Diviseurs sur les espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les diviseurs sur les espaces algébriques et des sujets connexes. Une référence de base sur les espaces algébriques est [Kn].

Points associés et points faiblement associés

Dans le cas des schémas, nous avons introduit deux notions concurrentes de points associés : les points associés au sens usuel (Diviseurs, section 02OI) et les points faiblement associés (Diviseurs, section 056K). Pour un espace algébrique général, la notion de point associé est pratiquement inutilisable, et nous ne chercherons même pas à la définir. Si l’espace algébrique est localement noethérien, nous nous autorisons à employer l’expression « point associé » à la place de « point faiblement associé », puisque ces notions coïncident pour les schémas noethériens (Diviseurs, lemme 05AR). Avant de donner notre définition, nous avons besoin d’un lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un morphisme étale \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma, et un point \(u \in U\) d’image \(x\) tels que \(u\) soit faiblement associé à \(f^*\mathcal{F}\),

2. pour tout morphisme étale \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma, et tout point \(u \in U\) d’image \(x\), le point \(u\) est faiblement associé à \(f^*\mathcal{F}\),

3. l’idéal maximal de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est un idéal premier faiblement associé au module \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\).

Si \(X\) est localement noethérien, elles sont également équivalentes à :

1. il existe un morphisme étale \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma, et un point \(u \in U\) d’image \(x\) tels que \(u\) soit associé à \(f^*\mathcal{F}\),

2. pour tout morphisme étale \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma, et tout point \(u \in U\) d’image \(x\), le point \(u\) est associé à \(f^*\mathcal{F}\),

3. l’idéal maximal de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est un idéal premier associé au module \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\), un point \(u\) et un morphisme étale \(f : U \to X\) qui envoie \(u\) sur \(x\). Relevons \(\overline{x}\) en un point géométrique de \(U\) au-dessus de \(u\). Rappelons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) où le hensélisé strict est pris relativement au relèvement choisi de \(\overline{x}\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 04KF. Enfin, nous avons \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (f^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] d’après Propriétés des espaces, lemme 05VP. L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte donc de Compléments sur la platitude, lemme 0CTU. Si \(X\) est localement noethérien, tout \(U\) comme ci-dessus est localement noethérien ; les conditions (1), resp. (2), sont donc équivalentes aux conditions (4), resp. (5), d’après Diviseurs, lemme 05AR. D’autre part, dans le cas localement noethérien, l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est lui aussi noethérien (Propriétés des espaces, lemme 08AH). L’équivalence de (3) et (6) résulte donc du même lemme (ou par Algèbre, lemme 058A).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in |X|\).

1. On dit que \(x\) est faiblement associé à \(\mathcal{F}\) si les conditions équivalentes (1), (2) et (3) du lemme 0CTW sont satisfaites.

2. On note \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\) l’ensemble des points faiblement associés à \(\mathcal{F}\).

3. Les points faiblement associés à \(X\) sont les points faiblement associés à \(\mathcal{O}_X\).

Si \(X\) est localement noethérien, on dira \(x\) est associé à \(\mathcal{F}\) si et seulement si \(x\) est faiblement associé à \(\mathcal{F}\), et l’on pose \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\). Enfin (toujours sous l’hypothèse que \(X\) est localement noethérien), on dira que \(x\) est un point associé de \(X\) si et seulement si \(x\) est un point faiblement associé à \(X\).

À ce stade, nous pouvons démontrer les lemmes de rigueur.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions. Le support d’un faisceau abélien sur \(X\) est défini dans Propriétés des espaces, définition 04KA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Alors \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\) et \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\).

Démonstration

Pour tout point géométrique \(\overline{x} \in X\), la suite des fibres \(0 \to \mathcal{F}_{1, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{2, \overline{x}} \to \mathcal{F}_{3, \overline{x}} \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)-modules. Le lemme résulte donc de Algèbre, lemme 0548.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\]

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\). Alors \(\mathcal{F}\) est nul si et seulement si \(f^*\mathcal{F}\) est nul. Le lemme résulte donc de la définition et du lemme dans le cas des schémas ; voir Diviseurs, lemme 05AP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\). Si

1. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)

2. \(x\) est un point de codimension \(0\) de \(X\) (Propriétés des espaces, définition 04NA).

Alors \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini de support schématique \(Z\) (Morphismes d’espaces, définition 07U1) et si \(x\) est un point de codimension \(0\) de \(Z\), alors \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Puisque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\), la fibre \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) n’est pas nulle. Ainsi, \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_{\overline{x}})\) est non vide d’après Algèbre, lemme 0588. D’autre part, le spectre de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est réduit à un point. Par définition, \(x\) est donc faiblement associé à \(\mathcal{F}\). Pour la dernière assertion, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\) est surjectif, le spectre de \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\) est réduit à un point, et \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est un module non nul sur \(\mathcal{O}_{Z, \overline{z}}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\). Si

1. \(X\) est décent (par exemple quasi-séparé ou localement séparé),

2. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)

3. \(x\) n’est pas une spécialisation d’un autre point dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).

Alors \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\).

Démonstration

(Un espace algébrique quasi-séparé est décent ; voir Espaces décents, section 03I7. Un espace algébrique localement séparé est décent ; voir Espaces décents, lemme 088J.) Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(f : U \to X\) envoyant \(u\) sur \(x\). D’après Espaces décents, lemme 03K5 si \(u' \leadsto u\) est une spécialisation non triviale, alors \(f(u') \not = x\). Ainsi, \(u \in \text{Supp}(f^*\mathcal{F})\) n’est pas une spécialisation d’un autre point de \(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})\). Par conséquent, \(u \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{F})\) d’après Diviseurs, lemme 0CUL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap W\) est fini pour tout ouvert quasi-compact \(W \subset |X|\).

Démonstration

Choisissons un schéma quasi-compact \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que \(W\) soit l’image de \(|U| \to |X|\). Alors \(U\) est un schéma noethérien, et l’on conclut en appliquant Diviseurs, lemme 05AF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(U \to X\) est un morphisme étale tel que \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \Im(|U| \to |X|)\), alors \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) est injectif.

Démonstration

Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) une section dont la restriction à \(U\) est nulle. Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) l’image de l’homomorphisme \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) défini par \(s\). Alors \(\mathcal{F}'|_U = 0\). Cela entraîne \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \cap \Im(|U| \to |X|) = \emptyset\) (par définition des points faiblement associés). D’autre part, \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) par le lemme 0CTZ. Nous en déduisons que \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\). Ainsi, \(\mathcal{F}' = 0\) par le lemme 0CU0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(y \in |Y|\) un point qui n’appartient pas à l’image de \(|f|\). Alors \(y\) n’est pas faiblement associé à \(f_*\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après Morphismes d’espaces, lemme 03M9, le \(\mathcal{O}_Y\)-module \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, de sorte que l’énoncé a un sens. Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(v\) sur \(y\). Nous pouvons remplacer \(f : X \to Y\), \(\mathcal{F}\), \(y\) par \(X \times_Y V \to V\), \(\mathcal{F}|_{X \times_Y V}\), \(v\). Nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact ; nous pouvons donc choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Notons \(g : U \to Y\) le composé. Alors \(f_*\mathcal{F} \subset g_*(\mathcal{F}|_U)\). Par le lemme 0CTZ, on se ramène au cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 0AVN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que, pour tout \(x \in |X|\), l’une au moins des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{G}_{\overline{x}}\) est injectif, ou

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\).

Alors \(\varphi\) est injectif.

Démonstration

Les hypothèses impliquent que \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) et donc que \(\Ker(\varphi) = 0\) par le lemme 0CU0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique réduit sur \(S\). Alors les points faiblement associés à \(X\) sont exactement les points de codimension \(0\) de \(X\).

Démonstration

En travaillant localement pour la topologie étale, cela résulte de Diviseurs, lemme 0EME et Propriétés des espaces, lemme 0BAQ.

Morphismes et points faiblement associés

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. On a alors \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Posons \(U = X \times_Y V\). Alors \(U \to V\) est un morphisme affine de schémas. Par définition des points faiblement associés, le problème est ramené au morphisme de schémas \(U \to V\). Ce cas est traité dans Diviseurs, lemme 05EX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(X\) est localement noethérien, alors on a \[\text{WeakAss}_Y(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Posons \(U = X \times_Y V\). Alors \(U \to V\) est un morphisme affine et \(U\) est localement noethérien. Par définition des points faiblement associés, le problème est ramené au morphisme de schémas \(U \to V\). Ce cas est traité dans Diviseurs, lemme 05EY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Posons \(U = X \times_Y V\). Alors \(U \to V\) est un morphisme fini de schémas. Par définition des points faiblement associés, le problème est ramené au morphisme de schémas \(U \to V\). Ce cas est traité dans Diviseurs, lemme 05EZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\) et \(y = f(x) \in |Y|\). Si

1. \(y \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\),

2. \(f\) est plat en \(x\), et

3. la dimension de l’anneau local de la fibre de \(f\) au point \(x\) est nulle (Morphismes d’espaces, définition 04NM),

alors \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(v\) sur \(y\). Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(U \to V \times_Y X\) envoyant \(v\) sur un point situé au-dessus de \(v\) et de \(x\). Cela est possible car il existe \(t \in |V \times_Y X|\) s’envoyant sur \((v, y)\) d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4. Par définition, la dimension de \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) est nulle. Ainsi, \(u\) est un point générique de la fibre \(U_v\). Par définition des points faiblement associés, le problème est ramené au morphisme de schémas \(U \to V\). Ce cas est traité dans Diviseurs, lemme 05F0.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(y \in X_K\) d’image \(x \in X\). Si \(y\) est un point faiblement associé à l’image inverse \(\mathcal{F}_K\), alors \(x\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

C’est la traduction de Diviseurs, lemme 0CUC dans le langage des espaces algébriques. Nous omettons les détails de cette traduction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini et plat d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\) un point d’image \(y \in |Y|\). Alors \[x \in \text{WeakAss}(g^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement du cas des schémas (Compléments sur la platitude, lemme 05FN) par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\) un point d’image \(y \in |Y|\). Alors \[x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}(\mathcal{G})\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition des points faiblement associés et, en fait, le lemme correspondant pour les schémas (Compléments sur la platitude, lemme 05FP) est à la base de notre définition.

Assassin faible relatif

Nous avons besoin de quelques lemmes pour définir cet objet.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un schéma \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(v\) sur \(y\) tels que l’espace algébrique \(X_v\) soit localement noethérien,

2. pour tout schéma \(V\), tout point \(v \in V\) et tout morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(v\) sur \(y\), l’espace algébrique \(X_v\) est localement noethérien, et

3. il existe un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to Y\) représentant \(y\) tels que \(X_k\) soit localement noethérien.

S’il existe un corps \(k_0\) et un monomorphisme \(\Spec(k_0) \to Y\) représentant \(y\), ces conditions sont également équivalentes à

1. l’espace algébrique \(X_{k_0}\) est localement noethérien.

Démonstration

Remarquons que \(X_v = v \times_Y X = \Spec(\kappa(v)) \times_Y X\). Les implications (2) \(\Rightarrow\) (1) \(\Rightarrow\) (3) sont donc claires. Supposons que \(\Spec(k) \to Y\) soit un morphisme depuis le spectre d’un corps tel que \(X_k\) soit localement noethérien. Soit \(V \to Y\) un morphisme étale depuis un schéma \(V\), et soit \(v \in V\) un point envoyé sur \(y\). Alors le schéma \(v \times_Y \Spec(k)\) est non vide. Choisissons un point \(w \in v \times_Y \Spec(k)\). Considérons les morphismes \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] Comme \(V \to Y\) est étale et que \(w\) peut être considéré comme un point de \(V \times_Y \Spec(k)\), l’extension \(\kappa(w)/k\) est une extension finie séparable de corps (Morphismes, lemme 02GL). Ainsi, \(X_w \to X_k\) est un morphisme fini étale obtenu par changement de base de \(w \to \Spec(k)\). Par conséquent, \(X_w\) est localement noethérien (Morphismes des espaces, lemme 04ZK). Le morphisme \(X_w \to X_v\) est surjectif, affine et plat, car il est obtenu par changement de base du morphisme surjectif, affine et plat \(w \to v\). Le fait que \(X_w\) soit localement noethérien implique alors que \(X_v\) est localement noethérien. Pour le voir, choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), puis remarquons que \(U_w \to U_v\) est surjectif, affine et plat. En nous plaçant localement dans le cas affine sur le schéma \(U_v\), nous concluons que \(U_w\) est localement noethérien par Algèbre, lemme 033E.

Enfin, il suffit de prouver que (3) implique (4) lorsqu’il existe un monomorphisme \(\Spec(k_0) \to Y\) dans la classe de \(y\). Alors \(\Spec(k) \to Y\) se factorise en \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\). L’argument donné ci-dessus montre alors que le fait que \(X_k\) soit localement noethérien implique que \(X_{k_0}\) est localement noethérien.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Nous disons que la fibre de \(f\) au-dessus de \(y\) est localement noethérienne si les conditions équivalentes (1), (2) et (3) du lemme 0CUW sont satisfaites. Nous disons que les fibres de \(f\) sont localement noethériennes si cette propriété est satisfaite pour tout \(y \in |Y|\).

Bien entendu, la manière usuelle de garantir que les fibres sont localement noethériennes consiste à supposer que le morphisme est localement de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini, alors les fibres de \(f\) sont localement noethériennes.

Démonstration

Cela résulte de Morphismes d’espaces, lemme 04ZK et du fait que le spectre d’un corps est noethérien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) et \(y = f(x) \in |Y|\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Considérons les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ X \ar[d] & X \times_Y V \ar[d] \ar[l] & X_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[d] \ar[l] & U_v \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & v \ar[l] } \quad \xymatrix{ x \ar@{|->}[d] & x' \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[l] & u \ar@{|->}[ld] \ar@{|->}[l] \\ y & v \ar@{|->}[l] }\] où \(V\) et \(U\) sont des schémas, \(V \to Y\) et \(U \to X \times_Y V\) sont étales, et \(v \in V\), \(x' \in |X_v|\), \(u \in U\) sont des points reliés comme dans le dernier diagramme. Notons \(\mathcal{F}|_{X_v}\) et \(\mathcal{F}|_{U_v}\) les images inverses de \(\mathcal{F}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe \(V, v, x'\) comme ci-dessus tels que \(x'\) soit un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_v}\),

2. pour tous \(V \to Y, v, x'\) comme ci-dessus, \(x'\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_v}\),

3. il existe \(U, V, u, v\) comme ci-dessus tels que \(u\) soit un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{U_v}\),

4. pour tous \(U, V, u, v\) comme ci-dessus, \(u\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{U_v}\),

5. il existe un corps \(k\), un morphisme \(\Spec(k) \to Y\) représentant \(y\) et un point \(t \in |X_k|\) s’envoyant sur \(x\), tels que \(t\) soit un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_k}\).

S’il existe un corps \(k_0\) et un monomorphisme \(\Spec(k_0) \to Y\) représentant \(y\), ces conditions sont également équivalentes à

1. \(x_0\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_{k_0}}\) où \(x_0 \in |X_{k_0}|\) est l’unique point s’envoyant sur \(x\).

