La formule des traces

Introduction

Voici les notes de la seconde partie d’un cours de cohomologie étale donné par Johan de Jong à l’Université Columbia à l’automne 2009. Les auteurs des notes initiales étaient Thibaut Pugin, Zachary Maddock et Min Lee. Au fil du temps, nous ajouterons des références aux prérequis dans le reste du projet Champs et donnerons des démonstrations rigoureuses de tous les énoncés.

La formule des traces

Un cours classique de cohomologie étale énoncerait et démontrerait normalement les théorèmes de changement de base propre et lisse, la pureté et la dualité de Poincaré. Tout cela se trouve dans [SGA4.5, Arcata]. Nous allons plutôt étudier la formule des traces pour le Frobenius, en suivant l’exposé de Deligne dans [SGA4.5, Rapport]. Nous nous limiterons à la dimension 1, mais le changement de base propre suffit alors à traiter le cas général. Puisque tous les groupes de cohomologie considérés seront étales, nous omettons l’indice \(_\etale\). Décrivons maintenant la formule que nous cherchons. Soient \(X\) un schéma de type fini de dimension 1 sur un corps fini \(k\), \(\ell\) un nombre premier et \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible et plat de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules. Alors [03SK]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\text{Frob} | \mathcal{F}_{\bar x}) = \sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\pi_X^* | H^i_c(X \otimes_k \bar k, \mathcal{F})) \end{equation}\] comme éléments de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\). Comme nous le verrons, cette formulation est légèrement incorrecte telle quelle. Décrivons néanmoins les symboles qui y figurent.

Les Frobenius

Dans cette section, nous allons démontrer un théorème “déroutant”. Un analogue topologique de ce théorème déroutant est le suivant.

Exercice

Soient \(X\) un espace topologique et \(g : X \to X\) une application continue telle que \(g^{-1}(U) = U\) pour tout ouvert \(U\) de \(X\). Alors \(g\) induit l’identité sur la cohomologie de \(X\) (à coefficients quelconques).

Passons maintenant à l’énoncé pour le site étale.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(g : X \to X\) un morphisme. Supposons que, pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), il existe un isomorphisme \[\xymatrix{ U \ar[rd]_\varphi \ar[rr]^-\sim & & {U \times_{\varphi, X, g} X} \ar[ld]^{\text{pr}_2} \\ & X }\] fonctoriel en \(U\). Alors \(g\) induit l’identité en cohomologie (pour tout faisceau).

Démonstration

La démonstration est formelle et ne présente aucune difficulté.

Voir Variétés, section 0CC6, pour une discussion des différentes variantes du morphisme de Frobenius.

Théorème

Soit \(X\) un schéma de caractéristique \(p > 0\). Alors le Frobenius absolu induit (par image réciproque) l’identité en cohomologie, c’est-à-dire que, pour tout entier \(j\geq 0\), \[F_X^* : H^j (X, \underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}) \longrightarrow H^j (X, \underline{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}})\] est l’identité.

Ce théorème est purement formel. Il est toutefois utile de revoir comment calculer l’image réciproque d’une classe de cohomologie. Disons simplement que, lorsque la cohomologie coïncide avec celle de Čech, il suffit de tirer en arrière les cocycles de Čech (au moyen des produits fibrés sur un site). Le cas général est assez technique ; voir Hyperrecouvrements, théorème 01H0. Pour démontrer le théorème, il nous suffit de vérifier que l’hypothèse du lemme 03SP est satisfaite par le Frobenius.

Démonstration

Nous devons vérifier l’existence d’un isomorphisme fonctoriel comme ci-dessus. Pour un morphisme étale \(\varphi : U \to X\), considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \ar@{-->}[rd] \ar@/^1pc/[rrd]^{F_U} \ar@/_1pc/[rdd]_\varphi \\ & {U \times_{\varphi, X, F_X} X} \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar[d]^{\text{pr}_2} & U \ar[d]^\varphi \\ & X \ar[r]^{F_X} & X. }\] La flèche en pointillés est un morphisme étale et un homéomorphisme universel ; c’est donc un isomorphisme. Voir Morphismes étales, lemme 0EBS.

Définition

Soit \(k\) un corps fini à \(q = p^f\) éléments. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Le Frobenius géométrique de \(X\) est le morphisme \(\pi_X : X \to X\) au-dessus de \(\Spec(k)\) égal à \(F_X^f\).

Puisque \(\pi_X\) est un morphisme sur \(k\), nous pouvons le changer de base par n’importe quel schéma sur \(k\). En particulier, le changement de base à la clôture algébrique \(\bar k\) donne un morphisme \(\pi_X : X_{\bar k} \to X_{\bar k}\). Employer aussi \(\pi_X\) pour ce changement de base ne devrait pas prêter à confusion, car \(X_{\bar k}\) n’a pas de Frobenius géométrique propre.

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Il existe alors des isomorphismes canoniques \(\pi_X^{-1} \mathcal{F} \cong \mathcal{F}\) et \(\mathcal{F} \cong {\pi_X}_*\mathcal{F}\).

Cela est faux pour le site fppf.

Démonstration

Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale. Rappelons que \({\pi_X}_* \mathcal{F} (U) = \mathcal{F} (U \times_{\varphi, X, \pi_X} X)\). Puisque \(\pi_X = F_X^f\), la démonstration du théorème 03SN fournit un isomorphisme fonctoriel \[\xymatrix{ U \ar[rd]_{\varphi} \ar[rr]_-{\gamma_U} & & U \times_{\varphi, X, \pi_X} X \ar[ld]^{\text{pr}_2} \\ & X }\] où \(\gamma_U = (\varphi, F_U^f)\). Nous définissons maintenant un isomorphisme \[\mathcal{F} (U) \longrightarrow {\pi_X}_* \mathcal{F} (U) = \mathcal{F} (U \times_{\varphi, X, \pi_X} X)\] comme l’application de restriction de \(\mathcal{F}\) le long de \(\gamma_U^{-1}\). L’autre isomorphisme se construit de manière analogue.

Remarque

Il se peut, ou non, que \(F^f_U\) soit égal à \(\pi_U\).

Poursuivons l’étude de la cohomologie des faisceaux sur notre schéma \(X\) défini sur le corps fini \(k\) à \(q = p^f\) éléments. Fixons une clôture algébrique \(\bar k\) de \(k\) et notons \(G_k = \text{Gal}(\bar k/k)\) le groupe de Galois absolu de \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Nous allons munir d’une structure de \(G_k\)-module à gauche le groupe de cohomologie \(H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\) de la manière suivante : si \(\sigma \in G_k\), le diagramme \[\xymatrix{ X_{\bar k} \ar[rd] \ar[rr]^{\Spec(\sigma) \times \text{id}_X} & & X_{\bar k} \ar[ld] \\ & X }\] est commutatif. Nous pouvons donc poser, pour \(\xi \in H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\), \[\sigma \cdot \xi := (\Spec(\sigma) \times \text{id}_X)^*\xi \in H^j(X_{\bar k}, (\Spec(\sigma) \times \text{id}_X)^{-1} \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}) = H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}),\] où la dernière égalité résulte de la commutativité du diagramme précédent. Cela munit ce dernier groupe d’une structure de \(G_k\)-module.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, notons \(\alpha : X \to \Spec(k)\) le morphisme structural. Considérons la fibre \((R^j\alpha_*\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)}\) munie de son action galoisienne naturelle comme dans Cohomologie étale, section 03QW. Alors l’identification \[(R^j\alpha_*\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)} \cong H^j (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\] du théorème 03Q9 de Cohomologie étale est un isomorphisme de \(G_k\)-modules.

Un résultat analogue vaut lorsque l’on compare \((R^j\alpha_!\mathcal{F})_{\Spec(\bar k)}\) à \(H^j_c (X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\).

Démonstration

Omise.

Définition

Le Frobenius arithmétique est l’application \(\text{frob}_k : \bar k \to \bar k\), \(x \mapsto x^q\) appartenant à \(G_k\).

Théorème

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Alors, pour tout \(j\geq 0\), \(\text{frob}_k\) agit sur le groupe de cohomologie \(H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}})\) comme l’inverse de l’application \(\pi_X^*\).

L’application \(\pi_X^*\) est définie par la composée \[H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}) \xrightarrow{{\pi_X}_{\bar k}^*} H^j(X_{\bar k}, (\pi_X^{-1} \mathcal{F})|_{X_{\bar k}}) \cong H^j(X_{\bar k}, \mathcal{F}|_{X_{\bar k}}).\] où le dernier isomorphisme provient de l’isomorphisme canonique \(\pi_X^{-1} \mathcal{F} \cong \mathcal{F}\) du lemme 03SR.

Démonstration

La composée \(X_{\bar k} \xrightarrow{\Spec(\text{frob}_k)} X_{\bar k} \xrightarrow{\pi_X} X_{\bar k}\) est égale à \(F_{X_{\bar k}}^f\) ; le résultat découle donc du théorème déroutant convenablement généralisé à des coefficients non triviaux. Notons que la composée précédente commute au sens où \(F_{X_{\bar k}}^f = \pi_X \circ \Spec(\text{frob}_k) = \Spec(\text{frob}_k) \circ \pi_X\).

Définition

Si \(x \in X(k)\) est un point rationnel et \(\bar x : \Spec(\bar k) \to X\) est le point géométrique au-dessus de \(x\), nous notons \(\pi_x : \mathcal{F}_{\bar x} \to \mathcal{F}_{\bar x}\) l’action de \(\text{frob}_k^{-1}\) et l’appelons le Frobenius géométrique¹

Nous pouvons maintenant donner un énoncé plus précis (quoique faux) de la formule des traces (03SK). Soit \(X\) un schéma de type fini de dimension 1 sur un corps fini \(k\), \(\ell\) un nombre premier et \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible et plat de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules. Alors [03SX]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\pi_x | \mathcal{F}_{\bar x}) = \sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\pi_X^* | H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})) \end{equation}\] comme éléments de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\). Cette égalité est incorrecte parce que la trace du membre de droite n’a pas de sens pour le type de faisceaux considéré. Avant d’aborder ce problème, cherchons à motiver l’apparition du Frobenius géométrique (outre le fait qu’il s’agit d’un morphisme naturel !).

Considérons le cas où \(X = \mathbf{P}^1_k\) et \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\). En tout point, le module galoisien \(\mathcal{F}_{\bar x}\) est trivial ; ainsi, pour tout morphisme \(\varphi\) agissant sur \(\mathcal{F}_{\bar x}\), le membre de gauche vaut \[\sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\varphi | \mathcal{F}_{\bar x}) = \#\mathbf{P}^1_k(k) = q+1.\] Or \(\mathbf{P}^1_k\) est propre, donc la cohomologie à support propre coïncide avec la cohomologie usuelle ; ainsi, pour un morphisme \(\pi : \mathbf{P}^1_k \to \mathbf{P}^1_k\), le membre de droite vaut \[\text{Tr}(\pi^* | H^0 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) + \text{Tr}(\pi^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})).\] Le module galoisien \(H^0 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}) = \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\) est trivial, car l’image réciproque de l’identité est l’identité. La première trace vaut donc 1, quel que soit \(\pi\). Pour la seconde trace, nous devons calculer l’image réciproque \(\pi^* : H^2(\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}))\) pour une application \(\pi : \mathbf{P}^1_{\bar k} \to \mathbf{P}^1_{\bar k}\). C’est un bon exercice, et la réponse est la multiplication par le degré de \(\pi\) (pour une démonstration, voir Cohomologie étale, lemme 0AMB). Autrement dit, le calcul est le même que dans le cadre familier de la cohomologie complexe. En particulier, si \(\pi\) est le Frobenius géométrique, nous obtenons \[\text{Tr}(\pi_X^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) = q\] et si \(\pi\) est le Frobenius arithmétique, nous obtenons \[\text{Tr}(\text{frob}_k^* | H^2 (\mathbf{P}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})) = q^{-1}.\] Cette dernière possibilité est manifestement incorrecte.

Remarque

Le calcul des degrés peut s’effectuer en relevant (en un sens évident) en caractéristique 0 et en considérant la situation à coefficients complexes. Cette méthode ne fonctionne presque jamais, puisque le relèvement est en général impossible pour les schémas autres que l’espace projectif.

Reste à comprendre pourquoi nous devons considérer la cohomologie à support propre. En fait, au vu de la dualité de Poincaré, elle n’est pas absolument nécessaire pour les variétés lisses, mais cela impose d’introduire certaines puissances de \(q\). Par exemple, considérons le cas où \(X = \mathbf{A}^1_k\) et \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}}\). L’action sur les fibres est encore triviale ; nous n’avons donc qu’à examiner l’action sur la cohomologie. Mais alors \(\pi_X^*\) agit comme l’identité sur \(H^0(\mathbf{A}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})\) et comme la multiplication par \(q\) sur \(H^2_c(\mathbf{A}^1_{\bar k}, \underline{\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}})\).

Traces

Nous expliquons maintenant comment prendre la trace d’un endomorphisme d’un module sur un anneau non commutatif. Fixons un anneau fini \(\Lambda\) dont le cardinal est premier à \(p\). En général, \(\Lambda\) est l’anneau de groupe \((\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]\) d’un groupe fini \(G\). Par convention, tous les \(\Lambda\)-modules considérés seront des \(\Lambda\)-modules à gauche.

Introduisons la notation suivante : nous notons \(\Lambda^\natural\) le quotient de \(\Lambda\) par le sous-groupe additif engendré par les commutateurs (c’est-à-dire les éléments de la forme \(ab-ba\), \(a, b \in \Lambda\)). Notons que \(\Lambda^\natural\) n’est pas un anneau.

Par exemple, le module \((\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]^\natural\) est le dual de l’espace des fonctions centrales, de sorte que \[(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})[G]^\natural = \bigoplus\nolimits_{\text{classes de conjugaison dans }G} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}.\] Pour un \(\Lambda\)-module libre, on a \(\text{End}_\Lambda(\Lambda^{\oplus m}) = \text{Mat}_m(\Lambda)\). Puisque les modules sont à gauche, la représentation des endomorphismes par des matrices est une action à droite : si \(a \in \text{End}(\Lambda^{\oplus m})\) a pour matrice \(A\) et si \(v \in \Lambda\), alors \(a(v) = v A\).

Définition

La trace de l’endomorphisme \(a\) est la somme des termes diagonaux d’une matrice qui le représente. On obtient ainsi une application additive \(\text{Tr} : \text{End}_\Lambda(\Lambda^{\oplus m}) \to \Lambda^\natural\).

Exercice

Étant données des applications \[\Lambda^{\oplus m} \xrightarrow{a} \Lambda^{\oplus n} \quad\text{et}\quad \Lambda^{\oplus n} \xrightarrow{b} \Lambda^{\oplus m}\] montrer que \(\text{Tr}(ab) = \text{Tr}(ba)\).

Étendons la définition de la trace à un \(\Lambda\)-module projectif de type fini \(P\) et à un endomorphisme \(\varphi\) de \(P\). Écrivons \(P\) comme facteur direct d’un \(\Lambda\)-module libre, c’est-à-dire considérons des applications \(P \xrightarrow{a} \Lambda^{\oplus n} \xrightarrow{b} P\) telles que

1. \(\Lambda^{\oplus n} = \Im(a) \oplus \Ker(b)\) ; et

2. \(b\circ a = \text{id}_P\).

Nous posons alors \(\text{Tr}(\varphi) = \text{Tr}(a\varphi b)\). Il est facile de vérifier que cette définition ne dépend pas des choix, au moyen de l’exercice précédent.

Pourquoi les catégories dérivées ?

Avec cette définition de la trace, examinons un autre problème que pose la formule telle qu’elle est énoncée. Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(k\). Il existe une correspondance entre les faisceaux finis localement constants \(\mathcal{F}\) sur \(C_\etale\) dont les fibres sont isomorphes à \({(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})}^{\oplus m}\) d’une part, et les représentations continues \(\rho : \pi_1 (C, \bar c) \to \text{GL}_m(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}))\) (pour un choix fixé de \(\bar c\)) d’autre part. Nous notons \(\mathcal{F}_\rho\) le faisceau correspondant à \(\rho\). Alors \(H^2 (C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\) est le groupe des coinvariants pour l’action de \(\rho(\pi_1 (C, \bar c))\) sur \({(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})}^{\oplus m}\), et l’on a la suite exacte courte suivante \[0 \longrightarrow \pi_1 (C_{\bar k}, \bar c) \longrightarrow \pi_1 (C, \bar c) \longrightarrow G_k \longrightarrow 0.\] Par exemple, faisons agir \(\mathbf{Z} = \mathbf{Z} \sigma\) sur \(\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z}\) par \(\sigma(x) = (1+\ell) x\). Les coinvariants sont \((\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z})_{\sigma} = \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\), qui n’est pas un \(\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z}\)-module plat. Nous ne pouvons donc pas prendre la trace d’une action sur \(H^2(C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\), du moins pas au sens de la section précédente.

En fait, notre objectif est d’établir une formule des traces à coefficients \(\ell\)-adiques. Mais \(\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Z}_\ell[1/\ell]\) et \(\mathbf{Z}_\ell = \lim \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\), et même pour un faisceau plat de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules, les groupes de cohomologie individuels peuvent ne pas être plats, de sorte que nous ne pouvons calculer les traces. Une solution possible consiste à considérer le complexe dérivé total \(R\Gamma(C_{\bar k}, \mathcal{F}_\rho)\) dans la catégorie dérivée \(D(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) et à montrer qu’il s’agit d’un objet parfait, c’est-à-dire qu’il est quasi-isomorphe à un complexe fini de modules libres de type fini. Pour de tels complexes, on peut définir la trace, mais cela exigera un exposé des catégories dérivées.

Catégories dérivées

Pour fixer les notations, soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) la catégorie abélienne des complexes de \(\mathcal{A}\). Soit \(K(\mathcal{A})\) la catégorie des complexes à homotopie près, dont les objets sont les complexes de \(\mathcal{A}\) et les morphismes des classes d’homotopie de morphismes de complexes. Ce n’est pas une catégorie abélienne. Grossièrement, \(D(A)\) est définie comme la catégorie obtenue en inversant tous les quasi-isomorphismes de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) ou, de manière équivalente, de \(K(\mathcal{A})\). On peut en outre définir \(\text{Comp}^+(\mathcal{A}), K^+(\mathcal{A}), D^+(\mathcal{A})\) de manière analogue en ne considérant que des complexes bornés inférieurement. De même, on peut définir \(\text{Comp}^-(\mathcal{A}), K^-(\mathcal{A}), D^-(\mathcal{A})\) à l’aide des complexes bornés supérieurement, et l’on peut définir \(\text{Comp}^b(\mathcal{A}), K^b(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\) à l’aide des complexes bornés.

Remarque

Quelques remarques sur les catégories dérivées.

1. Des problèmes ensemblistes se posent lorsque \(\mathcal{A}\) est assez arbitraire ; nous les ignorerons allègrement.

2. Les catégories \(K(A)\) et \(D(A)\) sont munies d’une structure de catégorie triangulée.

3. Les catégories \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) et \(K(\mathcal{A})\) peuvent aussi être définies lorsque \(\mathcal{A}\) est une catégorie additive.

