Groupes fondamentaux des schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions le groupe fondamental d’un schéma au sens de Grothendieck ainsi que ses applications. Une référence fondamentale est [SGA1]. On trouvera une bonne introduction dans [Lenstra]. Voir aussi [Murre-lectures] et [Grothendieck-Murre].

Schémas étales sur un point

Dans cette section, nous décrivons les schémas étales sur le spectre d’un corps. Avant d’énoncer le résultat, introduisons la catégorie des \(G\)-ensembles pour un groupe topologique \(G\).

Définition

Soit \(G\) un groupe topologique. Un \(G\)-ensemble, parfois appelé \(G\)-ensemble discret, est un ensemble \(X\) muni d’une action à gauche \(a : G \times X \to X\) telle que \(a\) soit continue lorsque \(X\) est muni de la topologie discrète et \(G \times X\) de la topologie produit. Un morphisme de \(G\)-ensembles \(f : X \to Y\) est simplement une application \(G\)-équivariante de \(X\) dans \(Y\). La catégorie des \(G\)-ensembles est notée \(G\textit{-Ensembles}\).

La continuité de \(a : G \times X \to X\) signifie simplement que le stabilisateur de tout \(x \in X\) est ouvert dans \(G\). Si \(G\) est un groupe abstrait (c’est-à-dire un groupe non muni d’une topologie), ceci concorde avec notre définition précédente (voir par exemple Sites, exemple 00VK), pourvu que l’on munisse \(G\) de la topologie discrète.

Rappelons que, si \(L/K\) est une extension galoisienne infinie, le groupe de Galois \(G = \text{Gal}(L/K)\) est muni d’une topologie canonique ; voir Corps, section 0BMI.

Lemme

Soit \(K\) un corps. Soit \(K^{sep}\) une clôture séparable de \(K\). Considérons le groupe profini \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\). Le foncteur \[\begin{matrix} \text{schémas étales sur }K & \longrightarrow & G\textit{-Ensembles} \\ X/K & \longmapsto & \Mor_{\Spec(K)}(\Spec(K^{sep}), X) \end{matrix}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Un schéma \(X\) sur \(K\) est étale sur \(K\) si et seulement si \(X \cong \coprod_{i\in I} \Spec(K_i)\), où chaque \(K_i\) est une extension séparable finie de \(K\) (Morphismes, lemme 02GL). Le foncteur du lemme associe à \(X\) le \(G\)-ensemble \[\coprod\nolimits_i \Hom_K(K_i, K^{sep})\] muni de son action à gauche naturelle de \(G\). Par définition de la topologie sur \(G\), chaque élément a un stabilisateur ouvert. Réciproquement, tout \(G\)-ensemble \(S\) est réunion disjointe de ses orbites. Écrivons \(S = \coprod S_i\). Choisissons \(s_i \in S_i\) et notons \(G_i \subset G\) son stabilisateur ouvert. D’après la théorie de Galois (Corps, théorème 0BML) les corps \((K^{sep})^{G_i}\) sont des extensions séparables finies de \(K\) ; par conséquent, le schéma \[\coprod\nolimits_i \Spec((K^{sep})^{G_i})\] est étale sur \(K\). On obtient ainsi un quasi-inverse du foncteur du lemme. Nous omettons certains détails.

Remarque

Sous la correspondance du lemme 03QR, les recouvrements du petit site étale \(\Spec(K)_\etale\) de \(K\) correspondent aux familles surjectives de morphismes dans \(G\textit{-Ensembles}\).

Catégories galoisiennes

Dans cette section, nous présentons une partie du contenu que le lecteur trouvera dans [SGA1, Exposé V, sections 4, 5 et 6].

Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Rappelons que, suivant nos conventions, les catégories ont un ensemble d’objets et, pour toute paire d’objets, un ensemble de morphismes. Il existe une application injective canonique [0BS7]\[\begin{equation} \text{Aut}(F) \longrightarrow \prod\nolimits_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X)) \end{equation}\] Pour un ensemble \(E\), nous munissons \(\text{Aut}(E)\) de la topologie compacte-ouverte ; voir Topologie, exemple 0BMC. Il s’agit bien entendu de la topologie discrète lorsque \(E\) est fini, ce qui est le cas qui nous intéresse dans cette section¹. Nous munissons \(\text{Aut}(F)\) de la topologie induite par la topologie produit du membre de droite de (0BS7). En particulier, les applications d’action \[\text{Aut}(F) \times F(X) \longrightarrow F(X)\] sont continues lorsque \(F(X)\) est muni de la topologie discrète, puisque c’est le cas des applications d’action \(\text{Aut}(E) \times E \to E\) pour tout ensemble \(E\). La propriété universelle de notre topologie sur \(\text{Aut}(F)\) est la suivante : supposons que \(G\) soit un groupe topologique et que \(G \to \text{Aut}(F)\) soit un homomorphisme de groupes tel que les actions induites \(G \times F(X) \to F(X)\) soient continues pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), où \(F(X)\) est muni de la topologie discrète. Alors \(G \to \text{Aut}(F)\) est continue.

Le lemme suivant affirme que le groupe des automorphismes d’un foncteur à valeurs dans la catégorie des ensembles finis est automatiquement profini.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. L’application (0BS7) identifie \(\text{Aut}(F)\) à un sous-groupe fermé de \(\prod_{X \in \Ob(\mathcal{C})} \text{Aut}(F(X))\). En particulier, si \(F(X)\) est fini pour tout \(X\), alors \(\text{Aut}(F)\) est un groupe profini.

Démonstration

Soit \(\xi = (\gamma_X) \in \prod \text{Aut}(F(X))\) un élément qui n’appartient pas à \(\text{Aut}(F)\). Il existe alors un morphisme \(f : X \to X'\) de \(\mathcal{C}\) et un élément \(x \in F(X)\) tels que \(F(f)(\gamma_X(x)) \not = \gamma_{X'}(F(f)(x))\). Considérons le voisinage ouvert \(U = \{\gamma \in \text{Aut}(F(X)) \mid \gamma(x) = \gamma_X(x)\}\) de \(\gamma_X\) et le voisinage ouvert \(U' = \{\gamma' \in \text{Aut}(F(X')) \mid \gamma'(F(f)(x)) = \gamma_{X'}(F(f)(x))\}\). Alors \(U \times U' \times \prod_{X'' \not = X, X'} \text{Aut}(F(X''))\) est un voisinage ouvert de \(\xi\) qui ne rencontre pas \(\text{Aut}(F)\). La dernière assertion résulte du fait que \(\prod \text{Aut}(F(X))\) est un espace profini si chaque \(F(X)\) est fini.

Exemple

Soit \(G\) un groupe topologique. Un exemple important sera le foncteur d’oubli [0BMT]\[\begin{equation} \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] où \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) est la sous-catégorie pleine de \(G\textit{-Ensembles}\) dont les objets sont les \(G\)-ensembles finis. La catégorie \(G\textit{-Ensembles}\) des \(G\)-ensembles est définie dans la définition 04JJ.

Soit \(G\) un groupe topologique. La complétion profinie de \(G\) est le groupe profini \[G^\wedge = \lim_{U \subset G\text{ ouvert, distingué, d'indice fini}} G/U\] muni de sa topologie profinie. Remarquons que la limite est cofiltrante, car toute intersection finie de sous-groupes ouverts distingués d’indice fini est encore de cette forme. La propriété universelle de la complétion profinie affirme que toute application continue \(G \to H\) vers un groupe profini \(H\) se factorise canoniquement sous la forme \(G \to G^\wedge \to H\).

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Le groupe des automorphismes du foncteur (0BMT), muni de la topologie profinie du lemme 0BMR, est la complétion profinie de \(G\).

Démonstration

Notons \(F_G\) le foncteur (0BMT). Tout morphisme \(X \to Y\) dans \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) commute à l’action de \(G\). Ainsi, tout \(g \in G\) définit un automorphisme de \(F_G\), et l’on obtient un homomorphisme canonique de groupes \(G \to \text{Aut}(F_G)\). Remarquons que tout \(G\)-ensemble fini \(X\) est réunion disjointe finie de \(G\)-ensembles de la forme \(G/H_i\), munis de l’action canonique de \(G\), où \(H_i \subset G\) est un sous-groupe ouvert d’indice fini. Alors \(U_i = \bigcap gH_ig^{-1}\) est ouvert, distingué et d’indice fini. De plus, \(U_i\) agit trivialement sur \(G/H_i\) ; ainsi, \(U = \bigcap U_i\) agit trivialement sur \(F_G(X)\). L’action \(G \times F_G(X) \to F_G(X)\) est donc continue. Par la propriété universelle de la topologie sur \(\text{Aut}(F_G)\), l’application \(G \to \text{Aut}(F_G)\) est continue. D’après le lemme 0BMR et la propriété universelle de la complétion profinie, on en déduit un homomorphisme continu de groupes \[G^\wedge \longrightarrow \text{Aut}(F_G)\] De plus, puisque \(G/U\) agit fidèlement sur \(G/U\), cette application est injective. Si son image est dense, l’application est surjective, donc c’est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE.

Soient \(\gamma \in \text{Aut}(F_G)\) et \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Montrons qu’il existe \(g \in G\) tel que \(\gamma\) et \(g\) induisent la même action sur \(F_G(X)\), ce qui achèvera la démonstration. Comme ci-dessus, \(X\) est une réunion disjointe finie de \(G/H_i\). Avec les notations \(U_i\) et \(U\) précédentes, le \(G\)-ensemble fini \(Y = G/U\) se surjecte sur \(G/H_i\) pour tout \(i\) ; il suffit donc de trouver \(g \in G\) tel que \(\gamma\) et \(g\) induisent la même action sur \(F_G(G/U) = G/U\). Soit \(e \in G\) l’élément neutre, et écrivons \(\gamma(eU) = g_0U\) pour un certain \(g_0 \in G\). Pour tout \(g_1 \in G\), le morphisme \[R_{g_1} : G/U \longrightarrow G/U,\quad gU \longmapsto gg_1U\] de \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) commute à l’action de \(\gamma\). Ainsi \[\gamma(g_1U) = \gamma(R_{g_1}(eU)) = R_{g_1}(\gamma(eU)) = R_{g_1}(g_0U) = g_0g_1U\] On voit donc que \(g = g_0\) convient.

Rappelons qu’un foncteur exact est un foncteur qui commute à toutes les limites finies et à toutes les colimites finies. En particulier, un tel foncteur commute aux égalisateurs, aux coégalisateurs, aux produits fibrés, aux sommes amalgamées, etc.

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Soit \(F : \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur exact tel que \(F(X)\) soit fini pour tout \(X\). Alors \(F\) est isomorphe au foncteur (0BMT).

Démonstration

Soit \(X\) un objet non vide de \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\). Le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \{*\} \ar[d] \\ \{*\} \ar[r] & \{*\} }\] est cocartésien. On en déduit que \(F(X)\) est non vide. Soit \(U \subset G\) un sous-groupe ouvert distingué d’indice fini. Remarquons que \[G/U \times G/U = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} G/U\] où le facteur correspondant à \(gU\) correspond, dans le membre de gauche, à l’orbite de \((eU, gU)\). On a alors \[F(G/U) \times F(G/U) = F(G/U \times G/U) = \coprod\nolimits_{gU \in G/U} F(G/U)\] Puisque \(F(G/U)\) est non vide, il s’ensuit que \(|F(G/U)| = |G/U|\). Par conséquent, \[\lim_{U \subset G\text{ ouvert, distingué, d'indice fini}} F(G/U)\] est non vide (Catégories, lemme 086J). Choisissons dans cette limite un élément \(\gamma = (\gamma_U)\). Notons \(F_G\) le foncteur (0BMT). On peut identifier \(F_G\) au foncteur \[X \longmapsto \colim_U \Mor(G/U, X)\] où \(f : G/U \to X\) correspond à \(f(eU) \in X = F_G(X)\) (nous omettons les détails). L’élément \(\gamma\) détermine donc une application bien définie \[t : F_G \longrightarrow F\] En effet, étant donné \(x \in X\), choisissons \(U\) et \(f : G/U \to X\) envoyant \(eU\) sur \(x\), puis posons \(t_X(x) = F(f)(\gamma_U)\). Montrons que \(t\) induit une application bijective \(t_{G/U} : F_G(G/U) \to F(G/U)\) pour tout \(U\). Il en résulte immédiatement que \(t\) est un isomorphisme (nous omettons les détails). Comme \(|F_G(G/U)| = |F(G/U)|\), il suffit de montrer que \(t_{G/U}\) est surjective. Son image contient au moins un élément, à savoir \(t_{G/U}(eU) = F(\text{id}_{G/U})(\gamma_U) = \gamma_U\). Pour \(g \in G\), notons \(R_g : G/U \to G/U\) la multiplication à droite. Si \(g \not \in U\), l’ensemble des points fixes de \(F(R_g) : F(G/U) \to F(G/U)\) est égal à \(F(\emptyset) = \emptyset\), car \(F\) commute aux égalisateurs. Il s’ensuit que, si \(g_1, \ldots, g_{|G/U|}\) est un système de représentants de \(G/U\), les éléments \(F(R_{g_i})(\gamma_U)\) sont deux à deux distincts et constituent donc tout \(F(G/U)\). Enfin, \[t_{G/U}(g_iU) = F(R_{g_i})(\gamma_U)\] ce qui achève la démonstration.

Exemple

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur tel que \(F(X)\) soit fini pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Le lemme 0BMR montre que \(G = \text{Aut}(F)\) est muni de manière canonique d’une structure de groupe topologique profini. On obtient un foncteur [0BMX]\[\begin{equation} \mathcal{C} \longrightarrow \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles},\quad X \longmapsto F(X) \end{equation}\] où \(F(X)\) est muni de l’action induite de \(G\). Cette action est continue par construction de la topologie sur \(\text{Aut}(F)\).

Le but de la définition des catégories galoisiennes est de distinguer les couples \((\mathcal{C}, F)\) pour lesquels le foncteur (0BMX) est une équivalence. Voici notre définition d’une catégorie galoisienne.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Le couple \((\mathcal{C}, F)\) est une catégorie galoisienne si

1. \(\mathcal{C}\) admet les limites finies et les colimites finies,

2. tout objet de \(\mathcal{C}\) est un coproduit fini (éventuellement vide) d’objets connexes,

3. \(F(X)\) est fini pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), et

4. \(F\) est conservatif² et est exact³.

On dit ici que \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) est connexe s’il n’est pas initial et si, pour tout monomorphisme \(Y \to X\), soit \(Y\) est initial, soit \(Y \to X\) est un isomorphisme.

Avertissement : Cette définition n’est pas la même que celle donnée dans la plupart des références, même si nous verrons finalement que les deux sont équivalentes. En effet, dans [SGA1, Exposé V, Définition 5.1], une catégorie galoisienne est définie comme une catégorie équivalente à \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) pour un certain groupe profini \(G\). Grothendieck caractérise alors les catégories galoisiennes par une liste d’axiomes (G1) – (G6) plus faibles que les nôtres ci-dessus. Notre choix vise à souligner l’existence des limites finies et des colimites finies, ainsi que l’exactitude du foncteur \(F\). En contrepartie, il nous faudra plus tard travailler un peu davantage pour appliquer les résultats de cette section.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une catégorie galoisienne. Soit \(X \to Y \in \text{Arrows}(\mathcal{C})\). Alors

1. \(F\) est fidèle,

2. \(X \to Y\) est un monomorphisme \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\) est injective,

3. \(X \to Y\) est un épimorphisme \(\Leftrightarrow F(X) \to F(Y)\) est surjective,

4. un objet \(A\) de \(\mathcal{C}\) est initial si et seulement si \(F(A) = \emptyset\),

5. un objet \(Z\) de \(\mathcal{C}\) est final si et seulement si \(F(Z)\) est un ensemble à un élément,

6. si \(X\) et \(Y\) sont connexes, alors \(X \to Y\) est un épimorphisme,

7. si \(X\) est connexe et si \(a, b : X \to Y\) sont deux morphismes, alors \(a = b\) dès que \(F(a)\) et \(F(b)\) coïncident sur un élément de \(F(X)\),

8. si \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\) et \(Y = \coprod_{j = 1, \ldots, m} Y_j\), où les \(X_i\), \(Y_j\) sont connexes, alors il existe une application \(\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}\) telle que \(X \to Y\) provienne d’une famille de morphismes \(X_i \to Y_{\alpha(i)}\).

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons que \(a, b : X \to Y\) vérifient \(F(a) = F(b)\). Soit \(E\) l’égalisateur de \(a\) et \(b\). Alors \(F(E) = F(X)\), et l’on a \(E = X\) puisque \(F\) reflète les isomorphismes.

Démonstration de (2). Cela vient de ce que \(F\) transforme le morphisme \(X \to X \times_Y X\) en l’application \(F(X) \to F(X) \times_{F(Y)} F(X)\) et que \(F\) reflète les isomorphismes.

Démonstration de (3). Cela vient de ce que \(F\) transforme le morphisme \(Y \amalg_X Y \to Y\) en l’application \(F(Y) \amalg_{F(X)} F(Y) \to F(Y)\) et que \(F\) reflète les isomorphismes.

Démonstration de (4). Il existe un objet initial \(A\) et, bien entendu, \(F(A) = \emptyset\). Réciproquement, si \(X\) est un objet tel que \(F(X) = \emptyset\), alors l’unique morphisme \(A \to X\) induit une bijection \(F(A) \to F(X)\) ; par conséquent, \(A \to X\) est un isomorphisme.

Démonstration de (5). Il existe un objet final \(Z\) et, bien entendu, \(F(Z)\) est un ensemble à un élément. Réciproquement, si \(X\) est un objet tel que \(F(X)\) soit un ensemble à un élément, alors l’unique morphisme \(X \to Z\) induit une bijection \(F(X) \to F(Z)\) ; par conséquent, \(X \to Z\) est un isomorphisme.

Démonstration de (6). L’égalisateur \(E\) des deux morphismes \(Y \to Y \amalg_X Y\) n’est pas un objet initial de \(\mathcal{C}\), car \(X \to Y\) se factorise par \(E\) et \(F(X) \not = \emptyset\). Ainsi \(E = Y\), d’où la conclusion.

Démonstration de (0BN1). L’égalisateur \(E\) de \(a\) et \(b\) est muni d’un monomorphisme \(E \to X\), et \(F(E) \subset F(X)\) est l’ensemble des éléments sur lesquels \(F(a)\) et \(F(b)\) coïncident. Pour conclure, on utilise le fait que \(E\) est initial, ou que \(E = X\).

Démonstration de (8). Pour tous \(i, j\), on voit que \(E_{ij} = X_i \times_Y Y_j\) est soit initial, soit égal à \(X_i\). En choisissant \(s \in F(X_i)\), on voit que \(E_{ij} = X_i\) si et seulement si \(s\) s’envoie sur un élément de \(F(Y_j) \subset F(Y)\), ce qui arrive pour un unique \(j = \alpha(i)\).

Le lemme précédent montre que, pour tout objet connexe \(X\) d’une catégorie galoisienne \((\mathcal{C}, F)\), le groupe d’automorphismes \(\text{Aut}(X)\) est d’ordre au plus \(|F(X)|\). En effet, si \(s \in F(X)\) et \(g \in \text{Aut}(X)\), alors \(F(g)(s) = s\) si et seulement si \(g = \text{id}_X\), d’après (0BN1). On dit que \(X\) est galoisien si l’égalité a lieu. De manière équivalente, \(X\) est galoisien s’il est connexe et si \(\text{Aut}(X)\) agit transitivement sur \(F(X)\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une catégorie galoisienne. Pour tout objet connexe \(X\) de \(\mathcal{C}\), il existe un objet galoisien \(Y\) et un morphisme \(Y \to X\).

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention les résultats du lemme 0BN0. Posons \(n = |F(X)|\). Considérons \(X^n\) muni de son action naturelle de \(S_n\). Soit \[X^n = \coprod\nolimits_{t \in T} Z_t\] sa décomposition en objets connexes. Choisissons \(t\) de sorte que \(F(Z_t)\) contienne \((s_1, \ldots, s_n)\), où les \(s_i\) sont deux à deux distincts. Si \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\) est un autre élément, nous affirmons que les \(s'_i\) sont eux aussi deux à deux distincts. Dans le cas contraire, disons \(s'_i = s'_j\) ; alors \(Z_t\) est l’image d’une composante connexe de \(X^{n - 1}\) par le morphisme diagonal \[\Delta_{ij} : X^{n - 1} \longrightarrow X^n\] Puisque les morphismes entre objets connexes sont des épimorphismes et induisent des surjections après application de \(F\), on en déduirait que \(s_i = s_j\), ce qui n’est pas le cas.

Soit \(G \subset S_n\) le sous-groupe des éléments tels que \(g(Z_t) = Z_t\). En considérant l’action de \(S_n\) sur \[F(X)^n = F(X^n) = \coprod\nolimits_{t' \in T} F(Z_{t'})\] on voit que \(G = \{g \in S_n \mid g(s_1, \ldots, s_n) \in F(Z_t)\}\). Choisissons maintenant un second élément \((s'_1, \ldots, s'_n) \in F(Z_t)\). Nous avons vu plus haut que les \(s'_i\) sont deux à deux distincts. On peut donc trouver \(g \in S_n\) tel que \(g(s_1, \ldots, s_n) = (s'_1, \ldots, s'_n)\). Autrement dit, l’action de \(G\) sur \(F(Z_t)\) est transitive, ce qui achève la démonstration.

Voici un lemme essentiel.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une catégorie galoisienne. Soit \(G = \text{Aut}(F)\) comme dans l’exemple 0BMW. Pour tout objet connexe \(X\) de \(\mathcal{C}\), l’action de \(G\) sur \(F(X)\) est transitive.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention les résultats du lemme 0BN0. Soit \(I\) l’ensemble des classes d’isomorphie d’objets galoisiens de \(\mathcal{C}\). Pour chaque \(i \in I\), soit \(X_i\) un représentant de la classe d’isomorphie. Choisissons \(\gamma_i \in F(X_i)\) pour tout \(i \in I\). Nous munissons \(I\) d’une relation d’ordre en posant \(i \geq i'\) si et seulement s’il existe un morphisme \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\). Étant donné un tel morphisme, on peut le composer à gauche par un automorphisme \(X_{i'} \to X_{i'}\) de façon que \(F(f_{ii'})(\gamma_i) = \gamma_{i'}\). Avec cette normalisation, le morphisme \(f_{ii'}\) est unique. Remarquons que \(I\) est un ensemble ordonné filtrant : (Catégories, définition 00D3) si \(i_1, i_2 \in I\), il existe un objet galoisien \(Y\) et un morphisme \(Y \to X_{i_1} \times X_{i_2}\) par le lemme 0BN2, appliqué à une composante connexe de \(X_{i_1} \times X_{i_2}\). Alors \(Y \cong X_i\) pour un certain \(i \in I\), et \(i \geq i_1\), \(i \geq i_2\).

Nous affirmons que le foncteur \(F\) est isomorphe au foncteur \(F'\) qui à \(X\) associe \[F'(X) = \colim_I \Mor_\mathcal{C}(X_i, X)\] au moyen de la transformation de foncteurs \(t : F' \to F\) définie comme suit : pour \(f : X_i \to X\), on pose \(t_X(f) = F(f)(\gamma_i)\). En utilisant (0BN1), on constate que \(t_X\) est injective. Pour montrer la surjectivité, soit \(\gamma \in F(X)\). On peut aussitôt se ramener au cas où \(X\) est connexe, par la définition d’une catégorie galoisienne. On peut ensuite supposer \(X\) galoisien grâce au lemme 0BN2. Dans ce cas, \(X\) est isomorphe à \(X_i\) pour un certain \(i\), et l’on peut choisir l’isomorphisme \(X_i \to X\) de sorte que \(\gamma_i\) s’envoie sur \(\gamma\) (par définition des objets galoisiens). On conclut que \(t\) est un isomorphisme.

Posons \(A_i = \text{Aut}(X_i)\). Nous affirmons que, si \(i \geq i'\), il existe une application canonique \(h_{ii'} : A_i \to A_{i'}\) telle que, pour tout \(a \in A_i\), le diagramme \[\xymatrix{ X_i \ar[d]_a \ar[r]_{f_{ii'}} & X_{i'} \ar[d]^{h_{ii'}(a)} \\ X_i \ar[r]^{f_{ii'}} & X_{i'} }\] soit commutatif. Il suffit de définir \(h_{ii'}(a) = a' : X_{i'} \to X_{i'}\) comme l’unique automorphisme tel que \(F(a')(\gamma_{i'}) = F(f_{ii'} \circ a)(\gamma_i)\). Comme précédemment, cela rend le diagramme commutatif et, de plus, ce choix est unique. Il s’ensuit que \(h_{i'i''} \circ h_{ii'} = h_{ii''}\) si \(i \geq i' \geq i''\). Puisque \(F(X_i) \to F(X_{i'})\) est surjective, on voit que \(A_i \to A_{i'}\) est surjective. En passant à la limite projective, on obtient un groupe \[A = \lim_I A_i\] C’est un groupe profini, puisque les groupes d’automorphismes sont finis. L’application \(A \to A_i\) est surjective pour tout \(i\), d’après Catégories, lemme 086J.

Puisque les éléments de \(A\) agissent sur le système projectif des \(X_i\), on obtient une action de \(A\) (à droite) sur \(F'\) par précomposition. Autrement dit, on obtient un homomorphisme \(A^{opp} \to G\). Puisque \(A \to A_i\) est surjective, on conclut que \(G\) agit transitivement sur \(F(X_i)\) pour tout \(i\). Comme tout objet connexe est dominé par l’un des \(X_i\), le lemme en découle.

Proposition

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une catégorie galoisienne. Soit \(G = \text{Aut}(F)\) comme dans l’exemple 0BMW. Le foncteur \(F : \mathcal{C} \to \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) (0BMX) est une équivalence.

Démonstration

Nous utiliserons sans plus les mentionner les résultats du lemme 0BN0. En particulier, nous savons que le foncteur est fidèle. Par le lemme 0BN3, nous savons que pour tout \(X\) connexe, l’action de \(G\) sur \(F(X)\) est transitive. Ainsi, pour \(X\) quelconque, le foncteur \(F\) fait correspondre les composantes connexes de \(X\) (dont l’existence résulte de l’un des axiomes d’une catégorie galoisienne) aux orbites de \(G\) sur \(F(X)\). Soient \(X\) et \(Y\) des objets et soit \(s : F(X) \to F(Y)\) une application équivariante. Alors le graphe \(\Gamma_s \subset F(X) \times F(Y)\) de \(s\) est une réunion de composantes connexes. Il existe donc une réunion de composantes connexes \(Z\) de \(X \times Y\), munie d’un monomorphisme \(Z \to X \times Y\), telle que \(F(Z) = \Gamma_s\). Puisque \(F(Z) \to F(X)\) est bijective, nous voyons que \(Z \to X\) est un isomorphisme et nous concluons que \(s = F(f)\), où \(f : X \cong Z \to Y\) est le composé. Ainsi, \(F\) est pleinement fidèle.

Pour achever la démonstration, montrons que \(F\) est essentiellement surjectif. Il suffit de montrer que \(G/H\) appartient à l’image essentielle pour tout sous-groupe ouvert \(H \subset G\) d’indice fini. Par définition de la topologie sur \(G\), il existe une famille finie d’objets \(X_i\) telle que \[\Ker(G \longrightarrow \prod\nolimits_i \text{Aut}(F(X_i)))\] soit contenu dans \(H\). Nous pouvons supposer que \(X_i\) est connexe pour tout \(i\). Nous pouvons choisir un objet galoisien \(Y\) muni d’un morphisme vers une composante connexe de \(\prod X_i\) à l’aide du lemme 0BN2. Choisissons un isomorphisme \(F(Y) = G/U\) dans \(G\textit{-sets}\) pour un certain sous-groupe ouvert \(U \subset G\). Comme \(Y\) est galoisien, le groupe \(\text{Aut}(Y) = \text{Aut}_{G\textit{-Ensembles}}(G/U)\) opère transitivement sur \(F(Y) = G/U\). Cela implique que \(U\) est distingué. Puisque le morphisme induit de \(F(Y)\) vers \(F(X_i)\) est surjectif pour tout \(i\), nous voyons que \(U \subset H\). Soit \(M \subset \text{Aut}(Y)\) le sous-groupe fini correspondant à \[(H/U)^{opp} \subset (G/U)^{opp} = \text{Aut}_{G\textit{-Ensembles}}(G/U) = \text{Aut}(Y).\] Posons \(X = Y/M\), c’est-à-dire que \(X\) est le coégalisateur des flèches \(m : Y \to Y\), \(m \in M\). Comme \(F\) est exact, nous voyons que \(F(X) = G/H\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soient \((\mathcal{C}, F)\) et \((\mathcal{C}', F')\) des catégories galoisiennes. Soit \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) un foncteur exact. Il existe un isomorphisme \(t : F' \circ H \to F\). Le choix de \(t\) détermine un homomorphisme continu \(h : G' = \text{Aut}(F') \to \text{Aut}(F) = G\) et un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles} }\] L’homomorphisme \(h\) ne dépend du choix de \(t\) qu’à un automorphisme intérieur de \(G\) près. Réciproquement, étant donné un homomorphisme continu \(h : G' \to G\), il existe un foncteur exact \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) et un isomorphisme \(t\) permettant de retrouver \(h\) comme ci-dessus.

Démonstration

D’après la proposition 0BN4 et le lemme 0BMU, nous pouvons supposer que \(\mathcal{C} = \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles}\) et que \(F\) est le foncteur d’oubli, et de même pour \(\mathcal{C}'\). L’existence de \(t\) résulte alors du lemme 0BMV. L’homomorphisme \(h\) s’obtient par transport de structure au moyen de \(t\). La commutativité du diagramme est évidente. L’homomorphisme \(h\) est unique à automorphisme intérieur de \(G\) près, car le choix de \(t\) est unique à un élément de \(G\) près. La dernière assertion est immédiate.

Foncteurs et homomorphismes

Soient \((\mathcal{C}, F)\), \((\mathcal{C}', F')\), \((\mathcal{C}'', F'')\) des catégories galoisiennes. Posons \(G = \text{Aut}(F)\), \(G' = \text{Aut}(F')\) et \(G'' = \text{Aut}(F'')\). Soient \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) et \(H' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}''\) des foncteurs exacts. Soient \(h : G' \to G\) et \(h' : G'' \to G'\) les homomorphismes continus correspondants comme dans le lemme 0BN5. Dans cette section, nous considérons le diagramme \(2\)-commutatif correspondant [0BTR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{C} \ar[r]_H \ar[d] & \mathcal{C}' \ar[r]_{H'} \ar[d] & \mathcal{C}'' \ar[d] \\ \textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \ar[r]^h & \textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles} \ar[r]^{h'} & \textit{Finite-}G''\textit{-Ensembles} } } \end{equation}\] et nous relions les propriétés d’exactitude de la suite \(1 \to G'' \to G' \to G \to 1\) aux propriétés des foncteurs \(H\) et \(H'\).

Lemme

Dans le diagramme (0BTR), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(h : G' \to G\) est surjectif,

2. \(H : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) est pleinement fidèle,

3. si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) est connexe, alors \(H(X)\) est connexe,

4. si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) est connexe et s’il existe un morphisme \(*' \to H(X)\) dans \(\mathcal{C}'\), alors il existe un morphisme \(* \to X\), et

5. pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\Mor_\mathcal{C}(*, X) \to \Mor_{\mathcal{C}'}(*', H(X))\) est bijective.

Ici, \(*\) et \(*'\) sont des objets finaux de \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\).

Démonstration

Les implications (5) \(\Rightarrow\) (4) et (2) \(\Rightarrow\) (5) sont évidentes.

Supposons (3). Soit \(X\) un objet connexe de \(\mathcal{C}\) et soit \(*' \to H(X)\) un morphisme. Comme \(H(X)\) est connexe d’après (3), nous voyons que \(*' \to H(X)\) est un isomorphisme. Ainsi, le \(G'\)-ensemble correspondant à \(H(X)\) possède exactement un élément, ce qui signifie que le \(G\)-ensemble correspondant à \(X\) possède un seul élément, donc que \(X\) est isomorphe à l’objet final de \(\mathcal{C}\) ; en particulier, il existe un morphisme \(* \to X\). Nous avons ainsi montré que (3) \(\Rightarrow\) (4).

Si (1) est vraie, alors le foncteur \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles}\) est pleinement fidèle : en effet, une application entre ensembles munis d’une action de \(G\) commute avec l’action de \(G\) si et seulement si elle commute avec l’action de \(G'\). Ainsi, (1) \(\Rightarrow\) (2).

Si (1) est vraie, alors, pour un \(G\)-ensemble \(X\), les orbites de \(G\) et de \(G'\) coïncident. Ainsi, (1) \(\Rightarrow\) (3).

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que (4) implique (1). Si (1) est fausse, c’est-à-dire si \(h\) n’est pas surjectif, il existe alors un sous-groupe ouvert \(U \subset G\) contenant \(h(G')\) et distinct de \(G\). Le \(G\)-ensemble fini \(M = G/U\) est alors muni d’une action transitive, mais \(G'\) y possède un point fixe. L’objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) correspondant à \(M\) contredirait (4). Nous voyons ainsi que (4) \(\Rightarrow\) (1), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans le diagramme (0BTR), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(h \circ h'\) est trivial, et

2. l’image de \(H' \circ H\) est formée d’objets isomorphes à des coproduits finis d’objets finaux.

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(H\) et \(H'\) par les foncteurs canoniques \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Ensembles}\) déterminés par \(h\) et \(h'\). Il s’agit alors de dire que l’action de \(G''\) sur tout \(G\)-ensemble est triviale si et seulement si l’homomorphisme \(G'' \to G\) est trivial. Cela est évident.

Lemme

Dans le diagramme (0BTR), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la suite \(G'' \xrightarrow{h'} G' \xrightarrow{h} G \to 1\) est exacte au sens suivant : \(h\) est surjectif, \(h \circ h'\) est trivial, et \(\Ker(h)\) est le plus petit sous-groupe fermé distingué contenant \(\Im(h')\),

2. \(H\) est pleinement fidèle et un objet \(X'\) de \(\mathcal{C}'\) appartient à l’image essentielle de \(H\) si et seulement si \(H'(X')\) est isomorphe à un coproduit fini d’objets finaux, et

3. \(H\) est pleinement fidèle, \(H' \circ H\) envoie tout objet sur un coproduit fini d’objets finaux, et, pour tout objet \(X'\) de \(\mathcal{C}'\) tel que \(H'(X')\) soit un coproduit fini d’objets finaux, il existe un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\) et un épimorphisme \(H(X) \to X'\).

Démonstration

D’après les lemmes 0BN6 et 0BS8, nous pouvons supposer que \(H\) est pleinement fidèle, que \(h\) est surjectif, que \(H' \circ H\) envoie les objets sur des coproduits de copies de l’objet final et que \(h \circ h'\) est trivial. Soit \(N \subset G'\) le plus petit sous-groupe fermé distingué contenant l’image de \(h'\). Il est clair que \(N \subset \Ker(h)\). Nous pouvons supposer que les foncteurs \(H\) et \(H'\) sont les foncteurs canoniques \(\textit{Finite-}G\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Ensembles}\) déterminés par \(h\) et \(h'\).

Supposons que (2) soit vraie. Cela signifie que, pour tout \(G'\)-ensemble fini \(X'\) sur lequel \(G''\) agit trivialement, l’action de \(G'\) se factorise par \(G\). Appliquons ceci à \(X' = G'/U'N\), où \(U'\) est un sous-groupe ouvert suffisamment petit de \(G'\). Nous voyons alors que \(\Ker(h) \subset U'N\) pour tout \(U'\). Comme \(N\) est fermé, il s’ensuit que \(\Ker(h) \subset N\), c’est-à-dire que (1) est vraie.

Supposons que (1) soit vraie. Cela signifie que \(N = \Ker(h)\). Soit \(X'\) un \(G'\)-ensemble fini sur lequel \(G''\) agit trivialement. Cela signifie que \(\Ker(G' \to \text{Aut}(X'))\) est un sous-groupe fermé distingué contenant \(\Im(h')\). Ainsi, \(N = \Ker(h)\) y est contenu et l’action de \(G'\) sur \(X'\) se factorise par \(G\), c’est-à-dire que (2) est vraie.

Supposons que (3) soit vraie. Cela signifie que, pour tout \(G'\)-ensemble fini \(X'\) sur lequel \(G''\) agit trivialement, il existe une surjection de \(G'\)-ensembles \(X \to X'\), où \(X\) est un \(G\)-ensemble. Cela signifie manifestement que l’action de \(G'\) sur \(X'\) se factorise par \(G\), c’est-à-dire que (2) est vraie.

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans le diagramme (0BTR), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(h'\) est injectif, et

2. pour tout objet connexe \(X''\) de \(\mathcal{C}''\), il existe un objet \(X'\) de \(\mathcal{C}'\) et un diagramme \[X'' \leftarrow Y'' \rightarrow H'(X')\] dans \(\mathcal{C}''\), où \(Y'' \to X''\) est un épimorphisme et \(Y'' \to H'(X')\) est un monomorphisme.

Démonstration

Nous pouvons remplacer \(H'\) par le foncteur correspondant entre les catégories de \(G'\)-ensembles finis et de \(G''\)-ensembles finis.