Si la fibre de \(f\) au-dessus de \(y\) est localement noethérienne, alors, dans les conditions (1), (2), (3), (4) et (6), nous pouvons remplacer “faiblement associé” par “associé”.

Démonstration

Remarquons qu’étant donnés \(V, v, x'\) comme dans le lemme, nous pouvons trouver \(U \to X \times_Y V\) et \(u \in U\) s’envoyant sur \(x'\) et qu’alors le morphisme \(U_v \to X_v\) est étale. Il est donc clair que (1) et (3) sont équivalentes, de même que (2) et (4). Chacune de ces conditions implique (5). Nous allons montrer que (5) implique (2). Supposons donnés \(V, v, x'\), ainsi que \(\Spec(k) \to X\) et \(t \in |X_k|\), de sorte que \(t\) soit un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_k}\). Nous pouvons choisir un point \(w \in v \times_Y \Spec(k)\). Nous obtenons alors les morphismes \[X_v \longleftarrow X_w \longrightarrow X_k\] Comme \(V \to Y\) est étale et que \(w\) peut être considéré comme un point de \(V \times_Y \Spec(k)\), l’extension \(\kappa(w)/k\) est une extension finie séparable de corps (Morphismes, lemme 02GL). Ainsi, \(X_w \to X_k\) est un morphisme fini étale obtenu par changement de base de \(w \to \Spec(k)\). Tout point \(x''\) de \(X_w\) situé au-dessus de \(t\) est donc un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_w}\) par le lemme 0CUU. Nous pouvons choisir \(x''\) s’envoyant sur \(x'\) (Propriétés des espaces, lemme 03H4). Le lemme 0CUS implique alors que \(x'\) est un point faiblement associé à \(\mathcal{F}|_{X_v}\).

Pour achever la preuve, il suffit de montrer que les conditions équivalentes (1) – (5) impliquent (6) lorsque l’on se donne \(\Spec(k_0) \to Y\) comme dans (6). Dans ce cas, le morphisme \(\Spec(k) \to Y\) de (5) se factorise de manière unique en \(\Spec(k) \to \Spec(k_0) \to Y\). Alors \(x_0\) est l’image de \(t\) par le morphisme \(X_k \to X_{k_0}\). Le même lemme que ci-dessus montre donc que (6) est vraie.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. L’assassin faible relatif de \(\mathcal{F}\) dans \(X\) sur \(Y\) est l’ensemble \(\text{WeakAss}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset |X|\) des \(x \in |X|\) pour lesquels les conditions équivalentes du lemme 0CUZ sont satisfaites. Si les fibres de \(f\) sont localement noethériennes (définition 0CUX), on utilise la notation \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\).

Avec ces notations, nous pouvons énoncer certains des résultats déjà démontrés pour les schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\),

2. \(X\) et \(Y\) sont localement noethériens, et

3. les fibres de \(f\) sont localement noethériennes.

Alors \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \{x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\text{ tel que } f(x) \in \text{Ass}_Y(\mathcal{G}) \}\]

Démonstration

Par localisation étale, l’énoncé résulte immédiatement du résultat pour les schémas ; voir Diviseurs, lemme 05DB. Le résultat pour les schémas n’est plus général que parce que nous n’avons pas défini les points associés pour les espaces algébriques non noethériens (nous devons donc supposer que \(X\) et les fibres de \(X \to Y\) sont localement noethériens pour pouvoir même formuler cet énoncé).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). Si \(f\) est localement de type fini, alors

1. \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}') \Rightarrow g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)

2. si \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\), alors, étant donné \(y' \in |Y'|\) tel que \(f(x) = g(y')\), il existe \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) avec \(g'(x') = x\) et \(f'(x') = y'\).

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas par localisation étale. Donnons tous les détails. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to V \times_Y Y'\). Alors \(U' = V' \times_V U\) est un schéma et le morphisme \(U' \to X'\) est surjectif et étale.

Preuve de (1). Choisissons \(u' \in U'\) s’envoyant sur \(x'\). Notons \(v' \in V'\) l’image de \(u'\). La condition \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) équivaut à \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U'_{v'}})\) par définition (il est légitime d’écrire \(\text{Ass}\) au lieu de \(\text{WeakAss}\) car \(U'_{v'}\) est localement noethérien). En appliquant Diviseurs, lemme 05DC, nous voyons que l’image \(u \in U\) de \(u'\) appartient à \(\text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\) où \(v \in V\) est l’image de \(u\). Cela signifie à son tour que \(g'(x') \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\).

Preuve de (2). Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Notons \(v \in V\) l’image de \(u\). La condition \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) équivaut à \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\) par définition. Choisissons un point \(v' \in V'\) s’envoyant sur \(y' \in |Y'|\) et sur \(v \in V\) (ce qui est possible d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4). Soit \(t \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\) un point générique d’une composante irréductible. Soit \(u' \in U'\) l’image de \(t\). En appliquant Diviseurs, lemme 05DC, nous voyons que \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\). Cela signifie à son tour que \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) où \(x' \in |X'|\) est l’image de \(u'\).

Lemme

Conservons les notations et les hypothèses du lemme 0CV2. Supposons que \(g\) soit localement quasi-fini, ou plus généralement que pour tout \(y' \in |Y'|\) le degré de transcendance de \(y'/g(y')\) soit \(0\). Alors \(\text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) est l’image réciproque de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Le degré de transcendance d’un point sur son image est défini dans Morphismes d’espaces, définition 04NM. Soit \(x' \in |X'|\) d’image \(x \in |X|\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to V \times_Y Y'\). Alors \(U' = V' \times_V U\) est un schéma et le morphisme \(U' \to X'\) est surjectif et étale. Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Notons \(v \in V\) l’image de \(u\). La condition \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) équivaut à \(u \in \text{Ass}(\mathcal{F}|_{U_v})\) par définition. Choisissons un point \(u' \in U'\) s’envoyant sur \(x' \in |X'|\) et sur \(u \in U\) (ce qui est possible d’après Propriétés des espaces, lemme 03H4). Soit \(v' \in V'\) l’image de \(u'\). La condition \(x' \in \text{Ass}_{X'/Y'}(\mathcal{F}')\) équivaut à \(u' \in \text{Ass}(\mathcal{F}'|_{U'_{v'}})\) par définition. Le lemme résulte alors de la discussion de Diviseurs, remarque 05KL, appliquée à \(u' \in \Spec(\kappa(v') \otimes_{\kappa(v)} \kappa(u))\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(i : Z \to X\) un morphisme fini. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}_{X/Y}(i_*\mathcal{G}) = i(\text{WeakAss}_{Z/Y}(\mathcal{G}))\).

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0CUD) par localisation étale. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique de présentation finie sur \(Y\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie. Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert tel que \(U \to Y\) soit quasi-compact. Alors l’ensemble \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset |U_y|\}\] est une partie localement constructible de \(Y\).

Démonstration

Remarquons que, puisque \(Y\) est un schéma, on peut considérer les fibres \(X_y = \Spec(\kappa(y)) \times_Y X\). (De plus, d’après nos définitions, l’ensemble \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) est exactement la fibre de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \to Y\) au-dessus de \(y\), mais nous ne l’utiliserons pas.) La question est locale sur \(Y\) : en effet, il suffit de montrer que \(E\) est constructible lorsque \(Y\) est affine. Dans ce cas, \(X\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : W \to X\). Alors \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) est l’image de \(\text{Ass}_{W_y}(\varphi^*\mathcal{F}_y)\) pour tous les \(y \in Y\). Par conséquent, le lemme résulte du cas des schémas, appliqué à l’ouvert \(\varphi^{-1}(U) \subset W\) et au morphisme \(W \to Y\). Le cas des schémas est traité dans Compléments sur les morphismes, lemme 05KR.

Idéaux de Fitting

Cette section prolonge la discussion de Diviseurs, section 0C3C. Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Nous pouvons alors construire les idéaux de Fitting \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_X\] comme la suite d’idéaux quasi-cohérents caractérisée par la propriété suivante : pour tout affine \(U = \Spec(A)\) étale sur \(X\), si \(\mathcal{F}|_U\) correspond au \(A\)-module \(M\), alors \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\) correspond à l’idéal \(\text{Fit}_i(M) \subset A\). Cette définition est indépendante des choix et donne un idéal quasi-cohérent, car si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux étale, alors le \(i\)-ième idéal de Fitting de \(M \otimes_A B\) sur \(B\) est égal à \(\text{Fit}_i(M) B\) d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 07ZA, partie (3). Plus précisément (peut-être), l’existence du faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\text{Fit}_0(\mathcal{O}_X)\) résulte (par exemple) de la description des faisceaux quasi-cohérents dans Propriétés des espaces, lemme 03LZ et de la propriété d’image inverse donnée dans Diviseurs, lemme 0C3D.

L’avantage de cette construction des idéaux de Fitting est que l’on voit immédiatement que leur formation commute à la localisation étale ; par conséquent, de nombreuses propriétés des idéaux de Fitting se ramènent immédiatement aux propriétés correspondantes dans le cas des schémas. Nous utiliserons souvent la discussion de Propriétés des espaces, section 05VR pour passer des propriétés des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas à celles sur les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_X = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\).

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 0C3D par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Alors \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) est un idéal quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 0C3E par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(Z_0 \subset X\) le sous-espace fermé défini par \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\). Soit \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). Alors

1. \(Z \subset Z_0 \subset X\) comme sous-espaces fermés,

2. \(|Z| = |Z_0| = \text{Supp}(\mathcal{F})\) comme parties fermées de \(|X|\),

3. il existe un \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}_0\) avec \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

Démonstration

Rappelons que la formation de \(Z\) commute à la localisation étale ; voir Morphismes d’espaces, définition 07U1 (qui utilise Morphismes d’espaces, lemme 07U0 pour définir \(Z\)). Ainsi (1) et (2) découlent du cas des schémas ; voir Diviseurs, lemme 0CYX. Pour obtenir \(\mathcal{G}_0\) comme dans la partie (3), nous pouvons utiliser le module \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) fourni par Morphismes d’espaces, lemme 07U0 et poser \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent de type fini sur \(\mathcal{O}_X\). Soit \(x \in |X|\). Alors \(\mathcal{F}\) peut être engendré par \(r\) éléments dans un voisinage étale de \(x\) si et seulement si \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\).

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 0C3F par localisation étale (ainsi qu’à la description de l’anneau local dans Propriétés des espaces, section 04KE et au fait que le hensélisé strict d’un anneau local est fidèlement plat sur celui-ci, ce qui montre que l’égalité sur le hensélisé strict équivaut à l’égalité sur l’anneau local).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent de type fini sur \(\mathcal{O}_X\). Soit \(r \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est fini localement libre de rang \(r\),

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\) et \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\), et

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\) pour \(k < r\) et \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_X\) pour \(k \geq r\).

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 0C3G par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent de type fini sur \(\mathcal{O}_X\). Les sous-espaces fermés \[X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] définis par les idéaux de Fitting de \(\mathcal{F}\) ont les propriétés suivantes :

1. L’intersection \(\bigcap Z_r\) est vide.

2. Le foncteur \((\Sch/X)^{opp} \to \textit{Ens}\) défini par la règle \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ est engendré localement par } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] est représentable par le sous-espace ouvert \(X \setminus Z_r\).

3. Le foncteur \(F_r : (\Sch/X)^{opp} \to \textit{Ens}\) défini par la règle \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ est localement libre de rang }r\\ \emptyset & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] est représentable par le sous-espace localement fermé \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) de \(X\).

Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(Z_r \to X\), \(X \setminus Z_r \to X\) et \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to X\) sont de présentation finie.

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 05P8 par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(X = Z_{-1} \subset Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots\) comme dans le lemme 0CZ9. Posons \(X_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\). Alors \(X' = \coprod_{r \geq 0} X_r\) représente le foncteur \[F_{flat} : \Sch/X \longrightarrow \textit{Ens},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ est plat sur }T\\ \emptyset & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] De plus, \(\mathcal{F}|_{X_r}\) est localement libre de rang \(r\) et les morphismes \(X_r \to X\) et \(X' \to X\) sont de présentation finie.

Démonstration

L’énoncé se ramène à Diviseurs, lemme 05P9 par localisation étale.

Diviseurs de Cartier effectifs

Pour des raisons de commodité, il semble préférable de définir d’abord la notion de diviseur de Cartier effectif. Rappelons que dans Morphismes d’espaces, section 03MA, nous avons étudié la correspondance entre les sous-espaces fermés et les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. De plus, dans Propriétés des espaces, section 05VR, nous avons étudié les propriétés des modules quasi-cohérents, notamment celle d’être « engendré localement par \(1\) élément ». Ces références montrent que la définition suivante est compatible avec celle donnée pour les schémas.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. Un sous-espace fermé localement principal de \(X\) est un sous-espace fermé dont le faisceau d’idéaux est engendré localement par \(1\) élément.

2. Un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) est un sous-espace fermé \(D \subset X\) tel que le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_X\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

Ainsi, un diviseur de Cartier effectif est un sous-espace fermé localement principal, mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Les diviseurs de Cartier effectifs sont des sous-espaces fermés de codimension pure \(1\) au sens le plus fort possible : ils sont en effet définis localement par un seul élément non diviseur de zéro. Ils sont en particulier nulle part denses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un sous-espace fermé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le sous-espace \(D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\).

2. Il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) tels que l’image inverse \(D \times_X U\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(U\).

3. Pour tout schéma \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), l’image inverse \(D \times_X U\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(U\).

4. Pour tout \(x \in |D|\), il existe un morphisme étale \((U, u) \to (X, x)\) d’espaces algébriques pointés tel que \(U = \Spec(A)\) et \(D \times_X U = \Spec(A/(f))\), où \(f \in A\) est non diviseur de zéro.

Démonstration

L’équivalence de (1) – (3) résulte de la définition 083B et des références qui la précèdent. Supposons (1) et soit \(x \in |D|\). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Choisissons \(w \in D \times_X W\) d’image \(x\). D’après (3), \(D \times_X W\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(W\). On obtient donc un voisinage étale affine \(U\) en choisissant un voisinage ouvert affine de \(w\) dans \(W\), comme dans Diviseurs, lemme 01WS.

Supposons (4). Alors \(\mathcal{I}_D|_U\) est inversible d’après Diviseurs, lemme 01WS. Puisque l’on peut trouver un recouvrement étale de \(X\) par la famille de tous ces \(U\) et de \(X \setminus D\), on en déduit que \(\mathcal{I}_D\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé localement principal. Soit \(U = X \setminus Z\). Alors \(U \to X\) est un morphisme affine.

Démonstration

La question est locale sur \(X\) pour la topologie étale ; voir Morphismes d’espaces, lemmes 03WG et le lemme 083C. L’énoncé découle donc du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZT.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(U = X \setminus D\). Alors \(U \to X\) est un morphisme affine et \(U\) est schématiquement dense dans \(X\).

