Compléments sur les morphismes de champs

Introduction

Dans ce chapitre, nous poursuivons l’étude des propriétés des morphismes de champs algébriques. Une référence, dans le cas des champs algébriques quasi-séparés à diagonale représentable, est [LM-B].

Conventions et abus de langage

Nous continuons d’employer les conventions et les abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA.

Épaississements

La terminologie suivante n’est peut-être pas tout à fait standard, mais elle est commode. Si \(\mathcal{Y}\) est un sous-champ fermé d’un champ algébrique \(\mathcal{X}\), alors le morphisme \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est représentable.

Définition

Épaississements.

1. On dit qu’un champ algébrique \(\mathcal{X}'\) est un épaississement d’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) si \(\mathcal{X}\) est un sous-champ fermé de \(\mathcal{X}'\) et si les espaces topologiques associés sont égaux.

2. Étant donnés deux épaississements \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) et \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\), un morphisme d’épaississements est un morphisme \(f' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) de champs algébriques tel que \(f'|_\mathcal{X}\) se factorise par le sous-champ fermé \(\mathcal{Y}\). Dans cette situation, on pose \(f = f'|_\mathcal{X} : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et on dit que \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) est un morphisme d’épaississements.

3. Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. On définit de même les épaississements sur \(\mathcal{Z}\) et les morphismes d’épaississements sur \(\mathcal{Z}\). Cela signifie que les champs algébriques \(\mathcal{X}'\) et \(\mathcal{Y}'\) sont munis d’un morphisme structural vers \(\mathcal{Z}\) et que \(f'\) s’insère dans un diagramme \(2\)-commutatif convenable de champs algébriques.

Soit \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) un épaississement de champs algébriques. Soit \(U'\) un schéma et soit \(U' \to \mathcal{X}'\) un morphisme lisse surjectif. En posant \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\), on obtient un morphisme d’épaississements \[(U \subset U') \longrightarrow (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\] et \(U \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif. On peut souvent déduire des propriétés de l’épaississement \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) des propriétés correspondantes de l’épaississement \(U \subset U'\). Parfois, par abus de langage, on dit qu’un morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est un épaississement s’il s’agit d’une immersion fermée induisant une bijection \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{X}'|\).

Lemme

Soit \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(i\) est un épaississement de champs algébriques (au sens de l’abus de langage ci-dessus), et

2. \(i\) est représentable par des espaces algébriques et est un épaississement au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Dans ce cas, \(i\) est une immersion fermée et un homéomorphisme universel.

Démonstration

D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemmes 0BPI et 09ZX la propriété \(P\) qu’un morphisme d’espaces algébriques soit un épaississement (du premier ordre) est locale pour la topologie fpqc sur la base et stable par changement de base. La discussion de Propriétés des champs, section 04XB s’applique donc bien. Cela étant dit, l’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que \(P = P_1 + P_2\), où \(P_1\) est la propriété d’être une immersion fermée et \(P_2\) celle d’être surjectif. (À strictement parler, le lecteur devrait également consulter Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 05ZK, Propriétés des champs, définition 04YL et la discussion qui suit, Morphismes d’espaces, lemme 03MD, Propriétés des champs, section 04ZR, pour constater que toutes les notions coïncident.) La dernière assertion est claire d’après ce qui précède.

Nous utiliserons le lemme sans autre mention. Les mêmes références, Compléments sur les morphismes d’espaces, lemmes 0BPI et 09ZX permettent de définir comme suit un épaississement du premier ordre.

Définition

On dit qu’un champ algébrique \(\mathcal{X}'\) est un épaississement du premier ordre d’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) si \(\mathcal{X}\) est un sous-champ fermé de \(\mathcal{X}'\) et si \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est un épaississement du premier ordre au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Si \((U \subset U') \to (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\) est un recouvrement lisse par un schéma comme ci-dessus, cela signifie simplement que \(U \subset U'\) est un épaississement du premier ordre. Formulons maintenant les lemmes indispensables.

Lemme

Soit \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) un épaississement de champs algébriques. Soit \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) un morphisme de champs algébriques et posons \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\). Alors \((\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) est un morphisme d’épaississements. Si \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) est un épaississement du premier ordre, alors \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) est un épaississement du premier ordre.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus, Propriétés des champs, section 04XB, et et Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 09ZX.

Lemme

Si \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) et \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}''\) sont des épaississements de champs algébriques, alors \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}''\) en est également un.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus, Propriétés des champs, section 04XB, et et Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0BPH

Exemple

Soit \(\mathcal{X}'\) un champ algébrique. Alors \(\mathcal{X}'\) est un épaississement de son réduit \(\mathcal{X}'_{red}\), voir Propriétés des champs, définition 050C. De plus, si \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) est un épaississement de champs algébriques, alors \(\mathcal{X}'_{red} = \mathcal{X}_{red} \subset \mathcal{X}\). Autrement dit, \(\mathcal{X} = \mathcal{X}'_{red}\) si et seulement si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique réduit.

Lemme

Soit \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) un morphisme d’épaississements de champs algébriques. Alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) est un épaississement, et le diagramme canonique \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_-\Delta \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r]^-{\Delta'} & \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' }\] est cartésien.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) se factorise par le sous-champ fermé \(\mathcal{Y}\), on a \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}\). Par conséquent, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) est isomorphe au composé \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\] dont les deux flèches sont des épaississements, puisqu’elles sont obtenues par changement de base d’épaississements (lemme 0BPR). Le composé est donc lui aussi un épaississement (lemme 0BPS). Puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est un monomorphisme, la dernière assertion du lemme résulte de Propriétés des champs, lemme 0CBB appliqué à \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\).

Lemme

Soit \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) un morphisme d’épaississements de champs algébriques. Soient \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) et \(\Delta' : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) les morphismes diagonaux correspondants. Alors chacune des propriétés de la liste suivante est satisfaite par \(\Delta\) si et seulement si elle est satisfaite par \(\Delta'\) : (a) représentable par des schémas, (b) affine, (c) surjectif, (d) quasi-compact, (e) universellement fermé, (f) entier, (g) quasi-séparé, (h) séparé, (i) universellement injectif, (j) universellement ouvert, (k) localement quasi-fini, (l) fini, (m) non ramifié, (n) monomorphisme, (o) immersion, (p) immersion fermée et (q) propre.

Démonstration

Observons que \[(\Delta, \Delta') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \longrightarrow (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \subset \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')\] est un morphisme d’épaississements (lemme 0BPU). De plus, \(\Delta\) et \(\Delta'\) sont représentables par des espaces algébriques d’après Morphismes de champs, lemme 04XS. Par conséquent, via la discussion de Propriétés des champs, section 04XB le lemme résulte, dans les cas (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) et (j), du Lemme de Compléments sur les morphismes d’espaces 09ZY.

Le lemme 0BPU nous dit que \(\mathcal{X} = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')} \mathcal{X}'\). De plus, \(\Delta\) et \(\Delta'\) sont localement de type fini d’après le lemme de Morphismes de champs déjà cité, Morphismes de champs, lemme 04XS. Le résultat pour les cas (k), (l), (m), (n), (o), (p) et (q) découle donc du Lemme de Compléments sur les morphismes d’espaces 0BPJ.

On obtient comme conséquence le résultat agréable suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) un épaississement de champs algébriques. Alors

1. \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est un espace algébrique,

2. \(\mathcal{X}\) est un schéma si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est un schéma,

3. \(\mathcal{X}\) est DM si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est DM,

4. \(\mathcal{X}\) est quasi-DM si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est quasi-DM,

5. \(\mathcal{X}\) est séparé si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est séparé,

6. \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé si et seulement si \(\mathcal{X}'\) est quasi-séparé, et

7. en ajouter ici.

Démonstration

Dans chaque cas, on se ramène à une question portant sur la diagonale, puis on applique le lemme 0BPV au morphisme d’épaississements \[(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to \left(\Spec(\mathbf{Z}) \subset \Spec(\mathbf{Z})\right)\] On procède ainsi après avoir considéré \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) comme un épaississement de champs algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) au moyen de Champs algébriques, définition 04X6.

Cas (1). Un champ algébrique est un espace algébrique si et seulement si sa diagonale est un monomorphisme, voir Morphismes de champs, lemme 0AHJ (cela résulte aussi immédiatement de Champs algébriques, proposition 04SZ).

Cas (2). D’après (1), on peut supposer que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{X}'\) sont des espaces algébriques, puis appliquer Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZR.

Cas (3) – (6). Chacun de ces cas correspond à une condition sur la diagonale, voir Morphismes de champs, définitions 04YW et 050D.

Morphismes d’épaississements

Si \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) est un morphisme d’épaississements de champs algébriques, alors les propriétés du morphisme \(f\) se transmettent souvent à \(f'\). Il existe plusieurs variantes.

Lemme

Soit \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) un morphisme d’épaississements de champs algébriques. Alors

1. \(f\) est un morphisme affine si et seulement si \(f'\) est un morphisme affine,

2. \(f\) est un morphisme surjectif si et seulement si \(f'\) est un morphisme surjectif,

3. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact,

4. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé,

5. \(f\) est entier si et seulement si \(f'\) est entier,

6. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif,

7. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert,

8. \(f\) est quasi-DM si et seulement si \(f'\) est quasi-DM,

9. \(f\) est DM si et seulement si \(f'\) est DM,

10. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé,

11. \(f\) est représentable si et seulement si \(f'\) est représentable,

12. \(f\) est représentable par des espaces algébriques si et seulement si \(f'\) est représentable par des espaces algébriques,

13. en ajouter ici.

Démonstration

D’après le lemme 0CJ7, les morphismes \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\) sont des homéomorphismes universels. Ainsi, toute condition portant sur \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) équivaut à la condition correspondante sur \(|f'| : |\mathcal{X}'| \to |\mathcal{Y}'|\), et il en va de même après un changement de base arbitraire par un morphisme \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Y}'\). Cela démontre les énoncés (2), (3), (4), (6) et (7).

Dans les cas (8), (9), (10) et (12), on peut traduire les conditions sur \(f\) et \(f'\) en conditions sur les diagonales \(\Delta\) et \(\Delta'\) comme dans le lemme 0BPV. Voir Morphismes de champs, définition 04YW et lemme 0AHJ. Ces cas résultent donc du lemme 0BPV.

Démonstration de (11). Si \(f'\) est représentable, alors \(f\) l’est aussi, car pour un schéma \(T\) et un morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), on a \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T)\) et \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est une immersion fermée (donc représentable). Réciproquement, supposons \(f\) représentable et soit \(T' \to \mathcal{Y}'\) un morphisme, où \(T'\) est un schéma. Alors \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} (\mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} T') = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T') \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T'\] est un épaississement (d’après le lemme 0BPR) et la source est un schéma. La cible est donc un schéma d’après le lemme 0BPW.

Dans les cas (1) et (5), si \(f\) ou \(f'\) possède la propriété indiquée, alors \(f\) et \(f'\) sont tous deux représentables d’après (11). Dans ce cas, choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to \mathcal{Y}'\). Posons \(V = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} V'\), \(U' = \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} V'\) et \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} V'\). Les résultats cherchés découlent alors des résultats correspondants pour le morphisme d’épaississements \((U \subset U') \to (V \subset V')\) d’espaces algébriques, au moyen du principe de Propriétés des champs, lemme 04XD. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 09ZY pour les résultats correspondants dans le cas des espaces algébriques.

Déformations infinitésimales des champs algébriques

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes d’espaces, section 06BG.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\] d’épaississements de champs algébriques. Supposons que

1. \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) soit localement de type fini,

2. \(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) soit plat et localement de présentation finie,

3. \(f\) soit plat, et

4. \(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\) et \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\).

Alors \(f'\) est plat et, pour tout \(y' \in |\mathcal{Y}'|\) appartenant à l’image de \(|f'|\), le morphisme \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) est plat en \(y'\).

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{B}'\). Choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\). Choisissons un espace algébrique \(W'\) et un morphisme lisse surjectif \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\). Alors la platitude de \(f'\) équivaut à celle de \(W' \to V'\), et on sait que \(W \to V\) est plat. On peut donc appliquer le lemme dans le cas des espaces algébriques au diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements d’espaces algébriques. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CGW. L’assertion concernant la platitude de \(\mathcal{Y}'/\mathcal{B}'\) aux points de l’image de \(|f'|\) s’en déduit de la même manière.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\] d’épaississements de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) soit localement de type fini, que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) soit plat et localement de présentation finie, que \(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\) et que \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\). Alors

1. \(f\) est plat si et seulement si \(f'\) est plat, [0CJD]

2. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f'\) est un isomorphisme, [0CJE]

3. \(f\) est une immersion ouverte si et seulement si \(f'\) est une immersion ouverte, [0CJF]

4. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme, [0CJG]

5. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini, [0CJH]

6. \(f\) est syntomique si et seulement si \(f'\) est syntomique, [0CJI]

7. \(f\) est lisse si et seulement si \(f'\) est lisse, [0CJJ]

8. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié, [0CJK]

9. \(f\) est étale si et seulement si \(f'\) est étale, [0CJL]

10. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini, et [0CJM]

11. en ajouter ici.

Démonstration

Dans le cas (0CJD), cela résulte du lemme 0CJB.

Dans les cas (0CJI), (0CJJ) cela se démontre par la méthode employée dans la démonstration du lemme 0CJB. Plus précisément, choisissons un espace algébrique \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{B}'\). Choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\). Choisissons un espace algébrique \(W'\) et un morphisme lisse surjectif \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\). Alors la propriété pour \(f\), resp. \(f'\), équivaut à la propriété pour \(W \to V\), resp. \(W' \to V'\). On peut donc appliquer le lemme, dans le cas des espaces algébriques, au diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements d’espaces algébriques. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CGX.

Dans les cas (0CJK) et (0CJL), on constate d’abord que l’hypothèse portant sur \(f\) ou \(f'\) implique que \(f\) et \(f'\) sont tous deux des morphismes DM de champs algébriques, voir le lemme 0CJ9. On peut alors choisir un espace algébrique \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{B}'\). Choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\). Choisissons un espace algébrique \(W'\) et un morphisme étale surjectif (!) \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\). Alors \(W \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est lui aussi étale et surjectif. La propriété pour \(f\), resp. \(f'\), équivaut donc à la propriété pour \(W \to V\), resp. \(W' \to V'\). On peut donc appliquer le lemme, dans le cas des espaces algébriques, au diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements d’espaces algébriques. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CGX.

Dans les cas (0CJE), (0CJF), (0CJG), (0CJM) on déduit d’abord du lemme 0CJ9 que \(f\) et \(f'\) sont représentables par des espaces algébriques. On peut donc choisir un espace algébrique \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{B}'\), un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\), puis \(W' = V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) sera un espace algébrique. Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\). On a également \(W = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Il faut alors montrer que \(W' \to V'\) est un isomorphisme, resp. une immersion ouverte, resp. un monomorphisme, resp. un morphisme fini, si et seulement si \(W \to V\) possède la même propriété. Voir Propriétés des champs, lemme 04XD. On conclut ainsi en appliquant les résultats précédents relatifs aux espaces algébriques.

Dans le cas (0CJH), observons d’abord que \(f\) et \(f'\) sont localement de type fini d’après Morphismes de champs, lemme 06U9. D’autre part, \(f\) est quasi-DM si et seulement si \(f'\) l’est, d’après le lemme 0CJ9. La dernière condition à vérifier pour que \(f\) ou \(f'\) soit localement quasi-fini (Morphismes de champs, définition 06PU) est une condition portant sur les espaces topologiques sous-jacents; elle est satisfaite par \(f\) si et seulement si elle l’est par \(f'\) d’après la discussion du premier paragraphe de la démonstration.

Relèvement des schémas affines

Considérons un diagramme aux flèches pleines \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar@{..>}[r] & W' \ar@{..>}[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] où \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) est un épaississement de champs algébriques, \(W\) est un schéma affine et \(W \to \mathcal{X}\) est lisse. La question étudiée dans cette section est de savoir si l’on peut trouver \(W'\) et les flèches en pointillé de sorte que le carré soit cartésien et que \(W' \to \mathcal{X}'\) soit lisse. Nous n’en connaissons pas la réponse en général, mais si \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) est un épaississement du premier ordre, nous démontrerons que la réponse est affirmative.

Pour étudier ce problème, introduisons la catégorie suivante.

Remarque

Considérons un diagramme \[\xymatrix{ W \ar[d]_x \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] où \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) est un épaississement de champs algébriques, \(W\) est un espace algébrique et \(W \to \mathcal{X}\) est lisse. Nous allons construire une catégorie \(\mathcal{C}\) et un foncteur \[p : \mathcal{C} \longrightarrow W_{spaces, \etale}\] (voir Propriétés des espaces, définition 03G0 pour la notation) comme suit. Un objet de \(\mathcal{C}\) sera un système \((U, U', a, i, x', \alpha)\) qui forme un diagramme commutatif [0CJQ]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_i & U' \ar[dd]^{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] dont la commutativité est matérialisée par le \(2\)-morphisme \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\), et tel que \(U\) et \(U'\) soient des espaces algébriques, \(a : U \to W\) soit étale, \(x' : U' \to \mathcal{X}'\) soit lisse et \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\). En particulier, \(U \subset U'\) est un épaississement. Un morphisme \[(V, V', b, j, y', \beta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\] est la donnée de \((f, f', \gamma)\), où \(f : V \to U\) est un morphisme au-dessus de \(W\), \(f' : V' \to U'\) est un morphisme dont la restriction à \(V\) donne \(f\), et \(\gamma : x' \circ f' \to y'\) est un \(2\)-morphisme qui matérialise la commutativité dans le triangle de droite du diagramme ci-dessous [0CJR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & V \ar[ld]_f \ar[ldd]^b \ar[rr]_j & & V' \ar[ld]_{f'} \ar[lddd]^{y'} \\ U \ar[d]_a \ar[rr]_i & & U' \ar[dd]_{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[rr] & & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] Enfin, on exige que \(\gamma\) soit compatible avec \(\alpha\) et \(\beta\) : dans le calcul des \(2\)-catégories de Catégories, sections 003D et 003G, cela s’écrit \[\beta = (\gamma \star \text{id}_j) \circ (\alpha \star \text{id}_f)\] (plus brièvement : \(\beta = j^*\gamma \circ f^*\alpha\)). Une autre formulation consiste à dire que les objets sont les diagrammes commutatifs (0CJQ) satisfaisant certaines propriétés supplémentaires, et que les morphismes sont les diagrammes commutatifs (0CJR) dans la catégorie \(\textit{Espaces}/\mathcal{X}'\) introduite dans Propriétés des champs, remarque 04ZQ. Il est alors clair que \(\mathcal{C}\) est une catégorie et que la règle \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) qui envoie \((U, U', a, i, x', \alpha)\) sur \(a : U \to W\) est un foncteur.

Lemme

Pour tout morphisme (0CJR), l’application \(f' : V' \to U'\) est étale.

Démonstration

En effet, \(f : V \to U\) est étale en tant que morphisme de \(W_{spaces, \etale}\), et l’on peut appliquer le lemme 0CJC, puisque \(U' \to \mathcal{X}'\) et \(V' \to \mathcal{X}'\) sont lisses et que \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\) et \(V = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} V'\).

Lemme

La catégorie \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) construite dans la remarque 0CJP est fibrée en groupoïdes.

