Espaces de Quot et de Hilbert

Introduction

Tel qu’il avait été conçu initialement, ce chapitre devait traiter des foncteurs de Quot et de Hilbert et démontrer que ce sont des espaces algébriques sous réserve que certaines conditions techniques soient satisfaites. Dans le cadre des schémas, ce sujet est traité dans les exposés de Grothendieck au séminaire Bourbaki ; voir [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V] et [Gr-VI]. Pour les schémas projectifs, les schémas de Quot et de Hilbert se plongent dans des grassmanniennes d’espaces de sections de faisceaux inversibles très amples convenables, ce qui fournit une méthode de construction de ces schémas. Notre approche est différente : nous utilisons les axiomes d’Artin pour démontrer que Quot et Hilb sont des espaces algébriques.

Après plus ample réflexion, il s’est révélé plus commode, pour le développement de la théorie dans le projet Champs, de commencer par le champ \(\Cohstack_{X/B}\) des faisceaux cohérents (à support propre sur la base), introduit dans [lieblich_remarks]. Pour nous, \(f : X \to B\) est un morphisme d’espaces algébriques satisfaisant des conditions techniques convenables, bien que ceci puisse être généralisé (voir ci-dessous). Étant donnés des modules \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur \(X\), sous des hypothèses convenables, le foncteur \(T/B \mapsto \Hom_{X_T}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T)\) est un espace algébrique \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) sur \(B\). Voir la section 08JS. On montre à la section 08K7 que le sous-foncteur \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) des isomorphismes est un espace algébrique. Ceci est utilisé dans les sections suivantes pour montrer que la diagonale du champ \(\Cohstack_{X/B}\) est représentable. Nous démontrons que \(\Cohstack_{X/B}\) est un champ algébrique dans la section 08KA lorsque \(X \to B\) est plat, et dans la section 08WB en général. On trouvera dans l’introduction de cette section des indications bibliographiques.

Cela étant établi, il est assez immédiat de démontrer que \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\), \(\Hilbfunctor_{X/B}\) et \(\Picardfunctor_{X/B}\) sont des espaces algébriques et que \(\Picardstack_{X/B}\) est un champ algébrique. Voir les sections 09TQ, 0CZX, 0D24 et 0D02.

De la manière habituelle, nous en déduisons à la section 0D19 que le foncteur \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) des morphismes relatifs est un espace algébrique (sous des hypothèses convenables).

Dans la section 0D1D, nous démontrons que le champ en groupoïdes \[\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] qui paramètre les familles plates d’espaces algébriques propres satisfait à tous les axiomes d’Artin (y compris l’ouverture de la versalité), sauf à l’effectivité formelle. Nous avons choisi à dessein cette notation fort malcommode pour ce champ, car le lecteur doit user de ses propriétés avec prudence.

Dans la section 0D1L, nous démontrons que le champ \(\Polarizedstack\) qui paramètre les familles plates d’espaces algébriques propres polarisés est un champ algébrique. Grâce à notre étude des familles plates d’espaces algébriques propres, il suffit pour cela de démontrer l’effectivité formelle pour les schémas polarisés, résultat souvent connu sous le nom de théorème d’algébrisation de Grothendieck.

Dans la section 0D4Y, nous démontrons que le champ \(\Curvesstack\) qui paramètre les familles de courbes est algébrique.

Dans la section 0DLB, nous étudions les modules de complexes sur un morphisme propre et obtenons un champ algébrique \(\Complexesstack_{X/B}\). L’idée de l’énoncé et celle de la démonstration sont empruntées à [lieblich-complexes].

Que ne trouve-t-on pas dans ce chapitre ? Il n’y est presque pas question des propriétés que possèdent les espaces et champs de modules ainsi obtenus (au-delà de leur algébricité) ; à ce sujet, nous renvoyons à Champs de modules, section 0DLU. Dans la plupart des résultats examinés, on peut généraliser les constructions en considérant un morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{B}\) de champs algébriques au lieu d’un morphisme \(X \to B\) d’espaces algébriques. Nous en traiterons (insérer ici une référence future). Dans le cas des espaces de Hilbert, il existe une notion plus générale de « champs de Hilbert », dont nous traiterons dans un chapitre séparé ; voir (insérer ici une référence future).

Conventions

Nous avons placé à dessein ce chapitre, ainsi que les chapitres « Exemples de champs », « Faisceaux sur les champs algébriques », « Critères de représentabilité » et « Axiomes d’Artin », avant le développement général de la théorie des champs algébriques. La raison en est qu’à partir du chapitre suivant (voir Propriétés des champs, section 04XA), nous ne distinguerons plus un schéma du champ algébrique auquel il donne naissance. Notre langage deviendra donc plus souple et plus facile à lire pour un être humain, mais aussi moins précis. Ces premiers chapitres, y compris le chapitre initial « Champs algébriques », posent les fondements qui nous permettront plus tard de négliger certaines distinctions très techniques entre diverses façons d’envisager les champs algébriques. Cependant, notamment dans les chapitres « Axiomes d’Artin » et « Critères de représentabilité », nous devons préciser exactement les objets avec lesquels nous travaillons, puisque nous cherchons à démontrer que certaines constructions produisent des champs algébriques ou des espaces algébriques.

Malheureusement, il en résulte que certaines notations, conventions et certains termes sont malcommodes et peuvent paraître contraires aux usages au lecteur plus expérimenté. Nous espérons qu’il nous le pardonnera !

Nous supposerons constamment que tous les schémas sont contenus dans un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). En outre, tout anneau \(A\) considéré possède la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et dans le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), plutôt que \(X \times X\).

Le foncteur Hom

Dans cette section, nous étudions le foncteur des homomorphismes défini ci-dessous.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) et \(\mathcal{G}_T\) les changements de base de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) à \(T\), autrement dit leurs images inverses par le morphisme de projection \(X_T = X \times_B T \to X\). Nous considérons le foncteur [08JU]\[\begin{equation} \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad T \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T) \end{equation}\]

Dans la situation 08JT, nous regarderons parfois \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément de \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\) consiste en un couple \((h, u)\), où \(h\) est un morphisme \(h : T \to B\) et \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules, avec \(X_T = T \times_{h, B} X\) et \(\mathcal{F}_T\), \(\mathcal{G}_T\) les images inverses sur \(X_T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la situation 08JT, le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) satisfait à la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(B\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(\mathcal{F}_i = u_{T_i}\), ainsi que \(\mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\). Remarquons que \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\) ; voir Topologies sur les espaces, lemme 03MR. Ainsi, une famille d’homomorphismes \(u_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) tels que \(u_i\) et \(u_j\) induisent le même homomorphisme sur \(X_{T_i \times_T T_j}\) provient par descente d’un unique homomorphisme \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) (Descente sur les espaces, proposition 04W8).

Lemme

Dans la situation 08JT. Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \{(h, u) \mid h : T \to B, u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\}\] où \(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T\) désignent les images inverses de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur l’espace algébrique \(X \times_{B, h} T\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(t, s : R \to U\).

Soit \(v : T \to \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) une transformation naturelle. Alors \(v(p)\) correspond à un couple \((h_U, u_U)\) sur \(U\). Comme \(v\) est une transformation de foncteurs, les images inverses de \((h_U, u_U)\) par \(s\) et \(t\) coïncident. Puisque \(T = U/R\) (Espaces, lemme 0262), nous obtenons un morphisme \(h : T \to B\) tel que \(h_U = h \circ p\). Alors \(\mathcal{F}_U\) est l’image inverse de \(\mathcal{F}_T\) sur \(X_U\), et il en est de même pour \(\mathcal{G}_U\). Par conséquent, \(u_U\) descend en un homomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\), d’après Descente sur les espaces, proposition 04W8.

Réciproquement, soit \((h, u)\) un couple sur \(T\). Nous obtenons alors une transformation naturelle \(v : T \to \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) en envoyant un morphisme \(a : T' \to T\), où \(T'\) est un schéma, sur \((h \circ a, a^*u)\). Nous omettons de vérifier que cette construction et celle du paragraphe précédent sont inverses l’une de l’autre.

Remarque

Dans la situation 08JT, soit \(B' \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(X' = X \times_B B'\) et désignons par \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) les images inverses de \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sur \(X'\). Nous obtenons alors un foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') : (\Sch/B')^{opp} \to \textit{Ensembles}\) associé au changement de base \(f' : X' \to B'\). Pour un schéma \(T\) sur \(B'\), il est clair que \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}', \mathcal{G}')(T) = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\] où, dans le membre de droite, on regarde \(T\) comme un schéma sur \(B\) au moyen du composé \(T \to B' \to B\). Cette remarque élémentaire sera parfois utile pour changer l’espace algébrique de base.

Lemme

Dans la situation 08JT, soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf et, pour chaque \(i, j \in I\), soit \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) un recouvrement fppf. Désignons par \(\mathcal{F}_i\), resp. \(\mathcal{F}_{ijk}\), l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\), resp. sur \(X_{ijk}\). Définissons de même \(\mathcal{G}_i\) et \(\mathcal{G}_{ijk}\). Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T) \ar[r] & \prod\nolimits_i \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)(T) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{i, j, k} \mathit{Hom}(\mathcal{F}_{ijk}, \mathcal{G}_{ijk})(T) }\] présente la première flèche comme l’égalisateur des deux autres.

Démonstration

Soit \(u_i : \mathcal{F}_{i, T} \to \mathcal{G}_{i, T}\) un élément de l’égalisateur de \(\text{pr}_0^*\) et \(\text{pr}_1^*\). Comme le changement de base d’un recouvrement fppf est un recouvrement fppf (Topologies sur les espaces, lemme 03Y9), nous voyons que \(\{X_{i, T} \to X_T\}_{i \in I}\) et \(\{X_{ijk, T} \to X_{i, T} \times_{X_T} X_{j, T}\}\) sont des recouvrements fppf. En appliquant Descente sur les espaces, proposition 04W8, nous concluons d’abord que \(u_i\) et \(u_j\) induisent le même morphisme sur \(X_{i, T} \times_{X_T} X_{j, T}\) ; une seconde application montre alors qu’il existe un unique morphisme \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) dont la restriction est \(u_i\) pour tout \(i\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 08JT. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) commute aux limites.

Démonstration

Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite filtrante de \(B\)-schémas affines. Nous devons montrer que \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T) = \colim \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T_i)\] Choisissons \(0 \in I\). Nous pouvons remplacer \(B\) par \(T_0\), \(X\) par \(X_{T_0}\), \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F}_{T_0}\), \(\mathcal{G}\) par \(\mathcal{G}_{T_0}\) et \(I\) par \(\{i \in I \mid i \geq 0\}\). Voir la remarque 08JW. Nous pouvons donc supposer que \(B = \Spec(R)\) est affine.

Lorsque \(B\) est affine, \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Comme \(X\) est quasi-séparé, le schéma \(U \times_X U\) est quasi-compact, et nous pouvons choisir un morphisme étale surjectif \(V \to U \times_X U\), où \(V\) est un schéma affine. En appliquant le lemme 08K3, nous voyons que \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est l’égalisateur de deux applications entre \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U) \quad\text{et}\quad \mathit{Hom}(\mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_V)\] Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(X\) est affine.

Dans le cas affine, l’énoncé du lemme se ramène au problème suivant : étant donnés un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\), deux \(A\)-modules \(M\), \(N\) et un système inductif de \(R\)-algèbres \(C = \colim C_i\). Quand l’application \[\colim \Hom_{A \otimes_R C_i}(M \otimes_R C_i, N \otimes_R C_i) \longrightarrow \Hom_{A \otimes_R C}(M \otimes_R C, N \otimes_R C)\] est-elle bijective ? D’après Algèbre, lemme 05LI, elle l’est si \(M \otimes_R C\) est de présentation finie sur \(A \otimes_R C\), c’est-à-dire si \(M\) est de présentation finie sur \(A\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(i : X' \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et soit \(\mathcal{G}'\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent. Alors \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G}') = \mathit{Hom}(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G}')\] comme foncteurs sur \((\Sch/B)\).

Démonstration

Soit \(g : T \to B\) un morphisme, où \(T\) est un schéma. Désignons par \(i_T : X'_T \to X_T\) le changement de base de \(i\). Désignons par \(h : X_T \to X\) et \(h' : X'_T \to X'\) les projections. Observons que \((h')^*i^*\mathcal{F} = i_T^*h^*\mathcal{F}\). Comme une immersion fermée est affine (Morphismes d’espaces, lemme 07U2), nous avons \(h^*i_*\mathcal{G} = i_{T, *}(h')^*\mathcal{G}\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 07U8. Ainsi, \[\begin{align*} \mathit{Hom}(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G}')(T) & = \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(h^*\mathcal{F}, h^*i_*\mathcal{G}') \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(h^*\mathcal{F}, i_{T, *}(h')^*\mathcal{G}) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X'_T}}(i_T^*h^*\mathcal{F}, (h')^*\mathcal{G}) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_{X'_T}}((h')^*i^*\mathcal{F}, (h')^*\mathcal{G}) \\ & = \mathit{Hom}(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G}')(T) \end{align*}\] comme voulu. L’égalité du milieu résulte de l’adjonction des foncteurs \(i_{T, *}\) et \(i_T^*\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(K\) un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_B)\).

1. Si, pour tout \(g : T \to B\) dans \((\Sch/B)\), le faisceau de cohomologie \(H^{-1}(Lg^*K)\) est nul, alors le foncteur \[(\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad (g : T \to B) \longmapsto H^0(T, H^0(Lg^*K))\] est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(B\).

2. Si, pour tout \(g : T \to B\) dans \((\Sch/B)\), les faisceaux de cohomologie \(H^i(Lg^*K)\) sont nuls pour \(i < 0\), alors \(K\) est parfait, \(K\) est localement d’amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\), et le foncteur \[(\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad (g : T \to B) \longmapsto H^0(T, Lg^*K)\] est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Sous les hypothèses de (2), nous avons \(H^0(T, Lg^*K) = H^0(T, H^0(Lg^*K))\). Montrons que la règle \(T \mapsto H^0(T, H^0(Lg^*K))\) satisfait à la propriété de faisceau pour la topologie fppf. Supposons pour cela que nous disposions d’un recouvrement fppf \(\{h_i : T_i \to T\}\) d’un schéma \(g : T \to B\) sur \(B\). Posons \(g_i = g \circ h_i\). Remarquons que, puisque \(h_i\) est plat, nous avons \(Lh_i^* = h_i^*\) et \(h_i^*\) commute à la prise de la cohomologie. Par suite, \[H^0(T_i, H^0(Lg_i^*K)) = H^0(T_i, H^0(h_i^*Lg^*K)) = H^0(T, h_i^*H^0(Lg^*K))\] Il en est de même pour l’image inverse sur \(T_i \times_T T_j\). Comme \(Lg^*K\) est un complexe pseudo-cohérent sur \(T\) (Cohomologie sur les sites, lemme 08H4), le faisceau de cohomologie \(\mathcal{F} = H^0(Lg^*K)\) est quasi-cohérent (Catégories dérivées des espaces, lemme 08JL). Ainsi, d’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, nous avons \[H^0(T, \mathcal{F}) = \Ker( \prod H^0(T_i, h_i^*\mathcal{F}) \to \prod H^0(T_i \times_T T_j, (T_i \times_T T_j \to T)^*\mathcal{F}))\] Nous voyons ainsi que les règles de (1) et (2) satisfont à la propriété de faisceau pour les recouvrements fppf. Nous pouvons donc appliquer Amorçage, lemme 04U0, pour voir qu’il suffit de démontrer la représentabilité localement pour la topologie étale sur \(B\). De plus, on peut vérifier localement pour la topologie étale sur \(B\) si le résultat final est affine et de présentation finie ; voir Morphismes d’espaces, lemmes 03WG et 0410. Nous pouvons donc supposer que \(B\) est un schéma affine.

Supposons que \(B = \Spec(A)\) soit un schéma affine. D’après les résultats de Catégories dérivées des espaces, lemmes 08JL, 071Q et 08HE, nous pouvons, dans le reste de la démonstration, considérer \(K\) comme un objet parfait de la catégorie dérivée des complexes de modules sur \(B\) pour la topologie de Zariski. D’après Catégories dérivées des schémas, lemmes 08E5, 06Z0 et 08E7, nous pouvons trouver un complexe pseudo-cohérent \(M^\bullet\) de \(A\)-modules tel que \(K\) soit l’objet correspondant de \(D(\mathcal{O}_B)\). Notre hypothèse sur les images inverses implique que \(M^\bullet \otimes^\mathbf{L}_A \kappa(\mathfrak p)\) a son \(H^{-1}\) nul pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). D’après Plus d’algèbre, lemme 068U, nous pouvons écrire \[M^\bullet = \tau_{\geq 0}M^\bullet \oplus \tau_{\leq - 1}M^\bullet\] où \(\tau_{\geq 0}M^\bullet\) est parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\) pour un certain \(b \geq 0\) (nous avons aussi utilisé ici Plus d’algèbre, lemmes 066Y et 066N). Remarquons que, dans le cas (2), nous voyons aussi que \(\tau_{\leq - 1}M^\bullet = 0\) dans \(D(A)\), de sorte que \(M^\bullet\) et \(K\) sont parfaits d’amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\). Pour tout \(B\)-schéma \(g : T \to B\), nous avons \[H^0(T, H^0(Lg^*K)) = H^0(T, H^0(Lg^*\tau_{\geq 0}K))\] (par le dual de Catégories dérivées, lemme 05TC) ; nous pouvons donc remplacer \(K\) par \(\tau_{\geq 0}K\) et, corrélativement, \(M^\bullet\) par \(\tau_{\geq 0}M^\bullet\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(M^\bullet\) est d’amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\).

Supposons \(M^\bullet\) d’amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\). Nous pouvons supposer que \(M^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(A\)-modules libres de type fini (d’après notre définition des complexes pseudo-cohérents ; voir Plus d’algèbre, définition 064Q, et la discussion qui suit la définition). D’après Plus d’algèbre, lemme 0653, nous voyons que \(M = \Coker(M^{- 1} \to M^0)\) est plat. D’après Algèbre, lemme 00NX, nous voyons que \(M\) est localement libre de type fini. Par conséquent, \(M^\bullet\) est quasi-isomorphe à \[M \to M^1 \to M^2 \to \ldots \to M^d \to 0 \ldots\] Remarquons qu’il s’agit d’un complexe K-plat (Cohomologie, lemme 06YD) ; l’image inverse dérivée de \(K\) par un morphisme \(T \to B\) est donc calculée par le complexe \[g^*\widetilde{M} \to g^*\widetilde{M^1} \to \ldots\] Il suffit ainsi de montrer que le foncteur \[(g : T \to B) \longmapsto \Ker( \Gamma(T,g^*\widetilde{M}) \to \Gamma(T, g^*(\widetilde{M^1}) )\] est représentable par un schéma affine de présentation finie sur \(B\).

Nous pouvons encore remplacer \(B\) par les membres d’un recouvrement ouvert affine pour démontrer ce dernier énoncé. Nous pouvons donc supposer que \(M\) est libre de type fini (rappelons que \(M^1\) est libre de type fini dès le départ). Écrivons \(M = A^{\oplus n}\) et \(M^1 = A^{\oplus m}\). Supposons que l’application \(M \to M^1\) soit donnée par la matrice \(m \times n\) \((a_{ij})\) à coefficients dans \(A\). Alors \(\widetilde{M} = \mathcal{O}_B^{\oplus n}\) et \(\widetilde{M^1} = \mathcal{O}_B^{\oplus m}\). Le foncteur ci-dessus est donc égal au foncteur \[(g : T \to B) \longmapsto \{(f_1, \ldots, f_n) \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \mid \sum g^\sharp(a_{ij})f_i = 0,\ j = 1, \ldots, m\}\] Il est clairement représentable par le schéma affine \[\Spec\left(A[x_1, \ldots, x_n]/(\sum a_{ij}x_i; j = 1, \ldots, m)\right)\] ce qui démontre le lemme.

Le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est représentable dans plusieurs situations. Tous nos résultats reposeront sur le cas fondamental suivant. La démonstration ci-dessous de ce lemme est, en un certain sens, la généralisation naturelle de celle de [EGA, III, cor. 7.7.8].

Lemme

Dans la situation 08JT, supposons que

1. \(B\) soit un espace algébrique noethérien,

2. \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé,

3. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, et

4. \(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, plat sur \(B\), à support propre sur \(B\).

Alors le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage ouvert quasi-compact du support de \(\mathcal{G}\) ; nous pouvons donc supposer \(X\) noethérien. Dans ce cas, \(X\) et \(f\) sont quasi-compacts et quasi-séparés. Choisissons une approximation \(P \to \mathcal{F}\) par un complexe parfait \(P\) du triplet \((X, \mathcal{F}, -1)\) ; voir Catégories dérivées des espaces, définition 08HI et théorème 08HP). Alors l’application induite \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, \mathcal{G})\] est un isomorphisme, parce que \(P \to \mathcal{F}\) induit un isomorphisme \(H^0(P) \to \mathcal{F}\) et que \(H^i(P) = 0\) pour \(i > 0\). De plus, pour tout morphisme \(g : T \to B\), désignons par \(h : X_T = T \times_B X \to X\) la projection et posons \(P_T = Lh^*P\). Il est alors encore vrai que \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T)\] est un isomorphisme, puisque \(P_T = Lh^*P \to Lh^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}_T\) induit un isomorphisme \(H^0(P_T) \to \mathcal{F}_T\) (car \(h^*\) est exact à droite et \(H^i(P) = 0\) pour \(i > 0\)). Il suffit donc de démontrer le résultat pour le foncteur \[T \longmapsto \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T).\] D’après la suite spectrale de Leray (voir Cohomologie sur les sites, remarque 08J6), nous avons \[\Hom_{D(\mathcal{O}_{X_T})}(P_T, \mathcal{G}_T) = H^0(X_T, R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)) = H^0(T, Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T))\] où \(f_T : X_T \to T\) est le changement de base de \(f\). D’après Catégories dérivées des espaces, lemme 08JQ, nous avons \[Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T) = Lg^*Rf_*R\SheafHom(P, \mathcal{G}).\] D’après Catégories dérivées des espaces, lemme 0DKK, l’objet \(K = Rf_*R\SheafHom(P, \mathcal{G})\) de \(D(\mathcal{O}_B)\) est parfait. Nous pouvons donc appliquer le lemme 08JX, pourvu que nous démontrions que le faisceau de cohomologie \(H^i(Lg^*K)\) est \(0\) pour tout \(i < 0\) et tout \(g : T \to B\) comme ci-dessus. Ceci résulte clairement de la dernière formule affichée, puisque les faisceaux de cohomologie de \(Rf_{T, *}R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)\) sont nuls en degrés négatifs : en effet, les faisceaux de cohomologie de \(R\SheafHom(P_T, \mathcal{G}_T)\) sont nuls en degrés négatifs, car \(P_T\) est parfait et ses faisceaux de cohomologie sont nuls en degrés positifs.

Voici une conséquence facile du lemme 08JY.

Proposition

Dans la situation 08JT, supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie, et

2. \(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(B\), à support propre sur \(B\).

Alors le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un espace algébrique affine sur \(B\). Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

D’après le lemme 08JV, le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) satisfait à la propriété de faisceau pour les recouvrements fppf. Cela signifie que nous pouvons¹ appliquer Amorçage, lemme 04SK, pour vérifier la représentabilité localement pour la topologie étale sur \(B\). De plus, nous pouvons vérifier localement pour la topologie étale sur \(B\) si le résultat final est affine ou de présentation finie ; voir Morphismes d’espaces, lemmes 03WG et 0410. Nous pouvons donc supposer que \(B\) est un schéma affine.

Supposons que \(B\) soit un schéma affine. Comme \(f\) est de présentation finie, il en résulte que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. Nous pouvons donc écrire \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) comme une colimite filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie (Limites d’espaces, lemme 07V9). Il est clair que \[\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \lim \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G})\] Si nous pouvons donc montrer que chaque \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G})\) est représentable par un schéma affine, nous verrons qu’il en va de même de \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\). Utiliser les résultats de Limites, section 01YV, et de Limites d’espaces, section 07SE. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie.

Écrivons \(B = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\), chaque \(R_i\) étant une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini. Posons \(B_i = \Spec(R_i)\). D’après les résultats de Limites d’espaces, lemmes 07SK et 07V7, nous pouvons trouver un \(i\), un morphisme d’espaces algébriques \(X_i \to B_i\), et des \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{F}_i\) et \(\mathcal{G}_i\), tels que le changement de base de \((X_i, \mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)\) à \(B\) redonne \((X, \mathcal{F}, \mathcal{G})\). D’après Limites d’espaces, lemme 08K0, nous pouvons, quitte à augmenter \(i\), supposer que \(\mathcal{G}_i\) est plat sur \(B_i\). D’après Limites d’espaces, lemme 08K2, nous pouvons de même supposer que le support schématique de \(\mathcal{G}_i\) est propre sur \(B_i\). Nous pouvons alors appliquer le lemme 08JY pour voir que \(H_i = \mathit{Hom}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}_i)\) est un espace algébrique affine de présentation finie sur \(B_i\). En effectuant l’image inverse sur \(B\) (à l’aide de la remarque 08JW), nous voyons que \(H_i \times_{B_i} B = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\), et nous avons gagné.

