Introduction
Dans ce chapitre, nous introduisons quelques topologies sur la catégorie des espaces algébriques. Comparer avec le contenu de [SGA1], [Ner], [LM-B] et [Kn]. Avant cela, signalons que de nombreux choix de sites (au sens de Sites, définition 00VH) donnent la même notion de faisceau sur la catégorie sous-jacente. Ainsi, nos choix peuvent différer légèrement de ceux des références, mais conduisent finalement aux mêmes groupes de cohomologie, etc.
Le procédé général
Dans cette section, nous expliquons un procédé général pour construire les sites avec lesquels nous travaillerons. Cette discussion n’aura guère de sens si le lecteur n’a pas lu Topologies, section 020M.
Soit \(S\) un schéma de base. Prenons une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J en partant de \(S\) et de tout ensemble de schémas sur \(S\) que l’on souhaite inclure. Choisissons un ensemble quelconque de recouvrements \(\text{Cov}_{fppf}\) sur \(\Sch_\alpha\), comme dans Ensembles, lemme 000X, en partant de la catégorie \(\Sch_\alpha\) et de la classe des recouvrements fppf. Notons \(\Sch_{fppf}\) le grand site fppf ainsi obtenu, et notons \((\Sch/S)_{fppf}\) le grand site fppf de \(S\). (Tout ceci est exactement prescrit dans Topologies, section 021L).
Pour les choix ci-dessus, la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) possède un ensemble de classes d’isomorphisme. Pour le voir, on peut utiliser le fait que tout espace algébrique sur \(S\) est de la forme \(U/R\) pour une certaine relation d’équivalence étale \(j : R \to U \times_S U\) avec \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), voir Espaces, lemme 0262. On peut donc trouver une sous-catégorie pleine \(\textit{Espaces}/S\) de la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) qui possède un ensemble d’objets tel que tout espace algébrique soit isomorphe à un objet de \(\textit{Espaces}/S\). Nous fixons une telle catégorie.
Dans les sections suivantes, pour une topologie \(\tau\) donnée, le grand site \((\textit{Espaces}/S)_\tau\) (resp. le grand site \((\textit{Espaces}/X)_\tau\) d’un espace algébrique \(X\) sur \(S\)) a pour catégorie sous-jacente la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) (resp. la sous-catégorie \(\textit{Espaces}/X\) de \(\textit{Espaces}/S\), voir Catégories, exemple 001G). Le procédé pour en faire un site consiste, comme d’habitude, à définir une classe de recouvrements \(\tau\) et à utiliser Ensembles, lemme 000X, pour choisir un ensemble suffisamment grand de recouvrements qui définit la topologie.
Signalons que le petit site étale \(X_\etale\) d’un espace algébrique \(X\) a déjà été défini dans Propriétés des espaces, définition 03ED. Ses objets sont les schémas étales sur \(X\), qui sont nombreux par définition d’un espace algébrique. Cependant, un site plus naturel du point de vue de ce chapitre (comparer Topologies, définition 021B) est le site \(X_{spaces, \etale}\) de Propriétés des espaces, définition 03G0. Ces deux sites définissent le même topos ; voir Propriétés des espaces, lemme 03G1. Nous ne les redéfinirons pas dans ce chapitre ; nous les utiliserons simplement.
Topologie de Zariski
Dans Espaces, section 02YT nous avons introduit la notion de recouvrement de Zariski d’un espace algébrique par des sous-espaces ouverts. Voici la notion correspondante, où les sous-espaces ouverts sont remplacés par des immersions ouvertes.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement de Zariski de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit une immersion ouverte et telle que \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] c’est-à-dire que cette famille est surjective.
Bien que les recouvrements de Zariski soient parfois utiles, la topologie correspondante sur la catégorie des espaces algébriques est beaucoup trop grossière et peu utile. Elle définit néanmoins un site.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement de Zariski de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski et si, pour chaque \(i\), nous avons un recouvrement de Zariski \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement de Zariski.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski.
Démonstration
Démonstration omise.
Topologie étale
Dans cette section, nous étudions la notion de recouvrement étale des espaces algébriques et définissons le grand site étale d’un espace algébrique. Comparer avec Topologies, section 0214.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement étale de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit étale et telle que \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] c’est-à-dire que la famille des morphismes est surjective.
C’est exactement la même notion que celle de Topologies, définition 0215. En particulier, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont des schémas, on retrouve la notion usuelle de recouvrement étale de schémas.
Lemme
Tout recouvrement de Zariski est un recouvrement étale.
Démonstration
Cela découle immédiatement des définitions et du fait qu’une immersion ouverte est un morphisme étale (cela résulte de Morphismes, lemme 02GP, via Espaces, lemme 02YO puisque les immersions sont représentables).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement étale de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale et si, pour chaque \(i\), nous avons un recouvrement étale \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement étale.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale.
