Constructions de schémas

Introduction

Le présent chapitre expose diverses méthodes permettant de construire des schémas à partir d’autres schémas. On pourra consulter [EGA].

Recollement relatif

Le lemme suivant est utile lorsque l’on cherche à construire un schéma \(X\) sur \(S\) et que l’on sait déjà construire la restriction de \(X\) aux ouverts affines de \(S\). L’énoncé est en fait tout à fait général et vaut pour les espaces (localement) annelés, bien que la démonstration soit rédigée dans le langage des schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(S\). Supposons données les familles suivantes :

pour tout \(U \in \mathcal{B}\), un schéma \(f_U : X_U \to U\) sur \(U\) ;

pour \(U, V \in \mathcal{B}\) avec \(V \subset U\), un morphisme \(\rho^U_V : X_V \to X_U\) sur \(U\).

Supposons que

chaque \(\rho^U_V\) induise un isomorphisme \(X_V \to f_U^{-1}(V)\) de schémas sur \(V\) ;

pour \(W, V, U \in \mathcal{B}\) tels que \(W \subset V \subset U\), on ait \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\).

Il existe alors un morphisme de schémas \(f : X \to S\) et des isomorphismes \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\) au-dessus de \(U \in \mathcal{B}\) tels que, pour \(V, U \in \mathcal{B}\) avec \(V \subset U\), la composée \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] soit \(\rho^U_V\). De plus, \(X\) est unique à unique isomorphisme près sur \(S\).

Démonstration

Nous allons appliquer Schémas, Lemme 01JJ. Définissons d’abord un foncteur contravariant \(F\) de la catégorie des schémas vers celle des ensembles. Pour un schéma \(T\), posons \[F(T) = \left\{ \begin{matrix} (g, \{h_U\}_{U \in \mathcal{B}}), \ g : T \to S, \ h_U : g^{-1}(U) \to X_U, \\ f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}, \ h_U|_{g^{-1}(V)} = \rho^U_V \circ h_V \ \forall\ V, U \in \mathcal{B}, V \subset U \end{matrix} \right\}.\] L’application de restriction \(F(T) \to F(T')\) associée à un morphisme \(T' \to T\) est donnée par composition. Pour \(W \in \mathcal{B}\), considérons le sous-foncteur \(F_W \subset F\) constitué des systèmes \((g, \{h_U\})\) tels que \(g(T) \subset W\).

Montrons d’abord que \(F\) est un faisceau pour la topologie de Zariski. Soient \(T\) un schéma, \(T = \bigcup V_i\) un recouvrement ouvert et \(\xi_i \in F(V_i)\) des éléments tels que \(\xi_i|_{V_i \cap V_j} = \xi_j|_{V_i \cap V_j}\). Écrivons \(\xi_i = (g_i, \{h_{i, U}\})\). Les morphismes \(g_i\) se recollent en un unique morphisme global \(g : T \to S\). De plus, \(g^{-1}(U) = \bigcup g_i^{-1}(U)\) ; les morphismes \(h_{i, U} : g_i^{-1}(U) \to X_U\) se recollent donc en un unique morphisme \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\). On vérifie aisément que le système \((g, \{h_U\})\) appartient à \(F(T)\). Le foncteur \(F\) satisfait donc la condition de faisceau pour la topologie de Zariski.

Vérifions ensuite que chaque \(F_W\), \(W \in \mathcal{B}\), est représentable. Nous affirmons que la transformation de foncteurs \[F_W \longrightarrow \Mor(-, X_W), \ (g, \{h_U\}) \longmapsto h_W\] est un isomorphisme. Soient \(T\) un schéma et \(\alpha : T \to X_W\) un morphisme. Posons \(g = f_W \circ \alpha\). Pour \(U \in \mathcal{B}\) avec \(U \subset W\), définissons \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\) comme la composée \((\rho^W_U)^{-1} \circ \alpha|_{g^{-1}(U)}\). C’est possible puisque \(\alpha(g^{-1}(U))\) est contenu dans \(f_W^{-1}(U)\), grâce à la condition (a). \(f_U \circ h_U = g|_{g^{-1}(U)}\) pour un tel \(U\). Si, de plus, \(V \in \mathcal{B}\) et \(V \subset U \subset W\), la condition (b) donne \(\rho^U_V \circ h_V = h_U|_{g^{-1}(V)}\). Il reste à définir \(h_U\) pour un élément quelconque \(U \in \mathcal{B}\). Comme \(\mathcal{B}\) est une base de la topologie de \(S\), on peut choisir un recouvrement ouvert \(U \cap W = \bigcup U_i\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\). Puisque \(g\) est à valeurs dans \(W\), on a \(g^{-1}(U) = g^{-1}(U \cap W) = \bigcup g^{-1}(U_i)\). Considérons les morphismes \(h_i = \rho^U_{U_i} \circ h_{U_i} : g^{-1}(U_i) \to X_U\). La condition (b) permet aisément de vérifier \(h_i|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)} = h_j|_{g^{-1}(U_i) \cap g^{-1}(U_j)}\). Ces morphismes se recollent donc en le morphisme cherché \(h_U : g^{-1}(U) \to X_U\). Nous omettons la vérification élémentaire que \((g, \{h_U\})\) appartient à \(F_W(T)\) et s’envoie sur \(\alpha\) par l’application affichée ci-dessus.

Vérifions ensuite que chaque inclusion \(F_W \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes. Cela résulte directement des définitions.

Enfin, vérifions que la famille \((F_W)_{W \in \mathcal{B}}\) recouvre \(F\). Cela résulte de la construction et du fait que \(\mathcal{B}\) est une base de la topologie de \(S\).

Soit \(X\) un schéma représentant \(F\), et soit \((f, \{i_U\}) \in F(X)\) une « famille universelle ». Chaque \(F_W\) étant représentable par \(X_W\) via la transformation de foncteurs ci-dessus, \(i_W : f^{-1}(W) \to X_W\) est un isomorphisme. Le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(S\). Supposons données les familles suivantes :

pour tout \(U \in \mathcal{B}\), un schéma \(f_U : X_U \to U\) sur \(U\) ;

pour tout \(U \in \mathcal{B}\), un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_U\) sur \(X_U\) ;

pour \(U, V \in \mathcal{B}\) avec \(V \subset U\), un morphisme \(\rho^U_V : X_V \to X_U\) ;

pour \(U, V \in \mathcal{B}\) avec \(V \subset U\), un morphisme \(\theta^U_V : (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}_V\).

Supposons que

chaque \(\rho^U_V\) induise un isomorphisme \(X_V \to f_U^{-1}(V)\) de schémas sur \(V\) ;

chaque \(\theta^U_V\) soit un isomorphisme ;

pour \(W, V, U \in \mathcal{B}\) avec \(W \subset V \subset U\), on ait \(\rho^U_W = \rho^U_V \circ \rho ^V_W\) ;

pour \(W, V, U \in \mathcal{B}\) avec \(W \subset V \subset U\), on ait \(\theta^U_W = \theta^V_W \circ (\rho^V_W)^*\theta^U_V\).

Il existe alors un morphisme de schémas \(f : X \to S\), un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) et des isomorphismes \(i_U : f^{-1}(U) \to X_U\) et \(\theta_U : i_U^*\mathcal{F}_U \to \mathcal{F}|_{f^{-1}(U)}\) au-dessus de \(U \in \mathcal{B}\) tels que, pour \(V, U \in \mathcal{B}\) avec \(V \subset U\), la composée \[\xymatrix{ X_V \ar[r]^{i_V^{-1}} & f^{-1}(V) \ar[rr]^{inclusion} & & f^{-1}(U) \ar[r]^{i_U} & X_U }\] soit \(\rho^U_V\) et que la composée [01LJ]\[\begin{equation} (\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U = (i_V^{-1})^*((i_U^*\mathcal{F}_U)|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_U|_{f^{-1}(V)}} (i_V^{-1})^*(\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}) \xrightarrow{\theta_V^{-1}} \mathcal{F}_V \end{equation}\] soit \(\theta^U_V\). De plus, \((X, \mathcal{F})\) est unique à unique isomorphisme près sur \(S\).

Démonstration

Le Lemme 01LH fournit le schéma \(X\) sur \(S\) et les isomorphismes \(i_U\). Posons \(\mathcal{F}'_U = i_U^*\mathcal{F}_U\) pour \(U \in \mathcal{B}\) ; c’est un \(\mathcal{O}_{f^{-1}(U)}\)-module quasi-cohérent. Les morphismes \[\mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} = i_U^*\mathcal{F}_U|_{f^{-1}(V)} = i_V^*(\rho^U_V)^*\mathcal{F}_U \xrightarrow{i_V^*\theta^U_V} i_V^*\mathcal{F}_V = \mathcal{F}'_V\] définissent des isomorphismes \((\theta')^U_V : \mathcal{F}'_U|_{f^{-1}(V)} \to \mathcal{F}'_V\) pour \(V \subset U\) dans \(\mathcal{B}\). La condition (d) exprime précisément leur compatibilité pour un triplet \(W \subset V \subset U\) d’éléments de \(\mathcal{B}\). On peut ainsi définir des isomorphismes \[\varphi_{12} : \mathcal{F}'_{U_1}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)} \longrightarrow \mathcal{F}'_{U_2}|_{f^{-1}(U_1 \cap U_2)}\] pour \(U_1, U_2 \in \mathcal{B}\), en recouvrant l’intersection \(U_1 \cap U_2 = \bigcup V_j\) par des éléments \(V_j\) de \(\mathcal{B}\) et en posant \[\varphi_{12}|_{V_j} = \left((\theta')^{U_2}_{V_j}\right)^{-1} \circ (\theta')^{U_1}_{V_j}.\] Nous omettons la vérification que ces morphismes se recollent bien en un morphisme \(\varphi_{12}\) et satisfont la condition de cocycle d’une donnée de recollement de faisceaux (au sens de Faisceaux, section 00AK). Par Faisceaux, Lemme 00AL, on obtient le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Nous omettons la vérification de (01LJ).

Remarque

Les constructions des Lemmes 01LH et 01LI sont fonctorielles. Supposons en effet données deux familles \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\) et \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\) comme dans le Lemme 01LH. Supposons que, pour chaque \(U \in \mathcal{B}\), on dispose d’un morphisme \(h_U : X_U \to Y_U\) sur \(U\), compatible avec les restrictions \(\rho^U_V\) et \(\sigma^U_V\). La fonctorialité signifie que l’on obtient un morphisme de schémas \(h : X \to Y\) sur \(S\) dont les restrictions sont les \(h_U\), où \(f : X \to S\) est construit à partir de \((f_U : X_U \to U, \rho^U_V)\) et \(g : Y \to S\) à partir de \((g_U : Y_U \to U, \sigma^U_V)\).

De même, supposons données deux familles \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\) et \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\) comme dans le Lemme 01LI. Supposons que, pour chaque \(U \in \mathcal{B}\), on dispose d’un morphisme \(h_U : X_U \to Y_U\) sur \(U\), compatible avec \(\rho^U_V\) et \(\sigma^U_V\), et d’un morphisme \(\tau_U : h_U^*\mathcal{G}_U \to \mathcal{F}_U\) compatible avec \(\theta^U_V\) et \(\eta^U_V\). La fonctorialité signifie que ces données définissent un morphisme de schémas \(h : X \to Y\) sur \(S\) dont les restrictions sont les \(h_U\), ainsi qu’un morphisme \(h^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) dont les restrictions sont les \(h_U\). Ici, \((f : X \to S, \mathcal{F})\) est construit à partir de \((f_U : X_U \to U, \mathcal{F}_U, \rho^U_V, \theta^U_V)\) et \((g : Y \to S, \mathcal{G})\) à partir de \((g_U : Y_U \to U, \mathcal{G}_U, \sigma^U_V, \eta^U_V)\).

Nous omettons les vérifications, ainsi qu’une formulation convenable de l’« équivalence de catégories » entre données de recollement relatif et objets relatifs.

Spectre relatif par recollement

Situation

Ici, \(S\) est un schéma et \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre quasi-cohérente. Cela signifie que \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres qui est quasi-cohérent comme \(\mathcal{O}_S\)-module.

Dans cette section, nous indiquons comment construire un morphisme de schémas \[\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] en recollant les spectres \(\Spec(\Gamma(U, \mathcal{A}))\), où \(U\) parcourt les ouverts affines de \(S\). Montrons d’abord que les spectres des algèbres de sections de \(\mathcal{A}\) sur ces ouverts affines forment une famille de schémas satisfaisant les conditions du Lemme 01LH.

Lemme

Dans la Situation 01LM, soient \(U \subset U' \subset S\) des ouverts affines. Posons \(A = \mathcal{A}(U)\) et \(A' = \mathcal{A}(U')\). L’homomorphisme d’anneaux \(A' \to A\) induit un morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(A')\), et le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] est cartésien.

Démonstration

Posons \(R = \mathcal{O}_S(U)\) et \(R' = \mathcal{O}_S(U')\). L’homomorphisme \(R \otimes_{R'} A' \to A\) est un isomorphisme puisque \(\mathcal{A}\) est quasi-cohérente (voir, par exemple, Schémas, Lemme 01I9). Le résultat découle de la description du produit fibré de schémas affines dans Schémas, Lemme 01I4.

En particulier, le morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) du lemme est une immersion ouverte.

Lemme

Dans la Situation 01LM, soient \(U \subset U' \subset U'' \subset S\) des ouverts affines. Posons \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\), \(A'' = \mathcal{A}(U'')\). La composée des morphismes \(\Spec(A) \to \Spec(A')\) et \(\Spec(A') \to \Spec(A'')\) du Lemme 01LN est le morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(A'')\) du Lemme 01LN.

Démonstration

Cela résulte de ce que \(A'' \to A\) est la composée de \(A'' \to A'\) et de \(A' \to A\), puisque \(\mathcal{A}\) est un faisceau.

Lemme

Dans la Situation 01LM, il existe un morphisme de schémas \[\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] ayant les propriétés suivantes :

pour tout ouvert affine \(U \subset S\), il existe un isomorphisme \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \Spec(\mathcal{A}(U))\) sur \(U\) ;

pour des ouverts affines \(U \subset U' \subset S\), la composée \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{A}(U)) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \Spec(\mathcal{A}(U')) }\] est l’immersion ouverte du Lemme 01LN.

De plus, \(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\) est unique à unique isomorphisme près sur \(S\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des Lemmes 01LH, 01LN et 01LO. L’unicité est énoncée dans la dernière phrase du Lemme 01LH.

Le spectre relatif comme foncteur

Plaçons-nous dans la Situation 01LM, c’est-à-dire que \(S\) est un schéma et que \(\mathcal{A}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres.

Pour tout \(f : T \to S\), l’image inverse \(f^*\mathcal{A}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres. Nous allons considérer les paires \((f : T \to S, \varphi)\) où \(f\) est un morphisme de schémas et \(\varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\) un morphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres. Remarquons que cela revient à se donner un homomorphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\) ; voir Faisceaux, Lemme 008A. Cela revient également à se donner un homomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\varphi : \mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T\) ; voir Faisceaux, Lemme 008Y. Nous utiliserons sans autre mention ces trois façons d’envisager \(\varphi\).

Étant donnés une telle paire \((f : T \to S, \varphi)\) et un morphisme \(a : T' \to T\), on obtient une seconde paire \((f' = f \circ a, \varphi' = a^*\varphi)\), appelée l’image inverse de \((f, \varphi)\). On peut notamment décrire \(\varphi' = a^*\varphi\) comme la composée \(\mathcal{A} \to f_*\mathcal{O}_T \to f'_*\mathcal{O}_{T'}\), où la seconde application est \(f_*a^\sharp\) avec \(a^\sharp : \mathcal{O}_T \to a_*\mathcal{O}_{T'}\). On a ainsi défini un foncteur [01LR]\[\begin{eqnarray} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ T & \longmapsto & F(T) = \{\text{pairs }(f, \varphi) \text{ as above}\} \nonumber \end{eqnarray}\]

Lemme

Dans la Situation 01LM, soit \(F\) le foncteur associé ci-dessus à \((S, \mathcal{A})\). Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Posons \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\) et soit \(F'\) le foncteur associé ci-dessus à \((S', \mathcal{A}')\). Il existe alors un isomorphisme canonique \[F' \cong h_{S'} \times_{h_S} F\] de foncteurs.

Démonstration

Se donner une paire \((f' : T \to S', \varphi' : (f')^*\mathcal{A}' \to \mathcal{O}_T)\) revient à se donner une paire \((f, \varphi : f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T)\) ainsi qu’une factorisation de \(f\) sous la forme \(f = g \circ f'\). En effet, avec ces notations, \((f')^* \mathcal{A}' = (f')^*g^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}\). D’où le lemme.

Lemme

Dans la Situation 01LM, soit \(F\) le foncteur associé ci-dessus à \((S, \mathcal{A})\). Si \(S\) est affine, alors \(F\) est représentable par le schéma affine \(\Spec(\Gamma(S, \mathcal{A}))\).

Démonstration

Écrivons \(S = \Spec(R)\) et \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\). Alors \(A\) est une \(R\)-algèbre et \(\mathcal{A} = \widetilde A\). L’homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) donne une application canonique \[f_{univ} : \Spec(A) \longrightarrow S = \Spec(R).\] On a \(f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A}\) par Schémas, Lemme 01I9. Il existe donc une application canonique \[\varphi_{univ} : f_{univ}^*\mathcal{A} = \widetilde{A \otimes_R A} \longrightarrow \widetilde A = \mathcal{O}_{\Spec(A)}\] provenant de l’application de \(A\)-modules \(A \otimes_R A \to A\), \(a \otimes a' \mapsto aa'\). Nous affirmons que la paire \((f_{univ}, \varphi_{univ})\) représente \(F\) dans ce cas. Autrement dit, pour tout schéma \(T\), l’application \[\Mor(T, \Spec(A)) \longrightarrow \{\text{pairs } (f, \varphi)\},\quad a \longmapsto (f_{univ} \circ a, a^*\varphi_{univ})\] est bijective.

Construisons l’application inverse. À toute paire \((f : T \to S, \varphi)\) est associé l’homomorphisme d’anneaux \[\xymatrix{ A = \Gamma(S, \mathcal{A}) \ar[r]^{f^*} & \Gamma(T, f^*\mathcal{A}) \ar[r]^{\varphi} & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) }\] Celui-ci induit un morphisme de schémas \(T \to \Spec(A)\) par Schémas, Lemme 01I1.

Nous omettons de vérifier que cette application est inverse de celle affichée ci-dessus.

Lemme

Dans la Situation 01LM, le foncteur \(F\) est représentable par un schéma.

Démonstration

Nous allons appliquer Schémas, Lemme 01JJ.

Vérifions d’abord que \(F\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie de Zariski. Supposons que \(T\) soit un schéma, que \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) soit un recouvrement ouvert et que \((f_i, \varphi_i) \in F(U_i)\) vérifient \((f_i, \varphi_i)|_{U_i \cap U_j} = (f_j, \varphi_j)|_{U_i \cap U_j}\). Il en résulte que les morphismes \(f_i : U_i \to S\) se recollent en un morphisme de schémas \(f : T \to S\) tel que \(f|_{U_i} = f_i\) ; voir Schémas, section 01JA. Ainsi, \(f_i^*\mathcal{A} = f^*\mathcal{A}|_{U_i}\) et, par hypothèse, les morphismes \(\varphi_i\) coïncident sur \(U_i \cap U_j\). Ils se recollent donc, par Faisceaux, section 00AK, en un morphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres \(f^*\mathcal{A} \to \mathcal{O}_T\). Cela prouve que \(F\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie de Zariski.

Soit \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement par des ouverts affines. Soit \(F_i \subset F\) le sous-foncteur formé des paires \((f : T \to S, \varphi)\) telles que \(f(T) \subset U_i\).

Il faut montrer que chaque \(F_i\) est représentable. C’est le cas, car \(F_i\) s’identifie au foncteur associé à \(U_i\) muni de la \(\mathcal{O}_{U_i}\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}|_{U_i}\), par le Lemme 01LS. Le résultat découle donc du Lemme 01LT.

Montrons ensuite que \(F_i \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes. Soit \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\). Posons \(V_i = f^{-1}(U_i)\). La définition de \(F_i\) montre que, pour tout \(a : T' \to T\), on a \(a^*(f, \varphi) \in F_i(T')\) si et seulement si \(a(T') \subset V_i\). C’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

Enfin, il faut montrer que la famille \((F_i)_{i \in I}\) recouvre \(F\). Soit \((f : T \to S, \varphi) \in F(T)\). Posons \(V_i = f^{-1}(U_i)\). Puisque \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) est un recouvrement ouvert de \(S\), on voit que \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\) est un recouvrement ouvert de \(T\). De plus, \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_i(V_i)\). Le lemme est ainsi démontré.

Lemme

Dans la Situation 01LM, le schéma \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) construit dans le Lemme 01LP et le schéma représentant le foncteur \(F\) sont canoniquement isomorphes comme schémas au-dessus de \(S\).

Démonstration

Soit \(X \to S\) le schéma représentant le foncteur \(F\). Considérons le faisceau de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{R} = \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\). Par construction de \(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})\), on dispose d’isomorphismes \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{R}(U)\) pour tout ouvert affine \(U \subset S\) ; cela résulte de la partie (1) du Lemme 01LP. Pour des ouverts \(U \subset U' \subset S\), ces isomorphismes sont compatibles aux applications de restriction ; cela résulte de la partie (2) du Lemme 01LP. Par Faisceaux, Lemme 009U, ils proviennent donc d’un isomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{R}\). On obtient ainsi un élément \((\pi, \varphi) \in F(\underline{\Spec}_S(\mathcal{A}))\). Puisque \(X\) représente le foncteur \(F\), il lui correspond un morphisme de schémas \(can : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to X\) au-dessus de \(S\).

Soit \(U \subset S\) un ouvert affine. Soit \(F_U \subset F\) le sous-foncteur de \(F\) correspondant aux paires \((f, \varphi)\) définies sur des schémas \(T\) tels que \(f(T) \subset U\). Le changement de base \(X_U\) représente manifestement \(F_U\). D’autre part, d’après le Lemme 01LT, \(F_U\) est représenté par \(\Spec(\mathcal{A}(U)) = \pi^{-1}(U)\). Autrement dit, \(X_U \cong \pi^{-1}(U)\). Nous omettons de vérifier que cette identification est induite par le changement de base du morphisme \(can\) à \(U\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. Le spectre relatif de \(\mathcal{A}\) au-dessus de \(S\), ou simplement le spectre de \(\mathcal{A}\) au-dessus de \(S\), est le schéma construit dans le Lemme 01LP qui représente le foncteur \(F\) (01LR) ; voir le Lemme 01LV. On le note \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\). La « famille universelle » est un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\]

Le lemme suivant affirme notamment que la formation du spectre relatif commute aux changements de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. Soit \(\pi : \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) \to S\) le spectre relatif de \(\mathcal{A}\) au-dessus de \(S\).

Pour tout ouvert affine \(U \subset S\), l’image inverse \(\pi^{-1}(U)\) est affine.