Démonstration

L’affinité résulte du lemme 083D. La question de la densité est locale sur \(X\) pour la topologie étale d’après Morphismes d’espaces, définition 0834. L’énoncé découle donc du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(x \in |D|\). Si \(\dim_x(X) < \infty\), alors \(\dim_x(D) < \dim_x(X)\).

Démonstration

La définition d’un diviseur de Cartier effectif et celle de la dimension d’un espace algébrique en un point (Propriétés des espaces, définition 04N5) sont toutes deux locales pour la topologie étale. Le lemme découle donc du cas des schémas traité dans Diviseurs, lemme 056N.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Étant donnés deux diviseurs de Cartier effectifs \(D_1\), \(D_2\) sur \(X\), on définit \(D = D_1 + D_2\) comme le sous-espace fermé de \(X\) correspondant au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\). On appelle ce sous-espace la somme des diviseurs de Cartier effectifs \(D_1\) et \(D_2\).

Il est clair que l’on peut de même définir la somme \(\sum n_iD_i\) à partir d’un nombre fini de diviseurs de Cartier effectifs \(D_i\) sur \(X\) et d’entiers positifs ou nuls \(n_i\).

Lemme

La somme de deux diviseurs de Cartier effectifs est un diviseur de Cartier effectif.

Démonstration

Démonstration omise. Localement pour la topologie étale, l’énoncé se ramène au fait d’algèbre élémentaire suivant : si \(f_1, f_2 \in A\) sont non diviseurs de zéro dans un anneau \(A\), alors \(f_1f_2 \in A\) est non diviseur de zéro.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(Z, Y\) deux sous-espaces fermés de \(X\) de faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\). Si \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) définit un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\), alors \(Z\) et \(Y\) sont des diviseurs de Cartier effectifs et \(D = Z + Y\).

Démonstration

D’après le lemme 083C, l’énoncé se ramène au cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZV.

Rappelons que nous avons défini l’image inverse d’un sous-espace fermé par un morphisme quelconque d’espaces algébriques dans Morphismes d’espaces, définition 083Q.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé localement principal. Alors l’image inverse \(f^{-1}(Z)\) est un sous-espace fermé localement principal de \(X'\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. On dit que l’image inverse de \(D\) par \(f\) est définie si le sous-espace fermé \(f^{-1}(D) \subset X'\) est un diviseur de Cartier effectif. Dans ce cas, on la note indifféremment \(f^*D\) ou \(f^{-1}(D)\) et on l’appelle l’image inverse du diviseur de Cartier effectif.

La condition selon laquelle \(f^{-1}(D)\) est un diviseur de Cartier effectif est souvent satisfaite en pratique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(D \subset Y\) un diviseur de Cartier effectif. L’image inverse de \(D\) par \(f\) est définie dans chacun des cas suivants :

1. \(f(x) \not \in |D|\) pour tout point faiblement associé \(x\) de \(X\),

2. \(f\) est plat, et

3. ajouter ici d’autres cas au besoin.

Démonstration

En travaillant localement pour la topologie étale, ce lemme se ramène au cas des schémas ; voir Diviseurs, lemme 02OO.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soient \(D_1\), \(D_2\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Si les images inverses de \(D_1\) et \(D_2\) sont définies, alors celle de \(D = D_1 + D_2\) est définie et \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\).

Démonstration

Démonstration omise.

Diviseurs de Cartier effectifs et faisceaux inversibles

Puisqu’un diviseur de Cartier effectif possède un faisceau d’idéaux inversible (définition 083B), la définition suivante a un sens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif dont le faisceau d’idéaux est \(\mathcal{I}_D\).

1. Le faisceau inversible \(\mathcal{O}_X(D)\) associé à \(D\) est défini par \[\mathcal{O}_X(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_X) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

2. La section canonique, habituellement notée \(1\) ou \(1_D\), est la section globale de \(\mathcal{O}_X(D)\) correspondant au morphisme d’inclusion \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_X\).

3. On écrit \(\mathcal{O}_X(-D) = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\).

4. Étant donné un second diviseur de Cartier effectif \(D' \subset X\), on définit \(\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(-D')\).

Quelques remarques. Nous verrons plus bas que l’application \(D \mapsto \mathcal{O}_X(D)\) transforme l’addition des diviseurs de Cartier effectifs (définition 083U) en l’addition dans le groupe de Picard de \(X\) (lemme 0842). Cependant, l’expression \(D - D'\) de la définition précédente n’a aucune signification géométrique. Plus précisément, on peut considérer l’ensemble des diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\) comme un monoïde commutatif \(\text{EffCart}(X)\) dont l’élément nul est le diviseur de Cartier effectif vide. L’application \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_X(D - D')\) définit alors un homomorphisme de groupes \[\text{EffCart}(X)^{gp} \longrightarrow \Pic(X)\] où le membre de gauche est la complétion en groupe de \(\text{EffCart}(X)\). Autrement dit, lorsqu’on écrit \(\mathcal{O}_X(D - D')\), on peut considérer \(D - D'\) comme un élément de \(\text{EffCart}(X)^{gp}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Alors le faisceau conormal vérifie \(\mathcal{C}_{D/X} = \mathcal{I}_D|D = \mathcal{O}_X(D)^{\otimes -1}|_D\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(D_1\), \(D_2\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Soit \(D = D_1 + D_2\). Il existe alors un unique isomorphisme \[\mathcal{O}_X(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_X(D)\] qui envoie \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) sur \(1_D\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) est appelée section régulière si l’application \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\), \(f \mapsto fs\), est injective.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une section régulière, et

2. pour tout \(x \in X\), l’image \(f \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est non diviseur de zéro.

3. pour tout \(U = \Spec(A)\) affine et étale sur \(X\), la restriction \(f|_U\) est un élément non diviseur de zéro de \(A\), et

4. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) tels que \(f|_U\) soit une section régulière de \(\mathcal{O}_U\).

Démonstration

Démonstration omise.

Notons qu’une section globale \(s\) d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) peut être considérée comme un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\). Son dual est donc un homomorphisme \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\). (Voir Modules sur les sites, lemme 040A, pour le faisceau inversible dual.)

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Le schéma des zéros de \(s\) est le sous-espace fermé \(Z(s) \subset X\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) qui est l’image de l’homomorphisme \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\).

1. Considérons les immersions fermées \(i : Z \to X\) telles que \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L}))\) soit nulle, ordonnées par inclusion. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est l’ élément maximal de cet ensemble ordonné.

2. Pour tout morphisme d’espaces algébriques \(f : Y \to X\) sur \(S\), on a \(f^*s = 0\) dans \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) si et seulement si \(f\) se factorise par \(Z(s)\).

3. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est un sous-espace fermé localement principal de \(X\).

4. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) si et seulement si \(s\) est une section régulière de \(\mathcal{L}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. Si \(D \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif, alors la section canonique \(1_D\) de \(\mathcal{O}_X(D)\) est régulière.

2. Réciproquement, si \(s\) est une section régulière du faisceau inversible \(\mathcal{L}\), alors il existe un unique diviseur de Cartier effectif \(D = Z(s) \subset X\) et un unique isomorphisme \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) qui envoie \(1_D\) sur \(s\).

Les constructions \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\) et \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\) définissent des applications réciproques \[\left\{ \begin{matrix} \text{diviseurs de Cartier effectifs sur }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{couples }(\mathcal{L}, s)\text{ formés d'un}\\ \mathcal{O}_X\text{-module inversible et d'une section globale régulière} \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

Démonstration omise.

Diviseurs de Cartier effectifs sur les espaces noethériens

Dans le cadre localement noethérien, l’essentiel de l’étude des diviseurs de Cartier effectifs et des sections régulières se simplifie quelque peu.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si \(X\) vérifie \((S_k)\), alors \(D\) vérifie \((S_{k - 1})\).

Démonstration

D’après notre définition de la propriété \((S_k)\) pour les espaces algébriques (Propriétés des espaces, section 03E5) et le lemme 083C, l’énoncé découle du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0B3R).

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique normal localement noethérien sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Alors \(D\) vérifie \((S_1)\).

Démonstration

D’après notre définition de la normalité pour les espaces algébriques (Propriétés des espaces, section 03E5) et le lemme 083C, l’énoncé découle du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0B3S).

Le lemme suivant permet parfois de construire des diviseurs de Cartier effectifs.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique régulier, noethérien et séparé sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine dense. Il existe alors un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que \(U = X \setminus D\).

Démonstration

Nous affirmons que l’espace algébrique \(D\) muni de la structure réduite induite sur \(X \setminus U\) (Propriétés des espaces, définition 047X) est le diviseur de Cartier effectif recherché. La construction de \(D\) commute à la localisation étale ; voir la démonstration de Propriétés des espaces, lemme 03IQ. Soit \(X' \to X\) un morphisme étale surjectif avec \(X'\) affine. Puisque \(X\) est séparé, on voit que \(U' = X' \times_X U\) est affine. Puisque l’application \(|X'| \to |X|\) est ouverte, on voit que \(U'\) est dense dans \(X'\). Puisque \(D' = X' \times_X D\) est la structure de schéma réduite induite sur \(X' \setminus U'\), on en déduit que \(D'\) est un diviseur de Cartier effectif d’après Diviseurs, lemme 0BCW et sa démonstration. C’est ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique régulier, noethérien et séparé sur \(S\). Alors tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est isomorphe à \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] pour certains diviseurs de Cartier effectifs \(D, D'\) sur \(X\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Choisissons un ouvert affine dense \(U \subset X\) tel que \(\mathcal{L}|_U\) soit trivial. Cela est possible car \(X\) possède un sous-espace ouvert dense qui est un schéma ; voir Propriétés des espaces, proposition 06NH. Notons \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{L}|_U\) la trivialisation. Le complémentaire de \(U\) est un diviseur de Cartier effectif \(D\). Nous affirmons que, pour un certain \(n > 0\), l’homomorphisme \(s\) se prolonge de manière unique en un homomorphisme \[s : \mathcal{O}_X(-nD) \longrightarrow \mathcal{L}\] Cette affirmation implique le lemme car elle montre que \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(nD)\) possède une section globale régulière, donc est isomorphe à \(\mathcal{O}_X(D')\) pour un certain diviseur de Cartier effectif \(D'\) d’après le lemme 0847. Pour démontrer l’affirmation, on peut travailler localement pour la topologie étale. On peut donc supposer que \(X\) est un schéma affine noethérien. Puisque \(\mathcal{O}_X(-nD) = \mathcal{I}^n\), où \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\) est le faisceau d’idéaux de \(D\) dans \(X\), ce cas résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01YB.

Le lemme suivant relève en réalité d’une autre section.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation de corps des fractions \(K\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(R\) tel que \(X \to \Spec(R)\) soit lisse. Pour tout diviseur de Cartier effectif \(D \subset X_K\), il existe un diviseur de Cartier effectif \(D' \subset X\) tel que \(D'_K = D\).

Démonstration

Soit \(D' \subset X\) l’image schématique de \(D \to X_K \to X\). Puisque ce morphisme est quasi-compact, la formation de \(D'\) commute au changement de base plat ; voir Morphismes d’espaces, lemme 089E. On obtient en particulier \(D'_K = D\). On peut donc supposer \(X\) affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\). Alors \(X_K = \Spec(A \otimes_R K)\) et \(D\) correspond à un idéal \(I \subset A \otimes_R K\). Il faut montrer que \(J = I \cap A\) définit un diviseur de Cartier effectif dans \(X\). Observons d’abord que \(A/J\) est plat sur \(R\) (car c’est un \(R\)-module sans torsion ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0539), donc \(J\) est de type fini d’après Compléments d’algèbre, lemme 053E et le lemme d’Algèbre 0519. Il suffit donc de montrer que \(J_\mathfrak q \subset A_\mathfrak q\) est engendré par un seul élément pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset A\). Soit \(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\). Alors \(R_\mathfrak p\) est un anneau de valuation (Algèbre, lemme 088Y). Observons en outre que \(A_\mathfrak q/\mathfrak p A_\mathfrak q\) est un anneau régulier d’après Algèbre, lemme 00TT. On peut donc appliquer Compléments d’algèbre, lemme 0DLQ pour voir que \(I(A_\mathfrak q \otimes_R K)\) est engendré par un seul élément \(f \in A_\mathfrak p \otimes_R K\). Après avoir chassé les dénominateurs, on peut supposer \(f \in A_\mathfrak q\). Soit \(\mathfrak c \subset R_\mathfrak p\) l’idéal de contenu de \(f\) (voir Compléments d’algèbre, définition 0ASA et Compléments sur la platitude, lemme 0ASX). Puisque \(R_\mathfrak p\) est un anneau de valuation et que \(\mathfrak c\) est de type fini (Compléments d’algèbre, lemme 0ASB), on a \(\mathfrak c = (\pi)\) pour un certain \(\pi \in R_\mathfrak p\) (Algèbre, lemme 090Q). Après avoir remplacé \(f\) par \(\pi^{-1}f\), on a \(f \in A_\mathfrak q\) et \(f \not \in \mathfrak pA_\mathfrak q\). Affirmation : \(I_\mathfrak q = (f)\), ce qui achève la démonstration. Pour la vérifier, observons que \(f \in I_\mathfrak q\). On a donc une surjection \(A_\mathfrak q/(f) \to A_\mathfrak q/I_\mathfrak q\) qui devient un isomorphisme après tensorisation sur \(R\) avec \(K\). Il suffit donc de montrer que \(A_\mathfrak q/(f)\) est plat sur \(R_\mathfrak p\). Cela résulte de Algèbre, lemme 046Z et du choix de \(f\).

Diviseurs de Cartier effectifs relatifs

Le lemme suivant montre qu’un diviseur de Cartier effectif qui est plat sur la base est véritablement une « famille de diviseurs de Cartier effectifs » sur la base. Par exemple, sa restriction à toute fibre est un diviseur de Cartier effectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(D \subset X\) un sous-espace fermé. Supposons que

1. \(D\) soit un diviseur de Cartier effectif, et

2. \(D \to Y\) soit un morphisme plat.

Alors, pour tout morphisme de schémas \(g : Y' \to Y\), l’image inverse \((g')^{-1}D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X' = Y' \times_Y X\), où \(g' : X' \to X\) est la projection.

Démonstration

D’après le lemme 083C, la propriété d’être un diviseur de Cartier effectif est locale pour la topologie étale. Le lemme se ramène donc immédiatement au cas des schémas, qui est Diviseurs, lemme 056Q.

Ce lemme justifie la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/Y\) est un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que \(D \to Y\) soit un morphisme plat d’espaces algébriques.

Fonctions et sections méromorphes

Cette section est l’analogue de Diviseurs, section 01X1. Attention : il est encore plus facile de commettre des erreurs sur ce sujet dans le cas des espaces algébriques que dans celui des schémas !

