Cohomologie sur les sites

Introduction

Dans ce document, nous développons quelques thèmes relatifs à la cohomologie des faisceaux. Nous étudions le cas des faisceaux sur des sites, bien que nous reprenions souvent simplement les raisonnements, les constructions et les démonstrations du cas topologique. Les références de base sont [SGA4], [Godement] et [Iversen].

Cohomologie des faisceaux

Soit \(\mathcal{C}\) un site, voir Sites, définition 00VH. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Nous savons que la catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) possède suffisamment d’injectifs, voir Injectifs, théorème 01DP. Nous pouvons donc choisir une résolution injective \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\). Pour tout objet \(U\) du site \(\mathcal{C}\), nous définissons [071C]\[\begin{equation} H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] comme le \(i\)-ième groupe de cohomologie du faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur l’objet \(U\). Autrement dit, ce sont les foncteurs dérivés à droite du foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\). La famille de foncteurs \(H^i(U, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\).

Il arrive parfois que le site \(\mathcal{C}\) ne possède pas d’objet final. Dans ce cas, nous définissons les sections globales d’un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) comme l’ensemble [071D]\[\begin{equation} \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(e, \mathcal{F}) \end{equation}\] où \(e\) est un objet final de la catégorie des préfaisceaux sur \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, étant donné un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), nous définissons le \(i\)-ième groupe de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) comme suit : [071E]\[\begin{equation} H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] autrement dit, il s’agit du \(i\)-ième foncteur dérivé à droite du foncteur des sections globales. La famille de foncteurs \(H^i(\mathcal{C}, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\).

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos, voir Sites, définition 00XA. Avec \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\) comme ci-dessus, nous définissons [071F]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] comme la \(i\)-ième image directe supérieure de \(\mathcal{F}\). Ce sont les foncteurs dérivés à droite de \(f_*\). La famille de foncteurs \(R^if_*\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de type \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\).

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé, voir Modules sur les sites, définition 03AD. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Nous savons que la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules possède suffisamment d’injectifs, voir Injectifs, théorème 01DU. Nous pouvons donc choisir une résolution injective \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\). Pour tout objet \(U\) du site \(\mathcal{C}\), nous définissons [071G]\[\begin{equation} H^i(U, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] comme le \(i\)-ième groupe de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(U\). La famille de foncteurs \(H^i(U, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}(U)}\). De même, [071H]\[\begin{equation} H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet)) \end{equation}\] est le \(i\)-ième groupe de cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\). La famille de foncteurs \(H^i(\mathcal{C}, -)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}\).

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés, voir Modules sur les sites, définition 01D3. Avec \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\) comme ci-dessus, nous définissons [071I]\[\begin{equation} R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) \end{equation}\] comme la \(i\)-ième image directe supérieure de \(\mathcal{F}\). Ce sont les foncteurs dérivés à droite de \(f_*\). La famille de foncteurs \(R^if_*\) forme un \(\delta\)-foncteur universel de type \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\).

Foncteurs dérivés

Nous exposons brièvement une approche des foncteurs dérivés à droite au moyen de foncteurs de résolution. Supposons donc que \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) soit un site annelé. Dans ce chapitre, nous écrirons \[K(\mathcal{O}) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \quad \text{et} \quad D(\mathcal{O}) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\] et de même pour les versions bornées des catégories triangulées introduites dans Catégories dérivées, définition 013H et définition 05RU. D’après Catégories dérivées, remarque 0142, il existe un foncteur de résolution \[j = j_{(\mathcal{C}, \mathcal{O})} : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] où \(\mathcal{I}\) est la sous-catégorie additive strictement pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) constituée des \(\mathcal{O}\)-modules injectifs. Pour tout foncteur exact à gauche \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathcal{B}\) à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{B}\), nous noterons \(RF\) le foncteur dérivé à droite de Catégories dérivées, section 0156, construit à l’aide du foncteur de résolution \(j\) que nous venons de décrire : [05U5]\[\begin{equation} RF = F \circ j' : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, lemme 05TN, pour les notations. Remarquons que nous pouvons considérer \(RF\) comme défini sur \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), \(\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\), ou \(K^{+}(\mathcal{O})\), selon la situation. D’après Catégories dérivées, définition 015A, nous obtenons le \(i\)-ième foncteur dérivé à droite [05U6]\[\begin{equation} R^iF = H^i \circ RF : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \mathcal{B} \end{equation}\] de sorte que \(R^0F = F\) et que \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\) est un \(\delta\)-foncteur universel, voir Catégories dérivées, lemme 015B.

Voici deux cas particuliers de cette construction. Pour un anneau \(R\), nous écrivons \(K(R) = K(\text{Mod}_R)\) et \(D(R) = D(\text{Mod}_R)\), et de même pour les versions bornées. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons un foncteur exact à gauche \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}(U)}\) qui donne lieu à \[R\Gamma(U, -) : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}(U))\] d’après la discussion ci-dessus. Remarquons que \(H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)\) est compatible avec (071G) ci-dessus. De même, nous avons \[R\Gamma(\mathcal{C}, -) : D^{+}(\mathcal{O}) \longrightarrow D^{+}(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\] compatible avec (071H). Si \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) est un morphisme de topos annelés, nous obtenons alors un foncteur exact à gauche \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) qui donne lieu à l’image directe dérivée \[Rf_* : D^{+}(\mathcal{O}) \to D^+(\mathcal{O}')\] Le \(i\)-ième faisceau de cohomologie de \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\) est noté \(R^if_*\mathcal{F}^\bullet\) et appelé la \(i\)-ième image directe supérieure, conformément à (071I). Les foncteurs affichés ci-dessus sont des foncteurs exacts de catégories dérivées.

Première cohomologie et torseurs

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes (éventuellement non commutatifs) sur \(\mathcal{C}\). Un pseudo-torseur, ou plus précisément un pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseur, est un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) muni d’une action \(\mathcal{G} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) telle que

1. dès que \(\mathcal{F}(U)\) est non vide, l’action \(\mathcal{G}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) est simplement transitive.

Un morphisme de pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseurs \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est un morphisme de faisceaux d’ensembles compatible aux actions de \(\mathcal{G}\). Un torseur, ou plus précisément un \(\mathcal{G}\)-torseur, est un pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseur qui vérifie en outre

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(U\) tel que \(\mathcal{F}(U_i)\) soit non vide pour tout \(i \in I\).

Un morphisme de \(\mathcal{G}\)-torseurs est un morphisme de pseudo-\(\mathcal{G}\)-torseurs. Le \(\mathcal{G}\)-torseur trivial est le faisceau \(\mathcal{G}\) muni de l’action à gauche évidente de \(\mathcal{G}\).

Il est clair qu’un morphisme de torseurs est automatiquement un isomorphisme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes (éventuellement non commutatifs) sur \(\mathcal{C}\). Un \(\mathcal{G}\)-torseur \(\mathcal{F}\) est trivial si et seulement si \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F}) \not = \emptyset\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Il existe une bijection canonique entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{H}\)-torseurs et \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{H}\)-torseur. Considérons le faisceau abélien libre \(\mathbf{Z}[\mathcal{F}]\) sur \(\mathcal{F}\). C’est la faisceautisation de la règle qui associe à \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) l’ensemble des sommes formelles finies \(\sum n_i[s_i]\), où \(n_i \in \mathbf{Z}\) et \(s_i \in \mathcal{F}(U)\). Il existe un morphisme naturel \[\sigma : \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}\] qui, à une section locale \(\sum n_i[s_i]\), associe \(\sum n_i\). Le noyau de \(\sigma\) est engendré par les sections de la forme \([s] - [s']\). Il existe un morphisme canonique \(a : \Ker(\sigma) \to \mathcal{H}\) qui envoie \([s] - [s'] \mapsto h\), où \(h\) est la section locale de \(\mathcal{H}\) telle que \(h \cdot s' = s\). Considérons le diagramme cocartésien \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(\sigma) \ar[r] \ar[d]^a & \mathbf{Z}[\mathcal{F}] \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] & 0 }\] Ici, \(\mathcal{E}\) est l’extension obtenue par somme amalgamée. À partir de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte inférieure, nous obtenons un élément \(\xi = \xi_\mathcal{F} \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\) en appliquant le morphisme de connexion à \(1 \in H^0(\mathcal{C}, \underline{\mathbf{Z}})\).

Réciproquement, étant donné \(\xi \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{H})\), nous pouvons associer à \(\xi\) un torseur comme suit. Choisissons un plongement \(\mathcal{H} \to \mathcal{I}\) de \(\mathcal{H}\) dans un faisceau abélien injectif \(\mathcal{I}\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{H}\), de sorte que nous avons une suite exacte courte \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] L’élément \(\xi\) est l’image d’une section globale \(q \in H^0(\mathcal{C}, \mathcal{Q})\) car \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = 0\) (voir Catégories dérivées, lemme 015B). Soit \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\) le sous-faisceau (d’ensembles) des sections qui s’envoient sur \(q\) dans le faisceau \(\mathcal{Q}\). Il est facile de vérifier que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{H}\)-torseur.

Nous omettons la vérification que les deux constructions données ci-dessus sont réciproques l’une de l’autre.

Première cohomologie et extensions

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{C}\). Il existe une bijection canonique \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{O}, \mathcal{F}) \longrightarrow H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] qui associe à l’extension \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O} \to 0\] l’image de \(1 \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\) dans \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\).

Démonstration

Construisons l’inverse de l’application donnée dans le lemme. Soit \(\xi \in H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\). Choisissons une injection \(\mathcal{F} \subset \mathcal{I}\), avec \(\mathcal{I}\) injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\). La suite exacte longue de cohomologie montre que \(\xi\) est l’image d’une section \(\tilde \xi \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{Q}) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{Q})\). Il suffit alors de former le produit fibré \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O} \ar[r] \ar[d]^{\tilde \xi} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[r] & 0 }\] voir Homologie, section 010I.

Le lemme suivant sera remplacé par le lemme plus général 03FD.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{C}\). Notons \(\mathcal{F}_{ab}\) le faisceau de groupes abéliens sous-jacent. Il existe alors un isomorphisme fonctoriel \[H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{ab}) = H^1(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] où le membre de gauche est la cohomologie calculée dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) et le membre de droite est la cohomologie calculée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Notons \(\underline{\mathbf{Z}}\) le faisceau constant \(\mathbf{Z}\). Comme \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) = \textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})\) nous pouvons appliquer deux fois le lemme 03F1, et il suffit donc de montrer \[\Ext^1_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{O}, \mathcal{F}) = \Ext^1_{\textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})}( \underline{\mathbf{Z}}, \mathcal{F}_{ab}).\] Supposons que \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{O} \to 0\) soit une extension dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Nous pouvons alors utiliser le morphisme évident de faisceaux abéliens \(1 : \underline{\mathbf{Z}} \to \mathcal{O}\) et former le produit fibré pour obtenir une extension \(\mathcal{E}_{ab}\), comme suit : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_{ab} \ar[r] \ar@{=}[d] & \mathcal{E}_{ab} \ar[r] \ar[d] & \underline{\mathbf{Z}} \ar[r] \ar[d]^{1} & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 }\] La réciproque est un peu plus plaisante. Supposons que \(0 \to \mathcal{F}_{ab} \to \mathcal{E}_{ab} \to \underline{\mathbf{Z}} \to 0\) soit une extension dans \(\textit{Mod}(\underline{\mathbf{Z}})\). Puisque \(\underline{\mathbf{Z}}\) est un \(\underline{\mathbf{Z}}\)-module plat, la suite \[0 \to \mathcal{F}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \mathcal{E}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to 0\] est exacte, voir Modules sur les sites, lemme 03EX. Bien entendu, \(\underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} = \mathcal{O}\). Nous pouvons donc former la somme amalgamée par le morphisme de multiplication (\(\mathcal{O}\)-linéaire) \(\mu : \mathcal{F} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \to \mathcal{F}\) afin d’obtenir une extension de \(\mathcal{O}\) par \(\mathcal{F}\), comme suit : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \ar[r] \ar[d]^\mu & \mathcal{E}_{ab} \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}} \mathcal{O} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 }\] qui est l’extension cherchée. Nous omettons de vérifier que ces constructions sont réciproques l’une de l’autre.

Première cohomologie et faisceaux inversibles

Le groupe de Picard d’un site annelé est défini dans Modules sur les sites, section 0408.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site localement annelé. Il existe un isomorphisme canonique de groupes abéliens \[H^1(\mathcal{C}, \mathcal{O}^*) = \Pic(\mathcal{O}).\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}\)-module inversible. Considérons le préfaisceau \(\mathcal{L}^*\) défini par la règle \[U \longmapsto \{s \in \mathcal{L}(U) \text{ tel que } \mathcal{O}_U \xrightarrow{s \cdot -} \mathcal{L}_U \text{ is an isomorphism}\}\] Ce préfaisceau vérifie la condition de faisceau. De plus, si \(f \in \mathcal{O}^*(U)\) et \(s \in \mathcal{L}^*(U)\), alors il est clair que \(fs \in \mathcal{L}^*(U)\). De même, si \(s, s' \in \mathcal{L}^*(U)\), il existe un unique \(f \in \mathcal{O}^*(U)\) tel que \(fs = s'\). En outre, le faisceau \(\mathcal{L}^*\) possède localement des sections d’après Modules sur les sites, lemme 0B8Q. Autrement dit, nous voyons que \(\mathcal{L}^*\) est un \(\mathcal{O}^*\)-torseur. Nous obtenons ainsi une application \[\begin{matrix} \text{set of invertible sheaves on }(\mathcal{C}, \mathcal{O}) \\ \text{ up to isomorphism} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{set of }\mathcal{O}^*\text{-torsors} \\ \text{ up to isomorphism} \end{matrix}\] Nous omettons de vérifier qu’il s’agit d’un morphisme de groupes abéliens. D’après le lemme 03AJ, le membre de droite est canoniquement en bijection avec \(H^1(\mathcal{C}, \mathcal{O}^*)\). Il reste donc à montrer que cette application est injective et surjective.

Injectivité. Si le torseur \(\mathcal{L}^*\) est trivial, cela signifie, d’après le lemme 03AI, que \(\mathcal{L}^*\) possède une section globale. Cela signifie donc précisément que \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}\) est l’élément neutre de \(\Pic(\mathcal{O})\).

Surjectivité. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}^*\)-torseur. Considérons le préfaisceau d’ensembles \[\mathcal{L}_1 : U \longmapsto (\mathcal{F}(U) \times \mathcal{O}(U))/\mathcal{O}^*(U)\] où l’action de \(f \in \mathcal{O}^*(U)\) sur \((s, g)\) est donnée par \((fs, f^{-1}g)\). Alors \(\mathcal{L}_1\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules si l’on pose \((s, g) + (s', g') = (s, g + (s'/s)g')\), où \(s'/s\) est la section locale \(f\) de \(\mathcal{O}^*\) telle que \(fs = s'\), et \(h(s, g) = (s, hg)\) pour toute section locale \(h\) de \(\mathcal{O}\). Nous omettons de vérifier que la faisceautisation \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1^\#\) est un \(\mathcal{O}\)-module inversible dont le \(\mathcal{O}^*\)-torseur associé \(\mathcal{L}^*\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\).

Localité de la cohomologie

Le lemme suivant affirme qu’il n’y a aucune ambiguïté dans la définition de la cohomologie d’un faisceau \(\mathcal{F}\) sur un objet du site.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\).

1. Si \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif, alors \(\mathcal{I}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module injectif.

2. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), nous avons \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{C}/U, \mathcal{F}|_U)\).

Démonstration

Rappelons que le foncteur \(j_U^{-1}\) de restriction à \(U\) est adjoint à droite du foncteur \(j_{U!}\) de prolongement par \(0\), voir Modules sur les sites, section 03DH. De plus, \(j_{U!}\) est exact. Ainsi, (1) découle de Homologie, lemme 015Z.

Par définition, \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{I}^\bullet(U))\), où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). D’après ce qui précède, \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{I}^\bullet|_U\) est une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\). Par conséquent, \(H^p(U, \mathcal{F}|_U)\) est égal à \(H^p(\mathcal{I}^\bullet|_U(U))\). Bien entendu, \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}|_U(U)\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\). D’où l’égalité de (2).

Le lemme suivant servira à étudier ce qui se passe lorsque l’on change d’univers partiel, ou à comparer la cohomologie des petits et grands sites étales.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que \(u\) vérifie les hypothèses de Sites, lemme 00XU. Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé. Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{D}\), nous avons des isomorphismes \[R\Gamma(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{F}),\] en particulier \(H^p(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(\mathcal{D}, \mathcal{F})\) et, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous avons des isomorphismes \[R\Gamma(U, g^{-1}\mathcal{F}) = R\Gamma(u(U), \mathcal{F}),\] en particulier \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(u(U), \mathcal{F})\). Tous ces isomorphismes sont fonctoriels en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Puisqu’il est clair que \(\Gamma(\mathcal{C}, g^{-1}\mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{D}, \mathcal{F})\) d’après l’hypothèse (e), il suffit de montrer que \(g^{-1}\) envoie les faisceaux abéliens injectifs sur des faisceaux abéliens injectifs. Comme d’habitude, nous utilisons Homologie, lemme 015Z, pour le voir. L’adjoint à gauche de \(g^{-1}\) est \(g_! = f^{-1}\), avec les notations de Sites, lemme 00XU, et ce foncteur est exact. Le lemme s’applique donc bien.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\varphi : U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Il existe alors un morphisme de restriction canonique [01FV]\[\begin{equation} H^n(V, \mathcal{F}) \longrightarrow H^n(U, \mathcal{F}), \quad \xi \longmapsto \xi|_U \end{equation}\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\). En effet, choisissons une résolution injective quelconque \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Les morphismes de restriction des faisceaux \(\mathcal{I}^p\) donnent un morphisme de complexes \[\Gamma(V, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)\] Le membre de gauche est un complexe représentant \(R\Gamma(V, \mathcal{F})\) et celui de droite un complexe représentant \(R\Gamma(U, \mathcal{F})\). Nous obtenons le morphisme sur les groupes de cohomologie en appliquant le foncteur \(H^n\). Comme indiqué, nous noterons ce morphisme \(\xi \mapsto \xi|_U\). Ainsi, la règle \(U \mapsto H^n(U, \mathcal{F})\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Ce préfaisceau est habituellement noté \(\underline{H}^n(\mathcal{F})\). Nous donnerons une autre interprétation de ce préfaisceau dans le lemme 03AY.

Le lemme suivant affirme qu’il est possible d’annuler les classes de cohomologie supérieure en passant à un recouvrement.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soient \(n > 0\) et \(\xi \in H^n(U, \mathcal{F})\). Il existe alors un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(\xi|_{U_i} = 0\) pour tout \(i \in I\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Alors \[H^n(U, \mathcal{F}) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] Choisissons un élément \(\tilde \xi \in \mathcal{I}^n(U)\) représentant la classe de cohomologie dans la présentation ci-dessus. Puisque \(\mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \(\mathcal{F}\) et que \(n > 0\), nous voyons que le complexe \(\mathcal{I}^\bullet\) est exact en degré \(n\). Ainsi, \(\Im(\mathcal{I}^{n - 1} \to \mathcal{I}^n) = \Ker(\mathcal{I}^n \to \mathcal{I}^{n + 1})\) comme faisceaux. Puisque \(\tilde \xi\) est une section sur \(U\) du faisceau noyau, nous en déduisons qu’il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) du site tel que \(\tilde \xi|_{U_i}\) soit l’image par \(d\) d’une section \(\xi_i \in \mathcal{I}^{n - 1}(U_i)\). Par définition, la restriction \(\xi|_{U_i}\) correspond à la classe de \(\tilde \xi|_{U_i}\), ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Pour tout \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}))\), le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto H^i(u(V), \mathcal{F})\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) une résolution injective. Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est par définition le \(i\)-ième faisceau de cohomologie du complexe \[f_*\mathcal{I}^0 \to f_*\mathcal{I}^1 \to f_*\mathcal{I}^2 \to \ldots\] Par définition de la structure de catégorie abélienne sur les \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules, ce faisceau de cohomologie est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \frac{\Ker(f_*\mathcal{I}^i(V) \to f_*\mathcal{I}^{i + 1}(V))} {\Im(f_*\mathcal{I}^{i - 1}(V) \to f_*\mathcal{I}^i(V))}\] et ceci est manifestement égal à \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^i(u(V)) \to \mathcal{I}^{i + 1}(u(V)))} {\Im(\mathcal{I}^{i - 1}(u(V)) \to \mathcal{I}^i(u(V)))}\] qui est égal à \(H^i(u(V), \mathcal{F})\), ce qui conclut.

Le complexe de Čech et la cohomologie de Čech

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé, voir Sites, définition 0396. Supposons que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Posons \[\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{(i_0, \ldots, i_p) \in I^{p + 1}} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}).\] C’est un groupe abélien. Pour \(s \in \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), nous notons \(s_{i_0\ldots i_p}\) sa composante dans le facteur \(\mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\). Nous définissons \[d : \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^{p + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] par la formule [03AL]\[\begin{equation} d(s)_{i_0\ldots i_{p + 1}} = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j s_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} |_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}} \end{equation}\] où la restriction est induite par la projection \[U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}} \longrightarrow U_{i_0} \times_U \ldots \times_U \widehat{U_{i_j}} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}.\] On vérifie immédiatement que \(d \circ d = 0\). Autrement dit, \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un complexe.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le complexe de Čech associé à \(\mathcal{F}\) et à la famille \(\mathcal{U}\). Ses groupes de cohomologie \(H^i(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}))\) sont appelés les groupes de cohomologie de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\). Ils sont notés \(\check H^i(\mathcal{U}, \mathcal{F})\).

Observons que tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) d’un site \(\mathcal{C}\) est une famille de morphismes de but fixé à laquelle la définition s’applique.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\) ;

2. pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) du site \(\mathcal{C}\), l’application naturelle \[\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] (voir Sites, section 00W1) est bijective.

Démonstration

Cela résulte du fait que la condition de faisceau exige précisément que \(\mathcal{F}(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) soit bijective pour tout recouvrement de \(\mathcal{C}\).

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i\in I}\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\) de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j\in J}\) une autre telle famille. Les données \(f : U \to V\), \(\alpha : I \to J\) et \(f_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) forment un morphisme de familles de morphismes de but fixé, voir Sites, section 00VS. Dans ce cas, nous obtenons un morphisme de complexes de Čech [03F4]\[\begin{equation} \varphi : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \end{equation}\] qui, en degré \(p\), est donné par \[\varphi(s)_{i_0 \ldots i_p} = (f_{i_0} \times \ldots \times f_{i_p})^*s_{\alpha(i_0) \ldots \alpha(i_p)}\]

La cohomologie de Čech comme foncteur sur les préfaisceaux

\sectionmark{Cohomologie de {\v C}ech des préfaisceaux}

Attention : dans cette section, nous travaillons exclusivement avec des préfaisceaux abéliens sur une catégorie. Les résultats sont complètement faux dans le cadre des faisceaux et des catégories de faisceaux !

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). La construction \[\mathcal{F} \longmapsto \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). En fait, c’est un foncteur [03AP]\[\begin{equation} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\textit{Ab}) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, définition 013H, pour les notations. Rappelons que la catégorie des complexes bornés inférieurement dans une catégorie abélienne est une catégorie abélienne, voir Homologie, lemme 0114.

Lemme

Le foncteur donné par l’équation (03AP) est exact (voir Homologie, lemme 010N).

Démonstration

Pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\) est un foncteur additif exact de \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) dans \(\textit{Ab}\). Les foncteurs donnant les termes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) du complexe sont des produits de ces foncteurs exacts et sont donc exacts. De plus, une suite de complexes est exacte si et seulement si la suite des termes en chaque degré est exacte. Le lemme en découle.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Les foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) forment un \(\delta\)-foncteur de la catégorie abélienne \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) vers la catégorie des \(\mathbf{Z}\)-modules (voir Homologie, définition 010Q).

Démonstration

D’après le lemme 03AQ, une suite exacte courte de préfaisceaux abéliens \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) est transformée en une suite exacte courte de complexes de \(\mathbf{Z}\)-modules. Nous pouvons donc utiliser Homologie, lemme 0117, pour obtenir les morphismes de connexion \(\delta_{\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3} : \check{H}^n(\mathcal{U}, \mathcal{F}_3) \to \check{H}^{n + 1}(\mathcal{U}, \mathcal{F}_1)\) et une suite exacte longue correspondante. Nous omettons de vérifier que ces morphismes sont compatibles avec les morphismes entre suites exactes courtes de préfaisceaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Considérons le complexe de chaînes \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\) de préfaisceaux abéliens \[\ldots \to \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}} \to \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} \to \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}_{U_{i_0}} \to 0 \to \ldots\] où le dernier terme non nul est placé en degré \(0\) et où le morphisme \[\mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}} \longrightarrow \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \widehat{U_{i_j}} \ldots \times_U U_{i_{p + 1}}}\] est égal au morphisme canonique multiplié par \((-1)^j\). Il existe alors un isomorphisme \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{F}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] fonctoriel en \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PAb}(\mathcal{C}))\).

Démonstration

C’est une tautologie qui repose sur le fait que \[\begin{align*} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \bigoplus_{i_0 \ldots i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}}, \mathcal{F}) & = \prod_{i_0 \ldots i_p} \Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}}, \mathcal{F}) \\ & = \prod_{i_0 \ldots i_p} \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) \end{align*}\] voir Modules sur les sites, lemme 03A8.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Le complexe de chaînes de préfaisceaux \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\) du lemme 03AS ci-dessus est exact en degrés strictement positifs, c’est-à-dire que les préfaisceaux d’homologie \(H_i(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet})\) sont nuls pour \(i > 0\).

Démonstration

Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous devons montrer que le complexe de chaînes de groupes abéliens \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V)\) est exact en degrés \(> 0\). Il s’agit du complexe \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}[ \Mor_\mathcal{C}(V, U_{i_0}) ] \ar[d] \\ 0 }\] Pour tout morphisme \(\varphi : V \to U\), notons \(\Mor_\varphi(V, U_i) = \{\varphi_i : V \to U_i \mid f_i \circ \varphi_i = \varphi\}\). Nous utiliserons une notation analogue pour \(\Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\). Remarquons que la composition avec les différentes projections entre les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) préserve ces ensembles de morphismes. Nous voyons donc que le complexe ci-dessus est le même que le complexe \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0i_1i_2} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U U_{i_2}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0i_1} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U U_{i_1}) ] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \bigoplus_{i_0} \mathbf{Z}[ \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) ] \ar[d] \\ 0 }\] Ensuite, remarquons que nous avons \[\Mor_\varphi(V, U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) = \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \ldots \times \Mor_\varphi(V, U_{i_p})\] En utilisant ceci et le fait que \(\mathbf{Z}[A] \oplus \mathbf{Z}[B] = \mathbf{Z}[A \amalg B]\), nous voyons que le complexe devient \[\xymatrix{ \ldots \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0i_1i_2} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_2}) \right] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0i_1} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \times \Mor_\varphi(V, U_{i_1}) \right] \ar[d] \\ \bigoplus_\varphi \mathbf{Z}\left[ \coprod_{i_0} \Mor_\varphi(V, U_{i_0}) \right] \ar[d] \\ 0 }\] Enfin, en posant \(S_\varphi = \coprod_{i \in I} \Mor_\varphi(V, U_i)\), nous obtenons \[\bigoplus\nolimits_\varphi \left(\ldots \to \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi \times S_\varphi] \to \mathbf{Z}[S_\varphi \times S_\varphi] \to \mathbf{Z}[S_\varphi] \to 0 \to \ldots \right)\] Nous avons ainsi simplifié notre tâche. Il suffit en effet de montrer que, pour tout ensemble non vide \(S\), le complexe (augmenté) de groupes abéliens libres \[\ldots \to \mathbf{Z}[S \times S \times S] \to \mathbf{Z}[S \times S] \to \mathbf{Z}[S] \xrightarrow{\Sigma} \mathbf{Z} \to 0 \to \ldots\] est exact en tout degré. Pour le voir, fixons un élément \(s \in S\) et utilisons l’homotopie \[n_{(s_0, \ldots, s_p)} \longmapsto n_{(s, s_0, \ldots, s_p)}\] avec les notations évidentes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le complexe de chaînes \[\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet} \otimes_{p, \mathbf{Z}} \mathcal{O}\] est exact en degrés strictement positifs. Ici, \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\) est le complexe de chaînes du lemme 03AS, et le produit tensoriel est pris sur le préfaisceau constant d’anneaux de valeur \(\mathbf{Z}\).

Démonstration

Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{C}\). Dans la démonstration du lemme 03AT, nous avons vu que \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V)\) est isomorphe, comme complexe, à une somme directe de complexes homotopes à \(\mathbf{Z}\) placé en degré zéro. Par conséquent, \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}(V) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V)\) est également isomorphe, comme complexe, à une somme directe de complexes homotopes à \(\mathcal{O}(V)\) placé en degré zéro. On peut aussi utiliser Modules sur les sites, lemme 03EZ, qui s’applique puisque les préfaisceaux \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, i}\) sont plats, et la démonstration du lemme 03AT montre que \(H_0(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet})\) est lui aussi un préfaisceau plat.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but fixé telle que tous les produits fibrés \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) existent dans \(\mathcal{C}\). Les foncteurs de cohomologie de Čech \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -)\) sont canoniquement isomorphes, en tant que \(\delta\)-foncteur, aux foncteurs dérivés à droite du foncteur \[\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}.\] De plus, il existe un quasi-isomorphisme fonctoriel \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow R\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] où le membre de droite désigne le foncteur dérivé \[R\check{H}^0(\mathcal{U}, -) : D^{+}(\textit{PAb}(\mathcal{C})) \longrightarrow D^{+}(\mathbf{Z})\] du foncteur exact à gauche \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\).

Démonstration

Remarquons que la catégorie des préfaisceaux abéliens possède suffisamment d’injectifs, voir Injectifs, proposition 01DK. Remarquons que \(\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) est un foncteur exact à gauche de la catégorie des préfaisceaux abéliens vers la catégorie des \(\mathbf{Z}\)-modules. Le foncteur dérivé et le foncteur dérivé à droite existent donc, voir Catégories dérivées, section 0156.

Soit \(\mathcal{I}\) un préfaisceau abélien injectif. Dans ce cas, le foncteur \(\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(-, \mathcal{I})\) est exact sur \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). D’après le lemme 03AS, nous avons \[\Hom_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}).\] D’après le lemme 03AT, le complexe \(\mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}\) est exact en degrés strictement positifs. L’exactitude du foncteur Hom à valeurs dans \(\mathcal{I}\) mentionnée ci-dessus montre donc que \(\check{H}^i(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = 0\) pour tout \(i > 0\). Ainsi, le \(\delta\)-foncteur \((\check{H}^n, \delta)\) (voir le lemme 03AR) vérifie les hypothèses de Homologie, lemme 010T, et est donc un \(\delta\)-foncteur universel.

D’après Catégories dérivées, lemme 015B, la famille \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) forme elle aussi un \(\delta\)-foncteur universel. Par unicité des \(\delta\)-foncteurs universels, voir Homologie, lemme 010U, nous concluons que \(R^i\check{H}^0(\mathcal{U}, -) = \check{H}^i(\mathcal{U}, -)\). Cela suffit pour la plupart des applications, et nous suggérons au lecteur de passer la suite de la démonstration.

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien quelconque sur \(\mathcal{C}\). Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans la catégorie \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Considérons le complexe double \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) de termes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Considérons ensuite le complexe total \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\) associé à ce complexe double, voir Homologie, section 0FNB. Il existe un morphisme de complexes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des morphismes \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^0)\) et il existe un morphisme de complexes \[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des morphismes \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q) \to \check{\mathcal{C}}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Ces deux morphismes sont des quasi-isomorphismes par application de Homologie, lemme 0133. En effet, les colonnes du complexe double sont exactes en degrés strictement positifs parce que le complexe de Čech est exact en tant que foncteur (lemme 03AQ), et les lignes du complexe double sont exactes en degrés strictement positifs puisque, comme nous venons de le voir, les groupes de cohomologie supérieure de Čech des préfaisceaux injectifs \(\mathcal{I}^q\) sont nuls. Puisque les quasi-isomorphismes deviennent inversibles dans \(D^{+}(\mathbf{Z})\), ceci donne le dernier morphisme affiché du lemme. Nous omettons de vérifier que ce morphisme est fonctoriel.

Cohomologie de Čech et cohomologie

La relation entre cohomologie et cohomologie de Čech vient de ce que la cohomologie de Čech d’un faisceau abélien injectif est nulle. Pour le voir, on remarque qu’un faisceau abélien injectif est un préfaisceau abélien injectif, puis on applique les résultats de cohomologie de Čech établis dans la section précédente.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Tout faisceau abélien injectif est également injectif en tant qu’objet de la catégorie \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

Démonstration

Appliquons le lemme 015Z d’Homologie aux catégories \(\mathcal{A} = \textit{Ab}(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{B} = \textit{PAb}(\mathcal{C})\), au foncteur d’inclusion et à la faisceautisation. (Voir Modules sur les sites, section 03CM, pour constater que toutes les hypothèses du lemme sont satisfaites.)

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif, c’est-à-dire un objet injectif de \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). Alors \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

D’après le lemme 03F6, \(\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 03AU (ou sa preuve) pour obtenir l’annulation des groupes de cohomologie de Čech supérieurs. Pour le degré zéro, voir le lemme 03AN.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Il existe une transformation \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, -) \longrightarrow R\Gamma(U, -)\] de foncteurs \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to D^{+}(\mathbf{Z})\). En particulier, elle fournit une transformation de foncteurs \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^p(U, \mathcal{F})\), lorsque \(\mathcal{F}\) parcourt \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Considérons le bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) dont les termes sont \(\check{\mathcal{C}}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\). Considérons ensuite le complexe total associé \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\), voir Homologie, définition 012Z. Il existe un morphisme de complexes \[\alpha : \Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant des morphismes \(\mathcal{I}^q(U) \to \check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\) et un morphisme de complexes \[\beta : \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet))\] provenant du morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^0\). Le lemme 0133 d’Homologie montre que \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme. En effet, le lemme 03AW implique que la \(q\)-ième ligne du bicomplexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}^\bullet)\) est une résolution de \(\Gamma(U, \mathcal{I}^q)\). Ainsi, \(\alpha\) devient inversible dans \(D^{+}(\mathbf{Z})\), et la transformation du lemme est la composée de \(\beta\) avec l’inverse de \(\alpha\). Nous omettons la vérification de la fonctorialité.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Le morphisme \[\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \longrightarrow H^1(U, \mathcal{G})\] est injectif et, par la bijection du lemme 03AJ, identifie \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})\) à l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{G}|_U\)-torseurs dont les restrictions à chaque \(U_i\) sont des torseurs triviaux.

Démonstration

Pour le voir, construisons un morphisme inverse. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{G}|_U\)-torseur sur \(\mathcal{C}/U\) dont la restriction à \(\mathcal{C}/U_i\) est triviale. D’après le lemme 03AI, cela signifie qu’il existe une section \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\). Sur \(U_{i_0} \times_U U_{i_1}\), il existe une unique section \(s_{i_0i_1}\) de \(\mathcal{G}\) telle que \(s_{i_0i_1} \cdot s_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}\). Un calcul immédiat montre que \(s_{i_0i_1}\) est un cocycle de Čech et que sa classe est bien définie (c’est-à-dire indépendante du choix des sections \(s_i\)). L’inverse envoie la classe d’isomorphisme de \(\mathcal{F}\) sur la classe de cohomologie du cocycle \((s_{i_0i_1})\). Nous omettons de vérifier que ce morphisme est bien un inverse.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Considérons le foncteur \(i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{PAb}(\mathcal{C})\). C’est un foncteur exact à gauche dont les foncteurs dérivés à droite sont donnés par \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] voir la discussion de la section 01FU.

Démonstration

Il est clair que \(i\) est exact à gauche. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\). Par définition, \(R^pi\) est le préfaisceau de cohomologie de degré \(p\) du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Autrement dit, les sections de \(R^pi(\mathcal{F})\) sur un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) sont données par \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] ce qui est la définition de \(H^p(U, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\), il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) telle que \[E_2^{p, q} = \check{H}^p(\mathcal{U}, \underline{H}^q(\mathcal{F}))\] qui converge vers \(H^{p + q}(U, \mathcal{F})\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

C’est la suite spectrale de Grothendieck (voir Catégories dérivées, lemme 015N) associée aux foncteurs \[i : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{PAb}(\mathcal{C}) \quad\text{et}\quad \check{H}^0(\mathcal{U}, - ) : \textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}.\] En effet, \(\check{H}^0(\mathcal{U}, i(\mathcal{F})) = \mathcal{F}(U)\) d’après le lemme 03AN. De plus, \(i(\mathcal{I})\) est acyclique pour la cohomologie de Čech d’après le lemme 03AW. Enfin, \(\check{H}^p(\mathcal{U}, -) = R^p\check{H}^0(\mathcal{U}, -)\) comme foncteurs sur \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\), d’après le lemme 03AU. La réunion de ces observations prouve le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement. Soit \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{Ab}(\mathcal{C}))\). Supposons que \(H^i(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}, \mathcal{F}) = 0\) pour tous \(i > 0\), \(p \geq 0\) et \(i_0, \ldots, i_p \in I\). Alors \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\).

