Discriminants et différentes

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions la différente et le discriminant des morphismes localement quasi-finis de schémas. On pourra consulter [Kunz] pour une partie de ces résultats.

Étant donné un morphisme quasi-fini \(f : Y \to X\) de schémas noethériens, on dispose d’un module dualisant relatif \(\omega_{Y/X}\). Dans la section 0BUK, nous construisons ce module directement, à l’aide du théorème principal de Zariski et de méthodes de localisation étale. Sa propriété essentielle est la suivante : étant donné un diagramme \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] où \(g : X' \to X\) est plat, \(Y' \subset X' \times_X Y\) est ouvert et \(f' : Y' \to X'\) est fini, il existe un isomorphisme canonique \[f'_*(g')^*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_{X'})\] de faisceaux de \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-modules. Dans la section 0BSY, nous montrons que, si \(f\) est plat, il existe une section globale canonique \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\) telle que, pour tout diagramme commutatif comme ci-dessus, l’isomorphisme envoie \((g')^*\tau_{Y/X}\) sur l’homomorphisme trace de la section 0BVH associée au morphisme fini localement libre \(f'\). Dans la section 0BTC, nous définissons la différente d’un morphisme plat quasi-fini de schémas noethériens comme l’annulateur du conoyau de \(\tau_{Y/X} : \mathcal{O}_X \to \omega_{Y/X}\).

L’objectif principal de ce chapitre est de montrer que, pour \(f\) quasi-fini syntomique¹, la différente coïncide avec la différente de Kähler. La différente de Kähler est l’idéal de Fitting d’ordre zéro de \(\Omega_{Y/X}\), voir la section 0BVV. Cette égalité n’est pas évidente ; nous utilisons un argument élégant dû à Tate, voir la section 0BWB. Nous étudions également, chemin faisant, la différente de Noether et la différente de Dedekind.

Ce n’est qu’à la fin de ce chapitre, voir les sections 0DWM et 0C14, que nous établissons le lien avec les résultats plus avancés sur la dualité des schémas.

Modules dualisants des homomorphismes quasi-finis d’anneaux

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens. D’après le théorème principal de Zariski (Algèbre, lemme 00QB), il existe une factorisation \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(B' \to B\) induit une immersion ouverte des spectres. On pose [0BSZ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \end{equation}\] dans cette situation. On peut considérer ce module comme une sorte de module dualisant relatif, voir les lemmes 0BUL et 0C0I. Dans cette section, nous montrerons par des méthodes élémentaires d’algèbre commutative que \(\omega_{B/A}\) est indépendant du choix de la factorisation et que la formation de \(\omega_{B/A}\) commute au changement de base plat. Pour établir l’indépendance à l’égard de la factorisation, nous comparons deux factorisations données.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux. Étant donné deux factorisations \(A \to B' \to B\) et \(A \to B'' \to B\) où \(A \to B'\) et \(A \to B''\) sont finis et \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) et \(\Spec(B) \to \Spec(B'')\) sont des immersions ouvertes, il existe une \(A\)-sous-algèbre \(B''' \subset B\) finie sur \(A\) telle que \(\Spec(B) \to \Spec(B''')\) soit une immersion ouverte et que \(B' \to B\) et \(B'' \to B\) se factorisent par \(B'''\).

Démonstration

Soit \(B''' \subset B\) la \(A\)-sous-algèbre engendrée par les images de \(B' \to B\) et \(B'' \to B\). Comme \(B'\) et \(B''\) sont chacun engendrés par un nombre fini d’éléments entiers sur \(A\), on voit que \(B'''\) est engendrée par un nombre fini d’éléments entiers sur \(A\), et l’on en déduit que \(B'''\) est finie sur \(A\) (Algèbre, lemme 02JJ). Considérons les applications \[B = B' \otimes_{B'} B \to B''' \otimes_{B'} B \to B \otimes_{B'} B = B\] La dernière égalité tient au fait que \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est une immersion ouverte (donc un monomorphisme). La seconde flèche est injective puisque \(B' \to B\) est plat. Les deux flèches sont donc des isomorphismes. Cela signifie que \[\xymatrix{ \Spec(B''') \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[l] \\ \Spec(B') & \Spec(B) \ar[l] }\] est cartésien. Comme le changement de base d’une immersion ouverte est une immersion ouverte, on conclut.

Lemme

Le module (0BSZ) est bien défini, c’est-à-dire indépendant du choix de la factorisation.

Démonstration

Soient \(B', B'', B'''\) comme dans le lemme 0BT0. On obtient une application canonique \[\omega''' = \Hom_A(B''', A) \otimes_{B'''} B \longrightarrow \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B = \omega'\] et une application analogue faisant intervenir \(B''\). Il suffit de montrer que ces applications sont des isomorphismes. Soit \(g \in B'\) un élément tel que \(B'_g \to B_g\) soit un isomorphisme, de sorte que \(B'_g \to (B''')_g \to B_g\) soient des isomorphismes. Il suffit de montrer que \((\omega''')_g \to \omega'_g\) est un isomorphisme. Le noyau et le conoyau de l’homomorphisme d’anneaux \(B' \to B'''\) sont des \(A\)-modules de type fini et de torsion par rapport aux puissances de \(g\). Ils sont donc annulés par une puissance de \(g\). Le résultat s’en déduit aisément.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens.

1. Si \(A \to B\) se factorise en \(A \to A_f \to B\) pour un \(f \in A\), alors \(\omega_{B/A} = \omega_{B/A_f}\).

2. Si \(g \in B\), alors \((\omega_{B/A})_g = \omega_{B_g/A}\).

3. Si \(f \in A\), alors \(\omega_{B_f/A_f} = (\omega_{B/A})_f\).

Démonstration

Soit \(A \to B' \to B\) une factorisation où \(A \to B'\) est fini et \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est une immersion ouverte. Dans le cas (1), on peut utiliser la factorisation \(A_f \to B'_f \to B\) pour calculer \(\omega_{B/A_f}\) et appliquer Algèbre, lemme 0583. Dans le cas (2), on utilise la factorisation \(A \to B' \to B_g\) pour obtenir le résultat. L’assertion (3) résulte de (1) et (2).

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens, soit \(A \to A_1\) un homomorphisme quelconque d’anneaux noethériens, et posons \(B_1 = B \otimes_A A_1\). On obtient un diagramme cocartésien \[\xymatrix{ B \ar[r] & B_1 \\ A \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[u] }\] Remarquons que \(A_1 \to B_1\) est également quasi-fini (Algèbre, lemme 00PP). Dans cette situation, nous allons définir une application canonique \(B\)-linéaire de changement de base [0BVB]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \longrightarrow \omega_{B_1/A_1} \end{equation}\] À cet effet, on choisit une factorisation \(A \to B' \to B\) comme dans la construction de \(\omega_{B/A}\). Alors \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\) est fini sur \(A_1\) et l’on peut utiliser la factorisation \(A_1 \to B'_1 \to B_1\) pour construire \(\omega_{B_1/A_1}\). Il s’agit donc de construire une application \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \longrightarrow \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1) \otimes_{B'_1} B_1\] Il suffit ainsi de construire une application \(B'\)-linéaire \(\Hom_A(B', A) \to \Hom_{A_1}(B' \otimes_A A_1, A_1)\), que l’on notera \(\varphi \mapsto \varphi_1\). Étant donné une application \(A\)-linéaire \(\varphi : B' \to A\), on prend pour \(\varphi_1\) l’application définie par \(\varphi_1(b' \otimes a_1) = \varphi(b')a_1\). Elle est manifestement \(A_1\)-linéaire, ce qui achève la construction.

Lemme

L’application de changement de base (0BVB) est indépendante du choix de la factorisation \(A \to B' \to B\). Étant donné des homomorphismes d’anneaux \(A \to A_1 \to A_2\), la composée des applications de changement de base pour \(A \to A_1\) et \(A_1 \to A_2\) est l’application de changement de base pour \(A \to A_2\).

Démonstration

Omise. Indication : raisonner exactement comme dans le lemme 0BT1, en utilisant le lemme 0BT0.

Lemme

Si \(A \to A_1\) est plat, alors l’application de changement de base (0BVB) induit un isomorphisme \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\).

Démonstration

Supposons \(A \to A_1\) plat. Par construction de \(\omega_{B/A}\), on peut supposer que \(A \to B\) est fini. Alors \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) et \(\omega_{B_1/A_1} = \Hom_{A_1}(B_1, A_1)\). Puisque \(B_1 = B \otimes_A A_1\), le résultat découle de Compléments d’algèbre, lemme 087R.

Lemme

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes quasi-finis d’anneaux noethériens. Il existe une application canonique \(\omega_{B/A} \otimes_B \omega_{C/B} \to \omega_{C/A}\).

Démonstration

Choisissons \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est une immersion ouverte. Alors \(B' \to C\) est également quasi-fini. Choisissons \(B' \to C' \to C\) où \(B' \to C'\) est fini et \(\Spec(C) \to \Spec(C')\) est une immersion ouverte. La source de la flèche est alors \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B \otimes_B \Hom_B(B \otimes_{B'} C', B) \otimes_{B \otimes_{B'} C'} C\] qui est égale à \[\Hom_A(B', A) \otimes_{B'} \Hom_{B'}(C', B) \otimes_{C'} C\] Ce module est bien muni d’une application canonique vers \(\Hom_A(C', A) \otimes_{C'} C = \omega_{C/A}\), provenant de la composition \(\Hom_A(B', A) \times \Hom_{B'}(C', B) \to \Hom_A(C', A)\).

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to C\) des homomorphismes quasi-finis d’anneaux noethériens. Alors \(\omega_{B \times C/A} = \omega_{B/A} \times \omega_{C/A}\) comme modules sur \(B \times C\).

Démonstration

Choisissons des factorisations \(A \to B' \to B\) et \(A \to C' \to C\) telles que \(A \to B'\) et \(A \to C'\) soient finis et que \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) et \(\Spec(C) \to \Spec(C')\) soient des immersions ouvertes. Alors \(A \to B' \times C' \to B \times C\) est une factorisation analogue. Le calcul de \(\omega_{B \times C/A}\) à l’aide de cette factorisation donne le lemme.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens. Alors \(\text{Ass}_B(\omega_{B/A})\) est l’ensemble des idéaux premiers de \(B\) au-dessus d’idéaux premiers associés de \(A\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(B' \to B\) induit une immersion ouverte des spectres. Comme \(\omega_{B/A} = \omega_{B'/A} \otimes_{B'} B\), il suffit de démontrer l’assertion pour \(\omega_{B'/A}\). On peut donc supposer \(A \to B\) fini.

Supposons \(\mathfrak p \in \text{Ass}(A)\) et soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak p\). Soit \(x \in A\) un élément dont l’annulateur est \(\mathfrak p\). Choisissons une application \(\kappa(\mathfrak p)\)-linéaire non nulle \(\lambda : \kappa(\mathfrak q) \to \kappa(\mathfrak p)\). Puisque \(A/\mathfrak p \subset B/\mathfrak q\) est une extension finie d’anneaux, il existe \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(f\lambda\) envoie \(B/\mathfrak q\) dans \(A/\mathfrak p\). On obtient donc une application \(A\)-linéaire non nulle \[B \to B/\mathfrak q \to A/\mathfrak p \to A,\quad b \mapsto f\lambda(b)x\] Un calcul immédiat montre que cet élément de \(\omega_{B/A}\) a pour annulateur \(\mathfrak q\), d’où \(\mathfrak q \in \text{Ass}(\omega_{B/A})\).

Réciproquement, supposons que \(\mathfrak q \subset B\) soit un idéal premier au-dessus d’un idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) qui n’est pas associé à \(A\). Il faut montrer que \(\mathfrak q \not \in \text{Ass}_B(\omega_{B/A})\). En remplaçant \(A\) par \(A_\mathfrak p\) et \(B\) par \(B_\mathfrak p\), on peut supposer que \(\mathfrak p\) est un idéal maximal de \(A\). Ceci est permis par le lemme 0BT3 et Algèbre, lemme 05BZ. Il existe alors \(f \in \mathfrak m\) qui est un non-diviseur de zéro de \(A\). Cet élément \(f\) agit donc injectivement sur \(\omega_{B/A}\), et \(\mathfrak q\) n’est donc pas un idéal premier associé à ce module.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Alors \(\omega_{B/A}\) est un \(A\)-module plat.

Démonstration

Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\). Nous allons montrer que la localisation \(\omega_{B/A, \mathfrak q}\) est plate sur \(A_\mathfrak p\). Cela suffit d’après Algèbre, lemme 00HT. D’après Algèbre, lemme 00UJ, on peut trouver un homomorphisme étale d’anneaux \(A \to A'\) et un idéal premier \(\mathfrak p' \subset A'\) au-dessus de \(\mathfrak p\) tels que \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\) et que \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] avec \(A' \to C\) fini, et tels que l’unique idéal premier \(\mathfrak q'\) de \(B \otimes_A A'\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et de \(\mathfrak p'\) corresponde à un idéal premier de \(C\). D’après le lemme 0BT3 et Algèbre, lemme 00MQ, il suffit de montrer que \(\omega_{B'/A', \mathfrak q'}\) est plat sur \(A'_{\mathfrak p'}\). Puisque \(\omega_{B'/A'} = \omega_{C/A'} \times \omega_{D/A'}\) d’après le lemme 0BT5, on est ramené au cas où \(B\) est fini plat sur \(A\). Dans ce cas, \(B\) est un \(A\)-module fini localement libre et \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) est le \(A\)-module dual, fini localement libre.

Lemme

Si \(A \to B\) est plat, l’application de changement de base (0BVB) induit un isomorphisme \(\omega_{B/A} \otimes_B B_1 \to \omega_{B_1/A_1}\).

Démonstration

Si \(A \to B\) est fini plat, \(B\) est un \(A\)-module fini localement libre. Dans ce cas, \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) est le \(A\)-module dual, fini localement libre, et sa formation commute à tout changement de base, ce qui démontre le lemme dans ce cas. Dans le paragraphe suivant, nous ramenons le cas général (quasi-fini plat) au cas fini plat que l’on vient de traiter.

Soit \(\mathfrak q_1 \subset B_1\) un idéal premier. Nous allons montrer que la l’application localisée en \(\mathfrak q_1\) est un isomorphisme, ce qui suffit d’après Algèbre, lemme 00HN. Soient \(\mathfrak q \subset B\) et \(\mathfrak p \subset A\) les idéaux premiers au-dessous de \(\mathfrak q_1\). D’après Algèbre, lemme 00UJ, on peut trouver un homomorphisme étale d’anneaux \(A \to A'\) et un idéal premier \(\mathfrak p' \subset A'\) au-dessus de \(\mathfrak p\) tels que \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\) et que \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] avec \(A' \to C\) fini, et tels que l’unique idéal premier \(\mathfrak q'\) de \(B \otimes_A A'\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et de \(\mathfrak p'\) corresponde à un idéal premier de \(C\). Posons \(A'_1 = A' \otimes_A A_1\) et considérons les applications de changement de base (0BVB) pour les homomorphismes d’anneaux \(A \to A' \to A'_1\) et \(A \to A_1 \to A'_1\), dans le diagramme \[\xymatrix{ \omega_{B'/A'} \otimes_{B'} B'_1 \ar[r] & \omega_{B'_1/A'_1} \\ \omega_{B/A} \otimes_B B'_1 \ar[r] \ar[u] & \omega_{B_1/A_1} \otimes_{B_1} B'_1 \ar[u] }\] où \(B' = B \otimes_A A'\), \(B_1 = B \otimes_A A_1\), et \(B_1' = B \otimes_A (A' \otimes_A A_1)\). D’après le lemme 0BVC, le diagramme commute. D’après le lemme 0BT3, les flèches verticales sont des isomorphismes. Comme \(B_1 \to B'_1\) est étale, donc plat, il suffit de montrer que la flèche horizontale supérieure est un isomorphisme après localisation en un idéal premier \(\mathfrak q'_1\) de \(B'_1\) au-dessus de \(\mathfrak q\) (un tel idéal premier existe ; appliquer Algèbre, lemme 00HR). On peut donc supposer que \(B = C \times D\), avec \(A \to C\) fini et \(\mathfrak q\) correspondant à un idéal premier de \(C\). Dans ce cas, le module dualisant \(\omega_{B/A}\) se décompose de façon analogue (lemme 0BT5), ce qui ramène la question au cas fini plat \(A \to C\) traité ci-dessus.

