Propriétés des espaces algébriques

Introduction

Veuillez consulter Espaces, section 025S, pour une brève introduction aux espaces algébriques, et lire aussi une partie de ce chapitre pour nos définitions et conventions de base concernant les espaces algébriques. Dans le présent chapitre, nous introduisons quelques notions et propriétés élémentaires des espaces algébriques. Une référence fondamentale pour le cas des espaces algébriques quasi-séparés est [Kn].

L’exposé est parfois quelque peu malaisé, car nous avons choisi de traiter d’abord des propriétés des espaces algébriques en eux-mêmes, et seulement plus tard de celles des morphismes d’espaces algébriques. Nous dérogeons à cette règle pour les morphismes étales d’espaces algébriques, que nous introduisons à la section 03FQ. Mais, jusqu’à cette section, lorsque nous disons qu’un morphisme possède une propriété donnée, cela signifie automatiquement que sa source est un schéma (ou peut-être que le morphisme est représentable).

Certains résultats de ce chapitre (notamment ceux qui concernent les points) seront améliorés dans le chapitre consacré aux espaces algébriques décents.

Conventions

On suppose une fois pour toutes que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tous les anneaux \(A\) considérés sont tels que \(\Spec(A)\) soit (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\). Nous voulons ainsi éviter toute confusion lorsque nous changeons de schéma de base, comme dans Espaces, section 03I3.

Axiomes de séparation

Dans cette section, nous réunissons toutes les conditions de séparation « absolues » des espaces algébriques. Puisque, selon nos conventions, tout espace algébrique est un espace algébrique sur un schéma de base bien déterminé, toute propriété absolue de \(X\) sur \(S\) correspond à une condition imposée à \(X\) considéré comme espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). En voici la formulation précise.

Définition

(Comparer avec Espaces, définition 02X5.) Considérons un grand site fppf \(\Sch_{fppf} = (\Sch/\Spec(\mathbf{Z}))_{fppf}\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(\Delta : X \to X \times X\) le morphisme diagonal.

1. On dit que \(X\) est séparé si \(\Delta\) est une immersion fermée.

2. On dit que \(X\) est localement séparé¹ si \(\Delta\) est une immersion.

3. On dit que \(X\) est quasi-séparé si \(\Delta\) est quasi-compact.

4. On dit que \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski² s’il existe un recouvrement de Zariski \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\) (voir Espaces, définition 02YY) tel que chaque \(X_i\) soit quasi-séparé.

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\), et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit alors que \(X\) est séparé, localement séparé, quasi-séparé ou localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski si \(X\), considéré comme espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) (voir Espaces, définition 03I5), possède la propriété correspondante.

Un espace algébrique \(X\) sur \(S\) qui est séparé (au sens absolu ci-dessus) est bien séparé sur \(S\) (et il en va de même pour les autres propriétés absolues de séparation ci-dessus). Ce point sera étudié en détail dans Morphismes d’espaces, section 03HJ. Nous verrons au lemme 03W7 que la propriété d’être localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski est indépendante du schéma de base (et donc équivalente à la notion absolue).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On a les implications suivantes entre les axiomes de séparation de la définition 03BS :

1. la propriété d’être séparé entraîne toutes les autres,

2. la propriété d’être quasi-séparé entraîne celle d’être localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un espace algébrique quasi-séparé,

2. pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\) et \(V\) sont des schémas quasi-compacts, le produit fibré \(U \times_X V\) est quasi-compact,

3. pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\) et \(V\) sont affines, le produit fibré \(U \times_X V\) est quasi-compact.

Démonstration

Le lemme 04SG d’Espaces permet de supposer que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Puisque \(U \times_X V = X \times_{X \times X} (U \times V)\) et que \(U \times V\) est quasi-compact lorsque \(U\) et \(V\) le sont, on voit que (1) entraîne (2). Il est clair que (2) entraîne (3). Supposons (3). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Alors \(W \times W \to X \times X\) est étale surjectif. Il suffit donc de montrer que \[j : W \times_X W = X \times_{(X \times X)} (W \times W) \to W \times W\] est quasi-compact, voir Espaces, lemme 03KD. Si \(U \subset W\) et \(V \subset W\) sont des ouverts affines, alors \(j^{-1}(U \times V) = U \times_X V\) est quasi-compact par hypothèse. Puisque les ouverts affines \(U \times V\) forment un recouvrement ouvert affine de \(W \times W\) (Schémas, lemme 01JS), on conclut par Schémas, lemme 01K4.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un espace algébrique séparé,

2. pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\) et \(V\) sont affines, le produit fibré \(U \times_X V\) est affine et \[\mathcal{O}(U) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(U \times_X V)\] est surjectif.

Démonstration

Le lemme 04SG d’Espaces permet de supposer que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Puisque \(U \times_X V = X \times_{X \times X} (U \times V)\) et que \(U \times V\) est affine lorsque \(U\) et \(V\) le sont, on voit que (1) entraîne (2). Supposons (2). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Alors \(W \times W \to X \times X\) est étale surjectif. Il suffit donc de montrer que \[j : W \times_X W = X \times_{(X \times X)} (W \times W) \to W \times W\] est une immersion fermée, voir Espaces, lemme 03KD. Si \(U \subset W\) et \(V \subset W\) sont des ouverts affines, alors \(j^{-1}(U \times V) = U \times_X V\) est affine par hypothèse et le morphisme \(U \times_X V \to U \times V\) est une immersion fermée, car l’homomorphisme d’anneaux correspondant est surjectif. Puisque les ouverts affines \(U \times V\) forment un recouvrement ouvert affine de \(W \times W\) (Schémas, lemme 01JS), on conclut par Morphismes, lemme 01QO.

Points des espaces algébriques

Comme il ressort clairement de Espaces, exemple 02Z7, il ne convient pas de définir un point d’un espace algébrique comme un monomorphisme ayant pour source le spectre d’un corps. Nous définissons plutôt les points comme des classes d’équivalence de morphismes de spectres de corps, exactement comme expliqué dans Schémas, section 01J5.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F\) un préfaisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(K\) un corps. Considérons un morphisme \[\Spec(K) \longrightarrow F.\] D’après le lemme de Yoneda, celui-ci est donné par un élément \(p \in F(\Spec(K))\). On dit que deux tels couples \((\Spec(K), p)\) et \((\Spec(L), q)\) sont équivalents s’il existe un troisième corps \(\Omega\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r] \ar[d] & \Spec(L) \ar[d]^q \\ \Spec(K) \ar[r]^p & F. }\] Autrement dit, il existe des extensions de corps \(K \to \Omega\) et \(L \to \Omega\) telles que les images de \(p\) et de \(q\) coïncident dans \(F(\Spec(\Omega))\). Nous omettons la vérification du fait que ceci définit une relation d’équivalence.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un point de \(X\) est une classe d’équivalence de morphismes de spectres de corps vers \(X\). L’ensemble des points de \(X\) est noté \(|X|\).

Notons que, si \(f : X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), alors on dispose d’une application induite \(|f| : |X| \to |Y|\) qui envoie un représentant \(x : \Spec(K) \to X\) sur le représentant \(f \circ x : \Spec(K) \to Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un schéma sur \(S\). Les points de \(X\) en tant que schéma sont canoniquement en bijection avec les points de \(X\) en tant qu’espace algébrique.

Démonstration

C’est Schémas, lemme 01J9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Alors l’application entre les ensembles de points \[|Z \times_Y X| \longrightarrow |Z| \times_{|Y|} |X|\] est surjective.

Démonstration

En effet, soient des corps \(K\), \(L\) et des morphismes \(\Spec(K) \to X\), \(\Spec(L) \to Z\). L’hypothèse que leurs images dans \(|Y|\) coïncident signifie qu’il existe une extension commune \(M/K\) et \(M/L\) telle que les morphismes \(\Spec(M) \to \Spec(K) \to X \to Y\) et \(\Spec(M) \to \Spec(L) \to Z \to Y\) coïncident. C’est précisément la condition qui assure l’existence d’un morphisme \(\Spec(M) \to Z \times_Y X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(f : T \to X\) un morphisme d’un schéma vers \(X\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f : T \to X\) est surjectif (au sens de Espaces, définition 025V), et

2. \(|f| : |T| \to |X|\) est surjectif.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(x : \Spec(K) \to X\) un morphisme du spectre d’un corps vers \(X\). Par hypothèse, le morphisme de schémas \(\Spec(K) \times_X T \to \Spec(K)\) est surjectif. Il existe donc une extension de corps \(K'/K\) et un morphisme \(\Spec(K') \to \Spec(K) \times_X T\) tels que le carré de gauche du diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \times_X T \ar[d] \ar[r] & T \ar[d] \\ \Spec(K) \ar@{=}[r] & \Spec(K) \ar[r]^-x & X }\] soit commutatif. Cela montre que \(|f| : |T| \to |X|\) est surjectif.

Supposons (2). Soit \(Z \to X\) un morphisme, où \(Z\) est un schéma. Il faut montrer que le morphisme de schémas \(Z \times_X T \to Z\) est surjectif, c’est-à-dire que \(|Z \times_X T| \to |Z|\) est surjectif. Cela résulte de (2) et du lemme 03H4.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = U/R\) une présentation de \(X\), voir Espaces, définition 0263. Alors l’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est une relation d’équivalence et \(|X|\) est le quotient de \(|U|\) par cette relation d’équivalence.

Démonstration

L’hypothèse signifie que \(U\) est un schéma, que \(p : U \to X\) est un morphisme étale surjectif, que \(R = U \times_X U\) est un schéma et définit une relation d’équivalence étale sur \(U\) telle que \(X = U/R\) comme faisceaux. D’après le lemme 03H5, on voit que \(|U| \to |X|\) est surjective. D’après le lemme 03H4, l’application \[|R| \longrightarrow |U| \times_{|X|} |U|\] est surjective. L’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est donc exactement l’ensemble des couples \((u_1, u_2) \in |U| \times |U|\) tels que \(u_1\) et \(u_2\) aient la même image dans \(|X|\). En réunissant ces deux assertions, on obtient le résultat du lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Il existe une unique topologie sur les ensembles de points des espaces algébriques sur \(S\) qui possède les propriétés suivantes :

1. si \(X\) est un schéma sur \(S\), la topologie sur \(|X|\) est la topologie usuelle (via l’identification du lemme 03BV),

2. pour tout morphisme d’espaces algébriques \(X \to Y\) sur \(S\), l’application \(|X| \to |Y|\) est continue, et

3. pour tout morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, l’application d’espaces topologiques \(|U| \to |X|\) est continue et ouverte.

Démonstration

Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(p : U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma sur \(S\). On déclare que \(W \subset |X|\) est ouvert si et seulement si \(|p|^{-1}(W)\) est une partie ouverte de \(|U|\). Cela définit une topologie sur \(|X|\) (c’est la topologie quotient sur \(|X|\), voir Topologie, lemme 08ZK).

Montrons que la topologie est indépendante du choix de la présentation. Pour cela, il suffit de montrer que, si \(U'\) est un schéma et \(U' \to X\) un morphisme étale, alors l’application \(|U'| \to |X|\) (la topologie sur \(|X|\) étant définie à l’aide de \(U \to X\) comme ci-dessus) est ouverte et continue, ce qui démontrera en outre (3). Posons \(U'' = U \times_X U'\) ; on a alors le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U \ar[r] & X }\] Puisque \(U \to X\) et \(U' \to X\) sont étales, on voit que \(U'' \to U\) et \(U'' \to U'\) sont tous deux des morphismes étales de schémas. De plus, \(U'' \to U'\) est surjectif. On obtient donc un diagramme commutatif d’applications d’ensembles \[\xymatrix{ |U''| \ar[r] \ar[d] & |U'| \ar[d] \\ |U| \ar[r] & |X| }\] La flèche horizontale inférieure est surjective (voir le lemme 03H5 ou le lemme 03BW) et continue par définition de la topologie sur \(|X|\). La flèche horizontale supérieure est surjective, continue et ouverte d’après Morphismes, lemme 03WT. La flèche verticale gauche est également continue et ouverte d’après Morphismes, lemme 03WT. Il en résulte formellement que la flèche verticale droite est continue et ouverte.

Pour achever la démonstration, prouvons (2). Soit \(a : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. D’après Espaces, lemme 02X1, on peut trouver un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^a & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, et où \(p\) et \(q\) sont étales et surjectifs. On en déduit le diagramme \[\xymatrix{ |U| \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & |V| \ar[d]^q \\ |X| \ar[r]^a & |Y| }\] où toutes les flèches sauf l’horizontale inférieure sont continues et où les deux flèches verticales sont surjectives et ouvertes. Il s’ensuit que la flèche horizontale inférieure est continue, comme voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). L’espace topologique sous-jacent à \(X\) est l’ensemble des points \(|X|\) muni de la topologie construite au lemme 03BX.

Il se trouve que cet espace topologique porte la même information que le petit site de Zariski \(X_{Zar}\) de Espaces, définition 02YZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. La règle \(X' \mapsto |X'|\) définit une bijection respectant les inclusions entre les sous-espaces ouverts \(X'\) (voir Espaces, définition 02YU) de \(X\) et les ouverts de l’espace topologique \(|X|\).

2. Une famille \(\{X_i \subset X\}_{i \in I}\) de sous-espaces ouverts de \(X\) est un recouvrement de Zariski (voir Espaces, définition 02YY) si et seulement si \(|X| = \bigcup |X_i|\).

Autrement dit, le petit site de Zariski \(X_{Zar}\) de \(X\) s’identifie canoniquement à un site associé à l’espace topologique \(|X|\) (voir Sites, exemple 00VJ).

Démonstration

Pour démontrer (1), construisons l’inverse de cette règle. Supposons donc que \(W \subset |X|\) soit ouvert. Choisissons une présentation \(X = U/R\) correspondant au morphisme étale surjectif \(p : U \to X\) et aux morphismes étales \(s, t : R \to U\). Par construction, on voit que \(|p|^{-1}(W)\) est un ouvert de \(U\). Notons \(W' \subset U\) le sous-schéma ouvert correspondant. Il est clair que \(R' = s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\) est un ouvert de Zariski de \(R\) qui définit une relation d’équivalence étale sur \(W'\). D’après Espaces, lemme 02WU, le morphisme \(X' = W'/R' \to X\) est une immersion ouverte. Ainsi, \(X'\) est un espace algébrique d’après Espaces, lemme 02WY. Par construction, \(|X'| = W\), c’est-à-dire que \(X'\) est un sous-espace de \(X\) correspondant à \(W\). Cela démontre (1).

Pour démontrer (2), notons que, si \(\{X_i \subset X\}_{i \in I}\) est une famille de sous-espaces ouverts, elle est un recouvrement de Zariski si et seulement si \(U = \bigcup U \times_X X_i\) est un recouvrement ouvert. Cela résulte de la définition d’un recouvrement de Zariski et du fait que le morphisme \(U \to X\) est surjectif comme morphisme de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). D’autre part, on voit que \(|X| = \bigcup |X_i|\) si et seulement si \(U = \bigcup U \times_X X_i\) d’après le lemme 03BW (et le fait que les projections \(U \times_X X_i \to X_i\) sont surjectives et étales). L’équivalence de (2) en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(X' \subset X\) un sous-espace ouvert. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f\) se factorise par \(X'\) si et seulement si \(|f| : |Y| \to |X|\) se factorise par \(|X'| \subset |X|\).

Démonstration

D’après Espaces, lemme 02YW, on voit que \(Y' = Y \times_X X' \to Y\) est une immersion ouverte. Si \(|f|(|Y|) \subset |X'|\), alors \(|Y'| = |Y|\) manifestement. Ainsi, \(Y' = Y\) d’après le lemme 03BZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un schéma et soit \(f : U \to X\) un morphisme étale. Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert correspondant à l’ouvert \(|f|(|U|) \subset |X|\) par le lemme 03BZ. Alors \(f\) se factorise par un morphisme étale surjectif \(f' : U \to X'\). En outre, si \(R = U \times_X U\), alors \(R = U \times_{X'} U\) et \(X'\) admet la présentation \(X' = U/R\).

Démonstration

L’existence de la factorisation résulte du lemme 03IE. Le morphisme \(f'\) est surjectif d’après le lemme 03H5. Pour voir que \(f'\) est étale, soit \(T \to X'\) un morphisme, où \(T\) est un schéma. Alors \(T \times_X U = T \times_{X'} U\), car \(X' \to X\) est un monomorphisme de faisceaux. Ainsi, la projection \(T \times_{X'} U \to T\) est étale puisque \(f\) est supposé étale. On a \(U \times_X U = U \times_{X'} U\), car \(X' \to X\) est un monomorphisme. Alors \(X' = U/R\) résulte de Espaces, lemme 0262.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(p : \Spec(K) \to X\) et \(q : \Spec(L) \to X\) des morphismes, où \(K\) et \(L\) sont des corps. Supposons que \(p\) et \(q\) déterminent le même point de \(|X|\) et que \(p\) soit un monomorphisme. Alors \(q\) se factorise de manière unique par \(p\).

Démonstration

Puisque \(p\) et \(q\) définissent le même point de \(|X|\), on voit que le schéma \[Y = \Spec(K) \times_{p, X, q} \Spec(L)\] est non vide. Comme tout changement de base d’un monomorphisme est un monomorphisme, cela signifie que le morphisme de projection \(Y \to \Spec(L)\) est un monomorphisme. Ainsi, \(Y = \Spec(L)\), voir Schémas, lemme 03DP. On en conclut que \(q\) se factorise par \(p\). L’unicité résulte du fait que \(p\) est un monomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Considérons l’application \[\{\Spec(k) \to X \text{ monomorphisme où }k\text{ est un corps}\} \longrightarrow |X|\] Cette application est injective.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0H2X.

Nous verrons dans Espaces algébriques décents, lemme 03K4, que l’application du lemme 03E1 est bijective lorsque \(X\) est décent.

Espaces quasi-compacts

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit que \(X\) est quasi-compact s’il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(X\) est quasi-compact si et seulement si \(|X|\) est quasi-compact.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Nous utiliserons le lemme 03H5. Si \(U\) est quasi-compact, alors, puisque \(|U| \to |X|\) est surjective, on en conclut que \(|X|\) est quasi-compact. Si \(|X|\) est quasi-compact, alors, puisque \(|U| \to |X|\) est ouverte, on voit qu’il existe un ouvert quasi-compact \(U' \subset U\) tel que \(|U'| \to |X|\) soit surjective (et encore étale). D’où le résultat.

Lemme

Une somme disjointe finie d’espaces algébriques quasi-compacts est un espace algébrique quasi-compact.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 03E4 et du fait topologique correspondant.

Exemple

L’espace \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z}\) est un espace algébrique quasi-compact.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Tout point de \(|X|\) admet un système fondamental de voisinages ouverts quasi-compacts. En particulier, \(|X|\) est localement quasi-compact au sens de Topologie, définition 0068.

Démonstration

Cela découle formellement du fait qu’il existe un schéma \(U\) et une application surjective, ouverte et continue \(U \to |X|\) entre espaces topologiques. Plus précisément, si \(u \in U\) a pour image \(x \in |X|\), alors les images des voisinages affines de \(u\) forment un système fondamental de voisinages ouverts quasi-compacts de \(x\).

Recouvrements spéciaux

Dans cette section, nous réunissons quelques lemmes immédiats sur l’existence de recouvrements étales surjectifs d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est une somme disjointe de schémas affines. On peut en outre supposer que chacun de ces schémas affines est envoyé dans un ouvert affine de \(S\).

Démonstration

Soit \(V \to X\) un morphisme étale surjectif. Soit \(V = \bigcup_{i \in I} V_i\) un recouvrement ouvert de Zariski tel que chaque \(V_i\) soit envoyé dans un ouvert affine de \(S\). Posons alors \(U = \coprod_{i \in I} V_i\), muni du morphisme induit \(U \to V \to X\). Celui-ci est étale et surjectif, car il est composé de transformations représentables de foncteurs qui sont étales et surjectives (d’après le principe général de Espaces, lemme 02WK et de Morphismes, lemmes 01S0 et 02GN).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Il existe un recouvrement de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que chaque espace algébrique \(X_i\) admette un recouvrement étale surjectif par un schéma affine. On peut en outre supposer que chaque \(X_i\) soit envoyé dans un ouvert affine de \(S\).

Démonstration

D’après le lemme 03FX, on peut trouver un morphisme étale surjectif \(U = \coprod U_i \to X\), où chaque \(U_i\) est affine et est envoyé dans un ouvert affine de \(S\). Soit \(X_i \subset X\) le sous-espace ouvert de \(X\) tel que \(U_i \to X\) se factorise par un morphisme étale surjectif \(U_i \to X_i\), voir le lemme 06NF. Puisque \(U = \bigcup U_i\), on voit que \(X = \bigcup X_i\). Comme \(U_i \to X_i\) est surjectif, il s’ensuit que \(X_i \to S\) se factorise par un ouvert affine de \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(X\) est quasi-compact si et seulement s’il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\) où \(U\) est un schéma affine.

Démonstration

S’il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\) où \(U\) est affine, alors \(X\) est quasi-compact par la définition 03E3. Réciproquement, si \(X\) est quasi-compact, alors \(|X|\) est quasi-compact. Soit \(U = \coprod_{i \in I} U_i\) une somme disjointe de schémas affines munie d’un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) (lemme 03FX). Alors \(|X| = \bigcup \varphi(|U_i|)\) et, par quasi-compacité, il existe des indices \(i_1, \ldots, i_n\) tels que \(|X| = \bigcup \varphi(|U_{i_j}|)\). Par conséquent, \(U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_n}\) est un schéma affine muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X\).

Le lemme suivant deviendra caduc lorsque nous traiterons des morphismes séparés dans le chapitre consacré aux morphismes d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un schéma séparé et soit \(U \to X\) étale. Alors \(U \to X\) est séparé, et \(R = U \times_X U\) est un schéma séparé.

Démonstration

Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(U \to X\) se factorise par un morphisme étale surjectif \(U \to X'\), voir le lemme 06NF. Si \(U \to X'\) est séparé, alors \(U \to X\) l’est aussi, voir Espaces, lemme 02WK (car l’immersion ouverte \(X' \to X\) est séparée d’après Espaces, lemme 02YO et Schémas, lemme 01L7). De plus, puisque \(U \times_{X'} U = U \times_X U\), il suffit de démontrer le résultat après avoir remplacé \(X\) par \(X'\), c’est-à-dire qu’on peut supposer \(U \to X\) surjectif. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R = U \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & X }\] Dans la démonstration de Espaces, lemme 02X4, nous avons vu que \(j : R \to U \times_S U\) est séparé. Le morphisme de schémas \(U \to S\) est séparé, puisque \(U\) est un schéma séparé, voir Schémas, lemme 01KV. Par conséquent, \(U \times_S U \to U\) est séparé en tant que changement de base, voir Schémas, lemme 01KU. Le schéma \(U \times_S U\) est donc séparé (d’après le même lemme). Puisque \(j\) est séparé, on voit de même que \(R\) est séparé. Ainsi, \(R \to U\) est un morphisme séparé (d’après Schémas, lemme 01KV, là encore). Par conséquent, d’après Espaces, lemme 02WZ et le diagramme ci-dessus, on conclut que \(U \to X\) est séparé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). S’il existe un schéma quasi-séparé \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) tel que l’une ou l’autre des projections \(U \times_X U \to U\) soit quasi-compacte, alors \(X\) est quasi-séparé.

Démonstration

On peut considérer \(X\) comme un espace algébrique sur \(\mathbf{Z}\). Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ U \times_X U \ar[r] \ar[d]_j & X \ar[d]^\Delta \\ U \times U \ar[r] & X \times X }\] Puisque \(U\) est quasi-séparé, la projection \(U \times U \to U\) est quasi-séparée (elle s’obtient par changement de base à partir d’un morphisme quasi-séparé de schémas, voir Schémas, lemme 01KU). L’hypothèse du lemme implique donc que \(j\) est quasi-compact d’après Schémas, lemme 03GI. D’après Espaces, lemme 02WZ, on voit que le morphisme \(\Delta\) est quasi-compact, comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski sur \(S\),

2. \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski,

3. il existe un recouvrement ouvert de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que, pour tout \(i\), il existe un schéma affine \(U_i\) et un morphisme étale, surjectif et quasi-compact \(U_i \to X_i\), et

4. il existe un recouvrement ouvert de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que, pour tout \(i\), il existe un schéma affine \(U_i\) qui est envoyé dans un ouvert affine de \(S\) et un morphisme étale, surjectif et quasi-compact \(U_i \to X_i\).

