Introduction
Ce chapitre est consacré à des généralités sur les groupoïdes et leurs quotients (dans la mesure où ceux-ci existent). Il existe une abondante littérature sur ce sujet ; voir par exemple [GIT], [seshadri_quotients], [KollarQuotients], [K-M], [KollarFinite], et bien d’autres références.
Conventions et notation
Dans ce chapitre, les conventions et la notation sont celles introduites dans Groupoïdes in Espaces, sections 0439 et 043A.
Morphismes invariants
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation d’espaces algébriques sur \(B\). On dit qu’un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est \(R\)-invariant si le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d]^\phi \\ U \ar[r]^\phi & X }\] est commutatif. Si \(j : R \to U \times_B U\) provient de l’action d’un espace algébrique en groupes \(G\) sur \(U\) au-dessus de \(B\), comme dans Groupoïdes in Espaces, lemme 0444, on dit alors que \(\phi\) est \(G\)-invariant.
Autrement dit, un morphisme \(U \to X\) est \(R\)-invariant s’il égalise \(s\) et \(t\). On peut reformuler ceci à l’aide des faisceaux quotients associés, comme suit.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation d’espaces algébriques sur \(B\). Un morphisme d’espaces algébriques \(\phi : U \to X\) est \(R\)-invariant si et seulement s’il se factorise sous la forme \(U \to U/R \to X\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement de la définition du faisceau quotient donnée dans Groupoïdes in Espaces, section 044H.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(X' \to X\) un morphisme quelconque d’espaces algébriques.
En posant \(U' = X' \times_X U\), \(R' = X' \times_X R\), on obtient une prérelation \(j' : R' \to U' \times_B U'\).
Si \(j\) est une relation, alors \(j'\) est une relation.
Si \(j\) est une prérelation d’équivalence, alors \(j'\) est une prérelation d’équivalence.
Si \(j\) est une relation d’équivalence, alors \(j'\) est une relation d’équivalence.
Si \(j\) provient d’un groupoïde en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\) sur \(B\), alors
\((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques sur \(X\), et
\(j'\) provient du changement de base \((U', R', s', t', c')\) de ce groupoïde à \(X'\) ; voir Groupoïdes in Espaces, lemme 0DTA.
Si \(j\) provient de l’action d’un espace algébrique en groupes \(G/B\) sur \(U\), comme dans Groupoïdes in Espaces, lemme 0444, alors \(j'\) provient de l’action induite de \(G\) sur \(U'\).
Démonstration
Omise. Indication : combiner le point de vue fonctoriel avec le diagramme \[\xymatrix{ R' = X' \times_X R \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd] & & X' \times_X U = U' \ar'[d][dd] \ar[rd] \\ & R \ar[dd] \ar[rr] & & U \ar[dd] \\ U' = X' \times_X U \ar'[r][rr] \ar[rd] & & X' \ar[rd] \\ & U \ar[rr] & & X }\]
Définition
Dans la situation du lemme 048G, on appelle \(j' : R' \to U' \times_B U'\) le changement de base de la prérelation \(j\) à \(X'\). On dit que c’est un changement de base plat si \(X' \to X\) est un morphisme plat d’espaces algébriques.
Ce type de changement de base se comporte bien avec la formation des faisceaux quotients et des champs quotients.
Lemme
Dans la situation du lemme 048G, il existe un isomorphisme de faisceaux \[U'/R' = X' \times_X U/R\] Pour la construction des faisceaux quotients, voir Groupoïdes in Espaces, section 044H.
Démonstration
Puisque \(U \to X\) est \(R\)-invariant, il est clair que l’application \(U \to X\) se factorise par le faisceau quotient \(U/R\). Rappelons que, par définition, \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & U/R }\] est un diagramme coégalisateur dans la catégorie \(\Sh\) des faisceaux d’ensembles sur \((\Sch/S)_{fppf}\). En fait, c’est un diagramme coégalisateur dans la catégorie au-dessus \(\Sh/X\). Puisque le foncteur de changement de base \(X' \times_X - : \Sh/X \to \Sh/X'\) est exact (ce qui est vrai dans tout topos), on conclut.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(B\). Soit \(U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(g : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\) et soit \((U', R', s', t', c')\) le changement de base défini dans le lemme 048G. Alors \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[r] \ar[d] & [U/R] \ar[d] \\ \mathcal{S}_{X'} \ar[r] & \mathcal{S}_X }\] est un \(2\)-produit fibré de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour la construction des champs quotients et des morphismes de ce diagramme, voir Groupoïdes in Espaces, section 044O.
Démonstration
Nous allons le démontrer en utilisant la description explicite des champs quotients donnée dans Groupoïdes in Espaces, lemme 044X. Nous encourageons néanmoins vivement le lecteur à trouver sa propre démonstration. Tout d’abord, on peut considérer \((U, R, s, t, c)\) comme un groupoïde en espaces algébriques sur \(X\), d’où une application \(f : [U/R] \to \mathcal{S}_X\) ; voir Groupoïdes in Espaces, lemme 044R. De même, on a \(f' : [U'/R'] \to X'\).
Un objet du \(2\)-produit fibré \(\mathcal{S}_{X'} \times_{\mathcal{S}_X} [U/R]\) au-dessus d’un schéma \(T\) sur \(S\) revient à un morphisme \(x' : T \to X'\) et à un objet \(y\) de \([U/R]\) au-dessus de \(T\) tels que la composée \(g \circ x'\) soit égale à \(f(y)\). Cela a un sens, car les objets de \(\mathcal{S}_X\) au-dessus de \(T\) sont les morphismes \(T \to X\). D’après Groupoïdes in Espaces, lemme 044X, on peut supposer que \(y\) est donné par une donnée de descente \([U/R]\), \((u_i, r_{ij})\), relative à un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\). L’égalité \(g \circ x' = f(y)\) signifie que les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ T_i \ar[rr]_{u_i} \ar[d] & & U \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' \ar[r]^g & X } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ T_i \times_T T_j \ar[rr]_{r_{ij}} \ar[d] & & R \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' \ar[r]^g & X } }\] sont commutatifs.