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour tout schéma \(U\) étale sur \(X\), nous avons défini l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) des sections régulières de \(\mathcal{O}_X\) sur \(U\) ; voir la définition 0843. La restriction d’une section régulière à \(V/U\) étale est régulière. Par conséquent, \(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\) est un sous-faisceau (d’ensembles) de \(\mathcal{O}_X\). On note parfois \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\) pour indiquer la dépendance en \(X\). De plus, \(\mathcal{S}(U)\) est une partie multiplicative de l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) pour tout \(U\). On peut donc considérer le préfaisceau d’anneaux \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] sur \(X_\etale\) et son faisceau associé ; voir Modules sur les sites, section 0EMB.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le faisceau des fonctions méromorphes sur \(X\) est le faisceau \(\mathcal{K}_X\) sur \(X_\etale\) associé au préfaisceau affiché ci-dessus. Une fonction méromorphe sur \(X\) est une section globale de \(\mathcal{K}_X\).

Puisque tout élément de chaque \(\mathcal{S}(U)\) est non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_X(U)\), on voit que l’homomorphisme naturel de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\) est injectif. De plus, par compatibilité du passage au faisceau associé et de la prise des fibres, on voit que \[\mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\). L’ensemble \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) est une partie de l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), mais ne lui est pas égal en général.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Pour \(U\) affine et étale sur \(X\), l’ensemble \(\mathcal{S}_X(U)\) est l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de \(\mathcal{O}_X(U)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0844.

Soit ensuite \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X_\etale\). Considérons le préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\). Le faisceau qui lui est associé est \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) ; voir Modules sur les sites, lemme 0EMD.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X_\etale\).

1. On note \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) le faisceau de \(\mathcal{K}_X\)-modules associé au préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\). De manière équivalente, \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) (voir ci-dessus).

2. Une section méromorphe de \(\mathcal{F}\) est une section globale de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\).

On a en particulier \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{K}_{X, \overline{x}} = \mathcal{S}_{\overline{x}}^{-1}\mathcal{F}_{\overline{x}}\] pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\). Il faut toutefois prendre garde au fait que \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) peut ne pas être l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de l’anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), comme nous l’avons signalé plus haut. Les faisceaux de sections méromorphes ne sont pas des modules quasi-cohérents en général, mais ils ont certaines propriétés communes avec les modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que

1. tout point faiblement associé de \(X\) soit un point de codimension \(0\), et

2. \(X\) vérifie les conditions équivalentes du lemme de Morphismes d’espaces 0BB1.

Alors

1. \(\mathcal{K}_X\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres,

2. pour \(U \in X_\etale\) affine, \(\mathcal{K}_X(U)\) est l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\),

3. pour un point géométrique \(\overline{x}\), l’ensemble \(\mathcal{S}_{\overline{x}}\) est l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), et

4. pour un point géométrique \(\overline{x}\), l’anneau \(\mathcal{K}_{X, \overline{x}}\) est l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\).

Démonstration

Le lemme 0844 montre que, pour \(U \in X_\etale\) affine, \(\mathcal{S}_X(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) est l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de \(\mathcal{O}_X(U)\). Ainsi, le préfaisceau \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}_X\) est égal à \[U \longmapsto Q(\mathcal{O}_X(U))\] sur \(X_{affine, \etale}\), avec les notations de Algèbre, exemple 02C5. Observons que les points de codimension \(0\) de \(X\) correspondent aux points génériques de \(U\) ; voir Propriétés des espaces, lemme 0BAQ. Ainsi, si \(U = \Spec(A)\), alors \(A\) est un anneau ayant un nombre fini d’idéaux premiers minimaux tel que tout idéal premier faiblement associé de \(A\) soit minimal. Il en est de même de toute extension étale de \(A\) (car son spectre est un schéma affine étale sur \(X\) et peut donc jouer le rôle de \(A\) dans la phrase précédente). Pour montrer que notre préfaisceau est un faisceau quasi-cohérent, il suffit de montrer que \[Q(A) \otimes_A B \longrightarrow Q(B)\] est un isomorphisme lorsque \(A \to B\) est un homomorphisme étale d’anneaux ; voir Propriétés des espaces, lemme 03LZ. (Pour définir la flèche affichée, observons que, puisque \(A \to B\) est plat, il envoie les éléments non diviseurs de zéro sur des éléments non diviseurs de zéro.) D’après les lemmes d’Algèbre 02LX et 05C3. on a \[Q(A) = \prod\nolimits_{\mathfrak p \subset A\text{ minimal}} A_\mathfrak p \quad\text{et}\quad Q(B) = \prod\nolimits_{\mathfrak q \subset B\text{ minimal}} B_\mathfrak q\] Puisque \(A \to B\) est étale, les idéaux premiers minimaux de \(B\) sont exactement les idéaux premiers de \(B\) au-dessus des idéaux premiers minimaux de \(A\) (par exemple d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QP). D’après les lemmes d’Algèbre 06RS, 04GG (13), et 04GJ, on voit que \(A_\mathfrak p \otimes_A B\) est un produit fini d’anneaux locaux finis étales sur \(A_\mathfrak p\). Cela implique clairement que \(A_\mathfrak p \otimes_A B = \prod_{\mathfrak q\text{ au-dessus de }\mathfrak p} B_\mathfrak q\), comme souhaité.

À ce stade, on sait que (1) et (2) sont satisfaites. Démonstration de (3). Soit \(s \in \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) un élément non diviseur de zéro. On peut trouver un voisinage étale \((U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) et \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) d’image \(s\). Soit \(u \in U\) le point déterminé par \(\overline{u}\). Puisque \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est fidèlement plat (car c’est un hensélisé strict), on voit que \(f\) s’envoie sur un élément non diviseur de zéro de \(\mathcal{O}_{U, u}\). D’après Diviseurs, lemme 0EMF, quitte à rétrécir \(U\), on obtient que \(f\) est non diviseur de zéro et donc une section de \(\mathcal{S}_X(U)\). L’assertion (4) résulte de (3) par calcul des fibres.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que

1. tout point faiblement associé de \(X\) soit un point de codimension \(0\), et

2. \(X\) vérifie les conditions équivalentes du lemme de Morphismes d’espaces 0BB1.

3. \(X\) soit représentable par un schéma \(X_0\) (notation maladroite mais provisoire).

Alors le faisceau des fonctions méromorphes \(\mathcal{K}_X\) est le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres associé au faisceau quasi-cohérent des fonctions méromorphes \(\mathcal{K}_{X_0}\).

Démonstration

Pour l’équivalence entre \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\), voir Propriétés des espaces, section 03G5. Le lemme est vrai parce que \(\mathcal{K}_X\) et \(\mathcal{K}_{X_0}\) sont quasi-cohérents et prennent la même valeur sur les ouverts affines correspondants de \(X\) et \(X_0\), d’après le lemme 0EN6 et Diviseurs, lemme 0EMF.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). On dit que les images inverses des fonctions méromorphes sont définies pour \(f\) si, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] où \(U \in X_\etale\) et \(V \in Y_\etale\), et pour toute section \(s \in \mathcal{S}_Y(V)\), l’image inverse \(f^\sharp(s) \in \mathcal{O}_X(U)\) est un élément de \(\mathcal{S}_X(U)\).

Dans ce cas, il existe un morphisme induit \(f^\sharp : f_{small}^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\), autrement dit, on obtient un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(X_\etale), \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^{f_{small}} & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^{f_{small}} \\ (\Sh(Y_\etale), \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) }\] On note parfois \(f^*(s) = f^\sharp(s)\) pour une section \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les images inverses des sections méromorphes sont définies dans chacun des cas suivants :

1. les points faiblement associés de \(X\) sont envoyés sur des points de codimension \(0\) de \(Y\),

2. \(f\) est plat,

3. ajouter ici d’autres cas au besoin.

Démonstration

En travaillant localement pour la topologie étale, cela se ramène au cas des schémas ; voir Diviseurs, lemme 02OU. Pour effectuer cette réduction, utiliser le lemme 0844 (description des sections régulières), la définition 0CTX (définition des points faiblement associés), et Propriétés des espaces, lemme 0BAQ (description des points de codimension \(0\)).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que

1. tout point faiblement associé de \(X\) soit un point de codimension \(0\), et

2. \(X\) vérifie les conditions équivalentes du lemme de Morphismes d’espaces 0BB1,

3. tout point de codimension \(0\) de \(X\) puisse être représenté par un monomorphisme \(\Spec(k) \to X\).

Soit \(X^0 \subset |X|\) l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\). Alors on a \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] où \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) est le morphisme canonique de Schémas, section 01J5 ; cela a un sens parce que \(X^0\) est contenu dans le lieu schématique de \(X\). De même, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on obtient la formule \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] pour le faisceau des sections méromorphes de \(\mathcal{F}\). Enfin, l’anneau des fonctions rationnelles de \(X\) est l’anneau des fonctions méromorphes sur \(X\), autrement dit : \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\).

Démonstration

D’après Espaces décents, lemme 0BB8 et section 03I7, on voit que \(X\) est décent¹. Ainsi, \(X^0 \subset |X|\) est l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles (Espaces décents, lemme 0ABV), et \(X^0\) est localement fini dans \(|X|\) d’après (b). Il en résulte que \(X^0\) est contenu dans tout ouvert dense de \(|X|\). En particulier, \(X^0\) est contenu dans le lieu schématique (Espaces décents, théorème 086U). Ainsi, les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) et les morphismes \(j_\eta\) sont définis.

Observons qu’une somme directe localement finie de faisceaux de modules est égale au produit. Ce fait, joint au fait que \(X^0\) est localement fini dans \(|X|\), explique les égalités entre les sommes directes et les produits dans l’énoncé. Ensuite, puisque \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\), on voit que la seconde égalité résulte de la première.

Soit \(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) le morphisme induit par les morphismes \(j_\eta\). Il faut montrer que \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\). Observons que \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\), car \(Y\) est une somme disjointe de spectres d’anneaux locaux de dimension \(0\) : dans un anneau local de dimension zéro, tout élément non diviseur de zéro est inversible. Ensuite, remarquons que les images inverses des fonctions méromorphes sont définies pour \(j\) d’après le lemme 0EN9. Cela donne un morphisme \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] Soit \(U \in X_\etale\) affine. D’après le lemme 0EN6, le membre de gauche prend pour valeur l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\). D’autre part, le membre de droite est égal au produit des anneaux locaux de \(U\) aux points de codimension \(0\), c’est-à-dire aux points génériques de \(U\). Ces deux anneaux sont égaux (comme on l’a déjà vu dans la démonstration du lemme 0EN6), d’après les lemmes d’Algèbre 02LX et 05C3. Ainsi, notre morphisme est un isomorphisme.

Enfin, il reste à montrer que \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\). Cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0EMF) appliqué au lieu schématique \(X' \subset X\). En effet, l’anneau des fonctions rationnelles de \(X\) est, par définition, le même que l’anneau des fonctions rationnelles sur \(X'\) car celui-ci est un sous-espace ouvert dense de \(X\) (voir ci-dessus). Bien entendu, \(R(X')\) coïncide avec l’anneau des fonctions rationnelles lorsque \(X'\) est considéré comme un schéma. D’autre part, d’après notre description de \(\mathcal{K}_X\) ci-dessus, et le fait, établi plus haut, que \(X^0 \subset |X'|\) est contenu dans tout ouvert dense, on voit que \(\Gamma(X, \mathcal{K}_X) = \Gamma(X', \mathcal{K}_{X'})\). Enfin, utilisons la compatibilité consignée dans le lemme 0EN7.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Une section méromorphe \(s\) de \(\mathcal{L}\) est dite régulière si l’homomorphisme induit \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) est injectif.

Précisons quand on peut prendre l’image inverse des sections méromorphes (régulières).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les images inverses des fonctions méromorphes soient définies pour \(f\) (voir la définition 0EN8).

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Il existe une application canonique d’image inverse \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\) pour les sections méromorphes de \(\mathcal{F}\).

2. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Une section méromorphe régulière \(s\) de \(\mathcal{L}\) a pour image inverse la section méromorphe régulière \(f^*s\) de \(f^*\mathcal{L}\).

Démonstration

Omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) vérifiant les conditions (a), (b) et (c) du lemme 0ENA. Alors tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) possède une section méromorphe régulière.

Démonstration

Avec les notations du lemme 0ENA, la fibre \(\mathcal{L}_\eta\) de \(\mathcal{L}\) est définie pour tout \(\eta \in X^0\) et c’est un module libre de rang \(1\) sur \(\mathcal{O}_{X, \eta}\). Choisissons un générateur \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\) pour tout \(\eta \in X^0\). Il résulte immédiatement de la description de \(\mathcal{K}_X\) et \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) dans le lemme 0ENA que \(s = \prod s_\eta\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\).

Proj relatif

Cette section reprend la construction du Proj relatif dans le cadre des espaces algébriques. Son contenu correspond à celui de Constructions, section 01NS et de Diviseurs, section 07ZW, dans le cas des schémas.

Situation

Ici, \(S\) est un schéma, \(X\) est un espace algébrique sur \(S\) et \(\mathcal{A}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre graduée quasi-cohérente.

Dans la situation 0849, nous allons définir un foncteur \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\) qui se révélera être un espace algébrique. Nous suivrons, mutatis mutandis, la méthode de Constructions, section 01NS. Tout d’abord, pour un schéma \(T\) sur \(S\), nous appelons quadruplet au-dessus de \(T\) un système \((d, f : T \to X, \mathcal{L}, \psi)\)

1. \(d \geq 1\) est un entier,

2. \(f : T \to X\) est un morphisme au-dessus de \(S\),

3. \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible, et

4. \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées tel que \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) soit surjectif.

Nous disons que les deux quadruplets \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) sont équivalents² si et seulement si \(f = f'\) et s’il existe un entier positif \(m = ad = a'd'\) ainsi qu’un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) et \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\). Étant donnés un quadruplet \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) et un morphisme \(h : T' \to T\), on dispose du quadruplet image inverse \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\). L’image inverse respecte la relation d’équivalence. Enfin, pour un schéma quasi-compact \(T\) sur \(S\), on pose \[F(T) = \text{l'ensemble des classes d'équivalence de quadruplets au-dessus de }T\] et, pour un schéma arbitraire \(T\) sur \(S\), on pose \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ ouvert quasi-compact}} F(V).\] Autrement dit, un élément \(\xi\) de \(F(T)\) correspond à un système compatible de choix d’éléments \(\xi_V \in F(V)\), où \(V\) parcourt les ouverts quasi-compacts de \(T\). Nous avons ainsi défini notre foncteur [084A]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Ens} \end{equation}\] Il existe un morphisme de foncteurs \(F \to X\) qui envoie le quadruplet \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(f\).

Lemme

Dans la situation 0849, le foncteur \(F\) ci-dessus est un espace algébrique. Pour tout morphisme \(g : Z \to X\), où \(Z\) est un schéma, il existe un isomorphisme canonique \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A}) = Z \times_X F\) compatible avec tout changement de base ultérieur.

Démonstration

Il suffit de démontrer la seconde assertion, voir Espaces, lemme 02WY. Soit \(g : Z \to X\) un morphisme, où \(Z\) est un schéma. Soit \(F'\) le foncteur des quadruplets associé à la \(\mathcal{O}_Z\)-algèbre graduée quasi-cohérente \(g^*\mathcal{A}\). Il existe alors un isomorphisme canonique \(F' = Z \times_X F\) qui envoie un quadruplet \((d, f : T \to Z, \mathcal{L}, \psi)\) pour \(F'\) sur \((d, g \circ f, \mathcal{L}, \psi)\) (détails omis, voir la démonstration de Constructions, lemme 01NT). D’après les lemmes 01NW, 01NY et 01NZ de Constructions, ainsi que la définition 01O0, \(F'\) est représentable par \(\underline{\text{Proj}}_Z(g^*\mathcal{A})\).

