Ce chapitre porte sur les rapports entre les foncteurs \(\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) et les morphismes de schémas \(X \to Y\). Plus généralement, nous étudions les rapports entre \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(X\) ou, si \(X\) est noethérien, entre \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) et \(X\). Ces rapports ont été étudiés dans [Gabriel].

Foncteurs sur les catégories de modules

Pour un anneau \(A\), notons \(\text{Mod}^{fp}_A\) la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie admettant des limites inductives filtrantes. Soit \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\) un foncteur. Alors \(F\) se prolonge de manière unique en un foncteur \(F' : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\) qui commute aux limites inductives filtrantes.

Démonstration

Cela résulte de Catégories, lemme 0FWY. Pour voir que ce lemme s’applique, observons que les \(A\)-modules de présentation finie sont des objets compacts au sens catégorique de \(\text{Mod}_A\), d’après Algèbre, lemme 0G8P. De plus, tout \(A\)-module est limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie, d’après Algèbre, lemme 00HA.

Si une catégorie \(\mathcal{B}\) est additive et admet des limites inductives filtrantes, alors \(\mathcal{B}\) admet des sommes directes quelconques : toute somme directe s’écrit comme limite inductive filtrante de sommes directes finies.

Lemme

Soient \(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\) comme dans le lemme 0GNJ. Supposons que \(\mathcal{B}\) et \(F\) soient additifs. Alors \(F'\) est additif et commute aux sommes directes quelconques.

Démonstration

Pour montrer que \(F'\) est additif, il suffit de montrer que \(F'(M) \oplus F'(M') \to F'(M \oplus M')\) est un isomorphisme pour tous \(A\)-modules \(M\), \(M'\), voir Homologie, lemme 0DLP. Écrivons \(M = \colim_i M_i\) et \(M' = \colim_j M'_j\) comme limites inductives filtrantes de \(A\)-modules de présentation finie \(M_i\). Alors \(F'(M) = \colim_i F(M_i)\), \(F'(M') = \colim_j F(M'_j)\), et \[\begin{align*} F'(M \oplus M') & = F'(\colim_{i, j} M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i \oplus M'_j) \\ & = \colim_{i, j} F(M_i) \oplus F(M'_j) \\ & = F'(M) \oplus F'(M') \end{align*}\] comme voulu. Pour montrer que \(F'\) commute aux sommes directes, supposons que \(M = \bigoplus_{i \in I} M_i\). Alors \(M = \colim_{I' \subset I\text{ fini}} \bigoplus_{i \in I'} M_i\) est une limite inductive filtrante. On obtient \[\begin{align*} F'(M) & = \colim_{I' \subset I\text{ fini}} F'(\bigoplus\nolimits_{i \in I'} M_i) \\ & = \colim_{I' \subset I\text{ fini}} \bigoplus\nolimits_{i \in I'} F'(M_i) \\ & = \bigoplus\nolimits_{i \in I} F'(M_i) \end{align*}\] La deuxième égalité résulte de l’additivité de \(F'\) déjà démontrée.

Si une catégorie \(\mathcal{B}\) est additive, admet des limites inductives filtrantes et des conoyaux, alors \(\mathcal{B}\) admet des limites inductives quelconques, voir la discussion ci-dessus et Catégories, lemme 002P.

Lemme

Soient \(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\) comme dans le lemme 0GNJ. Supposons que \(\mathcal{B}\) soit additive, admette des conoyaux, et que \(F\) soit exact à droite. Alors \(F'\) est additif, exact à droite et commute aux sommes directes quelconques.

Démonstration

Puisque \(F\) est exact à droite, \(F\) commute aux sommes de deux objets, qui sont représentées par les sommes directes. Ainsi \(F\) est additif, d’après Homologie, lemme 0DLP. Donc \(F'\) est additif et commute aux sommes directes, d’après le lemme 0GNK. Nous invitons le lecteur à démontrer lui-même que \(F'\) est exact à droite avant de lire la démonstration ci-dessous.

Pour montrer que \(F'\) est exact à droite, il suffit de montrer que \(F'\) commute aux conoyaux de doubles flèches, voir Catégories, lemme 0GMN. Or, si \(a, b : K \to L\) sont des homomorphismes de \(A\)-modules, le conoyau de la double flèche formée de \(a\) et \(b\) est le conoyau de \(a - b : K \to L\). Soit donc \(K \to L \to M \to 0\) une suite exacte de \(A\)-modules. Nous devons montrer que, dans \[F'(K) \to F'(L) \to F'(M) \to 0\] la deuxième flèche est un conoyau de la première dans \(\mathcal{B}\) (si \(\mathcal{B}\) était abélienne, nous dirions que la suite ci-dessus est exacte). Écrivons \(M = \colim_{i \in I} M_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie, voir Algèbre, lemme 00HA. Posons \(L_i = L \times_M M_i\). On obtient un système de suites exactes \(K \to L_i \to M_i \to 0\) indexé par \(I\). Puisque les limites inductives commutent aux limites inductives, d’après Catégories, lemme 002M, et puisque les conoyaux sont des cas particuliers des conoyaux de doubles flèches, il suffit de montrer que \(F'(L_i) \to F(M_i)\) est un conoyau de \(F'(K) \to F'(L_i)\) dans \(\mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\). Autrement dit, nous pouvons supposer \(M\) de présentation finie. Écrivons \(L = \colim_{i \in I} L_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie, de telle sorte que chaque \(L_i\) s’envoie surjectivement sur \(M\). Posons \(K_i = K \times_L L_i\). On obtient un système de suites exactes courtes \(K_i \to L_i \to M \to 0\) indexé par \(I\). En répétant l’argument précédent, on se ramène à montrer que \(F(L_i) \to F(M_i)\) est un conoyau de \(F'(K) \to F(L_i)\) dans \(\mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(L\) et \(M\) sont des \(A\)-modules de présentation finie. Dans ce cas, le module \(\Ker(L \to M)\) est de type fini (Algèbre, lemme 0519). On peut donc écrire \(K = \colim_{i \in I} K_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie s’envoyant tous surjectivement sur \(\Ker(L \to M)\). On obtient un système de suites exactes courtes \(K_i \to L \to M \to 0\) indexé par \(I\). En répétant l’argument précédent, on se ramène à montrer que \(F(L) \to F(M)\) est un conoyau de \(F(K_i) \to F(L)\) dans \(\mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(K\), \(L\) et \(M\) sont des \(A\)-modules de présentation finie. Ce dernier cas résulte de l’hypothèse que \(F\) est exact à droite.

Si une catégorie \(\mathcal{B}\) est additive et admet des noyaux, alors \(\mathcal{B}\) admet des limites projectives finies. En effet, les produits finis sont des sommes directes, qui existent, et le noyau de la double flèche \(a, b : L \to M\) est le noyau de \(a - b : K \to L\), qui existe. Toutes les limites projectives finies existent donc, d’après Catégories, lemme 002O.

Lemme

Soient \(A\), \(\mathcal{B}\), \(F\) comme dans le lemme 0GNJ. Supposons que \(A\) soit un anneau cohérent (Algèbre, définition 05CV), que \(\mathcal{B}\) soit additive, admette des noyaux, que les limites inductives filtrantes commutent à la formation des noyaux et que \(F\) soit exact à gauche. Alors \(F'\) est additif, exact à gauche et commute aux sommes directes quelconques.

Démonstration

Puisque \(A\) est cohérent, la catégorie \(\text{Mod}^{fp}_A\) est abélienne, avec les mêmes noyaux et conoyaux que dans \(\text{Mod}_A\), voir Algèbre, lemmes 05CX et 05CW. Toutes les limites projectives finies existent donc dans \(\text{Mod}^{fp}_A\), et Catégories, définition 0034, s’applique. Puisque \(F\) est exact à gauche, \(F\) commute aux produits de deux objets, qui sont représentés par les sommes directes. Ainsi \(F\) est additif, d’après Homologie, lemme 0DLP. Donc \(F'\) est additif et commute aux sommes directes, d’après le lemme 0GNK. Nous invitons le lecteur à démontrer lui-même que \(F'\) est exact à gauche avant de lire la démonstration ci-dessous.

Pour montrer que \(F'\) est exact à gauche, il suffit de montrer que \(F'\) commute aux noyaux de doubles flèches, voir Catégories, lemme 0035. Or, si \(a, b : L \to M\) sont des homomorphismes de \(A\)-modules, le noyau de la double flèche formée de \(a\) et \(b\) est le noyau de \(a - b : L \to M\). Soit donc \(0 \to K \to L \to M\) une suite exacte de \(A\)-modules. Nous devons montrer que, dans \[0 \to F'(K) \to F'(L) \to F'(M)\] la flèche \(F'(K) \to F'(L)\) est un noyau de \(F'(L) \to F'(M)\) dans \(\mathcal{B}\) (si \(\mathcal{B}\) était abélienne, nous dirions que la suite ci-dessus est exacte). Écrivons \(M = \colim_{i \in I} M_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie, voir Algèbre, lemme 00HA. Posons \(L_i = L \times_M M_i\). On obtient un système de suites exactes \(0 \to K \to L_i \to M_i\) indexé par \(I\). Puisque, par hypothèse, les limites inductives filtrantes commutent à la formation des noyaux dans \(\mathcal{B}\), il suffit de montrer que \(F'(K) \to F'(L_i)\) est un noyau de \(F'(L_i) \to F(M_i)\) dans \(\mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\). Autrement dit, nous pouvons supposer \(M\) de présentation finie. Écrivons \(L = \colim_{i \in I} L_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules de présentation finie. Posons \(K_i = K \times_L L_i\). On obtient un système de suites exactes courtes \(0 \to K_i \to L_i \to M\) indexé par \(I\). En répétant l’argument précédent, on se ramène à montrer que \(F'(K_i) \to F(L_i)\) est un noyau de \(F(L_i) \to F(M)\) dans \(\mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(L\) et \(M\) sont des \(A\)-modules de présentation finie. Puisque \(A\) est cohérent, le \(A\)-module \(K = \Ker(L \to M)\) est de présentation finie, car la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie est abélienne (voir les références ci-dessus). Autrement dit, les trois modules \(K\), \(L\) et \(M\) sont des \(A\)-modules de présentation finie. Ce dernier cas résulte de l’hypothèse que \(F\) est exact à gauche.