D’autre part, d’après Groupoïdes in Espaces, lemme 044X, un objet \(y'\) de \([U'/R']\) au-dessus d’un schéma \(T\) sur \(S\) est donné par une donnée de descente \([U'/R']\), \((u'_i, r'_{ij})\), relative à un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\). En posant \(f'(y') = x' : T \to X'\), on voit que les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ T_i \ar[r]_{u'_i} \ar[d] & U' \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ T_i \times_T T_j \ar[r]_{r'_{ij}} \ar[d] & U' \ar[d] \\ T \ar[r]^{x'} & X' } }\] sont commutatifs.
Ces notations étant posées, on définit un foncteur \[[U'/R'] \longrightarrow \mathcal{S}_{X'} \times_{\mathcal{S}_X} [U/R]\] en envoyant \(y' = (u'_i, r'_{ij})\), comme ci-dessus, sur l’objet \((x', (u_i, r_{ij}))\), où \(x' = f'(y')\), où \(u_i\) est la composée \(T_i \to U' \to U\), et où \(r_{ij}\) est la composée \(T_i \times_T T_j \to R' \to R\). Réciproquement, étant donné un objet \((x', (u_i, r_{ij})\) du membre de droite, on peut l’envoyer sur l’objet \(((x', u_i), (x', r_{ij}))\) du membre de gauche. Nous omettons d’indiquer ce qu’il faut faire des morphismes (cela fonctionne exactement de la même manière).
Quotients catégoriques
C’est le type de quotient le plus élémentaire que l’on puisse considérer.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation en espaces algébriques sur \(B\).
On dit qu’un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est un quotient catégorique s’il est \(R\)-invariant et si, pour tout morphisme \(R\)-invariant \(\psi : U \to Y\) d’espaces algébriques sur \(B\), il existe un unique morphisme \(\chi : X \to Y\) tel que \(\psi = \phi \circ \chi\).
Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces algébriques sur \(B\). Supposons que \(U\), \(R\) soient des objets de \(\mathcal{C}\). Dans cette situation, on dit qu’un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est un quotient catégorique dans \(\mathcal{C}\) si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), si \(\phi\) est \(R\)-invariant, et si, pour tout morphisme \(R\)-invariant \(\psi : U \to Y\) avec \(Y \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un unique morphisme \(\chi : X \to Y\) tel que \(\psi = \phi \circ \chi\).
Si \(B = S\) et si \(\mathcal{C}\) est la catégorie des schémas sur \(S\), on dit alors que \(U \to X\) est un quotient catégorique dans la catégorie des schémas, ou simplement un quotient catégorique en schémas.
On distingue souvent une catégorie \(\mathcal{C}\) d’espaces algébriques sur \(B\) par un axiome de séparation ; voir l’exemple 049V pour quelques cas usuels. Remarquons que \(\phi : U \to X\) est un quotient catégorique si et seulement si \(U \to X\) est un coégalisateur des morphismes \(t, s : R \to U\) dans la catégorie. On en déduit immédiatement le lemme suivant.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation en espaces algébriques sur \(B\). S’il existe un quotient catégorique dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\), il est unique à isomorphisme unique près. Il en va de même pour les quotients catégoriques dans les sous-catégories pleines de \(\textit{Espaces}/B\).
Démonstration
Voir Catégories, section 0029.
Exemple
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Voici quelques exemples usuels de catégories \(\mathcal{C}\) qui se présentent fréquemment lorsqu’on applique la définition 048J :
\(\mathcal{C}\) est la catégorie de tous les espaces algébriques sur \(B\) ;
\(B\) est séparé et \(\mathcal{C}\) est la catégorie de tous les espaces algébriques séparés sur \(B\) ;
\(B\) est quasi-séparé et \(\mathcal{C}\) est la catégorie de tous les espaces algébriques quasi-séparés sur \(B\) ;
\(B\) est localement séparé et \(\mathcal{C}\) est la catégorie de tous les espaces algébriques localement séparés sur \(B\) ;
\(B\) est décent et \(\mathcal{C}\) est la catégorie de tous les espaces algébriques décents sur \(B\) ; enfin,
\(S = B\) et \(\mathcal{C}\) est la catégorie des schémas sur \(S\).
Dans ces cas, si \(\phi : U \to X\) est un quotient catégorique, on dit que \(U \to X\) est (1) un quotient catégorique, (2) un quotient catégorique dans les espaces algébriques séparés, (3) un quotient catégorique dans les espaces algébriques quasi-séparés, (4) un quotient catégorique dans les espaces algébriques localement séparés, (5) un quotient catégorique dans les espaces algébriques décents, (6) un quotient catégorique en schémas.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces algébriques sur \(B\), stable par produits fibrés. Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation dans \(\mathcal{C}\), et soit \(U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant avec \(X \in \Ob(\mathcal{C})\).
On dit que \(U \to X\) est un quotient catégorique universel dans \(\mathcal{C}\) si, pour tout morphisme \(X' \to X\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme \(U' = X' \times_X U \to X'\) est le quotient catégorique dans \(\mathcal{C}\) du changement de base \(j' : R' \to U'\) de \(j\).
On dit que \(U \to X\) est un quotient catégorique uniforme dans \(\mathcal{C}\) si, pour tout morphisme plat \(X' \to X\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme \(U' = X' \times_X U \to X'\) est le quotient catégorique dans \(\mathcal{C}\) du changement de base \(j' : R' \to U'\) de \(j\).
Lemme
Dans la situation de la définition 048J, si \(\phi : U \to X\) est un quotient catégorique et si \(U\) est réduit, alors \(X\) est réduit. Le même énoncé vaut pour les quotients catégoriques dans les catégories d’espaces \(\mathcal{C}\) énumérées dans l’exemple 049V.
Démonstration
Soit \(X_{red}\) la réduction de l’espace algébrique \(X\). Puisque \(U\) est réduit, le morphisme \(\phi : U \to X\) se factorise par \(i : X_{red} \to X\) (Propriétés des espaces algébriques, lemme 03JJ). Notons ce morphisme \(\phi_{red} : U \to X_{red}\). Comme \(\phi \circ s = \phi \circ t\), on voit aussi que \(\phi_{red} \circ s = \phi_{red} \circ t\) (car \(i : X_{red} \to X\) est un monomorphisme). La propriété universelle de \(\phi\) donne donc un morphisme \(\chi : X \to X_{red}\) tel que \(\phi_{red} = \phi \circ \chi\). Par unicité, on voit que \(i \circ \chi = \text{id}_X\) et \(\chi \circ i = \text{id}_{X_{red}}\). Ainsi, \(i\) est un isomorphisme et \(X\) est réduit.