Supposons que \(h' : G'' \to G'\) soit injectif. Soit \(H'' \subset G''\) un sous-groupe ouvert. Puisque la topologie sur \(G''\) est la topologie induite par celle de \(G'\), il existe un sous-groupe ouvert \(H' \subset G'\) tel que \((h')^{-1}(H') \subset H''\). Alors le diagramme voulu est \[G''/H'' \leftarrow G''/(h')^{-1}(H') \rightarrow G'/H'\] Réciproquement, supposons que (2) soit satisfaite pour le foncteur \(\textit{Finite-}G'\textit{-Ensembles} \to \textit{Finite-}G''\textit{-Ensembles}\). Soit \(g'' \in \Ker(h')\). Choisissons un sous-groupe ouvert quelconque \(H'' \subset G''\). Par hypothèse, il existe un \(G'\)-ensemble fini \(X'\) et un diagramme \[G''/H'' \leftarrow Y'' \rightarrow X'\] de \(G''\)-ensembles, dont la flèche de gauche est surjective et celle de droite injective. Comme \(g''\) appartient au noyau de \(h'\), nous voyons que \(g''\) agit trivialement sur \(X'\). Ainsi, \(g''\) agit trivialement sur \(Y''\), et donc aussi sur \(G''/H''\). Par conséquent, \(g'' \in H''\). Comme ceci vaut pour tout sous-groupe ouvert, nous concluons que \(g''\) est l’élément neutre, comme voulu.

Lemme

Dans le diagramme (0BTR), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. l’image de \(h'\) est distinguée, et

2. pour tout objet connexe \(X'\) de \(\mathcal{C}'\) tel qu’il existe un morphisme de l’objet final de \(\mathcal{C}''\) vers \(H'(X')\), l’objet \(H'(X')\) est isomorphe à un coproduit fini d’objets finaux.

Démonstration

Cela se traduit par l’énoncé suivant pour l’homomorphisme continu de groupes \(h' : G'' \to G'\) : l’image de \(h'\) est distinguée si et seulement si tout sous-groupe ouvert \(U' \subset G'\) qui contient \(h'(G'')\) contient aussi chacun des conjugués de \(h'(G'')\). Le résultat s’en déduit aisément ; nous omettons certains détails.

Morphismes finis étales

Dans cette section, nous établissons suffisamment de résultats élémentaires sur les morphismes finis étales pour pouvoir construire le groupe fondamental étale.

Soit \(X\) un schéma. Nous noterons \(\textit{F\'Et}_X\) la catégorie des schémas finis et étales sur \(X\). Ainsi,

1. un objet de \(\textit{F\'Et}_X\) est un morphisme fini étale \(Y \to X\) ayant pour but \(X\), et

2. un morphisme dans \(\textit{F\'Et}_X\) de \(Y \to X\) vers \(Y' \to X\) est un morphisme \(Y \to Y'\) qui rend commutatif le diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[rr] \ar[rd] & & Y' \ar[ld] \\ & X }\] ci-dessus.

Nous appellerons souvent un objet de \(\textit{F\'Et}_X\) un revêtement étale fini de \(X\) (même si \(Y\) est vide). Il existe en fait un champ \(p : \textit{F\'Et} \to \Sch\) sur la catégorie des schémas, dont la fibre au-dessus de \(X\) est la catégorie \(\textit{F\'Et}_X\) que nous venons de définir. Voir Exemples de champs, section 0BLY.

Exemple

Soient \(k\) un corps algébriquement clos et \(X = \Spec(k)\). Dans ce cas, \(\textit{F\'Et}_X\) est équivalente à la catégorie des ensembles finis. Ceci vaut plus généralement lorsque \(k\) est séparablement clos. La raison en est que un schéma étale sur \(k\) est une réunion disjointe de spectres de corps qui sont des extensions finies séparables de \(k\) ; voir Morphismes, lemme 02GL.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. La catégorie \(\textit{F\'Et}_X\) admet les limites finies et les colimites finies, et, pour tout morphisme \(X' \to X\), le foncteur de changement de base \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X'}\) est exact.

Démonstration

Limites finies et exactitude à gauche. D’après Catégories, lemme 002O, il suffit de montrer que \(\textit{F\'Et}_X\) admet un objet final et des produits fibrés. Cela est clair, car la catégorie de tous les schémas sur \(X\) admet un objet final (à savoir \(X\)) et des produits fibrés. De plus, les produits fibrés de schémas finis étales sur \(X\) sont finis étales sur \(X\). Il est en outre clair que le changement de base commute à ces opérations et que, par conséquent, le changement de base est exact à gauche (Catégories, lemme 0035).

Colimites finies et exactitude à droite. D’après Catégories, lemme 002Q, il suffit de montrer que \(\textit{F\'Et}_X\) admet des sommes finies et des coégalisateurs. Les sommes finies sont données par les réunions disjointes (la somme vide est le schéma vide). Soient \(a, b : Z \to Y\) deux morphismes de \(\textit{F\'Et}_X\). Comme \(Z \to X\) et \(Y \to X\) sont finis étales, nous pouvons écrire \(Z = \underline{\Spec}(\mathcal{C})\) et \(Y = \underline{\Spec}(\mathcal{B})\) pour certaines \(\mathcal{O}_X\)-algèbres localement libres de rang fini \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{B}\). Les morphismes \(a, b\) induisent deux homomorphismes \(a^\sharp, b^\sharp : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{A} = \text{Eq}(a^\sharp, b^\sharp)\) leur égalisateur. Si \[\underline{\Spec}(\mathcal{A}) \longrightarrow X\] est fini étale, il est clair qu’il s’agit du coégalisateur (en effet, tout objet de \(\textit{F\'Et}_X\) peut s’écrire comme le spectre relatif d’un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres). Nous pouvons le vérifier après avoir remplacé \(X\) par les éléments d’un recouvrement étale (Descente, lemmes 02LA et 02VN). D’après Morphismes étales, lemme 04HN, nous pouvons supposer que \(Y = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) et \(Z = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\). Alors \[\mathcal{C} = \prod\nolimits_{1 \leq j \leq m} \mathcal{O}_X \quad\text{et}\quad \mathcal{B} = \prod\nolimits_{1 \leq i \leq n} \mathcal{O}_X\] Après un nouveau remplacement par les éléments d’un recouvrement ouvert, nous pouvons supposer que \(a, b\) correspondent à des applications \(a_s, b_s : \{1, \ldots, m\} \to \{1, \ldots, n\}\), c’est-à-dire que la composante \(X\) de \(Z\) d’indice \(j\) est envoyée dans la composante \(X\) de \(Y\) d’indice \(a_s(j)\), resp. \(b_s(j)\), par le morphisme \(a\), resp. \(b\). Soit \(\{1, \ldots, n\} \to T\) le coégalisateur de \(a_s, b_s\). Alors nous voyons que \[\mathcal{A} = \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{O}_X\] dont le spectre est bien entendu fini étale sur \(X\). Nous omettons la vérification de la compatibilité avec le changement de base. Ainsi, le changement de base est un foncteur exact à droite.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Considérons les foncteurs naturels \(F_1 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch\) et \(F_2 : \textit{F\'Et}_X \to \Sch/X\). Alors

1. Les foncteurs \(F_1\) et \(F_2\) commutent aux colimites finies.

2. Le foncteur \(F_2\) commute aux limites finies,

3. Le foncteur \(F_1\) commute aux limites finies connexes, c’est-à-dire aux égalisateurs et aux produits fibrés.

Les assertions sur les limites résultent immédiatement de la discussion dans la démonstration du lemme 0BN9 et de Catégories, lemme 002T. Il est clair que \(F_1\) et \(F_2\) commutent aux sommes finies. D’après l’énoncé dual de Catégories, lemme 0035, il suffit de montrer que \(F_1\) et \(F_2\) commutent aux coégalisateurs. Dans la démonstration du lemme 0BN9, nous avons vu que les coégalisateurs dans \(\textit{F\'Et}_X\) prennent localement pour la topologie étale la forme suivante : \[\xymatrix{ \coprod_{j \in J} U \ar@<1ex>[r]^a \ar@<-1ex>[r]_b & \coprod_{i \in I} U \ar[r] & \coprod_{t \in \text{Coeq}(a, b)} U }\] ce qui est manifestement un coégalisateur dans la catégorie des schémas. L’assertion découle donc du fait que la propriété d’être un coégalisateur est locale pour la topologie fpqc, sous la forme précise donnée dans Descente, lemme 0BMN.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Étant donnés \(U, V\) finis étales sur \(X\), il existe un schéma \(W\) fini étale sur \(X\) tel que \[\Mor_X(X, W) = \Mor_X(U, V)\] et tel que cette égalité reste vraie après tout changement de base.

Démonstration

D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0BL5, il existe un schéma \(W\) qui représente \(\mathit{Mor}_X(U, V)\). (On utilise le fait qu’un morphisme étale est localement quasi-fini d’après Morphismes, lemme 03WS, et qu’un morphisme fini est séparé.) Ce schéma satisfait manifestement la formule après tout changement de base. Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(W \to X\) est fini étale. Nous pouvons le faire après avoir remplacé \(X\) par les éléments d’un recouvrement étale (Descente, lemmes 02LA et 02VN). D’après Morphismes étales, lemme 04HN, nous pouvons supposer que \(U = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X\) et \(V = \coprod_{j = 1, \ldots, m} X\). Dans ce cas, \(W = \coprod_{\alpha : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}} X\) immédiatement (nous omettons les détails), ce qui achève la démonstration.

Soit \(X\) un schéma. Un point géométrique de \(X\) est un morphisme \(\Spec(k) \to X\), où \(k\) est algébriquement clos. Un tel point est généralement noté \(\overline{x}\), c’est-à-dire par une lettre minuscule surlignée. Nous utilisons souvent \(\overline{x}\) pour désigner aussi bien le schéma \(\Spec(k)\) que le morphisme, et nous notons \(\kappa(\overline{x})\) le corps \(k\). Nous disons que \(\overline{x}\) est au-dessus de \(x\) pour indiquer que \(x \in X\) est l’image de \(\overline{x}\). Nous reviendrons plus en détail sur cette notion dans Cohomologie étale, section 03PN. Étant donnés \(\overline{x}\) et un morphisme étale \(U \to X\), nous pouvons considérer \[|U_{\overline{x}}| : \text{l'ensemble sous-jacent des points du schéma }U_{\overline{x}} = U \times_X \overline{x}\] Puisque le schéma \(U_{\overline{x}}\), considéré comme schéma sur \(\overline{x}\), est une réunion disjointe de copies de \(\overline{x}\) (Morphismes, lemme 02GL), nous pouvons également décrire cet ensemble comme suit : \[|U_{\overline{x}}| = \left\{ \begin{matrix} \text{diagrammes} \\ \text{commutatifs} \end{matrix} \vcenter{ \xymatrix{ \overline{x} \ar[rd]_{\overline{x}} \ar[r]_{\overline{u}} & U \ar[d] \\ & X } } \right\}\] L’association \(U \mapsto |U_{\overline{x}}|\) est un foncteur souvent noté \(F_{\overline{x}}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma connexe. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique. Le foncteur \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad Y \longmapsto |Y_{\overline{x}}|\] définit une catégorie galoisienne (définition 0BMY).

Démonstration

Après avoir identifié \(\textit{F\'Et}_{\overline{x}}\) à la catégorie des ensembles finis (exemple 0BN8), on voit que notre foncteur \(F_{\overline{x}}\) n’est autre que le foncteur de changement de base pour le morphisme \(\overline{x} \to X\). Ainsi, \(\textit{F\'Et}_X\) admet des limites finies et des colimites finies, et \(F_{\overline{x}}\) est exact d’après le lemme 0BN9. Nous utiliserons aussi le fait que les limites finies dans \(\textit{F\'Et}_X\) coïncident avec les limites finies correspondantes dans la catégorie des schémas sur \(X\) ; voir la remarque 0BNA.

Si \(Y' \to Y\) est un monomorphisme dans \(\textit{F\'Et}_X\), alors \(Y' \to Y' \times_Y Y'\) est un isomorphisme ; par conséquent, \(Y' \to Y\) est un monomorphisme de schémas. Il s’ensuit que \(Y' \to Y\) est une immersion ouverte (Morphismes étales, théorème 025G). Puisque \(Y'\) est fini sur \(X\) et que \(Y\) est séparé sur \(X\), le morphisme \(Y' \to Y\) est fini (Morphismes, lemme 035D), donc fermé (Morphismes, lemme 01WN) ; c’est donc l’inclusion d’un sous-schéma ouvert et fermé de \(Y\). Il s’ensuit que \(Y\) est un objet connexe de la catégorie \(\textit{F\'Et}_X\) (au sens de la définition 0BMY) si et seulement si \(Y\) est connexe comme schéma. Le lemme 07VB de Topologie montre alors que \(Y\) est le coproduit fini de ses composantes connexes, tant comme schéma qu’au sens de la définition 0BMY.

Soit \(Y \to Z\) un morphisme de \(\textit{F\'Et}_X\) qui induit une bijection \(F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Z)\). Il faut montrer que \(Y \to Z\) est un isomorphisme. D’après ce qui précède, on peut supposer \(Z\) connexe. Puisque \(Y \to Z\) est fini étale, donc fini localement libre, il suffit de montrer que \(Y \to Z\) est fini localement libre de degré \(1\). Cela est vrai au voisinage de tout point de \(Z\) situé au-dessus de \(\overline{x}\) ; comme \(Z\) est connexe et que le degré est localement constant, on conclut.

Groupes fondamentaux

Dans cette section, nous définissons le groupe fondamental algébrique de Grothendieck. La définition suivante a un sens grâce au lemme 0BNB.

Définition

Soit \(X\) un schéma connexe. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\). Le groupe fondamental de \(X\), de point-base \(\overline{x}\), est le groupe \[\pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\] des automorphismes du foncteur fibre \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Ensembles}\), muni de sa topologie profinie canonique définie dans le lemme 0BMR.

En combinant ce qui précède avec les résultats de la section 0BMQ, on obtient le théorème suivant.

Théorème

Soit \(X\) un schéma connexe. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\).

1. Le foncteur fibre \(F_{\overline{x}}\) définit une équivalence de catégories \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Ensembles}\]

2. Étant donné un second point géométrique \(\overline{x}'\) de \(X\), il existe un isomorphisme \(t : F_{\overline{x}} \to F_{\overline{x}'}\). Celui-ci donne un isomorphisme \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(X, \overline{x}')\) compatible avec les équivalences de (1). Cet isomorphisme est indépendant de \(t\), à automorphisme intérieur près.

3. Étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas connexes, posons \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\). Il existe un homomorphisme continu canonique \[f_* : \pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\] tel que le diagramme \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r]_{\text{changement de base}} \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Finite-}\pi_1(Y, \overline{y})\textit{-Ensembles} \ar[r]^{f_*} & \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Ensembles} }\] soit commutatif.

Démonstration

L’assertion (1) résulte du lemme 0BNB et de la proposition 0BN4. L’assertion (2) est un cas particulier du lemme 0BN5. Pour (3), observons que le diagramme \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_Y \ar[r] \ar[d]_{F_{\overline{y}}} & \textit{F\'Et}_X \ar[d]^{F_{\overline{x}}} \\ \textit{Ensembles} \ar@{=}[r] & \textit{Ensembles} }\] est commutatif (au sens strict, et pas seulement \(2\)-commutatif), car \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\). On peut donc appliquer le lemme 0BN5, avec la transformation de foncteurs qui s’en déduit, pour obtenir (3).

Lemme

Soit \(K\) un corps et posons \(X = \Spec(K)\). Soit \(\overline{K}\) une clôture algébrique et notons \(\overline{x} : \Spec(\overline{K}) \to X\) le point géométrique correspondant. Soit \(K^{sep} \subset \overline{K}\) la clôture séparable.

1. Le foncteur du lemme 03QR induit une équivalence \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Ensembles}.\] compatible avec \(F_{\overline{x}}\) et avec le foncteur \(\textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Ensembles} \to \textit{Ensembles}\).

2. Elle induit un isomorphisme canonique \[\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{x})\] de groupes topologiques profinis.

Démonstration

Le foncteur du lemme 03QR est le même que le foncteur \(F_{\overline{x}}\), car pour tout \(Y\) étale sur \(X\) on a \[\Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y) = \Mor_X(\Spec(K^{sep}), Y)\] En effet, comme on l’a vu dans la preuve du lemme 03QR, \(Y = \coprod_{i \in I} \Spec(L_i)\), où \(L_i/K\) est une extension séparable finie de \(K\). Par conséquent, tout homomorphisme de \(K\)-algèbres \(L_i \to \overline{K}\) se factorise par \(K^{sep}\). Notons aussi que \(F_{\overline{x}}(Y)\) est fini si et seulement si \(I\) est fini, si et seulement si \(Y \to X\) est fini étale. Ceci démontre (1).

L’assertion (2) est une conséquence formelle de (1), du lemme 0BN5 et du lemme 0BMU. (Voir aussi la remarque ci-dessous.)

Remarque

Dans la situation du lemme 0BNE, donnons une construction plus explicite de l’isomorphisme \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{x}) = \text{Aut}(F_{\overline{x}})\). Observons que \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \text{Aut}(\overline{K}/K)\), car \(\overline{K}\) est la clôture parfaite de \(K^{sep}\). Puisque \(F_{\overline{x}}(Y) = \Mor_X(\Spec(\overline{K}), Y)\), on peut considérer l’application \[\text{Aut}(\overline{K}/K) \times F_{\overline{x}}(Y) \to F_{\overline{x}}(Y), \quad (\sigma, \overline{y}) \mapsto \sigma \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma)\] Il s’agit d’une action, car \[\sigma\tau \cdot \overline{y} = \overline{y} \circ \Spec(\sigma\tau) = \overline{y} \circ \Spec(\tau) \circ \Spec(\sigma) = \sigma \cdot (\tau \cdot \overline{y})\] L’action est fonctorielle en \(Y \in \textit{F\'Et}_X\), et l’on obtient ainsi l’application voulue.

Revêtements galoisiens des schémas connexes

Soit \(X\) un schéma connexe muni d’un point géométrique \(\overline{x}\). Puisque \(F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Ensembles}\) est le foncteur fibre d’une catégorie galoisienne (lemme 0BNB), les résultats de la section 0BMQ s’appliquent. Dans cette section, nous transposons explicitement une partie de la terminologie et des résultats au cadre des schémas et des morphismes finis étales.

Nous dirons qu’un morphisme fini étale \(Y \to X\) est un revêtement galoisien si \(Y\) définit un objet galoisien de \(\textit{F\'Et}_X\). Pour un morphisme fini étale \(Y \to X\), avec \(G = \text{Aut}_X(Y)\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(Y\) est un revêtement galoisien de \(X\),

2. \(Y\) est connexe et \(|G|\) est égal au degré de \(Y \to X\),

3. \(Y\) est connexe et \(G\) agit transitivement sur \(F_{\overline{x}}(Y)\), et

4. \(Y\) est connexe et \(G\) agit simplement transitivement sur \(F_{\overline{x}}(Y)\).

Ceci résulte immédiatement de la discussion de la section 0BMQ.

Pour tout morphisme fini étale \(f : Y \to X\) avec \(Y\) connexe, il existe un revêtement galoisien fini étale \(Y' \to X\) qui domine \(Y\) (lemme 0BN2).

Les objets galoisiens de \(\textit{F\'Et}_X\) correspondent, par l’équivalence \[F_{\overline{x}} : \textit{F\'Et}_X \to \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Ensembles}\] du théorème 0BND, aux \(\pi_1(X, \overline{x})\textit{-Ensembles}\) finis de la forme \(G = \pi_1(X, \overline{x})/H\), où \(H\) est un sous-groupe ouvert distingué. De manière équivalente, si \(G\) est un groupe fini et si \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G\) est une surjection continue, alors \(G\), considéré comme un \(\pi_1(X, \overline{x})\)-ensemble, correspond à un revêtement galoisien.

Si \(Y_i \to X\), \(i = 1, 2\), sont des revêtements galoisiens finis étales de groupes de Galois \(G_i\), alors il existe un revêtement galoisien fini étale \(Y \to X\) dont le groupe de Galois est un sous-groupe de \(G_1 \times G_2\). En effet, considérons les homomorphismes continus correspondants \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_i\) et prenons pour \(G\) l’image de l’homomorphisme continu induit \(\pi_1(X, \overline{x}) \to G_1 \times G_2\).

Invariance topologique du groupe fondamental

Le résultat principal de cette section est qu’un homéomorphisme universel de schémas connexes induit un isomorphisme sur les groupes fondamentaux. Voir la proposition 0BQN.

Au lieu de démontrer directement que deux schémas ont le même groupe fondamental, nous démontrons souvent que leurs catégories de revêtements finis étales sont les mêmes. Cela implique bien sûr que leurs groupes fondamentaux sont égaux, pourvu qu’ils soient connexes.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas quasi-compacts et quasi-séparés tel que le foncteur de changement de base \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) soit une équivalence de catégories. Alors

1. \(f\) induit un homéomorphisme \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\),

2. si \(X\), ou de manière équivalente \(Y\), est connexe, alors \(\pi_1(X, \overline{x}) = \pi_1(Y, \overline{y})\).

Démonstration

Soit \(Y = Y_0 \amalg Y_1\) une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés non vides. Nous affirmons que \(f(X)\) rencontre chacun des \(Y_i\). En effet, sinon, disons que \(f(X) \subset Y_1\), nous pouvons considérer le morphisme fini étale \(V = Y_1 \to Y\). Celui-ci n’est pas un isomorphisme, mais \(V \times_Y X \to X\) en est un, ce qui est une contradiction.

Supposons que \(X = X_0 \amalg X_1\) soit une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés. Considérons le morphisme fini étale \(U = X_1 \to X\). Alors \(U = X \times_Y V\) pour un certain morphisme fini étale \(V \to Y\). Le degré du morphisme \(V \to Y\) est localement constant ; on obtient donc une décomposition \(Y = \coprod_{d \geq 0} Y_d\) en sous-schémas ouverts et fermés telle que \(V \to Y\) soit de degré \(d\) au-dessus de \(Y_d\). Puisque \(f^{-1}(Y_d) = \emptyset\) pour \(d > 1\), on conclut comme ci-dessus que \(Y_d = \emptyset\) pour \(d > 1\). Et l’on conclut que \(f^{-1}(Y_i) = X_i\) pour \(i = 0, 1\).

Il s’ensuit que \(f^{-1}\) induit une bijection entre l’ensemble des parties ouvertes et fermées de \(Y\) et celui des parties ouvertes et fermées de \(X\). Notons que \(X\) et \(Y\) sont des espaces spectraux ; voir Propriétés, lemme 094L. D’après Topologie, lemme 005F, le treillis des parties ouvertes et fermées d’un espace spectral détermine l’ensemble de ses composantes connexes. Ainsi \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\) est bijective. Puisque \(\pi_0(X)\) et \(\pi_0(Y)\) sont des espaces profinis (Topologie, lemme 0900), on conclut que \(\pi_0(X) \to \pi_0(Y)\) est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE. Ceci démontre (1). L’assertion (2) est immédiate.

Le lemme suivant nous dit que le groupe fondamental d’un couple hensélien est le groupe fondamental de la partie fermée.

Lemme

Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = \Spec(A/I)\). Le foncteur \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Z,\quad U \longmapsto U \times_X Z\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

C’est la traduction géométrique du lemme 09ZL de Compléments d’algèbre.

Le lemme suivant nous dit que le groupe fondamental d’un épaississement est le même que celui du schéma de départ. Nous l’utiliserons dans la preuve de la proposition forte sur les homéomorphismes universels ci-dessous.

Lemme

Soit \(X \subset X'\) un épaississement de schémas. Le foncteur \[\textit{F\'Et}_{X'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad U' \longmapsto U' \times_{X'} X\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Pour une discussion des épaississements, voir Compléments sur les morphismes, section 04EW. Soit \(U' \to X'\) un morphisme étale tel que \(U = U' \times_{X'} X \to X\) soit fini étale. Alors \(U' \to X'\) est lui aussi fini étale. Cela résulte par exemple de Compléments sur les morphismes, lemme 0BPG. Maintenant, si \(X \subset X'\) est un épaississement d’ordre fini, cette remarque, combinée avec Morphismes étales, théorème 039R, démontre le lemme. Nous allons démontrer ci-dessous le lemme pour les épaississements généraux, mais nous suggérons au lecteur de sauter la preuve.

Soit \(X' = \bigcup X_i'\) un recouvrement ouvert affine. Posons \(X_i = X \times_{X'} X_i'\), \(X_{ij}' = X'_i \cap X'_j\), \(X_{ij} = X \times_{X'} X_{ij}'\), \(X_{ijk}' = X'_i \cap X'_j \cap X'_k\), \(X_{ijk} = X \times_{X'} X_{ijk}'\). Supposons que nous puissions démontrer le résultat pour chacun des épaississements \(X_i \subset X'_i\), \(X_{ij} \subset X_{ij}'\) et \(X_{ijk} \subset X_{ijk}'\). Alors le résultat pour \(X \subset X'\) découle du recollement relatif des schémas ; voir Constructions, section 01LG. Observons que les schémas \(X_i'\), \(X_{ij}'\), \(X_{ijk}'\) sont tous séparés, comme sous-schémas ouverts de schémas affines. En répétant l’argument une fois de plus, on se ramène au cas où les schémas \(X'_i\), \(X_{ij}'\), \(X_{ijk}'\) sont affines.

Dans le cas affine, on a \(X' = \Spec(A')\) et \(X = \Spec(A'/I')\), où \(I'\) est un idéal localement nilpotent. Alors \((A', I')\) est un couple hensélien (Compléments d’algèbre, lemme 0ALI), et le résultat découle du lemme 09ZS (qui est beaucoup plus facile dans ce cas).

La “bonne” manière de démontrer la proposition suivante serait de la déduire de l’invariance du site étale ; voir Cohomologie étale, théorème 04DZ.

Proposition

Soit \(f : X \to Y\) un homéomorphisme universel de schémas. Alors \[\textit{F\'Et}_Y \longrightarrow \textit{F\'Et}_X,\quad V \longmapsto V \times_Y X\] est une équivalence. Ainsi, si \(X\) et \(Y\) sont connexes, alors \(f\) induit un isomorphisme \(\pi_1(X, \overline{x}) \to \pi_1(Y, \overline{y})\) de groupes fondamentaux.

Démonstration

Rappelons qu’un homéomorphisme universel est la même chose qu’un morphisme entier, universellement injectif et surjectif ; voir Morphismes, lemme 04DF. En particulier, la diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est un épaississement d’après Morphismes, lemme 01S4. Ainsi, d’après le lemme 0BQB, étant donné un morphisme fini étale \(U \to X\), il existe un unique isomorphisme \[\varphi : U \times_Y X \to X \times_Y U\] de schémas finis étales sur \(X \times_Y X\) dont l’image réciproque par \(\Delta\) est \(\text{id} : U \to U\) sur \(X\). Puisque \(X \to X \times_Y X \times_Y X\) est également un épaississement (c’est une immersion fermée bijective), on conclut que \((U, \varphi)\) est une donnée de descente relativement à \(X/Y\). D’après Morphismes étales, proposition 0BTP, on conclut que \(U = X \times_Y V\) pour un certain \(V \to Y\) quasi-compact, séparé et étale. Nous omettons la preuve que \(V \to Y\) est fini (indications : le morphisme \(U \to V\) est surjectif et \(U \to Y\) est entier). On conclut que \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) est essentiellement surjectif.

En raisonnant de la même manière que ci-dessus, on voit qu’étant donnés \(V_1 \to Y\) et \(V_2 \to Y\) dans \(\textit{F\'Et}_Y\), tout morphisme \(a : X \times_Y V_1 \to X \times_Y V_2\) sur \(X\) est compatible avec les données de descente canoniques. Ainsi \(a\) provient d’un morphisme \(V_1 \to V_2\) sur \(Y\) d’après Morphismes étales, lemme 0BTL.

Revêtements finis étales des schémas propres

Dans cette section, nous montrons que le groupe fondamental d’un schéma propre connexe sur un anneau local hensélien est le même que le groupe fondamental de sa fibre spéciale. Nous démontrons aussi une variante de ce résultat pour un couple hensélien.

Nous montrons également que le groupe fondamental d’un schéma propre connexe sur un corps algébriquement clos \(k\) ne change pas si l’on remplace \(k\) par une extension algébriquement close.

Au lieu d’énoncer et de démontrer les résultats dans le cas connexe, nous les démontrons en général et laissons au lecteur le soin d’en déduire le résultat pour les groupes fondamentaux à l’aide du lemme 0BQA.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local hensélien. Soit \(X\) un schéma propre sur \(A\), de fibre fermée \(X_0\). Alors le foncteur \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

La preuve donnée ici est un exemple d’application de l’algébrisation et de l’approximation. Nous procédons en plusieurs étapes.

Surjectivité essentielle lorsque \(A\) est un anneau local noethérien complet. Soit \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/\mathfrak m^{n + 1})\). D’après Morphismes étales, théorème 039R, les inclusions \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] induisent des équivalences de catégories entre la catégorie des schémas étales sur \(X_0\) et la catégorie des schémas étales sur \(X_n\). De plus, si \(U_n \to X_n\) correspond à un morphisme fini étale \(U_0 \to X_0\), alors \(U_n \to X_n\) est également fini, par exemple d’après Compléments sur les morphismes, lemme 09ZW. Dans ce cas, le morphisme \(U_0 \to \Spec(A/\mathfrak m)\) est propre puisque \(X_0\) est propre sur \(A/\mathfrak m\). Nous pouvons donc appliquer le théorème d’algébrisation de Grothendieck (sous la forme du lemme de Cohomologie des schémas 09ZT) pour voir qu’il existe un morphisme fini \(U \to X\) dont la restriction à \(X_0\) redonne \(U_0\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0A43, on voit que \(U \to X\) est étale en tout point de \(U_0\). Cependant, puisque tout point de \(U\) se spécialise en un point de \(U_0\) (car \(U\) est propre sur \(A\)), on conclut que \(U \to X\) est étale. On conclut ainsi que le foncteur est essentiellement surjectif.

Pleine fidélité lorsque \(A\) est un anneau local noethérien complet. Soient \(U \to X\) et \(V \to X\) des morphismes finis étales, et soit \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\) un morphisme sur \(X_0\). Considérons le morphisme \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] Ce morphisme est à la fois fini étale et une immersion fermée. En appliquant la surjectivité essentielle au schéma \(U \times_X V\), on trouve un morphisme fini étale \(W \to U \times_X V\) dont la fibre spéciale est isomorphe à \(\Gamma_{\varphi_0}\). Considérons la projection \(W \to U\). Elle est finie étale et est un isomorphisme au-dessus de \(U_0\) par construction. D’après Morphismes étales, lemme 04DH, \(W \to U\) est un isomorphisme dans un voisinage ouvert de \(U_0\). C’est donc un isomorphisme, et la composée \(\varphi : U \cong W \to V\) est le relèvement voulu de \(\varphi_0\).

Surjectivité essentielle lorsque \(A\) est un G-anneau local noethérien hensélien. Soit \(U_0 \to X_0\) un morphisme fini étale. Soit \(A^\wedge\) le complété de \(A\) pour la topologie définie par l’idéal maximal. Soit \(X^\wedge\) le changement de base de \(X\) à \(A^\wedge\). D’après le résultat précédent, il existe un morphisme fini étale \(V \to X^\wedge\) dont la fibre spéciale est \(U_0\). Écrivons \(A^\wedge = \colim A_i\), où \(A \to A_i\) est de type fini. D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un indice \(i\) et un morphisme de présentation finie \(U_i \to X_{A_i}\) dont le changement de base à \(X^\wedge\) est \(V\). En augmentant \(i\), on peut supposer que \(U_i \to X_{A_i}\) est fini et étale (Limites, lemmes 01ZO et 07RP). En écrivant \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] l’homomorphisme d’anneaux \(A_i \to A^\wedge\) peut se réinterpréter comme une solution \((a_1, \ldots, a_n)\) dans \(A^\wedge\) du système d’équations \(f_j = 0\). D’après Lissage des morphismes d’anneaux, théorème 07QY, on peut approcher cette solution (à l’ordre \(11\), par exemple) par une solution \((b_1, \ldots, b_n)\) dans \(A\). En retraduisant, on trouve un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A_i \to A\) qui donne le même point fermé que l’homomorphisme initial \(A_i \to A^\wedge\) (car \(11 > 1\)). Le changement de base \(U \to X\) de \(U_i \to X_{A_i}\) par cet homomorphisme d’anneaux sera donc un morphisme fini étale dont la fibre spéciale est isomorphe à \(U_0\).

Pleine fidélité lorsque \(A\) est un G-anneau local noethérien hensélien. Elle se déduit de la surjectivité essentielle exactement de la même manière que dans le cas où \(A\) est noethérien complet.

Cas général. Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local hensélien. Posons \(S = \Spec(A)\) et notons \(s \in S\) le point fermé. D’après Limites, lemme 0A0P, on peut écrire \(X \to \Spec(A)\) comme une limite cofiltrante de morphismes propres \(X_i \to S_i\), où \(S_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour chaque \(i\), soit \(s_i \in S_i\) l’image de \(s\). Puisque \(S = \lim S_i\) et \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), on a \(A = \colim \mathcal{O}_{S_i, s_i}\). L’anneau \(A_i = \mathcal{O}_{S_i, s_i}\) est un G-anneau local noethérien (Compléments d’algèbre, proposition 07PX). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A04, on voit que \(A = \colim A_i^h\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07QR, les anneaux \(A_i^h\) sont des G-anneaux. Ainsi \(A = \colim A_i^h\) et \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] comme schémas. La catégorie des schémas finis étales sur \(X\) est la limite des catégories de schémas finis étales sur \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) (d’après Limites, lemmes 01ZM, 01ZO et 07RP). Il en va de même pour les schémas finis étales sur \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} s_i)\). Ainsi, on déduit formellement le résultat pour \(X / \Spec(A)\) du résultat pour les \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\) traité ci-dessus.

Lemme

Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Soit \(X\) un schéma propre sur \(A\). Posons \(X_0 = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I)\). Alors le foncteur \[\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_0},\quad U \longmapsto U_0 = U \times_X X_0\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

La preuve de ce lemme est exactement la même que celle du lemme 0A48.

Surjectivité essentielle lorsque \(A\) est noethérien et complet pour la topologie \(I\)-adique. Soit \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I^{n + 1})\). D’après Morphismes étales, théorème 039R, les inclusions \[X_0 \to X_1 \to X_2 \to \ldots\] induisent des équivalences de catégories entre la catégorie des schémas étales sur \(X_0\) et la catégorie des schémas étales sur \(X_n\). De plus, si \(U_n \to X_n\) correspond à un morphisme fini étale \(U_0 \to X_0\), alors \(U_n \to X_n\) est également fini, par exemple d’après Compléments sur les morphismes, lemme 09ZW. Dans ce cas, le morphisme \(U_0 \to \Spec(A/I)\) est propre puisque \(X_0\) est propre sur \(A/I\). Nous pouvons donc appliquer le théorème d’algébrisation de Grothendieck (sous la forme du lemme de Cohomologie des schémas 09ZT) pour voir qu’il existe un morphisme fini \(U \to X\) dont la restriction à \(X_0\) redonne \(U_0\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0A43, on voit que \(U \to X\) est étale en tout point de \(U_0\). Cependant, puisque tout point de \(U\) se spécialise en un point de \(U_0\) (car \(U\) est propre sur \(A\)), on conclut que \(U \to X\) est étale. On conclut ainsi que le foncteur est essentiellement surjectif.

Pleine fidélité lorsque \(A\) est noethérien et complet pour la topologie \(I\)-adique. Soient \(U \to X\) et \(V \to X\) des morphismes finis étales, et soit \(\varphi_0 : U_0 \to V_0\) un morphisme sur \(X_0\). Considérons le morphisme \[\Gamma_{\varphi_0} : U_0 \longrightarrow U_0 \times_{X_0} V_0\] Ce morphisme est à la fois fini étale et une immersion fermée. En appliquant la surjectivité essentielle au schéma \(U \times_X V\), on trouve un morphisme fini étale \(W \to U \times_X V\) dont la fibre spéciale est isomorphe à \(\Gamma_{\varphi_0}\). Considérons la projection \(W \to U\). Elle est finie étale et est un isomorphisme au-dessus de \(U_0\) par construction. D’après Morphismes étales, lemme 04DH, \(W \to U\) est un isomorphisme dans un voisinage ouvert de \(U_0\). C’est donc un isomorphisme, et la composée \(\varphi : U \cong W \to V\) est le relèvement voulu de \(\varphi_0\).

Surjectivité essentielle lorsque \((A, I)\) est un couple hensélien et que \(A\) est un G-anneau noethérien. Soit \(U_0 \to X_0\) un morphisme fini étale. Soit \(A^\wedge\) le complété de \(A\) pour la topologie \(I\)-adique. Observons que \(A^\wedge\) est un anneau noethérien qui est complet pour la topologie \(IA^\wedge\)-adique ; voir Algèbre, lemmes 031C et 0316. Soit \(X^\wedge\) le changement de base de \(X\) à \(A^\wedge\). D’après le résultat précédent, il existe un morphisme fini étale \(V \to X^\wedge\) dont la fibre spéciale est \(U_0\). Écrivons \(A^\wedge = \colim A_i\), où \(A \to A_i\) est de type fini. D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un indice \(i\) et un morphisme de présentation finie \(U_i \to X_{A_i}\) dont le changement de base à \(X^\wedge\) est \(V\). En augmentant \(i\), on peut supposer que \(U_i \to X_{A_i}\) est fini et étale (Limites, lemmes 01ZO et 07RP). En écrivant \[A_i = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] l’homomorphisme d’anneaux \(A_i \to A^\wedge\) peut se réinterpréter comme une solution \((a_1, \ldots, a_n)\) dans \(A^\wedge\) du système d’équations \(f_j = 0\). D’après Lissage des morphismes d’anneaux, lemme 0AH5, on peut approcher cette solution (à l’ordre \(11\), par exemple) par une solution \((b_1, \ldots, b_n)\) dans \(A\). En retraduisant, on trouve un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A_i \to A\) qui donne le même point fermé que l’homomorphisme initial \(A_i \to A^\wedge\) (car \(11 > 1\)). Le changement de base \(U \to X\) de \(U_i \to X_{A_i}\) par cet homomorphisme d’anneaux sera donc un morphisme fini étale dont la fibre spéciale est isomorphe à \(U_0\).