Démonstration

Nous utilisons la suite spectrale du lemme 03AZ. Les hypothèses signifient que \(E_2^{p, q} = 0\) pour tout \((p, q)\) tel que \(q \not = 0\). La suite spectrale dégénère donc en \(E_2\), d’où le résultat.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] une suite exacte courte de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). S’il existe un système cofinal de recouvrements \(\mathcal{U}\) de \(U\) tels que \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\), alors le morphisme \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\) est surjectif.

Démonstration

Prenons un élément \(s \in \mathcal{H}(U)\). Choisissons un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que (a) \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) et (b) \(s|_{U_i}\) soit l’image d’une section \(s_i \in \mathcal{G}(U_i)\). Comme nous pouvons certainement trouver un recouvrement vérifiant (b), les hypothèses du lemme permettent d’en trouver un qui vérifie à la fois (a) et (b). Considérons les sections \[s_{i_0i_1} = s_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} - s_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}.\] Puisque \(s_i\) relève \(s\), nous avons \(s_{i_0i_1} \in \mathcal{F}(U_{i_0} \times_U U_{i_1})\). L’annulation de \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) fournit des sections \(t_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telles que \[s_{i_0i_1} = t_{i_1}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}} - t_{i_0}|_{U_{i_0} \times_U U_{i_1}}.\] Les sections \(s_i - t_i\) satisfont alors manifestement à la condition de faisceau et se recollent en une section de \(\mathcal{G}\) sur \(U\) dont l’image est \(s\). Ceci conclut la preuve.

Lemme

(Variante de Cohomologie, lemme 01EV.) Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\text{Cov}_\mathcal{C}\) l’ensemble des recouvrements de \(\mathcal{C}\) (voir Sites, définition 00VH). Soient \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) et \(\text{Cov} \subset \text{Cov}_\mathcal{C}\) des sous-ensembles. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Supposons que

1. pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\), on ait \(U, U_i \in \mathcal{B}\) et tout \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \in \mathcal{B}\).

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), les recouvrements de \(U\) appartenant à \(\text{Cov}\) forment un système cofinal de recouvrements de \(U\) ;

3. pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), on ait \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Alors \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Soient \(\mathcal{F}\) et \(\text{Cov}\) comme dans le lemme. Nous exprimerons cette situation en disant que « la cohomologie de Čech supérieure de \(\mathcal{F}\) s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\) ». Choisissons un plongement \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) dans un faisceau abélien injectif. D’après le lemme 03AW, la cohomologie de Čech supérieure de \(\mathcal{I}\) s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\). Posons \(\mathcal{Q} = \mathcal{I}/\mathcal{F}\), de sorte que nous ayons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{I} \to \mathcal{Q} \to 0.\] D’après le lemme 03F8 et notre hypothèse (2), cette suite donne naissance à une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{Q}(U) \to 0.\] pour tout \(U \in \mathcal{B}\). Par conséquent, pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous obtenons une suite exacte courte de complexes de Čech \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{Q}) \to 0\] puisque, d’après l’hypothèse (1), chaque terme du complexe de Čech est formé d’un produit de valeurs sur des éléments de \(\mathcal{B}\). En particulier, pour tout recouvrement \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous avons une suite exacte longue de groupes de cohomologie de Čech. Il s’ensuit que \(\mathcal{Q}\) est lui aussi un faisceau abélien dont la cohomologie de Čech supérieure s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\).

Considérons ensuite la suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & H^1(U, \mathcal{F}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{I}) \ar[r] & H^1(U, \mathcal{Q}) \ar[lld] \\ & \ldots & \ldots & \ldots \\ }\] pour tout \(U \in \mathcal{B}\). Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif, nous avons \(H^n(U, \mathcal{I}) = 0\) pour \(n > 0\) (voir Catégories dérivées, lemme 015B). D’après ce qui précède, \(H^0(U, \mathcal{I}) \to H^0(U, \mathcal{Q})\) est surjectif, et donc \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\). Comme \(\mathcal{F}\) était un faisceau abélien arbitraire dont la cohomologie de Čech supérieure s’annule pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous concluons aussi que \(H^1(U, \mathcal{Q}) = 0\), puisque \(\mathcal{Q}\) est un autre faisceau de ce type (voir ci-dessus). La suite exacte longue implique à son tour que \(H^2(U, \mathcal{F}) = 0\), et ainsi de suite.

Deuxième cohomologie et gerbes

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une gerbe sur un site dont tous les groupes d’automorphismes sont commutatifs. Dans cette situation, les premier et deuxième groupes de cohomologie du faisceau des automorphismes (Champs, lemme 0CJY) régissent l’existence d’objets.

Le lemme suivant deviendra obsolète lorsqu’une étude plus complète de cette relation sera ajoutée.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une gerbe sur un site dont les faisceaux d’automorphismes sont abéliens. Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau de groupes abéliens construit dans Champs, lemme 0CJY. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) tel que

1. il existe un système cofinal de recouvrements \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\) et \(H^1(U_i \times_U U_j, \mathcal{G}) = 0\) pour tous \(i, j\) ; et

2. \(H^2(U, \mathcal{G}) = 0\).

Alors il existe un objet de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\).

Démonstration

D’après Champs, définition 06NZ, il existe un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) et des \(x_i\) dans \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U_i\). Posons \(U_{ij} = U_i \times_U U_j\). En raffinant le recouvrement conformément à (1), nous pouvons supposer que \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\) et \(H^1(U_{ij}, \mathcal{G}) = 0\). Considérons le faisceau \[\mathcal{F}_{ij} = \mathit{Isom}(x_i|_{U_{ij}}, x_j|_{U_{ij}})\] sur \(\mathcal{C}/U_{ij}\). Puisque \(\mathcal{G}|_{U_{ij}} = \mathit{Aut}(x_i|_{U_{ij}})\), il existe une action \[\mathcal{G}|_{U_{ij}} \times \mathcal{F}_{ij} \to \mathcal{F}_{ij}\] par précomposition. Il est clair que \(\mathcal{F}_{ij}\) est un pseudo-\(\mathcal{G}|_{U_{ij}}\)-torseur, et même un torseur, car deux objets quelconques d’une gerbe sont localement isomorphes. Par notre choix du recouvrement et le lemme 03AJ, ces torseurs sont triviaux (et admettent donc des sections globales d’après le lemme 03AI). Autrement dit, nous pouvons choisir des isomorphismes \[\varphi_{ij} : x_i|_{U_{ij}} \longrightarrow x_j|_{U_{ij}}\] Pour obtenir un objet \(x\) au-dessus de \(U\), nous allons modifier notre choix des \(\varphi_{ij}\) afin d’obtenir une donnée de descente (nécessairement effective puisque \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est un champ). L’obstruction à ce que ces données forment une donnée de descente est le possible défaut de la condition de cocycle. Posons \(U_{ijk} = U_i \times_U U_j \times_U U_k\). Nous pouvons considérer \[g_{ijk} = \varphi_{ik}^{-1}|_{U_{ijk}} \circ \varphi_{jk}|_{U_{ijk}} \circ \varphi_{ij}|_{U_{ijk}}\] qui est un automorphisme de \(x_i\) au-dessus de \(U_{ijk}\). Nous considérons donc \(g_{ijk}\) comme une section de \(\mathcal{G}\) sur \(U_{ijk}\). Un calcul, que nous omettons, montre que \((g_{i_0i_1i_2})\) est un \(2\)-cocycle du complexe de Čech \({\check C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G})\) de \(\mathcal{G}\) relativement au recouvrement \(\mathcal{U}\). D’après la suite spectrale du lemme 03AZ et puisque \(H^1(U_i, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(i\), le morphisme \({\check H}^2(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to H^2(U, \mathcal{G})\) est injectif. Par conséquent, \((g_{i_0i_1i_2})\) est un cobord, puisque nous supposons que \(H^2(U, \mathcal{G}) = 0\). Il existe donc des sections \(g_{ij} \in \mathcal{G}(U_{ij})\) telles que \(g_{ik}^{-1}|_{U_{ijk}} g_{jk}|_{U_{ijk}} g_{ij}|_{U_{ijk}} = g_{ijk}\) pour tous \(i, j, k\). Après avoir remplacé \(\varphi_{ij}\) par \(\varphi_{ij}g_{ij}^{-1}\), les \(\varphi_{ij}\) définissent une donnée de descente sur les objets \(x_i\) au-dessus de \(U_i\), ce qui achève la preuve.

Cohomologie des modules

Tout ce qui a été dit pour la cohomologie des faisceaux abéliens vaut pour la cohomologie des modules, puisque les deux coïncident.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Tout faisceau injectif de modules est également injectif en tant qu’objet de la catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Appliquons le lemme 015Z d’Homologie aux catégories \(\mathcal{A} = \textit{Mod}(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{B} = \textit{PMod}(\mathcal{O})\), au foncteur d’inclusion et à la faisceautisation. (Voir Modules sur les sites, section 03CX, pour constater que toutes les hypothèses du lemme sont satisfaites.)

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Considérons le foncteur \(i : \textit{Mod}(\mathcal{C}) \to \textit{PMod}(\mathcal{C})\). C’est un foncteur exact à gauche dont les foncteurs dérivés à droite sont donnés par \[R^pi(\mathcal{F}) = \underline{H}^p(\mathcal{F}) : U \longmapsto H^p(U, \mathcal{F})\] voir la discussion de la section 01FU.

Démonstration

Il est clair que \(i\) est exact à gauche. Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Par définition, \(R^pi\) est le préfaisceau de cohomologie de degré \(p\) du complexe \(\mathcal{I}^\bullet\). Autrement dit, les sections de \(R^pi(\mathcal{F})\) sur un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) sont données par \[\frac{\Ker(\mathcal{I}^n(U) \to \mathcal{I}^{n + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{n - 1}(U) \to \mathcal{I}^n(U))}.\] ce qui est la définition de \(H^p(U, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{O}\)-module injectif, c’est-à-dire un objet injectif de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Alors \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}) = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{I}(U) & \text{if} & p = 0 \\ 0 & \text{if} & p > 0 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Le lemme 03AS donne la première égalité de la chaîne d’égalités suivante : \[\begin{align*} \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}) & = \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) \\ & = \Mor_{\textit{PMod}(\mathbf{Z})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet}, \mathcal{I}) \\ & = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathbf{Z}_{\mathcal{U}, \bullet} \otimes_{p, \mathbf{Z}} \mathcal{O}, \mathcal{I}) \end{align*}\] La troisième égalité découle de Modules sur les sites, lemme 03CU. D’après le lemme 03FB, \(\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\). Par conséquent, \(\Hom_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(-, \mathcal{I})\) est un foncteur exact. Le lemme 03F5 donne alors l’annulation des groupes de cohomologie de Čech supérieurs. Pour le degré zéro, voir le lemme 03AN.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module, et notons \(\mathcal{F}_{ab}\) le faisceau de groupes abéliens sous-jacent. Alors \[H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{ab}) = H^i(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] et, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), nous avons également \[H^i(U, \mathcal{F}_{ab}) = H^i(U, \mathcal{F}).\] Ici, le membre de gauche est la cohomologie calculée dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\), et le membre de droite celle calculée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

D’après Catégories dérivées, lemme 015B, le \(\delta\)-foncteur \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}))_{p \geq 0}\) est universel. Le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{ab}\) est exact. Ainsi, \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}_{ab}))_{p \geq 0}\) est également un \(\delta\)-foncteur. Supposons que nous montrions que \((\mathcal{F} \mapsto H^p(U, \mathcal{F}_{ab}))_{p \geq 0}\) est lui aussi universel. La deuxième assertion du lemme découlera alors de l’unicité des \(\delta\)-foncteurs universels ; voir Homologie, lemme 010U. Puisque \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) possède assez d’injectifs, il suffit de montrer que \(H^i(U, \mathcal{I}_{ab}) = 0\) pour tout objet injectif \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) ; voir Homologie, lemme 010T.

Soit \(\mathcal{I}\) un objet injectif de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Appliquons le lemme 03F9 avec \(\mathcal{F} = \mathcal{I}\), \(\mathcal{B} = \mathcal{C}\) et \(\text{Cov} = \text{Cov}_\mathcal{C}\). L’hypothèse (3) de ce lemme est satisfaite d’après le lemme 03FC. Ainsi, \(H^i(U, \mathcal{I}_{ab}) = 0\) pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\).

Si \(\mathcal{C}\) possède un objet final, cela implique également la première égalité. Sinon, d’après Sites, lemme 03CI, le topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est équivalent à un topos annelé dont le site sous-jacent possède un objet final. Le lemme en découle.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(I\) un ensemble. Pour \(i \in I\), soit \(\mathcal{F}_i\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le morphisme canonique \[H^p(U, \prod\nolimits_{i \in I} \mathcal{F}_i) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} H^p(U, \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour \(p = 0\) et est injectif pour \(p = 1\).

Démonstration

L’assertion pour \(p = 0\) est vraie parce que le produit des faisceaux est égal au produit des préfaisceaux sous-jacents ; voir Sites, lemme 00W2. Traitons \(p = 1\). Posons \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\). Soit \(\xi \in H^1(U, \mathcal{F})\) dont l’image dans \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\) est nulle. Par localité de la cohomologie, voir le lemme 01FW, il existe un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_j \to U\}\) tel que \(\xi|_{U_j} = 0\) pour tout \(j\). D’après le lemme 0A6G, cela signifie que \(\xi\) provient d’un élément \(\check \xi \in \check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\). Puisque les morphismes \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, \mathcal{F}_i)\) sont injectifs pour tout \(i\) (d’après le lemme 0A6G) et puisque l’image de \(\xi\) dans \(\prod H^1(U, \mathcal{F}_i)\) est nulle, nous voyons que l’image \(\check \xi_i = 0\) dans \(\check H^1(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\). Toutefois, comme \(\mathcal{F} = \prod \mathcal{F}_i\), le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est le produit des complexes \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}_i)\). D’après Homologie, lemme 060K, nous concluons que \(\check \xi = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(a : U' \to U\) un monomorphisme dans \(\mathcal{C}\). Alors, pour tout \(\mathcal{O}\)-module injectif \(\mathcal{I}\), le morphisme de restriction \(\mathcal{I}(U) \to \mathcal{I}(U')\) est surjectif.

Démonstration

Soient \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) et \(j' : \mathcal{C}/U' \to \mathcal{C}\) les morphismes de localisation (Modules sur les sites, section 03DH). Comme \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction, nous avons, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules, \[\Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, \mathcal{F}|_U) = \mathcal{F}(U)\] De même, le faisceau \(j'_!\mathcal{O}_{U'}\) représente le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U')\). Nous décrivons ci-dessous un morphisme canonique de \(\mathcal{O}\)-modules \[j'_!\mathcal{O}_{U'} \longrightarrow j_!\mathcal{O}_U\] qui correspond, par le lemme de Yoneda, au morphisme de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U')\) (Catégories, lemme 001P). Il suffit de prouver que le morphisme de modules affiché est injectif ; voir Homologie, lemme 0136.

Pour construire notre morphisme, il suffit de construire un morphisme entre les préfaisceaux qui associent à un objet \(V\) de \(\mathcal{C}\) le \(\mathcal{O}(V)\)-module \[\bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V, U')} \mathcal{O}(V) \quad\text{et}\quad \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{O}(V)\] voir Modules sur les sites, lemme 03DI. Nous prenons le morphisme qui envoie le facteur correspondant à \(\varphi'\) sur celui correspondant à \(\varphi = a \circ \varphi'\) par l’identité de \(\mathcal{O}(V)\). Comme \(a\) est un monomorphisme, ce morphisme est injectif. La faisceautisation étant exacte, le résultat en découle.

Faisceaux totalement acycliques

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) (nous employons intentionnellement ici une capitale romaine pour le distinguer des faisceaux abéliens). Étant donné un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), posons \[\mathcal{F}(K) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(K, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(K^\#, \mathcal{F})\] Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(K)\) est un foncteur exact à gauche \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}\) ; il possède donc des foncteurs dérivés à droite. Nous les noterons \(H^p(K, \mathcal{F})\), de sorte que \(H^0(K, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(K)\).

Voici quelques observations :

1. Puisque \(\mathcal{F}(K) = \mathcal{F}(K^\#)\), nous avons \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(K^\#, \mathcal{F})\). Autoriser \(K\) à être un préfaisceau dans la définition ci-dessus n’est qu’une commodité de notation.

2. Supposons que \(K = h_U\) ou \(K = h_U^\#\) pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Alors \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(U, \mathcal{F})\), car \(\Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\) ; voir Sites, section 00WO.

3. Si \(\mathcal{O} = \mathbf{Z}\) (le faisceau constant), alors les groupes de cohomologie sont des foncteurs \(H^p(K, - ) : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\) car \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) = \textit{Ab}(\mathcal{C})\) dans ce cas.

Nous pouvons reformuler dans ce langage certains résultats déjà démontrés.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module, et notons \(\mathcal{F}_{ab}\) le faisceau de groupes abéliens sous-jacent. Alors \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(K, \mathcal{F}_{ab})\).

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(K\) par son faisceautisé et supposer que \(K\) est un faisceau. Remarquons que \(H^p(K, \mathcal{F})\) et \(H^p(K, \mathcal{F}_{ab})\) ne dépendent que du topos, et non du site sous-jacent. D’après Sites, lemme 03CI, nous pouvons donc remplacer \(\mathcal{C}\) par un site « plus grand » tel que \(K = h_U\) pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, le résultat découle du lemme 03FD.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K' \to K\) un morphisme de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) dont le faisceautisé est surjectif. Posons \(K'_p = K' \times_K \ldots \times_K K'\) (\(p + 1\) facteurs). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\), il existe une suite spectrale vérifiant \(E_1^{p, q} = H^q(K'_p, \mathcal{F})\) et convergeant vers \(H^{p + q}(K, \mathcal{F})\).

Démonstration

Puisque la faisceautisation est exacte, nous voyons que \((K_p')^\#\) est égal à \((K')^\# \times_{K^\#} \ldots \times_{K^\#} (K')^\#\) (\(p + 1\) facteurs). Nous pouvons donc remplacer \(K\) et \(K'\) par leurs faisceautisés et supposer que \(K' \to K\) est un morphisme surjectif de faisceaux. Après avoir remplacé \(\mathcal{C}\) par un site « plus grand » comme dans Sites, lemme 03CI, nous pouvons supposer que \(K, K'\) sont des objets de \(\mathcal{C}\) et que \(\mathcal{U} = \{K' \to K\}\) est un recouvrement. Nous disposons alors de la suite spectrale de la cohomologie de Čech vers la cohomologie du lemme 03AZ, dont la page \(E_1\) est celle indiquée dans l’énoncé.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Considérons le morphisme de topos \(j : \Sh(\mathcal{C}/K) \to \Sh(\mathcal{C})\) ; voir Sites, lemme 0791. Alors \(j^{-1}\) préserve les injectifs et \(H^p(K, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{C}/K, j^{-1}\mathcal{F})\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

D’après Sites, lemmes 04GZ et 0791, le morphisme de topos \(j\) est équivalent à une localisation. Le résultat découle donc du lemme 03F3.

Compte tenu du lemme 079Y, nous voyons que la définition suivante est également la « bonne » pour les faisceaux de modules sur les sites annelés.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. On dit qu’un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) est totalement acyclique¹ si, pour tout faisceau d’ensembles \(K\), nous avons \(H^p(K, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p \geq 1\).

Il est clair que la propriété d’être totalement acyclique est intrinsèque, c’est-à-dire préservée par les équivalences de topos. La cohomologie supérieure d’un faisceau totalement acyclique s’annule sur tous les objets du site, mais, en général, la condition d’acyclicité totale est strictement plus forte. Voici une caractérisation parfois utile des faisceaux totalement acycliques.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien. Si

1. \(H^p(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\) et \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) ; et

2. pour toute surjection \(K' \to K\) de faisceaux d’ensembles, le complexe de Čech augmenté \[0 \to H^0(K, \mathcal{F}) \to H^0(K', \mathcal{F}) \to H^0(K' \times_K K', \mathcal{F}) \to \ldots\] soit exact,

alors \(\mathcal{F}\) est totalement acyclique (et la réciproque est vraie).

Démonstration

D’après l’hypothèse (1), nous avons \(H^p(h_U^\#, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Remarquons que si \(K = \coprod K_i\) est un coproduit de faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\), alors \(H^p(K, \mathcal{F}) = \prod H^p(K_i, \mathcal{F})\). Pour tout faisceau d’ensembles \(K\), il existe une surjection \[K' = \coprod h_{U_i}^\# \longrightarrow K\] voir Sites, lemme 00WS. Nous en concluons que : (*) pour tout faisceau d’ensembles \(K\), il existe une surjection \(K' \to K\) de faisceaux d’ensembles telle que \(H^p(K', \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\). Nous affirmons que (*) et la condition (2) impliquent que \(\mathcal{F}\) est totalement acyclique. Remarquons que les conditions (*) et (2) ne dépendent que de \(\mathcal{F}\) en tant qu’objet du topos \(\Sh(\mathcal{C})\), et non du site sous-jacent. (Nous n’utiliserons plus la propriété (1) dans la suite de la preuve.)

Nous allons montrer par récurrence sur \(n \geq 0\) que (*) et (2) impliquent l’hypothèse de récurrence suivante \(IH_n\) : \(H^p(K, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(0 < p \leq n\) et tout faisceau d’ensembles \(K\). Remarquons que \(IH_0\) est vraie. Supposons \(IH_n\). Choisissons un faisceau d’ensembles \(K\), puis une surjection \(K' \to K\) telle que \(H^p(K', \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p > 0\). Nous disposons d’une suite spectrale vérifiant \[E_1^{p, q} = H^q(K'_p, \mathcal{F})\] et convergeant vers \(H^{p + q}(K, \mathcal{F})\) ; voir le lemme 079Z. D’après \(IH_n\), \(E_1^{p, q} = 0\) pour \(0 < q \leq n\), et l’hypothèse (2) donne \(E_2^{p, 0} = 0\) pour \(p > 0\). Enfin, \(E_1^{0, q} = 0\) pour \(q > 0\), car \(H^q(K', \mathcal{F}) = 0\) par choix de \(K'\). Nous concluons donc que \(H^{n + 1}(K, \mathcal{F}) = 0\), puisque tous les termes \(E_2^{p, q}\) tels que \(p + q = n + 1\) sont nuls.

La suite spectrale de Leray

Le lemme suivant est la clé de la preuve de l’existence de la suite spectrale de Leray.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Alors, pour tout objet injectif \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\), l’image directe \(f_*\mathcal{I}\) est totalement acyclique.

Démonstration

Soit \(K\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{D}\). D’après Modules sur les sites, lemme 03CR nous pouvons remplacer \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) par des sites « plus grands » de sorte que \(f\) provienne d’un morphisme de sites annelés induit par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) et que \(K = h_V\) pour un objet \(V\) de \(\mathcal{D}\).

Il nous suffit donc de montrer que \(H^q(V, f_*\mathcal{I})\) est nul pour \(q > 0\) et tout objet \(V\) de \(\mathcal{D}\) lorsque \(f\) est donné par un morphisme de sites annelés. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}\) un recouvrement quelconque de \(\mathcal{D}\). Comme \(u\) est continu, \(\mathcal{U} = \{u(V_j) \to u(V)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Nous avons alors une égalité de complexes de Čech \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, f_*\mathcal{I}) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I})\] par définition de \(f_*\). D’après le lemme 03FC, la cohomologie de ce complexe est nulle en degrés positifs. Le résultat découle alors du lemme 03F9.

Pour les morphismes plats, le foncteur \(f_*\) préserve les modules injectifs. En particulier, le foncteur \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) transforme toujours les faisceaux abéliens injectifs en faisceaux abéliens injectifs.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Si \(f\) est plat, alors \(f_*\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module injectif pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module injectif \(\mathcal{I}\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \(f^*\) est exact ; voir Modules sur les sites, lemme 04JC. Le résultat découle donc d’Homologie, lemme 015Z.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un topos annelé. Un faisceau totalement acyclique est acyclique à droite pour les foncteurs suivants :

1. le foncteur \(H^0(U, -)\) pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) ;

2. le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(K)\) pour tout préfaisceau d’ensembles \(K\) ;

3. le foncteur de sections globales \(\Gamma(\mathcal{C}, -)\) ;

4. le foncteur \(f_*\) pour tout morphisme \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) de topos annelés.

Démonstration

La partie (2) est la définition d’un faisceau totalement acyclique. La partie (1) découle de (2), comme indiqué dans la discussion qui suit la définition des faisceaux totalement acycliques. La partie (3) est le cas particulier de (2) où \(K = e\) est l’objet final de \(\Sh(\mathcal{C})\).

Pour prouver (4), nous pouvons supposer, d’après Modules sur les sites, lemme 03CR que \(f\) est donné par un morphisme de sites. Dans ce cas, la description des images directes supérieures du lemme 072W montre que les \(R^if_*\), \(i > 0\), d’un faisceau totalement acyclique sont nuls.

Remarque

Les résultats précédents montrent que Catégories dérivées, lemme 015M, s’applique dans plusieurs situations. Par exemple, pour tout morphisme \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) de topos annelés, nous avons \[R\Gamma(\mathcal{D}, Rf_*\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{F})\] pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules \(\mathcal{F}\). En effet, pour un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module injectif \(\mathcal{I}\), le \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(f_*\mathcal{I}\) est totalement acyclique d’après le lemme 072Z, et un faisceau totalement acyclique est acyclique pour \(\Gamma(\mathcal{D}, -)\) d’après le lemme 0731.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{D}, R^qf_*(\mathcal{F}^\bullet))\] qui converge vers \(H^{p + q}(\mathcal{C}, \mathcal{F}^\bullet)\).

Démonstration

Il s’agit simplement de la suite spectrale de Grothendieck de Catégories dérivées, lemme 015N, provenant de la composition de foncteurs \(\Gamma(\mathcal{C}, -) = \Gamma(\mathcal{D}, -) \circ f_*\). Pour vérifier que les hypothèses de Catégories dérivées, lemme 015N, sont satisfaites, voir les lemmes 072Z et 0731.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module.

1. Si \(R^qf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(q > 0\), alors \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{D}, f_*\mathcal{F})\) pour tout \(p\).

2. Si \(H^p(\mathcal{D}, R^qf_*\mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q\) et tout \(p > 0\), alors \(H^q(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{D}, R^qf_*\mathcal{F})\) pour tout \(q\).

Démonstration

Ce sont deux conditions simples qui forcent la suite spectrale de Leray à dégénérer. On peut aussi démontrer ces faits directement, sans utiliser la suite spectrale ; c’est un bon exercice de cohomologie des faisceaux.

Lemme

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) et \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\) soient des morphismes de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module. Il existe une suite spectrale telle que \[E_2^{p, q} = R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})\] qui converge vers \(R^{p + q}(g \circ f)_*\mathcal{F}\). Cette suite spectrale est fonctorielle en \(\mathcal{F}\), et il en existe une version pour les complexes bornés inférieurement de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules.

Démonstration

C’est une suite spectrale de Grothendieck pour la composition de foncteurs ; voir Catégories dérivées, lemme 015N, ainsi que les lemmes 072Z et 0731.

Le morphisme de changement de base

Dans cette section, nous construisons le morphisme de changement de base dans certains cas ; le cas général est traité dans la remarque 07A7. Afin d’éviter ici le recours à l’image inverse dérivée, nous nous restreignons au cas d’un changement de base par un morphisme plat de sites annelés. Avant d’énoncer le résultat, examinons l’image inverse plate sur la catégorie dérivée. Supposons que \(g : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme plat de topos annelés. D’après Modules sur les sites, lemme 04JC, le foncteur \(g^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) est exact. Il admet donc un foncteur dérivé \[g^* : D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] qui se calcule simplement en prenant l’image inverse d’un représentant d’un objet donné de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) ; voir Catégories dérivées, lemme 015F. Il préserve les sous-catégories bornées (supérieurement ou inférieurement). Ainsi, comme annoncé, nous notons ce foncteur \(g^*\) plutôt que \(Lg^*\).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] un diagramme commutatif de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Supposons que \(g\) et \(g'\) soient plats. Il existe alors un morphisme canonique de changement de base \[g^*Rf_*\mathcal{F}^\bullet \longrightarrow R(f')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\] dans \(D^{+}(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\).

Démonstration

Choisissons des résolutions injectives \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) et \((g')^*\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\). D’après le lemme 0730, \((g')_*\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe d’injectifs qui représente \(R(g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet\). Par Catégories dérivées, lemmes 013P et 013S, le morphisme \(\beta\) du diagramme \[\xymatrix{ (g')_*(g')^*\mathcal{F}^\bullet \ar[r] & (g')_*\mathcal{J}^\bullet \\ \mathcal{F}^\bullet \ar[u]^{adjunction} \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet \ar[u]_\beta }\] existe et est unique à homotopie près. En prenant l’image directe vers \(\mathcal{D}\), nous obtenons \[f_*\beta : f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow f_*(g')_*\mathcal{J}^\bullet = g_*(f')_*\mathcal{J}^\bullet\] Par adjonction entre \(g^*\) et \(g_*\), nous obtenons un morphisme de complexes \(g^*f_*\mathcal{I}^\bullet \to (f')_*\mathcal{J}^\bullet\). Ce morphisme est unique à homotopie près, puisque le seul choix effectué au cours de la construction est celui du morphisme \(\beta\) et que tout a été fait au niveau des complexes.

Cohomologie et colimites

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme indexé par la catégorie \(\mathcal{I}\) ; voir Catégories, section 002D. Pour tout \(i\), il existe un morphisme canonique \(\mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{F}_i\) qui induit un morphisme en cohomologie. Nous obtenons donc un morphisme canonique \[\colim_i H^p(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] pour tout \(p \geq 0\) et tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). En général, ces morphismes ne sont pas des isomorphismes, même pour \(p = 0\).

Le lemme suivant est l’analogue, pour la cohomologie, du lemme 0738 de Sites.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\text{Cov}_\mathcal{C}\) l’ensemble des recouvrements de \(\mathcal{C}\) (voir Sites, définition 00VH). Soient \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) et \(\text{Cov} \subset \text{Cov}_\mathcal{C}\) des sous-ensembles. Supposons que

1. pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), on ait \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) avec \(I\) fini, \(U, U_i \in \mathcal{B}\) et que tout \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \in \mathcal{B}\).

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), les recouvrements de \(U\) appartenant à \(\text{Cov}\) forment un système cofinal de recouvrements de \(U\).

Alors le morphisme \[\colim_i H^p(U, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(U, \colim_i \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour tout \(p \geq 0\), tout \(U \in \mathcal{B}\) et tout diagramme filtrant \(\mathcal{I} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\).

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur \(p\). Remarquons qu’en (1), nous exigeons que les recouvrements \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\) soient finis, de sorte que tous les éléments de \(\mathcal{B}\) soient quasi-compacts. Ainsi, (2) et (1) impliquent que tout \(U \in \mathcal{B}\) satisfait à l’hypothèse (4) du lemme 0738 de Sites. Le résultat est donc vrai pour \(p = 0\). Supposons-le vrai pour \(p\) et démontrons-le pour \(p + 1\).

Choisissons un diagramme filtrant \(\mathcal{F} : \mathcal{I} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\). Puisque \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) possède des plongements injectifs fonctoriels, voir Injectifs, théorème 01DP, nous pouvons trouver un morphisme de diagrammes filtrants \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}\) tel que chaque \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i\) soit un monomorphisme de faisceaux abéliens dans un faisceau abélien injectif. Notons \(\mathcal{Q}_i\) son conoyau ; nous avons ainsi des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{I}_i \to \mathcal{Q}_i \to 0.\] Comme les colimites de faisceaux sont les faisceautisés des colimites au niveau des préfaisceaux, comme la faisceautisation est exacte et comme les colimites filtrantes de groupes abéliens sont exactes (voir Algèbre, lemme 00DB), la suite \[0 \to \colim_i \mathcal{F}_i \to \colim_i \mathcal{I}_i \to \colim_i \mathcal{Q}_i \to 0.\] est elle aussi exacte courte. Nous affirmons que \(H^q(U, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\) pour tout \(q \geq 1\). Admettons provisoirement cette affirmation et considérons le diagramme \[\xymatrix{ \colim_i H^p(U, \mathcal{I}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^p(U, \mathcal{Q}_i) \ar[d] \ar[r] & \colim_i H^{p + 1}(U, \mathcal{F}_i) \ar[d] \ar[r] & 0 \ar[d] \\ H^p(U, \colim_i \mathcal{I}_i) \ar[r] & H^p(U, \colim_i \mathcal{Q}_i) \ar[r] & H^{p + 1}(U, \colim_i \mathcal{F}_i) \ar[r] & 0 }\] Le zéro situé en bas à droite provient de l’affirmation, et celui situé en haut à droite du fait que les faisceaux \(\mathcal{I}_i\) sont injectifs. La ligne du haut est exacte par application du lemme 00DB d’Algèbre. Le lemme du serpent donne alors le résultat pour \(p + 1\).

Il reste à démontrer l’affirmation. Nous utiliserons le lemme 03F9. D’après le cas \(p = 0\), pour \(\mathcal{U} \in \text{Cov}\), nous avons \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = \colim_i \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{I}_i)\] car tous les \(U_{j_0} \times_U \ldots \times_U U_{j_p}\) appartiennent à \(\mathcal{B}\). D’après le lemme 03AW, chacun des complexes de la colimite de complexes de Čech est acyclique en degrés \(\geq 1\). Par le lemme 00DB d’Algèbre, le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i)\) est donc lui aussi acyclique en degrés \(\geq 1\). Autrement dit, \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \colim_i \mathcal{I}_i) = 0\) pour tout \(p \geq 1\). Les hypothèses du lemme 03F9 sont donc satisfaites, d’où l’affirmation.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) un sous-ensemble. Notons \(*\) l’objet final de \(\Sh(\mathcal{C})\). Supposons que

1. pour un certain \(K \in S\), le morphisme \(K \to *\) soit surjectif ;

2. pour tout morphisme surjectif de faisceaux \(\mathcal{F} \to K\) avec \(K \in S\), il existe \(K' \in S\) et un morphisme \(K' \to \mathcal{F}\) tels que la composée \(K' \to K\) soit surjective ;

3. pour tous \(K, K' \in S\), il existe une surjection \(K'' \to K \times K'\) avec \(K'' \in S\) ;

4. pour tous \(a, b : K \to K'\) avec \(K, K' \in S\), il existe une surjection \(K'' \to \text{Equalizer}(a, b)\) avec \(K'' \in S\) ; et

5. tout \(K \in S\) soit quasi-compact (Sites, définition 0D07).

Alors, pour tout \(p \geq 0\), le morphisme \[\colim_\lambda H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_\lambda) \longrightarrow H^p(\mathcal{C}, \colim_\lambda \mathcal{F}_\lambda)\] est un isomorphisme pour tout diagramme filtrant \(\Lambda \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(\lambda \mapsto \mathcal{F}_\lambda\).

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur \(p\). Le cas initial \(p = 0\) découle de la partie (4) du lemme 0GMR de Sites. Vérifions les hypothèses, bien que nous invitions le lecteur à omettre cette partie. Supposons que \(\mathcal{F} \to *\) soit surjectif. Choisissons \(K \in S\) et une surjection \(K \to *\) comme en (1). Alors \(\mathcal{F} \times K \to K\) est surjectif. Comme en (2), choisissons \(K' \to \mathcal{F} \times K\) avec \(K' \in S\) et tel que \(K' \to K\) soit surjectif. Il existe alors un morphisme \(K' \to \mathcal{F}\), et \(K' \to *\) est surjectif. L’hypothèse (4)(a) du lemme 0GMR de Sites est donc satisfaite. D’après le lemme 0GMP de Sites et les hypothèses (3) et (5), \(K \times K\) est quasi-compact pour tout \(K \in S\). L’hypothèse (4)(b) du lemme 0GMR de Sites est donc satisfaite. Ceci achève la preuve du cas initial.