Le lemme ci-dessus montre que la définition suivante a un sens.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\). Le spectre homogène relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(X\), ou le spectre homogène de \(\mathcal{A}\) sur \(X\), ou le Proj relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(X\) est l’espace algébrique \(F\) sur \(X\) du lemme 084B. On le note \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\).

En particulier, le morphisme structural du Proj relatif est représentable par construction. On peut aussi décrire le Proj relatif par recollement. Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Posons \(R = U \times_X U\), avec pour morphismes de projection \(s, t : R \to U\). D’après le lemme 084B, il existe un isomorphisme canonique \[\gamma : \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X U\] au-dessus de \(U\). Soit \(\alpha : t^*\varphi^*\mathcal{A} \to s^*\varphi^*\mathcal{A}\) l’isomorphisme canonique fourni par la proposition de Propriétés des espaces 03M3. Alors le diagramme \[\xymatrix{ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, s} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(s^*\varphi^*\mathcal{A}) \ar[dd]_{\text{induit par }\alpha} \\ \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \times_X R \ar[ru]_{s^*\gamma} \ar[rd]^{t^*\gamma} \\ & \underline{\text{Proj}}_U(\varphi^*\mathcal{A}) \times_{U, t} R \ar@{=}[r] & \underline{\text{Proj}}_R(t^*\varphi^*\mathcal{A}) }\] est commutatif (les signes d’égalité proviennent du lemme 01O3 de Constructions). Ainsi, si l’on note \(\mathcal{A}_U\), \(\mathcal{A}_R\) les images inverses de \(\mathcal{A}\) sur \(U\), \(R\), alors \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\) admet pour revêtement étale le schéma \(P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\), et \(P_U \times_P P_U\) est égal à \(P_R = \underline{\text{Proj}}_R(\mathcal{A}_R)\). Ces remarques permettent de raisonner de la manière habituelle par localisation étale afin de transporter les résultats sur le Proj relatif du cas des schémas à celui des espaces algébriques.

Lemme

Dans la situation 0849, le Proj relatif est muni d’un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\) et d’un homomorphisme canonique d’algèbres graduées \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(n)\] dont le changement de base à tout schéma sur \(X\) coïncide avec celui du lemme 01NR de Constructions.

Démonstration

Comme dans la discussion qui suit la définition 084C, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\), puis posons \(R = U \times_X U\), avec projections \(s, t : R \to U\), \(\mathcal{A}_U = \mathcal{A}|_U\), \(\mathcal{A}_R = \mathcal{A}|_R\), ainsi que \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\), \(\pi_U : P_U = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_U)\) et \(\pi_R : P_R = \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}_R)\). D’après le lemme 01NR de Constructions, on dispose d’un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(\mathcal{O}_{P_U}\), \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P_U}(n)\) ainsi que d’un homomorphisme canonique \(\psi_U : \pi_U^*\mathcal{A}_U \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{P_U}(n)\) et de même pour \(P_R\). D’après le lemme 01O3 de Constructions, les images inverses de \(\mathcal{O}_{P_U}(n)\) et de \(\psi_U\) par l’une ou l’autre projection \(P_R \to P_U\) sont \(\mathcal{O}_{P_R}(n)\) et \(\psi_R\). D’après la proposition de Propriétés des espaces 03M3 on obtient \(\mathcal{O}_{P}(n)\) et \(\psi\). Nous omettons de vérifier la compatibilité avec l’image inverse sur un schéma arbitraire au-dessus de \(X\).

Le Proj relatif étant construit, passons à quelques propriétés élémentaires.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(g : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), et soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\). Il existe alors un isomorphisme canonique \[r : \underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow X' \times_X \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\] ainsi qu’un isomorphisme correspondant \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] d’algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{X'}(g^*\mathcal{A})}\).

Démonstration

Soit \(F\) le foncteur (084A) et soit \(F'\) le foncteur correspondant défini à l’aide de \(g^*\mathcal{A}\) sur \(X'\). Nous affirmons qu’il existe un isomorphisme canonique \(r : F' \to X' \times_X F\) de foncteurs (et, bien sûr, \(r\) est l’isomorphisme du lemme). Il suffit de construire la bijection \(r : F'(T) \to X'(T) \times_{X(T)} F(T)\) pour les schémas quasi-compacts \(T\) sur \(S\). Tout d’abord, si \(\xi = (d', f', \mathcal{L}', \psi')\) est un quadruplet au-dessus de \(T\) pour \(F'\), on peut poser \(r(\xi) = (f', (d', g \circ f', \mathcal{L}', \psi'))\). Cette expression a un sens car \((g \circ f')^*\mathcal{A}^{(d)} = (f')^*(g^*\mathcal{A})^{(d)}\). L’application inverse envoie la paire \((f', (d, f, \mathcal{L}, \psi))\) sur le quadruplet \((d, f', \mathcal{L}, \psi)\). Nous omettons la démonstration de la dernière assertion (indication : se ramener au cas des schémas par localisation étale et appliquer le lemme de Constructions 01O3).

Lemme

Dans la situation 0849, le morphisme \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) est séparé.

Démonstration

D’après le lemme 03KM de Morphismes d’espaces et la construction du Proj relatif, cela résulte du cas des schémas, traité dans Constructions, lemme 01O2.

Lemme

Dans la situation 0849, si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. \(\mathcal{A}\) est de type fini en tant que faisceau d’algèbres sur \(\mathcal{A}_0\),

2. \(\mathcal{A}\) est engendrée par \(\mathcal{A}_1\) en tant qu’algèbre sur \(\mathcal{A}_0\), et \(\mathcal{A}_1\) est un \(\mathcal{A}_0\)-module de type fini,

3. il existe un sous-\(\mathcal{A}_0\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_{+}\) tel que \(\mathcal{A}_{+}/\mathcal{F}\mathcal{A}\) soit un faisceau d’idéaux localement nilpotent de \(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A}\),

alors \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) est quasi-compact.

Démonstration

D’après le lemme 03KG de Morphismes d’espaces et la construction du Proj relatif, cela résulte du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZX.

Lemme

Dans la situation 0849, si \(\mathcal{A}\) est de type fini en tant que faisceau d’algèbres sur \(\mathcal{O}_X\), alors \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) est de type fini.

Démonstration

D’après le lemme 040Y de Morphismes d’espaces et la construction du Proj relatif, cela résulte du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZY.

Lemme

Dans la situation 0849, si \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_0\) est un homomorphisme d’algèbres entier³ et si \(\mathcal{A}\) est de type fini en tant qu’algèbre sur \(\mathcal{A}_0\), alors \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) est universellement fermé.

Démonstration

D’après le lemme de Morphismes d’espaces 03IT et la construction du Proj relatif, cela résulte du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZZ.

Lemme

Dans la situation 0849, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{A}_0\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et \(\mathcal{A}\) est de type fini en tant qu’algèbre sur \(\mathcal{A}_0\),

2. \(\mathcal{A}_0\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et \(\mathcal{A}\) est de type fini en tant qu’algèbre sur \(\mathcal{O}_X\).

Si ces conditions sont satisfaites, alors \(\pi : \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) est propre.

Démonstration

D’après le lemme de Morphismes d’espaces 083R et la construction du Proj relatif, cela résulte du cas des schémas, traité dans Diviseurs, lemme 07ZZ.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\) engendré en tant qu’algèbre sur \(\mathcal{A}_0\) par \(\mathcal{A}_1\). Avec \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\), on a

1. \(P\) représente le foncteur \(F_1\) qui associe à \(T\) sur \(S\) l’ensemble des classes d’isomorphie de triplets \((f, \mathcal{L}, \psi)\), où \(f : T \to X\) est un morphisme au-dessus de \(S\), \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible, et \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées induisant une surjection \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\),

2. l’homomorphisme canonique \(\pi^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{O}_P(1)\) est surjectif, et

3. chaque \(\mathcal{O}_P(n)\) est inversible, et les homomorphismes de multiplication induisent des isomorphismes \(\mathcal{O}_P(n) \otimes_{\mathcal{O}_P} \mathcal{O}_P(m) = \mathcal{O}_P(n + m)\).

Démonstration

Omise. Voir Constructions, lemme 01O4, pour le cas des schémas.

Fonctorialité du Proj relatif

Cette section est l’analogue de Constructions, section 07ZF.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme d’algèbres graduées quasi-cohérentes sur \(\mathcal{O}_X\). Posons \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) et \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to X\). Il existe un sous-espace ouvert canonique \(U(\psi) \subset Q\) et un morphisme canonique d’espaces algébriques \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow P\] au-dessus de \(X\) et un homomorphisme d’algèbres graduées par \(\mathbf{Z}\) sur \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\) \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] Le triplet \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) est caractérisé par la propriété que, pour tout schéma \(W\) étale sur \(X\), le triplet \[(U(\psi) \times_X W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \times_X W} : U(\psi) \times_X W \to P \times_X W,\quad \theta|_{U(\psi) \times_X W})\] est égal au triplet associé à \(\psi : \mathcal{A}|_W \to \mathcal{B}|_W\) par Constructions, lemme 07ZG.

Démonstration

Ce lemme résulte de la localisation étale et du cas des schémas, voir la discussion qui suit la définition 084C. Détails omis.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) des algèbres graduées quasi-cohérentes sur \(\mathcal{O}_X\). Posons \(P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\), \(Q = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B})\) et \(R = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{C})\). Soient \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des homomorphismes d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\). Alors \[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{et} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] De plus, \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] avec les notations évidentes.

Démonstration

Omise.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 085F ci-dessus, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit surjectif pour \(d \gg 0\). Alors

1. \(U(\psi) = Q\),

2. \(r_\psi : Q \to R\) est une immersion fermée, et

3. les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) sont surjectifs mais ne sont pas en général des isomorphismes (même si \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est surjectif).

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas (Constructions, lemme 07ZI) par localisation étale.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 085F ci-dessus, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit un isomorphisme pour tout \(d \gg 0\). Alors

1. \(U(\psi) = Q\),

2. \(r_\psi : Q \to P\) est un isomorphisme, et

3. les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas (Constructions, lemme 07ZJ) par localisation étale.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 085F ci-dessus, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit surjectif pour \(d \gg 0\) et que \(\mathcal{A}\) soit engendrée par \(\mathcal{A}_1\) sur \(\mathcal{A}_0\). Alors

1. \(U(\psi) = Q\),

2. \(r_\psi : Q \to P\) est une immersion fermée, et

3. les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_P(n) \to \mathcal{O}_Q(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas (Constructions, lemme 07ZK) par localisation étale.

Faisceaux inversibles et morphismes vers le Proj relatif

Il semble que le lemme suivant puisse être utile quelque part. La situation est la suivante :

1. Soient \(S\) un schéma et \(Y\) un espace algébrique sur \(S\).

2. Soit \(\mathcal{A}\) une algèbre graduée quasi-cohérente sur \(\mathcal{O}_Y\).

3. Notons \(\pi : \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}) \to Y\) le Proj relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(Y\).

4. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

5. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

6. Soit \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) un homomorphisme d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\).

Ces données étant fixées, soit \(U(\psi) \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \[|U(\psi)| = \bigcup\nolimits_{d \geq 1} \{\text{lieu où }f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d} \text{ est surjectif}\}\] La formation de \(U(\psi) \subset X\) commute au changement de base par tout morphisme \(X' \to X\).

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations ci-dessus, le morphisme \(\psi\) induit un morphisme canonique d’espaces algébriques sur \(Y\) \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\] ainsi qu’un homomorphisme d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\) \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] caractérisé par les propriétés suivantes :

1. Pour \(V \to Y\) étale et \(d \geq 0\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(V \times_Y X, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restriction} \\ \Gamma(V \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A}), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(V \times_Y U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] est commutatif.

2. Pour tout \(d \geq 1\) et tout morphisme \(W \to X\), où \(W\) est un schéma, tel que \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) soit surjectif, on a (a) \(W \to X\) se factorise par \(U(\psi)\) et (b) le composé de \(W \to U(\psi)\) avec \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) coïncide avec le morphisme \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\) dont l’existence résulte de la construction de \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\), voir la définition 084C.

3. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] où \(X'\) et \(Y'\) sont des schémas, posons \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\) et \(\mathcal{L}' = (g')^*\mathcal{L}\) et notons \(\psi' : (f')^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes d}\) l’image inverse de \(\psi\). Notons \(U(\psi')\), \(r_{\psi', \mathcal{L}'}\) et \(\theta'\) le sous-espace ouvert, le morphisme et l’homomorphisme construits dans Constructions, lemme 0D2Z. Alors \(U(\psi') = (g')^{-1}(U(\psi))\) et \(r_{\psi', \mathcal{L}'}\) coïncide avec le changement de base de \(r_{\psi, \mathcal{L}}\) via l’isomorphisme \(\underline{\text{Proj}}_{Y'}(\mathcal{A}') = Y' \times_Y \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\) du lemme 085C. De plus, \(\theta'\) est l’image inverse de \(\theta\).

Démonstration

Omise. Indications : Observons d’abord que, pour un schéma quasi-compact \(W\) sur \(X\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(W \to X\) se factorise par \(U(\psi)\), et

2. il existe un \(d\) tel que \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) soit surjectif.

On obtient ainsi une description de \(U(\psi)\) comme sous-foncteur de \(X\) sur notre catégorie de base \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour de tels \(W\) et \(d\), considérons le quadruplet \((d, W \to Y, \mathcal{L}|_W, \psi^{(d)}|_W)\). D’après la définition de \(\underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\), on obtient un morphisme \(W \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\). Notre notion d’équivalence des quadruplets montre que ce morphisme est indépendant du choix de \(d\). Cela définit manifestement une transformation de foncteurs \(r_{\psi, \mathcal{L}} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\), c’est-à-dire un morphisme d’espaces algébriques. Par construction, ce morphisme vérifie (2). Comme le morphisme construit dans Constructions, lemme 01O9 vérifie la même propriété, (3) est vraie.

Pour construire \(\theta\) et vérifier la compatibilité (1) du lemme, travaillons localement pour la topologie étale sur \(Y\) et \(X\), en raisonnant comme dans la discussion qui suit la définition 084C.

Faisceaux relativement amples

Cette section est l’analogue de Morphismes, section 01VG pour les espaces algébriques. Notre définition d’un faisceau inversible relativement ample est la suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. On dit que \(\mathcal{L}\) est relativement ample, ou ample relativement à \(f\), ou ample sur \(X/Y\), ou \(f\)-ample, si \(f : X \to Y\) est représentable et si, pour tout morphisme \(Z \to Y\) où \(Z\) est un schéma, l’image inverse \(\mathcal{L}_Z\) de \(\mathcal{L}\) sur \(X_Z = Z \times_Y X\) est ample sur \(X_Z/Z\) au sens de Morphismes, définition 01VH.