Pleine fidélité lorsque \((A, I)\) est un couple hensélien et que \(A\) est un G-anneau noethérien. Elle se déduit de la surjectivité essentielle exactement de la même manière que dans le cas où \(A\) est noethérien complet.

Cas général. Soit \((A, I)\) un couple hensélien. Posons \(S = \Spec(A)\) et notons \(S_0 = \Spec(A/I)\). D’après Limites, lemme 0A0P, on peut écrire \(X \to \Spec(A)\) comme une limite cofiltrante de morphismes propres \(X_i \to S_i\), où \(S_i\) est affine et de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Écrivons \(S_i = \Spec(A_i)\) et notons \(I_i \subset A_i\) l’image réciproque de \(I\) par l’application \(A_i \to A\). Posons \(S_{i, 0} = \Spec(A_i/I_i)\). Puisque \(S = \lim S_i\), on a \(A = \colim A_i\). Ainsi, on a aussi \(I = \colim I_i\) et \(A/I = \colim A_i/I_i\). L’anneau \(A_i\) est un G-anneau noethérien (Compléments d’algèbre, proposition 07PX). Notons \((A_i^h, I_i^h)\) l’hensélisation de la paire \((A_i, I_i)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0A04, on voit que \(A = \colim A_i^h\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0AH3, les anneaux \(A_i^h\) sont des G-anneaux. Ainsi \(A = \colim A_i^h\) et \[X = \lim (X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h))\] comme schémas. La catégorie des schémas finis étales sur \(X\) est la limite des catégories de schémas finis étales sur \(X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)\) (d’après Limites, lemmes 01ZM, 01ZO et 07RP). Il en va de même pour les schémas finis étales sur \(X_0 = \lim (X_i \times_{S_i} S_{i, 0})\). Ainsi, on déduit formellement le résultat pour \(X / \Spec(A)\) du résultat pour les \((X_i \times_{S_i} \Spec(A_i^h)) / \Spec(A_i^h)\) traité ci-dessus.

Lemme

Soit \(k'/k\) une extension de corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Alors le foncteur \[U \longmapsto U_{k'}\] est une équivalence de catégories entre les schémas finis étales sur \(X\) et les schémas finis étales sur \(X_{k'}\).

Démonstration

Démontrons que le foncteur est essentiellement surjectif. Soit \(U' \to X_{k'}\) un morphisme fini étale. Écrivons \(k' = \colim A_i\) comme colimite filtrante de \(k\)-algèbres de type fini. D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un indice \(i\) et un morphisme de présentation finie \(U_i \to X_{A_i}\) dont le changement de base à \(X_{k'}\) est \(U'\). En augmentant \(i\), on peut supposer que \(U_i \to X_{A_i}\) est fini et étale (Limites, lemmes 01ZO et 07RP). Puisque \(k\) est algébriquement clos, on peut trouver un point à valeurs dans \(k\), disons \(t\), de \(\Spec(A_i)\). Soit \(U = (U_i)_t\) la fibre de \(U_i\) au-dessus de \(t\). Soit \(A_i^h\) l’hensélisé de \((A_i)_{\mathfrak m}\), où \(\mathfrak m\) est l’idéal maximal correspondant au point \(t\). D’après le lemme 0A48, on voit que \((U_i)_{A_i^h} = U \times \Spec(A_i^h)\) comme schémas sur \(X_{A_i^h}\). Maintenant, puisque \(A_i^h\) est algébrique sur \(A_i\) (voir par exemple la discussion de Lissage des morphismes d’anneaux, exemple 0A1W) et puisque \(k'\) est algébriquement clos, on peut trouver un homomorphisme d’anneaux \(A_i^h \to k'\) qui prolonge l’inclusion donnée \(A_i \subset k'\). On conclut donc que \(U'\) est isomorphe au changement de base de \(U\). La preuve de la pleine fidélité est exactement la même.

Connexité locale

Dans cette section, nous demandons quand \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) est surjectif pour \(U\) un ouvert dense d’un schéma \(X\). Nous verrons que c’est le cas (en gros) lorsque \(U \cap B\) est connexe pour toute petite “boule” \(B\) autour d’un point \(x \in X \setminus U\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(f(X)\) est dense dans \(Y\), alors le foncteur de changement de base \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_X\) est fidèle.

Démonstration

Puisque la catégorie des revêtements finis étales possède un Hom interne (lemme 0BL7), il suffit de démontrer ce qui suit : étant donné \(W\) fini étale sur \(Y\) et un morphisme \(s : X \to W\) sur \(Y\), il existe au plus une section \(t : Y \to W\) telle que \(s = t \circ f\). Considérons deux sections \(t_1, t_2 : Y \to W\) telles que \(s = t_1 \circ f = t_2 \circ f\). Puisque l’égalisateur de \(t_1\) et \(t_2\) est fermé dans \(Y\) (Schémas, lemme 01KM) et puisque \(f(X)\) est dense dans \(Y\), on voit que \(t_1\) et \(t_2\) coïncident sur \(Y_{red}\). Il s’ensuit que \(t_1\) et \(t_2\) ont la même image, qui est un sous-schéma ouvert et fermé de \(W\) s’envoyant isomorphiquement sur \(Y\) (Morphismes étales, proposition 024T) ; ils sont donc égaux.

La condition du lemme suivant, selon laquelle le spectre épointé du hensélisé strict est connexe, résulte par exemple de l’hypothèse que l’anneau local est géométriquement unibranche ; voir Compléments d’algèbre, lemme 06DM. Il existe une réciproque partielle dans Propriétés, lemme 0BQ4.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Si le spectre épointé du hensélisé strict de \(A\) est connexe, alors \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U,\quad Y \longmapsto Y \times_X U\] est un foncteur pleinement fidèle.

Démonstration

Supposons \(A\) strictement hensélien. Dans ce cas, tout revêtement fini étale \(Y\) de \(X\) est isomorphe à une réunion disjointe finie de copies de \(X\). Il suffit donc de démontrer que tout morphisme \(U \to U \amalg \ldots \amalg U\) sur \(U\) se prolonge de manière unique en un morphisme \(X \to X \amalg \ldots \amalg X\) sur \(X\). Si \(U\) est connexe (donc en particulier non vide), cela est vrai.

Cas général. Puisque la catégorie des revêtements finis étales possède un Hom interne (lemme 0BL7), il suffit de démontrer ce qui suit : étant donné \(Y\) fini étale sur \(X\), tout morphisme \(s : U \to Y\) sur \(X\) se prolonge en un morphisme \(t : X \to Y\) sur \(X\). Soit \(A^{sh}\) l’hensélisé strict de \(A\) et notons \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\), \(U^{sh} = U \times_X X^{sh}\), \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh}\). D’après le premier paragraphe et notre hypothèse sur \(A\), on peut prolonger le changement de base \(s^{sh} : U^{sh} \to Y^{sh}\) de \(s\) en \(t^{sh} : X^{sh} \to Y^{sh}\). Posons \(A' = A^{sh} \otimes_A A^{sh}\). Alors les deux images réciproques \(t'_1, t'_2\) de \(t^{sh}\) sur \(X' = \Spec(A')\) sont des prolongements de l’image réciproque \(s'\) de \(s\) sur \(U' = U \times_X X'\). Comme \(A \to A'\) est plat, on voit que \(U' \subset X'\) est dense (topologiquement) par descente des idéaux premiers pour \(A \to A'\) (Algèbre, lemme 00HS). Ainsi, \(t'_1 = t'_2\) d’après le lemme 0BQE. Par conséquent, \(t^{sh}\) provient d’un morphisme \(t : X \to Y\), par exemple d’après Descente, lemme 023Q.

Au vu du lemme 0BLQ, il est intéressant de savoir quand le spectre épointé d’un anneau (et celui de son hensélisé strict) est connexe. Il existe un célèbre lemme dû à Hartshorne qui donne une condition suffisante ; voir Cohomologie locale, lemme 0BLR.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un ouvert dense. Supposons que

1. l’espace topologique sous-jacent à \(X\) soit noethérien, et

2. pour tout \(x \in X \setminus U\), le spectre épointé du hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit connexe.

Alors \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soient \(Y_1, Y_2\) finis étales sur \(X\) et soit \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) un morphisme sur \(U\). Il faut montrer que \(\varphi\) se prolonge de manière unique en un morphisme \(Y_1 \to Y_2\) sur \(X\). L’unicité découle du lemme 0BQE.

Soit \(x \in X \setminus U\) un point générique d’une composante irréductible de \(X \setminus U\). Posons \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). Par notre choix de \(x\), c’est le spectre épointé de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). D’après le lemme 0BLQ, on peut prolonger de manière unique le morphisme \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\) en un morphisme \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\). D’après Limites, lemme 0BQ5, on trouve un ouvert \(U \subset U'\) contenant \(x\) et un prolongement \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\) de \(\varphi\). Puisque l’espace topologique sous-jacent à \(X\) est noethérien, ceci achève la preuve par récurrence noethérienne sur le complémentaire de l’ouvert sur lequel \(\varphi\) est défini.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un ouvert dense. Supposons que

1. \(U \to X\) soit quasi-compact,

2. tout point de \(X \setminus U\) soit fermé, et

3. pour tout \(x \in X \setminus U\), le spectre épointé du hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit connexe.

Alors \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soient \(Y_1, Y_2\) finis étales sur \(X\) et soit \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) un morphisme sur \(U\). Il faut montrer que \(\varphi\) se prolonge de manière unique en un morphisme \(Y_1 \to Y_2\) sur \(X\). L’unicité découle du lemme 0BQE.

Soit \(x \in X \setminus U\). Posons \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). Puisque tout point de \(X \setminus U\) est fermé, \(V\) est le spectre épointé de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). D’après le lemme 0BLQ, on peut prolonger de manière unique le morphisme \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\) en un morphisme \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\). D’après Limites, lemme 0BQ5, (ceci utilise que \(U\) est rétrocompact dans \(X\)), on trouve un ouvert \(U \subset U'_x\) contenant \(x\) et un prolongement \(\varphi'_x : (Y_1)_{U'_x} \to (Y_2)_{U'_x}\) de \(\varphi\). Notons qu’étant donnés deux points \(x, x' \in X \setminus U\), les morphismes \(\varphi'_x\) et \(\varphi'_{x'}\) coïncident sur \(U'_x \cap U'_{x'}\), car \(U\) est dense dans cet ouvert (lemme 0BQE). Ainsi, on peut prolonger \(\varphi\) à \(\bigcup U'_x = X\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un ouvert dense. Supposons que

1. tout ouvert quasi-compact de \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles,

2. pour tout \(x \in X \setminus U\), le spectre épointé du hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit connexe.

Alors \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soient \(Y_1, Y_2\) finis étales sur \(X\) et soit \(\varphi : (Y_1)_U \to (Y_2)_U\) un morphisme sur \(U\). Il faut montrer que \(\varphi\) se prolonge de manière unique en un morphisme \(Y_1 \to Y_2\) sur \(X\). L’unicité découle du lemme 0BQE. Nous allons démontrer l’existence en montrant que nous pouvons agrandir \(U\) si \(U \not = X\), puis conclure à l’aide du lemme de Zorn.

Soit \(x \in X \setminus U\) un point générique d’une composante irréductible de \(X \setminus U\). Posons \(V = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). Par notre choix de \(x\), c’est le spectre épointé de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). D’après le lemme 0BLQ, on peut prolonger le morphisme \(\varphi_V : (Y_1)_V \to (Y_2)_V\) (de manière unique) en un morphisme \((Y_1)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})} \to (Y_2)_{\Spec(\mathcal{O}_{X, x})}\). Choisissons un voisinage affine \(W \subset X\) de \(x\). Puisque \(U \cap W\) est dense dans \(W\), il contient les points génériques \(\eta_1, \ldots, \eta_n\) de \(W\). Choisissons un ouvert affine \(W' \subset W \cap U\) contenant \(\eta_1, \ldots, \eta_n\). Posons \(V' = W' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\). D’après Limites, lemme 0BQ5, appliqué à \(x \in W \supset W'\), on trouve un ouvert \(W' \subset W'' \subset W\) avec \(x \in W''\) et un morphisme \(\varphi'' : (Y_1)_{W''} \to (Y_2)_{W''}\) coïncidant avec \(\varphi\) sur \(W'\). Puisque \(W'\) est dense dans \(W'' \cap U\), le lemme 0BQE montre que \(\varphi\) et \(\varphi''\) coïncident sur \(U \cap W''\). Ainsi, \(\varphi\) et \(\varphi''\) se recollent en un morphisme \(\varphi'\) sur \(U' = U \cup W''\) qui coïncide avec \(\varphi\) sur \(U\). Observons que \(x \in U'\), de sorte que nous avons prolongé \(\varphi\) à un ouvert strictement plus grand.

Considérons l’ensemble \(\mathcal{S}\) des couples \((U', \varphi')\) où \(U \subset U'\) et où \(\varphi'\) est un prolongement de \(\varphi\). Munissons \(\mathcal{S}\) de l’ordre partiel évident. Si les couples \((U'_i, \varphi'_i)\) forment une chaîne, celle-ci admet une borne supérieure \((U', \varphi')\). Il suffit de prendre \(U' = \bigcup U'_i\) et de définir \(\varphi' : (Y_1)_{U'} \to (Y_2)_{U'}\) comme le morphisme qui coïncide avec \(\varphi'_i\) sur \(U'_i\). Le lemme de Zorn s’applique donc, et \(\mathcal{S}\) possède un élément maximal. D’après l’argument précédent, on voit que cet élément maximal est un prolongement de \(\varphi\) sur tout \(X\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(U^{sh}\) le spectre épointé de l’hensélisé strict \(A^{sh}\) de \(A\). Supposons \(U\) quasi-compact et \(U^{sh}\) connexe. Alors la suite \[\pi_1(U^{sh}, \overline{u}) \to \pi_1(U, \overline{u}) \to \pi_1(X, \overline{u}) \to 1\] est exacte au sens du lemme 0BS9, partie (1).

Démonstration

L’application \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) est surjective d’après les lemmes 0BLQ et 0BN6.

Écrivons \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\). Soit \(Y \to X\) un morphisme fini étale. Alors \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\) est un morphisme fini étale. Puisque \(A^{sh}\) est strictement hensélien, on voit que \(Y^{sh}\) est isomorphe à une réunion disjointe de copies de \(X^{sh}\). Il en va donc de même pour \(Y \times_X U^{sh}\). Il s’ensuit que la composée \(\pi_1(U^{sh}) \to \pi_1(U) \to \pi_1(X)\) est triviale ; voir le lemme 0BS8.

Pour achever la preuve, il suffit, d’après le lemme 0BS9, de montrer ce qui suit : étant donné un morphisme fini étale \(V \to U\) tel que \(V \times_U U^{sh}\) soit une réunion disjointe de copies de \(U^{sh}\), on peut trouver un morphisme fini étale \(Y \to X\) avec \(V \cong Y \times_X U\) sur \(U\). L’hypothèse implique qu’il existe un morphisme fini étale \(Y^{sh} \to X^{sh}\) et un isomorphisme \(V \times_U U^{sh} \cong Y^{sh} \times_{X^{sh}} U^{sh}\). Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ U \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh} \ar[d] \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] \\ X & X^{sh} \ar[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh} \ar@<1ex>[l] \ar[l] \ar@<-1ex>[l] }\] Puisque l’immersion ouverte \(U \subset X\) est quasi-compacte par hypothèse, toutes les flèches verticales sont des immersions ouvertes quasi-compactes. Soit \(\xi \in X^{sh} \times_X X^{sh}\) un point qui n’appartient pas à \(U^{sh} \times_U U^{sh}\). Alors \(\xi\) est au-dessus du point fermé \(x^{sh}\) de \(X^{sh}\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux locaux \[A^{sh} = \mathcal{O}_{X^{sh}, x^{sh}} \to \mathcal{O}_{X^{sh} \times_X X^{sh}, \xi}\] déterminé par la première projection \(X^{sh} \times_X X^{sh}\). C’est une colimite filtrante d’homomorphismes locaux obtenus par localisation d’homomorphismes d’anneaux étales. Puisque \(A^{sh}\) est strictement hensélien, on conclut que c’est un isomorphisme. Comme ceci vaut pour tout \(\xi\) du complémentaire, il n’y a pas de spécialisations entre ces points ; chacun de ces \(\xi\) est donc un point fermé (on peut aussi le démontrer directement). Puisque l’anneau local en \(\xi\) est isomorphe à \(A^{sh}\), il est strictement hensélien et son spectre épointé est connexe. Il en va de même pour les points \(\xi\) de \(X^{sh} \times_X X^{sh} \times_X X^{sh}\) qui ne sont pas dans \(U^{sh} \times_U U^{sh} \times_U U^{sh}\). Il résulte du lemme 0BSA que l’image réciproque par les flèches verticales induit des foncteurs pleinement fidèles sur les catégories de schémas finis étales. Ainsi, la donnée de descente canonique sur \(V \times_U U^{sh}\) relativement au recouvrement fpqc \(\{U^{sh} \to U\}\) se transporte en une donnée de descente pour \(Y^{sh}\) relativement au recouvrement fpqc \(\{X^{sh} \to X\}\). Puisque \(Y^{sh} \to X^{sh}\) est fini, donc affine, cette donnée de descente est effective (Descente, lemme 0245). On obtient ainsi un morphisme affine \(Y \to X\) et un isomorphisme \(Y \times_X X^{sh} \to Y^{sh}\) compatible avec les données de descente. Par pleine fidélité des données de descente (comme dans Descente, lemme 02W0), on obtient un isomorphisme \(V \to U \times_X Y\). Enfin, \(Y \to X\) est fini étale puisque \(Y^{sh} \to X^{sh}\) l’est ; voir Descente, lemmes 02VN et 02LA.

Soit \(X\) un schéma irréductible. Soit \(\eta \in X\) le point générique. Le morphisme canonique \(\eta \to X\) induit une application canonique [0BQH]\[\begin{equation} \text{Gal}(\kappa(\eta)^{sep}/\kappa(\eta)) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta}) \end{equation}\] L’identification du membre de gauche est donnée par le lemme 0BNE.

Lemme

Soit \(X\) un schéma irréductible et géométriquement unibranche. Pour tout ouvert non vide \(U \subset X\), l’application canonique \[\pi_1(U, \overline{u}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{u})\] est surjective. L’application (0BQH) \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\) est également surjective.

Démonstration

D’après le lemme 0BQB, on peut remplacer \(X\) par son réduit. On peut donc supposer que \(X\) est un schéma intègre. D’après le lemme 0BN6, l’assertion du lemme revient à affirmer que les foncteurs \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) et \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\) sont pleinement fidèles.

Le résultat pour \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) découle du lemme 0BQG et du fait que, pour un anneau local \(A\) qui est géométriquement unibranche, son hensélisé strict possède un spectre irréductible. Voir Compléments d’algèbre, lemme 06DM.

Observons que le corps résiduel \(\kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\) est la colimite filtrante des \(\mathcal{O}_X(U)\), où \(U \subset X\) parcourt les ouverts affines non vides. Ainsi, \(\textit{F\'Et}_\eta\) est la colimite des catégories \(\textit{F\'Et}_U\) sur de tels \(U\) ; voir Limites, lemmes 01ZM, 01ZO et 07RP. Un argument formel montre alors que la pleine fidélité de \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_\eta\) découle de la pleine fidélité des foncteurs \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in X\) des points fermés en nombre fini tels que

1. \(U = X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\) soit connexe et soit un ouvert rétrocompact de \(X\), et

2. pour chaque \(i\), le spectre épointé \(U_i^{sh}\) du hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) soit connexe.

Alors l’application \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) est surjective et son noyau est le plus petit sous-groupe distingué fermé de \(\pi_1(U)\) qui contienne l’image de \(\pi_1(U_i^{sh}) \to \pi_1(U)\) pour \(i = 1, \ldots, n\).

Démonstration

La surjectivité découle des lemmes 0BSA et 0BN6. Nous pouvons considérer la suite d’applications \[\pi_1(U) \to \ldots \to \pi_1(X \setminus \{x_1, x_2\}) \to \pi_1(X \setminus \{x_1\}) \to \pi_1(X)\] Un argument de théorie des groupes montre alors qu’il suffit de démontrer l’assertion sur le noyau dans le cas \(n = 1\) (détails omis). Écrivons \(x = x_1\), \(U^{sh} = U_1^{sh}\), posons \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) et soit \(A^{sh}\) l’hensélisé strict. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] & \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\} \ar[l] \ar[d] & U^{sh} \ar[d] \ar[l] \\ X & \Spec(A) \ar[l] & \Spec(A^{sh}) \ar[l] }\] D’après le lemme 0BS9, il faut montrer que les morphismes finis étales \(V \to U\) dont les images réciproques sont des revêtements triviaux de \(U^{sh}\) se prolongent en des schémas finis étales sur \(X\). D’après le lemme 0BSB, nous connaissons l’énoncé correspondant pour les schémas finis étales sur le spectre épointé de \(A\). Cependant, d’après Limites, lemme 0BPA, les schémas de présentation finie sur \(X\) s’identifient aux données formées de schémas de présentation finie sur \(U\) et sur \(A\), recollés sur le spectre épointé de \(A\). Ceci achève la preuve.

Groupes fondamentaux des schémas normaux

Soit \(X\) un schéma intègre et géométriquement unibranche. Dans la section précédente, nous avons vu que le groupe fondamental de \(X\) est un quotient du groupe de Galois du corps des fonctions rationnelles \(K\) de \(X\). Puisque l’application est continue, son noyau est un sous-groupe distingué fermé du groupe de Galois. Ce noyau correspond donc à une extension galoisienne \(M/K\) par la théorie de Galois (Corps, théorème 0BML). Dans cette section, nous allons déterminer \(M\) lorsque \(X\) est un schéma intègre normal.

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Soit \(L/K\) une extension finie. Considérons la normalisation \(Y \to X\) de \(X\) dans le morphisme \(\Spec(L) \to X\), telle qu’elle est définie dans Morphismes, section 0BAK. Nous dirons (dans cette situation) que \(X\) est non ramifié dans \(L\) si \(Y \to X\) est un morphisme non ramifié de schémas. Dans le lemme 0BTF, nous expliciterons cette condition. Observons que la fibre schématique de \(Y \to X\) au-dessus de \(\Spec(K)\) est \(\Spec(L)\). Ainsi, l’extension de corps \(L/K\) est séparable si \(X\) est non ramifié dans \(L\) ; voir Morphismes, lemme 02G7.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est non ramifié dans \(L\),

2. \(Y \to X\) est étale, et

3. \(Y \to X\) est fini étale.

Démonstration

Observons que \(Y \to X\) est un morphisme entier. Dans chacun des cas, le morphisme \(Y \to X\) est localement de type fini par définition. On trouve donc que, dans chacun des cas, \(Y \to X\) est fini d’après Morphismes, lemme 01WJ. En particulier, on voit que (2) est équivalent à (3). Un morphisme étale est non ramifié ; ainsi (2) implique (1).

Réciproquement, supposons \(Y \to X\) non ramifié. Puisqu’un schéma normal est géométriquement unibranche (Propriétés, lemme 0BQ3), on voit que le morphisme \(Y \to X\) est étale d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0GS9. Nous donnons aussi une preuve directe dans le paragraphe suivant.

Soit \(x \in X\). On peut choisir un voisinage étale \((U, u) \to (X, x)\) tel que \[Y \times_X U = \coprod V_j \longrightarrow U\] est une réunion disjointe d’immersions fermées, voir Morphismes étales, lemme 04HJ. En rétrécissant, on peut supposer \(U\) quasi-compact. Alors \(U\) possède un nombre fini de composantes irréductibles (Descente, lemme 0BAL). Puisque \(U\) est normal (Descente, lemme 034F), les composantes irréductibles de \(U\) sont ouvertes et fermées (Propriétés, lemme 0357) et on peut supposer \(U\) irréductible. Alors \(U\) est un schéma intègre dont le point générique \(\xi\) s’envoie sur le point générique de \(X\). D’autre part, nous savons que \(Y \times_X U\) est la normalisation de \(U\) dans \(\Spec(L) \times_X U\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 03GV. Tout point de \(\Spec(L) \times_X U\) s’envoie sur \(\xi\). Ainsi, tout \(V_j\) contient un point s’envoyant sur \(\xi\) d’après Morphismes, lemme 0AXP. Ainsi \(V_j \to U\) est un isomorphisme puisque \(U = \overline{\{\xi\}}\). Par conséquent, \(Y \times_X U \to U\) est étale. D’après Descente, lemme 02VN, on conclut que \(Y \to X\) est étale au-dessus de l’image de \(U \to X\) (un voisinage ouvert de \(x\)).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Soit \(Y \to X\) un morphisme fini étale. Si \(Y\) est connexe, alors \(Y\) est un schéma intègre normal et \(Y\) est la normalisation de \(X\) dans le corps des fonctions rationnelles de \(Y\).

Démonstration

Le schéma \(Y\) est normal d’après Descente, lemme 034F. Puisque \(Y \to X\) est plat, tout point générique de \(Y\) s’envoie sur le point générique de \(X\) d’après Morphismes, lemme 03HV. Puisque \(Y \to X\) est fini, on voit que \(Y\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Ainsi \(Y\) est la réunion disjointe d’un nombre fini de schémas intègres normaux d’après Propriétés, lemme 0357. Ainsi, si \(Y\) est connexe, alors \(Y\) est un schéma intègre normal.

Soit \(L\) le corps des fonctions rationnelles de \(Y\) et soit \(Y' \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(L\). D’après Morphismes, lemme 035I, on obtient une factorisation \(Y' \to Y \to X\) et \(Y' \to Y\) est la normalisation de \(Y\) dans \(L\). Puisque \(Y\) est normal, il est clair que \(Y' = Y\) (cela peut aussi se déduire de Morphismes, lemme 0AB1).

Proposition

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Alors l’application canonique (0BQH) \[\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\eta, \overline{\eta}) \longrightarrow \pi_1(X, \overline{\eta})\] s’identifie à la projection canonique \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K)\) où \(M \subset K^{sep}\) est la réunion des sous-extensions finies \(L\) telles que \(X\) est non ramifié dans \(L\).

Démonstration

Le schéma normal \(X\) est géométriquement unibranche (Propriétés, lemme 0BQ3). Le lemme 0BQI s’applique donc à \(X\). Ainsi \(\pi_1(\eta, \overline{\eta}) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\) est surjectif et la flèche horizontale supérieure du diagramme commutatif \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[r] \ar[d] \ar[rd]_c & \textit{F\'Et}_\eta \ar[d] \\ \textit{Finite-}\pi_1(X, \overline{\eta})\textit{-sets} \ar[r] & \textit{Finite-}\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-sets} }\] est pleinement fidèle. La flèche verticale de gauche est l’équivalence du théorème 0BND et la flèche verticale de droite est l’équivalence du lemme 0BNE. La flèche horizontale inférieure est induite par l’application de la proposition. D’après les lemmes 0BQK et 0BQL, on voit que l’image essentielle de \(c\) est constituée des \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\textit{-Ensembles}\) isomorphes à des ensembles de la forme \[S = \Hom_K(\prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} L_i, K^{sep}) = \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \Hom_K(L_i, K^{sep})\] où \(L_i/K\) est finie séparable et où \(X\) est non ramifié dans \(L_i\). Ainsi, si \(M \subset K^{sep}\) est comme dans l’énoncé du lemme, alors \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) est exactement le sous-groupe de \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) qui agit trivialement sur tout objet de l’image essentielle de \(c\). D’autre part, l’image essentielle de \(c\) est exactement la catégorie des \(S\) tels que l’action de \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) se factorise par la surjection \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \pi_1(X, \overline{\eta})\). On conclut que \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) est le noyau. Ainsi \(\text{Gal}(K^{sep}/M)\) est un sous-groupe distingué, \(M/K\) est galoisienne, et on a une suite exacte courte \[1 \to \text{Gal}(K^{sep}/M) \to \text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) \to 1\] d’après la théorie de Galois (Corps, théorème 0BML et lemme 0BMM). La démonstration est terminée.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local normal. Posons \(X = \Spec(A)\). Soit \(A^{sh}\) l’hensélisé strict de \(A\). Soient \(K\) et \(K^{sh}\) les corps des fractions de \(A\) et de \(A^{sh}\). Alors la suite \[\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X) \to 1\] est exacte au sens de la partie (1) du lemme 0BS9.

Démonstration

Observons que \(A^{sh}\) est un domaine normal, voir Compléments d’algèbre, lemme 06DI. L’application \(\pi_1(\Spec(K)) \to \pi_1(X)\) est surjective d’après la proposition 0BQM.

Écrivons \(X^{sh} = \Spec(A^{sh})\). Soit \(Y \to X\) un morphisme fini étale. Alors \(Y^{sh} = Y \times_X X^{sh} \to X^{sh}\) est un morphisme fini étale. Puisque \(A^{sh}\) est strictement hensélien, on voit que \(Y^{sh}\) est isomorphe à une réunion disjointe de copies de \(X^{sh}\). Il en va donc de même pour \(Y \times_X \Spec(K^{sh})\). Il s’ensuit que la composée \(\pi_1(\Spec(K^{sh})) \to \pi_1(X)\) est triviale, voir lemme 0BS8.

Pour achever la démonstration, il suffit, d’après le lemme 0BS9, de montrer ce qui suit : étant donné un morphisme fini étale \(V \to \Spec(K)\) tel que \(V \times_{\Spec(K)} \Spec(K^{sh})\) soit une réunion disjointe de copies de \(\Spec(K^{sh})\), on peut trouver un morphisme fini étale \(Y \to X\) avec \(V \cong Y \times_X \Spec(K)\) sur \(\Spec(K)\). Écrivons \(V = \Spec(L)\), de sorte que \(L\) est un produit fini d’extensions finies séparables de \(K\). Soit \(B \subset L\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(L\). Si \(A \to B\) est étale, alors on peut prendre \(Y = \Spec(B)\) et la démonstration est terminée. D’après Algèbre, lemme 03GG (et un passage à la limite que nous omettons), on voit que \(B \otimes_A A^{sh}\) est la clôture intégrale de \(A^{sh}\) dans \(L^{sh} = L \otimes_K K^{sh}\). Notre hypothèse est que \(L^{sh}\) est un produit de copies de \(K^{sh}\) et donc \(B^{sh}\) est un produit de copies de \(A^{sh}\). Ainsi \(A^{sh} \to B^{sh}\) est étale. Comme \(A \to A^{sh}\) est fidèlement plat, il s’ensuit que \(A \to B\) est étale (Descente, lemme 02VN), comme souhaité.

Actions de groupes et clôture intégrale

Dans cette section, on poursuit la discussion de Compléments d’algèbre, section 0BRE. Rappelons qu’un anneau local normal est un domaine par définition.

Lemme

Soit \(A\) un domaine normal dont le corps des fractions \(K\) est séparablement clos. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier non nul. Alors le corps résiduel \(\kappa(\mathfrak p)\) est algébriquement clos.

Démonstration

Supposons le lemme faux afin d’obtenir une contradiction. Il existe alors un polynôme unitaire irréductible \(P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\) de degré \(d > 1\). Après avoir remplacé \(P\) par \(a^d P(a^{-1}T)\) pour un \(a \in A\) convenable (afin d’éliminer les dénominateurs), on peut supposer que \(P\) est l’image d’un polynôme unitaire \(Q\) dans \(A[T]\). Observons que \(Q\) est irréductible dans \(K[T]\). En effet, une factorisation sur \(K\) conduit à une factorisation sur \(A\) d’après Algèbre, lemme 00H6, que l’on pourrait réduire modulo \(\mathfrak p\) pour obtenir une factorisation de \(P\). Comme \(K\) est séparablement clos, \(Q\) n’est pas un polynôme séparable (Corps, définition 09H1). La caractéristique de \(K\) est alors \(p > 0\) et \(Q\) a un terme linéaire nul (Corps, définition 09H1). Cependant, on peut alors remplacer \(Q\) par \(Q + a T\), où \(a \in \mathfrak p\) est non nul, pour obtenir une contradiction.

Lemme

Un anneau local normal dont le corps des fractions est séparablement clos est strictement hensélien.

Démonstration

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal dont le corps des fractions \(K\) est séparablement clos. Si \(A = K\), alors c’est terminé. Sinon, le corps résiduel \(\kappa\) est algébriquement clos d’après le lemme 0BSP et il suffit de vérifier que \(A\) est hensélien. Soit \(f \in A[T]\) unitaire et soit \(a_0 \in \kappa\) une racine de multiplicité \(1\) de la réduction \(\overline{f} \in \kappa[T]\). Soit \(f = \prod f_i\) la factorisation dans \(K[T]\). D’après Algèbre, lemme 00H6, on a \(f_i \in A[T]\). Ainsi \(a_0\) est une racine de \(f_i\) pour un certain \(i\). Après avoir remplacé \(f\) par \(f_i\), on peut supposer \(f\) irréductible. Alors, puisque la dérivée \(f'\) ne peut être nulle dans \(A[T]\) car \(a_0\) est une racine simple, on conclut que \(f\) est linéaire du fait que \(K\) est séparablement clos. Ainsi \(A\) est hensélien, voir Algèbre, définition 04GF.

Lemme

Soit \(G\) un groupe fini agissant sur un anneau \(R\). Soit \(R^G \to A\) un morphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak q' \subset A \otimes_{R^G} R\) un idéal premier au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak q \subset R\). Alors \[I_\mathfrak q = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\text{ et } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] est égal à \[I_{\mathfrak q'} = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q') = \mathfrak q'\text{ et } \sigma \bmod \mathfrak q' = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q')}\}\]

Démonstration

Puisque \(\mathfrak q\) est l’image réciproque de \(\mathfrak q'\) et puisque \(\kappa(\mathfrak q) \subset \kappa(\mathfrak q')\), on obtient \(I_{\mathfrak q'} \subset I_\mathfrak q\). Réciproquement, si \(\sigma \in I_\mathfrak q\), alors \(\sigma\) agit trivialement sur l’anneau de la fibre \(A \otimes_{R^G} \kappa(\mathfrak q)\). Ainsi \(\sigma\) fixe tous les idéaux premiers au-dessus de \(\mathfrak q\) et induit l’identité sur leurs corps résiduels.

Lemme

Soit \(G\) un groupe fini agissant sur un anneau \(R\). Soit \(\mathfrak q \subset R\) un idéal premier. Posons \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ et } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] Alors \(R^G \to R^I\) est étale en \(R^I \cap \mathfrak q\).

Démonstration

La stratégie de la démonstration consiste à utiliser une localisation étale pour se ramener au cas où \(R^G \to R^I\) est un isomorphisme local en \(R^I \cap \mathfrak q\). Soit \(R^G \to A\) un morphisme étale d’anneaux. On affirme que si le résultat vaut pour l’action de \(G\) sur \(A \otimes_{R^G} R\) et un idéal premier \(\mathfrak q'\) de \(A \otimes_{R^G} R\) au-dessus de \(\mathfrak q\), alors le résultat est vrai.

Pour le vérifier, observons que, puisque \(R^G \to A\) est plat, on a \(A = (A \otimes_{R^G} R)^G\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0BRH. D’après le lemme 0BSS, le groupe \(I\) ne change pas. Une seconde application de Compléments d’algèbre, lemme 0BRH, montre alors que \(A \otimes_{R^G} R^I = (A \otimes_{R^G} R)^I\) (parce que \(R^I \to A \otimes_{R^G} R^I\) est plat). Ainsi \[\xymatrix{ \Spec((A \otimes_{R^G} R)^I) \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^I) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R^G) }\] est cartésien et les flèches horizontales sont étales. Ainsi, si la flèche verticale de gauche est étale dans un voisinage ouvert \(W\) de \((A \otimes_{R^G} R)^I \cap \mathfrak q'\), alors la flèche verticale de droite est étale aux points de l’image (ouverte) de \(W\) dans \(\Spec(R^I)\), voir Descente, lemme 05B5. En particulier, le morphisme \(\Spec(R^I) \to \Spec(R^G)\) est étale en \(R^I \cap \mathfrak q\).

Soit \(\mathfrak p = R^G \cap \mathfrak q\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0BRI, la fibre de \(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\) au-dessus de \(\mathfrak p\) est finie. De plus, les extensions de corps résiduels en ces points sont algébriques, normales, à groupes d’automorphismes finis d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BRJ. On peut donc appliquer Compléments sur les morphismes, lemme 0BSR, au morphisme d’anneaux entier \(R^G \to R\) et à l’idéal premier \(\mathfrak p\). Combiné à l’affirmation ci-dessus, cela nous ramène au cas où \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\), chaque \(A_i\) possédant un unique idéal premier \(\mathfrak q_i\) au-dessus de \(\mathfrak p\), tel que les extensions de corps résiduels \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\) soient purement inséparables. Bien entendu, \(\mathfrak q\) est l’un de ces idéaux premiers, disons \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\).