Démonstration

Nous affirmons que les catégories fibres de \(p\) sont des groupoïdes. Si \((f, f', \gamma')\), comme dans (0CJR), est un morphisme tel que \(f : V \to U\) soit un isomorphisme, alors \(f'\) est un isomorphisme d’après le lemme 0CJC, et \((f, f', \gamma')\) est donc un isomorphisme.

Considérons un morphisme \(f : V \to U\) dans \(W_{spaces, \etale}\) et un objet \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(U\). Nous allons construire l’« image inverse » \(f^*\xi\) au-dessus de \(V\). Posons \(b = a \circ f\). Soit \(f' : V' \to U'\) le morphisme étale dont la restriction à \(V\) est \(f\) (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 07VW). Notons \(j : V \to V'\) l’épaississement correspondant. Soient \(y' = x' \circ f'\) et \(\gamma = \text{id} : x' \circ f' \to y'\). Posons \[\beta = \alpha \star \text{id}_f : x \circ b = x \circ a \circ f \to x' \circ i \circ f = x' \circ f' \circ j = y' \circ j\] Il est clair que \((f, f', \gamma) : (V, V', b, j, y', \beta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\) est un morphisme comme dans (0CJR). Les morphismes \((f, f', \gamma)\) ainsi construits sont fortement cartésiens (Catégories, définition 02XK). Nous omettons la démonstration détaillée; essentiellement, la raison est que, étant donné un morphisme \((g, g', \epsilon) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(g\) se factorise sous la forme \(g = f \circ h\) pour un certain \(h : Y \to V\), on obtient une unique factorisation \(g' = f' \circ h'\) d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 07VW puis on peut produire le \(\zeta\) nécessaire tel que \((h, h', \zeta) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (V, V', b, j, y', \beta)\) soit un morphisme de \(\mathcal{C}\) vérifiant \((g, g', \epsilon) = (f, f', \gamma) \circ (h, h', \zeta)\).

Par conséquent, \(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) est une catégorie fibrée (Catégories, définition 02XM). En combinant cela au fait établi ci-dessus que les catégories fibres sont des groupoïdes, on conclut que \(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) est fibrée en groupoïdes d’après Catégories, lemme 003V.

Lemme

La catégorie \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) construite dans la remarque 0CJP est un champ en groupoïdes.

Démonstration

D’après le lemme 0CJT, la première condition de Champs, définition 02ZI, est satisfaite. Comme il est d’usage, nous vérifions la descente des objets et laissons au lecteur le soin de vérifier celle des morphismes. Supposons donc donnés \(a : U \to W\) dans \(W_{spaces, \etale}\), un recouvrement \(\{U_k \to U\}_{k \in K}\) dans \(W_{spaces, \etale}\), des objets \(\xi_k = (U_k, U'_k, a_k, i_k, x'_k, \alpha_k)\) de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(U_k\), et des morphismes \[\varphi_{kk'} = (f_{kk'}, f'_{kk'}, \gamma_{kk'}) : \xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}}\] entre les restrictions, satisfaisant à la condition de cocycle. Pour démontrer l’effectivité, on peut d’abord raffiner le recouvrement. On peut donc supposer que chaque \(U_k\) est un schéma (même un schéma affine si l’on veut). Écrivons \[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} = (U_k \times_U U_{k'}, U'_{kk'}, a_{kk'}, x'_{kk'}, \alpha_{kk'})\] On obtient alors un morphisme étale (d’après le lemme 0CJS) \(s_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_k\) comme seconde composante du morphisme \(\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_k\) de \(\mathcal{C}\). De même, on obtient un morphisme étale \(t_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_{k'}\) en considérant la seconde composante du composé \[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \xrightarrow{\varphi_{kk'}} \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}\] Nous affirmons que \[j : \coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U'_{kk'} \xrightarrow{(\coprod s_{kk'}, \coprod t_{kk'})} (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k)\] est une relation d’équivalence étale. Premièrement, nous avons déjà vu que les composantes \(s, t\) du morphisme affiché sont étales. Le changement de base du morphisme \(j\) par \((\coprod U_k) \times (\coprod U_k) \to (\coprod U'_k) \times (\coprod U'_k)\) est un monomorphisme, car c’est l’application \[\coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U_k \times_U U_{k'} \longrightarrow (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k)\] Par conséquent, \(j\) est un monomorphisme d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0BPG. Enfin, la symétrie de la relation \(j\) provient du fait que \(\varphi_{kk'}^{-1}\) est le « renversé » de \(\varphi_{k'k}\) (voir Champs, remarques 026C), et la transitivité résulte de la condition de cocycle (détails omis). Le quotient de \(\coprod U'_k\) par \(j\) est donc un espace algébrique \(U'\) (Espaces, théorème 02WW). Nous avons déjà montré ci-dessus qu’il existe un épaississement \(i : U \to U'\), puisque la restriction de \(j\) à \(\coprod U_k\) donne \((\coprod U_k) \times_U (\coprod U_k)\). Enfin, si l’on considère temporairement les \(1\)-morphismes \(x'_k : U'_k \to \mathcal{X}'\) comme des objets du champ \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(U'_k\), on voit qu’ils sont munis d’une donnée de descente relativement au recouvrement étale \(\{U'_k \to U'\}\), donnée par la troisième composante \(\gamma_{kk'}\) des morphismes \(\varphi_{kk'}\) dans \(\mathcal{C}\). Puisque \(\mathcal{X}'\) est un champ, cette donnée de descente est effective; en revenant à la formulation initiale, on obtient un \(1\)-morphisme \(x' : U' \to \mathcal{X}'\) tel que les composés \(U'_k \to U' \to \mathcal{X}'\) soient munis d’isomorphismes vers \(x'_k\) compatibles avec \(\gamma_{kk'}\). Cela signifie que les morphismes \(\alpha_k : x \circ a_k \to x'_k \circ i_k\) se recollent en un morphisme \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\). Alors \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) est l’objet cherché au-dessus de \(U\).

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) un épaississement de champs algébriques. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse. Il existe un recouvrement étale \(\{W_i \to W\}_{i \in I}\) et, pour tout \(i\), un diagramme cartésien \[\xymatrix{ W_i \ar[r] \ar[d] & W_i' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] où \(W_i' \to \mathcal{X}'\) est lisse.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{X}'\). Comme d’habitude, posons \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\). Alors \(U \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif. Par conséquent, le changement de base \[V = W \times_{\mathcal{X}} U \longrightarrow W\] est un morphisme lisse surjectif d’espaces algébriques. D’après Topologies sur les espaces, lemme 0CFV on peut trouver un recouvrement étale \(\{W_i \to W\}\) tel que \(W_i \to W\) se factorise par \(V \to W\). Après avoir recouvert \(W_i\) par des ouverts affines (Propriétés des espaces, lemme 03FX) on peut supposer chaque \(W_i\) affine. On peut, et l’on va, remplacer \(W\) par \(W_i\), ce qui ramène à la situation étudiée au paragraphe suivant.

Supposons \(W\) affine et le morphisme donné \(W \to \mathcal{X}\) factorisé par \(U\). On a le diagramme \[W \xrightarrow{i} U \to \mathcal{X}\] Puisque \(W\) et \(U\) sont lisses sur \(\mathcal{X}\), on voit que \(i\) est localement de type fini (Morphismes de champs, lemme 06U9). Après avoir remplacé \(U\) par \(\mathbf{A}^n_U\), on peut supposer que \(i\) est une immersion, voir Morphismes, lemme 04II. D’après Morphismes de champs, lemme 0CJ6 le morphisme \(i\) est d’intersection complète locale. Par conséquent, \(i\) est une immersion Koszul-régulière (au sens de Diviseurs, définition 063J), d’après Compléments sur les morphismes, lemme 069G.

On peut encore remplacer \(W\) par un recouvrement ouvert affine. Pour tout point \(w \in W\), on peut choisir un ouvert affine \(U'_w \subset U'\) tel que, si \(U_w \subset U\) est l’ouvert affine correspondant, alors \(w \in i^{-1}(U_w)\) et \(i^{-1}(U_w) \to U_w\) est une immersion fermée définie par une suite Koszul-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(U_w, \mathcal{O}_{U_w})\). Cela résulte de la définition des immersions Koszul-régulières et de Diviseurs, lemme 063G. Posons \(W_w = i^{-1}(U_w)\); c’est un voisinage ouvert affine de \(w \in W\). Choisissons des relèvements \(f'_1, \ldots, f'_r \in \Gamma(U'_w, \mathcal{O}_{U'_w})\) de \(f_1, \ldots, f_r\). Cela est possible puisque \(U_w \to U'_w\) est une immersion fermée de schémas affines. Soit \(W'_w \subset U'_w\) le sous-schéma fermé défini par \(f'_1, \ldots, f'_r\). Nous affirmons que \(W'_w \to \mathcal{X}'\) est lisse. Cette affirmation achève la démonstration, car \(W_w = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'_w\) par construction.

Pour vérifier l’affirmation, il suffit de vérifier que le changement de base \(W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \to X'\) est lisse pour tout schéma affine \(X'\) lisse sur \(\mathcal{X}'\). Choisissons un morphisme étale \[Y' \to U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\] avec \(Y'\) affine. Puisque \(U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\) est recouvert par les images de tels morphismes, il suffit de montrer que le sous-schéma fermé \(Z'\) de \(Y'\) défini par \(f'_1, \ldots, f'_r\) est lisse sur \(X'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & U'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & X' \\ W'_w = V(f'_1, \ldots, f'_r) \ar[r] & U'_w }\] Posons \(X = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} X'\), \(Y = X \times_{X'} Y' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Y'\) et \(Z = Y \times_{Y'} Z' = X \times_{X'} Z' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Z'\). Alors \((Z \subset Z') \to (Y \subset Y') \subset (X \subset X')\) sont des morphismes (cartésiens) d’épaississements de schémas affines, et on sait que \(Z \to X\) et \(Y' \to X'\) sont lisses. Enfin, la suite de fonctions \(f'_1, \ldots, f'_r\) a pour image une suite Koszul-régulière dans \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 062H, car \(Y' \to U'_w\) est lisse, donc plat. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0CER (et le fait que les suites Koszul-régulières sont des suites quasi-régulières d’après Compléments d’algèbre, lemmes 062F, 0CEM et 062I) on conclut que \(Z' \to X'\) est lisse, comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) un épaississement de champs algébriques. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ W'' \ar[d]_{x''} & W \ar[l] \ar[r] \ar[d]_x & W' \ar[d]^{x'} \\ \mathcal{X}' & \mathcal{X} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}' }\] dont les carrés sont cartésiens, où \(W', W, W''\) sont des espaces algébriques et les flèches verticales sont lisses. Alors il existe

1. un recouvrement étale \(\{f'_k : W'_k \to W'\}_{k \in K}\),

2. des morphismes étales \(f''_k : W'_k \to W''\), et

3. des \(2\)-morphismes \(\gamma_k : x' \circ f'_k \to x'' \circ f''_k\)

tels que (a) \((f'_k)^{-1}(W) = (f''_k)^{-1}(W)\), (b) \(f'_k|_{(f'_k)^{-1}(W)} = f''_k|_{(f''_k)^{-1}(W)}\) et (c) l’image inverse de \(\gamma_k\) sur le sous-schéma fermé de (a) coïncide avec le \(2\)-morphisme donné par la commutativité du diagramme initial au-dessus de \(W\).

Démonstration

Notons \(i : W \to W'\) et \(i'' : W \to W''\) les épaississements donnés. La commutativité du diagramme de l’énoncé du lemme signifie qu’il existe un \(2\)-morphisme \(\delta : x' \circ i \to x'' \circ i''\). C’est le \(2\)-morphisme auquel renvoie la partie (c) de l’énoncé. Considérons l’espace algébrique \[I' = W' \times_{x', \mathcal{X}', x''} W''\] muni des projections \(p' : I' \to W'\) et \(q' : I' \to W''\). Observons qu’il existe un \(2\)-morphisme « universel » \(\gamma : x' \circ p' \to x'' \circ q'\) (nous l’utiliserons plus loin). Le choix de \(\delta\) définit un morphisme \[\xymatrix{ W \ar[rr]_\delta & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & W' & & W'' }\] tel que les composés \(W \to I' \to W'\) et \(W \to I' \to W''\) soient respectivement \(i : W \to W'\) et \(i'' : W \to W''\). Puisque \(x''\) est lisse, le morphisme \(p' : I' \to W'\) est lisse en tant que changement de base de \(x''\).

Supposons que l’on puisse trouver un recouvrement étale \(\{f'_k : W'_k \to W'\}\) et des morphismes \(\delta_k : W'_k \to I'\) tels que la restriction de \(\delta_k\) à \(W_k = (f'_k)^{-1}(W)\) soit égale à \(\delta \circ f_k\), où \(f_k = f'_k|_{W_k}\). On a le diagramme \[\xymatrix{ W_k \ar[r]^{f_k} \ar[d] & W \ar[r]^\delta & I' \ar[d]^{p'} \\ W'_k \ar[rr]^{f'_k} \ar[rru]^{\delta_k} & & W' }\] Autrement dit, on veut pouvoir prolonger la section donnée \(\delta : W \to I'\) de \(p'\) en une section au-dessus de \(W'\), après avoir éventuellement remplacé \(W'\) par un recouvrement étale.

Si cela est possible, on peut poser \(f''_k = q' \circ \delta_k\) et \(\gamma_k = \gamma \star \text{id}_{\delta_k}\) (plus brièvement, \(\gamma_k = \delta_k^*\gamma\)). Il reste seulement à montrer que le morphisme \(f''_k\) est étale. Par construction, le morphisme \(x' \circ p'\) est \(2\)-isomorphe à \(x'' \circ q'\). Par conséquent, \(x'' \circ f''_k\) est \(2\)-isomorphe à \(x' \circ f'_k\). On en déduit que le composé \[W'_k \xrightarrow{f''_k} W'' \xrightarrow{x''} \mathcal{X}'\] est lisse, puisque \(x' \circ f'_k\) l’est. Puisque \(f_k\) est étale, on conclut que \(f''_k\) est étale d’après le lemme 0CJC.

Si l’épaississement est du premier ordre, on peut choisir un recouvrement étale quelconque \(\{W'_k \to W'\}\) avec \(W'_k\) affine. En effet, puisque \(p'\) est lisse, on voit que \(p'\) est formellement lisse d’après le critère infinitésimal de relèvement (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04AM). Comme \(W_k\) est affine et que \(W_k \to W'_k\) est un épaississement du premier ordre (en tant que changement de base de \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), voir le lemme 0BPR), on obtient le \(\delta_k\) cherché.

Dans le cas général, l’existence du recouvrement et des morphismes \(\delta_k\) résulte de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CHJ.

Lemme

La catégorie \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) construite dans la remarque 0CJP est une gerbe.

Démonstration

Dans le lemme 0CJU, nous avons vu qu’il s’agit d’un champ en groupoïdes. Il reste donc à vérifier les conditions (2) et (3) de Champs, définition 06NZ. La condition (2) résulte du lemme 0CJV. La condition (3) résulte du lemme 0CJW.

Lemme

Dans la remarque 0CJP, supposons que \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) soit un épaississement du premier ordre. Alors

1. les faisceaux d’automorphismes des objets de la gerbe \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) construite dans la remarque 0CJP sont abéliens, et

2. le faisceau de groupes \(\mathcal{G}\) construit dans Champs, lemme 0CJY, est un \(\mathcal{O}_W\)-module quasi-cohérent.

Démonstration

Nous allons démontrer simultanément les deux assertions. Plus précisément, étant donné un objet \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\), nous munirons \(\mathit{Aut}(\xi)\) d’une structure de \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent sur \(U_{spaces, \etale}\), et nous montrerons que cette structure est compatible aux images inverses. Cela suffira par recollement des faisceaux (Sites, section 04TP), et par la construction de \(\mathcal{G}\) dans la démonstration de Champs, lemme 0CJY, comme recollement des faisceaux d’automorphismes \(\mathit{Aut}(\xi)\), ainsi que par le fait qu’il suffit, pour vérifier qu’un module est quasi-cohérent, de passer à un recouvrement étale (Propriétés des espaces, lemme 03M0).

Nous allons décrire le faisceau \(\mathit{Aut}(\xi)\) par la même méthode que dans la démonstration du lemme 0CJW. Considérons l’espace algébrique \[I' = U' \times_{x', \mathcal{X}', x'} U'\] muni des projections \(p' : I' \to U'\) et \(q' : I' \to U'\). Sur \(I'\), il existe un \(2\)-morphisme universel \(\gamma : x' \circ p' \to x' \circ q'\). L’identité \(x' \to x'\) définit un morphisme diagonal \[\xymatrix{ U' \ar[rr]_{\Delta'} & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & U' & & U' }\] tel que les composés \(U' \to I' \to U'\) et \(U' \to I' \to U'\) soient les morphismes identité. Nous noterons les changements de base de \(U', I', p', q', \Delta'\) à \(\mathcal{X}\) par \(U, I, p, q, \Delta\). Puisque \(U' \to \mathcal{X}'\) est lisse, on voit que \(p' : I' \to U'\) est lisse par changement de base.

Une section de \(\mathit{Aut}(\xi)\) au-dessus de \(U\) est un morphisme \(\delta' : U' \to I'\) tel que \(\delta'|_U = \Delta\) et \(p' \circ \delta' = \text{id}_{U'}\). Explicitement, \((\text{id}_U, q' \circ \delta', (\delta')^*\gamma) : \xi \to \xi\) est une formule pour l’automorphisme correspondant. Plus généralement, si \(f : V \to U\) est un morphisme étale, alors il existe un épaississement \(j : V \to V'\) et un morphisme étale \(f' : V' \to U'\) dont la restriction à \(V\) est \(f\), et \(f^*\xi\) correspond à \((V, V', a \circ f, j, x' \circ f', f^*\alpha)\), voir la démonstration du lemme 0CJT. Une section de \(\mathit{Aut}(\xi)\) au-dessus de \(V\) est un morphisme \(\delta' : V' \to I'\) tel que \(\delta'|_V = \Delta \circ f\) et \(p' \circ \delta' = f'\)¹.

On conclut que le faisceau d’ensembles \(\mathit{Aut}(\xi)\) coïncide avec le faisceau défini dans Compléments sur les morphismes d’espaces, remarque 0CK7 pour les épaississements \((U \subset U')\) et \((I \subset I')\) sur \((U \subset U')\), via \(\text{id}_{U'}\) et \(p'\). La diagonale \(\Delta'\) est une section de ce faisceau et, en faisant agir sur cette section Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 061C on obtient un isomorphisme [0CKH]\[\begin{equation} \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'}) \longrightarrow \mathit{Aut}(\xi) \end{equation}\] sur \(U_{spaces, \etale}\). Il reste trois choses à vérifier :

1. la construction de (0CKH) commute à la localisation étale,

2. \(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'})\) est un module quasi-cohérent sur \(U\),

3. la composition dans \(\mathit{Aut}(\xi)\) correspond à l’addition des sections de ce module quasi-cohérent.

Nous allons les vérifier dans cet ordre.

Pour démontrer (1), il faut montrer que, si \(f : V \to U\) est étale, alors (0CKH), construit à partir de \(\xi\) sur \(U\), se restreint à l’application (0CKH) \[\SheafHom_{\mathcal{O}_V}( \Delta_V^*\Omega_{V \times_\mathcal{X} V/V}, \mathcal{C}_{V/V'}) \to \mathit{Aut}(\xi|_V)\] construite à partir de \(\xi|_V\) sur \(V\), dans \(V_{spaces, \etale}\). Cela résulte de la discussion dans la note ci-dessus et de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CK8.