Démonstration

Supposons que les morphismes \(U_i \to X_i \subset X\) soient comme en (3). Pour démontrer (4), choisissons, pour tout \(i\), un recouvrement ouvert affine fini \(U_i = U_{i1} \cup \ldots \cup U_{in_i}\) tel que chaque \(U_{ij}\) soit envoyé dans un ouvert affine de \(S\). Les composés \(U_{ij} \to U_i \to X_i\) sont étales et quasi-compacts (voir Espaces, lemme 02WK). Soit \(X_{ij} \subset X_i\) le sous-espace ouvert correspondant à l’image de \(|U_{ij}| \to |X_i|\), voir le lemme 06NF. Notons que \(U_{ij} \to X_{ij}\) est quasi-compact, car \(X_{ij} \subset X_i\) est un monomorphisme et que \(U_{ij} \to X\) est quasi-compact. Alors \(X = \bigcup X_{ij}\) est un recouvrement comme en (4). L’implication (4) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate.

Supposons (4). Pour montrer que \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski sur \(S\), il suffit de montrer que \(X_i\) est quasi-séparé sur \(S\). On peut donc supposer qu’il existe un schéma affine \(U\) envoyé dans un ouvert affine de \(S\) et un morphisme étale, surjectif et quasi-compact \(U \to X\). Considérons le carré cartésien \[\xymatrix{ U \times_X U \ar[r] \ar[d] & U \times_S U \ar[d] \\ X \ar[r]^-{\Delta_{X/S}} & X \times_S X }\] La flèche verticale droite est étale et surjective (voir Espaces, lemme 02WM) et \(U \times_S U\) est affine (car \(U\) est envoyé dans un ouvert affine de \(S\), voir Schémas, section 01JO), et \(U \times_X U\) est quasi-compact, car la projection \(U \times_X U \to U\) est quasi-compacte en tant que changement de base de \(U \to X\). Il résulte de Espaces, lemme 02WZ que \(\Delta_{X/S}\) est quasi-compact, comme voulu.

Supposons (1). Pour démontrer (3), on se ramène immédiatement au cas où \(X\) est quasi-séparé sur \(S\). D’après le lemme 03FY, on peut trouver un recouvrement ouvert de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que chaque \(X_i\) soit envoyé dans un ouvert affine de \(S\) et qu’il existe des schémas affines \(U_i\) et des morphismes étales surjectifs \(U_i \to X_i\). Puisque \(U_i \to S\) se factorise par un ouvert affine de \(S\), on voit que \(U_i \times_S U_i\) est affine, voir Schémas, section 01JO. Comme \(X\) est quasi-séparé sur \(S\), les morphismes \[R_i = U_i \times_{X_i} U_i = U_i \times_X U_i \longrightarrow U_i \times_S U_i\] sont quasi-compacts en tant que changements de base de \(\Delta_{X/S}\). On en conclut que \(R_i\) est un schéma quasi-compact. Cela implique à son tour que chaque projection \(R_i \to U_i\) est quasi-compacte. Par conséquent, en appliquant Espaces, lemme 02WZ au recouvrement \(U_i \to X_i\) et au morphisme \(U_i \to X_i\), on conclut que les morphismes \(U_i \to X_i\) sont quasi-compacts, comme voulu.

On voit maintenant que (1), (3) et (4) sont équivalentes. Puisque (3) ne fait pas intervenir le schéma de base, on en conclut qu’elles sont également équivalentes à (2).

Le lemme suivant se révélera très utile.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(U\) un schéma. Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale tel que les projections \(R = U \times_X U \to U\) soient quasi-compactes ; c’est par exemple le cas si \(\varphi\) est quasi-compact. Alors les fibres de \[|U| \to |X| \quad\text{et}\quad |R| \to |X|\] sont finies.

Démonstration

Notons \(R = U \times_X U\), et \(s, t : R \to U\) les projections. Soit \(u \in U\) un point, et soit \(x \in |X|\) son image. La fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est égale à \(s(t^{-1}(\{u\}))\) d’après le lemme 03H4, et la fibre de \(|R| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est \(t^{-1}(s(t^{-1}(\{u\})))\). Puisque \(t : R \to U\) est étale et quasi-compact, ses fibres sont finies (ses fibres sont des sommes disjointes de spectres de corps d’après Morphismes, lemme 02GL, et elles sont quasi-compactes). D’où le résultat.

Propriétés des espaces définies par des propriétés des schémas

Toute propriété de schémas qui est locale pour la topologie étale donne lieu à une propriété correspondante des espaces algébriques grâce au lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de schémas locale pour la topologie étale, voir Descente, définition 0348. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) tels que le schéma \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), et

2. pour tout schéma \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), le schéma \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Si \(X\) est représentable, ces conditions équivalent à \(\mathcal{P}(X)\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Réciproquement, choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\) où \(U\) est un schéma qui possède \(\mathcal{P}\), et soit \(V\) un schéma étale sur \(X\). Alors \(U \times_X V \rightarrow V\) est un morphisme étale surjectif de schémas ; ainsi, \(V\) hérite de \(\mathcal{P}\) de \(U \times_X V\), lequel hérite à son tour de \(\mathcal{P}\) de \(U\) (voir la discussion qui suit Descente, définition 0348). La dernière assertion résulte clairement de (1) et de Descente, définition 0348.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de schémas qui est locale pour la topologie étale. Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit que \(X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si l’une des conditions équivalentes du lemme 03E8 est satisfaite.

Remarque

Voici une liste de propriétés qui sont locales pour la topologie étale (rappelons que les topologies fpqc, fppf, syntomique et lisse sont plus fines que la topologie étale) :

1. localement noethérien, voir Descente, lemme 034C,

2. de Jacobson, voir Descente, lemme 0368,

3. localement noethérien et vérifiant \((S_k)\), voir Descente, lemme 036A,

4. Cohen-Macaulay, voir Descente, lemme 036B,

5. de Gorenstein, voir Dualité pour les schémas, lemme 0C01,

6. réduit, voir Descente, lemme 034E,

7. normal, voir Descente, lemme 034F,

8. localement noethérien et vérifiant \((R_k)\), voir Descente, lemme 036C,

9. régulier, voir Descente, lemme 036D,

10. de Nagata, voir Descente, lemme 036E.

Toute propriété de germes de schémas locale pour la topologie étale donne lieu à une propriété correspondante des espaces algébriques. Voici le lemme de rigueur.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de germes de schémas locale pour la topologie étale, voir Descente, définition 04N1. Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point de \(X\). Considérons les morphismes étales \(a : U \to X\), où \(U\) est un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout \(U \to X\) comme ci-dessus et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), on a \(\mathcal{P}(U, u)\), et

2. il existe \(U \to X\) comme ci-dessus et \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\) et que l’on ait \(\mathcal{P}(U, u)\).

Si \(X\) est représentable, ces conditions équivalent à \(\mathcal{P}(X, x)\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de germes de schémas qui est locale pour la topologie étale. On dit que \(X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(x\) si l’une des conditions équivalentes du lemme 04N2 est satisfaite.

Remarque

Soit \(P\) une propriété d’anneaux locaux. Supposons que, pour tout homomorphisme étale d’anneaux \(A \to B\) et tout idéal premier \(\mathfrak q\) de \(B\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\), on ait \(P(A_\mathfrak p) \Leftrightarrow P(B_\mathfrak q)\). On obtient alors une propriété locale pour la topologie étale des germes \((U, u)\) de schémas en posant \(\mathcal{P}(U, u) = P(\mathcal{O}_{U, u})\). Dans cette situation, nous emploierons l’expression “l’anneau local de \(X\) en \(x\) possède \(P\)” pour signifier que \(X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(x\). Voici une liste de telles propriétés \(P\) :

1. noethérien, voir Compléments d’algèbre, lemme 0AGZ,

2. de dimension \(d\), voir Compléments d’algèbre, lemme 07QP,

3. régulier, voir Compléments d’algèbre, lemme 0AH0,

4. anneau de valuation discrète, cela résulte de (2), (3) et du lemme 00PD d’Algèbre,

5. réduit, voir Compléments d’algèbre, lemme 06DH,

6. normal, voir Compléments d’algèbre, lemme 06DI,

7. noethérien et de profondeur \(k\), voir Compléments d’algèbre, lemme 06LL,

8. noethérien et Cohen-Macaulay, voir Compléments d’algèbre, lemme 06LM,

9. noethérien et de Gorenstein, voir Complexes dualisants, lemme 0BJL.

Il existe d’autres propriétés pour lesquelles ceci vaut, par exemple celles d’être un anneau G ou un anneau de Nagata. Si nous en avons un jour besoin, nous les ajouterons ici, ainsi que des références à des démonstrations détaillées des faits d’algèbre correspondants.

Ensembles constructibles

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E \subset |X|\) une partie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, l’image réciproque de \(E\) dans \(U\) est une partie localement constructible de \(U\),

2. pour tout morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine, l’image réciproque de \(E\) dans \(U\) est une partie constructible de \(U\),

3. il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, tel que l’image réciproque de \(E\) dans \(U\) soit une partie localement constructible de \(U\).

Démonstration

D’après Propriétés, lemme 054C, on voit que (1) et (2) sont équivalentes. Il est immédiat que (1) implique (3). Supposons donc donné un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un schéma tel que \(\varphi^{-1}(E)\) soit localement constructible. Soit \(\varphi' : U' \to X\) un autre morphisme étale, où \(U'\) est un schéma. On a alors \[E'' = \text{pr}_1^{-1}(\varphi^{-1}(E)) = \text{pr}_2^{-1}((\varphi')^{-1}(E))\] où \(\text{pr}_1 : U \times_X U' \to U\) et \(\text{pr}_2 : U \times_X U' \to U'\) sont les projections. D’après Morphismes, lemme 054I, on voit que \(E''\) est localement constructible dans \(U \times_X U'\). Soit \(W' \subset U'\) un ouvert affine. Puisque \(\text{pr}_2\) est étale et donc ouverte, on peut choisir un ouvert quasi-compact \(W'' \subset U \times_X U'\) tel que \(\text{pr}_2(W'') = W'\). Alors \(\text{pr}_2|_{W''} : W'' \to W'\) est quasi-compact. On a \(W' \cap (\varphi')^{-1}(E) = \text{pr}_2(E'' \cap W'')\) puisque \(\varphi\) est surjectif, voir le lemme 03H4. Ainsi, \(W' \cap (\varphi')^{-1}(E) = \text{pr}_2(E'' \cap W'')\) est localement constructible d’après Morphismes, théorème 054K, comme voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(E \subset |X|\) une partie. On dit que \(E\) est localement constructible pour la topologie étale si les conditions équivalentes du lemme 0ECT sont satisfaites.

Bien entendu, si \(X\) est représentable, c’est-à-dire si \(X\) est un schéma, cela signifie simplement que \(E\) est une partie localement constructible de l’espace topologique sous-jacent.

Dimension en un point

On peut utiliser Descente, lemme 04N4, pour définir la dimension d’un espace algébrique \(X\) en un point \(x\). On obtient ainsi une notion différente de la notion topologique (c’est-à-dire la dimension de \(|X|\) en \(x\)).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point de \(X\). On définit la dimension de \(X\) en \(x\) comme l’élément \(\dim_x(X) \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\) tel que \(\dim_x(X) = \dim_u(U)\) pour tout (ou, de manière équivalente, pour un) couple \((a : U \to X, u)\) constitué d’un morphisme étale \(a : U \to X\) d’un schéma vers \(X\) et d’un point \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\). Voir la définition 04RC, le lemme 04N2 et Descente, lemme 04N4.

Attention : en général, on n’a pas \(\dim_x(X) = \dim_x(|X|)\). Un contre-exemple est l’espace algébrique \(X\) de Espaces, exemple 02Z8. Plus précisément, soit \(x \in |X|\) un point distinct du point générique \(x_0\) de \(|X|\). Alors \(\dim_x(X) = 0\), mais \(\dim_x(|X|) = 1\). En particulier, la dimension de \(X\) (telle qu’elle est définie ci-dessous) est différente de la dimension de \(|X|\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). La dimension \(\dim(X)\) de \(X\) est définie par la formule \[\dim(X) = \sup\nolimits_{x \in |X|} \dim_x(X)\]

D’après Propriétés, lemme 04MU, on voit que c’est la notion usuelle lorsque \(X\) est un schéma. Il existe un autre invariant qui mesure la dimension d’un schéma en un point, à savoir la dimension de l’anneau local. Cet invariant est lui aussi compatible avec les morphismes étales, voir la section 04N7.

Dimension des anneaux locaux

La dimension de l’anneau local d’un espace algébrique est une notion bien définie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un schéma \(U\), un morphisme étale \(a : U \to X\) et un point \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\) et \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = d\),

2. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout point \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = d\).

Si \(X\) est un schéma, ces conditions équivalent à \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = d\).

Démonstration

Combiner le lemme 04N2 et Descente, lemme 04N8.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. La dimension de l’anneau local de \(X\) en \(x\) est l’élément \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\) qui satisfait les conditions équivalentes du lemme 0BAM. Dans ce cas, on dira aussi que \(x\) est un point de codimension \(d\) dans \(X\).

Outre le lemme ci-dessous, signalons aussi au lecteur les lemmes 04N9 et 0A4H.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les quantités suivantes sont égales :

1. La dimension de \(X\).

2. La borne supérieure des dimensions des anneaux locaux de \(X\).

3. La borne supérieure des \(\dim_x(X)\) pour \(x \in |X|\).

Démonstration

Les nombres de (1) et (3) sont égaux par la définition 04N6. Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif issu d’un schéma \(U\). La borne supérieure des \(\dim_x(X)\) pour \(x \in |X|\) est égale à la borne supérieure des \(\dim_u(U)\) pour les points \(u\) de \(U\) par définition. Celle-ci est égale à la borne supérieure des \(\dim(\mathcal{O}_{U, u})\) d’après Propriétés, lemme 04MU. Ce dernier est à son tour égal à (2) par définition.

Points génériques

Soit \(T\) un espace topologique. D’après la deuxième édition de l’EGA I, un point maximal de \(T\) est un point générique d’une composante irréductible de \(T\). Si \(T = |X|\) est l’espace topologique associé à un espace algébrique \(X\), il existe au moins deux notions de points maximaux : on peut considérer les points maximaux de \(T\) vu comme espace topologique, ou les images des points maximaux de \(U\), où \(U \to X\) est un morphisme étale et \(U\) un schéma. La seconde notion correspond à l’ensemble des points de codimension \(0\) (lemme 0BAQ). Les points de codimension \(0\) sont plus faciles à manier pour les espaces algébriques généraux ; les deux notions coïncident pour les espaces algébriques quasi-séparés et, plus généralement, décents (Espaces algébriques décents, lemme 0ABV).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Considérons les morphismes étales \(a : U \to X\), où \(U\) est un schéma. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(x\) est un point de codimension \(0\) dans \(X\),

2. il existe \(U \to X\) comme ci-dessus et \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), et le point \(u\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\),

3. pour tout \(U \to X\) comme ci-dessus et tout \(u \in U\) ayant pour image \(x\), le point \(u\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\).

Si \(X\) est représentable, ces conditions équivalent à ce que \(x\) soit un point générique d’une composante irréductible de \(|X|\).

Démonstration

Remarquons qu’un point \(u\) d’un schéma \(U\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\) si et seulement si \(\dim(\mathcal{O}_{U, u}) = 0\) (Propriétés, lemme 0BA9). Le résultat découle donc de la définition de la codimension d’un point dans \(X\) (définition 04NA).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). L’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\) est dense dans \(|X|\).

Démonstration

Si \(U\) est un schéma, l’ensemble des points génériques de ses composantes irréductibles est dense dans \(U\) (cela vaut pour tout espace topologique quasi-sobre). Ainsi, si \(U \to X\) est un morphisme étale surjectif, l’ensemble des points de codimension \(0\) de \(X\) est l’image d’une partie dense de \(|U|\) (lemme 0BAQ). Puisque \(|X|\) possède la topologie quotient induite par \(|U| \to |X|\), on conclut.

Espaces réduits

Nous avons déjà défini les espaces algébriques réduits à la section 03E5. Nous démontrons ici seulement quelques lemmes simples sur les espaces algébriques réduits.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques. Alors \(|Z| \to |X|\) est un homéomorphisme de \(|Z|\) sur une partie localement fermée de \(|X|\).

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Alors \(Z \times_X U \to U\) est une immersion de schémas, donc induit un homéomorphisme de \(|Z \times_X U|\) sur une partie localement fermée \(T'\) de \(|U|\). D’après le lemme 03H4, la partie \(T'\) est l’image réciproque de l’image \(T\) de \(|Z| \to |X|\). L’application \(|Z| \to |X|\) est injective, car la transformation de foncteurs \(Z \to X\) est injective, voir Espaces, section 02YT. D’après Topologie, lemme 02YB on voit que \(T\) est localement fermée dans \(|X|\). De plus, l’application continue \(|Z| \to T\) est un homéomorphisme, puisque l’application \(|Z \times_X U| \to T'\) est un homéomorphisme et que \(|Z \times_X U| \to |Z|\) est submersive.

Le lemme suivant nous aidera à construire des sous-espaces (localement) fermés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : R \to U \times_S U\) une relation d’équivalence étale. Soit \(X = U/R\) l’espace algébrique associé (Espaces, théorème 02WW). Il existe une bijection canonique \[\begin{gathered} \text{Sous-schémas localement fermés stables par }R : Z'\text{ de }U\\[2pt] \leftrightarrow\\[2pt] \text{sous-espaces localement fermés }Z\text{ de }X \end{gathered}\] De plus, \(Z \to X\) est fermé (resp. ouvert) si et seulement si \(Z' \to U\) est fermé (resp. ouvert).

Démonstration

Notons \(\varphi : U \to X\) l’application canonique. La bijection envoie \(Z \to X\) sur \(Z' = Z \times_X U \to U\). Il résulte immédiatement de la définition que \(Z' \to U\) est une immersion, resp. une immersion fermée, resp. une immersion ouverte, si tel est le cas de \(Z \to X\). Il est aussi clair que \(Z'\) est stable par \(R\) (voir Groupoïdes, définition 03BC).

Réciproquement, supposons que \(Z' \to U\) soit une immersion stable par \(R\). Soit \(R'\) la restriction de \(R\) à \(Z'\), voir Groupoïdes, définition 02VC. Puisque \(R' = R \times_{s, U} Z' = Z' \times_{U, t} R\) dans ce cas, on voit que \(R'\) est une relation d’équivalence étale sur \(Z'\). D’après Espaces, théorème 02WW, on voit que \(Z = Z'/R'\) est un espace algébrique. Par construction, on a \(U \times_X Z = Z'\) ; ainsi, \(U \times_X Z \to U\) est une immersion. Notons que la propriété “immersion” est préservée par changement de base et locale pour la topologie fppf sur la base (voir Espaces, section 02WE). De plus, les immersions sont séparées et localement quasi-finies (voir Schémas, lemme 01L7 et Morphismes, lemme 01TN). Par conséquent, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02W8 les immersions satisfont à la descente pour les recouvrements fppf. Toutes les hypothèses de Espaces, lemme 03I2 sont donc satisfaites pour \(Z \to X\), \(\mathcal{P}=\)“immersion”, et le morphisme étale surjectif \(U \to X\). On conclut que \(Z \to X\) est représentable et est une immersion, ce qui est la définition d’un sous-espace (voir Espaces, définition 02YU).

Il est clair que ces constructions sont inverses l’une de l’autre, d’où le résultat.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Il existe un unique sous-espace fermé \(Z \subset X\) possédant les propriétés suivantes : (a) on a \(|Z| = T\), et (b) \(Z\) est réduit.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Posons \(R = U \times_X U\), de sorte que \(X = U/R\), voir Espaces, lemme 0262. Comme d’habitude, on note \(s, t : R \to U\) les deux morphismes de projection. D’après le lemme 03BW, on voit que \(T\) correspond à une partie fermée \(T' \subset |U|\) telle que \(s^{-1}(T') = t^{-1}(T')\). Soit \(Z' \subset U\) le sous-schéma porté par \(T'\) et muni de la structure réduite induite. Dans ce cas, les produits fibrés \(Z' \times_{U, t} R\) et \(Z' \times_{U, s} R\) sont des sous-schémas fermés de \(R\) (Schémas, lemme 01JY) qui sont étales sur \(Z'\) (Morphismes, lemme 02GO), et sont donc réduits (car la propriété d’être réduit est locale pour la topologie étale, voir la remarque 03E7). Comme ils ont le même espace topologique sous-jacent (voir ci-dessus), on conclut que \(Z' \times_{U, t} R = Z' \times_{U, s} R\). On peut donc appliquer le lemme 07TW pour obtenir un sous-espace fermé \(Z \subset X\) dont l’image réciproque sur \(U\) est \(Z'\). Par construction, \(|Z| = T\) et \(Z\) est réduit. Cela prouve l’existence. Nous omettons la démonstration de l’unicité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. Supposons \(Y\) réduit. Un morphisme \(f : Y \to X\) se factorise par \(Z\) si et seulement si \(f(|Y|) \subset |Z|\).

Démonstration

Supposons \(f(|Y|) \subset |Z|\). Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ V \ar[d]_b \ar[r]_h & U \ar[d]^a \\ Y \ar[r]^f & X }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont surjectives et étales. Le schéma \(V\) est réduit, voir le lemme 03E8. Par conséquent, \(h\) se factorise par \(a^{-1}(Z)\) d’après Schémas, lemme 0356. Ainsi, \(a \circ h\) se factorise par \(Z\). Puisque \(Z \subset X\) est un sous-faisceau et que \(V \to Y\) est une surjection de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\), on conclut que \(Y \to X\) se factorise par \(Z\).

Définition

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset |X|\) une partie fermée. Une structure d’espace algébrique sur \(Z\) est donnée par un sous-espace fermé \(Z'\) de \(X\) tel que \(|Z'|\) soit égal à \(Z\). La structure d’espace algébrique réduite induite sur \(Z\) est celle qui a été construite dans le lemme 03IQ. La réduction \(X_{red}\) de \(X\) est la structure d’espace algébrique réduite induite sur \(|X|\).

Le lieu schématique

Tout espace algébrique possède un plus grand sous-espace ouvert qui est un schéma ; cela est plus ou moins clair, mais nous en donnons aussi la preuve ci-dessous. Bien entendu, ce sous-espace peut être vide, par exemple si \(X = \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}/\mathbf{Z}\) (le contre-exemple universel). En revanche, si \(X\) est par exemple quasi-séparé, alors ce plus grand sous-espace ouvert est en fait dense dans \(X\) !

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Il existe un plus grand sous-espace ouvert \(X' \subset X\) qui est un schéma.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Soit \(R = U \times_X U\). Les sous-espaces ouverts de \(X\) correspondent biunivoquement avec les sous-schémas ouverts de \(U\) qui sont stables par \(R\). Il existe donc un ensemble de tels sous-espaces. Soient \(X_i\), \(i \in I\), les sous-espaces ouverts de \(X\) qui sont des schémas, c’est-à-dire qui sont représentables. Considérons le sous-espace ouvert \(X' \subset X\) dont l’ensemble de points sous-jacent est l’ouvert \(\bigcup |X_i|\) de \(|X|\). D’après le lemme 03H5, on voit que \[\coprod X_i \longrightarrow X'\] est une application surjective de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Mais puisque chaque \(X_i \to X'\) est représentable par des immersions ouvertes, on voit qu’en fait l’application est surjective pour la topologie de Zariski. En effet, si \(T \to X'\) est un morphisme d’un schéma vers \(X'\), alors \(X_i \times_{X'} T\) est un sous-schéma ouvert de \(T\). On peut donc appliquer Schémas, lemme 01JJ pour voir que \(X'\) est un schéma.