Il se peut que \(G\) ne permute pas les facteurs \(A_i\) (ce serait vrai si le spectre de \(A_i\) était connexe, par exemple si \(R^G\) était local). On peut y remédier comme suit ; nous invitons le lecteur à le vérifier lui-même, éventuellement en utilisant des idempotents plutôt que la topologie. Rappelons que la décomposition en produit donne une décomposition correspondante de \(\Spec(R)\) en réunion disjointe de sous-ensembles ouverts et fermés \(U_i\). Puisque \(G\) est fini, on peut raffiner ce recouvrement en une décomposition en réunion disjointe finie \(\Spec(R) = \coprod_{j \in J} W_j\) par des sous-ensembles ouverts et fermés \(W_j\), telle que, pour tout \(j \in J\), il existe un \(j' \in J\) avec \(\sigma(W_j) = W_{j'}\). La réunion des \(W_j\) qui ne rencontrent pas \(\{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\}\) est un sous-ensemble fermé qui ne rencontre pas la fibre au-dessus de \(\mathfrak p\), donc s’envoie sur un sous-ensemble fermé de \(\Spec(R^G)\) qui ne contient pas \(\mathfrak p\), car \(\Spec(R) \to \Spec(R^G)\) est fermé. Ainsi, après avoir remplacé \(R^G\) par une localisation principale (ce qui est permis par l’affirmation), on peut supposer que chaque \(W_j\) rencontre l’un des points \(\mathfrak q_i\). On pose alors \(U_i = W_j\) si \(\mathfrak q_i \in W_j\). La décomposition en produit correspondante \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\) est telle que \(G\) permute les facteurs \(A_i\).

On peut donc supposer que l’on dispose d’une décomposition en produit \(R = A_1 \times \ldots \times A_n\) compatible avec l’action de \(G\), où chaque \(A_i\) possède un unique idéal premier \(\mathfrak q_i\) au-dessus de \(\mathfrak p\) et les extensions de corps \(\kappa(\mathfrak q_i)/\kappa(\mathfrak p)\) sont purement inséparables. Écrivons \(A' = A_2 \times \ldots \times A_n\), de sorte que \[R = A_1 \times A'\] Puisque \(\mathfrak q = \mathfrak q_1\), on trouve que tout \(\sigma \in I\) préserve la décomposition en produit ci-dessus. Par conséquent, \[R^I = (A_1)^I \times (A')^I\] Observons que \(I = D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q\}\) parce que \(\kappa(\mathfrak q)/\kappa(\mathfrak p)\) est purement inséparable. Puisque l’action de \(G\) sur les idéaux premiers au-dessus de \(\mathfrak p\) est transitive (Compléments d’algèbre, lemme 0BRI), on conclut que l’indice de \(I\) dans \(G\) est \(n\) et que l’on peut écrire \(G = eI \amalg \sigma_2I \amalg \ldots \amalg \sigma_nI\), de sorte que \(A_i = \sigma_i(A_1)\) pour \(i = 2, \ldots, n\). Il s’ensuit que \[R^G = (A_1)^I.\] Ainsi, l’application \(R^G \to R^I\) est étale en \(R^I \cap \mathfrak q\) et la démonstration est terminée.

Le lemme suivant généralise Compléments d’algèbre, lemme 09EH.

Lemme

Soit \(A\) un domaine normal de corps des fractions \(K\). Soit \(L/K\) une extension galoisienne (éventuellement infinie). Soit \(G = \text{Gal}(L/K)\) et soit \(B\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(L\). Soit \(\mathfrak q \subset B\). Posons \[I = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak q) = \mathfrak q \text{ et } \sigma \bmod \mathfrak q = \text{id}_{\kappa(\mathfrak q)}\}\] Alors \((B^I)_{B^I \cap \mathfrak q}\) est une colimite filtrante d’\(A\)-algèbres étales.

Démonstration

On peut écrire \(L\) comme colimite filtrante d’extensions galoisiennes finies de \(K\). Il suffit donc de démontrer ce lemme lorsque \(L/K\) est une extension galoisienne finie, voir Algèbre, lemme 0BSJ. Puisque \(A = B^G\), car \(A\) est intégralement clos dans \(K = L^G\), le résultat découle du lemme 0BST.

Théorie de la ramification

Dans cette section, on poursuit la discussion de Compléments d’algèbre, section 09E3, et on la relie à notre discussion des groupes fondamentaux des schémas.

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal de corps des fractions \(K\). Choisissons une clôture séparable \(K^{sep}\). Soit \(A^{sep}\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(K^{sep}\). Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m^{sep} \subset A^{sep}\). Soient \(A \subset A^h \subset A^{sh}\) l’hensélisé et l’hensélisé strict. Observons que \(A^h\) et \(A^{sh}\) sont eux aussi des anneaux normaux (Compléments d’algèbre, lemme 06DI). Notons \(K^h\) et \(K^{sh}\) leurs corps des fractions. Puisque \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) est strictement hensélien d’après le lemme 0BSQ, on peut choisir un morphisme de \(A\)-algèbres \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\). En effet, choisissons d’abord un \(\kappa\)-plongement⁴ \(\kappa(\mathfrak m^{sh}) \to \kappa(\mathfrak m^{sep})\) et prolongeons-le ensuite (de manière unique) en un homomorphisme de \(A\)-algèbres d’après Algèbre, lemme 04GU. On obtient le diagramme suivant \[\xymatrix{ K^{sep} & K^{sh} \ar[l] & K^h \ar[l] & K \ar[l] \\ (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}} \ar[u] & A^{sh} \ar[u] \ar[l] & A^h \ar[u] \ar[l] & A \ar[u] \ar[l] }\] On peut prendre les groupes fondamentaux des spectres de ces anneaux. Bien entendu, puisque \(K^{sep}\), \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) et \(A^{sh}\) sont strictement henséliens, on obtient pour eux des groupes triviaux. La partie intéressante est donc la suivante [0BSV]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \pi_1(U^{sh}) \ar[r] \ar[rd]_1 & \pi_1(U^h) \ar[d] \ar[r] & \pi_1(U) \ar[d] \\ & \pi_1(X^h) \ar[r] & \pi_1(X) } } \end{equation}\] Ici, \(X^h\) et \(X\) sont les spectres de \(A^h\) et \(A\), et \(U^{sh}\), \(U^h\), \(U\) sont les spectres de \(K^{sh}\), \(K^h\) et \(K\). L’indice \(1\) signifie que l’application est triviale ; cela résulte de ce qu’elle se factorise par le groupe trivial \(\pi_1(X^{sh})\). D’autre part, le groupe profini \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) agit sur \(A^{sep}\) et on peut poser les définitions suivantes \[D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\} \supset I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\] Ces groupes sont parfois appelés le groupe de décomposition et le groupe d’inertie, notamment lorsque \(A\) est un anneau de valuation discrète.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, via l’isomorphisme \(\pi_1(U) = \text{Gal}(K^{sep}/K)\), le diagramme (0BSV) se traduit par le diagramme \[\xymatrix{ I \ar[r] \ar[rd]_1 & D \ar[d] \ar[r] & \text{Gal}(K^{sep}/K) \ar[d] \\ & \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \ar[r] & \text{Gal}(M/K) }\] où \(K^{sep}/M/K\) est la sous-extension maximale non ramifiée relativement à \(A\). De plus, les flèches verticales sont surjectives, le noyau de la flèche verticale de gauche est \(I\) et le noyau de la flèche verticale de droite est le plus petit sous-groupe distingué fermé de \(\text{Gal}(K^{sep}/K)\) qui contient \(I\).

Démonstration

Par construction, le groupe \(D\) agit sur \((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) au-dessus de \(A\). Par l’unicité de \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) une fois donnée l’application sur les corps résiduels (Algèbre, lemme 04GU), on voit que l’image de \(A^{sh} \to (A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}}\) est contenue dans \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\). D’autre part, le lemme 0BSU montre que \(((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\) est une colimite filtrante d’extensions étales de \(A\). Puisque \(A^{sh}\) est l’extension maximale de ce type, on conclut que \(A^{sh} = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^I\). Ainsi \(K^{sh} = (K^{sep})^I\).

Rappelons que \(I\) est le noyau d’une application surjective \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa)\), voir Compléments d’algèbre, lemme 0BRK. On a \(\text{Aut}(\kappa(\mathfrak m^{sep})/\kappa) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\), car on a vu ci-dessus que ces corps sont respectivement la clôture algébrique et la clôture séparable de \(\kappa\). D’autre part, tout automorphisme de \(A^{sh}\) au-dessus de \(A\) est un automorphisme de \(A^{sh}\) au-dessus de \(A^h\) par l’unicité dans Algèbre, lemme 04GS. En outre, \(A^{sh}\) est la colimite des extensions finies étales \(A^h \subset A'\) qui correspondent \(1\)-à-\(1\) aux extensions finies séparables \(\kappa'/\kappa\), voir Algèbre, remarque 0BSL. Ainsi \[\text{Aut}(A^{sh}/A) = \text{Aut}(A^{sh}/A^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\] Soit \(\kappa'/\kappa\) une extension galoisienne finie de groupe de Galois \(G\). Soit \(A^h \subset A'\) l’extension finie étale qui correspond à \(\kappa \subset \kappa'\) d’après Algèbre, lemme 04GK. Il s’ensuit alors que \((A')^G = A^h\) en considérant les corps des fractions et les degrés (on omet ce petit détail). En prenant la colimite, on conclut que \((A^{sh})^{\text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)} = A^h\). En combinant tout ce qui précède, on trouve \(A^h = ((A^{sep})_{\mathfrak m^{sep}})^D\). Ainsi \(K^h = (K^{sep})^D\).

Puisque \(U\), \(U^h\), \(U^{sh}\) sont les spectres des corps \(K\), \(K^h\), \(K^{sh}\), on voit que les lignes supérieures des diagrammes se correspondent via le lemme 0BNE. D’après le lemme 09ZS, on a \(\pi_1(X^h) = \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa)\). L’exactitude de la suite \(1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa(\mathfrak m^{sh})/\kappa) \to 1\) a été signalée ci-dessus. D’après la proposition 0BQM, on voit que \(\pi_1(X) = \text{Gal}(M/K)\). Enfin, l’assertion sur le noyau de \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \to \text{Gal}(M/K) = \pi_1(X)\) découle du lemme 0BSM. Cela achève la démonstration.

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Soit \(K^{sep}\) une clôture séparable de \(K\). Soit \(X^{sep} \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(K^{sep}\). Puisque \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) agit sur \(K^{sep}\), on obtient une action à droite de \(G\) sur \(X^{sep}\). Pour \(y \in X^{sep}\), posons \[D_y = \{\sigma \in G \mid \sigma(y) = y\} \supset I_y = \{\sigma \in D_y \mid \sigma \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)} \}\] comme ci-dessus. D’autre part, pour \(x \in X\), soit \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) un hensélisé strict, soit \(K_x^{sh}\) le corps des fractions de \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) et choisissons un \(K\)-plongement \(K_x^{sh} \to K^{sep}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Avec les notations ci-dessus, les trois sous-groupes suivants de \(\text{Gal}(K^{sep}/K) = \pi_1(\Spec(K))\) sont égaux :

1. le noyau de la surjection \(\text{Gal}(K^{sep}/K) \longrightarrow \pi_1(X)\),

2. le plus petit sous-groupe distingué fermé qui contient \(I_y\) pour tout \(y \in X^{sep}\), et

3. le plus petit sous-groupe distingué fermé qui contient \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\) pour tout \(x \in X\).

Démonstration

L’équivalence de (2) et (3) découle du lemme 0BSW, qui nous dit que \(I_y\) est conjugué à \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\) si \(y\) est au-dessus de \(x\). D’après le lemme 0BSM, on voit que \(\text{Gal}(K^{sep}/K_x^{sh})\) s’envoie trivialement dans \(\pi_1(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}))\) et que, par conséquent, le sous-groupe \(N \subset G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\) de (2) et (3) est contenu dans le noyau de \(G \longrightarrow \pi_1(X)\).

Pour démontrer l’autre inclusion, puisque \(N\) est distingué, il suffit de montrer ceci : étant donné \(N \subset U \subset G\) avec \(U\) ouvert normal, la projection canonique \(G \to G/U\) se factorise par \(\pi_1(X)\). Autrement dit, si \(L/K\) est l’extension galoisienne correspondant à \(U\), alors il faut montrer que \(X\) est non ramifié dans \(L\) (section 0BQJ, en particulier proposition 0BQM). Il suffit de le faire lorsque \(X\) est affine (on procède ainsi afin de pouvoir invoquer des résultats algébriques dans la suite de la démonstration). Soit \(Y \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(L\). L’inclusion \(L \subset K^{sep}\) induit un morphisme \(\pi : X^{sep} \to Y\). Pour \(y \in X^{sep}\), le groupe d’inertie de \(\pi(y)\) dans \(\text{Gal}(L/K)\) est l’image de \(I_y\) dans \(\text{Gal}(L/K)\) ; cela découle de Compléments d’algèbre, lemme 0BSX. Puisque \(N \subset U\), tous ces groupes d’inertie sont triviaux. On conclut que \(Y \to X\) est étale en appliquant le lemme 0BST. (Autre possibilité : on peut utiliser le lemme 0BSM pour voir que le changement de base de \(Y\) à \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est étale pour tout \(x \in X\), puis conclure à partir de là avec un peu plus de travail.)

Exemple

Soit \(X\) un schéma noethérien intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). La pureté du lieu de branchement (voir plus bas) nous dit que si \(X\) est régulier, alors il suffit, dans le lemme 0BTD, de considérer les groupes d’inertie \(I = \pi_1(\Spec(K_x^{sh}))\) pour les points \(x\) de codimension \(1\) dans \(X\). En général, cela ne suffit cependant pas. En effet, soit \(Y = \mathbf{A}_k^n = \Spec(k[t_1, \ldots, t_n])\), où \(k\) est un corps de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G = \{\pm 1\}\) le groupe d’ordre \(2\) agissant sur \(Y\) par multiplication sur les coordonnées. Posons \[X = \Spec(k[t_it_j, i, j \in \{1, \ldots, n\}])\] Le plongement \(k[t_it_j] \subset k[t_1, \ldots, t_n]\) définit un morphisme de degré \(2\), à savoir \(Y \to X\), qui est non ramifié partout sauf au-dessus de l’idéal maximal \(\mathfrak m = (t_it_j)\), qui est un point de codimension \(n\) dans \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre normal de corps des fonctions rationnelles \(K\). Soit \(L/K\) une extension finie. Soit \(Y \to X\) la normalisation de \(X\) dans \(L\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est non ramifié dans \(L\) au sens de la section 0BQJ,

2. \(Y \to X\) est un morphisme non ramifié de schémas,

3. \(Y \to X\) est un morphisme étale de schémas,

4. \(Y \to X\) est un morphisme fini étale de schémas,

5. pour \(x \in X\), la projection \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est non ramifiée,

6. la même condition que (5), mais avec \(\mathcal{O}_{X, x}^h\),

7. la même condition que (5), mais avec \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\),

8. pour \(x \in X\), la fibre schématique \(Y_x\) est étale sur \(x\) de degré \(\geq [L : K]\).

Si \(L/K\) est galoisienne de groupe de Galois \(G\), ces conditions sont aussi équivalentes à

1. pour \(y \in Y\), le groupe \(I_y = \{g \in G \mid g(y) = y\text{ et } g \bmod \mathfrak m_y = \text{id}_{\kappa(y)}\}\) est trivial.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est la définition de (1). L’équivalence de (2), (3) et (4) est le lemme 0BQK. Il est immédiat de démontrer que (4) \(\Rightarrow\) (5), (5) \(\Rightarrow\) (6), (6) \(\Rightarrow\) (7).

Supposons (7). Observons que \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\) est un domaine local normal (Compléments d’algèbre, lemme 06DI). Soit \(L^{sh} = L \otimes_K K_x^{sh}\), où \(K_x^{sh}\) est le corps des fractions de \(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}\). Alors \(L^{sh} = \prod_{i = 1, \ldots, n} L_i\), avec \(L_i/K_x^{sh}\) finie séparable. D’après Algèbre, lemme 03GG (et un passage à la limite que nous omettons), on voit que \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) est la clôture intégrale de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) dans \(L^{sh}\). Par conséquent, d’après le lemme 0BQK (appliqué aux facteurs \(L_i\) de \(L^{sh}\)), on voit que \(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) est fini étale. En considérant le point générique, on voit que le degré est égal à \([L : K]\) et on voit donc que (8) est vraie.

Supposons (8). Supposons que \(x \in X\) et que la fibre schématique \(Y_x\) est étale sur \(x\) de degré \(\geq [L : K]\). Observons que cela signifie que \(Y\) possède \(\geq [L : K]\) points géométriques au-dessus de \(x\). Nous allons montrer que \(Y \to X\) est fini étale au-dessus d’un voisinage de \(x\). Cela démontrera que (1) est vraie. Pour le démontrer, on peut supposer \(X = \Spec(R)\), que le point \(x\) correspond à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) et que \(Y = \Spec(S)\). On applique Compléments sur les morphismes, lemme 0BSR, et on trouve un voisinage étale \((U, u) \to (X, x)\) tel que \(Y \times_X U = V_1 \amalg \ldots \amalg V_m\), où \(V_i\) possède un unique point \(v_i\) au-dessus de \(u\) avec \(\kappa(v_i)/\kappa(u)\) purement inséparable. En rétrécissant \(U\) si nécessaire, on peut supposer que \(U\) est un schéma intègre normal de point générique \(\xi\) (utiliser Descente, lemmes 0BAL et 034F, et Propriétés, lemme 0357). D’après notre remarque sur les points géométriques, on voit que \(m \geq [L : K]\). D’autre part, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 03GV, on voit que \(\coprod V_i \to U\) est la normalisation de \(U\) dans \(\Spec(L) \times_X U\). Comme \(K \subset \kappa(\xi)\) est finie séparable, on peut écrire \(\Spec(L) \times_X U = \Spec(\prod_{i = 1, \ldots, n} L_i)\), avec \(L_i/\kappa(\xi)\) finie et \([L : K] = \sum [L_i : \kappa(\xi)]\). Puisque \(V_j\) est non vide pour tout \(j\) et que \(m \geq [L : K]\), on conclut que \(m = n\) et que \([L_i : \kappa(\xi)] = 1\) pour tout \(i\). Alors \(V_j \to U\) est en particulier un isomorphisme étale, et donc \(Y \times_X U \to U\) est étale. D’après Descente, lemme 02VN, on conclut que \(Y \to X\) est étale au-dessus de l’image de \(U \to X\) (un voisinage ouvert de \(x\)).

Supposons \(L/K\) galoisienne et (9) vérifiée. Alors \(Y \to X\) est étale d’après le lemme 0BSU. On omet la démonstration de ce que (1) implique (9).

Dans le cas d’extensions galoisiennes infinies d’anneaux de valuation discrète, on peut en dire un tout petit peu plus. Pour cela, introduisons la notation suivante. Un sous-ensemble \(S \subset \mathbf{N}\) d’entiers est filtrant pour la divisibilité si \(1 \in S\) et si, pour \(n, m \in S\), il existe \(k \in S\) tel que \(n | k\) et \(m | k\). Définissons sur \(S\) un ordre partiel par la règle \(n \geq_S m\) si et seulement si \(m | n\). Étant donné un corps \(\kappa\), on obtient un système projectif de groupes finis \(\{\mu_n(\kappa)\}_{n \in S}\) dont les applications de transition sont \[\mu_n(\kappa) \longrightarrow \mu_m(\kappa),\quad \zeta \longmapsto \zeta^{n/m}\] pour \(n \geq_S m\). On peut alors former le groupe profini \[\lim_{n \in S} \mu_n(\kappa)\] Observons que la catégorie d’indices de cette limite est cofiltrante (car \(S\) est filtrant). La construction est fonctorielle en \(\kappa\). En particulier, \(\text{Aut}(\kappa)\) agit sur ce groupe profini. Par exemple, si \(S = \{1, n\}\), on obtient alors \(\mu_n(\kappa)\). Si \(S = \{1, \ell, \ell^2, \ell^3, \ldots\}\) pour un nombre premier \(\ell\) différent de la caractéristique de \(\kappa\), cela produit \(\lim_n \mu_{\ell^n}(\kappa)\), que l’on appelle parfois le module de Tate \(\ell\)-adique du groupe multiplicatif de \(\kappa\) (comparer avec Compléments d’algèbre, exemple 0BKG).

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(L/K\) une extension galoisienne (éventuellement infinie). Soit \(B\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(L\). Soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal de \(B\) et posons \(\kappa_A = A/(\mathfrak m \cap A)\). Soient \(G = \text{Gal}(L/K)\), \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m) = \mathfrak m\}\), et \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m)}\}\). Le groupe de décomposition \(D\) s’insère dans une suite exacte canonique \[1 \to I \to D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa_A) \to 1\] Le groupe d’inertie \(I\) s’insère dans une suite exacte canonique \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] telle que

1. \(P\) est un sous-groupe distingué de \(D\),

2. \(P\) est un pro-\(p\)-groupe si la caractéristique de \(\kappa_A\) est \(p > 1\), et \(P = \{1\}\) si la caractéristique de \(\kappa_A\) est nulle (avec la convention \(p = 1\) dans ce dernier cas),

3. il existe un \(S \subset \mathbf{N}\) filtrant pour la divisibilité tel que \(\kappa(\mathfrak m)\) contient une racine \(n\)-ième primitive de l’unité pour tout \(n \in S\) (les éléments de \(S\) sont premiers à \(p\)),

4. il existe une application surjective canonique \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\] dont le noyau est \(P\), qui vérifie \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) pour \(\tau \in D\), \(\sigma \in I\), et qui induit un isomorphisme \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\).

Démonstration

Il s’agit essentiellement d’une reformulation des résultats sur les extensions galoisiennes finies démontrés dans Compléments d’algèbre, section 09E3. La surjectivité de l’application \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa_A)\) est le lemme 0BRK de Compléments d’algèbre. Cela donne la première suite exacte.

Pour construire la seconde suite exacte courte, soit \(\Lambda\) l’ensemble des sous-extensions galoisiennes finies, c’est-à-dire que \(\lambda \in \Lambda\) correspond à \(L/L_\lambda/K\). Posons \(G_\lambda = \text{Gal}(L_\lambda/K)\). Rappelons que les \(G_\lambda\) forment un système projectif de groupes finis à applications de transition surjectives et que \(G = \lim_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\), voir Corps, lemme 0BU2. On note \(B_\lambda\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(L_\lambda\). On pose ensuite \(\mathfrak m_\lambda = \mathfrak m \cap B_\lambda\) et on note \(P_\lambda, I_\lambda, D_\lambda\) les groupes d’inertie sauvage, d’inertie et de décomposition de \(\mathfrak m_\lambda\), voir Compléments d’algèbre, lemme 09EE. Pour \(\lambda \geq \lambda'\), la restriction définit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ P_\lambda \ar[d] \ar[r] & I_\lambda \ar[d] \ar[r] & D_\lambda \ar[d] \ar[r] & G_\lambda \ar[d] \\ P_{\lambda'} \ar[r] & I_{\lambda'} \ar[r] & D_{\lambda'} \ar[r] & G_{\lambda'} }\] dont les flèches verticales sont surjectives, voir Compléments d’algèbre, lemme 0BU7.

Il résulte immédiatement des définitions que \(I = \lim I_\lambda\) et \(D = \lim D_\lambda\) sous l’isomorphisme \(G = \lim G_\lambda\) ci-dessus. Puisque \(L = \colim L_\lambda\), on a \(B = \colim B_\lambda\) et \(\kappa(\mathfrak m) = \colim \kappa(\mathfrak m_\lambda)\). Puisque les applications de transition du système \(D_\lambda\) sont compatibles avec les applications \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\) (voir Compléments d’algèbre, lemme 0BU7), on voit que l’application \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m)/\kappa)\) est la limite des applications \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)/\kappa)\).

Il existe des applications canoniques \[\theta_{\lambda, can} : I_\lambda \longrightarrow \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\] où \(n_\lambda = |I_\lambda|/|P_\lambda|\), où \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) est d’ordre \(n_\lambda\), telles que \(\theta_{\lambda, can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{\lambda, can}(\sigma))\) pour \(\tau \in D_\lambda\) et \(\sigma \in I_\lambda\), et telles que l’on obtient des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ I_\lambda \ar[r]_-{\theta_{\lambda, can}} \ar[d] & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) \ar[d]^{(-)^{n_\lambda/n_{\lambda'}}} \\ I_{\lambda'} \ar[r]^-{\theta_{\lambda', can}} & \mu_{n_{\lambda'}}(\kappa(\mathfrak m_{\lambda'})) }\] voir Compléments d’algèbre, remarque 0BU8.

Soit \(S \subset \mathbf{N}\) l’ensemble des entiers \(n_\lambda\). Puisque \(\Lambda\) est filtrant, on voit que \(S\) est filtrant pour la divisibilité. À l’aide des diagrammes commutatifs affichés ci-dessus, on peut prendre les limites des applications \(\theta_{\lambda, can}\) afin d’obtenir \[\theta_{can} : I \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)).\] Cette application est continue (on omet ce petit détail). Puisque les applications de transition du système des \(I_\lambda\) sont surjectives et que \(\Lambda\) est filtrant, les projections \(I \to I_\lambda\) sont surjectives. Pour tout \(\lambda\), le diagramme \[\xymatrix{ I \ar[d] \ar[r]_-{\theta_{can}} & \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m)) \ar[d] \\ I_{\lambda} \ar[r]^-{\theta_{\lambda, can}} & \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda)) }\] est commutatif. L’image de \(\theta_{can}\) se projette donc sur le groupe fini \(\mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m)) = \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\) d’ordre \(n_\lambda\) (voir ci-dessus). Il s’ensuit que l’image de \(\theta_{can}\) est dense. D’autre part, \(\theta_{can}\) est continue et la source est un groupe profini. Ainsi \(\theta_{can}\) est surjective d’après un argument topologique.

La propriété \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) pour \(\tau \in D\), \(\sigma \in I\) découle des propriétés correspondantes des applications \(\theta_{\lambda, can}\) et de la compatibilité de l’application \(D \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m))\) avec les applications \(D_\lambda \to \text{Aut}(\kappa(\mathfrak m_\lambda))\). En posant \(P = \Ker(\theta_{can})\), cela implique que \(P\) est un sous-groupe distingué de \(D\). En posant \(I_t = I/P\), on obtient l’isomorphisme \(I_t \to \lim_{n \in S} \mu_n(\kappa(\mathfrak m))\) par la surjectivité de \(\theta_{can}\).

Pour achever la démonstration, montrons que \(P = \lim P_\lambda\), ce qui prouve que \(P\) est un pro-\(p\)-groupe. Rappelons que le groupe d’inertie modérée \(I_{\lambda, t} = I_\lambda/P_\lambda\) est d’ordre \(n_\lambda\). Puisque les applications de transition \(P_\lambda \to P_{\lambda'}\) sont surjectives et que \(\Lambda\) est filtrant, on obtient une suite exacte courte \[1 \to \lim P_\lambda \to I \to \lim I_{\lambda, t} \to 1\] (on omet les détails). Puisque, pour tout \(\lambda\), l’application \(\theta_{\lambda, can}\) induit un isomorphisme \(I_{\lambda, t} \cong \mu_{n_\lambda}(\kappa(\mathfrak m))\), le résultat souhaité en découle.

Lemme

Soit \(A\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(K^{sep}\) une clôture séparable de \(K\). Soit \(A^{sep}\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(K^{sep}\). Soit \(\mathfrak m^{sep}\) un idéal maximal de \(A^{sep}\). Soit \(\mathfrak m = \mathfrak m^{sep} \cap A\), soient \(\kappa = A/\mathfrak m\), et \(\overline{\kappa} = A^{sep}/\mathfrak m^{sep}\). Alors \(\overline{\kappa}\) est une clôture algébrique de \(\kappa\). Soient \(G = \text{Gal}(K^{sep}/K)\), \(D = \{\sigma \in G \mid \sigma(\mathfrak m^{sep}) = \mathfrak m^{sep}\}\), et \(I = \{\sigma \in D \mid \sigma \bmod \mathfrak m^{sep} = \text{id}_{\kappa(\mathfrak m^{sep})}\}\). Le groupe de décomposition \(D\) s’insère dans une suite exacte canonique \[1 \to I \to D \to \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa) \to 1\] où \(\kappa^{sep} \subset \overline{\kappa}\) est la clôture séparable de \(\kappa\). Le groupe d’inertie \(I\) s’insère dans une suite exacte canonique \[1 \to P \to I \to I_t \to 1\] telle que

1. \(P\) est un sous-groupe distingué de \(D\),

2. \(P\) est un pro-\(p\)-groupe si la caractéristique de \(\kappa\) est \(p > 1\), et \(P = \{1\}\) si la caractéristique de \(\kappa\) est nulle (avec la convention \(p = 1\) dans ce dernier cas),

3. il existe une application surjective canonique \[\theta_{can} : I \to \lim_{n\text{ premier à }p} \mu_n(\kappa^{sep})\] dont le noyau est \(P\), qui vérifie \(\theta_{can}(\tau \sigma \tau^{-1}) = \tau(\theta_{can}(\sigma))\) pour \(\tau \in D\), \(\sigma \in I\), et qui induit un isomorphisme \(I_t \to \lim_{n\text{ premier à }p} \mu_n(\kappa^{sep})\).

Démonstration

Le corps \(\overline{\kappa}\) est la clôture algébrique de \(\kappa\) d’après le lemme 0BSP. La plupart des assertions découlent immédiatement des parties correspondantes du lemme 0BUA. Par exemple, puisque \(\text{Aut}(\overline{\kappa}/\kappa) = \text{Gal}(\kappa^{sep}/\kappa)\), on obtient la première suite. Alors la seule autre assertion qui requiert une démonstration est le fait que, avec \(S\) comme dans le lemme 0BUA, la limite \(\lim_{n \in S} \mu_n(\overline{\kappa})\) est égale à \(\lim_{n\text{ premier à }p} \mu_n(\kappa^{sep})\). Pour le voir, il suffit de montrer que tout entier \(n\) premier à \(p\) divise un élément de \(S\). Soit \(\pi \in A\) une uniformisante et considérons le corps de décomposition \(L\) du polynôme \(X^n - \pi\). Puisque ce polynôme est séparable, on voit que \(L\) est une extension galoisienne finie de \(K\). Choisissons un plongement \(L \to K^{sep}\). Observons que si \(B\) est la clôture intégrale de \(A\) dans \(L\), alors l’indice de ramification de \(A \to B_{\mathfrak m^{sep} \cap B}\) est divisible par \(n\) (car \(\pi\) admet une racine \(n\)-ième dans \(B\) ; en fait, l’indice de ramification est égal à \(n\), mais nous n’en avons pas besoin). Il résulte alors de la construction de l’ensemble \(S\) dans la démonstration du lemme 0BUA que \(n\) divise un élément de \(S\).

Groupes fondamentaux géométriques et arithmétiques

Dans cette section, nous étudions ce qui se passe lorsque l’on compare le groupe fondamental d’un schéma \(X\) sur un corps \(k\) au groupe fondamental de \(X_{\overline{k}}\), où \(\overline{k}\) est la clôture algébrique de \(k\).

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \(X_i\) un système projectif de schémas quasi-compacts et quasi-séparés indexé par \(I\), dont les morphismes de transition sont affines. Soit \(X = \lim X_i\) comme dans Limites, section 01YV. Il existe alors une équivalence de catégories \[\colim \textit{F\'Et}_{X_i} = \textit{F\'Et}_X\] Si \(X_i\) est connexe pour tout \(i\) suffisamment grand et si \(\overline{x}\) est un point géométrique de \(X\), alors \[\pi_1(X, \overline{x}) = \lim \pi_1(X_i, \overline{x})\]

Démonstration

L’équivalence de catégories résulte de Limites, lemmes 01ZM, 01ZO, et 07RP. La seconde assertion découle formellement de l’assertion sur les catégories.

Lemme

Soit \(k\) un corps et notons \(k^{perf}\) sa clôture parfaite. Soit \(X\) un schéma connexe sur \(k\). Alors \(X_{k^{perf}}\) est connexe et \(\pi_1(X_{k^{perf}}) \to \pi_1(X)\) est un isomorphisme.

Démonstration

C’est un cas particulier de l’invariance topologique du groupe fondamental. Voir la proposition 0BQN. Pour voir que \(\Spec(k^{perf}) \to \Spec(k)\) est un homéomorphisme universel, on peut utiliser Algèbre, lemme 0BRD.

Lemme

Soit \(k\) un corps dont \(\overline{k}\) est une clôture algébrique. Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(k\). Si le changement de base \(X_{\overline{k}}\) est connexe, alors il existe une suite exacte courte \[1 \to \pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k)) \to 1\] de groupes topologiques profinis.

Démonstration

Les objets connexes de \(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)}\) sont de la forme \(\Spec(k') \to \Spec(k)\), où \(k'/k\) est une extension finie séparable. Alors \(X_{\Spec(k')}\) est connexe, puisque le morphisme \(X_{\overline{k}} \to X_{\Spec(k')}\) est surjectif et \(X_{\overline{k}}\) est connexe par hypothèse. Ainsi \(\pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\) est surjectif d’après le lemme 0BN6.

Avant de poursuivre, remarquons que l’on peut supposer que \(k\) est parfait. En effet, on a \(\pi_1(X_{k^{perf}}) = \pi_1(X)\) et \(\pi_1(\Spec(k^{perf})) = \pi_1(\Spec(k))\) d’après le lemme 0BTW.

Il est clair que le composé des foncteurs \(\textit{F\'Et}_{\Spec(k)} \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{k}}}\) envoie les objets sur des réunions disjointes de copies de \(X_{\Spec(\overline{k})}\). Par conséquent, le composé \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(\Spec(k))\) est l’homomorphisme trivial d’après le lemme 0BS8.

Soit \(U \to X\) un morphisme fini étale, avec \(U\) connexe. Observons que \(U \times_X X_{\overline{k}} = U_{\overline{k}}\). Supposons que \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) admette une section \(s : X_{\overline{k}} \to U_{\overline{k}}\). Alors \(s(X_{\overline{k}})\) est une composante connexe ouverte de \(U_{\overline{k}}\). Pour \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\), notons \(s^\sigma\) le changement de base de \(s\) par \(\Spec(\sigma)\). Puisque \(U_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\) est fini étale, il n’a qu’un nombre fini de sections. Ainsi \[\overline{T} = \bigcup_{\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)} s^\sigma(X_{\overline{k}})\] est une réunion finie et l’on voit que \(\overline{T}\) est un sous-ensemble ouvert et fermé stable par \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\). D’après Variétés, lemme 038B, on voit que \(\overline{T}\) est l’image réciproque d’un sous-ensemble fermé \(T \subset U\). Puisque \(U_{\overline{k}} \to U\) est ouvert (Morphismes, lemme 0383), on conclut que \(T\) est également ouvert. Comme \(U\) est connexe, on voit que \(T = U\). Par conséquent, \(U_{\overline{k}}\) est une réunion disjointe (finie) de copies de \(X_{\overline{k}}\). D’après le lemme 0BTS, on conclut que l’image de \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\) est un sous-groupe distingué.

Soit \(V \to X_{\overline{k}}\) un revêtement fini étale. Rappelons que \(\overline{k}\) est la réunion des extensions finies séparables de \(k\). D’après le lemme 0BTV, il existe une extension finie séparable \(k'/k\) et un morphisme fini étale \(U \to X_{k'}\) tels que \(V = X_{\overline{k}} \times_{X_{k'}} U = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\). Alors le composé \(U \to X_{k'} \to X\) est fini étale et \(U \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\) contient \(V = U \times_{\Spec(k')} \Spec(\overline{k})\) comme sous-schéma ouvert et fermé. (En effet, \(\Spec(\overline{k})\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k})\) via l’application de multiplication \(k' \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\).) D’après le lemme 0BN7, on conclut que \(\pi_1(X_{\overline{k}}) \to \pi_1(X)\) est injectif.

Enfin, nous devons montrer que, pour tout morphisme fini étale \(U \to X\) tel que \(U_{\overline{k}}\) soit une réunion disjointe de copies de \(X_{\overline{k}}\), il existe un morphisme fini étale \(V \to \Spec(k)\) et une surjection \(V \times_{\Spec(k)} X \to U\). Voir le lemme 0BS9. En raisonnant comme ci-dessus à l’aide du lemme 0BTV, il existe une extension finie séparable \(k'/k\) pour laquelle il existe un isomorphisme \(U_{k'} \cong \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_{k'}\). Ainsi, en posant \(V = \coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(k')\), on conclut.

Suite exacte d’homotopie

Dans cette section, nous examinons le résultat suivant. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et plat de présentation finie dont les fibres géométriques sont connexes et réduites. Supposons \(S\) connexe et soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Il existe alors une suite exacte \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\] de groupes fondamentaux. Voir la proposition 0C0J.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de schémas. Soit \(X \to S' \to S\) la factorisation de Stein de \(f\) ; voir Compléments sur les morphismes, théorème 03H2. Si \(f\) est de présentation finie et plat, à fibres géométriquement réduites, alors \(S' \to S\) est fini étale.

Démonstration

Cela résulte de Catégories dérivées des schémas, lemme 0G7Y et des informations contenues dans Compléments sur les morphismes, théorème 03H2.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et plat de présentation finie dont les fibres géométriques sont connexes et réduites. Supposons \(S\) connexe et soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Alors il existe une suite exacte \[\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S) \to 1\] de groupes fondamentaux.