Pour voir que cet argument fonctionne dans une catégorie \(\mathcal{C}\), il suffit de montrer que la réduction d’un objet de \(\mathcal{C}\) est un objet de \(\mathcal{C}\). Nous omettons de vérifier que c’est le cas pour chacun des exemples usuels.
Quotients comme espaces d’orbites
Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation. Si \(j\) est une prérelation d’équivalence, alors, de façon informelle, les « orbites » de \(R\) dans \(U\) sont les sous-ensembles \(t(s^{-1}(\{u\}))\) de \(U\). Cependant, si \(j\) n’est qu’une prérelation, il faut prendre la relation d’équivalence engendrée par \(R\).
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\). Si \(u \in |U|\), alors l’orbite, ou plus précisément l’ \(R\)-orbite de \(u\), est \[O_u = \left\{ u' \in |U|\ : \begin{matrix} \exists n \geq 1, \ \exists u_0, \ldots, u_n \in |U|\text{ tels que } u_0 = u \text{ et } u_n = u' \\ \text{et, pour tout }i \in \{0, \ldots, n - 1\},\text{ soit } u_i = u_{i + 1}\text{ or } \\ \exists r \in |R|, \ s(r) = u_i, t(r) = u_{i + 1} \text{ or } \\ \exists r \in |R|, \ t(r) = u_i, s(r) = u_{i + 1} \end{matrix} \right\}\]
Il est clair que ce sont les classes d’équivalence d’une relation d’équivalence, c’est-à-dire que \(u' \in O_u\) si et seulement si \(u \in O_{u'}\). Le lemme suivant est une reformulation de Groupoïdes in Espaces, lemme 043F.
Lemme
Soit \(B \to S\) comme dans la section 048C. Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation d’équivalence d’espaces algébriques sur \(B\). Alors \[O_u = \{u' \in |U| \text{ tel qu'il existe } r \in |R|, \ s(r) = u, \ t(r) = u'\}.\]
Démonstration
D’après le lemme précité de Groupoïdes in Espaces, lemme 043F, les orbites \(O_u\) définies dans le lemme donnent une décomposition de \(|U|\) en réunion disjointe. Elles sont donc égales aux orbites définies dans la définition 048N.
Lemme
Dans la situation de la définition 048N, soit \(\phi : U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant d’espaces algébriques sur \(B\). Alors \(|\phi| : |U| \to |X|\) est constant sur les orbites.
Démonstration
Il suffit de montrer que \(\phi(u) = \phi(u')\) pour tous \(u, u' \in |U|\) tels qu’il existe \(r \in |R|\) vérifiant \(s(r) = u\) et \(t(r) = u'\). Cela est clair puisque \(\phi\) égalise \(s\) et \(t\).
L’utilisation des orbites \(O_u \subset |U|\) pour caractériser les propriétés des applications quotients présente plusieurs difficultés. En voici une. Supposons que \(\Spec(k) \to B\) soit un point géométrique de \(B\). Considérons l’application canonique \[U(k) \longrightarrow |U|.\] En général, les classes d’équivalence de la relation d’équivalence engendrée par \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\) ne sont pas les images réciproques des orbites \(O_u \subset |U|\). Un exemple élémentaire consiste à prendre \(S = B = \Spec(\mathbf{Z})\), \(U = R = \Spec(k)\) avec \(s = t = \text{id}_k\). Alors \(|U| = |R|\) se réduit à un point, mais \(U(k)/R(k)\) est énorme. Un exemple plus intéressant consiste à prendre \(S = B = \Spec(\mathbf{Q})\), à choisir des corps de nombres \(K \subset L\), puis à poser \(U = \Spec(L)\) et \(R = \Spec(L \otimes_K L)\), avec les applications évidentes \(s, t : R \to U\). Dans ce cas, \(|U|\) n’a toujours qu’un point, mais le quotient \[U(k)/R(k) = \Hom(K, k)\] contient plus d’un élément. Ces deux exemples montrent que, si \(U \to X\) est une application \(R\)-invariante et si l’on veut qu’elle « sépare les orbites », on obtient une notion beaucoup plus forte et intéressante en considérant les applications induites \(U(k) \to X(k)\) et en exigeant que ces applications séparent les orbites.
Cette formulation présente encore une difficulté. Supposons en effet que \(S = B = \Spec(\mathbf{R})\), \(U = \Spec(\mathbf{C})\), et \(R = \Spec(\mathbf{C}) \amalg \Spec(K)\) pour une extension de corps \(\sigma : \mathbf{C} \to K\). Les applications \(s, t\) sont données par l’identité sur la composante \(\Spec(\mathbf{C})\), mais, sur la seconde composante, elles sont données par \(\sigma, \sigma \circ \tau\), où \(\tau\) est la conjugaison complexe. Si \(K\) est une extension non triviale de \(\mathbf{C}\), les deux points \(1, \tau \in U(\mathbf{C})\) ne sont pas équivalents modulo \(j(R(\mathbf{C}))\). Toutefois, après avoir choisi une extension \(\mathbf{C} \subset \Omega\) de cardinal suffisamment grand (par exemple supérieur au cardinal de \(K\)), les images de \(1, \tau \in U(\mathbf{C})\) dans \(U(\Omega)\) deviennent équivalentes ! Intuitivement, il semble clair que cela se produit soit parce que \(s, t : R \to U\) ne sont pas localement de type fini, soit parce que le cardinal du corps \(k\) n’est pas assez grand.
Compte tenu de ce qui précède, posons la définition suivante.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\). Soit \(\Spec(k) \to B\) un point géométrique de \(B\).
On dit que \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) sont faiblement \(R\)-équivalents s’ils appartiennent à la même classe d’équivalence pour la relation d’équivalence engendrée par la relation \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\).
On dit que \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) sont \(R\)-équivalents si, pour un surcorps \(k \subset \Omega\), leurs images dans \(U(\Omega)\) sont faiblement \(R\)-équivalentes.
L’orbite faible, ou plus précisément l’\(R\)-orbite faible, de \(\overline{u} \in U(k)\) est l’ensemble de tous les éléments de \(U(k)\) faiblement \(R\)-équivalents à \(\overline{u}\).
L’orbite, ou plus précisément l’\(R\)-orbite, de \(\overline{u} \in U(k)\) est l’ensemble de tous les éléments de \(U(k)\) qui sont \(R\)-équivalents à \(\overline{u}\).