Vérification de cohérence : le faisceau \(\mathit{Hom}\) joue le même rôle parmi les espaces algébriques sur \(S\).

Le foncteur Isom

Dans la situation 08JT, nous pouvons considérer le sous-foncteur \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] dont la valeur sur un schéma \(T\) sur \(B\) est l’ensemble des homomorphismes inversibles de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\).

Nous regardons parfois \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément de \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(T)\) consiste en un couple \((h, u)\), où \(h\) est un morphisme \(h : T \to B\) et \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules, avec \(X_T = T \times_{h, B} X\) et \(\mathcal{F}_T\), \(\mathcal{G}_T\) les images inverses sur \(X_T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la situation 08JT, le foncteur \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) satisfait à la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous avons déjà vu que \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) satisfait à la propriété de faisceau. Il reste donc à montrer ceci : si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de schémas sur \(B\) et si \(u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) est une application \(\mathcal{O}_{X_T}\)-linéaire telle que \(u_{T_i}\) soit un isomorphisme pour tout \(i\), alors \(u\) est un isomorphisme. Puisque \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\) ; voir Topologies sur les espaces, lemme 03MR, ceci résulte de Descente sur les espaces, proposition 04W8.

Vérification de cohérence : le faisceau \(\mathit{Isom}\) joue le même rôle parmi les espaces algébriques sur \(S\).

Lemme

Dans la situation 08JT. Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \{(h, u) \mid h : T \to B, u : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\text{ isomorphisme}\}\] où \(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T\) désignent les images inverses de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur l’espace algébrique \(X \times_{B, h} T\).

Démonstration

Observons que les membres de gauche et de droite de l’égalité sont des sous-ensembles des membres de gauche et de droite de l’égalité du lemme 0D3S. Nous omettons de vérifier que ces sous-ensembles se correspondent par l’identification donnée dans la démonstration de ce lemme.

Proposition

Dans la situation 08JT, supposons que

1. \(f\) soit de présentation finie, et

2. \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient des \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie, plats sur \(B\), à support propre sur \(B\).

Alors le foncteur \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un espace algébrique affine de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Nous emploierons les abréviations \(H = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\), \(I = \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\), \(H' = \mathit{Hom}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et \(I' = \mathit{Hom}(\mathcal{G}, \mathcal{G})\). D’après la proposition 08K6, les foncteurs \(H\), \(I\), \(H'\), \(I'\) sont des espaces algébriques et les morphismes \(H \to B\), \(I \to B\), \(H' \to B\) et \(I' \to B\) sont affines et de présentation finie. La composition des applications donne un morphisme \[c : H' \times_B H \longrightarrow I \times_B I',\quad (u', u) \longmapsto (u \circ u', u' \circ u)\] d’espaces algébriques sur \(B\). Comme \(I \times_B I' \to B\) est séparé, la section \(\sigma : B \to I \times_B I'\) correspondant à \((\text{id}_\mathcal{F}, \text{id}_\mathcal{G})\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, lemme 03KP). De plus, \(\sigma\) est de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 05WT). Par conséquent, \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = (H' \times_B H) \times_{c, I \times_B I', \sigma} B\] est lui aussi un espace algébrique affine de présentation finie sur \(B\). Nous omettons quelques détails.

Le champ des faisceaux cohérents

Dans cette section, nous démontrons que le champ des faisceaux cohérents sur \(X/B\) est algébrique sous des hypothèses convenables. C’est un cas particulier de [lieblich_remarks, théorème 2.1.1], qui traite du champ des faisceaux cohérents sur un champ d’Artin au-dessus d’une base.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie. Nous désignons par \(\Cohstack_{X/B}\) la catégorie dont les objets sont les triplets \((T, g, \mathcal{F})\) où

1. \(T\) est un schéma sur \(S\),

2. \(g : T \to B\) est un morphisme sur \(S\), et, en posant \(X_T = T \times_{g, B} X\),

3. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module quasi-cohérent de présentation finie, plat sur \(T\), à support propre sur \(T\).

Un morphisme \((T, g, \mathcal{F}) \to (T', g', \mathcal{F}')\) est donné par un couple \((h, \varphi)\) où

1. \(h : T \to T'\) est un morphisme de schémas sur \(B\) (c’est-à-dire que \(g' \circ h = g\)), et

2. \(\varphi : (h')^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules, où \(h' : X_T \to X_{T'}\) est le changement de base de \(h\).

Ainsi, \(\Cohstack_{X/B}\) est une catégorie et la règle \[p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (T, g, \mathcal{F}) \longmapsto T\] est un foncteur. Pour un schéma \(T\) sur \(S\), nous désignons par \(\Cohstack_{X/B, T}\) la catégorie fibre de \(p\) en \(T\). Ces catégories fibres sont des groupoïdes.

Lemme

Dans la situation 08KB, le foncteur \(p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) est fibré en groupoïdes.

Démonstration

Nous montrons que \(p\) est fibré en groupoïdes en vérifiant les conditions (1) et (2) de Catégories, définition 003T. Étant donnés un objet \((T', g', \mathcal{F}')\) de \(\Cohstack_{X/B}\) et un morphisme \(h : T \to T'\) de schémas sur \(S\), nous pouvons poser \(g = h \circ g'\) et \(\mathcal{F} = (h')^*\mathcal{F}'\), où \(h' : X_T \to X_{T'}\) est le changement de base de \(h\). Il est alors clair que nous obtenons un morphisme \((T, g, \mathcal{F}) \to (T', g', \mathcal{F}')\) de \(\Cohstack_{X/B}\) au-dessus de \(h\). Cela démontre (1). Pour (2), supposons donnés des morphismes \[(h_1, \varphi_1) : (T_1, g_1, \mathcal{F}_1) \to (T, g, \mathcal{F}) \quad\text{et}\quad (h_2, \varphi_2) : (T_2, g_2, \mathcal{F}_2) \to (T, g, \mathcal{F})\] de \(\Cohstack_{X/B}\) et un morphisme \(h : T_1 \to T_2\) tel que \(h_2 \circ h = h_1\). Nous pouvons alors prendre pour \(\varphi\) le composé \[(h')^*\mathcal{F}_2 \xrightarrow{(h')^*\varphi_2^{-1}} (h')^*(h_2)^*\mathcal{F} = (h_1)^*\mathcal{F} \xrightarrow{\varphi_1} \mathcal{F}_1\] et obtenir ainsi le morphisme \((h, \varphi) : (T_1, g_1, \mathcal{F}_1) \to (T_2, g_2, \mathcal{F}_2)\) qui atteste la condition (2).

Lemme

Dans la situation 08KB. Posons \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\). Alors \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Considérons deux objets \(x = (T, g, \mathcal{F})\) et \(y = (T, h, \mathcal{G})\) de \(\mathcal{X}\) sur un schéma \(T\). Nous devons montrer que \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) est un espace algébrique sur \(T\) ; voir Champs algébriques, lemme 045G. Si, pour \(a : T' \to T\), les restrictions \(x|_{T'}\) et \(y|_{T'}\) sont isomorphes dans la catégorie fibre \(\mathcal{X}_{T'}\), alors \(g \circ a = h \circ a\). Il existe donc une transformation de préfaisceaux \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) \longrightarrow \text{Égalisateur}(g, h)\] Comme la diagonale de \(B\) est représentable (par des schémas), cet égalisateur est un schéma. Nous pouvons donc remplacer \(T\) par cet égalisateur et les faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) par leurs images inverses. Nous pouvons ainsi supposer \(g = h\). Dans ce cas, \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) = \mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\), et le résultat découle de la proposition 08K9.

Lemme

Dans la situation 08KB, le foncteur \(p : \Cohstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) est un champ en groupoïdes.

Démonstration

Pour démontrer que \(\Cohstack_{X/B}\) est un champ en groupoïdes, il faut montrer que les préfaisceaux \(\mathit{Isom}\) sont des faisceaux et que les données de descente sont effectives. L’assertion relative à \(\mathit{Isom}\) résulte du lemme 08W6 ; voir Champs algébriques, lemme 045G. Démontrons l’assertion relative aux données de descente. Supposons que \(\{a_i : T_i \to T\}\) soit un recouvrement fppf de schémas sur \(S\). Soit \((\xi_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente pour \(\{T_i \to T\}\) à valeurs dans \(\Cohstack_{X/B}\). Pour chaque \(i\), écrivons \(\xi_i = (T_i, g_i, \mathcal{F}_i)\). Désignons par \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) et \(\text{pr}_1 : T_i \times_T T_j \to T_j\) les projections. La condition \(\xi_i|_{T_i \times_T T_j} = \xi_j|_{T_i \times_T T_j}\) implique notamment que \(g_i \circ \text{pr}_0 = g_j \circ \text{pr}_1\). Il existe donc un unique morphisme \(g : T \to B\) tel que \(g_i = g \circ a_i\) ; voir Descente sur les espaces, lemme 04P2. Désignons par \(X_T = T \times_{g, B} X\). Posons \(X_i = X_{T_i} = T_i \times_{g_i, B} X = T_i \times_{a_i, T} X_T\) et \[X_{ij} = X_{T_i} \times_{X_T} X_{T_j} = X_i \times_{X_T} X_j\] avec les projections \(\text{pr}_i\) et \(\text{pr}_j\) sur \(X_i\) et \(X_j\). Observons que l’image inverse de \((T_i, g_i, \mathcal{F}_i)\) par \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) est donnée par \((T_i \times_T T_j, g_i \circ \text{pr}_0, \text{pr}_i^*\mathcal{F}_i)\). Ainsi, une donnée de descente pour \(\{T_i \to T\}\) dans \(\Cohstack_{X/B}\) est donnée par les objets \((T_i, g \circ a_i, \mathcal{F}_i)\) et, pour chaque couple \(i, j\), par un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_{ij}}\)-modules \[\varphi_{ij} : \text{pr}_i^*\mathcal{F}_i \longrightarrow \text{pr}_j^*\mathcal{F}_j\] satisfaisant à la condition de cocycle sur (l’image inverse de \(X\) à) \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\). Bien ; il suffit maintenant d’utiliser le fait que \(\{X_i \to X_T\}\) est un recouvrement fppf pour regarder \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) comme une donnée de descente pour ce recouvrement. D’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, cette donnée de descente est effective et nous obtenons un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X_T\), dont la restriction à \(X_i\) est \(\mathcal{F}_i\). D’après Morphismes d’espaces, lemme 05VY, nous voyons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(T\), et Descente sur les espaces, lemme 060V, garantit que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module. Enfin, d’après Descente sur les espaces, lemme 0422, nous voyons que le support schématique de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(T\), puisque nous avons supposé le support schématique de \(\mathcal{F}_i\) propre sur \(T_i\) (remarquons que la formation du support schématique commute au changement de base plat d’après Morphismes d’espaces, lemme 089C). Nous obtenons ainsi l’objet recherché sur \(T\).

Remarque

Dans la situation 08KB, la règle \((T, g, \mathcal{F}) \mapsto (T, g)\) définit un \(1\)-morphisme \[\Cohstack_{X/B} \longrightarrow \mathcal{S}_B\] de champs en groupoïdes (voir le lemme 08KC, Champs algébriques, section 04SU, et Exemples de champs, section 0305). Soit \(B' \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{S}_{B'} \to \mathcal{S}_B\) le \(1\)-morphisme associé de champs fibrés en ensembles. Posons \(X' = X \times_B B'\). Nous obtenons un champ en groupoïdes \(\Cohstack_{X'/B'} \to (\Sch/S)_{fppf}\) associé au changement de base \(f' : X' \to B'\). Dans cette situation, le diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ \Cohstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \mathcal{S}_{B'} \ar[r] & \mathcal{S}_B } } \quad \begin{matrix} \text{ou, dans} \\ \text{une autre} \\ \text{notation} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ \Cohstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \Sch/B' \ar[r] & \Sch/B } }\] est un carré \(2\)-cartésien. Cette remarque élémentaire sera parfois utile pour changer l’espace algébrique de base.

Lemme

Dans la situation 08KB, supposons que \(B \to S\) soit localement de présentation finie. Alors \(p : \Cohstack_{X/B} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites (Axiomes d’Artin, définition 07XL).

Démonstration

Notons \(B(T)\) la catégorie discrète dont les objets sont les \(S\)-morphismes \(T \to B\). Soit \(T = \lim T_i\) une limite filtrante de schémas affines sur \(S\). Associer à un objet \((T, h, \mathcal{F})\) de \(\Cohstack_{X/B, T}\) l’objet \(h\) de \(B(T)\) donne un diagramme commutatif de catégories fibres \[\xymatrix{ \colim \Cohstack_{X/B, T_i} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B, T} \ar[d] \\ \colim B(T_i) \ar[r] & B(T) }\] Nous devons montrer que la flèche horizontale supérieure est une équivalence. Puisque nous avons supposé que \(B\) est localement de présentation finie sur \(S\), il résulte de Limites d’espaces, remarque 05N0, que la flèche horizontale inférieure est une équivalence. Cela signifie que nous pouvons supposer que \(T = \lim T_i\) soit une limite filtrante de schémas affines sur \(B\). Désignons par \(g_i : T_i \to B\) et \(g : T \to B\) les morphismes correspondants. Posons \(X_i = T_i \times_{g_i, B} X\) et \(X_T = T \times_{g, B} X\). Observons que \(X_T = \colim X_i\) et que les espaces algébriques \(X_i\) et \(X_T\) sont quasi-séparés et quasi-compacts (puisqu’ils sont de présentation finie sur les schémas affines \(T_i\) et \(T\)). D’après Limites d’espaces, lemme 07V7, nous avons \[\colim \textit{FP}(X_i) = \textit{FP}(X_T).\] où \(\textit{FP}(W)\) abrège la catégorie des \(\mathcal{O}_W\)-modules de présentation finie. Les résultats de Limites d’espaces, lemmes 08K0 et 08K2, nous disent que la même assertion demeure vraie si nous remplaçons \(\textit{FP}(X_i)\) et \(\textit{FP}(X_T)\) par la sous-catégorie pleine des objets plats sur \(T_i\) et \(T\), dont le support schématique est propre sur \(T_i\) et \(T\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Dans la situation 08KB. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas sur \(S\), où \(Z \to Z'\) est un épaississement et \(Z \to Y\) est affine ; voir Plus sur les morphismes, lemme 07RT. Alors le foncteur entre catégories fibres \[\Cohstack_{X/B, Y'} \longrightarrow \Cohstack_{X/B, Y} \times_{\Cohstack_{X/B, Z}} \Cohstack_{X/B, Z'}\] est une équivalence.

Démonstration

Observons que l’application correspondante \[B(Y') \longrightarrow B(Y) \times_{B(Z)} B(Z')\] est une bijection ; voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07SY. Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Cohstack_{X/B, Y'} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B, Y} \times_{\Cohstack_{X/B, Z}} \Cohstack_{X/B, Z'} \ar[d] \\ B(Y') \ar[r] & B(Y) \times_{B(Z)} B(Z') }\] montre donc que nous pouvons supposer que \(Y'\) est un schéma sur \(B'\). D’après la remarque 08LP, nous pouvons remplacer \(B\) par \(Y'\) et \(X\) par \(X \times_B Y'\). Nous pouvons ainsi supposer \(B = Y'\). Dans ce cas, l’assertion résulte de Sommes amalgamées d’espaces, lemme 08KV.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_i & X' \ar[d] \\ T \ar[r] & T' }\] un carré cartésien d’espaces algébriques, où \(T \to T'\) est un épaississement du premier ordre. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module plat sur \(T'\). Posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent de présentation finie,

2. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module de présentation finie,

3. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de présentation finie,

4. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

Rappelons qu’un module de présentation finie est quasi-cohérent ; cela donne les équivalences entre (1) et (2), et entre (3) et (4). L’équivalence de (2) et (4) est un cas particulier de Théorie des déformations, lemme 08VU.

Lemme

Dans la situation 08KB, supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien et que \(B \to S\) soit localement de présentation finie. Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(x_0 = (\Spec(k), g_0, \mathcal{G}_0)\) un objet de \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\) sur \(k\). Alors les espaces \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) (Axiomes d’Artin, section 07WY) sont de dimension finie.

Démonstration

Observons que, d’après le lemme 08LQ, notre champ en groupoïdes \(\mathcal{X}\) satisfait à la propriété (RS*) définie dans Axiomes d’Artin, section 07Y6. En particulier, \(\mathcal{X}\) satisfait à (RS). Toutes les catégories de prédéformations associées sont donc des catégories de déformations (Axiomes d’Artin, lemme 07WU), et l’énoncé a un sens.

Nous montrons dans ce paragraphe que nous pouvons nous ramener au cas \(B = \Spec(k)\). Posons \(X_0 = \Spec(k) \times_{g_0, B} X\) et désignons par \(\mathcal{X}_0 = \Cohstack_{X_0/k}\). Dans la remarque 08LP, nous avons vu que \(\mathcal{X}_0\) est le \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{X}\) et \(\Spec(k)\) sur \(B\), comme catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Ainsi, d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X2, nous sommes ramenés à démontrer que \(B\), \(\Spec(k)\) et \(\mathcal{X}_0\) possèdent des espaces tangents et des espaces d’automorphismes infinitésimaux de dimension finie. Les espaces tangents de \(B\) et de \(\Spec(k)\) sont de dimension finie d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X1, et leur \(\text{Inf}\) est évidemment nul. Il suffit donc de traiter \(\mathcal{X}_0\).

Soit \(k[\epsilon]\) l’algèbre des nombres duaux sur \(k\). Soit \(\Spec(k[\epsilon]) \to B\) le composé de \(g_0 : \Spec(k) \to B\) et du morphisme \(\Spec(k[\epsilon]) \to \Spec(k)\) provenant de l’inclusion \(k \to k[\epsilon]\). Posons \(X_0 = \Spec(k) \times_B X\) et \(X_\epsilon = \Spec(k[\epsilon]) \times_B X\). Observons que \(X_\epsilon\) est un épaississement du premier ordre de \(X_0\), plat sur l’épaississement du premier ordre \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon])\). En développant les définitions et en utilisant le lemme 08W7, nous voyons que \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0}\) est l’ensemble des relèvements de \(\mathcal{G}_0\) en un module plat sur \(X_\epsilon\). D’après Théorie des déformations, lemme 08VW, nous concluons que \[T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0} = \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{G}_0, \mathcal{G}_0)\] Nous avons utilisé ici l’identification \(\epsilon k[\epsilon] \cong k\) de \(k[\epsilon]\)-modules. En utilisant une fois encore Théorie des déformations, lemme 08VW, nous voyons que \[\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) = \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_0}}(\mathcal{G}_0, \mathcal{G}_0)\] Ces espaces sont de dimension finie sur \(k\), car \(\mathcal{G}_0\) est à support propre sur \(\Spec(k)\). En effet, \(X_0\) est de présentation finie sur \(\Spec(k)\), donc noethérien. Comme \(\mathcal{G}_0\) est de présentation finie, c’est un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module cohérent. Nous pouvons donc appliquer Catégories dérivées des espaces, lemme 0D0T, pour conclure à la finitude voulue.

Lemme

Dans la situation 08KB, supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien et que \(f : X \to B\) soit séparé. Soit \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\). Alors le foncteur d’Axiomes d’Artin, équation (07X6), est une équivalence.

Démonstration

Soit \(A\) une \(S\)-algèbre qui est un anneau local noethérien complet, d’idéal maximal \(\mathfrak m\), et dont le corps résiduel \(k\) est de type fini sur \(S\). Nous devons montrer que la catégorie des objets sur \(A\) est équivalente à la catégorie des objets formels sur \(A\). Comme nous savons que ceci vaut pour la catégorie \(\mathcal{S}_B\) fibrée en ensembles associée à \(B\), d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X8, il suffit de le démontrer pour les objets situés au-dessus d’un morphisme donné \(\Spec(A) \to B\).

Posons \(X_A = \Spec(A) \times_B X\) et \(X_n = \Spec(A/\mathfrak m^n) \times_B X\). D’après le théorème d’existence de Grothendieck (Plus sur les morphismes d’espaces, théorème 08BE), la catégorie des modules cohérents \(\mathcal{F}\) sur \(X_A\) à support propre sur \(\Spec(A)\) est équivalente à la catégorie des systèmes \((\mathcal{F}_n)\) de modules cohérents \(\mathcal{F}_n\) sur \(X_n\) à support propre sur \(\Spec(A/\mathfrak m^n)\). L’équivalence envoie \(\mathcal{F}\) sur le système \((\mathcal{F} \otimes_A A/\mathfrak m^n)\). Voir la discussion dans Plus sur les morphismes d’espaces, remarque 08BF. Pour achever la démonstration du lemme, il suffit de montrer que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(A\) si et seulement si tous les \(\mathcal{F} \otimes_A A/\mathfrak m^n\) sont plats sur \(A/\mathfrak m^n\). Cela résulte de Plus sur les morphismes d’espaces, lemme 08VP.

Lemme

Dans la situation 08KB, supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien, que \(S = B\) et que \(f : X \to B\) soit plat. Soit \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\). Alors la versalité est ouverte pour \(\mathcal{X}\) (voir Axiomes d’Artin, définition 07XQ).

Démonstration

Cette démonstration repose sur le critère d’Axiomes d’Artin, lemme 07YZ. Soit \(U \to S\) un morphisme de schémas de type fini, soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) sur \(U\) et soit \(u_0 \in U\) un point de type fini tel que \(x\) soit versel en \(u_0\). En rétrécissant \(U\), nous pouvons supposer que \(u_0\) est un point fermé (Morphismes, lemme 01TA) et que \(U = \Spec(A)\), le morphisme \(U \to S\) étant à valeurs dans un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\) de \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) le module cohérent sur \(X_A = \Spec(A) \times_S X\), plat sur \(A\), qui correspond à l’objet donné \(x\).

D’après Théorie des déformations, lemme 08VW, nous avons un isomorphisme de foncteurs \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] et, étant donnée une surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres, de noyau de carré nul \(I\), nous avons une classe d’obstruction \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I)\] Ceci utilise le fait que, pour tout \(A' \to A\) comme ci-dessus, le changement de base \(X_{A'} = \Spec(A') \times_B X\) est plat sur \(A'\). De plus, la construction de la classe d’obstruction est fonctorielle en la surjection \(A' \to A\) (pour \(A\) fixé), d’après Théorie des déformations, lemme 0CYE. Appliquons Catégories dérivées des espaces, lemme 08JR, au calcul des groupes Ext \(\Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) pour \(i \leq m\), avec \(m = 2\). Nous trouvons un objet parfait \(K \in D(A)\) et des isomorphismes fonctoriels \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] pour \(i \leq m\), compatibles aux morphismes de bord. Cet objet \(K\), avec les identifications affichées ci-dessus, nous fournit une donnée comme dans Axiomes d’Artin, situation 07YX. Enfin, la condition (iv) d’Axiomes d’Artin, lemme 07YY, est satisfaite d’après Théorie des déformations, lemme 08VY. Axiomes d’Artin, lemme 07YZ, s’applique donc bien, ce qui démontre le lemme.

Démonstration

Cette démonstration repose sur Axiomes d’Artin, lemme 0CYF. Les conditions (1), (2) et (3) de ce lemme correspondent aux lemmes 08W6, 08LQ et 08KD.

Nous avons construit une théorie de l’obstruction dans le chapitre sur la théorie des déformations. Plus précisément, étant données une \(S\)-algèbre \(A\) et un objet \(x\) de \(\Cohstack_{X/B}\) sur \(\Spec(A)\), donné par \(\mathcal{F}\) sur \(X_A\), nous posons \(\mathcal{O}_x(M) = \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) ; si \(A' \to A\) est une surjection de noyau \(I\), nous prenons pour élément d’obstruction l’élément \[o_x(A') = o(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I, 1) \in \mathcal{O}_x(I) = \Ext^2_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A I)\] de Théorie des déformations, lemme 08VW. Toutes les propriétés d’une théorie de l’obstruction telle qu’elle est définie dans Axiomes d’Artin, définition 07YG, résultent de ce lemme, sauf la fonctorialité des classes d’obstruction formulée dans la condition (ii) de la définition. Mais, comme l’indique la note de bas de page jointe à l’hypothèse (4) d’Axiomes d’Artin, lemme 0CYF, il suffit de vérifier la fonctorialité des classes d’obstruction pour \(A\) fixé, ce qui résulte de Théorie des déformations, lemme 0CYE. Théorie des déformations, lemme 08VW, nous dit aussi que \(T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) pour tout \(A\)-module \(M\).

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(T_x(\prod M_n) = \prod T_x(M_n)\) et \(\mathcal{O}_x(\prod M_n) = \prod \mathcal{O}_x(M)\). Appliquons Catégories dérivées des espaces, lemme 08JR, au calcul des groupes Ext \(\Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\) pour \(i \leq m\), avec \(m = 2\). Nous trouvons un objet parfait \(K \in D(A)\) et des isomorphismes fonctoriels \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] pour \(i = 1, 2\). Un argument immédiat montre que \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} \prod M_n) = \prod H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M_n)\] dès que \(K\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\). En fait, cette propriété (pour tout \(i\)) caractérise les complexes pseudo-cohérents ; voir Plus d’algèbre, lemme 0CYB.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie, séparé et plat². Alors \(\Cohstack_{X/B}\) est un champ algébrique sur \(S\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\). Nous avons vu que \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), à diagonale représentable par des espaces algébriques (lemmes 08KC et 08W6). Il suffit donc de trouver un schéma \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\).