Le foncteur d’homologie \(H^i : \text{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) défini par \(K^\bullet \mapsto H^i(K^\bullet)\) se prolonge en des foncteurs \(H^i : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) et \(H^i : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\).

Lemme

Un objet \(E\) de \(D(\mathcal{A})\) appartient à \(D^+(\mathcal{A})\) si et seulement si \(H^i(E) =0\) pour tout \(i \ll 0\). Des énoncés analogues valent pour \(D^-\) et \(D^b\).

Démonstration

Indication : utiliser les foncteurs de troncation. Voir Catégories dérivées, lemme 05RV.

Lemme

Morphismes entre objets de la catégorie dérivée.

1. Soit \(I^\bullet \in \text{Comp}^+(\mathcal{A})\) tel que \(I^n\) soit injectif pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Alors \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet).\]

2. Soit \(P^\bullet \in \text{Comp}^-(\mathcal{A})\) tel que \(P^n\) soit projectif pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Alors \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet).\]

3. Si \(\mathcal{A}\) possède assez d’injectifs et si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) est la sous-catégorie additive des objets injectifs, alors \(D^+(\mathcal{A})\cong K^+(\mathcal{I})\) (en tant que catégories triangulées).

4. Si \(\mathcal{A}\) possède assez de projectifs et si \(\mathcal{P} \subset \mathcal{A}\) est la sous-catégorie additive des objets projectifs, alors \(D^-(\mathcal{A}) \cong K^-(\mathcal{P}).\)

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche et supposons que \(\mathcal{A}\) possède assez d’injectifs. Nous définissons le foncteur dérivé total à droite de \(F\) comme le foncteur \(RF: D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})\) s’insérant dans le diagramme \[\xymatrix{ D^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RF} & D^+(\mathcal{B}) \\ K^+(\mathcal I) \ar[u] \ar[r]^F & K^+(\mathcal{B}). \ar[u] }\] Cela est possible puisque la flèche verticale de gauche est inversible d’après le lemme précédent. De même, soit \(G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à droite et supposons que \(\mathcal{A}\) possède assez de projectifs. Nous définissons le foncteur dérivé total à gauche de \(G\) comme le foncteur \(LG: D^-(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})\) s’insérant dans le diagramme \[\xymatrix{ D^-(\mathcal{A}) \ar[r]^{LG} & D^-(\mathcal{B}) \\ K^-(\mathcal{P}) \ar[u] \ar[r]^G & K^-(\mathcal{B}). \ar[u] }\] Cela est possible puisque la flèche verticale de gauche est inversible d’après le lemme précédent.

Remarque

Dans ces cas, on a \(R^iF(K^\bullet) = H^i(RF(K^\bullet))\), où le membre de gauche est défini comme la \(i\)-ième homologie du complexe \(F(K^\bullet)\).

Catégorie dérivée filtrée

Il s’avère que nous devons tout recommencer et construire également la catégorie dérivée filtrée.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.

1. Soit \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) la catégorie des objets filtrés \((A, F)\) de \(\mathcal{A}\), où \(F\) est une filtration de la forme \[A \supset \ldots \supset F^n A \supset F^{n+1}A \supset \ldots \supset 0.\] Il s’agit d’une catégorie additive.

2. Nous notons \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) dont les objets \((A, F)\) ont une filtration finie. C’est encore une catégorie additive.

3. Un objet \(I \in \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est dit injectif filtré (respectivement projectif filtré) si \(\text{gr}^p(I) = \text{gr}_F^p(I) = F^pI/F^{p+1}I\) est injectif (respectivement projectif) dans \(\mathcal{A}\) pour tout \(p\).

4. La catégorie des complexes \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \supset \text{Comp}^+(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) et sa catégorie homotopique \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \supset K^+(\text{Fil}^f(\mathcal A))\) sont définies comme précédemment.

5. Un morphisme \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) de complexes de \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) est appelé un quasi-isomorphisme filtré si \[\text{gr}^p(\alpha): \text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(L^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme pour tout \(p \in \mathbf{Z}\).

6. Nous définissons \(DF(\mathcal{A})\) (respectivement \(DF^+(\mathcal{A})\)) en inversant les quasi-isomorphismes filtrés dans \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) (respectivement \(K^+(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\)).

Lemme

Si \(\mathcal{A}\) possède assez d’injectifs, alors \(DF^+(\mathcal{A}) \cong K^+(\mathcal{I})\), où \(\mathcal{I}\) est la sous-catégorie additive pleine de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) formée des objets injectifs filtrés. De même, si \(\mathcal{A}\) possède assez de projectifs, alors \(DF^-(\mathcal{A}) \cong K^-(\mathcal{P})\), où \(\mathcal P\) est la sous-catégorie additive pleine de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) formée des objets projectifs filtrés.

Démonstration

Démonstration omise.

Foncteurs dérivés filtrés

Il y a ensuite les foncteurs dérivés filtrés.

Définition

Soit \(T: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche et supposons que \(\mathcal{A}\) possède assez d’injectifs. Définissons \(RT: DF^+(\mathcal{A}) \to D F^+(\mathcal{B})\) de sorte qu’il s’insère dans le diagramme \[\xymatrix{ DF^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} & DF^+(\mathcal{B}) \\ K^+(\mathcal{I}) \ar[u] \ar[r]^{T \quad} & K^+(\text{Fil}^f(\mathcal{B})). \ar[u]}\] Ce foncteur est bien défini d’après le lemme précédent. Soit \(G: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à droite et supposons que \(\mathcal{A}\) possède assez de projectifs. Définissons \(LG: DF^-(\mathcal{A}) \to DF^-(\mathcal{B})\) de sorte qu’il s’insère dans le diagramme \[\xymatrix{ DF^-(\mathcal{A}) \ar[r]^{LG} & DF^-(\mathcal{B}) \\ K^-(\mathcal{P}) \ar[u] \ar[r]^{G \quad} & K^-(\text{Fil}^f(\mathcal{B})). \ar[u]}\] Là encore, ce foncteur est bien défini d’après le lemme précédent. Les foncteurs \(RT\), respectivement \(LG\), sont appelés le foncteur dérivé filtré de \(T\), respectivement de \(G\).

Proposition

Dans la situation ci-dessus, on a \[\text{gr}^p \circ RT = RT \circ \text{gr}^p\] où le \(RT\) de gauche est le foncteur dérivé filtré, tandis que celui de droite est le foncteur dérivé total. Autrement dit, on a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ DF^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} \ar[d]_{\text{gr}^p} & DF^+(\mathcal{B}) \ar[d]^{\text{gr}^p}\\ D^+(\mathcal{A}) \ar[r]^{RT} & D^+(\mathcal{B}).}\]

Démonstration

Démonstration omise.

Pour \(K^\bullet \in DF^+(\mathcal{B})\), on obtient une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^{p+q}(\text{gr}^p K^\bullet) \Rightarrow H^{p+q}(\text{oubli de la filtration}(K^\bullet)).\]

Application des complexes filtrés

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant assez d’injectifs, et soit \(0 \to L \to M \to N \to 0\) une suite exacte courte dans \(\mathcal{A}\). Considérons \(\widetilde M \in \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) obtenu en munissant \(M\) de la filtration définie par \[F^1M = L, \ F^nM = M \text{ pour }n \leq 0\text{, et }F^nM = 0\text{ pour }n \geq 2.\] Par définition, on a \[\text{oubli de la filtration}(\widetilde M) = M, \quad \text{gr}^0(\widetilde M) = N, \quad \text{gr}^1(\widetilde M) = L\] et \(\text{gr}^n(\widetilde M) = 0\) pour tout autre \(n \neq 0, 1\). Soit \(T: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche. Supposons que \(\mathcal{A}\) possède assez d’injectifs. Alors \(RT(\widetilde M) \in DF^+(\mathcal{B})\) est un complexe filtré vérifiant \[\text{gr}^p(RT(\widetilde M)) \stackrel{\text{qis}}{=} \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & p \neq 0, 1, \\ RT(N) & \text{si} & p = 0, \\ RT(L) & \text{si} & p = 1. \end{matrix} \right.\] et \(\text{oubli de la filtration}(RT(\widetilde M))\stackrel{\text{qis}}{ = } RT(M)\). La suite spectrale appliquée à \(RT(\widetilde M)\) donne \[E_1^{p, q} = R^{p+q}T(\text{gr}^p(\widetilde M)) \Rightarrow R^{p+q}T(\text{oubli de la filtration}(\widetilde M)).\] En développant la suite spectrale, on obtient la suite exacte longue \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & T(L) \ar[r] & T(M) \ar[r] & T(N) \ar@(rd, ul)[rdllllr] \\ & R^1T(L) \ar[r] & R^1T(M) \ar[r] & \ldots }\] Nous l’utiliserons de la manière suivante. Soit \(X/k\) un schéma de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)-module constructible plat. Nous voulons alors montrer que la trace \[\text{Tr}( \pi_X^\ast | R\Gamma_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})) \in \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\] est additive sur les suites exactes courtes. Pour le voir, il ne suffira pas de travailler avec \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, -) \in D^+(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z})\), mais il faudra utiliser la catégorie dérivée filtrée.

Complexes parfaits

Soit \(\Lambda\) un anneau (éventuellement non commutatif), \(\text{Mod}_{\Lambda}\) la catégorie des \(\Lambda\)-modules à gauche, \(K(\Lambda) = K(\text{Mod}_\Lambda)\) sa catégorie homotopique, et \(D(\Lambda)= D(\text{Mod}_\Lambda)\) la catégorie dérivée correspondante.

Définition

Nous notons \(K_{perf}(\Lambda)\) la catégorie dont les objets sont les complexes bornés de \(\Lambda\)-modules projectifs de type fini, et dont les morphismes sont les morphismes de complexes à homotopie près. Le foncteur \(K_{perf}(\Lambda)\to D(\Lambda)\) est pleinement fidèle (Catégories dérivées, lemme 064B). Notons \(D_{perf}(\Lambda)\) son image essentielle. Un objet de \(D(\Lambda)\) est dit parfait s’il appartient à \(D_{perf}(\Lambda)\).

Proposition

Soient \(K\in D_{perf}(\Lambda)\) et \(f\in \text{End}_{D(\Lambda)}(K)\). Alors la trace \(\text{Tr}(f)\in \Lambda^\natural\) est bien définie.

Démonstration

Nous utiliserons le lemme de Catégories dérivées 064B sans plus le mentionner dans cette démonstration. Soit \(P^\bullet\) un complexe borné de \(\Lambda\)-modules projectifs de type fini et soit \(\alpha : P^\bullet \to K\) un isomorphisme dans \(D(\Lambda)\). Alors \(\alpha^{-1}\circ f\circ \alpha\) correspond à un morphisme de complexes \(f^\bullet : P^\bullet \to P^\bullet\) bien défini à homotopie près. Posons \[\text{Tr}(f) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}(f^i : P^i \to P^i) \in \Lambda^\natural.\] Une fois \(P^\bullet\) et \(\alpha\) fixés, cette définition ne dépend pas du choix de \(f^\bullet\). En effet, tout autre choix est de la forme \(\tilde{f}^\bullet = f^\bullet + dh +hd\) pour un certain \(h^i : P^i \to P^{i-1}(i\in \mathbf{Z})\). Mais \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(dh) & = & \sum_i (-1)^i \text{Tr}(P^i\xrightarrow{dh} P^i) \\ & = & \sum_i (-1)^i \text{Tr}(P^{i-1}\xrightarrow{hd} P^{i-1}) \\ & = & -\sum_i (-1)^{i-1}\text{Tr}(P^{i-1}\xrightarrow{hd} P^{i-1}) \\ & = & - \text{Tr}(hd) \end{eqnarray*}\] donc \(\sum_i (-1)^i \text{Tr} ((dh+hd)|_{P^i})=0\). En outre, cette définition ne dépend pas du choix de \((P^\bullet , \alpha)\) : supposons que \((Q^\bullet, \beta)\) soit un autre choix. Les composées \[Q^\bullet \xrightarrow{\beta} K \xrightarrow{\alpha^{-1}} P^\bullet \quad\text{et}\quad P^\bullet \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{\beta^{-1}} Q^\bullet\] sont représentables par des morphismes de complexes \(\gamma_1^\bullet\) et \(\gamma_2^\bullet\) respectivement, tels que \(\gamma_1^\bullet \circ \gamma_2^\bullet\) soit homotope à l’identité. Ainsi, le morphisme de complexes \(\gamma_2^\bullet\circ f^\bullet\circ \gamma_1^\bullet : Q^\bullet\to Q^\bullet\) représente le morphisme \(\beta^{-1}\circ f\circ\beta\) dans \(D(\Lambda)\). Or \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\gamma_2^\bullet\circ f^\bullet\circ\gamma_1^\bullet|_{Q^\bullet}) & = & \text{Tr}(\gamma_1^\bullet \circ\gamma_2^\bullet \circ f^\bullet|_{P^\bullet})\\ & = & \text{Tr}(f^\bullet|_{P^\bullet}) \end{eqnarray*}\] car \(\gamma_1^\bullet \circ \gamma_2^\bullet\) est homotope à l’identité et d’après l’indépendance du choix de \(f^\bullet\) établie ci-dessus.

Filtrations et complexes parfaits

Présentons maintenant une version filtrée de la catégorie des complexes parfaits. Un objet \((M, F)\) de \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) est dit projectif filtré de type fini si, pour tout \(p\), \(\text{gr}^p_F (M)\) est de type fini et projectif. Nous considérons alors la catégorie homotopique \(KF_{\text{perf}}(\Lambda)\) des complexes bornés d’objets projectifs filtrés de type fini de \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\). On a un diagramme de catégories \[\begin{matrix} KF(\Lambda) & \supset & KF_{\text{perf}}(\Lambda)\\ \downarrow & & \downarrow\\ DF(\Lambda) & \supset & DF_{\text{perf}}(\Lambda) \end{matrix}\] où le foncteur vertical de droite est pleinement fidèle et où la catégorie \(DF_{\text{perf}}(\Lambda)\) est son image essentielle, comme précédemment.

Lemme

Soient \(K\in DF_{\text{perf}}(\Lambda)\) et \(f\in \text{End}_{DF}(K)\). Alors \[\text{Tr}(f|_K) = \sum\nolimits_{p\in \mathbf{Z}} \text{Tr}(f|_{\text{gr}^p K}).\]

Démonstration

D’après la proposition 03TI, on peut supposer disposer d’un complexe borné \(P^\bullet\) d’objets projectifs filtrés de type fini de \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) et d’un morphisme \(f^\bullet : P^\bullet\to P^\bullet\) dans \(\text{Comp}(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda))\). Le lemme découle donc du résultat suivant, dont la démonstration est laissée au lecteur.

Lemme

Soit \(P \in \text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\) un objet projectif filtré de type fini, et soit \(f : P \to P\) un endomorphisme dans \(\text{Fil}^f(\text{Mod}_\Lambda)\). Alors \[\text{Tr}(f|_P) = \sum\nolimits_p \text{Tr}(f|_{\text{gr}^p(P)}).\]

Démonstration

Démonstration omise.

Caractérisation des objets parfaits

Pour le cas commutatif, voir Compléments sur l’algèbre, sections 064N, 0651, et 0656.

Définition

Soit \(\Lambda\) un anneau (éventuellement non commutatif). Un objet \(K\in D(\Lambda)\) est de dimension de \(\text{Tor}\) finie s’il existe \(a, b \in \mathbf{Z}\) tels que, pour tout \(\Lambda\)-module à droite \(N\), on ait \(H^i(N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K) = 0\) pour tout \(i \not \in [a, b]\).

Cela signifie en particulier que \(K \in D^b(\Lambda)\), comme on le voit en prenant \(N = \Lambda\).

Lemme

Soient \(\Lambda\) un anneau noethérien à gauche et \(K\in D(\Lambda)\). Alors \(K\) est parfait si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(K\) est de dimension de \(\text{Tor}\) finie, et

2. pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), \(H^i(K)\) est un \(\Lambda\)-module de type fini.

Démonstration

Voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0658, pour la démonstration dans le cas commutatif.

Le lecteur est vivement encouragé à essayer de démontrer cet énoncé. La démonstration repose sur le fait qu’un module à gauche de présentation finie sur un anneau est plat si et seulement s’il est projectif.

Remarque

Une variante de ce lemme consiste à considérer un schéma noethérien \(X\) et la catégorie \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) des complexes qui sont localement quasi-isomorphes à un complexe fini de modules localement libres de type fini sur \(\mathcal{O}_X\). Les objets \(K\) de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) se caractérisent par la cohérence de leurs faisceaux de cohomologie et par une dimension de Tor bornée.

Cohomologie des complexes raisonnables

Ce qui suit est un cas particulier d’un résultat plus général concernant la cohomologie à support propre des objets de \(D_{ctf}(X, \Lambda)\).

Proposition

Soient \(X\) une courbe projective sur un corps \(k\), \(\Lambda\) un anneau fini et \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\). Alors \(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\in D_{perf}(\Lambda)\).

Démonstration

La première étape consiste à montrer :

1. La cohomologie de \(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) est bornée.

Considérons la suite spectrale \[H^i(X_{\bar k}, \underline H^j(K)) \Rightarrow H^{i+j} (R\Gamma(X_{\bar k}, K)).\] Comme \(K\) est borné et que \(\Lambda\) est fini, les faisceaux \(\underline H^j(K)\) sont de torsion. De plus, \(X_{\bar k}\) est de dimension cohomologique finie, donc le membre de gauche n’est non nul que pour un nombre fini de \(i\) et de \(j\). Il en va donc de même du membre de droite.

1. Les groupes de cohomologie \(H^{i+j} (R\Gamma(X_{\bar k}, K))\) sont finis.

Comme les faisceaux \(\underline H^j(K)\) sont constructibles, les groupes \(H^i(X_{\bar k}, \underline H^j(K))\) sont finis (Cohomologie étale, section 03SB) et l’assertion découle de nouveau de la suite spectrale.

1. \(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) est de dimension de \(\text{Tor}\) finie.

Soit \(N\) un \(\Lambda\)-module à droite (en fait, comme \(\Lambda\) est fini, il suffit de supposer que \(N\) est fini). Par la formule de projection (changement de module), \[N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda R \Gamma(X_{\bar k}, K) = R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda K).\] Par conséquent, \[H^i (N \otimes^\mathbf{L}_\Lambda R\Gamma(X_{\bar k}, K)) = H^i(R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)).\] Considérons maintenant la suite spectrale \[H^i (X_{\bar k}, \underline H^j (N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)) \Rightarrow H^{i+j}(R\Gamma(X_{\bar k}, N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)).\] Comme \(K\) est de dimension de \(\text{Tor}\) finie, \(\underline H^j (N \otimes_{\Lambda}^\mathbf{L} K)\) s’annule universellement pour \(j\) assez petit, et le membre de gauche s’annule dès que \(i < 0\). Par conséquent, \(R\Gamma(X_{\bar k}, K)\) est de dimension de \(\text{Tor}\) finie, comme annoncé. C’est donc un complexe parfait d’après le lemme 03TO.