Étape de récurrence. Supposons le résultat vrai pour \(H^p\), lorsque \(p \leq p_0\), et pour tout topos \(\Sh(\mathcal{C})\) pour lequel il existe un ensemble \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) satisfaisant à (1) – (5). En raisonnant exactement comme dans la preuve du lemme 0739, il suffit de montrer que, pour toute colimite filtrante \(\mathcal{I} = \colim \mathcal{I}_\lambda\) de faisceaux abéliens injectifs \(\mathcal{I}_\lambda\), on a \(H^{p_0 + 1}(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = 0\). Comme en (1), choisissons une surjection \(K \to *\) avec \(K \in S\). Notons \(K^n\) le produit de \(n\) copies de \(K\). Considérons la suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}) \Rightarrow H^{p + q}(*, \mathcal{I}) = H^{p + q}(\mathcal{C}, \mathcal{I})\] du lemme 079Z. Rappelons que \(H^q(K^{p + 1}, \mathcal{F}) = H^q(\mathcal{C}/K^{p + 1}, j^{-1}\mathcal{F})\), pour tout faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\) ; voir le lemme 07A0. Nous avons \(j^{-1}\mathcal{I} = \colim j^{-1}\mathcal{I}_\lambda\) car \(j^{-1}\) commute aux colimites. D’après le lemme 03F3, les restrictions \(j^{-1}\mathcal{I}_\lambda\) sont des faisceaux abéliens injectifs sur \(\mathcal{C}/K^{p + 1}\). Nous montrerons ci-dessous que l’hypothèse de récurrence s’applique à \(\mathcal{C}/K^{p + 1}\) ; par conséquent, \(H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}) = \colim H^q(K^{p + 1}, \mathcal{I}_\lambda) = 0\) pour \(q < p_0 + 1\) (l’annulation provenant de l’injectivité de \(\mathcal{I}_\lambda\)). Il s’ensuit que \[H^{p_0 + 1}(\mathcal{C}, \mathcal{I}) = H^{p_0 + 1}\left(\ldots \to H^0(K^{p_0}, \mathcal{I}) \to H^0(K^{p_0 + 1}, \mathcal{I}) \to H^0(K^{p_0 + 2}, \mathcal{I}) \to \ldots\right)\] En utilisant de nouveau l’hypothèse de récurrence, le complexe figurant au membre de droite est la colimite, sur \(\Lambda\), des complexes \[\ldots \to H^0(K^{p_0}, \mathcal{I}_\lambda) \to H^0(K^{p_0 + 1}, \mathcal{I}_\lambda) \to H^0(K^{p_0 + 2}, \mathcal{I}_\lambda) \to \ldots\] Ces complexes sont exacts puisque \(\mathcal{I}_\lambda\) est un faisceau abélien injectif (cela découle par exemple de la suite spectrale). Comme les colimites filtrantes sont exactes dans la catégorie des groupes abéliens, nous obtenons l’annulation voulue.

Il reste à montrer que l’hypothèse de récurrence s’applique au site \(\mathcal{C}/K^n\) pour tout \(n \geq 1\). Rappelons que \(\Sh(\mathcal{C}/K^n) = \Sh(\mathcal{C})/K^n\) ; voir Sites, lemme 0791. Nous pouvons donc travailler dans \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\). Notons \(S_n \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}/K^n))\) l’ensemble des objets de la forme \(K' \to K^n\). Vérifions successivement chaque propriété :

1. Par (3) et récurrence, il existe une surjection \(K' \to K^n\) avec \(K' \in S\). Alors \((K' \to K^n) \to (K^n \to K^n)\) est une surjection dans \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\), et \(K^n \to K^n\) est l’objet final de \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\). Ainsi, (1) est vérifiée pour \(S_n\).

2. La propriété (2) pour \(S_n\) découle immédiatement de (2) pour \(S\).

3. Soient \(a : K_1 \to K^n\) et \(b : K_2 \to K^n\) dans \(S_n\). Alors \((K_1 \to K^n) \times (K_2 \to K^n)\) est l’objet \(K_1 \times_{K^n} K_2 \to K^n\) de \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\). Le sous-faisceau \(K_1 \times_{K^n} K_2 \subset K_1 \times K_2\) est l’égalisateur de \(a \circ \text{pr}_1\) et \(b \circ \text{pr}_2\). Écrivons \(a = (a_1, \ldots, a_n)\) et \(b = (b_1, \ldots, b_n)\). Choisissons une surjection \(K_3 \to K_1 \times K_2\) avec \(K_3 \in S\) ; c’est possible par l’hypothèse (3) pour \(\mathcal{C}\). Choisissons une surjection \[K_4 \longrightarrow \text{Equalizer}(K_3 \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_1, b_1} K)\] avec \(K_4 \in S\). C’est possible par l’hypothèse (4) pour \(\mathcal{C}\). Choisissons une surjection \[K_5 \longrightarrow \text{Equalizer}(K_4 \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_2, b_2} K)\] avec \(K_5 \in S\). C’est encore possible. Poursuivons ainsi jusqu’à obtenir une surjection \[K_{3 + n} \longrightarrow \text{Equalizer}(K_{2 + n} \to K_1 \times K_2 \xrightarrow{a_n, b_n} K)\] avec \(K_{3 + n} \in S\). Par construction, \(K_{3 + n} \to K_1 \times_{K^n} K_2\) est surjectif. Ainsi, \((K_{3 + n} \to K^n)\) appartient à \(S_n\) et se surjecte sur le produit \((K_1 \to K^n) \times (K_2 \to K^n)\). La propriété (3) est donc vérifiée pour \(S_n\).

4. La propriété (4) pour \(S_n\) découle immédiatement de la propriété (4) pour \(S\).

5. La propriété (5) pour \(S_n\) découle de la propriété (5) pour \(S\). En effet, un objet \(\mathcal{F} \to K^n\) de \(\Sh(\mathcal{C})/K^n\) correspond à un objet quasi-compact de \(\Sh(\mathcal{C}/K^n)\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est un objet quasi-compact de \(\Sh(\mathcal{C})\).

Ceci achève la preuve du lemme.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble. Soit \(S \subset \Ob(\Sh(\mathcal{C}))\) l’ensemble des faisceaux \(K\) de la forme \[K = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\#\] où \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\). On peut alors se demander quand cet ensemble satisfait aux hypothèses du lemme 0GN3. Une condition suffisante est que

1. pour certains \(n \geq 0\) et \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\), le morphisme \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to *\) soit surjectif ;

2. tout recouvrement de \(U \in \mathcal{B}\) admette un raffinement par un recouvrement de la forme \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\) ;

3. étant donnés \(U, U' \in \mathcal{B}\), il existe \(n \geq 0\), \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\) et des morphismes \(U_i \to U\) et \(U_i \to U'\) tels que \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to h_U^\# \times h_{U'}^\#\) soit surjectif ;

4. étant donnés des morphismes \(a, b : U \to U'\) dans \(\mathcal{C}\) avec \(U, U' \in \mathcal{B}\), il existe \(U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{B}\) et des morphismes \(U_i \to U\) qui égalisent \(a, b\), tels que \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# \to \text{Equalizer}(h_a^\#, h_b^\# : h_U^\# \to h_{U'}^\#)\) soit surjectif.

Nous omettons la vérification détaillée ; signalons seulement que la partie (2) ci-dessus assure que tout élément de \(\mathcal{B}\) est quasi-compact et donc, d’après le lemme 0GMQ de Sites, que tout \(K \in S\) est également quasi-compact.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un morphisme de sites correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Posons \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\). Soit \(p \geq 0\) un entier. Notons \(\mathcal{B}\) l’ensemble des \(V \in \Ob(\mathcal{D})\) tels que \(H^p(u(V), \mathcal{F}) = \colim H^p(u(V), \mathcal{F}_i)\). Si tout objet de \(\mathcal{D}\) possède un recouvrement par des éléments de \(\mathcal{B}\), alors \(R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i\).

Démonstration

Rappelons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est le faisceautisé du préfaisceau \(\mathcal{G}\) qui envoie \(V\) sur \(H^p(u(V), \mathcal{F})\) ; voir le lemme 072W. De même, \(R^pf_*\mathcal{F}_i\) est le faisceautisé du préfaisceau \(\mathcal{G}_i\) qui envoie \(V\) sur \(H^p(u(V), \mathcal{F}_i)\). Rappelons que la faisceautisation est adjointe à gauche de l’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux ; voir Sites, section 00W1. Elle commute donc aux colimites ; voir Catégories, lemme 0038. Il suffit par conséquent de montrer que le morphisme de préfaisceaux (la colimite étant prise dans la catégorie des préfaisceaux) \[\colim \mathcal{G}_i \longrightarrow \mathcal{G}\] induit un isomorphisme sur les faisceautisés. Cela découle du lemme 0H6Y de Sites et de notre hypothèse sur \(\mathcal{B}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices cofiltrante, et soit \((\mathcal{C}_i, f_a)\) un système projectif de sites indexé par \(\mathcal{I}\), comme dans Sites, situation 0A34. Posons \(\mathcal{C} = \colim \mathcal{C}_i\) comme dans Sites, lemmes 09YL et 0A35. Supposons de plus donnés

1. un faisceau abélien \(\mathcal{F}_i\) sur \(\mathcal{C}_i\) pour tout \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) ;

2. pour \(a : j \to i\), un morphisme \(\varphi_a : f_a^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\) de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}_j\),

de sorte que \(\varphi_c = \varphi_b \circ f_b^{-1}\varphi_a\) dès que \(c = a \circ b\). Il existe alors un morphisme de systèmes \((\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) tel que \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) soit injectif et que \(\mathcal{G}_i\) soit un faisceau abélien injectif.

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons une injection \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{A}_i\), où \(\mathcal{A}_i\) est un faisceau abélien injectif sur \(\mathcal{C}_i\). Nous pouvons alors considérer la famille de morphismes \[\gamma_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \prod\nolimits_{b : k \to i} f_{b, *}\mathcal{A}_k = \mathcal{G}_i\] dont les composantes sont les morphismes adjoints aux morphismes \(f_b^{-1}\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_k \to \mathcal{A}_k\). Pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), il existe un morphisme canonique \[\psi_a : f_a^{-1}\mathcal{G}_i \to \mathcal{G}_j\] dont les composantes sont les morphismes canoniques \(f_b^{-1}f_{a \circ b, *}\mathcal{A}_k \to f_{b, *}\mathcal{A}_k\) pour \(b : k \to j\). Nous obtenons ainsi une injection \((\gamma_i) : (\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) de systèmes de faisceaux abéliens. Remarquons que \(\mathcal{G}_i\) est un faisceau injectif de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}_i\) ; voir le lemme 0730 et Homologie, lemme 0137. Ceci achève la construction.

Lemme

Dans la situation du lemme 0EXZ, posons \(\mathcal{F} = \colim f_i^{-1}\mathcal{F}_i\). Soient \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et \(X_i \in \text{Ob}(\mathcal{C}_i)\). Alors \[\colim_{a : j \to i} H^p(u_a(X_i), \mathcal{F}_j) = H^p(u_i(X_i), \mathcal{F})\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

Le cas \(p = 0\) est le lemme 09YN de Sites.

Choisissons \((\mathcal{F}_i, \varphi_a) \to (\mathcal{G}_i, \psi_a)\) comme dans le lemme 0EXZ. En raisonnant exactement comme dans la preuve du lemme 0739, il suffit de montrer que \(H^p(X, \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i) = 0\) pour \(p > 0\).

Posons \(\mathcal{G} = \colim f_i^{-1}\mathcal{G}_i\). Pour montrer l’annulation de la cohomologie de \(\mathcal{G}\) sur tout objet de \(\mathcal{C}\), nous montrons que la cohomologie de Čech de \(\mathcal{G}\) est nulle pour tout recouvrement \(\mathcal{U}\) de \(\mathcal{C}\) (lemme 03F9). Le recouvrement \(\mathcal{U}\) provient d’un recouvrement \(\mathcal{U}_i\) de \(\mathcal{C}_i\) pour un certain \(i\). Nous avons \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{G}) = \colim_{a : j \to i} \check{\mathcal{C}}^\bullet(u_a(\mathcal{U}_i), \mathcal{G}_j)\] d’après le cas \(p = 0\). Le membre de droite est acyclique en degrés positifs, car il est une colimite filtrante de complexes acycliques, d’après le lemme 03AW. Voir Algèbre, lemme 00DB.

Résolutions plates

Dans cette section, nous reprenons les arguments de Cohomologie, section 06Y7, dans le cadre des sites annelés et des topos annelés.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Les foncteurs \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}^\bullet)\] et \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}^\bullet)\] sont des foncteurs exacts de catégories triangulées.

Démonstration

Cela résulte de Catégories dérivées, remarque 0G6E.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules est dit K-plat si, pour tout complexe acyclique \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, le complexe \[\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] est acyclique.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe K-plat. Alors le foncteur \[K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})), \quad \mathcal{F}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] transforme les quasi-isomorphismes en quasi-isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06YM et du fait que les quasi-isomorphismes se caractérisent par l’acyclicité de leurs cônes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \(\mathcal{K}^\bullet|_U\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe exact de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Puisque \(j_{U!}\) est exact (Modules sur les sites, lemme 03DJ) et que \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules, le complexe \[j_{U!}(\text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{K}^\bullet|_U)) = \text{Tot}(j_{U!}\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] est exact. Ici, l’égalité découle de Modules sur les sites, lemme 0E8I, et du fait que \(j_{U!}\) commute aux sommes directes (en tant qu’adjoint à gauche). Nous concluons puisque \(j_{U!}\) reflète l’exactitude, d’après Modules sur les sites, lemme 0E8G.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Si \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{L}^\bullet\) sont des complexes K-plats de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Cela résulte de l’isomorphisme \[\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)) = \text{Tot}(\text{Tot}(\mathcal{M}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\] et de la définition.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{K}_1^\bullet, \mathcal{K}_2^\bullet, \mathcal{K}_3^\bullet)\) un triangle distingué dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\). Si deux des trois complexes \(\mathcal{K}_i^\bullet\) sont K-plats, le troisième l’est aussi.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06YM et du fait que, dans un triangle distingué de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\), si deux des trois objets sont acycliques, le troisième l’est aussi.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(0 \to \mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \mathcal{K}_3^\bullet \to 0\) une suite exacte courte de complexes telle que les termes de \(\mathcal{K}_3^\bullet\) soient des \(\mathcal{O}\)-modules plats. Si deux des trois complexes \(\mathcal{K}_i^\bullet\) sont K-plats, le troisième l’est aussi.

Démonstration

D’après Modules sur les sites, lemme 03EX, pour tout complexe \(\mathcal{L}^\bullet\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_1^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_2^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_3^\bullet) \to 0\] de complexes. Le lemme résulte donc de la suite exacte longue des faisceaux de cohomologie et de la définition des complexes K-plats.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Tout complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}\)-modules plats est K-plat.

Démonstration

Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}\)-modules plats. Soit \(\mathcal{L}^\bullet\) un complexe acyclique de \(\mathcal{O}\)-modules. Remarquons que \(\mathcal{L}^\bullet = \colim_m \tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet\) où les colimites sont prises terme à terme. Ainsi, \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet) = \colim_m \text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet)\] terme à terme. Pour prouver que le complexe de gauche est acyclique, il suffit donc de montrer que chacun des complexes de droite l’est. Comme \(\tau_{\leq m}\mathcal{L}^\bullet\) est acyclique, nous sommes ramenés au cas où \(\mathcal{L}^\bullet\) est borné supérieurement. Dans ce cas, la suite spectrale du lemme 0132 d’Homologie vérifie \[{}'E_1^{p, q} = H^p(\mathcal{L}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^q)\] qui est nul puisque \(\mathcal{K}^q\) est plat et \(\mathcal{L}^\bullet\) acyclique. Ceci conclut la preuve.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet \to \ldots\) un système de complexes K-plats. Alors \(\colim_i \mathcal{K}_i^\bullet\) est K-plat.

Démonstration

Puisque nous prenons les colimites terme à terme, il est clair que \[\colim_i \text{Tot}( \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}_i^\bullet) = \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \colim_i \mathcal{K}_i^\bullet)\] Le lemme découle donc de l’exactitude des colimites filtrantes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Pour tout complexe \(\mathcal{G}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un diagramme commutatif de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{G}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] ayant les propriétés suivantes : (1) les flèches verticales sont des quasi-isomorphismes et sont surjectives terme à terme ; (2) chaque \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement dont les termes sont des sommes directes de \(\mathcal{O}\)-modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) ; et (3) les morphismes \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}_{n + 1}^\bullet\) sont des injections scindées terme à terme dont les conoyaux sont des sommes directes de \(\mathcal{O}\)-modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\). De plus, le morphisme \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

L’existence du diagramme et les propriétés (1), (2), (3) découlent immédiatement de Modules sur les sites, lemme 03EW, et de Catégories dérivées, lemme 06XX. Le morphisme induit \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme parce que les colimites filtrantes sont exactes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Pour tout complexe \(\mathcal{G}^\bullet\), il existe un complexe \(K\)-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) dont les termes sont des \(\mathcal{O}\)-modules plats, ainsi qu’un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) surjectif terme à terme.

Démonstration

Choisissons un diagramme comme dans le lemme 077J. Chaque complexe \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de modules plats ; voir Modules sur les sites, lemme 03EV. Ainsi, \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est K-plat d’après le lemme 06YQ. Par conséquent, \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\) est K-plat d’après le lemme 06YR. Le morphisme induit \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) est, par construction, un quasi-isomorphisme surjectif terme à terme. La propriété (3) du lemme 077J montre que \(\colim \mathcal{K}_n^m\) est une somme directe de modules plats, donc est plat, ce qui prouve la dernière assertion.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\alpha : \mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{Q}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes K-plats de \(\mathcal{O}\)-modules. Pour tout complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, le morphisme induit \[\text{Tot}(\text{id}_{\mathcal{F}^\bullet} \otimes \alpha) : \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\), où \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat ; voir le lemme 06YS. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{P}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{Q}^\bullet) }\] Le résultat découle du lemme 06YP, puisque les flèches verticales et la flèche horizontale supérieure sont des quasi-isomorphismes.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D(\mathcal{O})\). Choisissons une résolution K-plate \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) ; voir le lemme 06YS. D’après le lemme 06YM, nous obtenons un foncteur exact de catégories triangulées \[K(\mathcal{O}) \longrightarrow K(\mathcal{O}), \quad \mathcal{G}^\bullet \longmapsto \text{Tot}(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet)\] D’après le lemme 06YP, ce foncteur induit un foncteur \(D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O})\), puisque \(D(\mathcal{O})\) est la localisation de \(K(\mathcal{O})\) relativement aux quasi-isomorphismes. Comme la catégorie des résolutions \(K\)-plates de \(\mathcal{F}^\bullet\) est cofiltrante et compte tenu du lemme 06YT, le foncteur obtenu, à isomorphisme près, ne dépend pas du choix de \(\mathcal{K}^\bullet\).

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D(\mathcal{O})\). Le produit tensoriel dérivé \[- \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] est le foncteur exact de catégories triangulées décrit ci-dessus.

Il ressort de nos constructions explicites qu’il existe un isomorphisme canonique \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet \cong \mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{F}^\bullet\] pour \(\mathcal{G}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O})\). Nous utilisons ici les règles de signes données dans Compléments sur l’algèbre, section 0FNG. Ainsi, lorsque nous écrivons \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) nous ne préciserons généralement pas par rapport à laquelle des deux variables nous définissons le produit tensoriel dérivé.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}\)-modules. Les Tor de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont définis par la formule \[\text{Tor}_p^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = H^{-p}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{G})\] où le produit tensoriel dérivé est celui défini ci-dessus.

Cette définition implique que, pour toute suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) nous avons une suite exacte longue de cohomologie \[\xymatrix{ \mathcal{F}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{F}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r] & 0 \\ \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) \ar[r] & \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \ar[ull] }\] pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\). On l’appelle la suite exacte longue de \(\text{Tor}\) associée à la situation.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat ;

2. \(\text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Si \(\mathcal{F}\) est plat, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} -\) est un foncteur exact et ses foncteurs dérivés s’annulent. Réciproquement, supposons (2). Si \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est injectif, de conoyau \(\mathcal{Q}\), la suite exacte longue de \(\text{Tor}\) montre que le noyau de \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H}\) est un quotient de \(\text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{Q})\) qui est nul par hypothèse. Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est plat.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe K-plat, acyclique et à termes plats. Alors \(\mathcal{F} = \Ker(\mathcal{K}^n \to \mathcal{K}^{n + 1})\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat.

Démonstration

Observons que \[\ldots \to \mathcal{K}^{n - 2} \to \mathcal{K}^{n - 1} \to \mathcal{F} \to 0\] est une résolution plate de notre module \(\mathcal{F}\). Comme un complexe borné supérieurement de modules plats est K-plat (lemme 06YQ), nous pouvons utiliser cette résolution pour calculer \(\text{Tor}_i(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\). D’une part, \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{G}\) est nul dans \(D(\mathcal{O})\) parce que \(\mathcal{K}^\bullet\) est acyclique et, d’autre part, il est représenté par \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\). Nous voyons donc que \[\mathcal{K}^{n - 3} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{K}^{n - 2} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{K}^{n - 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\] est exacte. Ainsi, \(\text{Tor}_1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = 0\), et nous concluons par le lemme 08FG.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(a : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Si \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, il existe un complexe \(\mathcal{N}^\bullet\) et des morphismes de complexes \(b : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\) et \(c : \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) tels que

1. \(\mathcal{N}^\bullet\) est K-plat ;

2. \(c\) est un quasi-isomorphisme ;

3. \(a\) est homotope à \(c \circ b\).

Si les termes de \(\mathcal{K}^\bullet\) sont plats, nous pouvons choisir \(\mathcal{N}^\bullet\), \(b\) et \(c\) de sorte qu’il en soit de même pour \(\mathcal{N}^\bullet\).

Démonstration

Nous utiliserons le fait que la catégorie d’homotopie \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) est une catégorie triangulée ; voir Catégories dérivées, proposition 014S. Choisissons un triangle distingué \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet\), où \(\mathcal{M}^\bullet\) est K-plat à termes plats ; voir le lemme 06YS. Par les axiomes des catégories triangulées, nous pouvons inscrire la composée \(\mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{C}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\) dans un triangle distingué \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet[1]\). D’après le lemme 07A3, \(\mathcal{N}^\bullet\) est K-plat. En utilisant de nouveau les axiomes des catégories triangulées, nous pouvons choisir un morphisme \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) qui s’insère dans le morphisme suivant de triangles distingués \[\xymatrix{ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{N}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet[1] \ar[d] \\ \mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{L}^\bullet \ar[r] & \mathcal{C}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet[1] }\] Puisque deux des trois flèches sont des quasi-isomorphismes, la troisième \(\mathcal{N}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) l’est aussi, d’après les suites exactes longues de cohomologie associées à ces triangles distingués (on peut aussi considérer l’image de ce diagramme dans \(D(\mathcal{O})\) et utiliser Catégories dérivées, lemme 014A). Ceci achève la preuve de (1), (2) et (3). Pour prouver la dernière assertion, nous pouvons choisir \(\mathcal{N}^\bullet\) de sorte que \(\mathcal{N}^n \cong \mathcal{M}^n \oplus \mathcal{K}^n\) ; voir Catégories dérivées, lemme 0G6C. Nous obtenons ainsi la planéité voulue si les termes de \(\mathcal{K}^\bullet\) sont plats.

Image inverse dérivée

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Nous pouvons utiliser des résolutions K-plates pour définir un foncteur d’image inverse dérivée \[Lf^* : D(\mathcal{O}') \to D(\mathcal{O})\]

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules dont les termes sont des \(\mathcal{O}\)-modules plats. Alors \(f^*\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}'\)-modules dont les termes sont des \(\mathcal{O}'\)-modules plats.

Démonstration

Les termes \(f^*\mathcal{K}^n\) sont des \(\mathcal{O}'\)-modules plats d’après Modules sur les sites, Lemme 05VD. Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{K}_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \ldots }\] comme dans le Lemme 077J. Nous utiliserons sans autre mention toutes les propriétés énoncées dans ce lemme. Chaque \(\mathcal{K}_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de modules plats, voir Modules sur les sites, Lemme 03EV. Considérons la suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{M}^\bullet \to \colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet \to 0\] qui définit \(\mathcal{M}^\bullet\). D’après les Lemmes 06YQ et 06YR, le complexe \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet\) est K-plat et, d’après Modules sur les sites, Lemme 03EU, ses termes sont plats. D’après Modules sur les sites, Lemme 03EY, les termes de \(\mathcal{M}^\bullet\) sont plats ; d’après le Lemme 0G7B, \(\mathcal{M}^\bullet\) est K-plat ; enfin, d’après la suite exacte longue de cohomologie, \(\mathcal{M}^\bullet\) est acyclique (car la seconde flèche est un quasi-isomorphisme). L’image inverse \(f^*(\colim \mathcal{K}_n^\bullet) = \colim f^*\mathcal{K}_n^\bullet\) est une colimite de complexes bornés supérieurement de \(\mathcal{O}'\)-modules plats, donc elle est K-plate (d’après les mêmes lemmes que ci-dessus). L’image inverse de notre suite exacte courte \[0 \to f^*\mathcal{M}^\bullet \to f^*(\colim \mathcal{K}_n^\bullet) \to f^*\mathcal{K}^\bullet \to 0\] est une suite exacte courte de complexes d’après Modules sur les sites, Lemme 0G6R. Ainsi, d’après le Lemme 0G7B, il suffit de montrer que \(f^*\mathcal{M}^\bullet\) est K-plat. Cela nous ramène au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(\mathcal{K}^\bullet\) soit acyclique et K-plat, et que ses termes soient plats. Le Lemme 0G7C assure alors que tous les termes de \(\tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules plats. Choisissons un diagramme comme ci-dessus et utilisons toutes les propriétés démontrées plus haut pour ce diagramme. Notons \(\mathcal{M}_n^\bullet\) le noyau du morphisme de complexes \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet\) de sorte que nous disposons de suites exactes courtes de complexes \[0 \to \mathcal{M}_n^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n}\mathcal{K}^\bullet \to 0\] D’après Modules sur les sites, Lemme 03EY, les termes du complexe \(\mathcal{M}_n^\bullet\) sont plats. Ainsi, dans ce cas, \(\mathcal{M} = \colim \mathcal{M}_n^\bullet\) est une colimite filtrante de complexes bornés supérieurement de modules plats. Par conséquent, \(f^*\mathcal{M}^\bullet\) est K-plat (par le même argument que ci-dessus), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Il existe un foncteur exact \[Lf^* : D(\mathcal{O}') \longrightarrow D(\mathcal{O})\] entre catégories triangulées tel que \(Lf^*\mathcal{K}^\bullet = f^*\mathcal{K}^\bullet\) pour tout complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) à termes plats et, en particulier, pour tout complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}'\)-modules plats.

Démonstration

Pour le voir, utilisons la théorie générale développée dans Catégories dérivées, section 05S7. Posons \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}')\) et \(\mathcal{D}' = D(\mathcal{O})\). Notons \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) le foncteur exact de catégories triangulées défini par la règle \(F(\mathcal{G}^\bullet) = f^*\mathcal{G}^\bullet\). Soit \(S\) l’ensemble des quasi-isomorphismes de \(\mathcal{D} = K(\mathcal{O}')\). Nous obtenons ainsi une situation comme celle de Catégories dérivées, Situation 05S8, si bien que Catégories dérivées, Définition 05S9, s’applique. Nous affirmons que \(LF\) est défini partout. Cela résulte de Catégories dérivées, Lemme 06XN, en prenant pour \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\) la collection des complexes K-plats \(\mathcal{K}^\bullet\) à termes plats. En effet, (1) résulte du Lemme 06YS et, pour établir (2), nous devons montrer que, pour tout quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}_1^\bullet \to \mathcal{K}_2^\bullet\) entre objets de \(\mathcal{P}\), le morphisme \(f^*\mathcal{K}_1^\bullet \to f^*\mathcal{K}_2^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Écrivons ce morphisme sous la forme \[f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} \mathcal{O} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} \mathcal{O}\] Le foncteur \(f^{-1}\) est exact ; le morphisme \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet \to f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\) est donc un quasi-isomorphisme. Les complexes \(f^{-1}\mathcal{K}_1^\bullet\) et \(f^{-1}\mathcal{K}_2^\bullet\) de \(f^{-1}\mathcal{O}'\)-modules sont K-plats d’après le Lemme 0G7E, car nous pouvons considérer le morphisme de topos annelés \((\Sh(\mathcal{C}), f^{-1}\mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\). Le Lemme 06YT assure donc que le morphisme affiché est un quasi-isomorphisme. Nous obtenons ainsi un foncteur dérivé \[LF : D(\mathcal{O}') = S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}' = D(\mathcal{O})\] voir Catégories dérivées, Équation (05SW). Enfin, Catégories dérivées, Lemme 06XN, assure également que \(LF(\mathcal{K}^\bullet) = F(\mathcal{K}^\bullet) = f^*\mathcal{K}^\bullet\) lorsque \(\mathcal{K}^\bullet\) appartient à \(\mathcal{P}\). La démonstration s’achève en observant que les complexes bornés supérieurement de modules plats appartiennent à \(\mathcal{P}\) d’après le Lemme 06YQ.

Lemme

Considérons des morphismes de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) et \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\). Alors \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_\mathcal{E}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{E})\). Nous pouvons représenter \(E\) par un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) à termes plats, voir le Lemme 06YS. Par construction, \(Lg^*E\) se calcule par \(g^*\mathcal{K}^\bullet\), voir le Lemme 06YY. D’après le Lemme 0G7E, le complexe \(g^*\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat à termes plats. Ainsi \(Lf^*Lg^*E\) est représenté par \(f^*g^*\mathcal{K}^\bullet\). Comme \(L(g \circ f)^*E\) est lui aussi représenté par \((g \circ f)^*\mathcal{K}^\bullet = f^*g^*\mathcal{K}^\bullet\) nous concluons.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Il existe un isomorphisme bifonctoriel canonique \[Lf^*( \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet ) = Lf^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet\] pour \(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}'))\).

Démonstration

Grâce à notre construction de l’image inverse dérivée dans le Lemme 06YY et à l’existence de résolutions donnée par le Lemme 06YS, nous pouvons remplacer \(\mathcal{F}^\bullet\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) par des complexes de \(\mathcal{O}'\)-modules qui sont K-plats et dont les termes sont plats. Dans ce cas, \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} \mathcal{G}^\bullet\) est simplement le complexe total associé au bicomplexe \(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet\). Le complexe \(\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet)\) est K-plat à termes plats d’après le Lemme 07A2 et Modules sur les sites, Lemme 0G6Q. Ainsi, l’isomorphisme du lemme provient de l’isomorphisme \[\text{Tot}(f^*\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow f^*\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^\bullet)\] dont les composantes sont les isomorphismes \(f^*\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G}^q \to f^*(\mathcal{F}^p \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{G}^q)\) fournis par Modules sur les sites, Lemme 03EL.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Il existe un isomorphisme bifonctoriel canonique \[\mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^{\mathbf{L}} Lf^*\mathcal{G}^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'}^{\mathbf{L}} f^{-1}\mathcal{G}^\bullet\] pour \(\mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}')\).

Démonstration

Soient \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module et \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}'\)-module. Alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}} f^*\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} f^{-1}\mathcal{G}\) car \(f^*\mathcal{G} = \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}'} f^{-1}\mathcal{G}\). Le lemme résulte de cette égalité et des définitions.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, alors, pour tout point \(p\) du site \(\mathcal{C}\), le complexe de \(\mathcal{O}_p\)-modules \(\mathcal{K}_p^\bullet\) est K-plat au sens de Compléments d’algèbre, Définition 06XZ.

2. Si \(\mathcal{C}\) possède suffisamment de points, la réciproque est vraie.

Démonstration

Démonstration de (2). Supposons que \(\mathcal{C}\) possède suffisamment de points et que \(\mathcal{K}_p^\bullet\) soit K-plat pour tout point \(p\) de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat, car \(\otimes\) et les sommes directes commutent à la prise des fibres, et l’exactitude peut se vérifier sur les fibres ; voir Modules sur les sites, Lemme 05V3.

Démonstration de (1). Supposons \(\mathcal{K}^\bullet\) K-plat. Choisissons un quasi-isomorphisme \(a : \mathcal{L}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\) tel que \(\mathcal{L}^\bullet\) soit K-plat à termes plats, voir le Lemme 06YS. Toute image inverse de \(\mathcal{L}^\bullet\) est K-plate, voir le Lemme 0G7E. En particulier, la fibre \(\mathcal{L}_p^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_p\)-modules. Le cône \(C(a)\) de \(a\) est donc un complexe acyclique K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules (Lemme 07A3), et il suffit de montrer que la fibre de \(C(a)\) est K-plate (d’après Compléments d’algèbre, Lemme 06Y2). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat et acyclique.

Supposons \(\mathcal{K}^\bullet\) acyclique et K-plat. Avant de poursuivre, remplaçons le site \(\mathcal{C}\) par un autre comme dans Sites, Lemme 03CI, afin que \(\mathcal{C}\) admette toutes les limites finies. Il en résulte que la catégorie des voisinages de \(p\) est filtrante (Sites, Lemme 00YB) et que la colimite définissant la fibre d’un faisceau est filtrante. Soit \(M\) un \(\mathcal{O}_p\)-module de présentation finie. Il suffit de montrer que \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_p} M\) est acyclique ; voir Compléments d’algèbre, Lemme 0E8F. Comme \(\mathcal{O}_p\) est la colimite filtrante des \(\mathcal{O}(U)\), où \(U\) parcourt les voisinages de \(p\), nous pouvons trouver un voisinage \((U, x)\) de \(p\) et un \(\mathcal{O}(U)\)-module de présentation finie \(M'\) dont le changement de base à \(\mathcal{O}_p\) est \(M\) ; voir Algèbre, Lemme 05N7. D’après le Lemme 0E8K, nous pouvons remplacer \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{K}^\bullet\) par \(\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U, \mathcal{K}^\bullet|_U\). Nous en déduisons que nous pouvons supposer qu’il existe un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) tel que \(M \cong \mathcal{F}_p\). Puisque \(\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat et acyclique, le complexe \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est acyclique (car il calcule, par définition, le produit tensoriel dérivé). La prise des fibres étant un foncteur exact, il en résulte que \(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_p} M\) est acyclique, comme voulu.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Si \(\mathcal{C}\) possède suffisamment de points, l’image inverse d’un complexe K-plat de \(\mathcal{O}'\)-modules est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0DEN, de Modules sur les sites, Lemme 05V5, et de Compléments d’algèbre, Lemme 06Y1.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Le diagramme \[\xymatrix{ Lf^*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ Lf^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} f^*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] est commutatif.

Démonstration

Nous utiliserons l’existence de résolutions K-plates à termes plats (Lemme 06YS), le fait que l’image inverse dérivée se calcule à l’aide de tels complexes (Lemme 06YY), ainsi que la préservation de ces propriétés par image inverse (Lemme 0G7E). Si nous choisissons de telles résolutions \(\mathcal{P}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{Q}^\bullet \to \mathcal{M}^\bullet\), nous voyons alors que \[\xymatrix{ Lf^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & Lf^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*\text{Tot}(\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{Q}^\bullet) \ar[d] \ar[r] & f^*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ \text{Tot}(f^*\mathcal{P}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{Q}^\bullet) \ar[r] & \text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{M}^\bullet) }\] est commutatif. Or, le côté gauche de ce diagramme est maintenant le côté gauche du diagramme de l’énoncé, par notre choix de \(\mathcal{P}^\bullet\) et \(\mathcal{Q}^\bullet\) et par le Lemme 07A2.

Cohomologie des complexes non bornés

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck : elle admet toutes les colimites, les colimites filtrantes y sont exactes, et elle possède un générateur, à savoir \[\bigoplus\nolimits_{U \in \Ob(\mathcal{C})} j_{U!}\mathcal{O}_U,\] voir Modules sur les sites, section 03D9, et Lemmes 03EV et 03EW. D’après Injectifs, Théorème 079P, pour tout complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un quasi-isomorphisme injectif \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) vers un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules ; de plus, cette inclusion peut être choisie fonctoriellement en \(\mathcal{F}^\bullet\). Il résulte de Catégories dérivées, Lemme 070K, que

1. tout foncteur exact \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \to \mathcal{D}\) à valeurs dans une catégorie triangulée \(\mathcal{D}\) admet un foncteur dérivé à droite \(RF : D(\mathcal{O}) \to \mathcal{D}\),

2. pour tout foncteur additif \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathcal{A}\) à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), nous considérons le foncteur exact \(F : K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \to K(\mathcal{A})\) induit par \(F\) et obtenons un foncteur dérivé à droite \(RF : D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{A})\).

Par construction, \(RF(\mathcal{F}^\bullet) = F(\mathcal{I}^\bullet)\), où \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) est comme ci-dessus.

Voici quelques exemples de ce qui précède :

1. Le foncteur \(\Gamma(\mathcal{C}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}\) donne naissance à \[R\Gamma(\mathcal{C}, -) : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\] Nous noterons \(H^i(\mathcal{C}, K) = H^i(R\Gamma(\mathcal{C}, K))\) la cohomologie.

2. Pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), considérons le foncteur \(\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \text{Mod}_{\Gamma(U, \mathcal{O})}\). Il donne naissance à \[R\Gamma(U, -) : D(\mathcal{O}) \to D(\Gamma(U, \mathcal{O}))\] Nous noterons \(H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, K))\) la cohomologie.