Soit \(B'\) un schéma et soit \(B' \to B\) un morphisme étale surjectif. Posons \(X' = B' \times_B X\) et désignons par \(f' : X' \to B'\) la projection. Alors \(\mathcal{X}' = \Cohstack_{X'/B'}\) est égal au \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{X}\) et de la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B'\), sur la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B\) (remarque 08LP). D’après les résultats de Champs algébriques, section 03YJ, le morphisme \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est étale et surjectif. Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(\mathcal{X}'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(B\) est un schéma.

Supposons que \(B\) soit un schéma. Dans ce cas, nous pouvons remplacer \(S\) par \(B\) ; voir Champs algébriques, section 04X4. Nous pouvons donc supposer \(S = B\).

Supposons \(S = B\). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\). Désignons par \(\mathcal{X}_i\) la restriction de \(\mathcal{X}\) à \((\Sch/U_i)_{fppf}\). Si nous pouvons trouver des schémas \(W_i\) sur \(U_i\) et des morphismes lisses surjectifs \(W_i \to \mathcal{X}_i\), alors, en posant \(W = \coprod W_i\), nous obtenons un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). Nous pouvons donc supposer que \(S = B\) est affine.

Supposons \(S = B\) affine, disons \(S = \Spec(\Lambda)\). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme une colimite filtrante, chaque \(\Lambda_i\) étant de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour un certain \(i\), nous pouvons trouver un morphisme d’espaces algébriques \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\) qui soit de présentation finie, séparé et plat, et dont le changement de base à \(\Lambda\) soit \(X\). Voir Limites d’espaces, lemmes 07SK, 0851 et 08K0. Si nous montrons que \(\Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) est un champ algébrique, il résultera par changement de base (remarque 08LP et Champs algébriques, section 04X4) que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Nous pouvons donc supposer que \(\Lambda\) est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini.

Supposons \(S = B = \Spec(\Lambda)\) affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Dans ce cas, nous vérifierons les conditions (1), (2), (3), (4) et (5) d’Axiomes d’Artin, lemme 07Y4, pour conclure que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Remarquons que \(\Lambda\) est un anneau G ; voir Plus d’algèbre, proposition 07PX. Ainsi, tous les anneaux locaux de \(S\) sont des anneaux G. La condition (5) est donc satisfaite. D’après le lemme 08WA, la versalité est ouverte pour \(\mathcal{X}\), donc (4) est satisfaite. Pour vérifier (2), nous devons vérifier les axiomes [-1], [0], [1], [2] et [3] d’Axiomes d’Artin, section 07XJ. Nous omettons la vérification de [-1], et les axiomes [0], [1], [2], [3] correspondent respectivement aux lemmes 08KC, 08KD, 08LQ, 08W8. La condition (3) résulte du lemme 08W9. Enfin, la condition (1) est le lemme 08W6. Ceci achève la démonstration du théorème.

Le champ des faisceaux cohérents dans le cas non plat

Dans le théorème 08WC, l’hypothèse que \(f : X \to B\) est plat n’est pas nécessaire. Dans cette section, nous donnons une démonstration différente qui évite l’hypothèse de platitude et la vérification de l’ouverture de la versalité, en utilisant les résultats de Platitude sur les espaces, section 0CX3, et d’Axiomes d’Artin, section 0CXR.

Pour une autre approche de ce problème, le lecteur pourra consulter [ArtinI] et suivre la méthode exposée dans les articles [olsson-starr], [lieblich_remarks], [olsson_proper], [Hall-Rydh], [Hall-Rydh-Hilbert], [rydh_representability]. Certains de ces articles traitent du cas plus général du champ des faisceaux cohérents sur un champ algébrique au-dessus d’un champ algébrique, et d’autres traitent de problèmes analogues pour les champs de Hilbert ou les foncteurs de Quot. Notre stratégie consistera à démontrer l’algébricité de certains champs de Hilbert et foncteurs de Quot comme conséquence de l’algébricité du champ des faisceaux cohérents.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie et séparé. Alors \(\Cohstack_{X/B}\) est un champ algébrique sur \(S\).

Démonstration

Seule la dernière étape diffère de la démonstration du cas plat, mais nous répétons ici tous les arguments afin de nous assurer que tout fonctionne.

Posons \(\mathcal{X} = \Cohstack_{X/B}\). Nous avons vu que \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), à diagonale représentable par des espaces algébriques (lemmes 08KC et 08W6). Il suffit donc de trouver un schéma \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\).

Soit \(B'\) un schéma et soit \(B' \to B\) un morphisme étale surjectif. Posons \(X' = B' \times_B X\) et désignons par \(f' : X' \to B'\) la projection. Alors \(\mathcal{X}' = \Cohstack_{X'/B'}\) est égal au \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{X}\) et de la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B'\), sur la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B\) (remarque 08LP). D’après les résultats de Champs algébriques, section 03YJ, le morphisme \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est étale et surjectif. Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(\mathcal{X}'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(B\) est un schéma.

Supposons que \(B\) soit un schéma. Dans ce cas, nous pouvons remplacer \(S\) par \(B\) ; voir Champs algébriques, section 04X4. Nous pouvons donc supposer \(S = B\).

Supposons \(S = B\). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\). Désignons par \(\mathcal{X}_i\) la restriction de \(\mathcal{X}\) à \((\Sch/U_i)_{fppf}\). Si nous pouvons trouver des schémas \(W_i\) sur \(U_i\) et des morphismes lisses surjectifs \(W_i \to \mathcal{X}_i\), alors, en posant \(W = \coprod W_i\), nous obtenons un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). Nous pouvons donc supposer que \(S = B\) est affine.

Supposons \(S = B\) affine, disons \(S = \Spec(\Lambda)\). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme une colimite filtrante, chaque \(\Lambda_i\) étant de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour un certain \(i\), nous pouvons trouver un morphisme d’espaces algébriques \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\) qui soit séparé et de présentation finie et dont le changement de base à \(\Lambda\) soit \(X\). Voir Limites d’espaces, lemmes 07SK et 0851. Si nous montrons que \(\Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) est un champ algébrique, il résultera par changement de base (remarque 08LP et Champs algébriques, section 04X4) que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Nous pouvons donc supposer que \(\Lambda\) est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini.

Supposons \(S = B = \Spec(\Lambda)\) affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Dans ce cas, nous vérifierons les conditions (1), (2), (3), (4) et (5) d’Axiomes d’Artin, lemme 07Y4, pour conclure que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Remarquons que \(\Lambda\) est un anneau G ; voir Plus d’algèbre, proposition 07PX. Ainsi, tous les anneaux locaux de \(S\) sont des anneaux G. La condition (5) est donc satisfaite. Pour vérifier (2), nous devons vérifier les axiomes [-1], [0], [1], [2] et [3] d’Axiomes d’Artin, section 07XJ. Nous omettons la vérification de [-1], et les axiomes [0], [1], [2], [3] correspondent respectivement aux lemmes 08KC, 08KD, 08LQ, 08W8. La condition (3) est le lemme 08W9. La condition (1) est le lemme 08W6.

Il reste à démontrer la condition (4), qui est l’ouverture de la versalité. Pour cela, nous utiliserons Axiomes d’Artin, lemme 0CXU. Nous avons déjà vu que \(\mathcal{X}\) a sa diagonale représentable par des espaces algébriques, possède (RS*) et commute aux limites (voir les lemmes utilisés ci-dessus). Il nous reste donc seulement à voir que \(\mathcal{X}\) satisfait à l’effectivité formelle forte formulée dans Axiomes d’Artin, lemme 0CXU. C’est le théorème de Platitude sur les espaces 0CXB, et la démonstration est achevée.

Le foncteur des quotients

Dans cette section, nous donnons quelques généralités sur le foncteur \(Q_{\mathcal{F}/X/B}\) défini ci-dessous. La notation \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) est réservée à un sous-foncteur de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\). Nous recommandons au lecteur d’omettre cette section lors d’une première lecture.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), nous désignerons par \(X_T\) le changement de base de \(X\) à \(T\) et par \(\mathcal{F}_T\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) par le morphisme de projection \(X_T = X \times_B T \to X\). Pour un tel \(T\), posons \[\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \text{quotients }\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\text{ où } \mathcal{Q}\text{ est un}\\ \text{module quasi-cohérent sur } \mathcal{O}_{X_T}\text{, plat sur }T \end{matrix} \right\}\] Nous identifions deux quotients s’ils ont le même noyau. Supposons que \(T' \to T\) soit un morphisme de schémas sur \(B\) et que \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) soit un élément de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\). Alors l’image inverse \(\mathcal{Q}' = (X_{T'} \to X_T)^*\mathcal{Q}\) est un \(\mathcal{O}_{X_{T'}}\)-module quasi-cohérent plat sur \(T'\), d’après Morphismes d’espaces, lemme 05VW. Nous obtenons donc un foncteur [082N]\[\begin{equation} \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] C’est le foncteur des quotients de \(\mathcal{F}/X/B\). Nous définissons un sous-foncteur [0CZL]\[\begin{equation} \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] qui associe à \(T\) le sous-ensemble de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) formé des quotients \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) tels que \(\mathcal{Q}\) soit de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module. C’est un sous-foncteur d’après Propriétés des espaces, section 05VR.

Dans la situation 082M, nous regardons parfois \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/S} \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) est un couple \((h, \mathcal{Q})\), où \(h\) un morphisme \(h : T \to B\) et où \(\mathcal{Q}\) est un quotient \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) plat sur \(T\), de présentation finie sur \(X_T = X \times_{B, h} T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/S}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique. Des remarques analogues valent pour \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\).

Remarque

Dans la situation 082M, soit \(B' \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(X' = X \times_B B'\) et désignons par \(\mathcal{F}'\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X'\). Nous avons donc le foncteur \(Q_{\mathcal{F}'/X'/B'}\) sur la catégorie des schémas sur \(B'\). Pour un schéma \(T\) sur \(B'\), il est clair que \[Q_{\mathcal{F}'/X'/B'}(T) = Q_{\mathcal{F}/X/B}(T)\] où, dans le membre de droite, nous regardons \(T\) comme un schéma sur \(B\) au moyen du composé \(T \to B' \to B\). Des remarques analogues valent pour \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\). Ces remarques élémentaires seront parfois utiles pour changer l’espace algébrique de base.

Remarque

Soient \(S\) un schéma, \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fpqc et que, pour chaque \(i, j \in I\), nous soit donné un recouvrement fpqc \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\). Dans cette situation, nous avons une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{quotients }\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\text{ où } \\ \mathcal{Q}\text{ est quasi-cohérent}\\ \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{familles de quotients }f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i \text{ où } \\ \mathcal{Q}_i\text{ est quasi-cohérent et où } \mathcal{Q}_i\text{ et }\mathcal{Q}_j\\ \text{induisent le même quotient sur }X_{ijk} \end{matrix} \right\}\] En effet, soit \((f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i)_{i \in I}\) un élément du membre de droite. Comme \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) est un recouvrement fpqc, nous voyons que les images inverses de \(\mathcal{Q}_i\) et \(\mathcal{Q}_j\) induisent le même quotient de l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i \times_X X_j\) (par pleine fidélité dans Descente sur les espaces, proposition 04W8). Nous obtenons donc une donnée de descente pour les modules quasi-cohérents relativement à \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\). D’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, nous trouvons un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\) dont la restriction à \(X_i\) redonne les homomorphismes donnés \(f_i^*\mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\). Comme la famille de morphismes \(\{X_i \to X\}\) est conjointement surjective et plate, pour tout point \(x \in |X|\), il existe un \(i\) et un point \(x_i \in |X_i|\) s’envoyant sur \(x\). Remarquons que l’homomorphisme induit sur les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X_i, \overline{x_i}}\) est fidèlement plat ; voir Morphismes d’espaces, section 03MK. Nous voyons donc que \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\) est surjectif.

Lemme

Dans la situation 082M. Les foncteurs \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) et \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) satisfont à la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(S\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i}\). Remarquons que \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\) (Topologies sur les espaces, lemme 03MR) et que \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\). Supposons que \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{Q}_i\) soit une famille d’éléments de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i)\) telle que \(\mathcal{Q}_i\) et \(\mathcal{Q}_{i'}\) induisent le même élément de \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i \times_T T_{i'})\). D’après la remarque 08IU, nous obtenons une application surjective de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) dont la restriction à \(X_i\) redonne les quotients donnés. D’après Morphismes d’espaces, lemme 05VY, nous voyons que \(\mathcal{Q}\) est plat sur \(T\). Enfin, dans le cas de \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\), c’est-à-dire si les \(\mathcal{Q}_i\) sont de présentation finie, Descente sur les espaces, lemme 060V, garantit que \(\mathcal{Q}\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module.

Vérification de cohérence : \(\text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) et \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) jouent le même rôle parmi les espaces algébriques sur \(S\).

Lemme

Dans la situation 082M. Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}) \text{ où } h : T \to B \text{ et où}\\ \mathcal{Q}\text{ est quasi-cohérent et plat sur }T \end{matrix} \right\}\] où \(\mathcal{F}_T\) désigne l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur l’espace algébrique \(X \times_{B, h} T\). De même, nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}) \text{ où } h : T \to B \text{ et où}\\ \mathcal{Q}\text{ est de présentation finie et plat sur }T \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(t, s : R \to U\).

Soit \(v : T \to \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) une transformation naturelle. Alors \(v(p)\) correspond à un couple \((h_U, \mathcal{F}_U \to \mathcal{Q}_U)\) sur \(U\). Comme \(v\) est une transformation de foncteurs, les images inverses de \((h_U, \mathcal{F}_U \to \mathcal{Q}_U)\) par \(s\) et \(t\) coïncident. Puisque \(T = U/R\) (Espaces, lemme 0262), nous obtenons un morphisme \(h : T \to B\) tel que \(h_U = h \circ p\). D’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, le quotient \(\mathcal{Q}_U\) descend en un quotient \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) sur \(X_T\). Comme \(U \to T\) est surjectif et plat, il résulte de Morphismes d’espaces, lemme 05VY, que \(\mathcal{Q}\) est plat sur \(T\).

Réciproquement, soit \((h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q})\) un couple sur \(T\). Nous obtenons alors une transformation naturelle \(v : T \to \text{Q}_{\mathcal{F}/X/B}\) en envoyant un morphisme \(a : T' \to T\), où \(T'\) est un schéma, sur \((h \circ a, \mathcal{F}_{T'} \to a^*\mathcal{Q})\). Nous omettons de vérifier que cette construction et celle du paragraphe précédent sont inverses l’une de l’autre.

Dans le cas de \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\), ajoutons ceci : étant donné un morphisme \(h : T \to B\), un faisceau quasi-cohérent sur \(X_T\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module si et seulement si son image inverse sur \(X_U\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_{X_U}\)-module. Cela résulte du fait que \(X_U \to X_T\) est surjectif et étale, et de Descente sur les espaces, lemme 060V.

Lemme

Dans la situation 082M, soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc et, pour chaque \(i, j \in I\), soit \(\{X_{ijk} \to X_i \times_X X_j\}\) un recouvrement fpqc. Désignons par \(\mathcal{F}_i\), resp. \(\mathcal{F}_{ijk}\), l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\), resp. sur \(X_{ijk}\). Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), le diagramme \[\xymatrix{ Q_{\mathcal{F}/X/B}(T) \ar[r] & \prod\nolimits_i Q_{\mathcal{F}_i/X_i/B}(T) \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_0^*} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_1^*} & \prod\nolimits_{i, j, k} Q_{\mathcal{F}_{ijk}/X_{ijk}/B}(T) }\] présente la première flèche comme l’égalisateur des deux autres. La même assertion vaut pour le foncteur \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}_{i, T} \to \mathcal{Q}_i\) un élément de l’égalisateur de \(\text{pr}_0^*\) et \(\text{pr}_1^*\). D’après la remarque 08IU, nous obtenons une surjection \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules quasi-cohérents, dont la restriction à \(X_{i, T}\) redonne \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{Q}_i\). D’après Morphismes d’espaces, lemme 05VY, nous voyons que \(\mathcal{Q}\) est plat sur \(T\), comme voulu. Dans le cas du foncteur \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\), c’est-à-dire si \(\mathcal{Q}_i\) est de présentation finie, \(\mathcal{Q}\) est lui aussi de présentation finie d’après Descente sur les espaces, lemme 060V.

Lemme

Dans la situation 082M, supposons en outre que (a) \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et que (b) \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie. Alors le foncteur \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) commute aux limites au sens suivant : si \(T = \lim T_i\) est une limite filtrante de schémas affines sur \(B\), alors \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \colim \text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T_i)\).

Démonstration

Soit \(T = \lim T_i\) comme dans l’énoncé du lemme. Choisissons \(i_0 \in I\) et remplaçons \(I\) par \(\{i \in I \mid i \geq i_0\}\). Nous pouvons poser \(B = S = T_{i_0}\) et remplacer \(X\) par \(X_{T_0}\) et \(\mathcal{F}\) par son image inverse sur \(X_{T_0}\). Alors \(X_T = \lim X_{T_i}\) ; voir Limites d’espaces, lemme 07SF. Soit \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) un élément de \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}(T)\). D’après Limites d’espaces, lemme 07V7, il existe un \(i\) et une application \(\mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{Q}_i\) de \(\mathcal{O}_{X_{T_i}}\)-modules de présentation finie dont l’image inverse sur \(X_T\) est l’application quotient donnée.

Il nous reste à vérifier que, quitte à augmenter \(i\), l’application \(\mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{Q}_i\) est surjective et \(\mathcal{Q}_i\) est plat sur \(T_i\). Pour cela, choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03H6). Nous pouvons vérifier la surjectivité et la platitude sur \(T_i\) après image inverse par le recouvrement étale \(U_{T_i} \to X_{T_i}\) (par définition). Nous sommes ainsi ramenés au cas où \(X = \Spec(B_0)\) est un schéma affine de présentation finie sur \(B = S = T_0 = \Spec(A_0)\). En écrivant \(T_i = \Spec(A_i)\), puis \(T = \Spec(A)\) avec \(A = \colim A_i\), nous sommes parvenus au problème d’algèbre suivant. Soit \(M_i \to N_i\) une application de \(B_0 \otimes_{A_0} A_i\)-modules de présentation finie telle que \(M_i \otimes_{A_i} A \to N_i \otimes_{A_i} A\) soit surjective et que \(N_i \otimes_{A_i} A\) soit plat sur \(A\). Montrer qu’il existe \(i' \geq i\) tel que \(M_i \otimes_{A_i} A_{i'} \to N_i \otimes_{A_i} A_{i'}\) soit surjective et que \(N_i \otimes_{A_i} A_{i'}\) soit plat sur \(A\). La première assertion résulte d’Algèbre, lemme 05LI, et la seconde d’Algèbre, lemme 02JO.

Lemme

Dans la situation 082M. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas sur \(B\), où \(Z \to Z'\) est un épaississement et \(Z \to Y\) est affine ; voir Plus sur les morphismes, lemme 07RT. Alors l’application naturelle \[Q_{\mathcal{F}/X/B}(Y') \longrightarrow Q_{\mathcal{F}/X/B}(Y) \times_{Q_{\mathcal{F}/X/B}(Z)} Q_{\mathcal{F}/X/B}(Z')\] est bijective. Si \(X \to B\) est localement de présentation finie, la même assertion vaut pour \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\).

Démonstration

Construisons une application inverse. Supposons donc donnés \(\mathcal{F}_Y \to \mathcal{A}\), \(\mathcal{F}_{Z'} \to \mathcal{B}'\) et un isomorphisme \(\mathcal{A}|_{X_Z} \to \mathcal{B}'|_{X_Z}\) compatible aux surjections données. Nous appliquons alors Sommes amalgamées d’espaces, lemme 08KV, pour obtenir sur \(X_{Y'}\) un module quasi-cohérent \(\mathcal{A}'\) plat sur \(Y'\). Comme ce faisceau est construit comme un produit fibré (voir la démonstration du lemme cité), il existe une application canonique \(\mathcal{F}_{Y'} \to \mathcal{A}'\). On peut voir que cette application est surjective parce qu’elle se factorise en \[\begin{matrix} \mathcal{F}_{Y'} \\ \downarrow \\ (X_Y \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_Y \times_{(X_Z \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_Z} (X_{Z'} \to X_{Y'})_*\mathcal{F}_{Z'} \\ \downarrow \\ \mathcal{A}' = (X_Y \to X_{Y'})_*\mathcal{A} \times_{(X_Z \to X_{Y'})_*\mathcal{A}|_{X_Z}} (X_{Z'} \to X_{Y'})_*\mathcal{B}' \end{matrix}\] la première flèche étant surjective d’après Plus d’algèbre, lemme 08IG, et la seconde d’après Plus d’algèbre, lemme 08KJ.

Dans le cas de \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\), il nous suffit de montrer que la construction ci-dessus produit un module de présentation finie. Cela est expliqué dans Plus d’algèbre, remarque 08KR, dans le cadre de l’algèbre commutative. Le présent cas des modules sur des espaces algébriques s’en déduit par localisation étale.

Remarque

Dans la situation 082M, supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(B\). Soit \(T \subset T'\) un épaississement du premier ordre de schémas sur \(B\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{J}\). Alors \(X_T \subset X_{T'}\) est un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques, dont le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) est un quotient de \(f_T^*\mathcal{J}\). Nous considérerons les faisceaux sur \(X_{T'}\), resp. sur \(T'\), comme des faisceaux sur \(X_T\), resp. sur \(T\), au moyen de l’équivalence fondamentale décrite dans Plus sur les morphismes d’espaces, section 05ZJ. Soit \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q} \to 0\] une suite définissant un élément \(x\) de \(Q_{\mathcal{F}/X/B}(T)\). Comme \(\mathcal{F}_{T'}\) est plat sur \(T'\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T \xrightarrow{i} \mathcal{F}_{T'} \xrightarrow{\pi} \mathcal{F}_T \to 0\] et nous avons \(f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{F}_T\) ; voir Théorie des déformations, lemme 08MQ. Pour un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module \(\mathcal{G}\), nous emploierons l’abréviation \(f_T^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J}\). Comme \(\mathcal{Q}\) est plat sur \(T\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \to 0\] En combinant ce qui précède, nous obtenons une extension canonique \[0 \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \pi^{-1}(\mathcal{K})/i(\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J}) \to \mathcal{K} \to 0\] de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules. Elle définit une classe canonique \[o_x(T') \in \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{K}, \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J})\] Si \(o_x(T')\) est nul, nous obtenons une scission de la suite exacte courte qui le définit, autrement dit un \(\mathcal{O}_{X_{T'}}\)-sous-module \(\mathcal{K}' \subset \pi^{-1}(\mathcal{K})\) s’insérant dans une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{K} \to 0\). Il résulte alors du lemme cité ci-dessus que \(\mathcal{Q}' = \mathcal{F}_{T'}/\mathcal{K}'\) est un relèvement de \(x\) en un élément de \(Q_{\mathcal{F}/X/B}(T')\). Réciproquement, le lecteur voit que l’existence d’un relèvement implique que \(o_x(T')\) est nul. De plus, si \(x \in Q_{\mathcal{F}/X/B}^{fp}(T)\), alors automatiquement \(x' \in Q_{\mathcal{F}/X/B}^{fp}(T')\), d’après Théorie des déformations, lemme 08VU. Si nous avons un jour besoin de cette remarque, nous en ferons un lemme, formulerons précisément le résultat et en donnerons une démonstration détaillée (en fait, tout ce qui précède vaut dans le cadre de topos annelés arbitraires).

Remarque

Dans la situation 082M, supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(B\). Nous poursuivons la discussion de la remarque 0CZU. Supposons \(o_x(T') = 0\). Nous affirmons alors que l’ensemble des relèvements \(x' \in Q_{\mathcal{F}/X/B}(T')\) est un espace principal homogène sous le groupe \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{K}, \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_T} \mathcal{J})\] En effet, étant donné un quotient \(\mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{Q}'\) plat sur \(T'\) qui relève le quotient \(\mathcal{Q}\), nous obtenons un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes \[\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_T \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Q} \otimes \mathcal{J} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_{T'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Q}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}_T \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Q} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 }\] (pour le voir, utiliser les observations faites dans la remarque précédente). Étant donnée une application \(\varphi : \mathcal{K} \to \mathcal{Q} \otimes \mathcal{J}\), nous pouvons considérer le sous-faisceau \(\mathcal{K}'_\varphi \subset \mathcal{F}_{T'}\) formé des sections locales \(s\) dont l’image dans \(\mathcal{F}_T\) est une section locale \(k\) de \(\mathcal{K}\) et dont l’image dans \(\mathcal{Q}'\) est la section locale \(\varphi(k)\) de \(\mathcal{Q} \otimes \mathcal{J}\). Posons alors \(\mathcal{Q}'_\varphi = \mathcal{F}_{T'}/\mathcal{K}'_\varphi\). Réciproquement, tout second relèvement de \(x\) correspond à l’un des quotients ainsi construits. Si nous avons un jour besoin de cette remarque, nous en ferons un lemme, formulerons précisément le résultat et en donnerons une démonstration détaillée (en fait, tout ce qui précède vaut dans le cadre de topos annelés arbitraires).