Démonstration
Démonstration omise.
Le lemme suivant montre que les sites \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) et \((\textit{Espaces}/X)_{smooth}\) ont la même catégorie de faisceaux.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse de \(X\). Alors il existe un recouvrement étale \(\{U_j \to X\}_{j \in J}\) de \(X\) qui raffine \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\).
Démonstration
Choisissons d’abord un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Pour chaque \(i\), choisissons un schéma \(W_i\) et un morphisme étale surjectif \(W_i \to X_i\). Alors \(\{W_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement lisse qui raffine \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\). Ainsi, \(\{W_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement lisse de schémas. Par le lemme 055V de Compléments sur les morphismes, nous pouvons choisir un recouvrement étale \(\{U_j \to U\}\) qui raffine \(\{W_i \times_X U \to U\}\). Alors \(\{U_j \to X\}_{j \in J}\) est un recouvrement étale qui raffine \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\).
Définition
Soit \(S\) un schéma. On appelle grand site étale \((\textit{Espaces}/S)_\etale\) tout site construit comme suit :
Choisissons un grand site étale \((\Sch/S)_\etale\) comme dans Topologies, section 0214.
Prenons pour catégorie sous-jacente la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) des espaces algébriques sur \(S\) (voir la discussion de la section 03Y6 expliquant qu’il s’agit d’un ensemble).
Choisissons un ensemble quelconque de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, en partant de la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) et de la classe des recouvrements étales de la définition 041E.
Après cette définition, on peut localiser pour obtenir le site étale d’un espace algébrique.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \((\textit{Espaces}/S)_\etale\) comme dans la définition 0DBX. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), c’est-à-dire un objet de \((\textit{Espaces}/S)_\etale\). Alors le grand site étale \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) de \(X\) est la localisation du site \((\textit{Espaces}/S)_\etale\) en \(X\), introduite dans Sites, section 00XZ.
Rappelons que, pour un espace algébrique \(X\) sur \(S\) comme dans la définition, nous avons déjà défini les petits sites étales \(X_{spaces, \etale}\) et \(X_\etale\), voir Propriétés des espaces, section 03EB. Nous identifierons tacitement les topos correspondants au moyen du foncteur d’inclusion \(X_\etale \subset X_{spaces, \etale}\) (Propriétés des espaces, lemme 03G1) et l’appellerons le petit topos étale de \(X\). Nous établissons ensuite des relations entre les topos associés à ces sites.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme dans \((\textit{Espaces}/S)_\etale\). Le foncteur d’inclusion \(Y_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_\etale\) est cocontinu et induit un morphisme de topos \[i_f : \Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\] Pour un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) nous avons la formule \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\). Le foncteur \(i_f^{-1}\) possède également un adjoint à gauche \(i_{f, !}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.
Démonstration
Notons \(u : Y_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_\etale\) le foncteur. Autrement dit, étant donné un morphisme étale \(j : U \to Y\) correspondant à un objet de \(Y_{spaces, \etale}\), posons \(u(U \to Y) = (f \circ j : U \to X)\). La catégorie \(Y_{spaces, \etale}\) possède des produits fibrés et des égalisateurs, et \(u\) commute à ces constructions. Il est immédiat que \(u\) est cocontinu. Le foncteur \(u\) est également continu, car \(u\) transforme les recouvrements en recouvrements et commute aux produits fibrés. Le lemme découle donc de Sites, lemmes 00XR et 00XS.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un objet de \((\textit{Espaces}/S)_\etale\). Le foncteur d’inclusion \(X_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_\etale\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU, et induit donc un morphisme de sites \[\pi_X : (\textit{Espaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] et un morphisme de topos \[i_X : \Sh(X_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\] tel que \(\pi_X \circ i_X = \text{id}\). De plus, \(i_X = i_{\text{id}_X}\) avec \(i_{\text{id}_X}\) comme dans le lemme 0DF2. En particulier, le foncteur \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\) est décrit par la règle \(i_X^{-1}(\mathcal{G})(U/X) = \mathcal{G}(U/X)\).
Démonstration
Dans ce cas, le foncteur \(u : X_{spaces, \etale} \to (\textit{Espaces}/X)_\etale\), en plus des propriétés établies dans la démonstration du lemme 0DF2 ci-dessus, est également pleinement fidèle et transforme l’objet final en objet final. Le lemme découle de Sites, lemme 00XU.
Définition
Dans la situation du lemme 0DF3, le foncteur \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\) est souvent appelé la restriction au petit site étale, et, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le grand site étale, nous notons souvent \(\mathcal{F}|_{X_\etale}\) cette restriction.