Nombres de Lefschetz

Le fait que la cohomologie totale d’un complexe constructible de dimension de Tor finie soit un complexe parfait est la raison technique essentielle pour laquelle la cohomologie se comporte bien et permet de définir rigoureusement les traces qui apparaissent dans la formule des traces.

Définition

Soient \(\Lambda\) un anneau fini, \(X\) une courbe projective sur un corps fini \(k\) et \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\) (par exemple \(K = \underline\Lambda\)). Il existe un morphisme canonique \(c_K : \pi_X^{-1}K \to K\), et son changement de base \(c_K|_{X_{\bar k}}\) induit une action, notée \(\pi_X^*\), sur le complexe parfait \(R\Gamma(X_{\bar k}, K|_{X_{\bar k}})\). Le nombre global de Lefschetz de \(K\) est la trace \(\text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma(X_{\bar k}, K)})\) de cette action. C’est un élément de \(\Lambda^\natural\).

Définition

Soient \(\Lambda, X, k, K\) comme dans la définition 03TX. Comme \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\), pour tout point géométrique \(\bar x\) de \(X\), le complexe \(K_{\bar x}\) est un complexe parfait (dans \(D_{perf}(\Lambda)\)). Comme nous l’avons vu à la section 03SL, le Frobenius \(\pi_X\) agit sur \(K_{\bar x}\). Le nombre local de Lefschetz de \(K\) est la somme \[\sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\overline{x}}})\] qui est encore un élément de \(\Lambda^\natural\).

Nous pouvons enfin formuler précisément la formule des traces.

Théorème

Soient \(X\) une courbe projective sur un corps fini \(k\), \(\Lambda\) un anneau fini et \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\). Alors les nombres de Lefschetz global et local de \(K\) sont égaux, c’est-à-dire [03U0]\[\begin{equation} \text{Tr}(\pi^*_X |_{R\Gamma(X_{\bar k}, K)}) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_X |_{K_{\bar x}}) \end{equation}\] dans \(\Lambda^\natural\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessous.

Nous utiliserons la formule des traces plutôt que de la démontrer. Néanmoins, nous donnerons de nombreux détails de la démonstration du théorème telle qu’elle est donnée dans [SGA4.5] (certaines des choses qui n’y sont pas expliquées de manière satisfaisante sont énumérées à la section 03V5).

Nous n’avons énoncé la formule que pour les courbes et, en un sens assez faible, elle est une conséquence du résultat suivant.

Théorème

Soient \(C\) une courbe projective non singulière sur un corps algébriquement clos \(k\), et \(\varphi : C \to C\) un \(k\)-endomorphisme de \(C\) distinct de l’identité. Posons \(V(\varphi) = \Delta_C \cdot \Gamma_\varphi\), où \(\Delta_C\) est la diagonale, \(\Gamma_\varphi\) est le graphe de \(\varphi\), et où le nombre d’intersection est calculé sur \(C \times C\). Soit \(J = \underline{\Picardfunctor}^0_{C/k}\) la jacobienne de \(C\), et notons \(\varphi^* : J \to J\) l’action induite par \(\varphi\) par image réciproque. Alors \[V(\varphi) = 1 - \text{Tr}_J(\varphi^*) + \deg \varphi.\]

Démonstration

Le nombre \(V(\varphi)\) est le nombre de points fixes de \(\varphi\) comptés avec multiplicité ; il est égal à \[V(\varphi) = \sum\nolimits_{c \in |C| : \varphi(c) = c} m_{\text{Fix}(\varphi)} (c)\] où \(m_{\text{Fix}(\varphi)} (c)\) est la multiplicité de \(c\) comme point fixe de \(\varphi\), c’est-à-dire l’ordre d’annulation de l’image d’une uniformisante locale par \(\varphi - \text{id}_C\). On trouvera des démonstrations de ce théorème dans [Lang] et [Weil].

Exemple

Soit \(C = E\) une courbe elliptique et soit \(\varphi = [n]\) la multiplication par \(n\). Alors \(\varphi^* = \varphi^t\) est la multiplication par \(n\) sur la jacobienne, de sorte qu’elle a pour trace \(2n\) et pour degré \(n^2\). D’autre part, le schéma des points fixes de \(\varphi\) est formé des points \(p \in E\) tels que \(n p = p\) ; c’est donc le schéma de \((n-1)\)-torsion, qui est de degré \((n-1)^2\). Le théorème s’écrit donc \[(n-1)^2 = 1 - 2n + n^2.\]

Jacobiennes. Nous examinons maintenant, sans démonstration, la correspondance entre une courbe et sa jacobienne qui intervient dans la démonstration de Weil. Soit \(C\) une courbe projective non singulière sur un corps algébriquement clos \(k\) et choisissons un point de base \(c_0 \in C(k)\). Notons \(A^1(C \times C)\) (ou \(\Pic(C \times C)\), ou \(\text{CaCl}(C \times C)\)) le groupe abélien des diviseurs de codimension 1 de \(C \times C\). Alors \[A^1(C \times C) = \text{pr}_1^* (A^1(C)) \oplus \text{pr}_2^* (A^1(C)) \oplus R\] où \[R = \{ Z \in A^1(C \times C) \ | \ Z|_{C \times \{c_0\}} \sim_\text{rat} 0 \text{ et } Z|_{\{c_0\} \times C} \sim_\text{rat} 0 \}.\] Autrement dit, \(R\) est le sous-groupe des fibrés en droites dont les restrictions aux deux sous-schémas indiqués sont triviales. Il existe alors un isomorphisme canonique de groupes abéliens \(R \cong \text{End}(J)\) qui envoie un diviseur \(Z\) de \(R\) sur l’endomorphisme \[\begin{matrix} J & \to & J \\ \left[ \mathcal{O}_C(D) \right] & \mapsto & (\text{pr}_1 |_Z)_* (\text{pr}_2 |_Z)^* (D). \end{matrix}\] La correspondance susmentionnée est la suivante. Notons \(\sigma\) l’automorphisme de \(C \times C\) qui permute les facteurs. \[\begin{matrix} \hline & \\ \text{End}(J) & R \\ & \\ \hline & \\ \text{composition de }\alpha, \beta & {\text{pr}_{13}}_* ({\text{pr}_{12}}^*(\alpha) \circ {\text{pr}_{23}}^*(\beta)) \\ & \\ \text{id}_J & \Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\} \\ & \\ \varphi^* & \Gamma_\varphi - C \times \{\varphi(c_0)\} - \sum_{\varphi(c) = c_0} \{c\} \times C \\ & \\ { \begin{matrix} \text{la forme trace} \\ \alpha, \beta \mapsto \text{Tr}(\alpha \beta) \end{matrix} } & \alpha, \beta \mapsto - \int_{C \times C} \alpha . \sigma^*\beta \\ & \\ { \begin{matrix} \text{l'involution de Rosati} \\ \alpha \mapsto \alpha^\dagger \end{matrix} } & \alpha \mapsto \sigma^*\alpha \\ & \\ { \begin{matrix} \text{positivité de Rosati} \\ \text{Tr}(\alpha\alpha^\dagger) > 0 \end{matrix} } & { \begin{matrix} \text{théorème de l'indice de Hodge sur }C \times C \\ - \int_{C \times C} \alpha \sigma^*\alpha > 0. \end{matrix} } \\ & \\ \hline \end{matrix}\] En fait, au vu de la formule de Künneth, le sous-groupe \(R\) correspond aux classes de Hodge de type \(1, 1\) dans \(H^1(C)\otimes H^1(C)\).

Démonstration de Weil. Cette correspondance permet de démontrer la formule des traces. Nous avons \[\begin{eqnarray*} V(\varphi) & = & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi.\Delta \\ & = & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) + \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\right). \end{eqnarray*}\] D’une part, \[\int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\right) = 1 + \deg \varphi\] et, d’autre part, puisque \(R\) est l’orthogonal du diviseur ample \(\{c_0\} \times C + C \times \{c_0\}\), \[\begin{eqnarray*} & & \int_{C \times C} \Gamma_\varphi. \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) \\ & = & \int_{C \times C} \left(\Gamma_\varphi - C \times \{\varphi(c_0)\} - \sum_{\varphi(c) = c_0} \{c\} \times C \right). \left(\Delta_C - \{c_0\} \times C - C \times \{c_0\}\right) \\ & = & - \text{Tr}_J (\varphi^* \circ \text{id}_J). \end{eqnarray*}\] En récapitulant, nous obtenons \[V(\varphi) = 1 - \text{Tr}_J (\varphi^*) + \deg \varphi\] ce qui donne la formule des traces.

Lemme

Considérons la situation du théorème 03U1 et soit \(\ell\) un nombre premier inversible dans \(k\). Alors \[\sum\nolimits_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = V(\varphi) \mod \ell^n.\]

Démonstration

Remarquons d’abord que l’énoncé a un sens, car les groupes \(H^i(C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})\) sont des modules libres sur \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\) pour tout \(i\). La trace de \(\varphi^*\) sur la cohomologie de degré zéro vaut 1. Le choix d’une racine primitive \(\ell^n\)-ième de l’unité dans \(k\) fournit un isomorphisme \[H^i(C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}}) \cong H^i(C, \mu_{\ell^n})\] de manière compatible avec l’action induite par l’endomorphisme considéré. D’autre part, \(H^1(C, \mu_{\ell^n}) = J[\ell^n]\). Par conséquent, \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\varphi^* |_{H^1 (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})})) & = & \text{Tr}_J (\varphi^*) \mod \ell^n \\ & = & \text{Tr}_{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}} (\varphi^* : J[\ell^n] \to J[\ell^n]). \end{eqnarray*}\] En outre, \(H^2(C, \mu_{\ell^n}) = \Pic(C)/\ell^n\Pic(C) \cong \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\), où \(\varphi^*\) agit par multiplication par \(\deg \varphi\). Par suite, \[\text{Tr} (\varphi^*|_{H^2 (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = \deg \varphi.\] Ainsi, \[\sum_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i (C, \underline{\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}})}) = 1 - \text{Tr}_J(\varphi^*) + \deg \varphi \mod \ell^n\] et le lemme découle du théorème 03U1.

Une autre manière de démontrer ce lemme consiste à montrer que \[X \mapsto H^* (X, \mathbf{Q}_\ell) = \mathbf{Q}_\ell \otimes \lim_n H^*(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\] définit une théorie cohomologique de Weil sur les variétés projectives lisses sur \(k\). Alors la formule des traces \[V(\varphi) = \sum_{i = 0}^2 (-1)^i \text{Tr}(\varphi^* |_{H^i(C, \mathbf{Q}_\ell)})\] est une conséquence formelle des axiomes (il s’agit d’un exercice d’algèbre linéaire, la démonstration étant la même que dans le cas topologique).

Préliminaires et sorites

Notations : Fixons les notations de cette section. On note \(A\) un anneau commutatif, et \(\Lambda\) un anneau (éventuellement non commutatif) muni d’un morphisme d’anneaux \(A\to \Lambda\) dont l’image est contenue dans le centre de \(\Lambda\). Soient \(G\) un groupe fini et \(\Gamma\) une extension de monoïdes de noyau \(G\) et de quotient \(\mathbf{N}\), c’est-à-dire qu’il existe une suite exacte \[1\to G\to \tilde\Gamma\to \mathbf{Z}\to 1\] et \(\Gamma\) est constitué des éléments de \(\tilde\Gamma\) dont l’image est positive ou nulle. Enfin, soit \(P\) un \(A[\Gamma]\)-module qui est de type fini et projectif en tant que \(A[G]\)-module, et soit \(M\) un \(\Lambda[\Gamma]\)-module qui est de type fini et projectif en tant que \(\Lambda\)-module.

Notre but est de calculer la trace de \(1 \in \mathbf{N}\) agissant sur le \(\Lambda\)-module des coinvariants de \(G\) dans \(P \otimes_A M\), c’est-à-dire l’élément \[\text{Tr}_{\Lambda}\left(1; \left(P \otimes_A M\right)_G\right) \in \Lambda^\natural.\] L’élément \(1\in \mathbf{N}\) correspondra au Frobenius.

Lemme

Soit \(e\in G\) l’élément neutre. L’application \[\begin{matrix} \Lambda[G] & \longrightarrow & \Lambda^{\natural}\\ \sum \lambda_g\cdot g & \longmapsto & \lambda_e \end{matrix}\] se factorise par \(\Lambda[G]^\natural\). On note \(\varepsilon : \Lambda[G]^\natural\to \Lambda^\natural\) l’application induite.

Démonstration

Il faut montrer que l’application annule les commutateurs. On a \[\left(\sum\lambda_g g\right)\left(\sum\mu_g g\right)-\left(\sum \mu_g g\right)\left(\sum\lambda_g g\right) = \sum_g\left(\sum_{g_1g_2=g} \lambda_{g_1}\mu_{g_2}-\mu_{g_1}\lambda_{g_2}\right)g\] Le coefficient de \(e\) est \[\sum_g\left(\lambda_g\mu_{g^{-1}}-\mu_g\lambda_{g^{-1}}\right) = \sum_g\left(\lambda_g\mu_{g^{-1}}-\mu_{g^{-1}}\lambda_g\right)\] qui est une somme de commutateurs et est donc nul dans \(\Lambda^\natural\).

Définition

Soit \(f : P\to P\) un endomorphisme d’un \(\Lambda[G]\)-module projectif de type fini \(P\). On pose \[\text{Tr}_{\Lambda}^G(f; P) := \varepsilon\left(\text{Tr}_{\Lambda[G]}(f; P)\right)\] et l’on appelle cet élément la \(G\)-trace de \(f\) sur \(P\).

Lemme

Soit \(f : P\to P\) un endomorphisme du \(\Lambda[G]\)-module projectif de type fini \(P\). Alors \[\text{Tr}_{\Lambda}(f; P) = \# G \cdot \text{Tr}_\Lambda^G(f; P).\]

Démonstration

Par additivité, il suffit de traiter le cas \(P = \Lambda[G]\). Dans ce cas, \(f\) est donné par la multiplication à droite par un élément \(\sum\lambda_g\cdot g\) de \(\Lambda[G]\). Dans la base \((g)_{g \in G}\), la matrice de \(f\) a pour coefficient \(\lambda_{g_2^{-1}g_1}\) à la position \((g_1, g_2)\). En particulier, tous les coefficients diagonaux sont égaux à \(\lambda_e\), et il y en a \(\# G\).

Lemme

Le morphisme \(A\to \Lambda\) définit une structure de \(A\)-module sur \(\Lambda^\natural\).

Démonstration

C’est clair.

Lemme

Soient \(P\) un \(A[G]\)-module projectif de type fini et \(M\) un \(\Lambda[G]\)-module, projectif de type fini en tant que \(\Lambda\)-module. Alors \(P \otimes_A M\) est un \(\Lambda[G]\)-module projectif de type fini, pour la structure induite par l’action diagonale de \(G\).

Notons que \(P \otimes_A M\) est naturellement un \(\Lambda\)-module, puisque \(M\) en est un. Explicitement, avec l’action diagonale, cela s’écrit \[\left(\sum\lambda_g g\right)\left(p \otimes m\right) = \sum g p \otimes \lambda_g g m.\]

Démonstration

Pour tout \(\Lambda[G]\)-module \(N\), on a \[\Hom_{\Lambda[G]}\left(P \otimes_A M, N\right)= \Hom_{A[G]}\left(P, \Hom_{\Lambda}(M, N)\right)\] où l’action de \(G\) sur \(\Hom_{\Lambda}(M, N)\) est donnée par \((g\cdot \varphi)(m) = g \varphi (g^{-1} m)\). Il suffit alors de remarquer que le membre de droite est un composé de foncteurs exacts, grâce à la projectivité de \(P\) et de \(M\).

Lemme

Sous les hypothèses du lemme 03U9, soient \(u\in \text{End}_{A[G]}(P)\) et \(v\in \text{End}_{\Lambda[G]}(M)\). Alors \[\text{Tr}_\Lambda^G \left(u \otimes v; P \otimes_A M\right) = \text{Tr}_A^G(u; P)\cdot \text{Tr}_\Lambda(v;M).\]

Démonstration

On se ramène au cas \(P=A[G]\). Dans ce cas, \(u\) est la multiplication à droite par un élément \(a = \sum a_gg\) de \(A[G]\), et l’on écrit \(u = R_a\). Il existe un isomorphisme de \(\Lambda[G]\)-modules \[\begin{matrix} \varphi : & A[G]\otimes_A M & \cong & \left(A[G]\otimes_A M\right)'\\ & g \otimes m & \longmapsto & g \otimes g^{-1}m \end{matrix}\] où \(\left(A[G]\otimes_A M\right)'\) est muni de la structure de module définie par l’action à gauche de \(G\), ainsi que par la \(\Lambda\)-linéarité sur \(M\). Ce transport de structure transforme \(u \otimes v\) en \(\sum_ga_gR_g \otimes g^{-1}v\). En d’autres termes, \[\varphi \circ (u \otimes v) \circ \varphi^{-1} = \sum_ga_gR_g \otimes g^{-1}v.\] En explicitant les deux membres de l’égalité, il suffit de montrer que \[\text{Tr}_\Lambda^G\left(\sum_g a_gR_g \otimes g^{-1}v\right) = a_e\cdot \text{Tr}_\Lambda(v; M).\] Pour cela, on montre que \[\text{Tr}_\Lambda^G\left(a_gR_g \otimes g^{-1}v\right) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{ si } g\neq e\\ a_e\text{Tr}_\Lambda\left(v; M\right) & \text{ si }g = e \end{matrix} \right.\] en se ramenant au cas \(M=\Lambda\).

Notation : Considérons l’extension de monoïdes \(1 \to G\to \Gamma\to \mathbf{N} \to 1\) et soit \(\gamma\in \Gamma\). On pose alors \(Z_\gamma = \{g\in G | g\gamma = \gamma g\}\).

Lemme

Soit \(P\) un \(\Lambda[\Gamma]\)-module, projectif de type fini en tant que \(\Lambda[G]\)-module, et soit \(\gamma \in \Gamma\). Alors \[\text{Tr}_{\Lambda}(\gamma, P) = \# Z_\gamma \cdot \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}\left(\gamma, P\right).\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 03U7.

Lemme

Soit \(P\) un \(A[\Gamma]\)-module, projectif de type fini en tant que \(A[G]\)-module. Soit \(M\) un \(\Lambda[\Gamma]\)-module, projectif de type fini en tant que \(\Lambda\)-module. Alors \[\text{Tr}_{\Lambda}^{Z_\gamma}(\gamma, P \otimes_A M) = \text{Tr}_A^{Z_\gamma}(\gamma, P)\cdot \text{Tr}_\Lambda(\gamma, M).\]

Démonstration

Cela résulte directement du lemme 03UA.

