Schémas de Picard des courbes

Introduction

Dans ce chapitre, nous nous bornons à construire le schéma de Picard d’une courbe projective non singulière sur un corps algébriquement clos. On trouvera dans [Kleiman-Picard] un exposé plus approfondi ainsi que des indications historiques.

Nous étudierons plus loin, dans le projet Champs, les foncteurs de Hilbert et de Quot dans un cadre beaucoup plus général.

Schéma de Hilbert des points

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\) un entier. Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), posons \[\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X_T\text{ sous-schéma fermé tel que }\\ Z \to T\text{ soit fini localement libre de degré }d \end{matrix} \right\}\] Si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas sur \(S\) et si \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\), le changement de base \(Z_{T'} \subset X_{T'}\) est un élément de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T')\). On obtient ainsi un foncteur \[\Hilbfunctor^d_{X/S} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad T \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\] En général, \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est un espace algébrique (insérer ici une référence ultérieure). Dans cette section, nous montrerons que \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable par un schéma si tout ensemble fini de points d’une fibre de \(X \to S\) est contenu dans un ouvert affine. Lorsque \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable par un schéma, nous notons souvent ce schéma \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Le foncteur \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est un faisceau pour la topologie fpqc (Topologies, définition 022G).

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(S\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\). Notons que \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\) (Topologies, lemme 022D) et que \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\). Soit \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\) une famille d’éléments telle que \(Z_i\) et \(Z_{i'}\) aient la même image dans \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i \times_T T_{i'})\). Par descente effective des immersions fermées (Descente, lemme 03I0), il existe une immersion fermée \(Z \to X_T\) dont le changement de base par \(X_i \to X_T\) est \(Z_i \to X_i\). Le morphisme \(Z \to T\) a alors pour changement de base à \(T_i\) le morphisme \(Z_i \to T_i\). Par conséquent, \(Z \to T\) est fini localement libre de degré \(d\) d’après Descente, lemme 02VO.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(X \to S\) est de présentation finie, le foncteur \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) commute aux limites projectives (Limites, remarque 05LX).

Démonstration

Soit \(T = \lim T_i\) une limite de schémas affines sur \(S\). Il s’agit de montrer que \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \colim \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\). Si \(Z \to X_T\) est un élément de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\), le morphisme \(Z \to T\) est de présentation finie. Ainsi, d’après Limites, lemme 01ZM, il existe un indice \(i\), un schéma \(Z_i\) de présentation finie sur \(T_i\), et un morphisme \(Z_i \to X_{T_i}\) sur \(T_i\) dont le changement de base à \(T\) est \(Z \to X_T\). Appliquons Limites, lemme 01ZP pour voir que l’on peut supposer que \(Z_i \to X_{T_i}\) est une immersion fermée quitte à augmenter \(i\). Appliquons Limites, lemme 06AC pour voir que \(Z_i \to T_i\) est fini localement libre de degré \(d\) quitte à augmenter encore \(i\). Alors \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\), comme voulu.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : X \to Y\) une immersion fermée de schémas sur \(S\). On dispose alors d’une transformation de foncteurs \[\Hilbfunctor^d_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{Y/S}\] qui associe à un élément \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) l’élément \(i_T(Z) \subset Y_T\) de \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\). Ici, \(i_T : X_T \to Y_T\) est le changement de base de \(i\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Si \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) est représentable par un schéma, il en est de même de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\), et le morphisme de schémas correspondant \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to \underline{\Hilbfunctor}^d_{Y/S}\) est une immersion fermée.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(S\) et soit \(Z \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T)\). Montrons qu’il existe un sous-schéma fermé \(T_X \subset T\) tel qu’un morphisme de schémas \(T' \to T\) se factorise par \(T_X\) si et seulement si \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) se factorise par \(X_{T'}\). En appliquant ceci à un schéma \(T_{univ}\) représentant \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) et à l’objet universel¹ \(Z_{univ} \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T_{univ})\), on obtient un sous-schéma fermé \(T_{univ, X} \subset T_{univ}\) tel que \(Z_{univ, X} = Z_{univ} \times_{T_{univ}} T_{univ, X}\) soit un sous-schéma fermé de \(X \times_S T_{univ, X}\), donc définisse un élément de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_{univ, X})\). Un argument formel montre alors que \(T_{univ, X}\) est un schéma représentant \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\), d’objet universel \(Z_{univ, X}\).

Démontrons l’assertion. Considérons \(Z' = X_T \times_{Y_T} Z\). Étant donné \(T' \to T\), on voit que \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) se factorise par \(X_{T'}\) si et seulement si \(Z'_{T'} \to Z_{T'}\) est un isomorphisme. L’assertion résulte donc du résultat très général Compléments sur la platitude, lemme 07AI. Dans ce cas particulier, on peut toutefois la démontrer directement comme suit : on se ramène d’abord au cas \(T = \Spec(A)\) et \(Z = \Spec(B)\). En restreignant encore \(T\), on peut supposer qu’il existe un isomorphisme \(\varphi : B \to A^{\oplus d}\) de \(A\)-modules. Alors \(Z' = \Spec(B/J)\) pour un idéal \(J \subset B\). Soit \(g_\beta \in J\) une famille de générateurs, et écrivons \(\varphi(g_\beta) = (g_\beta^1, \ldots, g_\beta^d)\). Il est alors clair que \(T_X\) est donné par \(\Spec(A/(g_\beta^j))\).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(X \to S\) est séparé et si \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable, alors \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to S\) est séparé.

Démonstration

Dans cette démonstration, tous les produits sans indice sont pris sur \(S\). Posons \(H = \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) et soit \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H)\) l’objet universel. Considérons les deux objets \(Z_1, Z_2 \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H \times H)\) obtenus en prenant l’image réciproque de \(Z\) par les deux projections \(H \times H \to H\). Alors \(Z_1 = Z \times H \subset X_{H \times H}\) et \(Z_2 = H \times Z \subset X_{H \times H}\). Puisque \(H\) représente le foncteur \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\), le morphisme diagonal \(\Delta : H \to H \times H\) a la propriété universelle suivante : un morphisme de schémas \(T \to H \times H\) se factorise par \(\Delta\) si et seulement si \(Z_{1, T} = Z_{2, T}\) en tant qu’éléments de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\). Posons \(Z = Z_1 \times_{X_{H \times H}} Z_2\). On voit alors que \(T \to H \times H\) se factorise par \(\Delta\) si et seulement si les morphismes \(Z_T \to Z_{1, T}\) et \(Z_T \to Z_{2, T}\) sont des isomorphismes. Le résultat très général Compléments sur la platitude, lemme 07AI montre que \(\Delta\) est une immersion fermée. Dans la démonstration du lemme 0B97, le lecteur trouvera une autre démonstration, plus simple, du résultat nécessaire dans notre cas particulier.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas affines. Soit \(d \geq 0\). Alors \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable.

Démonstration

Écrivons \(S = \Spec(R)\). On peut choisir une immersion fermée de \(X\) dans le spectre de \(R[x_i; i \in I]\) pour un ensemble \(I\) de cardinal assez grand. Ainsi, d’après le lemme 0B97, on peut supposer que \(X = \Spec(A)\), où \(A = R[x_i; i \in I]\). Nous utiliserons Schémas, lemme 01JJ pour démontrer le lemme dans ce cas.