3. Pour un morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) considérons le foncteur \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) qui donne naissance à l’image directe dérivée totale \[Rf_* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O}')\] sur les catégories dérivées non bornées.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Le foncteur \(Rf_*\) défini ci-dessus et le foncteur \(Lf^*\) défini dans le Lemme 06YY sont adjoints : \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(Lf^*\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}')}(\mathcal{G}^\bullet, Rf_*\mathcal{F}^\bullet)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}))\) et \(\mathcal{G}^\bullet \in \Ob(D(\mathcal{O}'))\).

Démonstration

Cela résulte formellement de l’existence de \(Rf_*\) et de \(Lf^*\) ; voir Catégories dérivées, Lemme 09T5.

Lemme

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) et \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{E}), \mathcal{O}_\mathcal{E})\) des morphismes de topos annelés. Alors \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{E})\).

Démonstration

D’après le Lemme 07A6, \(Rg_* \circ Rf_*\) est adjoint à \(Lf^* \circ Lg^*\). Or \(Lf^* \circ Lg^* = L(g \circ f)^*\) d’après le Lemme 0D6D ; l’unicité des foncteurs adjoints donne donc \(Rg_* \circ Rf_* = R(g \circ f)_*\).

Remarque

La construction des foncteurs dérivés non bornés \(Lf^*\) et \(Rf_*\) permet de construire le morphisme de changement de base en toute généralité. Supposons en effet que \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] soit un diagramme commutatif de topos annelés. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Il existe alors un morphisme canonique de changement de base \[Lg^*Rf_*K \longrightarrow R(f')_*L(g')^*K\] dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\). Ce morphisme est en effet adjoint à un morphisme \(L(f')^*Lg^*Rf_*K \to L(g')^*K\). Puisque \(L(f')^* \circ Lg^* = L(g')^* \circ Lf^*\), cela revient à donner un morphisme \(L(g')^*Lf^*Rf_*K \to L(g')^*K\), que l’on peut prendre égal à l’image par \(L(g')^*\) du morphisme d’adjonction \(Lf^*Rf_*K \to K\).

Remarque

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^g \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^m & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \\ }\] de topos annelés. Les morphismes de changement de base de la Remarque 07A7, pour les deux carrés, se composent alors pour donner le morphisme de changement de base du rectangle extérieur. Plus précisément, la composée \[\begin{align*} Lm^* \circ R(g \circ f)_* & = Lm^* \circ Rg_* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Ll^* \circ Rf_* \\ & \to Rg'_* \circ Rf'_* \circ Lk^* \\ & = R(g' \circ f')_* \circ Lk^* \end{align*}\] est le morphisme de changement de base du rectangle. Nous omettons la vérification.

Remarque

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}_{\mathcal{C}''}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}''), \mathcal{O}_{\mathcal{D}''}) \ar[r]^{h'} & (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^h & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] de topos annelés. Les morphismes de changement de base de la Remarque 07A7, pour les deux carrés, se composent alors pour donner le morphisme de changement de base du rectangle extérieur. Plus précisément, la composée \[\begin{align*} L(h \circ h')^* \circ Rf_* & = L(h')^* \circ Lh^* \circ Rf_* \\ & \to L(h')^* \circ Rf'_* \circ Lg^* \\ & \to Rf''_* \circ L(g')^* \circ Lg^* \\ & = Rf''_* \circ L(g \circ g')^* \end{align*}\] est le morphisme de changement de base du rectangle. Nous omettons la vérification.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Le diagramme \[\xymatrix{ Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet }\] provenant de \(Lf^* \to f^*\) sur les complexes, de \(f_* \to Rf_*\) sur les complexes et de l’adjonction \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\) est commutatif dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Nous utiliserons l’existence de résolutions K-plates et de résolutions K-injectives ; voir les Lemmes 06YS, 06YY et 0G7E, ainsi que la discussion ci-dessus. Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\), où \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif comme complexe de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{Q}^\bullet \to f_*\mathcal{I}^\bullet\), où \(\mathcal{Q}^\bullet\) est un complexe K-plat à termes plats de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Nous pouvons choisir un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules, noté \(\mathcal{P}^\bullet\), à termes plats, ainsi qu’un diagramme de morphismes de complexes \[\xymatrix{ \mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ \mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f_*\mathcal{I}^\bullet }\] commutatif à homotopie près, dans lequel la flèche horizontale supérieure est un quasi-isomorphisme. En effet, nous pouvons d’abord choisir un tel diagramme pour un certain complexe \(\mathcal{P}^\bullet\), car les quasi-isomorphismes forment un système multiplicatif dans la catégorie homotopique des complexes, puis choisir une résolution de \(\mathcal{P}^\bullet\) par un complexe K-plat à termes plats. En prenant les images inverses, nous obtenons un diagramme de morphismes de complexes \[\xymatrix{ f^*\mathcal{P}^\bullet \ar[r] \ar[d] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}^\bullet \ar[d] \\ f^*\mathcal{Q}^\bullet \ar[r] & f^*f_*\mathcal{I}^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}^\bullet }\] commutatif à homotopie près. Le rectangle extérieur établit l’assertion du lemme.

Remarque

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. L’adjonction de \(Lf^*\) et \(Rf_*\) permet de construire un cup-produit relatif \[Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \longrightarrow Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\), pour tous \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Ce morphisme est en effet adjoint à un morphisme \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L) \to K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L\), que l’on peut prendre égal à la composée de l’isomorphisme \(Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L) = Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L\) (Lemme 07A4) avec le morphisme \(Lf^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*L \to K \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L\) provenant de la co-unité \(Lf^* \circ Rf_* \to \text{id}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Notons \(\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C})\) la sous-catégorie de Serre constituée des faisceaux abéliens de torsion. Alors le foncteur \(D(\mathcal{A}) \to D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\) est une équivalence.

Démonstration

Une observation essentielle est qu’un faisceau abélien injectif \(\mathcal{I}\) est divisible. En effet, si \(s \in \mathcal{I}(U)\) est une section locale, interprétons \(s\) comme un morphisme \(s : j_{U!}\mathbf{Z} \to \mathcal{I}\) et appliquons la propriété définissant un objet injectif au monomorphisme de faisceaux \(n : j_{U!}\mathbf{Z} \to j_{U!}\mathbf{Z}\). Il existe alors \(s' \in \mathcal{I}(U)\) tel que \(ns' = s\).

Pour un faisceau \(\mathcal{F}\), notons \(\mathcal{F}_{tor}\) son sous-faisceau de torsion. Nous affirmons que, si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe de faisceaux abéliens injectifs dont les faisceaux de cohomologie sont de torsion, alors \[\mathcal{I}^\bullet_{tor} \to \mathcal{I}^\bullet\] est un quasi-isomorphisme. En effet, la platitude de \(\mathbf{Q}\) sur \(\mathbf{Z}\) donne \[H^p(\mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q} = H^p(\mathcal{I}^\bullet \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q})\] qui est nul car les faisceaux de cohomologie sont de torsion. Par divisibilité (établie ci-dessus), le morphisme \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Q}\) est surjectif de noyau \(\mathcal{I}^\bullet_{tor}\). L’affirmation résulte alors de la suite exacte longue des faisceaux de cohomologie associée à la suite exacte courte ainsi obtenue.

Pour démontrer le lemme, construisons un adjoint à droite \(T : D(\mathcal{C}) \to D(\mathcal{A})\). Étant donné \(K\) dans \(D(\mathcal{C})\), nous pouvons représenter \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) dont les faisceaux de cohomologie sont injectifs ; voir Injectifs, Théorème 079P. Posons alors \(T(K) = \mathcal{I}^\bullet_{tor}\) ; autrement dit, \(T\) est le foncteur dérivé à droite du foncteur de torsion. Le foncteur \(T\) est adjoint à droite de \(i : D(\mathcal{A}) \to D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\). Cela résulte immédiatement de l’observation suivante : si \(\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe de faisceaux de torsion, alors \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(\mathcal{F}^\bullet, I^\bullet_{tor}) = \Hom_{K(\textit{Ab}(\mathcal{C}))}(\mathcal{F}^\bullet, I^\bullet)\] en particulier, \(\mathcal{I}^\bullet_{tor}\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{A}\). Nous omettons quelques détails ; cela résulte aussi, en cas de doute, du résultat plus général Catégories dérivées, Lemme 09T5. Notre affirmation ci-dessus donne \(L = T(i(L))\) pour \(L\) dans \(D(\mathcal{A})\), et \(i(T(K)) = K\) si \(K\) appartient à \(D_\mathcal{A}(\mathcal{C})\). Le résultat découle alors de Catégories, Lemme 07RB.

Quelques propriétés des complexes K-injectifs

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Notons \(j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) le morphisme de localisation correspondant. Le foncteur image inverse \(j^*\) est exact, puisqu’il n’est autre que le foncteur de restriction. Ainsi, sur tout complexe, l’image inverse dérivée \(Lj^*\) se calcule par simple restriction du complexe. Nous notons souvent simplement le foncteur correspondant \[D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_U), \quad E \mapsto j^*E = E|_U\] De même, le prolongement par zéro \(j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) (voir Modules sur les sites, Définition 04IX) est un foncteur exact (Modules sur les sites, Lemme 03DJ). Il induit donc un foncteur \[j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O}), \quad F \mapsto j_!F\] en appliquant simplement \(j_!\) à tout complexe représentant l’objet \(F\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). La restriction d’un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules à \(\mathcal{C}/U\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Catégories dérivées, Lemme 08BJ, et du fait que le foncteur de restriction admet l’adjoint à gauche exact \(j_!\). Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{O})\), nous avons \(H^p(U, K) = H^p(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(K\). Alors \[H^q(U, K) = H^q(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet)) = H^q(\Gamma(\mathcal{C}/U, \mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U}))\] par construction de la cohomologie. D’après le Lemme 08FI, le complexe \(\mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U}\) est un complexe K-injectif représentant \(K|_{\mathcal{C}/U}\), d’où le lemme.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O})\). Le faisceau associé au préfaisceau \[U \mapsto H^q(U, K) = H^q(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\] est le \(q\)-ième faisceau de cohomologie \(H^q(K)\) de \(K\).

Démonstration

L’égalité \(H^q(U, K) = H^q(\mathcal{C}/U, K|_{\mathcal{C}/U})\) résulte du Lemme 0D6F. Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\). Alors \[H^q(U, K) = \frac{\Ker(\mathcal{I}^q(U) \to \mathcal{I}^{q + 1}(U))} {\Im(\mathcal{I}^{q - 1}(U) \to \mathcal{I}^q(U))}.\] par notre construction de la cohomologie. Comme \(H^q(K) = \Ker(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1})/ \Im(\mathcal{I}^{q - 1} \to \mathcal{I}^q)\), le résultat est clair.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Pour \(V \in \mathcal{D}\), posons \(U = u(V)\) et notons \(g : (\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U) \to (\mathcal{D}/V, \mathcal{O}_V)\) le morphisme induit de sites annelés (Modules sur les sites, Lemme 04J0). Alors \((Rf_*E)|_{\mathcal{D}/V} = Rg_*(E|_{\mathcal{C}/U})\) pour \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Représentons \(E\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Alors \(Rf_*(E) = f_*\mathcal{I}^\bullet\) et \(Rg_*(E|_{\mathcal{C}/U}) = g_*(\mathcal{I}^\bullet|_{\mathcal{C}/U})\) d’après le Lemme 08FI. Comme il est clair que \((f_*\mathcal{F})|_{\mathcal{D}/V} = g_*(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U})\) pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) (voir Modules sur les sites, Lemme 04J0, ou le résultat plus élémentaire Sites, Lemme 03CF), le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Alors \(R\Gamma(\mathcal{D}, -) \circ Rf_* = R\Gamma(\mathcal{C}, -)\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D}))\). Plus généralement, pour \(V \in \mathcal{D}\) et \(U = u(V)\), nous avons \(R\Gamma(U, -) = R\Gamma(V, -) \circ Rf_*\).

Démonstration

Considérons le topos ponctuel \(pt\) muni de \(\mathcal{O}_{pt}\) défini par l’anneau \(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D})\). Il existe un morphisme canonique \((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (pt, \mathcal{O}_{pt})\) de topos annelés induisant l’identification sur les sections globales des faisceaux structuraux. Alors \(D(\mathcal{O}_{pt}) = D(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{D}))\). L’assertion \(R\Gamma(\mathcal{D}, -) \circ Rf_* = R\Gamma(\mathcal{C}, -)\) résulte du Lemme 0D6E appliqué à \[(\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (pt, \mathcal{O}_{pt})\] La seconde assertion, plus générale, résulte de la première après application du Lemme 0D6G.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés correspondant au foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Alors \(H^i(Rf_*K)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \mapsto H^i(u(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\]

Démonstration

L’égalité \(H^i(u(V), K) = H^i(V, Rf_*K)\) s’obtient en prenant la cohomologie dans la seconde assertion du Lemme 0D6H. L’assertion concernant le faisceau associé résulte alors du Lemme 0BKV.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un site annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) et notons \(K_{ab}\) son image dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})\).

1. Il existe un morphisme canonique \(R\Gamma(\mathcal{C}, K) \to R\Gamma(\mathcal{C}, K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\textit{Ab})\).

2. Pour tout \(U \in \mathcal{C}\), il existe un morphisme canonique \(R\Gamma(U, K) \to R\Gamma(U, K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\textit{Ab})\).

3. Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés. Il existe un morphisme canonique \(Rf_*K \to Rf_*(K_{ab})\) qui est un isomorphisme dans \(D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{D})\).

Démonstration

Le morphisme se construit comme suit. Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\), où \(\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe K-injectif de groupes abéliens. Le morphisme de (1) est alors donné par \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{J}^\bullet)\) (2) est donné par \(\Gamma(U, \mathcal{I}^\bullet) \to \Gamma(U, \mathcal{J}^\bullet)\) et le morphisme de (3) est donné par \(f_*\mathcal{I}^\bullet \to f_*\mathcal{J}^\bullet\). Pour montrer que ces morphismes sont des isomorphismes, il suffit de prouver qu’ils induisent des isomorphismes sur les groupes de cohomologie et les faisceaux de cohomologie. D’après les Lemmes 0D6F et 0D6I, il suffit de montrer que le morphisme \[H^0(\mathcal{C}, K) \longrightarrow H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\] est un isomorphisme. Observons que \[H^0(\mathcal{C}, K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, K)\] et de même pour l’autre groupe. Choisissons un complexe quelconque \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules représentant \(K\). Par construction de la catégorie dérivée comme localisation, nous avons \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, K) = \colim_{s : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{O}_\mathcal{C}} \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] où la colimite porte sur les quasi-isomorphismes \(s\) de complexes de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. De même, nous avons \[\Hom_{D(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})} (\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}, K) = \colim_{s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \Hom_{K(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C})} (\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] Observons ensuite que les quasi-isomorphismes \(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\) pour lesquels \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\)-modules plats forment un système cofinal. (Cela résulte de Modules sur les sites, Lemme 03EW, et de Catégories dérivées, Lemme 05T7 ; voir la discussion de la section 06YL.) Nous pouvons donc construire un inverse du morphisme \(H^0(\mathcal{C}, K) \longrightarrow H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\) en représentant un élément \(\xi \in H^0(\mathcal{C}, K_{ab})\) par une paire \[(s : \mathcal{G}^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}, a : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{K}^\bullet)\] où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}\)-modules plats, et en envoyant cette paire sur \[(\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{O}_\mathcal{C}, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\underline{\mathbf{Z}}_\mathcal{C}} \mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{K}^\bullet)\] Il suffit ici de remarquer que la première flèche est un quasi-isomorphisme d’après les Lemmes 06YT et 06YQ. Nous omettons la vérification détaillée du fait que cette construction donne bien un inverse.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Notons \(j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) le morphisme de localisation correspondant. Le foncteur de restriction \(D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_U)\) est adjoint à droite du prolongement par zéro \(j_! : D(\mathcal{O}_U) \to D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Nous devons montrer que \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(j_!E, F) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E, F|_U)\] Choisissons un complexe \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules représentant \(E\) et un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(F\). D’après le Lemme 08FI, le complexe \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est lui aussi K-injectif. La formule ci-dessus devient donc \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(j_!\mathcal{E}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{E}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet|_U)\] ce qui est vrai puisque \(|_U\) et \(j_!\) sont des foncteurs adjoints (Modules sur les sites, Lemme 03DI) et d’après Catégories dérivées, Lemme 070I.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Pour \(L\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\) et \(K\) dans \(D(\mathcal{O})\), nous avons \(j_!L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K = j_!(L \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} K|_U)\).

Démonstration

Représentons \(L\) par un complexe de \(\mathcal{O}_U\)-modules et \(K\) par un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules, puis appliquons Modules sur les sites, Lemme 0E8I. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme plat de topos annelés. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules, alors \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif comme complexe de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules.

Démonstration

Cela est vrai car \[\Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{D})}(\mathcal{F}^\bullet, f_*\mathcal{I}^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(f^*\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] d’après Modules sur les sites, Lemme 03D7, et car \(f^*\) est exact puisque \(f\) est supposé plat.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}', \mathcal{I}^\bullet)\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}'\)-modules.

Démonstration

Cela est vrai car \(\Hom_{K(\mathcal{O}')}(\mathcal{G}^\bullet, \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{O}', \mathcal{I}^\bullet)) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) d’après Modules sur les sites, Lemme 0932.

Localisation et cohomologie

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Nous obtenons alors un morphisme de topos \[j_{X/Y} : \Sh(\mathcal{C}/X) \longrightarrow \Sh(\mathcal{C}/Y)\] Voir Sites, sections 00XZ et 04IM. Certaines questions de cohomologie sont plus simples pour ce type de morphismes de topos. Voici un exemple où l’on obtient une forme élémentaire du théorème de changement de base.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] un diagramme cartésien de \(\mathcal{C}\). Alors nous avons \(j_{Y'/Y}^{-1} \circ Rj_{X/Y, *} = Rj_{X'/Y', *} \circ j_{X'/X}^{-1}\) comme foncteurs \(D(\mathcal{C}/X) \to D(\mathcal{C}/Y')\).

Démonstration

Soit \(E \in D(\mathcal{C}/X)\). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}/X\) représentant \(E\). D’après le Lemme 08FI, \(j_{X'/X}^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est lui aussi K-injectif. Nous pouvons donc calculer \(Rj_{X'/Y'}(j_{X'/X}^{-1}E)\) par \(j_{X'/Y', *}j_{X'/X}^{-1}\mathcal{I}^\bullet\). L’égalité résulte alors de Sites, Lemme 0EYV.

Si nous avons un site annelé \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) et un morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{C}\), alors \(j_{X/Y}\) devient un morphisme de topos annelés \[j_{X/Y} : (\Sh(\mathcal{C}/X), \mathcal{O}_X) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}/Y), \mathcal{O}_Y)\] Voir Modules sur les sites, Lemme 04IY.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] un diagramme cartésien de \(\mathcal{C}\). Alors nous avons \(j_{Y'/Y}^* \circ Rj_{X/Y, *} = Rj_{X'/Y', *} \circ j_{X'/X}^*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_{Y'})\).

Démonstration

Puisque \(j_{Y'/Y}^{-1}\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_{Y'}\), nous avons \(j_{Y'/Y}^* = Lj_{Y'/Y}^* = j_{Y'/Y}^{-1}\). De même, \(j_{X'/X}^* = Lj_{X'/X}^* = j_{X'/X}^{-1}\). D’après le Lemme 0D6J, il suffit donc de démontrer le résultat dans les catégories dérivées de faisceaux abéliens, ce que nous avons fait dans le Lemme 0EZ0.

Systèmes projectifs et cohomologie

Nous démontrons quelques résultats sur les systèmes projectifs de faisceaux de modules.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfasse la condition de chaîne ascendante comme \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué. Alors le système projectif \(M_n = H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler².

Démonstration

Posons \(N_n = H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et soit \(\delta_n : M_n \to N_n\) le morphisme de connexion en cohomologie provenant de la suite exacte courte \(0 \to I^n\mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_{n + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\). Alors \(\bigoplus \Im(\delta_n) \subset \bigoplus N_n\) est un sous-module gradué. En effet, si \(s \in M_n\) et \(f \in I^m\), nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + m} \ar[r] & 0 }\] Le morphisme vertical médian est défini en relevant une section locale de \(\mathcal{F}_{n + 1}\) en une section de \(\mathcal{F}_{n + m + 1}\), puis en la multipliant par \(f\) ; les autres flèches verticales se définissent de façon analogue. Nous en déduisons que \(\delta_{n + m}(fs) = f \delta_n(s)\). Par hypothèse, nous pouvons trouver \(s_j \in M_{n_j}\), \(j = 1, \ldots, N\), tels que les \(\delta_{n_j}(s_j)\) engendrent \(\bigoplus \Im(\delta_n)\) comme module gradué. Soit \(n > c = \max(n_j)\) et soit \(s \in M_n\). Il existe alors \(f_j \in I^{n - n_j}\) tels que \(\delta_n(s) = \sum f_j \delta_{n_j}(s_j)\). Nous en déduisons que \(\delta(s - \sum f_j s_j) = 0\), c’est-à-dire qu’il existe \(s' \in M_{n + 1}\) dont l’image est \(s - \sum f_js_j\) dans \(M_n\). Il s’ensuit que \[\Im(M_{n + 1} \to M_{n - c}) = \Im(M_n \to M_{n - c})\] En effet, les éléments \(f_js_j\) ont une image nulle dans \(M_{n - c}\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(A\)-modules sur \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Pour tout \(n\), posons \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] Si \(\bigoplus N_n\) satisfait la condition de chaîne ascendante comme \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué, alors le système projectif \(M_n = H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler³.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0GYQ. En effet, les arguments qui y sont donnés établiront le résultat dès que nous aurons montré que \(\bigoplus N_n\) est un sous-\(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué de \(\bigoplus H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et que l’image des morphismes de connexion \(\delta_n : M_n \to H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) est contenue dans \(N_n\).

Supposons que \(\xi \in N_n\) et \(f \in I^k\). Choisissons \(m \gg n + k\), puis un élément \(\xi' \in H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\) relevant \(\xi\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d]_f \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d]_f \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + k} \ar[r] & 0 }\] construit comme dans la démonstration du Lemme 0GYQ. Nous obtenons un morphisme induit en cohomologie et voyons que \(f \xi' \in H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^{n + k}\mathcal{F}_{m + 1})\) a pour image \(f \xi\). Comme cela vaut pour tout \(m \gg n + k\), nous voyons que \(f\xi\) appartient à \(N_{n + k}\), comme voulu.

Pour voir que l’image des morphismes de connexion \(\delta_n\) est contenue dans \(N_n\), considérons les diagrammes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_{m + 1} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_{n + 1} \ar[r] & \mathcal{F}_n \ar[r] & 0 }\] pour \(m \geq n\). L’examen des morphismes induits en cohomologie permet de conclure.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfasse la condition de chaîne ascendante comme \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué. Alors la topologie limite sur \(M = \lim H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

Posons \(F^n = \Ker(M \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n))\) pour \(n \geq 1\) et \(F^0 = M\). Observons que \(I F^n \subset F^{n + 1}\). En particulier, \(I^n M \subset F^n\). La topologie \(I\)-adique est donc plus fine que la topologie limite. Pour la réciproque, nous montrerons que, pour tout \(n\), il existe \(m \geq n\) tel que \(F^m \subset I^nM\)⁴. Nous avons des morphismes injectifs \[F^n/F^{n + 1} \longrightarrow H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\] dont l’image est contenue dans celle de \(H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\). Notons \[E_n \subset H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] l’image inverse de \(F^n/F^{n + 1}\). Alors \(\bigoplus E_n\) est un sous-\(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\)-module gradué de \(\bigoplus H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\), et \(\bigoplus E_n \to \bigoplus F^n/F^{n + 1}\) est un homomorphisme de modules gradués ; nous omettons les détails. Par hypothèse, \(\bigoplus E_n\) est engendré par un nombre fini d’éléments homogènes sur \(\bigoplus I^n/I^{n + 1}\). Puisque \(E_n \to F^n/F^{n + 1}\) est surjectif, il en va de même de \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\). Nous pouvons donc trouver \(r\), des entiers \(c_1, \ldots, c_r \geq 0\) et des \(a_i \in F^{c_i}\) dont les images engendrent \(\bigoplus F^n/F^{n + 1}\). Posons \(c = \max(c_i)\).

Pour \(n \geq c\), nous affirmons que \(I F^n = F^{n + 1}\). Cette affirmation donne \(F^{n + c} = I^nF^c \subset I^nM\), comme voulu. Pour la démontrer, supposons \(a \in F^{n + 1}\). L’image de \(a\) dans \(F^{n + 1}/F^{n + 2}\) est une combinaison linéaire des \(a_i\). Ainsi, \(a - \sum f_i a_i \in F^{n + 2}\) pour certains \(f_i \in I^{n + 1 - c_i}\). Comme \(I^{n + 1 - c_i} = I \cdot I^{n - c_i}\) puisque \(n \geq c_i\), nous pouvons écrire \(f_i = \sum g_{i, j} h_{i, j}\) avec \(g_{i, j} \in I\) et \(h_{i, j}a_i \in F^n\). Nous voyons donc que \(F^{n + 1} = F^{n + 2} + IF^n\). Une récurrence immédiate donne \(F^{n + 1} = F^{n + e} + IF^n\) pour tout \(e > 0\). Il en résulte que \(IF^n\) est dense dans \(F^{n + 1}\). Choisissons des générateurs \(k_1, \ldots, k_r\) de \(I\) et considérons l’application continue \[u : (F^n)^{\oplus r} \longrightarrow F^{n + 1},\quad (x_1, \ldots, x_r) \mapsto \sum k_i x_i\] (pour la topologie limite). D’après ce qui précède, l’image de \((F^m)^{\oplus r}\) par \(u\) est dense dans \(F^{m + 1}\) pour tout \(m \geq n\). Le lemme de l’application ouverte (Compléments d’algèbre, Lemme 0CQW) montre que \(u\) est ouverte. Ainsi, \(u\) est surjective. Par conséquent, \(IF^n = F^{n + 1}\) pour \(n \geq c\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de faisceaux de \(A\)-modules sur \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(p \geq 0\). Pour tout \(n\), posons \[N_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] Si \(\bigoplus N_n\) satisfait la condition de chaîne ascendante comme \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué, alors la topologie limite sur \(M = \lim H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0GYS. En effet, les arguments qui y sont donnés établiront le résultat dès que nous aurons montré que \(\bigoplus N_n\) est un sous-\(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué de \(\bigoplus H^{p + 1}(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et que \(F^n/F^{n + 1} \subset H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\) est contenu dans l’image de \(N_n \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\). Dans la démonstration du Lemme 0GYR, nous avons établi l’assertion sur la structure de module.

Soit \(t \in F^n\). Choisissons un élément \(s \in H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) dont l’image est l’image de \(t\) dans \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{n + 1})\). Nous devons montrer que \(s\) appartient à \(N_n\). Or \(F^n\) est le noyau du morphisme \(M \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) ; pour tout \(m \geq n\), nous pouvons donc envoyer \(t\) sur un élément \(t_m \in H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{m + 1})\) dont l’image dans \(H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\) est nulle. Considérons la suite de cohomologie \[H^{p - 1}(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n)\] provenant de la suite exacte courte \(0 \to I^n\mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_{m + 1} \to \mathcal{F}_n \to 0\). Nous pouvons choisir \(s_m \in H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1})\) d’image \(t_m\). En comparant la suite ci-dessus à celle obtenue pour \(m = n\), nous voyons que l’image de \(s_m\) est égale à \(s\) à un élément de l’image de \(H^{p - 1}(\mathcal{C}, \mathcal{F}_n) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\). près. Cependant, ce morphisme se factorise par le morphisme \(H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^p(\mathcal{C}, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\) et nous voyons que \(s\) appartient à l’image, comme voulu.

Limites dérivées et homotopiques

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Considérons la catégorie \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\) pour laquelle \(\Mor((U, n), (V, m)) = \emptyset\) si \(n > m\) et \(\Mor((U, n), (V, m)) = \Mor(U, V)\) sinon. Munissons-la d’une structure de site en prenant pour recouvrements les familles \(\{(U_i, n) \to (U, n)\}\) telles que \(\{U_i \to U\}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Le lecteur vérifie alors immédiatement que les faisceaux sur \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\) s’identifient aux systèmes projectifs de faisceaux sur \(\mathcal{C}\). En particulier, \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\) est la catégorie des systèmes projectifs de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\). Considérons maintenant le foncteur \[\lim : \textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\] qui associe à un système projectif sa limite. Ce n’est autre que \(g_*\), où \(g : \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to \Sh(\mathcal{C})\) est le morphisme de topos associé au foncteur continu et cocontinu \(\mathcal{C} \times \mathbf{N} \to \mathcal{C}\). (Observons que \(g^{-1}\) associe à un faisceau sur \(\mathcal{C}\) le système projectif constant correspondant.)

Le formalisme général exposé ci-dessus fournit un foncteur dérivé \[R\lim = Rg_* : D(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \to D(\mathcal{C}).\] Comme indiqué, ce foncteur est souvent noté \(R\lim\).

Par ailleurs, les foncteurs continus et cocontinus \(\mathcal{C} \to \mathcal{C} \times \mathbf{N}\), \(U \mapsto (U, n)\) définissent des morphismes de topos \(i_n : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\). Bien entendu, \(i_n^{-1}\) est le foncteur qui extrait le \(n\)-ième terme du système projectif. Il existe donc des transformations de foncteurs \(i_{n + 1}^{-1} \to i_n^{-1}\). Ainsi, pour \(K \in D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\), nous obtenons \(K_n = i_n^{-1}K \in D(\mathcal{C})\) et des morphismes \(K_{n + 1} \to K_n\). Dans Catégories dérivées, Définition 08TC, nous avons défini la notion de limite homotopique \[R\lim K_n \in D(\mathcal{C})\] Nous affirmons que les deux notions coïncident (dans la mesure où cette assertion a un sens).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\). Posons \(K_n = i_n^{-1}K\) comme ci-dessus. Alors \[R\lim K \cong R\lim K_n\] dans \(D(\mathcal{C})\).

Démonstration

Pour calculer \(R\lim\) sur un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\), choisissons un représentant K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) dont les termes sont des objets injectifs de \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\) ; voir Injectifs, Théorème 079P. Nous pouvons, et allons, considérer \(\mathcal{I}^\bullet\) comme un système projectif de complexes \((\mathcal{I}_n^\bullet)\). Nous voyons alors que \[R\lim K = \lim \mathcal{I}_n^\bullet\] où le membre de droite est la limite projective prise terme à terme.

Soit \(\mathcal{J} = (\mathcal{J}_n)\) un objet injectif de \(\textit{Ab}(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\). Les morphismes \((U, n) \to (U, n + 1)\) sont des monomorphismes de \(\mathcal{C} \times \mathbf{N}\) ; par conséquent, \(\mathcal{J}(U, n + 1) \to \mathcal{J}(U, n)\) est surjectif (Lemme 093X). Il s’ensuit que \(\mathcal{J}_{n + 1} \to \mathcal{J}_n\) est surjectif comme morphisme de préfaisceaux.

Notons que le foncteur \(i_n^{-1}\) admet un adjoint à gauche exact \(i_{n, !}\). En effet, \(i_{n, !}\mathcal{F}\) est le système projectif \(\ldots 0 \to 0 \to \mathcal{F} \to \ldots \to \mathcal{F}\). Les complexes \(i_n^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}_n^\bullet\) sont donc K-injectifs d’après Catégories dérivées, Lemme 08BJ.

Comme nous avons choisi notre complexe K-injectif à termes injectifs, nous en déduisons que \[0 \to \lim \mathcal{I}_n^\bullet \to \prod \mathcal{I}_n^\bullet \to \prod \mathcal{I}_n^\bullet \to 0\] est une suite exacte courte de complexes de faisceaux abéliens, puisqu’elle est une suite exacte courte de complexes de préfaisceaux abéliens. De plus, les produits du milieu et de droite représentent les produits dans \(D(\mathcal{C})\) ; voir Injectifs, Lemme 07D9, et sa démonstration (c’est ici que nous utilisons la K-injectivité de \(\mathcal{I}_n^\bullet\)). Ainsi, \(R\lim K\) est une limite homotopique du système projectif \((K_n)\), par définition des limites homotopiques dans les catégories triangulées.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Les foncteurs \(R\Gamma(\mathcal{C}, -)\) et \(R\Gamma(U, -)\), pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), commutent à \(R\lim\). De plus, il existe des suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] pour tout système projectif \((K_n)\) dans \(D(\mathcal{O})\) et tout \(m \in \mathbf{Z}\). Il en va de même pour \(H^m(\mathcal{C}, R\lim K_n)\).

Démonstration

La première assertion résulte d’Injectifs, Lemme 08U1. Nous pouvons ensuite appliquer Compléments d’algèbre, Remarque 08U5, à \(R\lim R\Gamma(U, K_n) = R\Gamma(U, R\lim K_n)\) pour obtenir les suites exactes courtes.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Alors \(Rf_*\) commute à \(R\lim\), c’est-à-dire que \(Rf_*\) commute aux limites dérivées.

Démonstration

Soit \((K_n)\) un système projectif d’objets de \(D(\mathcal{O})\). Par récurrence sur \(n\), nous pouvons choisir des complexes \(\mathcal{K}_n^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules et des morphismes de complexes \(\mathcal{K}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{K}_n^\bullet\) représentant les morphismes \(K_{n + 1} \to K_n\) dans \(D(\mathcal{O})\). Autrement dit, il existe un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C} \times \mathbf{N})\) dont le système projectif associé est celui qui nous est donné. Considérons ensuite le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C} \times \mathbf{N}) \ar[r]_g \ar[d]_{f \times 1} & \Sh(\mathcal{C}) \ar[d]_f \\ \Sh(\mathcal{C}' \times \mathbf{N}) \ar[r]^{g'} & \Sh(\mathcal{C}') }\] de morphismes de topos. Il en résulte que \(R\lim R(f \times 1)_*K = Rf_* R\lim K\). En explicitant les définitions et en utilisant le Lemme 0941, nous obtenons \(R\lim (Rf_*K_n) = Rf_*(R\lim K_n)\).

Autre démonstration lorsque \(\mathcal{C}\) possède suffisamment de points. Considérons le triangle distingué qui définit \[R\lim K_n \to \prod K_n \to \prod K_n\] dans \(D(\mathcal{O})\). En appliquant le foncteur exact \(Rf_*\), nous obtenons le triangle distingué \[Rf_*(R\lim K_n) \to Rf_*\left(\prod K_n\right) \to Rf_*\left(\prod K_n\right)\] dans \(D(\mathcal{O}')\). Il suffit donc de prouver que \(Rf_*\) commute aux produits dans la catégorie dérivée (lesquels ne sont pas simplement donnés par les produits de complexes ; voir Injectifs, Lemme 07D9). Or, comme \(Rf_*\) est un adjoint à droite d’après le Lemme 07A6, cela résulte formellement de Catégories, Lemme 0038. Attention : nous ne pouvons pas appliquer directement Catégories, Lemme 0038, car \(R\lim K_n\) n’est pas une limite dans \(D(\mathcal{O})\).

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D(\mathcal{O})\). Posons \(K = R\lim K_n\). Pour chaque \(n\) et \(m\), soit \(\mathcal{H}^m_n = H^m(K_n)\) le \(m\)-ième faisceau de cohomologie de \(K_n\), et posons de même \(\mathcal{H}^m = H^m(K)\). Notons \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\) le préfaisceau \[U \longmapsto \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) = H^m(U, K_n)\] De même, posons \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = H^m(U, K)\). D’après le Lemme 0BKV, \(\mathcal{H}^m_n\) est le faisceau associé à \(\underline{\mathcal{H}}^m_n\), et \(\mathcal{H}^m\) est le faisceau associé à \(\underline{\mathcal{H}}^m\). Nous avons le diagramme \[\xymatrix{ K \ar@{=}[d] & \underline{\mathcal{H}}^m \ar[d] \ar[r] & \mathcal{H}^m \ar[d] \\ R\lim K_n & \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n \ar[r] & \lim \mathcal{H}^m_n }\] En général, \(\lim \mathcal{H}^m_n\) n’est pas nécessairement le faisceau associé à \(\lim \underline{\mathcal{H}}^m_n\). Si \(U \in \mathcal{C}\), nous avons les suites exactes courtes [0BKX]\[\begin{equation} 0 \to R^1\lim \underline{\mathcal{H}}^{m - 1}_n(U) \to \underline{\mathcal{H}}^m(U) \to \lim \underline{\mathcal{H}}^m_n(U) \to 0 \end{equation}\] d’après le Lemme 0D6K.