Dans la suite de cette section, on dit qu’un sous-espace ouvert \(X'\) d’un espace algébrique \(X\) est dense si la partie ouverte correspondante \(|X'| \subset |X|\) est dense.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). S’il existe un morphisme fini, étale et surjectif \(U \to X\) où \(U\) est un schéma quasi-séparé, alors il existe un sous-espace ouvert dense \(X'\) de \(X\) qui est un schéma. Plus précisément, tout point \(x \in |X|\) de codimension \(0\) dans \(X\) appartient à \(X'\).

Démonstration

Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert maximal qui est un schéma (lemme 03JH). Soit \(x \in |X|\) un point de codimension \(0\) dans \(X\). D’après le lemme 0BAR, il suffit de montrer que \(x \in X'\). Soit \(U \to X\) comme dans l’énoncé du lemme. Écrivons \(R = U \times_X U\) et notons \(s, t : R \to U\) les projections usuelles. Notons que \(s, t\) sont surjectifs, finis et étales. D’après le lemme 03IJ, la fibre de \(|U| \to |X|\) au-dessus de \(x\) est finie, disons \(\{\eta_1, \ldots, \eta_n\}\). D’après le lemme 0BAQ, chaque \(\eta_i\) est le point générique d’une composante irréductible de \(U\). D’après Propriétés, lemme 01ZV, on peut trouver un ouvert affine \(W \subset U\) contenant \(\{\eta_1, \ldots, \eta_n\}\) (c’est ici que l’on utilise le fait que \(U\) est quasi-séparé). D’après Groupoïdes, lemme 03JE on peut supposer que \(W\) est stable par \(R\). Puisque \(W \subset U\) est un ouvert affine stable par \(R\), la restriction \(R_W\) de \(R\) à \(W\) est égale à \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\) (voir Groupoïdes, définition 03BC et la discussion qui la suit). En particulier, les morphismes \(R_W \to W\) sont eux aussi finis et étales. Il en résulte que \(R_W\) est affine. On voit donc que \(W/R_W\) est un schéma, d’après Groupoïdes, proposition 03BM. D’autre part, \(W/R_W\) est un sous-espace ouvert de \(X\) d’après Espaces, lemme 02WU, et il contient \(x\) par construction.

Nous étendrons la proposition suivante au cas des espaces algébriques décents dans Espaces algébriques décents, théorème 086U.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski (par exemple si \(X\) est quasi-séparé), alors il existe un sous-espace ouvert dense \(X'\) de \(X\) qui est un schéma. Plus précisément, tout point \(x \in |X|\) de codimension \(0\) dans \(X\) appartient à \(X'\).

Démonstration

La question est locale sur \(X\) d’après le lemme 03JH. Ainsi, d’après le lemme 03W7, on peut supposer qu’il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme surjectif, quasi-compact et étale \(U \to X\). De plus, \(U \to X\) est séparé (lemme 03FZ). Posons \(R = U \times_X U\) et notons \(s, t : R \to U\) les projections usuelles. Alors \(s, t\) sont surjectifs, quasi-compacts, séparés et étales. Par conséquent, \(s, t\) sont aussi quasi-finis et ont des fibres finies (Morphismes, lemmes 03WS, 01TJ, et 02NH). D’après Morphismes, lemme 02NW, pour tout \(\eta \in U\) qui est le point générique d’une composante irréductible de \(U\), il existe un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(\eta\) tel que \(s^{-1}(V) \to V\) soit fini. D’après Descente, lemme 02LA, la propriété d’être fini est locale pour la topologie fpqc (et en particulier étale) sur le but. On peut donc appliquer Compléments sur les groupoïdes, lemme 03JC, qui affirme que le plus grand ouvert \(W \subset U\) au-dessus duquel \(s\) est fini est stable par \(R\). D’après ce qui précède, \(W\) contient tout point générique d’une composante irréductible de \(U\). La restriction \(R_W\) de \(R\) à \(W\) est égale à \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\) (voir Groupoïdes, définition 03BC et la discussion qui la suit). Par construction, \(s_W, t_W : R_W \to W\) sont finis étales. Considérons le sous-espace ouvert \(X' = W/R_W \subset X\) (voir Espaces, lemme 02WU). Par construction, l’application d’inclusion \(X' \to X\) induit une bijection sur les points de codimension \(0\). On est ainsi ramené au lemme 0BAS.

Obtention d’un schéma

Nous avons utilisé dans la section précédente le fait que le quotient \(U/R\) d’un schéma affine \(U\) par une relation d’équivalence \(R\) est un schéma si les morphismes \(s, t : R \to U\) sont finis étales. C’est un cas particulier du résultat suivant.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en schémas sur \(S\). Supposons que

1. \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres,

2. \(j = (t, s)\) soit une relation d’équivalence, et

3. toute partie fermée non vide \(Z\) de \(U\) contienne un point \(u\) dont la classe d’équivalence pour \(R\), \(t(s^{-1}(\{u\}))\), soit contenue dans un ouvert affine de \(U\)³.

Alors il existe un morphisme fini localement libre \(U \to M\) de schémas sur \(S\) tel que \(R = U \times_M U\) et tel que \(M\) représente le faisceau quotient \(U/R\) pour la topologie fppf.

Démonstration

Par l’hypothèse (3) et Groupoïdes, lemme 03JE nous pouvons trouver un recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) soit stable par \(R\) et ouvert affine dans \(U\). Posons \(R_i = R|_{U_i}\). Considérons les faisceaux fppf \(F = U/R\) et \(F_i = U_i/R_i\). D’après Espaces, lemme 02WU, les morphismes \(F_i \to F\) sont représentables et sont des immersions ouvertes. D’après Groupoïdes, proposition 03BM, les faisceaux \(F_i\) sont représentables par des schémas affines. Si \(T\) est un schéma et \(T \to F\) un morphisme, alors \(V_i = F_i \times_F T\) est ouvert dans \(T\), et nous affirmons que \(T = \bigcup V_i\). En effet, localement pour la topologie fppf sur \(T\), nous pouvons relever \(T \to F\) en un morphisme \(f : T \to U\) et, dans ce cas, \(f^{-1}(U_i) \subset V_i\). Nous en concluons que \(F\) est représentable par un schéma, voir Schémas, lemme 01JJ.

Par exemple, si \(U\) est isomorphe à un sous-schéma localement fermé d’un schéma affine ou à un sous-schéma localement fermé de \(\text{Proj}(A)\) pour un anneau gradué \(A\), alors la troisième hypothèse est satisfaite d’après Propriétés, lemme 01ZY. En particulier, nous pouvons appliquer ce résultat aux actions libres de groupes finis et de schémas en groupes finis sur des schémas quasi-affines ou quasi-projectifs. Par exemple, le quotient \(X/G\) d’une variété quasi-projective \(X\) par l’action libre d’un groupe fini \(G\) est un schéma. Voici un énoncé détaillé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G \to S\) un schéma en groupes. Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(a : G \times_S X \to X\) une action. Supposons que

1. \(G \to S\) soit fini localement libre,

2. l’action \(a\) soit libre,

3. \(X \to S\) soit affine, ou quasi-affine, ou projectif, ou quasi-projectif, ou que \(X\) soit isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine, ou que \(X\) soit isomorphe à un sous-schéma ouvert de \(\text{Proj}(A)\) pour un anneau gradué \(A\), ou que \(G \to S\) soit radiciel.

Alors le faisceau quotient \(X/G\) pour la topologie fppf est un schéma et \(X \to X/G\) est un torseur sous \(G\) pour la topologie fppf.

Démonstration

Montrons d’abord que \(X/G\) est un schéma. Puisque l’action est libre, le morphisme \(j = (a, \text{pr}) : G \times_S X \to X \times_S X\) est un monomorphisme et donc une relation d’équivalence, voir Groupoïdes, lemme 07S2. Les morphismes \(s, t : G \times_S X \to X\) sont finis localement libres, puisque nous avons supposé que \(G \to S\) est fini localement libre. Pour conclure, il suffit maintenant de vérifier la dernière hypothèse de la proposition 07S6. Puisque l’action de \(G\) est définie sur \(S\), il suffit de montrer que toute partie finie d’une fibre de \(X \to S\) est contenue dans un ouvert affine de \(X\). Si \(X\) est isomorphe à un sous-schéma ouvert d’un schéma affine ou à un sous-schéma ouvert de \(\text{Proj}(A)\) pour un anneau gradué \(A\), cela résulte de Propriétés, lemme 01ZY. Si \(X \to S\) est affine, ou quasi-affine, ou projectif, ou quasi-projectif, nous pouvons remplacer \(S\) par un ouvert affine et nous nous ramenons au cas que nous venons de traiter. Si \(G \to S\) est radiciel, alors les orbites des points de \(X\) sous l’action de \(G\) sont réduites à un point et la condition est trivialement satisfaite. Nous omettons quelques détails.

Pour voir que \(X \to X/G\) est un torseur sous \(G\) pour la topologie fppf (Groupoïdes, définition 049A) il faut montrer que \(G \times_S X \to X \times_{X/G} X\) est un isomorphisme et que \(X \to X/G\) admet localement des sections pour la topologie fppf. La seconde assertion résulte du fait que \(X \to X/G\) est surjectif comme morphisme de faisceaux fppf (par construction). La première résulte de l’isomorphisme \(R = U \times_M U\) dans la conclusion de la proposition 07S6 (notons que \(R = G \times_S X\) dans notre cas).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la proposition 07S6. Alors

1. si \(U\) est quasi-séparé sur \(S\), alors \(U/R\) est quasi-séparé sur \(S\),

2. si \(U\) est quasi-séparé, alors \(U/R\) est quasi-séparé,

3. si \(U\) est séparé sur \(S\), alors \(U/R\) est séparé sur \(S\),

4. si \(U\) est séparé, alors \(U/R\) est séparé, et

5. d’autres énoncés pourront être ajoutés ici.

Des résultats analogues valent dans la situation du Lemme 07S7.

Démonstration

Puisque \(M\) représente le faisceau quotient, nous avons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ R \ar[r]_-j \ar[d] & U \times_S U \ar[d] \\ M \ar[r] & M \times_S M }\] de schémas. Puisque \(U \times_S U \to M \times_S M\) est surjectif, fini et localement libre, pour montrer que \(M \to M \times_S M\) est quasi-compact, resp. une immersion fermée, il suffit de montrer que \(j : R \to U \times_S U\) est quasi-compact, resp. une immersion fermée, voir Descente, lemmes 02KQ et 02L6. Puisque \(j : R \to U \times_S U\) est un morphisme sur \(U\) et que \(R\) est fini sur \(U\), nous voyons que \(j\) est quasi-compact dès que le morphisme de projection \(U \times_S U \to U\) est quasi-séparé (Schémas, lemme 03GI). Puisque \(j\) est un monomorphisme localement de type fini, nous voyons que \(j\) est une immersion fermée dès qu’il est propre (Morphismes étales, lemme 04XV) ce qui est le cas dès que le morphisme de projection \(U \times_S U \to U\) est séparé (Morphismes, lemme 01W6). Ceci prouve (1) et (3). Pour prouver (2) et (4), nous remplaçons \(S\) par \(\Spec(\mathbf{Z})\), voir définition 03BS. Puisque le Lemme 07S7 se démontre en appliquant la proposition 07S6, le dernier énoncé est lui aussi clair.

Points des espaces quasi-séparés

Les points peuvent se comporter très mal pour les espaces algébriques, au degré de généralité adopté dans le Projet Champs. Cependant, pour les espaces quasi-séparés, leur comportement est essentiellement semblable à celui des points des schémas. Nous démontrons quelques résultats à ce sujet dans cette section ; le chapitre sur les espaces décents en contient bien davantage, voir par exemple Espaces algébriques décents, section 03IG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique qui soit localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski et défini sur \(S\). Alors l’espace topologique \(|X|\) est sobre (voir Topologie, définition 004X).

Démonstration

En combinant Topologie, lemme 06N9 et le lemme 03W7 on voit que l’on peut supposer qu’il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme étale, surjectif et quasi-compact \(U \to X\). Posons \(R = U \times_X U\), avec pour projections \(s, t : R \to U\). En appliquant le lemme 03IJ on voit que les fibres de \(s, t\) sont finies. Il s’ensuit que toutes les hypothèses de Topologie, lemme 06NA sont satisfaites, et l’on conclut que \(|X|\) est un espace de Kolmogoroff⁴.

Il reste à montrer que toute partie fermée irréductible \(T \subset |X|\) possède un point générique. D’après le lemme 03IQ il existe un sous-espace fermé \(Z \subset X\) tel que \(|Z| = T\). Notons que \(U \times_X Z \to Z\) est un morphisme étale, surjectif et quasi-compact d’un schéma affine vers \(Z\) ; ainsi, \(Z\) est localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski d’après le lemme 03W7. Par la proposition 06NH nous voyons qu’il existe un sous-espace ouvert dense \(Z' \subset Z\) qui est un schéma. Cela signifie que \(|Z'| \subset T\) est ouvert et dense. L’espace topologique \(|Z'|\) est donc irréductible, ce qui signifie que \(Z'\) est un schéma irréductible. D’après Schémas, lemme 01IS nous concluons que \(|Z'|\) est l’adhérence d’un unique point \(\eta \in |Z'| \subset T\) et donc aussi que \(T = \overline{\{\eta\}}\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). L’espace topologique \(|X|\) est un espace spectral.

Démonstration

D’après Topologie, définition 08YG, nous devons vérifier que \(|X|\) est sobre et quasi-compact, qu’il possède une base d’ouverts quasi-compacts et que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques est quasi-compacte. D’après le Lemme 06NJ, nous voyons que \(|X|\) est sobre. D’après le Lemme 03E4, nous voyons que \(|X|\) est quasi-compact. D’après le Lemme 03H6, il existe un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\). Puisque \(|f| : |U| \to |X|\) est ouverte et continue, et que \(|U|\) possède une base d’ouverts quasi-compacts, nous concluons que \(|X|\) possède une base d’ouverts quasi-compacts. Enfin, supposons que \(A, B \subset |X|\) soient des ouverts quasi-compacts. Alors \(A = |X'|\) et \(B = |X''|\) pour des sous-espaces ouverts \(X', X'' \subset X\) (Lemme 03BZ), et nous pouvons choisir des schémas affines \(V\) et \(W\) et des morphismes étales surjectifs \(V \to X'\) et \(W \to X''\) (Lemme 03H6). Alors \(A \cap B\) est l’image de \(|V \times_X W| \to |X|\) (Lemme 03H4). Puisque \(V \times_X W\) est quasi-compact car \(X\) est quasi-séparé (Lemme 0AHR) nous concluons que \(A \cap B\) est quasi-compacte, ce qui achève la démonstration.

Le lemme suivant permet de prouver qu’un espace algébrique est isomorphe au spectre d’un corps.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et supposons qu’il existe un morphisme étale surjectif \(\Spec(k) \to X\). Si \(X\) est quasi-séparé, alors \(X \cong \Spec(k')\), où \(k/k'\) est une extension finie séparable.

Démonstration

Posons \(R = \Spec(k) \times_X \Spec(k)\) ; nous avons donc un diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ R \ar[r]_-s \ar[d]_-t & \Spec(k) \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & X }\] D’après Espaces, lemme 0262 nous savons que \(X = \Spec(k)/R\) est le faisceau quotient. Comme \(\Spec(k) \to X\) est étale, les morphismes \(s\) et \(t\) sont étales. Ainsi, \(R = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) est une somme disjointe de spectres de corps, et \(s\) et \(t\) induisent tous deux des extensions finies séparables \(s, t : k \subset k_i\), voir Morphismes, lemme 02GL. Comme \[R = \Spec(k) \times_X \Spec(k) = (\Spec(k) \times_S \Spec(k)) \times_{X \times_S X, \Delta} X\] et que \(\Delta\) est quasi-compact par hypothèse, nous concluons que \(R \to \Spec(k) \times_S \Spec(k)\) est quasi-compact. Ainsi, \(R\) est quasi-compact puisque \(\Spec(k) \times_S \Spec(k)\) est affine. Nous concluons que \(I\) est fini. Il s’ensuit que \(s\) et \(t\) sont des morphismes finis localement libres. D’après Groupoïdes, proposition 03BM nous concluons que \(\Spec(k)/R\) est représenté par \(\Spec(k')\), l’inclusion \(k' \subset k\) étant finie localement libre, où \[k' = \{x \in k \mid s_i(x) = t_i(x)\text{ pour tout }i \in I\}\] Il est facile de voir que \(k'\) est un corps.

Remarque

Le Lemme 03DZ vaut pour les espaces algébriques décents, voir Espaces algébriques décents, lemme 03IK. En fait, un espace algébrique décent à un seul point est un schéma, voir Espaces algébriques décents, lemme 047Z. Cela vaut aussi lorsque \(X\) est localement séparé, car un espace algébrique localement séparé est décent, voir Espaces algébriques décents, lemme 088J.

Morphismes étales d’espaces algébriques

Cette section devrait en réalité figurer dans le chapitre consacré aux morphismes d’espaces algébriques, mais nous avons besoin de la notion d’espace algébrique étale sur un autre afin de définir le petit site étale d’un espace algébrique. Nous devons donc effectuer quelques travaux préliminaires sur les morphismes étales de schémas vers des espaces algébriques et sur les morphismes étales entre espaces algébriques. Pour davantage de résultats sur les morphismes étales d’espaces algébriques, voir Morphismes d’espaces, section 03XS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(U\), \(U'\) des schémas sur \(S\).

1. Si \(U \to U'\) est un morphisme étale de schémas, et si \(U' \to X\) est un morphisme étale de \(U'\) vers \(X\), alors la composée \(U \to X\) est un morphisme étale de \(U\) vers \(X\).

2. Si \(\varphi : U \to X\) et \(\varphi' : U' \to X\) sont des morphismes étales vers \(X\), et si \(\chi : U \to U'\) est un morphisme de schémas tel que \(\varphi = \varphi' \circ \chi\), alors \(\chi\) est un morphisme étale de schémas.

3. Si \(\chi : U \to U'\) est un morphisme étale surjectif de schémas et si \(\varphi' : U' \to X\) est un morphisme tel que \(\varphi = \varphi' \circ \chi\) soit étale, alors \(\varphi'\) est étale.

Démonstration

Rappelons que la définition d’un morphisme étale d’un schéma vers un espace algébrique est celle de Espaces, définition 025V puisque tout morphisme d’un schéma vers un espace algébrique est représentable.

L’assertion (1) du lemme résulte de ceci, du fait que les morphismes étales sont stables par composition (Morphismes, lemme 02GN) et des lemmes d’Espaces 02WK et 02WJ (qui sont formels).

Pour prouver l’assertion (2), choisissons un schéma \(W\) sur \(S\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Considérons le changement de base \(\chi_W : W \times_X U \to W \times_X U'\) de \(\chi\). Comme \(W \times_X U\) et \(W \times_X U'\) sont étales sur \(W\), nous concluons que \(\chi_W\) est étale d’après Morphismes, lemme 02GW. D’autre part, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ W \times_X U \ar[r] \ar[d] & W \times_X U' \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] les deux flèches verticales sont étales et surjectives. Ainsi, d’après Descente, lemme 02KM nous concluons que \(U \to U'\) est étale.

Pour prouver l’assertion (3), choisissons un schéma \(W\) sur \(S\) et un morphisme \(W \to X\). Comme ci-dessus, considérons le diagramme \[\xymatrix{ W \times_X U \ar[r] \ar[d] & W \times_X U' \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U \ar[r] & U' \ar[r] & X }\] Nous savons que \(W \times_X U \to W \times_X U'\) est étale surjectif (comme changement de base de \(U \to U'\)) et que \(W \times_X U \to W\) est étale. Ainsi, \(W \times_X U' \to W\) est étale d’après Descente, lemme 02KM. Par définition, cela signifie que \(\varphi'\) est étale.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) entre espaces algébriques sur \(S\) est dit étale si et seulement si, pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un schéma, la composée \(f \circ \varphi\) est elle aussi étale.

Si \(X\) et \(Y\) sont des schémas, cela coïncide avec la notion usuelle de morphisme étale de schémas. En fait, dès que \(X \to Y\) est un morphisme représentable d’espaces algébriques, cela coïncide avec la notion définie dans Espaces, définition 025V. Cela résulte en combinant le lemme 03FS ci-dessous avec Espaces, lemme 02WZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est étale,

2. il existe un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un schéma, tel que la composée \(f \circ \varphi\) soit étale (en tant que morphisme d’espaces algébriques),

3. il existe un morphisme étale surjectif \(\psi : V \to Y\), où \(V\) est un schéma, tel que le changement de base \(V \times_Y X \to V\) soit étale (en tant que morphisme d’espaces algébriques),

4. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas, les flèches verticales sont étales, la flèche verticale gauche est surjective et la flèche horizontale est étale.

Démonstration

Montrons que (4) implique (1). Supposons donné un diagramme comme en (4). Soit \(W \to X\) un morphisme étale, où \(W\) est un schéma. Alors \(W \times_X U \to U\) est étale. Ainsi, \(W \times_X U \to V\) est étale comme composée des morphismes étales de schémas \(W \times_X U \to U\) et \(U \to V\). Par conséquent, \(W \times_X U \to Y\) est étale d’après le Lemme 03EC (1). Comme, de plus, la projection \(W \times_X U \to W\) est surjective et étale, nous concluons du Lemme 03EC (3) que \(W \to Y\) est étale.

Montrons que (1) implique (4). Supposons (1). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont surjectifs et étales, voir Espaces, lemme 02X1. Par hypothèse, le morphisme \(U \to Y\) est étale ; donc \(U \to V\) est étale d’après le Lemme 03EC (2).

Nous omettons la preuve que (2) et (3) sont aussi équivalents à (1).

Lemme

La composée de deux morphismes étales d’espaces algébriques est étale.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme étale d’espaces algébriques par un morphisme quelconque d’espaces algébriques est étale.

Démonstration

Soit \(X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\). Alors \(U \to Y\) est étale ; ainsi, dans le diagramme \[\xymatrix{ W \times_Y U \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ Z \times_Y X \ar[r] & Z }\] la flèche horizontale supérieure est étale. De plus, la flèche verticale gauche est surjective et étale (nous omettons la vérification). Nous concluons donc que la flèche horizontale inférieure est étale d’après le Lemme 03FS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X, Y, Z\) des espaces algébriques. Soient \(g : X \to Z\), \(h : Y \to Z\) des morphismes étales, et soit \(f : X \to Y\) un morphisme tel que \(h \circ f = g\). Alors \(f\) est étale.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\chi & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont surjectifs et étales, voir Espaces, lemme 02X1. Par hypothèse, les morphismes \(\varphi : U \to X \to Z\) et \(\psi : V \to Y \to Z\) sont étales. De plus, \(\psi \circ \chi = \varphi\) par notre hypothèse sur \(f, g, h\). Ainsi, \(U \to V\) est étale d’après le Lemme 03EC, assertion (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X \to Y\) est un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\), alors l’application associée \(|X| \to |Y|\) entre espaces topologiques est ouverte.

Démonstration

Cela résulte clairement du diagramme du lemme 03FS et du lemme 03BX.

Enfin, voici un joli lemme. Il est faux qu’un espace algébrique muni d’un morphisme étale vers un schéma soit nécessairement un schéma, voir Espaces, exemple 03FN. Mais cela est vrai si le but est le spectre d’un corps.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to \Spec(k)\) un morphisme étale sur \(S\), où \(k\) est un corps. Alors \(X\) est un schéma.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme étale. D’après la définition 03FR nous voyons que \(U \to \Spec(k)\) est un morphisme étale. Ainsi, \(U = \coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(k_i)\) est une somme disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables \(k_i\) de \(k\), voir Morphismes, lemme 02GL. Le morphisme \(R = U \times_X U \to U \times_{\Spec(k)} U\) est un monomorphisme, et \(U \times_{\Spec(k)} U\) est aussi une somme disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). Ainsi, d’après Schémas, lemme 03DP nous voyons que \(R\) est de même une somme disjointe finie de spectres d’extensions finies séparables de \(k\). Ainsi, \(U\) et \(R\) sont affines, et les deux projections \(R \to U\) sont finies localement libres. Par conséquent, \(U/R\) est un schéma d’après Groupoïdes, proposition 03BM. D’après Espaces, lemme 02WU il est aussi un sous-espace ouvert de \(X\). D’après le lemme 03JH nous concluons que \(X\) est un schéma.