Pour tout morphisme \(g : S' \to S\), on a \(S' \times_S \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_{S'}(g^*\mathcal{A})\).

L’application universelle \[\mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\underline{\Spec}_S(\mathcal{A})}\] est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres.

Démonstration

La partie (1) résulte de la description du spectre relatif par recollement ; voir le Lemme 01LP. La partie (2) découle immédiatement du Lemme 01LS. La partie (3) est locale sur \(S\) et, lorsque \(S\) est affine, elle résulte par exemple du Lemme 01LT.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Par Schémas, Lemme 01LC, le faisceau \(f_*\mathcal{O}_X\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. Il existe un morphisme canonique \[can : X \longrightarrow \underline{\Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)\] de schémas au-dessus de \(S\). Pour tout ouvert affine \(U \subset S\), la restriction \(can|_{f^{-1}(U)}\) s’identifie au morphisme canonique \[f^{-1}(U) \longrightarrow \Spec(\Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X))\] provenant de Schémas, Lemme 01I1.

Démonstration

Par la définition de \(\underline{\Spec}\) comme schéma représentant le foncteur \(F\), le morphisme provient de l’application canonique \(\varphi : f^*f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) (qui, par adjonction entre image inverse et image directe, correspond à \(\text{id} : f_*\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_X\)). L’assertion concernant la restriction à \(f^{-1}(U)\) résulte de la description du spectre relatif au-dessus d’un ouvert affine ; voir le Lemme 01LT.

Espace affine de dimension n

Comme application du spectre relatif, définissons l’espace affine de dimension \(n\) au-dessus d’un schéma de base \(S\). Pour tout entier \(n \geq 0\), on peut considérer le faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n]\). Il est quasi-cohérent car, comme faisceau de \(\mathcal{O}_S\)-modules, il est simplement la somme directe de copies de \(\mathcal{O}_S\) indexées par les multi-indices.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(n \geq 0\). Le schéma \[\mathbf{A}^n_S = \underline{\Spec}_S(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n])\] au-dessus de \(S\) est appelé espace affine de dimension \(n\) au-dessus de \(S\). Si \(S = \Spec(R)\) est affine, on l’appelle aussi espace affine de dimension \(n\) au-dessus de \(R\) et on le note \(\mathbf{A}^n_R\).

Remarquons que \(\mathbf{A}^n_R = \Spec(R[T_1, \ldots, T_n])\). Pour tout morphisme de schémas \(g : S' \to S\), on a \(g^*\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_{S'}[T_1, \ldots, T_n]\) ; ainsi, \(\mathbf{A}^n_{S'} = S' \times_S \mathbf{A}^n_S\) est le changement de base. Une définition équivalente de l’espace affine de dimension \(n\) est donc donnée par la formule \[\mathbf{A}^n_S = S \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}.\] En outre, un morphisme d’un \(S\)-schéma \(f : X \to S\) vers \(\mathbf{A}^n_S\) est déterminé par un homomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] \to f_*\mathcal{O}_X\). Cela revient manifestement à se donner les images des \(T_i\). Autrement dit, se donner un morphisme de \(X\) vers \(\mathbf{A}^n_S\) au-dessus de \(S\) revient à se donner \(n\) éléments \(h_1, \ldots, h_n \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\).

Fibrés vectoriels

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-modules. Par Modules, Lemme 01CL, l’algèbre symétrique \(\text{Sym}(\mathcal{E})\) de \(\mathcal{E}\) sur \(\mathcal{O}_S\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. On peut donc lui appliquer la construction du spectre relatif.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent¹. Le fibré vectoriel associé à \(\mathcal{E}\) est \[\mathbf{V}(\mathcal{E}) = \underline{\Spec}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})).\]

Le fibré vectoriel associé à \(\mathcal{E}\) est muni d’une structure supplémentaire. En effet, on a une graduation \[\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n(\mathcal{E}).\] qui fait de \(\pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{V}(\mathcal{E})}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée. Réciproquement, on retrouve \(\mathcal{E}\) comme sa partie de degré \(1\). Nous définissons donc un fibré vectoriel abstrait comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un fibré vectoriel \(\pi : V \to S\) au-dessus de \(S\) est un morphisme affine de schémas tel que \(\pi_*\mathcal{O}_V\) soit muni d’une structure de \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée \(\pi_*\mathcal{O}_V = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{E}_n\) telle que \(\mathcal{E}_0 = \mathcal{O}_S\) et que les applications \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}_1) \longrightarrow \mathcal{E}_n\] soient des isomorphismes pour tout \(n \geq 0\). Un morphisme de fibrés vectoriels au-dessus de \(S\) est un morphisme \(f : V \to V'\) tel que l’application induite \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{V'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_V\] soit compatible avec les graduations données.

Un exemple de fibré vectoriel sur \(S\) est l’espace affine de dimension \(n\), \(\mathbf{A}^n_S\), sur \(S\) ; voir la Définition 01M0. En effet, \(\mathcal{O}_S[T_1, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n})\).

Lemme

La catégorie des fibrés vectoriels au-dessus d’un schéma \(S\) est anti-équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

Omis. Indication : dans un sens, on utilise le foncteur \(\underline{\Spec}_S(\text{Sym}^*_{\mathcal{O}_S}(-))\), et dans l’autre le foncteur \((\pi : V \to S) \leadsto (\pi_*\mathcal{O}_V)_1\), où l’indice signifie que l’on prend la partie de degré \(1\).

Cônes

En géométrie algébrique, les cônes correspondent aux algèbres graduées. Selon nos conventions, un anneau ou une algèbre gradué \(A\) est muni d’une graduation \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\) par les entiers positifs ou nuls ; voir Algèbre, section 00JL.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Supposons que \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{A}_0\) soit un isomorphisme². Le cône associé à \(\mathcal{A}\), ou le cône affine associé à \(\mathcal{A}\), est \[C(\mathcal{A}) = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}).\]

Le cône associé à un faisceau gradué de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres est muni d’une structure supplémentaire : on obtient une graduation \[\pi_*\mathcal{O}_{C(\mathcal{A})} = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\] On peut donc définir un cône abstrait comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un cône \(\pi : C \to S\) au-dessus de \(S\) est un morphisme affine de schémas tel que \(\pi_*\mathcal{O}_C\) soit muni d’une structure de \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée \(\pi_*\mathcal{O}_C = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{A}_n\) telle que \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}_S\). Un morphisme de cônes de \(\pi : C \to S\) vers \(\pi' : C' \to S\) est un morphisme \(f : C \to C'\) tel que l’application induite \[f^* : \pi'_*\mathcal{O}_{C'} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_C\] soit compatible avec les graduations données.

Tout fibré vectoriel est un exemple de cône. En fait, la catégorie des fibrés vectoriels au-dessus de \(S\) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des cônes au-dessus de \(S\).

Proj d’un anneau gradué

Dans cette section, nous construisons le Proj d’un anneau gradué en suivant [EGA, II, section 2].

Soit \(S\) un anneau gradué. Considérons l’espace topologique \(\text{Proj}(S)\) associé à \(S\) ; voir Algèbre, section 00JM. Nous allons munir cet espace d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) de sorte que la paire \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) ainsi obtenue soit un schéma.

Rappelons que \(\text{Proj}(S)\) possède une base d’ouverts \(D_{+}(f)\), \(f \in S_d\), \(d \geq 1\), que nous appelons ouverts standards ; voir Algèbre, section 00JM. Cette terminologie sous-entendra toujours que \(f\) est homogène de degré strictement positif, même si nous omettons de le préciser. En outre, l’intersection de deux ouverts standards est encore un ouvert standard : \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\) pour \(f, g \in S\) homogènes de degré strictement positif.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \(f \in S\) homogène de degré strictement positif.

Si \(g\in S\) est homogène de degré strictement positif et \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\), alors

\(f\) est inversible dans \(S_g\), et \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\) est inversible dans \(S_{(g)}\),

\(g^e = af\) pour un certain \(e \geq 1\) et un certain \(a \in S\) homogène,

il existe un homomorphisme canonique de \(S\)-algèbres \(S_f \to S_g\),

il existe un homomorphisme canonique de \(S_0\)-algèbres \(S_{(f)} \to S_{(g)}\), compatible avec l’application \(S_f \to S_g\),

l’application \(S_{(f)} \to S_{(g)}\) induit un isomorphisme \[(S_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong S_{(g)},\]

ces applications induisent un diagramme commutatif d’espaces topologiques \[\xymatrix{ D_{+}(g) \ar[d] & \{\mathbf{Z}\text{-graded primes of }S_g\} \ar[l] \ar[r] \ar[d] & \Spec(S_{(g)}) \ar[d] \\ D_{+}(f) & \{\mathbf{Z}\text{-graded primes of }S_f\} \ar[l] \ar[r] & \Spec(S_{(f)}) }\] où les applications horizontales sont des homéomorphismes et les applications verticales des immersions ouvertes,

il existe des applications canoniques compatibles de \(S_f\)-modules et de \(S_{(f)}\)-modules \(M_f \to M_g\) et \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) pour tout \(S\)-module gradué \(M\), et

l’application \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) induit un isomorphisme \[(M_{(f)})_{g^{\deg(f)}/f^{\deg(g)}} \cong M_{(g)}.\]

Tout recouvrement ouvert de \(D_{+}(f)\) admet un raffinement qui est un recouvrement ouvert fini de la forme \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\).

Soient \(g_1, \ldots, g_n \in S\) homogènes de degré strictement positif. Alors \(D_{+}(f) \subset \bigcup D_{+}(g_i)\) si et seulement si \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\) engendrent l’idéal unité de \(S_{(f)}\).

Démonstration

Rappelons que \(D_{+}(g) = \Spec(S_{(g)})\), l’identification étant donnée par les homomorphismes d’anneaux \(S \to S_g \leftarrow S_{(g)}\) ; voir Algèbre, Lemme 00JP. Ainsi, \(f^{\deg(g)}/g^{\deg(f)}\) est un élément de \(S_{(g)}\) qui n’appartient à aucun idéal premier ; il est donc inversible, par Algèbre, Lemme 00E0. On en déduit (a). Écrivons l’inverse de \(f\) dans \(S_g\) sous la forme \(a/g^d\). On peut remplacer \(a\) par sa partie homogène de degré \(d\deg(g) - \deg(f)\). Cela signifie que \(g^d - af\) est annulé par une puissance de \(g\), d’où \(g^e = af\) pour un certain \(a \in S\) homogène de degré \(e\deg(g) - \deg(f)\). Ceci prouve (b). Pour (c), l’application \(S_f \to S_g\) existe, d’après (a), par la propriété universelle de la localisation ; on peut aussi la définir en envoyant \(b/f^n\) sur \(a^nb/g^{ne}\). Elle induit manifestement une application entre les sous-anneaux d’éléments de degré zéro \(S_{(f)} \to S_{(g)}\). De même, on peut définir \(M_f \to M_g\) et \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) en envoyant \(x/f^n\) sur \(a^nx/g^{ne}\). Les assertions qui présentent \(S_{(g)}\), resp. \(M_{(g)}\), comme une localisation principale de \(S_{(f)}\), resp. \(M_{(f)}\), résultent aussitôt des formules précédentes. Les applications du diagramme commutatif d’espaces topologiques correspondent aux homomorphismes d’anneaux ci-dessus. Les flèches horizontales sont des homéomorphismes par Algèbre, Lemme 00JP. Les flèches verticales sont des immersions ouvertes, puisque celle de gauche est l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert.

L’ouvert \(D_{+}(f)\) est quasi-compact, car il est homéomorphe à \(\Spec(S_{(f)})\) ; voir Algèbre, Lemme 00E8. La deuxième assertion résulte donc directement du fait que les ouverts standards forment une base de la topologie.

La troisième assertion découle directement de Algèbre, Lemme 00E0.

Dans Faisceaux, section 009H, nous avons défini la notion de faisceau sur une base et montré qu’elle est essentiellement équivalente à celle de faisceau sur l’espace ; voir Faisceaux, Lemmes 009N et 009Q. En outre, nous avons montré dans Faisceaux, Lemme 009L, qu’il suffit de vérifier la condition de faisceau sur un système cofinal de recouvrements ouverts de chaque ouvert standard. D’après le lemme précédent, il suffit donc de la vérifier sur les recouvrements finis par des ouverts standards.

Définition

Soit \(S\) un anneau gradué. Supposons que \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\) soit un ouvert standard. Un recouvrement ouvert standard de \(D_{+}(f)\) est un recouvrement \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\), où \(g_1, \ldots, g_n \in S\) sont homogènes de degré strictement positif.

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(M\) un \(S\)-module gradué. Nous allons définir un préfaisceau \(\widetilde M\) sur la base des ouverts standards. Supposons que \(U \subset \text{Proj}(S)\) soit un ouvert standard. Si \(f, g \in S\) sont homogènes de degré strictement positif et vérifient \(D_{+}(f) = D_{+}(g)\), le Lemme 01M4 fournit des applications canoniques \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) et \(M_{(g)} \to M_{(f)}\), inverses l’une de l’autre. On peut donc choisir n’importe quel \(f\) tel que \(U = D_{+}(f)\) et poser \[\widetilde M(U) = M_{(f)}.\] Remarquons que, si \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\), le Lemme 01M4 donne une application canonique \[\widetilde M(D_{+}(f)) = M_{(f)} \longrightarrow M_{(g)} = \widetilde M(D_{+}(g)).\] On obtient ainsi un préfaisceau de groupes abéliens sur la base des ouverts standards. Si \(M = S\), alors \(\widetilde S\) est un préfaisceau d’anneaux sur cette base. Pour \(M\) quelconque, \(\widetilde M\) est un préfaisceau de \(\widetilde S\)-modules sur la même base.

Calculons la fibre de \(\widetilde M\) en un point \(x \in \text{Proj}(S)\). Supposons que \(x\) corresponde à l’idéal premier homogène \(\mathfrak p \subset S\). Par définition de la fibre, on a \[\widetilde M_x = \colim_{f\in S_d, d > 0, f\not\in \mathfrak p} M_{(f)}\] L’ensemble \(\{f \in S_d, d > 0, f \not \in \mathfrak p\}\) est ici préordonné par la règle \(f \geq f' \Leftrightarrow D_{+}(f) \subset D_{+}(f')\). Si \(f_1, f_2 \in S \setminus \mathfrak p\) sont homogènes de degré strictement positif, alors \(f_1f_2 \geq f_1\) pour cet ordre. Dans Algèbre, section 00JM, nous avons défini \(M_{(\mathfrak p)}\) comme le module dont les éléments sont les fractions \(x/f\), avec \(x, f\) homogènes, \(\deg(x) = \deg(f)\) et \(f \not \in \mathfrak p\). Comme \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\), il existe au moins un \(f_0 \in S\) homogène de degré strictement positif tel que \(f_0 \not\in \mathfrak p\). Puisque \(x/f = f_0x/ff_0\), on peut toujours supposer que le dénominateur d’un élément de \(M_{(\mathfrak p)}\) est de degré strictement positif. Ces remarques donnent aussitôt \[\widetilde M_x = M_{(\mathfrak p)}.\]

Vérifions maintenant la condition de faisceau pour les recouvrements ouverts standards. Si \(D_{+}(f) = \bigcup_{i = 1}^n D_{+}(g_i)\), cette condition équivaut à l’exactitude de la suite \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(g_i)} \to \bigoplus M_{(g_ig_j)}.\] Comme \(D_{+}(g_i) = D_{+}(fg_i)\), on peut récrire cette suite sous la forme \[0 \to M_{(f)} \to \bigoplus M_{(fg_i)} \to \bigoplus M_{(fg_ig_j)}.\] D’après le Lemme 01M4, les éléments \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\) engendrent l’idéal unité de \(S_{(f)}\), et les modules \(M_{(fg_i)}\) et \(M_{(fg_ig_j)}\) sont les localisations principales du \(S_{(f)}\)-module \(M_{(f)}\) par rapport à ces éléments et à leurs produits. On peut donc appliquer Algèbre, Lemme 00EK, au module \(M_{(f)}\) sur \(S_{(f)}\) et aux éléments \(g_1^{\deg(f)}/f^{\deg(g_1)}, \ldots, g_n^{\deg(f)}/f^{\deg(g_n)}\). La suite est ainsi exacte. D’après les remarques précédentes, \(\widetilde M\) est donc un faisceau sur la base des ouverts standards.

Il résulte alors de Faisceaux, section 009H, qu’il existe un unique faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) qui coïncide avec \(\widetilde S\) sur les ouverts standards. Le calcul des fibres effectué ci-dessus et Algèbre, Lemme 00JR, montrent que toutes les fibres de ce faisceau d’anneaux sont des anneaux locaux.

De même, pour tout \(S\)-module gradué \(M\), il existe un unique faisceau de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules \(\mathcal{F}\) qui coïncide avec \(\widetilde M\) sur les ouverts standards ; voir Faisceaux, Lemme 009T.

Définition

Soit \(S\) un anneau gradué.

Le faisceau structural \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) du spectre homogène de \(S\) est l’unique faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) qui coïncide avec \(\widetilde S\) sur la base des ouverts standards.

L’espace localement annelé \((\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) est appelé le spectre homogène de \(S\) et noté \(\text{Proj}(S)\).

Le faisceau de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules qui prolonge \(\widetilde M\) à tous les ouverts de \(\text{Proj}(S)\) est appelé le faisceau de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules associé à \(M\). Lui aussi est noté \(\widetilde M\).

Résumons les résultats obtenus jusqu’ici.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, soit \(M\) un \(S\)-module gradué et soit \(\widetilde M\) le faisceau de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules associé à \(M\).

Pour tout \(f \in S\) homogène de degré strictement positif, on a \[\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}.\]

Pour tout \(f\in S\) homogène de degré strictement positif, on a \(\Gamma(D_{+}(f), \widetilde M) = M_{(f)}\) en tant que \(S_{(f)}\)-module.

Si \(D_{+}(g) \subset D_{+}(f)\), les applications de restriction de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) et de \(\widetilde M\) sont les applications \(S_{(f)} \to S_{(g)}\) et \(M_{(f)} \to M_{(g)}\) du Lemme 01M4.

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier homogène de \(S\) qui ne contient pas \(S_{+}\), et soit \(x \in \text{Proj}(S)\) le point correspondant. On a \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S), x} = S_{(\mathfrak p)}\).

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier homogène de \(S\) qui ne contient pas \(S_{+}\), et soit \(x \in \text{Proj}(S)\) le point correspondant. On a \((\widetilde M)_x = M_{(\mathfrak p)}\) en tant que \(S_{(\mathfrak p)}\)-module.

Il existe un homomorphisme canonique d’anneaux \(S_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde S)\) et un morphisme canonique de \(S_0\)-modules \(M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde M)\) compatibles avec les descriptions ci-dessus des sections sur les ouverts standards et des fibres.

Toutes ces identifications sont en outre fonctorielles en le \(S\)-module gradué \(M\). En particulier, le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) est un foncteur exact de la catégorie des \(S\)-modules gradués vers la catégorie des \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules.

Démonstration

Les assertions (1) à (5) résultent de la discussion précédente. L’assertion (6) découle de l’existence des applications canoniques \(M_0 \to M_{(f)}\), \(x \mapsto x/1\), compatibles avec les applications de restriction décrites en (3). L’exactitude du foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) résulte de celle du foncteur \(M \mapsto M_{(\mathfrak p)}\) (voir Algèbre, Lemme 00JR) et du fait que l’exactitude d’une suite courte de faisceaux se vérifie sur les fibres ; voir Modules, Lemme 01AG.

Remarque

L’application de \(M_0\) dans les sections globales de \(\widetilde M\) est en général loin d’être un isomorphisme. Un exemple élémentaire consiste à prendre \(S = k[x, y, z]\) avec \(1 = \deg(x) = \deg(y) = \deg(z)\) (ou un nombre quelconque de variables) et \(M = S/(x^{100}, y^{100}, z^{100})\). On voit facilement que \(\widetilde M = 0\), tandis que \(M_0 = k\).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(f \in S\) homogène de degré strictement positif. Supposons que \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\) soit un ouvert standard. Il existe alors un élément \(h \in S\) homogène de degré strictement positif tel que \(D(g)\) corresponde à \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\) par l’homéomorphisme d’Algèbre, Lemme 00JP. On peut même choisir \(h\) de sorte que \(g = h/f^n\) pour un certain \(n\).

Démonstration

Écrivons \(g = h/f^n\), où \(h\) est homogène de degré strictement positif et \(n \geq 1\). Si \(D_{+}(h)\) n’est pas contenu dans \(D_{+}(f)\), remplaçons \(h\) par \(hf\) et \(n\) par \(n + 1\). L’élément \(h\) a alors la forme voulue et \(D_{+}(h) \subset D_{+}(f)\) correspond à \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. L’espace localement annelé \(\text{Proj}(S)\) est un schéma. Les ouverts standards \(D_{+}(f)\) sont des ouverts affines. Pour tout \(S\)-module gradué \(M\), le faisceau \(\widetilde M\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules.

Démonstration

Considérons un ouvert standard \(D_{+}(f) \subset \text{Proj}(S)\). D’après les Lemmes 01M4 et 01M7, on a \(\Gamma(D_{+}(f), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(f)}\), et il existe un homéomorphisme \(\varphi : D_{+}(f) \to \Spec(S_{(f)})\). Pour tout ouvert standard \(D(g) \subset \Spec(S_{(f)})\), choisissons \(h \in S_{+}\) comme dans le Lemme 01MA. Alors \(\varphi^{-1}(D(g)) = D_{+}(h)\) et, d’après les Lemmes 01M7 et 01M4, \[\Gamma(D_{+}(h), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}) = S_{(h)} = (S_{(f)})_{h^{\deg(f)}/f^{\deg(h)}} = (S_{(f)})_g = \Gamma(D(g), \mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}).\] La restriction de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\) à \(D_{+}(f)\) correspond donc, par l’homéomorphisme \(\varphi\), exactement au faisceau \(\mathcal{O}_{\Spec(S_{(f)})}\) défini dans Schémas, section 01HR. Il s’ensuit que \(D_{+}(f)\) est un schéma affine isomorphe à \(\Spec(S_{(f)})\) par \(\varphi\), et donc que \(\text{Proj}(S)\) est un schéma.

On montre exactement de la même manière que \(\widetilde M\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules. En effet, l’argument précédent donne \[\widetilde M|_{D_{+}(f)} \cong \varphi^*\left(\widetilde{M_{(f)}}\right)\] ce qui montre que \(\widetilde M\) est quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Le schéma \(\text{Proj}(S)\) est séparé.