Avec cette notation, nous avons, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le grand site et un faisceau \(\mathcal{G}\) sur le petit site, \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(X_\etale)}( \mathcal{F}|_{X_\etale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)}( \mathcal{F}, i_{X, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(X_\etale)}( \mathcal{G}, \mathcal{F}|_{X_\etale}) & = \Mor_{\Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)}( \pi_X^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] De plus, \((i_{X, *}\mathcal{G})|_{X_\etale} = \mathcal{G}\) et \((\pi_X^{-1}\mathcal{G})|_{X_\etale} = \mathcal{G}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme dans \((\textit{Espaces}/S)_\etale\). Le foncteur \[u : (\textit{Espaces}/Y)_\etale \longrightarrow (\textit{Espaces}/X)_\etale, \quad V/Y \longmapsto V/X\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\textit{Espaces}/X)_\etale \longrightarrow (\textit{Espaces}/Y)_\etale, \quad (U \to X) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\textit{Espaces}/Y)_\etale) \longrightarrow \Sh((\textit{Espaces}/X)_\etale)\] Nous avons \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\). Nous avons \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.
Démonstration
Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (détails omis ; comparer avec la démonstration du lemme 0DF2). Par conséquent, les lemmes de Sites 00XR et 00XS s’appliquent et nous obtenons la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est adjoint à droite du foncteur précédent car, pour \(U/Y\) et \(V/X\), nous avons \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\) comme souhaité. Nous pouvons donc appliquer les lemmes de Sites 00XX et 00XY pour obtenir la formule de \(f_{big, *}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme dans \((\textit{Espaces}/S)_\etale\).
Nous avons \(i_f = f_{big} \circ i_Y\), avec \(i_f\) comme dans le lemme 0DF2 et \(i_Y\) comme dans le lemme 0DF3.
Le foncteur \(X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\), \((U \to X) \mapsto (U \times_X Y \to Y)\) est continu et induit un morphisme de sites \[f_{spaces, \etale} : Y_{spaces, \etale} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] Le morphisme correspondant de petits topos étales est noté \[f_{small} : \Sh(Y_\etale) \to \Sh(X_\etale)\] Nous avons \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\).
Nous avons un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ Y_{spaces, \etale} \ar[d]_{f_{spaces, \etale}} & (\textit{Espaces}/Y)_\etale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^-{\pi_Y}\\ X_{spaces, \etale} & (\textit{Espaces}/X)_\etale \ar[l]_-{\pi_X} }\] de sorte que \(f_{small} \circ \pi_Y = \pi_X \circ f_{big}\) comme morphismes de topos.
Nous avons \(f_{small} = \pi_X \circ f_{big} \circ i_Y = \pi_X \circ i_f\).
Démonstration
L’égalité \(i_f = f_{big} \circ i_Y\) découle de l’égalité \(i_f^{-1} = i_Y^{-1} \circ f_{big}^{-1}\), qui est claire d’après les descriptions de ces foncteurs ci-dessus. Nous obtenons ainsi (1).
Le foncteur \(u : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\), \(u(U \to X) = (U \times_X Y \to Y)\) induit, comme on l’a montré, un morphisme de sites et le morphisme correspondant de petits topos étales ; voir Propriétés des espaces, lemme 03G2. La description de l’image directe est claire.
La partie (3) découle du fait que \(\pi_X\) et \(\pi_Y\) sont donnés par les foncteurs d’inclusion, tandis que \(f_{spaces, \etale}\) et \(f_{big}\) sont donnés par les foncteurs de changement de base \(U \mapsto U \times_X Y\).
L’énoncé (4) découle de (3) par précomposition avec \(i_Y\).
Dans la situation du lemme, en utilisant la terminologie de la définition 0DF4, nous avons, pour \(\mathcal{F}\) un faisceau sur le grand site étale de \(Y\), \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{X_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{Y_\etale}),\] Cette égalité découle de la commutativité du diagramme de sites du lemme, puisque la restriction au petit site étale de \(Y\), resp. \(X\), est donnée par \(\pi_{Y, *}\), resp. \(\pi_{X, *}\). Une formule analogue faisant intervenir les images inverses et les restrictions est fausse.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Étant donnés des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) dans \((\textit{Espaces}/S)_\etale\), nous avons \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) et \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).
Démonstration
Cela découle de la description explicite des foncteurs image directe et image inverse sur les grands sites donnée par le lemme 0DF5. Pour les foncteurs sur les petits sites, cela découle de la description des foncteurs image directe dans le lemme 0DF6.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] dans \((\textit{Espaces}/S)_\etale\). \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) et \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).
Démonstration
Puisque le diagramme est cartésien, nous avons, pour \(U'/X'\), \(U' \times_{X'} Y' = U' \times_X Y\). Ainsi, les deux foncteurs \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) et \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) associent à tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\textit{Espaces}/Y)_\etale\) le faisceau \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{X'} Y')\) sur \(X'_\etale\) (voir les lemmes 0DF2 et 0DF5). La seconde égalité se démontre de la même manière ou peut être déduite du résultat très général de Sites, lemme 03CF.