Espaces et recouvrements fpqc

Soit \(S\) un schéma. Un espace algébrique sur \(S\) est défini comme un faisceau pour la topologie fppf muni de propriétés supplémentaires. Il n’est donc pas immédiatement clair qu’il vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc (voir Topologies, définition 022G). Dans cette section, nous donnons l’argument de Gabber qui le démontre. Toutefois, lorsque nous disons que l’espace algébrique \(X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc, nous ne considérons en réalité que les recouvrements fpqc \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) tels que \(T, T_i\) soient des objets du grand site \((\Sch/S)_{fppf}\) (conformément à nos conventions, voir la section 03BQ).

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors \(X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Puisque \(X\) est un faisceau pour la topologie de Zariski, il suffit de montrer ce qui suit. Étant donné un morphisme plat surjectif de schémas affines \(f : T' \to T\), on a : \(X(T)\) est le noyau du couple d’applications \(X(T') \to X(T' \times_T T')\). Voir Topologies, lemme 022H (nous omettons ici un petit argument, car le lemme cité est formulé pour des foncteurs définis sur la catégorie de tous les schémas).

Soient \(a, b : T \to X\) deux morphismes tels que \(a \circ f = b \circ f\). Il faut montrer que \(a = b\). Considérons le produit fibré \[E = X \times_{\Delta_{X/S}, X \times_S X, (a, b)} T.\] D’après Espaces, lemme 02X4, le morphisme \(\Delta_{X/S}\) est un monomorphisme représentable. Ainsi, \(E \to T\) est un monomorphisme de schémas. Notre hypothèse \(a \circ f = b \circ f\) implique que \(T' \to T\) se factorise (uniquement) par \(E\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ T' \times_T E \ar[r] \ar[d] & E \ar[d] \\ T' \ar[r] \ar@/^5ex/[u] \ar[ru] & T }\] Puisque la projection \(T' \times_T E \to T'\) est un monomorphisme admettant une section, nous concluons que c’est un isomorphisme. Nous en déduisons que \(E \to T\) est un isomorphisme d’après Descente, lemme 02L4. Cela signifie que \(a = b\), comme voulu.

Soit ensuite \(c : T' \to X\) un morphisme tel que les deux composées \(T' \times_T T' \to T' \to X\) soient égales. Il faut trouver un morphisme \(a : T \to X\) dont la composée avec \(T' \to T\) soit \(c\). Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tels que l’image de \(|U| \to |X|\) contienne l’image de \(|c| : |T'| \to |X|\). C’est possible d’après les lemmes 03BX et 03FX, le fait qu’une somme disjointe finie de schémas affines est affine, et le fait que \(|T'|\) est quasi-compact (nous omettons un petit argument). Puisque \(U \to X\) est séparé (lemme 03FZ), on voit que \[V = U \times_{X, c} T' \longrightarrow T'\] est un morphisme de schémas étale, surjectif et séparé (pour voir qu’il est surjectif, utiliser le lemme 03H4 et notre choix de \(U \to X\)). L’égalité \(c \circ \text{pr}_0 = c \circ \text{pr}_1\) signifie que nous obtenons une donnée de descente sur \(V/T'/T\) (Descente, définition 023V), car \[\begin{align*} V \times_{T'} (T' \times_T T') & = U \times_{X, c \circ \text{pr}_0} (T' \times_T T') \\ & = (T' \times_T T') \times_{c \circ \text{pr}_1, X} U \\ & = (T' \times_T T') \times_{T'} V \end{align*}\] Le morphisme \(V \to T'\) est ind-quasi-affine d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0AP9 (car les morphismes étales sont localement quasi-finis, voir Morphismes, lemme 03WS). D’après Compléments sur les groupoïdes, lemme 0APK, la donnée de descente est effective. Soit \(W \to T\) un morphisme tel qu’il existe un isomorphisme \(\alpha : T' \times_T W \to V\) compatible avec la donnée de descente donnée sur \(V\) et la donnée de descente canonique sur \(T' \times_T W\). Alors \(W \to T\) est surjectif et étale (Descente, lemmes 02KV et 02VN). Considérons la composée \[b' : T' \times_T W \longrightarrow V = U \times_{X, c} T' \longrightarrow U\] Les deux composées \(b' \circ (\text{pr}_0, 1), b' \circ (\text{pr}_1, 1) : (T' \times_T T') \times_T W \to T' \times_T W \to U\) coïncident par notre choix de \(\alpha\) et la propriété correspondante de \(c\) (calcul omis). Ainsi, \(b'\) descend en un morphisme \(b : W \to U\) d’après Descente, lemme 023Q. Le diagramme \[\xymatrix{ T' \times_T W \ar[r] \ar[d] & W \ar[r]_b & U \ar[d] \\ T' \ar[rr]^c & & X }\] est commutatif. Cela signifie que nous avons démontré l’existence d’une solution \(a\) localement pour la topologie étale sur \(T\), c’est-à-dire d’un \(a' : W \to X\). Cependant, puisque nous avons démontré l’unicité dans le premier paragraphe, nous constatons que cette solution locale pour la topologie étale satisfait à la condition de recollement, c’est-à-dire que \(\text{pr}_0^*a' = \text{pr}_1^*a'\) comme éléments de \(X(W \times_T W)\). Puisque \(X\) est un faisceau pour la topologie étale, il existe un unique \(a \in X(T)\) dont la restriction est \(a'\) sur \(W\).

Le site étale d’un espace algébrique

Dans cette section, nous définissons le petit site étale d’un espace algébrique. C’est l’analogue du petit site étale \(S_\etale\) d’un schéma. Le lemme 03EC implique que, dans la définition ci-dessous, tout morphisme entre objets du site étale de \(X\) est étale, et que tout schéma étale sur un objet de \(X_\etale\) est encore un objet de \(X_\etale\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf contenant \(S\), et soit \(\Sch_\etale\) le grand site étale correspondant (c’est-à-dire ayant la même catégorie sous-jacente). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le petit site étale \(X_\etale\) de \(X\) est défini comme suit :

1. un objet de \(X_\etale\) est un morphisme \(\varphi : U \to X\) où \(U \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\) est un schéma et \(\varphi\) est un morphisme étale,

2. un morphisme \((\varphi : U \to X) \to (\varphi' : U' \to X)\) est donné par un morphisme de schémas \(\chi : U \to U'\) tel que \(\varphi = \varphi' \circ \chi\), et

3. une famille de morphismes \(\{(U_i \to X) \to (U \to X)\}_{i \in I}\) de \(X_\etale\) est un recouvrement si et seulement si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \((\Sch/S)_\etale\).

Une conséquence de notre choix est que le site étale d’un espace algébrique n’a en général pas d’objet final ! En revanche, si \(X\) est un schéma, la définition ci-dessus coïncide avec Topologies, définition 021B.

Le site précédent est celui que nous employons par défaut, mais nous utiliserons aussi deux variantes. On peut considérer tous les espaces algébriques \(U\) étales sur \(X\), ce qui donne le site \(X_{spaces, \etale}\) défini ci-dessous, ou tous les schémas affines \(U\) étales sur \(X\), ce qui donne le site \(X_{affine, \etale}\) défini ci-dessous. La première de ces deux notions sert à étudier la fonctorialité du petit site étale, voir le lemme 03G2.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf contenant \(S\), et soit \(\Sch_\etale\) le grand site étale correspondant (c’est-à-dire ayant la même catégorie sous-jacente). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le site \(X_{spaces, \etale}\) de \(X\) est défini comme suit :

1. un objet de \(X_{spaces, \etale}\) est un morphisme \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un espace algébrique sur \(S\) et \(\varphi\) est un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\),

2. un morphisme \((\varphi : U \to X) \to (\varphi' : U' \to X)\) de \(X_{spaces, \etale}\) est donné par un morphisme d’espaces algébriques \(\chi : U \to U'\) tel que \(\varphi = \varphi' \circ \chi\), et

3. une famille de morphismes \(\{\varphi_i : (U_i \to X) \to (U \to X)\}_{i \in I}\) de \(X_{spaces, \etale}\) est un recouvrement si et seulement si \(|U| = \bigcup \varphi_i(|U_i|)\).

Comme d’habitude, nous choisissons un ensemble de recouvrements de ce type, contenant au moins les recouvrements de \(X_\etale\), comme dans Ensembles, lemme 000X, afin de faire de \(X_{spaces, \etale}\) un site.

Puisque le morphisme identité de \(X\) est étale, il est clair que \(X_{spaces, \etale}\) possède un objet final. Montrons immédiatement que le topos correspondant est équivalent au petit topos étale de \(X\).

Lemme

Le foncteur \[X_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}, \quad U/X \longmapsto U/X\] est un foncteur cocontinu spécial (Sites, définition 03CG) et induit donc une équivalence de topos \(\Sh(X_\etale) \to \Sh(X_{spaces, \etale})\).

Démonstration

Il faut montrer que le foncteur satisfait aux hypothèses (1) – (5) du Sites, lemme 03A0. Il est clair que le foncteur est continu et cocontinu, ce qui prouve les hypothèses (1) et (2). Les hypothèses (3) et (4) sont satisfaites simplement parce que le foncteur est pleinement fidèle. L’hypothèse (5) est satisfaite parce que, par définition, un espace algébrique admet un recouvrement par un schéma.

Remarque

Expliquons le sens du lemme 03G1. Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur le petit site étale \(X_\etale\) de \(X\). Le lemme affirme qu’il existe un unique faisceau \(\mathcal{F}'\) sur \(X_{spaces, \etale}\) dont la restriction est \(\mathcal{F}\) sur la sous-catégorie \(X_\etale\). Si \(U \to X\) est un morphisme étale d’espaces algébriques, comment calculer \(\mathcal{F}'(U)\) ? Par définition d’un espace algébrique, il existe un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to U\). Alors \(\{U' \to U\}\) est un recouvrement de \(X_{spaces, \etale}\), et l’on obtient donc un diagramme exact \[\xymatrix{ \mathcal{F}'(U) \ar[r] & \mathcal{F}(U') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(U' \times_U U'). }\] Notons que \(U' \times_U U'\) est un schéma ; nous pouvons donc écrire \(\mathcal{F}\) et non \(\mathcal{F}'\). Nous voyons ainsi comment calculer \(\mathcal{F}'\) à partir du faisceau \(\mathcal{F}\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site fppf contenant \(S\), et soit \(\Sch_\etale\) le grand site étale correspondant (c’est-à-dire ayant la même catégorie sous-jacente). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le site \(X_{affine, \etale}\) de \(X\) est défini comme suit :

1. un objet de \(X_{affine, \etale}\) est un morphisme \(\varphi : U \to X\), où \(U \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\) est un schéma affine et \(\varphi\) est un morphisme étale,

2. un morphisme \((\varphi : U \to X) \to (\varphi' : U' \to X)\) de \(X_{affine, \etale}\) est donné par un morphisme de schémas \(\chi : U \to U'\) tel que \(\varphi = \varphi' \circ \chi\), et

3. une famille de morphismes \(\{\varphi_i : (U_i \to X) \to (U \to X)\}_{i \in I}\) de \(X_{affine, \etale}\) est un recouvrement si et seulement si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement étale standard, voir Topologies, définition 0219.

Comme d’habitude, nous choisissons un ensemble de recouvrements de ce type, comme dans Ensembles, lemme 000X, afin de faire de \(X_{affine, \etale}\) un site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le foncteur \(X_{affine, \etale} \to X_\etale\) est cocontinu spécial et induit une équivalence de topos de \(\Sh(X_{affine, \etale})\) vers \(\Sh(X_\etale)\).

Démonstration

Omis. Indication : comparer avec la preuve de Topologies, lemme 021E.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le topos étale de \(X\), ou plus précisément le petit topos étale de \(X\), est la catégorie \(\Sh(X_\etale)\) des faisceaux d’ensembles sur \(X_\etale\).

D’après le lemme 03G1, on a \(\Sh(X_\etale) = \Sh(X_{spaces, \etale})\), de sorte que l’on peut aussi voir ce topos comme la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(X_{spaces, \etale}\). De même, d’après le lemme 04JS, on voit que \(\Sh(X_\etale) = \Sh(X_{affine, \etale})\). Ce topos est fonctoriel par rapport aux morphismes d’espaces algébriques. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Le foncteur continu \[Y_{spaces, \etale} \longrightarrow X_{spaces, \etale}, \quad V \longmapsto X \times_Y V\] induit un morphisme de sites \[f_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}.\]

2. La règle \(f \mapsto f_{spaces, \etale}\) est compatible aux compositions, autrement dit \((f \circ g)_{spaces, \etale} = f_{spaces, \etale} \circ g_{spaces, \etale}\) (voir Sites, définition 03CC).

3. Le morphisme de topos associé à \(f_{spaces, \etale}\) induit, via le lemme 03G1, un morphisme de topos \(f_{small} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) dont la construction est compatible aux compositions.

4. Si \(f\) est un morphisme représentable d’espaces algébriques, alors \(f_{small}\) provient d’un morphisme de sites \(X_\etale \to Y_\etale\), correspondant au foncteur continu \(V \mapsto X \times_Y V\).

Démonstration

Montrons que le foncteur décrit en (1) satisfait aux hypothèses de Sites, proposition 00X6. Il faut donc montrer que \(Y_{spaces, \etale}\) possède un objet final (à savoir \(Y\)) et que le foncteur transforme celui-ci en un objet final de \(X_{spaces, \etale}\) (à savoir \(X\)). C’est clair, car \(X \times_Y Y = X\) dans toute catégorie. Il faut ensuite montrer que \(Y_{spaces, \etale}\) possède des produits fibrés. C’est vrai puisque la catégorie des espaces algébriques possède des produits fibrés, et puisque \(V \times_Y V'\) est étale sur \(Y\) si \(V\) et \(V'\) sont étales sur \(Y\) (voir les lemmes 03FT et 03FU ci-dessus). La proposition s’applique donc et fournit un morphisme de sites comme en (1).

L’assertion (2) s’obtient en explicitant les définitions. L’assertion (3) est claire en utilisant les équivalences pour \(X\) et \(Y\) du lemme 03G1 ci-dessus. L’assertion (4) en résulte car, si \(f\) est représentable, les foncteurs ci-dessus s’insèrent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_\etale \ar[r] & X_{spaces, \etale} \\ Y_\etale \ar[r] \ar[u] & Y_{spaces, \etale} \ar[u] }\] de catégories.

On peut préciser quelque peu le lemme précédent lorsqu’on décrit la relation entre les faisceaux sur \(X\) et ceux sur \(Y\). Plus précisément, on peut la formuler en termes de \(f\)-applications ; comparer Faisceaux, définition 008J, comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X_\etale\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\). Une \(f\)-application \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est une collection d’applications \(\varphi_{(U, V, g)} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\) indexée par les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\] où \(U \in X_\etale\), \(V \in Y_\etale\), telle que, pour tout diagramme prolongé \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d]_{g'} & U \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ V' \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] où \(V' \to V\) et \(U' \to U\) sont des morphismes étales de schémas, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G}(V) \ar[rr]_{\varphi_{(U, V, g)}} \ar[d]_{\text{restriction de }\mathcal{G}} & & \mathcal{F}(U) \ar[d]^{\text{restriction de }\mathcal{F}} \\ \mathcal{G}(V') \ar[rr]^{\varphi_{(U', V', g')}} & & \mathcal{F}(U') }\] est commutatif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X_\etale\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\). Il existe des bijections canoniques entre les trois ensembles suivants :

1. l’ensemble des morphismes \(\mathcal{G} \to f_{small, *}\mathcal{F}\) ;

2. l’ensemble des morphismes \(f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) ;

3. l’ensemble des \(f\)-applications \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\).

Démonstration

Notons que (1) et (2) coïncident parce que les foncteurs \(f_{small, *}\) et \(f_{small}^{-1}\) forment un couple de foncteurs adjoints. Supposons que \(\alpha : f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) soit un morphisme de faisceaux sur \(X_\etale\). Considérons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d]_g \ar[r]_{j_U} & X \ar[d]^f \\ V \ar[r]^{j_V} & Y }\] comme dans la définition 03G3. La commutativité du diagramme fournit également un morphisme \(g_{small}^{-1}(j_V)^{-1}\mathcal{G} \to (j_U)^{-1}\mathcal{F}\) (comparer Sites, section 00XZ, pour la description des foncteurs de localisation). Nous obtenons donc en particulier un morphisme \(\varphi_{(U, V, g)} : \mathcal{G}(V) = (j_V)^{-1}\mathcal{G}(V) \to (j_U)^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U)\). Nous omettons de vérifier que cette règle est compatible aux restrictions ultérieures et définit une \(f\)-application de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{F}\).

Réciproquement, supposons donnée une \(f\)-application \(\varphi = (\varphi_{(U, V, g)})\). Désignons par \(\mathcal{G}'\) (resp. \(\mathcal{F}'\)) le prolongement de \(\mathcal{G}\) (resp. \(\mathcal{F}\)) à \(Y_{spaces, \etale}\) (resp. \(X_{spaces, \etale}\)), voir le lemme 03G1. Il faut alors construire un morphisme de faisceaux \[\mathcal{G}' \longrightarrow (f_{spaces, \etale})_*\mathcal{F}'\] Pour cela, soit \(V \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques. Il faut construire une application d’ensembles \[\mathcal{G}'(V) \to \mathcal{F}'(X \times_Y V)\] Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to V\) avec \(V'\) schéma, puis un morphisme étale surjectif \(U' \to X \times_Y V'\) avec \(U'\) schéma. Posons \(U'' = U' \times_{X \times_Y V} U'\) et \(V'' = V' \times_V V'\). Nous obtenons un morphisme de schémas \(g' : U' \to V'\) ainsi qu’un morphisme de schémas \[g'' : U' \times_{X \times_Y V} U' \longrightarrow V' \times_V V'\] Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ \mathcal{F}'(X \times_Y V) \ar[r] & \mathcal{F}(U') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{F}(U' \times_{X \times_Y V} U') \\ \mathcal{G}'(V) \ar[r] \ar@{..>}[u] & \mathcal{G}(V') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[u]_{\varphi_{(U', V', g')}} & \mathcal{G}(V' \times_V V') \ar[u]_{\varphi_{(U'', V'', g'')}} }\] La compatibilité des applications \(\varphi_{...}\) aux restrictions montre que les deux carrés de droite sont commutatifs. La définition des recouvrements de \(X_{spaces, \etale}\) montre que les lignes horizontales sont des diagrammes exacts. On obtient donc la flèche pointillée. Nous laissons au lecteur le soin de montrer que ces flèches sont compatibles aux applications de restriction.

Si le morphisme d’espaces algébriques \(X \to Y\) est étale, alors le morphisme de topos \(\Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) est un morphisme de localisation. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma, et soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) étale. Il existe alors un foncteur \[j : X_\etale \to Y_\etale, \quad (\varphi : U \to X) \mapsto (f \circ \varphi : U \to Y)\] qui est cocontinu. Le morphisme de topos \(f_{small}\) est le morphisme de topos associé à \(j\), voir Sites, lemme 00XO. De plus, \(j\) est aussi continu ; par conséquent, Sites, lemme 00XR, s’applique. En particulier, \(f_{small}^{-1}\mathcal{G}(U) = \mathcal{G}(jU)\) pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(Y_\etale\).

Démonstration

Notons que notre définition même d’un morphisme étale d’espaces algébriques (définition 03FR) assure que la règle donnée définit bien le foncteur \(j\) indiqué. Il est clair que \(j\) est cocontinu et continu, simplement parce qu’un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(j(\varphi : U \to X)\) dans \(Y_\etale\) est la même chose qu’un recouvrement de \((\varphi : U \to X)\) dans \(X_\etale\). Il reste à montrer que \(j\) induit le même morphisme de topos que \(f_{small}\). Considérons pour cela le diagramme \[\xymatrix{ X_\etale \ar[r] \ar[d]^j & X_{spaces, \etale} \ar@/_/[d]_{j_{spaces}} \\ Y_\etale \ar[r] & Y_{spaces, \etale} \ar@/_/[u]_{v : V \mapsto X \times_Y V} }\] de catégories. Ici, le foncteur \(j_{spaces}\) est le prolongement évident de \(j\) à la catégorie \(X_{spaces, \etale}\). Le carré intérieur est donc commutatif. En fait, \(j_{spaces}\) s’identifie au foncteur de localisation \(j_X : Y_{spaces, \etale}/X \to Y_{spaces, \etale}\) étudié dans Sites, section 00XZ. Par conséquent, d’après Sites, lemme 03CE, le foncteur cocontinu \(j_{spaces}\) et le foncteur \(v\) du diagramme induisent le même morphisme de topos. D’après Sites, lemme 03L5, la commutativité du carré intérieur (formé de foncteurs cocontinus entre sites) fournit un diagramme commutatif des morphismes de topos associés. La construction de \(f_{small}\) dans le lemme 03G2 achève donc la preuve.

Le lemme précédent dit que l’image réciproque de \(\mathcal{G}\) par un morphisme étale \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques est simplement la restriction de \(\mathcal{G}\) à la catégorie \(X_\etale\). Nous emploierons souvent l’abréviation [03LQ]\[\begin{equation} \mathcal{G}|_{X_\etale} = f_{small}^{-1}\mathcal{G} \end{equation}\] pour le signaler. Notons que le foncteur \(j : X_\etale \to Y_\etale\) du lemme est alors fidèle, mais n’est pas pleinement fidèle en général. Nous l’étudierons plus techniquement dans la section 04LX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un carré cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). Si \(g\) est étale, alors

1. \(f'_{small, *}(\mathcal{F}|_{X'}) = (f_{small, *}\mathcal{F})|_{Y'}\) dans \(\Sh(Y'_\etale)\)⁵, et

2. si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien, alors \(R^if'_{small, *}(\mathcal{F}|_{X'}) = (R^if_{small, *}\mathcal{F})|_{Y'}\).

Démonstration

Considérons le diagramme de foncteurs suivant \[\xymatrix{ X'_{spaces, \etale} \ar[r]_j & X_{spaces, \etale} \\ Y'_{spaces, \etale} \ar[r]^j \ar[u]^{V' \mapsto V' \times_{Y'} X'} & Y_{spaces, \etale} \ar[u]_{V \mapsto V \times_Y X} }\] Les flèches horizontales sont des foncteurs de localisation et les flèches verticales induisent des morphismes de sites. La dernière assertion de Sites, lemme 03CF, donne donc (1). Pour obtenir (2), appliquons (1) à une résolution injective de \(\mathcal{F}\) et utilisons que la restriction est exacte et préserve les injectifs (voir Cohomologie sur les sites, lemme 03F3).

Le lemme suivant dit que l’on peut considérer un faisceau sur le petit site étale d’un espace algébrique comme une famille compatible de faisceaux sur les petits sites étales des schémas étales sur cet espace. Notons bien que tous les morphismes de comparaison \(c_f\) du lemme sont des isomorphismes, ce qui est compatible avec Topologies, lemme 021K, et avec le fait que tous les morphismes entre objets de \(X_\etale\) sont étales.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) équivaut aux données suivantes :

1. pour tout \(U \in \Ob(X_\etale)\), un faisceau \(\mathcal{F}_U\) sur \(U_\etale\) ;

2. pour tout \(f : U' \to U\) dans \(X_\etale\), un isomorphisme \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_{U'}\).

Ces données sont soumises à la condition que, pour tous \(f : U' \to U\) et \(g : U'' \to U'\) dans \(X_\etale\), la composée \(c_g \circ g_{small}^{-1} c_f\) soit égale à \(c_{f \circ g}\).