Si une catégorie \(\mathcal{B}\) est additive et admet des conoyaux, alors \(\mathcal{B}\) admet des limites inductives finies. En effet, les sommes finies sont des sommes directes, qui existent, et le conoyau de la double flèche \(a, b : K \to L\) est le conoyau de \(a - b : K \to L\), qui existe. Toutes les limites inductives finies existent donc, d’après Catégories, lemme 002Q.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie additive admettant des conoyaux. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\) exacts à droite, et

la catégorie des couples \((K, \kappa)\) où \(K \in \Ob(\mathcal{B})\) et où \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\) est un homomorphisme d’anneaux,

donnée par la règle qui à \(F\) associe \(F(A)\) muni de son action naturelle de \(A\).

Démonstration

Soit \((K, \kappa)\) comme dans (2). Nous allons construire un foncteur \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \mathcal{B}\) tel que \(F(A) = K\), muni de l’action donnée de \(A\) par \(\kappa\). Pour un entier \(n \geq 0\), posons \[F(A^{\oplus n}) = K^{\oplus n}\] Étant donnée une application \(A\)-linéaire \(\varphi : A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\) de matrice \((a_{ij}) \in \text{Mat}(n \times m, A)\), définissons \[F(\varphi) : F(A^{\oplus m}) = K^{\oplus m} \longrightarrow K^{\oplus n} = F(A^{\oplus n})\] comme l’application de matrice \((\kappa(a_{ij}))\). Cela définit un foncteur additif \(F\) de la sous-catégorie pleine de \(\text{Mod}^{fp}_A\) d’objets \(0\), \(A\), \(A^{\oplus 2}\), \(\ldots\) dans \(\mathcal{B}\) ; nous omettons la vérification.

Pour chaque objet \(M\) de \(\text{Mod}^{fp}_A\), choisissons une présentation \[A^{\oplus m_M} \xrightarrow{\varphi_M} A^{\oplus n_M} \to M \to 0\] de \(M\) comme \(A\)-module. Prenons la présentation triviale \(0 \to A^{\oplus n} \xrightarrow{1} A^{\oplus n} \to 0\) si \(M = A^{\oplus n}\) (ce n’est pas nécessaire, mais simplifie l’exposé). Pour chaque morphisme \(f : M \to N\) de \(\text{Mod}^{fp}_A\), nous pouvons choisir un diagramme commutatif [0GNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_{\psi_f} & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_{\chi_f} & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] Ces choix étant faits, nous pouvons définir ce qui suit : pour un objet \(M\) de \(\text{Mod}^{fp}_A\), posons \[F(M) = \Coker(F(\varphi_M) : F(A^{\oplus m_M}) \to F(A^{\oplus n_M}))\] et, pour un morphisme \(f : M \to N\) de \(\text{Mod}^{fp}_A\), posons \[F(f) = \text{le morphisme }F(M) \to F(N)\text{ induit par } F(\psi_f)\text{ et }F(\chi_f)\text{ sur les conoyaux}\] Notons que cette règle prolonge le foncteur \(F\) donné sur la sous-catégorie pleine constituée des modules libres \(A^{\oplus n}\). Il reste à montrer que \(F\) est un foncteur, que \(F\) est additif et que \(F\) est exact à droite.

Soit \(f : M \to N\) un morphisme de \(\text{Mod}^{fp}_A\). Montrons que le morphisme \(F(f)\) définie ci-dessus est indépendante du choix de \(\psi_f\) et de \(\chi_f\) dans (0GNP). Supposons en effet que \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_f & 0 \\ A^{\oplus m_N} \ar[r]^{\varphi_N} & A^{\oplus n_N} \ar[r] & N \ar[r] & 0 }\] soit également commutatif. Notons \(F(f)' : F(M) \to F(N)\) le morphisme induit par \(F(\psi)\) et \(F(\chi)\). À la vue des diagrammes commutatifs, un argument élémentaire d’algèbre commutative fournit un homomorphisme \(\omega : A^{\oplus n_M} \to A^{\oplus m_N}\) telle que \(\chi = \chi_f + \varphi_N \circ \omega\). En appliquant \(F\), on trouve \(F(\chi) = F(\chi_f) + F(\varphi_N) \circ F(\omega)\). Puisque \(F(N)\) est le conoyau de \(F(\varphi_N)\), on voit que le morphisme \(F(A^{\oplus n_M}) \to F(M)\) égalise \(F(f)\) et \(F(f)'\). Un conoyau étant un épimorphisme, on en conclut que \(F(f) = F(f)'\).

Montrons que \(F\) est un foncteur. Observons d’abord que \(F(\text{id}_M) = \text{id}_{F(M)}\), car nous pouvons choisir les identités pour \(\psi_f\) et \(\chi_f\) dans le diagramme ci-dessus lorsque \(f = \text{id}_M\). Supposons ensuite donnés \(f : M \to N\) et \(g : L \to M\). Alors \(\psi = \psi_f \circ \psi_g\) et \(\chi = \chi_f \circ \chi_g\) conviennent dans (0GNP) pour \(f \circ g\). Ils induisent donc le morphisme voulu, ce qui exprime précisément que \(F(f) \circ F(g) = F(f \circ g)\).

Montrons que \(F\) est additif. Supposons donnés \(f, g : M \to N\). Alors \(\psi = \psi_f + \psi_g\) et \(\chi = \chi_f + \chi_g\) conviennent dans (0GNP) pour \(f + g\). Ils induisent donc le morphisme voulu, ce qui exprime précisément que \(F(f) + F(g) = F(f + g)\).

Montrons enfin que \(F\) est exact à droite. Il suffit de montrer que \(F\) commute aux conoyaux de doubles flèches, voir Catégories, lemme 0GMN. Pour cela, il suffit de montrer que \(F\) commute aux conoyaux. Soit \(K \to L \to M \to 0\) une suite exacte de \(A\)-modules avec \(K\), \(L\), \(M\) de présentation finie. Puisque \(F\) est un foncteur additif, on obtient bien un complexe \[F(K) \to F(L) \to F(M) \to 0\] et il faut montrer que la deuxième flèche est le conoyau de la première dans \(\mathcal{B}\). En tout cas, on obtient un morphisme \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\). Un argument élémentaire d’algèbre commutative fournit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A^{\oplus m_M} \ar[r]_{\varphi_M} \ar[d]_\psi & A^{\oplus n_M} \ar[r] \ar[d]_\chi & M \ar[r] \ar[d]_1 & 0 \\ K \ar[r] & L \ar[r] & M \ar[r] & 0 }\] En appliquant \(F\) à ce diagramme et en utilisant la construction de \(F(M)\) comme conoyau de \(F(\varphi_M)\), on trouve un morphisme \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\) inverse à droite du morphisme \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\). Il en résulte d’abord que \(F(L) \to F(M)\) est toujours un épimorphisme. Ensuite, ce qui précède donne une décomposition \[\Coker(F(K) \to F(L)) = F(M) \oplus E\] compatible à la fois avec \(F(M) \to \Coker(F(K) \to F(L))\) et \(\Coker(F(K) \to F(L)) \to F(M)\). Mais alors l’épimorphisme \(p : F(L) \to E\) devient nul aussi bien après composition avec \(F(K) \to F(L)\) qu’après composition avec \(F(A^{n_M}) \to F(L)\). Or, puisque \(K \oplus A^{n_M} \to L\) est surjectif (nous omettons l’argument algébrique), on en conclut que \(F(K \oplus A^{n_M}) \to F(L)\) est un épimorphisme (d’après ce qui précède), d’où \(E = 0\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\mathcal{B}\) une catégorie additive admettant des sommes directes quelconques et des conoyaux. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs \(F : \text{Mod}_A \to \mathcal{B}\) exacts à droite et commutant aux sommes directes quelconques, et

la catégorie des couples \((K, \kappa)\) où \(K \in \Ob(\mathcal{B})\) et où \(\kappa : A \to \text{End}_\mathcal{B}(K)\) est un homomorphisme d’anneaux,

donnée par la règle qui à \(F\) associe \(F(A)\) muni de son action naturelle de \(A\).

Démonstration

Combinons les lemmes 0GNN et 0GNL.

Foncteurs entre catégories de modules

Le lemme suivant est l’archétype des résultats de ce chapitre.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux. Soit \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) un foncteur. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(F\) est isomorphe au foncteur \(M \mapsto M \otimes_A K\) pour un certain \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-module \(K\) ;

\(F\) est exact à droite et commute à toutes les sommes directes ;

\(F\) commute à toutes les limites inductives ;

\(F\) admet un adjoint à droite \(G\).

Démonstration

Si (1) est satisfaite, alors (4) l’est aussi, car un adjoint à droite de \(M \mapsto M \otimes_A K\) est \(N \mapsto \Hom_B(K, N)\), voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09LN. Si (4) est satisfaite, alors (3) l’est d’après Catégories, lemme 0038. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (2) résulte immédiatement des définitions.