Le foncteur de Quot

Dans cette section, nous démontrons que le foncteur de Quot est un espace algébrique.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), nous désignerons par \(X_T\) le changement de base de \(X\) à \(T\) et par \(\mathcal{F}_T\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) par le morphisme de projection \(X_T = X \times_S T \to X\). Pour un tel \(T\), posons \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \text{quotients }\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\text{ où } \mathcal{Q}\text{ est un module quasi-cohérent sur }\\ \mathcal{O}_{X_T}\text{, de présentation finie et plat sur }T\\ \text{à support propre sur }T \end{matrix} \right\}\] D’après Catégories dérivées des espaces, lemme 0CZJ, c’est un sous-foncteur du foncteur \(Q^{fp}_{\mathcal{F}/X/B}\) étudié dans la section 082L. Nous obtenons donc un foncteur [09TS]\[\begin{equation} \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] C’est le foncteur de Quot associé à \(\mathcal{F}/X/B\).

Dans la situation 09TR, nous regardons parfois \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) est un couple \((h, \mathcal{Q})\), où \(h\) est un morphisme \(h : T \to B\) et où \(Q\) est un quotient \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) de présentation finie et plat sur \(T\), sur \(X_T = X \times_{B, h} T\), à support propre sur \(T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la situation 09TR. Le foncteur \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) satisfait à la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Dans le lemme 082P, nous avons vu que le foncteur \(\text{Q}^{fp}_{\mathcal{F}/X/S}\) est un faisceau. Rappelons que, pour un schéma \(T\) sur \(S\), le sous-ensemble \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}(T) \subset \text{Q}_{\mathcal{F}/X/S}(T)\) sélectionne les quotients dont le support est propre sur \(T\). Cela définit un sous-faisceau d’après Descente sur les espaces, lemme 0422, combiné à Morphismes d’espaces, lemme 089C, qui montre que la formation du support schématique commute au changement de base plat.

Vérification de cohérence : \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) joue le même rôle parmi les espaces algébriques sur \(S\).

Lemme

Dans la situation 09TR. Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, \mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}) \text{ où } h : T \to B \text{ et où}\\ \mathcal{Q}\text{ est de présentation finie et}\\ \text{plate sur }T\text{ à support propre sur }T \end{matrix} \right\}\] où \(\mathcal{F}_T\) désigne l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur l’espace algébrique \(X \times_{B, h} T\).

Démonstration

Observons que les membres de gauche et de droite de l’égalité sont des sous-ensembles des membres de gauche et de droite de la seconde égalité du lemme 0D3U. Pour voir que ces sous-ensembles se correspondent par l’identification donnée dans la démonstration de ce lemme, il suffit de montrer ceci : étant donnés \(h : T \to B\), un morphisme étale surjectif \(U \to T\) et un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{Q}\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le support schématique de \(\mathcal{Q}\) est propre sur \(T\), et

2. le support schématique de \((X_U \to X_T)^*\mathcal{Q}\) est propre sur \(U\).

Cela résulte de Descente sur les espaces, lemme 0422, combiné à Morphismes d’espaces, lemme 089C, qui montre que la formation du support schématique commute au changement de base plat.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Si \(f\) est de présentation finie et séparé, alors \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) est un espace algébrique. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est localement de présentation finie.

Démonstration

D’après le lemme 09TT, \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) est un faisceau pour la topologie fppf. Soit \(\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/B}\) le champ en groupoïdes correspondant à \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) ; voir Champs algébriques, section 04SU. D’après Champs algébriques, proposition 04SZ, il suffit de montrer que \(\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/B}\) est un champ algébrique. Considérons le \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes \[\textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/S} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] sur \((\Sch/S)_{fppf}\), qui associe au quotient \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) le module \(\mathcal{Q}\). D’après le théorème 09DS, nous savons que \(\Cohstack_{X/B}\) est un champ algébrique. D’après Champs algébriques, lemme 05UM, il suffit de montrer que ce \(1\)-morphisme est représentable par des espaces algébriques.

Soit \(T\) un schéma sur \(S\) et soit l’objet \((h, \mathcal{G})\) de \(\Cohstack_{X/B}\) sur \(T\) qui correspond à un \(1\)-morphisme \(\xi : (\Sch/T)_{fppf} \to \Cohstack_{X/B}\). Le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{Z} = (\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \Cohstack_{X/B}} \textit{Quot}_{\mathcal{F}/X/S}\] est un champ en sétoïdes ; voir Champs, lemme 05UI. Le faisceau d’ensembles correspondant (c’est-à-dire le foncteur ; voir Champs, lemmes 05UI et 0430) associe à un schéma \(T'/T\) l’ensemble des surjections \(u : \mathcal{F}_{T'} \to \mathcal{G}_{T'}\) de modules quasi-cohérents sur \(X_{T'}\). Nous voyons donc que \(\mathcal{Z}\) est représentable par un sous-espace ouvert (d’après Platitude sur les espaces, lemme 09TP) de l’espace algébrique \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G})\) de la proposition 08K6.

Remarque

Soit \(S\) un schéma noethérien dont tous les anneaux locaux sont des anneaux G. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) dont le morphisme structural \(f : X \to S\) est de présentation finie et séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de présentation finie sur \(X\), plat sur \(S\). Nous esquissons dans cette remarque comment employer les axiomes d’Artin pour démontrer que \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) est un espace algébrique localement de présentation finie sur \(S\), sans utiliser l’algébricité du champ des faisceaux cohérents comme dans la démonstration de la proposition 09TU.

Vérifions les conditions énumérées dans Axiomes d’Artin, proposition 07Y1. On peut voir comme suit la représentabilité de la diagonale de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/S}\) : supposons donnés deux quotients \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\). Désignons par \(\mathcal{K}_1\) le noyau du premier. Il faut alors montrer que le lieu de \(T\) au-dessus duquel \(u : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{Q}_2\) devient nul est représentable. Cela résulte par exemple de Platitude sur les espaces, lemme 083M, ou d’une discussion antérieure du faisceau \(\mathit{Hom}\) dans ce chapitre. Les axiomes [0] (faisceau), [1] (limites), [2] (Rim–Schlessinger) résultent des lemmes 09TT, 082Q et 08IW (moyennant un travail supplémentaire pour traiter la condition de propreté). L’axiome [3] (dimension finie des espaces tangents) résulte de la description des déformations infinitésimales dans la remarque 0CZV et de la finitude de la cohomologie des faisceaux cohérents sur les espaces algébriques propres sur des corps (Cohomologie des espaces, lemme 08AR). L’axiome [4] (effectivité des objets formels) résulte du théorème d’existence de Grothendieck (Plus sur les morphismes d’espaces, théorème 08BE). Comme toujours, l’axiome [5] (ouverture de la versalité) est le plus délicat à vérifier. On peut par exemple utiliser la théorie de l’obstruction décrite dans la remarque 0CZU et la description des déformations de la remarque 0CZV, en appliquant le critère d’Axiomes d’Artin, lemme 0CYF. Comparer avec la seconde démonstration du lemme 08WA.

Le foncteur de Hilbert

Dans cette section, nous démontrons que le foncteur Hilb est un espace algébrique.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie. Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), nous désignerons par \(X_T\) le changement de base de \(X\) à \(T\). Pour un tel \(T\), posons \[\Hilbfunctor_{X/B}(T) = \left\{ \begin{matrix} \text{sous-espaces fermés }Z \subset X_T\text{ tels que }Z \to T\\ \text{soit de présentation finie, plat et propre} \end{matrix} \right\}\] Comme le changement de base conserve les propriétés requises (Espaces, lemme 02YW, et Morphismes d’espaces, lemmes 03XR, 03MO et 04WP), nous obtenons un foncteur [0CZZ]\[\begin{equation} \Hilbfunctor_{X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] C’est le foncteur de Hilbert associé à \(X/B\).

Dans la situation 0CZY, nous regardons parfois \(\Hilbfunctor_{X/B}\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\Hilbfunctor_{X/S} \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément de \(\Hilbfunctor_{X/B}(T)\) est un couple \((h, Z)\) où \(h\) est un morphisme \(h : T \to B\) et où \(Z \subset X_T = X \times_{B, h} T\) est un sous-schéma fermé, plat, propre et de présentation finie sur \(T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\Hilbfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Bien entendu, le foncteur de Hilbert n’est qu’un cas particulier du foncteur de Quot.

Lemme

Dans la situation 0CZY, nous avons \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\).

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(B\). Étant donné un élément \(Z \in \Hilbfunctor_{X/B}(T)\), nous pouvons considérer le quotient \(\mathcal{O}_{X_T} \to i_*\mathcal{O}_Z\), où \(i : Z \to X_T\) est le morphisme d’inclusion. Remarquons que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est quasi-cohérent. Comme \(Z \to T\) et \(X_T \to T\) sont de présentation finie, nous voyons que \(i\) est de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 05WT) ; ainsi, \(i_*\mathcal{O}_Z\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module de présentation finie (Descente sur les espaces, lemme 0610). Comme \(Z \to T\) est propre, nous voyons que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est à support propre sur \(T\) (au sens défini dans Catégories dérivées des espaces, section 0CZB). Comme \(\mathcal{O}_Z\) est plat sur \(T\) et que \(i\) est affine, nous voyons que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est plat sur \(T\) (nous omettons un petit argument). Par conséquent, \(\mathcal{O}_{X_T} \to i_*\mathcal{O}_Z\) est un élément de \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}(T)\).

Réciproquement, étant donné un élément \(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q}\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}(T)\), nous pouvons considérer l’immersion fermée \(i : Z \to X_T\) correspondant au faisceau d’idéaux quasi-cohérent \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q})\) (Morphismes d’espaces, lemme 03MB). Par construction de \(Z\), nous avons \(\mathcal{Q} = i_*\mathcal{O}_Z\). Nous pouvons alors lire les arguments précédents à rebours pour voir que \(Z\) définit un élément de \(\Hilbfunctor_{X/B}(T)\). Par exemple, \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent de type fini (Modules sur les sites, lemme 082T) ; donc \(i : Z \to X_T\) est de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 084Q) ; donc \(Z \to T\) est de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 03XQ). La propreté de \(Z \to T\) résulte de la discussion dans Catégories dérivées des espaces, section 0CZB. La platitude de \(Z \to T\) résulte de la platitude de \(\mathcal{Q}\) sur \(T\).

Nous omettons la vérification (immédiate) que les deux constructions ci-dessus sont inverses l’une de l’autre.

Vérification de cohérence : le faisceau \(\Hilbfunctor_{X/B}\) joue le même rôle parmi les espaces algébriques sur \(S\).

Lemme

Dans la situation 0CZY. Soit \(T\) un espace algébrique sur \(S\). Nous avons \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, \Hilbfunctor_{X/B}) = \left\{ \begin{matrix} (h, Z)\text{ où }h : T \to B,\ Z \subset X_T \\ \text{de présentation finie, plat, propre sur }T \end{matrix} \right\}\] où \(X_T = X \times_{B, h} T\).

Démonstration

D’après le lemme 0D00, nous avons \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0D3V pour voir que le membre de gauche est en bijection avec l’ensemble des surjections \(\mathcal{O}_{X_T} \to \mathcal{Q}\) qui sont de présentation finie, plates sur \(T\) et à support propre sur \(T\). En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0D00, nous voyons que ces quotients correspondent exactement aux immersions fermées \(Z \to X_T\) telles que \(Z \to T\) soit propre, plat et de présentation finie.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est de présentation finie et séparé, alors \(\Hilbfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique localement de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0D00 et de la proposition 09TU.

Le champ de Picard

Le champ de Picard d’un morphisme d’espaces algébriques a été introduit dans Exemples de champs, section 0372. Nous déduirons du lemme suivant que c’est un sous-champ ouvert du champ des faisceaux cohérents (dans les cas favorables).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est plat, de présentation finie et propre. L’application naturelle \[\Picardstack_{X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] est représentable par des immersions ouvertes.

Démonstration

Observons que l’application envoie simplement un triplet \((T, g, \mathcal{L})\) comme dans Exemples de champs, section 0372, sur le même triplet \((T, g, \mathcal{L})\), mais considéré maintenant comme un triplet du genre décrit dans la situation 08KB. Cela fonctionne parce que le \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module inversible \(\mathcal{L}\) est certainement un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module de présentation finie, qu’il est plat sur \(T\) parce que \(X_T \to T\) est plat, et que son support est propre sur \(T\) puisque \(X_T \to T\) est propre (Morphismes d’espaces, lemmes 03MO et 04WP). L’énoncé a donc un sens.

Cela dit, il est clair que le contenu du lemme est le suivant : étant donné un objet \((T, g, \mathcal{F})\) de \(\Cohstack_{X/B}\), il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset T\) tel que, pour un morphisme de schémas \(T' \to T\), les conditions suivantes soient équivalentes :

1. \(T' \to T\) se factorise par \(U\),

2. l’image inverse \(\mathcal{F}_{T'}\) de \(\mathcal{F}\) par \(X_{T'} \to X_T\) est inversible.

Soit \(W \subset |X_T|\) l’ensemble des points \(x \in |X_T|\) tels que \(\mathcal{F}\) soit localement libre au voisinage de \(x\). D’après Plus sur les morphismes d’espaces, lemme 0CZT. \(W\) est ouvert et la formation de \(W\) commute à tout changement de base. Il est clair que, si \(T' \to T\) satisfait à (b), alors \(|X_{T'}| \to |X_T|\) est à valeurs dans \(W\). Nous pouvons donc, pour construire \(U\), remplacer \(T\) par l’ouvert \(T \setminus f_T(|X_T| \setminus W)\). Après cette opération, nous sommes dans la situation où \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini. Dans ce cas, nous obtenons une décomposition en réunion disjointe \(X_T = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\) de sous-espaces ouverts et fermés telle que la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(X_i\) soit localement libre de rang \(i\). Alors il est clair que \[U = T \setminus f_T(|X_0| \cup |X_2| \cup |X_3| \cup \ldots )\] convient. (Remarquons que si nous supposons \(T\) quasi-compact, alors \(X_T\) est quasi-compact ; seul un nombre fini de \(X_i\) sont donc non vides et \(U\) est bien ouvert.)

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est plat, de présentation finie et propre, alors \(\Picardstack_{X/B}\) est un champ algébrique.

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0D03, du lemme de Champs algébriques 05UM, et soit du théorème 08WC, soit du théorème 09DS

Le foncteur de Picard

Dans cette section, nous revenons sur le foncteur de Picard étudié dans Schémas de Picard des courbes, section 0B9K. La discussion sera plus générale, car nous voulons étudier le foncteur de Picard d’un morphisme d’espaces algébriques comme dans la section consacrée au champ de Picard, voir la section 0D02.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un faisceau inversible sur \(X\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible sur \(X_\etale\), voir Modules sur les sites, définition 0409. Le groupe des classes d’isomorphisme de modules inversibles est noté \(\Pic(X)\), voir Modules sur les sites, définition 040C. Étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\), l’image inverse définit un homomorphisme de groupes \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\). La correspondance \(X \leadsto \Pic(X)\) est un foncteur contravariant de la catégorie des schémas vers la catégorie des groupes abéliens. Ce foncteur n’est pas représentable, mais il se trouve qu’une variante relative de cette construction l’est parfois.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous définissons \[\Picardfunctor_{X/B} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}\] comme le faisceau fppf associé au foncteur qui, à un schéma \(T\) sur \(B\), associe le groupe \(\Pic(X_T)\).

Dans la situation 0D25, nous considérons parfois \(\Picardfunctor_{X/B}\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\). De ce point de vue, nous définissons \(\Picardfunctor_{X/B}\) comme le faisceau fppf associé au foncteur \[T/S \longmapsto \{(h, \mathcal{L}) \mid h : T \to B,\ \mathcal{L} \in \Pic(X \times_{B, h} T)\}\] En particulier, lorsque nous disons que \(\Picardfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Une remarque souvent utilisée est que, si \(T\) est un schéma sur \(B\), alors \(\Picardfunctor_{X_T/T}\) est la restriction de \(\Picardfunctor_{X/B}\) à \((\Sch/T)_{fppf}\).

Lemme

Dans la situation 0D25, le foncteur \(\Picardfunctor_{X/B}\) est le faisceau associé au foncteur \(T \mapsto \Ob(\Picardstack_{X/B, T})/\cong\).

Démonstration

Puisque la catégorie fibre \(\Picardstack_{X/B, T}\) du champ de Picard \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(T\) est la catégorie des faisceaux inversibles sur \(X_T\) (voir la section 0D02 et Exemples de champs, section 0372), cela découle immédiatement des définitions.

Il n’est en fait pas trivial de déterminer la valeur de \(\Picardfunctor_{X/B}\) sur les schémas \(T\) au-dessus de \(B\). Voici un lemme qui aide à accomplir cette tâche.

Lemme

Dans la situation 0D25. Si \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme pour tout schéma \(T\) sur \(B\), alors \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/B}(T)\] est une suite exacte pour tout \(T\).

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(B\) par \(T\) et \(X\) par \(X_T\), et supposer que \(B = T\) afin d’alléger les notations. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_B\)-module inversible. Si \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\), alors l’hypothèse donne \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_B\). Comme \(\mathcal{N}\) est localement trivial, l’application canonique \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\) est localement un isomorphisme (car \(\mathcal{O}_B \to f_*f^*\mathcal{O}_B\) est un isomorphisme par hypothèse). Nous en concluons que \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_B\) est un isomorphisme, et voyons que \(\mathcal{N}\) est trivial. Cela prouve que la première flèche est injective.

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible appartenant au noyau de \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/B}(B)\). Il existe alors un recouvrement fppf \(\{B_i \to B\}\) tel que l’image inverse de \(\mathcal{L}\) soit le faisceau inversible trivial sur \(X_{B_i}\). Choisissons une section trivialisante \(s_i\). Alors \(\text{pr}_0^*s_i\) et \(\text{pr}_1^*s_j\) sont toutes deux des sections trivialisantes de \(\mathcal{L}\) sur \(X_{B_i \times_B B_j}\) et diffèrent donc par une unité multiplicative \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_B B_j}, \mathcal{O}_{X_{B_i \times_B B_j}}^*) = \Gamma(B_i \times_B B_j, \mathcal{O}_{B_i \times_N B_j}^*)\] (l’égalité résultant de notre hypothèse sur l’image directe des faisceaux structuraux). Bien entendu, ces éléments satisfont à la condition de cocycle sur \(B_i \times_B B_j \times_B B_k\) ; ils définissent donc une donnée de descente sur des faisceaux inversibles relativement au recouvrement fppf \(\{B_i \to B\}\). D’après Descente, proposition 023T, il existe un \(\mathcal{O}_B\)-module inversible \(\mathcal{N}\) muni de trivialisations sur les \(B_i\) dont la donnée de descente associée est \(\{f_{ij}\}\). (La proposition s’applique parce que \(B\) est un schéma, par le remplacement effectué au début de la démonstration.) Alors \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\), car le foncteur des données de descente vers les modules est pleinement fidèle.

Lemme

Dans la situation 0D25, soit \(\sigma : B \to X\) une section. Supposons que \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) soit un isomorphisme pour tout \(T\) sur \(B\). Alors \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/B}(T) \to 0\] est une suite exacte scindée, une rétraction étant donnée par \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\).

Démonstration

Notons \(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\). Comme \(\sigma\) est une section de \(f\), nous voyons que \(\Pic(X_T)\) est la somme directe de \(\Pic(T)\) et de \(K(T)\). Ainsi, d’après le lemme 0D27, nous avons \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/B}(T)\) pour tout \(T\). De plus, il ressort clairement de la construction que \(\Picardfunctor_{X/B}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(K\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(K\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements fppf, ce que nous faisons dans le paragraphe suivant.

Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf. Soient \(\mathcal{L}_i\) des éléments de \(K(T_i)\) qui ont les mêmes images dans \(K(T_i \times_T T_j)\) pour tous \(i\) et \(j\). Choisissons, pour tout \(i\), un isomorphisme \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\). Choisissons un isomorphisme \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] Si l’application \[\alpha_j|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] n’est pas la multiplication par \(1\), mais par un certain \(u_{ij}\), nous pouvons multiplier \(\varphi_{ij}\) par \(u_{ij}^{-1}\) pour y remédier. Cela fait, considérons l’endomorphisme \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{sur}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] qui est donné par la multiplication par une certaine section \(f_{ijk}\) du faisceau structural de \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\). Par notre choix de \(\varphi_{ij}\), nous voyons que l’image inverse de cette application par \(\sigma\) est la multiplication par \(1\). Notre hypothèse sur les fonctions sur \(X\) donne alors \(f_{ijk} = 1\). Nous obtenons ainsi une donnée de descente pour le recouvrement fppf \(\{X_{T_i} \to X\}\). D’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, il existe un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et un isomorphisme \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) dont les images inverses sur \(X_{T_i}\) redonnent \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\) (nous omettons un petit détail). Ainsi, \(\mathcal{L}\) définit un objet de \(K(T)\), comme voulu.

Dans la situation 0D25, soit \(\sigma : B \to X\) une section. Nous notons \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) la catégorie définie comme suit :

1. Un objet est un quadruplet \((T, h, \mathcal{L}, \alpha)\), où \((T, h, \mathcal{L})\) est un objet de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(T\) et \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) est un isomorphisme.

2. Un morphisme \((g, \varphi) : (T, h, \mathcal{L}, \alpha) \to (T', h', \mathcal{L}', \alpha')\) est donné par un morphisme de schémas \(g : T \to T'\) tel que \(h = h' \circ g\) et un isomorphisme \(\varphi : (g')^*\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\) tel que \(\sigma_T^*\varphi \circ g^*\alpha' = \alpha\). Ici, \(g' : X_{T'} \to X_T\) est le changement de base de \(g\).

Il existe un foncteur d’oubli naturel fidèle \[\Picardstack_{X/B, \sigma} \longrightarrow \Picardstack_{X/B}\] Nous considérons ainsi \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) comme une catégorie sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Lemme

Dans la situation 0D25, soit \(\sigma : B \to X\) une section. Alors \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\), défini ci-dessus, est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Nous savons déjà que \(\Picardstack_{X/B}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), d’après Exemples de champs, lemme 04WN. Montrons la descente des objets pour \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\). Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf, soit \(\xi_i = (T_i, h_i, \mathcal{L}_i, \alpha_i)\) un objet de \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) au-dessus de \(T_i\), et soit \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) une donnée de descente. En appliquant le résultat pour \(\Picardstack_{X/B}\), nous voyons que nous pouvons supposer donné un objet \((T, h, \mathcal{L})\) de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(T\) dont l’image inverse est \(\xi_i\) pour tout \(i\). Nous obtenons alors \[\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i = (T_i \to T)^*\sigma_T^*\mathcal{L}\] Puisque les applications \(\varphi_{ij}\) sont compatibles aux \(\alpha_i\), nous voyons que les images inverses de \(\alpha_i\) et \(\alpha_j\) sont la même application sur \(T_i \times_T T_j\). Par descente des faisceaux quasi-cohérents (Descente, proposition 023T, nous voyons que les \(\alpha_i\) sont les restrictions d’une unique application \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\), comme voulu. Nous omettons la démonstration de la descente des morphismes.

Lemme

Dans la situation 0D25, soit \(\sigma : B \to X\) une section. Le morphisme \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to \Picardstack_{X/B}\) est représentable, surjectif et lisse.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \((\Sch/T)_{fppf} \to \Picardstack_{X/B}\) donné par l’objet \(\xi = (T, h, \mathcal{L})\) de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(T\). Nous devons montrer que \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{\xi, \Picardstack_{X/B}} \Picardstack_{X/B, \sigma}\] est représentable par un schéma \(V\) et que le morphisme correspondant \(V \to T\) est surjectif et lisse. Voir Champs algébriques, sections 04ST, 04SX et 03YJ. Le foncteur d’oubli \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to \Picardstack_{X/B}\) est fidèle sur les catégories fibres et, pour \(T'/T\), l’ensemble des classes d’isomorphisme est l’ensemble des isomorphismes \[\alpha' : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow (T' \to T)^*\sigma_T^*\mathcal{L}\] Voir Champs algébriques, lemme 02ZY. Nous savons que ce foncteur est représentable par un schéma affine \(U\) de présentation finie sur \(T\), d’après la proposition 08K9 (appliquée à \(\text{id} : T \to T\), à \(\mathcal{O}_T\) et à \(\sigma^*\mathcal{L}\)). En travaillant localement pour la topologie de Zariski sur \(T\), nous pouvons supposer que \(\sigma_T^*\mathcal{L}\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_T\) ; nous voyons alors que notre foncteur est représentable par \(\mathbf{G}_m \times T\) sur \(T\). Ainsi, \(U \to T\) est, localement pour la topologie de Zariski sur \(T\), de la forme de la projection \(\mathbf{G}_m \times T \to T\), laquelle est bien lisse et surjective.