Démonstration

On peut interpréter \(g_{small}^{-1}\) comme dans le lemme 03LP. Le lemme résulte alors d’un fait général sur les sites, voir Sites, lemme 0GWK.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = U/R\) une présentation de \(X\) provenant d’un morphisme étale surjectif quelconque \(\varphi : U \to X\), voir Espaces, définition 0263. On obtient en particulier un groupoïde \((U, R, s, t, c, e, i)\) tel que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\), voir Groupoïdes, lemme 0233.

Lemme

Avec \(S\), \(\varphi : U \to X\) et \((U, R, s, t, c, e, i)\) comme ci-dessus, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), le faisceau⁶ \(\mathcal{G} = \varphi^{-1}\mathcal{F}\) est muni d’un isomorphisme canonique \[\alpha : t^{-1}\mathcal{G} \longrightarrow s^{-1}\mathcal{G}\] tel que le diagramme \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^{-1}t^{-1}\mathcal{G} \ar[r]_-{\text{pr}_1^{-1}\alpha} & \text{pr}_1^{-1}s^{-1}\mathcal{G} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^{-1}s^{-1}\mathcal{G} \ar@{=}[ru] & & & c^{-1}s^{-1}\mathcal{G} \\ & \text{pr}_0^{-1}t^{-1}\mathcal{G} \ar[lu]^{\text{pr}_0^{-1}\alpha} \ar@{=}[r] & c^{-1}t^{-1}\mathcal{G} \ar[ru]_{c^{-1}\alpha} }\] est commutatif. Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{G}, \alpha)\) définit une équivalence de catégories entre les faisceaux sur \(X_\etale\) et les couples \((\mathcal{G}, \alpha)\) ci-dessus.

Démonstration

Soit \(\mathcal{C} = X_{spaces, \etale}\). D’après le lemme 03LP et sa preuve, on a \(U_{spaces, \etale} = \mathcal{C}/U\) et le foncteur image réciproque \(\varphi^{-1}\) est simplement le foncteur de restriction. De plus, \(\{U \to X\}\) est un recouvrement du site \(\mathcal{C}\) et \(R = U \times_X U\). L’isomorphisme \(\alpha\) est simplement l’identification canonique \[\left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\right)|_{\mathcal{C}/U \times_X U} = \left(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\right)|_{\mathcal{C}/U \times_X U}\] et la commutativité du diagramme est la condition de cocycle pour les données de recollement. Ce lemme est donc un cas particulier du recollement des faisceaux, voir Sites, section 04TP.

Démonstration

L’existence de \(\alpha\) vient de l’égalité \(\varphi \circ t = \varphi \circ s\) et de la fonctorialité de l’image réciproque par rapport au morphisme, voir le lemme 03G2. De la même manière, c’est-à-dire par fonctorialité de l’image réciproque, on voit que l’isomorphisme \(\alpha\) s’insère dans le diagramme commutatif. La construction \(\mathcal{F} \mapsto (\varphi^{-1}\mathcal{F}, \alpha)\) est manifestement fonctorielle en le faisceau \(\mathcal{F}\). On obtient ainsi le foncteur.

Réciproquement, supposons que \((\mathcal{G}, \alpha)\) soit un couple. Soit \(V \to X\) un objet de \(X_\etale\). Alors le morphisme \(V' = U \times_X V \to V\) est un morphisme étale surjectif de schémas, et \(\{V' \to V\}\) est donc un recouvrement étale de \(V\). Posons \(\mathcal{G}' = (V' \to V)^{-1}\mathcal{G}\). Puisque \(R = U \times_X U\), avec \(t = \text{pr}_0\) et \(s = \text{pr}_1\), on a \(V' \times_V V' = R \times_X V\), les applications de projection \(s', t' : V' \times_V V' \to V'\) étant obtenues par changement de base à partir de \(t\) et \(s\). Ainsi, \(\alpha\) s’induit en un isomorphisme \(\alpha' : (t')^{-1}\mathcal{G}' \to (s')^{-1}\mathcal{G}'\). Cela étant posé, nous définissons simplement \[\xymatrix{ \mathcal{F}(V) \ar@{=}[r] & \text{Noyau du couple}(\mathcal{G}(V') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{G}(V' \times_V V')). }\] Nous omettons de vérifier que cela définit un faisceau. Pour voir que \(\mathcal{G}(V) = \mathcal{F}(V)\) s’il existe un morphisme \(V \to U\), notons que le noyau du couple est alors \(H^0(\{V' \to V\}, \mathcal{G}) = \mathcal{G}(V)\).

Points du petit site étale

Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 03PN.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. Un point géométrique de \(X\) est un morphisme \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\), où \(k\) est un corps algébriquement clos. Nous commettons souvent un abus de notation en écrivant \(\overline{x} = \Spec(k)\).

2. À tout point géométrique \(\overline{x}\) correspond le point « image » \(x \in |X|\). On dit que \(\overline{x}\) est un point géométrique au-dessus de \(x\).

On peut prendre les fibres des faisceaux sur \(X_\etale\) en des points géométriques exactement comme dans le cas du petit site étale d’un schéma. Pour cela, nous définissons comme suit la notion de voisinage étale.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\).

1. Un voisinage étale de \(\overline{x}\) dans \(X\) est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & U \ar[d]^\varphi \\ {\bar x} \ar[r]^{\bar x} \ar[ur]^{\bar u} & X }\] où \(\varphi\) est un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Nous noterons \(\varphi : (U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) une telle situation.

2. Un morphisme de voisinages étales \((U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) est un \(X\)-morphisme \(h : U \to U'\) tel que \(\overline{u}' = h \circ \overline{u}\).

Notons que nous permettons à \(U\) d’être un espace algébrique. Lorsque nous prenons les fibres d’un faisceau sur \(X_\etale\), nous devons nous restreindre aux \(U\) qui appartiennent à \(X_\etale\) et ne considérons donc, dans ce cas, que des schémas \(U\). On peut aussi travailler avec le site \(X_{spaces, \etale}\) et considérer tous les voisinages étales. Cela ne fait aucune différence, d’après la dernière assertion du lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). La catégorie des voisinages étales est cofiltrante. Plus précisément :

1. Soient \((U_i, \overline{u}_i)_{i = 1, 2}\) deux voisinages étales de \(\overline{x}\) dans \(X\). Il existe alors un troisième voisinage étale \((U, \overline{u})\) et des morphismes \((U, \overline{u}) \to (U_i, \overline{u}_i)\), \(i = 1, 2\).

2. Soient \(h_1, h_2: (U, \overline{u}) \to (U', \overline{u}')\) deux morphismes entre voisinages étales de \(\overline{x}\). Il existe alors un voisinage étale \((U'', \overline{u}'')\) et un morphisme \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\) qui égalise \(h_1\) et \(h_2\), c’est-à-dire tel que \(h_1 \circ h = h_2 \circ h\).

De plus, pour tout voisinage étale \((U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) il existe un morphisme de voisinages étales \((U', \overline{u}') \to (U, \overline{u})\) où \(U'\) est un schéma.

Démonstration

Pour (1), considérons le produit fibré \(U = U_1 \times_X U_2\). Il est étale sur \(U_1\) et sur \(U_2\), car les morphismes étales sont stables par changement de base et par composition, voir les lemmes 03FU et 03FT. Le morphisme \(\overline{u} \to U\) défini par \((\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) en fait un voisinage étale muni de morphismes vers \(U_1\) et \(U_2\).

Pour (2), définissons \(U''\) comme le produit fibré \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^{(h_1, h_2)} \\ U' \ar[r]^-\Delta & U' \times_X U'. }\] Comme les composés de \(\overline{u}\) et \(\overline{u}'\) vers \(X\) valent \(\overline{x}\), \(\overline{u}'' = (\overline{u}, \overline{u}')\) est un point géométrique de \(U''\). En particulier, \(U'' \not = \emptyset\). De plus, comme \(U'\) est étale sur \(X\), le produit fibré \(U'\times_X U'\) l’est aussi (comme on l’a vu ci-dessus pour \(U_1 \times_X U_2\)). La flèche verticale \((h_1, h_2)\) est donc étale d’après le lemme 03FV. Ainsi, \(U''\) est étale sur \(U'\) par changement de base, donc aussi étale sur \(X\) (puisque les composés de morphismes étales sont étales). Par conséquent, \((U'', \overline{u}'')\) résout le problème posé en (2).

Pour la dernière assertion, choisissons un morphisme étale surjectif \(U' \to U\), où \(U'\) est un schéma. Alors \(U' \times_U \overline{u}\) est un schéma étale et surjectif sur \(\overline{u} = \Spec(k)\), où \(k\) est algébriquement clos. Il s’ensuit (voir Morphismes, lemme 02GL) que \(U' \times_U \overline{u} \to \overline{u}\) possède une section, qui fournit le point \(\overline{u}'\) voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) un point géométrique de \(X\) au-dessus de \(x \in |X|\). Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques et soit \(u \in |U|\) tel que \(\varphi(u) = x\). Il existe alors un point géométrique \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) au-dessus de \(u\) tel que \(\overline{x} = \varphi \circ \overline{u}\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U'\) muni de \(u' \in U'\) et un morphisme étale \(U' \to U\) qui envoie \(u'\) sur \(u\). Il suffit de prouver le lemme pour \((U', u') \to (X, x)\). Nous pouvons donc supposer que \(U\) est un schéma, et en particulier que \(U \to X\) est représentable. Considérons alors le diagramme cartésien \[\xymatrix{ \Spec(k) \times_{\overline{x}, X, \varphi} U \ar[d]_{\text{pr}_1} \ar[r]_-{\text{pr}_2} & U \ar[d]^\varphi \\ \Spec(k) \ar[r]^-{\overline{x}} & X }\] La projection \(\text{pr}_1\) est le changement de base d’un morphisme étale ; elle est donc étale, voir le lemme 03FU. Par conséquent, le schéma \(\Spec(k) \times_{\overline{x}, X, \varphi} U\) est une somme disjointe de spectres d’extensions finies séparables de \(k\), voir Morphismes, lemme 02GL. Mais \(k\) est algébriquement clos, donc toutes ces extensions sont triviales. Ainsi, \(\Spec(k) \times_{\overline{x}, X, \varphi} U\) est une somme disjointe de copies de \(\Spec(k)\), et chacune correspond à un point géométrique \(\overline{u}\) tel que \(\varphi \circ \overline{u} = \overline{x}\). D’après le lemme 03H4, l’application \[|\Spec(k) \times_{\overline{x}, X, \varphi} U| \longrightarrow |\Spec(k)| \times_{|X|} |U|\] est surjective ; nous pouvons donc choisir \(\overline{u}\) au-dessus de \(u\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Soit \((U, \overline{u})\) un voisinage étale de \(\overline{x}\). Soit \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement étale dans \(X_{spaces, \etale}\). Il existe alors \(i \in I\) et \(\overline{u}_i : \overline{x} \to U_i\) tels que \(\varphi_i : (U_i, \overline{u}_i) \to (U, \overline{u})\) soit un morphisme de voisinages étales.

Démonstration

Soit \(u \in |U|\) l’image de \(\overline{u}\). Comme \(|U| = \bigcup_{i \in I} \varphi_i(|U_i|)\), il existe \(i\) et un point \(u_i \in U_i\) envoyé sur \(u\). Appliquons le lemme 05VN à \((U_i, u_i) \to (U, u)\) et à \(\overline{u}\) pour obtenir le point géométrique voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(X_\etale\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). La fibre de \(\mathcal{F}\) en \(\overline{x}\) est \[\mathcal{F}_{\bar x} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] où \((U, \overline{u})\) parcourt tous les voisinages étales de \(\overline{x}\) dans \(X\) tels que \(U \in \Ob(X_\etale)\).

D’après le lemme 04JW, cette limite inductive est indexée par une catégorie filtrante, à savoir l’opposée de la catégorie des voisinages étales dans \(X_\etale\). Plus précisément, le lemme 04JW dit que l’opposée de la catégorie de tous les voisinages étales est filtrante, et que la sous-catégorie pleine de ceux qui appartiennent à \(X_\etale\) est cofinale, donc elle aussi filtrante.

Ainsi, un élément de \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) peut être représenté par un triplet \((U, \overline{u}, \sigma)\), où \(U \in \Ob(X_\etale)\) et \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\). Deux triplets \((U, \overline{u}, \sigma)\), \((U', \overline{u}', \sigma')\) définissent le même élément de la fibre s’il existe un troisième voisinage étale \((U'', \overline{u}'')\), \(U'' \in \Ob(X_\etale)\) et des morphismes de voisinages étales \(h : (U'', \overline{u}'') \to (U, \overline{u})\), \(h' : (U'', \overline{u}'') \to (U', \overline{u}')\) tels que \(h^*\sigma = (h')^*\sigma'\) dans \(\mathcal{F}(U'')\). Voir Catégories, section 04AX.

Cela implique aussi que, si \(\mathcal{F}'\) est le faisceau sur \(X_{spaces, \etale}\) correspondant à \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), alors [04JZ]\[\begin{equation} \mathcal{F}_{\overline{x}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}'(U) \end{equation}\] où la limite inductive porte maintenant sur tous les voisinages étales de \(\overline{x}\). Nous passerons souvent sans autre mention du point de vue de \(X_\etale\) à celui de \(X_{spaces, \etale}\), et réciproquement.

En particulier, si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de groupes abéliens, d’anneaux, etc., alors \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est un groupe abélien, un anneau, etc., par la construction usuelle de la structure algébrique sur une limite inductive filtrante de tels objets.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Considérons le foncteur \[u : X_\etale \longrightarrow \textit{Ens}, \quad U \longmapsto |U_{\overline{x}}|\] Alors \(u\) définit un point \(p\) du site \(X_\etale\) (Sites, définition 00Y5), et le foncteur fibre associé \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) (Sites, équation 04EH) est le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) défini ci-dessus.

Démonstration

Dans la preuve du lemme 05VN, nous avons vu que le schéma \(U_{\overline{x}} = \overline{x} \times_X U\) est une somme disjointe de schémas isomorphes à \(\overline{x}\). On peut donc aussi voir \(|U_{\overline{x}}|\) comme l’ensemble des points géométriques de \(U\) au-dessus de \(\overline{x}\), c’est-à-dire comme l’ensemble des morphismes \(\overline{u} : \overline{x} \to U\) qui s’insèrent dans le diagramme de la définition 04JV. Il s’ensuit que \(u(X)\) est un singleton et que \(u(U \times_V W) = u(U) \times_{u(V)} u(W)\) dès que \(U \to V\) et \(W \to V\) sont des morphismes dans \(X_\etale\). De plus, pour un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(X_\etale\), l’application \(\coprod u(U_i) \to u(U)\) est surjective d’après le lemme 04JX. La proposition 00YC de Sites s’applique donc, si bien que \(p\) est un point du site \(X_\etale\). Enfin, notre foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est donné par exactement la même limite inductive que le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) associé à \(p\) dans Sites, équation 04EH, ce qui prouve la dernière assertion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\).

1. Le foncteur fibre \(\textit{PAb}(X_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est exact.

2. On a \((\mathcal{F}^\#)_{\overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) pour tout préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\).

3. Le foncteur \(\textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est exact.

4. De même, les foncteurs \(\textit{PSh}(X_\etale) \to \textit{Ens}\) et \(\Sh(X_\etale) \to \textit{Ens}\) donnés par le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) sont exacts (voir Catégories, définition 0034) et commutent aux colimites quelconques.

Démonstration

Ce résultat découle des résultats généraux de Modules sur les sites, section 04EM. En effet, \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) provient d’un point du petit site étale de \(X\), voir le lemme 04K0. Voir la preuve de Cohomologie étale, lemme 03PT, pour une preuve directe de certaines de ces assertions dans le cadre du petit site étale d’un schéma.

Nous verrons plus bas que le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est en fait l’image réciproque par le morphisme \(\overline{x}\). En ce sens, le lemme suivant généralise le lemme précédent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Le foncteur \(f_{small}^{-1} : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) est exact.

2. Le foncteur \(f_{small}^{-1} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) est exact, c’est-à-dire qu’il commute aux limites et colimites finies, voir Catégories, définition 0034.

3. Pour tout morphisme étale \(V \to Y\) d’espaces algébriques, on a \(f_{small}^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\).

4. Soit \(\overline{x} \to X\) un point géométrique. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(Y_\etale\). Il existe alors une identification canonique \[(f_{small}^{-1}\mathcal{G})_{\overline{x}} = \mathcal{G}_{\overline{y}}.\] où \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\).

Démonstration

Rappelons que \(f_{small}\) est défini au moyen de \(f_{spaces, small}\) dans le lemme 03G2. Les assertions (1), (2) et (3) découlent en général du fait que \(f_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\) est un morphisme de sites : voir Sites, définition 00X1, pour (2), Modules sur les sites, lemme 04JC, pour (1), et Sites, lemme 04D3, pour (3).

Preuve de (4). Cette assertion est un cas particulier de Sites, lemme 05V1, via le lemme 04K0. Nous en donnons aussi une preuve directe. D’après le lemme 04K1, le foncteur fibre commute au passage au faisceau associé. Soit \(\mathcal{G}'\) le faisceau sur \(Y_{spaces, \etale}\) dont la restriction à \(Y_\etale\) est \(\mathcal{G}\). Rappelons que \(f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{G}'\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longrightarrow \colim_{U \to X \times_Y V} \mathcal{G}'(V),\] voir Sites, sections 00WU et 00VC. On a donc \[\begin{align*} (f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{G}')_{\overline{x}} & = \colim_{(U, \overline{u})} f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{G}'(U) \\ & = \colim_{(U, \overline{u})} \colim_{a : U \to X \times_Y V} \mathcal{G}'(V) \\ & = \colim_{(V, \overline{v})} \mathcal{G}'(V) \\ & = \mathcal{G}'_{\overline{y}} \end{align*}\] où, dans la troisième égalité, le couple \((U, \overline{u})\) et le morphisme \(a : U \to X \times_Y V\) correspondent au couple \((V, a \circ \overline{u})\). Comme la fibre de \(\mathcal{G}'\) (resp. de \(f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{G}'\)) coïncide avec celle de \(\mathcal{G}\) (resp. de \(f_{small}^{-1}\mathcal{G}\)), voir l’équation (04JZ), le résultat en découle.

Remarque

Cette remarque est l’analogue de Cohomologie étale, remarque 04JN. Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) un point géométrique de \(X\). D’après Cohomologie étale, théorème 03QT, la catégorie des faisceaux sur \(\Spec(k)_\etale\) est équivalente à la catégorie des ensembles (en associant à un faisceau ses sections globales). Il découle alors de l’assertion (4) du lemme 04K2, appliquée au morphisme \(\overline{x}\), que le foncteur \[\Sh(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ens}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\] est isomorphe au foncteur \[\Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh(\Spec(k)_\etale) = \textit{Ens}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \overline{x}^*\mathcal{F}\] Nous pouvons donc considérer les foncteurs fibres comme des foncteurs d’image réciproque par des morphismes géométriques (et non simplement par des morphismes abstraits de topos, comme dans le résultat du lemme 04K0).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Nous affirmons que, pour toute paire de points géométriques \(\overline{x}\) et \(\overline{x}'\) au-dessus de \(x\), les foncteurs fibres sont isomorphes. Par définition de \(|X|\), on peut trouver un troisième point géométrique \(\overline{x}''\) tel qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \overline{x}'' \ar[r] \ar[d] \ar[rd]^{\overline{x}''} & \overline{x}' \ar[d]^{\overline{x}'} \\ \overline{x} \ar[r]^{\overline{x}} & X. }\] Comme le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est donné par l’image réciproque par le morphisme \(\overline{x}\) (et de même pour les autres), on conclut par fonctorialité des images réciproques.

Le théorème suivant affirme que le petit site étale d’un espace algébrique a assez de points.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un morphisme \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de faisceaux d’ensembles est injectif (resp. surjectif) si et seulement si le morphisme sur les fibres \(a_{\overline{x}} : \mathcal{F}_{\overline{x}} \to \mathcal{G}_{\overline{x}}\) est injectif (resp. surjectif) pour tout point géométrique de \(X\). Une suite de faisceaux abéliens sur \(X_\etale\) est exacte si et seulement si elle est exacte sur toutes les fibres aux points géométriques de \(X\).

Démonstration

Nous savons que le théorème est vrai lorsque \(X\) est un schéma, voir Cohomologie étale, théorème 03PU. Choisissons un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\), où \(U\) est un schéma. Comme \(\{U \to X\}\) est un recouvrement (dans \(X_{spaces, \etale}\)), on peut vérifier qu’un morphisme de faisceaux est injectif ou surjectif après restriction à \(U\). Or, si \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) est un point géométrique de \(U\), alors \((\mathcal{F}|_U)_{\overline{u}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\) où \(\overline{x} = f \circ \overline{u}\). (Cela résulte directement des limites inductives qui définissent les fibres en \(\overline{u}\) et \(\overline{x}\), mais cela résulte aussi du lemme 04K2.) Le résultat pour \(U\) implique donc celui pour \(X\), ce qui conclut.

Le lemme suivant peut être omis en première lecture.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(p : \Sh(pt) \to \Sh(X_\etale)\) un point du petit topos étale de \(X\). Il existe alors un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\) tel que le foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) soit isomorphe au foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{x}}\).

Démonstration

D’après Sites, lemme 00YA, il y a une correspondance biunivoque entre les points du site et ceux du topos associé. Nous pouvons donc supposer que \(p\) est donné par un foncteur \(u : X_\etale \to \textit{Ens}\) qui définit un point du site \(X_\etale\). Soit \(U \in \Ob(X_\etale)\) un objet dont le morphisme structural \(j : U \to X\) est surjectif. Notons que \(h_U\) est un faisceau muni d’une surjection sur le faisceau final. Comme le foncteur fibre est exact, on voit que \((h_U)_p = u(U)\) n’est pas vide (utiliser Sites, lemme 00Y6). Choisissons \(x \in u(U)\). D’après Sites, lemme 04H2, on obtient un point \(q : \Sh(pt) \to \Sh(U_\etale)\) tel que \(p = j_{small} \circ q\), et donc, fonctoriellement, \(\mathcal{F}_p = (\mathcal{F}|_U)_q\). D’après Cohomologie étale, lemme 04HU, il existe un point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\) et un isomorphisme fonctoriel \(\mathcal{G}_q = \mathcal{G}_{\overline{u}}\) pour \(\mathcal{G} \in \Sh(U_\etale)\). Posons \(\overline{x} = j \circ \overline{u}\). On voit alors que \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \cong (\mathcal{F}|_U)_{\overline{u}}\) fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), d’après le lemme 04K2, ce qui conclut.

Supports de faisceaux abéliens

Commençons par les supports des sections locales.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un sous-faisceau de l’objet final du topos étale de \(X\) (voir Sites, exemple 00W3). Il existe alors un unique sous-espace ouvert \(W \subset X\) tel que \(\mathcal{F} = h_W\).

Démonstration

La condition signifie que \(\mathcal{F}(U)\) est un singleton ou est vide pour tout \(\varphi : U \to X\) dans \(\Ob(X_{spaces, \etale})\). En particulier, les sections locales se recollent toujours. Si \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\), alors \(\mathcal{F}(\varphi(U)) \not = \emptyset\), car \(\varphi(U) \subset X\) est un sous-espace ouvert (lemme 03IR) et \(\{\varphi : U \to \varphi(U)\}\) est un recouvrement dans \(X_{spaces, \etale}\). Il suffit de prendre \(W = \bigcup_{\varphi : U \to X, \mathcal{F}(U) \not = \emptyset} \varphi(U)\) pour conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_{spaces, \etale}\). Soit \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) une section locale. Il existe un sous-espace ouvert \(W \subset U\) tel que

1. \(W \subset U\) soit le plus grand sous-espace ouvert de \(U\) tel que \(\sigma|_W = 0\),

2. pour tout \(\varphi : V \to U\) dans \(X_{spaces, \etale}\), on ait \[\sigma|_V = 0 \Leftrightarrow \varphi(V) \subset W,\]

3. pour tout point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\), on ait \[(U, \overline{u}, \sigma) = 0\text{ dans }\mathcal{F}_{\overline{x}} \Leftrightarrow \overline{u} \in W\] où \(\overline{x} = (U \to X) \circ \overline{u}\).