Lemme

Soit \(P\) un \(\Lambda[\Gamma]\)-module, projectif de type fini en tant que \(\Lambda[G]\)-module. Alors les coinvariants \(P_G = \Lambda \otimes_{\Lambda[G]} P\) forment un \(\Lambda\)-module projectif de type fini, muni d’une action de \(\Gamma/G = \mathbf{N}\). De plus, on a \[\text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = \sum\nolimits'_{\gamma \mapsto 1} \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}(\gamma, P)\] où \(\sum_{\gamma\mapsto 1}'\) désigne la somme étendue aux classes de \(G\)-conjugaison dans \(\Gamma\).

Démonstration

Nous le démontrons d’abord après multiplication par \(\# G\). \[\# G\cdot \text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = \text{Tr}_\Lambda(\sum\nolimits_{\gamma\mapsto 1} \gamma, P_G) = \text{Tr}_\Lambda(\sum\nolimits_{\gamma\mapsto 1} \gamma, P)\] où la seconde égalité résulte du triangle commutatif \[\xymatrix{ P^G \ar[rd]_a & & P_G \ar[ll]^c \\ & P \ar[ur]_b }\] où \(a\) est l’inclusion canonique, \(b\) la surjection canonique et \(c = \sum_{\gamma \mapsto 1} \gamma\). On a alors \[(\sum\nolimits_{\gamma \mapsto 1} \gamma) |_P = a \circ c \circ b \quad\text{et}\quad (\sum\nolimits_{\gamma \mapsto 1} \gamma) |_{P_G} = b \circ a \circ c\] ils ont donc même trace. On a alors \[\# G\cdot \text{Tr}_\Lambda(1; P_G) = {\sum_{\gamma\mapsto 1}}' \frac{\# G}{\# Z_\gamma}\text{Tr}_\Lambda(\gamma, P) = \# G{\sum_{\gamma\mapsto 1}}' \text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}(\gamma, P).\] Pour achever la démonstration, on se ramène au cas où \(\Lambda\) est sans torsion par un argument d’universalité. Voir [SGA4.5] pour les détails.

Remarque

Illustrons le contenu de la formule du lemme 03UC. Supposons que \(\Lambda\), vu comme \(\Gamma\)-module trivial, admette une résolution finie \(0\to P_r\to \ldots \to P_1 \to P_0\to \Lambda\to 0\) par des \(\Lambda[\Gamma]\)-modules \(P_i\) qui sont projectifs de type fini en tant que \(\Lambda[G]\)-modules. Dans ce cas, \[H_*\left(\left(P_\bullet\right)_G\right) = \text{Tor}_*^{\Lambda[G]}\left(\Lambda, \Lambda\right) = H_*(G, \Lambda)\] et \[\text{Tr}_\Lambda^{Z_\gamma}\left(\gamma, P_\bullet\right) =\frac{1}{\# Z_\gamma}\text{Tr}_\Lambda(\gamma, P_\bullet)=\frac{1}{\# Z_\gamma}\text{Tr}(\gamma, \Lambda) = \frac{1}{\# Z_\gamma}.\] Par conséquent, le lemme 03UC donne \[\text{Tr}_\Lambda (1 , P_G) = \text{Tr}\left(1 |_{H_*(G, \Lambda)}\right) = {\sum_{\gamma\mapsto 1}}'\frac{1}{\# Z_\gamma}.\] On peut interpréter ceci comme un comptage de points sur le champ \(BG\). Si \(\Lambda = \mathbf{F}_\ell\) avec \(\ell\) premier à \(\# G\), alors \(H_*(G, \Lambda)\) est égal à \(\mathbf{F}_\ell\) en degré 0 (et à \(0\) aux autres degrés) et la formule s’écrit \[1 = \sum\nolimits_{ \frac{\sigma\text{-conjugaison}}{\text{classes}\langle\gamma\rangle} } \frac{1}{\# Z_\gamma} \mod \ell.\] C’est, en un certain sens, une formule des traces “triviale” pour \(G\). Nous verrons plus loin que (03U0) peut, dans certains cas, être considérée comme une formule des traces hautement non triviale pour un certain type de groupe ; voir la section 03VO.

Démonstration de la formule des traces

Théorème

Soit \(k\) un corps fini et soit \(X\) un schéma séparé de type fini de dimension au plus 1 sur \(k\). Soit \(\Lambda\) un anneau fini dont le cardinal est premier à celui de \(k\), et soit \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\). Alors [03UH]\[\begin{equation} \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\bar x}}) \end{equation}\] dans \(\Lambda^{\natural}\).

On trouvera dans la remarque 03UI quelques remarques sur l’énoncé. Notation : pour abréger, nous écrivons \[T'(X, K) = \sum\nolimits_{x\in X(k)} \text{Tr}(\pi_x |_{K_{\bar x}})\] pour le membre de droite de (03UH) et \[T''(X, K) =\text{Tr}(\pi_x^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)})\] pour le membre de gauche.

Démonstration

La démonstration se fait en plusieurs étapes.

Étape 1. Soit \(j : \mathcal{U}\hookrightarrow X\) une immersion ouverte de complément \(Y = X - \mathcal{U}\) et soit \(i : Y \hookrightarrow X\). Alors \(T''(X, K) = T''(\mathcal{U}, j^{-1} K)+ T''(Y, i^{-1}K)\) et \(T'(X, K) = T'(\mathcal{U}, j^{-1} K)+ T'(Y, i^{-1}K)\).

C’est clair pour \(T'\). Pour \(T''\), utilisons la suite exacte \[0\to j_!j^{-1} K \to K \to i_* i^{-1} K \to 0\] pour munir \(K\) d’une filtration. On obtient ainsi un objet \(\widetilde K \in DF(X, \Lambda)\) dont les gradués sont \(j_!j^{-1}K\) et \(i_*i^{-1}K\); tous deux appartiennent à \(D_{ctf}(X, \Lambda)\). Par les généralités abstraites sur les catégories dérivées filtrées (INSÉRER UNE RÉFÉRENCE), \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\in DF_{perf}(\Lambda)\), et cet objet est muni de \(\pi_x^*\) dans \(DF_{perf}(\Lambda)\). D’après l’analyse des traces sur les complexes filtrés (INSÉRER UNE RÉFÉRENCE), on obtient \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}) & = & \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, j_!j^{-1}K)}) + \text{Tr}(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, i_*i^{-1}K)}) \\ & = & T''(U, i^{-1}K) + T''(Y, i^{-1}K). \end{eqnarray*}\]

Étape 2. Le théorème est vrai si \(\dim X\leq 0\).

En effet, dans ce cas \[R\Gamma_c(X_{\bar k}, K) = R\Gamma(X_{\bar k}, K) = \Gamma(X_{\bar k}, K) = \bigoplus\nolimits_{\bar x \in X_{\bar k}} K_{\bar x}\] qui est muni de l’endomorphisme \(\pi_X^*\). Comme les points fixes de \(\pi_X : X_{\bar k}\to X_{\bar k}\) sont exactement les points \(\bar x \in X_{\bar k}\) situés au-dessus d’un point \(k\)-rationnel \(x \in X(k)\) nous obtenons \[\text{Tr}\big(\pi_X^*|_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)}\big) = \sum\nolimits_{x \in X(k)} \text{Tr}(\pi_x|_{K_{\bar x}}).\] ce qui est le résultat voulu.

Étape 3.

Il suffit de démontrer l’égalité \(T'(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = T''(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) dans le cas où

• \(\mathcal{U}\) est une courbe affine irréductible lisse sur \(k\),

• \(\mathcal{U}(k) = \emptyset\),

• \(K=\mathcal{F}\) est un faisceau fini localement constant de \(\Lambda\)-modules sur \(\mathcal{U}\) dont les fibres sont des \(\Lambda\)-modules projectifs de type fini, et

• \(\Lambda\) est annulé par une puissance d’un nombre premier \(\ell\) et \(\ell \in k^*\).

En effet, d’après l’étape 2, nous pouvons retrancher tout ensemble fini de points. Mais nous n’avons qu’un nombre fini de points rationnels, de sorte que nous pouvons supposer qu’il n’y en a aucun². Nous pouvons supposer que \(\mathcal{U}\) est lisse, irréductible et affine en passant aux composantes irréductibles et en retranchant au besoin les mauvais points. Les hypothèses sur \(\mathcal{F}\) s’obtiennent en explicitant la définition de \(D_{ctf}(X, \Lambda)\) et celles sur \(\Lambda\) de l’examen de sa décomposition primaire.

Dans la suite de la démonstration, nous considérons la situation \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d]_f \ar[r] & Y \ar[d]^{\bar f} \\ \mathcal{U} \ar[r] & X }\] où \(\mathcal{U}\) est comme ci-dessus, \(f\) est un revêtement étale galoisien fini, \(\mathcal{V}\) est connexe et les flèches horizontales sont des compactifications projectives. En posant \(G=\text{Aut}(\mathcal{V}|\mathcal{U})\), nous supposons également (comme nous le pouvons) que \(f^{-1}\mathcal{F} =\underline M\) est constant, où le module \(M = \Gamma(\mathcal{V}, f^{-1}\mathcal{F})\) est un \(\Lambda[G]\)-module projectif de type fini sur \(\Lambda\). Cela correspond à l’extension de monoïdes triviale \[1\to G\to \Gamma = G \times \mathbf{N}\to \mathbf{N}\to 1.\] Dans ce contexte, compte tenu des réductions ci-dessus, nous devons montrer que \(T''(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\).

Étape 4. Il existe une action naturelle de \(G\) sur \(f_*f^{-1}\mathcal{F}\) et le morphisme trace \(f_*f^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}\) définit un isomorphisme \[(f_*f^{-1}\mathcal{F})\otimes_{\Lambda[G]} \Lambda = (f_*f^{-1}\mathcal{F})_G \cong \mathcal{F}.\]

Pour le démontrer, il suffit de tout expliciter en un point géométrique.

Étape 5. Soit \(A = \mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\) avec \(n\gg 0\). Alors \(f_*f^{-1}\mathcal{F} \cong (f_*\underline A) \otimes_{\underline A} \underline M\) muni de l’action diagonale de \(G\).

Étape 6. Il existe un isomorphisme canonique \((f_*\underline A \otimes_{\underline A} \underline M) \otimes_{\Lambda[G]} \underline \Lambda \cong \mathcal{F}\).

En fait, il s’agit d’un produit tensoriel dérivé, grâce à l’hypothèse de projectivité faite sur \(\mathcal{F}\).

Étape 7. Il existe un isomorphisme canonique \[R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F}) = (R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)\otimes_A^\mathbf{L} M)\otimes_{\Lambda[G]}^\mathbf{L} \Lambda,\] compatible avec l’action de \(\pi^*_\mathcal{U}\).

Cela résulte du théorème des coefficients universels, c’est-à-dire du fait que \(R\Gamma_c\) commute à \(\otimes^\mathbf{L}\), et de la platitude de \(\mathcal{F}\) comme \(\Lambda\)-module.

Nous avons \[\begin{eqnarray*} \text{Tr}( \pi_\mathcal{U}^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F})}) & = & {\sum_{g \in G}}' \text{Tr}_{\Lambda}^{Z_g} \left( (g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)\otimes_A^\mathbf{L} M} \right) \\ & = & {\sum_{g\in G}}' \text{Tr}_A^{Z_g} ( (g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)} ) \cdot \text{Tr}_\Lambda(g|_M) \end{eqnarray*}\] où l’action de \(\Gamma\) sur \(R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, \mathcal{F})\) prolonge celle de \(G\) et \((e, 1)\) agit par \(\pi_\mathcal{U}^*\). L’extension de monoïdes est donc donnée par \(\Gamma = G \times \mathbf{N} \to \mathbf{N}\), \(\gamma \mapsto 1\). La première égalité résulte du lemme 03UD et la seconde du lemme 03UC.

Étape 8. Il suffit de montrer que \(\text{Tr}_A^{Z_g}((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)}) \in A\) s’envoie sur zéro dans \(\Lambda\).

Rappelons que \[\begin{eqnarray*} \# Z_g \cdot \text{Tr}_A^{Z_g}((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)}) & = & \text{Tr}_A((g, \pi_\mathcal{U}^*) |_{R\Gamma_c(\mathcal{U}_{\bar k}, f_*A)})\\ & = & \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k}, A)}). \end{eqnarray*}\] La première égalité découle du le lemme 03UB, la seconde de la suite spectrale de Leray, en utilisant la finitude de \(f\) et le fait que nous ne prenons que des traces sur \(A\). Or, comme \(A=\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) avec \(n \gg 0\) et \(\# Z_g = \ell^a\) pour un certain entier (fixé) \(a\), il suffit de montrer le résultat suivant.

Étape 9. On a \(\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}, A)}) = 0\) dans \(A\).

À nouveau, par additivité, nous avons \[\begin{eqnarray*} & \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k} A)}) + \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(Y-\mathcal {V})_{\bar k}, A)}) \\ & = \text{Tr}_A((g^{-1}\pi_Y)^* |_{R\Gamma(Y_{\bar k}, A)}) \end{eqnarray*}\] Cette dernière trace est le nombre de points fixes de \(g^{-1}\pi_Y\) sur \(Y\), d’après la formule des traces de Weil, théorème 03U1. De plus, d’après le cas de dimension 0 déjà démontré à l’étape 2, \[\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^*|_{R\Gamma_c(Y-\mathcal{V})_{\bar k}, A)})\] est le nombre de points fixes de \(g^{-1}\pi_Y\) sur \((Y-\mathcal{V})_{\bar k}\). Par conséquent, \[\text{Tr}_A((g^{-1}\pi_\mathcal{V})^* |_{R\Gamma_c(\mathcal{V}_{\bar k}, A)})\] est le nombre de points fixes de \(g^{-1}\pi_Y\) sur \(\mathcal{V}_{\bar k}\). Mais il n’y en a aucun : si \(\bar y\in Y_{\bar k}\) est fixe par \(g^{-1}\pi_Y\), alors \(\bar f(\bar y) \in X_{\bar k}\) est fixe par \(\pi_X\). Mais \(\mathcal{U}\) n’a aucun point \(k\)-rationnel, donc on doit avoir \(\bar f(\bar y)\in (X-\mathcal{U})_{\bar k}\) et ainsi \(\bar y\notin \mathcal{V}_{\bar k}\), une contradiction. Ceci achève la démonstration.

Remarque

Remarques sur le théorème 03UG.

1. Cette formule vaut en toute dimension. Par un lemme de dévissage (qui utilise le changement de base propre, etc.), elle se ramène, même dans cette généralité, à l’énoncé actuel.

2. Le complexe \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\) est défini en choisissant une immersion ouverte \(j : X \hookrightarrow \bar X\) avec \(\bar X\) projectif sur \(k\) et de dimension au plus 1, et en posant \[R\Gamma_c(X_{\bar k}, K) := R\Gamma(\bar X_{\bar k}, j_!K).\] L’indépendance de ce choix de \(\bar X\) résulte de (insérer ici une référence). Nous définissons \(H^i_c(X_{\bar k}, K)\) comme le \(i\)-ième groupe de cohomologie de \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\).

Remarque

Bien que nous n’ayons fait que des réductions et surtout de l’algèbre, la formule des traces du théorème 03UG est bien plus forte que la formule géométrique des traces de Weil (théorème 03U1) car elle s’applique aux systèmes de coefficients (aux faisceaux), et pas seulement aux coefficients constants.

Applications

Bon, après avoir indiqué la démonstration de la formule des traces, essayons d’en tirer quelque chose.

Sur les faisceaux l-adiques

Définition

Soit \(X\) un schéma noethérien. Un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\), ou simplement un faisceau \(\ell\)-adique \(\mathcal{F}\), est un système projectif \(\left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\) dans lequel

1. \(\mathcal{F}_n\) est un faisceau constructible de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules sur \(X_\etale\), et

2. les morphismes de transition \(\mathcal{F}_{n+1}\to \mathcal{F}_n\) induisent des isomorphismes \(\mathcal{F}_{n+1} \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \cong \mathcal{F}_n\).

On dit que \(\mathcal{F}\) est lisse si chaque \(\mathcal{F}_n\) est localement constant. Un morphisme entre de tels faisceaux n’est autre qu’un morphisme de systèmes projectifs.

Lemme

Soit \(\{\mathcal{G}_n\}_{n\geq 1}\) un système projectif de faisceaux constructibles de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules. Supposons que, pour tout \(k\geq 1\), les morphismes \[\mathcal{G}_{n+1}/\ell^k \mathcal{G}_{n+1}\to \mathcal{G}_n /\ell^k \mathcal{G}_n\] soient des isomorphismes pour tout \(n\gg 0\) (la borne pouvant dépendre de \(k\)). En d’autres termes, supposons que le système \(\{\mathcal{G}_n/\ell^k\mathcal{G}_n\}_{n\geq 1}\) soit essentiellement constant, et désignons par \(\mathcal{F}_k\) le faisceau correspondant. Alors le système \(\left\{\mathcal{F}_k\right\}_{k\geq 1}\) est un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\).

Démonstration

La démonstration est immédiate.

Lemme

La catégorie des faisceaux de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\) est abélienne.

Démonstration

Soit \(\Phi = \left\{\varphi_n\right\}_{n\geq 1} : \left\{\mathcal{F}_n\right\} \to \left\{\mathcal{G}_n\right\}\) un morphisme de faisceaux de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules. Posons \[\Coker(\Phi) = \left\{ \Coker\left(\mathcal{F}_n \xrightarrow{\varphi_n} \mathcal{G}_n\right) \right\}_{n\geq 1}\] et \(\Ker(\Phi)\) s’obtient en appliquant le lemme 03UN au système projectif \[\left\{ \bigcap_{m\geq n} \Im\left(\Ker(\varphi_m) \to \Ker(\varphi_n)\right) \right\}_{n \geq 1}.\] On laisse au lecteur le soin de vérifier que ceci définit une catégorie abélienne.

Exemple

Soit \(X=\Spec(\mathbf{C})\) et soit \(\Phi : \mathbf{Z}_\ell\to \mathbf{Z}_\ell\) la multiplication par \(\ell\). Plus précisément, \[\Phi = \left\{ \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \xrightarrow{\ell} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\right\}_{n \geq 1}.\] Pour calculer le noyau, considérons le système projectif \[\ldots\to \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\xrightarrow{0} \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\xrightarrow{0}\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}.\] Puisque les images sont toujours nulles, \(\Ker(\Phi)\) est le système nul.

Remarque

Si \(\mathcal{F} = \left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\) est un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\) et si \(\bar x\) est un point géométrique, alors \(M_n = \left\{\mathcal{F}_{n, \bar x}\right\}\) est un système projectif de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules de type fini dont \(M_{n+1}\to M_n\) est surjectif et \(M_n = M_{n+1}/\ell^n M_{n+1}\). Il en résulte que \[M = \lim_n M_n = \lim \mathcal{F}_{n, \bar x}\] est un module de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\). Cela résulte des lemmes 09B8 et 031D du chapitre Algèbre, ainsi que du fait que \(M/\ell M = M_1\) est de dimension finie sur \(\mathbf{F}_\ell\). On a donc \(M\cong \mathbf{Z}_\ell^{\oplus r} \oplus \oplus_{i = 1}^t \mathbf{Z}_\ell/\ell^{e_i}\mathbf{Z}_\ell\) pour certains \(r, t\geq 0\), \(e_i\geq 1\). Le module \(M = \mathcal{F}_{\bar x}\) est appelé la fibre de \(\mathcal{F}\) en \(\bar x\).