La condition (1) du lemme résulte du lemme 0B95.

Pour toute partie \(W \subset A\) de cardinal \(d\), nous allons construire un sous-foncteur \(F_W\) de \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\). (Il suffirait de considérer le cas où \(W\) est formé de monômes en les \(x_i\), mais cela ne nous sera pas nécessaire.) Nous dirons que \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) appartient à \(F_W(T)\) si et seulement si l’application \(\mathcal{O}_T\)-linéaire \[\bigoplus\nolimits_{f \in W} \mathcal{O}_T \longrightarrow (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z,\quad (g_f) \longmapsto \sum g_f f|_Z\] est surjective (ou, ce qui revient au même, est un isomorphisme). Pour \(f \in A\) et \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\), on note ici \(f|_Z\) l’image réciproque de \(f\) par le morphisme \(Z \to X_T \to X\).

Ouverture, c’est-à-dire condition (2)(b) du lemme. Elle résulte de Algèbre, lemme 00O0.

Recouvrement, c’est-à-dire condition (2)(c) du lemme. Puisque \[A \otimes_R \mathcal{O}_T = (X_T \to T)_*\mathcal{O}_{X_T} \to (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\] est surjective et que \((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\) est localement libre de rang \(d\), on peut, pour tout point \(t \in T\), trouver une partie finie \(W \subset A\) de cardinal \(d\) dont les images forment une base de l’espace vectoriel de dimension \(d\) sur \(\kappa(t)\) \(((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z)_t \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t)\). Le lemme de Nakayama donne un voisinage ouvert \(V \subset T\) de \(t\) tel que \(Z_V \in F_W(V)\).

Représentabilité, c’est-à-dire condition (2)(a) du lemme. Soit \(W \subset A\) de cardinal \(d\). Nous affirmons que \(F_W\) est représentable par un schéma affine sur \(R\). Nous allons construire ce schéma affine, mais invitons le lecteur à en chercher lui-même la construction. Numérotons \(f_1, \ldots, f_d\) les éléments de \(W\). Nous construirons un élément universel \(Z_{univ} = \Spec(B_{univ})\) de \(F_W\) sur \(T_{univ} = \Spec(R_{univ})\) comme suit. Posons d’abord \[R_{univ} = R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]/\mathfrak a_{univ}\] pour un idéal \(\mathfrak a_{univ}\) que nous décrirons ci-dessous. Les indices \(k, l, m, i\) parcourent tous ici \(\{1, \ldots, d\}\). Posons ensuite \[B_{univ} = R_{univ}e_1 \oplus R_{univ}e_2 \oplus \ldots \oplus R_{univ}e_d\] en tant que \(R_{univ}\)-module, muni de la structure d’algèbre donnée par \[e_ke_l = \sum c_{kl}^m e_m\] L’immersion fermée \(Z_{univ} \to X_{T_{univ}}\) est donnée par l’homomorphisme de \(R_{univ}\)-algèbres \[\Psi : A \otimes_R R_{univ} \longrightarrow B_{univ}\] envoyant \(1 \otimes 1\) sur \(\sum b^le_l\) et \(x_i\) sur \(\sum b_i^le_l\) (voir ci-dessous pour son existence). Quant à l’idéal \(\mathfrak a_{univ}\), il doit satisfaire aux prescriptions suivantes :

1. la multiplication dans \(B_{univ}\) est commutative, c’est-à-dire que l’on doit avoir \(c_{lk}^m - c_{kl}^m \in \mathfrak a_{univ}\),

2. la multiplication dans \(B_{univ}\) est associative, c’est-à-dire que l’on doit avoir \(c_{lk}^m c_{m n}^p - c_{lq}^p c_{kn}^q \in \mathfrak a_{univ}\),

3. \(\sum b^le_l\) est un élément unité \(1\) de \(B_{univ}\), autrement dit, on doit avoir \((\sum b^le_l)e_k = e_k\) pour tout \(k\), ce qui signifie que \(\sum b^lc_{lk}^m - \delta_{km} \in \mathfrak a_{univ}\) (symbole de Kronecker).

Puisque nous avons assuré que \(B_{univ}\) est une \(R_{univ}\)-algèbre commutative dont l’unité \(1\) est \(\sum b^le_l\), l’homomorphisme \(\Psi\) existe. La dernière condition est la suivante :

1. \(f_l\) doit avoir pour image \(e_l\) dans \(B_{univ}\). Écrivons \(\Psi(f_l) - e_l \equiv \sum h_l^me_m\) pour des \(h_l^m \in R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\) ; on doit alors avoir \(h_l^m \in \mathfrak a_{univ}\).

En prenant pour \(\mathfrak a_{univ} \subset R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\) l’idéal engendré par les éléments énumérés dans (1) – (4), il est clair que \(F_W\) est représenté par \(\Spec(R_{univ})\).

Proposition

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\). Supposons que pour tout \((s, x_1, \ldots, x_d)\), où \(s \in S\) et \(x_1, \ldots, x_d \in X_s\), il existe un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(x_1, \ldots, x_d \in U\). Alors \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable par un schéma.

Démonstration

En utilisant soit le recollement relatif (Constructions, section 01LG), soit le point de vue fonctoriel (Schémas, lemme 01JJ), on se ramène au cas où \(S\) est affine. Nous omettons les détails.

Supposons \(S\) affine. Pour un ouvert affine \(U \subset X\), notons \(F_U \subset \Hilbfunctor^d_{X/S}\) le sous-foncteur tel que, pour tout schéma \(T/S\), un élément \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) appartienne à \(F_U(T)\) si et seulement si \(Z \subset U_T\). Nous utiliserons Schémas, lemme 01JJ et les sous-foncteurs \(F_U\) pour conclure.

La condition (1) est le lemme 0B95.

La condition (2)(a) résulte de ce que \(F_U = \Hilbfunctor^d_{U/S}\) et de sa représentabilité, donnée par le lemme 0B99. En effet, si \(Z \in F_U(T)\), on peut regarder \(Z\) comme un sous-schéma fermé de \(U_T\), fini localement libre de degré \(d\) sur \(T\), d’où \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\). Réciproquement, si \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\), alors \(Z \to U_T \to X_T\) est une immersion fermée² et l’on peut regarder \(Z\) comme un élément de \(F_U(T)\).

Soit \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) pour un schéma \(T\) sur \(S\). Posons \[B = (Z \to T)\left((Z \to X_T \to X)^{-1}(X \setminus U)\right)\] C’est une partie fermée de \(T\), et il est clair que sur l’ouvert \(T_{Z, U} = T \setminus B\), la restriction \(Z_{T'}\) a son image dans \(U_{T'}\). D’autre part, pour tout \(b \in B\), la fibre \(Z_b\) n’a pas son image dans \(U\). Ainsi, étant donné un morphisme \(T' \to T\), on a \(Z_{T'} \in F_U(T')\) \(\Leftrightarrow\) \(T' \to T\) se factorise par l’ouvert \(T_{Z, U}\). Cela démontre la condition (2)(b).

