Théorie des ensembles

Introduction

Nous avons besoin de quelques notions de théorie des ensembles de temps à autre. Nous utilisons la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel avec l’axiome du choix (ZFC), telle qu’elle est décrite dans [Kunen] et [Jech].

Tout est un ensemble

La plupart des mathématiciens considèrent que la théorie des ensembles fournit les fondements de base des mathématiques. Mais comment cela fonctionne-t-il réellement ? Par exemple, comment traduit-on la phrase « \(X\) est un schéma » en théorie des ensembles ? Il suffit de dérouler les définitions : un schéma est un espace localement annelé tel que tout point possède un voisinage ouvert qui est un schéma affine. Un espace localement annelé est un espace annelé en anneaux locaux. Un espace annelé est une paire \((X, \mathcal{O}_X)\) constituée d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) sur celui-ci. Un espace topologique est une paire \((X, \tau)\) constituée d’un ensemble \(X\) et d’un ensemble de sous-ensembles \(\tau \subset \mathcal{P}(X)\) satisfaisant les axiomes d’une topologie. Et ainsi de suite.

Ainsi, étant donné un ensemble \(S\), comment reconnaîtrions-nous s’il s’agit d’un schéma ? La première chose que nous cherchons à déterminer est si l’ensemble \(S\) est une paire ordonnée. Cela signifie par définition (voir [Jech], page 7) que \(S\) est de la forme \((a, b) := \{\{a\}, \{a, b\}\}\) pour certains ensembles \(a, b\). Si c’est le cas, nous examinerions alors si \(a\) est une paire ordonnée \((c, d)\). Si oui, nous vérifierions si \(d \subset \mathcal{P}(c)\), puis, dans l’affirmative, si \(d\) constitue la collection d’ensembles d’une topologie sur l’ensemble \(c\). Et ainsi de suite.

Ainsi, même si la rédaction d’une formule complète \(\phi_{scheme}(x)\) à une variable libre \(x\) en théorie des ensembles, exprimant la notion « \(x\) est un schéma », demanderait un travail considérable, elle est possible. Il devrait en être de même pour tout objet mathématique.

Classes

Nous utilisons informellement la notion de classe.

Étant donnée une formule \(\phi(x, p_1, \ldots, p_n)\), nous appelons \[C = \{x : \phi(x, p_1, \ldots, p_n)\}\] une classe. Une classe est plus facile à manipuler que la formule qui la définit, mais ce n’est pas, à proprement parler, un objet mathématique. Par exemple, si \(R\) est un anneau, nous pouvons considérer la classe de tous les \(R\)-modules (puisque, après tout, nous pouvons traduire la phrase « \(M\) est un \(R\)-module » en une formule de théorie des ensembles, laquelle définit alors une classe). Une classe propre est une classe qui n’est pas un ensemble.

Nous pouvons ainsi considérer la catégorie des \(R\)-modules, qui est une « grande » catégorie—autrement dit, elle possède une classe propre d’objets. De même, nous pouvons considérer la « grande » catégorie des schémas, la « grande » catégorie des anneaux, etc.

Ordinaux

Un ensemble \(T\) est transitif si \(x\in T\) implique \(x\subset T\). Un ensemble \(\alpha\) est un ordinal s’il est transitif et bien ordonné par \(\in\). Dans ce cas, nous définissons \(\alpha + 1 = \alpha \cup \{\alpha\}\), qui est un autre ordinal appelé le successeur de \(\alpha\). Un ordinal \(\alpha\) est appelé un ordinal successeur s’il existe un ordinal \(\beta\) tel que \(\alpha = \beta + 1\). Le plus petit ordinal est \(\emptyset\), également noté \(0\). Si \(\alpha\) n’est ni \(0\) ni un ordinal successeur, alors \(\alpha\) est appelé un ordinal limite et nous avons \[\alpha = \bigcup\nolimits_{\gamma \in \alpha} \gamma.\] Le premier ordinal limite est \(\omega\) ; c’est aussi le premier ordinal infini. Le premier ordinal non dénombrable \(\omega_1\) est l’ensemble de tous les ordinaux dénombrables. La collection de tous les ordinaux est une classe propre. Elle est bien ordonnée par \(\in\) au sens suivant : tout ensemble non vide (et même toute classe non vide) d’ordinaux possède un plus petit élément. Étant donné un ensemble \(A\) d’ordinaux, nous définissons la borne supérieure de \(A\) par \(\sup_{\alpha \in A} \alpha = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha\). C’est le plus petit ordinal supérieur ou égal à tout \(\alpha \in A\). Étant donné un ensemble bien ordonné \((S, <)\), il existe un unique ordinal \(\alpha\) tel que \((S, <) \cong (\alpha, \in)\) ; on l’appelle le type d’ordre de l’ensemble bien ordonné.

La hiérarchie des ensembles

Nous définissons par récurrence transfinie \(V_0 = \emptyset\), \(V_{\alpha + 1} = P(V_\alpha)\) (ensemble des parties), et, pour un ordinal limite \(\alpha\), \[V_\alpha = \bigcup\nolimits_{\beta < \alpha} V_\beta.\] Remarquons que chaque \(V_\alpha\) est un ensemble transitif.

Lemme

Tout ensemble est un élément de \(V_\alpha\) pour un certain ordinal \(\alpha\).

Démonstration

Voir [Jech, lemme 6.3].

Dans [Kunen, chapitre III], il est expliqué que ce lemme équivaut à l’axiome de fondation. Le rang d’un ensemble \(S\) est le plus petit ordinal \(\alpha\) tel que \(S \in V_{\alpha + 1}\). Par univers partiel, nous entendrons un ensemble suffisamment grand de la forme \(V_\alpha\), lequel sera clair d’après le contexte.

Cardinalité

La cardinalité d’un ensemble \(A\) est le plus petit ordinal \(\alpha\) tel qu’il existe une bijection entre \(A\) et \(\alpha\). Nous utilisons parfois la notation \(\alpha = |A|\) pour l’indiquer. Nous disons qu’un ordinal \(\alpha\) est un cardinal si et seulement s’il apparaît comme cardinalité d’un certain ensemble \(A\)—autrement dit, si \(\alpha = |A|\). Nous utilisons les lettres grecques \(\kappa\), \(\lambda\) pour les cardinaux. Le premier cardinal infini est \(\omega\) et, dans ce contexte, il est noté \(\aleph_0\). Un ensemble est dénombrable si sa cardinalité est \(\leq \aleph_0\). Si \(\alpha\) est un ordinal, nous notons \(\alpha^+\) le plus petit cardinal \(> \alpha\). On peut l’utiliser pour définir \(\aleph_1 = \aleph_0^+\), \(\aleph_2 = \aleph_1^+\), etc., et l’on peut en fait définir \(\aleph_\alpha\) pour tout ordinal \(\alpha\) par récurrence transfinie. Nous relevons l’égalité \(\aleph_1 = \omega_1\).