Lemme

Dans la situation 0D25, soit \(\sigma : B \to X\) une section. Si \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme pour tout \(T\) sur \(B\), alors \(\Picardstack_{X/B, \sigma} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est fibré en sétoïdes et l’ensemble de ses classes d’isomorphisme au-dessus de \(T\) est donné par \[\coprod\nolimits_{h : T \to B} \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X \times_{B, h} T) \to \Pic(T))\]

Démonstration

Si \(\xi = (T, h, \mathcal{L}, \alpha)\) est un objet de \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) au-dessus de \(T\), alors un automorphisme \(\varphi\) de \(\xi\) est donné par la multiplication par une section globale inversible \(u\) du faisceau structural de \(X_T\) telle qu’en outre \(\sigma_T^*u = 1\). Alors \(u = 1\) par notre hypothèse selon laquelle \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme. Ainsi, \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) est fibré en sétoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Étant donnés \(T\) et \(h : T \to B\), l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples \((\mathcal{L}, \alpha)\) est le même que l’ensemble des classes d’isomorphisme des \(\mathcal{L}\) tels que \(\sigma_T^*\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_T\) (sans spécification de l’isomorphisme). Cela est clair, car deux choix de \(\alpha\) diffèrent par une unité globale sur \(T\), ce qui revient au même qu’une unité globale sur \(X_T\).

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit plat, de présentation finie et propre, et

2. \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) soit un isomorphisme pour tout schéma \(T\) sur \(B\).

Alors \(\Picardfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique.

Dans la situation de la proposition, le champ algébrique \(\Picardstack_{X/B}\) est une gerbe au-dessus de l’espace algébrique \(\Picardfunctor_{X/B}\). Après développement de la théorie générale des gerbes, cela fournit une démonstration plus courte de la proposition (mais faisant appel à une théorie plus générale).

Démonstration

Il existe un morphisme surjectif, plat et de présentation finie \(B' \to B\) d’espaces algébriques tel que le changement de base \(X' = X \times_B B'\) sur \(B'\) possède une section : nous pouvons en effet prendre \(B' = X\). Observons que \(\Picardfunctor_{X'/B'} = B' \times_B \Picardfunctor_{X/B}\). Ainsi, \(\Picardfunctor_{X'/B'} \to \Picardfunctor_{X/B}\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et de présentation finie. Par conséquent, si nous pouvons montrer que \(\Picardfunctor_{X'/B'}\) est un espace algébrique, il s’ensuit que \(\Picardfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique d’après Amorçage, théorème 04S6. Nous nous ramenons ainsi au cas décrit dans le paragraphe suivant.

En plus des hypothèses de la proposition, supposons donnée une section \(\sigma : B \to X\). D’après la proposition 0D04, \(\Picardstack_{X/B}\) est un champ algébrique. D’après le lemme 0D2A et Champs algébriques, lemme 05UM, \(\Picardstack_{X/B, \sigma}\) est un champ algébrique. D’après le lemme 0D2B et Champs algébriques, lemme 02ZX, nous voyons que \(T \mapsto \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\) est un espace algébrique. D’après le lemme 0D28, ce foncteur est le même que \(\Picardfunctor_{X/B}\).

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations de la proposition 0D2C. Alors la diagonale \(\Picardfunctor_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B} \times_B \Picardfunctor_{X/B}\) est représentable par des immersions. Autrement dit, \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est localement séparé.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(B\) et soient \(s, t \in \Picardfunctor_{X/B}(T)\). Nous voulons montrer qu’il existe un sous-schéma localement fermé \(Z \subset T\) tel que \(s|_Z = t|_Z\) et tel qu’un morphisme \(T' \to T\) se factorise par \(Z\) si et seulement si \(s|_{T'} = t|_{T'}\).

Nous commençons par ramener le problème général au cas où \(s\) et \(t\) proviennent de modules inversibles sur \(X_T\). Nous suggérons au lecteur de sauter cette étape. Choisissons un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) tel que \(s|_{T_i}\) et \(t|_{T_i}\) proviennent de \(\Pic(X_{T_i})\) pour tout \(i\). Supposons que nous puissions démontrer le résultat pour tous les couples \(s|_{T_i}, t|_{T_i}\). Nous obtenons alors des sous-schémas localement fermés \(Z_i \subset T_i\) possédant la propriété universelle voulue. Il s’ensuit que \(Z_i\) et \(Z_j\) ont la même image inverse schématique dans \(T_i \times_T T_j\). Cela détermine une donnée de descente sur \(Z_i/T_i\). Comme \(Z_i \to T_i\) est localement quasi-fini, il résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 02W8 que nous obtenons un morphisme localement quasi-fini \(Z \to T\) dont le changement de base redonne \(Z_i \to T_i\). Alors \(Z \to T\) est une immersion d’après Descente, lemme 02YM. Enfin, puisque \(\Picardfunctor_{X/B}\) est un faisceau fppf, nous concluons que \(s|_Z = t|_Z\) et que \(Z\) satisfait à la propriété universelle mentionnée ci-dessus.

Supposons que \(s\) et \(t\) proviennent de modules inversibles \(\mathcal{V}\), \(\mathcal{W}\) sur \(X_T\). Posons \(\mathcal{L} = \mathcal{V} \otimes \mathcal{W}^{\otimes -1}\) Nous cherchons un sous-schéma localement fermé \(Z\) de \(T\) tel que \(T' \to T\) se factorise par \(Z\) si et seulement si \(\mathcal{L}_{X_{T'}}\) est l’image inverse d’un faisceau inversible sur \(T'\), voir le lemme 0D27. L’existence de \(Z\) résulte donc de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D23.

Morphismes relatifs

Nous poursuivons la discussion de Critères de représentabilité, section 05Y0. Dans cette section, partant d’un schéma \(S\) et de morphismes d’espaces algébriques \(Z \to B\) et \(X \to B\) sur \(S\), nous avons construit un foncteur \[\mathit{Mor}_B(Z, X) : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \{f : Z_T \to X_T\}\] Nous considérons parfois \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) muni d’un morphisme \(\mathit{Mor}_B(Z, X) \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), alors un élément de \(\mathit{Mor}_B(Z, X)(T)\) est un couple \((f, h)\), où \(h\) est un morphisme \(h : T \to B\) et où \(f : Z \times_{B, h} T \to X \times_{B, h} T\) est un morphisme d’espaces algébriques sur \(T\). En particulier, lorsque nous disons que \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est un espace algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons des morphismes d’espaces algébriques \(Z \to B\) et \(X \to B\) sur \(S\). Si \(X \to B\) est séparé et si \(Z \to B\) est de présentation finie, plat et propre, alors il existe une transformation injective naturelle de foncteurs \[\mathit{Mor}_B(Z, X) \longrightarrow \Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}\] qui envoie un morphisme \(f : Z_T \to X_T\) sur son graphe.

Démonstration

Étant donné un schéma \(T\) sur \(B\) et un morphisme \(f_T : Z_T \to X_T\) sur \(T\), le graphe de \(f\) est le morphisme \(\Gamma_f = (\text{id}, f) : Z_T \to Z_T \times_T X_T = (Z \times_B X)_T\). Rappelons que les propriétés d’être séparé, plat, propre ou de présentation finie sont des propriétés des morphismes d’espaces algébriques qui sont stables par changement de base (Morphismes d’espaces, lemmes 03KL, 03MO, 04WP et 03XR). Ainsi, \(\Gamma_f\) est une immersion fermée d’après Morphismes d’espaces, lemme 03KO. De plus, \(\Gamma_f(Z_T)\) est plat, propre et de présentation finie sur \(T\). Donc \(\Gamma_f(Z_T)\) définit un élément de \(\Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}(T)\). Pour montrer que la transformation est injective, il suffit de montrer que deux morphismes ayant le même graphe sont égaux. Cela est vrai parce que, si \(Y \subset (Z \times_B X)_T\) est le graphe d’un morphisme \(f\), nous pouvons retrouver \(f\) en composant l’inverse de \(\text{pr}_1|_Y : Y \to Z_T\) avec \(\text{pr}_2|_Y\).

Lemme

Hypothèses et notations comme dans le lemme 0D1A. La transformation \(\mathit{Mor}_B(Z, X) \longrightarrow \Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}\) est représentable par des immersions ouvertes.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(B\) et soit \(Y \subset (Z \times_B X)_T\) un élément de \(\Hilbfunctor_{Z \times_B X/B}(T)\). Nous voyons alors que \(Y\) est le graphe d’un morphisme \(Z_T \to X_T\) sur \(T\) si et seulement si \(k = \text{pr}_1|_Y : Y \to Z_T\) est un isomorphisme. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05XD, il existe un sous-schéma ouvert \(V \subset T\) tel que, pour tout morphisme de schémas \(T' \to T\), \(k_{T'} : Y_{T'} \to Z_{T'}\) soit un isomorphisme si et seulement si \(T' \to T\) se factorise par \(V\). Cela prouve le lemme.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to B\) et \(X \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X \to B\) soit de présentation finie et séparé, et que \(Z \to B\) soit de présentation finie, plat et propre. Alors \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\) est un espace algébrique localement de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0D1B et de la proposition 0D01.

Le champ des espaces algébriques

Cette section poursuit la discussion commencée dans Exemples de champs, sections 04SP, 04UC et 04UH. En travaillant sur \(\mathbf{Z}\), la discussion qui s’y trouve montre que nous avons un champ en groupoïdes \[p'_{ft} : \Spacesstack'_{ft} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] qui paramètre les familles (non plates) d’espaces algébriques de type fini. Plus précisément, un objet³ de \(\Spacesstack'_{ft}\) est un morphisme de type fini \(X \to S\) d’un espace algébrique \(X\) vers un schéma \(S\), et un morphisme \((X' \to S') \to (X \to S)\) est donné par un couple \((f, g)\), où \(f : X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques et \(g : S' \to S\) est un morphisme de schémas, qui s’inscrivent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] induisant un isomorphisme \(X' \to S' \times_S X\) ; autrement dit, le diagramme est cartésien dans la catégorie des espaces algébriques. Le foncteur \(p'_{ft}\) envoie \((X \to S)\) sur \(S\) et \((f, g)\) sur \(g\). Nous définissons une sous-catégorie pleine \[\Spacesstack'_{fp, flat, proper} \subset \Spacesstack'_{ft}\] formée des objets \(X \to S\) de \(\Spacesstack'_{ft}\) tels que \(X \to S\) soit de présentation finie, plat et propre. Nous notons \[p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Sch_{fppf}\] la restriction du foncteur \(p'_{ft}\) à la sous-catégorie indiquée. Nous rappelons d’abord les résultats déjà obtenus dans les références ci-dessus, puis nous commençons à y ajouter d’autres résultats.

Lemme

La catégorie \(\Spacesstack'_{ft}\) est fibrée en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\). Il en est de même de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\).

Démonstration

Nous l’avons vu dans Exemples de champs, section 04UH pour \(\Spacesstack'_{ft}\), et cela entraîne aisément le résultat dans l’autre cas. Cependant, démontrons-le aussi directement en vérifiant les conditions (1) et (2) de Catégories, définition 003T.

Condition (1). Soit \(X \to S\) un objet de \(\Spacesstack'_{ft}\) et soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Posons alors \(X' = S' \times_S X\). Notons que \(X' \to S'\) est de type fini d’après Morphismes d’espaces, lemme 03XH, ce qui donne un morphisme \((X' \to S') \to (X \to S)\) au-dessus de \(S' \to S\). On raisonne de même dans l’autre cas en utilisant Morphismes d’espaces, lemmes 03XR, 03MO et 04WP.

Condition (2). Considérons des morphismes \((f, g) : (X' \to S') \to (X \to S)\) et \((a, b) : (Y \to T) \to (X \to S)\) de \(\Spacesstack'_{ft}\). Étant donné un morphisme \(h : T \to S'\) tel que \(g \circ h = b\), nous devons montrer qu’il existe un unique morphisme \((k, h) : (Y \to T) \to (X' \to S')\) de \(\Spacesstack'_{ft}\) tel que \((f, g) \circ (k, h) = (a, b)\). Cela résulte clairement de l’égalité \(X' = S' \times_S X\). Le même raisonnement vaut donc pour toute sous-catégorie pleine de \(\Spacesstack'_{ft}\) qui satisfait à (1).

Lemme

La diagonale \[\Delta : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \times \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Nous utiliserons le critère (2) de Champs algébriques, lemme 045G. Soit \(S\) un schéma et soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques de présentation finie sur \(S\), plats sur \(S\) et propres sur \(S\). Nous devons montrer que le foncteur \[\mathit{Isom}_S(X, Y) : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \{f : X_T \to Y_T \text{ est un isomorphisme}\}\] est un espace algébrique. Un argument élémentaire montre que \(\mathit{Isom}_S(X, Y)\) s’insère dans un produit fibré \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_S(X, Y) \ar[r] \ar[d] & S \ar[d]_{(\text{id}, \text{id})} \\ \mathit{Mor}_S(X, Y) \times \mathit{Mor}_S(Y, X) \ar[r] & \mathit{Mor}_S(X, X) \times \mathit{Mor}_S(Y, Y) }\] La flèche du bas envoie \((\varphi, \psi)\) sur \((\psi \circ \varphi, \varphi \circ \psi)\). D’après la proposition 0D1C, les foncteurs de la ligne inférieure sont des espaces algébriques sur \(S\). Le résultat découle donc du fait que la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) admet les produits fibrés.

Lemme

La catégorie \(\Spacesstack'_{ft}\) est un champ en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\). Il en est de même de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\).

Démonstration

La raison pour laquelle ce lemme est vrai tient dans le slogan suivant : toute donnée de descente fppf pour les espaces algébriques est effective, voir Amorçage, section 04SJ. Plus précisément, le lemme pour \(\Spacesstack'_{ft}\) découle de Exemples de champs, lemme 04UD, comme nous l’avons vu dans Exemples de champs, section 04UH. Cependant, rappelons la démonstration. Nous devons vérifier les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 02ZI.

Nous avons vu la propriété (1) au lemme 0D1E.

La propriété (2) résulte du lemme 0D1F dans le cas de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\). Dans le cas de \(\Spacesstack'_{ft}\), elle découle de Exemples de champs, lemme 04UA (et c’est réellement la référence « correcte »).

La condition (3) pour \(\Spacesstack'_{ft}\) se vérifie comme suit. Supposons donnés

1. un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) dans \(\Sch_{fppf}\),

2. pour tout \(i \in I\), un espace algébrique \(X_i\) de type fini sur \(U_i\), et

3. pour tous \(i, j \in I\), un isomorphisme \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\) d’espaces algébriques sur \(U_i \times_U U_j\), satisfaisant à la condition de cocycle sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\).

Nous devons montrer qu’il existe un espace algébrique \(X\) de type fini sur \(U\) et des isomorphismes \(X_{U_i} \cong X_i\) sur \(U_i\) redonnant les isomorphismes \(\varphi_{ij}\). Cela résulte de Amorçage, lemme 0ADV, partie (2). D’après Descente sur les espaces, lemme 041U, \(X \to U\) est de type fini. Dans le cas de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), on utilise en outre Descente sur les espaces, lemmes 041V, 041W et 0422 à la dernière étape.

Vérification de cohérence : les champs \(\Spacesstack'_{ft}\) et \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) jouent le même rôle parmi les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(\mathcal{S}_T\) le champ algébrique correspondant (Champs algébriques, sections 04SU, 02ZV et 03YR). Nous avons une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphismes d'espaces algébriques }\\ X \to T\text{ de type fini} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Spacesstack'_{ft})\] et une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphismes d'espaces algébriques }X \to T\\ \text{de présentation finie, plats et propres} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Spacesstack'_{fp, flat, proper})\]

Démonstration

Nous allons déduire ce lemme du fait qu’il vaut pour les schémas (essentiellement par construction des champs) et du fait que les données de descente fppf pour les espaces algébriques sur des espaces algébriques sont effectives. Nous encourageons vivement le lecteur à omettre la démonstration.

La construction de gauche à droite dans chacune des flèches est immédiate : étant donné \(X \to T\) de type fini, le foncteur \(\mathcal{S}_T \to \Spacesstack'_{ft}\) associe à \(U/T\) le changement de base \(X_U \to U\). Nous allons expliquer comment construire un quasi-inverse.

Si \(T\) est un schéma, il existe un quasi-inverse d’après le lemme de \(2\)-Yoneda, voir Catégories, lemme 004B. Soit \(p : U \to T\) un morphisme surjectif étale, où \(U\) est un schéma. Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(s, t : R \to U\). Observons que nous obtenons des morphismes \[\xymatrix{ \mathcal{S}_{U \times_T U \times_T U} \ar@<2ex>[r] \ar[r] \ar@<-2ex>[r] & \mathcal{S}_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{S}_U \ar[r] & \mathcal{S}_T }\] qui satisfont strictement à diverses compatibilités.

Soit \(G : \mathcal{S}_T \to \Spacesstack'_{ft}\) un foncteur sur \(\Sch_{fppf}\). La restriction de \(G\) à \(\mathcal{S}_U\) par l’application ci-dessus correspond, par le lemme de \(2\)-Yoneda, à un morphisme de type fini \(X_U \to U\) d’espaces algébriques. Puisque \(p \circ s = p \circ t\), nous voyons que \(R \times_{s, U} X_U\) et \(R \times_{t, U} X_U\) correspondent tous deux à la restriction de \(G\) à \(\mathcal{S}_R\). Nous obtenons donc un isomorphisme canonique \(\varphi : X_U \times_{U, t} R \to R \times_{s, U} X_U\) sur \(R\). Cet isomorphisme satisfait à la condition de cocycle en vertu des diverses compatibilités du diagramme ci-dessus. Nous avons ainsi une donnée de descente qui est effective d’après Amorçage, lemme 0ADV, partie (2). Autrement dit, nous obtenons un objet \(X \to T\) de la catégorie du membre de droite. Nous omettons de vérifier que la construction \(G \leadsto X\) est fonctorielle et qu’elle est quasi-inverse de l’autre construction. Dans le cas de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), on utilise en outre Descente sur les espaces, lemmes 041V, 041W et 0422 à la dernière étape pour voir que \(X \to T\) est de présentation finie, plat et propre.

Remarque

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(B\textit{-Espaces}'_{ft}\) la catégorie formée des couples \((X \to S, h : S \to B)\), où \(X \to S\) est un objet de \(\Spacesstack'_{ft}\) et \(h : S \to B\) est un morphisme. Un morphisme \((X' \to S', h') \to (X \to S, h)\) dans \(B\textit{-Espaces}'_{ft}\) est un morphisme \((f, g)\) dans \(\Spacesstack'_{ft}\) tel que \(h \circ g = h'\). Dans cette situation, le diagramme \[\xymatrix{ B\textit{-Espaces}'_{ft} \ar[r] \ar[d] & \Spacesstack'_{ft} \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] est un carré \(2\)-cartésien. Cette remarque triviale sera parfois utile pour déduire des résultats du cas absolu \(\Spacesstack'_{ft}\) au cas des familles sur un espace algébrique de base donné. Bien entendu, une construction analogue vaut pour \(B\textit{-Espaces}'_{fp, flat, proper}\)

Lemme

Le champ \(p'_{fp, flat, proper} : \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \to \Sch_{fppf}\) commute aux limites (Axiomes d’Artin, définition 07XL).

Démonstration

Soit \(T = \lim T_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas affines. D’après Limites d’espaces, lemme 07SK, la catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur \(T\) est la limite inductive des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur les \(T_i\). Pour achever la démonstration, utilisons le fait que la platitude et la propreté descendent à travers la limite, voir Limites d’espaces, lemmes 08K0 et 08K1.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas, où \(T \to T'\) est un épaississement et \(T \to S\) est affine, voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Alors le foncteur sur les catégories fibres \[\begin{matrix} \Spacesstack'_{fp, flat, proper, S'} \\ \downarrow \\ \Spacesstack'_{fp, flat, proper, S} \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper, T}} \Spacesstack'_{fp, flat, proper, T'} \end{matrix}\] est une équivalence.

Démonstration

Le foncteur est une équivalence si l’on retranche « propre » de la liste des conditions et que l’on remplace « de présentation finie » par « localement de présentation finie », voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07W3. Il suffit donc de montrer qu’étant donné un morphisme \(X' \to S'\) d’un espace algébrique vers \(S'\) qui est plat et localement de présentation finie, \(X' \to S'\) est propre si et seulement si \(S \times_{S'} X' \to S\) et \(T' \times_{S'} X' \to T'\) sont propres. Une implication résulte du fait que la propreté est préservée par changement de base (Morphismes d’espaces, lemme 04WP) et l’autre, du fait que la propreté de \(S \times_{S'} X' \to S\) entraîne celle de \(X' \to S'\), d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 09ZZ.

Lemme

Soit \(k\) un corps et soit \(x = (X \to \Spec(k))\) un objet de \(\mathcal{X} = \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) au-dessus de \(\Spec(k)\).

1. Si \(k\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), alors les espaces vectoriels \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) (voir Axiomes d’Artin, section 07WY) sont de dimension finie, et

2. en général, les espaces vectoriels \(T_x(k)\) et \(\text{Inf}_x(k)\) (voir Axiomes d’Artin, section 07Y6) sont de dimension finie.

Démonstration

La discussion d’Axiomes d’Artin, section 07WY, ne s’applique qu’aux corps de type fini sur le schéma de base \(\Spec(\mathbf{Z})\). Notre champ satisfait à (RS*) d’après le lemme 0D1J, et nous pouvons appliquer Axiomes d’Artin, lemme 07Y9, pour obtenir les espaces vectoriels \(T_x(k)\) et \(\text{Inf}_x(k)\) mentionnés en (2). De plus, dans le cas de type fini, ces espaces coïncident avec ceux mentionnés en (1), d’après Axiomes d’Artin, remarque 0D18. Cela étant réglé, nous pouvons commencer la démonstration. Observons que l’épaississement du premier ordre \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon]) = \Spec(k[k])\) a pour module conormal \(k\). Ainsi, les formules d’après Théorie des déformations, lemme 0D17, qui décrivent les déformations infinitésimales de \(X\) et les automorphismes infinitésimaux de \(X\), deviennent \[T_x(k) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) \quad\text{et}\quad \text{Inf}_x(k) = \Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\] D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D0Z, et le fait que \(X\) est noethérien, nous voyons que les faisceaux de cohomologie de \(\NL_{X/k}\) sont cohérents et nuls sauf aux degrés \(0\) et \(-1\). D’après Catégories dérivées d’espaces, lemme 0D0T, les groupes \(\Ext\) affichés sont des espaces vectoriels de dimension finie sur \(k\), ce qui achève la démonstration.

Prenons garde au fait que l’ouverture de la versalité (démontrée dans le lemme suivant) est un peu étrange, car notre champ ne satisfait pas à l’effectivité formelle, voir Exemples, section 0D1Q. Plus tard, nous appliquerons l’ouverture de la versalité à des sous-champs convenables de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) qui satisfont à l’effectivité formelle, afin de conclure que ces champs sont algébriques.

Lemme

Le champ en groupoïdes \(\mathcal{X} = \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) satisfait à l’ouverture de la versalité sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). De même, après changement de base (remarque 0D1H), l’ouverture de la versalité vaut sur tout schéma de base noethérien \(S\).

Démonstration

Pour la démonstration « usuelle » de ce fait, nous renvoyons à la discussion de la remarque qui suit cette démonstration. Nous allons le démontrer à l’aide de Axiomes d’Artin, lemme 0CXU. Nous avons déjà vu que la diagonale de \(\mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, qu’il satisfait à (RS*) et qu’il commute aux limites ; voir les lemmes 0D1F, 0D1J et 0D1I. Il nous suffit donc de voir que \(\mathcal{X}\) satisfait à l’effectivité formelle forte formulée dans Axiomes d’Artin, lemme 0CXU.

Soit \((R_n)\) un système projectif d’anneaux tel que \(R_n \to R_m\) soit surjectif à noyau de carré nul pour tous \(n \geq m\). Soit \(X_n \to \Spec(R_n)\) un morphisme de présentation finie, plat et propre, où \(X_n\) est un espace algébrique, et soit \(X_{n + 1} \to X_n\) un morphisme sur \(\Spec(R_{n + 1})\) induisant un isomorphisme \(X_n = X_{n + 1} \times_{\Spec(R_{n + 1})} \Spec(R_n)\). Nous devons trouver un morphisme plat, propre et de présentation finie \(X \to \Spec(\lim R_n)\) dont la source est un espace algébrique, tel que \(X_n\) soit le changement de base de \(X\) pour tout \(n\).

Soit \(I_n = \Ker(R_n \to R_1)\). Nous pouvons considérer \((X_1 \subset X_n) \to (\Spec(R_1) \subset \Spec(R_n))\) comme un morphisme d’épaississements du premier ordre. (Nous prions le lecteur de parcourir une partie du contenu consacré aux épaississements d’espaces algébriques dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 05ZJ, avant de poursuivre.) Le faisceau structural de \(X_n\) est une extension \[0 \to \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n \to \mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] au-dessus de \(0 \to I_n \to R_n \to R_1\), voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 06BH. Considérons l’extension \[0 \to \lim \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n \to \lim \mathcal{O}_{X_n} \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] au-dessus de \(0 \to \lim I_n \to \lim R_n \to R_1 \to 0\). La suite affichée est exacte, car le \(R^1\lim\) du système de noyaux est nul d’après Catégories dérivées d’espaces, lemme 0D3E. Observons que l’application \[\mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} \lim I_n \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} I_n\] induit un isomorphisme après application du foncteur \(DQ_X\), voir Catégories dérivées d’espaces, lemme 0D3F. Nous obtenons donc une unique extension \[0 \to \mathcal{O}_{X_1} \otimes_{R_1} \lim I_n \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_{X_1} \to 0\] au-dessus de \(0 \to \lim I_n \to \lim R_n \to R_1 \to 0\), par l’équivalence de catégories de Théorie des déformations, lemme 0D3Q. Le faisceau \(\mathcal{O}'\) détermine un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques \(X_1 \subset X\) au-dessus de \(\Spec(R_1) \subset \Spec(\lim R_n)\), d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05ZT. Observons que \(X \to \Spec(\lim R_n)\) est plat d’après le lemme déjà utilisé de Compléments sur les morphismes d’espaces, 06BH. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0CG6, \(X \to \Spec(\lim R_n)\) est propre et de présentation finie. Cela achève la démonstration.