La condition (2)(c) résulte de notre hypothèse sur \(X/S\). Il suffit de montrer ceci : si \(T\) est le spectre d’un corps et si \(Z \subset X_T\) est un sous-schéma fermé, fini plat de degré \(d\) sur \(T\), alors \(Z \to X_T \to X\) se factorise par un ouvert affine \(U\) de \(X\). C’est clair, car \(Z\) a au plus \(d\) points, dont les images sont toutes dans la fibre de \(X\) au-dessus du point image de \(T \to S\).

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. L’hypothèse de la proposition 0B9A, et par suite sa conclusion, sont satisfaites dans chacun des cas suivants :

1. \(X\) est quasi-affine,

2. \(f\) est quasi-affine,

3. \(f\) est quasi-projectif,

4. \(f\) est localement projectif,

5. il existe un faisceau inversible ample sur \(X\),

6. il existe un faisceau inversible \(f\)-ample sur \(X\), et

7. il existe un faisceau inversible \(f\)-très ample sur \(X\).

En effet, dans chacun de ces cas, tout ensemble fini de points d’une fibre \(X_s\) est contenu dans un ouvert quasi-compact \(U\) de \(X\) qui est muni d’un faisceau inversible ample, est isomorphe à un ouvert d’un schéma affine, ou est isomorphe à un ouvert du \(\text{Proj}\) d’un anneau gradué (dans chaque cas, cela résulte directement des définitions). L’existence d’ouverts affines convenables résulte donc de Propriétés, lemme 01ZY.

Espaces de modules de diviseurs sur les courbes lisses

Pour un morphisme lisse \(X \to S\) de dimension relative \(1\), le foncteur \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) paramètre les diviseurs de Cartier effectifs relatifs au sens de Diviseurs, section 056P.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\). Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé. Considérons les conditions suivantes :

1. \(D \to S\) est fini localement libre,

2. \(D\) est un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\),

3. \(D \to S\) est localement quasi-fini, plat et localement de présentation finie, et

4. \(D \to S\) est localement quasi-fini et plat.

On a toujours les implications \[(1) \Rightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Rightarrow (4)\] Si \(S\) est localement noethérien, la dernière flèche est une équivalence. Si \(X \to S\) est propre (et \(S\) quelconque), la première flèche est une équivalence.

Démonstration

Équivalence de (2) et (3). Elle résulte de Diviseurs, lemme 062Y, à condition de montrer l’équivalence de (2) et (3) lorsque \(S\) est le spectre d’un corps \(k\). Soit \(x \in X\) un point fermé. Puisque \(X\) est lisse de dimension relative \(1\) sur \(k\), on voit que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local régulier de dimension \(1\) (voir Variétés, lemme 056S). Ainsi, \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, lemme 00PD), donc un anneau principal. Il en résulte que tout faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) non nul en tous les points génériques de \(X\) est inversible (Diviseurs, lemme 0AG8). Autrement dit, tout sous-schéma fermé de \(X\) ne contenant aucun point générique est un diviseur de Cartier effectif. Il s’ensuit que (2) et (3) sont équivalentes.

Si \(S\) est noethérien, tout morphisme localement quasi-fini \(D \to S\) est localement de présentation finie (Morphismes, lemme 01TX), d’où l’équivalence de (3) et (4).

Si \(X \to S\) est propre (et \(S\) quelconque), alors \(D \to S\) est également propre. Un morphisme propre localement quasi-fini étant fini (Compléments sur les morphismes, lemme 02LS) et un morphisme fini, plat et de présentation finie étant fini localement libre (Morphismes, lemme 02KB), on voit que (1) et (2) sont équivalentes.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\). Soient \(D_1, D_2 \subset X\) des sous-schémas fermés finis localement libres de degrés \(d_1\), \(d_2\) sur \(S\). Alors \(D_1 + D_2\) est fini localement libre de degré \(d_1 + d_2\) sur \(S\).

Démonstration

D’après le lemme 0B9D, les sous-schémas \(D_1\) et \(D_2\) sont des diviseurs de Cartier effectifs relatifs sur \(X/S\). Ainsi, \(D = D_1 + D_2\) est un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\) d’après Diviseurs, lemme 0B8U. Par conséquent, \(D \to S\) est localement quasi-fini, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 0B9D. En appliquant Morphismes, lemme 09MQ au morphisme entier surjectif \(D_1 \amalg D_2 \to D\), on voit que \(D \to S\) est séparé. Alors Morphismes, lemme 03GN montre que \(D \to S\) est propre. Il en résulte que \(D \to S\) est fini (Compléments sur les morphismes, lemme 02LS), puis que \(D \to S\) est fini localement libre (Morphismes, lemme 02KB). Il suffit donc de montrer que le degré de \(D \to S\) est \(d_1 + d_2\). Pour cela, on peut effectuer un changement de base à une fibre de \(X \to S\), donc supposer que \(S = \Spec(k)\) pour un corps \(k\). Dans ce cas, il existe un ensemble fini de points fermés \(x_1, \ldots, x_n \in X\) tel que les supports de \(D_1\) et \(D_2\) soient contenus dans \(\{x_1, \ldots, x_n\}\). Il existe en fait des éléments non diviseurs de zéro \(f_{i, j} \in \mathcal{O}_{X, x_i}\) tels que \[D_1 = \coprod_{i = 1}^n \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1})) \quad\text{et}\quad D_2 = \coprod_{i = 1}^n \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 2}))\] On voit alors que \[D = \coprod_{i = 1}^n \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1}f_{i, 2}))\] On en déduit aisément que \(D\) est de degré \(d_1 + d_2\) sur \(k\) (au besoin, utiliser Algèbre, lemme 02MC).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\). Soient \(D_1, D_2 \subset X\) des sous-schémas fermés finis localement libres de degrés \(d_1\), \(d_2\) sur \(S\). Si \(D_1 \subset D_2\) (comme sous-schémas fermés), il existe un sous-schéma fermé \(D \subset X\) fini localement libre de degré \(d_2 - d_1\) sur \(S\) tel que \(D_2 = D_1 + D\).

Démonstration

Cette démonstration est presque identique à celle du lemme 0B9E. D’après le lemme 0B9D, les sous-schémas \(D_1\) et \(D_2\) sont des diviseurs de Cartier effectifs relatifs sur \(X/S\). D’après Diviseurs, lemme 0B8V, il existe un diviseur de Cartier effectif relatif \(D \subset X\) tel que \(D_2 = D_1 + D\). Ainsi, \(D \to S\) est localement quasi-fini, plat et localement de présentation finie d’après le lemme 0B9D. Puisque \(D\) est un sous-schéma fermé de \(D_2\), on voit que \(D \to S\) est fini. Il s’ensuit que \(D \to S\) est fini localement libre (Morphismes, lemme 02KB). Il suffit donc de montrer que le degré de \(D \to S\) est \(d_2 - d_1\). Cela résulte du lemme 0B9E.