Définition

Un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules \(\mathcal{F}\) est de torsion si \(\ell^n : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est le morphisme nul pour un certain \(n\). La catégorie abélienne des faisceaux de \(\mathbf{Q}_\ell\)-modules sur \(X\) est le quotient de la catégorie abélienne des faisceaux de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules par la sous-catégorie de Serre des faisceaux de torsion. En d’autres termes, ses objets sont les faisceaux de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\) et, si \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) sont deux tels faisceaux, alors \[\Hom_{\mathbf{Q}_\ell} \left(\mathcal{F}, \mathcal{G} \right) = \Hom_{\mathbf{Z}_\ell} \left(\mathcal{F}, \mathcal{G}\right) \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Q}_\ell.\] On désigne par \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F} \otimes \mathbf{Q}_\ell\) le foncteur de passage au quotient (adjoint à droite du foncteur d’inclusion). Si \(\mathcal{F} = \mathcal{F}' \otimes \mathbf{Q}_\ell\) où \(\mathcal{F}'\) est un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules et \(\bar x\) un point géométrique, alors la fibre de \(\mathcal{F}\) en \(\bar x\) est \(\mathcal{F}_{\bar x} = \mathcal{F}'_{\bar x} \otimes \mathbf{Q}_\ell\).

Remarque

Puisqu’un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules n’est défini que sur un schéma noethérien, il est de torsion si et seulement si ses fibres sont de torsion.

Définition

Si \(X\) est un schéma séparé de type fini sur un corps algébriquement clos \(k\) et si \(\mathcal{F} = \left\{\mathcal{F}_n\right\}_{n\geq 1}\) est un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules sur \(X\), on définit \[H^i(X, \mathcal{F}) := \lim_n H^i(X, \mathcal{F}_n) \quad\text{et}\quad H_c^i(X, \mathcal{F}) := \lim_n H_c^i(X, \mathcal{F}_n).\] Si \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'\otimes \mathbf{Q}_\ell\) pour un faisceau de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules \(\mathcal{F}'\), on pose \[H_c^i(X , \mathcal{F}) := H_c^i(X, \mathcal{F}')\otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell.\] On appelle ces groupes la cohomologie \(\ell\)-adique de \(X\) à coefficients dans \(\mathcal{F}\).

Fonctions L

Définition

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps fini \(k\). Soit \(\Lambda\) un anneau fini d’ordre premier à la caractéristique de \(k\) et \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible et plat de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). On pose alors \[L(X, \mathcal{F}) := \prod\nolimits_{x\in |X|} \det(1 - \pi_x^*T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \in \Lambda [[ T ]]\] où \(|X|\) est l’ensemble des points fermés de \(X\), \(\deg x = [\kappa(x): k]\) et \(\bar x\) est un point géométrique au-dessus de \(x\). Cette définition se généralise clairement au cas où l’on remplace \(\mathcal{F}\) par \(K \in D_{ctf}(X, \Lambda)\). On appelle cette expression la fonction \(L\) de \(\mathcal{F}\).

Remarque

Intuitivement, il convient de considérer \(T\) comme \(T = t^f\), où \(p^f = \# k\). Les définitions ne dépendent alors pas du cardinal du corps de base.

Définition

Supposons maintenant que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau de \(\mathbf{Q}_\ell\)-modules sur \(X\). Dans ce cas, on définit \[L(X, \mathcal{F}) := \prod\nolimits_{x \in |X|} \det(1 - \pi_x^*T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \in \mathbf{Q}_\ell[[T]].\] Notons que ce produit converge puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de points de degré donné. On appelle ce produit la fonction \(L\) de \(\mathcal{F}\).

Interprétation cohomologique

C’est ainsi que Grothendieck a interprété la fonction \(L\).

Théorème

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps fini \(k\). Soit \(\Lambda\) un anneau fini d’ordre premier à la caractéristique de \(k\) et \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible et plat de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\). Alors \[L(X, \mathcal{F}) = \det(1 - \pi_X^*\ T |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})})^{-1} \in \Lambda[[T]].\]

Démonstration

Démonstration omise.

À ce stade, nous ne savons même pas si chacun des groupes de cohomologie \(H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})\) est libre.

Théorème

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps fini \(k\), et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathbf{Q}_\ell\)-modules sur \(X\). Alors \[L(X, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_i \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k} , \mathcal{F})})^{(-1)^{i + 1}} \in \mathbf{Q}_\ell[[T]].\]

Démonstration

La démonstration est esquissée ci-dessous.

Remarque

Comme nous n’avons développé qu’une partie de la théorie des traces, et non celle des déterminants, le théorème 03UZ est plus difficile à démontrer que le théorème 03V0. Nous ne démontrerons que ce dernier; pour le premier, voir [SGA4.5]. Remarquons aussi qu’il n’existe pas de version plus générale de ce théorème à coefficients dans \(\mathbf{Z}_\ell\), puisqu’il n’y a pas de \(\ell\)-torsion.

La démonstration du théorème 03V0 se ramène à une formule des traces. Puisque \(\mathbf{Q}_\ell\) est de caractéristique 0, il suffit de prouver l’égalité après avoir pris les dérivées logarithmiques. Plus précisément, nous appliquons \(T\frac{d}{dT} \log\) aux deux membres. Nous avons d’une part \[\begin{align*} T \frac{d}{dT} \log L(X, \mathcal{F}) & = T\frac{d}{dT} \log \prod_{x \in |X|} \det(1 - \pi_x^* T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} \\ & = \sum_{x \in |X|} T \frac{d}{dT} \log ( \det(1 - \pi_x^* T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1}) \\ & = \sum_{x \in |X|} \deg x \sum_{n \geq 1} \text{Tr}((\pi_x^n)^* |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) T^{n\deg x} \end{align*}\] où la dernière égalité résulte de la formule \[T\frac{d}{dT}\log\left(\det\left(1-fT|_M\right)^{-1}\right) = \sum_{n\geq 1} \text{Tr}(f^n|_M)T^n\] ce qui vaut pour tout anneau commutatif \(\Lambda\) et tout endomorphisme \(f\) d’un \(\Lambda\)-module projectif de type fini \(M\). D’autre part, nous avons \[\begin{align*} & T\frac{d}{dT} \log\left( \prod\nolimits_i \det(1-\pi_X^*T |_{H_c^i\left(X_{\bar k} , \mathcal{F}\right)})^{(-1)^{i+1}} \right) \\ & = \sum\nolimits_i (-1)^i \sum\nolimits_{n \geq 1} \text{Tr}\left((\pi_X^n)^* |_{H_c^i(X_{\bar k},\mathcal{F})}\right) T^n \end{align*}\] en appliquant encore une fois la même formule. Maintenant, en comparant les puissances de \(T\) et en utilisant la formule d’inversion de Möbius, nous voyons que le théorème 03V0 découle de l’égalité suivante \[\sum_{d | n} d \sum_{x \in |X| \atop \deg x = d} \text{Tr}((\pi_X^{n/d})^* |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}((\pi^n_X)^* |_{H^i_c(X_{\bar k}, \mathcal{F})}).\] Notons \(k_n\) l’extension de degré \(n\) de \(k\), \(X_n = X \times_{\Spec k} \Spec(k_n)\) et \(_n\mathcal{F} = \mathcal{F}|_{X_n}\), cela se ramène à \[\sum_{x \in X_n(k_n)} \text{Tr}(\pi_X^* |_{_n\mathcal{F}_{\bar x}}) = \sum_i (-1)^i \text{Tr}((\pi^n_X)^* |_{H^i_c({(X_n)}_{\bar k}, _n\mathcal{F})})\] ce qui découle du théorème 03V2.

Théorème

Soit \(X/k\) comme ci-dessus, soit \(\Lambda\) un anneau fini tel que \(\#\Lambda \in k^*\) et soit \(K\in D_{ctf}(X, \Lambda)\). Alors \(R\Gamma_c(X_{\bar k}, K)\in D_{perf}(\Lambda)\) et \[\sum_{x\in X(k)}\text{Tr}\left(\pi_x |_{K_{\bar x}}\right) = \text{Tr}\left(\pi_X^* |_{R\Gamma_c(X_{\bar k}, K )}\right).\]

Démonstration

Remarquons que nous avons déjà démontré ceci (RÉFÉRENCE) lorsque \(\dim X \leq 1\). Le cas général découle aisément de ce cas et du théorème de changement de base propre.

Théorème

Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur un corps fini \(k\) et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathbf{Q}_\ell\)-faisceau sur \(X\). Alors \(\dim_{\mathbf{Q}_\ell}H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})\) est finie pour tout \(i\), et ne peut être non nulle que pour \(0\leq i \leq 2 \dim X\). De plus, nous avons \[\sum_{x\in X(k)} \text{Tr}\left(\pi_x |_{\mathcal{F}_{\bar x}}\right) = \sum_i (-1)^i\text{Tr}\left(\pi_X^* |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})}\right).\]

Démonstration

Nous expliquons comment déduire ce résultat du théorème 03V3. Nous utilisons d’abord quelques arguments de cohomologie étale pour ramener la démonstration à un énoncé algébrique que nous démontrons ensuite.

Soit \(\mathcal{F}\) comme dans le théorème. Nous pouvons écrire \(\mathcal{F}\) sous la forme \(\mathcal{F}'\otimes \mathbf{Q}_\ell\) où \(\mathcal{F}' = \left\{\mathcal{F}'_n\right\}\) est un \(\mathbf{Z}_\ell\)-faisceau sans torsion, c’est-à-dire que \(\ell : \mathcal{F}'\to \mathcal{F}'\) a un noyau nul dans la catégorie des \(\mathbf{Z}_\ell\)-faisceaux. Alors chaque \(\mathcal{F}_n'\) est un faisceau constructible et plat de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules sur \(X_\etale\), donc \(\mathcal{F}'_n \in D_{ctf}(X, \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) et \(\mathcal{F}_{n+1}' \otimes^{\mathbf{L}}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} = \mathcal{F}_n'\). Remarquons que la dernière égalité est également valable pour le produit tensoriel usuel (non dérivé), puisque \(\mathcal{F}'_n\) est plat (il s’agit de la même égalité). Par conséquent,

1. le complexe \(K_n = R\Gamma_c\left(X_{\bar k}, \mathcal{F}_n'\right)\) est parfait, et il est muni d’un endomorphisme \(\pi_n : K_n\to K_n\) dans \(D(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\),

2. on dispose d’identifications \[K_{n+1} \otimes^{\mathbf{L}}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} = K_n\] dans \(D_{perf}(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\), compatibles avec les endomorphismes \(\pi_{n+1}\) et \(\pi_n\) (voir [SGA4.5, Rapport 4.12]),

3. l’égalité \(\text{Tr}\left(\pi_X^* |_{K_n}\right) = \sum_{x\in X(k)} \text{Tr}\left(\pi_x |_{(\mathcal{F}'_n)_{\bar x}}\right)\) est vérifiée, et

4. pour tout \(x\in X(k)\), les éléments \(\text{Tr}(\pi_x |_{\mathcal{F}'_{n, \bar x}}) \in \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) définissent un élément de \(\mathbf{Z}_\ell\) qui est égal à \(\text{Tr}(\pi_x |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) \in \mathbf{Q}_\ell\).

Il suffit donc de démontrer le lemme d’algèbre suivant.

Lemme

Supposons donnés \(K_n\in D_{perf}(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\), \(\pi_n : K_n\to K_n\) et des isomorphismes \(\varphi_n : K_{n+1} \otimes^\mathbf{L}_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \to K_n\) compatibles avec \(\pi_{n+1}\) et \(\pi_n\). Alors

1. les éléments \(t_n = \text{Tr}(\pi_n |_{K_n})\in \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) définissent un élément \(t_\infty = \{t_n\}\) de \(\mathbf{Z}_\ell\),

2. le \(\mathbf{Z}_\ell\)-module \(H_\infty^i = \lim_n H^i(k_n)\) est de type fini et est nul sauf pour un nombre fini d’indices \(i\), et

3. les opérateurs \(H^i(\pi_n): H^i(K_n)\to H^i(K_n)\) sont compatibles et définissent \(\pi_\infty^i : H_\infty^i\to H_\infty^i\) qui vérifie \[\sum (-1)^i \text{Tr}( \pi_\infty^i |_{H_\infty^i \otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell}) = t_\infty.\]

Démonstration

Puisque \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) est un anneau local et que \(K_n\) est parfait, chaque \(K_n\) peut être représenté par un complexe fini \(K_n^\bullet\) de \(\mathbf{Z}/\ell^n \mathbf{Z}\)-modules libres de type fini tel que l’image du morphisme \(K_n^p \to K_n^{p+1}\) soit contenue dans \(\ell K_n^{p+1}\). Un tel complexe est en fait unique à isomorphisme près. De plus, \(\pi_n\) peut être représenté par un morphisme de complexes \(\pi_n^\bullet : K_n^\bullet\to K_n^\bullet\) (qui est unique à homotopie près). De même, l’isomorphisme \(\varphi_n : K_{n+1} \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}}^{\mathbf{L}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\to K_n\) est représenté par un morphisme de complexes \[\varphi_n^\bullet : K_{n+1}^\bullet \otimes_{\mathbf{Z}/\ell^{n+1}\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z} \to K_n^\bullet.\] En fait, \(\varphi_n^\bullet\) est un isomorphisme de complexes ; nous voyons donc que

• il existe \(a, b\in \mathbf{Z}\) indépendants de \(n\) tels que \(K_n^i = 0\) pour tout \(i\notin[a, b]\), et

• le rang de \(K_n^i\) ne dépend pas de \(n\).

Par conséquent, le module \(K_\infty^i = \lim_n \{K_n^i, \varphi_n^i\}\) est un \(\mathbf{Z}_\ell\)-module libre de type fini et \(K_\infty^\bullet\) est un complexe fini de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules libres de type fini. Par récurrence sur le nombre de termes non nuls, on peut démontrer que \(H^i\left(K_\infty^\bullet\right) = \lim_n H^i\left(K_n^\bullet\right)\) (ceci est faux pour les complexes non bornés). Nous en concluons que \(H_\infty^i = H^i\left(K_\infty^\bullet\right)\) est un \(\mathbf{Z}_\ell\)-module de type fini. Cela démontre ii. Pour démontrer le reste du lemme, nous devons remédier au défaut éventuel de commutativité des diagrammes \[\xymatrix{ {K_{n+1}^\bullet} \ar[d]_{\pi_{n+1}^\bullet} \ar[r]^{\varphi_n^\bullet} & {K_n^\bullet} \ar[d]^{\pi_n^\bullet} \\ {K_{n+1}^\bullet} \ar[r]_{\varphi_n^\bullet} & {K_n^\bullet.} }\] Cependant, ce diagramme commute bien dans la catégorie dérivée ; il commute donc à homotopie près. Nous remplaçons par récurrence \(\pi_n^\bullet\) pour \(n\geq 2\) par des morphismes de complexes homotopes rendant ces diagrammes commutatifs. Plus précisément, si \(h^i : K_{n+1}^i \to K_n^{i-1}\) est une homotopie, c’est-à-dire \[\pi_n^\bullet \circ \varphi_n^\bullet - \varphi_n^\bullet \circ \pi_{n + 1}^\bullet = dh + hd,\] alors nous choisissons \(\tilde h^i : K_{n+1}^i\to K_{n+1}^{i-1}\) relevant \(h^i\). Cela est possible parce que \(K_{n+1}^i\) est libre et que le morphisme \(K_{n+1}^{i-1}\to K_n^{i-1}\) est surjectif. Nous remplaçons alors \(\pi_n^\bullet\) par \(\tilde\pi_n^\bullet\) défini par \[\tilde\pi_{n+1}^\bullet = \pi_{n+1}^\bullet + d\tilde h+\tilde hd.\] Avec ce choix de \(\{\pi_n^\bullet\}\), les diagrammes ci-dessus commutent et les morphismes sont compatibles et définissent un endomorphisme \(\pi_\infty^\bullet = \lim_n\pi_n^\bullet\) de \(K_\infty^\bullet\). La partie i est alors claire : les éléments \(t_n = \sum(-1)^i \text{Tr}\left(\pi_n^i |_{K_n^i}\right)\) définissent un élément \(t_\infty\) de \(\mathbf{Z}_\ell\). De plus, \[\begin{align*} t_\infty & = \sum (-1)^i \text{Tr}_{\mathbf{Z}_\ell}(\pi_\infty^i |_{K_\infty^i}) \\ & = \sum (-1)^i \text{Tr}_{\mathbf{Q}_\ell}( \pi_\infty^i |_{K_\infty^i \otimes_{\mathbf{Z}_\ell}\mathbf{Q}_\ell}) \\ & = \sum (-1)^i \text{Tr}( \pi_\infty |_{H^i(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell)}) \end{align*}\] où la dernière égalité découle du fait que \(\mathbf{Q}_\ell\) est un corps, de sorte que le complexe \(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell\) est quasi-isomorphe à sa cohomologie \(H^i(K_\infty^\bullet \otimes \mathbf{Q}_\ell)\). Celle-ci est également égale à \(H^i(K_\infty^\bullet)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}_\ell = H_\infty^i \otimes \mathbf{Q}_\ell\), ce qui achève la démonstration du lemme ainsi que celle du théorème 03V2.

Liste des compléments à apporter ci-dessus

Qu’avons-nous omis de démontrer jusqu’ici dans les cours ?

1. les courbes et leurs jacobiennes,

2. le théorème de changement de base propre,

3. une présentation insuffisante de \(R\Gamma_c\),

4. plus généralement, étant donné un morphisme séparé de type fini \(f : X \to S\), avec \(S\) quasi-projectif, une présentation de \(Rf_!\) sur les faisceaux étales.

5. une présentation de \(\otimes^{\mathbf{L}}\)

6. une explication des raisons pour lesquelles \(R\Gamma_c\) commute à \(\otimes^{\mathbf{L}}\)

Exemples de fonctions L

Nous utilisons le théorème 03V0 pour les courbes afin de donner des exemples de fonctions \(L\).

Faisceaux constants

Soit \(k\) un corps fini, \(X\) une courbe lisse géométriquement irréductible sur \(k\) et \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Q}_\ell}\) le faisceau constant. Si \(\bar x\) est un point géométrique de \(X\), le module galoisien \(\mathcal{F}_{\bar x} = \mathbf{Q}_\ell\) est trivial, donc \[\det(1-\pi_x^*\ T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}})^{-1} = \frac{1}{1-T^{\deg x}}.\] En appliquant le théorème 03V0, nous obtenons \[\begin{align*} L(X, \mathcal{F}) & = \prod_{i = 0}^2 \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})^{(-1)^{i+1}} \\ & = \frac{\det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{ \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^0(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)}) \cdot \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}. \end{align*}\] Pour calculer ce dernier, distinguons deux cas.