Le lemme suivant s’applique à un système projectif de modules quasi-cohérents dont les morphismes de transition sont surjectifs sur un espace algébrique ou un champ algébrique.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un système projectif de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(U, \mathcal{F}_n) = 0\) pour \(p > 0\) et \(U \in \mathcal{B}\),

3. le système projectif \(\mathcal{F}_n(U)\) a un \(R^1\lim\) nul pour \(U \in \mathcal{B}\).

Alors \(R\lim \mathcal{F}_n = \lim \mathcal{F}_n\) et nous avons \(H^p(U, \lim \mathcal{F}_n) = 0\) pour \(p > 0\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Posons \(K_n = \mathcal{F}_n\) et \(K = R\lim \mathcal{F}_n\). Avec les notations de la Remarque 0BKW, l’hypothèse (2) donne, pour \(U \in \mathcal{B}\), \(\underline{\mathcal{H}}_n^m(U) = 0\) si \(m \not = 0\) et \(\underline{\mathcal{H}}_n^0(U) = \mathcal{F}_n(U)\). L’Équation (0BKX) et l’hypothèse (3) donnent \(\underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\) si \(m \not = 0\), et ce groupe est égal à \(\lim \mathcal{F}_n(U)\) si \(m = 0\). En prenant les faisceaux associés et en utilisant (1), nous obtenons \(\mathcal{H}^m = 0\) si \(m \not = 0\), et ce faisceau est égal à \(\lim \mathcal{F}_n\) si \(m = 0\). Ainsi \(K = \lim \mathcal{F}_n\). Comme \(H^m(U, K) = \underline{\mathcal{H}}^m(U) = 0\) pour \(m > 0\) (voir ci-dessus), la seconde assertion est satisfaite.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D(\mathcal{O})\). Soient \(V \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(m \in \mathbf{Z}\). Supposons qu’il existe un entier \(n(V)\) et un système cofinal \(\text{Cov}_V\) de recouvrements de \(V\) tels que, pour \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\),

1. \(R^1\lim H^{m - 1}(V_i, K_n) = 0\), et

2. \(H^m(V_i, K_n) \to H^m(V_i, K_{n(V)})\) soit injectif pour \(n \geq n(V)\).

Alors le morphisme sur les sections \(H^m(R\lim K_n)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\) est injectif.

Démonstration

Soit \(\gamma \in H^m(R\lim K_n)(V)\) dont l’image dans \(H^m(K_{n(V)})(V)\) est nulle. Comme \(H^m(R\lim K_n)\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^m(U, R\lim K_n)\) (d’après le Lemme 0BKV), nous pouvons choisir \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\) et des éléments \(\tilde\gamma_i \in H^m(V_i, R\lim K_n)\) dont les images sont les \(\gamma|_{V_i}\). L’image de \(\tilde\gamma_i\) est alors un élément \(\tilde\gamma_{i, n(V)} \in H^m(V_i, K_{n(V)})\). Puisque \(H^m(K_{n(V)})\) est le faisceau associé à \(U \mapsto H^m(U, K_{n(V)})\) (à nouveau d’après le Lemme 0BKV), nous pouvons, après avoir remplacé \(\{V_i \to V\}\) par un raffinement, supposer que \(\tilde\gamma_{i, n(V)} = 0\) pour tout \(i\). Pour ce recouvrement, considérons les suites exactes courtes \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(V_i, K_n) \to H^m(V_i, R\lim K_n) \to \lim H^m(V_i, K_n) \to 0\] du Lemme 0D6K. D’après l’hypothèse (1), le groupe de gauche est nul et, d’après l’hypothèse (2), le groupe de droite s’injecte dans \(H^m(V_i, K_{n(V)})\). Nous en déduisons que \(\tilde\gamma_i = 0\), puis que \(\gamma = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\), et

2. pour tout \(V \in \mathcal{B}\), il existe une fonction \(p(V, -) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) et un système cofinal \(\text{Cov}_V\) de recouvrements de \(V\) tels que \[H^p(V_i, H^{m - p}(E)) = 0\] pour tout \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\) et tous entiers \(p, m\) vérifiant \(p > p(V, m)\).

Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Posons \(K_n = \tau_{\geq -n}E\) et \(K = R\lim K_n\). Le morphisme canonique \(E \to K\) provient des morphismes canoniques \(E \to K_n = \tau_{\geq -n}E\). Nous devons montrer que \(E \to K\) induit un isomorphisme \(H^m(E) \to H^m(K)\) de faisceaux de cohomologie. Dans la suite de la démonstration, fixons \(m\). Si \(n \geq -m\), le morphisme \(E \to \tau_{\geq -n}E = K_n\) induit un isomorphisme \(H^m(E) \to H^m(K_n)\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que, pour tout \(V \in \mathcal{B}\), il existe un entier \(n(V) \geq -m\) tel que le morphisme \(H^m(K)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\) soit injectif. En effet, la composée \[H^m(E)(V) \to H^m(K)(V) \to H^m(K_{n(V)})(V)\] est alors une bijection et la seconde flèche est injective ; la première flèche est donc bijective. La propriété (1) implique alors que \(H^m(E) \to H^m(K)\) est un isomorphisme. Posons \[n(V) = 1 + \max\{-m, p(V, m - 1) - m, -1 + p(V, m) - m, -2 + p(V, m + 1) - m\}.\] de sorte que, dans tous les cas, \(n(V) \geq -m\). Affirmation : les morphismes \[H^{m - 1}(V_i, K_{n + 1}) \to H^{m - 1}(V_i, K_n) \quad\text{et}\quad H^m(V_i, K_{n + 1}) \to H^m(V_i, K_n)\] sont des isomorphismes pour \(n \geq n(V)\) et \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\). L’affirmation implique que les conditions (1) et (2) du Lemme 0D6L sont satisfaites, et donc l’injectivité voulue. Rappelons (Catégories dérivées, Remarque 08J5) que nous avons des triangles distingués \[H^{-n - 1}(E)[n + 1] \to K_{n + 1} \to K_n \to H^{-n - 1}(E)[n + 2]\] En examinant la suite exacte longue de cohomologie associée, l’affirmation résulte de l’annulation de \[H^{m + n}(V_i, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 1}(V_i, H^{-n - 1}(E)),\quad H^{m + n + 2}(V_i, H^{-n - 1}(E))\] pour \(n \geq n(V)\) et \(\{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V\). Cela découle de notre choix de \(n(V)\) et de l’hypothèse du lemme.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\), et

2. pour tout \(V \in \mathcal{B}\), il existe un entier \(d_V \geq 0\) et un système cofinal \(\text{Cov}_V\) de recouvrements de \(V\) tels que \[H^p(V_i, H^q(E)) = 0 \text{ pour } \{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V,\ p > d_V, \text{ et }q < 0\]

Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0D6M, avec \(p(V, m) = d_V + \max(0, m)\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O})\). Supposons qu’il existe une fonction \(p(-) : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) et une partie \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) telles que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(V, H^{m - p}(E)) = 0\) pour \(p > p(m)\) et \(V \in \mathcal{B}\).

Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 0D6M avec \(p(V, m) = p(m)\) et \(\text{Cov}_V\) égal à l’ensemble des recouvrements \(\{V_i \to V\}\) tels que \(V_i \in \mathcal{B}\) pour tout \(i\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(E \in D(\mathcal{O})\). Supposons qu’il existe un entier \(d \geq 0\) et une partie \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) tels que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(V, H^q(E)) = 0\) pour \(p > d\), \(q < 0\) et \(V \in \mathcal{B}\).

Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 0D6N avec \(d_V = d\) et \(\text{Cov}_V\) égal à l’ensemble des recouvrements \(\{V_i \to V\}\) tels que \(V_i \in \mathcal{B}\) pour tout \(i\).

Les lemmes précédents permettent de calculer la cohomologie dans certaines situations.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. \(H^p(U, H^q(K)) = 0\) pour tous \(p > 0\), \(q \in \mathbf{Z}\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Alors \(H^q(U, K) = H^0(U, H^q(K))\) pour \(q \in \mathbf{Z}\) et \(U \in \mathcal{B}\).

Démonstration

Observons que \(K = R\lim \tau_{\geq -n} K\) d’après le Lemme 0D6P, avec \(d = 0\). Soit \(U \in \mathcal{B}\). L’Équation (0BKX) donne une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{q - 1}(U, \tau_{\geq -n}K) \to H^q(U, K) \to \lim H^q(U, \tau_{\geq -n}K) \to 0\] La condition (2) implique \(H^q(U, \tau_{\geq -n} K) = H^0(U, H^q(\tau_{\geq -n} K))\) pour tout \(q\), en utilisant la suite spectrale de Catégories dérivées, Lemme 015J. Cette suite spectrale converge car \(\tau_{\geq -n}K\) est borné inférieurement. Si \(n > -q\), nous avons \(H^q(\tau_{\geq -n}K) = H^q(K)\). Ainsi, les systèmes à gauche et à droite dans la suite exacte courte affichée sont stationnaires, de valeurs respectives \(H^0(U, H^{q - 1}(K))\) et \(H^0(U, H^q(K))\), d’où le lemme.

Voici un autre cas où nous pouvons décrire la limite dérivée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif d’objets de \(D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour tous \(U \in \mathcal{B}\) et \(q \in \mathbf{Z}\), nous avons

   1. \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) pour \(p > 0\),

   2. le système projectif \(H^0(U, H^q(K_n))\) a un \(R^1\lim\) nul.

Alors \(H^q(R\lim K_n) = \lim H^q(K_n)\) pour \(q \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Posons \(K = R\lim K_n\). Nous utiliserons les notations de la Remarque 0BKW. Soit \(U \in \mathcal{B}\). D’après le Lemme 0BKZ et (2)(a), nous avons \(H^q(U, K_n) = H^0(U, H^q(K_n))\). Comme le foncteur \(R\Gamma(U, -)\) commute aux limites dérivées, nous avons \[H^q(U, K) = H^q(R\lim R\Gamma(U, K_n)) = \lim H^0(U, H^q(K_n))\] où la dernière égalité résulte de Compléments d’algèbre, Remarque 08U5, et de l’hypothèse (2)(b). Ainsi, \(H^q(U, K)\) est la limite projective des sections des faisceaux \(H^q(K_n)\) sur \(U\). Comme \(\lim H^q(K_n)\) est un faisceau, l’hypothèse (1) montre que \(H^q(K)\), qui est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^q(U, K)\), est égal à \(\lim H^q(K_n)\). Cela démontre le lemme.

Construction de résolutions K-injectives

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) possède suffisamment d’injectifs ; nous pouvons donc utiliser Catégories dérivées, Lemme 070F, pour construire un diagramme \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \tau_{\geq -2}\mathcal{F}^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tau_{\geq -1}\mathcal{F}^\bullet \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{I}_2^\bullet \ar[r] & \mathcal{I}_1^\bullet }\] dans la catégorie des complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, tel que

1. les flèches verticales soient des quasi-isomorphismes,

2. \(\mathcal{I}_n^\bullet\) soit un complexe borné inférieurement d’injectifs,

3. les flèches \(\mathcal{I}_{n + 1}^\bullet \to \mathcal{I}_n^\bullet\) soient des surjections scindées terme à terme.

La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules admet des limites (elles se calculent au niveau des préfaisceaux) ; nous pouvons donc former la limite terme à terme \(\mathcal{I}^\bullet = \lim_n \mathcal{I}_n^\bullet\). D’après Catégories dérivées, Lemmes 070J et 070L il s’agit d’un complexe K-injectif. En général, le morphisme canonique [070P]\[\begin{equation} \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet \end{equation}\] n’est pas nécessairement un quasi-isomorphisme. Le lemme suivant donne des conditions qui assurent qu’il en est un.

Lemme

Plaçons-nous dans la situation décrite ci-dessus. Notons \(\mathcal{H}^m = H^m(\mathcal{F}^\bullet)\) le \(m\)-ième faisceau de cohomologie. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie et soit \(d \in \mathbf{N}\). Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), nous ayons \(H^p(U, \mathcal{H}^q) = 0\) pour \(p > d\) et \(q < 0\)⁵.

Alors (070P) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Il suffit, d’après Catégories dérivées, Lemme 070M, de montrer que le morphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n} \mathcal{F}^\bullet\) est un isomorphisme. Cela résulte du Lemme 0D6P.

Voici un lemme technique sur les faisceaux de cohomologie des limites terme à terme de systèmes projectifs de complexes de modules. Il convient d’éviter autant que possible d’utiliser ce lemme et de privilégier les arguments faisant intervenir des limites projectives dérivées.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{F}_n^\bullet)\) un système projectif de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(m \in \mathbf{Z}\). Supposons donnés une partie \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) et un entier \(n_0\) tels que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

2. pour tout \(U \in \mathcal{B}\),

   1. les systèmes projectifs de groupes abéliens \(\mathcal{F}_n^{m - 2}(U)\) et \(\mathcal{F}_n^{m - 1}(U)\) aient un \(R^1\lim\) nul (par exemple, qu’ils satisfassent la condition de Mittag-Leffler),

   2. le système projectif de groupes abéliens \(H^{m - 1}(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\) ait un \(R^1\lim\) nul (par exemple, qu’il satisfasse la condition de Mittag-Leffler), et

   3. nous ayons \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet(U))\) pour tout \(n \geq n_0\).

Alors les morphismes \(H^m(\mathcal{F}^\bullet) \to \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet) \to H^m(\mathcal{F}_{n_0}^\bullet)\) sont des isomorphismes de faisceaux, où \(\mathcal{F}^\bullet = \lim \mathcal{F}_n^\bullet\) est la limite projective terme à terme.

Démonstration

Soit \(U \in \mathcal{B}\). Notons que \(H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\) est la cohomologie de \[\lim_n \mathcal{F}_n^{m - 2}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m - 1}(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^m(U) \to \lim_n \mathcal{F}_n^{m + 1}(U)\] au troisième terme en partant de la gauche. D’après les hypothèses (2)(a) et (2)(b), nous pouvons appliquer Compléments d’algèbre, Lemme 0918, pour conclure que \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = \lim H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] D’après l’hypothèse (2)(c), nous en déduisons \[H^m(\mathcal{F}^\bullet(U)) = H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\] pour tout \(n \geq n_0\). L’hypothèse (1) montre que le faisceau associé à \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}^\bullet(U))\) est égal au faisceau associé à \(U \mapsto H^m(\mathcal{F}_n^\bullet(U))\) pour tout \(n \geq n_0\). Le système projectif de faisceaux \(H^m(\mathcal{F}_n^\bullet)\) est donc constant pour \(n \geq n_0\), de valeur \(H^m(\mathcal{F}^\bullet)\), ce qui démontre le lemme.

Dimension cohomologique bornée

Dans cette section, nous cherchons à déterminer quand un foncteur \(Rf_*\) est de dimension cohomologique bornée. Cette question est assez délicate pour les complexes non bornés.

Situation

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) une sous-catégorie de Serre faible. Nous faisons l’hypothèse suivante : il existe une partie \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) telle que

1. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\), et

2. pour tout \(V \in \mathcal{B}\), il existe un entier \(d_V\) et un système cofinal \(\text{Cov}_V\) de recouvrements de \(V\) tels que \[H^p(V_i, \mathcal{F}) = 0 \text{ pour } \{V_i \to V\} \in \text{Cov}_V,\ p > d_V, \text{ et } \mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\]

Lemme

Dans la Situation 0D6R, pour tout \(E \in D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\), le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n} E\) de Catégories dérivées, Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 0D6N.

Lemme

Dans la Situation 0D6R, soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\). Supposons que, pour tout \(j\), le système projectif \((H^j(K_n))\) dans \(\mathcal{A}\) soit stationnaire, de valeur \(\mathcal{H}^j\). Alors \(H^j(R\lim K_n) = \mathcal{H}^j\) pour tout \(j\).

Démonstration

Soit \(V \in \mathcal{B}\). Soit \(\{V_i \to V\}\) un élément de l’ensemble \(\text{Cov}_V\) de la Situation 0D6R. Comme \(K_n\) est borné inférieurement, il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^p(V_i, H^q(K_n))\] convergeant vers \(H^{p + q}(V_i, K_n)\). Voir Catégories dérivées, Lemme 015J. Observons que, par hypothèse, \(E_2^{p, q} = 0\) pour \(p > d_V\). Choisissons \(n_0\) tel que \[\begin{matrix} \mathcal{H}^{j + 1} & = & H^{j + 1}(K_n), \\ \mathcal{H}^j & = & H^j(K_n), \\ \ldots, \\ \mathcal{H}^{j - d_V - 2} & = & H^{j - d_V - 2}(K_n) \end{matrix}\] pour tout \(n \geq n_0\). En comparant les suites spectrales ci-dessus pour \(K_n\) et \(K_{n_0}\), nous voyons que, pour \(n \geq n_0\), les groupes de cohomologie \(H^{j - 1}(V_i, K_n)\) et \(H^j(V_i, K_n)\) sont indépendants de \(n\). Il s’ensuit que le morphisme sur les sections \(H^j(R\lim K_n)(V) \to H^j(K_n)(V)\) est injectif pour \(n\) assez grand (en fonction de \(V\)) ; voir le Lemme 0D6L. Comme tout objet de \(\mathcal{C}\) peut être recouvert par des éléments de \(\mathcal{B}\), nous en déduisons que le morphisme \(H^j(R\lim K_n) \to \mathcal{H}^j\) est injectif.

La surjectivité se démontre de manière analogue. Choisissons en effet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\gamma \in \mathcal{H}^j(U)\). Nous voulons relever \(\gamma\) en une section de \(H^j(R\lim K_n)\) après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement. D’après la propriété (1) de la Situation 0D6R, nous pouvons donc supposer \(U = V \in \mathcal{B}\). Choisissons \(n_0\) tel que \[\begin{matrix} \mathcal{H}^{j + 1} & = & H^{j + 1}(K_n), \\ \mathcal{H}^j & = & H^j(K_n), \\ \ldots, \\ \mathcal{H}^{j - d_V - 2} & = & H^{j - d_V - 2}(K_n) \end{matrix}\] pour tout \(n \geq n_0\). Choisissons un élément \(\{V_i \to V\}\) de \(\text{Cov}_V\) tel que \(\gamma|_{V_i} \in \mathcal{H}^j(V_i) = H^j(K_{n_0})(V_i)\) se relève en un élément \(\gamma_{n_0, i} \in H^j(V_i, K_{n_0})\). Cela est possible car \(H^j(K_{n_0})\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^j(U, K_{n_0})\) d’après le Lemme 0BKV. La discussion du premier paragraphe de la démonstration montre que \(H^{j - 1}(V_i, K_n)\) et \(H^j(V_i, K_n)\) sont indépendants de \(n \geq n_0\). Ainsi, \(\gamma_{n_0, i}\) se relève en un élément \(\gamma_i \in H^j(V_i, R\lim K_n)\) d’après le Lemme 0D6K. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) des sous-catégories de Serre faibles. Supposons qu’il existe un entier \(N\) tel que

1. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R,

2. \(\mathcal{C}', \mathcal{O}', \mathcal{A}'\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R,

3. \(R^pf_*\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A}')\) pour \(p \geq 0\) et \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\),

4. \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > N\) et \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\),

Alors, pour \(K\) dans \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\), nous avons

1. \(Rf_*K\) appartient à \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\),

2. le morphisme \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est un isomorphisme pour \(j \geq N - n\).

Démonstration

D’après le Lemme 0D6S, nous avons \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\). D’après le Lemme 0A07, nous avons \(Rf_*K = R\lim Rf_*\tau_{\geq -n}K\). Les complexes \(Rf_*\tau_{\geq -n}K\) sont bornés inférieurement. La suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(\tau_{\geq -n}K)\] convergeant vers \(H^{p + q}(Rf_*\tau_{\geq -n}K)\) (Catégories dérivées, Lemme 015J) et l’hypothèse (3) montrent que \(Rf_*\tau_{\geq -n}K\) appartient à \(D^+_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\) ; voir Homologie, Lemme 012W. Observons que, pour \(m \geq n\), le morphisme \[Rf_*(\tau_{\geq -m}K) \longrightarrow Rf_*(\tau_{\geq -n}K)\] induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(j \geq -n + N\), d’après les suites spectrales ci-dessus. Nous pouvons donc conclure en appliquant le Lemme 0D6T.

Il s’avère que nous avons parfois besoin d’une variante du lemme précédent où les hypothèses sont légèrement différentes.

Situation

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) un morphisme de sites annelés. Soit \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) le foncteur continu de sites correspondant. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) une sous-catégorie de Serre faible. Nous faisons l’hypothèse suivante : il existe une partie \(\mathcal{B}' \subset \Ob(\mathcal{C}')\) telle que

1. tout objet de \(\mathcal{C}'\) possède un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}'\), et

2. pour tout \(V' \in \mathcal{B}'\), il existe un entier \(d_{V'}\) et un système cofinal \(\text{Cov}_{V'}\) de recouvrements de \(V'\) tels que \[H^p(u(V'_i), \mathcal{F}) = 0 \text{ pour } \{V'_i \to V'\} \in \text{Cov}_{V'},\ p > d_{V'}, \text{ et } \mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\]

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) un morphisme de sites annelés. Supposons de plus qu’il existe un entier \(N\) tel que

1. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R,

2. \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) et \(\mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6V,

3. \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > N\) et \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\),

Alors, pour \(K\) dans \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\), le morphisme \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est un isomorphisme pour \(j \geq N - n\).

Démonstration

Soit \(K\) dans \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\). D’après le Lemme 0D6S, nous avons \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\). D’après le Lemme 0A07, nous avons \(Rf_*K = R\lim Rf_*(\tau_{\geq -n}K)\). Soit \(V' \in \mathcal{B}'\) et soit \(\{V'_i \to V'\}\) un élément de \(\text{Cov}_{V'}\). Considérons \[H^j(V'_i, Rf_*K) = H^j(u(V'_i), K) \quad\text{et}\quad H^j(V'_i, Rf_*(\tau_{\geq -n}K)) = H^j(u(V'_i), \tau_{\geq -n}K)\] L’hypothèse de la Situation 0D6V implique que le dernier groupe est indépendant de \(n\) pour \(n\) assez grand, en fonction de \(j\) et de \(d_{V'}\). Nous omettons certains détails. En appliquant ceci à \(j\) et \(j - 1\), puis en utilisant le Lemme 0D6K, nous obtenons \[H^j(V'_i, Rf_*K) = \lim H^j(V'_i, Rf_*(\tau_{\geq -n} K))\] et le système de droite est constant pour \(n\) supérieur à une constante ne dépendant que de \(d_{V'}\) et de \(j\). Le Lemme 0D6L implique donc que \[H^j(Rf_*K)(V') \longrightarrow \left(\lim H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\right)(V')\] est injectif. Comme les éléments \(V' \in \mathcal{B}'\) recouvrent tout objet de \(\mathcal{C}'\), nous en déduisons que le morphisme \(H^j(Rf_*K) \to \lim H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est injectif. La suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(\tau_{\geq -n}K)\] convergeant vers \(H^{p + q}(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) (Catégories dérivées, Lemme 015J) et l’hypothèse (3) montrent que \(H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est constant pour \(n \geq N - j\). Ainsi, \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est injectif pour \(j \geq N - n\).

Nous avons ainsi démontré le lemme en remplaçant « isomorphisme » par « injectif » dans sa dernière ligne. Choisissons maintenant \(j\) et \(n\) tels que \(j \geq N - n\), puis considérons le triangle distingué \[\tau_{\leq -n - 1}K \to K \to \tau_{\geq -n}K \to (\tau_{\leq -n - 1}K)[1]\] Voir Catégories dérivées, Remarque 08J5. Comme \(\tau_{\geq -n}\tau_{\leq -n -1}K = 0\), l’injectivité déjà démontrée pour \(\tau_{-n - 1}K\) implique \[0 = H^j(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = H^{j + 1}(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = H^{j + 2}(Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)) = \ldots\] La suite exacte longue de cohomologie associée au triangle distingué \[Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K) \to Rf_*K \to Rf_*(\tau_{\geq -n}K) \to Rf_*(\tau_{\leq -n - 1}K)[1]\] implique alors que \(H^j(Rf_*K) \to H^j(Rf_*(\tau_{\geq -n}K))\) est un isomorphisme.

Mayer–Vietoris

Pour l’énoncé et la démonstration usuels de Mayer–Vietoris, voir Cohomologie, section 01E9.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] dans la catégorie \(\mathcal{C}\). Dans cette situation, étant donné un objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\), nous obtenons ce qui ressemble au début d’un triangle distingué \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K)\] Le lemme suivant précise cette observation.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(K\). En multipliant par \(-1\) le morphisme canonique pour l’une des quatre flèches, nous obtenons des morphismes de complexes \[\mathcal{I}^\bullet(X) \xrightarrow{\alpha} \mathcal{I}^\bullet(Z) \oplus \mathcal{I}^\bullet(Y) \xrightarrow{\beta} \mathcal{I}^\bullet(E)\] avec \(\beta \circ \alpha = 0\). Nous obtenons donc un morphisme canonique \[c^K_{X, Z, Y, E} : \mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow C(\beta)^\bullet[-1]\] Ce morphisme est canonique au sens où un autre choix de complexe K-injectif représentant \(K\) détermine une flèche isomorphe dans la catégorie dérivée des groupes abéliens. Si \(c^K_{X, Z, Y, E}\) est un isomorphisme, son inverse fournit un triangle distingué canonique \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K) \to R\Gamma(X, K)[1]\] Toutes ces constructions sont fonctorielles en \(K\).

Démonstration

Le lemme se démontre de lui-même. Par exemple, si \(\mathcal{J}^\bullet\) est un second complexe K-injectif représentant \(K\), nous pouvons choisir un quasi-isomorphisme \(\mathcal{I}^\bullet \to \mathcal{J}^\bullet\) qui détermine des quasi-isomorphismes entre tous les complexes en jeu. Nous omettons les détails. Pour la construction des cônes et leur relation avec les triangles distingués, voir Catégories dérivées, sections 014D et 014P.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\) un triangle distingué dans \(D(\mathcal{O})\). Si \(c^{K_i}_{X, Z, Y, E}\) est un quasi-isomorphisme pour deux valeurs de \(i\) parmi \(\{1, 2, 3\}\), il en est de même pour la troisième valeur de \(i\).

Démonstration

En faisant tourner le triangle, nous pouvons supposer que \(c^{K_1}_{X, Z, Y, E}\) et \(c^{K_2}_{X, Z, Y, E}\) sont des quasi-isomorphismes. Choisissons un morphisme \(f : \mathcal{I}^\bullet_1 \to \mathcal{I}^\bullet_2\) de complexes K-injectifs de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(K_1 \to K_2\). Alors \(K_3\) est représenté par le complexe K-injectif \(C(f)^\bullet\) ; voir Catégories dérivées, Lemme 090X. Le morphisme \(c^{K_3}_{X, Z, Y, E}\) est donc un isomorphisme, car il est le troisième côté d’un morphisme de triangles distingués dans \(K(\textit{Ab})\) dont les deux autres côtés sont des quasi-isomorphismes. Nous omettons certains détails ; utiliser Catégories dérivées, Lemme 014A.

Donnons un critère assurant que cette construction produit effectivement un triangle distingué.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que

1. \(h_X^\# = h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\), et

2. \(h_E^\# \to h_Y^\#\) soit injectif.

Alors la construction du Lemme 0F16 produit un triangle distingué \[R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(Z, K) \oplus R\Gamma(Y, K) \to R\Gamma(E, K) \to R\Gamma(X, K)[1]\] fonctoriel en \(K\) dans \(D(\mathcal{C})\).

Démonstration

Nous pouvons représenter \(K\) par un complexe K-injectif dont les termes sont des faisceaux abéliens injectifs ; voir la section 07A5. Il suffit donc de montrer que, si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif, alors \[0 \to \mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(Z) \oplus \mathcal{I}(Y) \to \mathcal{I}(E) \to 0\] est une suite exacte courte. La première flèche est injective car, d’après la condition (1), le morphisme \(h_Y \amalg h_Z \to h_X\) devient surjectif après faisceautisation, ce qui signifie que \(\{Y \to X, Z \to X\}\) peut être raffiné par un recouvrement de \(X\). La dernière flèche est surjective car \(\mathcal{I}(Y) \to \mathcal{I}(E)\) est surjectif. En effet, nous avons \(\mathcal{I}(E) = \Hom(\mathbf{Z}_E^\#, \mathcal{I})\), \(\mathcal{I}(Y) = \Hom(\mathbf{Z}_Y^\#, \mathcal{I})\), le morphisme \(\mathbf{Z}_E^\# \to \mathbf{Z}_Y^\#\) est injectif d’après (2), et \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif. Comparer à Modules sur les sites, section 03CQ. Enfin, supposons donnés \(s \in \mathcal{I}(Y)\) et \(t \in \mathcal{F}(Z)\) ayant la même image dans \(\mathcal{I}(E)\). Alors \(s\) et \(t\) définissent un morphisme \[s \amalg t : h_Y^\# \amalg h_Z^\# \longrightarrow \mathcal{I}\] qui, par hypothèse, se factorise par \(h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\). L’hypothèse (1) fournit donc un unique morphisme \(h_X^\# \to \mathcal{I}\), correspondant à un élément de \(\mathcal{I}(X)\) qui se restreint à \(s\) sur \(Y\) et à \(t\) sur \(Z\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{D} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{E} \ar[r] & \mathcal{G} }\] de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) et supposons que

1. \(\mathcal{G}^\# = \mathcal{E}^\# \amalg_{\mathcal{D}^\#} \mathcal{F}^\#\), et

2. \(\mathcal{D}^\# \to \mathcal{F}^\#\) soit injectif.

Alors il existe un triangle distingué canonique \[R\Gamma(\mathcal{G}, K) \to R\Gamma(\mathcal{E}, K) \oplus R\Gamma(\mathcal{F}, K) \to R\Gamma(\mathcal{D}, K) \to R\Gamma(\mathcal{G}, K)[1]\] fonctoriel en \(K \in D(\mathcal{C})\), où \(R\Gamma(\mathcal{G}, -)\) désigne la cohomologie étudiée dans la section 079X.

Démonstration

Comme la faisceautisation est exacte et que \(R\Gamma(\mathcal{G}, -) = R\Gamma(\mathcal{G}^\#, -)\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{D}, \mathcal{E}, \mathcal{F}, \mathcal{G}\) sont des faisceaux d’ensembles. De plus, la cohomologie \(R\Gamma(\mathcal{G}, -)\) ne dépend que du topos, et non du site qui le présente. D’après Sites, Lemme 03CI, nous pouvons donc remplacer \(\mathcal{C}\) par un site « plus grand », muni d’une topologie sous-canonique, tel que \(\mathcal{G} = h_X\), \(\mathcal{F} = h_Y\), \(\mathcal{E} = h_Z\) et \(\mathcal{D} = h_E\) pour certains objets \(X, Y, Z, E\) de \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, le résultat découle du Lemme 0EVY.

Comparaison de deux topologies

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\) deux manières de munir \(\mathcal{C}\) d’une structure de site. Notons \(\tau\) la topologie correspondant à \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) et \(\tau'\) celle correspondant à \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\). Le foncteur identité de \(\mathcal{C}\) définit alors un morphisme de sites \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] où \(\epsilon_*\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents, et où \(\epsilon^{-1}\) est la faisceautisation pour \(\tau\) d’un \(\tau'\)-faisceau. Voir Sites, Exemples 0EWI et 0EWJ. Dans la situation ci-dessus, nous avons les propriétés suivantes :

1. \(\epsilon_* : \Sh(\mathcal{C}_\tau) \to \Sh(\mathcal{C}_{\tau'})\) est pleinement fidèle et \(\epsilon^{-1} \circ \epsilon_* = \text{id}\),

2. \(\epsilon_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'})\) est pleinement fidèle et \(\epsilon^{-1} \circ \epsilon_* = \text{id}\),

3. \(R\epsilon_* : D(\mathcal{C}_\tau) \to D(\mathcal{C}_{\tau'})\) est pleinement fidèle et \(\epsilon^{-1} \circ R\epsilon_* = \text{id}\),

4. si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux pour la topologie \(\tau\), alors \(\mathcal{O}\) est également un faisceau pour la topologie \(\tau'\) et \(\epsilon\) devient un morphisme plat de sites annelés \[\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \longrightarrow (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\]

5. \(\epsilon_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\) est pleinement fidèle et \(\epsilon^* \circ \epsilon_* = \text{id}\),

6. \(R\epsilon_* : D(\mathcal{O}_\tau) \to D(\mathcal{O}_{\tau'})\) est pleinement fidèle et \(\epsilon^* \circ R\epsilon_* = \text{id}\).

Voici quelques explications.

Pour (1). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles pour la topologie \(\tau\). Alors \(\epsilon_*\mathcal{F}\) n’est autre que \(\mathcal{F}\) considéré comme faisceau pour la topologie \(\tau'\). Appliquer \(\epsilon^{-1}\) revient à prendre le \(\tau\)-faisceau associé à \(\mathcal{F}\), ce qui ne change rien puisque \(\mathcal{F}\) est déjà un \(\tau\)-faisceau. Ainsi, \(\epsilon^{-1}(\epsilon_*\mathcal{F})) = \mathcal{F}\). La pleine fidélité résulte de Catégories, Lemme 07RB.

Pour (2). C’est une conséquence de (1), car prendre l’image inverse ou l’image directe de faisceaux abéliens revient à effectuer ces opérations sur les faisceaux d’ensembles sous-jacents.

Pour (3). Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{C}_\tau)\). Pour calculer \(R\epsilon_*K\), choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(K\) et posons \(R\epsilon_*K = \epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\). Comme \(\epsilon^{-1} : D(\mathcal{C}_{\tau'}) \to D(\mathcal{C}_\tau)\) se calcule sur un objet \(L\) en appliquant le foncteur exact \(\epsilon^{-1}\) à n’importe quel complexe de faisceaux abéliens représentant \(L\), nous voyons que \(\epsilon^{-1}R\epsilon_*K\) est représenté par \(\epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\). D’après (1), nous avons \(\mathcal{I}^\bullet = \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{I}^\bullet\). Autrement dit, \(\epsilon^{-1} \circ R\epsilon_* = \text{id}\), et nous concluons comme précédemment.

Pour (4). Observons que \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{\tau'} = \mathcal{O}_\tau\) ; voir la discussion de (1). Ainsi, \(\epsilon\) est un morphisme plat de sites annelés ; voir Modules sur les sites, Définition 04JB. De plus, il est clair que \(\epsilon^* = \epsilon^{-1}\) sur les \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-modules (l’image inverse comme module a le même faisceau abélien sous-jacent que l’image inverse du faisceau abélien sous-jacent).

Pour (5). Cela résulte clairement de (2) et de ce que nous avons dit en (4).

Pour (6). L’argument est analogue à celui de (3). Nous omettons les détails.

Formalismes de la descente cohomologique

Dans cette section, nous examinons seulement dans quelle mesure un morphisme de topos annelés détermine un plongement de la catégorie dérivée de la base dans celle de la source. Voici un résultat typique.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Considérons la sous-catégorie pleine \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) constituée des objets \(K\) tels que \[K \longrightarrow Rf_*Lf^*K\] soit un isomorphisme. Alors \(D'\) est une sous-catégorie strictement pleine, triangulée et saturée de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\), et le foncteur \(Lf^* : D' \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Voir Catégories dérivées, Définition 05RB, pour la définition de « saturée » dans ce contexte, et Catégories dérivées, Lemme 05QX, pour une discussion des sous-catégories triangulées. Le morphisme canonique du lemme est l’unité du couple de foncteurs adjoints \((Lf^*, Rf_*)\) ; voir le Lemme 07A6. Cela étant dit, nous omettons la démonstration du fait que \(D'\) est une sous-catégorie triangulée saturée : elle résulte formellement de l’exactitude des foncteurs \(Lf^*\) et \(Rf_*\) entre catégories triangulées. La dernière assertion résulte formellement de l’adjonction de \(Lf^*\) et \(Rf_*\) ; comparer à Catégories, Lemme 07RB.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Considérons la sous-catégorie pleine \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) constituée des objets \(K\) tels que \[Lf^*Rf_*K \longrightarrow K\] soit un isomorphisme. Alors \(D'\) est une sous-catégorie strictement pleine, triangulée et saturée de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\), et le foncteur \(Rf_* : D' \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Voir Catégories dérivées, Définition 05RB, pour la définition de « saturée » dans ce contexte, et Catégories dérivées, Lemme 05QX, pour une discussion des sous-catégories triangulées. Le morphisme canonique du lemme est la co-unité du couple de foncteurs adjoints \((Lf^*, Rf_*)\) ; voir le Lemme 07A6. Cela étant dit, nous omettons la démonstration du fait que \(D'\) est une sous-catégorie triangulée saturée : elle résulte formellement de l’exactitude des foncteurs \(Lf^*\) et \(Rf_*\) entre catégories triangulées. La dernière assertion résulte formellement de l’adjonction de \(Lf^*\) et \(Rf_*\) ; comparer à Catégories, Lemme 07RB.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(K\) soit borné inférieurement,

3. \(f^*Rf_*H^q(K) \to H^q(K)\) soit un isomorphisme.