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\). D’après le lemme 0B9D, pour un schéma \(T\) sur \(S\) et \(D \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\), on peut regarder \(D\) comme un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X_T/T\) tel que \(D \to T\) soit fini localement libre de degré \(d\). Par conséquent, le lemme 0B9E donne une transformation de foncteurs \[\Hilbfunctor^{d_1}_{X/S} \times \Hilbfunctor^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^{d_1 + d_2}_{X/S},\quad (D_1, D_2) \longmapsto D_1 + D_2\] Si \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) est représentable pour tout degré \(d\), cette transformation de foncteurs correspond à un morphisme de schémas \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/S} \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/S}\] sur \(S\). Notons que \(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) et \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\). Un cas particulier du morphisme précédent est le morphisme \[\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S},\quad (D, x) \longmapsto D + x\]

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\) tel que les foncteurs \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) soient représentables. Le morphisme \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) est fini localement libre de degré \(d + 1\).

Démonstration

Soit \(D_{univ} \subset X \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) l’objet universel. On a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \ar[rr] \ar[rd] & & D_{univ} \ar[ld] \ar@{^{(}->}[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} \times_S X \\ & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} }\] où la flèche horizontale supérieure envoie \((D', x)\) sur \((D' + x, x)\). Nous affirmons que ce morphisme est un isomorphisme, ce qui démontre le lemme. En effet, étant donné un schéma \(T\) sur \(S\), un \(T\)-point \(\xi\) de \(D_{univ}\) est donné par un couple \(\xi = (D, x)\), où \(D \subset X_T\) est un sous-schéma fermé fini localement libre de degré \(d + 1\) sur \(T\) et \(x : T \to X\) est un morphisme dont le graphe \(x : T \to X_T\) se factorise par \(D\). D’après le lemme 0B9F, on peut alors écrire \(D = D' + x\) pour un \(D' \subset X_T\) fini localement libre de degré \(d\) sur \(T\). L’application qui associe à \(\xi = (D, x)\) le couple \((D', x)\) est l’inverse cherché.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme lisse de schémas de dimension relative \(1\) tel que les foncteurs \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) soient représentables. Les schémas \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) sont lisses sur \(S\) de dimension relative \(d\).

Démonstration

On a \(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) et \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\) ; le résultat est donc vrai pour \(d = 0, 1\). Supposons le résultat établi pour \(d\) ; alors \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X\) est lisse sur \(S\) (Morphismes, lemme 01VB et 01VA). Puisque \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) est fini localement libre de degré \(d + 1\) d’après le lemme 0B9G, le résultat découle de Descente, lemme 05B5. Nous omettons la vérification de la valeur annoncée de la dimension relative (on peut la faire en examinant les fibres, ou en suivant les dimensions dans le raisonnement précédent).

Rassemblons les résultats obtenus jusqu’ici dans le cas d’une courbe propre et lisse sur un corps.

Proposition

Soit \(X\) une courbe propre, lisse et géométriquement irréductible sur un corps \(k\).

1. Les foncteurs \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) sont représentables par des variétés propres et lisses \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) de dimension \(d\) sur \(k\).

2. Pour toute extension de corps \(k'/k\), les points \(k'\)-rationnels de \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) sont en correspondance biunivoque avec les diviseurs de Cartier effectifs de degré \(d\) sur \(X_{k'}\).

3. Pour \(d_1, d_2 \geq 0\), il existe un morphisme \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k}\] qui est fini localement libre de degré \({d_1 + d_2 \choose d_1}\).

Démonstration

Les foncteurs \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) sont représentables d’après la proposition 0B9A (voir aussi la remarque 0B9B) et le fait que \(X\) est projectif (Variétés, lemme 0A26). Les schémas \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) sont séparés sur \(k\) d’après le lemme 0B98. Les schémas \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) sont lisses sur \(k\) d’après le lemme 0B9H. Partant de \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k}\), les morphismes du lemme 0B9G donnent par récurrence un morphisme \[X^d = X \times_k X \times_k \ldots \times_k X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k},\quad (x_1, \ldots, x_d) \longrightarrow x_1 + \ldots + x_d\] qui est fini localement libre de degré \(d!\). Puisque \(X\) est propre sur \(k\), il en est de même de \(X^d\), donc \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) est propre sur \(k\) d’après Morphismes, lemme 03GN. Puisque \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k\), le produit \(X^d\) est irréductible (Variétés, lemme 038F), donc son image est irréductible (et même géométriquement irréductible). Cela démontre (1). L’assertion (2) résulte des définitions. L’assertion (3) découle du diagramme commutatif \[\xymatrix{ X^{d_1} \times_k X^{d_2} \ar[d] \ar@{=}[r] & X^{d_1 + d_2} \ar[d] \\ \underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \ar[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k} }\] et de la multiplicativité des degrés des morphismes finis localement libres.

Remarque

Soit \(X\) une courbe propre, lisse et géométriquement irréductible sur un corps \(k\), comme dans la proposition 0B9I. Soit \(d \geq 0\). Le sous-schéma fermé universel est un diviseur effectif relatif \[D_{univ} \subset \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k} \times_k X\] sur \(\underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) d’après le lemme 0B9D. En fait, \(D_{univ}\) est isomorphe, en tant que schéma, à \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\), voir la démonstration du lemme 0B9G. En particulier, \(D_{univ}\) est un diviseur de Cartier effectif et l’on obtient un module inversible \(\mathcal{O}(D_{univ})\). Si \([D] \in \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) désigne le point \(k\)-rationnel correspondant au diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) de degré \(d + 1\), la restriction de \(\mathcal{O}(D_{univ})\) à la fibre \([D] \times X\) est \(\mathcal{O}_X(D)\).

Le foncteur de Picard

Pour tout schéma \(X\), on note \(\Pic(X)\) l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Voir Modules, définition 01CX. Étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas, l’image réciproque définit un homomorphisme de groupes \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\). L’association \(X \leadsto \Pic(X)\) est un foncteur contravariant de la catégorie des schémas dans celle des groupes abéliens. Ce foncteur n’est pas représentable, mais une variante relative de cette construction est parfois représentable.

Définissons le foncteur de Picard d’un morphisme de schémas \(f : X \to S\). L’idée de la construction consiste à prendre pour ce foncteur le faisceau \(R^1f_*\mathbf{G}_m\), l’image directe supérieure étant calculée pour la topologie fppf. En explicitant les définitions, on obtient la définition plus directe suivante.

Définition

Soit \(\Sch_{fppf}\) un grand site comme dans Topologies, définition 021S. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de ce site. Le foncteur de Picard \(\Picardfunctor_{X/S}\) est le faisceau fppf associé au foncteur \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad T \longmapsto \Pic(X_T)\] Si ce foncteur est représentable, on note \(\underline{\Picardfunctor}_{X/S}\) un schéma qui le représente.

Une remarque d’usage fréquent est que, si \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \(\Picardfunctor_{X_T/T}\) est la restriction de \(\Picardfunctor_{X/S}\) à \((\Sch/T)_{fppf}\). Déterminer la valeur de \(\Picardfunctor_{X/S}\) sur les schémas \(T\) sur \(S\) n’est pas immédiat. Le lemme suivant facilite cette tâche.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) comme dans la définition 0B9L. Si \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme pour tout \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), alors \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T)\] est une suite exacte pour tout \(T\).

Démonstration

On peut remplacer \(S\) par \(T\) et \(X\) par \(X_T\), donc supposer \(S = T\) pour simplifier les notations. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module inversible. Si \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\), alors \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_S\) par hypothèse. Puisque \(\mathcal{N}\) est localement trivial, on voit que l’application canonique \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\) est localement un isomorphisme (car \(\mathcal{O}_S \to f_*f^*\mathcal{O}_S\) est un isomorphisme par hypothèse). On en conclut que \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_S\) est un isomorphisme, donc que \(\mathcal{N}\) est trivial. Cela démontre que la première flèche est injective.