Démonstration de (2). Puisque \(p'\) est lisse, le morphisme \(I \to U\) est lisse, et le module des différentielles relatives \(\Omega_{I/U}\) est donc localement libre de type fini (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CK5). D’autre part, \(\mathcal{C}_{U/U'}\) est quasi-cohérent (Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 04CN). D’après Propriétés des espaces, lemme 03M1 on conclut.

Démonstration de (3). Il existe un morphisme \(c' : I' \times_{p', U', q'} I' \to I'\) tel que \((U', I', p', q', c')\) soit un groupoïde en espaces algébriques d’identité \(\Delta'\). Voir par exemple Champs algébriques, lemme 04T4. La composition dans \(\mathit{Aut}(\xi)\) est induite par le morphisme \(c'\) comme suit. Supposons donnés deux morphismes \[\delta'_1, \delta'_2 : U' \longrightarrow I'\] correspondant, comme ci-dessus, à des sections de \(\mathit{Aut}(\xi)\) au-dessus de \(U\); autrement dit, on a \(\delta'_i|_U = \Delta_U\) et \(p' \circ \delta'_i = \text{id}_{U'}\). Alors la composition dans \(\mathit{Aut}(\xi)\) est \[\delta'_1 \circ \delta'_2 = c'(\delta'_1 \circ q' \circ \delta'_2, \delta'_2)\] Nous omettons la vérification détaillée². Nous sommes donc dans la situation décrite dans Compléments sur les groupoïdes en espaces, section 0CKB et le résultat cherché découle du Lemme de Compléments sur les groupoïdes en espaces 0CKF.

Proposition

Soit \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) un épaississement du premier ordre de champs algébriques. Soit \(W\) un schéma affine et soit \(W \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse. Alors il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] où \(W' \to \mathcal{X}'\) est lisse et \(W'\) affine.

Démonstration

Considérons la catégorie \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) introduite dans la remarque 0CJP. La proposition affirme qu’il existe un objet de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(W\). En effet, si l’on dispose d’un tel objet \((W, W', a, i, y', \alpha)\), alors \(W = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'\). Par conséquent, \(W \to W'\) est un épaississement d’espaces algébriques, donc \(W'\) est affine d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZR et Compléments sur les morphismes, lemme 06AD.

Le lemme 0CJX nous dit que \(\mathcal{C}\) est une gerbe sur \(W_{spaces, \etale}\). Cela signifie que l’on peut trouver des solutions localement pour la topologie étale, et que ces solutions locales sont localement isomorphes pour la topologie étale; cette partie ne requiert pas que l’épaississement soit du premier ordre. D’après le lemme 0CKG, les faisceaux d’automorphismes des objets de notre gerbe sont abéliens et se recollent pour former un module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(W_{spaces, \etale}\). Nous allons vérifier les conditions (1) et (2) de Cohomologie sur les sites, lemme 0CK0, afin de conclure à l’existence d’un objet de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(W\). La condition (1) est satisfaite : les recouvrements étales \(\{W_i \to W\}\) dont chaque \(W_i\) est affine sont cofinaux dans l’ensemble de tous les recouvrements. Pour un tel recouvrement, \(W_i\) et \(W_i \times_W W_j\) sont affines, et \(H^1(W_i, \mathcal{G})\) ainsi que \(H^1(W_i \times_W W_j, \mathcal{G})\) sont nuls : la cohomologie d’un module quasi-cohérent sur un espace algébrique affine est nulle, par exemple d’après Cohomologie des espaces, proposition 072B. Enfin, la condition (2) est que \(H^2(W, \mathcal{G}) = 0\) pour notre faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), ce qui résulte encore de Cohomologie des espaces, proposition 072B. Cela achève la démonstration.

Déformations infinitésimales

Nous poursuivons la discussion de Les axiomes d’Artin, section 07Y6.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur un schéma \(S\). Supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit localement de présentation finie. Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat de \(S\)-algèbres. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(A\), et posons \(y = x|_B\). Alors \(\text{Inf}_x(M) \otimes_A B = \text{Inf}_y(M \otimes_A B)\).

Démonstration

Rappelons que \(\text{Inf}_x(M)\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale de \(x\) à \(A[M]\) qui induisent l’automorphisme identique de \(x\) sur \(A\). La déformation triviale est l’image inverse de \(x\) sur \(\Spec(A[M])\) par \(\Spec(A[M]) \to \Spec(A)\). Soit \(G \to \Spec(A)\) l’espace algébrique groupe des automorphismes de \(x\) (celui-ci existe puisque \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique). Soit \(e : \Spec(A) \to G\) l’élément neutre. La discussion de Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0617 donne \[\text{Inf}_x(M) = \Hom_A(e^*\Omega_{G/A}, M)\] De même, \[\text{Inf}_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(e_B^*\Omega_{G_B/B}, M \otimes_A B)\] Puisque \(G \to \Spec(A)\) est localement de présentation finie par hypothèse, on voit que \(\Omega_{G/A}\) est localement de présentation finie, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZF. Par conséquent, \(e^*\Omega_{G/A}\) est un \(A\)-module de présentation finie. De plus, \(\Omega_{G_B/B}\) est l’image inverse de \(\Omega_{G/A}\) d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZC. Ainsi, \(e_B^*\Omega_{G_B/B} = e^*\Omega_{G/A} \otimes_A B\). On conclut par Compléments d’algèbre, lemme 087R.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur un schéma de base \(S\). Supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit localement de présentation finie. Soit \((A' \to A, x)\) une situation de déformation. Alors le foncteur \[F : B' \longmapsto \{\text{relèvements de }x|_{B' \otimes_{A'} A}\text{ à } B'\}/\text{isomorphismes}\] est un faisceau sur le site \((\textit{Aff}/\Spec(A'))_{fppf}\) de Topologies, définition 021S.

Démonstration

Soit \(\{T'_i \to T'\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement fppf standard de schémas affines sur \(A'\). Écrivons \(T' = \Spec(B')\). Comme d’habitude, notons \[T'_{i_0 \ldots i_p} = T'_{i_0} \times_{T'} \ldots \times_{T'} T'_{i_p} = \Spec(B'_{i_0 \ldots i_p})\] où l’anneau est un produit tensoriel convenable. Posons \(B = B' \otimes_{A'} A\) et \(B_{i_0 \ldots i_p} = B'_{i_0 \ldots i_p} \otimes_{A'} A\). Notons \(y = x|_B\) et \(y_{i_0 \ldots i_p} = x|_{B_{i_0 \ldots i_p}}\). Soient \(\gamma_i \in F(B'_i)\) tels que \(\gamma_{i_0}\) et \(\gamma_{i_1}\) s’envoient sur le même élément de \(F(B'_{i_0i_1})\). Il faut trouver un unique \(\gamma \in F(B')\) dont l’image soit \(\gamma_i\) dans \(F(B'_i)\).

Choisissons un objet véritable \(y'_i\) de \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\) dans la classe d’isomorphisme \(\gamma_i\). Choisissons des isomorphismes \(\varphi_{i_0i_1} : y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1}} \to y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1}}\) dans la catégorie \(\textit{Lift}(y_{i_0i_1}, B'_{i_0i_1})\). Si les applications \(\varphi_{i_0i_1}\) satisfont à la condition de cocycle, on obtient l’objet \(\gamma\) cherché, puisque \(\mathcal{X}\) est un champ pour la topologie fppf. La condition de cocycle affirme que le composé \[y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_0i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_1i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_2i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}\] est l’identité. Sinon, ces applications donnent des éléments \[\delta_{i_0i_1i_2} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1i_2}}(J_{i_0i_1i_2}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2}\] Ici, \(J = \Ker(B' \to B)\) et \(J_{i_0 \ldots i_p} = \Ker(B'_{i_0 \ldots i_p} \to B_{i_0 \ldots i_p})\). L’égalité de la formule affichée résulte du lemme 0DNR appliqué à \(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\), à \(y\) et à \(y_{i_0 \ldots i_p}\), ainsi que de la platitude des applications \(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\), qui garantit également que \(J_{i_0 \ldots i_p} = J \otimes_{B'} B'_{i_0 \ldots i_p}\). Un calcul (omis) montre que \(\delta_{i_0i_1i_2}\) définit un \(2\)-cocycle dans le complexe de Čech \[\prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] D’après Descente, lemme 03FJ, ce complexe est acyclique en degrés positifs et vérifie \(H^0 = \text{Inf}_y(J)\). Puisque \(\text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1})\) agit sur les morphismes (Les axiomes d’Artin, remarque 07YB), cela signifie que l’on peut modifier le choix de \(\varphi_{i_0i_1}\) pour se ramener au cas où \(\delta_{i_0i_1i_2} = 0\).

Unicité. Il reste à montrer qu’il existe au plus un \(\gamma\) dont la restriction soit \(\gamma_i\) pour tout \(i\). Supposons donnés des objets \(y', z'\) de \(\textit{Lift}(y, B')\) et des isomorphismes \(\psi_i : y'|_{B'_i} \to z'|_{B'_i}\) dans \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\). On peut alors considérer \[\psi_{i_1}^{-1} \circ \psi_{i_0} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1}\] Comme précédemment, l’obstruction à l’existence d’un isomorphisme entre \(y'\) et \(z'\) sur \(B'\) est un élément du \(H^1\) du complexe de Čech affiché ci-dessus, lequel est nul.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur un schéma \(S\), dont le morphisme structural \(\mathcal{X} \to S\) est localement de présentation finie. Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat de \(S\)-algèbres. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(A\). Alors \(T_x(M) \otimes_A B = T_y(M \otimes_A B)\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Réduisons d’abord le lemme au cas où \(x\) se relève à \(U\). Rappelons que \(T_x(M)\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme des relèvements de \(x\) à \(A[M]\). Par conséquent, le lemme 0DNS³ affirme que la règle \[A_1 \mapsto T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1)\] est un faisceau sur le petit site étale de \(\Spec(A)\); le produit tensoriel est nécessaire pour que \(A[M] \to A_1[M \otimes_A A_1]\) soit un homomorphisme plat. On peut choisir un homomorphisme d’anneaux étale fidèlement plat \(A \to A_1\) tel que \(x|_{A_1}\) se relève en un morphisme \(u_1 : \Spec(A_1) \to U\), voir par exemple Faisceaux sur les champs, lemme 06XH. Écrivons \(A_2 = A_1 \otimes_A A_1\) et posons \(B_1 = B \otimes_A A_1\) et \(B_2 = B \otimes_A A_2\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & T_y(M \otimes_A B) \ar[r] & T_{y|_{B_1}}(M \otimes_A B_1) \ar[r] & T_{y|_{B_2}}(M \otimes_A B_2) \\ 0 \ar[r] & T_x(M) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_2}}(M \otimes_A A_2) \ar[u] }\] Les lignes sont exactes par la condition de faisceau. On a \(M \otimes_A B_i = (M \otimes_A A_i) \otimes_{A_i} B_i\). Ainsi, si l’on démontre le résultat pour les flèches verticales du milieu et de droite, le résultat en découle. On est donc ramené au cas étudié au paragraphe suivant.

Supposons que \(x\) soit l’image d’un morphisme \(u : \Spec(A) \to U\). Observons que \(T_u(M) \to T_x(M)\) est surjectif, puisque \(U \to \mathcal{X}\) est lisse et représentable par des espaces algébriques, voir Critères de représentabilité, lemme 06D3 (voir la discussion qui précède pour une explication) et Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04AM. Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). Rappelons que l’on obtient un groupoïde \((U, R, s, t, c, e, i)\) en espaces algébriques avec \(\mathcal{X} = [U/R]\). D’après Les axiomes d’Artin, lemme 0DNN, on a une suite exacte \[T_{e \circ u}(M) \to T_u(M) \oplus T_u(M) \to T_x(M) \to 0\] où la nullité du terme de droite a été démontrée ci-dessus. Une suite analogue vaut après changement de base à \(B\). Le résultat cherché découle donc de celui du lemme pour \(T_u(M)\) et \(T_{e \circ u}(M)\). On est ainsi ramené au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(\mathcal{X} = X\) soit un espace algébrique localement de présentation finie sur \(S\). Alors \[T_x(M) = \Hom_A(x^*\Omega_{X/S}, M)\] d’après la discussion de Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0617. De même, \[T_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(y^*\Omega_{X/S}, M \otimes_A B)\] Puisque \(X \to S\) est localement de présentation finie, on voit que \(\Omega_{X/S}\) est localement de présentation finie, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZF. Ainsi, \(x^*\Omega_{X/S}\) est un \(A\)-module de présentation finie. Évidemment, on a \(y^*\Omega_{X/S} = x^*\Omega_{X/S} \otimes_A B\). On conclut par Compléments d’algèbre, lemme 087R.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur un schéma \(S\), dont le morphisme structural \(\mathcal{X} \to S\) est localement de présentation finie. Soit \((A' \to A, x)\) une situation de déformation. S’il existe une \(A'\)-algèbre \(B'\) fidèlement plate et de présentation finie, ainsi qu’un objet \(y'\) de \(\mathcal{X}\) sur \(B'\) relevant \(x|_{B' \otimes_{A'} A}\), alors il existe un objet \(x'\) sur \(A'\) relevant \(x\).

Démonstration

Soit \(I = \Ker(A' \to A)\). Posons \(B'_1 = B' \otimes_{A'} B'\) et \(B'_2 = B' \otimes_{A'} B' \otimes_{A'} B'\). Soient \(J = IB'\), \(J_1 = IB'_1\), \(J_2 = IB'_2\) et \(B = B'/J\), \(B_1 = B'_1/J_1\), \(B_2 = B'_2/J_2\). Posons \(y = x|_B\), \(y_1 = x|_{B_1}\), \(y_2 = x|_{B_2}\). Soit \(F\) le faisceau fppf du lemme 0DNS (qui s’applique, voir la note dans la démonstration du lemme 0DNT). On a donc un diagramme d’égalisateur \[\xymatrix{ F(A') \ar[r] & F(B') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(B'_1) }\] D’autre part, on a \(F(B') = \text{Lift}(y, B')\), \(F(B'_1) = \text{Lift}(y_1, B'_1)\) et \(F(B'_2) = \text{Lift}(y_2, B'_2)\), dans la terminologie de Les axiomes d’Artin, section 07Y6. Ces ensembles sont non vides et sont (canoniquement) des espaces principaux homogènes sous \(T_y(J)\), \(T_{y_1}(J_1)\) et \(T_{y_2}(J_2)\), voir Les axiomes d’Artin, lemme 07Y9. La différence des deux images de \(y'\) dans \(F(B'_1)\) est donc un élément \[\delta_1 \in T_{y_1}(J_1) = T_x(I) \otimes_A B_1\] L’égalité de la formule affichée résulte du lemme 0DNT appliqué à \(A' \to B'_1\), à \(x\) et à \(y_1\), ainsi que de la platitude de \(A' \to B'_1\), qui garantit également que \(J_1 = I \otimes_{A'} B'_1\). On a des égalités analogues pour \(B'\) et \(B'_2\). Un calcul (omis) montre que \(\delta_1\) définit un \(1\)-cocycle dans le complexe de Čech \[T_x(I) \otimes_A B \to T_x(I) \otimes_A B_1 \to T_x(I) \otimes_A B_2 \to \ldots\] D’après Descente, lemme 03FJ, ce complexe est acyclique en degrés positifs et vérifie \(H^0 = T_x(I)\). On peut donc choisir un élément de \(T_x(I) \otimes_A B = T_y(J)\) dont le cobord est \(\delta_1\). En remplaçant \(y'\) par le résultat de l’action de cet élément, on obtient un nouveau choix \(y'\) tel que \(\delta_1 = 0\). Ainsi, \(y'\) s’envoie sur le même élément par les deux applications \(F(B') \to F(B'_1)\), et on obtient un élément de \(F(A')\) par la condition de faisceau.

Morphismes formellement lisses

Dans cette section, nous introduisons la notion de morphisme formellement lisse \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques. Un tel morphisme est caractérisé par la propriété que les \(T\)-points de \(\mathcal{X}\) se relèvent aux épaississements infinitésimaux de \(T\), pourvu que \(T\) soit affine. Le résultat principal affirme qu’un morphisme formellement lisse et localement de présentation finie est lisse, voir le lemme 0DP0. Il s’avère que ce critère est souvent plus facile à utiliser que le critère jacobien.

Définition

Un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques est dit formellement lisse s’il est formellement lisse sur les objets en tant que \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes, comme expliqué dans Critères de représentabilité, section 06CZ.

Traduisons la condition de la définition dans le langage que nous employons actuellement (voir Propriétés des champs, section 04XA). Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Considérons un diagramme \(2\)-commutatif aux flèches pleines [0DNX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ T \ar[r]_-x \ar[d]_i & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ T' \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] où \(i : T \to T'\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines. Soit \[\gamma : y \circ i \longrightarrow f \circ x\] un \(2\)-morphisme matérialisant la \(2\)-commutativité du diagramme. (Notation comme dans Catégories, sections 003D et 003G.) Étant donnés (0DNX) et \(\gamma\), une flèche pointillée est un triplet \((x', \alpha, \beta)\) formé d’un morphisme \(x' : T' \to \mathcal{X}\) et de \(2\)-flèches \(\alpha : x' \circ i \to x\), \(\beta : y \to f \circ x'\) tels que \(\gamma = (\text{id}_f \star \alpha) \circ (\beta \star \text{id}_i)\), autrement dit tel que \[\xymatrix{ & f \circ x' \circ i \ar[rd]^{\text{id}_f \star \alpha} \\ y \circ i \ar[ru]^{\beta \star \text{id}_i} \ar[rr]^\gamma & & f \circ x }\] soit commutatif. Un morphisme de flèches pointillées \((x'_1, \alpha_1, \beta_1) \to (x'_2, \alpha_2, \beta_2)\) est une \(2\)-flèche \(\theta : x'_1 \to x'_2\) telle que \(\alpha_1 = \alpha_2 \circ (\theta \star \text{id}_i)\) et \(\beta_2 = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta_1\).

La catégorie des flèches pointillées que l’on vient de décrire est un cas particulier de Catégories, définition 0H18.

Lemme

Un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques est formellement lisse (définition 0DNW) si et seulement si, pour tout diagramme (0DNX) et tout \(\gamma\), la catégorie des flèches pointillées est non vide.

Démonstration

La traduction entre les différents langages est omise.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme formellement lisse de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est formellement lisse.

Démonstration

Cela résulte de Catégories, lemme 0H1A, et de la définition.

Lemme

Le composé de morphismes formellement lisses de champs algébriques est formellement lisse.

Démonstration

Cela résulte de Catégories, lemme 0H1B, et de la définition.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement lisse,

2. pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T \to T\) est formellement lisse comme morphisme d’espaces algébriques.

Démonstration

Cela résulte de Catégories, lemme 0H1A, et de la définition.

Lemme

Soit \(T \to T'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines. Soit \(\mathcal{X}'\) un champ algébrique sur \(T'\), dont le morphisme structural \(\mathcal{X}' \to T'\) est lisse. Soit \(x : T \to \mathcal{X}'\) un morphisme sur \(T'\). Alors il existe un morphisme \(x' : T' \to \mathcal{X}'\) sur \(T'\) tel que \(x'|_T = x\).