Démonstration

Il faut montrer que le morphisme canonique \(\text{Proj}(S) \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé. Utilisons Schémas, Lemme 01KP. Il suffit de montrer que, pour toute paire d’ouverts standards \(D_{+}(f)\) et \(D_{+}(g)\), l’intersection \(D_{+}(f) \cap D_{+}(g) = D_{+}(fg)\) est affine (ce qui est clair) et que l’homomorphisme d’anneaux \[S_{(f)} \otimes_{\mathbf{Z}} S_{(g)} \longrightarrow S_{(fg)}\] est surjectif. Tout élément \(s\) de \(S_{(fg)}\) est de la forme \(s = h/(f^ng^m)\), où \(h \in S\) est homogène de degré \(n\deg(f) + m\deg(g)\). En multipliant \(h\) par un monôme convenable \(f^ig^j\), on peut supposer que \(n = n' \deg(g)\) et \(m = m' \deg(f)\). On peut alors récrire \(s\) sous la forme \(s = h/f^{(n' + m')\deg(g)} \cdot f^{m'\deg(g)}/g^{m'\deg(f)}\). Ainsi, \(s\) appartient bien à l’image de la flèche affichée.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Le schéma \(\text{Proj}(S)\) est quasi-compact si et seulement s’il existe un nombre fini d’éléments homogènes \(f_1, \ldots, f_n \in S_{+}\) tels que \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\). Dans ce cas, \(\text{Proj}(S) = D_+(f_1) \cup \ldots \cup D_+(f_n)\).

Démonstration

Si une telle famille d’éléments existe, les ouverts affines standards \(D_{+}(f_i)\) recouvrent \(\text{Proj}(S)\) d’après Algèbre, Lemme 00JP. Réciproquement, si \(\text{Proj}(S)\) est quasi-compact, on peut le recouvrir par un nombre fini d’ouverts standards \(D_{+}(f_i)\), \(i = 1, \ldots, n\), et le lemme que nous venons de citer donne \(S_{+} \subset \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Le schéma \(\text{Proj}(S)\) possède un morphisme canonique vers le schéma affine \(\Spec(S_0)\), qui coïncide sur les espaces topologiques avec l’application d’Algèbre, Définition 00JN.

Démonstration

Nous avons vu plus haut que notre construction de \(\widetilde S\), resp. \(\widetilde M\), donne un faisceau de \(S_0\)-algèbres, resp. \(S_0\)-modules. On obtient donc un morphisme par Schémas, Lemme 01I1. Restreint à \(D_{+}(f)\), ce morphisme provient de l’homomorphisme canonique d’anneaux \(S_0 \to S_{(f)}\). Les applications \(S \to S_f\) et \(S_{(f)} \to S_f\) sont des homomorphismes de \(S_0\)-algèbres ; voir le Lemme 01M4. Par conséquent, si l’idéal premier homogène \(\mathfrak p \subset S\) correspond à l’idéal premier \(\mathbf{Z}\)-gradué \(\mathfrak p' \subset S_f\) et à l’idéal premier ordinaire \(\mathfrak p'' \subset S_{(f)}\), ces trois idéaux ont la même image inverse dans \(S_0\).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Si \(S\) est une algèbre de type fini sur \(S_0\), le morphisme \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) satisfait les parties existence et unicité du critère valuatif ; voir Schémas, Définition 01KD.

Démonstration

L’unicité résulte de ce que \(\text{Proj}(S)\) est séparé (Lemme 01MC et Schémas, Lemme 01KZ). Choisissons des éléments homogènes \(x_i \in S_{+}\), \(i = 1, \ldots, n\), qui engendrent \(S\) sur \(S_0\). Posons \(d_i = \deg(x_i)\) et \(d = \text{lcm}\{d_i\}\). Supposons donné un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(S) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(S_0) }\] comme dans Schémas, Définition 01KD. Notons \(v : K^* \to \Gamma\) la valuation de \(A\) ; voir Algèbre, Définition 00IE. On peut choisir un élément homogène \(f \in S_{+}\) tel que \(\Spec(K)\) s’envoie dans \(D_{+}(f)\). On obtient alors un diagramme commutatif d’homomorphismes d’anneaux \[\xymatrix{ K & S_{(f)} \ar[l]^{\varphi} \\ A \ar[u] & S_0 \ar[l] \ar[u] }\] Après renumérotation, on peut supposer que \(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})\) est non nul pour \(i = 1, \ldots, r\) et nul pour \(i = r + 1, \ldots, n\). Comme les ouverts \(D_{+}(x_i)\) recouvrent \(\text{Proj}(S)\), on a \(r \geq 1\). Choisissons \(i_0 \in \{1, \ldots, r\}\) de sorte que \(\gamma_i = (d/d_i)v(\varphi(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i}))\) soit minimal dans \(\Gamma\). Pour alléger les notations, posons \(x_0 = x_{i_0}\) et \(d_0 = d_{i_0}\). L’homomorphisme \(\varphi\) se factorise par un homomorphisme \(\varphi' : S_{(fx_0)} \to K\), qui fournit un homomorphisme \(S_{(x_0)} \to S_{(fx_0)} \to K\). L’algèbre \(S_{(x_0)}\) est engendrée sur \(S_0\) par les éléments \(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}\) tels que \(\sum e_i d_i = e_0 d_0\). Si \(e_i > 0\) pour un certain \(i > r\), alors \(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_n^{e_n}/x_0^{e_0}) = 0\). Si \(e_i = 0\) pour \(i > r\), on a \[\begin{align*} d \deg(f) v(\varphi'(x_1^{e_1} \ldots x_r^{e_r}/x_0^{e_0})) & = d v(\varphi'(x_1^{e_1 \deg(f)} \ldots x_r^{e_r \deg(f)}/x_0^{e_0 \deg(f)})) \\ & = d \sum e_i v(\varphi'(x_i^{\deg(f)}/f^{d_i})) - e_0 v(\varphi'(x_0^{\deg(f)}/f^{d_0})) \\ & = \sum e_i d_i \gamma_i - e_0 d_0 \gamma_0 \\ & \geq \sum e_i d_i \gamma_0 - e_0 d_0 \gamma_0 = 0 \end{align*}\] car \(\gamma_0\) est minimal parmi les \(\gamma_i\). Il en résulte que \(S_{(x_0)}\) s’envoie dans \(A\) par \(\varphi'\). Le morphisme de schémas correspondant \(\Spec(A) \to \Spec(S_{(x_0)}) = D_{+}(x_0) \subset \text{Proj}(S)\) est le morphisme qui complète le premier diagramme commutatif de cette démonstration.

Nous avons aussi vu dans la démonstration du Lemme 01MF que, sous les hypothèses de ce lemme, le morphisme \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) est quasi-compact. Il résulte donc de Schémas, Proposition 01KF, que \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) est universellement fermé dans cette situation. Les exemples suivants montrent que ces résultats ne subsistent pas sans hypothèse sur l’anneau gradué \(S\).

Exemple

Soit \(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots]\) la \(\mathbf{C}\)-algèbre graduée dans laquelle chaque \(X_i\) est de degré \(1\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots] \longrightarrow \mathbf{C}[t^\alpha ; \alpha \in \mathbf{Q}_{\geq 0}]\] qui envoie \(X_i\) sur \(t^{1/i}\). Le membre de droite devient un anneau de valuation \(A\) après localisation en l’idéal \(\mathfrak m = (t^\alpha ; \alpha > 0)\). Soit \(K\) le corps des fractions de \(A\). L’homomorphisme ci-dessus donne un morphisme \(\Spec(K) \to \text{Proj}(\mathbf{C}[X_1, X_2, X_3, \ldots])\) qui ne se prolonge pas en un morphisme défini sur tout \(\Spec(A)\). En effet, l’image de \(\Spec(A)\) serait contenue dans l’un des \(D_{+}(X_i)\) ; mais \(X_{i + 1}/X_i\) devrait alors s’envoyer sur un élément de \(A\), ce qui est impossible puisqu’il s’envoie sur \(t^{1/(i + 1) - 1/i}\).

Exemple

Soit \(R = \mathbf{C}[t]\) et \[S = R[X_1, X_2, X_3, \ldots]/(X_i^2 - tX_{i + 1}).\] La graduation est définie par \(R = S_0\) et \(\deg(X_i) = 2^{i - 1}\). Remarquons que, si \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\), alors \(t \not \in \mathfrak p\) ; sinon, \(\mathfrak p\) contiendrait tous les \(X_i\), ce qui est impossible pour un point du spectre homogène. On a donc \(D_{+}(X_i) = D_{+}(X_{i + 1})\) pour tout \(i\). Ainsi, \(\text{Proj}(S)\) est quasi-compact ; il est même affine, puisqu’il est égal à \(D_{+}(X_1)\). On voit facilement que l’image de \(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\) est \(D(t)\). Le morphisme \(\text{Proj}(S) \to \Spec(R)\) n’est donc pas fermé. Le critère valuatif ne peut par conséquent pas s’appliquer, puisqu’il entraînerait que le morphisme est fermé (voir Schémas, Proposition 01KF).

Exemple

Soit \(A\) un anneau. Munissons \(S = A[T]\) de sa structure de \(A\)-algèbre graduée pour laquelle \(T\) est de degré \(1\). Alors le morphisme canonique \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\) (voir le Lemme 01ME) est un isomorphisme.

Exemple

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine et soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Munissons \(A[T]\) de la graduation définie par \(\deg T = 1\). Soit \(S\) le sous-anneau de \(A[T]\) engendré par \(A\) et par tous les \(fT^i\), où \(i \ge 0\) et où \(f \in A\) vérifie \(D(f) \subset U\). Nous affirmons que \(S\) est un anneau gradué tel que \(S_0 = A\) et \(\text{Proj}(S) \cong U\), et que cet isomorphisme identifie le morphisme canonique \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\) du Lemme 01ME à l’inclusion \(U \subset X\).

Supposons que \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\) soit tel que tout élément \(fT \in S_1\) appartienne à \(\mathfrak p\). Alors tout générateur \(fT^i\) avec \(i \ge 1\) appartient à \(\mathfrak p\), car \((fT^i)^2 = (fT)(fT^{2i-1}) \in \mathfrak p\) et \(\mathfrak p\) est radical. On aurait donc \(\mathfrak p \supset S_+\), ce qui est impossible. Par conséquent, \(\text{Proj}(S)\) est recouvert par les sous-schémas affines ouverts standards \(\{D_+(fT)\}_{fT \in S_1}\).

Remarquons que, si \(fT \in S_1\), l’inclusion \(S \subset A[T]\) induit un isomorphisme gradué de \(S[(fT)^{-1}]\) sur \(A[T, T^{-1}, f^{-1}]\). L’ouvert standard \(D_+(fT) \cong \Spec(S_{(fT)})\) est donc isomorphe à \(\Spec(A[T, T^{-1}, f^{-1}]_0) = \Spec(A[f^{-1}])\). Il est clair que cet isomorphisme est la restriction du morphisme canonique \(\text{Proj}(S) \to \Spec(A)\). Si, de plus, \(gT \in S_1\), alors \(S[(fT)^{-1}, (gT)^{-1}] \cong A[T, T^{-1}, f^{-1}, g^{-1}]\) comme anneaux gradués, de sorte que \(D_+(fT) \cap D_+(gT) \cong \Spec(A[f^{-1}, g^{-1}])\). Ainsi, \(\text{Proj}(S)\) est la réunion des sous-schémas ouverts \(D_+(fT)\), qui sont isomorphes par le morphisme canonique aux sous-schémas ouverts \(D(f) \subset X\), et leurs intersections dans \(\text{Proj}(S)\) correspondent à leurs intersections dans \(X\). Le morphisme canonique est donc un isomorphisme de \(\text{Proj}(S)\) sur la réunion de tous les \(D(f) \subset U\), c’est-à-dire sur \(U\).

Faisceaux quasi-cohérents sur Proj

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(M\) un \(S\)-module gradué. Nous avons vu au Lemme 01M7 comment construire un faisceau quasi-cohérent de modules \(\widetilde{M}\) sur \(\text{Proj}(S)\) ainsi qu’une application [0AG1]\[\begin{equation} M_0 \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M}) \end{equation}\] de la partie de degré \(0\) de \(M\) vers les sections globales de \(\widetilde{M}\). La partie de degré \(0\) du \(n\)-ième décalé \(M(n)\) du module gradué \(M\) (voir Algèbre, section 00JL) est égale à \(M_n\). On obtient donc des applications [0AG2]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(\text{Proj}(S), \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] Nous voudrions pouvoir effectuer cette opération pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(\text{Proj}(S)\). Pour ce faire, nous prendrons son produit tensoriel avec le \(n\)-ième tordu du faisceau structural ; voir la Définition 01MN. Le lemme suivant relie les deux notions.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\text{Proj}(S), \mathcal{O}_{\text{Proj}(S)})\) le schéma du Lemme 01MB. Soit \(f \in S_{+}\) homogène. Soit \(x \in X\) un point correspondant à l’idéal premier homogène \(\mathfrak p \subset S\). Soient \(M\) et \(N\) des \(S\)-modules gradués. Il existe un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_{\text{Proj}(S)}\)-modules \[\widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] qui induit l’application canonique \(M_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\) sur les sections au-dessus de \(D_{+}(f)\) et l’application canonique \(M_{(\mathfrak p)} \otimes_{S_{(\mathfrak p)}} N_{(\mathfrak p)} \to (M \otimes_S N)_{(\mathfrak p)}\) sur les fibres en \(x\) En outre, le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ M_0 \otimes_{S_0} N_0 \ar[r] \ar[d] & (M \otimes_S N)_0 \ar[d] \\ \Gamma(X, \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N) \ar[r] & \Gamma(X, \widetilde{M \otimes_S N}) }\] où les applications verticales sont données par (0AG1).

Démonstration

Construire le morphisme affiché revient à construire une application \(\mathcal{O}_X\)-bilinéaire \[\widetilde M \times \widetilde N \longrightarrow \widetilde{M \otimes_S N}\] voir Modules, section 01CA. Il suffit de la définir sur les sections au-dessus des ouverts \(D_{+}(f)\), de manière compatible avec les applications de restriction. Sur \(D_{+}(f)\), on utilise l’application \(S_{(f)}\)-bilinéaire \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\), \((x/f^n, y/f^m) \mapsto (x \otimes y)/f^{n + m}\). Nous omettons les détails.

Remarque

En général, le morphisme construit au Lemme 01MK n’est pas un isomorphisme. Voici un exemple. Soit \(k\) un corps. Prenons \(S = k[x, y, z]\), où \(k\) est placé en degré \(0\) et \(\deg(x) = 1\), \(\deg(y) = 2\), \(\deg(z) = 3\). Posons \(M = S(1)\) et \(N = S(2)\) ; pour les notations, voir Algèbre, section 00JL. Alors \(M \otimes_S N = S(3)\). Remarquons que \[\begin{eqnarray*} S_z & = & k[x, y, z, 1/z] \\ S_{(z)} & = & k[x^3/z, xy/z, y^3/z^2] \cong k[u, v, w]/(uw - v^3) \\ M_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot x + S_{(z)} \cdot y^2/z \subset S_z \\ N_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot y + S_{(z)} \cdot x^2 \subset S_z \\ S(3)_{(z)} & = & S_{(z)} \cdot z \subset S_z \end{eqnarray*}\] Considérons l’idéal maximal \(\mathfrak m = (u, v, w) \subset S_{(z)}\). On voit sans difficulté que \(M_{(z)}/\mathfrak mM_{(z)}\) et \(N_{(z)}/\mathfrak mN_{(z)}\) sont tous deux de dimension \(2\) sur \(\kappa(\mathfrak m)\). En revanche, \(S(3)_{(z)}/\mathfrak mS(3)_{(z)}\) est de dimension \(1\). L’application \(M_{(z)} \otimes N_{(z)} \to S(3)_{(z)}\) n’est donc pas un isomorphisme.

Faisceaux inversibles sur Proj

Rappelons la construction, donnée dans Algèbre, section 00JL, du module tordu \(M(n)\) associé à un module gradué sur un anneau gradué.

Définition

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(X = \text{Proj}(S)\).

Nous posons \(\mathcal{O}_X(n) = \widetilde{S(n)}\). Ce faisceau est appelé le \(n\)-ième tordu du faisceau structural de \(\text{Proj}(S)\).

Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), nous posons \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n)\).

Nous allons utiliser le Lemme 01MK pour construire plusieurs morphismes canoniques. Comme \(S(n) \otimes_S S(m) = S(n + m)\), il existe des morphismes canoniques [01MO]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(m) \longrightarrow \mathcal{O}_X(n + m). \end{equation}\] Ces morphismes ne sont pas des isomorphismes en général ; voir l’exemple de la Remarque 01ML. Le même exemple montre que \(\mathcal{O}_X(n)\) n’est en général pas un faisceau inversible sur \(X\). En prenant le produit tensoriel avec un \(\mathcal{O}_X\)-module quelconque \(\mathcal{F}\), on obtient des morphismes [03GJ]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X(n) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}(m) \longrightarrow \mathcal{F}(n + m). \end{equation}\] Les applications (0AG2) sur les sections globales donnent un homomorphisme d’anneaux gradués [01MP]\[\begin{equation} S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)). \end{equation}\] Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quelconque \(\mathcal{F}\), les morphismes (03GJ) donnent une structure de module gradué [03GK]\[\begin{equation} \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \times \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{m \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(m)) \end{equation}\] et, par (01MP), une structure de \(S\)-module. Plus généralement, étant donné un \(S\)-module gradué \(M\), on a \(M(n) = M \otimes_S S(n)\). On obtient donc des morphismes [01MQ]\[\begin{equation} \widetilde M(n) = \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) \longrightarrow \widetilde{M(n)}. \end{equation}\] Sur les sections globales, (0AG2) définit un morphisme de \(S\)-modules gradués [01MR]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M(n)}). \end{equation}\] Voici un fait important qui résulte presque immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué et posons \(X = \text{Proj}(S)\). Soit \(f \in S\) homogène de degré \(d > 0\). Les faisceaux \(\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\) sont inversibles, et même triviaux, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) (voir Modules, Définition 01CS). Les morphismes (01MO) restreints à \(D_{+}(f)\) \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{O}_X(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] les morphismes (03GJ) restreints à \(D_+(f)\) \[\mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{F}(m)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \mathcal{F}(nd + m)|_{D_{+}(f)},\] et les morphismes (01MQ) restreints à \(D_{+}(f)\) \[\widetilde M(nd)|_{D_{+}(f)} = \widetilde M|_{D_{+}(f)} \otimes_{\mathcal{O}_{D_{+}(f)}} \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)} \longrightarrow \widetilde{M(nd)}|_{D_{+}(f)}\] sont des isomorphismes pour tous \(n, m \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Les homomorphismes de \(S\)-modules gradués \(S \to S(nd)\) et \(M \to M(nd)\) définis par \(x \mapsto f^n x\) deviennent des isomorphismes après inversion de \(f\). Le premier donne \(S_{(f)} \cong S(nd)_{(f)}\), d’où un isomorphisme \(\mathcal{O}_{D_{+}(f)} \cong \mathcal{O}_X(nd)|_{D_{+}(f)}\). Le second montre que l’application \(S(nd)_{(f)} \otimes_{S_{(f)}} M_{(f)} \to M(nd)_{(f)}\) est un isomorphisme. Le cas du morphisme (03GJ) résulte du cas du morphisme (01MO).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, soit \(M\) un \(S\)-module gradué et posons \(X = \text{Proj}(S)\). Supposons que \(X\) soit recouvert par les ouverts standards \(D_+(f)\) avec \(f \in S_1\), ce qui est par exemple le cas si \(S\) est engendré par \(S_1\) sur \(S_0\). Alors les faisceaux \(\mathcal{O}_X(n)\) sont inversibles et les morphismes (01MO), (03GJ) et (01MQ) sont des isomorphismes. En particulier, ces morphismes induisent des isomorphismes \[\mathcal{O}_X(1)^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_X(n) \quad \text{et} \quad \widetilde{M} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n) = \widetilde{M}(n) \cong \widetilde{M(n)}\] Ainsi, (0AG2) devient une application [0AG3]\[\begin{equation} M_n \longrightarrow \Gamma(X, \widetilde{M}(n)) \end{equation}\] et (01MR) devient une application [0AG4]\[\begin{equation} M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \widetilde{M}(n)). \end{equation}\]

Démonstration

Sous les hypothèses du lemme, \(X\) est recouvert par les ouverts \(D_{+}(f)\) avec \(f \in S_1\) ; le résultat découle donc du Lemme 01MS.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, posons \(X = \text{Proj}(S)\) et fixons un entier \(d \geq 1\). Les deux ouverts suivants de \(X\) sont égaux :

le plus grand ouvert \(W = W_d \subset X\) tel que chaque \(\mathcal{O}_X(dn)|_W\) soit inversible et que tous les morphismes de multiplication \(\mathcal{O}_X(nd)|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(md)|_W \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_W\) (voir 01MO) soient des isomorphismes ;

la réunion des ouverts \(D_{+}(fg)\), où \(f, g \in S\) sont homogènes et \(\deg(f) = \deg(g) + d\).

En outre, tous les morphismes \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) (voir 01MQ) sont des isomorphismes.

Démonstration

Si \(x \in D_{+}(fg)\) avec \(\deg(f) = \deg(g) + d\), alors, sur \(D_{+}(fg)\), les faisceaux \(\mathcal{O}_X(dn)\) sont engendrés par l’élément \((f/g)^n = f^{2n}/(fg)^n\). En raisonnant comme dans la démonstration du Lemme 01MS, on en déduit que \(x\) appartient à l’ouvert \(W\) défini en (1).

Réciproquement, supposons que \(\mathcal{O}_X(dn)\) soit libre de rang 1 pour tout \(n\), sur un voisinage ouvert \(V\) de \(x \in X\), et que tous les morphismes de multiplication \(\mathcal{O}_X(nd)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_X(md)|_V \to \mathcal{O}_X(nd + md)|_V\) soient des isomorphismes. On peut choisir \(h \in S_{+}\) homogène tel que \(x \in D_{+}(h) \subset V\). Par définition des tordus du faisceau structural, il existe un élément \(s\) de \((S_h)_d\) tel que \(s^n\) soit une base de \((S_h)_{nd}\) comme \(S_{(h)}\)-module pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Écrivons \(s = f/h^m\) avec \(m \geq 1\) et \(f \in S_{d + m \deg(h)}\). Posons \(g = h^m\), de sorte que \(s = f/g\). Par construction, \(x \in D_{+}(g)\). Remarquons que \(g^d \in (S_h)_{d\deg(g)}\). Par hypothèse, cet élément est un multiple de \(s^{\deg(g)} = f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\) ; écrivons \(g^d = a/g^e \cdot f^{\deg(g)}/g^{\deg(g)}\). On en déduit \(g^{d + e + \deg(g)} = a f^{\deg(g)}\), puis \(x \in D_{+}(f)\). Ainsi, \(x\) appartient à l’ensemble défini en (2).

L’existence de la section génératrice \(s = f/g\) sur l’ouvert affine \(D_{+}(fg)\) dont les puissances engendrent librement les faisceaux de modules \(\mathcal{O}_X(nd)\) montre aisément que les morphismes \(\widetilde M(nd)|_W = \widetilde M|_W \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_X(nd)|_W \to \widetilde{M(nd)}|_W\) (voir 01MQ) sont des isomorphismes. Comparer avec la démonstration du Lemme 01MS.