Supposons (2). Nous allons démontrer (1). D’après la discussion de Homologie, section 010M, le foncteur \(F\) est additif. Ainsi, \(F\) induit un homomorphisme d’anneaux \(A \to \text{End}_B(F(M))\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id}_M)\) pour tout \(A\)-module \(M\). Nous en concluons que \(F(M)\) est un \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-module, fonctoriellement en \(M\). Posons \(K = F(A)\). Définissons \[M \otimes_A K = M \otimes_A F(A) \longrightarrow F(M), \quad m \otimes k \longmapsto F(\varphi_m)(k)\] Ici, \(\varphi_m : A \to M\) envoie \(a \to am\). La règle \((m, k) \mapsto F(\varphi_m)(k)\) est \(A\)-bilinéaire (et \(B\)-linéaire à droite), comme requis pour obtenir l’homomorphisme \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-linéaire affichée. Cette construction est fonctorielle en \(M\) ; elle définit donc une transformation de foncteurs \(- \otimes_A K \to F(-)\) qui est un isomorphisme lorsqu’on l’évalue en \(A\). Pour tout \(A\)-module \(M\), nous pouvons choisir une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \to M \to 0\] En utilisant les morphismes construits ci-dessus, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & (\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & M \otimes_A K \ar[r] \ar[d] & 0 \\ F(\bigoplus\nolimits_{j \in J} A) \ar[r] & F(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A) \ar[r] & F(M) \ar[r] & 0 }\] La ligne inférieure est exacte puisque \(F\) est exact à droite. La ligne supérieure est exacte puisque le produit tensoriel par \(K\) est exact à droite. Comme \(F\) commute aux sommes directes, les deux flèches verticales de gauche sont bijectives. Nous pouvons donc conclure.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Soit \(K\) un \(A \otimes_R B\)-module. Nous pouvons alors considérer le foncteur [0GNU]\[\begin{equation} F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B,\quad M \longmapsto M \otimes_A K \end{equation}\] Ce foncteur est \(R\)-linéaire, exact à droite, commute aux sommes directes quelconques, commute à toutes les limites inductives et admet un adjoint à droite (lemme 0GNS).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs \(R\)-linéaires \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) qui sont exacts à droite et commutent aux sommes directes quelconques, et

la catégorie \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\),

donnée en associant à \(K\) le foncteur \(F\) de (0GNU).

Démonstration

Soit \(F\) un objet de la première catégorie. D’après le lemme 0GNS, nous pouvons supposer que \(F(M) = M \otimes_A K\) fonctoriellement en \(M\), pour un certain \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-module \(K\). La \(R\)-linéarité de \(F\) implique immédiatement que la structure de \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-module sur \(K\) provient d’une (unique) structure de \(A \otimes_R B\)-module sur \(K\). Nous voyons donc que l’association de \(K\) à \(F\) comme dans (0GNU) est essentiellement surjective.

Pour démontrer que notre foncteur est pleinement fidèle, nous devons montrer que, étant donnés des \(A \otimes_R B\)-modules \(K\) et \(K'\), toute transformation \(t : F \to F'\) entre les foncteurs correspondants provient d’un unique \(\varphi : K \to K'\). Puisque \(K = F(A)\) et \(K' = F'(A)\), nous pouvons prendre pour \(\varphi\) la valeur \(t_A : F(A) \to F'(A)\) de \(t\) en \(A\). Cet homomorphisme est \(A \otimes_R B\)-linéaire d’après la définition de la structure de \(A \otimes B\)-module sur \(F(A)\) et \(F'(A)\) donnée dans la démonstration du lemme 0GNS.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\), \(B\), \(C\) des \(R\)-algèbres. Soient \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) et \(F' : \text{Mod}_B \to \text{Mod}_C\) des foncteurs \(R\)-linéaires exacts à droite qui commutent aux sommes directes quelconques. Si, par l’équivalence du lemme 0GNV, l’objet \(K\) de \(\text{Mod}_{A \otimes_R B}\) correspond à \(F\) et l’objet \(K'\) de \(\text{Mod}_{B \otimes_R C}\) correspond à \(F'\), alors \(K \otimes_B K'\), vu comme un objet de \(\text{Mod}_{A \otimes_R C}\), correspond à \(F' \circ F\).

Remarque

Dans la situation du lemme 0GNV, supposons que \(F\) corresponde à \(K\). Alors \(F\) est exact \(\Leftrightarrow\) \(K\) est plat sur \(A\).

Remarque

Dans la situation du lemme 0GNV, supposons que \(F\) corresponde à \(K\). Alors \(F\) envoie les \(A\)-modules finis sur des \(B\)-modules finis \(\Leftrightarrow\) \(K\) est fini comme \(B\)-module.

Remarque

Dans la situation du lemme 0GNV, supposons que \(F\) corresponde à \(K\). Alors \(F\) envoie les \(A\)-modules de présentation finie sur des \(B\)-modules de présentation finie \(\Leftrightarrow\) \(K\) est de présentation finie comme \(B\)-module.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux. Si \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] est une équivalence de catégories, alors il existe un isomorphisme d’anneaux \(A \to B\) et un \(B\)-module inversible \(L\) tels que \(F\) soit isomorphe au foncteur \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\).

Démonstration

Puisqu’une équivalence commute à toutes les limites inductives, nous voyons que le lemme 0GNS s’applique. Soit \(K\) le \(A \otimes_\mathbf{Z} B\)-module tel que \(F\) soit isomorphe au foncteur \(M \mapsto M \otimes_A K\). Soit \(K'\) le \(B \otimes_\mathbf{Z} A\)-module tel qu’un quasi-inverse de \(F\) soit isomorphe au foncteur \(N \mapsto N \otimes_B K'\). D’après la remarque 0GNW et le lemme 0GNV, nous avons un isomorphisme \[\psi : K \otimes_B K' \longrightarrow A\] de \(A \otimes_\mathbf{Z} A\)-modules. De même, nous avons un isomorphisme \[\psi' : K' \otimes_A K \longrightarrow B\] de \(B \otimes_\mathbf{Z} B\)-modules. Choisissons un élément \(\xi = \sum_{i = 1, \ldots, n} x_i \otimes y_i \in K \otimes_B K'\) tel que \(\psi(\xi) = 1\). Considérons les isomorphismes \[K \xrightarrow{\psi^{-1} \otimes \text{id}_K} K \otimes_B K' \otimes_A K \xrightarrow{\text{id}_K \otimes \psi'} K\] Leur composé est un isomorphisme donné par \[k \longmapsto \sum x_i \psi'(y_i \otimes k)\] Nous en concluons que cet automorphisme se factorise comme \[K \to B^{\oplus n} \to K\] en tant qu’homomorphisme de \(B\)-modules. Il s’ensuit que \(K\) est un \(B\)-module projectif fini.

Nous affirmons que \(K\) est inversible comme \(B\)-module. Cela revient à demander que le rang de \(K\) comme \(B\)-module ait la valeur constante \(1\) ; voir Plus sur l’algèbre, lemme 0B8I, et Algèbre, lemme 00NX. Sinon, il existe un idéal maximal \(\mathfrak m \subset B\) tel que soit (a) \(K \otimes_B B/\mathfrak m = 0\), soit (b) il existe une surjection \(K \to (B/\mathfrak m)^{\oplus 2}\) de \(B\)-modules. Le cas (a) est absurde puisque \(K' \otimes_A K \otimes_B N = N\) pour tout \(B\)-module \(N\). Le cas (b) impliquerait l’existence d’une surjection \[A = K \otimes_B K' \longrightarrow (B/\mathfrak m \otimes_B K')^{\oplus 2}\] de \(A\)-modules (à droite). C’est impossible, car la cible est un \(A\)-module qui nécessite au moins deux générateurs : \(B/\mathfrak m \otimes_B K'\) est non nul, car il est l’image du module non nul \(B/\mathfrak m\) par le quasi-inverse de \(F\).

Puisque \(K\) est inversible comme \(B\)-module, nous avons \(\Hom_B(K, K) = B\). Comme \(K = F(A)\), l’action de \(A\) sur \(K\) définit un isomorphisme d’anneaux \(A \to B\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(A\) et \(B\) des \(R\)-algèbres. Si \[F : \text{Mod}_A \longrightarrow \text{Mod}_B\] est une équivalence \(R\)-linéaire de catégories, alors il existe un isomorphisme \(A \to B\) de \(R\)-algèbres et un \(B\)-module inversible \(L\) tels que \(F\) soit isomorphe au foncteur \(M \mapsto (M \otimes_A B) \otimes_B L\).

Démonstration

Le lemme 0GP0 nous fournit \(A \to B\) et \(L\). Pour achever la démonstration, il reste à montrer que la \(R\)-linéarité de \(F\) force \(A \to B\) à être un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Nous omettons les détails.

Remarque

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux. Munissons \(\text{Mod}_A\) et \(\text{Mod}_B\) de la structure monoïdale usuelle donnée par les produits tensoriels de modules. Soit \(F : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) un foncteur de catégories monoïdales, voir Catégories, définition 0FFL. Voici quelques remarques :

Puisque \(F(A)\) est une unité (d’après nos définitions), nous avons \(F(A) = B\).

Nous obtenons une application multiplicative \(\varphi : A \to B\) en envoyant \(a \in A\) sur son action sur \(F(A) = B\).

Prenons \(A = B\) et \(F(M) = M \otimes_A M\). Dans ce cas, \(\varphi(a) = a^2\).

Si \(F\) est additif, alors \(\varphi\) est un homomorphisme d’anneaux.

Prenons \(A = B = \mathbf{Z}\) et \(F(M) = M/\text{torsion}\). Alors \(\varphi = \text{id}_\mathbf{Z}\), mais \(F\) n’est pas le foncteur identité.

Si \(F\) est exact à droite et commute aux sommes directes, alors \(F(M) = M \otimes_{A, \varphi} B\) d’après le lemme 0GNS.

Autrement dit, les homomorphismes d’anneaux \(A \to B\) sont en bijection avec les classes d’isomorphisme de foncteurs de catégories monoïdales \(\text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) qui commutent à toutes les limites inductives.