Démonstration

On peut appliquer le résultat du lemme 0DNU. Il suffit donc de construire un morphisme lisse surjectif \(W' \to T'\), avec \(W'\) affine, tel que \(x|_{T \times_{T'} W'}\) se relève à \(W'\). (Nous invitons le lecteur à trouver sa propre démonstration de ce fait en utilisant le résultat analogue déjà établi pour les espaces algébriques.) Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme lisse surjectif \(U' \to \mathcal{X}'\). Observons que \(U' \to T'\) est lisse et que la projection \(T \times_{\mathcal{X}'} U' \to T\) est lisse et surjective. Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale \(W \to T \times_{\mathcal{X}'} U'\) tel que \(W \to T\) soit surjectif. Alors \(W \to T\) est un morphisme lisse de schémas affines. Après avoir remplacé \(W\) par une réunion disjointe d’ouverts affines principaux, on peut supposer qu’il existe un morphisme lisse de schémas affines \(W' \to T'\) tel que \(W = T \times_{T'} W'\), voir Algèbre, lemme 04B1. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04AM on peut trouver un morphisme \(W' \to U'\) sur \(T'\) relevant le morphisme donné \(W \to U'\). Cela achève la démonstration.

Le lemme suivant est le résultat principal de cette section. Combiné à Limites de champs, proposition 0CMY, il implique que l’on peut reconnaître si un morphisme de champs algébriques \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est lisse en termes de propriétés « simples » du \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est lisse.

2. Le morphisme \(f\) est localement de présentation finie et formellement lisse.

Démonstration

Supposons \(f\) lisse. Alors \(f\) est localement de présentation finie d’après Morphismes de champs, lemme 0DNP. Étant donné un diagramme (0DNX) et un \(\gamma : y \circ i \to f \circ x\), il suffit donc de trouver une flèche pointillée (voir Lemme 0DNY). En formant les produits fibrés, on obtient \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ T' \ar[r] & T' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] Il suffit donc de trouver une flèche pointillée dans le carré de gauche. Puisque \(T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T'\) est lisse (Morphismes de champs, lemme 075W), l’existence d’une flèche pointillée dans le carré de gauche est garantie par le lemme 0DNZ.

Réciproquement, supposons que \(f\) soit localement de présentation finie et formellement lisse. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Alors \(a : U \to \mathcal{X}\) et \(b : U \to \mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques et localement de présentation finie (utiliser Morphismes de champs, lemme 06Q3 et le fait constaté ci-dessus qu’un morphisme lisse est localement de présentation finie). Nous allons appliquer le principe général de Champs algébriques, lemme 045F en prenant comme donnée l’équivalence de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04AM, et utiliser simultanément la traduction du Lemme de Critères de représentabilité 06D3. On applique d’abord ce principe à \(a\) pour voir que \(a\) est formellement lisse sur les objets. Ensuite, on utilise que \(f\) est formellement lisse sur les objets par hypothèse (voir Lemme 0DNY) ainsi que Critères de représentabilité, lemme 06D2 pour voir que \(b = f \circ a\) est formellement lisse sur les objets. On applique alors le principe une fois encore pour conclure que \(b\) est lisse. Cela signifie que \(f\) est lisse par définition de la lissité des morphismes de champs algébriques, ce qui achève la démonstration.

Éclatement et platitude

Cette section expose rapidement ce que l’on peut déduire de Compléments sur les morphismes d’espaces, sections 087A et 087D pour les champs algébriques sur des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert. Supposons que

1. \(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. \(f\) soit de type fini et quasi-séparé,

3. \(V\) soit quasi-compact, et

4. \(\mathcal{X}_V\) soit plat et localement de présentation finie sur \(V\).

Alors il existe un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) et un sous-champ fermé \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\) tel que \(\mathcal{X}'_V = \mathcal{X}_V\) et que \(\mathcal{X}' \to Y'\) soit plat et de présentation finie.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Soit \(R = U \times_\mathcal{X} U\); on obtient ainsi un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques sur \(Y\), avec \(\mathcal{X} = [U/R]\) (Champs algébriques, lemme 04T5). On peut appliquer le Lemme de Compléments sur les morphismes d’espaces 087E à \(U \to Y\) et à l’ouvert \(V \subset Y\). On obtient ainsi un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) tel que la transformée stricte \(U' \subset U_{Y'}\) soit plate et de présentation finie sur \(Y'\). Soit \(R' \subset R_{Y'}\) la transformée stricte de \(R\). Puisque \(s\) et \(t\) sont lisses (et en particulier plats), il résulte de Diviseurs sur les espaces, lemme 0865 que l’on a des diagrammes cartésiens \[\vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{s_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{t_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } }\] Autrement dit, \(U'\) est un sous-espace fermé invariant par \(R_{Y'}\) de \(U_{Y'}\). Ainsi, \(U'\) définit un sous-champ fermé \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\) d’après Propriétés des champs, lemme 0507. Le morphisme \(\mathcal{X}' \to Y'\) est plat et localement de présentation finie, parce que c’est le cas de \(U' \to Y'\). D’autre part, on sait déjà que \(\mathcal{X}' \to Y'\) est quasi-compact et quasi-séparé (par nos hypothèses sur \(f\) et parce que c’est le cas des immersions fermées). Cela achève la démonstration.

Lemme de Chow pour les champs algébriques

Dans cette section, nous étudions le lemme de Chow pour les champs algébriques.

Lemme

Soit \(Y\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact. Soit \(f : \mathcal{X} \to V\) surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors il existe un morphisme fini surjectif \(g : Y' \to Y\) tel que \(V' = g^{-1}(V) \to Y\) se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(f\).

Démonstration

Commençons par le démontrer lorsque \(Y\) est un schéma. On peut choisir un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Alors \(\{U \to V\}\) est un recouvrement fppf de schémas. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0CP0, il existe un morphisme fini surjectif \(V' \to V\) tel que \(V' \to V\) se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(U\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0CNY on peut trouver un morphisme fini surjectif \(Y' \to Y\) dont la restriction à \(V\) est \(V' \to V\), comme souhaité.

Si \(Y\) est un espace algébrique, le lemme résulte d’abord d’un changement de base fini par un morphisme fini surjectif \(Y' \to Y\), où \(Y'\) est un schéma. Voir Limites d’espaces, proposition 09YC.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Soit \(V \subset Y\) un sous-espace ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit séparé et de type fini,

2. \(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. \(V\) soit quasi-compact, et

4. \(\mathcal{X}_V\) soit une gerbe sur \(V\).

Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \overline{Z} \ar[rd]_{\overline{g}} & Z \ar[l]^j \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[ld]^f \\ & Y }\] où \(j\) est une immersion ouverte, \(\overline{g}\) et \(h\) sont propres, et tel que \(|V|\) soit contenu dans l’image de \(|g|\).

Démonstration

Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]_{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] et un ouvert quasi-compact \(V' \subset Y'\), tels que \(Y' \to Y\) soit un morphisme propre d’espaces algébriques, \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) soit un morphisme propre de champs algébriques, \(V' \subset Y'\) s’envoie surjectivement sur \(V\), et \(\mathcal{X}'_{V'}\) soit une gerbe sur \(V'\). Il suffit alors de démontrer le lemme pour la paire \((f' : \mathcal{X}' \to Y', V')\). Nous omettons certains détails.

Stratégie générale de la démonstration. Nous nous ramènerons au cas où l’image de \(f\) est ouverte et où \(f\) admet une section au-dessus de cet ouvert, en appliquant à plusieurs reprises la remarque précédente. Chaque étape est directe, mais elles sont assez nombreuses, ce qui rend la démonstration un peu longue.

En utilisant Limites d’espaces, proposition 09YC on se ramène au cas où \(Y\) est un schéma. (Soit \(Y' \to Y\) un morphisme fini surjectif, où \(Y'\) est un schéma. Posons \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}_{Y'}\) et appliquons la remarque initiale de la démonstration.)

En utilisant le lemme 0CQ4 (et Morphismes de champs, lemme 06QI, pour voir qu’une gerbe est plate et localement de présentation finie), on se ramène au cas où \(f\) est plat et de présentation finie.

Puisque \(f\) est plat et localement de présentation finie, l’image de \(|f|\) est un ouvert \(W \subset Y\). Puisque \(\mathcal{X}\) est quasi-compact (car \(f\) est de type fini et \(Y\) est quasi-compact), \(W\) est quasi-compact. D’après le lemme 0CQ6, on peut trouver un morphisme fini surjectif \(g : Y' \to Y\) tel que \(g^{-1}(W) \to Y\) se factorise localement pour la topologie de Zariski par \(\mathcal{X} \to Y\). En remplaçant \(Y\) par \(Y'\) et \(\mathcal{X}\) par \(\mathcal{X} \times_Y Y'\), on se ramène à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe un entier \(n \geq 0\), des ouverts quasi-compacts \(W_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), et des morphismes \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) tels que (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\), (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) contienne \(V\), et (c) \(W\) soit l’image de \(|f|\). Nous raisonnons par récurrence sur \(n\). Le cas initial est \(n = 0\) : cela implique \(V = \emptyset\) et, dans ce cas, on peut prendre \(\overline{Z} = \emptyset\). Si \(n > 0\), considérons, pour \(i = 1, \ldots, n\), les sous-schémas fermés réduits \(Y_i\) dont l’espace topologique sous-jacent est \(Y \setminus W_i\). Considérons le morphisme fini \[Y' = Y \amalg \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} Y_i \longrightarrow Y\] et l’ouvert quasi-compact \[V' = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \amalg \coprod_{i = 1, \ldots, n} (V \cap Y_i).\] D’après la remarque initiale de la démonstration, si l’on peut démontrer le lemme pour les paires \[(\mathcal{X} \to Y, W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \quad\text{et}\quad (\mathcal{X} \times_Y Y_i \to Y_i, V \cap Y_i),\quad i = 1, \ldots, n\] alors le résultat est vrai. On utilise ici l’égalité ensembliste \(V = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \cup \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (V \cap Y_i)\). L’hypothèse de récurrence s’applique au second type de paires ci-dessus. On se ramène donc à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe un entier \(n \geq 0\), des ouverts quasi-compacts \(W_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), et des morphismes \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) tels que (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\), (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) contienne \(V\), (c) \(W\) soit l’image de \(|f|\), et (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\). Les morphismes \[T_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j \cap V}, x_j|_{W_i \cap W_j \cap V}) \longrightarrow W_i \cap W_j \cap V\] sont surjectifs, plats et localement de présentation finie (Morphismes de champs, lemme 0CPR). Appliquons le lemme 0CQ6 à chacun des ouverts quasi-compacts \(W_i \cap W_j \cap V\) et aux morphismes \(T_{ij} \to W_i \cap W_j \cap V\); on obtient des morphismes finis surjectifs \(Y'_{ij} \to Y\). En remplaçant \(Y\) par le produit fibré de tous les \(Y'_{ij}\) au-dessus de \(Y\), on se ramène à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe un entier \(n \geq 0\), des ouverts quasi-compacts \(W_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), et des morphismes \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) tels que (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\), (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) contienne \(V\), (c) \(W\) soit l’image de \(|f|\), (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\), et (e) \(x_i\) et \(x_j\) soient localement isomorphes pour la topologie de Zariski au-dessus de \(W_i \cap W_j \cap V\). Soit \(y \in V\) arbitraire. Supposons que l’on puisse trouver un voisinage ouvert quasi-compact \(y \in V_y \subset V\) tel que le lemme soit vrai pour la paire \((\mathcal{X} \to Y, V_y)\), avec, disons, pour solution \(\overline{Z}_y, Z_y, \overline{g}_y, g_y, h_y\). Comme \(V\) est quasi-compact, on peut trouver un nombre fini de points \(y_1, \ldots, y_m\) tels que \(V = V_{y_1} \cup \ldots \cup V_{y_m}\). Il s’ensuit qu’en posant \[\overline{Z} = \coprod \overline{Z}_{y_j},\quad Z = \coprod Z_{y_j},\quad \overline{g} = \coprod \overline{g}_{y_j},\quad g = \coprod g_{y_j},\quad h = \coprod h_{y_j}\] on obtient une solution du lemme. Étant donné \(y\), la condition (e) permet de choisir un voisinage ouvert quasi-compact \(y \in V_y \subset V\) et des isomorphismes \(\varphi_i : x_1|_{V_y} \to x_i|_{V_y}\) pour \(i = 2, \ldots, n\). Posons \(\varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\). Cela nous conduit à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe un entier \(n \geq 0\), des ouverts quasi-compacts \(W_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), et des morphismes \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) tels que (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\), (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) contienne \(V\), (c) \(W\) soit l’image de \(|f|\), (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\), et (f) il existe des isomorphismes \(\varphi_{ij} : x_i|_V \to x_j|_V\) vérifiant \(\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik}\). Les morphismes \[I_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j}, x_j|_{W_i \cap W_j}) \longrightarrow W_i \cap W_j\] sont propres parce que \(f\) est séparé (Morphismes de champs, lemme 0CPL). Observons que \(\varphi_{ij}\) définit une section \(V \to I_{ij}\) de \(I_{ij} \to W_i \cap W_j\) au-dessus de \(V\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CPI on peut trouver des éclatements \(V\)-admissibles \(p_{ij} : Y_{ij} \to Y\) tels que \(\varphi_{ij}\) se prolonge à \(p_{ij}^{-1}(W_i \cap W_j)\). En remplaçant \(Y\) par le produit fibré de tous les \(Y_{ij}\) au-dessus de \(Y\), on arrive à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe un entier \(n \geq 0\), des ouverts quasi-compacts \(W_i \subset Y\), \(i = 1, \ldots, n\), et des morphismes \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) tels que (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\), (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) contienne \(V\), (c) \(W\) soit l’image de \(|f|\), (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\), et (g) il existe des isomorphismes \(\varphi_{ij} : x_i|_{W_i \cap W_j} \to x_j|_{W_i \cap W_j}\) vérifiant \[\varphi_{jk}|_V \circ \varphi_{ij}|_V = \varphi_{ik}|_V.\] Après avoir remplacé \(Y\), si nécessaire, par un autre éclatement \(V\)-admissible, on peut supposer que \(V\) est dense et schématiquement dense dans \(Y\), et donc dans tout sous-espace ouvert de \(Y\) contenant \(V\). Après un tel remplacement, on conclut que \[\varphi_{jk}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} \circ \varphi_{ij}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} = \varphi_{ik}|_{W_i \cap W_j \cap W_k}\] en invoquant Morphismes d’espaces, lemme 084N et le fait que \(I_{ik} \to W_i \cap W_k\) est propre (donc séparé). Bien entendu, cela signifie que \((x_i, \varphi_{ij})\) est une donnée de descente, et l’on obtient un morphisme \(x : W \to \mathcal{X}\) qui coïncide avec \(x_i\) au-dessus de \(W_i\), car \(\mathcal{X}\) est un champ. Puisque \(x\) est une section du morphisme séparé \(\mathcal{X} \to W\), \(x\) est propre (Morphismes de champs, lemme 050J). Le lemme est donc vérifié avec \(\overline{Z} = Y\), \(Z = W\), \(\overline{g} = \text{id}_Y\), \(g = \text{id}_W\), \(h = x\).

Théorème

Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Supposons que

1. \(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. \(f\) soit séparé de type fini.

Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rd] & X \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \overline{X} \ar[ld] \\ & Y }\] où \(X \to \mathcal{X}\) est propre surjectif, \(X \to \overline{X}\) est une immersion ouverte, et \(\overline{X} \to Y\) est un morphisme propre d’espaces algébriques.

Démonstration

L’idée générale consiste à utiliser le fait que \(\mathcal{X}\) possède un ouvert dense qui est une gerbe (Morphismes de champs, proposition 06RC) et à invoquer le lemme 0CQ7. Cela ne fonctionne pas directement, car l’ouvert peut ne pas être quasi-compact et l’on se heurte alors à des difficultés techniques. Nous effectuons donc d’abord une réduction (standard) au cas noethérien.

Choisissons d’abord une immersion fermée \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), où \(\mathcal{X}'\) est un champ algébrique séparé et de type fini sur \(Y\). Voir Limites de champs, lemme 0CQ2. Il suffit manifestement de démontrer le théorème pour \(\mathcal{X}'\); on peut donc supposer que \(\mathcal{X} \to Y\) est séparé et de présentation finie.

Supposons que \(\mathcal{X} \to Y\) soit séparé et de présentation finie. D’après Limites d’espaces, proposition 07SU, on peut écrire \(Y = \lim Y_i\) comme la limite projective d’un système filtrant d’espaces algébriques noethériens à morphismes de transition affines. D’après Limites de champs, lemme 0CN4, il existe un \(i\) et un morphisme \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) de présentation finie, d’un champ algébrique vers \(Y_i\), tels que \(\mathcal{X} = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\). En augmentant \(i\), on peut supposer que \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) est séparé; voir Limites de champs, lemme 0CPZ. Il suffit alors de démontrer le théorème pour \(\mathcal{X}_i \to Y_i\). Cela nous ramène au cas considéré au paragraphe suivant.

Supposons \(Y\) noethérien. On peut remplacer \(\mathcal{X}\) par son réduit (Propriétés des champs, définition 050C). Cela nous ramène au cas considéré au paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) soit noethérien et que \(\mathcal{X}\) soit réduit. Puisque \(\mathcal{X} \to Y\) est séparé et que \(Y\) est quasi-séparé, le champ algébrique \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé. Ainsi, le morphisme d’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est quasi-compact. Par Morphismes de champs, proposition 06RC il existe un sous-champ ouvert dense \(\mathcal{V} \subset \mathcal{X}\) qui est une gerbe. Soit \(\mathcal{V} \to V\) le morphisme qui présente \(\mathcal{V}\) comme une gerbe sur l’espace algébrique \(V\). Voir Morphismes de champs, lemme 06QD, pour une construction de \(\mathcal{V} \to V\). Cette construction montre notamment que le morphisme \(\mathcal{V} \to Y\) se factorise en \(\mathcal{V} \to V \to Y\). On a le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] Puisque le morphisme \(\mathcal{V} \to V\) est surjectif, plat et de présentation finie (Morphismes de champs, lemme 06QI) et que \(\mathcal{V} \to Y\) est localement de présentation finie, il s’ensuit que \(V \to Y\) est localement de présentation finie (Morphismes de champs, lemme 06Q9). Notons que \(\mathcal{V} \to V\) est un homéomorphisme universel (Morphismes de champs, lemme 06R9). Puisque \(\mathcal{V}\) est quasi-compact (voir Morphismes de champs, lemme 0CPM), \(V\) est quasi-compact. Enfin, puisque \(\mathcal{V} \to Y\) est séparé, il en va de même de \(V \to Y\) d’après Morphismes de champs, lemme 0CPQ appliqué à \(\mathcal{V} \to V \to Y\) (dont les hypothèses sont satisfaites, comme nous l’avons déjà vu).