Rappelons que, d’après Modules, Lemme 01CY, si \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible sur un espace localement annelé \(X\) et si \(s\) est une section globale de \(\mathcal{L}\), alors l’ensemble \(X_s = \{x \in X \mid s \not \in \mathfrak m_x\mathcal{L}_x\}\) est ouvert.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, posons \(X = \text{Proj}(S)\) et fixons un entier \(d \geq 1\). Soit \(W = W_d \subset X\) le sous-schéma ouvert défini dans le Lemme 01MU. Soient \(n \geq 1\) et \(f \in S_{nd}\). Notons \(s \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W(nd))\) l’image de \(f\) par (01MP), restreinte à \(W\). Alors \[W_s = D_{+}(f) \cap W.\]

Démonstration

Soit \(D_{+}(ab) \subset W\) un ouvert affine standard, où \(a, b \in S\) sont homogènes et \(\deg(a) = \deg(b) + d\). Remarquons que \(D_{+}(ab) \cap D_{+}(f) = D_{+}(abf)\). D’autre part, la restriction de \(s\) à \(D_{+}(ab)\) correspond à l’élément \(f/1 = b^nf/a^n (a/b)^n \in (S_{ab})_{nd}\). Nous avons vu dans la démonstration du Lemme 01MU que \((a/b)^n\) engendre \(\mathcal{O}_W(nd)\) au-dessus de \(D_{+}(ab)\). Il s’ensuit que \(W_s \cap D_{+}(ab)\) est l’ouvert principal associé à \(b^nf/a^n \in \mathcal{O}_X(D_{+}(ab))\). Le résultat est alors clair.

Le lemme suivant énonce les propriétés que nous utiliserons plus loin pour caractériser les schémas munis d’un faisceau inversible ample.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, soit \(X = \text{Proj}(S)\) et soit \(Y \subset X\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Notons \(\mathcal{O}_Y(n)\) la restriction de \(\mathcal{O}_X(n)\) à \(Y\). Il existe un entier \(d \geq 1\) tel que

le sous-schéma \(Y\) est contenu dans l’ouvert \(W_d\) défini au Lemme 01MU ;

le faisceau \(\mathcal{O}_Y(dn)\) est inversible pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) ;

tous les morphismes \(\mathcal{O}_Y(nd) \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_Y(m) \longrightarrow \mathcal{O}_Y(nd + m)\) de l’Équation (01MO) sont des isomorphismes ;

tous les morphismes \(\widetilde M(nd)|_Y = \widetilde M|_Y \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X(nd)|_Y \to \widetilde{M(nd)}|_Y\) (voir 01MQ) sont des isomorphismes ;

si \(f \in S_{nd}\) et si \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) désigne l’image de \(f\) par (01MP), restreinte à \(Y\), alors \(D_{+}(f) \cap Y = Y_s\) ;

une base de la topologie de \(Y\) est formée par les ouverts \(Y_s\), où \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) et \(n \geq 1\) ;

une base de la topologie de \(Y\) est formée par les ouverts affines \(Y_s \subset Y\), pour \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(nd))\) et \(n \geq 1\).

Démonstration

Comme \(Y\) est quasi-compact, il existe un nombre fini d’éléments homogènes \(f_i \in S_{+}\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que les ouverts standards \(D_{+}(f_i)\) recouvrent \(Y\). Posons \(d_i = \deg(f_i)\) et \(d = d_1 \ldots d_n\). Comme \(D_{+}(f_i) = D_{+}(f_i^{d/d_i})\), la caractérisation (2) du Lemme 01MU, ou bien (1) et le Lemme 01MS, donne immédiatement \(Y \subset W_d\). Le Lemme 01MU montre alors que (1) entraîne (2), (3) et (4). Remarquons que (3) est un cas particulier de (4). L’assertion (5) résulte du Lemme 01MV. Enfin, (6) et (7) résultent du fait que les ouverts \(D_{+}(f)\) forment une base de la topologie de \(X\) et sont affines.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, posons \(X = \text{Proj}(S)\) et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Munissons \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \Gamma(X, \mathcal{F}(n))\) de sa structure de \(S\)-module gradué à l’aide de (03GK) et (01MP). Il existe alors un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[\widetilde{M} \longrightarrow \mathcal{F}\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\), tel que l’application induite \(M_0 \to \Gamma(X, \mathcal{F})\) soit l’identité.

Démonstration

Soit \(f \in S\) homogène de degré \(d > 0\). Rappelons que, d’après le Lemme 01M7, la restriction \(\widetilde{M}|_{D_{+}(f)}\) correspond au \(S_{(f)}\)-module \(M_{(f)}\). On peut donc définir une application canonique \[M_{(f)} \longrightarrow \Gamma(D_+(f), \mathcal{F}),\quad m/f^n \longmapsto m|_{D_+(f)} \otimes f|_{D_+(f)}^{-n}\] qui a un sens parce que \(f|_{D_+(f)}\) est une section trivialisante du faisceau inversible \(\mathcal{O}_X(d)|_{D_+(f)}\) ; voir le Lemme 01MS et sa démonstration. Comme \(\widetilde{M}\) est quasi-cohérent, on obtient ainsi un morphisme canonique \[\widetilde{M}|_{D_+(f)} \longrightarrow \mathcal{F}|_{D_+(f)}\] par Schémas, Lemme 01I7. Ces morphismes se recollent sur les intersections et définissent donc un morphisme global. Nous omettons la vérification du recollement ainsi que la démonstration de la dernière assertion.

Fonctorialité de Proj

Un homomorphisme d’anneaux gradués \(\psi : A \to B\) ne donne pas toujours lieu à un morphisme entre les spectres homogènes projectifs associés. La raison en est que l’image réciproque \(\psi^{-1}(\mathfrak q)\) d’un idéal premier homogène \(\mathfrak q \subset B\) peut contenir l’idéal \(A_{+}\) des éléments de degré strictement positif même si \(\mathfrak q\) ne contient pas \(B_{+}\). L’énoncé correct est le suivant.

Lemme

Soient \(A\), \(B\) deux anneaux gradués. Posons \(X = \text{Proj}(A)\) et \(Y = \text{Proj}(B)\). Soit \(\psi : A \to B\) un homomorphisme d’anneaux gradués. Posons \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\ \text{homogeneous}} D_{+}(\psi(f)) \subset Y.\] Il existe alors un morphisme canonique de schémas \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] et un homomorphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\) \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] Le triplet \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) est caractérisé par les propriétés suivantes :

Pour tout \(d \geq 0\), le diagramme \[\xymatrix{ A_d \ar[d] \ar[rr]_{\psi} & & B_d \ar[d] \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^-\theta & \Gamma(U(\psi), \mathcal{O}_Y(d)) & \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y(d)) \ar[l] }\] est commutatif.

Pour tout \(f \in A_{+}\) homogène, on a \(r_\psi^{-1}(D_{+}(f)) = D_{+}(\psi(f))\) et la restriction de \(r_\psi\) à \(D_{+}(\psi(f))\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\) induit par \(\psi\).

Démonstration

Il est clair que la condition (2) détermine de manière unique le morphisme de schémas et l’ouvert \(U(\psi)\). Fixons \(f \in A_d\) avec \(d \geq 1\). Notons que \(\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)}\) correspond au \(A_{(f)}\)-module \((A_f)_n\) et que \(\mathcal{O}_Y(n)|_{D_{+}(\psi(f))}\) correspond au \(B_{(\psi(f))}\)-module \((B_{\psi(f)})_n\). Autrement dit, la restriction de \(\theta\) à \(D_{+}(\psi(f))\) correspond à un homomorphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(B_{(\psi(f))}\) \[A_f \otimes_{A_{(f)}} B_{(\psi(f))} \longrightarrow B_{\psi(f)}\] La condition (1) détermine les images de tous les éléments de \(A\). Puisque \(f\) est un élément inversible envoyé sur \(\psi(f)\), on voit que \(1/f^m\) est envoyé sur \(1/\psi(f)^m\). Il en résulte aussitôt que \(\theta\) est uniquement déterminé, à savoir qu’il est donné par la formule \[a/f^m \otimes b/\psi(f)^e \longmapsto \psi(a)b/\psi(f)^{m + e}.\] Pour démontrer l’existence, remarquons que la preuve d’unicité ci-dessus fournit une prescription bien définie pour le morphisme \(r\) et l’homomorphisme \(\theta\) sur tout ouvert standard de la forme \(D_{+}(\psi(f)) \subset U(\psi)\) à valeurs dans \(D_{+}(f)\). Notons-les \(r_f\) et \(\theta_f\). Il suffit donc de vérifier que, si \(D_{+}(f) \subset D_{+}(g)\) pour des éléments homogènes \(f, g \in A_{+}\), alors la restriction de \(r_g\) à \(D_{+}(\psi(f))\) coïncide avec \(r_f\). Cela résulte clairement des formules données ci-dessus pour \(r\) et \(\theta\).

Lemme

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des anneaux gradués. Posons \(X = \text{Proj}(A)\), \(Y = \text{Proj}(B)\) et \(Z = \text{Proj}(C)\). Soient \(\varphi : A \to B\), \(\psi : B \to C\) des homomorphismes d’anneaux gradués. Alors on a \[U(\psi \circ \varphi) = r_\psi^{-1}(U(\varphi)) \quad \text{et} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] De plus, on a \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] avec les notations évidentes.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Avec les hypothèses et les notations du lemme 01MY ci-dessus. Supposons que \(A_d \to B_d\) soit surjectif pour tout \(d \gg 0\). Alors

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) est une immersion fermée, et

les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont surjectifs, mais ne sont pas des isomorphismes en général (même si \(A \to B\) est surjectif).

Démonstration

La partie (1) résulte de la définition de \(U(\psi)\) et du fait que \(D_{+}(f) = D_{+}(f^n)\) pour tout \(n > 0\). Pour \(f \in A_{+}\) homogène, on voit que \(A_{(f)} \to B_{(\psi(f))}\) est surjectif car tout élément de \(B_{(\psi(f))}\) peut être représenté par une fraction \(b/\psi(f)^n\) avec \(n\) arbitrairement grand (ce qui force le degré de \(b \in B\) à être grand). Cela démontre (2). Le même argument montre que l’homomorphisme \[A_f \to B_{\psi(f)}\] est surjectif, ce qui démontre la surjectivité de \(\theta\). Pour un exemple où cet homomorphisme n’est pas un isomorphisme, considérons l’anneau gradué \(A = k[x, y]\), où \(k\) est un corps, avec \(\deg(x) = 1\), \(\deg(y) = 2\). Posons \(I = (x)\), de sorte que \(B = k[y]\). Notons que \(\mathcal{O}_Y(1) = 0\) dans ce cas. Mais on voit facilement que \(r_\psi^*\mathcal{O}_X(1)\) n’est pas nul. (Il existe des exemples moins artificiels.)

Lemme

Avec les hypothèses et les notations du lemme 01MY ci-dessus. Supposons que \(A_d \to B_d\) soit un isomorphisme pour tout \(d \gg 0\). Alors

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) est un isomorphisme, et

les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

On a (1) par le lemme 01N0. Soit \(f \in A_{+}\) homogène. L’hypothèse sur \(\psi\) implique que \(A_f \to B_f\) est un isomorphisme (détails omis). Il est donc clair que les restrictions de \(r_\psi\) et de \(\theta\) au-dessus de \(D_{+}(f)\) sont des isomorphismes. Le lemme en résulte.

Lemme

Avec les hypothèses et les notations du lemme 01MY ci-dessus. Supposons que \(A_d \to B_d\) soit surjectif pour \(d \gg 0\) et que \(A\) soit engendré par \(A_1\) comme \(A_0\)-algèbre. Alors

\(U(\psi) = Y\),

\(r_\psi : Y \to X\) est une immersion fermée, et

les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Par les lemmes 07ZE et 01MZ, on peut remplacer \(B\) par l’image de \(A \to B\) sans modifier \(X\) ni les faisceaux \(\mathcal{O}_X(n)\). On peut donc supposer que \(A \to B\) est surjectif. Par le lemme 01N0, on obtient (1) et (2), ainsi que la surjectivité dans (3). Par le lemme 01MT, on voit que \(\mathcal{O}_X(n)\) et \(\mathcal{O}_Y(n)\) sont tous deux inversibles. Ainsi, \(\theta\) est un isomorphisme.

Lemme

Avec les hypothèses et les notations du lemme 01MY ci-dessus. Supposons qu’il existe un homomorphisme d’anneaux \(R \to A_0\) et un homomorphisme d’anneaux \(R \to R'\) tels que \(B = R' \otimes_R A\). Alors

\(U(\psi) = Y\),

le diagramme \[\xymatrix{ Y = \text{Proj}(B) \ar[r]_{r_\psi} \ar[d] & \text{Proj}(A) = X \ar[d] \\ \Spec(R') \ar[r] & \Spec(R) }\] est un carré cartésien, et

les homomorphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l’examen de ce qui se passe sur les ouverts standards \(D_{+}(f)\) pour \(f \in A_{+}\).

Lemme

Avec les hypothèses et les notations du lemme 01MY ci-dessus. Supposons qu’il existe \(g \in A_0\) tel que \(\psi\) induise un isomorphisme \(A_g \to B\). Alors \(U(\psi) = Y\), \(r_\psi : Y \to X\) est une immersion ouverte qui identifie \(Y\) à l’image réciproque de \(D(g) \subset \Spec(A_0)\). De plus, l’homomorphisme \(\theta\) est un isomorphisme.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 01N2 ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \(d \geq 1\). Posons \(S' = S^{(d)}\) avec les notations d’Algèbre, section 00JL. Posons \(X = \text{Proj}(S)\) et \(X' = \text{Proj}(S')\). Il existe un isomorphisme canonique de schémas \(i : X \to X'\) tel que

pour tout \(S\)-module gradué \(M\), en posant \(M' = M^{(d)}\), on ait un isomorphisme canonique \(\widetilde{M} \to i^*\widetilde{M'}\),

on ait des isomorphismes canoniques \(\mathcal{O}_{X}(nd) \to i^*\mathcal{O}_{X'}(n)\)

et ces isomorphismes sont compatibles avec les homomorphismes de multiplication du lemme 01MK, et donc avec les homomorphismes (01MO), (03GJ), (01MP), (03GK), (01MQ) et (01MR) (voir la démonstration pour les énoncés précis).

Démonstration

L’homomorphisme injectif d’anneaux \(S' \to S\) (qui n’est pas un homomorphisme d’anneaux gradués en raison de nos conventions) induit un morphisme \(j : \Spec(S) \to \Spec(S')\). Étant donné un idéal premier homogène \(\mathfrak p \subset S\), on voit que \(\mathfrak p' = j(\mathfrak p) = S' \cap \mathfrak p\) est un idéal premier homogène de \(S'\). De plus, si \(f \in S_+\) est homogène et \(f \not \in \mathfrak p\), alors \(f^d \in S'_+\) et \(f^d \not \in \mathfrak p'\). Réciproquement, si \(\mathfrak p' \subset S'\) est un idéal premier homogène ne contenant pas un élément homogène \(f \in S'_+\), alors \(\mathfrak p = \{g \in S \mid g^d \in \mathfrak p'\}\) est un idéal premier homogène de \(S\) ne contenant pas \(f\), dont l’image par \(j\) est \(\mathfrak p'\). Pour voir que \(\mathfrak p\) est un idéal, notons que, si \(g, h \in \mathfrak p\), alors \((g + h)^{2d} \in \mathfrak p'\) par la formule du binôme. On a donc \(g + h \in \mathfrak p'\) puisque \(\mathfrak p'\) est premier. On voit ainsi que \(j\) induit un homéomorphisme \(i : X \to X'\). De plus, étant donné \(f \in S_+\) homogène, on a \(S_{(f)} \cong S'_{(f^d)}\). Comme ces isomorphismes sont compatibles avec les homomorphismes de restriction du lemme 01M4, on voit qu’il existe un isomorphisme \(i^\sharp : i^{-1}\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\) de faisceaux structuraux sur \(X\) et \(X'\) ; ainsi, \(i\) est un isomorphisme de schémas.

Soit \(M\) un \(S\)-module gradué. Étant donné \(f \in S_+\) homogène, on a \(M_{(f)} \cong M'_{(f^d)}\) ; exactement de la même manière que ci-dessus, on obtient donc l’isomorphisme de (1). Les isomorphismes de (2) sont un cas particulier de (1) pour \(M = S(nd)\), ce qui donne \(M' = S'(n)\). Soient \(M\) et \(N\) des \(S\)-modules gradués. Alors on a \[M' \otimes_{S'} N' = (M \otimes_S N)^{(d)} = (M \otimes_S N)'\] comme on le vérifie directement à partir des définitions. Cela étant, la compatibilité avec les homomorphismes de multiplication du lemme 01MK équivaut à la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N \ar[d]_{(1) \otimes (1)} \ar[r] & \widetilde{M \otimes_S N} \ar[d]^{(1)} \\ i^*(\widetilde{M'} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \widetilde{N'}) \ar[r] & i^*(\widetilde{M' \otimes_{S'} N'}) }\] Cela se voit en examinant la construction des homomorphismes sur l’ouvert \(D_+(f) = D_+(f^d)\), où la flèche horizontale supérieure est donnée par l’application \(M_{(f)} \times N_{(f)} \to (M \otimes_S N)_{(f)}\) et la flèche horizontale inférieure par l’application \(M'_{(f^d)} \times N'_{(f^d)} \to (M' \otimes_{S'} N')_{(f^d)}\). Puisque ces applications coïncident via les identifications \(M_{(f)} = M'_{(f^d)}\), etc., on obtient la compatibilité voulue. Nous omettons la démonstration des autres compatibilités.

Morphismes vers Proj

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \(X = \text{Proj}(S)\) le spectre homogène de \(S\) et soit \(d \geq 1\) un entier. Considérons le sous-schéma ouvert [01N5]\[\begin{equation} U_d = \bigcup\nolimits_{f \in S_d} D_{+}(f) \quad\subset\quad X = \text{Proj}(S) \end{equation}\] Remarquons que \(d | d' \Rightarrow U_d \subset U_{d'}\) et que \(X = \bigcup_d U_d\). Ni \(X\) ni \(U_d\) ne sont nécessairement quasi-compacts ; voir Algèbre, Lemme 00JP. Écrivons \(\mathcal{O}_{U_d}(n) = \mathcal{O}_X(n)|_{U_d}\). D’après le Lemme 01MS, \(\mathcal{O}_{U_d}(nd)\), pour \(n \in \mathbf{Z}\), est un module inversible sur \(\mathcal{O}_{U_d}\), et tous les morphismes de multiplication \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \otimes_{\mathcal{O}_{U_d}} \mathcal{O}_{U_d}(m) \to \mathcal{O}_{U_d}(nd + m)\) de (01MO) sont des isomorphismes. En particulier, \(\mathcal{O}_{U_d}(nd) \cong \mathcal{O}_{U_d}(d)^{\otimes n}\). L’homomorphisme d’anneaux gradués (01MP), composé avec la restriction à \(U_d\), donne un homomorphisme d’anneaux gradués [01N6]\[\begin{equation} \psi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)). \end{equation}\] Pour la notation \(S^{(d)}\), voir Algèbre, section 00JL. Pour la notation \(\Gamma_*\), voir Modules, Définition 01CV. En outre, puisque \(U_d\) est recouvert par les ouverts \(D_{+}(f)\), \(f \in S_d\), le faisceau \(\mathcal{O}_{U_d}(d)\) est engendré par les sections appartenant à l’image de \(\psi^d_1 : S^{(d)}_1 = S_d \to \Gamma(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d))\) ; voir Modules, Définition 01AM.

Soit \(Y\) un schéma et soit \(\varphi : Y \to X\) un morphisme de schémas. Supposons que l’image \(\varphi(Y)\) soit contenue dans le sous-schéma ouvert \(U_d\) de \(X\). La discussion qui suit Modules, Définition 01CV, fournit un homomorphisme d’anneaux gradués \[\Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)).\] Sa composée avec \(\psi^d\) donne un homomorphisme d’anneaux gradués [01N7]\[\begin{equation} \psi_\varphi^d : S^{(d)} \longrightarrow \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d)) \end{equation}\] tel que le faisceau inversible \(\varphi^*\mathcal{O}_X(d)\) soit engendré par les sections appartenant à l’image de \((S^{(d)})_1 = S_d \to \Gamma(Y, \varphi^*\mathcal{O}_X(d))\).

Lemme

Soient \(S\) un anneau gradué, \(X = \text{Proj}(S)\), \(d \geq 1\) et \(U_d \subset X\) comme ci-dessus. Soit \(Y\) un schéma, soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\) et soit \(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) un homomorphisme d’anneaux gradués tel que \(\mathcal{L}\) soit engendré par les sections appartenant à l’image de \(\psi|_{S_d} : S_d \to \Gamma(Y, \mathcal{L})\). Il existe alors un morphisme \(\varphi : Y \to X\) tel que \(\varphi(Y) \subset U_d\) et un isomorphisme \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d) \to \mathcal{L}\) tels que \(\psi_\varphi^d\) coïncide avec \(\psi\) par l’intermédiaire de \(\alpha\) : \[\xymatrix{ \Gamma_*(Y, \mathcal{L}) & \Gamma_*(Y, \varphi^*\mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-\alpha & \Gamma_*(U_d, \mathcal{O}_{U_d}(d)) \ar[l]^-{\varphi^*} \\ S^{(d)} \ar[u]^\psi & & S^{(d)} \ar[u]^{\psi^d} \ar[ul]^{\psi^d_\varphi} \ar[ll]_{\text{id}} }\] est commutatif. De plus, le couple \((\varphi, \alpha)\) est unique.

Démonstration

Choisissons \(f \in S_d\) et notons \(s = \psi(f) \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\). Sur l’ouvert \(Y_s\) où \(s\) ne s’annule pas, la multiplication par \(s\) induit un isomorphisme \(\mathcal{O}_{Y_s} \to \mathcal{L}|_{Y_s}\) ; voir Modules, Lemme 01CY. Nous noterons l’inverse de cet isomorphisme \(x \mapsto x/s\), et procéderons de même pour les puissances de \(\mathcal{L}\). On définit ainsi un homomorphisme d’anneaux \(\psi_{(f)} : S_{(f)} \to \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y)\) en envoyant la fraction \(a/f^n\) sur \(\psi(a)/s^n\). Par Schémas, Lemme 01I1, cet homomorphisme correspond à un morphisme \(\varphi_f : Y_s \to \Spec(S_{(f)}) = D_{+}(f)\). Introduisons aussi l’isomorphisme \(\alpha_f : \varphi_f^*\mathcal{O}_{D_{+}(f)}(d) \to \mathcal{L}|_{Y_s}\) qui envoie l’image inverse de la section trivialisante \(f\) sur \(D_{+}(f)\) vers la section trivialisante \(s\) sur \(Y_s\). Avec ce choix, le diagramme du lemme est commutatif avec \(Y\) remplacé par \(Y_s\), \(\varphi\) remplacé par \(\varphi_f\) et \(\alpha\) remplacé par \(\alpha_f\) ; nous omettons la vérification.