On verra que, dans les cas favorables, orbites et orbites faibles coïncident ; voir le lemme 048U. Le lemme suivant illustre la différence dans le cas particulier d’une prérelation d’équivalence.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\Spec(k) \to B\) un point géométrique de \(B\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation d’équivalence sur \(B\). Dans ce cas, l’orbite faible de \(\overline{u} \in U(k)\) est simplement \[\{ \overline{u}' \in U(k) \text{ tel que } \exists \overline{r} \in R(k), \ s(\overline{r}) = \overline{u}, \ t(\overline{r}) = \overline{u}' \}\] et l’orbite de \(\overline{u} \in U(k)\) est \[\{ \overline{u}' \in U(k) : \exists\text{ field extension }K/k, \ \exists\ r \in R(K), \ s(r) = \overline{u}, \ t(r) = \overline{u}'\}\]
Démonstration
Cela résulte du fait que, par définition d’une prérelation d’équivalence, l’image \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\) est une relation d’équivalence.
Décrivons le procédé qui transforme toute prérelation en une prérelation d’équivalence. Nous utiliserons les morphismes [048S]\[\begin{equation} \begin{matrix} j_{diag} & : & U & \longrightarrow & U \times_B U, & u & \longmapsto & (u, u) \\ j_{flip} & : & R & \longrightarrow & U \times_B U, & r & \longmapsto & (s(r), t(r)) \\ j_{comp} & : & R \times_{s, U, t} R & \longrightarrow & U \times_B U, & (r, r') & \longmapsto & (t(r), s(r')) \end{matrix} \end{equation}\] On définit \(j_1 = (t_1, s_1) : R_1 \to U \times_B U\) comme étant le morphisme \[j \amalg j_{diag} \amalg j_{flip} : R \amalg U \amalg R \longrightarrow U \times_B U\] avec les notations de l’équation (048S). Pour \(n > 1\), on pose \[j_n = (t_n, s_n) : R_n = R_1 \times_{s_1, U, t_{n - 1}} R_{n - 1} \longrightarrow U \times_B U\] où \(t_n\) provient de \(t_1\) précomposé avec la projection sur \(R_1\), et \(s_n\) de \(s_{n - 1}\) précomposé avec la projection sur \(R_{n - 1}\). Enfin, on note \[j_\infty = (t_\infty, s_\infty) : R_\infty = \coprod\nolimits_{n \geq 1} R_n \longrightarrow U \times_B U.\]
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\). Alors \(j_\infty : R_\infty \to U \times_B U\) est une prérelation d’équivalence sur \(B\). De plus,
\(\phi : U \to X\) est \(R\)-invariant si et seulement s’il est \(R_\infty\)-invariant ;
l’application canonique de faisceaux quotients \(U/R \to U/R_\infty\) (voir Groupoïdes in Espaces, section 044H) est un isomorphisme ;
les \(R\)-orbites faibles coïncident avec les \(R_\infty\)-orbites faibles ;
les \(R\)-orbites coïncident avec les \(R_\infty\)-orbites ;
si \(s, t\) sont localement de type fini, alors \(s_\infty\), \(t_\infty\) sont localement de type fini ;
ajouter ici d’autres propriétés au besoin.
Démonstration
Omise. Indication pour (5) : toute propriété de \(s, t\) stable par composition, stable par changement de base et locale pour la topologie de Zariski sur la source est héritée par \(s_\infty, t_\infty\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\). Soit \(\Spec(k) \to B\) un point géométrique de \(B\).
Si \(s, t : R \to U\) sont localement de type fini, alors l’équivalence \(R\)-faible sur \(U(k)\) coïncide avec l’\(R\)-équivalence, et les \(R\)-orbites faibles coïncident avec les \(R\)-orbites dans \(U(k)\).
Si \(k\) est de cardinal suffisamment grand, alors l’équivalence \(R\)-faible sur \(U(k)\) coïncide avec l’\(R\)-équivalence, et les \(R\)-orbites faibles coïncident avec les \(R\)-orbites dans \(U(k)\).
Démonstration
Démontrons d’abord (1). Supposons \(s, t\) localement de type fini. D’après le lemme 048T, on peut supposer que \(R\) est une prérelation d’équivalence. Soit \(k\) un corps algébriquement clos au-dessus de \(B\). Supposons que \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) soient \(R\)-équivalents. Alors, pour une extension de corps \(\Omega/k\), il existe un point \(\overline{r} \in R(\Omega)\) qui s’envoie sur \((\overline{u}, \overline{u}') \in (U \times_B U)(\Omega)\) ; voir le lemme 048R. Ainsi, \[Z = R \times_{j, U \times_B U, (\overline{u}, \overline{u}')} \Spec(k)\] est non vide. Comme \(s\) est localement de type fini, \(j\) l’est aussi ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0462. Il s’ensuit que \(Z\) est un espace algébrique non vide, localement de type fini sur le corps algébriquement clos \(k\) (utiliser Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03XH). Par conséquent, \(Z\) possède un point à valeurs dans \(k\) ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0487. Il existe donc \(\overline{r} \in R(k)\) tel que \(j(\overline{r}) = (\overline{u}, \overline{u}')\), et l’on conclut comme voulu que \(\overline{u}, \overline{u}'\) sont \(R\)-équivalents.
La démonstration de (2) est la même, si ce n’est qu’elle utilise Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0488 au lieu de Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0487. Cela montre que l’assertion vaut dès que \(|k| > \lambda(R)\), où \(\lambda(R)\) est introduit juste avant Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0487.
Dans la définition suivante, dire que « \(k\) est un corps au-dessus de \(B\) » signifie que \(\Spec(k)\) est muni d’un morphisme \(\Spec(k) \to B\).
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\).
On dit que \(\phi : U \to X\) est ensemblistement \(R\)-invariant si et seulement si l’application \(U(k) \to X(k)\) égalise les deux applications \(s, t : R(k) \to U(k)\) pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\).
On dit que \(\phi : U \to X\) sépare les orbites, ou sépare les \(R\)-orbites, s’il est ensemblistement \(R\)-invariant et si \(\phi(\overline{u}) = \phi(\overline{u}')\) dans \(X(k)\) implique que \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) appartiennent à la même orbite, pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\).