Tout ce qui précède signifie que les hypothèses de Limites d’espaces, lemme 088N, s’appliquent au morphisme \(V \to Y\). On peut donc trouver un sous-espace ouvert dense \(V' \subset V\) et une immersion \(V' \to \mathbf{P}^n_Y\) sur \(Y\). On peut manifestement remplacer \(V\) par \(V'\) et \(\mathcal{V}\) par l’image inverse de \(V'\) dans \(\mathcal{V}\) (rappelons que \(|\mathcal{V}| = |V|\), comme nous l’avons vu plus haut). On peut donc supposer donné un diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[rr] \ar[d] & & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] où la flèche \(V \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion. Soit \(\mathcal{X}'\) l’image schématique du morphisme \[j : \mathcal{V} \longrightarrow \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X}\] et soit \(Y'\) l’image schématique du morphisme \(V \to \mathbf{P}^n_Y\). On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y' \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] (Voir Morphismes de champs, lemme 0CPV.) Nous affirmons que \(\mathcal{V} = V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) et que le lemme 0CQ7 s’applique au morphisme \(\mathcal{X}' \to Y'\) et au sous-espace ouvert \(V \subset Y'\). Si l’affirmation est vraie, on obtient \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[rd]_{\overline{g}} & X \ar[l] \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X}' \ar[ld]^f \\ & Y' }\] où \(X \to \overline{X}\) est une immersion ouverte, \(\overline{g}\) et \(h\) sont propres, et \(|V|\) est contenu dans l’image de \(|g|\). La composée \(X \to \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est alors propre (comme composée de morphismes propres) et son image contient \(|\mathcal{V}|\); cette composée est donc surjective. De même, \(\overline{X} \to Y' \to Y\) est propre en tant que composée de morphismes propres.

La dernière étape consiste à démontrer l’affirmation. Observons que \(\mathcal{X}' \to Y'\) est séparé et de type fini, que \(Y'\) est quasi-compact et quasi-séparé, et que \(V\) est quasi-compact (nous omettons la vérification complète de tous les détails). Observons ensuite que \(b : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est un isomorphisme au-dessus de \(\mathcal{V}\) d’après Morphismes de champs, lemme 0CPW. En particulier, \(\mathcal{V}\) s’identifie à un sous-champ ouvert de \(\mathcal{X}'\). Le morphisme \(j\) est quasi-compact (sa source est quasi-compacte et son but est quasi-séparé); la formation de l’image schématique de \(j\) commute donc au changement de base plat d’après Morphismes de champs, lemme 0CMK. En particulier, \(V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) est précisément l’image schématique de \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\). Or, d’après Morphismes de champs, lemme 0CPT l’image de \(|\mathcal{V}| \to |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\) est fermée (on utilise que \(\mathcal{V} \to V\) est un homéomorphisme universel, comme nous l’avons vu plus haut, et qu’il est donc universellement fermé). Cette image est aussi dense (combiner ce que nous venons de dire avec Morphismes de champs, lemme 0CML) et l’on conclut que \(|\mathcal{V}| = |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\). Ainsi, \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) est un isomorphisme, ce qui achève la démonstration de l’affirmation.

Critère valuatif noethérien

Dans cette section, nous étudions des critères valuatifs (raffinés) pour les morphismes de champs algébriques, en n’utilisant que des anneaux de valuation discrète dans le cadre noethérien. Il en existe de nombreuses variantes, et nous en ajouterons ici au fil du temps, selon les besoins.

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques (ou d’espaces algébriques, ou encore de schémas). Un critère valuatif raffiné est un critère où l’on se donne un morphisme \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) (possédant certaines propriétés) et où l’on ne considère que l’existence ou l’unicité de flèches pointillées dans des diagrammes aux flèches pleines de la forme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] Nous employons ci-dessous cette terminologie pour décrire les résultats obtenus jusqu’ici.

Critères valuatifs non noethériens pour les morphismes de champs algébriques

1. Morphismes de champs, section 0CLQ (pour la séparation de la diagonale),

2. Morphismes de champs, section 0CLS (pour la séparation),

3. Morphismes de champs, section 0CLV (pour le caractère universellement fermé),

4. Morphismes de champs, section 0CLY (pour la propreté).

Pour les espaces algébriques, on dispose des critères valuatifs suivants

1. Morphismes d’espaces, section 03K9 (pour le caractère universellement fermé),

2. Morphismes d’espaces, lemme 089G (forme raffinée pour le caractère universellement fermé),

3. Morphismes d’espaces, section 03KT (pour la séparation),

4. Morphismes d’espaces, section 0CKZ (pour la propreté),

5. Espaces décents, section 06NP (pour le caractère universellement fermé des espaces décents),

6. Espaces décents, lemme 03M6 (pour le caractère universellement fermé des morphismes décents entre espaces algébriques),

7. Cohomologie des espaces, section 0ARI contient des critères valuatifs noethériens

   1. Cohomologie des espaces, lemme 0ARJ (pour la séparation au moyen d’anneaux de valuation discrète),

   2. Cohomologie des espaces, lemme 0ARK (pour la propreté au moyen d’anneaux de valuation discrète),

   3. Cohomologie des espaces, remarque 0ARL (explique comment se ramener à des anneaux de valuation discrète complets),

8. Limites d’espaces, section 0CMB consacrée aux critères valuatifs noethériens

   1. Limites d’espaces, lemme 0H1W (pour la séparation au moyen d’anneaux de valuation discrète et de points génériques),

   2. Limites d’espaces, lemme 0H1X (pour la propreté au moyen d’anneaux de valuation discrète et de points génériques),

   3. Limites d’espaces, lemme 0H1Y (pour le caractère universellement fermé au moyen d’anneaux de valuation discrète).

9. Limites d’espaces, section 0H1Z consacrée aux critères valuatifs noethériens raffinés

   1. Limites d’espaces, lemmes 0CMD et 0CMF (forme raffinée pour la propreté au moyen d’anneaux de valuation discrète),

   2. Limites d’espaces, lemme 0CME (forme raffinée pour la séparation au moyen d’anneaux de valuation discrète),

Pour les schémas, on dispose des critères valuatifs suivants

1. Schémas, section 01KA (pour le caractère universellement fermé),

2. Schémas, section 01KY (pour la séparation),

3. Morphismes, section 0BX4 (pour la propreté),

4. Morphismes, lemme 0894 (forme raffinée pour le caractère universellement fermé),

5. Limites, section 0CM1 consacrée aux critères valuatifs noethériens

   1. Limites, lemme 0207 (pour la séparation au moyen d’anneaux de valuation discrète et de points génériques),

   2. Limites, lemme 0208 (pour la propreté au moyen d’anneaux de valuation discrète et de points génériques),

   3. Limites, lemme 05JY (pour le caractère universellement fermé au moyen d’anneaux de valuation discrète).

6. Limites, section 0H1P consacrée aux critères valuatifs noethériens raffinés

   1. Limites, lemmes 0CM3 et 0CM5 (forme raffinée pour la propreté au moyen d’anneaux de valuation discrète),

   2. Limites, lemme 0CM4 (forme raffinée pour la séparation au moyen d’anneaux de valuation discrète),

7. Limites, section 0GWU consacrée aux critères valuatifs sur une base noethérienne, pour lesquels on peut obtenir des anneaux de valuation discrète essentiellement de type fini sur la base.

Cela termine notre liste de résultats antérieurs.

Nombre des résultats de cette section peuvent (et devraient peut-être) être démontrés en invoquant le lemme suivant, même si nous ne l’avons pas toujours fait.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons \(f\) de type fini et \(\mathcal{Y}\) localement noethérien. Soit \(y \in |\mathcal{Y}|\) un point de l’adhérence de l’image de \(|f|\). Alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] de champs algébriques, où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, le point fermé de \(\Spec(A)\) étant envoyé sur \(y\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme lisse \(V \to \mathcal{Y}\) qui envoie \(v\) sur \(y\). L’application \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) est ouverte et, d’après Propriétés des champs, lemme 04XH, l’image de \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\) est l’image inverse de l’image de \(|f|\). On en déduit que le point \(v\) appartient à l’adhérence de l’image de \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\). Si l’on démontre le lemme pour \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) et le point \(v\), alors le lemme en résulte pour \(f\) et \(y\). On se ramène ainsi à la situation décrite au paragraphe suivant.

Supposons donnés \(f : \mathcal{X} \to Y\) et \(y \in |Y|\) comme dans le lemme, où \(Y\) est un schéma affine noethérien. Puisque \(f\) est quasi-compact, on en déduit que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact. On peut donc choisir un schéma affine \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). L’image de \(|f|\) est alors la même que celle de \(|W| \to |Y|\). On se ramène ainsi au cas des schémas, qui est Limites, lemme 0CM2.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que

1. \(\mathcal{Y}\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé,

3. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^y \ar@{-->}[ru] & \mathcal{Y} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète, \(K\) son corps des fractions, et pour toute \(2\)-flèche \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\), la catégorie des flèches pointillées (Morphismes de champs, définition 0CLA) soit vide, soit un sétoïde ayant exactement une classe d’isomorphisme.

Alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Pour démontrer que \(f\) est séparé, il faut montrer que \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est propre. On sait déjà que \(\Delta\) est représentable par des espaces algébriques, localement de type fini (Morphismes de champs, lemme 04XS) et quasi-compact et quasi-séparé (par définition de la quasi-séparation de \(f\)). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Posons \[V = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} U\] Il suffit de montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(V \to U\) est propre (Propriétés des champs, lemme 04XD). Observons que \(U\) est localement noethérien (utiliser Morphismes de champs, lemme 06R6 et le fait que \(U \to \mathcal{Y}\) est localement de type fini), et que \(V \to U\) est de type fini et quasi-séparé (comme changement de base de \(\Delta\), compte tenu des propriétés de \(\Delta\) énumérées ci-dessus). D’après Cohomologie des espaces, lemme 0ARK, il suffit de montrer ceci : étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_v \ar[d]_j & V \ar[d]^g \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r]^u \ar@{-->}[ru] \ar@{..>}[rru] & U \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, il existe une unique flèche en tirets qui rend le diagramme commutatif. D’après Morphismes de champs, lemme 0CLE les catégories des flèches en tirets et des flèches pointillées sont équivalentes. L’hypothèse (3) entraîne l’existence d’une unique flèche pointillée à isomorphisme près; voir Morphismes de champs, lemme 0E8L. On en déduit l’existence de l’unique flèche en tirets voulue.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) des morphismes de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{Y}\) soit localement noethérien, que \(f\) et \(h\) soient de type fini, que \(f\) soit séparé, et que l’image de \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) soit dense dans \(|\mathcal{X}|\). Si, pour tout diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y & & \mathcal{Y} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et \(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\), il existe une extension de corps \(K'/K\) et un anneau de valuation \(A' \subset K'\) dominant \(A\), tels que la catégorie des flèches pointillées du diagramme induit \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] muni de la \(2\)-flèche induite \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) soit non vide (Morphismes de champs, définition 0CLA), alors \(f\) est propre.

Démonstration

Il suffit de démontrer que \(f\) est universellement fermé. Soit \(V \to \mathcal{Y}\) un morphisme lisse, où \(V\) est un schéma affine. D’après Propriétés des champs, lemme 04XH l’image \(I\) de \(|\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\) est l’image inverse de l’image de \(|h|\). Puisque \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X}|\) est ouverte (Morphismes de champs, lemme 06R7), on en déduit que \(I\) est dense dans \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\). En outre, comme la catégorie des flèches pointillées se comporte bien par changement de base (Morphismes de champs, lemme 0CLE) les morphismes suivants héritent de l’hypothèse d’existence de flèches pointillées (après extension) : \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\). Les hypothèses du lemme sont donc satisfaites pour les morphismes \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\). On peut par conséquent supposer que \(\mathcal{Y}\) est un schéma affine.

Supposons que \(\mathcal{Y} = Y\) soit un schéma affine. (Désormais, nous n’avons plus à nous soucier des \(2\)-flèches \(\gamma\) et \(\gamma'\); voir Morphismes de champs, lemme 0CLD.) Alors \(\mathcal{U}\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{U}\). Nous remplaçons alors \(\mathcal{U}\) par \(U\). On peut donc supposer que \(\mathcal{U}\) est un schéma affine.

Supposons que \(\mathcal{Y} = Y\) et \(\mathcal{U} = U\) soient des schémas affines. D’après le lemme de Chow (théorème 0CQ8), on peut choisir un morphisme propre surjectif \(X \to \mathcal{X}\), où \(X\) est un espace algébrique. Nous utiliserons plus bas que \(X \to Y\) est séparé comme composé de morphismes séparés. Considérons l’espace algébrique \(W = X \times_\mathcal{X} U\). Le morphisme de projection \(W \to X\) est de type fini. On peut remplacer \(X\) par l’image schématique de \(W \to X\) et supposer ainsi que l’image de \(|W|\) dans \(|X|\) est dense dans \(|X|\) (on utilise ici que l’image de \(|h|\) est dense dans \(|\mathcal{X}|\), de sorte qu’après ce remplacement, le morphisme \(X \to \mathcal{X}\) reste surjectif). Nous affirmons que, pour tout diagramme commutatif aux flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif. Tout d’abord, il suffit de montrer qu’une telle flèche existe après avoir remplacé \(K\) par une extension et \(A\) par un anneau de valuation de cette extension dominant \(A\); voir Morphismes d’espaces, lemme 0ARH. L’hypothèse du lemme fournit une extension \(K'/K\), un anneau de valuation \(A' \subset K'\) dominant \(A\), ainsi qu’une flèche \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\) qui relève la composée \(\Spec(A') \to \Spec(A) \to Y\) et qui est compatible avec la composée \(\Spec(K') \to \Spec(K) \to W \to X\). Puisque \(X \to \mathcal{X}\) est propre, le critère valuatif de propreté (Morphismes de champs, lemme 0CLZ) donne une extension \(K''/K'\), un anneau de valuation \(A'' \subset K''\) dominant \(A'\), et un morphisme \(\Spec(A'') \to X\) qui relève la composée \(\Spec(A'') \to \Spec(A') \to \mathcal{X}\) et qui est compatible avec la composée \(\Spec(K'') \to \Spec(K') \to \Spec(K) \to X\). L’extension \(K''/K\), l’anneau \(A'' \subset K''\) et le morphisme \(\Spec(A'') \to X\) fournissent alors une solution au problème posé ci-dessus, ce qui démontre l’affirmation.

L’affirmation entraîne que le morphisme \(X \to Y\) est propre, par le cas du lemme relatif aux espaces algébriques (Limites d’espaces, lemme 0CMD). D’après Morphismes de champs, lemme 0CQK on en déduit que \(\mathcal{X} \to Y\) est propre, comme souhaité.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) des morphismes de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{Y}\) soit localement noethérien, que \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé, que \(h\) soit de type fini, et que l’image de \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) soit dense dans \(|\mathcal{X}|\). Si, pour tout diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et \(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\), la catégorie des flèches pointillées est soit vide, soit un sétoïde ayant exactement une classe d’isomorphisme, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Il faut démontrer que \(\Delta\) est un morphisme propre. Supposons d’abord que \(\Delta\) soit séparé. On peut alors appliquer le lemme 0CQM aux morphismes \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Observons que \(\Delta\) est quasi-compact puisque \(f\) est quasi-séparé. Bien entendu, \(\Delta\) est localement de type fini (cela vaut pour tout morphisme diagonal; voir Morphismes de champs, lemme 04XS). Enfin, supposons donné un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et \(\gamma : y \circ j \to \Delta \circ h \circ u\). D’après Morphismes de champs, lemme 0E8L, et l’hypothèse du lemme, il existe une unique flèche pointillée. Cela établit la dernière hypothèse du lemme 0CQM, et le résultat en découle.

Dans le cas général, il suffit de démontrer que \(\Delta\) est séparé, car on sera alors ramené au cas précédent. Nous affirmons en fait que les hypothèses du lemme sont satisfaites pour \[\mathcal{U} \to \mathcal{X} \quad\text{et}\quad \Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] En effet, puisque \(\Delta\) est représentable par des espaces algébriques, la catégorie des flèches pointillées d’un diagramme comme au paragraphe précédent est un sétoïde (voir par exemple Morphismes de champs, lemme 0CLC). L’argument du paragraphe précédent montre que ces catégories sont soit vides, soit munies d’une unique classe d’isomorphisme. Ainsi, \(\Delta\) est séparé.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{Y}\) soit localement noethérien et que \(f\) soit de type fini. Si, pour tout diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\), il existe une extension de corps \(K'/K\) et un anneau de valuation \(A' \subset K'\) dominant \(A\), tels que la catégorie des flèches pointillées du diagramme induit \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] muni de la \(2\)-flèche induite \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) soit non vide (Morphismes de champs, définition 0CLA), alors \(f\) est universellement fermé.

Démonstration

Soit \(V \to \mathcal{Y}\) un morphisme lisse, où \(V\) est un schéma affine. La catégorie des flèches pointillées se comporte bien par changement de base (Morphismes de champs, lemme 0CLE). L’hypothèse d’existence de flèches pointillées (après extension) est donc héritée par le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\). Les hypothèses du lemme sont par conséquent satisfaites pour le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\). On peut donc supposer que \(\mathcal{Y}\) est un schéma affine.

Supposons que \(\mathcal{Y} = Y\) soit un schéma affine noethérien. (Désormais, nous n’avons plus à nous soucier des \(2\)-flèches \(\gamma\) et \(\gamma'\); voir Morphismes de champs, lemme 0CLD.) Pour démontrer que \(f\) est universellement fermé, il suffit de montrer que \(|\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n| \to |Y \times \mathbf{A}^n|\) est fermée pour tout \(n\), d’après Limites de champs, lemme 0H2A. Comme l’hypothèse du lemme est héritée par le morphisme produit \(\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n \to Y \times \mathbf{A}^n\) (nous omettons les détails), on se ramène à démontrer que \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) est fermée.

Supposons que \(Y\) soit un schéma affine noethérien. Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une partie fermée. Il faut montrer que l’image de \(T\) dans \(|Y|\) est fermée. On peut remplacer \(\mathcal{X}\) par la structure réduite induite de sous-champ fermé sur \(T\); nous omettons de vérifier que la propriété d’existence de flèches pointillées est préservée par ce remplacement. On se ramène ainsi à démontrer que l’image de \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) est fermée.

Soit \(y \in |Y|\) un point de l’adhérence de l’image de \(|\mathcal{X}| \to |Y|\). D’après le lemme 0H2B, on peut choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, le point fermé de \(\Spec(A)\) étant envoyé sur \(y\). Il résulte immédiatement de l’hypothèse du lemme que \(y\) appartient à l’image de \(|\mathcal{X}| \to |Y|\), ce qui achève la démonstration.

Espaces de modules

Cette section porte sur les morphismes \(f : \mathcal{X} \to Y\) de champs algébriques vers des espaces algébriques. Sous des hypothèses convenables, \(Y\) est appelé un espace de modules de \(\mathcal{X}\). Si \(\mathcal{X} = [U/R]\) est une présentation, on obtient alors un morphisme \(R\)-invariant \(U \to Y\) et, sous des hypothèses convenables, \(Y\) est un quotient du groupoïde \((U, R, s, t, c)\). On trouvera une étude des différents types de quotients à partir de Quotients de groupoïdes, section 048B.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme vers un espace algébrique \(Y\).

1. On dit que \(f\) est un espace de modules catégorique si tout morphisme \(\mathcal{X} \to W\) vers un espace algébrique \(W\) se factorise de manière unique par \(f\).

2. On dit que \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme si, pour tout morphisme plat \(Y' \to Y\) d’espaces algébriques, le changement de base \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) est un espace de modules catégorique.

Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces algébriques.

1. On dit que \(f\) est un espace de modules catégorique dans \(\mathcal{C}\) si \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) et si tout morphisme \(\mathcal{X} \to W\) avec \(W \in \Ob(\mathcal{C})\) se factorise de manière unique par \(f\).

2. On dit que \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme dans \(\mathcal{C}\) si \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) et si, pour tout morphisme plat \(Y' \to Y\) dans \(\mathcal{C}\), le changement de base \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) est un espace de modules catégorique dans \(\mathcal{C}\).