Remarque

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme localement quasi-fini de schémas localement noethériens. Il résulte immédiatement du lemme 0BT2 qu’il existe un unique \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent \(\omega_{Y/X}\) sur \(Y\) tel que, pour tout couple d’ouverts affines \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\) vérifiant \(f(V) \subset U\), on ait un isomorphisme canonique \[H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\] et que ces isomorphismes soient compatibles aux applications de restriction.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens. Soit \(\omega_{B/A}^\bullet \in D(B)\) le complexe dualisant relatif algébrique étudié dans Complexes dualisants, section 0E9M. Il existe alors un isomorphisme (non unique) \(\omega_{B/A} = H^0(\omega_{B/A}^\bullet)\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(\Spec(B') \to \Spec(B)\) est une immersion ouverte. Alors \(\omega_{B/A}^\bullet = \omega_{B'/A}^\bullet \otimes_B^\mathbf{L} B'\) d’après Complexes dualisants, lemmes 0BZT et 0C0H, et la définition de \(\omega_{B/A}^\bullet\). Il suffit donc de montrer qu’il existe un isomorphisme lorsque \(A \to B\) est fini. Dans ce cas, on peut utiliser Complexes dualisants, lemme 0C0G, pour voir que \(\omega_{B/A}^\bullet = R\Hom(B, A)\), d’où \(H^0(\omega^\bullet_{B/A}) = \Hom_A(B, A)\), ce qu’il fallait établir.

Discriminant d’un morphisme fini localement libre

Soient \(X\) un schéma et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module fini localement libre. Il existe alors un homomorphisme canonique, l’homomorphisme trace, \[\text{Trace} : \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] Voir Exercices, exercice 02DU. Cet homomorphisme vérifie la propriété suivante : \(\text{Trace}(\text{id})\) est la fonction localement constante de \(\mathcal{O}_X\) correspondant au rang de \(\mathcal{F}\).

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de schémas. Il existe un homomorphisme trace de \(\pi\) canonique, qui est \(\mathcal{O}_Y\)-linéaire \[\text{Trace}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] envoyant une section locale \(f\) de \(\pi_*\mathcal{O}_X\) sur la trace de la multiplication par \(f\) sur \(\pi_*\mathcal{O}_X\). Sur les ouverts affines, on retrouve la construction de Exercices, exercice 02DV. La composée \[\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Trace}_\pi} \mathcal{O}_Y\] est la multiplication par le degré de \(\pi\) (qui est une fonction localement constante sur \(Y\)). Par analogie avec Corps, section 0BIE, on peut définir la forme trace \[Q_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \times \pi_*\mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] par \((f, g) \mapsto \text{Trace}_\pi(fg)\). On peut considérer \(Q_\pi\) comme une application linéaire \(\pi_*\mathcal{O}_X \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\pi_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y)\) entre modules localement libres de même rang, et l’on obtient ainsi un déterminant \[\det(Q_\pi) : \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X) \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -1}\] ou, en d’autres termes, une section globale \[\det(Q_\pi) \in \Gamma(Y, \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_X)^{\otimes -2})\] Le discriminant de \(\pi\) est, par définition, le sous-schéma fermé \(D_\pi \subset Y\) défini par cette section globale. Il est clair que \(D_\pi\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(Y\).

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de schémas. Alors \(\pi\) est étale si et seulement si son discriminant est vide.

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 02GM, il suffit de vérifier que les fibres de \(\pi\) sont étales. Puisque la construction de la forme trace commute au changement de base, on est ramené à la question suivante : soient \(k\) un corps et \(A\) une \(k\)-algèbre de dimension finie. Montrer que \(A\) est étale sur \(k\) si et seulement si la forme trace \(Q_{A/k} : A \times A \to k\), \((a, b) \mapsto \text{Trace}_{A/k}(ab)\), est non dégénérée.

Supposons \(Q_{A/k}\) non dégénérée. Si \(a \in A\) est nilpotent, alors \(ab\) est nilpotent pour tout \(b \in A\), et \(Q_{A/k}(a, -)\) est donc identiquement nulle. Ainsi \(A\) est réduit. On peut alors écrire \(A = K_1 \times \ldots \times K_n\) comme un produit où chaque \(K_i\) est un corps (voir Algèbre, lemmes 00J6, 00JB et 00EU). Dans ce cas, l’espace quadratique \((A, Q_{A/k})\) est la somme directe orthogonale des espaces \((K_i, Q_{K_i/k})\). Il résulte de Corps, lemme 0BIL, que chaque \(K_i\) est séparable sur \(k\). Cela signifie que \(A\) est étale sur \(k\), d’après Algèbre, lemme 00U3. On démontre la réciproque en parcourant l’argument en sens inverse.

Traces des homomorphismes plats quasi-finis d’anneaux

La trace dont il est question dans le titre de cette section est de nature tout autre que celle étudiée dans Dualité des schémas, section 0AWG. Il s’agit ici de la trace étudiée dans Corps, section 0BIE, et généralisée dans Exercices, exercices 02DU et 02DV.

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fini plat d’anneaux noethériens. Alors \(B\) est un \(A\)-module fini plat, donc fini localement libre (Algèbre, lemme 00NX). Étant donné \(b \in B\), on peut considérer la trace \(\text{Trace}_{B/A}(b)\) de l’application \(A\)-linéaire \(B \to B\) donnée par la multiplication par \(b\) sur \(B\). D’après les références ci-dessus, cela définit un homomorphisme \(A\)-linéaire \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\). Puisque \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\), car \(A \to B\) est fini, on voit que \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\).

Pour un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux quelconque, on définit la notion de trace comme suit.

Définition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. L’élément trace est l’unique² élément \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\) ayant la propriété suivante : pour toute \(A\)-algèbre noethérienne \(A_1\) telle que \(B_1 = B \otimes_A A_1\) soit muni d’une décomposition en produit \(B_1 = C \times D\) avec \(A_1 \to C\) fini, l’image de \(\tau_{B/A}\) dans \(\omega_{C/A_1}\) est \(\text{Trace}_{C/A_1}\). On utilise ici l’application de changement de base (0BVB) et le lemme 0BT5 pour obtenir \(\omega_{B/A} \to \omega_{B_1/A_1} \to \omega_{C/A_1}\).

Nous montrons d’abord l’unicité des éléments trace, puis leur existence.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Il existe alors au plus un élément trace dans \(\omega_{B/A}\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). D’après Algèbre, lemme 00UJ, on peut trouver un homomorphisme étale d’anneaux \(A \to A_1\) et un idéal premier \(\mathfrak p_1 \subset A_1\) au-dessus de \(\mathfrak p\) tels que \(\kappa(\mathfrak p_1) = \kappa(\mathfrak p)\) et que \[B_1 = B \otimes_A A_1 = C \times D\] avec \(A_1 \to C\) fini, et tels que l’unique idéal premier \(\mathfrak q_1\) de \(B \otimes_A A_1\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et de \(\mathfrak p_1\) corresponde à un idéal premier de \(C\). Remarquons que \(\omega_{C/A_1} = \omega_{B/A} \otimes_B C\) (combiner les lemmes 0BT3 et 0BT5). Puisque la collection des homomorphismes d’anneaux \(B \to C\) ainsi obtenus forme une famille conjointement injective d’homomorphismes plats et que l’image de \(\tau_{B/A}\) dans \(\omega_{C/A_1}\) est prescrite, l’unicité en résulte.

Vérifions la cohérence de cette définition.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fini plat d’anneaux noethériens. Alors \(\text{Trace}_{B/A} \in \omega_{B/A}\) est l’élément trace.

Démonstration

Supposons donnés \(A \to A_1\), avec \(A_1\) noethérien, et une décomposition en produit \(B \otimes_A A_1 = C \times D\) avec \(A_1 \to C\) fini. Dans ce cas, \(A_1 \to D\) est évidemment fini lui aussi. Posons \(B_1 = B \otimes_A A_1\). Puisque la construction des traces commute au changement de base, on voit que \(\text{Trace}_{B/A}\) s’envoie sur \(\text{Trace}_{B_1/A_1}\). Il suffit donc de remarquer que \(\text{Trace}_{B_1/A_1} = (\text{Trace}_{C/A_1}, \text{Trace}_{D/A_1})\) par l’isomorphisme \(\omega_{B_1/A_1} = \omega_{C/A_1} \times \omega_{D/A_1}\) du lemme 0BT5.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Soit \(\tau \in \omega_{B/A}\) un élément trace.

1. Si \(A \to A_1\) est un homomorphisme où \(A_1\) est noethérien, alors, en posant \(B_1 = A_1 \otimes_A B\), l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{B_1/A_1}\) est un élément trace.

2. Si \(A = R_f\) pour un anneau \(R\) et un \(f \in R\), alors \(\tau\) est un élément trace dans \(\omega_{B/R}\).

3. Si \(g \in B\), l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{B_g/A}\) est un élément trace.

4. Si \(B = B_1 \times B_2\), alors \(\tau\) s’envoie sur un élément trace dans chacun des modules \(\omega_{B_1/A}\) et \(\omega_{B_2/A}\).

Démonstration

L’assertion (1) est une conséquence formelle de la définition.

L’assertion (2) a un sens car \(\omega_{B/R} = \omega_{B/A}\) d’après le lemme 0BT2. Notons \(\tau'\) l’élément \(\tau\) considéré dans \(\omega_{B/R}\). Pour démontrer (2), supposons donnés \(R \to R_1\), avec \(R_1\) noethérien, et une décomposition en produit \(B \otimes_R R_1 = C \times D\) où \(R_1 \to C\) est fini. En posant \(A_1 = (R_1)_f\), on a \(B \otimes_A A_1 = C \times D\). Puisque \(R_1 \to C\) est fini, \(A_1 \to C\) l’est a fortiori. On peut donc utiliser la propriété qui définit \(\tau\) pour obtenir la propriété correspondante de \(\tau'\).

L’assertion (3) a un sens car \(\omega_{B_g/A} = (\omega_{B/A})_g\) d’après le lemme 0BT2. La démonstration est analogue à celle de (2). Supposons donnés \(A \to A_1\), avec \(A_1\) noethérien, et une décomposition en produit \(B_g \otimes_A A_1 = C \times D\) où \(A_1 \to C\) est fini. Posons \(B_1 = B \otimes_A A_1\). Alors \(\Spec(C) \to \Spec(B_1)\) est une immersion ouverte puisque \(B_g \otimes_A A_1 = (B_1)_g\), et son image est fermée puisque \(B_1 \to C\) est fini (car \(A_1 \to C\) est fini). On a donc \(B_1 = C \times D_1\) et \(D = (D_1)_g\). On peut alors utiliser la propriété qui définit \(\tau\) pour obtenir la propriété correspondante de l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{B_g/A}\).

L’assertion (4) a un sens car \(\omega_{B/A} = \omega_{B_1/A} \times \omega_{B_2/A}\) d’après le lemme 0BT5. Supposons donnés \(A \to A'\), avec \(A'\) noethérien, et une décomposition en produit \(B \otimes_A A' = C \times D\) où \(A' \to C\) est fini. On peut manifestement raffiner cette décomposition en produit en \(B \otimes_A A' = C_1 \times C_2 \times D_1 \times D_2\), avec \(A' \to C_i\) fini, de sorte que \(B_i \otimes_A A' = C_i \times D_i\). On peut alors utiliser la propriété qui définit \(\tau\) pour obtenir la propriété correspondante de l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{B_i/A}\). On utilise ici le fait évident que \(\text{Trace}_{C/A'} = (\text{Trace}_{C_1/A'}, \text{Trace}_{C_2/A'})\) pour la décomposition \(\omega_{C/A'} = \omega_{C_1/A'} \times \omega_{C_2/A'}\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Soient \(g_1, \ldots, g_m \in B\) des éléments engendrant l’idéal unité. Soit \(\tau \in \omega_{B/A}\) un élément dont l’image dans \(\omega_{B_{g_i}/A}\) est un élément trace pour \(A \to B_{g_i}\). Alors \(\tau\) est un élément trace.

Démonstration

Supposons donnés \(A \to A_1\), avec \(A_1\) noethérien, et une décomposition en produit \(B \otimes_A A_1 = C \times D\) où \(A_1 \to C\) est fini. Il faut montrer que l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{C/A_1}\) est \(\text{Trace}_{C/A_1}\). Remarquons que \(g_1, \ldots, g_m\) engendrent l’idéal unité de \(B_1 = B \otimes_A A_1\) et que \(\tau\) s’envoie sur un élément trace dans \(\omega_{(B_1)_{g_i}/A_1}\) d’après le lemme 0BT9. On peut donc remplacer \(A\) par \(A_1\) et \(B\) par \(B_1\) pour se placer dans la situation décrite au paragraphe suivant.

On suppose ici que \(B = C \times D\) avec \(A \to C\) fini. Soit \(\tau_C\) l’image de \(\tau\) dans \(\omega_{C/A}\). Il faut démontrer que \(\tau_C = \text{Trace}_{C/A}\) dans \(\omega_{C/A}\). La compatibilité des éléments trace aux produits (lemme 0BT9) montre que \(\tau_C\) s’envoie sur un élément trace dans \(\omega_{C_{g_i}/A}\). Ainsi, en remplaçant \(B\) par \(C\), on peut supposer \(A \to B\) fini plat.

Supposons \(A \to B\) fini plat. Dans ce cas, \(\text{Trace}_{B/A}\) est un élément trace d’après le lemme 0BT8. Par conséquent, \(\text{Trace}_{B/A}\) s’envoie sur un élément trace dans \(\omega_{B_{g_i}/A}\) d’après le lemme 0BT9. L’unicité des éléments trace (lemme 0BT7) montre que \(\text{Trace}_{B/A}\) et \(\tau\) ont les mêmes images dans \(\omega_{B_{g_i}/A} = (\omega_{B/A})_{g_i}\). Comme \(g_1, \ldots, g_m\) engendrent l’idéal unité de \(B\), l’application \(\omega_{B/A} \to \prod \omega_{B_{g_i}/A}\) est injective, et l’on conclut que \(\tau_C = \text{Trace}_{B/A}\), ce qu’il fallait établir.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Il existe un élément trace \(\tau \in \omega_{B/A}\).

Démonstration

Choisissons une factorisation \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est une immersion ouverte. Soient \(g_1, \ldots, g_n \in B'\) des éléments tels que \(\Spec(B) = \bigcup D(g_i)\) comme ouverts de \(\Spec(B')\). Supposons que l’on puisse montrer l’existence d’éléments trace \(\tau_i\) pour les homomorphismes quasi-finis plats d’anneaux \(A \to B_{g_i}\). Alors, pour tous \(i, j\), les éléments \(\tau_i\) et \(\tau_j\) s’envoient sur des éléments trace de \(\omega_{B_{g_ig_j}/A}\) d’après le lemme 0BT9. Par unicité des éléments trace (lemme 0BT7), ils ont la même image. La condition de faisceau pour le module quasi-cohérent associé à \(\omega_{B/A}\) (voir Algèbre, lemme 00EK) fournit donc un élément \(\tau \in \omega_{B/A}\). Alors \(\tau\) est un élément trace d’après le lemme 0BTA. On est ainsi ramené au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(A \to B'\) fini et \(g \in B'\) tel que \(B = B'_g\) soit plat sur \(A\). Il s’agit de construire un élément trace dans \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\). Choisissons une résolution \(F_1 \to F_0 \to B' \to 0\) de \(B'\) par des \(A\)-modules libres de type fini \(F_0\) et \(F_1\). On a alors une suite exacte \[0 \to \Hom_A(B', A) \to F_0^\vee \to F_1^\vee\] où \(F_i^\vee = \Hom_A(F_i, A)\) est le module dual, libre de type fini. De même, on a la suite exacte \[0 \to \Hom_A(B', B') \to F_0^\vee \otimes_A B' \to F_1^\vee \otimes_A B'\] L’idée de la construction de \(\tau\) est d’utiliser le diagramme \[B' \xrightarrow{\mu} \Hom_A(B', B') \leftarrow \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \xrightarrow{ev} A\] où la première flèche envoie \(b' \in B'\) sur l’opérateur \(A\)-linéaire de multiplication par \(b'\), et la dernière flèche est l’application d’évaluation. La difficulté est que la flèche du milieu, qui envoie \(\lambda' \otimes b'\) sur l’application \(b'' \mapsto \lambda'(b'')b'\), n’est pas un isomorphisme. Si \(B'\) est plat sur \(A\), les suites exactes ci-dessus montrent que cette flèche est un isomorphisme, et la composée de gauche à droite est la trace usuelle \(\text{Trace}_{B'/A}\). Dans le cas général, on considère le diagramme \[\xymatrix{ & \Hom_A(B', A) \otimes_A B' \ar[r] \ar[d] & \Hom_A(B', A) \otimes_A B'_g \ar[d] \\ B' \ar[r]_-\mu \ar@{..>}[rru] \ar@{..>}[ru]^\psi & \Hom_A(B', B') \ar[r] & \Ker(F_0^\vee \otimes_A B'_g \to F_1^\vee \otimes_A B'_g) }\] La platitude de \(A \to B'_g\) montre que la flèche verticale de droite est un isomorphisme. On obtient donc la flèche pointillée sans étiquette. Puisque \(B'_g = \colim \frac{1}{g^n}B'\), que les colimites commutent aux produits tensoriels, et que \(B'\) est un \(A\)-module de présentation finie, on peut trouver \(n \geq 0\) et une application \(B'\)-linéaire (pour la structure de \(B'\)-module à droite) \(\psi : B' \to \Hom_A(B', A) \otimes_A B'\) dont la composée avec la flèche verticale de gauche est \(g^n\mu\). En composant avec \(ev\), on obtient un élément \(ev \circ \psi \in \Hom_A(B', A)\). On pose alors \[\tau = (ev \circ \psi) \otimes g^{-n} \in \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B'_g = \omega_{B'_g/A} = \omega_{B/A}\] Nous omettons la vérification immédiate que cet élément ne dépend pas du choix de \(n\) et de \(\psi\) ci-dessus.