L’addition des cardinaux \(\kappa, \lambda\) est notée \(\kappa \oplus \lambda\) ; c’est la cardinalité de \(\kappa \amalg \lambda\). La multiplication des cardinaux \(\kappa, \lambda\) est notée \(\kappa \otimes \lambda\) ; c’est la cardinalité de \(\kappa \times \lambda\). Si \(\kappa\) et \(\lambda\) sont des cardinaux infinis, alors \(\kappa \oplus \lambda = \kappa \otimes \lambda = \max(\kappa, \lambda)\). L’exponentiation des cardinaux \(\kappa, \lambda\) est notée \(\kappa^\lambda\) ; c’est la cardinalité de l’ensemble des applications (ensemblistes) de \(\lambda\) vers \(\kappa\). Étant donné un ensemble \(K\) de cardinaux, la borne supérieure de \(K\) est \(\sup_{\kappa \in K} \kappa = \bigcup_{\kappa \in K} \kappa\), qui est également un cardinal.

Cofinalité

Un sous-ensemble cofinal \(S\) d’un ensemble bien ordonné \(T\) est un sous-ensemble \(S \subset T\) tel que \(\forall t \in T \exists s\in S (t \leq s)\). Remarquons qu’un sous-ensemble d’un ensemble bien ordonné est lui-même bien ordonné (pour l’ordre induit). Étant donné un ordinal \(\alpha\), la cofinalité \(\text{cf}(\alpha)\) de \(\alpha\) est le plus petit ordinal \(\beta\) qui apparaît comme type d’ordre d’un sous-ensemble cofinal de \(\alpha\). La cofinalité d’un ordinal est toujours un cardinal. Nous pouvons donc aussi définir la cofinalité de \(\alpha\) comme la plus petite cardinalité d’un sous-ensemble cofinal de \(\alpha\).

Lemme

Supposons que \(T = \colim_{\alpha < \beta} T_\alpha\) soit une colimite d’ensembles indexée par les ordinaux strictement inférieurs à un ordinal donné \(\beta\). Supposons que \(\varphi : S \to T\) soit une application d’ensembles. Alors \(\varphi\) se relève en une application à valeurs dans \(T_\alpha\) pour un certain \(\alpha < \beta\), pourvu que \(\beta\) ne soit pas la limite d’une famille d’ordinaux indexée par \(S\), autrement dit si \(\beta\) est un ordinal tel que \(\text{cf}(\beta) > |S|\).

Démonstration

Pour chaque élément \(s \in S\), choisissons un \(\alpha_s < \beta\) et un élément \(t_s \in T_{\alpha_s}\) qui s’envoie sur \(\varphi(s)\) dans \(T\). Par hypothèse, \(\alpha = \sup_{s \in S} \alpha_s\) est strictement inférieur à \(\beta\). L’application \(\varphi_\alpha : S \to T_\alpha\) qui associe à \(s\) l’image de \(t_s\) dans \(T_\alpha\) est donc une solution.

Le résultat suivant est essentiellement l’argument de Grothendieck établissant l’existence d’ordinaux de cofinalité arbitrairement grande, argument qu’il a utilisé pour démontrer l’existence d’assez d’injectifs dans certaines catégories abéliennes ; voir [Tohoku].

Proposition

Soit \(\kappa\) un cardinal. Il existe alors un ordinal dont la cofinalité est strictement supérieure à \(\kappa\).

Démonstration

Si \(\kappa\) est fini, alors \(\omega = \text{cf}(\omega)\) convient. Supposons donc \(\kappa\) infini. Considérons le plus petit ordinal \(\alpha\) dont la cardinalité est strictement supérieure à \(\kappa\). Nous affirmons que \(\text{cf}(\alpha) > \kappa\). Remarquons que \(\alpha\) est un ordinal limite, car si \(\alpha = \beta + 1\), alors \(|\alpha| = |\beta|\) (puisque \(\alpha\) et \(\beta\) sont infinis), ce qui contredit la minimalité de \(\alpha\). (Bien sûr, \(\alpha\) est aussi un cardinal, mais nous n’en avons pas besoin.) Pour obtenir une contradiction, supposons que \(S \subset \alpha\) soit un sous-ensemble cofinal tel que \(|S| \leq \kappa\). Pour \(\beta \in S\), c’est-à-dire \(\beta < \alpha\), nous avons \(|\beta| \leq \kappa\) par minimalité de \(\alpha\). Comme \(\alpha\) est un ordinal limite et \(S\) est cofinal dans \(\alpha\), nous obtenons \(\alpha = \bigcup_{\beta \in S} \beta\). Par conséquent, \(|\alpha| \leq |S| \otimes \kappa \leq \kappa \otimes \kappa \leq \kappa\), ce qui contredit notre choix de \(\alpha\).

Principe de réflexion

Une partie de ce contenu se trouve dans le chapitre de [Kunen] intitulé « Easy consistency proofs ».

Soit \(\phi(x_1, \ldots, x_n)\) une formule de théorie des ensembles. Adoptons la convention selon laquelle cette notation implique que toutes les variables libres de \(\phi\) figurent parmi \(x_1, \ldots, x_n\). Soit \(M\) un ensemble. La formule \(\phi^M(x_1, \ldots, x_n)\) est celle que l’on obtient à partir de \(\phi(x_1, \ldots, x_n)\) en remplaçant respectivement tous les \(\forall x\) et \(\exists x\) par \(\forall x\in M\) et \(\exists x\in M\). Ainsi, la formule \(\phi(x_1, x_2) = \exists x (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\) devient \(\phi^M(x_1, x_2) = \exists x \in M (x\in x_1 \wedge x\in x_2)\). La formule \(\phi^M\) est appelée la relativisation de \(\phi\) à \(M\).

Théorème

Considérons une famille finie de formules de théorie des ensembles, notées \(\phi_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, \phi_m(x_1, \ldots, x_n)\). Soit \(M_0\) un ensemble. Il existe un ensemble \(M\) tel que \(M_0 \subset M\) et que l’on ait, \(\forall x_1, \ldots, x_n \in M\), \[\forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i^{M}(x_1, \ldots, x_n) \Leftrightarrow \forall i = 1, \ldots, m, \ \phi_i(x_1, \ldots, x_n).\] En fait, nous pouvons prendre \(M = V_\alpha\) pour un certain ordinal limite \(\alpha\).

Démonstration

Voir [Jech, théorème 12.14] ou [Kunen, théorème 7.4].