Soit \(f' \in S_d\) un second élément et notons \(s' = \psi(f') \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\). Alors \(Y_s \cap Y_{s'} = Y_{ss'}\), et de même \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f') = D_{+}(ff')\). Nous avons vu au Lemme 01MW que \(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)\) est l’ensemble des points de \(D_{+}(f)\) où la section de \(\mathcal{O}_X(d)\) définie par \(f'\) ne s’annule pas. Ainsi, \(\varphi_f^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f)) = Y_s \cap Y_{s'} = \varphi_{f'}^{-1}(D_{+}(f') \cap D_{+}(f))\). Sur \(D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\), la fraction \(f/f'\) est une section inversible du faisceau structural, d’inverse \(f'/f\). Remarquons que \(\psi_{(f')}(f/f') = \psi(f)/s' = s/s'\) et \(\psi_{(f)}(f'/f) = \psi(f')/s = s'/s\). Nous affirmons qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux \(S_{(ff')} \to \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y)\) rendant commutatif le diagramme \[\xymatrix{ \Gamma(Y_s, \mathcal{O}_Y) \ar[r] & \Gamma(Y_{ss'}, \mathcal{O}_Y) & \Gamma(Y_{s, '} \mathcal{O}_Y) \ar[l]\\ S_{(f)} \ar[r] \ar[u]^{\psi_{(f)}} & S_{(ff')} \ar[u] & S_{(f')} \ar[l] \ar[u]^{\psi_{(f')}} }\] Il existe, car on peut utiliser la règle \(x/(ff')^n \mapsto \psi(x)/(ss')^n\), qui est bien définie d’après les formules précédentes. L’unicité résulte de ce que \(\text{Proj}(S)\) est séparé ; voir le Lemme 01MC et sa démonstration. Ainsi, les morphismes \(\varphi_f\) et \(\varphi_{f'}\) coïncident sur \(Y_s \cap Y_{s'}\). Les restrictions de \(\alpha_f\) et \(\alpha_{f'}\) coïncident aussi sur \(Y_s \cap Y_{s'}\), puisque les fonctions régulières \(s/s'\) et \(\psi_{(f')}(f/f')\) coïncident. Les morphismes \(\psi_f\) se recollent donc en un morphisme global de \(Y\) vers \(U_d \subset X\), et les morphismes \(\alpha_f\) se recollent en un isomorphisme satisfaisant les conditions du lemme.

Il reste à montrer l’unicité du couple \((\varphi, \alpha)\). Supposons que \((\varphi', \alpha')\) soit un second couple satisfaisant les mêmes conditions. Soit \(f \in S_d\). La commutativité des diagrammes du lemme montre que les images inverses de \(D_{+}(f)\) par \(\varphi\) et par \(\varphi'\) sont toutes deux égales à \(Y_{\psi(f)}\). Comme les ouverts \(D_{+}(f)\) forment une base de la topologie de \(X\) et que l’espace topologique \(X\) est sobre (voir Schémas, Lemme 01IS), les applications continues sous-jacentes à \(\varphi\) et à \(\varphi'\) sont égales. Utilisons \(s = \psi(f)\) pour trivialiser le faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(Y_{\psi(f)}\). La commutativité des diagrammes donne \(\alpha^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi}(x)) = \psi(x) = (\alpha')^{\otimes n}(\psi^d_{\varphi'}(x))\) pour tout \(x \in S_{nd}\). Par construction de \(\psi^d_{\varphi}\) et de \(\psi^d_{\varphi'}\), on a \(\psi^d_{\varphi}(x) = \varphi^\sharp(x/f^n) \psi^d_{\varphi}(f^n)\) sur \(Y_{\psi(f)}\), et de même pour \(\psi^d_{\varphi'}\). La commutativité des diagrammes du lemme entraîne alors \(\varphi^\sharp(x/f^n) = (\varphi')^\sharp(x/f^n)\). Ainsi, \(\varphi\) et \(\varphi'\) induisent le même morphisme de \(Y_{\psi(f)}\) vers le schéma affine \(D_{+}(f) = \Spec(S_{(f)})\) . Ainsi, \(\varphi\) et \(\varphi'\) sont égaux comme morphismes. Enfin, il reste à montrer que, \(\varphi\) étant donné, la commutativité du diagramme du lemme détermine un unique \(\alpha\). Nous omettons la vérification.

Reprenons la discussion qui précède le lemme. Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(Y\) un schéma. Nous considérerons les triplets \((d, \mathcal{L}, \psi)\) où

\(d \geq 1\) est un entier ;
\(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ;
\(\psi : S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) est un homomorphisme d’anneaux gradués tel que \(\mathcal{L}\) soit engendré par les sections globales \(\psi(f)\), avec \(f \in S_d\).

Étant donnés un morphisme \(h : Y' \to Y\) et un triplet \((d, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(Y\), on peut en prendre l’image inverse : c’est le triplet \((d, h^*\mathcal{L}, h^* \circ \psi)\). Deux triplets \((d, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d, \mathcal{L}', \psi')\) associés au même entier \(d\) sont dits strictement équivalents s’il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) tel que \(\beta \circ \psi = \psi'\) comme homomorphismes d’anneaux gradués \(S^{(d)} \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L}')\).

Pour tout entier \(d \geq 1\), nous définissons \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles}, \\ Y & \longmapsto & \{\text{strict equivalence classes of triples } (d, \mathcal{L}, \psi) \text{ as above}\} \end{eqnarray*}\] les images inverses étant définies comme ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(X = \text{Proj}(S)\). Le sous-schéma ouvert \(U_d \subset X\) défini en (01N5) représente le foncteur \(F_d\), et le triplet \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) défini ci-dessus est la famille universelle (voir Schémas, section 01JF).

Démonstration

C’est une reformulation du Lemme 01N8.

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué engendré, comme \(S_0\)-algèbre, par les éléments de \(S_1\). Alors le schéma \(X = \text{Proj}(S)\) représente le foncteur qui associe à un schéma \(Y\) l’ensemble des couples \((\mathcal{L}, \psi)\) où

\(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ;

\(\psi : S \to \Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) est un homomorphisme d’anneaux gradués tel que \(\mathcal{L}\) soit engendré par les sections globales \(\psi(f)\), avec \(f \in S_1\),

à équivalence stricte près, au sens défini ci-dessus.

Démonstration

Sous les hypothèses du lemme, on a \(X = U_1\) ; le résultat est donc une reformulation du Lemme 01N9.

Terminons cette section par la description d’un foncteur correspondant à \(\text{Proj}(S)\) pour un anneau gradué quelconque \(S\). Nous conseillons au lecteur de ne pas lire la suite de cette section.

Fixons un anneau gradué quelconque \(S\) et soit \(T\) un schéma. Deux triplets \((d, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', \mathcal{L}', \psi')\) sur \(T\), où les entiers \(d\) et \(d'\) peuvent être distincts, sont dits équivalents s’il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\) de faisceaux inversibles sur \(T\) tel que \(\beta \circ \psi|_{S^{(dd')}}\) et \(\psi'|_{S^{(dd')}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(S^{(dd')} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes dd'})\).

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué, posons \(X = \text{Proj}(S)\) et soit \(T\) un schéma. Soient \((d, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', \mathcal{L}', \psi')\) deux triplets sur \(T\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

Posons \(n = \text{lcm}(d, d')\) et écrivons \(n = ad = a'd'\). Il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\) et \(\psi'|_{S^{(n)}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\).

Les triplets \((d, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', \mathcal{L}', \psi')\) sont équivalents.

Pour un certain entier strictement positif \(n = ad = a'd'\), il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{S^{(n)}}\) et \(\psi'|_{S^{(n)}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(S^{(n)} \to \Gamma_*(Y, (\mathcal{L}')^{\otimes n})\).

Les morphismes \(\varphi : T \to X\) et \(\varphi' : T \to X\) associés respectivement à \((d, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', \mathcal{L}', \psi')\) sont égaux.

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2), et (2) entraîne (3) en se restreignant à des degrés plus divisibles et en prenant des puissances des faisceaux inversibles. En outre, (3) entraîne (4) par l’assertion d’unicité du Lemme 01N8. Il reste donc à montrer que (4) entraîne (1). Supposons (4), c’est-à-dire \(\varphi = \varphi'\). On peut alors écrire \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_X(d)\) et \(\mathcal{L}' = \varphi^*\mathcal{O}_X(d')\). En outre, par ces identifications, les homomorphismes d’anneaux gradués \(\psi\) et \(\psi'\) correspondent à la restriction de l’homomorphisme canonique d’anneaux gradués \[S \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))\] à \(S^{(d)}\) et à \(S^{(d')}\), composée avec l’image inverse par \(\varphi\) (encore une fois par le Lemme 01N8). Il suffit donc de prendre pour \(\beta\) l’isomorphisme \[(\varphi^*\mathcal{O}_X(d))^{\otimes a} = \varphi^*\mathcal{O}_X(n) = (\varphi^*\mathcal{O}_X(d'))^{\otimes a'}\]

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(X = \text{Proj}(S)\). Sur le sous-schéma ouvert \(U_d \subset X = \text{Proj}(S)\) défini en (01N5), nous disposons du triplet \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\). Si \(d | d'\), les triplets \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) et \((d', \mathcal{O}_{U_{d'}}(d'), \psi^{d'})\), restreints à l’ouvert \(U_d\) (qui est contenu dans \(U_{d'}\)), sont manifestement équivalents. Ce fait et le Lemme 01N8 montrent que les morphismes \(Y \to X\) correspondent approximativement aux classes d’équivalence de triplets sur \(Y\). Cette affirmation n’est pas tout à fait exacte : si \(Y\) n’est pas quasi-compact, il se peut qu’aucun triplet unique ne convienne. Il faut donc prendre quelques précautions pour définir le foncteur correspondant.

Voici une façon de procéder. Supposons \(d' = ad\). Considérons la transformation de foncteurs \(F_d \to F_{d'}\) qui associe au triplet \((d, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(T\) le triplet \((d', \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{S^{(d')}})\). L’une des implications du Lemme 01NB montre que cette transformation \(F_d \to F_{d'}\) est injective. Pour un schéma quasi-compact \(T\), posons \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] Les applications de transition sont celles décrites ci-dessus. On obtient ainsi un foncteur contravariant de la catégorie des schémas quasi-compacts vers la catégorie des ensembles. Pour un schéma quelconque \(T\), posons \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} F(V).\] Autrement dit, un élément \(\xi\) de \(F(T)\) correspond au choix compatible d’éléments \(\xi_V \in F(V)\), où \(V\) parcourt les ouverts quasi-compacts de \(T\). Nous omettons la définition de l’application d’image inverse \(F(T) \to F(T')\) associée à un morphisme de schémas \(T' \to T\). Nous avons ainsi défini le foncteur \[\begin{eqnarray*} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \end{eqnarray*}\]

Lemme

Soit \(S\) un anneau gradué et soit \(X = \text{Proj}(S)\). Le foncteur \(F\) défini ci-dessus est représentable par le schéma \(X\).

Démonstration

Nous avons vu que le foncteur \(F_d\) correspond au sous-schéma ouvert \(U_d \subset X\). En outre, la transformation de foncteurs \(F_d \to F_{d'}\) (si \(d | d'\)) définie ci-dessus correspond au morphisme d’inclusion \(U_d \to U_{d'}\) ; voir la discussion précédente. Pour montrer que \(F\) est représenté par \(X\), il suffit donc de vérifier que tout morphisme \(T \to X\), où \(T\) est quasi-compact, se factorise par un certain \(U_d\), et que, pour tout schéma \(T\), on a \[\Mor(T, X) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} \Mor(V, X).\] Nous omettons ces vérifications.

Espace projectif

L’espace projectif est l’un des objets fondamentaux de la géométrie algébrique. Dans cette section, nous nous contentons de le construire comme le \(\text{Proj}\) d’un anneau de polynômes. Nous découvrirons plus loin nombre de ses belles propriétés.

Lemme

Soit \(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\) avec \(\deg(T_i) = 1\). Le schéma \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(S)\] représente le foncteur qui associe à un schéma \(Y\) les couples \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) tels que

\(\mathcal{L}\) soit un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ;

\(s_0, \ldots, s_n\) soient des sections globales de \(\mathcal{L}\) qui engendrent \(\mathcal{L}\),

à l’équivalence suivante près : \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n)) \sim (\mathcal{N}, (t_0, \ldots, t_n))\) \(\Leftrightarrow\) il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{N}\) tel que \(\beta(s_i) = t_i\) pour \(i = 0, \ldots, n\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 01NA. En effet, pour tout anneau gradué \(A\), on a \[\begin{eqnarray*} \Mor_{graded rings}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n], A) & = & A_1 \times \ldots \times A_1 \\ \psi & \mapsto & (\psi(T_0), \ldots, \psi(T_n)) \end{eqnarray*}\] et la partie de degré \(1\) de \(\Gamma_*(Y, \mathcal{L})\) n’est autre que \(\Gamma(Y, \mathcal{L})\).

Définition

Le schéma \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\) est appelé l’espace projectif de dimension \(n\) sur \(\mathbf{Z}\). Son changement de base \(\mathbf{P}^n_S\) à un schéma \(S\) est appelé l’ espace projectif de dimension \(n\) sur \(S\). Si \(R\) est un anneau, le changement de base à \(\Spec(R)\) est noté \(\mathbf{P}^n_R\) et appelé l’ espace projectif de dimension \(n\) sur \(R\).

Soient \(Y\) un schéma sur \(S\) et \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) un couple comme dans le Lemme 01NE. Le morphisme induit vers \(\mathbf{P}^n_S\) est noté \[\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))} : Y \longrightarrow \mathbf{P}^n_S\] Cette notation a un sens : le couple définit un morphisme vers \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\), tandis que le morphisme structural vers \(S\) est déjà donné ; ensemble, ils définissent un morphisme vers \(\mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times S\). Par le Lemme 01O3, on peut identifier \(\mathbf{P}^n_S\) au Proj relatif de la \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\). On peut alors caractériser \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\) comme l’unique \(S\)-morphisme tel que \[\mathcal{L} = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1) \quad \text{et} \quad s_i = \varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}^*T_i\] où l’on considère \(T_i\) comme une section globale de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_S}(1)\) par l’intermédiaire de l’application \(\psi\) du Lemme 01NR ; nous omettons les détails.

Lemme

L’espace projectif de dimension \(n\) sur \(\mathbf{Z}\) est recouvert par les \(n + 1\) ouverts standards \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D_{+}(T_i)\] chacun des \(D_{+}(T_i)\) étant isomorphe à \(\mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\), l’espace affine de dimension \(n\) sur \(\mathbf{Z}\).

Démonstration

Cela résulte de \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]_{+} = (T_0, \ldots, T_n)\) et de l’isomorphisme évident \[\Spec \left( \mathbf{Z} \left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] \right) \cong \mathbf{A}^n_{\mathbf{Z}}\]

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Le morphisme structural \(\mathbf{P}^n_S \to S\) possède les propriétés suivantes :

il est séparé ;

il est quasi-compact ;

il satisfait les parties existence et unicité du critère valuatif ;

il est universellement fermé.

Démonstration

Toutes ces propriétés sont stables par changement de base (c’est clair pour les deux dernières ; pour les deux premières, voir Schémas, Lemmes 01KU et 01K5). Il suffit donc de les démontrer pour le morphisme \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \to \Spec(\mathbf{Z})\). La séparation est le Lemme 01MC. La quasi-compacité résulte du Lemme 01NG. Les parties existence et unicité du critère valuatif résultent du Lemme 01MF. Enfin, le caractère universellement fermé découle des assertions précédentes et de Schémas, Proposition 01KF.

Remarque

Que manque-t-il à la liste de propriétés ci-dessus ? Certainement la propriété d’être de type fini. Si nous ne l’énonçons pas ici, c’est que nous n’avons pas encore défini la notion de type fini à ce stade. Une autre propriété absente est la « lissité » ; il y en a sans doute beaucoup d’autres auxquelles le lecteur pourra penser.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Il existe une immersion fermée \[\mathbf{P}^n_S \times_S \mathbf{P}^m_S \longrightarrow \mathbf{P}^{nm + n + m}_S\] appelée le plongement de Segre.

Démonstration

Il suffit de le démontrer lorsque \(S = \Spec(\mathbf{Z})\). Nous omettrons donc l’indice \(S\) et travaillerons dans la situation absolue. Écrivons \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(\mathbf{Z}[X_0, \ldots, X_n])\), \(\mathbf{P}^m = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Y_0, \ldots, Y_m])\) et \(\mathbf{P}^{nm + n + m} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}])\). Pour définir un morphisme vers \(\mathbf{P}^{nm + n + m}\), il faut se donner sur le membre de gauche un faisceau inversible \(\mathcal{L}\) et \((n + 1)(m + 1)\) sections \(s_i\) qui l’engendrent ; voir le Lemme 01NE. Prenons le faisceau inversible \[\mathcal{L} = \text{pr}_1^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \otimes \text{pr}_2^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\] et les sections \[s_0 = X_0Y_0, \ s_1 = X_1Y_0, \ldots, \ s_n = X_nY_0, \ s_{n + 1} = X_0Y_1, \ldots, \ s_{nm + n + m} = X_nY_m.\] Elles engendrent \(\mathcal{L}\), puisque les sections \(X_i\) engendrent \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\) et les sections \(Y_j\) engendrent \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^m}(1)\). Le morphisme induit \(\varphi\) vérifie \[\varphi^{-1}(D_{+}(Z_{i + (n + 1)j})) = D_{+}(X_i) \times D_{+}(Y_j).\] C’est donc un morphisme affine. Dans le cas \((i, j) = (0, 0)\), l’homomorphisme d’anneaux correspondant est \[\mathbf{Z}[Z_1/Z_0, \ldots, Z_{nm + n + m}/Z_0] \longrightarrow \mathbf{Z}[X_1/X_0, \ldots, X_n/X_0, Y_1/Y_0, \ldots, Y_n/Y_0]\] qui envoie \(Z_i/Z_0\) sur \(X_i/X_0\) pour \(i \leq n\) et \(Z_{(n + 1)j}/Z_0\) sur \(Y_j/Y_0\). Il est donc surjectif. Le même raisonnement s’applique aux autres ouverts affines. Ainsi, \(\varphi\) est une immersion fermée (voir Schémas, Lemme 01HL et Exemple 01IG).

Les deux lemmes suivants sont des cas particuliers de résultats plus généraux établis plus loin, mais il est sans doute utile de les démontrer directement ici. Le premier est un cas particulier de Diviseurs, Lemme 0801.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(Z \subset \mathbf{P}^n_R\) un sous-schéma fermé. Posons \[I_d = \Ker\left( R[T_0, \ldots, T_n]_d \longrightarrow \Gamma(Z, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)|_Z)\right)\] Alors \(I = \bigoplus I_d \subset R[T_0, \ldots, T_n]\) est un idéal gradué et \(Z = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\).

Démonstration

Il est clair que \(I\) est un idéal gradué. Posons \(Z' = \text{Proj}(R[T_0, \ldots, T_n]/I)\). D’après le Lemme 01N1, \(Z'\) est un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^n_R\). Pour vérifier l’égalité \(Z = Z'\), il suffit de se placer sur un ouvert affine standard \(D_{+}(T_i)\). Après renumérotation des coordonnées homogènes, on peut supposer \(i = 0\). Écrivons que \(Z \cap D_{+}(T_0)\), resp. \(Z' \cap D_{+}(T_0)\), est défini par l’idéal \(J\), resp. \(J'\), de \(R[T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0]\). Alors \(J'\) est engendré par les éléments \(F/T_0^{\deg(F)}\), où \(F \in I\) est homogène. Supposons que \(F \in I\) soit de degré \(d\). Comme \(F\) s’annule en tant que section de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)\) restreinte à \(Z\), l’élément \(F/T_0^d\) appartient à \(J\). Ainsi, \(J' \subset J\).

Réciproquement, soit \(f \in J\). Si \(f\) est de degré total \(d\) en \(T_1/T_0, \ldots, T_n/T_0\), on peut écrire \(f = F/T_0^d\) pour un certain \(F \in R[T_0, \ldots, T_n]_d\). Choisissons \(i \in \{1, \ldots, n\}\). Le sous-schéma \(Z \cap D_{+}(T_i)\) est défini par un certain idéal \(J_i \subset R[T_0/T_i, \ldots, T_n/T_i]\). En outre, \[J \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right] = J_i \cdot R\left[ \frac{T_1}{T_0}, \ldots, \frac{T_n}{T_0}, \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i} \right]\] Le membre de gauche est le localisé de \(J\) par rapport à \(T_i/T_0\), et celui de droite le localisé de \(J_i\) par rapport à \(T_0/T_i\). Il s’ensuit que \(T_0^{d_i}F/T_i^{d + d_i}\) appartient à \(J_i\) pour un entier \(d_i\) suffisamment grand. Par conséquent, \(T_0^{\max(d_i)}F\) appartient à \(I\), car sa restriction à chacun des ouverts affines standards \(D_{+}(T_i)\) s’annule sur le sous-schéma fermé \(Z \cap D_{+}(T_i)\). Ainsi, \(f \in J'\), d’où \(J \subset J'\), comme voulu.

Le lemme suivant est un cas particulier des résultats plus généraux de Propriétés, Lemmes 01QJ ou 0AG5.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(\mathbf{P}^n_R\). Pour \(d \geq 0\), posons \[M_d = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(d)) = \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(d))\] Alors \(M = \bigoplus_{d \geq 0} M_d\) est un \(R[T_0, \ldots, R_n]\)-module gradué et il existe un isomorphisme canonique \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\).

Démonstration

Les applications de multiplication \[R[T_0, \ldots, R_n]_e \times M_d \longrightarrow M_{d + e}\] proviennent des isomorphismes naturels \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}(e) \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_R}} \mathcal{F}(d) \longrightarrow \mathcal{F}(e + d)\] voir l’Équation (03GK). Construisons le morphisme \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\). Sur chacun des ouverts affines standards \(U_i = D_{+}(T_i)\), on a \(\Gamma(U_i, \widetilde{M}) = (M[1/T_i])_0\), où l’indice \({}_0\) désigne la partie de degré \(0\). Tout élément de ce module s’écrit \(m/T_i^d\) avec \(m \in M_d\). Comme \(T_i\) engendre \(\mathcal{O}(1)\) au-dessus de \(U_i\), on peut toujours écrire \(m|_{U_i} = m_i \otimes T_i^d\), avec une unique section \(m_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{F})\). Il est donc naturel de poser \(c(m/T_i^d) = m_i\). Un raisonnement élémentaire, omis ici, montre que cela définit un morphisme \(c : \widetilde{M} \to \mathcal{F}\) dès que l’on vérifie \[(T_i/T_j)^d m_i|_{U_i \cap U_j} = m_j|_{U_i \cap U_j}\] dans \(M[1/T_iT_j]\). Or cela est clair, car sur l’intersection les générateurs \(T_i\) et \(T_j\) de \(\mathcal{O}(1)\) diffèrent par la fonction inversible \(T_i/T_j\).

Injectivité de \(c\). On peut la vérifier sur les ouverts affines \(U_i\). Soit \(i \in \{0, \ldots, n\}\) et soit l’élément \(s\) donné par \(s = m/T_i^d \in \Gamma(U_i, \widetilde{M})\) tel que \(c(m/T_i^d) = 0\). D’après la description de \(c\), on a \(m_i = 0\), donc \(m|_{U_i} = 0\). On a alors \(T_i^em = 0\) dans \(M\) pour un certain \(e\). Par conséquent, \(s = m/T_i^d = T_i^e/T_i^{e + d} = 0\), comme voulu.