Remarque
Les sites \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) et \(X_{spaces, \etale}\) sont munis de faisceaux structuraux. Pour le petit site étale, nous l’avons vu dans Propriétés des espaces, section 04KD. Le faisceau structural \(\mathcal{O}\) sur le grand site étale \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) est défini en associant à un objet \(U\) les sections globales du faisceau structural de \(U\). Cela a un sens puisque \(U\) est lui-même un espace algébrique et possède donc un faisceau structural. Comme \(\mathcal{O}_U\) est un faisceau sur le site étale de \(U\), le préfaisceau \(\mathcal{O}\) ainsi défini satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements de \(U\), c’est-à-dire que \(\mathcal{O}\) est un faisceau. Nous pouvons munir les morphismes \(i_f\), \(\pi_X\), \(i_X\), \(f_{small}\) et \(f_{big}\) définis ci-dessus de structures de morphismes de sites annelés, respectivement de topos annelés. Examinons-les successivement.
Dans le lemme 0DF2, notons \(\mathcal{O}\) le faisceau structural sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\). Nous avons \((i_f^{-1}\mathcal{O})(U/Y) = \mathcal{O}_U(U) = \mathcal{O}_Y(U)\) par construction. On obtient ainsi un isomorphisme \(i_f^\sharp : i_f^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}_Y\).
Dans le lemme 0DF3, il a été noté que \(i_X\) est un cas particulier de \(i_f\) avec \(f = \text{id}_X\) ; nous sommes donc ramenés au cas (1).
Dans le lemme 0DF3, le morphisme \(\pi_X\) vérifie \((\pi_{X, *}\mathcal{O})(U) = \mathcal{O}(U) = \mathcal{O}_X(U)\). Cette égalité permet de définir \(\pi_X^\sharp : \mathcal{O}_X \to \pi_{X, *}\mathcal{O}\).
Dans le lemme 0DF6, l’extension de \(f_{small}\) en un morphisme de topos annelés a été discutée dans Propriétés des espaces, lemme 03G8.
Dans le lemme 0DF6, le foncteur \(f_{big}^{-1}\) est simplement la restriction via le foncteur d’inclusion \((\textit{Espaces}/Y)_\etale \to (\textit{Espaces}/X)_\etale\). Soit \(\mathcal{O}_1\) le faisceau structural sur \((\textit{Espaces}/X)_\etale\) et soit \(\mathcal{O}_2\) le faisceau structural sur \((\textit{Espaces}/Y)_\etale\). Nous obtenons un isomorphisme canonique \(f_{big}^\sharp : f_{big}^{-1}\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\).
De plus, ces définitions sont également compatibles avec les compositions. Nous omettons l’énoncé et la démonstration détaillés.
Topologie lisse
Dans cette section, nous étudions la notion de recouvrement lisse d’espaces algébriques et définissons le grand site lisse d’un espace algébrique. Comparer avec Topologies, section 021Y.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement lisse de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit lisse et telle que \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] c’est-à-dire que cette famille est surjective.
C’est exactement la même notion que celle de Topologies, définition 021Z. En particulier, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont des schémas, on retrouve la notion usuelle de recouvrement lisse de schémas.
Lemme
Tout recouvrement étale est un recouvrement lisse, et a fortiori, tout recouvrement de Zariski est un recouvrement lisse.
Démonstration
Cela découle immédiatement des définitions, du fait qu’un morphisme étale est lisse (Morphismes des espaces, lemme 04XX) et du lemme 0DF1.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement lisse de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse et si, pour chaque \(i\), nous avons un recouvrement lisse \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement lisse.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse.
Démonstration
Démonstration omise.
À suivre...
Topologie syntomique
Dans cette section, nous étudions la notion de recouvrement syntomique d’espaces algébriques et définissons le grand site syntomique d’un espace algébrique. Comparer avec Topologies, section 0224.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement syntomique de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit syntomique et telle que \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] c’est-à-dire que cette famille est surjective.
C’est exactement la même notion que celle de Topologies, définition 0225. En particulier, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont des schémas, on retrouve la notion usuelle de recouvrement syntomique de schémas.
Lemme
Tout recouvrement lisse est un recouvrement syntomique, et a fortiori, tout recouvrement étale ou de Zariski est un recouvrement syntomique.
Démonstration
Cela découle immédiatement des définitions, du fait qu’un morphisme lisse est syntomique (Morphismes des espaces, lemme 06CP) et du lemme 0DFA.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement syntomique de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique et si, pour chaque \(i\), nous avons un recouvrement syntomique \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement syntomique.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique.
Démonstration
Démonstration omise.
À suivre...