Montrons que \(\tau\), construit au paragraphe précédent, possède la propriété voulue dans un cas particulier. Supposons \(B' = C' \times D'\) et \(g = (f, h)\), où \(A \to C'\) est plat, \(D'_h\) est plat, et \(f\) est inversible dans \(C'\). Il faut montrer que \(\tau\) s’envoie sur \(\text{Trace}_{C'/A}\) dans \(\omega_{C'/A}\). Dans ce cas, on choisit d’abord \(n_D\) et \(\psi_D : D' \to \Hom_A(D', A) \otimes_A D'\) comme ci-dessus pour le couple \((D', h)\), et l’on peut prendre pour \(\psi_C : C' \to \Hom_A(C', A) \otimes_A C' = \Hom_A(C', C')\) l’application envoyant \(c' \in C'\) sur la multiplication par \(c'\). On prend alors \(n = n_D\) et \(\psi = (f^{n_D} \psi_C, \psi_D)\), et la compatibilité voulue est claire car \(\text{Trace}_{C'/A} = ev \circ \psi_C\), comme on l’a remarqué ci-dessus.

Pour établir la propriété voulue dans le cas général, supposons donnés \(A \to A_1\), avec \(A_1\) noethérien, et une décomposition en produit \(B'_g \otimes_A A_1 = C \times D\) où \(A_1 \to C\) est fini. Posons \(B'_1 = B' \otimes_A A_1\). Alors \(\Spec(C) \to \Spec(B'_1)\) est une immersion ouverte puisque \(B'_g \otimes_A A_1 = (B'_1)_g\), et son image est fermée puisque \(B'_1 \to C\) est fini (car \(A_1 \to C\) est fini). Ainsi \(B'_1 = C \times D'\) et \(D'_g = D\). On en déduit que \(B'_1 = C \times D'\) et \(g\), sur \(A_1\), sont dans la situation du paragraphe précédent. Puisque la formation du diagramme affiché ci-dessus commute au changement de base, la formation de \(\tau\) commute au changement de base \(A \to A_1\) (détails omis ; utiliser la résolution \(F_1 \otimes_A A_1 \to F_0 \otimes_A A_1 \to B'_1 \to 0\) pour le voir). La compatibilité voulue découle donc du résultat du paragraphe précédent.

Remarque

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat localement quasi-fini de schémas localement noethériens. Soit \(\omega_{Y/X}\) comme dans la remarque 0BVG. L’unicité, l’existence et la compatibilité à la localisation des éléments trace (lemmes 0BT7, 0BTB et 0BT9) montrent qu’il existe une section globale \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] telle que, pour tout couple d’ouverts affines \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\) vérifiant \(f(V) \subset U\), cet élément \(\tau_{Y/X}\) s’envoie sur \(\tau_{B/A}\) par l’isomorphisme canonique \(H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A}\).

Lemme

Soient \(k\) un corps et \(A\) une \(k\)-algèbre finie. Supposons \(A\) locale, de corps résiduel \(k'\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\text{Trace}_{A/k}\) est non nulle ;

2. \(\tau_{A/k} \in \omega_{A/k}\) est non nul ;

3. \(k'/k\) est séparable et \(\text{longueur}_A(A)\) est première à la caractéristique de \(k\).

Démonstration

Les conditions (1) et (2) sont équivalentes d’après le lemme 0BT8. Soit \(\mathfrak m \subset A\). Puisque \(\dim_k(A) < \infty\), il est clair que \(A\) est de longueur finie sur \(A\). Choisissons une filtration \[A = I_0 \supset \mathfrak m = I_1 \supset I_2 \supset \ldots I_n = 0\] par des idéaux tels que \(I_i/I_{i + 1} \cong k'\) comme \(A\)-modules. Voir Algèbre, lemme 00J3, qui montre également que \(n = \text{longueur}_A(A)\). Si \(a \in \mathfrak m\), alors \(aI_i \subset I_{i + 1}\), et l’on voit immédiatement que \(\text{Trace}_{A/k}(a) = 0\). Si \(a \not \in \mathfrak m\) a pour image \(\lambda \in k'\), alors on obtient \[\text{Trace}_{A/k}(a) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n - 1} \text{Trace}_k(a : I_i/I_{i - 1} \to I_i/I_{i - 1}) = n \text{Trace}_{k'/k}(\lambda)\] On achève la démonstration en appliquant Corps, lemme 0BIL.

Morphismes finis

Dans cette section, nous rassemblons quelques remarques sur les constructions des sections précédentes dans le cas des morphismes finis. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini de schémas localement noethériens. Soit \(\omega_{Y/X}\) comme dans la remarque 0BVG.

La première remarque est que \[f_*\omega_{Y/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] comme faisceaux de \(f_*\mathcal{O}_Y\)-modules. Puisque \(f\) est affine, cette formule caractérise \(\omega_{Y/X}\) de façon unique, voir Morphismes, lemme 01SB. La formule est vraie car, pour un ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\), l’image inverse \(V = f^{-1}(U)\) est le spectre d’une \(A\)-algèbre finie \(B\), d’où \[H^0(U, f_*\omega_{Y/X}) = H^0(V, \omega_{Y/X}) = \omega_{B/A} = \Hom_A(B, A) = H^0(U, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X))\] par construction. On obtient en particulier une application canonique d’évaluation \[f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] donnée par l’évaluation en \(1\) lorsque l’on considère \(f_*\omega_{Y/X}\) comme le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\).

La deuxième remarque est que l’application d’évaluation fournit des identifications canoniques \[\Hom_Y(\mathcal{F}, f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(f_*\mathcal{F}, \mathcal{G})\] fonctorielles par rapport au module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(Y\) et au module fini localement libre \(\mathcal{G}\) sur \(X\). Si \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\), cela résulte immédiatement de ce qui précède et de Algèbre, lemme 08YP. Pour \(\mathcal{G}\) quelconque, on peut utiliser le même lemme et les isomorphismes \[f_*(f^*\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{G})\] de \(f_*\mathcal{O}_Y\)-modules, où la première égalité est la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8). On peut également démontrer la formule localement sur les ouverts affines par un calcul direct.

La troisième remarque est que, si \(f\) est de plus plat, la composée \[f_*\mathcal{O}_Y \xrightarrow{f_*\tau_{Y/X}} f_*\omega_{Y/X} \longrightarrow \mathcal{O}_X\] est égale à l’homomorphisme trace \(\text{Trace}_f\) étudié dans la section 0BVH. Cela se voit immédiatement sur les ouverts affines.

La quatrième remarque est que, si \(f\) est plat et \(X\) noethérien, on obtient \[\Hom_Y(K, Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X}) = \Hom_X(Rf_*K, M)\] pour tous \(K\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) et \(M\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Cela résulte des résultats de Dualité des schémas, section 0E4H, mais on peut le démontrer directement dans ce cas, comme suit. Tout d’abord, si \(X\) est affine, l’assertion découle de Complexes dualisants, lemmes 0A70 et 0BZE³, et de Catégories dérivées de schémas, lemme 06Z0. On peut ensuite utiliser le principe de récurrence (Cohomologie des schémas, lemme 08DR) et Mayer-Vietoris (sous la forme de Cohomologie, lemme 08BW) pour achever la démonstration.

La différente de Noether

La littérature contient de nombreuses notions de différente. Nous en présentons quelques-unes dans cette section et les suivantes ; pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur à [Kunz].

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Notons \[\mu : B \otimes_A B \longrightarrow B,\quad b \otimes b' \longmapsto bb'\] l’application de multiplication. Soit \(I = \Ker(\mu)\). Il est clair que \(I\) est engendré par les éléments \(b \otimes 1 - 1 \otimes b\) pour \(b \in B\). L’annulateur \(J \subset B \otimes_A B\) de \(I\) est donc canoniquement un \(B\)-module. La différente de Noether de \(B\) sur \(A\) est l’image de \(J\) par l’application \(\mu : B \otimes_A B \to B\). De façon équivalente, la différente de Noether est l’image de l’application \[J = \Hom_{B \otimes_A B}(B, B \otimes_A B) \longrightarrow B,\quad \varphi \longmapsto \mu(\varphi(1))\] Commençons par quelques lemmes indispensables.

Lemme

Soient \(A \to B_i\), \(i = 1, 2\), des homomorphismes d’anneaux. Posons \(B = B_1 \times B_2\).

1. L’annulateur \(J\) de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) est \(J_1 \times J_2\), où \(J_i\) est l’annulateur de \(\Ker(B_i \otimes_A B_i \to B_i)\).

2. La différente de Noether \(\mathfrak{D}\) de \(B\) sur \(A\) est \(\mathfrak{D}_1 \times \mathfrak{D}_2\), où \(\mathfrak{D}_i\) est la différente de Noether de \(B_i\) sur \(A\).

Démonstration

Omise.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(A \to A'\) un homomorphisme plat d’anneaux. Posons \(B' = B \otimes_A A'\).

1. L’annulateur \(J'\) de \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\) est \(J \otimes_A A'\), où \(J\) est l’annulateur de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\).

2. La différente de Noether \(\mathfrak{D}'\) de \(B'\) sur \(A'\) est \(\mathfrak{D}B'\), où \(\mathfrak{D}\) est la différente de Noether de \(B\) sur \(A\).

Démonstration

Choisissons des générateurs \(b_1, \ldots, b_n\) de \(B\) comme \(A\)-algèbre. Alors \[J = \Ker(B \otimes_A B \xrightarrow{b_i \otimes 1 - 1 \otimes b_i} (B \otimes_A B)^{\oplus n})\] On voit donc que la formation de \(J\) commute au changement de base plat. Le résultat concernant la différente de Noether en découle immédiatement.

Lemme

Soient \(A \to B' \to B\) des homomorphismes d’anneaux, avec \(A \to B'\) de type fini et \(B' \to B\) induisant une immersion ouverte des spectres.

1. L’annulateur \(J\) de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) est \(J' \otimes_{B'} B\), où \(J'\) est l’annulateur de \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\).

2. La différente de Noether \(\mathfrak{D}\) de \(B\) sur \(A\) est \(\mathfrak{D}'B\), où \(\mathfrak{D}'\) est la différente de Noether de \(B'\) sur \(A\).

Démonstration

Posons \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\) et \(I' = \Ker(B' \otimes_A B' \to B')\). Comme \(\Spec(B) \to \Spec(B')\) est une immersion ouverte, on a \(B = (B \otimes_A B) \otimes_{B' \otimes_A B'} B'\). Il en résulte \(I = I'(B \otimes_A B)\). Puisque \(I'\) est de type fini et que \(B' \otimes_A B' \to B \otimes_A B\) est plat, on obtient \(J = J'(B \otimes_A B)\), voir Algèbre, lemme 07T8. Puisque la structure de \(B' \otimes_A B'\)-module de \(J'\) se factorise par \(B' \otimes_A B' \to B'\), on en déduit (1). L’assertion (2) est une conséquence de (1).

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens. Soit \(J\) l’annulateur de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\). Il existe un accouplement \(B\)-bilinéaire canonique [0BVQ]\[\begin{equation} \omega_{B/A} \times J \longrightarrow B \end{equation}\] défini comme suit. Choisissons une factorisation \(A \to B' \to B\) où \(A \to B'\) est fini et \(B' \to B\) induit une immersion ouverte des spectres. Soit \(J'\) l’annulateur de \(\Ker(B' \otimes_A B' \to B')\). On définit d’abord \[\Hom_A(B', A) \times J' \longrightarrow B',\quad (\lambda, \sum b_i \otimes c_i) \longmapsto \sum \lambda(b_i)c_i\] Cet accouplement est \(B'\)-bilinéaire précisément parce que, pour \(\xi \in J'\) et \(b \in B'\), on a \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\). D’après le lemme 0BVN et puisque \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\), on peut l’étendre en l’accouplement \(B\)-bilinéaire affiché ci-dessus.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme quasi-fini d’anneaux noethériens.

1. Si \(A \to A'\) est un homomorphisme plat d’anneaux noethériens, alors \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B'/A'} \times J' \ar[r] & B' }\] est commutatif, avec les notations du lemme 0BVM, les flèches horizontales étant données par (0BVQ).

2. Si \(B = B_1 \times B_2\), alors \[\xymatrix{ \omega_{B/A} \times J \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ \omega_{B_i/A} \times J_i \ar[r] & B_i }\] est commutatif pour \(i = 1, 2\), avec les notations du lemme 0BVL, les flèches horizontales étant données par (0BVQ).

Démonstration

En vertu de la construction de l’accouplement dans la remarque 0BVP, (1) et (2) se ramènent au cas où \(A \to B\) est fini. L’assertion (1) résulte alors de ce que l’application de contraction \(\Hom_A(M, A) \otimes_A M \otimes_A M \to M\), \(\lambda \otimes m \otimes m' \mapsto \lambda(m)m'\), commute au changement de base. Pour (2), utiliser le fait que \(J = J_1 \times J_2\) est contenu dans les facteurs \(B_1 \otimes_A B_1\) et \(B_2 \otimes_A B_2\) de \(B \otimes_A B\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. L’accouplement de la remarque 0BVP induit un isomorphisme \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\).

Démonstration

Montrons d’abord l’assertion lorsque \(A \to B\) est fini plat. Dans ce cas, on peut localiser sur \(A\) et supposer que \(B\) est un \(A\)-module libre de type fini. Soit \(b_1, \ldots, b_n\) une base de \(B\) comme \(A\)-module, et notons \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\) la base duale de \(\omega_{B/A}\). Remarquons que \(\sum b_i \otimes c_i \in J\) s’envoie sur l’élément de \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\) qui envoie \(b_i^\vee\) sur \(c_i\). Supposons \(\varphi : \omega_{B/A} \to B\) \(B\)-linéaire. Nous affirmons alors que \(\xi = \sum b_i \otimes \varphi(b_i^\vee)\) est un élément de \(J\). En effet, la \(B\)-linéarité de \(\varphi\) entraîne précisément que \((b \otimes 1)\xi = (1 \otimes b)\xi\) pour tout \(b \in B\). Notre application possède donc un inverse et est un isomorphisme.

Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\). Nous allons montrer que l’application localisée \[J_\mathfrak q \longrightarrow \Hom_B(\omega_B/A, B)_\mathfrak q\] est un isomorphisme. Cela suffit d’après Algèbre, lemme 00HN. D’après Algèbre, lemme 00UJ, on peut trouver un homomorphisme étale d’anneaux \(A \to A'\) et un idéal premier \(\mathfrak p' \subset A'\) au-dessus de \(\mathfrak p\) tels que \(\kappa(\mathfrak p') = \kappa(\mathfrak p)\) et que \[B' = B \otimes_A A' = C \times D\] avec \(A' \to C\) fini, et tels que l’unique idéal premier \(\mathfrak q'\) de \(B \otimes_A A'\) au-dessus de \(\mathfrak q\) et de \(\mathfrak p'\) corresponde à un idéal premier de \(C\). Soit \(J'\) l’annulateur de \(\Ker(B' \otimes_{A'} B' \to B')\). D’après les lemmes 0BT3, 0BVM et 0BVR, l’application \(J' \to \Hom_{B'}(\omega_{B'/A'}, B')\) s’obtient en appliquant le foncteur \(- \otimes_B B'\) à l’application \(J \to \Hom_B(\omega_{B/A}, B)\). Puisque \(B_\mathfrak q \to B'_{\mathfrak q'}\) est fidèlement plat, il suffit d’établir le résultat pour \((A' \to B', \mathfrak q')\). D’après les lemmes 0BT5, 0BVL et 0BVR, on est ramené au cas traité dans le premier paragraphe de la démonstration.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme plat quasi-fini d’anneaux noethériens. Le diagramme \[\xymatrix{ J \ar[rr] \ar[rd]_\mu & & \Hom_B(\omega_{B/A}, B) \ar[ld]^{\varphi \mapsto \varphi(\tau_{B/A})} \\ & B }\] commute, la flèche horizontale étant l’isomorphisme du lemme 0BVS. La différente de Noether de \(B\) sur \(A\) est donc l’image de l’application \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B) \to B\).