Cas projectif. Supposons que \(X\) soit projective, de sorte que \(H_c^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\), et nous avons \[H^i(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = \left\{ \begin{matrix} \mathbf{Q}_\ell & \pi_X^* = 1 & \text{si }i = 0, \\ \mathbf{Q}_\ell^{2g} & \pi_X^* = ? & \text{si }i = 1, \\ \mathbf{Q}_\ell & \pi_X^* = q & \text{si }i = 2. \end{matrix} \right.\] L’identification de l’action de \(\pi_X^*\) sur \(H^2\) résulte du Cohomologie étale, lemme 0AMB et du fait que le degré de \(\pi_X\) est \(q = \#(k)\). Nous savons peu de choses sur l’action de \(\pi_X^*\) sur la cohomologie de degré 1. Appelons \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\) ses valeurs propres dans \(\bar{\mathbf{Q}}_\ell\). En rassemblant ces informations, le théorème 03V0 donne l’égalité \[\prod\nolimits_{x \in |X|} \frac{1}{1 - T^{\deg x}} = \frac{\det(1- \pi_X^* T|_{H^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{(1-T)(1-qT)} = \frac{(1 - \alpha_1 T) \ldots (1 - \alpha_{2g}T)}{(1-T)(1-qT)}\] d’où nous déduisons le résultat suivant.

Lemme

Soit \(X\) une courbe lisse, projective et géométriquement irréductible sur un corps fini \(k\). Alors

1. la fonction \(L\) notée \(L(X, \mathbf{Q}_\ell)\) est rationnelle,

2. les valeurs propres \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\) de \(\pi_X^*\) sur \(H^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\) sont des entiers algébriques indépendants de \(\ell\),

3. le nombre de points de \(X\) rationnels sur \(k_n\), où \([k_n : k] = n\), est \[\# X(k_n) = 1 - \sum\nolimits_{i = 1}^{2g}\alpha_i^n + q^n,\]

4. pour tout \(i\), \(|\alpha_i| < q\).

Démonstration

La partie (3) est le théorème 03V2 appliqué à \(\mathcal{F} = \underline{\mathbf{Q}_\ell}\) sur \(X \otimes k_n\). Pour la partie (4), utilisons le résultat suivant.

Exercice

Soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbf{C}\). Alors, pour tout secteur angulaire contenant l’axe réel positif, de la forme \(C_\varepsilon = \{ z \in \mathbf{C} \ | \ |\arg z| < \varepsilon \}\) avec \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(k \geq 1\) tel que \(\alpha_1^k, \ldots, \alpha_n^k \in C_\varepsilon\).

Démontrer alors que \(|\alpha_i| \leq q\) pour tout \(i\). Puis utiliser des considérations élémentaires sur les nombres complexes pour démontrer (comme dans la preuve du théorème des nombres premiers) que \(|\alpha_i| < q\). En fait, l’hypothèse de Riemann affirme que l’on a \(|\alpha_i| = \sqrt{q}\) pour tout \(i\). Nous y reviendrons plus loin.

Cas affine. Supposons maintenant que \(X\) soit affine, disons \(X= \bar X-\left\{x_1, \ldots, x_n\right\}\) où \(j : X \hookrightarrow \bar X\) est une compactification projective non singulière. Alors \(H_c^0(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = 0\) et \(H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H^2(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\), de sorte que le théorème 03V0 s’écrit \[L(X, \mathbf{Q}_\ell) = \prod_{x \in |X|}\frac{1}{1 - T^{\deg x}} = \frac{\det(1-\pi_X^*T |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)})}{1 - qT}.\] D’autre part, le cas précédent donne \[\begin{eqnarray*} L(X, \mathbf{Q}_\ell) & = & L(\bar X, \mathbf{Q}_\ell)\prod_{i = 1}^n\left(1-T^{\deg x_i}\right) \\ & = & \frac{\prod_{i = 1}^n(1-T^{\deg x_i})\prod_{j = 1}^{2g}(1-\alpha_jT)}{(1-T)(1-qT)}. \end{eqnarray*}\] Par conséquent, nous voyons que \(\dim H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = 2g+\sum_{i = 1}^n \deg(x_i)-1\), et que les valeurs propres \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{2g}\) de \(\pi_{\bar X}^*\) agissant sur la cohomologie de degré 1 sont des racines de l’unité. Plus précisément, chaque \(x_i\) fournit un système complet de racines \(\deg(x_i)\)-ièmes de l’unité, et l’on omet une occurrence de 1. Pour le voir directement à l’aide des faisceaux cohérents, considérons la suite exacte courte sur \(\bar X\) \[0\to j_!\mathbf{Q}_\ell\to \mathbf{Q}_\ell\to\bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_{\ell, x_i}\to 0.\] La suite exacte longue de cohomologie s’écrit \[0\to \mathbf{Q}_\ell \to \bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_\ell^{\oplus \deg x_i} \to H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) \to H_c^1(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\to 0\] où l’action du Frobenius sur \(\bigoplus_{i = 1}^n \mathbf{Q}_\ell^{\oplus \deg x_i}\) est donnée par la permutation cyclique de chaque terme ; par ailleurs, \(H_c^2(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = H_c^2(\bar X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\).

La famille de Legendre

Soit \(k\) un corps fini de caractéristique impaire, \(X = \Spec(k[\lambda, \frac{1}{\lambda(\lambda - 1)}])\), et considérons la famille de courbes elliptiques \(f : E \to X\) dans \(\mathbf{P}^2_X\), dont l’équation affine est \(y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)\). Posons \(\mathcal{F} = Rf_*^1\mathbf{Q}_\ell = \left\{R^1f_*\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\right\}_{n\geq 1} \otimes \mathbf{Q}_\ell\). Dans cette situation, on a les propriétés suivantes :

• pour tout \(n \geq 1\), le faisceau \(R^1f_*(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z})\) est fini et localement constant – en fait, il est libre de rang 2 sur \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\),

• le système \(\{R^1f_*\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\}_{n\geq 1}\) est un faisceau \(\ell\)-adique lisse, et

• pour tout \(x\in |X|\), \(\det(1 - \pi_x\ T^{\deg x} |_{\mathcal{F}_{\bar x}}) = (1 - \alpha_x T^{\deg x})(1 - \beta_x T^{\deg x})\) où \(\alpha_x, \beta_x\) sont les valeurs propres du Frobenius géométrique de \(E_x\) agissant sur \(H^1(E_{\bar x}, \mathbf{Q}_\ell)\).

Notons que \(E_x\) n’est défini que sur \(\kappa(x)\) et non sur \(k\). La démonstration de ces faits utilise le théorème de changement de base propre et l’acyclicité locale des morphismes lisses. Pour plus de détails, voir [SGA4.5]. Il en résulte que \[L(E/X) := L(X, \mathcal{F}) = \prod_{x\in |X|} \frac{1}{(1-\alpha_xT^{\deg x})(1-\beta_xT^{\deg x })} .\] En appliquant le théorème 03V0, nous obtenons \[L(E/X) = \prod_{i = 0}^2 \det\left(1 - \pi_X^*T |_{H_c^i(X_{\bar k}, \mathcal{F})}\right)^{(-1)^{i+1}},\] et nous voyons en particulier qu’il s’agit d’une fonction rationnelle. De plus, il est assez facile de montrer que \(H_c^0(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = H_c^2(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = 0\), de sorte que nous avons simplement \[L(E/X) = \det(1 - \pi_X^*T |_{H_c^1(X, \mathcal{F})}).\] Pour calculer explicitement ce déterminant, considérons la suite spectrale de Leray du morphisme propre \(f : E \to X\) à coefficients dans \(\mathbf{Q}_\ell\), à savoir \[H_c^i(X_{\bar k}, R^jf_*\mathbf{Q}_\ell) \Rightarrow H_c^{i+j}(E_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)\] qui dégénère. Nous avons \(f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Q}_\ell\) et \(R^1f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathcal{F}\). Le faisceau \(R^2f_*\mathbf{Q}_\ell = \mathbf{Q}_\ell(-1)\) est le twist à la Tate de \(\mathbf{Q}_\ell\), c’est-à-dire qu’il s’agit du faisceau \(\mathbf{Q}_\ell\) sur lequel l’action de Galois est donnée par la multiplication par \(\#\kappa(x)\) dans la fibre en \(\bar x\). Il s’ensuit que, pour tout \(n\geq 1\), \[\begin{align*} \# E(k_n) & = \sum\nolimits_i (-1)^i \text{Tr}({\pi_E^n}^* |_{H_c^i(E_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell)}) \\ & = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^{i+j} \text{Tr}({\pi^n_X}^* |_{H_c^i(X_{\bar k}, R^jf_*\mathbf{Q}_\ell)}) \\ & = (q^n - 2) + \text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) + q^n(q^n - 2) \\ & = q^{2n} - q^n - 2 + \text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) \end{align*}\] où la première égalité résulte du théorème 03V2, la deuxième de la suite spectrale de Leray et la troisième du calcul explicite des images directes supérieures de \(\mathbf{Q}_\ell\) par \(f\). On pourrait aussi écrire \[\# E(k_n) = \sum_{x \in X(k_n)} \# E_x(k_n)\] et appliquer la formule des traces à chaque courbe. On peut aussi déterminer le nombre de points rationnels sur \(k_n\) par un simple comptage. La section nulle fournit \(q^n -2\) points (on omet les points où \(\lambda = 0, 1\)), d’où \[\# E(k_n) = q^n - 2 + \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda), \lambda\neq 0, 1\}.\] Nous avons maintenant \[\begin{matrix} \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda),\ \lambda\neq 0, 1\} \\ \\ \quad = \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)\text{ dans }\mathbf{A}^3\} - \# \{y^2 = x^2(x - 1)\} - \# \{y^2 = x(x - 1)^2\}\\ \\ \quad = \# \{\lambda = \frac{-y^2}{x(x - 1)} + x,\ x\neq 0, 1\} + \# \{y^2 = x(x - 1)(x - \lambda), x = 0, 1\} - 2(q^n - \varepsilon_n) \\ \\ \quad = q^n(q^n - 2)+2q^n - 2(q^n - \varepsilon_n)\\ \\ \quad = q^{2n}-2q^n+2\varepsilon_n \end{matrix}\] où \(\varepsilon_n = 1\) si \(-1\) est un carré dans \(k_n\), et 0 sinon, c’est-à-dire \[\varepsilon_n = \frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{-1}{k_n}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(1+(-1)^{\frac{q^n - 1}{2}}\right).\] Ainsi, \(\# E(k_n) = q^{2n} - q^n - 2+ 2\varepsilon_n\). En comparant avec la formule précédente, on obtient \[\text{Tr}({\pi_X^n}^* |_{H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F})}) = 2 \varepsilon_n = 1 + (-1)^{\frac{q^n - 1}{2}},\] ce qui implique, par un calcul élémentaire dans les nombres complexes, que si \(-1\) est un carré dans \(k_n^*\), alors \(\dim H_c^1(X_{\bar k}, \mathcal{F}) = 2\) et les valeurs propres sont \(1\) et \(1\). Par conséquent, dans ce cas, nous avons \[L(E/X) = (1 - T)^2.\]

Sommes exponentielles

Un problème classique de théorie des nombres consiste à évaluer des sommes de la forme \[S_{a, b}(p) = \sum_{x\in \mathbf{F}_p - \left\{0, 1\right\}} e^{\frac{2\pi ix^a(x - 1)^b}{p}}.\] Dans notre contexte, on peut l’interpréter comme une somme cohomologique de la manière suivante. Considérons le schéma de base \(S = \Spec(\mathbf{F}_p[x, \frac{1}{x(x - 1)}])\) et la courbe affine \(f : X \to \mathbf{P}^1-\{0, 1, \infty\}\) sur \(S\) donnée par l’équation \(y^{p - 1} = x^a(x - 1)^b\). C’est un revêtement galoisien fini étale de groupe \(\mathbf{F}_p^*\) et il existe une décomposition \[f_*(\bar{\mathbf{Q}}_\ell^*) = \bigoplus_{\chi : \mathbf{F}_p^*\to \bar{\mathbf{Q}}_\ell^*} \mathcal{F}_\chi\] où \(\chi\) parcourt les caractères de \(\mathbf{F}_p^*\) et \(\mathcal{F}_\chi\) est un faisceau lisse de rang 1 de \(\mathbf{Q}_\ell\)-modules sur lequel \(\mathbf{F}_p^*\) agit par \(\chi\) sur les fibres. On obtient une décomposition correspondante \[H_c^1(X_{\bar k}, \mathbf{Q}_\ell) = \bigoplus_\chi H^1(\mathbf{P}_{\bar k}^1-\{0, 1, \infty\}, \mathcal{F}_\chi)\] et l’interprétation cohomologique de la somme exponentielle est donnée par la formule des traces appliquée à \(\mathcal{F}_\chi\) sur \(\mathbf{P}^1 - \{0, 1, \infty\}\) pour un \(\chi\) convenable. Elle s’écrit \[S_{a, b}(p) = -\text{Tr}(\pi_X^* |_{H^1(\mathbf{P}_{\bar k}^1-\{0, 1, \infty\}, \mathcal{F}_\chi)}).\] Le yoga général de Weil suggère qu’il devrait y avoir une certaine compensation dans la somme. En appliquant (approximativement) la formule de Riemann–Hurwitz, nous voyons que \[2g_X-2 \approx -2 (p-1) + 3(p-2) \approx p\] donc \(g_X\approx p/2\), ce qui suggère également que les composantes en \(\chi\) sont petites.

Formule des traces en termes de groupes fondamentaux

Dans les sections suivantes, nous reformulons entièrement la formule des traces en termes du groupe fondamental d’une courbe, sauf lorsque la courbe se trouve être \(\mathbf{P}^1\).

Groupes fondamentaux

Ce matériau est présenté plus en détail dans le chapitre consacré aux groupes fondamentaux. Voir Groupes fondamentaux, section 0BQ7. Soit \(X\) un schéma connexe et soit \(\overline{x}\to X\) un point géométrique. Considérons le foncteur \[\begin{matrix} F_{\overline{x}}: & \text{ schémas finis \'etales } \atop \text{ sur } X & \longrightarrow & \text{ ensembles finis} \\ & Y/X & \longmapsto & F_{\overline{x}}(Y) = \left\{\text{ points géométriques }\overline y \atop \text{ de } Y \text{ au-dessus de }\overline{x}\right\} = Y_{\overline{x}} \end{matrix}\] Posons \[\pi_1(X, \overline{x}) = Aut(F_{\overline{x}}) = \text{ ensemble des automorphismes du foncteur }F_{\overline{x}}\] Notons que, pour tout morphisme fini étale \(Y \to X\), il existe une action \[\pi_1(X, \overline{x}) \times F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Y)\]

Définition

Un sous-groupe de la forme \(\text{Stab}(\overline y\in F_{\overline{x}}(Y))\subset \pi_1(X, \overline{x})\) est dit ouvert.

Théorème

Soit \(X\) un schéma connexe.

1. Il existe une topologie sur \(\pi_1(X, \overline{x})\) telle que les sous-groupes ouverts forment un système fondamental de voisinages ouverts de \(e\in \pi_1(X, \overline x)\).

2. Muni de la topologie de (1), le groupe \(\pi_1(X, \overline{x})\) est un groupe profini.

3. Le foncteur \[\begin{matrix} \text{ schémas finis } \atop \text{ \'etales sur }X & \to & \text{ ensembles finis discrets à action continue } \atop \pi_1(X, \overline{x})\text{-ensembles}\\ Y / X& \mapsto & F_{\overline{x}}(Y) \text{ muni de son action naturelle} \end{matrix}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Cf. [SGA1].

Proposition

Soit \(X\) un schéma noethérien normal intègre. Soit \(\overline y\to X\) un point géométrique algébrique situé au-dessus du point générique \(\eta\in X\). Alors \[\pi_x(X, \overline \eta) = Gal(M/\kappa(\eta))\] (\(\kappa(\eta)\) est le corps des fonctions de \(X\)), où \[\kappa(\overline \eta)\supset M\supset \kappa(\eta) = k(X)\] est la sous-extension maximale telle que, pour toute sous-extension finie \(M\supset L\supset \kappa(\eta)\), la normalisation de \(X\) dans \(L\) soit finie étale sur \(X\).

Démonstration

Omis.

Changement de point base. Pour tous points géométriques \(\overline{x}_1, \overline{x}_2\) de \(X\), il existe un isomorphisme des foncteurs fibres \[\mathcal{F}_{\overline{x}_1} \cong \mathcal{F}_{\overline{x}_2}\] (C’est un chemin de \(\overline{x}_1\) à \(\overline{x}_2\).) La conjugaison par ce chemin donne un isomorphisme \[\pi_1(X, \overline{x}_1) \cong \pi_1(X, \overline{x}_2)\] bien défini à automorphisme intérieur près.

Fonctorialité. Pour tout morphisme \(X_1\to X_2\) de schémas connexes et tout \(\overline{x}\in X_1\), il existe un morphisme canonique \[\pi_1(X_1, \overline{x}) \to \pi_1(X_2, \overline{x})\] (Pourquoi ? Parce que le foncteur fibre ...)

Corps de base. Soit \(X\) une variété sur un corps \(k\). On obtient alors \[\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Spec(k), \overline{x}) =^{\text{prop}} Gal(k^{\text{sep}}/k)\] Ce morphisme est surjectif si et seulement si \(X\) est géométriquement connexe sur \(k\). Dans le cas géométriquement connexe, nous obtenons donc une suite exacte courte de groupes profinis \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}, \overline{x}) \to \pi_1(X, \overline{x}) \to Gal(k^{\text{sep}}/k) \to 1\] (\(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline{x})\) : groupe fondamental géométrique de \(X\), \(\pi_1(X, \overline{x})\) : groupe fondamental arithmétique de \(X\))

Comparaison. Si \(X\) est une variété sur \(\mathbf{C}\), alors \[\pi_1(X, \overline{x}) = \text{ complété profini de } \pi_1(X(\mathbf{C})(\text{ topologie usuelle}), x)\] (où \(x\in X(\mathbf{C})\))

Frobenius. Soit \(X\) une variété sur \(k\), avec \(\# k < \infty\). Pour tout \(x \in X\) point fermé, soit \[F_x\in \pi_1(x, \overline{x}) = \text{Gal}(\kappa(x)^{\text{sep}}/\kappa(x))\] le Frobenius géométrique. Soit \(\overline\eta\) un point géométrique algébrique au-dessus du point générique. Alors \[\pi_1(X, \overline\eta) \leftarrow^{\cong} \pi_1(X, \overline{x}) {\text{fonctorialité} \atop \leftarrow} \pi_1(x, \overline{x})\]

Fait élémentaire : \[\begin{matrix} \pi_1(X, \overline \eta) & \to^{\deg} \pi_1(\Spec(k), \overline \eta) * & = Gal(k^{sep}/k) \\ & & || \\ & & \widehat{\mathbf{Z}}\cdot F_{\Spec(k)} \\ F_x & \mapsto & \deg(x)\cdot F_{\Spec(k)} \end{matrix}\] Rappelons que \(\deg(x) = [\kappa(x):k]\).