Alors \(f^*Rf_*K \to K\) est un isomorphisme.

Démonstration

Observons que \(f^*Rf_*K \to K\) est un isomorphisme si et seulement s’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie \(H^j\). Observons que \(H^j(f^*Rf_*K) = f^*H^j(Rf_*K) = f^*H^j(Rf_*\tau_{\leq j}K) = H^j(f^*Rf_*\tau_{\leq j}K)\). Nous pouvons donc supposer que \(K\) est borné. La propriété (3) montre alors que les faisceaux de cohomologie appartiennent à la sous-catégorie triangulée \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) du Lemme 0D7R. Par conséquent, \(K\) y appartient également.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\). Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(K\) soit borné inférieurement,

3. \(H^q(K) \to Rf_*f^*H^q(K)\) soit un isomorphisme.

Alors \(K \to Rf_*f^*K\) est un isomorphisme.

Démonstration

Observons que \(K \to Rf_*f^*K\) est un isomorphisme si et seulement s’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie \(H^j\). Observons que \(H^j(Rf_*f^*K) = H^j(Rf_*\tau_{\leq j}f^*K) = H^j(Rf_*f^*\tau_{\leq j}K)\). Nous pouvons donc supposer que \(K\) est borné. La propriété (3) montre alors que les faisceaux de cohomologie appartiennent à la sous-catégorie triangulée \(D' \subset D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) du Lemme 0D7Q. Par conséquent, \(K\) y appartient également.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) des sous-catégories de Serre faibles. Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(f^*\) induise une équivalence de catégories \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\),

3. \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\) soit un isomorphisme pour \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\).

Alors \(f^* : D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\) est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est \(Rf_* : D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}')\).

Démonstration

D’après les hypothèses (2) et (3) et les Lemmes 0D7T et 0D7Q, nous voyons que \(f^* : D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O})\) est pleinement fidèle. Soit \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\). Nous pouvons écrire \(\mathcal{F} = f^*\mathcal{F}'\). Alors \(Rf_*\mathcal{F} = Rf_* f^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}'\). En particulier, \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\) et \(f_*\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A}')\). Ainsi, pour tout \(K \in D^+_\mathcal{A}(\mathcal{O})\), la suite spectrale \(E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(K)\) convergeant vers \(R^{p + q}f_*K\) montre que \(Rf_*K\) appartient à \(D^+_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\). Les Lemmes 0D7S et 0D7R montrent également que \(Rf_* : D_\mathcal{A}^+(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}^+(\mathcal{O}')\) est pleinement fidèle. Comme \(f^*\) et \(Rf_*\) sont adjoints, nous obtenons alors le résultat du lemme, par exemple à l’aide de Catégories, Lemme 07RB.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) des sous-catégories de Serre faibles. Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(f^*\) induise une équivalence de catégories \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\),

3. \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\) soit un isomorphisme pour \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\),

4. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R,

5. \(\mathcal{C}', \mathcal{O}', \mathcal{A}'\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R.

Alors \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\).

Démonstration

Comme \(f^*\) est exact, il est clair que \(f^*\) définit un foncteur \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) comme dans l’énoncé du lemme et que ce foncteur commute aux foncteurs de troncation \(\tau_{\geq -n}\). Nous savons déjà que \(f^*\) et \(Rf_*\) sont des équivalences quasi-inverses sur les catégories bornées inférieurement correspondantes ; voir le Lemme 0D7U. Le Lemme 0D6U, avec \(N = 0\), montre que \(Rf_*\) définit bien un foncteur \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\) et que ce foncteur commute en outre aux foncteurs de troncation \(\tau_{\geq -n}\). Ainsi, pour \(K\) dans \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\), le morphisme \(f^*Rf_*K \to K\) est un isomorphisme, puisque c’est le cas sur les troncations. De même, pour \(K'\) dans \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\), le morphisme \(K' \to Rf_*f^*K'\) est un isomorphisme, puisque c’est le cas sur les troncations. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) un morphisme de sites annelés. Soient \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) et \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}')\) des sous-catégories de Serre faibles. Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(f^*\) induise une équivalence de catégories \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\),

3. \(\mathcal{F}' \to Rf_*f^*\mathcal{F}'\) soit un isomorphisme pour \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}')\),

4. \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6R,

5. \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) et \(\mathcal{A}\) satisfassent l’hypothèse de la Situation 0D6V.

Alors \(f^* : D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}') \to D_\mathcal{A}(\mathcal{O})\) est une équivalence de catégories dont un quasi-inverse est \(Rf_* : D_\mathcal{A}(\mathcal{O}) \to D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}')\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est exactement la même que celle du Lemme 0D7V, à ceci près que la référence au Lemme 0D6U est remplacée par une référence au Lemme 0D6W.

Comparaison de deux topologies, II

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\text{Cov}(\mathcal{C}) \supset \text{Cov}'(\mathcal{C})\) deux manières de munir \(\mathcal{C}\) d’une structure de site. Notons \(\tau\) la topologie correspondant à \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) et \(\tau'\) celle correspondant à \(\text{Cov}'(\mathcal{C})\). Le foncteur identité de \(\mathcal{C}\) définit alors un morphisme de sites \[\epsilon : \mathcal{C}_\tau \longrightarrow \mathcal{C}_{\tau'}\] où \(\epsilon_*\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents, et où \(\epsilon^{-1}\) est la faisceautisation pour \(\tau\) d’un \(\tau'\)-faisceau (elle est donc manifestement exacte). Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux pour la topologie \(\tau\). Alors \(\mathcal{O}\) est également un faisceau pour la topologie \(\tau'\) et \(\epsilon\) devient un morphisme de sites annelés \[\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \longrightarrow (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\] Pour plus de détails, voir la section 0EWK.

Lemme

Soit \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\) comme ci-dessus. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) une partie. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{PMod}(\mathcal{O})\) une sous-catégorie pleine. Supposons que

1. tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un faisceau pour la topologie \(\tau\),

2. \(\mathcal{A}\) soit une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\),

3. tout objet de \(\mathcal{C}\) possède un \(\tau'\)-recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\), et

4. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), nous ayons \(H^p_\tau(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\) et tout \(\mathcal{F} \in \mathcal{A}\).

Alors \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\) et il existe une équivalence de catégories triangulées \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\tau) = D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_{\tau'})\) donnée par \(\epsilon^*\) et \(R\epsilon_*\).

Démonstration

Comme \(\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{\tau'} = \mathcal{O}_\tau\), nous voyons que \(\epsilon\) est un morphisme plat de sites annelés et que, de fait, \(\epsilon^{-1} = \epsilon^*\) sur les faisceaux de modules. La propriété (1) permet de considérer tout objet de \(\mathcal{A}\) à la fois comme un faisceau de \(\mathcal{O}_\tau\)-modules et comme un faisceau de \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-modules. Autrement dit, nous avons des foncteurs d’inclusion pleinement fidèles \[\mathcal{A} \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\] Pour éviter toute confusion, nous noterons \(\mathcal{A}' \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\) les images des objets de \(\mathcal{A}\). Il est alors clair que \(\epsilon_* : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) et \(\epsilon^* : \mathcal{A}' \to \mathcal{A}\) sont des équivalences quasi-inverses (voir la discussion précédant le lemme et utiliser le fait que les objets de \(\mathcal{A}'\) sont des faisceaux pour la topologie \(\tau\)).

Les conditions (3) et (4) impliquent que \(R^p\epsilon_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\) et \(\mathcal{F} \in \Ob(\mathcal{A})\). En effet, \(R^p\epsilon_*\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^p_\tau(U, \mathcal{F})\) ; voir le Lemme 072W. Ainsi, tout complexe exact dans \(\mathcal{A}\) (ce qui revient à un complexe exact dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\) dont les termes appartiennent à \(\mathcal{A}\) ; voir Homologie, Lemme 0754) reste exact après application du foncteur \(\epsilon_*\).

Considérons une suite exacte \[\mathcal{F}'_0 \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}'_3 \to \mathcal{F}'_4\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\), où \(\mathcal{F}'_0, \mathcal{F}'_1, \mathcal{F}'_3, \mathcal{F}'_4\) appartiennent à \(\mathcal{A}'\). L’application du foncteur exact \(\epsilon^*\) donne une suite exacte \[\epsilon^*\mathcal{F}'_0 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_1 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_2 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_3 \to \epsilon^*\mathcal{F}'_4\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\tau)\). Comme \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible et que \(\epsilon^*\mathcal{F}'_0, \epsilon^*\mathcal{F}'_1, \epsilon^*\mathcal{F}'_3, \epsilon^*\mathcal{F}'_4\) appartiennent à \(\mathcal{A}\), nous déduisons d’Homologie, Définition 02MO, que \(\epsilon^*\mathcal{F}'_2\) appartient à \(\mathcal{A}\). Considérons le morphisme de suites \[\xymatrix{ \mathcal{F}'_0 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_4 \ar[d] \\ \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_0 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_1 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_2 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_3 \ar[r] & \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_4 }\] La ligne inférieure est exacte d’après la discussion du paragraphe précédent. Les flèches verticales d’indices \(0\), \(1\), \(3\), \(4\) sont des isomorphismes d’après la discussion du premier paragraphe. Le lemme des \(5\) (Homologie, Lemme 05QB) donne \(\mathcal{F}'_2 \cong \epsilon_*\epsilon^*\mathcal{F}'_2\), et donc \(\mathcal{F}'_2\) appartient à \(\mathcal{A}'\). Nous voyons ainsi que \(\mathcal{A}'\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\tau'})\) ; voir Homologie, Définition 02MO.

À ce stade, il est légitime de parler des catégories dérivées \(D_\mathcal{A}(\mathcal{O}_\tau)\) et \(D_{\mathcal{A}'}(\mathcal{O}_{\tau'})\) ; voir Catégories dérivées, section 06UP. Pour achever la démonstration, montrons que les conditions (1) – (5) du Lemme 0D7W s’appliquent. Nous avons déjà établi (1), (2) et (3). Comme tout objet possède un \(\tau'\)-recouvrement par des objets de \(\mathcal{B}\), il possède a fortiori un \(\tau\)-recouvrement par des objets de \(\mathcal{B}\). La condition (4) du Lemme 0D7W est donc satisfaite. La condition (5) l’est de même.

Lemme

Soit \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\) comme ci-dessus. Soit \(A\) un ensemble et, pour \(\alpha \in A\), soit \[\xymatrix{ E_\alpha \ar[d] \ar[r] & Y_\alpha \ar[d] \\ Z_\alpha \ar[r] & X_\alpha }\] un diagramme commutatif dans la catégorie \(\mathcal{C}\). Supposons que

1. un \(\tau'\)-faisceau \(\mathcal{F}'\) soit un \(\tau\)-faisceau dès que \(\mathcal{F}'(X_\alpha) = \mathcal{F}'(Z_\alpha) \times_{\mathcal{F}'(E_\alpha)} \mathcal{F}'(Y_\alpha)\) pour tout \(\alpha\),

2. pour \(K'\) dans \(D(\mathcal{O}_{\tau'})\) appartenant à l’image essentielle de \(R\epsilon_*\), les morphismes \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\) du Lemme 0F16 soient des isomorphismes pour tout \(\alpha\).

Alors \(K' \in D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\) appartient à l’image essentielle de \(R\epsilon_*\) si et seulement si les morphismes \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\) sont des isomorphismes pour tout \(\alpha\).

Démonstration

L’implication directe résulte de l’hypothèse (2). D’autre part, si \(K'\) n’a qu’un seul faisceau de cohomologie non nul, l’implication réciproque résulte de l’hypothèse (1). Dans le cas général, nous allons démontrer l’implication réciproque par récurrence. Disons qu’un objet \(K'\) de \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\) satisfait (P) si les morphismes \(c^{K'}_{X_\alpha, Z_\alpha, Y_\alpha, E_\alpha}\) sont des isomorphismes pour tout \(\alpha \in A\).

Soit donc \(K'\) un objet de \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\) satisfaisant (P). Choisissons un triangle distingué \[K' \to R\epsilon_*\epsilon^{-1}K' \to M' \to K'[1]\] dans \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\), où la première flèche est le morphisme d’adjonction. D’après (2) et le Lemme 0EWP, \(M'\) satisfait (P). D’autre part, en appliquant \(\epsilon^{-1}\) et en utilisant l’égalité \(\epsilon^{-1}R\epsilon_* = \text{id}\) de la section 0EWK, nous obtenons \(\epsilon^{-1}M' = 0\). Nous allons montrer dans le paragraphe suivant que \(M' = 0\), ce qui achèvera la démonstration.

Soit \(K'\) un objet de \(D^+(\mathcal{O}_{\tau'})\) satisfaisant (P) et tel que \(\epsilon^{-1}K' = 0\). Montrons que \(K' = 0\). Étant donné \(n \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(K') = 0\) pour \(i < n\), nous allons montrer que \(H^n(K') = 0\). Pour \(\alpha \in A\), nous avons un triangle distingué \[R\Gamma_{\tau'}(X_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(Z_\alpha, K') \oplus R\Gamma_{\tau'}(Y_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(E_\alpha, K') \to R\Gamma_{\tau'}(X_\alpha, K')[1]\] d’après le Lemme 0F16. En prenant la cohomologie en degré \(n\) et en utilisant l’annulation supposée des faisceaux de cohomologie de \(K'\), nous obtenons une suite exacte \[0 \to H^n_{\tau'}(X_\alpha, K') \to H^n_{\tau'}(Z_\alpha, K') \oplus H^n_{\tau'}(Y_\alpha, K') \to H^n_{\tau'}(E_\alpha, K')\] qui n’est autre que la suite exacte \[0 \to \Gamma(X_\alpha, H^n(K')) \to \Gamma(Z_\alpha, H^n(K')) \oplus \Gamma(Y_\alpha, H^n(K')) \to \Gamma(E_\alpha, H^n(K'))\] L’hypothèse (1) montre que \(H^n(K')\) est un \(\tau\)-faisceau. Or son \(\tau\)-faisceau associé \(\epsilon^{-1}H^n(K') = H^n(\epsilon^{-1}K')\) est égal à \(0\) puisque \(\epsilon^{-1}K' = 0\). Nous en déduisons que \(H^n(K') = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\epsilon : (\mathcal{C}_\tau, \mathcal{O}_\tau) \to (\mathcal{C}_{\tau'}, \mathcal{O}_{\tau'})\) comme ci-dessus. Soit \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] un diagramme commutatif dans la catégorie \(\mathcal{C}\) tel que

1. \(h_X^\# = h_Y^\# \amalg_{h_E^\#} h_Z^\#\), et

2. \(h_E^\# \to h_Y^\#\) soit injectif

où \({}^\#\) désigne la \(\tau\)-faisceautisation. Alors, pour \(K' \in D(\mathcal{O}_{\tau'})\) appartenant à l’image essentielle de \(R\epsilon_*\), le morphisme \(c^{K'}_{X, Z, Y, E}\) du Lemme 0F16 (construit avec la topologie \(\tau'\)) est un isomorphisme.

Démonstration

Ce lemme auxiliaire est une conséquence presque immédiate du Lemme 0EVY, et nous recommandons vivement au lecteur d’en omettre la démonstration. Écrivons \(K' = R\epsilon_*K\). Choisissons un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_\tau\)-modules, noté \(\mathcal{J}^\bullet\), représentant \(K\). Alors \(\epsilon_*\mathcal{J}^\bullet\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}_{\tau'}\)-modules représentant \(K'\) ; voir le Lemme 093Y. Ensuite, \[0 \to \mathcal{J}^\bullet(X) \xrightarrow{\alpha} \mathcal{J}^\bullet(Z) \oplus \mathcal{J}^\bullet(Y) \xrightarrow{\beta} \mathcal{J}^\bullet(E) \to 0\] est une suite exacte courte de complexes de groupes abéliens ; voir le Lemme 0EVY et sa démonstration. Comme il s’agit de la même suite de complexes de groupes abéliens que celle utilisée pour définir \(c^{K'}_{X, Z, Y, E}\), nous concluons.

Comparaison des cohomologies

Nous développons une théorie générale qui nous aidera à comparer les cohomologies pour différentes topologies. Étant donnés \(\mathcal{C}\), \(\tau\) et \(\tau'\) comme à la section 0EWK, ainsi qu’un morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{C}\), nous obtenons un diagramme commutatif de morphismes de topos [0EZ2]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_\tau/X) \ar[r]_{f_\tau} \ar[d]_{\epsilon_X} & \Sh(\mathcal{C}_\tau/Y) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh(\mathcal{C}_{\tau'}/X) \ar[r]^{f_{\tau'}} & \Sh(\mathcal{C}_{\tau'}/Y) } } \end{equation}\] Ici, le morphisme \(\epsilon_X\), resp. \(\epsilon_Y\), est le morphisme de comparaison de la section 0EWK pour la catégorie \(\mathcal{C}/X\) munie des deux topologies \(\tau\) et \(\tau'\). Les morphismes \(f_\tau\) et \(f_{\tau'}\) sont des morphismes de « relocalisation » (Sites, lemme 03EH). La commutativité du diagramme est un cas particulier de Sites, lemme 03CF (appliqué avec \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_\tau/Y\), \(\mathcal{D} = \mathcal{C}_{\tau'}/Y\), \(u = \text{id}\), \(U = X\) et \(V = X\)). Nous obtenons aussi \(\epsilon_{X, *} \circ f_\tau^{-1} = f_{\tau'}^{-1} \circ \epsilon_{Y, *}\) soit par ce lemme, soit directement.

Situation

On se place avec \(\mathcal{C}\), \(\tau\) et \(\tau'\) comme à la section 0EWK. Supposons donnés un sous-ensemble \(\mathcal{P} \subset \text{Flèches}(\mathcal{C})\) et, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), une sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\). Nous faisons les hypothèses suivantes :

1. si \(f : X \to Y\) appartient à \(\mathcal{P}\) et si \(Y' \to Y\) est quelconque, alors \(X \times_Y Y'\) existe et \(X \times_Y Y' \to Y'\) appartient à \(\mathcal{P}\),

2. \(f_{\tau'}^{-1}\) envoie \(\mathcal{A}'_Y\) dans \(\mathcal{A}'_X\) pour tout morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{C}\),

3. si \(X\) est dans \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}'\) dans \(\mathcal{A}'_X\), alors \(\mathcal{F}'\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements \(\tau\), c’est-à-dire \(\mathcal{F}' = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\),

4. si \(f : X \to Y\) appartient à \(\mathcal{P}\) et si \(\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}'_X)\), alors \(R^if_{\tau', *}\mathcal{F}' \in \Ob(\mathcal{A}'_Y)\) pour \(i \geq 0\).

5. si \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement \(\tau\), alors il existe

   1. un recouvrement \(\tau'\) \(\{V_j \to U\}_{j \in J}\),

   2. un recouvrement \(\tau\) \(\{f_j : W_j \to V_j\}\) réduit à un seul morphisme \(f_j \in \mathcal{P}\), et

   3. un recouvrement \(\tau'\) \(\{W_{jk} \to W_j\}_{k \in K_j}\)

   tels que \(\{W_{jk} \to U\}_{j \in J, k \in K_j}\) soit un raffinement de \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\).

Lemme

Dans la situation 0EZ3, pour \(X\) dans \(\mathcal{C}\), notons \(\mathcal{A}_X\) la classe des objets de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\) de la forme \(\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\), avec \(\mathcal{F}'\) dans \(\mathcal{A}'_X\). Alors

1. pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\), nous avons \(\mathcal{F} \in \mathcal{A}_X \Leftrightarrow \epsilon_{X, *}\mathcal{F} \in \mathcal{A}'_X\), et

2. \(f_\tau^{-1}\) envoie \(\mathcal{A}_Y\) dans \(\mathcal{A}_X\) pour tout morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte de (0EZ6) et l’assertion (2) résulte de (0EZ5) et de la commutativité de (0EZ2), qui donne \(\epsilon_X^{-1} \circ f_{\tau'}^{-1} = f_\tau^{-1} \circ \epsilon_Y^{-1}\).

Notre prochain objectif est de démontrer les lemmes 0EZH et 0EZG. Nous procéderons par récurrence en utilisant l’hypothèse de récurrence suivante.

\((V_n)\) Pour \(X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}_X\), nous avons \(R^i\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = 0\) pour \(1 \leq i \leq n\).

Lemme

Dans la situation 0EZ3, supposons \((V_n)\) vérifiée. Pour \(f : X \to Y\) dans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}_X\), nous avons \(R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}R^if_{\tau, *}\mathcal{F}\) pour \(i \leq n\).

Démonstration

Nous utiliserons le diagramme commutatif (0EZ2) sans plus le mentionner. En particulier, nous avons \[Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}\] L’hypothèse \((V_n)\) nous dit que \(\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to R\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) est un isomorphisme en degrés \(\leq n\). Par conséquent, \(Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) est un isomorphisme en degrés \(\leq n\). Nous en concluons que \[R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to H^i(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F})\] est un isomorphisme pour \(i \leq n\). Nous démontrerons le lemme en examinant la deuxième page de la suite spectrale du lemme 0734 pour \(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}\). En voici une représentation : \[\begin{matrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}R^2f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}R^1f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \\ \epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^1\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & R^2\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F} & \ldots \end{matrix}\] Notons \((C_m)\) l’hypothèse : \(R^if_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}R^if_{\tau, *}\mathcal{F}\) pour \(i \leq m\). Observons que \((C_0)\) est vérifiée. Nous allons montrer que \((C_{m - 1}) \Rightarrow (C_m)\) pour \(m < n\). En effet, si \((C_{m - 1})\) est vérifiée, alors, pour \(n \geq p > 0\) et \(q \leq m - 1\), nous avons \[\begin{align*} R^p\epsilon_{Y, *}R^qf_{\tau, *}\mathcal{F} & = R^p\epsilon_{Y, *} \epsilon_Y^{-1} \epsilon_{Y, *} R^qf_{\tau, *}\mathcal{F} \\ & = R^p\epsilon_{Y, *} \epsilon_Y^{-1}R^qf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = 0 \end{align*}\] La première égalité vient de \(\epsilon_Y^{-1}\epsilon_{Y, *} = \text{id}\), la deuxième de \((C_{m - 1})\), et la dernière de \((V_n)\), car \(\epsilon_Y^{-1}R^qf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}_Y\) par (0EZ7). En examinant la suite spectrale, nous voyons que \(E_2^{0, m} = \epsilon_{Y, *}R^mf_{\tau, *}\mathcal{F}\) est le seul terme \(E_2^{p, q}\) non nul avec \(p + q = m\). Rappelons que \(\text{d}_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\). Il n’y a donc aucune différentielle non nulle \(\text{d}_r^{p, q}\), \(r \geq 2\), partant de cette position ou y arrivant. Nous en concluons que \(H^m(R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}\mathcal{F}) = \epsilon_{Y, *}R^mf_{\tau, *}\mathcal{F}\), ce qui implique \((C_m)\) d’après la discussion précédente.

Enfin, supposons \((C_{n - 1})\). La même analyse montre que \(E_2^{0, n} = \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\) est le seul terme \(E_2^{p, q}\) non nul avec \(p + q = n\). Il n’y a toujours aucune différentielle non nulle arrivant à cette position, mais une différentielle non nulle peut en partir, à savoir le morphisme \(d_{n + 1}^{0, n} : \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F} \to R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\). Nous en concluons qu’il existe une suite exacte \[0 \to R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F} \to R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\] Par (0EZ7) et (0EZ6), le faisceau \(R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F}\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements \(\tau\), tout comme \(\epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\) (utiliser la description de \(\epsilon_*\) à la section 0EWK). Cependant, le faisceautisé pour \(\tau\) du faisceau pour \(\tau'\) \(R^{n + 1}\epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}\mathcal{F}\) est nul (par localité de la cohomologie ; utiliser les lemmes 01FW et 072W). Ainsi, \(R^nf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}R^nf_{\tau, *}\mathcal{F}\) doit donc être un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.

Si \(E'\), resp. \(E\), est un objet de \(D(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\), resp. \(D(\mathcal{C}_\tau/X)\), nous noterons \(H^n_{\tau'}(U, E')\), resp. \(H^n_\tau(U, E)\), la cohomologie de \(E'\), resp. \(E\), au-dessus d’un objet \(U\) de \(\mathcal{C}/X\).

Lemme

Dans la situation 0EZ3, si \((V_n)\) est vérifiée, alors, pour \(X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(L \in D(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\) tels que \(H^i(L) = 0\) pour \(i < 0\) et que \(H^i(L)\) appartienne à \(\mathcal{A}'_X\) pour \(0 \leq i \leq n\), nous avons \(H^n_{\tau'}(X, L) = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}L)\).

Démonstration

Par le lemme 0D6H, nous avons \(H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}L) = H^n_{\tau'}(X, R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\). Il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^p\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^q(L)\] qui converge vers \(H^{p + q}(R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\). Par \((V_n)\), le terme \(E_2^{p, q}\) est nul pour \(0 < p \leq n\) et \(0 \leq q \leq n\). Ainsi, les termes \(E_2^{0, q} = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^q(L) = H^q(L)\) sont les seuls termes \(E_2^{p, q}\) non nuls avec \(p + q \leq n\). Il s’ensuit que le morphisme \[L \longrightarrow R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L\] est un isomorphisme en degrés \(\leq n\) (on omet un détail mineur). Nous obtenons donc \(H^i_{\tau'}(X, L) = H^i_{\tau'}(X, R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}L)\) pour \(i \leq n\). Le lemme est ainsi démontré.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, si \((V_n)\) est vérifiée, alors, pour \(X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}_X\), le morphisme \(H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F})\) est injectif et son image est formée des classes qui deviennent nulles sur un recouvrement \(\tau'\) de \(X\).

Démonstration

Rappelons que \(\epsilon_X^{-1}\epsilon_{X, *}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) ; le morphisme est donc donné par l’image inverse des classes de cohomologie par \(\epsilon_X\). La suite spectrale de Leray (lemme 0732) \[E_2^{p, q} = H^p_{\tau'}(X, R^q\epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}_\tau(X, \mathcal{F})\] combinée à l’annulation supposée donne une suite exacte \[0 \to H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F}) \to H^0_{\tau'}(X, R^{n + 1}\epsilon_{X, *}\mathcal{F})\] C’est une reformulation du lemme.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, soit \(f : X \to Y\) un élément de \(\mathcal{P}\) tel que \(\{X \to Y\}\) soit un recouvrement \(\tau\). Soit \(\mathcal{F}'\) dans \(\mathcal{A}'_Y\). Si \(n \geq 0\) et \[\theta \in \text{Égaliseur}\left( \xymatrix{ H^{n + 1}_{\tau'}(X, \mathcal{F}') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & H^{n + 1}_{\tau'}(X \times_Y X, \mathcal{F}') } \right)\] alors il existe un recouvrement \(\tau'\) \(\{Y_i \to Y\}\) tel que la restriction de \(\theta\) soit nulle dans \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y_i \times_Y X, \mathcal{F}')\).

Démonstration

Observons que \(X \times_Y X\) existe d’après (0EZ4). Pour \(Z\) dans \(\mathcal{C}/Y\), notons \(\mathcal{F}'|_Z\) la restriction de \(\mathcal{F}'\) à \(\mathcal{C}_{\tau'}/Z\). Rappelons que \(H^{n + 1}_{\tau'}(X, \mathcal{F}') = H^{n + 1}(\mathcal{C}_{\tau'}/X, \mathcal{F}'|_X)\), voir le lemme 03F3. Le lemme affirme que l’image \(\overline{\theta} \in H^0(Y, R^{n + 1}f_{\tau', *}\mathcal{F}'|_X)\) de \(\theta\) est nulle. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \times_Y X \ar[d]_{\text{pr}_1} \ar[r]_{\text{pr}_2} & X \ar[d]^f \\ X \ar[r]^f & Y }\] Par changement de base trivial (lemme 0EZ0), nous avons \[f_{\tau'}^{-1}R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X) = R^{n + 1}\text{pr}_{1, \tau', *}(\mathcal{F}'|_{X \times_Y X})\] Si \(\text{pr}_1^{-1}\theta = \text{pr}_2^{-1}\theta\), alors la section \(f_{\tau'}^{-1}\overline{\theta}\) de \(f_{\tau'}^{-1}R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X)\) est nulle, car il est clair que \(\text{pr}_1^{-1}\theta\) s’envoie sur l’élément nul de \(H^0(X, R^{n + 1}\text{pr}_{1, \tau', *}(\mathcal{F}'|_{X \times_Y X}))\). D’après (0EZ5), \(\mathcal{F}'|_X\) appartient à \(\mathcal{A}'_X\). Ainsi, \(\mathcal{G}' = R^{n + 1}f_{\tau', *}(\mathcal{F}'|_X)\) est un objet de \(\mathcal{A}'_Y\) par (0EZ7). Par conséquent, \(\mathcal{G}'\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements \(\tau\) d’après (0EZ6). Comme \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement \(\tau\), l’application de restriction \(\mathcal{G}'(Y) \to \mathcal{G}'(X)\) est injective. Il s’ensuit que \(\overline{\theta}\) est nulle.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, nous avons \((V_n) \Rightarrow (V_{n + 1})\).

Démonstration

Soient \(X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}\) dans \(\mathcal{A}_X\). Soit \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(U, \mathcal{F})\) pour un certain \(U/X\). Nous devons montrer que la restriction de \(\xi\) est nulle sur les membres d’un recouvrement \(\tau'\) de \(U\), voir le lemme 072W. Il en résulte que nous pouvons remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement \(\tau'\) de \(U\).

Par localité de la cohomologie (lemme 01FW), nous pouvons choisir un recouvrement \(\tau\) \(\{U_i \to U\}\) tel que la restriction de \(\xi\) à \(U_i\) soit nulle. Choisissons \(\{V_j \to V\}\), \(\{f_j : W_j \to V_j\}\) et \(\{W_{jk} \to W_j\}\) comme dans (0EZ8). En remplaçant \(U\) par \(V_j\) et \(\mathcal{F}\) par sa restriction à \(\mathcal{C}_\tau/V_j\), ce qui est permis par (0EZ4), nous nous ramenons au cas étudié au paragraphe suivant.

Ici, \(f : X \to Y\) est un élément de \(\mathcal{P}\) tel que \(\{X \to Y\}\) soit un recouvrement \(\tau\), \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\mathcal{A}_Y\), et \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\) est tel qu’il existe un recouvrement \(\tau'\) \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) tel que \(\xi\) se restreigne à zéro sur \(X_i\) pour tout \(i \in I\). Il s’agit de montrer que la restriction de \(\xi\) est nulle sur un recouvrement \(\tau'\) de \(Y\).

Par le lemme 0EZC, il existe une unique classe de cohomologie \(\tau'\) \(\theta \in H^{n + 1}_{\tau'}(X, \epsilon_{X, *}\mathcal{F})\) dont l’image est \(\xi|_X\). Comme les images inverses de \(\xi|_X\) par les deux projections donnent la même classe sur \(X \times_Y X\), il en est de même pour \(\theta\) (par unicité). D’après le lemme 0EZD, après avoir remplacé \(Y\) par les membres d’un recouvrement \(\tau'\), nous pouvons supposer que \(\theta = 0\). Nous pouvons donc supposer que \(\xi|_X\) est nulle.

Soit \(f : X \to Y\) un élément de \(\mathcal{P}\) tel que \(\{X \to Y\}\) soit un recouvrement \(\tau\), soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\mathcal{A}_Y\), et soit \(\xi \in H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\) dont l’image dans \(H^{n + 1}_\tau(X, \mathcal{F})\) est nulle. Il faut montrer que la restriction de \(\xi\) est nulle sur un recouvrement \(\tau'\) de \(Y\).

Les hypothèses nous disent que l’image de \(\xi\) par le morphisme \[\mathcal{F} \longrightarrow Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] est nulle ; on utilise ici le lemme 0D6H. Un argument simple fondé sur le triangle distingué de troncation (Catégories dérivées, remarque 08J5) montre que l’image de \(\xi\) par le morphisme \[\mathcal{F} \longrightarrow \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] est nulle. Nous allons comparer celui-ci au morphisme \(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to K\), où \[K = \tau_{\leq n}Rf_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} = \tau_{\leq n}Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F}\] L’égalité \(\epsilon_{X, *} f_\tau^{-1} = f_{\tau'}^{-1} \epsilon_{Y, *}\) est une propriété de (0EZ2). Considérons le morphisme \[Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} \longrightarrow Rf_{\tau', *}R\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} = R\epsilon_{Y, *}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] utilisé dans la démonstration du lemme 0EZA ; il induit par adjonction un morphisme \[\epsilon_Y^{-1} Rf_{\tau', *}\epsilon_{X, *}f_{\tau}^{-1}\mathcal{F} \to Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] En prenant les troncations, nous obtenons un morphisme \[\epsilon_Y^{-1}K \longrightarrow \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\] qui est un isomorphisme par le lemme 0EZA ; ce lemme s’applique, car \(f_\tau^{-1}\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}_X\) d’après le lemme 0EZ9. Choisissons un triangle distingué \[\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to K \to L \to \epsilon_{Y, *}\mathcal{F}[1]\] Le morphisme \(\mathcal{F} \to f_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F}\) est injectif puisque \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement \(\tau\). Ainsi, \(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}f_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F} = f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\) est lui aussi injectif. Par conséquent, les seuls faisceaux de cohomologie non nuls de \(L\) sont en degrés \(0, \ldots, n\). Comme \(f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}'_Y\) d’après (0EZ5) et (0EZ7), nous en concluons que \[H^0(L) = \Coker(\epsilon_{Y, *}\mathcal{F} \to f_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\] appartient à la sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{A}'_Y\). Pour \(1 \leq i \leq n\), nous voyons que \(H^i(L) = R^if_{\tau', *}f_{\tau'}^{-1}\epsilon_{Y, *}\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{A}'_Y\) d’après (0EZ5) et (0EZ7). En tirant le triangle distingué ci-dessus en arrière par \(\epsilon_Y\), nous obtenons le triangle distingué \[\mathcal{F} \to \tau_{\leq n}Rf_{\tau, *}f_\tau^{-1}\mathcal{F} \to \epsilon_Y^{-1}L \to \mathcal{F}[1]\] Puisque l’image de \(\xi\) dans le terme du milieu est nulle, nous voyons que \(\xi\) est l’image d’un élément \(\xi' \in H^n_\tau(Y, \epsilon_Y^{-1}L)\). D’après le lemme 0EZB, nous avons \[H^n_{\tau'}(Y, L) = H^n_\tau(Y, \epsilon_Y^{-1}L),\] Nous pouvons donc relever \(\xi'\) en un élément de \(H^n_{\tau'}(Y, L)\), puis prendre son bord dans \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y, \epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\) pour voir que \(\xi\) appartient à l’image du morphisme canonique \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y, \epsilon_{Y, *}\mathcal{F}) \to H^{n + 1}_\tau(Y, \mathcal{F})\). La localité de la cohomologie pour \(H^{n + 1}_{\tau'}(Y,\epsilon_{Y, *}\mathcal{F})\), voir le lemme 01FW, permet de conclure.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, la propriété \((V_n)\) est vraie pour tout \(n\). De plus :

1. Pour \(X\) dans \(\mathcal{C}\) et \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\), le morphisme \(K' \to R\epsilon_{X, *}(\epsilon_X^{-1}K')\) est un isomorphisme.

2. Pour \(f : X \to Y\) dans \(\mathcal{P}\) et \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\), nous avons \(Rf_{\tau', *}K' \in D^+_{\mathcal{A}'_Y}(\mathcal{C}_{\tau'}/Y)\) et \(\epsilon_Y^{-1}(Rf_{\tau', *}K') = Rf_{\tau, *}(\epsilon_X^{-1}K')\).

Démonstration

Observons que \((V_0)\) est vérifiée, car c’est la condition vide. Nous obtenons alors \((V_n)\) pour tout \(n\) par le lemme 0EZE.

Démonstration de (1). L’objet \(K = \epsilon_X^{-1}K'\) a pour faisceaux de cohomologie \(H^i(K) = \epsilon_X^{-1}H^i(K')\), qui appartiennent à \(\mathcal{A}_X\). La suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^p\epsilon_{X, *} H^q(K) \Rightarrow H^{p + q}(R\epsilon_{X, *}K)\] dégénère donc, par \((V_n)\) pour tout \(n\), et nous obtenons \[H^n(R\epsilon_{X, *}K) = \epsilon_{X, *}H^n(K) = \epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}H^n(K') = H^n(K').\] La dernière égalité vient encore de ce que \(H^n(K')\) appartient à \(\mathcal{A}'_X\). Le morphisme canonique \(K' \to R\epsilon_{X, *}(\epsilon_X^{-1}K')\) est donc un isomorphisme.