Surjectivité de \(c\). On peut la vérifier sur les ouverts affines \(U_i\) et, après renumérotation, il suffit de la vérifier sur \(U_0\). Soit \(s \in \mathcal{F}(U_0)\). Écrivons \(\mathcal{F}|_{U_i} = \widetilde{N_i}\) pour un certain \(R[T_0/T_i, \ldots, T_0/T_i]\)-module \(N_i\) ; c’est possible parce que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. La section \(s\) correspond alors à un élément \(x \in N_0\). On a \[(N_i)_{T_j/T_i} \cong (N_j)_{T_i/T_j}\] où les indices désignent la localisation principale, comme modules sur l’anneau \[R\left[ \frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}, \frac{T_0}{T_j}, \ldots, \frac{T_n}{T_j} \right].\] Il existe donc un entier \(d\) assez grand et des éléments \(s_i \in N_i\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que \[s = (T_i/T_0)^d s_i\] sur \(U_0 \cap U_i\). Considérons ensuite la différence \[t_{ij} = s_i - (T_j/T_i)^d s_j\] sur \(U_i \cap U_j\), \(0 < i < j\). Par le choix des \(s_i\), on a \(t_{ij}|_{U_0 \cap U_i \cap U_j} = 0\). Il existe donc un entier \(e\) assez grand tel que \((T_0/T_i)^et_{ij} = 0\). Posons \(s_i' = (T_0/T_i)^es_i\) et \(s_0' = s\). On a alors \[s_a' = (T_b/T_a)^{e + d} s_b'\] sur \(U_a \cap U_b\) pour tous \(a, b\). C’est exactement la condition pour que les éléments \(s'_a\) se recollent en une section globale \(m \in \Gamma(\mathbf{P}^n_R, \mathcal{F}(e + d))\). Par construction, \(c(m/T_0^{e + d}) = s\). Le morphisme \(c\) est donc surjectif, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible, et soient \(s_0, \ldots, s_n\) des sections globales de \(\mathcal{L}\) qui l’engendrent. Soit \(\mathcal{F}\) le noyau du morphisme induit \(\mathcal{O}_X^{\oplus n + 1} \to \mathcal{L}\). Alors \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\) est engendré par ses sections globales.

Démonstration

Le résultat est même vrai lorsque \(X\) est un espace localement annelé quelconque. Le faisceau \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini \(n\). Les éléments \[s_{ij} = (0, \ldots, 0, s_j, 0, \ldots, 0, -s_i, 0, \ldots, 0) \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\oplus n + 1})\] où \(s_j\) occupe la \(i\)-ième place et \(-s_i\) la \(j\)-ième s’envoient sur zéro dans \(\mathcal{L}^{\otimes 2}\). Ainsi, \(s_{ij} \in \Gamma(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L})\). Un calcul local montre que ces sections engendrent \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}\).

Autre démonstration. Considérons le morphisme \(\varphi : X \to \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\) associé au couple \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\). Comme l’image inverse de \(\mathcal{O}(1)\) est \(\mathcal{L}\) et celle de \(T_i\) est \(s_i\), il suffit de démontrer le lemme pour \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\). Dans ce cas, le faisceau \(\mathcal{F}\) correspond au \(S = \mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\)-module gradué \(M\) qui s’insère dans la suite exacte courte \[0 \to M \to S^{\oplus n + 1} \to S(1) \to 0\] où le second morphisme est donné par \(T_0, \ldots, T_n\). L’assertion précédente se traduit alors par le fait que les éléments \[T_{ij} = (0, \ldots, 0, T_j, 0, \ldots, 0, -T_i, 0, \ldots, 0) \in M(1)_0\] engendrent le module gradué \(M(1)\) sur \(S\). Nous omettons les détails.

Faisceaux inversibles et morphismes vers Proj

Soit \(T\) un schéma et soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(T\). Pour une section \(s \in \Gamma(T, \mathcal{L})\), on note \(T_s\) l’ouvert des points où \(s\) ne s’annule pas. Voir Modules, Lemme 01CY. On peut considérer le lemme suivant comme une légère généralisation du Lemme 01NA. C’est également une généralisation du Lemme 01MY.

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué et posons \(X = \text{Proj}(A)\). Soient \(T\) un schéma, \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible et \(\psi : A \to \Gamma_*(T, \mathcal{L})\) un homomorphisme d’anneaux gradués. Posons \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{f \in A_{+}\text{ homogeneous}} T_{\psi(f)}\] Le morphisme \(\psi\) induit un morphisme canonique de schémas \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow X\] muni d’un morphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_T\) \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}.\] Le triplet \((U(\psi), r_{\mathcal{L}, \psi}, \theta)\) est caractérisé par les propriétés suivantes :

Pour tout \(f \in A_{+}\) homogène, on a \(r_{\mathcal{L}, \psi}^{-1}(D_{+}(f)) = T_{\psi(f)}\).

Pour tout \(d \geq 0\), le diagramme \[\xymatrix{ A_d \ar[d]_{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(T, \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(X, \mathcal{O}_X(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] est commutatif.

De plus, pour tout \(d \geq 1\) et tout sous-schéma ouvert \(V \subset T\) tels que les sections de \(\psi(A_d)\) engendrent \(\mathcal{L}^{\otimes d}|_V\), le morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi}|_V\) coïncide avec le morphisme \(\varphi : V \to \text{Proj}(A)\) et le morphisme \(\theta|_V\) coïncide avec \(\alpha : \varphi^*\mathcal{O}_X(d) \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_V\), où \((\varphi, \alpha)\) est le couple du Lemme 01N8 associé à \(\psi|_{A^{(d)}} : A^{(d)} \to \Gamma_*(V, \mathcal{L}^{\otimes d})\).

Démonstration

Supposons que deux triplets \((U, r : U \to X, \theta)\) et \((U', r' : U' \to X, \theta')\) satisfassent (1) et (2). La propriété (1) entraîne \(U = U' = U(\psi)\) ainsi que l’égalité \(r = r'\) des applications continues sous-jacentes : les ouverts \(D_{+}(f)\) forment en effet une base de la topologie de \(X\), et \(X\) est un espace topologique sobre (voir Algèbre, section 00JM et Schémas, Lemme 01IS). Soit \(f \in A_{+}\) homogène. On a \(\Gamma(D_{+}(f), \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(n)) = A_f\) comme algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées. Considérons les deux homomorphismes d’anneaux \(\mathbf{Z}\)-gradués \[\theta, \theta' : A_f \longrightarrow \Gamma(T_{\psi(f)}, \bigoplus \mathcal{L}^{\otimes n}).\] La multiplication par \(f\) (resp. \(\psi(f)\)) est un isomorphisme dans le membre de gauche (resp. de droite). On sait aussi, par (2), que \(\theta(x/1) = \theta'(x/1) = \psi(x)|_{T_{\psi(f)}}\) pour tout \(x \in A\). On en déduit aisément \(\theta = \theta'\). En considérant les composantes de degré \(0\), on obtient \(r^\sharp = (r')^\sharp\), c’est-à-dire \(r = r'\) comme morphismes de schémas. Cela prouve l’unicité.

Passons à l’existence. Grâce à l’unicité que nous venons de démontrer, il suffit de construire le couple \((r, \theta)\) localement sur \(T\). On peut donc supposer \(T = \Spec(R)\) affine, \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T\), et qu’il existe \(f \in A_{+}\) homogène tel que \(\psi(f)\) engendre \(\mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T^{\otimes \deg(f)}\). Autrement dit, \(\psi(f) = u \in R^*\) est inversible. Dans ce cas, \(\psi\) est un homomorphisme d’anneaux gradués \[A \longrightarrow R[x] = \Gamma_*(T, \mathcal{O}_T)\] qui envoie \(f\) sur \(ux^{\deg(f)}\). Il se prolonge de façon unique en un homomorphisme d’anneaux \(\mathbf{Z}\)-gradués \(\theta : A_f \to R[x, x^{-1}]\) en envoyant \(1/f\) sur \(u^{-1}x^{-\deg(f)}\). En degré zéro, on obtient l’homomorphisme d’anneaux \(A_{(f)} \to R\) qui définit le morphisme \(r : T = \Spec(R) \to \Spec(A_{(f)}) = D_{+}(f) \subset X\). Nous avons donc construit \((r, \theta)\) dans ce cas particulier.

Montrons la dernière assertion du lemme. D’après le Lemme 01N8, le morphisme qui y est construit est l’unique morphisme rendant commutatif le diagramme de son énoncé. La commutativité du diagramme du présent lemme entraîne celle du diagramme restreint à \(V\) et à \(A^{(d)}\). D’où le résultat.

Remarque

Sous les hypothèses du Lemme 01NK, l’image du morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) n’est pas nécessairement contenue dans le lieu où le faisceau \(\mathcal{O}_X(1)\) est inversible. Voici un exemple. Soit \(k\) un corps et soit \(S = k[A, B, C]\) gradué par \(\deg(A) = 1\), \(\deg(B) = 2\), \(\deg(C) = 3\). Posons \(X = \text{Proj}(S)\) et soit \(T = \mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\). Rappelons que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_T(1)\) est inversible et que \(\mathcal{O}_T(n) = \mathcal{L}^{\otimes n}\). Considérons la composée \(\psi\) des homomorphismes \[S \to k[X_0, X_1, X_2] \to \Gamma_*(T, \mathcal{L}).\] Le premier est \(A \mapsto X_0\), \(B \mapsto X_1^2\), \(C \mapsto X_2^3\) ; le second est (01MP). D’après le lemme, cette composée correspond à un morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi} : T \to X = \text{Proj}(S)\), dont on voit aisément qu’il est surjectif. Or, dans la Remarque 01ML, nous avons montré que \(\mathcal{O}_X(1)\) n’est pas inversible en tout point de \(X\).

Proj relatif par recollement

Situation

Ici, \(S\) est un schéma et \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente.

Dans cette section, nous indiquons comment construire un morphisme de schémas \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] en recollant les spectres homogènes \(\text{Proj}(\Gamma(U, \mathcal{A}))\), où \(U\) parcourt les ouverts affines de \(S\). Montrons d’abord que les spectres homogènes des algèbres de sections de \(\mathcal{A}\) sur les ouverts affines forment une famille de schémas satisfaisant les conditions du Lemme 01LH.

Lemme

Plaçons-nous dans la Situation 01NN. Soient \(U \subset U' \subset S\) des ouverts affines et posons \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\). L’homomorphisme d’anneaux gradués \(A' \to A\) induit un morphisme \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\), et le diagramme \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r] \ar[d] & \text{Proj}(A') \ar[d] \\ U \ar[r] & U' }\] est cartésien. De plus, il existe des isomorphismes canoniques \(\theta : r^*\mathcal{O}_{\text{Proj}(A')}(n) \to \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\) compatibles avec les morphismes de multiplication.

Démonstration

Posons \(R = \mathcal{O}_S(U)\) et \(R' = \mathcal{O}_S(U')\). L’homomorphisme \(R \otimes_{R'} A' \to A\) est un isomorphisme puisque \(\mathcal{A}\) est quasi-cohérente (voir, par exemple, Schémas, Lemme 01I9). Le résultat découle donc du Lemme 01N2.

En particulier, le morphisme \(\text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\) du lemme est une immersion ouverte.

Lemme

Plaçons-nous dans la Situation 01NN. Soient \(U \subset U' \subset U'' \subset S\) des ouverts affines et posons \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\), \(A'' = \mathcal{A}(U'')\). La composée des morphismes \(r : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A')\) et \(r' : \text{Proj}(A') \to \text{Proj}(A'')\) du Lemme 01NO est le morphisme \(r'' : \text{Proj}(A) \to \text{Proj}(A'')\) du Lemme 01NO. Une assertion analogue vaut pour les isomorphismes \(\theta\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 01MZ, puisque \(A'' \to A\) est la composée de \(A'' \to A'\) et de \(A' \to A\).

Lemme

Dans la Situation 01NN, il existe un morphisme de schémas \[\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] ayant les propriétés suivantes :

pour tout ouvert affine \(U \subset S\), il existe un isomorphisme \(i_U : \pi^{-1}(U) \to \text{Proj}(A)\), où \(A = \mathcal{A}(U)\) ;

pour des ouverts affines \(U \subset U' \subset S\), la composée \[\xymatrix{ \text{Proj}(A) \ar[r]^{i_U^{-1}} & \pi^{-1}(U) \ar[rr]^{inclusion} & & \pi^{-1}(U') \ar[r]^{i_{U'}} & \text{Proj}(A') }\] où \(A = \mathcal{A}(U)\), \(A' = \mathcal{A}(U')\), est l’immersion ouverte du Lemme 01NO.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des Lemmes 01LH, 01NO et 01NP.

Lemme

Dans la Situation 01NN, le morphisme \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) du Lemme 01NQ est muni de la structure supplémentaire suivante. Il existe un faisceau quasi-cohérent \(\mathbf{Z}\)-gradué d’algèbres sur \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\) \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) et un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées \[\psi : \mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \pi_*\left(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\right)\] uniquement déterminés par la propriété suivante : pour tout ouvert affine \(U \subset S\), en posant \(A = \mathcal{A}(U)\), il existe un isomorphisme \[\theta_U : i_U^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n) \right) \longrightarrow \left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)|_{\pi^{-1}(U)}\] d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ A_n \ar[rr]_\psi \ar[dr]_-{(\href{constructions.html#constructions-equation-global-sections}{01MP})} & & \Gamma(\pi^{-1}(U), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)) \\ & \Gamma(\text{Proj}(A), \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)) \ar[ru]_-{\theta_U} & }\] soit commutatif.

Démonstration

Nous allons appliquer le Lemme 01LI pour recoller les faisceaux d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n)\) pour \(A = \mathcal{A}(U)\), \(U \subset S\) ouvert affine, sur le schéma \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Nous avons construit les données nécessaires dans le Lemme 01NO et vérifié la condition (d) du Lemme 01LI dans le Lemme 01NP. On obtient ainsi le faisceau d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\) \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\), muni des isomorphismes \(\theta_U\) pour tout ouvert affine \(U \subset S\) et tout \(n \in \mathbf{Z}\). Pour chaque ouvert affine \(U \subset S\), en posant \(A = \mathcal{A}(U)\), on dispose d’un homomorphisme \(A \to \Gamma(\text{Proj}(A), \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\text{Proj}(A)}(n))\). Le morphisme \(\psi\) existe donc par fonctorialité du recollement relatif ; voir la Remarque 01LK. Le diagramme du lemme est commutatif par construction. Cette propriété caractérise le faisceau d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\) \(\bigoplus \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) : la démonstration du Lemme 01MY montre en effet que la commutativité de ces diagrammes détermine de façon unique les morphismes \(\theta_U\). Nous omettons certains détails.

Le Proj relatif comme foncteur

Plaçons-nous dans la Situation 01NN. Ainsi, \(S\) est un schéma et \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Nous allons donner une version relative de la construction de \(\text{Proj}\), en définissant un foncteur que représentera le spectre homogène relatif. Nous construirons ainsi un morphisme de schémas \[\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \longrightarrow S\] qui, au-dessus des ouverts affines de \(S\), sera le spectre homogène d’un anneau gradué. Nous suivrons la démarche adoptée pour le spectre relatif dans la section 01LQ. La méthode plus simple consistant à recoller les schémas \(\text{Proj}(A)\), où \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\) et \(U \subset S\) est un ouvert affine, est exposée dans la section 01NM. Nous montrerons que les deux constructions donnent des schémas isomorphes.

Fixons pour l’instant un entier \(d \geq 1\). Nous notons \(\mathcal{A}^{(d)} = \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{A}_{nd}\), par analogie avec la notation d’Algèbre, section 00JL. Soit \(T\) un schéma. Considérons les quadruplets \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(T\) où

\(d\) est l’entier fixé ci-dessus ;
\(f : T \to S\) est un morphisme de schémas ;
\(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible ;
\(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0}\mathcal{L}^{\otimes n}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées tel que \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) soit surjectif.

Étant donnés un morphisme \(h : T' \to T\) et un quadruplet \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(T\), on peut en prendre l’image inverse, qui est le quadruplet \((d, f \circ h, h^*\mathcal{L}, h^*\psi)\) sur \(T'\). Deux quadruplets \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d, f', \mathcal{L}', \psi')\) sur \(T\), associés au même entier \(d\), sont dits strictement équivalents si \(f = f'\) et s’il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) tel que \(\beta \circ \psi = \psi'\) comme morphismes de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées \(f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n}\).

Pour tout entier \(d \geq 1\), définissons \[\begin{eqnarray*} F_d : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles}, \\ T & \longmapsto & \{\text{strict equivalence classes of } (d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi) \text{ as above}\} \end{eqnarray*}\] avec les images inverses définies ci-dessus.

Lemme

Dans la Situation 01NN, soit \(d \geq 1\) et soit \(F_d\) le foncteur associé ci-dessus à \((S, \mathcal{A})\). Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Posons \(\mathcal{A}' = g^*\mathcal{A}\) et soit \(F_d'\) le foncteur associé à \((S', \mathcal{A}')\). Il existe un isomorphisme canonique de foncteurs \[F'_d \cong h_{S'} \times_{h_S} F_d\]

Démonstration

Se donner un quadruplet \((d, f' : T \to S', \mathcal{L}', \psi' : (f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes n})\) revient à se donner un quadruplet \((d, f, \mathcal{L}, \psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n})\) et une factorisation de \(f\) sous la forme \(f = g \circ f'\). La correspondance est donnée par \(f = g \circ f'\), \(\mathcal{L} = \mathcal{L}'\) et \(\psi = \psi'\), via les identifications \((f')^*(\mathcal{A}')^{(d)} = (f')^*g^*(\mathcal{A}^{(d)}) = f^*\mathcal{A}^{(d)}\). D’où le lemme.

Lemme

Dans la Situation 01NN, soit \(F_d\) le foncteur associé ci-dessus à \((d, S, \mathcal{A})\). Si \(S\) est affine, alors \(F_d\) est représentable par le sous-schéma ouvert \(U_d\) de (01N5) du schéma \(\text{Proj}(\Gamma(S, \mathcal{A}))\).

Démonstration

Écrivons \(S = \Spec(R)\) et \(A = \Gamma(S, \mathcal{A})\). Alors \(A\) est une \(R\)-algèbre graduée et \(\mathcal{A} = \widetilde A\). Il nous faut identifier \(F_d\) au foncteur \(F_d^{triples}\) des triplets défini dans la section 01N4.

Soit \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) un quadruplet. On peut voir \(\psi\) comme un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-modules \(\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}\). Puisque \(\mathcal{A}^{(d)}\) est quasi-cohérente, cela revient à se donner un homomorphisme \(R\)-linéaire d’anneaux gradués \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\). Or \(\Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n}) = \Gamma_*(T, \mathcal{L})\). On peut donc associer au quadruplet le triplet \((d, \mathcal{L}, \psi)\).

Réciproquement, soit \((d, \mathcal{L}, \psi)\) un triplet. La composée \(R \to A_0 \to \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) détermine un morphisme \(f : T \to S = \Spec(R)\) ; voir Schémas, Lemme 01I1. Avec ce choix de \(f\), l’homomorphisme \(A^{(d)} \to \Gamma(S, \bigoplus_{n \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes n})\) est \(R\)-linéaire et correspond donc à un morphisme \(\psi\) donnant un quadruplet \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\). Nous omettons la vérification que ces constructions définissent un isomorphisme de foncteurs \(F_d = F_d^{triples}\).

Lemme

Dans la Situation 01NN, le foncteur \(F_d\) est représentable par un schéma.

Démonstration

Nous allons appliquer Schémas, Lemme 01JJ.

Vérifions d’abord que \(F_d\) est un faisceau pour la topologie de Zariski. Soient \(T\) un schéma, \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert et \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i) \in F_d(U_i)\) tels que \((d, f_i, \mathcal{L}_i, \psi_i)|_{U_i \cap U_j}\) et \((d, f_j, \mathcal{L}_j, \psi_j)|_{U_i \cap U_j}\) soient strictement équivalents. Les morphismes \(f_i : U_i \to S\) se recollent alors en un morphisme de schémas \(f : T \to S\) tel que \(f|_{I_i} = f_i\) ; voir Schémas, section 01JA. On a donc \(f_i^*\mathcal{A}^{(d)} = f^*\mathcal{A}^{(d)}|_{U_i}\). Il existe aussi des isomorphismes \(\beta_{ij} : \mathcal{L}_i|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{L}_j|_{U_i \cap U_j}\) tels que \(\beta_{ij} \circ \psi_i = \psi_j\) sur \(U_i \cap U_j\). Cette condition détermine les \(\beta_{ij}\) de façon unique puisque les morphismes \(f_i^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}_i\) sont surjectifs. En particulier, \(\beta_{jk} \circ \beta_{ij} = \beta_{ik}\) sur \(U_i \cap U_j \cap U_k\). Par Faisceaux, section 00AK, les faisceaux inversibles \(\mathcal{L}_i\) se recollent donc en un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible \(\mathcal{L}\), et les morphismes \(\psi_i\) se recollent en un morphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres \(\psi : f^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\). Cela prouve que \(F_d\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie de Zariski.

Soit \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement par des ouverts affines. Soit \(F_{d, i} \subset F_d\) le sous-foncteur constitué des couples \((f : T \to S, \varphi)\) tels que \(f(T) \subset U_i\).

Montrons que chaque \(F_{d, i}\) est représentable. D’après le Lemme 01NT, le foncteur \(F_{d, i}\) s’identifie au foncteur associé à \(U_i\) muni de la \(\mathcal{O}_{U_i}\)-algèbre graduée quasi-cohérente \(\mathcal{A}|_{U_i}\). La représentabilité résulte donc du Lemme 01NU.

Montrons ensuite que \(F_{d, i} \subset F_d\) est représentable par des immersions ouvertes. Soit \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\) et posons \(V_i = f^{-1}(U_i)\). Par définition de \(F_{d, i}\), pour un morphisme \(a : T' \to T\), on a \(a^*(f, \varphi) \in F_{d, i}(T')\) si et seulement si \(a(T') \subset V_i\). C’est ce qu’il fallait montrer.

Enfin, montrons que la famille \((F_{d, i})_{i \in I}\) recouvre \(F_d\). Soit \((f : T \to S, \varphi) \in F_d(T)\) et posons \(V_i = f^{-1}(U_i)\). Puisque \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) est un recouvrement ouvert de \(S\), on obtient un recouvrement ouvert \(T = \bigcup_{i \in I} V_i\) de \(T\). De plus, \((f, \varphi)|_{V_i} \in F_{d, i}(V_i)\). Cela achève la démonstration du lemme.