Nous ramènerons presque toujours les questions sur les faisceaux inversibles relativement amples au cas des schémas. Ainsi, dans cette section, nous n’avons essentiellement que des vérifications de cohérence.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que \(Y\) soit un schéma. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\) au sens de la définition 0D31, et

2. \(X\) est un schéma et \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\) au sens de Morphismes, définition 01VH.

Démonstration

Cela résulte des définitions et de Morphismes, lemme 0893 (qui affirme que, pour les schémas, la propriété d’être relativement ample est préservée par changement de base).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) et notons \(\mathcal{L}'\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(X'\). Si \(\mathcal{L}\) est \(f\)-ample, alors \(\mathcal{L}'\) est \(f'\)-ample.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition ! (Indication : transitivité du changement de base.)

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). S’il existe un faisceau inversible \(f\)-ample, alors \(f\) est représentable, quasi-compact et séparé.

Démonstration

C’est clair d’après les définitions et Morphismes, lemme 01VI. (En cas de doute, voir le principe exposé dans Espaces algébriques, lemme 02YO.)

Lemme

Soit \(V \to U\) un morphisme étale surjectif de schémas affines. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(U\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Y = V \times_U X\) et soit \(\mathcal{N}\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(Y\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/U\), et

2. \(\mathcal{N}\) est ample sur \(Y/V\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 0D33. Supposons (2). Cela implique que \(Y \to V\) est quasi-compact et séparé (lemme 0D34) et que \(Y\) est un schéma. Il s’ensuit que le morphisme \(f : X \to U\) est quasi-compact et séparé (Morphismes d’espaces, lemmes 03KG et 03KM). Posons \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\). C’est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_U\) (Morphismes d’espaces, lemme 03M9). Par adjonction, nous avons un morphisme \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\). En appliquant le lemme 0D2Z, nous obtenons un sous-espace ouvert \(U(\psi) \subset X\) et un morphisme \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \to \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A})\] Puisque \(h : V \to U\) est étale, nous avons \(\mathcal{A}|_V = (Y \to V)_*(\bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{N}^{\otimes d})\), voir Propriétés des espaces, lemme 03LX. Il s’ensuit que l’image inverse \(\psi'\) de \(\psi\) sur \(Y\) est le morphisme d’adjonction associé à la situation \((Y \to V, \mathcal{N})\) considérée dans Morphismes, lemme 01VJ, partie (5). Comme \(\mathcal{N}\) est ample sur \(Y/V\), le lemme que nous venons de citer donne \(U(\psi') = Y\) et montre que \(r_{\mathcal{N}, \psi'}\) est une immersion ouverte. Puisque le lemme 0D2Z nous dit que la formation de \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) commute au changement de base, nous en concluons que \(U(\psi) = X\) et que nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[r]_-{r'} \ar[d] & \underline{\text{Proj}}_V(\mathcal{A}|_V) \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r]^-r & \underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}) \ar[r] & U }\] dont les carrés sont cartésiens. Nous en concluons que \(r\) est une immersion ouverte par Morphismes d’espaces, lemme 03M4. Ainsi, \(X\) est un schéma. Nous pouvons alors appliquer Morphismes, lemme 01VJ, partie (5), pour conclure que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/U\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\),

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(X_Z = Z \times_Y X\) est un schéma et l’image inverse \(\mathcal{L}_Z\) est ample sur \(X_Z/Z\),

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), l’espace algébrique \(X_Z = Z \times_Y X\) est un schéma et l’image inverse \(\mathcal{L}_Z\) est ample sur \(X_Z/Z\),

4. il existe un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) tels que l’espace algébrique \(X_V = V \times_Y X\) soit un schéma et que l’image inverse \(\mathcal{L}_V\) soit ample sur \(X_V/V\).

Démonstration

Les assertions (1) et (2) sont équivalentes par définition. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Si (3) est satisfaite et si \(Z \to Y\) est comme dans (2), nous voyons que la représentabilité de \(X_Z \to Z\) se vérifie localement sur les ouverts affines de \(Z\). Ainsi, \(X_Z\) est un schéma, par exemple par Propriétés des espaces, lemme 03JH. Il en résulte alors que \(\mathcal{L}_Z\) est ample sur \(X_Z/Z\), car cela est vrai localement sur \(Z\) et nous pouvons utiliser Morphismes, lemme 01VJ. Ainsi, (1), (2) et (3) sont équivalentes. Ces conditions impliquent clairement (4).

Supposons (4). Soit \(Z \to Y\) un morphisme avec \(Z\) affine. Alors \(U = V \times_Y Z \to Z\) est un morphisme étale surjectif tel que l’image inverse de \(\mathcal{L}_Z\) par \(X_U \to X_Z\) soit relativement ample sur \(X_U/U\). Nous pouvons remplacer \(U\) par une somme disjointe finie d’ouverts affines dont les images recouvrent encore la base. Il s’ensuit que \(\mathcal{L}_Z\) est ample sur \(X_Z/Z\) par le lemme 0D35. Ainsi (4) \(\Rightarrow\) (3), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) est quasi-affine si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est ample relativement à \(f\).

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas, voir Morphismes, lemme 0891.

Amplitude relative et cohomologie

Cette section contient quelques résultats apparentés à ceux de Cohomologie des schémas, sections 02OF et 01XO.

Le lemme suivant n’est qu’un exemple de ce que l’on peut faire.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(R\) tel que le morphisme structural \(f : X \to \Spec(R)\) soit propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/R\) (définition 0D31),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe un \(n_0 \geq 0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour tous \(n \geq n_0\) et \(p > 0\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 0B5T, car l’hypothèse (1) implique que \(X\) est un schéma. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est le lemme de Cohomologie des espaces 0D2W.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(Y\) tel que le morphisme structural \(f : X \to Y\) soit propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(X_y\) soit un schéma et que \(\mathcal{L}_y\) soit ample sur \(X_y\). Il existe alors un \(d_0\) tel que, pour tout \(d \geq d_0\), on ait \[R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = 0 \text{ pour }p > 0\] et que l’homomorphisme \[f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y \longrightarrow H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\] soit surjectif.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau local noethérien. Considérons le morphisme canonique \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\), voir Schémas, équation (02NA). Ce morphisme est plat, puisqu’il identifie les anneaux locaux. Notons provisoirement \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) le morphisme obtenu de \(f\) par ce changement de base. Nous avons \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 073K. De plus, les fibres \(X_y\) et \(X'_y\) s’identifient. Nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m, \kappa)\) et que \(y \in Y\) correspond à \(\mathfrak m\). Dans ce cas, \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})_y = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) pour tout \(p \geq 0\). Notons \(f_y : X_y \to \Spec(\kappa)\) la projection.

Posons \(B = \text{Gr}_\mathfrak m(A) = \bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\). Considérons le faisceau \(\mathcal{B} = f_y^*\widetilde{B}\) d’algèbres graduées quasi-cohérentes sur \(\mathcal{O}_{X_y}\). Nous emploierons les notations de Cohomologie des espaces, section 08AU, en remplaçant \(I\) par \(\mathfrak m\). Puisque \(X_y\) est le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\), nous pouvons considérer \(\mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}_{X_y}\)-module cohérent, voir Cohomologie des espaces, lemme 08AM. Alors \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini, car il est engendré en degré zéro sur \(\mathcal{B}\) et sa partie de degré zéro est \(\mathcal{F}_y = \mathcal{F}/\mathfrak m \mathcal{F}\), qui est un \(\mathcal{O}_{X_y}\)-module cohérent. Ainsi, d’après Cohomologie des schémas, lemme 0897, partie (2), il existe un \(d_0\) tel que \[H^p(X_y, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d}) = 0\] pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 0D2U, cela revient à dire que \(H^p(X, \mathfrak m^n \mathcal{F}/ \mathfrak m^{n + 1}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\).

Considérons les suites exactes courtes \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. La tensorisation par \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est un foncteur exact et nous obtenons des suites exactes courtes \[0 \to \mathfrak m^n\mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^{n + 1} \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d} \to 0\] En utilisant la suite exacte longue de cohomologie et l’annulation ci-dessus, nous concluons (par récurrence) que

1. \(H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(d \geq d_0\) et \(n \geq 0\), et

2. \(H^0(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) est surjectif pour tous \(d \geq d_0\) et \(n \geq 1\).

D’après le théorème des fonctions formelles (Cohomologie des espaces, théorème 08AZ), nous trouvons que le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est nul pour tous \(d \geq d_0\) et \(p > 0\). Comme \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est un \(A\)-module de type fini d’après Cohomologie des espaces, lemme 08AS, il résulte du lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d})\) est nul pour tous \(d \geq d_0\) et \(p > 0\). Pour \(p = 0\), nous déduisons du lemme de Cohomologie des espaces 08AY, partie (3), que \(H^0(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X_y, \mathcal{F}_y \otimes_{\mathcal{O}_{X_y}} \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) est surjectif, ce qui donne la dernière assertion du lemme.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Descente sur les espaces, lemme 0D3D). Soit \(Y\) un schéma noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(Y\) tel que le morphisme structural \(f : X \to Y\) soit propre. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(y \in Y\) un point tel que \(X_y\) soit un schéma et que \(\mathcal{L}_y\) soit ample sur \(X_y\). Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(\mathcal{L}|_{f^{-1}(V)}\) soit ample sur \(f^{-1}(V)/V\) (au sens de la définition 0D31).

Démonstration

Choisissons \(d_0\) comme dans le lemme 0D39 pour \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\). Choisissons \(d \geq d_0\) de sorte qu’il existe un \(r \geq 0\) et des sections \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r} \in H^0(X_y, \mathcal{L}_y^{\otimes d})\) qui définissent une immersion fermée \[\varphi_y = \varphi_{\mathcal{L}_y^{\otimes d}, (s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r})} : X_y \to \mathbf{P}^r_{\kappa(y)}.\] C’est possible d’après Morphismes, lemme 01VT, mais nous utilisons aussi Morphismes, lemme 01W6, pour voir que \(\varphi_y\) est une immersion fermée, et Constructions, section 01ND, pour la description des morphismes vers l’espace projectif au moyen de faisceaux inversibles et de sections. Par notre choix de \(d_0\), après avoir remplacé \(Y\) par un voisinage ouvert de \(y\), nous pouvons choisir \(s_0, \ldots, s_r \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) qui s’envoient sur \(s_{y, 0}, \ldots, s_{y, r}\). Soit \(X_{s_i} \subset X\) le sous-espace ouvert où \(s_i\) est un générateur de \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). Puisque les \(s_{y, i}\) engendrent \(\mathcal{L}_y^{\otimes d}\), nous avons \(|X_y| \subset U = \bigcup |X_{s_i}|\). Comme \(X \to Y\) est fermé, il existe un voisinage ouvert \(y \in V \subset Y\) tel que \(|f|^{-1}(V) \subset U\). Après avoir remplacé \(Y\) par \(V\), nous pouvons supposer que les \(s_i\) engendrent \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). Nous obtenons ainsi un morphisme \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}^{\otimes d}, (s_0, \ldots, s_r)} : X \longrightarrow \mathbf{P}^r_Y\] avec \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) dont le changement de base en \(y\) donne \(\varphi_y\) (à strictement parler, il faudrait rédiger une preuve que la construction des morphismes vers l’espace projectif donnée dans Constructions, section 01ND, vaut aussi pour décrire les morphismes d’espaces algébriques vers l’espace projectif ; nous omettons les détails).

Nous terminerons la démonstration par une astuce ; la démonstration « correcte » consiste à montrer directement que \(\varphi\) est une immersion fermée après changement de base à un voisinage ouvert de \(y\). En effet, d’après Cohomologie des espaces, lemme 0A4W, nous voyons que \(\varphi\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de la fibre \(\mathbf{P}^r_{\kappa(y)}\) de \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) au-dessus de \(y\). Comme \(\mathbf{P}^r_Y \to Y\) est fermé, quitte à rétrécir \(Y\), nous pouvons supposer que \(\varphi\) est fini. En particulier, \(X\) est un schéma. Alors \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^r_Y}(1)\) est ample d’après le résultat très général donné dans Morphismes, lemme 0892.

Sous-espaces fermés du Proj relatif

Quelques lemmes auxiliaires sur les sous-espaces fermés du Proj relatif. Cette section est l’analogue de Diviseurs, section 084M.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Soit \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) le Proj relatif de \(\mathcal{A}\). Soit \(i : Z \to P\) un sous-espace fermé. Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) le noyau du morphisme canonique \[\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \pi_*\left((i_*\mathcal{O}_Z)(d)\right)\] Si \(\pi\) est quasi-compact, il existe un isomorphisme \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{I})\).

Démonstration

Le morphisme \(\pi\) est séparé d’après le lemme 084E. Comme \(\pi\) est quasi-compact, \(\pi_*\) transforme les modules quasi-cohérents en modules quasi-cohérents, voir Morphismes d’espaces, lemme 03M9. Ainsi, \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. En particulier, \(\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{I}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Le morphisme de fonctorialité \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{B}) \to \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A})\) est défini partout et est une immersion fermée, voir le lemme 085H. Il suffit donc de montrer que \(Z = Z'\) comme sous-espaces fermés de \(P\).

Cela étant, la question est locale pour la topologie étale sur la base et l’on se ramène au cas des schémas (Diviseurs, lemme 0801) par localisation étale.

Lorsque le sous-espace fermé est localement défini par un nombre fini d’équations, nous pouvons le définir par un faisceau d’idéaux de type fini de \(\mathcal{A}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Soit \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) le Proj relatif de \(\mathcal{A}\). Soit \(i : Z \to P\) un sous-schéma fermé. Si \(\pi\) est quasi-compact et si \(i\) est de présentation finie, alors il existe un \(d > 0\) et un sous-\(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\) tel que \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\).

Démonstration

Le lecteur peut reprendre les arguments employés dans le cas des schémas. Nous allons toutefois montrer, par une astuce, que le lemme résulte de ce cas. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) l’idéal gradué quasi-cohérent qui définit \(Z\) dans le lemme 085L. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\), voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. D’après le cas des schémas (Diviseurs, lemme 0802), il existe un \(d > 0\) et un sous-\(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_U \subset \mathcal{A}_d|_U\), tel que \(Z \times_X U\) soit égal à \(\underline{\text{Proj}}_U(\mathcal{A}|_U/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_U)\). D’après Limites des espaces, lemme 0829, nous pouvons trouver un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\) tel que \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_U\). Posons \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\). Alors \(Z' \to P\) est une immersion fermée (lemme 085J) et \(Z \subset Z'\) puisque \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\). D’autre part, \(Z' \times_X U \subset Z \times_X U\) d’après notre choix de \(\mathcal{F}\). Ainsi, \(Z = Z'\), comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Soit \(\pi : P = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}) \to X\) le Proj relatif de \(\mathcal{A}\). Soit \(i : Z \to X\) un sous-espace fermé. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Supposons que

1. \(\pi\) soit quasi-compact,

2. \(i\) soit de présentation finie,

3. \(|U| \cap |\pi|(|i|(|Z|)) = \emptyset\),

4. \(U\) soit quasi-compact,

5. \(\mathcal{A}_n\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini pour tout \(n\).