Démonstration

Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale, la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{Zar}\) est un faisceau sur \(U\) pour la topologie de Zariski. Il existe donc un ouvert de Zariski \(W\) ayant la propriété (1), voir Modules, lemme 01AU. Soit \(\varphi : V \to U\) une flèche de \(X_{spaces, \etale}\). Notons que \(\varphi(V) \subset U\) est un sous-espace ouvert (lemme 03IR) et que \(\{V \to \varphi(V)\}\) est un recouvrement étale. Si donc \(\sigma|_V = 0\), la condition de faisceau de \(\mathcal{F}\) montre que \(\sigma|_{\varphi(V)} = 0\). Cela prouve (2). Pour prouver (3), il faut montrer que, si \((U, \overline{u}, \sigma)\) définit l’élément nul de \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\), alors \(\overline{u} \in W\). En effet, l’hypothèse signifie qu’il existe un morphisme de voisinages étales \((V, \overline{v}) \to (U, \overline{u})\) tel que \(\sigma|_V = 0\). D’après (2), le morphisme \(V \to U\) se factorise par \(W\), et donc \(\overline{u} \in W\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). D’après la remarque 04K4, la classe d’isomorphisme de la fibre du faisceau \(\mathcal{F}\) en un point géométrique au-dessus de \(x\) est bien définie.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\).

1. Le support de \(\mathcal{F}\) est l’ensemble des points \(x \in |X|\) tels que \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\) pour tout (ou, ce qui revient au même, pour un) point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\).

2. Soit \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\) une section. Le support de \(\sigma\) est la partie fermée \(U \setminus W\), où \(W \subset U\) est le plus grand ouvert de \(U\) sur lequel la restriction de \(\sigma\) est nulle (voir le lemme 04K9).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Soient \(U \in \Ob(X_\etale)\) et \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\).

1. Le support de \(\sigma\) est fermé dans \(|U|\).

2. Le support de \(\sigma + \sigma'\) est contenu dans la réunion des supports de \(\sigma, \sigma' \in \mathcal{F}(U)\).

3. Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de faisceaux abéliens sur \(X_\etale\), alors le support de \(\varphi(\sigma)\) est contenu dans celui de \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\).

4. Le support de \(\mathcal{F}\) est la réunion des images des supports de toutes les sections locales de \(\mathcal{F}\).

5. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est surjectif, alors le support de \(\mathcal{G}\) est contenu dans celui de \(\mathcal{F}\).

6. Si \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injectif, alors le support de \(\mathcal{F}\) est contenu dans celui de \(\mathcal{G}\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte de la définition. Les assertions (2) et (3) sont vraies parce qu’elles le sont pour les restrictions de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) à \(U_{Zar}\), voir Modules, lemme 01AU. L’assertion (4) découle directement de l’assertion (3) du lemme 04K9. Les assertions (5) et (6) découlent des autres.

Lemme

Le support d’un faisceau d’anneaux sur le petit site étale d’un espace algébrique est fermé.

Démonstration

Cela résulte du fait que (selon nos conventions) un anneau est \(0\) si et seulement si \(1 = 0\) ; le support d’un faisceau d’anneaux est donc celui de sa section unité.

Le faisceau structural d’un espace algébrique

Le faisceau structural d’un espace algébrique est le faisceau d’anneaux du lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). La règle \(U \mapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) définit un faisceau d’anneaux sur \(X_\etale\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition d’un recouvrement et de Descente, lemme 03DT.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le faisceau structural de \(X\) est le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) sur le petit site étale \(X_\etale\) décrit dans le lemme 03G6.

D’après le lemme 03LS, le faisceau \(\mathcal{O}_X\) correspond à un système de faisceaux étales \((\mathcal{O}_X)_U\), où \(U\) parcourt les objets de \(X_\etale\). La preuve de ce lemme et notre définition montrent clairement que l’on a simplement \((\mathcal{O}_X)_U = \mathcal{O}_U\), où \(\mathcal{O}_U\) est le faisceau structural de \(U_\etale\) introduit dans Descente, définition 03DU. En particulier, si \(X\) est un schéma, on retrouve le faisceau \(\mathcal{O}_X\) sur le petit site étale de \(X\).

Au moyen de l’équivalence \(\Sh(X_\etale) = \Sh(X_{spaces, \etale})\) du lemme 03G1, on peut également considérer \(\mathcal{O}_X\) comme un faisceau d’anneaux sur \(X_{spaces, \etale}\). La remarque 03H7 explique comment calculer \(\mathcal{O}_X(Y)\), et en particulier \(\mathcal{O}_X(X)\), lorsque \(Y \to X\) est un objet de \(X_{spaces, \etale}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe alors un morphisme canonique \(f^\sharp : f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) tel que \[(f_{small}, f^\sharp) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] soit un morphisme de topos annelés. De plus,

1. La construction \(f \mapsto (f_{small}, f^\sharp)\) est compatible aux compositions.

2. Si \(f\) est un morphisme de schémas, alors \(f^\sharp\) est le morphisme décrit dans Descente, remarque 070R.

Démonstration

D’après le lemme 03G4, il suffit de donner une \(f\)-application de \(\mathcal{O}_Y\) vers \(\mathcal{O}_X\). Autrement dit, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\] où \(U \in X_\etale\), \(V \in Y_\etale\), il faut donner un morphisme d’anneaux \((f^\sharp)_{(U, V, g)} : \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U).\) On prend bien sûr \((f^\sharp)_{(U, V, g)} = g^\sharp\). Il est clair que ce choix est compatible aux morphismes de restriction et donne donc bien une \(f\)-application. Nous omettons la vérification de la compatibilité aux compositions et de l’accord avec la construction de Descente, remarque 070R.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est réduit,

2. pour tout \(x \in |X|\), l’anneau local de \(X\) en \(x\) est réduit (remarque 0BBL).

Dans ce cas, \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un anneau réduit et, si \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) vérifie \(X = V(f)\), alors \(f = 0\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte de Propriétés, lemme 01OL, appliqué aux schémas affines étales sur \(X\). Les dernières assertions résultent du lemme cité et du fait que \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est un sous-anneau de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) pour un certain schéma réduit \(U\) étale sur \(X\).

Fibres du faisceau structural

Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 04HW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Soit \((U, \overline{u})\) un voisinage étale de \(\overline{x}\), où \(U\) est un schéma. On a alors \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, \overline{u}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] où le membre de gauche est la fibre du faisceau structural de \(X\), et celui de droite l’hensélisé strict de l’anneau local de \(U\) en la localité \(u\) de \(\overline{u}\).

Démonstration

On sait que le faisceau structural \(\mathcal{O}_U\) sur \(U_\etale\) est la restriction du faisceau structural de \(X\). La première égalité résulte donc du lemme 04K2, partie (4). La seconde égalité est expliquée dans Cohomologie étale, lemme 04HX.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) au-dessus du point \(x \in |X|\).

1. L’anneau local étale de \(X\) en \(\overline{x}\) est la fibre du faisceau structural \(\mathcal{O}_X\) sur \(X_\etale\) en \(\overline{x}\). Notation : \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\).

2. L’hensélisé strict de \(X\) en \(\overline{x}\) est le schéma \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}})\).

À isomorphisme près, l’hensélisé strict de \(X\) en \(\overline{x}\) (comme schéma sur \(X\)) ne dépend que du point \(x \in |X|\), et non du choix du point géométrique au-dessus de \(x\) ; voir la remarque 04K4.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Le petit site étale \(X_\etale\), muni de son faisceau structural \(\mathcal{O}_X\), est un site localement annelé ; voir Modules sur les sites, définition 04EU.

Démonstration

Cela résulte du fait que les fibres \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) sont des anneaux locaux et que \(X_\etale\) a assez de points ; voir le lemme 04KF et le théorème 04K5. Voir Modules sur les sites, lemme 04ET et 05D8 pour le fait qu’il en résulte que le petit site étale est localement annelé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Soit \(d \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. la dimension de l’anneau local de \(X\) en \(x\) (définition 04NA) est \(d\) ;

2. \(\dim(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) = d\) pour un point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\) ;

3. \(\dim(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) = d\) pour tout point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\).

Démonstration

L’équivalence de (2) et (3) résulte du fait que le type d’isomorphie de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) ne dépend que de \(x \in |X|\) ; voir la remarque 04K4. En utilisant le lemme 04KF, l’équivalence de (1) et (2)\(+\)(3) se ramène à l’assertion suivante : pour tout anneau local \(R\), on a \(\dim(R) = \dim(R^{sh})\). C’est le contenu de Compléments d’algèbre, lemme 06LK.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Alors (1) \(\dim_x(X) = \dim_{f(x)}(Y)\) et (2) la dimension de l’anneau local de \(X\) en \(x\) est égale à la dimension de l’anneau local de \(Y\) en \(f(x)\). Si \(f\) est surjectif, alors (3) \(\dim(X) = \dim(Y)\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(U \to X\) qui envoie \(u\) sur \(x\). Le composé \(U \to Y\) est encore étale et envoie \(u\) sur \(f(x)\). Les assertions (1) et (2) en résultent, car les nombres considérés sont définis par le comportement du schéma \(U\) en \(u\). Voir la définition 04N5 pour (1). La partie (3) est une conséquence immédiate de (1) ; voir la définition 04N6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l’anneau local de \(X\) en \(x\) est réduit (remarque 0BBL) ;

2. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est réduit pour un point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\) ;

3. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est réduit pour tout point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\).

Démonstration

L’équivalence de (2) et (3) résulte du fait que le type d’isomorphie de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) ne dépend que de \(x \in |X|\) ; voir la remarque 04K4. En utilisant le lemme 04KF, l’équivalence de (1) et (2)\(+\)(3) se ramène à l’assertion suivante : un anneau local est réduit si et seulement si son hensélisé strict est réduit. C’est le contenu de Compléments d’algèbre, lemme 06DH.

Irréductibilité locale

Tout point d’un espace algébrique possède un anneau local étale bien défini, qui correspond au hensélisé strict de l’anneau local dans le cas d’un schéma. En général, il ne permet pas de voir combien de composantes irréductibles d’un schéma ou d’un espace algébrique passent par le point donné : l’anneau local étale ne permet de compter que le nombre de branches géométriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) possède un unique idéal premier minimal ;

2. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), il existe une unique composante irréductible de \(U\) passant par \(u\) ;

3. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) est unibranche ;

4. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) est géométriquement unibranche ;

5. \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) possède un unique idéal premier minimal pour tout point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus de \(x\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) sont en correspondance biunivoque (\(1\)-\(1\)) avec les idéaux premiers minimaux de l’anneau local de \(U\) en \(u\). Soient \(a : U \to X\) et \(u \in U\) comme dans (1). Alors \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{U, u}\) d’après le lemme 04KF. En particulier, (4) et (5) sont équivalentes d’après Compléments d’algèbre, lemme 06DM. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0CB4.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). On dit que \(X\) est géométriquement unibranche en \(x\) si les conditions équivalentes du lemme 06DK sont satisfaites. On dit que \(X\) est géométriquement unibranche si \(X\) l’est en tout \(x \in |X|\).

Cette définition est compatible avec celle donnée pour les schémas (Propriétés, définition 0BQ2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Soit \(n \in \{1, 2, \ldots\}\) un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), le nombre d’idéaux premiers minimaux de l’anneau local \(\mathcal{O}_{U, u}\) est \(\leq n\), et, pour au moins un choix de \(U, a, u\), il vaut \(n\) ;

2. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), le nombre de composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) est \(\leq n\) et, pour au moins un choix de \(U, a, u\), il vaut \(n\) ;

3. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), le nombre de branches de \(U\) en \(u\) est \(\leq n\), et, pour au moins un choix de \(U, a, u\), il vaut \(n\) ;

4. pour tout schéma \(U\), tout morphisme étale \(a : U \to X\) et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), le nombre de branches géométriques de \(U\) en \(u\) est \(n\) ;

5. le nombre d’idéaux premiers minimaux de \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est \(n\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte du fait que les composantes irréductibles de \(U\) passant par \(u\) sont en correspondance biunivoque (\(1\)-\(1\)) avec les idéaux premiers minimaux de l’anneau local de \(U\) en \(u\). Soient \(a : U \to X\) et \(u \in U\) comme dans (1). Alors \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{U, u}\) d’après le lemme 04KF. Rappelons que le nombre (géométrique) de branches de \(U\) en \(u\) est le nombre d’idéaux premiers minimaux de l’hensélisé (strict) de \(\mathcal{O}_{U, u}\). En particulier, (4) et (5) sont équivalentes. L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0CB4.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Le nombre de branches géométriques de \(X\) en \(x\) est égal à \(n \in \mathbf{N}\) si les conditions équivalentes du lemme 0DQ3 sont satisfaites, et à \(\infty\) sinon.

Espaces noethériens

Nous avons déjà défini les espaces algébriques localement noethériens dans la section 03E5.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). On dit que \(X\) est noethérien si \(X\) est quasi-compact, quasi-séparé et localement noethérien.

Notons qu’un espace algébrique noethérien \(X\) n’est pas seulement quasi-compact et localement noethérien, mais aussi quasi-séparé. Cela ne contredit pas la définition d’un schéma noethérien, car un schéma localement noethérien est quasi-séparé ; voir Propriétés, lemme 01OY. Cette propriété n’est pas vraie pour les espaces algébriques. En effet, \(X = \mathbf{A}^1_k/\mathbf{Z}\), voir Espaces, exemple 02Z7, est localement noethérien et quasi-compact, mais non quasi-séparé (donc non noethérien selon nos définitions).

Une conséquence du choix fait ci-dessus est qu’un espace algébrique de type fini sur un espace algébrique noethérien n’est pas automatiquement noethérien ; autrement dit, l’analogue de Morphismes, lemme 01T6, n’est pas vrai. L’énoncé correct est qu’un espace algébrique de présentation finie sur un espace algébrique noethérien est noethérien (voir Morphismes d’espaces, lemme 04ZL).

Un espace algébrique noethérien \(X\) est très proche d’être un schéma. Dans la suite de cette section, nous rassemblons quelques lemmes qui l’illustrent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. Si \(X\) est localement noethérien, alors \(|X|\) est un espace topologique localement noethérien.

2. Si \(X\) est quasi-compact et localement noethérien, alors \(|X|\) est un espace topologique noethérien.

Démonstration

Supposons \(X\) localement noethérien. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Puisque \(X\) est localement noethérien, \(U\) l’est aussi. D’après Propriétés, lemme 01OZ, cela signifie que \(|U|\) est un espace topologique localement noethérien. Comme \(|U| \to |X|\) est ouverte et surjective, on en conclut que \(|X|\) est localement noethérien d’après Topologie, lemme 04Z8. Cela prouve (1). Si \(X\) est quasi-compact et localement noethérien, alors \(|X|\) est quasi-compact et localement noethérien. Ainsi, \(|X|\) est noethérien d’après Topologie, lemme 04ZB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est noethérien, alors \(|X|\) est un espace topologique noethérien sobre.

Démonstration

L’espace topologique sous-jacent à un espace algébrique quasi-séparé est sobre ; voir le lemme 06NJ. Il est noethérien d’après le lemme 04ZF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Alors \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est un anneau local noethérien.

Démonstration

Choisissons un voisinage étale \((U, \overline{u})\) de \(\overline{x}\), où \(U\) est un schéma. Alors \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de l’anneau local de \(U\) en \(u\) ; voir le lemme 04KF. D’après notre définition des espaces noethériens, le schéma \(U\) est localement noethérien. On conclut donc par Compléments d’algèbre, lemme 06LJ.

Espaces algébriques réguliers

Nous avons déjà défini les espaces algébriques réguliers à la section 03E5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est régulier ;

2. tout anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est régulier.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Par hypothèse, \(U\) est localement noethérien. De plus, tout anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est le hensélisé strict d’un anneau local de \(U\), et réciproquement ; voir le lemme 04KF. Ainsi, d’après le lemme 06LN de Compléments d’algèbre, nous voyons que (2) équivaut à ce que tout anneau local de \(U\) soit régulier, c’est-à-dire à ce que \(U\) soit un schéma régulier (voir le lemme 02IT de Propriétés). Cela équivaut à (1) d’après la définition 03E6.

Nous pouvons utiliser le lemme 0AH7 de Descente pour définir ce que signifie, pour un espace algébrique \(X\), être régulier en un point \(x\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Nous disons que \(X\) est régulier en \(x\) si \(\mathcal{O}_{U, u}\) est un anneau local régulier pour tout (ou, de manière équivalente, pour un certain) couple \((a : U \to X, u)\) formé d’un morphisme étale \(a : U \to X\) d’un schéma vers \(X\) et d’un point \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\).

Voir la définition 04RC, le lemme 04N2 et le lemme 0AH7 de Descente.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est régulier en \(x\) ;

2. l’anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est régulier pour tout point géométrique \(\overline{x}\) au-dessus du point \(x\) (ou, de manière équivalente, pour un certain).

Démonstration

Soient \(U\) un schéma, \(u \in U\) un point, et \(a : U \to X\) un morphisme étale envoyant \(u\) sur \(x\). Pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\) au-dessus de \(x\), l’anneau local étale \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est le hensélisé strict de l’anneau local de \(U\) en \(u\) ; voir le lemme 04KF. On conclut donc par le lemme 06LN de Compléments d’algèbre.

Lemme

Tout espace algébrique régulier est normal.

Démonstration

Cela résulte des définitions et du cas des schémas. Voir le lemme 0569 de Propriétés.

Faisceaux de modules sur les espaces algébriques

Si \(X\) est un espace algébrique, un faisceau de modules sur \(X\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur le petit site étale de \(X\), où \(\mathcal{O}_X\) est le faisceau structural de \(X\). La catégorie des faisceaux de modules est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\).

Étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques, le lemme 03G8 nous donne un morphisme de topos annelés et, par conséquent, la définition 03D6 de Modules sur les sites nous donne des foncteurs image inverse et image directe bien définis [03LU]\[\begin{equation} f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X), \quad f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \end{equation}\] qui sont adjoints de la manière habituelle. Si \(g : Y \to Z\) est un autre morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), alors nous avons \((g \circ f)^* = f^* \circ g^*\) et \((g \circ f)_* = g_* \circ f_*\) simplement parce que les morphismes de topos annelés se composent de la manière correspondante (d’après le lemme).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(f^{-1}\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X\), et \(f^*\mathcal{G} = f_{small}^{-1}\mathcal{G}\) pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \(\mathcal{G}\). En particulier, \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est exact.

Démonstration

D’après la description de l’image réciproque dans le lemme 03LP et la définition des faisceaux structuraux, il est clair que \(f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X\). Puisque, par définition, l’image inverse est \[f^*\mathcal{G} = f_{small}^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X\] nous concluons que \(f^*\mathcal{G} = f_{small}^{-1}\mathcal{G}\). L’exactitude est claire, car \(f_{small}^{-1}\) est exact puisque \(f_{small}\) est un morphisme de topos.

Nous poursuivons l’abus de notation introduit dans l’équation (03LQ) en écrivant [03LW]\[\begin{equation} \mathcal{G}|_{X_\etale} = f^*\mathcal{G} = f_{small}^{-1}\mathcal{G} \end{equation}\] dans la situation du lemme ci-dessus. Nous en discuterons de manière plus technique à la section 04LX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un carré cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F} \in \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Si \(g\) est étale, alors \(f'_*(\mathcal{F}|_{X'}) = (f_*\mathcal{F})|_{Y'}\)⁷ et \(R^if'_*(\mathcal{F}|_{X'}) = (R^if_*\mathcal{F})|_{Y'}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{Y'})\).

Démonstration

C’est une reformulation du lemme 03LR dans le cas des modules.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules est donné par les données suivantes :

1. pour tout \(U \in \Ob(X_\etale)\), un faisceau \(\mathcal{F}_U\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules sur \(U_\etale\) ;

2. pour tout \(f : U' \to U\) dans \(X_\etale\), un isomorphisme \(c_f : f_{small}^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_{U'}\).

Ces données sont soumises à la condition suivante : pour tous \(f : U' \to U\) et \(g : U'' \to U'\) dans \(X_\etale\), le composé \(c_g \circ g_{small}^*c_f\) est égal à \(c_{f \circ g}\).

Démonstration

Combiner les lemmes 03LV et 03LS, et utiliser le fait que tout morphisme entre objets de \(X_\etale\) est un morphisme étale de schémas.

Localisation étale

Il faut éviter à tout prix de lire cette section.

Soit \(X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques. Alors \(X\) est un objet de \(Y_{spaces, \etale}\) et il résulte immédiatement des définitions, voir aussi la preuve du lemme 03LP, que [04LY]\[\begin{equation} X_{spaces, \etale} = Y_{spaces, \etale}/X \end{equation}\] où le membre de droite est la localisation du site \(Y_{spaces, \etale}\) en l’objet \(X\) ; voir la définition 00Y0 de Sites. De plus, cette identification est compatible avec les faisceaux structuraux d’après le lemme 03LV. Par conséquent, le site annelé \((X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X)\) s’identifie à la localisation du site annelé \((Y_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_Y)\) en l’objet \(X\) : [04LZ]\[\begin{equation} (X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X) = (Y_{spaces, \etale}/X, \mathcal{O}_Y|_{Y_{spaces, \etale}/X}) \end{equation}\] La localisation d’un site annelé utilisée dans le membre de droite est définie dans Modules sur les sites, à la définition 04IX.

Supposons maintenant que \(X \to Y\) soit un morphisme étale d’espaces algébriques et que \(X\) soit un schéma. Alors \(X\) est un objet de \(Y_\etale\) et il s’ensuit que [04M0]\[\begin{equation} X_\etale = Y_\etale/X \end{equation}\] et [04M1]\[\begin{equation} (X_\etale, \mathcal{O}_X) = (Y_\etale/X, \mathcal{O}_Y|_{Y_\etale/X}) \end{equation}\] comme ci-dessus.

Enfin, si \(X \to Y\) est un morphisme étale d’espaces algébriques et si \(X\) est un schéma affine, alors \(X\) est un objet de \(Y_{affine, \etale}\) et [04M2]\[\begin{equation} X_{affine, \etale} = Y_{affine, \etale}/X \end{equation}\] et [04M3]\[\begin{equation} (X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) = (Y_{affine, \etale}/X, \mathcal{O}_Y|_{Y_{affine, \etale}/X}) \end{equation}\] comme ci-dessus.

Montrons ensuite que ces localisations sont compatibles avec les morphismes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\) dans lequel \(p\) et \(q\) sont étales. Par les identifications (04LZ) pour \(U \to X\) et \(V \to Y\), le morphisme de topos annelés \[(g_{spaces, \etale}, g^\sharp) : (\Sh(U_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(V_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_V)\] est \(2\)-isomorphe au morphisme \((f_{spaces, \etale, c}, f_c^\sharp)\) construit dans Modules sur les sites, au lemme 04J1, à partir du morphisme de sites annelés \((f_{spaces, \etale}, f^\sharp)\) et de l’application \(c : U \to V \times_Y X\) correspondant à \(g\).

Démonstration

Le morphisme \((f_{spaces, \etale, c}, f_c^\sharp)\) est défini comme le composé \(f' \circ j\) d’un morphisme de localisation et d’une application de changement de base. De même, \(g\) est le composé \(U \to V \times_Y X \to V\). Il suffit donc de démontrer le lemme dans les deux cas suivants : (1) \(f = \text{id}\), et (2) \(U = X \times_Y V\). Dans le cas (1), le morphisme \(g : U \to V\) est étale ; voir le lemme 03FV. Par conséquent, \((g_{spaces, \etale}, g^\sharp)\) est un morphisme de localisation d’après la discussion autour des équations (04LY) et (04LZ), ce qui est exactement l’assertion du lemme dans ce cas. Dans le cas (2), le morphisme \(g_{spaces, \etale}\) provient du morphisme de sites annelés donné par le foncteur \(V_{spaces, \etale} \to U_{spaces, \etale}\), \(V'/V \mapsto V' \times_V U/U\) qui est aussi celui par lequel le morphisme \(f'\) est défini ; voir le lemme 03CF de Sites. Nous omettons la vérification de \((f')^\sharp = g^\sharp\) dans ce cas (tous deux sont la restriction de \(f^\sharp\) à \(U_{spaces, \etale}\)).