Démonstration

Exactement comme dans la démonstration du lemme 0BVS, on se ramène au cas d’un homomorphisme fini libre \(A \to B\). Dans ce cas, \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\). Choisissons une base \(b_1, \ldots, b_n\) de \(B\) comme \(A\)-module. Soit \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\). Alors \(\mu(\xi) = \sum b_i c_i\). D’autre part, l’image de \(\xi\) dans \(\Hom_B(\omega_{B/A}, B)\) envoie \(\text{Trace}_{B/A}\) sur \(\sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\). Il faut donc montrer que \[\sum b_ic_i = \sum \text{Trace}_{B/A}(b_i)c_i\] lorsque \(\xi = \sum b_i \otimes c_i \in J\). Écrivons \(b_i b_j = \sum_k a_{ij}^k b_k\) avec \(a_{ij}^k \in A\). Le membre de droite est alors \(\sum_{i, j} a_{ij}^j c_i\). D’autre part, \(\xi \in J\) entraîne \[(b_j \otimes 1)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i) = (1 \otimes b_j)(\sum\nolimits_i b_i \otimes c_i)\] ce qui donne \(b_j c_i = \sum_k a_{jk}^i c_k\). Le membre de gauche est donc \(\sum_{i, j} a_{ij}^i c_j\). Puisque \(a_{ij}^k = a_{ji}^k\), on a bien l’égalité.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(\mathfrak{D} \subset B\) la différente de Noether. Alors \(V(\mathfrak{D})\) est l’ensemble des idéaux premiers \(\mathfrak q \subset B\) tels que \(A \to B\) soit ramifié en \(\mathfrak q\).

Démonstration

Supposons \(A \to B\) non ramifié en \(\mathfrak q\). En remplaçant \(B\) par \(B_g\) pour un \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), on peut supposer \(A \to B\) non ramifié (Algèbre, définition 00UT et lemme 0BVN). Dans ce cas, \(\Omega_{B/A} = 0\). Ainsi, si \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\), alors \(I/I^2 = 0\) d’après Algèbre, lemme 00RW. Puisque \(A \to B\) est de type fini, \(I\) est de type fini. Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) assure donc l’existence d’un élément de la forme \(1 + i\) annulant \(I\). Il en résulte que \(\mathfrak{D} = B\).

Réciproquement, supposons \(\mathfrak{D} \not \subset \mathfrak q\). En remplaçant \(B\) par une localisation principale comme ci-dessus, on peut supposer \(\mathfrak{D} = B\). Cela signifie qu’il existe un élément de la forme \(1 + i\) dans l’annulateur de \(I\). Réciproquement, cela entraîne que \(I/I^2 = \Omega_{B/A}\) est nul, ce qui permet de conclure.

La différente de Kähler

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. La différente de Kähler est l’idéal de Fitting d’ordre zéro de \(\Omega_{B/A}\) comme \(B\)-module. On globalise cette définition comme suit.

Définition

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini. La différente de Kähler est l’idéal de Fitting d’ordre \(0\) de \(\Omega_{Y/X}\).

La différente de Kähler est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(Y\).

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] où \(f\) est localement de type fini. Soit \(R \subset Y\), resp. \(R' \subset Y'\), le sous-schéma fermé défini par la différente de Kähler de \(f\), resp. de \(f'\). Alors \(Y' \to Y\) induit un isomorphisme \(R' \to R \times_Y Y'\).

Démonstration

Cela tient au fait que \(\Omega_{Y'/X'}\) est l’image inverse de \(\Omega_{Y/X}\) (Morphismes, lemme 01V0) ; on peut alors appliquer Compléments d’algèbre, lemme 07ZA.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(R \subset Y\) le sous-schéma fermé défini par la différente de Kähler. Alors \(R \subset Y\) est exactement l’ensemble des points où \(f\) est ramifié.

Démonstration

Il s’agit de l’énoncé de Diviseurs, lemme 0C3J.

Lemme

Soient \(A\) un anneau, \(n \geq 1\) et \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Posons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\). La différente de Kähler de \(B\) sur \(A\) est l’idéal de \(B\) engendré par \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\).

Démonstration

En effet, \(\Omega_{B/A}\) admet la présentation \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B f_i \xrightarrow{\text{d}} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, n} B \text{d}x_j \rightarrow \Omega_{B/A} \rightarrow 0\] d’après Algèbre, lemme 00RU.

La différente de Dedekind

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. On dit que la différente de Dedekind est définie si \(A\) est noethérien, \(A \to B\) est fini, tout non-diviseur de zéro de \(A\) reste un non-diviseur de zéro dans \(B\), et \(K \to L\) est étale, où \(K = Q(A)\) et \(L = B \otimes_A K\). Alors \(K \subset L\) est fini étale et \[\mathcal{L}_{B/A} = \{x \in L \mid \text{Trace}_{L/K}(bx) \in A \text{ pour tout }b \in B\}\] est le module complémentaire de Dedekind. Dans cette situation, la différente de Dedekind est \[\mathfrak{D}_{B/A} = \{x \in L \mid x\mathcal{L}_{B/A} \subset B\}\] considérée comme un \(B\)-sous-module de \(L\). D’après le lemme 0BW1, la différente de Dedekind est un idéal de \(B\) si \(A\) est normal ou si \(B\) est plat sur \(A\).

Lemme

Supposons que la différente de Dedekind de \(A \to B\) soit définie. Considérons les assertions

1. \(A \to B\) est plat ;

2. \(A\) est un anneau normal ;

3. \(\text{Trace}_{L/K}(B) \subset A\) ;

4. \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) ;

5. la différente de Dedekind \(\mathfrak{D}_{B/A}\) est un idéal de \(B\).

On a alors (1) \(\Rightarrow\) (3), (2) \(\Rightarrow\) (3), (3) \(\Leftrightarrow\) (4) et (4) \(\Rightarrow\) (5).

Démonstration

L’équivalence de (3) et (4) ainsi que l’implication (4) \(\Rightarrow\) (5) sont immédiates.

Si \(A \to B\) est plat, \(\text{Trace}_{B/A} : B \to A\) est définie et \(\text{Trace}_{L/K}\) s’en déduit par changement de base. On a donc (3).

Si \(A\) est normal, \(A\) est un produit fini d’anneaux intègres normaux, et l’on se ramène donc au cas d’un anneau intègre normal. Alors \(K\) est le corps des fractions de \(A\), et \(L = \prod L_i\) est un produit fini d’extensions finies séparables de \(K\). On a \(\text{Trace}_{L/K}(b) = \sum \text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\), où \(b_i \in L_i\) est l’image de \(b\). Puisque \(b\) est entier sur \(A\), car \(B\) est fini sur \(A\), ces traces appartiennent à \(A\). En effet, le polynôme minimal de \(b_i\) sur \(K\) a ses coefficients dans \(A\) (Algèbre, lemme 00H7), et \(\text{Trace}_{L_i/K}(b_i)\) est un multiple entier de l’un de ces coefficients (Corps, lemme 0BIH).

Lemme

Si la différente de Dedekind de \(A \to B\) est définie, alors il existe un isomorphisme canonique \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\).

Démonstration

Rappelons que \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) puisque \(A \to B\) est fini. On envoie \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\) sur l’application \(b \mapsto \text{Trace}_{L/K}(bx)\). Réciproquement, une application \(A\)-linéaire \(\varphi : B \to A\) fournit une application \(K\)-linéaire \(\varphi_K : L \to K\). Puisque \(K \to L\) est fini étale, la forme trace est non dégénérée (lemme 0BJF), et il existe donc \(x \in L\) tel que \(\varphi_K(y) = \text{Trace}_{L/K}(xy)\) pour tout \(y \in L\). Alors \(x \in \mathcal{L}_{B/A}\) s’envoie sur \(\varphi\) dans \(\omega_{B/A}\).

Lemme

Si la différente de Dedekind de \(A \to B\) est définie et si \(A \to B\) est plat, alors

1. l’isomorphisme canonique \(\mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\) envoie \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) sur l’élément trace \(\tau_{B/A} \in \omega_{B/A}\) ;

2. la différente de Dedekind est \(\mathfrak{D}_{B/A} = \{b \in B \mid b\omega_{B/A} \subset B\tau_{B/A}\}\).

Démonstration

La première assertion résulte de la démonstration du lemme 0BW1 et du lemme 0BT8. La deuxième découle immédiatement de la première et des définitions.

La différente

La définition suivante est motivée par le fait qu’elle redonne la différente de Dedekind dans le cas fini plat, comme nous le verrons ci-dessous.

Définition

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat localement quasi-fini de schémas localement noethériens. Soient \(\omega_{Y/X}\) le module dualisant relatif et \(\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\) l’élément trace (remarques 0BVG et 0BVJ). L’annulateur de \[\Coker(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\tau_{Y/X}} \omega_{Y/X})\] est la différente de \(Y/X\). C’est un idéal cohérent \(\mathfrak{D}_f \subset \mathcal{O}_Y\).

Nous généraliserons ceci dans la remarque 0BWM ci-dessous. Remarquons que \(\mathfrak{D}_f\) est localement engendré par un élément si \(\omega_{Y/X}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Énonçons d’abord l’égalité avec la différente de Dedekind.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat quasi-fini de schémas noethériens. Soient \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) des sous-schémas ouverts affines tels que \(f(V) \subset U\). Si la différente de Dedekind de \(A \to B\) est définie, alors \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\] comme faisceaux cohérents d’idéaux sur \(V\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0BW1 et 0BW3.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat quasi-fini de schémas noethériens. Soient \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) des sous-schémas ouverts affines tels que \(f(V) \subset U\). Si \(\omega_{Y/X}|_V\) est inversible, c’est-à-dire si \(\omega_{B/A}\) est un \(B\)-module inversible, alors \[\mathfrak{D}_f|_V = \widetilde{\mathfrak{D}}\] comme faisceaux cohérents d’idéaux sur \(V\), où \(\mathfrak{D} \subset B\) est la différente de Noether de \(B\) sur \(A\).

Démonstration

Considérons l’application \[\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(\omega_{Y/X}, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{O}_Y,\quad \varphi \longmapsto \varphi(\tau_{Y/X})\] Son image correspond à la différente de Noether sur les ouverts affines, voir le lemme 0BVT. Le résultat découle donc du fait élémentaire suivant : étant donné un module inversible \(\omega\) et une section globale \(\tau\), l’image de \(\tau : \SheafHom(\omega, \mathcal{O}) = \omega^{\otimes -1} \to \mathcal{O}\) est égale à l’annulateur de \(\Coker(\tau : \mathcal{O} \to \omega)\).

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas noethériens \[\xymatrix{ Y' \ar[d]_{f'} \ar[r] & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] où \(f\) est plat et quasi-fini. Soit \(R \subset Y\), resp. \(R' \subset Y'\), le sous-schéma fermé défini par la différente \(\mathfrak{D}_f\), resp. \(\mathfrak{D}_{f'}\). Alors \(Y' \to Y\) induit une immersion fermée bijective \(R' \to R \times_Y Y'\). Si \(g\) est plat ou si \(\omega_{Y/X}\) est inversible, alors \(R' = R \times_Y Y'\).

Démonstration

On se ramène immédiatement au cas où \(X\), \(X'\), \(Y\), \(Y'\) sont affines. Autrement dit, on dispose d’un diagramme cocartésien d’anneaux noethériens \[\xymatrix{ B' & B \ar[l] \\ A' \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] où \(A \to B\) est plat et quasi-fini. L’application de changement de base \(\omega_{B/A} \otimes_B B' \to \omega_{B'/A'}\) est un isomorphisme (lemme 0BVF) et envoie l’élément trace \(\tau_{B/A}\) sur l’élément trace \(\tau_{B'/A'}\) (lemme 0BT9). Le \(B\)-module de type fini \(Q = \Coker(\tau_{B/A} : B \to \omega_{B/A})\) vérifie donc \(Q \otimes_B B' = \Coker(\tau_{B'/A'} : B' \to \omega_{B'/A'})\). Ainsi \(\mathfrak{D}_{B/A}B' \subset \mathfrak{D}_{B'/A'}\), ce qui signifie que l’on obtient l’immersion fermée \(R' \to R \times_Y Y'\). Puisque \(R = \text{Supp}(Q)\) et \(R' = \text{Supp}(Q \otimes_B B')\) (Algèbre, lemme 00L2), on voit que \(R' \to R \times_Y Y'\) est bijective d’après Algèbre, lemme 0BUR. L’égalité \(\mathfrak{D}_{B/A}B' = \mathfrak{D}_{B'/A'}\) est vraie si \(B \to B'\) est plat, par exemple si \(A \to A'\) est plat, voir Algèbre, lemme 07T8. Enfin, si \(\omega_{B/A}\) est inversible, on peut localiser et supposer \(\omega_{B/A} = B \lambda\). En écrivant \(\tau_{B/A} = b\lambda\), on voit que \(Q = B/bB\) et \(\mathfrak{D}_{B/A} = bB\). Le même raisonnement sur \(B'\) donne \(\mathfrak{D}_{B'/A'} = bB'\), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini plat de schémas noethériens. Alors \(\text{Norm}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) envoie \(f_*\mathfrak{D}_f\) dans le faisceau d’idéaux du discriminant \(D_f\).

Démonstration

L’application norme est construite dans Diviseurs, lemme 0BD2, et le discriminant de \(f\) dans la section 0BVH. La question est locale sur les ouverts affines ; on peut donc supposer \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\) et \(f\) donné par un homomorphisme fini localement libre d’anneaux \(A \to B\). En localisant davantage, on peut supposer \(B\) libre de type fini comme \(A\)-module. Choisissons une base \(b_1, \ldots, b_n \in B\) de \(B\) comme \(A\)-module. Notons \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\) la base duale de \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B, A)\) comme \(A\)-module. Puisque la norme de \(b\) est le déterminant de \(b : B \to B\) comme application \(A\)-linéaire, on a \(\text{Norm}_{B/A}(b) = \det(b_i^\vee(bb_j))\). Le discriminant est le sous-schéma fermé principal de \(\Spec(A)\) défini par \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\). Si \(b \in \mathfrak{D}_{B/A}\), alors il existe \(c_i \in B\) tels que \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\), où le point désigne la structure de \(B\)-module sur \(\omega_{B/A}\). Écrivons \(c_i = \sum a_{il} b_l\). On a \[\begin{align*} \text{Norm}_{B/A}(b) & = \det(b_i^\vee(bb_j)) \\ & = \det( (b \cdot b_i^\vee)(b_j)) \\ & = \det((c_i \cdot \text{Trace}_{B/A})(b_j)) \\ & = \det(\text{Trace}_{B/A}(c_ib_j)) \\ & = \det(a_{il}) \det(\text{Trace}_{B/A}(b_l b_j)) \end{align*}\] ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat quasi-fini de schémas noethériens. Le sous-schéma fermé \(R \subset Y\) défini par la différente \(\mathfrak{D}_f\) est exactement l’ensemble des points où \(f\) n’est pas étale (ou, de façon équivalente, est ramifié).

Démonstration

Puisque \(f\) est de présentation finie et plat, il est étale en un point si et seulement s’il est non ramifié en ce point. De plus, la formation du lieu des points ramifiés commute au changement de base. Voir Morphismes, section 02GH, et notamment Morphismes, lemme 0476. D’après le lemme 0BW7, la formation de \(R\) commute, ensemblistement, au changement de base. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X\) est le spectre d’un corps. D’autre part, la construction de \((\omega_{Y/X}, \tau_{Y/X})\) est locale sur \(Y\). Puisque \(Y\) est un espace discret fini (étant quasi-fini sur un corps), on peut supposer que \(Y\) possède un unique point.

Écrivons \(X = \Spec(k)\) et \(Y = \Spec(B)\), où \(k\) est un corps et \(B\) une \(k\)-algèbre locale finie. Si \(Y \to X\) est étale, alors \(B\) est une extension finie séparable de \(k\), et l’élément trace \(\text{Trace}_{B/k}\) est un élément de base de \(\omega_{B/k}\) d’après Corps, lemme 0BIL. Ainsi \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\) dans ce cas. Réciproquement, si \(\mathfrak{D}_{B/k} = B\), le lemme 0BW8 et le fait que la norme de \(1\) est \(1\) montrent que le discriminant est vide. Par conséquent, \(Y \to X\) est étale d’après le lemme 0BJF.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme plat quasi-fini de schémas noethériens. Soit \(R \subset Y\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathfrak{D}_f\).

1. Si \(\omega_{Y/X}\) est inversible, alors \(R\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(Y\).

2. Si \(\omega_{Y/X}\) est inversible et \(f\) fini, alors la norme de \(R\) est le discriminant \(D_f\) de \(f\).

3. Si \(\omega_{Y/X}\) est inversible et \(f\) est étale aux points associés de \(Y\), alors \(R\) est un diviseur de Cartier effectif et l’on a un isomorphisme \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\).

Démonstration

Preuve de (1). On peut travailler localement sur \(Y\), donc supposer \(\omega_{Y/X}\) libre de rang \(1\). Écrivons \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y\lambda\). On peut alors écrire \(\tau_{Y/X} = h \lambda\), et l’on voit que \(R\) est défini par \(h\), c’est-à-dire que \(R\) est localement principal.