Prolongement des foncteurs sur des catégories de modules

Pour un anneau \(A\), notons \(\text{Mod}^{fp}_A\) la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux. Soit \(F : \text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\) un foncteur. Alors \(F\) se prolonge de manière unique en un foncteur \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) qui commute aux limites inductives filtrantes.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0GNJ.

Remarque

Conservons \(A\), \(B\), \(F\) et \(F'\) comme dans le lemme 0GP4. Observons que le produit tensoriel de deux modules de présentation finie est de présentation finie ; voir Algèbre, lemme 05BS. Nous pouvons donc munir \(\text{Mod}^{fp}_A\), \(\text{Mod}^{fp}_B\), \(\text{Mod}_A\) et \(\text{Mod}_B\) de la structure monoïdale usuelle donnée par les produits tensoriels de modules. Dans ce cas, si \(F\) est un foncteur de catégories monoïdales, alors \(F'\) l’est aussi. Cela résulte immédiatement du fait que les produits tensoriels de modules commutent aux limites inductives filtrantes.

Lemme

Conservons \(A\), \(B\), \(F\) et \(F'\) comme dans le lemme 0GP4.

Si \(F\) est additif, alors \(F'\) est additif et commute aux sommes directes quelconques ;

si \(F\) est exact à droite, alors \(F'\) est exact à droite.

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0GNK et 0GNL.

Remarque

En combinant les remarques 0GP2 et 0GP5 et le lemme 0GP6, nous obtenons ce qui suit. Étant donnés des anneaux \(A\) et \(B\), l’ensemble des homomorphismes d’anneaux \(A \to B\) est en bijection avec l’ensemble des classes d’isomorphisme de foncteurs de catégories monoïdales \(\text{Mod}^{fp}_A \to \text{Mod}^{fp}_B\) qui sont exacts à droite.

Lemme

Conservons \(A\), \(B\), \(F\) et \(F'\) comme dans le lemme 0GP4. Supposons que \(A\) soit un anneau cohérent (Algèbre, définition 05CV). Si \(F\) est exact à gauche, alors \(F'\) est exact à gauche.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0GNM.

Pour un anneau \(A\), notons \(\text{Mod}^{fg}_A\) la catégorie des \(A\)-modules de type fini (aussi appelés \(A\)-modules finis).

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux noethériens. Soit \(F : \text{Mod}^{fg}_A \to \text{Mod}^{fg}_B\) un foncteur. Alors \(F\) se prolonge de manière unique en un foncteur \(F' : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) qui commute aux limites inductives filtrantes. Si \(F\) est additif, alors \(F'\) est additif et commute aux sommes directes quelconques. Si \(F\) est exact, exact à gauche ou exact à droite, alors \(F'\) l’est aussi.

Démonstration

Voir les lemmes 0GP6 et 0GP8. Utilisons aussi le fait que les \(A\)-modules finis sont des \(A\)-modules de présentation finie ; voir Algèbre, lemme 00FP, ainsi que le fait que les anneaux noethériens sont cohérents ; voir Algèbre, lemme 05CY.

Foncteurs entre catégories de modules quasi-cohérents

Dans cette section, nous étudions brièvement les foncteurs entre catégories de modules quasi-cohérents.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(R\), avec \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{K}\) un \(\mathcal{O}_{X \times_R Y}\)-module quasi-cohérent. Nous pouvons alors considérer le foncteur [0FZC]\[\begin{equation} F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_Y),\quad \mathcal{F} \longmapsto \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \end{equation}\] Le morphisme \(\text{pr}_2\) est quasi-compact et quasi-séparé (Schémas, lemmes 01K5 et 01KU). Par conséquent, l’image directe par ce morphisme préserve les modules quasi-cohérents ; voir Schémas, lemme 01LC. De plus, notre foncteur est \(R\)-linéaire et commute aux sommes directes quelconques ; voir Cohomologie des schémas, lemme 07TB.

Le lemme suivant est une généralisation naturelle du lemme 0GNV.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(R\), avec \(X\) affine. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs \(R\)-linéaires \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) qui sont exacts à droite et commutent aux sommes directes quelconques, et

la catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\),

donnée en associant à \(\mathcal{K}\) le foncteur \(F\) de (0FZC).

Démonstration

Soit \(\mathcal{K}\) un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) et soit \(F_\mathcal{K}\) le foncteur (0FZC). D’après la discussion de l’exemple 0FZB, nous savons déjà que \(F\) est \(R\)-linéaire et commute aux sommes directes quelconques. Comme \(\text{pr}_2 : X \times_R Y \to Y\) est affine (Morphismes, lemme 01SD), le foncteur \(\text{pr}_{2, *}\) est exact ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XC. Ainsi, \(F\) est aussi exact à droite ; autrement dit, \(F\) est comme en (1).

Soit \(F\) comme en (1). Écrivons \(X = \Spec(A)\). Considérons le \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X)\). Le foncteur \(F\) induit une application \(R\)-linéaire \(A \to \text{End}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G})\), \(a \mapsto F(a \cdot \text{id})\). Ainsi, \(\mathcal{G}\) est un module sur le faisceau d’anneaux \[A \otimes_R \mathcal{O}_Y = \text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{X \times_R Y}\] D’après Morphismes, lemme 01SB, nous trouvons qu’il existe un unique module quasi-cohérent \(\mathcal{K}\) sur \(X \times_R Y\) tel que \(F(\mathcal{O}_X) = \mathcal{G} = \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\), de manière compatible avec l’action de \(A\) et de \(\mathcal{O}_Y\). Notons \(F_\mathcal{K}\) le foncteur donné par (0FZC). Il existe une équivalence \(\text{Mod}_A \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) envoyant \(A\) sur \(\mathcal{O}_X\) ; voir Schémas, lemme 01IB. Nous obtenons donc un isomorphisme \(F \cong F_\mathcal{K}\) d’après le lemme 0GNQ, car nous avons un isomorphisme \(F(\mathcal{O}_X) \cong F_\mathcal{K}(\mathcal{O}_X)\) compatible avec l’action de \(A\) par construction.

Cela montre que le foncteur qui associe à \(\mathcal{K}\) le foncteur \(F_\mathcal{K}\) est essentiellement surjectif. Nous omettons la vérification de la pleine fidélité.

Remarque

Nous utiliserons ci-dessous que, pour un morphisme affine \(h : T \to S\), nous avons \(h_*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{H} = h_*(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_T} h^*\mathcal{H})\) pour \(\mathcal{G} \in \QCoh(\mathcal{O}_T)\) et \(\mathcal{H} \in \QCoh(\mathcal{O}_S)\). Cela résulte immédiatement de la traduction en algèbre.

Lemme

Dans le lemme 0FZD, supposons que \(F\) corresponde à \(\mathcal{K}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\). Nous avons :

Si \(f : X' \to X\) est un morphisme affine, alors \(F \circ f_*\) correspond à \((f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}\).

Si \(g : Y' \to Y\) est un morphisme plat, alors \(g^* \circ F\) correspond à \((\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}\).

Si \(j : V \to Y\) est une immersion ouverte, alors \(j^* \circ F\) correspond à \(\mathcal{K}|_{X \times_R V}\).

Démonstration

Démonstration de (1). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \times_R Y \ar[rrd]^{\text{pr}'_2} \ar[rd]_{f \times \text{id}_Y} \ar[dd]_{\text{pr}'_1} \\ & X \times_R Y \ar[r]_{\text{pr}_2} \ar[d]_{\text{pr}_1} & Y \\ X' \ar[r]^f & X }\] Soit \(\mathcal{F}'\) un module quasi-cohérent sur \(X'\). Nous avons \[\begin{align*} \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*f_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}_{2, *}((f \times \text{id}_Y)_* (\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) \\ & = \text{pr}_{2, *}(f \times \text{id}_Y)_* \left((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K})\right) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X' \times_R Y}} (f \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] Ici, la première égalité est le changement de base affine pour le carré de gauche du diagramme ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02KG. La deuxième égalité résulte de la remarque 0FZE. La troisième égalité est la fonctorialité des images directes de modules. Cela démontre (1).

Démonstration de (2). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \times_R Y' \ar[rr]_-{\text{pr}'_2} \ar[rd]^{\text{id}_X \times g} \ar[rdd]_{\text{pr}'_1} & & Y' \ar[d]^g \\ & X \times_R Y \ar[r]_-{\text{pr}_2} \ar[d]^{\text{pr}_1} & Y \\ & X }\] Nous avons \[\begin{align*} g^*\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) & = \text{pr}'_{2, *}( (\text{id}_X \times g)^*( \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K})) \\ & = \text{pr}'_{2, *}((\text{pr}'_1)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y'}} (\text{id}_X \times g)^*\mathcal{K}) \end{align*}\] La première égalité résulte du changement de base plat pour le carré du diagramme ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH. La deuxième égalité résulte de la fonctorialité de l’image inverse et du fait que l’image inverse d’un produit tensoriel est le produit tensoriel des images inverses.

La partie (3) est un cas particulier de (2).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(R\). Supposons que \(X\) soit quasi-compact à diagonale affine. Soit \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) un foncteur \(R\)-linéaire exact à droite qui commute aux sommes directes quelconques. Nous pouvons alors construire

un module quasi-cohérent \(\mathcal{K}\) sur \(X \times_R Y\), et

une transformation naturelle \(t : F \to F_\mathcal{K}\), où \(F_\mathcal{K}\) désigne le foncteur (0FZC),

telle que \(t : F \circ f_* \to F_\mathcal{K} \circ f_*\) soit un isomorphisme pour tout morphisme \(f : X' \to X\) dont le schéma source est affine.