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont la classe appartient au noyau de \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/S}(S)\). Il existe alors un recouvrement fppf \(\{S_i \to S\}\) tel que l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) soit le faisceau inversible trivial sur \(X_{S_i}\). Choisissons une section trivialisante \(s_i\). Alors \(\text{pr}_0^*s_i\) et \(\text{pr}_1^*s_j\) sont deux sections trivialisantes de \(\mathcal{L}\) sur \(X_{S_i \times_S S_j}\) et diffèrent donc par multiplication par une unité \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_S S_j}, \mathcal{O}_{X_{S_i \times_S S_j}}^*) = \Gamma(S_i \times_S S_j, \mathcal{O}_{S_i \times_S S_j}^*)\] (l’égalité résulte de notre hypothèse sur l’image directe des faisceaux structuraux). Ces éléments satisfont évidemment à la condition de cocycle sur \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\), et définissent donc une donnée de descente de faisceaux inversibles pour le recouvrement fppf \(\{S_i \to S\}\). D’après Descente, proposition 023T, il existe un \(\mathcal{O}_S\)-module inversible \(\mathcal{N}\) muni de trivialisations sur les \(S_i\) dont la donnée de descente associée est \(\{f_{ij}\}\). Alors \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\), car le foncteur des données de descente vers les modules est pleinement fidèle (voir la proposition citée ci-dessus).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) comme dans la définition 0B9L. Supposons que \(f\) admette une section \(\sigma\) et que \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) soit un isomorphisme pour tout \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Alors \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T) \to 0\] est une suite exacte scindée, le scindage étant donné par \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\).

Démonstration

Notons \(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\). Puisque \(\sigma\) est une section de \(f\), le groupe \(\Pic(X_T)\) est la somme directe de \(\Pic(T)\) et de \(K(T)\). Le lemme 0B9M montre donc que \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/S}(T)\) pour tout \(T\). De plus, la construction montre clairement que \(\Picardfunctor_{X/S}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(K\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(K\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements fppf, ce que nous faisons dans le paragraphe suivant.

Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf. Soient \(\mathcal{L}_i\) des éléments de \(K(T_i)\) dont les images dans \(K(T_i \times_T T_j)\) sont égales pour tous \(i\) et \(j\). Choisissons un isomorphisme \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\) pour tout \(i\). Choisissons un isomorphisme \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] Si l’application \[\alpha_j^{-1}|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] n’est pas la multiplication par \(1\), mais par un élément \(u_{ij}\), on peut multiplier \(\varphi_{ij}\) par \(u_{ij}^{-1}\) pour y remédier. Ceci fait, considérons l’endomorphisme \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{de}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] qui est la multiplication par une fonction régulière \(f_{ijk}\) sur le schéma \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\). Par notre choix de \(\varphi_{ij}\), l’image réciproque de cette application par \(\sigma\) est la multiplication par \(1\). D’après notre hypothèse sur les fonctions sur \(X\), on voit que \(f_{ijk} = 1\). On obtient ainsi une donnée de descente pour le recouvrement fppf \(\{X_{T_i} \to X_T\}\). D’après Descente, proposition 023T, il existe un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et un isomorphisme \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) dont l’image réciproque sur \(X_{T_i}\) redonne \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\) (nous omettons un petit détail). Ainsi, \(\mathcal{L}\) définit un objet de \(K(T)\), comme voulu.

Un critère de représentabilité

Pour démontrer que le foncteur de Picard est représentable, nous utiliserons le critère suivant.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G : (\Sch/k)^{opp} \to \textit{Groupes}\) un foncteur. Avec la terminologie de Schémas, définition 01JI, supposons que

1. \(G\) soit un faisceau pour la topologie de Zariski,

2. il existe un sous-foncteur \(F \subset G\) tel que

   1. \(F\) soit représentable,

   2. \(F \subset G\) soit représentable par une immersion ouverte,

   3. pour toute extension de corps \(K\) de \(k\) et tout \(g \in G(K)\), il existe un \(g' \in G(k)\) tel que \(g'g \in F(K)\).

Alors \(G\) est représentable par un schéma en groupes sur \(k\).

Démonstration

Cela résulte de Schémas, lemme 01JJ. En effet, prenons \(I = G(k)\) et, pour \(i = g' \in I\), prenons pour \(F_i \subset G\) le sous-foncteur qui associe à \(T\) sur \(k\) l’ensemble des éléments \(g \in G(T)\) tels que \(g'g \in F(T)\). Alors \(F_i \cong F\) par multiplication par \(g'\). L’application \(F_i \to G\) est isomorphe à l’application \(F \to G\) par multiplication par \(g'\), donc est représentable par des immersions ouvertes. Enfin, la famille \((F_i)_{i \in I}\) recouvre \(G\) par l’hypothèse (2)(c). Le lemme cité ci-dessus s’applique donc, ce qui achève la démonstration.

Le schéma de Picard d’une courbe

Dans cette section, nous appliquerons le lemme 0B9Q pour montrer que \(\Picardfunctor_{X/k}\) est représentable lorsque \(k\) est un corps algébriquement clos et \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Pour cela, nous utiliserons quelques résultats de cohomologie et de changement de base développés dans le chapitre sur les catégories dérivées des schémas.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\) possédant un point \(k\)-rationnel. Alors les hypothèses du lemme 0B9N sont satisfaites.

Démonstration

L’expression « possède un point \(k\)-rationnel » signifie exactement que le morphisme structural \(f : X \to \Spec(k)\) admet une section, ce qui vérifie la première condition. D’après Variétés, lemme 04L2, le corps \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une extension de \(k\). Puisque \(X\) possède un point \(k\)-rationnel, il existe un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(k' \to k\), d’où \(k' = k\). Puisque \(k\) est un corps, tout morphisme \(T \to \Spec(k)\) est plat. Par cohomologie et changement de base (Cohomologie des schémas, lemme 02KH), on voit donc que \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme. Cela achève la démonstration.

Soit \(X\) une courbe projective lisse sur un corps \(k\), munie d’un point \(k\)-rationnel \(\sigma\). Alors le foncteur \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} : (\Sch/k)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab},\quad T \longmapsto \Ker(\Pic(X_T) \xrightarrow{\sigma_T^*} \Pic(T))\] est isomorphe à \(\Picardfunctor_{X/k}\) sur \((\Sch/k)_{fppf}\) d’après les lemmes 0B9U et 0B9N. Il suffira donc de démontrer que \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) est représentable. Nous emploierons la notation « \(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) » pour signifier que \(T\) est un schéma sur \(k\) et que \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module inversible dont la restriction à \(T\) par \(\sigma_T\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_T\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\) munie d’un point \(k\)-rationnel \(\sigma\). Pour tout schéma \(T\) sur \(k\), considérons la partie \(F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) formée des \(\mathcal{L}\) tels que \(Rf_{T, *}\mathcal{L}\) soit isomorphe à un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible placé en degré \(0\). Alors \(F \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) est un sous-foncteur, et l’inclusion est représentable par des immersions ouvertes.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Catégories dérivées des schémas, lemme 0B9S, appliqué avec \(i = 0\) et \(r = 1\), et de Schémas, définition 01JI.