Remarque

Le lemme 0D3X peut aussi se démontrer soit à l’aide de Axiomes d’Artin, lemme 07YZ (comme dans la première démonstration du lemme 08WA), soit à l’aide d’une théorie des obstructions comme dans Axiomes d’Artin, lemme 0CYF (comme dans la seconde démonstration du lemme 08WA). Dans les deux cas, on utilise la théorie des déformations et des obstructions développée dans Cotangent, section 08V3, pour traduire les propriétés nécessaires des déformations et des obstructions en groupes \(\Ext\) auxquels Catégories dérivées d’espaces, lemme 08JR, peut être appliqué. La seconde méthode (qui utilise une théorie des obstructions et donc le complexe cotangent tout entier) est peut-être la méthode « standard » employée dans la plupart des références.

Le champ des schémas propres polarisés

Pour étudier le champ des schémas propres polarisés, il suffit de travailler sur \(\mathbf{Z}\), puisque nous pourrons ensuite effectuer l’image inverse sur tout schéma ou espace algébrique voulu (voir la remarque 0D1N).

Situation

Nous définissons une catégorie \(\Polarizedstack\) comme suit. Ses objets sont les couples \((X \to S, \mathcal{L})\) où

1. \(X \to S\) est un morphisme de schémas propre, plat et de présentation finie, et

2. \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible relativement ample sur \(X/S\) (Morphismes, définition 01VH).

Un morphisme \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) entre objets est donné par un triplet \((f, g, \varphi)\), où \(f : X' \to X\) et \(g : S' \to S\) sont des morphismes de schémas qui s’inscrivent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] induisant un isomorphisme \(X' \to S' \times_S X\) ; autrement dit, le diagramme est cartésien, et \(\varphi : f^*\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) est un isomorphisme. La composition est définie de manière évidente (voir Exemples de champs, sections 04SP et 03YL). Le foncteur d’oubli \[p : \Polarizedstack \longrightarrow \Sch_{fppf},\quad (X \to S, \mathcal{L}) \longmapsto S\] est celui par lequel nous considérons \(\Polarizedstack\) comme une catégorie sur \(\Sch_{fppf}\) (voir la section 05X6 pour les notations).

Dans la section précédente, nous avons déjà accompli une partie substantielle du travail sur le champ \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) des espaces algébriques de présentation finie, plats et propres. Pour utiliser ces résultats, nous considérons le foncteur d’oubli [0D3Y]\[\begin{equation} \Polarizedstack \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper},\quad (X \to S, \mathcal{L}) \longmapsto (X \to S) \end{equation}\] Ce foncteur sera un outil utile dans la suite. Observons que, si \((X \to S)\) appartient à l’image essentielle de (0D3Y), alors \(X\) et \(S\) sont des schémas.

Lemme

La catégorie \(\Polarizedstack\) est fibrée en groupoïdes sur \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\). La catégorie \(\Polarizedstack\) est fibrée en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\).

Démonstration

Nous vérifions les conditions (1) et (2) de Catégories, définition 003T.

Condition (1). Soit \((X \to S, \mathcal{L})\) un objet de \(\Polarizedstack\) et soit \((X' \to S') \to (X \to S)\) un morphisme de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\). Soit alors \(\mathcal{L}'\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(X'\). Observons que \(X, S, S'\) sont des schémas ; par conséquent, \(X'\) est aussi un schéma (en tant que produit fibré de schémas). Alors \(\mathcal{L}'\) est ample sur \(X'/S'\) d’après Morphismes, lemme 0893. Nous obtenons ainsi un morphisme \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) au-dessus de \((X' \to S') \to (X \to S)\).

Condition (2). Considérons des morphismes \((f, g, \varphi) : (X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) et \((a, b, \psi) : (Y \to T, \mathcal{N}) \to (X \to S, \mathcal{L})\) de \(\Polarizedstack\). Étant donné un morphisme \((k, h) : (Y \to T) \to (X' \to S')\) de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) tel que \((f, g) \circ (k, h) = (a, b)\), nous devons montrer qu’il existe un unique morphisme \((k, h, \chi) : (Y \to T, \mathcal{N}) \to (X' \to S', \mathcal{L}')\) de \(\Polarizedstack\) tel que \((f, g, \varphi) \circ (k, h, \chi) = (a, b, \psi)\). Nous pouvons simplement prendre \[\chi = \psi \circ (k^*\varphi)^{-1}\] Cela prouve la condition (2). Une composée de foncteurs définissant des catégories fibrées définit une catégorie fibrée, voir Catégories, lemme 09WV. Nous voyons ainsi que \(\Polarizedstack\) est fibrée en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\) (à strictement parler, nous devrions vérifier que les catégories fibres sont des groupoïdes et appliquer Catégories, lemme 003V).

Lemme

La catégorie \(\Polarizedstack\) est un champ en groupoïdes sur \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (muni de la topologie induite, voir Champs, définition 06NV). La catégorie \(\Polarizedstack\) est un champ en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\).

Démonstration

Nous démontrons que \(\Polarizedstack\) est un champ en groupoïdes sur \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) en vérifiant les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 02ZI. Nous avons déjà vu (1) au lemme 0D3Z.

Un recouvrement de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) s’obtient comme suit : soit \(X \to S\) un objet de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\). Supposons que \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) soit un recouvrement de \(\Sch_{fppf}\). Posons \(X_i = S_i \times_S X\). Alors \(\{(X_i \to S_i) \to (X \to S)\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), et tout recouvrement de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) est isomorphe à l’un de ceux-ci. Posons \(S_{ij} = S_i \times_S S_j\) et \(X_{ij} = S_{ij} \times_S X\), de sorte que \((X_{ij} \to S_{ij}) = (X_i \to S_i) \times_{(X \to S)} (X_j \to S_j)\). Supposons ensuite que \(\mathcal{L}, \mathcal{N}\) soient des faisceaux inversibles amples sur \(X/S\), de sorte que \((X \to S, \mathcal{L})\) et \((X \to S, \mathcal{N})\) soient deux objets de \(\Polarizedstack\) au-dessus de l’objet \((X \to S)\). Pour vérifier la descente des morphismes, supposons donnés des morphismes \((\text{id}, \text{id}, \varphi_i)\) de \((X_i \to S_i, \mathcal{L}|_{X_i})\) vers \((X_i \to S_i, \mathcal{N}|_{X_i})\) dont les changements de base en morphismes de \((X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}|_{X_{ij}})\) vers \((X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{N}|_{X_{ij}})\) coïncident. Alors \(\varphi_i : \mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{N}|_{X_i}\) sont des isomorphismes de modules inversibles sur \(X_i\) tels que les restrictions de \(\varphi_i\) et \(\varphi_j\) à \(X_{ij}\) soient les mêmes isomorphismes. Par descente des faisceaux quasi-cohérents (Descente sur les espaces, proposition 04W8), nous obtenons un unique isomorphisme \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\) dont la restriction à \(X_i\) redonne \(\varphi_i\).

La descente des objets se démontre exactement de la même manière. Supposons en effet que \(\{(X_i \to S_i) \to (X \to S)\}_{i \in I}\) soit un recouvrement de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) comme ci-dessus. Supposons donnés des objets \((X_i \to S_i, \mathcal{L}_i)\) de \(\Polarizedstack\) au-dessus de \((X_i \to S_i)\) et une donnée de descente \[(\text{id}, \text{id}, \varphi_{ij}) : (X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}_i|_{X_{ij}}) \to (X_{ij} \to S_{ij}, \mathcal{L}_j|_{X_{ij}})\] satisfaisant à la condition de cocycle évidente sur \((X_{ijk} \to S_{ijk})\) pour tout triplet d’indices. Alors, par descente des faisceaux quasi-cohérents (Descente sur les espaces, proposition 04W8), nous obtenons un unique \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et des isomorphismes \(\mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{L}_i\) redonnant la donnée de descente \(\varphi_{ij}\). Pour montrer que \((X \to S, \mathcal{L})\) est un objet de \(\Polarizedstack\), il nous reste à prouver que \(\mathcal{L}\) est ample. Cela résulte de Descente sur les espaces, lemme 0D3C.

Puisque nous avons déjà vu que \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) est un champ en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\) (lemme 0D1G), il s’ensuit maintenant formellement que \(\Polarizedstack\) est un champ en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\). Voir Champs, lemme 09WX.

Vérification de cohérence : le champ \(\Polarizedstack\) joue le même rôle parmi les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(T\) un espace algébrique sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(\mathcal{S}_T\) le champ algébrique correspondant (Champs algébriques, sections 04SU, 02ZV et 03YR). Nous avons une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} (X \to T, \mathcal{L})\text{ où }X \to T\text{ est un morphisme}\\ \text{d'espaces algébriques, propre, plat et de}\\ \text{présentation finie, et }\mathcal{L}\text{ ample sur }X/T \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Mor_{\textit{Cat}/\Sch_{fppf}}(\mathcal{S}_T, \Polarizedstack)\]

Démonstration

Omis. Indications : raisonner exactement comme dans la démonstration du lemme 0E93 et utiliser Descente sur les espaces, proposition 04W8, pour faire descendre le faisceau inversible dans la construction du foncteur quasi-inverse. La propriété d’amplitude relative descend d’après Descente sur les espaces, lemme 0D3C.

Remarque

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(B\textit{-Polarized}\) la catégorie formée des triplets \((X \to S, \mathcal{L}, h : S \to B)\), où \((X \to S, \mathcal{L})\) est un objet de \(\Polarizedstack\) et \(h : S \to B\) est un morphisme. Un morphisme \((X' \to S', \mathcal{L}', h') \to (X \to S, \mathcal{L}, h)\) dans \(B\textit{-Polarized}\) est un morphisme \((f, g, \varphi)\) dans \(\Polarizedstack\) tel que \(h \circ g = h'\). Dans cette situation, le diagramme \[\xymatrix{ B\textit{-Polarized} \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] est un carré \(2\)-cartésien. Cette remarque triviale sera parfois utile pour déduire des résultats du cas absolu \(\Polarizedstack\) au cas des familles sur un espace algébrique de base donné.

Lemme

Le foncteur (0D3Y) définit un \(1\)-morphisme \[\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] de champs en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\) qui est algébrique au sens de Critères de représentabilité, définition 06CF.

Démonstration

D’après les lemmes 0D1G et 0D40, l’énoncé a un sens. Pour le démontrer, choisissons un schéma \(S\) et un objet \(\xi = (X \to S)\) de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) au-dessus de \(S\). Nous devons montrer que \[\mathcal{X} = (\Sch/S)_{fppf} \times_{\xi, \Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack\] est un champ algébrique sur \(S\). Observons qu’un objet de \(\mathcal{X}\) est donné par un couple \((T/S, \mathcal{L})\), où \(T\) est un schéma sur \(S\) et où \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module inversible qui est ample sur \(X_T/T\). Les morphismes sont définis de manière évidente. En particulier, nous voyons immédiatement que nous avons une inclusion \[\mathcal{X} \subset \Picardstack_{X/S}\] de catégories sur \((\Sch/S)_{fppf}\), induisant l’égalité sur les ensembles de morphismes. Puisque \(\Picardstack_{X/S}\) est un champ algébrique d’après la proposition 0D04, il suffit de montrer que l’inclusion ci-dessus est représentable par des immersions ouvertes. C’est exactement le contenu de Descente sur les espaces, lemme 0D3D.

Lemme

La diagonale \[\Delta : \Polarizedstack \longrightarrow \Polarizedstack \times \Polarizedstack\] est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

C’est une conséquence formelle des lemmes 0D41 et 0D1F. Voir Critères de représentabilité, lemme 0D3R.

Lemme

Le champ en groupoïdes \(\Polarizedstack\) commute aux limites (Axiomes d’Artin, définition 07XL).

Démonstration

Soit \(I\) un ensemble filtrant et soit \((A_i, \varphi_{ii'})\) un système d’anneaux indexé par \(I\). Posons \(S = \Spec(A)\) et \(S_i = \Spec(A_i)\). Nous devons montrer que, sur les catégories fibres, nous avons \[\Polarizedstack_S = \colim \Polarizedstack_{S_i}\] Nous savons que la catégorie des schémas de présentation finie sur \(S\) est la limite inductive des catégories des schémas de présentation finie sur les \(S_i\), voir Limites, lemme 01ZM. De plus, étant donné \(X_i \to S_i\) de présentation finie, de limite \(X \to S\), la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \(\mathcal{L}\) est la limite inductive des catégories des \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules inversibles \(\mathcal{L}_i\), voir Limites, lemmes 01ZR et 0B8W. Si \(X \to S\) est propre et plat, alors, pour \(i\) assez grand, le morphisme \(X_i \to S_i\) est également propre et plat, voir Limites, lemmes 081F et 04AI. Enfin, si \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\), alors \(\mathcal{L}_i\) est ample sur \(X_i\) pour \(i\) assez grand, voir Limites, lemme 09MT. La réunion de ces faits achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 08KB. Soit \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas, où \(T \to T'\) est un épaississement et \(T \to S\) est affine, voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Alors le foncteur sur les catégories fibres \[\Polarizedstack_{S'} \longrightarrow \Polarizedstack_S \times_{\Polarizedstack_T} \Polarizedstack_{T'}\] est une équivalence.

Démonstration

D’après Compléments sur les morphismes, lemme 07RX, il existe une équivalence \[\textit{flat-lfp}_{S'} \longrightarrow \textit{flat-lfp}_S \times_{\textit{flat-lfp}_T} \textit{flat-lfp}_{T'}\] où \(\textit{flat-lfp}_S\) désigne la catégorie des schémas plats et localement de présentation finie sur \(S\). Soit \(X'/S'\) dans le membre de gauche correspondant au triplet \((X/S, Y'/T', \varphi)\) du membre de droite. Posons \(Y = T \times_{T'} Y'\), qui est isomorphe à \(T \times_S X\) par \(\varphi\). Alors Compléments sur les morphismes, lemme 08KU, montre que nous avons une équivalence \[\textit{QCoh-flat}_{X'/S'} \longrightarrow \textit{QCoh-flat}_{X/S} \times_{\textit{QCoh-flat}_{Y/T}} \textit{QCoh-flat}_{Y'/T'}\] où \(\textit{QCoh-flat}_{X/S}\) désigne la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents plats sur \(S\). Puisque \(X \to S\), \(Y \to T\), \(X' \to S'\) et \(Y' \to T'\) sont plats, cela s’applique en particulier aux modules inversibles et donne une équivalence de catégories \[\textit{Pic}(X') \longrightarrow \textit{Pic}(X) \times_{\textit{Pic}(Y)} \textit{Pic}(Y')\] où \(\textit{Pic}(X)\) désigne la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Il y a ici un petit point à vérifier : il faut montrer que, si un objet \(\mathcal{F}'\) de \(\textit{QCoh-flat}_{X'/S'}\) a pour images inverses des modules inversibles sur \(X\) et \(Y'\), alors \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible. Il résulte du lemme cité que \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module de présentation finie. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 080Q, il suffit de vérifier que la restriction de \(\mathcal{F}'\) aux fibres de \(X' \to S'\) est inversible. Mais les fibres de \(X' \to S'\) sont les mêmes que celles de \(X \to S\) ; ces restrictions sont donc inversibles.

Compte tenu de ce qui précède, nous obtenons une équivalence de catégories si nous supprimons l’hypothèse (pour la catégorie des objets au-dessus de \(S\)) que \(X \to S\) soit propre et l’hypothèse que \(\mathcal{L}\) soit ample. Il est maintenant clair que, si \(X' \to S'\) est propre, alors \(X \to S\) et \(Y' \to T'\) sont propres (Morphismes, lemme 01W4). Réciproquement, si \(X \to S\) et \(Y' \to T'\) sont propres, alors \(X' \to S'\) est propre d’après Compléments sur les morphismes, lemme 09ZW. De même, si \(\mathcal{L}'\) est ample sur \(X'/S'\), alors \(\mathcal{L}'|_X\) est ample sur \(X/S\) et \(\mathcal{L}'|_{Y'}\) est ample sur \(Y'/T'\) (Morphismes, lemme 0893). Enfin, si \(\mathcal{L}'|_X\) est ample sur \(X/S\) et si \(\mathcal{L}'|_{Y'}\) est ample sur \(Y'/T'\), alors \(\mathcal{L}'\) est ample sur \(X'/S'\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D2R.

Lemme

Soit \(k\) un corps et soit \(x = (X \to \Spec(k), \mathcal{L})\) un objet de \(\mathcal{X} = \Polarizedstack\) au-dessus de \(\Spec(k)\).

1. Si \(k\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), alors les espaces vectoriels \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) (voir Axiomes d’Artin, section 07WY) sont de dimension finie, et

2. en général, les espaces vectoriels \(T_x(k)\) et \(\text{Inf}_x(k)\) (voir Axiomes d’Artin, section 07Y6) sont de dimension finie.

Démonstration

La discussion d’Axiomes d’Artin, section 07WY, ne s’applique qu’aux corps de type fini sur le schéma de base \(\Spec(\mathbf{Z})\). Notre champ satisfait à (RS*) d’après le lemme 0D44, et nous pouvons appliquer Axiomes d’Artin, lemme 07Y9, pour obtenir les espaces vectoriels \(T_x(k)\) et \(\text{Inf}_x(k)\) mentionnés en (2). De plus, dans le cas de type fini, ces espaces coïncident avec ceux mentionnés dans la partie (1), d’après Axiomes d’Artin, remarque 0D18. Cela étant réglé, nous pouvons commencer la démonstration.

Une démonstration consiste à employer un argument analogue à celui de la démonstration du lemme 0D1K ; cela nous obligerait à développer une théorie des déformations pour les couples formés d’un schéma et d’un module quasi-cohérent. Une autre démonstration utiliserait le résultat du lemme 0D1K, l’algébricité de \(\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) et un calcul de l’espace de déformations d’un module inversible. Nous allons toutefois plutôt traduire la question en une question de déformation d’algèbres graduées sur \(k\), puis en déduire le résultat.

Soit \(\mathcal{C}_k\) la catégorie des \(k\)-algèbres locales artiniennes \(A\) de corps résiduel \(k\). Notre objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(k\) donne une catégorie de prédéformations \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_k\), voir Axiomes d’Artin, section 07T2. Ainsi, \(\mathcal{F}(A)\) est la catégorie des triplets \((X_A, \mathcal{L}_A, \alpha)\), où \((X_A, \mathcal{L}_A)\) est un objet de \(\Polarizedstack\) au-dessus de \(A\) et où \(\alpha\) est un isomorphisme \((X_A, \mathcal{L}_A) \times_{\Spec(A)} \Spec(k) \cong (X, \mathcal{L})\). D’autre part, soit \(q : \mathcal{G} \to \mathcal{C}_k\) la catégorie cofibrée en groupoïdes définie dans Problèmes de déformations, exemple 0D3L. Choisissons \(d_0 \gg 0\) (nous verrons plus bas quelle grandeur suffit). Soit \(P\) la \(k\)-algèbre graduée \[P = k \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\] Alors \(y = (k, P)\) est un objet de \(\mathcal{G}(k)\). Soit \(\mathcal{G}_y\) la catégorie de prédéformations de Théorie formelle des déformations, remarque 06GU. Étant donné \((X_A, \mathcal{F}_A, \alpha)\) comme ci-dessus, posons \[Q = A \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X_A, \mathcal{L}_A^{\otimes d})\] L’isomorphisme \(\alpha\) induit une application \(\beta : Q \to P\). Par la théorie des déformations des schémas projectifs (Compléments sur les morphismes, lemme 0D4F), nous obtenons un \(1\)-morphisme \[\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}_y,\quad (X_A, \mathcal{F}_A, \alpha) \longmapsto (Q, \beta : Q \to P)\] de catégories cofibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_k\). En fait, ce foncteur est une équivalence, avec pour quasi-inverse celui donné par \(Q \mapsto \underline{\text{Proj}}_A(Q)\). En effet, le schéma \(X_A = \underline{\text{Proj}}_A(Q)\) est plat sur \(A\) d’après Diviseurs, lemme 0D4C. Posons \(\mathcal{L}_A = \mathcal{O}_{X_A}(1)\) ; celui-ci est plat sur \(A\) d’après le même lemme. Nous tirons de \(\beta\) un isomorphisme \((X_A, \mathcal{L}_A) \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = (X, \mathcal{L})\). Nous pouvons alors déduire toutes les propriétés voulues du couple \((X_A, \mathcal{L}_A)\) des propriétés correspondantes de \((X, \mathcal{L})\) à l’aide des techniques de Compléments sur les morphismes, sections 0CF2 et 063X. Nous omettons certains détails.

En conclusion, nous voyons que \(T\mathcal{F} = T\mathcal{G}_y = T_y\mathcal{G}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}) = \text{Inf}_y(\mathcal{G})\). Ces espaces vectoriels sont de dimension finie d’après Problèmes de déformations, lemme 0DVZ, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \((R_n)\) un système projectif d’anneaux à applications de transition surjectives dont les noyaux sont localement nilpotents. Posons \(R = \lim R_n\). Posons \(S_n = \Spec(R_n)\) et \(S = \Spec(R)\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d] & X_2 \ar[r]_{i_2} \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ S_1 \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_3 \ar[r] & \ldots }\] de schémas dont les carrés sont cartésiens. Supposons donnés \((\mathcal{L}_n, \varphi_n)\), où chaque \(\mathcal{L}_n\) est un faisceau inversible sur \(X_n\) et où \(\varphi_n : i_n^*\mathcal{L}_{n + 1} \to \mathcal{L}_n\) est un isomorphisme. Si

1. \(X_n \to S_n\) est propre, plat et de présentation finie, et

2. \(\mathcal{L}_1\) est ample sur \(X_1\),

alors il existe un morphisme de schémas \(X \to S\) propre, plat et de présentation finie, un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample \(\mathcal{L}\), ainsi que des isomorphismes \(X_n \cong X \times_S S_n\) et \(\mathcal{L}_n \cong \mathcal{L}|_{X_n}\) compatibles aux morphismes \(i_n\) et \(\varphi_n\).

Démonstration

Choisissons \(d_0\) pour \(X_1 \to S_1\) et \(\mathcal{L}_1\) comme dans Compléments sur les morphismes, lemme 0D4F. Pour tout \(n \geq 1\), posons \[A_n = R_n \oplus \bigoplus\nolimits_{d \geq d_0} H^0(X_n, \mathcal{L}_n^{\otimes d})\] D’après le lemme, chaque \(A_n\) est une \(R_n\)-algèbre graduée de présentation finie dont les composantes homogènes \((A_n)_d\) sont des \(R_n\)-modules projectifs finis, telle que \(X_n = \text{Proj}(A_n)\) et \(\mathcal{L}_n = \mathcal{O}_{\text{Proj}(A_n)}(1)\). Le lemme garantit aussi que les applications \[A_1 \leftarrow A_2 \leftarrow A_3 \leftarrow \ldots\] induisent des isomorphismes \(A_n = A_m \otimes_{R_m} R_n\) pour \(n \leq m\). Nous posons \[B = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} B_d \quad\text{avec}\quad B_d = \lim_n (A_n)_d\] D’après Compléments d’algèbre, lemme 0D4B, \(B_d\) est un \(R\)-module projectif fini et \(B \otimes_R R_n = A_n\). Ainsi, le schéma \[X = \text{Proj}(B) \quad\text{et}\quad \mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\] est plat sur \(S\), et \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent plat sur \(S\), voir Diviseurs, lemme 0D4C. Comme la formation de Proj commute au changement de base (Constructions, lemme 01N2), nous obtenons des isomorphismes canoniques \[X \times_S S_n = X_n \quad\text{et}\quad \mathcal{L}|_{X_n} \cong \mathcal{L}_n\] compatibles aux applications de transition du système. Nous pouvons donc considérer \(X_1 \subset X\) comme un sous-schéma fermé. Nous montrerons plus bas que \(B\) est de présentation finie sur \(R\). D’après Diviseurs, lemmes 0800 et 0D4D, cela implique que \(X \to S\) est de présentation finie et propre, et que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\) est de présentation finie en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module. Puisque la restriction de \(\mathcal{L}\) au changement de base \(X_1 \to S_1\) est inversible, il résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0CZR, que \(\mathcal{L}\) est inversible sur un voisinage ouvert de \(X_1\) dans \(X\). Comme \(X \to S\) est fermé et comme \(\Ker(R \to R_1)\) est contenu dans le radical de Jacobson (Compléments d’algèbre, lemme 0CT7), nous voyons que tout voisinage ouvert de \(X_1\) dans \(X\) est égal à \(X\). Ainsi, \(\mathcal{L}\) est inversible. Enfin, l’ensemble des points de \(S\) où \(\mathcal{L}\) est ample sur la fibre est ouvert dans \(S\) (Compléments sur les morphismes, lemme 0D2S) et contient \(S_1\) ; il est donc égal à \(S\). Ainsi, \(X \to S\) et \(\mathcal{L}\) possèdent toutes les propriétés requises dans l’énoncé du lemme.