Topologie fppf
Dans cette section, nous étudions la notion de recouvrement fppf d’espaces algébriques, et définissons le grand site fppf d’un espace algébrique. Comparer avec Topologies, section 021L.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement fppf de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit plat et localement de présentation finie et telle que \[|X| = \bigcup\nolimits_{i \in I} |f_i|(|X_i|),\] c’est-à-dire que cette famille est surjective.
C’est exactement la même notion que celle de Topologies, définition 021M. En particulier, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont des schémas, on retrouve la notion usuelle de recouvrement fppf de schémas.
Lemme
Tout recouvrement syntomique est un recouvrement fppf, et a fortiori, tout recouvrement lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement fppf.
Démonstration
Cela découle des définitions et du fait qu’un morphisme syntomique est plat et localement de présentation finie (Morphismes des espaces, lemmes 0DEY et 0DEZ) et du lemme 0DFB.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement fppf de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf et si, pour chaque \(i\), nous avons un recouvrement fppf \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fppf.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf.
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(\mathcal{U} = \{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fppf de \(X\). Alors il existe un raffinement \(\mathcal{V} = \{g_i : T_i \to X\}\) de \(\mathcal{U}\) qui est un recouvrement fppf tel que chaque \(T_i\) soit un schéma.
Démonstration
Démonstration omise. Indication : pour chaque \(i\), choisir un schéma \(T_i\) et un morphisme étale surjectif \(T_i \to X_i\). Vérifier ensuite que \(\{T_i \to X\}\) est un recouvrement fppf.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur \(S\). Alors le morphisme de faisceaux \[\coprod X_i \longrightarrow X\] est surjectif.
Démonstration
Cela découle du lemme 05VM du chapitre Espaces. Voir également la remarque 02YN du chapitre Espaces si la signification de ce lemme vous semble obscure.
Définition
Soit \(S\) un schéma. On appelle grand site fppf \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) tout site construit comme suit :
Choisissons un grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\) comme dans Topologies, section 021L.
Prenons pour catégorie sous-jacente la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) des espaces algébriques sur \(S\) (voir la discussion de la section 03Y6 expliquant qu’il s’agit d’un ensemble).
Choisissons un ensemble quelconque de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, en partant de la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) et de la classe des recouvrements fppf de la définition 03Y8.
Après cette définition, on peut localiser pour obtenir le site fppf d’un espace algébrique.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) comme dans la définition 0DBV. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), c’est-à-dire un objet de \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\). Alors le grand site fppf \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) de \(X\) est la localisation du site \((\textit{Espaces}/S)_{fppf}\) en \(X\), introduite dans Sites, section 00XZ.
Nous établissons ensuite quelques relations entre les topos associés à ces sites.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \[u : (\textit{Espaces}/Y)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Espaces}/X)_{fppf}, \quad V/Y \longmapsto V/X\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\textit{Espaces}/X)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Espaces}/Y)_{fppf}, \quad (U \to X) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\textit{Espaces}/X)_{fppf})\] Nous avons \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\). Nous avons \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.
Démonstration
Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, les lemmes de Sites 00XR et 00XS s’appliquent et nous obtenons la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est adjoint à droite du foncteur précédent car, pour \(U/Y\) et \(V/X\), nous avons \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\) comme souhaité. Nous pouvons donc appliquer les lemmes de Sites 00XX et 00XY pour obtenir la formule de \(f_{big, *}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Étant donnés des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) d’espaces algébriques sur \(S\), nous avons \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).
Démonstration
Cela découle de la description explicite des foncteurs image directe et image inverse sur les grands sites donnée par le lemme 0DFD.
La topologie ph
Dans cette section, nous définissons la topologie ph. Il s’agit de la topologie engendrée par les recouvrements étales et les morphismes propres surjectifs ; voir le lemme 0DFM.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement ph de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques sur \(S\) telle que chaque \(f_i\) soit localement de type fini et telle que, pour tout \(h : U \to X\) avec \(U\) affine, il existe un recouvrement ph standard \(\{g_j : U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine la famille \(\{X_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\).
Autrement dit, il existe des indices \(i_1, \ldots, i_m \in I\) et des morphismes \(h_j : U_j \to X_{i_j}\) tels que \(f_{i_j} \circ h_j = h \circ g_j\). Notons que, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont représentables, il s’agit de la même notion qu’un recouvrement ph de schémas défini dans Topologies, définition 0DBG.
Lemme
Tout recouvrement fppf est un recouvrement ph, et a fortiori, tout recouvrement syntomique, lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement ph.
Démonstration
Montrons qu’un recouvrement fppf est un recouvrement ph ; le reste découle alors du lemme 0DFC. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur un schéma de base \(S\). Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) un morphisme. Nous pouvons raffiner le recouvrement fppf \(\{X_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\) par un recouvrement fppf \(\{T_i \to U\}_{i \in I}\) où chaque \(T_i\) est un schéma (lemme 042T). Nous pouvons alors trouver un recouvrement ph standard \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) raffinant \(\{T_i \to U\}_{i \in I}\), par le lemme 0DBT de Compléments sur les morphismes (et par la définition des recouvrements ph pour les schémas). Ainsi, \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement ph par définition.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(\{Y \to X\}\) est un recouvrement ph.