Nous pouvons maintenant reprendre, dans le cadre relatif, la fin de la section 01N4 et définir un foncteur représentable par \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Introduisons pour cela la notion d’équivalence entre deux quadruplets \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', f' : T \to S, \mathcal{L}', \psi')\), les entiers \(d, d'\) pouvant être distincts. Ils sont dits équivalents si \(f = f'\) et s’il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes d'} \to (\mathcal{L}')^{\otimes d}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}} = \psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(dd')}}\). Le lemme suivant montre que l’on obtient bien une relation d’équivalence (ce qui n’est pas tout à fait immédiat).

Lemme

Dans la Situation 01NN, soient \(T\) un schéma et \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\), \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) deux quadruplets sur \(T\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

Posons \(m = \text{lcm}(d, d')\) et écrivons \(m = ad = a'd'\). On a \(f = f'\) et il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) et \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\).

Les quadruplets \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) et \((d', f', \mathcal{L}', \psi')\) sont équivalents.

On a \(f = f'\) et, pour un certain entier strictement positif \(m = ad = a'd'\), il existe un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) tel que \(\beta \circ \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) et \(\psi'|_{f^*\mathcal{A}^{(m)}}\) coïncident comme homomorphismes d’anneaux gradués \(f^*\mathcal{A}^{(m)} \to \bigoplus_{n \geq 0} (\mathcal{L}')^{\otimes mn}\).

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2) et que (2) entraîne (3), en se restreignant à des degrés plus divisibles et en prenant des puissances des faisceaux inversibles. Supposons (3) pour un entier \(m = ad = a'd'\). Posons \(m_0 = \text{lcm}(d, d')\) et écrivons \(m_0 = a_0d = a'_0d'\). Nous disposons d’un isomorphisme \(\beta : \mathcal{L}^{\otimes a} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'}\) ayant la propriété (3), et cherchons un isomorphisme \(\beta_0 : \mathcal{L}^{\otimes a_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a'_0}\) ayant la même propriété. Les morphismes \(\psi : f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}\) et \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{d'} \to \mathcal{L}'\) étant surjectifs par hypothèse, il en est de même des morphismes \(\psi : f^*\mathcal{A}_{m_0} \to \mathcal{L}^{\otimes a_0}\) et \(\psi' : (f')^*\mathcal{A}_{m_0} \to (\mathcal{L}')^{\otimes a_0}\). Ainsi, s’il existe, \(\beta_0\) est uniquement déterminé par la condition \(\beta_0 \circ \psi = \psi'\). On peut donc travailler localement sur \(T\), et supposer que \(f = f' : T \to S\) est à valeurs dans un ouvert affine, autrement dit que \(S\) est affine. Le résultat découle alors de l’assertion correspondante pour les triplets (Lemme 01NB) et de la correspondance entre triplets et quadruplets lorsque la base est affine (voir la démonstration du Lemme 01NU).

Supposons \(d' = ad\). Considérons la transformation de foncteurs \(F_d \to F_{d'}\) qui associe au quadruplet \((d, f, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(T\) le quadruplet \((d', f, \mathcal{L}^{\otimes a}, \psi|_{f^*\mathcal{A}^{(d')}})\). Une des implications du Lemme 01NW montre que la transformation \(F_d \to F_{d'}\) est injective. Pour un schéma quasi-compact \(T\), définissons \[F(T) = \bigcup\nolimits_{d \in \mathbf{N}} F_d(T)\] avec les applications de transition ci-dessus. On obtient ainsi un foncteur contravariant de la catégorie des schémas quasi-compacts vers celle des ensembles. Pour un schéma quelconque \(T\), définissons \[F(T) = \lim_{V \subset T\text{ quasi-compact open}} F(V).\] Autrement dit, un élément \(\xi\) de \(F(T)\) correspond à une famille compatible d’éléments \(\xi_V \in F(V)\), où \(V\) parcourt les ouverts quasi-compacts de \(T\). Nous omettons la définition de l’application d’image inverse \(F(T) \to F(T')\) associée à un morphisme de schémas \(T' \to T\). Nous avons ainsi défini le foncteur [01NX]\[\begin{equation} F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\]

Lemme

Dans la Situation 01NN, le foncteur \(F\) ci-dessus est représentable par un schéma.

Démonstration

Soit \(U_d \to S\) le schéma représentant le foncteur \(F_d\) défini ci-dessus, et soit \(\mathcal{L}_d\), \(\psi^d : \pi_d^*\mathcal{A}^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}_d^{\otimes n}\) l’objet universel. Si \(d | d'\), on peut considérer le quadruplet \((d', \pi_d, \mathcal{L}_d^{\otimes d'/d}, \psi^d|_{\mathcal{A}^{(d')}})\), qui détermine un morphisme canonique \(U_d \to U_{d'}\) au-dessus de \(S\). Par construction, ce morphisme correspond à la transformation de foncteurs \(F_d \to F_{d'}\) définie ci-dessus.

Pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = V \subset S\), en posant \(A = \Gamma(V, \mathcal{A})\), on dispose d’une identification canonique du changement de base \(U_{d, V}\) avec le sous-schéma ouvert correspondant de \(\text{Proj}(A)\) ; voir le Lemme 01NU. De plus, les morphismes \(U_{d, V} \to U_{d', V}\) construits ci-dessus correspondent aux inclusions d’ouverts dans \(\text{Proj}(A)\). On en déduit que \(U_d \to U_{d'}\) est une immersion ouverte.

On peut donc construire \(X\) en recollant les schémas \(U_d\) suivant les immersions ouvertes \(U_d \to U_{d'}\). Il est commode de choisir une suite \(d_1 | d_2 | d_3 | \ldots\) telle que tout entier strictement positif divise l’un des \(d_i\), puis de poser \(X = \bigcup U_{d_i}\) au moyen des immersions ouvertes ci-dessus. Il est alors aisé de montrer que \(X\) représente \(F\).

Lemme

Dans la Situation 01NN, le schéma \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) construit dans le Lemme 01NQ est canoniquement isomorphe au schéma représentant le foncteur \(F\), comme schéma sur \(S\).

Démonstration

Soit \(X\) le schéma représentant \(F\). \(X\) est un schéma sur \(S\), puisque \(F\) est muni d’une transformation naturelle \(F \to h_S\). Posons \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Nous devons montrer que \(X \cong Y\) comme \(S\)-schémas. Donnons deux démonstrations.

La première utilise la construction de \(X\) comme réunion des schémas \(U_d\) représentant \(F_d\) dans la démonstration du Lemme 01NY. Au-dessus de chaque ouvert affine de \(S\), on peut identifier \(X\) au spectre homogène des sections de \(\mathcal{A}\) sur cet ouvert, puisque c’est le cas pour les ouverts \(U_d\). Ces identifications sont de plus compatibles avec les restrictions à des ouverts affines plus petits. Or \(Y\) a été construit en recollant ces spectres homogènes. On peut donc recoller ces isomorphismes en un isomorphisme entre \(X\) et \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Nous omettons les détails.

Voici la seconde démonstration. Le Lemme 01NR fournit un morphisme d’algèbres graduées \[\psi : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_Y(n)\] sur \(Y\) qui, sur les sections au-dessus des ouverts affines de \(S\), coïncide avec (01MP). Pour tout \(y \in Y\), il existe donc un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) et un entier \(d \geq 1\) tels que, pour \(d | n\), le faisceau \(\mathcal{O}_Y(n)|_V\) soit inversible et que les morphismes de multiplication \(\mathcal{O}_Y(n)|_V \otimes_{\mathcal{O}_V} \mathcal{O}_Y(m)|_V \to \mathcal{O}_Y(n + m)|_V\) soient des isomorphismes. La restriction de \(\psi\) à \(\pi^*\mathcal{A}^{(d)}|_V\) donne ainsi un élément de \(F_d(V)\). Les ouverts \(V\) recouvrant \(Y\), on voit que « \(\psi\) » définit un élément de \(F(Y)\), donc un morphisme canonique \(Y \to X\) sur \(S\). La construction étant entièrement canonique, on peut vérifier localement sur \(S\) qu’il s’agit d’un isomorphisme. On se ramène donc au cas où \(S\) est affine, dans lequel le résultat est clair.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées. Le spectre homogène relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(S\), ou spectre homogène de \(\mathcal{A}\) sur \(S\), ou encore Proj relatif de \(\mathcal{A}\) sur \(S\), est le schéma construit dans le Lemme 01NQ et représentant le foncteur \(F\) de (01NX) ; voir le Lemme 01NZ. On le note \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\).

Le Proj relatif est muni d’un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées \(\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\) (les faisceaux tordus du faisceau structural) et d’un homomorphisme « universel » d’algèbres graduées \[\psi_{univ} : \mathcal{A} \longrightarrow \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n) \right)\] voir le Lemme 01NR. On peut également le considérer comme un homomorphisme \[\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n)\] Le lemme suivant exprime l’universalité de cet objet.

Lemme

Dans la Situation 01NN, soit \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\) un quadruplet et soit \(r_{d, \mathcal{L}, \psi} : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) le \(S\)-morphisme associé. Il existe un isomorphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_T\) \[\theta : r_{d, \mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\] rendant commutatif le diagramme suivant \[\xymatrix{ \mathcal{A}^{(d)} \ar[rr]_-{\psi} \ar[rd]_-{\psi_{univ}} & & f_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n} \right) \\ & \pi_*\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(nd) \right) \ar[ru]_\theta }\] La commutativité de ce diagramme détermine \(\theta\) de façon unique.

Démonstration

Le quadruplet \((f : T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\) définit un élément de \(F_d(T)\). Soit \(U_d \subset \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) le lieu où le faisceau \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\) est inversible et engendré par l’image de \(\psi_{univ} : \pi^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\). Rappelons que \(U_d\) représente \(F_d\) ; voir la démonstration du Lemme 01NY. Il suffit donc de montrer que le quadruplet \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\) est la famille universelle, c’est-à-dire l’objet représentant dans \(F_d(U_d)\). On peut le vérifier après restriction à un ouvert affine de \(S\), car (a) la formation des foncteurs \(F_d\) commute au changement de base (Lemme 01NT) et (b) le couple \((\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(n), \psi_{univ})\) est construit par recollement au-dessus des ouverts affines de \(S\) (Lemme 01NR). On peut donc supposer \(S\) affine. Alors le foncteur \(F_d\) des quadruplets coïncide avec le foncteur \(F_d\) des triplets (voir la démonstration du Lemme 01NU), et le Lemme 01N9 montre que \((d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi^d)\) est le triplet universel sur \(U_d\). En remontant les identifications de la démonstration du Lemme 01NU, on voit que \((U_d \to S, d, \mathcal{O}_{U_d}(d), \psi_{univ}|_{\mathcal{A}^{(d)}})\) est bien le quadruplet universel cherché.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées. Le morphisme \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) est séparé.

Démonstration

Pour vérifier qu’un morphisme est séparé, on peut travailler localement sur la base ; voir Schémas, section 01KH. Par construction, \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) est isomorphe, au-dessus de chaque ouvert affine \(U \subset S\), à \(\text{Proj}(A)\), où \(A = \mathcal{A}(U)\). Par le Lemme 01MC, \(\text{Proj}(A)\) est séparé. Le morphisme \(\text{Proj}(A) \to U\) est donc séparé (voir Schémas, Lemme 01KV), comme voulu.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées. Pour tout morphisme de schémas \(g : S' \to S\), il existe un isomorphisme canonique \[r : \underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A}) \longrightarrow S' \times_S \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] ainsi qu’un isomorphisme correspondant \[\theta : r^*\text{pr}_2^*\left(\bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}(d)\] d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(g^*\mathcal{A})}\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 01NT et de la construction de \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\), dans le Lemme 01NY, comme réunion des schémas \(U_d\) représentant les foncteurs \(F_d\). Du point de vue de la construction par recollement, cet isomorphisme est donné par les isomorphismes du Lemme 01N2, qui fournit aussi \(\theta\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-modules gradués, engendré comme \(\mathcal{A}_0\)-algèbre par \(\mathcal{A}_1\). Alors \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) représente le foncteur \(F_1\) qui associe à un schéma \(f : T \to S\) sur \(S\) l’ensemble des couples \((\mathcal{L}, \psi)\) où

\(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible ;

\(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées tel que \(f^*\mathcal{A}_1 \to \mathcal{L}\) soit surjectif,

à équivalence stricte près au sens ci-dessus. De plus, dans ce cas, tous les faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\) sont des \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}\)-modules inversibles, et les morphismes de multiplication induisent des isomorphismes \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n) \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(m) = \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n + m)\).

Démonstration

Sous les hypothèses du lemme, les faisceaux \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}(\mathcal{A})}(n)\) sont inversibles et les morphismes de multiplication sont des isomorphismes, par le Lemme 01NY et le Lemme 01NA appliqués au-dessus des ouverts affines de \(S\). Ainsi, \(X\) représente bien \(F_1\) ; voir la démonstration du Lemme 01NY.

Faisceaux quasi-cohérents sur le Proj relatif

Nous indiquons brièvement comment traiter les modules gradués dans le cadre relatif.

Plaçons-nous dans la Situation 01NN : \(S\) est un schéma et \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente. Soit \(\mathcal{M} = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}_n\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué, quasi-cohérent comme \(\mathcal{O}_S\)-module. Nous allons décrire le faisceau quasi-cohérent de modules associé sur \(\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\). Nous décrivons d’abord son image inverse sur les schémas \(T\) munis d’un morphisme vers le Proj relatif.

Soient \(T\) un schéma et \((d, f : T \to S, \mathcal{L}, \psi)\) un quadruplet sur \(T\), au sens de la section 01NS. Définissons un faisceau quasi-cohérent \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) de \(\mathcal{O}_T\)-modules par [01O6]\[\begin{equation} \widetilde{\mathcal{M}}_T = \left( f^*\mathcal{M}^{(d)} \otimes_{f^*\mathcal{A}^{(d)}} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\right) \right)_0 \end{equation}\] Ainsi, \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) est la composante de degré \(0\) du produit tensoriel des \(f^*\mathcal{A}^{(d)}\)-modules gradués \(\mathcal{M}^{(d)}\) et \(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{L}^{\otimes n}\). Le faisceau \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) dépend du quadruplet, bien que la notation ne l’indique pas. Cette construction a la propriété agréable suivante : pour tout morphisme \(g : T' \to T\), on a \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'} = g^*\widetilde{\mathcal{M}}_T\), où \(\widetilde{\mathcal{M}}_{T'}\) désigne le faisceau quasi-cohérent associé au quadruplet image inverse \((d, f \circ g, g^*\mathcal{L}, g^*\psi)\).

Tous les faisceaux de (01O6) étant quasi-cohérents, on peut expliciter la construction sur un ouvert affine \(\Spec(C) = V \subset T\) dont l’image est contenue dans un ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset S\). Supposons que \(\mathcal{A}|_U\) corresponde à la \(R\)-algèbre graduée \(A\), que \(\mathcal{M}|_U\) corresponde au \(A\)-module gradué \(M\) et que \(\mathcal{L}|_V\) corresponde au \(C\)-module inversible \(L\). Le morphisme \(\psi\) induit un homomorphisme de \(R\)-algèbres graduées \(\gamma : A^{(d)} \to \bigoplus_{n \geq 0} L^{\otimes n}\) (les puissances tensorielles de \(L\) sont prises sur \(C\)). Alors \((\widetilde{\mathcal{M}}_T)|_V\) est le faisceau quasi-cohérent associé au \(C\)-module \[N_{R, C, A, M, \gamma} = \left( M^{(d)} \otimes_{A^{(d)}, \gamma} \left(\bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} L^{\otimes n}\right) \right)_0\] Par hypothèse, on peut même recouvrir \(T\) par des ouverts affines \(V\) tels qu’il existe \(a \in A_d\) dont l’image \(\gamma(a) \in L\) soit une base du \(C\)-module \(L\). Dans ce cas, tout élément de \(N_{R, C, A, M, \gamma}\) est une somme de tenseurs purs \(\sum m_i \otimes \gamma(a)^{-n_i}\), avec \(m_i \in M_{n_id}\). En multipliant chaque \(m_i\) par une puissance positive convenable de \(a\), puis en regroupant les termes, on voit que tout élément de \(N_{R, C, A, M, \gamma}\) s’écrit \(m \otimes \gamma(a)^{-n}\) avec \(m \in M_{nd}\) et \(n \gg 0\). Autrement dit, dans ce cas, \[N_{R, C, A, M, \gamma} = M_{(a)} \otimes_{A_{(a)}} C\] où \(A_{(a)} \to C\) est donné par \(x/a^n \mapsto \gamma(x)/\gamma(a)^n\). C’est donc la valeur de \(\widetilde{M}\) sur \(D_{+}(a) \subset \text{Proj}(A)\), tirée en arrière sur \(\Spec(C)\) par le morphisme \(\Spec(C) \to D_{+}(a)\) défini par \(\gamma\).

Lemme

Dans la Situation 01NN, à tout faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(\mathcal{M}\) sur \(S\) est canoniquement associé un faisceau de \(\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}\)-modules \(\widetilde{\mathcal{M}}\) ayant les propriétés suivantes :

Pour tout schéma \(T\) et tout quadruplet \((T \to S, d, \mathcal{L}, \psi)\) sur \(T\) correspondant à un morphisme \(h : T \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\), il existe un isomorphisme canonique \(\widetilde{\mathcal{M}}_T = h^*\widetilde{\mathcal{M}}\), où \(\widetilde{\mathcal{M}}_T\) est défini par (01O6).

Les isomorphismes de (1) sont compatibles avec les images inverses.

Il existe un morphisme canonique \[\pi^*\mathcal{M}_0 \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M}}.\]

La construction \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\) est fonctorielle en \(\mathcal{M}\).

La construction \(\mathcal{M} \mapsto \widetilde{\mathcal{M}}\) est exacte.

Il existe des morphismes canoniques \[\widetilde{\mathcal{M}} \otimes_{\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}} \widetilde{\mathcal{N}} \longrightarrow \widetilde{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] comme dans le Lemme 01MK.

Il existe des morphismes canoniques \[\pi^*\mathcal{M} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \widetilde{\mathcal{M}(n)}\] généralisant (01MR).

La formation de \(\widetilde{\mathcal{M}}\) commute au changement de base.

Démonstration

La démonstration est omise. Il conviendrait de scinder ce lemme en plusieurs énoncés et de les démontrer séparément.

Fonctorialité du Proj relatif

Cette section est l’analogue de la section 01MX pour le Proj relatif. Soit \(S\) un schéma. Un morphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) n’induit pas toujours un morphisme entre les Proj relatifs associés. L’énoncé correct est le suivant.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) deux \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées quasi-cohérentes. Posons \(p : X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) et \(q : Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) \to S\). Soit \(\psi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées. Il existe un ouvert canonique \(U(\psi) \subset Y\) et un morphisme canonique de schémas \[r_\psi : U(\psi) \longrightarrow X\] sur \(S\) et un morphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées sur \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\) \[\theta = \theta_\psi : r_\psi^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{U(\psi)}(d).\] Le triplet \((U(\psi), r_\psi, \theta)\) est caractérisé par la propriété suivante : pour tout ouvert affine \(W \subset S\), le triplet \[(U(\psi) \cap p^{-1}W,\quad r_\psi|_{U(\psi) \cap p^{-1}W} : U(\psi) \cap p^{-1}W \to q^{-1}W,\quad \theta|_{U(\psi) \cap p^{-1}W})\] est égal au triplet associé à \(\psi : \mathcal{A}(W) \to \mathcal{B}(W)\) dans le Lemme 01MY, via les identifications \(p^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{A}(W))\) et \(q^{-1}W = \text{Proj}(\mathcal{B}(W))\) de la section 01NM.

Démonstration

Le lemme s’obtient en recollant les triplets locaux.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\) des \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées quasi-cohérentes. Posons \(X = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\), \(Y = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B})\) et \(Z = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{C})\). Soient \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(\psi : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des morphismes de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres graduées. On a \[U(\psi \circ \varphi) = r_\varphi^{-1}(U(\psi)) \quad \text{et} \quad r_{\psi \circ \varphi} = r_\varphi \circ r_\psi|_{U(\psi \circ \varphi)}.\] De plus, \[\theta_\psi \circ r_\psi^*\theta_\varphi = \theta_{\psi \circ \varphi}\] avec les notations évidentes.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Avec les hypothèses et notations du Lemme 07ZG, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit surjectif pour \(d \gg 0\). Alors

\(U(\psi) = Y\) ;

\(r_\psi : Y \to X\) est une immersion fermée ;

les morphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont surjectifs, mais ne sont pas des isomorphismes en général, même si \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est surjectif.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 07ZG et 01N0.

Lemme

Avec les hypothèses et notations du Lemme 07ZG, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit un isomorphisme pour tout \(d \gg 0\). Alors

\(U(\psi) = Y\) ;

\(r_\psi : Y \to X\) est un isomorphisme ;

les morphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 07ZG et 07ZE.

Lemme

Avec les hypothèses et notations du Lemme 07ZG, supposons que \(\mathcal{A}_d \to \mathcal{B}_d\) soit surjectif pour \(d \gg 0\) et que \(\mathcal{A}\) soit engendrée par \(\mathcal{A}_1\) sur \(\mathcal{A}_0\). Alors

\(U(\psi) = Y\) ;

\(r_\psi : Y \to X\) est une immersion fermée ;

les morphismes \(\theta : r_\psi^*\mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_Y(n)\) sont des isomorphismes.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 07ZG et 01N1.

Faisceaux inversibles et morphismes vers le Proj relatif

Le lemme suivant pourra nous être utile. Voici les données considérées :

\(S\) est un schéma.
\(\mathcal{A}\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente.
On note \(\pi : \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \to S\) le spectre homogène relatif sur \(S\).
\(f : X \to S\) est un morphisme de schémas.
\(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.
\(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres graduées.

Ces données étant fixées, posons \[U(\psi) = \bigcup\nolimits_{(U, V, a)} U_{\psi(a)}\] où \((U, V, a)\) vérifie les conditions suivantes :

\(V \subset S\) est un ouvert affine ;
\(U = f^{-1}(V)\) ;
\(a \in \mathcal{A}(V)_{+}\) est homogène.

On a alors \(\psi(a) \in \Gamma(U, \mathcal{L}^{\otimes \deg(a)})\), et \(U_{\psi(a)}\) est l’ouvert correspondant (voir Modules, Lemme 01CY).

Lemme

Avec les hypothèses et notations ci-dessus, le morphisme \(\psi\) induit un morphisme canonique de schémas sur \(S\) \[r_{\mathcal{L}, \psi} : U(\psi) \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\] muni d’un morphisme de \(\mathcal{O}_{U(\psi)}\)-algèbres graduées \[\theta : r_{\mathcal{L}, \psi}^*\left( \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}|_{U(\psi)}\] caractérisés par les propriétés suivantes :

Pour tout ouvert \(V \subset S\) et tout \(d \geq 0\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A}_d(V) \ar[d]_{\psi} \ar[r]_{\psi} & \Gamma(f^{-1}(V), \mathcal{L}^{\otimes d}) \ar[d]^{restrict} \\ \Gamma(\pi^{-1}(V), \mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})}(d)) \ar[r]^{\theta} & \Gamma(f^{-1}(V) \cap U(\psi), \mathcal{L}^{\otimes d}) }\] est commutatif.