Démonstration de (2). En utilisant la suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^pf_{\tau', *}H^q(K') \Rightarrow R^{p + q}f_{\tau', *}K'\] le fait que \(R^pf_{\tau', *}H^q(K')\) appartient à \(\mathcal{A}'_Y\) par (0EZ7), le fait que \(\mathcal{A}'_Y\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/Y)\), et Homologie, lemme 012W, nous concluons que \(Rf_{\tau', *}K' \in D^+_{\mathcal{A}'_Y}(\mathcal{C}_{\tau'}/Y)\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que le morphisme de changement de base \[\epsilon_Y^{-1}(Rf_{\tau', *}K') \longrightarrow Rf_{\tau, *}(\epsilon_X^{-1}K')\] est un isomorphisme. En comparant la suite spectrale ci-dessus à la suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^pf_{\tau, *}H^q(\epsilon_X^{-1}K') \Rightarrow R^{p + q}f_{\tau, *}\epsilon_X^{-1}K'\] nous nous ramenons au cas où \(K'\) possède un unique faisceau de cohomologie non nul \(\mathcal{F}'\), appartenant à \(\mathcal{A}'_X\) ; nous omettons les détails. Le lemme 0EZA donne alors \(\epsilon_Y^{-1}R^if_{\tau', *}\mathcal{F}' = R^if_{\tau, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\) pour tout \(i\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, pour tout \(X\) dans \(\mathcal{C}\), la catégorie \(\mathcal{A}_X \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\) est une sous-catégorie de Serre faible, et le foncteur \[R\epsilon_{X, *} : D^+_{\mathcal{A}_X}(\mathcal{C}_\tau/X) \longrightarrow D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\] est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(\epsilon_X^{-1}\).

Démonstration

Nous devons vérifier pour \(\mathcal{A}_X\) les conditions énumérées dans Homologie, lemme 0754. Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme dans \(\mathcal{A}_X\), alors \(\epsilon_{X, *}\varphi : \epsilon_{X, *}\mathcal{F} \to \epsilon_{X, *}\mathcal{G}\) est un morphisme dans \(\mathcal{A}'_X\). Par conséquent, \(\Ker(\epsilon_{X, *}\varphi)\) et \(\Coker(\epsilon_{X, *}\varphi)\) sont des objets de \(\mathcal{A}'_X\), puisque celle-ci est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\). En appliquant \(\epsilon_X^{-1}\), nous obtenons une suite exacte \[0 \to \epsilon_X^{-1}\Ker(\epsilon_{X, *}\varphi) \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \epsilon_X^{-1}\Coker(\epsilon_{X, *}\varphi) \to 0\] et nous voyons que \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) appartiennent à \(\mathcal{A}_X\). Enfin, supposons que \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] soit une suite exacte courte dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\), avec \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) dans \(\mathcal{A}_X\). En appliquant \(\epsilon_{X, *}\), nous obtenons une suite exacte \[0 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_1 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_2 \to \epsilon_{X, *}\mathcal{F}_3 \to R^1\epsilon_{X, *}\mathcal{F}_1 = 0\] L’annulation vient du lemme 0EZF. Ainsi, \(\epsilon_{X, *}\mathcal{F}_2\) appartient à \(\mathcal{A}'_X\), car celle-ci est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\). En tirant en arrière par \(\epsilon_X\), nous concluons que \(\mathcal{F}_2\) appartient à \(\mathcal{A}_X\).

Ainsi, \(\mathcal{A}_X\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C}_\tau/X)\), et il est légitime de considérer la catégorie \(D^+_{\mathcal{A}_X}(\mathcal{C}_\tau/X)\). Observons que \(\epsilon_X^{-1} : \mathcal{A}'_X \to \mathcal{A}_X\) est une équivalence et que \(\mathcal{F}' \to R\epsilon_{X, *}\epsilon_X^{-1}\mathcal{F}'\) est un isomorphisme pour \(\mathcal{F}'\) dans \(\mathcal{A}'_X\), puisque \((V_n)\) est vérifiée pour tout \(n\) d’après le lemme 0EZF. Nous concluons donc par le lemme 0D7U.

Lemme

Dans la situation 0EZ3, soit \(X\) dans \(\mathcal{C}\).

1. pour \(\mathcal{F}'\) dans \(\mathcal{A}'_X\), nous avons \(H^n_{\tau'}(X, \mathcal{F}') = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}\mathcal{F}')\),

2. pour \(K' \in D^+_{\mathcal{A}'_X}(\mathcal{C}_{\tau'}/X)\), nous avons \(H^n_{\tau'}(X, K') = H^n_\tau(X, \epsilon_X^{-1}K')\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0EZF et de la remarque 08J6.

Cohomologie sur les espaces séparés et localement quasi-compacts

Nous continuons à suivre notre convention consistant à dire « séparé et localement quasi-compact » plutôt que « localement compact », comme on le fait souvent dans la littérature. Notons \(\textit{LC}\) la catégorie dont les objets sont les espaces topologiques séparés et localement quasi-compacts et dont les morphismes sont les applications continues.

Lemme

La catégorie \(\textit{LC}\) admet des produits fibrés et un objet final, et admet donc toutes les limites finies. Étant donnés des morphismes \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) dans \(\textit{LC}\) tels que \(X\) et \(Y\) soient quasi-compacts, \(X \times_Z Y\) est quasi-compact.

Démonstration

L’objet final est l’espace réduit à un point. Étant donnés des morphismes \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) de \(\textit{LC}\), le produit fibré \(X \times_Z Y\) est un sous-espace de \(X \times Y\). Ainsi, \(X \times_Z Y\) est séparé puisque \(X \times Y\) est séparé d’après Topologie, section 08ZD.

Si \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts, alors \(X \times Y\) est quasi-compact d’après Topologie, théorème 08ZU. Comme \(X \times_Z Y\) est une partie fermée de \(X \times Y\) (Topologie, lemme 08ZH), on voit que \(X \times_Z Y\) est quasi-compact d’après Topologie, lemme 005C.

Enfin, revenons au cas général. Si \(x \in X\) et \(y \in Y\), on peut choisir des voisinages quasi-compacts \(x \in E \subset X\) et \(y \in F \subset Y\) ; le résultat précédent montre alors que \(E \times_Z F\) est un voisinage quasi-compact de \((x, y)\). Ainsi, \(X \times_Z Y\) est un objet de \(\textit{LC}\) d’après Topologie, lemme 08ZR.

On peut munir \(\textit{LC}\) d’une topologie plus fine que la topologie usuelle.

Définition

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) une famille de morphismes de but fixé dans la catégorie \(\textit{LC}\). On dit que cette famille est un recouvrement qc⁶ si, pour tout \(x \in X\), il existe \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des parties quasi-compactes \(E_j \subset X_{i_j}\) telles que \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\) soit un voisinage de \(x\).

Remarquons qu’un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\) d’un objet de \(\textit{LC}\) fournit un recouvrement qc \(\{U_i \to X\}\), puisque \(X\) est localement quasi-compact. Commençons par le lemme obligé.

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé et localement quasi-compact, autrement dit un objet de \(\textit{LC}\).

1. Si \(X' \to X\) est un isomorphisme dans \(\textit{LC}\), alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement qc.

2. Si \(\{f_i : X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement qc et si, pour chaque \(i\), on a un recouvrement qc \(\{g_{ij} : X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement qc.

3. Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement qc et si \(X' \to X\) est un morphisme de \(\textit{LC}\), alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement qc.

Démonstration

Le point (1) résulte de la remarque précédente selon laquelle les recouvrements ouverts sont des recouvrements qc.

Démonstration de (2). Soit \(x \in X\). Choisissons \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des parties quasi-compactes \(E_a \subset X_{i_a}\) telles que \(\bigcup f_{i_a}(E_a)\) soit un voisinage de \(x\). Pour tout \(e \in E_a\), on peut trouver une partie finie \(J_e \subset J_{i_a}\) et des parties quasi-compactes \(F_{e, j} \subset X_{i_a j}\), \(j \in J_e\), telles que \(\bigcup g_{i_a j}(F_{e, j})\) soit un voisinage de \(e\). Comme \(E_a\) est quasi-compact, on trouve une famille finie \(e_1, \ldots, e_{m_a}\) telle que \[E_a \subset \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_a} \bigcup\nolimits_{j \in J_{e_k}} g_{i_a j}(F_{e_k, j})\] On voit alors que \[\bigcup\nolimits_{a = 1, \ldots, n} \bigcup\nolimits_{k = 1, \ldots, m_a} \bigcup\nolimits_{j \in J_{e_k}} f_{i_a}(g_{i_a j}(F_{e_k, j}))\] est un voisinage de \(x\).

Démonstration de (3). Soit \(x' \in X'\) un point, et soit \(x \in X\) son image. Choisissons \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des parties quasi-compactes \(E_j \subset X_{i_j}\) telles que \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\) soit un voisinage de \(x\). Choisissons un voisinage quasi-compact \(F \subset X'\) de \(x'\) dont l’image soit contenue dans le voisinage quasi-compact \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\) de \(x\). Alors \(F \times_X E_j \subset X' \times_X X_{i_j}\) est une partie quasi-compacte, et \(F\) est l’image de l’application \(\coprod F \times_X E_j \to F\). Le changement de base est donc un recouvrement qc, ce qui achève la démonstration.

Puisque tous les objets de \(\textit{LC}\) sont séparés, tout morphisme \(f : X \to Y\) de \(\textit{LC}\) est une application continue séparée d’espaces topologiques. Ainsi, \(f\) est une application propre d’espaces topologiques si et seulement si \(f\) est universellement fermée. Voir la discussion dans Topologie, section 005M.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\textit{LC}\). Si \(f\) est propre et surjectif, alors \(\{f : X \to Y\}\) est un recouvrement qc.

Démonstration

Soit \(y \in Y\) un point. Pour tout \(x \in X_y\), choisissons un voisinage quasi-compact \(E_x \subset X\), puis un ouvert \(x \in U_x \subset E_x\). Comme \(f\) est propre, la fibre \(X_y\) est quasi-compacte ; on trouve donc \(x_1, \ldots, x_n \in X_y\) tels que \(X_y \subset U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n}\). Nous affirmons que \(f(E_{x_1}) \cup \ldots \cup f(E_{x_n})\) est un voisinage de \(y\). En effet, comme \(f\) est fermée (Topologie, théorème 005R), on voit que \(Z = f(X \setminus (U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n}))\) est une partie fermée de \(Y\) qui ne contient pas \(y\). Comme \(f\) est surjective, on voit que \(Y \setminus Z\) est contenu dans \(f(E_{x_1}) \cup \ldots \cup f(E_{x_n})\), comme voulu.

Mis à part quelques questions ensemblistes, le lemme 09X1 montre que \(\textit{LC}\), munie de la collection des recouvrements qc, forme un site. Nous noterons \(\textit{LC}_{qc}\) ce site (convenablement modifié pour résoudre les questions ensemblistes).

Remarque

La catégorie \(\textit{LC}\) est une « grande » catégorie, car ses objets forment une classe propre. De même, les recouvrements forment une classe propre. Définissons la taille d’un espace topologique \(X\) comme le cardinal de l’ensemble des points de \(X\). Choisissons une fonction \(Bound\) sur les cardinaux, par exemple comme dans Ensembles, équation (046U). Enfin, soit \(S_0\) un ensemble initial d’objets de \(\textit{LC}\), par exemple \(S_0 = \{(\mathbf{R}, \text{topologie euclidienne})\}\). Exactement comme dans Ensembles, lemme 000J, on peut choisir un ordinal limite \(\alpha\) tel que \(\textit{LC}_\alpha = \textit{LC} \cap V_\alpha\) contienne \(S_0\) et soit stable par toutes les limites et colimites dénombrables qui existent dans \(\textit{LC}\). De plus, si \(X \in \textit{LC}_\alpha\), si \(Y \in \textit{LC}\) et si \(\text{size}(Y) \leq Bound(\text{size}(X))\), alors \(Y\) est isomorphe à un objet de \(\textit{LC}_\alpha\). Appliquons ensuite Ensembles, lemme 000X, pour choisir un ensemble \(\text{Cov}\) de recouvrements qc sur \(\textit{LC}_\alpha\) tel que tout recouvrement qc dans \(\textit{LC}_\alpha\) soit combinatoirement équivalent à un recouvrement appartenant à cet ensemble. On obtient ainsi un site \((\textit{LC}_\alpha, \text{Cov})\), que l’on notera \(\textit{LC}_{qc}\).

Il existe une seconde topologie sur le site \(\textit{LC}_{qc}\) de la remarque 09X2. Pour un objet \(X\), on considère tous les recouvrements \(\{X_i \to X\}\) de \(\textit{LC}_{qc}\) tels que \(X_i \to X\) soit une immersion ouverte. Nous notons ce site \(\textit{LC}_{Zar}\). Le foncteur identité \(\textit{LC}_{Zar} \to \textit{LC}_{qc}\) est continu et définit un morphisme de sites \[\epsilon : \textit{LC}_{qc} \longrightarrow \textit{LC}_{Zar}\] Voir la section 0EWK. Pour un espace topologique séparé et localement quasi-compact \(X\), plus précisément pour \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\), nous notons le morphisme induit \[\epsilon_X : \textit{LC}_{qc}/X \longrightarrow \textit{LC}_{Zar}/X\] (voir Sites, lemme 03CF). Soit \(X_{Zar}\) le site dont les objets sont les ouverts de \(X\), voir Sites, exemple 00VJ. Il existe un morphisme de sites \[\pi_X : \textit{LC}_{Zar}/X \longrightarrow X_{Zar}\] défini par le foncteur continu \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}/X\), \(U \mapsto U\). En effet, \(X_{Zar}\) possède des produits fibrés et un objet final, le foncteur ci-dessus y commute, et Sites, proposition 00X6, s’applique. Nous considérons souvent \(\pi\) comme un morphisme de topos \[\pi_X : \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \longrightarrow \Sh(X)\] en utilisant l’égalité \(\Sh(X_{Zar}) = \Sh(X)\).

Lemme

Soit \(X\) un objet de \(\textit{LC}_{qc}\) et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X\). La règle \[\textit{LC}_{qc}/X \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y, f^{-1}\mathcal{F})\] est un faisceau et, a fortiori, aussi un faisceau sur \(\textit{LC}_{Zar}/X\). Ce faisceau est égal à \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) sur \(\textit{LC}_{Zar}/X\) et à \(\epsilon_X^{-1}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) sur \(\textit{LC}_{qc}/X\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{G}\) le préfaisceau donné par la formule du lemme. Bien entendu, l’image inverse \(f^{-1}\) figurant dans la formule désigne l’image inverse usuelle des faisceaux sur les espaces topologiques. Il découle immédiatement des définitions que \(\mathcal{G}\) est un faisceau pour la topologie Zar.

Soit \(Y \to X\) un morphisme de \(\textit{LC}_{qc}\) et soit \(\mathcal{V} = \{g_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement qc. Pour montrer que \(\mathcal{G}\) est un faisceau pour la topologie qc, il suffit de montrer que \(\mathcal{G}(Y) \to H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G})\) est un isomorphisme, voir Sites, section 00W1. Remarquons d’abord que le morphisme est injectif, puisqu’un recouvrement qc est surjectif et que l’égalité des sections se détecte sur les germes (utiliser Faisceaux, lemmes 0079 et 008G). Ainsi, \(\mathcal{G}\) est un préfaisceau séparé sur \(\textit{LC}_{qc}\) ; il suffit donc de montrer que tout élément \((s_i) \in H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G})\) s’envoie sur un élément de l’image de \(\mathcal{G}(Y)\) après remplacement de \(\mathcal{V}\) par un raffinement (Sites, théorème 00WB).

En identifiant les faisceaux sur \(Y_{i, Zar}\) aux faisceaux sur \(Y_i\), nous voyons que \(\mathcal{G}|_{Y_{i, Zar}}\) est l’image inverse de \(f^{-1}\mathcal{F}\) par l’application continue \(g_i : Y_i \to Y\). Nous pouvons donc choisir un recouvrement ouvert \(Y_i = \bigcup V_{ij}\) tel que, pour chaque \(j\), il existe un ouvert \(W_{ij} \subset Y\) et une section \(t_{ij} \in \mathcal{G}(W_{ij})\), avec \(V_{ij}\) envoyé dans \(W_{ij}\) et \(s|_{V_{ij}}\) image inverse de \(t_{ij}\). Autrement dit, après avoir raffiné le recouvrement \(\{Y_i \to Y\}\), nous pouvons supposer qu’il existe des ouverts \(W_i \subset Y\) tels que \(Y_i \to Y\) se factorise par \(W_i\), et des sections \(t_i\) de \(\mathcal{G}\) sur \(W_i\) dont les restrictions sont les sections données \(s_i\). De plus, si \(y \in Y\) appartient aux images de \(Y_i \to Y\) et de \(Y_j \to Y\), alors les images \(t_{i, y}\) et \(t_{j, y}\) dans le germe \(f^{-1}\mathcal{F}_y\) sont égales (car \(s_i\) et \(s_j\) sont égales sur \(Y_i \times_Y Y_j\)). Ainsi, pour \(y \in Y\), il existe un élément bien défini \(t_y\) de \(f^{-1}\mathcal{F}_y\), égal à \(t_{i, y}\) dès que \(y\) appartient à l’image de \(Y_i \to Y\). Nous allons montrer que l’élément \((t_y)\) provient d’une section globale de \(f^{-1}\mathcal{F}\) sur \(Y\), ce qui achèvera la démonstration du lemme.

Il suffit de le montrer localement sur \(Y\), voir Faisceaux, section 007X. Soit \(y_0 \in Y\). Choisissons \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des parties quasi-compactes \(E_j \subset Y_{i_j}\) telles que \(\bigcup g_{i_j}(E_j)\) soit un voisinage de \(y_0\). Soit \(V \subset Y\) un voisinage ouvert de \(y_0\), contenu dans \(\bigcup g_{i_j}(E_j)\) et dans \(W_{i_1} \cap \ldots \cap W_{i_n}\). Comme \(t_{i_1, y_0} = \ldots = t_{i_n, y_0}\), après avoir rétréci \(V\), nous pouvons supposer que les sections \(t_{i_j}|_V\), \(j = 1, \ldots, n\), de \(f^{-1}\mathcal{F}\) sont égales. Puisque \(V \subset \bigcup g_{i_j}(E_j)\), nous voyons que \((t_y)_{y \in V}\) provient de cette section.

Il reste à montrer que \(\mathcal{G}\) est égal à \(\epsilon_X^{-1}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) sur \(\textit{LC}_{qc}\), resp. à \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) sur \(\textit{LC}_{Zar}\). Dans les deux cas, l’image inverse est définie en prenant le préfaisceau \[(f : Y \to X) \longmapsto \colim_{f(Y) \subset U \subset X} \mathcal{F}(U)\] puis en le faisceautisant. La faisceautisation pour la topologie Zar produit exactement notre faisceau \(\mathcal{G}\) ; le fait que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau qc montre que cela fonctionne aussi pour la topologie qc.

Soit \(X \in \Ob(\textit{LC}_{Zar})\) et soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \(\textit{LC}_{Zar}/X\). Nous noterons \(H^n_{Zar}(U, \mathcal{H})\) la cohomologie de \(\mathcal{H}\) au-dessus d’un objet \(U\) de \(\textit{LC}_{Zar}/X\).

Lemme

Soit \(X\) un objet de \(\textit{LC}_{Zar}\). Alors :

1. pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X)\), nous avons \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\),

2. \(\pi_{X, *} : \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X) \to \textit{Ab}(X)\) est exact,

3. l’unité \(\text{id} \to \pi_{X, *} \circ \pi_X^{-1}\) de l’adjonction est un isomorphisme, et

4. pour \(K \in D(X)\), le morphisme canonique \(K \to R\pi_{X, *} \pi_X^{-1}K\) est un isomorphisme.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\textit{LC}_{Zar}\). Alors :

1. il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \ar[r]_{f_{Zar}} \ar[d]_{\pi_X} & \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y) \ar[d]^{\pi_Y} \\ \Sh(X_{Zar}) \ar[r]^f & \Sh(Y_{Zar}) }\] de topos,

2. pour \(L \in D^+(Y)\), nous avons \(H^n_{Zar}(X, \pi_Y^{-1}L) = H^n(X, f^{-1}L)\),

3. si \(f\) est propre, alors :

   1. \(\pi_Y^{-1} \circ f_* = f_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\) comme foncteurs \(\Sh(X) \to \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y)\),

   2. \(\pi_Y^{-1} \circ Rf_* = Rf_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\) comme foncteurs \(D^+(X) \to D^+(\textit{LC}_{Zar}/Y)\).

Démonstration

Démonstration de (1). L’égalité \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}\mathcal{F}) = H^n(X, \mathcal{F})\) est un fait général provenant de l’observation immédiate que les recouvrements de \(X\) dans \(\textit{LC}_{Zar}\) sont exactement les recouvrements ouverts de \(X\). Pour une démonstration détaillée, on peut appliquer le lemme 03YU au foncteur \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}\).

Démonstration de (2). Cela est vrai parce que \(\pi_{X, *} = \tau_X^{-1}\) pour un certain morphisme de topos \(\tau_X : \Sh(X_{Zar}) \to \Sh(\textit{LC}_{Zar})\), comme il résulte de Sites, lemme 00XU, appliqué au foncteur \(X_{Zar} \to \textit{LC}_{Zar}/X\) utilisé pour définir \(\pi_X\).

Démonstration de (3). Cela est vrai parce que \(\tau_X^{-1} \circ \pi_X^{-1}\) est le foncteur identité d’après Sites, lemme 00XU. On peut aussi le déduire de la description explicite de \(\pi_X^{-1}\) dans le lemme 09X3.

Démonstration de (4). Appliquer (3) à un complexe de faisceaux abéliens représentant \(K\).

Démonstration de (5). Le morphisme de topos \(f_{Zar}\) provient d’une application de Sites, lemme 03EH, et, dans notre cas, du foncteur continu \(Z/Y \mapsto Z \times_Y X/X\) d’après Sites, lemme 09W9. Le diagramme commute simplement parce que les foncteurs continus correspondants se composent correctement (voir Sites, lemme 03CB).

Démonstration de (6). Nous avons \(H^n_{Zar}(X, \pi_Y^{-1}\mathcal{G}) = H^n_{Zar}(X, f_{Zar}^{-1}\pi_Y^{-1}\mathcal{G})\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Ab}(Y)\), voir le lemme 03F3. Ceci est égal à \(H^n_{Zar}(X, \pi_X^{-1}f^{-1}\mathcal{G})\) par commutativité du diagramme de (5). Nous concluons donc par (1) lorsque \(L\) est réduit à un seul faisceau en degré \(0\). Le cas général s’obtient en représentant \(L\) par un complexe de faisceaux abéliens borné inférieurement.

Démonstration de (7a). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X\). Soit \(g : Z \to Y\) un objet de \(\textit{LC}_{Zar}/Y\). Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{f'} \ar[d]_{g'} & Z \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & Y }\] Nous avons alors \[(f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Z/Y) = (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Z'/X) = \Gamma(Z', (g')^{-1}\mathcal{F}) = \Gamma(Z, f'_*(g')^{-1}\mathcal{F})\] la deuxième égalité venant du lemme 09X3. D’autre part, \[(\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F})(Z/Y) = \Gamma(Z, g^{-1}f_*\mathcal{F})\] encore d’après le lemme 09X3. Le changement de base propre pour les faisceaux d’ensembles (Cohomologie, lemme 0D90) montre donc que les deux ensembles sont canoniquement isomorphes. Cet isomorphisme est compatible aux applications de restriction et définit un isomorphisme \(\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F} = f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\). et donc un isomorphisme de foncteurs \(\pi_Y^{-1} \circ f_* = f_{Zar, *} \circ \pi_X^{-1}\).

Démonstration de (7b). Soit \(K \in D^+(X)\). D’après le lemme 0D6I, le \(n\)-ième faisceau de cohomologie de \(Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\) est le faisceau associé au préfaisceau \[(g : Z \to Y) \longmapsto H^n_{Zar}(Z', \pi_X^{-1}K)\] avec les notations ci-dessus. Observons que \[\begin{align*} H^n_{Zar}(Z', \pi_X^{-1}K) & = H^n(Z', (g')^{-1}K) \\ & = H^n(Z, Rf'_*(g')^{-1}K) \\ & = H^n(Z, g^{-1}Rf_*K) \\ & = H^n_{Zar}(Z, \pi_Y^{-1}Rf_*K) \end{align*}\] La première égalité est (6) appliqué à \(K\) et à \(g' : Z' \to X\). La deuxième est Leray pour \(f' : Z' \to Z\) (Cohomologie, lemme 01EZ). La troisième est le théorème de changement de base propre (Cohomologie, théorème 09V6). La quatrième est (6) appliqué à \(g : Z \to Y\) et à \(Rf_*K\). Ainsi, \(Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\) et \(\pi_Y^{-1}Rf_*K\) ont les mêmes faisceaux de cohomologie. Nous omettons la vérification que le morphisme canonique de changement de base \(\pi_Y^{-1}Rf_*K \to Rf_{Zar, *}\pi_X^{-1}K\) induit cet isomorphisme.

Dans la situation du lemme 09X3, la composition de \(\epsilon\) et \(\pi\) et l’égalité \(\Sh(X) = \Sh(X_{Zar})\) déterminent un morphisme de topos \[a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \longrightarrow \Sh(X)\]

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\textit{LC}_{qc}\). Il existe alors des diagrammes commutatifs de topos \[\vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \ar[r]_{f_{qc}} \ar[d]_{\epsilon_X} & \Sh(\textit{LC}_{qc}/Y) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh(\textit{LC}_{Zar}/X) \ar[r]^{f_{Zar}} & \Sh(\textit{LC}_{Zar}/Y) } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \ar[r]_{f_{qc}} \ar[d]_{a_X} & \Sh(\textit{LC}_{qc}/Y) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X) \ar[r]^f & \Sh(Y) } }\] avec \(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\), \(a_Y = \pi_Y \circ \epsilon_Y\). Si \(f\) est propre, alors \(a_Y^{-1} \circ f_* = f_{qc, *} \circ a_X^{-1}\).

Démonstration

Le morphisme de topos \(f_{qc}\) est celui de Sites, lemme 03EH, qui, dans notre cas, provient du foncteur continu \(Z/Y \mapsto Z \times_Y X/X\), voir Sites, lemme 09W9. Le diagramme de gauche commute parce que les foncteurs continus correspondants se composent correctement (voir Sites, lemme 03CB). Le diagramme de droite commute parce que celui de gauche commute et à cause du point (5) du lemme 0DCU.

Démonstration de la dernière assertion. On pourrait répéter la démonstration du point (7a) du lemme 0DCU ; nous allons plutôt l’en déduire. Comme \(\epsilon_{Y, *}\) est le foncteur identité sur les préfaisceaux sous-jacents, il reflète les isomorphismes. La description du lemme 09X3 montre que \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\), et de même pour \(X\). Pour montrer que le morphisme canonique \(a_Y^{-1}f_*\mathcal{F} \to f_{qc, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme, il suffit de montrer que \[\pi_Y^{-1}f_*\mathcal{F} = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_*\mathcal{F} \to \epsilon_{Y, *}f_{qc, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = f_{Zar, *}\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = f_{Zar, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F}\] est un isomorphisme. C’est le point (7a) du lemme 0DCU.

Lemme

Considérons le morphisme de comparaison \(\epsilon : \textit{LC}_{qc} \to \textit{LC}_{Zar}\). Notons \(\mathcal{P}\) la classe des applications propres d’espaces topologiques. Pour \(X\) dans \(\textit{LC}_{Zar}\), notons \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\) la sous-catégorie pleine formée des faisceaux de la forme \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) avec \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(X)\). Alors les propriétés (0EZ4), (0EZ5), (0EZ6), (0EZ7) et (0EZ8) de la situation 0EZ3 sont vérifiées.

Démonstration

Nous montrons d’abord que \(\mathcal{A}'_X \subset \textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\) est une sous-catégorie de Serre faible en vérifiant les conditions (1), (2), (3) et (4) de Homologie, lemme 0754. Les points (1), (2) et (3) sont immédiats, car \(\pi_X^{-1}\) est exact et pleinement fidèle d’après le point (3) du lemme 0DCU. Si \(0 \to \pi_X^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \pi_X^{-1}\mathcal{F}' \to 0\) est une suite exacte courte dans \(\textit{Ab}(\textit{LC}_{Zar}/X)\), alors \(0 \to \mathcal{F} \to \pi_{X, *}\mathcal{G} \to \mathcal{F}' \to 0\) est exacte d’après le point (2) du lemme 0DCU. Par conséquent, \(\mathcal{G} = \pi_X^{-1}\pi_{X, *}\mathcal{G}\) appartient à \(\mathcal{A}'_X\), ce qui vérifie la dernière condition.

La propriété (0EZ4) résulte du lemme 09WZ et du fait que le changement de base d’une application propre est propre (voir Topologie, théorème 005R et lemme 0CY4).

La propriété (0EZ5) résulte du diagramme commutatif (5) du lemme 0DCU.

La propriété (0EZ6) est le lemme 09X3.

La propriété (0EZ7) est le point (7)(b) du lemme 0DCU.

Démonstration de (0EZ8). Soit donné un recouvrement qc \(\{U_i \to U\}\). Pour \(u \in U\), choisissons \(i_1, \ldots, i_m \in I\) et des parties quasi-compactes \(E_j \subset U_{i_j}\) telles que \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\) soit un voisinage de \(u\). Observons que \(Y = \coprod_{j = 1, \ldots, m} E_j \to U\) est propre comme application continue entre espaces séparés quasi-compacts (Topologie, lemme 08YD). Choisissons un voisinage ouvert \(u \in V\) contenu dans \(\bigcup f_{i_j}(E_j)\). Alors \(Y \times_U V \to V\) est un morphisme propre surjectif, donc un recouvrement \(qc\) d’après le lemme 09X5. Comme nous pouvons le faire pour tout \(u \in U\), la propriété (0EZ8) est vérifiée.

Lemme

Avec les notations ci-dessus :

1. Pour \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\) et un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous avons \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) et \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\).

2. Pour un morphisme propre \(f : X \to Y\) de \(\textit{LC}_{qc}\) et un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous avons \(a_Y^{-1}(R^if_*\mathcal{F}) = R^if_{qc, *}(a_X^{-1}\mathcal{F})\) pour tout \(i\).

3. Pour \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\) et \(K\) dans \(D^+(X)\), le morphisme \(\pi_X^{-1}K \to R\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}K)\) est un isomorphisme.

4. Pour un morphisme propre \(f : X \to Y\) de \(\textit{LC}_{qc}\) et \(K\) dans \(D^+(X)\), nous avons \(a_Y^{-1}(Rf_*K) = Rf_{qc, *}(a_X^{-1}K)\).

Démonstration

Par le lemme 0EZI, tous les lemmes de la section 0EZ1 s’appliquent dans notre situation. Pour traduire les résultats, observons que la catégorie \(\mathcal{A}_X\) du lemme 0EZ9 est l’image essentielle de \(a_X^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(\textit{LC}_{qc}/X)\).

Le point (1) équivaut à \((V_n)\) pour tout \(n\), ce qui est vérifié d’après le lemme 0EZF.

Le point (2) résulte de l’application de \(\epsilon_Y^{-1}\) à la conclusion du lemme 0EZA.

Le point (3) résulte du point (1) du lemme 0EZF, car \(\pi_X^{-1}K\) appartient à \(D^+_{\mathcal{A}'_X}(\textit{LC}_{Zar}/X)\) et \(a_X^{-1} = \epsilon_X^{-1} \circ \pi_X^{-1}\).

Le point (4) résulte du point (2) du lemme 0EZF pour la même raison.

Lemme

Soit \(X\) un objet de \(\textit{LC}_{qc}\). Pour \(K \in D^+(X)\), le morphisme \[K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] est un isomorphisme, où \(a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \to \Sh(X)\) est comme ci-dessus.

Démonstration

Nous nous ramenons d’abord au cas où \(K\) est donné par un seul faisceau abélien. Représentons en effet \(K\) par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{F}^\bullet\). Le cas d’un faisceau montre que \(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) et que les faisceaux \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\) sont nuls pour \(q > 0\). En appliquant le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) à \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\) et au foncteur \(a_{X, *}\), nous concluons. Désormais, supposons \(K = \mathcal{F}\).

Par le lemme 09X3, nous avons \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\). Il suffit donc de montrer que \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\) pour \(q > 0\). Pour cela, nous pouvons utiliser \(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\) et la suite spectrale de Leray du lemme 0734. Par le lemme 0DCY, nous avons \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > 0\) et \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\). Par le lemme 0DCU, nous avons \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) pour \(j > 0\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Avec \(X \in \Ob(\textit{LC}_{qc})\) et \(a_X : \Sh(\textit{LC}_{qc}/X) \to \Sh(X)\) comme ci-dessus :

1. pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous avons \(H^n(X, \mathcal{F}) = H^n_{qc}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\),

2. pour \(K \in D^+(X)\), nous avons \(H^n(X, K) = H^n_{qc}(X, a_X^{-1}K)\).

Par exemple, si \(A\) est un groupe abélien, alors nous avons \(H^n(X, \underline{A}) = H^n_{qc}(X, \underline{A})\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 0D91 et de la remarque 08J6.

Suites spectrales pour Ext

Dans cette section, nous rassemblons diverses suites spectrales qui interviennent lorsque l’on considère les foncteurs Ext. Pour toute paire de complexes \(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet\) de modules sur un site annelé \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), nous notons \[\Ext^n_\mathcal{O}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(\mathcal{G}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet[n])\] conformément à nos conventions générales de Catégories dérivées, section 06XP.

Exemple

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules borné supérieurement. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Il existe alors une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{i, j} = \Ext_\mathcal{O}^i(H^{-j}(\mathcal{K}^\bullet), \mathcal{F}) \Rightarrow \Ext_\mathcal{O}^{i + j}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{F})\] et une autre suite spectrale dont la page \(E_1\) est \[E_1^{i, j} = \Ext_\mathcal{O}^j(\mathcal{K}^{-i}, \mathcal{F}) \Rightarrow \Ext_\mathcal{O}^{i + j}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{F}).\] Pour construire ces suites spectrales, choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) et considérons les deux suites spectrales provenant du complexe double \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) ; voir Homologie, section 012X.

Cup-produit

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(K, M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Posons \(A = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Dans ce cadre, le cup-produit (global) est un morphisme \[R\Gamma(\mathcal{C}, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, M) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M)\] dans \(D(A)\). Nous le définissons comme le cup-produit relatif associé au morphisme de topos annelés \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(pt), A)\) comme dans la remarque 0B6C.

Formulons et démontrons une compatibilité naturelle du cup-produit relatif. Supposons donc que l’on dispose d’un morphisme \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) de topos annelés. Soient \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) des complexes de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Il existe un cup-produit naïf \[\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \longrightarrow f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet)\] Nous affirmons que celui-ci est lié au cup-produit relatif.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le diagramme suivant est commutatif \[\xymatrix{ f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[r] \ar[d] & Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d]^{\text{Remarque \href{sites-cohomology.html#sites-cohomology-remark-cup-product}{0B6C}}} \\ \text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{\text{cup-produit naïf}} & Rf_*(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[r] & Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) }\]

Démonstration

D’après la construction de la remarque 0B6C, on voit qu’en parcourant le diagramme dans le sens des aiguilles d’une montre, le morphisme \[f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet \longrightarrow Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet)\] est adjoint au morphisme \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to Lf^*Rf_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] D’après le lemme 0FPI, ce morphisme est aussi égal à \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & = Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \\ & \to \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] En parcourant le diagramme dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on obtient le morphisme adjoint au morphisme \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*Rf_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] D’après le lemme 0FPI, ce morphisme est aussi égal à \[\begin{align*} Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) & \to Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \\ & \to Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \\ & \to \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \end{align*}\] Pour achever la preuve, il suffit maintenant de considérer le diagramme \[\xymatrix{ Lf^*(f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \ar[rr] & & Lf^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} Lf^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[d] \\ Lf^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d]_{naive} \ar[r] & f^*\text{Tot}( f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[ldd]^{naive} \ar[dd] & f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet \ar[dd] \ar[ldd] \\ Lf^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[d] \\ f^*f_*\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) \ar[rd] & \text{Tot}(f^*f_*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*f_*\mathcal{M}^\bullet) \ar[d] & \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} \mathcal{M}^\bullet \ar[ld] \\ & \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} \mathcal{M}^\bullet) }\] Tous les polygones de ce diagramme sont commutatifs. Celui du haut l’est d’après le lemme 0FPH. Le carré comportant les deux cup-produits naïfs est commutatif parce que \(Lf^* \to f^*\) est fonctoriel en le complexe de modules. Il en va de même du carré faisant intervenir les deux morphismes \(\mathcal{A}^\bullet \otimes^\mathbf{L} \mathcal{B}^\bullet \to \text{Tot}(\mathcal{A}^\bullet \otimes \mathcal{B}^\bullet)\). Enfin, le dernier carré est commutatif au niveau des complexes et cela peut être considéré comme la définition du cup-produit naïf (par l’adjonction entre \(f^*\) et \(f_*\)). La preuve est achevée, car les deux parcours du bord extérieur du diagramme donnent les deux morphismes décrits ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B6C est associatif au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[r] \ar[d] & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M \ar[d] \\ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M) \ar[r] & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\) pour tous \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

En suivant l’un ou l’autre chemin, on obtient le morphisme adjoint au morphisme évident \[\begin{align*} Lf^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*M) & = Lf^*(Rf_*K) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*L) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} Lf^*(Rf_*M) \\ & \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} M \end{align*}\] dans \(D(\mathcal{O})\).