Dans l’exemple 048Z, on montre que l’invariance ensembliste est une notion « trop faible » dans la catégorie des espaces algébriques. Une reformulation plus géométrique de l’invariance ensembliste et de la séparation des orbites est donnée au lemme 049Y.
Lemme
Dans la situation de la définition 048V, un morphisme \(\phi : U \to X\) est ensemblistement \(R\)-invariant si et seulement si, pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\), l’application \(U(k) \to X(k)\) est constante sur les orbites.
Démonstration
Cela résulte du fait que la condition est imposée pour tous les corps algébriquement clos au-dessus de \(B\).
Lemme
Dans la situation de la définition 048V, un morphisme invariant est ensemblistement invariant.
Démonstration
Cela découle immédiatement des définitions.
Lemme
Dans la situation de la définition 048V, soit \(\phi : U \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\). Supposons que
\(\phi\) soit ensemblistement \(R\)-invariant ;
\(R\) soit réduit ; et
\(X\) soit localement séparé sur \(B\).
Alors \(\phi\) est \(R\)-invariant.
Démonstration
Considérons l’égalisateur \[Z = R \times_{(\phi, \phi) \circ j, X \times_B X, \Delta_{X/B}} X\] comme espace algébrique. Alors \(Z \to R\) est une immersion en vertu de (3). D’après (1), \(|Z| \to |R|\) est surjectif. Il s’ensuit que \(Z \to R\) est une immersion fermée bijective (utiliser Schémas, lemme 01IQ) et, par (2), on conclut que \(Z = R\).
Exemple
Il existe des espaces algébriques réduits quasi-séparés \(X\), \(Y\) et deux morphismes \(a, b : Y \to X\) qui coïncident sur tous les points à valeurs dans \(k\) sans être égaux. Pour obtenir un exemple, prendre \(Y = \Spec(k[[x]])\) et \[X = \mathbf{A}^1_k \Big/ \big(\Delta \amalg \{(x, -x) \mid x \not = 0\}\big)\] l’espace algébrique de Espaces, exemple 02Z1. Les deux morphismes \(a, b : Y \to X\) proviennent des deux applications \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto -x\) de \(Y\) vers \(\mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\). Au point générique, les deux applications sont égales car, sur l’ouvert \(x \not = 0\) de l’espace \(X\), les fonctions \(x\) et \(-x\) sont égales. Au point fermé, les applications sont manifestement égales. On a aussi \(a \not = b\). Cela implique que le lemme 048Y cesse d’être vrai si l’on remplace (3) par l’hypothèse que \(X\) est quasi-séparé. En effet, considérons le diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[d]_{-1} \ar[r]_1 & Y \ar[d]^a \\ Y \ar[r]^a & X }\] alors la composée \(a \circ (-1) = b\). On peut donc poser \(R = Y\), \(U = Y\), \(s = 1\), \(t = -1\), \(\phi = a\) pour obtenir un exemple de morphisme ensemblistement invariant qui n’est pas invariant.
L’exemple précédent est instructif car l’application \(Y \to X\) sépare même les orbites. Il montre que, dans la catégorie des espaces algébriques, il existe tout simplement trop de morphismes ensemblistement invariants. Définissons maintenant ce que signifie pour \(R\) d’être une relation d’équivalence ensembliste, en gardant à l’esprit qu’il faut autoriser des extensions de corps pour que la définition soit correcte.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\).
On dit que \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste si, pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\), la relation \(\sim_R\) sur \(U(k)\) définie par \[\overline{u} \sim_R \overline{u}' \Leftrightarrow \begin{matrix} \exists\text{ field extension }K/k, \ \exists\ r \in R(K), \\ s(r) = \overline{u}, \ t(r) = \overline{u}' \end{matrix}\] est une relation d’équivalence.
On dit que \(j\) est une relation d’équivalence ensembliste si \(j\) est universellement injectif et est une prérelation d’équivalence ensembliste.
Reformulons cette définition en termes plus géométriques.
Lemme
Dans la situation de la définition 0490, les conditions suivantes sont équivalentes :
Le morphisme \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste.
Le sous-ensemble \(j(|R|) \subset |U \times_B U|\) contient l’image de \(|j'|\) pour chacun des morphismes \(j'\) de l’équation (048S).
Pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\) et de cardinal suffisamment grand, le sous-ensemble \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\) est une relation d’équivalence.
Si \(s, t\) sont localement de type fini, ces conditions équivalent aussi à
Pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\), le sous-ensemble \(j(R(k)) \subset U(k) \times U(k)\) est une relation d’équivalence.
Démonstration
Supposons (2). Soit \(k\) un corps algébriquement clos au-dessus de \(B\). Montrons que \(\sim_R\) est une relation d’équivalence. Supposons que \(\overline{u}_i : \Spec(k) \to U\), \(i = 1, 2\), soient des points à valeurs dans \(k\) de \(U\). Supposons que \((\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) soit l’image d’un point à valeurs dans \(K\), \(r \in R(K)\). Considérons le diagramme commutatif en traits pleins \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & \Spec(k) \ar[d]_{(\overline{u}_2, \overline{u}_1)} & \Spec(K) \ar[d] \ar[l] \\ R \ar[r]^-j & U \times_B U & R \ar[l]_-{j_{flip}} }\] On note aussi \(r \in |R|\) l’image de \(r\). Par hypothèse, l’image de \(|j_{flip}|\) est contenue dans l’image de \(|j|\) ; autrement dit, il existe \(r' \in |R|\) tel que \(|j|(r') = |j_{flip}|(r)\). Mais remarquons que \((\overline{u}_2, \overline{u}_1)\) appartient à la classe d’équivalence qui définit \(|j|(r')\) (par commutativité de la partie en traits pleins du diagramme). Il existe donc une extension de corps \(K'/k\) et un morphisme \(r' : \Spec(K) \to R\) (encore noté abusivement \(r'\)) tels que \(j \circ r' = (\overline{u}_2, \overline{u}_1) \circ i\), où \(i : \Spec(K') \to \Spec(K)\) est l’application évidente. Autrement dit, la partie pointillée du diagramme est commutative. Cela prouve que \(\sim_R\) est une relation symétrique sur \(U(k)\). De même, le fait que l’image de \(|j_{diag}|\) soit contenue dans l’image de \(|j|\) montre que \(\sim_R\) est réflexive (détails omis).