Nous interprétons ce théorème comme suit : étant donnés \(x_1, \ldots, x_n \in M\), les formules sont vraies lorsque les variables liées parcourent tous les ensembles si et seulement si elles sont vraies lorsque les variables liées parcourent les éléments de \(V_\alpha\). Ce théorème est un métathéorème, car il porte directement sur les formules de la théorie des ensembles. Il affirme en réalité qu’étant donnée la liste finie de formules \(\phi_1, \ldots, \phi_m\), dont toutes les variables libres figurent parmi \(x_1, \ldots, x_n\), la phrase \[\begin{matrix} \forall M_0\ \exists M, \ M_0 \subset M\ \forall x_1, \ldots, x_n \in M \\ \phi_1(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m(x_1, \ldots, x_n) \leftrightarrow \phi_1^M(x_1, \ldots, x_n) \wedge \ldots \wedge \phi_m^M(x_1, \ldots, x_n) \end{matrix}\] est démontrable dans ZFC. Autrement dit, chaque fois que nous écrivons effectivement une liste finie de formules \(\phi_i\), nous obtenons un théorème.

Il est assez difficile d’utiliser ce théorème dans les « mathématiques ordinaires », car le sens des formules \(\phi_i^M(x_1, \ldots, x_n)\) n’est pas très clair ! Nous utiliserons plutôt l’idée de la démonstration du principe de réflexion pour établir directement les résultats d’existence dont nous avons besoin.

Construction de catégories de schémas

Nous allons expliquer comment appliquer ceci pour produire, à partir d’un ensemble initial de schémas, une « petite » catégorie de schémas stable par une liste d’opérations naturelles. Avant cela, introduisons la taille d’un schéma. Étant donné un schéma \(S\), nous définissons \[\text{size}(S) = \max(\aleph_0, \kappa_1, \kappa_2),\] où nous définissons les nombres cardinaux \(\kappa_1\) et \(\kappa_2\) comme suit :

1. Nous prenons pour \(\kappa_1\) la cardinalité de l’ensemble des ouverts affines de \(S\).

2. Pour \(\kappa_2\), nous prenons la borne supérieure des cardinalités des \(\Gamma(U, \mathcal{O}_S)\), lorsque \(U \subset S\) est un ouvert affine.

Lemme

Pour tout cardinal \(\kappa\), il existe un ensemble \(A\) tel que chaque élément de \(A\) soit un schéma et que, pour tout schéma \(S\) vérifiant \(\text{size}(S) \leq \kappa\), il existe un élément \(X \in A\) tel que \(X \cong S\) (isomorphisme de schémas).

Démonstration

La démonstration est omise. Indication : réfléchir à la manière dont tout schéma est isomorphe à un schéma obtenu par recollement de schémas affines.

Nous notons \(Bound\) la fonction qui associe à chaque cardinal \(\kappa\) [046U]\[\begin{equation} Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}. \end{equation}\] Nous pourrions faire croître cette fonction beaucoup plus rapidement ; par exemple, nous pourrions poser \(Bound(\kappa) = \kappa^\kappa\), et le résultat ci-dessous resterait vrai. Pour tout ordinal \(\alpha\), nous notons \(\Sch_\alpha\) la sous-catégorie pleine de la catégorie des schémas dont les objets sont des éléments de \(V_\alpha\). Voici le résultat que nous allons démontrer.

Lemme

Avec les notations \(\text{size}\), \(Bound\) et \(\Sch_\alpha\) ci-dessus, soit \(S_0\) un ensemble de schémas. Il existe un ordinal limite \(\alpha\) possédant les propriétés suivantes :

1. Nous avons \(S_0 \subset V_\alpha\) ; autrement dit, \(S_0 \subset \Ob(\Sch_\alpha)\).

2. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et tout schéma \(T\) tel que \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\), il existe un schéma \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(T \cong S'\).

3. Pour toute catégorie d’indices dénombrable¹ \(\mathcal{I}\) et tout foncteur \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\), la limite \(\lim_\mathcal{I} F\) existe dans \(\Sch_\alpha\) si et seulement si elle existe dans \(\Sch\) et, de plus, dans ce cas, le morphisme naturel entre elles est un isomorphisme.

4. Pour toute catégorie d’indices dénombrable \(\mathcal{I}\) et tout foncteur \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\), la colimite \(\colim_\mathcal{I} F\) existe dans \(\Sch_\alpha\) si et seulement si elle existe dans \(\Sch\) et, de plus, dans ce cas, le morphisme naturel entre elles est un isomorphisme.

Démonstration

Nous définissons, par récurrence transfinie, une fonction \(f\) qui associe un ordinal à chaque ordinal comme suit. Posons \(f(0) = 0\). Étant donné \(f(\alpha)\), nous définissons \(f(\alpha + 1)\) comme le plus petit ordinal \(\beta\) pour lequel les conditions suivantes sont satisfaites :

1. Nous avons \(\alpha + 1 \leq \beta\) et \(f(\alpha) \leq \beta\).

2. Soient \(S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})\) et \(T\) un schéma tel que \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\). Il existe alors un schéma \(S' \in \Ob(\Sch_\beta)\) tel que \(T \cong S'\).

3. Pour toute catégorie d’indices dénombrable \(\mathcal{I}\) et tout foncteur \(F : \mathcal{I} \to \Sch_{f(\alpha)}\), si la limite \(\lim_\mathcal{I} F\) ou la colimite \(\colim_\mathcal{I} F\) existe dans \(\Sch\), alors elle est isomorphe à un schéma de \(\Sch_\beta\).

Pour voir que \(\beta\) existe, raisonnons comme suit. Puisque \(\Ob(\Sch_{f(\alpha)})\) est un ensemble, nous voyons que \(\kappa = \sup_{S \in \Ob(\Sch_{f(\alpha)})} Bound(\text{size}(S))\) existe et est un cardinal. Soit \(A\) un ensemble de schémas obtenu à partir de \(\kappa\) comme dans le lemme 000I. Il existe un ensemble \(CountCat\) de catégories dénombrables tel que toute catégorie dénombrable soit isomorphe à un élément de \(CountCat\). Nous pouvons donc supposer, au point (3) ci-dessus, que \(\mathcal{I}\) est un élément de \(CountCat\). Cela signifie que les paires \((\mathcal{I}, F)\) du point (3) parcourent un ensemble. Il existe donc un ensemble \(B\) dont les éléments sont des schémas tel que, pour toute paire \((\mathcal{I}, F)\) comme au point (3), si la limite ou la colimite existe, elle soit isomorphe à un élément de \(B\). Par conséquent, si nous choisissons un \(\beta\) quelconque tel que \(A \cup B \subset V_\beta\) et \(\beta > \max\{\alpha + 1, f(\alpha)\}\), alors (1)–(3) sont satisfaites. Comme toute collection non vide d’ordinaux possède un plus petit élément, nous voyons que \(f(\alpha + 1)\) est bien définie. Enfin, si \(\alpha\) est un ordinal limite, nous posons \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\).