Alors il existe un \(d > 0\) et un sous-\(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{A}_d\) tel que (a) \(Z = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\) et (b) le support de \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\) soit disjoint de \(U\).

Démonstration

Nous employons la même astuce que dans la démonstration du lemme 085M pour nous ramener au cas des schémas. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) l’idéal gradué quasi-cohérent qui définit \(Z\) dans le lemme 085L. Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\), voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. D’après le cas des schémas (Diviseurs, lemme 0803), il existe un \(d > 0\) et un sous-\(\mathcal{O}_W\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{I}_d|_W \subset \mathcal{A}_d|_W\), tel que (a) \(Z \times_X W\) soit égal à \(\underline{\text{Proj}}_W(\mathcal{A}|_W/\mathcal{F}'\mathcal{A}|_W)\) et que (b) le support de \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\) soit disjoint de \(U \times_X W\). D’après Limites des espaces, lemme 0829, nous pouvons trouver un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}_d\) tel que \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}|_W\). Posons \(Z' = \underline{\text{Proj}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\). Alors \(Z' \to P\) est une immersion fermée (lemme 085J) et \(Z \subset Z'\) puisque \(\mathcal{F}\mathcal{A} \subset \mathcal{I}\). D’autre part, \(Z' \times_X W \subset Z \times_X W\) d’après notre choix de \(\mathcal{F}\). Ainsi, \(Z = Z'\). Enfin, le support de \(\mathcal{A}_d/\mathcal{F}\) est contenu dans \(X \setminus U\), car \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}|_W\) est un quotient de \(\mathcal{A}_d|_W/\mathcal{F}'\), dont le support est contenu dans \(W \setminus U \times_X W\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Il existe une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{sections }\sigma\text{ du } \\ \text{morphisme } \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{surjections }\mathcal{E} \to \mathcal{L}\text{ où} \\ \mathcal{L}\text{ est un }\mathcal{O}_X\text{-module inversible} \end{matrix} \right\}\] Dans ce cas, \(\sigma\) est une immersion fermée et il existe un isomorphisme canonique \[\Ker(\mathcal{E} \to \mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \longrightarrow \mathcal{C}_{\sigma(X)/\mathbf{P}(\mathcal{E})}\] La bijection et l’isomorphisme sont tous deux compatibles avec le changement de base.

Démonstration

Puisque les constructions sont compatibles avec le changement de base, il suffit de vérifier l’assertion localement pour la topologie étale sur \(X\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est un schéma, et le résultat est alors Diviseurs, lemme 0B3V.

Éclatements

L’éclatement est un outil important en géométrie algébrique.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux, et soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé correspondant à \(\mathcal{I}\) (Morphismes d’espaces, lemme 03MB). L’éclatement de \(X\) le long de \(Z\), ou l’ éclatement de \(X\) suivant le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) est le morphisme \[b : \underline{\text{Proj}}_X \left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) \longrightarrow X\] Le diviseur exceptionnel de l’éclatement est l’image inverse \(b^{-1}(Z)\). Le sous-espace \(Z\) est parfois appelé le centre de l’éclatement.

Nous verrons plus loin que le diviseur exceptionnel est un diviseur de Cartier effectif. De plus, l’éclatement se caractérise comme le « plus petit » espace algébrique au-dessus de \(X\) tel que l’image inverse de \(Z\) soit un diviseur de Cartier effectif.

Si \(b : X' \to X\) est l’éclatement de \(X\) le long de \(Z\), on note souvent \(\mathcal{O}_{X'}(n)\) les faisceaux tordus du faisceau structural. Notons que ceux-ci sont des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules inversibles et que \(\mathcal{O}_{X'}(n) = \mathcal{O}_{X'}(1)^{\otimes n}\), car \(X'\) est le Proj relatif d’une algèbre graduée quasi-cohérente sur \(\mathcal{O}_X\) qui est engendrée en degré \(1\), voir le lemme 085D.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine étale sur \(X\), et soit \(I \subset A\) l’idéal correspondant à \(\mathcal{I}|_U\). Si \(X' \to X\) est l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\), il existe alors un isomorphisme canonique \[U \times_X X' = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} I^d)\] de schémas au-dessus de \(U\), où le membre de droite est le spectre homogène de l’algèbre de Rees de \(I\) dans \(A\). De plus, \(U \times_X X'\) possède un recouvrement ouvert affine par les spectres des algèbres d’éclatement affines \(A[\frac{I}{a}]\).

Démonstration

Notons que la restriction \(\mathcal{I}|_U\) est égale à l’image inverse de \(\mathcal{I}\) par le morphisme \(U \to X\), voir Propriétés des espaces, section 03LT. Le lemme résulte donc de la combinaison du lemme 084B et de Diviseurs, lemme 0804.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X_1 \to X_2\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z_2 \subset X_2\) un sous-espace fermé. Soit \(Z_1\) l’image inverse de \(Z_2\) dans \(X_1\). Soit \(X'_i\) l’éclatement de centre \(Z_i\) dans \(X_i\). Il existe alors un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X_1' \ar[r] \ar[d] & X_2' \ar[d] \\ X_1 \ar[r] & X_2 }\] d’espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}_2\) le faisceau d’idéaux de \(Z_2\) dans \(X_2\). Notons \(g : X_1 \to X_2\) le morphisme donné. Le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_1\) de \(Z_1\) est alors l’image de \(g^*\mathcal{I}_2 \to \mathcal{O}_{X_1}\) (voir Morphismes d’espaces, définition 083Q et la discussion qui suit cette définition). D’après le lemme 085C, \(X_1 \times_{X_2} X_2'\) est le Proj relatif de \(\bigoplus_{n \geq 0} g^*\mathcal{I}_2^n\). Comme \(g\) est plat, le morphisme \(g^*\mathcal{I}_2^n \to \mathcal{O}_{X_1}\) est injectif et son image est \(\mathcal{I}_1^n\). Ainsi, \(X_1 \times_{X_2} X_2' = X_1'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. L’éclatement \(b : X' \to X\) de centre \(Z\) dans \(X\) possède les propriétés suivantes :

1. \(b|_{b^{-1}(X \setminus Z)} : b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\) est un isomorphisme,

2. le diviseur exceptionnel \(E = b^{-1}(Z)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X'\),

3. il existe un isomorphisme canonique \(\mathcal{O}_{X'}(-1) = \mathcal{O}_{X'}(E)\)

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Comme la formation de l’éclatement commute au changement de base plat (lemme 085S), nous pouvons démontrer chacune de ces assertions après changement de base à \(U\). Cela nous ramène au cas des schémas. Dans ce cas, le résultat est Diviseurs, lemme 02OS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. Soit \(\mathcal{C}\) la sous-catégorie pleine de \((\textit{Espaces}/X)\) composée des \(Y \to X\) tels que l’image inverse de \(Z\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(Y\). Alors l’éclatement \(b : X' \to X\) de centre \(Z\) dans \(X\) est un objet final de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Le morphisme \(b : X' \to X\) est un objet de \(\mathcal{C}\) d’après le lemme 085T. Soit \(f : Y \to X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous devons montrer qu’il existe un unique morphisme \(Y \to X'\) au-dessus de \(X\). Posons \(D = f^{-1}(Z)\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Z\) et soit \(\mathcal{I}_D\) le faisceau d’idéaux de \(D\). Alors \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{I}_D\) est une surjection vers un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Elle se prolonge en un morphisme \(\psi : \bigoplus f^*\mathcal{I}^d \to \bigoplus \mathcal{I}_D^d\) d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_Y\). (Nous observons que \(\mathcal{I}_D^d = \mathcal{I}_D^{\otimes d}\) puisque \(D\) est un diviseur de Cartier effectif.) D’après le lemme 085D, le triplet \((f : Y \to X, \mathcal{I}_D, \psi)\) définit un morphisme \(Y \to X'\) au-dessus de \(X\). La restriction \[Y \setminus D \longrightarrow X' \setminus b^{-1}(Z) = X \setminus Z\] est unique. L’ouvert \(Y \setminus D\) est schématiquement dense dans \(Y\) d’après le lemme 083S. Ainsi, le morphisme \(Y \to X'\) est unique d’après Morphismes d’espaces, lemme 084N (de plus, \(b\) est séparé d’après le lemme 084E).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. L’éclatement de \(X\) le long de \(Z\) est le morphisme identité de \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la propriété universelle des éclatements (lemme 085U).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Si \(X\) est réduit, alors l’éclatement \(X'\) de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\) est réduit.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Comme la formation de l’éclatement commute au changement de base plat (lemme 085S), nous pouvons démontrer l’assertion après changement de base à \(U\). Cela nous ramène au cas des schémas. Dans ce cas, le résultat est Diviseurs, lemme 0808.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(X\) le long d’un sous-espace fermé. Si \(X\) vérifie les conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, lemme 0BB1, alors il en est de même de \(X'\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme cité dans l’énoncé, de la description locale pour la topologie étale des éclatements donnée au lemme 085R, et de Diviseurs, lemme 0BFM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(b : X' \to X\) un éclatement de \(X\) le long d’un sous-espace fermé. Pour tout diviseur de Cartier effectif \(D\) sur \(X\), l’image inverse \(b^{-1}D\) est définie (voir la définition 083Y).

Démonstration

D’après les lemmes 085R et 083C, cela se ramène au fait algébrique suivant : soient \(A\) un anneau, \(I \subset A\) un idéal, \(a \in I\), et \(x \in A\) un non-diviseur de zéro. L’image de \(x\) dans \(A[\frac{I}{a}]\) est alors un non-diviseur de zéro. En effet, supposons que \(x (y/a^n) = 0\) dans \(A[\frac{I}{a}]\). Alors \(a^mxy = 0\) dans \(A\) pour un certain \(m\). Donc \(a^my = 0\) puisque \(x\) est un non-diviseur de zéro. Ainsi \(y/a^n\) est nul dans \(A[\frac{I}{a}]\), comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{J}\) des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux. Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\). Soit \(b' : X'' \to X'\) l’éclatement de \(X'\) suivant \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\). Alors \(X'' \to X\) est canoniquement isomorphe à l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\mathcal{J}\).

Démonstration

Soit \(E \subset X'\) le diviseur exceptionnel de \(b\), qui est un diviseur de Cartier effectif d’après le lemme 085T. Alors \((b')^{-1}E\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X''\) d’après le lemme 085X. Soit \(E' \subset X''\) le diviseur exceptionnel de \(b'\) (lui aussi un diviseur de Cartier effectif). Considérons le diviseur de Cartier effectif \(E'' = E' + (b')^{-1}E\). Par construction, l’idéal de \(E''\) est \((b \circ b')^{-1}\mathcal{I} (b \circ b')^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X''}\). D’après le lemme 085U, il existe donc un morphisme canonique de \(X''\) vers l’éclatement \(c : Y \to X\) de \(X\) le long de \(\mathcal{I}\mathcal{J}\). Inversement, puisque \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) a pour image inverse un idéal inversible, on voit que \(c^{-1}\mathcal{I}\mathcal{O}_Y\) définit un diviseur de Cartier effectif, voir le lemme 083W. Il existe donc un morphisme \(c' : Y \to X'\) au-dessus de \(X\) par le lemme 085U. Alors \((c')^{-1}b^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y = c^{-1}\mathcal{J}\mathcal{O}_Y\), qui définit lui aussi un diviseur de Cartier effectif. Il existe donc un morphisme \(c'' : Y \to X''\) au-dessus de \(X'\). Nous omettons de vérifier que ce morphisme est l’inverse du morphisme \(X'' \to Y\) construit précédemment.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(X\) suivant le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\). Si \(\mathcal{I}\) est de type fini, alors \(b : X' \to X\) est un morphisme propre.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Comme la formation de l’éclatement commute au changement de base plat (lemme 085S), nous pouvons démontrer l’assertion après changement de base à \(U\) (voir Morphismes d’espaces, lemme 083R). Cela nous ramène au cas des schémas. Dans ce cas, le morphisme \(b\) est projectif d’après Diviseurs, lemme 02NS, donc propre d’après Morphismes, lemme 01WC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé de présentation finie. Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de centre \(Z\). Soit \(Z' \subset X'\) un sous-espace fermé de présentation finie. Soit \(X'' \to X'\) l’éclatement de centre \(Z'\). Il existe un sous-espace fermé \(Y \subset X\) de présentation finie tel que

1. \(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\), et

2. la composée \(X'' \to X\) soit isomorphe à l’éclatement de \(X\) le long de \(Y\).

Démonstration

La condition que \(Z \to X\) soit de présentation finie signifie que \(Z\) est défini par un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), voir Morphismes d’espaces, lemme 084Q. Écrivons \(\mathcal{A} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\), de sorte que \(X' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})\). Notons que \(X \setminus Z\) est un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X\) d’après Limites des espaces, lemme 0855. Puisque \(b^{-1}(X \setminus Z) \to X \setminus Z\) est un isomorphisme (lemme 085T), le même résultat montre que \(b^{-1}(X \setminus Z) \setminus Z'\) est un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X'\). Ainsi, \(U = X \setminus (Z \cup b(Z'))\) est un sous-espace ouvert quasi-compact de \(X\). D’après le lemme 085N, il existe un \(d > 0\) et un sous-\(\mathcal{O}_X\)-module de type fini \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\) tel que \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\) et que le support de \(\mathcal{I}^d/\mathcal{F}\) soit contenu dans \(X \setminus U\).

Comme \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d\) est un sous-\(\mathcal{O}_X\)-module, nous pouvons considérer \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^d \subset \mathcal{O}_X\) comme un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini sur \(X\). Notons-le \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) pour éviter toute confusion. Puisque \(\mathcal{I}^d / \mathcal{J}\) et \(\mathcal{O}/\mathcal{I}^d\) ont leur support dans \(|X| \setminus |U|\), on voit que \(|V(\mathcal{J})|\) est contenu dans \(|X| \setminus |U|\). Réciproquement, comme \(\mathcal{J} \subset \mathcal{I}^d\), on voit que \(|Z| \subset |V(\mathcal{J})|\). Sur \(X \setminus Z \cong X' \setminus b^{-1}(Z)\), le faisceau d’idéaux \(\mathcal{J}\) définit \(Z'\) (voir la formule affichée ci-dessous). Ainsi, \(|V(\mathcal{J})|\) est égal à \(|Z| \cup |b|(|Z'|)\). Par suite, \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\). De plus, \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) est un idéal de type fini, comme produit de deux tels idéaux. Nous affirmons que \(X'' \to X\) est isomorphe à l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\mathcal{J}\), ce qui achève la démonstration du lemme en posant \(Y = V(\mathcal{I}\mathcal{J})\).