Pour poursuivre, il convient de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe projective lisse géométriquement irréductible sur \(k\). Le genre de \(X\) est \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une courbe projective lisse de genre \(g\) sur \(k\), munie d’un point \(k\)-rationnel \(\sigma\). Le sous-foncteur ouvert \(F\) défini au lemme 0B9V est représentable par un sous-schéma ouvert de \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\).

Démonstration

Dans cette démonstration, les produits sans indice sont pris sur \(\Spec(k)\). D’après la proposition 0B9I, le schéma \(H = \underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) existe. Considérons le diviseur universel \(D_{univ} \subset H \times X\) et le faisceau inversible associé \(\mathcal{O}(D_{univ})\), voir la remarque 0B9J. Nous le rigidifions par produit tensoriel à l’aide de l’image réciproque suivant \(\sigma_H : H \to H \times X\), pour obtenir \[\mathcal{L}_H = \mathcal{O}(D_{univ}) \otimes_{\mathcal{O}_{H \times X}} \text{pr}_H^*\sigma_H^*\mathcal{O}(D_{univ})^{\otimes -1} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(H)\] Par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P), le faisceau inversible \(\mathcal{L}_H\) définit une transformation naturelle \[h_H \longrightarrow \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] Puisque \(F\) est un sous-foncteur ouvert, il existe un plus grand ouvert \(W \subset H\) tel que \(\mathcal{L}_H|_{W \times X}\) appartienne à \(F(W)\). Cet ouvert n’est autre que le sous-schéma ouvert construit dans Catégories dérivées des schémas, lemme 0B9S, avec \(i = 0\) et \(r = 1\), pour le morphisme \(H \times X \to H\) et le faisceau \(\mathcal{F} = \mathcal{O}(D_{univ})\). En appliquant à nouveau le lemme de Yoneda, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ h_W \ar[d] \ar[r] & F \ar[d] \\ h_H \ar[r] & \Picardfunctor_{X/k, \sigma} }\] Pour achever la démonstration, nous montrerons que la flèche horizontale supérieure est un isomorphisme.

Soit \(\mathcal{L} \in F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\). Soit \(\mathcal{N}\) le \(\mathcal{O}_T\)-module inversible tel que \(Rf_{T, *}\mathcal{L} \cong \mathcal{N}[0]\). L’application d’adjonction \[f_T^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L} \quad\text{correspond à une section }s\text{ de}\quad \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\] sur \(X_T\). Assertion : le schéma des zéros de \(s\) est un diviseur de Cartier effectif relatif \(D\) sur \((T \times X)/T\), fini localement libre de degré \(g\) sur \(T\).

Achevons la démonstration du lemme en admettant cette assertion. Le diviseur \(D\) définit un morphisme \(m : T \to H\) tel que \(D\) soit l’image réciproque de \(D_{univ}\). Alors \[(m \times \text{id}_X)^*\mathcal{O}(D_{univ}) \cong \mathcal{O}_{T \times X}(D)\] Puisque \(\mathcal{O}_{T \times X}(D) \cong \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\), on en conclut que \((m \times \text{id}_X)^*\mathcal{L}_H\) et \(\mathcal{L}\) diffèrent par tensorisation avec l’image réciproque d’un module inversible sur \(T\). Cela montre que \(m : T \to H\) se factorise par l’ouvert \(W \subset H\) ci-dessus. De plus, il s’ensuit que ces modules inversibles définissent, après rigidification par image réciproque suivant \(\sigma_T\) comme ci-dessus, le même élément de \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\). Une chasse au diagramme utilisant le lemme de Yoneda montre que \(m \in h_W(T)\) a pour image \(\mathcal{L} \in F(T)\). Nous omettons la vérification du fait que la règle \(F(T) \to h_W(T)\), \(\mathcal{L} \mapsto m\), définit un inverse de la transformation de foncteurs ci-dessus.

Démonstration de l’assertion. Puisque \(D\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(T \times X\), il suffit de montrer que les fibres de \(D\) sur \(T\) sont des diviseurs de Cartier effectifs, voir le lemme 0B9D et Diviseurs, lemme 062Y. Puisque le calcul de la cohomologie de \(\mathcal{L}\) commute au changement de base (Catégories dérivées des schémas, lemme 0B91), on se ramène à \(T = \Spec(K)\), où \(K/k\) est une extension de corps. Alors \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible sur \(X_K\) tel que \(H^0(X_K, \mathcal{L}) = K\) et \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\). Ainsi, \[\deg(\mathcal{L}) = \chi(X_K, \mathcal{L}) - \chi(X_K, \mathcal{O}_{X_K}) = 1 - (1 - g) = g\] Voir Variétés, définition 0AYR. Pour achever la démonstration, il faut montrer qu’une section non nulle de \(\mathcal{L}\) définit un diviseur de Cartier effectif sur \(X_K\). C’est clair.

Lemme

Soit \(k\) un corps séparablement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse de genre \(g\) sur \(k\). Soit \(K/k\) une extension de corps et soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X_K\). Il existe alors un faisceau inversible \(\mathcal{L}_0\) sur \(X\) tel que \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 1\) et \(\dim_K H^1(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 0\).

Démonstration

Cette démonstration est une variante de celle de Variétés, lemme 0B8Z. Nous invitons le lecteur à lire d’abord cette dernière.

Choisissons d’abord un faisceau inversible ample \(\mathcal{L}_0\) et remplaçons \(\mathcal{L}\) par \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0^{\otimes n}|_{X_K}\) pour un \(n \gg 0\). Nous pourrons ainsi supposer que \(H^0(X_K, \mathcal{L}) \not = 0\) et \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\). En effet, l’annulation résulte de Cohomologie des schémas, lemme 0B5U, et la non-annulation de ce que le degré du produit tensoriel est \(\gg 0\). Nous achèverons la démonstration par récurrence descendante sur \(t = \dim_K H^0(X_K, \mathcal{L})\). Le cas initial \(t = 1\) est trivial. Supposons \(t > 1\).

Notons que, pour un point \(k\)-rationnel \(x\) de \(X\), le point \(x_K\) obtenu par changement de base est \(K\)-rationnel dans \(X_K\). De plus, il existe une infinité de points \(k\)-rationnels d’après Variétés, lemme 056U. Par conséquent, les points \(x_K\) forment une famille Zariski-dense de points de \(X_K\).

Soit \(s \in H^0(X_K, \mathcal{L})\) non nul. Le paragraphe précédent montre qu’il existe un point \(k\)-rationnel \(x\) tel que \(s\) ne s’annule pas en \(x_K\). Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux de \(i : x_K \to X_K\) comme dans Variétés, lemme 0B8Y. Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L} \to \mathcal{L} \to i_*i^*\mathcal{L} \to 0\] Notons que \(H^0(X_K, i_*i^*\mathcal{L}) = H^0(x_K, i^*\mathcal{L})\) est de dimension \(1\) sur \(K\). Puisque \(s\) ne s’annule pas en \(x_K\), on en conclut que \[H^0(X_K, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X_K, i_*i^*\mathcal{L})\] est surjective. Ainsi, \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = t - 1\). Enfin, la suite exacte longue de cohomologie montre aussi que \(H^1(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = 0\), ce qui achève l’étape de récurrence.