Lemme

Mêmes notations et hypothèses que dans le lemme 04M4, sauf que nous supposons aussi que \(U\) et \(V\) sont des schémas. Par les identifications (04M1) pour \(U \to X\) et \(V \to Y\), le morphisme de topos annelés \[(g_{small}, g^\sharp) : (\Sh(U_\etale), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(V_\etale), \mathcal{O}_V)\] est \(2\)-isomorphe au morphisme \((f_{small, s}, f_s^\sharp)\) construit dans Modules sur les sites, au lemme 04J8, à partir de \((f_{small}, f^\sharp)\) et de l’application \(s : h_U \to f_{small}^{-1}h_V\) correspondant à \(g\).

Démonstration

Notons que \((g_{small}, g^\sharp)\) est \(2\)-isomorphe, comme morphisme de topos annelés, au morphisme de topos annelés associé au morphisme de sites annelés \((g_{spaces, \etale}, g^\sharp)\). Nous concluons donc par le lemme 04M4 et par le résultat de Modules sur les sites donné au lemme 04J9.

Enfin, nous examinons la relation entre les faisceaux d’ensembles sur le petit site étale \(Y_\etale\) d’un espace algébrique \(Y\) et les espaces algébriques étales sur \(Y\). Soit \(S\) un schéma et soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\Sh(Y_\etale)\). Considérons le foncteur \[X : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}\] défini par la règle \[X(T) = \{(y, s) \mid y : T \to Y\text{ est un morphisme sur }S\text{ et } s \in \Gamma(T, y_{small}^{-1}\mathcal{F})\}\] Étant donné un morphisme \(g : T' \to T\), l’application de restriction envoie \((y, s)\) sur \((y \circ g, g_{small}^{-1}s)\). Cela a un sens puisque \(y_{small} \circ g_{small} = (y \circ g)_{small}\) d’après le lemme 03G2. Il existe une application canonique \(X \to Y\) qui envoie le couple \((y, s)\) sur \(y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(Y\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\). Sous réserve d’une condition ensembliste (voir la preuve), nous avons :

1. le foncteur \(X\) associé ci-dessus à \(\mathcal{F}\) est un espace algébrique ;

2. l’application \(X \to Y\) est un morphisme étale d’espaces algébriques ;

3. par l’identification \(\Sh(Y_\etale) = \Sh(Y_{spaces, \etale})\), nous avons \(\mathcal{F} \cong h_X\) ;

4. nous avons \(\mathcal{F} \cong f_{small, !}*\). Ici, \(*\) est l’objet final de la catégorie \(\Sh(X_\etale)\) et \(f_{small, !}\) existe d’après le lemme 03LP.

Démonstration

Montrons que \(X\) est un faisceau pour la topologie fppf. Supposons donc que \(\{g_i : T_i \to T\}\) soit un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\) et que les \((y_i, s_i) \in X(T_i)\) vérifient la condition de recollement, c’est-à-dire que les restrictions de \((y_i, s_i)\) et de \((y_j, s_j)\) à \(T_i \times_T T_j\) coïncident. Puisque \(Y\) est un faisceau pour la topologie fppf, nous voyons alors que les \(y_i\) donnent naissance à un unique morphisme \(y : T \to Y\) tel que \(y_i = y \circ g_i\). Nous voyons ensuite que \(y_{i, small}^{-1}\mathcal{F} = g_{i, small}^{-1}y_{small}^{-1}\mathcal{F}\). Les sections \(s_i\) se recollent donc de manière unique en une section de \(y_{small}^{-1}\mathcal{F}\) d’après le résultat donné dans Cohomologie étale, lemme 09XN.

La construction qui envoie \(\mathcal{F} \in \Ob(\Sh(Y_\etale))\) sur \(X \in \Ob(\Sh((\Sch/S)_{fppf}))\) commute aux limites finies et aux colimites quelconques, puisque chacun des foncteurs \(y_{small}^{-1}\) possède ces propriétés. Bien entendu, si \(V \in \Ob(Y_\etale)\), alors la construction envoie le faisceau représentable \(h_V\) de \(Y_\etale\) sur le foncteur représentable représenté par \(V\).

D’après le lemme 00WS de Sites, nous pouvons trouver un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i \in I\), un objet \(V_i\) de \(Y_\etale\) et une surjection de faisceaux \[\coprod h_{V_i} \longrightarrow \mathcal{F}\] sur \(Y_\etale\). La condition ensembliste dont nous avons besoin est que l’ensemble d’indices \(I\) ne soit pas trop grand⁸. Alors \(V = \coprod V_i\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et donc un objet de \(Y_\etale\), et nous avons une surjection \(h_V \to \mathcal{F}\).

Observons que le produit de \(h_V\) par lui-même dans \(\Sh(Y_\etale)\) est \(h_{V \times_Y V}\). Considérons le produit fibré \[h_V \times_\mathcal{F} h_V \subset h_{V \times_Y V}\] Il existe un sous-schéma ouvert \(R\) de \(V \times_Y V\) tel que \(h_V \times_\mathcal{F} h_V = h_R\) ; voir le lemme 04K8 (un petit détail est omis). Par le lemme de Yoneda, nous obtenons deux morphismes \(s, t : R \to V\) dans \(Y_\etale\) et nous trouvons un diagramme de conoyau du couple \[\xymatrix{ h_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_V \ar[r] & \mathcal{F} }\] dans \(\Sh(Y_\etale)\). Bien entendu, les morphismes \(s, t\) sont étales et définissent une relation d’équivalence étale \((t, s) : R \to V \times_S V\).

La discussion des deux paragraphes précédents nous donne un diagramme de conoyau du couple \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & V \ar[r] & X }\] dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Ainsi, \(X = V/R\) est un espace algébrique d’après le théorème 02WW d’Espaces. Cela démontre (1). L’assertion (2) résulte de ce que \(V \to Y\) est étale. L’assertion (3) découle immédiatement de la définition de \(X\) et de \(h_X\). Nous omettons la preuve de l’assertion (4) ; elle résulte de l’identification du morphisme associé au foncteur cocontinu \(j\) du lemme 03LP avec la description de \(X_{spaces, \etale}\) comme localisation de \(Y_{spaces, \etale}\) en \(X\) donnée ci-dessus, et du lemme 03HU de Sites.

Reconstruction des morphismes

Dans cette section, nous démontrons que le procédé qui associe à un espace algébrique son petit topos étale localement annelé est pleinement fidèle en un sens approprié ; voir le théorème 04KL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le morphisme de topos annelés \((f_{small}, f^\sharp)\) associé à \(f\) est un morphisme de topos localement annelés ; voir Modules sur les sites, la définition 04HA.

Démonstration

Remarquons que l’assertion a un sens puisque nous avons vu que \((X_\etale, \mathcal{O}_{X_\etale})\) et \((Y_\etale, \mathcal{O}_{Y_\etale})\) sont des sites localement annelés ; voir le lemme 04KH. De plus, nous savons que \(X_\etale\) a assez de points ; voir le théorème 04K5. Il suffit donc de démontrer que \((f_{small}, f^\sharp)\) satisfait la condition (3) du Modules sur les sites, lemme 04H9. Pour le voir, prenons un point \(p\) de \(X_\etale\). D’après le lemme 04K6, \(p\) correspond à un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\). D’après le lemme 04K2, le point \(q = f_{small} \circ p\) correspond au point géométrique \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) de \(Y\). L’assertion à démontrer est donc que l’homomorphisme induit d’anneaux locaux étales \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] est un homomorphisme local d’anneaux locaux. On peut le démontrer directement, mais nous le déduisons plutôt du résultat correspondant pour les schémas. Choisissons à cette fin un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont surjectives et étales (voir le lemme 02X1 d’Espaces). Choisissons un relèvement \(\overline{u} : \overline{x} \to U\) (ce qui est possible d’après le lemme 04JX). Posons \(\overline{v} = \psi \circ \overline{u}\). Nous obtenons un diagramme commutatif d’anneaux locaux étales \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{U, \overline{u}} & \mathcal{O}_{V, \overline{v}} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}. \ar[l] \ar[u] }\] D’après Cohomologie étale, le lemme 04I5, la flèche horizontale supérieure est un homomorphisme local d’anneaux locaux. Enfin, d’après le lemme 04KF, les flèches verticales sont des isomorphismes. Cela conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(t\) un \(2\)-morphisme de \((f_{small}, f^\sharp)\) vers lui-même ; voir Modules sur les sites, la définition 04IC. Alors \(t = \text{id}\).

Démonstration

Soient \(X'\), resp. \(Y'\), les espaces \(X\), resp. \(Y\), considérés comme espaces algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) ; voir la définition 03I5 d’Espaces. Il ressort de la construction que \((X_{small}, \mathcal{O})\) est égal à \((X'_{small}, \mathcal{O})\), et de même pour \(Y\). Nous pouvons donc travailler avec \(X'\) et \(Y'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).

Supposons que \(S = \Spec(\mathbf{Z})\) et que \(f : X \to Y\) et \(t\) soient comme dans le lemme. Autrement dit, \(t : f^{-1}_{small} \to f^{-1}_{small}\) est une transformation de foncteurs telle que le diagramme \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[rd]_{f^\sharp} & & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[ll]^t \ar[ld]^{f^\sharp} \\ & \mathcal{O}_X }\] soit commutatif. Supposons que \(V \to Y\) soit étale, avec \(V\) affine. Écrivons \(V = \Spec(B)\). Choisissons des générateurs \(b_j \in B\), \(j \in J\), de \(B\) comme \(\mathbf{Z}\)-algèbre. Posons \(T = \Spec(\mathbf{Z}[\{x_j\}_{j \in J}])\). Dans la suite, nous utiliserons le fait que \(\Mor_{\Sch}(U, T) = \prod_{j \in J} \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) pour tout schéma \(U\), sans le rappeler davantage. L’homomorphisme surjectif d’anneaux \(\mathbf{Z}[x_j] \to B\), \(x_j \mapsto b_j\), correspond à une immersion fermée \(V \to T\). Nous obtenons un monomorphisme \[i : V \longrightarrow T_Y = T \times Y\] d’espaces algébriques sur \(Y\). En termes de faisceaux sur \(Y_\etale\), le morphisme \(i\) induit une injection de faisceaux \(h_i : h_V \to \prod_{j \in J} \mathcal{O}_Y\). Le changement de base \(i' : X \times_Y V \to T_X\) de \(i\) à \(X\) est lui aussi un monomorphisme (voir le lemme 02WL d’Espaces). Ainsi, \(i' : X \times_Y V \to T_X\) est un monomorphisme, ce qui signifie à son tour que \(h_{i'} : h_{X \times_Y V} \to \prod_{j \in J} \mathcal{O}_X\) est une injection de faisceaux. Par l’identification \(f_{small}^{-1}h_V = h_{X \times_Y V}\) du lemme 04K2, l’application \(h_{i'}\) est égale à \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j \in J} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^{\prod f^\sharp} & \prod_{j \in J} \mathcal{O}_X }\] (vérification omise). Cela signifie que l’application \(t : f_{small}^{-1}h_V \to f_{small}^{-1}h_V\) s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} \ar[d]^t & \prod_{j \in J} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} \ar[d]^{\prod t} & \prod_{j \in J} \mathcal{O}_X \ar[d]^{\text{id}}\\ f_{small}^{-1}h_V \ar[r]^-{f^{-1}h_i} & \prod_{j \in J} f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]^-{\prod f^\sharp} & \prod_{j \in J} \mathcal{O}_X }\] Le carré de droite est commutatif par l’hypothèse faite ci-dessus sur \(t\).

Comme la composée des flèches horizontales est injective d’après la discussion précédente, nous concluons que la flèche verticale de gauche est elle aussi l’identité. Tout faisceau d’ensembles sur \(Y_\etale\) admet une surjection provenant d’une somme disjointe (énorme) de faisceaux de la forme \(h_V\), avec \(V\) affine (combiner le lemme 04JS et le lemme 00WS de Sites). Nous concluons ainsi que \(t : f_{small}^{-1} \to f_{small}^{-1}\) est la transformation identique, comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(S\). Deux morphismes quelconques \(a, b : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) pour lesquels il existe un \(2\)-isomorphisme \((a_{small}, a^\sharp) \cong (b_{small}, b^\sharp)\) dans la \(2\)-catégorie des topos annelés sont égaux.

Démonstration

Soit \(t : a_{small}^{-1} \to b_{small}^{-1}\) le \(2\)-isomorphisme. Nous pouvons, de manière équivalente, considérer \(t\) comme une transformation \(t : a_{spaces, \etale}^{-1} \to b_{spaces, \etale}^{-1}\) puisqu’il n’y a aucune différence entre les faisceaux sur \(X_\etale\) et ceux sur \(X_{spaces, \etale}\). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^a & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, et où \(p\) et \(q\) sont étales surjectifs. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ h_U \ar[r]_-\alpha \ar@{=}[d] & a_{spaces, \etale}^{-1}h_V \ar[d]^t \\ h_U \ar@{..>}[r] & b_{spaces, \etale}^{-1}h_V }\] Puisque le faisceau \(b_{spaces, \etale}^{-1}h_V\) est isomorphe à \(h_{V \times_{Y, b} X}\), nous voyons que la flèche pointillée provient d’un morphisme de schémas \(\beta : U \to V\) qui s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\beta & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^b & Y }\] Nous affirmons qu’il existe une suite de \(2\)-isomorphismes \[\begin{align*} (\alpha_{small}, \alpha^\sharp) & \cong (\alpha_{spaces, \etale}, \alpha^\sharp) \\ & \cong (a_{spaces, \etale, c}, a_c^\sharp) \\ & \cong (b_{spaces, \etale, d}, b_d^\sharp) \\ & \cong (\beta_{spaces, \etale}, \beta^\sharp) \\ & \cong (\beta_{small}, \beta^\sharp) \end{align*}\] Le premier et le dernier \(2\)-isomorphisme proviennent des identifications entre les faisceaux sur \(U_{spaces, \etale}\) et ceux sur \(U_\etale\), et de même pour \(V\). Les deuxième et quatrième \(2\)-isomorphismes sont ceux du lemme 04M4, où \(c : U \to X \times_{a, Y} V\) est induit par \(\alpha\) et \(d : U \to X \times_{b, Y} V\) est induit par \(\beta\). Le \(2\)-isomorphisme médian provient de la transformation \(t\). Plus précisément, le foncteur \(a_{spaces, \etale, c}^{-1}\) correspond au foncteur \[(\mathcal{H} \to h_V) \longmapsto (a_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{H} \times_{a_{spaces, \etale}^{-1}h_V, \alpha} h_U \to h_U)\] et de même pour \(b_{spaces, \etale, d}^{-1}\) ; voir le lemme 04IN de Sites. On utilise ici l’identification des faisceaux sur \(Y_{spaces, \etale}/V\) avec les flèches \((\mathcal{H} \to h_V)\) dans \(\Sh(Y_{spaces, \etale})\), et de même pour \(U/X\) ; voir le lemme 00Y1 de Sites. Par cette identification, le faisceau structural \(\mathcal{O}_V\) correspond à la paire \((\mathcal{O}_Y \times h_V \to h_V)\), et de même pour \(\mathcal{O}_U\) ; voir le Modules sur les sites, lemme 04J3. Puisque \(t\) échange \(\alpha\) et \(\beta\), nous voyons que \(t\) induit un isomorphisme \[t : a_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{H} \times_{a_{spaces, \etale}^{-1}h_V, \alpha} h_U \longrightarrow b_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{H} \times_{b_{spaces, \etale}^{-1}h_V, \beta} h_U\] au-dessus de \(h_U\), fonctoriellement en \((\mathcal{H} \to h_V)\). De plus, \(t\) est compatible avec \(a_c^\sharp\) et \(b_d^\sharp\), puisque \(t\) est compatible avec \(a^\sharp\) et \(b^\sharp\) d’après notre description ci-dessus des faisceaux structuraux \(\mathcal{O}_U\) et \(\mathcal{O}_V\). Par conséquent, les morphismes de topos annelés \((\alpha_{small}, \alpha^\sharp)\) et \((\beta_{small}, \beta^\sharp)\) sont \(2\)-isomorphes. D’après Cohomologie étale, le lemme 04LW, nous concluons que \(\alpha = \beta\) ! Puisque \(p : U \to X\) est une surjection de faisceaux, il s’ensuit que \(a = b\).

Voici le résultat principal de cette section.

Théorème

Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \[(g, g^\sharp) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] un morphisme de topos localement annelés. Alors il existe un unique morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) tel que \((g, g^\sharp)\) soit isomorphe à \((f_{small}, f^\sharp)\). Autrement dit, la construction \[\textit{Espaces}/\Spec(\mathbf{Z}) \longrightarrow \textit{Topos localement annelés}, \quad X \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] est pleinement fidèle (les morphismes du membre de droite étant pris à \(2\)-isomorphisme près).

Démonstration

L’unicité a été démontrée au lemme 04M6. Il suffit donc de démontrer l’existence. Dans cette preuve, nous utiliserons librement les identifications de l’équation (04M1) ainsi que le résultat du lemme 04M5.

Soit \(U \in \Ob(X_\etale)\), soit \(V \in \Ob(Y_\etale)\), et soit \(s \in g^{-1}h_V(U)\) une section. Nous pouvons considérer \(s\) comme une application de faisceaux \(s : h_U \to g^{-1}h_V\). D’après le Modules sur les sites, lemme 04J8, nous obtenons un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(X_\etale/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]_-{(j, j^\sharp)} \ar[d]_{(g_s, g_s^\sharp)} & & (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \ar[d]^{(g, g^\sharp)} \\ (\Sh(V_\etale), \mathcal{O}_V) \ar[rr] & & (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y). }\] D’après Cohomologie étale, le théorème 04I7, nous obtenons un unique morphisme de schémas \(f_s : U \to V\) tel que \((g_s, g_s^\sharp)\) soit \(2\)-isomorphe à \((f_{s, small}, f_s^\sharp)\). La construction \((U, V, s) \leadsto f_s\) que nous venons de décrire satisfait la propriété de fonctorialité suivante. Supposons donnés des morphismes \(a : U' \to U\) dans \(X_\etale\) et \(b : V' \to V\) dans \(Y_\etale\), ainsi qu’une application \(s' : h_{U'} \to g^{-1}h_{V'}\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ h_{U'} \ar[d]_a \ar[r]_{s'} & g^{-1}h_{V'} \ar[d]^{g^{-1}b} \\ h_U \ar[r]^s & g^{-1}h_V }\] soit commutatif. Alors le diagramme \[\xymatrix{ U' \ar[r]_-{f_{s'}} \ar[d]_a & u(V') \ar[d]^{u(b)} \\ U \ar[r]^-{f_s} & u(V) }\] de schémas est commutatif. En effet, la même condition vaut pour les morphismes \((g_s, g_s^\sharp)\) construits dans Modules sur les sites, au lemme 04J8, et l’on applique l’unicité de Cohomologie étale, théorème 04I7.

Il s’agit de recoller les morphismes \(f_s\) en un morphisme d’espaces algébriques. Pour ce faire, choisissons d’abord un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Ainsi, \(h_V \to *\) est surjectif et, par conséquent, \(g^{-1}h_V \to *\) est lui aussi surjectif. Il existe donc un schéma \(U\), un morphisme étale surjectif \(U \to X\) et un morphisme \(s : h_U \to g^{-1}h_V\). Posons ensuite \(R = V \times_Y V\) et \(R' = U \times_X U\). Nous obtenons alors \(g^{-1}h_R = g^{-1}h_V \times g^{-1}h_V\), car \(g^{-1}\) est exact. Ainsi, \(s\) induit un morphisme \(s \times s : h_{R'} \to g^{-1}h_R\). En appliquant les constructions précédentes, nous obtenons un diagramme commutatif de morphismes de schémas \[\xymatrix{ R' \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \ar[rr]_{f_{s \times s}} & & R \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \\ U \ar[rr]^{f_s} & & V }\] Comme \(X = U/R'\) et \(Y = V/R\) (voir le lemme 0262 d’Espaces), nous concluons que ce diagramme définit un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) qui s’insère dans le diagramme commutatif évident. Il reste à montrer que \((f_{small}, f^\sharp)\) est \(2\)-isomorphe à \((g, g^\sharp)\). Soient \(t_V : f_{s, small}^{-1} \to g_s^{-1}\) et \(t_R : f_{s \times s, small}^{-1} \to g_{s \times s}^{-1}\) les \(2\)-isomorphismes fournis par la construction précédente. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(Y_\etale\). Nous voyons alors que \(t_V\) définit un isomorphisme \[f_{small}^{-1}\mathcal{G}|_{U_\etale} = f_{s, small}^{-1}\mathcal{G}|_{V_\etale} \xrightarrow{t_V} g_s^{-1}\mathcal{G}|_{V_\etale} = g^{-1}\mathcal{G}|_{U_\etale}.\] De plus, l’image inverse de cet isomorphisme sur \(R'\) par l’une ou l’autre projection \(R' \to U\) est l’isomorphisme \[f_{small}^{-1}\mathcal{G}|_{R'_\etale} = f_{s \times s, small}^{-1}\mathcal{G}|_{R_\etale} \xrightarrow{t_R} g_{s \times s}^{-1}\mathcal{G}|_{R_\etale} = g^{-1}\mathcal{G}|_{R'_\etale}.\] Comme \(\{U \to X\}\) est un recouvrement du site \(X_{spaces, \etale}\), cela signifie que le premier isomorphisme affiché descend en un isomorphisme \(t : f_{small}^{-1}\mathcal{G} \to g^{-1}\mathcal{G}\) de faisceaux (un petit détail est omis). L’isomorphisme est fonctoriel en \(\mathcal{G}\), puisque \(t_V\) et \(t_R\) sont des transformations de foncteurs. Enfin, \(t\) est compatible avec \(f^\sharp\) et \(g^\sharp\), puisque \(t_V\) et \(t_R\) le sont (certains détails sont omis). Cela achève la preuve du théorème.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des espaces algébriques sur \(\mathbf{Z}\). Si \[(g, g^\sharp) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y)\] est un isomorphisme de topos annelés, alors il existe un unique morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) tel que \((g, g^\sharp)\) soit isomorphe à \((f_{small}, f^\sharp)\) ; de plus, \(f\) est un isomorphisme d’espaces algébriques.

Démonstration

D’après le théorème 04KL, il suffit de montrer que \((g, g^\sharp)\) est un morphisme de topos localement annelés. D’après le lemme 04H9 de Modules sur les sites (et puisque le site \(X_\etale\) a assez de points), il suffit de vérifier que l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y, q} \to \mathcal{O}_{X, p}\) induit par \(g^\sharp\) est un homomorphisme local d’anneaux locaux, où \(q = g \circ p\) et \(p\) est un point quelconque de \(X_\etale\). Comme c’est un isomorphisme, cela est clair.

Faisceaux quasi-cohérents sur les espaces algébriques

Dans les sections 03DR, 0GN8 et 0GN9 de Descente, nous avons vu que, pour un schéma \(U\), il n’y a aucune différence entre un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent sur \(U\) et un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent sur le petit site étale de \(U\). La définition suivante est donc compatible avec notre notion initiale de faisceau quasi-cohérent sur un schéma (Schémas, section 01LA) lorsqu’on l’applique à un espace algébrique représentable.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un quasi-cohérent \(\mathcal{O}_X\)-module est un module quasi-cohérent sur le site annelé \((X_\etale, \mathcal{O}_X)\) au sens de Modules sur les sites, la définition 03DL. La catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) se note \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Remarquons que, la quasi-cohérence étant une notion intrinsèque (voir le lemme 03DM de Modules sur les sites), cela revient à dire que le \(\mathcal{O}_X\)-module correspondant sur \(X_{spaces, \etale}\) est quasi-cohérent.