Rappelons d’abord que l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) est le même que l’éclatement de \(X'\) suivant \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\), voir le lemme 085Y. Il suffit donc de montrer que l’éclatement de \(X'\) suivant \(b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'}\) coïncide avec l’éclatement de \(X'\) le long de \(Z'\). Nous allons montrer que \[b^{-1}\mathcal{J} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{I}_E^d \mathcal{I}_{Z'}\] comme faisceaux d’idéaux sur \(X''\). Cela donnera le résultat, puisque \(\mathcal{I}_E^d\) définit le diviseur de Cartier effectif \(dE\) et que nous pouvons utiliser les lemmes 085V et 085Y.

Pour établir l’égalité affichée des idéaux, nous pouvons travailler localement. Avec les notations \(A\), \(I\), \(a \in I\) du lemme 085R, on voit que \(\mathcal{F}\) correspond à un sous-\(R\)-module \(M \subset I^d\) qui s’envoie isomorphiquement sur un idéal \(J \subset R\). La condition \(Z' = \underline{\text{Proj}}(\mathcal{A}/\mathcal{F}\mathcal{A})\) signifie que \(Z' \cap \Spec(A[\frac{I}{a}])\) est défini par l’idéal engendré par les éléments \(m/a^d\), où \(m \in M\). Supposons que \(m \in M\) corresponde à la fonction \(f \in J\). Alors, dans l’algèbre d’éclatement affine \(A' = A[\frac{I}{a}]\), on a \(f = (a^dm)/a^d = a^d (m/a^d)\). L’égalité en résulte.

Transformée stricte

Cette section est l’analogue de Diviseurs, section 080C. Soient \(S\) un schéma, \(B\) un espace algébrique sur \(S\), et \(Z \subset B\) un sous-espace fermé. Soit \(b : B' \to B\) l’éclatement de \(B\) le long de \(Z\) et désignons par \(E \subset B'\) le diviseur exceptionnel \(E = b^{-1}Z\). Dans la suite, nous considérerons souvent un espace algébrique \(X\) sur \(B\) et formerons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ \text{pr}_{B'}^{-1}E \ar[r] \ar[d] & X \times_B B' \ar[r]_-{\text{pr}_X} \ar[d]_{\text{pr}_{B'}} & X \ar[d]^f \\ E \ar[r] & B' \ar[r] & B }\] Puisque \(E\) est un diviseur de Cartier effectif (lemme 085T), on voit que \(\text{pr}_{B'}^{-1}E \subset X \times_B B'\) est localement principal (lemme 083X). Ainsi, le morphisme d’inclusion du complémentaire de \(\text{pr}_{B'}^{-1}E\) dans \(X \times_B B'\) est affine et, en particulier, quasi-compact (lemme 083D). Par conséquent, pour un \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), le sous-faisceau des sections à support dans \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\) est un sous-module quasi-cohérent ; voir Limites d’espaces, définition 085A. Si \(\mathcal{G}\) est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres, par exemple \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_{X \times_B B'}\), ce sous-faisceau est alors un idéal de \(\mathcal{G}\).

Définition

Reprenons \(Z \subset B\) et \(f : X \to B\) comme ci-dessus.

1. Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement de \(B\) le long de \(Z\) est le quotient \(\mathcal{F}'\) de \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\) par le sous-module des sections à support dans \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\).

2. La transformée stricte de \(X\) est le sous-espace fermé \(X' \subset X \times_B B'\) défini par l’idéal quasi-cohérent des sections de \(\mathcal{O}_{X \times_B B'}\) à support dans \(|\text{pr}_{B'}^{-1}E|\).

Notons que la transformée stricte par un éclatement dépend du sous-espace fermé qui sert de centre à cet éclatement (et non du seul morphisme \(B' \to B\)).

Lemme

Dans la situation de la définition 0862. Soit \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ V \ar[r] & B }\] un diagramme commutatif de morphismes, où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches horizontales sont étales. Soit \(V' \to V\) l’éclatement de \(V\) le long de \(Z \times_B V\). Alors

1. \(V' = V \times_B B'\) et les morphismes \(V' \to B'\) et \(U \times_V V' \to X \times_B B'\) sont étales,

2. la transformée stricte \(U'\) de \(U\) relativement à \(V' \to V\) est égale à \(X' \times_X U\), où \(X'\) est la transformée stricte de \(X\) relativement à \(B' \to B\), et

3. pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), la restriction de la transformée stricte \(\mathcal{F}'\) à \(U \times_V V'\) est la transformée stricte de \(\mathcal{F}|_U\) relativement à \(V' \to V\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte de la commutation de l’éclatement au changement de base plat (lemme 085S), de la platitude des morphismes étales et de leur stabilité par changement de base. L’assertion (3) résulte alors de ce que la formation du faisceau des sections à support dans un fermé commute à l’image inverse par les morphismes étales ; voir Limites d’espaces, lemme 0859. L’assertion (2) résulte de (3), appliquée à \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\).

Lemme

Dans la situation de la définition 0862.

1. La transformée stricte \(X'\) de \(X\) est l’éclatement de \(X\) le long du sous-espace fermé \(f^{-1}Z\) de \(X\).

2. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), la transformée stricte \(\mathcal{F}'\) est canoniquement isomorphe à l’image directe par \(X' \to X \times_B B'\) de la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement \(X' \to X\).

Démonstration

Soit \(X'' \to X\) l’éclatement de \(X\) le long de \(f^{-1}Z\). Par la propriété universelle de l’éclatement (lemme 085U), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ B' \ar[r] & B }\] d’où un morphisme \(i : X'' \to X \times_B B'\). La première assertion du lemme affirme que \(i\) est une immersion fermée d’image \(X'\). La seconde affirme que \(\mathcal{F}' = i_*\mathcal{F}''\), où \(\mathcal{F}''\) est la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement \(X'' \to X\). Ces assertions se vérifient localement pour la topologie étale sur \(X\) ; on se ramène donc au cas des schémas (Diviseurs, lemme 080E). Certains détails sont omis.

Lemme

Dans la situation de la définition 0862.

1. Si \(X\) est plat sur \(B\) en tout point situé au-dessus de \(Z\), alors la transformée stricte de \(X\) coïncide avec le changement de base \(X \times_B B'\).

2. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(B\) en tout point situé au-dessus de \(Z\), alors la transformée stricte \(\mathcal{F}'\) de \(\mathcal{F}\) est égale à l’image inverse \(\text{pr}_X^*\mathcal{F}\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 080F) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset B\) un sous-espace fermé. Soit \(b : B' \to B\) l’éclatement de centre \(Z\) dans \(B\). Soit \(g : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(g' : X \times_B B' \to Y \times_B B'\) le changement de base de \(g\). Soit \(\mathcal{F}'\) la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à \(b\). Alors \(g'_*\mathcal{F}'\) est la transformée stricte de \(g_*\mathcal{F}\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 080G) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset B\) un sous-espace fermé. Soit \(D \subset B\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(Z' \subset B\) le sous-espace fermé défini par le produit des faisceaux d’idéaux de \(Z\) et de \(D\). Soit \(B' \to B\) l’éclatement de \(B\) le long de \(Z\).

1. L’éclatement de \(B\) le long de \(Z'\) est isomorphe au morphisme \(B' \to B\).

2. Soient \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si le sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) des sections à support dans \(|f^{-1}D|\) est nul, alors la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement le long de \(Z\) coïncide avec la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement de \(B\) le long de \(Z'\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 080H) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset B\) un sous-espace fermé. Soit \(b : B' \to B\) l’éclatement de centre \(Z\). Soit \(Z' \subset B'\) un sous-espace fermé. Soit \(B'' \to B'\) l’éclatement de centre \(Z'\). Soit \(Y \subset B\) un sous-schéma fermé tel que \(|Y| = |Z| \cup |b|(|Z'|)\) et que la composée \(B'' \to B\) soit isomorphe à l’éclatement de \(B\) le long de \(Y\). Dans cette situation, pour tout schéma \(X\) sur \(B\) et tout \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a

1. la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement de \(B\) le long de \(Y\) est égale à la transformée stricte, relativement à l’éclatement \(B'' \to B'\) le long de \(Z'\), de la transformée stricte de \(\mathcal{F}\) relativement à l’éclatement \(B' \to B\) de \(B\) le long de \(Z\), et

2. la transformée stricte de \(X\) relativement à l’éclatement de \(B\) le long de \(Y\) est égale à la transformée stricte, relativement à l’éclatement \(B'' \to B'\) le long de \(Z'\), de la transformée stricte de \(X\) relativement à l’éclatement \(B' \to B\) de \(B\) le long de \(Z\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 080I) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Dans la situation de la définition 0862. Supposons que \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] soit une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) qui reste exacte après tout changement de base \(T \to B\). Alors les transformées strictes \(\mathcal{F}_i'\) relativement à tout éclatement \(B' \to B\) forment elles aussi la suite exacte \(0 \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}'_3 \to 0\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 080W) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_B\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(Z_k \subset S\) le sous-schéma fermé défini par \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\) ; voir la section 0CZ3. Soit \(B' \to B\) l’éclatement de \(B\) le long de \(Z_k\) et soit \(\mathcal{F}'\) la transformée stricte de \(\mathcal{F}\). Alors \(\mathcal{F}'\) peut être engendré localement par \(\leq k\) sections.

Démonstration

Omis. Cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0CZP) par localisation étale (lemme 0863).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_B\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(Z_k \subset S\) le sous-schéma fermé défini par \(\text{Fit}_k(\mathcal{F})\) ; voir la section 0CZ3. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit localement libre de rang \(k\) sur \(B \setminus Z_k\). Soit \(B' \to B\) l’éclatement de \(B\) le long de \(Z_k\) et soit \(\mathcal{F}'\) la transformée stricte de \(\mathcal{F}\). Alors \(\mathcal{F}'\) est localement libre de rang \(k\).

Démonstration

Omis. Cela résulte du cas des schémas (Diviseurs, lemme 0CZQ) par localisation étale (lemme 0863).

Éclatements admissibles

Afin de mieux maîtriser les éclatements considérés, nous introduisons la terminologie standard suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Un morphisme \(X' \to X\) est appelé éclatement \(U\)-admissible s’il existe une immersion fermée \(Z \to X\) de présentation finie, avec \(Z\) disjoint de \(U\), telle que \(X'\) soit isomorphe à l’éclatement de \(X\) le long de \(Z\).

Rappelons que \(Z \to X\) est de présentation finie si et seulement si le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{O}_X\) est de type fini ; voir Morphismes d’espaces, lemme 084Q. En particulier, un éclatement \(U\)-admissible est un morphisme propre ; voir le lemme 085Z. Notons que plusieurs centres peuvent donner lieu au même morphisme. La condition exige donc seulement l’existence d’un centre disjoint de \(U\) qui produise \(X'\). Enfin, comme le morphisme \(b : X' \to X\) est un isomorphisme au-dessus de \(U\) (voir le lemme 085T), nous identifierons souvent, par abus de notation, \(U\) à un sous-espace ouvert de \(X'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact. Soit \(b : X' \to X\) un éclatement \(U\)-admissible. Soit \(X'' \to X'\) un éclatement \(U\)-admissible. Alors la composée \(X'' \to X\) est un éclatement \(U\)-admissible.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme plus précis 0860.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Soient \(U, V \subset X\) des sous-espaces ouverts quasi-compacts. Soit \(b : V' \to V\) un éclatement \(U \cap V\)-admissible. Alors il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to X\) dont la restriction à \(V\) est \(V'\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_V\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini tel que \(V(\mathcal{I})\) soit disjoint de \(U \cap V\) et que \(V'\) soit isomorphe à l’éclatement de \(V\) le long de \(\mathcal{I}\). Soit \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U \cup V}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux dont la restriction à \(U\) est \(\mathcal{O}_U\) et dont la restriction à \(V\) est \(\mathcal{I}\). Par Limites d’espaces, lemme 0853, il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) dont la restriction à \(U \cup V\) est \(\mathcal{I}'\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact. Soient \(b_i : X_i \to X\), \(i = 1, \ldots, n\), des éclatements \(U\)-admissibles. Il existe un éclatement \(U\)-admissible \(b : X' \to X\) tel que (a) \(b\) se factorise sous la forme \(X' \to X_i \to X\) pour \(i = 1, \ldots, n\), et (b) chacun des morphismes \(X' \to X_i\) soit un éclatement \(U\)-admissible.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini tel que \(V(\mathcal{I}_i)\) soit disjoint de \(U\) et que \(X_i\) soit isomorphe à l’éclatement de \(X\) le long de \(\mathcal{I}_i\). Posons \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cdot \ldots \cdot \mathcal{I}_n\) et soit \(X'\) l’éclatement de \(X\) le long de \(\mathcal{I}\). Alors \(X' \to X\) se factorise par \(b_i\) d’après le lemme 085Y.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soient \(U, V\) des sous-espaces ouverts quasi-compacts disjoints de \(X\). Il existe alors un éclatement \(U \cup V\)-admissible \(b : X' \to X\) tel que \(X'\) soit une réunion disjointe de sous-espaces ouverts \(X' = X'_1 \amalg X'_2\), avec \(b^{-1}(U) \subset X'_1\) et \(b^{-1}(V) \subset X'_2\).

Démonstration

Choisissons des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux de type fini \(\mathcal{I}\) et, respectivement, \(\mathcal{J}\) tels que \(X \setminus U = V(\mathcal{I})\) et, respectivement, \(X \setminus V = V(\mathcal{J})\) ; voir Limites d’espaces, lemme 0855. Alors \(|V(\mathcal{I}\mathcal{J})| = |X|\). Par suite, \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) est un faisceau d’idéaux localement nilpotent. Comme \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) sont de type fini et \(X\) est quasi-compact, il existe un \(n > 0\) tel que \(\mathcal{I}^n \mathcal{J}^n = 0\). On peut donc remplacer, et l’on remplace, \(\mathcal{I}\) par \(\mathcal{I}^n\) et \(\mathcal{J}\) par \(\mathcal{J}^n\). On a alors \(\mathcal{I} \mathcal{J} = 0\). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement le long de \(\mathcal{I} + \mathcal{J}\). Cet éclatement est \(U \cup V\)-admissible car \(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})| = |X| \setminus |U| \cup |V|\). Nous allons montrer que \(X'\) est une réunion disjointe de sous-espaces ouverts \(X' = X'_1 \amalg X'_2\), comme dans l’énoncé du lemme.

Comme \(|V(\mathcal{I} + \mathcal{J})|\) est le complémentaire de \(|U \cup V|\), on en déduit que \(V \cup U\) est schématiquement dense dans \(X'\) ; voir les lemmes 085T et 083S. Ainsi, si une telle décomposition \(X' = X'_1 \amalg X'_2\) en sous-espaces à la fois ouverts et fermés existe, \(X'_1\) est l’adhérence schématique de \(U\) dans \(X'\), et, de même, \(X'_2\) est l’adhérence schématique de \(V\) dans \(X'\). Comme \(U \to X'\) et \(V \to X'\) sont quasi-compacts, la formation des adhérences schématiques commute à la localisation étale (Morphismes d’espaces, lemme 082Z). Pour vérifier l’existence de \(X'_1\) et \(X'_2\), on peut donc travailler localement pour la topologie étale sur \(X\). On se ramène ainsi au cas des schémas, traité dans la démonstration de Diviseurs, lemme 080P.