Pour montrer que \(\sim_R\) est transitive, supposons donnés \(\overline{u}_i : \Spec(k) \to U\), \(i = 1, 2, 3\), des extensions de corps \(K_i/k\) et des points \(r_i : \Spec(K_i) \to R\), \(i = 1, 2\), tels que \(j(r_1) = (\overline{u}_1, \overline{u}_2)\) et \(j(r_1) = (\overline{u}_2, \overline{u}_3)\). On peut alors choisir un diagramme commutatif de corps \[\xymatrix{ K & K_2 \ar[l] \\ K_1 \ar[u] & k \ar[l] \ar[u] }\] et considérer \(r_1, r_2 \in R(K)\). Considérons le diagramme commutatif en traits pleins \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar@{..>}[r] \ar@{..>}[d] & \Spec(k) \ar[d]_{(\overline{u}_1, \overline{u}_3)} & \Spec(K) \ar[d]^{(r_1, r_2)} \ar[l] \\ R \ar[r]^-j & U \times_B U & R \times_{s, U, t} R \ar[l]_-{j_{comp}} }\] Le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration, en utilisant cette fois que \(|j_{comp}|((r_1, r_2))\) appartient à l’image de \(|j|\), montre qu’il existe un corps \(K'\) et des flèches pointillées qui rendent le diagramme commutatif. Cela prouve que \(\sim_R\) est transitive et achève la preuve de l’implication (2) vers (1).
Supposons (1) et soit \(k\) un corps algébriquement clos au-dessus de \(B\), dont le cardinal est supérieur à \(\lambda(R)\) ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0488. Supposons que \(\overline{u} \sim_R \overline{u}'\), avec \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\). Par hypothèse, il existe un point de \(|R|\) qui s’envoie sur \((\overline{u}, \overline{u}') \in |U \times_B U|\). Ainsi, d’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0488, il existe \(\overline{r} \in R(k)\) tel que \(j(\overline{r}) = (\overline{u}, \overline{u}')\). On voit ainsi que (1) implique (3).
Supposons (3). Montrons que \(\Im(|j_{comp}|) \subset \Im(|j|)\). Choisissons un point quelconque \(c \in |R \times_{s, U, t} R|\). On peut le représenter par un morphisme \(\overline{c} : \Spec(k) \to R \times_{s, U, t} R\), le corps \(k\) au-dessus de \(B\) étant de cardinal suffisamment grand. Par hypothèse, \(j_{comp}(\overline{c}) \in U(k) \times U(k) = (U \times_B U)(k)\) est aussi l’image \(j(\overline{r})\) d’un certain \(\overline{r} \in R(k)\). Par conséquent, \(j_{comp}(c) = j(r)\) dans \(|U \times_B U|\), comme voulu (où \(r \in |R|\) est la classe d’équivalence de \(\overline{r}\)). Le même argument montre aussi que \(\Im(|j_{diag}|) \subset \Im(|j|)\) et \(\Im(|j_{flip}|) \subset \Im(|j|)\) (détails omis). On voit ainsi que (3) implique (2). Nous avons donc montré que (1), (2) et (3) sont toutes équivalentes.
Il est clair que (4) implique (3) (sans aucune hypothèse sur \(s\), \(t\)). Pour achever la démonstration du lemme, montrons que (1) implique (4) si \(s, t\) sont localement de type fini. Soit donc \(k\) un corps algébriquement clos au-dessus de \(B\). Supposons que \(\overline{u} \sim_R \overline{u}'\), avec \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\). Par hypothèse, l’espace algébrique \(Z = R \times_{j, U \times_B U, (\overline{u}, \overline{u}')} \Spec(k)\) est non vide. D’autre part, puisque \(j = (t, s)\) est localement de type fini, le morphisme \(Z \to \Spec(k)\) est lui aussi localement de type fini (utiliser Morphismes d’espaces algébriques, lemmes 0462 et 03XH). Ainsi, \(Z\) possède un point à valeurs dans \(k\) d’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0487, et l’on conclut que \((\overline{u}, \overline{u}') \in j(R(k))\), comme voulu. Cela achève la démonstration du lemme.
Lemme
Dans la situation de la définition 0490, les conditions suivantes sont équivalentes :
Le morphisme \(j\) est une relation d’équivalence ensembliste.
Le morphisme \(j\) est universellement injectif et \(j(|R|) \subset |U \times_B U|\) contient l’image de \(|j'|\) pour chacun des morphismes \(j'\) de l’équation (048S).
Pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\) et de cardinal suffisamment grand, l’application \(j : R(k) \to U(k) \times U(k)\) est injective et son image est une relation d’équivalence.
Si \(j\) est décent, localement séparé ou quasi-séparé, ces conditions équivalent aussi à
Pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\), l’application \(j : R(k) \to U(k) \times U(k)\) est injective et son image est une relation d’équivalence.
Démonstration
Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2) et (2) \(\Rightarrow\) (3) résultent du lemme 0491 et des définitions. Le même lemme montre que (3) implique que \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste. Mais la condition (3) implique aussi, bien entendu, que \(j\) est universellement injectif ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 040X ; ainsi, \(j\) est bien une relation d’équivalence ensembliste. Nous savons donc que (1), (2) et (3) sont toutes équivalentes.
La condition (4) implique (3) sans autre hypothèse sur \(j\). Supposons que \(j\) soit décent, localement séparé ou quasi-séparé, et que les conditions équivalentes (1), (2), (3) soient satisfaites. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 0484, \(j\) est radiciel. Soit \(k\) un corps algébriquement clos quelconque au-dessus de \(B\). Soient \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) tels que \(\overline{u} \sim_R \overline{u}'\). On voit que \(R \times_{U \times_B U, (\overline{u}, \overline{u}')} \Spec(k)\) est non vide. Comme \(j\) est radiciel, sa réduction est donc le spectre d’un corps purement inséparable sur \(k\). Puisque \(k = \overline{k}\), on voit que c’est le spectre de \(k\). Il existe donc un point \(\overline{r} \in R(k)\) tel que \(t(\overline{r}) = \overline{u}\) et \(s(\overline{r}) = \overline{u}'\), comme voulu.
Lemme
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation sur \(B\).
Si \(j\) est une prérelation d’équivalence, alors \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste. C’est en particulier le cas lorsque \(j\) provient d’un groupoïde en espaces algébriques ou de l’action d’un espace algébrique en groupes sur \(U\).
Si \(j\) est une relation d’équivalence, alors \(j\) est une relation d’équivalence ensembliste.