Démontrons l’assertion ci-dessus. Choisissons une présentation \(A_1 = R_1[X_1, \ldots, X_s]/(F_1, \ldots, F_t)\) où les \(X_i\) sont des variables de degrés \(d_i\) et les \(F_j\) des polynômes homogènes en les \(X_i\) de degré \(e_j\). Nous pouvons alors choisir une application \[\Psi : R[X_1, \ldots, X_s] \longrightarrow B\] relevant l’application \(R_1[X_1, \ldots, X_s] \to A_1\). Puisque chaque \(B_d\) est projectif fini sur \(R\), nous concluons du lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV, en utilisant de nouveau le fait que \(\Ker(R \to R_1)\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\)) que \(\Psi\) est surjective. Comme \(- \otimes_R R_1\) est exact à droite, nous pouvons trouver \(G_1, \ldots, G_t \in \Ker(\Psi)\) dont les images sont \(F_1, \ldots, F_t\) dans \(R_1[X_1, \ldots, X_s]\). Observons que \(\Ker(\Psi)_d\) est un \(R\)-module projectif fini pour tout \(d \geq 0\), en tant que noyau de la surjection \(R[X_1, \ldots, X_s]_d \to B_d\) de \(R\)-modules projectifs finis. Nous concluons encore une fois du lemme de Nakayama que \(\Ker(\Psi)\) est engendré par \(G_1, \ldots, G_t\).

Lemme

Considérons le champ \(\Polarizedstack\) sur le schéma de base \(\Spec(\mathbf{Z})\). Alors tout objet formel est effectif.

Démonstration

Pour les définitions des notions du lemme, voir Axiomes d’Artin, section 07X3. Il ressort des définitions que le lemme résulte immédiatement du lemme plus général 0D4T.

Lemme

Le champ en groupoïdes \(\Polarizedstack\) satisfait à l’ouverture de la versalité sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). De même, après changement de base (remarque 0D1N), l’ouverture de la versalité vaut sur tout schéma de base noethérien \(S\).

Démonstration

Cela résulte de Axiomes d’Artin, lemme 0CXU, et des lemmes 0D42, 0D44, 0D43 et 0D4T. Pour la démonstration « usuelle » de ce fait, voir la discussion de la remarque qui suit cette démonstration.

Remarque

Le lemme 0D4V peut également se démontrer à l’aide d’une théorie des obstructions comme dans Axiomes d’Artin, lemme 0CYF (comme dans la seconde démonstration du lemme 08WA). Pour cela, il faut généraliser la théorie des déformations et des obstructions développée dans Cotangent, section 08V3, au cas des couples formés d’espaces algébriques et de modules quasi-cohérents. Une autre possibilité consiste à utiliser le fait que le \(1\)-morphisme \(\Polarizedstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) est algébrique (lemme 0D41) et le fait que nous connaissons l’ouverture de la versalité pour le but (lemme 0D3X et remarque 0D1P).

Théorème

Le champ \(\Polarizedstack\) (situation 0D1M) est algébrique. En fait, pour tout espace algébrique \(B\), le champ \(B\textit{-Polarized}\) (remarque 0D1N) est algébrique.

Démonstration

Le cas absolu résulte de Axiomes d’Artin, lemme 07Y4, et des lemmes 0D42, 0D44, 0D43, 0D4U et 0D4V. Le cas sur \(B\) en résulte, compte tenu de la description de \(B\textit{-Polarized}\) comme \(2\)-produit fibré dans la remarque 0D1N et du fait que les champs algébriques admettent les \(2\)-produits fibrés, voir Champs algébriques, lemme 04T2.

Le champ des courbes

Dans cette section, nous prouvons que le champ des courbes est algébrique. Pour une discussion plus approfondie des espaces de modules de courbes, nous renvoyons le lecteur à Modules de courbes, section 0DMH.

Dans le Projet Champs, une courbe est une variété de dimension \(1\). Cependant, lorsque nous parlons de familles de courbes, nous autorisons souvent les fibres à être réductibles et/ou non réduites. Dans cette section, le champ des courbes « paramétrera les schémas propres de dimension \(\leq 1\) ». Il se trouve toutefois que, pour obtenir la bonne notion de famille, il nous faut autoriser l’espace total de notre famille à être un espace algébrique. Cela conduit à la définition suivante.

Situation

Nous définissons une catégorie \(\Curvesstack\) comme suit :

1. Les objets sont les familles de courbes. Plus précisément, un objet est un morphisme \(f : X \to S\) où la base \(S\) est un schéma, l’espace total \(X\) est un espace algébrique, et où \(f\) est plat, propre, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\) (Morphismes d’espaces, définition 06LR).

2. Un morphisme \((X' \to S') \to (X \to S)\) entre objets est donné par un couple \((f, g)\), où \(f : X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques et \(g : S' \to S\) est un morphisme de schémas, qui s’inscrivent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] induisant un isomorphisme \(X' \to S' \times_S X\) ; autrement dit, le diagramme est cartésien.

Le foncteur d’oubli \[p : \Curvesstack \longrightarrow \Sch_{fppf},\quad (X \to S) \longmapsto S\] est celui par lequel nous considérons \(\Curvesstack\) comme une catégorie sur \(\Sch_{fppf}\) (voir la section 05X6 pour les notations).

Il résulte de Espaces sur les corps, lemme 0ADD, et, plus généralement, de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0AE7, que, si \(S\) est le spectre d’un corps, d’un anneau local artinien ou d’un anneau local noethérien complet, alors, pour toute famille de courbes \(X \to S\), l’espace total \(X\) est un schéma. En revanche, il existe des familles de courbes sur \(\mathbf{A}^1_k\) dont l’espace total n’est pas un schéma, voir Exemples, section 0D5D.

Il est clair que [0D50]\[\begin{equation} \Curvesstack \subset \Spacesstack'_{fp, flat, proper} \end{equation}\] et qu’un objet \(X \to S\) de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) appartient à \(\Curvesstack\) si et seulement si \(X \to S\) est de dimension relative \(\leq 1\). Nous utiliserons ce fait pour vérifier les axiomes d’Artin pour \(\Curvesstack\).

Lemme

La catégorie \(\Curvesstack\) est fibrée en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\).

Démonstration

En utilisant le plongement (0D50), la description de son image et le fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1E), nous nous ramenons à l’énoncé suivant : étant donné un morphisme \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] dans \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (rappelons que cela implique en particulier que le diagramme est cartésien), si \(X \to S\) est de dimension relative \(\leq 1\), alors \(X' \to S'\) est de dimension relative \(\leq 1\). Cela résulte de Morphismes d’espaces, lemme 04NS.

Lemme

La catégorie \(\Curvesstack\) est un champ en groupoïdes sur \(\Sch_{fppf}\).

Démonstration

En utilisant le plongement (0D50), la description de son image et le fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1G), nous nous ramenons à l’énoncé suivant : étant donné un objet \(X \to S\) de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) et un recouvrement fppf \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X \to S\) est de dimension relative \(\leq 1\), et

2. pour tout \(i\), le changement de base \(X_i \to S_i\) est de dimension relative \(\leq 1\).

Cela résulte de Morphismes d’espaces, lemme 04NS.

Lemme

La diagonale \[\Delta : \Curvesstack \longrightarrow \Curvesstack \times \Curvesstack\] est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du plongement pleinement fidèle (0D50) et du fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1F).

Remarque

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(B\text{-}\Curvesstack\) la catégorie formée des couples \((X \to S, h : S \to B)\), où \(X \to S\) est un objet de \(\Curvesstack\) et \(h : S \to B\) est un morphisme. Un morphisme \((X' \to S', h') \to (X \to S, h)\) dans \(B\text{-}\Curvesstack\) est un morphisme \((f, g)\) dans \(\Curvesstack\) tel que \(h \circ g = h'\). Dans cette situation, le diagramme \[\xymatrix{ B\text{-}\Curvesstack \ar[r] \ar[d] & \Curvesstack \ar[d] \\ (\Sch/B)_{fppf} \ar[r] & \Sch_{fppf} }\] est un carré \(2\)-cartésien. Cette remarque triviale sera parfois utile pour déduire des résultats du cas absolu \(\Curvesstack\) au cas des familles de courbes sur un espace algébrique de base donné.

Lemme

Le champ \(\Curvesstack \to \Sch_{fppf}\) commute aux limites (Axiomes d’Artin, définition 07XL).

Démonstration

En utilisant le plongement (0D50), la description de son image et le fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1I), nous nous ramenons à l’énoncé suivant : soit \(T = \lim T_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas affines. Soit \(i \in I\) et soit \(X_i \to T_i\) un objet de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) au-dessus de \(T_i\). Supposons que \(T \times_{T_i} X_i \to T\) soit de dimension relative \(\leq 1\). Alors, pour un certain \(i' \geq i\), le morphisme \(T_{i'} \times_{T_i} X_i \to T_i\) est de dimension relative \(\leq 1\). Cela résulte de Limites d’espaces, lemme 0D4K.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & T' \ar[d] \\ S \ar[r] & S' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas, où \(T \to T'\) est un épaississement et \(T \to S\) est affine, voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Alors le foncteur sur les catégories fibres \[\Curvesstack_{S'} \longrightarrow \Curvesstack_S \times_{\Curvesstack_T} \Curvesstack_{T'}\] est une équivalence.

Démonstration

En utilisant le plongement (0D50), la description de son image et le fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1J), nous nous ramenons à l’énoncé suivant : étant donné un morphisme \(X' \to S'\) d’un espace algébrique vers \(S'\) qui est de présentation finie, plat et propre, alors \(X' \to S'\) est de dimension relative \(\leq 1\) si et seulement si \(S \times_{S'} X' \to S\) et \(T' \times_{S'} X' \to T'\) sont de dimension relative \(\leq 1\). Une implication résulte du fait que la propriété d’être de dimension relative \(\leq 1\) est préservée par changement de base (Morphismes d’espaces, lemme 04NS). L’autre résulte du fait que la propriété d’être de dimension relative \(\leq 1\) se vérifie sur les fibres et du fait que les fibres de \(X' \to S'\) (aux points du schéma \(S'\)) sont les mêmes que celles de \(S \times_{S'} X' \to S\), puisque \(S \to S'\) est un épaississement d’après Compléments sur les morphismes, lemme 07RT.

Lemme

Soit \(k\) un corps et soit \(x = (X \to \Spec(k))\) un objet de \(\mathcal{X} = \Curvesstack\) au-dessus de \(\Spec(k)\).

1. Si \(k\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), alors les espaces vectoriels \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x})\) (voir Axiomes d’Artin, section 07WY) sont de dimension finie, et

2. en général, les espaces vectoriels \(T_x(k)\) et \(\text{Inf}_x(k)\) (voir Axiomes d’Artin, section 07Y6) sont de dimension finie.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du plongement pleinement fidèle (0D50) et du fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D1K).

Lemme

Considérons le champ \(\Curvesstack\) sur le schéma de base \(\Spec(\mathbf{Z})\). Alors tout objet formel est effectif.

Démonstration

Pour les définitions des notions du lemme, voir Axiomes d’Artin, section 07X3. Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien complet. Soit \((X_n \to \Spec(A/\mathfrak m^n))\) un objet formel de \(\Curvesstack\) au-dessus de \(A\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E7R, il existe un morphisme projectif \(X \to \Spec(A)\) et un système compatible d’isomorphismes \(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/\mathfrak m^n) \cong X_n\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D4G, \(X \to \Spec(A)\) est plat. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D4J, \(X \to \Spec(A)\) est de dimension relative \(\leq 1\). Cela prouve le lemme.

Lemme

Le champ en groupoïdes \(\mathcal{X} = \Curvesstack\) satisfait à l’ouverture de la versalité sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). De même, après changement de base (remarque 0D54), l’ouverture de la versalité vaut sur tout schéma de base noethérien \(S\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du plongement pleinement fidèle (0D50) et du fait correspondant pour \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) (lemme 0D3X).

Théorème

Le champ \(\Curvesstack\) (situation 0D4Z) est algébrique. En fait, pour tout espace algébrique \(B\), le champ \(B\text{-}\Curvesstack\) (remarque 0D54) est algébrique.

Démonstration

Le cas absolu résulte de Axiomes d’Artin, lemme 07Y4, et des lemmes 0D53, 0D56, 0D55, 0D58 et 0D59. Le cas sur \(B\) en résulte, compte tenu de la description de \(B\text{-}\Curvesstack\) comme \(2\)-produit fibré dans la remarque 0D54 et du fait que les champs algébriques admettent les \(2\)-produits fibrés, voir Champs algébriques, lemme 04T2.

Lemme

Le \(1\)-morphisme (0D50) \[\Curvesstack \longrightarrow \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\] est représentable par des immersions ouvertes et fermées.

Démonstration

Puisque (0D50) est un plongement pleinement fidèle de catégories, il suffit de montrer ce qui suit : étant donné un objet \(X \to S\) de \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), il existe un sous-schéma ouvert et fermé \(U \subset S\) tel qu’un morphisme \(S' \to S\) se factorise par \(U\) si et seulement si le changement de base \(X' \to S'\) de \(X \to S\) est de dimension relative \(\leq 1\). Cela résulte immédiatement de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D4R.

Remarque

Considérons le \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ \Curvesstack \ar[r] & \Spacesstack'_{fp, flat, proper} }\] Ce produit fibré paramètre les courbes polarisées, c’est-à-dire les familles de courbes munies d’un faisceau inversible relativement ample. Il se trouve que la flèche verticale de gauche \[\textit{PolarizedCurves} \longrightarrow \Curvesstack\] est algébrique, lisse et surjective. En effet, ce \(1\)-morphisme est algébrique (en tant que changement de base de la flèche du lemme 0D41), tout point appartient à son image, et il n’y a pas d’obstruction à déformer les faisceaux inversibles sur les courbes (voir la démonstration du lemme 0D58). Cela donne une autre approche de l’algébricité de \(\Curvesstack\). En effet, d’après le lemme 0D5B, \(\textit{PolarizedCurves}\) est un sous-champ ouvert et fermé du champ algébrique \(\Polarizedstack\), et tout champ en groupoïdes qui est le but d’un morphisme algébrique lisse provenant d’un champ algébrique est un champ algébrique.

Espaces de modules de complexes sur un morphisme propre

Le titre et le contenu de cette section sont tirés de [lieblich-complexes]. Soit \(S\) un schéma et soit \(f : X \to B\) un morphisme propre, plat et de présentation finie d’espaces algébriques. Nous allons démontrer qu’il existe un champ algébrique \[\Complexesstack_{X/B}\] qui paramètre les « familles » d’objets de \(D^b_{\textit{Coh}}\) des fibres dont les auto-Ext négatifs s’annulent. Plus précisément, une famille est donnée par un objet relativement parfait de la catégorie dérivée de l’espace total ; cette notion quelque peu technique est étudiée dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0DKM.

Déjà lorsque \(X\) est un espace algébrique propre sur un corps \(k\), nous obtenons un champ algébrique très intéressant. En effet, il existe un plongement \[\Cohstack_{X/k} \longrightarrow \Complexesstack_{X/k}\] car, pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) (sur tout topos annelé), nous avons \(\Ext^i_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{F}) = 0\) pour \(i < 0\). Bien que cela montre assurément que notre champ est non vide, la véritable motivation pour étudier \(\Complexesstack_{X/k}\) est qu’il existe souvent des objets de la catégorie dérivée \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dont les auto-Ext négatifs s’annulent et dont les faisceaux de cohomologie sont non nuls en plus d’un degré. Par exemple, \(X\) pourrait être équivalent au sens dérivé à un autre espace algébrique propre \(Y\) sur \(k\), c’est-à-dire que nous aurions une équivalence \(k\)-linéaire \[F : D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] Il existe des cas où cela se produit sans que \(F\) soit donné par un isomorphisme entre \(X\) et \(Y\) ; par exemple, dans le cas d’une variété abélienne et de sa duale. Dans cette situation, \(F\) induit un isomorphisme de champs algébriques \[\Complexesstack_{Y/k} \longrightarrow \Complexesstack_{X/k}\] (insérer ici une référence future) et, en particulier, le champ des faisceaux cohérents sur \(Y\) s’envoie dans le champ des complexes sur \(X\). En renversant ce point de vue, si nous comprenons assez bien la géométrie de \(\Complexesstack_{X/k}\), nous pouvons tenter de l’utiliser pour étudier tous les \(Y\) qui lui sont équivalents au sens dérivé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit propre, plat et de présentation finie. Soient \(K, E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que \(K\) soit pseudo-cohérent et que \(E\) soit \(Y\)-parfait (Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 0DKN). Pour un corps \(k\) et un morphisme \(y : \Spec(k) \to Y\), notons \(K_y\), \(E_y\) les images inverses sur la fibre \(X_y\).

1. Il existe un ouvert \(W \subset Y\) caractérisé par la propriété \[y \in |W| \Leftrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) = 0 \text{ pour }i < 0.\]

2. Pour tout morphisme \(V \to Y\) se factorisant par \(W\), nous avons \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V) = 0 \quad\text{pour}\quad i < 0\] où \(X_V\) est le changement de base de \(X\), et \(K_V\) et \(E_V\) sont les images inverses dérivées de \(K\) et \(E\) sur \(X_V\).

3. Le foncteur \(V \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V)\) est un faisceau sur \((\textit{Espaces}/W)_{fppf}\) représentable par un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(W\).

Démonstration

Pour tout morphisme \(V \to Y\), le complexe \(K_V\) est pseudo-cohérent (Cohomologie sur les sites, lemme 08H4) et \(E_V\) est \(V\)-parfait (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DKT). Observons aussi qu’étant donnés \(y : \Spec(k) \to Y\), une extension de corps \(k'/k\) et le morphisme induit \(y' : \Spec(k') \to Y\), nous avons \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_{y'}}}(K_{y'}, E_{y'}) = \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) \otimes_k k'\] d’après Catégories dérivées de schémas, lemme 0AA7. Ainsi, l’annulation en (1) est bien une propriété du point induit \(y \in |Y|\). Nous utiliserons ces deux observations sans plus les mentionner dans la démonstration.

Supposons d’abord que \(Y\) soit un schéma affine. Nous pouvons alors appliquer Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DKY, et trouver un \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\) pseudo-cohérent qui « calcule universellement » \(Rf_*R\SheafHom(K, E)\) au sens décrit dans ce lemme. En développant les définitions, nous obtenons, pour un point \(y \in Y\), l’égalité \[\Ext^i_{\kappa(y)}(L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y), \kappa(y)) = \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y)\] Nous en concluons que \[H^i(L \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \kappa(y)) = 0 \text{ pour } i > 0 \Leftrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_{X_y}}(K_y, E_y) = 0 \text{ pour }i < 0.\] D’après Catégories dérivées de schémas, lemme 0BDI, l’ensemble \(W\) des \(y \in Y\) où cela se produit définit un ouvert de \(Y\). Cet ouvert \(W\) satisfait alors à la condition de (1) pour tous les morphismes provenant de spectres de corps, par l’« universalité » de \(L\).

Revenons au cas où \(Y\) est un espace algébrique général. Choisissons un recouvrement étale \(\{V_i \to Y\}\) par des schémas affines \(V_i\). Nous voyons alors que l’image inverse du sous-ensemble \(W \subset |Y|\) est le sous-ensemble correspondant \(W_i \subset |V_i|\) pour \(X_{V_i}\), \(K_{V_i}\), \(E_{V_i}\). D’après le paragraphe précédent, \(W_i\) est ouvert, donc \(W\) est ouvert. Cela prouve (1) en général. En outre, les parties (2) et (3) sont entièrement formulées en termes de la catégorie \(\textit{Espaces}/W\) et des restrictions \(X_W\), \(K_W\), \(E_W\). Nous sommes donc ramenés au cas \(W = Y\).

Supposons \(W = Y\). Nous affirmons que, pour tout espace algébrique \(V\) sur \(Y\), le complexe \(Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V)\) a ses faisceaux de cohomologie nuls en degrés \(< 0\). Cela prouvera (2), car \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V) = H^i(X_V, R\SheafHom(K_V, E_V)) = H^i(V, Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V))\] d’après Cohomologie sur les sites, lemmes 08JA et 0D6H, et l’annulation des faisceaux de cohomologie entraîne que le groupe de cohomologie \(H^i\) est nul pour \(i < 0\) d’après Catégories dérivées, lemme 05TC.

Pour prouver l’affirmation, nous pouvons travailler localement pour la topologie étale sur \(V\). En particulier, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine et que \(W = Y\). Soit \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\) comme dans le deuxième paragraphe de la démonstration. Pour un espace algébrique \(V\) sur \(Y\), notons \(L_V\) l’image inverse dérivée de \(L\) sur \(V\). (Une propriété importante que nous utiliserons est que \(L\) « fonctionne » pour tous les espaces algébriques \(V\) sur \(Y\), et pas seulement pour les \(V\) affines.) Comme \(W = Y\), nous avons \(H^i(L) = 0\) pour \(i > 0\) (utiliser Compléments d’algèbre, lemme 0BCC, pour passer des fibres aux germes). Donc \(H^i(L_V) = 0\) pour \(i > 0\). La propriété qui définit \(L\) est que \[Rf_{V, *}R\SheafHom(K_V, E_V) = R\SheafHom(L_V, \mathcal{O}_V)\] Puisque \(L_V\) est concentré en degrés \(\leq 0\), nous concluons que \(R\SheafHom(L_V, \mathcal{O}_V)\) est concentré en degrés \(\geq 0\), ce qui prouve l’affirmation. Cela achève la démonstration de (2).

Supposons \(W = Y\), sans faire d’hypothèse sur l’espace algébrique \(Y\). Comme nous avons (2), il résulte de Espaces simpliciaux, lemme 0DL9, que le foncteur \(F\) donné par \(F(V) = \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(K_V, E_V)\) est un faisceau⁴ sur \((\textit{Espaces}/Y)_{fppf}\). Ainsi, pour prouver que \(F\) est un espace algébrique et que \(F \to Y\) est affine et de présentation finie, nous pouvons travailler localement pour la topologie étale sur \(Y\) ; voir Amorçage, lemme 04U0, et Morphismes d’espaces, lemmes 03WG et 0410. Nous concluons qu’il suffit de prouver que \(F\) est un espace algébrique affine de présentation finie sur \(Y\) lorsque \(Y\) est un schéma affine. Dans ce cas, nous revenons à notre complexe pseudo-cohérent \(L \in D(\mathcal{O}_Y)\). Comme \(H^i(L) = 0\) pour \(i > 0\), nous pouvons représenter \(L\) par un complexe de la forme \[\ldots \to \mathcal{O}_Y^{\oplus m_1} \to \mathcal{O}_Y^{\oplus m_0} \to 0 \to \ldots\] dont le dernier terme est en degré \(0\), voir Compléments d’algèbre, lemme 064U. En combinant les deux formules affichées plus haut dans la démonstration, nous trouvons que \[F(V) = \Ker( \Hom_V(\mathcal{O}_V^{\oplus m_0}, \mathcal{O}_V) \to \Hom_V(\mathcal{O}_V^{\oplus m_1}, \mathcal{O}_V) )\] Autrement dit, il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d]^0 \\ \mathbf{A}_Y^{m_0} \ar[r] & \mathbf{A}_Y^{m_1} }\] qui prouve ce que nous voulions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit propre, plat et de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que

1. \(E\) soit \(S\)-parfait (Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 0DKN), et

2. pour tout point \(s \in S\), nous ayons \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_s}}(E_s, E_s) = 0 \quad\text{pour}\quad i < 0\] où \(E_s\) est l’image inverse sur la fibre \(X_s\).

Alors

1. (1) et (2) sont préservées par tout changement de base \(V \to Y\),

2. \(\Ext^i_{\mathcal{O}_{X_V}}(E_V, E_V) = 0\) pour \(i < 0\) et tout \(V\) sur \(Y\),

3. \(V \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_V}}(E_V, E_V)\) est représentable par un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(Y\).

Ici, \(X_V\) est le changement de base de \(X\) et \(E_V\) l’image inverse dérivée de \(E\) sur \(X_V\).

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 0DLC.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit propre, plat et de présentation finie. Nous notons \(\Complexesstack_{X/B}\) la catégorie dont les objets sont les triplets \((T, g, E)\) où

1. \(T\) est un schéma sur \(S\),

2. \(g : T \to B\) est un morphisme sur \(S\), et, en posant \(X_T = T \times_{g, B} X\),

3. \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_{X_T})\) satisfaisant aux conditions (1) et (2) du lemme 0DLD.

Un morphisme \((T, g, E) \to (T', g', E')\) est donné par un couple \((h, \varphi)\) où

1. \(h : T \to T'\) est un morphisme de schémas sur \(B\) (c’est-à-dire \(g' \circ h = g\)), et

2. \(\varphi : L(h')^*E' \to E\) est un isomorphisme de \(D(\mathcal{O}_{X_T})\), où \(h' : X_T \to X_{T'}\) est le changement de base de \(h\).