Proposition

Soit \(k\) un corps séparablement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Le foncteur de Picard \(\Picardfunctor_{X/k}\) est représentable.

Démonstration

Puisque \(k\) est séparablement clos, il existe un point \(k\)-rationnel \(\sigma\) de \(X\), voir Variétés, lemme 056U. Comme on l’a vu ci-dessus, il suffit de montrer que le foncteur \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) classifiant les modules inversibles triviaux le long de \(\sigma\) est représentable. Pour cela, nous vérifierons les conditions (1), (2)(a), (2)(b) et (2)(c) du lemme 0B9Q.

Le foncteur \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) satisfait à la condition de faisceau pour la topologie fppf, car il est isomorphe à \(\Picardfunctor_{X/k}\). Il serait plus exact de dire que nous avons démontré la condition de faisceau pour \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) dans la démonstration du lemme 0B9N, qui s’applique d’après le lemme 0B9U. Cela démontre la condition (1).

Prenons pour sous-foncteur \(F\) celui du lemme 0B9V. La condition (2)(b) en résulte. La condition (2)(a) est le lemme 0B9X. La condition (2)(c) est le lemme 0B9Y.

La démonstration précédente donne en fait des renseignements supplémentaires, que nous rassemblons ici.

Lemme

Soit \(k\) un corps séparablement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse de genre \(g\) sur \(k\).

1. \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) est une réunion disjointe de variétés propres et lisses de dimension \(g\), notées \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\),

2. les points à valeurs dans \(k\) de \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) correspondent aux \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles de degré \(d\),

3. \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\) est un sous-schéma en groupes ouvert et fermé,

4. pour \(d \geq 0\), il existe un morphisme canonique \(\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)

5. les morphismes \(\gamma_d\) sont surjectifs pour \(d \geq g\) et lisses pour \(d \geq 2g - 1\),

6. le morphisme \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^g_{X/k}\) est birationnel.

Démonstration

Choisissons un point \(k\)-rationnel \(\sigma\) de \(X\). Rappelons que \(\Picardfunctor_{X/k}\) est isomorphe au foncteur \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 0B9T, pour tout \(d \in \mathbf{Z}\), il existe un sous-foncteur ouvert \[\Picardfunctor^d_{X/k, \sigma} \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] dont la valeur sur un schéma \(T\) sur \(k\) est formée des \(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) tels que \(\chi(X_t, \mathcal{L}_t) = d + 1 - g\), et l’on a en outre \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \Picardfunctor^d_{X/k, \sigma}\] en tant que faisceaux fppf. Le schéma \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) (qui existe d’après la proposition 0B9Z) admet donc une décomposition correspondante \[\underline{\Picardfunctor}_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\] où les points de \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\) correspondent aux classes d’isomorphisme de modules inversibles de degré \(d\) sur \(X\).

Fixons \(d \geq 0\). Il existe un morphisme \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] provenant du faisceau inversible \(\mathcal{O}(D_{univ})\) sur \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\) (remarque 0B9J) par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). Notre démonstration de la représentabilité du foncteur de Picard de \(X/k\) dans la proposition 0B9Z et le lemme 0B9X montre que \(\gamma_g\) induit une immersion ouverte sur un ouvert non vide de \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\). De plus, la démonstration montre que les translatés de cet ouvert par les points \(k\)-rationnels du schéma en groupes \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) définissent un recouvrement ouvert. Puisque \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) est lisse de dimension \(g\) (proposition 0B9I) sur \(k\), on en conclut que le schéma en groupes \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) est lisse de dimension \(g\) sur \(k\).

D’après Groupoïdes, lemme 047L, le schéma \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) est séparé. Ainsi, pour tout \(d \geq 0\), l’image de \(\gamma_d\) est une variété propre sur \(k\) (Morphismes, lemme 0AH6).

Soit \(d \geq g\). Pour toute extension de corps \(K/k\) et tout \(\mathcal{O}_{X_K}\)-module inversible \(\mathcal{L}\) de degré \(d\), on a \(\chi(X_K, \mathcal{L}) = d + 1 - g > 0\). Ainsi, \(\mathcal{L}\) admet une section non nulle, et l’on en conclut que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X_K}(D)\) pour un diviseur \(D \subset X_K\) de degré \(d\). Il s’ensuit que \(\gamma_d\) est surjectif.

En combinant les faits précédents, on voit que \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) est propre pour \(d \geq g\). Cela achève la démonstration de (1), car nous savons maintenant que \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) est propre pour \(d \geq g\), et tous les \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) sont alors propres par translation.

Il reste à montrer que \(\gamma_d\) est lisse pour \(d \geq 2g - 1\). Considérons un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) de degré \(d\). La fibre au-dessus du point correspondant à \(\mathcal{L}\) est alors \[Z = \{D \subset X \mid \mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{L}\} \subset \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\] munie de sa structure naturelle de schéma. Puisque tout isomorphisme \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) n’est déterminé qu’à multiplication par un scalaire non nul près, la section canonique \(1 \in \mathcal{O}_X(D)\) a pour image une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) bien définie à multiplication près par un scalaire non nul. On obtient ainsi un morphisme \[Z \longrightarrow \text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*))\] (le dual intervient en raison de nos conventions). Ce morphisme est un isomorphisme, car, étant donné une section de \(\mathcal{L}\), on peut prendre le diviseur de Cartier effectif associé ; autrement dit, on peut construire un inverse du morphisme écrit ci-dessus. Nous omettons la formulation précise et la démonstration. Puisque \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1 - g\) pour tout \(\mathcal{L}\) de degré \(d \geq 2g - 1\) d’après Variétés, lemme 0B90, on voit que \(\text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*)) \cong \mathbf{P}^{d - g}_k\). On en conclut que \(\dim(Z) = \dim(\mathbf{P}^{d - g}_k) = d - g\). Ainsi, les fibres du morphisme \(\gamma_d\) sont toutes de dimension égale à la différence des dimensions de \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) et de \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\). Il s’ensuit que \(\gamma_d\) est plat, voir Algèbre, lemme 00R4. Comme ses fibres sont en outre lisses, on en conclut que \(\gamma_d\) est lisse d’après Morphismes, lemme 01V8.

Quelques remarques sur les groupes de Picard

Cette section poursuit la discussion de Variétés, section 0BEG, qui sera prolongée dans Courbes algébriques, section 0C1Y.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(k\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Si \(X\) possède un point \(k\)-rationnel, alors, pour toute extension galoisienne \(k'/k\), on a \[\Pic(X) = \Pic(X_{k'})^{\text{Gal}(k'/k)}\] De plus, l’action de \(\text{Gal}(k'/k)\) sur \(\Pic(X_{k'})\) est continue.