Démonstration

Soit \(Y \to X\) un morphisme fini étale. Considérons la factorisation de Stein \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] de \(Y \to S\). D’après le lemme 0BUN, le morphisme \(T \to S\) est fini étale. On obtient ainsi un foncteur \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\). Pour tout morphisme fini étale \(U \to S\), se donner un morphisme \(Y \to U \times_S X\) au-dessus de \(X\) revient à se donner un morphisme \(Y \to U\) au-dessus de \(S\) ; un tel morphisme se factorise de manière unique par la factorisation de Stein, c’est-à-dire correspond à un unique morphisme \(T \to U\) (par la construction de la factorisation de Stein comme normalisation relative dans Compléments sur les morphismes, lemme 03GY et par la factorisation donnée par Morphismes, lemme 035I). Ainsi, on voit que les foncteurs \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_S\) et \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\) sont adjoints l’un de l’autre. Remarquons que la factorisation de Stein de \(U \times_S X \to S\) est \(U\), car les fibres de \(U \times_S X \to U\) sont géométriquement connexes.

D’après la discussion ci-dessus et Catégories, lemme 07RB, on conclut que \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X\) est pleinement fidèle, c’est-à-dire que \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\) est surjectif (lemme 0BN6).

Il est immédiat que le composé \(\textit{F\'Et}_S \to \textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{s}}}\) envoie tout \(U\) sur une réunion disjointe de copies de \(X_{\overline{s}}\). Ainsi la composée \(\pi_1(X_{\overline{s}}) \to \pi_1(X) \to \pi_1(S)\) est triviale d’après le lemme 0BS8.

Soit \(Y \to X\) un morphisme fini étale, où \(Y\) est connexe, tel que \(Y \times_X X_{\overline{s}}\) contienne une composante connexe \(Z\) isomorphe à \(X_{\overline{s}}\). Considérons la factorisation de Stein \(T\) ci-dessus. Soit \(\overline{t} \in T_{\overline{s}}\) le point correspondant à la fibre \(Z\). Observons que \(T\) est connexe (en tant qu’image d’un schéma connexe) et que, par la surjectivité ci-dessus, \(T \times_S X\) est connexe. Considérons maintenant la factorisation \[\pi : Y \longrightarrow T \times_S X\] Soit \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\) un point fermé quelconque. Notons que \(\kappa(\overline{t}) = \kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{x})\) est un corps algébriquement clos. Alors la fibre de \(\pi\) au-dessus de \((\overline{t}, \overline{x})\) est constituée d’un unique point, à savoir l’unique point \(\overline{z} \in Z\) correspondant à \(\overline{x} \in X_{\overline{s}}\) par l’isomorphisme \(Z \to X_{\overline{s}}\). On conclut que le morphisme fini étale \(\pi\) est de degré \(1\) dans un voisinage de \((\overline{t}, \overline{x})\). Puisque \(T \times_S X\) est connexe, ce morphisme est partout de degré \(1\), et l’on trouve que \(Y \cong T \times_S X\). Ainsi \(Y \times_X X_{\overline{s}}\) se scinde complètement. En combinant tout ce qui précède, on voit que les lemmes 0BS9 et 0BTS s’appliquent tous deux, ce qui achève la démonstration.

Homomorphismes de spécialisation

Dans cette section, nous construisons des homomorphismes de spécialisation. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de schémas à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation de points de \(S\). Soient \(\overline{s}\) et \(\overline{s}'\) des points géométriques au-dessus de \(s\) et \(s'\). Il existe alors un homomorphisme de spécialisation \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}})\] La construction de cet homomorphisme est la suivante. Soit \(A\) le hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{S, s}\) relativement à \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\), voir Algèbre, définition 04GQ. Puisque \(s' \leadsto s\), le point \(s'\) correspond à un point de \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) et il existe donc au moins un point (et éventuellement plusieurs points) de \(\Spec(A)\) au-dessus de \(s'\) dont le corps résiduel est une extension algébrique séparable de \(\kappa(s')\). Puisque \(\kappa(\overline{s}')\) est algébriquement clos, on peut choisir un morphisme \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\) donnant lieu à un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \overline{s}' \ar[r]_-\varphi \ar[rd] & \Spec(A) \ar[d] & \overline{s} \ar[l] \ar[ld] \\ & S }\] L’homomorphisme de spécialisation est la composée \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \longrightarrow \pi_1(X_A) = \pi_1(X_{\kappa(s)^{sep}}) = \pi_1(X_{\overline{s}})\] où la première égalité est donnée par le lemme 0A48 et la seconde découle des lemmes 0BTW et 0A49. Par construction, l’homomorphisme de spécialisation s’insère dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[rr]_{sp} \ar[rd] & & \pi_1(X_{\overline{s}}) \ar[ld] \\ & \pi_1(X) }\] pourvu que \(X\) soit connexe. L’homomorphisme de spécialisation dépend du choix de \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\) ci-dessus et nous écrirons \(sp_\varphi\) si nous voulons préciser ce choix.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r] & S }\] de schémas où \(f\) et \(g\) sont des morphismes propres à fibres géométriquement connexes. Soit \(t' \leadsto t\) une spécialisation de points de \(T\) et considérons un homomorphisme de spécialisation \(sp : \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \to \pi_1(Y_{\overline{t}})\) comme ci-dessus. Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \pi_1(Y_{\overline{t}'}) \ar[r]_{sp} \ar[d] & \pi_1(Y_{\overline{t}}) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & \pi_1(X_{\overline{s}}) }\] d’homomorphismes de spécialisation, où \(\overline{s}\) et \(\overline{s}'\) sont les images de \(\overline{t}\) et \(\overline{t}'\).

Démonstration

Soit \(B\) le hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{T, t}\) relativement à \(\kappa(t) \subset \kappa(t)^{sep} \subset \kappa(\overline{t})\). Choisissons \(\psi : \overline{t}' \to \Spec(B)\) relevant \(\overline{t}' \to T\) comme dans la construction de l’homomorphisme de spécialisation. Notons \(s\) et \(s'\) les images de \(t\) et \(t'\) dans \(S\). Soit \(A\) le hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{S, s}\) relativement à \(\kappa(s) \subset \kappa(s)^{sep} \subset \kappa(\overline{s})\). Puisque \(\kappa(\overline{s}) = \kappa(\overline{t})\), la fonctorialité de l’hensélisation stricte (Algèbre, lemme 04GU) nous donne un morphisme d’anneaux \(A \to B\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \overline{t}' \ar[r]_-\psi \ar[d] & \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & T \ar[d] \\ \overline{s}' \ar[r]^-\varphi & \Spec(A) \ar[r] & S }\] Ici, le morphisme \(\varphi : \overline{s}' \to \Spec(A)\) est simplement pris égal à la composée \(\overline{t}' \to \Spec(B) \to \Spec(A)\). En effectuant le changement de base, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y_{\overline{t}'} \ar[r] \ar[d] & Y_B \ar[d] \\ X_{\overline{s}'} \ar[r] & X_A }\] et, d’après la construction de l’homomorphisme de spécialisation, la commutativité de ce diagramme implique celle du diagramme du lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre à fibres géométriquement connexes. Soient \(s'' \leadsto s' \leadsto s\) des spécialisations de points de \(S\). Une composée d’homomorphismes de spécialisation \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) est un homomorphisme de spécialisation \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) l’hensélisé strict construit à l’aide de \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\). Soit \(A \to \kappa(\overline{s}')\) le morphisme utilisé pour construire le premier homomorphisme de spécialisation. Soit \(\mathcal{O}_{S, s'} \to A'\) l’hensélisé strict construit à l’aide de \(\kappa(s') \subset \kappa(\overline{s}')\). Par fonctorialité de l’hensélisation stricte, il existe un morphisme \(A \to A'\) tel que sa composée avec \(A' \to \kappa(\overline{s}')\) soit le morphisme donné (Algèbre, lemme 08HR). Ensuite, soit \(A' \to \kappa(\overline{s}'')\) le morphisme utilisé pour construire le second homomorphisme de spécialisation. Il est alors clair que la composée du premier et du second homomorphisme de spécialisation est l’homomorphisme de spécialisation \(\pi_1(X_{\overline{s}''}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) construit à l’aide de \(A \to A' \to \kappa(\overline{s}'')\).

Soit \(X \to S\) un morphisme propre à fibres géométriquement connexes. Soit \(R\) un anneau de valuation strictement hensélien dont le corps des fractions est algébriquement clos et soit \(\Spec(R) \to S\) un morphisme. Soient \(\eta, s \in \Spec(R)\) les points générique et fermé. On peut alors considérer l’homomorphisme de spécialisation \[sp_R : \pi_1(X_\eta) \to \pi_1(X_s)\] pour le changement de base \(X_R/\Spec(R)\). Notons que cela a un sens puisque \(\eta\) et \(s\) ont tous deux un corps résiduel algébriquement clos.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation de points de \(S\) et soit \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) un homomorphisme de spécialisation. Il existe alors un anneau de valuation strictement hensélien \(R\) au-dessus de \(S\) dont le corps des fractions est algébriquement clos, tel que \(sp\) soit isomorphe à \(sp_R\) défini ci-dessus.

Démonstration

Soit \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) l’hensélisé strict construit à l’aide de \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\). Soit \(A \to \kappa(\overline{s}')\) le morphisme utilisé pour construire \(sp\). Soit \(R \subset \kappa(\overline{s}')\) un anneau de valuation de corps des fractions \(\kappa(\overline{s}')\) qui domine l’image de \(A\). Voir Algèbre, lemme 00IA. Observons que \(R\) est strictement hensélien, par exemple d’après le lemme 0BSQ et Algèbre, lemme 00IC. Le lemme est alors clair.

Soit \(X \to S\) un morphisme propre à fibres géométriquement connexes. Soit \(R\) un anneau de valuation discrète strictement hensélien et soit \(\Spec(R) \to S\) un morphisme. Soient \(\eta, s \in \Spec(R)\) les points générique et fermé. On peut alors considérer l’homomorphisme de spécialisation \[sp_R : \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X_s)\] pour le changement de base \(X_R/\Spec(R)\). Notons que cela a un sens puisque \(s\) a un corps résiduel algébriquement clos.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation de points de \(S\) et soit \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) un homomorphisme de spécialisation. Si \(S\) est noethérien, alors il existe un anneau de valuation discrète strictement hensélien \(R\) au-dessus de \(S\) tel que \(sp\) soit isomorphe à \(sp_R\) défini ci-dessus.

Démonstration

Soit \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) l’hensélisé strict construit à l’aide de \(\kappa(s) \to \kappa(\overline{s})\). Soit \(A \to \kappa(\overline{s}')\) le morphisme utilisé pour construire \(sp\). Soit \(R \subset \kappa(\overline{s}')\) un anneau de valuation discrète qui domine l’image de \(A\), voir Algèbre, lemme 00PH. Choisissons un diagramme de corps \[\xymatrix{ \kappa(\overline{s}) \ar[r] & k \\ A/\mathfrak m_A \ar[r] \ar[u] & R/\mathfrak m_R \ar[u] }\] où \(k\) est algébriquement clos. Soit \(R^{sh}\) l’hensélisé strict de \(R\) construit à l’aide de \(R \to k\). On obtient un morphisme \(A \to R^{sh}\) d’après Algèbre, lemme 04GU. L’anneau \(R^{sh}\) est un anneau de valuation discrète d’après Compléments d’algèbre, lemme 0AP3. Notons \(\eta, o\) les points générique et fermé de \(\Spec(R^{sh})\). Comme le diagramme de schémas \[\xymatrix{ \overline{\eta} \ar[d] \ar[r] & \Spec(R^{sh}) \ar[d] & \Spec(k) \ar[d] \ar[l] \\ \overline{s}' \ar[r] & \Spec(A) & \overline{s} \ar[l] }\] est commutatif, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \pi_1(X_{\overline{\eta}}) \ar[d] \ar[r]_{sp_{R^{sh}}} & \pi_1(X_o) \ar[d] \\ \pi_1(X_{\overline{s}'}) \ar[r]^{sp} & \pi_1(X_{\overline{s}}) }\] d’homomorphismes de spécialisation, par la construction de ces homomorphismes. Comme les flèches verticales sont des isomorphismes (lemme 0A49), cela démontre le lemme.

Restriction à un sous-schéma fermé

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats sur le foncteur de restriction \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y,\quad U \longmapsto V = U \times_X Y\] où \(X\) est un schéma et \(Y\) un sous-schéma fermé. Grâce à l’invariance topologique du groupe fondamental, on peut ramener l’étude de ce foncteur à celle du foncteur de complétion sur les modules finis localement libres.

Dans les lemmes suivants, nous utilisons la notion de modules formels cohérents définie dans Cohomologie des schémas, section 0EHN. Étant donnés un schéma noethérien et un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), nous dirons qu’un objet \((\mathcal{F}_n)\) de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\) est fini localement libre si chaque \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\)-module fini localement libre.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Supposons que le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] soit pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets finis localement libres (voir ci-dessus). Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Comme la catégorie des revêtements finis étales possède un Hom interne (lemme 0BL7), il suffit de démontrer ceci : étant donnés \(U\) fini étale sur \(X\) et un morphisme \(t : Y \to U\) sur \(X\), il existe une unique section \(s : X \to U\) telle que \(t = s|_Y\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[ru] & X \ar@{..>}@/^1em/[u] }\] Trouver la flèche pointillée \(s\) revient à trouver un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{O}_X\] qui, modulo le faisceau d’idéaux de \(Y\), se réduise au morphisme d’algèbres donné \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\). D’après le lemme 0BQB, on peut relever \(t\) de façon unique en un système compatible de morphismes \(t_n : Y_n \to U\), et donc en un morphisme \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] de faisceaux d’algèbres sur \(X\). Comme \(f_*\mathcal{O}_U\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module fini localement libre, on en déduit un unique morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_X\) dont la complétion est \(\lim t_n^\sharp\). Pour voir que \(\sigma\) est un homomorphisme d’algèbres, il faut vérifier que le diagramme \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_X} f_*\mathcal{O}_U \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] est commutatif. Pour tout \(n\), on sait que ce diagramme est commutatif après restriction à \(Y_n\), c’est-à-dire après application du foncteur de complétion. La fidélité du foncteur de complétion permet donc de conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Supposons que le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] soit une équivalence sur les sous-catégories pleines d’objets finis localement libres (voir ci-dessus). Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est une équivalence.

Démonstration

Le foncteur de restriction est pleinement fidèle d’après le lemme 0EL8.

Soit \(U_1 \to Y\) un morphisme fini étale. Pour achever la démonstration, nous allons montrer que \(U_1\) appartient à l’image essentielle du foncteur de restriction.

Pour \(n \geq 1\), soit \(Y_n\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\). D’après le lemme 0BQB, il existe un unique morphisme fini étale \(\pi_n : U_n \to Y_n\) dont le changement de base à \(Y = Y_1\) redonne \(U_1 \to Y_1\). Considérons les faisceaux \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\). Nous pouvons et allons considérer \(\mathcal{F}_n\) comme un \(\mathcal{O}_X\)-module sur \(X\) qui est localement isomorphe à \((\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\). Ce \((\mathcal{F}_n)\) est un objet fini localement libre de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Par hypothèse, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module fini localement libre \(\mathcal{F}\) et un système compatible d’isomorphismes \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Pour munir \(\mathcal{F}\) d’une structure d’algèbre, considérons les morphismes de multiplication \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) provenant du fait que les \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\) sont des faisceaux d’algèbres. Ceux-ci définissent un morphisme \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] dans la catégorie \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Par hypothèse, on peut donc supposer qu’il existe un morphisme \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) dont la restriction à \(Y_n\) donne les morphismes de multiplication ci-dessus. La fidélité du foncteur de l’énoncé du lemme montre alors que \(\mu\) définit une structure de \(\mathcal{O}_X\)-algèbre commutative sur \(\mathcal{F}\), compatible avec les structures d’algèbres données sur les \(\mathcal{F}_n\). En posant \[U = \underline{\Spec}_X((\mathcal{F}, \mu))\] on obtient un schéma fini localement libre \(\pi : U \to X\) dont la restriction à \(Y\) est isomorphe à \(U_1\). Le discriminant de \(\pi\) est le lieu des zéros de la section \[\det(Q_\pi) : \mathcal{O}_X \longrightarrow \wedge^{top}(\pi_*\mathcal{O}_U)^{\otimes -2}\] construite dans Discriminants, section 0BVH. Comme sa restriction à \(Y_n\) est un isomorphisme pour tout \(n\) d’après Discriminants, lemme 0BJF, on en conclut que c’est un isomorphisme. Ainsi \(\pi\) est étale d’après Discriminants, lemme 0BJF.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset X\) contenant \(Y\), ordonné par inclusion inverse. Supposons que le foncteur de complétion \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] soit pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets finis localement libres (voir ci-dessus). Alors le foncteur de restriction \(\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{V}\) est un ensemble filtrant, de sorte que les colimites sont celles de Catégories, section 04AX. La suite de l’argument est presque exactement la même que dans la démonstration du lemme 0EL8; nous invitons le lecteur à l’omettre.

Comme la catégorie des revêtements finis étales possède un Hom interne (lemme 0BL7), il suffit de démontrer ceci : étant donnés \(U\) fini étale sur \(V \in \mathcal{V}\) et un morphisme \(t : Y \to U\) sur \(V\), il existe \(V' \geq V\) et un morphisme \(s : V' \to U\) sur \(V\) tel que \(t = s|_Y\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ & & U \ar[d]^f \\ Y \ar[r] \ar[rru] & V' \ar@{..>}[ru] \ar[r] & V }\] Trouver la flèche pointillée \(s\) revient à trouver un morphisme de \(\mathcal{O}_{V'}\)-algèbres \[s^\sharp : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \longrightarrow \mathcal{O}_{V'}\] qui, modulo le faisceau d’idéaux de \(Y\), se réduise au morphisme d’algèbres donné \(t^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_Y\). D’après le lemme 0BQB, on peut relever \(t\) de façon unique en un système compatible de morphismes \(t_n : Y_n \to U\), et donc un morphisme \[\lim t_n^\sharp : f_*\mathcal{O}_U \longrightarrow \lim \mathcal{O}_{Y_n}\] de faisceaux d’algèbres sur \(V\). Observons que \(f_*\mathcal{O}_U\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module fini localement libre. Il existe donc \(V' \geq V\) et un morphisme \(\sigma : f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \to \mathcal{O}_{V'}\) dont la complétion est \(\lim t_n^\sharp\). Pour voir que \(\sigma\) est un homomorphisme d’algèbres, il faut vérifier que le diagramme \[\xymatrix{ (f_*\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_V} f_*\mathcal{O}_U)|_{V'} \ar[r] \ar[d]_{\sigma \otimes \sigma} & f_*\mathcal{O}_U|_{V'} \ar[d]^\sigma \\ \mathcal{O}_{V'} \otimes_{\mathcal{O}_{V'}} \mathcal{O}_{V'} \ar[r] & \mathcal{O}_{V'} }\] est commutatif. Pour tout \(n\), on sait que ce diagramme est commutatif après restriction à \(Y_n\), c’est-à-dire après application du foncteur de complétion. La fidélité du foncteur de complétion permet donc d’en déduire qu’il existe \(V'' \geq V'\) tel que \(\sigma|_{V''}\) soit un homomorphisme d’algèbres, comme souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé de faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset X\) contenant \(Y\), ordonné par inclusion inverse. Supposons que le foncteur de complétion \[\colim_\mathcal{V} \textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \longrightarrow \textit{Coh}(X, \mathcal{I}), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] induise une équivalence des sous-catégories pleines d’objets finis localement libres (voir l’explication ci-dessus). Alors le foncteur de restriction \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] est une équivalence.

Démonstration

Observons que \(\mathcal{V}\) est un ensemble filtrant, de sorte que les colimites sont celles de Catégories, section 04AX. La suite de l’argument est presque exactement la même que dans la démonstration du lemme 0EL9; nous invitons le lecteur à l’omettre.

Le foncteur de restriction est pleinement fidèle d’après le lemme 0ELA.

Soit \(U_1 \to Y\) un morphisme fini étale. Pour achever la démonstration, nous allons montrer que \(U_1\) appartient à l’image essentielle du foncteur de restriction.

Pour \(n \geq 1\), soit \(Y_n\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\). D’après le lemme 0BQB, il existe un unique morphisme fini étale \(\pi_n : U_n \to Y_n\) dont le changement de base à \(Y = Y_1\) redonne \(U_1 \to Y_1\). Considérons les faisceaux \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\). Nous pouvons et allons considérer \(\mathcal{F}_n\) comme un \(\mathcal{O}_X\)-module sur \(X\) qui est localement isomorphe à \((\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\). Ce \((\mathcal{F}_n)\) est un objet fini localement libre de \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Par hypothèse, il existe \(V \in \mathcal{V}\), un \(\mathcal{O}_V\)-module fini localement libre \(\mathcal{F}\) et un système compatible d’isomorphismes \[\mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F} \to \mathcal{F}_n\] de \(\mathcal{O}_V\)-modules.

Pour munir \(\mathcal{F}\) d’une structure d’algèbre, considérons les morphismes de multiplication \(\mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_n\) provenant du fait que les \(\mathcal{F}_n = \pi_{n, *}\mathcal{O}_{U_n}\) sont des faisceaux d’algèbres. Ceux-ci définissent un morphisme \[(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \mathcal{F}^\wedge\] dans la catégorie \(\textit{Coh}(X, \mathcal{I})\). Par hypothèse, après avoir rétréci \(V\), on peut supposer qu’il existe un morphisme \(\mu : \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) dont la restriction à \(Y_n\) donne les morphismes de multiplication ci-dessus. Après l’avoir éventuellement rétréci davantage, on peut supposer que \(\mu\) définit une structure de \(\mathcal{O}_V\)-algèbre commutative sur \(\mathcal{F}\), compatible avec les structures d’algèbres données sur les \(\mathcal{F}_n\). En posant \[U = \underline{\Spec}_V((\mathcal{F}, \mu))\] on obtient un schéma fini localement libre sur \(V\) dont la restriction à \(Y\) est isomorphe à \(U_1\). Il s’ensuit que \(U \to V\) est étale en tous les points situés au-dessus de \(Y\); voir Compléments sur les morphismes, lemme 0A43. Ainsi, après avoir rétréci \(V\) une fois encore, on peut supposer que \(U \to V\) est fini étale. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé. Si toute composante connexe de \(X\) rencontre \(Y\), alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est fidèle.

Démonstration

Soient \(a, b : U \to U'\) deux morphismes de schémas finis étales sur \(X\) dont les restrictions à \(Y\) sont égales. L’image d’une composante connexe de \(U\) est une composante connexe de \(X\); cela résulte de Topologie, lemme 07VB, appliqué à la restriction de \(U \to X\) à une composante connexe de \(U\). Par conséquent, l’image de toute composante connexe de \(U\) rencontre \(Y\) par hypothèse. On en conclut que \(a = b\) après restriction à chaque composante connexe de \(U\), d’après Morphismes étales, proposition 024V. Comme l’égalisateur de \(a\) et \(b\) est un sous-schéma ouvert de \(U\) (puisque la diagonale de \(U'\) sur \(X\) est ouverte), on conclut.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(Y_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\) dans \(X\). Supposons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(X\) est quasi-affine et \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\) est un isomorphisme, ou bien

2. \(X\) possède un module inversible ample \(\mathcal{L}\) et \(\Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\) est un isomorphisme pour tout \(m \gg 0\), ou bien

3. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module fini localement libre \(\mathcal{E}\), le morphisme \(\Gamma(X, \mathcal{E}) \to \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\) est un isomorphisme.

Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Ce lemme résulte formellement du lemme 0EL8 et de Géométrie algébrique et formelle, lemme 0EKP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(Y_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Y\) dans \(X\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts \(V \subset X\) contenant \(Y\), ordonné par inclusion inverse. Supposons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(X\) est quasi-affine et \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n})\] est un isomorphisme, ou bien

2. \(X\) possède un module inversible ample \(\mathcal{L}\) et \[\colim_\mathcal{V} \Gamma(V, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{L}^{\otimes m}|_{Y_n})\] est un isomorphisme pour tout \(m \gg 0\), ou bien

3. pour tout \(V \in \mathcal{V}\) et tout \(\mathcal{O}_V\)-module fini localement libre \(\mathcal{E}\), le morphisme \[\colim_{V' \geq V} \Gamma(V', \mathcal{E}|_{V'}) \longrightarrow \lim \Gamma(Y_n, \mathcal{E}|_{Y_n})\] est un isomorphisme.

Alors le foncteur \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] est pleinement fidèle.

Démonstration

Ce lemme résulte formellement du lemme 0ELA et de Géométrie algébrique et formelle, lemme 0EK2.

Sommes amalgamées et groupes fondamentaux

Voici le résultat principal.

Lemme

Dans Compléments sur les morphismes, situation 0ECI, par exemple si \(Z \to Y\) et \(Z \to X\) sont des immersions fermées de schémas, il existe une équivalence de catégories \[\textit{F\'Et}_{Y \amalg_Z X} \longrightarrow \textit{F\'Et}_Y \times_{\textit{F\'Et}_Z} \textit{F\'Et}_X\]

Démonstration

La somme amalgamée existe d’après Compléments sur les morphismes, proposition 0E25. Le foncteur associe à un schéma \(U\) fini étale sur la somme amalgamée les changements de base \(Y' = U \times_{Y \amalg_Z X} Y\) et \(X' = U \times_{Y \amalg_Z X} X\), munis de l’isomorphisme naturel \(Y' \times_Y Z \to X' \times_X Z\) sur \(Z\). Pour montrer que ce foncteur est une équivalence, nous utilisons Compléments sur les morphismes, lemme 0ECL pour construire un foncteur quasi-inverse. Il reste seulement à montrer que, si l’on se donne un morphisme \(U \to Y \amalg_Z X\) séparé, quasi-fini et étale tel que \(X' \to X\) et \(Y' \to Y\) soient finis, alors \(U \to Y \amalg_Z X\) est fini. Cela se déduit soit du fait algébrique correspondant (Compléments d’algèbre, lemme 0D2H), soit du fait que \[X' \amalg Y' \to U\] est surjectif et que \(X'\) et \(Y'\) sont propres sur \(Y \amalg_Z X\) (on utilise ici la description de la somme amalgamée dans Compléments sur les morphismes, proposition 0E25), après quoi on peut appliquer Morphismes, lemme 0AH6, pour conclure que \(U\) est propre sur \(Y \amalg_Z X\). Comme un morphisme quasi-fini et propre est fini (Compléments sur les morphismes, lemme 02LS), la démonstration est achevée.

Revêtements finis étales des spectres épointés, I

Nous démontrons d’abord quelques résultats à la Lefschetz.

Situation

Soient \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien et \(f \in \mathfrak m\). Posons \(X = \Spec(A)\) et \(X_0 = \Spec(A/fA)\), et notons \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) et \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\) les spectres épointés de \(A\) et \(A/fA\).

Rappelons que, pour un schéma \(X\), la catégorie des schémas finis étales sur \(X\) est notée \(\textit{F\'Et}_X\) ; voir la section 0BL6. Dans la situation 0BLF, nous étudierons les foncteurs de changement de base \[\xymatrix{ \textit{F\'Et}_X \ar[d] \ar[r] & \textit{F\'Et}_U \ar[d] \\ \textit{F\'Et}_{X_0} \ar[r] & \textit{F\'Et}_{U_0} }\] Dans de nombreux cas, la flèche verticale de droite est fidèle.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\) pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\), ou bien

2. toute composante connexe de \(U\) rencontre \(U_0\).

Alors \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V \longmapsto V_0 = V \times_U U_0\] est un foncteur fidèle.

Démonstration

Le cas (2) résulte immédiatement du lemme 0EJX. L’hypothèse (1) implique que toute composante irréductible de \(U\) rencontre \(U_0\) ; voir Algèbre, lemme 00KW. Ainsi (1) résulte de (2).

Avant de démontrer un résultat plus intéressant, il nous faut quelques lemmes.

Lemme

Dans la situation 0BLF, soit \(V \to U\) un morphisme fini. Soit \(A^\wedge\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\), soit \(X' = \Spec(A^\wedge)\), et soient \(U'\) et \(V'\) les changements de base de \(U\) et \(V\) à \(X'\). S’il existe un morphisme fini \(Y' \to X'\) tel que \(V' = Y' \times_{X'} U'\), alors il existe un morphisme fini \(Y \to X\) tel que \(V = Y \times_X U\) et \(Y' = Y \times_X X'\).

Démonstration

C’est une application directe de Compléments d’algèbre, proposition 05ER. Choisissons en effet des générateurs \(f_1, \ldots, f_t\) de \(\mathfrak m\). Pour tout \(i\), écrivons \(V \times_U D(f_i) = \Spec(B_i)\). Pour \(1 \leq i, j \leq t\), on obtient un isomorphisme \(\alpha_{ij} : (B_i)_{f_j} \to (B_j)_{f_i}\) de \(A_{f_if_j}\)-algèbres, car les spectres de ces deux algèbres représentent \(V \times_U D(f_if_j)\). Écrivons \(Y' = \Spec(B')\). Comme \(V \times_U U' = Y' \times_{X'} U'\) on obtient des isomorphismes \(\alpha_i : B'_{f_i} \to B_i \otimes_A A^\wedge\). Un argument direct montre que \((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\) est un objet de \(\text{Glue}(A \to A^\wedge, f_1, \ldots, f_t)\) ; voir Compléments d’algèbre, remarque 05EL. En appliquant la proposition citée ci-dessus (et en utilisant Compléments d’algèbre, remarque 05EU, pour obtenir la structure d’algèbre), on trouve une \(A\)-algèbre \(B\) telle que \(\text{Can}(B)\) soit isomorphe à \((B', B_i, \alpha_i, \alpha_{ij})\). En posant \(Y = \Spec(B)\), on voit que \(Y \to X\) est un morphisme muni d’isomorphismes compatibles \(V \cong Y \times_X U\) et \(Y' = Y \times_X X'\), comme souhaité.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons \(A\) hensélien ou, plus généralement, que \((A, (f))\) soit un couple hensélien. Soit \(A^\wedge\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\), soit \(X' = \Spec(A^\wedge)\), et soient \(U'\) et \(U'_0\) les changements de base de \(U\) et \(U_0\) à \(X'\). Si \(\textit{F\'Et}_{U'} \to \textit{F\'Et}_{U'_0}\) est pleinement fidèle, alors \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Supposons \(\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U'_0}\) pleinement fidèle. Comme \(X' \to X\) est fidèlement plat, il est immédiat que le foncteur \(V \to V_0 = V \times_U U_0\) est fidèle. Comme la catégorie des revêtements finis étales possède un Hom interne (lemme 0BL7), il suffit de démontrer ceci : pour \(V\) fini étale sur \(U\), on a \[\Mor_U(U, V) = \Mor_{U_0}(U_0, V_0)\] Supposons donc donné un morphisme \(s_0 : U_0 \to V_0\) sur \(U_0\) ; nous allons construire un morphisme \(s : U \to V\) sur \(U\).

Par hypothèse, il existe bien un morphisme \(s' : U' \to V'\) dont la restriction à \(U'_0\) est le changement de base \(s'_0\) de \(s_0\). Comme \(V' \to U'\) est fini étale, cela signifie que \(V' = s'(U') \amalg W'\) pour un certain morphisme \(W' \to U'\) fini et étale. Choisissons un morphisme fini \(Z' \to X'\) tel que \(W' = Z' \times_{X'} U'\). C’est possible grâce au théorème principal de Zariski, sous la forme énoncée dans Compléments sur les morphismes, lemme 05K0 (nous omettons un petit détail). Alors \[V' = s'(U') \amalg W' \longrightarrow X' \amalg Z' = Y'\] est une immersion ouverte telle que \(V' = Y' \times_{X'} U'\). D’après le lemme 0BLH, il existe \(Y \to X\) fini tel que \(V = Y \times_X U\) et \(Y' = Y \times_X X'\). Écrivons \(Y = \Spec(B)\), de sorte que \(Y' = \Spec(B \otimes_A A^\wedge)\). Alors \(B \otimes_A A^\wedge\) possède un idempotent \(e'\) correspondant au sous-schéma ouvert et fermé \(X'\) de \(Y' = X' \amalg Z'\).

Supposons d’abord \(A\) hensélien (ce cas est légèrement plus simple). L’image \(\overline{e}\) de \(e'\) dans \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak m) = B/\mathfrak mB\) se relève en un idempotent \(e\) de \(B\), puisque \(A\) est hensélien (car \(B\) est un produit d’anneaux locaux d’après Algèbre, lemme 04GG). On voit alors que \(e\) s’envoie sur \(e'\) par unicité du relèvement des idempotents (en utilisant que \(B \otimes_A A^\wedge\) est un produit d’anneaux locaux). Soit \(Y_1 \subset Y\) le sous-schéma ouvert et fermé correspondant à \(e\). Alors \(Y_1 \times_X X' = s'(X')\), ce qui implique que \(Y_1 \to X\) est un isomorphisme (par descente fidèlement plate) et fournit la section voulue.

Supposons maintenant que \((A, (f))\) soit un couple hensélien. Nous utilisons ici que \(s'\) est un relèvement de \(s'_0\). Soit en effet \(Y_{0, 1} \subset Y_0 = Y \times_X X_0\) l’adhérence de \(s_0(U_0) \subset V_0 = Y_0 \times_{X_0} U_0\). Comme \(X' \to X\) est plat, le changement de base \(Y'_{0, 1} \subset Y'_0\) est l’adhérence de \(s'_0(U'_0)\), laquelle est égale à \(X'_0 \subset Y'_0\) (voir Morphismes, lemme 081I). Comme \(Y'_0 \to Y_0\) est submersif (Morphismes, lemme 02JY), on conclut que \(Y_{0, 1}\) est ouvert et fermé dans \(Y_0\). Soit \(e_0 \in B/fB\) l’idempotent correspondant. D’après Compléments d’algèbre, lemme 09XI, on peut relever \(e_0\) en un idempotent \(e \in B\). On conclut alors comme précédemment.

Dans la situation 0BLF, la pleine fidélité du foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) vaut sous des hypothèses assez faibles. En particulier, ces hypothèses n’impliquent souvent pas que \(U\) soit un schéma connexe, mais la conclusion garantit que \(U\) et \(U_0\) ont le même nombre de composantes connexes.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. le couple \((A, (f))\) est hensélien,

3. l’une des conditions suivantes est satisfaite :

   1. \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) est de dimension \(\geq 3\), ou bien

   2. pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(f \not \in \mathfrak p\), on ait \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\).

Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Soit \(A'\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\). Nous allons montrer que les hypothèses restent vraies pour \(A'\). C’est clair pour les conditions (a) et (b). La condition (c)(ii) est préservée par Cohomologie locale, lemme 0EHW. Supposons ensuite que (c)(i) soit satisfaite. Comme \(A\) est universellement caténaire (Complexes dualisants, lemme 0A80), on voit que toute composante irréductible de \(\Spec(A')\) non contenue dans \(V(f)\) est de dimension \(\geq 3\) ; voir Compléments d’algèbre, proposition 0AW6. Comme \(A \to A'\) est plat à fibres de Gorenstein, le fait que \(A_f\) vérifie \((S_2)\) implique que \(A'_f\) vérifie \((S_2)\). Références utilisées : Complexes dualisants, section 0BJM, Compléments d’algèbre, section 0BIR, et Algèbre, lemme 0339. Ainsi, d’après le lemme 0BLI, on peut supposer que \(A\) est un anneau local noethérien complet.

Supposons, en plus des autres hypothèses, que \(A\) soit un anneau local complet. D’après le lemme 0EL8, le résultat découle de Géométrie algébrique et formelle, lemme 0EKT.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\) et \(H^2_\mathfrak m(A)\) sont annulés par une puissance de \(f\), et

2. \(A\) est hensélien ou, plus généralement, \((A, (f))\) est un couple hensélien.

Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

D’après le lemme 0BLI, on peut supposer que \(A\) est un anneau local noethérien complet. (Les hypothèses se transportent ; utiliser Complexes dualisants, lemme 0ALZ.) D’après le lemme 0EL8, le résultat découle du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EKS.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que \(A\) soit de profondeur \(\geq 3\) et que \(A\) soit hensélien ou, plus généralement, que \((A, (f))\) soit un couple hensélien. Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

L’hypothèse sur la profondeur impose \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AVZ. Le lemme 0BM6 s’applique donc.

Pureté dans le cas local, I

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) le spectre épointé. Nous disons que la pureté vaut pour \((A, \mathfrak m)\) si le foncteur de restriction \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] est essentiellement surjectif. Dans cette section, nous cherchons à comprendre comment la question se transforme lorsque l’on passe de \(X\) à une hypersurface \(X_0\) de \(X\) ; autrement dit, nous étudions une sorte de propriété de Lefschetz locale pour les groupes fondamentaux des spectres épointés. Ces résultats seront utiles pour procéder par récurrence sur la dimension dans les démonstrations de nos principaux résultats sur la pureté locale, à savoir le lemme 0BMA, la proposition 0BPD et la proposition 0EYC.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(\pi : Y \to X\) un morphisme fini tel que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\) pour tout point fermé \(y \in Y\). Alors \(Y\) est le spectre de \(B = \mathcal{O}_Y(\pi^{-1}(U))\).

Démonstration

Posons \(V = \pi^{-1}(U)\) et notons \(\pi' : V \to U\) la restriction de \(\pi\). Considérons le morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\pi_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow j_*\pi'_*\mathcal{O}_V\] où \(j : U \to X\) est le morphisme d’inclusion. Nous affirmons que le lemme de Diviseurs 0E9I s’applique à ce morphisme. Si tel est le cas, alors \(B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) et le lemme en résulte. Soit \(x \in X\) le point fermé. Il suffit de montrer que \(\text{depth}((\pi_*\mathcal{O}_Y)_x) \geq 2\). Soient \(y_1, \ldots, y_n \in Y\) les points au-dessus de \(x\). D’après Algèbre, lemme 0AUK, il suffit de montrer que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Comme c’est précisément l’hypothèse du lemme, la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(V\) fini étale sur \(U\). Supposons \(A\) de profondeur \(\geq 2\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme fini étale \(Y \to X\),

2. \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) est fini étale sur \(A\).