Démonstration
Soit \(U \to X\) un morphisme, où \(U\) est affine. Par le lemme de Chow (sous la forme faible donnée dans Cohomologie des espaces, lemme 089J), il existe un morphisme propre surjectif de schémas \(V \to U\) qui se factorise par \(Y \times_X U \to U\). En choisissant un recouvrement fini de \(V\) par des ouverts affines, nous obtenons un recouvrement ph standard de \(U\) qui raffine \(\{Y \times_X U \to U\}\), comme souhaité.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement ph de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement ph \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement ph.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph.
Démonstration
La partie (1) est claire. Considérons \(g : X' \to X\) et un recouvrement ph \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) comme dans (3). Par le lemme 03XH de Morphismes des espaces, les morphismes \(X' \times_X X_i \to X'\) sont localement de type fini. Si \(h' : Z \to X'\) est un morphisme d’un schéma affine vers \(X'\), posons \(h = g \circ h' : Z \to X\). L’hypothèse sur \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) signifie qu’il existe un recouvrement ph standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) et des morphismes \(Z_j \to X_{i(j)}\) au-dessus de \(h\), pour certains \(i(j) \in I\). Par la propriété universelle du produit fibré, nous obtenons aussi des morphismes \(Z_j \to X' \times_X X_{i(j)}\) au-dessus de \(h'\). Ainsi, \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph. Ceci démontre (3).
Soient \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) et \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) comme dans (2). Soit \(h : Z \to X\) un morphisme d’un schéma affine vers \(X\). Par hypothèse, il existe un recouvrement ph standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) et des morphismes \(h_j : Z_j \to X_{i(j)}\) au-dessus de \(h\), pour certains indices \(i(j) \in I\). Par hypothèse, il existe des recouvrements ph standard \(\{Z_{j, l} \to Z_j\}_{l = 1, \ldots, n(j)}\) et des morphismes \(Z_{j, l} \to X_{i(j)j(l)}\) au-dessus de \(h_j\), pour certains indices \(j(l) \in J_{i(j)}\). Par le lemme 0DBF de Topologies, la famille \(\{Z_{j, l} \to Z\}\) peut être raffinée par un recouvrement ph standard. Nous en concluons que \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement ph.
Définition
Soit \(S\) un schéma. On appelle grand site ph \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) tout site construit comme suit :
Choisissons un grand site ph \((\Sch/S)_{ph}\) comme dans Topologies, section 0DBC.
Prenons pour catégorie sous-jacente la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) des espaces algébriques sur \(S\) (voir la discussion de la section 03Y6, qui explique pourquoi il s’agit d’un ensemble).
Choisissons un ensemble quelconque de recouvrements comme dans le lemme 000X d’Ensembles, en partant de la catégorie \(\textit{Espaces}/S\) et de la classe des recouvrements ph de la définition 0DFG.
Après cette définition, on peut localiser pour obtenir le site ph d’un espace algébrique.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) comme dans la définition 0DFK. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\), c’est-à-dire un objet de \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\). Alors le grand site ph \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\) de \(X\) est la localisation du site \((\textit{Espaces}/S)_{ph}\) en \(X\), introduite dans Sites, section 00XZ.
Voici la caractérisation annoncée des faisceaux ph.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\). Alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau si et seulement si
\(\mathcal{F}\) satisfait à la condition de faisceau pour les recouvrements étales, et
si \(f : V \to U\) est un morphisme propre surjectif de \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\), alors \(\mathcal{F}(U)\) s’envoie bijectivement sur l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\).
Démonstration
Montrons que, si (1) et (2) sont satisfaites, alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau. Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement ph, c’est-à-dire un recouvrement dans \((\textit{Espaces}/X)_{ph}\). Vérifions la condition de faisceau pour ce recouvrement. Soient \(s_i \in \mathcal{F}(T_i)\) des sections dont les restrictions sont égales sur \(T_i \times_T T_{i'}\). Montrons qu’il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}\) dont la restriction est \(s_i\) sur \(T_i\). Soit \(\{U_j \to T\}\) un recouvrement étale avec les \(U_j\) affines. D’après la propriété (1), il suffit de produire des sections \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\) qui coïncident sur \(U_j \cap U_{j'}\) afin de construire \(s\). Considérons les recouvrements ph \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). Alors les \(s_{ji} = s_i|_{T_i \times_T U_j}\) sont des sections qui coïncident sur \((T_i \times_T U_j) \times_{U_j} (T_{i'} \times_T U_j)\). Choisissons un morphisme propre surjectif \(V_j \to U_j\) et un recouvrement fini par des ouverts affines, \(V_j = \bigcup V_{jk}\), tels que le recouvrement ph standard \(\{V_{jk} \to U_j\}\) raffine \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). Si \(s_{jk} \in \mathcal{F}(V_{jk})\) désigne l’image inverse de \(s_{ji}\) sur \(V_{jk}\) par les morphismes implicites, alors les \(s_{jk}\) se recollent en une section \(s'_j \in \mathcal{F}(V_j)\). En utilisant encore une fois leur coïncidence sur les intersections, nous voyons que \(s'_j\) appartient à l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{F}(V_j \times_{U_j} V_j)\). Par (2), la section \(s'_j\) provient donc d’une unique section \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\). Nous omettons de vérifier que ces sections \(s_j\) possèdent toutes les propriétés voulues.