Groupes fondamentaux et faisceaux lisses. Soit \(X\) un schéma connexe et \(\overline{x}\) un point géométrique. Il existe des équivalences de catégories

En particulier, les faisceaux lisses de \(\mathbf{Q}_l\)-modules correspondent aux homomorphismes continus \[\pi_1(X, \overline{x}) \to \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l), \quad r\geq 0\]

Notation : un module muni d’une action \((M, \rho)\) correspond au faisceau \(\mathcal{F}_\rho\).

Formules des traces. Soit \(X\) une variété sur \(k\), avec \(\# k < \infty\).

1. \(\Lambda\) est un anneau fini tel que \((\# \Lambda, \# k)=1\) \[\rho : \pi_1(X, \overline{x})\to \text{GL}_r(\Lambda)\] continue. Pour tout \(n\geq 1\), on a \[\sum_{d|n}d\left( \sum_{x\in |X|, \atop \deg(x)=d} \text{Tr}(\rho(F_x^{n/d}))\right) = \text{Tr}\left( (\pi_x^n)^* |_{R\Gamma_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)}\right)\]

2. Soit \(l\neq char(k)\) un nombre premier et soit \(\rho : \pi_1(X, \overline{x})\to \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l)\). Pour tout \(n\geq 1\), \[\sum_{d|n} d\left( \sum_{x\in |X| \atop \deg(x)=d} \text{Tr} \left( \rho(F_x^{n/d}) \right) \right) = \sum_{i = 0}^{2\dim X} (-1)^i \text{Tr}\left( \pi_X^* |_{H_c^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)}\right)\]

Conjectures de Weil. (Deligne–Weil I, 1974) Si \(X\) est lisse et projective sur \(k\) et \(\# k = q\), alors les valeurs propres de \(\pi_X^*\) sur \(H^i(X_{\overline{k}}, \mathbf{Q}_l)\) sont des entiers algébriques \(\alpha\) tels que \(|\alpha|=q^{i/2}\).

Conjectures de Deligne. (presque entièrement démontrées par Lafforgue et d’autres, \(\ldots\)) Soit \(X\) une variété normale sur le corps fini \(k\) et soit \[\rho : \pi_1(X, \overline{x}) \longrightarrow \text{GL}_r(\mathbf{Q}_l)\] continue. Supposons \(\rho\) irréductible et \(\det(\rho)\) d’ordre fini. Alors :

1. il existe un corps de nombres \(E\) tel que, pour tout \(x\in |X|\) (point fermé), le polynôme caractéristique de \(\rho(F_x)\) ait ses coefficients dans \(E\) ;

2. pour tout \(x\in |X|\), les valeurs propres \(\alpha_{x, i}\), \(i = 1, \ldots, r\), de \(\rho(F_x)\) ont toutes une valeur absolue complexe égale à \(1\) (ce sont des nombres algébriques, pas nécessairement des entiers) ;

3. pour toute place finie \(\lambda\) de \(E\) ne divisant pas \(p\) (quitte à agrandir légèrement \(E\)), il existe \[\rho\lambda : \pi_1(X, \overline{x}) \to \text{GL}_r(E_\lambda)\] compatible avec \(\rho\) (les polynômes caractéristiques des \(F_x\) sont les mêmes).

Théorème

Pour un faisceau \(\mathcal{F}_\rho\) tel que \(\rho\) satisfasse les conclusions de la conjecture ci-dessus, les valeurs propres de \(\pi_X^*\) sur \(H_c^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_{\rho})\) sont des nombres algébriques \(\alpha\) dont les valeurs absolues \[|\alpha|=q^{w/2}, \text{ pour }w\in \mathbf{Z},\ w\leq i\] De plus, si \(X\) est lisse et projective, alors \(w = i\).

Démonstration

Voir [WeilII].

Groupes profinis, cohomologie et homologie

Soit \(G\) un groupe profini.

Cohomologie. Considérons la catégorie des modules discrets munis d’une action continue de \(G\). Cette catégorie possède assez d’injectifs, et l’on peut définir \[H^i(G, M) = R^iH^0(G, M) = R^i(M\mapsto M^G)\] Il existe aussi une version dérivée \(RH^0(G, -)\).

Homologie. Considérons la catégorie des groupes abéliens compacts munis d’une action continue de \(G\). Cette catégorie possède assez de projectifs, et l’on peut définir \[H_i(G, M) = L_iH_0(G, M)=L_i(M\mapsto M_G)\] et il existe également une version dérivée.

Dualité élémentaire. Le foncteur \(M\mapsto M^\wedge = \Hom_{cont}(M, S^1)\) échange les catégories précédentes, et \[H^i(G, M)^\wedge = H_i(G, M^\wedge)\] De plus, ce foncteur envoie les \(G\)-modules discrets de torsion sur les \(G\)-modules profinis continus, et réciproquement ; si \(M\) est un module continu discret ou profini muni d’une action de \(G\), alors \(M^\wedge = \Hom(M, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\).

Notes sur l’homologie.

1. Si l’on considère les \(\Lambda\)-modules pour un anneau fini \(\Lambda\), alors on peut identifier \[H_i(G, M)=Tor_i^{\Lambda[[G]]}(M, \Lambda)\] où \(\Lambda[[G]]\) est la limite des algèbres de groupe des quotients finis de \(G\).

2. Si \(G\) est un sous-groupe normal de \(\Gamma\), et si \(\Gamma\) est également profini, alors

   • \(H^0(G, -)\) : \(\Gamma\)-modules discrets\(\to\) modules discrets munis d’une action de \(\Gamma/G\)

   • \(H_0(G, -)\) : \(\Gamma\)-modules compacts \(\to\) modules compacts munis d’une action de \(\Gamma/G\)

   et le groupe profini \(\Gamma/G\) agit donc sur les groupes de cohomologie de \(G\) à valeurs dans un \(\Gamma\)-module. Autrement dit, il existe des foncteurs dérivés \[\begin{aligned} RH^0(G, -) :\quad &D^{+}(\text{modules discrets }\Gamma\text{-équivariants})\\ &\longrightarrow D^{+}(\text{modules discrets }\Gamma/G\text{-équivariants}) \end{aligned}\] et de même pour \(LH_0(G, -)\).

Cohomologie des courbes, revisitée

Soit \(k\) un corps et soit \(X\) une courbe lisse, géométriquement connexe sur \(k\). On dispose de la suite exacte fondamentale \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta) \to \pi_1(X, \overline\eta) \to \text{Gal}(k^{^{sep}}/k) \to 1\] Si \(\Lambda\) est un anneau fini tel que \(\#\Lambda\in k^*\), si \(M\) est un \(\Lambda\)-module fini et si l’on se donne \[\rho : \pi_1(X, \overline\eta) \to \text{Aut}_{\Lambda}(M)\] continue, alors \(\mathcal{F}_\rho\) désigne le faisceau associé sur \(X_\etale\).

Lemme

Il existe un isomorphisme canonique \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)=(M)_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}(-1)\] en tant que \(\text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\)-modules.

Ici, l’indice \({}_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\) désigne les coinvariants, et \((-1)\) le twist à la Tate, c’est-à-dire que \(\sigma\in \text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\) agit par \[\chi_{cycl}(\sigma)^{-1}.\sigma\text{ sur le membre de droite}\] où \[\chi_{cycl} : \text{Gal}(k^{^{sep}}/k) \to \prod\nolimits_{l\neq char(k)}\mathbf{Z}_l^*\] est le caractère cyclotomique.

Reformulation (Deligne, Weil II, page 338). Pour tout faisceau fini localement constant \(\mathcal{F}\) sur \(X\), il existe un quotient maximal \(\mathcal{F}\to \mathcal{F}''\) tel que \(\mathcal{F}''/X_{\overline{k}}\) soit un faisceau constant ; ainsi \[\mathcal{F}'' = (X\to \Spec(k))^{-1}F''\] où \(F''\) est un faisceau sur \(\Spec(k)\), c’est-à-dire un \(\text{Gal}(k^{^{sep}}/k)\)-module. Alors \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F})\to H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}'')\to F''(-1)\] est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(Y\to^{\varphi}X\) le revêtement galoisien étale fini correspondant à \(\Ker(\rho) \subset \pi_1(X, \overline\eta)\). Ainsi \[\text{Aut}(Y/X)=Ind(\rho)\] est le groupe de Galois. Alors \(\varphi^*\mathcal{F}_\rho =\underline M_Y\) et \[\varphi_*\varphi^*\mathcal{F}_\rho\to \mathcal{F}_\rho\] ce qui donne \[\begin{align*} & H_c^2(X_{\overline{k}}, \varphi_*\varphi^*\mathcal{F}_\rho) \to H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\\ & =H_c^2(Y_{\overline{k}}, \varphi^*\mathcal{F}_\rho)\\ & =H_c^2(Y_{\overline{k}}, \underline M) = \oplus_{\text{composantes irréd. de } \atop Y_{\overline{k}}}M \end{align*}\] \[\Im(\rho) \to H_c^2(Y_{\overline{k}}, \underline M) = \oplus_{\text{composantes irréd. de } \atop Y_{\overline{k}}} M \to_{\Im(\rho) \text{équivariant}} H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_{\rho}) \to^{\text{action } \Im(\rho) \atop \text{triviale}}\] si \(C/\overline{k}\) est une courbe irréductible, alors \(H_c^2(C, \underline M)=M\).

Puisque \[{\text{ensemble des composantes } \atop \text{irréductibles de }Y_k} = \frac{Im(\rho)}{Im(\rho|_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)})}\] On en conclut que \(H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) est un quotient de \(M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\). D’autre part, il existe une surjection \[\mathcal{F}_\rho\to \mathcal{F}'' = {\text{ faisceau sur } X\text{ associé à } \atop (M)_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\leftarrow\pi_1(X, \overline \eta)}\] \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\to M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\] L’action de Galois ainsi tordue provient du fait que \(H_c^2(X_{\overline{k}}, \mu_n)=^{\text{can}} \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

Remarque

On en conclut donc que, si \(X\) est en outre projective, on dispose, fonctoriellement en la représentation \(\rho\), des identifications \[H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = M^{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline\eta)}\] et \[H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = M_{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}(-1)\] Bien entendu, si \(X\) n’est pas projective, alors \(H^0_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = 0\).

Proposition

Soit \(X/k\) comme précédemment, mais avec \(X_{\overline{k}}\neq \mathbf{P}^1_{\overline{k}}\). Les foncteurs \((M, \rho)\mapsto H_c^{2-i}(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) sont les foncteurs dérivés à gauche de \((M, \rho)\mapsto H_c^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) donc \[H_c^{2-i}(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = H_i(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M)(-1)\] De plus, il existe une version dérivée, à savoir \[R\Gamma_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = LH_0(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M(-1)) = M(-1) \otimes_{\Lambda[[\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)]]}^\mathbf{L} \Lambda\] dans \(D(\Lambda[[\widehat{\mathbf{Z}}]])\). De même, les foncteurs \((M, \rho)\mapsto H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho)\) sont les foncteurs dérivés à droite de \((M, \rho)\mapsto M^{\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta)}\) donc \[H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) = H^i(\pi_1(X_{\overline{k}}, \overline \eta), M)\] De plus, il existe également une version dérivée dans ce cas.

Démonstration

(Idée) Montrer que les deux membres sont des \(\delta\)-foncteurs universels.

Remarque

La proposition et la dualité élémentaire donnent alors \[H^{2-i}_c(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho) \times H^i(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\rho^\wedge(1)) \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\] un accouplement parfait. Si \(X\) est projective, c’est la dualité de Poincaré.

Formule des traces abstraite

Supposons donnée une extension de groupes profinis \[1 \to G \to \Gamma \xrightarrow{\deg} \widehat{\mathbf{Z}} \to 1\] On dit que \(\Gamma\) possède une formule des traces abstraite si et seulement s’il existe

1. un entier \(q\geq 1\), et

2. pour tout \(d\geq 1\), un ensemble fini \(S_d\) et, pour chaque \(x\in S_d\), une classe de conjugaison \(F_x \in \Gamma\) telle que \(\deg(F_x) = d\)

de sorte que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. pour tout \(\ell\) ne divisant pas \(q\), on a \(\text{cd}_\ell(G)<\infty\), et

2. pour tout anneau fini \(\Lambda\) tel que \(q\in \Lambda^*\), pour tout \(\Lambda\)-module projectif fini \(M\) muni d’une action continue de \(\Gamma\), et pour tout \(n > 0\), on a \[\sum\nolimits_{d|n}d \left( \sum\nolimits_{x \in S_d} \text{Tr}( F_x^{n/d} |_M) \right) = q^n \text{Tr}(F^n|_{M \otimes_{\Lambda[[G]]}^{\mathbf{L}}\Lambda})\] dans \(\Lambda^\natural\).

Ici, \(M \otimes_{\Lambda[[G]]}^{\mathbf{L}}\Lambda = LH_0(G, M)\) désigne l’homologie dérivée, et \(F=1\) dans \(\Gamma/G = \widehat{\mathbf{Z}}\).

Remarque

Voici quelques observations au sujet de cette notion.

1. Pour modéliser les courbes projectives, on peut utiliser la cohomologie et le facteur \(q^n\) n’est pas nécessaire.

2. Les seuls exemples que je connaisse sont \(\Gamma = \pi_1(X, \overline \eta)\), où \(X\) est lisse, géométriquement irréductible et un \(K(\pi, 1)\) sur un corps fini. Dans ce cas, \(q = (\# k)^{\dim X}\). Compte tenu de la proposition, nous avons démontré ce résultat pour les courbes dans ce cours.

3. Une fois l’entier \(q\) donné, les ensembles \(S_d\) sont déterminés de manière unique. (On peut multiplier \(q\) par un entier \(m\), puis remplacer \(S_d\) par \(m^d\) copies de \(S_d\) sans changer la formule.)

Exemple

Fixons un entier \(q\geq 1\). \[\begin{matrix} 1 & \to & G = \widehat{\mathbf{Z}}^{(q)} & \to & \Gamma & \to & \widehat{\mathbf{Z}} & \to & 1 \\ & & = \prod_{l\not \mid q} \mathbf{Z}_l & & F & \mapsto & 1 \end{matrix}\] avec \(FxF^{-1} = ux\), où \(u \in (\widehat{\mathbf{Z}}^{(q)})^*\). En utilisant seulement les modules triviaux \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\), on voit que \[q^n - (qu)^n \equiv \sum\nolimits_{d|n} d\# S_d\] dans \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\) pour tout \((m, q)=1\) (à \(u \to u^{-1}\) près) ; cela entraîne \(qu = a\in \mathbf{Z}\) et \(|a| < q\). Le cas particulier \(a = 1\) se présente avec \[\Gamma = \pi_1^t(\mathbf{G}_{m, \mathbf{F}_p}, \overline \eta), \quad \# S_1 = q - 1, \quad\text{et}\quad \# S_2 = \frac{(q^2-1)-(q-1)}{2}\]

Formes automorphes et faisceaux

Références : voir notamment les remarquables articles [D1], [D2] et [D0] de Drinfeld.

Formes cuspidales non ramifiées. Soit \(k\) un corps fini de caractéristique \(p\). Soit \(X\) une courbe projective lisse géométriquement irréductible sur \(k\). Posons \(K = k(X)\), le corps des fonctions de \(X\). Soit \(v\) une place de \(K\), ce qui revient à se donner un point fermé \(x\in X\). Soit \(K_v\) le complété de \(K\) en \(v\) ; c’est aussi le corps des fractions du complété de l’anneau local de \(X\) en \(x\). Notons \(O_v\subset K_v\) l’anneau des entiers. Posons en outre \[O = \prod\nolimits_v O_v \subset \mathbf{A} = \prod_v' K_v\] et soit \(\Lambda\) un anneau, avec \(p\) inversible dans \(\Lambda\).

Définition

Une forme cuspidale non ramifiée sur \(\text{GL}_2(\mathbf{A})\) à valeurs dans \(\Lambda\)³ est une fonction \[f : \text{GL}_2(\mathbf{A}) \to \Lambda\] telle que

1. \(f(x\gamma) = f(x)\) pour tout \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\) et tout \(\gamma\in \text{GL}_2(K)\)

2. \(f(ux) = f(x)\) pour tout \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\) et tout \(u\in \text{GL}_2(O)\)

3. pour tout \(x\in \text{GL}_2(\mathbf{A})\), \[\int_{\mathbf{A} \mod K} f \left(x \left( \begin{matrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \right) dz = 0\] voir [dJ-conjecture, section 4.1] pour une explication de la manière de donner un sens à cette expression pour un anneau quelconque \(\Lambda\) dans lequel \(p\) est inversible.

Opérateurs de Hecke. Pour une place \(v\) de \(K\) et une forme cuspidale non ramifiée \(f\), posons \[T_v(f)(x) = \int_{g\in M_v}f(g^{-1}x)dg,\] et \[U_v(f)(x) = f\left( \left( \begin{matrix} \pi_v^{-1} & 0 \\ 0 & \pi_v^{-1} \end{matrix} \right)x\right)\] Notations : ici, \(\pi_v \in O_v\) est une uniformisante, \[M_v = \left\{ h\in Mat(2\times 2, O_v) | \det h = \pi_vO_v^*\right\}\] et \(dg\) désigne la mesure de Haar sur \(\text{GL}_2(K_v)\) telle que \(\int_{\text{GL}_2(O_v)} dg = 1\). Explicitement, on a \[T_v(f)(x) = f\left( \left( \begin{matrix} \pi_v^{-1}& 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) x\right) + \sum_{i = 1}^{q_v} f\left(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -\pi_v^{-1}\lambda_i & \pi_v^{-1} \end{matrix} \right) x\right)\] où les \(\lambda_i\in O_v\) forment un système de représentants de \(O_v/(\pi_v)=\kappa_v\), \(q_v = \#\kappa_v\).

Formes propres. Une forme propre \(f\) est une forme cuspidale non ramifiée telle qu’une valeur de \(f\) soit une unité, et telle que \(T_vf = t_vf\) et \(U_vf = u_vf\) pour certains \(t_v, u_v \in \Lambda\) déterminés de manière unique.

Théorème

Étant donnée une forme propre \(f\) à valeurs dans \(\overline{\mathbf{Q}}_l\), dont les valeurs propres \(u_v\in \overline{\mathbf{Z}}_l^*\), il existe une représentation \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_2(E)\] continue et absolument irréductible, où \(E\) est une extension finie de \(\mathbf{Q}_\ell\) contenue dans \(\overline{\mathbf{Q}}_l\), et cette représentation vérifie \(t_v = \text{Tr}(\rho(F_v))\), et \(u_v = q_v^{-1}\det\left(\rho(F_v)\right)\) pour toute place \(v\).

Démonstration

Voir [D0].