Démonstration

Considérons un morphisme \(f' : X' \to X\) avec \(X'\) affine. Comme la diagonale de \(X\) est affine, nous voyons que \(f'\) est un morphisme affine (Morphismes, lemme 01SG). Ainsi, \(f'_* : \QCoh(\mathcal{O}_{X'}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est un foncteur exact \(R\)-linéaire (Cohomologie des schémas, lemme 01XC) qui commute aux sommes directes (Cohomologie des schémas, lemme 07TB). Ainsi, \(F \circ f'_*\) est un foncteur \(R\)-linéaire exact à droite qui commute aux sommes directes quelconques. Par conséquent, \(F \circ f'_* = F_{\mathcal{K}'}\) pour un certain \(\mathcal{K}'\) sur \(X' \times_R Y\), d’après le lemme 0FZD. De plus, étant donné un morphisme \(f'' : X'' \to X'\) avec \(X''\) affine, nous obtenons une identification canonique \((f'' \times \text{id}_Y)^*\mathcal{K}' = \mathcal{K}''\) à l’aide des références déjà données, combinées au lemme 0FZF. Ces identifications satisfont une condition de cocycle pour un autre morphisme \(f''' : X''' \to X''\), condition dont nous laissons au lecteur le soin d’écrire les détails.

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\). Comme la diagonale de \(X\) est affine, nous voyons que les intersections \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) sont affines. Comme ci-dessus, les morphismes d’inclusion \(j_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) sont affines. Notons \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\) le module quasi-cohérent sur \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) correspondant à \(F \circ j_{i_0 \ldots i_p *}\) comme ci-dessus. D’après ce qui précède, nous obtenons des identifications \[\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p} = \mathcal{K}_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_p}|_{U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y}\] qui satisfont les compatibilités usuelles de recollement. Autrement dit, nous obtenons un unique module quasi-cohérent \(\mathcal{K}\) sur \(X \times_R Y\) dont la restriction à \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\) est \(\mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}\), de manière compatible avec les identifications affichées.

Construisons ensuite la transformation \(t\). Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), notons \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\) la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{i_0 \ldots i_p}\) et notons \((\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p}\) la restriction de \(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K}\) à \(U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y\). Observons que \[\begin{align*} F(j_{i_0 \ldots i_p *}\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *}( \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 1}^*\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} \otimes \mathcal{K}_{i_0 \ldots i_p}) \\ & = \text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0 \ldots i_p} \end{align*}\] où \(\text{pr}_{i_0 \ldots i_p, 2} : U_{i_0 \ldots i_p} \times_R Y \to Y\) est la projection, et de même pour l’autre projection. De plus, ces identifications sont compatibles avec les identifications affichées au paragraphe précédent. Rappelons, d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XL, que le complexe de Čech relatif \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] calcule \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\). Ainsi, le faisceau de cohomologie en degré \(0\) est \(F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\). Nous obtenons donc le morphisme souhaité \(t : F(\mathcal{F}) \to F_\mathcal{K}(\mathcal{F})\) en considérant le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ & F(\mathcal{F}) \ar[r] \ar@{..>}[d] & \bigoplus F(j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0}) \ar[r] \ar[d] & \bigoplus F(j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & F_\mathcal{K}(\mathcal{F}) \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \ar[r] & \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} }\] Nous obtenons la ligne supérieure en appliquant \(F\) au complexe (exact) \(0 \to \mathcal{F} \to \bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1}\) (mais, comme \(F\) n’est pas exact, la ligne supérieure est seulement un complexe et n’est pas nécessairement exacte). Les flèches verticales pleines sont les identifications ci-dessus. Cela définit bien la flèche pointillée comme souhaité. La flèche est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) ; nous omettons les détails.

Il nous reste à démontrer la dernière assertion. Soit \(f : X' \to X\) comme dans l’énoncé du lemme, et soit \(\mathcal{K}'\) le module quasi-cohérent sur \(X' \times_R Y\) construit au premier paragraphe de la démonstration. Si le morphisme \(f : X' \to X\) est à valeurs dans l’un des ouverts \(U_i\), alors le résultat découle du lemme 0FZF, car, dans ce cas, nous savons que \(\mathcal{K}_i = \mathcal{K}|_{U_i \times_R Y}\) a pour image inverse \(\mathcal{K}\). En général, nous obtenons un recouvrement ouvert affine \(X' = \bigcup U'_i\) avec \(U'_i = f^{-1}(U_i)\), ainsi que des isomorphismes \(\mathcal{K}'|_{U'_i} = f_i^*\mathcal{K}_i\), où \(f_i : U'_i \to U_i\) est le morphisme induit. Ces morphismes satisfont les conditions de compatibilité nécessaires pour se recoller en un isomorphisme \(\mathcal{K}' = f^*\mathcal{K}\), et nous concluons. Nous omettons certains détails.

Lemme

Dans le lemme 0FZD ou dans le lemme 0GPA, si \(F\) est un foncteur exact, alors l’objet correspondant \(\mathcal{K}\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) est plat sur \(X\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X\) est affine ; nous sommes donc dans le cas du lemme 0FZD. D’après le lemme 0FZF, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine. Dans le cas affine, l’énoncé se traduit par la remarque 0GNX.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(R\). Supposons que \(X\) soit quasi-compact à diagonale affine. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs exacts \(R\)-linéaires \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) qui commutent aux sommes directes quelconques, et

la sous-catégorie pleine de \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) constituée des \(\mathcal{K}\) tels que

\(\mathcal{K}\) est plat sur \(X\) ;

pour \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\), nous avons \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}) = 0\) pour \(q > 0\).

donnée en associant à \(\mathcal{K}\) le foncteur \(F\) de (0FZC).

Démonstration

Soit \(\mathcal{K}\) comme en (2). Le foncteur \(F\) de (0FZC) commute aux sommes directes. Puisque, d’après (1) (a), le module \(\mathcal{K}\) est plat sur \(X\), nous voyons que, pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_1 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_2 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_3 \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K} \to 0\] Puisque, d’après (2)(b), l’image directe supérieure \(R^1\text{pr}_{2, *}\) du premier terme est nulle, nous concluons que \(0 \to F(\mathcal{F}_1) \to F(\mathcal{F}_2) \to F(\mathcal{F}_3) \to 0\) est exacte, et nous voyons que \(F\) est comme en (1).

Soit \(F\) comme en (1). Soient \(\mathcal{K}\) et \(t : F \to F_\mathcal{K}\) comme dans le lemme 0GPA. D’après le lemme 0FZG, nous voyons que \(\mathcal{K}\) est plat sur \(X\). Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(t\) est un isomorphisme et établir l’assertion sur les images directes supérieures. Ces deux faits résultent de ce que le complexe de Čech relatif \[\bigoplus \text{pr}_{i_0, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1} \to \bigoplus \text{pr}_{i_0i_1i_2, 2, *} (\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] calcule \(R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{K})\). Voir la démonstration du lemme 0GPA pour les notations et la raison de cette assertion. Dans la démonstration du lemme 0GPA, nous avons aussi constaté que ce complexe est égal à l’image par \(F\) du complexe \[\bigoplus j_{i_0*}\mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus j_{i_0i_1*}\mathcal{F}_{i_0i_1} \to \bigoplus j_{i_0i_1i_2*}\mathcal{F}_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] Ce complexe est exact sauf en degré zéro, où son faisceau de cohomologie est égal à \(\mathcal{F}\). Ainsi, puisque \(F\) est un foncteur exact, nous concluons que \(F = F_\mathcal{K}\) et que (2)(b) est satisfaite.

Nous omettons de démontrer que la construction qui associe à \(F\) le module \(\mathcal{K}\) est fonctorielle et est un quasi-inverse du foncteur qui associe à \(\mathcal{K}\) le foncteur \(F_\mathcal{K}\) déterminé par (0FZC).

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(R\). Supposons que \(X\) soit quasi-compact à diagonale affine. Le lemme 0FZH peut se généraliser comme suit : les foncteurs (0FZC) associés aux modules quasi-cohérents sur \(X \times_R Y\) sont exactement ceux \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) qui possèdent les propriétés suivantes :

\(F\) est \(R\)-linéaire et commute aux sommes directes quelconques ;

\(F \circ j_*\) est exact à droite lorsque \(j : U \to X\) est l’inclusion d’un ouvert affine ;

\(0 \to F(\mathcal{F}) \to F(\mathcal{G}) \to F(\mathcal{H})\) est exacte chaque fois que \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) est une suite exacte telle que, pour tout \(x \in X\), la suite des germes \(0 \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x \to 0\) soit une suite exacte courte scindée.

En effet, ces hypothèses suffisent pour construire une transformation \(t : F \to F_\mathcal{K}\) comme dans le lemme 0GPA et montrer qu’elle est un isomorphisme. De plus, les propriétés (1), (2) et (3) sont bien satisfaites par les foncteurs (0FZC). Si nous en avons un jour besoin, nous l’énoncerons et le démontrerons ici avec soin.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(X\), \(Y\), \(Z\) des schémas sur \(R\). Supposons que \(X\) et \(Y\) soient quasi-compacts et à diagonale affine. Soient \[F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y) \quad\text{et}\quad G : \QCoh(\mathcal{O}_Y) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\] des foncteurs exacts \(R\)-linéaires qui commutent aux sommes directes quelconques. Soient \(\mathcal{K}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Y})\) et \(\mathcal{L}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y \times_R Z})\) les « noyaux » correspondants ; voir le lemme 0FZH. Alors \(G \circ F\) correspond à \(\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y \times_R Z}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\).