D’après le lemme de Yoneda, un espace de modules catégorique, s’il existe, est unique. Rapprochons cette notion du langage introduit pour les quotients.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques tel que \(s, t : R \to U\) soient plats et localement de présentation finie. Considérons le champ algébrique \(\mathcal{X} = [U/R]\). Pour tout espace algébrique \(Y\), il existe une correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) entre les morphismes \(f : \mathcal{X} \to Y\) et les morphismes \(R\)-invariants \(\phi : U \to Y\).

Démonstration

Critères de représentabilité, théorème 06FI nous dit que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Étant donné un morphisme \(f : \mathcal{X} \to Y\), soit \(\phi : U \to Y\) la composée \(U \to \mathcal{X} \to Y\). Puisque \(R = U \times_\mathcal{X} U\) (Groupoïdes en espaces, lemme 04M9) il est immédiat que \(\phi\) est \(R\)-invariant. Réciproquement, si \(\phi : U \to Y\) est un morphisme \(R\)-invariant vers un espace algébrique, on obtient un morphisme \(f : \mathcal{X} \to Y\) d’après Groupoïdes en espaces, lemme 044U. On peut aussi construire \(f\) à partir de \(\phi\) en utilisant la description explicite du champ quotient donnée dans Groupoïdes en espaces, lemme 044X.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 0DUH, \(f\) est un espace de modules catégorique (uniforme) si et seulement si \(\phi\) est un quotient catégorique (uniforme). Il en va de même des espaces de modules dans une sous-catégorie pleine.

Démonstration

La correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) établie dans le lemme 0DUH montre immédiatement que \(f\) est un espace de modules catégorique si et seulement si \(\phi\) est un quotient catégorique (Quotients de groupoïdes, définition 048J). Si \(Y' \to Y\) est un morphisme, alors \(U' = Y' \times_Y U \to Y' \times_Y \mathcal{X} = \mathcal{X}'\) est un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie comme changement de base de \(U \to \mathcal{X}\) (Critères de représentabilité, lemme 06FH). De plus, \(R' = Y' \times_Y R\) est égal à \(U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) par transitivité des produits fibrés. Ainsi, \(\mathcal{X}' = [U'/R']\); voir Champs algébriques, remarque 04WY. Le changement de base de notre situation à \(Y'\) est donc une nouvelle situation du type décrit dans l’énoncé du lemme. Il en résulte immédiatement que \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme si et seulement si \(\phi\) est un quotient catégorique uniforme.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Si, pour tout schéma affine \(Y'\) et tout morphisme plat \(Y' \to Y\), le changement de base \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) est un espace de modules catégorique, alors \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme.

Démonstration

Choisissons un recouvrement étale \(\{Y_i \to Y\}\) où \(Y_i\) est un schéma affine. Pour chaque \(i\) et \(j\), choisissons un recouvrement par des ouverts affines \(Y_i \times_Y Y_j = \bigcup Y_{ijk}\). Posons \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_Y \mathcal{X}\) et \(\mathcal{X}_{ijk} = Y_{ijk} \times_Y \mathcal{X}\). Soit \(g : \mathcal{X} \to W\) un morphisme vers un espace algébrique. Considérons alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \ar[r]_g & W \\ Y_i \ar[r] \ar@{..>}[rru] & Y }\] L’hypothèse que \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) est un espace de modules catégorique fournit une unique flèche pointillée \(h_i : Y_i \to W\). L’hypothèse que \(\mathcal{X}_{ijk} \to Y_{ijk}\) est un espace de modules catégorique entraîne que les restrictions de \(h_i\) et \(h_j\) à \(Y_{ijk}\) sont égales. Ainsi, \(h_i\) et \(h_j\) coïncident sur \(Y_i \times_Y Y_j\). Puisque \(Y = \coprod Y_i / \coprod Y_i \times_Y Y_j\) (d’après Espaces, section 0261), on en déduit qu’il existe un unique morphisme \(Y \to W\) par lequel \(g\) se factorise. Ainsi, \(f\) est un espace de modules catégorique. Le même argument s’applique après un changement de base plat; \(f\) est donc un espace de modules catégorique uniforme.

Le théorème de Keel–Mori

Dans cette section, nous commençons l’étude du théorème de Keel et Mori dans le cadre des champs algébriques. Pour une présentation de la littérature, voir Guide bibliographique, sous-section 04UX.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On dit que \(\mathcal{X}\) est presque affine s’il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme surjectif, plat, fini et de présentation finie \(U \to \mathcal{X}\).

Nous donnons à cette propriété un nom quelque peu ridicule, car nous ne comptons pas l’utiliser très souvent.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est presque affine, et

2. il existe un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) avec \(U\) et \(R\) affines et \(s, t : R \to U\) finis localement libres, tel que \(\mathcal{X} = [U/R]\).

Lorsque ces assertions sont vraies, \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, quasi-DM et séparé.

Démonstration

Supposons \(\mathcal{X}\) presque affine. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme surjectif, plat, fini et de présentation finie \(U \to \mathcal{X}\). Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). On obtient alors un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques et un isomorphisme \([U/R] \to \mathcal{X}\); voir Champs algébriques, lemme 04T4 et remarque 04WY. Puisque \(s, t : R \to U\) sont des morphismes plats, finis et de présentation finie (comme changements de base de \(U \to \mathcal{X})\), on voit que \(s, t\) sont finis localement libres (Morphismes, lemme 02KB). Il en résulte que \(R\) est affine (car les morphismes finis sont affines) et donc que (2) est vérifiée.

Supposons donné un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) avec \(U\) et \(R\) affines et \(s, t : R \to U\) finis localement libres. Posons \(\mathcal{X} = [U/R]\). Alors \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, théorème 06FI (à strictement parler, nous n’en avons pas besoin ici, mais on ne saurait trop insister sur ce fait). Le morphisme \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Critères de représentabilité, lemme 06FH. On peut donc vérifier que \(U \to \mathcal{X}\) est fini en vérifiant que la projection \(U \times_\mathcal{X} U \to U\) possède cette propriété; voir Propriétés des champs, lemme 04XD. Puisque \(U \times_\mathcal{X} U = R\) d’après Groupoïdes en espaces, lemme 04M9 on voit que tel est le cas. Ainsi, \(\mathcal{X}\) est presque affine.

Démontrons l’assertion finale. On voit que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact d’après Propriétés des champs, lemme 04YC. On voit que \(\mathcal{X} = [U/R]\) est quasi-DM et séparé d’après Morphismes de champs, lemme 0DTY.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique presque affine.

1. Si \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique, alors il est affine.

2. Si \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est un morphisme affine de champs algébriques, alors \(\mathcal{X}'\) est presque affine.

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement de Limites d’espaces, lemme 07VS. Ce résultat est toutefois bien plus fort qu’il n’est nécessaire, car (1) résulte aussi du lemme 0DUM combiné avec Groupoïdes, proposition 03BM.

Pour démontrer (2), choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme surjectif, plat, fini et de présentation finie \(U \to \mathcal{X}\). Alors \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) admet un morphisme affine vers \(U\) (Morphismes de champs, lemme 0CHR). Ainsi, \(U'\) est un schéma affine. Bien entendu, \(U' \to \mathcal{X}'\) est surjectif, plat, fini et de présentation finie comme changement de base de \(U \to \mathcal{X}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique presque affine. Il existe un espace de modules catégorique uniforme \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] dans la catégorie des schémas affines. De plus, \(f\) est séparé, quasi-compact et un homéomorphisme universel.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{X} = [U/R]\), avec \((U, R, s, t, c)\) comme dans le lemme 0DUM. Soit \(C\) l’anneau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\); voir Groupoïdes, section 03BE. Posons \(M = \Spec(C)\). Le morphisme \(R\)-invariant \(U \to M\) correspond à un morphisme \(f : \mathcal{X} \to M\) d’après le lemme 0DUH. La caractérisation des morphismes vers les schémas affines donnée dans Schémas, lemme 01I1, garantit immédiatement que \(\phi : U \to M\) est un quotient catégorique dans la catégorie des schémas affines. Ainsi, \(f\) est un espace de modules catégorique dans la catégorie des schémas affines (lemme 0DUI).

Puisque \(\mathcal{X}\) est séparé d’après le lemme 0DUM, on voit que \(f\) est séparé d’après Morphismes de champs, lemme 050M.

Puisque \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif et que \(U \to M\) est quasi-compact, on voit que \(f\) est quasi-compact d’après Morphismes de champs, lemme 050X.

D’après Groupoïdes, lemme 03BJ, la composée \[U \to \mathcal{X} \to M\] est un morphisme entier de schémas affines. En particulier, elle est universellement fermée (Morphismes, lemme 01WM). Puisque \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, il s’ensuit que \(\mathcal{X} \to M\) est universellement fermé (Morphismes de champs, lemme 0CQK). Pour conclure que \(\mathcal{X} \to M\) est un homéomorphisme universel, il suffit de montrer qu’il est universellement bijectif, c’est-à-dire surjectif et universellement injectif.

On a \(|\mathcal{X}| = |U|/|R|\) d’après Morphismes de champs, lemme 0DTZ. Ainsi, \(|f|\) est surjectif, et même bijectif, d’après Groupoïdes, lemme 03BL.

Soit \(C \to C'\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \((U', R', s', t', c')\) le changement de base de \((U, R, s, t, c)\) par \(M' = \Spec(C') \to M\). En posant \(\mathcal{X}' = [U'/R']\), on observe que \(M' \times_M \mathcal{X} = \mathcal{X}'\) d’après Quotients de groupoïdes, lemme 0DTG. Soit \(C^1\) l’anneau des fonctions \(R'\)-invariantes sur \(U'\). Posons \(M^1 = \Spec(C^1)\) et considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[dd]^f \\ M^1 \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] D’après Groupoïdes, lemme 03BK, et Algèbre, lemme 09EF, le morphisme \(M^1 \to M'\) est un homéomorphisme. D’autre part, le paragraphe précédent appliqué à \((U', R', s', t', c')\) montre que \(|f'|\) est bijectif. On en déduit que \(f\) induit une bijection sur les points après tout changement de base par un schéma affine. Ainsi, \(f\) est universellement injectif d’après Morphismes de champs, lemme 0DTN.

Enfin, il reste à montrer que \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme dans la catégorie des schémas affines. Cela résulte de la discussion précédente et du fait que, si l’homomorphisme d’anneaux \(C \to C'\) est plat, alors \(C' \to C^1\) est un isomorphisme d’après Groupoïdes, lemme 03BK.

Lemme

Soit \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{X}'\) et \(\mathcal{X}\) soient presque affines, que \(h\) est étale et que \(h\) induit des isomorphismes entre les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW). Il existe alors un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] où \(M' \to M\) est étale et les flèches verticales sont les espaces de modules construits dans le lemme 0DUP.

Démonstration

Remarquons que \(h\) est représentable par des espaces algébriques, d’après Morphismes de champs, lemmes 0DU9 et 0DU7. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme \(U \to \mathcal{X}\) surjectif, plat, fini et de présentation finie. Alors \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) est un espace algébrique muni d’un morphisme fini (en particulier affine) \(U' \to \mathcal{X}'\). D’après le lemme 0DUN, nous en déduisons que \(U'\) est affine. En posant \(R = U \times_\mathcal{X} U\) et \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\), nous obtenons des groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) et \((U', R', s', t', c')\) tels que \(\mathcal{X} = [U/R]\) et \(\mathcal{X}' = [U'/R']\) ; voir la démonstration du lemme 0DUM. Nous voyons que les diagrammes \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] sont cartésiens, où \(G\) et \(G'\) sont les schémas en groupes stabilisateurs. Pour les deux premiers, cela résulte de la transitivité des produits fibrés, et, pour le dernier, du fait qu’il est le changement de base de l’isomorphisme \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) (d’après le lemme déjà utilisé de Morphismes de champs 0DU9). Rappelons que \(M\), resp. \(M'\), a été construit dans le lemme 0DUP comme le spectre de l’anneau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\), resp. de l’anneau des fonctions \(R'\)-invariantes sur \(U'\). Ainsi, \(M' \to M\) est étale et \(U' = M' \times_M U\) d’après Groupoïdes, lemme 0DT9. Il s’ensuit que \(R' = M' \times_M R\) ; autrement dit, le groupoïde \((U', R', s', t', c')\) est le changement de base de \((U, R, s, t, c)\) par \(M' \to M\). Cela implique que le diagramme de l’énoncé est cartésien d’après Quotients de groupoïdes, lemme 0DTG.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique presque affine. Le morphisme \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] du lemme 0DUP est un espace de modules catégorique uniforme.

Démonstration

Nous savons déjà que \(M\) est un espace de modules catégorique uniforme dans la catégorie des schémas affines. D’après le lemme 0DUJ, il suffit de montrer que le changement de base \(f' : M' \times_M \mathcal{X} \to M'\) est un espace de modules catégorique pour tout morphisme plat \(M' \to M\) de schémas affines. Notons que \(\mathcal{X}' = M' \times_M \mathcal{X}\) est presque affine d’après le lemme 0DUN. Ainsi, en remplaçant \(\mathcal{X}\) par \(\mathcal{X}'\) et \(M\) par \(M'\), nous nous ramenons à prouver que \(f\) est un espace de modules catégorique.

Soit \(g : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme, où \(Y\) est un espace algébrique. Nous devons montrer que \(g = h \circ f\) pour un unique morphisme \(h : M \to Y\).

Unicité. Supposons donnés deux morphismes \(h_i : M \to Y\) tels que \(g = h_1 \circ f = h_2 \circ f\). Soit \(M' \subset M\) l’égalisateur de \(h_1\) et \(h_2\). Alors \(M' \to M\) est un monomorphisme et \(f : \mathcal{X} \to M\) se factorise par \(M'\). Ainsi, \(M' \to M\) est un homéomorphisme universel. Nous en concluons que \(M'\) est affine (Morphismes, lemme 04DF). Or, puisque \(f : \mathcal{X} \to M\) est un espace de modules catégorique dans la catégorie des schémas affines, nous avons \(M' = M\).

Existence. Nous allons montrer ci-dessous que, pour tout \(p \in M\), il existe un carré cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] où \(M' \to M\) est un morphisme étale de schémas affines dont l’image contient \(p\), tel que la composée \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X} \to Y\) se factorise par \(M'\). Cela signifie que nous pouvons construire le morphisme \(h : M \to Y\) localement pour la topologie étale sur \(M\). Puisque \(Y\) est un faisceau pour la topologie étale et en vertu de l’unicité établie ci-dessus, cela suffit (nous omettons un petit détail).

Soit \(y \in |Y|\) l’image de \(p\). Soit \((V, v) \to (Y, y)\) un morphisme étale avec \(V\) affine. Considérons \(\mathcal{X}' = V \times_Y \mathcal{X}\). Remarquons que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est séparé et étale comme changement de base de \(V \to Y\). De plus, \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) induit des isomorphismes entre les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW) car cela vaut pour \(V \to Y\) ; voir Morphismes de champs, lemme 0DUB. Choisissons une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\) comme dans le lemme 0DUM. Posons \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U = V \times_Y U\) et choisissons \(u' \in U'\) se projetant sur \(p\) et \(v\) (ce qui est possible d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4). Puisque \(U' \to U\) est séparé et étale, nous voyons que tout ensemble fini de points de \(U'\) est contenu dans un ouvert affine ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 07S0. D’autre part, le morphisme \(U' \to \mathcal{X}'\) est surjectif, fini, plat et localement de présentation finie. En posant \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\), nous voyons que \(s', t' : R' \to U'\) sont finis localement libres. D’après Groupoïdes, lemme 03JE, il existe un sous-schéma ouvert affine invariant par \(R'\), noté \(U'' \subset U'\), contenant \(u'\). Soit \(\mathcal{X}'' \subset \mathcal{X}'\) le sous-champ ouvert correspondant. Alors \(\mathcal{X}''\) est presque affine. D’après le lemme 0DUQ, nous obtenons un carré cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{X}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'' \ar[r] & M }\] où \(M'' \to M\) est étale. Puisque \(\mathcal{X}'' \to M''\) est un espace de modules catégorique dans la catégorie des schémas affines, nous obtenons un morphisme \(M'' \to V\) tel que la composée \(\mathcal{X}'' \to \mathcal{X}' \to V\) est égale à la composée \(\mathcal{X}'' \to M'' \to V\). Cela prouve notre assertion et achève la démonstration.

Lemme

Soit \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{X}\) soit presque affine, que \(h\) soit étale, que \(h\) soit séparé et que \(h\) induit des isomorphismes entre les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW). Il existe alors un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] où \(M' \to M\) est un morphisme de schémas séparé et étale, et où \(\mathcal{X} \to M\) est l’espace de modules construit dans le lemme 0DUP.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme surjectif, plat, fini et localement de présentation finie \(U \to \mathcal{X}\). Puisque \(h\) est représentable par des espaces algébriques (Morphismes de champs, lemmes 0DU9 et 0DU7) nous voyons que \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) est un espace algébrique. Puisque \(U' \to U\) est séparé et étale, nous voyons que \(U'\) est un schéma et que tout ensemble fini de points de \(U'\) est contenu dans un ouvert affine ; voir Morphismes d’espaces, lemme 0418 et Compléments sur les morphismes, lemme 07S0. En posant \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\), nous voyons que \(s', t' : R' \to U'\) sont finis localement libres. D’après Groupoïdes, lemme 03JE, il existe un recouvrement ouvert \(U' = \bigcup U'_i\) par des sous-schémas ouverts affines invariants par \(R'\), \(U'_i \subset U'\). Soient \(\mathcal{X}'_i \subset \mathcal{X}'\) les sous-champs ouverts correspondants. Ils sont presque affines, car \(U'_i \to \mathcal{X}'_i\) est surjectif, plat, fini et de présentation finie. D’après le lemme 0DUQ, nous obtenons des diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M }\] où \(M'_i \to M\) est un morphisme étale de schémas affines, les flèches verticales étant comme dans le lemme 0DUP. Remarquons que \(\mathcal{X}'_{ij} = \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j\) est un sous-champ ouvert de \(\mathcal{X}'_i\) et de \(\mathcal{X}'_j\). Nous obtenons donc les sous-schémas ouverts correspondants \(V_{ij} \subset M'_i\) et \(V_{ji} \subset M'_j\). En vertu du lemme 0DUR, nous voyons que \(\mathcal{X}'_{ij} \to V_{ij}\) et \(\mathcal{X}'_{ji} \to V_{ji}\) sont tous deux des espaces de modules catégoriques ! Nous obtenons ainsi un unique isomorphisme \(\varphi_{ij} : V_{ij} \to V_{ji}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d] & & \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j \ar[rr] \ar[ll] \ar[ld] \ar[rd] & & \mathcal{X}'_j \ar[d] \\ M'_i & V_{ij} \ar[l] \ar[rr]^{\varphi_{ij}} & & V_{ji} \ar[r] & M'_j }\] est commutatif. Ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle de Schémas, section 01JA, comme le montre un calcul (et une nouvelle application du lemme précédent) que nous omettons. Nous pouvons donc recoller les schémas affines pour former un schéma \(M'\) ; voir Schémas, lemme 01JB. Identifions les \(M'_i\) à leur image dans \(M'\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme \(\mathcal{X}' \to M'\) s’inscrivant dans des diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M' }\] Cela ressort de la description des morphismes vers le schéma recollé \(M'\) dans Schémas, lemme 01JB, et du fait que donner un morphisme \(\mathcal{X}' \to M'\) revient à donner un morphisme \(T \to M'\) pour tout morphisme \(T \to \mathcal{X}'\). De même, il existe un morphisme \(M' \to M\) dont les restrictions sont les morphismes donnés \(M'_i \to M\) sur \(M'_i\). Le morphisme \(M' \to M\) est étale (car il l’est sur les membres d’un recouvrement étale), et la propriété de produit fibré vaut puisqu’elle peut se vérifier sur les membres du recouvrement ouvert (affine) \(M' = \bigcup M'_i\). Enfin, \(M' \to M\) est séparé, car la composée \(U' \to \mathcal{X}' \to M'\) est surjective et universellement fermée, et nous pouvons appliquer Morphismes, lemme 09MQ.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini. Il existe alors un ensemble \(I\) et, pour \(i \in I\), un morphisme de champs algébriques \[g_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow \mathcal{X}\] ayant les propriétés suivantes :

1. \(|\mathcal{X}| = \bigcup |g_i|(|\mathcal{X}_i|)\),

2. \(\mathcal{X}_i\) est presque affine,

3. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}_i} \to \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est un isomorphisme, et

4. \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, séparé et étale,

Démonstration

Pour tout \(x \in |\mathcal{X}|\), nous pouvons choisir \(g : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\), \(\mathcal{U} = [U/R]\) et \(u\) comme dans Morphismes de champs, lemme 0DU4. Puis, d’après Morphismes de champs, lemme 0DUA nous voyons qu’il existe un sous-champ ouvert \(\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}\) contenant \(u\) tel que \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}'} \to \mathcal{U}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est un isomorphisme. Soit \(U' \subset U\) l’ouvert invariant par \(R\) correspondant au sous-champ ouvert \(\mathcal{U}'\). Soit \(u' \in U'\) un point de \(U'\) s’envoyant sur \(u\). Remarquons que \(t(s^{-1}(\{u'\}))\) est fini, puisque \(s : R \to U\) est fini. D’après Propriétés, lemme 01ZY et Groupoïdes, lemme 03JE, nous pouvons trouver un ouvert affine invariant par \(R\), noté \(U'' \subset U'\), contenant \(u'\). Soit \(R''\) la restriction de \(R\) à \(U''\). Alors \(\mathcal{U}'' = [U''/R'']\) est un sous-champ ouvert de \(\mathcal{U}'\) contenant \(u\), est presque affine, \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}''} \to \mathcal{U}'' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est un isomorphisme, et \(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Enfin, \(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\) est séparé, car \(\mathcal{U}''\) est séparé (lemme 0DUM), la diagonale de \(\mathcal{X}\) est séparée (Morphismes de champs, lemme 0CL0), et la séparation résulte de Morphismes de champs, lemme 050M. Puisque le point \(x \in |\mathcal{X}|\) est arbitraire, la démonstration est achevée.