Preuve de (2). On peut supposer que \(Y \to X\) est donné par un homomorphisme fini libre d’anneaux \(A \to B\) et que \(\omega_{B/A}\) est libre de rang \(1\) comme \(B\)-module. Choisissons une \(B\)-base \(\lambda\) de \(\omega_{B/A}\) et écrivons \(\text{Trace}_{B/A} = b \cdot \lambda\) avec \(b \in B\). Alors \(\mathfrak{D}_{B/A} = (b)\), et \(D_f\) est défini par \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\), où \(b_1, \ldots, b_n\) est une base de \(B\) comme \(A\)-module. Soit \(b_1^\vee, \ldots, b_n^\vee\) la base duale. En écrivant \(b_i^\vee = c_i \cdot \lambda\), on voit que \(c_1, \ldots, c_n\) est également une base de \(B\). Ainsi, en posant \(c_i = \sum a_{il}b_l\), on voit que \(\det(a_{il})\) est inversible dans \(A\). Il est clair que \(b \cdot b_i^\vee = c_i \cdot \text{Trace}_{B/A}\) ; on conclut donc du calcul fait dans la démonstration du lemme 0BW8 que \(\text{Norm}_{B/A}(b)\) est le produit d’une unité par \(\det(\text{Trace}_{B/A}(b_ib_j))\).

Preuve de (3). Avec les notations ci-dessus, le lemme 0BW9 et l’hypothèse montrent que \(h\) ne s’annule pas aux points associés de \(Y\), ce qui entraîne que \(h\) est un non-diviseur de zéro. L’isomorphisme canonique envoie \(1\) sur \(\tau_{Y/X}\), voir Diviseurs, lemme 01X0.

Morphismes quasi-finis syntomiques

Cette section établit qu’un morphisme quasi-fini syntomique possède un module dualisant relatif inversible.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement quasi-fini et syntomique ;

2. \(f\) est localement quasi-fini, plat et localement d’intersection complète ;

3. \(f\) est localement quasi-fini, plat, localement de présentation finie, et les fibres de \(f\) sont localement des intersections complètes ;

4. \(f\) est localement quasi-fini et, pour tout \(y \in Y\), il existe des ouverts affines \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) avec \(f(V) \subset U\), un entier \(n\) et \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\) ;

5. pour tout \(y \in Y\), il existe des ouverts affines \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) avec \(f(V) \subset U\) tels que \(A \to B\) soit une intersection complète globale relative de la forme \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) ;

6. \(f\) est localement quasi-fini, plat, localement de présentation finie, et \(\NL_{Y/X}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\) ;

7. \(f\) est plat, localement de présentation finie, \(\NL_{Y/X}\) est parfait de rang \(0\) et de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est donnée par Compléments sur les morphismes, lemme 069K. L’équivalence de (1) et (3) est donnée par Morphismes, lemme 01UF.

Si \(A \to B\) est comme dans (4), alors \(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\) est une intersection complète globale relative, voir Algèbre, définition 00SP. Ainsi (4) entraîne (5). Il est clair que (5) entraîne (4).

La condition (5) entraîne (1) : d’après Algèbre, lemme 00SW, une intersection complète globale relative est syntomique, et la définition d’une intersection complète globale relative garantit qu’une telle intersection à \(n\) variables et \(n\) équations est quasi-finie, voir Algèbre, définition 00SP et lemme 00PK.

Algèbre, lemme 00SY, ou Morphismes, lemme 01UE, montre que (1) entraîne (5).

Compléments sur les morphismes, lemme 0FK3, montre que (6) équivaut à (1). Si les conditions équivalentes (1) – (6) sont satisfaites, on voit que, localement sur les ouverts affines, \(Y \to X\) est donné par une intersection complète globale relative \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) ayant autant de variables que d’équations. Cette présentation donne \[\NL_{B/A} =\left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] D’après Algèbre, lemme 00SV, le module \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\) est libre, de base formée des classes des éléments \(f_1, \ldots, f_n\). Ainsi \(\NL_{B/A}\) est de rang \(0\), de même que \(\NL_{Y/X}\). On voit ainsi que (1) – (6) entraînent (7).

Enfin, supposons (7). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0FK3, le morphisme \(f\) est syntomique. Sur des ouverts affines convenables, \(f\) est donc donné par une intersection complète globale relative \(A \to B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\), voir Morphismes, lemme 01UE. Exactement comme ci-dessus, on voit que \(\NL_{B/A}\) est un complexe parfait de rang \(n - m\). Ainsi \(n = m\) et la condition (5) est satisfaite. La démonstration est achevée.

Lemme

Inversibilité du module dualisant relatif.

1. Si \(A \to B\) est un homomorphisme quasi-fini plat d’anneaux noethériens, alors \(\omega_{B/A}\) est un \(B\)-module inversible si et seulement si \(\omega_{B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)/\kappa(\mathfrak p)}\) est un \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-module inversible pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\).

2. Si \(Y \to X\) est un morphisme quasi-fini plat de schémas noethériens, alors \(\omega_{Y/X}\) est inversible si et seulement si \(\omega_{Y_x/x}\) est inversible pour tout \(x \in X\).

Démonstration

Preuve de (1). Comme \(A \to B\) est plat, le module \(\omega_{B/A}\) est \(A\)-plat, voir le lemme 0BVE. Ainsi \(\omega_{B/A}\) est un \(B\)-module inversible si et seulement si \(\omega_{B/A} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) est un \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)-module inversible pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\), voir Compléments sur les morphismes, lemme 080Q. Toujours par platitude de \(A \to B\), la formation de \(\omega_{B/A}\) commute au changement de base, voir le lemme 0BVF. On voit donc que, sous l’hypothèse de platitude, l’inversibilité du module dualisant relatif équivaut à l’inversibilité du module dualisant relatif pour les homomorphismes \(\kappa(\mathfrak p) \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\).

L’assertion (2) découle de (1) et de ce que, localement sur les ouverts affines, les modules dualisants sont donnés par leurs analogues algébriques, voir la remarque 0BVG.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) une intersection complète globale sur \(k\), de dimension \(0\). Alors \(\omega_{B/k}\) est inversible.

Démonstration

D’après le lemme de normalisation de Noether, voir Algèbre, lemme 00OY, il existe une injection finie \(k \to B\), c’est-à-dire \(\dim_k(B) < \infty\). Ainsi \(\omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\) comme \(B\)-module. D’après Complexes dualisants, lemme 0AX0, \(R\Hom(B, k)\) est un complexe dualisant de \(B\), et Complexes dualisants, lemme 0A71, montre que \(R\Hom(B, k)\) est égal à \(\omega_{B/k}\) placé en degré \(0\). Il suffit donc de montrer que \(B\) est de Gorenstein (Complexes dualisants, lemme 0DW9). C’est le cas d’après Complexes dualisants, lemme 0DWA.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas localement noethériens. Si \(f\) vérifie les conditions équivalentes du lemme 0BWE, alors \(\omega_{Y/X}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible.

Démonstration

On peut supposer que \(A \to B\) est une intersection complète globale relative de la forme \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\), et il faut montrer que \(\omega_{B/A}\) est inversible. Cela résulte de la combinaison des lemmes 0DWK et 0DWL.

Exemple

Soient \(n \geq 1\) et \(d \geq 1\) des entiers. Soit \(T\) l’ensemble des multi-indices \(E = (e_1, \ldots, e_n)\) tels que \(e_i \geq 0\) et \(\sum e_i \leq d\). Considérons l’anneau \[A = \mathbf{Z}[a_{i, E} ; 1 \leq i \leq n, E \in T]\] Dans \(A[x_1, \ldots, x_n]\), considérons les éléments \(f_i = \sum_{E \in T} a_{i, E} x^E\), où \(x^E = x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}\) suivant la notation usuelle. Considérons la \(A\)-algèbre \[B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] Notons \(X_{n, d} = \Spec(A)\) et soit \(Y_{n, d} \subset \Spec(B)\) le plus grand sous-schéma ouvert sur lequel la restriction du morphisme \(\Spec(B) \to \Spec(A) = X_{n, d}\) est quasi-finie, voir Algèbre, lemme 00QA.

Lemme

Avec les notations de l’exemple 0FK8, les schémas \(X_{n, d}\) et \(Y_{n, d}\) sont réguliers et irréductibles, le morphisme \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est localement quasi-fini et syntomique, et il existe un sous-schéma ouvert dense \(V \subset Y_{n, d}\) tel que \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) se restreigne en un morphisme étale \(V \to X_{n, d}\).

Démonstration

Le schéma \(X_{n, d}\) est le spectre de l’anneau de polynômes \(A\). Ainsi \(X_{n, d}\) est régulier et irréductible. Puisque l’on peut écrire \[f_i = a_{i, (0, \ldots, 0)} + \sum\nolimits_{E \in T, E \not = (0, \ldots, 0)} a_{i, E} x^E\] on voit que l’anneau \(B\) est isomorphe à l’anneau de polynômes en \(x_1, \ldots, x_n\) et en les éléments \(a_{i, E}\) tels que \(E \not = (0, \ldots, 0)\). Ainsi \(\Spec(B)\) est un schéma irréductible et régulier, de même que l’ouvert \(Y_{n, d}\). Le morphisme \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est localement quasi-fini et syntomique d’après le lemme 0BWE. Pour trouver \(V\), il suffit de trouver un point où \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est étale (le lieu des points où un morphisme est étale est ouvert par définition). Il suffit donc de trouver un point de \(X_{n, d}\) où la fibre de \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est non vide et étale, voir Morphismes, lemme 02GU. Choisissons le point correspondant à l’homomorphisme d’anneaux \(\chi : A \to \mathbf{Q}\) envoyant \(f_i\) sur \(x_i^d - 1\). Alors \[B \otimes_{A, \chi} \mathbf{Q} = \mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_n]/(x_1^d - 1, \ldots, x_n^d - 1)\] est une algèbre étale non nulle sur \(\mathbf{Q}\).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Si \(f\) vérifie les conditions équivalentes du lemme 0BWE, alors, pour tout \(y \in Y\), il existe \(n, d\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y_{n, d} \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & X_{n, d} }\] où \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) sont ouverts, avec \(y \in V\), où \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est comme dans l’exemple 0FK8, et où le carré de droite est cartésien.

Démonstration

D’après le lemme 0BWE, on peut choisir \(U\) et \(V\) affines, de sorte que \(U = \Spec(R)\) et \(V = \Spec(S)\) avec \(S = R[y_1, \ldots, y_n]/(g_1, \ldots, g_n)\). Avec les notations de l’exemple 0FK8, si l’on choisit \(d\) assez grand, on peut écrire chaque \(g_i\) sous la forme \(g_i = \sum_{E \in T} g_{i, E}y^E\) avec \(g_{i, E} \in R\). L’application \(A \to R\) envoyant \(a_{i, E}\) sur \(g_{i, E}\) et l’application \(B \to S\) envoyant \(x_i \to y_i\) donnent alors un diagramme cocartésien d’anneaux \[\xymatrix{ S & B \ar[l] \\ R \ar[u] & A \ar[l] \ar[u] }\] ce qui démontre le lemme.

Morphismes finis syntomiques

Cette section est l’analogue de la section 0DWJ pour les morphismes finis syntomiques.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est fini et syntomique ;

2. \(f\) est fini, plat et localement d’intersection complète ;

3. \(f\) est fini, plat, localement de présentation finie, et les fibres de \(f\) sont localement des intersections complètes ;

4. \(f\) est fini et, pour tout \(x \in X\), il existe un ouvert affine \(x \in U = \Spec(A) \subset X\), un entier \(n\) et \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \(f^{-1}(U)\) soit isomorphe au spectre de \(A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) ;

5. \(f\) est fini, plat, localement de présentation finie, et \(\NL_{X/Y}\) est de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\) ;

6. \(f\) est fini, plat, localement de présentation finie, et \(\NL_{X/Y}\) est parfait de rang \(0\) et de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\).

Démonstration

L’équivalence de (1), (2), (3), (5) et (6) ainsi que l’implication (4) \(\Rightarrow\) (1) résultent immédiatement du lemme 0BWE. Supposons les conditions équivalentes (1), (2), (3), (5), (6) satisfaites. Choisissons un point \(x \in X\) et un voisinage ouvert affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\) dans \(X\), et supposons que \(x\) corresponde à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). Écrivons \(f^{-1}(U) = \Spec(B)\). Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Puisque \(\NL_{B/A}\) est parfait de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\) d’après (6), on voit que \(I/I^2\) est un \(B\)-module fini localement libre de rang \(n\). Puisque \(B_\mathfrak p\) est semi-local, \((I/I^2)_\mathfrak p\) est libre de rang \(n\), voir Algèbre, lemme 02M9. Ainsi, en remplaçant \(A\) par sa localisation principale en un élément n’appartenant pas à \(\mathfrak p\), on peut supposer que \(I/I^2\) est un \(B\)-module libre de rang \(n\). D’après Algèbre, lemme 07CF, on peut donc trouver une présentation de \(B\) sur \(A\) ayant autant de variables que d’équations. Autrement dit, on peut supposer \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\). Cela démontre (4).

Exemple

Soit \(d \geq 1\) un entier. Considérons des variables \(a_{ij}^l\) pour \(1 \leq i, j, l \leq d\), et notons \[A_d = \mathbf{Z}[a_{ij}^k]/J\] où \(J\) est l’idéal engendré par les éléments \[\left\{ \begin{matrix} \sum_l a_{ij}^la_{lk}^m - \sum_l a_{il}^ma_{jk}^l & \forall i, j, k, m \\ a_{ij}^k - a_{ji}^k & \forall i, j, k \\ a_{i1}^j - \delta_{ij} & \forall i, j \end{matrix} \right.\] où \(\delta_{ij}\) désigne le symbole de Kronecker. On définit une \(A_d\)-algèbre \(B_d\) comme suit : comme \(A_d\)-module, on pose \[B_d = A_d e_1 \oplus \ldots \oplus A_d e_d\] La structure d’algèbre est donnée par \(A_d \to B_d\) envoyant \(1\) sur \(e_1\). La multiplication sur \(B_d\) est l’application \(A_d\)-bilinéaire \[m : B_d \times B_d \longrightarrow B_d, \quad m(e_i, e_j) = \sum a_{ij}^k e_k\] On vérifie sans difficulté que les relations ci-dessus imposent exactement une structure de \(A_d\)-algèbre. Le morphisme \[\pi_d : Y_d = \Spec(B_d) \longrightarrow \Spec(A_d) = X_d\] est le morphisme fini libre « universel » de rang \(d\).

Lemme

Avec les notations de l’exemple 0FKZ, il existe un sous-schéma ouvert \(U_d \subset X_d\) possédant la propriété suivante : un morphisme de schémas \(X \to X_d\) se factorise par \(U_d\) si et seulement si \(Y_d \times_{X_d} X \to X\) est syntomique.

Démonstration

Rappelons qu’être syntomique équivaut à être plat et localement d’intersection complète, voir Compléments sur les morphismes, lemme 069K. L’ensemble \(W_d \subset Y_d\) des points où \(\pi_d\) est de Koszul est ouvert dans \(Y_d\), et sa formation commute à tout changement de base, voir Compléments sur les morphismes, lemme 06B8. Puisque \(\pi_d\) est fini, donc fermé, \(Z = \pi_d(Y_d \setminus W_d)\) est fermé. Comme on a manifestement \(U_d = X_d \setminus Z\) et que sa formation commute au changement de base, le lemme en résulte.

Lemme

Avec les notations de l’exemple 0FKZ et \(U_d\) comme dans le lemme 0FL0, le schéma \(U_d\) est lisse sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Utilisons Compléments sur les morphismes, lemme 02HX, pour montrer que \(U_d \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse. Supposons donc que \(\Spec(A) \to U_d\) soit un morphisme et que \(A' \to A\) soit une petite extension. Alors \(B = A \otimes_{A_d} B_d\) est une \(A\)-algèbre finie libre, syntomique sur \(A\) (par construction de \(U_d\)). D’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, proposition 07M8, il existe un homomorphisme syntomique d’anneaux \(A' \to B'\) tel que \(B \cong B' \otimes_{A'} A\). Posons \(e'_1 = 1 \in B'\). Pour \(1 < i \leq d\), choisissons des relèvements \(e'_i \in B'\) des éléments \(1 \otimes e_i \in A \otimes_{A_d} B_d = B\). Alors \(e'_1, \ldots, e'_d\) est une base de \(B'\) sur \(A'\) (voir par exemple Algèbre, lemme 051F). On peut donc écrire \(e'_i e'_j = \sum \alpha_{ij}^l e'_l\) pour d’uniques éléments \(\alpha_{ij}^l \in A'\) vérifiant les relations \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\) et \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\) et \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\) dans \(A'\). Cela détermine un morphisme \(\Spec(A') \to X_d\) en envoyant \(a_{ij}^l \in A_d\) sur \(\alpha_{ij}^l \in A'\). Ce morphisme coïncide avec le morphisme donné \(\Spec(A) \to U_d\). Puisque \(\Spec(A')\) et \(\Spec(A)\) ont le même espace topologique sous-jacent, on obtient le relèvement voulu \(\Spec(A') \to U_d\), et l’on conclut que \(U_d\) est lisse sur \(\mathbf{Z}\).