Démonstration

Notons \(\pi : V \to U\) le morphisme fini étale donné. Supposons qu’il existe \(Y\) comme dans (1). Soit \(x \in X\) le point correspondant à \(\mathfrak m\). Soit \(y \in Y\) un point au-dessus de \(x\). Nous affirmons que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\). Cela est vrai parce que \(Y \to X\) est étale et que \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) et \(\mathcal{O}_{Y, y}\) ont donc la même profondeur (Algèbre, lemme 0337). Le lemme 0BM8 s’applique donc et \(Y = \Spec(B)\).

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est plus facile et nous en omettons les détails.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Supposons \(A\) normal de dimension \(\geq 2\). Le foncteur \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} A\text{-algèbres finies normales }B\text{ telles que} \\ \Spec(B) \to X\text{ soit étale au-dessus de }U \end{matrix} \right\}, \quad V \longmapsto \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\] est une équivalence. De plus, \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme \(Y \to X\) fini étale si et seulement si \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) est fini étale sur \(A\).

Démonstration

Remarquons que \(\text{depth}(A) \geq 2\) puisque \(A\) est normal (critère de normalité de Serre, Algèbre, lemme 031S). La dernière assertion découle donc du lemme 0BLK. Étant donné \(\pi : V \to U\) fini étale, posons \(B = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). Si nous montrons que \(B\) est normal et fini sur \(A\), nous obtenons le foncteur affiché. Comme il existe un foncteur quasi-inverse évident, c’est aussi tout ce qu’il reste à montrer.

Comme \(A\) est normal, le schéma \(V\) est normal (Descente, lemme 034F). Par conséquent, \(V\) est une réunion disjointe finie de schémas intègres (Propriétés, lemme 033M). On peut donc supposer \(V\) intègre. Dans ce cas, le corps des fonctions \(L\) de \(V\) (Morphismes, section 01RR) est une extension finie séparable du corps des fractions de \(A\) (car on l’obtient en considérant la fibre générique de \(V \to U\) et en utilisant Morphismes, lemme 02GL). D’après Algèbre, lemme 032L, la clôture intégrale \(B' \subset L\) de \(A\) dans \(L\) est finie sur \(A\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0BM4, \(B'\) est un \(A\)-module réflexif, ce qui implique à son tour que \(\text{depth}_A(B') \geq 2\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 0AVB.

Soit \(f \in \mathfrak m\). Alors \(B_f = \Gamma(V \times_U D(f), \mathcal{O}_V)\) (Propriétés, lemme 01P7). On a donc \(B'_f = B_f\), puisque \(B_f\) est normal (voir ci-dessus), fini sur \(A_f\) et de corps des fractions \(L\). Il s’ensuit que \(V = \Spec(B') \times_X U\). Nous concluons alors que \(B = B'\) grâce au lemme 0BM8 appliqué à \(\Spec(B') \to X\). Ce lemme s’applique parce que les localisés \(B'_{\mathfrak m'}\) de \(B'\) aux idéaux maximaux \(\mathfrak m' \subset B'\) situés au-dessus de \(\mathfrak m\) sont de profondeur \(\geq 2\) d’après Algèbre, lemme 0AUK, et la remarque sur la profondeur du paragraphe précédent.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Posons \(X = \Spec(A)\) et soit \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(V\) fini étale sur \(U\). Soit \(A^\wedge\) le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\), soit \(X' = \Spec(A^\wedge)\), et soient \(U'\) et \(V'\) les changements de base de \(U\) et \(V\) à \(X'\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme fini étale \(Y \to X\), et

2. \(V' = Y' \times_{X'} U'\) pour un certain morphisme fini étale \(Y' \to X'\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) s’obtient en effectuant le changement de base d’une solution \(Y \to X\). Soit \(Y' \to X'\) comme dans (2). D’après le lemme 0BLH, il existe un morphisme fini \(Y \to X\) tel que \(V = Y \times_X U\) et \(Y' = Y \times_X X'\). Par descente, le morphisme \(Y \to X\) est fini étale (Algèbre, lemmes 03C4 et 00U2). Cela achève la démonstration.

L’intérêt des deux lemmes suivants est que leurs hypothèses n’imposent pas à \(A\) d’être de profondeur \(\geq 3\). Par exemple, si \(A\) est un anneau local complet normal et intègre de dimension \(\geq 3\) et si \(f \in \mathfrak m\) est non nul, alors les hypothèses sont satisfaites.

Lemme

Dans la situation 0BLF, soit \(V\) fini étale sur \(U\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. le couple \((A, (f))\) soit hensélien,

3. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) est de dimension \(\geq 3\), ou bien

   2. pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset A\), \(f \not \in \mathfrak p\) on ait \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 2\).

4. \(V_0 = V \times_U U_0\) soit égal à \(Y_0 \times_{X_0} U_0\) pour un certain morphisme fini étale \(Y_0 \to X_0\).

Alors \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme fini étale \(Y \to X\).

Démonstration

On se ramène au cas complet à l’aide du lemme 0BLL. (Les hypothèses se transportent ; voir la démonstration du lemme 0EK5.)

Dans le cas complet, on peut relever \(Y_0 \to X_0\) en un morphisme fini étale \(Y \to X\) d’après le lemme de Compléments d’algèbre 09ZL ; remarquons que \((A, fA)\) est un couple hensélien d’après le lemme de Compléments d’algèbre 0ALJ. On peut alors utiliser le lemme 0EK5 pour voir que \(V\) est isomorphe à \(Y \times_X U\) et la démonstration est achevée.

Lemme

Dans la situation 0BLF, soit \(V\) fini étale sur \(U\). Supposons que

1. \(H^1_\mathfrak m(A)\) et \(H^2_\mathfrak m(A)\) soient annulés par une puissance de \(f\),

2. \(V_0 = V \times_U U_0\) soit égal à \(Y_0 \times_{X_0} U_0\) pour un certain morphisme fini étale \(Y_0 \to X_0\).

Alors \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme fini étale \(Y \to X\).

Démonstration

On se ramène au cas complet à l’aide du lemme 0BLL. (Les hypothèses se transportent ; utiliser Complexes dualisants, lemme 0ALZ.)

Dans le cas complet, on peut relever \(Y_0 \to X_0\) en un morphisme fini étale \(Y \to X\) d’après le lemme de Compléments d’algèbre 09ZL ; remarquons que \((A, fA)\) est un couple hensélien d’après le lemme de Compléments d’algèbre 0ALJ. On peut alors utiliser le lemme 0BM6 pour voir que \(V\) est isomorphe à \(Y \times_X U\) et la démonstration est achevée.

Lemme

Dans la situation 0BLF, soit \(V\) fini étale sur \(U\). Supposons que

1. \(A\) soit de profondeur \(\geq 3\),

2. \(V_0 = V \times_U U_0\) soit égal à \(Y_0 \times_{X_0} U_0\) pour un certain morphisme fini étale \(Y_0 \to X_0\).

Alors \(V = Y \times_X U\) pour un certain morphisme fini étale \(Y \to X\).

Démonstration

L’hypothèse sur la profondeur impose \(H^1_\mathfrak m(A) = H^2_\mathfrak m(A) = 0\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AVZ. Le lemme 0BLS s’applique donc.

Pureté du lieu de branchement

Nous utiliserons le discriminant d’un morphisme fini localement libre. Voir Discriminants, section 0BVH.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien tel que \(\dim(A) \geq 1\). Soit \(f \in \mathfrak m\). Alors il existe \(\mathfrak p \in V(f)\) tel que \(\dim(A_\mathfrak p) = 1\).

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur \(\dim(A)\). Si \(\dim(A) = 1\), alors \(\mathfrak p = \mathfrak m\) convient. Si \(\dim(A) > 1\), soit \(Z \subset \Spec(A)\) une composante irréductible de dimension \(> 1\). Alors \(V(f) \cap Z\) est de dimension \(> 0\) (Algèbre, lemme 00KW). Choisissons un idéal premier \(\mathfrak q \in V(f) \cap Z\), \(\mathfrak q \not = \mathfrak m\), correspondant à un point fermé du spectre épointé de \(A\) ; c’est possible d’après Propriétés, lemme 02IM. Alors \(\mathfrak q\) n’est pas le point générique de \(Z\). Par conséquent, \(0 < \dim(A_\mathfrak q) < \dim(A)\) et \(f \in \mathfrak q A_\mathfrak q\). Par récurrence sur la dimension, on peut trouver \(f \in \mathfrak p \subset A_\mathfrak q\) tel que \(\dim((A_\mathfrak q)_\mathfrak p) = 1\). Alors \(\mathfrak p \cap A\) convient.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(x \in X\). Supposons que

1. \(f\) soit plat,

2. \(f\) soit quasi-fini en \(x\),

3. \(x\) ne soit pas le point générique d’une composante irréductible de \(X\),

4. pour les spécialisations \(x' \leadsto x\) telles que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\), le morphisme \(f\) soit non ramifié en \(x'\).

Alors \(f\) est étale en \(x\).

Démonstration

Remarquons que l’ensemble des points où \(f\) est non ramifié coïncide avec l’ensemble des points où \(f\) est étale, et que cet ensemble est ouvert. Voir Morphismes, définitions 02G4 et 02GI, ainsi que le lemme 02GV. Pour vérifier que \(f\) est étale en \(x\), on peut travailler localement pour la topologie étale sur la base et sur la source (Descente, lemmes 02VN et 036W). On peut donc appliquer Compléments sur les morphismes, lemme 02LK, et supposer que \(f : X \to Y\) est fini et que \(x\) est l’unique point de \(X\) situé au-dessus de \(y = f(x)\). Il s’ensuit que \(f\) est fini localement libre (Morphismes, lemme 02KB).

Supposons \(f\) fini localement libre et \(x\) l’unique point de \(X\) situé au-dessus de \(y = f(x)\). D’après Discriminants, lemme 0BJF, il existe un sous-schéma fermé localement principal \(D_f \subset Y\) tel que \(y' \in D_f\) si et seulement s’il existe \(x' \in X\) avec \(f(x') = y'\) et \(f\) ramifié en \(x'\). Il faut donc montrer que \(y \not \in D_f\). Supposons \(y \in D_f\) et cherchons une contradiction.

D’après la condition (3), on a \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 1\). On a \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\) d’après Algèbre, lemme 00ON. D’après le lemme 0BJG, on peut trouver \(y' \in D_f\) se spécialisant en \(y\) tel que \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\). Choisissons \(x' \in X\) tel que \(f(x') = y'\) et où \(f\) est ramifié. Comme \(f\) est fini, il est fermé, et par conséquent \(x' \leadsto x\). On a \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\) comme précédemment. Cela contredit la propriété (4).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local régulier de dimension \(d \geq 2\). Posons \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\). Alors

1. le foncteur \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est essentiellement surjectif, c’est-à-dire que la pureté vaut pour \(A\),

2. tout morphisme fini \(A \to B\) avec \(B\) normal qui induit un morphisme fini étale sur les spectres épointés est étale.

Démonstration

Rappelons qu’un anneau local régulier est normal d’après Algèbre, lemme 0567. Par conséquent, (1) et (2) sont équivalents d’après le lemme 0BM9. Démontrons le lemme par récurrence sur \(d\).

Le cas \(d = 2\). Dans ce cas, \(A \to B\) est plat. En effet, la descente des idéaux premiers vaut pour \(A \to B\) d’après Algèbre, proposition 00H8. Alors \(\dim(B_{\mathfrak m'}) = 2\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m' \subset B\) d’après Algèbre, lemme 00ON. Puis \(B_{\mathfrak m'}\) est un anneau de Cohen–Macaulay d’après Algèbre, lemme 031S. Par conséquent, et c’est l’étape importante, le lemme d’Algèbre 00R4 s’applique et montre que \(A \to B_{\mathfrak m'}\) est plat. Le lemme d’Algèbre 00HT montre alors que \(A \to B\) est plat. On peut donc appliquer le lemme 0BJH (ou raisonner directement à l’aide du plus simple lemme de Discriminants 0BJF) pour voir que \(A \to B\) est étale.

Le cas \(d \geq 3\). Soit \(V \to U\) fini étale. Soit \(f \in \mathfrak m_A\), \(f \not \in \mathfrak m_A^2\). Alors \(A/fA\) est un anneau local régulier de dimension \(d - 1 \geq 2\) ; voir Algèbre, lemme 00NQ. Soit \(U_0\) le spectre épointé de \(A/fA\) et posons \(V_0 = V \times_U U_0\). D’après le lemme 0BLM, il suffit de montrer que \(V_0\) appartient à l’image essentielle de \(\textit{F\'Et}_{\Spec(A/fA)} \to \textit{F\'Et}_{U_0}\). Cela résulte de l’hypothèse de récurrence.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(x \in X\) et posons \(y = f(x)\). Supposons que

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit normal,

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit régulier,

3. \(f\) soit quasi-fini en \(x\),

4. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 1\)

5. pour les spécialisations \(x' \leadsto x\) telles que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\), le morphisme \(f\) soit non ramifié en \(x'\).

Alors \(f\) est étale en \(x\).

Démonstration

Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\).

Un cas sans intérêt est celui où \(d = 1\). Dans ce cas, nous supposons que \(f\) est non ramifié en \(x\) et que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, lemme 00PD). Alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y, y}\) (sinon le morphisme ne serait pas quasi-fini en \(x\)), et l’on voit que \(f\) est plat en \(x\). Comme plat \(+\) non ramifié implique étale, on conclut (certains détails sont omis).

Le cas \(d \geq 2\). On va utiliser la récurrence sur \(d\) pour se ramener au cas étudié dans le lemme 0BMA. Pour vérifier que \(f\) est étale en \(x\), on peut travailler localement pour la topologie étale sur la base et sur la source (Descente, lemmes 02VN et 036W). On peut donc appliquer Compléments sur les morphismes, lemme 02LK, et supposer que \(f : X \to Y\) est fini et que \(x\) est l’unique point de \(X\) situé au-dessus de \(y\). On utilise ici le fait que les extensions étales entre anneaux locaux ne changent ni la dimension, ni la normalité, ni la régularité ; voir Compléments d’algèbre, section 0AGY, et Morphismes étales, section 025L.

Ensuite, on peut effectuer le changement de base par \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) et supposer que \(Y\) est le spectre d’un anneau local régulier. Il s’ensuit que \(X = \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\), puisque tout point de \(X\) se spécialise nécessairement en \(x\).

Le morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est fini et nécessairement injectif (par égalité des dimensions). On conclut que la descente des idéaux premiers vaut pour \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) d’après Algèbre, proposition 00H8 (et le fait qu’un anneau régulier est normal d’après Algèbre, lemme 0567). Choisissons \(x' \in X\), \(x' \not = x\), d’image \(y' = f(x')\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x'}\) est normal comme localisé d’un anneau normal intègre. De même, \(\mathcal{O}_{Y, y'}\) est régulier (voir Algèbre, lemme 0AFS). On a \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y'})\) d’après Algèbre, lemme 00ON (on a vérifié ci-dessus la descente des idéaux premiers). Bien entendu, ces dimensions sont strictement inférieures à \(d\), puisque \(x' \not = x\), et l’hypothèse de récurrence sur \(d\) montre que \(f\) est étale en \(x'\).

On arrive donc à la situation suivante : on a un morphisme local fini \(A \to B\) d’anneaux locaux noethériens de dimension \(d \geq 2\), avec \(A\) régulier et \(B\) normal, qui induit un morphisme fini étale \(V \to U\) sur les spectres épointés. Notre but est de montrer que \(A \to B\) est étale. Cela résulte du lemme 0BMA, et la démonstration est achevée.

Le lemme suivant est parfois utile pour déterminer le plus grand ouvert sur lequel un morphisme fini étale se prolonge.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas localement noethériens telle que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) pour \(x \not \in U\). Soit \(\pi : V \to U\) fini étale. Alors

1. \(\mathcal{B} = j_*\pi_*\mathcal{O}_V\) est une algèbre cohérente réflexive sur \(\mathcal{O}_X\) ; posons \(Y = \underline{\Spec}_X(\mathcal{B})\),

2. \(Y \to X\) est l’unique morphisme fini tel que \(V = Y \times_X U\) et \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\) pour \(y \in Y \setminus V\),

3. \(Y \to X\) est étale en \(y\) si et seulement si \(Y \to X\) est plat en \(y\), et

4. \(Y \to X\) est étale si et seulement si \(\mathcal{B}\) est fini localement libre comme \(\mathcal{O}_X\)-module.

De plus, (a) la construction de \(\mathcal{B}\) et de \(Y \to X\) commute au changement de base par les morphismes plats \(X' \to X\) de schémas localement noethériens, et (b), si \(V' \to U'\) est un morphisme fini étale avec \(U \subset U' \subset X\) ouvert qui se restreint à \(V \to U\) au-dessus de \(U\), alors il existe un unique isomorphisme \(Y \times_X U' = V'\) au-dessus de \(U'\).

Démonstration

Remarquons que \(\pi_*\mathcal{O}_V\) est un module fini localement libre sur \(\mathcal{O}_U\), donc en particulier réflexif. D’après Diviseurs, lemme 0EBJ, le module \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\) est l’unique module cohérent réflexif sur \(X\) dont la restriction à \(U\) est \(\pi_*\mathcal{O}_V\). Cela démontre (1).

Par construction, \(Y \times_X U = V\). Comme \(\mathcal{B}\) est cohérente, on voit que \(Y \to X\) est fini. On a \(\text{depth}(\mathcal{B}_x) \geq 2\) pour \(x \in X \setminus U\) d’après Diviseurs, lemme 0EBI. Par conséquent, \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\) pour \(y \in Y \setminus V\) d’après Algèbre, lemme 0AUK. Réciproquement, supposons que \(\pi' : Y' \to X\) soit un morphisme fini tel que \(V = Y' \times_X U\) et \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y', y'}) \geq 2\) pour \(y' \in Y' \setminus V\). Alors \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\) a pour restriction \(\pi_*\mathcal{O}_V\) sur \(U\) et vérifie \(\text{depth}((\pi'_*\mathcal{O}_{Y'})_x) \geq 2\) pour \(x \in X \setminus U\) d’après le lemme d’Algèbre 0AUK. Alors \(\pi'_*\mathcal{O}_{Y'}\) est canoniquement isomorphe à \(j_*\pi_*\mathcal{O}_V\), par exemple d’après Diviseurs, lemme 0E9I. Cela démontre (2).

Si \(Y \to X\) est étale en \(y\), alors \(Y \to X\) est plat en \(y\). Réciproquement, supposons que \(Y \to X\) soit plat en \(y\). Si \(y \in V\), alors \(Y \to X\) est étale en \(y\). Si \(y \not \in V\), vérifions que (1), (2), (3) et (4) du lemme 0BJH sont satisfaits pour voir que \(Y \to X\) est étale en \(y\). Les parties (1) et (2) sont claires, de même que (3), puisque \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y}) \geq 2\). Si \(y' \leadsto y\) est une spécialisation et \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y'}) = 1\), alors \(y' \in V\), car sinon la profondeur de cet anneau local serait au moins égale à \(2\), ce qui contredirait le lemme d’Algèbre 00LK. Ainsi, \(Y \to X\) est étale en \(y'\), et l’on conclut que (4) du lemme 0BJH est également satisfait. Cela achève la démonstration de (3).

La partie (4) résulte de (3) et du fait que \(((Y \to X)_*\mathcal{O}_Y)_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat si et seulement si \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module plat pour tout \(y \in Y\) au-dessus de \(x\) ; voir Algèbre, lemme 00HT. On utilise aussi ici le fait qu’un module fini plat sur un anneau noethérien est fini localement libre ; voir Algèbre, lemme 00NX (et Algèbre, lemme 00FP).

Quant aux dernières assertions du lemme, la partie (a) résulte du changement de base plat ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH, et la partie (b) découle de l’unicité dans (2), appliquée à la restriction \(Y \times_X U'\).

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas noethériens telle que la pureté vaille pour \(\mathcal{O}_{X, x}\) pour tout \(x \not \in U\). Alors \[\textit{F\'Et}_X \longrightarrow \textit{F\'Et}_U\] est essentiellement surjectif.

Démonstration

Soit \(V \to U\) un morphisme fini étale. Par récurrence noethérienne, il suffit de prolonger \(V \to U\) en un morphisme fini étale au-dessus d’un ouvert strictement plus grand de \(X\). Soit \(x \in X \setminus U\) le point générique d’une composante irréductible de \(X \setminus U\). Alors l’image inverse \(U_x\) de \(U\) dans \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Par hypothèse, \(V_x = V \times_U U_x\) est la restriction d’un morphisme fini étale \(Y_x \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) à \(U_x\). D’après Limites, lemme 0BQ5, il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset U' \subset X\) contenant \(x\) et un morphisme de présentation finie \(V' \to U'\) dont la restriction à \(U\) redonne \(V \to U\) et dont la restriction à \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) redonne \(Y_x\). Enfin, le morphisme \(V' \to U'\) est fini étale après avoir éventuellement remplacé \(U'\) par un ouvert plus petit, d’après Limites, lemme 0EY3.

Revêtements finis étales des spectres épointés, II

Dans cette section, nous démontrons quelques variantes des résultats étudiés dans la section 0BLE. Supposons donné un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m)\) et un élément \(f \in \mathfrak m\). Posons \(X = \Spec(A)\) et \(X_0 = \Spec(A/fA)\), et posons \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) et \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\), les spectres épointés de \(A\) et \(A/fA\). Tout ceci est exactement comme dans la situation 0BLF. La différence est que nous considérerons le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] Autrement dit, nous ne chercherons pas à relever les revêtements finis étales de \(U_0\) à tout \(U\), mais seulement à un voisinage ouvert \(U'\) de \(U_0\) dans \(U\).

Lemme

Dans la situation 0BLF, soit \(U' \subset U\) un ouvert contenant \(U_0\). Supposons que, pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \in U'\) et \(\mathfrak p \not \in U_0\), on ait \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\). Alors \[\textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0},\quad V' \longmapsto V_0 = V' \times_{U'} U_0\] est un foncteur fidèle. De plus, il existe un \(U'\) satisfaisant l’hypothèse, et tout ouvert plus petit \(U'' \subset U'\) contenant \(U_0\) satisfait également cette hypothèse. En particulier, le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est fidèle.

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 00KW, on voit que \(V(\mathfrak p)\) rencontre \(U_0\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\) tel que \(\dim(A/\mathfrak p) \geq 2\). Ainsi, le foncteur affiché est fidèle pour un \(U'\) comme dans l’énoncé, d’après le lemme 0EJX. Pour voir qu’un tel \(U'\) existe, remarquons que, pour \(\mathfrak p \subset A\) tel que \(\mathfrak p \in U\), \(\mathfrak p \not \in U_0\) et \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\), alors \(\mathfrak p\) correspond à un point fermé de \(U\) et donc \(V(\mathfrak p) \cap U_0 = \emptyset\). On peut ainsi prendre pour \(U'\) le complémentaire des composantes irréductibles de \(X\) qui ne rencontrent pas \(U_0\) et sont de dimension \(1\).

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) soit de dimension \(\geq 3\).

Alors le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est pleinement fidèle.

Démonstration

Pour le démontrer, on peut remplacer \(A\) par son réduit, grâce à l’invariance topologique du groupe fondamental ; voir le lemme 0BQB. Le résultat découle alors du lemme 0ELA et du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EKU.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit non diviseur de zéro,

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) soit un \(A\)-module fini.

Alors le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est pleinement fidèle.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0ELA et du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EKV.

Revêtements finis étales des spectres épointés, III

Dans cette section, nous étudions, dans la situation 0BLF, quand le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est une équivalence de catégories.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) soit de dimension \(\geq 4\), ou bien

   2. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

Alors le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est une équivalence.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0EK1 et du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EKY.

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit non diviseur de zéro,

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) soient des \(A\)-modules finis.

Alors le foncteur de restriction \[\colim_{U_0 \subset U' \subset U\text{ ouvert}} \textit{F\'Et}_{U'} \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est une équivalence.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0EK1 et du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EKZ.

Remarque

Soient \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien complet et \(f \in \mathfrak m\) non nul. Supposons que \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et que toute composante irréductible de \(\Spec(A)\) soit de dimension \(\geq 4\). Alors le lemme 0DXY nous dit que la catégorie \[\colim\nolimits_{U' \subset U\text{ ouvert, }U_0 \subset U'} \text{ catégorie des schémas finis étales sur }U'\] est équivalente à la catégorie des schémas finis étales sur \(U_0\). Cela vaut par exemple si \(A\) est un anneau normal intègre de dimension \(\geq 4\) !

Revêtements finis étales des spectres épointés, IV

Soient \(X, X_0, U, U_0\) comme dans la situation 0BLF. Dans cette section, nous demandons quand le foncteur de restriction \[\textit{F\'Et}_U \longrightarrow \textit{F\'Et}_{U_0}\] est essentiellement surjectif. Nous procéderons en reprenant les résultats de la section 0EK7, puis en comblant les lacunes à l’aide de la pureté. Rappelons que nous disons que la pureté vaut pour un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m)\) si le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est essentiellement surjectif, où \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\).

Lemme

Dans la situation 0BLF, supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) soit de dimension \(\geq 4\), ou bien

   2. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

3. pour tout idéal maximal \(\mathfrak p \subset A_f\), la pureté vaille pour \((A_f)_\mathfrak p\).

Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) est essentiellement surjectif.

Démonstration

Soit \(V_0 \to U_0\) un morphisme fini étale. D’après le lemme 0DXY, il existe un ouvert \(U' \subset U\) contenant \(U_0\) et un morphisme fini étale \(V' \to U'\) dont le changement de base à \(U_0\) est isomorphe à \(V_0 \to U_0\). Comme \(U' \supset U_0\), on voit que \(U \setminus U'\) est formé de points correspondant aux idéaux premiers \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) comme dans (3). Par hypothèse, on peut trouver des morphismes finis étales \(V'_i \to \Spec(A_{\mathfrak p_i})\) qui coïncident avec \(V' \to U'\) sur \(U' \times_U \Spec(A_{\mathfrak p_i})\). D’après Limites, lemme 0BPA, appliqué \(n\) fois, on voit que \(V' \to U'\) se prolonge en un morphisme fini étale \(V \to U\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit non diviseur de zéro,

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) soient des \(A\)-modules finis,

4. pour tout idéal maximal \(\mathfrak p \subset A_f\), la pureté vaille pour \((A_f)_\mathfrak p\).

Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_U \to \textit{F\'Et}_{U_0}\) est essentiellement surjectif.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0EK9, en utilisant le lemme 0BLV au lieu du lemme 0DXY.

Pureté dans le cas local, II

Cette section prolonge la section 0BM7. Rappelons que nous disons que la pureté vaut pour un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m)\) si le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est essentiellement surjectif, où \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

   1. \(A_f\) vérifie \((S_2)\) et toute composante irréductible de \(X\) non contenue dans \(X_0\) soit de dimension \(\geq 4\), ou bien

   2. si \(\mathfrak p \not \in V(f)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(f) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}(A_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > 3\).

3. pour tout idéal maximal \(\mathfrak p \subset A_f\), la pureté vaille pour \((A_f)_\mathfrak p\), et

4. la pureté vaille pour \(A\).

Alors la pureté vaut pour \(A/fA\).

Démonstration

Notons \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\) le spectre épointé. De même, on a \(X_0 = \Spec(A/fA)\) et \(U_0 = X_0 \setminus \{\mathfrak m\}\). Soit \(V_0 \to U_0\) un morphisme fini étale. D’après le lemme 0EK9, il existe un morphisme fini étale \(V \to U\) dont le changement de base à \(U_0\) est isomorphe à \(V_0 \to U_0\). D’après l’hypothèse (4), le morphisme \(V \to U\) se prolonge en un morphisme fini étale \(Y \to X\). La restriction de \(Y\) à \(X_0\) est alors le prolongement cherché de \(V_0 \to U_0\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(f \in \mathfrak m\). Supposons que

1. \(A\) soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(f\) soit non diviseur de zéro,

3. \(H^1_\mathfrak m(A/fA)\) et \(H^2_\mathfrak m(A/fA)\) soient des \(A\)-modules finis,

4. pour tout idéal maximal \(\mathfrak p \subset A_f\), la pureté vaille pour \((A_f)_\mathfrak p\),

5. la pureté vaille pour \(A\).

Alors la pureté vaut pour \(A/fA\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 0DXZ, en utilisant le lemme 0EKA au lieu du lemme 0EK9.

On peut maintenant amplifier les résultats précédents pour démontrer que la pureté vaut pour les intersections complètes de dimension \(\geq 3\). Rappelons qu’un anneau local noethérien est appelé une intersection complète si son complété est le quotient d’un anneau local régulier par l’idéal engendré par une suite régulière. Voir la discussion dans Algèbre à puissances divisées, section 09PY.

Proposition

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Si \(A\) est une intersection complète de dimension \(\geq 3\), alors la pureté vaut pour \(A\), au sens où tout revêtement fini étale du spectre épointé se prolonge.

Démonstration

D’après le lemme 0BLL, on peut supposer \(A\) local complet. Par hypothèse, on peut écrire \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\), où \(B\) est un anneau local régulier complet et \(f_1, \ldots, f_r\) une suite régulière. On achève la démonstration par récurrence sur \(r\). Le cas initial est \(r = 0\) et résulte du lemme 0BMA, qui s’applique aux anneaux réguliers de dimension \(\geq 2\).

Supposons que \(A = B/(f_1, \ldots, f_r)\) et que la proposition vaille pour \(r - 1\). Posons \(A' = B/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) et appliquons le lemme 0BPC à \(f_r \in A'\). C’est permis : la condition (2) est satisfaite puisque \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière, la condition (1) est satisfaite puisque \(B\), et donc \(A'\), est complet, la condition (3) est satisfaite puisque \(A = A'/f_r A'\) est de Cohen–Macaulay de dimension \(\dim(A) \geq 3\) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AVZ, la condition (4) est satisfaite par l’hypothèse de récurrence, car \(\dim((A'_{f_r})_\mathfrak p) \geq 3\) pour un idéal premier maximal \(\mathfrak p\) de \(A'_{f_r}\), et car \((A'_{f_r})_\mathfrak p = B_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) pour un certain \(\mathfrak q \subset B\), la condition (5) est satisfaite par l’hypothèse de récurrence.

Pureté dans le cas local, III

Cette section prolonge la discussion des sections 0BM7 et 0BPB.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de profondeur \(\geq 2\). Soit \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\) avec \(d \geq 1\). Posons \(Y = \Spec(B)\) et \(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\). Pour tout sous-schéma ouvert \(V \subset Y\) tel que \(V_0 = V \cap Y_0\) soit égal à \(Y_0 \setminus \{\mathfrak m_B\}\), le foncteur de restriction \[\textit{F\'Et}_V \longrightarrow \textit{F\'Et}_{V_0}\] est pleinement fidèle.

Démonstration

Posons \(I = (x_1, \ldots, x_d)\). Posons \(X = \Spec(A)\). Si l’on utilise le morphisme \(Y \to X\) pour identifier \(Y_0\) à \(X\), alors \(V_0\) s’identifie au spectre épointé \(U\) de \(A\). En prenant les images directes des modules par ce morphisme affine, on obtient \[\begin{align*} \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_V/I^n\mathcal{O}_V) & = \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) \\ & = \lim_n \Gamma(U, \mathcal{O}_U[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n) \\ & = \lim_n A[x_1, \ldots, x_d]/(x_1, \ldots, x_d)^n \\ & = B \end{align*}\] En effet, puisque la profondeur de \(A\) est \(\geq 2\), on a \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\) ; voir Cohomologie locale, lemme 0BK0. Ainsi, pour tout ouvert \(V \subset Y\) comme dans le lemme, on obtient \[B = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \lim_n \Gamma(V_0, \mathcal{O}_Y/I^n\mathcal{O}_Y) = B\] ce qui implique que les deux flèches sont des isomorphismes (on omet un petit détail). D’après Géométrie algébrique et formelle, lemme 0EKP, on conclut que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_V) \to \textit{Coh}(V, I\mathcal{O}_V)\) est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets finis localement libres. On conclut donc par le lemme 0EL8.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de profondeur \(\geq 2\). Soit \(B = A[[x_1, \ldots, x_d]]\) avec \(d \geq 1\). Pour tout ouvert \(V \subset Y = \Spec(B)\) qui contient

1. tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) tel que \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m\),

2. l’idéal premier \(\mathfrak m B\),

le foncteur \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) est une équivalence. En particulier, la pureté vaut pour \(B\).

Démonstration

Un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) qui n’appartient pas à \(V\) est au-dessus de \(\mathfrak m\). Dans ce cas, \(A \to B_\mathfrak q\) est un homomorphisme local plat, et donc \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\) (Algèbre, lemme 0337). Le foncteur est donc pleinement fidèle d’après le lemme 0BQF, combiné au lemme de Cohomologie locale 0BLR.

Soit \(W \to V\) un morphisme fini étale. Soit \(B \to C\) l’unique morphisme fini d’anneaux tel que \(\Spec(C) \to Y\) soit le morphisme fini prolongeant \(W \to V\) construit dans le lemme 0EY6. Remarquons que \(C = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\).

Posons \(Y_0 = V(x_1, \ldots, x_d)\) et \(V_0 = V \cap Y_0\). Posons \(X = \Spec(A)\). Si l’on utilise le morphisme \(Y \to X\) pour identifier \(Y_0\) à \(X\), alors \(V_0\) s’identifie au spectre épointé \(U\) de \(A\). On peut ainsi considérer \(W_0 = W \times_Y Y_0\) comme un schéma fini étale sur \(U\). Alors \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \quad\text{et}\quad W \times_V (U \times_X Y)\] sont des schémas finis étales sur \(U \times_X Y\) dont les restrictions sont des schémas finis étales isomorphes sur \(V_0\). D’après le lemme 0EY9, appliqué à l’ouvert \(U \times_X Y\), on obtient un isomorphisme \[W_0 \times_U (U \times_X Y) \longrightarrow W \times_V (U \times_X Y)\] sur \(U \times_X Y\).

Remarquons que \(C_0 = \Gamma(W_0, \mathcal{O}_{W_0})\) est une \(A\)-algèbre finie d’après le lemme 0EY6 appliqué à \(W_0 \to U \subset X\) (exactement comme ci-dessus pour \(B \to C\)). Comme la construction du lemme 0EY6 est compatible au changement de base plat et au changement d’ouverts, l’isomorphisme ci-dessus induit un isomorphisme \[\Psi : C \longrightarrow C_0 \otimes_A B\] de \(B\)-algèbres finies. Cependant, on sait que \(\Spec(C) \to Y\) est étale en tout point situé au-dessus d’au moins un point de \(Y\) qui est au-dessus de \(\mathfrak m \in X\). Comme \(\Psi\) est un isomorphisme, on conclut que \(\Spec(C_0) \to X\) est étale au-dessus de \(\mathfrak m\) (on omet un petit détail). Cela signifie bien sûr que \(A \to C_0\) est fini étale, et donc que \(B \to C\) est fini étale.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Supposons que

1. \(f\) soit lisse,

2. \(S\) soit noethérien,

3. pour \(s \in S\) tel que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}) \leq 1\), on ait \(X_s = U_s\),

4. \(U_s \subset X_s\) soit dense pour tout \(s \in S\).

Alors \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_U\) est une équivalence.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après le lemme 0BQF, combiné au lemme de Cohomologie locale 0BLR (ainsi qu’à une application du lemme d’Algèbre 0337 pour vérifier la condition de profondeur).

Soit \(\pi : V \to U\) un morphisme fini étale. Soit \(Y \to X\) le morphisme fini construit dans le lemme 0EY6. Il faut montrer que \(Y \to X\) est fini étale. Pour le montrer en tout point \(x \in X\) s’envoyant sur un point donné \(s \in S\), on peut effectuer le changement de base par un morphisme plat \(S' \to S\) de schémas noethériens tel que \(s\) appartienne à l’image. Cela résulte de la compatibilité de la construction du lemme 0EY6 au changement de base plat.

Après avoir agrandi \(U\), on peut supposer que \(U \subset X\) est le plus grand ouvert au-dessus duquel \(Y \to X\) est fini étale. Soit \(Z \subset X\) le complémentaire de \(U\). Pour obtenir une contradiction, supposons \(Z \not = \emptyset\). Soit \(s \in S\) un point de l’image de \(Z \to S\) tel qu’aucune générisation stricte de \(s\) n’appartienne à cette image. Après changement de base à \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\), on voit alors que \(S = \Spec(A)\), où \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local noethérien de profondeur \(\geq 2\), et que \(Z\) est contenu dans la fibre fermée \(X_s\) et n’est dense nulle part dans \(X_s\). Choisissons un point fermé \(z \in Z\). Alors \(\kappa(z)/\kappa\) est fini (par le théorème des zéros de Hilbert ; voir Algèbre, théorème 00FV). Choisissons un morphisme fini plat \((S', s') \to (S, s)\) de schémas locaux réalisant l’extension résiduelle \(\kappa(z)/\kappa\) ; voir Algèbre, lemme 07NE. Après avoir effectué le changement de base par \(S' \to S\), on se ramène au cas où \(\kappa(z) = \kappa\).