Comme d’habitude, les faisceaux quasi-cohérents se comportent bien par image inverse.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur image inverse \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) préserve les faisceaux quasi-cohérents.

Démonstration

C’est un fait général ; voir le lemme 03DO de Modules sur les sites.

Remarquons que ce foncteur image inverse coïncide avec le foncteur image inverse usuel entre faisceaux de modules quasi-cohérents lorsque \(X\) et \(Y\) sont des schémas ; voir la proposition de Descente 03LC. Voici le lemme incontournable qui compare cette notion aux faisceaux quasi-cohérents sur les objets du petit site étale de \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) est donné par les données suivantes :

1. pour tout \(U \in \Ob(X_\etale)\), un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_U\) sur \(U_\etale\) ;

2. pour tout \(f : U' \to U\) dans \(X_\etale\), un isomorphisme \(c_f : f_{small}^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_{U'}\).

Ces données sont soumises à la condition que, pour tous \(f : U' \to U\) et \(g : U'' \to U'\) dans \(X_\etale\), la composée \(c_g \circ g_{small}^*c_f\) soit égale à \(c_{f \circ g}\).

Démonstration

Combiner les lemmes 03GA et 03LY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\) un point et soit \(\overline{x}\) un point géométrique situé au-dessus de \(x\). Enfin, soit \(\varphi : (U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) un voisinage étale, où \(U\) est un schéma. Alors \[(\varphi^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\] où \(u \in U\) est l’image de \(\overline{u}\).

Démonstration

Remarquons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) d’après le lemme 04KF ; le produit tensoriel a donc un sens. De plus, il ressort de la définition 04JY que \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = \colim (\varphi^*\mathcal{F})_u\] où la colimite porte sur les \(\varphi : (U, \overline{u}) \to (X, \overline{x})\) comme dans le lemme. Il existe donc un homomorphisme canonique du membre de gauche vers celui de droite dans l’énoncé du lemme. Nous disposons d’une description colimite analogue pour \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) et, d’après le lemme 03LZ, nous avons \[((\varphi')^*\mathcal{F})_{u'} = (\varphi^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U', u'}\] dès que \((U', \overline{u}') \to (U, \overline{u})\) est un morphisme de voisinages étales. Pour achever la preuve, nous utilisons le fait que \(\otimes\) commute aux colimites.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) et soit \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) son image dans \(Y\). Alors il existe un isomorphisme canonique \[(f^*\mathcal{G})_{\overline{x}} = \mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] de la fibre de l’image inverse avec le produit tensoriel de la fibre par l’anneau local de \(X\) en \(\overline{x}\).

Démonstration

Comme \(f^*\mathcal{G} = f_{small}^{-1}\mathcal{G} \otimes_{f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X\) cela résulte de la description des fibres des images inverses donnée au lemme 04K2 et du fait que la prise des fibres commute aux produits tensoriels. Voici une démonstration plus directe. Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, et où \(p\) et \(q\) sont étales surjectifs. D’après le lemme 05VN, nous pouvons choisir un point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\) tel que \(\overline{x} = p \circ \overline{u}\). Posons \(\overline{v} = \alpha \circ \overline{u}\). Nous voyons alors que \[\begin{align*} (f^*\mathcal{G})_{\overline{x}} & = (p^*f^*\mathcal{G})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (\alpha^*q^*\mathcal{G})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (q^*\mathcal{G})_v \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} \mathcal{O}_{U, u} \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (q^*\mathcal{G})_v \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (q^*\mathcal{G})_v \otimes_{\mathcal{O}_{V, v}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = \mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} \end{align*}\] Nous avons utilisé ici le lemme 05VP (deux fois) et le résultat correspondant pour les images inverses de faisceaux quasi-cohérents sur les schémas ; voir le lemme 0098 de Faisceaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent ;

2. il existe un morphisme étale \(f : Y \to X\) d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(|f| : |Y| \to |X|\) surjectif, tel que \(f^*\mathcal{F}\) soit quasi-cohérent sur \(Y\) ;

3. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\) tel que \(\varphi^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent ;

4. pour tout schéma affine \(U\) et tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), la restriction \(\varphi^*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent.

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2) en considérant \(\text{id}_X\). Supposons que \(f : Y \to X\) soit comme dans (2), et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(Y\). Alors la composée \(V \to X\) est elle aussi étale surjective et, d’après le lemme 03GA, l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(V\) est elle aussi quasi-cohérente. Ainsi, (2) implique (3).

Soit \(U \to X\) comme dans (3). Employons l’abus de notation introduit dans l’équation (03LW). Comme \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent, il existe un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_{i, \etale}}\) admette une présentation globale ; voir la définition 03DE de Modules sur les sites et le lemme 03DN. Soit \(V \to X\) un objet de \(X_\etale\). Puisque \(U \to X\) est surjectif et étale, la famille de morphismes \(\{U_i \times_X V \to V\}\) est un recouvrement étale de \(V\). Par les morphismes \(U_i \times_X V \to U_i\), nous pouvons restreindre les présentations globales de \(\mathcal{F}|_{U_{i, \etale}}\) pour obtenir une présentation globale de \(\mathcal{F}|_{(U_i \times_X V)_\etale}\). Le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) satisfait donc la condition de la définition 03DL de Modules sur les sites et est par conséquent quasi-cohérent.

L’équivalence de (3) et (4) résulte du fait que tout schéma possède un recouvrement par des ouverts affines.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) des faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) possède les propriétés suivantes :

1. Toute somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

2. Toute colimite de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

3. Le noyau et le conoyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérents.

4. Dans une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) si deux termes sur trois sont quasi-cohérents, le troisième l’est aussi.

5. Le produit tensoriel de deux \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents est quasi-cohérent.

6. Étant donnés deux \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), dont \(\mathcal{F}\) est de présentation finie (voir la section 05VR), le Hom interne \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent.

Démonstration

Si \(X\) est un schéma, c’est le lemme 0GNB de Descente. Nous allons réduire le lemme à ce cas par localisation étale.

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). Nous adopterons les notations \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U) = \textit{Mod}(U_\etale, \mathcal{O}_U)\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_U) = \QCoh(U_\etale, \mathcal{O}_U)\) ; autrement dit, bien que \(U\) soit un schéma, nous considérons les modules quasi-cohérents sur \(U\) comme des modules sur le petit site étale de \(U\). D’après le lemme 03GA, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[r]_{\varphi^*} \ar[d] & \QCoh(\mathcal{O}_U) \ar[d] \\ \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \ar[r]^{\varphi^*} & \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) }\] La flèche horizontale inférieure est le foncteur de restriction (03LW) \(\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}|_{U_\etale}\). Ce foncteur possède à la fois un adjoint à gauche et un adjoint à droite ; voir la section 03DH de Modules sur les sites ; il commute donc à toutes les limites et colimites. De plus, nous savons qu’un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) si et seulement si sa restriction à \(U\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) ; voir le lemme 03M0. Ces préliminaires étant établis, nous pouvons commencer la preuve.

Preuve de (1). Soit \(\mathcal{F}_i\), \(i \in I\), une famille de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. D’après la discussion précédente, nous avons \[\Big(\bigoplus \mathcal{F}_i\Big)|_{U_\etale} = \bigoplus \mathcal{F}_i|_{U_\etale}\] Chacun des modules \(\mathcal{F}_i|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent. La somme directe est donc quasi-cohérente d’après le cas des schémas. Par conséquent, \(\bigoplus \mathcal{F}_i\) est quasi-cohérent, puisque sa restriction à \(U\) est un module quasi-cohérent.

Preuve de (2). Soit \(\mathcal{I} \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Alors \[(\colim \mathcal{F}_i)|_{U_\etale} = \colim \mathcal{F}_i|_{U_\etale}\] d’après la discussion précédente, et nous concluons de la même manière.

Preuve de (3). Soit \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) une flèche de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors nous avons \(\Ker(a)|_{U_\etale} = \Ker(a|_{U_\etale})\) et \(\Coker(a)|_{U_\etale} = \Coker(a|_{U_\etale})\), et nous concluons de la même manière.

Preuve de (4). La restriction \(0 \to \mathcal{F}_1|_{U_\etale} \to \mathcal{F}_2|_{U_\etale} \to \mathcal{F}_3|_{U_\etale} \to 0\) est une suite exacte courte. Elle possède donc la propriété des deux sur trois, et nous concluons comme précédemment.

Preuve de (5). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors nous avons \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})_{U_\etale} = \mathcal{F}|_{U_\etale} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}|_{U_\etale}\] et nous concluons comme précédemment.

Preuve de (6). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), avec \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Nous avons \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|_{U_\etale} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale})\] En effet, la restriction est une localisation ; voir la section 04LX, en particulier la formule (04M1), et la formation du Hom interne commute à la localisation ; voir le lemme 0E8H de Modules sur les sites. Nous concluons donc comme précédemment.

En général, l’image directe d’un faisceau quasi-cohérent par un morphisme d’espaces algébriques n’est pas quasi-cohérente. Nous reviendrons sur cette question dans Morphismes d’espaces, section 03M7.

Propriétés des modules

Dans Modules sur les sites, les sections 03DD, 03DK et la définition 03ER, nous avons défini plusieurs propriétés intrinsèques des \(\mathcal{O}\)-modules sur tout topos annelé. Si \(X\) est un espace algébrique, nous appliquerons librement ces notions aux modules sur le site annelé \((X_\etale, \mathcal{O}_X)\), ou, de manière équivalente, sur le site annelé \((X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X)\).

Propriétés globales \(\mathcal{P}\) :

1. libre ;

2. libre de rang fini ;

3. engendré par ses sections globales ;

4. engendré par un nombre fini de sections globales ;

5. admettre une présentation globale ;

6. admettre une présentation globale finie.

Propriétés locales \(\mathcal{P}\) :

1. localement libre ;

2. localement libre de rang fini ;

3. localement engendré par des sections ;

4. localement engendré par \(r\) sections ;

5. de type fini ;

6. quasi-cohérent (voir la section 03G5) ;

7. de présentation finie ;

8. cohérent ;

9. plat.

Voici quelques résultats qui découlent immédiatement des définitions :

1. Dans chaque cas, sauf pour \(\mathcal{P}=\)“cohérent”, la propriété est préservée par image inverse ; voir les lemmes 03DF, 03DO et 05VD.

2. Chacune des propriétés ci-dessus (y compris la cohérence) est préservée par image inverse le long d’un morphisme étale d’espaces algébriques (car, dans ce cas, l’image inverse est donnée par restriction ; voir le lemme 03LP).

3. Supposons que \(f : Y \to X\) soit un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques. Pour chacune des propriétés locales (g) – (o), si \(f^*\mathcal{F}\) possède \(\mathcal{P}\), alors \(\mathcal{F}\) possède \(\mathcal{P}\). Cela résulte du fait que \(\{Y \to X\}\) est un recouvrement de \(X_{spaces, \etale}\) et du lemme 03DN de Modules sur les sites.

4. Si \(X\) est un schéma, si \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(X_\etale\) et si \(\mathcal{P}\) est une propriété autre que “cohérent” ou “localement libre”, alors \(\mathcal{P}\) pour \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\) équivaut à la propriété correspondante pour \(\mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) ; autrement dit, elle correspond à \(\mathcal{P}\) pour \(\mathcal{F}\) considéré comme faisceau quasi-cohérent sur le schéma \(X\). Voir le lemme 05VG de Descente.

5. Si \(X\) est un schéma localement noethérien et si \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(X_\etale\), alors \(\mathcal{F}\) est cohérent sur \(X_\etale\) si et seulement si \(\mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) est cohérent ; autrement dit, cela équivaut à ce que le faisceau quasi-cohérent usuel sur le schéma \(X\) soit cohérent. Voir le lemme 05VG de Descente.

Modules localement projectifs

Rappelons que, dans Propriétés, section 05JN, nous avons défini la notion de module quasi-cohérent localement projectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) tels que la restriction \(\mathcal{F}|_U\) soit localement projective sur \(U\) ;

2. pour tout schéma \(U\) et tout morphisme étale \(U \to X\), la restriction \(\mathcal{F}|_U\) est localement projective sur \(U\).

Démonstration

Soit \(U \to X\) comme dans (1), et soit \(V \to X\) étale, où \(V\) est un schéma. Alors \(\{U \times_X V \to V\}\) est un recouvrement fppf de schémas. Ainsi, si \(\mathcal{F}|_U\) est localement projectif, alors \(\mathcal{F}|_{U \times_X V}\) est localement projectif (voir le lemme 060M de Propriétés) et \(\mathcal{F}|_V\) est donc localement projectif ; voir le lemme 05JZ de Descente.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement projectif si les conditions équivalentes du lemme 060Q sont satisfaites.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathcal{G}\) est localement projectif sur \(Y\), alors \(f^*\mathcal{G}\) est localement projectif sur \(X\).

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\), où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\), où \(U\) est un schéma. Notons \(\psi : U \to V\) le morphisme induit. Alors \[f^*\mathcal{G}|_U = \psi^*(\mathcal{G}|_V)\] Le lemme résulte donc de la définition et du résultat dans le cas des schémas ; voir le lemme 060M de Propriétés.

Faisceaux quasi-cohérents et présentations

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = U/R\) une présentation de \(X\) provenant d’un morphisme étale surjectif quelconque \(\varphi : U \to X\) ; voir la définition 0263 d’Espaces. Nous obtenons en particulier un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) tel que \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) ; voir le lemme 0233 de Groupoïdes. Dans la définition 03LI de Groupoïdes, nous avons défini la notion de faisceau quasi-cohérent sur un groupoïde arbitraire. Ces notions étant posées, nous avons l’observation suivante.

Proposition

Conservons \(S\), \(\varphi : U \to X\) et \((U, R, s, t, c)\) comme ci-dessus. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le faisceau \(\varphi^*\mathcal{F}\) est muni d’un isomorphisme canonique \[\alpha : t^*\varphi^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\varphi^*\mathcal{F}\] qui satisfait aux conditions de la définition 03LI de Groupoïdes et définit donc un faisceau quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto (\varphi^*\mathcal{F}, \alpha)\) définit une équivalence de catégories \[\begin{matrix} \text{Catégorie des} \\ \mathcal{O}_X\text{-Modules quasi-cohérents} \end{matrix} \longleftrightarrow \begin{matrix} \text{Catégorie des Modules}\\ \text{quasi-cohérents sur }(U, R, s, t, c) \end{matrix}\]

Démonstration

Dans l’énoncé de la proposition et dans cette preuve, nous considérons un faisceau quasi-cohérent sur un schéma comme un faisceau quasi-cohérent sur le petit site étale de ce schéma. Cela est permis par les résultats de Descente, sections 03DR, 0GN8 et 0GN9.

L’existence de \(\alpha\) résulte du fait que \(\varphi \circ t = \varphi \circ s\) et de la fonctorialité de l’image inverse par rapport au morphisme ; voir la discussion autour de l’équation (03LU). De la même manière, c’est-à-dire par fonctorialité de l’image inverse, nous voyons que l’isomorphisme \(\alpha\) satisfait à la condition (1) de la définition 03LI de Groupoïdes. Pour la condition (2) de la définition, il suffit de constater que \(\alpha\) est un isomorphisme, ce qui est clair. La construction \(\mathcal{F} \mapsto (\varphi^*\mathcal{F}, \alpha)\) est manifestement fonctorielle par rapport au faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Nous obtenons donc le foncteur de gauche à droite dans la formule affichée de la proposition.

Réciproquement, supposons que \((\mathcal{F}, \alpha)\) soit un faisceau quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). Soit \(V \to X\) un objet de \(X_\etale\). Alors le morphisme \(V' = U \times_X V \to V\) est un morphisme étale surjectif de schémas, et \(\{V' \to V\}\) est donc un recouvrement étale de \(V\). En outre, l’image inverse du faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) sur \(V'\). Comme \(R = U \times_X U\), avec \(t = \text{pr}_0\) et \(s = \text{pr}_1\), nous avons \(V' \times_V V' = R \times_X V\), les morphismes de projection \(V' \times_V V' \to V'\) étant obtenus par changement de base à partir de \(t\) et \(s\). Ainsi, l’image inverse de \(\alpha\) est un isomorphisme \(\alpha' : \text{pr}_0^*\mathcal{F}' \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}'\), et le couple \((\mathcal{F}', \alpha')\) est une donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\{V' \to V\}\). D’après la proposition 023T de Descente, cette donnée de descente est effective, et nous obtenons un \(\mathcal{O}_V\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_V\) sur \(V_\etale\). Pour voir que cela définit un faisceau quasi-cohérent sur \(X_\etale\), il faut montrer (d’après le lemme 03LZ) que, pour tout morphisme \(f : V_1 \to V_2\) dans \(X_\etale\), il existe un isomorphisme canonique \(c_f : f^*\mathcal{F}_{V_2} \to \mathcal{F}_{V_1}\) compatible aux compositions de morphismes. Nous omettons la vérification. Nous omettons aussi de vérifier que cela définit un foncteur de la catégorie de droite vers celle de gauche, inverse du foncteur décrit ci-dessus.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).

1. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck. Par conséquent, \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) possède suffisamment d’injectifs et toutes les limites.

2. Le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) possède un adjoint à droite⁹ \[Q : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] tel que, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le morphisme d’adjonction \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Cette preuve reprend celle du cas des schémas ; voir la proposition 077P de Propriétés. Nous conseillons au lecteur de lire d’abord cette preuve.

L’assertion (1) signifie que \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) (a) admet toutes les colimites, (b) que les colimites filtrantes y sont exactes et (c) qu’elle admet un générateur ; voir la section 079A d’Injectifs. D’après le lemme 03M1, les colimites dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) existent et coïncident avec celles de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 03DB de Modules sur les sites, les colimites filtrantes sont exactes. Les conditions (a) et (b) sont donc satisfaites.

Pour construire un générateur, choisissons une présentation \(X = U/R\) telle que \((U, R, s, t, c)\) soit un groupoïde en schémas étale ; en particulier, \(s\) et \(t\) sont des morphismes plats de schémas. Choisissons un cardinal \(\kappa\) comme dans le lemme 077U de Groupoïdes. Choisissons une famille \((\mathcal{E}_t, \alpha_t)_{t \in T}\) de modules quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés sur \((U, R, s, t, c)\) comme dans le lemme 077T de Groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}_t\) le module quasi-cohérent sur \(X\) qui correspond au module quasi-cohérent \((\mathcal{E}_t, \alpha_t)\) par l’équivalence de catégories de la proposition 03M3. Nous voyons alors que tout module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) est la colimite filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents qui sont isomorphes à l’un des \(\mathcal{F}_t\). Ainsi, \(\bigoplus_t \mathcal{F}_t\) est un générateur de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), ce qui établit (c). Les assertions sur les limites et les injectifs valent dans toute catégorie abélienne de Grothendieck ; voir le théorème 079H et le lemme 07D8 d’Injectifs.

Preuve de (2). Pour construire \(Q\), nous employons le procédé général suivant. Étant donné un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), nous considérons le foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_X)^{opp} \longrightarrow \textit{Ens},\quad \mathcal{G} \longmapsto \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] Ce foncteur transforme les colimites en limites ; il est donc représentable ; voir le lemme 07D7 d’Injectifs. Il existe ainsi un faisceau quasi-cohérent \(Q(\mathcal{F})\) et un isomorphisme fonctoriel \(\Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_X(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F}))\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme de Yoneda (lemme 001P de Catégories), la construction \(\mathcal{F} \leadsto Q(\mathcal{F})\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Par construction, \(Q\) est un adjoint à droite du foncteur d’inclusion. Le fait que \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme lorsque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent résulte formellement du fait que le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est pleinement fidèle.

Morphismes à valeurs dans des schémas

Voici l’analogue du lemme 01I1 de Schémas.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(T\) un schéma affine. L’application \[\Mor(X, T) \longrightarrow \Hom(\Gamma(T, \mathcal{O}_T), \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] qui envoie \(f\) sur \(f^\sharp\) (sur les sections globales) est bijective.

Démonstration

Nous construisons l’application inverse. Soit \(\varphi : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) un homomorphisme d’anneaux. Choisissons une présentation \(X = U/R\) ; voir la définition 0263 d’Espaces. D’après le lemme 01I1 de Schémas, la composée \[\Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] correspond à un unique morphisme de schémas \(g : U \to T\). Par le même lemme, les deux composées \(R \to U \to T\) sont égales. Nous obtenons donc un morphisme \(f : X = U/R \to T\) tel que \(U \to X \to T\) soit égal à \(g\). Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ \Gamma(U, \mathcal{O}_U) & \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[l] \\ & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \ar[lu]^{g^\sharp} \ar[u]^{\varphi}_{f^\sharp} }\] est commutatif. Ainsi, \(f^\sharp\) est égal à \(\varphi\), car \(U \to X\) est un recouvrement étale et \(\mathcal{O}_X\) est un faisceau sur \(X_\etale\). L’unicité de \(f\) résulte de celle de \(g\).

Quotients par des actions libres

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un groupe abstrait. Soit \(a : G \to \text{Aut}(X)\) un homomorphisme, c’est-à-dire que \(a\) est une action de \(G\) sur \(X\). Nous dirons que l’action est libre si, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), l’action \[G \times X(T) \longrightarrow X(T)\] est libre. (Nous ne pouvons pas employer un critère comme celui du lemme 02Z2 d’Espaces, car les points peuvent ne pas avoir de corps résiduels bien définis.) Lorsque l’action est libre, nous allons construire le quotient \(X/G\) comme espace algébrique. C’est un cas particulier du lemme général 06PH d’Amorçage que nous démontrerons plus tard.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un groupe abstrait opérant librement sur \(X\). Alors le faisceau quotient \(X/G\) est un espace algébrique.

Démonstration

L’énoncé signifie que le faisceau \(F\) associé au préfaisceau \[T \longmapsto X(T)/G\] est un espace algébrique. Pour le voir, nous allons construire une présentation. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). Posons \(V = \coprod_{g \in G} U\) et définissons \(\psi : V \to X\) comme \(a(g) \circ \varphi\) sur la composante correspondant à \(g \in G\). Faisons agir \(G\) sur \(V\) en permutant les composantes : ainsi, \(g_0 \in G\) envoie la composante correspondant à \(g\) sur celle correspondant à \(g_0g\) par le morphisme identité de \(U\). Alors \(\psi\) est un morphisme \(G\)-équivariant ; nous nous ramenons donc au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons qu’il existe une action de \(G\) sur \(U\) et que \(U \to X\) soit surjectif, étale et \(G\)-équivariant. Il existe alors une action induite de \(G\) sur \(R = U \times_X U\), compatible avec les morphismes de projection \(t, s : R \to U\). Nous affirmons que \[X/G = U/\coprod\nolimits_{g \in G} R\] où l’application \[j : \coprod\nolimits_{g \in G} R \longrightarrow U \times_S U\] est donnée par \((r, g) \mapsto (t(r), g(s(r)))\). Remarquons que \(j\) est un monomorphisme : si \((t(r), g(s(r))) = (t(r'), g'(s(r')))\), alors \(t(r) = t(r')\) ; par conséquent, \(r\) et \(r'\) ont la même image dans \(X\) par \(s\) et \(t\), puis \(g = g'\) (car \(G\) opère librement sur \(X\)), puis \(s(r) = s(r')\), et enfin \(r = r'\) (car \(R\) est une relation d’équivalence sur \(U\)). De plus, \(j\) est une relation d’équivalence (détails omis). Les deux projections \(\coprod\nolimits_{g \in G} R \to U\) sont étales, puisque \(s\) et \(t\) sont étales. Ainsi, \(j\) est une relation d’équivalence étale et \(U/\coprod\nolimits_{g \in G} R\) est un espace algébrique d’après le théorème 02WW d’Espaces. Il existe une application \[U/\coprod\nolimits_{g \in G} R \longrightarrow X/G\] induite par l’application \(U \to X\). Nous omettons la preuve qu’il s’agit d’un isomorphisme de faisceaux.