Lemme

Avec les notations de l’exemple 0FKZ, considérons le sous-schéma ouvert \(U'_d \subset X_d\) au-dessus duquel \(\pi_d\) est étale. Alors \(U'_d\) est une partie dense de l’ouvert \(U_d\) du lemme 0FL0.

Démonstration

En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0FL0, à l’aide de Morphismes, lemme 0476, on obtient un plus grand ouvert \(U'_d \subset X_d\) au-dessus duquel \(\pi_d\) est étale. De plus, un morphisme étale étant syntomique, on voit que \(U'_d \subset U_d\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que \(U'_d \subset U_d\) est dense. Soit \(u : \Spec(k) \to U_d\) un morphisme, où \(k\) est un corps. Soit \(B = k \otimes_{A_d} B_d\) comme dans la démonstration du lemme 0FL1. Nous allons montrer qu’il existe un anneau local intègre \(A'\) de corps résiduel \(k\) et une \(A'\)-algèbre finie syntomique \(B'\) avec \(B = k \otimes_{A'} B'\) dont la fibre générique est étale. Exactement comme au paragraphe précédent, cela déterminera un morphisme \(\Spec(A') \to U_d\) envoyant le point générique dans \(U'_d\) et le point fermé sur \(u\), ce qui achèvera la démonstration.

D’après l’assertion (4) du lemme 0FKY, on peut choisir une présentation \(B = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\). Soit \(d'\) le maximum des degrés totaux des polynômes \(f_1, \ldots, f_n\). Soit \(Y_{n, d'} \to X_{n, d'}\) comme dans l’exemple 0FK8. Par construction, il existe un morphisme \(u' : \Spec(k) \to X_{n, d'}\) tel que \[\Spec(B) \cong Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}, u'} \Spec(k)\] Notons \(A = \mathcal{O}_{X_{n, d'}, u'}^h\) le hensélisé de l’anneau local de \(X_{n, d'}\) à l’image de \(u'\). On peut alors écrire \[Y_{n, d'} \times_{X_{n, d'}} \Spec(A) = Z \amalg W\] avec \(Z \to \Spec(A)\) fini et \(W \to \Spec(A)\) de fibre fermée vide, voir Algèbre, assertion (13) du lemme 04GG, ou la discussion dans Compléments sur les morphismes, section 04HF. D’après le lemme 0FK9, l’anneau local \(A\) est régulier (on utilise également ici Compléments d’algèbre, lemme 06LN), et le morphisme \(Z \to \Spec(A)\) est étale au-dessus du point générique de \(\Spec(A)\) (car celui-ci s’envoie sur le point générique de \(X_{d, n'}\)). Par construction, \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong \Spec(B)\). Cela donne le résultat voulu, à ceci près que l’application du corps résiduel de \(A\) vers \(k\) n’est pas nécessairement un isomorphisme. D’après Algèbre, lemme 03C3, il existe un homomorphisme local plat d’anneaux \(A \to A'\) tel que le corps résiduel de \(A'\) soit \(k\). Si \(A'\) n’est pas intègre, on choisit un idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A'\) (situé au-dessus de l’unique idéal premier minimal de \(A\) par platitude) et l’on remplace \(A'\) par \(A'/\mathfrak p\). On prend pour \(B'\) l’unique \(A'\)-algèbre telle que \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(A') = \Spec(B')\). La démonstration est achevée.

Remarque

Soit \(\pi_d : Y_d \to X_d\) comme dans l’exemple 0FKZ. Soit \(U_d \subset X_d\) le plus grand ouvert au-dessus duquel \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d)\) est fini syntomique, comme dans le lemme 0FL0. Alors \(V_d\) est également lisse sur \(\mathbf{Z}\). (Bien entendu, le morphisme \(V_d \to U_d\) n’est pas lisse lorsque \(d \geq 2\).) En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 0FL1, on voit que cela correspond au problème de déformation suivant : étant donné une petite extension \(C' \to C\) et une \(C\)-algèbre finie syntomique \(B\) munie d’une section \(B \to C\), trouver une \(C'\)-algèbre finie syntomique \(B'\) et une section \(B' \to C'\) dont le produit tensoriel avec \(C\) redonne \(B \to C\). D’après le lemme 0FKY, on peut écrire \(B = C[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\) comme une intersection complète globale relative. Après un changement de coordonnées, on peut supposer \(x_1, \ldots, x_n\) dans le noyau de \(B \to C\). Les polynômes \(f_i\) ont alors un terme constant nul. Choisissons des relèvements quelconques \(f'_i \in C'[x_1, \ldots, x_n]\) de \(f_i\) ayant un terme constant nul. Alors \(B' = C'[x_1, \ldots, x_n]/(f'_1, \ldots, f'_n)\), avec la section \(B' \to C'\) envoyant \(x_i\) sur zéro, convient.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Si \(f\) vérifie les conditions équivalentes du lemme 0FKY, alors, pour tout \(x \in X\), il existe un \(d\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V_d \ar[d] \ar[r] & Y_d \ar[d]^{\pi_d}\\ X & U \ar[l] \ar[r] & U_d \ar[r] & X_d }\] possédant les propriétés suivantes :

1. \(U \subset X\) est ouvert, \(x \in U\) et \(V = f^{-1}(U)\) ;

2. \(\pi_d : Y_d \to X_d\) est comme dans l’exemple 0FKZ ;

3. \(U_d \subset X_d\) est comme dans le lemme 0FL0 et \(V_d = \pi_d^{-1}(U_d) \subset Y_d\) ;

4. le carré du milieu est cartésien.

Démonstration

Choisissons un voisinage ouvert affine \(U = \Spec(A) \subset X\) de \(x\). Écrivons \(V = f^{-1}(U) = \Spec(B)\). Alors \(B\) est un \(A\)-module fini localement libre, et l’inclusion \(A \subset B\) est localement un facteur direct. En rétrécissant \(U\), on peut donc choisir une base \(1 = e_1, e_2, \ldots, e_d\) de \(B\) comme \(A\)-module. Écrivons \(e_i e_j = \sum \alpha_{ij}^l e_l\) pour d’uniques éléments \(\alpha_{ij}^l \in A\) vérifiant les relations \(\sum_l \alpha_{ij}^l \alpha_{lk}^m = \sum_l \alpha_{il}^m \alpha _{jk}^l\) et \(\alpha_{ij}^k = \alpha_{ji}^k\) et \(\alpha_{i1}^j = \delta_{ij}\) dans \(A\). Cela détermine un morphisme \(\Spec(A) \to X_d\) en envoyant \(a_{ij}^l \in A_d\) sur \(\alpha_{ij}^l \in A\). Par construction, \(V \cong \Spec(A) \times_{X_d} Y_d\). La définition de \(U_d\) montre que \(\Spec(A) \to X_d\) se factorise par \(U_d\). La démonstration est achevée.

Une formule pour la différente

Dans cette section, nous présentons les résultats dus à Tate dans [Mazur-Roberts, appendice A]. Dans notre terminologie, ils montreront que la différente est égale à la différente de Kähler pour un morphisme plat, quasi-fini, localement d’intersection complète. Calculons d’abord la différente de Noether dans un cas particulier.

Lemme

Soit \(A \to P\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(f_1, \ldots, f_n \in P\) une suite régulière au sens de Koszul. Supposons \(B = P/(f_1, \ldots, f_n)\) plat sur \(A\). Soit \(g_1, \ldots, g_n \in P \otimes_A B\) une suite régulière au sens de Koszul engendrant le noyau de l’application de multiplication \(P \otimes_A B \to B\). Écrivons \(f_i \otimes 1 = \sum g_{ij} g_j\). Alors l’annulateur de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\) est un idéal principal engendré par l’image de \(\det(g_{ij})\).

Démonstration

Le complexe de Koszul \(K_\bullet = K(P, f_1, \ldots, f_n)\) est une résolution de \(B\) par des \(P\)-modules libres de type fini. Le complexe de Koszul \(M_\bullet = K(P \otimes_A B, g_1, \ldots, g_n)\) est une résolution de \(B\) par des \(P \otimes_A B\)-modules libres de type fini. Il existe un morphisme de complexes \[K_\bullet \longrightarrow M_\bullet\] donné en degré \(1\) par la matrice \((g_{ij})\) et en degré \(n\) par \(\det(g_{ij})\). Voir Compléments d’algèbre, lemme 0624. Comme \(B\) est un \(A\)-module plat, on peut considérer \(M_\bullet\) comme un complexe de \(P\)-modules plats (via \(P \to P \otimes_A B\), \(p \mapsto p \otimes 1\)). On peut donc utiliser les deux complexes pour calculer \(\text{Tor}_*^P(B, B)\), et l’application affichée devient un quasi-isomorphisme après tensorisation par \(B\). Il est clair que \(H_n(K_\bullet \otimes_P B) = B\). D’autre part, \(H_n(M_\bullet \otimes_P B)\) est le noyau de \[B \otimes_A B \xrightarrow{g_1, \ldots, g_n} (B \otimes_A B)^{\oplus n}\] Puisque \(g_1, \ldots, g_n\) engendrent le noyau de \(B \otimes_A B \to B\), le lemme est démontré.

Lemme

Soient \(A\) un anneau, \(n \geq 1\) et \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Posons \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\). Supposons que \(B\) soit quasi-fini sur \(A\). Alors

1. \(B\) est plat sur \(A\) et \(A \to B\) est une intersection complète locale relative ;

2. l’annulateur \(J\) de \(I = \Ker(B \otimes_A B \to B)\) est libre de rang \(1\) sur \(B\) ;

3. la différente de Noether de \(B\) sur \(A\) est engendrée par \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) dans \(B\).

Démonstration

Remarquons que \(B = A[x, x_1, \ldots, x_n]/(xh - 1, f_1, \ldots, f_n)\) est une intersection complète globale relative sur \(A\), voir Algèbre, définition 00SP. D’après Algèbre, lemme 00SW, on voit que \(B\) est plat sur \(A\).

Posons \(P' = A[x, x_1, \ldots, x_n]\) et \(P = P'/(xh - 1) = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]\). On a alors \(P' \to P \to B\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07D2, la suite \(xh - 1, f_1, \ldots, f_n\) est régulière au sens de Koszul dans \(P'\). Puisque \(xh - 1\) est une suite régulière au sens de Koszul de longueur un dans \(P'\) (par exemple d’après le même lemme), on en déduit que \(f_1, \ldots, f_n\) est une suite régulière au sens de Koszul dans \(P\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 068M.

Soit \(g_i \in P \otimes_A B\) l’image de \(x_i \otimes 1 - 1 \otimes x_i\). Utilisons les notations abrégées \(y_i = x_i \otimes 1\) et \(z_i = 1 \otimes x_i\) dans \(A[x_1, \ldots, x_n] \otimes_A A[x_1, \ldots, x_n]\), de sorte que \(g_i\) soit l’image de \(y_i - z_i\). Pour un polynôme \(f \in A[x_1, \ldots, x_n]\), on écrit \(f(y) = f \otimes 1\) et \(f(z) = 1 \otimes f\) dans le produit tensoriel ci-dessus. On a alors \[P \otimes_A B/(g_1, \ldots, g_n) = \frac{A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]} {(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n)}\] qui est manifestement isomorphe à \(B\). Par les mêmes arguments que ci-dessus, on trouve donc que \(f_1(z), \ldots, f_n(z), y_1 - z_1, \ldots, y_n - z_n\) est une suite régulière au sens de Koszul dans \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\). La suite \(f_1(z), \ldots, f_n(z)\) est régulière au sens de Koszul dans \(A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \frac{1}{h(y)h(z)}]\) par platitude de l’application \[P \longrightarrow A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n, \textstyle{\frac{1}{h(y)h(z)}}],\quad x_i \longmapsto z_i\] et d’après Compléments d’algèbre, lemme 062H. D’après Compléments d’algèbre, lemme 068M, on conclut que \(g_1, \ldots, g_n\) est une suite régulière dans \(P \otimes_A B\).

Nous avons maintenant vérifié toutes les hypothèses du lemme 0BWC ci-dessus, avec \(P\), \(f_1, \ldots, f_n\) et \(g_i \in P \otimes_A B\) comme ci-dessus. En particulier, l’annulateur \(J\) de \(I\) est libre, engendré par un élément \(\delta\) sur \(B\). Posons \(f_{ij} = \partial f_i/\partial x_j \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Un calcul élémentaire montre que l’on peut écrire \[f_i(y) = f_i(z_1 + g_1, \ldots, z_n + g_n) = f_i(z) + \sum\nolimits_j f_{ij}(z) g_j + \sum\nolimits_{j, j'} F_{ijj'}g_jg_{j'}\] avec \(F_{ijj'} \in A[y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n]\). En passant à l’image dans \(P \otimes_A B\), les termes \(f_i(z)\) deviennent nuls et l’on obtient \[f_i \otimes 1 = \sum\nolimits_j \left(1 \otimes f_{ij} + \sum\nolimits_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\right)g_j\] On conclut donc du lemme 0BWC que \(\delta = \det(g_{ij})\), avec \(g_{ij} = 1 \otimes f_{ij} + \sum_{j'} F_{ijj'}g_{j'}\). Puisque \(g_{j'}\) a une image nulle dans \(B\), on en déduit que l’image de \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) dans \(B\) engendre la différente de Noether de \(B\) sur \(A\).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas noethériens. Si \(f\) vérifie les conditions équivalentes du lemme 0BWE, alors la différente \(\mathfrak{D}_f\) de \(f\) est la différente de Kähler de \(f\).

Démonstration

D’après les lemmes 0BW6 et 0BWF, la différente de \(f\) coïncide, localement sur les ouverts affines, avec la différente de Noether. Le lemme résulte alors du calcul de la différente de Noether et de la différente de Kähler sur les morceaux affines standards, effectué dans les lemmes 0BVZ et 0BWD.

Lemme

Soient \(A\) un anneau, \(n \geq 1\) et \(h, f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Posons \(B = A[x_1, \ldots, x_n, 1/h]/(f_1, \ldots, f_n)\). Supposons que \(B\) soit quasi-fini sur \(A\). Il existe alors un isomorphisme \(B \to \omega_{B/A}\) envoyant \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) sur \(\tau_{B/A}\).

Démonstration

Soit \(J\) l’annulateur de \(\Ker(B \otimes_A B \to B)\). D’après le lemme 0BWD, l’homomorphisme \(A \to B\) est plat et \(J\) est un \(B\)-module libre ayant un générateur \(\xi\) dont l’image est \(\det(\partial f_i/\partial x_j)\) dans \(B\). Le lemme découle donc du lemme 0BVT et du fait (lemme 0BWF) que \(\omega_{B/A}\) est un \(B\)-module inversible. (Attention : il est nécessaire de montrer que \(\omega_{B/A}\) est inversible, car un \(B\)-module de type fini \(M\) tel que \(\Hom_B(M, B) \cong B\) n’est pas nécessairement libre.)

Exemple

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soient \(f, h \in A[x]\) tels que \[B = (A[x]/(f))_h = A[x, 1/h]/(f)\] soit quasi-fini sur \(A\). Soit \(f' \in A[x]\) la dérivée de \(f\) par rapport à \(x\). L’idéal \(\mathfrak{D} = (f') \subset B\) est la différente de Noether de \(B\) sur \(A\), est la différente de Kähler de \(B\) sur \(A\), et est l’idéal dont le faisceau quasi-cohérent d’idéaux associé est la différente de \(\Spec(B)\) sur \(\Spec(A)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soient \(X\), \(Y\) des schémas lisses de dimension relative \(n\) sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme localement quasi-fini sur \(S\). Alors \(f\) est plat et le sous-schéma fermé \(R \subset Y\) défini par la différente de \(f\) est le sous-schéma fermé localement principal défini par \[\wedge^n(\text{d}f) \in \Gamma(Y, (f^*\Omega^n_{X/S})^{\otimes -1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \Omega^n_{Y/S})\] Si \(f\) est étale aux points associés de \(Y\), alors \(R\) est un diviseur de Cartier effectif, et \[f^*\Omega^n_{X/S} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}(R) = \Omega^n_{Y/S}\] comme faisceaux inversibles sur \(Y\).

Démonstration

Pour montrer que \(f\) est plat, il suffit de montrer que \(Y_s \to X_s\) est plat pour tout \(s \in S\) (Compléments sur les morphismes, lemme 039D). La platitude de \(Y_s \to X_s\) découle de Algèbre, lemme 00R4. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 069M, le morphisme \(f\) est localement d’intersection complète. L’assertion sur la différente découle donc de l’assertion correspondante sur la différente de Kähler d’après le lemme 0BWG. Enfin, puisque l’on a la suite exacte \[f^*\Omega_{X/S} \xrightarrow{\text{d}f} \Omega_{Y/S} \to \Omega_{Y/X} \to 0\] d’après Morphismes, lemme 01UX, et que \(\Omega_{X/S}\) et \(\Omega_{Y/S}\) sont finis localement libres de rang \(n\) (Morphismes, lemme 02G1), l’assertion concernant la différente de Kähler résulte immédiatement de la définition de l’idéal de Fitting d’ordre zéro. Si \(f\) est étale aux points associés de \(Y\), alors \(\wedge^n\text{d}f\) ne s’annule pas aux points associés de \(Y\), ce qui entraîne que l’équation locale de \(R\) est un non-diviseur de zéro. Ainsi \(R\) est un diviseur de Cartier effectif. L’isomorphisme canonique envoie \(1\) sur \(\wedge^n\text{d}f\), voir Diviseurs, lemme 01X0.