Démonstration

Puisque \(G \circ F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Z)\) est \(R\)-linéaire, exact et commute aux sommes directes quelconques, le lemme 0FZH montre qu’il existe un objet \(\mathcal{M}\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_{X \times_R Z})\) correspondant à \(G \circ F\). D’autre part, notons \(\mathcal{E} = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\). Ici et dans la suite de la démonstration, nous omettons l’indice des produits tensoriels. Soient \(U \subset X\) et \(W \subset Z\) des sous-schémas ouverts affines. Pour démontrer le lemme, nous allons construire un isomorphisme \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) \cong \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M})\] compatible avec les applications de restriction lorsque \(U\) et \(W\) varient.

Tout d’abord, nous observons que \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{E}) = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})\] par construction. Il nous faut donc montrer qu’il en va de même pour \(\mathcal{M}\).

Écrivons \(U = \Spec(A)\) et notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Rappelons, d’après la construction de \(\mathcal{M}\) dans la démonstration du lemme 0FZD, que \[\Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U)))\] où la structure de \(A\)-module du membre de droite est induite par l’action de \(A\) sur \(\mathcal{O}_U\). La correspondance entre \(F\) et \(\mathcal{K}\) nous dit que \(F(j_*\mathcal{O}_U) = b_*(a^*j_*\mathcal{O}_U \otimes \mathcal{K})\), où \(a : X \times_R Y \to X\) et \(b : X \times_R Y \to Y\) sont les morphismes de projection. Comme \(j\) est un morphisme affine, nous avons \(a^*j_*\mathcal{O}_U = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y}\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KG. Ensuite, nous avons \((j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{U \times_R Y} \otimes \mathcal{K} = (j \times \text{id}_Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\), par exemple d’après la remarque 0FZE. En rassemblant ces égalités, nous obtenons \[F(j_*\mathcal{O}_U) = (U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}\] muni de l’action évidente de \(A\). (Cette formule est implicite dans la démonstration du lemme 0FZD.) En appliquant le foncteur \(G\), nous obtenons \[G(F(j_*\mathcal{O}_U)) = t_*(s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) \otimes \mathcal{L})\] où \(s : Y \times_R Z \to Y\) et \(t : Y \times_R Z \to Z\) sont les morphismes de projection. En utilisant de nouveau le changement de base pour un morphisme affine (Cohomologie des schémas, lemme 02KG), cette fois pour le carré \[\xymatrix{ U \times_R Y \times_R Z \ar[r] \ar[d] & U \times_R Y \ar[d] \\ Y \times_R Z \ar[r] & Y }\] nous obtenons \[s^*((U \times_R Y \to Y)_*\mathcal{K}|_{U \times_R Y}) = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z}\] En utilisant encore la remarque 0FZE, nous trouvons \[\begin{align*} (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \text{pr}_{12}^*\mathcal{K}|_{U \times_R Y \times_R Z} \otimes \mathcal{L} \\ = (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* \left(\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}\right)|_{U \times_R Y \times_R Z} \end{align*}\] En appliquant à cette égalité le foncteur \(\Gamma(W, t_*(-)) = \Gamma(Y \times_R W, -)\), nous obtenons \[\begin{align*} \Gamma(U \times_R W, \mathcal{M}) & = \Gamma(W, G(F(j_*\mathcal{O}_U))) \\ & = \Gamma(Y \times_R W, (U \times_R Y \times_R Z \to Y \times_R Z)_* (\text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L})|_{U \times_R Y \times_R Z}) \\ & = \Gamma(U \times_R Y \times_R W, \text{pr}_{12}^*\mathcal{K} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{L}) \end{align*}\] comme voulu. Nous omettons la vérification que ces isomorphismes sont compatibles avec les applications de restriction.

Lemme

Soient \(R\), \(X\), \(Y\) et \(\mathcal{K}\) comme au point (2) du lemme 0FZH. Alors, pour tout schéma \(T\) sur \(R\), nous avons \[R^q\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = 0\] pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(T \times_R X\) et tout \(q > 0\).

Démonstration

La question est locale sur \(T\) ; nous pouvons donc supposer \(T\) affine. Dans ce cas, nous pouvons considérer le diagramme \[\xymatrix{ T \times_R X \ar[d] & T \times_R X \times_R Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & T \times_R Y \ar[d] \\ X & X \times_R Y \ar[l] \ar[r] & Y }\] dont les flèches verticales sont affines. En particulier, le foncteur image directe par \(T \times_R Y \to Y\) est fidèle et exact (Cohomologie des schémas, lemme 01XC et Morphismes, lemme 01SB). En parcourant le diagramme et en utilisant l’annulation des images directes supérieures par les morphismes affines (voir la référence ci-dessus), nous voyons qu’il suffit de démontrer que \[R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{T \times_R X \times_R Y}} \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})) = R^q\text{pr}_{2, *}( \text{pr}_{23, *}(\text{pr}_{12}^*\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_R Y}} \mathcal{K}))\] est nul, ce qui résulte de l’hypothèse sur \(\mathcal{K}\). L’égalité découle de la remarque 0FZE.

Lemme

Dans le lemme 0FZH, supposons que \(F\) et \(\mathcal{K}\) se correspondent. Si \(X\) est séparé et plat sur \(R\), alors il existe une surjection \(\mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{K}\).

Démonstration

Soit \(\Delta : X \to X \times_R X\) le morphisme diagonal et posons \(\mathcal{O}_\Delta = \Delta_*\mathcal{O}_X\). Comme \(\Delta\) est une immersion fermée, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X \times_R X} \to \mathcal{O}_\Delta \to 0\] Comme \(\mathcal{K}\) est plat sur \(X\), son image inverse \(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}\) sur \(X \times_R X \times_R Y\) est plate sur \(X \times_R X\). Nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{I} \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K} \to 0\] sur \(X \times_R X \times_R Y\) ; voir Modules, lemme 0GMU. Ainsi, d’après le lemme 0FZI, nous obtenons une surjection \[\text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) \to \text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K})\] D’après le changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH), la source de cette flèche est égale à \(\text{pr}_2^*\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = \mathcal{O}_X \boxtimes F(\mathcal{O}_X)\). D’autre part, le but est égal à \[\text{pr}_{13, *}( \text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta \otimes \text{pr}_{23}^*\mathcal{K}) = \text{pr}_{13, *} (\Delta \times \text{id}_Y)_* \mathcal{K} = \mathcal{K}\] ce qui achève la démonstration. La première égalité résulte par exemple de Cohomologie, lemme 0B55 et du fait que \(\text{pr}_{12}^*\mathcal{O}_\Delta = (\Delta \times \text{id}_Y)_*\mathcal{O}_{X \times_R Y}\).

Reconstruction de Gabriel–Rosenberg

Le titre de cette section renvoie à des résultats tels que la proposition 0GPJ. Outre l’article original de Gabriel [Gabriel], on pourra consulter [Brandenburg], qui démontre le résultat pour les schémas quasi-séparés et examine la littérature. Dans cette section, nous démontrerons seulement la reconstruction de Gabriel–Rosenberg pour les schémas quasi-compacts et quasi-séparés.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est un objet compact au sens catégorique de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie.

Démonstration

Voir Catégories, définition 0FWX, pour notre notion d’objet compact au sens catégorique dans une catégorie. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors elle est compacte au sens catégorique d’après Modules, lemme 01BS. Réciproquement, tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) peut s’écrire comme une limite inductive filtrante \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie (donc quasi-cohérents) ; voir Propriétés, lemme 01PK. Si \(\mathcal{F}\) est compact au sens catégorique, il existe un indice \(i\) et un morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}_i\) qui est inverse à droite du morphisme donné \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}\). Nous concluons que \(\mathcal{F}\) est facteur direct d’un module de présentation finie, et est donc lui-même de présentation finie.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent non nul. Si \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\), alors il existe un morphisme non nul \(\mathcal{F} \to \mathcal{E}\).

Démonstration

Traduisons l’énoncé en algèbre. Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module de présentation finie. Soit \(N\) un \(A\)-module non nul. Supposons \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\). Il s’agit de montrer que \(\Hom_A(M, N)\) est non nul. Nous pouvons supposer \(N = A/I\) cyclique (en remplaçant \(N\) par n’importe lequel de ses sous-modules cycliques non nuls). Choisissons une présentation \[A^{\oplus m} \xrightarrow{T} A^{\oplus n} \to M \to 0\] Rappelons que \(\text{Supp}(M)\) est défini par \(\text{Fit}_0(M)\), qui est l’idéal engendré par les mineurs \(n \times n\) de la matrice \(T\). Voir Plus sur l’algèbre, lemme 07ZA. L’hypothèse \(\text{Supp}(N) \subset \text{Supp}(M)\) signifie alors que les éléments de \(\text{Fit}_0(M)\) sont nilpotents dans \(A/I\). Considérons la suite exacte \[0 \to \Hom_A(M, A/I) \to (A/I)^{\oplus n} \xrightarrow{T^t} (A/I)^{\oplus m}\] Nous devons montrer que \(T^t\) ne peut être injective ; nous invitons le lecteur à en trouver une démonstration à partir de la nilpotence des éléments de \(\text{Fit}_0(M)\) dans \(A/I\). Voici la nôtre. Comme \(\text{Fit}_0(M)\) est de type fini, cette nilpotence implique que l’annulateur \(J \subset A/I\) de \(\text{Fit}_0(M)\) dans \(A/I\) est non nul. Pour montrer que \(T^t\) n’est pas injective, nous pouvons localiser en un idéal premier. En choisissant convenablement cet idéal premier, nous pouvons supposer \(A\) local et \(J\) toujours non nul. Alors \(T^t\) a un noyau non nul d’après Plus sur l’algèbre, lemme 00MX.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Les deux sous-catégories suivantes de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) sont égales :

la sous-catégorie pleine \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\) dont les objets sont les modules quasi-cohérents dont le support est contenu, au sens ensembliste, dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) ;

la plus petite sous-catégorie de Serre \(\mathcal{B} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\) qui contient \(\mathcal{F}\) et qui est stable par extensions et par sommes directes quelconques.