D’après Compléments sur les morphismes, lemme 057G, il existe un sous-schéma localement fermé \(S' \subset X\) passant par \(z\) tel que \(S' \to S\) soit étale en \(z\). Après changement de base par \(S' \to S\), on peut supposer qu’il existe une section \(\sigma : S \to X\) telle que \(\sigma(s) = z\). Choisissons un voisinage affine \(\Spec(B) \subset X\) de \(z\). Alors \(A \to B\) est un morphisme lisse d’anneaux qui possède une section \(\sigma : B \to A\). Notons \(I = \Ker(\sigma)\) et notons \(B^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(B\). Alors \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\) pour un certain \(d \geq 0\) ; voir Algèbre, lemme 05D5. Remarquons que \(d > 0\), car sinon on verrait que \(X \to S\) est étale en \(z\), ce qui impliquerait que \(z\) est un point générique de \(X_s\), et donc que \(z \in U\) d’après l’hypothèse (4). De même, si \(d > 0\), alors \(\mathfrak m B^\wedge\) s’envoie dans \(U\) par le morphisme \(\Spec(B^\wedge) \to X\). Il suffit de démontrer que \(Y \to X\) est fini étale après changement de base à \(\Spec(B^\wedge)\). Comme \(B \to B^\wedge\) est plat (Algèbre, lemme 00MB), cela résulte du lemme 0EYA et de l’unicité dans la construction de \(Y \to X\).

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Supposons \(A\) de profondeur \(\geq 2\), le morphisme \(A \to B\) formellement lisse pour la topologie \(\mathfrak m_B\)-adique, et \(\dim(B) > \dim(A)\). Pour tout ouvert \(V \subset Y = \Spec(B)\) qui contient

1. tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) tel que \(\mathfrak q \cap A \not = \mathfrak m_A\),

2. l’idéal premier \(\mathfrak m_A B\),

le foncteur \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\) est une équivalence. En particulier, la pureté vaut pour \(B\).

Démonstration

Un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) qui n’appartient pas à \(V\) est au-dessus de \(\mathfrak m_A\). Dans ce cas, \(A \to B_\mathfrak q\) est un homomorphisme local plat, et donc \(\text{depth}(B_\mathfrak q) \geq 2\) (Algèbre, lemme 0337). Le foncteur est donc pleinement fidèle d’après le lemme 0BQF, combiné au lemme de Cohomologie locale 0BLR.

Notons \(A^\wedge\) et \(B^\wedge\) les complétés de \(A\) et \(B\) pour leurs idéaux maximaux. Remarquons que les hypothèses de la proposition sont satisfaites par \(A^\wedge \to B^\wedge\) ; voir Compléments d’algèbre, lemmes 07NV, 07NW et 07ED. Par l’unicité et la compatibilité au changement de base plat de la construction du lemme 0EY6, il suffit de démontrer la surjectivité essentielle pour \(A^\wedge \to B^\wedge\) et l’image inverse de \(V\) (détails omis ; comparer au lemme 0BLL dans le cas où \(V\) est le spectre épointé). D’après Compléments d’algèbre, proposition 07PM, cela signifie que l’on peut supposer \(A \to B\) régulier.

Soit \(W \to V\) un morphisme fini étale. D’après le théorème de Popescu (Lissage des morphismes d’anneaux, théorème 07GC), on peut écrire \(B = \colim B_i\) comme colimite filtrante de \(A\)-algèbres lisses. On peut choisir un \(i\) et un ouvert \(V_i \subset \Spec(B_i)\) dont l’image inverse est \(V\) (Limites, lemme 01Z4). Après avoir augmenté \(i\), on peut supposer qu’il existe un morphisme fini étale \(W_i \to V_i\) dont le changement de base à \(V\) est \(W \to V\) ; voir Limites, lemmes 01ZM, 01ZO et 07RP. On peut supposer que le complémentaire de \(V_i\) est contenu dans la fibre fermée de \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\), puisque cela est vrai pour \(V\) (soit on choisit ainsi \(V_i\), soit on utilise le lemme précédent pour montrer que cela vaut pour \(i\) assez grand). Soit \(\eta\) le point générique de la fibre fermée de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). Comme \(\eta \in V\), l’image de \(\eta\) appartient à \(V_i\). Ainsi, après avoir remplacé \(V_i\) par un voisinage ouvert affine de l’image du point fermé de \(\Spec(B)\), on peut supposer que la fibre fermée de \(\Spec(B_i) \to \Spec(A)\) est irréductible et que son point générique appartient à \(V_i\) (détails omis ; en effet, un schéma lisse sur un corps est réunion disjointe de schémas irréductibles). On peut alors appliquer le lemme 0EYB pour voir que \(W_i \to V_i\) se prolonge en un morphisme fini étale \(\Spec(C_i) \to \Spec(B_i)\) et, en le ramenant à \(\Spec(B)\), on conclut que \(W\) appartient à l’image essentielle du foncteur \(\textit{F\'Et}_Y \to \textit{F\'Et}_V\), comme souhaité.

Lefschetz pour le groupe fondamental

Nous avons bien sûr déjà démontré plusieurs résultats de ce type dans le cas local. Dans cette section, nous étudions le cas projectif.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(Y = Z(s)\) le schéma des zéros de \(s\). Supposons que, pour tout \(x \in X \setminus Y\), on ait \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 1\] Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est pleinement fidèle. En fait, pour tout sous-schéma ouvert \(V \subset X\) contenant \(Y\), le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\) est pleinement fidèle.

Démonstration

La première assertion est une conséquence formelle du lemme 0EJZ et de la proposition de Géométrie algébrique et formelle 0EL1. La seconde assertion découle du lemme 0EJZ et du lemme de Géométrie algébrique et formelle 0EL2.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(Y = Z(s)\) le schéma des zéros de \(s\). Soit \(\mathcal{V}\) l’ensemble des sous-schémas ouverts de \(X\) contenant \(Y\), ordonné par inclusion inverse. Supposons que, pour tout \(x \in X \setminus Y\), on ait \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] Alors le foncteur de restriction \[\colim_\mathcal{V} \textit{F\'Et}_V \to \textit{F\'Et}_Y\] est une équivalence.

Démonstration

C’est une conséquence formelle du lemme 0EK1 et de la proposition de Géométrie algébrique et formelle 0EL7.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(Y = Z(s)\) le schéma des zéros de \(s\). Supposons que, pour tout \(x \in X \setminus Y\), on ait \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) + \dim(\overline{\{x\}}) > 2\] et que, lorsque \(x \in X \setminus Y\) est fermé, la pureté vaille pour \(\mathcal{O}_{X, x}\). Alors le foncteur de restriction \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_Y\) est une équivalence. Si \(X\), ou de manière équivalente \(Y\), est connexe, alors \[\pi_1(Y, \overline{y}) \to \pi_1(X, \overline{y})\] est un isomorphisme pour tout point géométrique \(\overline{y}\) de \(Y\).

Démonstration

La pleine fidélité résulte de la proposition 0ELC. D’après la proposition 0ELD, tout objet de \(\textit{F\'Et}_Y\) est isomorphe au produit fibré \(U \times_V Y\) pour un certain morphisme fini étale \(U \to V\), où \(V \subset X\) est un sous-schéma ouvert contenant \(Y\). Le complémentaire \(T = X \setminus V\) est⁵ un ensemble fini de points fermés de \(X \setminus Y\). Écrivons \(T = \{x_1, \ldots, x_n\}\). Par hypothèse, on peut trouver des morphismes finis étales \(V'_i \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\) qui coïncident avec \(U \to V\) sur \(V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\). D’après Limites, lemme 0BPA, appliqué \(n\) fois, on voit que \(U \to V\) se prolonge en un morphisme fini étale \(U' \to X\), comme souhaité. Voir le lemme 0BQA pour la dernière assertion.

Pureté du lieu de ramification

Dans cette section, nous examinons l’analogue de la pureté du lieu de branchement pour les morphismes génériquement finis. Ce résultat est apparemment dû à Gabber. Un cas particulier est le théorème de pureté de van der Waerden pour le lieu où un morphisme birationnel d’une variété normale vers une variété lisse n’est pas un isomorphisme.

Lemme

Soit \(A\) un domaine local noethérien normal de dimension \(2\). Supposons que \(A\) soit un anneau de Nagata, possède un module dualisant \(\omega_A\) et admette une résolution des singularités \(f : X \to \Spec(A)\). Soit \(\omega_X\) comme dans Résolution des surfaces, remarque 0B4R. Si \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X(E)\) pour un certain diviseur de Cartier effectif \(E \subset X\) porté par la fibre exceptionnelle, alors \(A\) définit une singularité rationnelle. Si \(f\) est une résolution minimale, alors \(E = 0\).

Démonstration

Il existe un morphisme trace \(Rf_*\omega_X \to \omega_A\), voir Dualité pour les schémas, section 0AWG. D’après Grauert–Riemenschneider (Résolution des surfaces, proposition 0AXD), on a \(R^1f_*\omega_X = 0\). Ainsi, le morphisme trace est un morphisme \(f_*\omega_X \to \omega_A\). On peut alors considérer \[\mathcal{O}_{\Spec(A)} = f_*\mathcal{O}_X \to f_*\omega_X \to \omega_A\] où le premier morphisme provient du morphisme \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(E) = \omega_X\) dont l’existence est supposée dans l’énoncé du lemme. La composée est un isomorphisme d’après Diviseurs, lemme 0AVM, car c’est un isomorphisme sur le spectre épointé de \(A\) (par l’hypothèse du lemme et le fait que \(f\) est un isomorphisme sur le spectre épointé) et que \(A\) et \(\omega_A\) sont des \(A\)-modules de profondeur \(2\) (d’après Algèbre, lemme 031S et Complexes dualisants, lemme 0AWE). Par conséquent, \(f_*\omega_X \to \omega_A\) est surjectif, donc est un isomorphisme. Ainsi, \(Rf_*\omega_X = \omega_A\), ce qui, par dualité, implique \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\). Il s’ensuit que \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\), ce qui implique que \(A\) définit une singularité rationnelle (voir la discussion dans Résolution des surfaces, section 0AXE, en particulier les lemmes 0B4Q et 0AXF). Si \(f\) est minimal, alors \(E = 0\), car le morphisme \(f^*\omega_A \to \omega_X\) est surjectif d’après une application répétée de Résolution des surfaces, lemme 0B64, et \(\omega_A \cong A\), comme on l’a vu ci-dessus.

Lemme

Posons \(Y = \Spec(A)\) et soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini. Soit \(x \in X\) un point. Supposons que

1. \(A\) soit un anneau local régulier excellent,

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit normal de dimension \(2\),

3. \(f\) soit étale hors de \(\overline{\{x\}}\).

Alors \(f\) est étale en \(x\).

Démonstration

On remplace d’abord \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x\). Notons que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local excellent (Compléments d’algèbre, lemme 07QU). On peut donc choisir une résolution minimale des singularités \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\), voir Résolution des surfaces, théorème 0BGP. Après avoir éventuellement remplacé \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x\), on peut trouver un morphisme propre \(b : X' \to X\) tel que \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = W\), voir Limites, lemme 0BPA. Après avoir encore rétréci \(X\), on peut supposer que \(X'\) est régulier. En effet, on sait que \(W\) est régulier et que \(X'\) est excellent, et le lieu régulier du spectre d’un anneau excellent est ouvert. Puisque \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est projectif (comme composé d’une suite d’éclatements normalisés), on peut supposer, après avoir rétréci \(X\), que \(b\) est projectif (détails omis). Soit \(U = X \setminus \overline{\{x\}}\). Puisque \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est un isomorphisme sur le spectre épointé, on peut supposer que \(b : X' \to X\) est un isomorphisme sur \(U\). Ainsi, on peut et on va aussi considérer \(U\) comme un sous-schéma ouvert de \(X'\). Posons \(f' = f \circ b : X' \to \Spec(A)\).

Puisque \(A\) est régulier, on voit que \(\mathcal{O}_Y\) est un complexe dualisant pour \(Y\). Par conséquent, \(f^!\mathcal{O}_Y\) est un complexe dualisant sur \(X\) (Dualité pour les schémas, lemme 0AA3). Le lieu de Cohen–Macaulay de \(X\) est ouvert d’après Dualité pour les schémas, lemme 0AWT (cela peut aussi se démontrer à l’aide de l’excellence). Puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de Cohen–Macaulay, après avoir rétréci \(X\), on peut supposer que \(X\) est de Cohen–Macaulay. Notons qu’un morphisme étale est une intersection complète locale. Ainsi, Dualité pour les schémas, lemme 0EA0, s’applique avec \(r = 0\) et donne un morphisme \[\mathcal{O}_X \longrightarrow \omega_{X/Y} = H^0(f^!\mathcal{O}_Y)\] qui est un isomorphisme sur \(X \setminus \overline{\{x\}}\). Puisque \(\omega_{X/Y}\) est \((S_2)\) d’après Dualité pour les schémas, lemme 0E9V, on constate que ce morphisme est un isomorphisme d’après Diviseurs, lemme 0AVM. Cela montre déjà que \(X\), et en particulier \(\mathcal{O}_{X, x}\), est de Gorenstein.

Posons \(\omega_{X'/Y} = H^0((f')^!\mathcal{O}_Y)\). En raisonnant exactement de la même manière que ci-dessus, on voit que \((f')^!\mathcal{O}_Y = \omega_{X'/Y}[0]\) est un complexe dualisant pour \(X'\). Puisque \(X'\) est régulier, le morphisme \(X' \to Y\) est un morphisme d’intersection complète locale, voir Compléments sur les morphismes, lemme 0E9K. D’après Dualité pour les schémas, lemme 0E9Z, il existe un morphisme \[\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow \omega_{X'/Y}\] qui est un isomorphisme sur \(U\). On en déduit que \(\omega_{X'/Y} = \mathcal{O}_{X'}(E)\) pour un certain diviseur de Cartier effectif \(E \subset X'\) disjoint de \(U\).

Puisque \(\omega_{X/Y} = \mathcal{O}_X\), on voit que \(\omega_{X'/Y} = b^! f^!\mathcal{O}_Y = b^!\mathcal{O}_X\). En revenant à \(W \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\), on voit que \(\omega_W = \mathcal{O}_W(E|_W)\). D’après le lemme 0EA2, on obtient \(E|_W = 0\). Cela signifie que \(f' : X' \to Y\) est étale d’après le lemme (déjà utilisé) de Dualité pour les schémas, lemme 0E9Z. Cela achève immédiatement la démonstration, car le caractère étale de \(f'\) force \(b\) à être un isomorphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(x \in X\) et posons \(y = f(x)\). Supposons que

1. \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit normal de dimension \(\geq 1\),

2. \(\mathcal{O}_{Y, y}\) soit régulier,

3. \(f\) soit localement de type fini, et

4. pour les spécialisations \(x' \leadsto x\) telles que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = 1\), le morphisme \(f\) soit étale en \(x'\).

Alors \(f\) est étale en \(x\).

Démonstration

On va démontrer le lemme par récurrence sur \(d = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\).

Le cas \(d = 1\) est immédiat, puisque dans ce cas le morphisme \(f\) est étale en \(x\) par hypothèse. Supposons \(d \geq 2\).

On peut effectuer le changement de base par \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to Y\) sans modifier la conclusion du lemme, voir Morphismes, lemme 0476. Ainsi, on peut supposer \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau local régulier, et que \(y\) correspond à l’idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\).

Soit \(x' \leadsto x\) une spécialisation avec \(x' \not = x\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x'}\) est normal, comme localisation de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Si \(x'\) n’est pas un point générique de \(X\), alors \(1 \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x'}) < d\) et on conclut que \(f\) est étale en \(x'\) par l’hypothèse de récurrence. On peut donc supposer que \(f\) est étale en tout point se spécialisant en \(x\). Puisque l’ensemble des points où \(f\) est étale est ouvert dans \(X\) (par définition), on peut, après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), supposer que \(f\) est étale hors de \(\overline{\{x\}}\). En particulier, on voit que \(f\) est étale sauf en des points situés au-dessus du point fermé \(y \in Y = \Spec(A)\).

Soit \(X' = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\). Soit \(x' \in X'\) l’unique point au-dessus de \(x\). D’après ce qui précède, on voit que \(X'\) est étale sur \(\Spec(A^\wedge)\) hors de la fibre fermée et, par conséquent, \(X'\) est normal hors de la fibre fermée. Puisque \(X\) est normal, on en déduit que \(X'\) est normal d’après Résolution des surfaces, lemme 0BG9. Alors, si l’on peut montrer que \(X' \to \Spec(A^\wedge)\) est étale en \(x'\), le morphisme \(f\) est étale en \(x\) (d’après le lemme déjà cité de Morphismes, lemme 0476). Ainsi, on peut et on va supposer que \(A\) est un anneau local régulier complet.

Le cas \(d = 2\) résulte alors du lemme 0EA3.

Supposons \(d > 2\). Soit \(t \in \mathfrak m\), \(t \not \in \mathfrak m^2\). Posons \(Y_0 = \Spec(A/tA)\) et \(X_0 = X \times_Y Y_0\). Alors \(X_0 \to Y_0\) est étale hors de la fibre au-dessus du point fermé. Puisque \(d > 2\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{X_0, x}) = d - 1\), qui est \(\geq 2\). La normalisation \(X_0' \to X_0\) est surjective et finie (car on travaille sur un anneau local complet et que de tels anneaux sont de Nagata). Soit \(x' \in X_0'\) un point dont l’image est \(x\). Par hypothèse de récurrence, le morphisme \(X'_0 \to Y_0\) est étale en \(x'\). Des inclusions \(\kappa(y) \subset \kappa(x) \subset \kappa(x')\), on déduit que \(\kappa(x)\) est fini sur \(\kappa(y)\). Par conséquent, \(x\) est un point fermé de la fibre de \(X \to Y\) au-dessus de \(y\). Mais comme \(x\) est également un point générique de cette fibre, on conclut que \(f\) est quasi-fini en \(x\), et on se ramène au cas de la pureté du lieu de branchement, voir le lemme 0BMB.

Affinité du complémentaire du lieu de ramification

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini de schémas noethériens, avec \(X\) normal et \(Y\) régulier. Soit \(V \subset X\) le plus grand sous-schéma ouvert sur lequel \(f\) est étale. La discussion dans [EGA, chapitre IV, section 21.12] laisse penser que \(V \to X\) pourrait être un morphisme affine. Notons que, si \(V \to X\) est affine, on en déduit la pureté du lieu de ramification (lemme 0EA4) en utilisant Diviseurs, lemme 0BCU. Ainsi, l’affinité de \(V \to X\) est une forme “forte” de la pureté du lieu de ramification. Dans cette section, nous démontrons que \(V \to X\) est affine lorsque \(X\) et \(Y\) sont équicaractéristiques et excellents, voir le théorème 0ECD. Il paraît raisonnable de conjecturer que le résultat reste vrai lorsque \(X\) et \(Y\) sont de caractéristique mixte (mais toujours excellents).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local régulier contenant un corps. Soit \(f : V \to \Spec(A)\) un morphisme étale et quasi-compact. Supposons que \(\mathfrak m \not \in f(V)\) et que \(g : V \to \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) soit affine. Alors \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\), \(i > 0\), est isomorphe à une somme directe de copies de l’enveloppe injective du corps résiduel de \(A\).

Démonstration

Notons \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) le spectre épointé. Ainsi, \(g : V \to U\) est affine. On a \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(U, g_*\mathcal{O}_V)\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 089W. Le \(\mathcal{O}_U\)-module \(g_*\mathcal{O}_V\) est quasi-cohérent d’après Schémas, lemme 01LC. Pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), la cohomologie \(H^i(U, \mathcal{F})\), \(i > 0\), est de \(\mathfrak m\)-torsion, voir par exemple Cohomologie locale, lemme 0DWR. En particulier, les \(A\)-modules \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\), \(i > 0\), sont de \(\mathfrak m\)-torsion. Pour tout homomorphisme plat d’anneaux \(A \to A'\), on a \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'})\) où \(V' = V \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\), par changement de base plat, d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Si l’on prend pour \(A'\) le complété de \(A\) (qui est plat d’après Compléments d’algèbre, section 07NU), alors on voit que \[H^i(V, \mathcal{O}_V) = H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A A' = H^i(V', \mathcal{O}_{V'}),\quad\text{pour } i > 0\] La première égalité résulte de la propriété de torsion que nous venons d’établir et du lemme de Compléments d’algèbre 05EC. De plus, l’enveloppe injective du corps résiduel \(k\) est la même pour \(A\) et \(A'\), voir Complexes dualisants, lemme 08Z5. On se ramène ainsi au cas \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\), voir Algèbre, section 0323.

Supposons que la caractéristique de \(k\) soit \(p > 0\). Puisque \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\), est plat (Cohomologie locale, lemme 0EC0) et puisque \(V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A) \cong V\) comme schémas sur \(\Spec(A)\) d’après Morphismes étales, lemme 0EBS, ce qui précède donne \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F} A \cong H^i(V, \mathcal{O}_V)\). Le résultat découle donc du lemme de Cohomologie locale 0EC3.

Supposons que la caractéristique de \(k\) soit \(0\). D’après Cohomologie locale, lemme 0EC7, il existe des opérateurs additifs \(D_j\), \(j = 1, \ldots, d\), sur \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) qui satisfont la règle de Leibniz par rapport à \(\partial_j = \partial/\partial x_j\). Le résultat découle donc du lemme de Cohomologie locale 0EC2.

Lemme

Dans la situation du lemme 0ECB, supposons que \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\) pour \(i \geq \dim(A) - 1\). Alors \(V\) est affine.

Démonstration

Soit \(k = A/\mathfrak m\). Puisque \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = \emptyset\), la cohomologie et le changement de base donnent \[R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A^\mathbf{L} k = 0\] Voir Catégories dérivées de schémas, lemme 08IB. Il existe donc une suite spectrale (Compléments d’algèbre, exemple 0662) \[E_2^{p, q} = \text{Tor}_{-p}(k, H^q(V, \mathcal{O}_V)),\quad d_2^{p, q} : E_2^{p, q} \to E_2^{p + 2, q - 1}\] et \(d_r^{p, q} : E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\), qui converge vers zéro. D’après le lemme 0ECB, le lemme de Complexes dualisants 0EBT, et notre hypothèse \(H^i(V, \mathcal{O}_V) = 0\) pour \(i \geq \dim(A) - 1\), on conclut qu’aucune différentielle non nulle n’aboutit à la case \((p, q) = (0, 0)\) ni n’en part. Ainsi, \(H^0(V, \mathcal{O}_V) \otimes_A k = 0\). Cela signifie que, si \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_d)\), on dispose d’un recouvrement ouvert \(V = \bigcup V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\) par les sous-schémas ouverts affines \(V \times_{\Spec(A)} \Spec(A_{x_i})\) (car \(V\) est affine sur le spectre épointé de \(A\)) tel que \(x_1, \ldots, x_d\) engendrent l’idéal unité de \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). Cela implique que \(V\) est affine d’après Propriétés, lemme 01QF.

Théorème

Soit \(Y\) un schéma régulier excellent sur un corps. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas de type fini, avec \(X\) normal. Soit \(V \subset X\) le plus grand sous-schéma ouvert où \(f\) est étale. Alors le morphisme d’inclusion \(V \to X\) est affine.

Démonstration

Soit \(x \in X\) d’image \(y \in Y\). Il suffit de démontrer que \(V \cap W\) est affine pour un voisinage ouvert affine \(W\) de \(x\). Puisque \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est la limite des schémas \(W\), cela équivaut à dire que \[V_x = V \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\] est affine (Limites, lemme 01Z6). Ainsi, si le théorème vaut pour le morphisme \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\), alors il vaut dans la situation initiale. En particulier, on peut supposer \(Y\) régulier de dimension finie, ce qui permet de raisonner par récurrence sur la dimension \(d = \dim(Y)\). En combinant ceci avec le même argument, on peut supposer que \(Y\) est local, de point fermé \(y\), et que \(V \cap (X \setminus f^{-1}(\{y\})) \to X \setminus f^{-1}(\{y\})\) est affine.

Soit \(x \in X\) un point au-dessus de \(y\). Si \(x \in V\), il n’y a rien à démontrer. Observons que \(f^{-1}(\{y\}) \cap V\) est un ensemble fini de points fermés (les fibres d’un morphisme étale sont discrètes). Ainsi, quitte à remplacer \(X\) par un voisinage ouvert affine de \(x\), on peut supposer que \(y \not \in f(V)\). Il faut démontrer que \(V\) est affine.

Soit \(e(V)\) le plus grand \(i\) tel que \(H^i(V, \mathcal{O}_V) \not = 0\). Comme \(X\) est affine, l’entier \(e(V)\) est le maximum des nombres \(e(V_x)\) pour \(x \in X \setminus V\), voir Cohomologie locale, lemme 0DXB, et la caractérisation de la dimension cohomologique dans Cohomologie locale, lemme 0DX7. On a \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\) d’après Cohomologie locale, lemme 0DXC. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\), la pureté du lieu de ramification (lemme 0EA4) montre que \(V_x\) est strictement contenu dans le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est normal et excellent, cela implique \(e(V_x) \leq \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 2\) d’après le théorème d’annulation de Hartshorne–Lichtenbaum (Cohomologie locale, lemme 0EB7). D’autre part, puisque \(X \to Y\) est de type fini et que \(V \subset X\) est dense (quitte à remplacer \(X\) par l’adhérence de \(V\)), on voit que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq d\) d’après la formule des dimensions (Morphismes, lemme 02JU). Par conséquent, \(e(V) \leq \max(0, d - 2)\). Ainsi, \(V\) est affine d’après le lemme 0ECC si \(d \geq 2\). Si \(d = 1\) ou \(d = 0\), le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est affine, donc \(V\) est affine.

Homomorphismes de spécialisation dans le cas propre et lisse

Dans cette section, nous examinons le résultat suivant. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse de schémas. Soit \(s \leadsto s'\) une spécialisation de points de \(S\). Alors l’homomorphisme de spécialisation \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}}) \longrightarrow \pi_1(X_{\overline{s}'})\] de la section 0BUP est surjectif et

1. si la caractéristique de \(\kappa(s')\) est nulle, c’est un isomorphisme, ou bien

2. si la caractéristique de \(\kappa(s')\) est \(p > 0\), il induit un isomorphisme sur les quotients maximaux premiers à \(p\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme plat et propre à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation. Si \(X_s\) est géométriquement réduit, alors l’homomorphisme de spécialisation \(sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\) est surjectif.

Démonstration

Puisque \(X_s\) est géométriquement réduit, on peut supposer que toutes les fibres sont géométriquement réduites, quitte à rétrécir \(S\), voir Compléments sur les morphismes, lemme 0C0E. Soit \(\mathcal{O}_{S, s} \to A \to \kappa(\overline{s}')\) comme dans la construction de l’homomorphisme de spécialisation, voir la section 0BUP. Il suffit donc de montrer que \[\pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_A)\] est surjective. Cela résulte de la proposition 0C0J et de \(\pi_1(\Spec(A)) = \{1\}\).

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation. Si la caractéristique de \(\kappa(s)\) est nulle, alors l’homomorphisme de spécialisation \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] est un isomorphisme.

Démonstration

L’homomorphisme est surjectif d’après le lemme 0C0P. Il reste donc à montrer qu’il est injectif.

On peut supposer que \(S\) est affine. Alors \(S\) est une limite cofiltrante de schémas affines de type fini sur \(\mathbf{Z}\). On peut donc supposer que \(X \to S\) s’obtient par changement de base à partir de \(X_0 \to S_0\), où \(S_0\) est le spectre d’une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini et \(X_0 \to S_0\) est propre et lisse. Voir Limites, lemme 01ZM, 0C0C, et 081F. D’après le lemme 0C0K, on se ramène au cas où la base est noethérienne.

En appliquant le lemme 0C0N, on se ramène au cas où la base \(S\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète strictement hensélien \(A\) et où l’on considère l’homomorphisme de spécialisation sur \(A\). Soit \(K\) le corps des fractions de \(A\). Choisissons une clôture algébrique \(\overline{K}\) qui correspond à un point géométrique générique \(\overline{\eta}\) de \(\Spec(A)\). Pour toute sous-extension finie séparable \(L/K\) de \(\overline{K}/K\), soit \(B \subset L\) la clôture intégrale de \(A\) dans \(L\). C’est un anneau de valuation discrète d’après Compléments d’algèbre, remarque 09E8.

Soit \(X \to \Spec(A)\) comme dans le paragraphe précédent. Pour montrer l’injectivité de l’homomorphisme de spécialisation, il suffit de prouver que tout revêtement fini étale \(V\) de \(X_{\overline{\eta}}\) provient par changement de base d’un revêtement fini étale \(Y \to X\). En effet, alors \(\pi_1(X_{\overline{\eta}}) \to \pi_1(X) = \pi_1(X_s)\) est injective d’après le lemme 0BN7.

Étant donné \(V\), on peut d’abord descendre \(V\) en \(V' \to X_{K^{sep}}\) d’après le lemme 0BTW, puis en \(V'' \to X_L\) d’après le lemme 0BTV. Soit \(Z \to X_B\) la normalisation de \(X_B\) dans \(V''\). Observons que \(Z\) est normal et que \(Z_L = V''\) comme schémas sur \(X_L\). Ainsi, \(Z \to X_B\) est fini étale sur la fibre générique. Le problème est que nous ne savons pas si \(Z \to X_B\) est partout étale. Puisque \(X \to \Spec(A)\) a des fibres lisses géométriquement connexes, on voit que la fibre spéciale \(X_s\) est géométriquement irréductible. Ainsi, la fibre spéciale de \(X_B \to \Spec(B)\) est irréductible ; soit \(\xi_B\) son point générique. Soient \(\xi_1, \ldots, \xi_r\) les points de \(Z\) qui s’envoient sur \(\xi_B\). Notre premier problème (et, comme on le verra, le seul) est alors que les extensions \[\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\] d’anneaux de valuation discrète peuvent être ramifiées. Soit \(e_i\) l’indice de ramification de cette extension. Notons que, puisque la caractéristique de \(\kappa(s)\) est nulle, la ramification est modérée !

Pour éliminer la ramification, nous allons choisir une nouvelle extension finie séparable \(K^{sep}/L'/L/K\) telle que l’indice de ramification \(e\) des extensions induites \(B'/B\) soit divisible par \(e_i\). Considérons le changement de base normalisé \(Z'\) de \(Z\) relativement à \(\Spec(B') \to \Spec(B)\), voir la discussion dans Compléments sur les morphismes, section 09IJ. Soient \(\xi_{i, j}\) les points de \(Z'\) qui s’envoient sur \(\xi_{B'}\) et sur \(\xi_i\) dans \(Z\). Alors les anneaux locaux \[\mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] sont des localisés de la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) dans \(L' \otimes_L F_i\), où \(F_i\) est le corps des fractions de \(\mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) ; les détails sont omis. Le lemme d’Abhyankar (Compléments d’algèbre, lemme 0BRM) nous dit donc que \[\mathcal{O}_{X_{B'}, \xi_{B'}} \subset \mathcal{O}_{Z', \xi_{i, j}}\] est non ramifiée. On conclut que le morphisme \(Z' \to X_{B'}\) est étale en codimension \(1\). La pureté du lieu de branchement (lemme 0BMB) montre donc que \(Z' \to X_{B'}\) est fini étale !

Cependant, puisque l’extension de corps résiduels induite par \(A \to B'\) est triviale (le corps résiduel de \(A\) étant algébriquement clos, car séparablement clos de caractéristique nulle), on conclut que \(Z'\) provient par changement de base d’un revêtement fini étale \(Y \to X\) en appliquant deux fois le lemme 0A48 (d’abord pour obtenir \(Y\) sur \(A\), puis pour démontrer que le changement de base à \(B'\) est isomorphe à \(Z'\)). Ceci achève la démonstration.

Soit \(G\) un groupe profini. Soit \(p\) un nombre premier. Le quotient maximal premier à \(p\) est par définition \[G' = \lim_{U \subset G\text{ ouvert, distingué, d'indice premier à }p} G/U\] Si \(X\) est un schéma connexe et si \(p\) est fixé, le quotient maximal premier à \(p\) de \(\pi_1(X)\) est noté \(\pi'_1(X)\).

Théorème

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre et lisse à fibres géométriquement connexes. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation. Si la caractéristique de \(\kappa(s)\) est \(p\), alors l’application de spécialisation \[sp : \pi_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi_1(X_{\overline{s}})\] est surjective et induit un isomorphisme \[\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \cong \pi'_1(X_{\overline{s}})\] des quotients maximaux premiers à \(p\).

Démonstration

Cela se démontre exactement de la même manière que la proposition 0C0Q, avec les différences suivantes :

1. Étant donné \(X/A\), on ne montre plus que le foncteur \(\textit{F\'Et}_X \to \textit{F\'Et}_{X_{\overline{\eta}}}\) est essentiellement surjectif. On montre seulement que les objets galoisiens dont le groupe de Galois est d’ordre premier à \(p\) appartiennent à l’image essentielle. Cela suffit pour conclure à l’injectivité de \(\pi'_1(X_{\overline{s}'}) \to \pi'_1(X_{\overline{s}})\) par exactement le même argument.

2. Les extensions \(\mathcal{O}_{X_B, \xi_B} \subset \mathcal{O}_{Z, \xi_i}\) sont modérément ramifiées, car l’extension associée des corps de fractions est galoisienne, de groupe d’ordre premier à \(p\). Voir Compléments d’algèbre, lemme 09EB.

3. L’extension \(\kappa_B/\kappa_A\) n’est plus nécessairement triviale, mais elle est purement inséparable. Ainsi, le morphisme \(X_{\kappa_B} \to X_{\kappa_A}\) est un homéomorphisme universel et induit un isomorphisme de groupes fondamentaux d’après la proposition 0BQN.

Ramification modérée

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini étale de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Il existe de nombreuses façons de définir ce que signifie pour \(f\) d’être modérément ramifié à \(\infty\). L’article [Kerz-Schmidt] examine dans quelle mesure ces notions coïncident.

Dans cette section, nous examinons une question différente et plus élémentaire qui précède la notion de ramification modérée à l’infini. On comparera avec la discussion (légèrement différente) de [Grothendieck-Murre]. Supposons donnés

1. un schéma localement noethérien \(X\),

2. un ouvert dense \(U \subset X\),

3. un morphisme fini étale \(f : Y \to U\)

tels que, pour tout diviseur premier \(Z \subset X\) tel que \(Z \cap U = \emptyset\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) de \(X\) au point générique \(\xi\) de \(Z\) soit un anneau de valuation discrète. En prenant pour \(K_\xi\) le corps des fractions de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\), on obtient un carré cartésien \[\xymatrix{ \Spec(K_\xi) \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \ar[r] & X }\] de schémas. En particulier, on voit que \(Y \times_U \Spec(K_\xi)\) est le spectre d’une algèbre finie séparable \(L_\xi/K_\xi\). On dit alors que \(Y\) est non ramifié sur \(X\) en codimension \(1\), resp. \(Y\) est modérément ramifié sur \(X\) en codimension \(1\), si \(L_\xi/K_\xi\) est non ramifiée, resp. modérément ramifiée, relativement à \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) pour tout \((Z, \xi)\) comme ci-dessus ; voir Compléments d’algèbre, définition 09E9. Plus précisément, on décompose \(L_\xi\) en un produit d’extensions de corps finies séparables de \(K_\xi\) et l’on exige que chacune soit non ramifiée, resp. modérément ramifiée, relativement à \(\mathcal{O}_{X, \xi}\).

Lemme

Soit \(g : X' \to X\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(U \subset X\) un ouvert dense. Supposons que

1. \(U' = g^{-1}(U)\) soit un ouvert dense de \(X'\),

2. pour tout diviseur premier \(Z \subset X\) tel que \(Z \cap U = \emptyset\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) de \(X\) au point générique \(\xi\) de \(Z\) soit un anneau de valuation discrète,

3. pour tout diviseur premier \(Z' \subset X'\) tel que \(Z' \cap U' = \emptyset\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X', \xi'}\) de \(X'\) au point générique \(\xi'\) de \(Z'\) soit un anneau de valuation discrète,

4. si \(\xi' \in X'\) est comme en (3), alors \(\xi = g(\xi')\) soit comme en (2).

Alors, si \(f : Y \to U\) est fini étale et si \(Y\) est non ramifié, resp. modérément ramifié, sur \(X\) en codimension \(1\), alors \(Y' = Y \times_X X' \to U'\) est fini étale et \(Y'\) est non ramifié, resp. modérément ramifié, sur \(X'\) en codimension \(1\).

Démonstration

Le seul fait intéressant de ce lemme est le résultat d’algèbre commutative donné dans Compléments d’algèbre, lemme 0EXY.

Avec la terminologie introduite ci-dessus, on peut reformuler les résultats de pureté obtenus plus haut sous la forme agréable suivante.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(U \subset X\) ouvert et dense. Soit \(Y \to U\) un morphisme fini étale. Supposons que

1. \(Y\) soit non ramifié sur \(X\) en codimension \(1\), et

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit régulier pour tout \(x \in X \setminus U\).

Alors il existe un morphisme fini étale \(Y' \to X\) dont la restriction à \(U\) est \(Y\).