L’application de Tate

Dans cette section, nous construisons un isomorphisme entre le déterminant du complexe cotangent relatif et le module dualisant relatif pour un morphisme localement quasi-fini syntomique de schémas localement noethériens. Suivant [Garel, 1.4.4], nous l’appelons l’application de Tate. Notre méthode consiste à éviter autant que possible les calculs locaux.

Soit \(Y \to X\) un morphisme localement quasi-fini syntomique de schémas. Nous utiliserons dans cette section, sans le mentionner à nouveau, toutes les conditions équivalentes données dans le lemme 0BWE pour cette notion. On voit en particulier que \(\NL_{Y/X}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\) de Tor-amplitude contenue dans \([-1, 0]\). On dispose donc d’un module inversible canonique \(\det(\NL_{Y/X})\) sur \(Y\) et d’une section globale \[\delta(\NL_{Y/X}) \in \Gamma(Y, \det(\NL_{Y/X}))\] Voir Catégories dérivées de schémas, lemme 0FJX. Supposons donné un diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] dont les flèches verticales sont localement quasi-finies syntomiques et qui induit un isomorphisme de \(Y'\) avec un ouvert de \(X' \times_X Y\). L’application canonique \[Lb^*\NL_{Y/X} \longrightarrow \NL_{Y'/X'}\] est alors un quasi-isomorphisme d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0FK0. On obtient donc un isomorphisme canonique \(b^*\det(\NL_{Y/X}) \to \det(\NL_{Y'/X'})\) qui envoie la section canonique \(\delta(\NL_{Y/X})\) sur \(\delta(\NL_{Y'/ X'})\), voir Catégories dérivées de schémas, remarque 0FJY.

Remarque

Soit \(Y \to X\) un morphisme localement quasi-fini syntomique de schémas. Quelle est la forme locale du couple \((\det(\NL_{Y/X}), \delta(\NL_{Y/X}))\) ? Choisissons des ouverts affines \(V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) avec \(f(V) \subset U\), un entier \(n\) et \(f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\). Alors \[\NL_{B/A} = \left( (f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2 \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} B \text{d} x_i\right)\] et \((f_1, \ldots, f_n)/(f_1, \ldots, f_n)^2\) est libre de base formée des classes \(\overline{f}_i\). Voir la démonstration du lemme 0BWE. Ainsi \(\det(L_{B/A})\) est libre sur le générateur \[\text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\] et la section \(\delta(\NL_{B/A})\) est l’élément \[\delta(\NL_{B/A}) = \det(\partial f_j/ \partial x_i) \cdot \text{d}x_1 \wedge \ldots \wedge \text{d}x_n \otimes (\overline{f}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{f}_n)^{\otimes -1}\] par définition.

Soit \(Y \to X\) un morphisme localement quasi-fini syntomique de schémas localement noethériens. D’après les remarques 0BVG et 0BVJ, on dispose d’un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent \(\omega_{Y/X}\) et d’une section globale canonique \[\tau_{Y/X} \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] qui redonne, localement sur les ouverts affines, le couple \(\omega_{B/A}, \tau_{B/A}\). D’après le lemme 0BWF, le module \(\omega_{Y/X}\) est inversible. Supposons donné un diagramme commutatif de schémas localement noethériens \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_b \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] dont les flèches verticales sont localement quasi-finies syntomiques et qui induit un isomorphisme de \(Y'\) avec un ouvert de \(X' \times_X Y\). Il existe alors une application canonique de changement de base \[b^*\omega_{Y/X} \longrightarrow \omega_{Y'/X'}\] qui est un isomorphisme envoyant \(\tau_{Y/X}\) sur \(\tau_{Y'/X'}\). En effet, l’application de changement de base dans le cadre affine est (0BVB) ; c’est un isomorphisme d’après le lemme 0BVF, et elle envoie \(\tau_{Y/X}\) sur \(\tau_{Y'/X'}\) d’après l’assertion (1) du lemme 0BT9.

Proposition

Il existe une unique règle qui associe à tout morphisme localement quasi-fini syntomique de schémas localement noethériens \(Y \to X\) un isomorphisme \[c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \longrightarrow \omega_{Y/X}\] vérifiant les deux propriétés suivantes :

1. la section \(\delta(\NL_{Y/X})\) s’envoie sur \(\tau_{Y/X}\) ;

2. la règle est compatible avec la restriction aux ouverts et le changement de base.

Démonstration

Reformulons l’énoncé de la proposition. Considérons la catégorie \(\mathcal{C}\) dont les objets, notés \(Y/X\), sont les morphismes localement quasi-finis syntomiques \(Y \to X\) de schémas localement noethériens, et dont les morphismes \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) sont les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ Y' \ar[d] \ar[r]_b & Y \ar[d] \\ X' \ar[r]^a & X }\] induisant un isomorphisme de \(Y'\) avec un sous-schéma ouvert de \(X' \times_X Y\). La proposition signifie que, pour tout objet \(Y/X\) de \(\mathcal{C}\), on dispose d’un isomorphisme \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\) tel que \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\), et que, pour tout morphisme \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) de \(\mathcal{C}\), on a \(b^*c_{Y/X} = c_{Y'/X'}\) via les identifications \(b^*\det(\NL_{Y/X}) = \det(\NL_{Y'/X'})\) et \(b^*\omega_{Y/X} = \omega_{Y'/X'}\) décrites ci-dessus.

Étant donné \(Y/X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(y \in Y\), on peut trouver des ouverts affines \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) avec \(y \in V\) et \(f(V) \subset U\) tels qu’il existe un isomorphisme \[\det(\NL_{Y/X})|_V \longrightarrow \omega_{Y/X}|_V\] envoyant \(\delta(\NL_{Y/X})|_V\) sur \(\tau_{Y/X}|_V\). Cela résulte du choix d’ouverts affines comme dans l’assertion (5) du lemme 0BWE, de la description locale affine de \(\delta(\NL_{Y/X})\) dans la remarque 0FKC, et du lemme 0BWH. Si l’annulateur de la section \(\tau_{Y/X}\) est nul, ces applications locales sont uniques et se recollent automatiquement. Ainsi, si l’annulateur de \(\tau_{Y/X}\) est nul, il existe un unique isomorphisme \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\) tel que \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\). Si \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) et si l’annulateur de \(\tau_{Y'/X'}\) est lui aussi nul, alors \(b^*c_{Y/X}\) est l’unique isomorphisme \(c_{Y'/X'} : \det(\NL_{Y'/X'}) \to \omega_{Y'/X'}\) tel que \(c_{Y'/X'}(\delta(\NL_{Y'/X'})) = \tau_{Y'/X'}\). Cela découle formellement du fait que \(b^*\delta(\NL_{Y/X}) = \delta(\NL_{Y'/X'})\) et \(b^*\tau_{Y/X} = \tau_{Y'/X'}\).

On peut résumer les résultats du paragraphe précédent comme suit. Notons \(\mathcal{C}_{nice} \subset \mathcal{C}\) la sous-catégorie pleine des \(Y/X\) tels que l’annulateur de \(\tau_{Y/X}\) soit nul. Nous avons alors résolu le problème sur \(\mathcal{C}_{nice}\). Pour \(Y/X\) dans \(\mathcal{C}_{nice}\), nous continuons à noter \(c_{Y/X}\) la solution que nous venons de trouver.

Considérons des morphismes \[Y_1/X_1 \xleftarrow{b_1/a_1} Y/X \xrightarrow{b_2/a_2} Y_2/X_2\] dans \(\mathcal{C}\) tels que \(Y_1/X_1\) et \(Y_2/X_2\) soient des objets de \(\mathcal{C}_{nice}\). Assertion. \(b_1^*c_{Y_1/X_1} = b_2^*c_{Y_2/X_2}\). Nous montrerons d’abord que cette assertion entraîne la proposition, puis nous la démontrerons.

Soient \(d, n \geq 1\) ; considérons le morphisme localement quasi-fini syntomique \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) construit dans l’exemple 0FK8. Alors \(Y_{n, d}\) est un schéma irréductible régulier et le morphisme \(Y_{n, d} \to X_{n, d}\) est localement quasi-fini syntomique et étale au-dessus d’un ouvert dense, voir le lemme 0FK9. Ainsi \(\tau_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\) est non nul, par exemple d’après le lemme 0BW9. Or une section non nulle d’un module inversible sur un schéma irréductible régulier a un annulateur nul. Ainsi \(Y_{n, d}/X_{n, d}\) est un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\).

Soit \(Y/X\) un objet quelconque de \(\mathcal{C}\). Soit \(y \in Y\). D’après le lemme 0FKA, on peut trouver \(n, d \geq 1\) et des morphismes \[Y/X \leftarrow V/U \xrightarrow{b/a} Y_{n, d}/X_{n, d}\] de \(\mathcal{C}\) tels que \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) soient ouverts. On peut donc prendre l’image inverse du morphisme canonique \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\) construit ci-dessus par \(b\) sur \(V\). L’assertion garantit que ces isomorphismes locaux se recollent ! On obtient ainsi un isomorphisme global bien défini \(c_{Y/X} : \det(\NL_{Y/X}) \to \omega_{Y/X}\) tel que \(c_{Y/X}(\delta(\NL_{Y/X})) = \tau_{Y/X}\). Si \(b/a : Y'/X' \to Y/X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), l’assertion entraîne également que l’application construite de façon analogue \(c_{Y'/X'}\) est l’image inverse par \(b\) de l’application construite localement \(c_{Y/X}\). Il reste donc à démontrer l’assertion.

C’est ce que nous faisons dans la suite de la démonstration. On peut choisir un point \(y \in Y\) et montrer que les applications coïncident dans un voisinage ouvert de \(y\). On peut donc remplacer \(Y_1\), \(Y_2\) par des voisinages ouverts de l’image de \(y\) dans \(Y_1\) et \(Y_2\). On peut ainsi supposer que \(Y, X, Y_1, X_1, Y_2, X_2\) sont affines, disons les spectres d’anneaux \(B, A, B_1, A_1, B_2, A_2\). On a le diagramme \[\xymatrix{ B_1 \ar[r] & B & B_2 \ar[l] \\ A_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A_2 \ar[l] \ar[u] }\] Par hypothèse, le spectre de \(B\) est un ouvert affine à la fois du spectre de \(A \otimes_{A_1} B_1\) et de celui de \(A \otimes_{A_2} B_2\). En rétrécissant encore, on peut supposer qu’il existe des éléments \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\) tels que nos applications donnent des isomorphismes \((A \otimes_{A_i} B_i)_{g_i} = B\), voir Propriétés, lemme 0H9B. Soient \(x_\alpha\), \(y_\beta\) des collections assez grandes de variables pour que l’on puisse choisir des surjections \[A'_1 = A_1[x_\alpha] \to A \quad\text{et}\quad A'_2 = A_2[y_\beta] \to A\] de \(A_1\)-algèbres et de \(A_2\)-algèbres. On peut alors choisir des relèvements \(h_i \in A'_i \otimes_{A_i} B_i\) de \(g_i \in A \otimes_{A_i} B_i\), et l’on considère le diagramme \[\xymatrix{ (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \ar[r] & B & (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2} \ar[l] \\ A'_1 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] & A'_2 \ar[l] \ar[u] }\] Par construction, les deux carrés sont cocartésiens. Considérons ensuite l’homomorphisme d’anneaux \[A' = A'_1 \times_A A'_2 \longrightarrow B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1} \times_B (A'_2 \otimes_{A_1} B_2)_{h_2}\] D’après Compléments d’algèbre, lemme 07RU, on a \(A'_1 \otimes_{A'} B' = (A'_1 \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\) et \(A'_2 \otimes_{A'} B' = (A'_2 \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\). En particulier, les fibres du morphisme \(Y' = \Spec(B') \to \Spec(A') = X'\) sont des sous-schémas ouverts de changements de base des fibres des morphismes \(Y_i \to X_i\), donc finies et localement des intersections complètes (voir le lemme 0BWE). D’après Compléments d’algèbre, lemme 08KQ, l’homomorphisme d’anneaux \(A' \to B'\) est plat et de présentation finie. D’après l’assertion (3) du lemme 0BWE, on conclut donc que \(Y' \to X'\) est localement quasi-fini et syntomique. On obtient ainsi le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & Y/X \ar[ld] \ar@/_2pc/[lldd]_{b_1/a_1} \ar[rd] \ar@/^2pc/[rrdd]^{b_2/a_2} \\ & Y'_1/X'_1 \ar[rd] \ar[ld] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \ar[rd] \\ Y_1/X_1 & & Y'/X' & & Y_2/X_2 }\] où \(Y'_i/X'_i\) correspond à \(A'_i \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\).

Dans ce paragraphe, un passage à la limite remédie au fait que \(A'\) et \(A'_i\) ne sont pas nécessairement noethériens ; le lecteur peut omettre ce paragraphe. On peut trouver une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de type fini \(A'' \subset A'\) et un homomorphisme quasi-fini syntomique d’anneaux \(A'' \to B''\) tels que \(B' = A' \otimes_{A''} B''\). Cela résulte de Limites, lemmes 01ZM, 0C3L et 094M. Les homomorphismes d’anneaux \(A'' \to A'_1 = A_1[x_\alpha]\) se factorisent alors par une sous-algèbre de polynômes à un nombre fini de variables \(A_i[x_1, \ldots, x_n\), et l’homomorphisme \(A'' \to A'_2 = A_2[y_\beta]\) se factorise par \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\). En agrandissant les ensembles de variables, on peut aussi supposer que \(h_1 \in A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1\) et \(h_2 \in A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2\). En agrandissant encore les ensembles de variables, on peut supposer que les applications \(B'' \to (A'_i \otimes_{A_i} B_i)_{h_i}\) se factorisent par \((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\) et \((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\). En remplaçant \(Y'\), \(X'\), \(Y'_1\), \(X'_1\), \(Y'_2\), \(X'_2\) par les spectres de \(B''\), \(A''\), \((A_1[x_1, \ldots, x_n] \otimes_{A_1} B_1)_{h_1}\), \(A_1[x_1, \ldots, x_n]\), \((A_2[y_1, \ldots, y_m] \otimes_{A_2} B_2)_{h_2}\), \(A_2[y_1, \ldots, y_m]\), on obtient un diagramme comme ci-dessus où tous les schémas sont noethériens.

Remarquons que \(Y'_i/X'_i\) est un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\), car il s’obtient en prenant un sous-schéma ouvert du produit d’un espace affine avec \(Y_i/X_i\). En particulier, l’image inverse de \(c_{Y_i/X_i}\) par \((b_i/a_i)\) est la même que l’image inverse de \(c_{Y'_i/X'_i}\) par \(Y/X \to Y'_i/X'_i\). La démonstration serait alors achevée si \(Y'/X'\) était un objet de \(\mathcal{C}_{nice}\) (mais ce n’est probablement pas le cas). En effet, en prenant l’image inverse de \(c_{Y'/X'}\) le long des deux côtés du carré, on obtiendrait la conclusion voulue. Pour contourner le fait que \(Y'/X'\) n’appartient pas à \(\mathcal{C}_{nice}\), remarquons que les arguments ci-dessus montrent qu’après avoir éventuellement rétréci tous les schémas \(X, Y, X'_1, Y'_1, X'_2, Y'_2, X', Y'\), on peut trouver \(n, d \geq 1\) et prolonger le diagramme comme suit : \[\xymatrix{ & Y/X \ar[ld] \ar[rd] \\ Y'_1/X'_1 \ar[rd] & & Y'_2/X'_2 \ar[ld] \\ & Y'/X' \ar[d] \\ & Y_{n, d}/X_{n, d} }\] On peut alors utiliser l’argument déjà donné en prenant l’image inverse de \(c_{Y_{n, d}/X_{n, d}}\). La démonstration est achevée.

Une généralisation de la différente

Dans cette section, nous généralisons la définition 0BW4 pour englober tous les homomorphismes d’anneaux \(A \to B\) pour lesquels la différente de Dedekind est définie et \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\). Expliquons d’abord la condition « \(A \to B\) envoie les non-diviseurs de zéro sur des non-diviseurs de zéro et induit un homomorphisme plat \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\) ».

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens. Considérons les conditions

1. les non-diviseurs de zéro de \(A\) s’envoient sur des non-diviseurs de zéro de \(B\) ;

2. (1) est satisfaite et \(Q(A) \to Q(A) \otimes_A B\) est plat ;

3. \(A \to B_\mathfrak q\) est plat pour tout \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\) ;

4. (3) est satisfaite et \(A \to B_\mathfrak q\) est plat pour tout \(\mathfrak q\) au-dessus d’un élément de \(\text{Ass}(A)\).