Nous établissons ensuite quelques relations entre les topos associés à ces sites.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \[u : (\textit{Espaces}/Y)_{ph} \longrightarrow (\textit{Espaces}/X)_{ph}, \quad V/Y \longmapsto V/X\] est cocontinu et possède un adjoint à droite continu \[v : (\textit{Espaces}/X)_{ph} \longrightarrow (\textit{Espaces}/Y)_{ph}, \quad (U \to X) \longmapsto (U \times_X Y \to Y).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\textit{Espaces}/Y)_{ph}) \longrightarrow \Sh((\textit{Espaces}/X)_{ph})\] Nous avons \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/Y) = \mathcal{G}(U/X)\). Nous avons \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/X) = \mathcal{F}(U \times_X Y/Y)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.
Démonstration
Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, les lemmes de Sites 00XR et 00XS s’appliquent et nous en déduisons la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est un adjoint à droite car, pour \(U/Y\) et \(V/X\), nous avons \(\Mor_X(u(U), V) = \Mor_Y(U, V \times_X Y)\), comme souhaité. Nous pouvons donc appliquer les lemmes de Sites 00XX et 00XY pour obtenir la formule de \(f_{big, *}\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Étant donnés des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) d’espaces algébriques sur \(S\), nous avons \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).
Démonstration
Cela découle de la description simple des foncteurs image directe et image inverse sur les grands sites donnée par le lemme 0DFN.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(P\) une propriété des objets de \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\) telle que, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\textit{Espaces}/X)_{fppf}\), l’implication suivante soit vérifiée : \[P(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}) \text{ pour tous } p \geq 0,\ i_0, \ldots, i_p \in I \Rightarrow P(U)\] Si \(P(U)\) est vraie pour tout \(U\) affine, plat et localement de présentation finie sur \(X\), alors \(P(X)\).
Démonstration
Soit \(U\) un espace algébrique séparé, plat et localement de présentation finie sur \(X\). Nous pouvons choisir un recouvrement étale \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) avec \(U_i\) affine. Comme \(U\) est séparé, nous en concluons que \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) est toujours affine. Ainsi, \(P(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p})\) est toujours vraie. Par conséquent, \(P(U)\) est vraie. Choisissons un schéma \(U\) qui est une réunion disjointe de schémas affines et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(U \times_X \ldots \times_X U\) (avec \(p + 1\) facteurs) est un espace algébrique séparé et étale sur \(X\). D’après ce qui précède, \(P(U \times_X \ldots \times_X U)\) est donc vraie. Nous en concluons que \(P(X)\) est vraie.
Topologie fpqc
Nous étudions brièvement la notion de recouvrement fpqc d’espaces algébriques. Comparer avec Topologies, section 022A. Nous montrerons dans Descente sur les espaces, proposition 04W8, que les faisceaux quasi-cohérents satisfont à la descente relativement à de tels recouvrements.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Un recouvrement fpqc de \(X\) est une famille de morphismes \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques telle que chaque \(f_i\) soit plat et que, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(h : Z \to X\), il existe un recouvrement fpqc standard \(\{g_j : Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine la famille \(\{X_i \times_X Z \to Z\}_{i \in I}\).
Autrement dit, il existe des indices \(i_1, \ldots, i_m \in I\) et des morphismes \(h_j : Z_j \to X_{i_j}\) tels que \(f_{i_j} \circ h_j = h \circ g_j\). Remarquons que, si \(X\) et tous les \(X_i\) sont représentables, cela revient à un recouvrement fpqc de schémas d’après le lemme 03LB de Topologies.
Lemme
Tout recouvrement fppf est un recouvrement fpqc et a fortiori, tout recouvrement syntomique, lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement fpqc.