Démonstration

Puisque \(\text{Gal}(k'/k) = \text{Aut}(k'/k)\), ce groupe opère (à droite) sur \(\Spec(k')\), donc opère (à droite) sur \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) ; comme \(\Pic(-)\) est un foncteur contravariant, il opère (à gauche) sur \(\Pic(X_{k'})\). Si \(k'/k\) est une extension galoisienne infinie, on écrit \(k' = \colim k'_\lambda\) comme limite inductive filtrante d’extensions galoisiennes finies, voir Corps, lemme 0BU2. Alors \(X_{k'} = \lim X_{k'_\lambda}\) (comme dans Limites, section 01YV) et l’on obtient \[\Pic(X_{k'}) = \colim \Pic(X_{k'_\lambda})\] d’après Limites, lemme 0B8W. De plus, les applications de transition de ce système de groupes abéliens sont injectives d’après Variétés, lemme 0CC5. Il s’ensuit que tout élément de \(\Pic(X_{k'})\) est fixé par l’un des sous-groupes ouverts \(\text{Gal}(k'/k'_\lambda)\), ce qui signifie exactement que l’action est continue. L’injectivité des applications de transition montre qu’il suffit de démontrer l’assertion sur les points fixes dans le cas où \(k'/k\) est une extension galoisienne finie.

Supposons \(k'/k\) galoisienne finie, de groupe de Galois \(G = \text{Gal}(k'/k)\). Soit \(\mathcal{L}\) un élément de \(\Pic(X_{k'})\) fixé par \(G\). Nous utiliserons la descente galoisienne (Descente, lemme 0CDR) pour montrer que \(\mathcal{L}\) est l’image réciproque d’un faisceau inversible sur \(X\). Rappelons que \(f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \to X_{k'}\) et que \(\sigma\) opère sur \(\Pic(X_{k'})\) par image réciproque suivant \(f_\sigma\). Pour tout \(\sigma \in G\), on peut donc choisir un isomorphisme \(\varphi_\sigma : \mathcal{L} \to f_\sigma^*\mathcal{L}\), puisque \(\mathcal{L}\) est fixé par l’action de \(G\). La difficulté est que l’on ne sait pas si l’on peut choisir \(\varphi_\sigma\) de manière à satisfaire à la condition de cocycle \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\). Pour voir que c’est possible, nous utilisons le fait que \(X\) possède un point \(k\)-rationnel \(x \in X(k)\). Bien entendu, \(x\) détermine de même un point \(k'\)-rationnel \(x' \in X_{k'}\) fixé par \(f_\sigma\) pour tout \(\sigma\). Choisissons un élément non nul \(s\) de la fibre de \(\mathcal{L}\) en \(x'\) ; cette fibre est l’espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(k' = \kappa(x')\) \[\mathcal{L}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}} \kappa(x').\] Alors \(f_\sigma^*s\) est un élément non nul de la fibre de \(f_\sigma^*\mathcal{L}\) en \(x'\). Puisqu’on peut multiplier \(\varphi_\sigma\) par un élément de \((k')^*\), on peut supposer que \(\varphi_\sigma\) envoie \(s\) sur \(f_\sigma^*s\). On voit alors que \(\varphi_{\sigma\tau}\) et \(f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) envoient tous deux \(s\) sur \(f_{\sigma\tau}^*s = f_\tau^*f_\sigma^*s\). Puisque \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\), ces deux isomorphismes sont nécessairement égaux (l’un est le produit de l’autre par une unité globale et ils coïncident en \(x'\)), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(k\) tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Soit \(n\) un entier premier à \(p\). Alors l’application \[\Pic(X)[n] \longrightarrow \Pic(X_{k'})[n]\] est bijective pour toute extension purement inséparable \(k'/k\).

Démonstration

Notons d’abord que l’application \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\) est injective d’après Variétés, lemme 0CC5. Il faut donc montrer que l’application du lemme est surjective. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_{X_{k'}}\)-module inversible dont la classe est d’ordre divisant \(n\) dans \(\Pic(X_{k'})\). Choisissons un isomorphisme \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_{X_{k'}}\) de modules inversibles. Nous allons montrer que le couple \((\mathcal{L}, \alpha)\) descend à \(X\).

Posons \(A = k' \otimes_k k'\). Puisque \(k'/k\) est purement inséparable, le noyau de l’application de multiplication \(A \to k'\) est un idéal localement nilpotent \(I\) de \(A\). Notons que \[X_A = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A) = X_{k'} \times_X X_{k'}\] est muni de deux projections \(\text{pr}_i : X_A \to X_{k'}\), \(i = 0, 1\), qui coïncident sur \(A/I\). Les modules inversibles \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\) coïncident donc sur le sous-schéma fermé \(X_{A/I} = X_{k'}\). Puisque \(X_{A/I} \to X_A\) est un épaississement et que les \(\mathcal{L}_i\) sont de \(n\)-torsion, il existe un isomorphisme \(\varphi : \mathcal{L}_0 \to \mathcal{L}_1\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0C6S. On peut choisir \(\varphi\) dont la réduction modulo \(I\) soit l’identité. En effet, \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) entraîne \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH, et \(A \to k'\) est surjective ; on peut donc ajuster \(\varphi\) en le multipliant par une unité convenable de \(A\). Considérons l’application \[\lambda : \mathcal{O}_{X_A} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha^{-1}} \mathcal{L}_0^{\otimes n} \xrightarrow{\varphi^{\otimes n}} \mathcal{L}_1^{\otimes n} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\alpha} \mathcal{O}_{X_A}\] On peut regarder \(\lambda\) comme un élément de \(A\), car \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) = A\) (même référence que ci-dessus). Puisque \(\varphi\) se réduit à l’identité modulo \(I\), on voit que \(\lambda = 1 \bmod I\). Il existe alors une unique racine \(n\)-ième de \(\lambda\) dans \(1 + I\) (Algèbre, lemme 0CAP) et, en multipliant \(\varphi\) par son inverse, on obtient \(\lambda = 1\). Nous affirmons que \((\mathcal{L}, \varphi)\) est une donnée de descente pour le recouvrement fpqc \(\{X_{k'} \to X\}\) (Descente, définition 023B). Si cette assertion est vraie, \(\mathcal{L}\) est l’image réciproque d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{N}\) d’après Descente, proposition 023T. L’injectivité de l’application entre les groupes de Picard montre que \(\mathcal{N}\) est un élément de torsion de \(\Pic(X)\) de même ordre que \(\mathcal{L}\).

Démonstration de l’assertion. Il faut vérifier que \[\text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi = \text{pr}_{02}^*\varphi \quad\text{sur}\quad X_{k'} \times_X X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\] Comme précédemment, le morphisme diagonal \(\Delta : X_{k'} \to X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\) est un épaississement. Les membres de gauche et de droite de l’égalité sont des applications \(a, b : p_0^*\mathcal{L} \to p_2^*\mathcal{L}\) compatibles avec \(p_0^*\alpha\) et \(p_2^*\alpha\), où \(p_i : X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'} \to X_{k'}\) sont les morphismes de projection. Enfin, les images réciproques de \(a, b\) par \(\Delta\) sont égales. Localement sur des ouverts affines (dans des trivialisations locales), cela signifie que \(a, b\) sont données par multiplication par des fonctions inversibles qui se réduisent à la même fonction modulo un idéal localement nilpotent et dont les puissances \(n\)-ièmes sont égales. Il résulte alors de Algèbre, lemme 0CAP que ces fonctions sont égales.