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B6C est commutatif au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L \ar[r] \ar[d]_\psi & Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \ar[d]^{Rf_*\psi} \\ Rf_*L \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*K \ar[r] & Rf_*(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\) pour tous \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O})\). Ici, \(\psi\) est la contrainte de commutativité de la catégorie dérivée (lemme 0FPT).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) et \(f' : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) des morphismes de topos annelés. Le cup-produit relatif de la remarque 0B6C est compatible aux compositions au sens où le diagramme \[\xymatrix{ R(f' \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} R(f' \circ f)_*L \ar@{=}[rr] \ar[d] & & Rf'_*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} Rf'_*Rf_*L \ar[d] \\ R(f' \circ f)_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[r] & Rf'_*Rf_*(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L) & Rf'_*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[l] }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}'')\) pour tous \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Cela résulte du fait qu’en suivant l’un ou l’autre chemin dans le diagramme, on obtient le morphisme adjoint au morphisme \[\begin{align*} & L(f' \circ f)^*\left(R(f' \circ f)_*K \otimes_{\mathcal{O}''}^\mathbf{L} R(f' \circ f)_*L\right) \\ & = L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_*K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_*L \\ & \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L \end{align*}\] dans \(D(\mathcal{O})\). Pour le voir, on utilise le fait que la composée des co-unités \[L(f' \circ f)^*R(f' \circ f)_* = Lf^* L(f')^* Rf'_* Rf_* \to Lf^* Rf_* \to \text{id}\] est la co-unité de l’adjonction entre \(L(f' \circ f)^*\) et \(R(f' \circ f)_*\). Voir Catégories, lemme 0DV0.

Lemme

Considérons un carré commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}}) }\] de topos annelés. Soient \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}})\). Le cup-produit relatif est compatible avec ce carré au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Lg^*(Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}}}^\mathbf{L} Rf_*L) \ar[r] \ar@{=}[d] & Lg^*(Rf_*(K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}^\mathbf{L} L)) \ar[d] \\ Lg^*Rf_*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}'}}^\mathbf{L} Lg^*Rf_*L \ar[d] & R(f')_*L(g')^*(K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}}}^\mathbf{L} L) \ar@{=}[d] \\ R(f')_*L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}'}}^\mathbf{L} R(f')_*L(g')^*L \ar[r] & R(f')_*(L(g')^*K \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}}^\mathbf{L} L(g')^*L) }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\). Les flèches horizontales sont données par le cup-produit relatif (remarque 0B6C) et les flèches verticales sont données par le morphisme de changement de base (remarque 07A7) et le lemme 07A4.

Démonstration

La démonstration est omise.

Complexes de Hom

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{L}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\) deux complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Nous construisons un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\). Plus précisément, pour tout \(n\), nous posons \[\SheafHom^n(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) = \prod\nolimits_{n = p + q} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] On peut voir \(\SheafHom^n\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules formé de toutes les applications \(\mathcal{O}\)-linéaires de \(\mathcal{L}^\bullet\) dans \(\mathcal{M}^\bullet\) (considérés comme des \(\mathcal{O}\)-modules gradués) qui sont homogènes de degré \(n\). Dans cette terminologie, nous définissons la différentielle par la formule \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] pour \(f \in \SheafHom^n_\mathcal{O}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\). Nous omettons la vérification que \(\text{d}^2 = 0\). Cette construction est un cas particulier d’ Algèbre différentielle graduée, exemple 09L9. Il résulte immédiatement de la construction que l’on a [0A8Y]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{M}^\bullet[n]|_U) \end{equation}\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) et tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). De même, on a [0A8Z]\[\begin{equation} H^n(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet))) = \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet[n]) \end{equation}\] pour le complexe des sections globales.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un isomorphisme \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, fonctoriel en \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A5Y.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A8I.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet))\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, fonctoriel par rapport aux trois complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0BYM.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\mathcal{K}^\bullet \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet))\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, fonctoriel par rapport aux deux complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A62.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Étant donnés des complexes \(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules, il existe un morphisme canonique \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{M}^\bullet)\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, fonctoriel par rapport aux trois complexes.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : cela se démontre exactement comme dans Compléments d’algèbre, lemme 0A60.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(L\) et \(M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(M\). Soit \(\mathcal{L}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(L\). Alors \[H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). De même, \(H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\).

Démonstration

On a \[\begin{align*} H^0(\Gamma(U, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{L}^\bullet|_U, \mathcal{I}^\bullet|_U) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U) \end{align*}\] La première égalité est (0A8Y). La seconde est vraie parce que \(\mathcal{I}^\bullet|_U\) est K-injectif d’après le lemme 08FI. La démonstration de l’égalité portant sur les sections globales est analogue, mais utilise (0A8Z).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{I}')^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes K-injectifs de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \((\mathcal{L}')^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) un quasi-isomorphisme de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Soit \(M\) l’objet de \(D(\mathcal{O})\) représenté par \(\mathcal{I}^\bullet\) et \((\mathcal{I}')^\bullet\). Soit \(L\) l’objet de \(D(\mathcal{O})\) représenté par \(\mathcal{L}^\bullet\) et \((\mathcal{L}')^\bullet\). D’après le lemme 0A94, les faisceaux \[H^0(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, (\mathcal{I}')^\bullet)) \quad\text{et}\quad H^0(\SheafHom^\bullet((\mathcal{L}')^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] sont tous deux égaux au faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] Par fonctorialité, le morphisme induit l’identité de ce faisceau. Le même argument appliqué après décalage montre qu’il induit un isomorphisme sur tous les faisceaux de cohomologie. C’est donc un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{L}^\bullet\) un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) est un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

En effet, si \(\mathcal{K}^\bullet\) est un complexe acyclique de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \[\begin{align*} \Hom_{K(\mathcal{O})}(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) & = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)))) \\ & = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^\bullet(\text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet))) \\ & = \Hom_{K(\mathcal{O})}( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet) \\ & = 0 \end{align*}\] La première égalité résulte de (0A8Z). La deuxième résulte du lemme 0A90. La troisième résulte de (0A8Z). Enfin, \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)\) est acyclique puisque \(\mathcal{L}^\bullet\) est K-plat (définition 06YN) ; la dernière égalité résulte donc du fait que \(\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif.

Hom interne dans la catégorie dérivée

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Nous souhaitons construire un objet \(R\SheafHom(L, M)\) de \(D(\mathcal{O})\) tel que, pour tout troisième objet \(K\) de \(D(\mathcal{O})\), il existe une bijection canonique [08J8]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M) \end{equation}\] Observons que cette formule définit \(R\SheafHom(L, M)\) à isomorphisme unique près, par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P).

Pour construire un tel objet, choisissons un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\) et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Posons alors \[R\SheafHom(L, M) = \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] où le membre de droite est le complexe de \(\mathcal{O}\)-modules construit à la section 0A8X. Cette définition est bien fondée par le lemme 0A95. On obtient un foncteur \[D(\mathcal{O})^{opp} \times D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\mathcal{O}), \quad (K, L) \longmapsto R\SheafHom(K, L)\] Avant de démontrer (08J8), calculons les groupes de cohomologie de \(R\SheafHom(K, L)\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), on a \[H^0(U, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(L|_U, M|_U)\] et l’on a \(H^0(\mathcal{C}, R\SheafHom(L, M)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules représentant \(M\) et un complexe K-plat \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Alors \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) est K-injectif par le lemme 0A96. On peut donc calculer la cohomologie sur \(U\) en prenant simplement les sections sur \(U\), et le résultat découle du lemme 0A94.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(K, L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Pour la construction décrite ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \[R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M)) = R\SheafHom(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M)\] dans \(D(\mathcal{O})\), fonctoriel en \(K, L, M\), qui redonne (08J8) après application de \(H^0(\mathcal{C}, -)\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\) et un complexe K-plat de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Pour tout complexe de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}^\bullet\), on a \[\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)) = \SheafHom^\bullet( \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] par le lemme 0A90. Remarquons que le membre de gauche représente \(R\SheafHom(K, R\SheafHom(L, M))\) (utiliser le lemme 0A96) et que le membre de droite représente \(R\SheafHom(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L, M)\). Cela démontre la formule affichée du lemme. En prenant les sections globales et en utilisant le lemme 08JA, on obtient (08J8).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(K, L\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). La construction de \(R\SheafHom(K, L)\) commute aux restrictions, c’est-à-dire que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), on a \(R\SheafHom(K|_U, L|_U) = R\SheafHom(K, L)|_U\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction et du lemme 08FI.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Le bifoncteur \(R\SheafHom(- , -)\) transforme les triangles distingués en triangles distingués dans chacune des deux variables.

Démonstration

Cela découle du fait que l’application \[(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet) \longmapsto \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{M}^\bullet)\] transforme, dans chacune des variables, toute suite exacte courte de complexes scindée terme à terme en une suite exacte courte scindée terme à terme. Détails omis.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(K, L, M\) des objets de \(D(\mathcal{O})\). Il existe un morphisme canonique \[R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K \longrightarrow R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\] dans \(D(\mathcal{O})\), fonctoriel en \(K, L, M\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\), un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) représentant \(L\), et un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\). Le morphisme est défini à l’aide du morphisme \[\text{Tot}(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{K}^\bullet) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet), \mathcal{I}^\bullet)\] du lemme 0A92. Avec notre choix particulier de complexes, le membre de gauche représente \(R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} K\) et le membre de droite représente \(R\SheafHom(R\SheafHom(K, L), M)\). Nous omettons la démonstration de la fonctorialité par rapport aux trois objets de \(D(\mathcal{O})\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Pour \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O})\), il existe un morphisme canonique \[R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, M)\] dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(M\), un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) représentant \(L\), et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\). Par le lemme 0A91, il existe un morphisme de complexes \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right) \longrightarrow \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] Les complexes de \(\mathcal{O}\)-modules \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\), \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\) et \(\SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) représentent \(R\SheafHom(L, M)\), \(R\SheafHom(K, L)\) et \(R\SheafHom(K, M)\). Si nous choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{H}^\bullet\) et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{H}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\), alors il existe un morphisme \[\text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H}^\bullet \right) \longrightarrow \text{Tot}\left( \SheafHom^\bullet(\mathcal{J}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet) \right)\] dont la source représente \(R\SheafHom(L, M) \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(K, L)\). En composant les deux flèches affichées, on obtient le morphisme recherché. Nous omettons la démonstration de la fonctorialité de la construction.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Pour \(K, L, M\) dans \(D(\mathcal{O})\), il existe un morphisme canonique \[K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O})\), fonctoriel en \(K, L, M\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\), un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) représentant \(L\), et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{M}^\bullet\) représentant \(M\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{I}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\) où \(\mathcal{J}^\bullet\) est K-injectif. Nous utilisons alors le morphisme \[\text{Tot}\left( \mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet) \right) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{M}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] où le premier morphisme est celui du lemme 0BYT.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Pour \(K, L\) dans \(D(\mathcal{O})\), il existe un morphisme canonique \[K \longrightarrow R\SheafHom(L, K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L)\] dans \(D(\mathcal{O})\), fonctoriel en \(K\) et \(L\).

Démonstration

Choisissons un complexe K-plat \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\) et un complexe quelconque de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{L}^\bullet\) représentant \(L\). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{J}^\bullet\) et un quasi-isomorphisme \(\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet) \to \mathcal{J}^\bullet\). Nous utilisons alors \[\mathcal{K}^\bullet \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^\bullet)) \to \SheafHom^\bullet(\mathcal{L}^\bullet, \mathcal{J}^\bullet)\] où le premier morphisme provient du lemme 0A93.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(L\) un objet de \(D(\mathcal{O})\). Posons \(L^\vee = R\SheafHom(L, \mathcal{O})\). Pour \(M\) dans \(D(\mathcal{O})\), il existe un morphisme canonique [08JE]\[\begin{equation} M \otimes^\mathbf{L}_\mathcal{O} L^\vee \longrightarrow R\SheafHom(L, M) \end{equation}\] qui induit un morphisme canonique \[H^0(\mathcal{C}, M \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} L^\vee) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O})}(L, M)\] fonctoriel en \(M\) dans \(D(\mathcal{O})\).

Démonstration

Le morphisme (08JE) est un cas particulier du lemme 0A98, en utilisant l’identification \(M = R\SheafHom(\mathcal{O}, M)\).

Remarque

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(K, L\) des objets de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme canonique \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \longrightarrow R\SheafHom(Rf_*L, Rf_*K)\] En effet, d’après (08J8), cela revient à donner un morphisme \(Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*K\). Pour cela, nous pouvons utiliser la composition \[Rf_*R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}^\mathbf{L} Rf_*L \to Rf_*(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L) \to Rf_*K\] où la première flèche est le cup-produit relatif (remarque 0B6C) et la deuxième est \(Rf_*\) appliqué au morphisme canonique \(R\SheafHom(L, K) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}^\mathbf{L} L \to K\) provenant du lemme 0A98 (avec \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) à l’une des places).

Remarque

Soit \(h : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Soient \(K, L\) des objets de \(D(\mathcal{O}')\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme canonique \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] dans \(D(\mathcal{O})\). En effet, d’après (08J8), démontré dans le lemme 08J9, donner un tel morphisme revient à donner un morphisme \[Lh^*R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} Lh^*K \longrightarrow Lh^*L\] La source de cette flèche est \(Lh^*(\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K)\) d’après le lemme 07A4. Il suffit donc de construire un morphisme canonique \[R\SheafHom(K, L) \otimes^\mathbf{L} K \longrightarrow L.\] Pour cela, nous prenons la flèche correspondant à \[\text{id} : R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R\SheafHom(K, L)\] par (08J8).

Remarque

Supposons que \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_h \ar[d]_{f'} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^f \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^g & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] soit un diagramme commutatif de topos annelés. Soient \(K, L\) des objets de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\). Nous affirmons qu’il existe un morphisme canonique de changement de base \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L)\] dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\). En effet, nous prenons le morphisme adjoint à la composition \[\begin{align*} L(f')^*Lg^*Rf_*R\SheafHom(K, L) & = Lh^*Lf^*Rf_*R\SheafHom(K, L) \\ & \to Lh^*R\SheafHom(K, L) \\ & \to R\SheafHom(Lh^*K, Lh^*L) \end{align*}\] où la première flèche utilise le morphisme d’adjonction \(Lf^*Rf_* \to \text{id}\), et la deuxième est le morphisme canonique construit dans la remarque 08JF.

Hom dérivé global

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soient \(K, L \in D(\mathcal{O})\). En utilisant la construction du Hom interne dans la catégorie dérivée, nous obtenons un objet bien défini \[R\Hom_\mathcal{O}(K, L) = R\Gamma(\mathcal{C}, R\SheafHom(K, L))\] de \(D(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}))\). D’après le lemme 08JA, nous avons \[H^0(R\Hom_\mathcal{O}(K, L)) = \Hom_{D(\mathcal{O})}(K, L)\] et \[H^p(R\Hom_\mathcal{O}(K, L)) = \Ext_{D(\mathcal{O})}^p(K, L)\] Si \(f : (\mathcal{C}', \mathcal{O}') \to (\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est un morphisme de topos annelés, alors il existe un morphisme canonique \[R\Hom_\mathcal{O}(K, L) \longrightarrow R\Hom_{\mathcal{O}'}(Lf^*K, Lf^*L)\] dans \(D(\Gamma(\mathcal{O}))\), obtenu en prenant les sections globales du morphisme défini dans la remarque 08JF.

Image directe exceptionnelle dérivée

Dans cette section, nous étudions des morphismes \(g\) de topos annelés pour lesquels, outre \(Lg^*\) et \(Rg_*\), il existe aussi un foncteur dérivé \(Lg_!\).

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu de sites, et soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos correspondant. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux et soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module injectif. Alors \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{I}) = 0\) pour tout \(p > 0\) et tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration

L’annulation du lemme résulte du lemme 03F9 si nous pouvons démontrer l’annulation de tous les groupes de cohomologie de Čech supérieurs \(\check H^p(\mathcal{U}, g^{-1}\mathcal{I})\) pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\). Comme \(u\) est continu, \(u(\mathcal{U}) = \{u(U_i) \to u(U)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{D}\), et \(u(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_n}) = u(U_{i_0}) \times_{u(U)} \ldots \times_{u(U)} u(U_{i_n})\). Ainsi, nous avons \[\check H^p(\mathcal{U}, g^{-1}\mathcal{I}) = \check H^p(u(\mathcal{U}), \mathcal{I})\] car \(g^{-1} = u^p\) d’après Sites, lemme 00XR. Comme \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module injectif, ces groupes de cohomologie de Čech sont nuls, voir le lemme 03FC.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu de sites, et soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos correspondant. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux et posons \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\). Le foncteur \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) (voir Modules sur les sites, lemme 0797) possède un foncteur dérivé à gauche \[Lg_! : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] qui est adjoint à gauche de \(g^*\). De plus, pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous avons \[Lg_!(j_{U!}\mathcal{O}_U) = g_!j_{U!}\mathcal{O}_U = j_{u(U)!} \mathcal{O}_{u(U)}.\] où \(j_{U!}\) et \(j_{u(U)!}\) sont les prolongements par zéro associés aux morphismes de localisation \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) et \(j_{u(U)} : \mathcal{D}/u(U) \to \mathcal{D}\).

Démonstration

Nous allons utiliser Catégories dérivées, proposition 0794, pour construire \(Lg_!\). Il faut pour cela vérifier les hypothèses (1), (2), (3), (4) et (5) de cette proposition. Tout d’abord, puisque \(g_!\) est un adjoint à gauche, il est exact à droite et commute à toutes les colimites ; la condition (5) est donc vérifiée. Les conditions (3) et (4) le sont parce que la catégorie des modules sur un site annelé est une catégorie abélienne de Grothendieck. Soit \(\mathcal{P} \subset \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}))\) la collection des \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules qui sont des sommes directes de modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\). Notons que \(g_!j_{U!}\mathcal{O}_U = j_{u(U)!} \mathcal{O}_{u(U)}\), voir la démonstration de Modules sur les sites, lemme 0797. Tout \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module est quotient d’un objet de \(\mathcal{P}\), voir Modules sur les sites, lemme 03EW. La condition (1) est donc vérifiée. Il reste à démontrer (2). Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) un complexe acyclique borné supérieurement de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules, avec \(\mathcal{K}^n \in \mathcal{P}\) pour tout \(n\). Nous devons montrer que \(g_!\mathcal{K}^\bullet\) est exact. Pour cela, il suffit de montrer, pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module injectif \(\mathcal{I}\), que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) = 0\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Comme \(\mathcal{I}\) est injectif, nous avons \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) & = \Hom_{K(\mathcal{O}_\mathcal{D})}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I}[n]) \\ & = H^n(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( g_!\mathcal{K}^\bullet, \mathcal{I})) \\ & = H^n(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I})) \end{align*}\] la dernière égalité venant de l’adjonction entre \(g_!\) et \(g^{-1}\).

L’annulation de ce groupe serait claire si \(g^{-1}\mathcal{I}\) était un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module injectif. Mais \(g^{-1}\mathcal{I}\) n’est pas nécessairement un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module injectif, puisque \(g_!\) n’est en général pas exact. Nous savons néanmoins que \[\Ext^p_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( j_{U!}\mathcal{O}_U, g^{-1}\mathcal{I}) = H^p(U, g^{-1}\mathcal{I}) = 0 \text{ pour }p \geq 1\] La première égalité vient ici de \(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(j_{U!}\mathcal{O}_U, \mathcal{H}) = \mathcal{H}(U)\) par passage aux foncteurs dérivés, et l’annulation de \(H^p(U, g^{-1}\mathcal{I})\) pour \(p > 0\) et \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) résulte du lemme 0D6X. Comme chaque \(\mathcal{K}^{-q}\) est une somme directe de modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\), nous voyons que \[\Ext^p_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(\mathcal{K}^{-q}, g^{-1}\mathcal{I}) = 0 \text{ pour }p \geq 1\text{ et tout }q\] Utilisons la suite spectrale (voir l’exemple 07AA) \[E_1^{p, q} = \Ext^q_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^{-p}, g^{-1}\mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{p + q}_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I}) = 0.\] Notons que la suite spectrale aboutit à zéro puisque \(\mathcal{K}^\bullet\) est acyclique (il est donc nul dans la catégorie dérivée et produit des groupes Ext nuls). Par l’annulation des Ext supérieurs démontrée ci-dessus, les seuls termes non nuls de la page \(E_1\) sont \(E_1^{p, 0} = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^{-p}, g^{-1}\mathcal{I})\). Nous concluons que le complexe \(\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \mathcal{K}^\bullet, g^{-1}\mathcal{I})\) est acyclique, comme voulu.

Ainsi, le foncteur dérivé à gauche \(Lg_!\) existe. Il est adjoint à gauche de \(g^{-1} = g^* = Rg^* = Lg^*\), c’est-à-dire que nous avons [07AD]\[\begin{equation} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{C})}(K, g^*L) = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{D})}(Lg_!K, L) \end{equation}\] d’après Catégories dérivées, lemme 09T5. Cela achève la démonstration.

Remarque

Attention ! Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), \(g\), \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) et \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) comme dans le lemme 07AC. En général, le diagramme \[\xymatrix{ D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[r]_{Lg_!} \ar[d]_{forget} & D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[d]^{forget} \\ D(\mathcal{C}) \ar[r]^{Lg^{Ab}_!} & D(\mathcal{D}) }\] ne commute pas, où \(Lg_!^{Ab}\) est le foncteur construit dans le lemme 07AC, mais en utilisant le faisceau constant \(\mathbf{Z}\) comme faisceau structural sur \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\). En général, on n’a même pas \(g_! = g_!^{Ab}\) (voir Modules sur les sites, remarque 0798), mais ce phénomène peut se produire même si \(g_! = g_!^{Ab}\) ! En effet, la construction de \(Lg_!\) dans la démonstration du lemme 07AC montre que \(Lg_!\) coïncide avec \(Lg_!^{\textit{Ab}}\) si et seulement si les morphismes canoniques \[Lg^{Ab}_!j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}\] sont des isomorphismes dans \(D(\mathcal{D})\) pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). En général, tout ce que l’on peut dire est qu’il existe une transformation naturelle \[Lg_!^{Ab} \circ forget \longrightarrow forget \circ Lg_!\]

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu de sites, et soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos correspondant. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux et soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module injectif. Si \(g_!^{Sh} : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) commute aux produits fibrés⁷, alors \(g^{-1}\mathcal{I}\) est totalement acyclique.

Démonstration

Nous utiliserons le critère du lemme 07A1. La condition (1) est vérifiée d’après le lemme 0D6X. Soit \(K' \to K\) un morphisme surjectif de faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{C}\). Comme \(g_!^{Sh}\) est un adjoint à gauche, le morphisme \(g_!^{Sh}K' \to g_!^{Sh}K\) est surjectif. Observons que \[\begin{align*} H^0(K' \times_K \ldots \times_K K', g^{-1}\mathcal{I}) & = H^0(g_!^{Sh}(K' \times_K \ldots \times_K K'), \mathcal{I}) \\ & = H^0(g_!^{Sh}K' \times_{g_!^{Sh}K} \ldots \times_{g_!^{Sh}K} g_!^{Sh}K', \mathcal{I}) \end{align*}\] d’après notre hypothèse sur \(g_!^{Sh}\). Comme \(\mathcal{I}\) est un module injectif, il est totalement acyclique par le lemme 072Z (appliqué à l’identité). Nous pouvons donc utiliser la réciproque du lemme 07A1 pour voir que le complexe \[0 \to H^0(K, g^{-1}\mathcal{I}) \to H^0(K', g^{-1}\mathcal{I}) \to H^0(K' \times_K K', g^{-1}\mathcal{I}) \to \ldots\] est exact, comme voulu.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu de sites, et soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos correspondant. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

1. Pour \(M\) dans \(D(\mathcal{D})\), nous avons \(R\Gamma(U, g^{-1}M) = R\Gamma(u(U), M)\).

2. Si \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) est un faisceau d’anneaux et \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\), alors, pour \(M\) dans \(D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\), nous avons \(R\Gamma(U, g^*M) = R\Gamma(u(U), M)\).

Démonstration

Dans le cas borné inférieurement, on obtient (1) et (2) en représentant \(K\) par un complexe borné inférieurement d’injectifs, puis en utilisant le lemme 0D6X ainsi que le lemme d’acyclicité de Leray. Dans le cas non borné, remarquons d’abord que (1) est un cas particulier de (2). Pour (2), nous pouvons utiliser \[R\Gamma(U, g^*M) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(j_{U!}\mathcal{O}_U, g^*M) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}, M) = R\Gamma(u(U), M)\] où l’égalité du milieu résulte du lemme 07AC.

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] de topos annelés. Supposons que :

1. \(f\), \(f'\), \(g\) et \(g'\) correspondent aux foncteurs cocontinus \(u\), \(u'\), \(v\) et \(v'\) comme dans Sites, lemme 00XO,

2. \(v \circ u' = u \circ v'\),

3. \(v\) et \(v'\) sont continus et cocontinus,

4. pour tout objet \(V'\) de \(\mathcal{D}'\), le foncteur \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I} \to {}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) défini par \(v\) est cofinal,

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) et \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\), et

6. \(g'_! : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) est exact⁸.

Alors \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\).

Démonstration

Nous avons \(g^* = Lg^* = g^{-1}\) et \((g')^* = L(g')^* = (g')^{-1}\) d’après la condition (5). Par le lemme 0D6J, il suffit de démontrer le résultat dans la catégorie dérivée \(D(\mathcal{C})\) des faisceaux abéliens. Choisissons un objet \(K \in D(\mathcal{C})\) et soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) représentant \(K\). D’après Catégories dérivées, lemme 08BJ, et l’hypothèse (6), \((g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}'\). Par Modules sur les sites, lemme 0FN3 nous obtenons \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\). Comme \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf_*K\) et que \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf'_*(g')^{-1}K\), nous concluons.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] de topos annelés et supposons donnés des foncteurs \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} & \mathcal{C} \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v \ar[u]^{u'} & \mathcal{D} \ar[u]_u }\] tels que (avec les notations de Sites, sections 00X0 et 00XN) :

1. \(u\) et \(u'\) sont continus et donnent naissance aux morphismes \(f\) et \(f'\),

2. \(v\) et \(v'\) sont cocontinus et donnent naissance aux morphismes \(g\) et \(g'\),

3. \(u \circ v = v' \circ u'\),

4. \(v\) et \(v'\) sont continus et cocontinus, et

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) et \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\).

Alors \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\) comme foncteurs \(D^+(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D^+(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\). Si, de plus,

1. \(g'_! : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) est exact⁹,

alors \(Rf'_* \circ (g')^* = g^* \circ Rf_*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\).

Démonstration

Nous avons \(g^* = Lg^* = g^{-1}\) et \((g')^* = L(g')^* = (g')^{-1}\) d’après la condition (5). Par le lemme 0D6J, il suffit de démontrer le résultat dans la catégorie dérivée \(D^+(\mathcal{C})\) ou \(D(\mathcal{C})\) des faisceaux abéliens.

Choisissons un objet \(K \in D^+(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de faisceaux abéliens injectifs sur \(\mathcal{C}\) représentant \(K\). D’après le lemme 0D6X, nous avons \(H^p(U', (g')^{-1}\mathcal{I}^q) = 0\) pour tout \(p > 0\), tout \(q\) et tout \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\). Rappelons que \(R^pf'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^q\) est le faisceau associé au préfaisceau \(V' \mapsto H^p(u'(V'), (g')^{-1}\mathcal{I}^q)\), voir le lemme 072W. Ainsi, \((g')^{-1}\mathcal{I}^q\) est acyclique à droite pour le foncteur \(f'_*\). Le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) montre alors que \(f'_*(g')^*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf'_*(g')^{-1}K\). Par Modules sur les sites, lemme 0FN4 nous obtenons \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\). Comme \(g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(g^{-1}Rf_*K\), nous concluons.

Choisissons un objet \(K \in D(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) représentant \(K\). D’après Catégories dérivées, lemme 08BJ, et l’hypothèse (6), \((g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}'\). Par Modules sur les sites, lemme 0FN4 nous obtenons \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet = g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet\). Comme \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf_*K\) et que \(f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf'_*(g')^{-1}K\), nous concluons.

Image directe exceptionnelle dérivée pour les catégories fibrées

Dans cette section, nous étudions certains cas particuliers de la situation examinée dans la section 07AB. Nous nous assurons que les foncteurs image directe exceptionnelle sur les modules et sur les faisceaux de groupes abéliens coïncident. Nous conseillons au lecteur de sauter cette section en première lecture.

Situation

Soient \((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un site annelé et \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) une catégorie fibrée. Nous munissons \(\mathcal{C}\) de la topologie héritée de \(\mathcal{D}\) (Champs, section 06NT). Nous notons \(\pi : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à \(p\) (Champs, lemme 06NW). Nous posons \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = \pi^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\), de sorte que nous obtenons un morphisme de topos annelés \[\pi : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\]

Lemme

On reprend les hypothèses et les notations de la situation 08P8. Pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), considérons le morphisme induit de topos \[\pi_U : \Sh(\mathcal{C}/U) \longrightarrow \Sh(\mathcal{D}/p(U))\] Alors il existe un morphisme de topos \[\sigma : \Sh(\mathcal{D}/p(U)) \to \Sh(\mathcal{C}/U)\] tel que \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\) et \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\).

Démonstration

Remarquons que \(\pi_U\) est la restriction de \(\pi\) aux localisations, voir Sites, lemme 03EG. Pour un objet \(V \to p(U)\) de \(\mathcal{D}/p(U)\), notons \(V \times_{p(U)} U \to U\) le morphisme fortement cartésien de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(\mathcal{D}\), qui existe puisque \(p\) est une catégorie fibrée. Le foncteur \[v : \mathcal{D}/p(U) \to \mathcal{C}/U,\quad V/p(U) \mapsto V \times_{p(U)} U/U\] est continu par définition de la topologie sur \(\mathcal{C}\). De plus, il est adjoint à droite de \(p\) par définition des morphismes fortement cartésiens. Nous sommes donc dans la situation examinée dans Sites, section 00XW, et nous voyons que le faisceau \(\pi_{U, *}\mathcal{F}\) est égal à \(V \mapsto \mathcal{F}(V \times_{p(U)} U)\) (voir en particulier Sites, lemme 00XY).

Mais nous disposons ici d’un résultat plus fort. En effet, le foncteur \(v\) est aussi cocontinu (car tous les morphismes des recouvrements de \(\mathcal{C}\) sont fortement cartésiens). Ainsi, \(v\) définit un morphisme \(\sigma\) comme indiqué dans le lemme. L’égalité \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\) résulte immédiatement de la définition. Puisque \(\pi_U^{-1}\mathcal{G}\) est donné par la règle \(U'/U \mapsto \mathcal{G}(p(U')/p(U))\), il s’ensuit que \(\sigma^{-1} \circ \pi_U^{-1} = \text{id}\), ce qui prouve l’égalité \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\).

Situation

Soit \((\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un site annelé. Soit \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{D}\) (Catégories, définition 02XP). Munissons \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\) de leurs topologies héritées (Champs, définition 06NV) et soient \(\pi : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\), \(\pi' : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{D})\), et \(g : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\) les morphismes de topos correspondants (Champs, lemme 06NW). Posons \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = \pi^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\) et \(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} = (\pi')^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\). Remarquons que \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\), de sorte que \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[rd]_{\pi'} \ar[rr]_g & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[ld]^\pi \\ & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] est un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés.

Lemme

On reprend les hypothèses et les notations de la situation 08PA. Pour \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\), posons \(U = u(U')\) et \(V = p'(U')\), puis considérons les morphismes induits de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'/U'), \mathcal{O}_{U'}) \ar[rd]_{\pi'_{U'}} \ar[rr]_{g'} & & (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[ld]^{\pi_U} \\ & (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}_V) }\] Alors il existe un morphisme de topos \[\sigma' : \Sh(\mathcal{D}/V) \to \Sh(\mathcal{C}'/U'),\] tel que, en posant \(\sigma = g' \circ \sigma'\), nous ayons \(\pi'_{U'} \circ \sigma' = \text{id}\), \(\pi_U \circ \sigma = \text{id}\), \((\sigma')^{-1} = \pi'_{U', *}\), et \(\sigma^{-1} = \pi_{U, *}\).

Démonstration

Soit \(v' : \mathcal{D}/V \to \mathcal{C}'/U'\) le foncteur construit dans la démonstration du lemme 08P9 à partir de \(p' : \mathcal{C}' \to \mathcal{D}\) et de l’objet \(U'\). Comme \(u\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{D}\), il transforme les morphismes fortement cartésiens en morphismes fortement cartésiens ; ainsi, le foncteur \(v = u \circ v'\) est le foncteur de la démonstration du lemme 08P9 relatif à \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) et à \(U\). Le présent lemme résulte donc de ce lemme.

Lemme

On reprend les hypothèses et les notations de la situation 08PA.

1. Il existe des adjoints à gauche \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) et \(g_!^{\textit{Ab}} : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) de \(g^* = g^{-1}\) sur les modules et sur les faisceaux abéliens.

2. Le diagramme \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[d] \ar[r]_{g_!} & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d] \\ \textit{Ab}(\mathcal{C}') \ar[r]^{g_!^{\textit{Ab}}} & \textit{Ab}(\mathcal{C}) }\] est commutatif.

3. Il existe des adjoints à gauche \(Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) et \(Lg_!^{\textit{Ab}} : D(\mathcal{C}') \to D(\mathcal{C})\) de \(g^* = g^{-1}\) sur les catégories dérivées de modules et de faisceaux abéliens.

4. Le diagramme \[\xymatrix{ D(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[d] \ar[r]_{Lg_!} & D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d] \\ D(\mathcal{C}') \ar[r]^{Lg_!^{\textit{Ab}}} & D(\mathcal{C}) }\] est commutatif.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est continu et cocontinu (Champs, lemme 06NW). L’existence des foncteurs \(g_!\), \(g_!^{\textit{Ab}}\), \(Lg_!\) et \(Lg_!^{\textit{Ab}}\) résulte donc de Modules sur les sites, sections 04BE et 0796 et de la section 07AB.

Pour démontrer (2), il suffit de montrer que le morphisme canonique \[g_!^{\textit{Ab}}j_{U'!}\mathcal{O}_{U'} \to j_{u(U')!}\mathcal{O}_{u(U')}\] est un isomorphisme pour tout objet \(U'\) de \(\mathcal{C}'\), voir Modules sur les sites, remarque 0798. De même, pour démontrer (4), il suffit de montrer que le morphisme canonique \[Lg_!^{\textit{Ab}}j_{U'!}\mathcal{O}_{U'} \to j_{u(U')!}\mathcal{O}_{u(U')}\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{C})\) pour tout objet \(U'\) de \(\mathcal{C}'\), voir la remarque 07AE. Cela entraînera aussi la formule précédente ; c’est donc ce que nous allons montrer.

Nous utiliserons le fait que, pour un morphisme de localisation \(j\), les foncteurs \(j_!\) et \(j_!^{\textit{Ab}}\) coïncident (voir Modules sur les sites, remarque 08P4) et que \(j_!\) est exact (Modules sur les sites, lemme 03DJ). Adoptons les notations du lemme 08PB. Puisque \(Lg_!^{\textit{Ab}} \circ j_{U'!} = j_{U!} \circ L(g')^{\textit{Ab}}_!\) (par la commutativité du diagramme de Sites, lemme 03EG, et l’unicité des foncteurs adjoints), il suffit de prouver que \(L(g')^{\textit{Ab}}_!\mathcal{O}_{U'} = \mathcal{O}_U\). D’après les résultats du lemme 08PB, nous avons, pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{C}/u(U'))\), la suite d’égalités suivante \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(L(g')_!^{\textit{Ab}}\mathcal{O}_{U'}, E) & = \Hom_{D(\mathcal{C}'/U')}(\mathcal{O}_{U'}, (g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}'/U')}((\pi'_{U'})^{-1}\mathcal{O}_V, (g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, R\pi'_{U', *}(g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, (\sigma')^{-1}(g')^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, \sigma^{-1}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{D}/V)}(\mathcal{O}_V, \pi_{U, *}E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(\pi_U^{-1}\mathcal{O}_V, E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{C}/U)}(\mathcal{O}_U, E) \end{align*}\] Le lemme de Yoneda permet de conclure.