Choisissons \(\beta_0\) tel que \(S_0 \subset V_{\beta_0}\). Par construction, \(f(\beta) \geq \beta\), et nous voyons que \(S_0 \subset V_{f(\beta_0)}\) également. De plus, comme \(f\) est croissante au sens large, nous voyons que \(S_0 \subset V_{f(\beta)}\) est vrai pour tout \(\beta \geq \beta_0\). Choisissons ensuite un ordinal quelconque \(\beta_1 > \beta_0\) de cofinalité \(\text{cf}(\beta_1) > \omega = \aleph_0\). C’est possible, car la cofinalité des ordinaux devient arbitrairement grande ; voir la proposition 05N3. Nous affirmons que \(\alpha = f(\beta_1)\) est une solution au problème posé dans le lemme.

La première propriété du lemme découle de notre choix de \(\beta_1 > \beta_0\) ci-dessus.

Puisque \(\beta_1\) est un ordinal limite (sa cofinalité étant infinie), nous obtenons \(f(\beta_1) = \sup_{\beta < \beta_1} f(\beta)\). Ainsi, \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_1\} \subset f(\beta_1)\) est un sous-ensemble cofinal. Nous voyons donc que \[V_\alpha = V_{f(\beta_1)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_1} V_{f(\beta)}.\] Soit maintenant \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\). Nous définissons \(\beta(S)\) comme le plus petit ordinal \(\beta\) tel que \(S \in \Ob(\Sch_{f(\beta)})\). D’après ce qui précède, nous voyons que \(\beta(S) < \beta_1\) toujours. Puisque \(\Ob(\Sch_{f(\beta + 1)}) \subset \Ob(\Sch_\alpha)\), la construction de \(f\) ci-dessus montre que la deuxième propriété du lemme est satisfaite.

Supposons que \(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_\alpha)\) soit une collection dénombrable. Considérons la fonction \(\omega \to \beta_1\), \(n \mapsto \beta(S_n)\). Comme la cofinalité de \(\beta_1\) est \(> \omega\), l’image de cette fonction ne peut pas être un sous-ensemble cofinal. Il existe donc un \(\beta < \beta_1\) tel que \(\{S_1, S_2, \ldots\} \subset \Ob(\Sch_{f(\beta)})\). Il s’ensuit que tout foncteur \(F : \mathcal{I} \to \Sch_\alpha\) se factorise par l’une des sous-catégories \(\Sch_{f(\beta)}\). Ainsi, s’il existe un schéma \(X\) qui est la colimite ou la limite du diagramme \(F\), la construction de \(f\) montre que \(X\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{f(\beta + 1)}\), qui est une sous-catégorie de \(\Sch_\alpha\). Cela démontre les deux dernières assertions du lemme.

Remarque

Le lemme ci-dessus peut également être démontré à l’aide du principe de réflexion. Il faut toutefois être prudent. Supposons en effet que la phrase \(\phi_{scheme}(X)\) exprime la propriété « \(X\) est un schéma » ; que signifie alors la formule \(\phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\) ? Il est vrai que le principe de réflexion affirme que nous pouvons trouver \(\alpha\) tel que, pour tout \(X \in V_\alpha\), nous ayons \(\phi_{scheme}(X) \leftrightarrow \phi_{scheme}^{V_\alpha}(X)\), mais cela ne sert absolument à rien. C’est seulement en combinant deux énoncés de ce type que quelque chose d’intéressant se produit. Supposons par exemple que \(\phi_{red}(X, Y)\) exprime la propriété « \(X\), \(Y\) sont des schémas et \(Y\) est la réduction de \(X\) » (voir Schémas, définition 01J4). Supposons que nous appliquions le principe de réflexion à la paire de formules \(\phi_1(X, Y) = \phi_{red}(X, Y)\), \(\phi_2(X) = \exists Y, \phi_1(X, Y)\). Il est alors facile de voir que tout \(\alpha\) produit par le principe de réflexion possède la propriété suivante : pour tout \(X \in \Ob(\Sch_\alpha)\), la réduction de \(X\) est également un objet de \(\Sch_\alpha\) (vérification laissée en exercice).

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine. Soit \(R = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). Alors la taille de \(S\) est égale à \(\max\{ \aleph_0, |R|\}\).

Démonstration

Il y a au plus \(\max\{|R|, \aleph_0\}\) ouverts affines de \(\Spec(R)\). Cela est clair, car tout ouvert affine \(U \subset \Spec(R)\) est une union finie d’ouverts principaux \(D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) ; le nombre d’ouverts affines est donc au plus \(\sup_n |R|^n = \max\{|R|, \aleph_0\}\), voir [Kunen, chap. I, 10.13]. D’autre part, nous voyons que \(\Gamma(U, \mathcal{O}) \subset R_{f_1} \times \ldots \times R_{f_n}\) et donc \(|\Gamma(U, \mathcal{O})| \leq \max\{\aleph_0, |R_{f_1}|, \ldots, |R_{f_n}|\}\). Il suffit donc de démontrer que \(|R_f| \leq \max\{\aleph_0, |R|\}\), ce que nous omettons.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(S = \bigcup_{i \in I} S_i\) un recouvrement ouvert. Alors \(\text{size}(S) \leq \max\{|I|, \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\}\).

Démonstration

Soit \(U \subset S\) un ouvert affine quelconque. Comme \(U\) est quasi-compact, il existe un nombre fini d’éléments \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des ouverts affines \(U_i \subset U \cap S_i\) tels que \(U = U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_n\). Ainsi \[|\Gamma(U, \mathcal{O}_U)| \leq |\Gamma(U_1, \mathcal{O})| \otimes \ldots \otimes |\Gamma(U_n, \mathcal{O})| \leq \sup\nolimits_i\{\text{size}(S_i)\}\] De plus, cela montre que la cardinalité de l’ensemble des ouverts affines de \(S\) est inférieure ou égale à celle de l’ensemble \[\coprod_{n \in \omega} \coprod_{i_1, \ldots, i_n \in I} \{\text{ouverts affines de }S_{i_1}\} \times \ldots \times \{\text{ouverts affines de }S_{i_n}\}.\] La cardinalité de chacun des ensembles figurant dans l’union disjointe est majorée par \(\sup_i\{\text{size}(S_i)\}\). Celle de l’ensemble d’indices est au plus égale à \(\max\{|I|, \aleph_0\}\), voir [Kunen, chap. I, 10.13]. Par conséquent, d’après [Jech, lemme 5.8], la cardinalité du coproduit est au plus \[\max\{\aleph_0, |I|\} \otimes \sup_i\{\text{size}(S_i)\}\] Le lemme en résulte.