Démonstration

Observons que l’énoncé a un sens puisque les \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie sont quasi-cohérents. Comme \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre stable par extensions et par sommes directes et comme \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\mathcal{A}\), nous voyons que \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\). Il reste donc à montrer que \(\mathcal{A}\) est contenue dans \(\mathcal{B}\).

Soit \(\mathcal{E}\) un objet de \(\mathcal{A}\). Il existe un sous-module maximal \(\mathcal{E}' \subset \mathcal{E}\) appartenant à \(\mathcal{B}\). En effet, soit \(\mathcal{E}_i \subset \mathcal{E}\), \(i \in I\), la famille des sous-objets qui sont des objets de \(\mathcal{B}\). Alors \(\bigoplus \mathcal{E}_i\) appartient à \(\mathcal{B}\), de même que \[\mathcal{E}' = \Im(\bigoplus \mathcal{E}_i \longrightarrow \mathcal{E})\] C’est manifestement le sous-module maximal recherché.

Supposons maintenant qu’il existe un morphisme non nul \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}/\mathcal{E}'\) avec \(\mathcal{G}\) dans \(\mathcal{B}\). Alors \(\mathcal{G}' = \mathcal{E} \times_{\mathcal{E}/\mathcal{E}'} \mathcal{G}\) appartient à \(\mathcal{B}\) : \(\mathcal{E}'\) en est le sous-objet et \(\mathcal{G}\) le quotient. L’image de \(\mathcal{G}' \to \mathcal{E}\) serait alors strictement plus grande que \(\mathcal{E}'\), ce qui contredirait la maximalité de \(\mathcal{E}'\). Il suffit donc de démontrer l’assertion du paragraphe suivant.

Soit \(\mathcal{E}\) un objet non nul de \(\mathcal{A}\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme non nul \(\mathcal{G} \to \mathcal{E}\) avec \(\mathcal{G}\) dans \(\mathcal{B}\). Nous allons le démontrer par récurrence sur le nombre minimal \(n\) d’ouverts affines \(U_i\) de \(X\) tels que \(\text{Supp}(\mathcal{E}) \subset U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Posons \(U = U_n\) et notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Notons \(\mathcal{E}' = \Im(\mathcal{E} \to j_*\mathcal{E}|_U)\). Le noyau \(\mathcal{E}''\) de la surjection \(\mathcal{E} \to \mathcal{E}'\) a son support contenu dans \(U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\). Ainsi, si \(\mathcal{E}''\) est non nul, le résultat découle de l’hypothèse de récurrence. Autrement dit, nous pouvons supposer \(\mathcal{E} \subset j_*\mathcal{E}|_U\). En particulier, \(\mathcal{E}|_U\) est non nul. D’après le lemme 0GPF, il existe une morphisme non nul \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{E}|_U\). Il correspond à un morphisme \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{E}|_U)\] dont la restriction à \(U\) est non nulle. En posant \(\mathcal{G} = \varphi^{-1}(\mathcal{E})\), nous concluons.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée telle que \(U = X \setminus Z\) soit quasi-compact. Soit \(\mathcal{A} \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie pleine dont les objets sont les modules quasi-cohérents à support dans \(Z\). Alors le foncteur de restriction \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\) induit une équivalence \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

D’après la propriété universelle de la construction quotient (Homologie, lemme 02MS), nous obtenons bien un foncteur induit \(\QCoh(\mathcal{O}_X)/\mathcal{A} \cong \QCoh(\mathcal{O}_U)\). Notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Comme \(j\) est quasi-compact et quasi-séparé, nous obtenons un foncteur \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\). Le lecteur vérifiera qu’il définit un quasi-inverse ; nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Si \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est équivalente à la catégorie des modules sur un anneau, alors \(X\) est affine.

Démonstration

Soit \(F : \text{Mod}_R \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) une équivalence. Alors \(\mathcal{F} = F(R)\) possède les propriétés suivantes :

c’est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie (lemme 0GPE) ;

\(\Hom_X(\mathcal{F}, -)\) est exact ;

\(\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F})\) est un anneau commutatif ;

tout objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est quotient d’une somme directe de copies de \(\mathcal{F}\).

Soit \(x \in X\) un point fermé. Considérons la surjection \[\mathcal{O}_X \to i_*\kappa(x)\] où le but est l’image directe de \(\kappa(x)\) par le morphisme d’inclusion \(i : x \to X\). Nous avons \[\Hom_X(\mathcal{F}, i_*\kappa(x)) = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \kappa(x))\] Tout d’abord, (4) implique que \(\mathcal{F}_x\) est non nul. D’après (2), tout homomorphisme \(\mathcal{F}_x \to \kappa(x)\) se relève en un homomorphisme \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{O}_{X, x}\) (puisqu’il se relève même en un morphisme global \(\mathcal{F} \to \mathcal{O}_X\)). Comme \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module fini, il s’ensuit que \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre non nul de rang fini. Comme \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, cela implique que \(\mathcal{F}\) est libre de rang fini strictement positif sur un voisinage ouvert de \(x\) (Modules, lemme 0B8J). Puisque toute partie fermée de \(X\) contient un point fermé (Topologie, lemme 005E), il s’ensuit que \(\mathcal{F}\) est localement libre de rang fini strictement positif. De même, l’homomorphisme \[\Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \to \Hom_X(\mathcal{F}, i_*i^*\mathcal{F}) = \Hom_{\kappa(x)}(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x, \mathcal{F}_x/\mathfrak m_x \mathcal{F}_x)\] est surjective. D’après la propriété (3), nous concluons que le rang de \(\mathcal{F}_x\) est nécessairement \(1\). Ainsi \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Nous en déduisons que le foncteur \[\mathcal{H} \longmapsto \Gamma(X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = \Hom_X(\mathcal{F}, \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] sur \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est lui aussi exact. Il s’ensuit que le premier groupe \(\Ext\) \[\Ext^1_{\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] calculé dans la catégorie abélienne \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) s’annule pour tout \(\mathcal{H}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Or, comme \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est stable par extensions (Schémas, section 01LA), nous voyons que le groupe \(\Ext^1\) entre modules quasi-cohérents calculé dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est le même que celui calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Nous concluons donc que \[H^1(X, \mathcal{H}) = \Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X, \mathcal{H}) = 0\] pour tout \(\mathcal{H}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Il en résulte que \(X\) est affine, par exemple d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XF.

Proposition

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Si \(F : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est une équivalence, alors il existe un isomorphisme de schémas \(f : Y \to X\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\).

Démonstration

Bien entendu, \(F\) est additif, exact, commute à toutes les limites, à toutes les limites inductives, aux sommes directes, etc. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert affine. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini tel que \(Z = V(\mathcal{I})\) soit le complémentaire de \(U\) dans \(X\) ; voir Propriétés, lemme 01PH. Alors \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Ainsi \(\mathcal{G} = F(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de présentation finie d’après le lemme 0GPE. Notons \(T \subset Y\) le support de \(\mathcal{G}\) et posons \(V = Y \setminus T\). Comme \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, le schéma \(V\) est un ouvert quasi-compact de \(Y\). D’après le lemme 0GPG, nous voyons que \(F\) induit une équivalence entre

la sous-catégorie pleine de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) formée des modules à support dans \(Z\), et

la sous-catégorie pleine de \(\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) formée des modules à support dans \(T\).

D’après le lemme 0GPH, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[r]_F \ar[d] & \QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[d] \\ \QCoh(\mathcal{O}_U) \ar[r]^{F_U} & \QCoh(\mathcal{O}_V) }\] où les flèches verticales sont les foncteurs de restriction et les flèches horizontales des équivalences. D’après le lemme 0GPI, nous concluons que \(V\) est affine. Le cas affine est traité par le lemme 0GP0. Nous trouvons donc un isomorphisme \(f_U : V \to U\) et un \(\mathcal{O}_V\)-module inversible \(\mathcal{L}_U\) tels que \(F_U\) soit le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f_U^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}_U\).

Pour achever la démonstration, il suffit d’observer que les diagrammes ci-dessus satisfont une compatibilité évidente à l’égard des inclusions de sous-schémas ouverts affines de \(X\). Les morphismes \(f_U\) et les modules inversibles \(\mathcal{L}_U\) se recollent donc. Nous omettons les détails.

Foncteurs entre catégories de modules cohérents

Le lemme suivant garantit que nous pouvons utiliser les résultats sur les foncteurs entre catégories de modules quasi-cohérents lorsque nous disposons d’un foncteur entre catégories de modules cohérents.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas noethériens. Soit \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) un foncteur. Alors \(F\) se prolonge de manière unique en un foncteur \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) qui commute aux limites inductives filtrantes. Si \(F\) est additif, son prolongement commute aux sommes directes quelconques. Si \(F\) est exact, exact à gauche ou exact à droite, il en va de même de son prolongement.

Démonstration

L’existence et l’unicité du prolongement sont un fait général ; voir Catégories, lemme 0FWY. Pour vérifier que ce lemme s’applique, observons que les modules cohérents sont de présentation finie (Modules, lemme 01BW) et sont donc des objets compacts au sens catégorique de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) d’après Modules, lemme 01BS. Enfin, tout module quasi-cohérent est limite inductive filtrante de modules cohérents, par exemple d’après Propriétés, lemme 01PG.

Supposons \(F\) additif. Si \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\) avec les \(\mathcal{H}_j\) quasi-cohérents, alors \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\). En notant encore \(F\) le prolongement de \(F\), nous obtenons \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] Ainsi \(F\) commute aux sommes directes quelconques.