Démonstration
Omise.
Lemme
Soit \(B \to S\) comme dans la section 048C. Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Soit \(\phi : U \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ (U \times_X U) \times_{(U \times_B U)} R \ar[d]^q \ar[r]_-p & R \ar[d]^j \\ U \times_X U \ar[r]^c & U \times_B U }\] Alors :
Le morphisme \(\phi\) est ensemblistement invariant si et seulement si \(p\) est surjectif.
Si \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste, alors \(\phi\) sépare les orbites si et seulement si \(p\) et \(q\) sont surjectifs.
Si \(p\) et \(q\) sont surjectifs, alors \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste (et \(\phi\) sépare les orbites).
Si \(\phi\) est \(R\)-invariant et si \(j\) est une prérelation d’équivalence ensembliste, alors \(\phi\) sépare les orbites si et seulement si le morphisme induit \(R \to U \times_X U\) est surjectif.
Démonstration
Supposons que \(\phi\) soit ensemblistement invariant. Cela signifie que, pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\) et tout \(\overline{r} \in R(k)\), on a \(\phi(s(\overline{r})) = \phi(t(\overline{r}))\). Ainsi, \(((\phi(t(\overline{r})), \phi(s(\overline{r}))), \overline{r})\) définit un point du produit fibré qui s’envoie sur \(\overline{r}\) par \(p\). Cela montre que \(p\) est surjectif. Réciproquement, supposons \(p\) surjectif. Choisissons \(\overline{r} \in R(k)\). Puisque \(p\) est surjectif, on peut trouver une extension de corps \(K/k\) et un point à valeurs dans \(K\) \(\tilde r\) du produit fibré tel que \(p(\tilde r) = \overline{r}\). Alors \(q(\tilde r) \in U \times_X U\) s’envoie sur \((t(\overline{r}), s(\overline{r}))\) dans \(U \times_B U\), et l’on conclut que \(\phi(s(\overline{r})) = \phi(t(\overline{r}))\). Cela prouve que \(\phi\) est ensemblistement invariant.
Les démonstrations de (2), (3) et (4) sont omises. Indication : supposer que \(k\) est un corps algébriquement clos au-dessus de \(B\), de grand cardinal. Considérer le diagramme d’ensembles associé \[\xymatrix{ (U(k) \times_{X(k)} U(k)) \times_{U(k) \times U(k)} R(k) \ar[d]^q \ar[r]_-p & R(k) \ar[d]^j \\ U(k) \times_{X(k)} U(k) \ar[r]^c & U(k) \times U(k) }\] Grâce aux lemmes précédents, les équivalences formulées en (2), (3) et (4) deviennent des questions ensemblistes relatives au diagramme que l’on vient d’afficher, en utilisant le fait que la surjectivité se traduit par la surjectivité sur les points à valeurs dans \(k\), d’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0488.
Comme nous avons vu plus haut que la notion de morphisme ensemblistement invariant est assez faible dans la catégorie des espaces algébriques, nous définissons comme suit un espace d’orbites pour une prérelation.
Définition
Soit \(B \to S\) comme dans la section 048C. Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. On dit que \(\phi : U \to X\) est un espace d’orbites pour \(R\) si
\(\phi\) est \(R\)-invariant ;
\(\phi\) sépare les \(R\)-orbites ; et
\(\phi\) est surjectif.
La définition de la séparation des \(R\)-orbites fait intervenir des points à valeurs dans des corps algébriquement clos. Mais, comme on l’a vu, cela correspond dans de nombreux cas à la surjectivité de certains morphismes d’espaces algébriques canoniquement associés. Résumons la discussion précédente dans la caractérisation suivante des espaces d’orbites.
Lemme
Soit \(B \to S\) comme dans la section 048C. Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation d’équivalence ensembliste. Un morphisme \(\phi : U \to X\) est un espace d’orbites pour \(R\) si et seulement si
\(\phi \circ s = \phi \circ t\), c’est-à-dire que \(\phi\) est invariant ;
le morphisme induit \((t, s) : R \to U \times_X U\) est surjectif ; et
le morphisme \(\phi : U \to X\) est surjectif.
Cette caractérisation s’applique par exemple si \(j\) est une prérelation d’équivalence, s’il provient d’un groupoïde en espaces algébriques sur \(B\), ou s’il provient de l’action d’un espace algébrique en groupes sur \(B\) sur \(U\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement du lemme 049Y, partie (4).
Dans le lemme suivant, il ne suffit (probablement) pas de supposer seulement que les morphismes \(s, t\) sont localement de type fini. En effet, il peut arriver qu’une application \(\phi : U \to X\) soit un espace d’orbites sans être localement de type fini. Dans ce cas, \(U(k) \to X(k)\) peut ne pas être surjective pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\).
Lemme
Soit \(B \to S\) comme dans la section 048C. Soit \(j = (t, s) : R \to U \times_B U\) une prérelation. Supposons que \(R, U\) soient localement de type fini sur \(B\). Soit \(\phi : U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant d’espaces algébriques sur \(B\). Alors \(\phi\) est un espace d’orbites pour \(R\) si et seulement si l’application naturelle \[U(k)/\big(\text{equivalence relation generated by }j(R(k))\big) \longrightarrow X(k)\] est bijective pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\).
Démonstration
Remarquons que, puisque \(U\), \(R\) sont localement de type fini sur \(B\), tous les morphismes \(s, t, j, \phi\) sont localement de type fini ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0462. Nous utiliserons aussi sans autre mention Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0487. Supposons que \(\phi\) soit un espace d’orbites. Soit \(k\) un corps algébriquement clos quelconque au-dessus de \(B\). Soit \(\overline{x} \in X(k)\). Considérons \(U \times_{\phi, X, \overline{x}} \Spec(k)\). C’est un espace algébrique non vide, localement de type fini sur \(k\). Il possède donc un point à valeurs dans \(k\). Cela montre que l’application affichée dans le lemme est surjective. Supposons que \(\overline{u}, \overline{u}' \in U(k)\) aient la même image dans \(X(k)\). D’après la définition 048V, cela signifie que \(\overline{u}, \overline{u}'\) sont dans la même \(R\)-orbite. D’après le lemme 048U, cela signifie qu’ils sont équivalents pour la relation d’équivalence engendrée par \(j(R(k))\). Ainsi, le morphisme affiché est injectif.