Démonstration

Soit \(\xi \in X \setminus U\) le point générique d’une composante irréductible de \(X \setminus U\) de codimension \(1\). Alors \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est un anneau de valuation discrète. Comme dans la discussion ci-dessus, écrivons \(Y \times_U \Spec(K_\xi) = \Spec(L_\xi)\). Notons \(B_\xi\) la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) dans \(L_\xi\). Notre hypothèse que \(Y\) est non ramifié sur \(X\) en codimension \(1\) signifie que \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to B_\xi\) est fini étale. On obtient ainsi \(Y_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) fini étale et un isomorphisme \[Y \times_U \Spec(K_\xi) \cong Y_\xi \times_{\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})} \Spec(K_\xi)\] sur \(\Spec(K_\xi)\). D’après Limites, lemme 0BQ5, on trouve un sous-schéma ouvert \(U \subset U' \subset X\) contenant \(\xi\) et un morphisme \(Y' \to U'\) de présentation finie dont la restriction à \(U\) redonne \(Y\) et dont la restriction à \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) redonne \(Y_\xi\). Enfin, le morphisme \(Y' \to U'\) est fini étale après avoir éventuellement remplacé \(U'\) par un ouvert plus petit, d’après Limites, lemme 0EY3. En répétant l’argument avec les autres points génériques de \(X \setminus U\) de codimension \(1\), on peut supposer que l’on dispose d’un morphisme fini étale \(Y' \to U'\) prolongeant \(Y \to U\) à un sous-schéma ouvert \(U' \subset X\) contenant \(U\) et tous les points de codimension \(1\) de \(X \setminus U\). On termine en appliquant le lemme 0EY7 à \(Y' \to U'\). En effet, tous les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) pour \(x \in X \setminus U'\) sont réguliers et vérifient \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\). La pureté vaut donc pour \(\mathcal{O}_{X, x}\) d’après le lemme 0BMA.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif tel que \(D\) soit un schéma régulier. Soit \(Y \to X \setminus D\) un morphisme fini étale. Si \(Y\) est non ramifié sur \(X\) en codimension \(1\), alors il existe un morphisme fini étale \(Y' \to X\) dont la restriction à \(X \setminus D\) est \(Y\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0H2W. Premièrement, \(D\) n’est dense nulle part dans \(X\) (voir la discussion dans Diviseurs, section 01WQ), donc \(X \setminus D\) est dense dans \(X\). Deuxièmement, l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local régulier pour tout \(x \in D\) d’après Algèbre, lemme 00NU, et notre hypothèse selon laquelle \(\mathcal{O}_{D, x}\) est régulier.

Exemple

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in A\) un non diviseur de zéro tel que \(A/fA\) soit réduit. Cela implique que \(A_\mathfrak p\) est un anneau de valuation discrète d’uniformisante \(f\) pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak p\) contenant \(f\). Soit \(e \geq 1\) un entier inversible dans \(A\). Posons \[C = A[x]/(x^e - f)\] Alors \(\Spec(C) \to \Spec(A)\) est un morphisme fini localement libre qui est étale sur le spectre de \(A_f\). Le morphisme fini étale \[\Spec(C_f) \longrightarrow \Spec(A_f)\] est modérément ramifié sur \(\Spec(A)\) en codimension \(1\). La modération résulte immédiatement de la caractérisation des extensions modérément ramifiées dans Compléments d’algèbre, lemme 0EXW.

Voici une version du lemme d’Abhyankar pour les diviseurs réguliers.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif tel que \(D\) soit un schéma régulier. Soit \(Y \to X \setminus D\) un morphisme fini étale. Si \(Y\) est modérément ramifié sur \(X\) en codimension \(1\), alors, localement pour la topologie étale sur \(X\), le morphisme \(Y \to X \setminus D\) est la restriction à \(X \setminus D\) d’une réunion disjointe finie de morphismes standard modérément ramifiés tels que ceux décrits dans l’exemple 0EYF.

Démonstration

Pour tout \(x \in X\), nous allons trouver un voisinage étale \((U, u) \to (X, x)\), avec \(U = \Spec(A)\), tel que le changement de base \(Y \times_{X \setminus D} (U \setminus D) \to U \setminus D\) soit une réunion disjointe finie de restrictions de morphismes standard modérément ramifiés comme dans l’exemple 0EYF. On supposera \(x \in D\) ; le cas \(x \not \in D\) résulte de Morphismes étales, lemme 04HN, en prenant \(e = 1\) et \(f = 1\) dans l’exemple 0EYF.

Dans ce paragraphe, on se ramène au cas où \(X\) est le spectre d’un anneau local strictement hensélien et où \(x\) est le point fermé. En effet, quitte à rétrécir \(X\), on peut supposer que \(X = \Spec(A)\) et que \(D \subset X\) est défini par un non diviseur de zéro \(f \in A\). Alors \(Y\) est affine, car c’est un revêtement fini étale de \(\Spec(A_f)\). Écrivons \(Y = \Spec(B)\). Soit \(A^{sh}\) l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X, x}\). Puisque \(A \to A^{sh}\) est plat et que \(x \in D\), on voit que \(f\) s’envoie sur un non diviseur de zéro appartenant à l’idéal maximal de \(A^{sh}\). Observons que \(A^{sh}/fA^{sh} = (A/fA)^{sh}\) (Algèbre, lemme 05WS) est un anneau local régulier, car c’est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{D, x}\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 06LN. D’après le lemme 0EYD, le changement de base de \(Y\) à \(\Spec(A^{sh})\) est modérément ramifié en codimension \(1\). Supposons l’assertion démontrée pour le changement de base de \(Y\) à \(\Spec(A^{sh})\). Puisque \(A^{sh}\) est strictement hensélien, tout voisinage étale possède une section, et l’on conclut que l’on a un isomorphisme \[A^{sh} \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} A^{sh}_f[x]/(x^{e_i} - f)\] où \(I\) est un ensemble fini et chaque \(e_i\) un entier inversible dans \(A^{sh}\). Écrivons \(A^{sh} = \colim A_\lambda\) comme une limite inductive filtrante d’algèbres étales sur \(A\), notées \(A_\lambda\). L’isomorphisme affiché descend en un isomorphisme \[A_\lambda \otimes_A B \cong \prod\nolimits_{i \in I} (A_\lambda)_f[x]/(x^{e_i} - f)\] pour \(\lambda\) assez grand, voir par exemple Algèbre, lemme 05N9. Après avoir encore un peu augmenté \(\lambda\), on peut supposer que \(e_i\) est inversible dans \(A_\lambda\). Alors \(\Spec(A_\lambda) \to \Spec(A)\) est le voisinage étale recherché de \(x\).

Supposons que \(X = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau local strictement hensélien, et que \(x \in X\) corresponde à l’idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\). Soit \(f \in \mathfrak m\) le non diviseur de zéro qui définit \(D\). Alors \(A/fA\) est régulier et, d’après Algèbre, lemme 00NU, on voit que \(A\) est lui aussi régulier. Nous utiliserons certaines propriétés des anneaux locaux réguliers, par exemple le fait qu’ils sont des anneaux intègres normaux ; voir Algèbre, lemmes 00NP et 0567. En particulier, \(A\) est intègre. Comme ci-dessus, on voit que \(Y = \Spec(B)\) est affine et que \(A_f \to B\) est fini étale. Ainsi, \(B\) est lui aussi normal (Algèbre, lemme 033C), et l’on conclut que \(Y\) est une réunion disjointe finie de spectres d’anneaux intègres normaux d’après Algèbre, lemme 030C. On peut donc supposer que \(B\) est lui aussi intègre. Puisque \(A\) et \(A/fA\) sont intègres, on conclut que \(f\) est un élément premier de \(A\) qui engendre un idéal premier de hauteur \(1\), \(\mathfrak p = fA\). Observons que \(A_\mathfrak p\) est un anneau de valuation discrète d’uniformisante \(f\).

Soit \(K\) le corps des fractions de \(A\) et soit \(L\) le corps des fractions de \(B\). L’hypothèse de ramification modérée signifie que \(L\) est modérément ramifié relativement à \(A_\mathfrak p\). Soit \(e \geq 1\) le produit des indices de ramification de \(L\) sur \(A_\mathfrak p\), comme dans Compléments d’algèbre, remarque 09E8. Alors \(e\) est inversible dans \(\kappa(\mathfrak p)\), mais à ce stade, nous ne savons pas si \(e\) est inversible dans \(A/fA\) ou dans \(A\).

Considérons la \(A\)-algèbre finie et libre \[A' = A[x]/(x^e - f)\] Il s’agit d’une extension locale finie d’un anneau local strictement hensélien ; elle est donc strictement hensélienne. Observons que \(f' = x\) est un non diviseur de zéro dans \(A'\) et que \(A'/f'A' \cong A/fA\) est un anneau régulier. Comme précédemment, \(A'\) est donc régulier et, a fortiori, intègre. Posons \(B' = B \otimes_A A' = B \otimes_{A_f} A'_{f'}\). D’après le lemme d’Abhyankar (Compléments d’algèbre, lemme 0BRM), on voit que \(\Spec(B')\) est non ramifié sur \(\Spec(A')\) en codimension \(1\). En effet, d’après le lemme 0EYD, on voit que \(\Spec(B')\) est encore au moins modérément ramifié sur \(\Spec(A')\) en codimension \(1\). Mais le lemme d’Abhyankar nous dit que les indices de ramification sont tous devenus égaux à \(1\). D’après le lemme 0EYE, on conclut que \(\Spec(B') \to \Spec(A'_{f'})\) se prolonge en un morphisme fini étale \(\Spec(C) \to \Spec(A')\). Cependant, puisque \(A'\) est strictement hensélien, on conclut que \(\Spec(C)\) est une réunion disjointe finie de copies de \(\Spec(A')\). Conclusion : il existe au moins un morphisme \(\Spec(A'_{f'}) \to \Spec(B')\). On conclut qu’il existe une inclusion \(B \subset A'_{f'}\) de \(A_f\)-algèbres.

Il s’ensuit que l’on a des inclusions \(K \subset L \subset K[f^{1/e}]\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 09EV, on conclut que \(L\) est égal à \(K[f^{1/n}]\) pour un diviseur \(n\) de \(e\). La normalité de \(B\) implique alors que \(B \cong A_f[y]/(y^n - f)\) ; les détails sont omis. Cependant, le lieu de ramification de l’homomorphisme \(A_f \to A_f[y]/(y^n - f)\) est défini par \(ny^{n - 1}\), ce qui implique nécessairement que \(n\) est une unité de \(A_f\). Puisque \(f\) est un élément premier, cela signifie que \(n = u f^s\) pour une unité \(u\) de \(A\) et \(s \in \mathbf{Z}\). Puisque \(n\) s’envoie sur une unité de \(\kappa(\mathfrak p)\), on obtient \(s = 0\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation du lemme 0EYG, la normalisation de \(X\) dans \(Y\) est un morphisme fini localement libre \(\pi : Y' \to X\) tel que

1. la restriction de \(Y'\) à \(X \setminus D\) soit isomorphe à \(Y\),

2. \(D' = \pi^{-1}(D)_{red}\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(Y'\), et

3. \(D'\) soit un schéma régulier.

De plus, localement pour la topologie étale sur \(X\), le morphisme \(Y' \to X\) est une réunion disjointe finie de morphismes \[\Spec(A[x]/(x^e - f)) \to \Spec(A)\] où \(A\) est un anneau noethérien, \(f \in A\) un non diviseur de zéro tel que \(A/fA\) soit régulier, et \(e \geq 1\) est inversible dans \(A\).

Démonstration

Ce n’est qu’un complément au lemme 0EYG, et, en fait, l’énoncé du présent lemme découle presque immédiatement de la démonstration de ce lemme. Mais on peut également déduire le présent lemme du résultat du lemme 0EYG. En effet, la normalisation de \(X\) dans \(Y\) commute au changement de base étale, voir Compléments sur les morphismes, lemme 03GV. On voit donc que l’on peut démontrer les assertions sur la structure locale de \(Y' \to X\) localement pour la topologie étale sur \(X\). Ainsi, d’après le lemme 0EYG, on peut supposer que \(X = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau noethérien, que l’on a un non diviseur de zéro \(f\in A\) tel que \(A/fA\) soit régulier, et que \(Y\) est une réunion disjointe finie de spectres d’anneaux \(A_f[x]/(x^e - f)\) où \(e\) est inversible dans \(A\). Nous omettons la vérification que la clôture intégrale de \(A\) dans \(A_f[x]/(x^e - f)\) est égale à \(A' = A[x]/(x^e - f)\). (Pour le voir, montrer que les localisés de \(A'\) aux idéaux premiers au-dessus de \((f)\) sont réguliers.) Nous omettons les détails.

Lemme

Dans la situation du lemme 0EYG, soit \(Y' \to X\) comme dans le lemme 0EYH. Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \[t : \Spec(R) \to X\] un morphisme tel que l’image réciproque schématique \(t^{-1}D\) soit le point fermé réduit de \(\Spec(R)\).

1. Si \(t|_{\Spec(K)}\) se relève en un point de \(Y\), alors on obtient un relèvement \(t' : \Spec(R) \to Y'\) tel que \(Y' \to X\) soit étale le long de \(t'(\Spec(R))\).

2. Si \(\Spec(K) \times_X Y\) est isomorphe à une réunion disjointe de copies de \(\Spec(K)\), alors \(Y' \to X\) est fini étale sur un voisinage ouvert de \(t(\Spec(R))\).

Démonstration

En appliquant le critère valuatif de propreté au morphisme fini \(Y' \to X\), on voit que les points à valeurs dans \(\Spec(K)\) de \(Y\) qui coïncident avec \(t|_{\Spec(K)}\) comme morphismes vers \(X\) se relèvent de manière unique en morphismes \(t' : \Spec(R) \to Y'\). Ainsi, l’énoncé (1) a un sens.

Choisissons un voisinage étale \((U, u) \to (X, t(\mathfrak m_R))\) tel que \(U = \Spec(A)\) et que \(Y' \times_X U \to U\) admette une description comme dans le lemme 0EYH pour un certain \(f \in A\). Alors \(\Spec(R) \times_X U \to \Spec(R)\) est étale et surjectif. Si \(R'\) désigne l’anneau local de \(\Spec(R) \times_X U\) situé au-dessus du point fermé de \(\Spec(R)\), alors \(R'\) est un anneau de valuation discrète et \(R \subset R'\) est une extension non ramifiée d’anneaux de valuation discrète (Compléments d’algèbre, lemme 0AP2). L’hypothèse sur \(t\) signifie que l’homomorphisme \(A \to R'\) correspondant à \[\Spec(R') \to \Spec(R) \times_X U \to U\] envoie \(f\) sur une uniformisante \(\pi \in R'\). Supposons maintenant que \[Y' \times_X U = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(A[x]/(x^{e_i} - f))\] pour certains \(e_i \geq 1\). Alors on voit que \[\Spec(R') \times_U (Y' \times_X U) = \coprod\nolimits_{i \in I} \Spec(R'[x]/(x^{e_i} - \pi))\] Les anneaux \(R'[x]/(x^{e_i} - \pi)\) sont des anneaux de valuation discrète (Compléments d’algèbre, lemme 09EV) et n’admettent donc aucun morphisme vers le corps des fractions de \(R'\), sauf si \(e_i = 1\).

Démonstration de (1). Dans ce cas, le changement de base de l’application \(t' : \Spec(R) \to Y'\) détermine un morphisme correspondant \(t'' : \Spec(R') \to Y' \times_X U\) dont l’image doit être contenue dans une composante correspondant à \(i \in I\) avec \(e_i = 1\) d’après la discussion ci-dessus. On voit donc clairement que \(Y' \times_X U \to U\) est étale le long de l’image de \(t''\). Comme la propriété d’être étale se vérifie après un changement de base étale, ceci démontre (1).

Démonstration de (2). Dans ce cas, l’hypothèse implique que \(e_i = 1\) pour tout \(i \in I\). Ainsi, \(Y' \times_X U \to U\) est fini étale et l’on conclut comme ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien intègre normal de point générique \(\eta\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme lisse à fibres géométriquement connexes. Soit \(\sigma : S \to X\) une section de \(f\). Soit \(Z \to X_\eta\) un revêtement galoisien fini étale (section 03SF) de groupe \(G\), dont l’ordre est inversible sur \(S\), tel que \(Z\) possède un point \(\kappa(\eta)\)-rationnel qui s’envoie sur \(\sigma(\eta)\). Alors il existe un revêtement galoisien fini étale \(Y \to X\) de groupe \(G\) dont la restriction à \(X_\eta\) est \(Z\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(S = \Spec(R)\) soit le spectre d’un anneau de valuation discrète \(R\) de point fermé \(s \in S\). Alors \(X_s\) est un diviseur de Cartier effectif dans \(X\), et \(X_s\) est régulier, car c’est un schéma lisse sur un corps. De plus, la fibre générique \(X_\eta\) est le sous-schéma ouvert \(X \setminus X_s\). Il résulte de Compléments d’algèbre, lemme 09EB, et de l’hypothèse sur \(G\) que \(Z\) est modérément ramifié sur \(X\) en codimension \(1\). Soit \(Z' \to X\) comme dans le lemme 0EYH. Observons que l’action de \(G\) sur \(Z\) se prolonge en une action de \(G\) sur \(Z'\). D’après le lemme 0EYI, on voit que \(Z' \to X\) est fini étale sur un voisinage ouvert de \(\sigma(s)\). Puisque \(X_s\) est irréductible, cela implique que \(Z \to X_\eta\) est non ramifié sur \(X\) en codimension \(1\). On obtient alors un morphisme fini étale \(Y \to X\) dont la restriction à \(X_\eta\) est \(Z\), d’après le lemme 0EYE. Bien sûr, \(Y \cong Z'\) (détails omis ; indication : calculer localement pour la topologie étale), et \(Y\) est donc un revêtement galoisien de groupe \(G\).

Cas général. Soit \(U \subset S\) un sous-schéma ouvert maximal tel qu’il existe un revêtement galoisien fini étale \(Y \to X \times_S U\) de groupe \(G\) dont la restriction à \(X_\eta\) soit isomorphe à \(Z\). Supposons que \(U \not = S\) afin d’obtenir une contradiction. Soit \(s \in S \setminus U\) un point générique d’une composante irréductible de \(S \setminus U\). Alors l’image inverse \(U_s\) de \(U\) dans \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est le spectre épointé de \(\mathcal{O}_{S, s}\). Nous affirmons que \(Y \times_S U_s \to X \times_S U_s\) est la restriction d’un revêtement galoisien fini étale \(Y'_s \to X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) de groupe \(G\).

Montrons d’abord que l’affirmation donne la contradiction recherchée. D’après Limites, lemme 0BQ5, on trouve un sous-schéma ouvert \(U \subset U' \subset S\) contenant \(s\) et un morphisme \(Y'' \to U'\) de présentation finie dont la restriction à \(U\) redonne \(Y \to U\) et dont la restriction à \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) redonne \(Y'_s\). De plus, par l’équivalence de catégories donnée dans le lemme, on peut supposer, après avoir rétréci \(U'\), qu’il existe un morphisme \(Y'' \to U' \times_S X\) et une action de \(G\) sur \(Y''\) au-dessus de \(U' \times_S X\), compatibles avec les morphismes et actions donnés après changement de base à \(U\) et à \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Après avoir encore rétréci \(U'\) si nécessaire, on peut supposer que \(Y'' \to U' \times_S X\) est fini étale, voir Limites, lemme 0EY3. Cela signifie que nous avons trouvé un ouvert strictement plus grand de \(S\) sur lequel \(Y\) se prolonge en un revêtement galoisien fini étale de groupe \(G\), ce qui donne la contradiction recherchée.

Démonstration de l’affirmation. On peut remplacer, et l’on remplace, \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Alors \(S = \Spec(A)\), où \((A, \mathfrak m)\) est un anneau intègre local normal. De plus, \(U \subset S\) est le spectre épointé et l’on dispose d’un revêtement galoisien fini étale \(Y \to X \times_S U\) de groupe \(G\). Si \(\dim(A) = 1\), on peut construire le prolongement de \(Y\) en un revêtement galoisien de \(X\) par le premier paragraphe de la démonstration. On peut donc supposer \(\dim(A) \geq 2\), et donc \(\text{depth}(A) \geq 2\), puisque \(S\) est normal, voir Algèbre, lemme 031S. Puisque \(X \to S\) est plat, on conclut que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) pour tout point \(x \in X\) qui s’envoie sur \(s\), voir Algèbre, lemme 0337. Soit \[Y' \longrightarrow X\] le morphisme fini construit dans le lemme 0EY6 à partir de \(Y \to X \times_S U\). Observons que l’on obtient une action canonique de \(G\) sur \(Y'\). Il reste donc seulement à montrer que \(Y'\) est étale sur \(X\). En fait, d’après le lemme 0EYB (par exemple), il suffit même de montrer que \(Y' \to X\) est étale au-dessus du point générique (unique) de la fibre \(X_s\). Nous le faisons par un calcul local dans un voisinage (formel) de \(\sigma(s)\).

Choisissons un ouvert affine \(\Spec(B) \subset X\) contenant \(\sigma(s)\). Alors \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux lisse qui admet une section \(\sigma : B \to A\). Notons \(I = \Ker(\sigma)\) et notons \(B^\wedge\) le complété \(I\)-adique de \(B\). Alors \(B^\wedge \cong A[[x_1, \ldots, x_d]]\) pour un certain \(d \geq 0\), voir Algèbre, lemme 05D5. Bien sûr, \(B \to B^\wedge\) est plat (Algèbre, lemme 00MB), et l’image de \(\Spec(B^\wedge) \to X\) contient le point générique de \(X_s\). Soit \(V \subset \Spec(B^\wedge)\) l’image inverse de \(U\). Considérons le morphisme fini étale \[W = Y \times_{(X \times_S U)} V \longrightarrow V\] Par la compatibilité de la construction de \(Y'\) au changement de base plat dans le lemme 0EY6, on voit que le changement de base \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge) \to \Spec(B^\wedge)\) est construit à partir de \(W \to V\) sur \(\Spec(B^\wedge)\) par le procédé du lemme 0EY6. Posons \(V_0 = V \cap V(x_1, \ldots, x_d) \subset V\) et \(W_0 = W \times_V V_0\). Le schéma \(V_0\) est intègre normal, s’envoie dans \(\sigma(S)\) par le morphisme \(\Spec(B^\wedge) \to X\) et s’identifie en fait à \(\sigma(U)\). On sait donc que \(W_0 \to V_0 = U\) se scinde complètement, car c’est le cas de sa fibre générique d’après notre hypothèse selon laquelle \(Z \to X_\eta\) possède un point \(\kappa(\eta)\)-rationnel au-dessus de \(\sigma(\eta)\) (et, bien sûr, l’action de \(G\) implique alors que toute la fibre \(Z_{\sigma(\eta)}\) est une réunion disjointe de copies du schéma \(\eta = \Spec(\kappa(\eta))\)). Enfin, d’après le lemme 0EY9, on a \[W_0 \times_U V \cong W\] Cela montre que \(W\) est une réunion disjointe de copies de \(V\) et donc que \(Y' \times_X \Spec(B^\wedge)\) est une réunion disjointe de copies de \(\Spec(B^\wedge)\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma intègre normal quasi-compact et quasi-séparé de point générique \(\eta\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme lisse quasi-compact et quasi-séparé à fibres géométriquement connexes. Soit \(\sigma : S \to X\) une section de \(f\). Soit \(Z \to X_\eta\) un revêtement galoisien fini étale (section 03SF) de groupe \(G\), dont l’ordre est inversible sur \(S\), tel que \(Z\) possède un point \(\kappa(\eta)\)-rationnel qui s’envoie sur \(\sigma(\eta)\). Alors il existe un revêtement galoisien fini étale \(Y \to X\) de groupe \(G\) dont la restriction à \(X_\eta\) est \(Z\).

Démonstration

Si \(S\) est noethérien, c’est le résultat du lemme 0EYJ. Le cas général en découle par un argument standard de passage à la limite. Nous recommandons vivement au lecteur de sauter la démonstration.

On peut écrire \(S = \lim S_i\) comme limite projective d’un système filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines et dont les \(S_i\) sont de type fini sur \(\mathbf{Z}\), voir Limites, proposition 01ZA. Pour chaque \(i\), soit \(S \to S'_i \to S_i\) la normalisation de \(S_i\) dans \(S\), voir Morphismes, section 0BAK. En combinant Algèbre, proposition 0335, avec Morphismes, lemmes 03GR et 035L, on conclut que \(S'_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), fini sur \(S_i\), et que \(S'_i\) est un schéma intègre normal tel que \(S \to S'_i\) soit dominant. D’après Morphismes, lemme 035J, on obtient des morphismes de transition \(S'_{i'} \to S'_i\) compatibles avec les morphismes de transition \(S_{i'} \to S_i\) et avec les morphismes de source \(S\). Nous affirmons que \(S = \lim S'_i\). Démonstration de l’affirmation omise (indication : considérer les ouverts affines situés au-dessus d’un ouvert affine choisi de \(S_i\) pour un certain \(i\), afin de traduire ceci en un simple problème d’algèbre). On conclut que l’on peut écrire \(S = \lim S_i\) comme limite projective d’un système filtrant de schémas intègres normaux \(S_i\) dont les morphismes de transition sont affines et dont les \(S_i\) sont de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Pour un certain \(i\), on peut trouver un morphisme lisse \(X_i \to S_i\) de présentation finie dont le changement de base à \(S\) est \(X \to S\). Voir Limites, lemmes 01ZM et 0C0C. En augmentant \(i\), on peut supposer que la section \(\sigma\) se relève en une section \(\sigma_i : S_i \to X_i\) (par l’équivalence de catégories de Limites, lemme 01ZM). On peut remplacer \(X_i\) par son sous-schéma ouvert \(X_i^0\) étudié dans Compléments sur les morphismes, section 055K car l’image de \(X \to X_i\) s’y envoie manifestement (l’ouverture résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 055R). On peut donc supposer que les fibres de \(X_i \to S_i\) sont géométriquement connexes. En augmentant \(i\), on peut supposer que \(|G|\) est inversible sur \(S_i\). Soit \(\eta_i \in S_i\) le point générique. Puisque \(X_\eta\) est la limite des schémas \(X_{i, \eta_i}\), on peut employer exactement les mêmes arguments pour faire descendre \(Z \to X_\eta\) en un revêtement galoisien fini étale \(Z_i \to X_{i, \eta_i}\), quitte à augmenter \(i\). Voir le lemme 0BTV. Quitte à augmenter encore une fois \(i\), on peut supposer que \(Z_i\) possède un point \(\kappa(\eta_i)\)-rationnel s’envoyant sur \(\sigma_i(\eta_i)\). On applique alors le lemme dans le cas noethérien et on effectue le changement de base à \(X\) pour conclure.

Astuces en caractéristique positive

Dans l’article de Piotr Achinger [Achinger], il est montré qu’un schéma affine en caractéristique positive est toujours un \(K(\pi, 1)\). Dans cette section, nous expliquons les parties les plus élémentaires de [Achinger]. Plus précisément, nous montrons que, pour un corps \(k\) de caractéristique positive, un schéma affine étale sur \(\mathbf{A}^n_k\) est en fait fini étale sur \(\mathbf{A}^n_k\) (par un autre morphisme). Nous montrons aussi qu’une immersion fermée entre schémas affines connexes en caractéristique positive induit un homomorphisme injectif entre les groupes fondamentaux étales.

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Considérons \[k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow A\] une surjection de \(k\)-algèbres de type fini dont la source est l’algèbre de polynômes en \(x_1, \ldots, x_n\). Notons \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) le noyau, de sorte que l’on ait \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\). Nous ne supposons pas que \(A\) soit non nul (autrement dit, nous autorisons le cas où \(A\) est l’anneau nul et \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\)). Enfin, nous supposons donné un homomorphisme d’anneaux fini étale \(\pi : A \to B\).

Supposons donnés \(k, n, k[x_1, \ldots, x_n] \to A, I, \pi : A \to B\). Soit \(C\) une \(k\)-algèbre. Considérons les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi(I)C \ar[u]^\tau \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^\varphi \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] où \(\varphi\) est un homomorphisme étale de \(k\)-algèbres et \(\tau\) un homomorphisme surjectif de \(k\)-algèbres. Fixons \(C, \varphi, \tau\). Pour tout \(r \geq 0\) et tous \(y_1, \ldots, y_r \in C\) qui engendrent \(C\) comme algèbre sur \(\Im(\varphi)\), soit \(s = s(r, y_1, \ldots, y_r) \in \{0, \ldots, r\}\) le plus grand entier tel que \(y_i\) soit entier sur \(\Im(\varphi)\) pour \(1 \leq i \leq s\). On définit \(NF(C, \varphi, \tau)\) comme la valeur minimale de \(r - s = r - s(r, y_1, \ldots, y_r)\) pour tous les choix de \(r\) et \(y_1, \ldots, y_r\) comme ci-dessus. Observons que \(NF(C, \varphi, \tau)\) vaut \(0\) si et seulement si \(\varphi\) est fini.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(NF(C, \varphi, \tau) > 0\), alors il existe un homomorphisme étale de \(k\)-algèbres \(\varphi'\) et un homomorphisme surjectif de \(k\)-algèbres \(\tau'\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & B \\ C \ar[r] & C/\varphi'(I)C \ar[u]_{\tau'} \\ k[x_1, \ldots, x_n] \ar[u]^{\varphi'} \ar[r] & A \ar[u] \ar@/_3em/[uu]_\pi }\] tel que \(NF(C, \varphi', \tau') < NF(C, \varphi, \tau)\).

Démonstration

Choisissons \(r \geq 0\) et \(y_1, \ldots, y_r \in C\) qui engendrent \(C\) sur \(\Im(\varphi)\), et soit \(0 \leq s \leq r\) tel que \(y_1, \ldots, y_s\) soient entiers sur \(\Im(\varphi)\) et que \(r - s = NF(C, \varphi, \tau) > 0\). Comme \(B\) est fini sur \(A\), l’image de \(y_{s + 1}\) dans \(B\) annule un polynôme unitaire à coefficients dans \(A\). On peut donc trouver un entier \(d \geq 1\) et des éléments \(f_1, \ldots, f_d \in k[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \[z = y_{s + 1}^d + \varphi(f_1) y_{s + 1}^{d - 1} + \ldots + \varphi(f_d) \in J = \Ker(C \to C/\varphi(I)C \xrightarrow{\tau} B)\] Comme \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\) est étale, il existe un polynôme non nul et non constant \(g \in k[T_1, \ldots, T_{n + 1}]\) tel que \[g(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), z) = 0 \quad\text{dans}\quad C\] Pour le voir, on peut utiliser par exemple le fait que \(C \otimes_{\varphi, k[x_1, \ldots, x_n]} k(x_1, \ldots, x_n)\) est un produit fini d’extensions de corps finies séparables de \(k(x_1, \ldots, x_n)\) (voir Algèbre, lemme 00U3) et que, par conséquent, \(z\) annule un polynôme unitaire à coefficients dans \(k(x_1, \ldots, x_n)\). En chassant les dénominateurs, on obtient \(g\).

L’existence de \(g\) et le lemme 051N d’Algèbre fournissent des entiers \(e_1, e_2, \ldots, e_n \geq 1\) tels que \(z\) soit entier sur le sous-anneau \(C'\) de \(C\) engendré par \(t_1 = \varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, t_n = \varphi(x_n) + z^{pe_n}\). Bien entendu, les éléments \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n)\) sont eux aussi entiers sur \(C'\), de même que les éléments \(y_1, \ldots, y_s\). Enfin, par notre choix de \(z\), l’élément \(y_{s + 1}\) est lui aussi entier sur \(C'\).

Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[\varphi' : k[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow C, \quad x_i \longmapsto t_i\] dont l’image est \(C'\). Comme \(\text{d}(\varphi(x_i)) = \text{d}(t_i) = \text{d}(\varphi'(x_i))\) dans \(\Omega_{C/k}\) (et c’est ici que nous utilisons l’hypothèse que la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\)), on conclut que \(\varphi'\) est étale puisque \(\varphi\) est étale, voir Algèbre, lemme 0G1C. Observons que \(\varphi'(x_i) - \varphi(x_i) = t_i - \varphi(x_i) = z^{pe_i}\) appartient au noyau \(J\) de l’application \(C \to C/\varphi(I)C \to B\) par notre choix de \(z\) comme élément de \(J\). Par conséquent, pour \(f \in I\), l’élément \[\varphi'(f) = f(t_1, \ldots, t_n) = f(\varphi(x_1) + z^{pe_1}, \ldots, \varphi(x_n) + z^{pe_n}) = \varphi(f) + \text{élément de }(z)\] appartient également à \(J\). Autrement dit, \(\varphi'(I)C \subset J\) et nous obtenons une surjection \[\tau' : C/\varphi'(I)C \longrightarrow C/J \cong B\] d’algèbres étales sur \(A\). Enfin, l’algèbre \(C\) est engendrée par les éléments \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_r\) sur \(C' = \Im(\varphi')\), avec \(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n), y_1, \ldots, y_{s + 1}\) entiers sur \(C' = \Im(\varphi')\). Ainsi \(NF(C, \varphi', \tau') < r - s = NF(C, \varphi, \tau)\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soient \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\) et \(X \to \mathbf{A}^n_k\) un morphisme étale, où \(X\) est affine. Alors il existe un morphisme fini étale \(X \to \mathbf{A}^n_k\).

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(C)\). Posons \(A = 0\) et notons \(I = k[x_1, \ldots, x_n]\). Par hypothèse, il existe un homomorphisme de \(k\)-algèbres étale \(\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\). Notons \(\tau : C/\varphi(I)C \to 0\) l’unique surjection. Nous pouvons choisir \(\varphi\) et \(\tau\) de telle sorte que \(NF(C, \varphi, \tau)\) soit minimal. Par le lemme 0G1F, nous obtenons \(NF(C, \varphi, \tau) = 0\). Ainsi \(\varphi\) est fini étale.

Lemme

Soient \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\) et \(Z \subset \mathbf{A}^n_k\) un sous-schéma fermé. Soit \(Y \to Z\) un morphisme fini étale. Il existe un morphisme fini étale \(f : U \to \mathbf{A}^n_k\) tel qu’ il existe une immersion ouverte et fermée \(Y \to f^{-1}(Z)\) au-dessus de \(Z\).

Démonstration

Traduisons le problème en algèbre. Écrivons \(\mathbf{A}^n_k = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\). Alors \(Z = \Spec(A)\), où \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/I\) pour un certain idéal \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\). Écrivons \(Y = \Spec(B)\), de sorte que \(Y \to Z\) corresponde à l’homomorphisme fini étale de \(k\)-algèbres \(A \to B\).

Par Algèbre, lemme 04D1, il existe un homomorphisme d’anneaux étale \[\varphi : k[x_1, \ldots, x_n] \to C\] et un homomorphisme surjectif de \(A\)-algèbres \(\tau : C/\varphi(I)C \to B\). (Nous pouvons même choisir \(C, \varphi, \tau\) de sorte que \(\tau\) soit un isomorphisme, mais nous ne nous en servirons pas.) Nous pouvons choisir \(\varphi\) et \(\tau\) de telle sorte que \(NF(C, \varphi, \tau)\) soit minimal. Par le lemme 0G1F, nous obtenons \(NF(C, \varphi, \tau) = 0\). Ainsi \(\varphi\) est fini étale.

Soit \(f : U = \Spec(C) \to \mathbf{A}^n_k\) le morphisme fini étale correspondant à \(\varphi\). Le morphisme \(Y \to f^{-1}(Z) = \Spec(C/\varphi(I)C)\) induit par \(\tau\) est une immersion fermée, car \(\tau\) est surjective, et une immersion ouverte, car il s’agit d’un morphisme étale d’après Morphismes, lemme 02GW. Ceci achève la démonstration.

Voici le résultat principal.

Proposition

Soient \(p\) un nombre premier et \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas affines connexes sur \(\mathbf{F}_p\). Pour tout point géométrique \(\overline{z}\) de \(Z\), l’application \[\pi_1(Z, \overline{z}) \to \pi_1(X, \overline{z})\] est injective.

Démonstration

Soit \(Y \to Z\) un morphisme fini étale. Il suffit de construire un morphisme fini étale \(f : U \to X\) tel que \(Y\) soit isomorphe à un sous-schéma ouvert et fermé de \(f^{-1}(Z)\), voir le lemme 0BN7. Écrivons \(Z = \Spec(A)\) et \(X = \Spec(R)\), de sorte que l’immersion fermée \(Z \to X\) soit donnée par une surjection \(R \to A\). Nous pouvons écrire \(A = \colim A_i\) comme la limite inductive filtrante de ses sous-\(\mathbf{F}_p\)-algèbres de type fini. Par le lemme 0BTV, nous pouvons trouver un \(i\) et un morphisme fini étale \(Y_i \to Z_i = \Spec(A_i)\) tel que \(Y = Z \times_{Z_i} Y_i\).

Choisissons une surjection \(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \to A_i\). Elle détermine une immersion fermée \[Z_i = \Spec(A_i) \longrightarrow X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p} = \Spec(\mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n])\] Par la propriété universelle des algèbres de polynômes et puisque \(R \to A\) est surjective, nous pouvons trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{F}_p[x_1, \ldots, x_n] \ar[r] \ar[d] & A_i \ar[d] \\ R \ar[r] & A }\] de \(\mathbf{F}_p\)-algèbres. Nous avons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y_i \ar[r] & Z_i \ar[r] & X_i \\ Y \ar[u] \ar[r] & Z \ar[u] \ar[r] & X \ar[u] }\] dont le carré de gauche est cartésien. Il est clair que si nous pouvons trouver \(f_i : U_i \to X_i\) fini étale tel que \(Y_i\) soit isomorphe à un sous-schéma ouvert et fermé de \(f_i^{-1}(Z_i)\), alors le changement de base \(f : U \to X\) de \(f_i\) par \(X \to X_i\) fournit une solution à notre problème. Nous concluons donc en appliquant le lemme 0G1H à \(Y_i \to Z_i \to X_i = \mathbf{A}^n_{\mathbf{F}_p}\).