Théorème

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini. Il existe alors un espace de modules catégorique uniforme \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] et \(f\) est séparé, quasi-compact et un homéomorphisme universel.

Démonstration

Choisissons un ensemble \(I\)⁴ et, pour \(i \in I\), un morphisme de champs algébriques \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) comme dans le lemme 0DUE ; nous utiliserons sans autre mention toutes les propriétés énumérées dans ce lemme. Soit \[f_i : \mathcal{X}_i \to M_i\] le morphisme donné par le lemme 0DUP. Considérons les champs \[\mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j\] pour \(i, j \in I\). Les projections \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_i\) et \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_j\) sont séparées d’après Morphismes de champs, lemme 050F, étales d’après Morphismes de champs, lemme 0CIN, et induisent des isomorphismes sur les groupes d’automorphismes (comme dans Morphismes de champs, remarque 0DTW), d’après Morphismes de champs, lemme 0DUB. Nous pouvons donc appliquer le lemme 0DUS afin d’obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X}_{ij} \ar[d]_{f_{ij}} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}_j \ar[d]_{f_j} \\ M_i & M_{ij} \ar[l] \ar[r] & M_j }\] dont les carrés sont cartésiens et où \(M_{ij} \to M_i\) et \(M_{ij} \to M_j\) sont des morphismes de schémas séparés et étales ; nous utilisons ici aussi que \(f_i\) est un quotient catégorique uniforme d’après le lemme 0DUR. Affirmation : \[\coprod M_{ij} \longrightarrow \coprod M_i \times \coprod M_i\] est une relation d’équivalence étale.

Démonstration de l’affirmation. Posons \(R = \coprod M_{ij}\) et \(U = \coprod M_i\). Nous avons déjà vu que \(t : R \to U\) et \(s : R \to U\) sont étales. Construisons un morphisme \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) compatible avec \(\text{pr}_{13} : U \times U \times U \to U \times U\). Plus précisément, pour \(i, j, k \in I\), considérons \[\mathcal{X}_{ijk} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j \times_{g_j, \mathcal{X}, g_k} \mathcal{X}_k = \mathcal{X}_{ij} \times_{\mathcal{X}_j} \mathcal{X}_{jk}\] En raisonnant exactement comme au paragraphe précédent, nous voyons que \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk}\) est un espace de modules catégorique pour \(\mathcal{X}_{ijk}\). En particulier, il existe un morphisme canonique \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk} \to M_{ik}\) provenant de la projection \(\mathcal{X}_{ijk} \to \mathcal{X}_{ik}\). En réunissant ces morphismes, nous obtenons le morphisme \(c\). De même, nous construisons un morphisme \(e : U \to R\) compatible avec \(\Delta : U \to U \times U\) et \(i : R \to R\) compatible avec la permutation des facteurs \(U \times U \to U \times U\). Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Alors \[\Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \to \Mor(\Spec(k), M_i) = M_i(k)\] est bijective sur les classes d’isomorphie, et il en reste de même après tout changement de base par un morphisme \(M' \to M_i\). Cela résulte du choix de \(f_i\) et de Morphismes de champs, lemmes 0CPN et 0DTM. Par construction des \(2\)-produits fibrés, le diagramme \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_{ij}) \ar[d] \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_j) \ar[d] \\ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) }\] est un 2-produit fibré de catégories. D’après notre choix de \(g_i\), les foncteurs de ce diagramme induisent des bijections sur les groupes d’automorphismes. Il s’ensuit que ce diagramme induit un diagramme cartésien sur les ensembles de classes d’isomorphie ! Nous voyons donc que \[R(k) = U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k)\] où \(|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\) désigne l’ensemble des classes d’isomorphie. En particulier, pour tout corps algébriquement clos \(k\), l’application sur les points à valeurs dans \(k\) définit une relation d’équivalence. L’affirmation en résulte par Groupoïdes, lemme 0DT7.

Soit \(M = U/R\) l’espace algébrique quotient de la relation d’équivalence étale ci-dessus ; voir Espaces, théorème 02WW. Il existe un morphisme canonique \(f : \mathcal{X} \to M\) s’insérant dans les diagrammes commutatifs [0DUU]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r]_{g_i} \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M_i \ar[r] & M } \end{equation}\] En effet, un tel morphisme \(f\) est défini par un foncteur \[f : \Mor(T, \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(T, M)\] pour tout schéma \(T\), la famille ainsi obtenue étant compatible avec les changements de base. Soit \(a : T \to \mathcal{X}\) un objet du membre de gauche. Nous obtenons un recouvrement étale \(\{T_i \to T\}\), avec \(T_i = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} T\), et des morphismes \(a_i : T_i \to \mathcal{X}_i\). Nous obtenons alors \(b_i = f_i \circ a_i : T_i \to M_i\). Puisque \(T_i \times_T T_j = \mathcal{X}_{ij} \times_\mathcal{X} T\), nous obtenons de plus un morphisme \(a_{ij} : T_i \times_T T_j \to \mathcal{X}_{ij}\). En posant \(b_{ij} = f_{ij} \circ a_{ij}\), nous constatons que \(b_i \times b_j\) se factorise par le monomorphisme \(M_{ij} \to M_i \times M_j\). Par conséquent, les morphismes \[T_i \xrightarrow{b_i} M_i \to M\] coïncident sur \(T_i \times_T T_j\). Comme \(M\) est un faisceau pour la topologie étale, nous voyons que ces morphismes se recollent en un unique morphisme \(b = f(a) : T \to M\). Nous omettons de vérifier que cette construction est compatible avec les changements de base, ainsi que de vérifier que les diagrammes (0DUU) sont commutatifs.

Affirmation : les diagrammes (0DUU) sont cartésiens. Pour le voir, étudions le morphisme induit \[h_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow M_i \times_M \mathcal{X}\] C’est un morphisme de champs étale sur \(\mathcal{X}\), donc \(h_i\) est étale (Morphismes de champs, lemme 0CIR). Comme \(g_i\) est séparé, nous voyons que \(h_i\) est séparé (utiliser Morphismes de champs, lemme 050M, et le fait, vu plus haut, que la diagonale de \(\mathcal{X}\) est séparée). Le morphisme \(h_i\) induit des isomorphismes sur les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW) puisqu’il en est ainsi pour \(g_i\). Pour un corps algébriquement clos \(k\), le diagramme \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X}) \ar[r] \ar[d] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) \ar[d] \\ M_i(k) \ar[r] & M(k) }\] est un diagramme cartésien de catégories, et la flèche du haut induit des bijections sur les groupes d’automorphismes. D’autre part, nous avons \[M(k) = U(k)/R(k) = U(k)/ U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k) = |\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\] d’après ce qui précède. Ainsi, la flèche verticale de droite du diagramme cartésien ci-dessus est bijective sur les classes d’isomorphie. Nous concluons que \(|\Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X})| \to M_i(k)\) est bijective. Récapitulons : \(h_i\) est séparé et étale, il induit des isomorphismes sur les groupes d’automorphismes (comme dans Morphismes de champs, remarque 0DTW), et une équivalence sur toute catégorie fibre au-dessus d’un corps algébriquement clos. Il s’agit donc d’un isomorphisme d’après Morphismes de champs, lemme 0DUD.

L’affirmation donne en particulier ceci : il existe un morphisme étale surjectif \(U \to M\) tel que le changement de base de \(f\) est séparé, quasi-compact et un homéomorphisme universel. Il s’ensuit que \(f\) est séparé, quasi-compact et un homéomorphisme universel. Voir Morphismes de champs, lemme 06TZ, 0DTL, et 0DTQ.

Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(f : \mathcal{X} \to M\) est un espace de modules catégorique uniforme. Pour cela, il suffit de montrer que, pour tout morphisme plat \(M' \to M\) d’espaces algébriques, le changement de base \[M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow M'\] est un espace de modules catégorique. Considérons donc un morphisme \[\theta : M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow E\] où \(E\) est un espace algébrique. Pour chaque \(i\), nous savons que \(f_i\) est un espace de modules catégorique uniforme. Nous obtenons donc \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X}_i \ar[d] \ar[r] & M' \times_M \mathcal{X} \ar[d]^\theta \\ M' \times_M M_i \ar[r]^{\psi_i} & E }\] Puisque \(\{M' \times_M M_i \to M'\}\) est un recouvrement étale, pour obtenir le morphisme souhaité \(\psi : M' \to E\), il suffit de montrer que \(\psi_i\) et \(\psi_j\) coïncident sur \(M' \times_M M_i \times_M M_j = M' \times_M M_{ij}\). Cela résulte aussitôt du fait que \(f_{ij} : \mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{X}_j \to M_{ij}\) est un quotient catégorique uniforme ; nous omettons les détails. Enfin, on montre que \(\psi\) s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X} \ar[d] \ar[rd]^\theta \\ M' \ar[r]^\psi & E }\] car « \(\{M' \times_M \mathcal{X}_i \to M' \times_M \mathcal{X}\}\) est un recouvrement étale » et que les morphismes \(\psi_i\) s’insèrent dans les diagrammes commutatifs correspondants par construction. Ceci achève la démonstration du théorème de Keel–Mori.

Le lemme suivant souligne le caractère local pour la topologie étale de la construction.

Lemme

Soit \(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que

1. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini,

2. \(h\) est étale et séparé, et induit des isomorphismes sur les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW).

Il existe alors un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] où \(M' \to M\) est un morphisme d’espaces algébriques séparé et étale, et les flèches verticales sont les espaces de modules construits dans le théorème 0DUT.

Démonstration

D’après Morphismes de champs, lemme 0DU9, nous voyons que \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est un isomorphisme. Ainsi, \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) est fini comme changement de base de \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\). Soient \(f' : \mathcal{X}' \to M'\) et \(f : \mathcal{X} \to M\) ceux du théorème 0DUT. Nous obtenons un diagramme commutatif comme dans le lemme, car \(f'\) est un espace de modules catégorique. Choisissons \(I\) et \(g'_i : \mathcal{X}'_i \to \mathcal{X}'\) comme dans le lemme 0DUE. Remarquons que \(g_i = h \circ g'_i\) est étale et séparé, et induit des isomorphismes sur les groupes d’automorphismes (Morphismes de champs, remarque 0DTW). Soit \(f'_i : \mathcal{X}'_i \to M'_i\) le morphisme du lemme 0DUP. Dans la démonstration du théorème 0DUT, nous avons vu que les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g'_i} & \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \\ M'_i \ar[r] & M' } \quad\text{et}\quad \xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M'_i \ar[r] & M }\] sont cartésiens et que \(M'_i \to M'\) et \(M'_i \to M\) sont étales (cela résulte aussi directement des propriétés des morphismes \(g'_i, g_i, f', f'_i, f\) énumérées jusqu’ici, en raisonnant exactement de la même façon). Nous en déduisons d’une part que \(M' \to M\) est étale et d’autre part que le diagramme du lemme est cartésien. Il reste à montrer que \(M' \to M\) est séparé. Pour cela, considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{X}' \ar[d] \\ M' \ar[r] & M' \times_M M' }\] La flèche horizontale supérieure est universellement fermée, car \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est séparé. Les flèches verticales sont celles du théorème 0DUT (en tant que changements de base plats de \(\mathcal{X} \to M\)) et sont donc des homéomorphismes universels. La flèche horizontale inférieure est par conséquent universellement fermée. Comme elle est en outre un monomorphisme étale d’espaces algébriques, c’est l’immersion fermée voulue.

Propriétés des espaces de modules

Une fois établie l’existence d’un espace de modules, il devient possible (et généralement aisé) d’établir des propriétés de ces espaces de modules.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Supposons que

1. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini,

2. \(Y\) est localement noethérien, et

3. \(p\) est localement de type fini.

Soit \(f : \mathcal{X} \to M\) l’espace de modules construit dans le théorème 0DUT. Alors \(M \to Y\) est localement de type fini.

Démonstration

Puisque \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme, nous obtenons le morphisme \(M \to Y\). Il suffit de vérifier que \(M \to Y\) est localement de type fini, localement pour la topologie étale sur \(M\) et \(Y\). Puisque \(f\) est un espace de modules catégorique uniforme, nous pouvons d’abord remplacer \(Y\) par un schéma affine étale sur \(Y\). Ensuite, nous pouvons choisir \(I\) et \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) comme dans le lemme 0DUE. Alors, par le lemme 0DUV, nous nous ramenons au cas \(\mathcal{X} = \mathcal{X}_i\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(\mathcal{X}\) est presque affine. Dans ce cas, nous avons \(Y = \Spec(A_0)\), \(\mathcal{X} = [U/R]\) avec \(U = \Spec(A)\) et \(M = \Spec(C)\), où \(C \subset A\) est l’ensemble des fonctions invariantes par \(R\) sur \(U\). Voir les lemmes 0DUM et 0DUP. Alors \(A_0\) est noethérien et \(A_0 \to A\) est de type fini. De plus, \(A\) est entier sur \(C\) d’après Groupoïdes, lemme 03BJ, donc fini sur \(C\) (cet anneau étant de type fini sur \(A_0\)). Nous pouvons donc enfin appliquer Algèbre, lemme 00IS pour conclure.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini. Soit \(f : \mathcal{X} \to M\) l’espace de modules construit dans le théorème 0DUT.

1. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé, alors \(M\) est quasi-séparé.

2. Si \(\mathcal{X}\) est séparé, alors \(M\) est séparé.

3. Ajouter ici d’autres énoncés, par exemple des versions relatives de ceux qui précèdent.

Démonstration

Pour le prouver, considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_f \ar[r]_{\Delta_\mathcal{X}} & \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[d]^{f \times f} \\ M \ar[r]^{\Delta_M} & M \times M }\] Puisque \(f\) est un homéomorphisme universel, nous voyons que \(f \times f\) est un homéomorphisme universel.

Si \(\mathcal{X}\) est séparé, alors \(\Delta_\mathcal{X}\) est propre, donc \(\Delta_\mathcal{X}\) est universellement fermé ; par conséquent, \(\Delta_M\) est universellement fermé, et \(M\) est donc séparé d’après Morphismes d’espaces, lemme 04Y0.

Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé, alors \(\Delta_\mathcal{X}\) est quasi-compact ; par conséquent, \(\Delta_M\) est quasi-compact, et \(M\) est donc quasi-séparé.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to Y\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique. Supposons que

1. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est fini,

2. \(p\) est propre, et

3. \(Y\) est localement noethérien.

Soit \(f : \mathcal{X} \to M\) l’espace de modules construit dans le théorème 0DUT. Alors \(M \to Y\) est propre.

Démonstration

D’après le lemme 0DUX, nous voyons que \(M \to Y\) est localement de type fini. D’après le lemme 0DUY, nous voyons que \(M \to Y\) est séparé. Bien entendu, \(M \to Y\) est quasi-compact et universellement fermé, car ces propriétés sont topologiques, le morphisme \(\mathcal{X} \to Y\) les possède et \(\mathcal{X} \to M\) est un homéomorphisme universel.

Champs et recouvrements fpqc

Certains champs algébriques satisfont à la descente fpqc. L’analogue de cette section pour les espaces algébriques est Propriétés des espaces, section 03W8.

Proposition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique dont la diagonale est quasi-affine⁵. Alors \(\mathcal{X}\) satisfait à la descente pour les recouvrements fpqc.

Démonstration

Selon nos conventions, \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) sur la catégorie des schémas sur un schéma de base \(S\), munie de la topologie fppf. L’énoncé signifie ce qui suit : étant donné un recouvrement fpqc \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) de schémas sur \(S\), le foncteur \[\mathcal{X}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] est une équivalence. À gauche se trouve la catégorie des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et à droite la catégorie des données de descente dans \(\mathcal{X}\) relativement à \(\mathcal{U}\). Voir l’explication dans Champs, section 02ZC.

Pleine fidélité. Supposons que nous ayons deux objets \(x, y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Alors \(J = \mathit{Isom}(x, y)\) est un espace algébrique sur \(U\). Par conséquent, une famille de sections de \(J\) sur les \(U_i\) dont les restrictions à \(U_i \times_U U_j\) coïncident provient d’une unique section sur \(U\), d’après l’analogue de la proposition pour les espaces algébriques ; voir Propriétés des espaces, proposition 0APL. Notre foncteur est donc pleinement fidèle.

Surjectivité essentielle. On se donne ici des objets \(x_i\) au-dessus de \(U_i\) et des isomorphismes \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*x_i \to \text{pr}_1^*x_j\) sur \(U_i \times_U U_j\) satisfaisant à la condition de cocycle sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\).