Lemme

Soient \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Alors nous avons \(\text{size}(X \times_S Y) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\).

Démonstration

Soit \(S = \bigcup_{k \in K} S_k\) un recouvrement ouvert affine. Soient \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\), \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) des recouvrements ouverts affines, où \(I\), \(J\) ont des cardinalités \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\). Pour chaque \(i \in I\), il existe un ensemble fini \(K_i\) d’éléments \(k \in K\) tel que \(f(U_i) \subset \bigcup_{k \in K_i} S_k\). Pour chaque \(j \in J\), il existe un ensemble fini \(K_j\) d’éléments \(k \in K\) tel que \(g(V_j) \subset \bigcup_{k \in K_j} S_k\). Par conséquent, \(f(X), g(Y)\) sont contenus dans \(S' = \bigcup_{k \in K'} S_k\), où \(K' = \bigcup_{i \in I} K_i \cup \bigcup_{j \in J} K_j\). Remarquons que la cardinalité de \(K'\) est au plus \(\max\{\aleph_0, |I|, |J|\}\). En appliquant le lemme 000Q, nous voyons qu’il suffit de démontrer que \(\text{size}(f^{-1}(S_k) \times_{S_k} g^{-1}(S_k)) \leq \max\{\text{size}(X), \text{size}(Y)\}\) pour \(k \in K'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(S\) est affine.

Supposons \(S\) affine. Soient \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\), \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) des recouvrements ouverts affines, où \(I\), \(J\) ont des cardinalités \(\leq \text{size}(X), \text{size}(Y)\). De nouveau, d’après le lemme 000Q, il suffit de démontrer le lemme pour les produits \(U_i \times_S V_j\). D’après le lemme 000P, nous voyons qu’il suffit de montrer que \[|A \otimes_C B| \leq \max\{\aleph_0, |A|, |B|\}.\] Nous omettons la démonstration de cette inégalité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement de type fini, où \(X\) est quasi-compact. Alors \(\text{size}(X) \leq \text{size}(S)\).

Démonstration

Nous pouvons trouver un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots n} U_i\) tel que chaque \(U_i\) s’envoie dans un ouvert affine \(S_i\) de \(S\). Ainsi, d’après le lemme 000Q, nous nous ramenons au cas où \(S\) et \(X\) sont tous deux affines. Dans ce cas, le lemme 000P montre qu’il suffit de prouver \[|A[x_1, \ldots, x_n]| \leq \max\{\aleph_0, |A|\}.\] Nous omettons la démonstration de cette inégalité.

Dans Algèbre, lemme 04W0, nous montrerons que si \(A \to B\) est un épimorphisme d’anneaux, alors \(|B| \leq \max(|A|, \aleph_0)\). L’analogue pour les schémas est le lemme suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme de schémas. Si au moins l’une des propriétés suivantes est satisfaite, alors \(\text{size}(X) \leq \text{size}(Y)\) :

1. \(f\) est quasi-compact,

2. \(f\) est localement de présentation finie,

3. ajouter ici d’autres cas selon les besoins.

Mais cette borne n’est pas valable pour les monomorphismes localement de type fini.

Démonstration

Soit \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) un recouvrement ouvert affine de \(Y\) tel que \(|J| \leq \text{size}(Y)\). D’après le lemme 000Q, il suffit de borner la taille de l’image réciproque de \(V_j\) dans \(X\). Nous nous ramenons donc au cas où \(Y\) est affine, disons \(Y = \Spec(B)\). Pour tout ouvert affine \(\Spec(A) \subset X\), nous avons \(|A| \leq \max(|B|, \aleph_0) = \text{size}(Y)\) ; voir la remarque ci-dessus et le lemme 000P. Il suffit donc de montrer que \(X\) possède au plus \(\text{size}(Y)\) ouverts affines. Cela est clair si \(X\) est quasi-compact, d’où le cas (1). Dans le cas (2), le nombre de classes d’isomorphisme de \(B\)-algèbres \(A\) susceptibles d’apparaître est borné par \(\text{size}(B)\), car chaque \(A\) est de type fini sur \(B\), donc isomorphe à une algèbre \(B[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) pour certains \(n, m\) et \(f_j \in B[x_1, \ldots, x_n]\). Cependant, comme \(X \to Y\) est un monomorphisme, il existe au plus un morphisme \(\Spec(A) \to X\) au-dessus de \(Y = \Spec(B)\). Le nombre d’ouverts affines de \(X\) est donc borné par le nombre de ces classes d’isomorphisme.

Pour démontrer la dernière assertion du lemme, considérons l’anneau \(B = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\) et posons \(Y = \Spec(B)\). Pour chaque ultrafiltre \(\mathcal{U}\) sur \(\mathbf{N}\), nous obtenons un idéal maximal \(\mathfrak m_\mathcal{U}\) de corps résiduel \(\mathbf{F}_2\) ; l’application \(B \to \mathbf{F}_2\) envoie l’élément \((x_n)\) sur \(\lim_\mathcal{U} x_n\). Les détails sont omis. Le morphisme de schémas \(X = \coprod_\mathcal{U} \Spec(\mathbf{F}_2) \to Y\) est un monomorphisme, puisque tous les points sont distincts. Cependant, la cardinalité de l’ensemble des sous-schémas ouverts affines de \(X\) est égale à celle de l’ensemble des ultrafiltres sur \(\mathbf{N}\), qui vaut \(2^{2^{\aleph_0}}\). Nous concluons grâce à \(|B| = 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}}\).

Lemme

Soit \(\alpha\) un ordinal comme dans le lemme 000J ci-dessus. La catégorie \(\Sch_\alpha\) vérifie les propriétés suivantes :

1. Si \(X, Y, S \in \Ob(\Sch_\alpha)\), alors, pour tous morphismes \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\), le produit fibré \(X \times_S Y\) dans \(\Sch_\alpha\) existe et est un produit fibré dans la catégorie des schémas.

2. Étant donnée toute famille au plus dénombrable \(S_1, S_2, \ldots\) d’éléments de \(\Ob(\Sch_\alpha)\), le coproduit \(\coprod_i S_i\) existe dans \(\Ob(\Sch_\alpha)\) et est un coproduit dans la catégorie des schémas.

3. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et toute immersion ouverte \(U \to S\), il existe un \(V \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(V \cong U\).

4. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et toute immersion fermée \(T \to S\), il existe un \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(S' \cong T\).

5. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et tout morphisme de type fini \(T \to S\), il existe un \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(S' \cong T\).

6. Supposons que \(S\) soit un schéma possédant un recouvrement ouvert \(S = \bigcup_{i \in I} S_i\) tel qu’il existe un \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\) avec (a) \(\text{size}(S_i) \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\) pour tout \(i \in I\), et (b) \(|I| \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\). Alors \(S\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_\alpha\).

7. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et tout morphisme \(f : T \to S\) localement de type fini tel que \(T\) puisse être recouvert par au plus \(\text{size}(S)^{\aleph_0}\) ouverts affines, il existe un \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(S' \cong T\). Par exemple, cela vaut si \(T\) peut être recouvert par au plus \(|\mathbf{R}| = 2^{\aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0}\) ouverts affines.

8. Pour tout \(S \in \Ob(\Sch_\alpha)\) et tout monomorphisme \(T \to S\) qui est soit localement de présentation finie, soit quasi-compact, il existe un \(S' \in \Ob(\Sch_\alpha)\) tel que \(S' \cong T\).

9. Supposons que \(T \in \Ob(\Sch_\alpha)\) soit affine. Écrivons \(R = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\). Alors chacun des schémas suivants est isomorphe à un schéma de \(\Sch_\alpha\) :

   1. Pour tout idéal \(I \subset R\), si \(R^* = \lim_n R/I^n\) est le complété, le schéma \(\Spec(R^*)\).

   2. Pour toute \(R\)-algèbre de type fini \(R'\), le schéma \(\Spec(R')\).

   3. Pour toute localisation \(S^{-1}R\), le schéma \(\Spec(S^{-1}R)\).

   4. Pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), le schéma \(\Spec(\overline{\kappa(\mathfrak p)})\).

   5. Pour tout sous-anneau \(R' \subset R\), le schéma \(\Spec(R')\).

   6. Tout schéma de type fini sur un anneau de cardinalité au plus \(|R|^{\aleph_0}\).

   7. Et ainsi de suite.

Démonstration

Les assertions (1) et (2) découlent directement des définitions. L’assertion (3) découle du fait que la taille d’un sous-schéma ouvert \(U\) de \(S\) est clairement inférieure ou égale à celle de \(S\). L’assertion (4) découle de (5). L’assertion (5) découle de (7). L’assertion (6) découle du fait que la taille de \(S\) est \(\leq \max\{|I|, \sup_i \text{size}(S_i)\} \leq \text{size}(T)^{\aleph_0}\) d’après le lemme 000Q. L’assertion (7) découle de (6). En effet, pour tout ouvert affine \(V \subset T\), nous avons \(\text{size}(V) \leq \text{size}(S)\) d’après le lemme 04T7. Nous voyons donc que (6) s’applique dans la situation de (7). La partie (8) découle du lemme 04VA.

L’assertion (9) se traduit, via le lemme 000P, par une borne supérieure pour la cardinalité des anneaux \(R^*\), \(S^{-1}R\), \(\overline{\kappa(\mathfrak p)}\), \(R'\), etc. Le cas le plus intéressant est peut-être l’anneau \(R^*\). En tant qu’ensemble, il est l’image d’une application surjective \(R^{\mathbf{N}} \to R^*\). Puisque \(|R^{\mathbf{N}}| = |R|^{\aleph_0}\), la borne voulue résulte de ce que nous avons choisi \(Bound(\kappa)\) supérieur ou égal à \(\kappa^{\aleph_0}\). Ouf ! (La cardinalité de la clôture algébrique d’un corps est la même que celle du corps, ou bien elle vaut \(\aleph_0\).)

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Supposons que nous considérions l’anneau \(\prod_{\mathfrak p \in \Spec(R)} \kappa(\mathfrak p)\). La cardinalité de cet anneau est bornée par \(|R|^{2^{|R|}}\), mais n’est pas bornée par \(|R|^{\aleph_0}\) en général. Par exemple, si \(R = \mathbf{C}[x]\), elle n’est pas bornée par \(|R|^{\aleph_0}\), et si \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\), elle n’est pas bornée par \(|R|^{|R|}\). Ainsi, le « Et ainsi de suite » du lemme 000R ci-dessus doit être pris avec prudence. Bien entendu, s’il devient un jour nécessaire de considérer ces anneaux dans des arguments relatifs à la cohomologie fppf/étale, nous pourrons remplacer la fonction \(Bound\) ci-dessus par la fonction \(\kappa \mapsto \kappa^{2^\kappa}\).

Dans le lemme suivant, nous utilisons la notion de recouvrement fpqc introduite dans Topologies, section 022A.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons qu’il existe un recouvrement fpqc \(\{g_j : Y_j \to Y\}_{j \in J}\) tel que \(g_j\) se factorise par \(f\). Alors \(\text{size}(Y) \leq \text{size}(X)\).

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine. Par définition, il existe un entier \(n \geq 0\), une application \(a : \{1, \ldots, n\} \to J\) et des ouverts affines \(V_i \subset Y_{a(i)}\) tels que \(V = g_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup g_{a(n)}(V_n)\). Notons \(h_j : Y_j \to X\) un morphisme tel que \(f \circ h_j = g_j\). Alors \(h_{a(1)}(V_1) \cup \ldots \cup h_{a(n)}(V_n)\) est une partie quasi-compacte de \(f^{-1}(V)\). Nous pouvons donc trouver un ouvert quasi-compact \(W \subset f^{-1}(V)\) qui contient \(h_{a(i)}(V_i)\) pour \(i = 1, \ldots, n\). En particulier, \(V = f(W)\).

D’une part, cela montre que la cardinalité de l’ensemble des ouverts affines de \(Y\) est au plus celle de l’ensemble \(S\) des ouverts quasi-compacts de \(X\). Puisque tout ouvert quasi-compact de \(X\) est une réunion finie d’ouverts affines, nous voyons que la cardinalité de cet ensemble est au plus \(\sup |S|^n = \max(\aleph_0, |S|)\). D’autre part, nous avons \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \prod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{Y_{a(i)}}(V_i)\) car \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement fpqc. Par conséquent, \(\mathcal{O}_Y(V) \subset \mathcal{O}_X(W)\) puisque \(V_i \to V\) se factorise par \(W\). Comme \(W\) possède lui aussi un recouvrement fini par des ouverts affines de \(X\), nous concluons que \(|\mathcal{O}_Y(V)|\) est borné par la taille de \(X\). Le lemme découle maintenant de la définition de la taille d’un schéma.