Supposons que \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) soit une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Écrivons \(\mathcal{F}' = \bigcup \mathcal{F}'_i\) comme réunion de ses sous-modules cohérents ; voir Propriétés, lemme 01PG. Notons \(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\) l’image de \(\mathcal{F}'_i\) et posons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\). Il est alors clair que \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\) et \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\), et que nous avons des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] Comme le prolongement commute aux limites inductives filtrantes, nous avons \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\), \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\) et \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\). Puisque les limites inductives filtrantes sont exactes (Modules, lemme 01AH), nous concluons que les propriétés d’exactitude de \(F\) se transmettent à son prolongement.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas noethériens. Soit \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) une équivalence de catégories. Alors il existe un isomorphisme \(f : Y \to X\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\).

Démonstration

D’après le lemme 0FZL, nous obtenons un unique foncteur \(F' : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) qui prolonge \(F\). Il en va de même pour un quasi-inverse de \(F\) et, par unicité, nous concluons que \(F'\) est une équivalence. D’après la proposition 0GPJ, il existe un isomorphisme \(f : Y \to X\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F'(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\). Alors \(f\) et \(\mathcal{L}\) conviennent également pour \(F\).

Remarque

Dans le lemme 0GPK, si \(X\) et \(Y\) sont définis sur un même anneau de base \(R\) et si \(F\) est \(R\)-linéaire, alors l’isomorphisme \(f\) est un morphisme de schémas sur \(R\).

Lemme

Soit \(f : V \to X\) un morphisme quasi-fini séparé de schémas noethériens. S’il existe un \(\mathcal{O}_V\)-module cohérent \(\mathcal{K}\) dont le support est \(V\), tel que \(f_*\mathcal{K}\) soit cohérent et que \(R^qf_*\mathcal{K} = 0\), alors \(f\) est fini.

Démonstration

D’après le théorème principal de Zariski, il existe une immersion ouverte \(j : V \to Y\) au-dessus de \(X\) telle que \(\pi : Y \to X\) soit fini ; voir Plus sur les morphismes, lemme 05K0. Comme \(\pi\) est affine, le foncteur \(\pi_*\) est exact et fidèle sur la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Nous voyons donc que \(j_*\mathcal{K}\) est cohérent et que \(R^qj_*\mathcal{K}\) est nul pour \(q > 0\). Autrement dit, nous sommes ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(f\) soit une immersion ouverte. Nous pouvons remplacer \(X\) par l’adhérence schématique de \(V\). Supposons \(X \setminus V\) non vide afin d’aboutir à une contradiction. Choisissons un point générique \(\xi \in X \setminus V\) d’une composante irréductible de \(X \setminus V\). En examinant la situation après le changement de base par \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \to X\), puis en utilisant le changement de base plat et Cohomologie locale, lemme 0BK0, nous sommes ramenés au problème algébrique du paragraphe suivant.

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module fini dont le support est \(\Spec(A)\). Alors \(H^i_\mathfrak m(M) \not = 0\) pour un certain \(i\). Cela résulte de Complexes dualisants, lemme 0AVZ, et du fait que \(M\) est non nul, donc de profondeur finie.

Le lemme suivant se généralise au cas où \(k\) est un anneau noethérien et où \(X\) est plat sur \(k\) (toutes les autres hypothèses restant inchangées).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(k\), avec \(X\) séparé. Il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des foncteurs exacts \(k\)-linéaires \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\), et

la catégorie des \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-modules cohérents \(\mathcal{K}\) qui sont plats sur \(X\) et dont le support est fini sur \(Y\),

obtenue en associant à \(\mathcal{K}\) la restriction du foncteur (0FZC) à \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{K}\) comme en (2). D’après le lemme 0FZH, le foncteur \(F\) donné par (0FZC) est exact et \(k\)-linéaire. De plus, \(F\) envoie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\), par exemple d’après Cohomologie des schémas, lemme 08DS.

Construisons le quasi-inverse de cette construction. Soit \(F\) comme en (1). D’après le lemme 0FZL, nous pouvons prolonger \(F\) en un foncteur exact \(k\)-linéaire sur les catégories de modules quasi-cohérents, qui commute aux sommes directes quelconques. D’après le lemme 0FZH, ce prolongement correspond à un unique module quasi-cohérent \(\mathcal{K}\), plat sur \(X\), tel que \(R^q\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \mathcal{K}) = 0\) pour \(q > 0\) et pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Comme \(F(\mathcal{O}_X)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent, il résulte du lemme 0FZJ que \(\mathcal{K}\) est cohérent.

Pour tout point fermé \(x \in X\), notons \(\mathcal{O}_x\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur le corps résiduel de \(x\). Nous avons \[F(\mathcal{O}_x) = \text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{O}_x \otimes \mathcal{K}) = (x \times Y \to Y)_*(\mathcal{K}|_{x \times Y})\] Comme \(x \times Y \to Y\) est fini, l’image directe par ce morphisme est fidèle. Ainsi, si \(y \in Y\) appartient à l’image du support de \(\mathcal{K}|_{x \times Y}\), alors \(y\) appartient au support de \(F(\mathcal{O}_x)\).

Soit \(Z \subset X \times Y\) le support schématique \(Z\) de \(\mathcal{K}\) ; voir Morphismes, définition 05JV. Nous montrons d’abord que \(Z \to Y\) est quasi-fini en montrant que ses fibres au-dessus des points fermés sont finies. En effet, si la fibre de \(Z \to Y\) au-dessus d’un point fermé \(y \in Y\) est de dimension \(> 0\), nous pouvons trouver une infinité de points fermés deux à deux distincts \(x_1, x_2, \ldots\) dans l’image de \(Z_y \to X\). Comme nous avons une surjection \(\mathcal{O}_X \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{x_i}\), nous obtenons une surjection \[F(\mathcal{O}_X) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} F(\mathcal{O}_{x_i})\] D’après ce qui précède, le point \(y\) appartient au support de chacun des modules cohérents \(F(\mathcal{O}_{x_i})\). Comme \(F(\mathcal{O}_X)\) est un module cohérent, cela conduit à une contradiction, car le germe de \(F(\mathcal{O}_X)\) en \(y\) sera engendré par \(< n\) éléments si \(n\) est assez grand. Ainsi \(Z \to Y\) est quasi-fini. Comme \(\text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\) est cohérent et que \(R^q\text{pr}_{2, *}\mathcal{K} = 0\) pour \(q > 0\), nous concluons que \(Z \to Y\) est fini d’après le lemme 0FZM.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent de type fini sur \(X\), dont le support est fini sur \(Y\) et tel que \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors il existe une section \(s : Y \to X\) telle que \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\).

Démonstration

Localement dans le cas affine, l’énoncé se traduit par le problème algébrique suivant. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(N\) un \(B\)-module qui est inversible comme \(A\)-module. Alors l’annulateur \(J\) de \(N\) dans \(B\) est tel que \(A \to B/J\) soit un isomorphisme. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé de type fini de schémas, muni d’une section \(s : Y \to X\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent de type fini sur \(X\), à support ensembliste dans \(s(Y)\), et tel que \(\mathcal{L} = f_*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Si \(Y\) est réduit, alors \(\mathcal{F} \cong s_*\mathcal{L}\).

Démonstration

D’après le lemme 0FZP, il existe une section \(s' : Y \to X\) telle que \(\mathcal{F} = s'_*\mathcal{L}\). Comme \(s'(Y)\) et \(s(Y)\) ont la même partie fermée sous-jacente et sont tous deux des sous-schémas fermés réduits de \(X\), ils sont égaux. Ainsi \(s = s'\) et le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas de type fini sur \(k\), avec \(X\) séparé et \(Y\) réduit. S’il existe une équivalence \(k\)-linéaire \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_Y)\) de catégories, alors il existe un isomorphisme \(f : Y \to X\) sur \(k\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F(\mathcal{F}) = f^*\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\).

Démonstration

Ce lemme est une forme faible des résultats exposés dans le lemme 0GPK et la remarque 0GPL.

Démonstration

D’après le lemme 0FZN, nous obtenons un \(\mathcal{O}_{X \times Y}\)-module cohérent \(\mathcal{K}\), plat sur \(X\) et dont le support est fini sur \(Y\), tel que \(F\) soit donné par la restriction du foncteur (0FZC) à \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). Si nous pouvons montrer que \(F(\mathcal{O}_X)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible, alors le lemme 0FZP montre que \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\) pour une section \(s : Y \to X \times Y\) de \(\text{pr}_2\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Cela montrera que \(F\) est de la forme indiquée, avec \(f = \text{pr}_1 \circ s\). Nous omettons certains détails.

Il reste à montrer que \(F(\mathcal{O}_X)\) est inversible. Nous n’en donnons qu’une esquisse et omettons certains détails. Pour un point fermé \(x \in X\), nous notons \(\mathcal{O}_x\) dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(\kappa(x)\). Observons d’abord que les seuls objets simples de la catégorie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) sont ces faisceaux gratte-ciel \(\mathcal{O}_x\). Il en va de même pour \(Y\). Ainsi, pour tout point fermé \(y \in Y\), il existe un point fermé \(x \in X\) tel que \(\mathcal{O}_y \cong F(\mathcal{O}_x)\). De plus, en considérant les endomorphismes, nous trouvons \(\kappa(x) \cong \kappa(y)\) comme extensions finies de \(k\). Alors \[\Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), \mathcal{O}_y) \cong \Hom_Y(F(\mathcal{O}_X), F(\mathcal{O}_x)) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_x) \cong \kappa(x) \cong \kappa(y)\] Il en résulte que le germe du \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent \(F(\mathcal{O}_X)\) en \(y \in Y\) peut être engendré par \(1\) générateur (et pas moins), pour tout point fermé \(y \in Y\). Il s’ensuit immédiatement que \(F(\mathcal{O}_X)\) est localement engendré par \(1\) élément (et pas moins) et, comme \(Y\) est réduit, cela montre bien qu’il s’agit d’un module inversible.

Traduction française restaurée et lecteur historique