Ainsi, \(\Complexesstack_{X/B}\) est une catégorie et la règle \[p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (T, g, E) \longmapsto T\] est un foncteur. Pour un schéma \(T\) sur \(S\), nous notons \(\Complexesstack_{X/B, T}\) la catégorie fibre de \(p\) au-dessus de \(T\). Ces catégories fibres sont des groupoïdes.

Lemme

Dans la situation 0DLE, le foncteur \(p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) est fibré en groupoïdes.

Démonstration

Nous montrons que \(p\) est fibré en groupoïdes en vérifiant les conditions (1) et (2) de Catégories, définition 003T. Étant donnés un objet \((T', g', E')\) de \(\Complexesstack_{X/B}\) et un morphisme \(h : T \to T'\) de schémas sur \(S\), nous pouvons poser \(g = h \circ g'\) et \(E = L(h')^*E'\), où \(h' : X_T \to X_{T'}\) est le changement de base de \(h\). Il est alors clair que nous obtenons un morphisme \((T, g, E) \to (T', g', E')\) de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(h\). Cela prouve (1). Pour (2), supposons donnés des morphismes \[(h_1, \varphi_1) : (T_1, g_1, E_1) \to (T, g, E) \quad\text{et}\quad (h_2, \varphi_2) : (T_2, g_2, E_2) \to (T, g, E)\] de \(\Complexesstack_{X/B}\) et un morphisme \(h : T_1 \to T_2\) tel que \(h_2 \circ h = h_1\). Nous pouvons alors prendre pour \(\varphi\) la composée \[L(h')^*E_2 \xrightarrow{L(h')^*\varphi_2^{-1}} L(h')^*L(h_2)^*E = L(h_1)^*E \xrightarrow{\varphi_1} E_1\] et obtenir ainsi le morphisme \((h, \varphi) : (T_1, g_1, E_1) \to (T_2, g_2, E_2)\) qui atteste la condition (2).

Lemme

Dans la situation 0DLE. Notons \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\). Alors \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Considérons deux objets \(x = (T, g, E)\) et \(y = (T, g', E')\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(T\). Nous devons montrer que \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y)\) est un espace algébrique sur \(T\), voir Champs algébriques, lemme 045G. Si, pour \(h : T' \to T\), les restrictions \(x|_{T'}\) et \(y|_{T'}\) sont isomorphes dans la catégorie fibre \(\mathcal{X}_{T'}\), alors \(g \circ h = g' \circ h\). Il existe donc une transformation de préfaisceaux \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, y) \longrightarrow \text{Égalisateur}(g, g')\] Puisque la diagonale de \(B\) est représentable (par des schémas), cet égalisateur est un schéma. Nous pouvons donc remplacer \(T\) par cet égalisateur et \(E\), \(E'\) par leurs images inverses. Nous pouvons ainsi supposer \(g = g'\).

Supposons \(g = g'\). Après avoir remplacé \(B\) par \(T\) et \(X\) par \(X_T\), nous arrivons au problème suivant. Étant donnés \(E, E' \in D(\mathcal{O}_X)\) satisfaisant aux conditions (1), (2) du lemme 0DLD, nous devons montrer que \(\mathit{Isom}(E, E')\) est un espace algébrique. Ici, \(\mathit{Isom}(E, E')\) est le foncteur \[(\Sch/B)^{opp} \to \textit{Ensembles},\quad T \mapsto \{\varphi : E_T \to E'_T \text{ isomorphisme dans }D(\mathcal{O}_{X_T})\}\] où \(E_T\) et \(E'_T\) sont les images inverses dérivées de \(E\) et \(E'\) sur \(X_T\). Soient maintenant \(W \subset B\), resp. \(W' \subset B\), les sous-espaces ouverts de \(B\) associés à \(E, E'\), resp. à \(E', E\), par le lemme 0DLC. Il est clair que, s’il existe un isomorphisme \(E_T \to E'_T\) comme dans la définition de \(\mathit{Isom}(E, E')\), alors \(T \to B\) se factorise à la fois par \(W\) et par \(W'\) (parce que nous avons la condition (1) pour \(E\) et \(E'\), et que nous aurons évidemment \(E_t \cong E'_t\), donc aucune application non nulle \(E_t[i] \to E_t\) ou \(E'_t[i] \to E_t\) sur la fibre \(X_t\) pour \(i > 0\)). Nous pouvons donc remplacer \(B\) par l’ouvert \(W \cap W'\). Dans ce cas, le foncteur \(H = \SheafHom(E, E')\) \[(\Sch/B)^{opp} \to \textit{Ensembles},\quad T \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(E_T, E'_T)\] est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(B\) d’après le lemme 0DLC. Il en est de même de \(H' = \SheafHom(E', E)\), \(I = \SheafHom(E, E)\) et \(I' = \SheafHom(E', E')\). Nous pouvons donc reprendre l’argument de la démonstration de la proposition 08K9 pour voir que \[\mathit{Isom}(E, E') = (H' \times_B H) \times_{c, I \times_B I', \sigma} B\] pour certains morphismes \(c\) et \(\sigma\). Ainsi, \(\mathit{Isom}(E, E')\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la situation 0DLE, le foncteur \(p : \Complexesstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\) est un champ en groupoïdes.

Démonstration

Pour prouver que \(\Complexesstack_{X/B}\) est un champ en groupoïdes, nous devons montrer que les préfaisceaux \(\mathit{Isom}\) sont des faisceaux et que les données de descente sont effectives. L’assertion sur \(\mathit{Isom}\) résulte du lemme 0DLG, voir Champs algébriques, lemme 045G. Démontrons l’assertion sur les données de descente.

Supposons que \(\{a_i : T_i \to T\}\) soit un recouvrement fppf de schémas sur \(S\). Soit \((\xi_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente pour \(\{T_i \to T\}\) à valeurs dans \(\Complexesstack_{X/B}\). Pour chaque \(i\), nous pouvons écrire \(\xi_i = (T_i, g_i, E_i)\). Notons \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) et \(\text{pr}_1 : T_i \times_T T_j \to T_j\) les projections. La condition \(\xi_i|_{T_i \times_T T_j} \cong \xi_j|_{T_i \times_T T_j}\) implique en particulier que \(g_i \circ \text{pr}_0 = g_j \circ \text{pr}_1\). Il existe donc un unique morphisme \(g : T \to B\) tel que \(g_i = g \circ a_i\), voir Descente sur les espaces, lemme 04P2. Notons \(X_T = T \times_{g, B} X\). Posons \(X_i = X_{T_i} = T_i \times_{g_i, B} X = T_i \times_{a_i, T} X_T\) et \[X_{ij} = X_{T_i} \times_{X_T} X_{T_j} = X_i \times_{X_T} X_j\] avec les projections \(\text{pr}_i\) et \(\text{pr}_j\) vers \(X_i\) et \(X_j\). Observons que l’image inverse de \((T_i, g_i, E_i)\) par \(\text{pr}_0 : T_i \times_T T_j \to T_i\) est donnée par \((T_i \times_T T_j, g_i \circ \text{pr}_0, L\text{pr}_i^*E_i)\). Une donnée de descente pour \(\{T_i \to T\}\) dans \(\Complexesstack_{X/B}\) est donc donnée par les objets \((T_i, g \circ a_i, E_i)\) et, pour chaque couple \(i, j\), par un isomorphisme dans \(D\mathcal{O}_{X_{ij}})\) \[\varphi_{ij} : L\text{pr}_i^*E_i \longrightarrow L\text{pr}_j^*E_j\] satisfaisant à la condition de cocycle sur l’image inverse de \(X\) sur \(T_i \times_T T_j \times_T T_k\). En utilisant l’annulation des Ext négatifs fournie par (b) du lemme 0DLD, nous pouvons appliquer Espaces simpliciaux, lemme 0DLA, pour obtenir la descente⁵ pour ces complexes. Autrement dit, nous trouvons qu’il existe un objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\) dont la restriction à \(X_{T_i}\) est \(E_i\), compatiblement aux \(\varphi_{ij}\). Rappelons qu’être \(T\)-parfait signifie être pseudo-cohérent et avoir une dimension de Tor localement finie sur \(f^{-1}\mathcal{O}_T\). Ainsi, \(E\) est \(T\)-parfait par application de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemmes 0DL1 et 0DL2. Enfin, nous devons vérifier pour \(E\) la condition (2) du lemme 0DLD. Cela résulte immédiatement de la description de l’ouvert \(W\) dans le lemme 0DLC et du fait que (2) vaut pour \(E_i\) sur \(X_{T_i}/T_i\).

Remarque

Dans la situation 0DLE, la règle \((T, g, E) \mapsto (T, g)\) définit un \(1\)-morphisme \[\Complexesstack_{X/B} \longrightarrow \mathcal{S}_B\] de champs en groupoïdes (voir le lemme 0DLH, Champs algébriques, section 04SU, et Exemples de champs, section 0305). Soit \(B' \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{S}_{B'} \to \mathcal{S}_B\) le \(1\)-morphisme associé de champs fibrés en ensembles. Posons \(X' = X \times_B B'\). Nous obtenons un champ en groupoïdes \(\Complexesstack_{X'/B'} \to (\Sch/S)_{fppf}\) associé au changement de base \(f' : X' \to B'\). Dans cette situation, le diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ \Complexesstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B} \ar[d] \\ \mathcal{S}_{B'} \ar[r] & \mathcal{S}_B } } \quad \begin{matrix} \text{ou dans} \\ \text{une autre} \\ \text{notation} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ \Complexesstack_{X'/B'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B} \ar[d] \\ \Sch/B' \ar[r] & \Sch/B } }\] est un carré \(2\)-cartésien. Cette remarque triviale sera parfois utile pour changer l’espace algébrique de base.

Lemme

Dans la situation 0DLE, supposons que \(B \to S\) soit localement de présentation finie. Alors \(p : \Complexesstack_{X/B} \to (\Sch/S)_{fppf}\) commute aux limites (Axiomes d’Artin, définition 07XL).

Démonstration

Notons \(B(T)\) la catégorie discrète dont les objets sont les \(S\)-morphismes \(T \to B\). Soit \(T = \lim T_i\) une limite filtrante de schémas affines sur \(S\). En associant à un objet \((T, h, E)\) de \(\Complexesstack_{X/B, T}\) l’objet \(h\) de \(B(T)\), nous obtenons un diagramme commutatif de catégories fibres \[\xymatrix{ \colim \Complexesstack_{X/B, T_i} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B, T} \ar[d] \\ \colim B(T_i) \ar[r] & B(T) }\] Nous devons montrer que la flèche horizontale supérieure est une équivalence. Puisque nous avons supposé que \(B\) est localement de présentation finie sur \(S\), il résulte de Limites d’espaces, remarque 05N0, que la flèche horizontale inférieure est une équivalence. Cela signifie que nous pouvons supposer que \(T = \lim T_i\) est une limite filtrante de schémas affines sur \(B\). Notons \(g_i : T_i \to B\) et \(g : T \to B\) les morphismes correspondants. Posons \(X_i = T_i \times_{g_i, B} X\) et \(X_T = T \times_{g, B} X\). Observons que \(X_T = \colim X_i\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DKW, la catégorie des objets \(T\)-parfaits de \(D(\mathcal{O}_{X_T})\) est la limite inductive des catégories des objets \(T_i\)-parfaits de \(D(\mathcal{O}_{X_{T_i}})\). Il nous reste donc seulement à démontrer qu’étant donné un objet \(T_i\)-parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_{T_i}})\) tel que l’image inverse dérivée \(E\) de \(E_i\) sur \(X_T\) satisfasse à la condition (2) du lemme 0DLD, alors, quitte à augmenter \(i\), \(E_i\) satisfait à la condition (2) du lemme 0DLD. Soit \(W \subset |T_i|\) l’ouvert construit dans le lemme 0DLC pour \(E_i\) et \(E_i\). Par l’hypothèse sur \(E\), nous trouvons que \(T \to T_i\) se factorise par \(T\). Il existe donc un \(i' \geq i\) tel que \(T_{i'} \to T_i\) se factorise par \(W\), voir Limites, lemme 05F4 Alors \(i'\) convient par construction de \(W\).

Lemme

Dans la situation 0DLE. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y' }\] une somme amalgamée dans la catégorie des schémas sur \(S\), où \(Z \to Z'\) est un épaississement d’ordre fini et \(Z \to Y\) est affine, voir Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Alors le foncteur sur les catégories fibres \[\Complexesstack_{X/B, Y'} \longrightarrow \Complexesstack_{X/B, Y} \times_{\Complexesstack_{X/B, Z}} \Complexesstack_{X/B, Z'}\] est une équivalence.

Démonstration

Observons que l’application correspondante \[B(Y') \longrightarrow B(Y) \times_{B(Z)} B(Z')\] est une bijection, voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07SY. Ainsi, en utilisant le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Complexesstack_{X/B, Y'} \ar[r] \ar[d] & \Complexesstack_{X/B, Y} \times_{\Complexesstack_{X/B, Z}} \Complexesstack_{X/B, Z'} \ar[d] \\ B(Y') \ar[r] & B(Y) \times_{B(Z)} B(Z') }\] nous voyons que nous pouvons supposer que \(Y'\) est un schéma sur \(B'\). D’après la remarque 0DLI, nous pouvons remplacer \(B\) par \(Y'\) et \(X\) par \(X \times_B Y'\). Nous pouvons donc supposer \(B = Y'\).

Supposons \(B = Y'\). Nous prouvons d’abord la pleine fidélité de notre foncteur. Pour cela, soient \(\xi_1, \xi_2\) deux objets de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(Y'\). Nous devons alors montrer que \[\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Y') \longrightarrow \mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Y) \times_{\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Z)} \mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)(Z')\] est bijective. Or nous savons déjà que \(\mathit{Isom}(\xi_1, \xi_2)\) est un espace algébrique sur \(B = Y'\). Cette bijectivité résulte donc de Axiomes d’Artin, lemme 07WN (ou du lemme déjà mentionné de Sommes amalgamées d’espaces, 07SY).

Surjectivité essentielle. Soit \((E_Y, E_{Z'}, \alpha)\) un triplet, où \(E_Y \in D(\mathcal{O}_Y)\) et \(E_{Z'} \in D(\mathcal{O}_{X_{Z'}})\) sont des objets tels que \((Y, Y \to B, E_Y)\) soit un objet de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(Y\), que \((Z', Z' \to B, E_{Z'})\) soit un objet de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(Z'\), et que \(\alpha : L(X_Z \to X_Y)^*E_Y \to L(X_Z \to X_{Z'})^*E_{Z'}\) soit un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_{Z'})\). C’est-à-dire que \[((Y, Y \to B, E_Y), (Z', Z' \to B, E_{Z'}), \alpha)\] est un objet du but de la flèche de notre lemme. Observons que le diagramme \[\xymatrix{ X_Z \ar[r] \ar[d] & X_{Z'} \ar[d] \\ X_Y \ar[r] & X_{Y'} }\] est une somme amalgamée, avec \(X_Z \to X_Y\) affine et \(X_Z \to X_{Z'}\) un épaississement (voir Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07W3). Par conséquent, d’après Sommes amalgamées d’espaces, lemme 0DL7, nous trouvons un objet \(E_{Y'} \in D(\mathcal{O}_{X_{Y'}})\) ainsi que des isomorphismes \(L(X_Y \to X_{Y'})^*E_{Y'} \to E_Y\) et \(L(X_{Z'} \to X_{Y'})^*E_{Y'} \to E_Z\) compatibles à \(\alpha\). Il est clair que, si nous montrons que \(E_{Y'}\) est \(Y'\)-parfait, alors nous aurons terminé, car la propriété (2) du lemme 0DLD est une propriété portant sur les points (et \(Y\) et \(Y'\) ont les mêmes points). Cela résulte de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DL4.

Lemme

Dans la situation 0DLE, supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien et que \(B \to S\) soit localement de présentation finie. Soit \(k\) un corps de type fini sur \(S\) et soit \(x_0 = (\Spec(k), g_0, E_0)\) un objet de \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(k\). Alors les espaces \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\) et \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\) (Axiomes d’Artin, section 07WY) sont de dimension finie.

Démonstration

Observons que, d’après le lemme 0DLK, notre champ en groupoïdes \(\mathcal{X}\) satisfait à la propriété (RS*) définie dans Axiomes d’Artin, section 0CXN. En particulier, \(\mathcal{X}\) satisfait à (RS). Par conséquent, toutes les catégories de prédéformations associées sont des catégories de déformations (Axiomes d’Artin, lemme 07WU), et l’énoncé a un sens.

Dans ce paragraphe, nous montrons que nous pouvons nous ramener au cas \(B = \Spec(k)\). Posons \(X_0 = \Spec(k) \times_{g_0, B} X\) et notons \(\mathcal{X}_0 = \Complexesstack_{X_0/k}\). Dans la remarque 0DLI, nous avons vu que \(\mathcal{X}_0\) est le \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{X}\) et \(\Spec(k)\) sur \(B\) comme catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Ainsi, d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X2, nous nous ramenons à démontrer que \(B\), \(\Spec(k)\) et \(\mathcal{X}_0\) ont des espaces tangents et des espaces d’automorphismes infinitésimaux de dimension finie. Les espaces tangents de \(B\) et de \(\Spec(k)\) sont de dimension finie d’après Axiomes d’Artin, lemme 07X1, et leurs \(\text{Inf}\) sont bien sûr nuls. Il suffit donc de traiter \(\mathcal{X}_0\).

Soit \(k[\epsilon]\) l’algèbre des nombres duaux sur \(k\). Soit \(\Spec(k[\epsilon]) \to B\) la composée de \(g_0 : \Spec(k) \to B\) et du morphisme \(\Spec(k[\epsilon]) \to \Spec(k)\) provenant de l’inclusion \(k \to k[\epsilon]\). Posons \(X_0 = \Spec(k) \times_B X\) et \(X_\epsilon = \Spec(k[\epsilon]) \times_B X\). Observons que \(X_\epsilon\) est un épaississement du premier ordre de \(X_0\), plat sur l’épaississement du premier ordre \(\Spec(k) \to \Spec(k[\epsilon])\). Observons que \(X_0\) et \(X_\epsilon\) donnent lieu à des petits topos étales canoniquement équivalents, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, section 05ZJ. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DL4, \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0}\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme de relèvements de \(E_0\) à \(X_\epsilon\) au sens de Théorie des déformations, lemme 0DIZ. Nous concluons que \[T\mathcal{F}_{\mathcal{X}_0, k, x_0} = \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_0}}(E_0, E_0)\] Nous avons utilisé ici l’identification \(\epsilon k[\epsilon] \cong k\) de \(k[\epsilon]\)-modules. En utilisant encore une fois Théorie des déformations, lemme 0DIZ, nous voyons qu’il existe une surjection \[\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}) \leftarrow \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_0}}(E_0, E_0)\] d’espaces vectoriels sur \(k\). Comme \(E_0\) est pseudo-cohérent, il appartient à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X_0})\) d’après Catégories dérivées d’espaces, lemme 08IK. Puisque \(E_0\) est localement de dimension de Tor finie et que \(X_0\) est quasi-compact, nous avons \(E_0 \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_{X_0})\). Les \(\Ext\) ci-dessus sont donc des espaces vectoriels de dimension finie sur \(k\) d’après Catégories dérivées d’espaces, lemme 0D0T.

Lemme

Dans la situation 0DLE, supposons que \(B = S\) soit localement noethérien. Alors l’effectivité formelle forte au sens de Axiomes d’Artin, remarque 0CXT, vaut pour \(p : \Complexesstack_{X/S} \to (\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Soit \((R_n)\) un système projectif de \(S\)-algèbres à applications de transition surjectives dont les noyaux sont localement nilpotents. Posons \(R = \lim R_n\). Soit \((\xi_n)\) un système d’objets de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus des \((\Spec(R_n))\). Nous devons montrer que \((\xi_n)\) est effectif, c’est-à-dire qu’il existe un objet \(\xi\) de \(\Complexesstack_{X/B}\) au-dessus de \(\Spec(R)\).

Écrivons \(X_R = \Spec(R) \times_S X\) et \(X_n = \Spec(R_n) \times_S X\). Bien entendu, \(X_n\) est le changement de base de \(X_R\) par \(R \to R_n\). Puisque \(S = B\), nous voyons que \(\xi_n\) correspond simplement à un objet \(R_n\)-parfait \(E_n \in D(\mathcal{O}_{X_n})\) satisfaisant à la condition (2) du lemme 0DLD. En particulier, \(E_n\) est pseudo-cohérent. Les isomorphismes \(\xi_{n + 1}|_{\Spec(R_n)} \cong \xi_n\) correspondent à des isomorphismes \(L(X_n \to X_{n + 1})^*E_{n + 1} \to E_n\). Par conséquent, d’après Platitude sur les espaces, théorème 0DIQ, nous trouvons un objet pseudo-cohérent \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{X_R})\) dont \(E_n\) est l’image inverse dérivée de \(E\) pour tout \(n\), compatiblement aux isomorphismes de transition.

Observons que \((R, \Ker(R \to R_1))\) est une paire hensélienne, voir Compléments d’algèbre, lemme 0CT7. En particulier, \(\Ker(R \to R_1)\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\). Nous pouvons alors appliquer Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DL5, pour voir que \(E\) est \(R\)-parfait.

Enfin, nous devons vérifier la condition (2) du lemme 0DLD. D’après le lemme 0DLC, l’ensemble des points \(t\) de \(\Spec(R)\) où les auto-Ext négatifs de \(E_t\) s’annulent est un ouvert. Comme cette condition est vraie dans \(V(\Ker(R \to R_1))\) et que \(\Ker(R \to R_1)\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(R\), nous concluons qu’elle vaut en tout point.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit propre, plat et de présentation finie. Alors \(\Complexesstack_{X/B}\) est un champ algébrique sur \(S\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{X} = \Complexesstack_{X/B}\). Nous avons vu que \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques (lemmes 0DLH et 0DLG). Il suffit donc de trouver un schéma \(W\) et un morphisme surjectif et lisse \(W \to \mathcal{X}\).

Soit \(B'\) un schéma et soit \(B' \to B\) un morphisme surjectif étale. Posons \(X' = B' \times_B X\) et notons \(f' : X' \to B'\) la projection. Alors \(\mathcal{X}' = \Complexesstack_{X'/B'}\) est égal au \(2\)-produit fibré de \(\mathcal{X}\) et de la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B'\) sur la catégorie fibrée en ensembles associée à \(B\) (remarque 0DLI). D’après le contenu de Champs algébriques, section 03YJ, le morphisme \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est surjectif et étale. Il suffit donc de prouver le résultat pour \(\mathcal{X}'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(B\) est un schéma.

Supposons que \(B\) soit un schéma. Dans ce cas, nous pouvons remplacer \(S\) par \(B\), voir Champs algébriques, section 04X4. Nous pouvons donc supposer \(S = B\).

Supposons \(S = B\). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup U_i\). Notons \(\mathcal{X}_i\) la restriction de \(\mathcal{X}\) à \((\Sch/U_i)_{fppf}\). Si nous pouvons trouver des schémas \(W_i\) sur \(U_i\) et des morphismes lisses surjectifs \(W_i \to \mathcal{X}_i\), alors nous posons \(W = \coprod W_i\) et obtenons un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). Nous pouvons donc supposer que \(S = B\) est affine.

Supposons \(S = B\) affine, disons \(S = \Spec(\Lambda)\). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme une limite inductive filtrante où chaque \(\Lambda_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour un certain \(i\), nous pouvons trouver un morphisme d’espaces algébriques \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\) propre, plat et de présentation finie, dont le changement de base à \(\Lambda\) est \(X\). Voir Limites d’espaces, lemmes 07SK, 08K0 et 08K1. Si nous montrons que \(\Complexesstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)}\) est un champ algébrique, alors il résulte du changement de base (remarque 0DLI et Champs algébriques, section 04X4) que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Nous pouvons donc supposer que \(\Lambda\) est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini.

Supposons que \(S = B = \Spec(\Lambda)\) soit affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Dans ce cas, nous allons vérifier les conditions (1), (2), (3), (4) et (5) de Axiomes d’Artin, lemme 07Y4, pour conclure que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Notons que \(\Lambda\) est un G-anneau, voir Compléments d’algèbre, proposition 07PX. Ainsi, tous les anneaux locaux de \(S\) sont des G-anneaux. Donc (5) vaut. Pour vérifier (2), nous devons vérifier les axiomes [-1], [0], [1], [2] et [3] de Axiomes d’Artin, section 07XJ. Nous omettons la vérification de [-1], et les axiomes [0], [1], [2], [3] correspondent respectivement aux lemmes 0DLH, 0DLJ, 0DLK, 0DLL. La condition (3) résulte du lemme 0DLM. La condition (1) est le lemme 0DLG.

Il reste à montrer la condition (4), qui est l’ouverture de la versalité. Pour cela, nous allons utiliser Axiomes d’Artin, lemme 0CXU. Nous avons déjà vu que la diagonale de \(\mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, qu’il satisfait à (RS*) et qu’il commute aux limites (voir les lemmes utilisés ci-dessus). Il nous suffit donc de voir que \(\mathcal{X}\) satisfait à l’effectivité formelle forte formulée dans Axiomes d’Artin, lemme 0CXU. Cela résulte du lemme 0DLM, et la démonstration est achevée.