Réciproquement, supposons que l’application affichée soit bijective pour tout corps algébriquement clos \(k\) au-dessus de \(B\). Cette condition implique clairement que \(\phi\) est surjectif. Nous avons déjà supposé que \(\phi\) est \(R\)-invariant. Enfin, l’injectivité de toutes les applications affichées implique que \(\phi\) sépare les orbites. Par conséquent, \(\phi\) est un espace d’orbites.
Quotients grossiers
Nous ajoutons seulement cette notion ici afin de pouvoir dire plus tard que les quotients grossiers correspondent aux espaces de modules grossiers (ou aux schémas de modules).
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est appelé quotient grossier si
\(\phi\) est un quotient catégorique ; et
\(\phi\) est un espace d’orbites.
Si \(S = B\) et si \(U\), \(R\) sont tous deux des schémas, on dit qu’un morphisme de schémas \(\phi : U \to X\) est un quotient grossier en schémas si
\(\phi\) est un quotient catégorique en schémas ; et
\(\phi\) est un espace d’orbites.
Dans de nombreuses situations, les espaces algébriques \(R\) et \(U\) sont localement de type fini sur \(B\), et la condition d’espace d’orbites signifie simplement que \[U(k)/\big(\text{equivalence relation generated by }j(R(k))\big) \cong X(k)\] pour tout corps algébriquement clos \(k\). Voir le lemme 04A0. Si \(j\) est en outre une prérelation d’équivalence (ensembliste), alors la condition équivaut simplement à ce que \(U(k)/j(R(k)) \to X(k)\) soit bijective pour tout corps algébriquement clos \(k\).
Propriétés topologiques
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. On dit qu’un sous-ensemble \(T \subset |U|\) est \(R\)-invariant si \(s^{-1}(T) = t^{-1}(T)\) comme sous-ensembles de \(|R|\). Remarquons que, si \(T\) est fermé, il peut arriver que le sous-espace fermé réduit correspondant de \(U\) ne soit pas \(R\)-invariant (au sens de Groupoïdes in Espaces, définition 044F), car les images réciproques \(s^{-1}(T)\), \(t^{-1}(T)\) peuvent ne pas être réduites. Voici quelques conditions que l’on peut considérer pour un morphisme invariant \(\phi : U \to X\).
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Soit \(\phi : U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant d’espaces algébriques sur \(B\).
Le morphisme \(\phi\) est submersif.
Pour tout sous-ensemble fermé \(R\)-invariant \(Z \subset |U|\), l’image \(\phi(Z)\) est fermée dans \(|X|\).
La condition (04A6) est satisfaite et, pour toute paire de sous-ensembles fermés \(R\)-invariants \(Z_1, Z_2 \subset |U|\), on a \[\phi(Z_1 \cap Z_2) = \phi(Z_1) \cap \phi(Z_2)\]
Le morphisme \((t, s) : R \to U \times_X U\) est universellement submersif. [04A8]
Pour chacune de ces propriétés, on peut aussi exiger qu’elle subsiste après tout changement de base plat, ou après tout changement de base ; voir la définition 048H. On dit alors que la condition (04A5), (04A6), (04A7) ou (04A8) est satisfaite uniformément ou universellement.
Fonctions invariantes
Dans certains cas, il est commode de déterminer précisément le faisceau structural d’un quotient en exigeant que toute fonction invariante soit une section locale du faisceau structural du quotient.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Soit \(\phi : U \to X\) un morphisme \(R\)-invariant. Notons \(\phi' = \phi \circ s = \phi \circ t : R \to X\).
On note \((\phi_*\mathcal{O}_U)^R\) la sous-\(\mathcal{O}_X\)-algèbre de \(\phi_*\mathcal{O}_U\) qui est le noyau de la double flèche \[\xymatrix{ \phi_*\mathcal{O}_U \ar@<1ex>[rr]^{\phi_*s^\sharp} \ar@<-1ex>[rr]_{\phi_*t^\sharp} & & \phi'_*\mathcal{O}_R }\] sur \(X_\etale\). On l’appelle parfois le faisceau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(X\).
On dit que les fonctions sur \(X\) sont les fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\) si l’application naturelle \(\mathcal{O}_X \to (\phi_*\mathcal{O}_U)^R\) est un isomorphisme.
On peut bien sûr exiger que cette propriété subsiste après tout changement de base (plat ou quelconque), ce qui donne une notion (uniforme ou) universelle. Cette condition est souvent ajoutée à d’autres afin d’obtenir un quotient davantage déterminé. Une grande partie de la motivation de toute la théorie provient bien sûr du cas particulier suivant : \(U = \Spec(A)\) est un schéma affine sur un corps \(S = B = \Spec(k)\) et \(R = G \times U\), où \(G\) est un schéma en groupes affine sur \(k\). Dans ce cas, on peut choisir comme quotient \[X = \Spec(A^G)\] de sorte qu’au moins la condition de la définition précédente soit satisfaite. Bien que cette construction soit agréable, elle ne donne souvent pas le bon quotient ; par exemple, si \(U = \text{GL}_{n, k}\) et si \(G\) est le groupe des matrices triangulaires supérieures, elle donne \(X = \Spec(k)\), alors qu’il existe un bien meilleur quotient (à savoir la variété de drapeaux).
Bons quotients
La définition suivante est particulièrement utile lorsqu’on prend des quotients par des actions de groupes.
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est appelé bon quotient si
\(\phi\) est invariant ;
\(\phi\) est affine ;
\(\phi\) est surjectif ;
la condition (04A7) est satisfaite universellement ; et
les fonctions sur \(X\) sont les fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\).
Dans [seshadri_quotients], Seshadri donne presque la même définition, mais, à la place de (4), il exige simplement que la condition (04A7) soit satisfaite, sans exiger qu’elle le soit universellement.
Quotients géométriques
C’est la définition de Mumford d’un quotient géométrique (du moins celle de la première édition de GIT ; pour autant que nous puissions en juger, les éditions ultérieures ont remplacé « universellement submersif » par « submersif »).
Définition
Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_B U\) une prérelation. Un morphisme \(\phi : U \to X\) d’espaces algébriques sur \(B\) est appelé quotient géométrique si
\(\phi\) est un espace d’orbites ;
la condition (04A5) est satisfaite universellement, c’est-à-dire que \(\phi\) est universellement submersif ; et
les fonctions sur \(X\) sont les fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\).