Dans le lemme suivant, nous utilisons la notion de recouvrement fppf introduite dans Topologies, section 021L.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’un schéma. Il existe un recouvrement fppf \(\{W_j \to X\}_{j \in J}\) qui raffine \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) et tel que \(\text{size}(\coprod W_j) \leq \text{size}(X)\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup_{a \in A} U_a\) avec \(|A| \leq \text{size}(X)\). Pour chaque \(a\), nous pouvons choisir une partie finie \(I_a \subset I\) et, pour \(i \in I_a\), un ouvert quasi-compact \(W_{a, i} \subset X_i\) tels que \(U_a = \bigcup_{i \in I_a} f_i(W_{a, i})\). Alors \(\text{size}(W_{a, i}) \leq \text{size}(X)\) d’après le lemme 04T7. Nous concluons que \[\text{size}(\coprod_a \coprod_{i \in I_a} W_{i, a}) \leq \text{size}(X)\] d’après le lemme 000Q.

Ensembles munis d’une action de groupe

Soit \(G\) un groupe. Nous notons \(G\textit{-Ensembles}\) la « grande » catégorie des \(G\)-ensembles. Pour tout ordinal \(\alpha\), nous notons \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\) la sous-catégorie pleine de \(G\textit{-Ensembles}\) dont les objets appartiennent à \(V_\alpha\). Comme notion de taille d’un \(G\)-ensemble, nous prenons \(\text{size}(S) = \max\{\aleph_0, |G|, |S|\}\) (où \(|G|\) et \(|S|\) sont les cardinalités des ensembles sous-jacents). Comme ci-dessus, nous utilisons la fonction \(Bound(\kappa) = \kappa^{\aleph_0}\).

Lemme

Avec les notations \(G\), \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\), \(\text{size}\) et \(Bound\) ci-dessus, soit \(S_0\) un ensemble de \(G\)-ensembles. Il existe un ordinal limite \(\alpha\) ayant les propriétés suivantes :

1. Nous avons \(S_0 \cup \{{}_GG\} \subset \Ob(G\textit{-Ensembles}_\alpha)\).

2. Soit \(S \in \Ob(G\textit{-Ensembles}_\alpha)\).

   Pour tout \(G\)-ensemble \(T\) tel que \(\text{size}(T) \leq Bound(\text{size}(S))\), il existe un \(S' \in \Ob(G\textit{-Ensembles}_\alpha)\) qui est isomorphe à \(T\).

3. Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices dénombrable. Pour tout foncteur \(F : \mathcal{I} \to G\textit{-Ensembles}_\alpha\), la limite \(\lim_\mathcal{I} F\) et la colimite \(\colim_\mathcal{I} F\) existent dans \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\) et coïncident avec ceux calculés dans \(G\textit{-Ensembles}\).

Démonstration

Omis. La démonstration est analogue à celle du lemme 000J ci-dessus, mais plus facile.

Lemme

Soit \(\alpha\) un ordinal comme dans le lemme 000U ci-dessus. La catégorie \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\) vérifie les propriétés suivantes :

1. Le \(G\)-ensemble \({}_GG\) est un objet de \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\).

2. Les (co)produits, les produits fibrés et les sommes amalgamées existent dans \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\) et coïncident avec ceux calculés dans \(G\textit{-Ensembles}\).

3. Étant donné un objet \(U\) de \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\), toute partie \(G\)-stable \(O \subset U\) est isomorphe à un objet de \(G\textit{-Ensembles}_\alpha\).

Démonstration

Omis.

Recouvrements d’un site

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie (comme dans Catégories, définition 0014) et que \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) soit une classe propre de recouvrements satisfaisant les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Nous les rappelons ici :

1. Si \(V \to U\) est un isomorphisme, alors \(\{V \to U\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

2. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et si, pour chaque \(i\), nous avons \(\{V_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), alors \(\{V_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

3. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et si \(V \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(U_i \times_U V\) existe pour tout \(i\) et \(\{U_i \times_U V \to V \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\).

Pour un ordinal \(\alpha\), nous posons \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha = \text{Cov}(\mathcal{C}) \cap V_\alpha\). Étant donnés un ordinal \(\alpha\) et un cardinal \(\kappa\), nous définissons \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) comme l’ensemble des éléments \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\) tels que \(|I| \leq \kappa\).

Rappelons la notion suivante ; voir Sites, définition 00VU. Deux familles de morphismes, \(\{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\{\psi_j : W_j \to U\}_{j\in J}\), ayant la même cible dans \(\mathcal{C}\), sont dites combinatoirement équivalentes s’il existe des applications \(\alpha : I \to J\) et \(\beta : J\to I\) telles que \(\varphi_i = \psi_{\alpha(i)}\) et \(\psi_j = \varphi_{\beta(j)}\). Cela définit une relation d’équivalence sur les familles de morphismes ayant une cible fixée.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, soit \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})\) un ensemble contenu dans \(\text{Cov}(\mathcal{C})\). Il existe un cardinal \(\kappa\) et un ordinal limite \(\alpha\) ayant les propriétés suivantes :

1. Nous avons \(\text{Cov}_0 \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\).

2. L’ensemble de recouvrements \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) satisfait les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH (voir ci-dessus). Autrement dit, \((\mathcal{C}, \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha})\) est un site.

3. Tout recouvrement de \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement de \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\).

Démonstration

Pour le démontrer, considérons d’abord l’ensemble \(\mathcal{S}\) de tous les ensembles de morphismes de \(\mathcal{C}\) ayant une cible fixée. Autrement dit, un élément de \(\mathcal{S}\) est une partie \(T\) de \(\text{Arrows}(\mathcal{C})\) telle que tous les éléments de \(T\) aient la même cible. Étant donnée une famille \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) de morphismes ayant une cible fixée, nous définissons \(Supp(\mathcal{U}) = \{ \varphi \in \text{Arrows}(\mathcal{C}) \mid \exists i\in I, \varphi = \varphi_i\}\). Remarquons que deux familles \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : U_i \to U\}_{i\in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) sont combinatoirement équivalentes si et seulement si \(Supp(\mathcal{U}) = Supp(\mathcal{V})\). Ensuite, nous définissons \(\mathcal{S}_\tau \subset \mathcal{S}\) comme la partie \(\mathcal{S}_\tau = \{ T \in \mathcal{S} \mid \exists\ \mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C}) \ T = Supp(\mathcal{U})\}\). Pour tout élément \(T \in \mathcal{S}_\tau\), posons \(\beta(T)\) égal au plus petit ordinal \(\beta\) tel qu’il existe un \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_\beta\) tel que \(T = \text{Supp}(\mathcal{U})\). Enfin, posons \(\beta_0 = \sup_{T \in S_\tau} \beta(T)\). Il en résulte que tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) est combinatoirement équivalent à un élément de \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}\).