Soit \(W\) un schéma affine et soit \(W \to \mathcal{X}\) un morphisme. Pour chaque \(i\), nous pouvons former \[W_i = U_i \times_{x_i, \mathcal{X}} W\] La projection \(W_i \to U_i\) est quasi-affine, car la diagonale de \(\mathcal{X}\) est quasi-affine. Pour toute paire \(i, j \in I\), l’isomorphisme \(\varphi_{ij}\) induit un isomorphisme \[W_i \times_U U_j = (U_i \times_U U_j) \times_{x_i \circ \text{pr}_0, \mathcal{X}} W \to (U_i \times_U U_j) \times_{x_j \circ \text{pr}_1, \mathcal{X}} W = U_i \times_U W_j\] De plus, ces isomorphismes satisfont à la condition de cocycle sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\). Autrement dit, ils définissent une donnée de descente sur les schémas \(W_i/U_i\) relativement à \(\mathcal{U}\). D’après Descente, lemme 0247, nous voyons que cette donnée de descente est effective⁶. Nous en concluons qu’il existe un morphisme quasi-affine \(W' \to U\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ W' \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U & U_i \ar[l] \ar[r]^{x_i} & \mathcal{X} }\] dont les carrés sont cartésiens. Puisque \(\{W_i \to W'\}_{i \in I}\) est le changement de base de \(\mathcal{U}\) par \(W' \to U\), nous concluons qu’il s’agit d’un recouvrement fpqc. Puisque \(W\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc, nous obtenons un unique morphisme \(W' \to W\) tel que \(W_i \to W' \to W\) soit le morphisme donné \(W_i \to W\). Autrement dit, nous avons les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ W_i \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] compatibles avec les isomorphismes \(\varphi_{ij}\) et dont le carré et le rectangle sont cartésiens.

Choisissons une famille de schémas affines \(W_\alpha\), \(\alpha \in A\), et des morphismes lisses \(W_\alpha \to \mathcal{X}\) tels que \(\coprod W_\alpha \to \mathcal{X}\) soit surjectif. Par le procédé du paragraphe précédent, nous construisons un diagramme \[\xymatrix{ W_{\alpha, i} \ar[d] \ar[r] & W_\alpha' \ar[d] \ar[r] & W_\alpha \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] pour chaque \(\alpha\). Les morphismes \(W_\alpha' \to U\) sont alors lisses et conjointement surjectifs.

Notons \(x_\alpha\) l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(W_\alpha'\) correspondant à \(W_\alpha' \to W_\alpha \to \mathcal{X}\). Puisque \(\mathcal{X}\) est un champ pour la topologie fppf et que \(\{W_\alpha' \to U\}\) est un recouvrement fppf, il suffit de montrer qu’il existe des isomorphismes \(\text{pr}_0^*x_\alpha \to \text{pr}_1^*x_\beta\) sur \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\) satisfaisant à la condition de cocycle. Or, après restriction à \(W_{\alpha, i}\), nous disposons bien de tels isomorphismes sur \(W_{\alpha, i} \times_{U_i} W_{\beta, i} = U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta)\) car l’image inverse de \(x_\alpha\) sur \(W_{\alpha, i}\) est isomorphe à l’image inverse de \(x_i\) sur \(W_{\alpha, i}\). Puisque \(\{U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta) \to W_\alpha' \times_U W'_\beta\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc et que, par la compatibilité susmentionnée des diagrammes ci-dessus avec \(\varphi_{ij}\), ces isomorphismes descendent à \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\), la démonstration est achevée.

Foncteurs tensoriels

Soit \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques noethériens. Le foncteur image inverse \[f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] est un foncteur tensoriel exact à droite : il est additif, exact à droite et commute aux produits tensoriels de modules cohérents. On peut se demander dans quelle mesure tout foncteur tensoriel exact à droite \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) provient d’un morphisme \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\). Le lecteur pourra consulter [Hall-Rydh-coherent] pour un résultat très général de ce type. Le but de cette section est de donner une courte démonstration du théorème 0GRR en guise d’introduction à ces idées.

Commençons par quelques lemmes.

Lemme

Soient \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) des champs algébriques noethériens. Tout foncteur tensoriel exact à droite \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) se prolonge de manière unique en un foncteur tensoriel exact à droite \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) commutant à toutes les limites inductives.

Démonstration

L’existence et l’unicité du prolongement sont un fait général ; voir Catégories, lemme 0FWY. Pour voir que le lemme s’applique, remarquons que les modules cohérents sur des champs algébriques localement noethériens sont, par définition, des modules de présentation finie ; voir Cohomologie des champs, définition 0GR6. Ainsi, un module cohérent sur \(\mathcal{X}\) est un objet compact au sens catégorique de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après Cohomologie des champs, lemme 0GQZ. Enfin, tout module quasi-cohérent est une limite inductive filtrante de ses sous-modules cohérents d’après Cohomologie des champs, lemme 0GRF.

Puisque \(F\) est additif, le prolongement de \(F\) l’est aussi (détails omis). Puisque \(F\) est un foncteur tensoriel et que les limites inductives de modules commutent à la formation des produits tensoriels, le prolongement de \(F\) est lui aussi un foncteur tensoriel (détails omis).

Dans ce paragraphe, montrons que le prolongement commute aux sommes directes arbitraires. Si \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\) avec \(\mathcal{H}_j\) quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\). En notant encore \(F\) le prolongement de \(F\), nous obtenons \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{ fini}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] Ainsi, \(F\) commute aux sommes directes arbitraires.

Dans ce paragraphe, montrons que le prolongement est exact à droite. Supposons que \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) soit une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents. Écrivons alors \(\mathcal{F}' = \bigcup_{i \in I} \mathcal{F}'_i\) comme réunion de ses sous-modules cohérents (voir la référence donnée plus haut). Notons \(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\) l’image de \(\mathcal{F}'_i\) et posons \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\). Il est alors clair que \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\) et \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\) et que nous avons des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] Puisque le prolongement commute aux limites inductives filtrantes, nous avons \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\), \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\), et \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\). Comme les limites inductives filtrantes de faisceaux de modules sont exactes, nous concluons que le prolongement de \(F\) est exact à droite.

La démonstration est achevée, car tout foncteur exact à droite qui commute aux coproduits commute à toutes les limites inductives ; voir Catégories, lemme 002P.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique à diagonale affine. Soit \(B\) un anneau. Soit \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) un foncteur tensoriel exact à droite qui commute aux sommes directes. Soit \(g : U \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(U = \Spec(A)\) est affine. Alors

1. \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) est une \(B\)-algèbre commutative, et

2. il existe un homomorphisme d’anneaux \(A \to C\)

tel que \(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) envoie \(M\) sur \(M \otimes_A C\) considéré comme \(B\)-module.

Démonstration

Remarquons que \(g\) est quasi-compact et quasi-séparé ; voir Morphismes de champs, lemme 075S. Dans Cohomologie des champs, proposition 077A nous avons construit le foncteur \(g_{\QCoh, *} : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). D’après Cohomologie des champs, remarques 0GQR et 0GQM nous obtenons une multiplication \[\mu : g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \longrightarrow g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\] qui munit \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) d’une structure de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-algèbre commutative. Ainsi, \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) est une algèbre commutative dans \(\text{Mod}_B\) ; autrement dit, \(C\) est une \(B\)-algèbre commutative. Remarquons que nous avons un homomorphisme d’anneaux \(\kappa : A \to \text{End}_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) tel que, pour tout \(a \in A\), le diagramme \[\xymatrix{ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]_{\kappa(a) \otimes 1} \ar[rr]_-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]^{\kappa(a)} \\ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[rr]^-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U }\] est commutatif. Il s’ensuit que l’on obtient un homomorphisme d’anneaux \(\kappa' = F(\kappa) : A \to \text{End}_B(C)\) tel que \(\kappa'(a)(c) c' = \kappa'(a)(cc')\) ; bien entendu, cela signifie que \(a \mapsto \kappa'(a)(1)\) est un homomorphisme d’anneaux \(A \to C\).

Le morphisme \(g : U \to \mathcal{X}\) est affine ; voir Morphismes de champs, lemme 0GQE. Ainsi, \(g_{\QCoh, *}\) est exact et commute aux sommes directes d’après Cohomologie des champs, lemme 0GQY. Ainsi, \(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) est un foncteur exact à droite qui commute aux sommes directes et envoie \(A\) sur \(C\). D’après Foncteurs et morphismes, lemme 0GNS, nous voyons que le foncteur \(F \circ g_{\QCoh, *}\) envoie un \(A\)-module \(M\) sur \(M \otimes_A C\) considéré comme un \(B\)-module.

Lemme

Avec les notations du lemme 0GRK, supposons que \(\mathcal{X}\) soit noethérien et que \(g\) soit surjectif et plat. Alors \(B \to C\) est universellement injectif.

Démonstration

Considérons le morphisme naturel \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). En prenant son image inverse sur \(U\) et en utilisant l’adjonction, nous constatons que le composé \[\mathcal{O}_U = g^*\mathcal{O}_\mathcal{X} \xrightarrow{g^*1} g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] est l’identité dans \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Écrivons \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = \colim \mathcal{F}_i\) sous la forme d’une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents ; voir Cohomologie des champs, lemme 0GRF. Pour \(i\) assez grand, le morphisme \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) se factorise par \(\mathcal{F}_i\) ; voir Cohomologie des champs, lemme 0GQZ. Soit \(s : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to \mathcal{F}_i\) cette factorisation. Alors \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{g^*s} g^*\mathcal{F}_i \to g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] est l’identité. Autrement dit, nous voyons que \(s\) devient l’inclusion d’un facteur direct après image inverse sur \(U\). Posons \(\mathcal{F}_i^\vee = hom(\mathcal{F}_i, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) avec les notations de Cohomologie des champs, lemme 0GQN. En particulier, il existe un morphisme d’évaluation \(ev : \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\). L’évaluation en \(s\) définit un morphisme \(s^\vee : \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\). Par dualité avec l’assertion concernant \(s\), nous voyons que \(g^*(s^\vee)\) est surjectif ; voir Cohomologie des champs, section 0GQS pour la compatibilité de \(hom\) et de \(\otimes\) avec la restriction à \(U\). Puisque \(g\) est surjectif et plat, nous concluons que \(s^\vee\) est surjectif (voir la référence citée). Puisque \(F\) est exact à droite, nous concluons que \(F(\mathcal{F}_i^\vee) \to F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\) est surjectif. Choisissons \(\lambda \in F(\mathcal{F}_i^\vee)\) qui s’envoie sur \(1 \in B\). Notons \(e = F(s)(1) \in F(\mathcal{F}_i)\) l’image de \(1\) par le morphisme \(F(s) : B = F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to F(\mathcal{F}_i)\). Alors le morphisme \[F(ev) : F(\mathcal{F}_i) \otimes_B F(\mathcal{F}_i^\vee) = F(\mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee) \longrightarrow F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\] envoie \(e \otimes \lambda\) sur \(1\) par construction. Par conséquent, le morphisme \(B \to F(\mathcal{F}_i)\), \(b \mapsto be\), est universellement injectif, car il admet l’inverse à gauche \(F(\mathcal{F}_i) \to B\), \(\xi \mapsto F(ev)(\xi \otimes \lambda)\). Comme cela vaut pour tout \(i\) assez grand, nous concluons.

Lemme

Soit \(B \to C\) un homomorphisme d’anneaux. Si

1. les coprojections \(C \to C \otimes_B C\) sont plates, et

2. \(B \to C\) est universellement injectif,

alors \(B \to C\) est fidèlement plat.

Démonstration

Le morphisme \(\Spec(C) \to \Spec(B)\) est surjectif, puisque \(B \to C\) est universellement injectif. Il suffit donc de montrer que \(B \to C\) est plat, ce qui résulte de Descente, théorème 08XD.

La version très simple de la formule de Künneth qui suit devrait devenir obsolète lorsque nous aurons rédigé une section sur les théorèmes de Künneth pour la cohomologie des modules quasi-cohérents sur les champs algébriques.

Lemme

Soient \(a : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) et \(b : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) des morphismes représentables par des schémas, quasi-compacts, quasi-séparés et plats. Alors \(a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\) où \(f : \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est le morphisme évident.

Démonstration

Pour abréger, posons \(\mathcal{P} = \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}\). Puisque \(a \circ \text{pr}_1 = f\) et \(b \circ \text{pr}_2 = f\), nous obtenons des morphismes \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) et \(b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) (en utilisant les morphismes d’image inverse relatifs ; voir Sites, section 06UM). Nous obtenons donc un cup-produit relatif \[\mu : a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \longrightarrow f_*\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\] En appliquant \(Q\) et sa compatibilité avec les produits tensoriels (Cohomologie des champs, remarque 0GQM), nous obtenons une flèche \(Q(\mu) : a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Choisissons ensuite un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Il suffit de montrer que la restriction de \(Q(\mu)\) à \(U_\etale\) est un isomorphisme ; voir Cohomologie des champs, section 0GQS. À son tour, d’après les résultats de la même section, il suffit de montrer que la restriction de \(\mu\) à \(U_\etale\) est un isomorphisme (on utilise ici que la source et le but de \(\mu\) sont des modules localement quasi-cohérents vérifiant la propriété de changement de base). En outre, nous pouvons calculer les images directes pour la topologie étale ; voir Cohomologie des champs, proposition 0771. Enfin, nous voyons que \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y}|_{U_\etale} = (V \to U)_{small, *}\mathcal{O}_V\) où \(V = U \times_\mathcal{X} \mathcal{Y}\). De même pour \(b_*\) et \(f_*\). Ainsi, le résultat découle de la formule de Künneth pour les morphismes plats, quasi-compacts et quasi-séparés de schémas ; voir Catégories dérivées de schémas, lemme 0FLQ.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique à diagonale affine. Soit \(B\) un anneau. Soient \(f_i : \Spec(B) \to \mathcal{X}\), \(i = 1, 2\), deux morphismes. Soit \(t : f_1^* \to f_2^*\) un isomorphisme des foncteurs tensoriels \(f_i^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\). Alors il existe une \(2\)-flèche \(f_1 \to f_2\) qui induit \(t\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U = \Spec(A)\) et un morphisme lisse surjectif \(g : U \to \mathcal{X}\) ; voir Propriétés des champs, lemme 04YC. Puisque la diagonale de \(\mathcal{X}\) est affine, nous voyons que \(U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g} U\) est affine. Écrivons \(U_i = \Spec(C_i)\). Alors \(C_i\) est la \(B\)-algèbre munie de l’homomorphisme d’anneaux \(A \to C_i\) construit au lemme 0GRK au moyen du foncteur \(F = f_i^*\). Par conséquent, \(t\) induit un isomorphisme \(C_1 \to C_2\) de \(B\)-algèbres, compatible avec les homomorphismes d’anneaux \(A \to C_1\) et \(A \to C_2\). Autrement dit, nous avons les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^g \\ \Spec(B) \ar[r]^{f_i} & \mathcal{X} } \quad\quad \xymatrix{ & U_2 \ar[ld] \ar[d]^{\cong} \ar[rd] \\ \Spec(B) & U_1 \ar[l] \ar[r] & U }\] Cela montre déjà que les objets \(f_1\) et \(f_2\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(B)\) deviennent isomorphes après le recouvrement lisse \(\{U_1 \to \Spec(B)\}\). Pour montrer que cet isomorphisme descend en un isomorphisme de \(f_1\) et \(f_2\) sur \(\Spec(B)\), nous devons montrer que notre isomorphisme (qui provient des diagrammes commutatifs ci-dessus) est compatible avec les données de descente sur \(U_1 \times_{\Spec(B)} U_1\). À cette fin, remarquons que \(U \times_\mathcal{X} U\) est lui aussi affine, que nous disposons du morphisme \(g' : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\), et que \[U_i \times_{\Spec(B)} U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g'} (U \times_\mathcal{X} U)\] Il s’ensuit que l’isomorphisme \(C_1 \otimes_B C_1 \to C_2 \otimes_B C_2\) induit par l’isomorphisme \(C_1 \to C_2\) est compatible avec les morphismes \(U_i \times_{\Spec(B)} U_i \to U \times_\mathcal{X} U\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique noethérien à diagonale affine. Soit \(B\) un anneau. Soit \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) un foncteur tensoriel exact à droite qui commute aux sommes directes. Alors \(F\) provient d’un unique morphisme \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\).

Démonstration

Choisissons un morphisme lisse surjectif \(g : U \to \mathcal{X}\), avec \(U = \Spec(A)\) affine ; voir Propriétés des champs, lemme 04YC. Appliquons le lemme 0GRK pour obtenir la \(B\)-algèbre commutative de type fini \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) et l’homomorphisme d’anneaux \(A \to C\). D’après le lemme 0GRL, l’homomorphisme d’anneaux \(B \to C\) est universellement injectif. Considérons l’algèbre \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\] Puisque \(g\) est plat, quasi-compact et quasi-séparé, le lemme 0GRN donne la première égalité de \[g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U} = g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})\] où \(f : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\) est le morphisme évident et \(\text{pr}_2 : U \times_\mathcal{X} U \to U\) la seconde projection. La seconde égalité résulte de Cohomologie des champs, lemme 0783, et de \(f = g \circ \text{pr}_2\). Puisque la diagonale de \(\mathcal{X}\) est affine, nous voyons que \(U \times_\mathcal{X} U = \Spec(R)\) est affine. Utilisons \(\text{pr}_2 : A \to R\) pour considérer \(R\) comme une \(A\)-algèbre. Au total, nous obtenons \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U) = F(g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})) = R \otimes_A C\] où la dernière égalité résulte de la dernière assertion du lemme 0GRK. Puisque \(A \to R\) est plat (car \(\text{pr}_2\) est plat en tant que changement de base de \(U \to \mathcal{X}\)), nous concluons que \(C \otimes_B C\) est plat sur \(C\). D’après le lemme 0GRM, nous concluons que \(B \to C\) est fidèlement plat.

Nous affirmons qu’il existe un diagramme commutatif aux flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(C \otimes_B C) \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \ar[r] & U \times_\mathcal{X} U \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \\ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(B) \ar@{..>}[r] & \mathcal{X} }\] La flèche \(\Spec(C) \to U = \Spec(A)\) provient de l’homomorphisme d’anneaux \(A \to C\) de l’énoncé du lemme 0GRK. De même, la flèche \(\Spec(C \otimes_B C) \to U \times_\mathcal{X} U\) provient de l’homomorphisme d’anneaux \(R \to C \otimes_B C\). Pour vérifier que le carré supérieur est commutatif, utilisons le lemme 0GRP ; les détails sont omis. Nous en concluons que nous obtenons la flèche pointillée \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\) grâce à la proposition 0GRH.

L’assertion selon laquelle \(F\) est le foncteur image inverse associé à la flèche pointillée découle elle aussi clairement de ceci et de l’assertion correspondante du lemme 0GRK. Les détails sont omis.

Pour un anneau \(B\), notons \(\text{Mod}^{fg}_B\) la catégorie des \(B\)-modules de type fini (également appelés \(B\)-modules finis).

Théorème

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique noethérien à diagonale affine. Soit \(B\) un anneau noethérien. Soit \(F : \text{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}^{fg}_B\) un foncteur tensoriel exact à droite. Alors \(F\) provient d’un unique morphisme \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\).

Démonstration

Le lemme 0GRJ permet de prolonger \(F\) de manière unique en un foncteur tensoriel exact à droite \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) qui commute à toutes les sommes directes. Nous pouvons alors appliquer le lemme 0GRQ.