Pour tout \(d \geq 1\) et tout sous-schéma ouvert \(W \subset X\) tels que \(\psi|_W : f^*\mathcal{A}_d|_W \to \mathcal{L}^{\otimes d}|_W\) soit surjectif, la restriction du morphisme \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) coïncide avec le morphisme \(W \to \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A})\) fourni par la construction du spectre homogène relatif ; voir la Définition 01O0.

Pour tout ouvert affine \(V \subset S\), la restriction \[(U(\psi) \cap f^{-1}(V), r_{\mathcal{L}, \psi}|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)}, \theta|_{U(\psi) \cap f^{-1}(V)})\] coïncide, via \(i_V\) (voir le Lemme 01NQ), avec le triplet \((U(\psi'), r_{\mathcal{L}, \psi'}, \theta')\) du Lemme 01NK associé à l’homomorphisme \(\psi' : A = \mathcal{A}(V) \to \Gamma_*(f^{-1}(V), \mathcal{L}|_{f^{-1}(V)})\) induit par \(\psi\).

Démonstration

On utilise la caractérisation (3) pour construire \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) et \(\theta\) localement sur \(S\), puis l’unicité du Lemme 01NK pour montrer que ces constructions se recollent. Nous omettons les détails.

Torsion par des faisceaux inversibles et Proj relatif

Soient \(S\) un schéma, \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{A}_d\) une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente et \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(S\). On obtient une autre \(\mathcal{O}_S\)-algèbre graduée quasi-cohérente en posant \[\mathcal{B} = \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{A}_d \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}^{\otimes d}\] Les spectres homogènes relatifs de \(\mathcal{A}\) et de \(\mathcal{B}\) sont isomorphes.

Lemme

Avec les notations \(S\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{B}\) ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \[\xymatrix{ P = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{A}) \ar[rr]_g \ar[rd]_\pi & & \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{B}) = P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & S & }\] ayant les propriétés suivantes :

Il existe des isomorphismes \(\theta_n : g^*\mathcal{O}_{P'}(n) \to \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\) qui forment un isomorphisme d’algèbres \(\mathbf{Z}\)-graduées \[\theta : g^*\left( \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{P'}(n) \right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}\]

Pour tout ouvert \(V \subset S\), les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{A}_n(V) \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}(V) \ar[r]_{multiply} \ar[d]^{\psi \otimes \pi^*} & \mathcal{B}_n(V) \ar[dd]^\psi \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n)) \otimes \Gamma(\pi^{-1}V, \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) \ar[d]^{multiply} \\ \Gamma(\pi^{-1}V, \mathcal{O}_P(n) \otimes \pi^*\mathcal{L}^{\otimes n}) & \Gamma(\pi'^{-1}V, \mathcal{O}_{P'}(n)) \ar[l]_-{\theta_n} }\] sont commutatifs.

Ajouter d’autres propriétés ici au besoin.

Démonstration

Lorsque \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_S\), il s’agit de l’identité. Dans le cas général, on choisit un recouvrement ouvert de \(S\) sur les éléments duquel \(\mathcal{L}\) se trivialise, puis on recolle les morphismes correspondants. Nous omettons les détails.

Fibrés projectifs

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{E}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-modules. Par Modules, Lemme 01CL, l’algèbre symétrique \(\text{Sym}(\mathcal{E})\) de \(\mathcal{E}\) sur \(\mathcal{O}_S\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_S\)-algèbres. Elle est engendrée en degré \(1\) sur \(\mathcal{O}_S\). On peut donc lui appliquer la construction de la section précédente, notamment les Lemmes 01NY et 01O4.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent³. On note \[\pi : \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_S(\text{Sym}(\mathcal{E})) \longrightarrow S\] et on l’appelle le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). Le symbole \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\) désigne le \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}\)-module inversible du Lemme 01O4, appelé le faisceau structural tordu d’indice \(n\).

D’après le Lemme 01NR, il existe des homomorphismes canoniques de \(\mathcal{O}_S\)-modules \[\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n) \quad\text{equivalently}\quad \pi^*\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n)\] pour tout \(n \geq 0\). En particulier, pour \(n = 1\), on a \[\mathcal{E} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1) \quad\text{equivalently}\quad \pi^*\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\] et \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) est surjectif par le Lemme 01O4. C’est une bonne façon de retenir la convention adoptée pour construire \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\).

Attention : certains ouvrages ne définissent \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) que lorsque \(\mathcal{E}\) est localement libre de rang fini sur \(S\). De plus, ils notent parfois \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) ce que nous notons \(\mathbf{P}(\mathcal{E}^\vee)\), où \(\mathcal{E}^\vee\) est le dual de \(\mathcal{E}\) (là encore, seulement lorsque \(\mathcal{E}\) est localement libre de rang fini).

Soient \(S\), \(\mathcal{E}\) et \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) comme dans la Définition 01OB. Soit \(f : T \to S\) un schéma sur \(S\) et soit \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\) une surjection, où \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module inversible. Le morphisme induit de \(\mathcal{O}_T\)-algèbres graduées \[f^*\text{Sym}(\mathcal{E}) = \text{Sym}(f^*\mathcal{E}) \to \text{Sym}(\mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n}\] correspond à un morphisme \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : T \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E})\] sur \(S\), d’après la construction du Proj relatif comme schéma représentant le foncteur \(F\) dans la section 01NS. Réciproquement, pour un morphisme \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) sur \(S\), on pose \(\mathcal{L} = \varphi^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) et on prend pour \(\psi : f^*\mathcal{E} \to \mathcal{L}\) l’image inverse par \(\varphi\) de la surjection canonique \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Par le Lemme 01O4, ces constructions sont des bijections réciproques entre les classes d’isomorphisme de couples \((\mathcal{L}, \psi)\) et les morphismes \(\varphi : T \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) sur \(S\). Ainsi, \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) représente le foncteur qui associe à \(f : T \to S\) l’ensemble des quotients comme \(\mathcal{O}_T\)-modules de \(f^*\mathcal{E}\) qui sont localement libres de rang \(1\).

Exemple

Soient \(k\) un corps et \(V\) un \(k\)-espace vectoriel. L’espace projectif correspondant est le \(k\)-schéma \[\mathbf{P}(V) = \text{Proj}(\text{Sym}(V))\] où \(\text{Sym}(V)\) est l’algèbre symétrique de \(V\) sur \(k\). On a bien sûr \(\mathbf{P}(V) \cong \mathbf{P}^n_k\) si \(\dim(V) = n + 1\), puisque l’algèbre symétrique de \(V\) est alors isomorphe à un anneau de polynômes en \(n + 1\) variables. Si l’on considère \(V\) comme un module quasi-cohérent sur \(\Spec(k)\), alors \(\mathbf{P}(V)\) est le fibré projectif correspondant sur \(\Spec(k)\). D’après ce qui précède, un \(k\)-point \(p\) de \(\mathbf{P}(V)\) correspond à une surjection de \(k\)-espaces vectoriels \(V \to L_p\), avec \(\dim(L_p) = 1\). Plus généralement, soient \(X\) un schéma sur \(k\), \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible et \(\psi : V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\) une application \(k\)-linéaire telle que \(\mathcal{L}\) soit engendré, comme \(\mathcal{O}_X\)-module, par les sections appartenant à l’image de \(\psi\). On obtient un morphisme canonique \[\varphi_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] de schémas sur \(k\), muni d’un isomorphisme \(\theta : \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1) \to \mathcal{L}\) tel que \(\psi\) coïncide avec la composée \[V \to \Gamma(\mathbf{P}(V), \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \varphi_{\mathcal{L}, \psi}^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1)) \to \Gamma(X, \mathcal{L})\] Voir le Lemme 01NK. Si \(V \subset \Gamma(X, \mathcal{L})\) est un sous-espace, nous noterons simplement \(\varphi_{\mathcal{L}, V}\) le morphisme ainsi construit. Si \(\dim(V) = n + 1\) et si l’on choisit une base \(v_0, \ldots, v_n\) de \(V\), le diagramme \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[rr]_{\varphi_{\mathcal{L}, \psi}} & & \mathbf{P}(V) \ar[d]^{\cong} \\ X \ar[rr]^{\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}} & & \mathbf{P}^n_k }\] est commutatif, où \(s_i = \psi(v_i) \in \Gamma(X, \mathcal{L})\), où \(\varphi_{(\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))}\) est défini comme dans la section 01ND, et où la flèche verticale de droite correspond à l’isomorphisme \(k[T_0, \ldots, T_n] \to \text{Sym}(V)\) envoyant \(T_i\) sur \(v_i\).

Exemple

Le morphisme \(\text{Sym}^n(\mathcal{E}) \to \pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(n))\) est un isomorphisme lorsque \(\mathcal{E}\) est localement libre, mais pas nécessairement dans le cas général. Nous allons donner un exemple où il n’est pas injectif pour \(n = 1\). Posons \(S = \Spec(A)\), avec \[A = k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/I\] où \(k\) est un corps et \[I = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1).\] Notons \(\overline{u}\) la classe de \(u\) dans \(A\), et de même pour les autres variables. Soit \(M = (Ax \oplus Ay)/A(\overline{u}x + \overline{v}y)\), de sorte que \[\text{Sym}(M) = A[x, y]/(\overline{u}x + \overline{v}y) = k[x, y, u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]/J\] où \[J = (-us_1 + vt_1 + ut_2, vs_1 + us_2 - vt_2, vs_2, ut_1, ux + vy).\] Le fibré projectif associé au faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{E} = \widetilde{M}\) sur \(S = \Spec(A)\) est alors le schéma \[P = \text{Proj}(\text{Sym}(M)).\] Il admet le recouvrement ouvert affine \(P = D_{+}(x) \cup D_{+}(y)\). Considérons l’élément \(m \in M\) qui est l’image de \(us_1x + vt_2y\). On a \[x(us_1x + vt_2y) = (s_1x + s_2y)(ux + vy) \bmod I\] et \[y(us_1x + vt_2y) = (t_1x + t_2y)(ux + vy) \bmod I.\] La première égalité montre que \(m\) s’envoie sur la section nulle de \(\mathcal{O}_P(1)\) sur \(D_{+}(x)\) ; la seconde montre que son image dans \(\mathcal{O}_P(1)\) est nulle sur \(D_{+}(y)\). Ainsi, l’image de \(m\) dans \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) est nulle. Montrons pourtant que \(m \not = 0\) : \(m\) donnera ainsi une section globale non nulle de \(\mathcal{E}\) dont l’image dans \(\Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) est nulle. Supposons \(m = 0\) pour obtenir une contradiction. Il existe alors \(f \in k[u, v, s_1, s_2, t_1, t_2]\) tel que \[us_1x + vt_2y = f(ux + vy) \bmod I\] Puisque \(I\) est engendré par des polynômes homogènes de degré \(2\), on peut décomposer \(f\) en composantes homogènes et ne conserver que celle de degré 1. Autrement dit, on peut supposer \[f = au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2\] avec \(a, b, \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in k\). On obtient les conditions \[\begin{matrix} us_1 - u(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(au + bv + \alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] Il n’y a aucun terme \(u^2, uv, v^2\) dans les générateurs de \(I\) ; on a donc \(a = b = 0\). Il reste les relations \[\begin{matrix} us_1 - u(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \\ vt_2 - v(\alpha_1s_1 + \alpha_2s_2 + \beta_1t_1 + \beta_2t_2) \in I \end{matrix}\] Le premier générateur de \(I\) permet de remplacer \(us_1\) par \(vt_1 + ut_2\), le deuxième générateur de \(I\) de remplacer \(vs_1\) par \(-us_2 + vt_2\), le troisième d’éliminer \(vs_2\), et le troisième d’éliminer \(ut_1\). On obtient \[\begin{matrix} (1 - \alpha_1)vt_1 + (1 - \alpha_1)ut_2 - \alpha_2us_2 - \beta_2ut_2 = 0 \\ (1 - \alpha_1)vt_2 + \alpha_1us_2 - \beta_1vt_1 - \beta_2vt_2 = 0 \end{matrix}\] Ces relations imposent à \(\alpha_1\) d’être à la fois égal à \(0\) et à \(1\), ce qui donne la contradiction cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Le morphisme structural \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) \to S\) d’un fibré projectif sur \(S\) est séparé.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 01O2.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(n \geq 0\). Alors \(\mathbf{P}^n_S\) est un fibré projectif sur \(S\).

Démonstration

On a \[\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]) = \underline{\text{Proj}}_{\Spec(\mathbf{Z})} \left(\widetilde{\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]}\right)\] où l’anneau \(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n]\) est gradué par \(\deg(T_i) = 1\), les éléments de \(\mathbf{Z}\) étant de degré \(0\). Rappelons que \(\mathbf{P}^n_S\) est défini comme \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} S\). De plus, la formation du spectre homogène relatif commute au changement de base ; voir le Lemme 01O3. Pour tout schéma \(g : S \to \Spec(\mathbf{Z})\), on a \(g^*\mathcal{O}_{\Spec(\mathbf{Z})}[T_0, \ldots, T_n] = \mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]\). En combinant ces observations, on obtient \[\mathbf{P}^n_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n]).\] Enfin, \(\mathcal{O}_S[T_0, \ldots, T_n] = \text{Sym}(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1})\). Ainsi, \(\mathbf{P}^n_S\) est un fibré projectif sur \(S\).

Grassmanniennes

Dans cette section, nous introduisons les foncteurs grassmanniens usuels et montrons qu’ils sont représentables par des schémas. Fixons des entiers \(k\), \(n\) tels que \(0 < k < n\). Nous allons construire un foncteur [089S]\[\begin{equation} G(k, n) : \Sch \longrightarrow \textit{Ensembles} \end{equation}\] qui, en termes approximatifs, paramétrera les sous-espaces de dimension \(k\) d’un espace de dimension \(n\). Pour des raisons techniques, il est cependant plus commode de paramétrer les quotients de dimension \((n - k)\) ; c’est la convention que nous adopterons.

Plus précisément, \(G(k, n)\) associe à un schéma \(S\) l’ensemble \(G(k, n)(S)\) des classes d’isomorphisme de surjections \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\] où \(\mathcal{Q}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(n - k\). Il s’agit bien d’un ensemble : cela résulte, par exemple, de Modules, Lemme 01BC, ou du fait que la classe d’isomorphisme de \(q\) est déterminée par le noyau de \(q\) (et que les sous-faisceaux d’un faisceau donné forment un ensemble). À un morphisme de schémas \(f : T \to S\), on associe l’application \(G(k, n)(f) : G(k, n)(S) \to G(k, n)(T)\) envoyant la classe de \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{Q}\) sur celle de \(f^*q : \mathcal{O}_T^{\oplus n} \longrightarrow f^*\mathcal{Q}\). Cette définition a un sens, car (1) \(f^*\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_T\), (2) \(f^*\) est additif, (3) \(f^*\) préserve les modules localement libres (Modules, Lemme 01C8) et (4) \(f^*\) est exact à droite (Modules, Lemme 01AJ).

Lemme

Soit \(0 < k < n\). Le foncteur \(G(k, n)\) de (089S) est représentable par un schéma.

Démonstration

Posons \(F = G(k, n)\) et appliquons le critère de Schémas, Lemme 01JJ. Le foncteur \(F\) est un faisceau pour la topologie de Zariski parce que l’on peut recoller les faisceaux ; voir Faisceaux, section 00AK (certains détails sont omis).

La famille de sous-foncteurs \(F_i\). Soit \(I\) l’ensemble des parties de \(\{1, \ldots, n\}\) de cardinal \(n - k\). Pour un schéma \(S\) et \(j \in \{1, \ldots, n\}\), notons \(e_j\) la section globale \[e_j = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\quad(1\text{ in }j\text{th spot})\] de \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\). Ces sections forment une base de \(\mathcal{O}_S^{\oplus n}\). De même, pour \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\), notons \(f_j\) la section globale de \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\) dont toutes les composantes sont nulles, sauf la \(j\)-ième qui vaut \(1\). Pour \(i \in I\), soit \[s_i : \mathcal{O}_S^{\oplus n - k} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n}\] la somme directe des injections canoniques \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S^{\oplus n}\) correspondant aux éléments de \(I\). Plus précisément, si \(i = \{i_1, \ldots, i_{n - k}\}\) avec \(i_1 < i_2 < \ldots < i_{n - k}\), le morphisme \(s_i\) envoie \(f_j\) sur \(e_{i_j}\) pour \(j \in \{1, \ldots, n - k\}\). On pose \[F_i(S) = \{q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q} \in F(S) \mid q \circ s_i \text{ is surjective}\} \subset F(S)\] Pour un morphisme de schémas \(f : T \to S\), l’image inverse \(f^*s_i\) est le morphisme correspondant sur \(T\). Puisque \(f^*\) est exact à droite (Modules, Lemme 01AJ), on en déduit que \(F_i\) est un sous-foncteur de \(F\).

Représentabilité de \(F_i\). Après renumérotation, on peut supposer \(i = \{1, \ldots, n - k\}\) ; ainsi, \(s_i\) est l’inclusion des \(n - k\) premiers facteurs directs. Si \(q \circ s_i\) est surjectif, alors \(q \circ s_i\) est un isomorphisme, puisqu’il s’agit d’un morphisme surjectif entre modules localement libres de même rang fini (Modules, Lemme 089Q). Pour \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) dans \(F_i(S)\), on peut donc utiliser \(q \circ s_i\) pour identifier \(\mathcal{Q}\) à \(\mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\). On obtient ainsi \[q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \longrightarrow \mathcal{O}_S^{\oplus n - k}\] qui envoie \(e_j\) sur \(f_j\) pour \(j = 1, \ldots, n - k\), avec les notations ci-dessus. Pour déterminer entièrement \(q\), il reste à choisir les images \(q(e_{n - k + 1}), \ldots, q(e_n)\) dans \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\). Ainsi, \(F_i\) est isomorphe au foncteur \[S \longmapsto \prod\nolimits_{j = n - k + 1, \ldots, n} \Gamma(S, \mathcal{O}_S^{\oplus n - k})\] qui est lui-même isomorphe au produit de \(k(n - k)\) copies du foncteur \(S \mapsto \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). Ce dernier est représentable par \(\mathbf{A}^1_\mathbf{Z}\), d’après Schémas, Exemple 01JH. Par conséquent, \(F_i\) est représentable par \(\mathbf{A}^{k(n - k)}_\mathbf{Z}\), puisque le produit fibré sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) est le produit dans la catégorie des schémas.

L’inclusion \(F_i \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes. Soient \(S\) un schéma et \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) un élément de \(F(S)\). Par Modules, Lemme 01B8, l’ensemble \(U_i = \{s \in S \mid (q \circ s_i)_s\text{ surjective}\}\) est ouvert dans \(S\). Puisque \(\mathcal{O}_{S, s}\) est un anneau local et \(\mathcal{Q}_s\) un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module de type fini, le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV) donne \[s \in U_i \Leftrightarrow \left( \text{the map } \kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s \text{ induced by } (q \circ s_i)_s \text{ is surjective} \right)\] Soient \(f : T \to S\) un morphisme de schémas et \(t \in T\) un point d’image \(s \in S\). On a \((f^*\mathcal{Q})_t = \mathcal{Q}_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{T, t}\) (Faisceaux, Lemme 0098), et de même pour les morphismes correspondants. Ainsi, l’application \[\kappa(t)^{\oplus n - k} \to (f^*\mathcal{Q})_t/\mathfrak m_t(f^*\mathcal{Q})_t\] induite par \((f^*q \circ f^*s_i)_t\) s’obtient par changement de base de l’application \(\kappa(s)^{\oplus n - k} \to \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\) ci-dessus suivant l’extension de corps \(\kappa(t)/\kappa(s)\). Il en résulte que \(s \in U_i\) si et seulement si \(t\) appartient à l’ouvert correspondant pour \(f^*q\). En particulier, \(T \to S\) se factorise par \(U_i\) si et seulement si \(f^*q \in F_i(T)\), comme voulu.

La famille des \(F_i\), \(i \in I\), recouvre \(F\). Soit \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n} \to \mathcal{Q}\) un élément de \(F(S)\). Il faut montrer que, pour tout point \(s\) de \(S\), il existe \(i \in I\) tel que \(s_i\) soit surjectif dans un voisinage de \(s\). Il suffit donc de montrer que l’une des composées \[\kappa(s)^{\oplus n - k} \xrightarrow{s_i} \kappa(s)^{\oplus n} \rightarrow \mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\] est surjective (voir le paragraphe précédent). Comme \(\mathcal{Q}_s/\mathfrak m_s\mathcal{Q}_s\) est un espace vectoriel de dimension \(n - k\), cela résulte de l’algèbre linéaire.

Définition

Soit \(0 < k < n\). Le schéma \(\mathbf{G}(k, n)\) représentant le foncteur \(G(k, n)\) est appelé la grassmannienne sur \(\mathbf{Z}\). Son changement de base \(\mathbf{G}(k, n)_S\) à un schéma \(S\) est appelé la grassmannienne sur \(S\). Si \(R\) est un anneau, le changement de base à \(\Spec(R)\) est noté \(\mathbf{G}(k, n)_R\) et appelé la grassmannienne sur \(R\).

Cette définition a un sens, puisque la représentabilité de ces foncteurs a été démontrée dans le Lemme 089T.

Lemme

Soit \(n \geq 1\). Il existe un isomorphisme canonique \(\mathbf{G}(n, n + 1) = \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\).

Démonstration

D’après le Lemme 01NE, le schéma \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\) représente le foncteur qui associe à un schéma \(S\) l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples \((\mathcal{L}, (s_0, \ldots, s_n))\) formés d’un module inversible \(\mathcal{L}\) et de \((n + 1)\) sections globales qui engendrent \(\mathcal{L}\). Un tel couple définit un quotient \[\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \longrightarrow \mathcal{L},\quad (h_0, \ldots, h_n) \longmapsto \sum h_i s_i.\] Réciproquement, un élément \(q : \mathcal{O}_S^{\oplus n + 1} \to \mathcal{Q}\) de \(G(n, n + 1)(S)\) donne le couple \((\mathcal{Q}, (q(e_1), \ldots, q(e_{n + 1})))\). Ici, les \(e_i\), \(i = 1, \ldots, n + 1\), sont les sections de la base canonique du module libre \(\mathcal{O}_S^{\oplus n + 1}\). Nous omettons la vérification que ces constructions définissent des transformations de foncteurs réciproques.

Le lecteur pourrait s’attendre à ce que l’on suppose ici \(\mathcal{E}\) localement libre de type fini. Nous ne le faisons pas, afin de rester cohérents avec [EGA, II, définition 1.7.8].↩︎
On impose souvent que \(\mathcal{A}\) soit engendrée par \(\mathcal{A}_1\) sur \(\mathcal{O}_S\). Nous ne le supposons pas, afin de rester cohérents avec [EGA, II, (8.3.1)].↩︎
Le lecteur pourrait s’attendre à la condition que \(\mathcal{E}\) soit localement libre de rang fini. Nous ne l’imposons pas, afin de rester cohérents avec [EGA, II, définition 4.1.1].↩︎

Traduction française restaurée et lecteur historique