Théorème

Supposons finie l’extension \(\mathbf{Q}_l \subset E\), et soit \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_2(E)\] une représentation absolument irréductible et continue. Il existe alors une forme propre \(f\) à valeurs dans \(\overline{\mathbf{Q}}_l\), dont les valeurs propres \(t_v\), \(u_v\) satisfont les égalités \(t_v = \text{Tr}(\rho(F_v))\) et \(u_v = q_v^{-1}\det(\rho(F_v))\).

Démonstration

Voir [D1].

Remarque

Grâce à Lafforgue et à de nombreux autres mathématiciens, nous disposons désormais d’énoncés complets analogues aux deux théorèmes précédents pour \(\text{GL}_n\), y compris avec ramification ! Autrement dit, la correspondance de Langlands globale complète pour \(\text{GL}_n\) est connue pour les corps de fonctions de courbes sur des corps finis. Cela ne signifie toutefois pas qu’il ne reste pas de nombreuses questions intéressantes sur les groupes fondamentaux des courbes sur les corps finis, comme nous le verrons ci-dessous.

Caractère central. Si \(f\) est une forme propre, alors \[\begin{matrix} \chi_f : & O^*\backslash \mathbf{A}^*/K^* & \to & \Lambda^* \\ & (1, \ldots, \pi_v, 1, \ldots, 1) & \mapsto & u_v^{-1} \end{matrix}\] est appelé le caractère central. Il correspond, compte tenu des normalisations ci-dessus, au déterminant de \(\rho\). Posons \[C(\Lambda) = \left\{ {\text{formes cuspidales non ramifiées } f \text{ à coefficients dans }\Lambda} \atop {\text{ telles que } U_v f = \varphi_v^{-1}f\forall v} \right\}\]

Proposition

Si \(\Lambda\) est noethérien, alors \(C(\Lambda)\) est un \(\Lambda\)-module de type fini. De plus, si \(\Lambda\) est un corps et si \(\mathbf{F} \subset \Lambda\) est son sous-corps premier, alors \[C(\Lambda)=(C(\mathbf{F}))\otimes_{\mathbf{F}}\Lambda\] de manière compatible avec l’action de \(T_v\).

Démonstration

Voir [dJ-conjecture, Proposition 4.7].

Cette proposition entraîne immédiatement le lemme suivant.

Lemme

Algébricité des valeurs propres. Si \(\Lambda\) est un corps, alors les valeurs propres \(t_v\) de \(f\in C(\Lambda)\) sont algébriques sur le sous-corps premier \(\mathbf{F} \subset \Lambda\).

Démonstration

Cela résulte de la proposition 03VW.

En combinant ce qui précède, on obtient l’astuce très utile suivante.

Lemme

Changement de \(l\). Soit \(E\) un corps de nombres. Partons d’une représentation \[\rho : \pi_1(X)\to SL_2(E_\lambda)\] absolument irréductible et continue, où \(\lambda\) est une place de \(E\) ne divisant pas \(p\). Pour toute autre place \(\lambda'\) de \(E\) ne divisant pas \(p\), il existe une extension finie \(E'_{\lambda'}\) et une représentation continue absolument irréductible \[\rho': \pi_1(X)\to SL_2(E'_{\lambda'})\] compatible avec \(\rho\), au sens où les polynômes caractéristiques de tous les Frobenius sont les mêmes.

Notons qu’il s’agit d’un cas particulier de la conjecture de Deligne !

Démonstration

Pour démontrer le lemme de changement, on applique le théorème 03VU pour obtenir une forme propre \(f\in C(\overline{\mathbf{Q}}_l)\) associée à \(\rho\). On applique ensuite la proposition 03VW pour voir que l’on peut choisir \(f\in C(E')\), où \(E \subset E'\) est une extension finie. En complétant ensuite \(E'\), on obtient une forme propre \(f\in C(E'_{\lambda'})\), où \(E'_{\lambda'}\) est une extension finie de \(E_{\lambda'}\). Enfin, on applique le théorème 03VT pour obtenir \(\rho': \pi_1(X) \to SL_2(E_{\lambda'}')\) absolument irréductible et continue, quitte à agrandir encore légèrement \(E'_{\lambda'}\).

Spéculation : si, pour un anneau (topologique) \(\Lambda\), on a \[\left( {\rho : \pi_1(X)\to SL_2(\Lambda) \atop \text{ absolument irréductible}} \right) \leftrightarrow \text{ formes propres dans } C(\Lambda)\] alors toutes les valeurs propres de \(\rho(F_v)\) sont algébriques (cet argument ne fonctionne pas directement lorsque \(\Lambda\) est un anneau fini). En partant de l’idée que la correspondance de Langlands vaut plus généralement que pour les seuls corps, on arrive à la conjecture suivante.

Conjecture. (Voir [dJ-conjecture].) Pour toute représentation continue \[\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_n(\mathbf{F}_l[[t]])\] on a \(\# \rho(\pi_1(X_{\overline{k}}))<\infty\).

Reformulation dans le langage des faisceaux : « Pour tout faisceau lisse de \(\overline{\mathbf{F}_l((t))}\)-modules, la monodromie géométrique est finie. »

Théorème

La conjecture est vraie si \(n\leq 2\).

Démonstration

Voir [dJ-conjecture].

Théorème

La conjecture est vraie si \(l > 2n\), sous réserve de certains résultats non démontrés.

Démonstration

Voir [Gaitsgory].

Il se trouve que la conjecture a une application. Voir les travaux de Drinfeld sur les conjectures de Kashiwara. Il existe aussi l’application beaucoup plus élémentaire suivante.

Théorème

(Voir [dJ-conjecture, Théorème 3.5].) Supposons que \[\rho_0: \pi_1(X)\to \text{GL}_n(\mathbf{F}_l)\] soit continue, avec \(l\neq p\). Supposons :

1. que la conjecture soit vraie pour \(X\) ;

2. que \(\rho_0 |_{\pi_1(X_{\overline{k}})}\) soit absolument irréductible ; et

3. que \(l\) ne divise pas \(n\).

Alors l’anneau de déformation universel \(R_{\text{univ}}\) de \(\rho_0\) est fini et plat sur \(\mathbf{Z}_l\).

Explication : il existe une représentation \(\rho_{\text{univ}}: \pi_1(X)\to \text{GL}_n(R_{\text{univ}})\) (anneau de déformation universel), où \(R_{\text{univ}}\) est local et complet, de corps résiduel \(\mathbf{F}_l\), et \((R_{\text{univ}}\to \mathbf{F}_l)\circ\rho_{\text{univ}}\cong\rho_0\). Étant donnés \(R\to \mathbf{F}_l\), avec \(R\) local et complet, et \(\rho : \pi_1(X)\to \text{GL}_n(R)\), il existe alors \(\psi : R_{\text{univ}}\to R\) tel que \(\psi\circ\rho_{\text{univ}}\cong \rho\). Le théorème affirme que le morphisme \[\Spec(R_{\text{univ}}) \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z}_l)\] est fini et plat. En particulier, une telle représentation \(\rho_0\) se relève en une représentation \(\rho : \pi_1(X) \to \text{GL}_n(\overline{\mathbf{Q}}_l)\).

Notes :

1. Le théorème sur les déformations est facile.

2. Tout progrès vers la conjecture semble difficile.

3. Il serait intéressant de disposer de davantage de conjectures sur \(\pi_1(X)\) !

Comptage des points

Soit \(X\) une courbe lisse, géométriquement irréductible et projective sur \(k\), et posons \(q = \# k\). La formule des traces donne ceci : il existe des entiers algébriques \(w_1, \ldots, w_{2g}\) tels que \[\# X(k_n) = q^n - \sum\nolimits_{i = 1}^{2g_X} w_i^n + 1.\] Si \(\sigma\in \text{Aut}(X)\), alors, pour tout \(i\), il existe \(j\) tel que \(\sigma(w_i)=w_j\).

Hypothèse de Riemann. Pour tout \(i\), on a \(|\omega_i| = \sqrt{q}\).

Cette hypothèse a été formulée par Emil Artin en 1924 pour les courbes hyperelliptiques, puis démontrée par Weil en 1940. Weil en a donné deux démonstrations :

• l’une utilisant la théorie de l’intersection sur \(X \times X\) et le théorème de l’indice de Hodge ;

• l’autre utilisant la jacobienne de \(X\).

Il existe une autre démonstration, dont l’idée initiale est due à Stepanov et que Bombieri a donnée : elle utilise le corps de fonctions \(k(X)\) et son opérateur de Frobenius (1969). Le point de départ est que, pour \(f\in k(X)\), la fonction rationnelle \(f^q - f\) s’annule en tous les points \(\mathbf{F}_q\)-rationnels de \(X\), et que l’on peut essayer d’utiliser cette idée pour majorer le nombre de points.

Forme précise du théorème de Chebotarev

Comme première application, démontrons une forme précise du théorème de Chebotarev pour un revêtement galoisien étale fini de courbes. Soit \(\varphi : Y \to X\) un revêtement galoisien étale fini de groupe \(G\). Il correspond à un homomorphisme \[\pi_1(X) \longrightarrow G = \text{Aut}(Y/X)\] Supposons \(Y_{\overline{k}}\) irréductible. Si \(C\subset G\) est une classe de conjugaison, alors, pour tout \(n > 0\), on a \[| \# \{x \in X(k_n) \mid F_x \in C\} - \frac{\# C}{\# G} \cdot \# X(k_n) | \leq (\# C)(2g - 2) \sqrt{q^n}\] (Avertissement : vérifier soigneusement le coefficient \(\# C\) au membre de droite avant d’utiliser cette estimation.)

Démonstration

Écrivons \[\varphi_*(\overline{\mathbf{Q}_l}) = \oplus_{\pi \in \widehat{G}} \mathcal{F}_{\pi}\] où \(\widehat{G}\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de \(G\) sur \(\overline{\mathbf{Q}}_l\). Pour \(\pi \in \widehat{G}\), soit \(\chi_{\pi}: G \to \overline{\mathbf{Q}}_l\) le caractère de \(\pi\). Alors \[H^*(Y_{\overline{k}}, \overline{\mathbf{Q}}_l) = \oplus_{\pi\in \widehat{G}} H^*(Y_{\overline{k}}, \overline{\mathbf{Q}}_l)_\pi =_{(\varphi\text{ finie })} \oplus_{\pi\in \widehat{G}} H^*(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi)\] Si \(\pi\neq 1\), alors \[H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = H^2(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = 0,\quad \dim H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{F}_\pi) = (2g_X - 2)d_\pi^2\] (cela peut se déduire de la formule des traces en faisant agir sur ...) et l’on voit que \[|\sum_{x \in X(k_n)} \chi_\pi(\mathcal{F}_x)| \leq (2g_X - 2) d_\pi^2\sqrt{q^n}\] Écrivons \(1_C = \sum_\pi a_\pi \chi_\pi\) ; alors \(a_\pi = \langle 1_C, \chi_\pi\rangle\), et \(a_1 = \langle 1_C, \chi_1\rangle = \frac{\# C}{\# G}\), où \[\langle f, h\rangle = \frac{1}{\# G}\sum_{g \in G} f(g)\overline{h(g)}\] On a donc la relation \[\frac{\# C}{\# G} = ||1_C||^2 = \sum|a_\pi|^2\] Dernière étape : \[\begin{align*} \#\left\{x \in X(k_n) \mid F_x \in C\right\} & = \sum_{x \in X(k_n)} 1_C(x) \\ & = \sum_{x \in X(k_n)} \sum_\pi a_\pi \chi_\pi(F_x) \\ & = \underbrace{\frac{\# C}{\# G} \# X(k_n)}_{ \text{terme pour }\pi = 1} + \underbrace{\sum_{\pi\neq 1}a_\pi\sum_{x\in X(k_n)}\chi_\pi(F_x)}_{ \text{ terme d'erreur (à majorer par }E)} \end{align*}\] On peut majorer le terme d’erreur par \[\begin{align*} |E| & \leq \sum_{\pi \in \widehat{G}, \atop \pi \neq 1} |a_\pi| (2g - 2) d_\pi^2 \sqrt{q^n} \\ & \leq \sum_{\pi \neq 1} \frac{\# C}{\# G} (2g_X - 2) d_\pi^3 \sqrt{q^n} \end{align*}\] D’après la conjecture de Weil, \(\# X(k_n)\sim q^n\).

Combien de nombres premiers se décomposent complètement ?

Cette section donne une seconde application de l’hypothèse de Riemann pour les courbes sur un corps fini. Les théoriciens des nombres pourront consulter l’article d’Ihara intitulé « Combien de nombres premiers se décomposent complètement dans une extension de Galois non ramifiée infinie d’un corps global ? », voir [Ihara]. Considérons la suite exacte fondamentale \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \xrightarrow{\deg} \widehat{\mathbf{Z}} \to 1\]

Proposition

Il existe des points fermés \(x_1, \ldots, x_n\) de \(X\) tels que l’ensemble de tous les éléments de Frobenius correspondant à ces points engendre topologiquement \(\pi_1(X)\).

On peut aussi formuler l’énoncé ainsi : il existe \(x_1, \ldots, x_n\in |X|\) tels que le plus petit sous-groupe normal fermé \(\Gamma\) de \(\pi_1(X)\) contenant exactement \(1\) élément de Frobenius pour chaque \(x_i\) soit égal à \(\pi_1(X)\), c’est-à-dire \(\Gamma = \pi_1(X)\).

Démonstration

Choisissons \(N\gg 0\) et posons \[\{x_1, \ldots, x_n\} = {\text{ ensemble de tous les points fermés de} \atop X \text{ de degré} \leq N\text{ sur } k}\] Soit \(\Gamma\subset \pi_1(X)\) comme dans la reformulation précédente pour ces points. Supposons \(\Gamma \neq \pi_1(X)\). On peut alors choisir un sous-groupe ouvert normal \(U\) de \(\pi_1(X)\) contenant \(\Gamma\) et tel que \(U \neq \pi_1(X)\). Par l’hypothèse de Riemann pour \(X\), notre ensemble de points contient un \(x_{i_1}\) de degré \(N\) et un \(x_{i_2}\) de degré \(N - 1\). Cela montre que \(\deg : \Gamma \to \widehat{\mathbf{Z}}\) est surjective, et il en va donc de même pour \(U\). Cela signifie exactement que, si \(Y \to X\) est le revêtement galoisien étale fini correspondant à \(U\), alors \(Y_{\overline{k}}\) est irréductible. Posons \(G = \text{Aut}(Y/X)\). On a \[Y \to^G X,\quad G = \pi_1(X)/U\] Par construction, tous les points de \(X\) de degré \(\leq N\) se décomposent complètement dans \(Y\). En particulier, \[\# Y(k_N)\geq (\# G)\# X(k_N)\] Appliquons l’hypothèse de Riemann aux deux membres. On obtient \[q^N+1+2g_Yq^{N/2}\geq \# G\# X(k_N)\geq \# G(q^N+1-2g_Xq^{N/2})\] Comme \(2g_Y-2 = (\# G)(2g_X-2)\), cela donne \[q^N + 1 + (\# G)(2g_X - 1) + 1)q^{N/2}\geq \# G (q^N + 1 - 2g_Xq^{N/2})\] On voit donc que \(G\) est nécessairement trivial si \(N\) est assez grand.

Question curieuse. Posons \(W_X = \deg^{-1}(\mathbf{Z})\subset \pi_1(X)\). Existe-t-il un ensemble fini de points fermés \(x_1, \ldots, x_n\) de \(X\) tel que l’ensemble de tous les éléments de Frobenius correspondant à ces points engendre algébriquement \(W_X\) ?

Un argument de catégorie de Baire ramène cette question à la même question pour tous les éléments de Frobenius.

Combien y a-t-il réellement de points ?

Si le genre de la courbe est grand par rapport à \(q\), alors le terme principal de la formule \(\# X(k) = q - \sum \omega_i + 1\) n’est pas le terme \(q\), mais le deuxième terme \(\sum \omega_i\), qui peut avoir a priori une taille de l’ordre de \(2g_X\sqrt{q}\). Dans l’article [Drinfeld-number], Drinfeld et Vlăduţ montrent que ce maximum est en fait au plus de l’ordre de \(g\sqrt{q}\), comme Ihara l’avait prédit.

Fixons \(q\) et soit \(k\) un corps à \(q\) éléments. Posons \[A(q) = \limsup_{g_X \to \infty} \frac{\# X(k)}{g_X}\] où \(X\) parcourt les courbes projectives lisses géométriquement irréductibles sur \(k\). Avec cette définition, on a les résultats suivants :

• HR \(\Rightarrow A(q)\leq 2\sqrt{q}\)

• Ihara \(\Rightarrow A(q)\leq \sqrt{2q}\)

• DV \(\Rightarrow A(q)\leq \sqrt{q}-1\) (en fait, cette borne est atteinte si \(q\) est un carré).

Démonstration

Étant donné \(X\), soient \(w_1, \ldots, w_{2g}\) comme précédemment et posons \(g = g_X\). Posons \(\alpha_i = \frac{w_i}{\sqrt{q}}\) ; alors \(|\alpha_i| = 1\). Si \(\alpha_i\) apparaît, alors \(\overline{\alpha}_i = \alpha_i^{-1}\) apparaît également. On a \[N = \# X(k) \leq X(k_r) = q^r + 1 - (\sum_i \alpha_i^r) q^{r/2}\] En réécrivant, on voit que, pour tout \(r \geq 1\), \[-\sum_i \alpha_i^r \geq Nq^{-r/2} - q^{r/2} - q^{-r/2}\] Observons que \[0 \leq |\alpha_i^n +\alpha_i^{n-1} +\ldots +\alpha_i +1|^2 = (n + 1) + \sum_{j = 1}^n (n + 1 - j) (\alpha_i^j + \alpha_i^{-j})\] Ainsi, \[\begin{align*} 2g(n+1) & \geq - \sum_i \left(\sum_{j = 1}^n (n+1-j)(\alpha_i^j +\alpha_i^{-j})\right)\\ & =-\sum_{j = 1}^n (n+1-j)\left(\sum_i\alpha_i^j +\sum_i\alpha_i^{-j}\right) \end{align*}\] En prenant la moitié, on obtient \[\begin{align*} g(n+1)& \geq - \sum_{j = 1}^n (n+1-j)(\sum_i\alpha_i^j)\\ & \geq N\sum_{j = 1}^n (n+1-j)q^{-j/2}-\sum_{j = 1}^n (n+1-j)(q^{j/2}+q^{-j/2}) \end{align*}\] On en déduit \[\frac{N}{g}\leq \left(\sum_{j = 1}^n \frac{n+1-j}{n+1}q^{-j/2} \right)^{-1} \cdot \left( 1 + \frac{1}{g} \sum_{j = 1}^n \frac{n + 1 - j}{n + 1}(q^{j/2} + q^{-j/2}) \right)\] Fixons \(n\) et faisons tendre \(g\to \infty\). \[A(q)\leq \left(\sum_{j = 1}^n \frac{n+1-j}{n+1}q^{-j/2}\right)^{-1}\] Donc \[A(q)\leq \lim_{n\to\infty}(\ldots) = \left(\sum_{j = 1}^\infty q^{-j/2}\right)^{-1}=\sqrt{q}-1\]