Démonstration
Montrons qu’un recouvrement fppf est un recouvrement fpqc ; le reste découle alors du lemme 0DFC. Soit \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur \(S\). Par définition, les \(f_i\) sont plats, ce qui vérifie la première condition de la définition 03MQ. Pour vérifier la seconde, soit \(V \to U\) un morphisme avec \(V\) affine. Nous pouvons choisir un recouvrement étale \(\{V_{ij} \to V \times_U U_i\}\) avec les \(V_{ij}\) affines. Alors les composés \(f_{ij} : V_{ij} \to V \times_U U_i \to V\) sont plats et localement de présentation finie, chacun étant composé de morphismes possédant ces propriétés (Morphismes des espaces, lemmes 03XQ, 03MN, 0467, et 0468). Ces morphismes sont donc ouverts (Morphismes des espaces, lemme 042S), et nous voyons que \(|V| = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} f_{ij}(|V_{ij}|)\) est un recouvrement ouvert de \(|V|\). Comme \(|V|\) est quasi-compact, ce recouvrement possède un raffinement fini. Disons que \(V_{i_1j_1}, \ldots, V_{i_Nj_N}\) conviennent. Alors \(\{V_{i_kj_k} \to V\}_{k = 1, \ldots, N}\) est un recouvrement fpqc standard de \(V\) qui raffine la famille \(\{U_i \times_U V \to V\}\). Ceci achève la démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\).
Si \(X' \to X\) est un isomorphisme, alors \(\{X' \to X\}\) est un recouvrement fpqc de \(X\).
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement fpqc \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fpqc.
Si \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc et si \(X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques, alors \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc.
Démonstration
La partie (1) est claire. Considérons \(g : X' \to X\) et un recouvrement fpqc \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) comme dans (3). Par le lemme 03MO de Morphismes des espaces, les morphismes \(X' \times_X X_i \to X'\) sont plats. Si \(h' : Z \to X'\) est un morphisme d’un schéma affine vers \(X'\), posons \(h = g \circ h' : Z \to X\). L’hypothèse sur \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) signifie qu’il existe un recouvrement fpqc standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) et des morphismes \(Z_j \to X_{i(j)}\) au-dessus de \(h\), pour certains \(i(j) \in I\). Par la propriété universelle du produit fibré, nous obtenons aussi des morphismes \(Z_j \to X' \times_X X_{i(j)}\) au-dessus de \(h'\). Ainsi, \(\{X' \times_X X_i \to X'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc. Ceci démontre (3).
Soient \(\{X_i \to X\}_{i\in I}\) et \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j\in J_i}\) comme dans (2). Soit \(h : Z \to X\) un morphisme d’un schéma affine vers \(X\). Par hypothèse, il existe un recouvrement fpqc standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) et des morphismes \(h_j : Z_j \to X_{i(j)}\) au-dessus de \(h\), pour certains indices \(i(j) \in I\). Par hypothèse, il existe des recouvrements fpqc standard \(\{Z_{j, l} \to Z_j\}_{l = 1, \ldots, n(j)}\) et des morphismes \(Z_{j, l} \to X_{i(j)j(l)}\) au-dessus de \(h_j\), pour certains indices \(j(l) \in J_{i(j)}\). Par le lemme 03LA de Topologies, la famille \(\{Z_{j, l} \to Z\}\) est un recouvrement fpqc standard. Nous en concluons que \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fpqc.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) soit une famille de morphismes d’espaces algébriques de but \(X\). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(X\). Alors \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X\) si et seulement si \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(U\).
Démonstration
Si \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc, il en va de même de \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) par le lemme 03MR. Supposons que \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fpqc. Soit \(h : Z \to X\) un morphisme d’un schéma affine vers \(X\). Alors \(U \times_X Z \to Z\) est un morphisme étale surjectif de schémas, donc en particulier ouvert. Nous pouvons donc trouver un nombre fini d’ouverts affines \(W_1, \ldots, W_t\) de \(U \times_X Z\) dont les images recouvrent \(Z\). Pour chaque \(j\), nous pouvons appliquer la condition selon laquelle \(\{U \times_X X_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc au morphisme \(W_j \to U\), et obtenir un recouvrement fpqc standard \(\{W_{jl} \to W_j\}\) qui raffine \(\{W_j \times_X X_i \to W_j\}_{i \in I}\). Ainsi, \(\{W_{jl} \to Z\}\) est un recouvrement fpqc standard de \(Z\) (voir le lemme 03LA de Topologies) qui raffine \(\{Z \times_X X_i \to Z\}\), ce qui achève la démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(\mathcal{U} = \{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fpqc de \(X\). Il existe alors un raffinement \(\mathcal{V} = \{g_i : T_i \to X\}\) de \(\mathcal{U}\) qui est un recouvrement fpqc tel que chaque \(T_i\) soit un schéma.
Démonstration
Démonstration omise. Indication : pour chaque \(i\), choisir un schéma \(T_i\) et un morphisme étale surjectif \(T_i \to X_i\). Vérifier ensuite que \(\{T_i \to X\}\) est un recouvrement fpqc.
À suivre...