On a alors les implications suivantes : \[\xymatrix{ (1) & (2) \ar@{=>}[l] \ar@{=>}[d] \\ (3) \ar@{=>}[u] & (4) \ar@{=>}[l] }\] Si \(A \to B\) vérifie la propriété de montée, (2) et (4) sont équivalentes.

Démonstration

Les implications horizontales du diagramme sont triviales. Soit \(S \subset A\) l’ensemble des non-diviseurs de zéro, de sorte que \(Q(A) = S^{-1}A\) et \(Q(A) \otimes_A B = S^{-1}B\). Rappelons que \(S = A \setminus \bigcup_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} \mathfrak p\) d’après Algèbre, lemme 00LD. Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\).

Supposons (2). Si \(\mathfrak q \in \text{Ass}(B)\), alors \(\mathfrak q\) est constitué de diviseurs de zéro ; (1) entraîne donc qu’il en est de même de \(\mathfrak p\). Ainsi \(\mathfrak p\) correspond à un idéal premier de \(S^{-1}A\). Par conséquent, \(A \to B_\mathfrak q\) est plat d’après l’hypothèse (2). Si \(\mathfrak q\) est au-dessus d’un idéal premier associé \(\mathfrak p\) de \(A\), alors on a certainement \(\mathfrak p \in \Spec(S^{-1}A)\), et le même argument s’applique.

Supposons (3). Soit \(f \in A\) un non-diviseur de zéro. Si \(f\) était diviseur de zéro sur \(B\), alors \(f\) appartiendrait à un idéal premier associé \(\mathfrak q\) de \(B\). Puisque \(A \to B_\mathfrak q\) est plat par hypothèse, on en déduit que \(\mathfrak p\) est un idéal premier associé de \(A\), d’après Algèbre, lemme 0312. Cela entraînerait que \(f\) est diviseur de zéro sur \(A\), contradiction.

Supposons (4) et la propriété de montée pour \(A \to B\). Nous savons déjà que (1) est satisfaite. Si \(\mathfrak q\) correspond à un idéal premier de \(S^{-1}B\), alors \(\mathfrak p\) est contenu dans un idéal premier associé \(\mathfrak p'\) de \(A\). Par la propriété de montée, il existe un idéal premier \(\mathfrak q'\) contenant \(\mathfrak q\) et situé au-dessus de \(\mathfrak p\). Alors \(A \to B_{\mathfrak q'}\) est plat d’après (4). Donc \(A \to B_{\mathfrak q}\) est plat, en tant que localisation. Ainsi \(A \to S^{-1}B\) est plat, de même que \(S^{-1}A \to S^{-1}B\), voir Algèbre, lemme 00HT.

Remarque

On peut généraliser la définition 0BW4. Supposons que \(f : Y \to X\) soit un morphisme quasi-fini de schémas noethériens possédant les propriétés suivantes :

1. l’ouvert \(V \subset Y\) où \(f\) est plat contient \(\text{Ass}(\mathcal{O}_Y)\) et \(f^{-1}(\text{Ass}(\mathcal{O}_X))\) ;

2. l’élément trace \(\tau_{V/X}\) provient d’une section \(\tau \in \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\).

La condition (1) entraîne que \(V\) contient les points associés de \(\omega_{Y/X}\), d’après le lemme 0BVD. En particulier, \(\tau\) est unique s’il existe (Diviseurs, lemme 0B3L). Étant donné \(\tau\), on peut définir la différente \(\mathfrak{D}_f\) comme l’annulateur de \(\Coker(\tau : \mathcal{O}_Y \to \omega_{Y/X})\). Elle coïncide avec la différente de Dedekind dans de nombreux cas (lemme 0BWN). Cependant, pour les homomorphismes non plats entre anneaux non normaux, cette généralisation ne mesure plus la ramification du morphisme, voir l’exemple 0BWP.

Lemme

Supposons que la différente de Dedekind de \(A \to B\) soit définie. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). La généralisation de la remarque 0BWM s’applique au morphisme \(f : Y \to X\) si et seulement si \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) (par exemple si \(A\) est normal, voir le lemme 0BW1). Dans ce cas, \(\mathfrak{D}_{B/A}\) est un idéal de \(B\) et l’on a \[\mathfrak{D}_f = \widetilde{\mathfrak{D}_{B/A}}\] comme faisceaux cohérents d’idéaux sur \(Y\).

Démonstration

La différente de Dedekind de \(A \to B\) étant définie, on peut appliquer le lemme 0BWL pour voir que \(Y \to X\) vérifie la condition (1) de la remarque 0BWM. Rappelons qu’il existe un isomorphisme canonique \(c : \mathcal{L}_{B/A} \to \omega_{B/A}\), voir le lemme 0BW2. Soient \(K = Q(A)\) et \(L = K \otimes_A B\) comme ci-dessus. Par construction, l’application \(c\) s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{L}_{B/A} \ar[r] \ar[d]_c & L \ar[d] \\ \omega_{B/A} \ar[r] & \Hom_K(L, K) }\] où la flèche verticale de droite envoie \(x \in L\) sur l’application \(y \mapsto \text{Trace}_{L/K}(xy)\), et la flèche horizontale inférieure est l’application de changement de base (0BVB) pour \(\omega_{B/A}\). On peut factoriser l’application horizontale inférieure en \[\omega_{B/A} = \Gamma(Y, \omega_{Y/X}) \to \Gamma(V, \omega_{V/X}) \to \Hom_K(L, K)\] Puisque tous les points associés de \(\omega_{V/X}\) s’envoient sur des idéaux premiers associés de \(A\) (lemme 0BVD), la seconde application est injective. L’élément \(\tau_{V/X}\) s’envoie sur \(\text{Trace}_{L/K}\) dans \(\Hom_K(L, K)\) par la définition même des éléments trace (définition 0BT6). Ainsi un \(\tau\) comme dans la condition (2) de la remarque 0BWM existe si et seulement si \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\), et l’on a alors \(\tau = c(1)\). Dans ce cas, d’après le lemme 0BW1, on voit que \(\mathfrak{D}_{B/A} \subset B\). Enfin, l’égalité de \(\mathfrak{D}_f\) et de \(\mathfrak{D}_{B/A}\) découle immédiatement des définitions et du fait que \(\tau = c(1)\), établi ci-dessus.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soient \(A = k[x, y]/(xy)\) et \(B = k[u, v]/(uv)\), et soit \(A \to B\) donné par \(x \mapsto u^n\) et \(y \mapsto v^m\), pour des \(n, m \in \mathbf{N}\) premiers à la caractéristique de \(k\). Alors \(A_{x + y} \to B_{x + y}\) est (fini) étale, et nous sommes donc dans une situation où la différente de Dedekind est définie. Un calcul donne \[\text{Trace}_{L/K}(1) = (nx + my)/(x + y),\quad \text{Trace}_{L/K}(u^i) = 0,\quad \text{Trace}_{L/K}(v^j) = 0\] pour \(1 \leq i < n\) et \(1 \leq j < m\). On en déduit que \(1 \in \mathcal{L}_{B/A}\) si et seulement si \(n = m\). De plus, un calcul montre que, si \(n = m\), alors \(\mathcal{L}_{B/A} = B\), et la différente de Dedekind est également \(B\). Autrement dit, la différente de la remarque 0BWM est définie pour \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) si et seulement si \(n = m\), et, dans ce cas, elle est l’idéal unité. On voit donc que, dans les cas non plats, la non-annulation de la différente ne garantit pas que le morphisme soit étale ou non ramifié.

Comparaison avec la théorie de la dualité

Dans cette section, nous comparons les constructions algébriques élémentaires ci-dessus aux constructions du chapitre sur la théorie de la dualité des schémas.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini séparé de schémas noethériens. Pour tout couple d’ouverts affines \(\Spec(B) = V \subset Y\), \(\Spec(A) = U \subset X\) avec \(f(V) \subset U\), il existe un isomorphisme \[H^0(V, f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{B/A}\] où \(f^!\) est comme dans Dualité des schémas, section 0A9Y. Ces isomorphismes sont compatibles aux applications de restriction et définissent un isomorphisme canonique \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\), avec \(\omega_{Y/X}\) comme dans la remarque 0BVG. De même, si \(f : Y \to X\) est un morphisme quasi-fini de schémas de type fini sur une base noethérienne \(S\) munie d’un complexe dualisant \(\omega_S^\bullet\), alors \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) = \omega_{Y/X}\).

Démonstration

Le théorème principal de Zariski permet de choisir une factorisation \(f = f' \circ j\), où \(j : Y \to Y'\) est une immersion ouverte et \(f' : Y' \to X\) un morphisme fini, voir Compléments sur les morphismes, lemme 05K0. Par la construction de Dualité des schémas, lemme 0AA0, on a \(f^! = j^* \circ a'\), où \(a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'})\) est l’adjoint à droite de \(Rf'_*\) donné par Dualité des schémas, lemme 0A9E. D’après Dualité des schémas, lemme 0AX2, on voit que \(\Phi(a'(\mathcal{O}_X)) = R\SheafHom(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh^+(f'_*\mathcal{O}_{Y'})\). En particulier, \(a'(\mathcal{O}_X)\) a des faisceaux de cohomologie nuls en degrés \(< 0\). Le faisceau de cohomologie de degré zéro est déterminé par l’isomorphisme \[f'_*H^0(a'(\mathcal{O}_X)) = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f'_*\mathcal{O}_{Y'}, \mathcal{O}_X)\] de \(f'_*\mathcal{O}_{Y'}\)-modules via l’équivalence de Morphismes, lemme 01SB. En écrivant \((f')^{-1}U = V' = \Spec(B')\), on obtient \[H^0(V', a'(\mathcal{O}_X)) = \Hom_A(B', A).\] Puisque le faisceau de cohomologie de degré zéro de \(a'(\mathcal{O}_X)\) est un module quasi-cohérent, on trouve que sa restriction à \(V\) est donnée par \(\omega_{B/A} = \Hom_A(B', A) \otimes_{B'} B\), comme annoncé.

L’assertion sur les applications de restriction signifie que celles du \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module quasi-cohérent \(H^0(a'(\mathcal{O}_X))\) pour les ouverts de \(Y'\) coïncident avec les applications définies dans le lemme 0BT2 pour les modules \(\omega_{B/A}\) via les isomorphismes ci-dessus. C’est clair.

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini de schémas de type fini sur une base noethérienne \(S\) munie d’un complexe dualisant \(\omega_S^\bullet\). Considérons des ouverts \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) avec \(f(V) \subset U\), et \(V\) et \(U\) séparés sur \(S\). Notons \(f|_V : V \to U\) la restriction de \(f\). D’après la discussion ci-dessus et Dualité des schémas, lemme 0AUE, on a des isomorphismes canoniques \[H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X)|_V = H^0((f|_V)^!\mathcal{O}_U) = \omega_{V/U} = \omega_{Y/X}|_V\] Nous omettons la vérification que ces isomorphismes se recollent en un isomorphisme global \(H^0(f_{new}^!\mathcal{O}_X) \to \omega_{Y/X}\).

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini plat de schémas noethériens. L’application \[\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_X\] de la section 0BVH correspond à une application \(\mathcal{O}_Y \to f^!\mathcal{O}_X\) (voir la démonstration). Notons \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, f^!\mathcal{O}_X)\) l’image de \(1\). Via l’isomorphisme \(H^0(f^!\mathcal{O}_X) = \omega_{X/Y}\) du lemme 0BUL, cela coïncide avec la construction de la remarque 0BVJ.

Démonstration

Le foncteur \(f^!\) est défini dans Dualité des schémas, section 0A9Y. Puisque \(f\) est fini (donc propre), \(f^!\) est donné par l’adjoint à droite de l’image directe par \(f\). Dans Dualité des schémas, section 0AWZ, nous avons explicité cet adjoint. En particulier, l’objet \(f^!\mathcal{O}_X\) consiste en un seul faisceau de cohomologie placé en degré \(0\), et l’on a pour ce faisceau \[f_*f^!\mathcal{O}_X = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\] Pour le voir, on utilise aussi le fait que \(f_*\mathcal{O}_Y\) est fini localement libre, car \(f\) est un morphisme fini plat de schémas noethériens, et donc que tous les faisceaux Ext supérieurs sont nuls. Certains détails sont omis. Finalement, \[\text{Trace}_f \in \Hom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X, f_*f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X)\] D’autre part, on a \(f^!\mathcal{O}_X = \omega_{Y/X}\) par l’identification du lemme 0BUL. On dispose donc maintenant de deux éléments, à savoir \(\text{Trace}_f\) et \(\tau_{Y/X}\) de la remarque 0BVJ, dans \[\Gamma(Y, f^!\mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, \omega_{Y/X})\] et le lemme affirme qu’ils sont égaux.

Soit \(U = \Spec(A) \subset X\) un ouvert affine d’image inverse \(V = \Spec(B) \subset Y\). Puisque \(f\) est fini, \(A \to B\) est fini et l’on a donc \(\omega_{Y/X}(V) = \Hom_A(B,A)\) par construction ; cet isomorphisme coïncide avec l’identification de \(f_*f^!\mathcal{O}_Y\) avec \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_X)\) décrite ci-dessus. L’égalité de \(\text{Trace}_f\) et de \(\tau_{Y/X}\) découle donc du fait que \(\tau_{B/A} = \text{Trace}_{B/A}\) d’après le lemme 0BT8.

Morphismes quasi-finis de Gorenstein

Cette section traite des morphismes quasi-finis de Gorenstein.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini de schémas noethériens. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est de Gorenstein ;

2. \(f\) est plat et les fibres de \(f\) sont de Gorenstein ;

3. \(f\) est plat et \(\omega_{Y/X}\) est inversible (remarque 0BVG) ;

4. pour tout \(y \in Y\), il existe des ouverts affines \(y \in V = \Spec(B) \subset Y\), \(U = \Spec(A) \subset X\) avec \(f(V) \subset U\) tels que \(A \to B\) soit plat et \(\omega_{B/A}\) soit un \(B\)-module inversible.

Démonstration

Les conditions (1) et (2) sont équivalentes par définition. Les conditions (3) et (4) sont équivalentes par la construction de \(\omega_{Y/X}\) dans la remarque 0BVG. Il faut donc montrer que (1)-(2) équivaut à (3)-(4).

Première démonstration. En travaillant localement sur les ouverts affines, on peut supposer \(f\) séparé et appliquer le lemme 0BUL pour voir que \(\omega_{Y/X}\) est le faisceau de cohomologie de degré zéro de \(f^!\mathcal{O}_X\). Sous chacune des deux hypothèses, \(f\) est plat et quasi-fini ; \(f^!\mathcal{O}_X\) est donc isomorphe à \(\omega_{Y/X}[0]\), voir Dualité des schémas, lemme 0BV7. Ainsi l’équivalence découle de Dualité des schémas, lemme 0C08.

Deuxième démonstration. D’après le lemme 0DWK, il suffit d’établir l’équivalence de (2) et (3) lorsque \(X\) est le spectre d’un corps \(k\). Alors \(Y = \Spec(B)\), où \(B\) est une \(k\)-algèbre finie. Dans ce cas, \(\omega_{B/A} = \omega_{B/k} = \Hom_k(B, k)\), placé en degré \(0\), est un complexe dualisant de \(B\), voir Complexes dualisants, lemme 0AX0. L’équivalence découle donc de Complexes dualisants, lemme 0DW9.

Remarque

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini de Gorenstein de schémas noethériens. Soient \(\mathfrak D_f \subset \mathcal{O}_Y\) la différente et \(R \subset Y\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathfrak D_f\). On a alors

1. \(\mathfrak D_f\) est un idéal localement principal ;

2. \(R\) est un sous-schéma fermé localement principal ;

3. \(\mathfrak D_f\) coïncide, localement sur les ouverts affines, avec la différente de Noether ;

4. la formation de \(R\) commute au changement de base ;

5. si \(f\) est fini, la norme de \(R\) est le discriminant de \(f\) ;

6. si \(f\) est étale aux points associés de \(Y\), alors \(R\) est un diviseur de Cartier effectif et \(\omega_{Y/X} = \mathcal{O}_Y(R)\).

Cela résulte des lemmes 0BW6, 0BW7 et 0BWA.

Remarque

Soit \(S\) un schéma noethérien muni d’un complexe dualisant \(\omega_S^\bullet\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-fini de Gorenstein de schémas compactifiables sur \(S\). Supposons de plus \(Y\) et \(X\) de Cohen-Macaulay et \(f\) étale aux points génériques de \(Y\). On peut alors combiner Dualité des schémas, remarque 0C10 et la remarque 0C17 pour obtenir un isomorphisme canonique \[\omega_Y = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \omega_{Y/X} = f^*\omega_X \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(R)\] de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Si \(f\) est en outre fini, l’isomorphisme \(\mathcal{O}_Y(R) = \omega_{Y/X}\) provient de la section globale \(\tau_{Y/X} \in H^0(Y, \omega_{Y/X})\) qui correspond par dualité à l’application \(\text{Trace}_f : f_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\), voir le lemme 0BVI.