Soit \(\kappa\) le maximum de \(\aleph_0\), de la cardinalité \(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\), \[\sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0}} |I|, \quad\text{et}\quad \sup\nolimits_{\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}_0} |I|.\] Puisque \(\kappa\) est un cardinal infini, nous avons \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\). Remarquons qu’évidemment \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\beta_0} = \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta_0}\).

Nous définissons, par récurrence transfinie, une fonction \(f\) qui associe un ordinal à tout ordinal de la manière suivante. Posons \(f(0) = 0\). Étant donné \(f(\alpha)\), nous définissons \(f(\alpha + 1)\) comme le plus petit ordinal \(\beta\) tel que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. Nous avons \(\alpha + 1 \leq \beta\) et \(f(\alpha) \leq \beta\).

2. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\) et si, pour tout \(i\), nous avons \(\{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\), alors \(\{W_{ij} \to U\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\).

3. Si \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\) et si \(W \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(\{U_i \times_U W \to W \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\).

Pour voir que \(\beta\) existe, remarquons que la collection de tous les recouvrements \(\{W_{ij} \to U\}\) et \(\{U_i \times_U W \to W \}\) qui interviennent dans (2) et (3) forme clairement un ensemble. Il existe donc un ordinal \(\beta\) tel que \(V_\beta\) contienne tous ces recouvrements. En outre, l’ensemble d’indices du recouvrement \(\{W_{ij} \to U\}\) a pour cardinalité \(\sum_{i \in I} |J_i| \leq \kappa \otimes \kappa = \kappa\), et ces recouvrements sont donc contenus dans \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \beta}\). Puisque toute collection non vide d’ordinaux possède un plus petit élément, nous voyons que \(f(\alpha + 1)\) est bien défini. Enfin, si \(\alpha\) est un ordinal limite, nous posons \(f(\alpha) = \sup_{\alpha' < \alpha} f(\alpha')\).

Choisissons un ordinal \(\beta_1\) tel que \(\text{Arrows}(\mathcal{C}) \subset V_{\beta_1}\), \(\text{Cov}_0 \subset V_{\beta_0}\) et \(\beta_1 \geq \beta_0\). Par construction, \(f(\beta_1) \geq \beta_1\), et nous voyons que les mêmes propriétés sont vérifiées pour \(V_{f(\beta_1)}\). De plus, comme \(f\) est croissante au sens large, cela reste vrai pour tout \(\beta \geq \beta_1\). Choisissons ensuite un ordinal \(\beta_2 > \beta_1\) de cofinalité \(\text{cf}(\beta_2) > \kappa\). C’est possible puisque la cofinalité des ordinaux devient arbitrairement grande ; voir la proposition 05N3. Nous affirmons que la paire formée par \(\kappa\) et \(\alpha = f(\beta_2)\) est une solution au problème posé dans le lemme.

La première et la troisième propriétés du lemme découlent de nos choix de \(\kappa\), \(\beta_2 > \beta_1 > \beta_0\) ci-dessus.

Puisque \(\beta_2\) est un ordinal limite (car sa cofinalité est infinie), nous obtenons \(f(\beta_2) = \sup_{\beta < \beta_2} f(\beta)\). Ainsi, \(\{f(\beta) \mid \beta < \beta_2\} \subset f(\beta_2)\) est une partie cofinale. Nous voyons donc que \[V_\alpha = V_{f(\beta_2)} = \bigcup\nolimits_{\beta < \beta_2} V_{f(\beta)}.\] Maintenant, soit \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, \alpha}\). Nous définissons \(\beta(\mathcal{U})\) comme le plus petit ordinal \(\beta\) tel que \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\). D’après ce qui précède, nous voyons que \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\) dans tous les cas.

Nous devons montrer que les propriétés (1), (2) et (3) qui définissent un site sont vérifiées pour la paire \((\mathcal{C}, \text{Cov}_{\kappa, \alpha})\). La première l’est parce que, par notre choix de \(\beta_2\), toutes les flèches de \(\mathcal{C}\) appartiennent à \(V_{f(\beta_2)}\). Pour la troisième, étant donné un recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\), nous utilisons le fait que \(\beta(\mathcal{U}) < \beta_2\) ; tout changement de base de \(\mathcal{U}\) appartient alors, par construction de \(f\), à \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)}\), et donc à \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\).

Enfin, pour la deuxième condition, supposons que \(\{U_i \to U\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\) et que, pour chaque \(i\), nous ayons \(\mathcal{W}_i = \{W_{ij} \to U_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\alpha)}\). Considérons la fonction \(I \to \beta_2\), \(i \mapsto \beta(\mathcal{W}_i)\). Puisque la cofinalité de \(\beta_2\) est \(> \kappa \geq |I|\), l’image de cette fonction ne peut être une partie cofinale. Il existe donc un \(\beta < \beta_1\) tel que \(\mathcal{W}_i \in \text{Cov}_{\kappa, f(\beta)}\) pour tout \(i \in I\). Il en résulte que le recouvrement \(\{W_{ij} \to U\}_{i\in I, j \in J_i}\) est un élément de \(\text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, f(\beta + 1)} \subset \text{Cov}(\mathcal{C})_{\kappa, \alpha}\), comme souhaité.

Remarque

Il est probable que, pour un certain ordinal limite \(\alpha\), l’ensemble de recouvrements \(\text{Cov}(\mathcal{C})_\alpha\) satisfasse les conditions du lemme. C’est après tout ce qu’une application du principe de réflexion semble donner (aux réserves près décrites à la fin de la section 000F et dans la remarque 000O).

Catégories abéliennes et injectifs

Le lemme suivant s’applique à la catégorie des modules sur un faisceau d’anneaux sur un site.

Lemme

Supposons donnée une grande catégorie \(\mathcal{A}\) (voir Catégories, remarque 0015). Supposons que \(\mathcal{A}\) soit abélienne et possède suffisamment d’injectifs. Voir Homologie, définitions 0109 et 0138. Alors, pour tout ensemble donné d’objets \(\{A_s\}_{s\in S}\) de \(\mathcal{A}\), il existe une sous-catégorie abélienne \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) ayant les propriétés suivantes :

1. le foncteur d’inclusion \(\mathcal{A}' \to \mathcal{A}\) est exact,

2. \(\Ob(\mathcal{A}')\) est un ensemble,

3. \(\Ob(\mathcal{A}')\) contient \(A_s\) pour tout \(s \in S\),

4. \(\mathcal{A}'\) possède suffisamment d’injectifs, et

5. un objet de \(\mathcal{A}'\) est injectif si et seulement s’il est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Omis.